Utilizarea Superordonarilor Diferentiale In Studiul Unor Clase de Functii Univalente

LUCRARE DE LICENȚĂ

UTILIZAREA SUPERORDONĂRILOR DIFERENȚIALE ÎN STUDIUL UNOR CLASE DE FUNCȚII UNIVALENTE

CUPRINS

Introducere

CAPITOLUL 1

Noțiuni și rezultate preliminare

1.1 Funcții univalente

1.2 Funcții stelate

1.3 Funcții cu parte reală pozitivă

1.4 Funcții convexe

1.5 Funcții Mocanu

1.6 Funcții a căror derivate are partea reală pozitivă

1.7 Subordonare

1.8 Superordonări diferențiale

CAPITOLUL 2

Superordonări diferențiale

2.1 Superordonări diferențiale neliniare de ordinul I

CAPITOLUL 3

Superordonări diferențiale de tip Briot-Bouquet

3.1 Superordonări diferențiale de tip Briot-Bouquet obținute folosind operatorul Sălăgean

3.2 Superordonări diferențiale de tip Briot-Bouquet obținute folosind operatorul Ruscheweyh

3.3 Superordonări diferențiale obținute cu ajutorul unor operatori integrali

Bibliografie

Introducere

Analiza complexă este o ramură a matematicii cu largi aplicații în diferite domenii ale științei și tehnicii și totodată este una din disciplinele la care Școala Românească de matematică a adus importante contribuții.

„Teoria geometrică a funcțiilor de o variabilă complexă” este o parte a Analizei complexe care se ocupă cu studiul proprietăților geometrice ale funcțiilor de o variabilă complexă.Exprimarea în limbaj analitic a unor proprietăți geometrice dar și interpretarea geometrică a unor proprietăți matematice exprimate pur analitic constituie unul dintre obiectivele majore ale teoriei geometrice ale funcțiilor analitice.

Prima lucrarea semnificativă care are în vedere studiul funcțiilor univalente datează din anul 1907 și aparține matematicianului P.Koebe ,urmând ca și alți matematicieni să mai publice lucrări privind această teorie a funcțiilor univalente.

În „Teoria geometrică a funcțiilor” un loc aparte îl ocupă subordonările diferențiale.Teoria subordonărilor diferențiale mai este cunoscută și sub numele de „metoda funcțiilor admisibile” , fiind inițiată de P.T.Mocanu și de S.S.Miller.

Academia P.T.Mocanu și Prof. S.S.Miller au introdus noțiunea de “ superordonare diferențială”, ca fiind duala noțiunii de “subordonare diferențială”.

Lucrarea de față cuprinde o serie de rezultate privind studiul superordonărilor diferențiale cum ar fi : superordonările diferențiale neliniare de ordinal I ,cele de tip Briot-Bouquet obținute folosind diferiți operatori. De asemenea, datorită faptului că noțiunea de “ superordonare diferențială” este duala noțiunii de “subordonare diferențială” , Capitolul 1 cuprinde noțiuni introductive privind câteva rezultate clasice referitoare la studiul funcțiilor univalente , dar și a subordonărilor diferențiale.

Capitolul al 2-lea tratează amănunțit superordonările diferențiale neliniare de ordinul I , iar Capitolul al 3-lea cuprinde superordonările diferențiale de tip Briot-Bouquet obținute fie folosind operatorul Sălăgean , fie folosind operatorul Ruscheweyh dar și superordonările diferențiale obținute cu ajutorul unor operatori integrali.

În final , țin să-mi exprim sentimentele de recunoștință și respect , dar totodată să aduc pe această cale sincerele mele mulțumiri conducătorului științific Prof.Univ.Gheorghe Oros ,pentru modul în care m-a îndrumat privind eleborarea acestei lucrări de licență , dar și pentru încrederea pe care mi-a insuflat-o pe parcursul facultății.

CAPITOLUL 1

Noțiuni și rezultate preliminare

1.1 Funcții univalente

Studiul proprietăților funcțiilor univalente de variabilă complexă constituie unul din obiectivele teoriei geometrice a funcțiilor analitice.Teoria funcțiilor univalente a fost inițiată în anul 1907 de Koebe .Rezultate echivalente au fost obținute încă din anul 1904 de către Hurwitz , fără a fi însă relevată legătura cu funcțiile univalente .Studiul funcțiilor univalente a fost continuat de Plemelj , Gronwall , Faber .În continuare vom preciza notațiile care apar în această lucrare.

Notăm discul cu centrul în a și de rază r cu U(a,r) prin

U(a, r)={ z ℂ : }

și cu

(a, r) = { z ℂ : } , discul închis de centru a și de rază r ,

iar U(0 , r) = , (0 , r) = .

Notăm :

U = { z ℂ : }, discul unitate în planul complex

= { z ℂ : , discul unitate închis

= U \ {0} , discul unitate punctat

= {z : } , exteriorul discului unitate

Mulțimea funcțiilor f : U → ℂ olomorfe în discul unitate este notată cu .

Pentru a ℂ , și n = {1, 2, 3, … , n, …} notăm

= { f (U) : f(z)= a + } .

Notăm cu clasa funcțiilor de forma

iar pentru n = 1 , .

Clasa funcțiilor analitice care verifică condiția f(0) = 0 și f ’(0) = 1 se notează cu A și se numește clasa funcțiilor analitice normate în origine .

Notăm cu clasa funcțiilor de forma

f(z) = , m = {1 , 2 , 3 , …} , k un număr întreg ,

k , care sunt olomorfe în discul .

Definiția 1.1.1. [16, p.143] Funcția f : D → ℂ , olomorfă sau meromorfă și injectivă în domeniul D ⊆ ℂ este univalentă .

Notăm cu mulțimea funcțiilor univalente în D , iar cu mulțimea funcțiilor univalente în discul unitate .

Condiția necesară de univalență a unei funcții olomorfe într-un domeniu D , revine la neanularea derivatei sale în D , adică dacă f atunci f ’(z) ≠ 0 , z D. Această condiție este necesară nu și suficientă pentru a asigura univalența funcției f , după cum arată exemplul oferit de funcția f(z) = , z ℂ . Se observă că f ’(z) = ≠ 0 , z D și totuși funcția f nu este univalentă în ℂ , fiind o funcție 2𝜋i periodică:

f (z + 2h𝜋i) = = = , z ℂ , h ℤ .

Observația 1.1.1. Dacă funcția f este o funcție olomorfă într-un domeniu D ℂ condiția

f ’(z) ≠ 0 , z D este echivalentă cu proprietatea de injectivitate a funcției f pe o anumită vecinătate a punctului z.

În acord cu această observație spunem că f olomorfă în D este local univalentă dacă

f ’(z) ≠ 0 , pentru orice z D .Deci se pune problema de a găsi condiții care împreună cu

f ’(z) ≠ 0 , z D , să asigure univalența globală a funcției f în domeniul D. Este de dorit să se obțină condiții necesare și suficiente de univalență . În cazul când D este un disc astfel de condiții au fost obținute pentru prima dată în anul 1931 de Gh.Călugăreanu[5]. [6].

