Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică Coordonatorul științific, Lector Dr. Camelia FRIGIOIU… [628058]
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați
Facultatea de Științe și Mediu
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC
LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU
OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
Coordonatorul științific,
Lector Dr. Camelia FRIGIOIU
Candidat: [anonimizat]. Nicoleta GORIE
Galați
Seria 2017 -2020
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați
Facultatea de Științe și Mediu
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Coordonatorul științific,
Lector Dr. Camelia FRIGIOIU
Candidat: [anonimizat]. Nicoleta GORIE
Liceul Tehnologic”Hortensia Papadat Bengescu” Ivești
Localitatea Ivești, jud. Galați
Galați
Seria 2017 -2020
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
3
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
CUPRINS
CAPITOLUL I – NOȚIUNI INTRODUCTIVE ȘI APLICAȚII PRACTICE ………………… 10
1.TRIUNGHIUL ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 10
Elementele triunghiului ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 10
Clasificarea triunghiurilor: ………………………….. ………………………….. ………………………. 10
1.1.Congruența triunghiurilor oarecare ………………………….. ………………………….. …………. 11
Cazul latură –unghi –latură ………………………….. ………………………….. ………………………… 12
Aplicație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 12
Demonstrație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 13
Cazul unghi -latură -unghi………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 13
Aplicație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 14
Demonstrație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 14
Cazul latură -latură -latură ………………………….. ………………………….. ………………………….. 14
Aplicație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 15
Demonstrație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 15
Cazul latură -unghi -unghi ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 16
Aplicație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 16
Demonstrație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 16
1.2. Metoda triunghiurilor congruente ………………………….. ………………………….. …………… 17
Exemplul 1: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 17
Demonstrație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 18
Exemplul 2. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 18
Demonstrație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 19
Exemplul 3: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 19
Demonstrație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 20
1.3. Congruența triunghiurilor dreptunghice ………………………….. ………………………….. ….. 21
Cazul catetă -catetă: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 21
Cazul catetă -unghi: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 21
Cazul ipotenuză -unghi: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 22
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
4
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Cazul ipotenuză -catetă: ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 23
Aplicație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 24
Demonstrație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 24
2. ASEMĂNAREA TRIUGHIURILOR ………………………….. ………………………….. …………… 25
2.1. Raportul a două segmente ………………………….. ………………………….. ………………………. 25
Definiție. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 25
Exemple: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 25
2.2. Segmente proporționale ………………………….. ………………………….. ………………………….. 26
Definiție. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 26
Exemplu: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 27
2.3.Impartirea unui segm ent intr -un raport dat ………………………….. ………………………….. . 27
Demonstrație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 27
Exemplu. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 27
Demonstrație: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 27
2.4.Teorema paralele lor echidistante ………………………….. ………………………….. ……………… 28
2.5. Teorema lui Thales ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 29
Istoric ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. 29
Teorema 1: (T hales ): ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 30
Teorema 2: (paralelelor neechidistante): ………………………….. ………………………….. ……….. 31
Reciproca teoremei lui Thales : ………………………….. ………………………….. …………………….. 32
Teorema bisectoarei ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 33
2.6. Triunghiuri asemenea ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 34
Teorema fundamentală a asemănării ………………………….. ………………………….. ……………. 35
2.7. Criterii de asemănare a triunghiurilor ………………………….. ………………………….. ……….. 38
Cazul 1 (unghi -unghi) ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 38
Cazul 2 (latură -unghi -latură) ………………………….. ………………………….. ………………………. 39
Cazul 3 (latură -latură -latură) ………………………….. ………………………….. ……………………… 40
3. REL AȚII METRICE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 42
3.1.Proiecții ortogonale ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 42
3.2.Relații metrice in triunghiul dreptunghic ………………………….. ………………………….. … 43
Teorema înălțimii: ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 43
Teorema catetei ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 45
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
5
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Teorema lui Pitagora ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 45
Teorema reciprocă teoremei lui Pitagora . ………………………….. ………………………….. ….. 47
3.3.Elemente de trigonometrie ………………………….. ………………………….. …………………….. 47
3.4.Rezolvarea triunghiului dreptunghic ………………………….. ………………………….. ………. 50
3.5. Calculul ariei unui triunghi folosind sinusul ………………………….. ……………………….. 52
4. APLICAȚII PRACTICE ALE GEOMETRIEI ………………………….. ……………………… 53
Aplica ție 1. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 53
Aplica ție 2. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 55
Aplica ție 3. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 55
Aplica ție 4. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 56
Aplica ție 5 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 57
Aplicație 6. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 60
Aplicația 7. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 61
CAPITOLUL II – METODE MODERNE UTIL IZATE IN PREDAREA GE OMETRIEI 62
1.1. Problematizarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 62
1.2. Brainstormingul ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 65
1.3. Metoda copacul ideilor ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 69
1.4. Metoda ciorchinelui ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 70
1.5. Met oda cubului ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 73
1.6. Metoda turul galeriei ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 80
1.7. Metoda Știu / Vreau s ă știu / Am inv ătat ………………………….. ………………………….. ….. 81
CAPITOLUL III. CERCE TAREA METODICO -PEDAG OGICĂ ………………………….. ……. 85
1. Cercetarea educațională ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 85
2. Metodele cercetării educaționale ………………………….. ………………………….. ………………….. 87
3. Organizarea cercetării experimentale ………………………….. ………………………….. …………… 89
4. Desfășurarea cercetarii ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 92
4.1. E tapa inițială ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 93
Test initial – Patrulatere si arii – Clasa a VII -a ………………………….. …………………………. 93
4.2. ETAPA INTERMEDIARĂ ………………………….. ………………………….. ……………………. 100
Test int ermediar – Asemanarea triunghiurilor – Clasa a VII -a ………………………….. …… 100
4.3. Etapa finală ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 106
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
6
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Test final – Relații metrice – Clasa a VII -a ………………………….. ………………………….. …. 106
CONCLUZII ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 114
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 116
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
7
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu INTRODUCERE
Lumea înconjurătoare este grăitoare în exemple de corpuri care evidențiază elemente de
geometrie. Arhitectura, arta decorativă, pictura, sculptura sunt câteva domenii care folosesc cu
precădere elemente de geometrie.
Încă din Paleoliticul Superior și Neol iticul Timpuriu, în picturile sale pe pereții peșterilor, pe
oase de mamut sau cal, pe figurine cioplite din os etc., omul folosea linii – paralele, perpendiculare,
zig-zaguri, spirale, unghiuri în diferite poziții, romburi. Pe teritoriul țării noastre, s -au descoperit
vase din cultura Cucuteni (5500 î.Hr. – 2750 î.Hr.) pictate cu semne geometrice, dar și figurine
fără chip incizate tot cu motive geometrice, acestea reprezentând nivelul cel mai înalt al civilizației
umane dinainte de apariția scrisului. În Egipt, în fiecare primăvară după retragerea apelor Nilului,
cultivatorii erau nevoiți să -și măsoare din nou terenurile agricole, fie pentru așezarea contribuțiilor
la care erau supuși, fie pentru restabilirea vechilor semne de hotar. Elementele geometrice continuă
și astăzi să însoțească omul în revoluția tehnico -științifică din epoca contemporană.
Originea cuvântului geometrie este una grecească ( geo = pământ, metron = măsură), iar
definiția geometriei ne arată că este ramură de studiu a matematicii care se ocupă cu formele
spațiale și relațiile lor de mărime. Începuturile geometriei (geometria empirică) se găsesc în
Egiptul antic și Mesopotamia, în jurul anului 3000 î.Hr., când cunoștințele empirice au fost
dezvoltate pentru a putea fi puse în practică în agricultură, construcții, astronomie. Geometria
egipteană a fost preluată de către greci și s -a dezvoltat din ce în ce mai mult (geometria
preeuclidiană). Cel care a pus bazele geometriei plane și spațiale și totodată ale aritmeticii a fost
matematicianul grec, Euclid, (365 -305 î. Hr.), supranumit de către urmași părintele geometriei ,
fiind primul care a reușit să definească elementele de geometrie, precum punctul, dreapta sau
planul.
De-a lungul timpului, această ramură a matematicii, geometria, a rezona t cu interesele
oamenilor, bucurându -se de o înaltă apreciere atât prin caracterul său practic, cât și prin aportul la
formarea raționamentului deductiv, în special.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
8
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Orice persoană trebuie să înțeleagă importanța cunoașterii noțiunilor de geometrie întruc ât
aplicațiile practice din geometrie ne însoțesc în viața cotidiană. Noțiunile de geometrie ne ajută să
observăm și să aplicăm, în activitatea noastră, proprietăți simple ale formelor plane și spațiale și
să recunoaștem proprietăți simple de simetrie ale unor desene; să descoperim, să recunoaștem și
să utilizăm în contexte variate corespondențe simple și succesiuni de obiecte sau asociate după
reguli date; să rezolvăm probleme din viața reală, care implică cunoașterea noțiunilor de geometrie.
De exemplu, f igurile/corpurile geometrice construite din lemn pot fi asamblate în așa fel încât pot
lua forma unor obiecte existente în viața reală, dar cei care le construiesc trebuie să cunoască
noțiuni de geometrie și nu numai.
Abordarea noțiunilor de geometrie în clasele gimnaziale contribuie la formarea la elevi a
unor reprezentări spațiale, la dezvoltarea gândirii logice, a raționamentului (ipotetico -deductiv,
inductiv -analitic). Cunoașterea și utilizarea elementelor de geometrie asigură realizarea conexiunii
cu alte domenii ale matematicii, dar și cu alte discipline de învățământ, cum ar fi: educație plastică,
abilități practice/educație tehnologică, informatică (TIC).
În contextul actualei reforme curriculare a învățământului românesc, este firesc ca în centrul
preocupărilor actuale ale scolii românești să se situeze cultivarea accentuată a gândirii logice a
micilor școlari. Și cum am putea mai bine rezolva problema decât prin evidențierea relațiilor
matematice prin fundamentarea științifică a conceptelor, prin introducerea progresivă a limbajului
matematic modern. De aceea se impune ca școala să ofere elevului mijloacele necesare progresului
său continuu în cunoaștere și adaptare. Acest progres trebuie să se axeze pe însușirea capacităților
esențiale, pe cultiva rea unei gândiri suple, dialectice, să -i asigure însușirea de sisteme logice, de
metode și instrumente de învățare prin activitate proprie. Obiectivele învățământului matematic,
în etapa actuală, derivă din sarcinile generale ale școlii ca subsistem social unic, precum și din
locul matematicii ca disciplină tehnico -științifică. Însă, fiecare lecție în parte, considerată o unealtă
din ansamblul întregului sistem de cunoștințe matematice prevăzute de programă, necesită o
evaluare continuă a randamentului șco lar, privită îndeosebi sub aspectul nivelului real de
cunoștințe și deprinderi operaționale ale elevului.
Preocuparea pentru constituirea treptată a unui câmp motivațional adecvat oricărei forme de
muncă pe care o desfășoară elevul constituie o cerință pe dagogică a organizării muncii în școală.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
9
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Orice cercetare pedagogică este întreprinsă pentru dezvoltarea și perfecționarea continuă a
procesului de învățământ, ea poate să urmărească generalizarea experienței pozitive sau crearea
unei experiențe noi. Cerce tarea de creare a experienței noi corespunde mai mult cu tendințele
actuale de dezvoltarea științei, cu creșterea în general a gradului de participare conștientă a omului
la progresele în toate domeniile. Matematica este disciplina al cărui studiu contribu ie în mod
esențial la formarea gândirii logice, a unei judecăți riguroase și a ordinii în viață și în muncă.
Capacitatea omului de a se adapta este foarte mare și greutatea pe care o întâmpină uneori
este o greutate de moment caracteristică fiecărei persoa ne în parte.
Învățarea matematicii exersează gândirea, antrenează capacitatea de organizare logică a
ideilor, întărește atenția și mărește puterea de concentrare în intensitate și durată, antrenează
memoria logică, dezvoltă un ascuțit simț critic construc tiv și gustul pentru obiectivitate și precizie.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
10
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu CAPITOLUL I – NOȚIUNI INTRODUCTIVE ȘI APLICAȚII PRACTICE
1.TRIUNGHI UL
Considerăm trei puncte necoliniare A,B,C. Două câte două aceste puncte determină segmentele
[AB], [BC] , [AC] .
Definiție. Figura geometrică obținută prin reuniunea a trei segmente [AB], [BC], [AC], unde
A,B,C sunt puncte necoliniare, se numeste triunghi.
ABC CA BC AB =
Elementele triunghiului
– punctele A, B, C sunt vărfurile triunghiului;
– [AB], [BC] , [AC] se numesc laturile triunghiului;
–
ACB ABC BAC , , se numesc unghiurile triunghiului.
Clasificarea triunghiurilor:
a) după măsura unghiurilor:
– ascuțitunghice (au toate unghiurile ascuțite);
– dreptunghice (au un unghi drept);
– obtuzung hice (au un unghi obtuz).
A C C
B C A B A B
ascuțitunghic dreptunghic obtuzunghic
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
11
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu b) după lungimea laturilor:
– triunghi oarecare (are laturile de lungimi diferite);
– triunghi isoscel (are două laturi congruente);
– triunghi echilateral (are toate laturile congruente).
1.1.Congruența triun ghiurilor oarecare
Două triunghiuri sunt congruente, dacă ele coincid prin suprapunere.
Verificăm prin suprapunere dacă triunghiurile ABC si A’B’C’
Copiem pe hârtie transparentă triunghiul ABC și -l suprapunem peste triunghiul A’B’C’ astfel încât
punctul A să coincida cu A’ și latura AB cu A’B’.
Vom constata că și latura BC coincide cu latura B’C’, latura AC coincide cu latura A’C’, unghiul
ABC coincide cu unghiul A’B’C’, unghiul BCA cu unghiul B’C’A’ și unghiul BAC cu unghiul
B’A’C’. Cele două triunghiuri coincid prin suprapunere, deci sunt congruente și vom scrie:
'''CBA ABC
.
Observații:
I.Dacă
'''CBA ABC sunt îndeplinite șase congruențe în același timp. Pentru a scrie cele șase
congruențe se ține seamă că:
A
A’
B
C
B’
C’ A F P
B C D E M N
oarecare isoscel echilateral
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
12
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu a) laturile și unghiurile triunghiurilor
'''CBA ABC care corespund în ordinea dată de
congruența celor două triunghiuri se numesc elemente omoloage;
b) laturile și unghiurile celor două triunghiuri congruente, care cor espund(omoloage), sunt
congruente:
BA AB ,
CB BC ,
AC CA ,
CC ˆˆ ,
AAˆˆ ,
BBˆˆ .
II.Reținem că în două triunghiuri congruente, unghiurilor congruente li se opun laturi congruente
și invers, laturilor congruente li se opun unghiuri congruente. Pentru a arăta că două triunghiuri
oarecare sunt congruente nu este necesar să demonstrăm toate cele șase congruențe între
elementele lor.
Am construit triunghiuri, cunoscând doar câte trei elemente. Am observat că în trei situații se
ajunge la concluzia că o corespondență intre două triunghiuri este o congruență. Acestea se numesc
”cazurile de congruență pentru triunghiurile oarecare”.
Cazul latură –ungh i –latură
Două triunghiuri oarecare care au câte două laturi si unghiurile cuprinse între ele respectiv
congruente sunt congruente.
Dacă în triunghiurile oarecare
ABC și
CBA avem:
CA ACAACC CBA ABC
CB BCBBBA AB
,ˆˆ,ˆˆ ˆˆ
Aplicație:
Dacă pe două drepte concurente a
b=
O se aleg punctele A,B
a și C,D
b, astfel încât
OB AO
, iar
OD CO , atunci
AOC BOD . Să se scrie celelalte elemente congruente
ale triunghiului.
A
A’
B
C
B’
C’
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
13
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Ipoteză:
OB AO
OD CO
Concluzie:
AOC BOD
Demonstrație:
LUL
BOD AOCBO AODO CO
..
) vârfla opuse(
BOD AOC
DB ACODB ACODBO CAO
Cazul unghi -latură -unghi
Două triunghiuri oarecare care au câte o latură și unghiurile alăturate ei respectiv congruente sunt
congruente.
Dacă în triunghiurile oarecare
ABC și
CBA avem:
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
14
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
ULU
CCCB BCBB
..
ˆˆˆˆ
ABC
CBA
BA ABCA ACAA
ˆˆ
Aplicație:
Dacă
OZ este bisectoarea unui unghi
XOY , iar dintr -un punct A al bisectoarei se construiesc
două semidrepte
AB si
AC ,
(OXB ,
(OY C , astfel încât
OAC OAB , atunci
OAC OAB
. Să se scrie celelalte elemente congruente ale triunghiului.
Ipoteză:
OAC OABYOZ XOZ
Concluzie:
Demonstrație:
AOC AOB
OAC OABOA OAAOC AOB
ULU …
OC OBAC ABOCA OBA
Cazul latură -latură -latură
Două triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente sunt congruente.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
15
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Dacă în triunghiurile oarecare
ABC și
CBA avem:
ABC
CBA
Aˆ Aˆ ,Bˆ Bˆ ,ˆˆ CC
Aplicație:
Dacă în figura următoare P și Q sunt centrele cele două cercuri, atunci
BPQ APQ
Ipoteza:C(P)
C(Q)=
B ;A
Concluzie:
BPQ APQ
Demonstrație:
Comparăm
APQ cu
BPQ
A
A’
B
C
B’
C’
LLL
CB BCCA ACBA AB
..
BPQ APQ
PQ PQBQ AQBP AP
LLL
..
) comună (latură )raze ca( )raze ca(
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
16
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Cazul latură -unghi -unghi
Două triunghiuri oarecare au câte o latură, unghiul opus ei și un unghi alăturat ei, respectiv
congruente sunt congruente.
…
ˆˆˆˆLUU
BBAACB BC
ABC
CBA
CCCA ACBA AB
ˆˆ
Aplicație:
Dacă în figura alăturată,
DCB ABC atunci ,Dˆ Aˆiar , DCB ABC
Ipoteză:
Dˆ Aˆ , DCB ABC
Concluzie:
DCB ABC
Demonstrație:
Comparăm
ABC cu
DCB
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
17
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
…
(ipoteza)Dˆ Aˆa) DCB(ipotez ABC) comuna (laturaBC BC
UUL
DCB ABC
CD AB,
DBC ACB și
BD AC
1.2. Metoda triunghiurilor congruente
În rezolvarea problemelor de geometrie ținem cont de:
a)- să citim cu atenție problemele și să folosim instrumentele potrivite pentru a desena figura
geometrică;
– figura desenată să respecte proporțiile elementelor date în enunțul problemei;
– figura trebuie să fie suficient de mare și clară;
b) să apreciem pe figură dacă aceste segmente sau unghiuri sunt congruente;
c) pentru a demonstra că două segmente s au două unghiuri sunt congruente, căutăm să le încadrăm
în două triunghiuri a căror congruență poate fi demonstrată;
d) tragem concluzii că segmentele (sau unghiurile respetive) sunt congruente, dacă sunt elemente
omoloage în triunghiuri congruente.
