Vladuca Carte Vol 1 [620149]

Licență

Vladuca Carte Vol 1 [620149]

Byadmin ianuarie 1, 2024

ELEMENTE DE FIZIC ˘A NUCLEAR ˘A
G.VL ˘ADUC ˘A
BUCURES ¸TI, 1988

Cuprins
1 PROPRIETATI FUNDAMENTALE ALE NUCLEELOR 5
1.1 Nucleul atomic – not ¸iuni introductive, structura nucl eului. . . 5
1.2 Stabilitatea nucleului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Energia de leg˘ atur˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Energia de separare a unei particule . . . . . . . . . . 19
1.2.3 Energia de ˆ ımperechere . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Dimensiunile nucleului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Formula semiempiric˘ a pentru energia de leg˘ atur˘ a ¸ si masa nu-
cleului. Modelul pic˘ atur˘ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5 Spinul nucleului ¸ si statistica particulelor identice . . . . . . . 54
1.6 Paritatea funct ¸iei de und˘ a a nucleului ¸ si inversia te mporal˘ a.
Legea conserv˘ arii parit˘ at ¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.7 Momentul magnetic dipolar al nucleului . . . . . . . . . . . . 72
1.7.1 Metode experimentale de determinare a spinului ¸ si
momentului magnetic dipolar al nucleelor . . . . . . . 76
1.7.2 Rezultatele m˘ asur˘ arii spinilor ¸ si momentelor mag neti-
ce. Modelul uniparticul˘ a al lui Schmidt . . . . . . . . 91
1.8 Momentele electrice ale nucleului . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.8.1 Determinarea experimental˘ a a momentului cvadrupol ar111
1.9 Radioactivitatea natural˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.9.1 Legea dezintegr˘ arii radioactive . . . . . . . . . . . . . 123
1.9.2 Caracterul statistic al legii dezintegr˘ arii radioa ctive . . 126
1.9.3 Familii (serii) radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . 136
1.9.4 L˘ argimea st˘ arilor care se dezintegreaz˘ a . . . . . . . . . 149
2 FORT ¸ELE NUCLEARE 154
2.1 Propriet˘ at ¸ile fort ¸elor nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.2 Operatorul energiei potent ¸iale V pentru interact ¸ia n ucleon-
nucleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
1

2.3 Teoria mezonic˘ a a fort ¸elor nucleare . . . . . . . . . . . . . . . 182
2.4 Particulele elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
2.4.1 Introducere ˆ ın ﬁzica particulelor elementare . . . . . . 192
2.4.2 Legi de conservare ˆ ın ﬁzica particulelor elementare . . 200
2.4.3 Clasiﬁcarea particulelor elementare. . . . . . . . . . . 21 6
2.5 Cromodinamica cuantic˘ a ¸ si fort ¸ele nucleare . . . . . . . . . . 225
2.5.1 Modelul de cuarc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
2.5.2 Cromodinamica cuantic˘ a. Construirea hadronilor di n
cuarci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
2.5.3 Not ¸iuni introductive privind uniﬁcarea fort ¸elor d in natur˘ a239
3 MODELE NUCLEARE DE STRUCTUR ˘A 243
3.1 Clasiﬁcarea modelelor nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.2 Modelul p˘ aturilor nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3.2.1 Numerele magice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
3.2.2 Construirea modelului ˆ ın p˘ aturi . . . . . . . . . . . . . 251
3.2.3 Varianta uniparticul˘ a a modelului ˆ ın p˘ aturi, (MPS ) . . 273
3.2.4 Varianta uniparticul˘ a pentru nucleele permanent de –
formate (MPD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
3.3 Modele colective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
3.3.1 Modelul colectiv pentru nuclee sferice (MCS) . . . . . 30 5
3.3.2 Modelul colectiv pentru nuclee permanent deformate
(MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
3.4 Modelul uniﬁcat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
3.4.1 Aproximat ¸ia cuplajului slab (MUCS) . . . . . . . . . . 322
3.4.2 Aproximat ¸ia cuplajului tare (MUCT) . . . . . . . . . 324
3.5 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
2

CUVˆANT ˆINAINTE
Lucrarea reprezint˘ a expunerea prelucrat˘ a a lect ¸iilor t ¸inute student ¸ilor
tehnologi din anul V la cursul general de Fizic˘ a Nuclear˘ a.
De¸ si lucrarea urm˘ are¸ steˆ ın esent ¸˘ a programa analitic ˘ a a cursului, urm˘ atoarele
preciz˘ ari se impun:
•In lucrare nu au fost incluse capitolele referitoare la ”Int eract ¸ia Radiat ¸iilor
Nucleare cu Substant ¸a” ¸ si ”Detect ¸ia Radiat ¸iilor Nucle are” pentru mo-
tivul c˘ a student ¸ii facult˘ at ¸ii au la dispozit ¸ie materi ale corespunz˘ atoare
ˆ ın lucr˘ arile: Introducereˆ ın Utilizarea Izotopilor Rad ioactivi de N.Ghior-
d˘ anescu ¸ si, respectiv, Spectroscopie Nuclear˘ a de R.Ion Mihai ¸ si G.Vl˘ aduc˘ a.
•Problematica studiat˘ a, ﬁind vorba de un curs general, intr oductiv,
este prezentat˘ a, pe cˆ at posibil, calitativ ¸ si descripti v f˘ ar˘ a ˆ ınc˘ arc˘ atura
cuanto-mecanic˘ a speciﬁc˘ a domeniului. Unele demonstrat ¸ii, preciz˘ ari
¸ si observat ¸ii menite s˘ a clariﬁce o parte din problemele a bordate sunt
totu¸ si prezentate ˆ ın lucrare sub forma unor complet˘ ari l a textul gene-
ral, lucrarea ﬁind astfel conceput˘ a ˆ ıncˆ at la o prim˘ a cit ire acestea s˘ a
poat˘ a ﬁ evitate.
•Problemele abordate sunt prezentate ˆ ın lumina cercet˘ ari lor actuale
din ﬁzica nuclear˘ a. Astfel, ˆ ın paralel cu formula clasic˘ a de mas˘ a a lui
Weizs˝ acker este prezentat˘ a ¸ si formula lui Myers-Sviate cki folosit˘ a ˆ ın
prezent ˆ ın mod curent ˆ ın calculul maselor nucleare. In mod similar,
pe lˆ ang˘ a teoria clasic˘ a, mezonic˘ a, a fort ¸elor nuclear e este prezentat˘ a,
calitativ, ¸ si teoria cromodinamicii cuantice, etc.
•In lucrare unele paragrafe ¸ si capitole dep˘ a¸ sesc, prin te matica abor-
dat˘ a, programa analitic˘ a a cursului. Un exemplu ediﬁcato r ˆ ın acest
sens ˆ ıl constituie capitolul 3 ˆ ıntitulat ”Modele Nuclear e de Structur˘ a”
care are o extindere mai mare. Aceast˘ a obt ¸iune a fost aleas ˘ a pen-
tru motivul c˘ a ˆ ın literatura de specialitate acest domeni u, deosebit de
important ˆ ın ﬁzica nuclear˘ a, este tratat ﬁe strict calita tiv, ˆ ın cˆ ateva
pagini de informare asupra existent ¸ei modelelor nucleare , ﬁe foarte
matematicizat, ˆ ın c˘ art ¸i voluminoase de specialitate, p ractic inaborda-
bile de cititorul care se init ¸iaz˘ a ˆ ın ﬁzica nuclear˘ a. In consecint ¸˘ a am
ˆ ıncercat umplerea acestui ”gol” printr-o prezentare rela tiv ampl˘ a ¸ si cu
un aparat matematic simplu. Sper c˘ a aceast˘ a ˆ ıncercare va ﬁ util˘ a atˆ at
3

celor care se init ¸iaz˘ a ˆ ın ﬁzica nuclear˘ a cˆ at ¸ si celor c are deja au la baz˘ a
un astfel de curs general.
Pentru comoditatea utilz˘ arii, lucrarea a fost conceput˘ a ˆ ın dou˘ a p˘ art ¸i. In
prima parte sunt prezentate propriet˘ at ¸ile fundamentale ale nucleului, pro-
priet˘ at ¸ile ¸ si teoria elementar˘ a a fort ¸elor nucleare ¸ si modelele nucleare de
structur˘ a. Partea a doua prezint˘ a teoria elementar˘ a a de zintegr˘ ariiα,β¸ si
γ, react ¸iile nucleare, ﬁsiunea ¸ si fuziunea nuclear˘ a cˆ at ¸ si cˆ ateva aplicat ¸ii ale
ﬁzicii nucleare.
Lucrarea se adreseaz˘ aˆ ın primul rˆ and student ¸ilor. Lucr area poate ﬁ util˘ a
¸ si profesorilor de ﬁzic˘ a dinˆ ınv˘ at ¸˘ amˆ antul mediu ca ¸ si tuturor celor care doresc
s˘ a se init ¸ieze ˆ ın ﬁzica nuclear˘ a.
Mult ¸umesc prof. dr. C˘ alin Be¸ sliu, prof. dr. Grecu Voicu ¸ si lector
dr. R.Ion-Mihai pentru discut ¸iile ¸ si sugestiile de care m -am bucurat ˆ ın
elaborarea acestei lucr˘ ari.
Lucrarea este, ﬁre¸ ste, susceptibil˘ a perfect ¸ion˘ arii ¸ si ca urmare orice noi
observat ¸ii ¸ si sugestii vor ﬁ primite cu recuno¸ stint ¸˘ a.
Autorul
4

Capitolul 1
PROPRIETATI
FUNDAMENTALE ALE
NUCLEELOR
1.1 Nucleul atomic – not ¸iuni introductive, struc-
tura nucleului.
Not ¸iunea de nucleu a fost introdus˘ a de Rutherford ˆ ın urma experient ¸elor de
difuzie a particulelor αpe foit ¸e metalice subt ¸iri. Aceste experient ¸e, efec-
tuate ˆ ın anii 1906 – 1912, au impus ipoteza c˘ a atomul are un ” nucleu” cu
dimensiuni mult mai mici decˆ ıt ale atomului ˆ ın care se conc entreaz˘ a peste
99% din masa atomului.
Aceste concluzii au rezultat prin compararea sect ¸iunii di ferent ¸iale teore-
tice deˆ ımpr˘ a¸ stiere a particulelor αcu datele experimentale corespunz˘ atoare.
Expresia teoretic˘ a dedus˘ a de Rutherford ¸ si colaborator ii Geiger ¸ si Marsden
pentru sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a este:
/parenleftbiggdσ
dΩ/parenrightbigg
R=1
(4πε0)24m2Q2(ze)2
(2psinθ
2)4(1.1)
ˆ ın care m, p ¸ sizereprezint˘ a masa, impulsul ¸ si, respectiv, sarcina partic ulei
proiectilα,Qeste sarcina ”nucleulu” ˆ ımpr˘ a¸ stietor iar θeste unghiul de
ˆ ımpr˘ a¸ stiere. Preciz˘ am c˘ a ˆ ın perioada cˆ and s-au efec tuat aceste experient ¸e
se ¸ stia c˘ a sarcina particulei αeste 2e iar masa acesteia este de aproximativ
7000 ori mai mare decˆ at masa electronului.
Relat ¸ia (1.1), dedus˘ a din considerente clasice, din punc t de vedere al
mecanicii cuantice este adev˘ arat˘ a ˆ ın urm˘ atoarele ipot eze:
5

a)Interact ¸ia ˆ ıntre particula α¸ si nucleul ˆ ımpr˘ a¸ stietor (nucleul t ¸int˘ a) este
strict coulombian˘ a.
b)Este adev˘ arat˘ a aproximat ¸ia Born, adic˘ a undele asociat e particulelor α
incidente ¸ si emergente sunt unde plane.
c)Masa nucleului M este mult mai mare decˆ at masa proiectilulu i m
(M >>m ) ¸ si ca atare se neglijeaz˘ a energia cinetic˘ a de recul a nuc le-
ului.
d)Particula proiectil ca ¸ si nucleul t ¸int˘ a sunt f˘ ar˘ a spin .
e)Particula proiectil ¸ si nucleul t ¸int˘ a sunt f˘ ar˘ a struct ur˘ a, adic˘ a considerate
particule punctiforme.
S-a constatat c˘ a datele experimentale sunt ˆ ın acord cu rel at ¸ia teoretic˘ a
(1.1) dac˘ a se consider˘ a Q=Ze ˆ ın care Z este num˘ arul atomi c al nucleului
ˆ ımpr˘ a¸ stietor. S-a stabilit astfel c˘ a num˘ arul sarcini lor pozitive elementare
ale nucleului este egal cu num˘ arul de electroni ai atomului respectiv, atom
neutru din punct de vedere electric. In particular pentru nu cleul atomului
de hidrogen Z=1; acest nucleu, ”primul” din sistemul period ic ¸ si ﬁre¸ ste cel
mai simplu nucleu, a fost numit de Rutherford ”proton” de la c uvˆ antul
grecesc ”pr´ etes” ( primul). Rezult˘ a c˘ a nucleele cu Z >1 au ˆ ın compozit ¸ia
lor protoni adic˘ a microparticule cu sarcin˘ a pozitiv˘ a nu meric egal˘ a cu sarcina
elementar˘ a e.
Relat ¸ia (1.1),ˆ ın poﬁda ipotezei e) a permis estimarea lim itei superioare a
dimensiunilor nucleului. Aceast˘ a estimare se bazeaz˘ a pe faptul c˘ a apropierea
minim˘ a (rmin) a particulelor αde nucleul de sarcin˘ a Ze se calculeaz˘ a din
condit ¸ia c˘ a energia cinetic˘ a Eαse transfer˘ a integral ˆ ın energie potent ¸ial˘ a de
respingere:
Eα=2Ze2
4πε0rmin⇒rmin=2Ze2
4πǫ0Eα(1.2)
In particular, pentru particulele αde energie cinetic˘ a Eα≈5 MeV ( cu
care s-au efectuat init ¸ial experient ¸ele) ¸ si foit ¸e de au r (ZAu=79) se obt ¸ine va-
loarearminaproximativ 2 .10−14m. Deoarece pentru aceste energii sect ¸iunea
diferent ¸ial˘ a deﬁnit˘ a de relat ¸ia (1.1) esteˆ ın concord ant ¸˘ a cu datele experimen-
tale, se poate spune c˘ a pentru distant ¸e r≥rmininteract ¸ia dintre particulele
α¸ si nucleele de aur este pur coulombian˘ a. Din acest rat ¸ion ament rezult˘ a
c˘ a suma razelor particulelor α¸ si nucleelor de Au este cel mult egal˘ a cu
rmin∼=2.10−14m. Din aceste considerente Rutherford a ajuns la concluzia
c˘ a raza nucleului, considerat sferic, este mai mic˘ a sau ce l mult egal˘ a cu
2.10−14m.
6

Informat ¸ii suplimentare asupra structurii nucleului s-a u obt ¸inut din m˘ a-
sur˘ atorile maselor atomilor, care practic coincid cu mase le nucleelor cores-
punz˘ atoare. M˘ asur˘ atorile au ar˘ atat c˘ a masa unui nucle u cuZ >1 nu este
determinat˘ a de sarcina nucleului respectiv. Mai mult, s-a constatat c˘ a e-
xist˘ a nuclee cu acela¸ si num˘ ar atomic Z dar care au mase dif erite. Aceste
nuclee au fost numite ”izotopi” (isos-acela¸ si, t´ eps-loc ). Experient ¸a a ar˘ atat
c˘ a masa oric˘ arui izotop raportat˘ a la masa protonului est e foarte apropiat˘ a
de un num˘ arˆ ıntreg A care a primit denumirea de ”num˘ ar de ma s˘ a”. Fire¸ ste,
aceast˘ a constatare experimental˘ a a sugerat ipoteza c˘ a o rice izotop ar putea
ﬁ compus din A protoni. Deoarece numerele A ¸ si Z nu sunt egale pentru
izotopii cu Z/ne}ationslash= 1 , rezult˘ a c˘ a ˆ ın nuclee ”trebuie” s˘ a existe ¸ si alte par –
ticule pentru a ﬁ ˆ ın concordant ¸˘ a atˆ at cu m˘ asur˘ atorile de mas˘ a cˆ at ¸ si cu
sarcina Ze a nucleului. O solut ¸ie acceptabil˘ a init ¸ial a f ost considerat˘ a ipoteza
”protono-electronic˘ a”, conform c˘ areia nucleul este com pus din A protoni ¸ si
A-Z electroni. Existent ¸a nucleelor βradioactive, care emit spontan electroni
– fenomen cunoscut la ˆ ınceputul secolului trecut – a consti tuit un argument
conving˘ ator ˆ ın favoarea acestei ipoteze.
Dezvoltarea ulterioar˘ a a cercet˘ arilor de ﬁzic˘ a nuclear ˘ a a condus la o
serie de rezultate care inﬁrm˘ a aceast˘ a ipotez˘ a; printre acestea semnal˘ am
urm˘ atoarele:
a)M˘ asur˘ atorile experimentale au ar˘ atat c˘ a momentele mag netice ale nucle-
elor sunt de aproximativ 103ori mai mici decˆ at momentul magnetic
al electronului.
b)Energia electronilor localizat ¸iˆ ın interiorul nucleulu i de raz˘ aR≈10−14m,
a¸ sa cum rezul˘ a din relat ¸ia de incertitudine a lui Heisenb erg:
∆r.∆p≈¯h (1.3)
este de ordinul sutelor de MeV. Intr-adev˘ ar pentru ∆ r≈R¸ si
∆p≈p=1
c/radicalBig
E(E+ 2mec2)≈E
c;E≫2mec2(1.4)
din relat ¸ia (1.3) rezult˘ a:
E=¯hc
R≡10−12
R(m)(MeV) (1.5)
PentruR≈10−14se obt ¸ineE≈100 MeV. Aceast˘ a energie este foarte
mare comparativ cu energia radiat ¸iilor βemise de nucleele β- ra-
dioactive. In alt˘ a ordine de idei, electronii cu energii a¸ sa de mari n-ar
7

putea ﬁ localizat ¸i ˆ ın nucleu deoarece energia de atract ¸i e coulombian˘ a
maxim˘ a pe care o poate exercita nucleul asupra electronulu i deﬁnit˘ a
de relat ¸ia:
ECoul.=1
4πε0Ze2
R≈1.44Z
R(F)(MeV) (1.6)
este mult mai mic˘ a de 100 MeV, pentru orice valoare a lui Z (1 ≤Z≤
82).
In expresia (1.6) energia coulombian˘ a se obt ¸ine ˆ ın MeV da c˘ a raza
nucleului se exprim˘ a ˆ ın fermi (F), care se deﬁne¸ ste astfe l:
1F= 10−15m (1.7)
Reamintim
1MeV = 1.610−13J (1.8)
c)Un alt argument menit s˘ a inﬁrme ipoteza protono – electroni c˘ a este legat
de faptul c˘ a electronii ¸ si protonii sunt fermioni ( se supu n statisticii
Fermi – Dirac). Conform teoremei Ehrenfest – Oppenheimer (1 931),
un sistem format dintr-un num˘ ar par, respectiv impar, de fe rmioni se
supune statisticii Bose – Einstein, respectiv statisticii Fermi – Dirac.
Un sistem format din A protoni ¸ si A-Z electroni cont ¸ine 2A- Z fermioni
¸ si se va supune uneia din cele dou˘ a statistici dup˘ a cum 2A- Z este un
num˘ ar par sau impar. In particular nucleul14
7Nare 2A-Z=21 fermioni
¸ si ar trebui s˘ a se supun˘ a statisticii Fermi – Dirac. Datel e experimentale
inﬁrm˘ a ˆ ıns˘ a aceast˘ a ipotez˘ a pledˆ and f˘ ar˘ a posibili tate de gre¸ seal˘ a c˘ a
izotopul14
7Nse supune statisticii Bose – Einstein. La timpul respectiv
aceast˘ a situat ¸ie a fost numit˘ a ”catastrofa azotului”.
Aceste argumente, ca ¸ si altele, au inﬁrmat ipoteza structu rii protono-
electronice a nucleului. Problema structurii nucleului a p utut ﬁ rezolvat˘ a
abia ˆ ın anul 1932 cˆ and, dup˘ a o serie de experient ¸e efectu ate de Bothe ¸ si
Becker ¸ si sot ¸ii Ir` ene ¸ si Joliot Curie, James Chadwich de scoper˘ a neutronul
(neuter-neutru ˆ ın limba latin˘ a), o particul˘ a de mas˘ a ap ropiat˘ a de a protonu-
lui dar de sarcin˘ a nul˘ a.
In acela¸ si an, ﬁzicianul sovietic D.D.Ivanenko ¸ si, indep endent, ﬁzicianul
german W.Heisenberg au emis ipoteza ”protono-neutronic˘ a ” a nucleului con-
form c˘ areia nucleul cont ¸ine Z protoni ¸ si A-Z neutroni. De ¸ si aceast˘ a ipotez˘ a a
avut la ˆ ınceput diﬁcult˘ at ¸i ˆ ın a explica fenomenul de emi sie spontan˘ a a elec-
tronilor din nucleu (radioactivitatea β−), ipoteza eraˆ ın concordant ¸˘ a cu toate
8

celelalte date experimentale a¸ sa ˆ ıncˆ at a fost acceptat˘ a f˘ ar˘ a rezerve. Con-
form acestei ipoteze, protonii ¸ si neutronii formeaz˘ a nuc lee stabile ¸ si ca atare
ˆ ıntre ei trebuie s˘ a se exercite fort ¸e de atract ¸ie, numit e ”fort ¸e nucleare” care,
evident sunt mai puternice decˆ at fort ¸ele electromagneti ce. Dup˘ a cum vom
constata din punct de vedere nuclear protonii ¸ si neutronii interact ¸ioneaz˘ a
identic, ceea ce se reﬂect˘ a ¸ si ˆ ın masa lor foarte apropiat ˘ a. Din acest motiv,
atˆ at pentru proton cˆ at ¸ si pentru neutron se folose¸ ste te rminologia de ”nu-
cleon”, semniﬁcˆ and faptul c˘ a protonul ¸ si neutronul sunt dou˘ a st˘ ari posibile
ale particulei numit˘ a nucleon.
In acord cu cele precizate, se deduce c˘ a ˆ ın ipoteza protono -neutronic˘ a a
nucleului numerele A ¸ si Z cap˘ at˘ a noi semniﬁcat ¸ii: Z repr ezint˘ a num˘ arul de
protoni iar A reprezint˘ a num˘ arul de nucleoni ai nucleului .
In ﬁzica nuclear˘ a pentru o structur˘ a stabil˘ a format˘ a di n A nucleoni,
din care Z sunt protoni, se mai folose¸ ste terminologia de ”n uclid”. Notat ¸ia
obi¸ snuit˘ a pentru un nuclid (nucleu) este urm˘ atoarea:
A
ZX (1.9)
ˆ ın care X este simbolul chimic al elementului.
Nuclizii cu acela¸ si num˘ ar de mas˘ a A dar cu num˘ ar Z de proto ni diferit
se numesc ”izobari” (isos-aceea¸ si, bares-greutate, mas˘ a); nuclizii cu acela¸ si
num˘ ar atomic Z dar cu numere de mas˘ a diferite se numesc, dup ˘ a cum am
mai precizat, ”izotopi” iar nuclizii cu acela¸ si num˘ ar de n eutroni se numesc
”izotoni”. Din punct de vedere nuclear izotopii pot ﬁ foarte diferit ¸i de¸ si
atomii diferit ¸ilor izotopi au propriet˘ at ¸i chimice iden tice (de fapt de aici
provine ¸ si denumirea) ¸ si propriet˘ at ¸i ﬁzice similare. A ceste aﬁrmat ¸ii se ex-
plic˘ a prin aceea c˘ a asupra structurii p˘ aturilor electro nice ale atomului, nu-
cleul act ¸ioneaz˘ a, practic, numai prin sarcina Ze.
Except ¸ie fac izotopii hidrogenului1
1H,2
1H¸ si3
1Hcare se de-
osebesc mult ca mas˘ a ¸ si ca atare propriet˘ at ¸ile lor ﬁzice ¸ si chiar
chimice sunt diferite. Tocmai din aceast˘ a cauz˘ a ace¸ sti i zotopi
au primit denumiri distincte. Astfel atomul izotopului2
1H(nu-
mit ¸ si izotopul greu) s-a numit ”deuteriu” ¸ si are simbolul ”D”;
nucleul respectiv se nume¸ ste ”deuteron” ¸ si are simbolul ” d”. Si-
milar atomul izotopului3
1H(numit ¸ si hidrogenul supergreu) se
nume¸ ste ”tritiu” cu simbolul ”T” iar nucleul respectiv poa rt˘ a de-
numirea de ”triton” cu simbolul ”t”. Deosebirile dintre ace ¸ sti
izotopi pot ﬁ exempliﬁcate ˆ ın cazul moleculelor de ap˘ a H2O¸ si de
ap˘ a greaD2O. Apa grea are densitatea de 1108 kg/ m3, ﬁerbe la
101.42◦C ¸ siˆ ıngheat ¸˘ a la 3.82◦C; sunt propriet˘ at ¸i destul de diferite
9

Figura 1.1 Diagrama protono-neutronic˘ a a izotopilor stab ili ¸ si
radioactivi
ˆ ın comparat ¸ie cu apa obi¸ snuit˘ a (numit˘ a ¸ si ”ap˘ a u¸ soa r˘ a”), pro-
priet˘ at ¸i ce sunt folosite ˆ ın obt ¸inerea industrial˘ a de ap˘ a grea.
O analiz˘ a a tuturor nucleelor cunoscute ast˘ azi – ˆ ın jur de 300 stabile ¸ si peste
2000 create artiﬁcial – ne permite s˘ a facem urm˘ atoarele co nstat˘ ari:
a)Sunt cunoscute nuclee cu Z≤107. Dintre acestea, nucleele cu Z >83
sunt radioactive. De remarcat faptul c˘ a pentru Z <83 nu exist˘ a nuclee
stabile cu Z=0 (neutronul este β−radioactiv), Z=43 (technetium) ¸ si
Z=61 (promethium).
b)Ansamblul nucleelor cunoscute au num˘ arul de mas˘ a A≥1 ¸ si A≤263.
Nu exist˘ a nuclee stabile cu A=5, 8 ¸ si A ≥210.
c)Majoritatea elementelor chimice au mai mult ¸i izotopi. Rec ordul ˆ ıl det ¸ine
50Sncare are 10 izotopi stabili cu A=112, 114, 115, 116, 117, 118, 119,
120, 122 ¸ si 124.
d)In cazul nucleelor stabile ¸ si chiar instabile, num˘ arul de protoni Z ¸ si de
neutroni N=A-Z respect˘ a o anumit˘ a proport ¸ie reﬂectat˘ a de diagrama
protono-neutronic˘ a din ﬁgura 1.1
Zona ha¸ surat˘ a intens din ﬁgura 1.1 corespunde nucleelor s tabile exis-
tente ˆ ın natur˘ a. Aceste nuclee formeaz˘ a a¸ sa numita ”cur b˘ a de stabi-
litateβ”. Zona ha¸ surat˘ a mai put ¸in intens delimiteaz˘ a nucleele create
10

artiﬁcial pˆ an˘ a ast˘ azi; acestea sunt β±radioactive cˆ at ¸ si αradioac-
tive pentru A > 140. Liniile ˆ ıntrerupte precizate prin Sp= 0 ¸ si
Sn= 0 reprezint˘ a limita ”teoretic˘ a” a maselor nucleelor nuc leono-
stabile adic˘ a a nucleelor care ˆ ınc˘ a nu emit spontan proto ni (Sp= 0)
sau neutroni( Sn= 0).
e)Cele mai stabile ¸ si ca atare cele mai r˘ aspˆ andite sunt nucl eele pentru care
Z ¸ si N sunt numere pare ( nuclee par-pare) ¸ si cele mai put ¸in stabile sunt
nucleele cu Z ¸ si N numere impare (nuclee impar-impare). De f apt sunt
cunoscute numai patru nuclee impar-impare stabile ¸ si anum e2
1H(d),
6
3Li,10
5B¸ si14
7N.
In continuare vom nota cu m(A, Z) masa nucleului ce cont ¸ine A nucleoni
din care Z sunt protoni iar masa atomului corespunz˘ ator pri n M(A, Z). Intre
aceste m˘ arimi exist˘ a urm˘ atoarea relat ¸ie:
m(A,Z) =M(A,Z)−Zme+We
leg
c2(1.10)
ˆ ın careWe
leg, energia total˘ a de leg˘ atur˘ a a electronilor ˆ ın atom, se p oate
estima cu ajutorul relat ¸iei:
WE
leg≈15.73Z7
3(eV) (1.11)
In calculele curente adesea se neglijeaz˘ a termenul We
leg/c2ˆ ın (1.10) a¸ saˆ ıncˆ at
relat ¸ia devine:
m(A,Z)≈M(A,Z)−Zme (1.12)
In ﬁzica nuclear˘ a masa nucleelor, ca ¸ si a atomilor, se m˘ as oar˘ a ˆ ın unit˘ at ¸i
atomice de mas˘ a ”u”. Unitatea atomic˘ a de mas˘ a reprezint˘ a a 12-a parte din
masa atomului de12C.
1u=MC12
12≈1.66.10−27kg (1.13)
Determinarea exact˘ a a maselor nucleelor se face prin spect roscopie de mas˘ a
( ˆ ın care se determin˘ a de fapt masa atomului iar masa nucleu lui respectiv se
determin˘ aˆ ın acord cu relat ¸iile de mai sus) cˆ at ¸ si prin a naliza bilant ¸ului ener-
getic al react ¸iilor nucleare sau al dezintegr˘ arilor αsauβ−. Aceste metode
permit determinarea masei nucleare ca ¸ si a protonului ¸ si n eutronului cu mare
precizie.
De exemplu masa protonului este:
mp= (1.007276470±0.000000011)u (1.14)
11

Echivalentul ˆ ın energie al unit˘ at ¸ii atomice de mas˘ a, ˆ ı n acord cu relat ¸ia lui
Einstein, este:
1uc2= 931.48MeV≈931.5MeV (1.15)
In ﬁzica nuclear˘ a dar ˆ ın special ˆ ın ﬁzica particulelor el ementare masa este
exprimat˘ a ˆ ın unit˘ at ¸i de energie – MeV -. Astfel ˆ ın locul relat ¸iei (1.14) se
spune deseori c˘ a masa protonului este de ≈938.26MeV.
In sfˆ ar¸ sit ment ¸ion˘ am faptul c˘ a pentru estim˘ arile rap ide, masa nucleului
se poate exprima prin num˘ arul de mas˘ a conform relat ¸iei:
m(A,Z)≈A.u (1.16)
cu u deﬁnit ˆ ın (1.13). Astfel cˆ and precizia nu este necesar ˘ a, se poate aﬁrma
c˘ a masa protonului ca ¸ si a neutronului este ega˘ a cu o unita te atomic˘ a de
mas˘ a.
1.2 Stabilitatea nucleului
1.2.1 Energia de leg˘ atur˘ a
Nucleul atomic, ca orice sistem cuantic, are st˘ ari energet ice discrete. Starea
de energie minim˘ a se nume¸ ste ”stare fundamental˘ a” iar st ˘ arile de energie
superioar˘ a se numesc ”st˘ ari excitate”. In condit ¸ii norm ale nucleul se aﬂ˘ a ˆ ın
starea fundamental˘ a.
M˘ asur˘ atorile de mas˘ a au ar˘ atat c˘ a masa nucleului m(A,Z ) ˆ ın starea fun-
damental˘ a este mai mic˘ a decˆ at suma maselor nucleonilor c onstituent ¸i aﬂat ¸i
ˆ ın stare liber˘ a:
m(A,Z)<Zm p+ (A−Z)mn (1.17)
A¸ sadar, la formarea nucleului are loc un efect de mic¸ sorar e a masei totale a
sistemului, numit ”efect de condensare”, cu m˘ arimea:
∆m(A,Z) =Zmp+ (A−Z)mn−m(A,Z) (1.18)
Aceast˘ a pierdere de mas˘ a se poate explica pe baza relat ¸ie i lui Einstein de
proport ¸ionalitate ˆ ıntre masa m ¸ si energia total˘ a E ( E=mc2) a unui sistem
izolat astfel: la formarea nucleului, ca urmare a lucrului m ecanic efectuat de
fort ¸ele nucleare atractive, se elibereaz˘ a energie, numi t˘ a ¸ si energie de formare
a nucleului. Aceea¸ si energie este necesar˘ a pentru a ˆ ınvi nge fort ¸ele nucleare
la descompunerea nucleuluiˆ ın constituent ¸ii s˘ ai aﬂat ¸i ˆ ın stare liber˘ a. Aceast˘ a
energie (ˆ ın acord cu relat ¸ia lui Einstein) este deﬁnit˘ a d e expresia:
W(A,Z) =c2∆m(A,Z) = (Zmp+ (A−Z)mn−m(A,Z))c2(1.19)
12

Figura 1.2 Suprafat ¸a energetic˘ a B(A,Z) ˆ ın funct ¸ie de A ¸ si Z
pentru ansamblul nucleelor din ﬁgura 1.1
¸ si este cunoscut˘ a sub denumirea de energie de leg˘ atur˘ a a nucleului relativ˘ a la
tot ¸i nucleonii component ¸i sau, mai simplu, energia de leg ˘ atur˘ a a nucleului.
Deoarece ˆ ın tabelele de mas˘ a sunt date masele atomice ¸ si n u masele
nucleare, rezult˘ a, ˆ ın acord cu expresia (1.12) ˆ ın care se neglijeaz˘ a energia
de leg˘ atur˘ a a electronilor, c˘ a W(A,Z) se poate exprima ˆ ı n funct ¸ie de masele
atomice corespunz˘ atoare:
W(A,Z) = (ZMH+ (A−Z)mn−M(A,Z))c2(1.20)
Energia de leg˘ atur˘ a raportat˘ a la num˘ arul de nucleoni A s e nume¸ ste ”energie
medie pe nucleon” (sau ”energie speciﬁc˘ a a nucleonului ˆ ın nucleu”):
B(A,Z) =W(A,Z)
A(1.21)
Dac˘ a valoarea B(A,Z) se calculeaz˘ a pentru toate nucleele cunoscute din
ﬁgura 1.1, atunci ˆ ın spat ¸iul B, A, Z, energia B(A,Z) reprez int˘ a o ”suprafat ¸˘ a
energetic˘ a” (ﬁgura 1.2) care, ˆ ıntr-o prim˘ a aproximat ¸i e, are forma unei ¸ sei a
c˘ arei coam˘ a corespunde nucleelor βstabile iar pantele corespund nucleelor
β+¸ siβ−active din ﬁgura 1.1.
O imagine mai precis˘ a despre structura suprafet ¸ei B(A,Z) se obt ¸ine
analizˆ and diferite sect ¸iuni ale acesteia. Sect ¸iunea su prafet ¸ei B(A,Z) prin
planele A=constant (ﬁgura 1.3a) determin˘ a valoarea lui B( A,Z) pentru nu-
cleele izobare cu A dat. Sect ¸iunea are forma unei parabole p entruAi(A
impar) sau a dou˘ a parabole pentru Ap(A par). In primul caz pe parabole
sunt dispuse valorile B(A,Z) pentru nuclee par-impare(Z-p ar, N-impar) ¸ si
13

impar-pare (Z-impar, N-par). In cel de al doilea caz pe parab ola de dea-
supra sunt dispuse valorile B(A,Z) pentru nucleele p-p (Z-p ar, N-par) iar
pe cealalt˘ a sunt dispuse nucleele i-i (impar-impare). Sec t ¸iunea suprafet ¸ei
B(A,Z) cu planele Z=constant (ﬁgura 1.3b), care determin˘ a familia izotopi-
lor, are forma a dou˘ a parabole. Pe una din ele ( Zp=Z par) sunt dispuse
valorile B(A,Z) pentru nucleele cu Z par (p-p,p-i) iar pe cea lalt˘ a (Zi= Z
impar) nucleele cu Z impar (i-p, i-i). Pentru nucleele cu Z pa r parabola
cu A par este situat˘ a deasupra celei corespunz˘ atoare nucl eelor cu A impar;
Pentru nucleele cu Z impar situat ¸ia se inverseaz˘ a.
La fel arat˘ a ¸ si sect ¸iunea suprafet ¸ei B(A,Z) cu planele N =constant (ﬁgura
1.3c) care determin˘ a familia izotonilor. In toate cazuril e, vˆ arfurile parabolelor
reprezint˘ a valorile B(A,Z) corespunz˘ atoare celor mai st abile nuclee pentru
familia dat˘ a iar ramurile parabolei corespund nucleelor βactive. In particu-
lar se constat˘ a c˘ a maximul parabolei pentru A=constant ( Ap) se realizeaz˘ a
pentruZ0=A/2 pentru nucleele u¸ soare ¸ si pentru Z0< A/2 pentru nu-
cleele grele (ﬁgura 1.4). Ast˘ azi se consider˘ a ca un adev˘ a r stabilit faptul c˘ a
ˆ ın lipsa fort ¸elor coulombiene maximul energiei B(A,Z) pe ntru A=constant
ar corespunde valorii Z0=A/2 pentru toate nucleele indiferent de valoarea
num˘ arului de nucleoni A. Aceast˘ a constatare exprim˘ a fap tul c˘ a fort ¸ele nu-
cleare sunt mai intense pentru cazurile ˆ ın care num˘ arul de protoni este egal
cu num˘ arul de neutroni.
Sect ¸iunile analizate arat˘ a c˘ a suprafat ¸a B(A,Z) este fo rmat˘ a, de fapt, din
trei foi: pe foaia superioar˘ a sunt dispuse valorile B(A,Z) pentru nucleele p-p
(cele mai r˘ aspˆ andite ¸ si deci cele mai stabile), pe cea med ian˘ a sunt dispuse
nucleele i-p ¸ si p-i iar pe cea inferioar˘ a sunt dispuse nucl eele i-i, cele mai
put ¸in r˘ aspˆ andite. Intervalul energetic dintre aceste f oi este de 1÷3 MeV
pentru nucleele medii ¸ si grele.
Aceast˘ a structur˘ a ˆ ın foi a suprafet ¸ei B(A,Z) reﬂect˘ a s tabilitatea mai
mare a nucleelor par-pare ˆ ın comparat ¸ie cu nucleele impar -impare.
S˘ a observ˘ am c˘ a sect ¸iunile prezentate mai sus reunesc un num˘ ar relativ
mic de nuclee pentru A=constant, Z=constant sau N=constant (cel mult
25 izobari, izotopi sau izotoni) ¸ si ca atare nu pot furniza i nformat ¸ii despre
propriet˘ at ¸ile tipice pentru o clas˘ a larg˘ a de nuclee. De aceea, pentru a anali-
za ansamblul nucleelor βstabile este necesar s˘ a intersect˘ am B(A,Z) printr-o
suprafat ¸˘ a vertical˘ a care s˘ a treac˘ a prin ”coama ¸ seii” din ﬁgura 1.2. Sect ¸iunea
obt ¸inut˘ a (ﬁgura 1.5) va trece ˆ ın planul (A,Z) prin c˘ arar ea nucleelor βsta-
bile. Aceasta este o sect ¸iune foarte bogat˘ a care cont ¸ine informat ¸ii despre
propriet˘ at ¸ile celor aproximativ 300 nuclee βstabile, u¸ soare, medii sau grele,
par-pare, par-impare, impar-pare sau impar-impare.
14

Figura 1.3 Forma suprafet ¸ei energetice B(A,Z)
a) ˆ ın planul A=constant (pentru Ai¸ siAp)
b) ˆ ın planul Z=constant (pentru Zp¸ siZi)
c) ˆ ın planul N=constant (pentru Np¸ siNi)
15

Figura 1.4 Dependent ¸a energiei B(A,Z) de Z pentru A=consta nt;
a) ˆ ın cazul unui nucleu u¸ sor maximul energiei medii are loc la
Z0=A/2
b) la nucleu mai greu maximul corespunde la Z0<A/2
Figura 1.5 Sect ¸iunea care deﬁne¸ ste valoarea energiei B(A ,Z)
pentru nucleele βstabile
16

Figura 1.6
Energia medie B(A,Z) funct ¸ie de num˘ arul de nucleoni A pent ru
nucleeleβstabile.
Sect ¸iunea din ﬁgura 1.5 este desf˘ a¸ surat˘ a ˆ ın plan ˆ ın ﬁg ura 1.6. Existent ¸a
celor trei foi ale suprafet ¸ei B(A,Z) se reﬂect˘ a ˆ ın ﬁgura 1 .6 prin aceea c˘ a
energia B(A,Z) pentru nucleele p-p (cerculet ¸e negre) este sistematic mai
mare decˆ at pentru nucleele cu A impar sau nucleele i-i. Din ﬁ gur˘ a se constat˘ a
de asemeni c˘ a B(A,Z) cre¸ ste uniform de la valoarea 0 pˆ an˘ a la≈8 MeV pentru
A=30 ( cu valori mai mari pentru4He,12C,16O,20Ne¸ si24Mg), cre¸ ste
apoi uniform pˆ an˘ a la valoarea aproximativ˘ a de 8.8 MeV pen tru nucleele cu
A≈60 (Fe ¸ si Ni) ¸ si apoi scade lent pˆ an˘ a la ≈7.5 MeV pentru nucleele
grele cuA≈238. Pentru majoritatea nucleelor cu A mediu (30 ≤A≤150)
se poate spune c˘ a B(A,Z) este practic constant˘ a ¸ si egal˘ a cu aproximativ 8
MeV.
Din analiza variat ¸iei energiei B(A,Z) cu A rezult˘ a urm˘ at oarele:
a)Valoarea mare de aproximativ 8 MeV pentru B(A,Z) reﬂect˘ a in tensitatea
mare a interact ¸iunii nucleare ˆ ın comparat ¸ie cu interact ¸iunea coulom-
bian˘ a ˆ ıntre protoni. Intr-adev˘ ar, se calculeaz˘ a imedi at c˘ a energia de
respingere coulombian˘ a ˆ ıntre doi protoni ( e2/4πε0r) aﬂat ¸i la distant ¸a
de≈2.10−15m este,ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.6), de aproximativ 0.7 MeV.
b)Valoarea practic constant˘ a a energiei medii B(A,Z) arat˘ a c˘ a nucleonii
sunt supu¸ si unor fort ¸e nucleare ce prezint˘ a ”saturat ¸ie ” care reﬂect˘ a
proprietatea unui nucleon de a interact ¸iona nu cu tot ¸i nuc leonii ce-l
ˆ ınconjoar˘ a ci numai cu un num˘ ar limitat de nucleoni. Intr -adev˘ ar,
17

Figura 1.6(din H.C.Ohanian-Physics, W.W.NORTON &
COMPANY, 1985)
dac˘ a ﬁecare nucleon al nucleului ar interact ¸iona cu tot ¸i ceilalt ¸i
A-1 nucleoni atunci energia de leg˘ atur˘ a rezultant˘ a, dec i W(A,Z), ar ﬁ
proport ¸ional˘ a cu A(A-1)/2 ≈A2¸ si ca atare, energia medie B(A,Z), ˆ ın
acord cu relat ¸ia (1.21), ar depinde proport ¸ional de num˘ a rul A ¸ si nu ar
ﬁ practic o constant˘ a dup˘ a cum rezult˘ a din ﬁgura 1.6.
S˘ a preciz˘ am c˘ a proprietatea de saturat ¸ie a fort ¸elor nu cleare este intim
legat˘ a de act ¸iunea de ”scurt˘ a” distant ¸˘ a a fort ¸elor nu cleare.
c)Sc˘ aderea lent˘ a a energiei medii B(A,Z) odat˘ a cu cre¸ ster ea num˘ arului A
este cauzat˘ a de cre¸ sterea relativ mai puternic˘ a a intera ct ¸iei coulombi-
ene de respingere, proport ¸ional˘ a cu Z2, ˆ ın comparat ¸ie cu cea nuclear˘ a,
atractiv˘ a, care cre¸ ste proport ¸ional cu A. Sc˘ aderea ner egulat˘ a a energiei
medii B(A,Z) ˆ ın regiunea nucleelor u¸ soare poate ﬁ pus˘ a ˆ ı n leg˘ atur˘ a cu
cre¸ sterea rolului efectelor de suprafat ¸˘ a. Deoarece nuc leonii aﬂat ¸i la
suprafat ¸a nucleului nu sufer˘ a decˆ at part ¸ial atract ¸ia celorlalt ¸i nucleoni
(se spune c˘ a nucleonii de la suprafat ¸˘ a nu au fort ¸ele satu rate) rezult˘ a
c˘ a energia W(A,Z) ¸ si deci ¸ si energia B(A,Z), este cu atˆ at mai mic˘ a
cu cˆ at nucleul este mai u¸ sor, deoarece procentul nucleoni lor aﬂat ¸i la
suprafat ¸a nucleului fat ¸˘ a de restul nucleonilor este mai mare la nucleele
18

u¸ soare.
d)Analiza ﬁgurii 1.6 ca ¸ si a ﬁgurii 1.3 arat˘ a c˘ a energia medi e B(A,Z) este
mai mare ˆ ın cazul nucleelor p-p decˆ at ˆ ın cazul nucleelor v ecine p-i, i-p
sau i-i. Dintre nucleele p-p se deta¸ seaz˘ a nucleele care au num˘ ar de
protoni sau/¸ si de neutroni egale cu 2, 8, 20, 28, 50, 82 etc., pentru
care energia medie B(A,Z) are valori mai mari decˆ at pentru n ucleele
vecine. Numerele 2, 8, 20, 28, 50, 82 etc. se numesc ”numere ma gice”.
Nucleul ce cont ¸ine un num˘ ar magic de protoni sau de neutron i se
nume¸ ste ”nucleu magic”; nucleul care cont ¸ine un num˘ ar ma gic ¸ si de
protoni ¸ si de neutroni se nume¸ ste ”nucleu dublu magic”. Se cunosc
urm˘ atoarele nuclee dublu magice:4
2He,16
8O,40
20Ca,48
20Ca¸ si208
82Pb.
e)Energia medie de leg˘ atur˘ a este o m˘ asur˘ a a stabilit˘ at ¸i i nucleului. Din
ﬁgura 1.6 rezult˘ a c˘ a nucleele u¸ soare ca ¸ si nucleele foar te grele sunt mai
put ¸in stabile decˆ at nucleele cu A mediu. Rezult˘ a c˘ a pent ru nucleele
foarte grele este energetic avantajos procesul de fragment are (ﬁsiune)
al nucleului ˆ ın dou˘ a sau mai multe nuclee mai stabile pe cˆ a nd ˆ ın cazul
nucleelor foarte u¸ soare (sau u¸ soare) este avantajos ener getic procesul
de sintez˘ a (fuziune)ˆ ıntr-un nucleu mai greu, ﬁre¸ ste mai stabil. Energia
eliberat˘ a la formarea de nuclee mai stabile ˆ ın procesul de ﬁsiune ¸ si de
fuziune st˘ a la baza obt ¸inerii energiei nucleare.
1.2.2 Energia de separare a unei particule
O alt˘ a not ¸iune deosebit de util˘ a este ”energia de separar e” a particulei (x,
y) de mas˘ a m(x, y), care cont ¸ine x nucleoni din care y sunt pr otoni, din
nucleul (A, Z) de mas˘ a m(A, Z). Aceast˘ a energie se noteaz˘ a de regul˘ a cu
Sm(x,y)(A,Z), (uneori se mai noteaz˘ a ¸ si cu Bm(x,y)(A,Z) ¸ si se mai nume¸ ste
”energia de leg˘ atur˘ a a particulei m(x,y)”) deﬁnindu-se a stfel:
Sm(x,y)(A,Z) = (m(x,y) +m(A−x,Z−y)−m(A,Z))c2(1.22)
Energia de separare are sensul ﬁzic de energie care trebuie c heltuit˘ a pentru
separarea (extragerea) particulei m(x,y) din nucleul m(A, Z) (ﬁgura 1.7). In
cazul cˆ and Sm<0, din punct de vedere energetic emisia particulei (x,y) se
face de la sine, ˆ ın acest caz se spune c˘ a are loc emisia spont an˘ a de particule
m(x,y) de c˘ atre nucleele m(A,Z).
Energia de separare Smdin relat ¸ia (1.22), avˆ and ˆ ın vedere (1.19), se
exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de energia de leg˘ atur˘ a W a sistemelo r implicate:
Sm(x,y)(A,Z) =W(A,Z)−W(A−x,Z−y)−W(x,y)
=AB(A,Z)−(A−x)B(A−x,Z−y)−W(x,y) (1.23)
19

Figura 1.7 Diagrama energetic˘ a pentru energia de separare :
a) pentru separarea particulei m(x,y) este necesar˘ a energ ia
Sm>0
b) particula (x,y) poate ﬁ emis˘ a spontan, Sm<0, de c˘ atre nucleul
(A,Z)
Dac˘ a energia medie de leg˘ atur˘ a B(A,Z) este privit˘ a ca o f unct ¸ie continu˘ a ¸ si
derivabil˘ a ˆ ın raport cu variabilele A ¸ si Z, ceea ce este o a proximat ¸ie destul
de corect˘ a pentru nucleele cu A≥50,Smdin relat ¸ia (1.23) se poate scrie ¸ si
astfel:
Sm(x,y)(A,Z) =xB(A,Z)−W(x,y) + (A−x)/parenleftbigg
x∂B
∂A+y∂B
∂Z/parenrightbigg
(1.24)
In particular, aceast˘ a relat ¸ie pentru separarea unui neu tron ¸ si a unui proton
devine:
Sn(1,0)(A,Z) =B(A,Z) + (A−1)∂B(A,Z)
∂A
Sp(1,0)(A,Z) =B(A,Z) + (A−1)/parenleftbigg∂B(A,Z)
∂A+∂B(A,Z)
∂Z/parenrightbigg
(1.25)
Din aceste relat ¸ii rezult˘ a c˘ a energia de separare a unui n ucleon difer˘ a de
energia medie pe nucleon. In particular, energia de separar e a unui neutron
este aproximativ egal˘ a cu energia medie B(A,Z) pentru nucl ee medii pentru
care∂B/∂A≈0. Pentru nucleele u¸ soare ∂B/∂A> 0 ¸ si ca atare Sn>Biar
pentru nucleele grele ∂B/∂A < 0 ¸ si ca atare Sn< B. S˘ a remarc˘ am faptul
c˘ a dac˘ a ˆ ın cazul nucleelor foarte grele inegalitatea Sn< Beste adev˘ arat˘ a
totdeauna,ˆ ın cazul nucleelor foarte u¸ soare, datorit˘ a d ependent ¸ei neuniforme
a energiei B(A,Z), inegalitatea Sn>Bnu este totdeauna adev˘ arat˘ a. In cazul
nucleelor foarte grele cu A≈240,Sneste ˆ ın jur de (6÷6.5) MeV, pe cˆ and
B(A,Z), ˆ ın acord cu ﬁgura 1.6 este ≈7.5 MeV. Aceea¸ si discut ¸ie r˘ amˆ ane ˆ ın
general adev˘ arat˘ a ¸ si pentru energia de separare a proton ului, cu observat ¸ia
20

c˘ a aceasta difer˘ a de Snprin termenul ( A−1)∂B/∂Z care este totdeauna
negativ. A¸ sa dar, din punct de vedere energetic, separarea unui proton
necesit˘ a mai put ¸in˘ a energie decˆ at separarea unui neutr on. In particular
pentru nucleele grele Speste aproximativ (5 ÷5.5) MeV. Din aceast˘ a discut ¸ie
rezult˘ a c˘ a pentru toate nucleele βstabile, inclusiv cele foarte grele, Snca
¸ siSpau valori pozitive ¸ si ca atare acestea nu pot emite ”spontan ” protoni
sau neutroni. Aceea¸ si concluzie se obt ¸ine ¸ si ˆ ın cazul em isiei de deuteroni
deoarece energia lor de separare, ˆ ın acord cu expresia (1.2 4) este:
Sd(2,1)(A,Z) = 2B(A,Z)−W(2,1) + (A−2)/parenleftbigg
2∂B
∂A+∂B
∂Z/parenrightbigg
(1.26)
¸ si este pozitiv˘ a pentru toate nucleele. Particularizˆ an d pentru nuclee foarte
grele, deoarece ( A−2)∂B/∂A≈(A−2)∂B/∂Z≈−1 MeV; B(A,Z)≈7.5
MeV ¸ siW(2,1)≈2.23 MeV, rezult˘ a c˘ a Sdeste≈10 MeV.
O situat ¸ie deosebit˘ a o prezint˘ a energia de separare pent ru particulele α.
In acest caz, expresia (1.24) devine:
Sα(4,2)(A,Z) = 4B(A,Z)−W(4,2) + (A−4)/parenleftbigg
4∂B
∂A+ 2∂B
∂Z/parenrightbigg
(1.27)
Pentru nucleele grele sau foarte grele, pentru care ( A−4)(4∂B/∂A +
2∂B/∂Z )≈(A−1)(4∂B/∂A +2∂B/∂Z )≈−6 MeV; 4B(A,Z)≈30 MeV iar
W(4,2)≈28 MeV rezult˘ a c˘ a Sα≈−4 MeV adic˘ a o valoare negativ˘ a. Deci
poate avea loc emisia ”spontan˘ a” a particulelor αde c˘ atre nuclee ˆ ıncepˆ and
cu nucleele p˘ amˆ anturilor rare care emit spontan particul eα, adic˘ a prezint˘ a
radioactivitate ”natural˘ a” α, fapt conﬁrmat de experient ¸˘ a.
Faptul c˘ a nucleele grele, ˆ ıncepˆ and cu nucleele p˘ amˆ ant urilor rare, au
Sα<0 ¸ si deci emit spontan particule αridic˘ a ˆ ın mod ﬁresc ˆ ıntrebarea
referitoare la existent ¸a acestor nuclee, care, energetic (ﬁgura 1.7b) ar trebui
instantaneu s˘ a se dezintegreze α¸ si ca atare s˘ a nu existe ˆ ın natur˘ a. Deoarece
aceste nuclee exist˘ a rezult˘ a c˘ a ˆ ıntre starea energetic ˘ am(A,Z)c2¸ si cea ﬁ-
nal˘ a (m(4,2)+m(A−4,Z−2))c2(ﬁgura 1.7b) exist˘ a ”ceva” care ˆ ımpiedic˘ a
part ¸ial realizarea acestui proces. Este de presupus c˘ a ˆ ı ntre starea energetic˘ a
init ¸ial˘ a ¸ si cea ﬁnal˘ a energia potent ¸ial˘ a variaz˘ a ca ˆ ın ﬁgura 1.8,ˆ ın care r,ˆ ıntr-
o prim˘ a aproximat ¸ie, este distant ¸a dintre centrele de ma s˘ a ale particulei α
¸ si nucleului (A-4,Z-2) rezultat din emisia αde c˘ atre nucleul (A,Z).
Apare ceea ce se nume¸ ste ”barier˘ a de potent ¸ial” care poat e ﬁ mai u¸ sor
ˆ ınt ¸eleas˘ a analizˆ and procesul invers, de ˆ ımpr˘ a¸ stie re a particulelor αpe nu-
cleele (A-4,Z-2). Pe m˘ asur˘ a ce particula αse apropie de nucleu are loc
cre¸ sterea energiei potent ¸iale datorit˘ a fort ¸elor de re spingere coulombian˘ a.
21

Figura 1.8 Variat ¸ia energiei potent ¸iale a nucleelor α(4,2) ¸ si
(A-4,Z-2) ˆ ın funct ¸ie de distant ¸a r dintre ele
Dac˘ a particula αse apropie de nucleul (A-4,Z-2) la distant ¸e r≤R0, la care
act ¸ioneaz˘ a fort ¸ele nucleare atractive, mai intense dec ˆ at cele coulombiene,
are loc o mic¸ sorare a energiei potent ¸iale ¸ si ˆ ın ﬁnal form area nucleului (A,Z).
A¸ sa dar ”bariera de potent ¸ial” apare ca o consecint ¸˘ a a co ncurent ¸ei dintre
energia corespunz˘ atoare fort ¸elor nucleare atractive ¸ s i a fort ¸elor coulombiene
repulsive. Evident, existent ¸a barierei de potent ¸ial ˆ ın tre starea init ¸ial˘ a ¸ si
ﬁnal˘ a (ﬁgura 1.8) nu numai c˘ a explic˘ a stabilitatea nucle ului (A,Z) fat ¸˘ a de
dezintegrarea αdar ridic˘ a din punct de vedere clasic o alt˘ a ˆ ıntrebare: de
ce are loc, ˆ ın general, emisia de particule α? R˘ aspunsul const˘ a ˆ ın aceea c˘ a
ˆ ın lumea microparticulelor, a c˘ aror mi¸ scare este descri s˘ a de mecanica cuan-
tic˘ a, act ¸ioneaz˘ a principiul de incertitudine al lui Hei senberg, conform c˘ aruia
particulele nu sunt localizate ¸ si ca atare sunt posibile pr ocese de trecere a
particulelor prin bariera de potent ¸ial numite ”efect tune l”. Probabilitatea
efectului tunel depinde de ˆ ın˘ alt ¸imea ¸ si grosimea barie rei de potent ¸ial. Acest
proces, analizat ˆ ın mecanica cuantic˘ a, va ﬁ discutat ˆ ın d etaliu pentru dezin-
tegrareaαla paragrful cu acela¸ si titlu din partea a doua a acestei luc r˘ ari.
O situat ¸ie similar˘ a se ˆ ıntˆ ampl˘ a ¸ si ˆ ın cazul procesul ui de ﬁsiune. Intr-
adev˘ ar ﬁe cazul descompunerii nucleului (A,Z) ˆ ın nucleel e (x,y) ¸ si (A-x,Z-
y) cu x=A-x ¸ si y=Z-y ( rezult˘ a x=A/2 ¸ si y=Z/2, fragmente eg ale, ﬁsiune
simetric˘ a); ˆ ın acest caz expresia (1.23) devine:
Sm(A
2,Z
2)(A,Z) =W(A,Z)−2W/parenleftBig
A
2,Z
2/parenrightBig
=AB(A,Z)−AB/parenleftBig
A
2,Z
2/parenrightBig
22

=A/parenleftBig
B(A,Z)−B/parenleftBig
A
2,Z
2/parenrightBig/parenrightBig
≈−0.9A (1.28)
In obt ¸inerea acestei relat ¸ii s-a folosit faptul c˘ a B(A,Z ) pentru nucleele
cu A aproximativ 240 este de ≈7.5 MeV iar pentru nucleele cu A/2 ≈120
este ˆ ın jur de 8.4 MeV. Pentru nucleele grele Sm≈−200 MeV de unde
rezult˘ a c˘ a descompunerea nucleului (A,Z) ˆ ın dou˘ a nucle e egale se poate face
spontan, cu degajarea unei energii de ≈200 MeV. Este cazul s˘ a remarc˘ am
c˘ a ﬁecare nucleon al nucleului (A,Z) contribuie la aceast˘ a energie cu≈0.9
MeV. Deoarece energia de repaus a unui nucleon (expresiile 1 .14 ¸ si 1.15)
este ˆ ın jur de 940 MeV rezult˘ a c˘ a ”randamentul energetic” al procesului de
ﬁsiune este foarte mic ¸ si egal cu 0 .9/940≤1/1000. De¸ si cu un randament
foarte mic, realizarea unor react ¸ii de ﬁsiune ˆ ın lant ¸, pe ntru un num˘ ar foarte
mare de nuclee, permite obt ¸inerea unor energii imense. Ast fel de energii se
produc ˆ ın reactorii nucleari de ﬁsiune ˆ ın care se realizea z˘ a react ¸ii de ﬁsiune
ˆ ın lant ¸ controlate.
Din discut ¸ia de mai sus rezult˘ a important ¸a not ¸iunii de e nergie de se-
parare ˆ ın studiul stabilit˘ at ¸ii nucleului relativ la ori ce particul˘ a care este o
parte component˘ a a nucleului. A rezultat c˘ a o particul˘ a e ste mai u¸ sor de
separat cu cˆ at ea este mai legat˘ a (cazul particulelor α); ˆ ın cazul particulelor
slab legate (deuteronul) separarea necesit˘ a un consum de e nergie apreciabil.
Este de ret ¸inut ideea c˘ a ori de cˆ ate ori energia de separar e a unei particule
este negativ˘ a, are loc emisia spontan˘ a a acelei particule , emisie care se face,
din punct de vedere cuantic, prin efect tunel.
1.2.3 Energia de ˆ ımperechere
Din analiza f˘ acut˘ a pˆ an˘ aˆ ın prezent a rezultat c˘ a nucle ele p-p prezint˘ a o stabi-
litate mai mare decˆ at nucleele vecine p-i, i-p (cu A impar). Valorile B(A,Z)
sunt dispuse pe parabola superioar˘ a pentru nucleele p-p (ﬁ gura 1.3) pe cˆ and
aceste valori pentru nucleele p-i, i-p ¸ si i-i sunt dispuse p e parabola inferioar˘ a.
Graﬁcul energiei medii B(A,Z) evident ¸iaz˘ a de asemeni dep endent ¸a acestei
m˘ arimi de valoarea par˘ a sau impar˘ a a numerelor Z ¸ si N. Ace ast˘ a situat ¸ie
este manifestarea interact ¸iunii suplimentare de ˆ ımpere chere a nucleonilor de
acela¸ si fel. Nucleonul impar interact ¸ioneaz˘ a numai cu ” restul nucleului”, ˆ ın
ˆ ıntregime, pe cˆ and nucleonul par interact ¸ioneaz˘ a cu ”r estul nucleului” plus
nucleonul suplimentar. De aici rezult˘ a c˘ a B(A,Z) este mai mare pentru nu-
cleele p-p, mai mic pentru nucleele p-i ¸ si i-p ¸ si mult mai mi c pentru nucleele
i-i, care cont ¸in doi nucleoni neˆ ımperecheat ¸i. Aceste as pecte se reﬂect˘ a ¸ si ˆ ın
energiile de separare SnsauSp(expresiile 1.24 ¸ si 1.25) care sunt mai mariˆ ın
cazul nucleonului par decˆ at pentru cel impar, dup˘ a cum rei ese din ﬁgura 1.9
23

pentru nucleele din zona izotopilor plumbului; se constat˘ a valoarea mare a
energiei de separare atˆ at a protonului cˆ at ¸ si a neutronul ui din nucleul dublu
magic208
82Pb.
Cantitativ, efectul de ˆ ımperechere poate ﬁ evaluat introd ucˆ and concep-
tul de ”energie de ˆ ımperechere” P a neutronului sau protonu lui conform
relat ¸iilor:
Pn=Sn(A,Z)−Sn(A−1,Z);Z=constant ;
A−Z=N=par
Pp=Sp(A,Z)−Sp(A−1,Z−1); Z=par;
A−Z=N=constant (1.29)
Folosind expresia (1.23) pentru energia de separare, energ iile de ˆ ımpere-
chere din relat ¸ia (1.29) pot ﬁ scrise ¸ si astfel:
Pn=W(A,Z)−2W(A−1,Z) +W(A−2,2) = 2Sn(A,Z)−S2n(A,Z)
Pp =W(A,Z)−2W(A−1,Z−1) +W(A−2,Z−2)
= 2Sp(A,Z)−S2p(A,Z) (1.30)
deoarece energia de separare a doi neutroni ( S2n) sau a doi protoni ( S2p)
conform deﬁnit ¸irei este:
S2n(A,Z) =W(A,Z)−W(A−2,Z)
S2p(A,Z) =W(A,Z)−W(A−2,Z−2) (1.31)
De fapt existent ¸a celor trei foi ale suprafet ¸ei energetic e B(A,Z) reﬂect˘ a
tocmai existent ¸a efectului de ˆ ımperechere care arat˘ a c˘ a nucleele cele mai
stabile sunt acelea cu nucleonii de acela¸ si fel grupat ¸i ˆ ı n perechi. Rezult˘ a c˘ a
valoarea energiei deˆ ımperechere este egal˘ a cu intervalu l energetic dintre foile
suprafet ¸ei B(A,Z), adic˘ a este de ordinul de m˘ arime a (1 ÷3) MeV, cu valori
mai mari pentru nucleele u¸ soare ¸ si mai mici pentru nucleel e foarte grele.
Fire¸ ste, valoarea concret˘ a a energiilor Pn¸ siPpdepinde de num˘ arul de pro-
toni ¸ si de neutroni ai nucleului respectiv. Aceste energii scad la apropierea
num˘ arului de nucleoni de numerele magice ceea ce se poate co nstata din
analiza ﬁgurii 1.9.
Semniﬁct ¸ia ﬁzic˘ a a energiei deˆ ımperechere a neutronulu i (sau a protonu-
lui) este de energie de formare a perechii de neutroni (respe ctiv de protoni)
ˆ ın nucleu.
24

Figura 1.9 Dependent ¸a energiei de separare Spde Z (a)
¸ si, respectiv a energiei Snde N (b)
pentru nucleele din zona izotopilor plumbului
1.3 Dimensiunile nucleului
Primele indicat ¸ii asupra dimensiunilor nucleului au fost obt ¸inute, dup˘ a cum
s-a mai precizat, din experient ¸ele de ˆ ımpr˘ a¸ stiere elas tic˘ a a particulelor αˆ ın
cˆ ampul coulombian al nucleului. Din aceste experient ¸e a r ezultat c˘ a nucleul
de aur are o ”raz˘ a” a c˘ arei valoare este mai mic˘ a sau cel mul t egal˘ a cu
aproximativ 2 .10−14m. S-a considerat c˘ a nucleul este de forma unei sfere de
raz˘ aR0ˆ ın interiorul c˘ areia sunt omogen distribuit ¸i cu o distri but ¸ie spat ¸ial˘ a
̺(/vector r) constant˘ a (ﬁgura 1.10) deﬁnit˘ a de expresia:
̺(/vector r) =/braceleftBigg
̺0pentrur≤R0
0 pentru r>R 0(1.32)
Deoarece masa nucleului, ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.16), este aproximativ
egal˘ a cu num˘ arul de mas˘ a A (ˆ ın unit˘ at ¸i de mas˘ a), rezul t˘ a c˘ a densitatea
nucleonilor poate ﬁ constant˘ a numai dac˘ a volumul nucleul ui, asimilat cu o
sfer˘ a, este de asemeni proport ¸ional cu A. De aici rezult˘ a c˘ a raza nucleului
se exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de A prin relat ¸ia:
R0=r0A1/3(1.33)
ˆ ın care ”r0” este o constant˘ a care se nume¸ ste ¸ si ”raz˘ a redus˘ a”.
In fazele init ¸iale ale dezvolt˘ arii ﬁzicii nucleare, raza nucleului, exprimat˘ a
de relat ¸ia (1.33), s-a determinat din analiza constantei d e dezintegrare a
25

Figura 1.10 Distribut ¸ia constant˘ a a nucleonilor ˆ ın inte riorul
nucleului
nucleelorαactive, din formula semiempiric˘ a pentru masa nucleelor, d in
analiza radiat ¸iilor X ale mezoatomilor, etc. Pe m˘ asur˘ a c e vom aborda pro-
blemele respective vom indica ¸ si modul de determinare a raz eiR0prin aceste
metode. Ment ¸ion˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a toate metodele init ¸iale de determinare a razei
nucleelor implic˘ a tacit ipoteza ca distribut ¸ia nucleoni lor (sau numai a pro-
tonilor) s˘ a ﬁe deﬁnit˘ a de expresia (1.32), ceea ce semniﬁc ˘ a faptul c˘ a nucleul
are o ”suprafat ¸˘ a geometric˘ a” bine deﬁnit˘ a.
S˘ a remarc˘ am ˆ ıns˘ a faptul c˘ a nucleul este un sistem cuant ic format din
nucleoni ce se g˘ asescˆ ın permanent˘ a mi¸ scare ¸ si care se s upun legilor mecanicii
cuantice (principiul de incertitudine al lui Heisenberg). Ca urmare not ¸iunea
de ”suprafat ¸˘ a a nucleului” ¸ si deci de ”raz˘ a” a nucleului ˆ ın sens clasic nu este
adev˘ arat˘ a pentru sistemele cuantice. Sens ﬁzic, distinc t, poate avea numai
”raza p˘ atratic˘ a medie” deﬁnit˘ a de expresia:
<r2>=/integraltextr2̺(/vector r)dτ/integraltext̺(/vector r)dτ(1.34)
ˆ ın care̺(/vector r) este funct ¸ia de distribut ¸ie a nucleonilor iar integrare a se face pe
tot volumul nucleului.
Pentru funct ¸ia de distribut ¸ie deﬁnit˘ a de relat ¸ia (1.32 ), conform deﬁnit ¸iei
din (1.34), rezult˘ a pentru <r2>valoarea:
<r2>=R0/integraltext
0r4dr
R0/integraltext
0r2dr=3
5R2
0 (1.35)
¸ si ca urmare ¸ si ”raza ﬁzic˘ a a nucleului”√
<r2>se exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de A
26

printr-o relat ¸ie similar˘ a cu (1.33):
√
<r2>=/radicalbigg3
5r0A1/3=r′
0A1/3(1.36)
In cazul mai general, metodele de determinare a razei ˆ ı¸ si p ropun s˘ a sta-
bileasc˘ a ”experimental” funct ¸ia real˘ a de distribut ¸ie ̺(/vector r) ¸ si apoi, ˆ ın acord cu
relat ¸ia (1.34), se determin˘ a raza nucleului√
<r2>care se parametrizeaz˘ a
sub forma expresiei (1.33) sau (1.36). Subliniem ˆ ın mod deo sebit faptul c˘ a
determinarea funct ¸iei de distribut ¸ie ̺(/vector r) pe lˆ ang˘ a faptul c˘ a permite deter-
minarea razei nucleului are eaˆ ıns˘ a¸ si important ¸˘ a furn izˆ and informat ¸ii asupra
structurii nucleului (distribut ¸ia sarcinilor ¸ si a nucle onilor, forma sferic˘ a sau
deformat˘ a a nucleului, etc.). Aceste metode vor ﬁ prezenta te ˆ ın continuare
succint.
Determinarea ”experimental˘ a” a funct ¸iei ̺(/vector r) se realizeaz˘ a ˆ ın experient ¸e
de ˆ ımpr˘ a¸ stiere a diferitelor particule pe nucleul t ¸int ˘ a (ˆ ın particular, dac˘ a
se sondeaz˘ a ”structura nucleonilor”, nucleul t ¸int˘ a est e chiar nucleonul) a
c˘ arui funct ¸ie ̺(/vector r) urmeaz˘ a a ﬁ determinat˘ a. Aceste experient ¸e se bazeaz˘ a
pe faptul c˘ a lungimea de und˘ a de Broglie asociat˘ a proiect ilului este mai
mic˘ a decˆ at dimensiunea nucleului, atunci din ”imaginea d e difract ¸ie” care
apare ˆ ın procesul de ˆ ımpr˘ a¸ stiere elastic˘ a se poate sta bili distribut ¸ia spat ¸ial˘ a
̺(/vector r) a nucleonilor ¸ si chiar forma nucleului. Finet ¸ea detalii lor este cu atˆ at
mai mare cu cˆ at lungimea de und˘ a asociat˘ a particulelor pr oiectil este mai
mic˘ a; de aici rezult˘ a c˘ a aceste experient ¸e se fac cu part icule proiectil de
energie mare, cum vom vedea cantitativ ˆ ın cele ce urmeaz˘ a. Aceast˘ a idee
a fost conﬁrmat˘ a pentru prima dat˘ a de Davisson ¸ si Germer ˆ ın experient ¸ele
de difuzie a electronilor pe monocristale. In experient ¸a l or imaginea de
difract ¸ie se obt ¸inea ori de cˆ ate ori lungimea de und˘ a aso ciat˘ a electronilor era
comparabil˘ a (sau mai mic˘ a) cu constanta ret ¸elei cristal ine a monocristalului
ˆ ımpr˘ a¸ stietor.
Interpretarea teoretic˘ a a experient ¸elor de difuzie a dif eritelor particule
pe nuclee ˆ ın scopul determin˘ arii funct ¸iei ̺(/vector r) este mult u¸ surat˘ a dac˘ a sunt
ˆ ındeplinite condit ¸iile urm˘ atoare:
a)particula proiectil este f˘ ar˘ a structur˘ a
b)interact ¸ia dinte particula proiectil ¸ si nucleonii nucle ului analizat este bine
cunoscut˘ a din punct de vedere teoretic
S˘ a observ˘ am c˘ a aceste condit ¸ii nu erau ˆ ındeplinite ˆ ın cazul experient ¸ei
deˆ ımpr˘ a¸ stiere a particulelor α. Intr-adev˘ ar,ˆ ın afara faptului c˘ a energia par-
ticulelorαfolosite ˆ ın experient ¸a Rutherford era foarte mic˘ a, aces tea sunt
27

particule ”cu structur˘ a” iar interact ¸iunea lor cu nucleo nii este de natur˘ a nu-
clear˘ a (cea electric˘ a este mult mai slab˘ a) ¸ si ca atare nu este ”precis” cunos-
cut˘ a. Aceast˘ a situat ¸ie este de fapt tipic˘ a tuturor expe rient ¸elor ˆ ın care drept
proiectil se folosesc hadroni, adic˘ a particule care inter act ¸ioneaz˘ a nuclear
(tare) cu nucleonii nucleului. De¸ si diﬁcil de interpretat teoretic, experient ¸ele
de ˆ ımpr˘ a¸ stiere a hadronilor de mare energie (ˆ ın particu lar protonii) sunt
necesare ˆ ın scopul determin˘ arii distribut ¸iei spat ¸ial e a nucleonilor. In astfel
de experient ¸e se obt ¸ine funct ¸ia ̺N(/vector r) care deﬁne¸ ste ”distribut ¸ia densit˘ at ¸ii
materiei nucleare”. Cu aceast˘ a funct ¸ie ̺N(/vector r), ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.34) se
determin˘ a<r2
N>, adic˘ a raza p˘ atratic˘ a medie a materiei nucleare, sau mai
exact, raza p˘ atratic˘ a medie a fort ¸elor nucleare, care, d e¸ si de scurt˘ a distant ¸˘ a,
se pot extinde part ¸ial ¸ si dincolo de distribut ¸ia nucleon ilor.
Din aceast˘ a discut ¸ie rezult˘ a c˘ a ˆ ın experient ¸ele cu ha droni, de¸ si necesare,
condit ¸iile de mai sus nu sunt ˆ ındeplinite.
Electronii sunt singurele particule careˆ ındeplinescˆ ın totalitate condit ¸iile
precizate mai sus. Intr-adev˘ ar electronii sunt particule f˘ ar˘ a structur˘ a (punc-
tiforme) care interact ¸ioneaz˘ a electromagnetic ( intera ct ¸ie bine cunoscut˘ a) cu
nucleonii nucleului. Dac˘ a neglij˘ am interact ¸ia relativ slab˘ a dintre momentul
megnetic al electronului ¸ si momentul magnetic al nucleoni lor, ˆ ın particular
cu cel al neutronului1rezult˘ a c˘ a experient ¸ele de ˆ ımpr˘ a¸ stiere elastic˘ a a e lec-
tronilor de mare energie pe nuclee vor ﬁ sensibile la distrib ut ¸ia spat ¸ial˘ a a
protonilor ˆ ın interiorul nucleului. A¸ sa dar ˆ ın aceste ex perient ¸e, printr-o pre-
lucrare adecvat˘ a, se obt ¸ine ˆ ın ﬁnal funct ¸ia ̺E(/vector r) care deﬁne¸ ste ”distribut ¸ia
densit˘ at ¸ii de sarcin˘ a ¸ si a curent ¸ilor ˆ ın nucleu”. Ace ast˘ a funct ¸ie introdus˘ a ˆ ın
relat ¸ia (1.34) deﬁne¸ ste raza p˘ atratic˘ a medie a sarcini i electrice a nucleului,
pe care o vom nota cu <r2
E>.
Este cazul s˘ a preciz˘ am c˘ a din experient ¸ele de ˆ ımpr˘ a¸ s tiere, indiferent
de natura proiectilului, se poate determina ”direct” nu fun ct ¸ia̺(/vector r) (̺E
sau̺N) ci m˘ arimea ﬁzic˘ a F(q2) numit˘ a ”factor de form˘ a”, care reprezint˘ a
transformata Fourier a funct ¸iei ̺(/vector r). In acord cu cele de mai sus se deﬁne¸ ste
un factor de form˘ a nuclear FN(q2) corespunz˘ ator funct ¸iei ̺N(/vector r) ¸ si, respectiv,
un factor de form˘ a electric FE(q2) corespunz˘ ator funct ¸iei ̺E(/vector r).
S˘ a demonstr˘ am c˘ a sect ¸iunea diferent ¸ial˘ adσ
dΩcorespunz˘ atoare distribut ¸iei
̺E(/vector r) se exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a (dσ
dΩ)pcorespunz˘ atoare
unei distribut ¸ii punctuale prin relat ¸ia:
dσ
dΩ=/parenleftbiggdσ
dΩ/parenrightbigg
p|FE(q2)|2(1.37)
1De¸ si aparent surprinz˘ ator vom constata ˆ ın paragraful 1. 7 c˘ a neutronul are un moment
magnetic diferit de zero de¸ si este neutru din punct de veder e electric
28

Figura 1.11
ˆ ın care factorul de form˘ a electric se deﬁne¸ ste astfel:
FE(q2) =1
Z2e/integraldisplay
̺E(/vector r)ei/vector q/vector rd/vector r (1.38)
ˆ ın care ¯h/vector qreprezint˘ a transferul de impuls (ﬁgura 1.11) egal cu:
¯h/vector q=/vector pi−/vector pf;¯hq= 2psinθ
2(1.39)
/vector pi¸ si/vector pfreprezint˘ a impulsul electronilor init ¸ial ¸ si, respecti v,ˆ ımpr˘ a¸ stiat elastic
(|/vector pi|=|/vector pf|) iarθeste unghiul de ˆ ımpr˘ a¸ stiere.
Dac˘ a distribut ¸ia de sarcin˘ a a nucleului este punctual˘ a :
̺E(/vector r) =Z2eδ(/vector r) (1.40)
rezult˘ aF(q2)=1 ¸ si sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a dσ/dΩ coincide, cum era ﬁresc, cu
sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a corespunz˘ atoare distribut ¸i ei punctuale.
Vom demonstra relat ¸ia (1.37) pentru cazul particular ˆ ın c are
(dσ/dΩ)pcoincide cu sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a Rutherford din rela t ¸ia
(1.1). Sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a se deduce din punct de ved ere cuan-
tic din amplitudinea de ˆ ımpr˘ a¸ stiere f(θ)conform expresiei:
dσ
dΩ=|f(θ)|2(1.41)
cu:
f(θ) =−m
2π¯h2/integraldisplay
Ψ∗
fV(r)Ψidτ=−m
2π¯h2Mif (1.42)
29

Figura 1.12
In aproximat ¸ia Born, funct ¸iile de und˘ a asociate particu lelor
init ¸iale ¸ si ﬁnale sunt unde plane:
Ψi=ei/vector pi/vector r
¯h;Ψ∗
f=e−i/vector pf/vector r
¯h;ΨiΨ∗
f=ei/vector q/vector r(1.43)
ˆ ın care ¯h/vector qeste transferul de impuls.
In continuare vom considera c˘ a masa particulei proiectil ” m”
este cu mult mai mic˘ a decˆ at masa nucleului t ¸int˘ a ”M”. In a cest
fel ˆ ın procesul de ˆ ımpr˘ a¸ stiere se transfer˘ a impulsul ¯h/vector qdar nu ¸ si
energia de recul. Aceast˘ a aﬁrmat ¸ie este tipic˘ a sistemul ui cen-
trului de mas˘ a ¸ si este ﬁreasc˘ a ˆ ın cazul analizat, deoare ce prin
condit ¸iaM >> m sistemul centrului de mas˘ a coincide practic
cu sistemul laboratorului.
Dac˘ a neglij˘ am ecranarea introdus˘ a de electroni, rezult ˘ a c˘ a
energia de interact ¸ie coulombian˘ a V(r) ˆ ıntre proiectil ¸ si nucleu,
aﬂate la distant ¸a r, are expresia:
V(r) =1
4πε0(Z1e)(Z2e)
r=1
4πε0Z1Z2e2
r(1.44)
ˆ ın careZ1eeste sarcina proiectilului iar Z2eeste sarcina nucle-
ului t ¸int˘ a.
In sistemul de coordonate din ﬁgura 1.12 ¸ si t ¸inˆ and cont de
expresiile (1.43) ¸ si (1.44), elementul de matrice Mifdin (1.42)
devine:
Mp
if=Z1Z2e2
4πε0/integraldisplayei/vector q/vector r
rr2sinθdrdθdϕ =
30

Figura 1.13
=2πZ1Z2e2
4πε0∞/integraldisplay
0rdr1/integraldisplay
−1eiqrcosθd(cosθ) =
=1
4πε04πZ1Z2e2
q∞/integraldisplay
osinqrdr=1
4πε04πZ1Z2e2
q2(1.45)
Sect ¸iuneadσ
dΩdin (1.41) este:
dσ
dΩ=1
(4πε0)24m2(Z1Z2e2)2
(¯hq)4(1.46)
care este identic˘ a cu relat ¸ia (1.1) deoarece ¯hq= 2psinθ/2.
In continuare calcul˘ am sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a ˆ ın ipo teza c˘ a
sarcina nucleului Z2eeste distribuit˘ a dup˘ a funct ¸ia ̺E(/vector r)(ﬁgura
1.13) ˆ ın tot volumul nucleului. In acest caz energia de inte ract ¸ie
din (1.44) devine:
V(r) =Z1e
4πε0/integraldisplay̺E(/vectorr′)
|/vector r−/vectorr′|d/vectorr′ (1.47)
Se constat˘ a imediat c˘ a pentru cazul distribut ¸iei puncti forme:
̺E(/vectorr′) =Z2eδ(/vectorr′) (1.48)
31

energia V(r) devine egal˘ a cu energia deﬁnit˘ a de (1.44). Cu
relat ¸ia (1.47) elementul de matrice Mifdin (1.42) devine:
Mif=Z1e
4πε0/integraldisplay
ei/vector q/vector r/integraldisplay̺(/vectorr′)
|/vector r−/vectorr′|d/vectorr′d/vector r (1.49)
Dac˘ a efectu˘ am integrarea pe variabila /vector rpentru/vectorr′constant ¸ si
facem substitut ¸ia /vector r=/vectorR+/vectorr′cud/vector r=d/vectorR,Mifdin (1.49) devine:
Mif=Z1e
4πε0/integraldisplay
ei/vector q/vectorRZ2e
Rd/vectorR1
Z2e/integraldisplay
̺(/vectorr′)ei/vector q/vectorr′d/vectorr′=Mp
ifFE(q2)
(1.50)
Substituind Mifdin expresia de mai ˆ ınainte ˆ ın relat ¸ia (1.42)
se obt ¸ine pentru sect ¸iunea eﬁcace diferent ¸ial˘ a, pentr u o sarcin˘ a
extins˘ a, relat ¸ia (1.37) ˆ ın care (dσ/dΩ)peste sect ¸iunea Ruther-
ford pentru o sarcin˘ a punctual˘ a
Relat ¸ia (1.37) permite determinarea factorului de form˘ a FE(q2). Se pro-
cedeaz˘ a astfel: se determin˘ a sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a experimental˘ a dσ/dΩ
pentru diferite unghiuri. Apoi pentru acelea¸ si unghiuri s e calculeaz˘ a sect ¸iunea
diferent ¸ial˘ a teoretic˘ a ( dσ/dΩ)ppentru o distribut ¸ie punctual˘ a. F˘ acˆ and ra-
portul valorilor experimentale ¸ si teoretice se determin˘ aFE(q2) pentru unghiul
respectiv ¸ si deci pentru valorile q corespunz˘ atoare. Apo i din relat ¸ia (1.30)
printr-o transformare invers˘ a se poate determina ˆ ın prin cipiu distribut ¸ia de
sarcin˘ a conform relat ¸iei:
̺E(/vector r)Z2e
(2π)3/integraldisplay
FE(q2)e−i/vector q/vector rd/vector q (1.51)
Referitor la aceast˘ a procedur˘ a facem urm˘ atoarele preci z˘ ari:
a) Sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a ( dσ/dΩ)ptrebuie s˘ a descrie ˆ ın mod
adecvat procesul de ˆ ımpr˘ a¸ stiere studiat. In particular ˆ ın cazul
experient ¸elor cu electroni rapizi, init ¸iate de Hofstadt er (1953)
la acceleratorul liniar de la Stanford, sect ¸iunea ( dσ/dΩ)pcores-
punde sect ¸iunii Rutherford generalizat˘ a pentru cazul el ectroni-
lor relativi¸ sti ¸ si prin considerarea spinului; aceast˘ a generalizare
a fost f˘ acut˘ a de Motte. A¸ sa dar pentru experient ¸ele cu el ectroni,
de fapt cele mai precise, prin ( dσ/dΩ)pse ˆ ınt ¸elege sect ¸iunea teo-
retic˘ a a lui Motte.
32

b) Relat ¸ia (1.51) este deﬁnit˘ a dac˘ a factorul de form˘ a es te cunos-
cut pentru toate valorile q. In realitate valorile impulsul ui tran-
sferat ¯h/vector qsunt limitate de valorile impulsului init ¸ial. In plus
pentru valori de transfer ¯ h/vector qmari sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a experi-
mental˘ a, dup˘ a cum se poate estima din relat ¸ia (1.1), are v alo-
ri foarte mici (erori mari) ceea ce complic˘ a determinarea e x-
perimental˘ a a factorului de form˘ a FE(q2). De aceea, ˆ ın re-
alitate, relat ¸ia (1.51) nu poate ﬁ folosit˘ a pentru determ inarea
funct ¸iei de distribut ¸ie ̺E(/vector r). Aceast˘ a funct ¸ie se obt ¸ine practic
din relat ¸ia (1.38) postulˆ andu-se pentru ea diferite depe ndent ¸e
(parametriz˘ ari), alegˆ andu-se ˆ ın ﬁnal acea dependent ¸˘ a (parame-
trizare) care veriﬁc˘ a relat ¸ia (1.38) pentru factorul de f orm˘ aFE(q2)
determinat experimental.
Fire¸ ste parametrizarea cea mai simpl˘ a – ¸ si deci des folos it˘ a – postuleaz˘ a
c˘ a funct ¸ia de distribut ¸ie ̺(/vector r) are o simetrie sferic˘ a:
̺E(/vector r) =̺(r,θ,ϕ) =̺E(r) (1.52)
In acest caz FE(q2) devine:
FE(q2) =1
Z2e∞/integraldisplay
0̺(r)r2dr2π/integraldisplay
0dϕ1/integraldisplay
−1eiqrcosθd(cosθ) =4π
Z2eq∞/integraldisplay
0r̺(r)sinqrdr
(1.53)
Aceast˘ a expresie, obt ¸inut˘ a ˆ ın ipoteza (1.52), permite ˆ ın principiu de-
terminarea razei p˘ atratice medii < r2
E>independent de alte considerente
referitoare la funct ¸ia ̺E(r) dac˘ a este ˆ ındeplinit˘ a condit ¸ia:
rq=r2p
¯hsinθ
2≪1 (1.54)
Intr-adev˘ ar prin dezvoltare ˆ ın serie a funct ¸iei sin( qr):
sinqr≈qr−1
3!(qr)3+… (1.55)
factorul de form˘ a din (1.53) devine:
FE(q2) =4π
Z2e/integraltext̺(r)r2(1−1
6q2r2)dr
=1
Z2e/integraltext̺(r)d/vector r−q2
6Z2e/integraltextr2̺(r)d/vector r= 1−q2
6<r2
E>(1.56)
In obt ¸inerea acestei expresii s-a t ¸inut cont de relat ¸ia ( 1.34), de faptul c˘ a
d/vector r= 4πr2drcˆ at ¸ si de condit ¸ia de normare a funct ¸iei densit˘ at ¸ii de sarcin˘ a:
/integraldisplay
̺E(r)d/vector r=Z2e (1.57)
33

Relat ¸ia (1.56), dup˘ a cum s-a anticipat, permite determin area razei p˘ atratice
medii< r2
E>pentru valori mari ale transferului de impuls ¯ h/vector q, dac˘ a se
cunosc valorile experimentale ale factorului de form˘ a FE(q2). In schimb
pentru valori mici ¯ h/vector q, determinarea lui < r2
E>din relat ¸ia (1.56) devine
imprecis˘ a sau chiar imposibil˘ a. Valorile mici ale lui q, ˆ ın acord cu relat ¸ia
(1.54), se obt ¸in ﬁe pentru unghiuri de ˆ ımpr˘ a¸ stiere mici ﬁe pentru impulsuri
incidente (energii) mici. In aceste condit ¸ii expresia (1. 54), pentru distant ¸a
r egal˘ a cu raza REa nucleului devine:
Rq=R2p
¯hsinθ
2≈Rp
¯h≈R
/arrownotλ≪1 (1.58)
condit ¸ie care poate ﬁ scris˘ a ˆ ın funct ¸ie de energia cinet ic˘ a incident˘ a Eca
electronilor astfel:
/arrownotλ=¯h
p=¯hc/radicalbig
Ec(Ec+ 2mec2)≃¯hc
Ec≃1.2 10−12(m)
Ec(MeV)≫R (1.59)
relat ¸ie obt ¸inut˘ a cu condit ¸ia Ec≫2mc2. A¸ sa dar, dac˘ a energia Ec(ˆ ın MeV)
este mic˘ a, este ˆ ındeplinit˘ a condit ¸ia/arrownotλ≫R, condit ¸ie ce implic˘ a valori mici
pentru parametrul q ¸ si ca atare determinarea m˘ arimii <r2
E>din(1.56) este
discutabil˘ a.
In consecint ¸˘ a ˆ ın aceste condit ¸ii (/arrownotλ≫R), ˆ ın cel mai fericit caz se poate
determina<r2
E>adic˘ a, matematic, momentul de ordinul doi al funct ¸iei de
distribut ¸ie; obt ¸inerea funct ¸iei de distribut ¸ie ̺E(/vector r), care constituie un scopˆ ın
sine al acestor experient ¸e, sau cel put ¸in a unor momente de ordin superior,
este imposibil˘ a ˆ ın aceste condit ¸ii. In concluzie pentru determinarea funct ¸iei
̺E(r) ¸ si deci ¸ si a m˘ arimii <r2
E>cu precizie este necesar˘ a condit ¸ia:
/arrownotλ≤R (1.60)
condit ¸ie care ﬁxeaz˘ a energia minim˘ a necesar˘ a efectu˘ a rii experient ¸elor de
ˆ ımpr˘ a¸ stiere. Dac˘ a condit ¸ia (1.60) este satisf˘ acut˘ a, dezvoltarea ˆ ın serie din
(1.55) nu mai este posibil˘ a ¸ si ca atare funct ¸ia de distrib ut ¸ie̺E(r) se deter-
min˘ a din relat ¸ia (1.53) postulˆ and pentru funct ¸ia ̺E(r), cu simetrie sferic˘ a,
diferite forme ( parametriz˘ ari) posibile, urmˆ and ca ulte rior s˘ a se stabileasc˘ a
care din aceste forme concrete este ˆ ın concordant ¸˘ a cu val orile experimentale
ale factorului de form˘ a FE(q2).
Astfel dac˘ a postul˘ am c˘ a ̺(r) este deﬁnit˘ a de relat ¸ia (1.32), pentru fac-
torul de form˘ a din (1.53) se obt ¸ine expresia:
FE(q2) =4π̺0
Z2eqR0/integraldisplay
0rsinqrdr =4π̺0
Z2eq/parenleftbigg
−R0
qcosqR0+1
q2sinqR0/parenrightbigg
(1.61)
34

Din condit ¸ia de normare (1.59) rezult˘ a relat ¸ia:
Z2e= 4π̺0R0/integraldisplay
0r2dr=4π
3̺0R3
0 (1.62)
care introdus˘ a ˆ ın (1.61), deﬁne¸ ste valoarea ﬁnal˘ a a lui FE(q2):
FE(q2) =3
R3
0qsinqR0−R0qcosqR0
q2(1.63)
Aceast˘ a relat ¸ie permite determinarea razei R0pentru ﬁecare valoare ex-
perimental˘ a a factorului de form˘ a corespunz˘ atoare unui q ﬁxat. Dac˘ a pentru
ﬁecare set de valori ( q,FE(q2)) se obt ¸ine aceea¸ si valoare R0(ﬁr¸ ste ˆ ın limite-
le statistice acceptabile) atunci se poate considera c˘ a di stribut ¸ia de sarcin˘ a
deﬁnit˘ a de relat ¸ia (1.32) este corect˘ a ¸ si raza p˘ atrati c˘ a medie< r2
E>este
deﬁnit˘ a de expresia (1.35).
In mod similar, dac˘ a se postuleaz˘ a pentru funct ¸ia ̺E(r) parametrizarea:
̺(r) =̺0e−r
b (1.64)
se constat˘ a c˘ a FE(q2) din (1.53) este de forma:
FE(q2) =1
(q2b2+ 1)(1.65)
Procedˆ and ca mai sus, din aceast˘ a relat ¸ie se determin˘ a b care deﬁne¸ ste
<r2
E>ˆ ın acord cu expresia (1.34) astfel:
<r2
E>= 12b2(1.66)
Demonstr˘ am relat ¸iile (1.65) ¸ si (1.66). Factorul de form ˘ a
FE(q2)din (1.53) cu ̺(r)din (1.64) are expresia:
FE(q2) =4π̺0
Z2eq∞/integraldisplay
0re−r
bsinqrdr =4π̺0
Z2eqI (1.67)
F˘ acˆ and substitut ¸ia α= 1/ b, integrala I devine:
I=−d
dα
∞/integraldisplay
0e−αrsinqrdr
=−d
dα
ℑm∞/integraldisplay
0er(iq−α)dr

=−d
dα/bracketleftbigg
ℑm1
α−iq/bracketrightbigg
=−d
dα/parenleftbiggq
α2+q2/parenrightbigg
=2αq
(α2+q2)2=2qb3
(1 +q2b2)2
(1.68)
35

Calcul˘ am ˆ ın continuare parametrul ̺0din condit ¸ia de normare
(1.57):
Z2e= 4π̺0∞/integraldisplay
0r2e−r
bdr= 4π̺0(−br2−2b2r−2b3)e−r
b|∞
0= 8π̺0b3
(1.69)
din care rezult˘ a:
̺0=Z2e
8πb3(1.70)
Cu̺0din (1.70) ¸ si I din (1.68) se obt ¸ine pentru factorul de
form˘ a din (1.67) expresia (1.65)
Raza p˘ atratic˘ a medie <r2
E>,ˆ ın acord cu deﬁnit ¸ia din (1.34),
va ﬁ:
<r2
E>=1
Z2e/integraldisplay
̺(r)r2d/vector r=4π̺0
Z2e∞/integraldisplay
0r4e−r
bdr=4π̺0
Z2e24b5= 12b2
(1.71)
Din exemplele de mai sus rezult˘ a c˘ a pentru diferite distri but ¸ii se poate
calculaFE(q2) ¸ si<r2
E>¸ si deci ¸ si sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a dσ/dΩ din relat ¸ia
(1.37) dac˘ a sect ¸iunea Motte ( dσ/dΩ)peste cunoscut˘ a teoretic. Rezultatul
acestor calcule pentru funct ¸iile ̺(r) precizate mai sus la care se adaug˘ a ¸ si
calculul pentru funct ¸ia biparametric˘ a a lui Fermi:
̺(r) =̺E
0
1 +er−RE
aE(1.72)
sunt prezentate calitativ ˆ ın ﬁgura 1.14
Din ﬁgur˘ a rezult˘ a c˘ aˆ ın cazul distribut ¸iei cu sc˘ adere a exponent ¸ial˘ a (ﬁgura
1.14 a) sect ¸iunea diferent ¸ial˘ a scade uniform cu unghiul de ˆ ımpr˘ a¸ stiere ca ¸ si
sect ¸iunea (dσ/dΩ)pcorespunz˘ atoare sarcinii punctiforme; sect ¸iunea dσ/dΩ
este pentru orice unghi mai mic˘ a deoarece FE(q2) din (1.65) este subunitar.
In cazul distribut ¸iei din (1.72) sect ¸iunea dσ/dΩ prezint˘ a un aspect difract ¸ional
(ﬁgura 1.14b, curba B) care se accentueaz˘ a ˆ ın cazul distri but ¸iei din relat ¸ia
(1.32) (ﬁgura 1.14 b, curba A) care, ﬁzic, implic˘ a o suprafa t ¸˘ a bine deﬁnit˘ a a
nucleului. In general cu cˆ at ̺(r) ”scade” mai brusc la ”suprafat ¸a nucleului”
cu atˆ at caracterul difract ¸ional este mai puternic.2
2Aceast˘ a comportare a sect ¸iunilor diferent ¸iale era de a¸ steptat dac˘ a facem o analogie
cu experient ¸ele de reﬂexie a undelor din optic˘ a. Se ¸ stie c ˘ a dac˘ a trecerea de la un mediu
optic la altul are loc printr-un salt al indicelui de refract ¸ie au loc fenomene de interferent ¸˘ a
care conduc la o imagine difract ¸ional˘ a a undelor reﬂectat e. Dac˘ a trecerea se face lent,
caracterul de difract ¸ie se diminueaz˘ a ¸ si la limit˘ a se st inge
36

Figura 1.14 Dependent ¸a calitativ˘ a a sect ¸iunii diferent ¸ialedσ/dΩ
ˆ ın funct ¸ie de unghiul θpentru diferitele parametriz˘ ari ale funct ¸iei
̺(r)
A¸ sadar, dincolo de calculele concrete, o simpl˘ a privire a supra
dependent ¸ei sect ¸iunii diferent ¸iale cu unghiul deˆ ımpr ˘ a¸ stiere genereaz˘ a
suﬁciente informat ¸ii asupra distribut ¸iei densit˘ at ¸ii de sarcin˘ a̺E(/vector r).
In particular experient ¸ele de ˆ ımpr˘ a¸ stiere a electroni lor cu energii
de ordinul GeV pe protoni ¸ si pe neutroni au ar˘ atat c˘ a dσ/dΩ
scade lent cu unghiul de ˆ ımpr˘ a¸ stiere ceea ce a sugerat cla r c˘ a pro-
tonul ¸ si neutronul au o distribut ¸ie de sarcin˘ a deﬁnit˘ a d e relat ¸ia
(1.64) cu urm˘ atorii parametri:
̺0≈7.5 1017kg/m3
b≈0.23F (1.73)/radicalBig
<r2
E>=√
12b2≈0.8F
Din aceste experient ¸e a rezultat deci c˘ a nucleonii sunt pa rticule
cu extensie spat ¸ial˘ a a sarcinii dar f˘ ar˘ a suprafat ¸˘ a de ﬁnit˘ a.
Ment ¸ion˘ am cu acest prilej c˘ a ˆ ın experient ¸e de ˆ ımpr˘ a¸ stiere
”inelastic˘ a” a electronilor de energii de ordinul GeV pe pr otoni s-
a evident ¸iat existent ¸a unor ”centriiˆ ımpr˘ a¸ stietori p unctiformi”ˆ ın
interiorul protonului. In acest fel s-a generat ideea c˘ a nu cleonii
sunt format ¸i din particule ”elementare” numite ”cuarci”.
Astfel de experient ¸e s-au efectuat de exemplu cu fascicule le de electroni
37

Figura 1.15 Dependent ¸a radial˘ a a funct ¸iei ̺E(r)pentru diferite
nuclee, cu condit ¸ia de normare/integraltext̺(r)d/vector r= 1
de 20 GeV obt ¸inute la acceleratorul de la Stanford. S˘ a obse rv˘ am c˘ a pen-
tru aceste energii, λe≈5.10−17mˆ ın acord cu relat ¸ia (1.59). In acest fel
”structura” protonilor ¸ si a neutronilor a putut ﬁ ”sondat˘ a” pˆ an˘ a la valorile
de 5.10−17m.
In mod similar experient ¸ele deˆ ımpr˘ a¸ stiere a electroni lor rapizi pe nuclee
au generat pentru ̺E(r) dependent ¸a din ﬁgura 1.15. Cu except ¸ia nucleelor
u¸ soare (A≤30) pentru care ̺(r) scade exponent ¸ial dup˘ a o lege similar˘ a
cu cea din relat ¸ia (1.64), pentru majoritatea nucleelor fu nct ¸ia de distribut ¸ie
poate ﬁ bine aproximat˘ a cu relat ¸ia (1.72) cu urm˘ atorii pa rametri:
̺E
e≈2.8 1017kg/m3
aE≈0.55 10−15m
RE≈1.07A1/3.10−15m (1.74)/radicalBig
<r2
E>≈0.94A1/3.10−15m
S˘ a observ˘ am c˘ a distribut ¸ia din relat ¸ia (1.74) introdu ce pe lˆ ang˘ a raza/radicalBig
<r2
E>¸ si razaREdeﬁnit˘ a ca distant ¸a de la centrul nucleului pˆ an˘ a la
locul ˆ ın care densitatea de sarcin˘ a scade la jum˘ atate.
Este cazul s˘ a remarc˘ am ¸ si faptul c˘ a ˆ ın cazul ˆ ımpr˘ a¸ st ierii hadronilor de
mare energie (de exemplu protoni de energii ≥1 GeV) cu toate diﬁcult˘ at ¸ile
38

Figura 1.16 Funct ¸ia de distribut ¸ie Fermi
semnalate mai sus, s-au obt ¸inut pentru funct ¸ia distribut ¸iei densit˘ at ¸ii ma-
teriei nucleare ̺N(r) o dependent ¸˘ a similar˘ a cu ̺E(r) dar cu urm˘ atorii pa-
rametri:
̺N
0≈̺E
0= 2.8.1017kg/m3
aN≈0.65F
RN≈1.25A1/3F (1.75)/radicalBig
<r2
N>≈1.1A1/3F
rezultate care arat˘ a c˘ a ˆ ın general neutronii ¸ si protoni i au o distribut ¸ie simi-
lar˘ a.
A¸ sadar, ansamblul experient ¸elor de ˆ ımpr˘ a¸ stiere au co ndus la ideea c˘ a
pentru majoritatea nucleelor cu A≥30 o imagine satisf˘ ac˘ atoare a distribut ¸iei
densit˘ at ¸ii de sarcin˘ a sau a materiei nucleare ˆ ın nucleu este cea ˆ ın care den-
sitatea este aproape constant˘ a de la centrul nucleului pˆ a n˘ a la o anumit˘ a
distant ¸˘ a dincolo de care densitatea scade lent spre valoa rea zero (ﬁgura
1.16).
Forma analitic˘ a este dat˘ a de relat ¸ia (1.72)ˆ ın care R deﬁ ne¸ ste distant ¸a de
la centrul nucleului pˆ an˘ a la loculˆ ın care densitatea (de sarcin˘ a sau a materiei
nucleare) scade la jum˘ atate iar ”a” este un parametru numit ”difuzivitate”
care determin˘ a viteza de mic¸ sorare a densit˘ at ¸ii respec tive la ”suprafat ¸a”
nucleului ¸ si este deﬁnit ˆ ın funct ¸ie de ”grosimea suprafe t ¸ei nucleare” t prin
expresia:
t= 4aln3≈4.4a (1.76)
39

Parametrul t stabile¸ ste grosimea pentru care densitatea r espectiv˘ a se
mic¸ soreaz˘ a de la valoarea 0.9 ̺0la valoarea 0.1 ̺0(ﬁgura 1.16).
De asemeni experient ¸ele au condus la concluzia c˘ a pentru m ajoritatea
nucleelor ”raza nucleului” – indiferent de deﬁnit ¸ia folos it˘ a sau de natura
electric˘ a sau nuclear˘ a a acesteia – se poate parametriza p rin expresia:
r0A1/3(1.77)
Aceast˘ a parametrizare este de fapt o consecint ¸˘ a ﬁreasc˘ a a constat˘ arii
experimentale conform c˘ areia densitatea de sarcin˘ a sau a materiei nucleare
este aproape constant˘ a ˆ ın interiorul nucleului (conside rat sferic). Subliniem
ˆ ıns˘ a faptul c˘ a exist˘ a nuclee pentru care parametrizare a din relat ¸ia (1.77) nu
este adev˘ arat˘ a iar funct ¸ia de distribut ¸ie ̺(/vector r) nu prezint˘ a simetrie sferic˘ a;
rezult˘ a c˘ a aceste nuclee nu sunt sferice. A¸ sadar, aceste experient ¸e (ca ¸ si
alte dovezi experimentale despre care vom aminti ulterior) arat˘ a c˘ a exist˘ a o
clas˘ a important˘ a de nuclee care se abat de la forma sferic˘ a ¸ si care se numesc
”nuclee deformate”.
Pentru nucleele sferice parametrul de proport ¸ionalitate r0din relat ¸ia
(1.77) are valori diferite ˆ ın funct ¸ie de deﬁnit ¸ia folosi t˘ a pentru raz˘ a ( R0, R,√
<r2>) ¸ si de natura electric˘ a sau nuclear˘ a a acesteia. De aici ¸ si faptul c˘ a
ˆ ın literatura de specialitate apar diferite valori pentru r0(cuprinse de regul˘ a
ˆ ın intervalul (0 .9÷1.5)×10−15m) adesea f˘ ar˘ a a se preciza deﬁnit ¸ia ¸ si natura
razei folosite ceea ce duce la unele amibiguit˘ at ¸i la ﬁxare a valoriir0ˆ ın diferite
aplicat ¸ii. La ora actual˘ a valorile acceptate pentru r0, ˆ ın limita unor erori
relative de≈10%, ˆ ın funct ¸ie de deﬁnit ¸ia ¸ si natura razei sunt urm˘ ato arele:
R0=r0A1/3R=rA1/3√
<r2>=r′
0A1/3
r0E= 1.21F r E= 1.07F r′
0E= 0.94F (1.78)
r0N= 1.42F r N= 1.25F r′
0N= 1.10F
ˆ ın care ”razele reduse” r0sunt exprimate ˆ ın F (Fermi).
In etapa actual˘ a a ﬁzicii nucleare s-a ajuns la concluzia c˘ a funct ¸ia de
distribut ¸ie̺(r) din relat ¸ia (1.72), normat˘ a la ̺0, deﬁnit˘ a de expresia :
f(r) =̺(r)
̺0=1
1 +er−R
a(1.79)
¸ si numit˘ a adesea ¸ si ”factorul de form˘ a Woods-Saxon”, ex prim˘ a ”efectul
global” prin care nucleul act ¸ioneaz˘ a asupra unui proiect il oarecare.
Deoarece marea majoritate a propriet˘ at ¸ilor nucleelor se pot releva ˆ ın
primul rˆ and ˆ ın procesul de interact ¸ie proiectil – nucleu (react ¸ii nucleare)
40

rezult˘ a c˘ a raza R, care deﬁne¸ ste ˆ ımpreun˘ a cu parametru l difuzivitate a,
”forma efectiv˘ a” a interact ¸iei nucleare exprimat˘ a prin factorul de form˘ a
Woods – Saxon, se deta¸ seaz˘ a ca important ¸˘ a.
De aceea de cele mai multe ori ˆ ın literatura de specialitate mai recent˘ a
prin ”raza nucleului” se ˆ ınt ¸elege raza R din relat ¸ia (1.7 9). Aceast˘ a deﬁnit ¸ie
pentru raza nucleului va ﬁ folosit˘ a ¸ si ˆ ın aceast˘ a lucrar e, dac˘ a nu se fac
preciz˘ ari speciale.
In concluzie putem aﬁrma c˘ a experient ¸ele de determinare a razei ¸ si a
distribut ¸iei ̺(/vector r) au furnizat primele informat ¸ii despre dimensiunea, form a ¸ si
structura nucleului ¸ si a nucleonilor.
Subliniem ˆ ınc˘ a o dat˘ a ideea c˘ a din experient ¸ele de ˆ ımp r˘ a¸ stiere a elec-
tronilor rapizi (sau mai general a leptonilor3pe nuclee sau pe nucleoni se
obt ¸in informat ¸ii privind distribut ¸ia sarcinilor (¸ si c urent ¸ilor) electrici ˆ ın nu-
cleu sau ˆ ın nucleoni iar din experient ¸ele de ˆ ımpr˘ a¸ stie re a hadronilor se obt ¸in
informat ¸ii despre distribut ¸ia materiei nucleare.
Preciz˘ am de asemenea c˘ a experient ¸ele de ˆ ımpr˘ a¸ stiere – prelucrate ˆ ın
acord cu procedura descris˘ a ˆ ın acest subcapitol, ˆ ın care factorul de form˘ a
F(q2) are principalul rol – sunt folosite aproape ˆ ın exclusivit ate pentru son-
darea structurii ”particulelor elementare”4.
1.4 Formula semiempiric˘ a pentru energia de leg˘ atur˘ a
¸ si masa nucleului. Modelul pic˘ atur˘ a.
Rezultatele prezentate ˆ ın paragrafele precedente pot ﬁ re zumate astfel:
1. Raza nucleului, presupus sferic, este deﬁnit˘ a de relat ¸ iaR=r0A1/3
2. Energia medie pe nucleon B(A,Z) pentru nuclee u¸ soare cu A < 30
cre¸ ste rapid dar neuniform prezentˆ and maxime pronunt ¸at e pentru nu-
cleele4
2He,8
4B,12
6C,16
8O¸ si20
10Ne. Energia medie B(A,Z) atinge un
maxim de≈8.8 MeV ˆ ın zona nucleelor cu A≈60 (Fe, Ni) dup˘ a
care scade lent ajungˆ and la valoarea aproximativ˘ a de 7.5 M eV ˆ ın zona
nucleelor cu A≈240. Pentru majoritatea nucleelor cu A >30 se
poate spune c˘ a energia medie B(A,Z) este practic constant˘ a ¸ si egal˘ a
cu aproximativ 8 MeV.
3In clasiﬁcarea particulelor elementare, care va ﬁ abordat˘ a ˆ ın capitolul 2, electronii fac
parte din ”leptoni”.
4Not ¸iunea de ”elementaritate” va ﬁ abordat˘ a ˆ ın paragrafu l 2.4.1
41

3. Energia medie pe nucleon B(A,Z) este sistematic mai mare p entru nu-
cleele par-pare decˆ at pentru nucleele par-impare, impar- pare ¸ si impar-
impare vecine. Stabilitatea mare a nucleelor par-pare, ˆ ın tre care se
deta¸ seaz˘ a nucleele ce au num˘ arul de protoni ¸ si/sau num˘ arul de neu-
troni egal cu numerele magice 2, 8, 20, 28,50, 82, 126, etc. ar at˘ a c˘ a
fort ¸ele nucleare favorizeaz˘ a formarea de perechi de nucl eoni identici.
4. Pentru un nucleu par-par cu num˘ arul de nucleoni A ﬁxat, iz obarul cel
mai stabil corespunde din punct de vedere nuclear num˘ arulu iZ0=
A/2. Aceast˘ a constatare arat˘ a c˘ a fort ¸ele nucleare favori zeaz˘ a nucleele
par-pare pentru care num˘ arul de protoni Z este egal cu num˘ a rul de
neutroni N (Z=N).
Aceste rezultate au fost corelate init ¸ial de Bethe ¸ si Weiz s¨ acker (1935) ˆ ın
formula ”semiempiric˘ a” pentru determinarea energiei de l eg˘ atur˘ a a nucle-
onului ¸ si deci ¸ si pentru determinarea masei nucleului. In obt ¸inerea acestei
formule autorii s-au bazat ¸ si pe analogia dintre nucleu ¸ si o pic˘ atur˘ a de lichid,
analogie sugerat˘ a de primele dou˘ a rezultate ment ¸ionate mai sus.
Intr-adev˘ ar raza nucleului este de forma R=r0A1/3ca o consecint ¸˘ a
a faptului c˘ a densitatea materiei nucleare este practic co nstant˘ a adic˘ a are
aceea¸ si valoare independent de dimensiunile nucleului du p˘ a cum ¸ si densi-
tatea unei pic˘ aturi de lichid nu depinde de dimensiunile pi c˘ aturii. Rezult˘ a
de aici incompresibilitatea materiei nucleare ca ¸ si a lich idului.
Din constatarea c˘ a energia medie B(A,Z) este practic const ant˘ a a rezul-
tat proprietatea de saturat ¸ie a fort ¸elor nucleare, propr ietate ce o au ¸ si fort ¸ele
chimice ce leag˘ a moleculele unui lichid. In plus atˆ at pic˘ atura de lichid cˆ at
¸ si nucleul prezint˘ a fenomenul de tensiune superﬁcial˘ a, ˆ ın sensul c˘ a asupra
moleculelor (nucleonilor) aﬂte la suprafat ¸a pic˘ aturii ( nucleului) act ¸ioneaz˘ a
numai fort ¸ele de atract ¸ie ale moleculelor (nucleonilor) din interior.
Asem˘ an˘ arile semnalate mai sus au condus la elaborarea ”mo delului pic˘ a-
tur˘ a” al nucleului, ˆ ın care nucleul este asimilat cu o pic˘ atur˘ a sferic˘ a de lichid
nuclear incompresibil ¸ si ˆ ınc˘ arcat electric. Pornind de la modelul pic˘ aturii se
poate deduce o formul˘ a pentru evaluarea energiei de leg˘ at ur˘ a a nucleului.
Conceptul de baz˘ a al acestei evalu˘ ari const˘ aˆ ın ipoteza c˘ aˆ ın materia nuclear˘ a
inﬁnit˘ a (un nucleu gigant, f˘ ar˘ a granit ¸e), format˘ a din nucleoni ˆ ıntre care se
exercit˘ a numai fort ¸e nucleare, energia medie pe nucleon e ste o constant˘ a. In
nucleul real, cu dimensiuni ﬁnite, energia medie se mic¸ sor eaz˘ a pˆ an˘ a la valo-
rile B(A,Z) constatate experimental, datorit˘ a energiei d e suprafat ¸˘ a, generat˘ a
de dimensiunile ﬁnite ale nucleului ¸ si datorit˘ a energiei coulombiene generat˘ a
de faptul c˘ aˆ ıntre nucleonii nucleului real sunt ¸ si proto niˆ ıntre care se exercit˘ a
fort ¸e coulombiene de respingere.
42

Dac˘ aa1este energia medie pe nucleon ˆ ın materia nuclear˘ a inﬁnit˘ a,
rezult˘ a c˘ a energia de leg˘ atur˘ a W(A,Z),ˆ ın acord cu rela t ¸ia (1.21), este deﬁnit˘ a
de expresia:
W(A,Z) =a1A (1.80)
Deoarece W(A,Z) este proport ¸ional˘ a cu num˘ arul de nucleo ni ¸ si deci ¸ si cu
volumul nucleului ( R=r0A1/3), aceast˘ a energie se mai nume¸ ste ¸ si ”energie
de volum”. In cazul nucleului real, ﬁnit, nucleonii de la sup rafat ¸a nucleului
sunt mai slab legat ¸i. Deoarece num˘ arul acestor nucleoni e ste proport ¸ional cu
suprafat ¸a nucleului (4 πR2∼A2/3), rezult˘ a c˘ a energia de leg˘ atur˘ a a nucleului
va ﬁ mai mic˘ a decˆ at a1Acu o m˘ arime proport ¸ional˘ a cu A2/3¸ si deci:
W(A,Z) =a1A−a2A2/3(1.81)
ˆ ın care coeﬁcientul de proport ¸ionalitate a2, avˆ and ˆ ın vedere analogia nucleu-
lui cu pic˘ atura, este deﬁnit ˆ ın esent ¸˘ a de ”coeﬁcientul n uclear de tensiune su-
perﬁcial˘ a”. Termenul de energie a2A2/3se nume¸ ste ”energie de suprafat ¸˘ a”.
Energia de leg˘ atur˘ a dat˘ a de expresia (1.81) corespunde u nui nucleu ﬁnit for-
mat ˆ ıns˘ a din nucleoni ˆ ıntre care se exercit˘ a numai fort ¸ e atractive nucleare.
In nucleul real ¸ si ﬁnit trebuie s˘ a t ¸inem seama ¸ si de respi ngerea coulombian˘ a
a protonilor. Dac˘ a presupunem c˘ a protonii sunt omogen dis tribuit ¸i ˆ ın inte-
riorul nucleului sferic de raz˘ a R0, se constat˘ a c˘ a energia coulombian˘ a este
dat˘ a de expresia:
WCoul(A,Z) =1
4πε03Z(Z−1)e2
5R0≈a3Z2
A1/3(1.82)
cu
a3=1
4πε03e2
5R0≈0.864
r0(F)(MeV) (1.83)
ˆ ın care dac˘ a raza electric˘ a redus˘ a se exprim˘ a ˆ ın F rezu ltatul se obt ¸ine ˆ ın
MeV. Energia WCoul(A,Z) mic¸ soreaz˘ a de asemeni energia de leg˘ atur˘ a a
nucleului care devine:
W(A,Z) =a1A−a2A2/3−a3Z2
A1/3(1.84)
Vom demonstra relat ¸ia (1.82). In acest scop deﬁnim densi-
tatea de sarcin˘ a volumic˘ a ̺considerat˘ a constant˘ a, prin expresia:
̺=Ze
V=3Ze
4πR3(1.85)
43

ˆ ın care V este volumul nucleului de raz˘ a R. P˘ atura electri c˘ a de
raz˘ aξ¸ si de grosime dξ(ﬁgura 1.17) va avea volumul dV=
4πξ2dξ¸ si sarcinadq=̺dV¸ si va crea ˆ ın punctul r ( r≤R)
potent ¸ialul:
dU(r) =1
4πε0dq
r=k4πξ2̺dξ
r(1.86)
cu
k∼=1
4πε0= 9.109Nm2/c2(1.87)
Reamintim faptul c˘ a p˘ atura concentric˘ a de raz˘ a ξ >r creaz˘ a ˆ ın
interiorul ei un potent ¸ial constant ¸ si egal cu potent ¸ial ul creat de
p˘ atura de raz˘ a ξ; rezult˘ a c˘ a pentru ξ >ravemr=ξCu aceast˘ a
observat ¸ie potent ¸ialul U(r) din (1.86) devine:
U(r) = 4πk̺
r/integraldisplay
01
rξ2dξ+R/integraldisplay
rξdξ
=
= 2πk̺(R2−r2/3) =kZe
2R/parenleftbigg
3−(r
R)2/parenrightbigg
(r≤R) (1.88)
Deoarece o sfer˘ a omogen ˆ ınc˘ arcat˘ a cu sarcina Q se compor t˘ a
pentrur > R ca o sarcin˘ a punctiform˘ a, concentrat˘ a ˆ ın centru
sferei, rezult˘ a c˘ a potent ¸ialul coulombian este deﬁnit d e expresia
urm˘ atoare:
U(r) =

kZe
2R/parenleftbig3−(r
R)2/parenrightbigpentru r≤R
kZe
rpentru r≥R(1.89)
In continuare calcul˘ am energia coulombian˘ a (electrosta tic˘ a)
de respingere dintre doi protoni uniform distribuit ¸i ˆ ın s fera de
raz˘ a R. Energia primului proton ˆ ın cˆ ampul potent ¸ial U2(r)creat
de cel˘ alalt proton va ﬁ:
W12=R/integraldisplay
0U2(r)dq1=R/integraldisplay
0U2(r)̺1dV=3e
4πR3R/integraldisplay
0U2(r)4πr2dr=
=k3e2
2R4R/integraldisplay
0(3−r2
R2)r2dr=1
4πε06e2
5R(1.90)
In obt ¸inerea relat ¸iei (1.90) pentru ̺1¸ siU2(r)s-au folosit
relat ¸iile (1.85) ¸ si (1.89) pentru Z=1. Energia celor 2 pro toni
44