Aceste condiții necesare și suficiente sunt destul de complicate , astfel încât , în vederea aplicațiilor este important să se cunoască condiții suficiente de univalență relativ simple. Multe din aceste condiții suficiente exprimă analitic anumite proprietăți geometrice remarcabile ale imaginii domeniului D prin funcția f, ca cea de convexitate sau stelaritate. Ele sunt date de obicei, sub forma unei inegalități diferențiale , iar fiecare condiție suficientă de univalență definește o anumită clasă de funcții univalente.

O clasă de funcții care ocupă un loc important în teoria funcțiilor univalente este clasa

S = { f A : f univalentă în U },

clasa funcțiilor olomorfe și univalente în discul unitate , normate cu f(0) = 0 și f ’(0) = 1 deci funcțiile olomorfe și univalente în U (adică f) care au dezvoltarea în serie de puteri de forma

f(z) = z + + … , z .

Observația 1.1.2. Funcția

= , z , 𝜏 ℝ

sau pentru 𝜏 = 0

K (z) = = z +2 + 3 + …

se numește funcția lui Koebe și aparține clasei S.

Funcția lui Koebe are un rol extremal în clasa S ; ea reprezintă discul unitate pe planul complex tăiat de-a lungul unei raze ce pornește din punctual . Dezvoltarea în serie de puteri este :

= z

și pentru această dezvoltare avem

Definiția 1.1.2. [16 , p.147] Fiind date domeniile D și Δ din ℂ , funcția f cu f (D)= Δ se numește reprezentare conformă ( sau izomorfism conform ) a domeniului D pe domeniul Δ.

Teorema 1.1.1. [16 , p.149] (Teorema lui Riemann) Orice domeniu simplu conex D din ℂ ,

D ≠ ℂ , este conform echivalent cu discul unitate U.

Observația 1.1.3. [29 , p.1] Alegerea condițiilor de normare f (0) = 0 și f ’(0) = 1 nu restrânge esențial studiul general al funcțiilor olomorfe și univalente într-un domeniu simplu conex arbitrar D , deoarece conform Teoremei lui Riemann , domeniul D se poate reprezenta conform pe U , iar unei funcții olomorfe și univalente în D i se poate asocia o funcție g olomorfă și univalentă în U , funcția g putându-se scrie sub forma:

g (z) = g(0) + g ’(0) , unde

Proprietatea 1.1.1. [29 , p.2] Clasa S este invariantă la :

1. rotație , adică

f S

2. dilatare , adică

f S

3. radical , adică

unde puterea este considerată în ramura principală , pentru care

4.automorfism ,adică

unde < 1

Notm cu clasa funcțiilor meromorfe cu unicul pol simplu = și univalente pe care au dezvoltarea în serie Laurent de forma

() = + + … ,

Funcțiile sunt normate cu condițiile () = , ’() = 1.Notăm cu

E() = ℂ (); aceasta va fi în continuare din ℂ (adică o mulțime compactă și conexă) care conține mai mult de un punct .

Notăm cu subclasa funcțiilor Σ care nu se anulează în exteriorul discului unitate, adică

Proprietatea 1.1.2. [29 , p.2] Între clasele S și există o bijecție ,deci clasa lui Σ este “mai largă” decât clasa S.

Un rezultat central din teoria funcțiilor univalente este Teorema ariei , obținută de T.Gronwall [15] și apoi de L.Bieberbach [2] , [3]. În anul Gronwall [15] demonstrează Teorema ariei pentru funcțiile din clasa Σ. Numele teoremei se datorează faptului că inegalitatea este expresia analitică a considerentului geometric evident că aria unui domeniu este întotdeauna pozitivă .

Teorema 1.1.2. [15] , [29 , p.3] (Teorema ariei) Dacă
este o funcție din clasa Σ , atunci

deci

(aria se înțelege în sensul de măsură Lebesque bidimensională).

Folosind Teorema ariei , se deduce imediat următoarea delimitare a coeficienților funcțiilor din clasa Σ.

Corolarul 1.1.1. [29 , p.3] (Teorema de delimitare a coeficienților funcțiilor din Σ)

Dacă

() = + Σ

atunci , iar egalitatea are loc dacă și numai dacă

() = + + , , τ .

O problemă extremală analoagă pentru clasa S , datorată lui L.Bieberbach [3] este dată de teorema:

Teorema 1.1.3. [3] , [29 , p.4](Teorema lui Bieberbach relativ la coeficientul )

Dacă funcția

f(z) = z +

atunci Egalitatea are loc dacă și numai dacă f este de forma

(se numește funcția lui Koebe) .

Dezvlotarea în serie de puteri a funcției lui Koebe este

Pornind de la acest rezultat și tinând cont de dezvoltarea în serie a funcției lui Koebe , de unde rezultă , L.Bieberbach formulează următoarea conjectură celebră:

Conjectura 1.1.1. [29 , p.5] (Conjectura lui Bieberbach) Dacă funcția

f(z) = z + , z U ,

aparține clasei S , atunci

În 1984 Luis de Branges [4] a reușit să dea o demonstrație corectă pentru cazul general al Conjecturii lui Bieberbach . Până atunci s-au reușit doar demonstrații parțiale : pentru n = 2 , în 1916 L. Bieberbach [3] ; pentru n = 3 , în 1923 K. Lövner [20] ; pentru n = 4 ,în 1955 P.R. Garabedian și M. Schiffer [11] și o demonstrație mai simplă a fost dată în 1960 de Z. Charzynski și M. Schiffer [7] , [8] ; pentru n = 5 , în 1972 R.N. Pederson și M. Schiffer [41] ; pentru n = 6 , în 1968 R.N. Pederson [40] și independent în 1969 M. Ozawa.

O legătură între coeficienții și ai funcțiilor din clasa S este dată de următoarea teoremă :

Teorema 1.1.4. [3] , [29 , p.6] Dacă funcția

f(z) = z +

aparține clasei S , atunci , delimitarea fiind exactă.

Dacă f este impară , atunci , egalitatea având loc dacă și numai dacă funcția f este de foelativ la coeficientul )

Dacă funcția

f(z) = z +

atunci Egalitatea are loc dacă și numai dacă f este de forma

(se numește funcția lui Koebe) .

Dezvlotarea în serie de puteri a funcției lui Koebe este

Pornind de la acest rezultat și tinând cont de dezvoltarea în serie a funcției lui Koebe , de unde rezultă , L.Bieberbach formulează următoarea conjectură celebră:

Conjectura 1.1.1. [29 , p.5] (Conjectura lui Bieberbach) Dacă funcția

f(z) = z + , z U ,

aparține clasei S , atunci

O legătură între coeficienții și ai funcțiilor din clasa S este dată de următoarea teoremă :

Teorema 1.1.4. [3] , [29 , p.6] Dacă funcția

f(z) = z +

aparține clasei S , atunci , delimitarea fiind exactă.

Dacă f este impară , atunci , egalitatea având loc dacă și numai dacă funcția f este de forma

f(z) =

Datorită rezultatului de mai sus s-a pus problema dacă toți coeficienții funcțiilor impare din clasa S au modulul mai mic sau egal cu 1 , dar s-a arătat că această presupunere nu este adevarată chiar pentru n = 5 . Legat de această problemă , M. S. Robertson [43] , [44] , formulează următoarea conjectura , care implică conjectura lui Bieberbach.

