Utilizarea metodei elementelor finite pentru calculul de rezistență al unui avion [306017]

Universitatea POLITEHNICA din București

Facultatea de Inginerie Aerospațială

Utilizarea metodei elementelor finite pentru calculul de rezistență al unui avion

Coordonator proiect:

Conf. Dr. Ing.

Absolvent: [anonimizat]

2016

Temă de proiect: Să se proiecteze structura de rezistență a unui avion de luptă

Aplicație: Fuselaj

Avion model: Dassault Mirage F1

CUPRINS

Capitolul 1 4

Introducere 4

Scurt istoric 4

Prezentare avion: Dassault Mirage F1 10

Capitolul 2. 18

Devizul de mase 18

Capitolul 3. Diagrama de manevră și rafală 21

Diagrama de manevră 21

Diagrama de rafală 23

Anvelopa de zbor 25

Capitolul 4. Cazuri de încărcare nesimetrică 26

Incarcarea asimetrică pe aripă 26

Încărcarea disimetrică pe aripă 27

Capitolul 5. Dimensionare structură aripă 29

Introducere 29

Repartiția maselor in lungul aripii 31

Forțele tăietoare și momentele în lungul aripii 32

Diagramele de solicitări 33

Dimensionarea structurii aripii 35

Material utilizat 36

Predimensionarea 36

Predimensionarea lonjeroanelor 37

Rezultate 42

Capitolul 6. Dimensionarea fuselajului 45

Principii de predimensionare 45

Principii de predimensionare elemente structurale 47

Calculul de predimensionare intr-o secțiune oarecare 48

Rezultate 53

Capitolul 8. Metoda ElementelorFinite 61

Introducere 61

Discretizarea 62

Nodul 63

Elementul finit 64

Funcții de interpolare 65

Principiul lucrului mecanic virtual (principiul deplasarii virtuale) 66

Interpolarea funcțiilor cu elemente finite 67

Capitolul 9. Modelul structural 75

Analiza statică 80

Analiza modală 82

Capitolul 10. Concluzii 86

Bibliografie 87

Anexe 88

Capitolul 1

Introducere

Scurt istoric

Dorința oamenilor de a zbura s-a manifestat înca din cele mai vechi timpuri. Dovadă a acestui lucru o [anonimizat] a-i ajuta sa zboare.

În 1480, artistul și inventatorul Leonardo daVinci a studiat zborul mecanic. Acesta a realizat peste 100 de desene în care a ilustrat teorii ale zborului.

Mașina zburătoare a sa, Ornithopterul nu a fost niciodată creata. A fost doar proiectata de către artist pentru a putea arăta oamenilor cum pot zbura. Elicopterul este bazat pe conceptul inventatorului renascentist.

Fig. 1.1 Ornithopterul (Sursa: www.medfam.ro)

Evoluțiile practice înregistrate in istoria aviației s-au produs însa în paralel cu cele teoretice din aerodinamică.

Chiar dacă teoriile aerodinamicii moderne au apărut abia in secolul 18, [anonimizat] 2 si 3 I.C. Dovadă acestui lucru o reprezintă tratatului lui Aristotel „De Caelo” (Despre ceruri), [anonimizat] a afirmat că un fluid poate fi tratat ca mediu continuu. Arhimede de asemenea spune că o curgere a unui fluid depinde de gradientul presiunii din fluid.

În secolul 15, Leonardo Da Vinci a publicat codexul „Leicester”, în care a [anonimizat]. Această concluzie falsă a [anonimizat] 17.

[anonimizat] a fost prima persoana ce a dezvoltat o [anonimizat] curgerii.

În 1687, în lucrarea lui Newton, „Principia” au fost prezentate legile de mișcare ale lui Newton, prima abordare teoretică completă în ințelegerea fenomenelor mecanice.

În 1738, matematicianul Daniel Bernoulli a publicat „Hydrodynamica”, în care a descris relația fundamentală dintre presiune și viteză (principiul lui Bernoulli).