Exempl ul 1:
Dacă în figura alăturată, DP=PA și PB=PC, atunci: a) AB=DC; b) AC=DB; c)
DAB CDA
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
18
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Ipoteză: DP=PA; PB=PC
Concluzie: a) AB=DC; b) AC=DB; c)
DAB CDA
Demonstrație:
a) Încadrăm segmentele
AB și
DC în două triunghiuri convenabil alese pentru stabilirea
congruenței lor și anume
DPC si
APB.
APB DPC
PB PCAPB DPCPA DP
LUL
===
…
) vârfla opuse(
Din congruența triunghiurilor rezultă congruența elementelor omoloage ale acestora, deci
AB DC
(sunt laturi ale triunghiurilor congruente și se opun la unghiuri congruente).
Observație: triunghiurile fiind congruente rezultă că și
PAB CDA ,
ABP DCP . Nu am
mentionat si aceste congruențe, fiindcă nu se cereau în problemă.
b)
BD AC=
PB=PC si DP=APPB+DP=DB PC+AP=AC
c) Încadrăm unghiurile în triunghiurile CDA și BAD.
BAD CDA
AB DCBD ACAD
LLL
…
)a punctul()b punctul() comuna latura(
Exemplul 2.
Dacă, în figura alăturată,
,BCA DAC
BAC DCA și
BN DM , atunci:
BC AD
și
.CN AM
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
19
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Ipoteză:
,BCA DAC
BAC DCA ,
BN DM
Concluzie:
BC AD ,
.CN AM
Demonstrație:
Segmentele
AD și
BC sunt laturi ale triunghiurilor
ADC , respectiv
.CBA
Analizând aceste triunghiuri constatăm că:
BA DC CBA ADC
BAC DCAAC ACBCA DAC
ULU
…
) comuna latura(
și
CB AD
Pentru a demonstra că
AM și
CN sunt congruente, se compară
AMC cu
CNA
Exemplul 3 :
Pe laturile unghiului cu vârful în A, punctele B și C sunt luate astfel ca
AC AB . O dreaptă
prin B intersectează
AC in D. Analog, o dreaptă prin C intersectează
AB in E, astfel încât
.ADB AEC
Să se arate că:
a)
AE AD
b)
OD EO , unde
BD EC O= ;
c)
AO ]este bisectoarea
BAC
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
20
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Ipoteză:
AC AB ;
.ADB AEC
Concluzie: a)
AE AD ;
b)
OD EO ;
c)
DAO EAO .
Demonstrație:
a)
AD și
AE sunt laturi ale triu nghiurilor
BAD și
CAE , pe care le comparăm:
CE BDCB CAE BAD
CEA BDAAC ABCAE BAD
UUL
,ˆˆ ) comuna latura(..
și
AE AD
b)
EO și
DO sunt laturi ale triunghiurilor
BOE și
COD .
Observăm că:
•
ODC OEB (sunt unghiuri care au suplemente unghiuri congruente):
) ( ) ( DOAm OEAm =
;
• EB=DC fiindcă EB=AB -EA, DC= AC -AD si AD=AE
DO EODCO EBOCO BO
COD BOE
DOC EOBODC OEBDC EB
UUL …
c)
DAO EAO sunt unghiuri ale triunghiurilor
EOA și
DOA .
O
E
B
D
C
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
21
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
DAO EAO DAO EAO
AO AODO EOAD AE
LLL
…
comună latură)b punctul()a punctul(.
1.3. Congruența triunghiurilor dreptunghice
În cazurile de congruență pentru triunghiurile oarecare erau necesare cunoașterea a trei
element e ale triunghiului (dintre care cel puțin o latură). Triunghiurile dreptunghice au câte un
unghi drept și este de așteptat ca în cazul particular al triunghiurilor dreptunghice, atât in cazurile
de costrucție cât și în cazurile de congruență acestea să f ie redate într -o formă simplificată.
Cazul catetă -catetă :
Dacă doua triunghiuri dreptunghice au catetele respectiv congruente, atunci ele sunt congruente.
Fie triunghiurile dreptunghice ABC si
CBA ,
.90)ˆ( )ˆ(0== Am Am
CBA ABCCA ACBA ABCC
..
.
Acest caz este o aplicație directă a cazului latură -unghi -latură de la triunghiul oarecare.
Cazul catetă -unghi :
Dacă doua triunghiuri dreptunghice au câte o catetă si un unghi ascuțit, la fel așezat față de catetă,
respectiv congruente, atunci ele sunt congruente.
Avem două posibilități:
I.Triunghiurile dreptungice ABC si
CBA au congruente câte o catetă si unghiul alăturat ei, diferit
de unghiul drept:
A
C'
A'
B'
C
B
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
22
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
CBA ABC
BBBA ABAm Am
UC
===
..0
ˆˆ90)ˆ( )ˆ(
Acest caz este aplicație directă a cazului unghi -latură -unghi de la triunghiuri oarecare.
II.Triunghiurile dreptunghice au congruente cate o catetă și unghiul opus.
CBA ABC
CCBA ABAm Am
UC
===
..0
ˆˆ90)ˆ( )ˆ(
Acest caz este aplicație directă a cazului latură -unghi -unghi de la triunghiuri oarecare.
Cazul ipotenuză -unghi:
Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuza și un unghi, diferit de unghiul drept, respectiv
congruente, atunci sunt congruente.
CBA ABC
BBCB BCAm Am
UI
===
..0
ˆˆ90)ˆ( )ˆ(
Acest caz este aplicație directă a cazului latură -unghi -unghi de la triunghiuri oarecare.
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
23
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Cazul ipotenuză -catetă :
Două triunghiuri dreptunghice au o ipotenuză și o catetă respectiv congruente, atunci ele sunt
congruente.
Ipoteză: Concluzie:
CBA ABC
CBA ABC
CB BCCA ACAm Am
UI
====
..090)ˆ( )ˆ(
Demonstrație :
Prelungim
AC cu
AC AP , iar
CA cu
AC PA .
Cum
CA AP
PC CP .
Vom demonstra că triunghiurile ABC și ABP sunt congruente.
.) drepte unghiuri(.
BP BC ABP ABC
AB ABBAP BACAP AC
CC
(1)
Vom demonstra că triunghiurile A'B'C' și A'B'P' sunt congruente.
.) drepte unghiuri(.
PB CB PBA CBA
BA BAPAB CABPA CA
CC
(2)
Din
PB BP CB BC (relatiile (1) și (2)).
B
A
P
C'
A'
P
B'
C
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
24
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
.ˆˆ…
CC CPB BPC
CP PCCB BCPB BP
LLL
(3)
Acum putem să arătăm că triunghiurile ABC și A'B'C' sunt congruente:
.
)i.p.()3 relatia(ˆˆ90)ˆ( )ˆ(
..0
CBA ABC
CB BCCCBACm BACm
UI
===
Aplicație :
Pe laturile unghiului cu vârful în A din figura următoare, se consideră punctele B și C, astfel încât
AB=AC. Fie CM
⊥ AB,
)(AB M și
AC BN⊥ ,
).(AC N Demonstrați că:
a) BN=CM
b) MP=PN, unde BN
CM=
P
c)
.NAP MAP
Ipoteză:
AC AB
CM
⊥ AB
BN
⊥ AC
Concluzie: a)
CM BN
b)
PN MP
c)
NAP MAP
Demonstrație :
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
25
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu a) Segmentele
BN și
CM sunt laturi ale triunghiurilor BAN și respectiv CAM.
b) Segmentele
MP și
PN sunt laturi ale triunghiurilor BPM si CPM. Vom arăta întâi că
NC MB
.AM AN CAM BAN
Cum AN=AM și AB=AC
NC MB (fiindcă MB=AB –
AN și NC=AC -AN).
PN MP CPN BPM
CNPm BMPmNPC MPBNC MB
UC
==
.
090) ( ) () vârfla opuse(
c)
NAP MAP ANP AMP
ANPm AMPmAP APNAP MAP
CI
==
..
090) ( ) () comună latură ()b punctul(
2. ASEMĂNAREA TRIUGHIURILOR
2.1. Raportul a două segmente
Definiție.
Raportul a două segmente, măsurate cu aceeași unitate de măsură, este raportul lungimilor lor.
Exemple:
1) Se dau două segmente [ AB] =4 cm. si [CD] = 5 cm. Raportul segmentelor [AB] si [ CD]
este
CDAB =
cmcm
54 .
a) segmente pe suporturi diferite
A B
C D
.
comun) (unghi)i.p.(90) ( ) (
..0
CM BN CAM BAN
CAM BANAC ABBNAm CMAm
UI
==
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
26
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu b) segmente pe același suport
A B
C D
A B C D
2) În triunghiul MNP lungimile laturilor MN=15mm si NP=30mm.
Raportul lungimilor laturilor este egal cu:
21
3015==NPMN
În ambele exemple am exprimat lungimile segmentelor cu aeeași unitate de măsură.
2.2. Segmente proporționale
Reamintim:
Șirurile de numere reale nenule (a 1,a2,a3,…an,…) și (b 1,b2,b3,…bn…), sunt proporționale dacă
2 , , …
33
22
11==== nNnba
ba
ba
ba
nn
Raportul constant
…….
33
22
11====ba
ba
bak
se numeste factor de proporționalitate (sau raport de
proporționalitate )
Scriem (a 1,a2,a3,…an,…) ~ (b 1,b2,b3,…bn…)
Definiție.
Șirurile de segmente ( [AB], [CD], [EF]….) și ( [
11BA ], [
11DC ], [
11FE ]….) se numesc
proporționale dacă șirurile lungimilor lor sunt proporționale.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
27
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Exemplu :
AB=2 dm, CD=12 dm , EF =3dm , FG = 9 dm , GH = 18 dm, BC=6 dm atunci
([AB], [BC], [CD]) ~ ([EF], [FG], [GH]) deoarece
32
===
GHCD
FGBC
EFAB
Factorul de proporționalitate este
32
Observații:
1.Ordinea în care sunt scrise segmentele este esențiala.(numărător ∕ numitor)
2.Când factorul de proporționalitate este 1, șirurile de numere coincid(respectiv segmentele sunt
congruente.
2.3.Impartirea unui segment intr -un raport dat
Propoziția1. Există un singur punct interior segmentului care împarte un segment dat într -un raport
dat. A M B
•
Demonstrație:
Fie [AB] segmentul dat și r raportul dat. Trebuie sa gasim un punct M, M
(AB) astfel incat
rMBAM=
, ceea ce înseamnă
1+==+ rr
ABAM
MB AMAM . De aici rezultă că AM=AB
•
1+rr .
Deoarece
11+rr rezultă că AM <AB , deci punctul M este în interiorul segmentului AB.
Dacă r=1, atunci M este mijlocul segmentului .
Exemplu .
32=BCAB
B B între A si C
A C
Propoziția2. Exista un singur punct exterior segmentului care împarte un segment dat într -un raport
dat, dacă raportul este diferit de 1.
Demonstrație:
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
28
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Fie [AB] segmentul dat și r
1 raportul dat
Determinăm un punct M'
AB AB\, astfel încât
rBMAM='', formăm proporție și folosim proporții
derivate.
Cazul r<1 M’ A B
Determinăm punctul M' pe dreapta AB, astfel încât M’
BM',
rrAB AMrr
ABAM r
BMAM
−=−==1'1'
1 ''
Cazul r>1 A B M’
Determinăm punctul M’ pe dreapta AB, astfel încât B’
'AM
11. ' 1''
11
'' '
1 ' '''
−=−=−=−==rABBM rBMAB r
BMBMAM r
BMAMrBMAM
Concluzie:
Deducem din cele două propoziții că există două puncte care împart un segment dat în același
raport, unul interior și celalalt exterior segmentului.
2.4.Teorema paralelelor echidistante
Teoremă. Daca mai multe drepte par alele determina pe o secanta segmente congruente, atunci ele
determina pe orice alta secanta segmente congruente.
Demonstrație:
Cu notațiile din figura următoare, avem: [A
1 A
2] ≡ [A
2A
3] ≡ [A
3A
4]≡…….≡ [An-1An]
Trebuie să demonstrăm că: [B
1 B
2] ≡ [B
2B
3] ≡ [ B
3B
4]≡……..≡ [ Bn-1Bn]
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
29
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Construim:
g CA g CAg CAn n // ,……// ,//1 32 21 −
.)..( …….1 332 221 ULUCAA CAA CAAnn n−
n nCA CA CA1 32 21 ….−
Dar
nn n n CBBA CBBA1 1 2211 ……., ,………−− -paralelograme
m nBB BB BB1 32 21 ….−
2.5. Teorema lui Thales
Istoric
Thales din Milet (c. 635 î. Hr. – c. 543 î.Hr.) a fost un filozof grec presocratic, care a contribuit
la dezvoltarea matematicii, astronomiei, filozofiei. Este considerat părintele științelor Herodot,
primul autor care-l menționează pe Thales, afirmă că strămoșii lui Thales erau fenicieni, dar
Diogenes Laertios adaugă că cei mai mulți scriitori îl prezintă ca aparținând unei vechi familii
milesiene. Thales a murit la o vârstă înaintată, în timpul unor manifestări sportive, din cauza unor
călduri excesive. Pe mormântul său este o inscripție care spune: "Aici, într-un mormânt strâmt
zace marele Thales; totuși renum ita sa înțelepciune a ajuns la ceruri". Deși nici una dintre scrierile
lui nu a fost găsită, cunoaștem munca sa din scrierile altora.
d 1
d 2
d 3
d 4
d
g
A 1
A 2
A 3
A 4
B1
B2
B3
B 4
d n-1
d n
A n-1
A n
B n-1
B n
C2
C3
C4
Cn
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
30
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu În domeniu matematicii, Thales a adus geometria în Grecia, familiarizându-se cu ea în timpul
călătoriilor sale în Egipt și dezvoltând-o ulterior. Teoremele geometrice elaborate de el au
constituit temelia matematicii grecești.
Thales a demonstrat că:
1. un cerc este împărțit în două părți egale de diametru;
2. unghiurile bazei unui triunghi isoscel sunt egale;
3. un triunghi este determinat dacă sunt date o latură și unghiurile adiacente ei;
4. unghiul înscris într-un semicerc este unghi drept.
Atribuirea celor patru teoreme lui Thales provin de la Proclos, care se baza pe o afirmație a
lui Eudemos. Teorema patru este aso ciată cu realizarea practică a măsurării distanței dintre vasele
de pe mare. Hieronymus din Rhodos ne povestește cum a măsurat Thales piramidele din Egipt,
folosi nd umbrele (a determinat moment ul zilei în care umbra noastră este egală cu înălțimea).
Diogenius Laertius, în cartea "Viețile și opiniile marilor filozofi" ne spune că "Thales a fost primul
care a determinat cursa Soarelui de la un sols tițiu la celălalt și a declarat că mărimea.
Soarelui ar fi a 720–a parte din cercul solar, și mărimea Lunii ar fi aceeași fracție din cercul lunar.
Se spune că el a descoperit cele patru anotimpuri ale anului și l-a împărțit în 365 de zile"
Teorema 1: (Thales ):
O pa ralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente
proporționale.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
31
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Demonstrație:
Considerăm cazul când raportul
DBAD este rațional.
Presupun em că
23=BDAD . Împărțim segmentul [AB] în 5 părți congruente ;
Al treilea punct de diviziune este D; notăm punctele de diviziune cu D1, D2, D4
BD DD DD DD AD4 43 32 21 1
Prin D1, D2, D4 ducem paralele la BC și notăm punctele lor de intersecție cu latura [AC]
respective prin E1, E2, E3, E4.
Conform teoremei paralelelor echidistante
CE EE EE EE AE4 43 32 21 1
ECAE
BDAD
ECAE==23
Dacă raportul
BDAD este un nu măr rațional oarecare
= Nnmnm
BDAD,, , raționamentul este
același ; segmentul [AB] se împarte în m+n părți congruente.
Teorema 2: (paralelelor neechidistante):
Mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale.
Ipoteză :d1||d2||d3||d4
a∩d1={A1}, a∩d2={A2}, a∩d3={A3}, a∩d4={A4}
b∩d1={B1}, b∩d2={B2}, b∩d3={B3}, b∩d4={B4}
Concluzie:
4343
2132
2121
BBAA
BBAA
BBAA==
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
32
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Ducem prin B1 paralela la dreapta a. Aplicând teorema lui Thales în ∆B1C3B3 și folosind faptul
că A1B1C2A2, A2C2C3A3 sunt paralelograme , deducem
3221
3221
BBBB
AAAA=
, adică
3232
2121
BBAA
BBAA=
Analog , ducând paralela prin B2 la a se deduce că
4343
3232
BBAA
BBAA=
4343
3232
2121
BBAA
BBAA
BBAA==
Reciproca teoremei lui Thales :
Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale , atunci ea
este paralelă cu a treia latură.
Ipoteză :
ACAN
ABAM=
Concluzie: MN||BC
d 1
d 2
d 3
d 4
a
b
A 1
A 2
A 3
A 4
B1
B2
B3
B 4
C2
C3
C4
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
33
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Demonstrație:
Presupun em prin absurd că MN// BC, atunci ducem prin M paralelă la BC și notăm cu N' punc tul
ei de întersecție cu AC , N'≠N
Aplicăm teorema lui Thales: MN’//BC
ACAN
ACAM
ACAN
ABAMACAN
ABAM
''
=
==
AN = AN'
N=N' – contradicție
MN||BC
Teorema bisectoarei
Într-un triunghi bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă două segmente proporționale cu
celelalte două laturi.
Ipoteză: [AD bisectoarea
BAC
Concluzie:
ACAB
DCDB=
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
34
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Demonstrație:
Ducem prin C paralela la AD, CE||AD , unde E este punc tul de intersecție al paralelei construite
cu dreapta AB.
În ∆BCE aplicăm teorema lui Thales
ACAB
DCDB= (1)
Demonstrăm că [AE] ≡ [AC].
AD||CE
AC – secantă
AD||CE
AD||CE
DAC ≡
ACE ( alterne-interne)
ACE≡
AEC
∆ACE-isoscel
=>∆ACE – isoscel => AB – secantă
BAD ≡
AEC ( corespondente)
[AC]≡[AE] (2)
Din (1) și (2)
ACAB
DCBD=
2.6. Triunghiuri asemenea
Există figuri geometrice care “seamănă” , dar care prin suprapunere nu coincid (din cauza mărimii
lor). Aceste figuri se numesc asemenea.
Exemple:
Fie triunghiurile ABC si MNP
a)
b)
c)
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
35
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu N A M
B C
Definiție. Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile două câte două congruente și laturile
proporționale.
Între triunghiurile ∆ABC si ∆MNP există o asemănare dacă:
==
MPAC
NPBC
MNABP CN BM A
∆ABC ∼ ∆MNP
Dacă între două triunghiuri există o asemănare, spunem că triunghiurile sunt asemenea.
Perechile de unghiuri
(A,M),
(B,N),
(C, P) și perechile de laturi (AB,MN),
(BC,NP), (AC,MP) se numesc corespondente sau omoloage .
Raportul lungimilor laturilor se numește raport de asemănare.
