Variabile aleatoare și funcții de reparti ție [618562]

Capitolul 4
Variabile aleatoare și funcții de reparti ție

4.1 Variabile aleatoare

Variabila aleatoare este una din no țiunile fundamentale ale teoriei
probabilitã ților și a statisticii matematice. In urma unui proces tehnologic de
prelucrare se constatã cã de și condițiile de uzinare sunt i dentice între reperele
prelucrate la anumite perioad e de timp existã diferen țe în cea ce prive ște
dimensiunile prescrise. De asemeni în cadrul unei cercetãr i experimentale se
constatã cã între valorile numerice mãsurate existã diferen țe chiar dacã condi țiile de
desfãșurare a experimentului rãmân neschimbate.
Dacã ne referim la o singurã mãsurãtoare, variabila aleatoare
este acea
mãrime care în cadrul unui experiment poate lua o valoare necunoscutã aprioric.
Pentru un șir de mãsurãtori, variabila aleatoare este o no țiune care-l caracterizeazã
din douã puncte de vedere: – caracterizare din punct de vedere cant itativ – variabila aleatoare ne dã informa ții
privind valoarea numericã a mãrimii mãsurate – caracterizare din punt de vedere calita tiv – variabila aleatoare ne dã informa ții
privind frecven ța de apari ție a unei valori numerice într-un șir.
Dacã valorile numerice ale unui șir de date apar țin mulțimii numerelor întregi
sau raționale atunci se define ște o variabilã aleatoare discretã
. In cazul apartenen ței
valorilor la mul țimea numerelor reale se define ște o variabila aleatoare continuã .
Primul caz se întâlne ște în cazul numãrului de piese defecte extras dintr-un lot de

Capitolul 4 70
fabricație care apar ține totdeauna mul țimii numerelor întregi. Al doilea caz în
cercetarea experimentalã la mãsurarea for ței de așchiere sau a momentului când
valorile ob ținute apar țin mulțimii numerelor reale
O variabilã aleatoare se noteazã cu litere mari A,B,X, cu litere mici notându-se
valorile posibile: x1,x2,x3,…,x n.
4.1.1 Variabile aleatoare discrete
Considerãm un experiment în urma cãruia pentru variabila X rezultã valorile
x
1, x 2,…x n. Probabilitatea ca o valoare oarecare “i” sã aibã valoarea xi este
P(X=x i)=p i. Pentru toate valorile mãsurate se poate construi un tablou de forma:
ni1,
px:Xsaup…,p,px… x,x:X
ii
n 2 1n ,2 1≤≤⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛ (4.1)
care poartã denumirea de tabloul reparti ției. In prima linie sunt tr ecute toate valorile
posibile ale caracteristicii și în a doua sunt trecute toate probabilit ățile de apari ție.
Aplicația 4.1 Se aruncã un zar de 100 de ori ob ținându-se pentru cifra 1 10 apariții,
pentru cifra 2 18 apariții pentru cifra 3 20 apariții pentru cifra 4 12 apariții pentru cifra
5 25 de apari ții pentru cifra 6 15 apariții. Probabilitatea apari ției cifrelor 1,2,…,6 este:
15,010015)6(P25,010025)5(P12,010012)4(P20,010020)3(P18.010018)2(P10,010010)1(P
== == ==== == ==
(4.2)
Tabloul reparti ției este:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
15,0 25,0 12,0 20,0 18,0 10,06 5 4 3 2 1:X (4.3)
Aplicația 4.2 Considerãm un lot de 100 bucãți pentru care coeficientul de rebut este
5% Se efectueazã o singurã extragere. Sã se construiascã variabila aleatoare a
numãrului de piese defecte.
Deoarece coeficient ul de rebut este 5% numãrul pieselor defecte este de 5.
Efectuând o singurã extragere se poate ca sã nu fie extrasã nici o piesã defect ă și-n
acest caz numãrul pieselor defecte este zero, sau o piesã defectã. Notând cu p
probabilitatea de-a extr age o piesã defectã și cu q probabilitatea de a extrage o
piesã bunã, valorile probabilitã ților sunt: p=0,05; q=0,95 .. In consecin țã valorile
probabilitã ții de-a extrage 0 piese defecte și a probabilitã ții de-a extrage o piesã
defectã sunt:

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 71
P(X=0)=q=0,95 ; P(X=1)=p=0,05 . Variabila aleatoare este:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
05,0 95,01 0:X (4.4)
Aplicația 4.3 Pentru un lot de 200 de bucã ți cu un coeficient de rebut de 2% sã se
construiascã variabila aleatoare a numãrului de piese defecte. Din lot pot fi extrase
0,1,2,3 maxim 4 piese defecte.
Fie A0 evenimentul extragerii unei piese bune. A1 evenimentul extragerii unei
piese defecte; A2 evenimentul extrageri a douã piese defecte,…, A4 evenimentul
extragerii a 4 piese defecte. Calculul acestor probabilitã ți ne conduce la valorile:
10 546,11971
1982
1993
2004)A A A/A(P)A A/A(P)A/A(P)A(P)A A A A(P)4 X(P10 046,31982
1993
2004)A A/A(P)A/A(P)A(P)A A A(P)3 X(P10 016,31993
2004)A/A(P)A(P)A A(P)2 X(P1022004)A(P)1 X(P98,0200196)A(P)0 X(P
83 2 1 4 2 1 3 1 2 1 4 3 2 162 1 3 1 2 1 3 2 141 2 1 2 121 0
−−−−
∗=∗∗∗= ∗ ∗ ∗= ==∗= = ∗ ∗= ==∗=∗= ∗= ==∗==== ====
II I IIII III

(4.5)
Tabloul reparti ției are forma:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
∗ ∗ ∗ ∗− − − −10 546,1 10 046,3 10 015,3 102 98,04 3 2 1 0:X8 6 4 2 (4.6)
Legãtura care existã între variabila aleatoare și probabilitatea de apari ție a
acesteia poartã denumire de lege de reparti ție. Legea de reparti ție se poate
reprezenta grafic sub forma diagramei cu bare (Fig.4.1), histograme, poligonul
repartiției (Fig.4.2)
In cazul în care se poate determina o ex presie analiticã care sã stabileascã o
00.050.10.150.20.250.3
123456
variabilaprobabilitate
00.050.10.150.20.250.3
02468
variabilaprobabilitate