Cea mai mare provocare a aerodinamicii în secolul 19 a fost construcția unei mașini zburătoare mai grea decât aerul. George Cayley a dezvoltat conceptul aeronavei moderne cu aripă fixa in 1799 și astfel a identificat cele patru forțe aerodinamice fundamentale: portanța, tracțiunea, rezistența la înaintare și greutatea.

Cayley este considerat a fi prima persoana care a dezvoltat o masină zburatoare cu aripa fixa; deși scrierile lui Da Vinci conțin desene și descrieri ale unei mașinării cu aripă fixă mai grea decat aerul, aceste notite erau dezorganizate iar cunoștințele sale legate de aerodinamica nu au fost descoperite decât dupa ce tehnologia înregistrase deja progrese remarcabile.

La sfârșitul secolului 19, au fost identificate două probleme fundamentale în construirea unei aeronave mai grea decat aerul. Prima a fost realizarea unei aripi care să genereze portanța mare și rezistența la înaintare mica. Cea de-a doua problemă a fost determinarea necesarului de putere pentru susținerea zborului.

In 1889, Charles Renard, inginer francez, a devenit prima persoană care a reușit să estimeze puterea necesară pentru a susține zborul. Renard împreună cu un fizician german, Hermann von Helmholtz au studiat încărcarea aripii la păsări, ajungând la concluzia că oamenii nu pot zbura cu ajutorul propriei puteri daca le-ar fi atașate aripi. Otto Lilienthal, inginer german care studia aerodinamica, avand ca model lucrările lui George Cayley, a fost primul care a avut succes in zborul cu planorul. Acesta considera ca profilele subțiri, curbate, produc portanța mare și rezistența la înaintare mică.

Între anii 1880- 1890, Otto Lilienthal a lucrat la proiectarea unui aparat zburător. A fost primul care a reușit să construiască un planor capabil să suporte greutatea unei persoane și să zboare pe o distanță mai mare.

Acesta era fascinat de ideea zborului. Pornind de la studiile sale asupra păsărilor și modului lor de a zbura, a scris o carte de aerodinamica ce a fost publicata in 1889, carte ce a fost folosită de frații Wright ca bază pentru invențiile lor.

Fig.1.2 Avionul fratilor Wright(Sursa: www.wright-brothers.org)

Frații Wright au fost însa primii care au zburat cu un avion propulsat de un motor. Aceștia au pus la punct un aparat caracterizat prin stabilitatea aripilor, pe care le-au alungit, diminuându-le curbura și prevăzându-le cu o comandă ce permitea deformarea lor (până atunci, când planorul se înclina într-o parte, pilotul îl redresa aplecându-și corpul în partea opusă, pentru a evita căderea; prin deformare, vârful aripii se ridică în partea spre care se apleacă aparatul și coboară în cealaltă parte, ceea ce produce inversarea mișcării de înclinare). Odată construit un aparat stabil, frații Wright s-au ocupat de propulsie, realizând un motor cu explozie, ușor (83 kg și 13 CP), de care aveau nevoie. În sfârșit, au construit și o elice deosebit de eficientă pentru acea dată (aparatul avea două elice, contrarotative, puse în mișcare de pinioane și de lanțuri de bicicletă.

Prima încercare de decolare a fostînsă un eșec, din cauza erorii de pilotaj comise de Wilbur. A doua încercare i-a permis lui Orville să efectueze un „zbor”de 12 secunde pe o distanță de 36 de metri. În aceeași zi – 17 decembrie 1903 – el a reușit să țină aparatul în aer timp de 59 de secunde și să parcurgă o distanța de 260 de metri. Totusi, avionul era instabil si foarte greu de controlat.

Frații s-au intors in Dayton, Ohio, unde au lucrat pentru înca doi ani, perfecționând modelul. Pe 5 octombrie 1905 Wilbur a pilotat „Flyer III” timp de 39 minute pe o distanță de 24 mile.

Primul Război Mondial a fost deschiderea către o noua eră in aviație. La începutul războiului, aeronavele erau foarte rudimentare, însă la finalul acestuia acestea au devenit mult mai sofisticate și deja erau diferențiate in avioane de luptă, bombardiere, etc.

Materialele standard utilizate înainte de război, precum lemnul și pânza au fost înlocuite cu aluminiul, care era mult mai ușor, mai puternic și mai sigur.