Figura 1.17
Nucleul atomic este asimilat cu o sfer˘ a de raz˘ a R ˆ ın care sa rcina
Ze este omogen distribuit˘ a
omogen distribuit ¸i ˆ ın sfera de raz˘ a R va ﬁ dat˘ a de Z(Z-1)/ 2
perechi de protoni ¸ si deci:
WCoul(A,Z) =z(Z−1)
2W12=1
4πε03Z(Z−1)e2
5R(1.90′)
care reprezint˘ a energia din expresia (1.82)
Relat ¸ia W(A,Z) din (1.84) deﬁne¸ ste energia de leg˘ atur˘ a a nucleului ˆ ın
cadrul modelului pic˘ atur˘ a. Masa nucleului, ˆ ın cadrul ac eluia¸ si model, ˆ ın
acord cu relat ¸ia (1.19) se exprim˘ a astfel:
m(A,Z)c2= (Zmp+ (A−Z)mn)c2−a1A+a2A2/3+a3Z2
A1/3(1.91)
Considerˆ and masa din aceea¸ si relat ¸ie ca o funct ¸ie conti nu˘ a de Z, rezult˘ a
c˘ a izobarul cel mai stabil se obt ¸ine din condit ¸ia:
∂
∂Z/bracketleftBig
m(A,Z)c2/bracketrightBig
A=ct= 0 (1.92)
de unde rezult˘ a:
Z0=(mn−mp)c2
2a3A1/3(1.93)
45

Deoarece:
(mn−mp)c2≈0.782MeV (1.94)
¸ sia3din (1.83) pentru raza redus˘ a electric˘ a, r0din (1.78) este 0.714 MeV,
Z0din relat ¸ia (1.93) devine:
Z0≈0.55A1/3(1.95)
Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a izobarii cei mai stabili ar ﬁ fo rmat ¸i cu prec˘ adere
din neutroni. Astfel nucleul cu A=27 ar ﬁ format din 2 protoni ¸ si 25 neutroni
iar un nucleu greu cu A=240 ar avea 3 ÷4 protoni ¸ si 236÷237 neutroni.
Aceste rezultate sunt ˆ ın total dezacord cu rezultatele exp erimentale ceea ce
arat˘ a c˘ a este imposibil s˘ a se elaboreze o formul˘ a conven abil˘ a pentru ener-
gia de leg˘ atur˘ a sau pentru masa nucleului pornind exclusi v de la modelul
pic˘ atur˘ a. Pentru a obt ¸ine o formul˘ a corect˘ a este neces ar s˘ a se t ¸in˘ a seama de
rezultatele enunt ¸ate la punctele 3) ¸ si 4) de la ˆ ınceputul acestui subcapitol.
Astfel s-a ajuns la concluzia c˘ a nucleele cu Z0=a/2 sunt cele mai stabile
din punct de vedere nuclear; abaterile de la Z=N ( Z0=A/2) duc la aparit ¸ia
unor nuclee mai put ¸in stabile sau chiar instabile. Depende nt ¸a parabolic˘ a
a energiei B(A,Z) de Z pentru A=constant (ﬁgura 1.4) sugerea z˘ a ideea c˘ a
energia medie de leg˘ atur˘ a determinat˘ a de fort ¸ele nucle are, care favorizeaz˘ a
”simetria” neutronilor ¸ si protonilor, trebuie s˘ a ﬁe o fun ct ¸ie par˘ a de Z−Z0.
Pentru a t ¸ine cont de dependent ¸a de A, se poate intui c˘ a ene rgia medie
trebuie s˘ a ﬁe o funct ¸ie par˘ a de (( Z−Z0)/A)2. Aceast˘ a energie medie de
simetrie contribuie ˆ ın energia de leg˘ atur˘ a cu termenul:
Wsim(A,Z) =a′
4(Z−Z0)2
A=a′
4(Z−A/2)2
A=a′
4
4A(Z−N)2=a4(Z−N)2
A
(1.96)
numit ”energie de simetrie”. Deoarece nucleele cu Z diferit de N sunt mai
put ¸in stabile rezult˘ a c˘ a energia de simetrie mic¸ soreaz ˘ a energia de leg˘ atur˘ a
a nucleului care devine:
W(A,Z) =a1A−a2A2/3−a3Z2
A1/3−a4(Z−N)2
A(1.97)
In sfˆ ar¸ sit pentru a t ¸ine seama de stabilitatea deosebit˘ a a nucleelor par-
pare compartiv cu celelalte nuclee, trebuie s˘ a se t ¸in˘ a co nt de ”energia de
ˆ ımperechere”. Se consider˘ a c˘ a pentru nucleele cu A impar energia de ˆ ımpe-
rechere este inclus˘ a ˆ ın energia de volum a1Adin (1.80). Se t ¸ine seama de
faptul c˘ a nucleele p-p sunt mai stabile decˆ at cele cu A impa r iar cele i-i sunt
46

mai put ¸in stabile decˆ at cele cu A impar, prin termenul:
Wp(A,Z) =

∆ pentru nucleele p-p
0 pentru nucleele cu A impar
−∆ pentru nucleele i-i(1.98)
Energia de leg˘ atur˘ a devine:
W(A,Z) =a1A−a2A2/3−a3Z2
A1/3−a4(Z−N)2
A+
+

∆ pentru nuclee p-p
0 pentru nuclee cu A impar
−∆ pentru nuclee i-i(1.99)
Comparˆ and relat ¸iile (1.99) ¸ si (1.30) se constat˘ a c˘ a pe ntru nuclee foarte
grele, cu o bun˘ a aproximat ¸ie, se realizeaz˘ a egalitatea:
∆≈Pn
2(1.100)
ˆ ın care energia deˆ ımperechere a neutronului depinde de nu m˘ arul de nucleoni.
Ca urmare, este de presupus c˘ a parametrul ∆ este o funct ¸ie d e A ¸ si se poate
scrie astfel:
∆ =a5f(A) (1.101)
In fazele init ¸iale s-a considerat c˘ a f(A) =A−3/4. Mai recent se consider˘ a
c˘ af(A) =A−1/2a¸ sa ˆ ıncˆ at parametrul energetic ∆ este deﬁnit de relat ¸ia :
∆ =a5A−1/2(1.102)
Masa nucleului, avˆ and ˆ ın vedere relat ¸iile (1.19) ¸ si (1. 99) cu ∆ din (1.102)
este:
m(A,Z)c2= (Zmp+ (A−Z)mn)c2−a1A+a2A2/3+a3Z2
A1/3+
+a4(Z−N)2
A−

a5A−1/2(p−p)
0 ( Aimpar)
−a5A−1/2(i−i)(1.103)
Folosind expresia (1.92) se obt ¸ine c˘ a dintre toate nuclee le cu A dat,
nucleele (izobarii) cele mai stabile sunt cele pentru care Z0este dat de relat ¸ia:
Z0=(4a4+ (mn−mp)c2)A
2(4a4+a3A2/3)(1.104)
47

Parametria1,a2,a3,a4¸ sia5se determin˘ a din compararea maselor (sau
a energiilor de leg˘ atur˘ a) experimentale cu expresia (1.1 03) sau (1.99) astfel
ˆ ıncˆ at s˘ a ﬁe satisf˘ acut˘ a ¸ si relat ¸ia (1.104).
Desigur ˆ ın funct ¸ie de precizia determin˘ arii experiment ale a maselor nu-
cleelor cˆ at ¸ si a procedurii de determinare a acestor param etri, de-a lungul
timpului s-au obt ¸inut diferite valori. Valorile date ˆ ın W apstra (1958) con-
siderate printre cele mai exacte sunt urm˘ atoarele:
a1= 15.853MeV
a2= 18.33MeV
a3= 0.714MeV (1.105)
a4= 23.2MeV
a5= 11.2MeV
Cu aceste valori, Z0din relat ¸ia (1.104) este deﬁnit astfel:
Z0=A
1.983 + 0.0153A2/3(1.106)
Compararea acestei formule cu experient ¸a arat˘ a c˘ a furni zeaz˘ a o valoare
destul de exact˘ a a lui Z0care se deosebe¸ ste de cea real˘ a prin cel mult ∆ Z=
±1.
S˘ a remarc˘ am faptul c˘ a dac˘ a coeﬁcientul a3din (1.105) este dedus din
condit ¸ia unei concordant ¸e bune ˆ ıntre teorie ¸ si experim ent, atunci, folosind
relat ¸ia (1.83) se poate deduce r0¸ si deci raza nucleului ˆ ın acord cu expresia
R=r0A1/3.
Expresia (1.103) cu parametri din(1.105) permite calcular ea masei oric˘ arui
nucleuβstabil cu o precizie de ordinul 10−4sau chiar mai bunua. O precizie
asem˘ an˘ atoare rezult˘ a ¸ si pentru energia W(A,Z).5Discordant ¸a cea mai mare
ˆ ıntre relat ¸ia teoretic˘ a ¸ si cea experimental˘ a apare ˆ ı n cazul nucleelor magice
sau dublu magice ¸ si ˆ ın special ˆ ın cazul nucleelor u¸ soare .
In ﬁgura 1.18 este prezentat˘ a calitatea corespondent ¸ei d intre valorile
experimentale B(A,Z) pentru nucleele u¸ soare ¸ si expresia teoretic˘ a pentru
energia medie B(A,Z), care ˆ ın acord cu relat ¸ia de deﬁnit ¸i e (1.21) ¸ si relat ¸ia
(1.99) cu coeﬁcient ¸ii din (1.105) este dat˘ a de:
B(A,Z) = 15.853−18.33A−1/3−0.714Z2
A1/3−23.2(Z−N)2
A2+
5Fire¸ ste cu aceste formule se poate calcula ¸ si energia de se parare ¸ si de ˆ ımperechere de-
ﬁnite ˆ ın subcapitolul 1.2. Deoarece aceste energii implic ˘ a diferent ¸a energiilor de leg˘ atur˘ a,
care au valori foarte mari, rezult˘ a c˘ a determinarea lor se face cu o eroare mult mai mare.
Totu¸ si formulele obt ¸inute permit estimarea cu destul˘ a e xactitate a cazurilorˆ ın care nucleele
pot emite spontan diferite particule, ca de exemplu particu laα.
48

Figura 1.18 Energia medie pe nucleon B(A,Z) calculat˘ a (cer curi
unite prin linii) comparat˘ a cu datele experimentale (+) pe ntru
nucleele u¸ soare
49

Figura 1.19 Contribut ¸ia energiilor medii pe nucleon (de vo lum,
de suprafat ¸˘ a, coulombian˘ a, de simetrie ¸ si de ˆ ımperech ere) pentru
obt ¸inerea energiei medii B(A,Z)
+

11.2
A1/2pt.p−p
0pt.Aimp.
−11.2
A1/2pt.i−i(1.107)
Se constat˘ a c˘ a ˆ ın chiar cazul nucleelor u¸ soare, pentru c are parametri
(1.105) dau cea mai slab˘ a concordant ¸˘ a, formula teoretic ˘ a reproduce destul
de bine datele experimentale mai ales caracterul oscilant ( maximele ¸ si min-
imele) al energiei medii B(A,Z).
Contribut ¸ia termenilor din(1.107) la energia medie B(A,Z ) este ilustrat˘ a
ˆ ın ﬁgura 1.19. Se constat˘ a c˘ a energia medie a unui nucleon din materia
inﬁnit˘ a (egal˘ a cu≈15.8 MeV) se mic¸ soreaz˘ a datorit˘ a energiilor de suprafat ¸˘ a ,
coulombian˘ a, de simetrie ¸ si deˆ ımperechere pˆ an˘ a la val orile B(A,Z) reproduse
de ﬁgura 1.6.
Referitor la formula semiempiric˘ a de mas˘ a facem urm˘ atoa rele observat ¸ii:
a)Coeﬁcient ¸ii din (1.105) sunt obt ¸inut ¸i cu condit ¸ia s˘ a s e realizeze o concor-
dant ¸˘ a bun˘ a ˆ ıntre masa ”teoretic˘ a” ¸ si masa nucleelor βstabile. Este
deci evident c˘ a formula semiempiric˘ a din (1.103) nu este a dev˘ arat˘ a
pentru determinarea teoretic˘ a a maselor nucleelor instab ile (departe
de curba de stabilitate β).
b)Formula semiempiric˘ a este astfel dedus˘ a ˆ ıncˆ at s˘ a repr oduc˘ a ˆ ın ”medie”
valoarea maselor nucleelor βstabile. Ea nu t ¸ine seama de stabilitatea
50

deosebit˘ a a nucleelor cu num˘ arul de protoni sau/¸ si de neu troni egal
sau apropiat de numerele magice.
c)Formula semiempiric˘ a este obt ¸inut˘ a ˆ ın ipoteza c˘ a nucl eele au o form˘ a
sferic˘ a. In subcapitolul 1.3 s-a f˘ acut observat ¸ia c˘ a o s erie de nuclee
sunt deformate. Evident, formula obt ¸inut˘ a nu descrie cor ect masele
nucleelor deformate.
Aceste observat ¸ii arat˘ a de fapt direct ¸iile de dezvoltar e ale acestei for-
mule. Existent ¸a numerelor magice conduce, dup˘ a cum vom ve dea ˆ ın capi-
tolul trei, la existent ¸a p˘ aturilor ˆ ın nulceu. Considera rea efectelor de p˘ aturi
de c˘ atre Cameron (1957), Mozer (1959), K¨ ummel (1964), etc . ˆ ın formula
semiempiric˘ a (1.99) duce la o concordant ¸˘ a mai bun˘ a a ace steia ¸ si cu masele
nucleelor magice sau dublu magice. Considerarea atˆ at a efe ctelor de p˘ aturi,
a deformabilit˘ at ¸ii nucleelor (nucleele cu Z= 88÷112 ¸ siN >136) cˆ at ¸ si a
maselor nucleelor mai put ¸in stabile a condus la formula lui Myers ¸ si Sviate-
cki (1966-1967) care este ˆ ın bun˘ a concordant ¸˘ a cu masele experimentale ¸ si,
ﬁre¸ ste, cu energia de leg˘ atur˘ a ˆ ın special pentru nuclee le cuA>50.
In formula Myers-Sviateckiˆ ın calcularea energiei de supr afat ¸˘ a
¸ si a energiei coulombiene se t ¸ine cont ¸ si de deformarea po si-
bil˘ a a nucleului. Pentru deform˘ ari elipsoidale mici, deﬁ nite de
parametriα¸ siγ(aceste deform˘ ari vor ﬁ analizate ˆ ın capitolul
trei ˆ ın cadrul modelului colectiv cˆ at ¸ si ˆ ın cazul proces ului de ﬁ-
siune) energia de suprafat ¸˘ a ¸ si cea coulombian˘ a se expri m˘ a astfel:
Energia de suprafat ¸˘ a = C2A2/3(1 +2
5α2−4
105α3cos 3γ)
(1.108)
Energia coulombian˘ a = C3Z2
A1/3(1−1
5α2−4
105α3cos 3γ)−C4Z2
A
ˆ ın care termenul C4Z2/At ¸ine cont de difuzivitatea distribut ¸iei
de sarcin˘ a pentru o form˘ a oarecare a nucleului.
Masa nucleului ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.103), ˆ ın care energ ia de
suprafat ¸˘ a ¸ si cea coulombian˘ a sunt deﬁnite de expresiil e (1.108),
la care se adaug˘ a corect ¸ia de p˘ aturi S(Z,N), este de forma :
m(A,Z)c2=m0(A,Z)c2+Eθ2−Fθ3cos 3γ+S(Z,N)e−θ2(1−2θ2)
(1.109)
51

ˆ ın care:
m0(A,Z)c2= (Zmp+ (A−Z)mn)c2−C1A+C2A2/3+
C3Z2
A1/3−C4Z2
A−

11
A1/2(p−p)
0 (Aimpar )
−11
A1/2(i−i)
E=/parenleftBigg
2
5C2A2/3−1
5C3Z2
A1/3/parenrightBigg
α2
0=2
5C2A2/3(1−x)α2
0
F=4
105/parenleftBigg
C2A2/3+C3Z2
A1/3/parenrightBigg
α3
0=4
105C2A2/3(1 + 2x)α3
0
(1.110)
S(Z,N) = Cs(Z,N) cus(Z,N) =F(N)+F(Z)
(1
2A)2/3−cA1/3
In aceste formule:
C1=a1/parenleftbigg
1−k(N−Z
A)2/parenrightbigg
C2=a2/parenleftbigg
1−k(N−Z
A)2/parenrightbigg
C3=1
4πε03e2
5r0≈0.864
r0(F)(MeV)
x=/parenleftBigg
C3Z2
A1/3/parenrightBigg
/(2C2A2/3) =C3
2C2Z2
A
(1.111)
iar F(N) ¸ si F(Z) se determin˘ a conform expresiilor:
F(n) =gi(n−ni−1)−3
5(n5/3−n5/3
i−1) (1.112)
cu:
gi=3
5n5/3
i−n5/3
i−1
ni−ni−1
unde n=N sau Z ¸ si
ni−1<n<n icu n i= 2,8,20,28,50,82,126… (1.113)
Parametrul x deﬁnit ˆ ın relat ¸ia (1.111) are o important ¸˘ a de-
osebit˘ a ˆ ın teoria ﬁsiunii ¸ si se nume¸ ste parametru de ﬁsi une.
52

In expresia (1.109) m0(A,Z)c2din (1.110) corespuneˆ ın esent ¸˘ a
cu formula de mas˘ a din (1.103) iar ceilalt ¸i termeni t ¸in co nt de
deformarea nucleului ¸ si de corect ¸ia de p˘ aturi. Coeﬁcien tul de
deformareαeste ˆ ınlocuit cu parametrul θdeﬁnit astfel:
θ=α/α0;α0= 5/parenleftbigga
r0/parenrightbigg2
A−2/3(1.114)
ˆ ın carer0este raza redus˘ a iar ”a” este semiaxa mare a elip-
soidului cu care este asimilat nucleul. Practic, parametru lθse
determin˘ a din relat ¸iile:
θ=θ0+3
4F
E(1.115)
cu:
θ0=/parenleftbigg
lnS
Scrit/parenrightbigg1/2
;Scrit= 2C2/parenleftbigga
r0/parenrightbigg2
(1−x)
Determinarea masei m(A,Z)c2implic˘ a determinarea coeﬁci-
ent ¸ilora1, a2, C3, C4, ,k, ,C, c ¸ sia/r0. Comparˆ and relat ¸ia
(1.109) cu masele experimentale a aproximativ 1200 nuclee ( sta-
bile ¸ si instabile) s-u obt ¸inut urm˘ atoarele valori pentr u ace¸ sti parametri:
a1= 15.4941MeV k = 1.7826
a2= 17.9439MeV C = 5.8MeV
C3= 0.7053MeV c = 0.325
C4= 1.1915MeV a/r 0= 0.444
r0= 1.2049F(1.116)
Este cazul s˘ a facem observat ¸ia c˘ a adesea se aﬁrm˘ a c˘ a for mula semiem-
piric˘ a de mas˘ a, indiferent de varianta adoptat˘ a, este ob t ¸inut˘ a ˆ ın cadrul mo-
delului pic˘ atur˘ a. In realitate modelul (a se vedea relat ¸ iile 1.84, 1.91 ¸ si 1.95)
nu permite o descriere corect˘ a a maselor sau a energiilor de leg˘ atur˘ a ¸ si cu
atˆ at mai put ¸in a raportului neutronilor ¸ si protonilor di n nucleele reale. For-
mula semiempiric˘ a de mas˘ aˆ ın concordant ¸˘ a cu datele exp erimentale se obt ¸ine
prin ad˘ augarea energiei de simetrie, deˆ ımperechere ¸ si d e p˘ aturi, termeni en-
ergetici care nu corespund modelului pic˘ atur˘ a.
Ace¸ sti termeni t ¸in cont de individualitatea nucleonilor (protoni sau neu-
troni) ¸ si de num˘ arul lor par sau impar. Prin ace¸ sti termen i formula semiem-
piric˘ a t ¸ine seama de caracterul individual al interact ¸i ei dintre nucleoni pe
lˆ ang˘ a caracterul ”colectiv” exprimat de modelul pic˘ atu r˘ a.
53

Figura 1.20
Mi¸ scarea de rotat ¸ie a unui titirez ˆ ınc˘ arcat cu sarcin˘ a negativ˘ a e
genereaz˘ a din punct de vedere clasic momentul de spin S ¸ si
momentul dipolar magnetic pentru electron
1.5 Spinul nucleului ¸ si statistica particulelor iden-
tice
Uhlenbeck ¸ si Goudsmidt, pentru a explica experient ¸ele lu i Stern ¸ si Gerlach,
au admis ˆ ın 1925 c˘ a electronul unui atom are pe lˆ ang˘ a o mi¸ scare orbital˘ a
¸ si o mi¸ scare de rotat ¸ie ˆ ın jurul propriei axe. Aceast˘ a n ou˘ a mi¸ scare a fost
numit˘ a ”mi¸ scare de spin” (de rotat ¸ie) iar momentul cinet ic (unghiular) in-
tern (propriu) asociat acestei mi¸ sc˘ ari a primit denumire a de ”spin”. Aceia¸ si
autori, ˆ ın acord cu electrodinamica clasic˘ a, au asociat ” spinului/vectorS” al elec-
tronului ¸ si un moment magnetic /vector µs(ﬁgura 1.20). S-au putut astfel explica ¸ si
alte experient ¸e realizate ˆ ın acea perioad˘ a ca experient ¸a Einstein ¸ si de Haas,
efectul Zeeman anomal, etc.
Valorile spinului ¸ si momentului magnetic ale electronulu i, propuse init ¸ial
de Uhlenbeck ¸ si Goudsmidt, au rezultat ulterior ˆ ın mod nat ural din ecuat ¸ia
relativist˘ a a lui Dirac pentru electroni. Mai tˆ arziu s-a s tabilit experimental
6c˘ a marea majoritate a particulelor elementare ¸ si a nuclee lor atomice au
momentul cinetic intern (spinul) diferit de zero. Ca urmare conceptul de
spin a ˆ ınceput s˘ a aibe un rol deosebit de important ˆ ın ﬁzic a particulelor
6Spinul se poate determina din experient ¸e ”directe” despre care vom vorbiˆ ın paragraful
urm˘ ator sau din studii de spectroscopie nuclear˘ a ¸ si reac t ¸ii nucleare
54

elementare ¸ si ˆ ın ﬁzica nuclear˘ a. Important ¸a acestui co ncept poate ﬁ exem-
pliﬁcat˘ a prin faptul c˘ a ˆ ın funct ¸ie de valoarea spinului particulele elementare
suntˆ ımp˘ art ¸ite ˆ ın dou˘ a mari clase: fermioni ¸ si bozoni , cu consecint ¸e multiple
ˆ ın ﬁzica subatomic˘ a.
Spinul – aceast˘ a important˘ a proprietate intrinsec˘ a – a f ost deci interpre-
tat˘ a intuitiv ca deﬁnind starea de rotat ¸ie a particulei re spective ˆ ın jurul
propriei axe. Particula este asimilat˘ a cu un ”titirez” car e se rote¸ ste. Este
adev˘ arat, o oarecare analogie a mi¸ sc˘ arii de spin cu cea a t itirezului clasic se
poate face ˆ ın cazul nucleelor grele, dup˘ a cum vom vedea la m odelul colec-
tiv al nucleului. In general ˆ ıns˘ a aceast˘ a analogie nu est e posibil˘ a din cel
put ¸in urm˘ atoarele motive: mi¸ scarea de rotat ¸ie a unui ti tirez clasic poate ﬁ
accelerat˘ a, ˆ ıncetinit˘ a sau chiar oprit˘ a; ˆ ın schimb sp inul unei particule nu-¸ si
poate modiﬁca valoarea absolut˘ a ci numai orientarea saˆ ın spat ¸iu darˆ ıntr-un
mod cuantiﬁcat. In particular, mi¸ scarea de spin a particul elor elementare
sau a nucleelor u¸ soare este permanent˘ a, nu poate ﬁ oprit˘ a , accelerat˘ a sau
ˆ ıncetinit˘ a. De asemeni existent ¸a spinului la fotoni sau neutrini, particule de
mas˘ a zero (sau ˆ ın orice caz foarte mic˘ a) arat˘ a c˘ a spinul /vectorSeste un concept
strict cuantic, f˘ ar˘ a analog clasic.
In mecanica cuntic˘ a se arat˘ a c˘ a valoarea absolut˘ a |/vectorS|a spinului se
exprim˘ a prin num˘ arul cuantic de spin S prin relat ¸ia:
|/vectorS|= ¯h/radicalBig
S(S+ 1) (1.117)
ˆ ın care S poate lua orice valori ˆ ıntregi sau semiˆ ıntregi:
S= 0,1
2,1,3
2,2,… (1.118)
Proiect ¸ia sa Szpoate lua (2S+1) valori de la S¯hla -S¯h¸ si este deﬁnit˘ a de
un alt num˘ ar cuantic mS(num˘ ar cuantic magnetic) care poate lua valorile:
mS=S,(S−1),…,−S (1.119)
Pentru nucleoni num˘ arul cuantic de spin este 1/2, din care c auz˘ a se spune
c˘ a spinul nucleonului este 1/2. Observ˘ am deci c˘ a ˆ ın term inologia curent˘ a
prin spinul unei particule se ˆ ınt ¸elege de fapt num˘ arul cu antic de spin S; prin
aceasta trebuie avut ˆ ın vedere c˘ a valoarea absolut˘ a a spi nului este de fapt
dat˘ a de relat ¸ia (1.117). In mod similar, atunci cˆ and se aﬁ rm˘ a c˘ a proiect ¸ia
spinului este mSavemˆ ın vedere c˘ a Sz= ¯hmS. Referitor la terminologie sub-
liniem ¸ si faptul c˘ a termenul de ”spin” este folositˆ ın lit eratura de specialitate
atˆ at pentru a desemna momentul cinetic propriu al unei part icule sau al unui
nucleon cˆ at ¸ si pentru a deﬁni momentul cinetic total al nuc leului. Folosirea
55

acestei terminologii ˆ ın cazul nucleului nu este prea feric it˘ a dat ﬁind faptul
c˘ a momentul cinetic al nucleului este determinat nu numai d e momentul
propriu de spin al nucleonilor ci ¸ si de momentele orbitale c orespunz˘ atoare
mi¸ sc˘ arii nucleonilor ˆ ın nucleu.
Valoarea absolut˘ a |/vectorl|a momentului cinetic (orbital) al unui nucleon se
deﬁne¸ ste ca ¸ si ˆ ın cazul spinului prin expresia:
|/vectorl|= ¯h/radicalBig
l(l+ 1) (1.120)
ˆ ın care l este num˘ arul cuantic orbital care are ˆ ıns˘ a numa i valori ˆ ıntregi:
l= 0,1,2,3,… (1.121)
¸ si ˆ ın mod similar:
ml=l,(l−1),…,−l (1.122)
In ceea ce ne prive¸ ste vom nota cu /vectorjmomentul de spin al particulelor
elementare sau al nucleonului ¸ si prin /vectorImomentul de spin total al unui nu-
cleu, rezultat din compunerea momentelor de spin /vectorS¸ si a celor orbitale /vectorlale
nucleonilor constituent ¸i ai nucleului.
Modul ˆ ın care valorile /vectorS¸ si/vectorlale nucleonilor individuali se cupleaz˘ a
pentru a obt ¸ine momentul cinetic total /vectorI(spinul) al nucleului depinde de
interact ¸iunea dintre /vectorS¸ si/vectorl. Dac˘ a interact ¸iunea momentului de spin cu cel
orbital este slab˘ a (sau inexistent˘ a) se realizeaz˘ a cupl ajul L-S, cunoscut ¸ si
sub numele de cuplaj Russel-Saunders, ˆ ın care /vectorI, pentru nucleul format din
A nucleoni, este deﬁnit astfel:
/vectorS=A/summationdisplay
i=1/vectorSi;/vectorL=A/summationdisplay
i=1/vectorli;/vectorI=/vectorL+/vectorS (1.123)
In cazul ˆ ın care interact ¸iunea ˆ ıntre momentele /vectorS¸ si/vectorleste puternic˘ a
(interact ¸iune spin-orbit˘ a) ﬁecare nucleon va ﬁ caracter izat de un moment
cinetic total deﬁnit de relat ¸ia:
/vectorji=/vectorli+/vectorSi (1.124)
iar momentul cinetic total /vectorIva ﬁ deﬁnit astfel:
/vectorI=A/summationdisplay
i=1/vectorji (1.125)
Acest cuplaj este cunoscut sub denumirea de cuplaj J-J ¸ si ma joritatea
datelor experimentale pledeaz˘ a pentru realizarea acestu i cuplaj ˆ ın nucleu.
56

Indiferent de cuplajul care se realizeaz˘ a, momentul I are p ropriet˘ at ¸ile
”cuantice” deﬁnite de relat ¸iile:
|/vectorI|= ¯h/radicalBig
I(I+ 1) ;mI=I,(I−1),…,−I;Iz= ¯hmI (1.126)
ˆ ın care I este num˘ arul cuantic de spin (sau spinul nucleulu i ˆ ın terminolo-
gia curent˘ a) iar mIeste num˘ arul cuantic magnetic care cuantiﬁc˘ a proiect ¸ia
momentului I pe axa sa de cuantiﬁcare. S˘ a observ˘ am c˘ a ˆ ınt rucˆ at num˘ arul
cuantic de spin al nucleonilor este 1/2 iar num˘ arul cuantic orbital poate lua
numai valori ˆ ıntregi (relat ¸iile 1.118 ¸ si, respectiv, 1. 121) rezult˘ a c˘ a ”spinul”
I ia valori ˆ ıntregi pentru un nucleu cu num˘ ar par de nucleon i (A par) ¸ si
valori semiˆ ıntregi pentru un nucleu cu num˘ ar impar de nucl eoni (A impar).
Datele experimentale conﬁrm˘ a integral aceast˘ a regul˘ a d e la care nu exist˘ a
nicio except ¸ie. Din punct de vedere istoric aceast˘ a regul ˘ a a avut un rol
decisiv ˆ ın renunt ¸area la ipoteza protono-electronic˘ a a nucleului. De ase-
meni, experimental s-a constatat c˘ a spinul nucleelor stab ile cu A impar nu
dep˘ a¸ se¸ ste ˆ ın starea fundamental˘ a valoarea I=9/2 iar n ucleele par-pare au
f˘ ar˘ a except ¸ie I=0 ˆ ın starea fundamental˘ a. Nucleele im par-impare pot avea
I/ne}ationslash= 0 dar valori mici comparativ cu valorile maxime ce pot rezul ta din regula
de cuplaj exprimat˘ a de relat ¸ia (1.123) sau (1.125).
Aceste constat˘ ari experimentale sugereaz˘ a ideea c˘ a mom entele cinetice
ale nucleonilor – ne referim la cuplajul J-J – se ”compenseaz ˘ a reciproc”; ˆ ın
particular efectul de compensare este total pentru nucleel e par-pare. Acest
lucru duce la ideea c˘ a momentul I al unui nucleu cu A impar est e deﬁnit de
momentul cinetic al nucleonului neˆ ımperecheat.
Din analiza de mai sus, conﬁrmat˘ a de datele experimentale, a rezul-
tat c˘ a spinul nucleelor, I, ca ¸ si al particulelor elementa re ¸ si al nucleonilor,
poate avea valori ˆ ıntregi sau semiˆ ıntregi. Este oare ˆ ınt ˆ ampl˘ atoare aceast˘ a
diferent ¸iere ˆ ıntre spinii particulelor ¸ si nucleelor sa u este o consecint ¸˘ a mai
profund˘ a a unor propriet˘ at ¸i care diferent ¸iaz˘ a ˆ ıns˘ a ¸ si particulele? R˘ aspunsul
la aceast˘ a ˆ ıntrebare a fost aﬁrmativ, constatˆ andu-se c˘ a cele dou˘ a clase de
particule (cu spin semiˆ ıntreg ¸ si respectiv cu spin ˆ ıntre g) se comport˘ a diferit
ˆ ın situat ¸ii ﬁzice similare. Aceast˘ a deosebire se manife st˘ a pregnant cˆ and ne
referim la funct ¸ia de und˘ a a sistemului format din particu le identice. In
primul rˆ and subliniem ideea c˘ a ˆ ın ﬁzica subatomic˘ a se po ate aﬁrma c˘ a dou˘ a
(sau mai multe) particule de acela¸ si fel sunt ”absolut iden tice”. Aceast˘ a
aﬁrmat ¸ie, consecint ¸˘ a a principiului indiscernabilit˘ at ¸ii, este valabil˘ a numai
pentru particule cuantice (microparticule). Dou˘ a macrop articule (de exem-
plu dou˘ a bile mecanice) nu vor ﬁ absolut identice, oricˆ at d e bine ar ﬁ execu-
tate a¸ sa ˆ ıncˆ at cele dou˘ a macroparticule s˘ a poat˘ a ﬁ ori cˆ and identiﬁcate. Ca
57

urmare se poate aﬁrma c˘ a bila ”1” se va g˘ asi ˆ ın starea (macr oscopic˘ a) ”a”
iar bila ”2” ˆ ın starea ”b” sau invers. Din punct de vedere cua ntic particu-
lele sunt identice a¸ sa ˆ ıncˆ at aﬁrmat ¸ia de mai sus este lip sit˘ a de sens. Exist˘ a
numai starea cuantic˘ a a sistemului ˆ ın care o particu˘ a (f˘ ar˘ a a preciza care,
deci oricare particul˘ a) se g˘ ase¸ ste ˆ ın starea ”a” iar cea lalt˘ a ˆ ın starea ”b”.
Rezult˘ a de aici c˘ a ˆ ın ”lumea cuantic˘ a” sistemul format d in dou˘ a (sau mai
multe dac˘ a generaliz˘ am) particule nu se modiﬁc˘ a prin per mutarea reciproc˘ a
a particulelor. Din punct de vedere cuantic aceast˘ a aﬁrmat ¸ie semniﬁc˘ a fap-
tul c˘ a funct ¸ia sistemului ˆ ın care s-a realizat permutare a r˘ amˆ ane identic˘ a cu
funct ¸ia sistemului init ¸ial pˆ an˘ a la un factor de proport ¸ionalitate P12. Dac˘ a
vom nota cu Ψ( /vector r(1),s(1)
z,/vector r(2),s2
z) = Ψ(/vector x1,/vector x2) funct ¸ia de und˘ a a sistemu-
lui init ¸ial, ˆ ın care /vector xreprezint˘ a ansamblul coordonatelor spat ¸iale ¸ si de spin
(de fapt proiect ¸ia spinului deoarece spinul /vectorSeste acela¸ si pentru particule
identice), aﬁrmat ¸ia de mai sus se traduce matematic astfel :
Ψ(/vector x2,/vector x1) =P12Ψ(/vector x1,/vector x2) (1.127)
FactorulP12este ”operatorul de permutare”. Dac˘ a efectu˘ am ˆ ınc˘ a o da t˘ a
operat ¸ia de permutare (cuantic ˆ ınseamn˘ a c˘ a act ¸ion˘ am cu operatorul P12
asupra funct ¸iei ( P12Ψ(/vector x1,/vector x2)) rezult˘ a:
P2
12= 1 ;P12=±1 (1.128)
Rezult˘ a c˘ a prin permutarea a dou˘ a particule identice fun ct ¸ia sistemului
ﬁe r˘ amˆ ane neschimbat˘ a, adic˘ a simetric˘ a la operat ¸ia d e permutare, ﬁe ˆ ı¸ si
schimb˘ a semnul, adic˘ a este antisimetric˘ a la permutare ( aceast˘ a proprietate
a funct ¸iei de und˘ a a particulelor la permutarea lor se nume ¸ ste ”statistic˘ a”).
Se poate ar˘ ata, ca o consecint ¸˘ a a postulatului simetriz˘ arii7din cuantic˘ a,
faptul c˘ a pentru un sistem format din particule identice, p rin permutare se
obt ¸in numai funct ¸ii simetrice sau antisimetrice; care an ume dintre aceste
dou˘ a prescript ¸ii de simetrizare trebuie aplicat˘ a depin de de natura particu-
lelor idetice.
Particulele ale c˘ aror st˘ ari sunt simetrice se numesc ”boz oni” ¸ si se supun
statisticii Bose-Einstein (BE) iar cele ale c˘ aror st˘ ari s unt antisimetrice se
numesc ”fermioni” ¸ si se supun statisticii Fermi-Dirac (FD ). Experient ¸a arat˘ a
c˘ a particulele elementare de spin semiˆ ıntreg sunt fermio ni iar particulele el-
ementare de spin ˆ ıntreg sunt bozoni. Pentru particulele ca re se supun statis-
ticii FD act ¸ioneaz˘ a principiul Pauli care aﬁrm˘ a c˘ a ˆ ınt r-o stare uniparticul˘ a
7Postulatul simetriz˘ arii aﬁrm˘ a c˘ a dac˘ a un sistem cont ¸i ne N particule identice, st˘ arile
sale dinamice sunt ˆ ın mod necesar ﬁe toate simetrice ﬁe toat e antisimetrice, ˆ ın raport cu
permutarea acestor N particule
58

(cu toate numerele cuantice precizate pentru o particul˘ a) se poate g˘ asi cel
mult o particul˘ a.
Principiul Pauli este deosebit de important nu numai la nive lul
ﬁzicii subatomice dar ¸ si la nivelul macrostructurilor. Da torit˘ a
acestui principiu atomii ¸ si nucleele au structur˘ a ˆ ın p˘ a turi. F˘ ar˘ a
acest principiu nu ar ﬁ existat legit˘ at ¸ile constatate ˆ ın sistemul pe-
riodic al elementelor ¸ si structura atomilor ¸ si nucleelor ˆ ın cristale
ar ﬁ fost cu totul alta.
Pentru a releva ¸ si a consolida mai bine diferent ¸a ˆ ıntre ”s tatisticile” pre-
cizate, s˘ a facem o comparat ¸ie ˆ ıntre ele ¸ si ˆ ıntre ele ¸ si o ”statistic˘ a clasic˘ a”
pentru cazul ˆ ın care avem un sistem format din dou˘ a particu le ¸ si dou˘ a st˘ ari
uniparticul˘ a distincte. Num˘ arul st˘ arilor sistemului f ormat din cele dou˘ a
particule este diferit ˆ ın funct ¸ie de statistica folosit˘ a:
a)In cazul clasic sunt posibile patru st˘ ari:
– ambele particule ˆ ın prima stare uniparticul˘ a
– ambele particule ˆ ın a doua stare uniparticul˘ a
– prima particul˘ a ˆ ın prima stare ¸ si a doua particul˘ a ˆ ın a doua stare
uniparticul˘ a
– prima particul˘ a ˆ ın a doua stare ¸ si a doua particul˘ a ˆ ın p rima stare
uniparticul˘ a
b)Dac˘ a cele dou˘ a particule se supun statisticii BE, sistemu l implic˘ a trei
st˘ ari posibile
– ambele particule ˆ ın prima stare uniparticul˘ a
– ambele particule ˆ ın a doua stare uniparticul˘ a
– una din particule ˆ ın prima stare ¸ si cealalt˘ a ˆ ın a doua st are unipar-
ticul˘ a
c)Dac˘ a particulele sunt fermioni, sistemului ˆ ıi corespund e o singur˘ a stare:
– o particul˘ a ˆ ıntr-o stare uniparticul˘ a ¸ si cealalt˘ a pa rticul˘ a ˆ ın a doua
stare uniparticul˘ a
In acest ultim caz variantele cu ambele particule ˆ ın aceea¸ si stare unipar-
ticul˘ a sunt excluse de principiul lui Pauli.
In continuare – m˘ arginindu-ne la rat ¸ionamente simple – vo m stabili ”sta-
tistica” pentru nucleele atomice formate din nucleoni.
Fie un sistem format din dou˘ a nuclee identice care cont ¸in ﬁ ecare Z pro-
toni ¸ si (A-Z) neutroni. Deoarece nucleonii se supun statis ticii FD, rezult˘ a
c˘ a prin permutarea a doi protoni, dintre care unul apart ¸in e nucleului ”1”
59

¸ si al doilea nucleului ”2”, funct ¸ia de und˘ a a sistemului ˆ ı¸ si schimb˘ a semnul.
Prin permutarea celei de a doua perechi de protoni se va produ ce o nou˘ a
schimbare de semn al funct ¸iei de und˘ a. Rezult˘ a c˘ a prin pe rmut˘ ari succesive,
prin care tot ¸i protonii nucleului ”1” ˆ ı¸ si schimb˘ a locul cu protonii nucleului
”2”, ˆ ın fat ¸a funct ¸iei de und˘ a apare factorul ( −1)Z. In mod similar prin per-
mutarea neutronilor ˆ ın fat ¸a funct ¸iei de und˘ a apare fact orul (−1)A−Z. Prin
permutarea tuturor nucleonilor va ap˘ area deci factorul ( −1)A. Pe de alt˘ a
parte permutarea tuturor protonilor ¸ si neutronilor ˆ ınse amn˘ a c˘ a nucleele ”1”
¸ si ”2” ¸ si-au schimbat locurile ˆ ıntre ele. In consecint ¸˘ a, prin permutarea celor
dou˘ a nuclee, funct ¸ia de und˘ a nu-¸ si schimb˘ a semnul (est e simetric˘ a) dac˘ a A
este par, adic˘ a spinul nucleului este ˆ ıntreg. In mod simil ar, funct ¸ia de und˘ a
este antisimetric˘ a dac˘ a A este un num˘ ar impar, adic˘ a spi nul nucleului este
semiˆ ıntreg.
Rezult˘ a deci c˘ a nucleele cu A par ¸ si, deci, de spin ˆ ıntreg , se supun statis-
ticii Bose-Einstein pe cˆ and nucleele cu A impar (cu spin sem iˆ ıntreg) se supun
statisticii Fermi-Dirac.
In ˆ ıncheiere preciz˘ am faptul c˘ a ˆ ın teoria cuantic˘ a rel ativist˘ a a cˆ ampului
se demonstreaz˘ a riguros c˘ a statistica este deﬁnit˘ a ˆ ın m od univoc de spinul
particulelor.
Particulele (nucleele) cu spin ˆ ıntreg (inclusiv spin zero ) se supun statis-
ticii Bose-Einstein iar particulele (nucleele) cu spin sem iˆ ıntreg se supun
statisticii Fermi-Dirac.
Toate datele experimentale conﬁrm˘ a aceste aﬁrmat ¸ii.
1.6 Paritatea funct ¸iei de und˘ a a nucleului ¸ si inver-
sia temporal˘ a. Legea conserv˘ arii parit˘ at ¸ii.
In mecanica clasic˘ a o transformare care const˘ a ˆ ın schimb area semnului tu-
turor coordonatelor nu schimb˘ a funct ¸ia Hamilton a unui si stem izolat sau
a unui sistem care se aﬂ˘ a ˆ ıntr-un cˆ amp de fort ¸e cu simetri e central˘ a. In
mecanica cuantic˘ a se p˘ astreaz˘ a aceea¸ si situat ¸ie pent ru operatorul Hamilton
al unui sistem de particule f˘ ar˘ a spin:
H(/vector r) =H(−/vector r) (1.129)
Aceast˘ a relat ¸ie are ˆ ın mecanica cuantic˘ a consecint ¸e c are nu exist˘ a ˆ ın
mecanica clasic˘ a ¸ si ca atare paritatea este un concept str ict cuantic.
Ecuat ¸ia Schr¨ odinger pentru un sistem cuantic descris de operatorul H(/vector r)
este de forma:
H(/vector r)Ψ(/vector r) =EΨ(/vector r) (1.130)
60

Prin schimbarea semnului tuturor coordonatelor, aceast˘ a ecuat ¸ie devine:
H(−/vector r)Ψ(−/vector r) =EΨ(−/vector r) (1.131)
sau, ˆ ın virtutea relat ¸iei (1.129):
H(/vector r)Ψ(−/vector r) =EΨ(−/vector r) (1.132)
Relat ¸iile (1.130) ¸ si (1.132) arat˘ a c˘ a funct ¸iile Ψ( /vector r) ¸ si Ψ(−/vector r) veriﬁc˘ a aceea¸ si
ecuat ¸ie Schr¨ odinger, ceea ce se poate ˆ ıntˆ ampla ˆ ın urm˘ atoarele dou˘ a c azuri:
a)starea de energie E este degenerat˘ a8¸ si ca atare funct ¸iile Ψ( /vector r) ¸ si Ψ(−/vector r)
descriu dou˘ a st˘ ari ﬁzice distincte care au ˆ ıns˘ a aceea¸ s i energie.
b)starea de energie E este nedegenerat˘ a;ˆ ın acest caz funct ¸ iile Ψ(/vector r) ¸ si Ψ(−/vector r)
descriu una ¸ si aceea¸ si stare ¸ si ca atare cele dou˘ a funct ¸ ii sunt liniar
dependente.
Ca urmare, exist˘ a operatorul ˆPcare aplicat funct ¸iei Ψ( /vector r) schimb˘ a semnul
tuturor coordonatelor carteziene:
ˆPΨ(/vector r) = Ψ(−/vector r) (1.133)
valorile proprii πale operatorului ˆPse determin˘ a din ecuat ¸ia:
ˆPΨ(/vector r) =πΨ(/vector r) (1.134)
ˆ ın care valorile lui πdeﬁnesc ”paritatea” funct ¸iei Ψ( /vector r). Valorile posibile
pentruπse determin˘ a prin aplicarea operatorului ˆPasupra funct ¸iei Ψ( −/vector r):
ˆPΨ(−/vector r) = Ψ(/vector r) =ˆP(ˆPΨ(/vector r)) =ˆPπΨ(/vector r) =π2Ψ(/vector r) (1.135)
din care rezult˘ a:
π=±1 ;Ψ(−/vector r) =±Ψ(/vector r) (1.136)
Dac˘ a prin inversarea coordonatelor (inversie spat ¸ial˘ a ), funct ¸ia de und˘ a
nu-¸ si schimb˘ a semnul ( π= +1) se spune c˘ a este o ”funct ¸ie par˘ a”; ˆ ın caz
contrar (π=−1) funct ¸ia este ”impar˘ a”. Deci valorile πdeﬁnesc ”paritatea”
funct ¸iei de und˘ a ¸ si descriu modul ˆ ın care se comport˘ a fu nct ¸ia de und˘ a la
operat ¸ia de inversare spat ¸ial˘ a realizat˘ a de operatoru lˆP.
8Reamintim c˘ a dac˘ a st˘ arii de energie E ˆ ıi corespund funct ¸iile proprii Ψ 1,Ψ2, . . . ,ΨN
liniar independente, se spune c˘ a starea respectiv˘ a este o stare degenerat˘ a, iar N este gradul
de degenerare al st˘ arii respective
61

Dac˘ a aplic˘ am ecuat ¸iei Schr¨ odinger (1.130) operatorul ˆPiar relat ¸iei (1.134)
operatorul H rezult˘ a:
PH=HP (1.137)
sau:
H=PHP−1=P−1HP (1.138)
deoarece operatorul P este unitar.
Din punct de vedere cuantic relat ¸ia (1.138) exprim˘ a ”lege a de conser-
vare a parit˘ at ¸ii” ˆ ın timp pentru sistemele pentru care re lat ¸ia (1.129) este
adev˘ arat˘ a, adic˘ a operatorul H este un operator ”par”. In mod direct, con-
servarea parit˘ at ¸ii se poate deduce astfel: presupunem c˘ a funct ¸ia Ψ( /vector r,t) care
reprezint˘ a solut ¸ia ecuat ¸iei Schr¨ odinger la momentul t este o funct ¸ie par˘ a.
Paritatea acestei funct ¸ii la momentul t+ τse poate deduce prin dezvoltarea
ˆ ın serie a funct ¸iei Ψ( /vector r,t+τ) dup˘ a puterile lui τ:
Ψ(/vector r,t+τ) = Ψ(/vector r,t) +∂Ψ(/vector r,t)
∂tτ+1
2!∂2Ψ(/vector r,t)
∂t2τ2+… (1.139)
ˆ ın care Ψ(/vector r,t) ste o funct ¸ie par˘ a prin ipotez˘ a iar ∂Ψ/∂tveriﬁc˘ a ecuat ¸ia
Schr¨odinger temporal˘ a:
HΨ(/vector r,t) =i¯h∂Ψ(/vector r,t)
∂t(1.140)
Prin operat ¸ia de inversie spat ¸ial˘ a ( /vector r→−/vector r) se obt ¸ine:
∂Ψ(−/vector r,t)
∂t=1
i¯hH(−/vector r)Ψ(−/vector r,t) =1
i¯hH(/vector r)Ψ(/vector r,t) (1.141)
expresie care arat˘ a c˘ a ∂Ψ/∂teste de asemeni o funct ¸ie par˘ a.
In mod similar:
∂2Ψ(/vector r,t)
∂t2=∂
∂t/parenleftbigg∂Ψ
∂t/parenrightbigg
=∂
∂t/parenleftbigg1
i¯hHΨ/parenrightbigg
(1.142)
ˆ ın careHΨ(/vector r,t) nu se modiﬁc˘ a prin operat ¸ia de inversie spat ¸ial˘ a, este tot o
funct ¸ie par˘ a. Rat ¸ionamentul se poate continua ¸ si pentr u termenii superiori
¸ si ca urmare rezult˘ a c˘ a dac˘ a funct ¸ia Ψ( /vector r,t) a fost par˘ a la momentul t ea
r˘ amˆ ane tot par˘ a ¸ si la momentul t + τ. In consecint ¸˘ a rezult˘ a c˘ a ”paritatea”
funct ¸iei se conserv˘ a, deci este o integral˘ a a mi¸ sc˘ arii . Rezult˘ a (deoarece
paritatea se conserv˘ a) c˘ a nu exist˘ a interact ¸ie care s˘ a amestece (s˘ a mixeze)
st˘ arile pare ¸ si impare ale sistemului. Aceast˘ a aﬁrmat ¸i e este echivalent˘ a cu
cea c˘ a operatorul H este par ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.129).
62

In leg˘ atur˘ a cu discut ¸ia de mai sus, st˘ arile nedegenerat eΨse
pot clasiﬁca ¸ si dup˘ a paritate. Aceste st˘ ari sunt funct ¸i i proprii ale
hamiltonianului H:
HΨn=E0
nΨn (1.143)
Ce se ˆ ıntˆ ampl˘ a ˆ ıns˘ a dac˘ a ad˘ aug˘ am sistemului o mic˘ a interact ¸ie
H’? In acest caz, ˆ ın acord cu teoria perturbat ¸iilor, inter act ¸ia
rezidual˘ a H’ va amesteca st˘ arile Ψna¸ sa ˆ ıncˆ at st˘ arile sistemu-
lui perturbat χnvor ﬁ:
χn= Ψ n+/summationdisplay
m/negationslash=nΨm/integraldisplayΨ∗
mH′Ψn
E0n−E0mdV (1.144)
S˘ a presupunem c˘ a funct ¸iile Ψm¸ siΨnsunt pare. Dac˘ a interact ¸ia
rezidual˘ a H’ este tot par˘ a, atunci integrala din (1.144) e ste diferit˘ a
de zero ¸ siχn/ne}ationslash= Ψ n.
Dac˘ a Ψm¸ siΨnau parit˘ at ¸i diferite, integrala din (1.144)
devine nul˘ a; dac˘ a H’ este o funct ¸ie impar˘ a atunci integr ala devine
zero dac˘ a funct ¸iile Ψm¸ siΨnau aceea¸ si paritate ¸ si este nenul˘ a
pentru funct ¸ii cu parit˘ at ¸i diferite.
A¸ sadar interact ¸ia par˘ a ”selecteaz˘ a” numai funct ¸iile de aceea¸ si
paritate pe cˆ and interact ¸ia impar˘ a amestec˘ a funct ¸iil e de parit˘ at ¸i
diferite.
In mod similar se pune problema ¸ si ˆ ın cazul st˘ arilor degen er-
ate de energii date care sunt descrise de funct ¸ii de und˘ a ce sunt
combinat ¸ii liniare de funct ¸ii proprii pare ¸ si impare. In aceste
situat ¸ii operatorul par selecteaz˘ a funct ¸iile pare ¸ si r espectiv impare
¸ si conservarea parit˘ at ¸ii const˘ a ˆ ın ”conservarea” par it˘ at ¸ii pentru
funct ¸iile ”pare” Ψprespectiv ”impare” Ψi, selectate de operatorul
de interact ¸ie, funct ¸ii care ˆ ımpreun˘ a formeaz˘ a funct ¸ ia total˘ a a sis-
temului:
Ψ = Ψ p+ Ψi
PΨ = Ψ p−Ψi (1.145)
din care rezult˘ a:
Ψp=1
2(Ψ +PΨ)
Ψi=1
2(Ψ−PΨ) (1.146)
63

Figura 1.21
Inversia spat ¸ial˘ a se obt ¸ine prin reﬂexie fat ¸˘ a de planu l xOy
urmat˘ a de o rotat ¸ie cu πˆ ın jurul axei z’
Expresiile (1.145) ¸ s (1.146) arat˘ a c˘ a sistemul cuantic r ezultat
prin amestecul funct ¸iilor de parit˘ at ¸i diferite poate ﬁ p rivit ca
dou˘ a sisteme, ﬁecare cu paritate bine deﬁnit˘ a.
Conservarea parit˘ at ¸ii ˆ ınseamn˘ a invariant ¸a la schimb area semnului tu-
turor coordonatelor (x,y,z) ale sistemului de coordonate, ceea ce se poate
realiza printr-o reﬂexie fat ¸˘ a de un plan (planul xOy din ﬁg ura 1.21) urmat˘ a
de o rotat ¸ie cu πˆ ın jurul axei perpendiculare pe planul fat ¸˘ a de care s-a f˘ acut
reﬂexia (axa Oz’ din ﬁgura 1.21)
Dup˘ a cum se constat˘ a ¸ si din ﬁgur˘ a operat ¸ia de inversie s pat ¸ial˘ a schimb˘ a
semnul vectorilor polari:
/vector rˆP−→−/vector r;/vectorkˆP−→−/vectork (1.147)
Din ﬁgura 1.21 ca ¸ si din succesiunea operat ¸iilor indicate rezult˘ a c˘ a ˆ ın
coordonate polare vectorul −/vector reste deﬁnit prin componentele:
−/vector r=/vectorr′{r,θ′,ϕ′}={r,π−θ,π+ϕ} (1.148)
Prin operat ¸ia de inversie ˆPun vector axial r˘ amˆ ane nemodiﬁcat. Ca
un exemplu poate ﬁ dat momentul orbital /vectorL=/vector r×/vector p, a c˘ arui reprezentare
simbolic˘ a bidimensional˘ a este redat˘ a ˆ ın ﬁgura 1.22.
A¸ sadar:
/vectorLˆP−→/vectorL;/vectorIˆP−→/vectorI (1.149)
64

Figura 1.22
Operatorul paritate modiﬁc˘ a /vector r¸ si/vector pˆ ın−/vector r¸ si−/vector pdar las˘ a
neschimbat momentul orbital /vectorL=/vector r×/vector preprezentat simbolic
printr-un vector care intr˘ a ˆ ın planul ( /vector r,/vector p)
Produsul scalar dintre un vector polar ¸ si un vector axial se nume¸ ste
”pseudoscalar”. Ca exemplu d˘ am: /vector p/vectorI,/vector p/vectorL, etc. (cu /vector p= ¯h/vectork). Avˆ and ˆ ın
vedere relat ¸iile (1.147) ¸ si (1.149) se constat˘ a imediat c˘ a operat ¸ia ˆPmodiﬁc˘ a
semnul unui pseudoscalar:
/vector p/vectorIˆP−→−/vector p/vectorI (1.150)
In continuare consider˘ am c˘ a exist˘ a invariant ¸˘ a la rota t ¸ia sistemului x’y’z’
din ﬁgura 1.21 fat ¸˘ a de operat ¸ia de rotat ¸ie la πˆ ın jurul axei y’; rezult˘ a
sistemul x’y’z’ din ﬁgura 1.23, care se poate obt ¸ine din sis temul init ¸ial x,y,z
printr-o reﬂexie ˆ ın oglinda ”O” (deci reﬂexie fat ¸˘ a de pla nul xOz).
Sensul ﬁzic al operat ¸iei de rotat ¸ie a sistemului de coordo nateˆ ın jurul axei
Oy poate ﬁ dedus din ﬁgura 1.24 ˆ ın care prin /vectorki¸ si/vectorkfs-au notat vectorii de
und˘ a pentru un proces ﬁzic, la momentul init ¸ial ¸ si respec tiv la momentul
ﬁnal. Se constat˘ a c˘ a ˆ ın sistemul de coordonate rotit, sis temul ﬁzic este
descris la momentul init ¸ial de vectorul /vectorkfiar la momentul ﬁnal de vectorul
/vectorki. Deci ˆ ın sistemul x’y’z’ procesul ﬁzic se desf˘ a¸ soar˘ a ”i nversat ˆ ın timp” fat ¸˘ a
de sistemul x,y,z.
A¸ sadar rotat ¸ia la πˆ ın jurul axei Oy exprim˘ a operat ¸ia de ”schimbare a
sensului de curgere a timpului” ¸ si dac˘ a procesul ﬁzic stud iat r˘ amˆ ane ne-
modiﬁcat prin aceast˘ a operat ¸ie se spune c˘ a are loc ”invar iant ¸a la inversie
temporal˘ a” deﬁnit˘ a de operatorul ”T” corespunz˘ ator.
65

Figura 1.23
Reﬂexia ˆ ın oglind˘ a a sistemului (x, y, z) este echivalent˘ a cu
operat ¸ia din ﬁgura 1.24 de inversie spat ¸ial˘ a ˆ ınsot ¸it˘ a de rotat ¸ie la
πˆ ın jurul axei y’
Figura 1.24
66

Act ¸iunea operatorului T asupra diferit ¸ilor vectori pola ri, axiali, pseu-
dovectori, etc., se stabile¸ ste imediat din considerentul c˘ a T modiﬁc˘ a obser-
vabilele care cont ¸in timpul la puteri impare ca viteza, imp ulsul, momentul
cinetic, etc. ¸ si las˘ a nemodiﬁcate observabilele care con t ¸in timpul la puteri
pare, precum vectorul de pozit ¸ie, energia, etc. Deci:
/vectorkT−→−/vectork;/vectorIT−→−/vectorI;/vector rT−→/vector r (1.151)
Invariant ¸a la inversia temporal˘ a a hamiltonianului unui sistemˆ ınseamn˘ a:
H(t) =H(−t) (1.152)
adic˘ a ˆ ın limbaj cuantic:
H=THT−1(1.153)
A¸ sadar dac˘ a hamiltonianul sistemului este invariant fat ¸˘ a de succesiunea
operat ¸iilor redate graﬁc ˆ ın ﬁgurile 1.21 ¸ si 1.23 (deci in variant la inversia
spat ¸ial˘ a ¸ si temporal˘ a) rezult˘ a c˘ a sistemul x,y,z din ﬁgura 1.23 (sistem dex-
trogir) este echivalent cu sistemul (x’,y’,z’) = (x,-y,z) ( sistem levogir) rezul-
tat prin oglindirea sistemului init ¸ial fat ¸˘ a de planul xO z. De aceea ˆ ın mod
uzual se spune c˘ a legea conserv˘ arii parit˘ at ¸ii exprim˘ a faptul c˘ a imaginea ˆ ın
oglind˘ a a oric˘ arui fenomen ﬁzic real reprezint˘ a de aseme ni un fenomen ﬁzic
real. In mod intuitiv aceast˘ a aﬁrmat ¸ie arat˘ a c˘ a dac˘ a un ﬁzician urm˘ are¸ ste
un experiment ﬁzic ˆ ın oglind˘ a, f˘ ar˘ a a ﬁ ˆ ıns˘ a con¸ stien t de acest lucru, atunci
nu exist˘ a niciun mijloc ca pe baza rezultatelor experiment ale obt ¸inute s˘ a
poat˘ a stabili ulterior c˘ a el a observat experimentul ”ˆ ın oglind˘ a”. Cu alte
cuvinte descrierea matematic˘ a a tuturor fenomenelor ﬁzic e pentru care are
loc conservarea parit˘ at ¸ii nu depinde de alegerea unui sis tem de coordonate
dextrogir sau levogir.
Numai experient ¸ele ˆ ın care nu are loc conservarea parit˘ a t ¸ii
depind de caracterul dextrogir sau levogir al sistemului de co-
ordonate. Aceste experient ¸e apart ¸in interact ¸iei slabe care nu se
manifest˘ a ˆ ıns˘ a la nivelul macroscopic al experient ¸ei n oastre zil-
nice. La acest nivel se manifest˘ a cel mai adesea interact ¸i a elec-
tromagnetic˘ a care conserv˘ a paritatea. Probabil tocmai d e aceea
unii copii au diﬁcult˘ at ¸i ˆ ın a ˆ ınv˘ at ¸a care este mˆ ana st ˆ ang˘ a ¸ si care
este cea dreapt˘ a. Copilul trebuieˆ ınv˘ at ¸at s˘ a scrie cu m ˆ ana dreapt˘ a
¸ si va ﬁ derutat cˆ and va ˆ ıntˆ alni un alt copil care scrie cu m ˆ ana
stˆ ang˘ a – o stare ﬁzic˘ a perfect posibil˘ a – ¸ si cˆ and repre zentarea lui
despre ”partea stˆ ang˘ a” ¸ si ”partea dreapt˘ a” se simetriz eaz˘ a. Din
67

punct de vedere al conserv˘ arii parit˘ at ¸ii nu exist˘ a nici o rat ¸iune
c˘ a foarte put ¸ini oameni sunt stˆ angaci; aceast˘ a situat ¸ ie trebuie
privit˘ a mai curˆ and ca un accident biologic decˆ at ca o situ at ¸ie
normal˘ a (ˆ ın Europa era considerat ca un defect corectat pr in
educat ¸ie; ˆ ın Africa proport ¸ia de stˆ angaci ¸ si dreptaci este apro-
ximativ egal˘ a). La fel trebuie interpretat ¸ si faptul c˘ a a minoa-
cizii macromoleculelor organismelor vii au structur˘ a lev ogir˘ a ˆ ın
timp ce prin sintez˘ a chimic˘ a se reproduc cu pondere egal˘ a ambele
structuri
In continuare vom analiza cˆ ateva consecint ¸e ale legii con serv˘ arii parit˘ at ¸ii.
Consecint ¸e ale legii conserv˘ arii parit˘ at ¸ii
In procesele guvernate de interact ¸ia tare ¸ si electromagn etic˘ a are loc con-
servarea parit˘ at ¸ii care implic˘ a invariant ¸a acestora f at ¸˘ a de operat ¸ia de reﬂexie
a tuturor coordonatelor. Aceast˘ a invariant ¸˘ a impune anu mite condit ¸ii pen-
tru operatorul (hamiltonianul) de interact ¸ie ¸ si anumite limit˘ ari (”reguli de
select ¸ie”) referitoare la desf˘ a¸ surarea acestor proces e.
Intr-adev˘ ar, s˘ a presupunem c˘ a dorim s˘ a construim hamil tonianul unei
particule de impuls /vector p, spin/vectorS¸ si moment orbital /vectorlcare s˘ a cont ¸in˘ a termeni
liniari ˆ ın/vector p,/vectorS,/vectorl. Acest hamiltonian trebuie astfel ”construit” ˆ ıncˆ at s˘ a ﬁe
invariant la rotat ¸ie. Termenii posibili, invariant ¸i la r otat ¸ie vor ﬁ:
/vector p/vectorl;/vector p/vectorS;/vectorS/vectorl;/vector p(/vectorS×/vectorl) ;/vectorS(/vector p×/vectorl) ;/vectorl(/vector p×/vectorS) (1.154)
Invariante la inversia temporal˘ a, ˆ ın acord cu relat ¸ia (1 .51), vor ﬁ numai
combinat ¸iile:
/vector p/vectorl;/vector p/vectorS;/vectorS/vectorl (1.155)
Invariant ¸a la inversia spat ¸ial˘ a, exprimat˘ a de relat ¸i ile (1.147) ¸ si (1.149),
ret ¸ine, ca singur˘ a combinat ¸ie posibil˘ a, termenul:
/vectorS/vectorl (1.156)
cunoscut ˆ ın literatur˘ a sub denumirea de ”spin-orbit˘ a”. Deci hamiltonianul
particulei respective, pentru a ﬁ invariant la rotat ¸ie, la inversia spat ¸ial˘ a ¸ si
temporal˘ a, trebuie s˘ a cont ¸in˘ a numai combinat ¸ia /vectorS/vectorl. In caz contrar cel put ¸in
una din invariant ¸ele ment ¸ionate este nerespectat˘ a. De e xemplu introducerea
pseudoscalarului /vector p/vectorlar implica, ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.150), neconservarea
parit˘ at ¸ii ˆ ın procesul descris de hamiltonianul ˆ ın disc ut ¸ie.
S˘ a analiz˘ am ¸ si consecint ¸ele ce decurg ˆ ın desf˘ a¸ surar ea proceselor dac˘ a
hamiltonianul este construit astfel ˆ ıncˆ at s˘ a conserve p aritatea, adic˘ a H este
68

o funct ¸ie par˘ a. In acest scop s˘ a stabilim pentru ˆ ınceput paritatea st˘ arii
unei particule ”a” care se mi¸ sc˘ a ˆ ıntr-un potent ¸ial cent ral, par la reﬂexie.
Deoarece potent ¸ialul este central are loc conservarea mom entului orbital L:
L2Ylm=l(l+ 1) ¯h2Ylm
LzYlm=m¯hYlm (1.157)
ˆ ın care funct ¸iile Ylm- funct ¸ii proprii ale momentului orbital – sunt deﬁnite
astfel:
Ylm(θ,ϕ) =/radicalBigg
2l+ 1
4π(l−m)!
(l+m)!Pm
l(cosθ)eimϕ(1.158)
unde:
Pm
l(cosθ) =(sinθ)m
2ll!d(l+m)
d(cosθ)l+m(cos2θ−1)l(1.159)
Ca urmare a conserv˘ arii momentului orbital, funct ¸ia ce de scrie mi¸ scarea
particulei ”a” de moment orbital l ¸ si proiect ¸ie m, fat ¸˘ a c entrul de interact ¸ie
este:
Ψlm=Rl(r)Ylm(θ,ϕ) (1.160)
iar funct ¸ia total˘ a (pentru paticula ”a”):
Ψat= Ψ aΨlm(/vector r) (1.161)
In aceste relat ¸ii Rl(r) este o funct ¸ie ce depinde de modulul vectorului /vector riar
Ψaeste funct ¸ia ce descrie starea intern˘ a (mi¸ scarea referi toare la centrul de
inert ¸ie al particulei) a particulei ”a”. Deoarece ”supune rea la paritate” se
reduce la inversarea coordonatelor, este evident c˘ a efect uarea succesiv˘ a a
acestei operat ¸ii ˆ ın raport cu Ψ a¸ si Ψlmconduce la urm˘ atoarea regul˘ a pentru
paritatea funct ¸iei Ψ at:
πat=πaπl (1.162)
ˆ ın careπaeste paritatea fat ¸˘ a de sistemul propriu de coordonate, fa t ¸˘ a de
care particula este ˆ ın repaus, iar πleste paritatea funct ¸iei de mi¸ scare Ψ lm.
Relat ¸ia (1.162) arat˘ a c˘ a paritatea este un num˘ ar multip licativ. Deoarece,
prin deﬁnit ¸ie, valoarea proprie a operatorului de paritat e fat ¸˘ a de sistemul
ˆ ın care particula este ˆ ın repaus se nume¸ ste ”paritate int rinsec˘ a” rezult˘ a c˘ a
πaeste paritatea intrinsec˘ a a particulei ”a”. Valoarea prop rieπlse obt ¸ine
imediat avˆ and ˆ ın vedere relat ¸iile (1.148) ¸ si (1.158) – ( 1.159):
P(Rl(r)Ylm(θ,ϕ)) =Rl(r)Ylm(π−θ,π+ϕ) = (−1)lRl(r)Ylm(θ,ϕ)
(1.163)
69

¸ si deci:
πl= (−1)l(1.164)
In concluzie:
πat= (−1)lπa (1.165)
Aceast˘ a expresie a fost dedus˘ a ˆ ın ipoteza c˘ a potent ¸ial ul este central.
Ce se ˆ ıntˆ ampl˘ a dac˘ a potent ¸ialul nu este central dar, ˆ ı n continuare, par la
reﬂexie? Este echivalent cu a spune c˘ a la potent ¸ialul cent ral se adaug˘ a o
parte necentral˘ a care ar putea ﬁ tratat˘ a perturbativ. In a cest caz, ˆ ın acord
cu cele precizate mai sus, acest potent ¸ial – par – amestec˘ a st˘ arile de aceea¸ si
paritate, adic˘ a st˘ arile ﬁe cu l numere pare ﬁe cu l numere im pare. A¸ sadar,
de¸ si momentul orbital l nu se conserv˘ a, se amestec˘ a st˘ ar ile cu l bine deﬁnit
(par sau impar) a¸ sa ˆ ıncˆ at relat ¸ia (1.165) r˘ amˆ ane vala bil˘ a ¸ si ˆ ın cazul general
al unui potent ¸ial necentral.
In mod similar, ˆ ın cazul sistemului format din dou˘ a partic ule ”a” ¸ si ”b”
care se mi¸ sc˘ a ˆ ıntr-un potent ¸ial de interact ¸ie par (cen tral sau nu) avem:
Ψabt= Ψ bΨlbΨaΨla (1.166)
¸ si:
πabt= (−1)la(−1)lbπaπb= (−1)la+lbπaπb (1.167)
relat ¸ie care arat˘ a c˘ a paritatea sistemului (a+b) este co mplet determinat˘ a
dac˘ a se cunosc parit˘ at ¸ile intrinseci ale particulelor a ¸ si b. In particular pen-
tru nucleul format din A particule (nucleoni), generalizˆ a nd expresia (1.167),
paritatea va ﬁ:
πA= (−1)/summationtextA
i=1liA/productdisplay
i=1πi (1.168)
ˆ ın careπisunt parit˘ at ¸ile intrinseci ale nucleonilor constituent ¸i ai nucleului.
In cazul nucleonilor – fermioni – paritatea intrinsec˘ a nu s e poate deﬁni
deoarece funct ¸ia de stare a nucleonilor nu este funct ¸ie pr oprie a operatorului
de inversie spat ¸ial˘ a. Se poate deﬁni numai paritatea spin orului (nucleonii
au spin 1/2) ˆ ın raport cu o dubl˘ a inversie spat ¸ial˘ a. Ca at are pentru spinori
nu se poate deﬁni decˆ at o paritate relativ˘ a ˆ ıntre particu l˘ a ¸ si antiparticul˘ a.
Deoarece ˆ ın procesele nucleare la energii mici (f˘ ar˘ a gen erare de particule)
num˘ arul nucleonilor se conserv˘ a, rezult˘ a c˘ a paritatea intrinsec˘ a poate ﬁ
aleas˘ a, prin convent ¸ie, oricare f˘ ar˘ a a afecta desf˘ a¸ s urarea proceselor nucle-
are. Ca urmare se poate considera paritatea intrinsec˘ a +1 p entru nucleoni ¸ si
atunci paritatea intrinsec˘ a a antinucleonilor va ﬁ -1. In m od similar se con-
sider˘ a, prin convent ¸ie, c˘ a paritatea intrinsec˘ a este + 1 pentru hiperonii Λ, Σ,
70

Figura 1.25
Simbolizarea spinului I ¸ si a parit˘ at ¸ii πpentru o stare nuclear˘ a de
energie E
Ξ, Ω ¸ si -1 pentru antiparticulele respective. Odat˘ a stabi lite aceste condit ¸ii,
paritatea pentru restul particulelor se stabile¸ ste exper imental. Astfel se con-
stat˘ a c˘ a paritatea sistemului (n π−p) este negativ˘ a ceea ce impune condit ¸ia
ca paritatea intrinsec˘ a a mezonului π−s˘ a ﬁe -1. Paritatea particulelor, ca
de exemplu π−, se stabile¸ ste de regul˘ aˆ ın procesul de interact ¸ie care , ˆ ın cazul
general, poate ﬁ sintetizat prin interact ¸ia dintre partic ula a ¸ si particula A. In
acest caz, funct ¸ia total˘ a a sistemului (a+A) este similar ˘ a cu cea din (1.166)
cu deosebirea c˘ a particula a se mi¸ sc˘ a ˆ ın cˆ ampul de inter act ¸ie creat de A (ˆ ın
(1.166) ambele se mi¸ scau ˆ ıntr-un potent ¸ial existent) ¸ s i deci:
ΨaA= Ψ aΨAΨlaA (1.169)
ˆ ın care Ψ laAdescrie mi¸ scarea lor relativ˘ a. Valoarea proprie a parit˘ at ¸ii va ﬁ:
πaA= (−1)laAπaπA (1.170)
ˆ ın care parit˘ at ¸ile particulelor a ¸ si A se determin˘ a ca ˆ ın (1.168) dac˘ a sunt
nuclee sau pe baz˘ a de modele nucleare.
Dac˘ a procesul de interact ¸ie:
a+A−→b+B (1.171)
se desf˘ a¸ soar˘ a cu conservarea parit˘ at ¸ii, ˆ ınseamn˘ a c ˘ a are loc relat ¸ia:
(−1)laAπaπA= (−1)lbBπbπB (1.172)
Din cele de mai sus a rezultat c˘ a paritatea funct ¸iei de und˘ a este o pro-
prietate foarte important˘ a ¸ si ca atare ﬁecare stare energ etic˘ a a nucleului va
ﬁ caracterizat˘ a pe lˆ ang˘ a energie, spin (¸ si alte m˘ arimi ca timpul mediu de
viat ¸˘ a, momentul magnetic, etc.) ¸ si de valoarea parit˘ at ¸ii. Paritatea st˘ arii
energetice este marcat˘ a prin semnul plus sau minus la valoa rea spinului Iπ
(de exemplu Iπ= 2−ˆ ın ﬁgura 1.25).
71

Figura 1.26
Curentul circular genereaz˘ a momentul magnetic dipolar /vector µ
perpendicular pe suprafat ¸a buclei de curent
Preciz˘ am c˘ a paritatea se conserv˘ aˆ ın proceseleˆ ın care act ¸ioneaz˘ a interact ¸ia
electromagnetic˘ a ¸ si tare dar nu se conserv˘ a ˆ ın cazul int eract ¸iei slabe. In
primele cazuri, intuitiv spat ¸iul este simetric la oglindi re pe cˆ and ˆ ın cazul
interact ¸iilor slabe ar trebui s˘ a-l consider˘ am elicoida l la reﬂexie (la oglindire).
1.7 Momentul magnetic dipolar al nucleului
Interpretarea intuitiv˘ a a spinului ca deﬁnind starea de ro tat ¸ie a particulei
ˆ ın jurul propriei axe implic˘ a, pentru o particul˘ a ˆ ınc˘ a rcat˘ a, aparit ¸ia unor
curent ¸i circulari (bucl˘ a de curent) care, ˆ ın acord cu ele ctrodinamica clasic˘ a,
genereaz˘ a un moment magnetic dipolar /vector µ(ﬁgura 1.26).
Momentul magnetic monopolar nu a fost ˆ ınc˘ a evident ¸iat ex –
perimental de¸ si a fost prezis teoretic de P.Dirac ˆ ınc˘ a di n anul
1931. Prin monopol magnetic se ˆ ınt ¸elege o particul˘ a care poart˘ a
o unitate de ”sarcin˘ a magnetic˘ a”, analoag˘ a sarcinii ele ctrice,
constituind ”o entitate” cu un singur pol magnetic, ﬁe numai
polul nord magnetic ﬁe numai polul sud magnetic. Monopolii
fac parte ¸ si din familia particulelor postulate de teoria ” marei
uniﬁc˘ ari” (paragraful 2.5.3). Aceast˘ a teorie prevede ex istent ¸a
particulei monopol cu masa de cca. 1016ori mai mare decˆ at
masa protonului; aceast˘ a particul˘ a a fost generat˘ a ˆ ın f ract ¸iunile
de secund˘ a ce au urmat ”marii explozii” originale a Univers ului
72

Figura 1.27
Particula de mas˘ a ”m” ¸ si sarcin˘ a ”q” ce se mi¸ sc˘ a cu vitez a ”/vector v”
pe o traiectorie ˆ ınchis˘ a, situat˘ a ˆ ıntr-un plan, genere az˘ a
momentul magnetic dipolar /vector µ¸ si momentul cinetic orbital /vectorL
(Big-Bang). Se presupune c˘ a unii monopoli (”monopolii fos ili”)
au supraviet ¸uit pˆ an˘ a ast˘ azi ¸ si deci ar putea ﬁ ˆ ınregis trat ¸i. Grupul
de cercet˘ atori condus de Blas Cabrera de la Universitatea S tan-
ford (California) consider˘ a c˘ a a observat experimental u n ast-
fel de monopol magnetic (ˆ ın februarie 1982) care corespund e ˆ ın
totalitate propriet˘ at ¸ilor prev˘ azute de teorie. De¸ si S teven Wein-
berg, laureat al premiului Nobel pentru ﬁzic˘ a ˆ ın anul 1979 , con-
sider˘ a c˘ a ˆ ın experient ¸a respectiv˘ a a fost ˆ ıntr-adev˘ ar ˆ ınregistrat
monopolul magnetic, experient ¸a trebuie repetat˘ a pentru a avea
certitudineaˆ ınregistr˘ arii acestuia. Descoperirea mon opolului mag-
netic este foarte important˘ a pentru conﬁrmarea unor teori i mo-
derne referitoare la particulele elementare.
Leg˘ atura ˆ ıntre /vector µ¸ si momentul cinetic de rotat ¸ie se stabile¸ ste rapid pen-
tru o sarcin˘ a electric˘ a ”q” punctual˘ a ¸ si de mas˘ a ”m” car e se mi¸ sc˘ a pe o
traiectorie ˆ ınchis˘ a (ﬁgura 1.27)9.
/vector µ=q
2m/vectorL (1.173)
9Acest rezultat se obt ¸ine imediat pentru o traiectorie circ ular˘ a t ¸inˆ and cont c˘ a din punct
de vedere clasic µ=S Iˆ ın care S este suprafat ¸a traiectoriei πR2iarI=q v/2π R
73

Aceast˘ a relat ¸ie se poate generaliza pentru o sarcin˘ a ext ins˘ a, ˆ ın mi¸ scare,
cu distribut ¸ia de sarcin˘ a ̺(/vector r) astfel:
/vector µ=1
2/integraldisplay
V̺(/vector r)(/vector r×/vector v(/vector r))d/vector r=q
2m/vectorL (1.174)
cu:
/vectorL=m
q/integraldisplay
V̺(/vector r)(/vector r×/vector v(/vector r))d/vector r (1.175)
ˆ ın care V este volumul ˆ ın care este distribuit˘ a sarcina ”q ”.
Relat ¸ia (1.173), dedus˘ a din considerente clasice, arat˘ a c˘ a/vector µeste dirijat pe
direct ¸ia lui /vectorL¸ si faptul c˘ a raportul /vector µ/Leste egal cu q/2m. Aceste constat˘ ari
permit generalizarea cuantic˘ a a expresiei (1.173) pentru un sistem cuantic
(nucleu, nucleoni, particule elementare) de mas˘ a m ¸ si de m oment cuantic I
conform relat ¸iei:
/vector µ=ge
2m/vectorI (1.176)
ˆ ın care ”g” numit ”factor giromagnetic” (sau factor Land´ e nuclear) carac-
terizeaz˘ a abaterea lui µde la deﬁnit ¸ia clasic˘ a.
In mecanica cuantic˘ a se demonstreaz˘ a c˘ a ”singura” m˘ ari me
ce poate caracteriza orientarea particulei (nucleului) es te vec-
torul spin/vectorI. De aici rezult˘ a c˘ a orice m˘ arime vectorial˘ a ” /vectorA” ce
caracterizeaz˘ a particula (nucleul) trebuie s˘ a ﬁe propor t ¸ional˘ a cu
/vectorI:
/vectorA= const./vectorI (1.177)
De asemeni orice m˘ arime tensorial˘ a se poate construi tot c u aju-
torul componentelor vectorului /vectorI. Din relat ¸ia (1.177) rezult˘ a c˘ a
m˘ arimile vectoriale ce caracterizeaz˘ a particula (nucle ul) sunt ˆ ın
mod obligatoriu m˘ arimi vectoriale axiale (pseudovectori ) deoarece
/vectorIeste un vector axial. Rezult˘ a de aici c˘ a o particul˘ a poate avea
un moment magnetic dipolar dar nu poate avea un moment elec-
tric dipolar c˘ aci acestuia i-ar corespunde un vector polar (/vectord=
q/vector r). In acest context relat ¸ia (1.176) de proport ¸ionalitate ˆ ıntre/vector µ
¸ si/vectorIeste ﬁreasc˘ a. S˘ a mai remarc˘ a ¸ si faptul c˘ a ”direct ¸ia” s pinului
deci a particulei (nucleului) este supus˘ a ﬂuctuat ¸iei deo arece, din
punct de vedere cuantic, numai una din componentele lui /vectorIare o
direct ¸ie ﬁxat˘ a; dac˘ a Izeste aceast˘ a component˘ a, celelalte compo-
nente ﬂuctueaz˘ a ˆ ın jurul valorii medii zero. Rezult˘ a c˘ a vectorul/vectorI
74

nu poate ﬁ ”precis” orientat. Chiar ¸ si ˆ ın cazul cel mai favo rabil
ˆ ın careIzare valoarea maxim˘ a I rezult˘ a c˘ a;
I2
x+I2
y=I2−I2
zmax=I(I+ 1)−I2=I (1.178)
Ca m˘ asur˘ a a ﬂuctuat ¸iei direct ¸iei vectorului spin se poa te consi-
dera m˘ arimea:
∆I
I=1
I/radicalBig
I2−I2zmax=√
I
I=1√
I(1.178’)
De unde rezult˘ a c˘ a ”precizia” ˆ ın orientarea lui I este cu a tˆ at
mai mic˘ a cu cˆ at num˘ arul cuantic de spin al particulei are o
valoare mai mic˘ a. In particular, particula cu spin I=0 nu po ate
ﬁ orientat˘ a ˆ ın spat ¸iu, ceea ce ﬁzic este de ˆ ınt ¸eles
Proiect ¸ia momentului dipolar magnetic din (1.176) pe axa d e cuantiﬁcare
Oz este:
µz=ge¯h
2mmI=gµNmI;µN=e¯h
2m(1.179)
ˆ ın caremIeste num˘ arul cuantic magnetic deﬁnit ˆ ın relat ¸ia (1.126) iarµN,
numit ”magneton nuclear” reprezint˘ a unitateaˆ ın care se e xprim˘ a momentele
magnetice nucleare. Valoarea unit˘ at ¸ii µNse determin˘ a prin precizarea ma-
sei ”m” din expresia (1.179). In ﬁzica subatomic˘ a, prin ana logie cu ﬁzica
atomic˘ a, se consider˘ a c˘ a m din (1.179) este masa unui prot on (m=mp) ¸ si ca
atareµNare valoarea:
µN=e¯h
2mp= 5.05 10−27Am2(1.180)
Deoarece/vector µdin relat ¸ia (1.176) este paralel cu momentul de spin /vectorI, pro-
priet˘ at ¸ile magnetice ale sistemelor subatomice pot ﬁ car acterizate printr-o
singur˘ a constant˘ a care poate ﬁ oricare dintre cele (2I+1) valori ale proiect ¸iei
µzdin (1.179). In mod convent ¸ional, momentul magnetic exper imental (nu-
mit uneori ¸ si moment magnetic efectiv) se deﬁne¸ ste ca ﬁind valoarea mo-
mentuluiµzasociat˘ a proiect ¸iei maxime mI=I:10
µI=µexp=gIµNI (1.181)
Cu aceast˘ a deﬁnit ¸ie, momentul magnetic din (1.176) se poa te deﬁni astfel:
/vector µI=1
¯hgµN/vectorI=µI
¯hI/vectorI (1.182)
10In limbaj cuantic µIdin relat ¸ia (1.181) se deﬁne¸ ste prin relat ¸ia < II |/vector µ|II >adic˘ a
reprezint˘ a valoarea medie a operatorului /vector µˆ ın starea caracterizat˘ a de funct ¸ia de und˘ a
|I m I>pentru mI=I.
75

1.7.1 Metode experimentale de determinare a spinului ¸ si mo –
mentului magnetic dipolar al nucleelor
Determinarea experimenta˘ a a lui /vector µIeste strˆ ans legat˘ a de cea a momentu-
lui de spin, de¸ si natura acestor m˘ arimi este total diferit ˘ a. Spinul este o
proprietate mecanic˘ a inert ¸ial˘ a a nucleului (particule i) pe cˆ and/vector µcaracteri-
zeaz˘ a interact ¸ia nucleului (particulei) cu cˆ ampuri mag netice exterioare (de
induct ¸ie/vectorB) care interact ¸ie, din considerente clasice, se exprim˘ a p rin relat ¸ia:
E=−/vector µI/vectorB=−µI
¯hI/vectorI/vectorB=−µI
¯hI¯h/radicalBig
I(I+ 1)Bcos(/vectorI,/vectorB) =
=−µIBmI
I=−gIµNB m I (1.183)
Aceast˘ a relat ¸ie este esent ¸ial˘ a ˆ ın metodele de determi nare ”direct˘ a” a spin-
ului ¸ si a momentului µ. Metodele ”indirecte” determin˘ a aceste m˘ arimi din
experient ¸e de spectroscopie nuclear˘ a, react ¸ii nuclear e, excitare coulombian˘ a,
etc.
In acest paragraf vom trece ˆ ın revist˘ a metodele directe de ¸ si o analiz˘ a
mai atent˘ a arat˘ a c˘ a majoritatea acestor metode constauˆ ın studiul spectrelor
atomice ¸ si moleculare ¸ si apart ¸in, ˆ ın consecint ¸˘ a, mai curˆ and ﬁzicii atomice
experimentale decˆ at ﬁzicii nucleare experiemntale.
Metodele directe, dup˘ a cum am mai precizat, se bazeaz˘ a ˆ ın esent ¸˘ a pe
interact ¸ia momentului /vector µcu cˆ ampurile exterioare, exprimat˘ a de relat ¸ia (1.183).
In cazul unui atom izolat sau a unui atom aﬂat ˆ ıntr-o matrice al c˘ arui
cˆ amp magnetic mediu este zero, cˆ ampul ”extern” nucleului este generat de
p˘ atura electronic˘ a. In acest caz induct ¸ia /vectorBdin relat ¸ia (1.183) reprezint˘ a
induct ¸ia magnetic˘ a medie </vectorBe>creat˘ a de electronii atomului ˆ ın zona ˆ ın
care se aﬂ˘ a nucleul. Interact ¸ia momentului magnetic /vector µcu</vectorBe>genereaz˘ a
o ”structur˘ a hiperﬁn˘ a” a nivelelor electronice din studi ul c˘ areia se poate
determinaµI¸ si I. Deoarece induct ¸ia </vectorBe>este dirijat˘ a pe direct ¸ia mo-
mentului cinetic /vectorJal p˘ aturii electronice, rezult˘ a c˘ a energia de interact ¸ ie din
relt ¸ia (1.183) devine:
E=C/vectorI/vectorJ (1.184)
ˆ ın care constanta C depinde de valoarea momentului magneti cµI.
Valorile posibile, discrete, pentru energia E se pot determ ina introducˆ and
momentul cinetic total /vectorFal atomului, conform expresiei:
/vectorF=/vectorI+/vectorJ (1.185)
din care rezult˘ a:
/vectorI/vectorJ=1
2(F2−I2−J2) (1.186)
76

Folosind pentru operatorii /vectorF,/vectorI¸ si/vectorJrelat ¸ia (1.126) pentru energia de interact ¸ie
din (1.184) rezult˘ a:
E=C
2(F(F+ 1)−I(I+ 1)−J(J+ 1)) (1.187)
ˆ ın care num˘ arul cuantic F, ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.185), p oate lua valorile:
F=I+J,I+J−1,…,|/vectorI−/vectorJ| (1.188)
Ca urmare, ﬁecare nivel energetic electronic LJ(ˆ ın care L, ˆ ın notat ¸ia spec-
troscopic˘ a din ﬁzica atomic˘ a, este L=S, P, D, F,…) se va d espica ˆ ın:
(2I+ 1) subnivele pentru I <J
(2J+ 1) subnivele pentru J <I (1.189)
Se obt ¸ine astfel structura hiperﬁn˘ a ˆ ın care nivele din st ructura hiperﬁn˘ a
corespund acelora¸ si valori I ¸ si J dar difer˘ a prin valoare a num˘ arului cuantic
F deﬁnit de relat ¸ia (1.188).
In particular, ˆ ın cazulˆ ın care I <J, num˘ arul (sub)nivelelor de structur˘ a
hiperﬁn˘ a va ﬁ (2I+1) ¸ si deci, prin simpla lor num˘ arare se p oate determina
num˘ arul cuantic de spin I. Un exemplu este prezentat ˆ ın ﬁgu ra 1.28 ˆ ın care
nivelele electronice F11/2(L≡F) ¸ siF9/2ale atomului59
27Cose despic˘ a ﬁecare
ˆ ın opt (sub)nivele. Dac˘ a ˆ ın acest caz s-ar ﬁ realizat situ at ¸iaJ <I , nivelul
F11/2s-ar ﬁ despicat ˆ ın 12 (sub)nivele iar F9/2ˆ ın 10 (sub)nivele de structur˘ a
hiperﬁn˘ a. Rezult˘ a c˘ a se realizeaz˘ a cazul I <J ¸ si c˘ a cele 8 (sub)nivele sunt
date de (2I+1), rezultˆ and pentru num˘ arul cuantic de spin v aloarea I=7/2.
In cazulJ < I num˘ arul nivelelor de structur˘ a hiperﬁn˘ a este (2J+1).
Determinarea num˘ arului cuantic de spin I se face ˆ ın acest c az din ”regula
intervalelor” care const˘ a ˆ ın faptul c˘ a diferent ¸a energ etic˘ a ˆ ıntre dou˘ a nivele
vecine ale structurii hiperﬁne cu valorile num˘ arului cuan tic F, F-1 este dat˘ a,
ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.187), de expresia:
∆E=EF−EF−1=CF (1.190)
Din aceast˘ a relat ¸ie rezult˘ a c˘ a intervalele energetice ˆ ıntre nivelele vecine
ale structurii hiperﬁne se g˘ asesc ˆ ın rapoartele:
∆E1: ∆E2: ∆E3:…=F: (F−1) : (F−2) :…
= (I+J) : (I+J−1) : (I+J−2) :… (1.191)
77

Figura 1.28
NiveleleF11/2(J=11/2) ¸ si F9/2(J=9/2) se despic˘ a ˆ ın 8 subnivele.
De aici rezult˘ a c˘ a I <J¸ si c˘ a deci 8=2I+1, adic˘ a I=7/2.
Despicarea subnivelelor este prezentat˘ a calitativ
Determinarea experimental˘ a a intervalelor energetice ∆ E1, ∆E2, ∆E3, …
permite determinarea num˘ arului cuantic I dac˘ a este cunos cut num˘ arul cuan-
tic J. Pentru ˆ ınt ¸elegerea metodei, ˆ ın ﬁgura 1.29 este pre zentat˘ a structura
hiperﬁn˘ a pentru nivelul D3/2al atomului209Bi, ˆ ın care s-a considerat c˘ a
num˘ arul cuantic de spin al nucleului209Bieste 9/2. Din ﬁgur˘ a se constat˘ a
c˘ a:
∆E1: ∆E2: ∆E3= 6 : 5 : 4 (1.192)
Fire¸ ste, practic, problema se pune invers, ˆ ın sensul c˘ a d eterminˆ and
rapoartele din (1.192) ¸ si cunoscˆ and c˘ a J=3/2 rezult˘ a:
6 : 5 : 4 = ( I+ 3/2) : (I+ 1/2) : (I−1/2) (1.193)
din care se calculeaz˘ a I=9/2
Referitor la ”legea intervalelor” facem urm˘ atoarele obse rvat ¸ii:
i)Determinarea intervalelor energetice ∆ E1, ∆E2, etc. se face de regul˘ a
din determinarea energiilor tranzit ¸iilor permise ce au lo c ˆ ıntre nivelele
structurii hiperﬁne corespunz˘ atoare a dou˘ a nivele elect ronice. Tranzit ¸iile
permise corespund regulii de select ¸ie:
∆F= 0,±1 (1.194)
78

Figura 1.29
Structura hiperﬁn˘ a pentru starea D3/2(J=3/2) ¸ si I=9/2 la209Bi.
Valorile num˘ arului cuantic F sunt redate ˆ ın ﬁgur˘ a
In cazulD3/2−→S1/2cele 6 tranzit ¸ii permise sunt prezentateˆ ın ﬁgura
1.30. Din ﬁgur˘ a se constat˘ a c˘ a:
∆E1=hν1−hν2
∆E2=hν3−hν4
∆E3=hν5−hν6
Preciz˘ am c˘ a ¸ si m˘ asurarea direct˘ a a intervalelor energ etice ∆Eeste
posibil˘ a prin metode spectroscopice optice cu surse speci ale ment ¸inute
la temperaturi foarte sc˘ azute. Aceste precaut ¸ii sunt nec esare deoarece
intervalul ∆ Eeste de ordinul a 10−6eV.
ii)Regula intervalelor, exprimat˘ a de relat ¸ia (1.191) este a dev˘ arat˘ a numaiˆ ın
cazul unei interact ¸ii a momentului magnetic al nucleului c u</vectorBe>. In
cazul cˆ and nucleul are un moment cuadrupolar (paragraful 1 .8) diferit
de zero, interact ¸ia acestuia cu cˆ ampul electric (de fapt c u gradientul
cˆ ampului electric) al electronilor ”distruge” regula int ervalelor.
Din cele de mai sus a rezultat c˘ a printr-o simpl˘ a num˘ arare a nivelelor
de structur˘ a hiperﬁn˘ a (ˆ ın cazul I < J ) sau prin m˘ asurarea intervalelor
79

Figura 1.30
Structura hiperﬁn˘ a pentru D3/2¸ siS1/2¸ si tranzit ¸iile posibile
pentru ∆F= 0;±1
energetice ∆ E(ˆ ın cazulJ < I ) se poate determina num˘ arul cuantic de
spin I ¸ si deci spinul nucleului. S˘ a observ˘ am c˘ a interval ul energetic ∆ E, ˆ ın
acord cu relat ¸ia (1.190) depinde de constanta C, care la rˆ a ndul ei depinde
de valoarea induct ¸iei <Be>¸ si de momentul magnetic µI.
In ipoteza c˘ a <Be>se poate calcula teoretic din valoarea experimental˘ a
∆E, pentru valorile I ¸ si J cunoscute, se poate determina momen tul magnetic
µI. Preciz˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a determinarea teoretic˘ a a induct ¸ie i< B e>se poate
face cu precizie numai pentru sistemele atomice simple: hid rogen, atomi
hidrogenoizi, halogeni ¸ si atomii lantanidelor. In celela lte cazuri valoarea
< B e>este calculat˘ a cu o eroare relativ˘ a de aproximativ 10%, ca re se
reﬂect˘ a ¸ si ˆ ın eroarea de determinare a momentului magnet icµI. In general
momentul magnetic µIse determin˘ a cu o eroare relativ˘ a ≥10% din studiul
structurii hiperﬁne. In consecint ¸˘ a, metoda structurii h iperﬁne, prima din
punct de vedere istoric, se folose¸ ste pentru determinarea num˘ arului cuantic
de spin I ¸ si mai put ¸in pentru determinarea momentului magn etic.
De regul˘ a momentul magnetic µI, ca ¸ si num˘ arul cuantic de spin I, se
determin˘ a prin introducerea atomului corespunz˘ ator nuc leului studiat ˆ ın
cˆ ampuri magnetice exterioare. In acest caz, pe lˆ ang˘ a int eract ¸ia hiperﬁn˘ a,
are loc ¸ si interact ¸ia momentului magnetic al atomului (fo rmat din momen-
tul magnetic atˆ at al electronilor cˆ at ¸ si al nucleului) cu cˆ ampul magnetic
exterior, care poate ﬁ uniform, neuniform, de ˆ ınalt˘ a frec vent ¸˘ a, etc.
In funct ¸ie de cˆ ampul magnetic exterior folosit se deosebe sc urm˘ atoarele
80

metode de determinare a spinului ¸ si a momentului magnetic n uclear:
a)Metode bazate pe efectele Zeeman ¸ si Paschen-Back
b)Metoda devierii fasciculelor moleculare
c)Metoda rezonant ¸ei magnetice sau metoda microundelor
a) Metode bazate pe efectele Zeeman ¸ si Paschen-Back
In acest caz cˆ ampul extern de induct ¸ie B este uniform. Deoa rece ato-
mul se aﬂ˘ a ˆ ın cˆ ampul extern B, are loc atˆ at interact ¸ia mo mentului
magnetic al atomului µFcare ˆ ın esent ¸˘ a este dat de momentul mag-
netic al electronilor µJ, cu B (/vector µF/vectorB≈/vector µJ/vectorB) cˆ at ¸ si interact ¸ia hiperﬁn˘ a
ˆ ıntre/vector µI¸ si cˆ ampul</vectorBe>. In funct ¸ie de raportul dintre interact ¸iunile
/vector µJ/vectorB¸ si/vector µI</vectorBe>se deosebesc trei situat ¸ii diferite: cazul cˆ ampului
extern intens, cazul cˆ ampului extern slab ¸ si cazul cˆ ampu lui extern
intermediar.
a1) Cˆ amp exterior intens de induct ¸ie B se nume¸ ste cˆ ampul a c˘ arui
energie de interact ¸iune cu momentul magnetic /vector µJal ˆ ınveli¸ sului
electronic este mult mai mare decˆ at energia de interact ¸ie dintre
/vector µI¸ si</vectorBe>:
/vector µJ/vectorB≫/vector µI</vectorBe> (1.195)
Deoarece< B e>≈(102÷103)T ¸ siµJ/µI≈103, se obt ¸ine ca
ordin de m˘ arime a cˆ ampului intens:
B≫(10−1÷10)T (1.196)
Avˆ and ˆ ın vedere c˘ a induct ¸ia </vectorBe>este dirijat˘ a ˆ ın direct ¸ia
vectorului /vectorJ, rezult˘ a c˘ a ˆ ın cazul cˆ ampului exterior intens, mo-
mentele/vector µJ¸ si/vector µIdevin independente ˆ ın raport cu cˆ ampul extern
de induct ¸ie /vectorB. Ca urmare vectorii /vectorI¸ si/vectorJvor avea (2I+1) ¸ si respec-
tiv (2J+1) orient˘ ari diferite fat ¸˘ a de cˆ ampul exterior ¸ si ca atare,
energia de interact ¸ie, ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.183) va ﬁ:
E=EJ+EI=−B/parenleftbigg
µJmJ
J+µImI
I/parenrightbigg
=−B/parenleftbigg
−|/vector µJ|mJ
J+µImI
I/parenrightbigg
(1.197)
ˆ ın care s-a t ¸inut seama de faptul c˘ a µJ<0. Cele ment ¸ionate mai
sus sunt prezentate ˆ ın ﬁgura 1.31a)
81

Figura 1.31
a) cazul cˆ ampului extern intens; b) cazul cˆ ampului extern slab
S˘ a particulariz˘ am energia din (1.197) pentru starea fund amental˘ a
a hidrogenului atomic caracterizat˘ a de J=1/2 (starea S1/2din
punct de vedere al notat ¸iei spectroscopice) ¸ si I=1/2 pent ru care
mJ=±1/2 ¸ simI=±1/2:
E(mJ= +1/2 ;mI=−1/2) =B(|µJ|+µI)
E(mJ= +1/2 ;mI= +1/2) =B(|µJ|−µI)
E(mJ=−1/2 ;mI=−1/2) =B(−|µJ|+µI) (1.198)
E(mJ=−1/2 ;mI= +1/2) =B(−|µJ|−µI)
Deoarece|µJ|≫µIrezult˘ a c˘ a pentru atomul studiat, introdusˆ ın
cˆ amp magnetic extern intens, nivelul electronic S1/2se va despica
ˆ ın patru (sub)nivele ca ˆ ın ﬁgura 1.32 pentru care exist˘ a r elat ¸iile:
E(mJ= 1/2 ;mI=−1/2)−E(mJ= 1/2 ;mI= +1/2) =
= ∆EI= 2BµI=BµI
I
E(mJ= 1/2 ;mI=−1/2)−E(mJ=−1/2 ;mI=−1/2) =
= ∆EJ= 2B|µJ|=B|µJ|
J
(1.199)
Dup˘ a cum rezult˘ a ¸ si din acest exemplu, ca ¸ si din relat ¸ia (1.197),
diferent ¸a de energie dintre subnivelele corespunz˘ atoar e valorilor
82

Figura 1.32
Despicarea nivelului S1/2(J=1/2) ˆ ın cˆ amp magnetic extern intens
Figura 1.33
Despicarea nivelului LJal unui atom al c˘ arui nucleu are
momentul de spin I ˆ ın cˆ amp magnetic extern intens
83

vecine ale proiect ¸iilor mJ=J,J−1 ¸ si, respectiv, mI=I,I−1
este dat˘ a de relat ¸iile:
∆EJ=|µJ|
JB; ∆EI=µI
IB (1.200)
cu:
∆EJ≫∆EI (1.201)
deoarece|µJ|≫µI. Ca o consecint ¸˘ a a acestor relat ¸ii rezult˘ a
c˘ a energia de interact ¸ie este determinat˘ a, ˆ ın esent ¸˘ a , de orientarea
vectorului/vectorJfat ¸˘ a de cˆ ampul exterior, ﬁec˘ arui J corespunzˆ andu-i
(2I+1) subnivele, dup˘ a cum se constat˘ a ˆ ın ﬁgura 1.32, ˆ ın cazul
particular cu I=J=1/2 sau ˆ ın ﬁgura 1.33 pentru cazul genera lal
unui nivel cu valorile J ¸ si I. Din num˘ ararea subnivelelor ( 2I+1)
corespunz˘ atoare unei proiect ¸ii mJdate, se poate determina I iar
apoi, din diferent ¸a energetic˘ a ∆ EI(expresia 1.200) se determin˘ a
µI. Structura de subnivele din ﬁgura 1.33 exprim˘ a faptul c˘ a ˆ ın
cazul cˆ ampului extern intens numerele cuantice I ¸ si J sunt nu-
mere cuantice ”bune”. De fapt, aceast˘ a aﬁrmat ¸ie este ades ea
folosit˘ a pentru a deﬁni cˆ ampul extern intens. Fenomenul d escris
se nume¸ ste ”efect Paschen-Back”. Ment ¸ion˘ am c˘ a ˆ ın desc rierea
acestui efect a fost neglijat˘ a interact ¸ia hiperﬁn˘ a.
a2) Cˆ amp exterior slab , de induct ¸ie /vectorB, este deﬁnit de relat ¸ia:
/vector µJ/vectorB≪/vector µI</vectorBe> (1.202)
¸ si corespunde la valori B≪(10−1÷10) T.
In acest caz leg˘ atura vectorilor /vectorI¸ si/vectorJnu poate ﬁ rupt˘ a ¸ si ˆ ın
cˆ ampul exterior de induct ¸ie /vectorBse orienteaz˘ a vectorul /vectorFdeﬁnit
de expresie (1.185) , ﬁgura 1.31b), care va avea (2F+1) ori-
ent˘ ari posibile pentru ﬁecare valoare F din (1.188). Energ ia su-
plimentar˘ a care produce despicarea unui nivel cu F datˆ ın ( 2F+1)
(sub)nivele este dat˘ a ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.183), de exp resia:
EmF=−/vector µF/vectorB=−µFBmF
F(1.203)
ˆ ın caremFdeﬁne¸ ste cele (2F+1) proiect ¸ii posibile ale num˘ arului
cuantic F iar µFeste momentul magnetic al atomului, care poate
ﬁ aproximat cu µJ(µJ<0).
84

Figura 1.34
Num˘ arul total de subnivele, corespunz˘ atoare tuturor val orilor F
din (1.188) va ﬁ:
I+J/summationdisplay
|I−J|(2F+ 1) = (2J+ 1)(2I+ 1) (1.204)
Din aceast˘ a relat ¸ie rezult˘ a c˘ a dac˘ a num˘ arul cuantic J este cunos-
cut, prin num˘ ararea tuturor (sub)nivelelor (2J+1)(2I+1) se poate
determina num˘ arul cuantic I. Inﬂuent ¸a cˆ ampului exterio r slab
pentru starea fundamental˘ a S1/2a hidrogenului atomic este ilus-
trat˘ aˆ ın ﬁgura 1.34. In lipsa cˆ ampului extern, ca urmare a interact ¸iei
dintre/vector µI¸ si</vectorBe>apar nivelele de structur˘ a hiperﬁn˘ a cu F=1
¸ si F=011
Dac˘ a atomul de hidrogen este introdusˆ ıntr-un cˆ amp magne tic ex-
tern slab se ridic˘ a degenerareaˆ ın subst˘ arile cu mFdiferit ¸ si ﬁecare
stare cu F precizat se va despica ˆ ın (2F+1) subnivele; ˆ ın pa rticu-
lar trei subnivele pentru F=1 ¸ si unul pentru F=0. Num˘ arul t otal
al acestor subnivele este patru ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.204 ).
In limbaj cuantic, cˆ ampul extern slab este deﬁnit prin acee a c˘ a
num˘ arul cuantic F este un num˘ ar cuantic ”bun” iar fenomenu l
corespunz˘ ator acestui cˆ amp se nume¸ ste ”efect Zeeman”.
a3) Cˆ amp exterior intermediar -ˆ ın acest caz structura de (sub)nivele
se complic˘ a. Din punct de vedere cuantic cˆ ampul intermedi ar
11S˘ a observ˘ am faptul c˘ a ˆ ın acord cu regula de select ¸ie (1. 194) tranzit ¸ia dintre aceste
nivele este posibil˘ a dar frecvent ¸a ν0= 1420 MHz pentru aceast˘ a tranzit ¸ie este ˆ ın dome-
niul radio (hiperfrecvent ¸˘ a radio) ¸ si ca atare are o proba bilitate mic˘ a. Observarea acestei
frecvent ¸e ( λ≈21.12cm) cu ajutorul radiotelescoapelor este o dovad˘ a a existent ¸ ei hidro-
genului galactic.
85

Figura 1.35
Structura de subnivele pentru starea fundamental˘ a S1/2a
hidrogenului atomic ˆ ın funct ¸ie de intensitatea cˆ ampulu i magnetic
exterior
este deﬁnit prin faptul c˘ a nici num˘ arul cuantic F ¸ si nici n umerele
cuantice I ¸ si J nu mai sunt numere cuantice ”bune”. In partic u-
lar, structura de (sub)nivele pentru starea fundamental˘ a S1/2a
hidrogenului atomic arat˘ a ca ˆ ın ﬁgura 1.35
b) Metoda devierii fasciculelor moleculare este similar˘ a experient ¸ei
Stern-Gerlach. Esent ¸a metodei Stern-Gerlach const˘ aˆ ın utilizarea unui
cˆ amp magnetic exterior transversal cu un grad mare de neomo genitate
care s˘ a se manifeste de-a lungul dimensiunilor unui dipol m agnetic,
adic˘ a a unui atom. Ca urmare, dac˘ a un fascicul atomic trece prin
acest cˆ amp neomogen, atomii vor ﬁ deﬂectat ¸i ˆ ın funct ¸ie d e orientarea
momentului lor magnetic /vector µFfat ¸˘ a de gradientul cˆ ampului magnetic,
datorit˘ a unei fort ¸e dirijate pe direct ¸ia cˆ ampului ¸ si c u valoarea:
FZ=/vector µF∂/vectorB
∂Z=µF
¯hF/vectorF∂/vectorB
∂Z=µF∂B
∂ZmF
F(1.205)
dac˘ a cˆ ampul magnetic de induct ¸ie /vectorB¸ si gradientul s˘ au sunt ˆ ındreptate
pe direct ¸ia axei Oz. In consecint ¸˘ a atomii ies din acest cˆ amp ˆ ın st˘ ari
86

caracterizate de num˘ arul cuantic F, separate spat ¸ial ˆ ın funct ¸ie de va-
loareamF. DeoareceµF≈µJrezult˘ a c˘ aˆ ın astfel de experient ¸e deﬂexia
fasciculului este dat˘ a practic de µJ¸ si ca atare efectul ”ˆ ın deﬂexie” dat
de momentul µIeste foarte mic. Cu alte cuvinte am spune c˘ a ”efectul
nuclear” ar trebui decelat din ”fondul efectului p˘ aturilo r electroni-
ce” care este mult mai mare. De aceea pentru a ˆ ınl˘ atura aces t fond,
se folosesc nu fascicule atomice ci fascicule moleculare ˆ ı n care mo-
mentele magnetice ale electronilor se compenseaz˘ a recipr oc. Esent ¸a
metodei fasciculelor moleculare poate ﬁ ˆ ınt ¸eleas˘ a dac˘ a ne referim la
experient ¸ele lui Stern, Estermann ¸ si Frisch (1932) efect uate ˆ ın scopul
determin˘ arii momentului magnetic al protonului. In acest scop s-au
folosit fascicule moleculare de hidrogen; momentul magnet ic al aces-
tor molecule este dat de momentele magnetice ale celor doi pr otoni
¸ si ale celor doi electroni ce compun moleculele de hidrogen . Se ¸ stie
c˘ a moleculele de hidrogen pot exista atˆ at sub form˘ a de ort ohidrogen
(spinii celor doi protoni sunt paraleli) cˆ at ¸ si sub form˘ a de parahidrogen
(spinii celor doi protoni sunt antiparaleli). Metode speci ale termodi-
namice permit separarea moleculelor de ortohidrogen ¸ si pa rahidrogen.
Se efectueaz˘ a m˘ asur˘ atori atˆ at cu un fascicul de molecul e de ortohidro-
gen cˆ at ¸ si parahidrogen. Diferent ¸a rezultat˘ a se datore az˘ a diferent ¸ei
de orientare (cuplaj) a spinilor protonilor ˆ ın cele dou˘ a s ituat ¸ii ¸ si ˆ ın
consecint ¸˘ a din aceast˘ a diferent ¸˘ a se poate determina m omentul mag-
netic al protonului.
In anul 1932 se ¸ stia c˘ a electronul are spinul 1/2 ¸ si µe=
1µB, ˆ ın acord cu teoria lui Dirac. In acea perioad˘ a erau
deja cunoscute ˆ ınc˘ a dou˘ a particule, protonul ¸ si neutro nul,
ambele de spin 1/2. Exista convingerea tuturor c˘ a ¸ si acest ea
sunt particule ”Dirac” ¸ si c˘ a deci conform przicerilor ecu at ¸iei
Dirac:µp= 1µN;µn= 0. Dar iat˘ a c˘ a a ap˘ arut Otto
Stern care printre altele consider˘ a c˘ a ˆ ın ﬁzic˘ a trebuie efec-
tuate ”numai experient ¸e hot˘ arˆ atoare” adic˘ a experient ¸e care
s˘ a supun˘ a veriﬁc˘ arii toate ”aﬁrmat ¸iile” general accep tate.
In acest sens ¸ si-a propus s˘ a veriﬁce experimental aﬁrmat ¸ ia
µp= 1µN. Prietenii ˆ ıl sf˘ atuiau s˘ a nu piard˘ a timpul pentru
un experiment al c˘ arui rezultat este apriori cunoscut. Cu
atˆ at mai surprinz˘ ator a fost rezultatul obt ¸inut de Stern ¸ si
colaboratorii s˘ ai:
µp≈2.5µN
De fapt ¸ si pentru neutron ei au f˘ acut primele m˘ asur˘ atori ¸ si
87

au obt ¸inut:
µn≈−2µN
Ulterior metoda devierii fasciculelor moleculare, de¸ si d iﬁcil˘ a ¸ si impre-
cis˘ a, a fost folosit˘ a pentru determinarea momentelor mag netice ¸ si chiar
a spinului pentru alte nuclee ca potasiu, cesiu, etc.
c) Metoda rezonant ¸ei magnetice12este o metod˘ a mult mai precis˘ a,
eleborat˘ a de Rabi ˆ ın 1936 ¸ si ˆ ın care s-ar putea spune c˘ a s unt ˆ ımbinate
armonios avantajele cˆ ampului magnetic extern omogen ¸ si n eomogen.
Metoda lui Rabi permite observarea schimb˘ arii orient˘ ari i momentelor
magnetice ale moleculelor, atomilor ¸ si nucleelor ˆ ın cˆ am p magnetic ex-
tern omogen peste care este suprapus un cˆ amp electromagnet ic deˆ ınal˘ a
frecvent ¸˘ a. Schema instalat ¸iei este prezentat˘ aˆ ın ﬁgu ra 1.36. Cˆ ampurile
de induct ¸ie B1¸ siB3sunt extrem de neomogene, identice ca valoare
dar orientarea gradientului lor este opus˘ a. Din primul cˆ a mp fasciculul
atomic emis de sursa S iese deﬂectat ˆ ın st˘ ari F separate spa t ¸ial de
valoareamF, ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.205). Fasciculul este recombinat
¸ si refocalizat de cˆ ampul de gradient invers B3¸ si este ˆ ınregistrat de
detectorul D.
Traiectoria fasciculului nu este modiﬁcat˘ a dac˘ aˆ ıntre c ele dou˘ a cˆ ampuri
B1¸ siB3se introduce cˆ ampul omogen B2, deoarece∂B/∂z = 0 ¸ si deci
fort ¸aF2din (1.205) este zero.
Cˆ ampulB2omogen este suﬁcient de intens astfel ˆ ıncˆ at leg˘ atura ˆ ın tre
vectorii/vectorI¸ si/vectorJeste rupt˘ a ¸ si ﬁecare se va orienta independent fat ¸˘ a de /vectorB2
(ﬁgura 1.31 a). Energia de interact ¸ie a lui /vector µIcu/vectorB2este dat˘ a de relat ¸ia
(1.197) ¸ si ca atare pentru nuclee vom obt ¸ine energia −(/vector µI/I)B2mI
deﬁnit˘ a de proiect ¸ia mI. La echilibru termodinamic nucleele se vor g˘ asi
ˆ ın starea de energie minim˘ a −µIBcorespunz˘ atoare proiect ¸iei mI=I.
Pentru o eventual˘ a tranzit ¸ie pe prima stare ”excitat˘ a”, caracterizat˘ a
demI=I−1, este necesar˘ a energia:
∆EI=−µI
IB2((I−1)−I) =µI
IB2 (1.206)
ˆ ın acord cu energia ∆ EIdeﬁnit˘ a ˆ ın (1.200).
Aceast˘ a energie, conform relat ¸iilor din mecanica cuanti c˘ a, corespunde
frecvent ¸eiνrez:
νrez=∆EI
2π¯h=µI
2π¯hIB2=gIµN
2π¯hB2=1
2πgIe
2mpB2 (1.207)
12Este cunoscut˘ a ¸ si sub numele de metoda microundelor
88

Figura 1.36
a) schema bloc a instalat ¸iei de rezonant ¸˘ a magnetic˘ a a lu i Rabi
b) bucla de curent ce creaz˘ a cˆ ampul magnetic oscilant B4
Deci dac˘ a nucleul prime¸ ste energie ∆ EI, corespunz˘ atoare frecvent ¸ei de
rezonant ¸˘ aνrez, proiect ¸ia spinului se modiﬁc˘ a cu ∆ mI=±1 (tranzit ¸ii
permise conform regulilor de select ¸ie) ¸ si ca atare are loc reorientarea
spinului nucleului /vectorIcu valorile ∆ Iz=±¯h. In metoda Rabi aceast˘ a e-
nergie este preluat˘ a de la cˆ ampul electromagnetic de ˆ ına lt˘ a frecvent ¸ua
/vectorB4, suprapus peste cˆ ampul de induct ¸ie /vectorB2, perpendicular pe acesta
¸ si pe direct ¸ia fasciculului (cˆ ampul oscilant B4este produs cu aju-
torul unei bucle de curent ca cea din ﬁgura 1.36 b, prin care tr ece
un curent de ˆ ınal˘ a frecvent ¸˘ a13). Fire¸ ste aceast˘ a energie este preluat˘ a
la rezonant ¸˘ a, adic˘ a atunci cˆ and frecvent ¸a ν4a cˆ ampului B4coincide
cu frecvent ¸a νrezdeﬁnit˘ a de relat ¸ia (1.207). In acest caz, ca urmare
a reorient˘ arii spinului unor nuclee, cˆ ampul cu gradient i nversB3nu
mai poate recombina ¸ si focaliza ˆ ın totalitate fasciculul (fort ¸ele gen-
erate de cˆ ampurile B1¸ siB3, ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.205), sunt acum
diferite deoarece mFﬁnal difer˘ a de cel init ¸ial) ¸ si ca urmare fascicu-
lul, pentru nucleele care au suferit efectul de reorientare , va avea alt˘ a
traiectorie (linia punctat˘ a din ﬁgura 1.36 a). In consecin t ¸˘ a o parte din
fascicul nu va mai c˘ adea ˆ ın fanta detectorului; intensita tea fsciculului
scade mult cˆ and condit ¸ia de rezonant ¸˘ a este ˆ ındeplinit ˘ a. Condit ¸ia de
rezonant ¸˘ a poate ﬁ obt ¸inut˘ a ﬁe prin variat ¸ia frecvent ¸ eiν4a cˆ ampului
oscilant (ﬁgura 1.37) ﬁe prin modiﬁcarea intensit˘ at ¸ii in duct ¸ieiB2.
13din domeniul undelor radio, motiv pentru care metoda propus ˘ a de Rabi se mai nume¸ ste
¸ si ”metoda microundelor”
89

Figura 1.37
Intensitatea fasciculului ˆ ın funct ¸ie de frecvent ¸a cˆ am pului oscilant
B4
In ambele cazuri, din relat ¸ia (1.207), se determin˘ a facto rul giromag-
neticgI¸ si deci momentul magnetic µIdac˘ a este cunoscut spinul I.
Metoda rezonant ¸ei magnetice a fost folosit˘ a init ¸ial pen tru determinarea
valorii exacte a momentului magnetic al protonului ¸ si a mom entelor
magnetice ale nucleelor atomice. De asemeni, prin aceast˘ a metod˘ a, s-a
putut m˘ asura µ¸ si pentru alte particule neutre ca hiperonul Λ care are
timpul de viat ¸˘ a τ∼10−10s, g˘ asindu-se µΛ≈−0.73µN.
Metoda Rabi este de asemeni aplicabil˘ a ¸ si pentru determin area mo-
mentului magnetic al neutronului dar necesit˘ a ﬂuxuri de ne utroni
cu o mare densitate, care se obt ¸in ast˘ azi u¸ sor ˆ ın reactor ii nucleari.
Ment ¸ion˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a ˆ ın deceniul al patrulea astfel de ﬂu xuri nu puteau
ﬁ realizate a¸ sa ˆ ıncˆ at init ¸ial µna fost m˘ asurat de c˘ atre Bloch (1936)
printr-o metod˘ a cu multe aspecte originale, care reprezin t˘ a totu¸ si o
variant˘ a a metodei Rabi.
Fire¸ ste, ast˘ azi exist˘ a diferite variante ale metodei re zonant ¸ei magne-
tice, mai soﬁsticate din punct de vedere tehnic ¸ si ca atare m ai precise
dar esent ¸a ﬁzic˘ a este cea prezentat˘ a succint mai sus.
90

