Vibraț iile sunt procese dinamice întâlnite în activitatea curentă, de la bătăile inimii, alergatul [607343]

INTRODUCERE

Vibraț iile sunt procese dinamice întâlnite în activitatea curentă, de la bătăile inimii, alergatul
și mersul pe jos, legănatul copacilor în bătaia vântului și trepidațiile clădirilor la cutremure, la
vibrațiile instrumentelor muzicale, ale perforatoarelor pneumatice și benzilor transportoare
oscilante.
De cele mai multe ori ―vibrații‖ sunt denumite mișcările nedorite care produc zgomote sau
solicitări mecanice relativ mari și au impact asupra omului, mașinilor și clădirilor. Modelarea
fenome nelor vibratorii implică definirea structurii și parametrilor corpurilor în vibrație, a funcțiilor
care descriu excitația și a nivelelor răspunsului dinamic. [14]
Vibra țiile produse de o ma șină în timpul func ționării se transmit sub form ă de unde elastice,
prin intermediul leg ăturilor dintre aceasta si clădirea în care se g ăsește, spre ma șinile învecinate și
spre diferitele elemente ale construc ției. Pentru a reduce transmiterea vibra țiilor, leg ăturile dintre
mașină si elementele cu care ac easta vine în contact trebuie s ă fie cât mai pu țin rigide. Evitarea
cuplajului rigid se refer ă atât la leg ătura dintre ma șină și funda ție, cât și la leg ătura dintre ma șină și
alte elemente ale ansamblului din care aceasta face parte (arbori, canale, conducte etc.).
În studiul vibrațiilor sistemelor mecanice se fac diferite ipoteze simplificato are, care reduc
sistemul real la un model analitic (model m ecanic). Modelele mecanice sunt de două tipuri: modelul
sistemului continuu și modelul sistemului cu parametrii discreț i. Numărul parametrilor geometrici
independenți, care precizează poziț ia unui sistem, reprezintă numărul gradelor de libertate . Chiar și
în cazul sistemelor cu mai multe grade de libertate, studiul mișcării se reduce la folosirea a două
modele mecanice: mode lul de translație și modelul de rotație . [3]

1. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE

Sistemele vibratoare au masă și elasticitate. Cel mai simplu sistem vibrator constă dintr -o
masă atașată de un arc liniar. Când mișcarea poate fi descrisă de o singură coordonată, sistemul are
un singur grad de libertate.

1.1 Vibrații libere neamortizate
Vibrația liberă a unui sistem masă -arc, care are loc în absența oricărei excitații exterioare,
este o mișcare armonică a cărei frecvență depinde exclusiv de masa și rigiditatea sistemului, fiind
independentă de condițiile inițiale ale mișcării. Fiind o proprietate intrinsecă (naturală) a sistemului,
aceasta se numește frecvență proprie . Calculul frecvențelor proprii se baz ează pe valorile
maselor și ale rigidităților elementelor elastice.

1.2 Vibrații forțate neamortizate
Vibrațiile forțate sunt produse de forțe exterioare variabile în timp sau deplasări impuse.
Dacă asupra masei acționează o forță armonică de amplitudine constantă și frecvență variabilă,
atunci când frecvența excitatoare se apropie de frecvența proprie a sistemului, deplasarea masei
crește nelimitat. Această condiție se numește rezonanță și este caracterizată de vibrații puternice. La
sisteme neamortizate, frecvențele de rezonanță sunt egale cu frecvențele proprii ale sistemului și, în
majoritatea cazurilor, funcționarea la rezonanță trebuie evitată. La sisteme amortizate, răspunsul la
rezonanță are amplitudine finită.