La nivel de structură, cea mai importantă dezvoltare în timpul primului război mondial a fost aripa in consolă și fuselajul tip monococă.

Fuselajul tip monococă era construit la acea vreme dintr-un inveliș subțire de lemn susținut la interior de pereți despărțitori și corzi longitudinale. Primele încercări în construirea acestui tip de fuselaj au constat în suprapunerea mai multor straturi foarte subțiri de lemn pe o matriță circulară. Însă acesta era un proces foarte laborios și foarte puține aeronave au fost construite cu acest tip de structură.

Printre primele modele la care a fost utilizat fuselajul monococă au fost avioanele de luptă germane Albatros. Fuselajul acestora era construit prin lipirea unor panouri din lemn foarte subțiri pe structura de rezistență formată din pereții despărțitori si corzi.

Adevarata descoperire in materie de fuselaj monococă a avut loc in 1918, odată cu prezentarea procesului dezvoltat de compania Lockhead Aircraft Manufacturing. Aceasta nouă metodă era inovatoare deoarece fuselajul era construit din jumătăți de carcasă fabricate din furnir de molid în matrițe de ciment. Plăcile de furnir erau plasate în forme și lipite între ele cu ajutorul unui adeziv. După uscarea acestora, erau obținute două jumătăți de fuselaj care mai apoi erau fixate pe structura aeronavei.

În timpul celui de-al Doilea Război Mondial, domeniul aerospațial a fost marcat de o importantă dezvoltare, atât din punct de vedere al structurii aeronavelor, cât si al echipării acestora cu armament și sisteme de lupta.

În al Doilea Război Mondial, aviația este utilizată pe câmpul de luptă pe scară largă. Asistăm la apogeul epocii avioanelor cu elice și motor cu ardere internă, ca apoi să fie înlocuite de avioanele cu motor cu reacție și radar.

Fig. 1.3 Avioane din Al Doilea Razboi Mondial

(Sursa: http:// worldwar2headquarters .com )

Dupăterminarea celui de-al Doilea Război Mondial, s-a înregistrat o dezvoltare semnificatiăa în segmentul aviației comerciale, pentru transportul de pasageri și cargo fiind utilizate, de cele mai multe ori foste aeronave militare.

In Octombrie 1947, Chuck Yeager a reușit pentru prima dată sa depășească bariera vitezei sunetului. Totodată, între anii 1948 – 1952 s-a înregistrat primul zbor peste Atlantic folosind un jet, dar și primul zbor fără escală către Australia.

Invenția armelor nucleare, in 1945, a dus la creșterea importanței aeronavelor militare în timpul Războiului Rece. La început, au fost produse in masă avioanele supersonice de intercepție, insă din 1955 atenția a fost îndreptată către dezvoltarea rachetelor sol – aer.

Ultima parte a secolului 20 a fost marcată de o schimabare in aviație. Nu se mai urmărea obținerea progreselor în materie de viteză, distanțe parcurse sau tehnologii de materiale. Această perioadă a cunoscut răspândirea revoluției digitale în proiectarea și tehnicile de fabricație ale aeronavelor. Sistemele digitale „fly-by-wire” au permis ca aeronavele să fie construite astfel incât să aibă o stabilitate statică mai mare. Acest sistem a fost utilizat inițial pentru a crește manevrabilitatea aeronavelor militare, precum F-16, însă acum este utilizat pentru reducerea rezistenței la înaintare la avioanele comerciale.

Prezentare avion: Dassault Mirage F1

Dassault Mirage F1 este un avion de luptă francez proiectat și construit de către Dassault Aviation. Acesta a fost utilizat ca un avion de luptă ușor, multirol și a fost exportat în peste 12 țări. Au fost produse mai mult de 720 de exemplare. Această aeronavă este o versiune mai mică a avionului Mirage F2, fiind produs pentru forțele aeriene franceze. Are o configurație asemănătoare cu cea a avianelor Mirage III si V și este propulsat de un motor SNECMA Atar 9K. Spre deosebire de predecesorii săi, are o anvergură a aripilor mai redusă, poate transporta cu pâna la 43% mai mult combustibil și de asemenea, dispune de o manevrabilitate mai mare.