Conjectura 1.1.2. [43] , [44] , [29 , p.7] (Conjectura lui Robertson) Dacă funcția

aparține clasei S ,atunci

iar egalitatea are loc dacă și numai dacă funcția g este de forma

Această conjectură a fost demonstrată pentru n = 2 și n = 3 de către M. S. Robertson [44] , [45] și pentru n = 4 de către S. Friedland [10] .

În anul 1971 I .M. Milin [27] formulează o conjectură mai “tare” decât cele ale lui Bieberbach și Robertson , numită Conjectura lui Milin. Ea o implică pe cea a lui Robertson , care la rândul ei o implică pe cea a lui Bieberbach.

Conjectura 1.1.3. [27] , [29 , p.143] (Conjectura lui Milin) Dacă funcția f S ,iar

unde s-a ales ramura uniformă pentru care h(0) = 0 , și funcția h are forma

atunci

Dacă există valori ale lui n pentru care are loc egalitatea în relația de mai sus , atunci f , unde este funcția Koebe.

O consecință imediată a Teoremei 1.1.4 este următorul rezultat :

Teorema 1.1.5. [29 , p.7] (Teorema de acoperire a lui Koebe și Bieberbach) Dacă funcția

f S și atunci

Egalitatea are loc dacă și numai dacă

f (z) = și

Interpretarea geometrică a Teoremei 1.1.5 ne arată că discul

este discul de rază maximă cu centrul în origine care este acoperit de imaginea discului unitate U prin orice funcție din clasa S.

Deoarece

din Teorema 1.1.5 obținem

Pentru prima dată în 1907 P.Koebe [18] a pus în evidență existența unui disc cu centrul în origine, de rază pozitivă inclusă în , iar valoarea a acestei raze a fost găsită de L. Bieberbach [3].

Mai general , dându-se o familie compactă de funcții de forma

f() = +

raza maximă a discului centrat în origine inclus în se numește constanta lui Koebe relativă la ℱ , notată K(ℱ) , deci K(S) = . Prin domeniul lui Koebe relativ la ℱ înțelegem domeniul , deci domeniul lui Koebe relativ la S este discul .

Teorema 1.1.6. [29 , p.8] (Teorema de acoperire pentru clasa ) Dacă funcția

= +

și ω , atunci egalitatea având loc dacă și numai dacă funcția este de forma

(Pentru această ultimă funcție este un segment de lungime 4 cu centrul în ω + 2 )

Teorema 1.1.6. ne arată că oricare ar fi funcția , mulimea compactă este conținută într-un disc de rază 2 .Deci , , egalitatea având loc dacă și numai dacă este un segment de lungime 4 având extremitățile .

Deoarece , dacă , atunci 0 , o consecință a Teoremei 1.1.6 este dată de următorul corolar.

Corolarul 1.1.2. [29 , p.8] Dacă

= +

atunci .

Teorema 1.1.7. [3] , [29 , p.9] (Teorema de deformare a lui Bieberbach) Dacă este un punct fixat , atunci pentru orice funcție au loc delimitările exacte :

Egalitatea în oricare din inegalitățile de mai sus are loc dacă și numai dacă , pentru o alegere convenabilă a lui .

Interpretarea geometrică a Teoremei de deformare a lui Bieberbach este următoarea : notând

și

avem

U(0 , ) = U(0 , ) =

În mod natural se pune problema determinării domeniilor i ,unde este un domeniu.

Delimitarea superioară din prima inegalitate ne permite să deducem următorul rezultat.

Corolarul 1.1.3. [29 , p.11] Clasa S este compactă.

Compactitatea clasei S asigură existența funcțiilor extremale în multe probleme extremale relative la clasa S. Unghiul de rotație în prin funcțiile din clasa S este determinat în teorema următoare.

Teorema 1.1.8. [12] , [46] (Teorema de rotație) (Goluzin) Dacă este un punct fixat din U și , atunci pentru orice funcție din S are loc delimitarea exactă

Criteriile suficiente de univalență sunt numite în general criterii de univalență.

În continuare vom prezenta trei din acestea.

Teorema 1.1.9. [1] , [46 , Corolar 3.1.4 , p.132] (Teorema lui Alexander) Dacă D este un domeniu convex din , iar funcția este olomorfă în D astfel încât Re > 0 , , atunci este univalentă în D.

Teorema 1.1.10. [17] (Teorema lui Kaplan) Fie D un domeniu din , și funcții olomorfe pe D astfel încât g univalentă în D și = este un domeniu convex.Dacă în plus are loc condiția Re > 0 , , atunci este univalentă în D.

Teorema 1.1.11. [46 , Corolar 3.1.5 , p.132] Dacă și satisface relația

Re[() ] > 0 ,

atunci f este univalentă.

1.2 Funcții stelate

În 1915 , Alexander [1] introduce noțiunea de funcție stelată în raport cu punctul . Dacă este originea atunci folosim denumirea de funcție stelată în raport cu originea sau funcție stelată.

Definiția 1.2.1 [29 , p.44] Fie funcția cu . Spunem că funcția este stelată în U în raport cu originea (sau , pe scurt , stelată) dacă funcția este univalentă în U și (U) este un domeniu stelat în raport cu originea , adică pentru orice segmentul care unește originea cu este inclus în (U).

Pentru funcțiile stelate avem următoarea teoremă de caracterizare:

Teorema 1.2.1. [29 , p.44] ( Teorema de caracterizare analitică a stelarității)

Fie funcția cu .Atunci funcția este stelată dacă și numai dacă

și

Re > 0 , .

Definiția 1.2.2 [29 , p.47] Fie funcția cu și . Prin raza de stelaritate a funcției înțelegem numărul

sup.

Dacă , spunem că funcția este stelată în discul unitate U.

Definiția 1.2.3. [29 , p.47] Vom nota cu clasa funcțiilor care sunt stelate ( și normate) în discul unitate , adică

Conform Teoremei 1.2.1 avem .

Relația Re > 0 , , nu implică univalența funcției , așa cum ne arată exemplul .

Problema delimitării coeficienților funcțiilor din clasa a fost rezolvată de K. Lövner [19] , [20] și independent de R. Nevanlina [29].

Teorema 1.2.2. [29 , p.48] (Teorema de delimitare a coeficienților funcțiilor din ) Dacă funcția

aparține clasei , atunci Egalitatea are loc dacă și numai dacă este funcția lui Koebe.

Dintre submulțimile clasei , amintim:

Definiția 1.2.4. [29 , p.76] Funcția A se numește stelată de ordinul , 0 dacă verifică inegalitatea

Re .

Notăm cu clasa acestor funcții:

Are loc ⊂ .

Definiția 1.2.5. Funcția A se numește tare stelată de ordinul , 0 < , dacă verifică inegalitatea

Notăm clasa funcțiilor tare stelate de ordinal , 0 < cu . Dacă ,

Definiția 1.2.6. [39] (Funcții Pascu) Fie și .Spunem că funcția este dacă funcția F : U , unde

este stelată.Notăm cu clasa acestor funcții.

1.3 Funcții cu parte reală pozitivă

Funcțiile olomorfe cu partea reală pozitivă joacă un rol foarte important în caracterizarea unor clase speciale de funcții univalente (clasa funcțiilor stelate ).