1.3 Vibrații libere amortizate
În timpul vibrațiilor, energia mecanică se disipează prin frecări sau alte rezistențe. În
prezența amortizării, amplitudinea vibrațiilor libere scade în timp iar pentru a menține constantă
amplitudinea vibrațiilor trebuie aplicate forțe exterioare. În gene ral, disiparea de energie este
denumită amortizare . Ea este produsă de frecarea internă în materiale, de frecarea între
componentele unei structuri, de interacțiunile fluid -structură, de radiație și de mișcarea în câmpuri
electrice sau magnetice. Cel mai s implu mecanism de amortizare se realizeaz ă prin mișcări într -un
mediu vâscos. Forța de amortizare vâscoasă este proporțională cu viteza. Experiența a arătat că în
structuri aeronautice disiparea de energie este mai bine reprezentată de amortizarea structur ală.
Amortizarea structurală sau histeretică este descrisă de o forță de amortizare în fază cu
viteza dar proporțională cu deplasarea

1.4 Modelul mecanic pentru vibrațiile liniare de torsiune ale sistemelor material e
În această situație se va folosi un mo del format dintr -un disc omogen articulat printr -o
articulație cilindrică în centrul său și având un moment de inerție J. De obicei acest disc se numește
volant. Elementul elastic (arborele elastic) este simbolizat printr -un arc spiral cu un capăt legat de
articulație și celălalt capăt fixat de disc. Constanta elastică a acestui element este k. Se mai
consideră un element d e amortizare, format dintr -un cilindru curb, care este fix și prin care se poate
mișca un piston cu tijă circulară legată la celălalt capăt de disc. Pentru caracterizarea forțelor de
amortizare se consideră coeficientul de amortizare vâscoasă la rotire c(fig.1. 1).
Asupra discului mai acționează un moment perturbator M(t).

Fig 1.1 Model mec anic

Parametrul de poziție se consideră un unghi măsurat din poziț ia în care arcul este nedeformat.
Pentru deducerea ecuației de mișcare se va folosi cea de -a doua ecuație din principiul
lui d'Al embert:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 (1.1)
Aceasta se proiectează pe axa fixă perpendiculară în O pe disc. Neglijând frecările, în
ecuația de momente nu intervin reacțiunile:

̇ (1.2)
Arcul spiral introduce un moment elastic, iar amortizorul un moment de amortizare.
Ecuația devine:

̇=M(t) -c ̇-k (1.3)

Ecuația diferențială corespunzătoare modelului de rotație este liniară și cu coeficienți
constanți. De obicei momentul perturbator este o funcție periodică : M(t +T) = M(t). [3]

1.5.Turația critică a rotorilor
Se consider ă un rotor format dintr -un disc (volant) de mas ă m, montat pe un arbore orizontal
de mas ă neglijabil ă. Datorit ă erorilor de fabrica ție si de montaj ale elementelor componente (arbore
si disc) ale rotorului si neomogenit ății materialului din care se realizeaz ă discul, centrul de greutate
C al acestuia nu se va plasa pe axa arborelui (punctul A), între acestea existând excentricitatea AC =
e (fig. 1 .2).
Când ansamblul disc -arbore se rote ște în jurul liniei lag ărelor (axa arborelui, în repaus) cu
viteza unghiular ă constant ă , arborele cap ătă, sub ac țiunea for ței centrifuge dezvoltate de discul
montat excentric, deforma ții de încovoiere, producând vibra ția rotorului.
Vibra țiile de încovoiere ale rotorului au pulsa ția proprie √
, unde m este masa
discului; k – constanta elastic ă la încovoiere a arborelui; – pulsa ția proprie a vibra țiilor de
încovoiere ale arborelui.
Deoarece s ăgeata de încovoiere a arborelui este în general foarte mic ă, se poate considera c ă
miscarea de rota ție a discului are loc în planul normal la linia lag ărelor.