Dacă triunghiurile sunt congruente atunci raportul de asemănare este 1.
Teorema fundamentală a asemănării
O paralelă la una din laturile unui triunghi, formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile
lor, un triunghi asemenea cu cel dat.
Ipoteză: ∆ ABC
M ∈AB, N ∈AC, MN║BC
Concluzie: ∆ABC∼∆AMN
P
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
36
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Demonstrație:
a) M ∈ (AB)
Din MN║BC și AB, AC-secante
AMN≡
ABC
ANM≡
ACB (corespondente) (1), iar conform reflexivității
MAN≡
BAC
In ∆ABC, MN║BC,
ACAN
ABAM=
=
BCPB
ACANBC PAB NPBP MN
),( , //][] [ , am paralelogr – MNPB
=BCMN
ACAN
BCMN
ACAN
ABAM==
(2)
Din (1) și (2)
∆ AMN ~∆ ABC.
b) B
(AM)
Demonstrația rămâne aceeași, construind CD║AM.
c) D
AB astfel încât A
(DB)
Fie M
(AB) astfel încât [AM]≡[AD] , N
(AC) astfel încât [AN]≡[AE], NM║DE,
∆AMN≡∆ ADE (L.U.L.)
Analog cu punctul (a)
∆AMN∼ ∆ABC
∆ADE∼ ∆ABC
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
37
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Aplicație:
1.Fie trapezul ABCD (AB||CD) si O punctul de intersecție a diagonalelor.
Demonstrați că:
CDAB
ODOB
OCOA==
Rezolvare:
Deoarece AB||CD rezulta, din teorema fund amentala a asemanarii, ca ∆AOB∼ ∆COD. Deci
CDAB
ODOB
OCOA==
Propozitia 1. Dacă două triunghiuri sunt asemenea, a tunci raportul ariilor lor este egal cu pătratul
raportului de asemanare.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
38
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Prin raport de asemanare se intelege raportul:
✓ a doua laturi omoloage,
aa' sau
✓ a doua inaltimi omoloage,
aa
hh' sau
✓ a doua bisectoare omoloage,
aa
ll' sau
✓ a doua mediane omoloage,
aa
mm'
Deci, dacă ∆A`B`C`~ ∆ABC
Se numesc triunghiuri echivalente, triun ghiurile care au aceeași arie.
2.7. Criterii de asemănare a triunghiurilor
Cazul 1 (unghi -unghi)
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două unghiuri respectiv congruente.
Demonstrație:
2
'2
'2
'2
''' '
=
=
=
=
aa
aa
aa
ABCCBA
mm
ll
hh
aa
AA
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
39
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Fie M
(AB astfel încât AM= A’B’.
Construim MN||BC, N
(AC
− ''' ipdin ) (
secanta//
CBA ABCnte coresponde ABC AMN
ABBC MN
''']''[] ['''
CBA AMNBA AMCBA AMN
'''.)..(.)..('''~ CBA ABCAFT ABC AMNULUCBA AMN
Observații:
1. Orice două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea dacă au câte un unghi ascuțit congruent.
2. Orice două triunghiuri echilaterale sunt asemenea.
3. Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o p ereche de unghiuri congruente.
Cazul 2 (latură -unghi -latură)
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două laturi respectiv proporționale și unghiurile dintre
laturile proporționale sunt congruente.
Ipoteza:
''' ''A AsiCAAC
BAAB=
Concluzie:
'B B ,
'C C si
'' '' CBBC
CAAC=
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
40
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Demonstrație :
Fie D
(AB astfel încât AD=A’B’, apoi construim DE//BC, E
(AC.
Atunci
ACCA
ABBA
ABAD '' ''== . Insa
''CBBC
ABAD= (din teorema fundamentală a asemănării), de unde
rezultă ca A'C'=AE
Atunci ∆ADE
∆A'B'C' (cazul L.U.L.). Deoarece ∆ABC
∆ADE, obținem că ∆ABC
∆A'B'C'.
Cazul 3 (latură -latură -latură)
Două triunghiuri sunt asemenea dacă au laturile respectiv proporționale.
Ipoteza:
'' '' '' CBBC
CAAC
BAAB==
Concluzie:
'A A ,
'B B ,
'C C si
'' '' CBBC
CAAC=
Demonstratie :
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
41
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Fie D
(AB astfel încât [AD]=[A’B’].
Construim DE||BC, E
(AC, rezultă că
ACCA
BCCB
ABBA
ABAD '' '' ''=== (1)
Din teorema fundamentală a asemănării (DE||BC) rezultă că
ACAE
BCDE
ABAD== (2)
Din (1) si (2) deducem că [DE]
[B’C’] si [AE]
[A’C’].
Rezultă că ∆ADE
∆A’B’C’(cazul L.L.L.). Prin urmare
'A A ,
'B D B ,
'C E C
Aplicație :
1.Se consideră trape zul dreptunghic ABCD(
090)ˆ( )ˆ( == Bm Am ). Prin punctul de intersecție a
diagonalelor se costruiește paralela la baze ce intersectează AB în E și CD în F. Să se arate că
AED BEC
.
Rezolvare:
Încadrăm cele două unghiuri in triunghiurile BEC, respectiv AED.Demonstrăm că
BEC ~
AED
Observăm că:
ODBO
AEBE= (Teorema lui Thales);
ADBC
ODBO= (Teorema fundamentală a asemănării
în
AD||BCcu AOD ). Rezultă că
ADBC
AEBE= . Deoarece unghiurile dintre laturile
BE și
BC
, respectiv
AE și
AD sunt congruente(având măsura de 900), rezultă că
BEC ~
AED (cazul
2 de asemănare). Prin urmare
AED BEC (unghiuri corespondente).
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
42
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu 3. REL AȚII METRICE
3.1.Proiecții ortogonale
Definiția1. Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse
din acel punct pe dreaptă.
Proiecția punctului A pe dreapta d Daca B
d, atunci proiecția lui B pe dreapta d
este chiar puctul B
Definiția2. Proiec ția unei mul țimi de puncte pe o dreapt ă este mul țimea proiecțiilor punctelor pe
acea drept ă.
Exemple:
1)
2)
3)
În exemplul 1) proiecția mulțimii {A, B, C} este mulțimea {A’, B’, C’}.
În exemplele 2) si 3) proiecția mulțimii este un segment.
✓ Proiec ția unui segment pe o dreapta se ob ține proiectând extremită țile segmentului pe
dreaptă.
Figura geometrică rezultată în urma proiec ției unui segment pe o dreaptă este:
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
43
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu a) un segment de aceeași lungime cu segmentul dat dacă acesta este paralel cu dreapta pe care
se face proiectia. Fig.(a)
b) un segment de lungime mai mică dacă segmentul nu este paralel cu dreapta. Fig.(b)
c) un punct dacă segmentul este perpendicular pe dreapta pe care se proiectează. Fig.(c)
AB||a
AB|| a AA 1
⊥a
[A’B’]=Pr a[AB [A’B’]=Pr a[AB] A1
a
A1=Pr aA
si [A’B’]
[AB] si A’B’<AB
3.2.Relații metrice in triunghiul dreptunghic
Teorema înălțimii:
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii din vârful unghiului drept este media geometrică
între lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
Ipoteză: ∆ABC, m (
BAC) =900
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
44
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu AD⊥ BC, D
(BC)
Concluzie: AD 2 =BD∙DC
Demonstrație: În triunghiurile ADB si CAD avem:
DC BD ADACAB
ADBD
CDADCAD ADBACD BADADC ADB===
2 drepte) (unghiuri
Vom formula și propozițiile reciproce ale teoremei înălțimii și cercetăm dacă sunt adevărate sau
false.
Reciprocele teoremei înalțimii
1) Dacă intr -un triunghi ABC înălțimea din vârful A este medie proporțională între
proiecțiilor laturilor
AB și
AC pe
BC , atunci triunghiul este dreptunghic.
2) Dacă într -un triunghi dreptunghic ABC, ex istă un punct D pe ipotenuza
BC astfel încât
DCBD AD=2
, atunci punctul D este piciorul înălțimii din A.
Demonstrație:
1.Prima propoziție reciprocă este adevărata, demonstrația se face pe baza cazului 2 de asemănare.
Afirmăm că triunghiul ∆ABD~∆CDA pentru că
ADC ADB (unghiuri drepte) și
ADBD
DCAD=
(AD fiind medie proporțională între BD și DC). Această propoziție este deci teoremă reciprocă
pentru teorema înălțimii.
2.Propozitia 2 este falsă, falsitat ea ei se demonstreză prin metoda contra exemplului.
Pentru propoziția a doua este sufiecient să considerăm un triunghi ABC dreptunghic în A si
neisoscel, cu D mijlocul ipotenuzei, ca în figura dată. Se știe că mediana relativă la ipotenuză are
lungimea cît jumătate din lungimea ipotenuzei(
BC CD BD AD21=== ).
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
45
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Relația
DCBD AD=2 din ipoteză se verifică, fără ca D să fie piciorul înălțimii din A. Deci
aceasta nu este teorema reciprocă.
Teorema catetei
Într-un triun ghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică între lungimea
ipotenuzei și a proiecției acestei catete pe ipotenuză.
Ipoteză: ∆ABC , m(
BAC) =900
AD⊥ BC , D
(BC)
Concluzie: AB 2
=BD∙BC
Demonstrație:
În triunghiurile ADB si CAD avem:
BC BD ABABBD
BCABCAB ADBCAB ADB==
2~comun unghi Bdrepte) (unghiuri
Analog , din asemănarea triunghiurilor CAD și CBA
BC DC AC =2
Teorema lui Pitagora
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor
catetelor.
Ipoteză: ∆ABC , m(
BAC) =900
AD⊥ BC , D
(BC)
Concluzie: BC 2=AB 2 +AC2
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
46
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Demonstrație
În Δ ABC aplicăm de două ori teorema catetei:
AC 2 =DC ∙BC
AB 2 =BD∙BC
Adunăm relațiile:
AC 2+AB 2 =DC ∙BC+BD∙BC==BC(DC+BD)=BC∙BC
AC2 +AB 2 =BC 2
Observație. Numerele care verifica teorema lui Pitagora se numesc numere pitagorice:
9,8,65,4,3 ,
numerele 3, 4, 5 au aplicație în construcție.
Aplicație:
După ce s -a descoperit teorema lui Pitagora, oamenii parcelau terenul agricol folosind unghiul
drept generat de o sfoară cu 12 noduri.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
47
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Se dispune o funie cu 12 noduri echidistante care permite transformarea acestea cu ajutorul unor
țăruși intr -un triunghi dreptunghi c cu laturile de 3, 4 si 5.(Se utiliza astfel reciproca teoremei lui
pitagora).
Teorema reciprocă teoremei lui Pitagora .
Dacă într-un triunghi suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală cu pătratul lungimii
laturii a treia, atunci triunghiul este dreptunghic.
Ipoteza: În ABC se știe că AB2 + AC2 = BC2 .
Concluzia: m(
BAC) =900
Demonstrație
Constrium un unghi drept xOy pe laturile căruia luăm punctele: D
(Ox astfel încât
AB OD
(1) și E
(Oy astfel încât
AC OE (2).
Vom arăta ca triunghiul ABC este dreptunghic cu triunghiul DOE.
Aplicând teorema lui Pitagora în ∆OED și ținând cont de relațiile (1) și (2) obținem succesiv:
2 2 2 2 2 2BC AC AB OE OD DE =+=+=
. Deci
BC DE (3).
Din (1), (2) și (3) rezultă că
ODE ABC (cazul L.L.L.).
3.3.Elemente de trigonometrie
În oricare triunghi dreptunghic, există niște constante, numite funcții trigonometrice, care leagă
elementele triunghiului dreptungh ic între ele.
Se dă triunghiul ABC cu unghiul drept în A.
B
A
C
O
D
E
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
48
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Notăm:
xB=
x C−=090
Ne propunem să exprimăm "mărimea" unui unghi nu printr -un numar de grade, ci prin raportul
unor lungimi.
Definiția1 . Raportul dintre lungimea catetei opuse unui unghi și lungimea ipotenuzei, se numește
SINUSUL unghiului.
Acest raport este constant, nu depinde de lungimile celor două laturi.
BCABCBCACB
==
sinsin
Definiția2 . Raportul dintre lungimea catetei alăturate unui unghi și lungimea ipotenuzei, se
numește COSINUSUL unghiului.
BCACCBCABB
==
coscos
Definiția3 . Raportul dintre lungimea catetei opuse unui unghi și lungimea catetei alăturate
unghiului se numeșste TANG ENTA unghiului.
ACABtgCABACtgB
==
C
A
B
90-x
x
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
49
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
A
B
C
a
b
c Definiția 4. Raportul dintre cateta alăturata unui unghi și cateta opusă se numește COTANGENTA
unghiului.
ABACctgCACABctgB
==
Observații.
• Se observă că tangenta unui unghi și cotangenta aceluiași unghi sunt inverse.
ctgCtgCctgBtgB
11
==
• Să calculăm sinusul, cosinusul, tangenta si cotangenta câtorva unghiuri mai uzuale.
c aa BC
AB 2
2 2===
21230sin0===aa
BCAB
23
2232
222 2
030cos
==−
==−
===
aa
aa
aac a
ab
BCAC
33
232
2
222 030 ==
−==
aa
a
aa
bc
tg
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
50
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
3
331
300== ctg
În general dacă
x Cmx Bm −==090)( )( și
−=−=−=− =
) 90() 90() 90sin( cos) 90cos( sin
0000
x tg ctgxx ctg tgxx xx x
Formule fundamentale:
0 sin ;sincosctg0 cos ;cossin90;0 ;1 cos sin0 0 2 2
= ==+
xxxxxxxtgxx x x
Observații:
1.Sinusul si cosinusul unui unghi ascuțit sunt numere reale cuprinse intre 0 si 1
2.Tangenta si cotangenta unu i unghi ascuțit sunt numere reale pozitive, oricât de mari.
3.4.Rezolvarea triunghiului dreptunghic
A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă a determina măsurile unghiurilor și lungimile
laturilor sale când se cunosc:
• lungimile a două laturi oarecare sau
• măsura unui unghi ascuțit și lungimea uneia dintre laturi.
În legătura cu triunghiul dreptunghic, rezolvăm două probleme:
1. Cum aflăm o valoare (aproximativă) a lungimii unei laturi cunoscând măsura unui unghi ascuțit
și lungimea altei laturi?
Exemplu:
Fie EFG un triunghi dreptunghic in G cu GF=3cm, m(
E)=370
Calculați o valoare aproximativă a lungimii
EF .
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
51
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Rezolvare:
EFGFE=) sin(
, deci
EFGFEF=
Gasim in tabelul sinusului: sin370
0,601. Rezulta ca EF
991,4601,03
2.Cum calculăm o valoare (aproximativă) a măsurii unui unghi ascuțit când cunoaștem lungimile
a două laturi?
Exemplu :
Fie ABC un triu nghi dreptunghic în A, AB=5cm, AC=10cm. Aflați măsurile unghiurilor ascuțite.
Rezolvare :
2510)( ===ABACB tg
Găsim în tabelul tangentei:
063)(Bm ;
0 0 027 63 90)( −Cm
Observație:
Atunci când măsurile unghiurilor au valorile articulare: 300, 450 sau 600 putem face calcule pentru
rezolvarea triunghiului dreptunghic fără a apela la tabele(și deci la aproximări).
F
G
E
370
3
?
B
A
C
5
10
?
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
52
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu 3.5. Calculul ariei unui triunghi folosind sinusul
Pentru ca lculul ariei unui triunghi oarecare avem formula de baza A=
2hB . Cu ajutorul ei vom
da o altă formulă de calcul când cunoștem lungimile a două laturi și măsura unghiului cuprins între
ele.
Cazul I . Unghiul cuprins între laturi este ascuț it.
Cunoaștem: AB=c, AC=b, m( ∢A).
Se cere aria triunghiului ABC.
Rezolvare : Pornind de la formula ariei pentru un triunghi oarecare, vom ajunge la noua formulă
pentru aflarea ariei unui triunghi.
A =
2 2'BB AChB =
Din
'ABB , dreptunghic în B', rezultă BB'=AB
sin(
A)=c
sin(
A)
Așadar: A =
2sin
2'
= A cb BB AC
Reținem că, aria triunghiul ABC când se cunosc două laturi și unghiul dintre ele, este data de
formula: A =
2sin
A cb
Exempl u: AB=6, AC=8, m(
A )=300
A[ABC] =
20
12230sin86
2sincmA ACAB==
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
53
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Cazul II Unghiul cuprins între laturi este obtuz.
Cunoaștem: AB=c, AC=b, m(
A)
Se cere aria triunghiului ABC.
Rezolvare: Deoarece unghiul A este obtuz, piciorul perpendicularei din B pe dreapta AC este
exterioara laturi [AC].
Determinăm BB' în triunghiul BB'A.
)( 180)' (0
−= Am BABm
, BB'=AB
sin(1800-A)=c
sin(1800-A)
2) 180sin(
2 20 'A cb BB AChBAABC−===
Reținem:
2) 180sin(0A cbAABC−=
4. APLICAȚII PRACTICE ALE GEOMETRIEI
Aplica ție 1.
Brațul unei macarale are forma din figura urm ătoare, bara AD fiind perpendiculară pe BC, DE
perpendiculară pe AC, EF perpendiculară pe BC. Dându -se BD=1,8m și DC=3,2m, să se calculeze
lungimile tuturor barelor.
B
B'
A
C
c
b
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
54
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Ipoteză: ∆ABC -dreptunghic(
090)(=Am )
BC EF AC; DE ; ⊥⊥⊥BC AD
BD=1,8m; CD=3,2m
Concluzie: Să se calculeze lungimile barelor: AB, AD, DE, EF.
Rezolvare :
În ΔABC, 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
BD=1,8m
CD=3,2m} ⇒𝑇.î𝑛ă𝑙ț𝑖𝑚𝑖𝑖
m AD AD DC BD AD 4,2 2,38,1 ===
În ΔABD, 𝑚(∠𝐷)=900
AD=2,4m
BD=1,8m} ⇒𝑇.𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎
𝐴𝐵=√𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=√(2,4)2+(1,8)2=√9⇒𝐴𝐵
=3𝑚
m DE 92,1=
În ΔDEC, 𝑚(∠𝐸)=900
DE=1,92m
DC=3,2m} ⇒𝑇.𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒𝑖𝐸𝐷2=𝐷𝐹⋅𝐷𝐶⇒(1,92)2=𝐷𝐹⋅3,2⇒𝐷𝐹=1,152𝑚
A
B
E
D
F
C
==
3 52,3
) (secantă -BCAB||ED
încât BCD ACE, Fie … DE
ABDE
BCDC
nte coresponde CBA CDEastfelAFT
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
55
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
m EF EF FC DF EFDC EFm
înănălnă T
536,1 048,2 152,1
2,048m=FC m152,1=DF 90 E)( DEC,În
,0
===
⊥=
Aplica ție 2.
Un acoperiș cu doua pante egale are înălțimea h=1,1m, lățimea a=3,5m. Să se determine lungimea
pantei l.