1.7.2 Rezultatele m˘ asur˘ arii spinilor ¸ si momentelor mag neti-
ce. Modelul uniparticul˘ a al lui Schmidt
In tabelul 1.1 sunt prezentate valorile spinilor ¸ si valori le (aproximative) ale
momentelor magnetice, pentru cˆ ateva nuclee, determinate experimental ˆ ın
acord cu metodele prezentate ˆ ın paragraful precedent.
S˘ a analiz˘ am datele din tabelul 1.1. Incepem cu nucleonii – protonul
¸ si neutronul -. Ace¸ stia au acela¸ si spin (num˘ ar cuantic d e spin) 1/2 iar
momentele lor magnetice, exprimate exact, sunt urm˘ atoare le:
µp= +2.79278µN;µn=−1.91315µN (1.208)
ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.181) pentru factorii giromagnetic i rezult˘ a:
µp=gpIpµN=1
2gpµN−→gp≈+5.58
µn=gnInµN=1
2gnµN−→gn≈−3.82 (1.209)
Semnul ”+” sau ”-” semniﬁc˘ a faptul c˘ a momentul magnetic es te paralel
(ﬁgura 1.38a), respectiv antiparalel (ﬁgura 1.38b) cu mome ntul de spin /vectorI≡
/vectorS. S-a subliniat deja faptul c˘ a valoarea obt ¸inut˘ a pentru µpa constituit un
rezultat surprinz˘ ator. S ¸i mai surprinz˘ atoare este valo area diferit˘ a de zero
a momentului magnetic pentru neutron care este o particul˘ a f˘ ar˘ a sarcin˘ a
electric˘ a. Valorile momentelor magnetice µp¸ siµnau sugerat ˆ ınc˘ a de la
ˆ ınceput ideea c˘ a aceste particule au ”structur˘ a” ¸ si dec i nu sunt ”particule
elementare”.
91

Nucleul I µI(ˆ ınµN)
1
0n 1/2 -1.91
1
1p 1/2 +2.79
2
1H 1 +0.86
3
1H 1/2 +3.00
3
2He 1/2 -2.10
4
2He 0 0.
6
3Li 1 +0.80
7
3Li 3/2 +3.20
9
4Be 3/2 -1.20
10
5B 3 +1.80
12
6C 0 0.
13
6C 1/2 +0.70
14
7N 1 +0.40
15
7N 1/2 -0.28
16
😯 0 0.
36
17Cl 2 +1.30
115
49In 9/2 +5.50
209
82Pb 0 0.
209
83Bi 9/2 +4.00
Astfel, dac˘ a consider˘ am c˘ a neutronul este alc˘ atuit din tr-o sarcin˘ a pozi-
92

Figura 1.38
Orientarea momentului de spin /vectorS=/vectorI¸ si a momentului magnetic
pentru proton (p) ¸ si pentru neutron (n) ˆ ıntr-o imagine cla sic˘ a
tiv˘ a central˘ a ¸ si una egal˘ a cu ea dar negativ˘ a, distribu it˘ a periferic, atunci un
astfel de sistem, aﬂat ˆ ın mi¸ scare de rotat ¸ie ˆ ın jurul axe i proprii, va avea un
moment magnetic negativ. Aceast˘ a aﬁrmat ¸ie rezult˘ a imed iat din deﬁnit ¸ia
clasic˘ a a momentului magnetic dipolar µ=S I, ˆ ın care I este curentul
(acela¸ si) iar S este suprafat ¸a traiectoriei ˆ ınchise a sa rcinilor negative, mai
mare decˆ at suprafat ¸a traiectoriei ˆ ınchise a sarcinilor pozitive.
In mod similar, introducˆ and o sarcin˘ a pozitiv˘ a periferi c˘ a, se poate explica
valoarea anomal de mare a momentului magnetic al protonului . S˘ a observ˘ am
c˘ a abaterile momentelor magnetice ale protonului ¸ si neut ronului fat ¸˘ a de
valorile prezise de teoria Dirac ( µD
p=µN¸ siµD
n= 0):
∆µn=µn−µD
n≈−1.91µN
∆µp=µp−µD
p≈+1.79µN (1.210)
sunt aproape egale ˆ ın valoare absolut˘ a, ceea ce indic˘ a na tura similar˘ a a
sarcinilor periferice. Aceste constat˘ ari au dus la conclu zia (paragraful 2.3)
c˘ a aceste sarcini periferice formeaz˘ a un ”nor virtual” de mezoniπ−pentru
neutroni (n−→pD+π−) ¸ si de mezoni π+pentru protoni ( p−→nD+π+),
mezoni ce sunt emi¸ si ¸ si absorbit ¸i continuu asigurˆ and as tfel interact ¸iunea
dintre nucleoni ¸ si deci existent ¸a fort ¸elor nucleare. Cu alte cuvinte se aﬁrm˘ a
c˘ a protonul ¸ si neutronul ar ﬁ avut momentele magnetice pre zise de teoria
lui Dirac dac˘ a n-ar ﬁ existat interact ¸iile hadronice (nuc leare, tari). Ca ur-
93

mare ”norul mezonic” ˆ ınvele¸ ste cel put ¸in un timp nucleon ii de tip Dirac.
Aceste idei au fost ulterior conﬁrmate – ˆ ın linii mari – de ex perient ¸ele de
ˆ ımpr˘ a¸ stiere a electronilor de sute de MeV pe nucleoni, ef ectuate de Hofs-
tadter (1960), Littauer (1961), etc. Din aceste experient ¸ e (paragraful 1.3)
a rezultat densitatea radial˘ a de sarcin˘ a pentru proton ¸ s i neutron ar˘ atat˘ a ˆ ın
ﬁgura 1.39 (curbele continui). Aceste densit˘ at ¸i de sarci n˘ a, pentru a ﬁ ˆ ın
acord cu mai multe rezultate experimentale, pot ﬁ interpret ate ca rezultˆ and
din distribut ¸iile de sarcin˘ a a), b) ¸ si c) (curbeleˆ ıntre rupte din ﬁgura 1.39) ast-
fel: ˆ ın zona central˘ a de raz˘ a r1≈0.2 F este distribuit˘ a (curba a) o sarcin˘ a
pozitiv˘ aq1≈0.35e; ˆ ın zona de raz˘ a r2≈0.8F (curba b) este distribuit
”norul” de sarcini q2= +0.5esauq2=−0.5e, dup˘ a cum avem de-a face cu
proton sau neutron iar ˆ ın regiunea de raz˘ a r3≈1.4F este distribuit˘ a sarcina
q3≈0.15e. Evident sarcinile q 1, q2 ¸ si q 3 sunt astfel ˆ ıncˆ at:
pentru proton: q1+q2+q3=e
pentru neutron: q1+q2+q3= 0 (1.211)
iar raza medie p˘ atratic˘ a deﬁnit˘ a conform relat ¸iei:
<r2>=1
e(q1r2
1+q2r2
2+q3r2
3) (1.212)
are valorile: /radicalBig
<r2p>≈0.8F;/radicalBig
<r2n>≈0 (1.213)
ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.73).
Trebuie s˘ a subliniem faptul c˘ a ”imaginea” de mai sus pentr u proton
sau neutron, rezultat˘ a din experient ¸ele de ˆ ımpr˘ a¸ stie re a electronilor, este
corect˘ a dac˘ a se admite ipoteza c˘ a legile electrodinamic ii clasice sunt valabile
la distant ¸e r0≤0.1 F. Dac˘ a se renunt ¸˘ a la aceast˘ a ipotez˘ a rezultatele ace s-
tor experient ¸e pot avea ¸ si alte interpret˘ ari. Indiferen t ˆ ıns˘ a de interpretare,
aceste experient ¸e au ar˘ atat c˘ a protonul ¸ si neutronul au o ”structur˘ a” ˆ ın lu-
mina c˘ areia se potˆ ınt ¸elege valorile ”anomale” ale momen telor lor magnetice,
deﬁnite ˆ ın relat ¸ia (1.208). In plus aceste experient ¸e au generat conceptele
de baz˘ a care fundamenteaz˘ a natura fort ¸elor nucleare (pa ragraful 2.3).
In continuare s˘ a analiz˘ am valorile spinilor ¸ si momentel or magnetice ale
celorlalte nuclee prezentate ˆ ın tabelul 1.1. Se constat˘ a urm˘ atoarele:
a)Momentele magnetice dipolare ale nuclelor cu I=0 sunt de ase meni zero.
Se veriﬁc˘ a astfel rezultatul cuantic exprimat de relat ¸ia (1.177) care
arat˘ a c˘ a momentul magnetic este proport ¸ional cu momentu l de spin
94

Figura 1.39
Densitatea radial˘ a de sarcin˘ a pentru proton (a) ¸ si pentr u
neutron (b)
b)Momentele magnetice ale nucleelor cu I/ne}ationslash= 0 au valori comparabile cu va-
loarea momentului nuclear µN. Exist˘ a deci un ”efect de compensare”
al momentelor magnetice dipolare similar cu efectul de comp ensare al
spinilor (paragraful 1.5). Efectul de compensare poate ﬁ ur m˘ arit ˆ ın
cazul nucleelor u¸ soare cu A impar. Nucleul de tritiu3
1Hare spinul
1/2 ¸ si momentul magnetic de aproximativ 3 µN. Aceste valori se obt ¸in
din spinii ¸ si momentele magnetice ale celor doi neutroni ¸ s i ale pro-
tonului, dac˘ a le compunem ˆ ın ipoteza c˘ a spinii celor doi n eutroni sunt
antiparaleli ¸ si se compenseaz˘ a reciproc. In acest caz ¸ si momentele mag-
netice ale celor doi neutroni se compenseaz˘ a reciproc, ca a tare spinul
¸ si momentul magnetic al nucleului de tritiu sunt determina te de spinul
¸ si momentul magnetic al protonului (impar) neˆ ımperechea t. Analog
stau lucrurile ˆ ın cazul nucleului3
2He, spinul ¸ si momentul magnetic
sunt date de valorile corespunz˘ atoare ale neutronului neˆ ımperecheat
(I=1/2 ;µHe≈−1.91µN). Nucleul urm˘ ator4
2Heprezint˘ a efectul de
compensare ¸ si pentru perechea de protoni ¸ si pentru cea de n eutroni.
Din aceste exemple rezult˘ a c˘ a propriet˘ at ¸ile nucleelor par-impare sau
impar-pare sunt date de nucleonul neˆ ımperecheat (impar). Ca ur-
mare, rezult˘ a c˘ a propriet˘ at ¸ile nucleelor impar-impar e vor ﬁ deﬁnite de
propriet˘ at ¸ile protonului ¸ si neutronului impar. Cel mai simplu nucleu
impar-impar este deuteronul format dintr-un proton ¸ si un n eutron.
Spinul 1 ¸ si momentul magnetic ≈0.86µNale deuteronului se obt ¸in
95

numai pentru orientarea paralel˘ a a spinilor protonului ¸ s i neutronului.
Faptul c˘ a nu exist˘ a un nucleu stabil format dintr-un proto n ¸ si un neu-
tron avˆ and spinii orientat ¸i antiparalel conduce la ideea dependent ¸ei de
spin a fort ¸elor nucleare.
Constat˘ arile de mai sus ne conduc la ideea c˘ a spinul ¸ si mom entul mag-
netic ale nucleelor par-impare ¸ si impar-pare sunt determi nate de nucleonul
impar, neˆ ımperecheat. Nucleonul nepereche poate ﬁ imagin at ca mi¸ scˆ andu-
seˆ ın jurul p˘ art ¸ii r˘ amase din nucleu, care este format˘ a dintr-un num˘ ar par de
nucleoni ¸ si care are momentul magnetic ¸ si de spin egale cu z ero. Un aseme-
nea model simpliﬁcat ”mononucleonic” a fost studiat de c˘ at re Schmidt ˆ ın
anul 1937, conform c˘ aruia propriet˘ at ¸ile nucleului, ˆ ın particular spinul ¸ si mo-
mentul magnetic, sunt determinate de propriet˘ at ¸ile nucl eonului impar.
In acord cu aceast˘ a ipotez˘ a, momentul cinetic I al nucleul ui, conform
relat ¸iei (1.123) sau (1.125) devine:
/vectorI=/vectorl+/vectorS (1.214)
Asociind ﬁec˘ arui moment cinetic un moment magnetic, ˆ ın co nformitate cu
relat ¸ia (1.182) rezult˘ a:
/vector µI=1
¯hgIµN/vectorI=1
¯hglµN/vectorl+1
¯hgSµN/vectorS (1.215)
ˆ ın caregleste factorul giromagnetic corespunz˘ ator mi¸ sc˘ arii orb itale; acesta
este egal cu 1 pentru proton (ceea ce rezult˘ a din compararea relat ¸iilor 1.173
¸ si 1.176) ¸ si este egal cu 0 pentru neutron. Avˆ andˆ ın veder e ¸ si relat ¸iile (1.209)
factorii giromagnetici au urm˘ atoarele valori:
g(p)
s∼=5.58g(n)
s∼=−3.82
g(p)
l= 1g(n)
l= 0 (1.216)
In cazul unui nulceu cu A nucleoni, dintre care Z sunt pro-
toni, momentul magnetic al nucleului de spin I este deﬁnit, c a o
generalizare a relat ¸iei (1.215), de expresia:
/vector µI=1
¯hgIµN/vectorI=1
¯hg(p)
lµNZ/summationdisplay
i=1/vectorli+1
¯hg(p)
SµNZ/summationdisplay
i=1/vectorSi+1
¯hg(n)
SµNA−Z/summationdisplay
i=1/vectorSi
(1.217)
96

Figura 1.40
Momentele magnetice dipolare ale nucleelor a) par-impare ( Z
par ¸ si N impar) ¸ si ale nucleelor b) impar-pare (Z impar ¸ si N par)
ˆ ın funct ¸ie de num˘ arul cuantic de spin I
97

Multiplicˆ and relat ¸ia (1.215) cu I, se obt ¸ine pentru fact orulgIexpresia:
gI=(/vectorl/vectorI)gl+ (/vectorS/vectorI)gS
|/vectorI|2=1
|/vectorI|2/parenleftBigg
gl|/vectorI|2+|/vectorl|2−|/vectorS|2
2+gS|/vectorI|2+|/vectorS|2−|/vectorl|2
2/parenrightBigg
(1.218)
Folosind relat ¸iile (1.177), (1.120) ¸ si (1.126) rezult˘ a ;
gI=glI(I+ 1) +l(l+ 1)−S(S+ 1)
2I(I+ 1)+gSI(I+ 1) +S(S+ 1)−l(l+ 1)
2I(I+ 1)
(1.219)
ˆ ın care num˘ arul cuantic de spin I poate lua valorile:
I=l±1
2(1.220)
Momentul mgnetic al nucleului, ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.181 ) ¸ si t ¸inˆ and cont
de (1.219) ¸ si (1.220) este deﬁnit de relat ¸iile:
µI=gIµNI=

/parenleftBig
(I−1
2)gl+1
2gS/parenrightBig
µN pentruI=l+1
2
/parenleftBig
(I+3
2)gl−1
2gS/parenrightBig
I
I+1µNpentruI=l−1(1.221)
In cazul ˆ ın care nucleonul impar este un neutron, respectiv , un proton,
momentele magnetice corespunz˘ atoare µ(n)
I¸ siµ(p)
I, avˆ and ˆ ın vedere (1.216)
vor ﬁ:
µ(n)
I=/braceleftBigg
−1.91µN
1.91I
I+1µNµ(p)
I=/braceleftBigg
(I+ 2.29)µN pentruI=l+1
2
(I−1.29)I
I+1µNpentruI=l−1
2
(1.222)
Folosind aceste relat ¸ii se poate calcula µpentru orice nucleu impar dac˘ a
este cunoscut spinul I ¸ si orientarea reciproc˘ a a spinului ¸ si momentului or-
bital pentru nucleonul impar; aceste calcule vor ﬁ efectuat e ˆ ın paragraful
3.2.3.5. Rezultatul acestor calcule este prezentat ˆ ın ﬁgu ra 1.40 sub forma
unor curbe continui numite ”curbele lui Schmidt”; ˆ ın ﬁgur˘ a sunt reproduse
¸ si valorile experimentale pentru momentele magnetice ale nucleelor impare.
Este evident c˘ a dac˘ a ipoteza uninucleonic˘ a ar reﬂecta ˆ ı n totalitate situat ¸ia
real˘ a atunci valorile experimentale ale momentelor magne tice ar trebui s˘ a
se aﬂe pe curbele Schmidt. Faptul c˘ a aproape toate valorile momentelor
magnetice experimentale (except ¸ie fac nucleele3
1H,3
2He,13
6C¸ si14
7N) se aﬂ˘ a
ˆ ıntre valorile deﬁnite de curbele Schmidt este o dovad˘ a a c orectitudinii de
fond a ipotezei uniparticul˘ a (uninucleonice) dar ¸ si limi t˘ arile acesteia.
98

Figura 1.41
Sistemul de coordonate folosit pentru determinarea potent ¸ialului
creat de sistemul de sarcini Ze localizate ˆ ın spat ¸iu (supr afat ¸a
m˘ arginit˘ a de curba continu˘ a) ˆ ın punctul A deﬁnit de vect orul/vector r;
originea sistemului se aﬂ˘ a ˆ ın centrul de inert ¸ie al sarci nilor
1.8 Momentele electrice ale nucleului
Momentele electrice sunt determinate de distribut ¸ia sarc inilor ˆ ın interiorul
nucleului pe cˆ and momentele magnetice sunt determinate de distribut ¸ia
curent ¸ilor ˆ ın interiorul nucleului. Momentele electric e ¸ si magnetice deﬁnesc
ˆ ın totalitate interact ¸ia nucleului cu cˆ ampurile electr ice ¸ si magnetice ex-
terne ˆ ın m˘ asura ˆ ın care aceste cˆ ampuri nu produc modiﬁc˘ ari ale distribut ¸iei
sarcinilor ¸ si curent ¸ilor ˆ ın interiorul nucleului.
Momentele electrice se deduc din observat ¸ia c˘ a potent ¸ia lul electrostatic
ΦAcreat de un sistem de sarcini Ze cu simetrie sferic˘ a, ˆ ıntr- un punct A
deﬁnit de vectorul de pozit ¸ie /vector r, fat ¸˘ a de centrul de inert ¸ie al sarcinilor, difer˘ a
de potent ¸ialul creat ˆ ın acela¸ si punct de acela¸ si sistem de sarcini dar care
au o distribut ¸ie nesferic˘ a oarecare (ﬁgura 1.41). Punctu l A este situat la o
distant ¸˘ a mare de volumul ˆ ın care sunt localizate sarcini le.
Pentru a demonstra acest lucru s˘ a presupunem c˘ a densitate a de volum
̺(/vector r′) a sarcinilor electrice Ze este o funct ¸ie continu˘ a de /vector r′(x′,y′,z′)≡/vector r′(r′,θ′,ϕ′).
In acest caz potent ¸ialul dΦAcreat ˆ ın punctul A de sarcina dq aﬂat˘ a ˆ ın
99

volumuldτ′din jurul punctului deﬁnit de vectorul de pozit ¸ie /vector r′este:
dΦA=1
4πε0dq
|/vector r−/vector r′|=1
4πε0̺(/vector r′)dτ′
|/vector r−/vector r′|=1
4πε0̺(/vector r′)dτ′
r/radicalBig
1 + (r′
r)2−2r′
rcosα
(1.223)
Deoarecer′/r≪1 rezult˘ a c˘ a x deﬁnit de relat ¸ia:
x= 2r′
rcosα−(r′
r)2(1.224)
este o m˘ arime mic˘ a a¸ sa ˆ ıncˆ at radicalul din relat ¸ia (1. 223) se poate dezvolta
ˆ ın serie conform relat ¸iei:
(1−x)−1/2= 1 +1
2x+3
8×2+··· (1.225)
PentrudΦAse obt ¸ine:
dΦA=1
4πε0̺(/vector r′)dτ′
r/parenleftbigg
1 +r′
rcosα+1
2(r′
r)2(3cos2α−1) +···/parenrightbigg
dΦA=1
4πε0̺(/vector r′)dτ′
r/parenleftbigg
1 +r′
rP1(cosα) + (r′
r)2P2(cosα) +···/parenrightbigg
(1.226)
dΦA=1
4πε0̺(/vector r′)dτ′
r/summationdisplay
l=0(r′
r)lPl(cosα)
ˆ ın careP1sunt polinoamele Legendre de ordin 1. Din relat ¸ia de mai sus
rezult˘ a pentru potent ¸ialul Φ A(r) expresia:
ΦA(r) =1
4πε0r/summationdisplay
l=0Ql
rl(1.227)
unde:
Ql=/integraldisplay
r′l̺(/vector r′)Pl(cosα)dτ′(1.228)
ˆ ın care integrarea se face pe tot volumul spat ¸ial ˆ ın care s unt localizate
sarcinile.
Coeﬁcient ¸ii Q1, care depind de structura distribut ¸iei ̺(/vector r′), deﬁnesc mo-
mentele distribut ¸iei de sarcin˘ a pentru direct ¸ia deﬁnit ˘ a de vectorul /vector rˆ ın spat ¸iu.
Semniﬁcat ¸ia lor este urm˘ atoarea:
Q0=/integraldisplay
̺(/vector r′)dτ′=q0=Ze (1.229)
100

se nume¸ ste monopolul electric ¸ si reprezint˘ a sarcina tot al˘ a a distribut ¸iei.
Q1=/integraldisplay
r′̺(/vector r′)P1(cosα)dτ′=d (1.230)
deﬁne¸ ste momentul dipolar. Coeﬁcientul Q2deﬁne¸ ste, pˆ an˘ a la factorul e/2,
momentul cuadrupolar Q, dat de expresia:
Q2=/integraldisplay
r′2̺(/vector r′)P2(cosα)dτ′=e
2Q (1.231)
Coeﬁcient ¸ii Qlcul >2 deﬁnesc momentele de octupol (l=3), hexadecapol
(l=4) etc. In cazul nucleului un rol deosebitˆ ıl au momentel e electrice pentru
l≤2 de care ne vom ocupa ˆ ın continuare.
a) Momentul monopolar deﬁne¸ ste efectul global al sarcinii totale a
nucleului, ﬁind o proprietate integral˘ a a nucleului. Aces t moment d˘ a o
reprezentare a num˘ arului de protoni din nucleu, a m˘ arimii potent ¸ialului
coulombian ˆ ıntr-un punct oarecare ¸ si determin˘ a proprie t˘ at ¸ile chimice ale
nucleului. Intr-adev˘ ar potent ¸ialul Φ0
A(r) creat ˆ ın punctul A numai de mo-
mentul monopolar, ˆ ın acord cu expresia (1.227) este dat de r elat ¸ia:
Φ0
A(r) =1
4πε0Ze
r(1.232)
In continuare se va demonstra c˘ a dac˘ a distribut ¸ia de sarc ini̺(/vector r′) are
simetrie sferic˘ a, momentele electrice pentru l≥1 sunt zero ¸ si ca atare
potent ¸ialul ˆ ın punctul A va ﬁ total deﬁnit de relat ¸ia (1.2 32).
Momentul monopolar (sarcina total˘ a) nu furnizeaz˘ a nicio proprietate
electric˘ a a nucleului dependent˘ a de distribut ¸ia proton ilor (sarcinilor) ˆ ın nu-
cleu ¸ si ca atare descrie incomplet nucleul din punct de vede re electric.
b) Momentul dipolar este o caracteristic˘ a electric˘ a mai complet˘ a; este
deﬁnit de relat ¸ia (1.230) care mai poate ﬁ transcris˘ a astf el:
d=/integraldisplay
r′̺(/vector r′)cosαdτ′(1.233)
Introducˆ and ˆ ın aceast˘ a expresie:
cosα=/vector r/vector r′
rr′=1
rr′(x′x+y′y+zz′) =
= sinθ′cosϕ′sinθcosϕ+sinθ′sinϕ′sinθsinϕ+ cosθ′cosθ(1.234)
pentru momentul dipolar se obt ¸ine:
101

Figura 1.42
Distribut ¸ia sarcinilor Ze ˆ ıntr-un nucleu ce prezint˘ a si metrie de
rotat ¸ie ˆ ın jurul axei Oz
d=/integraldisplay
r′̺(r′,θ′,ϕ′) (sinθ′cosϕ′sinθcosϕ+
+sinθ′sinϕ′sinθsinϕ+ cosθ′cosθ)r′2sinθ′dr′dθ′dϕ′(1.235)
Relat ¸ia (1.235) este general valabil˘ a. Dac˘ a ˆ ın particu lar nucleul prezint˘ a
simetrie de rotat ¸ie ˆ ın jurul axei Oz (ﬁgura 1.42), dirijat ˘ a pe direct ¸ia mo-
mentului de spin /vectorIal nucleului, densitatea de sarcin˘ a ̺(/vector r′) =̺(r′,θ′,ϕ′) nu
depinde de unghiul ϕ′(simetrie azimutal˘ a) ¸ si ca atare:
̺(/vector r′) =̺(r′,θ′) (1.236)
In acest caz, integrˆ and relat ¸ia (1.235) dup˘ a unghiul ϕ′se obt ¸ine:
d= cosθ/integraldisplay
r′̺(/vector r′)cosθ′dτ′=d0cosθ (1.237)
ˆ ın cared0este momentul dipolar deﬁnit fat ¸˘ a de axa Oz (dirijat˘ a pe d irect ¸ia
spinului/vectorI) a distribut ¸iei de sarcin˘ a. Momentul d0se poate deﬁni ¸ si ca
momentul dipolar maxim; uzual d0numindu-se ”moment dipolar intrinsec”.
102

Contribut ¸ia Φ1
A(r) a momentului dipolar la potent ¸ialul Φ Ava ﬁ:
Φ1
A(r) =1
4πε0d
r2=1
4πε0d0cosθ
r2(1.238)
Potent ¸ialul Φ1
Aeste de asemeni maxim pentru θ= 0, care corespunde
situat ¸iei ˆ ın care punctul A se g˘ ase¸ ste pe axa de simetrie a distribut ¸iei de
sarcin˘ a.
In continuare vom demonstra c˘ a momentul dipolar intrinsec al nucle-
ului ˆ ıntr-o stare cu paritate bine deﬁnit˘ a, deci ˆ ıntr-o s tare nedegenerat˘ a,
este zero. Vom observa mai ˆ ıntˆ ai c˘ a ˆ ın nucleu nu exist˘ a s arcini distribuite
continuu ci exist˘ a Z protoni care, din punct de vedere clasi c, sunt sarcini
punctiforme ce au deci o distribut ¸ie discret˘ a. Din punct d e vedere cuantic
se introduce not ¸iunea de ”densitate de probabilitate”. Pe ntru a determina
aceast˘ a densitate de probabilitate vom accepta ideea c˘ a d ensitatea de volum
de sarcin˘ a dat˘ a de al i-lea proton din nucleu poate ﬁ reprez entat˘ a sub forma:
̺(/vector r′
i) =ePi(/vector r′
i) (1.239)
ˆ ın carePieste probabilitatea de a g˘ asi protonul i ˆ ın punctul /vector r′
i¸ si se exprim˘ a
prin funct ¸ia de und˘ a Ψ( /vector r′
1,/vector r′
2,…/vector r′
A) a sistemului prin relat ¸ia :
Pi(/vector r′
i) =/integraldisplay
|Ψ(/vector r′
1,/vector r′
2,…/vector r′
A)|2d/vector r′
1d/vector r′
2…d/vector r′
i−1d/vector r′
i+1…d/vector r′
A (1.240)
ˆ ın care integrala se efectueaz˘ a pe toate valorile /vector r′
kcu except ¸ia /vector r′
i, ceea ce
semniﬁc˘ a faptul c˘ a tot ¸i nucleonii se pot g˘ asi ˆ ın tot vol umul nucleului cu
except ¸ia protonului ”i” care este localizat. Rezult˘ a c˘ a momentul dipolar
intrinsec deﬁnit de al i-lea proton va ﬁ :
d0i=/integraldisplay
ePi(/vector r′
i)(r′cosθ′)d/vector r′
i=e/integraldisplay
ζ′
i|Ψ|2d/vector r′
1d/vector r′
2…d/vector r′
i…d/vector r′
A(1.241)
iar contribut ¸ia tuturor protonilor va deﬁni momentul d0:
d0=Z/summationdisplay
i=1d0i=Z/summationdisplay
i=1e/integraldisplay
ζ′
i|Ψ(/vector r′
1,/vector r′
2,…/vector r′
A)|2d/vector r′
1d/vector r′
2…d/vector r′
i…d/vector r′
A(1.242)
ˆ ın care integrala se face pe tot volumul nucleului.
Deoarece pentru o stare nedegenerat˘ a legea conserv˘ arii p arit˘ at ¸ii implic˘ a
condit ¸ia:
|Ψ(/vector r′
1,/vector r′
2,…/vector r′
A)|2=|Ψ(−/vector r′
1,−/vector r′
2,…−/vector r′
A)|2(1.243)
103

iarζ′este o funct ¸ie impar˘ a, rezult˘ a c˘ a prin oglindirea siste mului de coordo-
nate (supunere la paritate) se obt ¸ine relat ¸ia:
d0=−d0 (1.244)
care arat˘ a c˘ a momentul dipolar intrinsec al nucleului ˆ ın tr-o stare nedegene-
rat˘ a este zero.
In particular, starea fundamental˘ a a oric˘ arui nucleu, cu condit ¸ia ca cen-
trul s˘ au de inert ¸ie s˘ a ﬁe ˆ ın repaus, este o stare nedegene rat˘ a ¸ si ca urmare
momentul dipolar intrinsec al nucleului ˆ ın starea fundame ntal˘ a este zero.
A¸ sadar, valoarea zero a momentului dipolar ˆ ıntr-o stare n edegenerat˘ a este
o dovad˘ a a faptului c˘ a are loc legea de conservare a parit˘ a t ¸ii.
Acest rezultat, intuitiv, este ﬁresc din urm˘ atoarele moti ve. Reamintim
c˘ a, din punct de vedere clasic, dipolul electric este, prin deﬁnit ¸ie, un sistem
de dou˘ a sarcini egale ”q” dar de semn opus, care se g˘ asesc la o distant ¸˘ a
oarecare ”l”. Momentul dipolar se deﬁne¸ ste ca ﬁind d0=ql(ﬁgura 1.43a).
Dipolul electric poate ﬁ constituit ¸ si dintr-o sarcin˘ a po zitiv˘ a (negativ˘ a) ¸ si
una nul˘ a, deoarece un astfel de sistem introdus ˆ ıntr-un cˆ amp electric, va
manifesta propriet˘ at ¸ile unui dipol, orientˆ andu-se dup ˘ a direct ¸ia cˆ ampului
electric, ˆ ın sensul c˘ a sarcina pozitiv˘ a (negativ˘ a) se v a deplasa ˆ ın raport
cu centrul de inert ¸ie al dipolului.
In particular, ˆ ın cazul nucleului, dac˘ a centrul de inert ¸ ie al protonilor
difer˘ a de cel al neutronilor (ﬁgura 1.43b) atunci apare un d ipol electric
d0=Zel. In acest caz ˆ ıns˘ a nucleul ar ﬁ nesimetric ˆ ın raport cu ope rat ¸ia de
oglindire.
Deci dac˘ a are loc conservarea parit˘ at ¸ii, trebuie ca cent rul de inert ¸ie al
protonilor ¸ si neutronilor s˘ a coincid˘ a, ceea ce implic˘ a l=0 ¸ si deci d0= 0.
Concluzii similare sunt adev˘ arate ¸ si ˆ ın cazul particule lor e-
lementare. Presupunem c˘ a o particul˘ a elementar˘ a de mome nt
cinetic intern /vectorSare momentul dipolar /vectord0. Atunci, ˆ ın acord cu
relat ¸ia (1.237), momentul /vectord0este dirijat pe direct ¸ia axei Oz care
coincide cu direct ¸ia momentului de spin ¸ si deci:
/vectord0=a/vectorS (1.245)
ˆ ın care ”a” este un coeﬁcient de proport ¸ionalitate. Deoar ece/vectord0
este un vector polar iar /vectorSeste un vector axial, prin operat ¸ia de
inversie spat ¸ial˘ a (conservarea parit˘ at ¸ii) rezult˘ a r elat ¸ia:
−/vectord0=a/vectorS (1.246)
104

Figura 1.43
Sistemul de dou˘ a sarcini egale ”q” dar de semn opus, care se
g˘ asesc la distant ¸a ”l”, formeaz˘ a din punct de vedere clas ic
dipolul electric d0=ql
Relat ¸iile (1.245) ¸ si (1.246) au sens numai dac˘ a a=0, adic ˘ a
particula respectiv˘ a nu are moment dipolar dac˘ a are loc co n-
servarea parit˘ at ¸ii. S˘ a observ˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a aﬁrmat ¸ia i nvers˘ a nu
este adev˘ arat˘ a deoarece egalitatea a=0 are loc nu numai pr in re-
spectarea legii de conservare a parit˘ at ¸ii ci ¸ si la invari ant ¸a fat ¸˘ a
de inversia temporal˘ a. Prin act ¸iunea operatorului T de in versie
temporal˘ a (relat ¸iile (1.151) se obt ¸ine:
/vectord0=−a/vectorS (1.247)
relat ¸ie care are sens ˆ ımpreun˘ a cu relat ¸ia (1.245) numai dac˘ a
a=0.
Prin act ¸iunea simultan˘ a a operatorilor P ¸ si T expresia (1 .245)
devine:
−/vectord0=−a/vectorS (1.248)
A¸ sadar momentul dipolar al unei particule poate ﬁ diferit d e zero
prin nerespectarea simultan˘ a a invariant ¸ei la inversia s pat ¸ial˘ a
(P) ¸ si a invariant ¸ei la inversia temporal˘ a (T) dar prin co nser-
varea invariant ¸ei PT.
Aceast˘ a circumstant ¸˘ a a f˘ acut ca momentul dipolar al par ticu-
lelor (ca ¸ si al nucleelor) s˘ a devin˘ a ”piatra de ˆ ıncercar e” pentru
105

veriﬁcarea invariant ¸ei temporale T. De aici ¸ si interesul manife-
stat ˆ ın ultimul timp pentru m˘ asurarea cˆ at mai exact˘ a a mo men-
tului dipolar
c) Momentul cvadrupolar ˆ ın acord cu deﬁnit ¸ia din (1.231) ˆ ın care:
P2(cosα) =1
2(3cos2α−1) (1.249)
este dat de expresia:
Q=1
e/integraldisplay
r′2̺(/vector r′)(3cos2α−1)dτ′(1.250)
¸ si are dimensiuni de suprafat ¸˘ a. Deoarece ˆ ın ﬁzica nucle ar˘ a ca unitate de
suprafat ¸˘ a se ia aria de 10−28m2care se nume¸ ste barn (b):
1b= 10−28m2(1.251)
¸ si momentul cvadrupolar se va m˘ asura ˆ ın barni14.
Substituind cos αdin (1.234) ˆ ın relat ¸ia (1.250) ¸ si integrˆ and pe ϕ′cu
condit ¸ia (1.236) rezult˘ a relat ¸iile:
/integraldisplay
̺(/vector r′) cos2αdτ′=
= 2π/integraldisplay
̺(r′,θ′)/parenleftbigg1
2sin2θ′sin2θcos2ϕ+1
2sin2θ′sin2θsin2ϕ+ cos2θ′cos2θ/parenrightbigg
r′2dr′sinθ′dθ′
= 2π/integraldisplay
̺(r′,θ′)/parenleftbigg1
2sin2θ′sin2θ+ cos2θ′cos2θ/parenrightbigg
r′2dr′sinθ′dθ′(1.252)
=/integraldisplay
̺(/vector r′)(1
2sin2θ′sin2θ+ cos2θ′cos2θ)dτ′
3cos2α−1 =3
2sin2θ′sin2θ+ 3cos2θ′cos2θ−1 =
=3
2(1−cos2θ′)(1−cos2θ) + 3cos2θ′cos2θ−1 =
=1
2−3
2cos2θ′−3
2cos2θ+9
2cos2θ′cos2θ= (1.253)
14Preciz˘ am faptul c˘ a uneori momentul cvadrupolar este deﬁn it ca ˆ ın relat ¸ia (1.250) f˘ ar˘ a
a ﬁ ˆ ımp˘ art ¸it la sarcina elementar˘ a e. Fire¸ ste ˆ ın acest caz Q va avea dimensiunea unui
produs dintre sarcina electric˘ a ¸ si suprafat ¸˘ a.
106

=1
2(3cos2θ′−1)(3cos2θ−1)
Cu aceste relat ¸ii Q din expresia (1.250) devine:
Q=1
2e(3cos2θ−1)/integraldisplay
r′2̺(/vector r′) (3cos2θ′−1)dτ′=3cos2θ−1
2Q0(1.254)
cu :
Q0=1
e/integraldisplay
r′2̺(/vector r′) (3cos2θ′−1)dτ′=1
e/integraldisplay
̺(/vector r′) (3z′2−r′2)dτ′(1.255)
ˆ ın careQ0este deﬁnit fat ¸˘ a de axele proprii ale nucleului. Se consta t˘ a c˘ a
momentul Q deﬁnit pentru direct ¸ia /vector rdevine maxim ¸ si egal cu Q0pentru
θ= 0, adic˘ a direct ¸ia deﬁnit˘ a de vectorul /vector rcoincide cu axa de simetrie Oz
a distribut ¸iei. Valoarea maxim˘ a a lui Q (deci Q0) se nume¸ ste ”moment
cvadrupolar intrinsec” al nucleului.
Pentru a stabili semniﬁcat ¸ia ﬁzic˘ a a momentului cvadrupo larQ0s˘ a cal-
cul˘ am valoarea acestuia pentru un nucleu de forma unui elip soid de rotat ¸ie
cu semiaxele a (care coincide cu axa Oz) ¸ si b ¸ si cu o densitat e constant˘ a de
sarcin˘ a:
̺(/vector r′) =̺0=Ze
V(1.256)
ˆ ın care V este volumul elipsoidului. In aceste condit ¸ii Q0din (1.255) devine:
Q0=Z
V/integraldisplay
(3z′2−r′2)dτ′=Z
V/integraldisplay
(2z′2−x′2−y′2)dτ′= (1.257)
=Z
V/integraldisplay
(z′2+x′2)dτ′+Z
V/integraldisplay
(z′2+y′2)dτ′−2Z
V/integraldisplay
(x′2+y′2)dτ′
Integralele din aceast˘ a expresie reprezint˘ a momentele d e inert ¸ieJfat ¸˘ a
de axele y’, x’ ¸ si z’ dac˘ a densitatea de mas˘ a se ia egal˘ a cu unitatea. Ca
urmareQ0devine:
Q0=Z
V(Jy′+Jx′−2Jz′) =2Z
V(Jx′−Jz′) (1.258)
Deoarece momentele de inert ¸ie fat ¸˘ a de axele x, y, z ¸ si pen tru densitate masic˘ a
egal˘ a cu unitatea se deﬁnesc prin relat ¸iile:
Jx′=Jy′=1
5V(a2+b2) ;Jz′=2
5Vb2(1.259)
rezult˘ a pentru momentul cvadrupolar intrinsec expresia:
Q0=2
5Z(a2−b2) (1.260)
107

Figura 1.44
A¸ sadar dac˘ a nucleul reprezint˘ a un elipsoid alungitˆ ın d irect ¸ia axei Oz (pe
care este dirijat ¸ si momentul cinetic /vectorI) are deci forma unei mingi de rugbi
(form˘ a ”prolate”) (ﬁgura 1.44c) atunci Q0>0. In cazul ˆ ın care nucleul
este un elipsoid turtit ˆ ın direct ¸ia axei Oz, deci de forma u nui disc (form˘ a
”oblate”) atunci Q0<0 (ﬁgura 1.44 d). Pentru un nucleu sferic Q0= 0
(ﬁgura 1.44b). In ﬁgura 1.44 a) este prezentat modelul cel ma i simplu din
punct de vedere clasic al unui cvadrupol electric (quadrum- p´oles =patru
poli) adic˘ a un sistem de patru sarcini care formeaz˘ a un ans amblu de doi
poli egali ca m˘ arime dar de direct ¸ii opuse. M˘ arimea sa Q0= 2d0a= 2qla
raportat˘ a la sarcina q are dimensiunea de suprafat ¸˘ a.
Faptul c˘ a momentul cvadrupolar Q0este zero pentru o distribut ¸ie sferic˘ a
se poate deduce imediat ¸ si altfel, transcriind relat ¸ia (1 .255) ˆ ın felul urm˘ ator:
eQ0=/integraldisplay
̺(/vector r′)r′2(3cos2θ′−1)dτ′= 2/integraldisplay
̺(/vector r′)r′2P2(cosθ′)dτ′=
= 2/integraldisplay
̺(/vector r′)r′2/radicalbigg4π
5Y20dτ′= 4/radicalbiggπ
5/integraldisplay
̺(/vector r′)r′4Y20drdΩ (1.261)
In aceast˘ a relat ¸ie s-a folosit leg˘ atura dintre funct ¸ii le sfericeYlm(m= 0) ¸ si
polinoamele Legendre Plexprimat˘ a de relat ¸ia (1.158).
In cazul distribut ¸iei sferice:
̺(/vector r′) =̺(r′) (1.262)
relat ¸ia (1.261) devine:
eQ0= 4/radicalbiggπ
5/integraldisplay
̺(r′)r′4dr′/integraldisplay
Y20dΩ = 0 (1.263)
datorit˘ a propriet˘ at ¸ii de ortonormare a funct ¸iilor sfe rice,
108

Din (1.261) ¸ si (1.263) rezult˘ a de asemeni:
3/integraldisplay
̺(r′)z′2dτ′=/integraldisplay
r′2̺(r′)dτ′(1.264)
sau
3<z′2>=<r′2> (1.265)
ˆ ın care notat ¸ia ” <…> ” reprezint˘ a media m˘ arimii respective pentru distribut ¸ ia
̺(r′) cu simetrie sferic˘ a. In general pentru o distribut ¸ie sfe ric˘ a este adev˘ arat˘ a
relat ¸ia:
<x′2>=<y′2>=<z′2>=1
3<r′2> (1.266)
In cazul unei distribut ¸ii ̺(/vector r′) oarecare, momentul cvadrupolar din relat ¸ia
(1.255) devine:
eQ0= 3<z′2>−<r′2> (1.267)
ˆ ın care:
<r′2>=/integraldisplay
r′2̺(/vector r′)dτ′(1.268)
¸ si analog pentru <z′2>, dac˘ a densitatea de sarcin˘ a este normat˘ a conform
relat ¸iei: /integraldisplay
̺(/vector r′)dτ′=Ze (1.269)
Relat ¸ia (1.267) arat˘ a ˆ ınc˘ a o dat˘ a c˘ a momentul cvadrup olar este pozitiv
(Q0>0) pentru o distribut ¸ie alungit˘ a pe direct ¸ia axei Oz, adi c˘ a 3<z′2>
><r′2>¸ si negativ ( Q−0<0) pentru cazul 3 <z′2><<r′2>.
Subliniem faptul c˘ a momentul Q0din (1.255) reprezint˘ a momentul cva-
drupolar propriu (intrinsec, intern) al nucleului, adic˘ a fat ¸˘ a de sistemul de
coordonate ˆ ın care axa Oz coincide cu axa de simetrie a nucle ului, ax˘ a pe
care este direct ¸ionat momentul cinetic /vectorI. Pe cale experimental˘ a se determin˘ a
ˆ ıns˘ a nu momentul Q0ci momentul cvadrupolar Q fat ¸˘ a de un sistem arbitrar
de axe{x, y, z}ˆ ın care axa z este ”ﬁxat˘ a” de cˆ ampurile exterioare ¸ si de
regul˘ a nu coincide cu axa de simetrie a nucleului. Relat ¸ia de leg˘ atur˘ a ˆ ıntre
Q ¸ siQ0se poate stabili imediat dac˘ a consider˘ am c˘ a axa Oz a siste mului
{x, y, z}este dirijat˘ a pe direct ¸ia indicat˘ a de vectorul /vector rdin ﬁgura 1.42 iar
sistemul{x’, y’, z’}are axa Oz’ dirijat˘ a pe axa de simetrie a sistemului
(ﬁgura 1.45). In acest caz relat ¸ia (1.254) devine:
QOz=3cos2θ−1
2Q0 (1.270)
109

Figura 1.45
Sistemul de coordonate legat de nucleu are axa Oz’ pe direct ¸ ia
momentului de spin /vectorIiar sistemul laborator are axa Oz pe
direct ¸ia vectorului /vector r
ˆ ın careQOzeste deﬁnit pentru direct ¸ia OZ. Deoarece din punct de veder e
cuantic:
cosθ=m/radicalbig
I(I+ 1)(1.271)
rezult˘ a pentru momentul cvadrupolar QOz, pe care ˆ ıl vom nota cu Qm
urm˘ atoarea expresie:
Qm=3m2−I(I+ 1)
2I(I+ 1)Q0 (1.272)
ˆ ın care ”m” deﬁne¸ ste proiect ¸ia spinului I pe axa de cuanti ﬁcare Oz. Valoarea
maxim˘ a a lui Qmcorespunde proiect ¸iei m=I:
QI=I(2I−1)
2I(I+ 1)Q0=2I−1
2(I+ 1)Q0 (1.273)
¸ si prin analogie cu deﬁnit ¸ia momentului magnetic din rela t ¸ia (1.181) se
nume¸ ste ”moment cvadrupolar observabil (experimental) a l nucleului”. Mo-
mentulQIeste deﬁnit fat ¸˘ a de axa Oz a sistemului {x, y, z}¸ si ˆ ın acord cu
deﬁnit ¸ia (1.250) se exprim˘ a astfel:
QI=1
e/integraldisplay
̺(/vector r) (3z2−r2)dτ (1.274)
110

Din relat ¸iile (1.272) ¸ si (1.273) rezult˘ a imediat:
Qm=3m2−I(I+ 1)
I(2I−1)QI (1.275)
S˘ a remarc˘ am faptul c˘ a momentul cvadrupolar observabil QIeste zero pentru
cazul I=0, 1/2 chiar dac˘ a momentul cvadrupolar propriu Q0/ne}ationslash= 0. Intuitiv,
acest rezultat este de ˆ ınt ¸eles dat ﬁind faptul c˘ a ˆ ın cazu l I=0 nu exist˘ a o
direct ¸ie privilegiat˘ a ˆ ın spat ¸iu iar ˆ ın cazul I=1/2 pro babilitatea de orientare
a spinului /vectorIpe axa Oz, ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.178), este foarte mic˘ a; ˆ ın
consecint ¸˘ a pentru aceste cazuri nu se poate vorbi de o ax˘ a de cuantiﬁcare ¸ si
ca atare sarcinile nucleului sunt distribuite simetric ˆ ın sistemul laborator.
Din punct de vedere cuantic relat ¸ia de leg˘ atur˘ a (1.270) s e
exprim˘ a de fapt astfel:
QOz=/angbracketleftBigg
3cos2θ−1
2/angbracketrightBigg
Q0 (1.276)
ˆ ın care medierea se efectueaz˘ a pe funct ¸iile ce deﬁnesc le g˘ atura
dintre cele dou˘ a sisteme de coordonate. In particular, pen tru
nucleul privit ca un elipsoid rigid, de form˘ a precizat˘ a, c are se
poate roti ˆ ın spat ¸iu, aceste funct ¸ii sunt funct ¸iile de r otat ¸ie. In
aceast˘ a situat ¸ie, se poate demonstra c˘ a relat ¸ia (1.276 ) devine:
Qm=3m2−I(I+ 1)
(I+ 1) (2I+ 3)Q0 (1.277)
cu:
QI=I(2I−1)
(I+ 1) (2I+ 3)Q0 (1.278)
Fire¸ ste, se constat˘ a din nou ca QI= 0pentru cazurile I=0 ¸ si 1/2,
cˆ at ¸ si faptul c˘ a relat ¸ia de leg˘ atur˘ a (1.275) r˘ amˆ ane ˆ ın continuare
valabil˘ a. Factorul ce ˆ ınmult ¸e¸ ste pe Q0ˆ ın expresia (1.277) se
mai nume¸ ste ¸ si ”factor de proiect ¸ie”, deoarece Qmeste proiect ¸ia
luiQ0pe axa Oz. Pentru I > 1/2, factorul de proiect ¸ie este
subunitar ¸ si ca atare Qm, ¸ si deci ¸ si QI, este totdeauna mai mic
ˆ ın valoare absolut˘ a decˆ at Q0.
1.8.1 Determinarea experimental˘ a a momentului cvadrupo-
lar
Momentul cvadrupolar poate ﬁ pus ˆ ın evident ¸˘ a prin intera ct ¸ia suplimentar˘ a
ce apare cˆ and nucleul se aﬂ˘ aˆ ıntr-un cˆ amp electric exter ior neomogen. Astfel,
111

ca rezultat al interact ¸iei momentului Q cu gradientul cˆ am pului electric al
electronilor care ˆ ınconjoar˘ a nucleul, se produc despic˘ ari suplimentare ale
structurii hiperﬁne care nu respect˘ a regula intervalelor (1.190), speciﬁc˘ a
interact ¸iei dipolului magnetic cu cˆ ampurile magnetice e xterioare. Tocmai ˆ ın
acest fel a fost determinat init ¸ial momentul cvadrupolar a l deuteronului. O
inﬂuent ¸˘ a similar˘ a are aceast˘ a interact ¸ie ¸ si asupra n ivelelor nucleare. Intr-
adev˘ ar, cˆ and vorbim de o tranzit ¸ie nuclear˘ a avem ˆ ın ved ere diferent ¸a de
energie a nucleului ˆ ıntre dou˘ a st˘ ari excitate sau ˆ ıntre o stare excitat˘ a ¸ si
starea fundamental˘ a. In realitate orice experiment se efe ctueaz˘ a nu cu nuclee
”pure” ci cu atomi ¸ si molecule, adic˘ a cu nuclee ˆ ınconjura te de electroni.
Interact ¸ia nucleului cu ˆ ınveli¸ sul electronic duce la de plasarea ¸ si despicarea
atˆ at a nivelelor nucleare cˆ at ¸ si a celor atomice (electro nice) ca urmare a
interact ¸iei nucleului cu cˆ ampurile electrice ¸ si magnet ice create de electronii
ˆ ınconjur˘ atori.
In continuare vom studia interact ¸ia nucleului cu cˆ ampul e lectric al aces-
tor electroni; ﬁe Φ( /vector r) potent ¸ialul acestui cˆ amp electric, la generarea c˘ arui a
sarcinile electrice ale nucleului nu particip˘ a. Energia d e interact ¸ie este
deﬁnit˘ a de expresia:
E=/integraldisplay
VΦ(/vector r)̺(/vector r)dτ (1.279)
ˆ ın care̺(/vector r) este distribut ¸ia de sarcin˘ a a nucleului ¸ si V volumul ace stuia.
Introducˆ and notat ¸ia /vector r={x1,x2,x3}¸ si Φ(/vector r) = Φ(x1,x2,x3), dezvolt˘ am
potent ¸ialul Φ( /vector r) ˆ ın jurul punctului /vector r= 0 ˆ ın care se g˘ ase¸ ste nucleul:
Φ(/vector r) = Φ(0) +3/summationdisplay
i=1xi/parenleftbigg∂Φ
∂xi/parenrightbigg
0+1
2!3/summationdisplay
i,j=1xixj/parenleftBigg
∂2Φ
∂xi∂xj/parenrightBigg
0+…(1.280)
In continuare vom alege sistemul de coordonate pentru care:
∂2Φ
∂xi∂xj= 0 pentru j/ne}ationslash=i (1.281)
Substituind (1.280) – considerˆ and ˆ ındeplinit˘ a condit ¸ ia (1.281) – ˆ ın relat ¸ia
(1.279) se obt ¸ine pentru energia de interact ¸ie expresia:
E= Φ(0)/integraldisplay
V̺(/vector r)dτ+/summationdisplay
i/parenleftbigg∂Φ
∂xi/parenrightbigg
0/integraldisplay
Vxi̺(/vector r)dτ+1
2/summationdisplay
i/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2
i/parenrightBigg
0/integraldisplay
Vx2
i̺(/vector r)dτ+…
(1.282)
Primul termen din aceast˘ a dezvoltare exprim˘ a interact ¸i a dintre nucleul con-
siderat punctiform ¸ si de sarcin˘ a q=Ze=/integraltext̺(/vector r)dτ¸ si valoarea potent ¸ialului
112

ˆ ın loculˆ ın care se g˘ ase¸ ste nucleul Φ(0). Al doilea terme n reprezint˘ a interact ¸ia
dintre cˆ ampul electric ( ∂Φ/∂xi)0¸ si momentul dipolar al nucleului; deoarece
nucleul nu are dipol electric acest termen este zero. Deci in teres prezint˘ a cel
de al treilea termen pe care ˆ ıl vom transcrie astfel:
E2=1
2/summationdisplay
i/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2
i/parenrightBigg
0/integraldisplay
x2
i̺(/vector r)dτ=EM
2+EQ
2 (1.283)
cu:
EM
2=1
6/summationdisplay
i/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2
i/parenrightBigg
0/integraldisplay
r2̺(/vector r)dτ (1.284)
EQ
2=1
6/summationdisplay
i/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2
i/parenrightBigg
0/integraldisplay
(3×2
i−r2)̺(/vector r)dτ (1.285)
TermenulEM
2deﬁne¸ ste ”interact ¸ia electric˘ a monopolar˘ a” din motiv e pe
care le vom clariﬁca imediat. Pentru aceasta s˘ a observ˘ am c ˘ a potent ¸ialul Φ
veriﬁc˘ a ecuat ¸ia Poisson:
∆Φ =/summationdisplay
i/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2
i/parenrightBigg
0=−̺e
ǫ(1.286)
ˆ ın careǫeste permitivitatea mediului iar ̺eeste densitatea de sarcin˘ a a elec-
tronilor atomilor sau moleculelor care penetreaz˘ a nucleu l (de regul˘ a electroni
S) ¸ si se exprim˘ a cuantic prin relat ¸ia:
̺e=−e|Ψ(0)|2(1.287)
ˆ ın care|Ψ(0)|2reprezint˘ a densitatea de probabilitate de localizare a el ec-
tronilor ˆ ın nucleu. Cu relat ¸iile (1.286) ¸ si (1.287) term enulEM
2devine:
EM
2=e|Ψ(0)|2
6ǫ/integraldisplay
r2̺(/vector r)dτ=Ze2|Ψ(0)|2
6ǫ<r2> (1.288)
ˆ ın care<r2>,ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.268), reprezint˘ a ”raza p˘ atrati c˘ a medie”
a nucleului15:
<r2>=1
Ze/integraldisplay
r2̺(/vector r)dτ;/integraldisplay
̺(/vector r)dτ=Ze (1.289)
A¸ sadar, dac˘ a nucleul ar ﬁ fost punctiform, adic˘ a < r2>= 0, energia
de interact ¸ie ar ﬁ fost deﬁnit˘ a de primul termen din relat ¸ ia (1.282) ˆ ın care
15Este vorba, ˆ ın acord cu paragraful 1.3, relat ¸ia (1.34), de raza p˘ atratic˘ a medie electric˘ a
113

sarcina q=Ze reprezint˘ a momentul de monopol. Din aceste mo tiveEM
2din
(1.284) se nume¸ ste ”interact ¸ia electric˘ a monopolar˘ a” pentru un nucleu de
raz˘ a ﬁnit˘ a. In particular, pentru un nucleu cu densitate d e sarcin˘ a constant˘ a,
acest termen de interact ¸ie devine:
<r2>=/integraltextr2̺(/vector r)dτ/integraltext̺(/vector r)dτ=/integraltextr2dτ/integraltextdτ=/integraltextR
0r4dr
/integraltextR
0r2dr=3
5R2(1.290)
¸ si
EM
2=1
10Ze2
ǫ|Ψ(0)|2R2(1.291)
Scris astfel, se constat˘ a c˘ a EM
2depinde de urm˘ atorii factori:
-densitatea de probabilitate de localizare a electronilor ˆ ın nucleue|Ψ(0)|2
-sarcina electric˘ a a nucleului
-raza electric˘ a a nucleului R=r0A1/3
S˘ a analiz˘ am efectul interact ¸iei monopolare pentru o tra nzit ¸ie oarecare
E0ˆ ıntre st˘ arile ”2” ¸ si ”1” (ﬁgura 1.46 a). Ca urmare a aceste i interact ¸ii
ﬁecare stare se deplaseaz˘ a cu energia EM
21¸ si respectiv EM
22. In consecint ¸˘ a
energia emis˘ a Es(ﬁgura 1.46 b) este:
Es=E0+EM
22−EM
21=E0+1
10Ze2
ǫ|Ψ(0)|2
s(R2
2−R2
1) (1.292)
In mod similar, energia de absorbt ¸ie ˆ ıntre st˘ arile ”1” ¸ s i ”2” ale aceluia¸ si
nucleu plasat ˆ ıntr-o alt˘ a matrice (absorbant) este:
Ea=E0+1
10Ze2
ǫ|Ψ(0)|2
a(R2
2−R2
1) (1.293)
Diferent ¸a dintre energia de emisie Es¸ si de absorbt ¸ie Ease nume¸ ste ” de-
plasare izomer˘ a” sau ”deplasare chimic˘ a” ¸ si conform deﬁ nit ¸iei are urm˘ atoarea
expresie:
δ=Es−Ea=1
10Ze2
ǫ/parenleftBig
|Ψ(0)|2
s−|Ψ(0)|2
a/parenrightBig
(R2
2−R2
1) (1.294)
In obt ¸inerea acestei relat ¸ii s-a folosit faptul c˘ a raza n ucleului ˆ ın st˘ arile ”1”
sau ”2” nu depinde dac˘ a nucleul se aﬂ˘ a ˆ ın ret ¸eaua sursei s au ˆ ın ret ¸eaua ab-
sorbantului. Considerˆ and,ˆ ın continuare, c˘ a raza nucle uluiˆ ın starea excitat˘ a
114

Figura 1.46
Efectul interact ¸iei monopolare EM
2pentru tranzit ¸ia E0ˆ ıntre
st˘ arile ”2” ¸ si ”1”
”2” se exprim˘ aˆ ın funct ¸ie de raza nucleuluiˆ ın starea ”1” (mai put ¸in excitat˘ a)
prin relat ¸ia:
R2=R1+δR (1.295)
rezult˘ a:
R2
2−R2
1= (R1+δR)2−R2
1=δR(2R1+δR)≈2R1δR (1.296)
¸ si ca atare deplasarea izomer˘ a δare expresia:
δ=1
5Ze2
ǫ/parenleftBig
|Ψ(0)|2
s−|Ψ(0)|2
a/parenrightBig
R1δR (1.297)
Deplasarea izomer˘ a (sau chimic˘ a) δeste important˘ a ˆ ın studiul combinat ¸iilor
chimice. In astfel de cazuri nucleele emit ¸˘ atoare sunt int roduse ˆ ın matrici
standard pentru care |Ψ(0)|2
s¸ siR1¸ siR2sunt cunoscute. In acest caz
m˘ asurˆ and experimental – prin efect M¨ ossbauer – deplasar ea izomer˘ a din
relat ¸ia (1.297) se poate determina densitatea de probabil itate a electronilor
S ˆ ın absorbant|Ψ(0)|2
a, adic˘ a ˆ ın proba de studiat.
TermenulEQ
2din (1.285) se nume¸ ste ”interact ¸ie electric˘ a cvadrupol ar˘ a”.
Se constat˘ a imediat c˘ a aceast˘ a interact ¸ie pentru nucle ele sferice, pentru care
ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.266) este adev˘ arat c˘ a/integraltext3x2
i̺(/vector r)dτ=/integraltextr2̺(/vector r)dτ, este
zero. Rezult˘ a c˘ a interact ¸ia cvadrupolar˘ a este diferit ˘ a de zero pentru nuclee
115

nesferice (deformate). S˘ a consider˘ am acum situat ¸ia nuc leelor deformate ¸ si
a electronilor S (L=0) care creaz˘ a o distribut ¸ie cu simetr ie sferic˘ a, adic˘ a are
loc relat ¸ia:/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2
1/parenrightBigg
0=/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2
2/parenrightBigg
0=/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2
3/parenrightBigg
0(1.298)
In aceste condit ¸ii EQ
2din (1.285) are forma:
EQ
2=1
6/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2
3/parenrightBigg
0/integraldisplay
̺(/vector r)dτ/summationdisplay
i(3×2
i−r2) = 0 (1.299)
deoarece:
3/summationdisplay
i=1(3×2
i−r2) = 3(x2
1+x2
2+x2
3)−3r2= 0 (1.300)
In consecint ¸˘ a rezult˘ a c˘ a termenul de interact ¸ie cvadr upolar˘ a poate ﬁ diferit
de zero numai pentru nucleele deformateˆ ın interact ¸ie cu e lectroniiˆ ınconjur˘ atori
care genereaz˘ a o distribut ¸ie de sarcin˘ a (¸ si deci un grad ient de cˆ amp electric)
nesferic˘ a. Este vorba de electroni p, d, f etc. a c˘ aror prob abilitate|Ψ(0)|2
de localizare ˆ ın nucleu este ˆ ıns˘ a foarte mic˘ a; ca urmare pentru ace¸ sti elec-
troni se poate considera Ψ(0) ≈0 ¸ si deci ¸ si̺e= 0. In aceste condit ¸ii, ecuat ¸ia
Poisson (1.286) trece ˆ ın ecuat ¸ia Laplace:
∆Φ =3/summationdisplay
i=1/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2
i/parenrightBigg
0= 0 (1.301)
Aplic˘ am aceast˘ a ecuat ¸ie pentru cazul particular, des ˆ ı ntˆ alnit, al unui cˆ amp
cu simetrie axial˘ a, pentru care sunt adev˘ arate relat ¸iil e:
/parenleftBigg
∂2Φ
∂x2/parenrightBigg
0=/parenleftBigg
∂2Φ
∂y2/parenrightBigg
0=−1
2/parenleftBigg
∂2Φ
∂z2/parenrightBigg
0;x≡x1, y≡x2, z≡x3
(1.302)
In aceste condit ¸ii termenul cvadrupolar devine:
EQ
2=1
12/parenleftBigg
∂2Φ
∂z2/parenrightBigg
0/integraldisplay
̺(/vector r)(6z2−2r2−(3×2−r2)−(3y2−r2))dτ=
=1
12/parenleftBigg
∂2Φ
∂z2/parenrightBigg
0/integraldisplay
̺(/vector r) (6z2−3×2−3y2)dτ= (1.303)
=1
4/parenleftBigg
∂2Φ
∂z2/parenrightBigg
0/integraldisplay
̺(/vector r) (3z2−r2)dτ=e
4/parenleftBigg
∂2Φ
∂z2/parenrightBigg
0QI
116

Figura 1.47
Despicarea nivelului corespunz˘ ator st˘ arii I=3/2 datori t˘ a
interact ¸iei cvadrupolare EQ
2
ˆ ın careQIeste momentul cvadrupolar deﬁnitˆ ın (1.274) corespunz˘ at or situat ¸iei
ˆ ın care spinul /vectorIeste orientat pe axa de cuantiﬁcare Oz a sistemului laborato r.
In general ˆ ıns˘ a /vectorIeste dirijat pe o direct ¸ie oarecare (ﬁgura 1.45) caracteri –
zat˘ a de proiect ¸ia m pe axa de cuantiﬁcare. De aceea ˆ ın cazu l general relat ¸ia
(1.303) devine:
EQ
2=e
4/parenleftBigg
∂2Φ
∂z2/parenrightBigg
0Qm=e
4/parenleftBigg
∂2Φ
∂z2/parenrightBigg
03m2−I(I+ 1)
I(2I−1)QI (1.304)
ˆ ın care pentru Qms-a folosit relat ¸ia (1.275).
Deci interact ¸ia electric˘ a cvadrupolar˘ a este dat˘ a de in teract ¸ia dintre mo-
mentul cvadrupolar al nucleului ¸ si gradientul cˆ ampului e lectric (∂2Φ/∂z2)0
ˆ ın zona ˆ ın care se aﬂ˘ a nucleul ¸ si are ca efect despicarea n ivelelor nucleare, cu
spin I diferit de zero ¸ si 1/2,ˆ ın funct ¸ie de valorile posib ile ale num˘ arului cuan-
tic magnetic m2. In ﬁgura 1.47 este ilustrat efectul interact ¸iei cvadrupo lare
EQ
2asupra st˘ arii nucleare de spin I=3/2.
In acord cu relat ¸ia (1.304) starea 3/2 se despic˘ a ˆ ın dou˘ a subst˘ ari core-
spunz˘ atoare proiect ¸iilor m=±3/2 ¸ sim=±1/2 ca urmare a energiei supli-
mentare:
EQ
2(m=±3/2) =e
4/parenleftBigg
∂2Φ
∂z2/parenrightBigg
0QI
EQ
2(m=±1/2) =−e
4/parenleftBigg
∂2Φ
∂z2/parenrightBigg
0QI (1.305)
Prin m˘ asurarea acestor energii se poate determina momentu l cvadrupolar
QIdac˘ a gradientul cˆ ampului/parenleftBig
∂2Φ
∂z2/parenrightBig
0este cunoscut sau se determin˘ a acest
gradient dac˘ a se cunoa¸ ste QIdin alte m˘ asur˘ atori.
117

Ca o consecint ¸˘ a a celor expuse mai sus, rezult˘ a c˘ a energi a de interact ¸ie
a momentelor electrice cu cˆ ampurile electrice externe neo mogene (ˆ ın acord
cu relat ¸iile 1.282, 1.283, 1.291 ¸ si 1.304) se exprim˘ a ast fel:
EE= Φ(0)q+1
10Ze2
ǫ|Ψ(0)|2R2+e
4/parenleftBigg
∂2Φ
∂z2/parenrightBigg
03m2−I(I+ 1)
I(2I−1)QI(1.306)
In cazul mai general, cˆ and nucleul este introdus ˆ ıntr-o ma trice ˆ ın care se
creaz˘ a atˆ at cˆ ampuri electrice externe cˆ at ¸ si magnetic e omogene de induct ¸ie
/vectorB, la energia de interact ¸ie din (1.306) se adaug˘ a ¸ si energi a de interact ¸ie a
dipolului magnetic (ˆ ın acord cu relat ¸ia (1.183):
EM=−/vector µI/vectorB=−mgIµNB (1.307)
¸ si deci energia total˘ a va ﬁ:
E=EE+EM (1.308)
In particular interact ¸ia cvadrupolar˘ a EQ
2este zero pentru starea funda-
mental˘ a 1/2 a57Fedar diferit˘ a de zero pentru starea excitat˘ a cu I =3/2
(ˆ ın acord cu ﬁgura 1.47 sau relat ¸iile 1.305). Aceast˘ a int eract ¸ie produce de-
plasarea suplimentar˘ a a st˘ arilor cu m=±3/2 ¸ sim=±1/2 corespunz˘ atoare
st˘ arii excitate I=3/2 ca ˆ ın ﬁgura 1.48 Fire¸ ste ¸ si energi ile celor ¸ sase tranzit ¸ii
se modiﬁc˘ a corespunz˘ ator. Trebuie subliniat faptul c˘ a d espic˘ arile datorate
interact ¸iei hiperﬁne sau cvadrupolare sunt foarte mici (d e ordinul 10−6−10−7
eV) compartiv cu tranzit ¸iile nucleare care sunt considera bil mai mari ( de
104−105eV). De aceea m˘ arimea relativ˘ a a despic˘ arilor nivelelor nucleare
este de ordinul 10−12−10−10. Despic˘ ari atˆ at de mici pot ﬁ m˘ asurate numai
prin efect M¨ ossbauer.
In ﬁgura 1.48 este ilustrat efectul acestor interact ¸ii pen tru sursa57Co
(ﬁgura 1.49), a c˘ arei tranzit ¸ie de 14.4 KeV ˆ ıntre st˘ aril e 3/2−¸ si 1/2−este
deseori folosit˘ a ˆ ın astfel de m˘ asur˘ atori ¸ si un absorba nt format din compusul
Fe2O3.
Este cazul s˘ a subliniem c˘ a ˆ ın astfel de m˘ asur˘ atori este necesar ca sursa
s˘ a emit˘ a o singur˘ a tranzit ¸ie (linie). Pentru aceasta ma terialul (matricea) ˆ ın
care se introduc atomii nucleelor care emit tranzit ¸ia resp ectiv˘ a (atomii de
57Coˆ ın cazul exemplului nostru) trebuie s˘ a nu ﬁe feromagnetic (B=0) pen-
tru a se evita despicarea magnetic˘ a a st˘ arilor nucleare, ˆ ın acord cu relat ¸ia
(1.307) ¸ si de asemenea s˘ a prezinte simetrie cubic˘ a (deci simetrie aproape
sferic˘ a) pentru care EQ
2= 0 conform relat ¸iei (1.299), evitˆ andu-se astfel de-
spicarea cvadrupolar˘ a. Atomii de57Cointrodu¸ si ˆ ın matrice de platin˘ a sau
ot ¸el inoxidabil satisfac aceste deziderate.
118

Figura 1.48
Figura 1.49
Schema de dezintegrare a57Co
119

Folosind astfel de surse este evident c˘ a despic˘ arile din ﬁ gura 1.48 apart ¸in
nucleelor absorbantului, adic˘ a nucleelor de57Fedin compusul Fe2O3ˆ ın
cazul exemplului nostru. In ﬁgur˘ a este prezentat˘ a deplas area izomer˘ a δ
deﬁnit˘ a de relat ¸ia (1.294) cˆ at ¸ si efectul interact ¸iei magnetice din (1.307)
pentru care s-a t ¸inut seama c˘ a gI=1/2>0 ¸ sigI=3/2<0. Sunt ar˘ atate ¸ si cele
¸ sase tranzit ¸ii posibile ˆ ın acord cu regula de select ¸ie ∆ m= 0;±1.
Din m˘ asur˘ atorile de efect M¨ ossbauer se poate determina, printre alte
m˘ arimi, ¸ si momentul cvadrupolar QI. Deci din studiul interact ¸iei mo-
mentelor electrice ¸ si magnetice cu cˆ ampurile externe ca ¸ si din alte experient ¸e
ca excitarea coulombian˘ a, react ¸ii nucleare ˆ ıntre parti cule ˆ ınc˘ arcate ¸ si nuclee
deformate etc. se poate determina momentul cvadrupolar ”ex perimental”
QI¸ si deci ¸ si momentul cvadrupolar intern (intrinsec) Q0ˆ ın acord cu relat ¸ia
(1.278).
Momentul cvadrupolar Q0este o caracteristic˘ a important˘ a a nucleu-
lui. El permite obt ¸inerea unor concluzii suplimentare ref eritoare la forma
¸ si structura nucleului cˆ at ¸ si a propriet˘ at ¸ilor fort ¸e lor nucleare. In particular
dac˘ a presupunem c˘ a nucleul este de forma unui elipsoid de r otat ¸ie ˆ ın care
sarcina electric˘ a este uniform distribuit˘ a, momentul Q0este exprimat de
relat ¸ia (1.260). Dac˘ a introducem notat ¸iile:
δ=∆R
R; ∆R=a−b;a+b= 2R (1.309)
momentulQ0din (1.260) devine:
Q0=4
5ZR2δ (1.310)
ˆ ın careδdeﬁne¸ ste ”deformarea nucleului”. Deseori se deﬁne¸ ste ”m omentul
cvadrupolar redus”:
Qred
0=Q0
ZR2=4
5δ (1.311)
care se exprim˘ a numai ˆ ın funct ¸ie de parametrul δ. Aceast˘ a relat ¸ie permite
determinarea parametrului δdac˘ a se cunoa¸ ste momentul cvadrupolar. Valo-
rile experimentale ale momentului cvadrupolar redus ˆ ın fu nct ¸ie de num˘ arul
de nucleoni pentru nucleele cu Z impar ¸ si/sau N impar sunt re produse ˆ ın
ﬁgura 1.50
Din ﬁgur˘ a se constat˘ a, o dat˘ a ˆ ın plus, rolul deosebit al v alorilor magice
2; 8; 20; 28; 50; 82; 126 etc. ale lui Z ¸ si N pentru care nucleel e respective au
Q0= 0 ¸ si ca atare sunt sferice. Figura relev˘ a faptul c˘ a foart e multe nuclee
auQ0diferit de zero ¸ si ca atare sunt deformate. Majoritatea nuc leelor, ˆ ın
special cele grele, au Q0>0 ¸ si deci au forma alungit˘ a ”prolate”.
120

Figura 1.50
Dependent ¸a momentului cvadrupolar redus de num˘ arul de
nucleoni ˆ ın nucleele cu Z impar sau/¸ si N impar. S˘ aget ¸ile indic˘ a
pozit ¸ia nucleelor care au num˘ arul de protoni ¸ si/sau de ne utroni
egale cu 2; 8; 20; 28; 50; 82 ¸ si 126 pentru care Q0= 0
Figura 1.51
Formele posibile ale nucleelor ˆ ın intervalul dintre dou˘ a numere
magice
121

Din modul de variat ¸ie a semnului lui Q0se poate deduce c˘ a ˆ ın intervalul
dintre dou˘ a numere magice nucleele iau succesiv urm˘ atoar ele forme: sferic˘ a,
turtit˘ a (oblate), sferic˘ a, alungit˘ a, puternic alungit ˘ a, alungit˘ a, sferic˘ a (ﬁgura
1.51).
Atrag de asemeni atent ¸ia valorile mari ale momentului cvad rupolarQ0
pentru nucleele p˘ amˆ anturilor rare (ca de exemplu176Lu,167Eu,etc.) valori
care arat˘ a c˘ a mometele cvadrupolare sunt condit ¸ionate d e mi¸ scarea ”colec-
tiv˘ a” a mai multor nucleoni ai nucleului. De fapt tocmai ace ste valori mari
au condus, init ¸ial, la dezvoltarea modelelor colective ce vor ﬁ studiate ˆ ın
capitolul 3 (paragraful 3.3).
1.9 Radioactivitatea natural˘ a
In paragraful 1.2 s-a subliniat ideea c˘ a dac˘ a energia de se parare a unei par-
ticule dintr-un nucleu oarecare este negativ˘ a atunci are l oc emisia spontan˘ a
a acelei particule din nucleu. Emisia spontan˘ a din nucleu a unor particule
sau radiat ¸ii electromagnetice se nume¸ ste ”rdioactivita te natural˘ a”.
Dup˘ a descoperireaˆ ın anul 1896 a radioactivit˘ at ¸ii natu rale, de c˘ atre Henri
Becqerel, pentru uraniu, a urmat descoperirea,ˆ ın 1898, de c˘ atre Marie Curie
¸ si Schmidt, a radioactivit˘ at ¸ii naturale a thoriului ¸ si descoperirea ˆ ın acela¸ si
an de c˘ atre Pierre ¸ si Marie Curie a poloniului ¸ si radiului . Un an mai tˆ arziu
Elster ¸ si Geitel constat˘ a experimental sc˘ aderea expone nt ¸ial˘ a ˆ ın timp a in-
tensit˘ at ¸ii (ﬂuxului) radiat ¸iei emise de aceste nuclee. In aceea¸ si perioad˘ a
sot ¸ii Curie introduc termenul de ”radioactivitate” (de la numele elementu-
lui chimic ”radiu”) pentru propriet˘ at ¸ile unor nuclee de a emite radiat ¸ii.
Experient ¸ele multiple efectuate la acea vreme au ar˘ atat c ˘ a propriet˘ at ¸ile
radiat ¸iilor emise nu se modiﬁc˘ a dac˘ a substant ¸ele radio active sunt supuse la
temperaturi ¸ si presiuni ridicate, dac˘ a sunt plasate ˆ ın c ˆ ampuri electrice ¸ si
magnetice intense sau dac˘ a se schimb˘ a compozit ¸ia chimic ˘ a a substant ¸elor
radioactive respective. Toate aceste experient ¸e, ca ¸ si m ulte altele, indi-
cau faptul c˘ a emisia de radiat ¸ii trebuie s˘ a ﬁe o proprieta te ”intern˘ a”, pro-
fund˘ a, localizat˘ a ˆ ın ”miezul” atomului, considerat ˆ ın c˘ a la ﬁnele secolului
trecut drept ”ultima c˘ ar˘ amid˘ a” a materiei (substant ¸ei ). Astfel s-a intuit
faptul c˘ a fenomenul de radioactivitate nu este o proprieta te a atomului ci a
”sˆ amburelui” acestuia, adic˘ a a ceea ce ulterior s-a numit ”nucleul atomic”
(paragraful 1.1)
Studiul radiat ¸iilor emise de substant ¸ele radioactive – e fectuat prin expe-
rient ¸ele de deviere a acestora ˆ ın cˆ ampuri electrice ¸ si m agnetice – a ar˘ atat c˘ a
radiat ¸iile acestea sunt de trei feluri: radiat ¸ii α(identiﬁcate mult mai tˆ arziu
122

ca ﬁind formate din nuclee de4
2He), radiat ¸iiβ−(electronii) ¸ si radiat ¸ii γde
natur˘ a electromagnetic˘ a dur˘ a (de energie mare). Au fost denumite astfel
dup˘ a primele litere ale alfabetului grecesc.
Stabilirea nucleului care se obt ¸ine ˆ ın urma dezintegr˘ ar ii radioactive (e-
misiei de particule) se poate face pe baza legilor de conserv are a num˘ arului
de nucleoni ¸ si a sarcinii electrice totale. Aceste legi, cu noscute sub numele
de ”legile deplas˘ arii radioactive”, se enunt ¸˘ a astfel:
-prin emisia unei particule αdin nucleulA
ZXia n¸ stere un nucleu Y care se
situeaz˘ a ˆ ın sistemul periodic cu dou˘ a locuri mai la stˆ an ga iar num˘ arul
s˘ au de mas˘ a este cu 4 unit˘ at ¸i mai mic:
A
ZX−→4
2α+A−4
Z−2Y (1.312)
-prin emisia unui electron (radiat ¸ie β−) de c˘ atre nucleulA
ZXse formeaz˘ a
elementul Y care se situeaz˘ a pe locul din dreapta elementul ui X din
sistemul periodic iar masa r˘ amˆ ane practic neschimbat˘ a ( A acela¸ si). In
mod similar prin emisie β+se obt ¸ine elementul Y’ situat pe locul din
stˆ anga elementului X ˆ ın sistemul periodic ¸ si avˆ and acel a¸ si num˘ ar de
mas˘ a A:
A
ZX−→β−+A
Z+1Y (1.313)
A
ZX−→β++A
Z−1Y′
Cu alte cuvinte prin emisia β±se obt ¸in nuclee izobare.
In 1902 Rutherford ¸ si Soddy au ajuns la concluzia c˘ a dac˘ a u n nucleu16a
suferit o dezintegrare atunci el nu mai poate repeta acest pr oces ˆ ınc˘ a o dat˘ a.
De aici a rezultat concluzia important˘ a c˘ a intensitatea r adiat ¸iei emise este
o m˘ asur˘ a a num˘ arului de nuclee transformate (dezintegra te) ˆ ın unitatea de
timp, ˆ ın mod independent unul de altul.
1.9.1 Legea dezintegr˘ arii radioactive
In 1905 E.von Schweidler preluˆ and aceste idei ¸ si f˘ acˆ and ipoteza c˘ a procesul
de dezintegrare se supune legilor de probabilitate, a dedus ”legea dezin-
tegr˘ arii radioactive”. El a f˘ acut ipoteza c˘ a probabilit ateaλca un nucleu
s˘ a se dezintegreze ˆ ın unitatea de timp este independent˘ a de timpul cˆ at a
supraviet ¸uit nucleul ¸ si este aceea¸ si pentru nucleele de acela¸ si fel. Deci nu-
cleul nu ”ˆ ımb˘ atrˆ ane¸ ste” ¸ si ca atare probabilitatea λnumit˘ a ¸ si ”constanta
16In continuare se va folosi not ¸iunea de ”nucleu” de¸ si la vre mea respectiv˘ a aceast˘ a
not ¸iune nu era cunoscut˘ a
123

radioactiv˘ a” are mereu aceea¸ si valoare, ﬁind o constant˘ a pentru nucleele de
acela¸ si fel. Rezult˘ a c˘ a probabilitatea de dezintegrare ˆ ın intervalul de timp
(t, t+dt) ˆ ın care ”t” poate lua orice valoare, este mereu λdt. In partic-
ularλdtreprezint˘ a probabilitatea de dezintegrare a unui nucleu ˆ ın timpul
0÷dtiar (1-λdt) reprezint˘ a probabilitatea ca nucleul s˘ a nu se dezintegr eze
ˆ ın intervalul de timp dt. Dac˘ a nucleul s supraviet ¸uit (ne dezintegrat) ˆ ın in-
tervalul de timp dt, atunci probabilitatea ca acest nucleu s ˘ a supraviet ¸uiasc˘ a
¸ si ˆ ın urm˘ atorul interval de timp dt este tot (1- λdt), deci probabilitatea de
supraviet ¸uire a nucleului ˆ ın intervalul de timp 2dt este ( 1−λdt)2, ˆ ıntrucˆ at
procesele de dezintegrare sunt independente.
In mod similar (1 −λdt)nreprezint˘ a probabilitatea ca nucleul s˘ a supra-
viet ¸uiasc˘ a intervalul de timp t=ndt. Aceast˘ a probabilitate pentru n→∞
este:
w= limn→∞(1−λdt)n= limn→∞(1−λt
n)n=e−λt(1.314)
ˆ ın care w reprezint˘ a probabilitatea ca un nucleu s˘ a r˘ amˆ an˘ a nedezintegrat ˆ ın
timpul t.
Interpretarea statistic˘ a const˘ aˆ ın aceea c˘ a dac˘ a la mo mentul init ¸ial exist˘ a
un num˘ ar mare de nuclee N0, atunci num˘ arul de nuclee N(t) care r˘ amˆ an
nedezintegrate la timpul t este:
N(t) =N0e−λt(1.315)
Aceast˘ a expresie reprezint˘ a legea dezintegr˘ arii radio active ¸ si arat˘ a c˘ a
num˘ arul de nuclee r˘ amase nedezintegrate scade exponent ¸ ial ˆ ın timp, adev˘ ar
conﬁrmat de datele experimentale.
Legea de dezintegrare exprimat˘ a de relat ¸ia (1.315) este a dev˘ arat˘ a pentru
un preparat care cont ¸ine un singur element radioactiv.
Din modul de deducere rezult˘ a c˘ a legea dezintegr˘ arii rad ioactive este
o lege statistic˘ a. Caracterul statistic se reﬂect˘ a ˆ ın fa ptul c˘ a nu se poate
anticipa ˆ ın niciun fel momentul ˆ ın care un nucleu se va dezi ntegra ci numai
faptul c˘ a atunci cˆ and se va dezintegra, probabilitatea de dezintegrare ˆ ın
unitatea de timp va ﬁ aceea¸ si. A¸ sadar nu se poate vorbi de ”v ˆ arst˘ a” a unui
nucleu (nucleul nu ˆ ımb˘ atrˆ ane¸ ste) ci de vˆ arsta ”medie” a unui mare num˘ ar
de nuclee de acela¸ si fel.
O analogie plastic˘ a se poate face cu o colectivitate format ˘ a
din indivizi care nu ˆ ımb˘ atrˆ anesc ¸ si care pot muri numai d in
cauza unor accidente nefericite. Evident not ¸iunea de vˆ ar st˘ a a
unui individ nu are sens ¸ si numai colectivitatea respectiv ˘ a poate
ﬁ caracterizat˘ a de o ”vˆ arst˘ a medie”.
124

Timpul mediu de viat ¸˘ a al nucleelor se poate determina din u rm˘ atoarele
considerente. In acord cu relat ¸ia (1.314) rezult˘ a c˘ a e−λtλ dtreprezint˘ a
probabilitatea ca un nucleu s˘ a supraviet ¸uiasc˘ a timpul t ¸ si s˘ a se dezintegreze
ˆ ın urm˘ atorul interval de timp dt. Num˘ arul de nuclee care s e vor dezintegra
ˆ ın acest interval de timp va ﬁ dN=N0λe−λtdt. Fiecare din aceste dN
nuclee a tr˘ ait timpul t deci ˆ ımpreun˘ a au tr˘ ait timpul tN0λe−λtdt. Nucleele
N0existente init ¸ial vor tr˘ aiˆ ın total/integraltext∞
0tN0λe−λtdt¸ si ca atare timpul mediu
de viat ¸˘ a notat cu τva ﬁ:
τ=1
N0/integraldisplay∞
0N0tλe−λtdt=λ/integraldisplay∞
0te−λtdt= (1.316)
=−e−λt/parenleftbigg
t+1
λ/parenrightbigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle∞
0=1
λ
Avˆ and ˆ ın vedere relat ¸iile (1.315) ¸ si (1.316) rezult˘ a c ˘ a timpul mediu de
viat ¸˘ a reprezint˘ a intervalul de timp dup˘ a care num˘ arul de nuclee r˘ amase
nedezintegrate a sc˘ azut de ”e” ori.
De cele mai multe ori este avantajos s˘ a se caracterizeze sub stant ¸a ra-
dioactiv˘ a prin timpul (perioada) de ˆ ınjum˘ at˘ at ¸ire T1/2care reprezint˘ a tim-
pul ˆ ın care se dezintegreaz˘ a jum˘ atate din num˘ arul init ¸ ial de nuclee. Deci
timpult=T1/2este timpul dup˘ a care num˘ arul de nuclee nedezintegrate
N(t=T1/2) =N0/2 ¸ si este dat de relat ¸ia:
N0
2=N0e−λT1/2−→T1/2=ln2
λ=τln2 (1.317)
In aplicat ¸iile practice curente este necesar s˘ a se cunoas c˘ a num˘ arul de
particule pe care le emite un preparat (surs˘ a) radioactivˆ ın unitatea de timp;
acest num˘ ar este egal cu num˘ arul de nuclee ce se dezintegre az˘ aˆ ın unitatea de
timp ¸ si se nume¸ ste ”activitatea sursei” (notat˘ a cu Λ), ex primat˘ a de relat ¸ia:
Λ(t) =−dN
dt=λN(t) (1.318)
Sau, t ¸inˆ and seama de legea dezintegr˘ arii radioactive (1 .315):
Λ(t) = Λ 0e−λt; Λ 0=λN0 (1.319)
deci activitatea unei surse variaz˘ a cu timpul dup˘ a aceea¸ si lege exponent ¸ial˘ a
ca ¸ si num˘ arul de nuclee r˘ amase nedezintegrate.
In acord cu deﬁnit ¸iile (1.318) ¸ si (1.319) activitatea unu i preparat de mas˘ a
”m” care cont ¸ine un singur element radioactiv va ﬁ:
Λ =λN=λm
ANA (1.320)
125

ˆ ın careNAeste um˘ arul lui Avogadro.
Activitatea unui preparat (surs˘ a) radioactiv raportat˘ a la masa prepara-
tului se nume¸ ste activitate speciﬁc˘ a:
Λs=Λ
m=λ
ANA (1.321)
Din considerente istorice, pentru m˘ asurarea activit˘ at ¸ ii s-a ales unitatea
denumit˘ a ”Curie” (Ci), deﬁnit˘ a ca ﬁind activitatea acele i cantit˘ at ¸i de radon
care se aﬂ˘ a ˆ ın echilibru radioactiv cu un gram de radiu. M˘ a sur˘ atorile efec-
tuate au ar˘ atat c˘ a ˆ ın acest caz se emit 3 .7×1010particuleαpe secund˘ a17
¸ si de aceea unitatea Ci deﬁne¸ ste acea cantitate de substan t ¸˘ a radioactiv˘ a ˆ ın
care au loc 3 .7×1010dezintegr˘ ari pe secund˘ a:
1Ci= 3.7 1010dezintegr˘ ari/secund˘ a (1.322)
Dup˘ a descoperirea radioactivit˘ at ¸ii artiﬁciale ˆ ın 193 4, s-a propus o nou˘ a
unitate pentru activitate, numit˘ a ”Rutherford” (Rd), deﬁ nit˘ a astfel:
1Rd= 106dezintegr˘ ari/secund˘ a (1.323)
In prezent, ˆ ın sistemul internat ¸ional, unitatea de m˘ asu r˘ a pentru activi-
tate este Becquerel (Bq):
1Bq= 1 dezintegrare/secund˘ a (1.324)
deci:
1Ci= 3.7 104Rd= 3.7 1010Bq (1.325)
In practic˘ a se folose¸ ste curent unitatea Ci ¸ si mai ales su bunit˘ at ¸ile acesteia
(1mCi=3.7 107Bq; 1µCi= 3.7 104Bq)
1.9.2 Caracterul statistic al legii dezintegr˘ arii radioa ctive
Pentru m˘ asurarea perioadei de ˆ ınjum˘ at˘ at ¸ire ( T1/2) sau a timpului de viat ¸˘ a
τcu o anumit˘ a precizie, este important˘ a cunoa¸ sterea valo rilor abaterilor
statistice (ﬂuctuat ¸iile statistice). In vederea determi n˘ arii acestora reamintim
c˘ aw=e−λtdin relat ¸ia (1.314) reprezint˘ a probabilitatea ca un nucl eu s˘ a nu
se dezintegreze ˆ ın timpul t iar 1-w reprezint˘ a probabilit atea de dezintegrare.
In cazul a dou˘ a nuclee, avˆ and ˆ ın vedere c˘ a procesul lor de dezintegrare
este independent (t ¸inˆ and seama de relat ¸ia 1.314), rezul t˘ a c˘ a probabilitatea
17M˘ asur˘ atori mai precise (ulterioare) au ar˘ atat c˘ a ˆ ın ac est caz se emit 3 .6×1010dezin-
tegr˘ ari/secund˘ a
126

w0ca ˆ ın timpul t s˘ a nu se dezintegreze niciunul, probabilita teaw1ca numai
unul s˘ a se dezintegreze ¸ si probabilitatea w2ca ambele nuclee s˘ a se dezinte-
greze se exprim˘ a astfel:
w0=e−λte−λt=e−2λt
w1=e−λt(1−e−λt) + (1−e−λt)e−λt= 2e−λt(1−e−λt) (1.326)
w2= (1−e−λt) (1−e−λt) = (1−e−λt)2
In cazul a N nuclee radioactive, probabilitatea w0de a nu se dezintegra
niciun nucleu ˆ ın timpul t sau k nuclee s˘ a se dezintegreze – wk- se deﬁnesc
similar:
w0=e−Nλt
w1=N e−(N−1)λt(1−e−λt) (1.327)
w2=N(N−1)
2e−(N−2)λt(1−e−λt)2
…
wk=Ck
Ne−(N−k)λt(1−e−λt)k
unde:
Ck
N=N!
k! (N−k)!(1.328)
In m˘ asur˘ atorile practice num˘ arul de particule emise de n ucleele radioac-
tive ¸ si ˆ ınregistrate18este mult mai mic decˆ at num˘ arul de nuclee radioactive
¸ si deci:
k≪N (1.329)
De asemeni, ˆ ın majoritatea cazurilor (cu except ¸ia unor m˘ asur˘ atori spe-
ciale) timpul de m˘ asur˘ a t este mult mai mic decˆ at timpul de ˆ ınjum˘ at˘ at ¸ire:
tλ= ln 2t
T1/2≪1 (1.330)
In condit ¸iile (1.329) ¸ si (1.330) expresia (1.328) devine :Ck
N=Nk
k!¸ si
ca atare probabilitatea de dezintegrare a k nuclee ˆ ın timpu l t, asimilat cu
timpul de m˘ asur˘ a, devine:
wk=Nk
k!e−Nλt(λt)k=(Nλt)ke−Nλt
k!(1.331)
18Num˘ arul de particuleˆ ınregistrate este proport ¸ional cu num˘ arul actelor de dezintegrare
127

Aceast˘ a relat ¸ie, ˆ ın teoria probabilit˘ at ¸ilor, este cu noscut˘ a sub denumirea
de ”distribut ¸ie Poisson”, avˆ and semniﬁcat ¸ia: dac˘ a se c onsider˘ a foarte multe
intervale de timp t, num˘ arul de nuclee k1,k2, … care se dezintegreaz˘ a ˆ ın
aceste intervale de timp (¸ si care sunt ˆ ınregistrate) sunt distribuite ˆ ın acord
cu legea (1.331). Fire¸ ste suma tuturor acestor probabilit ˘ at ¸iwkeste egal˘ a cu
unitatea:∞/summationdisplay
k=1wk=e−Nλt∞/summationdisplay
k=1(Nλt)k
k!= 1 (1.332)
deoarece prin deﬁnit ¸ie:
∞/summationdisplay
k=1(Nλt)k
k!=eNλt(1.333)
Num˘ arul mediu ¯k de nuclee care se dezintegreaz˘ a ˆ ın timpul t se cal-
culeaz˘ a, conform cu teoria probabilit˘ at ¸ilor, astfel:
¯k=∞/summationdisplay
k=0kwk=∞/summationdisplay
k=0(Nλt)ke−Nλt
(k−1)!=Nλte−Nλt∞/summationdisplay
k=0(Nλt)k−1
(k−1)!=Nλt
(1.334)
ca atare, distribut ¸ia Poisson se mai poate scrie:
wk=(¯k)ke−¯k
k!(1.335)
Dup˘ a cum am mai precizat, num˘ arul de particule ˆ ınregistr ate de un
detector este proport ¸ional cu num˘ arul actelor de dezinte grare k:
n=gk (1.336)
unde ”g” este un factor de proport ¸ionalitate numit ”factor de detect ¸ie”;
rezult˘ a c˘ a ¸ si num˘ arul de particule ˆ ınregistrate (de fa pt num˘ arul de pulsuri
ˆ ınregistrate, corespunz˘ atoare particulelor sau radiat ¸iilor) va asculta tot de
o distribut ¸ie Poisson:
wn=(¯n)ne−¯n
n!(1.337)
cu
¯n=g¯k=gNλt =Rt
R=¯n
t=gNλ (1.338)
DeoareceNλ=−dN/dt reprezint˘ a num˘ arul de acte de dezintegrare ˆ ın uni-
tatea de timp (viteza de dezintegrare) iar g este factorul de detect ¸ie, rezult˘ a
c˘ a R este ”viteza de dezintegrare”.
128

Ca m˘ asur˘ a a abaterii m˘ arimii ”n” de la valoarea medie ”¯ n” , se folose¸ ste
dispersia D deﬁnit˘ a astfel:
D=(n−¯n)2=n2−(¯n)2(1.339)
Intrucˆ at:
n2=∞/summationdisplay
n=0n2wn=∞/summationdisplay
n=0(n(n−1) +n)wn=∞/summationdisplay
n=0n(n−1)(¯n)ne−¯n
n!+∞/summationdisplay
n=0n(¯n)ne−¯n
n!=
=∞/summationdisplay
n=0(¯n)2(¯n)n−2e−¯n
(n−2)!+∞/summationdisplay
n=0¯n(¯n)n−1e−¯n
(n−1)!= (¯n)2+ ¯n (1.340)
rezult˘ a pentru dispersia D, corespunz˘ atoare distribut ¸ iei Poisson, expresia:
D=n2−(¯n)2= (¯n)2+ ¯n−(¯n)2= ¯n (1.341)
Abaterea standard σ(eroarea absolut˘ a) va ﬁ:
σ=√
D=/radicalBig
n2−(¯n)2=√
¯n (1.342)
iar:
ε=σ
¯n=1√¯n=1√
Rt=1√gNλt(1.343)
se nume¸ ste eroare relativ˘ a; aceast˘ a m˘ arime, exprimat˘ aˆ ın procente, deﬁne¸ ste
precizia statistic˘ a a m˘ asur˘ atorilor.
Din relat ¸ia (1.343) rezult˘ a c˘ a pentru a m˘ ari precizia st atistic˘ a, de exem-
plu de 100 ori, trebuie m˘ arit ﬁe timpul de m˘ asur˘ a t ﬁe activ itatea preparat-
uluiλNde 104ori sau ﬁecare astfel ˆ ıncˆ at produsul lor s˘ a ﬁe m˘ arit de 104
ori.
Distribut ¸ia Poisson este o distribut ¸ie discret˘ a, carac terizat˘ a de un singur
parametru ¯ n care poate lua orice valoare real˘ a pozitiv˘ a, pe cˆ and n ia numai
valori ˆ ıntregi pozitive (num˘ ar natural). Pentru ¯ n <1 distribut ¸ia wnare
maxim pentru valori n−→0. Pentru ¯ n >1,wncre¸ ste pˆ an˘ a la o valoa-
re maxim˘ a nmax≈¯n¸ si apoi scade lent spre zero. Modul de variat ¸ie al
distribut ¸iei Poisson pentru cˆ ateva valori ¯ n este prezen tat ˆ ın ﬁgura 1.52. De
precizat c˘ a distribut ¸ia este discret˘ a a¸ sa c˘ a liniile c ontinui din ﬁgur˘ a unesc
valori discrete (punctate ˆ ın ﬁgura 1.52). Dup˘ a cum se vede ¸ si din ﬁgur˘ a,
pe m˘ asur˘ a ce ¯ n cre¸ ste distribut ¸ia devine aproape simet ric˘ a, de fapt gradul
de simetrie este dat de 1 /√¯n. A¸ sadar pentru ¯ n−→∞ distribut ¸ia devine
129

Figura 1.52
Distribut ¸ia Poisson pentru diferite valori ¯ n
perfect simetric˘ a, transformˆ andu-se ˆ ıntr-o distribut ¸ie continu˘ a (n poate lua
orice valori reale) numit˘ a distribut ¸ie Gauss, deﬁnit˘ a d e relat ¸ia:
w(n) =1√
2π¯ne−(n−¯n)2
2¯n=1
σ√
2πe−(n−¯n)2
2σ2 (1.344)
Demonstr˘ am relat ¸ia (1.344). De¸ si n≪N, adesea experi-
mentaln≫1¸ si ˆ ın acest caz n! poate ﬁ ˆ ınlocuit conform relat ¸iei
lui Stirling:
n! =√
2πe−nnn+1/2=√
2πne−nnn(1.345)
Substituind ˆ ın (1.337) se obt ¸ine:
wn=1√
2πnenn−n(¯n)ne−¯n=1√
2πne−¯n+nn−n(¯n)n(1.346)
Folosind formula yx=exlny,wnse scrie ˆ ın continuare:
wn=1√
2πne−¯n+ne−nlnnenln ¯n= (1.347)
130

=1√
2πnen−¯n−nlnn+nln ¯n=1√
2πnef(n)
Dezvoltˆ and f(n) ˆ ın jurul valorii ¯ n:
f(n) =f(¯n) +∂f
∂n/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
¯n(n−¯n) +1
2!∂2f
∂n2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
¯n(n−¯n)2+···(1.348)
Se constat˘ a imediat c˘ a:
f(¯n) = 0
∂f
∂n/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
¯n= (1 + ln ¯ n−lnn−1)|¯n= 0 (1.349)
∂2f
∂n2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
¯n=−1
¯n
¸ si cu aceste valori f(n) din (1.348) devine: f(n)≈−1
2¯n(n−¯n)2
pe care substituind-o ˆ ın (1.347) se obt ¸ine:
w(n) =1√
2πne−(n−¯n)2
2¯n (1.350)
Intrucˆ at pentru valori mari ale lui n distribut ¸ia este ˆ ın gust˘ a,
rezult˘ a c˘ a n de la numitorul relat ¸iei (1.350) se poate ˆ ın locui cu
¯n¸ si se obt ¸ine expresia (1.344)
Distribut ¸ia Gauss este o distribut ¸ie continu˘ a, ca atare suma seˆ ınlocuie¸ ste
cu integrala, astfel ˆ ıncˆ at condit ¸ia de normare (1.332) ¸ si valoarea medie ¯ n
(1.334) devin:
+∞/integraldisplay
−∞w(n)dn= 1
+∞/integraldisplay
−∞nw(n)dn= ¯n (1.351)
Dispersia D din relat ¸ia (1.339), ˆ ın cazul distribut ¸iei G auss, se calculeaz˘ a
astfel:
D=+∞/integraldisplay
−∞(n−¯n)21
σ√
2πe−(n−¯n)2
2σ2dn (1.352)
131

Figura 1.53
Distribut ¸ia Gauss pentru
a) ¯n= 1 ;σ= 2
b) ¯n= 4 ;σ= 1
c) ¯n= 6 ;σ= 1/2
folosind substitut ¸ia : x=n−¯n
σ
D=σ2
√
2π+∞/integraldisplay
−∞x2e−x2
2dx=σ2
√
2π
−xe−x2
2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle+∞
−∞++∞/integraldisplay
−∞e−x2
2dx
=σ2
(1.353)
Deseori distribut ¸ia Gauss din (1.344) se prezint˘ a ˆ ın var iabila x ¸ si are forma:
w(x) =1√
2πe−x2
2 (1.354)
Pentru aceast˘ a funct ¸ie valoarea medie este zero iar σ= 1.
Distribut ¸ia Gauss depinde de doi parametri ¯ n ¸ si σ; pentru cˆ ateva valori
ale acestor parametri este reprodus˘ a ˆ ın ﬁgura 1.53
Abaterea standard σse coreleaz˘ a cu probabilitatea ca m˘ arimea aleatoare
n s˘ a aib˘ a o valoare cuprins˘ a ˆ ıntr-un interval bine deﬁni t.
132

Probabilitatea ca n s˘ a ﬁe cuprins ˆ ın intervalul ¯ n±gσse deﬁne¸ ste astfel:
P(¯n−gσ≤n≤¯n+gσ) =¯n+gσ/integraldisplay
¯n−gσw(n)dn (1.355)
cu:
P(¯n−gσ≤n≤¯n+gσ)≈/braceleftBigg
0.68 pentru g= 1
0.95 pentru g= 2(1.356)
Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a pentru foarte multe m˘ asur˘ at ori ale m˘ arimii n,
ˆ ın 68% din cazuri aceasta va avea valori cuprinse ˆ ın interv alul (¯n−σ,¯n+
σ) ¸ si ˆ ın 95% din cazuri ˆ ın intervalul (¯ n−2σ,¯n+ 2σ). Cu cˆ at abaterea
standard este mai mic˘ a cu atˆ at valorile posibile ale lui n s unt mai apropiate
de valoarea medie. Relat ¸ia (1.355) se observ˘ a c˘ a se poate deﬁni numai
pentru o distribut ¸ie simetric˘ a. Pentru cele nesimetrice trebuie ca intervalul
¯n−gσ>0 ¸ si ˆ ın plus intervalul inferior este diferit de cel superi or.
Distribut ¸ia Gauss este folosit˘ aˆ ın ﬁzica nuclear˘ aˆ ın p rocese ca: distribut ¸ia
unghiurilor de ˆ ımpr˘ a¸ stiere a particulelor ˆ ınc˘ arcate la trecerea prin materie,
distribut ¸ia parcursului particulelor grele ˆ ınc˘ arcate , distribut ¸ia dup˘ a ampli-
tudine a impulsurilor particulelor ˆ ınc˘ arcate ˆ ın detect ori cu semiconductori,
etc.
In cazul unor surse slabe, folosite de regul˘ a ˆ ın laborator , pulsurile ˆ ınre-
gistrate (viteza de num˘ arare) se supun statisticii Poisso n.
Determinarea experimental˘ a a T1/2sau a constantei de dezintegrare λ,
ceea ce ˆ ın esent ¸˘ a este acela¸ si lucru, se realizeaz˘ a pri n ˆ ınregistrarea – cu o
aparatur˘ a adecvat˘ a – a num˘ arului de particule emise de su rsa respectiv˘ a ˆ ın
unitatea de timp, la diferite intervale de timp. Este eviden t c˘ a viteza de
num˘ arare este proport ¸ional˘ a cu activitatea sursei. Rez ult˘ a c˘ a R are aceea¸ si
variat ¸ie ˆ ın timp ca ¸ si Λ dac˘ a geometria ¸ si condit ¸iile d e ˆ ınregistrare sunt
ment ¸inute neschimbate ˆ ın timpul m˘ asur˘ atorilor:
R=R0e−λt(1.357)
In aceast˘ a relat ¸ie prin R0¸ si R se ˆ ınt ¸elege viteza ”real˘ a” de num˘ arare la
momentul init ¸ial ¸ si la momentul ulterior t, obt ¸inute pri n aplicarea corect ¸iei
de fond ¸ si de aparatur˘ a la viteza de num˘ arare experimenta l˘ a.
Reprezentˆ and graﬁc ln Rˆ ın funct ¸ie de timp, teoretic trebuie s˘ a se obt ¸in˘ a
o dreapt˘ a:
lnR= lnR0−λt (1.358)
din panta c˘ areia se obt ¸ine λsauT1/2.
133

Figura 1.54
Fire¸ ste aceast˘ a metod˘ a este aplicabil˘ a pentru nucleel e radioactive cu T1/2
comparabil cu timpul de m˘ asur˘ a, pentru ca sc˘ aderea ˆ ın ti mp a lui R s˘ a ﬁe
semniﬁcativ˘ a.
In realitate, datorit˘ a caracterului statistic al legii de zintegr˘ arii radioac-
tive, indiferent de performant ¸ele aparaturii folosite, p unctele experimentale
vor ﬁ ”ˆ ımpr˘ a¸ stiate” de o parte ¸ si de alta a dreptei lnR ˆ ın funct ¸ie de t, ca ˆ ın
ﬁgura 1.54. Intrebarea care se pune ﬁresc este urm˘ atoarea: ne permit datele
experimentale ˆ ın limitele ﬂuctuat ¸iilor statistice (aba terilor) s˘ a aﬁrm˘ am c˘ a
legea dat˘ a de expresia (1.357) este corect˘ a; ¸ si de fapt cu m tras˘ am ”dreapta”
prin punctele experimentale? Procedeul care ne permite s˘ a r˘ aspundem la
aceast˘ a ˆ ıntrebare const˘ a ˆ ın a construi dreapta prin ”me toda celor mai mici
p˘ atrate”. Dac˘ a punctele experimentale se grupeaz˘ a ˆ ın j urul dreptei astfel
construite la mai put ¸in de o abatere standard σ, spunem c˘ a legea (1.357) este
veriﬁcat˘ a. In caz contrar rezult˘ a c˘ a s-a ˆ ınregistrat vi teza de num˘ arare pen-
tru un fenomen mai complicat, ˆ ın particular ar putea ﬁ vitez a de num˘ arare
pentru un preparat ce cont ¸ine mai multe specii de nuclee rad ioactive, care
se dezintegreaz˘ a independent.
Fie un preparat care cont ¸ine dou˘ a specii de nuclee radioac tive, ﬁecare
specie caracterizat˘ a de constanta de dezintegrare λ1¸ si respectiv λ2. Viteza
de num˘ arare va ﬁ:
R=R1e−λ1t+R2e−λ2t(1.359)
In acest caz ln R= ln(R1e−λ1t+R2e−λ2t) ¸ si ˆ ın reprezentarea lnR ˆ ın funct ¸ie
de t nu se mai obt ¸ine o dreapt˘ a. Dac˘ a totu¸ si construim o dr eapt˘ a prin
134

Figura 1.55
punctele experimentale, se va constata c˘ a punctele experi mntale se situeaz˘ a
fat ¸˘ a de dreapt˘ a la mai mult de o abatere standard; acest re zultat ne-ar
convinge c˘ a legea (1.357) nu este corect˘ a ˆ ın aceast˘ a sit uat ¸ie.
In cazul considerat, constantele de dezintegrare λ1¸ siλ2se pot determina
u¸ sor dac˘ a este ˆ ındeplinit˘ a condit ¸ia λ1≫λ2. In aceast˘ a situat ¸ie (1.359)
devine:
lnR= lnR2−λ2tpentrut≫1
λ1(1.360)
Graﬁcul ln Rˆ ın funct ¸ie de t, pentru t≫1/λ1este o dreapt˘ a din a c˘ arei
pant˘ a se determin˘ a λ2. Dac˘ aλ2este cunoscut, se poate ulterior construi
graﬁcul
ln(R−R2e−λ2t) =const−λ1t (1.361)
din panta c˘ aruia se obt ¸ine constanta de dezintegrare λ1.
Graﬁcul este redat ˆ ın ﬁgura 1.55. Ca ¸ si ˆ ın cazul precedent se veriﬁc˘ a
pentru ﬁecare punct experimental faptul c˘ a se g˘ ase¸ ste fa t ¸˘ a de dreapta core-
spunz˘ atoare la mai put ¸in de o abatere standard. In caz cont rar, rezult˘ a
c˘ a preparatul cont ¸ine mai multe specii de nuclee radioact ive sau viteza de
num˘ arare corespunde cazului ˆ ın care nucleul obt ¸inut est e la rˆ andul s˘ au ra-
dioactiv ¸ si procesul se continu˘ a pˆ an˘ a se ajunge la un nuc leu stabil.
Acest caz – prezentˆ and interes – va ﬁ tratat ˆ ın paragraful u rm˘ ator.
135

(1.362)
1.9.3 Familii (serii) radioactive
Experimental s-a stabilit c˘ a dezintegrarea elementelor g rele cuZ >82 prin
emisia spontan˘ a de particule α¸ si de electroni ( β−) duce la formarea unui
nucleu stabil prin intermediul unor radioelemente interme diare care deriv˘ a
unul din cel˘ alalt. De exemplu, dac˘ a se pleac˘ a de la substa nt ¸a radioactiv˘ a
”A”, prin transform˘ ari succesive ˆ ın care apar nucleele ra dioactive B, C, D,
…, se ajunge la nucleul stabil ”N”, prin urm˘ atoarea succe siune posibil˘ a:
Toate elementele radioactive naturale au fost grupateˆ ın t rei serii (familii)
radioactive: a thoriului, a uraniului ¸ si a actiniului (act inouraniu).
1.Seria thoriului ˆ ıncepe cu232
90Thcare are timpul de ˆ ınjum˘ at˘ at ¸ire
T1/2= 1.405 1010ani ¸ si prin transform˘ ari succesive α¸ siβ−se ter-
min˘ a cu izotopul stabil al plumbului208
82Pbcare este un nucleu dublu
magic (Z=82 ¸ si N=126).
2.Seria uraniului ˆ ıncepe cu izotopul238
92Ucare areT1/2= 4.47 109ani
¸ si se termin˘ a cu izotopul stabil al plumbului206
82Pbprin urm˘ atoarele
transform˘ ari:
In transform˘ arile de mai sus ˆ ın dreptul s˘ aget ¸ilor s-a in dicat timpul de
ˆ ınjum˘ at˘ at ¸ire cu notat ¸iile a=ani, d=zile ¸ si s=secund e.
3.Seria actinouraniului (sau a actiniului) ˆ ıncepe cu235
92U(care init ¸ial
s-a numit actinouraniu) care are timpul deˆ ınjum˘ at˘ at ¸ir eT1/2= 7.04 108
ani ¸ si se termin˘ a cu izotopul stabil al plumbului207
82Pb.
136

(1.363)
137

(1.364)
In anul 1940 a fost descoperit˘ a ¸ si o alt˘ a serie radioactiv ˘ a artiﬁcial˘ a, a nep-
tunului, care ˆ ıncepe cu izotopul237
93Npcare areT1/2= 2.14 106ani ¸ si se
termin˘ a cu izotopul stabil209
83Bicare are un num˘ ar magic de neutroni (126).
Ulterior s-a stabilit c˘ a de fapt aceast˘ a serie ˆ ıncepe cu i zotopul245
96Cmcare
se transform˘ a ˆ ın237
93Npastfel:
Aceast˘ a serie de¸ si ˆ ıncepe cu izotopul245
96Cm, se nume¸ ste totu¸ si seria
neptuniului.
In 1934 Ir` ene ¸ si F.Joliot Curie au descoperit c˘ a prin reac t ¸ii
nucleare se pot obt ¸ine izotopi care sunt radioactivi. Ace¸ sti izotopi
nu se g˘ asesc printre izotopii elementelor din natur˘ a ¸ si c a atare
se numesc ”izotopi artiﬁciali” iar fenomenul a fost numit ”r a-
dioactivitate artiﬁcial˘ a” care nu se deosebe¸ ste de radio activitatea
natural˘ a decˆ at prin faptul c˘ a izotopii artiﬁciali sunt c reat ¸i ˆ ın la-
borator. In acest fel a crescut enorm num˘ arul izotopilor ra dioac-
tivi ¸ si de aici posibilitatea de a studia mai amplu fenomenu l de
dezintegrare ¸ si diversiﬁcarea aplicat ¸iilor radioactiv it˘ at ¸ii. In par-
ticular prin react ¸ii nucleare s-au obt ¸inut izotopi ai ele mentelor
transuraniene cu Z >82. Primii izotopi sintetizat ¸i au fost ai
neptuniului 93Np(cu A=228÷242) ¸ si ai plutoniului 94Pu(cu
A= 232÷246). Au urmat izotopii americiului 95Am¸ si ai
curiumului 96Cm. In prezent elementele Np, Pu, Am ¸ si Cm
sunt sintetizate ˆ ın cantit˘ at ¸i mari, ceea ce a permis stab ilirea pre-
cis˘ a a propriet˘ at ¸ilor lor ﬁzice ¸ si chimice. Elementele urm˘ atoare
97Bk(Berkeliu) ¸ si 98Cf(Californiu) sunt sintetizate ˆ ın cantit˘ at ¸i
de ordinul miligramelor iar elementul 99Es(Einstein) numai ˆ ın
cantitate de ordinul 10−8g. In cantit˘ at ¸i ¸ si mai mici (de ordinul
sutelor de atomi) sunt sintetizate elementele cu Z= 100÷104,
138

prin metode radiochimice de mare sensibilitate.
Elementele ¸ si mai grele se sintetizeaz˘ a foarte greu pentr u c˘ a
timpul lor de ˆ ınjum˘ at˘ at ¸ire devine foarte mic ¸ si ca atar e ele se
dezintegreaz˘ a foarte repede. De exemplu izotopul element ului cu
Z=107 ¸ si A=261 (izotopii cu Z≥104nu au o denumire general
acceptat˘ a) are T1/2≈(1÷2)ms.
Din punct de vedere al propriet˘ at ¸ilor chimice s-a constat at
c˘ a toate elementele transuraniene cu Z= 93÷103(elemen-
tul cu Z=103 se nume¸ ste Lawrenciu) ca ¸ si elementele cu Z=
90÷92au acelea¸ si propriet˘ at ¸i ca ¸ si 89Ac¸ si ca atare formeaz˘ a
seria actinidelor ˆ ın sistemul periodic, dup˘ a cum element ele cu
Z= 58÷71formeaz˘ a seria lantanidelor ( 57La). In schimb ele-
mentul cu Z=104 are propriet˘ at ¸ile chimice asem˘ an˘ atoar e cu ale
hafniului ( 72Hf) iar elementul cu Z=105 are propriet˘ at ¸i chimice
asem˘ an˘ atoare cu ale tantalului ( 73Ta).
Izotopii transuranieni – ca de fapt ¸ si ceilalt ¸i izotopi ra dioac-
tivi – au multiple aplicat ¸ii. Important ¸a izotopului235Pu(T1/2=
2.41 104ani) ˆ ın energetica nuclear˘ a este ast˘ azi bine cunoscut˘ a
deoarece ﬁliera reactorilor rapizi se va baza tot mai mult pe acest
combustibil nuclear. Izotopul238Pu(T1/2= 87.74ani) este
folosit ca surs˘ a de curent pentru majoritatea satelit ¸ilo r artiﬁciali
iar izotopul252Cf(T1/2= 2.64ani) care emite per act de ﬁsi-
une spontan˘ a ˆ ın medie 4 neutroni, este utilizat ca surs˘ a i ntern˘ a
– portabil˘ a – de neutroni.
O surs˘ a cu radioizotopi αsauβemit ¸˘ atori se poate realiza ast-
fel (ﬁgura 1.56): Particulele ˆ ınc˘ arcate emise de radioiz otop sunt
absorbite integral ˆ ın converter (2) care se ˆ ınc˘ alze¸ ste . Un ter-
moelement (3), de exemplu termocuplu Ge-Si, introdus ˆ ın iz ola-
torul (4) se va g˘ asi la temperatura Tca converterului iar partea
exterioar˘ a, eventual r˘ acit˘ a, la temperatura mult mai mi c˘ aTr.
Randamentul maxim Carnot va ﬁ:
η=Tc−Tr
Tc
¸ si practic este ˆ ın jur de 5%; dac˘ a se folose¸ ste un mic turb ogene-
rator se poate ajunge la 25%.
In tabelul de mai jos (tabel 1.2) sunt cˆ ateva date pentru cei
mai folosit ¸i dintre ace¸ sti izotopi:
139

Figura 1.56
1. radioizotop; 2. converter ; 3. termoelement (Ge-Si); 4.
izolator
Tabel 1.2
IzotopT1/2(ani) Radiat ¸ia emis˘ a w/cm3
Teoretic˘ a practic˘ a
90Sr 29.1 β 1.1÷1.7 0.85÷1.5
238Pu 87.74 α 4.8 3.6
Se folosesc la satelit ¸i, stat ¸ii meteorologice, pentru st imula-
toare cardiace, balize luminoase (faruri),etc.
Comparˆ and timpul de ˆ ınjum˘ at˘ at ¸ire al nucleelor cu care ˆ ıncepe ﬁecare
serie radioactiv˘ a cu ”vˆ arsta P˘ amˆ antului”, care este ˆ ı n jur de 5 109ani, se
constat˘ a imediat c˘ a232Thse g˘ ase¸ ste ast˘ azi ˆ ın cantitate aproape egal˘ a cu
cea existent˘ a ˆ ın faza init ¸ial˘ a de formare a P˘ amˆ antulu i,238Us-a dezintegrat
part ¸ial iar235Us-a dezintegrat ˆ ın mare parte. Din aceste motive thoriul
(232Theste practic ˆ ın proport ¸ie de 100%) este destul de r˘ aspˆ an dit ˆ ın natur˘ a
iar uraniul-235 este de 140 ori mai put ¸in (0.7%) decˆ at uran iul-238. S˘ a ob-
serv˘ am c˘ a la ”formarea P˘ amˆ antului” proport ¸ia de urani u-235ˆ ın uraniu natu-
ral era mult mai mare,ˆ ın jur de 16%. Dac˘ a avemˆ ın vedere c˘ a ”ˆ ımbog˘ at ¸irea”
uraniului natural cu izotopul235Uˆ ın marea majoritate a reactorilor nucle-
ari energetici este de 2% – 5%, rezult˘ a c˘ a cu 5 109ani ˆ ın urm˘ a au existat
condit ¸ii favorabile, naturale, pentru declan¸ sarea spon tan˘ a a react ¸iei ˆ ın lant ¸.
Aceast˘ a situat ¸ie – reactor nuclear natural – s-a realizat se pare ˆ ın unele ex-
ploat˘ ari uranifere din Gabon. Din acelea¸ si motive, neptu niu-237 cu timpul
140

de ˆ ınjum˘ at˘ at ¸ire de 2 .4 106ani, mult mai mic decˆ at vˆ arsta P˘ amˆ antului, s-a
dezintegrat practic total, de aici necesitatea realiz˘ ari i lui pe cale artiﬁcial˘ a.
Referitor la seriile radioactive facem urm˘ atoarele preci z˘ ari:
a)Numele ﬁec˘ arei serii este dat de elementul init ¸ial cu care ˆ ıncepe seria
respectiv˘ a. Except ¸ie face seria neptuniului care ˆ ıncep e de fapt cu izo-
topul245Cm.
b)Timpul de ˆ ınjum˘ at˘ at ¸ire al elementului init ¸ial este mu lt mai mare ˆ ın
comparat ¸ie cu timpul de ˆ ınjum˘ at˘ at ¸ire al celorlalt ¸i i zotopi din serie.
Acest fapt este evident ˆ ın cazul seriei uraniului reprodus ˘ a ˆ ın (1.363).
c)Fiecare serie natural˘ a se termin˘ a cu unul din izotopii sta bili ai plumbului
care are un num˘ ar magic de protoni Z=82. Seria artiﬁcial˘ a a neptuniu-
lui se termin˘ a cu izotopul stabil al bismutului209Bi, care are num˘ ar
magic de neutroni (n=126).
d)Faptul c˘ a numai emisia de particule αschimb˘ a num˘ arul de mas˘ a A al
nucleelor din seria respectiv˘ a, implic˘ a exprimarea num˘ arului de mas˘ a
al ﬁec˘ arui nucleu din cele patru serii sub forma:
A= 4n+m cu m ¸ si n numere ˆ ıntregi (1.365)
ˆ ın care m variaz˘ a de la o serie la alta iar n variaz˘ a de la un n ucleu la
altul ˆ ın cadrul aceleea¸ si serii.
De asemeni, dac˘ a avem ˆ ın vedere c˘ a emisia αtransform˘ a nucleul init ¸ial
ˆ ıntr-un nucleu cu Z-2 iar emisia β−modiﬁc˘ a num˘ arul atomic la Z+1, rezult˘ a
c˘ a se poate stabili u¸ sor num˘ arul de transform˘ ari α¸ siβ−prin care nucleul
init ¸ial ajunge la izotopul stabil al seriei respective. De exemplu, izotopul
238Uajunge la206Pbprin opt transform˘ ari α(8α) ¸ si ¸ sase transform˘ ari β−
(6β−).
Sintetic observat ¸iile de mai sus pot ﬁ formulate astfel:
232
90Th−→…6α+ 4β−…−→208
82Pb;T1/2(Th) = 1.405 1010a;m= 0, A= 4n
237
93Np−→…7α+ 4β−…−→209
83Bi;T1/2(Np) = 2.14 106a;m= 1, A= 4n+ 1
238
92U−→…8α+ 6β−…−→206
82Pb;T1/2(U8) = 4.47 109a;m= 2, A= 4n+ 2
235
92U−→…7α+ 4β−…−→207
82Pb;T1/2(U5) = 7.04 108a;m= 3, A= 4n+ 3
(1.366)
141