Fig 1.2 Ansamblul disc -arbore în mișcare de rotație
O-punctul în care axa centrelor lagărelor intersectează planul median al discului
A-punctul în care axa arborelui deformat intersectează planul median al discului ; C-centrul de greutate al
discului

În timpul rotirii, discul dezechilibrat genereaz ă forța centrifug ă:
(1.4)
unde m este masa discului; ω – viteza unghiular ă a acestuia; e – excentricitatea discului (datorat ă
inexactit ăților de execu ție); δ – săgeata de încovoiere a arborelui.
Forța elastic ă a arborelui este determinat ă de rela ția
x (1.5)
Atunci când mi scarea este sta ționar ă si amortizarea este neglijabil ă, cele dou ă forțe, definite
de rela țiile (1 .4) respectiv (1.5 ), se echilibreaz ă:
(1.6)
Din rela ția (1.6 ) se determin ă săgeata arborelui în dreptul discului:

= (
)
(
) (1.7)

Fig 1.3 Varia ția săgeții arborelui în funcție de /

Analizând graficul din figura 1.3 se pot trage următoarele concluzii:

– Atunci când = apare fenomenul de rezonan ță, săgeata arborelui tinzând spre infinit. În aceast
caz, viteza unghiular ă a rotorului devine egal ă cu pulsa ția proprie a vibra țiilor de încovoiere si
poart ă denumirea de viteză unghiular ă critic ă. Tura ția critic ă a rotorului reprezint ă turația
corespunz ătoare vitezei unghiulare critice si se determin ă cu rela ția

=
(1.8)
Dacă rotorul func ționeaz ă cu o tura ție mai mare decât cea critic ă, el va trece prin zona de
rezonan ță atât la pornirea, cât si la oprirea ma sinii. Deoarece în aceste situa ții amplitudinile
vibra țiilor cresc în timp, pentru reducerea acestora, este necesar, fie ca trecerea prin tura ția critic ă
(zona de rezonan ță) să se fac ă cât mai rapid, fie s ă se utilizeze dispozitive adecvate pentru limitarea
amplitudinilor vibra țiilor.
Atunci când ω1 < ω0 (func ționare în anterezonan ță), săgeata δ > 0; dac ă rotația se face în
jurul punctului O1 (fig 1. 3), centrul de greutate C al discului se afl ă în afara segmentului O1A, în
prelungirea acestuia.
– Atunci când ω2 > ω0 (func ționare în postrezonan ță), săgeata δ < 0; dac ă rotația se face în jurul
punctului O2, centrul de greutate C se afl ă între linia lag ărelor (punctual O2) si axa deformat ă a
arborelui (punctul A).
Atunci când tura ția rotorului are valori foarte mari, adic ă atunci când rotorul se
autocentreaz ă, centrul de greutate C apropiindu -se de linia lag ărelor pân ă se suprapune peste
punctul O.
La rotirea cu viteza unghiular ă , pozi ția relativ ă a punctelor O, A si C nu se modific ă.
Deoarece rotirea punctului A în jurul axei lag ărelor se face cu aceea și vitez ă unghiular ă ca si
rotirea punctului C în jurul axei arborelui, mi scarea se nume ște precesie sincron ă.
Relația (1.7 ) arat ă că săgeata arborelui și, prin urmare și amplitudinea vibra țiilor, sunt
propor ționale cu excentricitatea e pentru orice valoare a vitezei unghiulare . Prin urmare, pentru
ca rotorul s ă funcționeze cât mai lini stit, excentricitatea acestuia trebuie s ă fie cât mai mic ă posibil,
adică centrul de greutate al discului s ă fie cât mai apr opiat de axa arborelui. Aceasta se realizeaz ă
prin echilibrarea static ă a rotorului.. [10]