Fig.4.1 Reprezentarea legii de reparti ție Fig.4.2 Reprezentarea legii de reparti ție

Capitolul 4 72
(diagrama cu bare) (poligonul frecven țelor)
legãturã între variabila aleatoare și probabilitate, aceasta poartã denumirea de
funcție de probabilitate : Expresia ei analiticã este:
p)x(P)xX(Pi i i=== (4.7)
Deoarece orice experiment poate avea un singur rezult at totalitatea valorilor
distincte și posibile formeazã un sistem complet de evenimente incom patibile. Pentru
mulțimea ale cãrei perechi ordonate definesc reparti ția se poate scrie:
1 pn
1ii=∑
= (4.8)
In multe aplica ții ne intereseazã probabilitatea evenimentului X<x i. Si-n acest
caz se poate construi un tablou al reparti ției care are forma:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+++ + p…pp…,pp,px … x ,x:X
2 1 n 1 2 1n ,2 1 (4.9)
Reprezentarea graficã a acestui tablou al reparti ție are forma din (Fig. 4.3-
4.4). Dacã este posibilã dete rminarea unei expresii analitic e care sã stabileascã o
legãturã între valorile aleatoare și probabilitã țile respective aceastã func ție va purta
numele de funcție de reparti ție
: Expresia ei este:
)x X(P)x(Fk k ≤= (4.10)
Cunoscând func ția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete func ția
de reparti ție va fi :
∑∑ ∑ = ===≤=
== =k
1ik
1ik
1ik k i k k p )x(P )x X(P )x X(P)x(F (4.11)
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
123456
variabilaprobabilitate
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
0246
variabilaprobabilitate

Fig.4.3 Reprezentarea legii de reparti ție
prin histogramã Fig.4.4 Graficul func ției de reparti ție la o
variabilã aleatoare

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 73
Obs. Intre notiunea de probabilitate si notiunea de frecventa pentru variabile
aleataore discrete poate fi pu s semnul de egalitate, cea ce face ca teoria
probabilitatilor sa poata fi aplicata in statistica.
4.1.2 Variabile aleatoare continue
In cazul variabilelor aleatoare conti nue, construirea unui tablou al reparti ției nu
este realizabilã deoarece existã o infinitate de valori posibile. In aceste cazuri pentru
a putea analiza șirurile de valori se utilizeazã funcția de reparti ție. Construc ția ei
implicã determinarea probabilitã ții evenimentului X<x. Expresia ei va fi definitã de
integrala:
∫∫ = =<=
∞−∞ −xx
dx)x('F dx)x(f )x X(P)x(F (4.12)
unde f(x) reprezintã densitatea de probabilitate , care poate fi definitã ca primã
derivatã (dacã existã) a func ției de reparti ție F(x) adicã:
)x('Fx)x(F)x x(Flim)x(f
0x=−+=
→ ∆∆
∆ (4.13)
xf(x)
f(x)dx
xf(x)

Fig. 4.5 Graficul densitã ții de probabilitate Fig.4.6 Reprezentarea elementului de
probabilitate.
Reprezentarea graficã a func ției densitate de pr obabilitate este prezentatã în
figura 4.5. Ne putem imagi na cã aceasta s-ar putea ob ține dintr-o histogramã la care
numãrul de dreptunghiuri ar tinde spre infinit și grosimea spre zero. Mãrimea f(x)dx
se nume ște element de probabilitate și reprezintã probabilitatea ca valoarea
variabilei aleatoare sã se gãseascã în intervalul ds. Aceastã probabilitate este egalã
cu aria dreptunghiului elementar cu baza egalã cu ds.
Dacã ds tinde spre zero, aria dreptunghiului ti nde spre zero, cea ce ne duce la
concluzia cã probabilitatea ob ținerii unei valori x este egalã cu zero, deci ar fi un
eveniment imposibil. Deoarece o astfel de concluzie este paradoxalã trebuie evidențiatã defini ția probabilitã ții care ne conduce la o interpretare care eviden țeazã
faptul cã frecven ța unui astfel de eveniment este zero și nu faptul cã un astfel de

Capitolul 4 74
eveniment nu poate avea loc. Spre deosebire de cazul variabilelor aleatoare discrete
la care func ția densit ății de probabilitate are semnifica ția unei probabilitã ți la
variabilele aleatoare continue acest fapt nu este valabil și-n consecin țã semnul ≤
folosit la variabile aleatoare discrete este înlocuit prin <.
Expresia P(X<x) se citește probabilitatea ca X sã fie cel mult egal cu x .
Geometric, func ția de reparti ție pentru
variabile aleatoare continue este reprezentatã de
aria hașuratã cuprinsã între curba densitã ții de
probabilitate și axa absciselor, iar aria totalã este
egalã cu unitatea. Deci graficul oricãrei func ții la
care aria mãrginitã de aceasta și axa absciselor
este egalã cu unitatea poate fi curba densitã ții de
probabilitate. Ob ținută prin integrare graficul func ției
de reparti ție este prezentat în figura 4.7, și are
urmãtoarele proprietã ți:
– asimptotã dreapta F(x)=0;
– asimptotã dreapta F(x)=1;
– funcție strict crescãtoare; pentru x1<x2
⇒F(x 1)<F(x 2),
Construc ția funcției densitã ții de
probabilitate experimentare se face cu ajutorul histogramei (F ig.4.8), trasând prin
punctele determinate de maximul fiecãrui subinterval și mijlocul acestuia o curbã.
4.2 Apartenen ța unei variabile aleatoare la un interval dat
Se considerã o variabilã aleatoar e la care i s-a determinat func ția densitã ții de
probabilitate respectiv func ția de reparti ție. Considerând un interval
[ab], ne
intereseazã sã determinãm care es te probabilitatea ca o valoare x sã apar ținã
acestui interval, respectiv P(a≤X≤b). Se face conven ția ca intervalul sã fie închis la
unul din capete și deschis la celãlalt. Pentru a exprima probabi litatea apartenen ței la
un interval vom considera urmãtoarele evenimente: 00.120.280.50.70.881
00.20.40.60.81
– 2 0246
xF(x)