In studiul seriilor radioactive este important s˘ a cunoa¸ s tem evolut ¸ia ˆ ın
timp a num˘ arului de nuclee care apart ¸in ﬁec˘ arui element a l seriei respective.
Pentru a stabili acest lucru studiem urm˘ atoarea transform are:
Aα1−→Bα2−→Cstabil (1.367)
ˆ ın care s-a notat cu A substant ¸a generatoare (primar˘ a) ¸ s i cu B ¸ si C substant ¸ele
derivate. Not˘ am cu N1(t),N2(t) ¸ siN3(t) num˘ arul de nuclee la momentul
”t” din speciile A, B ¸ si C respectiv. Nucleele substant ¸elo r A ¸ si B se de-
zintegreaz˘ a cu constantele λ1¸ si respectiv λ2iar nucleele substant ¸ei C sunt
stabile (λ3= 0). Variat ¸ia ˆ ın timp a num˘ arului de nuclee din ﬁecare spe cie
se deduce din urm˘ atoarele ecuat ¸ii:
dN1
dt=−λ1N1 (1.368)
dN2
dt=λ1N1−λ2N2 (1.369)
dN3
dt=λ2N2 (1.370)
Aceste ecuat ¸ii reﬂect˘ a faptul c˘ a variat ¸iaˆ ın timp a num ˘ arului de nuclee N2(t)
din specia B este deﬁnit˘ a de diferent ¸a dintre num˘ arul de n uclee care se
formeaz˘ a prin dezintegrarea nucleelor N1din specia A ¸ si num˘ arul de nu-
cleeN2din specia B care se dezintegreaz˘ a cu probabilitatea λ2ˆ ın unitatea
de timp iar viteza de formare a nucleelor de tip C este dat˘ a de viteza de
dezintegrare a nucleelor de tip B.
Pentru rezolvarea ecuat ¸iilor (1.368), (1.369), (1.370) c onsider˘ am c˘ a sin-
gura surs˘ a de nuclee este dat˘ a de nucleele substant ¸ei gen eratoare A care
erauN01la momentul init ¸ial, deci:
N1(0) =N01;N2(0) =N3(0) = 0 (1.371)
Cu aceste condit ¸ii, din ecuat ¸ia (1.368) rezult˘ a imediat solut ¸ia pentru evolut ¸ia
ˆ ın timp a nucleelor substant ¸ei generatoare:
N1(t) =N01e−λ1t(1.372)
Cu aceast˘ a solut ¸ie ecuat ¸ia (1.369) se transcrie astfel:
dN2
dt+λ2N2=λ1N01e−λ1t(1.373)
Multiplicˆ and aceast˘ a ecuat ¸ie cu eλ2tse obt ¸ine:
d
dt/parenleftBig
N2(t)eλ2t/parenrightBig
=λ1N01e(λ2−λ1)t(1.374)
142

care prin integrare, cu condit ¸ia (1.371), conduce la solut ¸ia:
N2(t) =N01/parenleftbiggλ1
λ2−λ1e−λ1t+λ1
λ1−λ2e−λ2t/parenrightbigg
(1.375)
Substituind aceast˘ a solut ¸ie ˆ ın ecuat ¸ia (1.370) ¸ si int egrˆ and, t ¸inˆ and seama de
condit ¸ia init ¸ial˘ a din (1.371), se obt ¸ine:
N3(t) =N01/parenleftbiggλ2
λ1−λ2e−λ1t+λ1
λ2−λ1e−λ2t+ 1/parenrightbigg
(1.376)
Generalizarea ecuat ¸iilor (1.368) – (1.370) pentru secven t ¸a:
N1α1−→N2α2−→…αk−1−→Nkαk−→…αn−1−→Nn(stabil) (1.377)
este imediat˘ a:
dN1
dt=−λ1N1
dN2
dt=λ1N1−λ2N2 (1.378)
…
dNk
dt=λk−1Nk−1−λkNk
…
dNn
dt=λn−1Nn−1
Solut ¸ia acestor ecuat ¸ii, pentru evolut ¸ia ˆ ın timp a num˘ arului de
nuclee din specia ”K” ( k/ne}ationslash= 1) cu condit ¸ia:
N1(0) =N01
N2(0) =N3(0) =…=Nk(0) =…=Nn(0) = 0 (1.379)
se obt ¸ine ca ¸ si ˆ ın cazul secvent ¸ei (1.367) ¸ si este de for ma:
Nk(t) =C1e−λ1t+C2e−λ2t+…+Cke−λkt(1.380)
cu:
C1=λ1λ2…λ k−1
(λ2−λ1) (λ3−λ1)…(λk−λ1)N01
C2=λ1λ2…λ k−1
(λ1−λ2) (λ3−λ2)…(λk−λ2)N01(1.381)
…
Ck=λ1λ2…λ k−1
(λ1−λk) (λ2−λk)…(λk−1−λk)N01
143

In cazul ˆ ın care nucleele speciei K sunt stabile, ˆ ın relat ¸ iile (1.380)
¸ si (1.381) se va considera λk= 0. Relat ¸ia (1.380) particularizat˘ a
pentru k=2 ¸ si respectiv k=3 ( λ3= 0), conduce la solut ¸iile date
de (1.375) ¸ si (1.376).
S˘ a analiz˘ am evolut ¸ia ˆ ın timp a activit˘ at ¸ii substant ¸ ei derivate B deﬁnit˘ a
conform relat ¸iei (1.318):
Λ2(t) =λ2N2(t) =N01λ1λ2
λ2−λ1(e−λ1t−e−λ2t) (1.382)
Din condit ¸ia:
dΛ2(t)
dt/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
t=tM=λ2dN2(t)
dt/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle
t=tM= 0 (1.383)
rezult˘ a c˘ a pentru:
tM=1
λ2−λ1lnλ2
λ1(1.384)
activitatea substant ¸ei derivate B devine maxim˘ a. Avˆ and ˆ ın vedere condit ¸ia
(1.383) ¸ si condit ¸ia (1.369) rezult˘ a c˘ a pentru timpul t=tMare loc egalitatea:
λ1N1(tM) =λ2N2(TM)−→Λ1(tM) = Λ 2(TM) (1.385)
adic˘ a activit˘ at ¸ile substant ¸elor A ¸ si B sunt egale. In c onsecint ¸˘ a rezult˘ a c˘ a
activitatea substant ¸ei derivate B cre¸ ste la ˆ ınceput, tr ece prin maxim pentru
t=tM¸ si devine egal˘ a cu activitatea substant ¸ei primare apoi s cade spre
zero. Dependent ¸a concret˘ a de timp este ˆ ın funct ¸ie de val orile constantelor
radioactive λ1¸ siλ2. Cazurile practice de interes corespund situat ¸iilor λ1>
λ2¸ siλ1<λ2.
Cazul 1 Substant ¸a generatoare se dezintegreaz˘ a mai repede ( λ1> λ2)
sau mult mai repede ( λ1≫λ2) decˆ at substant ¸a derivat˘ a. Deci activitatea
Λ2(t) se poate scrie:
Λ2(t) = Λ 01λ2
λ1−λ2e−λ2t(1−e−(λ1−λ2)t) (1.386)
relat ¸ie care arat˘ a c˘ a pentru t,tMdependent ¸a de timp este dat˘ a de factorul
1−e−(λ1−λ2)tiar pentrut≫tMdependent ¸a de timp este deﬁnit˘ a de factorul
e−λ2t(ﬁgura 1.57). In particular dac˘ a λ1≫λ2relat ¸ia (1.386) devine:
Λ2(t) = Λ 01λ2
λ1e−λ2t(1−e−λ1t) (1.387)
144

Figura 1.57
Variat ¸ia ˆ ın timp a activit˘ at ¸ii substant ¸ei primare Λ1(t)¸ si a
substant ¸ei derivate Λ2(t)pentruλ1>λ2
In particular pentru t≫1/λ1(practic pentru t≫(6÷8)T1/2) se obt ¸ine:
Λ2(t) =N01λ2e−λ2t= Λ02e−λ2tpentrut≫1/λ1 (1.388)
relat ¸ie care arat˘ a c˘ a activitatea substant ¸ei derivate se comport˘ a pentru
tλ1≫1 ca ¸ si cum ar ﬁ izolat˘ a. S˘ a remarc˘ am c˘ a acest caz este sim ilar
cu existent ¸a unui preparat care se dezintegreaz˘ a indepen dent (ﬁgura 1.55).
Cazul 2 Substant ¸a generatoare se dezintegreaz˘ a maiˆ ıncet ( λ1<λ2) sau
mult mai ˆ ıncet ( λ1≪λ2) decˆ at substant ¸a derivat˘ a. In acest caz activitatea
Λ2(t) din relat ¸ia (1.382) se poate transcrie astfel:
Λ2(t) = Λ 01λ2
λ2−λ1e−λ1t(1−e−(λ2−λ1)t) (1.389)
relat ¸ie care arat˘ a c˘ a pentru valori mici ale timpului t, f orma lui Λ 2(t) este
dat˘ a de factorul (1 −e−(λ2−λ1)t) iar pentru valori mari ale lui t de factorul
e−λ1t(ﬁgura 1.58). In particular dac˘ a λ2≫λ1relat ¸ia (1.389) drvine:
Λ2(t) = Λ 01e−λ1t(1−e−λ2t) (1.390)
145

Figura 1.58
Variat ¸ia ˆ ın timp a activit˘ at ¸ii substant ¸ei generatoar eΛ1(t)¸ si a
substant ¸ei derivate Λ2(t)pentruλ1<λ2
Pentru valori λ2t≫1, ceea ce practic ˆ ınseamn˘ a t≥(6÷8)T(2)
1/2, relat ¸ia
(1.390) devine:
Λ2(t) = Λ 01e−λ1t= Λ1(t) ;N2(t)λ2=N1(t)λ1 (1.391)
Rezult˘ a c˘ a pentru λ2≫λ1¸ sit≥10T(2)
1/2, activitatea substant ¸ei derivate este
egal˘ a cu cea a substant ¸ei generatoare ¸ si variaz˘ a ˆ ın tim p dup˘ a cum variaz˘ a
Λ1(t) (ﬁgura 1.58). Relat ¸ia (1.391) arat˘ a c˘ a raportul num˘ ar ului de nuclee
ale celor dou˘ a substant ¸e:
N1(t)
N2(t)≈λ2
λ1(1.392)
nu depinde de timp. In acest˘ a situat ¸ie se realizeaz˘ a ”ech ilibrul radioactiv”.
Un caz particular al echilibrului radioactiv corespunde si tuat ¸iei cˆ and
λ2≫λ1¸ si ˆ ın plusλ1≪1 (ﬁgura 1.59). In acest caz e−λ1t≈1 ¸ si deci:
Λ2(t) = Λ 01= const. pentru t≫1/λ2 (1.393)
sau:
N2(t) =λ1
λ2N01=N2 (1.394)
146

Figura 1.59
Variat ¸ia ˆ ın timp a activit˘ at ¸ii substant ¸ei generatoar eΛ1(t)¸ si a
substant ¸ei derivate Λ2(t)pentru cazul λ1≪λ2. In aceast˘ a situat ¸ie
se realizeaz˘ a echilibrul secular, iar λ1≪1
Relat ¸ia (1.394) arat˘ a c˘ a num˘ arul de nuclee N2(t) este o constant˘ a care
nu depinde de timp dac˘ a t>1/λ2.
S˘ a observ˘ am c˘ a N3(t) din expresia (1.376), pentru λ1≪λ2, devine:
N3(t) =N01/parenleftbigg
−e−λ1t+λ1
λ2e−λ2t+ 1/parenrightbigg
=N01(1−e−λ1t) (1.395)
care arat˘ a c˘ a nucleele substant ¸ei stabile C se acumuleaz ˘ a cu constanta de
dezintegrare a substant ¸ei generatoare. Este ca ¸ si cum sub stant ¸a A s-ar de-
zintegra direct ˆ ın substant ¸a C (care se acumulez˘ a). Acea st˘ a situat ¸ie r˘ amˆ ane
adev˘ arat˘ a ¸ si pentru secvent ¸a din relat ¸ia (1.377) dac˘ a:
λ1≪λ2, λ3, …,λ k,…,λ n−1;λ1≪1 (1.396)
condit ¸ie care se ˆ ındepline¸ ste ˆ ın totalitate pentru ﬁec are serie radioactiv˘ a
natural˘ a (a se vedea relat ¸ia 1.363). Se spune c˘ a s-a reali zat ”echilibrul
secular”, pentru care:
λ1N1=λ2N−2 =…=λkNk=…=λnNn (1.397)
iar nucleele substant ¸ei stabile ”n” se acumuleaz˘ a cu cons tanta de dezinte-
grareλ1a substant ¸ei generatoare, adic˘ a:
Nn(t) =N01(1−e−λ1t) (1.398)
147

Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a izotopii plumbului cu care se t ermin˘ a cele trei
serii radioactive naturale, s-au acumulat ¸ si se acumuleaz ˘ a ˆ ın timp, prin de-
zintegrarea nucleelor de232Th,238U¸ si235U. Plumbul obt ¸inut ˆ ın urma
acestor dezintegr˘ ari se nume¸ ste ”plumb radiogen”. Exper ient ¸a arat˘ a, de
exemplu, c˘ a ﬁecare gram de238Uactual este ˆ ınsot ¸it de 0.25 g de206Pb
radiogen. Folosind relat ¸ia (1.398) se poate determina vˆ a rsta P˘ amˆ antului,
conform relat ¸iilor:
N6(tP) =N08(1−e−λ8tP) =N8(tP)eλ8tP(1−e−λ8tP) =N8(tP)(eλ8tP−1)
(1.399)
N6(tP)
N8(tP)+ 1 =eλ8tP
sau:
tP=1
λ8ln/parenleftbiggN6(tP)
N8(tP)+ 1/parenrightbigg
=T(8)
1/2
ln 2ln/parenleftbiggm6
m8A6
A8+ 1/parenrightbigg
(1.400)
tP≈109ani
In aceste relat ¸ii prin N08s-a notat num˘ arul de nuclee de238Ula momen-
tul init ¸ial iar prin N8¸ siN6num˘ arul de nuclee de238U¸ si206Pbexistente
actual ˆ ın e¸ santioanele de mas˘ a m8a uraniului ¸ si m6a plumbului, de ase-
meniλ8repezint˘ a constanta radioactiv˘ a a238UiarA8¸ siA6sunt numerele
de mas˘ a pentru238U¸ si respectiv206Pb.
Relat ¸ia (1.397) se poate scrie ¸ si astfel:
N11 :N2:N3:…=T(1)
1/2:T(2)
1/2:T(3)
1/2:… (1.401)
sau ˆ ın funct ¸ie de masele respective (conform relat ¸iei: N=NAm/A):
m1:m2:m3…=A1T(1)
1/2:A2T(2)
1/2:A3T(3)
1/2:… (1.402)
De exemplu, ˆ ın acord cu succesiunea din expresia (1.363), u nul din izo-
topii seriei uraniului-238 este226RacuT1/2(Ra) = 1.6 103ani. Rezult˘ a:
T1/2(Ra)/T1/2(238U) = 3.579 10−7
¸ si ca atare la un gram de uraniu natural (neglijˆ and contrib ut ¸ia nesemniﬁca-
tiv˘ a a izotopului235U) corespund 3 .579 10−7g de radiu sau la un nucleu de
238Ucorespund 3 .579 10−7nuclee de radiu. Relat ¸iile (1.401) sau (1.402) pot
ﬁ folosite pentru determinarea timpului de ˆ ınjum˘ at˘ at ¸i re al oric˘ arui izotop
din seria respectiv˘ a dac˘ a se cunoa¸ ste timpul de ˆ ınjum˘ a t˘ at ¸ire al unui izotop
oarecare al seriei (de exemplu T1/2al uraniului).
148

Ast˘ azi studiul seriilor radioactive nu mai prezint˘ a un in teres deosebit
pentru ﬁzica nuclear˘ a propriuzis˘ a ci doar ˆ ın aplicat ¸ii le tehnice, geologice ¸ si
arheologice. In plus, multiplele aplicat ¸ii ale radioizot opilor necesit˘ a cunoa-
¸ sterea relat ¸iilor de mai sus.
1.9.4 L˘ argimea st˘ arilor care se dezintegreaz˘ a
Procesul de radioactivitate arat˘ a c˘ a sistemul format din nuclee radioactive
constituie un sistem cuantic nestat ¸ionar. Intr-adev˘ ar, ˆ ın cazul unui sistem
stat ¸ionar st˘ arile cuantice Ψ( /vector r,t), de energie bine deﬁnit˘ a E= ¯hω, variaz˘ a
ˆ ın timp dup˘ a legea:
Ψ(/vector r,t) = Ψ(/vector r)e−iE
¯ht= Ψ(/vector r)e−iωt(1.403)
Probabilitatea de a g˘ asi sistemul ˆ ın starea Ψ( /vector r,t) este:
|Ψ(/vector r,t)|2=|Ψ(/vector r)|2(1.404)
¸ si ca atare este independent˘ a de timp. Aceast˘ a relat ¸ie a rat˘ a c˘ a nucleul
(sistemul) se aﬂ˘ a ˆ ıntr-o stare stat ¸ionar˘ a. Legea dezin tegr˘ arii radioactive
(1.315) arat˘ a ˆ ıns˘ a c˘ a dac˘ a nucleul se aﬂ˘ a ˆ ın starea Ψ( /vector r) la momentul t=0,
probabilitatea de a-l g˘ asi nedezintegrat la momentul t est e dat˘ a de relat ¸ia:
|Ψ(/vector r,t)|2=|Ψ(/vector r)|2e−λt(1.405)
Pentru ca expresiile (1.403) ¸ si (1.405) s˘ a ﬁe compatibile trebuie ca energia
din relat ¸ia (1.403) s˘ a ﬁe complex˘ a:
E=E0−i
2Γ (1.406)
ˆ ın careE0¸ si Γ sunt m˘ arimi reale iar factorul 1/2 este introdus din mo tive
de simetrie. Cu energia astfel deﬁnit˘ a, funct ¸ia de und˘ a d in (1.403) devine:
Ψ(/vector r,t) = Ψ(/vector r)e−i
¯hE0te−1
2¯hΓt= Ψ(/vector r)e−iω0te−1
2¯hΓt(1.407)
iar probabilitatea:
|Ψ(/vector r,t)|2=|Ψ(/vector r)|2e−1
¯hΓt(1.408)
Pentru ca expresiile (1.405) ¸ si (1.408) s˘ a ﬁe identice tre buie s˘ a admitem
relat ¸ia:
Γ =λ¯h (1.409)
149

Din cele de mai sus rezult˘ a c˘ a funct ¸ia din (1.407), pentru Γ/ne}ationslash= 0, nu
corespunde unei st˘ ari stat ¸ionare ci unei suprapuneri de s t˘ ari stat ¸ionare de
forma relat ¸iei (1.403), ﬁecare avˆ and practic aceea¸ si st ructur˘ a spat ¸ial˘ a Ψ( /vector r)
dar de energii E= ¯hωdiferite:
Ψ(/vector r)e−iω0te−1
2¯hΓt= Ψ(/vector r)/integraldisplay
a(ω)e−iωtdω (1.410)
ˆ ın care coeﬁcient ¸ii a(ω) deﬁnesc spectrul energetic al st˘ arii Ψ( /vector r,t) ˆ ın sensul
c˘ a probabilitatea ca nucleul aﬂat ˆ ın starea Ψ( /vector r,t) s˘ a aibe energia E, este
proport ¸ional˘ a cu |a(ω)|2. Coeﬁcient ¸ii a(ω) se obt ¸in prin multiplicarea
relat ¸iei (1.410) cu factorul eiωt¸ si prin integrarea pe toate valorile posibile
ale timpului, anume: ˆ ın cazul undelor stat ¸ionare e−iωtlimitele de integrare
sunt±∞, deoarece propriet˘ at ¸ile acestora sunt independente de t imp ¸ si deci
deﬁnite pentru orice timp; pe cˆ and integrarea dup˘ a timp a f unct ¸iei Ψ(/vector r,t)
se face pentru t≥0, deoarece procesul de dezintegrare ˆ ıncepe la momentul
t=0. In acord cu aceste preciz˘ ari se obt ¸ine:
∞/integraldisplay
0ei(Ω−ω0)te1
2¯hΓtdt=∞/integraldisplay
−∞/integraldisplay
a(ω)ei(Ω−ω)tdωdt = 2πa(Ω) (1.411)
din care rezult˘ a:
a(Ω) =1
2π∞/integraldisplay
0ei
¯h(Ω¯h−E0+i
2Γ)dt (1.412)
Aceast˘ a relat ¸ie se obt ¸ine imediat ﬁe observˆ and c˘ a a(Ω) este transformata
Fourier a funct ¸iei Ψ( /vector r,t)ˆ ın raport cu Ω, ﬁe integrˆ and direct expresia (1.411):
∞/integraldisplay
−∞/integraldisplay
a(ω)ei(Ω−ω)tdωdt=limT→∞T/integraldisplay
−T/integraldisplay
a(ω)ei(Ω−ω)tdωdt = (1.413)
= lim
T→∞2/integraldisplay
a(ω)sin(Ω−ω)T
Ω−ωdω= lim
T→∞2/integraldisplay
a(Ω−y
T)siny
ydy=
= 2a(Ω)∞/integraldisplay
−∞siny
ydy= 2πa(Ω)
In obt ¸inerea acestei relat ¸ii s-a folosit schimbarea de va riabil˘ ay= (Ω−ω)T.
Din (1.412) prin integrare rezult˘ a:
a(Ω)≡a(E) =1
2πi¯h
E−E0+1
2Γ(1.414)
150

ˆ ın care s-a folosit notat ¸ia E= ¯hΩ. Deoarece probabilitatea P(E) de a g˘ asi
nucleul ˆ ın starea Ψ( /vector r,t) cu energia E este proport ¸ional˘ a cu |a(E)|2rezult˘ a:
P(E) = const.|a(E)|2= const.1
4π2¯h2
(E−E0)2+1
4Γ2(1.415)
Din condit ¸ia de normare:
∞/integraldisplay
−∞P(E)dE= 1 (1.416)
¸ si din relat ¸ia:
∞/integraldisplay
−∞dE
(E−E0)2+Γ2
4=2π
Γ(1.417)
rezult˘ a:
const. =2π
¯h2Γ (1.418)
deci:
P(E) =Γ
2π1
(E−E0)2+Γ2
4(1.419)
A¸ sadar starea cuantic˘ a a unui nucleu (sau a unui sistem de n uclee iden-
tice) radioactiv nu corespunde unei valori bine deﬁnite a en ergiei ci unei
distribut ¸ii de energie deﬁnit˘ a de expresia (1.419), numi t˘ a distribut ¸ie Lo-
rentzian˘ a sau distribut ¸ie Breit-Wigner. ”L˘ argimea” en ergetic˘ a Γ deﬁne¸ ste
l˘ argimea distribut ¸iei P(E) pentru o valoare egal˘ a cu jum ˘ atate din valoarea
maxim˘ a a probabilit˘ at ¸ii P(E) – ﬁgura 1.60. L˘ argimea ene rgetic˘ a Γ se mai
nume¸ ste ¸ si ”l˘ argime natural˘ a” a st˘ arii respective.
In acord cu relat ¸iile (1.409) ¸ si (1.316) se obt ¸ine leg˘ at ura ˆ ıntre l˘ argimea
Γ ¸ si timpul mediu de viat ¸˘ a al st˘ arii respective:
Γτ= ¯h (1.420)
care reprezint˘ a de fapt relat ¸ia de incertitudine a lui Hei senberg: ∆ E∆t≥
¯hcare exprim˘ a faptul c˘ a pentru a m˘ asura energia unei st˘ ar i cuantice cu
precizia ∆E= Γ este necesar timpul ∆ t=τ.
Din relat ¸ia (1.420) rezult˘ a pentru l˘ argimea Γ, exprimat ˘ aˆ ın eV,ˆ ın funct ¸ie
de timpulτ, exprimat ˆ ın secunde, relat ¸ia de calcul:
Γ(eV)≈0.66 10−15
τ(s)∼=0.46 10−15
T1/2(s)(1.421)
151

Figura 1.60
Dependent ¸a probabilit˘ at ¸ii P(E) de energie pentru o star e
nuclear˘ a care se dezintegreaz˘ a.
Figura 1.61
Distribut ¸ia de energie a unei st˘ ari nucleare al c˘ arei tim p de viat ¸˘ a
τeste ﬁnit
152

In concluzie, rezult˘ a c˘ a starea cuantic˘ a a unui nucleu ra dioactiv nu core-
spunde unei valori bine deﬁnite a energiei ci unei distribut ¸ii de energie de
tip Breit-Wigner, cu valoarea maxim˘ a pentru E=E0¸ si de l˘ argime ∆ E= Γ
(ﬁgura 1.61) cu atˆ at mai mic˘ a cu cˆ at timpul mediu de viat ¸˘ a este mai mare.
In particular pentru τ−→∞ l˘ argimea ∆ E−→0 ¸ si ca atare nucleul se
g˘ ase¸ ste ˆ ıntr-o stare stat ¸ionar˘ a de energie E0bine deﬁnit˘ a.
Preciz˘ am c˘ a aceast˘ a concluzie este adev˘ arat˘ a pentru o rice stare instabil˘ a
a nucleului, fundamental˘ a sau excitat˘ a.
In ˆ ıncheierea acestui paragraf subliniem c˘ a radioactivi tatea
natural˘ a a jucat un rol important ˆ ın dezvoltarea ﬁzicii nu cleare,
furnizˆ and de fapt primele informat ¸ii despre existent ¸a s pectrului
discret al st˘ arilor nucleare cˆ at ¸ si despre propriet˘ at ¸ ile cuantice ale
acestor st˘ ari (spin, paritate, energie de excitare, etc.)
Ast˘ azi radioactivitatea natural˘ a nu mai prezint˘ a un int eres ˆ ın
sine pentru ﬁzica nuclear˘ a ci, ˆ ımpreun˘ a cu radioactivit atea arti-
ﬁcial˘ a, sunt importante ˆ ın aplicat ¸iile tehnice, geolog ice ¸ si arheo-
logice precum ¸ si prin larga utilizare a radioizotopilor na turali ¸ si
artiﬁciali.
153

Capitolul 2
FORT ¸ELE NUCLEARE
2.1 Propriet˘ at ¸ile fort ¸elor nucleare
Pˆ an˘ a la descoperirea neutronului erau cunoscute dou˘ a ti puri de fort ¸e: fort ¸ele
gravitat ¸ionale ¸ si fort ¸ele electromagnetice. Odat˘ a cu descoperirea neutronu-
lui s-a constatat c˘ a ˆ ıntre protoni ¸ si neutroni act ¸ionea z˘ a fort ¸e speciale, nu-
mite ”fort ¸e nucleare”, care se deosebesc esent ¸ial de cele cunoscute ante-
rior. Propriet˘ at ¸ile fort ¸elor nucleare se pot studia ﬁe d irect din experient ¸e de
ˆ ımpr˘ a¸ stiere ﬁe, indirect, din studiul sistemelor legat e de nucleoni – adic˘ a nu-
cleele atomice. Prin studiul nucleelor atomice rezult˘ a im ediat urm˘ atoarele
propriet˘ at ¸i:
1.Fort ¸ele nucleare sunt atractive ¸ si foarte intense ceea ce rezult˘ a
din stabilitatea nucleelor ce cont ¸in pe lˆ ang˘ a neutroni ¸ si protoni ˆ ıntre
care se exercit˘ a ¸ si fort ¸e electromagnetice de respinger e.
2.Fort ¸ele nucleare sunt fort ¸e cu raz˘ a mic˘ a de act ¸iune . Aceast˘ a
proprietate a rezultat ˆ ın primul rˆ and din experient ¸ele l ui Rutherford
care a ar˘ atat c˘ a ˆ ın procesul de ˆ ımpr˘ a¸ stiere a particul elorαpe nuclee
grele la distant ¸e≤10−14m act ¸ioneaz˘ a fort ¸e atractive diferite de cele
coulombiene. Experient ¸ele ulterioare, descrise ˆ ın subc apitolul 1.3, au
ar˘ atat c˘ a raza nucleului se poate exprima prin relat ¸ia:
R=r0A1/3(2.1)
ˆ ın carer0= (1.1÷1.4) F, ceea ce arat˘ a c˘ a fort ¸ele nucleare sunt fort ¸e
de scurt˘ a distant ¸˘ a.
Caracterul de scurt˘ a distant ¸˘ a al fort ¸elor nucleare a fo st pusˆ ın evident ¸˘ a
ˆ ın anul 1933 de Wigner prin compararea energiilor de leg˘ at ur˘ a ale
154

Figura 2.1
Adˆ ancimea gropii de potent ¸ial:
a. Cazul clasic
b. Cazul cuantic
deuteronului, tritonului ¸ si a particulelor α. Wigner a pornit de la con-
statarea experimental˘ a c˘ a numai sistemul n-p, ˆ ın starea de spin I=1,
formeaz˘ a o stare legat˘ a – deuteronul – a c˘ arui energie de l eg˘ atur˘ a este
Wn−p=Wd≡2.2 MeV. Din punct de vedere clasic aceasta semniﬁc˘ a
faptul c˘ a ˆ ıntre nucleonii n ¸ si p se exercit˘ a fort ¸e atrac tive a c˘ aror ener-
gie este 2.2 MeV. Convent ¸ional acest fapt poate ﬁ simboliza t printr-
o groap˘ a de potent ¸ial dreptunghiular˘ a, de adˆ ancime V0=Wd¸ si de
l˘ argime R (ﬁgura 2.1a) avˆ and urm˘ atoarea semniﬁcat ¸ie: a tˆ ata timp
cˆ at nucleonii n ¸ si p, aﬂat ¸i ˆ ın repaus, se g˘ asesc la o dist ant ¸˘ a:r > R
ˆ ıntre ei nu exist˘ a interact ¸ie ¸ si starea lor energetic˘ a este considerat˘ a
(convent ¸ional) egal˘ a cu zero. Dac˘ a n ¸ si p se g˘ asesc la di stant ¸ar≤R
ˆ ıntre ei se exercit˘ a fort ¸e atractive ¸ si ca atare se forme az˘ a un sistem
legat deuteronul – a c˘ arui energie total˘ a va ﬁ:
Et=−Wd=−V0 (2.2)
deci cu 2.2 MeV mai mic˘ a decˆ at ˆ ın cazul distant ¸elor r > R . A¸ sadar,
din punct de vedere clasic adˆ ancimea gropii de potent ¸ial c orespunde
unei st˘ ari legate de energie total˘ a minim˘ a. Considerˆ an d corecte aceste
considerente clasice ¸ si pentru cazul nucleelor atomice s˘ a estim˘ am ener-
gia de leg˘ atur˘ a a tritonului ¸ si a particulelor αpornind de la energia de
leg˘ atur˘ a a deuteronului. In acest scop s˘ a remarc˘ am fapt ul c˘ a deoarece
sistemele n-n ¸ si p-p nu au st˘ ari legate rezult˘ a c˘ a energi ile lor de leg˘ atur˘ a
155

sunt mai mici sau cel mult egale cu zero:
Wn−n≤0 ;Wp−p≤0 (2.3)
Deoarece tritonul (1p+2n) are trei leg˘ aturi de tipul n-n, n -p ¸ si p-n,
judecˆ and clasic ar rezulta c˘ a energia lui de leg˘ atur˘ a tr ebuie s˘ a ﬁe egal˘ a
cu 2Wd= 4.4 MeV iar a particulelor α, care cont ¸in patru leg˘ aturi de
tip n-p, ar putea s˘ a ﬁe de 8.8 MeV. Aceste rezultate nu se conﬁ rm˘ a
experimental dup˘ a cum se poate constata din Tabelul 2.1
Tabelul 2.1
Nucleul Nr. de leg˘ aturi Energia de leg˘ atur˘ a (MeV)
total˘ a pt. o singur˘ a
leg˘ atur˘ a
d 1 2.2 2.2
t 3 8.5 2.8
α 6 28.0 4.7
A¸ sadar, judecˆ and clasic, nu se pot explica energiile de le g˘ atur˘ a pentru
celelalte nuclee pornind de la fort ¸ele ce se exercit˘ a ˆ ınt re doi nucleoni.
Se impune considerarea efectelor cuantice, ˆ ın particular considerarea
principiului de incertitudine al lui Heisenberg conform c˘ aruia pentru
microparticule (nucleoni) nu se poate deﬁni simultan pozit ¸ia ¸ si impul-
sul; aceste m˘ arimi sunt corelate prin relat ¸ia:
∆p∆x≈¯h (2.4)
S˘ a reamintim ¸ si faptul c˘ a ˆ ın mecanica cuantic˘ a, ca ¸ si ˆ ın mecanica
clasic˘ a, mi¸ scarea relativ˘ a a doi nucleoni poate ﬁ redus˘ a la mi¸ scarea
unei singure particule de mas˘ a redus˘ a µdeﬁnit˘ a prin relat ¸ia:
µ=mpmn
mp+mn≈m
2(2.5)
ˆ ın care prin m s-a notat masa protonului considerat˘ a egal˘ a cu cea a
neutronului. Considerˆ and particula de mas˘ a µlocalizat˘ a ˆ ıntr-o groap˘ a
de potent ¸ial de l˘ argime R (∆ x≤R) rezult˘ a c˘ a particula aﬂat˘ a ˆ ın
groapa de potent ¸ial va avea, pe lˆ ang˘ a energia Wd¸ si o energie cinetic˘ a
deﬁnit˘ a de relat ¸ia:
T=(∆p)2
2µ=¯h2
2µR2(2.6)
156

Pentru ca particula s˘ a nu p˘ ar˘ aseasc˘ a groapa de potent ¸i al, deci pentru a
forma un sistem legat, este necesar ca adˆ ancimea acesteia −V0(ﬁgura
2.1b) s˘ a satisfac˘ a relat ¸ia:
Et=T+V=T−V0=−(V0−T) =−Wd (2.7)
din care rezult˘ a condit ¸ia:
V0−T=Wd;V0>T=¯h2
2µR2(2.8)
sau relat ¸ia echivalent˘ a:
VoR2>¯h2
2µ(2.9)
A¸ sadar, din punct de vedere cuantic starea legat˘ a a sistem ului n-p se
poate realiza numai ˆ ıntr-o groap˘ a de potent ¸ial pentru ca re adˆ ancimea
¸ si l˘ argimea satisfac condit ¸ia (2.9). S˘ a analiz˘ am cazu rile extreme pentru
care aceast˘ a condit ¸ie este satisf˘ acut˘ a.
Cazul a corespunde situat ¸iei ˆ ın care V0R2dep˘ a¸ se¸ ste cu foarte put ¸in
valoarea ¯h2/2µ:
V0R2≥¯h2/2µ (2.10)
Din aceast˘ a condit ¸ie rezult˘ a:
V0R2−¯h2
2µ≪V0R2(2.11)
sau:
V0−¯h2
2µR2≪V0 (2.12)
Corelˆ and relat ¸iile (2.7) ¸ si (2.12) rezult˘ a condit ¸ia:
Wd≪V0 (2.13)
Aceast˘ a condit ¸ie, corelat˘ a cu relat ¸ia (2.9) arat˘ a c˘ a ˆ ın cazul studiat
groapa de potent ¸ial este adˆ anc˘ a dar ˆ ıngust˘ a.
Cazul b corespunde situat ¸iei:
V0R2≫¯h2
2µ(2.14)
157

Figura 2.2
Groapa de potent ¸ial pentru deuteron
¸ si deci are loc relat ¸ia:
V0R2−¯h2
2µ≈V0R2(2.15)
sau relat ¸ia echivalent˘ a:
V0−¯h2
2µR2≈V0 (2.16)
Corelˆ and din nou aceast˘ a relat ¸ie cu relat ¸ia (2.7) rezul t˘ a:
Wd≈V0 (2.17)
Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a ˆ ın acest caz groapa de potent ¸ ial este larg˘ a ¸ si
put ¸in adˆ anc˘ a. S˘ a observ˘ amˆ ıns˘ a c˘ a acest caz corespu nde situat ¸ie clasice
(ﬁgura 2.1a) ˆ ın care adˆ ancimea gropii de potent ¸ial coinc ide cu starea
de energie minim˘ a a sistemului. Deoarece considerentele c lasice ne-
au condus la o concordant ¸˘ a pentru energiile de leg˘ atur˘ a ale tritonului
¸ si particulei αrezult˘ a c˘ a ˆ ın sistemul n-p legat se realizeaz˘ a cazul a
exprimat de relat ¸ia (2.13), adic˘ a groapa de potent ¸ial es te adˆ anc˘ a dar
ˆ ıngust˘ a ceea ce arat˘ a c˘ a fort ¸ele nucleare sunt fort ¸e d e scurt˘ a distant ¸˘ a.
S˘ a remarc˘ am faptul c˘ a ˆ ın acest caz sistemul legat n-p are o energie de
leg˘ atur˘ a mic˘ a ˆ ın comparat ¸ie cu adˆ ancimea gropii de po tent ¸ial (ﬁgura
2.2) ceea ce implic˘ a o probabilitate mic˘ a de a g˘ asi nucleo nii n ¸ si p ˆ ın
permanent ¸˘ aˆ ın interiorul gropii de potent ¸ial. Este de f apt situat ¸ia real˘ a
158

a deuteronului a c˘ arui raz˘ a Rd, dup˘ a cum rezult˘ a din experient ¸ele de
ˆ ımpr˘ a¸ stiere, are valoarea:
Rd≈4.8F (2.18)
de¸ si raza fort ¸elor nucleare este de R≈(1.5÷1.7) F. Pentru aceast˘ a
valoare adˆ ancimea gropii de potent ¸ial pentru deuteron, ˆ ın acord cu
relat ¸ia (2.10), va ﬁ:
V0≈¯h2
2µR2≈17MeV (2.19)
Subliniem faptul c˘ a un calcul mai exact conduce la urm˘ atoa rea expresie
¸ si valoare pentru adˆ ancimea V0:
V0=π2¯h2
8µR2≈42MeV (2.20)
Din aceste relat ¸ii rezult˘ a c˘ a Wd≪V0¸ si c˘ a deci starea legat˘ a de energie
minim˘ a a deuteronului se aﬂ˘ a la limita superioar˘ a a gropi i de potent ¸ial
(ﬁgura 2.2). Aceast˘ a situat ¸ie corelat˘ a cu faptul c˘ a for t ¸ele nucleare
au raz˘ a mic˘ a de act ¸iune explic˘ a ¸ si faptul c˘ a deuteronu l nu are st˘ ari
excitate legate. Intr-adev˘ ar, prima stare excitat˘ a core spunde st˘ arii de
und˘ a ”p” (l=1) a c˘ arei energie ”centrifugal˘ a” este dat˘ a de relat ¸ia:
Ecentr.=¯h2l(l+ 1)
2µR2
d=¯h2
2µR2/parenleftbiggR
Rd/parenrightbigg2
l(l+ 1)≈5MeV (2.21)
Valoarea acestei energii este mai mare decˆ at energia Wd¸ si ca atare
deuteronul nu poate exista ˆ ın aceast˘ a stare sau, evident, ˆ ın st˘ arile de
moment orbital l>1.
3.Fort ¸ele nucleare au caracter de saturat ¸ie . Aceast˘ a proprietate
care const˘ a ˆ ın aceea c˘ a un nucleon interact ¸ioneaz˘ a num ai cu un num˘ ar
limitat de nucleoni vecini, indiferent de num˘ arul de nucle oni A ai nu-
cleului, este pus˘ a ˆ ın evident ¸˘ a de faptul c˘ a energia med ie per nucleon
B(A,Z) (deﬁnit˘ a ˆ ın paragraful 1.2.1) este practic consta nt˘ a pentru
toate nucleele cu A≥20÷30. In cazul ˆ ın care oricare nucleon ar
ﬁ interact ¸ionat cu tot ¸i ceilalt ¸i nucleoni energia total ˘ a a nucleului ar ﬁ
fost proport ¸ional˘ a cu A(A-1)/2 ¸ si ca atare B(A,Z) ar ﬁ cre scut liniar
cu num˘ arul de nucleoni A. In plus diametrul nucleelor, indi ferent de
num˘ arul de nucleoni A, ar ﬁ fost acela¸ si ¸ si egal cu raza de a ct ¸iune a
fort ¸elor nucleare, ceea ce nu se conﬁrm˘ a experimental (pa ragraful 1.3).
159

Proprietate de saturat ¸ie au de asemenea fort ¸ele chimice
¸ si fort ¸ele Van der Waals. In general caracterul de saturat ¸ie
al fort ¸elor se explic˘ a ˆ ın ﬁzic˘ a prin dou˘ a posibilit˘ at ¸i: ﬁe cu
ajutorul fort ¸elor de schimb ﬁe cu fort ¸e care prezint˘ a un p u-
ternic caracter repulsiv la distant ¸e mici. Fort ¸ele de sch imb
explic˘ a caracterul de saturat ¸ie al fort ¸elor chimice iar fort ¸ele
cu repulsie la distant ¸˘ a scurt˘ a explic˘ a caracterul de sa turat ¸ie
ˆ ın cazul lichidelor. In cazul fort ¸elor nucleare, dup˘ a cu m
rezult˘ a din experient ¸ele de ˆ ımpr˘ a¸ stiere nucleon-nuc leon se
realizeaz˘ a ambele variante.
4.Independent ¸a de sarcin˘ a a fort ¸elor nucleare . Experient ¸ele de
ˆ ımpr˘ a¸ stiere a protonilor sau a neutronilor pe t ¸inte de h idrogen (deci
experient ¸e de tip p-p ¸ si n-p) au relevat faptul c˘ a sect ¸iu nile eﬁcace pen-
tru procesele precizate sunt de acela¸ si ordin de m˘ arime; d e aici rezult˘ a
c˘ a fort ¸ele nucleare sunt independente de sarcin˘ a, adic˘ a interact ¸iile –
f˘ ar˘ a cele coulombiene – ˆ ıntre partenerii p-p, n-p ¸ si (in direct) n-n sunt
identice dac˘ a nucleonii p ¸ si n se g˘ asesc ˆ ın st˘ ari spat ¸i ale ¸ si de spin
identice.
Adev˘ arul acestei aﬁrmat ¸ii se poate veriﬁca ¸ si din studiu l energiei de
leg˘ atur˘ a W(A,Z). In expresia energiei totale deﬁnit˘ a de relat ¸ia (1.99) se
poate separa energia de leg˘ atur˘ a nuclear˘ a WN(A,Z), datorat˘ a fort ¸elor
nucleare, ¸ si energia coulombian˘ a, care duce la sl˘ abirea leg˘ aturii nucle-
uluiWC(A,Z):
W(A,Z) = (Zmp+ (A−Z)mn−m(A,Z))c2=
=WN(A,Z)−WC(A,Z) (2.22)
In mod similar, pentru nucleul X(A,Z-1)ˆ ın care un proton a f ost schim-
bat cu un neutron, W(A,Z-1) se deﬁne¸ ste astfel:
W(A,Z−1) = ((Z−1)mp+ (A−Z+ 1)mn−m(A,Z−1))c2=
=WN(A,Z−1)−WC(A,Z−1) (2.23)
Dac˘ a independent ¸a de sarcin˘ a a fort ¸elor nucleare are lo c, ˆ ınseamn˘ a c˘ a
energia de leg˘ atur˘ a depinde numai de num˘ arul de nucleoni ¸ si nu de
natura lor; ca atare are loc relat ¸ia:
WN(A,Z)∼=WN(A,Z−1)∼=WN(A) (2.24)
160

Din relat ¸iile (2.22) ¸ si (2.23), t ¸inˆ and cont de (2.24) re zult˘ a:
W(A,Z−1)−W(A,Z) = (mn−mp+M(A,Z)−m(A,Z−1))c2=
=WC(A,Z)−WC(A,Z−1) (2.25)
Deoarece energia coulombian˘ a WC(A,Z) pentru Z protoni uniform
distribuit ¸i ˆ ıntr-o sfer˘ a de raz˘ a R este deﬁnit˘ a de rela t ¸ia (1.82), relat ¸ia
(2.25) devine:
(mn−mp+M(A,Z)−m(A,Z−1))c2=1
4πε06(Z−1)e2
5R≈
≈1.44Z−1
R(F)(MeV) (2.26)
ˆ ın care dac˘ a raza nucleului se exprim˘ aˆ ın ”fermi” (F), en ergia se obt ¸ine
ˆ ın MeV. Relat ¸ia (2.26) cu raza deﬁnit˘ a ˆ ın relat ¸ia (2.1) se veriﬁc˘ a bine
pentru nucleele stabile ceea ce arat˘ a c˘ a relat ¸ia (2.24), care exprim˘ a
independent ¸a de sarcin˘ a a fort ¸elor nucleare, este adev˘ arat˘ a.
S˘ a preciz˘ am c˘ a adesea relat ¸ia (2.26) este folosit˘ a pen –
tru determinarea razei ”electrice” a nucleului; prin aceas ta
se consider˘ a, ﬁre¸ ste, c˘ a are loc independent ¸a de sarcin ˘ a a
fort ¸elor nucleare.
Din independent ¸a de sarcin˘ a a fort ¸elor nucleare rezult˘ a c˘ a din punct
de vedere al fort ¸elor nucleare nu exist˘ a nicio diferent ¸˘ a ˆ ıntre proton
¸ si neutron ¸ si ca atare protonul ¸ si neutronul pot ﬁ privite ca aceea¸ si
particul˘ a – nucleonul – care poate avea dou˘ a st˘ ari posibi le: protonul
¸ si neutronul. Cele dou˘ a st˘ ari posibile pot ﬁ deosebite nu mai datorit˘ a
interact ¸iei electromagnetice. In acest sens diferent ¸a ˆ ıntre energiile de
repaus ale neutronului ¸ si protonului:
(mn−mp)c2≈1.293MeV (2.27)
este considerat˘ a ca ﬁind de natur˘ a electromagnetic˘ a.
Pentru tratarea teoretic˘ a a protonului ¸ si neutronului ca dou˘ a st˘ ari posi-
bile ale nucleonului s-a utilizat un formalism matematic si milar cu cel
utilizat pentru tratarea spinului. Se introduce un spat ¸iu ”izotopic” ˆ ın
care ”spinul izotopic” joac˘ a acela¸ si rol pe care spinulˆ ı l joac˘ a ˆ ın spat ¸iul
obi¸ snuit iar regulile de compunere sunt acelea¸ si cu cele a le momentului
161

de spin. Dac˘ a T este valoarea num˘ arului cuantic de izospin m˘ arimea
vectorului va ﬁ:
|/vectorT|= ¯h/radicalBig
T(T+ 1) (2.28)
¸ si proiect ¸ia sa Tzpoate lua 2T+1 valori, de la +¯ hTla−¯hT¸ si este
caracterizat˘ a de proiect ¸ia mTcare are valori de la T la -T.
Aceast˘ a tratare a condus la a atribui nucleonului num˘ arul cuantic de
izospin T=1/2 cu valoarea mT= +1/2 pentru proton ¸ si mT=−1/2
pentru neutron. In acest fel nucleonul reprezint˘ a un spino r ˆ ın spat ¸iul
izotopic. Dat ﬁind faptul c˘ a interact ¸ia nuclear˘ a nu depi nde de ”starea
nucleonului”, adic˘ a de valoarea proiect ¸iei mTci numai de valoarea
vectorului izotopic rezult˘ a c˘ a interact ¸ia nuclear˘ a es te ”invariant˘ a ˆ ın
raport cu rotat ¸ia ˆ ın spat ¸iul izotopic”. Aceast˘ a propri etate, care este
de fapt o alt˘ a exprimare a independent ¸ei de sarcin˘ a a fort ¸elor nucleare,
este cunoscut˘ a ˆ ın literatura de specialitate ca ”invaria nt ¸a izotopic˘ a”.
Ulterior formalismul spinului izotopic a fost extins ¸ si
pentru particule elementare. Astfel mezonii π±,π0sunt
considerat ¸i ca trei st˘ ari, de sarcin˘ a diferit˘ a ale mezo nului
c˘ aruia i se atribuie num˘ arul cuantic de izospin T=1 iar
mezoniiπ+,π0¸ siπ−aumTcorespunz˘ ator +1, 0 ¸ si -1.
In mod similar mezonii K+¸ siK0formeaz˘ a un dublet izo-
topic cu T=1/2 ¸ si mT= 1/2pentruK+¸ simT=−1/2
pentruK0. Exist˘ a deasemeni particule elementare cu spinul
izotopicT >1. O astfel de particul˘ a este rezonant ¸a ∆33
care are spinul izotopic egal cu 3/2 formˆ and un cuadruplet
ˆ ın spat ¸iul izotopic, cu patru st˘ ari ∆++, ∆+, ∆0¸ si∆−avˆ and
proiect ¸iilemTrespectiv, egale cu 3/2, 1/2, -1/2 ¸ si -3/2
Conceptul de spin izotopic se generalizeaz˘ a ¸ si pentru nuc leul atomic
pentru care sunt adev˘ arate relat ¸iile:
mT=Z−N
2;T≥/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleZ−N
2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle (2.29)
Studiul nucleelor u¸ soare, pentru care interact ¸ia electr omagnetic˘ a este
semniﬁcativ˘ a ¸ si ca atare invariant ¸a izotopic˘ a se veriﬁ c˘ a experimental,
arat˘ a c˘ a st˘ arile fundamentale ale nucleelor sunt caract erizate de valoa-
rea minim˘ a a num˘ arului cuantic de izospin deﬁnit de relat ¸ ia (2.29) ¸ si
deci:
T=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleZ−N
2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle2Z−A
2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle (2.30)
162

bf
Figura 2.3
Schema de nivele pentru nucleele oglind˘ a7
3Li¸ si7
4Be
Astfel, pentru izotopul7
4Benum˘ arul cuantic de izospin are valoarea
T=1/2 cu (2T+1)=2 valori (proiect ¸ii) posibile. Prin urmar e trebuie
s˘ a existe un nucleu cu propriet˘ at ¸i asem˘ an˘ atoare; aces ta este nucleul
7
3LicumT=−1/2. Similitudinea acestor dou˘ a nuclee, numite nuclee
”oglind˘ a”, se reﬂect˘ a ¸ si ˆ ın schema lor de nivele dup˘ a cu m se poate
constata ˆ ın ﬁgura 2.3. Din ﬁgur˘ a se constat˘ a c˘ a spinii ¸ s i parit˘ at ¸ile ca
¸ si energiile nivelelor celor dou˘ a nuclee sunt practic ega le. Preciz˘ am c˘ a
energiile nucleului7
4Besunt deplasate cu energia:
∆E≈1.44Z−1
R−(mn−mp)c2(2.31)
fat ¸˘ a de energiile nivelelor nucleului de7
3Li. Relat ¸ia (2.31) rezult˘ a ime-
diat din relat ¸ia (2.26). Astfel de dublet ¸i sau multiplet ¸ i de izospin
se constat˘ a experimental pentru majoritatea nucleelor u¸ soare oglind˘ a
ceea ce este o dovad˘ a a faptului c˘ a are loc invariant ¸a izot opic˘ a. S˘ a
preciz˘ am cu acest prilej c˘ a nucleele oglind˘ a sunt nuclee le pentru care
toate leg˘ aturile de tip p-p se schimb˘ aˆ ın leg˘ aturi n-nˆ ı n timp ce num˘ arul
leg˘ aturilor de tip n-p r˘ amˆ ane neschimbat; din deﬁnit ¸ie rezult˘ a c˘ a nu-
cleele oglind˘ a sunt nuclee izobare.
In procesele de interact ¸ie dintre particulele elementare sau dintre nu-
cleele u¸ soare (pentru care interact ¸iile electromagneti ce sunt neglijabile)
163

invariant ¸a izotopic˘ a implic˘ a legea conserv˘ arii spinu lui izotopic, lege ce
implic˘ a o serie de restrict ¸ii ˆ ın desf˘ a¸ surarea procese lor respective.
In consecint ¸˘ a, nucleonii, nucleele ¸ si particulele elem entare sunt carac-
terizate ¸ si prin num˘ arul cuantic de izospin T. In cazul nuc leonilor sau
particulelor cu T=1/2, prin analogie cu tratarea particule lor de spin
I=1/2, se introduce ”operatorul spinului izotopic” ˆ τprin relat ¸ia:
/vectorT=1
2ˆτ (2.32)
Se constat˘ a c˘ a operatorul ˆ τeste corelat cu izospinul T la fel cum
operatorul Pauli ˆ σeste corelat cu operatorul de spin. Ca ¸ si ˆ ın cazul
operatorului ˆ σse introduc ¸ si pentru operatorul ˆ τmatriceleτx,τy¸ siτz
deﬁnite astfel:
τx=/parenleftBigg
0 1
1 0/parenrightBigg
;τy=/parenleftBigg
0−i
i0/parenrightBigg
;τz=/parenleftBigg
1 0
0−1/parenrightBigg
(2.33)
5.Dependent ¸a de spin a fort ¸elor nucleare. Similitudinea dintre
interact ¸iile n-p, p-p ¸ si n-n ridic˘ a ˆ ıns˘ a problema de a s e stabili de ce
sistemul n-p formeaz˘ a o stare legat˘ a – deuteronul – pe cˆ an d sistemele
n-n ¸ si p-p nu realizeaz˘ a asemenea st˘ ari legate. Aceast˘ a situat ¸ie s-a
rezolvat f˘ acˆ andu-se remarca c˘ a fort ¸ele nucleare sunt i ndependente de
sarcin˘ a dar depind de starea de spin a nucleonilor sau a part iculelor
elementare. De aici ¸ si formularea de la punctul precedent c onform
c˘ areia independent ¸a de sarcin˘ a are loc pentru parteneri de interact ¸ie
care se aﬂ˘ aˆ ın st˘ ari spat ¸iale ¸ si de spin identice. Intr- adev˘ ar sistemele n-
n ¸ si p-p, ﬁind formate din nucleoni identici ˆ ın starea s (l= 0), conform
principiului Pauli se pot g˘ asi numai ˆ ın starea singlet (I= 0). Faptul
c˘ a aceste sisteme nu formeaz˘ a st˘ ari legate conduce la ide ea c˘ a fort ¸ele
nucleare sunt mai slabe ˆ ın starea singlet decˆ at ˆ ın starea triplet (I=1).
Acest fapt este conﬁrmat de faptul c˘ a nucleul atomului de de uteriu
prezint˘ a stare legat˘ a numai dac˘ a spinii protonului ¸ si n eutronului sunt
orientat ¸i paralel (ﬁgura 2.4a). S˘ a observ˘ am c˘ a momentu l cinetic total
al deuteronului I este format din spinul protonului, neutro nului ¸ si din
momentul orbital L, ce caracterizeaz˘ a mi¸ scarea lor relat iv˘ a, ˆ ın acord
cu relat ¸ia:
/vectorI=/vectorS+/vectorL;/vectorS=/vectorSp+/vectorSn (2.34)
In cazul din ﬁgura 2.4a momentul orbital L este zero adic˘ a de uteronul
se aﬂ˘ a ˆ ın starea s (L=0). Avˆ and ˆ ın vedere conservarea par it˘ at ¸ii cˆ at ¸ si
164

Figura 2.4
Spinii protonului ¸ si neutronului sunt orientat ¸i paralel
a)L=0; b) L=2
relat ¸ia vectorial˘ a (2.34) valoarea I=1 se poate realiza ¸ si pentru L=2
conform cuplajului ilustrat ˆ ın ﬁgura 2.4b.
Dependent ¸a fort ¸elor nucleare de spin este demonstrat˘ a ¸ si de efectul
compensat ¸iei spinilor la nucleele par-pare ca ¸ si ˆ ın mare a lor stabilitate
ˆ ın comparat ¸ie cu nucleele vecine impar-impare. S˘ a preci z˘ am ¸ si faptul
c˘ a experient ¸ele deˆ ımpr˘ a¸ stiere, efectuate cu fascicu le polarizate pe t ¸inte
polarizate sau nu, au conﬁrmat pe deplin dependent ¸a fort ¸e lor nucleare
de spin cˆ at ¸ si dependent ¸a acestor fort ¸e de orientarea sp inului fat ¸˘ a
de direct ¸ia momentului orbital, deci dependent ¸a fort ¸el or nucleare de
interact ¸ia spin orbit˘ a.
6.Fort ¸ele nucleare sunt necentrale . Dou˘ a argumente simple con-
ﬁrm˘ a imediat aceast˘ a proprietate. Astfel, se ¸ stie c˘ a mo mentul mag-
netic dipolar al deuteronului este egal cu 0 .8574µN. Dac˘ a deuteronul
ar ﬁ descris numai de cuplajul ilustrat ˆ ın ﬁgura 2.4a atunci momentul
deuteronului ˆ ın starea s (L=0) ar ﬁ dat de momentele magneti ce ale
protonului ¸ si neutronului:
µd(S) =µp+µn= 0.87963µN (2.35)
In relat ¸ia (2.35) pentru µp¸ siµns-au folosit valorile din relat ¸ia (1.208).
Relat ¸ia (2.35) arat˘ a c˘ aˆ ıntre valoarea aceasta ¸ si valo area experimental˘ a
165

µdexist˘ a diferent ¸a:
µd(S)−µd= 0.02221µN (2.36)
Aceast˘ a mic˘ a diferent ¸˘ a arat˘ a c˘ a de¸ si deuteronul se a ﬂ˘ a ˆ ın starea fun-
damental˘ a cu prec˘ adere ˆ ın starea s (L=0) el cont ¸ine, cu o pondere
mic˘ a, ¸ si starea d (L=2). Aceast˘ a aﬁrmat ¸ie este sust ¸inu t˘ a ¸ si de faptul
c˘ a deuteronul are un moment cuadrupolar diferit de zero ¸ si egal cu:
Q0= 0.282F2= 2.82mb (2.37)
Dac˘ a deuteronul s-ar ﬁ aﬂat numai ˆ ın starea s (L=0), care pr ezint˘ a
simetrie sferic˘ a, momentul s˘ au cuadrupolar ar ﬁ fost zero (paragraful
1.8). A¸ sadar relat ¸iile (2.36) ¸ si (2.37) conﬁrm˘ a faptul c˘ a deuteronul, ˆ ın
starea fundamental˘ a, este o superpozit ¸ie de st˘ ari s ¸ si d ˆ ın care starea
d are o pondere mic˘ a de aproximativ 6.7 %. Din aceste fapte ex peri-
mentale rezult˘ a c˘ a fort ¸ele nucleare cont ¸in ¸ si o compon ent˘ a necentral˘ a.
Fort ¸ele necentrale care conduc la existent ¸a momentului c uadrupolar al
deuteronului se numesc ”fort ¸e tensoriale” (a se vedea para graful 2.2).
In subcapitolul urm˘ ator vom ar˘ ata c˘ a aceste fort ¸e sunt ˆ ıntr-adev˘ ar
responsabile de existent ¸a momentului cuadrupolar pentru deuteron.
2.2 Operatorul energiei potent ¸iale V pentru interact ¸ia
nucleon-nucleon
Rezumˆ and propriet˘ at ¸ile fort ¸elor nucleare trecute ˆ ın revist˘ a ˆ ın subcapitolul
precedent rezult˘ a c˘ a operatorul energiei potent ¸iale de interact ¸ie nucleon-
nucleon trebuie s˘ a depind˘ a de coordonatele spat ¸iale ale nucleonilor /vector r1¸ si/vector r2,
de operatorii Pauli pentru spinii nucleonilor, de operator ii similari/vector τ1¸ si/vector τ2
pentru izospinul nucleonilor cˆ at ¸ si de vitezele /vector v1¸ si/vector v2(sau impulsurile /vector p1¸ si
/vector p2) ale nucleonilor:
V=V(/vector r1,/vector r2,/vector σ1,/vector σ2,/vector τ1,/vector τ2,/vector p1,/vector p2) (2.38)
Pentru a deﬁni dependent ¸a explicit˘ a a operatorului V de m˘ arimile pre-
cizate ˆ ın (2.38) pornim de la condit ¸ia c˘ a acesta trebuie s ˘ a ﬁe invariant la
operat ¸ia de translat ¸ie, de rotat ¸ie, la inversia spat ¸ia l˘ a ¸ si temporal˘ a. Invariant ¸a
la translat ¸ie implic˘ a condit ¸ia ca operatorul V s˘ a depin d˘ a de:
/vector r=/vector r1−/vector r2;/vector p=/vector p1−/vector p2 (2.39)
166

¸ si deci V devine:
V=V(/vector r,/vector σ1,/vector σ2,/vector τ1,/vector τ2,/vector p) (2.40)
Deoarece vitezele nucleonilor din nucleu sunt mici (v/c=0. 1) inﬂuent ¸a aces-
tora ˆ ın valoarea energiei potent ¸iale poate ﬁ, ˆ ın prim˘ a a proximat ¸ie, neglijat˘ a.
In acest caz se spune c˘ a fort ¸ele nucleare sunt ”statice” ia r operatorul V
corespunz˘ ator acestor fort ¸e este de forma:
V=V(/vector r,/vector σ1,/vector σ2,/vector τ1,/vector τ2) (2.41)
a) Cazul fort ¸elor centrale.
Dac˘ a operatorul V din relat ¸ia precedent˘ a depinde numai d e modulul
vectoruluir=|/vector r|atunci operatorul V corespunde fort ¸elor centrale:
V=V(r,/vector σ1,/vector σ2,/vector τ1,/vector τ2) (2.42)
In continuare ne propunem s˘ a deﬁnim forma explicit˘ a, cea m ai gene-
ral˘ a, a potent ¸ialului central deﬁnit ˆ ın relat ¸ia (2.42) .
In ipoteza c˘ a fort ¸ele nucleare nu depind de spin ¸ si de izos pin, potent ¸ialul
central va ﬁ o funct ¸ie de r, V1(r), funct ¸ie care respect˘ a toate invariant ¸ele
precizate mai sus. Dependent ¸a de spin a fort ¸elor nucleare ¸ si deci a o-
peratorului V se poate obt ¸ine observˆ and c˘ a potent ¸ialul V(r,/vector σ1,/vector σ2) se
poate scrie sub forma unui produs al funct ¸iilor V2(r) ¸ siϕ(/vector σ1,/vector σ2), ˆ ın
care funct ¸ia ϕ(/vector σ1,/vector σ2) trebuie deﬁnit˘ a astfel ˆ ıncˆ at s˘ a respecte toate
legile de invariant ¸˘ a precizate mai sus. Pentru a deﬁni ace ast˘ a funct ¸ie
s˘ a observ˘ am c˘ a operatorii /vector σ1¸ si/vector σ2luat ¸i separat nu sunt invariant ¸i
la rotat ¸ie ˆ ıns˘ a produsul lor ˆ ındepline¸ ste aceast˘ a co ndit ¸ie. Rezult˘ a c˘ a
operatorul V2(r)·/vector σ1/vector σ2este invariant atˆ at la rotat ¸ie cˆ at ¸ si la inversia
spat ¸ial˘ a ¸ si temporal˘ a ¸ si ca atare acest operator cores punde fort ¸elor
centrale dependente de spin. Deoarece:
/vector σ1/vector σ2=/braceleftBigg
1 pentru S= 1
−3 pentru S= 0(2.43)
rezult˘ a c˘ a potent ¸ialul V1(r) +V2(r)/vector σ1/vector σ2este un potent ¸ial central de
forma:
V=/braceleftBigg
V1(r) +V2(r) pentru S= 1
V1(r)−3V2(r) pentru S= 0(2.44)
Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a fort ¸ele nucleare sunt mai sla beˆ ın starea singlet
decˆ at ˆ ın starea triplet ¸ si ca atare nu pot forma st˘ ari leg ate ˆ ın starea
singlet ˆ ıntre doi nucleoni.
167

S˘ a preciz˘ am faptul c˘ a relat ¸ia V2/vector σ1/vector σ2reprezint˘ a o form˘ a general˘ a a
operatorului energiei potent ¸iale corespunz˘ ator fort ¸e lor centrale depen-
dente de spin. Aceast˘ a aﬁrmat ¸ie rezult˘ a din faptul c˘ a or ice funct ¸ie de
forma (/vector σ1/vector σ2)n, care respect˘ a de asemenea toate legile de invariant ¸˘ a,
se poate scrie ˆ ın funct ¸ie de /vector σ1/vector σ2:
(/vector σ1/vector σ2)n=f(/vector σ1,/vector σ2) (2.45)
In particular aceast˘ a relat ¸ie se demonstreaz˘ a imediat p entru cazul
n=2:
(/vector σ1/vector σ2)2= (σ1xσ2x+σ1yσ2y+σ1zσ2z)2= 3−2/vector σ1/vector σ2 (2.46)
In obt ¸inea relat ¸iei (2.46) s-au folosit relat ¸iile:
σ2
x=σ2
y=σ2
z= 1 (2.47)
σyσz=iσx=−σzσy
σzσx=iσy=−σxσz
σxσy=iσz=−σyσx
Procedˆ and ˆ ın mod similar ¸ si pentru dependent ¸a fort ¸elo r nucleare de
izospinul nucleonilor, rezult˘ a c˘ a forma cea mai general˘ a a operatorului
energiei potent ¸iale corespunz˘ ator fort ¸elor centrale e ste urm˘ atoarea:
V=V1(r) +V2(r)/vector σ1/vector σ2+V3(r)/vector τ1/vector τ2+V4(r)(/vector τ1/vector τ2) (/vector σ1/vector σ2) (2.48)
In aceast˘ a expresie s-a introdus ¸ si termenul V4(r)(/vector τ1/vector τ2) (/vector σ1/vector σ2) care re-
spect˘ a de asemenea toate legile de invariant ¸˘ a. Din punct de vedere ﬁzic
operatorul/vector σ1/vector σ2corespunde schimb˘ arii variabilelor de spinˆ ıntre cei doi
nucleoni aﬂat ¸i ˆ ın interact ¸ie, operatorul /vector τ1/vector τ2corespunde schimb˘ arii co-
ordonatelor spat ¸iale ¸ si de spin ˆ ıntre cei doi nucleoni ia r operatorul
(/vector τ1/vector τ2) (/vector σ1/vector σ2) corespunde schimb˘ arii coordonatelor spat ¸iale ˆ ıntre n u-
cleoni. Propriet˘ at ¸ile precizate reﬂect˘ a caracterul de schimb al fort ¸elor
nucleare, caracter reﬂectat ˆ ın operatorul energiei poten t ¸iale V.
Aﬁrmat ¸iile de mai sus reﬂect˘ a faptul c˘ a proprietatea de
saturat ¸ie a fort ¸elor nucleare s-a explicat init ¸ial prin carac-
terul de schimb al fort ¸elor nucleare, adic˘ a prin faptul c˘ a
aceste fort ¸e apar ˆ ıntre doi nucleoni grat ¸ie schimbului u nei
a treia particule. Dac˘ a starea de interact ¸ie dintre doi nu –
cleoni depinde de coordonatele spat ¸iale r1¸ sir2¸ si de cele de
spinS1¸ siS2atunci acest schimb se poate realiza pe trei c˘ ai
diferite:
168

a)Nucleonii pot schimbaˆ ıntre ei numai coordonatele spat ¸ia le.
Dac˘ a Ψ(r1,r2,s1,s2)este funct ¸ia sistemului de doi nu-
cleoni ˆ ın interact ¸ie ¸ si ˆPMeste operatorul corespunz˘ ator
acestui schimb, are loc relat ¸ia:
ˆPMΨ(/vector r1,/vector r2,S1,S2) = Ψ(/vector r2,/vector r1,S1,S2) (2.49)
Fort ¸ele corespunz˘ atoare acestui schimb se numesc fort ¸e
Majorama.
b)Nucleonii pot schimba ˆ ıntre ei numai variabilele de spin:
ˆPBΨ(/vector r1,/vector r2,S1,S2) = Ψ(/vector r1,/vector r2,S2,S1) (2.50)
ˆ ın care ˆPBeste operatorul care realizeaz˘ a acest schimb.
Fort ¸ele corespunz˘ atoare acestui schimb se numesc fort ¸e
Bartlett.
c)Nucleonii schimb˘ a ˆ ıntre ei atˆ at coordonatele spat ¸iale cˆ at
¸ si cele de spin:
ˆPHΨ(/vector r1,/vector r2,S1,S2) = Ψ(/vector r2,/vector r1,S2,S1) (2.51)
ˆ ın care ˆPHeste operatorul care realizeaz˘ a acest schimb
iar fort ¸ele corespunz˘ atoare se numesc fort ¸e Heisenberg .
Deoarece/vector r=/vector r1−/vector r2, schimbarea variabilelor /vector r1¸ si/vector r2
transform˘ a vectorul /vector rˆ ın−/vector r, a¸ sa ˆ ıncˆ at operatorul ˆPMeste
de fapt operatorul inversiei spat ¸iale ˆPdeﬁnit ˆ ın paragraful
1.6. Rapid se deduce ¸ si operatorul ˆPB; pentru aceasta s˘ a
preciz˘ am faptul c˘ a funct ¸ia de und˘ a a doi nucleoni pentru
coordonatele de spin este simetric˘ a pentru valoarea S=1 ¸ s i
antisimetric˘ a pentru valoarea S=0. T ¸inˆ and cont de relat ¸ia
(2.43) ¸ si de relat ¸ia evident˘ a:
ˆPBΨ(/vector r1,/vector r2,S1,S2) =
= Ψ(/vector r1,/vector r2,S2,S1) =/braceleftBigg
Ψ(/vector r1,/vector r2,S1,S2) pentru S= 1
−Ψ(/vector r1,/vector r2,S1,S2) pentru S= 0
(2.52)
rezult˘ a c˘ a operatorul ˆPBeste de forma:
ˆPB=1
2(1 +/vector σ1/vector σ2) (2.53)
169

De aici ¸ si expresia c˘ a operatorul /vector σ1/vector σ2, avˆ andu-se ˆ ın vedere
de fapt expresia operatorului ˆPB, realizeaz˘ a schimbarea vari-
abilelor de spin ˆ ıntre nucleonii care interact ¸ioneaz˘ a. In mod
similar, operatorul:
ˆPH=1
2(1 +/vector τ1/vector τ2) (2.54)
realizeaz˘ a schimbarea variabilelor de spin izotopic ˆ ınt re nu-
cleoni ¸ si, ˆ ın particular, schimb˘ a protonul ˆ ın neutron ¸ si in-
vers. Prin aceast˘ a permutare se schimb˘ a atˆ at coordonate le
spat ¸iale cˆ at ¸ si cele de spin ale nucleonilor ¸ si ca atare o pe-
ratorul ˆPHdin (2.54) este operatorul corespunz˘ ator fort ¸elor
Heisenberg. In consecint ¸˘ a operatorul /vector τ1/vector τ2(de fapt opera-
torul ˆPH) realizeaz˘ a schimbarea simultan˘ a atˆ at a coordo-
natelor spat ¸iale cˆ at ¸ si a celor de spin, pe cˆ and operator ul
(/vector τ1/vector τ2) (/vector σ1/vector σ2)schimb˘ a numai coordonatele spat ¸iale ¸ si este
operatorul corespunz˘ ator fort ¸elor de tip Majorana. Fort ¸ele
ˆ ın care nu se realizeaz˘ a niciun schimb se numesc uneori for t ¸e
Wigner
b) Cazul fort ¸elor tensoriale. In cazul fort ¸elor statice trebuie s˘ a deﬁnim
partea necentral˘ a a energiei potent ¸iale:
V=V(/vector r,/vector σ1,/vector σ2,/vector τ1,/vector τ2) (2.55)
adic˘ a dependent ¸a operatorului V de unghiurile ( θ,ϕ) ale vectorului /vector r
c˘ aci dependent ¸a de modulul r=|/vector r|este inclus˘ a ˆ ın potent ¸ialul cen-
tral. Deoarece se consider˘ a c˘ a fort ¸ele nucleare au simet rie azimutal˘ a
rezult˘ a c˘ a trebuie s˘ a deﬁnim dependent ¸a operatorului V de unghiul θ
dintre vectorul /vector r¸ si axa Oz. Deoarece spinii nucleonilor sunt orientat ¸i
pe directt ¸ia axei de cuantiﬁcare (ˆ ıntr-un sens sauˆ ın cel ˘ alalt) rezult˘ a c˘ a
trebuie s˘ a deﬁnim dependent ¸a operatorului V de unghiul di ntre vec-
torul/vector r¸ si spinii nucleonilorˆ ın interact ¸ie. In acord cu aceast˘ a observat ¸ie
rezult˘ a c˘ a operatorul V trebuie s˘ a depind˘ a de orientare a reciproc˘ a a
lui/vector r¸ si/vector σ1sau/vector σ2¸ si deci trebuie s˘ a cont ¸in˘ a operatori de forma /vector σ1/vector r,
/vector σ2/vector r,/vector σ1×/vector r,/vector σ2×/vector rsau combinat ¸iile acestora. Operatorul /vector σ1/vector r, de ex-
emplu, este un pseudoscalar (paragraful 1.6) ﬁind invarian t la operat ¸ia
de rotat ¸ie dar nu ¸ si la inversia spat ¸ial˘ a. Toate condit ¸ iile de invariant ¸˘ a
sunt ˆ ıns˘ a respectate de operatorii:
(/vector σ1/vector r) (/vector σ2/vector r) ; (/vector σ1×/vector r) (/vector σ2×/vector r) (2.56)
170

S˘ a observ˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a operatorul ( /vector σ1×/vector r) (/vector σ2×/vector r) nu este distinct de
operatorii ( /vector σ1/vector r) (/vector σ2/vector r) ¸ si de/vector σ1/vector σ2. Intr-adev˘ ar, folosind relat ¸iile (2.47)
ca ¸ si deﬁnit ¸ia produsului vectorial:
/vector σ×/vector r=/vectori(zσy−yσz) +/vectorj(xσz−zσx) +/vectork(yσx−xσy)
ˆ ın care/vectori,/vectorj¸ si/vectorksunt versorii direct ¸iilor x, y ¸ si z, se demonstreaz˘ a
imediat relat ¸ia:
(/vector σ1×/vector r) (/vector σ2×/vector r) =r2(/vector σ1/vector σ2)−(/vector σ1/vector r) (/vector σ2/vector r) (2.57)
Din cele de mai sus rezult˘ a c˘ a operatorul tensorial se cons truie¸ ste din
operatorul ( /vector σ1/vector r) (/vector σ2/vector r). Inainte de a deﬁni forma ﬁnal˘ a a operatorului
corespunz˘ ator fort ¸elor tensoriale s˘ a calcul˘ am valoar ea medie a opera-
torului (/vector σ1/vector r) (/vector σ2/vector r). Se obt ¸ine:
<(/vector σ1/vector r) (/vector σ2/vector r)>=<x2σ1xσ2x+y2σ1yσ2y+z2σ1zσ2z+xyσ1xσ2y+…
termeni similari …+>=1
3<r2></vector σ 1/vector σ2> (2.58)
ˆ ın care/vector σ1/vector σ2exprim˘ a operatorul corespunz˘ ator fort ¸elor centrale co n-
form relat ¸iei (2.48). Pentru ca ˆ ın operatorul fort ¸elor t ensoriale s˘ a in-
cludem numai partea necentral˘ a este necesar s˘ a deﬁnim ope ratorul
fort ¸elor tensoriale S12astfel ˆ ıncˆ at media acestuia pe toate direct ¸iile
posibile s˘ a ﬁe zero. Avˆ and ˆ ın vedere relat ¸ia (2.58) rezu lt˘ a c˘ a aceast˘ a
condit ¸ie este ˆ ındeplinit˘ a de operatorul:
S12=3(/vector σ1/vector r) (/vector σ2/vector r)
r2−/vector σ1/vector σ2;<S12>= 0 (2.59)
Deoarece orice funct ¸ie Sn
12se poate exprimaˆ ın funct ¸ie de S12rezult˘ a c˘ a
relat ¸ia (2.59) este general˘ a; a¸ sadar operatorul V cores punz˘ ator numai
componentei tensoriale se poate exprima prin relat ¸ia:
VT=V5(r)S12 (2.60)
ˆ ın careV5t ¸ine cont de faptul c˘ a fort ¸ele tensoriale pot ﬁ diferite p entru
diferite valori r.
In continuare vom ar˘ ata c˘ a operatorul VTdin relat ¸ia (2.60) conduce
la existent ¸a momentului cuadrupolar ˆ ın cazul deuteronul ui. Pentru
aceasta s˘ a analiz˘ am expresia (2.60) pentru starea single t (S=0) ¸ si pen-
tru starea triplet (S=1).
171

Figura 2.5
Spinii protonului ¸ si neutronului sunt orientat ¸i pe direc t ¸ia axei
Oz; se realizeaz˘ a starea triplet
i) Cazul singlet. In acest caz:
/vectorS=1
2(/vector σ1+/vector σ2) = 0 (2.61)
de unde rezult˘ a:
/vector σ1=−/vector σ2=/vector σ (2.62)
Cu aceast˘ a condit ¸ie operatorul S12din (2.59) devine:
S12=−3
r2(/vector σ/vector r)2+σ2(2.63)
Deoarece:
(/vector σ/vector r)2=x2σ2
x+y2σ2
y+z2σ2
z+
+xy(σxσy+σyσx) +yz(σyσz+σzσy) +xz(σzσx+σxσz) =r2
(2.64)
rezult˘ a:
S12= 0 (2.65)
c˘ aciσ2= 3. A¸ sadar ˆ ın starea singlet fort ¸ele tensoriale sunt zer o.
De aici concluzia c˘ a fort ¸ele nucleare sunt esent ¸ialment e centrale
ˆ ın starea singlet.
172

ii) Cazul st˘ arii triplet.
Fie situat ¸ia din ﬁgura 2.5 ˆ ın care spinii protonului ¸ si ne utronului
sunt paraleliˆ ıntre ei ¸ si orientat ¸i pe direct ¸ia axei Oz. Deﬁnim prin
θunghiul dintre vectorul /vector r, ce une¸ ste cei doi nucleoni, ¸ si direct ¸ia
axei Oz sau, ceea ce este acela¸ si lucru, direct ¸ia spinilor . In acest
cazS12din (2.59) devine:
S12=σ1σ2(3cos2θ−1) (2.66)
¸ si deci:
VT=V5(r)σ1σ2(3cos2θ−1) (2.67)
Fort ¸a generat˘ a de operatorul energiei tensoriale este de ﬁnit˘ a de
relat ¸ia:
FT=−gradVT(r) (2.68)
ˆ ın care gradientul are, reamintim, urm˘ atoarele componen te:
gradr=∂
∂r; gradθ=1
r∂
∂θ; gradϕ=1
rsinϕ∂
∂ϕ(2.69)
Din relat ¸iile (2.68) ¸ si (2.69) rezult˘ a c˘ a componenta fo rt ¸eiFTθ
generat˘ a de operatorul VTˆ ın direct ¸ia cre¸ sterii unghiului θva ﬁ:
FTθ=6
rV5(r)cosθsinθ (2.70)
Aceast˘ a fort ¸˘ a este zero pentru unghiurile θ= 0 sauθ=π/2.
Pentru o valoare θdiferit˘ a de aceste valori fort ¸a tensorial˘ a este
atractiv˘ a dac˘ a V5(r) este negativ; ˆ ın acest caz fort ¸a atractiv˘ a FTθ
tinde s˘ a orienteze vectorul /vector rpe direct ¸ia axei Oz (ﬁgura 2.6a). In
cazul ˆ ın care potent ¸ialul tensorial este pozitiv, fort ¸a tensorial˘ a
este repulsiv˘ a ¸ si ca atare tinde s˘ a ˆ ındep˘ arteze vector ul/vector rde axa
Oz pˆ an˘ a ce se realizeaz˘ a situat ¸ia din ﬁgura 2.6b. Este de remar-
cat faptul c˘ a ˆ ın ambele situat ¸ii se distruge simetria spa t ¸ial˘ a atˆ at
a sarcinii electrice cˆ at ¸ si a masei nucleare. In cazul din ﬁ gura
2.6a fort ¸a tensorial˘ a atractiv˘ a genereaz˘ a ”alungirea ” sistemului
n-p, deuteronul, de-a lungul axei Oz (ﬁgura 2.6c) iar ˆ ın caz ul din
ﬁgura 2.6b fort ¸a tensorial˘ a va genera ”turtirea” sistemu lui n-p
fat ¸˘ a de axa Oz (ﬁgura 2.6d). Deoarece momentul cuadrupola r al
deuteronului este pozitiv, adic˘ a corespunde unei forme ”p rolate”
ca cea din ﬁgura 2.6c, rezult˘ a c˘ a VT(r) este negativ ¸ si deci fort ¸ele
tensoriale sunt atractive.
173

Figura 2.6
Figura 2.7
174

In ﬁgura 2.7a, ca ¸ si ˆ ın ﬁgura 2.7b, este redat un e-
xemplu ”clasic” de fort ¸e tensoriale; cazul a doi magnet ¸i
cu dipolii magnetici /vector µ1¸ si/vector µ2care se pot atrage (ﬁgura
2.7a) sau respinge (ﬁgura 2.7b). Energia de interact ¸ie
dintre ace¸ sti dipoli se exprim˘ a prin relat ¸ia:
E12=1
r3(/vector µ1/vector µ2−3
r2(/vector µ1/vector r)(/vector µ2/vector r))
S˘ a constat˘ am analogia ˆ ıntre ﬁgurile 2.6c, 2.6d ¸ si ﬁguri le
2.7a ¸ si 2.7b ca ¸ si analogia acestei expresii cu energia
tensorial˘ a exprimat˘ a de relat ¸ia (2.60)
Din cele expuse mai sus a rezultat c˘ a fort ¸ele tensoriale su nt atrac-
tive ca urmare a faptului c˘ a momentul cuadrupolar al deuter onului
este pozitiv. In mod ﬁresc apare ˆ ıntrebarea: cum se explic˘ a existent ¸a
nucleelor cu moment cuadrupolar negativ dac˘ a fort ¸ele nuc leare ten-
soriale genereaz˘ a moment cuadrupolar pozitiv? R˘ aspunsu l la aceast˘ a
ˆ ıntrebare rezult˘ a imediat dac˘ a facem observat ¸ia c˘ a de uteronul se aﬂ˘ a
ˆ ın starea fundamental˘ a esent ¸ialmente ˆ ın starea s (L=0) (6.7% se aﬂ˘ a
ˆ ın starea d) care are simetrie sferic˘ a. Tocmai datorit˘ a f ort ¸elor tenso-
riale deuteronul se deformeaz˘ a put ¸in c˘ ap˘ atˆ and o form˘ a prolate. Dac˘ a
deuteronul sau alt nucleu s-ar ﬁ g˘ asit ˆ ın starea fundament al˘ a ˆ ıntr-o
stare cuL/ne}ationslash= 0 atunci nucleul repectiv ar ﬁ fost deformat ”de la sine”
f˘ ar˘ a intervent ¸ia fort ¸elor nucleare tensoriale. Astfe l dac˘ a am admite
c˘ a fort ¸ele nucleare sunt centrale iar un nucleu ar ﬁ avut ˆ ı n starea
fundamental˘ a o stare pur˘ a d (L=2) atunci acest nucleu ar ﬁ a vut o
form˘ a deﬁnit˘ a, ˆ ın esent ¸˘ a, de factorul sin4θadic˘ a ar ﬁ avut forma unui
geoid ceea ce corespunde unui moment cuadrupolar negativ. E xistent ¸a
fort ¸elor tensoriale ˆ ın cazul acestui nucleu ar ﬁ dus la mic ¸ sorarea mo-
mentului cuadrupolar negativ; nucleul ar ﬁ devenit mai sfer ic sau chiar
cu o deformare de tip prolate. De fapt tocmai acest aspect exp lic˘ a de
ce nucleele cu moment cuadrupolar negativ sunt mai put ¸in de formate
(Q<0 este mai mic ˆ ın valoare absolut˘ a) ˆ ın comparat ¸ie cu nucl eele cu
deformare pozitiv˘ a, de tip prolate (ﬁgura 1.50). Din aceas t˘ a discut ¸ie
ret ¸inem ideea c˘ a numai deformarea unui nucleu aﬂat esent ¸ ialmente ˆ ın
starea s (a¸ aa cum este deuteronul) constituie o dovad˘ a elo cvent˘ a a
caracterului ”tensorial” al fort ¸elor nucleare.
In sfˆ ar¸ sit s˘ a preciz˘ am ¸ si faptul c˘ a dac˘ a consider˘ am ¸ si caracterul de
schimb al fort ¸elor tensoriale trebuie s˘ a consider˘ am ˆ ın operatorul V ¸ si
un termen de forma /vector τ1/vector τ2S12, termen modulat de o dependent ¸˘ a radial˘ a
175

V6(r). Cu aceast˘ a observat ¸ie rezult˘ a c˘ a operatorul energie i potent ¸iale,
corespunz˘ ator fort ¸elor tensoriale, este de forma:
VT(/vector r) =V5(r)S12+V6(r)(/vector τ1/vector τ2)S12 (2.71)
c) Cazul fort ¸elor dependente de vitez˘ a.
Deuteronul poate ﬁ ˆ ın totalitate descris de suma operatori lor V din
relat ¸iile (2.48) ¸ si (2.71) care corespund fort ¸elor cent rale ¸ si tensori-
ale. Aceasta se explic˘ a prin aceea c˘ a viteza protonului ¸ s i neutronu-
lui ˆ ın deuteron este mic˘ a ˆ ın comparat ¸ie cu viteza lumini i ¸ si ca atare
dependent ¸a operatorului V de vitez˘ a (sau de impuls) poate ﬁ,ˆ ın prim˘ a
aproximat ¸ie, neglijat˘ a. Procesele de ˆ ımpr˘ a¸ stiere nu cleon-nucleon, ˆ ın
special pentru energii incidente mari, cˆ at ¸ si fenomenul d e polarizare
pot ﬁ explicate numai prin introducerea dependent ¸ei opera torului V
de vitezele (impulsurile) nucleonilor. Invariant ¸a Galil ean˘ a, dup˘ a cum
s-a mai precizat (relat ¸ia 2.39) impune condit ¸ia ca V s˘ a de pind˘ a de
vectorul/vector p=/vector p1−/vector p2. Dependent ¸a de vectorul /vector pa fort ¸elor nucle-
are ˆ ınseamn˘ a dependent ¸a explicit˘ a de /vector psau de combinat ¸ii de forma
/vectorl=/vector r×/vector p, /vector r·/vector p, /vector σ·/vector p,/vectorl·/vectorS, sau puteri ale lor. Dintre ace¸ sti operatori
numai operatorul ( /vector r×/vector p)·/vectorSrespect˘ a toate legile de invariant ¸˘ a ca ¸ si
operatorul l2. Fort ¸ele corespunz˘ atoare operatorului ( /vector r×/vector p)·/vectorS=/vectorl·/vectorS
se numesc fort ¸e de tip spin-orbit˘ a ¸ si corespund operator ului:
Vsl(r) =V7(r)/vectorl/vectorS (2.72)
S˘ a observ˘ am c˘ a, deoarece /vectorS=1
2(/vector σ1+/vector σ2) potent ¸ialul spin-orbit˘ a poate
ﬁ scris sub forma:
/vectorl/vectorS=1
2((/vector r1−/vector r2)×(/vector p1−/vector p2)) (/vector σ1+/vector σ2) (2.73)
¸ si este un potent ¸ial simetric fat ¸˘ a de permutarea tuturo r coordonatelor
celor doi nucleoni.
Dependent ¸a de interact ¸ia spin-orbit˘ a a fort ¸elor nucle are poate ﬁ ilus-
trat˘ a calitativ pentru procesul de ˆ ımpr˘ a¸ stiere a unui f ascicul de nucle-
oni total polarizat ¸i pe t ¸inte (nuclee) f˘ ar˘ a spin; de exe mpluˆ ımpr˘ a¸ stierea
protonilor total polarizat ¸i pe nuclee de4Hesau12C. Considerˆ and c˘ a
fort ¸ele nucleare sunt atractive rezult˘ a c˘ a traiectorii le protonilor de tip
”1” respectiv de tip ”2” vor ﬁ cele din ﬁgura 2.8a. Deoarece pr o-
tonii sunt total polarizat ¸i, rezult˘ a c˘ a ˆ ın cazul proton ilor de tip ”1”
ˆ ımpr˘ a¸ stiat ¸i de nucleele12Cspinul lor ˆ ı¸ si va p˘ astra orientarea init ¸ial˘ a
176

Figura 2.8
Impr˘ a¸ stierea protonilor total polarizat ¸i pe nuclee de12C.
Asimetria stˆ anga-dreapta ˆ ın procesul de ˆ ımpr˘ a¸ stiere arat˘ a
dependent ¸a fort ¸elor nucleare de interact ¸ia spin-orbit ˘ a
177

(ˆ ınspre cititor – ˆ ın sus – ˆ ın cazul din ﬁgura 2.8b) iar mome ntul lor or-
bital va ﬁ dirijat ˆ ın jos; ˆ ın mod similar protonii de tip ”2” vor avea
spinul ¸ si momentul orbital dirijate ”ˆ ın sus” (ﬁgura 2.8b) . dac˘ a fort ¸ele
nucleare nu depind de orientarea reciproc˘ a a spinului /vectorS¸ si a momentu-
lui cinetic orbital /vectorl, deci nu depind de interact ¸ia spin-orbit˘ a, rezult˘ a c˘ a
num˘ arul protonilor ˆ ımpr˘ a¸ stiat ¸i la ”stˆ anga” ¸ si, res pectiv, la ”dreapta”
este egal. In cazul ˆ ın care fort ¸ele nucleare depind de inte ract ¸ia/vectorS·/vectorl
atunci apare o ”asimetrie” stˆ anga-dreapta ˆ ın sensul c˘ a n um˘ arul pro-
tonilor ˆ ımpr˘ a¸ stiat ¸i la stˆ anga difer˘ a de num˘ arul pro tonilor ˆ ımpr˘ a¸ stiat ¸i
la dreapta (ﬁgura 2.8a). Toate experient ¸ele efectuate cu p rotoni (nu-
cleoni) polarizat ¸i pe t ¸inte nepolarizate ca ¸ si cele de ˆ ı mpr˘ a¸ stiere a
nucleonilor nepolarizat ¸i pe t ¸inte polarizate prezint˘ a asimetrie stˆ anga-
dreapta care constituie o dovad˘ a conving˘ atoare c˘ a fort ¸ ele nucleare de-
pind de interact ¸ia spin-orbit˘ a. Modelul p˘ aturilor nucl eare, dezvoltat
ulterior acestor experient ¸e (capitolul 3) necesit˘ a de as emenea un cuplaj
spin-orbit˘ a pentru a putea explica propriet˘ at ¸ile nucle elor. Toate aceste
argumente pledeaz˘ a pentru dependent ¸a fort ¸elor nuclear e de interact ¸ia
spin-orbit˘ a ¸ si deci, dependent ¸a acestora de vitezele (i mpulsurile) nu-
cleonilor ˆ ın acord cu relat ¸ia (2.72). S˘ a observ˘ am c˘ a ¸ s i potent ¸ialul
”spin-orbit˘ a de ordinul doi” deﬁnit de relat ¸ia:
Vsl(2)=VB(r)((δij+/vector σ1/vector σ2)l2−(/vectorl/vectorS)2) (2.74)
ˆ ındepline¸ ste, de asemenea, toate condit ¸iile de invaria nt ¸˘ a impuse ope-
ratorului V. In consecint ¸˘ a, forma general˘ a a potent ¸ial ului spin-orbit˘ a
este urm˘ atoarea:
Vso=V7(r)/vectorl/vectorS+VB(r)((δij+/vector σ1/vector σ2)l2−(/vectorl/vectorS)2) (2.75)
cu:
δij=/braceleftBigg
1 pentru nucleoni identici
0 pentru nucleoni diferit ¸i(2.76)
In consecint ¸˘ a, forma cea mai general˘ a a operatorului ene rgiei potent ¸iale
a doi nucleoni aﬂat ¸i ˆ ın interact ¸ie, ˆ ın funct ¸ie de coord onatele spat ¸iale, de
spin, de izospin ¸ si de vitezele nucleonilor, ˆ ın acord cu re lat ¸iile (2.48), (2.71)
¸ si (2.75), este urm˘ atoarea:
V=V1(r) +V2(r)/vector σ1/vector σ2+V3(r)/vector τ1/vector τ2+V4(r)(/vector τ1/vector τ2)(/vector σ1/vector σ2) +V5(r)S12+
+V6(r)(/vector τ1/vector τ2)S12+V7(r)/vectorl/vectorS+V8(r)((δij+/vector σ1/vector σ2)l2−(/vectorl/vectorS)2) (2.77)
178

ˆ ın careVi(r) (i=1, 2, …, 8) exprim˘ a dependent ¸a radial˘ a a diferit ¸i lor termeni
din relat ¸ia (2.77).
Determinarea concret˘ a a dependent ¸ei radiale rezult˘ a di n experient ¸ele de
ˆ ımpr˘ a¸ stiere nucleon-nucleon. Practic se procedeaz˘ a a stfel: se postuleaz˘ a
pentruVi(r) o anumit˘ a dependent ¸˘ a radial˘ a dependent˘ a de unul sau m ai
mult ¸i parametri; se rezolv˘ a apoi ecuat ¸ia Schr¨ odinger pentru procesul de
ˆ ımpr˘ a¸ stiere studiat ˆ ın scopul de a determina parametri dependent ¸ei postu-
late prin compararea rezultatelor teoretice cu cele experi mentale corespun-
z˘ atoare. Dac˘ a acordul dintre teorie ¸ si experiment este b un se consider˘ a c˘ a
parametrizarea postulat˘ a este corect˘ a. Desigur depende nt ¸a radial˘ a cea mai
simpl˘ a pentru funct ¸iile Vi(r) este o groap˘ a de potent ¸ial dreptunghiular˘ a ca
cea din ﬁgura 2.2 deﬁnit˘ a prin relat ¸ia:
V(r) =/braceleftBigg
−V0pentrur≤R
0 pentru r>R(2.78)
O dependent ¸˘ a ceva mai realist˘ a o constituie o groap˘ a de p otent ¸ial ”exponent ¸ial˘ a”
deﬁnit˘ a astfel:
V(r) =−V0e−r
R (2.79)
reprezenta˘ a ˆ ın ﬁgura 2.9a. Aceast˘ a dependent ¸˘ a radial ˘ a prezint˘ a o sc˘ adere
”prea lent˘ a” cu vriabila r. Potent ¸ialul:
V(r) =−V0e−r
R
r
R(2.80)
numit ¸ si ”potent ¸ial mezonic Yukawa” scade foarte rapid cu distant ¸a dar
este prea puternic atractiv pentru valori r mici. Acest neaj uns este part ¸ial
ˆ ınl˘ aturat printr-un potent ¸ial de form˘ a gaussian˘ a deﬁ nit de relat ¸ia:
V(r) =−V0e−r2
R2 (2.81)
reprodus ˆ ın ﬁgura 2.9c. Experient ¸ele de ˆ ımpr˘ a¸ stiere l a energii mari (a se
vedea paragraful urm˘ ator) pledeaz˘ a pentru un potent ¸ial puternic repulsiv
pentru distant ¸e mai mici decˆ at o distant ¸˘ a critic˘ a rc. Un astfel de potent ¸ial
este cel deﬁnit de Hamada-Johnson prin relat ¸ia:
V=/braceleftBigg
−V0f(r,R) pentru r>r c
+∞ pentrur≤rc(2.82)
ˆ ın care f(r, R) poate ﬁ una din funct ¸iile deﬁnite de relat ¸i ile (2.79)÷(2.81)
iarrc= 0.48 F. Preciz˘ am faptul c˘ a ˆ ın relat ¸iile de mai sus R reprezi nt˘ a ”raza
179

Figura 2.9
Diferite posibilit˘ at ¸i pentru dependent ¸a radial˘ a a pot ent ¸ialului V
de variabila r. a) Potent ¸ial exponent ¸ial; b) Potent ¸ial Y ukawa; c)
Potent ¸ial gaussian; d) Potent ¸ial Hamada-Johnson
de act ¸iune a fort ¸elor nucleare”. S˘ a ment ¸ion˘ am ¸ si fapt ul c˘ a se poate demon-
stra c˘ a ˆ ın cazul ˆ ın care fort ¸ele nucleare nu depind de vit eze (cazul static)
¸ si se cunosc toate sect ¸iunile diferent ¸iale pentru toate energiile posibile cˆ at
¸ si dependent ¸a cu energia a sect ¸iunilor integrate se poat e determina univoc
dependent ¸a de r a potent ¸ialului V(r). Fire¸ ste, de¸ si exi st˘ a un material ex-
perimental bogat, suntem ˆ ınc˘ a departe de a satisface dezi deratul de mai sus
¸ si de aici ¸ si necesitatea de a introduce diferite dependen t ¸e ipotetice pentru
V(r) ca cele din relat ¸iile de mai sus.
Referitor la operatorul energiei potent ¸iale V din (2.77) s e impun urm˘ a-
toarele preciz˘ ari:
In primul rˆ and s˘ a subliniem faptul c˘ a toate cercet˘ arile experimentale ¸ si
teoretice privitoare la interact ¸ia nucleon-nucleon au co ndus la necesi-
tatea introducerii ˆ ın operatorul de interact ¸ie V a tuturo r termenilor
deﬁnit ¸i de relat ¸ia (2.77) ceea ce arat˘ a c˘ a fort ¸ele nucl eare auˆ ıntr-adev˘ ar
propriet˘ at ¸ile implicate de termenii respectivi.
In al doilea rˆ and s˘ a preciz˘ am ideea c˘ a sistemul legat n-p (deuteronul)
180

ca ¸ si experient ¸ele de ˆ ımpr˘ a¸ stiere nucleon-nucleon la energii incidente
mici pot ﬁ descrise satisf˘ ac˘ ator de un potent ¸ial de forma unei gropi
dreptunghiulare de potent ¸ial (relat ¸ia 2.78). Cu cre¸ ste rea energiei in-
cidente pˆ an˘ a la cˆ ateva sute de MeV se constat˘ a c˘ a potent ¸ialele de-
ﬁnite de relat ¸iile (2.79) ÷(2.81) sunt mai adecvate pentru descrierea
experient ¸elor deˆ ımpr˘ a¸ stiere nucleon-nucleon. Pentr u energii mai mari
de 300-400 MeV potent ¸ialul deﬁnitˆ ın relat ¸ia (2.82) devi ne mai adecvat
iar pentru energii ¸ si mai mari (peste 1 ÷3 GeV) se constat˘ a diﬁcult˘ at ¸i
ˆ ın interpretarea experient ¸elor de ˆ ımpr˘ a¸ stiere nucle on-nucleon, indife-
rent de dependent ¸a radial˘ a folosit˘ a pentru potent ¸ialu l de interact ¸ie.
Aceste constat˘ ari practice pot ﬁ explicate astfel:
a)La energii mici unda asociat˘ a nucleonului proiectil este m are ¸ si ca atare
nu ”simte” forma concret˘ a a potent ¸ialului ci numai ”t˘ ari a” (valoarea
VR2) acestuia. Ca urmare ¸ si potent ¸ialul de forma unei gropi dr ep-
tunghiulare, de¸ si evident nerealist, poate ﬁ folosit cu su cces. Cu
cre¸ sterea energiei incidente lungimea de und˘ a asociat˘ a proiectilului
devine tot mai mic˘ a ¸ si ca atare devine sensibil˘ a la forma p otent ¸ialului;
din acest motiv groapa de potent ¸ial cu peret ¸ii rotunjit ¸i (expresiile
(2.79)÷(2.81) descrie mai ﬁdel datele experimentale.
b)Cu cre¸ sterea ˆ ın continuare a energiei proiectilului, pot ent ¸ialele precizate
mai sus devin neadecvate din urm˘ atoarele motive:
-efectele relativiste devin importante iar potent ¸ialul di n (2.77) a fost
deﬁnit nerelativist.
-lungimea de ind˘ a a proiectilului devine atˆ at de mic˘ a ( ≈1 F pentru
energii de 300÷400 MeV) ˆ ıncˆ at ”simte” structura nucleonilor
dac˘ a aceasta exist˘ a. Este evident c˘ a potent ¸ialul din (2 .77) n-a
fost construit nici pentru aceast˘ a situat ¸ie. S˘ a remarc˘ am cu acest
prilej ideea c˘ a o modalitate de a ”evita” structura posibil ˘ a a nucle-
onilor const˘ aˆ ın introducerea potent ¸ialului deﬁnit de r elat ¸ia (2.82)
ˆ ın care parametrul rct ¸ine cont global de aceast˘ a structur˘ a. Pe
de alt˘ a parte introducerea unui potent ¸ial puternic repul siv pen-
trur≤rcpoate constitui ¸ si o dovad˘ a a caracterului de saturat ¸ie
al fort ¸elor nucleare. In etapa actual˘ a este greu de preciz at dac˘ a
potent ¸ialul din (2.82) exprim˘ a caracterul de saturat ¸ie al fort ¸elor
nucleare sau este o simpl˘ a modalitate de a se evita structur a
nucleonilor. Cercet˘ arile conduc la ideea c˘ a ambele ipote ze sunt
adev˘ arate. Oricum, cert este faptul c˘ a pentru energii des tul de
181

mari, pentru care efectele relativiste nu sunt ˆ ınc˘ a deose bit de im-
portante, potent ¸ialul din relat ¸ia (2.82) descrie corect experient ¸ele
de ˆ ımpr˘ a¸ stiere nucleon-nucleon ¸ si ca atare, din punct d e vedere
formal, este considerat corect.
In continuare se pune problema ca potent ¸ialul fenomenolog ic deﬁnit
de relat ¸ia (2.77) s˘ a rezulte ”ﬁresc” din teoria fort ¸elor nucleare; aceast˘ a
problem˘ a va ﬁ abordat˘ a ˆ ın paragrafele urm˘ atoare.
2.3 Teoria mezonic˘ a a fort ¸elor nucleare
Ast˘ azi nu exist˘ a ˆ ınc˘ a o teorie a fort ¸elor nucleare care s˘ a explice toate pro-
priet˘ at ¸ile lor cˆ at ¸ si ale nucleonilor ¸ si celorlalte pa rticule care interact ¸ioneaz˘ a
tare. Unele propriet˘ at ¸i ¸ si procese tari au fost explicat e ˆ ın cadrul mecanicii
cuantice relativiste ¸ si al teoriei cuantice a cˆ ampurilor dar mai r˘ amˆ an un
numıar mare de procese care nu pot ﬁ explicate ˆ ın cadrul aces tor teorii. In
momentul de fat ¸˘ a ˆ ıncerc˘ arile din ﬁzic˘ a de a dezvolta o t eorie consistent˘ a au
fostˆ ıncununate de succes numaiˆ ın interpretarea interac t ¸iilor electromagnet-
ice iar formalismul care explic˘ a aceste fenomene se nume¸ s te ”electrodinami-
c˘ a cuantic˘ a” (QED – quantum electro-dynamics). In cadrul acestei teorii
interact ¸iunea ˆ ıntre doi electroni aﬂat ¸i la o distant ¸˘ a oarecare se descrie prin
faptul c˘ a un electron emite un foton care este absorbit de ce l˘ alalt electron.
Acest schimb (caracterul de schimb al fort ¸elor electromag netice (ﬁgura 2.10))
de cuante ale cˆ ampului – fotonii – genereaz˘ a interact ¸iun ea electromagnetic˘ a
ˆ ıntre cele dou˘ a particule. In timpul interact ¸iunii ener gia total˘ a a sistemu-
lui va ﬁ mai mare decˆ at energia total˘ a init ¸ial˘ a deoarece fotonul are energia
hν. Aceast˘ a aﬁrmat ¸ie este evident˘ a ˆ ın cazul interact ¸iun ii dintre doi elec-
troni aﬂat ¸i ˆ ın repaus care schimb˘ a ˆ ıntre ei fotoni: e−→←e−+γ. Deoarece
electronul se aﬂ˘ a ˆ ın repaus procesul de emisie sau absorbt ¸ie de fotoni se
face f˘ ar˘ a a conserva energia cu o valoare ∆ E=hν. Aceast˘ a neconservare
a energiei totale se explic˘ a ˆ ın cadrul teoriei QED prin acc eptarea ideii c˘ a
fotonii respectivi nu ˆ ındeplinesc relat ¸ia relativist˘ a :
E2=p2c2+m2c4(2.83)
pentru m=0. Particulele, cu sau f˘ ar˘ a mas˘ a de repaus, care nu respect˘ a
relt ¸ia (2.83) se numesc ”particule virtuale”. Neconserva rea energiei pentru
particulele virtuale poate ﬁ explicat˘ a utilizˆ and relat ¸ ia de incertitudine a lui
Heisenberg:
∆E·∆t≈¯h (2.84)
182

Figura 2.10
Schimbul de fotoni virtuali ˆ ıntre doi electroni aﬂat ¸i ˆ ın interact ¸ie
care aﬁrm˘ a, ˆ ın fond, c˘ a o neconservarea a energiei ∆ Enu poate ﬁ observat˘ a
dac˘ a are loc un timp mai scurt decˆ at ∆ t. Deci timpul maxim cˆ at va avea
loc neconservarea energiei ∆ Eeste dat de relat ¸ia:
∆t≈¯h
∆E=¯h
¯hω=1
ω(2.85)
A¸ sadar fotonul virtual de energie ∆ Epoate exista un timp egal cu1
ω;
ˆ ın acest timp fotonul, care se deplaseaz˘ a cu viteza lumini i, poate ajunge la
distant ¸a:
r0=c∆t=c
ω=/arrownotλγ (2.86)
Deoarece masa de repaus a fotonului este nul˘ a el poate avea o energie ¯hω
oricˆ at de mic˘ a ( ωfoarte mic) ¸ si ˆ ın consecint ¸˘ a distant ¸a r0poate ﬁ oricˆ at de
mare. De aici se poate trage concluzia c˘ a fort ¸ele electrom agnetice act ¸ioneaz˘ a
pˆ an˘ a la inﬁnit sau, cu alte cuvinte, c˘ a aceste fort ¸e sunt fort ¸e cu raz˘ a mare
de act ¸iune.
Fire¸ ste, de-a lungul timpului s-a ˆ ıncercat explicarea fo rt ¸elor nucleare pe
baza unui rat ¸ionament similar postulˆ andu-se ideea c˘ a fo rt ¸ele nucleare sunt
generate de schimbul unei ”cuante a cˆ ampului nuclear” de ma s˘ a de repaus
diferit˘ a de zero pentru a asigura caracterul de raz˘ a mic˘ a de act ¸iune al fort ¸elor
nucleare. Intr-adev˘ ar, dac˘ a nucleonii de mas˘ a M, schimb ˘ a cuanta virtual˘ a de
mas˘ a m, deoarece Mc2<Mc2+mc2rezult˘ a c˘ a nedeterminarea ˆ ın energie
este ∆E > mc2¸ si deci timpul corespunz˘ ator acestei nedetermin˘ ari va ﬁ
∆t≤¯h/(mc2). Distant ¸a maxim˘ a parcurs˘ a de cuanta virtual˘ a ˆ ın aces t timp
va ﬁ:
r0≈c¯h
mc2=/arrownotλm (2.87)
183

Figura 2.11
Interact ¸ia nuclear˘ a ˆ ıntre nucleonii de mas˘ a M se realiz eaz˘ a prin
schimbul de cuante virtuale de mas˘ a m.
ˆ ın care/arrownotλmeste lungimea de und˘ a Compton pentru cuanta virtual˘ a de ma s˘ a
m. Dac˘ am/ne}ationslash= 0 raza de act ¸iune a fort ¸elor nucleare este ﬁnit˘ a ¸ si ele s e mani-
fest˘ a numai pentru distant ¸e r<r 0. A¸ sadar dac˘ a cuanta virtual˘ a ˆ ıntˆ alne¸ ste
pe distant ¸a r<r 0un alt nucleon este absorbit˘ a de acesta generˆ and interact ¸ia
tare; ˆ ın caz contrar cuanta de cˆ amp este absorbit˘ a chiar d e nucleonul care a
emis-o.
Care este ˆ ıns˘ a aceast˘ a cuant˘ a? Iat˘ a un concept care a ev oluat ˆ ın timp
ˆ ın funct ¸ie de cuno¸ stint ¸ele acumulate ˆ ıntr-o anumit˘ a etap˘ a de dezvoltare.
Primele concepte au ap˘ arutˆ ın anii ’30 cˆ and erau cunoscut e numai particulele
p, n ¸ si e. Faptul c˘ a numai sistemul n-p forma un sistem legat – deuteronul –
l-a determinat pe Heisenberg s˘ a fac˘ a ipoteza c˘ a leg˘ atur a sistemului n-p se re-
alizeaz˘ a prin intermediul unui electron virtual. In conce pt ¸ia sa neutronul era
format dintr-un proton ¸ si un electron ¸ si acest ”electron” reprezint˘ a cuanta de
cˆ amp care asigur˘ a leg˘ atura ”celor doi protoni” asigurˆ a nd astfel stabilitatea
sistemului n-p. Reg˘ asim ˆ ın aceast˘ a ipotez˘ a analogia cu fort ¸ele chimice care,
ˆ ın cazul moleculelor cu leg˘ aturi saturate, se realizeaz˘ a prin schimbul elec-
tronilor de valent ¸˘ a ˆ ıntre atomii moleculei. Ideea a fost dezvoltat˘ a de Tamm
¸ si Ivanenco (1934) care au considerat c˘ a fort ¸ele nuclear e ˆ ıntre nucleoni (deci
ˆ ıntre toate perechile posibile) se realizeaz˘ a prin schim bul de electroni sau
de pozitroni ¸ si de antineutrini ¸ si de neutrini (ˆ ıntre tim p se descoperise ¸ si
pozitronul ¸ si se postulase existent ¸a neutrinilor ¸ si ant ineutrinilor) conform
relat ¸iilor:
p−→n+β++νe;n−→p+β−+ ˜νe (2.88)
De¸ si ideea a fost important˘ a, punˆ and bazele dezintegr˘ a riiβ±, autorii
ˆ ın¸ si¸ si au ar˘ atat c˘ a intensitatea fort ¸elor nucleare r ezultate conform relat ¸iei
184

(2.88) era cu 1010÷1012ori mai mic˘ a decˆ at intensitatea fort ¸elor nucleare
rezultat˘ a din analiza datelor nucleare experimentale. Fi re¸ ste, ¸ si raza de
act ¸iune a fort ¸elor nucleare rezultat˘ a din (2.87), admit ¸ˆ and relat ¸ia (2.88), era
de cca. 260 ori mai mare decˆ at cea experimental˘ a. Pentru a r ealiza o raz˘ a
de act ¸iune de cca. 1.4 F trebuia ca masa cuantei de schimb s˘ a ﬁe egal˘ a cu
aproximativ 260 medup˘ a cum rezult˘ a din relat ¸ia (2.87):
m=¯h
r0c≈2.38 10−28Kg≈260me (2.89)
A¸ sadar cuantele de schimb trebuie s˘ a ﬁe particule cu masa c uprins˘ a ˆ ıntre
masa electronului ¸ si a protonului; de aici ¸ si denumirea ac estor cuante –
”mezoni” – dat ﬁind faptul c˘ a ”mezos” ˆ ın limba greac˘ a ˆ ıns eamn˘ a ”ˆ ıntre”,
denumire atribuit˘ a acestor cuante de Yukawa ˆ ın anul 1935. Fire¸ ste cuantele
de schimb, mezonii, trebuie s˘ a aibe pe lˆ ang˘ a masa preciza t˘ a mai sus o serie
de alte propriet˘ at ¸i astfel ˆ ıncˆ at prin intermediul lor n ucleonii s˘ a transmit˘ a
unul altuia propriet˘ at ¸ile lor ca sarcina electric˘ a, spi nul, izospinul, etc., ¸ si,
evident, s˘ a realizeze o intensitate mare a fort ¸elor nucle are. Ca urmare a
acestor condit ¸ii rezulta c˘ a mezonii trebuiau s˘ a ﬁe bozon i ˆ ınc˘ arcat ¸i ¸ si neutri
pentru a asigura schimbul de spin ¸ si de sarcin˘ a.
Preciz˘ arile de mai sus sunt importante c˘ aci nu ”orice mezo n” cu masa
≈260mepoate ﬁ cuant˘ a a cˆ ampului nuclear. Astfel, ˆ ın 1937 Nedder meyer
¸ si Andersen au descoperit ˆ ın compozit ¸ia radiat ¸iilor co smice o particul˘ a cu
masa de≈200mecare a fost numit˘ a init ¸ial ”mezon” considerˆ andu-se c˘ a e ste
vorba de mezonii postulat ¸i de Yukawa. Ulterior s-a stabili t c˘ a acest ”mezon”,
cunoscut ˆ ın prezent sub denumirea de mezonul µ(miuon), interact ¸ioneaz˘ a
foarte slab cu nucleonii ¸ si, ˆ ın plus, spinul lui era egal cu 1/2 ﬁind deci
fermion. Ulterior s-a descoperit existent ¸a atˆ at a miuoni lor pozitivi cˆ at ¸ si a
celor negativi ( µ±) a c˘ aror dezintegrare se face dup˘ a schema:
µ+−→e++νe+ ˜νµ;µ−−→e−+ ˜νe+νµ (2.90)
ˆ ın careνeeste neutrinul electronic, νµeste neutrinul miuonic iar ˜ νe¸ si ˜νµsunt
antiparticulele respective (a se vedea paragraful urm˘ ato r). F˘ ar˘ a a intra ˆ ın
detalii preciz˘ am c˘ a mezonii µ±au practic acelea¸ si propriet˘ at ¸i ca ¸ si electronii
cu except ¸ia faptului c˘ a au o mas˘ a de ≈200 ori mai mare decˆ at a electronilor;
din aceste motive mezonii µ±ca ¸ si electronii ¸ si pozitronii se clasiﬁc˘ a ˆ ın
aceea¸ si familie, familia leptonilor (paragraful 2.4) adi c˘ a familia fermionilor
u¸ sori.
Din trecerea succint˘ a ˆ ın revist˘ a a propriet˘ at ¸ilor miu onilor, fermioni care
interact ¸ioneaz˘ a slab, rezult˘ a c˘ a ace¸ stia nu puteau ﬁ c uante ale cˆ ampului
185

nuclear. Abiaˆ ın anul 1947ˆ ın compozit ¸ia radiat ¸iei cosm ice s-au descoperit de
Powell, Ochialini, Perkins, Lattes ¸ si alt ¸ii ”mezonii Yuk awa” numit ¸i ”mezoni
π”. La ˆ ınceput s-au descoperit mezonii π±care se dezintegreaz˘ a conform
schemei:
π+−→µ++νµ;π−−→µ−+ ˜νµ (2.91)
In anul 1950 s-au descoperit ¸ si mezonii neutri π0prin identiﬁcarea cuantelor
γrezultate la dezintegrarea mezonilor π0conform relat ¸iei:
π0−→2γ (2.92)
Experient ¸ele care au urmat au stabilit c˘ a mezonii πsunt bozoni cu spinul
S=I=0, interact ¸ioneaz˘ a ”tare” ¸ si ca atare corespund pro priet˘ at ¸ilor prezise
de Yukawa. S˘ a preciz˘ am ¸ si faptul c˘ a mezonii π, ˆ ın lumina conceptului de
spin izotopic, sunt considerat ¸i ca trei st˘ ari de sarcin˘ a diferit˘ a ale mezonului
πc˘ aruia i se atribuie spinul izotopic T=1 iar proiect ¸iile mT= +1,0,−1
corespund, respectiv, mezonilor π+,π0¸ siπ−.
Descoperirea mezonilor πˆ ın anii ’50, cu propriet˘ at ¸ile prezise ˆ ınc˘ a ˆ ın anul
1935 a constituit o str˘ alucit˘ a conﬁrmare a ”teoriei mezon ice a fort ¸elor nu-
cleare” a lui Yukawa. Conform ipotezei mezonice interact ¸i a dintre nucleoni
se realizeaz˘ a conform schemelor:
n⇀↽p+π−;n⇀↽n+π0
p⇀↽n+π+;p⇀↽p+π0(2.93)
Preciz˘ am c˘ a acest concept al emisiei ¸ si absorbt ¸ei de mez oni a fost folosit
init ¸ial ¸ si pentru explicarea ”calitativ˘ a” a valorilor ” anomale” ale momentelor
magnetice dipolare pentru proton ¸ si neutron. Astfel, se po ate considera c˘ a
neutronul se aﬂ˘ a ˆ ıntr-un anumit interval de timp ˆ ın stare a ”disociat˘ a” core-
spunz˘ atoare dezintegr˘ arii sale ˆ ıntr-un mezon π−¸ si un proton ”ideal” (pro-
ton Dirac) de moment magnetic egal cu magnetonul nuclear µN(paragraful
1.7). Mi¸ scarea orbital˘ a a mezonilor π−, de moment orbital l≥1, deter-
min˘ a aparit ¸ia unui moment magnetic mai mare, ˆ ın valoare a bsolut˘ a, decˆ at
a momentului magnetic al protonului ideal. S˘ a admitem c˘ a ˆ ın fract ¸iunea
t din intervalul de timp unitate neutronul se aﬂ˘ a ˆ ın starea disociat˘ a iar ˆ ın
fract ¸iunea de timp 1-t se aﬂ˘ a sub forma unui neutron ideal d e moment mag-
netic dipolar zero. In aceste condit ¸ii momentul magnetic a l neutronului real
va ﬁ:
µn=tµπ−+tµp0=t(1−u)µN (2.94)
In mod similar, dac˘ a protonul se aﬂ˘ a ˆ ın aceea¸ si fract ¸iu ne de timp t ˆ ın starea
disociat˘ an+π+iarˆ ın intervalul de timp 1-t se aﬂ˘ aˆ ın starea de proton ide al,
186

rezult˘ a pentru momentul magnetic dipolar al protonului re al relat ¸ia:
µp=t(µn0+µπ+) + (1−t)µp0= (tu+ 1−t)µN (2.95)
Considerˆ and pentru momentul magnetic al mezonilor, cores punz˘ ator mi¸ sc˘ arii
orbitale de moment l=1, valoarea:
µπ±=mp
mπµN∼=7µN=uµN (2.96)
din relat ¸iile (2.94) ¸ si (2.95) rezult˘ a:
µn∼=−6tµN;µp∼=(1 + 6t)µN (2.97)
Aceste relat ¸ii suntˆ ın acord cu datele experimentale pent ru t=30 %. A¸ sadar,
conform acestui rezultat protonul ¸ si neutronul se g˘ asesc ˆ ın starea ”disociat˘ a”
aproximativ 30% din timpul lor total. In timpul ˆ ın care se g˘ asesc ˆ ın starea
disociat˘ a, timp care nu poate dep˘ a¸ si – conform relat ¸iei de incertitudine – va-
loarea ¯h/(mπc2), nucleonii pot emite mezoni care se pot dep˘ arta de nucleon i
la cel mult o distant ¸˘ a egal˘ a cu ¯ h/(mπc). Aceast˘ a distant ¸˘ a are urm˘ atorul sens
ﬁzic: mezonii πemi¸ si de nucleoni ˆ ın timpul ”disocierii” nu se pot dep˘ art a de
ace¸ stia la o distant ¸˘ a mai mare decˆ at r0= ¯h/(mπc) care nu este altceva decˆ at
”raza de act ¸iune” a fort ¸elor nucleare. Datorit˘ a masei ﬁn ite a mezonilor π
fort ¸ele nucleare de ”schimb” au o raz˘ a mic˘ a de act ¸iune, r az˘ a care este cu atˆ at
mai mic˘ a cu cˆ at este mai mare masa mezonului care realizeaz ˘ a schimbul.
Caracterul fort ¸elor de schimb depinde de tipul mezonilor c are realizeaz˘ a
schimbul. Astfel, dac˘ a schimbul se realizeaz˘ a cu mezoni π0se obt ¸in fort ¸e de
tip Wigner, dac˘ a schimbul nu esteˆ ınsot ¸it de reorientare a spinilor nucleonilor,
sau fort ¸e de tip Bartlett dac˘ a orientarea spinilor nucleo nilor se modiﬁc˘ a. In
cazul ˆ ın care schimbul se realizeaz˘ a prin intermediul mez onilor ˆ ınc˘ arcat ¸i
se realizeaz˘ a fort ¸e de tip Majorana sau fort ¸e de tip Heise nberg dup˘ a cum
schimbul are loc f˘ ar˘ a reorientarea spinilor sau cu reorie ntarea lor.
Pentru a explica dezintegrarea β±, avˆ and ˆ ın vedere relat ¸iile
(2.88) ¸ si (2.93), Yukawa a presupus c˘ a mezonii π±trebuie s˘ a se
dezintegreze astfel:
π+−→β++νe;π−−→β−+ ˜νe (2.98)
Ulterior s-a stabilit c˘ a aceste procese sunt posibile dar p robabili-
tatea lor este foarte mic˘ a ( de 104ori mai mic˘ a) ˆ ın comparat ¸ie
cu procesele descrise de relat ¸iile (2.91). In consecint ¸˘ a s-a ajuns
la concluzia c˘ a procesele de dezintegrare β±nu pot ﬁ explicate
187

prin dezintegr˘ arile pionilor reﬂectate de relat ¸iile (2. 98). A¸ sadar,
introducerea mezonilor ca cuante ale cˆ ampului nuclear a av ut
diﬁcult˘ at ¸i ˆ ın explicarea dezintegr˘ arii β±
Fire¸ ste, introducˆ and mezonii drept cuante ale cˆ ampului nuclear, Yukawa
nu a precizat numai propriet˘ at ¸ile acestor cuante ci a stab ilit ¸ si ecuat ¸ia care
descrie ”cˆ ampul mezonic” prin analogie cu cˆ ampul coulomb ian. Se ¸ stie
c˘ a potent ¸ialul electromagnetic A0, ˆ ıntr-o zon˘ a spat ¸ial˘ a f˘ ar˘ a surse, veriﬁc˘ a
ecuat ¸ia:
∆A0−1
c2∂2A0
∂t2= 0 (2.99)
Yukawa a observat c˘ a aceast˘ a ecuat ¸ie corespunde ecuat ¸i ei de cˆ amp Klein-
Gordon pentru cuante de cˆ amp cu masa de repaus zero, a¸ sa cum sunt fotonii.
Ecuat ¸ia Klein-Gordon se obt ¸ine imediat dac˘ aˆ ın relat ¸i a relativist˘ a care leag˘ a
energia total˘ a E de impulsul p ¸ si de masa de repaus m:
E2=p2c2+m2c4(2.100)
se ˆ ınlocuie¸ ste energia E ¸ si impulsul p cu operatorii:
E−→i¯h∂
∂t;p−→−i¯hgrad (2.101)
deﬁnit ¸i astfelˆ ın mecanica cuantic˘ a. Prin aceast˘ a subs titut ¸ie, ecuat ¸ia (2.100)
devine:
−¯h2∂2
∂t2=−¯h2c2∆ +m2c4(2.102)
care, aplicat˘ a unei funct ¸ii de stare U(/vector r,t), deﬁne¸ ste ecuat ¸ia:
/parenleftBigg
∆−1
c2∂2
∂t2/parenrightBigg
U(/vector r,t) =m2c2
¯h2U(/vector r,t) (2.103)
Se constat˘ a imediat c˘ a pentru particule de mas˘ a zero acea st˘ a ecuat ¸ie treceˆ ın
ecuat ¸ia (2.99). Este deci ﬁresc s˘ a se presupun˘ a c˘ a ecuat ¸ia (2.103) reprezint˘ a
generalizarea ecuat ¸iei (2.99) pentru cazul cuantelor de c ˆ amp cu mas˘ a diferit˘ a
de zero. Pentru cazul cˆ ampului static, aceast˘ a ecuat ¸ie e ste de forma:
∆U(/vector r) =/parenleftbiggmc
¯h/parenrightbigg2
U(/vector r) =/parenleftbigg1
r0/parenrightbigg2
U(/vector r) (2.104)
In particular, pentru cuante de mas˘ a zero aceast˘ a ecuat ¸i e este de forma:
∆U(/vector r) = 0 (2.105)
188