2. CAZURI PARTICULARE

2.1 Cazul I
2.1.1 Introducere
În ultima perioadă, o atenție sporită a fost acordată studiilor asupra vibrațiilor neliniare ale
barelor v âsco-elastice. Acest lucru se datorează faptului ca materialele vâsco -elastice au aplicații de
exemplu în medicină : sunt modele biomecanice ca mu șchii artificiali. Horr și Schimdt [ 11] au
utilizat amortizoarele v âsco-elastice pentru amortizarea suplimentară a structurii clădirilor în cazul
seismelor.
Suire și Cederbaum [19]au analizat stabilitatea barelor omogene vâsco -elastice supuse unor
încărcări distribuite armonic. Mai mult, Aryris [1] a stabilit ecuația diferențială a mișcării unei bare
din material polimeric și a studiat stabilitatea acesteia. .
Pe de altă parte, Beldica și Hilton [2.] au analizat solicitarea la forfecare a unor bare v âsco-
elastice cu deformații mari sau mici în prezența unor di spozitive piezoelectrice plasate în
vecinătatea barelor.
În cursul unor investigații, Crespo da Silva a studiat dinamica mișcării neliniare a barelor. În primul
rând, s -a considerat vibrația unei bare elastice continue cu restricția că bara nu trebuie exti nsă în
timpul mișcării. [8].Au ob ținut ecuațiile mișcării și le -au rezolvat pentru o bară încastrată supusă
vibtațiilor. Ulterior, a studiat vibrațiile aceleiași b are când aceasta se alungeș te în timpul mișcării.
Într-o gamă largă de lucrări, Nayfeh ș.a [13.] au studiat vibrația neliniară a barelor elastice. Ei au
folosit o serie de valori și scări de măsură pentru a putea rezolva ecuațiile neliniare de mișcare ale
barelor cu diferite condi ții la limită.
Dalenbring [9] a folosit metoda elementului finit pentru a prevedea vibra ția forțată a unei plăci
vâsco -elastice. De asemenea, a investigat vibrațiile unor plăci din p rometil de aluminiu și a găsit în
cele din urmă proprietăți și răspunsuri la vibraț ii ale pl ăcilor din material compozit.
Ruta și Wojcicki [15] au studiat vibra țiile unor șine de cale ferată sprijite pe un sol cu proprietăți
vâsco -elastice. Modelul considerat este o bară infinită supusă unei sarcini în mișcare și au prezentat
în final o metodă analitică de analiză a sensibilității.
Acest caz particular este prezentat în articolul ―Non-linear free vibrations of Kelvin –Voigt
visco -elastic beams‖, ai cărui autori sunt S.N. Mahmoodi, S.E. Khadem și M. Kokabi.
În cele ce urmează, este prezentată o formulare generală pentru barele vâsco -elasctice care
au neliniari tăți în ceea ce privește inerția, amortizarea și rigiditat ea. Se presupune că bara este
inextensibilă și că sistemul vâsco -elastic urmează un model clasic, de exemplu modelul Kelvin –
Voigt. Se consideră ca sistemul va vibra datorită unei viteze inițiale. Metoda poate fi folosită
indiferent de condițiile la limită.

2.1.2 Ecuațiile mișcării
În acest paragraf, este folosită o metodă geometrică pentru a obține componentele deplasării
și apoi tensiunea în bară. Această metodă a fost folosită anterior pentru materiale elastice [6]. Apoi
se obțin energia cinetic ă, energia poențială și energia asociată amortizării. Utilizând pricipiul lui
Hamilton, s unt derivate ecuațiile de mișcare.
Fie o vibrație plană neliniară a unui sistem continuu unidimensional dat în fig 2.1. Poziția
unui punct al sistemului poate fi exprimată astfel :
⃗⃗⃗ ̂ (2.1)

Fig 2.1 Bară deformată Fig 2 .2 Sistemul de coordonate [16]
Din fig 2 rezultă că tensiunea poate fi calculată ca :
e= (

)
( ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
)
√ ̇ (2.2)
Cu s și u este sunt notate proiecțiile unui punct al barei pe cele două axe, iar v
Considerând ca bara este inextensibil ă, atunci tensiunea dispare și produsul dintre e și ds va
fi egal cu zero. Prin urmare :
̇ ̇ (2.3)
Din Fig 2.1 relația dintre ѱ, ̇ și ̇ se deduce astfel:
tan ѱ= ̇
̇ (2.4).
Viteza unghiulară a elementului barei va fi:
⃗⃗ ̇ ̂ . (2.5)
Utilizând relațiile de mai sus, se pot construi relațiile pentru energia cinetică și poten țială :