Primul prototip a zburat pentru prima dată pe 23 decembrie 1966. În ciuda faptului că acesta s-a prabușit câteva luni mai târziu datorită flutterului, au fost comandate alte 3 prototipuri ducând astfel la abandonarea producerii aeronavei Mirage F2, care era mult mai costisitoare.

Fig 1.4 Dassault Mirage F1(Sursa: www.avioners.net)

Caracteristici tehnice:

Construcția avionului:

Avionul Dassault Mirage F1 este un avion de mici dimensiuni,cu trenul de aterizare escamotabil în fuselaj.

Fig. 1.5 Tren de aterizare Mirage F1 (Sursa: aero.passion1.perso.sfr.fr)

Motorul este dispus in partea centrală a fuselajului, rezervoarele principale de combustibil sunt dispuse în interiorul fuselajului și de asemenea dispuse pe aripi.

Fig 1.6 Dispunerea motorului avionului Mirage F1 (Sursa: commons.wikimedia.org)

Fig 1.7 Dispunerea rezervoarelor de combustibil ale avionului Mirage F1

(Sursa: http://www.avialogs.com/)

Fuselajul se împarte in două părți:

-partea anterioară a fuselajului, compusă din botul avionului și cabină.

-partea posterioară a fuselajului,cu ampenajele, sistemul de propulsie, rezervorul de combustibil și orificiile de admisie.

Fig 1.7 Dispunerea agregatelor pe fuselajul avionului Mirage F1

(Sursa: http://www.avialogs.com/)

Nișa din partea anterioară a fuselajului formează compartimentul de escamotare ajambei anterioare atrenului de aterizare.

Cupolele cabinelor se fixează la panoul superior al fuselajului prin lacăte comandate mecanic.

In spatele cabinei etanșate se găsește rezervorul de oxigen.

Fig 1.8 Dispunerea rezervorului de oxigen al avionului Mirage F1

(Sursa: http://www.avialogs.com/)

Pe cadre consolidate există ansambluri pentru fixarea agregatelor,pe cadrele consolidate din partea posterioară a fuselajului se fixează ampenajele.

.

Fig 1.9Secțiunile părții anterioare ale fuselajului avionului Mirage F1

(Sursa: http://www.avialogs.com/)

Fig 1.10Sectiunile părtii posterioare ale fuselajului avionului Mirage F1

(Sursa: http://www.avialogs.com/)

Variante de înarmare

Fig 1.11Acroșajele avionului Mirage F1

(Sursa: www.airvectors.net)

Fig 1.12Avionul în 3 vederi

(Sursa: freercplans.com)

Fig 1.13Cut away

(Sursa: www.ww2aircraft.net)

Capitolul 2.

Devizul de mase

Prin centrajul avionului se întelege distanța pe orizontală dintre centrul de greutate al avionului și bordul de atac al aripii echivalente, exprimat în procente din coarda medie aerodinamica.

Greutatea este o forță întotdeauna orientată spre centrul pământului. Această forță este direct proporțională cu masa aeronavei și depinde totodata si de încărcarea sa. Deși este distribuită pe întregul aparat, ea este colectată și acționează asupra unui singur punct, cunoscut sub numele de centru de greutate. În timpul zborului, deși aeronava se rotește în jurul centrului de greutate, orientarea greutății rămâne tot spre centrul pământului. In acelasi timp, tot in timpul zborului greutatea scade constant datorită consumului de combustibil conducand astfel la modificarea distributiei de greutati si a centrului de greutate.

Calculul centrajului de obicei este realizat luând în considerare două cazuri și anume cazurile extreme corespunzând greutăților minime și maxime ale avionului , adică avionul complet gol și complet echipat , cu rezervoarele pline . Se estimează masa fiecărei părți componente a avionului și se calculează coarda medie aerodinamică , apoi se determină poziția centrului de greutate al avionului și se calculează centrajul acestuia .

Acestea reprezintă coordonatele poziției centrului de greutate al avionului obținute în urma calculului.