Rezolvare:
Din figură se vede că l este ipotenuza unui triunghi dreptunghic(ABC) ale cărui catete sunt egale
cu
ma75,125,3
2== și h=1,1m
Conform teoremei lui Pitagora, se afla:
2725,4 21,1 0625,3)1.1()75.1(22 2 22
2=+=+=+
= hal
m l l 06,2 2725,4 =
Aplica ție 3.
Sa se determine distanța de la punctul B(vizibil și accesibil) la un punct A vizibil, dar inaccesibil,
din cauza unui obstacol(rau, lac, groapă, teren).
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
56
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Rezolvare:
Se alege pe partea accesibila un punct C și se măsoara distanța d 1 dintre B și C. Se alege pe direcția
BA un punct D situat la distanța d 2 de punctul B. Prin D se duce o paralelă la BC care intersectează
AC in E și se măsoară distanța d 3 de la D la E.
În figura dată notăm AB=x și -l determinăm în funcție de d 1, d2 și d 3. Se observă că, folosind
asemănarea triunghiurilor ABC si ADE, se obține egalitatea
31
2dd
dxx
DEBC
ADAB=+=
1 32 1
2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 3 ) ( ) (d dddx dd d dx ddxd dx dxd dx−==−+=+=
Aplica ție 4.
Sa se determine distanța de la un punct C la un punct A vizibil dar inaccesibil din cauza unui
obstacol (rau, la, groapa, teren mlăștinos, etc.)
Soluție.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
57
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu În vârful unui baston BC de lungime cunoscuta h=1500mm se monteaza un echer A’BD’ cu
unghiul drept in B, p utând oscila în jurul acestui punct.
Se rotește echerul în jurul punctului B, până când se vede punctul A de -a lungul catetei |𝐴′𝐵|
(folosind o lunetă care se așează pe cateta |𝐵𝐴′|), apoi se fixeaza echerul în această poziție.
Se fixeaza apoi luneta de -a lungul catetei |𝐵𝐷′| se vizează punctual D situate pe teren cu ajutorul
unui indicator care se deplasează până când va fi prins în câmpul vizual al lunetei. În acel moment
se fixeaza punctul D de pe teren și se măsoară distanta ‖𝐶𝐷‖=𝑎. Din triunghiul dreptunghic
ABD, putem scrie
‖𝐵𝐶‖2=‖𝐴𝐶‖‖𝐶𝐷‖
Sau
𝑥=ℎ2:𝑎
Daca 𝑎=50mm, se va gasi 𝑥=45𝑚
Aplica ție 5
Să se determine înalțimea unui turn, a unei case, a unui pom sau a unui deal, vizibil dar inaccesibil
din cauza unui obstacol peste care nu putem trece.
Solu ția 1.
Folosind același procedeu descris la problema precedentă se vizeaza vârful B și se fixează echerul
în această poziție. Se vizează punctual E situat pe teren si se măsoară distanta ‖𝐷𝐸′‖=𝑎
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
58
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu ∆𝐵𝐹𝐶 ~∆𝐸𝐷𝐶 ⇒‖𝐵𝐹‖
‖𝐸𝐷‖=‖𝐹𝐶‖
‖𝐶𝐷‖,𝑥
𝑏=‖𝐹𝐶‖
‖𝐶𝐷‖⇒𝑥=𝑏‖𝐹𝐶‖
‖𝐶𝐷‖,
∆𝐶𝐹𝐴 ~∆𝐶𝐷𝐸 ′⇒‖𝐹𝐴‖
‖𝐷𝐸‖=‖𝐹𝐶‖
‖𝐶𝐷‖,ℎ
𝑎=‖𝐹𝐶‖
‖𝐶𝐷‖⇒ℎ=𝑎‖𝐹𝐶‖
‖𝐶𝐷‖,
𝑥
ℎ=𝑏
𝑎 ⇒ 𝑥=𝑏
𝑎ℎ, daca 𝑎=20𝑚𝑚 ,𝑏=100𝑚𝑚 ,ℎ=1500 𝑚𝑚, se va gasi x=7,5m, iar înălțimea
turnului va fi H=7,5+1,5= 9m.
Solu ția 2.
Se așează o oglinda plană culcată orizontal pe suprafata pământului în punctul C, apoi observatorul
se deplaseaza până ce vede raza reflectata din punctul B (A, C, I, sunt situate în linie dreaptă) .
Se deplasează apoi oglinda î n C’ și observatorul în M' unde se vede raza reflectată din B (A,C’, I’,
sunt situate în linie dreaptă).
Dacă notăm cu: ‖𝑀𝐼‖=‖𝑀′𝐼′‖=ℎ înalțimea observatorului;
‖𝐶𝐶′‖=𝑎 (a=distanța dintre pozitia celor doua oglinzi)
‖𝐶𝐼‖=𝑏; ‖𝐶′𝐼′‖=𝑏′, distanța de la poziția oglinzilor la piciorul observatorului,
vom putea scrie:
∆𝐵𝐴𝐶 ~∆𝑀𝐼𝐶 ; ⇒ ‖AB‖
‖MI‖=‖AC‖
‖CI‖,
∆𝐵𝐴𝐶 ′~∆𝑀′𝐼′𝐶′; ⇒ ‖AB‖
‖M′I′‖=‖AC′‖
‖C′I′‖,
‖AB‖
‖MI‖=‖AC‖
‖CI‖=‖AC′‖
‖C′I′‖=‖AC′‖−‖AC‖
‖C′I′‖−‖𝐶𝐼‖=𝑎
𝑎−𝑏=‖𝐴𝐵‖
ℎ=‖𝐴𝐶‖
𝑏;
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
59
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu ‖𝐴𝐵‖=𝑎ℎ
𝑏′−𝑏,
‖𝐴𝐶‖=𝑎𝑏
𝑏′−𝑏.
Soluția 3
Să se calculeze distanța dintre două puncte vizibile dar inaccesibile (din cauza unui obstacol).
Rezolvare:
Fie ‖𝐴𝐵‖=𝑥 distanta ce trebuie calculată. Alegem o bază ‖𝐶𝐷‖=𝑎 și măsurăm cu ajutorul unui
grafometru (instrument de măsurat unghiurile formate de două raze vizuale |𝑂𝐴| 𝑠𝑖 |𝑂𝐵| )
unghiurile 𝛼=𝑚(𝐴𝐶𝐵̂ ),𝛽=𝑚(𝐵𝐶𝐷̂ ),𝛾=𝑚𝐴𝐷𝐶̂ ,𝛿=𝑚𝐴𝐷𝐵 . ̂
Aplicând teorema sinusului în triunghiurile ACD si BCD se obține:
‖𝐶𝐷‖
𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽+𝛾)=‖𝐴𝐶‖
𝑠𝑖𝑛𝛾=‖𝐴𝐷‖
𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽),(∆𝐴𝐶𝐷 )
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
60
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu ‖𝐶𝐷‖
𝑠𝑖𝑛(𝛽+𝛾+𝛿)=‖𝐵𝐶‖
𝑠𝑖𝑛(𝛾+𝛿)=‖𝐵𝐷‖
𝑠𝑖𝑛𝛽,(∆𝐵𝐶𝐷 )
Din care se deduce
‖𝐴𝐶‖=𝑎𝑠𝑖𝑛𝛾
𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽+𝛾); ‖𝐵𝐶‖=𝑎 𝑠𝑖𝑛(𝛾+𝛿)
𝑠𝑖𝑛(𝛽+𝛾+𝛿)
Apoi, din triunghiul ABC, teorema cosinusului ne da:
𝑥2=‖𝐴𝐵‖2=‖𝐴𝐶‖2+‖𝐵𝐶‖2−2‖𝐴𝐶‖∙‖𝐵𝐶‖∙𝑐𝑜𝑠 𝛼
Aplicație:
Pentru 𝛼=300; 𝛽=750; 𝛾=600; 𝛿=150 se obține:
‖𝐴𝐶‖=𝑎
2(√18+√6), ‖𝐵𝐶‖=𝑎
2(√6+√2),
𝑥=‖𝐴𝐵‖=𝑎√5+2√3≈2,9𝑎.
Aplica ție 6.
Măsurarea distanței dintre două puncte A și B, când punctele nu pot fi vizate direct.
Soluție :
Deoarece din punctul A nu putem vedea punctul B, alegem un punct C din care putem vedea și pe
A și pe B. Măsurăm distanțele AC și CB. Presupunem că am găsit AC=200m și BC= 150m.
Măsurăm apoi și unghiul ACB, și presupunem că are măsura de 700.
Pe o foaie de hârtie, desenăm un triunghi A’C’B’ asemenea cu triunghiul ACB. Pentru aceasta
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
61
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu desenăm segmentul A’C’=20cm. Construim
A’C’D cu măsura de 700 și apoi măsurăm pe
semidreapta C’D segmentul C’B’=15cm. Măsură m cât mai precis segmentul A’B’. Scriind
proporționalitatea laturilor și înlocuind, obținem distanța AB.
Aplica ția 7.
Vlad are un sistem de rafturi ca în figura următoare. Aflați lungimile necunoscute notate cu litere
în figură. Unitatea de măsură este metrul.
Soluție : Aplicând asemănarea triunghiurilor la formarea rafturilor, știind că acestea sunt
paralele între ele și că înălțimea raftului este împărțită în patru părți egale, vom afla x,y si z.
m z z zz2,12,19,06,19,06,1 2,19,0
6,12,1====
m x z xx3,06,14,02,12,14,0 6,12,16,14,0====
m y z xy6,06,18,02,12,18,0 6,12,16,18,0====
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
62
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu CAPITOLUL II – METODE MODERNE UTILIZATE IN PREDAREA GEOMETRIEI
Matematica este obiectul care generează la marea majoritate a elevilor eșecul școlar. De
aceea profesorul de matematică trebuie să creeze un climat instituțional favorabil folosind diverse
metode moderne care să -l determite pe elev să se implice activ în p rocesul instructiv educativ.
Școala nu trebuie ințeleasă ca fiind locul unde profesorul predă si elevii ascultă. Învățarea
devine eficientă doar atunci când elevii participă în mod activ la procesul de învățare: discuția,
argumentul, investigația, experim entul devin metode indispensabile pentru învățarea eficientă și
de durată.
Toate situațiile și nu numai metodele active propriu -zise în care elevii sunt pusi și care îi
scot pe aceștia din iposteza de obiect al formării și -i transformă în subiecti activi , coparticipanți la
propria formare, reprezint ă forme de înv ățare activă.
Metodele active necesită o pregatire atentă: ele nu sunt eficiente decât în condițiile
respectării regulilor jocului. Avantajul major al folosirii acestor metode provine din faptul că ele
pot motiva și elevii care au rămâneri în urmă la matematică.
1.1. Problematizarea
Una dintre metodele activ participative, care antreneaz ă elevul în învățare prin punere și
rezolvare de probleme este problematizarea. Aceasta este situația în care profesorul nu comunică
elevului o sumă de cunoștințe prin metode expozitive, ci îl pune pe acesta în situația de a rezolva
probleme. Prin combinarea unor reguli anterior cunoscute, elevul obține o noua achiziție de
cunoaștere. În contextul acestei me tode, profesorul se adresează predominant interogativ, sugerând
o oarecare modificare a ipotezei, în comparație cu acela indicativ sau imperativ. De cele mai multe
ori, metodă se aplică și are rezultate bune dacă relația profesor -elev se aplică în princip iul “laissez –
faire” și profesorul coordonează cu tact demersul didactic. În lucrarea “Învățământul problematizat
în școală contemporană ”, W.Oken propune patru etape pentru predarea problematizată:
1.organizarea situațiilor problematice;
2.formularea prob lemelor(elevii sunt atrași treptat în acest proces);
3.acordarea ajutorului indispensabil elevilor în rezolvarea problemelor și verificarea soluțiilor;
4.coordonarea procesului de sistematizare și fixare a cunoștințelor.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
63
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Sarcina elevului este de a descoperi elementele sau legăturile care lipsesc și de a îmbină elementele
date, astfel încât să formeze noi asociațîi față de cazul în care ii sunt date toate elementele
componente și legăturile dintre ele. Această este mult mai favorabilă decât învățare a bazată pe
transmitere, când elevul trebuie să -și însușească noile cunoștințe organizate într -un sistem în care
sunt date toate elementele componente și legăturile dintre ele. Problematizarea presupune creearea
condițiilor pentru o gândire euristică și con stă în:
✓ sesizarea si formularea problemelor(2);
✓ rezolvarea si verificarea solutiilor (3), adica momentele principale ale invatarii prin
problematizare, prin rezolvarea problemelor.
Prin această metodă se măsoară gradul de activitate a tuturor elevilor, la nivelul posibilităților
fiecăruia. Elevul ajunge la independența deplină în învățare atunci când reușește să realizeze
etapele (2) și (3). Dacă profesorul realizează etapă (2) se poate spune că gradul de independența al
elevului este mai mic și când elevu l realizează o operație din etapă (3), are un grad foarte mic de
independență, până când el devine aproape dependent de sarcină. De aceea metoda problematizării
trebuie combinată cu alte metode și aplicată în funcție de posibilitățile de problematizare a
conținutului științific. O altă formă de măsurare a eficienței în învățarea problematizată este și
evaluarea cunoștințelor, nu doar imediat după lecție, cât mai ales după trecerea unei perioade mai
lungi de timp. Medota problematizării conduce la formarea unor deprinderi de tehnică și
raționament, precum și a unor capacități intelectuale. Pornind de la observația că “o teorema dată,
poate genera, în procesul problematizării, mai multe probleme, iar profesorul alege dintre ele și
programează una, în funcție de scopul educativ și posibilități”, Eugen Rusu în lucrarea
Problematizarea și probleme în matematică școlară formulează o clasificare a modurilor de
organizare a procesului de învățare a teoremelor sau rezolvării de probleme:
1. căutăm enunțul:
• dată cu demonstrația;
• prin inducție și apoi îl demonstrăm;
2. căutăm demostrația:
• pentru un enunț evident;
• pentru un enunț problematic;
În continuare voi face o analiz ă a metodelor expuse anterior:
Analiza swot – Problematizarea
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
64
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
PUNCTE TARI PUNCTE SLABE
• Solicită gândirea creatoare a elevului, punându –
i la încercare voința;
• Elevii sint abilitați nu numai să rezolve situațiile
– problemă identificate sau create de profesor,
ci să identifice sau să creeze ei înșiși anumite
situații – problemă care rep rezintă un progres
remarcabil în evoluția și în dezvoltarea lor
cognitivă;
• Elevii își dezvoltă capacitățile de analiză și de
sinteză, de generalizare și abstractizare, se
deprind să utilizeze demersuri de tip algoritmic
și euristic; • Întrebările individuale sau frontale
care se adresează gândirii,
raționamentului, nasc situații
conflictuale.
OPORTUNITĂȚI AMENINȚĂRI
• Dezvoltă imaginația și îmbogățește experiența;
• Susține evoluția cognitivă a elevilor și progresul
lor continuu pe direcția amplifică rii procesului
de cunoaștere. • Există posibilitatea ca situația –
problemă să fie identificată în
perimetrul existenței, al realității
cotidiene, iar dacă acest lucru nu
este posibil, atunci cadrul didactic
va trebui să creeze o situație
problemă.
Exemplu: Aplicarea metodei problematiz ării la rezolvarea unei probleme de geometrie la
clasa a VII -a la criterii de asem ănare a triunghiurilor
Etapa 1. Profesorul propune elevilor să determine că în orice triunghi produsul dintre lungimea
unei lături și lu ngimea înăl țimii corespunzătoare ei este aceeași.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
65
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Etapa 2. Elevii emit ipoteze asupra modalității de abordare a problemei:
Fie [AA’], [BB’], [CC’] înălțim ile triunghiului ABC.
Trebuie s ă demonstr ăm că BC
AA’=AC
BB’=AB
CC’
Vom demostra c ă BC
AA’=AC
BB’, cealalt ă egalitate demonstrandu -se asem ănător:
Etapa 3. Elevii vor demostra ipoteza emisa
BC
AA'=AC
BB’
''
AABB
ACBC= (1)
Segmentele [BC] si [BB'] sunt laturile triunghiului BB’C , segmentele [AC] si [AA'] sunt laturile
triunghiului AA’C.
Pentru a demonstra inegalitatea (1), este suficient să demostrăm că ∆BB'C~∆AA'C.
Deoarece triunghiurile sunt dreptunghice, este suficient să demostrăm congruen ța a dou ă unghiuri
ascuțite ale triunghiurilor. Observăm că ungh iul C este comun. Prin urmare triunghiurile sunt
asemenea (cazul de asem ănare I)
Etapa 4. Elevii formuleaz ă răspunsul pentru problema propus ă:
perechile de laturi [BC] si [AC], respectiv [BB’] si [AA’] sunt corespondente (sunt opuse
unghiurilor congruente) . Rezult ă că
''
AABB
ACBC=
Profesorul face o observație, spunând că problemă stă la baza definiției consistente a ariei unui
triunghi : BC
AA’=AC
BB’=AB
CC’=2A ABC
1.2. Brainstormingul
Brainstormingul este o metodă care ajută la crearea unor idei și concepte creative și
inovatoare. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile suspendate vor fi puse de -o
parte. Astfel exprimarea va deveni liberă și participan ții la un proces de brainstorming își vor spune
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
66
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu ideile și părerile fără teama de a fi respinși sau criticați. Se expune un concept, o idee sau o
problemă și fiecare își spune părerea despre cele expuse și absolut tot ceea ce le trece prin minte,
inclusiv i dei comice sau inaplicabile.
O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia ocazia de a participa la dezbateri și se
poate dovedi o acțiune foarte constructivă.
Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele:
– deschiderea sesiunii de brainst orming în care se prezintă scopul acesteia și se discută
tehnicile și regulile de bază care vor fi utilizate;
– perioada de acomodare durează 5 -10 minute și are ca obiectiv introducerea grupului în
atmosfera brainstormingului, unde participanții sunt stimul ați să discute idei generale
pentru a putea trece la un nivel superior;
– partea creativă a brainstormingului are o durată de 25 -30 de minute. Este recomandabil
ca în timpul derulării acestei etape, coordonatorul (profesorul) să amintească timpul care a
trecut și cât timp a mai rămas, să “preseze” participanții și în finalul părții creative să mai
acorde câte 3 -4 minute în plus. În acest interval de timp grupul participant trebuie să fie
stimulați să -și spună părerile fără ocolișuri.
– la sfârșitul părții creat ive coordonatorul brainstormingului clarifică ideile care au fost
notate și puse în discuție și verifică dacă toată lumea a înțeles punctele dezbătute. Este
momentul în care se vor elimina sugestiile prea îndrăznețe și care nu sunt îndeajuns de
pertinente. Se face și o evaluare a sesiunii de brainstorming și a contribuției fiecărui
participant la derularea sesiunii. Pot fi luate în considerare pentru evaluare: talentele și
aptitudinile grupului, repartiția timpului și punctele care au reușit să fie atinse.