Fig.4.7 Graficul func ției de
repartiție pentru o variabila
aleatoare continua
0510152025
Xfrecventa

Fig.4.8 Construc ția graficului densit ății
de probabilitate experimentale

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 75
– A – evenimentul X<b;
– B – evenimentul X<a;
– C – evenimentul a≤X≤b.
Evenimentele B și C sunt incompa-
tibile și între cele trei evenimente existã
relațiile: A=B U C
Ținând cont de proprietã țile opera țiilor cu
evenimente:
sau
)b Xa(P)a X(P)b X(P <≤+<=< (4.15)
de unde
)aX(P)bx(P)bXa(P <−<=≤≤ (4.16)
Pe baza defini ției funcției de reparti ție
)a(F)b(F)b Xa(P −=<≤ (4.17)
sau
∫∫ = ∫− =<≤
∞− ∞−ab
ab
dx)x(f dx)x(f dx)x(f )b Xa(P (4.18)
In concluzie probabilitatea ca o variabilã sã apar ținã intervalului [a,b] este
egalã cu aria trapezului curbiliniu m ărginit de axa x curba densitã ții de probabilitate
f(x) și dreptele x=a și x=b.

4.4 Func ții de reparti ție

Studiind diverse fenomene, se constatã cã de și acestea apar țin unor științe
diferite reparti ția în frecven ța a acestora este asemãnãtoare respectiv cã
histogramele au aceea și formã. Spre exemplu 90 % din fenomenele fizice se supun
legii normale de reparti ție (legea Gauss-Laplace) . Un studiu mai amãnun țit a pus în
evidentã proprietã țile acestora și gradul lor de aplicare. U nele dintre legile de
repartiție au devenit clasice având un grad ridi cat de utilizare. Dintre acestea se pot
menționa reparti ția binomialã, reparti ția hipergeometricã, reparti ția Poisson, reparti ția
normalã , reparti ția χ2, repartiția Student, reparti ția Fischer
O clasificare a acestora poate fi fãcutã func ție de tipul variabilei aleatoare
utilizat și anume în reparti ții discrete pentru VAD și repartiții continue pentru VAC. a b xf(x)P(a≤X<b)

Fig.4.9 Interpretarea geometrica a
apartene ței variabilei aleatoare la un
interval U )C(P)B(P)CB(P)A(P += = ( 4.14)

Capitolul 4 76

4.4.1 Reparti ții discrete
Repartiția binomialã
Aceastã reparti ție corespunde urmãtorulu i tip de experiment: Fie A un
eveniment care se produce cu probabilitatea p . Evenimentul contrar este A care se
produce cu probabilitatea q. Cele douã formeazã un sistem de evenimente,
producerea unuia excluzând producerea celuilalt. Se repetã experimentul de n ori. In
cele n ocazii evenimentul A s-ar putea sã nu se producã nici o datã, s-ar putea sã se
producã o datã, s-ar putea produce de n ori. Ne intereseazã sã determinãm de
fiecare datã probabilitatea de realizare a evenimentului A. In acest caz am putea
scrie un tablou de reparti ție de urmãtoarea formã:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
p… p pn …1 0:X
n 1 0 (4.33)
unde în prima linie sunt trecute numãrul de rea lizãri ale evenimentului A și-n linia a
doua sunt trecute probabilitã țile de realizare. Pentru a determina rela ția cu ajutorul
cãreia vom determina aceste probabilitã ți plecãm de la observa ția cã acest tip de
experiment corespunde controlului de fabrica ție a unui lot la care se fac n extrageri
punând de fiecare datã piesa extrasã la lo c. Lotul trebuie verificat dacã are un
coeficient de rebut p. Fie A evenimentul se extrage o piesã și aceasta piesã este
defectã. Probabilitatea unui astfel de eveniment este egalã cu coeficientul de rebut.
Evenimentul contrar îl reprezintã cazu l în care piesa extrasã este bunã,
probabilitatea unui astfel de eveniment fiind q. Prin punerea la loc a piesei dupã
constatarea calitã ții acesteia nu se modificã coeficientul de rebut și nici probabilitatea
extragerii unei piese defecte în cazul repetãrii experimentului.
Luãm în considerare urmãtoarele cazuri:
Cazul 1 – se extrage o singurã piesã. Pot avea loc urmãtoarele evenimente:
– piesa extrasã este bunã; probabilitatea acestui eveniment: P(A)=q;
– piesa extrasã este defectã; probabilitatea unui astfel de eveniment este: P(A)=q;
Tabloul reparti ției numãrului de piese defecte este:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
pq10 (4.34)
Cazul 2 – se extrag consecutiv douã piese punând de fiecare data piesa la loc. Pot
avea loc urmãtoarele evenimente: – ambele piese sunt bune – probabilitatea acestui eveniment este: P(A)P(A)=q
2 ;

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 77
– o piesã bunã și una defectã – probabilitat ea acestui eveniment este
P(A)P(A)+P(A)P(A)=qp+pq=2qp ;
– ambele piese sunt defecte; probabilitatea acestui eveniment este: P(A)P(A)=p2.
Tabloul reparti ției numãrului de piese defecte este:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
p qp2 q2 1 0
2 2 (4.35)
Termenii liniei a doua apar țin unei dezvoltãri binomi ale la puterea a doua.
Continuând pentru n=3,4,… se observã cã linia a doua a tabloului poate fi completatã
cu termenii binomului lui Newton de unde și denumirea reparti ției.
Pentru cazul general n=k tabloul reparti ției este:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
− −p… p qCp qC qk … 2 1 0
k 22k2
k1k1
kk (4.36)
Pentru n=n tabloul reparti ției este:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
− − −pqC… p qC… p qC p qC pqCn … k … 2 1 0
n0nnkknkn22n2n11n1n0n0n (4.37)
Func ția de probabilitate a reparti ției binomiale este datã de expresia:
qpC)k(P)k X(Pknkkn−=== (4.38)
0.27249
0.05283
0.00647 0.00056 0
00.10.20.30.40.50.60.7
012345p=4%
n=20P(k)
k 00.10.20.30.40.50.60.7
02468 1 0p=4%
p=6%
p=8%p=10%n=20
kP(k)