A c˘ arei solut ¸ie U(r) pentru sarcina punctiform˘ a q, local izat˘ a la r=0, este:
U(r) =1
4πεq
r(2.106)
care, dup˘ a cum era de a¸ steptat, corespunde potent ¸ialulu i coulombian. In
cazul ecuat ¸iei (2.104), pentru cazul m/ne}ationslash= 0, solut ¸ia este de forma:
U(r) =−g
4πε1
re−r
r0 (2.107)
Prin analogie cu cˆ ampul electrostatic, solut ¸ia U(r) este cunoscut˘ a sub
numele de ”potent ¸ialul Yukawa”, constanta g joac˘ a rolul u nei ”sarcini me-
zonice” iar r0este ”raza de act ¸iune” a fort ¸elor generate de sarcina mezo nic˘ a
¸ si este deﬁnit˘ a de relat ¸ia (2.87). S-a reobt ¸inut astfel atˆ at expresia pentru
raza de act ¸iune a fort ¸elor nucleare cˆ at ¸ si dependent ¸a r adial˘ a a ”potent ¸ialului
nuclear” pentru cazul unei sarcini mezonice punctiforme. G eneralizarea pen-
tru cazul unor surse mezonice cu o distribut ¸ie g̺(/vector r), ˆ ın care̺(/vector r) reprezint˘ a
densitatea de probabilitate pentru localizarea surselor m ezonice ˆ ın punctul
/vector r, se obt ¸ine din (2.104) modiﬁcat˘ a astfel:
∆U(/vector r)−(1
r0)2U(/vector r) =g̺(/vector r)
ε(2.108)
Pentru cˆ ampul electrostatic aceast˘ a ecuat ¸ie trece ˆ ın e cuat ¸ia Poisson:
∆U(/vector r) =q
ε̺(/vector r) (2.109)
Solut ¸ia ecuat ¸iei (2.108) este urm˘ atoarea:
U(/vector r) =−g
4πε/integraldisplaye−|/vector r−/vector r′|
r0
|/vector r−/vector r′|̺(/vector r′)d/vector r′(2.110)
care, evident, coincide cu solut ¸ia deﬁnit˘ a de relat ¸ia (2 .107) pentru cazul unei
surse mezonice punctiforme plasat˘ a la /vector r′= 0 ¸ si pentru care ̺(/vector r′) =δ(/vector r′). S˘ a
subliniem ¸ si faptul c˘ a ˆ ın cazul ˆ ın care distribut ¸ia sar cinii mezonice depinde
de timp, ceea ce implic˘ a o generalizare corespunz˘ atoare a relat ¸iei (2.103),
sarcinile mezonice ”nestatice” vor genera ”unde mezonice” a¸ sa dup˘ a cum
sarcinile electrice ˆ ın mi¸ scarea neuniform˘ a genereaz˘ a unde electromagnetice.
Analogia cˆ ampului mezonic cu cel coulombian conduce ¸ si la faptul c˘ a
energia potent ¸ial˘ a de interact ¸ie V(r) dintre doi nucleo ni (dou˘ a surse posibile
de mezoni) datorat˘ a schimbului mezonic este deﬁnit˘ a de re lat ¸ia:
V(r) =−g2
4πεe−r
r0
r(2.111)
189

ˆ ın care semnul ”-” semniﬁc˘ a faptul c˘ a fort ¸ele tari, mezo nice, sunt atractive.
Continuˆ and aceast˘ a analogie s˘ a reamintim faptul c˘ a int ensitatea interact ¸iei
electromagnetice este deﬁnit˘ a de constanta de structur˘ a ﬁn˘ aαE:
αE=1
4πε0e2
¯hc≈1
137(2.112)
¸ si deci, intensitatea fort ¸elor nucleare va ﬁ dat˘ a de cons tantaαN:
αN=1
4πε0g2
¯hc≈10÷15 (2.113)
Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a fort ¸ele nucleare sunt de apro ximativ 103ori mai
intense decˆ at cele electromagnetice. Valoarea sarcinii m ezonice g care a
condus la valoarea constantei αNdin relat ¸ia de mai sus se va determina ˆ ın
partea a doua a acestei lucr˘ ari la paragraful consacrat teo riei dezintegr˘ arii
β.
Teoria dezvoltat˘ a pˆ an˘ a-n prezent a conﬁrmat faptul c˘ a f ort ¸ele nucleare
sunt fort ¸e de schimb ¸ si de scurt˘ a distant ¸˘ a. In plus a per mis deﬁnirea explicit˘ a
a dependent ¸ei de r a operatorului energiei potent ¸iale de i nteract ¸ie din relat ¸ia
(2.111). Este evident ˆ ıns˘ a c˘ a ”teoria mezonic˘ a” prezen tat˘ a pledeaz˘ a numai
pentru existent ¸a unor fort ¸e nucleare, mezonice, central e. Exprimˆ andu-ne
ˆ ın termenii potent ¸ialului fenomenologic deﬁnit ˆ ın rela t ¸ia (2.77) s-ar putea
spune c˘ a teoria mezonic˘ a explic˘ a termenul V1(r) din aceast˘ a relat ¸ie.
Concluzia de mai sus, corect˘ a ˆ ın fond, se datore¸ ste faptu lui c˘ a folosind
analogia cu cˆ ampul electromagnetic s-a folosit de fapt o ec uat ¸ie de cˆ amp
corespunz˘ atoare unui cˆ amp scalar. In general ˆ ıns˘ a, ecu at ¸ia de cˆ amp depinde
ˆ ın mod esent ¸ial de propriet˘ at ¸ile mezonilor care realiz eaz˘ a schimbul, dat ﬁ-
ind faptul c˘ a funct ¸ia de und˘ a este determinat˘ a de spinul ¸ si sarcina electric˘ a
a acestora. Astfel, funct ¸ia de und˘ a va ﬁ un spinor, sau o com binat ¸ie de
spinori, de un anumit rang, cu un num˘ ar de componente egal cu num˘ arul
proiect ¸iilor spinului mezonului de schimb pe axa de cuanti ﬁcare. De exem-
plu, mezonii care au spinul egal cu zero sunt caracterizat ¸i de o funct ¸ie cu o
singur˘ a component˘ a, scalar˘ a sau pseudoscalar˘ a; mezon ilor de spin 1 le vor
corespunde funct ¸ii vectoriale sau pseudovectoriale cu tr ei componente, cˆ ate
una pentru ﬁecare proiect ¸ie a spinului. Preciz˘ am c˘ a o fun ct ¸ie se nume¸ ste
”pseudoscalar˘ a” dac˘ a are o singur˘ a component˘ a care-¸ s i schimb˘ a semnul la
operat ¸ia de inversie spat ¸ial˘ a iar funct ¸ia este ”scalar ˘ a” dac˘ a componenta
este invariant˘ a la operat ¸ia de inversie spat ¸ial˘ a. In mo d similar o funct ¸ie
cu mai multe componente (de exemplu trei componente ˆ ın cazu l spinului
egal cu unitatea) se nume¸ ste ”pseudovector” dac˘ a toate co mponentele ei ˆ ı¸ si
190

schimb˘ a semnul la operat ¸ia de inversie spat ¸ial˘ a. Mezon iiπ±¸ siπ0a¸ sa dup˘ a
cum s-a mai precizat sunt particule de spin zero ¸ si de parita te negativ˘ a;
sunt deci particule care formeaz˘ a un triplet izobaric ˆ ın s pat ¸iul de sarcin˘ a ¸ si
c˘ arora le corespund funct ¸ii pseudoscalare ˆ ın spat ¸iul o bi¸ snuit ¸ si funct ¸ii pseu-
dovectoriale ˆ ın spat ¸iul de sarcin˘ a. Reamintim c˘ a teori a prezentat˘ a mai sus
corespunde variantei scalare, adic˘ a cuanta de schimb ar co respunde unui
mezon f˘ ar˘ a sarcin˘ a ¸ si de spin zero ¸ si paritate pozitiv˘ a; aceast˘ a variant˘ a nu
t ¸ine cont de existent ¸a spinului izotopic ¸ si nici de inter act ¸ia spin-orbit˘ a dintre
nucleoni. De aici ¸ si faptul c˘ a teoria mezonic˘ a dezvoltat ˘ a mai sus a condus
la un potent ¸ial atractiv, central, dependent numai de modu lul vectorului
dintre cei doi nucleoni aﬂat ¸i ˆ ın interact ¸ie.
Ca o consecint ¸˘ a a celor precizate mai sus s-ar p˘ area c˘ a te oria mezonic˘ a
prezentat˘ a mai sus are un ”caracter strict academic”. In re alitate trebuie
s˘ a preciz˘ am c˘ a dup˘ a descoperirea mezonilor π±¸ siπ0s-a descoperit o se-
rie de alt ¸i mezoni mai grei decˆ at mezonii π(a se vedea urm˘ atoarele dou˘ a
paragrafe). Analizˆ and ansamblul mezonilor descoperit ¸i se poate constata c˘ a
printre ace¸ stia se aﬂ˘ a ¸ si mezonul Σ cu o mas˘ a, ˆ ın unit˘ at ¸i energetice, egal˘ a
cu≈1300MeV (cca. 2540 me) care ar corespunde teoriei de mai sus ¸ si care
ar realiza o raz˘ a de act ¸iune a fort ¸elor nucleare ≤0.2F. A¸ sadar considerˆ and
¸ si ace¸ sti mezoni drept cuante de schimb rezult˘ a c˘ a inter act ¸ia dintre doi nu-
cleoni la distant ¸e mai mici de 0.2 F se realizeaz˘ a prin schi mb de mezoni Σ.
In mod similar, considerarea celorlalt ¸i mezoni, cu mase ma i mici decˆ at masa
mezonului Σ, va contribui la realizarea fort ¸elor de intera ct ¸ie ˆ ıntre nucleoni
aﬂat ¸i la distant ¸e mai mari de 0.2 F. In particular, la dista nt ¸e de ordinul
1.4÷1.5 F schimbul se realizeaz˘ a prin intermediul mezonilor π.
Generalizarea teoriei de mai sus pentru mezonii pseudoscal ari ¸ si pseu-
dovectori, neutri sau ˆ ınc˘ arcat ¸i electric, conduce la ur m˘ atoarea expresie pen-
tru potent ¸ialul de interact ¸ie nucleon-nucleon:
V=−f2
4π/vector τ1/vector τ2/parenleftbigg
(1
3+1
kr+1
(kr)2)S12+1
3/vector σ1/vector σ2/parenrightbigg
k2e−kr
r(2.114)
ˆ ın carek= 1/r0iar f este o constant˘ a de interact ¸ie (de cuplaj) care are,
ca ¸ si g, dimensiunea de ”sarcin˘ a mezonic˘ a” ˆ ınmult ¸it˘ a cu distant ¸a. Este evi-
dent˘ a similitudinea acestui potent ¸ial, la care se mai ada ug˘ a cel corespunz˘ ator
mezonilor neutri scalari din (2.107), cu cel fenomenologic deﬁnit de relat ¸ia
(2.77) pentru cazul operatorului V static.
A¸ sadar, considerarea tuturor mezonilor descoperit ¸i dre pt cuante de schimb
ale cˆ ampului nuclear conduce la o descriere teoretic˘ a ade cvat˘ a a operatoru-
lui energiei potent ¸iale de interact ¸ie descris de relat ¸i a (2.77). S˘ a preciz˘ am
c˘ a introducerea mezonului ωdrept cuant˘ a de schimb conduce, teoretic, la
191

necesitatea introducerii unui potent ¸ial cu miez repulsiv ca cel introdus ˆ ın
relat ¸ia (2.82). In concluzie teoria cˆ ampului conﬁrm˘ a id eea fundamental˘ a a
lui Yukawa conform c˘ areia interact ¸iile nucleon-nucleon se realizeaz˘ a prin in-
termediul unor cuante de schimb, ˆ ın particular mezoniiˆ ın teoria lui Yukawa.
S˘ a preciz˘ am faptul c˘ a toate teoriile moderne referitoar e la interact ¸ia dintre
doi parteneri au la baz˘ a not ¸iunea de cuant˘ a de schimb. Pen tru a trece ˆ ın
revist˘ a teoriile moderne referitoare la fort ¸ele nuclear e se impune o succint˘ a
trecere ˆ ın revist˘ a a ”particulelor elementare” ¸ si a inte ract ¸iilor dintre ele.
Aceast˘ a problem˘ a va ﬁ abordat˘ a ˆ ın subcapitolul urm˘ ato r.
2.4 Particulele elementare
2.4.1 Introducere ˆ ın ﬁzica particulelor elementare
Problema interpret˘ arii structurii materiei ¸ si a fenomen elor din natur˘ a ˆ ın
”termenii unor entit˘ at ¸i elementare” ¸ si a fort ¸elor ce se exercit˘ a ˆ ıntre aces-
tea, deci ˆ ın lumina unui num˘ ar redus de legi fundamentale, a fr˘ amˆ antat pe
oamenii de ¸ stiint ¸˘ a din cele mai vechi timpuri. Pentru ant ici ca ¸ si pentru
oamenii de ¸ stiint ¸˘ a din secolul trecut – atomul – prin ˆ ıns ˘ a¸ si denumirea sa,
era particula (entitatea) elementar˘ a a materiei. In anii ’ 20 ai secolului nos-
tru se p˘ area c˘ a lumea material˘ a este alc˘ atuit˘ a din trei tipuri de particule
elementare: fotoni, electroni ¸ si protoni. In anii ’30 lume a particulelor ele-
mentare s-a ˆ ımbog˘ at ¸it cu ˆ ınc˘ a cˆ ateva: neutroni, pozi troni, miuoni, neutrini.
In acea perioad˘ a descoperirea unei noi particule elementa re era un moment
de s˘ arb˘ atoare. Descoperirea pionilor, prezi¸ si teoreti c, ˆ ın anii ’50 a constituit
o mare bucurie a ﬁzicienilor. Dar ˆ ın anii care au urmat au fos t descoperite
zeci de noi particule, numite ”stranii” pentru motivul c˘ a e xistent ¸a lor a fost
total nea¸ steptat˘ a pentru ﬁzicieni. Ulterior, datorit˘ a ˆ ımbun˘ at˘ at ¸irii metodelor
de detect ¸ie precum ¸ si datorit˘ a construirii de noi accele ratoare cu energii din
ce ˆ ın ce mai mari, s-au descoperit noi ¸ si noi particule, num ˘ arul lor crescˆ and
spectaculos. Ast˘ azi se cunosc peste 200 de particule ¸ si nu m˘ arul lor va cre¸ ste
ˆ ın continuare odat˘ a cu realizarea de energii ¸ si mai mari ˆ ın acceleratoarele
moderne.
Descoperirea de noi particule este legat˘ a de faptul c˘ a pri n ciocnirea dintre
dou˘ a particule se pot produce noi particule dac˘ a sunt ˆ ınd eplinite anumite
condit ¸ii. Astfel, prin ciocnirea dintre particulele a ¸ si b se pot genera parti-
culele 1, 2, 3, … conform procesului:
a+b−→1 + 2 + 3 + … (2.115)
dac˘ a energia cinetic˘ a a particulelor a ¸ si b dep˘ a¸ se¸ ste energia cinetic˘ a de prag
192

necesar˘ a producerii procesului descris de relat ¸ia (2.11 5). Energia cinetic˘ a de
prag pentru procesul (2.115) pentru cazul ˆ ın care particul a (t ¸inta) b este ˆ ın
repaus se calculeaz˘ a conform relat ¸iei:
(Ea)prag=−Qma+mb+m1+m2+…
2mb(2.116)
ˆ ın carem1,m2,…sunt masele de repaus ale particulelor 1, 2, … iar Q este
energia de react ¸ie deﬁnit˘ a de relat ¸ia:
Q= (ma+mb−(m1+m2+…))c2(2.117)
In cazul ˆ ın care particulele a ¸ si b sunt ambele ˆ ın mi¸ scare ¸ si se ciocnesc ˆ ın
sens invers ﬁind ˆ ındeplinit˘ a condit ¸ia:
/vector pa+/vector pb= 0 (2.118)
ˆ ın care/vector pa¸ si/vector pbsunt impulsurile particulelor ˆ ın sistemul laborator, con dit ¸ia
de realizare a procesului (2.115) este urm˘ atoarea:
(Ea+Eb)prag=−Q (2.119)
Situat ¸ia descris˘ a de relat ¸iile (2.118) ¸ si (2.119) se re alizeaz˘ aˆ ın acceleratoarele
moderne cu inele de acumulare.
Relat ¸iile (2.116) ¸ si (2.119) se demonstreaz˘ a imediat fo losindu-
se faptul c˘ a cuadrivectorul E2
t−p2
tc2, ˆ ın careEt¸ siptreprezint˘ a
energia total˘ a ¸ si, respectiv, impulsul total, este un inv ariant Lorentz
atˆ at ˆ ın sistemul laborator (SL) cˆ at ¸ si ˆ ın sistemul cent rului de
mas˘ a (SCM). Folosind relat ¸ia pentru energia total˘ a a une i par-
ticule, ﬁe ”a” aceast˘ a particul˘ a:
Eta=/radicalBig
p2ac2+m2ac4 (2.120)
rezult˘ a c˘ aE2
t−p2
tc2pentru particulele a ¸ si b, ˆ ın sistemul labora-
tor, va ﬁ:
(E2
t−p2
tc2)SL= (Eta+Etb)2−(/vector pa+/vector pb)2c2=
=m2
ac4+m2
bc4+ 2EtaEtb−2/vector pa/vector pbc2(2.121)
Acela¸ si invariant, exprimat ˆ ın SCM, pentru particulele 1 , 2, 3,
… rezultate ˆ ın procesul descris de relat ¸ia (2.115), va ﬁ :
(E2
t−p2
tc2)SCM= (E2
t)SCM=/parenleftBigg/summationdisplay
i(mic2+E′
i)/parenrightBigg2
(2.122)
193

In obt ¸inerea acestei relat ¸ii s-a folosit faptul c˘ a /vector pt= 0 ˆ ın SCM
(prin deﬁnit ¸ia sistemului centrului de mas˘ a) cˆ at ¸ si fap tul c˘ a e-
nergia total˘ a Eta particulei ”i” ˆ ın SCM se exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de
energia ei cinetic˘ a prin relat ¸ia:
Eti=mic2+E′
i (2.123)
ˆ ın careE′
ieste energia cinetic˘ a ˆ ın sistemul SCM. Invariant ¸a
cuadrivectorului ˆ ın cele dou˘ a sisteme implic˘ a egalitat ea:
(E2
t−p2
tc2)SL= (E2
t)SCM (2.124)
Energia minim˘ a (de prag) necesar˘ a realiz˘ arii procesulu i descris
de relat ¸ia (2.115) se obt ¸ine din condit ¸ia:
/summationdisplay
iE′
i= 0 (2.125)
In cazul ˆ ın care particula b se aﬂ˘ a ˆ ın repaus ( /vector pb= 0, relat ¸ia
(2.124) t ¸inˆ and cont de relat ¸iile (2.121), (2.122) ¸ si (2 .125) devine:
m2
ac4+m2
bc4+ 2mbc2(Eta)prag=/parenleftBigg/summationdisplay
imic2/parenrightBigg2
(2.126)
Folosind pentru (Eta)pragrelat ¸ia (2.123):
(Eta)prag= (Ea)prag+mac2(2.127)
din (2.126) se deduce:
2mbc2(Ea)prag=/parenleftBigg/summationdisplay
imic2/parenrightBigg2
−(mac2+mbc2)2(2.128)
Aceast˘ a relat ¸ie, cu Q deﬁnit ˆ ın relat ¸ia (2.177), deﬁne¸ ste energia
de prag din relat ¸ia (2.116).
In cazul ˆ ın care /vector pa+/vector pb= 0ˆ ın SL relat ¸ia (2.124), t ¸inˆ and cont
de acelea¸ si relat ¸ii (2,121), (2.122) ¸ si (2.125), devine :
(Ea+Eb)prag=/summationdisplay
imic2(2.129)
sau, folosind pentru Eta¸ siEtbrelat ¸ia (2.127), se obt ¸ine:
(Ea+Eb)prag+mac2+mbc2=/summationdisplay
imic2(2.130)
din care rezult˘ a relat ¸ia (2.119)
194

Din relat ¸iile de mai sus rezult˘ a c˘ a, de exemplu, pentru ge nerarea unui
pion ˆ ın procesul:
p+p−→p+p+π0(2.131)
este necesar˘ a o energie cinetic˘ a minim˘ a a protonului inc ident dat˘ a de relat ¸ia:
(Ep)prag=mπc24mp+mπ
2mp=mπc2/parenleftBigg
2 +mπc2
2mpc2/parenrightBigg
(2.132)
dac˘ a cel˘ alalt proton se aﬂ˘ a ˆ ın repaus sau o energie cinet ic˘ a total˘ a a celor doi
protoni egal˘ a cu:
(Ep1+Ep2)prag=mπc2(2.133)
dac˘ a protonii de energie cinetic˘ a Ep1¸ siEp2se ciocnesc frontal. In acest
exemplu, particulele ﬁnale 1 ¸ si 2 coincid cu cele init ¸iale ¸ si ˆ ın plus s-a gene-
rat pionulπ0care reprezint˘ a particula 3 conform relat ¸iei (2.115). De sigur,
procesul descris de relat ¸ia (2.115) este general, ˆ ın sens ul c˘ a particulele 1, 2,
3, … obt ¸inute ˆ ın urma interact ¸iei pot ﬁ total diferite d e cele init ¸iale ca ˆ ın
exemplul urm˘ ator:
γ+p−→n+π+
Fire¸ ste, pentru realizarea procesului descris de relat ¸i a (2.115) este nece-
sar ca pe lˆ ang˘ a condit ¸ia energetic˘ a exprimat˘ a de relat ¸ia (2.116) sau relat ¸ia
(2.119), care rezult˘ a din legea conserv˘ arii energiei tot ale ¸ si a impulsului to-
tal, s˘ a ﬁe satisf˘ acute ¸ si celelalte legi de conservare sp eciﬁce proceselor de
interact ¸ie dintre particulele elementare, legi ce vor ﬁ de scrise ˆ ın paragra-
ful urm˘ ator. Oricare ar ﬁ ˆ ıns˘ a aceste legi se poate aﬁrma c ˘ a, ˆ ın general,
prin ciocnirea a dou˘ a particule cu energii cinetice suﬁcie nt de mari exist˘ a
totdeauna posibilitatea gener˘ arii unor alte particule. D e aici rezult˘ a ¸ si posi-
bilitatea descoperirii, ˆ ın viitor, de noi particule pe m˘ a sur˘ a ce vom dispune
de energii cinetice ale partenerilor de interact ¸ie din ce ˆ ın ce mai mari.
In lumina celor precizate mai sus pe drept cuvˆ ant se ridic˘ a ˆ ıntrebarea:
particulele produse ˆ ın procesele de interact ¸ie sunt part icule elementare? Se
impune deci deﬁnirea conceptului de ”elementaritate”. O pa rticul˘ a elemen-
tar˘ a, ˆ ın sensul strict al cuvˆ antului ”elementar”, este a ceea care satisface
urm˘ atoarele condit ¸ii:
a).nu are structur˘ a intern˘ a.
b).nu poate ﬁ descompus˘ a ˆ ın constituient ¸i mai mici.
Conform acestor condit ¸ii rezult˘ a c˘ a o particul˘ a neelem entar˘ a X este com-
pus˘ a din particulele x1, x2, x3,…ˆ ın care poate ﬁ descompus˘ a prin diferite
195

interact ¸ii. Dar dac˘ a ˆ ın procesul de interact ¸ie respect iv, prin care ˆ ıncerc˘ am
descompunerea particulei ˆ ın constituient ¸ii s˘ ai, se gen ereaz˘ a ¸ si alte particule
(chiar particule constituiente) cum putem ¸ sti care sunt pa rticule constitu-
iente ¸ si care sunt cele generate? Este evident c˘ a atˆ ata ti mp cˆ at procesul
de generare este posibil este lipsit de sens s˘ a aﬁrm˘ am c˘ a p articula X este
compus˘ a din particulele x1, x2, x3,…. Aceast˘ a aﬁrmat ¸ie are sens numai
dac˘ a sunt ˆ ındeplinite condit ¸iile:
c).particula X poate ﬁ descompus˘ a ”numai” ˆ ın particulele con stituiente
ˆ ıntr-un proces de interact ¸ie:
a+X−→a+x1+x2+x3+… (2.134)
d).energia de separare Sia particulei xidin particula X este mult mai mic˘ a
decˆ at energia ei de repaus:
Si≪mxic2(2.135)
Aceast˘ a condit ¸ie semniﬁc˘ a faptul c˘ a particula xipoate ﬁ detectat˘ a
ˆ ın stare liber˘ a sau ˆ ın orice caz este relativ slab legat˘ a ˆ ıntr-un sistem
oarecare. Condit ¸iile c) ¸ si d) pot ﬁ satisf˘ acute simultan numi dac˘ a
energia cinetic˘ a de interact ¸ie a sistemului a+X (relat ¸i a 2.134) satisface
condit ¸ia:
Si<E < m xic2(2.136)
Dac˘ a aceast˘ a condit ¸ie este ˆ ındeplinit˘ a poate avea loc separarea par-
ticuleixidin X f˘ ar˘ a generarea alteia similare. A¸ sadar, ori de cˆ at e
ori condit ¸iile c) ¸ si d) sunt ˆ ındeplinite se poate aﬁrma, c el put ¸in din
punct de vedere practic, c˘ a particula X este compus˘ a din pa rticulele
x1, x2, x3…ˆ ın acela¸ si sens ˆ ın care nucleul este format din protoni ¸ s i
neutroni. Dac˘ a cel put ¸in una din condit ¸iile c) ¸ si d) nu es te respectat˘ a
atunci particula X se nume¸ ste, din punct de vedere practic, ”particul˘ a
elementar˘ a”. S˘ a subliniem ˆ ıns˘ a ideea c˘ a deﬁnind astfe l ”particula ele-
mentar˘ a” nu rezult˘ a de aici c˘ a aceasta nu are o ”structur˘ a intern˘ a” ci
numai faptul c˘ a nu putem experimental s˘ a evident ¸iem acea st˘ a struc-
tur˘ a, constituient ¸ii acesteia. A¸ sadar deﬁnit ¸ia de mai sus este deci o
deﬁnit ¸ie ”practic˘ a” a particulelor elementare ¸ si ˆ ın ac est sens, ˆ ın acest
paragraf, vom folosi aceast˘ a not ¸iune.
S˘ a facem precizarea c˘ a ˆ ın ﬁzica particulelor elementare se
efectueaz˘ a practic un singur gen de experiment: ciocnirea (interact ¸ia)
dintre o mult ¸ime de particule cu o alt˘ a mult ¸ime de particu le.
196

Num˘ arˆ and particulele care zboar˘ a dup˘ a ciocnire ˆ ıntr- o anumit˘ a
direct ¸ie, ﬁzicianul experimentator ˆ ıncearc˘ a s˘ a stabi leasc˘ a toate
propriet˘ at ¸ile ce caracterizeaz˘ a particulele care se ci ocnesc. Este
ca ¸ si cum ne-am aﬂa ˆ ıntr-o ˆ ınc˘ apere ˆ ıntunecat˘ a ¸ si am s tropi cu
un furtun o statuie iar apoi strˆ angˆ and apa ˆ ımpr˘ a¸ stiat˘ a ˆ ıncerc˘ am
s˘ a reproducem statuia dup˘ a cum se exprima plastic un ﬁzici an
pentru a sublinia diﬁcult˘ at ¸ile experient ¸elor din ﬁzica particulelor
elementare
Experient ¸ele arat˘ a c˘ a particulele elementare nu pot ﬁ co ncepute decˆ at
legate intrinsec de interact ¸iile pe care le au ˆ ıntre ele sa u cu alte sisteme.
F˘ ar˘ a aceste interact ¸ii o particul˘ a nu poate ﬁ pus˘ a ˆ ın e vident ¸˘ a ¸ si deci nu
poate ﬁ caracterizat˘ a. Studiind modul ˆ ın care particulel e elementare (ˆ ın
sensul deﬁnit mai sus) interact ¸ioneaz˘ a ˆ ıntre ele au fost puse ˆ ın evident ¸˘ a
patru tipuri de interact ¸ie. In ordinea intensit˘ at ¸ii lor interact ¸iile se clasiﬁc˘ a
ˆ ın interact ¸ii tari, electromagnetice, slabe ¸ si graviﬁc e.
Interact ¸ia tare este responsabil˘ a pentru fort ¸ele nucle are care se exercit˘ a
ˆ ıntre nucleonii nucleului asigurˆ and stabilitatea acest uia. Aceste fort ¸e se ex-
ercit˘ a ¸ siˆ ın interact ¸ia altor particule ca pioni, kaoni , hiperoni, etc. Particulele
ˆ ıntre care se exercit˘ a astfel de fort ¸e se numesc ”hadroni ”. Fort ¸ele nucleare,
dup˘ a cum s-a precizat deja, sunt fort ¸e de scurt˘ a distant ¸ ˘ a ¸ si ca atare pentru
dimensiuni mai mari decˆ at 10−14m devin neglijabile. De aceea, asigurˆ and
stabilitatea nucleului, aceste fort ¸e practic nu inﬂuent ¸ eaz˘ a fenomenele ato-
mice. S˘ a remarc˘ am ¸ si faptul c˘ a aceste fort ¸e nu au caract er universal c˘ aci
exist˘ a particule ca fotonii, electronii, miuonii, etc., ˆ ıntre care nu se exercit˘ a
astfel de fort ¸e.
Interact ¸ia electromagnetic˘ a este urm˘ atoarea ca intens itate ¸ si cea mai
bine studiat˘ a. Aceast˘ a interact ¸ie se manifest˘ a ˆ ıntre particule ˆ ınc˘ arcate sau
chiar ˆ ıntre particule neutre cu moment magnetic. Fort ¸ele care realizeaz˘ a
aceast˘ a interact ¸ie sunt de lung˘ a distant ¸˘ a ¸ si act ¸ion eaz˘ a la nivelul atomilor,
moleculelor, cristalelor ca ¸ si la nivelul tuturor macrosi stemelor. De aceea
toate fenomenele speciﬁce experient ¸ei umane sunt, ˆ ın ese nt ¸˘ a, de natur˘ a elec-
tromagnetic˘ a. S˘ a remarc˘ am faptul c˘ a interact ¸ia elect romagnetic˘ a presupune
atˆ at fort ¸e atractive cˆ at ¸ si fort ¸e de respingere. Ca urm are, interact ¸ia electro-
magnetic˘ a dintre dou˘ a corpuriˆ ınc˘ arcate, a c˘ aror sum˘ a a sarcinilor este zero,
are un caracter de ”raz˘ a scurt˘ a de act ¸iune”.
Interact ¸ia slab˘ a a ap˘ arut ˆ ın primul rˆ and la dezintegra reaβa nucleelor.
Ulterior s-a stabilit c˘ a o serie de alte particule, inclusi v hadronii, se pot de-
zintegra prin interact ¸ie slab˘ a. Studiile teoretice ¸ si e xperimentale au condus
la ideea c˘ a multe particule ca hiperoni, kaoni, miuoni, etc ., ar ﬁ fost stabile
197

dac˘ a n-ar ﬁ existat interact ¸ia slab˘ a. Exist˘ a de asemene a o serie de ciocniri
(react ¸ii) cum ar ﬁ ciocnirile neutrinilor cu nucleele care au loc tot prin
intermediul interact ¸iei slabe. Fort ¸ele corespunz˘ atoa re acestor interact ¸ii sunt
fort ¸e de foarte scurt˘ a distant ¸˘ a. La distant ¸e ≥10−14m ”fort ¸ele slabe” sunt
foarte slabe ˆ ın comparat ¸ie cu fort ¸ele nucleare ¸ si cele e lectromagnetice. La
distant ¸e foarte mici ( ≤10−19m ) aceste fort ¸e devin comparabile cu fort ¸ele
electromagnetice iar la distant ¸e ¸ si mai mici pot egala ca i ntensitate fort ¸ele
nucleare.
Interact ¸ia graviﬁc˘ a este cea mai slab˘ a ca intensitate da r se manifest˘ a ˆ ın
tot universul dat ﬁind faptul c˘ a raza ei de act ¸iune este inﬁ nit˘ a. Sunt fort ¸e
atractive dar universale ¸ si se manifest˘ a ˆ ıntre toate cor purile cu o intensitate
cu atˆ at mai mare cu cˆ at masa corpurilor ce interact ¸ioneaz ˘ a este mai mare.
De aceea acest tip de interact ¸ie se manifest˘ a ”sesizabil” numai ˆ ıntre corpuri
cu mase suﬁcient de mari ﬁind neglijabile ˆ ın cazul particul elor elementare a
c˘ aror mas˘ a este foarte mic˘ a. In continuare interact ¸ia g raviﬁc˘ a va ﬁ neglijat˘ a
ˆ ın interact ¸iile dintre particulele elementare.
Experient ¸a arat˘ a c˘ a majoritatea particulelor elementa re, ca ¸ si nuclele
radioactive, se dezintegreaz˘ a ˆ ın timp dup˘ a o lege expone nt ¸ial˘ a exprimat˘ a
de relat ¸ia (1.315). Este interesant s˘ a facem o leg˘ atur˘ a ˆ ıntre timpul mediu
de viat ¸˘ a propriu (timpul mediu de viat ¸˘ a deﬁnit ˆ ın siste mul centrului de
mas˘ a fat ¸˘ a de care particula este ˆ ın repaus) ¸ si tipul int eract ¸iei prin care
se dezintegreaz˘ a. S˘ a facem mai ˆ ıntˆ ai precizarea c˘ a exp erimental se m˘ asoar˘ a
timpul mediu de viat ¸˘ a τSLˆ ın sistemul laborator (SL). Timpul mediu de viat ¸˘ a
propriu, care reprezint˘ a o proprietate intrinsec˘ a a part iculei elementare, se
exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de τSLprin relat ¸ia:
τ=τSL/radicalBigg
1−v2
c2(2.137)
ˆ ın care v este viteza particulei ˆ ın SL iar c este viteza lumi nii.
Timpul mediu de viat ¸˘ a τvariaz˘ a ˆ ın limite foarte mari ﬁind determi-
nat, ˆ ın esent ¸˘ a, de interact ¸ia prin care particulele se d ezintegreaz˘ a. Astfel
dezintegrarea prin intermediul interact ¸iilor tari condu ce la timpi de viat ¸˘ a
de 10−22−10−19s iar particulele care intr˘ a ˆ ın aceast˘ a categorie se nume sc
”rezonant ¸e”. Dezintegr˘ arile ”electromagnetice” condu c la timpi de viat ¸˘ a ce
variz˘ a ˆ ıntre 10−19¸ si 10−10s iar dezintegr˘ arile slabe corespund la timpi de
viat ¸˘ a mai mari decˆ at 10−14s. Foarte mult ¸i autori consider˘ a c˘ a o particul˘ a
pentru a putea ﬁ considerat˘ a ”elementar˘ a” trebuie s˘ a ﬁe ” stabil˘ a” ˆ ın sensul
c˘ a timpul mediu de viat ¸˘ a al ei trebuie s˘ a ﬁe mai mare decˆ a t ”timpul nuclear”.
198

Timpul nuclear sau ”timpul de interact ¸ie” se deﬁne¸ ste pri n relat ¸ia:
τN=Lc
c=¯h
mnc2≈0.7 10−24s (2.138)
ˆ ın careLceste lungimea Compton a nucleonului. A¸ sadar, timpul nucle ar
este timpul ˆ ın care o particul˘ a cu viteza luminii c interac t ¸ioneaz˘ a cu un nu-
cleon de mas˘ a mna c˘ arui dimensiune este deﬁnit˘ a de lungimea Compton Lc.
Este cazul s˘ a remarc˘ am c˘ a aceast˘ a condit ¸ie de ”element aritate” nu stabile¸ ste
cˆ at de mare trebuie s˘ a ﬁe τfat ¸˘ a deτNpentru ca particula s˘ a ﬁe considerat˘ a
elementar˘ a. Adesea se consider˘ a c˘ a particulele care se d ezintegreaz˘ a elec-
tromagnetic sau slab sunt particule ”stabile” ¸ si deci elem entare ˆ ın sensul
terminologiei de mai sus. S˘ a subliniem cu acest prilej ¸ si f aptul c˘ a num˘ arul
particulelor elementare cu un timp inﬁnit de mare este foart e mic. Pˆ an˘ a nu
demult num˘ arul acestor particule era de 11: fotonul, elect ronul, protonul,
trei tipuri de neutrini (neutrinul electronic νe, miuonicνµ¸ si tauonicντ)
¸ si antiparticulele lor cu precizarea c˘ a fotonul nu are ant iparticul˘ a. Teoriile
recente privind uniﬁcarea tuturor fort ¸elor din natur˘ a ca ¸ si unele experient ¸e
(a se vedea paragraful urm˘ ator) conduc la ideea c˘ a protonu l nu este totu¸ si
o particul˘ a cu timpul τinﬁnit ci o particul˘ a ”instabil˘ a” cu timpul τegal
cu aproximativ 1032ani. Acceptˆ and aceast˘ a idee rezult˘ a c˘ a num˘ arul partic –
ulelor stabile ˆ ın sensul strict al cuvˆ antului ( τeste inﬁnit) sunt numai 9 ¸ si
acestea interact ¸ioneaz˘ a numai electromagnetic ¸ si/sau slab. Din cele relatate
mai sus rezult˘ a corelat ¸ia evident˘ a ˆ ıntre timpul mediu d e viat ¸˘ aτ¸ si tipul
interact ¸iei prin care se dezintegreaz˘ a particulele elem entare.
O caracteristic˘ a important˘ a a particulelor elementare, care ar putea ﬁ
considerat˘ a, plastic vorbind, un fel de ”adres˘ a” a acesto ra, este f˘ ar˘ a ˆ ındoial˘ a
masa de repaus a lor. Este evident c˘ a masa de repaus a particu lelor ele-
mentare este limitat˘ a inferior de valoarea zero; ˆ ın ceea c e prive¸ ste valorile
mari nu se poate estima o limitare ﬁzic˘ a, singura limitare c unoscut˘ a ﬁind
dat˘ a de energiile accesibile ˆ ın prezent. Dar cum se determ in˘ a masa parti-
culelor elementare? Dup˘ a cum se ¸ stie masa nucleelor se obt ¸ine cu ajutorul
spectrometrelor de mas˘ a a c˘ aror esent ¸˘ a const˘ a ˆ ın fapt ul c˘ a ionii nucleelor
respective, cu energii foarte mici (termice), sunt acceler at ¸i ¸ si analizat ¸i ˆ ın
cˆ ampuri electrice ¸ si magnetice. Aceast˘ a metod˘ a nu poat e ﬁ folosit˘ a ˆ ın cazul
particulelor elementare c˘ aci acestea se obt ¸in, cel mai fr ecvent, ˆ ın procese
de ciocnire (react ¸ii) cu viteze diferite ¸ si cel mai adesea necunoscute. De
asemenea multe particule sunt neutre sau au un timp mediu de v iat ¸˘ a foarte
scurt. Rezult˘ a de aici c˘ a metoda spectrometriei de mas˘ a e ste inadecvat˘ a
pentru determinarea masei particulelor ¸ si ca atare se folo sesc alte metode
ˆ ın care masa (ca ¸ si timpul mediu de viat ¸˘ a) se determin˘ a ” statistic” pe baza
199

unui ansamblu de m˘ asur˘ atori. De aceea un anumit ansamblu d e particule
de acela¸ si fel este caracterizat de valoarea medie a masei d e repaus ¸ si de
ˆ ımpr˘ a¸ stierea (dispersia) ∆ ma acestei valori. Preciz˘ am c˘ a atunci cˆ and se
vorbe¸ ste de ˆ ımpr˘ a¸ stierea ∆ ma masei de repaus se are ˆ ın vedere distribut ¸ia
natural˘ a a valorilor m˘ asurate pentru masa diferitelor pa rticule de acela¸ si
fel ¸ si nu ˆ ımpr˘ a¸ stierea generat˘ a de posibilit˘ at ¸ile l imitate ale aparaturii de
m˘ asur˘ a.
Probabilitatea P(m) ca o particul˘ a s˘ a aibe o anumit˘ a mas˘ a de repaus m0
este bine descris˘ a de o distribut ¸ie de tip Breit-Wigner (p aragraful 1.9.4):
P(m)∼∆m0
(m−m0)2+ (∆m0
2)2(2.139)
ˆ ın care ∆m0este l˘ argimea la semiˆ ın˘ alt ¸ime a distribut ¸iei masei de repaus.
Relat ¸ia de incertitudine (2.84) leag˘ a timpul mediu de via t ¸˘ aτal particulelor
respective de l˘ argimea ∆ m0a distribut ¸iei masei de repaus conform relat ¸iei:
(∆m0c2)τ≈¯h (2.140)
A¸ sadar numai particulele stabile, cu τ→∞ vor avea o mas˘ a precis de-
terminat˘ a. Astfel masa particulei este determinat˘ a cu o p recizie dat˘ a de
timpulτcare, conform preciz˘ arilor de mai sus, este intim legat de t ipul
interact ¸iei la care particip˘ a particula respectiv˘ a. Es te de a¸ steptat deci ca ¸ si
masa s˘ a ﬁe corelat˘ a cu tipul de interact ¸ie. Intr-adev˘ ar , pˆ an˘ a la descoperirea
tauonuluiτ(mτc2= 1800 MeV) se putea aﬁrma c˘ a cea mai u¸ soar˘ a particul˘ a
care particip˘ a la interact ¸iile tari – pionul ( mπc2≈140 MeV) – este mai grea
decˆ at cea mai grea particul˘ a miuonul µ(mµc2≈106 MeV), care nu mai
interact ¸ioneaz˘ a tare. S˘ a observ˘ am c˘ a totu¸ si masa pio nului nu difer˘ a mult
de masa miuonului a¸ sa ˆ ıncˆ at faptul c˘ a prima particip˘ a ˆ ın interact ¸iile tari
iar cealalt˘ a nu, constituie un argument concludent, ¸ si ne arat˘ a c˘ a, de fapt,
suntem ˆ ınc˘ a departe de ˆ ınt ¸elegerea esent ¸ei ﬁzicii sub nucleare. Descoperirea
tauonului, mai greu decˆ at pionul, care de asemenea nu inter act ¸ioneaz˘ a tare,
conﬁrm˘ a aﬁrmat ¸ia de mai sus ¸ si arat˘ aˆ ın acela¸ si timp c˘ a masa, de¸ si o propri-
etate important˘ a a particulelor elementare nu constituie totu¸ si o proprietate
”deﬁnitorie” a acestora, neﬁind strict corelat˘ a cu tipul i nteract ¸iei.
2.4.2 Legi de conservare ˆ ın ﬁzica particulelor elementare
Multiplele experient ¸e au ar˘ atat c˘ a ˆ ın interact ¸iile sa u transform˘ arilor par-
ticulelor elementare act ¸ioneaz˘ a o serie de reguli empiri ce prin care se se-
lecteaz˘ a acele interact ¸ii (react ¸ii) sau transform˘ ari care pot avea loc din total-
itatea interact ¸iilor sau transform˘ arilor care pot ﬁ conc epute (imaginate). Au
200

ap˘ arut astfel ”reguli de select ¸ie” ca o consecint ¸˘ a a uno r legit˘ at ¸i experimen-
tale constatate empitic; stabilirea universalit˘ at ¸ii ac estor legit˘ at ¸i a condus,
ˆ ın ﬁzic˘ a ˆ ın general dar ˆ ın special ˆ ın ﬁzica particulelo r elementare, la ceea
ce numim ”legi de conservare”. A¸ sadar, o lege de select ¸ie e ste exprimarea
empiric˘ a a unei legi de conervare. Int ¸elegerea cauzelor c are duc la legile de
conservare s-a f˘ acut ˆ ın ultimele decenii ¸ si ﬁzica partic ulelor elementare a ju-
cat un rol central ˆ ın aceast˘ a direct ¸ie. Ast˘ azi este unan im acceptat˘ a ideea c˘ a
legile de conservare sunt consecint ¸e ale diferitelor prop riet˘ at ¸i de simetrie pe
care le au particulele ¸ si interact ¸iile lor.1Deoarece legile de conservare sunt
consecint ¸e ale faptului c˘ a sistemul ﬁzic are anumite sime trii, aceasta, din
punct de vedere matematic, semniﬁc˘ a invariant ¸a legilor ﬁ zice la operat ¸iile
corespunz˘ atoare simetriilor respective.2
Legile de conservare au jucat ¸ si joac˘ a un rol important ˆ ın dezvoltarea
ﬁzicii ˆ ın general. In ﬁzica particulelor elementare acest e legi au ˆ ıns˘ a un rol
aparte, deosebit, din cel put ¸in urm˘ atoarele motive.
1. Nu exist˘ a o teorie care s˘ a explice toate propriet˘ at ¸il e particulelor ele-
mentare ¸ si interact ¸iile dintre ele. In schimb, ˆ ın lumea p articulelor ele-
mentare exist˘ a legi de conservare care se respec˘ a ˆ ın toat e interact ¸iile
¸ si transform˘ arile cunoscute pˆ an˘ a-n prezent.
2. In lumea particulelor elementare act ¸ioneaz˘ a ¸ si legi d e conservare speci-
ﬁce care nu apar la nivel macroscopic sau oricum nu joac˘ a un r ol im-
portant la acest nivel.
3. La nivelul particulelor elementare legile de conservare act ¸ioneaz˘ a mai
eﬁcient ˆ ın sensul c˘ a dac˘ a la nivelul macroscopic legile d e conservare
”interzic anumite fenomene” la nivelul particulelor eleme ntare legile
de conservare ”permit anumite interact ¸ii ¸ si transform˘ a ri”. Aceasta
ˆ ınseamn˘ a c˘ a dac˘ a anumite procese nu sunt interzise de ni cio lege de
conservare atunci aceste procese se vor produce cu necesita te la nivelul
prticulelor elementare. Dac˘ a totu¸ si un proces nu se produ ce se con-
sider˘ a c˘ a procesul respectiv nu este ˆ ınc˘ a bine cunoscut .
Legile de conservare din ﬁzica particulelor elementare se p ot clasiﬁca ˆ ın
trei grupe:
A)Legi de conservare care decurg din propriet˘ at ¸ile geometr ice ale structurii
uniﬁcate spat ¸iu-timp
1Simetria este o idee prin care oamenii au ˆ ıncercat de-a lung ul timpului s˘ a ˆ ınt ¸eleag˘ a
fenomenele naturii ¸ si s˘ a creeze ordine, frumuset ¸e ¸ si pe rfect ¸iune.
2Exist˘ a o strˆ ans˘ a leg˘ atur˘ a ˆ ıntre invariant ¸a la un gru p de transformare ¸ si o lege de
conservare a unei m˘ arimi ﬁzice.
201

B)Legi de conservare care se refer˘ a la conservarea ”sarcinil or” particulelor
elementare; aceste legi sunt speciﬁce tuturor celor trei ti puri de interact ¸ie
a particulelor elementare. Reamintim c˘ a interact ¸ia grav iﬁc˘ a nu joac˘ a
practic niciun rol ˆ ın ﬁzica particulelor elementare ¸ si ca atare nu este
considerat˘ a ˆ ın ﬁzica particulelor elementare.
C)Legi de conservare speciﬁce numai unora din cele trei tipuri de interact ¸ie.
Sunt deci legi ”aproximative” care arat˘ a c˘ a diferitele ti puri de interact ¸ie
au diferite grade de simetrie; cu cˆ at interact ¸ia este mai i ntens˘ a cu atˆ at
aceasta este mai simetric˘ a, adic˘ a ˆ ıi corespund mai multe legi de con-
servare.
A.Legile de conservare din aceast˘ a grup˘ a rezult˘ a din simet ria spat ¸iului
¸ si timpului ¸ si din invariant ¸a interact ¸iei la operat ¸ia corespunz˘ atoare simetriei
respective. Astfel:
-Omogenitatea timpului ¸ si spat ¸iului implic˘ a invariant ¸ a la translat ¸ieˆ ın timp
¸ si ˆ ın spat ¸iu; de aici rezult˘ a conservarea energiei tota le ¸ si, respectiv, a
impulsului total.
-Izotropia spat ¸iului implic˘ a invariant ¸a la rotat ¸ie de u nde rezult˘ a legea con-
serv˘ arii momentului cinetic total.
-Simetria la inversia spat ¸ial˘ a conduce la legea conserv˘ a rii parit˘ at ¸ii. Aceast˘ a
lege nu se respect˘ a ˆ ın cazul interact ¸iilor slabe.
-Simetria la inversia temporal˘ a conduce la reversibilitat ea proceselor de
interact ¸ie.
Consider˘ am c˘ a este util s˘ a reamintim principalele idei f olosite
ˆ ın mecanica cuantic˘ a pentru m˘ arimile ﬁzice care se conse rv˘ a.
Fie un sistem cuantic descris de hamiltonianul H independen t
de timp. Funct ¸ia de und˘ a Ψ, funct ¸ie proprie a hamiltonianului
H, veriﬁc˘ a ecuat ¸ia:
i¯h∂Ψ
∂t=HΨ (2.141)
cˆ at ¸ si ecuat ¸ia complex conjugat˘ a:
−i¯h∂Ψ∗
∂t= (HΨ)∗= Ψ∗H+= Ψ∗H (2.142)
In obt ¸inerea ultimei relat ¸ii s-a t ¸inut cont de faptul c˘ a operatorul
H este hermitic:
H+=H (2.143)
202

Valoarea observabil˘ a a unei m˘ arimi F ˆ ın starea Ψeste deﬁnit˘ a de
valoarea medie <F > care este egal˘ a cu produsul scalar deﬁnit
astfel:
<F > =<Ψ,FΨ>=/integraldisplay
Ψ∗FΨdτ (2.144)
Din aceast˘ a relat ¸ie rezult˘ a:
d
dt<F > =/integraldisplay∂Ψ∗
∂tFΨdτ+/integraldisplay
Ψ∗∂F
∂tΨdτ+/integraldisplay
Ψ∗F∂Ψ
∂tdτ
(2.145)
Substituind ˆ ın aceast˘ a ecuat ¸ie derivatele ∂Ψ/∂t¸ si∂Ψ∗/∂tdin
(2.141) ¸ si (2.142) ¸ si t ¸inˆ and cont c˘ a operatorul F nu dep inde de
timp (∂F/∂t = 0) rezult˘ a:
d
dt<F > =i
¯h/integraldisplay
Ψ∗[HF−FH]Ψdτ (2.146)
Expresia HF-FH se nume¸ ste ˆ ın mecanica cuantic˘ a ”comutat orul
operatorilor H ¸ si F” ¸ si se noteaz˘ a cu simbolul [H,F]:
HF−FH= [H,F] (2.147)
Din relat ¸ia (2.146) rezult˘ a c˘ a pentru orice observabil˘ a F care
comut˘ a cu hamiltonianul H ¸ si care nu depinde explicit de ti mp
avem:d
dt<F > = 0 (2.148)
ceea ce semniﬁc˘ a faptul c˘ a F se conserv˘ a ˆ ın timp, adic˘ a e ste o
constant˘ a a mi¸ sc˘ arii. In cazul ˆ ın care H ¸ si F comut˘ a, fu nct ¸iile
proprii ale hamiltonianului H pot ﬁ astfel aleseˆ ıncˆ at s˘ a ﬁe funct ¸ii
proprii ¸ si ale lui F, adic˘ a pentru ecuat ¸ia Schr ¨odinger stat ¸ionar˘ a
au loc relat ¸iile:
HΨ =EΨ ;FΨ =fΨ (2.149)
ˆ ın care f este valoarea proprie a lui F pentru starea Ψ. Dac˘ a
condit ¸ia (2.148) este satisf˘ acut˘ a atunci valoarea f se c onserv˘ a ¸ si
f este ”un num˘ ar cuantic bun”. S˘ a facem ¸ si remarca: deoare ce F
corespunde unei m˘ arimi ﬁzice observabile, operatorul F tr ebuie
s˘ a ﬁe hermitic:
F+=F (2.150)
A¸ sadar, pˆ an˘ a-n prezent am ar˘ atat cˆ and o m˘ arime F este o
constant˘ a a mi¸ sc˘ arii. Problema practic˘ a, concret˘ a, c onst˘ a ˆ ın a
203

stabili care sunt constantele mi¸ sc˘ arii pentru un hamilto nian H
dat. Pentru aceasta ar trebui, conform celor precizate mai s us,
s˘ a deﬁnim tot ¸i operatorii asociat ¸i m˘ arimilor observab ile, opera-
tori independent ¸i de timp, ¸ si apoi, pe rˆ and, s˘ a constat˘ am care
dintre ace¸ stia comut˘ a cu operatorul H. Fire¸ ste, o observ abil˘ a
care comut˘ a ˆ ıntotdeauna cu hamiltonianul H este ”hamilto nianul
ˆ ınsu¸ si” c˘ aruia ˆ ıi corespunde ca observabil˘ a energia s istemului.
Rezult˘ a de aici c˘ a energia total˘ a a sistemului este o cons tant˘ a
a mi¸ sc˘ arii pentru orice sistem al c˘ arui hamiltonian nu de pinde
explicit de timp. De aici rezult˘ a legea conserv˘ arii energ iei totale
pentru astfel de sisteme.
Desigur stabilirea faptului c˘ a H comut˘ a cu el ˆ ınsu¸ si era ceva
evident; ˆ ın general ˆ ıns˘ a este greu de stabilit care sunt c eilalt ¸i o-
peratori care comut˘ a cu H din simplul motiv c˘ a cel mai adese a
hamiltonianul unui sistem oarecare nu este bine cunoscut. D in
fericire nici nu este necesar˘ a cunoa¸ sterea exact˘ a a hami ltoni-
anului; este suﬁcient s˘ a ¸ stim operat ¸iile de simetrie fat ¸˘ a de care
H este invariant pentru a stabili constantele de mi¸ scare. A cest
aspect va ﬁ ilustrat ˆ ın continuare.
Fie U un ”operator de transformare” care transform˘ a funct ¸ ia
proprie Ψ(/vector r,t)astfel:
Ψ′(/vector r,t) =UΨ(/vector r,t) (2.151)
Prin deﬁnit ¸ie un operator de transformare nu trebuie s˘ a mo diﬁce
normarea la unitate a funct ¸iei de und˘ a, adic˘ a trebuie sat isf˘ acut˘ a
relat ¸ia:
/integraldisplay
Ψ′∗Ψ′dτ=/integraldisplay
(UΨ)∗(UΨ)dτ=/integraldisplay
Ψ∗U+UΨdτ= 1 (2.152)
de unde rezult˘ a:
U+U=UU+=I (2.153)
Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a operatorul de tranformare U es te unitar.
Operatorul U este ¸ si ”un operator de simetrie” dac˘ a funct ¸ iaUΨ
veriﬁc˘ a aceea¸ si ecuat ¸ie Schr ¨odinger (2.144) ca ¸ si funct ¸ia Ψ:
i¯h∂
∂t(UΨ) =H(UΨ) (2.154)
Din aceast˘ a relat ¸ie ¸ si relat ¸ia (2.141) rezult˘ a:
i¯h∂Ψ
∂t= (U−1HU)Ψ =HΨ (2.155)
204

sau:
H=U−1HU=U+HU ;HU−UH= [H,U] = 0 (2.156)
relat ¸ie care arat˘ a c˘ a operatorul de simetrie comut˘ a cu o peratorul
H. De aici, prin comparare cu relat ¸iile (2.147) ¸ si (2.148) , rezult˘ a
¸ si modul concret de stabilire a constantelor de mi¸ scare ¸ s i deci a
legilor de conservare. Astfel, dac˘ a operatorul de simetri e este ¸ si
hermitic el corespunde unei m˘ arimi observabile care se con serv˘ a.
Dac˘ a operatorul U nu este hermitic atunci poate ﬁ g˘ asit un o pe-
rator hermitic F astfel ˆ ıncˆ at operatorul U deﬁnit prin rel at ¸ia:
U=eiεF(2.157)
ˆ ın careεeste un num˘ ar real, corespunde unei m˘ arimi observabile
care se conserv˘ a. Operatorul F din aceast˘ a relat ¸ie se num e¸ ste
”generatorul operatorului de simetrie”. S˘ a observ˘ am c˘ a opera-
torul U astfel deﬁnit este unitar dac˘ a operatorul F este her mitic
deoarece:
U+U=e−iεF+eiεF=eiε(F−F+)= 1 (2.158)
Operatorii de transformare U pot realiza transform˘ ari dis crete
sau continui. Printre operatorii care realizeaz˘ a transfo rm˘ ari dis-
crete ment ¸ion˘ am operatorii care sunt ¸ si unitari ¸ si herm itici. O-
peratorul P (paragraful 1.6) care realizez˘ a inversia spat ¸ial˘ a este
un astfel de operator. Acest operator realizeaz˘ a o transfo rmare
discret˘ a c˘ aci reﬂexia axelor de coordonate nu se poate fac e pe
”buc˘ at ¸ele” ci ori se realizeaz˘ a ori nu. In cazul acestei t ransfor-
m˘ ari operatorul U este identic cu operatorul P. Tot o transf or-
mare discret˘ a este ¸ si operat ¸ia de inversie temporal˘ a re alizat˘ a de
operatorul T (paragraful 1.6). Conform celor precizate mai sus
operatorul T (deci U ˆ ın terminologia de mai sus) este un ope-
rator de simetrie dac˘ a [H,T] = 0¸ si dac˘ a funct ¸ia Ψ(t)¸ siTΨ(t)
veriﬁc˘ a aceea¸ si ecuat ¸ie (2.141) adic˘ a:
i¯h∂
∂t(TΨ(t)) =H(TΨ(t)) (2.159)
Pe de alt˘ a parte prin inversia temporal˘ a t−→−tecuat ¸ia (2.141)
devine:
−i¯h∂
∂tΨ(−t) =HΨ(−t) (2.160)
205

Comparˆ and relat ¸iile (2.159) ¸ si (2.160) rezult˘ a c˘ a rel at ¸ia (2.151)
nu se realizeaz˘ a, adic˘ a:
Ψ′(t)≡Ψ(−t)/ne}ationslash=TΨ(t) (2.161)
Dac˘ a conjug˘ am ˆ ıns˘ a ecuat ¸ia (2.160):
i¯h∂
∂tΨ∗(−t) =HΨ∗(−t) (2.162)
¸ si o compar˘ am cu ecuat ¸ia (2.159) rezult˘ a relat ¸ia:
Ψ∗(−t) =TΨ(t) (2.163)
Ecuat ¸ia cu valori proprii (2.149) pentru operatorul T, t ¸i nˆ and
cont de relat ¸ia de mai sus, va ﬁ:
TΨ(t) =ηtΨ(t) = Ψ∗(−t) (2.164)
Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a valorile proprii ηtar ﬁ complexe, ceea ce
este lipsit de sens c˘ aci valorile proprii, observabile ﬁzi ce, trebuie
s˘ a ﬁe reale. Din relat ¸ia (2.163) rezult˘ a deci c˘ a operato rul T este
un operator antiunitar c˘ aruia nu-i corespund valori propr ii ceea
ˆ ınseamn˘ a c˘ a o stare oarecare a sistemului nu poate ﬁ carac teri-
zat˘ a cu, s˘ a-i spunem o ”paritate temporal˘ a”, ca ˆ ın cazul opera-
torului P, care s˘ a se conserve ˆ ın timp. Cum se stabile¸ ste ˆ ın acest
caz invariant ¸a la inversia temporal˘ a? Aceast˘ a invarian t ¸˘ a tem-
poral˘ a, dup˘ a cum vom constata la capitolul ”React ¸ii Nucl eare”
(partea II a lucr˘ arii) conduce la principiul ”echilibrulu i detaliat”
care arat˘ a c˘ a probabilitatea de realizare a procesului a+A−→
b+Beste egal˘ a cu probabilitatea procesului b+B−→a+A,
proces care reprezint˘ a inversiaˆ ın timp a procesului init ¸ial. Veriﬁ-
carea acestui principiu reprezint˘ a dovada invariant ¸ei t emporale.
Multiple ¸ si diﬁcile ”test˘ ari indirecte” ale invariant ¸e i temporale
au condus la ideea c˘ a aceasta are loc practic pentru toate ti purile
de interact ¸ii cu except ¸ia ”interact ¸iei slabe speciale” . In aceast˘ a
ultim˘ a interact ¸ie intr˘ a dezintegr˘ arile kaonilor ( k0
2) pentru care,
ˆ ıncepˆ and din anul 1964, s-a descoperit o u¸ soar˘ a ˆ ınc˘ al care (0.1%)
a invariant ¸ei temporale. Nu este ˆ ınc˘ a clar care interact ¸ie este re-
sponsabil˘ a pentru aceast˘ a nerespectare a invariant ¸ei t emporale;
nu este exclus˘ a existent ¸a unei ”interact ¸ii slabe specia le” respon-
sabil˘ a pentru aceast˘ a nerespectare. Fire¸ ste, m˘ asurar ea exact˘ a
206

a momentului dipolar al kaonilor, a¸ sa dup˘ a cum s-a preciza t ˆ ın
paragraful 1.8, ar putea da un r˘ aspuns multiplelorˆ ıntreb ˘ ari legate
de ˆ ınc˘ alcarea invariant ¸ei temporale ˆ ın cazul kaonilor .
Revenind la ideea principal˘ a preciz˘ am c˘ a operatorii tra nsfor-
m˘ arilor discrete, dac˘ a sunt ¸ si hermitici ¸ si unitari (ˆ ı n cazul oper-
atorului P dar nu ¸ si a operatorului T) conduc la legi de conse r-
vare ”multiplicative” c˘ arora le corespund numere cuantic e ”mul-
tiplicative”. Astfel, valoarea num˘ arului cuantic de pari tate, ˆ ın
acord cu relat ¸ia (1.162), este dat˘ a de produsul valorilor numerelor
cuantice ale elementelor ce formeaz˘ a sistemul.
In cele mai multe cazuri operatorii U realizeaz˘ a transform ˘ ari
continui ca de exemplu translat ¸ia ˆ ın spat ¸iu, rotat ¸ia, e tc. Evident
aceste transform˘ ari sunt continui c˘ aci, de exemplu, rota t ¸ia la un
unghi oarecare poate ﬁ realizat˘ a printr-o succesiune ”con tinu˘ a”
de rotat ¸ii foarte mici. In cazul transform˘ arilor continu i opera-
torul U se scrie de regul˘ a sub forma exprimat˘ a de relat ¸ia ( 2.157)
ˆ ın care F este operatorul care realizeaz˘ a transformarea c ontinu˘ a
respectiv˘ a, de exemplu translat ¸ia, rotat ¸ia, etc. Pentr u a exem-
pliﬁca aceast˘ a situat ¸ie s˘ a studiem mi¸ scarea unei parti cule care
se deplaseaz˘ a ˆ ın sensul pozitiv al axei Ox. Pentru pozit ¸i ilex0¸ si
x0+εfunct ¸iile de und˘ a respective Ψ(x)¸ siΨε(x)sunt legate, ˆ ın
acord cu relat ¸ia (2.151) prin relat ¸ia:
Ψε(x) =U(ε)Ψ(x) (2.165)
Dac˘ a presupunem c˘ a mi¸ scarea particulei (sistemului) es te in-
variabil˘ a la translat ¸ie de-a lungul axei Ox atunci are loc relat ¸ia:
Ψ(x) = Ψε(x+ε) = Ψε(x) +∂
∂xΨ∗(x)ε+… (2.166)
ˆ ın care funct ¸ia s-s dezvoltat ˆ ın serie dup˘ a puterile par ametrului
εconsiderat foarte mic ceea ce este adev˘ arat c˘ aci transfor marea
este continu˘ a. Inmult ¸ind relat ¸ia (2.166) cu (1−ε∂
∂x)¸ si neglijˆ and
termenii proport ¸ionali cu ε2se obt ¸ine:
Ψε(x)∼=(1−εd
dx)Ψ(x) (2.167)
Din relat ¸iile (2.165) ¸ si (2.166) rezult˘ a pentru operato rul U ex-
presia:
U(ε) = 1−εd
dx= 1 +iε(id
dx) = 1 +iε(−1
¯hpx) (2.168)
207

Figura 2.11
Translat ¸ia de-a lungul axei Ox cu valoarea εa sistemului
(particula) aﬂat init ¸ial ˆ ın pozit ¸ia x0. Funct ¸iile de und˘ a pentru
cele dou˘ a pozit ¸ii sunt reproduse ˆ ın ﬁgur˘ a
ˆ ın carepxeste componenta pe axa Ox a impulsului /vector pcare, din
punct de vedere cuantic, se exprim˘ a prin relat ¸ia −i¯hgrad. Com-
parˆ and aceast˘ a relat ¸ie cu (2.157) pentru valori εfoarte mici
rezult˘ a pentru operatorul F expresia:
F=−1
¯hpx (2.169)
relat ¸ie care arat˘ a c˘ a proiect ¸ia pxse conserv˘ a. A¸ sadar, invariant ¸a
la translat ¸ie de-a lungul axei Ox conduce la conservarea m˘ arimii
F ¸ si deci a impulsului px. Din punct de vedere ﬁzic aceast˘ a con-
servare semniﬁc˘ a faptul c˘ a dac˘ a spat ¸iul de-a lungul axe i Ox este
omogen (adic˘ a invariant la translat ¸ie) atunci particula se mi¸ sc˘ a
uniform, f˘ ar˘ a modiﬁcarea impulsului pˆ an˘ a ce de-a lungu l axei
apare o neomogenitate (invariant ¸a nu mai are loc) creat˘ a, de
exemplu, de un corp extern care modiﬁc˘ a valoarea impulsulu ipx.
In mod similar invariant ¸a la rotat ¸ie a unui sistem caracte ri-
zat de momentul cinetic Izfat ¸˘ a de axa Oz conduce la faptul c˘ a
operatorul
F=−1
¯hIz (2.170)
208

se conserv˘ a ¸ si deci se conserv˘ a ¸ si Iz. Generalizˆ and transform˘ arile
de mai sus rezult˘ a c˘ a invariant ¸a la translat ¸ie ¸ si rotat ¸ie ˆ ın spat ¸iu
conduce la conservarea impulsului total ¸ si a momentului ci netic
total. Invariant ¸a la transform˘ ari continui conduce la le gi de con-
servare a m˘ arimilor aditive scalar sau vectorial. Conserv area
sarcinii electriceˆ ın transform˘ arile radioactive (rela t ¸ia 1.313) arat˘ a
c˘ a sarcina electric˘ a este o m˘ arime aditiv˘ a scalar ˆ ın se nsul c˘ a
sarcina sistemului init ¸ial este egal˘ a cu suma sarcinilor electrice
ale subsistemelor. Numerele cuantice aditive vectorial ca racteri-
zeaz˘ a m˘ arimi vectoriale; ˆ ıntre aceste m˘ arimi sunt cele care de-
ﬁnesc momentul unghiular, spinul izotopic (relat ¸iile (1. 123) –
(1.125), etc.)etc.
B.Legile de conservare din aceast˘ a grup˘ a se refer˘ a la conse rvarea ”sar-
cinilor” ¸ si rezult˘ a din observat ¸ia (sau mai curˆ and ”int uit ¸ia”) c˘ a sarcina elec-
tric˘ a nici nu apare nici nu dispare spontan. Dac˘ a aceast˘ a aﬁrmat ¸ie n-ar ﬁ
adev˘ arat˘ a ar rezulta, de exemplu, c˘ a procesul de dezinte grare al electronului
ˆ ıntr-un neutrino ¸ si un foton:
e−→ν+γ (2.171)
permis de legile de conservare din grupa A, ar trebui s˘ a aibe loc. Deoarece
procesul descris de relat ¸ia de mai sus, ca ¸ si alte procese s imilare, nu au loc
practic se ajunge la concluzia c˘ a ˆ ın orice interact ¸ie (tr ansformare) are loc
conservarea sarcinii totale. Dac˘ a consider˘ am c˘ a sarcin a oric˘ arei particule
”a” este un num˘ ar ˆ ıntreg de sarcini elementare Zaatunci legea conserv˘ arii
sarcinii totale pentru procesul:
a+b−→c+d+e (2.172)
se scrie astfel:
Za+Zb=Zc+Zd+Ze (2.173)
Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a num˘ arul ”cuantic de sarcin˘ a ” Z este un num˘ ar
cuantic aditiv scalar.
Conform aﬁrmat ¸iilor de mai sus ﬁec˘ arei legi de conservare
ˆ ıi corespunde o lege de simetrie ¸ si un operator F corespunz ˘ ator.
Dac˘ a not˘ am cu Q acest operator al sarcinii elementare, ope ra-
torul de simetrie corespunz˘ ator, ˆ ın acord cu relat ¸ia (2. 157) va
ﬁ:
U=eiεQ(2.174)
209

¸ si deci funct ¸ia de und˘ a, conform relat ¸iei (2.151) se tra nsform˘ a
astfel:
Ψ′
q=eiεQΨq (2.175)
ˆ ın care Ψqeste funct ¸ia de und˘ a care descrie starea de sarcin˘ a
q. In ﬁzica teoretic˘ a transformarea (2.175) se nume¸ ste ”t rans-
formare de etalonare de spet ¸a ˆ ıntˆ ai”. Invariant ¸a fat ¸˘ a de aceast˘ a
transformare, [H,Q]=0, garanteaz˘ a, din punct de vedere te oretic,
conservarea sarcinii. Rezult˘ a de aici c˘ a hamiltonianul c are de-
scrie un proces de interact ¸ie (transformare) trebuie s˘ a ﬁ e invari-
ant fat ¸˘ a de transformarea de etalonare. Desigur, introdu cerea
acestei transform˘ ari este formal˘ a dar este strict necesa r˘ a pentru
a putea trata legea de conservare a sarcinii ˆ ın cadrul mecan icii
cuantice, tratare care s-a dovedit a ﬁ foarte util˘ a. Sublin iem
ˆ ıns˘ a c˘ a sensul ﬁzic al acestei transform˘ ari nu este ˆ ınc ˘ a clariﬁ-
cat. De fapt ¸ si faptul c˘ a sarcina electric˘ a a unei particu le este un
num˘ ar ˆ ıntreg Z de sarcini elementare, dincolo de experien t ¸a lui
Millikan, este mai curˆ and o intuit ¸ie decˆ at un adev˘ ar con statat
experimental.
Legea de conservare a sarcinii totale, exprimat˘ a de relat ¸ ia (2.173) nu
garanteaz˘ a ˆ ıns˘ a ”stabilitatea” particulelor elementa re fat ¸˘ a de o serie de de-
zintegr˘ ari care pot ﬁ imaginate ca de exemplu:
p−→e++γ (2.176)
Acest proces este permis de legile de conservare din grupa A c ˆ at ¸ si de
legea conserv˘ arii sarcinii electrice totale ¸ si totu¸ si n u s-a observat experi-
mental. Din acest exemplu, ca ¸ si din altele similare, rezul t˘ a ideea c˘ a ˆ ın
procesele de dezintegrare (interact ¸ie) trebuie s˘ a se con serve ¸ si alte m˘ arimi
ca de exemplu ”num˘ arul total de nucleoni”. In cazul nucleel or aceast˘ a
lege de conservare se formuleaz˘ a simplu dac˘ a protonului ¸ si neutronului li
se atribuie ”sarcina barionic˘ a” (sau num˘ arul cuantic bar ionic) A=1 iar an-
tiparticulelor lor valoarea A=-1. Orice interact ¸ie (tran sformare) a nucleelor
(relat ¸ia (1.313) de exemplu) se face cu conservarea num˘ ar ului barionic sau,
mai simplu, se realizeaz˘ a cu conservarea num˘ arului de nuc leoni. In ﬁzica par-
ticulelor elementare sarcina barionic˘ a (num˘ arul cuanti c barionic) se noteaz˘ a
cu B. Constat˘ arile experimentale au condus la ideea c˘ a tut uror particulelor
elementare mai u¸ soare ca protonul ¸ si neutronul trebuie s˘ a li se atribuie B=0
iar protonului ¸ si neutronului, ca ¸ si particulelor mai gre le s˘ a li se atribuie
num˘ arul cuantic barionic B=1 ¸ si, respectiv, B=-1 pentru a ntiparticulele re-
spective.
210

Legea conserv˘ arii sarcinii barionice semniﬁc˘ a faptul c˘ a ˆ ın orice interact ¸ie
(transformare) aparit ¸ia unui ”barion” suplimentar (deci unei particule cu
B=+1) se poate realiza numai prin aparit ¸ia unui ”antibario n” (o particul˘ a
cu B=-1). De exemplu, ˆ ın procesul:
p+p−→p+p+ (p+ ˜p) (2.177)
aparit ¸ia protonului suplimentar esteˆ ınsot ¸it˘ a de apar it ¸ia antiprotonului. Din
acelea¸ si motive ˆ ın dezintegr˘ arile barionilor Λ0(lambda), Σ±(sigma), etc.,
printre produ¸ sii de dezintegrare trebuie obligatoriu s˘ a apar˘ a un barion:
Λ0−→n+π0; Σ+−→p+π0; Σ−−→n+π−(2.178)
Considerˆ and legea de conservare a sarcinii barionice, est e evident c˘ a procesul
descris ˆ ın relat ¸ia (2.176) nu poate avea loc c˘ aci barionu l p nu se poate
dezintegra ˆ ın particule f˘ ar˘ a sarcin˘ a barionic˘ a.
Ca ¸ si ˆ ın cazul sarcinii barionice se constat˘ a c˘ a o serie d e dezintegr˘ ari la
care particip˘ a particule elementare foarte u¸ soare (elec troni, miuoni, neutrini)
nu au loc ˆ ın realitate de¸ si sunt permise de legile de conser vare trecute ˆ ın
revist˘ a pˆ an˘ a-n prezenr. De exemplu, nu se constat˘ a expe rimental (sau ˆ ın
orice caz cu o probabilitate <2 10−8) procesele:
µ±−→e±+γ (2.179)
de¸ si procesele:
µ±−→e±+ν+ ˜ν (2.180)
sunt observate experimental. Fire¸ ste, dac˘ a neutrinii ¸ s i antineutrinii din
dezintegrarea miuonilor sunt ”identici” (au aceea¸ si natu r˘ a) atunci proce-
sul descris de relat ¸ia (2.179) ar trebui s˘ a aibe loc ca urma re a procesului de
anihilare neutrino-antineutrino. Rezult˘ a c˘ a ν¸ si ˜νdin relat ¸ia (2.180) sunt
diferit ¸i ¸ si apart ¸in ﬁe electronului ( νe) ﬁe miuonului ( νµ). Un mod simplu
de a explica imposibilitatea procesului descris de relat ¸i a (2.179), ca ¸ si alte
procese similare, const˘ a ˆ ın a considera o nou˘ a lege de con servare pentru
dezintegr˘ arile particulelor u¸ soare ¸ si anume ”legea con serv˘ arii sarcinii lep-
tonice”. Se consider˘ a pentru electroni ¸ si pentru miuoni n egativi sarcina
leptonic˘ a (sau num˘ arul cuantic leptonic) egal cu +1 ( Le= +1;Lµ= +1)
¸ si, respectiv ”-1” pentru antiparticulele respective. Pe ntru particulele al
c˘ aror num˘ ar barionic este diferit de zero ca ¸ si pentru mez oniiπ, K,η, etc.,
se consider˘ a c˘ a num˘ arul leptonic este zero. Num˘ arul cua ntic al neutrinilor
”miuonici” se poate determina din dezintegr˘ arile:
π−−→µ−+ ˜νµ π+−→µ++νµ
L0 1 +( L=?) 0 −1 +(L=?)(2.181)
211

din care rezult˘ a L˜νµ=−1 pentru ˜νµ¸ siLνµ= +1 pentru νµ. In mod similar
se consier˘ a Lνe= +1 pentru νe¸ siL˜νe=−1 pentru ˜νe. Cu aceste atribuiri
procesele descrise de relat ¸ia (2.180) vor ﬁ:
µ+−→e++νe+ ˜νµµ−−→e−+ ˜νe+νµ
L−1−1 +1−1 +1 +1 −1 +1(2.182)
In mod similar se atribuie Lτ−= +1 pentru τ−¸ siντ−¸ siLτ+=−1 pentru
τ+¸ si ˜ντˆ ın careτ¸ siντsunt ”tauonul” ¸ si, respectiv, ”tauonul neutrinic”.
Tauonul este replica supergrea a electronului dup˘ a cum miu onul este replica
grea a electronului. Rezumˆ and se poate spune c˘ a se face dis tinct ¸ie ˆ ıntre
sarcina leptonic˘ a pentru perechile ( e−,νe−), (µ−,νµ−) ¸ si (τ−, ντ−) ¸ si an-
tiparticulele lor c˘ arora li se atribuie valorile:
Le= 1 pentru e−, νe−;Le=−1 pentru e+,˜νe+
Lµ= 1 pentru µ−, νµ−;Lµ=−1 pentru µ+,˜νµ
Lτ= 1 pentru τ−, ντ−;Lτ=−1 pentru τ+,˜ντ(2.183)
UneoriLese mai nume¸ ste ¸ si ”primul num˘ ar lepronic”, Lµse nume¸ ste ”al
doilea num˘ ar leptonic” iat Lτse nume¸ ste ”al treilea num˘ ar leptonic”.
Din cele precizate mai sus este evident c˘ a procesul descris de relat ¸ia
(2.179) nu poate avea loc c˘ aci num˘ arul leptonic Lµeste diferit de num˘ arul
leptonicLe. Conservarea sarcinii (num˘ arului) leptonice ne permite, de e-
xemplu, s˘ a stabilim c˘ a ˆ ın dezintegrarea neutronului apa re un antineutrino
electronic:
n−→p+e−+ (ν=?)
⇒n=p+e−+ ˜νe
L0 0 +1 −1(2.184)
S˘ a preciz˘ am cu acest prilej c˘ a particulele pentru care to ate ”sarcinile”
(electric˘ a, barionic˘ a ¸ si leptonic˘ a) sunt zero se numes c ”particule neutre
adev˘ arate”. Astfel de particule sunt fotonul, mezonul ηetc. Fire¸ ste genera-
rea ¸ si absorbt ¸ia particulelor neutre adev˘ arate nu este c ondit ¸ionat˘ a de legile
de conservare a sarcinilor trecute ˆ ın revist˘ a mai sus. S˘ a subliniem ¸ si ideea
c˘ a s-au introdus not ¸iunile de ”sarcin˘ a barionic˘ a” ¸ si ” sarcin˘ a leptonic˘ a” prin
analogie cu sarcina electric˘ a de¸ si nu au nimic comun cu ace asta. In schimb
legile lor de ”transformare la etalonare” sunt similare pen tru toate aceste
”sarcini”.
C.In aceast˘ a grup˘ a intr˘ a legile de conservare a c˘ aror orig ine (ca ¸ si a
legilor din grupa B.) nu este ˆ ınc˘ a clariﬁcat˘ a ¸ si care, ˆ ı n plus, se conserv˘ a
numai pentru anumite tipuri de interact ¸ie, ceea ce arat˘ a c ˘ a interact ¸iile au
212

diferite grade de simetrie. Din aceast˘ a grup˘ a fac parte le gile de conservare a
num˘ arului cuantic de straneitate (S), a num˘ arului cuanti c de charm (C), a
spinului izotopic (T), a num˘ arului cuantic de hipersarcin ˘ a (Y), a conjug˘ arii
de sarcin˘ a (C), a parit˘ at ¸ii G, etc.
In cazul particulelor elementare num˘ arul cuantic de charm
ca ¸ si conjugarea de sarcin˘ a se noteaz˘ a cu acela¸ si simbol , C.
Semniﬁcat ¸ia acestor simboluri rezult˘ a din text.
In continuare vom trece ˆ ın revist˘ a numai num˘ arul cuantic de stranei-
tate ¸ si de charm. Spinul izotopic a fost deja introdus ˆ ın pa ragraful 2.1
iar num˘ arul cuantic de hipersarcin˘ a este de fapt o combina t ¸ie a num˘ arului
cuantic barionic ¸ si de straneitate; celelalte numere cuan tice speciﬁce acestei
grupe de¸ si importante nu sunt strict necesare pentru scopu rile urm˘ arite ˆ ın
aceast˘ a lucrare.
Num˘ arul cuantic de straneitate S a fost introdus pentru a ex plica fenomenul
de producere asociat˘ a a particulelor K ¸ si Λ0ˆ ın interact ¸iile tari precum ¸ si
timpul lor lung de viat ¸˘ a. Astfel, ˆ ın procesul:
p+π−−→Λ0+k0(2.185)
ˆ ın care:
Λ0−→p+π−(τ≈2.6 10−10s)
¸ si:
k0−→π++π−(τ≈0.9 10−10s)
Λ0(lambda) ¸ si k0(kaonul) se produc cu o sect ¸iune de ordinul milibarnilor
(relat ¸ia (1.251)), speciﬁc˘ a interact ¸iilor tari pe cˆ an d timpul lor mediu de viat ¸˘ a
fat ¸˘ a de dezintegr˘ arile prezentateˆ ın relat ¸iile de mai sus este de ordinul 10−10s,
speciﬁc interact ¸iilor slabe. A¸ sadar, perechea (Λ0k0) se produce ˆ ın interact ¸ii
tari ¸ si se dezintegreaz˘ a ˆ ın interact ¸ii slabe. S ¸i ˆ ın al te interact ¸ii tari, ˆ ın care
ˆ ın starea init ¸ial˘ a nu particip˘ a particulele k sau Λ0, se constat˘ a generarea
acestor particule ˆ ın starea ﬁnal˘ a, ˆ ıntotdeauna ˆ ın pere chi, ﬁe kΛ0ﬁe 2k, etc.
Aceste constat˘ ari au condus la introducerea unui nou num˘ a r cuantic denu-
mit ”straneitate”. Prin convent ¸ie a fost atribuit num˘ aru l cuantic S=+1 unei
particule din pereche ¸ si S=-1 celeilalte particule astfel ˆ ıncˆ at ˆ ın ﬁnal, ˆ ın orice
interact ¸ie tare, s˘ a aibe loc relat ¸ia ∆ S= 0, c˘ aci num˘ arul cuantic de stranei-
tate este un num˘ ar cuantic aditiv. Astfel particulei Λ0i s-a atribuit S=-1
iar particulei k0i s-a atribuit S=+1. Particulele cu S/ne}ationslash= 0 se numesc ”par-
ticule stranii”. Experient ¸a arat˘ a c˘ a straneitatea se co nserv˘ a ˆ ın interact ¸iile
tari ¸ si electromagnetice ¸ si nu se conserv˘ aˆ ın interact ¸ iile slabe; rezult˘ a c˘ a prin
213

interact ¸iile slabe particulele cu S/ne}ationslash= 0 pot trece ˆ —in particule cu S=0, a¸ sa
cum rezult˘ a din dezintegr˘ arile descrise de relat ¸ia (2.1 85). Plecˆ and de la va-
lorile straneit˘ at ¸ii pentru particulele Λ0¸ sik0¸ si aplicˆ and legea de conservare
a straneit˘ at ¸ii ˆ ın interact ¸iile tari se g˘ ase¸ ste stran eitatea celorlalte particule
stranii. Astfel, se ¸ stie c˘ a react ¸ia:
p+p−→p+ Λ0+k+
S0 0 0 −1Sk+=?(2.186)
se realizeaz˘ a datorit˘ a interact ¸iilor tari. Considerar ea conserv˘ arii straneit˘ at ¸ii
pentru acest proces conduce la valoarea S=+1 pentru particu lak+. Din
react ¸ia:
p+π−−→n+k+k−
S0 0 0 1 Sk−=?(2.187)
rezult˘ a S=-1 pentru particula K−. In mod similar, din react ¸ia:
p+π−−→ Σ−+k+
S0 0 SΣ−=? 1(2.188)
rezult˘ a S=-1 pentru particula Σ−(sigma) iar din react ¸ia:
p+k−−→ Ξ−+k+
S0−1SΞ−=? 1(2.189)
rezult˘ a S=-2 pentru particula Ξ−(Xi). La fel se constat˘ a c˘ a S=-3 pentru
particula Ω−(omega), s.a.m.d. Procedˆ and ca mai sus se constat˘ a c˘ a num ˘ arul
cuantic de straneitate pentru principalele particule stra nii este urm˘ atorul:
S=−1 pentru Λ0,Σ+,Σ0,Σ−, k−,˜K0
S=−2 pentru Ξ−,Ξ0
S=−3 pentru Ω−(2.190)
¸ si S=+1, +2, +3 pentru antiparticulele respective.
A¸ sa dup˘ a cum s-a mai precizat ¸ si cum rezult˘ a ¸ si din relat ¸ia (2.185) par-
ticulele stranii se pot dezintegra ˆ ın particule nestranii prin interact ¸ii slabe.
De aici ¸ si faptul c˘ a timpul lor de viat ¸˘ a este relativ mare , speciﬁc interact ¸iilor
slabe cˆ at ¸ si faptul c˘ a ˆ ın aceste interact ¸ii num˘ arul cu antic de straneitate nu
se conserv˘ a. S˘ a preciz˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a de¸ si ˆ ın interact ¸i ile slabe straneitatea nu se
conserv˘ a are loc totu¸ si relat ¸ia:
∆S= 0,±1 (2.191)
214

care arat˘ a c˘ a ˆ ın interact ¸iile slabe straneitatea nu se m odiﬁc˘ a cu mai mult de
o unitate.
In sistematica particulelor elementare se folose¸ ste ades ea num˘ arul cuan-
tic de hipersarcin˘ a Y care nu este un num˘ ar independent c˘ a ci se exprim˘ a
prin relat ¸ia:
Y=B+S (2.192)
ˆ ın funct ¸ie de num˘ arul cuantic barionic B ¸ si de num˘ arul c uantic de straneitate
S. Este evident faptul c˘ a num˘ arul cuantic Y se conserv˘ a nu maiˆ ın interact ¸iile
tari ¸ si electromagnetice ˆ ın care se conserv˘ a num˘ arul cu antic de straneitate.
Un num˘ ar cuantic similar cu num˘ arul cuantic de straneitat e este ¸ si
num˘ arul cuantic de ”charm” (C). Acesta este un num˘ ar cuant ic aditiv,
ˆ ıntreg, care se conserv˘ a ˆ ın interact ¸iile tari ¸ si elect romagnetice. Introdu-
cerea acestui num˘ ar cuantic a fost condit ¸ionat˘ a de desco perirea mezonilor
D (mezonii D+, D0¸ si antiparticulele lor D−¸ si˜D0) a c˘ aror generare se face
ˆ ın perechi ca de exemplu:
e++e−−→D0+˜D0
C0 0 1 −1(2.193)
Mezonii cu charm D se pot dezintegra prin interact ¸ii slabe ˆ ın particule
f˘ ar˘ a charm (ca ¸ si ˆ ın cazul particulelor stranii):
D0−→k++π−
C1 0 0(2.194)
Din ultimile dou˘ a relat ¸ii se constat˘ a similitudinea din tre num˘ arul cuantic
de charm ¸ si num˘ arul cuantic de straneitate. S˘ a preciz˘ am faptul c˘ a masa
particulelor cu charm este relativ mare. Cea mai u¸ soar˘ a pa rticul˘ a cu charm,
mezonulD0aremc2= 1.863 GeV, deci este de aproximativ dou˘ a ori masa
unui nucleon. De aceea pentru generarea lor, a¸ sa dup˘ a cum s -a precizat
ˆ ın paragraful 2.4.1, ˆ ın ciocnirile dintre dou˘ a particul e sunt necesare energii
cinetice mari ale acestora. Pentru astfel de energii se pot g enera ˆ ıns˘ a multe
alte particule (se deschid ¸ si canale inelastice) ¸ si ca ata re identiﬁcarea parti-
culelor cu charm ˆ ın ansamblul particulelor care se generea z˘ a este diﬁcil˘ a din
punct de vedere experimental. Din aceste motive, ca ¸ si din c auza energiilor
relativ mici ce se pot obt ¸ine ast˘ azi ˆ ın majoritatea accel eratoarelor, num˘ arul
particulelor cu charm este relativ mic.
In paragraful 2.1 a fost introdus num˘ arul cuantic de izospi n care se con-
serv˘ a ˆ ın interact ¸iile tari, fapt contatat ˆ ın multe expe rient ¸e. Una din semni-
ﬁcat ¸iile ﬁzice ale num˘ arului cuantic de izospin const˘ a ˆ ın aceea c˘ a particulele
cu acela¸ si izospin (de exemplu p ¸ si n sau tripletul pionilo rπ−,π0,π+, etc.)
215

au mase foarte apropiate care difer˘ a ˆ ıntre ele doar cu cˆ at eva procente. Se
consider˘ a c˘ a ˆ ın absent ¸a interact ¸iilor electromagnet ice ¸ si slabe masa parti-
culelor cu acela¸ si izospin ar ﬁ fost egal˘ a. Particulele cu acela¸ si izospin se
disting prin valoarea diferit˘ a a proiect ¸iei Tza spinului izotopic. Din punct de
vedere ﬁzic proiect ¸ia spinului izotopicˆ ınlocuie¸ steˆ ı n fond not ¸iunea de sarcin˘ a
electric˘ a. Astfel, ˆ ın cazul nucleonilor relat ¸ia ˆ ıntre sarcina Q ¸ si proiect ¸ia Tz3
este urm˘ atoarea:
Q= (TZ+1
2)e (2.195)
cu:
Tz=/braceleftBigg
+1
2pentru proton
−1
2pentru neutron(2.196)
In cazul particulelor elementare relat ¸ia de mai sus se gene ralizeaz˘ a astfel:
Q=/parenleftbigg
Tz+1
2(B+C+S)/parenrightbigg
e (2.197)
ˆ ın care B, C ¸ si S sunt numerele cuantice ﬁxate pentru o parti cul˘ a anumit˘ a.
Relat ¸ia (2.197) se nume¸ ste relat ¸ia lui Gell-Mann.
2.4.3 Clasiﬁcarea particulelor elementare.
Din paragrafele precedente a rezultat c˘ a principalele car acteristici ale par-
ticulelor elementare sunt masa, spinul, sarcina electric˘ a, sarcina barionic˘ a,
sarcina leptonic˘ a, straneitatea, charmul, spinul izotop ic, paritatea, timpul
mediu de viat ¸˘ a, etc. Este greu de precizat care dintre aces te propriet˘ at ¸i este
cea mai important˘ a pentru a permite o clasiﬁcare a particul elor elementare,
a¸ sa dup˘ a cum num˘ arul atomic Z permite clasiﬁcarea elemen telor ˆ ın sistemul
periodic. Pˆ an˘ a-n prezent au fost f˘ acute mai multe ˆ ıncer c˘ ari de clasiﬁcare
considerˆ andu-se ”deﬁnitorii” una sau mai multe din propri et˘ at ¸ile trecute ˆ ın
revist˘ a mai sus. Astfel, dup˘ a momentul unghiular propriu (momentul de
spin) particulele se pot clasiﬁca ˆ ın fermioni (particule c u spin semiˆ ıntreg)
¸ si bozoni (particule cu spin ˆ ıntreg). Dup˘ a valoarea num˘ arului barionic par-
ticulele se pot ˆ ımp˘ art ¸i ˆ ın barioni (particule cu num˘ ar ul cuantic barionic B
diferit de zero) ¸ si particule cu B egal zero. Dup˘ a valoarea num˘ arului leptonic
¸ si barionic particulele se pot clasiﬁca ˆ ın leptoni (care a u num˘ arul leptonic
diferit de zero), mezoni (particule cu L ¸ si B zero) ¸ si bario ni (particule cu B
diferit de zero). Desigur clasiﬁc˘ arile pot continua dar es te u¸ sor de remar-
cat faptul c˘ a toate aceste clasiﬁc˘ ari sunt doar part ¸iale ¸ si interdependente.
3In continuare prin Tzse ˆ ınt ¸elege, de fapt, num˘ arul cuantic mTdeﬁnit ˆ ın (2.29)
216

Singura clasiﬁcare care se pare c˘ a va da rezultate este cea c are decurge din
utilizarea simetriilor cu ajutorul teoriei grupurilor; ac east˘ a clasiﬁcare n-a
fost ˆ ınc˘ a complet realizat˘ a la ora actual˘ a. De aceea, ˆ ı n prezent, acceptˆ and
ideea c˘ a este greu de conceput o particul˘ a ˆ ın afara intera ct ¸iei ei se face
o clasiﬁcare, aproape general acceptat˘ a, dup˘ a tipul inte ract ¸iei la care par-
ticip˘ a particula respectiv˘ a. Din acest punct de vedere pa rticulele elementare
se clasiﬁc˘ a ˆ ın trei grupe:
1.Particule ce interact ¸ioneaz˘ a numai electromagnetic . In aceast˘ a
grup˘ a intr˘ a o singur˘ a particul˘ a – fotonul.
2.Particule ce interact ¸ioneaz˘ a slab ¸ si electromagnetic. Partic-
ulele din aceast˘ a grup˘ a se numesc ”leptoni” (”lepton”ˆ ın seamn˘ a ”u¸ sor”
ˆ ın limba greac˘ a) ¸ si sunt 6 cunoscute la ora actual˘ a:
/parenleftBigg
e−
νe/parenrightBigg
;/parenleftBigg
µ−
νµ/parenrightBigg
;/parenleftBigg
τ−
ντ/parenrightBigg
(2.198)
Desigur exist˘ a ¸ si antiparticulele respective:
/parenleftBigg
e+
˜νe/parenrightBigg
;/parenleftBigg
µ+
˜νµ/parenrightBigg
;/parenleftBigg
τ+
˜ντ/parenrightBigg
(2.199)
Tot ¸i leptonii au num˘ arul cuantic leptonic diferit de zero ¸ si pozitiv,
spinul 1/2 ¸ si paritatea pozitiv˘ a. Antiparticulele respe ctive au num˘ arul
cuantic leptonic tot diferit de zero dar negativ, spinul 1/2 ¸ si sunt de
paritate negativ˘ a. La ora actual˘ a leptonii sunt consider at ¸i particule
punctuale.
Conceptul de antiparticul˘ a a fost introdus de Dirac ˆ ın
anul 1927-1928 ca rezultat al analizei ecuat ¸iei relativis te pen-
tru energia total˘ a E a unei particule cu masa de repaus m
¸ si impuls total p:
E2= (pc)2+ (mc2)2(2.200)
Din aceast˘ a relat ¸ie rezult˘ a c˘ a energia particulei este deﬁnit˘ a
de relat ¸ia:
E=±/radicalBig
(pc)2+ (mc2)2 (2.201)
de unde rezult˘ a, matematic, c˘ a sunt posibile atˆ at energi i po-
zitive cˆ at ¸ si negative (ﬁgura 2.13).
−∞≤E <−mc2
217

Figura 2.13
St˘ arile de energie pozitive ¸ si negative pentru particula de mas˘ a m
mc2<E < +∞ (2.202)
Din punct de vedere al ﬁzicii clasice sunt posibile numai e-
nergiile pozitive. Din punct de vedere al mecanicii cuantic e
energiile negative sunt de asemenea posibile c˘ aci se poate
demonstra c˘ a funct ¸iile proprii ale observabilei E formea z˘ a
un sistem complet numai dac˘ a ˆ ın acest sistem sunt incluse ¸ si
st˘ arile cu energii negative. Deoarece oric˘ arei observab ile tre-
buie s˘ a-i corespund˘ a un sistem complet de funct ¸ii rezult ˘ a c˘ a
st˘ arile (¸ si deci ¸ si particulele corespunz˘ atoare) nega tive tre-
buie s˘ a existe. Dar dac˘ a aceste st˘ ari exist˘ a ¸ si sunt st˘ ari
ale particulelor atunci rezult˘ a c˘ a particulele care se g˘ asesc
ˆ ın st˘ ari de energie E > mc2pot trece ˆ ın st˘ arile de energie
negativ˘ aE <−mc2, emit ¸ˆ and prin aceast˘ a tranzit ¸ie energii
pozitive. In felul acesta materia lumii ˆ ınconjur˘ atoare, prin
emisie de energie, ar disp˘ area mai devreme sau mai tˆ arziu.
Pentru a rezolva aceast˘ a contradict ¸ie P.Dirac, care a rez olvat
aceast˘ a problem˘ a pentru electroni, a f˘ acut ipoteza c˘ a t oate
st˘ arile de energii negative sunt ocupate cu electroni ˆ ın a cord
cu principiul Pauli. In acest fel tranzit ¸iile ˆ ın st˘ arile de en-
ergie negativ˘ a sunt interzise ¸ si ca atare ”electronii rea li” se
pot observa numai pentru energii pozitive ( E >mc2). Dac˘ a
218

electronului aﬂat ˆ ın st˘ ari de energie negativ˘ a i se comun ic˘ a
o energie≥2mc2atunci acesta poate trece din zona energi-
ilor negative ˆ ın zona energiilor pozitive unde se va compor ta
ca un electron obi¸ snuit (real). Prin aceast˘ a trecere, ˆ ın zona
energiilor negative apare o ”gaur˘ a” care, de exemplu, ˆ ınt r-
un cˆ amp electric sau magnetic, s-ar comporta ca un ”elec-
tron pozitiv”. In felul acesta Dirac a asimilat lipsa unei
particule pe o stare de energie negativ˘ a – deci o gaur˘ a – cu
antiparticula respectiv˘ a, electronul pozitiv (care se nu me¸ ste
”pozitron”) ˆ ın cazul discutat. Identiﬁcarea acestei ”ant ipar-
ticule”, deci a pozitronului, ˆ ın anul 1932 de C.Anderson ˆ ı n
radiat ¸ia cosmic˘ a, a constituit o conﬁrmare str˘ alucit˘ a a ”con-
ceptului de antiparticul˘ a” introdus de Dirac. F˘ ar˘ a a int ra ˆ ın
alte detalii este evident c˘ a acest concept de antiparticul ˘ a este
”strict cuantic”, f˘ ar˘ a analog ˆ ın ﬁzica clasic˘ a, ¸ si, de ce s˘ a n-
o spunem, nu tocmai u¸ sor de ˆ ınt ¸eles ˆ ın lumina ipotezei lu i
Dirac.
Interpretarea modern˘ a a st˘ arilor de energie negativ˘ a a
fost dat˘ a de E.Stuckelberg ˆ ın anul 1941 ¸ si dezvoltat˘ a ul te-
rior de R.Feynman ˆ ın anul 1948. Pentru a ˆ ınt ¸elege aceast˘ a
interpretare s˘ a presupunem c˘ a o particul˘ a cu impuls pozi –
tiv p ¸ si energie pozitiv˘ a E se mi¸ sc˘ a ˆ ın sensul pozitiv al axei
Ox. Traiectoria acestei particule, ˆ ın coordonate (x, t) es te
ar˘ atat˘ a ˆ ın ﬁgura 2.14. In aceste coordonate funct ¸ia de u nd˘ a
a particulei este de forma:
Ψ(x,t) =ei
¯h(px−E+t)(2.203)
Faptul c˘ a particula se mi¸ sc˘ a ˆ ın sensul pozitiv al axei Ox
rezult˘ a imediat din condit ¸ia ca faza s˘ a ﬁe constant˘ a:
px−E+t= constant (2.204)
de unde rezult˘ a:
x=E+
pt (2.205)
Pentru st˘ arile de energie negativ˘ a funct ¸ia de und˘ a va ﬁ:
Ψ(x,t) =ei
¯h(px−E−t)(2.206)
Pentru aceste st˘ ari relat ¸ia (2.205) devine:
219

Figura 2.14
Particula de energie negativ˘ a E−se comport˘ a ca o particul˘ a cu
energie pozitiv˘ a ( E+) care se mi¸ sc˘ a ˆ ınapoi ˆ ın timp
x=E−
pt=−|E−|
pt=|E−|
p(−t) (2.207)
relat ¸ie ce poate ﬁ interpretat˘ a ˆ ın sensul c˘ a particulel e de e-
nergie pozitiv˘ a|E−|se mi¸ sc˘ a ˆ ınapoi ˆ ın timp (ﬁgura 2.14).
Dar ce semniﬁcat ¸ie are expresia ”ˆ ınapoi ˆ ın timp”? Pentru
a clariﬁca acest lucru s˘ a scriem ecuat ¸ia clasic˘ a de mi¸ sc are
a unei particule de sarcin˘ a -q ˆ ın cˆ ampul magnetic B:
md2/vector x
dt2=−qd/vector x
dt×/vectorB=qd/vector x
d(−t)×/vectorB (2.208)
Din aceast˘ a relat ¸ie rezult˘ a c˘ a particula de sarcin˘ a q c are se
mi¸ sc˘ a ”ˆ ınapoi”ˆ ın timp veriﬁc˘ a aceea¸ si ecuat ¸ie ca ¸ s i particula
de sarcin˘ a -q care se mi¸ sc˘ a ”ˆ ınainte ˆ ın timp”. Corelˆ an d ul-
timele dou˘ a relat ¸ii se poate aﬁrma urm˘ atoarele: starea d e
energie negativ˘ a corespunde particulei de energie poziti v˘ a
dar care se mi¸ sc˘ a ˆ ınapoi ˆ ın timp; relat ¸ia (2.208) arat˘ a c˘ a
particula care se mi¸ sc˘ a ˆ ınapoi ˆ ın timp este echivalent˘ a cu o
particul˘ a de sarcin˘ a negativ˘ a care se mi¸ sc˘ a ˆ ınainte ( normal)
ˆ ın timp. A¸ sadar particula de sarcin˘ a q ¸ si energie negati v˘ a
se comport˘ a ca ¸ si particula de sarcin˘ a negativ˘ a -q ¸ si en ergie
pozitiv˘ a. Particula de sarcin˘ a -q este ”antiparticula” p artic-
ulei de sarcin˘ a q. Rezult˘ a c˘ a particula se comport˘ a ˆ ınt r-o
stare de energie negativ˘ a ca o antiparticul˘ a.
220

In ce const˘ a avantajul deﬁnit ¸iei de mai sus? In primul
rˆ and nu mai vorbim de st˘ ari de energii negative ciˆ ın locul lor
vorbim de antiparticule de energii pozitive adic˘ a tot de pa r-
ticule dar care se mi¸ sc˘ a ˆ ınapoi ˆ ın timp. In acest limbaj p ar-
ticula ¸ si antiparticula respectiv˘ a reprezint˘ a, de fapt , aceea¸ si
particul˘ a care se mi¸ sc˘ aˆ ın spat ¸iu ¸ siˆ ın timp cˆ andˆ ın ainte cˆ and
ˆ ınapoi. Din aceast˘ a deﬁnit ¸ie rezult˘ a un al doilea avant aj ¸ si
anume c˘ a antiparticula poate ﬁ atˆ at un fermion cˆ at ¸ si un
bozon ¸ si c˘ a masa ¸ si spinul particulei ¸ si antiparticulei sunt
acelea¸ si ﬁind vorba de aceea¸ si particul˘ a:
m( particul˘ a ) = m( antiparticul˘ a) (2.209)
I( particul˘ a ) = I( antiparticul˘ a)
In schimb particulele ¸ si antiparticulele au numere cuanti ce
aditive opuse ca semn. Intr-adev˘ ar particula are sarcina q
(sarcina este un num˘ ar cuantic aditiv) iar antiparticula a re
sarcina -q. Aceast˘ a constatare rezult˘ a ¸ si dac˘ a privim p rocesul
ilustrat ˆ ın ﬁgura 2.15, prin care, prin anihilarea particu lei
cu antiparticula respectiv˘ a rezult˘ a doi fotoni. Deoarec e nu-
merele cuntice aditive ale fotonului sunt zero (B, Q, L, etc. )
din legea de conservare a acestora rezult˘ a:
N( particul˘ a ) =−N( antiparticul˘ a ) (2.210)
In care N semniﬁc˘ a orice num˘ ar cuantic aditiv, de valoare
zero, al fotonului. Relat ¸iile (2.209) ¸ si (2.210) deﬁnesc pro-
priet˘ at ¸ile cuantice ale antiparticulelor dac˘ a proprie t˘ at ¸ile par-
ticulelor sunt cunoscute.
In continuare s˘ a facem o precizare referitoare la procesul
ilustrat ˆ ın ﬁgura 2.15. In limbajul obi¸ snuit s-ar spune c˘ a
dac˘ a particula ¸ si antiparticula corespunz˘ atoare se ˆ ın tˆ alnesc
la momentul t1ˆ ın punctul din spat ¸iu x1ele se anihileaz˘ a ¸ si
genereaz˘ a doi fotoni. In limbajul modern introdus de Stuec k-
elberg ¸ si Feynman, ˆ ın care particula ¸ si antiparticula co nsti-
tuie aceea¸ si particul˘ a care se mi¸ sc˘ a ba ˆ ınainte ba ˆ ına poi ˆ ın
timp, procesul din ﬁgura 2.15 se interpreteaz˘ a astfel: ˆ ın mo-
mentult1ˆ ın punctul x1particula dup˘ a ce emite doi fotoni
se ˆ ıntoarce ˆ ınapoi ˆ ın timp. Dac˘ a pentru t < t 1particu-
la ˆ ıntˆ alne¸ ste, de exemplu, un foton, se poate ˆ ımpr˘ a¸ st ia pe
221

Figura 2.15
In momentul t1, ˆ ın punctul x1particula dup˘ a ce emite doi fotoni
se ˆ ıntoarce ˆ ınapoi ˆ ın timp
acesta ¸ si se va putea mi¸ scaˆ ınainte ˆ ın timp, etc. Prin ace ast˘ a
interpretare am accentuat odat˘ a ˆ ın plus c˘ a ˆ ın limbajul m o-
dern particula sau antiparticula reprezint˘ a aceea¸ si par ticul˘ a
care se mi¸ sc˘ a ˆ ın timp ba ˆ ınainte ba ˆ ınapoi. In sfˆ ar¸ sit s˘ a
subliniem ¸ si faptul c˘ a de regul˘ a antiparticulele se deﬁn esc
prin ad˘ augarea preﬁxului ”anti” particulei respective. S unt
¸ si cˆ ateva except ¸ii. De exemplu antiparticula electronu lui nu
se nume¸ ste ”antielectron” ci poart˘ a numele de ”pozitron” .
3. Particule ce interact ¸ioneaz˘ a tare, tare ¸ si electroma gnetic sau tare, elec-
tromagnetic ¸ si slab. Particulele care se clasiﬁc˘ a ˆ ın ace ast˘ a grup˘ a se
numesc, dup˘ a cum s-a mai precizat, ”hadroni”. Uzual hadron ii se
ˆ ımpart, la rˆ andul lor, ˆ ın dou˘ a categorii:
3a. mezoni adic˘ a hadroni cu num˘ arul cuantic barionic zero. S˘ a re-
marc˘ am faptul c˘ a init ¸ial cuvˆ antul ”mezon” (”mezos” – in terme-
diar,ˆ ıntre) semniﬁca faptul c˘ a aceste particule au mas˘ a ”interme-
diar˘ a” ˆ ıntre masa electronului ¸ si masa nucleonilor. Des coperirea
ulterioar˘ a a mezonilor D cu mas˘ a (ˆ ın unit˘ at ¸i energetic e) de 1868
MeV, a mezonilor F cu masa de 2030 MeV ca ¸ si a altor ”rezonant ¸ e
mezonice” cu mase ¸ si mai mari face ca semniﬁcat ¸ia init ¸ial ˘ a a ter-
menului s˘ a ﬁe lipsit˘ a de sens. Tot ¸i mezonii au spinul zero .
3b. barioni adic˘ a hadroni cu num˘ arul cuantic barionic diferit de zero .
222

Tot ¸i barionii au spinul semiˆ ıntreg ¸ si ca atare sunt fermi oni. Cel
mai u¸ sor barion este protonul ¸ si ca atare barionii sunt par ticule
grele.
Mezonii ¸ si barionii, dac˘ a except˘ am rezonant ¸ele, se pot clasiﬁca la
rˆ andul lor ˆ ın funct ¸ie de num˘ arul cuantic de straneitate ¸ si de charm.
Astfel pentru mezoni:
m1.pioni: B=0, S=0, C=0
m2.kaoni: B=0, S=±1, C=0
m3.mezoniiη: B=0, S=0
m4.mezoni cu charm: B=0, S=0, C= ±1
In mod similar barionii se clasiﬁc˘ a astfel:
b1.nucleoni: B=±1, S=0, C=0
b2.hiperoni:B=±1,S=±1,±2,±3, C=0
b3.barioni cu charm: B= ±1, S=0,C=±1
Preciz˘ am c˘ a barionii cu charm sunt prezi¸ si teoretic dar ˆ ınc˘ a n-au fost
descoperit ¸i pˆ an˘ a-n prezent.
Principalele particule, cu except ¸ia rezonant ¸elor, conf orm clasiﬁc˘ arii de
mai sus sunt redate, ˆ ımpreun˘ a cu numerele cuantice coresp unz˘ atoare, ˆ ın
tabelul 2.2 In tabel denumirile sunt date pentru particule. Prima valoare a
numerelor cuantice corespunde particulelor iar cealalt˘ a valoare corespunde
antiparticulelor respective. De exemplu valoarea sarcini i Q egal˘ a cu∓1
pentrue−¸ sie+semniﬁc˘ a faptul c˘ a sarcina electronului este -e iar sarci na
pozitronului este +e. In mod similar valoarea Iπ= 1/2±pentru p ¸ si ˜ parat˘ a
c˘ a pentru proton Iπ= 1/2+iar pentru antiproton Iπ= 1/2−. Preciz˘ am
faptul c˘ a dac˘ a ˆ ın tabel un num˘ ar cuantic nu este precizat aceasta ˆ ınseamn˘ a
c˘ a acel num˘ ar cuantic nu poate ﬁ determinat pentru particu la respectiv˘ a.
De exemplu, leptonii nu au spin izotopic deoarece leptonii n u particip˘ a ˆ ın
interact ¸iile tari. Fotonul ¸ si mezonul ηsunt particule ”neutre adev˘ arate” ¸ si
ca atare nu au antiparticule. Notat ¸iile din tabel sunt cele folosite ˆ ın text.
223

Tabelul 2.2
Clasi- Denu- Simbol B L L L S C IπT Q/e τ Masa
ﬁcare mire secunde (MeV)
foton foton γ 0 0 0 0 0 0 1−- stabil 0
l electron e−,e+0±1 0 0 0 0 1 /2±-∓1 stabil 0.511
e neutrino
p electronic νe,˜νe 0±1 0 0 0 0 1/2 – 0 stabil 0
t miuonul µ−,µ+0 0±1 0 0 0 1 /2±-∓1 2.2 10−6106
o neutrino
n miuonic νµ,˜νµ 0 0±1 0 0 0 1/2 – 0 stabil 0
i tauonul τ−,τ+0 0 0±1 0 0 1 /2±-∓1 nestabil 1807
neutrino
tauonic ντ,˜ντ 0 0 0±1 0 0 1/2 – 0 stabil 0
m pioni π+,π−0 0 0 0 0 0 0−1±1 2.6 10−8140
e ˆ ınc˘ arcat ¸i
z pioni π00 0 0 0 0 0 0−1 0 0 .76 10−16
o neutri
n kaoni k+,k−0 0 0 0 0 0 0−1/2±1 1.2 10−8494
i ˆ ınc˘ arcat ¸i
H kaoni k0,˜k00 0 0 0 ±1 0 0−1/2 0 k0
S0.8610−10
neutri k0
L5.4 10−8498
A mezo- η 0 0 0 0 0 0−0 0 2 .4 10−19549
nulη
D mezo- D+,D−0 0 0 0 0 ±1 1868
nulD+
R mezo- D0,˜D00 0 0 0 0 ±1 1863
nulD0
O mezo- F,˜F 0 0 0 0 ±1±1 2030
nul F
N
b proton p,˜p±1 0 0 0 0 0 1 /2±1/2±1 stabil? 938.2
I a neutron n, ˜ n±1 0 0 0 0 0 1 /2±1/2±1 0.93 103939.6
r lambda Λ ,˜Λ±1 0 0 0 ±1 0 1/2±0 0 2 .5 10−101116
i sigma Σ+,˜Σ+±1 0 0 0 ±1 0 1/2±1±1 0.8 10−101189
o plus
n sigma Σ0,˜Σ0±1 0 0 0 ±1 0 1/2±1 0 <10−141192
i zero
sigma Σ−,˜Σ−±1 0 0 0 ±1 0 1/2±1∓1 1.5 10−101197
minus
Xi- Ξ0,˜Ξ0±1 0 0 0 ∓2 0 1/2±1/2 0 3 10−101315
zero
Xi- Ξ−,˜Ξ−±1 0 0 0 ∓2 0 1/2±1/2∓1 1.7 10−101321
minus
omega Ω−,˜Ω−±1 0 0 0 ∓3 0 3/2±? 0 -1 1 .3 10 1672
minus224