– pentru a stabili un acord obiectiv cei care au participat la brainstorming își vor spune
părerea și vor vota cele mai bune idei. Grupul supus la acțiunea de brainstorming trebuie
să stabilească singuri care au fost ideile care s -au pliat cel mai bine pe c onceptul dezbătut.
Pe timpul desfășurării brainstormingului participanților nu li se vor cere explicații pentru
ideile lor. Aceasta este o greșeală care poate aduce o evaluare prematură a ideilor și o îngreunare
a procesului în sine.
Brainstormingul funcț ionează după principiul: asigurarea calității prin cantitate și își
propune să elimine exact acest neajuns generat de autocritică .
Cele 7 reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei ședințe reușite de brainstorming:
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
67
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu 1. Nu judecați ideile celorlalți – cea mai importantă regulă.
2. Încurajați ideile nebunești sau exagerate.
3. Căutați cantitate, nu calitate în acest punct.
4. Notați tot.
5. Fiecare elev este la fel de important.
6. Nașteți idei din idei.
7. Nu vă fie frică de exprimare.
Este important de reținut că obiectivul fundamental al metodei brainstorming constă înexprimarea
liberă a opiniilor prin eliberarea de orice prejudecăți. De aceea, acceptați toate ideile, chiar trăznite,
neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în mintea elevilor, indiferent dacă acestea conduc
sau nu la rezolvarea problemei. Pentru a determina progresul în învățare al elevilor este necesar să
îi antr enați în schimbul de idei; faceți asta astfel încât toți elevii să își exprime opiniile!
Analiza swot – BRAINSTORMING –UL
PUNCTE TARI PUNCTE SLABE
• Învățarea se realizează în mod activ;
• Dezvoltă creativitatea, spontaneitatea,
încrederea în sine prin procesul evaluării
amânate;
• Dezvoltă abilitatea de a lucra în echipă;
• Oferă soluții sau răspunsuri la problemă,
la subiecte;
• Creează o emulație la nivelul grupului
care, la rândul său, stimulează
creativitatea membrilor;
• Amplifică motivația membrilor pentr u
activitatea de instruire, deoarece aceștia
conștientizează faptul că își pot aduce o
contribuție în abordarea unei anumite
teme. • Nu toate conținuturile instruirii pot fi
abordate prin utilizarea acestei metode;
• Poate avea caracter inhibitoriu pentru
subiecții intovertiți și pentru cei care
posedă o fluență verbală mai redusă;
• Poate deveni limitativă pentru elevii din
ciclurile mai mici deoarece aceștia nu
posedă multiple experiențe de învățare și
nici nu au o disponibilitate mărită pentru
comunicare.
OPORTUNITĂȚI AMENINȚĂRI
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
68
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu • Toți participanții pot oferi alternative
pentru soluționarea problemei;
• Se pot exprima propriile nemulțumiri, dar
și expectațiile prin exprimarea dorințelor
și satisfacțiile. • Nu suplinește cercetarea de durată;
• Uneori poate fi prea obositor sau solicitant
pentru unii participanți.
Exemplu: Aplicarea metodei brainstorming la rezolvarea unei probleme de geometrie la clasa
a VII -a în care se aplică teorema înălțimii, teorema catetei, teorema lui Pitagora și funcțiile
trigonometrice
Etape:
1. Alegerea sarcinii de lucru. Problema este scrisă pe tablă.
În triunghiul ABC cu
()=90ˆAm și AD ⊥ BC, D BC se cunosc BD = 8 cm și BC = 32 cm.
Aflați AB, DC, AD, AC,
()Bmˆ și
()Cmˆ .
2. Solicitarea exprimării într -un mod cât mai rapid, a tuturor ideilor legate de rezolvarea
problemei. Sub nici un motiv, nu se vor admite referiri critice.
Cereți elevilor să propună strategii de rezolvare a problemei. Pot apărea, de exemplu,
sugestii legate de realizarea unei figuri cât mai corecte. Lăsați elevii să propună orice metodă le
trece prin minte!
3. Înregistrarea tuturor ideilor în scris (pe tablă). Anunțarea unei pauze pentru așezarea ideilor
(de la 15 minute).
Notați toate propunerile elevilor. La sfârșitul orei, puneți elevii să transcrie toate aceste idei
și cereți -le ca pe timpul pauzei, să mai reflecteze asupra lor.
4. Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, etc.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
69
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Pentru problema analizată, cuvintele -cheie ar putea fi: teoremele învățate la relațiile
metrice în triunghiul dreptunghic, precum și funcțiile trigonometrice.
5. Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contra argumentarea ideilor emise anterior.
Selectarea ideilor originale sau a celor mai aprop iate de soluții fezabile pentru problema
supusă atenției.
Puneți întrebări de tipul: Cine este BD, dar BC pentru triunghiul ABC? Cum putem afla
cateta AB? Dar proiecția DC?
6. Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propozi ții, colaje,
imagini, desene, etc.
Ca urmare a discuțiilor avute cu elevii, trebuie să rezulte strategia de rezolvare a problemei.
Aceasta poate fi sintetizată sub forma unor indicații de rezolvare de tipul:
• construim triunghiul;
• aplicăm teorema catetei, t eorema înălțimii și teorema lui Pitagora;
• aplicăm funcțiile sinus sau cosinus.
1.3. Metoda copacul ideilor
Copacul ideilor – este o metodă grafică în care cuvântul cheie este scris într -un dreptunghi,
la baza paginii, în partea centrală. De la acest dreptunghi se ramifică asemeni crengilor unui copac
toate cunoștințele evocate despre o anumită temă. Foaia pe care este desenat copacul va fi
completat de un reprezentant al fiecarei grupe d ând posibilitatea să citească ce au scris colegii săi.
Această f ormă de activitate în grup este avantajoasă deoarece le propune elevilor o nouă formă de
organizare și sistematizare a cunoștințelor.
Exemplu : Aplicarea metodei copacul ideilor în rezolvarea triunghiului dreptunghic cu
ajutorul formulelor studiate la clasa aVII -a
Împart copii în patru grupe, fiecare grupa va primi o fișa de lucru în care au de completat
noțiuni teoretice. Ei au de completat următoarele teoreme și elemente de trigonometrie: teorema
lui Pitagora, teorema înălțimi, teorema catetei , teor ema unghiului de 300, elementele de
trigonometrie și valorile acestora.
Elevii completează fișele date apoi ies la flip -chart și completează “copacul ideilor” cu formulele
studiate pentru rezolvarea triunghiului dreptunghic.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
70
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
1.4. Metoda ciorchinelui
Deși este o variantă mai simplă a brainstorming -ului, ciorchinele este o metodă care presupune
identificarea unor conexiuni logice între idei, poate fi folosită cu succes atât la începutul unei lecții
pentru reactualizarea cunoștințelor preda te anterior, cât și în cazul lecțiilor de sinteză, de
recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor.
Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind
modul de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut.
Ciorchinele reprezintă o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează elevii să
gândească liber și deschis.
Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape :
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
71
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu 1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a u nei foi de
hârtie.
2. Elevii vor fi solicitați să -și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le au în
minte
în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându -se linii între acestea și
cuvântul inițial.
3. În timp ce le vi n în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor trage
linii între toate ideile care par a fi conectate.
4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s -a atins limita de timp
acordată.
Există câteva reguli ce trebu ie respectate în utilizarea tehnicii ciorchinelui:
▪ Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.
▪ Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.
▪ Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră timpul
alocat; dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra temei până ce vor apărea unele
idei.
▪ Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici numărul
ideilor, nici fluxul legăturilo r dintre acestea.
Avantajele acestei tehnici de învățare sunt:
• În etapa de reflecție vom utiliza “ciorchinele revizuit” în care elevii vor fi ghidați prin
intermediul unor întrebări, în gruparea informațiilor în funcție de anumite criterii.
• Prin această me todă se fixează mai bine ideile și se structurează infomațiile facilizându -se
reținerea și înțelegerea acestora.
• Adesea poate rezulta un “ciorchine” cu mai mulți “sateliți”.
Analiza swot – Metoda ciorchinelui
PUNCTE TARI PUNCTE SLABE
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
72
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu • Încurajează elevii să gândească liber și să
stimuleze conexiunile de idei;
• Oferă noi sensuri ideilor însușite anterior;
• Caută căi de acces spre propriile cunoștințe,
evidențiind propria înțelegere a unui conținut;
• Iese în evidență modul propriu de a înțelege o
temă anume;
• Realizează asocierea ideilor noi și relevă noi
sensuri ale ideilor. • Productivitatea unor elevi poate scădea
atunci când trebuie să răspundă la
întrebările suplimentare care pot apărea.
OPORTUNITĂȚI AMENINȚĂRI
• Participarea întregii clase la realizarea
ciorchinelui este o provocare și determină o
întrecere în a demonstra asimilarea corectă și
completă a cunoștințelor. • Numirea participanților la analiza
răspunsurilor poate crea o atmosferă
tensionată.
Exemplu: Aplicarea metodei ciorchinelui la clasa a VII -a – Proiecții ortogonale pe o dreaptă.
Teorema înălțimii. Teorema catetei.
În această lecție elevii clasei a VII -a vor exersa calculul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză
în triunghiul dreptungh ic și vor aplica formulele pentru calculul acestora (Teorema catetei,
Teorema înălțimii). Ora va debuta cu realizarea unui ciorchine care are ca soluții numele unor lecții
din capitolul „Relații metrice în triunghiul dreptunghic”.
Elevii vor fi introduși în atmosfera lecției prin completarea unui organizator grafic
(”ciorchine”) și prin discuții pe marginea sa. Toți elevii primesc o fisa iar ei trebuie să completeze
independent spațiile punctate.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
73
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
1.5. Metoda cubului
Metoda cubului presupune explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe
perspective, permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme.
Sunt recomandate următoarele etape:
Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie, compară, anal izează, asociază,
aplică, argumentează.
Anunțarea temei, subiectului pus în discuție.
Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinței de pe una
din fețele cubului.
Descrie : culorile, formele, mărimile, etc.
Compară : ce este asemănător? Ce este diferit?
Analizează : spune din ce este făcut, din ce se compune.
Asociază : la ce te îndeamnă să te gândești?
Aplică : ce poți face cu aceasta? La ce poate fi folosită?
Argumentează : pro sau contra și enumeră o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale.
Redactarea finală și împărtășirea ei celorlalte grupe.
Afișarea formei finale pe tablă sau pe pereții clasei.
Analiza swot – Metoda cubului
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
74
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu PUNCTE TARI PUNCTE SLABE
• Solicită gândirea elevului;
• Acoperă neajunsurile învățării
individualizate;
• Oferă elevilor posibilitatea de a -și dezvolta
competențele necesare unor abordări
complexe;
• Dezvoltă abilități de comunicare;
• Nu limitează exprimarea părerilor sau a
punctelor de v edere individuale;
• Lărgește viziunea asupra temei;
• Feed -back imediat;
• Presupune explorarea unei teme din mai
multe perspective, permițând abordarea
complexă și integratoare a unei teme. • Are eficiență scăzută în grupurile mari;
• Dificultăți de coordonare și de comunicare
OPORTUNITĂȚI AMENINȚĂRI
• Transmite fapte concrete adresate către un
grup larg;
• Stimulează creativitatea;
• Participanții pot colabora în găsirea
răspunsurilor;
• Conștientizarea propriilor atitudini. • Unii muncesc și pentru alții;
Exemplu: Aplicarea metodei cubului și turul galeriei, la clasa a VII -a lecție de recapitulare și
sistematizare a cunoștințelor
– Unitatea de învățare: Patrulatere
– Tema lecției: Paralelogramul si parelelograme particulare(dreptunghiul, rombul, pătratul) si
trapezul, am folosit metoda cubului si metoda turul galeriei.
Am realizat un cub din carton și am colorat fiecare față diferit, iar fiecărei fețe i -am asociat un
verb, astfel:
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
75
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
În desfășurarea activității, am avut grijă să dau indicații unde a fost ne cesar, să soluționez
situațiile în care nu toți elevii s -au implicat în cadrul activității în grup sau atunci când un elev a
monopolizat toate activitățile.
Elevii care primesc fișa cu verbul „descrie” vor avea: de enumerat patrulaterele studiate . de
realizat reprezentarea plană a patrulaterelor studiate , de identificat elementele acestora , de sistematizat datele
într- un tabel.
Elevii care primesc fișa cu verbul „compară” vor stabili asemănări și deosebiri între
patrulaterele studiate.
Elevii care vor avea fișa cu verbul „asociază” vor asocial fiecarui patrulater studiat
proprietățile și formulele pentru calculul ariei acestora și vor recunoaște patrulatere pe diferite
figuri sau corpuri geometrice din mediul înconjur ător sau diferite desene. Elevii pot primi un
obiect practic/desen pe care să „recunoască” aceste patrulatere .
Elevii care primesc fișa cu verbul „analizează” vor analiza diferite corpuri în
spatiu studiate recunoscând patrulatere. Se vor realiza desene corespunz ătoare în care se vor
pune în evidență în planele de secțiune de forma patrulaterelor studiate prin markere sau carioci
colorate. Datele se vor sistematiza într-un tabel .De asemenea vor analiza pentru fiecare
patrulater studiat axele de simetrie si rezultatele vor centralizate intr-un table .
Elevii care au fișa cu verbul „argumentează„ vor avea de analizat și justificat în scris
valoarea de adevăr a unor propoziții, ce vor conține ți chestiuni „capcană ”. Li se poate cere să
realizeze si scurte demonstrații sau să descopere greșeala dintr -o redactare a unei rezolvări.
Elevii care vor avea fișa ce verbul „aplică” vor avea un set de intrebări grilă în care
vor aplica formulele pentru calculul elementelor, ariei patrulaterelor studiate în contexte
variate.
Fișa nr.1: Verbul „ Descrie ”
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
76
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Sarcini de lucru :
1. Enumerați patrulaterele studiate
2. Realizează câte un desen corespunzator fiecărui patrulater
3. Identifică în desenele realizate elementele definitorii pentru patrulaterele respective
4. Descrie figura următoare recunoscând patrulaterele studiate
Fișa nr.2: Verbul „ Compară”
Sarcini de lucru :
1. Realizează un eseu – matematic în care să puneți în evidență asemănări și deosebiri
sau analogii între patrulaterele învațate
2. Redactați și comparați rezultatele obținute
3. Se dă urmatoarea figură. Să se afle aria acestei figuri
Fișa nr.3: Verbul „ Asociază”
Sarcini de lucru :
1. Se dau definițiile patrulaterelor studiate notate cu cifre, în coloana A și în coloana B
patrulaterele studiate notate cu litere. Realizați corespondența unei cifre din coloana A cu o literă din
coloana B astfel încât să obțineți propoziții adeva rate.
Coloana A (definiția) Patrulaterul
1.patrulaterul convex cu două laturi paralele și celelalte
neparalele
2.patrulaterul convex cu laturile opuse paralele două câte două
3.paralelogramul cu doua laturi consecutive congruente
4.paralelogramul cu un unghi drept
5. rombul cu diagonalele congruente 6.trapezul cu laturile
neparalele congruente
7. trapezul cu una din laturile neparalele perpendiculară pe baze a. paralelogramul
b. trapezul dreptunghic
c.trapezul isoscel
d. pătratul
e. rombul
f. dreptunghiul
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
77
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu 2. Se dau enunțurile unor proprietăți a patrulaterelor studiate notate cu cifre, în coloana A
și în coloana B patrulaterele studiate notate cu litere. Realizați corespondența unei cifre din
coloana A cu o literă din coloana B astfel încât să obțineți propoziții adevarate.
Coloana A (proprietatea) Patrulaterul
1. laturile opuse sunt congruente două câte două
2. unghiurile alăturate sunt suplementare
3. diagonalele sunt congruente
4. diagonalele sunt perpendiculare
5. unghiurile de la baze sunt congruente, unghiurile opuse sunt
congruente două câte două
6. toate unghiurile sunt congruente
7. toate laturile sunt congruente
8. diagonalele se taie în părți congruente a. paralelogramul
b. trapezul dreptunghic
c. trapezul isoscel
d. pătratul
e. rombul
f. dreptunghiul
3. Completați spațiile punctate cu răspunsurile corecte:
a) Dreptunghiul cu două laturi consecutive congruente se numește …………………………………
b) Într–un paralelogram diagonalele ………………………………..
c) Diagonalele pătratului sunt ……………. și …………………………
d) Patrulaterul obținu t prin unirea mijloacelor laturilor unui romb este ……………………
e) Paralelogramul cu diagonalele ………………….. este romb
4. Se dau formulele de calculul ariei patrulaterelor studiate notate cu cifre, în coloana A
și în coloana B patrulaterele studiate notate cu litere. Realizați corespondența unei cifre din
coloana A cu o literă din coloana B astfel încât să obțineți propoziții adevarate:
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
78
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Coloana A (formula de
calculul ariei) Desenul corespunzător Patrulaterul
1. A = l2
2. A = L · l
3. A =
2) ( hbB+
4. A =
2dD
5. A= B·h
6. A=
2hb
7. A=L m·h a. paralelogramul
b. trapezul dreptunghic
c. trapezul isoscel
d. pătratul
e. rombul
f. dreptunghiul
Fișa nr.4: Verbul „ Analizează”
Sarcini de lucru :
1. Desenați un paralelogram, un dreptunghi, un pătrat, un romb, un trapez isoscel și puneți în
evidență proprietățile sale folosind notațiile cunoscute de către voi.Pentru fiecare patrulater scrieți
modalitatea de a obține formula ariei folosind aria triunghiului.
2.De asemenea analizați pentru fiecare patrulater axele de simetrie și rezultatele se vor centralizate
într–un table.
Fișa nr.5: Verbul „ Argumentează”
Sarcini de lucru :
Cititi cu atenție enunțurile următoare și justificați:
1. Prin vârfurile unui patrulater convex se duc paralelele la diagonalele lui.
Precizați o ipoteză suplimentară pentru diagonalele patrulaterului, astfel încât paralelogramul să
fie romb.
2.Lungimile bazelor uni trapez sunt de 15 cm, respectiv de 10 cm. Dacă înălțimea trapezului este
de 6 cm, atunci calculați aria trapezului în două moduri.
3.Adevarat sau fals ?
a) Dacă media aritmetică a lungimilor bazelor unui trapez este de 10 cm, atunci lungimea liniei
mijlocii este de 10 cm.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
79
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu b) Dacă latura uni pătrat se dublează atunci aria sa se marește de 4 ori 4, iar aria sa este de 144
c) Perimetrul unui dreptunghi este 52 cm dacă raportul dimensiunilor sale este de 9cm2
Fișa nr. 6: Verbul „ Aplică”
Sarcini de lucru :
Alegeti varianta corectă:
1.Aria unui dreptunghi ABCD este egală cu 100 cm2, iar lungimea laturii AB este egală cu
5
2 cm. Lungimea celeilalte laturi este egală cu:
a) 5
10 cm; b) 10
2 cm; c) 20
5 cm; d) 20
2 cm.
2. Un pătrat are semiperimetrul egal cu 12 cm. Aria pătratului este egală cu:
a) 60 cm2; b) 36 cm2; c) 12 cm2; d)1 cm2.