Fig 2.1Poziția centrului de greutate al principalelor componente ale avionului

Capitolul 3. Diagrama de manevră și rafală

Diagrama de manevră

Ca date inițiale ale calculului de rezistență al structurii sunt considerate sarcinile exterioare. Se pot defini două categorii de sarcini, clasificate din punct de vedere al limitării acestora:

Sarcini exterioare, a căror mărime nu este limitată natural, caz în care se alege o limitare arbitrară;

Sarcini exterioare a căror mărime in exploatare este limitată prin mijloace de încredere, la o valoare definită ce nu poate fi depașită.

În cazul calculului structurilor de aviație, sarcinile exterioare sunt limitate arbitrar. Valorile vitezei și ale factorilor de sarcina ce determină limitele sarcinilor exterioare sunt stabilite prin normele de calcul și de admisibilitate la zbor a aeronavelor.

Mărimea si distribuția sarcinilor depinde de :

Tipul manevrei de zbor;

Altitudine ;

Amplitudinea și viteza bracajelor suprafețelor de comandă;

Turbulența atmosferică.

Diagrama de manevră este definită ca fiind domeniul combinațiilor posibile dintre viteze și factori de sarcină la o anumită altitudine la care se desfașoară manevra de zbor.

Manevrele pot fi:

Simetrice sau nesimetrice, produse datorita voinței pilotului;

Datorate atmosferei turbulente (rafale verticale sau orizontale), produse datorită turbulențelor atmosferice;

Anvelopa de zbor este suma topologică a diagramelor de manevră de cele doua tipuri și a diagramei de rafală.

În continuare, se va trasa diagrama de manevră considerând manevrele simetrice.

Vitezele sunt considerate a fi “ viteze echivalente ” ( EAS ) , diferind de “vitezele adevărate” ( TAS ) prin legea

sau

Factorul de sarcină “ n ” este definit de raportul dintre portanța P și greutatea G :

Prevederile regulamentelor de calcul sunt distincte pentru avioane civile , respectiv militare. Astfel, diagrama de manevră corespunzatoare avionului Mirage F1 va fi trasată conform regulamentului militar.

Altitudinea de zbor considerată pentru realizarea diagramei este cea de viteză maxima a avionului și anume 15000 de metri.

Punctele de calcul importante sunt:

Punctul A.

Curba OA este parabola dată de

Punctul D. n = n1 ; V =VD , unde VD este “ viteza limită de picaj ”

Punctul C. n = n1 ; V =VC , unde VC este “ viteza maximă de croazieră la altitudinea H ”

Punctul E. n = n2 ; V = VD

Punctul F. n = n2 ; V = VC .

Punctul G. n = n2 ; V = VG , unde

Coeficienți de portanță se aleg, dacă nu există alte informații, de ordinul

și

Coeficientul 0,9 semnifică imposibilitatea determinării cu precizie a valorii Czmax . Dacă avionul are aripa cu profil simetric și unghiul de calaj mic , pentru Czmax negativ se folosește un coeficient apropiat de 0,8 , altfel se ia 0,6 sau apropiat de această valoare .

Valorile factorilor de sarcină sunt alese astfel:

Între 6 și 9 pentru avioane de vânatoare/interceptare total acrobatice;

Între 5 și 7 pentru avioane parțial acrobatice, de bombardament în picaj și atac la sol;

Între 4 și 6 pentru avioane partial acrobatice și de scoală sau antrenament.

În ceea ce privește valorile factorului de sarcină, valoarea mare se alege în cazul efectuării calculului la greutatea de bază, în timp ce valoarea mică se alege în cazul efectuării calculelor la greutatea maximă.

În cazul avionului militar de luptă considerat factorul de sarcina ales are valoarea de 8,5.

Diagrama de rafală

Conform reglemantărilor , avionul trebuie să suporte sarcinile produse de rafale , în toate configurațiile de zbor .

Regimul inițial se consideră , pentru orice rafală ( simetrică ) , zborul orizontal la înălțimea H, cu viteza V* ( ce este precizată în tabelul de mai jos ) , la n = 1 . Intensitatea rafalei ( verticale ) se exprimă prin viteze echivalente , perpendiculare pe direcția de zbor ( V* ) , notate “ W ” .