Fig. 4.10 Func ția de probabilitate a reparti ției
binomiale cu p=4 % și n=20 Fig.4.11 Diagrama poligonalã a func ției de
probabilitate cu reparti ție binomialã cu n=20;
p=4%-10%
Func ția de probabilitatea se poate reprezenta prin diagrama cu bare (Fig.4.10)
sau prin diagrama poligonalã, (Fig.4.11). Func ția de reparti ție a reparti ției binomiale este datã de expresia:
∑∑= ==≤
==−k
0xk
0xxnxxnqpC )x(P )k(F)kx(P (4.39)
Formulele pentru principalele valori tipice ale variabilelor aleatoare sunt,
(Fig.4.1):

Capitolul 4 78
Tab. 4.1 Indicatorii teoretici ai unei variabile aleatoare cu reparti ție binomialã
Media M[X], µ, X []∑∑ ∗∗=∗=
==−n
1in
0kkn k
i i q pk px XM
Mod M o )p np( M)q np( o+<<−
Dispersia D[X], σ2, S2 [] npq)p1(np XD =−=
Abaterea standard σ, s npq=σ
Momente m k, M k [] []
)npq3 pq61(npq M)pq(npq Mnpq XD Mnp XM m
4 32 1
+−=−=====
Asimetria γ1 npqpq
1−=γ
Excesul γ2 npqpq61
2−=γ
Aplicatia 4.4
Dintr-un lot având coeficientul de rebut p=10% se extrag consecutiv punând de
fiecare dat ǎ piesa extras ǎ la loc 4 unit ǎți.
1. Sǎ se construiasc ǎ variabila aleatoare a num ǎrului de piese defecte;
2. Sǎ se stabileasc ǎ decizia de acceptare/respingere a lotului:
Variabila aleatoare a num ǎrului de piese defecte se construie ște utilizând (4.37,
4.38).
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
4 3 2 1 04 3 2 1 0
p p p p p
în care:
% 0001,0 0001,0 9,01,0%%36,0 0036,09,01,0 %86,4 0486,0 9,01,0%16,29 2916,0 9,01,0 %61,65 6561,0 9,01,0
0 4 4
4 41 3 3
4 32 2 2
4 23 1 1
4 14 0 0
4 0
== === = == === = == =
C pC p C pC p C p

rezultând:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
01,0 36,0 86,4 16,2961,654 3 2 1 0

Variabila aleatoare a cel mult “k ” piese defecte se construie ște utilizând, (4.39):

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 79
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
00,10099,9963,9977,9461,654 3 2 1 0

Decizia de acceptare: lotul este acceptat dac ǎ-n 4 verific ǎri consecutive se g ǎsește
cel mult o pies ǎ defectǎ.
Repartiția hipergeometricã.
Modelul matematic al acestei reparti ții este similar celui binomial, diferen ța
constând în faptul cã elem entul extras pentru control nu se mai întoarce în lot, și-n
consecin țã la fiecare nouã extrag ere se modificã condi țiile și deci și probabilitatea de
extragere a unei piese defecte. Din acest motiv extragerea se mai nume ște fãrã
întoarcere .
Se considerã un lot la care trebui e verificat coeficientul de rebut p. Cunoscând
mãrimea lotului n se pot determina numãrul de piese defecte a respectiv numãrul de
piese bune b.
)p1(nbpna −=∗= (4.40)
Se efectueazã m extrageri consecutivã fãrã a pune piesa extrasã la loc; în
cele m extrageri consecutive pot sã rezulte 0 piese defecte, 1 piesã defectã,…., sau
m piese defecte. In consecin țã putem construi un tablou de reparti ți e î n c a r e p e
prima linie sã trecem num ãrul pieselor defecte și-n linia a douã probabilitatea
fiecãruia de-a fi extras.
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
p… p pn …1 0:X
n 1 0 (4.41)
Aceastã probabilitate care determinã func ția de probabilitate are expresia:
CCC)k(P)k X(Pmnkm
bka−
=== (4.42)
Funcția de reparti ție este:
∑==≤
=−k
0kkm
bkamnC
C1)k(F)k X(P (4.43)
Principalii indicatori ai variabilei aleatoare cu reparti ție hipergeometricã sunt
prezenta ți în (Tab. 4.2):
Tab.4.2 Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu reparti ție binomialã.
Media M[X], µ, X []∑=∗=
=n
1ii i mp px XM

Capitolul 4 80
Mod M o
q pm Mq pm m n Daca2n1m pn pnmM2n1m qn pnm
0o
+<<− >>++++<<+−+−

Dispersia D[X], σ2, S2 []
[] ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−= >>−−=
nm1 mpq XD m n Daca1nmnmpq XD

Dacã n este foarte mare, reparti ția hipergeometricã se apropie de reparti ția
binomialã cu coeficientul de rebut p obținut din rela ția 4.43.
Aplicatia 4.5
Dintr-un lot de 100 de buc ǎți având coeficientul de rebut p=8% se extrag consecutiv
fǎrǎ a pune piesa extras ǎ la loc 3 unit ǎți.
1. Sǎ se construiasc ǎ variabila aleatoare a num ǎrului de piese defecte;
2. Sǎ se stabileasc ǎ decizia de acceptare/respingere a lotului:
Numǎrul pieselor defecte/bune, (4.40):
92)08,01(100 8 08,0 100 =−==∗= b a
Variabila aleatoare a num ǎrului de piese defecte se construie ște utilizând (4.41,
4.42).
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
3 2 1 03 2 1 0
p p p p
în care:
%%04,0 0004,0*%59,1 0159,0*%70,20 2070,0*%67,77 7767,0*
3
1000
923
8
3 3
1001
922
8
23
1002
921
8
1 3
1003
920
8
0
== = == === = == =
CC CpCC CpCC CpCC Cp

rezultând:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
04,0 59,170,20 67,773 2 1 0