Definiția 1.3.1. [29 , p.31] Prin clasa funcțiilor lui Caratheodory înțelegem clasa

𝒫 = {}

Se observă că 𝒫 este nevidă și anume

Deoarece ea transformă discul unitate U în semiplanul drept

Observația 1.3.1. [29 , p.47] Dacă , notând avem dacă și numai dacă , sau dacă și numai dacă .

1.4 Funcții convexe

Noțiunea de funcție convexă a fost introdusa de Study, studiul funcțiilor convexe fiind continuat de către Gronwall [15] și Lövner [20].

Definiția 1.4.1. [29 , p.49] , [46] Funcția se numește funcție convexă în U (sau , pe scurt , convexă) dacă funcția este univalentă în U și f(U) este un domeniu convex.

Teorema 1.4.1. [29 , p.49] (Teorema de caracterizare analitică a convexității) Fie funcția . Atunci funcția este convexă dacă și numai dacă și

Comparând condiția de stelaritate cu condiția de convexitate , deducem teorema de dualitate.

Teorema 1.4.2. [1] , [29 , p.52] (Teorema de dualitate a lui Alexander) Funcția este convexă în U dacă și numai dacă funcția este stelată în U.

Definiția 1.4.2. [29 , p.53] Vom nota cu K clasa funcțiilor care sunt convexe (și normate) în discul unitate U , adică

K = .

Avem K ⊂ ⊂ S .

Observația 1.4.2. [29 , p.52]

1.Condiția Re nu asigură univalența funcției , așa cum arată exemplul . Dacă , univalența funcției f este asigurată.

2.Dacă notăm , , atunci

este echivalentă cu

Referitor la coeficienții funcțiilor din K avem următorul rezultat:

Teorema 1.4.3. [19] , [29 , p.53] (Teorema de delimitare a coeficienților funcțiilor din K ) Dacă funcția

aparține clasei K , atunci

Egalitatea are loc dacă și numai dacă este de forma

În clasa K are loc următoarea teoremă de deformare .

Teorema 1.4.4. [29 , p.53] (Teorema de deformare pentru clasa K ) Dacă funcția atunci au loc următoarele delimitări exacte :

iar funcția extremală este

Următoarea teoremă de acoperire pentru clasa K se datorează lui T. H. Mac-Gregor[14].

Teorema 1.4.5. [14] , [29 , p.54] (Teorema de acoperire pentru clasa K) Dacă funcția și cu atunci

Definiția 1.4.3. [29 , p.76] Notăm cu K() clasa funcțiilor care sunt convexe de ordinul , 0 în discul unitate U , adică

K() =

1.5 Funcții Mocanu ()

Noțiunea de a fost introdusă de P. T. Mocanu în 1969 [28] cu scopul de a stabili o legatură între noțiunile de convexitate și de stelaritate , apoi au fost obținute diverse proprietăți ale acestora de către P. T. Mocanu , S. S. Miller și M. O. Read [24] , [25] , [26].

Definiția 1.5.1. [28] , [29 , p.56] Fie funcția , astfel încât

și fie numărul .

Funcția se numește funcție Mocanu () în discul unitate U, dacă

Re. (1.5.1)

În continuare vom folosi notația

J() = .

Definiția 1.5.2. [28] , [29 , p.57] Vom nota cu clasa funcțiilor Mocanu () în discul unitate U ,adică

Observația 1.5.1.

Dacă , are loc

Dacă , are loc .

Dacă notăm atunci

J() =

și relația (1.5.1) se poate scrie

Re (1.5.2)

4. Clasa se poate caracteriza cu ajutorul clasei 𝒫 în felul următor.Dacă

= z + , zU ,

atunci ,dacă și numai dacă

𝒫

5. Dacă 𝒫 , atunci în mod necesar

este olomorfă în U și . Atunci condiția

este în mod necesar verificată.

Teorema 1.5.1. [28] , [29 , p.58] (Teorema de dualitate) Dacă , atunci , dacă și numai dacă F , unde

F() = ,

iar prin înțelegem determinarea olomorfă pentru care

În continuare vom prezenta o teoremă de incluziune dintre funcțiile care ne arată totodată și stelaritatea acestora.

Teorema 1.5.2. [24] , [25] , [28] , [29 , p.57] (Teorema de stelaritate a funcțiilor )

1.Fie și funcția . Atunci funcția adică

2.Dacă astfel încât 0 atunci .

3. Avem unde .

1.6 Funcții a căror derivate are partea reală pozitivă

Definiția 1.6.1. [29 , p.78] Notăm cu clasa funcțiilor normate a căror derivată este pozitivă în discul unitate , adică

Observația 1.6.1. [29 , p.78]

1 . Are loc incluziunea .

2 . Din Definiția 1.6.1 rezultă că funcția dacă și numai dacă 𝒫.

3 . Funcția dacă și numai dacă și .

Un studiu sistematic al clasei a fost făcut de T.H. MacGregor.

Teorema 1.6.1. [13] , [29 , p.78] (Teorema de deformare pentru clasa ) Dacă funcția

= z +

aparține clasei , atunci au loc următoarele delimitări exacte:

1 .

3 .

Funcția extremală este de forma

4 .

Corolarul 1.6.1. [29 , p.79] Constanta lui Koebe pentru clasa este

K() = .

1.7 Subordonare

Definiția 1.7.1. [29 , p.40] Fie f,g (U). Spunem că funcția f este subordonată funcției g și vom scrie f g sau f(z) g(z) dacă există o funcție (U), cu (0) = 0 și

astfel încât

Din această definiție rezultă următoarea proprietate:

Proprietatea 1.7.1. [29 , p.41] Dacă f g atunci și .

În cazul în care funcția g este univalentă, avem următoarea teoremă ce caracterizează relația de subordonare.

Teorema 1.7.1. [29 , p.41] Fie f,g (U) și să presupunem că g este univalentă în U.

Atunci f g dacă și numai dacă f(0) = g(0) și f(U) (U).

Corolarul 1.7.1. [29 ,p.41] (Principiul subordonării a lui Lindelöf)

Fie funcțiile astfel încât g este univalentă în U.

1. Dacă și f(U) g(U), atunci f(r) g(r), 0 < r < 1.

2. Egalitatea f(r) g(r) pentru r < 1 are loc dacă și numai dacă

f(U)=g(U) (sau f(z) = g(z), = l).

1.8 Superordonări diferențiale

Superordonările diferențiale au fost definite și studiate de S.S. Miller și P.T.Mocanu în [23].

Fie două mulțimi nevide ale planului complex , o funcție olomorfă în discul unitate U cu și funcția :

Fie două mulțimi din , p o funcție olomorfă în U și funcția

Vom determina condițiile pentru și funcția astfel încât

(1.7.1)

Legat de această implcație se pot formula următoarele trei probleme.

Problema 1. Fiind date mulțimile nevide , să se găsească condiții asupra funcției astfel încât (1.7.1) să aibă loc .O astfel de funcție se numește funcție admisibilă.

Problema 2. Fiind date funcția și submulțimea nevidă , să se determine submulțimea astfel încât (1.7.1) să aibă loc . Este important , dacă este posibil să se determine “cea mai largă” mulțime .

Problema 3. Fiind date funcția și submulțimea nevidă , să se determine submulțimea nevidă astfel încât (1.7.1) să aibă loc . Dacă este posibil să se determine “cea mai mică” mulțime cu această proprietate .