Vitezele VC și VD se definesc conform diagramei de manevră , atât pentru avioanele civile cât și pentru avioanele militare .

Datorită rafalei , factorul de sarcină rezultat este de forma :

,

unde , pe lângă mărimile cunoscute mai intervin :

W = intensitatea rafalei,

= panta curbei de portanță , calculată în punctul corespunzător regimului inițial ( anterior apariției rafalei ),

V = viteza echivalentă în regimul inițial,

= coeficientul de atenuare a rafalei , care ține cont de faptul că aeronava supusă efectului rafalei dobândește o componentă a mișcării pe direcția rafalei , astfel încât incidența reală datorată rafalei este mai mică decât cea indicată de W/V , fiind deci ηW/V

pentru M < Mcritic

pentru M > Mcritic

unde Mcritic reprezintă numărul Mach la care apare regimul transonic la înălțimea H .

Coeficientul ηg se calculează cu formula

,

Se consideră parabola intersectată cu dreapta

,

deci s – a determinat punctul .

La viteza VC , se calculează cu valoarea inițială G :

și se determină corespunzător unui avion echilibrat .

Anvelopa de zbor

Am analizat anterior sarcinile de manevră, datorate voinței pilotului, cât și cele de rafală, datorate turbulențelor atmosferice. Aceste tipuri de sarcini au fost sistematizate și vor fi reprezentate grafic sub forma unor diagrame in coordonate (V-n) ce delimitează domenii pentru punctele ce caracterizează o solicitare a aeronavei in zbor.

Reuniunea diagramei de manevră și a celei de rafală, la inalțimea considerată, poartă numele de anvelopă de zbor. Această diagramă reprezintă majoritatea evoluțiilor simetriceposibile ale aeronavei, caracterizate prin viteza și factor de sarcină transversală la altitudinea dată.

Fig. 3.1 Anvelopa de zbor

Capitolul 4. Cazuri de încărcare nesimetrică

Cazurile de încărcare nesimetrică sunt caracterizate de faptul că sarcina aerodinamică este repartizată nesimetric pe cele doua planuri ale aripii.

Incarcarea asimetrică pe aripă

Acest tip de încărcare poate fi cauzat de mai mulți factori:

-turbulențe puternice care acționează de sus asupra aripii. Consecința acestui lucru este scăderea bruscă a unghiului de atac sub valoarea critică.

-picajul accentuat al aripii până la atingerea valorii minime critice a unghiului de atac.

Situația este reprezentată pentru zborul la incidențe mari , când este posibil ca unul dintre semiplanuri să intre parțial în STALL , caz în care respectivul semiplan se descarcă relativ brusc .

Fig. 4.1 Incărcare pe aripă

În timpul unei manevre unul dintre semiplane se descarcă brusc până la k% din cazul inițial .

PA este portanța aripii , și este , în cazul inițial .

Accelerația unghiulară corespunzătoare este : , având semnificația unei valori inițiale și sensul din schiță .

Factorul de sarcină suplimentar este .

În plan vertical, urmare a descărcării unui semiplan portanța aripii devine:

Noul factor de sarcină devine:

Factorul de sarcină final localizat pe anvergură devine:

cu valoarea aproximativă:

Pentru avioanele acrobatice k se alege în jurul valorii 0,6.

Fig. 4.2Variația factorului de sarcină in anvergură

Încărcarea disimetrică pe aripă

Apare în cazul unui bracaj de aripioare. Din punct de vedere al calculului structurii aeronavei ne interesează numai efectele momentului aerodinamic de comandă, precum și al forțelor aerodinamice locale suplimentare.

Momentul de ruliu dat de bracaj antisimetric de eleroane cu unghiul este dat:

Cazuri de calcul:

inițial nm = 2/3 n1, V = VA, avionul este în echilibru

manevră: se presupune un bracaj de eleroane ( -15o…20o)

având semnificația unei accelerații inerțiale

Factorul de sarcină local va fi, în final:

Se presupune că bracajul antisimetric nu afectează semnificativ portanța aripii și ca urmare aceasta se consideră constantă.