Variabila aleatoare a cel mult “k ” piese defecte se construie ște utilizând, (4.43):
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
00,10096,99 37,98 67,773 2 1 0

Decizia de acceptare: Deoarece probabilita tea de-a accepta/respinge lotul nu este

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 81
cuprinsǎ între 95% (riscul furnizorului), și 90% (riscul beneficiarului), este necesar ǎ
recalcularea parametrilor pentru alte m ǎrimi ale e șantionului (m=4, 5,…unit ǎți).
Repartiția Poisson
Este reparti ția evenimentelor rare. Aceastã reparti ție se aplicã în cazul
avariilor la ma șini sau a accidentelor.
Dacã se noteazã cu λ densitatea de apari ție a unui eveniment în unitatea de
timp, atunci µ=λt reprezintã media apari țiilor în intervalul t. Posibilitatea apari ției de k
ori a evenimentului în acela și interval este:
()e!ke!kt)k(P)k X(Pk
tk
µ λµ λ− −= === (4.44)
In figurile 4.12-4.13 sunt prezentate diagrama cu bare și diagramele poligonale ale
funcției de probabilitate Poisson pentru di ferite valori ale parametrului µ.
0.3032
0.0758
0.01263 0.001 0.0000130.00015
00.10.20.30.40.50.60.7
01234567P(k)
k 00.10.20.30.40.50.60.7
0 5 10 15 20u=0,5
u=2
u=5u=1
kP(k)

Fig. 4.12 Func ția de probabilitate a
repartiției binomiale cu µ.=0,5 Fig.4.13 Diagrama poligonalã a func ției de
probabilitate cu reparti ție Poisson
Func ția de reparti ție are expresia:
∑=≤
=−k
0kk
!ke)k X(Pµµ (4.45)
Reparti ția Poisson se aplicã în cazul reparti ției binomiale dacã coeficientul de
rebut este foarte mic p<0,1 și mãrimea lotului mare np>5 . Relația care se aplicã este:
ek)np()k(P)k X(Pnpk
−=== (4.46)
Principalii indicatori ai reparti ției Poisson sunt prezenta ți în tabelul 4.3
Tab.4.3 Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu reparti ție Poisson.

Media
M[X], µ, X []∑∑ =−=∗=
=∞
=−
−n
1i0 k1k
i i1ke px XM µµµµ
Mod M o ) M1 oµ µ <<−

Capitolul 4 82
Dispersia D[X], σ2, S2 []µ=XD
Abaterea standard σ, s µσ=

Momente
mk, M k
µµµµµµµµµµ
2
4 3 23 2
32
2 1
3 M M M3 m m m
+===++=+==

Asimetria
γ1 µγ1
1=

Excesul
γ2 µγ1
2=

Aplicatia 4.6 4.4.2 Reparti ții continue
Repartiția uniformã
Este reparti ția la care toate valorile variabilei aleatoare au aceea și
probabilitate. Ex presia densitã ții de probabilitate este:
()
()⎪⎩⎪⎨⎧
∉∈−=
b,ax0b,axab1
)x(f (4.47)
Func ția de reparti ție are expresia:
⎪⎩⎪⎨⎧
≥<<−≤
=
bx,1bxa,axax,0
)x(F (4.48)
Diagramele densit ății și funcției de reparti ție sunt prezentate în figurile 4.14-
4.15. Indicatorii teor etici sunt prezenta ți în tabelul 4.4
a1/(b-a)
xf(x)
b
00.511.52
axF(x)
b

Fig. 4.14 Densitatea de probabilitate a Fig.4.15 Func ția de reparti ție a reparti ție

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 83
repartiției uniforme uniforme

Tab.4.4 Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu reparti ție uniformã

Media
M[X], µ, X []∫+=−=b
a 2ab
abxdxXM

Dispersia
D[X], σ2, S2 []()
12bam mxD2
2
1 2−=−=

Momente
mk []
∫−==
b
a2
21
abdxxmxM m

Repartiția exponen țialã
Repartiția exponen țială are densitatea de reparti ție:
∞≤≤> =−x0,0 ; e )x(fxλλλ (4.49)
Func ția de reparti ție are expresia:
⎩⎨⎧
<>−=−
0x,00x, e1)x(Fxλ
(4.50)
Indicatorii teoretici sunt prezenta ți în tabelul 4.5.
Tab.4.5 Indicatorii teoretici ai variabilei aleatoare cu reparti ție exponen țialã

Media
M[X], µ, X []∫ = =∞−
0x 1dx e XMλλλ

Dispersia
D[X], σ2, S2 []λ2m mxD2
1 2=−=

Momente
mk []
∫ = ===
∞−
02x 221
2dx ex m1xM m
λλλ
λ
Diagramele densit ății și funcției de reparti ție sunt prezentate în figurile 4.16.
4.17.

Capitolul 4 84
xf(x)
0,368 l
1/ l
00.511.52
xF(x)
1/ l0,632 l

Fig. 4.16 Densitatea de probabilitate a
repartiției exponen țiale Fig.4.17 Func ția de reparti ție a reparti ție
exponen țiale

Repartiția normalã
Este cea mai importantã lege de reparti ție fiind cunoscutã sub denumirea de
legea Gauss-Laplace. Repartiția Gauss a fost prima reparti ție studiatã, fiind
caracterizatã de parametrii µ și σ2. Notarea ei se face prin N(µ,σ). Densitatea de
probabilitate are expresia:
e21)x(f 22
2) x(
πµ
πσ−−= (4.51)
Notatã simbolic prin N(µ, σ2), graficul reparti ției are formã de clopot cu
urmãtoarele proprietã ți:
– admite un maxim unic pentru x=µ;
– are o simetrie în raport cu dreapta x=µ;
– își modificã convexitatea în punctele µ – σ și µ + σ
– modificarea parametrului µ translateazã curba de-a lungul axei x, (Fig.4.19)
– modificarea parametrului σ modificã ascu țirea curbei , (Fig.4.18 )
Funcția de reparti ție normalã este datã de expresia:
()
dx
21)x X(P)x(Fx
2xe22
∫ =<=
∞−−−
σµ
πσ (4.52)
xf(x)
µ σ = 0,5
σ = 1
σ = 2
xf(x)
µ2µ3 µ1