2.5 Cromodinamica cuantic˘ a ¸ si fort ¸ele nucleare
2.5.1 Modelul de cuarc
Multiplele experient ¸e de tip Hofst¨ adter (paragraful 1.3 ) de sondare a ”struc-
turii interne” a particulelor elementare au condus la ideea c˘ a fotonii ¸ si lep-
tonii corespund not ¸iunii de elementaritate ˆ ın sensul c˘ a nu a fost evident ¸iat˘ a
o structur˘ a intern˘ a a lor ¸ si ca atare aceste particule pot ﬁ considerate par-
ticule punctuale. In schimb aceste experient ¸e au ar˘ atat c ˘ a hadronii au o
structur˘ a ﬁind constituit ¸i din entit˘ at ¸i (subparticul e) de dimensiuni foarte
mici (dimensiuni cu cel put ¸in trei ordine de m˘ arime mai mic i decˆ at dimensi-
unile hadronilor). Mai exact, aceste experient ¸e au pus ˆ ın evident ¸˘ a faptul c˘ a
masa hadronilor nu este distribuit˘ a uniform ˆ ın volumul lo r ci este concen-
trat˘ aˆ ın regiuni spat ¸iale de volume extrem de mici care fo rmeaz˘ a ”entit˘ at ¸ile”
precizate mai sus. Aceste experient ¸e, similare ˆ ın fond cu experient ¸ele lui
Rutherford de sondare a structurii atomului, au condus deci la ideea c˘ a
hadronii sunt compu¸ si din alte entit˘ at ¸i asem˘ an˘ ator mo dului cum nucleul
este format din protoni ¸ si neutroni. Existent ¸a acestor en tit˘ at ¸i, denumite
ˆ ın ﬁnal, ”cuarci” a redeschis sperant ¸a ﬁzicienilor c˘ a lu mea material˘ a este
format˘ a dintr-un num˘ ar limitat de entit˘ at ¸i (particule ) elementare ˆ ıntre care
se exercit˘ a un num˘ ar mic de fort ¸e fundamentale. Din acest motiv, ca ¸ si din
dorint ¸a de a face o sistematizare de esent ¸˘ a ˆ ın mult ¸imea hadronilor, modelul
de cuarc, introdus ˆ ın anul 1963 de M.Gell-Mann ¸ si G.Zweig, a fost acceptat
rapid.
Cuvˆ antul ”cuarc” a fost introdus de Gell-Mann ﬁind preluat
din romanul lui J.Joice ˆ ıntitulat Finnegan’Wake. Zweig a n umit
aceste cantit˘ at ¸i ”a¸ si”.
Modelul de cuarc conduce la o simpliﬁcare substant ¸ial˘ aˆ ı nlocuind num˘ arul
mare de hadroni printr-un num˘ ar mult mai mic de cuarci ¸ si pe rmite de-
scrierea propriet˘ at ¸ilor intrinseci ¸ si de interact ¸ie a hadronilor ˆ ıntr-un mod
elegant ¸ si unitar. Diﬁcultatea esent ¸ial˘ a a acestui mode l const˘ a ˆ ın faptul c˘ a
dac˘ a condit ¸ia de a observa experimental o structur˘ a inte rn˘ a a hadronilor a
fostˆ ındeplinit˘ aˆ ın schimb condit ¸ia de a ”sparge” hadro niiˆ ın cuarci (a¸ sa cum
nucleul poate ﬁ ”spart” ˆ ın protoni ¸ si neutroni) nu a fost re alizat˘ a prin nicio
experient ¸˘ a efectuat˘ a pˆ an˘ a-n prezent; a¸ sadar cuarci ˆ ın stare liber˘ a nu s-au
obt ¸inut ˆ ınc˘ a. In principiu cuarci liberi ar trebui s˘ a se obt ¸in˘ a ˆ ın interact ¸ia
(ciocnirea) dintre doi hadroni de energie cinetic˘ a suﬁcie nt de mare pentru
225

a dep˘ a¸ si energia de prag necesar˘ a gener˘ arii de cuarci ˆ ı n procesul respec-
tiv (paragraful 2.4.1). Faptul c˘ a nu s-au obt ¸inut cuarci l iberi poate sugera
urm˘ atoarele cauze:
a)cuarcii nu exist˘ a ˆ ın realitate
b)masa cuarcilor este foarte mare ¸ si ca atare energia cinetic ˘ a de prag, ˆ ın
acord cu ralat ¸iile (2.116) sau (2.119), nu s-a realizat ˆ ın c˘ a ˆ ın cele mai
mari acceleratoare existente ˆ ın prezent
c)sect ¸iunea de generare a cuarcilor este foarte mic˘ a
Dac˘ a ˆ ıntr-adev˘ ar cuarcii exist˘ a ¸ si masa lor este foart e mare
ˆ ıncˆ at nu pot ﬁ generat ¸i ˆ ın procesele de interact ¸ie real izate cu
acceleratoarele existente ˆ ın schimb generarea lor a putut avea
loc la formarea Universului prin ”Marea explozie” (Big-Ban g)
cˆ and, dup˘ a estim˘ arile teoretice, energii de 1018GeV erau uzuale.
Deoarece este de presupus c˘ a cel put ¸in unii cuarci sunt sta bili
rezult˘ a c˘ a ace¸ stia (cuarci relicve) ar trebui s˘ a existe ˆ ın razele
cosmice sau s-au acumulat ˆ ın meteorit ¸i, ˆ ın scoart ¸a p˘ am ˆ antului,
etc. C˘ autarea acestor cuarci a avut loc dar f˘ ar˘ a succes pˆ an˘ a ˆ ın
prezent.
Este greu de precizat la ora actual˘ a cauza real˘ a pentru car e cuarci liberi
n-au fost pu¸ si ˆ ın evident ¸˘ a. Cert este faptul c˘ a ¸ si ˆ ın i poteza c˘ a ei nu exis-
t˘ a ˆ ın realitate modelul de cuarc reprezint˘ a un mod comod d e interpretare
a diferitelor experient ¸e din lumea particulelor elementa re. U¸ surint ¸a, uni-
taritatea ¸ si elegant ¸a cu care modelul de cuarc explic˘ a ap roape toate datele
experimentale referitoare la structura hadronilor ¸ si la m ecanismul lor de
interact ¸ie fac ca acest model s˘ a nu ﬁe abandonat iar ”solut ¸ia” este c˘ autat˘ a
ˆ ıntr-o teorie care s˘ a explice atˆ at existent ¸a cuarcilor ˆ ın interiorul hadronilor
cˆ at ¸ si faptul c˘ a nu pot ”exista” ˆ ın stare liber˘ a. S-a rea lizat astfel ”cro-
modinamica cuantic˘ a” (QCS-quantum chromodynamics) teor ie care descrie
structura ¸ si procesele de interact ¸ie ale hadronilor ¸ si, ﬁre¸ ste, fort ¸ele (nucleare)
care se exercit˘ a ˆ ıntre ace¸ stia. In continuare vom trece ˆ ın revist˘ a, calitativ,
ipotezele ¸ si ideile de baz˘ a ale acestei teorii.
Prin introducerea cuarcilor ¸ si deci a modelului de cuarc tr ebuie s˘ a r˘ a-
spundem, cel put ¸in, la urm˘ atoarele ˆ ıntreb˘ ari. Ce sunt d e fapt cuarcii adic˘ a
ce mas˘ a au ace¸ stia ¸ si care sunt numerele lor cuantice? Cˆ a t ¸i cuarci exist˘ a sau,
cel put ¸in, cˆ at ¸i cuarci sunt necesari pentru a descrie tot alitatea hadronilor
cunoscut ¸i? etc. Desigur este greu de dat un r˘ aspuns exact l a acesteˆ ıntreb˘ ari
dar cˆ ateva propriet˘ at ¸i ale cuarcilor pot ﬁ precizate. As tfel:
226

1. Cuarcii trebuie s˘ a ﬁe fermioni c˘ aci numai din fermioni s e pot construi
¸ si fermioni ¸ si bozoni. Se face ipoteza c˘ a spinul I4al cuarcilor este 1/2
de¸ si ¸ si alte valori semiˆ ıntregi >1/2, ˆ ın principiu, pot ﬁ atribuite. De
asemenea se consider˘ a c˘ a un cuarc oarecare, notat generic cu litera ”q”,
are paritate pozitiv˘ a iar anticuarcul respectiv are parit ate negativ˘ a.
2. Deoarece bozonii sunt particule de spin ˆ ıntreg ¸ si parit ate negativ˘ a
rezult˘ a c˘ a ace¸ stia pot ﬁ creat ¸i din perechi cuarc-antic uarc de forma
q˜ q, qq˜ q˜ q sau combinat ¸ii similare realizate din mai mult e perechi q˜ q.
Se consider˘ a c˘ a structura mai simpl˘ a q˜ q formeaz˘ a un boz on:
bozon =q˜q (2.211)
In mod similar, cea mai simpl˘ a combinat ¸ie de cuarci care po ate forma
un fermion (care nu este cuarc) este format˘ a din trei cuarci qqq de¸ si
nu sunt excluse ¸ si combinat ¸ii de forma qqqq˜ q, sau, mai com plicate.
Pentru simplitate se postuleaz˘ a c˘ a un fermion este format din trei
cuarci ¸ si deci:
fermion = qqq (2.212)
Deoarece fermionii hadroni au num˘ arul cuantic barionic B e gal cu
unitatea, f˘ acˆ and ipoteza c˘ a ﬁecare cuarc are acela¸ si nu m˘ ar barionic,
din relat ¸ia de mai sus rezult˘ a c˘ a num˘ arul barionic al cua rcilor este 1/3:
B(q) = 1/3 (2.213)
3. Pentru construct ¸ia hadronilor nestranii ¸ si f˘ ar˘ a cha rm, de sarcin˘ a elec-
tric˘ a zero sau±e, trebuie s˘ a existe cel put ¸in doi cuarci: unul cu
proiect ¸ia izospinului TZ(q) = +1/2 ¸ si cel˘ alalt de proiect ¸ie TZ(q) =
−1/2. Pentru ace¸ sti cuarci (S=C=0), nestranii ¸ si f˘ ar˘ a char m, ˆ ın acord
cu relat ¸ia (2.197) sarcina electric˘ a va ﬁ:
Q(q,TZ= +1/2) =2
3e;Q(q,TZ=−1/2) =−1
3e (2.214)
Pentru construirea hadronilor stranii dar f˘ ar˘ a charm ( S/ne}ationslash= 0,C= 0)
trebuie s˘ a existe cel put ¸in un cuarc ”straniu” cu num˘ arul cuantic de
straneitate diferit de zero ¸ si TZ= 0.
4In continuare spinul cuarcilor va ﬁ notat cu I ¸ si nu cu S cum ar ﬁ normal ﬁind un
moment cinetic intern; notat ¸ia a fost adoptat˘ a pentru a se evita confuzia spinului cu
num˘ arul cuantic de straneitate.
227

Dac˘ a consider˘ am valoarea -1 pentru num˘ arul cuantic de st raneitate
pentru acest cuarc (S=-1) sarcina lui electric˘ a, ˆ ın acord cu relat ¸ia
(2.197) va ﬁ:
Q(S=−1,TZ= 0) =−1
3e (2.215)
Construirea hadronilor cu charm implic˘ a existent ¸a unui c uarc cu charm
(C=1) ¸ siTZ=S= 0. Pentru acest cuarc sarcina electric˘ a, ˆ ın acord
cu aceea¸ si relat ¸ie, va ﬁ:
Q(C= 1,TZ=S= 0) =2
3e (2.216)
In sfˆ ar¸ sit, trebuie s˘ a preciz˘ am c˘ a pe lˆ ang˘ a numerele cuantice introduse
ˆ ın paragraful 2.4.2 mai exist˘ a o serie de numere cuantice, ca num˘ arul b,
num˘ arul cuantic t, etc., care selecteaz˘ a o serie de proces e de dezintegrare
¸ si de interact ¸ie a particulelor elementare (hadronilor) . Pentru construirea
hadronilor care au aceste numere cuantice (de exemplu parti culele din seria
υ(upsilon) pentru care num˘ arul cuantic b este diferit de zer o) sunt necesari
ˆ ınc˘ a doi cuarci cu numerele cuantice b=-1 ¸ si t=1. In concl uzie trebuie s˘ a
existe cel put ¸in 6 cuarci a c˘ aror denumire ¸ si numere cuant ice sunt reproduse
ˆ ın tabelul 2.3
Tabelul 2.3
simbol Denumire Q/e B S C b t T Z spinul
u (up 2/3 1/3 0 0 0 0 1/2 1/2
sus)
d (down -1/3 1/3 0 0 0 0 -1/2 1/2
jos)
s (strange -1/3 1/3 -1 0 0 0 0 1/2
straniu)
c (charm 2/3 1/3 0 1 0 0 0 1/2
farmec)
b (beauty -1/3 1/3 0 0 -1 0 0 1/2
frumusete)
t (truth 2/3 1/3 0 0 0 1 0 1/2
adevar)
Desigur exist˘ a ¸ si 6 anticuarci ale c˘ aror numere cuantice se deduc imediat
din tabelul 2.3 folosind regulile descrise de relat ¸iile (2 .209) ¸ si (2.210). De
228

exemplu numerele cuantice ale anticuarcului straniu (˜ s) v or ﬁ:
Q=1
3e;B=−1
3;S= 1 ;C=b=t= 0 ;TZ= 0 ;I= 1/2 (2.217)
Din cele prezentate mai sus, ca ¸ si din tabelul 2.3, rezult˘ a c˘ a numerele cuan-
tice ale cuarcilor sunt fract ¸ionare. Atˆ at sarcina electr ic˘ a cˆ at ¸ si num˘ arul ba-
rionic sunt multiplii valorii 1/3, fapt cel put ¸in neobi¸ sn uit conform concept ¸iei
pe care o avem despre numerele cuantice. S˘ a facem remarca c˘ a existent ¸a
acestor numere fract ¸ionare ridic˘ a problema ”elementari t˘ at ¸ii sarcinii electrice
e” ¸ si, de ce nu, chiar a ”elementarit˘ at ¸ii electronului”. F˘ ar˘ aˆ ındoial˘ a existent ¸a
numerelor cuantice fract ¸ionare ale cuarcilor constituie o alt˘ a diﬁcultate ˆ ın
acceptarea modelului de cuarc pe lˆ ang˘ a diﬁcultatea deja s emnalat˘ a legat˘ a
de imposibilitatea obt ¸inerii de cuarci liberi.
Acceptˆ and ideea existent ¸ei celor 6 cuarci, f˘ ar˘ a struct ur˘ a, rezult˘ a c˘ a lumea
material˘ a poate ﬁ constituit˘ a din foton, 6 leptoni ¸ si 6 cu arci ¸ si, ﬁre¸ ste, din
antiparticulele lor cu remarca c˘ a fotonul nu are antiparti cul˘ a. Cuarcii ¸ si
leptonii lumii materiale sunt redat ¸i ˆ ın tabelul 2.4.
Tabelul 2.4
Q cuarci leptoni Q
2/3 e u c t νeνµντ0
-1/3 e d s b e−µ−τ−-1e
Acest tabel poate ﬁ privit ca un ”sistem periodic” al particu lelor elemen-
tare analog cu tabelul lui Mendeleev pentru atomi dac˘ a, ﬁre ¸ ste, se accept˘ a
ideea c˘ a cei 6 leptoni ¸ si 6 cuarci, la care mai ad˘ aug˘ am ¸ si fotonul, sunt
”entit˘ at ¸ile elementare” ale materiei.
Oricare ar ﬁ adev˘ arul, ˆ ın paragraful ce urmeaz˘ a vom ar˘ at a u¸ surint ¸a
cu care se pot construi hadronii cunoscut ¸i pˆ an˘ a-n prezen t acceptˆ and ideea
existent ¸ei cuarcilor.
2.5.2 Cromodinamica cuantic˘ a. Construirea hadronilor di n
cuarci
Construirea hadronilor ca st˘ ari legate ale cuarcilor se re alizeaz˘ a plecˆ and de
la relat ¸iile (2.211) ¸ si (2.212). Reamintim c˘ a hadronii s e clasiﬁc˘ a ˆ ın mezoni
(adic˘ a hadroni cu B=0 ¸ si spin ˆ ıntreg, deci bozoni) ¸ si din barioni (hadroni
cu num˘ arul cuantic B diferit de zero ¸ si spin semiˆ ıntreg, d eci fermioni) con-
form tabelului 2.2. Deoarece cuarcii sunt entit˘ at ¸i cu spi nul semiˆ ıntreg ei se
supun statisticii Fermi-Dirac ¸ si deci ¸ si principiului de excluziune al lui Pauli.
In consecint ¸˘ a ˆ ın construirea unui hadron nu pot exista do i sau mai mult ¸i
229

cuarci cu acelea¸ si numere cuantice. In cazul mezonilor (bo zoni) cerint ¸ele
statisticii Fermi-Dirac sunt totdeauna satisf˘ acute c˘ ac i cuarcul ¸ si anticuarcul
(relat ¸ia (2.211)) care formeaz˘ a mezonii au numere cuanti ce diferite. In cazul
construct ¸iei de barioni apar ˆ ıns˘ a situat ¸ii paradoxale ˆ ın care doi sau chiar trei
cuarci (relat ¸ia (2.212)) sunt identici. De exemplu combin at ¸ia{uuu}, pentru
cuarcii de tip u aﬂat ¸i ˆ ın starea de mi¸ scare s (l=0) ¸ si cu to ate numerele cuan-
tice identice, conduce la urm˘ atoarele numere cuantice: I= 3/2,TZ= 3/2,
Q=2e, S=0. Aceste numere cuantice corespund ˆ ın totalitate particulei ∆++
(∆++este o rezonant ¸˘ a descoperit˘ a de Fermi ¸ si colaboratorii s˘ ai ˆ ın anul 1951
ˆ ın procesul π++p) de mas˘ a 1232 MeV ¸ si f˘ ar˘ aˆ ındoial˘ a c˘ a aceast˘ a combin at ¸ie
{uuu}corespunde acestei particule. Pe de alt˘ a parte, aceast˘ a p articul˘ a este
format˘ a din trei cuarci care au toate numerele cuantice ide ntice ¸ si care se
g˘ asescˆ ın st˘ ari cuantice identice, situat ¸ie exclus˘ a d e principiul Pauli. A¸ sadar,
pentru a nu ﬁ ˆ ın dezacord cu principiul amintit a fost necesa r˘ a introducerea
unui num˘ ar cuantic aditiv suplimentar, denumit ˆ ın mod con vent ¸ional ”cu-
loare” ¸ si care poate avea trei valori: R (red-ro¸ su), G (gre en-verde) ¸ si B
(blue-albastru).
A¸ sadar ˆ ın locul unor valori numerice, s˘ a zicem +1, 0, -1,
se utilizeaz˘ a prin convent ¸ie numerele R, G ¸ si B. S˘ a preci z˘ am ¸ si
faptul c˘ a uneori ˆ ın literatura de specialitate ˆ ın locul c ulorii verzi
G se folose¸ ste culoarea galben˘ a Y (yellow).
Fire¸ ste, prin introducerea num˘ arului cuantic de culoare num˘ arul cuar-
cilor se tripleaz˘ a; se obt ¸in astfel 18 cuarci precizat ¸i p rin dou˘ a caracteristici –
”aromatul” adic˘ a cei 6 cuarci din tabelul 2.3 ¸ si ”culoarea ” R, G ¸ si B. Astfel,
putem avea cuarcul cu aromatul u de culoare ro¸ sie ( uR), de culoare verde
(uG) sau de culoare albastr˘ a ( uB). Cuarcii uR,uG¸ siuBau, cu except ¸ia
culorii, acelea¸ si numere cuantice, speciﬁce aromatului u . Evident, triplarea
num˘ arului de cuarci conduce ¸ si la cre¸ sterea considerabi l˘ a a combinat ¸iilor
posibile de trei cuarci necesari pentru construirea hadron ilor.
De¸ si introducerea num˘ arului de culoare pare arbitrar˘ a s e constat˘ a totu¸ si
c˘ a fort ¸ele care ajut˘ a cuarcii s˘ a formeze hadroni sunt de terminate tocmai de
aceast˘ a proprietate de culoare ˆ ın sensul c˘ a se creeaz˘ a u n ”cˆ amp de culoare”
ale c˘ arui cuante de cˆ amp, numite ”gluoni”, mediaz˘ a inter act ¸ia dintre cuarci
generˆ and ˆ ın ﬁnal fort ¸ele tari de interact ¸ie. Gluonii au , a¸ sadar, un rol similar
cu fotonii care mediaz˘ a interact ¸ia electromagnetic˘ a. G luonii, ca ¸ si fotonii,
sunt cuante de mas˘ a zero, au num˘ arul cuantic de spin egal cu unitatea iar
celelalte numere cuantice sunt zero cu except ¸ia num˘ arulu i cuantic de culoare.
Gluonii au o culoare ¸ si o anticuloare c˘ aci ˆ ın caz contrar u n cuarc prin emisia
unui gluon s-ar transforma ˆ ın aromatul corespunz˘ ator. De exemplu, cuarcul
230

uRprin emisia unui gluon care ar avea numai culoare, ﬁe ro¸ sie a ceast˘ a
culoare, s-ar transforma ˆ ın aromatul u ¸ si ca atare gluonul n-ar ﬁ cuant˘ a
de schimb ˆ ıntre cuarci. Aceasta ˆ ınseamn˘ a c˘ a prin emisia ¸ si absorbt ¸ia de
gluoni cuarcii ˆ ı¸ si pot schimba culoarea dar nu ¸ si aromatu l. Deoarece cuarcii
schimb˘ a tot timpul gluoni ”colorat ¸i” ˆ ıntre ei, rezult˘ a c˘ a nu se poate preciza
la un moment dat culoarea ﬁec˘ arui cuarc. Gluonii care se pot realiza din
cele trei culori R, G, B ¸ si din anticulorile respective sunt urm˘ atorii:
R˜R B ˜B G ˜G
R˜B B ˜R G ˜R (2.218)
R˜G B ˜G G ˜B
Exist˘ a a¸ sadar 9 combinat ¸ii de culoare-anticuloare dar c ombinat ¸ia R ˜R
+B˜B +G ˜G este trivial˘ a (f˘ ar˘ a culoare). R˘ amˆ an deci 8 combinat ¸ ii (gluoni)
independente, din care 6 sunt nediagonale iar dou˘ a sunt dia gonale (de e-
xemplu R ˜R-G˜G ¸ si R ˜R +G ˜G-2B˜B). A¸ sadar, fat ¸˘ a de cˆ ampul electromagnetic
unde avem de a face cu un singur foton, ˆ ın cazul cˆ ampului de c uloare sunt
necesari 8 gluoni pentru a genera fort ¸ele (tari) care se man ifest˘ aˆ ıntre cuarci.
Propriet˘ at ¸ile gluonilor, prezentate mai sus, genereaz˘ a o serie deˆ ıntreb˘ ari.
Dac˘ a masa gluonilor este zero cum se realizeaz˘ a fort ¸ele d e interact ¸ie de scurt˘ a
distant ¸˘ a? Ce propriet˘ at ¸i au fort ¸ele de culoareˆ ıncˆ a t este imposibil˘ a obt ¸inerea
de cuarci liberi? Oare toate combinat ¸iile imaginabile de d oi sau trei cuarci
colorat ¸i pot constitui hadroni observabili experimental ?, etc. Referitor la
aceste ˆ ıntreb˘ ari cromodinamica cuantic˘ a (QCD) face urm ˘ atoarele aﬁrmat ¸ii:
1. Fort ¸ele cuarc-cuarc pentru distant ¸e r<2 10−16m sunt nesemniﬁcativ
de mici. In acord cu relat ¸ia de nedeterminare:
p≥¯h
r≈109(eV
c) = 1GeV
c(2.219)
rezult˘ a c˘ a cuarcii se comport˘ a ca entit˘ at ¸i libere pent ru impulsuri ce
dep˘ a¸ sesc 1GeV/c. Aceast˘ a proprietate a fort ¸elor nucle are cuarc-cuarc
se nume¸ ste ”libertate asimptotic˘ a”. In schimb, cu cre¸ st erea distant ¸ei
dintre cuarci, energia potent ¸ial˘ a cuarc-cuarc cre¸ ste ( ˆ ın loc s˘ a scad˘ a?!)
foarte rapid, ceea ce semniﬁc˘ a c˘ a ¸ si fort ¸ele cuarc-cuar c sunt fort ¸e ce
cresc cu cre¸ sterea distant ¸ei dintre cuarci. S-ar putea co nsidera c˘ a
aceste fort ¸e sunt generate de un potent ¸ial cresc˘ ator cu d istant ¸a ˆ ın
felul aceluia care t ¸ine ˆ ımpreun˘ a dou˘ a bile legate de un r esort. In cazul
acestui potent ¸ial cu cˆ at ˆ ıncerc˘ am separarea mai mare a b ilelor cu atˆ at
se ˆ ıntˆ ampin˘ a o rezitent ¸˘ a mai mare. A¸ sadar, cu cre¸ ste rea distant ¸ei din-
tre cuarci fort ¸ele cuarc-cuarc devin deosebit de mari, inﬁ nit de mari
231

pentru distant ¸e comparabile cu dimensiunile hadronilor, ceea ce duce
la imposibilitatea obt ¸inerii de cuarci liberi, deci la ”co nﬁnarea” lor ˆ ın
interiorul hadronilor; aceast˘ a proprietate este cunoscu t˘ a ˆ ın literatura
de specialitate sub denumirea de ”conﬁnare infraro¸ sie” (i nfrared slav-
ery).
2. Interact ¸iunea dintre cuarci nu este aditiv˘ a ˆ ın sensul c˘ a fort ¸a cu care
act ¸ioneaz˘ a ceilalt ¸i cuarci asupra unui cuarc nu este ega l˘ a cu suma
fort ¸elor cu care act ¸ioneaz˘ a ﬁecare cuarc asupra cuarcul ui ﬁxat. De
asemenea, aceast˘ a proprietate arat˘ a c˘ a cˆ ampul gluonic al unui sistem
de cuarci nu este egal cu suma cˆ ampurilor create de ﬁecare cu arc ˆ ın
parte. In cazul cˆ ampului gluonic o situat ¸ie special˘ a se r ealizeaz˘ a pen-
tru ”singlet ¸ii de culoare” adic˘ a a sistemelor de cuarci co lorat ¸i, astfel
combinat ¸i ˆ ıncˆ at num˘ arul cuantic total de culoare este n ul; este vorba
deci de un sistem de cuarci care realizeaz˘ a culoarea ”alb˘ a ”. Pentru
singlet ¸ii de culoare componenta de lung˘ a distant ¸˘ a a cˆ a mpului gluonic
este complet compensat˘ a; altfel zis, cˆ ampul gluonic al si nglet ¸ilor de
culoare se manifest˘ a numai la distant ¸e scurte.
Din aﬁrmat ¸iile de mai sus rezult˘ a cel put ¸in trei consecin t ¸e importante:
a)numai singlet ¸ii de culoare au energie ﬁnit˘ a a cˆ ampului gl uonic (de cu-
loare) la distant ¸e ce dep˘ a¸ sesc dimensiunile hadronilor (aproximativ 1
F) ¸ si ca atare numai ace¸ stia pot exista ˆ ın stare liber˘ a.
b)interact ¸ia ˆ ıntre singlet ¸ii de culoare este de scurt˘ a di stant ¸˘ a
c)singlet ¸ii de culoare nu pot ﬁ ”spart ¸i” ˆ ın p˘ art ¸ile (cuar cii) componente.
A¸ sadar, conform teoriei cromodinamicii cuantice numai si nglet ¸ii de cu-
loare (mezoni sau barioni) corespund hadronilor observat ¸ i experimental.
Teoria grupurilor stabile¸ ste riguros sistemele de cuarci colorat ¸i care pot
forma singlet ¸i de culoare. La nivel intuitiv, rezultatele teoriei grupurilor pot
ﬁ rezumate astfel: din trei culori ¸ si trei anticulori, ”cul oarea alb˘ a” (singletul
de culoare) poate ﬁ realizat˘ a ˆ ın dou˘ a moduri: ﬁe amestecˆ and culoarea cu
anticuloarea respectiv˘ a (singlet de culoare mezonic) ﬁe a mestecˆ and uniform
cele trei culori (singlet de culoare barionic). Realizarea singlet ¸ilor de culoare
seam˘ an˘ a cu procedeul de compunere a culorilor de baz˘ a pen tru a obt ¸ine ”cu-
loarea alb˘ a” (ca ¸ si alte culori). De fapt, din aceste motiv e, teoria fort ¸elor nu-
cleare bazate pe modelul cuarc poart˘ a denumirea de ”cromod inamic˘ a cuan-
tic˘ a” (QCD). S˘ a observ˘ am c˘ a ˆ ın cadrul acestei teorii de ¸ si num˘ arul cuarcilor
s-a triplat, prin introducerea num˘ arului cuantic de culoa re, prin introducerea
232

regulii c˘ a numai singlet ¸ii de culoare corespund hadronil or liberi (observabili
experimental), num˘ arul combinat ¸iilor de cuarci care pot forma hadroni se
mic¸ sorez˘ a substant ¸ial; ˆ ıntr-o prim˘ a aproximat ¸ie nu m˘ arul acestor combinat ¸ii
este egal cu num˘ arul combinat ¸iilor ce s-ar ﬁ realizat din c ei 6 cuarci init ¸iali,
necolorat ¸i.
Cunoscˆ and regula de mai sus de construire a hadronilor obse rvabili din
cuarci colorat ¸i, ˆ ın continuare vom ilustra modul ˆ ın care modelul de cuarc
permite construirea mezonilor ¸ si barionilor cunoscut ¸i p ˆ an˘ a-n prezent.
Mezonii, ˆ ın acord cu relat ¸ia (2.211) se realizeaz˘ a din co mbinat ¸ia cuarc-
anticuarc cu condit ¸ia suplimentar˘ a ca aceste combinat ¸i i s˘ a formeze singlet ¸i
de culoare. In continuare, pentru simpliﬁcarea notat ¸iilo r, se va subˆ ınt ¸elege
c˘ a singletul de culoare mezonic {q˜ q}, precizat prin aromatul q ¸ si ˜ q, are
funct ¸ia de stare urm˘ atoare:
Ψmezon =1√
3/parenleftbigΨR˜R+ ΨB˜B+ ΨG˜G/parenrightbig(2.220)
realizat˘ a prin suprapunerea simetric˘ a a celor trei combi nat ¸ii de culoare-
anticuloare. A¸ sadar, prin combinat ¸ia {u˜ u}, de exemplu, vom ˆ ınt ¸elege de
fapt singletul de culoare mezonic format din amestecul omog en al cuarcilor
uR˜u˜R, uG˜u˜G¸ siuB˜u˜B. Cu aceste preciz˘ ari s˘ a ilustr˘ am modul de constru-
ire a mezonilor obi¸ snuit ¸i (cu S=0, C=0) ¸ si a mezonilor str anii (S/ne}ationslash= 0,
C=0). Fire¸ ste, mezonii obi¸ snuit ¸i, f˘ ar˘ a straneitate ¸ si charm, se pot con-
strui din cuarci de aromat u ¸ si d iar mezonii stranii se pot co nstrui din
combinat ¸ia mezonilor de aromat u ¸ si d cu cuarcul de aromat s . Vom face
¸ si precizarea c˘ a ˆ ın cadrul teoriei QCD se consider˘ a c˘ a m ezonii observabili
corespund singlet ¸ilor de culoare ˆ ın care cuarcii ¸ si anti cuarcii se g˘ asesc ˆ ın
starea de mi¸ scare de moment orbital zero (l=0).
Mezonii nestranii ¸ si f˘ ar˘ a charm realizat ¸i din cuarci de aromat u ¸ si d,
ˆ ın acord cu notat ¸iile de mai sus, vor corespunde combinat ¸ iilor u˜ u, u ˜d, ˜ ud
¸ si d˜d. In acord cu numerele cuantice prezentate ˆ ın tabelul 2.3, mezonilor
{u˜d}¸ si{˜ ud}le corespund valorile TZ= +1 ¸ si, respectiv, TZ=−1 ¸ si ca
atare corespund spinului izotopic (valoarea minim˘ a) T=1. Mezonii{u˜ u}
¸ si{d˜d}auTZ= 0 ¸ si ca atare pot corespunde izospinului T=0 sau T=1.
Se demonstreaz˘ a c˘ a starea corespunz˘ atoare izospinului T=0 este dat˘ a de
funct ¸ia de stare:
Ψ0=1√
2/parenleftbigΨu˜u+ Ψd˜d/parenrightbig;T= 0 (2.221)
iar izospinului T=1 ˆ ıi corespunde funct ¸ia de stare:
Ψ1=1√
2/parenleftbigΨu˜u−Ψd˜d/parenrightbig;T= 1 (2.222)
233

S˘ a preciz˘ am ¸ si faptul c˘ a mezonii corespunz˘ atori combi nat ¸iilor de mai sus,
pentru momentul orbital l=0, pot avea spinul ﬁe zero ﬁe egal c u unitatea ¸ si
vor avea paritate negativ˘ a. Se obt ¸in astfel 4 mezoni pseud oscalari (I=0) ¸ si
4 mezoni pseudovectori (I=1). Ace¸ sti 8 mezoni, ˆ ımpreun˘ a cu numerele lor
cuantice sunt prezentat ¸i ˆ ın tabelul 2.5. Se constat˘ a c˘ a s-a obt ¸inut tripletul
mezonilorπ(pseudoscalari), tripletul mezonilor ̺(pseudovectori), mezonul
pseudoscalar η¸ si mezonul pseudovector ω, ˆ ın acord cu situat ¸ia experimen-
tal˘ a.
Tabelul 2.5
Conﬁgurat ¸ia IπTTZ S Q/e Denumire Masa
de cuarci (MeV)
u˜d 0−1 +1 0 +1 π+140
1√
2(u˜ u – d ˜d) 0−1 0 0 0 π0135
˜ ud 0−1 -1 0 -1 π−140
1√
2(u˜ u + d ˜d) 0−0 0 0 0 η 549
… … … … … … … …
u˜d 1−1 +1 0 +1 ̺+765±10
1√
2(u˜u−d˜d) 1−1 0 0 0 ̺0776±10
˜ ud 1−1 -1 0 -1 ̺−765±10
1√
2(u˜ u + d ˜d) 1−0 0 0 0 ω 784
… … … … … … … …
u˜ s 0−1/2 +1/2 +1 +1 K+494
d˜ s 0−1/2 -1/2 +1 0 K0498
˜ us 0−1/2 -1/2 -1 -1 K−494
˜ds 0−1/2 +1/2 -1 0˜K0 498
… … … … … … … …
u˜ s 1−1/2 +1/2 +1 +1 K∗+892
d˜ s 1−1/2 -1/2 +1 0 K∗0896
˜ us 1−1/2 -1/2 -1 -1 K∗−892
˜ds 1−1/2 +1/2 -1 0 K∗0896
Mezonii stranii, dar f˘ ar˘ a charm, se construiesc, dup˘ a cu m s-a precizat,
dintr-un cuarc de aromat u sau d ¸ si din cuarcul straniu de aro mat s. Deoarece
pentru ace¸ sti mezoni TZ=±1/2 (a se vedea tabelul 2.3) se obt ¸in dublet ¸i
234

de izospin. Se reproduc astfel mezonii K (tabelul 2.5) ˆ ın ac ord cu datele
experimentale. In mod similar s-ar ﬁ construit ¸ si mezonii c u charm, im-
plicˆ and ˆ ın acest scop cuarcul de aromat c. De exemplu mezon iiD+se obt ¸in
din combinat ¸ia{˜dc}. De asemenea combinat ¸ia {s˜ s}cu I=T=S=Q=0 core-
spunde mezonului η’ de mas˘ a (energetic˘ a) 1019 MeV iar combinat ¸ia {c˜ c}cu
Iπ= 1−corespunde charmoniului de mas˘ a 3095 MeV. In mod similar s- ar
ﬁ putut construi ¸ si mezoni ˆ ın care sunt implicat ¸i ¸ si cuar cii de aromat b ¸ si t.
In continuare vom exempliﬁca modul de construire al barioni lor din
cuarci. Ca ¸ siˆ ın cazul mezonilor prin notat ¸ia simpliﬁcat ˘ a{qqq}vom ˆ ınt ¸elege
singletul barionic de culoare c˘ aruia ˆ ıi corespunde funct ¸ia de stare:
Ψbarion=1√
6(ΨRBG+ ΨBGR+ ΨGRB−ΨGBR−ΨBRG−ΨRGB)
(2.223)
A¸ sadar, prin notat ¸ia {uuu}vom ˆ ınt ¸elege singletul de culoare barionic ˆ ın
care cuarcii de aromat u au astfel combinate culorile (relat ¸ia (2.223) ˆ ıncˆ at
s˘ a se obt ¸in˘ a culoarea alb˘ a.
Barionii nestranii ¸ si f˘ ar˘ a charm se construiesc din cuar cii de aromat u ¸ si d.
Sunt posibile urm˘ atoarele combinat ¸ii {uuu},{uud},{udd}¸ si{ddd}c˘ arora le
corespund valorile TZ=3/2, 1/2, -1/2, -3/2. Se pune problema determin˘ arii
izospinului T ¸ si a spinului I corespunz˘ ator acestor combi nat ¸ii. Pentru sta-
bilirea acestor valori s˘ a facem observat ¸ia c˘ a funct ¸ia d e stare a barionilor este
simetric˘ a fat ¸˘ a de operat ¸ia de permutare a cuarcilor ¸ si ca atare dac˘ a funct ¸ia
de stare este simetric˘ a pentru coordonatele de spin ea treb uie s˘ a ﬁe simetri-
c˘ a ¸ si fat ¸˘ a de coordonatele de izospin; reciproca este de asemenea adev˘ arat˘ a.
Astfel pentru combinat ¸ia {uuu}cuTZ=3/2 ¸ si deci T≥3/2 funct ¸ia este
simetric˘ a pe coordonatele de izospin. Deoarece numai valo area I=3/2 (tot ¸i
spinii sunt paraleli) corespunde unei funct ¸ii simetrice p e coordonatele de spin
rezult˘ a c˘ a combinat ¸ia {uuu}are valorile I=T=3/2, sarcina Q=2e ¸ si stranei-
tatea S=0; aceste valori corespund particulei ∆++(1232 MeV). Similar stau
lucrurile ¸ si ˆ ın cazul combinat ¸iei {ddd}care are I=T=3/2 ¸ si TZ=-3/2 ¸ si care
corespunde barionului ∆−(1232 MeV). Ceva mai complicat stau lucrurile
ˆ ın cazul combinat ¸iilor {uud}¸ si{udd}de proiect ¸ie TZ= +1/2 ¸ si, respec-
tiv,TZ=−1/2. In cazul combinat ¸iei {uud}perechea{uu}are, conform
celor precizate mai sus, valorile I=T=1. Prin combinat ¸ia a cestei perechi cu
cuarcul de aromat d, de spin 1/2, spinul ˆ ıntregii combinat ¸ ii va ﬁ 1/2 sau
3/2. Din considerente de simetrie, spinului 1/2 ar trebui s˘ a-i corespund˘ a
T=1/2 iar spinului 3/2 ˆ ıi va corespunde T=3/2. In primul caz se obt ¸ine
protonul (I=T=1/2) iar ˆ ın cel˘ alalt caz se obt ¸ine barionu l ∆+(I=T=3/2).
Procedˆ andu-se ˆ ın mod similar ¸ si ˆ ın celelalte cazuri, di n cuarcii de aromat u,
235

d ¸ si s se obt ¸in barionii prezentat ¸i ˆ ın tabelul 2.6
Tabelul 2.6
Conﬁgurat ¸ia Conﬁgurat ¸ia I T TZS Q/e Denumire Masa
de cuarci spinilor (MeV)
uuu↑↑↑ 3/2 3/2 3/2 0 2 ∆++(1232) 1232
… … … … … … … … …
uud↑↑↓ 1/2 1/2 1/2 0 1 p 938
↑↑↑ 3/2 3/2 1/2 0 1 ∆+(1232) 1236
… … … … … … … … …
udd↑↓↓ 1/2 1/2 -1/2 0 0 n 940
↓↓↓ 3/2 3/2 -1/2 0 0 ∆0(1232) 1236
… … … … … … … … …
ddd↓↓↓ 3/2 3/2 -3/2 0 -1 ∆−(1232) 1241
… … … … … … … … …
uus↑↑↑ 3/2 1 1 -1 1 Σ+(1385) 1383
↑↑↓ 1/2 1 1 -1 1 Σ+1189
… … … … … … … … …
uds↑↑↑ 3/2 1 0 -1 0 Σ0(1385) 1385
↑↑↓ 1/2 1 0 -1 0 Σ01192
↑↓↑ 1/2 0 0 -1 0 Λ 1116
… … … … … … … … …
dds↓↓↑ 1/2 1 -1 -1 -1 Σ−1197
↓↓↓ 3/2 1 -1 -1 -1 Σ−(1385) 1386
… … … … … … … … …
uss↑↑↑ 3/2 1/2 1/2 -2 0 Ξ0(1530) 1529
↓↑↑ 1/2 1/2 1/2 -2 0 Ξ01315
… … … … … … … … …
dss↓↑↑ 1/2 1/2 -1/2 -2 -1 Ξ−1321
↑↑↑ 3/2 1/2 -1/2 -2 -1 Ξ−(1530) 1534
… … … … … … … … …
sss↑↑↑ 3/2 0 0 -3 -1 Ω−1672
Un caz aparte ˆ ıl prezint˘ a combinat ¸ia {sss}de spin 3/2, T=0, Q=-e ¸ si
S=-3. Aceste numere cuantice corespund barionului Ω−de mas˘ a≈1672MeV.
Este cazul s˘ a preciz˘ am c˘ a aceast˘ a particul˘ a a fost init ¸ial prezis˘ a teoretic
de Gell-Mann ¸ si apoi descoperit˘ a experimental. Este inst ructiv s˘ a repro-
ducem rat ¸ionamentul lui Gell-Mann pentru prezicerea aces tei particule ¸ si a
numerelor ei cuantice. La timpul respectiv (anii 1963-1964 ) Gell-Mann a
236

Figura 2.16
Ordonarea barionilor de spin egal cu 3/2 ˆ ın funct ¸ie de proi ect ¸ia
TZa izospinului ¸ si de num˘ arul cuantic de hipersarcin˘ a Y
ordonat barionii prezentat ¸i ˆ ın tabelulu 2.6 ˆ ın grupe ˆ ın care diferit ¸i mem-
brii ai grupei difer˘ a numai prin proiect ¸ia TZa izospinului ¸ si prin num˘ arul
cuantic de hipersarcin˘ a Y, deﬁnit ˆ ın (2.192); toate celel alte numere cuantice
ale membrilor dintr-o grup˘ a ﬁind identice. In ﬁgura 2.16 su nt prezentat ¸i, ˆ ın
planul (Y,TZ) barionii din tabelul 2.6 de spin egal cu 3/2, adic˘ a barioni i ˆ ın
care cuarcii component ¸i au spini paraleli.
La vremea respectiv˘ a tot ¸i barionii din ﬁgura 2.16, cu exce pt ¸ia barionului
Ω−, erau cunoscut ¸i. Din motive de simetrie Gell-Mann a presup us c˘ a tre-
buie s˘ a existe un barion situat ˆ ın vˆ arful piramidei, deci un barion cu Y=-2
(¸ si deci S=-3) ¸ si TZ=0 ¸ si, ﬁre¸ ste, I=3/2. Pentru a prezice masa acestui
barion, Gell-Mann a observat c˘ a diferent ¸a de mas˘ a ˆ ıntre barionii cunoscut ¸i,
cu ∆Y=±1 este ˆ ın jur de 146 MeV (a se vedea ﬁgura 2.16). In consecint ¸ ˘ a
a presupus c˘ a barionul necunoscut, pe care l-a numit Ω−, trebuie s˘ a aibe
masa ˆ ın jur de 1675 MeV, adic˘ a cu 146 MeV mai mult decˆ at bari onii Ξ0sau
Ξ−; aceast˘ a valoare a fost conﬁrmat˘ a ulterior experimental cu o uimitoare
precizie. Este, consider˘ am, o ilustrare elocvent˘ a a modu lui ˆ ın care modelul
de cuarc a permis, ¸ si permite, ”prezicerea” unor particule care n-au fost
ˆ ınc˘ a descoperite experimental. In acest sens este de pres upus c˘ a barionii cu
charm, prezi¸ si de modelul de cuarc, vor ﬁ descoperit ¸i ˆ ınt r-un viitor apropiat
la fel cum au fost descoperit ¸i ¸ si mezonii cu charm, prezi¸ s i ¸ si ei la timpul
respectiv de modelul de cuarc.
237

Din cele prezentate mai sus a reie¸ sit modul elegant ¸ si como d de construire
a hadronilor din cuarci cˆ at ¸ si posibilitatea modelului de a ”prezice” noi
particule. Fire¸ ste, modelul cuarc nu se rezum˘ a numai la ac este posibilit˘ at ¸i.
O analiz˘ a detaliat˘ a (care dep˘ a¸ se¸ ste cu mult scopul ace stei lucr˘ ari) ar releva
faptul c˘ a modelul de cuarc ar permite ¸ si descrierea propri et˘ at ¸ilor particulelor
elementare privind modul lor de dezintegrare, mecanismul l or de interact ¸ie,
etc. In rezumat, o astfel de analiz˘ a ar ar˘ ata c˘ a majoritat ea rezultatelor
experimentale pot ﬁ unitar ¸ si corect interpretate ˆ ın lumi na modelului de
cuarc. Este ¸ si motivul pentru care modelul de cuarc este acc eptat ˆ ın lumea
ﬁzicienilor considerˆ andu-se c˘ a cuarcii, ﬁe ei ¸ si numai ” teoretici” sunt la fel
de important ¸i ca ¸ si cuarcii ”reali”.
Desigur, de¸ si modelul de cuarc este unanim acceptat, o seri e deˆ ıntreb˘ ari
ˆ ı¸ si a¸ steapt˘ a ˆ ınc˘ a r˘ aspunsul. Se pun ˆ ın mod ﬁresc ˆ ın treb˘ arile: de ce hadronii
cunoscut ¸i pˆ an˘ a-n prezent sunt constituit ¸i numai din si nglet ¸i de culoare de
forma{q˜ q}¸ si{qqq},ˆ ın care cuarcii se g˘ asescˆ ın starea de mi¸ scare relativ˘ a de
moment orbital l=0? Exist˘ a un principiu fundamental care i nterzice st˘ arile
libere de culoare diferit˘ a de ”culoarea alb˘ a”? Exist˘ a ha droni ¸ siˆ ın st˘ ari cu l/ne}ationslash=
0? Exist˘ a hadroni construit ¸i din combinat ¸ii mai complic ate de tipul{q˜ qq˜ q}
(dimezonul),{qqqq˜ q}(mezobarionul),{qqqqqq}(dibarionul), etc.? Dac˘ a
exist˘ a, ce propriet˘ at ¸i au ace¸ sti hadroni? Desigur ˆ ınt reb˘ arile pot continua; ne
limit˘ amˆ ın a preciza c˘ a deja experimental s-au descoperi t multiplet ¸i mezonici
¸ si barionici cu l/ne}ationslash= 0 cˆ at ¸ si hadroni ”exotici” de izospin T=5/2 care ar putea
ﬁ interpretat ¸i ca un mezobarion. Este bine s˘ a subliniem fa ptul c˘ a ¸ si aceste
date experimentale, s˘ arace deocamdat˘ a, pot ﬁ de asemenea interpretate ˆ ın
cadrul modelului de cuarc.
Un alt gen deˆ ıntreb˘ ari se refer˘ a la cuantele cˆ ampului de culoare – gluonii.
Deoarece gluonii au culoare ¸ si anticuloare ei pot forma sin glet ¸i de culoare ¸ si
ca atare ar trebui s˘ a existe o stare stabil˘ a, liber˘ a a gluo nului (numit˘ a ”glue-
ball”) detectabil˘ a experimental. De asemenea singlet ¸ii de culoare format ¸i de
sistemul gluon-gluon ar trebui, de asemenea, s˘ a ﬁe descope rit ¸i experimen-
tal. Se ajunge ﬁresc la ˆ ıntrebarea, pus˘ a ¸ si pentru cuarci : gluonii exist˘ a ˆ ın
realitate ?
Dac˘ a cuarcii ca ¸ si gluonii exist˘ a ˆ ın realitate nu s-ar pu tea ca ¸ si ace¸ stia,
la rˆ andul lor, s˘ a ﬁe constituit ¸i din alte entit˘ at ¸i, s˘ a le numim ”subcuarci”?
Aceast˘ a idee s-a bucurat de succes ˆ ın ultima vreme nu dator it˘ a unor dovezi
experimentale (care s˘ a evident ¸ieze o structur˘ a oarecar e a cuarcilor) ci nu-
mai din dorint ¸a ﬁzicienilor de a simpliﬁca lumea material˘ a. Intr-adev˘ ar,
introducerea num˘ arului cuantic de culoare a f˘ acut ca num˘ arul cuarcilor s˘ a
se tripleze, s˘ a creasc˘ a la 18. Dac˘ a la ace¸ stia ad˘ aug˘ am ¸ si cei 18 anticuarci
se ajunge la concluzia c˘ a ”sistemul periodic” al entit˘ at ¸ ilor elementare (a se
238

vedea tabelul 2.4) a devenit din nou destul de ˆ ınc˘ arcat. Do rint ¸a de a avea
un num˘ ar limitat de entit˘ at ¸i elementare a stimulat ca ata re ideea existent ¸ei
”subcuarcilor”. Au ap˘ arut diferite modele ¸ si denumiri pe ntru subcuarci ca:
preoni, alfoni, rishoni, haploni, etc. S˘ a observ˘ am c˘ a me rgˆ and pe aceea¸ si idee
s-ar putea considera c˘ a ¸ si subcuarcii, la rˆ andul lor, ar p utea ﬁ construit ¸i din
sub-subcuarci, s.a.m.d. Fire¸ ste, subcuarcii sau sub-sub cuarcii s-ar putea s˘ a
existe ¸ si s˘ a ﬁe foarte important ¸i din punct de vedere teor etic ˆ ın stabilirea
”legilor fundamentale” care stau la baza tuturor legilor ¸ s i fenomenelor na-
turii. Din punct de vedere practic ˆ ıns˘ a, relevarea acesto r subcuarci expe-
rimental, ˆ ın sensul deﬁnit ¸iei unei particule compuse exp rimat˘ a de relat ¸iile
(2.134)÷(2.136) este imposibil˘ a dup˘ a cum se poate constata din inf ormat ¸iile
furnizate de tabelul 2.7, ˆ ın care, ˆ ın ultima coloan˘ a este dat raportul dintre
energia de leg˘ atur˘ a a constituentului ¸ si energia sa de re paus. Dac˘ a ˆ ın cazul
moleculei ¸ si nucleului energia de separare a atomului, res pectiv, a hadronu-
lui, ˆ ındepline¸ ste condit ¸ia (2.135), aceast˘ a condit ¸i e este la limit˘ a ˆ ın cazul
hadronilor constituit ¸i din cuarci ¸ si, irealizabil˘ a ˆ ın cazul constituent ¸ilor cuar-
cilor. Cu alte cuvinte la nivelul subcuarcilor, dac˘ a ei exi st˘ a, interact ¸ia este
atˆ at de puternic˘ a ˆ ıncˆ at este f˘ ar˘ a sens s˘ a ˆ ıncerc˘ am punerea lor ˆ ın evident ¸˘ a.
A¸ sadar, dac˘ a dorim s˘ a r˘ amˆ anem la ”modele palpabile” ex perimental tre-
buie s˘ a r˘ amˆ anem la modele de tip cuarc sau modele alternat ive dar care
s˘ a r˘ amˆ an˘ a la acela¸ si nivel de structur˘ a ca ¸ si modelul de cuarc. Trebuie s˘ a
preciz˘ am c˘ a astfel de modele alternative exist˘ a ˆ ıns˘ a m odelul de cuarc prin
simplitatea sa, prin elegant ¸a ¸ si unitaritatea sa este de p referat tuturor celor-
lalte modele. Desigur, descoperirea experimental˘ a a cuar cilor ar constitui o
str˘ alucit˘ a conﬁrmare a acestui model.
Tabelul 2.7
Unitatea Constituent ¸ii Energia de leg˘ atur˘ a ( mc2)
molecula atomii 10−10
nucleul hadronii 10−2
hadronul cuarcii ∼1
cuarc subcuarci ≫1
2.5.3 Not ¸iuni introductive privind uniﬁcarea fort ¸elor d in natur˘ a
In ˆ ıncheierea acestui capitol consider˘ am c˘ a este util˘ a o scurt˘ a trecere ˆ ın
revist˘ a a tendint ¸elor actuale privind uniﬁcarea interac t ¸iilor ce se manifest˘ a
ˆ ın natur˘ a ˆ ıntr-o singur˘ a interact ¸ie fundamental˘ a.
A¸ sa dup˘ a cum s-a mai precizat interact ¸ia electromagneti c˘ a este corect
239

descris˘ a de electrodinamica cuantic˘ a (QED). Se poate aﬁr ma c˘ a teoria QED
este o teorie terminat˘ a, cu rezultate ﬁzice, ﬁnite ¸ si univ oce, care sunt ˆ ın
acord foarte bun cu datele experimentale. Tocmai de aceea te oriile privind
celelalte tipuri de interact ¸ie s-au dezvoltat ¸ si se dezvo lt˘ a prin analogie cu teo-
ria QED. A¸ sa s-a dezvoltat ¸ si cromodinamica cuantic˘ a (QC D), dup˘ a cum
s-a ar˘ atat ˆ ın acest capitol. Cuantele de schimb ˆ ın QED sun t fotonii, bozoni
de mas˘ a zero ¸ si de spin egal cu unitatea. Gluonii, cuantele cˆ ampului de
culoare, sunt bozoni de mas˘ a zero ¸ si spin egal cu unitatea. Este semniﬁcativ
faptul c˘ a ˆ ın teoria QCD se introduce ipoteza (libertatea a simptotic˘ a) con-
form c˘ areia la distant ¸e foarte mici cuarcii practic nu int eract ¸ioneaz˘ a prin
intermediul gluonilor comportˆ andu-se ca ¸ si particule li bere. Pentru astfel
de distant ¸e teoriile QED ¸ si QCD sunt similare; de fapt pent ru astfel de
distant ¸e formalismul QED este ”transferat” cromodinamic ii cuantice. Dar
faptul c˘ a cele dou˘ a teorii sunt similare la distant ¸e foar te mici nu este oare o
dovad˘ a c˘ a interact ¸ia electromagnetic˘ a ¸ si cea nuclear ˘ a (tare) sunt de aseme-
nea similare la aceste distant ¸e? In ipoteza c˘ a teoriile su nt corecte r˘ aspunsul
nu poate ﬁ decˆ at aﬁrmativ. Se ajunge astfel la concluzia c˘ a la distant ¸e
foarte mici fort ¸ele nucleare ¸ si cele electromagnetice au practic aceea¸ si in-
tensitate. Pe de alt˘ a parte, faptul c˘ a la distant ¸e mari, d e ordinul 10−15m
fort ¸ele nucleare devin mult mai puternice decˆ at cele elec tromagnetice suge-
reaz˘ a ideea c˘ a ”constanta” de cuplaj αN, deﬁnit˘ a ˆ ın relat ¸ia (2.113), nu este
de fapt o ”constant˘ a” ci o m˘ arime ce variaz˘ a foarte putern ic cu distant ¸a din-
tre cuarci. Cromodinamica cuantic˘ a stabile¸ ste o relat ¸i e matematic˘ a pentru
dependent ¸a m˘ arimii αNde distant ¸a dintre cuarci. Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a
pentru distant ¸e de ordinul 10−31m m˘ arimea αNare valoarea de cca. 6 10−3
(1/156) adic˘ a este practic egal˘ a cu constanta de cuplaj αEdeﬁnit˘ a de relat ¸ia
(2.112). A¸ sadar, pentru astfel de distant ¸e (ceea ce ar cor espunde energiei
de≈1015GeV (!?) pentru o eventual˘ a ”sond˘ a” a materiei) fort ¸ele n ucleare
sunt practic egale cu cele electromagnetice; are loc ”uniﬁc area” lor la aceste
distant ¸e. Se ˆ ıntrevede astfel posibilitatea ”marii uniﬁ c˘ ari” a fort ¸elor nucle-
are, electromagnetice ¸ si slabe. Facem aceast˘ a aﬁrmat ¸ie pentru motivul c˘ a
grat ¸ie lucr˘ arilor lui Glashow, Salam ¸ si Weinberg, ”mica uniﬁcare” a fort ¸elor
slabe cu cele electromagnetice a fost deja realizat˘ a (acea st˘ a problem˘ a va ﬁ
abordat˘ aˆ ın partea a II-a a lucr˘ ariiˆ ın cadrul dezintegr ˘ arilorβ). Dac˘ a avemˆ ın
vedere c˘ a unele ”speculat ¸ii” teoretice indic˘ a faptul c˘ a la distant ¸e de ordinul
10−36m ¸ si intensitatea fort ¸elor gravitat ¸ionale devine egal˘ a cu a celorlalte
fort ¸e rezult˘ a c˘ a se ˆ ıntrevede posibilitatea ”uniﬁc˘ ar ii” tuturor fort ¸elor ˆ ıntr-o
singur˘ a fort ¸˘ a fundamental˘ a, responsabil˘ a pentru toa te fenomenele naturii.
Uniﬁcarea tuturor fort ¸elor ar ˆ ınsemna cea mai mare realiz are a ¸ stiint ¸ei.
240

Incredereaˆ ın existent ¸a unor fort ¸e unice care guverneaz ˘ a ansam-
blul interact ¸iilor din natur˘ a are la baz˘ a urm˘ atoarea id ee: ﬁec˘ arui
cˆ amp de fort ¸e ˆ ıi este asociat˘ a o structur˘ a special˘ a a s pat ¸iului
¸ si timpului. Existent ¸a diferitelor cˆ ampuri de fort ¸e ar ˆ ınsemna
existent ¸a unor structuri diferite ale spat ¸iului ¸ si timp ului. Este
evident c˘ a conceptual este mult mai simplu s˘ a accept˘ am id eea
existent ¸ei unei singure structuri a spat ¸iului ¸ si timpul ui ¸ si de aici,
existent ¸a unui singur cˆ amp de fort ¸e din care s˘ a derive to ate cele-
lalte cˆ ampuri.
Istoria ﬁzicii este ¸ si istoria c˘ aut˘ arii permanente a for t ¸elor
unice care guverneaz˘ a lumea material˘ a. Prima uniﬁcare ap art ¸ine
lui Newton care a identiﬁcat ¸ si a uniﬁcat gravitat ¸ia teres tr˘ a cu
gravitat ¸ia cereasc˘ a. Urm˘ atoarea uniﬁcare semniﬁcativ ˘ a a fost re-
alizat˘ a de Maxwell care a uniﬁcat fort ¸ele electrice cu cel e magne-
tice generˆ and astfel electromagnetismul. A urmat Einstei n care
a uniﬁcat conceptul de spat ¸iu cu cel de timp demonstrˆ and ˆ ı n
acela¸ si timp c˘ a gravitat ¸ia Newtonian˘ a este o manifesta re a aces-
tei uniﬁc˘ ari ˆ ın sensul c˘ a gravitat ¸ia se manifest˘ a prin tr-o cur-
bur˘ a a variet˘ at ¸ii uniﬁcate spat ¸iu-timp. S˘ a subliniem faptul c˘ a
aceste uniﬁc˘ ari au ˆ ınsemnat progrese considerabile ˆ ın ﬁ zic˘ a, ˆ ın
particular, ¸ si ˆ ın ¸ stiint ¸˘ a ˆ ın general. Astfel electro magnetismul a
avut, ¸ si are, multe consecint ¸e practice (f˘ ar˘ a de care ci vilizat ¸ia
modern˘ a nici n-ar putea ﬁ conceput˘ a) ¸ si fundamentale iar con-
ceptul de spat ¸iu-timp dinamic a dus la progrese spectaculo ase
ˆ ın cosmologie, prezicˆ and, de exemplu, expansiunea Unive rsului,
existent ¸a radiat ¸iei ”relicve” de 3K (radiat ¸ia de 3K desc operit˘ a ˆ ın
anul 1965 de Perzias ¸ si Wilson constituie o dovad˘ a a Big-Ba ng-
ului ¸ si a expansiunii Universului), etc. S˘ a preciz˘ am ¸ si faptul c˘ a
Einstein a crezut ¸ si a ˆ ıncercat ¸ si uniﬁcarea electromagn etismu-
lui lui Maxwell cu gravitat ¸ia lui Newton, considerˆ and c˘ a elec-
tromagnetismul ar ﬁ manifestarea altei propriet˘ at ¸i geom etrice a
variet˘ at ¸ii spat ¸iu-timp. In alte cuvinte el a vrut s˘ a uni ﬁce sarcina
electric˘ a cu cea gravitat ¸ional˘ a ˆ ıntr-o singur˘ a entit ate. Desigur
ˆ ıntrebarea care se pune pentru a realiza aceast˘ a uniﬁcare este
urm˘ atoarea: dac˘ a curbura geometric˘ a a spat ¸iului ¸ si ti mpului este
asociat˘ a gravitat ¸iei, care este ”geometria” asociat˘ a e lectromag-
netismului ¸ si, ca s˘ a ajungem ˆ ın prezent, cˆ ampului de cul oare?
La aceast˘ a ˆ ıntrebare dou˘ a r˘ aspunsuri sunt posibile:
a)se postuleaz˘ a c˘ a gravitat ¸ia este asociat˘ a cu geometria ”grosier˘ a”
241

a variet˘ at ¸ii spat ¸iu-timp pe cˆ and la o scar˘ a mai ﬁn˘ a exi st˘ a o
topologie mai complex˘ a asociat˘ a celorlalte cˆ ampuri.
b)se introduc mai multe dimensiuni spat ¸iului, ﬁec˘ arei dime nsi-
uni asociindu-se ulterior o ”sarcin˘ a” speciﬁc˘ a ﬁec˘ arui cˆ amp
(de exemplu, culoarea ˆ ın cazul cˆ ampului nuclear).
In esent ¸˘ a se poate spune c˘ a a¸ sa cum Maxwell a ar˘ atat c˘ a ” aparenta”
distinct ¸ie dintre electricitate ¸ si magnetism depinde de faptul dac˘ a
sarcina electric˘ a este stat ¸ionar˘ a sau ˆ ın mi¸ scare tot a stfel se sper˘ a
ˆ ın prezent c˘ a fort ¸ele din natur˘ a sunt fat ¸ete diferite a le unei sin-
gure fort ¸e.
242

Capitolul 3
MODELE NUCLEARE DE
STRUCTUR ˘A
3.1 Clasiﬁcarea modelelor nucleare
In capitolul doi s-a studiat ˆ ın detaliu fort ¸ele de interac t ¸ie dintre doi nucle-
oni, remarcˆ andu-se faptul c˘ a acestea nu sunt cu exactitat e cunoscute. Este
evident c˘ a extinderea acestei probleme la problema fort ¸e lor nucleare dintre
A nucleoni ce formeaz˘ a nucleul atomic este deosebit de comp lex˘ a ¸ si – dup˘ a
cum vom ar˘ ata – principial nerezolvabil˘ a.
In primul rˆ and s˘ a remarc˘ am faptul c˘ a nu ¸ stim aproape nim ic despre
fort ¸ele ce se exercit˘ a ˆ ıntre 3, 4, etc. nucleoni ¸ si ca ata re suntem nevoit ¸i s˘ a
consider˘ am c˘ a interact ¸ia dintre cei A nucleoni se realiz eaz˘ a prin intermediul
fort ¸elor binucleonice. In consecint ¸˘ a, operatorul ener giei potent ¸iale VApentru
nucleul cu A nucleoni se deﬁne¸ steˆ ın funct ¸ie de operatoru l energiei potent ¸iale
Vijdintre nucleonul i ¸ si nucleonul j prin relat ¸ia:
VA=/summationdisplay
i<jVij;i,j= 1,2,…A (3.1)
Subliniem ˆ ınc˘ a o dat˘ a faptul c˘ a de¸ si majoritatea datel or experimentale
pledeaz˘ a pentru ideea c˘ a interact ¸ia dintre doi nucleoni este dominant˘ a pen-
tru sistemul de A nucleoni, relat ¸ia (3.1) este totu¸ si o apr oximat ¸ie. Dac˘ a
admitem ˆ ıns˘ a c˘ a relat ¸ia (3.1) este exact˘ a, vom face rem arca c˘ a operatorul
Vijnu este foarte bine cunoscut nici chiar la energii de interac t ¸ie mai mici
de 350 MeV. In plus, acest operator este dedus, ˆ ın esent ¸˘ a, din interact ¸ia
nucleonilor liberi, a¸ sa ˆ ıncˆ at se pune ˆ ıntrebarea: oare operatorul Vijpentru
doi nucleoni liberi este identic cu operatorul pentru doi nu cleoni ce se g˘ asesc
243

ˆ ın nucleul cu A nucleoni ˆ ın interact ¸ie? La aceast˘ a ˆ ıntr ebare nu se poate da
ˆ ın prezent un r˘ aspuns conving˘ ator. S˘ a presupunem totu¸ si c˘ a r˘ aspunsul este
aﬁrmativ ¸ si c˘ a relat ¸ia (3.1) este exact˘ a. In acest caz st ˘ arile Ψ(1,2,3,…,A),
care permit deducerea propriet˘ at ¸ilor nucleului cu A nucl eoni, sunt solut ¸iile
ecuat ¸iei Schr¨ odinger:
¯h2
2µ/summationdisplay
i∆iΨ(1,2,…,A)+/summationdisplay
i<jVijΨ(1,2,…,A) =EΨ(1,2,…,A) ;i,j= 1,…,A
(3.2)
Determinarea funct ¸iilor Ψ(1 ,2,…,A) ¸ si a energiilor proprii este condit ¸i-
onat˘ a de posibilitatea rezolv˘ arii efective a ecuat ¸iei ( 3.2), care implic˘ a mai
multe corpuri (nucleoni). Deoarece problema cu mai mult de t rei corpuri
nu poate ﬁ, principial, rezolvat˘ a exact, rezult˘ a c˘ a ecua t ¸ia (3.2) se poate
rezolva numai prin introducerea unor ipoteze suplimentare , cˆ at mai simple
din punct de vedere matematic ¸ si cˆ at mai intuitive din punc t de vedere
ﬁzic. Se obt ¸in astfel ”modelele nucleare”, folosite ˆ ın ﬁz ica nuclear˘ a pentru
descrierea sistemelor de mai mult ¸i nucleoni aﬂat ¸i ˆ ın int eract ¸ie.
Modelele nucleare care studiaz˘ a st˘ arile de nucleoni ce ap ar ˆ ın spectrul
discret se numesc modele nucleare de structur˘ a, pe cˆ and ce le ce studiaz˘ a
st˘ arile de nucleoni din continuu se numesc modele (mecanis me) de interact ¸ie.
In acest capitol vom aborda succint – ¸ si cˆ at mai calitativ p osibil – modelele
nucleare de structur˘ a.
Un model de structur˘ a trebuie s˘ a satisfac˘ a cel put ¸in urm ˘ atoarele dezi-
derate:
1. S˘ a descrie propriet˘ at ¸ile nucleelor, ˆ ın primul rˆ and momentele cinetice
de spin, momentele electrice ¸ si magnetice, etc.,ˆ ın st˘ ar ile fundamentale.
2. S˘ a descrie st˘ arile excitate ale nucleelor, ˆ ın primul r ˆ and spectrul ener-
getic al st˘ arilor excitate ¸ si propriet˘ at ¸ile acestora c a spin, paritate, etc.
3. S˘ a descrie propriet˘ at ¸ile dinamice, ca timpul mediu de viat ¸˘ a, probabi-
litatea de emisie γsau – dac˘ a este cazul – a dezintegr˘ arilor β±,α, etc.
pentru st˘ arile excitate ale nucleelor.
Din cauza diﬁcult˘ at ¸ilor semnalate mai sus nu exist˘ a un mo del care s˘ a
satisfac˘ a ˆ ın totalitate dezideratele enunt ¸ate. Nu exis t˘ a nici m˘ acar un model
care s˘ a descrie satisf˘ ac˘ ator toate propriet˘ at ¸ile unu i grup limitat de nuclee
sau chiar ale unui singur nucleu. Ca urmare s-au elaborat mai multe mo-
dele, ﬁecare ﬁind construit ˆ ın ipoteza c˘ a unele propriet˘ at ¸i ale nucleului sunt
fundamentale iar celelalte sunt secundare. De aceea ﬁecare model poate ﬁ
244

folosit numai limitat, pentru descrierea anumitor proprie t˘ at ¸i ale unui grup
restrˆ ans de nuclee.
Ipotezele care stau la baza diferitelor modele se refer˘ a, ˆ ın general, la
ideea c˘ a exist˘ a un set de grade de libertate ale nucleului ˆ ıntre care exist˘ a o
interact ¸ie neglijabil˘ a ¸ si care interact ¸ioneaz˘ a slab cu celelalte grade de liber-
tate ale nucleului. Gradele de libertate ale nucleului seˆ ı mpart, ˆ ın mod natu-
ral, ˆ ın grade de libertate uniparticul˘ a (uninucleonice) care descriu mi¸ scarea
individual˘ a a particulelor (nucleonilor) ¸ si grade de lib ertate colective care
descriu mi¸ scarea corelat˘ a a nucleonilor. Corespunz˘ ato r acestor grade de
libertate, modelele se ˆ ımpart ˆ ın dou˘ a mari categorii:
a)Modele de particule (nucleoni) independente ˆ ın care se pre supune c˘ a
ˆ ıntr-o prim˘ a aproximat ¸ie nucleonii se mi¸ sc˘ a independ ent ˆ ıntr-un cˆ amp
atractiv selfconsistent comun. Aceast˘ a mi¸ scare indepen dent˘ a corelat˘ a
cu condit ¸ia c˘ a nucleonii se supun statisticii Fermi-Dira c, conduce la
o structur˘ a ˆ ın p˘ aturi a nucleonilor ˆ ın nucleu ¸ si ca atar e modelele de
acest fel se numesc ”modele de p˘ aturi”.
b)Modelele ˆ ın care mi¸ scarea nucleonilor este corelat˘ a ¸ si ca atare nucleul
este privit ca un ”mediu continuu”. In consecint ¸˘ a nucleul ui i se aso-
ciaz˘ a not ¸iuni speciﬁce mediilor continue ca: suprafat ¸˘ a, temperatur˘ a,
drum liber mediu ¸ si chiar stare de agregare (lichid nuclear , rigid ¸ si
chiar stare de gaz). Apar astfel gradele de libertate colect ive asociate
mi¸ sc˘ arii de vibrat ¸ie (oscilat ¸ie) a suprafet ¸ei nuclea re (dac˘ a nucleul este
asimilat cu un lichid) sau mi¸ sc˘ arii de rotat ¸ie a nucleulu i privit ca un
rigid deformat. Aceste modele se numesc ”colective”. Este c azul s˘ a
subliniem ideea c˘ a folosireaˆ ın cadrul acestor modele a no t ¸iunilor tipice
mediilor continue trebuie f˘ acut˘ a cu mult˘ a prudent ¸˘ a. A stfel folosirea
not ¸iunii de suprafat ¸˘ a ˆ ın cazul lichidului sau solidulu i semniﬁc˘ a faptul
c˘ a num˘ arul particulelor care apart ¸in suprafet ¸ei este n esemniﬁcativ de
mic fat ¸˘ a de num˘ arul total de particule. Aceast˘ a condit ¸ ie evident nu
este ˆ ındeplinit˘ a ˆ ın cazul nucleului; chiar ¸ si pentru nu cleele grele nu-
cleonii care apart ¸in ”suprafet ¸ei nucleare” reprezint˘ a aproape jum˘ atate
din num˘ arul total de nucleoni. De asemeni, folosirea not ¸i unii de par-
curs mediu,ˆ ın sensul utilizat pentru mediile continue, po ate conduce la
contradict ¸ii serioase ˆ ın cazul nucleului. Astfel, din pu nct de vedere al
mediilor continue, efectele colective se manifest˘ a dac˘ a parcursul liber
mediu al ﬁec˘ arei particule este mult mai mic decˆ at dimensi unile sis-
temului. Acceptˆ and aceast˘ a deﬁnit ¸ie ¸ si ˆ ın cazul nucle elor suntem ˆ ın
contradict ¸ie evident˘ a cu modelele bazate pe mi¸ scarea in dependent˘ a a
245

particulelor deoarece, ˆ ın acord cu aceea¸ si terminologie a mediilor con-
tinue, presupun existent ¸a unui parcurs liber mediu al ﬁec˘ arei particu-
le mult mai mare decˆ at dimensiunile sistemului (nucleului ). Aceast˘ a
contradict ¸ie a ap˘ arut deoarece s-a folosit not ¸iune de pa rcurs ˆ ın sensul
”strict clasic”. In realitate ˆ ın nucleu not ¸iunea de parcu rs nu are sens
din cel put ¸in urm˘ atoarele dou˘ a motive:
1. Nucleul cont ¸ine put ¸ine particule (nucleoni) a¸ sa ˆ ınc ˆ at nu poate ﬁ
tratat ca un mediu continuu.
2. Mi¸ scarea particulelor ˆ ın nucleu este un proces cuantic ˆ ın care
lungimea de und˘ a de Broglie a ﬁec˘ arui nucleon este compara bil˘ a
cu dimensiunea nucleului.
Din discut ¸ia de mai sus rezult˘ a grija necesar˘ a ˆ ın utiliz area not ¸iunilor
clasice ˆ ın ceea ce prive¸ ste nucleul, ˆ ın caz contrar se aju nge la concluzia
c˘ a cele dou˘ a mari categorii de modele nucleare de structur ˘ a se exclud re-
ciproc. In realitate aceste dou˘ a categorii de modele – de¸ s i au la baz˘ a ipoteze
”extreme” – nu se exclud ci se completeaz˘ a reciproc. In fond cˆ ampul selfcon-
sistent ˆ ın cazul modelelor de particule independente este rezultatul sum˘ arii
tuturor interact ¸iunilor dintre nucleonii sistemului, es te deci un cˆ amp creat
de ”mi¸ scarea corelat˘ a, colectiv˘ a” a tuturor nucleonilo r. Mi¸ scarea nucle-
onilor poate duce la modiﬁcarea cˆ ampului selfconsistent i ar aceast˘ a modi-
ﬁcare poate avea consecint ¸e asupra mi¸ sc˘ arii (independe nte) a nucleonilor.
Modelele precizate mai sus studiaz˘ a ﬁe mi¸ scarea individu al˘ a ﬁe mi¸ scarea
colectiv˘ a f˘ ar˘ a a t ¸ine seama de interdependent ¸a acesto r mi¸ sc˘ ari.
Modelele care iauˆ ın considerare interdependent ¸a celor d ou˘ a mi¸ sc˘ ari, deci
atˆ at gradele de libertate individuale cˆ at ¸ si a celor cole ctive ca ¸ si interact ¸ia
dintre ele se numesc modele ”uniﬁcate” sau ”generalizate”. Aceste modele
ˆ ı¸ si propun o tratare unitar˘ a a nucleului prinˆ ımbinarea armonioas˘ a a laturilor
pozitive ale modelelor de p˘ aturi ¸ si ale celor colective.
3.2 Modelul p˘ aturilor nucleare
3.2.1 Numerele magice
In ﬁzica atomic˘ a s-a stabilit c˘ a electronii atomici se dis punˆ ın p˘ aturi succesive
ˆ ın jurul nucleului iar atomii care au:
2 ; 10 ; 18 ; 36 ; 54 ; 86 (3.3)
electroni sunt deosebit de stabili formˆ and grupa gazelor n obile din sistemul
periodic al elementelor. Aceast˘ a structur˘ a de p˘ aturi st ˘ a la baza explic˘ arii
246

sistemului periodic ¸ si a explic˘ arii periodicit˘ at ¸ii pr opriet˘ at ¸ilor ﬁzice ¸ si chimice
ale elementelor.
Structura de p˘ aturi a atomului se explic˘ a u¸ sor dac˘ a sunt ˆ ındeplinite
urm˘ atoarele condit ¸ii:
1. Mi¸ scarea electronilor este,ˆ ın prim˘ a aproximat ¸ie, o mi¸ scare de particule
(electroni) independente ˆ ın cˆ ampul coulombian central ¸ si atractiv al
nucleului.
2. Interact ¸ia dintre electroni este mic˘ a comparativ cu in teract ¸ia electro-
nilor cu nucleul ¸ si este tratat˘ a ca o perturbat ¸ie.
3. electronii se supun statisticii Fermi-Dirac
Fire¸ ste, aceste condit ¸ii, cel put ¸in la o prim˘ a analiz˘ a , nu sunt ˆ ındeplinite
ˆ ın cazul nucleului. Intr-adev˘ ar, de¸ si nucleonii din nuc leu se supun statis-
ticii Fermi-Dirac, ˆ ın nucleu nu exist˘ a un centru atractiv , analog nucleului ˆ ın
atom, dat ﬁind faptul c˘ a densitatea nucleonilor ˆ ın interi orul nucleului este
practic constant˘ a. In plus, interact ¸ia nucleonilor prin intermediul fort ¸elor
nucleare, care au caracter de saturat ¸ie, este foarte puter nic˘ a. Aceste con-
stat˘ ari nu numai c˘ a nu pledeaz˘ a pentru existent ¸a p˘ atur ilor ˆ ın cazul nucleu-
lui, dar au condus la asimilarea nucleului cu o pic˘ atur˘ a de lichid, deci la un
model ˆ ın care are sens s˘ a vorbim numai de mi¸ scarea colecti v˘ a a nucleonilor.
Cu toate acestea, studiul propriet˘ at ¸ilor statice ¸ si din amice ale nucleului
au ar˘ atat c˘ a ¸ si ˆ ın cazul nucleului exist˘ a o periodicita te legat˘ a de existent ¸a
numerelor de protoni sau de neutroni:
2 ; 8 ; 20 ; 28 ; 50 ; 82 ; 126 (3.4)
numite ¸ si numere magice. Un bogat material experimental ar at˘ a c˘ a nucleele
ce cont ¸in un num˘ ar magic de nucleoni prezint˘ a propriet˘ a t ¸i speciale ¸ si sunt, ca
¸ si atomii gazelor inerte, foarte stabileˆ ın comparat ¸ie c u nucleele din imediata
lor vecin˘ atate. Astfel ˆ ın capitolul 1 s-a remarcat c˘ a nuc leele ce au un num˘ ar
magic de nucleoni au energia de leg˘ atur˘ a anomal de mare com parativ cu
nucleele vecine. Stabilitatea deosebit˘ a a acestor nuclee este conﬁrmat˘ a ¸ si
de abundent ¸a acestora ˆ ın natur˘ a. In ﬁgura 3.1 este reprez entat˘ a abundent ¸a
relativ˘ a ˆ ın natur˘ a a nucleelor par-pare (p-p) ˆ ın funct ¸ ie de num˘ arul total de
nucleoni A, pentru A>50. Curba din ﬁgura 3.1 s-a normat considerˆ andu-
se, arbitrar, c˘ a abundent ¸a nucleelor de Si este 106. Din ﬁgur˘ a rezult˘ a c˘ a cele
mai r˘ aspˆ andite ¸ si foarte probabil cele mai stabile sunt n ucleele cu N=50 ; 82
; 126 ¸ si cele cu Z=50 ca:88
38Sr(N=50),90
40Zr(N=50),120
50Sn(Z=50),138
56Ba
(N=82),140
58Ce(N=82),208
82Pb(Z=82, N=126), etc.
247

Figura 3.1
Abundent ¸a relativ˘ a a nucleelor p-p cu A>50funct ¸ie de num˘ arul
de nucleoni A. Curba s-a normat considerˆ and abundent ¸a
nucleelor de Si de 106
Figura 3.2
Num˘ arul de izotopi stabili ˆ ın funct ¸ie de num˘ arul de prot oni Z
248

Figura 3.3
Num˘ arul de izotoni stabili ˆ ın funct ¸ie de num˘ arul de neut roni N
Dintr-o analiz˘ a similar˘ a ¸ si pentru nucleele cu A <50 rezult˘ a c˘ a foarte
r˘ aspˆ andite sunt ¸ si nucleele4
2He(Z=N=2),16
8O(Z=N=8),40
20Ca(Z=N=20)
¸ si60
28Ni(Z=28).
Stabilitatea mare a nucleelor cu numere magice de nucleoni e ste ilustra-
t˘ a ¸ si de faptul c˘ a nucleele cu un num˘ ar magic de protoni au mai mult ¸i
izotopi stabili decˆ at elementele vecine. In ﬁgura 3.2 este redat˘ a dependent ¸a
num˘ arului de izotopi stabili ˆ ın funct ¸ie de num˘ arul atom ic Z.
Se constat˘ a c˘ a recordul ˆ ıl det ¸ine 50Sncu 10 izotopi stabili ˆ ın timp ce
elementele vecine 49In¸ si51Sbau numai doi izotopi stabili. La fel 82Pb
are 4 izotopi fat ¸˘ a de 81Tlcare are doi izotopi ¸ si respectiv 83Bicare are un
singur izotop. In mod similar nucleele cu un num˘ ar magic de n eutroni au
mai mult ¸i izotoni stabili ceea ce se poate constata din ﬁgur a 3.3 ˆ ın care este
redat˘ a dependent ¸a num˘ arului de izotoni ˆ ın funct ¸ie de n um˘ arul de neutroni
N. Astfel pentru N=20 exist˘ a 5 izotoni stabili ˆ ın timp ce pe ntru N=19 nu
exist˘ a niciunul iar pentru N=21 exist˘ a un singur izoton st abil.
Stabilitatea deosebit˘ a a nucleelor cu numere magice de nuc leoni, ˆ ın spe-
cial a nucleelor dublu magice (atˆ at Z cˆ at ¸ si N sunt numere m agice) este e-
xempliﬁcat˘ a ¸ si de faptul c˘ a energia primei st˘ ari excita te a nucleelor par-pare
prezint˘ a un maxim puternic ˆ ın dreptul numerelor magice. A ceast˘ a situat ¸ie
este ilustrat˘ a pentru izotopii plumbuluiˆ ın ﬁgura 3.4. Se constat˘ a c˘ a energia
de excitare a primei st˘ ari a izotopului208
82Pb, nucleu dublu magic, este cu
aproape 2 MeV mai mare decˆ at energia celorlalt ¸i izotopi de ¸ si ¸ si ace¸ stia sunt
izotopi magici din punct de vedere al num˘ arului de protoni.
Faptul c˘ a produ¸ sii stabili cu care se termin˘ a cele trei se rii radioactive
249

Figura 3.4
Starea fundamental˘ a ¸ si prima stare excitat˘ a pentru izot opii pari
ai plumbului
naturale sunt nuclizii stabili ai plumbului206
82Pb,207
82Pb¸ si208
82Pb(Z=82) iar
seria artiﬁcial˘ a se termin˘ a cu izotopul209
83Bi(N=126) este, ﬁre¸ ste, tot o
dovad˘ a a stabilit˘ at ¸ii deosebite a nucleelor cu Z sau/¸ si N egale cu numerele
magice date de relat ¸ia (3.4)
O serie de alte dovezi experimentale pot ﬁ prezentate pentru a conﬁrma
propriet˘ at ¸ile speciale ale nucleelor ce cont ¸in numere m agice de nucleoni.
Astfelˆ ın dezintegrarea α, energia particulelor αcre¸ ste odat˘ a cu cre¸ sterea
num˘ arului Z al nucleului emit ¸˘ ator. Experient ¸a arat˘ a c ˘ a except ¸ie fac izotopii
210
84Po¸ si212
84Pocare emit particule αcu energie mai mare decˆ at nucleele
ce urmeaz˘ a dup˘ a poloniu. Explicat ¸ia const˘ a ˆ ın aceea c˘ a prin emisia de
particuleαse obt ¸in izotopii206
82Pb¸ si, respectiv208
82Pb, care sunt deosebit de
stabili avˆ and Z=82 iar cel de al doilea N=126.
Experient ¸a arat˘ a c˘ a izotopii17
8O,87
36Kr,137
54Xeetc. excitat ¸i la energii
moderate emit cu u¸ surint ¸˘ a un neutron. Ace¸ sti izotopi au 9 ; 51 ¸ si respectiv
83 de neutroni, adic˘ a un neutron mai mult decˆ at numerele ma gice 8 ; 50 ; 82.
Faptul c˘ a ele emit u¸ sor neutronul suplimentar sugereaz˘ a ideea c˘ a nucleele
cu N=8, 50, 82 sunt foarte stabile ¸ si formeaz˘ a probabil p˘ a turi ˆ ınchise de
neutroni, neutronul suplimentar ﬁind astfel foarte slab le gat. Faptul c˘ a
printre fragmentele de ﬁsiune apar ¸ si izotopii87Kr,137Xe, etc., ˆ ın st˘ ari
excitate explic˘ a aparit ¸ia neutronilor ˆ ıntˆ arziat ¸i ˆ ı n procesul de ﬁsiune.
Din motive similare, sect ¸iunile de captur˘ a a neutronilor de c˘ atre nucleele
cu numere magice de neutroni sunt mici, devenind foarte mari pentru nu-
cleele cu un neutron mai put ¸in decˆ at numerele magice, ca ˆ ı n cazul izotopilor
50
23V(N=27) ¸ si135
54Xe(N=81). S˘ a remarc˘ am faptul c˘ a aceast˘ a comportare
250

este asem˘ an˘ atoare slabei activit˘ at ¸i chimice a gazelor nobile ¸ si respectiv marii
aﬁnit˘ at ¸i a halogenilor pentru electroni.
Desigur exemplele pot continua dar toate sugereaz˘ a existe nt ¸a unor p˘ aturi
ce seˆ ınchid pentru valori ale num˘ arului de nucleoni egale cu numerele magice
reproduse de relat ¸ia (3.4).
Existent ¸a numerelor magice indic˘ a deci prezent ¸a unei st ructuri interne
a nucleului, o distribut ¸ie ˆ ın p˘ aturi a nucleonilor, asem ˘ an˘ atoare cu structura
ˆ ın p˘ aturi a electronilor ˆ ın atom.
3.2.2 Construirea modelului ˆ ın p˘ aturi
In paragraful precedent s-a ar˘ atat c˘ a o mult ¸ime de date ex perimentale
pledeaz˘ a pentru existent ¸a p˘ aturilor ˆ ın nucleu. Existe nt ¸a acestei structuri
presupune ˆ ındeplinirea celor trei condit ¸ii precizate ˆ ı n paragraful 3.2.1
In consecint ¸˘ a, pentru construirea modelului p˘ aturilor nucleare a fost
necesar˘ a introducerea urm˘ atoarelor ipoteze:
a)interact ¸ia biparticul˘ a dintre nucleoni se sumeaz˘ aˆ ınt r-o interact ¸ie central˘ a
b)ˆ ın cˆ ampul central astfel format nucleonii se mi¸ sc˘ a inde pendent
Deci modelul ˆ ın p˘ aturi presupune existent ¸a unui potent ¸ ial1central; se
caut˘ a acest potent ¸ial ¸ si – eventual – se corecteaz˘ a rezu ltatele astfel obt ¸inute
prin introducerea unor interact ¸ii suplimentare ˆ ıntre nu cleoni, neluate ˆ ın
seam˘ a ˆ ın potent ¸ialul central, numite ”interact ¸ii rezi duale”.
Din punct de vedere matematic, cele spuse mai sus semniﬁc˘ a f aptul c˘ a
energia potent ¸ial˘ a (potent ¸ialul) din relat ¸ia (3.1) se transcrie astfel:
VA=/summationtext
i<jVij=/summationtext
iVi+/parenleftBigg
/summationtext
i<jVij−/summationtext
iVi/parenrightBigg
=/summationtext
iVi+Vrez
i,j i,j(3.5)
ˆ ın careVrezeste interact ¸ia rezidual˘ a iar Vieste potent ¸ialul central selfcon-
sistent c˘ autat, ˆ ın care se mi¸ sc˘ a nucleonul ”i”. Dac˘ a se neglijeaz˘ a interact ¸ia
rezidual˘ a, rezult˘ a c˘ a potent ¸ialul central Vial celui de al i-lea nucleon va ﬁ:
Vi≈/summationdisplay
j(/negationslash=i)Vij (3.6)
1Este vorba de energia potent ¸ial˘ a. In ﬁzica nuclear˘ a se fo lose¸ ste adesea terminologia
de potent ¸ial ˆ ınt ¸elegˆ andu-se ˆ ıns˘ a energia potent ¸ia l˘ a de interact ¸ie
251

In aceste condit ¸ii hamiltonianul ecuat ¸iei (3.2) devine:
H0=/summationdisplay
i(Ti+Vi) =/summationdisplay
ih0(i) (3.7)
Ecuat ¸ia Schr¨ odinger pentru nucleonul ”i” va ﬁ:
h0(i)ϕ(i) =/parenleftBigg
−¯h2
2µi∆i+Vi/parenrightBigg
ϕ(i) =Eϕ(i) (3.8)
Este important de subliniat ideea c˘ a prin introducerea ipo tezei existent ¸ei
unui potent ¸ial central Viˆ ın acord cu relat ¸ia (3.6), hamiltonianul H0al sis-
temului de A nucleoni aﬂat ¸i ˆ ın interact ¸ie s-a separat ˆ ın suma de A hamil-
tonienih0(i) uniparticul˘ a; altfel spus, problema celor A nucleoni (co rpuri),
exprimat˘ a de ecuat ¸ia (3.2) s-a redus la problema mi¸ sc˘ ar ii independente a
ﬁec˘ arui nucleon ˆ ın cˆ ampul selfconsistent corespunz˘ at or. Construirea mode-
lului pentru A nucleoni se reduceˆ ın esent ¸˘ a la rezolvarea ecuat ¸iei (3.8) pentru
ﬁecare nucleon ˆ ın scopul determin˘ arii funct ¸iilor propr ii ¸ si a energiilor proprii
uniparticul˘ a.
DeoareceVieste un potent ¸ial central ˆ ın care momentul cinetic orbita l/vectorl
se conserv˘ a, rezult˘ a c˘ a funct ¸ia ϕ(i) din (3.8) se poate dezvolta dup˘ a funct ¸iile
sfericeYlm:
ϕ(i) =/summationdisplay
lmR(i)
l(r)Ylm(θ,ϕ) =/summationdisplay
lmϕ(i)
lm(3.9)
Funct ¸iileϕlm=Rl(r)Ylmsunt funct ¸ii proprii comune ale o-
peratorilorh0(i), l2¸ silz,operatori ce comut˘ a ˆ ıntre ei. Se spune
ˆ ın mod obi¸ snuit c˘ a o astfel de funct ¸ie proprie reprezint ˘ a o ”stare”
cu moment cinetic orbital ℓ
Reamintim faptul c˘ a ˆ ın coordonate {r,θ,ϕ}operatorul ∆ se poate scrie
astfel:
∆ =1
r2∂
∂r/parenleftbigg
r2∂
∂r/parenrightbigg
−/vectorl2
r2¯h2(3.10)
ˆ ın care/vectorl2este p˘ atratul momentului cinetic orbital deﬁnit prin expr esia:
/vectorl2=−¯h2/parenleftBigg
1
sinθ∂
∂θ(sinθ∂
∂θ) +1
sin2θ∂2
∂ϕ2/parenrightBigg
(3.11)
Operatorii/vectorl2¸ silzveriﬁc˘ a ecuat ¸iile:
/vectorl2Ylm=l(l+ 1)¯h2Ylm
lzYlm=m¯hYlm (3.12)
252

Substituind (3.9) ˆ ın (3.8) ¸ si t ¸inˆ and seama de relat ¸iil e (3.10) ¸ si (3.12) se
obt ¸ine pentru funct ¸ia radial˘ a R(i)
lurm˘ atoarea ecuat ¸ie:
1
r2d
dr/parenleftBigg
r2dR(i)
l
dr/parenrightBigg
+2µi
¯h2/parenleftBigg
E−Vi−¯h2l(l+ 1)
2µir2/parenrightBigg
R(i)
l= 0 (3.13)
Rezolvˆ and aceast˘ a ecuat ¸ie radial˘ a, analitic sau numer ic, atˆ at ˆ ın zona de
interact ¸ie pentru care Vi/ne}ationslash= 0, cˆ at ¸ si ˆ ın zona pentru care Vieste nul, din
condit ¸ia de continuitate a funct ¸iei radiale pentru orice valoare r se obt ¸in,
pentru ﬁecare valoare a num˘ arului cuantic orbital l, energ iile proprii Enl
(energiile spectrului discret) ˆ ın care num˘ arul ”cuantic radial” n permite
ordonarea energiilor pentru un l deﬁnit.
Generic, valorile Enlpentru ﬁecare l, se deduc din act ¸iunea hamiltonia-
nuluih0(i) asupra funct ¸iei de stare ϕlm, la care ad˘ aug˘ am ¸ si num˘ arul cuantic
radial n:
h0(i)ϕ(i)
nlm=Enlϕ(i)
nlm(3.14)
De aici rezult˘ a:
E(i)
nl=/angbracketleftBig
ϕ(i)
nlm|h0(i)|ϕ(i)
nlm/angbracketrightBig
=
=/angbracketleftBig
R(i)
nl|h0(i)|R(i)
nl/angbracketrightBig
/an}bracketle{tYlm|Ylm/an}bracketri}ht=/angbracketleftBig
R(i)
nl|h0(i)|R(i)
nl/angbracketrightBig
(3.15)
Determinarea concret˘ a a energiilor E(i)
nl(i=1, 2, …, A) depinde de forma
¸ si valoarea potent ¸ialului selfconsistent Vicare trebuie determinat cˆ at mai
exact, astfel ˆ ıncˆ at neglijarea interact ¸iei reziduale d in (3.5) s˘ a ﬁe ˆ ındeplinit˘ a.
In acest caz Vieste deﬁnit de suma interact ¸iilor Vij(relat ¸ia 3.6) pe care le
consider˘ am de forma:
Vij=−V(ij)
0f(/vector ri−/vector rj) (3.16)
ˆ ın careV0deﬁne¸ ste t˘ aria interact ¸iei iar f(/vector r1−/vector r2) =f(/vector r) deﬁne¸ ste forma
interact ¸iei. Dac˘ a deﬁnim prin ̺(/vector rj) funct ¸ia de distribut ¸ie a nucleonului ”j”,
potent ¸ialul selfconsistent care act ¸ioneaz˘ a asupra nuc leonului ”i”, ˆ ın acord
cu relat ¸iile (3.6) ¸ si (3.16) va ﬁ:
Vi≈−Vij
0/integraldisplay
f(/vector ri−/vector rj)̺(/vector rj)d/vector rj (3.17)
ˆ ın care integrarea se face pe toate pozit ¸iile posibile ale nucleonului ”j”.
Deoarece interact ¸ia binucleonic˘ a este de scurt˘ a distan t ¸˘ a, funct ¸ia f(/vector ri−
/vector rj), indiferent de forma concret˘ a pe care o poate avea, va ﬁ o fu nct ¸ie loca-
lizat˘ a ˆ ın jurul valorilor /vector ri. La limit˘ a s-ar putea considera c˘ a aceast˘ a funct ¸ie
este de forma:
f(/vector ri−/vector rj) =cδ(/vector ri−/vector rj) (3.18)
253

Figura 3.5
Dependent ¸a radial˘ a a potent ¸ialului Woods-Saxon
In acest caz Vidin (3.17) devine:
Vi(/vector ri) =−Vij
0c̺(/vector ri) (3.19)
care arat˘ a c˘ a potent ¸ialul selfconsistent ˆ ın punctul /vector rieste proport ¸ional cu
densitatea nucleonilor ˆ ın acest punct. Din aceste conside rente calitative
rezult˘ a c˘ a dependent ¸a radial˘ a a potent ¸ialului Vieste dat˘ a de dependent ¸a
radial˘ a deﬁnit˘ a de factorul de form˘ a Woods-Saxon fi(r,Ri
0,ai) din (1.79)
adic˘ a:
Vi(r) =−Vi
0fi(r,Ri
0,ai) =−Vi
o
1 +er−Ri
0
ai(3.20)
reprodus ˆ ın ﬁgura 3.5. Din p˘ acate ecuat ¸ia (3.13) nu se poa te rezolva analitic
pentru potent ¸ialul din (3.20). De aceea se ˆ ınlocuie¸ ste a desea potent ¸ialul din
(3.20) cu un potent ¸ial de oscilator armonic tridimensiona l izotrop sau cu
o groap˘ a de potent ¸ial dreptunghiular˘ a cu adˆ ancime ﬁnit ˘ a ¸ si chiar inﬁnit˘ a
pentru care se obt ¸in relat ¸ii analitice.
In particular pentru groapa de potent ¸ial cu adˆ ancime inﬁn it˘ a din ﬁgura
3.6, deﬁnit˘ a prin relat ¸ia:
Vi(r) =/braceleftBigg
0 pentru r<R 0
∞pentrur≥R0(3.21)
254

Figura 3.6
Groapa de potent ¸ial cu adˆ ancime inﬁnit˘ a
ecuat ¸ia Schr¨ odinger din (3.13) se rezolv˘ a imediat.
Pentrur<R 0ecuat ¸ia (3.13) cu Vi(r) din (3.21) devine:
1
r2d
dr/parenleftbigg
r2dRl
dr/parenrightbigg
+2µ
¯h2/parenleftBigg
E−¯h2(l+ 1)l
2µr2/parenrightBigg
Rl(r) = 0 (3.22)
(s-a renunt ¸at momentan la indicele ”i”).
Aceast˘ a ecuat ¸ie deﬁne¸ ste binecunoscuta funct ¸ie Besse l sferic˘ a notat˘ a de
obicei cujl(kr)2:
Rl≡jl(kr) =−/parenleftbiggr
k/parenrightbiggl/parenleftbigg1
rd
dr/parenrightbiggl/parenleftbiggsinkr
kr/parenrightbigg
(3.23)
cu:
k=1
¯h/radicalbig
2µE (3.24)
Dependent ¸a de kr a funct ¸iilor Bessel pentru l=0, 1, 2 este r edat˘ aˆ ın ﬁgura
3.7. Pentru r≥R0funct ¸ia radial˘ a trebuie s˘ a ﬁe zero deoarece nucleonul
nu poate p˘ ar˘ asi groapa de potent ¸ial. Din condit ¸ia de con tinuitate rezult˘ a
urm˘ atoarea condit ¸ie:
jl(kR0) = 0 (3.25)
2Acest rezultat se putea obt ¸ine imediat dac˘ a observ˘ am c˘ a pentru r < R 0ecuat ¸ia (3.8)
cu V(r) din (3.21) corespunde mi¸ sc˘ arii libere a unei parti cule, a c˘ arei funct ¸ie ei/vectork/vector rse poate
dezvolta ˆ ın serie:
ei/vectork/vector r=/summationdisplay
lil(2l+ 1)jl(kr)Pl(θ)
255

Figura 3.7
Dependent ¸a de kr a funct ¸iilor j0(kr),j1(kr)¸ sij2(kr)
Notˆ and cu Xnl(n=1, 2, 3, …) solut ¸iile funct ¸iei Bessel pentru jl(kR0)
rezult˘ a:
Xnl=kR0=knlR0 (3.26)
¸ si deci, energiile proprii pentru nucleonul ”i”, ˆ ın acord cu relat ¸ia (3.24) vor
ﬁ:
E(i)
nl=¯h2
2µiR2
0X2
nl (3.27)
Solut ¸iileXnl¸ siX2
nlˆ ın notat ¸iile spectroscopice:
l= 0,1,2,3,4,5,6,…
s,p,d,f,g,h,i,..(3.28)
sunt reproduse, ˆ ın ordinea cresc˘ atoare, pentru cˆ ateva s t˘ ari spectroscopice
(n, l) ˆ ın tabelul 3.1. Solut ¸iile X2
nldeﬁnesc, pˆ an˘ a la constanta ¯ h2/(2µiR2
0)
conform relat ¸iei (3.27), spectrul energetic uniparticul ˘ a pentru mi¸ scarea par-
ticulei (nucleonului) ˆ ın cˆ ampul selfconsistent al celor lalte particule, cˆ amp
asimilat cu o groap˘ a de potent ¸ial cu adˆ ancime inﬁnit˘ a ˆ ı n cazul studiat.
Tabelul 3.1
stare (n, l) 1s 1p 1d 2s 1f 2p 1g 2d 1h 3s
Xnl 3.15 4.49 5.76 6.28 6.99 7.73 8.18 9.09 9.36 9.42
X2
nl 9.86 20.16 33.28 39.44 48.86 59.75 66.91 82.62 87.60 88.73
256

Spectru energetic astfel rezultat este reprodus calitativ ˆ ın ﬁgura 3.8.
Preciz˘ am c˘ a acest spectru energetic corespunde mi¸ sc˘ ar ii unor particule f˘ ar˘ a
sarcin˘ a electric˘ a, neutre, c˘ aci ˆ ın energia potent ¸ial ˘ a (3.21) energia coulom-
bian˘ a a fost neglijat˘ a. A¸ sadar spectrul energetic din ﬁg ura 3.8 este adecvat
pentru cazul unui sistem format din neutroni. Subliniem ˆ ın s˘ a c˘ a luarea ˆ ın
considerat ¸ie a interact ¸iei coulombiene nu modiﬁc˘ a esen t ¸ial spectrul unipar-
ticul˘ a din ﬁgura 3.8, a¸ sa ˆ ıncˆ at discut ¸iile care vor urm a se vor referi, ˆ ın egal˘ a
m˘ asur˘ a, atˆ at la neutroni cˆ at ¸ si la protoni. In continua re vom ar˘ ata cum se
construie¸ ste modelul p˘ aturilor nucleare pentru sistemu l de A particule (nu-
cleoni) independente dac˘ a se cunoa¸ ste spectrul uniparti cul˘ a pentru ﬁecare
din cele A particule. S˘ a presupunem pentru ˆ ınceput c˘ a cel e A particule sunt
independente dar nu identice ¸ si c˘ a spectrele uniparticul ˘ a pentru ﬁecare par-
ticul˘ a, construite ˆ ın acord cu relat ¸ia (3.27), sunt cele din ﬁgura 3.9. In acest
caz, deoarece H0=/summationtext
ih0(i) ¸ si particulele nu sunt identice rezult˘ a c˘ a funct ¸ia
proprie a sistemului va ﬁ dat˘ a de produsul de funct ¸ii unipa rticul˘ aϕ(i) (sau o
combinat ¸ie liniar˘ a de asemenea produse) iar spectrul ene rgetic al sistemului
va ﬁ dat de suma energiilor uniparticul˘ a, sum˘ a ce se constr uie¸ ste luˆ and cˆ ate
un nivel de energie uniparticul˘ a Enlpentru ﬁecare nucleon. Astfel, starea
fundamental˘ a E0a sistemului format din A particule neidentice, indicat˘ a ˆ ın
ﬁgura 3.9 va ﬁ:
E0=E(1)
1s+E(2)
1s+…+E(A)
1s (3.29)
St˘ arile excitate se obt ¸in prin excitarea succesiv˘ a sau s imultan˘ a a nu-
cleonilor pe st˘ ari uniparticul˘ a superioare. Astfel, ene rgiaEka sistemului,
corespunz˘ atoare situat ¸iei ˆ ın care tot ¸i nucleonii se g˘ asesc pe nivele unipar-
ticul˘ a fundamentale cu except ¸ia nucleonului ”2” care se a ﬂ˘ a, s˘ a presupunem
ˆ ın starea 1d, va ﬁ:
Ek=E(1)
1s+E(2)
1d+E(3)
1s+…+E(A)
1s (3.30)
Fire¸ ste, obt ¸inerea ca mai sus a spectrului energetic se re alizeaz˘ a ˆ ın cazul
unui sistem format din A particule independente dar nu ident ice. Procedura
se modiﬁc˘ aˆ ın cazul nucleului care este format din A fermio ni din care Z sunt
protoni identici iar N sunt neutroni identici. In acest caz, ca o consecint ¸˘ a
a principiului Pauli, funct ¸ia de und˘ a a sistemului nu va ma i ﬁ de forma
unui produs de funct ¸ii uniparticul˘ a ci o funct ¸ie total an tisimetric˘ a. In plus
spectrul uniparticul˘ a al ﬁec˘ arui nucleon identic va ﬁ ace la¸ si a¸ sa ˆ ıncˆ at toate
nivelele cu acelea¸ si numere cuantice n ¸ si l pentru nucleon ii identici se pot
”compacta” ˆ ıntr-un singur nivel de energie:
Enl≡E(1)
nl≡E(2)
nl≡…≡E(k)
nl;k=ZsauN (3.31)
257

Figura 3.8
Spectrul energetic uniparticul˘ a pentru o groap˘ a de poten t ¸ial cu
adˆ ancime inﬁnit˘ a
Figura 3.9
Spectrul energetic uniparticul˘ a pentru A particule indep endente
dar nu identice
258

Figura 3.10
Spectrul uniparticul˘ a pentru particule identice
pe care se pot g˘ asi cel mult 2(2l+1) nucleoni identici. Spec trul energetic
”compactat”, similar cu cel din ﬁgura 3.8, este reprodus ˆ ın ﬁgura 3.10. E-
xist˘ a ˆ ıns˘ a o diferent ¸˘ a de fond ˆ ıntre spectrele din cel e dou˘ a ﬁguri. In spectrul
uniparticul˘ a din ﬁgura 3.8 pe ﬁecare nivel se va g˘ asi o sing ur˘ a particul˘ a
(nucleon) pe cˆ and ˆ ın cazul spectrului din ﬁgura 3.10 se pot g˘ asi 2(2l+1)
particule (nucleoni) identice. Num˘ arul maxim de particul e ce se pot aﬂa pe
ﬁecare nivel uniparticul˘ a ca ¸ si num˘ arul ”cumulat” de par ticule ce se obt ¸ine
prin umplerea succesiv˘ a a nivelelor uniparticul˘ a sunt re produse ˆ ın ﬁgura
3.10. Subliniem c˘ a spectrul energetic din ﬁgura 3.10 se con struie¸ ste separat
pentru protoni ¸ si pentru neutroni.
Starea fundamental˘ a a unui nucleu cu A nucleoni, dintre car e Z sunt
protoni, se obt ¸ine plasˆ and de ﬁecare dat˘ a un num˘ ar maxim de 2(2l+1) pro-
toni, respectiv, de neutroni pe nivelul uniparticul˘ a cu ce a mai mic˘ a energie
posibil˘ a. Astfel, pe nivelul 1s se pot plasa maximum doi nuc leoni identici,
pe nivelul 1p se pot plasa ¸ sase nucleoni identici (6 protoni sau 6 neutroni)
etc. In particular conﬁgurat ¸ia protonilor ¸ si neutronilo r pe nivelele unipar-
ticul˘ a corespunz˘ atoare, pentru starea fundamental˘ a a i zotopului16
8Oeste
259

Figura 3.11
Conﬁgurat ¸ia nucleonilor pe nivele uniparticul˘ a pentru s tarea
fundamental˘ a a izotopului16
😯
reprodus˘ a ˆ ın ﬁgura 3.11. Energia acestei st˘ ari va ﬁ:
E0= 2E(p)
1s+ 6E(p)
1p+ 2E(n)
1s+ 6E(n)
1p+E(n)
1d(3.32)
ˆ ın careE(p)
nlse refer˘ a la nivelele protonice iar E(n)
nlse refer˘ a la nivelele neu-
tronice. Nivelele uniparticul˘ a protonice ¸ si neutronice din ﬁgura 3.11 sunt
practic identice c˘ aci, a¸ sa dup˘ a cum s-a mai precizat, abi a pentru nucleele
cu un num˘ ar de protoni mai mare decˆ at 50 interact ¸ia coulom bian˘ a modiﬁc˘ a
energia, ¸ si chiar succesiunea, nivelelor protonice fat ¸˘ a de cele neutronice. In
ceea ce ne prive¸ ste vom presupune, pentru simplitate, c˘ a s pectrul energetic
din ﬁgura 3.10 este adecvat atˆ at pentru protoni cˆ at ¸ si pen tru neutroni.
Din ﬁgura 3.10 se constat˘ a c˘ a nivelele uniparticul˘ a sunt ﬁe izolate din
punct de vedere energetic a¸ sa cum sunt nivelele 1s, 1p, 1f, 2 p, etc., ﬁe
se strˆ ang ˆ ın grupuri de nivele apropiate energetic ce de ex emplu (1d, 2s),
(2d, 1h, 3s). Intre nivelele izolate ca ¸ si ˆ ıntre acestea ¸ s i grupurile de nivele
exist˘ a intervale energetice mari, ˆ ın orice caz mult mai ma ri decˆ at intervalul
energetic dintre nivelele uniparticul˘ a care apart ¸in ace luia¸ si grup energetic.
Un grup de nivele uniparticul˘ a sau un nivel uniparticul˘ a i zolat formeaz˘ a o
”p˘ atur˘ a nuclear˘ a”. Este evident c˘ a dac˘ a un nucleu are u n num˘ ar de protoni
sau/¸ si de neutroni care completeaz˘ a ˆ ın totalitate una sa u mai multe p˘ aturi
ˆ ın starea fundamental˘ a va avea o stabilitate deosebit˘ a. Rezult˘ a deci, c˘ a dac˘ a
modelul este corect numerele de completare a p˘ aturilor tre buie s˘ a coincid˘ a
cu numerele magice. In cazul spectrului din ﬁgura 3.10, obt ¸ inut pentru
un potent ¸ial selfconsistent de forma unei gropi dreptungh iulare cu peret ¸i
260

Figura 3.12
Groap˘ a de potent ¸ial cu adˆ ancime ﬁnit˘ a
inﬁnit ¸i, completarea p˘ aturilor 1s, 1p, 1d2s, 1f, 2p, 1g, 2 d1h3s se realizeaz˘ a
pentru urm˘ atoarele numere:
2,8,20,34,40,58,92 (3.33)
Groapa de potent ¸ial folosit˘ a reproduce deci numai primel e trei numere
magice; 2, 8, 20. Desigur rezultatul nu surprinde c˘ aci pote nt ¸ialul ales nu este
realist. Un potent ¸ial mai adecvat ar ﬁ o groap˘ a de potent ¸i al cu adˆ ancime
ﬁnit˘ a deﬁnit˘ a astfel (ﬁgura 3.12):
Vi(r) =/braceleftBigg
−V(i)
0pentrur≤R0
0 pentru r>R 0(3.34)
Structura de nivele uniparticul˘ a pentru acest potent ¸ial , cu valori re-
zonabile pentru V0¸ siR0, este reprodus˘ a ˆ ın ﬁgura 3.13b comparativ cu
spectrul energetic obt ¸inut pentru o groap˘ a de potent ¸ial cu peret ¸ii inﬁnit ¸i
(ﬁgura 3.13a). Din ﬁgur˘ a se constat˘ a c˘ a ordinea nivelelo r uniparticul˘ a
este practic aceea¸ si pentru cele dou˘ a gropi de potent ¸ial cu precizarea c˘ a
ˆ ın groapa de potent ¸ial cu adˆ ancime ﬁnit˘ a ”distant ¸a” en ergetic˘ a ˆ ıntre nivele
se mic¸ soreaz˘ a; nici ˆ ın cazul potent ¸ialului din (3.34) n u se reproduc numerele
magice. Spectrul energetic uniparticul˘ a din ﬁgura 3.13c c orespunde unei
gropi de potent ¸ial cu marginile rotunjite ca cel deﬁnit ˆ ın relat ¸ia (3.20) ¸ si
reprezentat graﬁc ˆ ın ﬁgura 3.5. In cazul acestui potent ¸ia l se constat˘ a o
modiﬁcareˆ ın succesiunea nivelelor uniparticul˘ a de ener gie mai mare. Aceste
modiﬁc˘ ari depind ﬁre¸ ste de valorile parametrilor Vi
0,ai¸ siRi
0care deﬁnesc
potent ¸ialul din relat ¸ia (3.20). Spectrul din ﬁgura 3.13c corespunde celor mai
261

Figura 3.13
Spectrul energetic uniparticul˘ a pentru o groap˘ a de poten t ¸ial:
a) cu adˆ ancime inﬁnit˘ a
b) cu adˆ ancime ﬁnit˘ a
c) cu margini rotunjite
Figura 3.14
Potent ¸ial central de forma ”unui fund de stic˘ a” cu valori m inime
(ˆ ın valoare absolut˘ a) ˆ ın centrul nucleului
262

adecvate valori pentru ace¸ sti parametri. Ment ¸ion˘ am ˆ ın s˘ a c˘ a indiferent de
valorile acestor parametri, dac˘ a aceste valori sunt ˆ ın li mite rezonabile, nici
ˆ ın cazul acestui potent ¸ial realist nu se reproduc decˆ at p rimele trei numere
magice. Se ajunge la concluzia c˘ a pentru a reproduce numere le magice cu
ajutorul unui potent ¸ial central este necesar˘ a o modiﬁcar e radical˘ a a gropii
de potent ¸ial. Astfel, prin folosirea unui potent ¸ial cu va lori mai miciˆ ın partea
central˘ a (ˆ ın valoare absolut˘ a) de forma ”unui fund de sti cl˘ a” (ﬁgura 3.14) se
obt ¸ine reproducerea numerelor magice. S˘ a preciz˘ am ˆ ıns ˘ a c˘ a acest potent ¸ial,
care implic˘ a o densitate a nucleonilor cu minim ˆ ın centrul nucleului, este
ˆ ın dezacord cu majoritatea datelor experimentale ¸ si ca at are nu poate ﬁ
acceptat.
O alt˘ a cale, mult mai ﬁzic˘ a, de explicare a numerelor magic e a fost abor-
dat˘ a ˆ ın anul 1949 de M.G.Mayer ¸ si, independent, de O.Haxe l, J.D.Jensen
¸ si H.Suess, care au presupus existent ¸a unei interact ¸iun i spin-orbit˘ a, foarte
puternic˘ a, pe lˆ ang˘ a interact ¸iunea central˘ a consider at˘ a mai sus. Avˆ and ˆ ın
vedere operatorul energiei potent ¸iale deﬁnit ˆ ın relat ¸i a (3.6) cˆ at ¸ si faptul c˘ a
modelul pe care-l prezent˘ am este adecvat descrierii nucle elor sferice, pen-
tru care efectele tensoriale sunt nule, rezult˘ a c˘ a ad˘ aug area interact ¸iei spin-
orbit˘ a este ﬁreasc˘ a (a se vedea ¸ si paragraful 2.2). Neﬁre asc˘ a a fost ”t˘ aria”
nea¸ steptat de mare a interact ¸iei spin-orbit˘ a (aproape 1 0% din ˆ ıntreaga in-
teract ¸ie) necesar˘ a pentru explicarea numerelor magice. Conform acestei
ipoteze potent ¸ialul selfconsistent din relat ¸ia (3.6) de vine:
Vi=Vi(r) +V(i)
so(r)/vectorl/vector s (3.35)
ˆ ın careVi(r) este potent ¸ialul selfconsistent central analizat pˆ an˘ a-n prezent
¸ si care, ˆ ın funct ¸ie de varianta adoptat˘ a a generat spect rele energetice uni-
particul˘ a din ﬁgura 3.13. In cˆ ampul selfconsistent deﬁni t de relat ¸ia (3.35)
momentul cinetic al nucleonului este momentul cinetic tota l/vectorjdeﬁnit con-
form cuplajului:
/vectorj=/vectorl+/vector s (3.36)
Hamiltonianul uniparticul˘ a hso(i) care descrie interact ¸ia spin-orbit˘ a va ﬁ:
hso(i) =V(i)
so(r)/vectorl/vector s=1
2(/vectorj2−/vectorl2−/vector s2)V(i)
so(r) (3.37)
iar hamiltonianul h(i) care va descrie spectrul uniparticu l˘ a este deﬁnit de
relat ¸ia:
h(i) =h0(i) +hso(i) (3.38)
263

cuh0(i) deﬁnitˆ ın relat ¸iile (3.7) ¸ si (3.8). Energiile uniparti cul˘ aE(i)
nlj, indexate
¸ si cu num˘ arul cuantic j, vor rezulta ca ¸ si ˆ ın cazul ecuat ¸ iei (3.14) din relat ¸ia:
h(i)ϕ(i)
nljM=E(i)
nljMϕ(i)
nljM(3.39)
ˆ ın care funct ¸iile ϕ(i)
nljMpot ﬁ scrise astfel:
ϕ(i)
nljM=R(i)
nl(r)φ(i)
ljM(θ,ϕ) (3.40)
ˆ ın careR(i)
nl(r) sunt funct ¸iile radiale iar φ(i)
ljM(θ,ϕ) sunt funct ¸ii proprii ale
momentului cinetic total j, funct ¸ii ortonormate care diag onalizeaz˘ a simul-
tan operatorii j2,jz,l2¸ sis2. Energiile uniparticul˘ a, repetˆ and procedura
exprimat˘ a de relat ¸ia (3.15), rezult˘ a din ecuat ¸ia (3.39 ) astfel:
E(i)
nljM=<ϕ(i)
nljM|h(i)|ϕ(i)
nljM>=
=<ϕ(i)
nljM|h0(i)|ϕ(i)
nljM>+<ϕ(i)
nljM|V(i)
so/vectorl/vector s|ϕ(i)
nljM>=
=<R(i)
nl|h0(i)|R(i)
nl><φ(i)
ljM|φ(i)
ljM>+
+1
2<R(i)
nl|V(i)
so|R(i)
nl><φ(i)
ljM|/vectorj2−/vectorl2−/vector s2|φ(i)
ljM>= (3.41)
=E(i)
nl+1
2ξ(i)
nl(j(j+ 1)−l(l+ 1)−s(s+ 1))
cuE(i)
nldeﬁnite de relat ¸ia (3.15) ¸ si ξ(i)
nldeﬁnit astfel:
ξ(i)
nl=<R(i)
nl|V(i)
so(r)|R(i)
nl> (3.42)
reprezint˘ a valoarea medie a operatorului Vso(r) ˆ ın starea caracterizat˘ a de
funct ¸ia radial˘ a R(i)
nl(r); valoarea acestui parametru depinde de dependent ¸a
radial˘ a ¸ si de t˘ aria operatorului Vso(r).
S˘ a facem precizarea c˘ a ˆ ın obt ¸inerea relat ¸iei (3.41) s- a pre-
supus c˘ a funct ¸iile radiale Rnlsunt acelea¸ si cu funct ¸iile radiale
obt ¸inute pentru potent ¸ialul din relat ¸ia (3.8), adic˘ a f ˘ ar˘ a interact ¸ia
spin-orbit˘ a. Aceast˘ a ipotez˘ a este adev˘ arat˘ a numai da c˘ a interact ¸ia
spin-orbit˘ a este neglijabil˘ a. In cazul real aceste funct ¸ii nu sunt
identice ¸ si ca atare energiile Enldin relat ¸iile (3.15) ¸ si (3.41) vor
ﬁ diferite; aceast˘ a situat ¸ie nu modiﬁc˘ a ˆ ıns˘ a discut ¸i ile ¸ si concluzi-
ile ce vor urma
264