În continuare enunțăm definiții ale unor noțiuni ce vor fi folosite.

Definiția 1.8.1. [23] Fie și două funcții olomorfe în U . Spunem că funcția este subordonata lui , sau că este superordonata funcția , dacă există o funcție , analitică în U , cu

(0)și , astfel încât

În acest caz scriem sau Dacă este univalentă , atunci dacă și numai dacă și

Definiția 1.8.2. [23] Fie și fie h o funcție analitică în U.

Dacă și sunt funcții univalente în U și satisfac superordonarea diferențială de ordinul doi

( (1.8.2)

atunci se numește soluție a superordonării diferențiale . Funcția analitică se numește subordonanta soluțiilor superordonării diferențiale sau mai simplu subordonantă dacă , pentru toate funcțiile care satisfac relația (1.8.2). O subordonantă univalentă care satisface pentru toate subordonările ale lui (1.8.2) se numește cea mai bună subordonantă. Precizăm că cea mai bună subordonantă este unică , abstracție făcând de o rotație în U.

Dacă una din mulțimile sau care apar în (1.8.1) este un domeniu simplu conex , atunci (1.8.1) se poate reformula în termenii superordonărilor diferențiale .

Dacă este univalentă în U , și dacă este un domeniu simplu conex cu , atunci există o reprezentare conformă a lui U în astfel încât . În acest caz (1.8.1) se poate rescrie sub forma

} (1.8.3.)

Dacă este deasemenea un domeniu simplu conex cu , atunci există o reprezentare conformă a lui U în , astfel încât .

Dacă în plus funcția este o funcție univalentă în U , atunci (1.8.3) se poate rescrie

(1.8.4)

Această implicație are sens și dacă și sunt analitice și nu neapărat univalente.

Pentru o submulțime din , cu și date în Definiția 1.8.2 presupunem că (1.8.2) este înlocuită cu

} . (1.8.5)

Cu toate că (1.8.5) este o incluziune diferențială ne referim la ea tot ca la o superordonare diferențială , iar definițiile noțiunilor de soluție , subordonantă și cea mai bună subordonantă dată de Definiția 1.8.2 se poate extinde și la această generalizare.

În cazul special când incluziunea (1.8.1) poate fi înlocuită cu superordonarea (1.8.4) , cele trei probleme pot fi reformulate astfel :

Problema 1’ Fiind date funcțiile analitice și , să se găsească o clasă de funcții admisibile astfel încât (1.8.4) să aibă loc.

Problema 2’ Fiind dată superordonarea diferențială (1.8.4) să se găsească o subordonantă . Mai mult , să se găsească cea mai bună subordonantă.

Problema 3’ Fiind date funcția și subordonanta , să se găsească cea mai largă clasă de funcții analitice astfel încât (1.8.4) să aibă loc.

Pentru a putea defini clasa funcțiilor admisibile , vom folosi Definiția 1.8.4 și vom nota cu subclasa funcțiilor , care verifică condiția .

Definiția 1.8.3. [23] Fie o submulțime a lui și . Clasa funcțiilor admisibile conține acele funcții care satisfac condiția de admisibilitate

(1.8.6)

, ,

unde , și Când scriem ca .

În cazul special când este o reprezentare analitică a lui U în notăm această clasă cu .

Dacă , atunci condiția de admisibilitate (1.8.6) se reduce la

(1.8.7)

unde și

Pentru demonstrarea rezultatelor originale , vom folosi următoarele leme :

Lema 1.8.1. [23] Fie , și fie . Dacă și

este o funcție univalentă în U , atunci

} (1.8.8)

implică

Considerăm cazul special când este analitică în U și .În acest caz , clasa se scrie și următoarea lemă este consecință imediată a Lemei 1.8.1.

Lema 1.8.2. [23] Fie și fie o funcție analitică în .Dacă
și este o funcție univalentă în U , atunci

(1.8.9)

implică

Următoarea lemă ne dă existența celei mai bune subordonante a superordonării diferențiale (1.8.9), pentru anumite funcții și de asemenea o metodă de a găsi cea mai bună subordonantă.

Lema 1.8.3. [23] Fie o funcție analitică în U și fie .

Presupunem că ecuația diferențială

(1.8.10)

are o soluție . Dacă , și este univalentă în U , atunci

(1.8.11)

implică

și este cea mai bună subordonantă.

Observația 1.8.1. [23] Dacă în Definiția 1.8.2 , funcția atunci superordonarea diferențială (1.8.2) devine:

(1.8.12)

și se numește superordonarea diferențială de ordinal întâi , iar Lemele 1.8.1 și 1.8.2 pot fi enunțate sub forma:

Lema 1.8.4. [23] Fie , , și presupunem că

(1.8.13)

pentru , și . Dacă și

este o funcție univalentă în U , atunci

}

Lema 1.8.5. [23] Fie o funcție analitică în U, ,

și presupunem că

(1.8.14)

pentru , și . Dacă și

este o funcție univalentă în U , atunci

(1.8.15)

Mai mult , dacă are o soluție univalentă , atunci este cea mai bună subordonantă.

În continuare vom enunța unele rezultate legate de superordonarea diferențială de tip Briot –Bouquet.

Lema 1.8.6. [23] Fie o funcție convexă în U , cu , , cu și . Dacă este o funcție univalentă în U ,

(1.8.16)

și

atunci

Funcția este convexă și este cea mai bună subordonantă.

Lema 1.8.7. [23] Fie o funcție convexă în U și fie o funcție definită de

(1.8.17)

cu .

Dacă , este o funcție univalentă în U și

, (1.8.18)

atunci

, ,

unde

(1.8.19)

Funcția este cea mai bună subordonantă.

CAPITOLUL 2

Superordonări diferențiale

2.1 Superordonări diferențiale neliniare de ordinul I

Rezultatele acestui paragraf extind rezultatele obținute de S. S. Miller și P. T. Mocanu [23] referitoare la o superordonare diferențiala liniară de ordinul întâi de forma

la o superordonare diferențială neliniară de ordinal întâi de forma

Teorema 2.1.1. [32] Fie funcțiile → ℂ ,cu

, , ,

și fie

o funcție univalentă în discul unitate U.

Dacă

U (2.1.1)

(2.1.2)

atunci

sau unde .

Demonstrație.

Fie și fie

Notăm

Calculăm

= =

Deoarece , folosind Lema 1.8.3 rezultă că sau Observația 2.1.1. Dacă , obținem Teorema 10 [38] . Dacă 1 , atunci ecuația diferențială

are soluția univalentă

În acest caz din Teorema 2.1.1 obținem următorul corolar.

Corolarul 2.1.1. [32] Dacă și

este univalentă , atunci

implică .

Funcția z este cea mai bună subordonantă.

Observația 2.1.2. Dacă , în Corolarul 2.1.1. obținem Corolarul 10.1[38].

Dacă , , atunci ecuația diferențiala

are soluția univalentă Folosind Teorema 2.1.2 obținem următorul rezultat.

Corolarul 2.1.2. [32] Dacă și

este o funcție univalentă , atunci

implică

Funcția z este cea mai bună subordonantă.

Teorema 2.1.2. Fie N > 1 , M > 0 , → ℂ , cu

0 ,

și

Dacă

z) (2.1.3)

atunci .