∫{ ̇ ̇ }
(2.6) ,
unde T este energia cinetic ă și J este momentul de inerție în raport cu axa z.
Iar energia potențială se obține cu relația :

∫

∫

(2.7),
în care s -au notat cu momentul conservativ și cu Q forța brută conservativă. Se admite că bara
este de tip Eulerian și astfel forța Q este neglijabilă.
Momentul de încovoiere este definit ca :
∫ (2.8),
unde este tensiunea, iar A este sec țiunea transversală.
Relația pentru tensiune în cazul modelului clasic Kelvin -Voigt pentru un material vâsco –
elastic este :
̇ (2.9) ,
unde E reprezint ă modulul de elasticita te, iar C este un coeficient de amortizare.

Prin urmare, ecuațiile de mișcare ale barelor neliniare de tip Kelvin -Voigt din material
vâsco -elastic au fost dezvoltate și au fost găsite prin metoda analitică, frecvențele proprii și
comportamentul formelor neliniare ale barelor respective. Dependența de timp a frecvențelor și

amplitudinii demonstrează problemele inerente ale fizicii în acest caz. Amplitudinea este o funcție
exponențială de timp, iar frecven ța este o funcție logaritmică de timp.

Fig 2.3 Variația amplitudinii în funcție de timp [16] Fig 2.4 Variația frecvențelor în funcție de timp [16]

2.2 Cazul II
2.2.1 Introducere
Durabilitatea structurii betonului armat precomprimat (PRC -prestressed reinforced concrete)
și betonului armat (RC) se poate deteriora din cauza acumulării unor defecte de -a lungul folosirii
lor. Materialele armate pot fi de asemenea supuse deteriorării ca rezultat al slabei calității a
betonului, coroziunea armăturii din oțel și altele. [5.] Mon itorizarea structural ă a cunoscut un proces
de accelerare în ultimele decenii, având aplicații în numeroase structuri civile (poduri, turnuri, cadre
și grinzi).
Conceptul care stă la baza analizei deteriorării cadrelor sau grinzilor din beton armat cu
monitorizarea vibrațiilor este următorul : caracteristicile dinamice sunt func ții ale proprietăților
fizice ale structurii. Așadar, orice mică deteriorare va avea efect asupra răspunsului dinamic. [7]
Posibilitatea evaluării structurilor și detectarea defectelor într -o fază incipientă este de mare interes
in domeniu [17]. Au fost publicate mai multe metode, majoritatea bazate pe vibrațiile caracteristice
ale structurilor, anali za daunelor ca rezultat al schim bărilor frecvențelor naturale [6], precum și
metoda actualiză rii modelului structural [ 18].
Daunele constau de obicei în una sau mai multe crăpături deschise, ca urmare a pierderii
proprietăților mecanice a unei părți din elementul structurii și a scăderii rigidității. Când
deteriorările sunt concentrate , un arc de rotație poate modela comportar ea mecanică a elementului
în cauză [12].Unul din exemplele folosite este modulul lui Young redus și momentul de inerție.
Scopul principal al celui de -al doilea caz particular prezenat in lucrare este de a evidenția
schimbările răspunsurilo r dinamice ale barelor din PRC/PC.

2.2.2 Modele experimentale și teste ale barelor
Teste experimentale efectuate asupra barelor din PRC
O bară obișnuită din PRC simplu rezemată, având secțiunea transversală de forma unui
dublu T, a fost supusă unei solici tări la îndoire în 3 etape, cu următoarele valori ale momentului
; .
Dimensiunile geometrice ale secțiunii și principalii parametrii mecanice ai barei din PRC
sunt prezentate în tabelul 1. Comportarea secț iunii transversale din partea de mijloc a barei nu este
liniară ca urmare a fisurării în zona de tracțiune. Momentul maxim admis este 4,3 kKm, luând

în considerare și o bară de oțel care are rol în măsurare cu diametrul de 8 mm. Acesta este a șezată în
vecinătatea (vezi fig 2.5), tensometrică, care este capabilă să măsoare tensiunea în timpul
încercărilor.