3. Fie trapezul isoscel ABCD cu lungimea bazei mari de 27 cm, lungimea bazei mici de 17 cm
și măsura unghiului obtuz de 1350. Aria trapezului este de:
a) 110cm2; b) 100cm2; c) 99cm2; d)105cm2.
Pentru evaluarea activității, după expirarea timpului de lucru (20 -25 minute), am aplicat metoda
„turul galeriei” .
Materialele realizate au fost expuse în 6 locuri vizibile. Elevii din fiecare grup și -au prezentat
sarcina de lucru și modul de realiza re a ei, după care au acordat note materialelor realizate de
celelalte grupe, urmând ca eu să discut împreună cu ei obiectivitatea notelor acordate și să corectez
eventualele erori.
Ca PREMIU , fiecare echipă a primit câte un material informativ, astfel:
Echipa 1 – un material despre marele matematician Euler
Echipa 2 – un referat cu tema patrulatere
Echipa 3 – un material despre Marea Piramidă – Piramida lui Keops .
Echipa 4 – un material informativ despre paralelograme
Echipa 5 – un referat despre Arhimede și corpurile semiregulate
Echipa 6 – un material informativ despre Aristotel, întemeietorul logicii ca știință.
Materialele vor fi multiplicate pentru fiecare mem bru al echipei și vor fi afișate în clasă
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
80
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu 1.6. Metoda turul galeriei
Turul galeriei este o metodă interactivă de învățare bazată pe colaborarea între elevi, care sunt
puși în ipostaza de a găsi soluții de rezolvare a unor probleme. Această metodă presupun e
evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.
Astfel, turul galeriei constă în următoarele:
1. Elevii, în grupuri de trei sau patru, rezolvă o problemă (o sarcină de învățare) susceptibilă
de a avea mai multe soluții (mai multe perspective de abordare).
2. Produsele muncii grupului se materializează într -o schemă, diagramă, inventar de idei etc.
notate pe o hârtie (un poster).
3. Posterele se expun pe pereții clasei, transformați într -o veritabilă galerie.
4. La semnalul profe sorului, grupurile trec pe rând, pe la fiecare poster pentru a examina
soluțiile propuse de colegi. Comentariile și observațiile vizitatorilor sunt scrise pe posterul
analizat.
5. După ce se încheie turul galeriei (grupurile revin la poziția inițială, înainte de plecare)
fiecare echipă își reexaminează produsul muncii lor comparativ cu ale celorlalți și discută
observațiile și comentariile notate de colegi pe propriul poster.
Turul galeriei se folosește cu succes împreună cu metoda cubului așa cum se poate ved ea și în
prezentat anterior.
Analiza swot – Turul galeriei
PUNCTE TARI PUNCTE SLABE
• Învățarea prin cooperare îi încurajează
pe elevi să -și exprime opiniile;
• Atrage și sârnește interesul elevilor,
realizându -se interacțiuni între aceștia;
• Urmărește evaluarea interactivă și
formativă a produselor realizate de
grupul de elevi;
• Elevii sunt încurajați să -și exprime
opiniile referitoare la soluționarea unor
probleme. • Posibile opoziții de scopuri și
obișnuințe ale membrilor grupului;
• Dificultăți de coordonare;
• Unii elevi pot domina grupul
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
81
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu OPORTUNITĂȚI AMENINȚĂRI
• Crește implicarea participanților;
• Se pot exprima propriile nemulțumiri;
• Stimulează dialogul între participanți • Evaluarea făcută de către celelalte
grupe poate fi subiectivă.
1.7. Metoda Știu / Vreau s ă știu / Am inv ătat
Acest model de predare, elaborat de Donna M. Ogle în 1986 pornește de la premisa că
informația anterioară a elevului trebuie luată în considerare atunci când se predau noi informații.
Aplicarea modelului Știu/ Vreau să știu/ Am învățat presupune parcurgerea a trei pași:
accesarea a ceea ce știm, determinarea a ceea ce dorim să învățăm și reactualizarea a aceea ce am
învățat. Primii doi se pot realiza oral, pe bază de conversație, iar cel de -al treilea se realiz ează în
scris, fie în timp ce se lecturează textul, fie imediat ce textul a fost parcurs integral.
Metoda constă în completarea unei fișe de lucru, prin activități de grup sau individual.
Știu Vreau să știu Am învățat
Etapa Știu implică două nivele ale accesării cunoștințelor anterioare: un brainstorming cu
rol de anticipare și o activitate de categorizare. Brainstormingul se realizează în jurul unui concept
cheie. Întrebări generale de felul „Ce știți despre…” se recomandă atu nci când elevii dețin un nivel
scăzut de informații despre conceptul în cauză. Pe baza informațiilor obținute în urma
brainstormingului se efectuează operații de generalizare și categorizare. Elevilor li se cere să
analizeze ceea ce știu deja și să observ e pe cele care au puncte comune și pot fi incluse într -o
categorie mai generală. A ne gândi la ceea ce știm ne ajută să ne îndreptăm atenția asupra a ceea
ce nu știm.
Etapa Vreau să știu presupune formularea unor întrebări, care apar prin evidențierea
punc telor de vedere diferite apărute ca rezultat al brainstormingului sau categorizărilor. Rolul
acestor întrebări este de a orienta și personaliza actul lecturii.
Etapa Am învățat se realizează în scris, de către elevi, după ce conținutul lecției a fost
predat.. Dacă textul este mai lung, completarea acestei rubrici se poate face după fiecare fragment
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
82
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu semnificativ. Elevilor li se cere să bifeze întrebările la care au găsit răspuns, iar pentru cele rămase
cu răspuns parțial sau fără se sugerează lecturi au ex plicații suplimentare .
Analiza swot – Știu / Vreau sa stiu / Am invatat
PUNCTE TARI PUNCTE SLABE
• Învățarea prin cooperare îi încurajează pe
elevi să -și exprime opiniile;
• Atrage și stârnește interesul elevilor,
realizându -se interacțiuni între aceștia;
• Urmărește evaluarea interactivă și
formativă a produselor realizate de grupul
de elevi;
• Elevii sunt încurajați să -și exprime opiniile
referitoare la soluționarea unor probleme. • Posibile opoziții de scopuri și
obișnuințe ale membrilor
grupului;
• Dificultăți de coordonare;
• Unii elevi pot domina grupul
OPORTUNITĂȚI AMENINȚĂRI
• Crește implicarea participanților;
• Se pot exprima propriile nemulțumiri;
• Stimulează dialogul între participanți • Evaluarea făcută de către
celelalte grupe poate fi
subiectivă.
Exemplu: Aplicarea metodei Știu / Vreau sa stiu / Am invatat , la clasa a VII -a cu tema: Aria
unui triunghi – formule de calcul
Profesorul îi anunță pe elevi că, pentru lecția anunțată ei vor preciza ce știu în legătură cu aria
unui triunghi, și ce vor să mai știe.
Astfel se realizează pe tablă următorul tabel care va fi completat pe parcursul lecției:
ȘTIU VREAU SĂ ȘTIU AM ÎNVĂȚAT
Elevii vor nota în coloana ,,ȘTIU”și în caiete:
1. Aria unui triunghi
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
83
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu a) 𝐴𝛥=𝑏⋅ℎ
2, b-baza, h – înălțimea corespunzătoare bazei
b) ΔABC ,
(BC)D BC, AD ⊥ ;
(AC)E AC, BE ⊥ ;
(AB)F B,A CF ⊥
AD·BC=BE·AC=CF·AB;
c) Triunghiri echivalente =def= triunghiuri cu aceiași arie.
ΔABC, [AM]≡[MB], M
(BC)
AABM=A AMC
d) ΔABC~ΔA'B'C', k -raport de asemănare
𝑨𝑨𝑩𝑪
𝑨𝑨′𝑩′𝑪′=𝒌𝟐
În coloana ,,VREAU SĂ ȘTIU” și în caiete elevii vor nota :
2. Alte formule de calcul pentru aria unui triunghi
Pentru un triunghi ABC avem următoarele notații uzuale:
BC=a, AC=b, AB=c, h a – înălțimea dusă din A,
hb – înălțimea dusă din B, h c – înălțimea dusă din C,
a) Se consideră triunghiul ABC din figura de mai jos.
Cerință: Utilizând notațiile date, gă siți o formulă pentru aria triunghiului ABC în care să se
utilizeze: b, c și sinA
Profesorul le solicită elevilor să -și exprime toate ideile pe care aceștia le au cu privire la rezolvarea
cerinței de mai sus. După sistematizarea ideilor, gruparea lor î n jurul simbolurilor cheie se va
obține:
𝑨𝑨𝑩𝑪 =𝟏
𝟐𝒃⋅𝒄⋅𝒔𝒊𝒏𝑨
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
84
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Se scriu formulele de calcul al ariei și pentru celelate situații.
Obs.Se știe că pentru un triunghi dreptunghi ABC, A=900
𝑨𝑨𝑩𝑪 =𝑨𝑩⋅𝑨𝑪
𝟐, sau utilizând notațiile uzuale 𝑨𝑨𝑩𝑪 =𝒃⋅𝒄
𝟐. Comparând această formulă cu formula
descoperită mai sus deducem că sin 900=1.
Se va rezolva la tablă și pe caiete următoarea problemă:
Problema 1. Calculați aria unui triunghi ABC dacă
AB=12cm, AC=8cm și
30 ABC)m( =
Problema 2. Determinați aria unui triunghi echilateral cu latura de lungime a cm.
b) Formula lui Heron
Se acceptă fără demonstrație următoarea formulă:
𝑨𝑨𝑩𝑪 =√𝒑(𝒑−𝒂)(𝒑−𝒃)(𝒑−𝒄)în care 𝒑=𝒂+𝒃+𝒄
𝟐
Se va rezolva la tablă și pe caiete următoarea problemă:
Problema 3. Laturile unui triunghi ABC sunt AB = 3cm, AC = 4cm și BC = 5cm. Calculați:
a) Aria triunghiului ABC;
b)
2AC AB . Ce constatați?
În coloana ,,AM ÎNVĂȚAT” se notează :
ΔABC, AB=c, AC=b, BC=a
a) 𝑨𝑨𝑩𝑪 =𝟏
𝟐𝒃⋅𝒄⋅𝒔𝒊𝒏𝑨 ;
Dacă AB=BC=CA=a
𝑨𝜟=𝒂𝟐√𝟑
𝟒;
sin90°=1
b) 𝑨𝜟=√𝒑(𝒑−𝒂)(𝒑−𝒃)(𝒑−𝒄),
2cbap++= ;
Dacă 𝑨𝑨𝑩𝑪 =𝒃⋅𝒄
𝟐
= 90 A)m(
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
85
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu CAPITOLUL III. CERCETAREA METODICO -PEDAGOGICĂ
1. Cercetarea educațională
Cercetarea a constituit dintotdeauna un domeniu activ prin implicarea noului, captivant
prin misterul necunoscutului, interesant prin elementele uneori neprevăzute, provocator -motivat
prin efectele și rezultatele obținute. Astfel, mulți oame ni de știință s -au orientat către „cercetarea
cercetării” vrând să -i identifice cât mai multe elemente specifice – legi, principii, modele –
contribuind astfel la fundamentarea științifică a acestei activități umane, numită CERCETARE .
Cercetarea constitui e o modalitate de cunoaștere a realității înconjurătoare aflată la
îndemâna oricărei ființe umane, știut fiind faptul că orice om poate fi considerat un „cercetător”
care se dezvoltă prin descoperirea și redescoperirea cunoașterii acumulate la nivelul omen irii într –
un timp îndelungat. Se impune totuși distincția între această cunoaștere comună pe care o poate
realiza orice persoană – numită și cunoaștere la nivelul simțului comun, al bunului simț – și
cunoaștere științifică realizată de cercetători profesio niști, special pregătiți pentru activitatea de
investigație.
Cercetarea pedagogică este un demers sistematic de explicare a fenomenului educativ, o
strategie desfășurată în vederea surprinderii unor relații noi între componentele acțiunii
educaționale.
Specificul cercetării pedagogice:
-tinde spre o explicație și o înțelegere normativă a activității educative;
-urmărește definirea și argumentarea legilor și principiilor care reglementează acțiunea de
proiectare a educației la nivelul de sistem și proces;
-implică o cunoaștere temeinică a finalităților educaționale;
Pentru a obține rezultate pozitive, cercetarea trebuie temeinic pregătită, operație care constă
într-o succesiune de pași necesari:
– alegerea problemei de cercetat;
– documentarea în problema ce s -a considerat pentru cercetare;
– stabilirea ipotezei de lucru, a factorilor existenți;
– întocmirea planului cercetării ținând cont de condițiile în care se desfășoară cercetarea
pedagogică;
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
86
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu – prelucrarea și interpretarea datelor culese;
– valorificarea cercetării.
Cunoașterea comună se referă la sistemul de reprezentări, cunoștințe, explicații și
întrebări obținute în mod spontan, fără o cercetare sistematică după modele științifice, ci doar pe
baza activităților realizate în co ntexte obișnuite.
Cunoașterea științifică se referă la sistemul de reprezentări, cunoștințe, explicații,
interpretări obținute în mod intenționat printr -o cercetare sistematică după modele științifice, prin
strategii laborioase ce promovează precizia, exa ctitatea, obiectivitatea.
Cercetarea educațională trebuie încadrată în aria cercetării științifice, fiind un demers
investigativ aparte ce urmărește în esență cunoașterea realității educaționale prin identificare,
explicare, interpretare și generalizare a datelor, îmbogățind astfel, baza conceptual – teoretică și
practic – metodologică în domeniul educației.
Elementele care reflectă importanța și rolul fundamental al cercetării în domeniul
educațional sunt:
Cercetarea permite și afirmă necesit atea cunoașterii problemelor educației prin realizarea
unor operații investigative specifice de genul: identificare, explicare, interpretare, înțelegere,
conceptualizare, generalizare și ulterior ameliorarea, optimizarea practicii sale;
Cerceta rea stimulează descoperirile, inovațiile, conturarea de noi cunoștințe, idei, teorii,
modele, metodologii care completează / modifică / corectează baza conceptual – teoretică, dar și
practica educațională;
Cercetarea promovează, popularizează, face cunoscute diverse soluții, contribuții
relevante ce pot fi extinse și în alte contexte pentru a fi aplicate – verificate; se evită astfel o
greșeală frecventă constând în extragerea valorii unor date obținute în urma investigațiilor
contextuale, parti culare și care sunt opinii ce nu întrunesc criteriile de validare științifică și nu pot
fi generalizate;
Cercetarea îndeplinește o serie de funcții specifice care se susțin reciproc:
– funcția constatativ – descriptivă care atrage după sine oper ații specifice de constatare a unei
realități educaționale, de descriere a notelor definitorii, de explicare și interpretare a celor
constatate și descrise, precum și de generalizare a datelor concludente din punct de vedere științific
finalizate în contri buții teoretice sau practice;
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
87
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu – funcția ameliorativă a cercetării este generată direct de finalitatea acesteia – a îmbunătăți, a
optimiza, a produce transformări calitativ superioare în teoria și practica educațională; efecte
ameliorative putem spune că ar e orice tip de cercetare fie că -și propune numai constatarea –
descrierea realității, fie că intervine asupra acesteia modificând -o, ambele perspective oferind de
fapt o mai bună cunoaștere , înțelegere a domeniului educațional și implicit o ameliorare a a cestuia;
– funcția predicativă este susținută de prezența operațiilor specifice – anticipare, proiectare,
planificare – implicare atât în baza pregătitoare unei cereri cât și în faza finalizării prin evidențierea
perspectivelor de valorificare a rezultatel or obținute, a evoluțiilor probabile ale fenomenelor
studiate în practica educațională;
– funcția referențial – informațională este generată de constituirea cunoașterii specifice prin
acumularea sistematică a conceptelor, teoriilor, modelelor identificate în timp în cadrul multiplelor
și diverselor cercetări educaționale.
2. Metodele cercetării educaționale
Stabilirea metodologiei adecvate reprezintă un moment fundamental în derularea unei
investigații. Importanța sa capătă amploare dacă ne gândim că metod ologia este cea care
transformă un proiect de cercetare în acțiuni concrete, practice, la nivelul realității educaționale.
Dată fiind varietatea metodelor folosite în cercetarea educațională s -a încercat clasificarea
acestora pe baza unor criterii multiple:
• Ioan Nicola diferențiază următoarele categorii:
-metode de descriere și măsurare a diferitelor aspecte și manifestări ale faptului educațional;
-metode acțional – experimentale;
-tehnici corelaționale;
-metode matematico – statistice;
• Lazăr Vlăsc eanu face o distincție între: metodele de colectare a datelor și tehnicile de
prelucrare a acestora;
• Dumitru Muster tratează separat metodele de colectare a datelor invocate sau provocate și
metodele de prelucrare și prezentare a datelor cercetării;
• Traian Rotariu atenționează că principalele metode de cercetare în domeniul socio – uman
sunt: observația și evenimentul.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
88
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu O clasificare realizată după criteriul funcționalității a metodelor utilizate în cercetarea
educațională ar fi următoarea:
Metode nonexperimentale de colectare a datelor: observația, ancheta prin chestionar și
prin interviu, metoda scărilor de opinii și atitudini, metoda analizei documentelor școlare, metoda
analizei produselor activității școlare, testel e standardizate, metoda intraevaluării elevilor, studiul
de caz, metode și tehnici sociometrice;
Metode acționale sau de intervenție: experimentul pedagogic;
Metode de prelucrare, interpretare și prezentare a datelor cercetării:
– tabel d e rezultate;
– reprezentări geografice: ogiva lui Galton, poligonul frecvențelor, histograma;
– teste de semnificație;
– calculul unor indici statisitici: indici ce exprimă tendința centrală (media aritmetică), indicii
variabilității (abateri de la tendi nța centrală), indici de corelație.
Metoda observației
Caracteristici:
Observația constă în urmărirea faptelor de educație așa cum se desfășoară ele în condiții
naturale, firești, normale.
Sursa observației o constituie realitatea educațională sub divers ele ei manifestări concrete:
activitatea profesorului și a elevilor în diverse situații instructiv – educative, activitatea altor factori
educativi, precum și elemente de context sau climat relațional;
Observația utilizează un demers introductiv care refl ectă realitatea educațională în condiții
naturale, obișnuite, normale;
Are valoare preponderent constatativ – descriptivă oferind date concrete ce pot fi ulterior
supuse unor analize, interpretări și prelucrări statistice, dându -le o mai mare relevanță ș i validitate;
Observația poate fi aplicată în practică în moduri diferite, ceea ce a determinat crearea unei
tipologii după următoarele criterii:
În funcție de gradul de implicare al cercetătorului în domeniul supus observării, observația
poate fi:
-observație participativă , atunci când observatorul devine membru al grupului și participă la
organizarea și desfășurarea evenimentelor pedagogice studiate;
-observație neparticipativă , atunci când observatorul nu ia parte direct la evenimentul studi at.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
89
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu În funcție de gradul de organizare și de caracterul intențional, observația mai poate fi:
-observație spontană , realizată în mod curent de orice persoană; nu oferă un statut științific
cunoașterii, însă poate suplimenta datele acumulate prin alte meto de;
-observația sistematică , recomandată ca metodă de cercetare științifică; presupune elaborarea
prealabilă a unui plan de observație care prezumă obiectivele urmărite, cadrul în care se desfășoară
și instrumentele – grila de observație – ce vor putea fi folosite pentru înregistrarea datelor
observate.