Demonstrație. Dacă notăm

(2.1.4)

atunci din (2.1.3) avem:

(2.1.5)

Fie . Presupunem că atunci folosind Lema 1.8.3 , există ,

și astfel încât

= q( ) = M și

Înlocuind pe în (2.1.4 ) avem

E = =

Din avem

și rezultă

condiție care contrazice (2.1.5).Rezultă că presupunerea este falsă , deci .

Folosind condițiile din Teorema 2.1.1. și Teorema 2.1.2 avem următorul rezultat de tip sandwish.

Corolarul 2.1.3. [32] Dacă

și

atunci

unde și

Teorema 2.1.3. [31] Fie și fie A , B , C , D→ ℂ . Pentru , fie

Dacă i este univalentă în discul unitate U , atunci

implică

unde r este dat de

Demonstrație. Fie , și fie , o funcție univalentă , Notăm

Pentru demonstrarea teoremei vom folosi Lema 1.8.3

Folosind inegalitățile din ipoteză calculăm :

Deoarece , din Lema 1.8.3 rezultă

Observația 2.1.3. Dacă D(0) = 0 , atunci Teorema 2.1.3. poate fi exprimată sub forma următorului corolar:

Corolarul 2.1.4. [31] Fie [0 , 1] și A , B , C , D→ ℂ.

Pentru , fie D(0) = 0.

Dacă si este univalentă în discul unitate U , atunci

implică , unde este dat de (2.1.6).

Observația 2.1.4. Dacă atunci Teorema 2.1.3. poate fi exprimată sub forma următorului corolar.

Corolarul 2.1.5. [31] Fie [0 , 1] i A , B , C→ ℂ. Pentru , fie , .

Dacă și este univalentă în discul unitate atunci

implică sau , , unde este

Observația 2.1.5. Dacă și , obținem Teorema 2.1.1.[32].

Observația 2.1.6. Dacă și , obținem Teorema 10 [23].

Observația 2.1.7. Dacă , , obținem Corolarul 10.1[23].

Observația 2.1.8. Dacă , , atunci ecuația diferențială

are ca soluție funcția univalentă

Din Teorema 2.1.3. , obținem următorul rezultat.

Corolarul 2.1.6. [31] Dacă și

este univalentă în discul unitate , atunci

implică

Teorema 2.1.4. [32] Fie N > 1 , M > 0 , funcțiile A , B , C , D→ ℂ ,

Re A() și D(0) = 0.

Dacă

(2.1.7)

atunci

Demonstrație. Dacă notăm , , atunci subordonarea (2.1.7) este echivalentă cu

(2.1.8)

Fie .Dacă atunci Lema 1.8.3 există un și , astfel încât

și

Pentru avem

E = (2.1.9)

Folosind condiția Re avem

și rezultă

E (2.1.10)

Dar (2.1.10) contrazice (2.1.8).Rezultă că presupunerea este falsă deci

Folosind condițiile din Corolarul 2.1.4 și Teorema 2.1.4 , avem următorul corolar de tip “sandwish”.

Corolarul 2.1.7. [31] Dacă

atunci

unde este dat de (2.1.6 ) , M > 0 , N > 1.

CAPITOLUL 3

Superordonări diferențiale de tip Briot-Bouquet

3.1 Superordonări diferențiale de tip Briot-Bouquet obținute folosind operatorul Sălăgean

În acest paragraf vom studia superordonări diferențiale folosind operatorul lui Sălăgean aplicat funcțiilor din clasa A.

Definiția 3.1.1 Fie . Operatorul diferențial definit prin:

…

, n > 1

se numește operatorul diferențial al lui Sălăgean.

Teorema 3.1.1 [34] Fie funcția convexă

, ,

Fie și presupunem că este o funcție univalentă și

Dacă

, , (3.1.1)

atunci

, ,

unde

(3.1.2)
.

Funcția este convexă și este cea mai buna subordonantă.

Demonstrație . Fie .Folosind definiția operatorului Sălăgean , avem

, (3.1.3)

Derivând egalitatea (2.2.3) în raport cu variabila și notând

, (3.1.4)

obținem

(3.1.5)

Atunci subordonarea diferențiala (3.1.1) devine

Folosind Lema 1.8.5 avem

unde

Funcția este convexă și este cea mai bună subordonantă.

Teorema 3.1.2. [34] Fie funcția convexă

Fie și presupunem că este o funcție univalentă și .

Dacă

, , (3.1.6)

atunci , ,

unde

Funcția este convexă și este cea mai bună subordonantă.

Demonstrație. Notăm

, (3.1.7)

și obținem

(3.1.8)

Derivând în raport cu variabila z egalitatea (3.1.8) obținem

Atunci (3.1.6) devine

(3.1.9)

Folosind Lema 1.8.5 ,avem

unde

Funcția este convexă și este cea mai bună subordonantă.

Teorema 3.1.3 [34] Fie q o funcție convexă în U și fie funcția h definită de

(3.1.10)

Fie și presupunem că este o funcție univalentă în U ,

și

(3.1.11)

atunci unde

Funcția este cea mai bună subordonantă.

Demonstrație.Fie .Folosind proprietățile operatorului și notația (3.1.4) , după un calcul simplu obținem relația (3.1.5)

Atunci subordonarea diferențiala (3.1.11) devine

Folosind Lema 1.8.6 avem

unde

Funcția este cea mai bună subordonantă.

Teorema 3.1.4. [34] Fie o funcție convexă în U și funcția definită de

Fie și presupunem că este o funcție univalentă în U ,

și

(3.1.13)

atunci

unde este dat de (3.1.12).

Funcția este cea mai bună subordonantă.

Demonstrație:

Folosind notația (3.1.7) și derivând în raport cu variabila relația (3.1.8) , obținând relația (3.1.5)

Subordonarea (3.1.13) devine , folosind (3.1.5)

Din Lema 1.8.6 rezultă că

unde este dat de (3.1.12) și este cea mai bună subordonantă.

3.2 Superordonări diferențiale de tip Briot-Bouquet obținute folosind operatorul Ruscheweyh

Rezultatele acestui paragraf au fost obținute folosind operatorul diferențial Ruscheweyh[36].

Definiția 3.2.1 Fie Operatorul diferențial , definit prin :

…

se numește operatorul diferențial al lui Ruscheweyh.

Teorema 3.2.1. [36] Fie funcția convexă

Fie și presupunem că este o funcție univalentă și

Dacă

, (3.2.1)

atunci

unde

unde este dat de

Funcția este convexă și este cea mai bună subordonantă.

Demonstrație. Fie .Folosind definiția operatorului Ruscheweyh și derivând în raport cu variabila z ,obținem

(3.2.4)

Folosind notația

, (3.2.5)

identitatea (3.2.4) , prin efectuarea unui calcul simplu , devine

(3.2.6)

Subordonarea diferențială (2.3.1) se poate scrie

. (3.2.7)

Folosind Lema 1.8.5 avem
,

unde

= ,

unde este dat de (3.2.3).

Funcția este convexă și este cea mai bună subordonantă.

Observația 3.2.1. Pentru , Teorema 3.2.1 poate fi enunțată sub forma următorului corolar.