Fig.2.5 Secțiune transversală a barei experimentale din PRC [4]

Tabelul 1 Dimensiunile și parametrii mecanici ai barelor din PRC

Bara a fost supusă vibrației libere atât în stadiul nedeformat (înainte de test), cât și după
fiecare etapă de încărcare. Frecvențele proprii au fost măsurate pentru primele 4 moduri de vibrații.
În timpul încercărilor dinamice, barele au fost susținute de arcuri flexibile cu constanta de
elasticitate k=1.5 N/mm care simulează condițiile la limită, așa cum este ilustrat în f ig 2.6 a.

Fig 2.6 Schema experimentală [4]

Barele au fost impulsionate folosind un ciocan (Brüel &Kjær Impact Hammer Type 8202 ),
iar răspunsul a fost măsurat în 27 de puncte diferite, la intervale de 87.5 mm, utilizând un

accelerometru. Tabelul 2 conține rezultatele experimentale ale acestor teste. S -au obținut 2 seturi de
valori ale frecvenței la fiecare î ncărcare a barei. Cele mai multe au fost în intervalul 0 -800 Hz.

Teste experimentale efectuate asupra barelor din RC
Testele s -au des fășurat utilizând aceeași procedură menționată anterior. Barele B1 și B2 au
fost fortificate cu 4 bare longitudinale din oțel de 10mm și 14mm diametru , respectiv bara B3 cu 2
bare de 10 mm și 16 mm diametru.

Fig 2 .7 Diagrama moment – curbura barei [4]

Barele din RC au fost supuse unei încărcări monotone în două puncte din mijlocul
etalonului.
Testele dinamice s -au efectuat pentru bara inițială nedeformată. Valorile experimentale ale
frecvenței, amortizării și deformației pentru primele patru moduri de vibrații proprii au fost obținute
în urma fiecărui test dinamic.
Frecvențele proprii ale unei bare înguste sunt prezentate mai jos. Efectele inerției și
deformației prin forfecare sunt neglijabile. Efectul forței axiale la frecvențe proprii este analizat
considerând doar vibrațiile care nu tensionează bara peste limita elastică.
În figura 2.8a este reprez entată axa centrală a barei în timpul unei vibrații ; deplasarea în
orice secțiune x la un moment t este notat ă cu v. Doar componenta v a deplasării este de interes în
studiul flexiunii barei și este funcție de x și t. Forțele de gravitație sunt neglijabile, iar forțele și
momentele ce acționează asupra unui element de lungime dx sunt expuse în fig 2.8b și 2.8c. Forța
de inerție a unui element este
unde este densitatea materialului din care este confecționată
bara iar A este secțiunea transversală.
Forța radială P este consecința unei pretensionări a axei centrale, așa cum se poate observa
în fig 2.8b. Valoarea lui poate fi calculată cu relația :
.
Momentele aproximative în axa radială a elementului (Fig 2.8c), presupunând
și
neglijând produsele cantităților mici, se obțin :

(2.10).
Pornind de la următoarea relație între momentul de încovoiere și curbura barei :

(2.11 ),

unde E este modulul lui Young și I este momentul celei de -a doua zone a secțiunii transversale.
Înlocuind această relație în ecuația precedentă se obține :

(
) (2.12)

Fig 2. 8 Elementul barei, for țele și momentele și axele de coordonate [4]

În final, se aplică a doua lege a lui Newton elementului din fig 2.8c ; poate fi exprimat ă ca
produsul dintre masă și accelerația rezultată pe direcția Y este egal cu forțele de pe aceeași direcție
Y:

(2.13),
considerând
. Înlocuind ecuațiile (2.13) și (2.12 ), următoarea ecuație se obține pentru
vibrația liberă a barei din PRC :

=0 (2.14 ).
Soluția ecuației 2.14 trebuie să fie o funcție de timp armonică :
(2.15 )
Înlocuind ecuația (2.15) în (2.14 ) și considerând

obținem :

(2.16 )
Ecuația precedentă este de gradul patru astfel că soluția generală este :
(2.17 )

unde:
√ √ ; √ √ ; (2.18).
Ecua ția (2,17) are cinci necunoscute : parametrii , , și și valoarea proprie a lui λ.
În cazul în care bara are capetele libere, cu următoarele condiții la limit ă:
x=0=0; x=0=0; x=L=0; x=L=0; (2.19 )
rezul tă un sistem algebric liniar cu necunoscutele , , și .
Determinantul sistmului trebuie să fie nul pentru a obține o soluție valabilă :
det
[

]
(2.20)

De notat că în cazul în care =0, ecuația ( 2.20) devine:
(2.21)
Valoare proprie pentru bara cu un capăt liber poate fi corelată cu valoarea
pentru
o bară simplu rezemată cu =0.
(2.22),
de diferitele moduri de vibrații și are valorile 1.506, 1.25, 1.167
și 1.125 pentru primele patru moduri.
În cazul unei bare simplu rezemate supusă unei forțe de compresiune [26] urm ătoarea
expresie a frecvenței circulare proprii este obținută :
̅̅̅̅
√
√
(2.23 )
sau ̅̅̅̅= √
= √
(2.24 ),
unde este frecvența unghiulară proprie, iar este valoarea proprie pentru o bară simplu
rezemată fără forțe axiale. Așa cum se poate deduce din ecuația (16), frecvența unghiulară proprie
pentru o bară cu capete libere supusă la compresiune, se poate scrie :

̅ = √
(2.25 )
Acesta poate fi exprima tă și astfel :

̅ (2.26)

unde =√
.

În figura următoare sunt prezentate trei grade de deteriorare ale barelor supuse acestor teste.

Fig 2.9 Deteriorarea în trei grade , și [4]

2.2.3 Analiza rezultatelor experimentale și teoretice

Rezulatele experimentului asupra barei din PRC
Cele patru tipuri de vibrații sunt reprezentate în figura de mai jos.

Fig 2.10 Patru moduri de vibrație ale barelor PRC (metoda elementelor finite )

Histogramele obținute pentru valori variabile ale frecvenței în diferite stadii de degradare
sunt prezentate în fig 2.11.

Fig 2.11 Histogramele variației valorilor frecvenței pentru bara din PRC
Se poate observa că cea mai mare reducere a frecvenței s -a înregistrat în primul mod de
vibrație.

Rezultatele experimentului asupra barelor din RC
Valorice teoretice ale frecvențelor sunt comparate cu cele experimentale în tabelul următor :

Tabelul 2 Frecvențele teoretice pentru barele nedeteriorate

2.2.4 Concluzii
Rezultatele obținute în urma cercetărilor experimentale descrie mai sus permit considerarea
monitorizării vibrațiilor potrivită pentru evaluarea barelor din materiale neomog ene. Pe de altă
parte, răspunsul dinamic al barelor PRC/RC caracterizate de un comportament neliniar în timpul
încărcării cu sarcini crescătoare, poate fi influențat de erori de înregistrare, condiții de restrângere
reale și incertitudinea corelării crăpăt urilor efective cu reducerea valorilor frecvențelor.
Principalele rezultate obținute sunt :
a. Comportamentul neliniar al barelor din beton armat în urma apariției crăpăturilor în
secțiunea transversală produce o scădere a valorilor frecvenței care poate fi evaluată
experimental la barele din PRC/RC.
b. Valorile înregistrate ale frecvențelor înregistrate în timpul testelor asupra barelor din PRC
variază liniar între 1% și 5% pentru primul mod de vibrație , menținând bara în faza elastică,
chiar dacă momentul de încovoiere și apar crăpături în structura betonului.
c. Variațiile frecvenței măsurate la barele RC pot fi de maxim 15 -20%