Avantaje:
– Observația permite surprinderea diferitelor aspecte investigate în condiții naturale, a
comportamentelor reale, firești, nedistorsionate de procesul investigațional al cercetătorului.
– Metoda observației se poate utiliza în toate tipurile de cercetări educaționale și se poate combina
de obicei cu toate celelalte metode de investigație, oferind date suplimentare asupra fenomenului
studiat.
Dezavantaje :
– Principalul dezavantaj este cel al subiectivității mari și lipsei interacțiunii directe cu persoanele
sau fenomenele investigate ceea ce duce la imposibilitatea controlului condițiilor și implicit a
stabilirii în final a unor legături cât de cât precis e de determinare între factori, dimensiunile,
fenomenele studiate. Așadar putem spune că:
– metoda observației permite urmărirea nemijlocită a evenimentelor pedagogice, dar cercetătorul
nu poate interveni în producerea și desfășurarea evenimentelor pentru a controla influența unor
factori optimizatori sau nefavorizanți;
– observația este o metodă subiectivă, fiind puternic influențată de personalitatea observatorului.
3. Organizarea cercetării experimentale
Experimentul este considerat ca fiind metoda fun damentală de investigație în toate
domeniile științifice. Ceea ce -l diferențiază net față de metoda precedentă este caracterul
intențional clar, de a schimba realitatea educațională prin crearea unor situații noi, prin
introducerea unor modificări în desfă șurarea procesului instructiv – educativ și constatarea
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
90
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu efectelor acestora. Comparând cele două metode fundamentale, observația și experimentul,
specialiștii consideră că observatorul ascultă natura, iar experimentul o forțează să se producă și o
interoghe ază.
În cadrul unui experiment intervin trei categorii de variabile:
– variabilele independente reprezentate de inovația introdusă pentru a influența desfășurarea
activității, în vederea studierii efectului produs;
– variabile dependente care constau în re zultatele obținute ca urmare a inovației introduse;
– variabilele intermediare care mijlocesc relațiile dintre variabilele independente și variabilele
dependente. Acestea sunt de natură socială și psihică, se referă la trăsăturile de personalitate și
la climatul psiho – social care se interpune în acest proces.
Caracteristici:
– Experimentul presupune provocarea apariției sau variației unuia sau mai multor fenomene
într-o situație controlată;
– Are în centrul oricărei configurații de legături relația cauzală, dintre fenomenele studiate;
– Intervenția cercetătorului se bazează pe presupunerea că modificarea introdusă va avea
efecte în optimizarea instructiv – educativă;
– Are un caracter obstructiv, de intervenție / acțiune asupra realității investigate;
– Este o metodă riguroasă de cercetare datorită controlului pe care -l impune tuturor
componentelor: etape, variabile, instrumente de investigație, timp, eșantion, schemă
experimentală;
– Oferă posibilitatea unor analize comparative realizate pe mai multe planur i.
În privința variabilelor se cunoasc trei astfel de categorii:
variabile independente – reprezentate de inovațiile / modificările / schimbările introduse
pentru a influența pozitiv activitatea educațională;
variabile dependente – constau în efectele obț inute ca urmare a modificărilor /
schimbărilor introduse;
variabile intermediare – sunt cele care mijlocesc relațiile dintre variabilele independente
și cele dependente.
Etapele experimentului pedagogic sunt:
-etapa pregătitoare numită și pretest sau preexperimentală;
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
91
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu -etapa experimentală sau de efectuare;
-etapa finală numită și de evaluare sau posttest;
-etapa verificării la distanță, numită și retest.
Avantajele utilizării într -o cercetare educațională:
– avantajul principal al experimentului este dat de posibilitatea controlului și al corelării
multiple a variabilelor și condițiilo r investigate;
– îndeplinește funcții multiple: constatativ – descriptivă, operațional – acțională, predictivă,
toate -subordonate unui scop ameliorativ, de optimizare a activităților educaționale;
– utilizează raționamente cauzale prin determinarea precisă a relațiilor de determinare dintre
diverși factori / variabile supuși investigației;
– declanșează acțiuni educaționale noi, originale, aducând imbunătățiri problemei studiate
mai mult decât oricare altă metodă;
– datele sunt înregistrate și prelucrate riguros p entru a demonstra incontestabil valoarea lor;
– poate fi utilizat în combinație cu alte metode cum ar fi: observația, ancheta prin chestionar,
interviul, testele standardizate, studiul documentelor;
– își propune investigarea unei realități educaționale a căre i apariție sau variație a fost
provocată intenționat de către cercetător.
Dezavantaje ale utilizării experimentului în cercetările educaționale:
– dezavantajul principal este dat de caracterul forțat, premeditat de a provoca apariția unor
fenomene, caracter istici sau comportamente, care pot modifica fenomenele /
comportamentele firești, normale supuse investigației;
– dificultatea punerii sub control a tuturor variabilelor implicate într -o situație educațională;
– solicită timp îndelungat și competențe solide, multiple ale cercetătorului;
– nu toate rapoartele dintre fenomenele socio – umane pot fi exprimate în termenii cauzali
ceruți de experiment.
Cercetarea experimentală constă în compararea simplă, intuitivă a datelor colectate de la
clasa e xperimentală pentru care procesul instructiv -educativ primește inovația propusă prin ipoteză
și de la clasa de control (clasa martor) la care procesul instructiv se desfășoară în continuare
tradițional, fără nici o intervenție.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
92
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Am utilizat diferi te metode în cercetare:
✓ de acumulare a datelor: – în plan teoretic (studierea bibliografiei, documentarea);
-în plan practic (chestionare, observația pedagogică, testele în general, metodele
experimentale enunțate ce presupun interacțiunea directă cu realitatea investigată);
✓ de prelucrare a datelor (cantitative – statistice, calitative – interpretative etc.)
Am efectuat eșantionarea conform principiului unei cât mai bune omogenități, selectând
două clase: a VII –a A – 17 de elevi a devenit grupul experimental și clasa a VII – a B – 17 de
elevi a devenit grupul de control.
Criteriul principal al selecției este media anuală apropiată a celor două colective la
sfârșitul claselor a VI -a. Nivelul de competență s -a evidențiat în experimentul ameliorativ și în
urma testului inițial aplicat.
Colectare a datelor cercetării s-a realizat prin observație sistematică, teste docimologice
inițiale, intermediare și finale. Prezentare datelor s -a efectuat printr -un tabel cu rezultatele testului.
Reprezentarea grafică a unei distribuții de frecvență am realizat -o printr -un poligon de frecvență
care indică o prezentare generală despre modul cum este distribuită o colecție de valori ale
variabilei aleatoare.
Valoarea reprezentativă în colectarea datelor de cercetare, pe care am utilizat -o, este media
aritmetică deoarece este cea mai precisă a tendinței centrale.
Obiectivul final al cercetării pedagogice este cel de a ameliora acțiunea pedagogică care,
direct sau indirect, are legătură cu randamentul școlar. Acesta este și motivul pentru care
investigația pedagogică se exercită asupra unor fapte obiective care există în afara noastră.
Cercetarea pedagogică nu face introspecție, ci scormonește adânc pentru a descoperi noi modalități
de a face educație, explicând științific activitățile educative desfășurate la un moment dat și, în
același timp, pentru a ameliora procesul educațional propunând inovarea învățământului.
4. Desfășurarea cercetarii
Am ales pentru a supune investigației două clase ale Liceului Tehnologic ”Hortensia
Papadat Bengescu” Ivesti : a V II-a A și a VII -a B ambele clase avand un numar de 17 elevi, clase
apropiate ca nivel al situației la învățătură.
Am ales metoda experimentării pe grupuri paralele și anume:
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
93
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu ✓ clasa a VII – a A – eșantionul experimental
✓ clasa a VII – a B – eșantionul de control sau martor
Deoarece sistemul de lectii aplicat este cel expus in capitolul precedent, aici voi expune
doar testele si rezultatele obținute. Am socotit că lucrarile scrise care se bazeaza tocmai pe
capacitatea de rezolvar e independentă, vor reflecta cel mai bine rezultatele obținute.
4.1. Etapa inițială
În această etapă a fost aplicată testarea inițială ce a avut ca scop stabilirea nivelului de
pregatire al elevilor la clasele a VII -a A si a VII -a B în momentul respectiv , referitor la patrulatere
si arii. Cunoscând stadiul inițial de la care se pleacă mi -a permis proiectarea eficientă si reala a
conținuturilor noii unități de învățare. Evaluarea inițială va constitui o bază de comparare pentru
evaluările urmatoare, un pu nct de referință de la care s -a pornit, astfel incât evaluarea elevilor va
deveni mult mai vizibilă. Menționez că în anul școlar anterior am utilizat la clasă martor
preponderent metodele tradiționale si metodele activ -participative la clasa experimentala mai ales
în cadrul lecțiilor de recapitulare si consolidare a cunoștințelor.
Conținutul probei
Test initial – Patrulatere si arii – Clasa a VII -a
Din oficiu se acorda 10 puncte.
❖ Timpul de lucru este de 50 minute.
SUBIECTUL I. Pe foaia de test scrieti numai rezultatele (30 puncte)
1.Urmariti figurile alaturate si completati propozitiile de mai jos:
a) Patrulaterul convex nr.1 se numeste:……………………….
b) Paralelogramul particular nr.2 se numeste:………………..
c) Paralelogramul particular nr.3 se numeste:………………..
d) Paralelogramul particular nr.4 se numeste:………………..
e) Patrulaterul convex nr.5 se numeste:……………………….
1
2
3
4
5
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
94
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
2. Suma masurilor unghiurilor unui patrulater este de:……………………..
3. Perimetrul unui patrat cu latura de 3 cm este egal cu……………..cm.
SUBIECTUL I I. Pe foaia de test scrieti rezolvarile complete (30 puncte)
1.Fie paralelogramul ABCD. Stiind ca
0125)(=Bm , AB=24cm si AD=15cm, determinate
corespondentele corecte intre cele doua coloane de mai jos.
A B Dd
BC 24 cm
CD 15cm
)(A m 1250
)(Dm 550
)(Cm 580
550
2.Un trapez ABCD, AB||CD, AB>CD, AB=18cm, CD=10cm. Lungimea liniei mijlocii este egala
cu :
a) b) c) d)
12 14 28 14,5
3. Demonstrati ca daca ABCD este paralelogram si [AC] este bisectoarea
), (BADm atunci
ABCD este romb.
SUBIECTUL III. Pe foaia de test scrieti rezolvarile complete (30 puncte )
1. În dreprunghiul DFNT, DF=18cm, FN=12cm; A, M ȚN astfel înc ât TA=AM=MN.
Calcula ți:
a) Aria dreptunghiului DFNT
b) Aria triunghiului TDE
c) Aria patrulaterului AMFD
A
D
B
C
A
B
D
C
M
N
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
95
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu d) Aria triunghiului TLN
BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE
Subiectul I(30pun cte)
Nu se acorda puncte intermediare.
1.
a) trapez
b) patrat
c) dreptunghi 20p
d) romb
e) paralelogram
2. 3600 ………………………………………………………………. ……………………………………5p
3. 9cm ……………………………………………………………………………………………….. …..5p
Subiectul al II -lea (30pun cte)
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
96
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
1. Pentru fiecare asociere corecta 2 puncte .
AB=15cm
CD=24cm
055)(=A m
………………………………………………………………………………………..10p
0125)(=Dm
055)(=Cm
2. Fie M -mijlocul lui AD si N -mijlocul lui BC, MN -linie mijlocie ,
cmCD ABMN 142=+=
…………………………………………………………………………………10p
3. AC
BD={O}
In triunghiul ABD, [AO] este bisectoare si mediana
∆ABC isoscel
AB=AD
ABCD
romb …………………………………………………………………………………………….. 10p
Subiectul al III -lea (30pun cte)
1.
a) DFNT dreptunghi
FN DF ADFNT = =18
12=216cm2 ………………………….5p
b) TD
⊥ DE
∆TDE dreptunghic,
090) (=Dm
2362cmDETDATDE == …….5p
c)
MF ADDF AM
|||| DFMA -trapez
AMFD trapez isoscel
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
97
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu ∆TDA
∆MNF(c.c)
[AD]
[MF]
2144212)6 18(
2) (cmML AM DFAAMFD =+=+= …………………………. 10p
d) ∆TLN -triunghi oarecare, LM
⊥ TN
210821218
2cmLNTLATLN === ………10p
Oficiu 10 puncte
Total punctaj 100p
MATRICEA DE SPECIFICATII
În urma analizării rezultatelor obținute la testul initial, punctajul obținut este prezentat in
tabelul următor: Domenii
cognitive
Continuturi Cunoastere
si intelegere Aplicare
Rezolvari de
probleme Total
Recunosterea figurilor geometrice
studiate 20
Item 1,
(a,b,c,d)(I) 10
Item 2
(II),3d(III)
5
Item 1,(III)
35(7)
Masurile unghiurilor patrulaterelor si
linia mijlocie in trapez.
Demonstram ca un parallelogram este
romb. 10
Item 2(I),
1(II) 20
Item2,3 (I)
Item2,3 (II) 5
Item2 (II)
35(7)
Aflarea ariei unui dreptunghi,
trapez,unui triunghi oarecare si
triunghi dreptunghic.
10
Item2,3 (II) 20
Item1
(a,b,c,d)(III)
30(6)
Total 30(6) 40(8) 30(6) 100(20)
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
98
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Testul initial Numar
elevi Nota Media
4 5 6 7 8 9 10
Clasa VII A (clasa experimentală) 17 4 3 3 3 3 1 – 6.05
Clasa VII B (clasa martor) 17 5 4 2 3 2 1 – 5.76
Se constată o diferența mică între mediile generale ale celor doua clasa, ceea ce reflectă un
nivel apropiat al cunostintelor, dar cu in nivel scăzut.
Folosind rezultatele din tabelul precedent putem prezenta într -o formă organizată datele
colectate prin intermediul graficului.
Se observă ca distribuțiile obținute sunt de plasate către dreapta la un nivel minim si la un
nivel mai ridicat notele mai slabe. Acest nivel scăzut al colectivelor de elevi este determinat de
factori diferiți (nivel diferit, motivații, interese diferite).
În continuare voi prezenta datele obținute la testul inițial transformate în proc ente după
cum urmează:
012345678910
2 3 4 5 6 7 8 9 10Elevi
NotaDistribuirea notelor la testul inițial
Clasa a VII-a A (clasa experimentală)
Clasa a VII-a B (clasa martor)
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
99
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Clasa <5 5-6.99 7-8.99 9-10
Nr.elev
i Procen
t Nr.elev
i Procen
t Nr.elev
i Procen
t Nr.elev
i Procen
t
Clasa VIIA
(clasa
experimentală
)
4
23,52
%
6
35,30
%
6
35,30
%
1
5,88%
Clasa VIIB
(clasa martor) 5 29,41
% 6 35,30
% 5 29,41
% 1 5,88%
Pentru a aprecia forma distribuției rezultatelor am prezentat graficul pe procente a celor
doua clase. Pentru o comparație care să evidențieze diferențele de insușire a cunostințelor și
soliditatea lor este bine să fie construite în același sistem de axe.
Comparând graficele (histogramele) de mai sus se observă că diferența între rezultatele
obținute este mică, numărul elevilor care se situează în jurul notelor mediocre, bune, respectiv
foarte bune fiind aproximativ același la cele două clase.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
100
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Prin aplicarea testului inițial s -a verificat nivelul cunoștințelor și al deprinderilor formate
în rândul elevilor, datele obținute fiind un indiciu al validității probei în clase eterogene cu elevi
cu niveluri di ferite.
4.2. ETAPA INTERMEDIARĂ
Această etapă intermediară a testului evaluează progresul elevilor în învățarea anumitor
elemente punctuale dupa aplicarea predării diferențiate la cele doua clase, metode traditionale la
clasa martor si metode moderne la clasa experimentală. Testul intermediar a fost aplicat la unitatea
de învățare : Asemănarea triunghiurilor.
Conținutul probei
Test intermediar – Asemanarea triunghiurilor – Clasa a VII -a
Din oficiu se acorda 10 puncte.
❖ Timpul de lucru este de 50 minute.
SUBIECTUL I. Pe foaia de test scrieti numai rezultatele (30 puncte)
(10p) 1. Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au laturile ………………………..și
unghiurile …………..……………………………
(10p) 2. Cazurile de asemănare ale triunghiurilo r sunt:
a) ……………………… b) ………………………………… c) ……………………………….. …
(10p) 3. În triunghiul ABC se consideră punctele D ∈ (AB) și E ∈ (AC) astfel încât DE || BC. Dacă
AD = 6 cm, DE = 2,5 cm și BC = 5 cm, atunci lungimea laturii [AB] este egală cu………cm.
SUBIECTUL II Pentru problema de mai jos scrieți asocierile corecte dintre fiecare cifră din
coloana A și litera corespunzătoare din co loana B. (4x6p=24p)
In figura alăturată triunghiurile ABC și DEF sunt asemenea. Măsura unghiului ∡BAC este egală
cu 70°, măsura unghiului DEF este egală cu 60°, BC = 3 cm, FE = 6 cm și AB = 2 cm.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
101
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu A B
1. Măsura unghiului ∡ FDE
2. Măsura unghiului ∡ ACB a) 4
b) 1/2
3. Raportul de asemănare c) 70°
4. Lungimea segmentului
[DE] d) 2/3
e) 50°
SUBIECTUL III. Pe foaia de test scrieti rezolvarile complete (36 puncte )
(16p) 1. a) Enunțați teorema lui Thales, efectuați figura corespunzătoare, apoi scrieți ipoteza și
concluzia acesteia.
b) Enunțați teorema fundamentală a asemănării, efectuați figura corespunzătoare, apoi
scrieți ipoteza și concluzia acesteia.
(22p) 2. Se consideră triunghiurile as emenea Δ ABC ~ Δ DEF. Dacă AB = 6 cm, AC = 8 cm, EF
= 5 cm și valoarea raportului de asemănare este egală cu 1/2, calculați:
a) Lungimile laturilor [DE] și [DF];
b) Perimetrul triunghiului ABC;
c) Raportul ariilor celor două triunghiuri.