Corolarul 3.2.1. [36] Fie funcția convexă

Fie și presupunând că este o funcție univalentă în U și

Dacă

atunci

unde

Funcțiaeste convexă și este cea mai bună subordonantă.

Teorema 2.3.2. [36] Fie funcția convexă

Fie și presupunem că este o funcție univalentă în U și

Dacă

(3.2.8)

atunci

unde

unde este dat de (3.2.3).

Demonstrație . Notăm cu

(3.2.10)

de unde rezultă

Derivând egalitatea (3.2.11) în raport cu variabila z , obținem

(3.2.12)

Atunci subordonarea (3.2.8) devine

Folosind Lema 1.8.5 , avem

unde

iar este dat de (3.2.3).

Observația 3.2.2. [36] Pentru , Teorema 2.3.2 poate fi enunțată sub forma următorului corolar.

Corolarul 3.2.2. [36] Fie funcția convexă

Fie și presupunem că este o funcție univalentă în U și

Dacă

atunci

unde

Funcția este convexă și este cea mai bună subordonantă.

Teorema 3.2.3. [37] Fie o funcție convexă în U și fie funcția definită de

(2.3.13)

Fie și presupunem că este o funcție univalentă în U ,

și

(3.2.14)

Atunci

unde

Funcția este cea mai bună dominantă.

Demonstrație. Fie .Folosind proprietățile operatorului diferențial Ruscheweyh și egalitatea (3.2.6) , subordonarea (3.2.14) devine

Folosind Lema 1.8.6 , avem

unde

Observația 3.2.3. Pentru Teorema 2.3.3 poate fi enunțată sub forma corolarului.

Corolarul 3.2.3. [36] Fie o funcție convexă în U și fie funcția definită de

Fie și presupunem că este o funcție univalentă în U ,

și

atunci

unde

Funcția este cea mai bună subordonantă.

Teorema 3.2.4. [37] Fie o funcție convexă în U și funcția definită de

Fie și presupunem că este o funcție univalentă în U ,

și

(3.2.15)

Atunci

, (3.2.16)

unde

Funcția este convexă și este cea mai bună subordonantă.

Demonstrație. Folosind notația (3.2.10) și egalitatea (3.2.12) ,subordonarea diferențială (3.2.15) devine

(3.2.17)

Folosind Lema 1.8.6 , avem

unde

Funcția este convexă și este cea mai bună subordonantă.

Observația 3.2.4. Pentru , Teorema 2.3.4 poate fi enunțată sub forma corolarului.

Corolarul 3.2.4. [36] Fie o funcție convexă în U și fie funcția definită de

Fie și presupunem că este o funcție univalentă în U ,

și

atunci

unde

Funcția este convexă și este cea mai bună subordonantă.

3.3 Superordonări diferențiale obținute cu ajutorul unor operatori integrali

Rezultatele acestui paragraf au fost obținute folosind proprietățile unor operatori integrali.

Teorema 3.3.1. [35] Fie o funcție convexă în U cu definită de

, , (3.3.1)

Dacă și este o funcție univalentă , și

, , (3.3.2)

atunci

unde este dată de

, . (3.3.3)

Funcția este cea mai bună subordonantă.

Demonstrație. În [38] autorii au arătat că funcția dată de (3.3.1) este convexă pentru orice și că este soluție univalentă a ecuației

și .

Din (3.3.3) avem

, (3.3.4)

Derivând egalitatea (3.3.4) în raport cu z și după un calcul simplu , obținem

(3.3.5)

Dacă notăm

(3.3.6)

atunci (3.3.5) devine

(3.3.7)

Derivând egalitatea (3.3.7) în raport cu z , după un calcul simplu , obținem

(3.3.8)

și folosind notația (3.3.6) , egalitatea (3.3.7) devine

. (3.3.9)

Folosind Lema 1.8.5 și notația (3.3.6) , avem

i.e.

Funcția este cea mai bună subordonanantă.

Teorema 3.3.2. [35] Fie h o funcție convexă în U , , definită de

Dacă și

(3.3.10)

atunci

unde F este dată de (3.3.3). Funcția este cea mai bună dominantă.

Demonstrație. Reluând calculul de la Teorema 3.3.1 , avem

și subordonarea (3.3.10) devine

Folosind notația (3.3.6) ,avem

i.e.

Funcția este cea mai bună subordonantă.Folosind condițiile din Teorema 3.3.1 și Teorema 3.3.2 , se poate formula următorul corolar:

Corolarul 3.3.1. [35] Dacă și

atunci

Teorema 3.3.3. [30] Fie și o funcție convexă în U , cu definită de

, .

Dacă și este o funcție univalentă în U , și

, (3.3.11)

atunci

, ,

Unde este dată de

Funcția este cea mai bună subordonantă.

Demonstrație. Din demonstrația Teoremei 3.3.1 rezultă că

este soluție univalentă a ecuației

și .

Din (3.3.12) , avem

Derivând (3.3.13) în raport cu variabila z și folosind notația (3.3.6) , după un calcul simplu , obținem

(3.3.14)

Atunci subordonarea diferențială (2.4.11) , devine

(3.3.15)

Folosind Lema 1.8.5 și notația (3.3.6) , avem

i.e.

Funcția este cea mai bună subordonantă.

Teorema 3.3.4. [30] Fie o funcție convexă în U , cu , definită de

Dacă și

, , (3.3.16)

atunci

unde F este dat de (3.3.12) . Funcția este cea mai bună dominantă.

Demonstrație . Folosind (3.3.14) , subordonarea (3.3.16) , devine

Folosind notația (3.3.6) , avem

i.e.

Funcția este cea mai bună subordonantă.

Folosind condițiile din Teorema 3.3.3 și Teorema 3.3.4 , poate fi formulat următorul corolar.

Corolarul 3.3.2. [30] Dacă și

atunci

unde

Teorema 3.3.5. [33] Fie , și funcția convexă în U , cu , definită de

Dacă și este o funcție univalentă în U , și

(3.3.17)

atunci

unde F este dată de

, (3.3.18)

Funcia este cea mai bună subordonantă.

Demonstrație. Din demonstrația Teoremei 3.3.1 rezultă că

este o soluie univalentă a ecuației

și că

Folosind (3.3.18) , după un calcul simplu și folosind notația (3.3.6) , avem :

(3.3.19)

Atunci subordonarea diferențială (3.3.17) devine

Folosind Lema 1.8.5 și notația (3.3.6) , deducem că

i.e.

Funcia este cea mai bună subordonantă.

Teorema 3.3.6. [33] Fie o funcie convexă , cu , definită de

Dacă și

(3.3.20)

atunci

unde F este dată de (3.3.18) . Funcția este cea mai bună subordonantă.

Demonstrație. Folosind (3.3.19) , subordonarea diferențială (3.3.20) devine

Folosind Lema 1.9.2 și notația (3.3.6) , avem

i.e.

Funcția este cea mai bună subordonantă.

Folosind condițiile din Teorema 3.3.5 și Teorema 3.3.6 , poate fi enunțat următorul corolar.

Corolarul 3.3.3. [33] Dacă și

atunci

unde

Bibliografie

[1] J.W. Alexander , Function which map the interior of the unit circle upon simple regions , Ann of Math. , 17(1995) , 12-22.