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 85
Fig. 4.18 Curbele densitã ții de
probabilitate cu aceea și medie
Și dispersii diferite Fig. 4.19 Curbele densitã ții de
probabilitate cu aceea și dispersie
și medii diferite
Valoarea func ției de reparti ție este
reprezentatã în figu ra 4.20 prin aria
hașuratã. Indicator ii teoretici au rela țiile din
tabelul 4.6. Asimetria și aplatizarea pentru
repartiția Gauss sunt egale cu zero.
Cunoscând parametrii µ, σ2, pe
baza rela ției 4.52 se poate determina
analitic valoarea probabilitã ții P(X<a).
Calculul nu este prea simplu și-n practicã
s-a recurs la tabele. Deoarece pentru
fiecare µ, σ2, ar trebui sã existe un tabel ,
Laplace a cãutat o metodã care sã permitã
un calcul mai simplu și rapid a acestei
probabilitã ți. Reparti ția gãsitã de el îi poartã numele.
Repartiția Laplace , notatã prin N(0, 1) se obține din reparti ția Gauss cu ajutorul
schimbãrii de variabilã:
Tab. 4.6 Indicatorii teoretici ai variabilei cu reparti ție Gauss

Media
M[X], µ, X []∫=∞
∞−dx)x(xf XM

Dispersia
D[X], σ2, S2

Momente
M
k
[] [] []xD15 MxD3 MxD MM)1k2( Mpar ordinde0 Mimpar ordinde
2
6 4 21k2 k21k2
= = =+==
++

Asimetria γ1 0
Excesul γ2 0
σµ−=xz (4.53)
Prin folosirea acestei transformãri reparti ția poartã denumirea de repartiție
normalã. Densitatea de probabilitate este: f(x)
F(x)
1,0
0,5
0,0 x
x µ F(x)

Fig. 4.20 Func ția de reparti ție Gauss

Capitolul 4 86
e21)z(f2z2
−=
π (4.54)
Func ția de reparti ție Laplace are expresia:
∫∫ = =
∞−∞ −−xx
2zdxe21dx)x(f )x(F2
π (4.55)
Valorile func țiilor densitate de probabilitate și ale func ției de reparti ție sunt
date tabelar:
Regula celor 3 σ Considerând o variabila aleatoare X cu reparti ție normalã N(µ,σ2 )
Ne punem problema det erminãrii probabilitã ții pentru care abaterea unei valori
oarecare fa țã de medie sã fie mai micã decât x0, adicã ⎢x-µ⎢<x0.
%74,991)3(F2)3(F)3(F)3z3(P)x xx (P)x x(P0 0 0
=−∗=−−=〈〈−=+〈〈−=〈− µµ µ (4.56)
Probabilitatea evenimentul ui contrar este 0,26 % deci o probabilitate foarte
micã. Conform principiului certitudinii prac tice acest eveniment poate fi considerat
imposibil.
Repartiția χ2.
Considerãm o variabilã aleatoare X
x1, x2,…,x n cu valorile normal repartizate,
N(0, 1). Suma pãtratelor variabilelor
aleatoare z i constituie o nouã variabilã
aleatoare notatã cu χ2.
Matematic aceasta reprezintã
suma erorilor mãsurãtorilor pânã la
valoarea I.
Densitatea de probabilitate a reparti ției χ2 pentru ν=n-1 grade de libertate
este:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
〈≥
=−−
0x 00x pentrue x
)2( 21
)x(f2x)12(
2ν
ννΓ (4.58)iiiii
ii
zx 2 2
02
0χµ
σ=∑=−∑
==() 4.57
Fig.4.21 Probabilitatea ca o valoare x sa
fie cuprinsa in intervalul ±3σ xf(x)
µ
±3σ
99,74%

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 87
In variabila aleatoare probabilitã țile p1, p 2, p n-1 sunt
independente având posibilitatea sã ia orice valoare cuprinsã
între 0 și 1. Probabilitatea pn va lua o valoare care însu matã cu celelalte probabilitã ți
va da valoarea unu. In acest caz ac eastã probabilitate nu mai este independent ă ci
depinde de celelalte valori. In consecin țã numãrul valorilor independente pentru un
șir de numere este n-1 și este egal cu num ărul gradelor de libertate. Valorile
calculate ale func ției de reparti ție se gãsesc tabelate.
Repartiția Student .
Considerãm douã variabile una cu reparti ție normalã N(0, 1) și una cu
repartiție χ2, având ν grade de libertate. Acestea pot fo rma o nouã variabilã care se
calculeazã cu rela ția:
νχ2i
izt= (4.59)
și care matematic reprezintã r aportul dintre eroarea mãsurãtorii i și suma erorilor
mãsurãtorilor. Densitatea de probabilitate a reparti ției Student este:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+
=+
ννΓνΓ
νπν
t1
221
1)t(f2 21
(4.60)
Valorile calculate ale func ției de reparti ție se gãsesc tabelate.
Repartiția Fischer
Considerãm douã variabile aleatoare X1 și X2 independente , cu reparti ție χ2
având respectiv ν1 și ν2 grade de libertate. Acestea po t forma o nouã variabilã care
se calculeazã cu rela ția:
υυ
12
2i1i
ixxF= (4.61)
și care matematic reprezintã rapor tul dintre erorile mãsurãtorilor i. Densitatea de
probabilitate a reparti ției Fischer este:
()
2) (1
*
2*
2*)F(f
2 1221
22 1
12 1
υυυυΓ
υΓυυΓ
υΓυυ
+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+
⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= (4.62)
Indicatorii teoret ici au expresiile: ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
p… p pn …2 1
n 2 1