BAREM DE CORECTARE SI NOTARE
Subiectul I (30punte)
1. "Proporționale", "Congruente" ……………………………………………………… 10p
2. a) L.U.L. b) U.U. c) L.L.L …………………………………………………….. 10p
3. 12 cm ………………………………………………..10p
SUBIECTUL II (4x6p=24p)
1 c) 70° ………………………………………………………………………………………………….. 6p
2 e) 50° ………………………………………………………………………………………… ……….6p
3 b) ½ …………………………………………………………………………………………………….6p
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
102
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu 4 a) 4 …………………………………………………………….. ……………………………………….6p
SUBIECTUL III (36 puncte )
1. a) -Scrie enunțul teoremei lui Thales……………………………………………………………..4p
-Efectuează figura core spunzătoare……………………………………………………………2p
-Scrie ipoteza și concluzia teoremei……………………………………………………………2p
b) -Scrie enunțul teoremei fundamentale a asemănării……………………………………..4p
-Efectuează figura corespunzătoare……………………………………………………………2p
-Scrie ipoteza și concluzia teoremei.. ………………………………………………………….2p
2. a) Din Δ ABC ~ Δ DEF conform definiției rezultă că
DFAC
EFBC
DEAB== ………….2p
Înlocuiește datele cunoscute și obține
21 8
56===DFBC
DE …………………1p
De aici rezultă
cm DEDE1221 6== ………………………………………..2p
cm BCBC5,221
5== ………………………………………….2p
cm DFDF1621 8== …………………………………………..2p
b) Scrie f ormula perimetrului PABC=AB+BC+CA
și obține PABC = 6cm + 2,5cm + 8cm = 16,5cm………………….4p
c) Scrie formula ariei pentru fiecare triunghi.
AABC=
2HB , iar ADEF=
2hb , unde B= 2b și H=2h . …………………..6p
Scrie raportul ariilor și obține
41
22=
=HBhb
AA
ABCDEF ……………………3p
MATRICEA DE SPECIFICATII
Domenii
cognitive
Cunoastere si
intelegere Aplicare
Rezolvari
de probleme Total
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
103
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
În urma cercetării testului intermediar, s -au obținut urmatoarele rezultate:
Testul intermediar Număr
elevi Nota Media
4 5 6 7 8 9 10
Clasa VIIA(clasa experimentală) 17 2 4 4 3 2 2 – 6.29
Clasa VIIB(clasa martor) 17 4 4 3 3 2 1 – 5.88
Continuturi
Definirea triughiurilor
asemenea si enuntarea
cazurilor de asemanare
20
Item 1, Item 2
(a,b,c)(I)
10
Item 2
(II),3d(III)
5
Item 1,(III)
35(7)
Enuntul teoremei lui Thales si
teoremei fundamentale a
asemanarii
10
Item 2(I), 1(II)
10
Item1 (I)
Item2 (II)
5
Item2 (II)
25(5)
Determinarea masurii unui
unghi si a unor raporturi de
asemanare
20
Item3 (I)
Item2,3,4 (II)
20(4)
Aflarea lungimilor unor
laturi, perimetrul si aria unui
triunghi.
Raportul ariilor lor. 20
Item1
(a,b,c,d)(III) 20(4)
Total 30(6) 40 (8) 30(6) 100 (20)
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
104
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Se observă din rezultatele obținute în urma testării intermediare că diferența dintre
mediile generale ale celor două clase a crescut cu o mica diferență intre clasa martor si clasa
experimentală, media clasei experimentale fiind mai mare de cât cea a clasei martor. Frecvența
notelor mari a crescut la clasa experimentală și este mai mare decât la cea de control, indicând
eficiența metodelor moderne utilizate, orientate către obținerea de performanțe.
Rezultatele obținute la testul intermediar, au fost transformate în procente după cum urmează:
Clasa <5 5-6.99 7-8.99 9-10
Nr.elev
i Procen
t Nr.elev
i Procen
t Nr.elev
i Procen
t Nr.elev
i Procen
t
Clasa VIIA
(clasa
experimentală
)
2
11.77
%
8
47,05
%
5
29,41
%
2
11,77
%
Clasa VIIB
(clasa martor) 4 23,54
% 7 41,17
% 5 29,41
% 1 5,88%
012345678910
2 3 4 5 6 7 8 9 10Elevi
NotaDistribuirea notelor la testul intermediar
Clasa a VII-a A (clasa experimentală)
Clasa a VII-a B (clasa martor)
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
105
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu Pentru a aprecia forma distribuției rezultatelor intermediare am prezentat graficul pe
procente a celor două clase. Pentru o comparație care să evidențieze diferențele de însușire a
cunoștințelor și soliditatea lor este bine să fie construite în același sistem de axe.
Analizând rezultatele înregistrate în urma aplicării testului intermediar se observă un
progress al elevilor față de rezultatele obținute la testarea inițială, difer ența dintre mediile testului
inițial si mediile obtinute la testul intermediar intre cele doua clase este de 0, 53.
În concluzie, compararea indicatorilor observaționali între cele doua evaluări, inițială si
intermediară, indică o îmbunătățire rezultatelor .
De asemenea se constată o îmbunătățire a atitudinii elevilor în timpul orelor, dând dovadă
de o mai mare disponibilitate de a participa la activitățile de predare -învățare prin metode active –
participative, fiind mai activi si mai încrezători, dispărând starea de reticență față de sarcinile
primite.
Pentru a fi explicată cauza diferențierii rezultatelor și pentru a verifica dacă eficiența nu
este doar de moment, am continuat activitatea didactică de predare – învățare, urmată de evaluarea
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
106
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu sumativă la uni tatea de învățare „Relații metrice” prin aplicarea testului final ambelor clase.
Rezultatele obținute în urma testării finale au întărit considerațiile realizate anterior.
4.3. Etapa finală
În etapa finală, o etapa de control, am evaluat rezultatele, am corelat datele finale cu datele
inițiale, pentru a verifica relevanța diferențelor obținute.
Astfel pentru a surprinde efectele randamentului, după perioada de finalizare a activității
de predare -învățare prin folosirea metodelor activ -participative la clasa experimentală și metode
tradiționale la clasa martor, am aplicat testul final la unitatea de învățare „Relații metrice”.
Test final – Relații metrice – Clasa a VII -a
Din oficiu se acorda 10 puncte.
❖ Timpul de lucru este de 50 minute.
SUBIECTUL I. Pe foaia de test scrieti numai rezultatele (30 puncte)
1. Daca intr -un triunghi patratul lungimii unei laturi este egal cu suma patratelor lungimilor
celorlalte laturi atunci ………………………………………………… (………………………………………………..)
2. Calculati:
……… ………. ………. ………. 45 60sin 30cos =−+ tg
3. Notati triunghiul din imagine MNP cu
()=90 Nm și ND inaltime in acest triunghi.
Atunci:
a)
……..2 2=+NP MN (Teoema……………………………………)
b)
. ………. …….2= MN (Teorema………………………………….)
c)
………. ……. ………………. …….2== sauND ND
d)
…………. ……..=MNPA
SUBIECTUL II. Pe foaia de test scrieti rezolvarile complete (30 puncte )
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
107
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu 15p 1. Asociati fiecare litera din coloana A cu cifra din coloana B astfel asocierile facute sa
exprime propozitii matematice adevarate.
A
a)
……. 60cos 30sin0 0=+ B
1.
23
2. 1
3.
23 2+
4.
233 b)
……. 60 30cos0 0=+tg
c)
……. 60sin 45sin0 0=+
15p 2.Calculati inaltimea si lungimile laturilor in triunghiul dat:
SUBIECTUL III. Pe foaia de test scrieti rezolvarile complete (30 puncte )
1.Fie triunghiul ABC cu AB =
36 cm, BC =
39 cm și m( ABC) = 60 .
a)Desenati figura si completati desenul cu inaltimea AD, D (BC).
b)Aflati aria triunghiului ABC.
c)Aflati lungimea inaltimii AD.
d)Aflati lungimea laturii AC.
BAREM DE CORECTARE SI NOTARE
Subiectul I (30pun cte)
La fiecare exercitiu se acorda 5 puncte , nu se acorda puncte intermediare.
1. Triunghiul este dreptunghic
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
108
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu 2.
13−
3.
a) MP2
b) MD*MP
c) DP*PM
d) (MN*NP)/2
Subiectul al II -lea (30pun cte)
1.Pentru fiecare sociere corecta 5 puncte .
a) 1 (2)
b)
233 (4)
c)
23 2+ (3)
2.AD=4cm ………………………………………….. ….5p
AB=
52 cm …………….. …………………………….5p
AC=
54 cm …………………………………………….5p
Subiectul al III -lea (30pun cte)
1.
a) desen ul corect , construirea inaltimii si notarea corecta a figurii geometrice……..5p
b)
260sin0=BCABA =…………………………….=
2381 …………………………10p
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
109
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu c) sin600 =
ABAD ………………………….AD=9cm …………………………………….5p
d) In triunghiul ABC
)(Dm = 900
AD=9cm
2 2 2DC AD AC += ……AC=18cm 10p
DC=
39
Oficiu 10 puncte
Total punctaj 100p
MATRICEA DE SPECIFICATII
Domenii
cognitive
Continuturi Cunoastere si
intelegere Aplicare
Rezolvari de
probleme Total
Teorema catetei
Teorema inaltimii
Teorema lui
Pitagora 25
Item 1,
3(a,b,c,d)(I) 10
Item 2
(II),3d(III) 5
3d(III)
40(8)
Rapoarte constant e
in triu nghiul
dreptunghic(sin,
cos, tg, ctg)
10
Item 2,4(I)
20
Item2 (I)
Item 1.a,b,c(II)
10
1(II),c(III)
40(8)
Rezolvare
triunghiului
dreprunghic(Arii) 10
3.d(I)
Item1. a(III)
5
Item1 (I)
5
Item 1.b (III)
20(4)
Total 45(9) 35(7) 20(4) 100(20)
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
110
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu În urma cercetării testului final, s -au obținut urmatoarele rezultate:
Testul final Numar
elevi Nota Media
4 5 6 7 8 9 10
Clasa VIIA(clasa experimentală) 17 – 4 5 2 3 3 – 6.76
Clasa VIIB(clasa martor) 17 3 4 4 3 2 1 – 6.00
La acest test final, la clasa experimentală modernizarea metodelor de instruire a condus la
obținerea unor rezultate mai bune, media generală fiind de 6,76 față de clasa martor cu media 6,00.
Distribuția notelor este dat in graficul ce urmează.
Se observă deplasarea distribuției spre note mari la clasa experimentală ceea ce subliniază
și confirmă eficiența metodologiei moderne în predarea -învățarea aplicațiilor problemelor de
geometrie in pra ctică, în vederea obținerii progreselor școlare.
Obținerea notelor mari în predarea activ -participativă, ne sugerează faptul că alternarea
metodelor de predare -învățare tradiționale cu cele moderne a generat în perioada cercetării
activizarea activitățilo r de instruire, facilitând astfel transmiterea și învățarea conținuturilor
matematicii.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
111
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
Deși s -a pornit de la nivele inițial apropiate, după aplicarea experimentului, prin
desfășurarea activităților de instruire în cele două variante, atingerea obiective lor s-a realizat în
mod diferențiat.
Rezultatele obținute la testul final, au fost transformate in procente după cum urmează:
Clasa <5 5-6.99 7-8.99 9-10
Nr.elev
i Procen
t Nr.elev
i Procen
t Nr.elev
i Procen
t Nr.elev
i Procen
t
Clasa VIIA
(clasa
experimentală
)
0
–
9
52,94
%
5
29,41
%
3
17,65
%
Clasa VIIB
(clasa martor) 3 17,66
% 8 47,05
% 5 29,41
% 1 5,88%
012345678910
2 3 4 5 6 7 8 9 10Elevi
NotaDistribuirea notelor la testul final
Clasa a VII-a A (clasa experimentală)
Clasa a VII-a B (clasa martor)
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
112
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu
În etapa finală a experimantului după înregistrarea rezultatelor, am comparat și interpretat
datele obținute la testul inițial, tetul intermediar si testul final. Astfel, se observa un progres față
de testarea inițială, diferența dintre media testului final la clasa experimentala și media testului
inițială la clasa martor este de 1,00.
Pentru a verifica dacă utilizarea si stematică a metodelor activ -participative în predarea –
învățarea asemănării triunghiurilor si a relațiilor metrice, a condus la obținerea de progrese
semnificative în activitatea instructiv educativă, comparăm rezultatele înregistrate pe parcursul
experimen tului ți identificăm dacă există diferențe ăntre aceste rezultate.
Pentru aceasta, rezultatele obținute la etapa inițială, intermediară și cea finală, le -am trecut in
tabelul urmator:
Note Clasele Clasele Clasele
VIIA VIIB VIIA VIIB VIIA VIIB
Test inițial Test intermediar Test final
< 5 23,52% 29,41% 11,77% 23,54% – 17,66%
5 – 6.99 35,30% 35,30% 47,05% 41,17% 52,94% 47,05%
7 – 8.99 35,30% 29,41% 29,41% 29,41% 29,41% 29,41%
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
113
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu 9 – 10 5,88% 5,88% 11,77% 5,88% 17,65% 5,88%
Media
aritmetică 6,05 5,76 6,29 5,88 6,76 6,00
Datele statistice evidențiază crestere o a performanțelor școlare.
Folosind metodele activ -participative am observat ca elevii își însușesc mai ușor
cunoștințele, sunt mai încrezători în capacitatea lor de a ănțelege conșinuturile atât pe cont propriu
cât și în grup, doresc să se implice în învățare și nu dau semne obosea la implicându -se voit,
costient, învățând logic și activ.
Aceste rezultate confirmă ipoteza cercetării întreprinse, și anume, eficiența aplicării
tehnologiilor didactice active, a sistemului de lecții de predare -învățare -evaluare în comparație cu
sistemul clasic de predare -verificare.
Clasa a VII-a A (clasa experimentală) Clasa a VII-a B (clasa martor)
10
52.94%
8 47.05% 47.05%
41.17%
6 35.30% 35.30% 35.30%
29.41% 29.41% 29.41% 29.41% 29.41% 29.41%
423.52% 23.54%
17.66% 17.65%
2 11.77% 11.77%
6.05% 5.76% 5.88% 5.88%
0 0%
9 – 10
Interval Note5 – 6.99 7 – 8.99 9 – 10 < 5 5 – 6.99 7 – 8.99Distribuirea notelor procentual pe toate testele
E
l
e
v
iTest Initial Test Intermediar Test Final
< 5 5 – 6.99 7 – 8.99 9 – 10 < 5
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
114
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu CONCLUZII
Cercetarea pedagogică pe care am prezentat -o are în mod explicit un caracter ameliorativ;
își propune să perfecționeze procesul instructiv -educativ în special metodele de predare -învățare.
Ipoteza cercetării constă în a dovedi eficiența sistemului de lecții de predare -învățare -evaluare în
comparație cu sistemul tradițional de lecții de predare -verificare, utilizând calculatorul și metode
active de predare – învățare (metoda ciorchinelui, metoda asal tului de idei, metoda mozaicului,
metoda cubului, turul galeriei etc). Câteva dintre avantajele folosirii acestor mijloace de
învățământ de mare eficiență sunt: -stimularea gândirii logice;
– crearea motivației interne;
– exercitarea diferitelor procese de gân dire;
– dezvoltarea unui stil de lucru activ;
– dezvoltarea abilităților de comunicare și relaționare în cadrul grupului;
– dezvoltarea unei gândiri independent;
– participarea activă a tuturor elevilor clasei.
Pentru aceasta, am ales două colective de elevi echiv alente din punct de vedere școlar și
unul dintre colective a fost supus experimentului pedagogic, urmărit atent și sistematic pentru a
sesiza aspectele esențiale, în timp ce al doilea colectiv de elevi a fost menținut ca martor la care
procesul de învățare s-a desfășurat în continuare tradițional, fără nici o intervenție.
Am căutat să verific ipoteza propusă și ambelor colective de elevi le -am aplicat aceleași
teste, am colectat și interpretat rezultatele obținute de ei și am reprezentat grafic distribuția notelor.
Am comparat rezultatele între ele, le -am interpretat și am încercat să verific în ce măsură
schimbarea sistemului de lecții reprezintă o perfecționare reală în munca instructiv -educativă.
Rezultatul cercetării intreprinse îmi confirmă ipoteza și anume eficiența lecțiilor de
predare -învățare -evaluare în comparație cu lecțiile clasice de predare -verificare.
Rezultatul cercetării mele are importanță pentru teoria pedagogică sub aspectul că dacă elevii
aplică în mod conștient și individual noțiunile noi, atunci se realizează o consolidare mai temeinică
a acestora și se formează deprinderea de a lucra independent cu cunoștințele asimilate. Se cunoaște
foarte bine care sunt avantajele folosirii metodelor active: transformă elevul dintr -un obiect în
subiect al învățării, este coparticipant la propria formare, angajează intens toate forțele psihice de
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
115
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu cunoaștere, asigură elevului condiții optime de a se afirma individual și în echipă, dezvoltă
gândirea critică, dezvoltă motivația pentru învățare, permite evaluarea propriei activități.
De asemenea, forma de verificare (lucrări scrise frecvente cu pronunțat caracter formativ)
permite o mai bună sistematizare a cunoștințelor și în consecință asigură un spor de calitate în
pregătirea elevilor și de asemenea un control ritmic al pregătirii elevilor.
Experimentul de cercetare pe care l -am efectuat a pus în evidență rezultate și concluzii
încurajatoare pentru organele de decizie în ceea ce privește introducerea unor noi modalități și
procedee care să asigure o mai mare eficiență și un randament școlar mai mare în învățarea
matematicii și nu numai.
Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică
Nicoleta Gorie
116
Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați Facultatea de Științe și Mediu BIBLIOGRAFIE
1. Anastasiu M., 1985 – „Metodica predării matematicii”, Editura Moldova, Iași;
2. Barnea H ., 1998 – „Metodica predării matematicii”, Editura Paralela 45, Pitești;
3. Barna A ., Antohe Georgeta, 2001 – „Curs de pedagogie”, Galați;
4. Brânzei D., Brânzei Roxana, 2005 – „Metodica predării matematicii”, Editura Paralela
45, Pitești;
5. Vîrtopeanu I ., Vîrtopeanu Olimpia, 1994 – ,,Geometrie plană pentru gimnaziu și liceu.
Tipuri de probleme, metode și tehnici de rezolvare”, Editura Sibila, Craiova;
6. Vrabie D., 2000 – „Psihologia educatiei ”, Editura Evrika, Braila;
7. Cucos C., 2006 – „Pedagogie ”, Editura Polirom, Bucuresti;
8. Petrica I., Balseanu V., Chebici I., 1998 – „Matematica – Manual pentru clasa a VI -a” –
Editura Petrion, Bucuresti
9. Cuculesu I, Gaiu L., Otescu C, 1991 – „Matematica – Manual pentru clasa a VII -a”,
Editura Didactica si Pedagogica, Bucure sti
10. Radu D., Radu E. – 1999 – “Matematica – Manual pentru clasa a VII -a”, Editura Teora,
Bucuresti
11. Zingher M., Jancso O., 2005 – “Invatarea geometriei prin exercitii clasa a VII -a”, Editura
Sigma, Bucuresti
12. Arimescu A., Arimescu V., 1971 –“Culegere de exer citii si probleme de algebra si
geometrie pentru clasele VI -VIII”, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti
13. Manual unic pentru scolile medii tehnice, 1952 –“Matematici Elementare”, Editura
Tehnica, Bucuresti
;
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Utilizarea metodelor moderne în predarea -învățarea -aplicatiilor geometriei în practică Coordonatorul științific, Lector Dr. Camelia FRIGIOIU… [628058] (ID: 628058)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.