Figura 3.15
Nivelul uniparticul˘ a Enlse despic˘ a ˆ ın dou˘ a subnivele datorit˘ a
interact ¸iei spin-orbit˘ a
Din relat ¸ia (3.41) rezult˘ a c˘ a interact ¸ia spin-orbit˘ a introduce o corect ¸ie
a energiilor nivelelor uniparticul˘ a E(i)
nl, corect ¸ie ce depinde de orientarea
spinului nucleonului fat ¸˘ a de direct ¸ia momentului orbit al dup˘ a cum urmeaz˘ a:
δE(i)
nlj=1
2ξnl/braceleftBigg
l pentruj=l+1
2
−(l+ 1) pentru j=l−1
2(3.43)
A¸ sadar, prezent ¸a cuplajului spin-orbit˘ a are drept cons ecint ¸˘ a despicarea
nivelelorE(i)
nl, corespunz˘ atoare hamiltonianului h0(i), ˆ ın dou˘ a subnivele de
moment cinetic total j=l±1/2. Nivelul cu j=l+1/2 are o degenerare egal˘ a
cu 2j+1=2l+2 iar nivelul cu j=l-1/2 va avea gradul de degener are 2j+1=2l;
aceste degener˘ ari corespund celor 2j+1 proiect ¸ii posibi le ale momentului
cinetic j. Fire¸ ste, suma degener˘ arilor celor dou˘ a subni vele rezultate din
interact ¸ia spin-orbit˘ a este egal˘ a cu gradul de degenera re al nivelului init ¸ial
– 2(2l+1). Valoarea despic˘ arii energetice dintre cele dou ˘ a subnivele este
urm˘ atoarea:
δE(i)
nl=|δE(i)
nlj=l−1/2−δE(i)
nlj=l+1/2|=2l+ 1
2ξ(i)
nl(3.44)
Aceast˘ a despicare cre¸ ste cu cre¸ sterea valorii num˘ arul ui cuantic orbital l
(ﬁgura 3.15) pentru o valoare ﬁxat˘ a a parametrului ξ(i)
nl. Valoarea numeric˘ a
¸ si semnul constantei ξ(i)
nltrebuiesc astfel alese ˆ ıncˆ at despicarea deﬁnit˘ a de
relat ¸ia de mai sus s˘ a conduc˘ a la reproducerea numerelor m agice. Deoarece
interact ¸ia spin-orbit˘ a este atractiv˘ a, dup˘ a cum s-a pr ecizat ˆ ın paragraful
2.2, rezult˘ a c˘ a parametrul ξ(i)
nleste negativ ¸ si ca urmare nivelul de moment
cinetic j=l+1/2 are o energie mai mic˘ a ˆ ın comparat ¸ie cu ni velul de moment
265

cinetic j=l-1/2. Desigur, semnul negativ al parametrului ξ(i)
nlpoate rezulta
¸ si direct din urm˘ atoarele considerente: ˆ ın primul rˆ and s˘ a reamintim c˘ a f˘ ar˘ a
considerarea interact ¸iei spin-orbit˘ a se reproduceau pr imele numere magice:
2, 8, 20. Urm˘ atorul num˘ ar magic -28 – poate ﬁ obt ¸inut numai prin despicarea
nivelului uniparticul˘ a 1f (ﬁgura 3.13); dac˘ a nivelul cu j =l+1/2=7/2 va avea
o energie mai mic˘ a decˆ at nivelul cu j=l-1/2=5/2, urm˘ ator ul num˘ ar magic
va ﬁ ˆ ıntr-adev˘ ar 28, ˆ ın caz contrar urm˘ atorul num˘ ar mag ic va ﬁ 26 ˆ ın deza-
cord cu situat ¸ia experimental˘ a. Argumente suplimentare apar din studiul
spectrelor energetice ale nucleelor foarte u¸ soare. Intr- adev˘ ar, primele nivele
uniparticul˘ a 1s ¸ si 1p din ﬁgura 3.13 se despic˘ a a¸ sa ca ˆ ın ﬁgura 3.16a dac˘ a
parametrul ξ(i)
nleste negativ sau ca ˆ ın ﬁgura 3.16b dac˘ a parametrul ξ(i)
nleste
pozitiv. Pe de alt˘ a parte starea fundamental˘ a ¸ si prima st are excitat˘ a a nu-
cleelor5
3Li¸ si5
2He, a¸ sa cum rezult˘ a din datele experimentale, sunt prezenta te
ˆ ın ﬁgura 3.17. Spinul ¸ si paritatea acestor st˘ ari pot ﬁ u¸ s or explicate dac˘ a se
admite varianta din ﬁgura 3.16a care corespunde parametrul uiξ(i)
nlnegativ.
Astfel dintre cei 5 nucleoni ai nucleelor ˆ ın discut ¸ie, pat ru nucleoni, adic˘ a doi
protoni ¸ si doi neutroni, completeaz˘ a p˘ atura 1 s1/2. Spinii celor doi protoni,
respectiv celor doi neutroni, ce formeaz˘ a aceast˘ a p˘ atur ˘ a trebuie s˘ a ﬁe, con-
form principiului Pauli, antiparaleli ¸ si deci au moment ci netic zero. Rezult˘ a
c˘ a momentele cinetice de spin ale nucleelor discutate sunt deﬁnite de cel de
al treilea proton (ˆ ın cazul nucleului5Li), respectiv, cel de al treilea neutron
(ˆ ın cazul nucleului5He), care se vor g˘ asi pe nivelul 1 p3/2pentru varianta
ξ(i)
nl<0 sau pe nivelul 1 p1/2ˆ ın varianta ξ(i)
nl>0. Valoarea experimental˘ a
(3/2)−a st˘ arii fundamentale a celor dou˘ a nuclee pledeaz˘ a pentr u varianta
ξ(i)
nl<0. Aceast˘ a variant˘ a esteˆ ın concordant ¸˘ a ¸ si cu valoare a (1/2)−a primei
st˘ ari excitate deoarece este ﬁresc s˘ a presupunem c˘ a acea st˘ a stare se obt ¸ine
prin excitarea nucleonului de pe nivelul 1 p3/2pe nivelul 1 p1/2. Conﬁgurat ¸ia
celor cinci nucleoni ai nucleului de5
2Hepentru starea fundamental˘ a ¸ si pen-
tru prima stare excitat˘ a, ˆ ın acord cu cele precizate mai su s, este redat˘ a ˆ ın
ﬁgura 3.18.
A¸ sadar atˆ at considerente teoretice fundamentale (carac terul atractiv al
interact ¸iei spin-orbit˘ a) cˆ at ¸ si datele experimentale conduc la concluzia c˘ a
energia mai mic˘ a trebuie s˘ a corespund˘ a subnivelului cu j =l+1/2 ¸ si c˘ a deci
parametrul ξ(i)
nleste negativ. S˘ a observ˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a nu este suﬁcient fapt ul
c˘ a s-a stabilit semnul parametrului ξ(i)
nl, trebuie s˘ a stabilim ¸ si valoarea lui
numeric˘ a. Astfel, dac˘ a presupunem c˘ a ξ(i)
nleste negativ dar cre¸ ste (ˆ ın valoare
absolut˘ a) continuu, structura primelor subnivele, prove nite din despicarea
nivelelor de energie Enl, funct ¸ie de parametrul ξeste cea din ﬁgura 3.19.
266

Figura 3.16
Succesiunea nivelelor 1s1/2,1p3/2¸ si1p1/2ˆ ın urm˘ atoarele situat ¸ii:
a) parametrul ξeste negativ;
b) parametrul ξeste pozitiv
Figura 3.17
Spectrul energetic al nucleelor de5Li¸ si5He
Figura 3.18
Conﬁgurat ¸ia nucleonilor nucleului5Hepe nivelele uniparticul˘ a
pentru starea fundamental˘ a (a) ¸ si pentru prima stare exci tat˘ a (b)
267

Figura 3.19
Despicarea nivelelor uniparticul˘ a ˆ ın funct ¸ie de t˘ aria cuplajului
spin-orbit˘ a
Figura 3.20
Prezentarea calitativ˘ a a gropii de potent ¸ial coespunz˘ a toare
cˆ ampului selfconsistent pentru neutroni ¸ si, respectiv, pentru
protoni
268

Din ﬁgur˘ a rezult˘ a c˘ a dac˘ a ξnl=ξnl1succesiunea nivelelor este astfel ˆ ıncˆ at
se reproduc numerele magice 2, 8, 20, 28, 50 etc., pe cˆ and pen truξnl=ξnl2
aceast˘ a succesiune conduce la numerele magice 6, 14, 16, 38 , 44, 50, etc.,
ˆ ın dezacord cu datele experimentale. In concluzie, numai p entru valori ξnl
negative, dar bine precizate, se obt ¸ine succesiunea de niv ele, notate cu:
nlj (3.45)
care reproduce numerele magice. Parametrul ξnldepinde de forma ¸ si t˘ aria
potent ¸ialului Vso(r) din relat ¸ia (3.35). Multiplele date experimentale condu c
la ideea c˘ a ¸ si acest potent ¸ial, ca ¸ si potent ¸ialul Vi(r) din relat ¸ia (3.35), se
poate scrie ˆ ın funct ¸ie de potent ¸ialul Woods-Saxon, din ( 3.20), astfel:
V=−V0f(r,R0,a) +b/vectorl/vector sV01
rd
drf(r,R0,a) +VCoul.(3.46)
cu:
f(r,R0,a) =1
1 +er−R0
a(3.47)
¸ si:
VCoul=

(Z−1)e2
2R0(3−(r
R0)2) pentru r≤R0
(Z−1)e2
rpentrur>R 0(3.48)
In relat ¸ia (3.46), VCoul.reprezint˘ a potent ¸ialul coulombian deﬁnit ca e-
nergia coulombian˘ a de interact ¸ie a unui proton (protonul ”i” care se mi¸ sc˘ a in-
dependentˆ ın cˆ ampul selfconsistent al celorlalt ¸i nucle oni) cu restul de protoni
uniform distribuit ¸i ˆ ıntr-o sfer˘ a de raz˘ a R0. Fire¸ ste, potent ¸ialul coulombian
intervine numaiˆ ın cazul deﬁnirii spectrului uniparticul ˘ a pentru protoni. Ca-
litativ groapa de potent ¸ial corespunz˘ atoare cˆ ampului s elfconsistent pentru
neutroni ¸ si, respectiv, pentru protoni, este prezentat˘ a ˆ ın ﬁgura 3.20. Can-
titativ, potent ¸ialul din ﬁgura (3.20), matematic exprima t de relat ¸ia (3.46),
este deﬁnit de urm˘ atoarele valori:
V(n)
0= 53/parenleftbigg
1 + 0.63N−Z
A/parenrightbigg
(MeV), V(p)
0= 53/parenleftbigg
1−0.63N−Z
A/parenrightbigg
(MeV)
(3.49)
R0= 1.28A1/3(F) ;a= 0.65F;b= 0.263/parenleftbigg
1 + 2N−Z
A/parenrightbigg
(F2)
Ace¸ sti parametri conduc la o succesiune de nivele uniparti cul˘ a ˆ ın acord
cu cele mai multe date experimentale.
269

Figura 3.21
Spectrul uniparticul˘ a pentru protoni ¸ si neutroni rezult at prin
utilizarea potent ¸ialului deﬁnit de relat ¸ia (3.46) ¸ si pa rametrii din
relat ¸ia (3.49)
270

Figura 3.22
Succesiunea posibil˘ a a nivelelor uniparticul˘ a protonic e ˆ ın funct ¸ie
de valorile parametrilor ce deﬁnesc potent ¸ialul din relat ¸ia (3.46)
Spectrul energetic obt ¸inut pentru protoni ¸ si, respectiv , pentru neutroni,
cu potent ¸ialul din relat ¸ia (3.46) ¸ si parametrii deﬁnit ¸ i de relat ¸ia (3.49) este
reprodus ˆ ın ﬁgura 3.21. Se constat˘ a o u¸ soar˘ a modiﬁcare ˆ ın succesiunea
nivelelor uniparticu˘ a protonice ¸ si neutronice pentru nu cleele cu N sau/¸ si Z
mai mari ca 50. Mai facem ¸ si precizarea c˘ a succesiunea ¸ si ” gruparea ener-
getic˘ a” a nivelelor uniparticul˘ a pentru nucleele cu N sau /¸ si Z mai mici ca
50 sunt put ¸in sensibile la modiﬁcarea parametrilor deﬁnit ¸i de relat ¸ia (3.49)
(desigur avem ˆ ın vedere modiﬁc˘ ari ˆ ın limite rezonabile d in punct de vedere
ﬁzic); modiﬁcarea acestor parametri poate conduce ˆ ıns˘ a l a alte grup˘ ari de
nivele ¸ si o alt˘ a succesiune pentru cazul nucleelor cu N, Z >50. Fire¸ ste,
parametrii potent ¸ialului se aleg astfel ˆ ıncˆ at succesiu nea nivelelor unipar-
ticul˘ a s˘ a corespund˘ a situat ¸iei experimentale. Din p˘ a cate nu exist˘ a nuclee
stabile cuZ >82 ¸ si ca atare ˆ ınc˘ a nu ¸ stim care este urm˘ atorul num˘ ar ma gic
pentru protoni. In fond nu ¸ stim nici dac˘ a pentru nucleele f oarte grele (nu-
clee supergrele) cu Z >100 mai exist˘ a sau nu p˘ aturi?! In orice caz, printr-o
u¸ soar˘ a modiﬁcare a parametrilor din relat ¸ia (3.49), ˆ ın special a parametrilor
care deﬁnesc potent ¸ialul coulombian, s-ar putea obt ¸ine o deplasare a nivelu-
lui 1i13/2ˆ ın sus fat ¸˘ a de nivelul 3 p1/2(ﬁgura 3.21) ca ˆ ın ﬁgura 3.22a sau o
regrupare de nivele 1 h9/2,2f7/2,1i13/2ca ˆ ın ﬁgura 3.22b. In cazul din
ﬁgura 3.22a urm˘ atorul num˘ ar magic ar ﬁ 112 pe cˆ and ˆ ın cazu l din ﬁgura
3.22b acest num˘ ar magic ar ﬁ 114. Cele mai multe calcule teor etice ca ¸ si
unele dovezi experimentale pledeaz˘ a pentru valoarea Z=11 4. In mod si-
milar se deduce c˘ a urm˘ atorul num˘ ar magic neutronic, dup˘ a num˘ arul 126,
este N=184. Dac˘ a aceste estim˘ ari sunt corecte rezult˘ a c˘ a nucleul supergreu
271

298
114X184este un nucleu dublu magic care ar trebui s˘ a ﬁe destul de stab il.
Deoarece ¸ si nucleele vecine acestuia sunt de asemenea rela tiv stabile, s-a
ajuns la concluzia c˘ a exist˘ a o ”insul˘ a de nuclee” centrat e ˆ ın jurul nucleului
cu Z=114 ¸ si N=184 destul de stabile, cu propriet˘ at ¸i exoti ce, care ar putea ﬁ
sintetizateˆ ın laborator sau care ar trebui s˘ a existeˆ ın n atur˘ a. Despre aceast˘ a
”insul˘ a de stabilitate a nucleelor supergrele” se va vorbi ˆ ın capitolul destinat
ﬁsiunii nucleare (partea a II-a). Acum ne rezum˘ am ˆ ın a prec iza, cu rezervele
care rezult˘ a din discut ¸ia de mai sus, c˘ a potent ¸ialul din (3.46) cu parametri
deﬁnit ¸i ˆ ın relat ¸ia (3.49) este corect ¸ si deci spectrul e nergetic din ﬁgura 3.21
este de asemenea corect. Referitor la acest spectru dorim s˘ a subliniem faptul
c˘ a spre deosebire de ﬁzica atomic˘ a unde num˘ arul cuantic ” n” este ”num˘ arul
cuantic principal” care deﬁne¸ ste ˆ ın esent ¸˘ a energia niv elelor atomice ˆ ın cazul
nucleului num˘ arul cuantic ”n” deﬁne¸ ste numai ordinea niv elelor uniparticul˘ a
pentru diferite valori l ¸ si j.
Din ﬁgura 3.21 rezult˘ a c˘ a ad˘ augarea interact ¸iei spin-o rbit˘ a permite o
succesiune de nivele care reproduce numerele magice cunosc ute experimen-
tal. Aceast˘ a succesiune de nivele nu este ˆ ıns˘ a suﬁcient˘ a pentru a explica
¸ si alte propriet˘ at ¸i ale nucleelor ca spinul, paritatea, etc. Intr-adev˘ ar, s˘ a
presupunem, pentru simplitate, c˘ a determinarea diferite lor propriet˘ at ¸i ale
nucleelor necesit˘ a luarea ˆ ın considerare numai a nucleon ilor aﬂat ¸i ˆ ın afara
nivelelor complete. Admit ¸ˆ and aceast˘ a ipotez˘ a rezult˘ a c˘ a propriet˘ at ¸ile nucle-
ului16
8Ovor ﬁ deﬁnite de ultimii trei neutroni ce se g˘ asesc pe nivelu l 1d5/2.
Fiecare neutron va avea momentul cinetic 5/2 iar momentul ci netic total al
nucleului (spinul) va rezulta din suma vectorial˘ a:
/vectorI=/vector5
2+/vector5
2+/vector5
2(3.50)
Se poate demonstra c˘ a din ansamblul valorilor posibile ce r ezult˘ a din aceast˘ a
relat ¸ie numai valorile:
I= 3/2,5/2,9/2 (3.51)
corespund unor funct ¸ii total antisimetrice. Dac˘ a admite m c˘ a cei trei neu-
troni sunt independent ¸i, energia st˘ arilor care au pentru spin valorile deﬁnite
de relat ¸ia de mai sus este aceea¸ si ¸ si ca atare nu se poate pr eciza care este
spinul st˘ arii fundamentale; numai considerarea interact ¸iei reziduale, negli-
jat˘ a ˆ ın acest model, ridic˘ a degenerarea st˘ arilor de spi n I=3/2, 5/2, 9/2 ¸ si
astfel se va putea stabili spinul st˘ arii fundamentale ¸ si, eventual, al primelor
dou˘ a st˘ ari excitate. Considerarea interact ¸iei rezidua le implic˘ a ˆ ıns˘ a calcule
laborioase care pot ﬁ part ¸ial evitate prin introducerea un or ipoteze supli-
mentare. Astfel, ˆ ın varianta simpliﬁcat˘ a a modelului p˘ a turilor nucleare se
272

introduce ipoteza ”uniparticul˘ a” care genereaz˘ a modelu l ˆ ın p˘ aturi ”unipar-
ticul˘ a”.
3.2.3 Varianta uniparticul˘ a a modelului ˆ ın p˘ aturi, (MPS )
Este o variant˘ a simpliﬁcat˘ a a modelului p˘ aturilor nucle are pentru nuclee
sferice ˆ ın care se evit˘ a considerarea interact ¸iei rezid uale prin introducerea
ipotezei uniparticul˘ a care se enunt ¸˘ a astfel:
In starea fundamental˘ a a nucleelor impare tot ¸i nucleonii , cu
except ¸ia ultimului nucleon impar, formeaz˘ a un miez de spi n total
I=0 care nu inﬂuent ¸eaz˘ a propriet˘ at ¸ile nucleului (spin i, momente
electrice ¸ si magnetice, probabilit˘ at ¸i de tranzit ¸ie, e tc.); aceste pro-
priet˘ at ¸i sunt ˆ ın exclusivitate determinate de ultimul n ucleon im-
par.
Aceast˘ a ipotez˘ a a rezultat ca o consecint ¸˘ a a observat ¸i ei experimentale
conform c˘ areia spinul st˘ arilor fundamentale ale nucleel or par-pare (p-p) este
zero. Aceast˘ a ipotez˘ a se justiﬁc˘ a ¸ si teoretic ﬁind o con secint ¸˘ a a consider˘ arii
interact ¸iei reziduale.
Luˆ and ˆ ın considerare interact ¸ia rezidual˘ a se demonstr eaz˘ a c˘ a
pentru un ansamblu de (2j+1) nucleoni identici, aﬂat ¸i pe ni velul
cu numerele cuantice (nlj), singura funct ¸ie total antisimetric˘ a
este funct ¸ia de moment cinetic l=0. Se spune c˘ a ace¸ sti nuc le-
oni formeaz˘ a o ”conﬁgurat ¸ie complet˘ a” ¸ si se noteaz˘ a cu simbolul
(j)2j+1.Sistemul de n nucleoni, cu n<2j+ 1, aﬂat ¸i pe nivelul
cu numerele cuantice (nlj) formeaz˘ a o conﬁgurat ¸ie (j)n.
Pornind de la faptul c˘ a o conﬁgurt ¸ie complet˘ a are I=0 se
demonstreaz˘ a c˘ a ordinea, succesiunea energetic˘ a ¸ si sp inii nivelelor
sistemului:
(j1)2j1+1,(j2)2j2+1, …(jk)2jk+1,(j)n(3.52)
format din k conﬁgurat ¸ii complete plus n nucleoni pe nivelu l j
(n<2j+1) sunt acelea¸ si ca ¸ si pentru conﬁgurt ¸ia (j)n. Contribut ¸ia
celor k conﬁgurat ¸ii complete const˘ a ˆ ın ad˘ augarea unui t ermen
energetic constant la ﬁecare nivel energetic al conﬁgurat ¸ iei(j)n.
Se constat˘ a de asemenea c˘ a starea de energie minim˘ a (star ea
fundamental˘ a) a sistemului de nucleoni deﬁnit de relat ¸ia (3.52),
ˆ ıntre care exist˘ a interact ¸ie biparticul˘ a de scurt˘ a di stant ¸˘ a (consi-
derat˘ a adesea de tip δ-funct ¸ie) corespunde spinului I=0 pentru n
273

par ¸ si spinului I=j pentru n impar. Corect ¸ia de energie a st ˘ arii
fundamentale, fat ¸˘ a de energia st˘ arilor nedegenerate al e sistemu-
lui(j)nformat din nucleoni independent ¸i, este dat˘ a de relat ¸ia:
δEI=0=−n
2/parenleftbigg2j+ 1
2/parenrightbigg
w=−n
2Pj;n= par
(3.53)
δEI=j=−n−1
2/parenleftbigg2j+ 1
2/parenrightbigg
w=−n−1
2Pj;n= impar
ˆ ın care w este o integral˘ a radial˘ a independent˘ a de j. Din relat ¸ia
de mai sus rezult˘ a c˘ a ˆ ın prezent ¸a interact ¸iei rezidual e starea e-
nergetic˘ a minim˘ a (fundamental˘ a) este aceea pentru care nucle-
onii sunt grupat ¸i ˆ ın perechi, pentru formarea unei perech i ﬁind
necesar˘ a energia:
Pj=2j+ 1
2w (3.54)
In continuare vom axamina ”gradul de aplicabilitate” al var iantei unipar-
ticul˘ a pentru descrierea diferitelor propriet˘ at ¸i ale n ucleelor.
3.2.3.1 Spinii ¸ si parit˘ at ¸ile st˘ arilor fundamentale.
a). Cazul nucleelor par-pare (p-p) Conform ipotezei uniparticul˘ a spinul
st˘ arii fundamentale a nucleelor p-p este zero iar paritate a este poz-
itiv˘ a. Acest rezultat, ce se veriﬁc˘ a experimental f˘ ar˘ a except ¸ie, nu
poate ﬁ considerat ca o conﬁrmare a modelului c˘ aci de fapt to cmai
constatarea experimental˘ a a acestui adev˘ ar a stat la baza formul˘ arii
ipotezei uniparticul˘ a.
b). Cazul nucleelor cu A impar (A-i) In acest caz spinul st˘ arii funda-
mentale I este egal cu momentul cinetic j al nucleonului impa r iar
paritatea este dat˘ a de ( −)lˆ ın care l este momentul orbital al nucleonu-
lui impar. Aceast˘ a regul˘ a se conﬁrm˘ a aproape pentru toat e nucleele
u¸ soare cu except ¸ia unor nuclee cu num˘ arul de nucleoni A ˆ ı n jur de 20.
Pentru nucleele mai grele except ¸iile se refer˘ a la nucleel e pentru care N
¸ si Z satisfac valorile:
63≤Z≤73 ;Z≥89
89≤N≤107 ;N≥141 (3.55)
274

Se constat˘ a c˘ a aceste nuclee care fac except ¸ie ˆ ın majori tatea cazurilor
au un moment cuadrupolar diferit de zero ﬁind deci nuclee def ormate
pentru care modelul prezentat nu este adecvat. Preciz˘ am to tu¸ si c˘ a
except ¸ii de la regula de mai sus se ˆ ınˆ alnesc ¸ si ˆ ın cazul u nor nuclee
sferice. Aceste ultime except ¸ii pot ﬁ ˆ ıns˘ a explicate cal itativ ˆ ın cadrul
modelului MPS prin folosirea unor considerente simple priv ind energia
de ˆ ımperechere Pjdeﬁnit˘ a de relat ¸ia (3.54).
Intr-adev˘ ar, ˆ ın acord cu relat ¸ia (3.54) rezult˘ a c˘ a ene r-
gia nivelului ˆ ın care se t ¸ine cont de interact ¸ia rezidual ˘ a este
mai mic˘ a decˆ at energia nivelului corespunz˘ ator nucleon ilor
independent ¸i; aceast˘ a energie este cu atˆ at mai mic˘ a cu c ˆ at
num˘ arul de perechi este mai mare ¸ si cu cˆ at momentul ci-
netic j al nucleonilor care se cupleaz˘ a ˆ ın perechi este mai
mare c˘ aciPj2> P j1dac˘ aj2> j1. S˘ a consider˘ am dou˘ a
nivele uniparticul˘ a succesive Ej1¸ siEj2cuj2>j1¸ si un nu-
cleu al c˘ arui ultim nucleon impar se g˘ ase¸ ste pe nivelul Ej1
(cerculet ¸ul ˆ ınnegrit din ﬁgura 3.23). In nucleul impar im e-
diat urm˘ ator (care difer˘ a cu doi nucleoni fat ¸˘ a de nucleu l
considerat c˘ aci studiem nucleele cu A-impar) cei doi nucle –
oni suplimentari se dispun pe nivelele de moment j1¸ sij2
astfel ˆ ıncˆ at conﬁgurat ¸ia rezulltat˘ a s˘ a ﬁe cea mai favo rabil˘ a
din punct de vedere energetic. Pot exista trei conﬁgurat ¸ii :
(j1)3, (j1)2j2¸ sij1(j2)2(ﬁgura 3.23) ale c˘ aror energii vor ﬁ:
E[(j1)3] = 3Ej1−Pj1
E[(j1)2j2] = 2Ej1+Ej2−Pj1 (3.56)
E[j1(j2)2] =Ej1+ 2Ej2−Pj2
Folosind relat ¸ia (3.56) rezult˘ a imediat relat ¸iile:
E[j1(j2)2]−E[(j1)3] = 2(Ej2−Ej1)−(Pj2−Pj1)
(3.57)
E[(j1)2j2]−E[(j1)3] =Ej2−Ej1>0
Dac˘ a momentul j2este mai mare decˆ at j1(j2≫j1) este
foarte posibil ca s˘ a ﬁe ˆ ındeplinit˘ a condit ¸ia:
Pj2−Pj1>2(Ej2−Ej1) (3.58)
In acest caz din relat ¸ia (3.57) rezult˘ a condit ¸ia:
E[j1(j2)2]<E[(j1)3]<E[(j1)2j2] (3.59)
275

Figura 3.23
Conﬁgurat ¸iile de nucleoni:
a)(j1)3; b)(j1)2j2; c)j1(j2)2
relat ¸ie ce arat˘ a c˘ a este favorizat˘ a conﬁgurat ¸ia j1(j2)2prezen-
tat˘ a ˆ ın ﬁgura 3.23c. Ad˘ augarea a ˆ ınc˘ a doi nucleoni va co n-
duce, repetˆ and rat ¸ionamentul, la umplerea tot a nivelulu ij2,
adic˘ a va ﬁ favorizat˘ a conﬁgurat ¸ia j1(j2)4, s.a.m.d. pˆ an˘ a la
umplerea complet˘ a a nivelului j2. Abia dup˘ a umplerea aces-
tui nivel uniparticul˘ a se va umple ¸ si nivelul cu j1. O astfel
de situat ¸ie se realizeaz˘ a la umplerea nivelelor:
3s1/2→2d3/2→1h11/2
3p1/2→1i13/2 (3.60)
ˆ ın acord cu schema de nivele uniparticul˘ a neutronice din
ﬁgura 3.21. In tabelul 3.2 este exempliﬁcat˘ a aceast˘ a situ at ¸ie
pentru prima secvent ¸˘ a din relat ¸ia (3.60). Astfel, ˆ ın lo c ca
nucleul117
50Sns˘ a ﬁe populat cu 2 neutroni pe nivelul uni-
particul˘ a 3s1/2¸ si un neutron pe nivelul 2d3/2,umplerea se
realizeaz˘ a astfel ˆ ıncˆ at spinul este 1/2 deoarece neutro nul im-
par se aﬂ˘ a pe nivelul 3s1/2.La fel se ˆ ıntˆ ampl˘ a ¸ si ˆ ın cazul
celorlalte nuclee pˆ an˘ a la nucleul135Baˆ ın care se realizeaz˘ a
popularea complet˘ a a nivelelor 1h11/2¸ si3s1/2ˆ ıncˆ at neu-
tronul impar se aﬂ˘ a pe nivelul 2d3/2.
276

Tabelul 3.2
Nucleul N Z Iexp conﬁgurat ¸ia
2d5/21g7/23s1/22d3/21h11/2
117Sn 67 50 1/2 6 8 1 0 2
119Sn 69 50 1/2 6 8 1 0 4
123Te 71 52 1/2 6 8 1 0 6
125Te 73 52 1/2 6 8 1 0 8
129Xe 75 54 1/2 6 8 1 0 10
135Ba 79 56 3/2 6 8 2 1 12
Fire¸ ste succesiunea de umplere prezentat˘ a ˆ ın tabelul 3. 2
este adev˘ arat˘ a dac˘ a condit ¸ia (3.58) esteˆ ındeplinit˘ a. In cazul
ˆ ın care este ˆ ındeplinit˘ a condit ¸ia:
Ej2−Ej1<Pj2−Pj1<2(Ej2−Ej1) (3.61)
atunci, repetˆ and rat ¸ionamentul de mai sus, se constat˘ a
c˘ a are loc relat ¸ia:
E[(j1)3]<E[j1(j2)2]<E[(j1)2j2] (3.62)
care arat˘ a c˘ a este favorizat˘ a conﬁgurat ¸ia (j1)3(ﬁgura 3.23a).
In general, umplerea nivelului j1va continua pˆ an˘ a la re-
alizarea conﬁgurat ¸iei (j1)2j1Ad˘ augarea a ˆ ınc˘ a doi protoni
sau neutroni este exclus˘ a datorit˘ a principiului Pauli ¸ s i ca
atare favorizat˘ a va ﬁ conﬁgurat ¸ia:
E[(j1)2j1(j2)2]<E[(j1)2j1+1j2] (3.63)
Acest caz se realizeaz˘ a la umplerea nivelelor neutronice d in
secvent ¸a:
2d5/2→1g7/2 (3.64)
¸ si a celor protonice din secvent ¸a:
2p3/2→1f5/2 (3.65)
ˆ ın acord cu ﬁgura 3.21. Acest caz este ilustrat ˆ ın tabelul 3 .3
277

Tabelul 3.3
Nucleul N Z Iexp conﬁgurat ¸ia
2p3/21f5/22p1/2
63Cu 34 29 3/2 1
69Ga 38 31 3/2 3
75As 42 33 3/2 3 2
79Br 44 35 3/2 3 4
81Rb 44 37 3/2 3 6
89Y 50 39 1/2 4 6 1
Din tabelul 3.3 se constat˘ a c˘ a dup˘ a umplerea conﬁgurat ¸i ei
(j1)2j1= (p3/2)3a ˆ ınceput umplerea nivelului 1f5/2ceea ce
explic˘ a valoarea 3/2 a spinului observat experimental pen tru
nucleele Ga, As, Br ¸ si Rb.
In sfˆ ar¸ sit, ˆ ın cazul;
Ej2−Ej1>Pj2−Pj1 (3.66)
se demonstreaz˘ a u¸ sor relat ¸ia:
E[(j1)3]<E[(j1)2j2]<E[j1(j2)2] (3.67)
In acest caz, prin ad˘ augarea de doi nucleoni, umplerea are
loc astfel ˆ ıncˆ at se completeaz˘ a ˆ ın totalitate nivelul j1¸ si apoi
urmeaz˘ a completarea nivelului superior c˘ aci are loc ineg ali-
tatea:
E[(j1)2j1+1j2]<E[(j1)2j1j2
2] (3.68)
In acest caz se realizeaz˘ a ”ordinea normal˘ a” de umplere a
nivelelor uniparticul˘ a
In general, considerˆ and ”corecte” ¸ si cazurile care pot ﬁ e xplicate prin
considerarea energiei de ˆ ımperechere, se poate aﬁrma c˘ a v arianta uni-
particul˘ a prezice corect spinul ¸ si paritatea st˘ arilor f undamentale pen-
tru nucleele cu A impar.
c). Cazul nucleelor impar-impare (i-i) In acest caz modelul MPS in-
dic˘ a doar faptul c˘ a starea fundamental˘ a va ﬁ descris˘ a at ˆ at de protonul
impar cu numerele cuantice ( nplpjp) cˆ at ¸ si de neutronul impar de
278

numere cuantice ( nnlnjn). Pentru majoritatea nucleelor, cu except ¸ia
nucleelor foarte u¸ soare, are loc relat ¸ia ( nplpjp)/ne}ationslash= (nnlnjn) c˘ aci
umplerea nivelelor neutronice se face mai repede decˆ at a ce lor proton-
ice. Pentru aceste nuclee paritatea st˘ arii fundamentale v a ﬁ dat˘ a de
produsul (−1)lp(−1)lniar spinul, deoarece principiul Pauli nu impune
nicio restrict ¸ie (ˆ ıntrucˆ at protonul ¸ si neutronul sunt particule diferite),
poate avea oricare din valorile:
|jn−jp|≤I≤jn+jp (3.69)
Fire¸ ste, tot considerarea interact ¸iei reziduale poate p reciza care din
aceste valori corespunde st˘ arii fundamentale. Pentru a ev ita acest
calcul Nordheim a propus o regul˘ a semiempiric˘ a care are la baz˘ a
observat ¸ia c˘ a starea stabil˘ a a sistemului proton-neutr on (deuteronul)
corespunde orient˘ arii paralele a spinilor celor doi nucle oni. Regula lui
Nordheim aﬁrm˘ a c˘ a spinul st˘ arii fundamentale se determi n˘ a dup˘ a cum
urmeaz˘ a:
a).Dac˘ a:
jp=lp±1/2
jn=ln∓1/2(3.70)
atunci spinul nucleului se determin˘ a conform relat ¸iei:
I=|jp−jn| (3.71)
b).Dac˘ a:
jp=lp±1/2
jn=ln±1/2(3.72)
atunci spinul nucleului este dat de relat ¸ia:
I=jp+jn (3.73)
In ambele cazuri se constat˘ a c˘ a are loc cuplarea momentelo rjp¸ sijn
astfel ˆ ıncˆ at spinii protonului ¸ si neutronului s˘ a ﬁe par aleli. Regula de-
scris˘ a de cazul a) se mai nume¸ ste ¸ si ”regula tare” dat ﬁind faptul c˘ a se
veriﬁc˘ a aproape ˆ ın toate cazurile iar regula b) care impli c˘ a mai multe
except ¸ii se mai nume¸ ste ¸ si ”regula slab˘ a”. S˘ a exempliﬁ c˘ am folosirea
acestor reguli pentru determinarea spinului st˘ arii funda mentale a nu-
cleului42
19K23. Deoarece ( nnlnjn)=(1f7/2) ¸ si ( nplpjp)=(1d3/2)
(ﬁgura 3.21) rezult˘ a c˘ a ne g˘ asim ˆ ın situat ¸ia exprimat˘ a de regula a)
279

¸ si deci spinul, ˆ ın acord cu relat ¸ia (3.71), va ﬁ: I=|jp−jn|= 2
iar paritatea este dat˘ a de produsul parit˘ at ¸ilor neutron ului, rspectiv,
protonului, impar: ( −)2·(−)3=−1. Prin urmarea starea funda-
mental˘ a a nucleului42Kare spinul 2 ¸ si paritatea negativ˘ a, ˆ ın acord
cu datele experimentale. Desigur, exemplele pot continua, important
este s˘ a subliniem ideea c˘ a determinarea spinilor st˘ aril or fundamentale
pentru nuclee i-i, conform regulilor de mai sus, nu este o con secint ¸˘ a
direct˘ a a modelului p˘ aturilor nucleareˆ ın varianta unip articul˘ a ci este o
consecint ¸˘ a a acestui model la care s-a ad˘ augat o condit ¸i e suplimentar˘ a
rezultat˘ a din observat ¸ii experimentale, condit ¸ie intr odus˘ a de Nordheim
pentru a evita considerarea interact ¸iilor reziduale.
3.2.3.2 Spinii ¸ si parit˘ at ¸ile st˘ arilor excitate.
a). Cazul nucleelor par-pare. St˘ arile excitate se obt ¸in prin excitarea suc-
cesiv˘ a (sau simultan˘ a) a nucleonilor pe nivele unipartic ul˘ a libere. In
cazul nucleelor p-p, cu conﬁgurat ¸ia dat˘ a de relat ¸ia (3.5 2) cun<2j+1,
st˘ arile excitate rezult˘ a din interact ¸ia celor n nucleon i extra conﬁgurat ¸ii
complete. Fire¸ ste, modelul MPS nu poate preciza succesiun ea aces-
tor st˘ ari. In schimb, dac˘ a n=2j+1, adic˘ a nucleul p-p este format
din conﬁgurat ¸ii complete, prima stare excitat˘ a a acestui nucleu va
corespunde diferent ¸ei dintre energia urm˘ atorului nivel liber ¸ si ener-
gia ultimului nivel total ocupat cu nucleoni ˆ ın starea fund amental˘ a.
In particular, dac˘ a ˆ ın starea fundamental˘ a nucleul este format din
conﬁgurat ¸ii complete care realizeaz˘ a una sau mai multe p˘ aturi com-
plete, energia promei s˘ ari excitate va ﬁ relativ mare c˘ aci corespunde
diferent ¸ei de energie dintre dou˘ a p˘ aturi succesive. A¸ s a se explic˘ a de
fapt energia mare a primei st˘ ari excitate a nucleelor par-p are dublu
magice (ﬁgura 3.4) ˆ ın comparat ¸ie cu energia aceleea¸ si st ˘ ari pentru nu-
cleele par-pare vecine. Modelul MPS nu furnizeaz˘ a alte inf ormat ¸ii
pentru st˘ arile excitate ale nucleelor p-p f˘ ar˘ a introduc erea unor ipoteze
suplimentare.
b). Cazul nucleelor cu A impar. Conform variantei uniparticul˘ a este de
a¸ steptat ca primele st˘ ari excitate s˘ a corespund˘ a excit ˘ arii nucleonului
impar indiferent de faptul c˘ a pe ultimul nivel uniparticul ˘ a se aﬂ˘ a un
nucleon sau n nucleoni (n impar). In realitate, conform celo r precizate
mai sus, dac˘ a pe ultimul nivel se aﬂ˘ a mai mult ¸i nucleoni (n =3, 5, 7, …)
st˘ arile excitate vor ﬁ obt ¸inute prin considerarea intera ct ¸iei reziduale
dintre ace¸ sti nucleoni ( a se vedea relat ¸iile (3.50) ¸ si (3 .51) ¸ si comen-
280

tariile corespunz˘ atoare). Este evident c˘ a interact ¸ia r ezidual˘ a poate
ﬁ evitat˘ a numai ˆ ın cazul nucleelor impare cu un singur nucl eon ex-
tranivele complete. Mai mult, datele experimentale arat˘ a c˘ a aﬁrmat ¸ia
de mai sus este ¸ si mai corect˘ a ˆ ın cazul nucleelor cu un nucl eon ex-
trap˘ aturi complete ca de exemplu:17
8O(un neutron extrap˘ aturilor
complete formate din 8 neutroni),17
9F(un proton extra Z=8),43
21Se
(un proton extra Z=20),41
20Ca(un neutron extra N=20),57
28Ni(un
neutron extra N=28),209
82Pb(un neutron extra N=126),209
83Bi(un
proton extra Z=82), etc. St˘ arile excitate, obt ¸inute prin plasarea suc-
cesiv˘ a a nucleonului extrap˘ atur˘ a pe nivele superioare l ibere, se numesc
st˘ ari obt ¸inute prin ”excitare succesiv˘ a”. Spectrul exp erimental al
primelor st˘ ari excitate pentru nucleele57
28Ni¸ si209
82Pbeste reprodus
ˆ ın ﬁgura 3.24. Conform modelului MPS al 29-lea neutron al nu cleu-
lui57Nise aﬂ˘ a pe nivelul 2 p3/2(ﬁgura 3.21) ¸ si are spinul ¸ si paritatea
3/2−. Prin excitarea succesiv˘ a a ultimului neutron se vor obt ¸i ne st˘ arile
5/2−(1f5/2),1/2−(2p1/2),9/2+(1g9/2), etc. Din ﬁgur˘ a se constat˘ a
c˘ a starea fundamental˘ a ca ¸ si primele dou˘ a st˘ ari excita te sunt bine de-
scrise de ”excitarea succesiv˘ a” a neutronului impar. In mo d similar, ˆ ın
cazul nucleului209Pb, al 127-lea neutron se g˘ ase¸ ste, init ¸ial, pe starea
2g9/2¸ si prin excitarea lui succesiv˘ a se va aﬂa pe nivelele unipa rticul˘ a
1i11/2,3d5/2,2g7/2,3d3/2,1j15/2, 4s1/2, etc. Aceste st˘ ari se
reg˘ asesc ˆ ın spectrul experimental al nucleului209Pb(ﬁgura 3.24) cu
unele invers˘ ari (nivelul 1 j15/2se aﬂ˘ aˆ ınainte nivelului 3 d5/2) care se pot
explica prin considerarea energiei de ˆ ımperechere exprim at˘ a de relat ¸ia
(3.54). Din ﬁgura 3.24 se constat˘ a c˘ a ¸ si pentru nucleele c u un nucleon
extrap˘ aturi complete, pentru care modelul MPS furnizeaz˘ a cele mai
bune rezultate, exist˘ a totu¸ si o serie de st˘ ari care nu pot ﬁ descrise
ˆ ın cadrul modelului. Cauza esent ¸ial˘ a const˘ a ˆ ın faptul c˘ a ˆ ın modelul
MPS ”miezul par-par”, magic ˆ ın exemplele de mai sus, este co nsiderat
total inert. Luarea ˆ ın considerare a posibilelor excit˘ ar i ”colective” ale
miezului, corelate cu excitarea succesiv˘ a sau simultan˘ a a unuia sau a
mai multor nucleoni permite explicarea ¸ si a celorlalte st˘ ari din spectrul
energetic experimental, atˆ at pentru nucleele exempliﬁca te mai sus cˆ at
¸ siˆ ın general. Oricum primele st˘ ari excitate, de regul˘ a st˘ arile cu energii
de excitare pˆ an˘ a la 1 ÷2 MeV, care corespund energiei de excitare a
miezului colectiv, sunt satisf˘ ac˘ ator descrise de modelu l uniparticul˘ a ˆ ın
cazul nucleelor cu un nucleon extramiez dublu magic.
Modelul MPS furnizeaz˘ a informat ¸ii similare ¸ si pentru nu cleele mag-
ice, sau dublu magice, cu un nucleon mai put ¸in. In aceste caz uri se
281

obi¸ snuie¸ ste ca ˆ ın loc de a preciza lipsa unui nucleon s˘ a s e aﬁrme c˘ a
nucleul respectiv are o ”gaur˘ a” pe nivelul ˆ ın care lipse¸ s te nucleonul.
Astfel, ˆ ın loc s˘ a preciz˘ am lipsa unui nucleon pe nivelul 1 p1/2ˆ ın cazul
nucleului15
7Nse aﬁrm˘ a c˘ a acest nucleu are o gaur˘ a pe nivelul 1 p1/2.
In mecanica cuantic˘ a se demonstreaz˘ a c˘ a ”gaura” poate ﬁ c onsiderat˘ a
ca un ”antinucleon” (a se vedea paragraful 2.4.3) cu aceea¸ s i mas˘ a ¸ si
spin ca ¸ si nucleonul dar de sarcin˘ a opus˘ a. In astfel de nuc lee excit˘ arile
se realizeaz˘ a prin deplasarea ”g˘ aurii” pe nivelele unipa rticul˘ a libere;
se obt ¸in st˘ ari excitate de ”tip gaur˘ a”. Pentru exempliﬁc are s˘ a con-
sider˘ am nucleul85
36Krcare are un neutron mai put ¸in fat ¸˘ a de num˘ arul
magic N=50. In acord cu spectrul uniparticul˘ a din ﬁgura 3.2 1, ultimii
11 neutroni ai acestui nucleu sunt plasat ¸i astfel: doi neut roni se aﬂ˘ a
pe nivelul 2 p1/2iar ceilalt ¸i 9 sunt plasat ¸i pe nivelul 1 g9/2. Dac˘ a st˘ arile
excitate s-ar obt ¸ine prin ”excitarea succesiv˘ a” a nucleo nului impar ar
trebui ca un neutron de pe nivelul 1 g9/2s˘ a treac˘ a pe nivelul 2 d5/2
care apart ¸ine unei alte p˘ aturi ¸ si apoi pe alte nivele ale a cestei p˘ aturi.
Prin astfel de excit˘ ari prima stare excitat˘ a ar ﬁ fost 5 /2+¸ si ar ﬁ avut
o energie mare, egal˘ a cu diferent ¸a energetic˘ a dintre cel e dou˘ a p˘ aturi.
Aceste considerat ¸ii teoretice sunt inﬁrmate experimenta l, prima stare
excitat˘ a a nucleului85Kravˆ and o energie relativ mic˘ a (0.305 MeV)
¸ si spinul 1/2−(ﬁgura 3.25). Situat ¸ia experimental˘ a este u¸ sor de ex-
plicat dac˘ a admitem c˘ a gaura de pe nivelul 1 g9/2(ﬁgura 3.26a) trece
pe nivelul 2 p1/2(ﬁgura 3.26b). Dac˘ a situat ¸ia din ﬁgura 3.26 se real-
izeaz˘ a atunci starea fundamental˘ a va avea spinul ¸ si pari tatea 9/2+iar
cea excitat˘ a 1 /2−ˆ ın acord cu datele experimentale. Din acest exemplu
rezult˘ a c˘ a excit˘ arile de tip gaur˘ a se realizeaz˘ a prin d eplasarea g˘ aurii de
pe nivelul pe care se g˘ ase¸ ste pe nivelele inferioare care a part ¸in aceleea¸ si
p˘ aturi. Cˆ and deplasarea g˘ aurii nu mai este posibil˘ a are loc trecerea
unui nucleon de pe un nivel al p˘ aturii ˆ ın discut ¸ie pe unul d in nivelele
libere ale p˘ aturii superioare; st˘ arile obt ¸inute prin ac este ”excit˘ ari suc-
cesive” vor avea o energie mare de excitat ¸ie. In acest conte xt, starea
5/2+a nucleului85Krobt ¸inut˘ a prin deplasarea neutronului aﬂat pe
nivelul 1g9/2pe nivelul 2 d5/2este posibil˘ aˆ ıns˘ a nu va corespunde primei
st˘ ari excitate a nucleului85Krci unei st˘ ari excitate de energie relativ
mare.
c). Cazul nucleelor impar-impare (i-i). In cazul acestor nuclee, con-
form ipotezei uniparticul˘ a, primele st˘ ari excitate se po t obt ¸ine prin
excitarea individual˘ a atˆ at a protonului cˆ at ¸ si a neutro nului sau prin
excitarea lor simultan˘ a. In oricare din aceste situat ¸ii s t˘ arile excitate
282

Figura 3.24
Spectrul energetic experimental pentru nucleele57
28Ni¸ si209
82Pb
Figura 3.25
Starea fundamenta˘ a ¸ si prima stare excitat˘ a a nucleului85Kr
Figura 3.26
Conﬁgurat ¸ia nucleonilor pentru starea fundamenta˘ a (a) ¸ si pentru
prima stare excitat˘ a pentru85Kr
283

Figura 3.27
Tranzit ¸ia gama de multipol L ˆ ıntre st˘ arile nucleare Iπi
i¸ siIπf
f
vor ﬁ deﬁnite, ˆ ın cea mai fericit˘ a situat ¸ie, de interact ¸ ia dintre protonul
¸ si neutronul impar ¸ si deci de cuplajul vectorial al moment elor cinetice
ale lor. Ca ¸ si ˆ ın cazul st˘ arii fundamentale, modelul MPS n u poate
stabili nici succesiunea energetic˘ a a st˘ arilor excitate ¸ si nici spinii ¸ si
parit˘ at ¸ile acestor st˘ ari. Numai prin considerarea inte ract ¸iei reziduale
se obt ¸in informat ¸iile necesare pentru aceste nuclee.
3.2.3.3 St˘ ari izomere.
Se numesc st˘ ari izomere st˘ arile nucleare excitate care au un timp mediu de
viat ¸˘ a deosebit de mare ( >10−10) pentru dezexcit˘ arile gamma. Experient ¸a
arat˘ a c˘ a st˘ arile izomere apart ¸in totdeauna nucleelor c are se grupeaz˘ a ˆ ın cea
de a doua jum˘ atate a p˘ aturilor majore care au pentru Z sau/¸ si N valorile:
39≤NsauZ≤39
63≤NsauZ≤81 (3.74)
91≤NsauZ
Aceste grup˘ ari de st˘ ari izomere poart˘ a denumirea de ”ins ule de izomerie”.
In capitolul consacrat dezexcit˘ arii gamma (partea a II-a) se va ar˘ ata c˘ a prob-
abilitatea tranzit ¸iilor gamma de multipol L depinde de ene rgia de tranzit ¸ie
Eγ(exprimat˘ a ˆ ın MeV) conform relat ¸iei aproximative:
P(L)∼/parenleftbiggEγ
197/parenrightbigg2L+1
(3.75)
ˆ ın care momentul cinetic (multipolul) L al radiat ¸iei gama se deﬁne¸ ste ˆ ın
funct ¸ie de spinul st˘ arii init ¸iale Ii¸ si al st˘ arii ﬁnale If, ˆ ıntre care se realizeaz˘ a
tranzit ¸ia, (ﬁgura 3.27) prin relat ¸ia:
|Ii−If|≤L≤Ii+If (3.76)
284

Figura 3.28 Mometul cinetic L pentru tranzit ¸iile gama ˆ ınt re
st˘ arile 1g9/2¸ si2p1/2
Tranzit ¸iile gama, pentru ﬁecare moment cinetic L, se clasi ﬁc˘ aˆ ın tranzit ¸ii
electrice (EL) ¸ si magnetice (ML) ˆ ın acord cu legea de conse rvare a parit˘ at ¸ii,
astfel:
πiπf=πradiat ¸ie=/braceleftBigg
(−1)L→EL
(−1)L+1→ML(3.77)
Relat ¸ia (3.77) arat˘ a c˘ a ˆ ın funct ¸ie de valoarea produsu lui parit˘ at ¸ilor st˘ arilor
ˆ ıntre care se realizeaz˘ a tranzit ¸ia ( πiπf) ¸ si valorile L permise de relat ¸ia (3.76),
se selecteaz˘ a tranzit ¸iile:
M1 +E2 +M3 +E4 +… dac˘ aπiπf= +1
E1 +M2 +E3 +M4 +… dac˘ aπiπf=−1 (3.78)
Din aceast˘ a succint˘ a trecere ˆ ın revist˘ a rezult˘ a urm˘ a toarele: pentru ca o
stare nuclear˘ a excitat˘ a s˘ a ﬁe izomer˘ a, adic˘ a s˘ a aibe u n timp mediu de viat ¸˘ a
mare fat ¸˘ a de dezexcitarea gama (ceea ce este echivalent cu a aﬁrma c˘ a
probabilitatea de tranzit ¸ie gama este mic˘ a) este necesar ca diferent ¸a de
energie dintre nivelele ˆ ıntre care se face tranzit ¸ia s˘ a ﬁ e mic˘ a iar diferent ¸a
dintre momentele cinetice ale st˘ arilor init ¸iale ¸ si ﬁnal e s˘ a ﬁe cˆ at mai mare.
Este exact situat ¸ia care se ralizeaz˘ a la succesiunea de ni vele uniparticul˘ a la
ˆ ınchiderea p˘ aturilor protonice:
2p1/2→1g9/2; 3s1/2→1h11/2; 3p1/2→1i13/2… (3.79)
sau neutronice:
2p1/2→1g9/2; 2d3/2→1h11/2;; 3p1/2→1i13/2… (3.80)
Intr-adev˘ ar, nucleele impare cu Z sau N ≥39 vor avea ˆ ın starea funda-
mental˘ a spinul ¸ si paritatea 1 /2−(2p1/2) sau 9/2+(1g9/2) (datorit˘ a energiei
de ˆ ımperechere) iar ˆ ın prima stare excitat˘ a aceste valor i vor ﬁ 9/2+sau,
285

respectiv, 1 /2−(ﬁgura 3.28); diferent ¸a energetic˘ a ˆ ıntre aceste st˘ ari , ˆ ın acord
cu ﬁgura 3.21, este mic˘ a. In acord cu relat ¸iile (3.76) ¸ si ( 3.78) vor ﬁ emise
tranzit ¸ii gama:
M4 +E5 (3.81)
care, conform relat ¸iei (3.75), vor ﬁ foarte put ¸in probabi le. In mod analog,
pentru tranzit ¸iile nucleonului impar ˆ ıntre nivelele 3 s1/2→1h11/2¸ si 3p1/2→
1i13/2se realizeaz˘ a tranzit ¸iile E5+M6 ¸ si, respectiv, tranit ¸ iile M6+E7 c˘ arora
le corespunde o probabilitate de tranzit ¸ie gama ¸ si mai mic ˘ a ˆ ın comparat ¸ie
cu tranzit ¸iile precedente. Din considerentele prezentat e mai sus rezult˘ a c˘ a
modelul MPS descrie corect existent ¸a insulelor de izomeri e pentru nucleele
cu Z ¸ si N care satisfac valorile precizate ˆ ın relat ¸ia (3.7 4).
3.2.3.4 Reguli de select ¸ie ˆ ın dezintegr˘ arile β¸ siα.
In capitolul 1, cu diferite prilejuri, s-au prezentat sumar procesele de dez-
integrareβ¸ siα; teoria acestor procese va ﬁ abordat˘ a ˆ ın partea a II-a a
lucr˘ arii unde se vor stabili, pe lˆ ang˘ a alte relat ¸ii, ¸ si regulile de select ¸ie core-
spunz˘ atoare acestor procese. Acum, f˘ ar˘ a a apela la relat ¸ii cantitative, vom
ar˘ ata c˘ a modelul MPS permite ˆ ınt ¸elegerea calitativ˘ a a condit ¸iilor care fa-
vorizeaz˘ a sau nu aceste procese. S˘ a exempliﬁc˘ am aceast˘ a aﬁrmat ¸ie pentru
urm˘ atoarele procese de dezintegrare:
17
9Fβ+
→17
😯 (3.82)
123
50Snβ−
→123
51Sb (3.83)
In primul cz dezintegrarea β+are loc prin transformarea celui de al 9-lea
proton al nucleului17
9F(ﬁgura 3.29) ˆ ın al 9-lea neutron al nucleului17
8O.
Conform modelului ˆ ın p˘ aturi protonul ¸ si neutronul impli cat ¸i ˆ ın acest pro-
ces se g˘ asesc pe nivelele uniparticul˘ a 1 d5/2. Ca urmare, ˆ ın aceast˘ a trans-
formare nu se modiﬁc˘ a nici momentul de spin (I este 5/2 pentr u ambele
nuclee) ¸ si nici momentul orbital (l=2). In consecint ¸˘ a ac east˘ a transformare
se realizeaz˘ a f˘ ar˘ a modiﬁcarea spinului ¸ si a parit˘ at ¸i i (∆I= 0,∆π= 0) ¸ si
deoarece st˘ arile init ¸iale ¸ si ﬁnale corespunz˘ atoare ac estei transform˘ ari sunt
foarte asem˘ an˘ atoare (aceste st˘ ari difer˘ a numai prin fa ptul c˘ a protonul s-a
transformat ˆ ın neutron; deoarece numerele lor cuantice su nt identice pro-
tonul ¸ si neutronul se comport˘ a la fel din punct de vedere nu clear) este de
presupus c˘ a procesul discutat se realizeaz˘ a cu mare proba bilitate, adev˘ ar ce
este conﬁrmat experimental.
In exemplul prezentatˆ ın relat ¸ia (3.83), cel de al 73-lea n eutron al123
50Sn73
care se g˘ ase¸ ste pe nivelul uniparticul˘ a 1 h11/2(I=11/2, l=5) se transform˘ a ˆ ın
286

Figura 3.29
Conﬁgurat ¸ia neutronilor, respectiv a protonilor, ˆ ın nuc leele17F¸ si
17O
Figura 3.30
Conﬁgurat ¸ia ultimilor 23 de neutroni ˆ ın nucleul Sn ¸ si a ul timilor
11 protoni ˆ ın nucleul Sb
al 51-lea proton al nucleului123
51Sbcare se aﬂ˘ a pe nivelul uniparticul˘ a 1 g7/2
(I=7/2, l=4) (ﬁgura 3.30). Prin aceast˘ a transformare spin ul se modiﬁc˘ a
cu dou˘ a unit˘ at ¸i (∆ I= 2) iar momentul cinetic orbital cu o unitate (∆ l=
1) ceea ce conduce la modiﬁcarea parit˘ at ¸ii. Prin aceast˘ a transformare a
neutronului ˆ ın proton, st˘ arile init ¸ial˘ a ¸ si ﬁnal˘ a dif er˘ a atˆ at structural (o alt˘ a
a¸ sezare (conﬁgurat ¸ie) a nucleonilor pe nivele unipartic ul˘ a) cˆ at ¸ si din punct
de vedere al numerelor cuantice. In aceste condit ¸ii este de presupus c˘ a
transformarea nucleului123Snˆ ın nucleul123Sbeste put ¸in probabil˘ a, ceea ce
se conﬁrm˘ a experimental. Din considerentele calitative d e mai sus rezult˘ a
c˘ a transform˘ arile βcare se fac f˘ ar˘ a modiﬁcarea spinului ¸ si a parit˘ at ¸ii sun t
foarte probabile.
O discut ¸ie similar˘ a se poate face ¸ si pentru procesul de de zintegrareα.
Reamintim c˘ a particula αeste un nucleu format din doi protoni ¸ si doi neu-
287

troni cuplat ¸i la momentul cinetic de spin egal cu zero ( Iα= 0). Fire¸ ste,
pentru ca particula αs˘ a ﬁe emis˘ a este necesar ca aceasta s˘ a se formeze ˆ ın
prealabil ˆ ın nucleul respectiv din doi protoni ¸ si din doi n eutroni. Desigur,
nu este exclus˘ a formarea particulei αˆ ın ”interiorul nucleului” dar parcursul
acesteia ˆ ın nucleu este atˆ at de mic ˆ ıncˆ at este greu de pre supus c˘ a aceast˘ a
particul˘ a va putea p˘ ar˘ asi nucleul. Din acest motiv este d e presupus c˘ a partic-
uleleαemise de nucleele α-radioactive se formeaz˘ a la ”suprafat ¸a” nucleului
din nucleonii periferici, deci din nucleonii aﬂat ¸i pe ulti mele nivele unipar-
ticul˘ a. In cazul unui nucleu impar formarea particulei αeste diﬁcil˘ a deoarece
nucleonul impar trebuie s˘ a se cupleze, la un moment cinetic total egal cu
zero, cu un alt nucleon situat, evident pe alt nivel uniparti cul˘ a periferic dar
care s˘ a aibe acela¸ si moment /vectorjca ¸ si nucleonul init ¸ial (dac˘ a momentele /vectorjale
celor dou˘ a nivele difer˘ a, ele nu se pot cupla la momentul ci netic total egal cu
zero). Din motive similare, formarea particulei αˆ ın cazul nucleelor impar-
impare este ¸ si mai put ¸in probabil˘ a. Este evident c˘ a form area particulelor
αˆ ın cazul nucleelor par-pare este ˆ ıns˘ a mult mai probabil˘ a c˘ aci nucleonii
sunt deja cuplat ¸i ˆ ın perechi de moment cinetic zero pe ﬁeca re nivel unipar-
ticul˘ a. Ca o consecint ¸˘ a a discut ¸iilor calitative de mai sus este de a¸ steptat ca
nucleele grele par-pare s˘ a emit˘ a cu cea mai mare probabili tate particule α
ˆ ın comparat ¸ie cu nucleele vecine par-impare, impar-pare sau impar-impare.
Aceast˘ a concluzie rezultat˘ a calitativ se conﬁrm˘ a exper imental. Totu¸ si mod-
elul MPS nu permite ¸ si stabilirea unor relat ¸ii cantitativ e corecte pentru
procesul de dezintegrare αpentru simplul motiv c˘ a nucleele α-emit ¸˘ atoare
sunt nuclee deformate pe cˆ and modelul MPS este adecvat pent ru descrierea
nucleelor sferice.
3.2.3.5 Momentele magnetice pentru st˘ arile fundamentale .
Conform variantei uniparticul˘ a nucleele par-pare au mome ntul de spin zero
¸ si ca atare momentul lor magnetic, ˆ ın acord cu relat ¸ia (1. 176) este zero.
Momentul magnetic al nucleelor impare este deﬁnit de nucleo nul impar ˆ ın
acord cu relat ¸iile (1.221) pe care le reproducem ¸ si cu aces t prilej astfel:
µI=gIµNI=

(lgl+1
2gS)µN pentruI=l+1
2
((l+ 1)gl−1
2gS)2l−1
2l+1µNpentruI=l−1
2(3.84)
ˆ ın care factorii giromagnetici gl¸ sigSpentru protoni (p) ¸ si pentru neutroni
(n) au valorile:
gp
l= 1 ;gn
l= 0
gp
S≈5.58 ;gn
S≈−3.82 (3.85)
288

Valorile momentelor magnetice calculate conform relat ¸ii lor (3.84), pen-
tru nucleele cu A impar ˆ ın care protonul sau neutronul impar se aﬂ˘ a pe
diferite nivele uniparticul˘ a (lj) sunt reproduse ˆ ın tabe lul 3.4 ¸ si graﬁc ˆ ın
ﬁgura 1.40 prin curbe continui care, dup˘ a cum s-a precizat l a momentul re-
spectiv, se numesc curbele lui Schmidt. In tabelul 3.4 momen tele magnetice
sunt exprimateˆ ın magnetoni nucleari iarˆ ın ﬁgura 1.40 cur bele teoretice sunt
comparate cu valorile experimentale .
Tabelul 3.4
Nuclee cu Z impar Nuclee cu N impar
I=j=l+1/2 I=j=l-1/2 I=j=l+1/2 I=j=l-1/2
s1/22.79 s1/2-1.91
p3/23.79p1/2-0.26p3/2-1.91p1/20.63
d5/24.79d3/20.12d5/2-1.91d3/21.14
f7/25.79f5/20.86f7/2-1.91f5/21.37
g9/26.79g7/21.71g9/2-1.91g7/21.49
h11/27.79h9/22.62h11/2-1.91h9/21.56
Din ﬁgur˘ a se constat˘ a c˘ a momentele magnetice experiment ale, cu except ¸ia
celor corespunz˘ atoare nucleelor3H,3He,15N¸ si13C, se aﬂ˘ aˆ ıntre curbele lui
Schmidt ﬁind ˆ ıntotdeauna ˆ ın vecin˘ atatea uneia dintre el e. Diferent ¸a ˆ ıntre
valorile experimentale ¸ si cele calculate constituie o ”m˘ asur˘ a” a validit˘ at ¸ii
modelului MPS. O cauz˘ a posibil˘ a a diferent ¸ei dintre valo rile experimenatale
¸ si teoretice pentru momentul magnetic dipolar ar putea ﬁ le gat˘ a de faptul
c˘ a momentele magnetice ale nucleonilor din nucleu nu coinc id cu valorile
momentelor magnetice ale nucleonilor liberi. In fond s-ar p utea considera c˘ a
valorile momentelor magnetice ale nucleonilor din nucleu s unt incluse ˆ ıntre
limitele:
1µN≤µp≤2.79µN−→2≤gp
s≤5.58
−1.91µN≤µn≤0.−→− 3.82≤gn
s≤0. (3.86)
¸ si astfel s-ar obt ¸ine un acord mai bunˆ ıntre teorie ¸ si exp eriment. Dac˘ a aceast˘ a
cauz˘ a este discutabil˘ a ˆ ın schimb ipoteza c˘ a miezul par- par al nucleului cu
A impar este inert este f˘ ar˘ a ˆ ındoial˘ a incorect˘ a. Consi derarea contribut ¸iei
”colective” a miezului va ﬁ analizat˘ a ˆ ın paragraful 3.4.2 .2.
289

3.2.3.6 Momentele cuadrupolare pentru st˘ arile fundament ale.
Ca
¸ si ˆ ın cazul momentelor magnetice, momentul cuadrupolar a l nucleelor par-
pare este zero. Acest rezultat este adev˘ arat pentru nuclee le par-pare sferice.
Ment ¸ion˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a exist˘ a multe nuclee par-pare puter nic deformate pentru
care momentul cuadrupolar este diferit de zero. Modelul MPS prevede un
moment cuadrupolar egal cu zero ¸ si pentru nucleele cu A impa r, dac˘ a ultimul
nucleon este un neutron. Pentru nucleele cu A impar, dar nucl eonul este un
proton, modelul MPS prezice existent ¸a unui moment cuadrup olar care se
poate calcula cu ajutorul relat ¸iei:
Q0,I=j=∓<r2>2j−1
2(j+ 1)(3.87)
ˆ ın care< r2>este raza medie p˘ atratic˘ a a protonului ˆ ın starea caracte –
rizat˘ a de momentul cinetic j ¸ si poate ﬁ aproximat˘ a cu 3 R2/5. Existent ¸a
momentului cuadrupolar pentru nucleele cu proton impar (sa u o gaur˘ a pro-
tonic˘ a (ﬁgura 3.31b)) se explic˘ a prin aceea c˘ a ˆ ın mi¸ sca rea sa protonul (sau
gaura) poate creea o asimetrie de sarcin˘ a care are drept con secint ¸˘ a defor-
marea nucleului. In sensul acestor considerente calitativ e, semnul ”+” din
relat ¸ia (3.87) corespunde unui nucleu cu ”gaur˘ a” protoni c˘ a iar semnul ”-”
corespunde unui nucleu cu un proton impar. Experient ¸a arat ˘ a ˆ ıntr-adev˘ ar
(ﬁgura 1.50) c˘ a momentele cuadrupolare ale nucleelor medi i ¸ si grele schimb˘ a
semnul atunci cˆ and num˘ arul de nucleoni are valori apropia te de numerele
magice; nucleele cu un nucleon lips˘ a fat ¸˘ a de num˘ arul mag ic corespunz˘ ator
(deci o gaur˘ a) au moment cuarupolar pozitiv ( Q >0) iar cele cu un pro-
ton suplimentar au moment cuadrupolar negativ ( Q <0). Formula (3.87)
explic˘ a aceast˘ a schimbare de semn ¸ si este ˆ ın acord cu val orile experimentle
pentru nucleele care difer˘ a de nucleele dublu magice cu un p roton sau cu o
gaur˘ a protonic˘ a dup˘ a cum se constat˘ a ¸ si din tabelul 3.5 pentru nucleele39K
(gaur˘ a protonic˘ a) ¸ si209Bi(un proton extra-miez dublu magic). In schimb,
pentru celelalte situat ¸ii formula (3.87) esteˆ ın dezacor d cu datele experimen-
tale, dup˘ a cum se poate constata ¸ si din tabelul 3.5. Nici co nsiderarea a n
protoni (sau g˘ auri) extranivele complete, care generaliz eaz˘ a relat ¸ia (3.87)
astfel:
Q0,I=j=∓<r2>2j−1
2(j+ 1)/parenleftbigg
1−2(n−1)
2j−1/parenrightbigg
(3.88)
nu conduce la un acord satisf˘ ac˘ ator ˆ ıntre teorie ¸ si expe riment a¸ sa cum se
constat˘ a din tabelul 3.5 pentru nucleul175Lucare este un nucleu puternic
deformat.
290

Figura 3.31
Momentul cuadrupolar pentru nucleele sferice cu un proton ( a)
sau cu o gaur˘ a protonic˘ a (b)
Tabelul 3.5
Nucleul Z N I Q0exp(F2)QMPS(F2)Q0exp/QMPS
17O 8 9 5/2 -2.6 -0.1 20
39K 19 20 3/2 5.5 5.0 1
135Lu 71 104 7/2 560.0 -25.0 -20
209Bi 83 126 9/2 -35.0 -30.0 1
Modelul MPS, dup˘ a cum am precizat, prevede valoarea zero, s au o val-
oare foarte mic˘ a, pentru nucleele impare ˆ ın care ultimul n ucleon este un
neutron de¸ si, ˆ ın realitate multe astfel de nuclee au un mom ent cuadrupo-
lar foarte mare a¸ sa cum rezult˘ a din tabelul 3.5 pentru nucl eul17O. Valori
foarte mari pentru momentul cuadrupolar au aproape toate nu cleele cu mai
mult ¸i neutroni extrap˘ aturi complete. Subliniem faptul c ˘ a nucleele cu mai
mult ¸i protoni sau/¸ si neutroni extrap˘ aturi complete sun t nuclee puternic de-
formate; pentru astfel de nuclee modelul MPS este total nead ecvat pentru
deﬁnirea momentului cuadrupolar. Din discut ¸ia de mai sus r ezult˘ a c˘ a mo-
mentul cuadrupolar este o caracteristic˘ a esent ¸ialmente ”colectiv˘ a” a nucle-
ului ¸ si ca atare nu poate ﬁ descris satisf˘ ac˘ ator ˆ ın cadru l modelului p˘ aturilor
nucleare indiferent de variantele posibile ale acestui mod el.
3.2.4 Varianta uniparticul˘ a pentru nucleele permanent de –
formate (MPD)
Varianta uniparticul˘ a MPS prezentat˘ a ˆ ın paragraful pre cedent explic˘ a sa-
tisf˘ ac˘ ator propriet˘ at ¸ile unor nuclee sferice cu un nuc leon sau o gaur˘ a ex-
291

Figura 3.32
Nucleul este asimilat cu un elipsoid de rotat ¸ie
trap˘ aturi complete sau chiar ¸ si pentru celelalte nuclee s ferice sau foarte
put ¸in deformate. Subliniem din nou c˘ a varianta unipartic ul˘ a MPS nu trebuie
confundat˘ a cu moelul p˘ aturilor nucleare care, prin consi derarea interact ¸iei
reziduale, este un model destul de soﬁsticat din punct de ved ere matematic
dar ¸ si destul de exact ˆ ın descrierea multor propriet˘ at ¸i ale nucleelor sferice
sau aproape sferice. Nici modelul p˘ aturilor nucleare, ca s ˘ a nu mai vorbim
de varianta uniparticul˘ a MPS, nu reu¸ se¸ ste ˆ ıns˘ a s˘ a des crie propriet˘ at ¸ile nu-
cleelor permanent deformate. Este ¸ si ﬁresc s˘ a ﬁe a¸ sa deoa rece ˆ ın modelul
p˘ aturilor nucleare se consider˘ a apriori c˘ a nucleul are o form˘ a sferic˘ a ¸ si deci
¸ si cˆ ampul selfconsistent corespunz˘ ator are simetrie sf eric˘ a.
In cazul nucleelor permanent deformate este ﬁresc s˘ a se pre supun˘ a c˘ a
mi¸ scarea independent˘ a a nucleonilor se faceˆ ıntr-un cˆ a mp selfconsistent care-
¸ si pierde simetria sferic˘ a ¸ si care va depinde de forma nuc leului deformat.
Desigur, nucleele pot avea diferite forme (deform˘ ari) ˆ ın starea de echilibru
ˆ ıns˘ a cea mai simpl˘ a ¸ si, posibil, cea mai probabil˘ a este cea a unui elipsoid
de rotat ¸ie ˆ ın jurul axei Oz (ﬁgura 3.32). Suprafat ¸a, ¸ si d eci forma acestui
elipsoid, se poate deﬁni prin relat ¸ia:
R(θ) =R0(1 +β Y20(θ)) (3.89)
ˆ ın careβeste coeﬁcientul (parametrul) de deformare.
Construirea modelului p˘ aturilor nucleare pentru nuclee p ermanent de-
formate urmeaz˘ a aceea¸ si procedur˘ a ca ¸ si cea din cazul nu cleelor sferice.
Diferent ¸a de fond const˘ a ˆ ın deﬁnirea cˆ ampului selfcons istent pentru nucle-
ele nesferice. Pentru a deﬁni acest cˆ amp s˘ a remarc˘ am c˘ a ˆ ın cazul nucle-
elor sferice acest cˆ amp este deﬁnit de relat ¸ia (3.46) ˆ ın c are forma sferic˘ a
a nucleului se reﬂect˘ a prin aceea c˘ a raza R0a nucleului este o constant˘ a.
Aceast˘ a constatare ne permite s˘ a intuim c˘ a generalizare a energiei potent ¸iale
292

din relat ¸ia (3.46) pentru cazul nucleelor deformate const ˘ a ˆ ın substituirea
razei constante R0, care deﬁne¸ ste o suprafat ¸˘ a sferic˘ a, cu raza care deﬁne¸ ste
suprafat ¸a nucleului deformat. In particular, pentru nucl eul de forma repro-
dus˘ a ˆ ın ﬁgura 3.32 raza R0se va ˆ ınlocui cu R(θ) din relat ¸ia (3.89). Prin
aceast˘ a substitut ¸ie factorul de form˘ a f(r, R 0, a) din relat ¸ia (3.47), care,
reamintim, se mai nume¸ ste ¸ si factorul de form˘ a Woods-Sax on, devine:
f(r, R(θ), a) =1
1 +er−R(θ)
a=1
1 +er−R0
ae−R0βY20
a≈ (3.90)
≈1
1 +er−R0
a−R0βY20d
dr/parenleftBigg
1
1 +er−R0
a/parenrightBigg
=f(r, R0a)−R0β Y20d
drf(r, R0, a)
Aceast˘ a relat ¸ie s-a obt ¸inut considerˆ and c˘ a parametru l de deformare β
este mic. Fire¸ ste, pentru valoarea β= 0 factorul de form˘ a f(r, R(θ), a)
trece ˆ ın factorul de form˘ a f(r, R 0, a) caracteristic nucleelor sferice. Sub-
stituind aceast˘ a relat ¸ie ˆ ın (3.46) se obt ¸ine pentru cˆ a mpul selfconsistent al
nucleelor deformate urm˘ atoarea expresie:
V=−V0f(r, R(θ), a) +b/vectorl/vector sV0d
drf(r, R(θ), a) +VCoul.=
=−V0f(r, R0, a) +b/vectorl/vector sV01
rd
drf(r, R0, a) +V0R0βY20d
drf(r, R0, a)−
−b/vectorl/vector sV0R0βY201
rd2
dr2f(r, R0, a) +VCoul.(3.91)
Rezolvarea numeric˘ a a ecuat ¸iei Schr¨ odinger cu energia p otent ¸ial˘ a din
relat ¸ia de mai sus permite obt ¸inerea spectrului uniparti cul˘ a ¸ si apoi, ca ¸ si
ˆ ın cazul nucleelor sferice, se construie¸ ste modelul de p˘ aturi pentru nucleele
deformate. In ﬁnal se obt ¸ine spectrul uniparticul˘ a simil ar cu cel din ﬁgura
3.21, ˆ ın care nivelele uniparticul˘ a sunt ˆ ıns˘ a caracter izate de numerele cuan-
tice ce se conserv˘ a pentru potent ¸ialul din relat ¸ia (3.91 ). Care sunt aceste
numere cuantice ¸ si cum arat˘ a spectrul uniparticul˘ a pent ru potent ¸ialul din
relat ¸ia (3.91)? Fire¸ ste, r˘ aspunsul exact se obt ¸ine pri n rezolvarea matema-
tic˘ a, numeric˘ a, a ecuat ¸ie Schr¨ odinger pentru potent ¸i alul din relat ¸ia (3.91)
urmat˘ a de ”matematica” aferent˘ a problemelor cuantice de acest gen. In con-
tinuare vom ˆ ıncerca s˘ a evit˘ am calculele matematice spec iﬁce ¸ si s˘ a ˆ ıncerc˘ am
s˘ a r˘ aspundem la ˆ ıntreb˘ arile de mai sus pe baza unor consi derente ﬁzice.
Reamintim ˆ ın primul rˆ and c˘ a introducerea interact ¸iei s pin-orbit˘ a a con-
dus la despicarea ﬁec˘ arui nivel cu un moment orbital l ﬁxat ¸ si cu un grad
de degenerare 2(2l+1) ˆ ın dou˘ a (sub)nivele caracterizate prin momentul ci-
neticj=l±1/2, ﬁecare (sub)nivel avˆ and un grad de degenerare mai mic ¸ si
293

egal cu 2j+1. A¸ sadar, potent ¸ialul spin-orbit˘ a a ridicat part ¸ial gradul de de-
generare. Aceast˘ a aﬁrmat ¸ie este general˘ a ˆ ın mecanica c uantic˘ a ˆ ın sensul c˘ a
introducerea unui potent ¸ial suplimentar (o interact ¸ie s uplimentar˘ a) conduce
la ridicarea part ¸ial˘ a sau chiar total˘ a a degener˘ arii. A nalizˆ and relat ¸ia (3.91)
se constat˘ a o similitudine ˆ ıntre potent ¸ialul spin-orbi t˘ a ¸ si potent ¸ialul depen-
dent de parametrul de deformare β. Din considerentele precizate mai sus
rezult˘ a c˘ a potent ¸ialul dependent de deformare reduce ˆ ı n continuare gradul
de degenerare ¸ si ca atare ﬁecare nivel cu un moment j dat (pen truβ= 0)
se va despica ˆ ıntr-un num˘ ar oarecare de (sub)nivele. Din p unct de vedere
ﬁzic aceast˘ a despicare suplimentar˘ a este u¸ sor de ˆ ınt ¸e les. Intr-adev˘ ar, ˆ ın
cazul potent ¸ialului cu simetrie sferic˘ a ( β= 0 ˆ ın relat ¸ia (3.91)) momentul
cinetic j se conserv˘ a ¸ si invariant ¸a sa la rotat ¸ie implic ˘ a faptul c˘ a st˘ arile cu
−j≤mj≤j, deci 2j+1 st˘ ari, au aceea¸ si energie. In cazul potent ¸ial ului
din relat ¸ia (3.91), pentru parametrul βdiferit de zero se p˘ astreaz˘ a numai
invariant ¸a la rotat ¸ie ˆ ın jurul axei de simetrie Oz. Ca urm are, momentul
cinetic j execut˘ a o mi¸ scare de precesie ˆ ın jurul axei de si metrie (ﬁgura 3.33)
care are drept consecint ¸˘ a faptul c˘ a valoarea medie a comp onentei perpen-
diculare a lui j pe axa de simetrie <j⊥>este zero; observabil˘ a va ﬁ numai
componenta longitudinal˘ a < m j>a momentului j care, pentru nucleele
deformate, se noteaz˘ a adesea cu num˘ arul cuantic K. A¸ sada r, ˆ ın acest cˆ amp
momentul j nu mai este o observabil˘ a a mi¸ sc˘ arii ci proiect ¸ia sa pe axa de
simetrie K, care poate lua 2j+1 valori egale cu −j≤K≤+j. Deoarece
nucleul din ﬁgura 3.32 prezint˘ a ¸ si simetrie la reﬂexie fat ¸˘ a de planul xOy
rezult˘ a c˘ a st˘ arile cu valoarea K ¸ si -K (ﬁgura 3.34) au ace ea¸ si energie. Din
considerentele de simetrie de mai sus rezult˘ a c˘ a ﬁecare ni vel cu un momet
j ﬁxat pentru parametrul β= 0 se va despica pentru parametrul βdiferit
de zero ˆ ın (2j+1)/2 (sub)nivele, ﬁecare ﬁind deﬁnit de num˘ arul cuantic K
deﬁnit de relat ¸ia:
K=j, j−1, …,1/2 (3.92)
Paritatea tuturor nivelelor cu valoarea K deﬁnit˘ a de relat ¸ia (3.92) este
dat˘ a de (−1)lˆ ın care l este momentul orbital care deﬁne¸ ste momentul j
(j=l±1/2). Ordinea nivelelor cu diferitele valori K din (3.92) depi nde de
valoarea pozitiv˘ a (nuclee prolate) sau negativ˘ a (nuclee oblate) a parametru-
luiβ. Pentru nucleele prolate, ca cel din ﬁgura 3.32 ( β < 0) calculele
numerice arat˘ a c˘ a (sub)nivelele cu valoarea K mai mic˘ a au o energie mai
mic˘ a ¸ si sunt dispuse ca ˆ ın ﬁgura 3.35. Din cele de mai sus re zult˘ a c˘ a
spectrul energetic uniparticul˘ a, ˆ ın funct ¸ie de paramet rul de deformare β,
arat˘ a, calitativ, ca ˆ ın ﬁgura 3.36 pentru primele cˆ ateva nivele uniparticul˘ a.
Aceast˘ a ﬁgur˘ a s-a obt ¸inut prin despicarea nivelului 1 d5/2ˆ ın trei (sub)nivele
294

Figura 3.33
Precesia momentului cinetic j ˆ ın jurul axei Oz conduce la
valoarea medie <j⊥>= 0
Figura 3.34
Simetria la reﬂexie fat ¸˘ a de palnul xOy
295

Figura 3.35
Despicarea nivelului de numere cuantice (lj) pentru β=0 ˆ ın
(2j+1)/2 (sub)nivele caracterizate prin num˘ arul cuantic K
cuKπ= 1/2+,3/2+.5/2+,s.a.m.d.
Pe ﬁecare nivel cu numerele cuantice Kπﬁxate se pot g˘ asi cel mult doi
nucleoni identici. Remarcˆ and asem˘ anarea ﬁgurii 3.36 cu ﬁ gura 3.19 s˘ a sub-
liniem ideea c˘ a, ca ¸ si ˆ ın cazul modelului p˘ aturilor nucl eare pentru nucleele
sferice, succesiunea de nivele uniparticul˘ a din ﬁgura 3.3 6 nu este suﬁcient˘ a
pentru stabilirea propriet˘ at ¸ilor nucleelor deformate. Pentru ca modelul s˘ a
devin˘ a funct ¸ional se apeleaz˘ a ﬁe la calculul interact ¸i ei reziduale ﬁe se intro-
duce ipoteza uniparticul˘ a prin care se postuleaz˘ a c˘ a pro priet˘ at ¸ile nucleelor
deformate sunt determinate de ultimul nucleon impar. In ace st fel varianta
uniparticul˘ a pentru nucleele deformate (MPD) devine prac tic funct ¸ional˘ a
numai pentru nucleele deformate cu A impar. Deoarece pe ﬁeca re nivel se
pot g˘ asi cel mult doi nucleoni, care realizeaz˘ a o conﬁgura t ¸ie complet˘ a, rezult˘ a
c˘ a ˆ ın cazul nucleelor impare avem totdeauna un nucleon ext raconﬁgurat ¸ie
complet˘ a. Este deci de presupus c˘ a gradul de ”prezicere” a l modelului
MPD este similar cu gradul de prezicere al modelului MPS pent ru nucleele
sferice cu un nucleon extraconﬁgurat ¸ie complet˘ a cˆ and, ˆ ın acord cu relat ¸iile
(3.5)÷(3.54) se poate evita calculul interact ¸iei reziduale.
Determinarea propriet˘ at ¸ilor nucleelor deformate se fac e dup˘ a aceea¸ si pro-
cedur˘ a ca ¸ si ˆ ın cazul nuclelor sferice. De exemplu, spect rul energetic al nu-
cleului deformat19
9Fse determin˘ a astfel: se stabile¸ ste mai ˆ ıntˆ ai valoarea
parametrului βdin valoarea exerimental˘ a a momentului cuadrupolar (para –
graful 1.8); ﬁe β1aceast˘ a valoare. Pentru aceast˘ a valoare (ﬁgura 3.36) se
construie¸ ste succesiunea de nivele uniparticul˘ a proton ice; aceast˘ a succesiune
ca ¸ si umplerea lor cu protoni pentru starea fundamental˘ a a nucleului19F
este redat˘ aˆ ın ﬁgura 3.37. Se constat˘ a c˘ a al 9-lea proton impar, care deﬁne¸ ste
propriet˘ at ¸ile acestui nucleu, se aﬂ˘ a pe nivelul Kπ= 1/2+. Conform ipotezei
296

Figura 3.36
Succesiunea energetic˘ a a nivelelor uniparticul˘ a, pentr u
potent ¸ialul din relat ¸ia (3.91), ˆ ın funct ¸ie de valoarea pozitiv˘ a a
parametrului de deformare β
Figura 3.37
Conﬁgurat ¸ia protonilor nucleului19Fpe nivele uniparticul˘ a
297

uniparticul˘ a rezult˘ a c˘ a spinul ¸ si paritatea sa ˆ ın star ea fundamental˘ a vor ﬁ
Iπ=Kπ= 1/2+. St˘ arile excitate vor corespunde excit˘ arii protonului i mpar
pe nivelele uniparticul˘ a cu Iπ= 3/2+,5/2+,1/2+,etc. Energiile aces-
tor st˘ ari se determin˘ a prin sumarea energiilor unipartic ul˘ a corespunz˘ atoare
modului concret de umplere al acestora cu protoni ¸ si neutro ni. Concordant ¸a
bun˘ a a modelului MPD cu valorile experimentale pentru spin ii ¸ si parit˘ at ¸ile
st˘ arilor fundamentale ale nucleelor u¸ soare deformate es te redat˘ a ˆ ın tabelul
3.6. Se remarc˘ am faptul c˘ a modelul MPS ar ﬁ prezis pentru sp inii acestor
nuclee valoarea 5/2 (nivelul 1 d5/2din ﬁgura 3.21) ˆ ın dezacord cu rezultatele
experimentale.
Tabelul 3.6
Nucleul Z N Iπ
expIπ
MPSIπ
MPD
19F 9 10 1/2+5/2+1/2+
21Ne 10 11 3/2+5/2+3/2+
21Na 11 10 3/2+5/2+3/2+
23Na 11 12 3/2+5/2+3/2+
23Mg 12 11 3/2+5/2+3/2+
Este cazul s˘ a preciz˘ am c˘ a nu totdeauna modelul MPD conduc e la de-
terminarea univoc˘ a a spinului. S˘ a presupunem, de exemplu , c˘ a parametrul
de deformare al nucleului19Far ﬁ fostβ2¸ si schema de nivele uniparticul˘ a
este cea din ﬁgura 3.36. In acest caz succesiunea de nivele pr otonice este
reprodus˘ a ˆ ın ﬁgura 3.38 ˆ ın care nivelele cu Kπ= 3/2−¸ siKπ= 1/2+au
aceea¸ si energie. Ca urmare cel de al 9-lea proton al nucleul ui19Fse poate
g˘ asi ﬁe pe nuvelul 1 /2+ﬁe pe nivelul 3 /2−. Modelul MPD nu poate preciza
ˆ ın aceast˘ a situat ¸ie care din cele dou˘ a valori este cea co rect˘ a. Aceast˘ a situat ¸ie
se ˆ ıntˆ ampl˘ a adesea ˆ ın special ˆ ın cazul nucleelor medii ¸ si grele cˆ and modelul
MPD indic˘ a pentru spinul ¸ si paritatea st˘ arii fundamenta le, cˆ at ¸ si pentru
primele dou˘ a st˘ ari excitate, dou˘ a, sau uneori chiar trei valori posibile. Este
de remarcat faptul c˘ a una din aceste valori corespunde cu si gurant ¸˘ a situat ¸iei
experimentale a¸ sa cum se poate constata din tabelul 3.7. Ch iar ¸ si cu rezer-
vele rezultate din discut ¸ia de mai sus se poate aﬁrma c˘ a mod elul MPD este
destul de util ˆ ın prezicerea spinilor ¸ si a parit˘ at ¸ilor s t˘ arilor fundamentale ¸ si
a primelor dou˘ a, trei st˘ ari excitate.
298

Figura 3.38
Succesiunea de nivele pentru β=β2. Nivelele uniparticul˘ a de
spin ¸ si paritate 3/2−¸ si1/2+au aceea¸ si energie
Tabelul 3.7
Nucleul Z N IexpIMPD
151Eu 63 88 5/2 3/2, 5/2
153Eu 63 90 5/2 5/2, 3/2
175Lu 71 104 7/2 7/2, 5/2
191Ir 77 114 3/2 3/2, 1/2, 11/2
… … … … …
155Gd 64 91 3/2 5/2, 3/2
157Gd 64 93 3/2 3/2, 5/2
173Yb 70 103 3/2 5/2
189Os 76 113 3/2 1/2, 3/2, 11/2
Ca ¸ si ˆ ın cazul modelului MPS, modelul MPD nu este adecvat, f ˘ ar˘ a in-
troducerea unor ipoteze suplimentare, pentru descrierea n ucleelor deformate
par-pare ¸ si impar-impare. Modelul, ca orice model ˆ ın p˘ at uri, nu conduce la
valori teoretice ale momentului cuadrupolar ˆ ın acord cu va lorile experimen-
tale. Nu insist˘ am c˘ aci determinarea diferitelor proprie t˘ at ¸i este similar˘ a cu
procedura folosit˘ aˆ ın cadrul modelului MPS ˆ ın schimb vom face urm˘ atoarele
preciz˘ ari:
A.Init ¸ial modelul uniparticul˘ a pentru nucleele permanent deformate
a fost dezvoltat de Nilsson care a folosit pentru potent ¸ial ul selfconsistent o
groap˘ a de oscilator cu simetrie axial˘ a, de adˆ ancime inﬁn it˘ a, la care a ad˘ augat
cuplajul spin-orbit˘ a. O secvent ¸˘ a din succesiunea de niv ele din schema Nils-
299

son, ˆ ın funct ¸ie de parametrul de deformare este redat˘ a ˆ ı n ﬁgura 3.39. In
modelul Nilsson num˘ arul cuantic K este notat cu Ω; pentru de form˘ ari mai
mari pe lˆ ang˘ a numerele cuantice K(Ω) ¸ siπsunt necesare ¸ si alte numere
cuantice pe care nu le preciz˘ am ˆ ıns˘ a c˘ aci nu sunt necesar e scopului pe care
ni l-am propusˆ ın aceast˘ a lucrare. Ment ¸ion˘ amˆ ıns˘ a c˘ a modelul Nilsson nu de-
scrie adecvat procesele ﬁzice ˆ ın care rolul principal este jucat de ”suprafat ¸a”
nucleului (emisia particulelor α, ﬁsiunea nuclear˘ a, etc.) dat˘ a ﬁind adˆ ancimea
inﬁnit˘ a a gropii de potent ¸ial a oscilatorului asimetric f olosit. Utilizarea unui
potent ¸ial ca cel deﬁnit ˆ ın relat ¸ia (3.91) cu raza deﬁnit˘ a ˆ ın (3.89) sau, ˆ ın
cazul mai general cu raza deﬁnit˘ a de relat ¸ia:
R(θ,ϕ) =R0
1 +/summationdisplay
l,mαlmYlm(θ,ϕ)
 (3.93)
conduce la ˆ ımbun˘ at˘ at ¸irea substant ¸ial˘ a a modelului.
B.Utilizarea modelului MPD pentru deform˘ ari mari, indifere nt de po-
tent ¸ialul folosit, a relevat faptul c˘ a nivelele uniparti cul˘ a, grupate init ¸ial ˆ ın
p˘ aturi ce genereaz˘ a numerele magice pentru β= 0, se uniformizeaz˘ a apoi
pentru valori βdiferite de zero ¸ si pentru anumite valori ale parametrului de
deformareβse regrupeaz˘ a ˆ ın noi p˘ aturi care genereaz˘ a alte numere m agi-
ce. De exempu, considerˆ and corect˘ a ﬁgura 3.36 se constat˘ a o regrupare a
nivelelor uniparticul˘ a pentru valoarea β=β2; aceast˘ a regrupare de nivele
ar corespunde urm˘ atoarelor numere magice: 2, 4, 10, 16, 20, etc. Nucleele
cu deformarea β2¸ si cu num˘ arul de protoni sau/¸ si neutroni egal cu numerele
magice precizate mai sus vor ﬁ deosebit de stabile ˆ ın compar at ¸ie cu nucleele
vecine. Nucleele care au num˘ arul de protoni sau/¸ si de neut roni egal cu unul
din aceste numere magice vor avea pentru deformarea β2o energie total˘ a mai
mic˘ a decˆ at pentru cazul β= 0; de aici rezult˘ a c˘ a aceste nuclee sunt perma-
nent deformate ¸ si au deformarea β2ˆ ın starea fundamental˘ a. Considerarea
acestor ”efecte de p˘ aturi”, funct ¸ie de deformarea posibi l˘ a a nucleului, a per-
mis demonstrarea matematic˘ a a existent ¸ei nucleelor cu de formare stabil˘ a ˆ ın
starea fundamental˘ a; de asemenea considerarea acestor ef ecte de p˘ aturi a
avut un rol esent ¸ial ˆ ın dezvoltarea teoriei ﬁsiunii nucle are (partea a II-a).
C.Modelul MPD a contribuit esent ¸ial laˆ ınt ¸elegerea calita tiv˘ a ¸ si cantita-
tiv˘ a a proceselor de dezintegrare pentru nucleele deforma te. S˘ a exempliﬁc˘ am
pentru procesul de dezintegrare αa nucleelor241Am:
241
95Am−→237
93Np+4
2α (3.94)
Schema de dezintegrare pentru acest proces este redat˘ a ˆ ın ﬁgura 3.40.
S˘ a preciz˘ am c˘ a probabilittea de emisie αcre¸ ste puternic odat˘ a cu cre¸ sterea
300

Figura 3.39
O secvent ¸˘ a din succesiunea de nivele Nilsson ˆ ın funct ¸ie de
parametrul de deformare
Figura 3.40
Schema de dezintegrare a nucleului241Am
301

Figura 3.41
Conﬁgurat ¸ia ultimilor protoni pe nivelele unipaticul˘ a p entru
nucleele241Am¸ si237Npˆ ın starea fundamental˘ a
energiei particulelor αemise dup˘ a cum se va demonstra ˆ ın partea a II-a a
acestei lucr˘ ari. In acest context, dezintegrarea nucleul ui241
95Ampe starea
fundamental˘ a a nucleului237Npar trebui s˘ a ﬁe foarte probabil˘ a ceea ce nu
se conﬁrm˘ a experimental (ﬁgura 3.40). Faptul c˘ a241Amse dezintegreaz˘ a
≈85% pe a doua stare excitat˘ a a nucleului237Npse poate explica u¸ sor ˆ ın
cadrul modelului MPD. Intr-adev˘ ar, ultimii 5 protoni ai241Amsunt dispu¸ si
pe nivelele uniparticul˘ a ca ˆ ın ﬁgura 3.41. Emisia particu leiαimplic˘ a emisia
a doi neutroni ¸ si a doi protoni cuplat ¸i la momentul cinetic zero. Este greu
de presupus c˘ a protonul aﬂat pe nivelul 5 /2−se va cupla cu unul din pro-
tonii aﬂat ¸i pe nivelele inferioare. Este foarte probabil c a cei doi protoni de
pe nivelul 5 /2+ˆ ımpreun˘ a cu doi neutroni de pe nivelele neutronice core-
spunz˘ atoare s˘ a formeze particulele αemise de241Am. Se va obt ¸ine astfel
nucleul237Npcare va avea un proton pe nivelul 5 /2−¸ si niciun proton pe
nivelul 5/2+. Deoarece starea funamental˘ a a nucleului237Npeste cea din
ﬁgura 3.41b, este clar c˘ a prin emisia de particule α, nucleul237Npse va g˘ asi
ˆ ın starea excitat˘ a de spin ¸ si paritate 5 /2−deﬁnite de protonul impar care se
aﬂ˘ a pe nivelul uniparticul˘ a Kπ= 5/2−. Este ¸ si motivul pentru care proba-
bilitatea de emisie αpe starea 5/2−a nucleului237Npeste foarte mare. S˘ a
observ˘ am c˘ a aceast˘ a tranzit ¸ie αse face f˘ ar˘ a modiﬁcarea momentului de spin
(∆I= 0) ¸ si f˘ ar˘ a modiﬁcarea parit˘ at ¸ii (∆ π= 0). Fire¸ ste, exemplele pot con-
tinua, important este ˆ ıns˘ a faptul c˘ a modelul p˘ aturilor nucleare, atˆ at pentru
nucleele sferice cˆ at ¸ si pentru nucleele deformate, de¸ si descrie satisf˘ ac˘ ator o
serie de propriet˘ at ¸i ale nucleelor este totu¸ si deﬁcitar ˆ ın sensul c˘ a miezul nu-
cleului, sferic sau deformat, este considerat inert, ceea c e este f˘ ar˘ a ˆ ındoial˘ a
o ipotez˘ a mult prea simpl˘ a ¸ si discutabil˘ a. Efectele ”co lective” ale miezului
sunt discutate ˆ ın paragraful urm˘ ator.
302

3.3 Modele colective
In varianta uniparticul˘ a a modelului p˘ aturilor nucleare studiat˘ a ˆ ın para-
graful precedent se consider˘ a ˆ ın esent ¸˘ a c˘ a perechile d e nucleoni identici
formeaz˘ a un miez inert, sferic sau deformat, care are momen tul cinetic, ca
¸ si momentele magnetice ¸ si electrice, egale cu zero. Rezul t˘ a c˘ a propriet˘ at ¸ile
nucleelor cu num˘ ar impar de nucleoni sunt determinate de ul timul nucleon
neˆ ımperecheat. Ca atare modelul p˘ aturilor, ˆ ın varianta uniparticul˘ a, descrie
de fapt propriet˘ at ¸ile st˘ arii fundamentale ¸ si a primelo r st˘ ari excitate numai
pentru nucleele cu A impar; modelul nu este adecvat pentru de scrierea pro-
priet˘ at ¸ilor nucleelor p-p ¸ si i-i. Dar chiar ¸ si ˆ ın cazul nucleelor cu A impar
prezicerile modelului nu sunt totdeauna ˆ ın concordant ¸˘ a cu datele experi-
mentale. Exist˘ a, dup˘ a cum s-a ar˘ atat, abateri ale moment elor magnetice
calculate fat ¸˘ a de cele experimentale iar momentele cuadr upolare experimen-
tale dep˘ a¸ sesc considerabil pe cele calculate ˆ ın cazul nu cleelor permanent
deformate.
Diﬁcult˘ at ¸ile modelului ˆ ın p˘ aturi ˆ ın prezicerea unor p ropriet˘ at ¸i ale nucle-
elor, indiferent de varianta folosit˘ a, sunt, ˆ ın esent ¸˘ a , generate de faptul c˘ a
miezul, sferic sau deformat, este considerat inert. In real itate miezul, ¸ si deci
¸ si cˆ ampul selfconsistent corespunz˘ ator, este rezultat ul interact ¸iunii colective
a nucleonilor ¸ si ca atare trebuie s˘ a depind˘ a de mi¸ scarea ¸ si interact ¸iunea nu-
cleonilor individuali. Caracterul ¸ si intensitatea acest or interact ¸iuni sunt de-
terminate de num˘ arul nucleonilor aﬂat ¸i deasupra p˘ aturi lor complete; ace¸ sti
nucleoni se mai numesc ¸ si ”nucleoni valent ¸iali” sau ”exte riori”. Intre nu-
cleonii valent ¸iali ¸ si nucleonii p˘ aturilor complete act ¸ioneaz˘ a fort ¸e de po-
larizare pe cˆ and ˆ ıntre nucleonii ce formeaz˘ a p˘ aturile c omplete act ¸ioneaz˘ a
fort ¸e de ˆ ımperechere. Fort ¸ele de ˆ ımperechere tind s˘ a c onfere nucleului o
form˘ a sferic˘ a pe cˆ and fort ¸ele de polarizare tind s˘ a def ormeze (polarizeze)
nucleul. Forma nucleului este dat˘ a de concurent ¸a ˆ ıntre a ceste fort ¸e. Ast-
fel, nucleele par-pare cu p˘ aturi complete sau nucleele cu u n num˘ ar mic de
nucleoni valent ¸iali (g˘ auri) vor avea o form˘ a sferic˘ a de osebit de stabil˘ a. Sta-
bilitatea fat ¸˘ a de forma sferic˘ a este reﬂectat˘ a de varia t ¸ia rapid˘ a a energi-
ei potent ¸iale cu cre¸ sterea deviat ¸iilor (deformat ¸iilo r) fat ¸˘ a de forma sferic˘ a
(curba ”1” din ﬁgura 3.42). Cu cre¸ sterea num˘ arului nucleo nilor valent ¸iali
cre¸ ste rolul fort ¸elor de polarizare ¸ si ca atare stabilit atea nucleelor respective
fat ¸˘ a de forma sferic˘ a (curba ”2” din ﬁgura 3.42) scade de¸ si, ˆ ın starea fun-
damental˘ a aceste nuclee au tot o form˘ a sferic˘ a. Dac˘ a num ˘ arul nucleonilor
valent ¸iali cre¸ steˆ ın continuare (pˆ an˘ a cˆ and num˘ arul acestora este aproximativ
o jum˘ atate din num˘ arul nucleonilor care ar completa p˘ atu ra care urmeaz˘ a)
fort ¸ele de polarizare devin dominante ¸ si ca atare forma sf eric˘ a devine insta-
303

Figura 3.42
Variat ¸ia energiei potent ¸iale cu deformarea pentru nucle ele sferice
foarte stabile (”1”), pentru nucleele sferice mai put ¸in st abile
(”2”) ¸ si pentru nucleele permanent deformate(”3”).
bil˘ a pentru aceste nuclee (curba ”3” ˆ ın ﬁgura 3.42). In ace st caz minimul
energiei potent ¸iale corespunde unui nucleu nesferic, dec i unui nucleu perma-
nent deformatˆ ın starea fundamental˘ a. Este cazul nucleel or care au num˘ arul
de protoni Z sau de neutroni N deﬁnite ˆ ın relat ¸ia (3.74); ac este nuclee au
num˘ arul de nucleoni A deﬁnit de valorile:
A≈8 ;A≈24 ; 150≤A≤190 ;A≥222 (3.95)
In varianta uniparticul˘ a a modelului p˘ aturilor nucleare se consider˘ a c˘ a
nucleul cu A impar este format dintr-un nucleu (miez) par-pa r, sferic sau
deformat, ¸ si un nucleon valent ¸ial. Se studiaz˘ a apoi mi¸ s carea nucleonului
ˆ ın cˆ ampul selfconsistent al miezului (nucleul par-par) c onsiderat inert. Un
model nuclear elaborat trebuie ˆ ıns˘ a s˘ a ia ˆ ın considerat ¸ie atˆ at inﬂuent ¸a nu-
cleonului (sau nucleonilor ˆ ın cazul mai general) valent ¸i al asupra miezului,
care-¸ si poate modiﬁca atˆ at forma cˆ at ¸ si orientarea ˆ ın s pat ¸iu, cˆ at ¸ si inﬂuent ¸a
acestor modiﬁc˘ ari posibile ale miezului asupra mi¸ sc˘ ari i nucleonului (nucle-
onilor).
Din discut ¸ia calitativ˘ a de mai sus rezult˘ a c˘ a miezul, sf eric sau deformat,
nu poate ﬁ absolut inert; miezul poate efectua mi¸ sc˘ ari col ective, corelate ale
tuturor nucleonilor, mi¸ sc˘ ari corespunz˘ atoare gradelo r de libertate colective.
Astfel, miezul deformat, dac˘ a este privit ca un corp rigid, poate efectua
din punct de vedere clasic, o mi¸ scare de rotat ¸ie; din punct de vedere cuan-
tic energia acestei mi¸ sc˘ ari de rotat ¸ie se cuantiﬁc˘ a ¸ si se obt ¸in astfel ”st˘ arile
de rotat ¸ie”. Dac˘ a miezul, sferic sau deformat, este asimi lat cu un ”lichid
304

nuclear” poate efectua vibrat ¸ii fat ¸˘ a de echilibru; se ob t ¸in astfel ”st˘ arile de
vibrat ¸ie”.
Considerarea gradelor de libertate de vibrat ¸ie ¸ si/sau de rotat ¸ie indepen-
dent de gradele de libertate individuale conduce la generar ea ”modelelor
colective” dup˘ a cum considerarea numai a gradelor de liber tate individual˘ a,
independent de cele colective, deﬁne¸ ste modelul p˘ aturil or nucleare.
In acest paragraf vom aborda, mai mult calitativ, modelele c olective care
studiaz˘ a mi¸ scarea colectiv˘ a de vibrat ¸ie ¸ si de rotat ¸i e a nucleului. S˘ a reamin-
tim c˘ a din punct de vedere istoric modelele colective au pre cedat modelele
de p˘ aturi deoarece interact ¸ia puternic˘ a dintre nucleon i a condus la ideea
c˘ a numai st˘ arile nucleului privit ca un ˆ ıntreg pot ﬁ studi ate ¸ si nu st˘ arile
corespunz˘ atoare nucleonilor individuali. De aceea primu l model nuclear a
fost ”modelul pic˘ atur˘ a” (paragraful 1.4) ˆ ın care nucleu l a fost asimilat cu
o pic˘ atur˘ a sferic˘ a constituit˘ a dintr-un ”lichid nucle ar” ˆ ınc˘ arcat, supradens
¸ si incompresibil. Folosind acest model ˆ ın paragraful 1.4 s-a obt ¸inut formula
(1.99) care permite determinarea energiei de leg˘ atur˘ a a n ucleului, a masei
nucleelor (1.103), leg˘ atura ˆ ıntre num˘ arul atomic Z0¸ si num˘ arul de nucleoni
A pentru nucleele βstabile (1.104), etc. In plus, acest model ”colectiv” a
permis descrierea calitativ˘ a, ¸ si part ¸ial cantitativ˘ a , a procesului de ﬁsiune ¸ si
a procesului de dezintegrare α(partea a II-a). Subliniind ideea c˘ a mode-
lul pic˘ atur˘ a a avut un rol important ˆ ın dezvoltarea ﬁzici i nucleare preciz˘ am
totu¸ si c˘ a termenul de simetrie deﬁnitˆ ın (1.96) ca ¸ si ter menul deˆ ımperechere
din (1.98) care sunt cont ¸inut ¸i ˆ ın relat ¸ia (1.99), expri m˘ a de fapt consider-
area gradelor de libertate individuale ˆ ın cadrul modelulu i colectiv pic˘ atur˘ a.
A¸ sadar relat ¸ia (1.99) prin considerarea simultan˘ a atˆ a t a gradelor de liber-
tate colective cˆ at ¸ si a celor individuale reprezint˘ a exp rimarea matematic˘ a a
”primului model nuclear uniﬁcat”.
3.3.1 Modelul colectiv pentru nuclee sferice (MCS)
In modelul pic˘ atur˘ a nucleul par-par, ca ¸ si pic˘ atura de l ichid cu care este
asimilat, are forma sferic˘ a ˆ ın starea fundamental˘ a. Pri n excitarea pic˘ aturii
aceasta ˆ ı¸ si poate schimba u¸ sor forma; se excit˘ a gradele de libertate core-
spunz˘ atoare vibrat ¸iilor suprafet ¸ei. Deformat ¸iile su prafet ¸ei pentru aceste
vibrat ¸ii pot ﬁ descrise prin ecuat ¸ia suprafet ¸ei deﬁnit˘ a de urm˘ atoarea relat ¸ie:
R(θ,ϕ,t) =R0/parenleftBigg
1 +/summationdisplay
lmαlm(t)Ylm(θ,ϕ)/parenrightBigg
;−l≤m≤l (3.96)
ˆ ın careR0este raza nucleului sferic, Ylmsunt funct ¸iile sferice iar αlmsunt
”parametrii de deformare”, dependent ¸i de timpul t; ace¸ st i parametri descriu
305

Figura 3.43
Vibrat ¸ii monopolare.
abaterile pic˘ aturii de la forma sferic˘ a init ¸ial˘ a. In ip oteza c˘ a parametri αlm
ar ﬁ independent ¸i de timpul t, relat ¸ia (3.96) ar coincide c u relat ¸ia (3.93) ¸ si ar
descrie deformat ¸iile stabile corespunz˘ atoare nucleelo r permanent deformate.
S˘ a analiz˘ am succint semniﬁcat ¸ia ﬁzic˘ a a diferit ¸ilor t ermeni din ecuat ¸ia
(3.96). Termenul cu l=0 corespunde ﬂuctuat ¸iilor densit˘ a t ¸ii lichidului nu-
clear fat ¸˘ a de densitatea init ¸ial˘ a (ﬁgura 3.43). Deoare ce pentru astfel de
vibrat ¸ii momentul cinetic al nucleului sferic par-par est e zero aceste vibrat ¸ii
se numesc ”vibrat ¸ii monopolare”. Considerˆ and lichidul n uclear incompresi-
bil rezult˘ a c˘ a vibrat ¸iile monopolare ar corespunde unor energii de excitare
foarte mari care nu sunt observate experimental. De fapt, da c˘ a facem ipoteza
c˘ a aceste vibrat ¸ii au loc cu conservarea volumului nucleu lui, adic˘ a are loc
relat ¸ia:
1
3/integraldisplay
R3(θ,ϕ,t)dΩ =4π
3R3
0 (3.97)
rezult˘ a c˘ a parametrul α00este zero ceea ce arat˘ a c˘ a vibrat ¸iile monopolare nu
sunt posibile. Faptul c˘ a astfel de vibrat ¸ii n-au fost obse rvate experimental
poate ﬁ o dovad˘ a a conserv˘ arii volumului nucleului.
Termenul cu l=1 descrie vibrat ¸iile legate de deplasarea ce ntrului de mas˘ a
al nucleului. Aceste vibrat ¸ii sunt interzise deoarece asu pra nucleului nu
act ¸ioneaz˘ a fort ¸e externe. S˘ a observ˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a term enul cu l=1 poate core-
spunde unor ”vibrat ¸ii dipolare” care constau ˆ ın vibrat ¸i ile ansamblului de
protoni fat ¸˘ a de ansamblul neutronilor. Deoarece aceste v ibrat ¸ii se fac f˘ ar˘ a
deplasarea centrului de mas˘ a al nucleului ele sunt permise ﬁzic ¸ si ca atare
pot ﬁ observate experimental. Intr-adev˘ ar, astfel de vibr at ¸ii dipolare se pot
obt ¸ine ˆ ın diferite procese de interact ¸ie dar cu prec˘ ade re la iradierea nucle-
ului cu cuante γcu energii de (10 ÷20) MeV. Reamintim cu acest prilej
(relat ¸ia (1.59)) c˘ a lungimea de und˘ a a radiat ¸iilor γse determin˘ a ˆ ın funct ¸ie
306

Figura 3.44
Vibrat ¸iile dipolare ale protonilor (p) fat ¸˘ a de neutroni (n).
de energia lor Eγconform relat ¸iei:
/arrownotλγ(m) =¯h
p=¯hc
Eγ≈1.2 10−12
Eγ(MeV)(3.98)
PentruEγ= (10÷20) MeV se obt ¸ine/arrownotλ≫R0. In consecint ¸˘ a, la iradierea
nucleului cu cuante γcu astfel de energii tot ¸i protonii nucleului se g˘ asesc ˆ ın
limitele cˆ ampului electromagnetic ¸ si ca atare oscileaz˘ a ˆ ın faz˘ a. Se genereaz˘ a
astfel vibrat ¸ii (oscilat ¸ii) dipolare ale tuturor proton ilor nucleului fat ¸˘ a de
tot ¸i neutronii (ﬁgura 3.44). In aceste situat ¸ii nucleul p oate ﬁ considerat un
oscilator armonic, care se aﬂ˘ a ˆ ın oscilat ¸ie (vibrat ¸ie) fort ¸at˘ a datorit˘ a act ¸iunii
cˆ ampului electromagnetic. Reamintim c˘ aˆ ın cazul oscila torului armonic dac˘ a
r este variabila dinamic˘ a (elongat ¸ia), energia cinetic˘ a este dat˘ a de relat ¸ia
m˙r2/2 iar energia potent ¸ial˘ a se exprim˘ a prin relat ¸ia kr2/2 ˆ ın care constanta
k=mω2este coeﬁcientul de elasticitate. Energia total˘ a a oscila torului, deci
hamiltonianul sistemului din punct de vedere cuantic va ﬁ:
H=1
2m˙r2+1
2kr2=1
2m˙r2+1
2mω2r2(3.99)
cu:
ω2=k
m(3.100)
ˆ ın care m este masa oscilatorului. Reamintind aceste not ¸i uni, preciz˘ am
c˘ a ˆ ın cazul oscilat ¸iilor dipolare ale nucleului, rolul f ort ¸elor elastice de rea-
ducere a nucleului la forma sferic˘ a de echilibru ˆ ıl joac˘ a interact ¸iunea pro-
tonilor ¸ si neutronilor reciproc deplasat ¸i fat ¸˘ a de rest ul nucleului (nucleonii
cont ¸inut ¸i ˆ ın volumul neha¸ surat din ﬁgura 3.44). Num˘ ar ul acestor nucleoni
este proport ¸ional cu suprafat ¸a nucleului ¸ si deci k∼R2∼A2/3. Masa m a
oscilatorului este proport ¸ional˘ a cu masa nucleului c˘ ac i practic tot ¸i nucleonii
307

Figura 3.45
a). Vibrat ¸ii cuadrupolare ˆ ın care periodic nucleul ia for ma unui
elipsoid de rotat ¸ie.
b). Vibrat ¸ii octupolare ˆ ın care nucleul ia forma de par˘ a.
nucleului efectueaz˘ a oscilat ¸ii ¸ si deci m∼R3∼A. Rezult˘ a c˘ a pulsat ¸ia (¸ si
deci frecvent ¸a) oscilat ¸iilor dipolare, ˆ ın acord cu rela t ¸ia (3.100) va ﬁ:
ω=/radicalBigg
k
m∼=/radicalBigg
R2
R3=1√
R≈A−1/6(3.101)
Intr-adev˘ ar, ˆ ın react ¸iile ( γ, n), (γ,p), (γ, f), etc., la energii Eγde cca.
(10÷20) MeV, se observ˘ a experimental astfel de vibrat ¸ii dipol are cunos-
cute ˆ ın literatura de specialitate sub denumirea de ”rezon ant ¸e gigantice”.
Experient ¸a arat˘ a c˘ a frecvent ¸a acestor vibrat ¸ii depin de de num˘ arul de nu-
cleoni A ˆ ın acord cu relat ¸ia (3.101) ceea ce conﬁrm˘ a mecan ismul procesului
prezentat calitativ mai sus.
Din cele prezentate mai sus rezult˘ a c˘ a atˆ at vibrat ¸iile m onopolare cˆ at ¸ si
cele dipolare corespund unor energii de excitare foarte mar i, greu de ob-
servat experimental. In consecint ¸˘ a vibrat ¸iile observa te uzual experimental
corespund termenilor l≥2 ˆ ın relat ¸ia (3.96). In particular, termenul cu
l=2 corespunde oscilat ¸iilor cuadrupolare (ﬁgura 3.45a) i ar cele cu l=3 se
numesc oscilat ¸ii octupolare (ﬁgura 3.45b). Considerˆ and deformat ¸iile core-
spunz˘ atoare vibrat ¸iilor cu l≥2 ca ﬁind foarte mici rezult˘ a c˘ a ¸ si aceste
vibrat ¸ii pot ﬁ asimilate cu o mi¸ scare armonic˘ a ˆ ın care pa rametriiαlmau
rolul variabilelor dinamice r din relat ¸ia (2.99). Prin ana logie cu aceast˘ a
relat ¸ie rezult˘ a c˘ a hamiltonianul corespunz˘ ator oscil at ¸iilor armonice ale nu-
cleului pentru l≥2 va ﬁ:
H=1
2/summationtext
l,m/parenleftbigBl|˙αlm|2+Cl|αlm|2/parenrightbig
l≥2(3.102)
308

Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a hamiltonianul H este o sum˘ a de oscilatori ar-
monici, ﬁecare corespunzˆ and unui multipol l; pulsat ¸ia (f recvent ¸a) oscilatoru-
lui corespunz˘ ator multipolului l, prin analogie cu relat ¸ ia (3.100), va ﬁ:
ω2
l=Cl
Bl(3.103)
In careCl¸ siBlreprezint˘ a coeﬁcientul de elasticitate ¸ si masa oscilato ru-
lui de multipol l. Energia acestui oscilator, conform cuant iﬁc˘ arii uzuale a
oscilatorului armonic, este dat˘ a de relat ¸ia:
E∗
l=nl¯hωl=nl¯h/radicalBigg
Cl
Bl(3.104)
ˆ ın care:
nl= 0,1,2,3,… (3.105)
este un num˘ ar ˆ ıntreg care arat˘ a c˘ a energia oscilatorulu i de multipol l este
un num˘ ar ˆ ıntreg de cuante de energie ¯ hωl. Calculele arat˘ a c˘ a energia ¯ hωlse
exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de momentul de multipol l ¸ si de num˘ ar ul de nucleoni A
conform relat ¸iei:
¯hωl≈10.6/radicalBig
l(l−1) (l+ 2)A−1/2MeV (3.106)
din care rezult˘ a:
¯hω2≈30A−1/2(MeV)
¯hω3≈58A−1/2≈2 ¯hω2(MeV)
¯hω4≈90A−1/2≈3¯hω2(MeV)(3.107)
etc.
Semniﬁcat ¸ia num˘ aruluiˆ ıntreg nlpoate ﬁ pus˘ aˆ ın evident ¸˘ a din urm˘ atoarele
considerente. Dependent ¸a unghiular˘ a a vibrat ¸iilor de o rdin l este deﬁnit˘ a
de funct ¸iile sferice Ylm(θ,ϕ) care sunt funct ¸ii proprii ale momentului orbital
l. Ca urmare vibrat ¸iile suprafet ¸ei corespunz˘ atoare ter menului l corespund
unui moment cinetic total egal cu l (nucleul este par-par ¸ si are momentul
de spin egal cu zero ˆ ın starea fundamental˘ a) ¸ si vor avea pa ritatea (−1)l.
Imprumutˆ and terminologia din ﬁzica solidului se aﬁrm˘ a c˘ a vibrat ¸iile sunt
produse de ”fononi” (uneori se mai numesc ¸ si ”surfoni”), ad ic˘ a particule de
moment cinetic l ¸ si de paritate ( −1)l; deoarece momentul l are valori ˆ ıntregi
rezult˘ a c˘ a fononii sunt bozoni ¸ si se supun statisticii Bo se-Einstein. A¸ sadar
num˘ arulnlˆ ın formula (3.104) reprezint˘ a num˘ arul de fononi de momen t ci-
netic l care duc la formarea st˘ arii excitate de energie E∗
l. Paritatea acestei
309