Fig. 4.3Variatia factorului de sarcina in anvergură

Capitolul 5. Dimensionare structură aripă

Introducere

In zborul aerodinamic, cea mai importantă parte a avionului estereprezentată de aripă. Împreună cu ampenajele, acesta asigură portanța, stabilitatea și manevrabilitatea avionului.

În general aripa este compusă din:

structura de rezistență

înveliș exterior

rezervoarele integrate de combustibil

aparatura hidro-pneumatică aferentă comenzilor.

Elementele constructive ale unei aripi de avion obișnuite sunt:

lonjeroanele

lisele

nervurile

panourile de înveliș

alte piese componente, de rigidizare (ex: montanți) folosite pentru transmiterea eforturile între aripă și fuzelaj sau între tronsoanele aripii.

Aripile sunt formate din cel puțin două lonjeroane, care împreună cu învelișul formează chesonul de rezistență, cu rolul de a prelua eforturile aerodinamice și mecanice la care este supusă aripa.

Lonjeroanele sunt elemente de rigidizare așezate de-a lungul aripii, care preiau cea mai mare parte din forțele și momentele ce acționează asupra acesteia. Au aspectul unei grinzi consolidate, îmbinate între ele cu nituri. Sunt realizate de regulă din materiale rezistente la încovoiere și răsucire (duraluminiu, titan, oțeluri speciale).

Nervurile sunt elemente de rigidizare transversală a aripii, montate de obicei perpendicular pe bordul de atac al aripii. Rolul lor estede a păstra forma aripii și de a transmite solicitările aerodinamice la lonjeroane și lise. Pot fi nervuri simple sau nervuri de forță, acestea din urmă având rolul suplimentar de a prelua forțele concentrate datorate diverselor echipamente și instalații acroșate de aripi.

Fig. 5.1 Aripa avionului Dassault Mirage F1

(Sursa: http://www.avialogs.com/)

Lisele sunt elemente de rigidizare montate în lungul aripii cu rolul de a prelua solicitările axiale datorate încovoierii aripii. Ele trebuie săreziste la întindere și compresiune și măresc rezistența învelișului la deformare.

Studiul fenomenelor aeroelastice asociate aripii unui avion se poate face pe două nivele de precizie distincte și anume:

– Aripa ’izolată’: în acest caz aripa se consideră natural un corp elastic rezemat într-un mod oarecare (încastrată) pe ’restul avionului ’ considerat rigid și de masă infinită;

– Aripa împreună cu ’restul avionului’ (problema avionului liber în spațiu).

În ambele situații prin ’ aripă ’ se subînțeleg de fapt planurile extremale.

Se vor considera următoarele sisteme de axe:

-sistemul ’ aerodinamic ’ Oxyz, legat de curentul de la infinit, cu originea în planul de simetrie al avionului;

-sistemul propriu convențional al aripii ca structură unidimensională, în lungul axei elastice;

Pentru avionul studiat, cunoaștem din calcule diagramele de forțe și momente pentru cazurile A, D și F din diagrama de manevră, precum și cazurile de încărcare nesimetrică. Forțele și momentele astfel calculate sunt sarcini limită.

Examinând aceste cazuri stabilim în fiecare secțiune solicitările maxime.

Repartiția maselor in lungul aripii

Distribuția de mase în lungul aripii are o variație liniară, datorită faptului că masa distribuită se presupune a fi proporțională cu coarda.

Atât la încastrare, cât și la extremitate, avem definite astfel:

Astfel, repartiția greutății se calculează utilizând formula:

Distribuția de maăa pentru rezervorul din aripă , de asemenea, se presupune a fi proporțional cu coarda și in consecință va avea o variație liniară:

Prin urmare, funcția de repartiție a masei totale va fi datăde :

Unde distribuția greutații se face folosind funcția Heaviside, ce are valoarea 1, dacă argumentul său este pozitiv sau valoarea 0 dacă argumentul este negativ.