Capitolul 4 88

Media
M[X], µ, X []1FM
12
−=
υυ

Dispersia
D[X], σ2, S2 []
)4 ()2 ()2 (2FD
2 12
122
2 1
−−++
=
υυυυυυ

Valorile calculate ale func ției de reparti ție se gãsesc tabelate.
4.5 Utilizarea tabelelor la calculul parame trilor functiiilor de repartitie continue
Pentru calcularea parametrilor sunt definite urmatoarele notiuni, (Fig. 4.22-
4.23):
1-
α nivel de semnificatie;
θa – θb interval de semnificatie;
α risc;
(-∞ θa ) U (θb ∞) interval de incredere.
Riscul poate fi unilateral (dreapta sau stinga) si-n acest caz θa = θα respectiv
θb= -θα. In cazul unui risc bilateral simetr ic cele doua limite se noteaza cu θa = θα/2
respectiv θb= -θα/2.
Parametrii functiilor de repartitie calcul ati pe baza formulelor 4.54, 4.58, 4.60,
4.62 pot fi determinati utilizi nd tabele prezentat in Anex a 1.-4. Se intilnesc doua
situatii:
1. se da probabilitatea, notata 1- α determinindu-se parametru l statistic caracteristic
fiecarei functii de repartitie:
– zα pentru repartitia normala;
– tα pentru repartitia Student;
– χα2 pentru repartitia χ2;
– Fν1;ν2;α pentru repartitia Fischer.
2. se da valoarea parametrului statistic carcte ristic functiei de repartitie si se cere
probabilitatea.

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 89
α
Risc1-α
Nivel de semnificatie
α/2
Riscα/2
Risc
θα θα/2 θ1-α/2Risc Unilateral Risc Bilateral
Interval de
semnificatie1-α
Nivel de semnificatie
Interval de semnificatie
Fig.4.22 Legatura intre intervalul de
semnificatie si probabilitate pentru un risc
unilateral Fig.4.23 Legatura intre intervalul de
semnificatie si probabilitate pentru un risc
bilateral

Pentru o functie de repartitie oarecare legat ura dintre intervalul de semnificatie si
nivelul de semnificatie, (Fig.4,22-4.23) este data de relatia:
αθθα−=< 1) (P
(4.63)
pentru risc unilateral, sau de relatia:
αθθθ
α α −=<<
−1) (
2 21P
(4.64)
pentru risc bilateral.
Aplicatia 4.6
Pentru repartitia normala cu un risc unilateral dreapta se da valoarea lui z α=1,58. Se
cere sa se determine riscul.
Din tabelul repartitiei norma le, (Anexa 1), Fig.4.24:
Nivelul de semnificatie este 1- α= 0,9429 = 94,29%
Riscul α= 0,0571 = 5,71%

Capitolul 4 90
α=5,71%1-α=94,29%
zα=1,58
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0
0,1
….
1,5 0,9429P(z< z α)=1-α P(z> z α)=α

Fig.4.24 Determinarea riscului pentru un interval se semnificatie dat-repartitia normala

Aplicatia 4.7 Pentru repartitia normala cu un risc unila teral dreapta se da valoarea nivelului de
semnificatie 1-
α=95%. Se cere determinarea limitei z α.
Din tabelul repartitiei normale, (Anexa 1) , Fig.4.25, valorile cele mai apropiate de
nivelul de semnificatie sunt prezentate in t abelul de mai jos si carora le corespund:
1-α=0,9495 =94,95%. 1- α=0,9505 =95,05%.
zα=1,64 z α=1,65
Deoarece 95% se afla in mijlocul interv alului [0,9495 – 0,9505} rezulta ca valoarea
limitei z α=1,645.
α=5%1-α=95%
zα=1,645
Z 0 , 0 00 , 0 10 , 0 20 , 0 30 , 0 40 , 0 50 , 0 60 , 0 70 , 0 80 , 0 9
0,0
0,1
….
1,6 0,9495 0,9505P(z< z α)=1-α P(z> z α)=α

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 91
Fig.4.24 Determinarea intervalului de semnifictie pentru un risc unilateral dreapta dat –
repartitia normala

Aplicatia 4.8 Pentru repartitia normala cu un risc bila teral simetric de 5%, se cere determinarea
intervalului de semnificatie
α/2=2,5%1-α=95%
zα/2=1,965
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0
0,1
….
1,9 0,9744 0,9756-zα/2=-1,965P(-z α/2z< z α/2)=1-α
P(-z α/2>z) U
P(z< z α/2)=α

Fig.4.26 Determinarea intervalului de semnificatie pentru un risc bilateral simetric-
repartitia normala

Riscul bilateral se imparte simetric. Din tabelul reparti tiei normale, (Anexa 1),
Fig.4.26, nivelul de semnific atie pentru care trebuie det erminata limita din dreapta
zα/2 este 1- α=95%+2,5%=97,5%. Valorile cele mai apropiate de nivelul de
semnificatie sunt prezentate in tabelul de mai jos si carora le corespund:
1-α=0,9744 =97,44%. 1- α=0,9756 =97,56%.
zα=1,96 z α=1,97
Deoarece 97,5% se afla in mijlocul interv alului [0,9744 – 0,9756] rezulta ca valoarea
limitei z α/2=1,965. Functia de repartitie normala este simetrica cea ce conduce la
determinarea limtei din stinga -z α/2= -1,965.
Aplicatia 4.9
Pentru repartitia χ2 cu un risc unilateral dreapta se da valoarea lui χα2 =13,362 , si
numarul gradelor de libertate ν=8. Se cere determinarea riscului.
Din tabelul repartitiei χ2, (Anexa 2), Fig.4.27, riscul este α= 0,10 = 10%.