[2] L.Bieberbach , Über einige Extremal probleme in Gebiete der Konformen Abbildung , Math.Ann. , 77(1916) , 153-172

[3] L.Bieberbach , Über die Koeffizienten derjenigen Potenzereihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, Preuss Akad. Wiss. Sitzungsub., 1916, 940-955

[4] L. De Branges, A proof of the Bieberbach conjecture, Acta Math., 154 (1985), 137-152

[5] G. Călugăreanu, Sur la condition nécessaire et suffisante pour l`univalence d`une fonction holomorphe dans un cercle, C.R.Acad.Sci. Paris, 193(1931), 1150-1153

[6] G. Călugăreanu, Sur le condition nécessaire et suffisante pour l`univalence d`une fonction holomorphe dans un cercle, Mathematica, 6(1932), 75-79

[7] Z. Charzyńskik, M. Schiffer, A geometric proof of the Bieberbach conjecture for fourth coefficient, Scripta Math., 25(1960), 173-181

[8] Z. Charzyńskik, M. Schiffer, A new proof of the Bieberbach conjecture for the coefficient, Arch.. Rational Mech. Anal., 5(1960), 187-193

[9] G. Faber, Newer Beweis eines Koebe-Bieberbachschen satzes über Abbildung, Sitzgsber. Bayer Acad. Wiss. München, 1916, 39-42

[10] S. Friedland, On a conjecture of Robertson, Arch. Rational Mech. Anal., 37(1970), 255-261

[11] P.R. Garabedian, M. Schiffer, A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient, J. Rational Mech. Anal., 4(1955), 427-465

[12] G.M.Goluzin, On the majorization principle in function theory (Russian), Dokl. Akad. Nauk SSSR, 42(1935), 647-650

[13] T.H. Mac Gregor, Functions whose derivative has a positive real part, Trans. Amer. Math. Soc., 104(1962), 532-537

[14] T.H. Mac Gregor, The radius of convexity for starlike functions of order , Proc. Amer. Math. Soc., 14(1963), 71-76

[15] T.H.Gronwall , Some remarks on conformal representation , Ann. of Math., 16(1914-1915),72-76.

[16] P.Hamburg , P.T.Mocanu , N.Negoescu , Analiză matematică (Funcții complexe) , Ed.Did. și Ped., București , 1982.

[17] A.Hurwitz , Über die Anwendung der eliptischer Modul-functionen auf einen setz der allgemeinen Functionentheorie ,Vjscher Naturforsckala. Ges Zürich , 49(1904) , 242-253.

[18] P.Koebe , Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven ,Nachr.Kgl.Ges.Wiss.Göttingen Math.Phys., 1907 , 191-210.

[19] K.Lövner , Untersuchungen über die Verzerrung bei konformne Abbildungen des Einheitsckreises die durch Funktionen mit nichtverschwindender Ableitung geliefert werden ,S.B.Sächs.Akad. Wiss.Leipzig Brichte , 69(1917)

[20] K.Lövner , Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitsckreises , Math.Ann., 89(1923) , 103-121.

[21] S.S.Miller , P.T.Mocanu , Second order differential inequalities in the complex plane , J.Math . Anal.Appl. , 65(1978) , 298-305.

[22] S.S.Miller , P.T.Mocanu , Differential subordinations and univalent functions , Michigan Math. J. , 28(1981) , 157-171.

[23] S.S.Miller , P.T.Mocanu , Subordinants of differential superordinations ,Complex Variables , vol.48 , no.10 , 2003 , 815-826.

[24] S.S.Miller , P.T.Mocanu , M.O.Reade , All functions are starlike

Rev.Roum.Math. Pures Appl., 17 , 9(1972) , 1395-1397.

[25]S.S.Miller , P.T.Mocanu , M.O.Reade , All functions are starlike ,Proc.Amer.Math.Soc., 37 , 2(1973) ,553-554.

[26] S.S.Miller , P.T.Mocanu , M.O.Reade Bazilević functions and generalized convexity , Rev.Roum.Math. Pures Appl., 19, 2(1974) , 213-224.

[27] I.M.Milin , Univalent functions and orthonormal systems ,Izdat.Nauka , Moscow , 1971.

[28] P.T.Mocanu , Une propriété de convexité généralisée dans la théorie de la representation conforme , Mathematica , 11(34) , 1969 , 127-133.

[29] P.T.Mocanu , T.Bulboacă , Gr.Șt.Sălăgean , Teoria geometrică a funcțiilor univalente , Casa Cărții de Știință , Cluj , 1999.

[30] Georgia Irina Oros , An application of Briot-Bouquet differential superordinations and sandwish theorem ,Studia Univ.Babeș-Bolyai , Mathematica , vol. V , no.1 , 2005 , 93-97.

[31] Georgia Irina Oros , On a first order nonlinear differential superordination , Complex Variables , vol.50 , no.14 , 15 Nov.2005 , 1087-1093.

[32] Georgia Irina Oros , First order nonlinear differential superordination , General Mathematics , Sibiu , Vol.13 , No.1(2005) , 83-90.

[33] Georgia Irina Oros , A new application of Briot-Bouquet differential superordinations and sandwish theorem ,Forum d’Analyses , Madras , India.

[34] Georgia Irina Oros , Differential superordination defined by Sălăgean operator , General Mathematics , Sibiu , vol.12 , no.4 , 2004 , 3-10.

[35] Gh.Oros , Georgia Irina Oros , Briot-Bouquet differential superordinations and sandwish theorem II , Analele Univ.Oradea , Fasc.Matematica , Tom XII (2005) , PP.213-219.

[36] Gh.Oros , Georgia Irina Oros , Differential superordination defined by Ruscheweyh derivative Hokkaido Mathematical Journal , Vol.36 , No.1 (2006) , pp.1-8.

[37] Gh.Oros , Georgia Irina Oros , On a differential superordination defined by Ruscheweyh derivative Mathematica , Tom 49(72) , No.1 , 2007 , pp.63-68.

[38] Gh.Oros , Georgia Irina Oros , An application of Briot-Bouquet differential subordination , Bul.Acad.Șt.Rep.Moldova , No.1(50) , 2006 , pp.101-104.

[39] N.N.Pascu , Funcții , Bul.Univ.Brașov , Seria C , vol.XIX, 1977 , 37-39.

[40] R.N.Pederson , A proof of the Bieberbach conjecture for the sixth coefficient , Arch.Rational Mech. Anal., 31(1968-1969) , 331-351.

[41] R.N.Pederson , M.Schiffer , A proof of the Bieberbach conjecture for the fifth coefficient , Arch.Rational Mech. Anal., 45(1972) , 161-193.

[42] J.Plemelj , Über den Verzerrungssatz vom P.Koebe , Ges.Dtsch.Naturforschren Arzte , 85 , Versammlung Wien Zeiter teie , Erste Hälfte , 1913.

[43] M.S.Robertson , A remark on the odd schlicht functions , Bull.Amer.Math.Soc., 42(1936) , 366-370.

[44] M.S.Robertson , Analytic functions starlike in one direction , Amer. J. Math., 58(1936) , 465-472.

[45] M.S.Robertson , Univalent majorants , Trans.Amer.Math.Soc., 61(1947) , 1-35.

[46] Gr. Șt. Sălăgean , Geometria planului complex , Ed. Promedia Plus , Cluj , 1997.