d. Comportamentul neliniar a barelor RC influențează în mare măsură răspunsul dinamic.
Schimbările de la secțiunea fără craăpături la cea care prezintă crăpături , atât în faza
elastică, cât și în cea non -elastică, au fost înregistrate scăzând valorile frecve nței.
e. Tehnica bazată pe monitorizarea vibrațiilor folosită folosit ă în evaluarea barelor din RC ar
trebui corelată cu gradul de încărcare. În acest sens, o scădere a frecvenței a fost înregistrată
la fiecare pas al testelor de încovoiere.

BIBLIOGRAFIE

1. Argyris J,Belubekian V, Ovakimyan N, Minasyan M. ―Chaotic vibrations of a nonlinear
viscoelastic beam‖ Chaos, Solitons &Fractals 1996, p. 7,151 –163
2. Beldica CE, Hilton HH. Nonlinear viscoelastic beam bending with piezoele ctric control —
analytical and computational simulations.Composite Structures 2001;51:195 –203
3. Bereteu L. ―Vibra țiile sistemelor mecanice ‖,2009, p.10 -11
4. Capozucca R ―A reflection on the application of vibration tests for the assessment of
cracking in PRC/RC beams‖, 2013, Engineering Structures 48 (2013) 508 –518
5. Capozucca R. ―Damage to reinforced concrete due to reinforcement corrosion‖.Constr Build
Mater 1 995;9(5):295 –303
6. Casas JR, Aparicio AC. Structural damage identification from dynamic -test data.J Struct
Eng 1994;120:2437 –50, Pandey AK, Biswas M, Samman MM. Damage detection from
changes in curvature mode shapes. J Sound Vib 1992;145(2):321 –32
7. Cawley P, Adams RD. The location of defects in structures from measurements of natural
frequencies. J Strain Anal Eng Des 1979;14:49 –57
8. Crespo da Silva MRM, Glynn CC. ―Nonlinear flexural –flexural –torsional dynamics of
inextensional beams‖ I. Equations of motion.Journal of Structural Mechanics 1978, p.6,437 –
448.
9. Dalenbring M. Validation of estimated isotropic viscoelastic material properties and
vibration response prediction. Journal of Sound and Vibration 2003;256:269 –87
10. E.Gheorghe, P.Cristian, ― Introducere în tehnica izolării vibrațiilor și zgomotului ‖, 2012, Matrix –
Rom, p.10 -12,
11. Horr AM, Schmidt LC.‖ Modeling of non -linear damping characteristicsof a viscoelastic
structural damper‖, Engineering Structures, 1996, p.18, 154 –161
12. Narkis Y. Identif ication of crack location in vibrating simply supported beams. J Sound Vib
1994;172:549 –58
13. ,Nayfeh SA. On non -linear modes of continuous systems.Journal of Vibration and Acoustics
1994;116:129 –36
14. Rade ș M., ―Vibra ții mecanice ‖, Editura Printech, 2008, p.1
15. Ruta R, Wojcicki Z. Sensivity analysis applied to a dynamic railroad model. Journal of
Sound and Vibration 2003;266:1 –13
16. S.N. Mahmoodi, S.E. Khadem și M. Kokabi.― Non-linear free vibrations of Kelvin –Voigt
visco -elastic beams‖
17. Salawu OS. Detection of structural damage through changes in frequency: a review. Eng
Struct 1997;19:718 –23
18. Shi ZY, Law SS, Zhang LM. Structural damage detection from modal strain energy change.
J Eng Mech 2000;126(12):1216 –23.]
19. Suire G, Cederbaum G. Periodic and chaotic behavior of viscoelastic non -linear (elastica)
bars under harmonic excitations. InternationalJournal of Mechanical Sciences 1995;37:753 –
72