Capitolul 4 92
α=10%
χα2=13,36
ν 0,995 0,990 0,975 0,95 0,90…….0,20 0,10 0,05 0,025
1
2
….
8 13,3621-α=90%
P(χ2<χα2)=1-α P(χ2>χα2)=α

Fig.4.27 Determinarea riscului pentru un interval se semnificatie dat-repartitia χ2

Aplicatia 4.10
Pentru repartitia χ2 cu un risc unilateral dreapta, se da valoarea nivelului de
semnificatie 1- α=95% si numarul gradelor de libertate ν=10. Se cere determinarea
limitei χα2
Riscul este α=5%. Din tabelul repartitiei χ2, (Anexa 2), Fig.4.28, valoarea limitei χα2
este χα2 =18,307 .
α=5%
χα2=18,30
ν 0,995 0,990 0,975 0,95 0,90…….0,20 0,10 0,05 0,025
1
2
….
10 18,307P(χ2<χα2)=1-α1-α=95%
P(χ2>χα2)=α

Fig.4.28 Determinarea limitei intervalului de semnifictie pentru un nivel de semnificatie
unilateral dat – reprtitia χ2

Aplicatia 4.11
Pentru repartitia χ2 cu un risc bilateral simetric de 5%, se cere determinarea

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 93
intervalului de semnificatie pentru ν=15 grade de libertate.
α/2=2,5%
χα2=27,488
ν 0,995 0,990 0,975 0,95 0,90…….0,20 0,10 0,05 0,025
1
2
….
15 6,262 27,488P(χ2
1-α/2<χ2<χ2
α/2)=1-α1-α=95%
α/2=2,5%
χ2
1-α/2=6,262P(χ2
1-α/2>χ2 ) U
P(χ2 <χ2
α/2)=α

Fig.4.29 Determinarea intervalului de semnificatie pentru un risc bilateral simetric-
repartitia χ2
Riscul bilateral se imparte sime tric. Din tabelul repartitiei χ2, (Anexa 2), Fig.4.28,
pentru riscul, α=2,5%=0,025, limita din dreapta χ2
α este χ2
α = 27,488 . Pentru partea
stinga aria totala este 99,75% = 0, 9975. Valoarea limitei din stinga este χ2
1-α/2=6,262 .

Aplicatia 4.12
Pentru repartitia Student cu un risc uni lateral dreapta se da valoarea lui t α=1,812, si
ν=10 grade de libertate. Se cere sa se determine riscul.
Din tabelul repartitiei Student, (Anexa 3), Fig.4.30, pentru ν=10 grade de libertate
riscul este α= 0,05 = 5%. Tabelul se citeste de jos in sus

Capitolul 4 94
ν 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 0,00011
2
…
10 1,812
…
1000 8P(t< t α)=1-α
α=5%1-α=95%
zα=1,812Nivel de semnificatie pentru testul unilateralP(t> t α)=α

Fig.4.30 Determinarea riscului pentru un interval se semnificatie dat-repartitia Student

Aplicatia 4.13
Pentru repartitia Student cu un risc unilateral dreapta de α=10% si ν=15 grade de
libertate, se cere determinarea limitei t α.
Din tabelul repartitiei St udent, (Anexa 3), Fig.4.31, valoarea determinata este
tα=1,341. Tabelul se citeste de jos in sus.

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 95
ν 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005 0,00011
2
…
15 1,341
…
1000 8P(t< t α)=1-α
α=10%1-α=90%
zα=1,812Nivel de semnificatie pentru testul unilateralP(t> t α)=α

Fig.4.31 Determinarea limitei intervalului de semnifictie pentru un risc unilateral
dreapta dat -repartitia Student

Aplicatia 4.14
Pentru repartitia Student cu un risc bilateral simetric de 5% si ν=20 grade de
libertate, se cere determinarea limite lor intervalului de semnificatie.
α/2=2,5%1-α=95%
tα/2=1,965
ν 0,50 0,25 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 0,001
1
2
….
20 1,725-tα/2=-1,965P(-t α/2<t<t α/2)=1-α
P(-t α/2<t) U
P(t > t α/2) = α
Nivel de semnificatie pentru testul bilateral

Capitolul 4 96
Fig.4.32 Determinarea limitelor intervalului de semnificatie pentru un risc bilateral
simetric-repartitia Student

Riscul bilateral se imparte simetric. Din tabelul repartitiei Student, (Anexa 3),
Fig.4.32, limita din dreapta este t α/2=1,725 Functia de repa rtitie Student este
simetrica cea ce conduce la determinarea limtei din stinga -t α/2= -1,725.

Aplicatia 4.15
Pentru repartitia Fischer cu un risc unilateral dreapta α=10% si numarul gradelor de
libertate ν1=10, respectiv ν2=15, se cere determinarea limitei intervalului de
semnifictie F ν1, ν2, α
Riscul este α=10%. Din tabelul repartitiei Fisc her, (Anexa 4), Fig.4.33, valoarea
limitei F ν1, ν2, α este F ν1, ν2, α= 2,24 .
α=10%
Fν1,ν2,α = 2,24
ν1\ν2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500
1
2
….
10 2,24P(F< F ν1,ν2,α)=1-α1-α=90%
P(F> F ν1,ν2,α)=α

Fig.4.33 Determinarea limitei intervalului de semnificatie pentru un nivel de
semnificatie unilateral dat – repartitia Fischer

Aplicatia 4.16 Pentru repartitia Fischer cu un risc bilate ral simetric de 20%, se cere determinarea
limitelor intervalului de semnificatie pentru
ν1=15 grade de libertate, respectiv ν2=20

Variabile aleatoare și funcții de reparti ție 97
α=10%
Fν1,ν2,α/2= 2,24
ν1\ν2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500
1
…
15 1,92
…
20 1,84
…P(Fν1,ν2,1-α/2 <F< F ν1,ν2,α/2)=1-α1-α=80%
P(Fν1,ν2,1-α/2 >F) U
P(F<Fν1,ν2,α/2 )=αα=10%
Fν1,ν2,1-α/2= 0,54

Fig.4.34 Determinarea limitelor intervalului de semnificatie pentru un risc bilateral
simetric- repartitia Fischer

Riscul bilateral se imparte simetric. Din tabel ul repartitiei Fischer, (Anexa 4), Fig.4.34,
pentru riscul, α=10%=0,10, si ν1=15 grade de libertate, respectiv ν2=20 grade de
libertate, limita din dreapta F ν1, ν2, α/2 este F ν1, ν2, α/2 = 1,92. Limita din stinga se
calculeaza utilizind aceasi anexa pe baza relatiei F ν1, ν2, 1-α/2 = 1/ F ν2, ν1, α/2. Valoarea
obtinute este F ν1, ν2, 1-α/2 =1/ 1,84= 0,54.