Figura 3.46
Spectrul st˘ arilor excitate corespunz˘ atoare fononilor c uadrupolari
(l=2) ¸ si fononilor octupolari (l=3).
st˘ ari este dat˘ a de ( −1)n2liar spinul rezult˘ a din regula de sumare vectorial˘ a
denlori a momentului cinetic l cu condit ¸ia ca spinul rezultat s˘ a corespund˘ a
unei funct ¸ii simetrice c˘ aci fononii sunt bozoni. In acord cu aceste preciz˘ ari
rezult˘ a c˘ a prima stare excitat˘ a corespunde unui fonon cu adrupolar cu l=2,
de paritate (−1)2= +1 ¸ si de energie ¯ hω2. Starea excitat˘ a corespunz˘ atoare
a doi fononi cuadrupolari va avea energia 2¯ hω2, paritate (−1)2×2= +1 iar
momentul cinetic de spin I rezult˘ a din suma vectorial˘ a:
/vectorI=/vector2 +/vector2 ;I= 0,1,2,3,4 (3.108)
Deoarece funct ¸ia de und˘ a a doi bozoni identici trebuie s˘ a ﬁe simetric˘ a, din
relat ¸ia (3.108) se selecteaz˘ a numai valorile 0, 2 ¸ si 4. In consecint ¸˘ a, starea
de energie 2¯ hω2va ﬁ o stare degenerat˘ a c˘ areia ˆ ıi corespund st˘ arile de sp in
¸ si paritate o+,2+,4+. In mod similar starea de 3 fononi cuadrupolari va
avea energia 3¯ hω2, paritatea +1 iar momentul cinetic de spin, rezultat
din suma vectorial˘ a /vector2 +/vector2 +/vector2, pentru st˘ arile simetrice, va avea valorile
0+,2+,3+,4+,6+. Un fonon octupolar va genera o stare excitat˘ a de ener-
gie ¯hω3, paritate (−1)3=−1 ¸ si de moment cinetic de spin cu valoarea 3.
Doi fononi octupolari vor genera starea degenerat˘ a de ener gie 2¯hω3, de pa-
ritate +1 ¸ si de spin 0+,2+,4+¸ si 6+, etc. Spectrul energetic corespunz˘ ator
fononilor cuadrupolari ¸ si octupolari, conform celor prec izate mai sus, este
prezentat ˆ ın ﬁgura 3.46.
Vom ar˘ ata cum se determin˘ a momentul de spin corespunz˘ ato r
funct ¸iilor simetrice. Se folose¸ ste tehnica de stabilire a num˘ arului
310

total de funct ¸ii simetrice liniar independente de moment c inetic
I ¸ si de proiect ¸ie dat˘ a M pentru conﬁgurat ¸ia de nlbozoni de mo-
ment cinetic l. Pentru o conﬁgurat ¸ie dat˘ a calculul se face pe rˆ and
pentru toate momentele cinetice rezultate din suma vectori al˘ a
ˆ ıncepˆ and cu valoarea maxim˘ a posibil˘ a ¸ si pentru proiec t ¸ia maxim˘ a
corespunz˘ atoare momentului cinetic respectiv. In cazul a doi
fononi cuadrupolari momentul cinetic maxim est 4 ¸ si proiec t ¸ia
sa maxim˘ a este tot 4. Aceast˘ a stare cu I=4 ¸ si M=4 se obt ¸ine
din funct ¸iile celor doi fononi de moment l=2 ¸ si de proiect ¸ ie m;
ﬁeϕ2m1(1)funct ¸ia primului fonon (bozon) ¸ si ϕ2m2(2)funct ¸ia
celuilalt fonon. Din aceste dou˘ a funct ¸ii se poate constru i o sin-
gur˘ a funct ¸ie simetric˘ a ΨIM≡Ψ44:
Ψ44∼ϕ22(1)ϕ22(2)
Rezult˘ a c˘ a I=4 este o valoare permis˘ a c˘ aci corespunde un ei funct ¸ii
simetrice. In mod similar, pentru I ¸ si M=3 se poate construi
urm˘ atoarea funct ¸ie simetric˘ a:
ΨI3∼ϕ21(1)ϕ22(2) +ϕ22(1)ϕ21(2)
Proiect ¸ia M=3 poate corespunde atˆ at spinului I=4 cˆ at ¸ si spinului
I=3. Deoarece pentru M=3 exist˘ a o singur˘ a funct ¸ie simetr ic˘ a
aceasta corespunde spinului I=4; rezult˘ a c˘ a valoarea I=3 nu este
permis˘ a c˘ aci nu-i corespunde nicio funct ¸ie simetric˘ a. Pentru
proiect ¸ia M=2 se pot construi urm˘ atoarele funct ¸ii simet rice:
ΨI2∼ϕ21(1)ϕ21(2)
ΨI2∼ϕ20(1)ϕ22(2) +ϕ22(1)ϕ20(2)
Una din aceste funct ¸ii corespunde, cu necesitate, valorii permise
I=4 iar cealalt˘ a va corespunde spinului I=2. Pentru proiec t ¸ia
M=1 se pot construi urm˘ atoarele dou˘ a funct ¸ii simetrice:
ΨI1∼ϕ21(1)ϕ20(2) +ϕ20(1)ϕ21(2)
ΨI1∼ϕ22(1)ϕ2−1(2) +ϕ2−1(1)ϕ22(2)
care, ﬁre¸ ste, corespund momentelor de spin I=4 ¸ si I=2. Rez ult˘ a
c˘ a nici spinul I=1 nu este posibil c˘ aci nu-i corespunde nic io
funct ¸ie simetric˘ a. In sfˆ ar¸ sit, proiect ¸iei M=0ˆ ıi cor espund urm˘ atoarele
funct ¸ii simetrice:
ΨI0∼ϕ21(1)ϕ20(2)
311

ΨI0∼ϕ22(1)ϕ2−2(2) +ϕ2−2(1)ϕ22(2)
ΨI0∼ϕ21(1)ϕ2−1(2) +ϕ2−1(1)ϕ21(2)
Deoarece dou˘ a dintre aceste funct ¸ii corespund momentelo r de
spin I=4 ¸ si I=2 rezult˘ a c˘ a a treia funct ¸ie corespunde mom en-
tului de spin I=0. A rezultat c˘ a ˆ ın cazul a doi fononi (bozon i)
cuadrupolari momentele de spin posibile sunt 4, 2 ¸ si 0.
In continuare s˘ a determin˘ am momentele de spin posibile pe n-
tru cazul a trei fononi (bozoni) cuadrupolari. In acest caz v aloa-
rea maxim˘ a a momentului cinetic este I=6. Proiect ¸iei maxi me
M=6 ˆ ıi corespunde o singur˘ a funct ¸ie simetric˘ a:
Ψ66∼ϕ22(1)ϕ22(2)ϕ22(3)
care corespunde momentului I=6 care este deci permis. Pentr u
M=5 se poate construi tot o singur˘ a funct ¸ie simetric˘ a:
ΨI5∼ϕ21(1)ϕ22(2)ϕ22(3)+ϕ22(1)ϕ21(2)ϕ22(3)+ϕ22(1)ϕ22(2)ϕ21(3)
care corespunde tot momentului I=6; valoarea I=5 nu este dec i
permis˘ a. Pentru M=4 se pot construi dou˘ a funct ¸ii simetri ce din
care una corespunde momentului I=6 iar cealalt˘ a momentulu i
I=4. Pentru M=3 se pot construi urm˘ atoarle trei funct ¸ii si me-
trice:
ΨI3∼ϕ21(1)ϕ21(2)ϕ21(3)
ΨI3∼ϕ20(1)ϕ21(2)ϕ22(3) + toate permut˘ arile posibile
ΨI3∼ϕ22(1)ϕ22(2)ϕ2−1(3) + toate permut˘ arile posibile
De aici rezult˘ a c˘ a spinul I=3 este de asemenea permis. Proc edˆ and
la fel se constat˘ a c˘ a ¸ si valorile I=2 ¸ si I=0 sunt de asemen ea per-
mise. In mod similar se procedeaz˘ a ¸ si ˆ ın cazul fononilor o ctupo-
lari sau de moment cinetic superior.
Preciz˘ am c˘ a odat˘ a cu cre¸ sterea num˘ arului de fononi de u n multipol dat
cˆ at ¸ si cu cre¸ sterea valorii multipolului energia de exit at ¸ie cre¸ ste considerabil
(relat ¸ia (3.106)). A¸ sadar, este de presupus c˘ a st˘ arile excitate care cont ¸in
n2≥3, n3≥2 ¸ sin4>1 fononi sunt st˘ ari cu energie mare de excitare ¸ si ca
atare nu vor putea ﬁ observate experimental din cel put ¸in do u˘ a motive:
a).Cu cre¸ sterea num˘ arului de fononi sau a multipolului defor mat ¸iile nu-
cleului pot ﬁ apreciabile ¸ si ca atare vibrat ¸iile nucleulu i nu vor mai ﬁ
armonice ¸ si ca atare relat ¸iile de mai sus nu mai sunt adecva te.
312

Figura 3.47
Primele st˘ ari excitate de natur˘ a vibrat ¸ional˘ a pentru60Ni¸ si106Pd
b).Deoarece ¸ si alte moduri de excitare conduc la st˘ ari cu ener gie mare
de excitare va ﬁ greu de stabilit ”natura” acestor st˘ ari, ˆ ı n particular
caracterul vibrat ¸ional al acestor st˘ ari.
In concluzie este de a¸ steptat ca experimental s˘ a se eviden t ¸ieze st˘ arile
vibrat ¸ionale corespunz˘ atoare excit˘ arii cu unul sau doi fononi cuadrupolari
cˆ at ¸ si st˘ arile corespunz˘ atoare unui fonon octupolar. P rima stare vibrat ¸ional˘ a
va ﬁ starea 2+de energie ¯hω2≈30A−1/2MeV (a se vedea ﬁgura 3.46). Intr-
adev˘ ar, aproape toate nucleele sferice par-pare au prima s tare excitat˘ a de
spin ¸ si paritate 2+dar energia acesteia este mai mic˘ a decˆ at prezicerile mo-
delului. Astfel, prima stare excitat˘ a 2+a nucleului60Ni(ﬁgura 3.47a) este
de≈1.33 MeV pe cˆ and relat ¸ia (3.107) prevede energia de ≈3.87 MeV. De
asemenea ˆ ın cazul106Pdenergia st˘ arii 2+este de 0.512 MeV pe cˆ and mo-
delul ar ﬁ prezis cca. 2.9 MeV. Din ﬁgura 3.47 se constat˘ a c˘ a aceste nuclee,
ca de fapt multe alte nuclee sferice par-pare, prezint˘ a ¸ si tripletul de nivele
0+,2+,4+care au ”centrul de energie” situat la o energie aproape dubl ˘ a fat ¸˘ a
de starea 2+ˆ ın acord cu previziunile modelului MCS (relat ¸ia (3.107)) . Fap-
tul c˘ a st˘ arile 0+,2+,4+sunt nedegenerate se datore¸ ste interact ¸iei reziduale
din nucleele reale care a ridicat degenerarea tripletului d in ﬁgura 3.46. S˘ a
preciz˘ am ¸ si faptul c˘ a majoritatea nucleelor sferice par -pare au ¸ si o stare ex-
citat˘ a de spin ¸ si paritate 3−care poate ﬁ interpretat˘ a ca o stare vibrat ¸ional˘ a
313

Figura 3.48
Energia primei st˘ ari excitate a nucleelor par-pare ˆ ın fun ct ¸ie de
num˘ arul de neutroni N. Num˘ arul de protoni Z este precizat ˆ ın
ﬁgur˘ a
corespunz˘ atoare unui fonon octupolar de¸ si energia acest eia este, de regul˘ a,
mai mare decˆ at 2¯ hω2a¸ sa cum ar ﬁ prezis modelul MCS. S˘ a subliniem ¸ si fap-
tul c˘ a starea 2+a nucleelor par-pare este prezis˘ a ¸ si de alte modele a¸ sa ˆ ı ncˆ at
interpetarea acesteia ca ﬁind o stare vibrat ¸ional˘ a este d iscutabil˘ a. Valoarea
energiei st˘ arii 2+pentru nucleele par-pareˆ ın funct ¸ie de num˘ arul de neutro ni
N (N≥40) este redat˘ a ˆ ın ﬁgura 3.48; num˘ arul de protoni este pre cizat ˆ ın
ﬁgur˘ a. Se constat˘ a c˘ a aceast˘ a energie nu depinde monoto n de num˘ arul de
nucleoni a¸ sa cum reiese din relat ¸ia (3.107) ci depinde put ernic de structura
nucleului avˆ and valori mai mari pentru nucleele cu num˘ ar m agic de protoni
sau/¸ si de neutroni. Evident modelul MCS nu poate explica ac east˘ a structur˘ a
decˆ at dac˘ a s-ar admite c˘ a parametrul de elasticitate Cldin relat ¸ia (3.102)
ar depinde de structura ”ˆ ın p˘ aturi” a nucleului; aceasta a r ˆ ınsemna con-
siderarea gradelor de libertate individuale ¸ si deci consi derarea unui model
uniﬁcat. Dac˘ a r˘ amˆ anem ˆ ın limitele modelului MCS se ajun ge la concluzia
c˘ a modelul reproduce numai calitativ spectrul energetic a l nucleelor sferice
par-pare. Modelul nu permite nici determinarea momentelor magnetice sau
electrice. Modelul r˘ amˆ ane important pentru rolul pe care ˆ ıl joac˘ a ˆ ın cadrul
modelului uniﬁcat (paragraful 3.4.1)
314

3.3.2 Modelul colectiv pentru nuclee permanent deformate
(MCD)
Foarte multe nuclee par-pare auˆ ın starea fundamental˘ a un moment cuadrupo-
lar diferit de zero ceea ce este o dovad˘ a c˘ a aceste nuclee au o deformat ¸ie per-
manent˘ a. Asimilˆ and nucleul cu un corp rigid deformat (tit irez) rezult˘ a c˘ a
cea mai probabil˘ a mi¸ scare a sa, ˆ ın acord cu mecanica clasi c˘ a, va ﬁ mi¸ scarea
de rotat ¸ie. Din punct de vedere clasic energia de rotat ¸ie s e exprim˘ a prin
relat ¸ia:
Erot=3/summationdisplay
i=1R2
i
2Ji(3.109)
ˆ ın careRisunt proiect ¸iile momentului cinetic de rotat ¸ie pe axele p rincipale
(proprii) ale rigidului iar Jisunt momentele de inert ¸ie fat ¸˘ a de acelea¸ si axe.
Dac˘ a rigidul are o ax˘ a de simetrie ¸ si ˆ ındrept˘ am axa 3 pe d irect ¸ia acesteia
atunciJ1=J2=J¸ si relat ¸ia (3.109) devine:
Erot=R2
1+R2
2
2J+R2
3
2J3=R2
2J−R2
3/parenleftbigg1
2J−2
2J3/parenrightbigg
(3.110)
ˆ ın careR3reprezint˘ a proiect ¸ia momentului de rotat ¸ie pe axa de sim etrie.
Deoarece pentru corpul rigid momentele de inert ¸ie J¸ siJ3nu depind de
viteza unghiular˘ a, rezult˘ a c˘ a pentru o energie de rotat ¸ ie dat˘ a, momentul ci-
netic R ¸ si proiect ¸ia sa R3sunt integrale ale mi¸ sc˘ arii. Ca urmare cuantiﬁcarea
relat ¸iei (3.110) const˘ a ˆ ın transformarea:
R2−→¯h2I(I+ 1) ;R3−→¯hK;I≥K (3.111)
ˆ ın care I reprezint˘ a num˘ arul cuantic corespunz˘ ator mom entului cinetic de
rotat ¸ie iar K reprezint˘ a proiect ¸ia acestuia pe axa de sim etrie. Substituind
(3.111) ˆ ın (3.110) se obt ¸ine pentru energia de rotat ¸ie ex presia:
Erot≡EIK=¯h2
2JI(I+ 1)−¯h2K2/parenleftbigg1
2J−1
2J3/parenrightbigg
(3.112)
S˘ a observ˘ am c˘ a relat ¸ia (3.112) s-a obt ¸inut prin cuanti ﬁcarea
relat ¸iei clasice (3.110). Aceast˘ a cuantiﬁcare s-ar pute a s˘ a nu ﬁe
totdeauna corect˘ a c˘ aci momentul cinetic de rotat ¸ie din p unct de
vedere clasic este o m˘ arime continu˘ a pe cˆ and din punct de v edere
cuantic este o m˘ arime discret˘ a. Variat ¸ia minim˘ a a momen tului
”cuantic” de rotat ¸ie este ¯h¸ si ca atare variat ¸ia minim˘ a a energiei
315

de rotat ¸ie va ﬁ de ordinul de m˘ arime deﬁnit de relat ¸ia:
∆Erot,min =¯h2
2J=¯h2
MR2≈¯h2
mnr2
0A5/3≈37.6
A5/3r2
0(F2)(MeV)
(3.113)
ˆ ın care M este masa nucleului de raz˘ a R iar mneste masa unui
nucleon. In obt ¸inerea relat ¸iei (3.113) s-a presupus c˘ a m omentul
de inert ¸ie este MR2/2. Pentru nucleul cu A=2 ¸ si, respectiv,
A=230, variat ¸ia minim˘ a a energiei de rotat ¸ie, ˆ ın acord c u relat ¸ia
de mai sus, are valorile:
∆Erot,min≈8.2MeV pntruA= 2
∆Erot,min≈3.0KeV pentruA= 230(3.114)
In obt ¸inerea acestei relat ¸ii s-a considerat valoarea r0= 1.2F.
Este evident deci c˘ a pe m˘ asur˘ a ce nucleul este mai u¸ sor va riat ¸ia
minim˘ a a energiei de rotat ¸ie cre¸ ste ¸ si ca urmare fort ¸el e centrifu-
gale vor ﬁ tot mai mari ¸ si vor deforma ˆ ın continuare nucleul care
va avea alt˘ a form˘ a fat ¸˘ a de forma corespunz˘ atoare defor m˘ arii din
starea fundamental˘ a. In aceast˘ a situat ¸ie nu se mai poate vorbi
de ”forma” nucleului ¸ si deci nici de asimilarea nucleului c u un
corp rigid aﬂat ˆ ın mi¸ scare de rotat ¸ie (forma rigidului r˘ amˆ ane
aceea¸ si ˆ ın timpul mi¸ sc˘ arii de rotat ¸ie). In plus, este e vident c˘ a
putem vorbi de nucleu ca un ˆ ıntreg, ca o entitate, atˆ ata tim p cˆ at
Erot,min< E emisieˆ ın careEemisie este energia la care nucleul
poate emite nucleoni sau alte particule. In acord cu estim˘ a rile
din relat ¸ia de mai sus ar rezulta c˘ a nucleul cu A=2 (deutero nul)
ar trebui s˘ a aibe st˘ ari excitate, de natur˘ a rotat ¸ional˘ a, la energii
mai mari de cca. 8 MeV ceea ce ﬁre¸ ste nu poate ﬁ posibil dat
ﬁind faptul c˘ a energia de leg˘ atur˘ a a acestui nucleu este d e cca.
2.2 MeV (paragraful 2.1). In schimb variat ¸ia minim˘ a a ener giei
de rotat ¸ie pentru nucleele grele are o valoare de cca. 3 KeV, mult
mai mic˘ a decˆ at energia de emisie a diferitelor particule. Pen-
tru aceste nuclee grele variat ¸ia energiei de rotat ¸ie dint re dou˘ a
st˘ ari de rotat ¸ie este atˆ at de mic˘ a (de ordinul KeV-lor) ˆ ıncˆ at se
poate aﬁrma c˘ a momentul de inert ¸ie al nucleului r˘ amˆ ane p rac-
tic neschimbat cˆ and nucleul se aﬂ˘ a ˆ ın diferite st˘ ari de r otat ¸ie.
In consecint ¸˘ a numai nucleele grele (sau foarte grele) pot ﬁ asi-
milate cu un corp rigid aﬂat ˆ ın mi¸ scare de rotat ¸ie ¸ si ca ur mare
numai pentru aceste nuclee cuantiﬁcarea relat ¸iei clasice (3.110),
ˆ ın acord cu relat ¸iile (3.111), este corect˘ a.
316

Figura 3.49
Mi¸ scarea de rotat ¸ie a unui nucleu cu simetrie axial˘ a se po ate face
numai ˆ ın jurul unei axe perpendiculare pe axa de simetrie.
Desigur ˆ ıntre mi¸ scarea de rotat ¸ie a nucleului ¸ si a corpu lui rigid exist˘ a
unele diferent ¸e. Astfel corpul rigid cu ax˘ a de simetrie se poate roti ˆ ın jurul
oric˘ arei axe, inclusiv ˆ ın jurul axei de simetrie. Din punc t de vedere cuantic
rotat ¸ia nucleului ˆ ın jurul axei de simetrie nu are sens dup ˘ a cum se va ar˘ ata
imediat. Intr-adev˘ ar ﬁe ϕunghiul de rotat ¸ie ˆ ın jurul axei de simetrie 3
(ﬁgura 3.49). Deoarece nucleul are simetrie axial˘ a funct ¸ ia de und˘ a Ψ a
nucleului nu depinde de unghiul ϕ¸ si deci are loc relat ¸ia:
∂Ψ
∂ϕ= 0 (3.115)
Deoarece cuantic, componenta R3a momentului de rotat ¸ie se deﬁne¸ ste con-
form relat ¸iei:
R3=−i¯h∂
∂ϕ(3.116)
rezult˘ a c˘ aR3= 0 ceea ce arat˘ a c˘ a miezul se poate roti numai ˆ ın jurul unei
axe perpendiculare pe axa de simetrie 3 (ﬁgura 3.49). Ca urma re momentul
cinetic de rotat ¸ie R este perpendicular pe axa de simetrie ¸ si deci proiect ¸ia
sa ¯hKpe axa de simetrie va ﬁ zero. Cu aceast˘ a observat ¸ie relat ¸i a (3.112)
devine:
Erot=EI0=¯h2
2JI(I+ 1) (3.117)
Relat ¸ia (3.117) se putea obt ¸ine ¸ si direct prin cuantiﬁca rea relat ¸iei (3.110)
ˆ ın care se t ¸inea cont de faptul c˘ a R3este zero.
Num˘ arul cuantic I corespunz˘ ator momentului cinetic de ro tat ¸ie coincide
cu num˘ arul cuantic de spin ˆ ın cazul nucleelor par-pare deo arece spinul aces-
tora este zero ˆ ın starea fundamental˘ a3. A¸ sadar momentul cinetic total al
3Un nucleu par-par, de spin zero, poate avea moment cuadrupol ar intrinsec diferit de
zero ¸ si deci nucleul este deformat, de¸ si momentul cuadrup olar observabil, pentru I=0 ¸ si
317

Figura 3.50
Momentul cinetic total /vectorRare proiect ¸ia /vectorMpe axa de cuantiﬁcare
nucleului I este dat numai de momentul cinetic de rotat ¸ie R ¸ si deci funct ¸iile
de und˘ a ale nucleului par-par ˆ ın diferitele st˘ ari de rota t ¸ie coincid cu funct ¸iile
Ylm, funct ¸ii proprii ale momentului de rotat ¸ie care satisfac relat ¸ia:
R2YIM= ¯h2I(I+ 1)YIM (3.118)
ˆ ın care M este proiect ¸ia momentului cinetic R pe axa de cuan tiﬁcare Oz a
sistemului laborator, ax˘ a care nu coincide, de regul˘ a, cu axa de simetrie 3 a
nucleului. Num˘ arul cuantic I poate lua valorile ˆ ıntregi 0 , 1, 2, … deoarece
corespunde unui nucleu par-par ¸ si corespunde de fapt num˘ a rului cuantic
al momentului de rotat ¸ie. Pentru nucleele par-pare din ﬁgu ra 3.50, care
prezint˘ a pe lˆ ang˘ a simetrie axial˘ a ¸ si simetrie la reﬂex ie fat ¸˘ a de planul (12)
funct ¸iile de und˘ a trebuie s˘ a ﬁe pare. Deoarece paritatea funct ¸iilorYIMeste
(−1)Ipentru ca funct ¸ia s˘ a ﬁe par˘ a este necesar ca num˘ arul cuan tic I s˘ a
ia numai valori pare. A¸ sadar st˘ arile de rotat ¸ie posibile vor avea spinul ¸ si
paritatea deﬁnite de valorile:
Iπ= 0+,2+,4+,6+,8+,… (3.119)
iar energia lor va ﬁ deﬁnit˘ a de relat ¸ia (3.117) cu I din rela t ¸ia de mai sus.
In acord cu aceste relat ¸ii spectrul energetic al st˘ arilor de rotat ¸ie arat˘ a ca
ˆ ın ﬁgura 3.51. Pentru energiile st˘ arilor de rotat ¸ie se re spect˘ a a¸ sa numita
”regul˘ a a intervalelor”:
E2:E4:E6:E8:…= 1 : 10/3 : 7 : 12 : … (3.120)
I=1/2 este zero conform celor ar˘ atate ˆ ın paragraful 1.8
318

Figura 3.51
Spectrul energetic teoretic al st˘ arilor de rotat ¸ie pentr u un nucleu
par-par
Succesiunea energetic˘ a a st˘ arilor rotat ¸ionale din ﬁgur a 3.51 este com-
plet determinat˘ a dac˘ a se cunoa¸ ste momentul de inert ¸ie Jsau, ceea ce este
echivalent, dac˘ a se cunoa¸ ste energia st˘ arii E2(prima stare excitat˘ a de spin
I=2). Intr-adev˘ ar, ˆ ın acord cu relat ¸ia (3.117), dac˘ a se cunoa¸ ste energia E2,
energiile st˘ arilor cu I >2 se deduc din urm˘ atoarea relat ¸ie:
EI=I(I+ 1)
6E2;I= 4,6,8,… (3.121)
Momentul de inert ¸ie deﬁnit ˆ ın funct ¸ie de energia E2conform relat ¸iei:
J≡J ef=3¯h2
E2(3.122)
se nume¸ ste ”moment de inert ¸ie efectiv al nucleului”. Prec iz˘ am c˘ a relat ¸iile
(3.121) ¸ si (3.122) sunt adev˘ arate ˆ ın ipoteza c˘ a momentu l de inert ¸ie (efectiv)
nu depinde, sau depinde foarte slab, de energia de excitare a nucleului. De
fapt aceast˘ a independent ¸˘ a a momentului de inert ¸ie este o condit ¸ie necesar˘ a
pentru a se putea vorbi de spectrul de rotat ¸ie (a se vedea obs ervat ¸ia relatat˘ a
ˆ ın leg˘ atur˘ a cu relat ¸ia (3.112)).
Succesiunea st˘ arilor de rotat ¸ie din ﬁgura 3.51 ca ¸ si regu la intervalelor,
exprimat˘ a de relat ¸ia (3.120), se observ˘ a practic la toat e nucleele par-pare
deformate. Un exemplu este ilustratˆ ın ﬁgura 3.52 pentru nu cleul180
72Hf. Cu
linii punctate orizontale sunt precizate st˘ arile rotat ¸i onale teoretice calculate
319

Figura 3.52
Spectrul energetic al nucleului 180-Hf; liniile orizontal e punctate
corespund valorilor teoretice.
conform relat ¸iei (3.121). Regula intervalelor pentru ace st nucleu, a¸ sa cum
rezult˘ a din spectrul experimental, este urm˘ atoarea:
E2:E4:E6:E8= 1 : 3.22 : 6.88 : 11.6 (3.123)
¸ si este ˆ ın bun acord cu regula teoretic˘ a exprimat˘ a de rel at ¸ia (3.120). Se con-
stat˘ a totu¸ si o u¸ soar˘ a mic¸ sorare a rapoartelor experim entale din (3.123) fat ¸˘ a
de cele teoretice ˆ ın special pentru valorile mai mari ale nu m˘ arului cuantic
I. Acest u¸ sor dezacord reﬂect˘ a faptul c˘ a energiile st˘ ar ilor de rotat ¸ie teore-
tice dep˘ a¸ sesc cu put ¸in valorile experimentale corespun z˘ atoare pe m˘ asur˘ a ce
num˘ arul cuantic de spin I cre¸ ste. Aceste abateri se pot exp lica prin aceea
c˘ a pe m˘ asur˘ a ce cre¸ ste momentul de rotat ¸ie cresc ¸ si for t ¸ele centrifugale care
duc la o deformare suplimentar˘ a a nucleului ¸ si deci la o u¸ s oar˘ a cre¸ stere a
momentului de inert ¸ie care poate ﬁ evaluat˘ a cu relat ¸ia:
J=Jef(1 +bI(I+ 1)) (3.124)
ˆ ın care b este un parametru ce se determin˘ a astfel ˆ ıncˆ at s pectrul teoretic
s˘ a coincid˘ a cu cel experimental. Substituind aceast˘ a re lat ¸ie ˆ ın (3.117) ¸ si
considerˆ and c˘ a parametrul b este foarte mic, pentru energ iile st˘ arilor de
rotat ¸ie se obt ¸ine relat ¸ia:
EI0=¯h2
2Jef/parenleftBig
I(I+ 1)−bI2(I+ 1)/parenrightBig
(3.125)
Deoarece se constat˘ a c˘ a parametrul b este destul de mic (da r nu zero) adesea
se aﬁrm˘ a c˘ a spectrul de rotat ¸ie al nucleelor par-pare res pect˘ a legea I(I+1)
avˆ andu-se de fapt ˆ ın vedere relat ¸ia (3.125).
320

Stabilirea experimental˘ a a legii I(I+1) pentru un nucleu o arecare repre-
zint˘ a una din dovezile cele mai conving˘ atoare c˘ a nucleul respectiv este de-
format. Modelul MCD descrie deci bine spectrul energetic de rotat ¸ie al
nucleelor p-p deformate. Modelul permite calculul corect a tˆ at al momen-
tului cuadrupolar cˆ at ¸ si al momentelor magnetice. Aceste probleme vor ﬁ
abordate ˆ ın paragraful urm˘ ator ˆ ın contextul ”modelului uniﬁcat”.
3.4 Modelul uniﬁcat
Modelul uniﬁcat ˆ ı¸ si propune tratarea unitar˘ a a nucleulu i prin considerarea
atˆ at a gradelor de libertate individuale cˆ at ¸ si a celor co lective ca ¸ si interact ¸ia
dintre acestea. Modelul ia ˆ ın considerare inﬂuent ¸a nucle onilor valent ¸iali
asupra miezului care-¸ si poate modiﬁca forma ¸ si orientare a ˆ ın spat ¸iu; aceste
schimb˘ ari conduc la modiﬁcarea dinamic˘ a a cˆ ampului self consistent care va
inﬂuent ¸a mi¸ scarea individual˘ a a nucleonilor. A¸ sadarˆ ıntre mi¸ scarea colectiv˘ a
¸ si individual˘ a a nucleonilor exist˘ a o strˆ ans˘ a corelar e. Considerarea exact˘ a
a interdependent ¸ei celor dou˘ a moduri de mi¸ scare este o pr oblem˘ a deosebit
de diﬁcil˘ a a¸ sa ˆ ıncˆ at ˆ ın majoritatea cazurilor ˆ ın cadr ul modelului uniﬁcat se
consider˘ a cazurile limit˘ a care permit o descriere relati v simpl˘ a a nucleului ¸ si
adesea ˆ ın concordant ¸˘ a cu datele experimentale. Astfel, ˆ ın cazul unui singur
nucleon valent ¸ial se consider˘ a, ˆ ın acord cu cele preciza te ˆ ın paragraful 3.3,
c˘ a interact ¸ia acestuia cu miezul sferic este slab˘ a (apro ximat ¸ia ”cuplajului
slab”) ¸ si ca atare miezul r˘ amˆ ane sferic. Ca urmare mi¸ sca rea nucleonului va
ﬁ tratat˘ a cu modelul MPS (paragraful 3.2.3) iar miezul, car e poate efectua
vibrat ¸ii ˆ ın jurul formei sferice, este tratat ˆ ın acord cu modelul MCS (para-
graful 3.3.1). Aproximat ¸ia cuplajului slab este deja sati sf˘ ac˘ atoare ˆ ın cazul a
doi nucleoni valent ¸iali. Pentru nucleeleˆ ın care num˘ aru l nucleonilor valent ¸iali
cre¸ ste, interact ¸ia acestora cu miezul devine puternic˘ a (aproximat ¸ia ”cupla-
jului tare”) ¸ si ca urmare miezul se deformeaz˘ a. In continu are se consider˘ a
c˘ a mi¸ scarea colectiv˘ a a miezului deformat (ˆ ın esent ¸˘ a mi¸ scarea de rotat ¸ie) se
face cu o frecvent ¸˘ a mult mai mic˘ a decˆ at frecvent ¸a mi¸ sc ˘ arii nucleonilor indi-
viduali (aproximat ¸ia ”adiabatic˘ a”) ¸ si ca atare nucleon ii se mi¸ sc˘ a ˆ ın cˆ ampul
selfconsistent al miezului care se modiﬁc˘ a lent ˆ ın timp; l a limit˘ a cˆ ampul
selfconsistent poate ﬁ considerat static. In acest caz limi t˘ a miezul deformat
este tratat conform modelului MCD (paragraful 3.3.2) iar nu cleonul (nucle-
onii) valent ¸ial este analizat cu modelul MPD (paragraful 3 .2.4). In celelalte
cazuri (nuclee slab deformate) are loc ”cuplajul intermedi ar” care comport˘ a
o tratare matematic˘ a soﬁsticat˘ a. In continuare vor ﬁ trat ate cazurile ex-
treme, de fapt cele mai utilizate.
321

3.4.1 Aproximat ¸ia cuplajului slab (MUCS)
Aceast˘ a aproximat ¸ie se justiﬁc˘ a cel mai bine ˆ ın cazul nu cleelor cu A impar
care au un nucleon extrap˘ aturi complete; este deci vorba de nuclee formate
dintr-un miez par-par sferic ¸ si un nucleon extramiez. Dac˘ a miezul ar ﬁ inert
st˘ arile nucleului ar coincide cu st˘ arile energetice ale n ucleonului valent ¸ial,
st˘ ari ce se determin˘ a cu modelul MPS. Dac˘ a s-ar neglija ex istent ¸a nucleonu-
lui valent ¸ial, st˘ arile nucleului ar ﬁ st˘ ari vibrat ¸iona le, uni sau multi fononice,
de regul˘ a st˘ ari unifononice cuadrupolare sau octupolare . In modelul uniﬁ-
cat ˆ ın varianta cuplajului slab (MUCS) se consider˘ a c˘ a se poate excita atˆ at
nucleonul valent ¸ial cˆ at ¸ si miezul, ceea ce face ca spectr ul st˘ arilor excitate ale
nucleului s˘ a ﬁe mult mai bogat. Intr-adev˘ ar, pe ﬁecare sta re uniparticul˘ a
de spin ¸ si paritate jπnnse pot construi st˘ ari de vibrat ¸ie corespunz˘ atoare
diferitelor excit˘ ari fononice. Spinii st˘ arilor nucleul ui vor rezulta prin cu-
plarea vectorial˘ a a momentului jncu momentul fononului (sau fononilor)
care a generat st˘ arile de vibrat ¸ie. Pentru a exempliﬁca s˘ a presupunem c˘ a
prima stare excitat˘ a de natur˘ a uniparticul˘ a are o energi e mare comparativ
cu prima stare excitat˘ a a miezului sferic. In aceast˘ a situ at ¸ie este rezonabil
s˘ a se presupun˘ a c˘ a primele st˘ ari excitate ale nucleului corespund situat ¸iei ˆ ın
care nucleonul valent ¸ial se g˘ ase¸ ste pe nivelul uniparti cul˘ a de spin ¸ si paritate
jπnn, care deﬁne¸ ste starea fundamental˘ a a nucleului impar, ia r miezul se va
excita ˆ ın starea vibrat ¸ional˘ a de spin ¸ si paritate Iπcc¸ si de energie Ec. St˘ arile
nucleului vor avea spinul ¸ si paritatea deﬁnite de relat ¸ia :
/vectorI=/vectorIc+/vectorjn;π=πnπc (3.126)
Dac˘ a ˆ ıntre miez ¸ si nucleonul valent ¸ial nu exist˘ a niciu n fel de interact ¸ie
atunci st˘ arile cu spinul ¸ si paritatea deﬁnite de aceast˘ a relat ¸ie vor avea aceea¸ si
energie. In ipoteza c˘ a ˆ ıntre miez ¸ si nucleonul valent ¸ia l exist˘ a o interact ¸ie cˆ at
de slab˘ a degenerarea este ridicat˘ a; se formeaz˘ a un multi plet de st˘ ari cu
energii diferite dar foarte apropiate de valoarea energiei E∗
c(ﬁgura 3.53).
Dac˘ a este ˆ ındeplinit˘ a condit ¸ia:
∆E <E∗
c (3.127)
ˆ ın care ∆E(ﬁgura 3.53) este diferent ¸a dintre energia maxim˘ a ¸ si cea minim˘ a
a multipletului, se spune c˘ a are loc aproximat ¸ia ”cuplaju lui slab”.
Un exemplu ediﬁcator de realizare a cuplajului slab este pre zentat ˆ ın
ﬁgura 3.54 pentru nucleul209
83Biformat din miezul dublu magic208
82Pb¸ si
un proton extramiez sferic situat pe nivelul uniparticul˘ a 1h9/2(ﬁgura 3.21);
322

Figura 3.53
Ilustrarea calitativ˘ a a cuplajului slab.
Figura 3.54
Spectrul energetic al nucleului209Bi
323

starea fundamental˘ a a nucleului va ﬁ jπnn= 9/2−. Prima stare excitat˘ a a
miezului208Pb(ﬁgura 3.4) este o stare vibrat ¸ional˘ a octupolar˘ a de spin ¸ si
paritateIπcc= 3−¸ si de energie E∗
c= 2.61 Mev. In acord cu relat ¸ia (3.126)
st˘ arile nucleului vor avea spinul I=3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 11/ 2, 13/2, 15/2 ¸ si
paritatea pozitiv˘ a. Diferent ¸a de energie ∆ Epentru acest multiplet este de
cca. 0.25 MeV cu adev˘ arat mult mai mic˘ a decˆ at energia E∗
c= 2.61 MeV,
ˆ ıncˆ at condit ¸ia (3.127) este ˆ ındeplinit˘ a.
Un alt exemplu este prezentat ˆ ın ﬁgura 3.55 pentru nucleul63
29Cufor-
mat din miezul62
28Ni34¸ si un proton impar aﬂat pe nivelul uniparticul˘ a 2 p3/2
(ﬁgura 3.21) de unde rezult˘ a jπnn= 3/2−. Prima stare vibrat ¸ional˘ a a nucle-
ului62
28Nieste 2+¸ si are energia de 1.171 MeV. In acord cu relat ¸ia (3.126) se
obt ¸in st˘ arile de spin ¸ si paritate Iπ= 1/2−,3/2−,5/2−,7/2−dispuse ener-
getic ca ˆ ın ﬁgura 3.55. Se constat˘ a c˘ a diferent ¸a energet ic˘ a ∆E= 0.742 MeV
este ¸ si ˆ ın acest caz mai mic˘ a decˆ at energia E∗
c= 1.171 MeV dar nu mult
mai mic˘ a ca ˆ ın exemplul precedent. Rezultatul nu este ˆ ınt ˆ ampl˘ ator ˆ ıntrucˆ at
ˆ ın cazul nucleului209Biexist˘ a un singur proton valent ¸ial pe cˆ and ˆ ın cazul
nucleului63Cupe lˆ ang˘ a protonul valent ¸ial mai exist˘ a ¸ si 6 neutroni va lent ¸iali
care determin˘ a o interact ¸ie mai puternic˘ aˆ ıntre ace¸ st ia ¸ si miezul dublu magic
care are drept consecint ¸˘ a o despicare mai mare a nivelelor degenerate ¸ si de
aici o valoare mai mare pentru diferent ¸a energetic˘ a ∆ E. Aceste dou˘ a e-
xemple arat˘ a elocvent faptul c˘ a aproximat ¸ia cuplajului slab este adecvat˘ a
ˆ ın special pentru nucleele cu un nucleon extramiez dublu ma gic. Condit ¸ia
(3.127) nu este ˆ ındeplinit˘ a ˆ ın cazul nucleelor deformat e c˘ aci energia primei
st˘ ari excitate pentru aceste nuclee este mic˘ a deoarece es te o stare rotat ¸ional˘ a
(relat ¸ia (3.125)). Din considerentele de mai sus rezult˘ a c˘ a aproximat ¸ia cu-
plajului slab este ˆ ındeplinit˘ a pentru un num˘ ar limitat d e nuclee.
3.4.2 Aproximat ¸ia cuplajului tare (MUCT)
Aceast˘ a aproximat ¸ie se aplic˘ a bine ˆ ın cazul nucleelor c u A impar care au un
nucleon extramiez puternic deformat, deci a unui miez care, el ˆ ınsu¸ si, are
mai mult ¸i nucleoni valent ¸iali. Pentru simplitateˆ ın con tinuare vom considera
c˘ a miezul deformat are simetrie axial˘ a ¸ si de reﬂexie, ca c el din ﬁgura 3.50,
¸ si c˘ a ˆ ıntre miez ¸ si nucleonul impar nu exist˘ a nicio inte ract ¸ie. In acest caz
miezul poate ﬁ studiat ˆ ın cadrul modelului MCD (paragraful 3.3.2) ¸ si va
ﬁ caracterizat de momentul cinetic de rotat ¸ie R perpendicu lar pe axa de
simetrie (ﬁgura 3.56).
In ipoteza c˘ a frecvent ¸a mi¸ sc˘ arii de rotat ¸ie ωrota nucleului este mult mai
mic˘ a decˆ at frecvent ¸a ωna nucleonului:
ωrot≪ωn (3.128)
324

ipotez˘ a cunoscut˘ a sub denumirea de ”aproximat ¸ia adiaba tic˘ a”, se poate
aﬁrma c˘ a nucleonul de moment cinetic /vectorj(ﬁgura 3.56) se mi¸ sc˘ a practic ˆ ıntr-
un cˆ amp selfconsistent static. In aceste condit ¸ii st˘ ari le nucleonului impar vor
ﬁ descrise de modelul MPD (paragraful 3.2.4), model care, de fapt, folose¸ ste
tacit condit ¸ia adiabatic˘ a. In modelul MPD nucleonul este caracterizat de
proiect ¸ia momentului cinetic /vectorjpe axa de simetrie, proiect ¸ie notat˘ a ˆ ın para-
graful 3.2.4 cu K. Ca urmare momentul cinetic total al nucleu lui/vectorI, ˆ ın acord
cu ﬁgura 3.57, este deﬁnit de relat ¸ia:
/vectorI=/vectorR+ ¯h/vectorK (3.129)
3.4.2.1 Spectrul energetic
a) Spectrul energetic al nucleelor deformate cu A impar
In condit ¸iileˆ ın care ipoteza adiabatic˘ a esteˆ ındeplin it˘ a ¸ si interact ¸ia dintre
nucleonul impar ¸ si miezul deformat este neglijabil˘ a (sau neglijat˘ a) hamilto-
nianul nucleului se poate scrie sub forma:
H=Hn+Hrot (3.130)
ˆ ın careHneste hamiltonianul uniparticul˘ a iar Hroteste hamiltonianul colec-
tiv ce descrie mi¸ scarea de rotat ¸ie a nucleului ¸ si este deﬁ nit de relat ¸ia:
Hrot=R2
2J(3.131)
Funct ¸ia de und˘ a Ψ a nucleului, corespunz˘ atoare hamilton ianului din relat ¸ia
(3.130), pentru starea caracterizat˘ a de num˘ arul cuantic de spin I ¸ si de
proiect ¸ie K ( I3= ¯hK) pe axa de simetrie ¸ si de proiect ¸ie M ( Iz= ¯hM) pe
axa de cuantiﬁcare (ﬁgura 3.57) se scrie sub forma produsulu i dintre funct ¸ia
intern˘ aϕn
K(q), care depinde de coordonatele interne q, de num˘ arul cuant ic
K cˆ at ¸ si de alte numere cuantice ce sunt ˆ ıns˘ a nesemniﬁcat ive pentru cele
ce urmeaz˘ a, ¸ si funct ¸ia colectiv˘ a ΨI
MK(θL) corespunz˘ atoare hamiltonianului
Hrot. In literatura de specialitate funct ¸ia ΨI
MK(θi) se exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de
funct ¸ia de rotat ¸ie DI
MK(θi) prin relat ¸ia:
ΨI
MK(θi) =/radicalBigg
2I+ 1
8π2DI
MK(θi) (3.132)
Aceste funct ¸ii depind de unghiurile Euler {θi}={θ1,θ2,θ3}={θ,ϕ,ψ}
care deﬁnesc sistemul de coordonate {123}, ﬁxat de nucleu, fat ¸˘ a de sistemul
325

Figura 3.57
Schema de cuplaj a momentelor /vectorR¸ si/vectorI3= ¯hKpentru obt ¸inerea
momentului cinetic total /vectorI
laborator{xyz}. Propriet˘ at ¸ile funct ¸iilor ΨI
MK(θi) sunt studiate ˆ ın detaliu
ˆ ın literatura de specialitate; ˆ ın particular, pentru K=0 (θ3=ψ= 0) aceste
funct ¸ii se exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de funct ¸iile sferice YIM(θ,ϕ) conform relat ¸iei:
ΨI
MK=0(θ,ϕ) =1√
2πYIM(θ,ϕ) (3.133)
In concordant ¸˘ a cu cele precizate mai sus, funct ¸ia de und˘ a corespunz˘ atoare
hamiltonianului (3.130) va ﬁ:
Ψ(IMK ) =/radicalBigg
2I+ 1
8π2DI
MK(θi)ϕn
K(q) (3.134)
Evident, propriet˘ at ¸ile de simetrie ale formei nucleului trebuie s˘ a se re-
ﬂecte ˆ ın structura funct ¸iei de und˘ a Ψ( IMK ). Aceast˘ a funct ¸ie t ¸ine cont de
simetria axial˘ a a nucleului prin aceea c˘ a I3= ¯hKeste o integral˘ a a mi¸ sc˘ arii.
Intr-adev˘ ar, dac˘ a nucleul are simetrie axial˘ a el nu se po ate rotiˆ ın jurul aces-
tei axe ¸ si ca atare proiect ¸ia ¯ hK(care corespunde proiect ¸iei j3a momentului
cinetic/vectorjal nucleonului) are aceea¸ si valoare indiferent de valoril e posibile,
cuantiﬁcate, ale momentului de rotat ¸ie /vectorR. Rezult˘ a de aici ¸ si consecint ¸a
important˘ a c˘ a orice m˘ arime observabil˘ a, legat˘ a de rot at ¸ia ˆ ın jurul axei de
simetrie, este determinat˘ a de structura intern˘ a a nucleu lui.
Funct ¸ia Ψ(IMK ) din (3.134) nu reﬂect˘ a ˆ ıns˘ a ¸ si invariant ¸a formei nucl e-
ului la rotat ¸ia cu πˆ ın jurul oric˘ arei axe perpendiculare pe axa de simetrie.
Dac˘ a not˘ am cu R1operatorul care realizeaz˘ a rotat ¸ia la πˆ ın jurul axei 1
(ﬁgura 3.57) act ¸iunea acestuia asupra funct ¸iei Ψ( IMK ) va ﬁ:
R1Ψ(IMK ) =/radicalBigg
2I+ 1
8π2(−1)I+KDI
M−K(θi)R1ϕn
K(q) (3.135)
326

Pentru ca funct ¸ia Ψ( IMK ) din (3.134) s˘ a corespund˘ a ¸ si invariant ¸ei descrise
de relat ¸ia (3.135) trebuie transcris˘ a astfel:
Ψ(IMK ) =/radicalBigg
2I+ 1
16π2(1 +δK0)/parenleftBig
DI
MK(θi)ϕn
K(q) + (−1)I+KDI
MK(θi)R1ϕn
K(q)/parenrightBig
(3.136)
Pentru un nucleu impar num˘ arul cuantic K ia valori semiˆ ınt regi;
relat ¸ia (3.135) este ˆ ıns˘ a adev˘ arat˘ a ¸ si pentru nuclee le par-pare ¸ si
impar-impare pentru care num˘ arul K ia valori ˆ ıntregi, inc lusiv
valoarea zero. Din motive de generalizare, deci, ˆ ın relat ¸ ia (3.136)
s-a introdus factorul (1 +δK0).
Funct ¸ia din (3.136) reﬂect˘ a atˆ at simetria axial˘ a cˆ at ¸ si la rotat ¸ie a nucle-
ului. Deoarece I3¸ si, ﬁre¸ ste, momentele I2¸ siIzsunt integrale ale mi¸ sc˘ arii,
funct ¸iile Ψ( IMK ) deﬁnite ˆ ın relat ¸ia (3.136) sunt funct ¸ii proprii ale ace stor
momente:
I2Ψ(IMK ) = ¯h2I(I+ 1)Ψ(IMK )
IzΨ(IMK ) = ¯hKΨ(IMK ) (3.137)
IzΨ(IMK ) = ¯hMΨ(IMK )
A¸ sadar, funct ¸iile Ψ( IMK ) descriu starea nucleului caracterizat˘ a de nu-
merele cuantice I, M, K ˆ ın care I, ˆ ın acord cu relat ¸ia (3.12 9) ˆ ın care R poate
lua valori ˆ ıntregi 0, 1, 2, 3, …, poate avea urm˘ atoarle va lori:
I=K,K+ 1,K+ 2,… (3.138)
Paritatea st˘ arilor cu valoarea num˘ arului cuantic de spin I din (3.138)
se determin˘ a din observat ¸ia c˘ a ˆ ın ipoteza c˘ a hamiltoni anul mi¸ sc˘ arii in-
terneHneste invariant la operat ¸ia de reﬂexie ˆ ın oglind˘ a, operat ¸ie prin care
nu se modiﬁc˘ a unghiurile Euler, operatorul de reﬂexie P (pa ragraful 1.6)
act ¸ioneaz˘ a numai asupra coordonatelor interne ¸ si deci:
PΨ(IMK ) =Pϕn
k(q) (3.139)
Din aceast˘ a relat ¸ie rezult˘ a c˘ a paritatea πa funct ¸iei Ψ( IMK ) este dat˘ a
de paritatea πKa funct ¸iei interne:
π≡πK;πK=±1 (3.140)
327

Energia st˘ arilor de numere cuantice I, M, K ¸ si de paritate πse determin˘ a
conform relat ¸iei:
EIK=/angbracketleftBigg
Ψ(IMK )|R2
2J+Hn|Ψ(IMK )/angbracketrightBigg
=
/angbracketleftBigg
Ψ(IMK )|I2−I2
3
2J+Hn|Ψ(IMK )/angbracketrightBigg
=
=¯h2
2J/parenleftBig
I(I+ 1)−K2/parenrightBig
+En=Erot
IK+En (3.141)
ˆ ın care:
En=/an}bracketle{tΨ(IMK )|Hn|Ψ(IMK )/an}bracketri}ht (3.142)
este energia uniparticul˘ a iar Erot
IKeste energia de rotat ¸ie. Un calcul mai
exact, ˆ ın care se t ¸ine cont de cuplajul dintre mi¸ scarea nu cleonului extramiez
deformat ¸ si mi¸ scarea colectiv˘ a, generalizeaz˘ a relat ¸ ia (3.141) astfel:
EIK=¯h2
2J/parenleftBig
I(I+ 1)−2K2+δK,1/2a(−1)I+1/2(I+ 1/2)/parenrightBig
+En(3.143)
Aceast˘ a relat ¸ie arat˘ a c˘ a ˆ ın cazul K=1/2 exist˘ a un cupl aj puternic ˆ ıntre
mi¸ scarea colectiv˘ a ¸ si cea individual˘ a, cuplaj caracte rizat de ”coeﬁcientul de
cuplaj a” care poate lua atˆ at valori pozitive cˆ at ¸ si negat ive.
Demonstrarea relat ¸iei (3.143) se face plecˆ and de la obser vat ¸ia
c˘ a de¸ siI3=j3este o constant˘ a a mi¸ sc˘ arii, momentul cinetic
/vectorIrezult˘ a totu¸ si din cuplajul momentelor /vectorR¸ si/vectorj(ﬁgura 3.58)
conform relat ¸iei:
/vectorI=/vectorR+/vectorj (3.144)
Hamiltonianul H din relat ¸ia (3.130) cu Hrotdin (3.131) devine:
H=R2
2J+Hn=(/vectorI−/vectorj)2
2J+Hn=H′
rot+H′
n+Hcor.(3.145)
ˆ ın care:
H′
rot=1
2J(I2−2I3j3)
H′
n=Hn+j2
2J(3.146)
Hcor.=−1
2J(2I1j1+ 2I2j2) =−1
2J(I+j−+I−j+)
328

Figura 3.58
Cuplajul momentelor /vectorR¸ si/vectorjpentru deﬁnirea momentului cinetic
total/vectorI
cu:
I±=I1±iI2;j±=j1±ij2 (3.147)
Hamiltonianul Hcor.seam˘ an˘ a cu energia potent ¸ial˘ a a fort ¸elor
coriolis din ﬁzica clasic˘ a ¸ si ca atare se nume¸ ste ”hamilt onianul
coriolis” sau hamiltonianul interact ¸iei mi¸ sc˘ arii de ro tat ¸ie cu mi¸ s-
carea individual˘ a. Intr-adev˘ ar, dac˘ a acest hamiltonia n se negli-
jeaz˘ a ˆ ın relat ¸ia (3.146), energia st˘ arilor descrise de funct ¸iile
Ψ(IMK )va ﬁ:
EIK=<Ψ(IMK )|H′
rot+H′
n|Ψ(IMK )>= (3.148)
¯h2
2J/parenleftBig
I(I+ 1)−2K2/parenrightBig
+En
relat ¸ie care arat˘ a lipsa cuplajului ˆ ıntre mi¸ scarea col ectiv˘ a ¸ si
cea individual˘ a. Ment ¸ion˘ am c˘ a ˆ ın obt ¸inerea acestei r elat ¸ii s-a
t ¸inut cont de faptul c˘ a funct ¸iile Ψ(IMK )sunt funct ¸ii proprii ¸ si
pentru operatorul j3.
Considerarea hamiltonianului coriolis complic˘ a problem a c˘ aci
operatorulI±din (3.147) combin˘ a st˘ arile care au num˘ arul cuan-
tic K cu valori ce difer˘ a cu o unitate conform relat ¸iei:
I±Ψ(IMK ) =/radicalBig
(I∓K)(I±K+ 1)Ψ(IM,K±1) (3.149)
Din aceast˘ a relat ¸ie rezult˘ a c˘ a prin considerarea hamil tonianu-
lui coriolis care ”amestec˘ a” st˘ arile cu ∆K=±1proiect ¸ia ¯hK
nu mai este o constant˘ a a mi¸ sc˘ arii (K nu mai este un num˘ ar
cuantic bun). Deoarece funct ¸iile Ψ(IMK )cont ¸in numai st˘ ari cu
329

num˘ arul cuantic +K ¸ si -K rezult˘ a c˘ a elementele de matric e ale
termenului coriolis sunt diferite de zero numai pentru valo rile:
∆K= 2K= 1−→K=1
2(3.150)
In acest caz:
<Ψ(IMK )|Hcor.|Ψ(IMK )>∼aδK,1/2 (3.151)
Relat ¸ia (3.149) combinat˘ a cu relat ¸ia (3.151) conduce la relat ¸ia
(3.143)
St˘ arile de rotat ¸ie deﬁnite de relat ¸iile (3.138), (3.140 ) ¸ si (3.143) corespund
unei st˘ ari uniparticul˘ a cu o valoare K, o paritate πK¸ si o energie uniparticul˘ a
Enbine deﬁnite. In st˘ arile cu I≥Kconﬁgurat ¸ia nucleonilor pe nivele
uniparticul˘ a este aceea¸ si; aceste st˘ ari difer˘ a ˆ ıntre ele numai prin valoarea
diferit˘ a a momentului cinetic de rotat ¸ie ¸ si deci, ¸ si pri n num˘ arul cuantic I.
Ansamblul acestor st˘ ari de rotat ¸ie, corespunz˘ atoare ac eleea¸ si conﬁgurat ¸ii de
nucleoni, formeaz˘ a o ”band˘ a de rotat ¸ie”. Energia unei st ˘ ari din banda de
rotat ¸ie fat ¸˘ a de energia st˘ arii fundamentale a benzii re spective este deﬁnit˘ a
de relat ¸ia:
∆E∗
I=EIK−EKK=
=¯h2
2J/parenleftBig
I(I+ 1)−K(K+ 1) +δK,1/2a(1 + (−1)I+1/2(I+ 1/2))/parenrightBig
(3.152)
iar energia total˘ a a st˘ arii E∗
IKva ﬁ:
E∗
IK= ∆E∗
I+EKK (3.153)
ˆ ın careEKK, conform relat ¸iei (3.143), este ˆ ın esent ¸˘ a, energia uni particul˘ a
pe care s-a construit banda de rotat ¸ie respectiv˘ a. In acor d cu relat ¸iile de
mai sus spectrul energetic pentru o band˘ a de rotat ¸ie cu num ˘ arul cuantic
K diferit de 1/2 arat˘ a, calitativ, ca ˆ ın ﬁgura 3.59. Si pent ru aceste st˘ ari,
ca ¸ si pentru st˘ arile de rotat ¸ie pentru nucleele par-pare deformate, se poate
stabili o ”regul˘ a a intervalelor” similar˘ a cu relat ¸ia (3 .120). Astfel, raportul
∆E∗
I=K+2/∆E∗
I=K+1, ˆ ın acord cu relat ¸iile de mai sus, ca ¸ si din ﬁgura 3.59,
este deﬁnit de expresia:
∆E∗
I=K+2
∆E∗
I=K+1=2K+ 3
K+ 1= 2 +1
K+ 1(3.154)
330

Figura 3.59
Spectrul energetic, teoretic, pentru o band˘ a de rotat ¸ie c u
num˘ arul cuantic K diferit de 1/2 ¸ si de zero
Aceast˘ a relat ¸ie poate ﬁ folosit˘ a ¸ si pentru determinare a ”experimental˘ a” a
num˘ arului cuantic K, dac˘ a acest num˘ ar cuantic nu este det erminat cu aju-
torul unui model de p˘ aturi pentru nucleele deformate (para graful 3.2.4).
Spectrul energetic pentru o band˘ a de rotat ¸ie cu K=1/2 este mai com-
plicat ¸ si depinde de valoarea coeﬁcientului de cuplaj a din relat ¸ia (3.143).
Succesiunea st˘ arilor de rotat ¸ie pentru diferite valori ” a” rezult˘ a din ﬁgura
3.60. Spectrul energetic pentru a=±2 este redatˆ ın ﬁgura 3.61. Se constat˘ a
c˘ a pentru banda de rotat ¸ie cu K=1/2 succesiunea de nivele n u este ˆ ın acord
cu cea deﬁnit˘ a de relat ¸ia (3.138).
Spectrele experimentale ale nucleelor deformate cu A impar conﬁrm˘ a
ansamblul rezultatelor prezentate mai sus a¸ sa cum se poate constata din
ﬁgurile 3.62 ¸ si 3.63, ˆ ın care spectrul experimental este d escompus ˆ ın benzile
de rotat ¸ie corespunz˘ atoare. Se poate constata c˘ a relat ¸ ia (3.154) se veriﬁc˘ a
bine pentru toate benzile de rotat ¸ie prezentate ˆ ın ﬁguril e amintite. In cazul
nucleului169Ybdin ﬁgura 3.63 exist˘ a ¸ si banda Kπ= 1/2−. De¸ si succesiunea
st˘ arilor este 1 /2−,3/2−,5/2−,7/2−, etc., distant ¸a dintre nivele nu re-
spect˘ a legea I(I+1). Comparˆ and aceast˘ a succesiune de st ˘ ari pentru K=1/2
cu ﬁgura 3.60 se poate deduce c˘ a parametrul ”a” pentru169Ybare valoarea
|a|<1. Preciz˘ am faptul c˘ a dac˘ a ﬁgura 3.60 este realizat˘ a la ” scar˘ a”,
atunci prin compararea spectrului experimental cu aceast˘ a ﬁgur˘ a se poate
stabili valoarea prametrului ”a”. In ﬁgura 3.64 este prezen tat˘ a banda fun-
damental˘ aKπ= 1/2−pentru nucleul207Pb. Succesiunea st˘ arilor de rotat ¸ie
331

Figura 3.60
Succesiunea st˘ arilor de rotat ¸ie pentru valorile posibil e ale
parametrului de cuplaj ”a” pentru o band˘ a de rotat ¸ie cu K=1 /2
Figura 3.61
Spectrul energetic, teoretic, pentru o band˘ a de rotat ¸ie c u K=1/2
ˆ ın cazula=±2
332

Figura 3.62
Spectrul energetic experimental pentru nucleul249
97Bk.In ﬁgur˘ a
sunt identiﬁcate benzile de rotat ¸ie. Energia (ˆ ın MeV) est e
precizat˘ a pe ﬁecare stare
ˆ ın cazul acestui nucleu este similar˘ a cu succesiunea st˘ a rilor din ﬁgura 3.61
pentru cazul a=2; aceast˘ a asem˘ anare conduce la ideea c˘ a c oeﬁcientul de cu-
plaj pentru acest nucleu este pozitiv ¸ si are valori pozitiv e egale aproximativ
cu doi.
b). Spectrul energetic al nucleelor p-p ¸ si i-i
De¸ si rezultatele de mai sus se refer˘ a la nucleele cu A impar ele r˘ amˆ an,
ˆ ın esent ¸˘ a, valabile ¸ si pentru nucleele impar-impare (i -i) ¸ si par-pare (p-p),
dac˘ a acestea prezint˘ a simetrie axial˘ a ¸ si simetrie de ro tat ¸ie ˆ ın jurul oric˘ arei
axe perpendiculare pe axa de simetrie. Fire¸ ste, ˆ ın aceste cazuri proiect ¸ia K
pe axa de simetrie este deﬁnit˘ a de proiect ¸iile momentelor nucleonilor (sau
g˘ aurilor) care deﬁnesc propriet˘ at ¸ile nucleului. Astfe l, ˆ ın cazul nucleelor i-i,
proiect ¸ia K este deﬁnit˘ a de proiect ¸ia Kp¸ siKna protonului, respectiv, a
neutronului impar conform relat ¸iei:
K=|Kp±Kn| (3.155)
Pentru ﬁecare valoare K ( K/ne}ationslash= 0) rezultat˘ a din relat ¸ia de mai sus se con-
333

Figura 3.63
Spectrul energetic experimental ¸ si identiﬁcarea benzilo r de
rotat ¸ie pentru nucleul169Yb. Energia st˘ arilor (ˆ ın KeV) este
precizat˘ a pe ﬁecare stare.
Figura 3.64
Banda de rotat ¸ie fundamental˘ a pentru nucleul207Pb
334

struie¸ ste cˆ ate o band˘ a de rotat ¸ie ˆ ın acord cu relat ¸iil e de mai sus. Similar se
procedeaz˘ a ¸ si ˆ ın cazul nucleelor p-p ˆ ın st˘ arile excita te (ˆ ın starea fundamen-
tal˘ a K=0) cu condit ¸ia ca prin Kp¸ siKns˘ a se ˆ ınt ¸eleag˘ a proiect ¸ia momentului
nucleonului ¸ si a g˘ aurii (pentru st˘ arile de tip o particul ˘ a-o gaur˘ a) care de-
ﬁnesc spectrul de joas˘ a energie de excitat ¸ie pentru acest e nuclee. Except ¸ie
de la regulile de mai sus ˆ ıl constituie cazul K=0. In acest ca z funct ¸ia de
und˘ a din (3.136), ˆ ın acord cu relat ¸ia (3.133), devine:
Ψ(IMK = 0) =1
2√
2πYIM/parenleftBig
ϕn
0(q) + (−1)IR1ϕn
0(q)/parenrightBig
(3.156)
Dac˘ a not˘ am cu r valoarea proprie a operatorului R1din relat ¸ia (3.135):
R1ϕn
0(q) =rϕn
0(q) (3.157)
relat ¸ia precedent˘ a devine:
Ψ(IMK = 0) =1
2√
2πYIM(θ,ϕ)ϕn
0(q)(1 + (−1)Ir) (3.158)
Preciz˘ am c˘ a r este valoarea proprie a operatorului R1care arat˘ a cum se
comport˘ a funct ¸ia de und˘ a intern˘ a la rotat ¸ia cu πˆ ın jurul axei ”1” perpen-
dicular˘ a pe axa de simetrie ¸ si poate lua valorile ±1; valoarea r nu trebuie
confundat˘ a cu valoarea parit˘ at ¸ii interne πK=0a funct ¸iei interne.
Relat ¸ia (3.158) arat˘ a c˘ a funct ¸ia de und˘ a este diferit˘ a de zero pentru
urm˘ atoarele situat ¸ii:
r= +1 ;I= 0,2,4,6,…
r=−1 ;I= 1,3,5,7,…(3.159)
Dac˘ a se t ¸ine cont de paritatea πK=0a funct ¸iei interne ¸ si avˆ and ˆ ın vedere c˘ a
paritatea funct ¸iei Ψ( IMK ) este deﬁnit˘ a de πKˆ ın acord cu relat ¸ia (3.140),
rezult˘ a c˘ a st˘ arile benzilor de rotat ¸ie construite pe st area intern˘ a cu K=0 pot
avea urm˘ atoarele valori pentru I ¸ si π:
π=πK=0= +1/braceleftBigg
r= +1 ;Iπ= 0+,2+,4+,6+,…
r=−1 ;Iπ= 1+,3+,5+,7+,…
π=πK=0=−1/braceleftBigg
r= +1 ;Iπ= 0−,2−,4−,6−,…
r=−1 ;Iπ= 1−,3−,5−,7−,…(3.160)
In particular pentru nucleele par-pare ˆ ın starea fundamen tal˘ a, pentru
careπ= +1 ¸ si r=+1, banda de rotat ¸ie ”fundamental˘ a” va ﬁ caracte rizat˘ a
335

Figura 3.65
Spectrul energetic de joas˘ a energie pentru nucleul166Ho.
de valorileIπ= 0+,2+,4+etc.,ˆ ın acord cu relat ¸ia (3.119). Nucleele impar-
impare care au K=|Kp−Kn|= 0ˆ ın starea fundamental˘ a ¸ si π=πK=0=−1
prezint˘ a adesea dou˘ a benzi de rotat ¸ie cu Iπ= 0−,2−,4−,6−,…¸ si
Iπ= 1−,3−,5−,7−,…corespunz˘ atoare num˘ arului cuantic r egal cu ±1
conform relat ¸iei (3.160), deplasate energetic una fat ¸˘ a de alta. Un exemplu
ˆ ın acest sens este prezentat ˆ ın ﬁgura 3.65 pentru nucleul166
67Ho(holmiu).
c). Considerarea mi¸ sc˘ arii de vibrat ¸ie ˆ ın cazul nucleel or puternic
deformate.
In discut ¸ia de mai sus s-a considerat c˘ a singura mi¸ scare c olectiv˘ a posi-
bil˘ a a nucleelor deformate este mi¸ scarea de rotat ¸ie. In r ealitate, nucleul
deformat poate efectua, ca ¸ si ˆ ın cazul nucleelor sferice ( paragraful 3.4.1),
vibrat ¸ii (oscilat ¸ii) ˆ ın jurul formei deformate. Cele ma i importante vor ﬁ
vibrat ¸iile cuadrupolare cu l=2 (ﬁgura 3.66). Dac˘ a prin ac este vibrat ¸ii se
p˘ astreaz˘ a atˆ at simetria axial˘ a a nucleului (ˆ ın planul (1,3) din ﬁgura 3.66,
care cont ¸ine axa de simetrie, nucleul are forma unei elipse ) cˆ at ¸ si cea la
reﬂexie (ˆ ın planul (1,2), perpendicular pe axa de simetrie nucleul are forma
unui cerc) vibrat ¸iile cuadrupolare se numesc ”vibrat ¸ii β”. In cazul ˆ ın care
prin aceste vibrat ¸ii nucleul ˆ ı¸ si pierde simetria axial˘ a (ˆ ın planul (1,2) nucleul
336

Figura 3.66
Ilustrarea calitativ˘ a a formei nucleului ˆ ın cazul vibrat ¸iilorβ¸ siγ
trece de la un cerc la forma de elips˘ a) vibrat ¸iile cuadrupo lare se numesc
”vibrat ¸iiγ”. In cazul vibrat ¸iilor γnucleul poate avea la un moment dat
forma unui elipsoid cu toate semiaxele diferite. Deoarece f orma nucleului
pentru vibrat ¸iile cuadrupolare (relat ¸ia (3.96)) este de ﬁnit˘ a de undele sferice
Y2m, rezult˘ a c˘ a vibrat ¸iile βcorespund cazului m=0 iar cele γcorespund
proiect ¸ieim=±2. Vibrat ¸iile cuadrupolare cu m=±1 sunt echivalente
cu rotat ¸ia nucleului, ca un tot, ˆ ın jurul unei axe perpendi culare pe axa de
simetrie ¸ si ca atare nu corespund modiﬁc˘ arii formei nucle ului.
In mod similar se pune problema ¸ si ˆ ın cazul vibrat ¸iilor oc tupolare sau
de multipol l superior. In particular vibrat ¸iile octupola re cu m=0 sunt
prezentate ˆ ın ﬁgure 3.67.
In ipoteza c˘ a pentru nucleele puternic deformate are loc ap roximat ¸ia
adiabatic˘ a:
ωrot≪ωvib≪ωn (3.161)
337

Figura 3.67
Vibrat ¸iile octupolare , pentru m=0, ale unui nucleu deform at.
care ﬁzic ˆ ınseamn˘ a c˘ a energia st˘ arilor de rotat ¸ie este mult mai mic˘ a decˆ at
energia st˘ arilor de vibrat ¸ie iar energia acestor st˘ ari e ste, la rˆ andul ei, mult
mai mic˘ a decˆ at energia st˘ arilor uniparticul˘ a, rezult˘ a c˘ a pentru ﬁecare stare
individual˘ a, intern˘ a a nucleonilor se poate construi spe ctrul energetic al
st˘ arilor de vibrat ¸ie iar pentru ﬁecare stare de vibrat ¸ie se poate construi o
band˘ a de rotat ¸ie.
In cazul ˆ ın care aproximat ¸ia adiabatic˘ a are loc hamilton ianul nucleului
devine:
H=Hn+Hrot+Hvib (3.162)
ˆ ın careHn¸ siHrotau semniﬁcat ¸ia de mai sus (relat ¸ia (3.130)) iar Hvibt ¸ine
cont de mi¸ scarea de vibrat ¸ie a nucleului ˆ ın jurul formei d eformate de echili-
bru. Funct ¸ia de und˘ a din (3.134) trebuie modiﬁcat˘ a astfe lˆ ıncˆ at s˘ a cont ¸in˘ a ¸ si
funct ¸ia corespunz˘ atoare vibrat ¸iilor iar energia nucle ului va cont ¸ine pe lˆ ang˘ a
termenul exprimat de relat ¸ia (3.143) ¸ si energia corespun z˘ atoare mi¸ sc˘ arii de
vibrat ¸ie. Elaborarea matematic˘ a a celor precizate mai su s dep˘ a¸ se¸ ste scopul
acestei lucr˘ ari ¸ si ca urmare, ˆ ın continuare ne vom limita la considerente
calitative. Astfel, dac˘ a vibrat ¸iile ˆ ın jurul formei def ormate de echilibru
p˘ astreaz˘ a simetria axial˘ a rezult˘ a c˘ a proiect ¸ia mome ntului cinetic total pe
axa de simetrie se conserv˘ a ˆ ın continuare. In cazul nuclee lor cu deformat ¸ie
axial˘ a static˘ a aceast˘ a proiect ¸ie este K;ˆ ın cazul vibr at ¸iilor la aceast˘ a proiect ¸ie
se mai adaug˘ a ¸ si proiect ¸ia m a momentului orbital l al fono nului care pro-
duce vibrat ¸ia respectiv˘ a. A¸ sadar, ˆ ın cazul ˆ ın care se c onsider˘ a ¸ si mi¸ scarea
de vibrat ¸ie, num˘ arul cuantic K, folosit ˆ ın cazul deforma t ¸iilor statice, devine:
K0=|K+m| (3.163)
Subliniem faptul c˘ a aceast˘ a relat ¸ie este adev˘ arat˘ a ˆ ı n ipoteza c˘ a vibrat ¸iile
conserv˘ a simetria axial˘ a, condit ¸ie esent ¸ial˘ a pentru a considera c˘ a proiect ¸ia
338

K0este un num˘ ar cuantic bun. Aceast˘ a condit ¸ie nu este ˆ ınde plinit˘ a, de
exemplu, ˆ ın cazul vibrat ¸iilor γ(ﬁgura 3.66); dac˘ a se consider˘ a, totu¸ si, c˘ a
asimetria axial˘ a datorat˘ a acestor vibrat ¸ii (sau alte vi brat ¸ii care nu conserv˘ a
simetria axial˘ a) este foarte mic˘ a se poate consideraˆ ın c ontinuare c˘ a num˘ arul
cuanticK0este ”ˆ ınc˘ a” un num˘ ar cuantic bun. S˘ a observ˘ am ¸ si faptu l c˘ a
unele vibrat ¸ii, ca cele octupolare cu m=0 (ﬁgura 3.67) cond uc la o form˘ a
care nu mai este invariant˘ a la rotat ¸ia ˆ ın jurul unei axe pe rpendiculare pe
axa de simetrie a¸ sa ˆ ıncˆ at funct ¸ia de und˘ a total˘ a nu mai poate ﬁ scris˘ a ca
ˆ ın relat ¸ia (3.136), c˘ aci nucleul nu mai prezint˘ a invari ant ¸˘ a la reﬂexie. In
aceste cazuri funct ¸ia intern˘ a ϕn
K(q) nu mai are o paritate deﬁnit˘ a; adesea
ˆ ıns˘ a se consider˘ a c˘ a abaterile de la simetria la reﬂexie datorate vibrat ¸iilor
sunt foarte mici ˆ ıncˆ at se poate atribui o paritate πKbine deﬁnit˘ a pentru
funct ¸ia intern˘ a.
In ipoteza c˘ a vibrat ¸iile conserv˘ a simetria axial˘ a ¸ si l a reﬂexie (sau c˘ a
abaterile de la aceste simetrii sunt foarte mici) se poate de monstra c˘ a st˘ arile
din banda de rotat ¸ie, construit˘ a pe oricare stare vibrat ¸ ional˘ a de proiect ¸ie
K0deﬁnit ˆ ın (3.163), au spinul I ¸ si paritatea πdeﬁnite de relat ¸ile:
Iπ=Kπ
0,(K0+ 1)π,(K0+ 2)π,…pentruK0/ne}ationslash= 0 (3.164)
π=πKπvib. (3.165)
ˆ ın careπvib.reprezint˘ a valoarea proprie a parit˘ at ¸ii pentru funct ¸i a de vibrat ¸ie.
Relat ¸ia (3.165) rezult˘ a calitativ din urm˘ atoarele: inv ersia spat ¸ial˘ a ˆ ınseamn˘ a
atˆ at inversia coordonatelor interne, ceea ce conduce la va loareaπK, cˆ at ¸ si
inversia formei nucleului aﬂatˆ ın vibrat ¸ie, ceea ce condu ce la valoarea proprie
πvib.. In esent ¸˘ a πvib.este deﬁnit˘ a de valoarea ( −1)lˆ ın care l este momentul
cinetic al fononului care produce vibrat ¸ia. Ca ¸ si ˆ ın cazu l mi¸ sc˘ arii de rotat ¸ie,
cazul K=0, care corespunde vibrat ¸iilor nucleelor p-p sau i -i cu K=0 ¸ si unor
vibrat ¸ii cu m=0, prezint˘ a particularit˘ at ¸i. In cazul ac estor nuclee modiﬁcarea
formei (ﬁgura 3.67) este echivalent˘ a cu modiﬁcarea unghiu rilorθ¸ siϕlaπ−θ
¸ siϕ+π¸ si ca atare are loc relat ¸ia:
πvib.= (−1)I(3.166)
In consecint ¸˘ a, pentru K=0 se pot construi urm˘ atoarele be nzi de rotat ¸ie:
πK= +1/braceleftBigg
πvib.= +1 ;Iπ= 0+,2+,4+,…
πvib.=−1 ;Iπ= 1−,3−,5−,…
πK=−1/braceleftBigg
πvib.= +1 ;Iπ= 0−,2−,4−,…
πvib.=−1 ;Iπ= 1+,3+,5+,…(3.167)
339

In rezumat, se poate spune c˘ a pe orice stare intern˘ a ϕn
K(q) se poate
construi o band˘ a de rotat ¸ie ˆ ın care st˘ arile de rotat ¸ie a u spinul ¸ si paritatea
deﬁnite de relat ¸iile (3.138) ¸ si (3.140) sau (3.160) ¸ si en ergia deﬁnit˘ a de (3.153).
De asemenea, pe ﬁecare stare ϕ0
K(q) se poate construi spectrul st˘ arilor de
vibrat ¸ie de proiect ¸ie m dat˘ a ¸ si pe ﬁecare stare de vibrat ¸ie de num˘ ar cuantic
|K+m|se poate construi o band˘ a de rotat ¸ie ˆ ın care st˘ arile de ro tat ¸ie
au spinul ¸ si paritatea deﬁnite de relat ¸iile (3.164) ÷(3.167). Energiile acestor
st˘ ari sunt date de relat ¸ia (3.153) la care se adaug˘ a energ ia st˘ arii de vibrat ¸ie
pe care a fost construit˘ a banda de rotat ¸ie respectiv˘ a. Fi re¸ ste, aceste aﬁrmat ¸ii
sunt adev˘ arate ˆ ın ipoteza c˘ a aproximat ¸ia adiabatic˘ a, exprimat˘ a de relat ¸ia
(3.161), este ˆ ındeplinit˘ a. Este de presupus c˘ a ipoteza a diabatic˘ a este greu
de ˆ ındeplinit ˆ ın cazul nucleelor i-i c˘ aci st˘ arile inter neϕn
K(q) rezultate prin
excitarea protonului ¸ si neutronului impar au energii rela tiv mici de excitare.
Ca urmare, spectrul energetic de joas˘ a energie al nucleelo r i-i va ﬁ format ˆ ın
esent ¸˘ a din st˘ arile interne ϕn
K(q) pe care se construiesc benzi de rotat ¸ie. In
cazul nucleelor cu A impar, st˘ arile interne ϕn
K(q) au energii ceva mai mari
ˆ ın comparat ¸ie cu nucleele i-i, ¸ si ca atare este de presupu s c˘ a spectrul de
joas˘ a energie cont ¸ine pe lˆ ang˘ a benzile de rotat ¸ie cons truite pe st˘ arile ϕn
K(q)
¸ si benzi de rotat ¸ie construite pe st˘ ari vibrat ¸ionale. C ondit ¸ia adiabatic˘ a este,
f˘ ar˘ a ˆ ındoial˘ a, cel mai bine ˆ ındeplinit˘ a ˆ ın cazul nuc leelor par-pare (p-p). In
acest caz st˘ arile ϕn
K(q) rezultate prin excit˘ ari de tip particul˘ a-gaur˘ a, au
energii de excitare relativ mari ˆ ıncˆ at condit ¸ia adiabat ic˘ a (3.161) este, de
regul˘ a, ˆ ındeplinit˘ a. De aici rezult˘ a c˘ a spectrul ener getic de joas˘ a energie al
nucleelor par-pare este ”esent ¸ialmente” colectiv (ˆ ın sp ecial pentru nucleele
deformate foarte grele) ¸ si este format din st˘ ari colectiv e de vibrat ¸ie construite
pe starea fundamental˘ a ¸ si din benzile de rotat ¸ie constru ite pe st˘ arile de
vibrat ¸ie cˆ at ¸ si banda de rotat ¸ie construit˘ a pe starea f undamental˘ a.
In particular,ˆ ın cazul nucleelor par-pare, pe lˆ ang˘ a ban da de rotat ¸ie core-
spunz˘ atoare st˘ arii fundamentale, se pot construi pe ﬁeca re stare vibrat ¸ional˘ a
unifononic˘ a cuadrupolar˘ a, urm˘ atoarele benzi de rotat ¸ ie:
Iπ= 0+,2+,4+,6+,… pentru vibrat ¸ii β (m= 0);nβ= 1
Iπ= 2+,3+,4+,5+,… pentru vibrat ¸ii γ (m=±2);nγ= 1
Iπ= 2+,3+,4+,5+,… pentru vibrat ¸ii β¸ siγ n β=nγ= 1
(3.168)
Pentru st˘ ari bifononice cuadrupolare num˘ arul benzilor d e rotat ¸ie cre¸ ste
considerabil. Astfel, banda de rotat ¸ie corespunz˘ atoare a doi fononi βare
Kπ
0= 0+iar banda de rotat ¸ie pentru doi fononi γ(nβ= 0,nγ= 2) are ﬁe
Kπ
0= 0+ﬁeKπ
0= 4+, etc.
Spectrul energetic de joas˘ a energie al unui nucleu par-par , ˆ ın acord cu
340

Figura 3.68
Spectrul energetic de joas˘ a energie al nucleelor par-pare
deformate. Pozit ¸ionarea energetic˘ a a diferitelor benzi de rotat ¸ie
este orientativ˘ a
341

Figura 3.69
Spectrul energetic de joas˘ a energie al unui nucleu par-par prin
considerarea st˘ arilor de vibrat ¸ie octupolare ¸ si a benzi lor de
rotat ¸ie corespunz˘ atoare.
preciz˘ arile de mai sus, este redat, calitativ, ˆ ın ﬁgura 3. 68. S˘ a preciz˘ am cu
acest prilej c˘ a ˆ ın literatura de specialitate banda de rot at ¸ie construit˘ a pe o
stare de vibrat ¸ie deﬁnit˘ a de num˘ arul cuantic K0se identiﬁc˘ a tot cu num˘ arul
cuantic K; aceast˘ a ”convent ¸ie” se reﬂect˘ a ¸ si ˆ ın ﬁgura 3 .68. Din ﬁgur˘ a se
constat˘ a c˘ a banda de rotat ¸ie 0+se poate construi ﬁe pe starea fundamental˘ a
ﬁe pe starea vibrat ¸ional˘ a unifononic˘ a β(nβ= 1) sau bifononic˘ a β(nβ= 2)
In mod similar, dar cu probabilitate mai mic˘ a, se pot excita ¸ si st˘ ari
unifononice octupolare (l=3), ˆ ın care proiect ¸ia m a momen tului cinetic al
fononului deﬁne¸ ste proiect ¸ia K≡K0pe axa de simetrie a nucleului. Con-
struind ¸ si pe aceste st˘ ari vibrat ¸ionale benzi de rotat ¸i e ˆ ın acord cu relat ¸iile
de mai sus se obt ¸ine spectrul energetic din ﬁgura 3.69. In ge neral spectrul
energetic de joas˘ a energie al unui nucleu par-par se obt ¸in e prin considerarea
atˆ at a st˘ arilor de vibrat ¸ie cuadrupolare cˆ at ¸ si a st˘ ar ilor octupolare adic˘ a prin
considerarea simultan˘ a a spectrelor din ﬁgurile 3.68 ¸ si 3 .69.
Ca o concluzie general˘ a se poate aﬁrma c˘ a modelul MUCT pent ru nucle-
ele deformate prezice un spectru energetic, cel put ¸in din p unct de vedere cali-
tativ, ˆ ın concordant ¸˘ a cu cel experimental. Rezultatele de mai sus, adev˘ arate
pentru nucleele deformate ce prezint˘ a atˆ at simetrie la ro tat ¸ie cˆ at ¸ si la re-
ﬂexie, se pot generaliza ¸ siˆ ın cazul nucleelor deformate c are nu prezint˘ a astfel
de simetrii.
342

3.4.2.2. Momentele magnetice.
In mi¸ scarea de rotat ¸ie a miezului deformat nucleonii, cu s arcini electrice ¸ si
momente magnetice dipolare, sunt antrenat ¸i ˆ ın mi¸ scare c ircular˘ a ¸ si ca atare
genereaz˘ a curent ¸i circulari ¸ si, ˆ ın ﬁnal, un moment magn etic al miezului.
In consecint ¸˘ a, ˆ ın cadrul modelului uniﬁcat, momentul ma gnetic este dat
de dou˘ a componente: una asociat˘ a mi¸ s˘ arii colective a mi ezului iar cealalt˘ a
asociat˘ a mi¸ sc˘ arii individuale a nucleonilor valent ¸ia li. In particular, ˆ ın cazul
nucleelor care au o ax˘ a de simetrie, prima component˘ a este asociat˘ a momen-
tului cinetic de rotat ¸ie /vectorRiar cealalt˘ a component˘ a este asociat˘ a proiect ¸iei /vectorK:
/vector µI=gIµN
¯h/vectorI=gRµN
¯h/vectorR+gKµK
¯h/vectorK= (gK−gR)µN
¯h/vectorK+gRµN
¯h/vectorI(3.169)
In obt ¸inerea acestei relat ¸ii s-a folosit relat ¸ia /vectorR=/vectorI−/vectorK4ˆ ın acord cu
formula (3.129). Repetˆ and rat ¸ionamentul din paragraful 1.7.2 factorul giro-
magneticgIse obt ¸ine prin multiplicarea relat ¸iei de mai sus cu /vectorI:
gI(/vectorI2) = (gK−gR)(/vectorK/vectorI) +gR(/vectorI/vectorI) (3.170)
de unde rezult˘ a pentru gIexpresia:
gI= (gK−gR)K2
I(I+ 1)+gR (3.171)
In obt ¸inerea acestei relat ¸ii s-a t ¸inut cont de cuantiﬁca rea uzual˘ aI2→I(I+1)
cˆ at ¸ si de faptul c˘ a produsul scalar /vectorK/vectorI, ˆ ın acord cu ﬁgura 3.57, este egal cu
/vectorK/vectorI=K/radicalbig
I(I+ 1)K√
I(I+1)=K2. Momentul magnetic al nucleului,ˆ ın acord
cu deﬁnit ¸ia din relat ¸ia (1.181) va ﬁ:
µI=gIµNI= (gK−gR)µNK2
I+ 1+gRµNI=
=gKµNK2
I+ 1+gRµNI(I+ 1)−K2
I+ 1(3.172)
Avˆ and ˆ ın vedere preciz˘ arile din paragraful precedent, r elat ¸ia de deﬁnit ¸ie a
momentului magnetic este adev˘ arat˘ a pentru toate valoril e K cu except ¸ia
cazului K=1/2. In particular, momentul magnetic dipolar ˆ ı n starea funda-
mental˘ a K=I va ﬁ:
µI=K=gKµNI2
I+ 1+gRµNI
I+ 1=gKµNI+ (gR−gK)µNI
I+ 1(3.173)
4Momentele /vectorI¸ si/vectorRsunt exprimate ˆ ın unit˘ at ¸i ¯ h.
343

Pentru a compara aceast˘ a relat ¸ie cu valorile experimenta le se impune eval-
uarea factorilor giromagnetici gR¸ sigK. Aceasta este o problem˘ a diﬁcil˘ a
nerezolvat˘ a, de fapt, din punct de vedere teoretic; exist˘ a totu¸ si unele es-
tim˘ ari. Astfel, pentru evaluarea factorului gRse porne¸ ste de la relat ¸ia clasic˘ a
(1.176)/vector µ=e
2m/vectorRcare stabile¸ ste leg˘ atura dintre momentul dipolar magnet ic
¸ si momentul cinetic de rotat ¸ie /vectorR. Pentru un nucleul ˆ ınc˘ arcat uniform, care
se rote¸ ste ca un rigid, relat ¸ia (1.176) devine:
/vector µ=Ze
2M/vectorR≈Ze
2Amn/vectorR=Z
A2
2mn/vectorR (3.174)
ˆ ın care M este masa nucleului iar mneste masa unui nucleon. Comparˆ and
aceast˘ a relat ¸ie cu relat ¸ia (1.176) rezult˘ a pentru fact orul giromagnetic gR
expresia:
gR≈Z
A(3.175)
Fire¸ ste, aceast˘ a relat ¸ie este numai aproximativ˘ a c˘ ac i este greu de pre-
supus c˘ a la mi¸ scarea de rotat ¸ie a nucleului particip˘ a, ˆ ın egal˘ a m˘ asur˘ a, tot ¸i
nucleonii nucleului.
Determinarea factorului giromagnetic gKeste ¸ si mai diﬁcil˘ a. Adesea,
pentru nucleele cu A impar cu deformare mic˘ a, se consider˘ a c˘ a momentul
cinetic/vectorjal nucleonului impar ˆ ınc˘ a mai poate ﬁ considerat un num˘ ar cuantic
bun ¸ si de aici egalitatea /vectorI=/vectorj¸ sigK≈gI=gjˆ ın caregjeste deﬁnit ˆ ın
relat ¸ia (1.219); cu aceste preciz˘ ari momentul magnetic d in (3.173) devine:
µI=j=gIµNI+/parenleftbiggZ
A−gI/parenrightbigg
µNI
I+ 1= (µI)n+/parenleftbiggZ
A−gI/parenrightbigg
µNI
I+ 1(3.176)
ˆ ın care (µI)neste momentul magnetic dipolar deﬁnit ˆ ın cadrul modelu-
lui uniparticul˘ a ˆ ın relat ¸ia (1.221) sau (3.84) iar cel˘ a lalt termen reprezint˘ a
”corect ¸ia colectiv˘ a”. Relat ¸ia de mai sus, de¸ si aproxim ativ˘ a, conduce la un
acord satisf˘ ac˘ ator al momentului magnetic ”teoretic” cu cel experimental
pentru nucleele slab deformate. Astfel, ˆ ın cazul nucleulu i27
13Al, ˆ ın acord cu
modelul MPS, protonul impar se af˘ a pe nivelul 1 d5/2(I=5/2) ¸ si, ˆ ın acord
cu valorile din tabelul 3.4, momentul magnetic ( µI)nva ﬁ∼4.79µN¸ si
gI=gj= 1.92. Corect ¸ia colectiv˘ a din (3.176) conduce la valoarea -1 .03µN
¸ si la un moment magnetic teoretic de cca. 3.76 µN. Aceast˘ a valoare este ˆ ın
acord satisf˘ ac˘ ator cu valoarea experimental˘ a 3 .64µN.
In cazul nucleelor puternic deformate aproximat ¸ia gK≈gI=jnu mai este
acceptabil˘ a. Pentru aceste nuclee gKse determin˘ a conform relat ¸iei:
gK=1
K(gss3+gll3) (3.177)
344

ˆ ın caregs¸ siglsunt factorii giromagnetici ai nucleonului impar, corespu nz˘ atori
momentului de spin /vector s¸ si momentului orbital /vectorl, de proiect ¸ie s3¸ sil3pe axa
de simetrie a nucleului deformat. Determinarea acestor pro iect ¸ii este diﬁcil˘ a
c˘ aci depind de deformarea nucleului. Si mai complicat˘ a es te problema deter-
min˘ arii factorului giromagnetic gKpentru nucleele impar-impare. De aceea
ˆ ın practic˘ a factorii giromagnetici gK¸ sigRse determin˘ a experimental din
studiul tranzit ¸iilor γmagnetice dipolare ˆ ıntre st˘ arile unei benzi de rotat ¸ie a
c˘ arei probabilitate depinde de ( gK−gR)2¸ si din valorile experimentale ale
momentelor magnetice comparate ulterior cu relat ¸ia (3.17 6). Semnul facto-
rilor giromagnetici gR¸ sigKse determin˘ a din studiul corelat ¸iilor unghiulare
γ−γpentru dou˘ a tranzit ¸ii γsuccesive. Valorile astfel determinate sunt re-
produseˆ ın tabelul 3.8, pentru trei nuclee grele deformate , ˆ ımpreun˘ a, pentru
comparat ¸ie, cu factorii giromagnetici gj¸ sigR≈Z/A. Valorile experimentale
ale factorilor giromagnetici gR¸ sigKastfel determinat ¸i furnizeaz˘ a informat ¸ii
suplimentare privitoare la structura nucleului. Este de re marcat faptul c˘ a
modelul uniﬁcat, ˆ ın poﬁda diﬁcult˘ at ¸ilor semnalate mai s us, conduce la un
acord superior ˆ ıntre momentul magnetic dipolar teoretic ¸ si cel experimental.
Tabelul 3.8
NucleulIexpµexpgKgRgjgR≈Z/A
181
73Ta 7/2 2.1 0.70 0.25 0.49 0.40
197
79Au 3/2 0.19 -0.06 0.32 0.12 0.40
193
77Ir 3/2 0.17 0.12 0.10 0.12 0.40
3.4.2.3. Momentul cuadrupolar.
In cadrul modelului uniﬁcat, ca ¸ si pentru momentul magneti c, momentul
cuadrupolar intrinsec Q0este deﬁnit de dou˘ a componente: una asociat˘ a
mi¸ sc˘ arii individuale a nucleonului (sau nucleonilor) va lent ¸ialiQ0
I=j¸ si alta
asociat˘ a miezului deformat Q0
col:
Q0=Q0
I=j+Q0
col (3.178)
345

Componenta Q0
I=jeste deﬁnit˘ a de relat ¸ia (3.87) sau (3.88). Componenta
Q0
coldepinde de deformarea nucleului; pentru nuclee sferice, re amintim,Q0
col
este zero ¸ si ca atare momentul cuadrupolar Q0este ˆ ın totalitate deﬁnit de
Q0
I=j. Pentru nucleele cu deformare axial˘ a simetric˘ a deﬁnit˘ a de relat ¸ia (3.89)
momentul cuadrupolar este dat de relat ¸ia (1.260) pe care o r eproducem:
Q0
col=2Z
5(a2−b2) (3.179)
ˆ ın care a ¸ si b sunt semiaxele elipsoidului. Aceste aemiaxe se determin˘ a din
relat ¸ia (3.89) pe care o transcriem astfel:
R(θ) =R0(1 +βY20) =R0/parenleftBigg
1 +β/radicalbigg5
4πP2(cosθ)/parenrightBigg
=
=R0/parenleftBigg
1 +β
2/radicalbigg5
4π(3cos2θ−1)/parenrightBigg
(3.180)
Semiaxele a ¸ si b vor ﬁ:
a=R(0) =R0/parenleftBigg
1 +β/radicalbigg5
4π/parenrightBigg
b=R(90◦) =R0/parenleftBigg
1−β
2/radicalbigg5
4π/parenrightBigg
(3.181)
Cu aceste valori, momentul cuadrupolar Q0
coldin (3.179) devine:
Q0
col=3βZR2
0√
5π/parenleftBigg
1 +β
4/radicalbigg5
4π/parenrightBigg
≈3βZR2
0√
5π(1 + 0.16β) (3.182)
Adesea momentul cuadrupolar se exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de par ametrulδ
(numit tot parametru de deformare) deﬁnit ˆ ın relat ¸ia (1.3 09):
δ=a−b
R0=3β
2/radicalbigg5
4π≈0.946β (3.183)
Corelˆ and relat ¸iile (3.182) ¸ si (3.183) momentul cuadrup olar colectiv se
exprim˘ a ˆ ın funct ¸ie de parametrul δastfel:
Q◦
col=4
5δZR2
0(1 +1
6δ) (3.184)
346

Figura 3.70
Parametrul de deformare δpentru nucleele cu 150≤A≤190.
Cerculet ¸ele corespund nucleelor p-p iar cruciulit ¸ele nu cleelor cu
A impar.
Momentul cuadrupolar redus, deﬁnit ˆ ın relat ¸ia (1.311) de vine:
Q0
col=Q◦
col
ZR2
0∼=3β√
5π(1 + 0.16β) =4
5δ(1 +1
6δ) (3.185)
Din aceast˘ a relat ¸ie rezult˘ a c˘ a pentru valori δ= 0.10÷0.40 (β= 0.106÷
0.42) (ﬁgura 3.70) caracteristice nucleelor deformate cu 150 ≤A≤190, mo-
mentul cuadrupolar redus are valori cuprinse ˆ ıntre 0.085 ¸ si 0.405 care core-
spund valorilor experimentale, dup˘ a cum se poate constata din ﬁgura 1.50.
Preciz˘ am c˘ a pentru nucleele din aceast˘ a ﬁgur˘ a, puterni c deformate, momen-
tul cuadrupolar Q0
I=jeste nesemniﬁcativ a¸ sa ˆ ıncˆ at momentul cuadrupolar
al acestor nuclee este deﬁnit practic de Q0
col. De aici rezult˘ a c˘ a momen-
tul cuadrupolar deﬁnit de relat ¸ia (3.185), este ˆ ın acord b un cu rezultatele
experimentale ceea ce arat˘ a caracterul ”colectiv” al mome ntului cuadrupo-
lar. Descrierea init ¸ial˘ a, corect˘ a, a momentelor cuadru polare ale nucleelor de
c˘ atre modelul colectiv a dus, de fapt, la dezvoltarea ulter ioar˘ a a modelelor
colective.
347

3.4.2.4. Momentul de inert ¸ie.
O caracteristic˘ a important˘ a a nucleelor deformate este m omentul de inert ¸ie
care, dup˘ a cum s-a ar˘ atat ˆ ın paragraful 3.3.2, deﬁne¸ ste ˆ ın totalitate spec-
trul energetic al st˘ arilor de rotat ¸ie. Valoarea experime ntal˘ a a momentului
de inert ¸ie, numit ”moment de inert ¸ie efectiv” se determin ˘ a, de regul˘ a, din
valoarea experimental˘ a a primelor st˘ ari rotat ¸ionale; ˆ ın particular, pentru nu-
cleele par-areJefse determin˘ a din energia primei st˘ ari excitate rotat ¸ion ale
conform relat ¸iei (3.122). Valoarea ”experimental˘ a” Jefse compar˘ a cu valo-
rile ”teoretice” rezultate ca urmare a ipotezelor ce se fac a supra nucleului.
In ipoteza cea mai simpl˘ a ˆ ın care nucleul este asimilat cu u n rigid deformat,
de forma unui elipsoid de rotat ¸ie, momentul de inert ¸ie se e xprim˘ a astfel:
Jrigid=2
5MR2
0 (3.186)
ˆ ın care M este masa nucleului iar R0este raza medie de echilibru (relat ¸ia
(3.180)). F˘ ar˘ a ˆ ındoial˘ a c˘ a asimilarea nucleului cu un rigid este o ipotez˘ a
discutabil˘ a c˘ aci nucleul este format din nucleoni care au o mare mobilitate
unul fat ¸˘ a de altul. De aceea la schimbarea orient˘ arii spa t ¸iale a nucleului de-
format este de presupus c˘ a vor participa un num˘ ar relativ m ic de nucleoni,
eventual nucleonul extramiez sferic – deci nucleonii valen t ¸iali. Este ca ¸ si cum
ace¸ sti nucleoni sunt separat ¸i de ceilalt ¸i nucleoni ai mi ezului sferic printr-un
strat ”supraﬂuid” care leag˘ a cele dou˘ a categorii de nucle oni (ﬁgura 3.71).
Mi¸ scarea colectiv˘ a a nucleonilor valent ¸iali este ca un ” val” care se propag˘ a
f˘ ar˘ a frecare (deci permanent) ˆ ın jurul miezului generˆ a nd astfel deformarea
permanent˘ a a nucleului. In aceast˘ a ipotez˘ a, numit˘ a ¸ si ipoteza ”hidrodi-
namic˘ a”, momentul de inert ¸ie are urm˘ atoarea expresie:
Jlichid=3
5M/parenleftBig
(R1−R0)2+ (R2−R0)2+ (R3−R0)2/parenrightBig
(3.187)
Pentru un nucleu de forma unui elipsoid de rotat ¸ie descris d e ecuat ¸ia (3.180)
ˆ ın careR1=R2=b¸ siR3=a, momentul de inert ¸ie din (3.187) devine:
Jlichid=3
5M/parenleftBig
2(b−R0)2+ (a−R0)2/parenrightBig
=9
8πMR2
0β2(3.188)
ˆ ın care semiaxele a ¸ si b sunt deﬁnite ˆ ın (3.181). Din relat ¸iile (3.186) ¸ si
(3.188) se constat˘ a c˘ a relat ¸ia ˆ ıntre momentele de inert ¸ie ˆ ın cele dou˘ a cazuri
extreme este urm˘ atoarea:
Jlichid=Jrigid45
16πβ2(3.189)
348

Figura 3.71
Momentul de inert ¸ie deﬁnit de nucleonii valent ¸iali care s e rotesc
ca un val ˆ ın jurul miezului deformat datorit˘ a unui strat
”supraﬂuid” (inelul ha¸ surat din ﬁgur˘ a).
Figura 3.72
RaportulJef/Jrigidcalculat conform relat ¸iei (3.186); Jefeste
determinat experimental. Cerculet ¸ele corespund nucleel or cu A
par iar p˘ atratele corespund nucleelor cu A impar.
349

In ﬁgura 3.72 este reprezentat˘ a dependent ¸a raportului Jef/Jrigidˆ ın
funct ¸ie de num˘ arul de neutroni N pentru nucleele deformat e cu 150≤A≤
190 (p˘ amˆ anturile rare); pentru aceste nuclee parametrul de deformare δeste
prezentat ˆ ın ﬁgura 3.70. Din ﬁgura 3.72 se constat˘ a, pe lˆ a ng˘ a faptul c˘ aJef
este mai mare pentru nucleele impare decˆ at pentru nucleele pare vecine (ceea
ce are important ¸a sa), faptul c˘ a Jefeste mai mic decˆ at Jrigiddup˘ a cum era
de a¸ steptat. In particular, pentru izotopii pari ai 70Ybse constat˘ a c˘ a are
loc relat ¸ia:
Jef
Jrigid≈0.45 (3.190)
Folosind ¸ si relat ¸ia (3.189), relat ¸ia de mai sus se poate s crie ¸ si astfel:
Jef
Jlichid=16π2
45β2Jef
Jrigid(3.191)
Considerˆ and pentru izotopii Yterbiului valoarea δ= 0.32 (β≈0.34), dup˘ a
cum rezult˘ a din ﬁgura 3.70, ¸ si valoarea raportului din (3. 190), relat ¸ia de mai
sus devine:/parenleftbiggJef
Jlichid/parenrightbigg
70Y b≈9.76/parenleftBigg
Jef
Jrigid/parenrightBigg
≈4.4 (3.192)
Din analiza acestui caz particular rezult˘ a:
Jlichid<Jef<Jrigid (3.193)
de¸ siJrigideste mai apropiat de valoarea experimental˘ a, real˘ a, Jef, decˆ at
Jlichid. Desigur dezacordul dintre Jlichid¸ siJefridic˘ a problema valabilit˘ at ¸ii
ipotezei asimil˘ arii nucleului cu un lichid nuclear, una di n ipotezele impor-
tante ale modelelor de tip colectiv. F˘ ar˘ a a intra ˆ ın detal ii care dep˘ a¸ sesc
scopul acestei lucr˘ ari, preciz˘ am c˘ a acest dezacord a gen erat o serie de alte
ipoteze referitoare la structura ¸ si ”natura” nucleului. A stfel, s-a ˆ ıncercat
introducerea vˆ ascozit˘ at ¸ii ˆ ın mi¸ scarea valului de nuc leoni extramiez (ﬁgura
3.71). De asemenea s-a t ¸inut cont de faptul c˘ a raza distrib ut ¸iei sarcinii pro-
tonice este mai mic˘ a decˆ at raza distribut ¸iei neutronice , etc. Toate aceste
ˆ ıncerc˘ ari n-au condus la o concordant ¸˘ a mult ¸umitoare ˆ ıntreJef¸ siJteoretic .
O abordare mai radical˘ a ˆ ıi apart ¸ine lui D.Inglis care a ar ˘ atat c˘ a se pot
obt ¸ine st˘ ari de rotat ¸ie ale nucleului dac˘ a se pleac˘ a ˆ ı n exclusivitate de la
modelul p˘ aturilor nucleare, dar considerˆ and potent ¸ial ul cˆ ampului selfconsis-
tent, ˆ ın care se mi¸ sc˘ a nucleonii, asimetric ¸ si aﬂat ˆ ınt r-o mi¸ scare de rotat ¸ie
cu o vitez˘ a unghiular˘ a constant˘ a. Calculˆ and modiﬁcare a energiei nucleului
350

ca o consecint ¸˘ a a mi¸ sc˘ arii de rotat ¸ie se poate calcula m omentul de inert ¸ie.
Considerˆ and mi¸ scarea nucleonilor ca ﬁind independent˘ a Inglis ajunge la con-
cluzia c˘ a momentul de inert ¸ie astfel calculat se apropie f oarte mult de valoa-
reaJrigid. Prin introducerea interact ¸iei reziduale ˆ ıntre nucleon i, a¸ sa dup˘ a
cum a f˘ acut Bohr ¸ si Mottelson, se constat˘ a c˘ a momentul de inert ¸ie calculat
conform ideilor lui Inglis se apropie de valoarea experimen tal˘ aJef. Este
interesant de precizat faptul c˘ a dac˘ a interact ¸ia rezidu al˘ a este foarte mare
ˆ ıncˆ at se ”distruge structura de p˘ aturi” (se spune c˘ a mi¸ scarea individual˘ a
se disip˘ a ˆ ın mi¸ scarea colectiv˘ a) momentul de inert ¸ie s e mic¸ soreaz˘ a pˆ an˘ a ce
ajunge la valori egale cu Jlichid. Valorile calculate ale momentelor de inert ¸ie
sunt ˆ ın acord cu cele experimentale Jefdac˘ a se ia ˆ ın calcule o interact ¸ie
rezidual˘ a de cca. trei ori mai mic˘ a decˆ at interact ¸ia rez idual˘ a care conduce
la distrugerea p˘ aturilor. In acest fel, astfel de calcule s tabilesc, de fapt, li-
mitele de aplicabilitate pentru cele dou˘ a categorii de mod ele: colective ¸ si de
p˘ aturi. De aici important ¸a momentelor de inert ¸ie ˆ ın sta bilirea unui model
nuclear cˆ at mai corect.
3.5 Concluzii
In acest capitol au fost prezentate cele mai simple, dar ¸ si c ele mai utilizate,
modele nucleare. In particular au fost abordate modelele ex treme: modelul
p˘ aturilor nucleare ˆ ın varianta uniparticul˘ a pentru nuc leele sferice (MPS) ¸ si
pentru nucleele deformate (MPD), modelul colectiv ¸ si mode lul uniﬁcat ˆ ın
varianta cuplajului slab (MUCS) ¸ si a cuplajului tare (MUCT ). Aceste vari-
ante extreme, simpliﬁcate, permit explicarea unui num˘ ar m are de propriet˘ at ¸i
pentru nucleele situate ˆ ın domeniul lor de aplicabilitate , domeniu ilustrat ˆ ın
ﬁgura 3.73. In aceast˘ a ﬁgur˘ a banda delimitat˘ a de curbele continui indic˘ a,
ca ¸ si ˆ ın cazul ﬁgurii 1.1, domeniul de existent ¸˘ a al nucle elorβstabile cˆ at ¸ si
al nucleelor cu un timp mediu de viat ¸˘ a destul de mare ( >1 minut). Liniile
verticale ¸ si orizontale, ce trec prin numerele magice, sta bilesc domeniul de
aplicabilitate al modelului MUCS. Zonele ha¸ surate delimi teaz˘ a nucleele pu-
ternic deformate; este domeniul de utilizare a modelului MU CT. Cercurile
din ﬁgur˘ a reprezint˘ a ”domeniul teoretic” al nucleelor de formate, nuclee in-
stabile care pot ﬁ produse ˆ ın react ¸iile nucleare, ˆ ın spec ial react ¸iile nucleare
cu ioni grei. Pentru aceste nuclee este de presupus c˘ a tot va rianta MUCT
se poate aplica cu succes. Aplicate la nucleele precizate ma i sus cele dou˘ a
variante ale modelului uniﬁcat permit explicarea urm˘ atoa relor propriet˘ at ¸i:
-obt ¸inerea unor valori corecte pentru spinii ¸ si parit˘ at ¸ ile st˘ arilor fundamen-
tale ¸ si ale st˘ arilor de joas˘ a energie de excitare.
351

Figura 3.73
Ilustrarea calitativ˘ a a domeniilor de aplicabilitate pen tru
diferitele modele nucleare
-explic˘ a spectrul energetic de joas˘ a energie de excitare, ˆ ın special pentru nu-
cleele puternic deformate, prin construirea de st˘ ari cole ctive de vibrat ¸ie
¸ si/sau de rotat ¸ie pe st˘ arile uniparticul˘ a ¸ si pe st˘ ari le vibrat ¸ionale.
-explic˘ a valorile mari ale momentelor cuadrupolare pentru nucleele defor-
mate.
-permite o concordant ¸˘ a mai bun˘ a ˆ ıntre momentele magneti ce teoretice ¸ si
experimentale.
-permite obt ¸inerea unei concordant ¸e bune ˆ ıntre probabil itatea tranzit ¸iilor
γteoretice ¸ si experimentale (partea a II-a).
Desigur, modelul uniﬁcat ˆ ın varianta ˆ ın care se consider˘ a cuplajul inter-
mediar descrie satisf˘ ac˘ ator ¸ si propriet˘ at ¸ile celorl alte nuclee care nu apart ¸in
domeniilor de aplicabilitate pentru variantele MUCS ¸ si MU CT. Subliniem
ˆ ıns˘ a ideea c˘ a modelul uniﬁcat, indiferent de varianta fo losit˘ a ¸ si de raﬁna-
mentele care i s-au adus (care ˆ ıl fac foarte soﬁsticat din pu nct de vedere
mtematic), nu conduce totdeauna la un acord satisf˘ ac˘ ator ˆ ıntre teorie ¸ si ex-
periment. Un exemplu este oferit de momentul de inert ¸ie (pa ragraful 3.4.2.4)
care nu este descris satisf˘ ac˘ ator ˆ ın limitele modelului uniﬁcat. Rezult˘ a c˘ a
modelul uniﬁcat cont ¸ine ”ˆ ın sine” ipoteze discutabile di ntre care subliniem
urm˘ atoarele:
352

a).De¸ si ˆ ın modelul uniﬁcat tacit se presupune c˘ a principiul de exclusiune
este respectat, ˆ ın realitate acest principiu este abandon at pentru nu-
cleonii care formeaz˘ a ”miezul colectiv”; ca urmare nu se ¸ s tie exact
cum trebuie construit˘ a funct ¸ia antisimetric˘ a a nucleul ui format din
fermioni.
b).Miezul colectiv este tratat ca un ”lichid nuclear cuantiﬁca t”; ecuat ¸iile
de cuantiﬁcare se obt ¸in prin cuantiﬁcarea ”formal˘ a” a ecu at ¸iilor din
hidrodinamica clasic˘ a, cuantiﬁcare ce nu este riguros jus tiﬁcat˘ a la ora
actual˘ a.
c).Modelul nu este adecvat pentru descrierea st˘ arilor excita te de mare e-
nergie. Pe drept cuvˆ ant se pot pune ˆ ıntreb˘ arile: exist˘ a ¸ si la energii
mari de excitare st˘ ari colective de vibrat ¸ie ¸ si de rotat ¸ ie construite pe
st˘ ari uniparticul˘ a? Dac˘ a ele exist˘ a, cum se comport˘ a n ucleul ˆ ın ast-
fel de st˘ ari caracterizate de momente cinetice foarte mari ¸ si ˆ ın care
act ¸ioneaz˘ a, ca o consecint ¸˘ a, fort ¸e centrifugale foar te mri?, etc.
Pornind de la aceste diﬁcult˘ at ¸i s-au dezvoltat o serie de a lte modele care
ˆ ıncearc˘ a s˘ a explice cˆ at mai corect diferitele propriet ˘ at ¸i ale nucleelor. Modelul
Inglis, amintit mai sus, este doar un exemplu de un astfel de m odel care-¸ si
propune determinarea cˆ at mai corect˘ a a momentului de iner t ¸ie. Desigur
exist˘ a o serie de alte modele pe care nu ne propunem s˘ a le tre cem ˆ ın revist˘ a.
Dorim,ˆ ın schimb, s˘ a subliniem ideea c˘ a unul din modelele cele mai elaborate
la ora actual˘ a este modelul p˘ aturilor nucleare ˆ ın care se consider˘ a interact ¸ia
rezidual˘ a. Acest model reu¸ se¸ ste s˘ a explice, de exemplu , st˘ arile de rotat ¸ie ¸ si
de vibrat ¸ie f˘ ar˘ a a apela la mi¸ scarea colectiv˘ a. Aceast ˘ a idee nu trebuie s˘ a ne
surprind˘ a ˆ ın mod deosebit c˘ aci ˆ ınsu¸ si modelul uniﬁcat , de¸ si ˆ ın esent ¸˘ a me-
diaz˘ a ˆ ıntre mi¸ scarea independent˘ a a nucleonilor ¸ si ce a colectiv˘ a, este totu¸ si
un model mai apropiat de modelul p˘ aturilor nucleare deoare ce presupune
c˘ a nucleonii se mi¸ sc˘ a, aproape independent, ˆ ıntr-un cˆ amp selfconsistent ce
rezult˘ a,ˆ ın fond, din interact ¸iile ce se manifest˘ aˆ ınt re nucleonii individuali. Si
modelul Inglis este, ˆ ın esent ¸˘ a, tot un model de p˘ aturi co respunz˘ ator mi¸ sc˘ arii
independente a nucleonilor.
Indiferent ˆ ıns˘ a de modelul folosit, trebuie s˘ a preciz˘ a m c˘ a acestea sunt
de fapt ”modele fenomenologice”. Fire¸ ste, ar ﬁ de dorit dez voltarea unui
model ”microscopic” ˆ ın care propriet˘ at ¸ile ”macroscopi ce” (observabile) ale
nucleelor s˘ a rezulte ˆ ın mod ﬁresc din fort ¸ele nucleare de interact ¸iune dintre
nucleoni. De¸ si este un deziderat deosebit de ambit ¸ios tre buie spus c˘ a s-au
obt ¸inut rezultate remarcabile ˆ ın aceast˘ a direct ¸ie ˆ ın ultimul timp.
353

Studiul calitativ ¸ si succint al structurii nucleului real izat ˆ ın acest capitol
ridic˘ a ﬁresc ˆ ıntebarea: ˆ ın fond ˆ ın care din st˘ arile de a gregare cunoscute se
integreaz˘ a nucleul sau, mai general, materia nuclear˘ a?
Din cele precizate rezult˘ a c˘ a nucleul este format din part icule (nucleoni)
care se mi¸ sc˘ a aproape independent ˆ ıntr-un cˆ amp selfcon sistent. Din acest
punct de vedere nucleul poate ﬁ asimilat cu un ”gaz” ale c˘ aru i particule
(fermionii) se supun statisticii Fermi-Dirac din care cauz ˘ a se mai nume¸ ste
”gaz-Fermi”. S˘ a preciz˘ am ˆ ıns˘ a c˘ a este vorba de un gaz ca re are ”volum pro-
priu” (volumul nucleului) ¸ si o densitate foarte mare, apro ape constant˘ aˆ ın tot
volumul. Aceste ultime propriet˘ at ¸i apropie mai mult nucl eul de un ”lichid”
ˆ ın care act ¸ioneaz˘ a principii cuantice din care cauz˘ a ˆ ı l numim ”lichid cuantic
nuclear”. Pic˘ atura de lichid areˆ ıns˘ a forma sferic˘ a pe c ˆ and multe nuclee au o
deformare constant˘ a, rigid˘ a chiar, atˆ at ˆ ın starea fund amental˘ a cˆ at ¸ si ˆ ın st˘ ari
excitate. Aceste propriet˘ at ¸i, corelate cu spectrul st˘ a rilor de rotat ¸ie, apropie
nucleul de un corp rigid, un rigid a c˘ arui mi¸ scare este dete rminat˘ a ˆ ıns˘ a ¸ si de
mi¸ scarea nucleonilor individuali. Aceast˘ a ultim˘ a prop rietate esteˆ ıns˘ a carac-
teristic˘ a st˘ arii gazoase de agregare! In acest fel ”cercu l se ˆ ınchide”; nucleul
nu este nici gaz, nici lichid, nici solid, de¸ si prezint˘ a pr opriet˘ at ¸ile tuturor
acestor st˘ ari de agregare. Nucleul nu poate ﬁ asimilat nici cu o plasm˘ a c˘ aci
ˆ ın plasm˘ a act ¸ioneaz˘ a fort ¸e electromagnetice de lung˘ a distant ¸˘ a ¸ si nu fort ¸e
de scurt˘ a distant ¸˘ a cum sunt fort ¸ele nucleare. A¸ sadar n ucleul (materia nu-
clear˘ a) reprezint˘ a o stare deosebit˘ a a materiei f˘ ar˘ a a nalog cu st˘ arile uzuale
de agregare ale materiei.
354

Bibliograﬁe
[1]A.S.Davˆ adov ,Teoria Atomnovo Iadra , Moscva, Fizmatiz., 1958
[2]V.V.Malearov ,Bazele Teoriei Nucleului Atomic , Ed. Tehnic˘ a Bu-
cure¸ sti, 1961; traducere din limba rus˘ a
[3]M.A.Preston ,Physics of the Nucleus , Addison-Wesley Publishing
Co., Inc., Reading Mass., Palo-Alto-London, 1961
[4]W.E.Meyerhof ,Elements of Nuclear Physics , McGraw-Hill Book
Company, 1967
[5]H.A.Enge ,Introduction to Nuclear Physics , Addison-Wesley Publish-
ing Company, 1969
[6]P.Marmier, E.Sheldon ,Physics of Nuclei and Particles , vol. I ¸ si II,
Academic Press, New-York and London, 1969
[7]I.V.Rakobolscaia ,Iadernaia Fizica , Izdatelstvo Moscovscovo Univer-
siteta, 1971
[8]M.G.Bowler ,Nuclear Physics , Pergamon Press, 1973
[9]H.Frauenfelder, E.Henley ,Subatomic Physics , Prentice-hall, Inc.,
Englwood Cliﬀ, New Jersey, 1974
[10]I.M.Sirokov, N.P.Iudin ,Iadernaia Fizica , Moscva, Fiz-Mat Liter-
aturˆ ı, 1980
[11]K.N.Muhin ,Fizic˘ a Nuclear˘ a Experimental˘ a , vol. I ¸ si II, Ed.Tehnic˘ a,
Bucure¸ sti, 1981; traducere din limba rus˘ a
[12]R.Ion-Mihai, G.Vl˘ aduc˘ a ,Spectroscopie Nuclear˘ a , Ed. Universit˘ at ¸ii
din Bucure¸ sti, 1984
355

[13]N.Ghiord˘ anescu ,Introducere ˆ ın Utilizarea Izotopilor Radioactivi , Ed.
Universit˘ at ¸ii din Bucure¸ sti, 1986
[14]C.Be¸ sliu ,Complemente de Fizic˘ a ¸ si Structura Nucleului , partea I, In-
stitutul Central de Fizic˘ a, 1988
356

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Vladuca Carte Vol 1 [620149] (ID: 620149)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Vladuca Carte Vol 1 [620149]

Copyright Notice

Șef lucrări dr. farm. Sebastian NEMETH [309993]

REPARTIȚIA ZONELOR UMEDE DIN JUDEȚUL BACĂU [310888]

MANAGEMENTUL CONSTRUCTIEI DE BIBLIOTECI TEZĂ DE LICENȚĂ Specialitatea –0322.1 Biblioteconomie, asistență informațională și arhivistică Șef… [311077]

Ordonanta Militara 2 Din 21 Martie 2020.docx.docx.docx.docx.docx.docx.docx.docx [603369]

CATEDRA ECONOMIE, MARKETING ȘI TURISM OLĂRIȚĂ DOINA DATORIA PUBLICĂ ÎN REPUBLICA MOLDOVA Lucrul Individual Conducător științific Hamurabi Maria ,… [629898]

Vári-Kakas Ștefan [628624]

Copyright Notice

Similar Posts