Fig. 6.3 Repartitia de mase pe aripă

Forțele tăietoare și momentele în lungul aripii

Determinarea solicitărilor se face pentru punctele caracteristice considerate în diagrama de manevră. Pentru acest lucru sunt utilizate următoarele formule:

Pentru determinarea tracțiunii avem:

Distribuția de forțe tăietoare se calculeaza astfel:

Momentul distribuit in anvergurăeste determinat dupa cum urmeaza:

În sistemul legat de axa elastică, momentul de încovoiere distribuit in anvergură se calculează cu urmatoarea formulă:

Momentul de torsiune este calculat astfel:

Diagramele de solicitări

Diagramele de solicitări au fost trasate pentru mai multe cazuri de importanță în dimensionare:

-Cazul punctelor A, D și E din diagrama de manevră

-Cazul încărcării disimetrice pe aripă

Solicitările structurale (exprimate în N, Nm) luate în calcul pentru a stabili cazul critic de încărcare au fost reprezentate grafic (în lungul axei elastice) în figurile următoare, unde indicii A, D și E reprezintă cazurile de calcul din diagrama de manevră, iar indicele „ disim” reprezinta cazul de calcul pentru incărcările disimetrice.

Diagrama de forțe tăietoare:

Diagrama de momente încovoietoare:

Diagrama de momente de torsiune:

Din analiza diagramelor de solicitări s-a dedus că încărcarea disimetrică solicită mai mult structura de rezistență a aripii, din care cauză s-a considerat a fi cazul critic de calcul.

Dimensionarea structurii aripii

S-au considerat ca secțiuni de calcul importante următoarele secțiuni:

– Încastrarea

– Extremitatea liberă

– Secțiuni de calcul intermediare.

Am considerat structura a fi de tip monocheson , cu două lonjeroane L1 , L2 .Lonjeronul are tălpile de forma literei T.

Lisele sunt de forma literei L și sunt nituite pe panoul de înveliș .

Predimensionarea este realizată raportându-se la solicitarea considerată dominantă, și anume încărcarea disimetrică, la sarcini ultime.

Pentru fiecare secțiune in parte se defnesc :

– sarcini limită : TzL , MxL , MtL

– sarcini elastice : TzE = 1,125 TzL , MxE = 1,125 MxL , MtE = 1,125 MtL

– sarcini ultime : TzU = 1,5 TzL , MxU = 1,5 MxL , MtU = 1,5 MtL

Se introduce coeficientul “ k ” ce repartizează momentul încovoietor între lonjeroane și panouri și lise :

– momentul încovoietor preluat de lonjeroane : Mxlonj = k Mx

– momentul încovoietor preluat de panouri și lise : Mxpanlise = (1 – k ) Mx

Material utilizat

În realizarea aripii se va utiliza duralul.

Aliajele tip duraluminiu sunt aliaje complexe ce au la baza aliajele Al – Cu, care conțin și alte elemente cum ar fi: Mg, Mn, Fe, Si, Zn. Aceste aliaje sunt numite duraluminiuri datorită caracteristicilor de rezistență ridicate, apropiate de cele ale unor oțeluri mai moi. Modulul de elasticitate fiind mai mic decât al oțelurilor, deformațiile elastice sunt mai mari la tensiuni egale. Caracteristicile ridicate de rezistență se obțin datorită durificării prin precipitarea compusului A12Cu4 și a altor compuși cum ar fi Mg2Si, A13Mg. Cele mai ridicate caracteristici de rezistență se obtțin la aliajele Cu 3,6 – 4,5 % Cu, 0,6 – 1,8 % Mg, 0,6 – 1,2 % Mn.

Proprietăți:

Predimensionarea

În urma efectuării calculelor, avem cunoscute următoarele:

– sarcinile limită , elastice și ultime

TzL , TzE , TzU

MxL , MxE , MxU

MtL , MtE , MtU

– coeficienții

factorii de sarcină n1 , n2

nU lise , nFL panou

– geometria ( estimativ )

cote profil

număr de lonjeroane ( 2 lonjeroane )

număr de lise , total extrados – intrados NE și NI

pasul mediu al liselor

pasul nervurilor

tipul ( forma secțiunii ) lisei pe extrados și intrados

Tensiunea de crippling nu se cunoaște. Pentru determinarea acesteia se face un calcul iterativ , adică inițial se consideră σcrippl = α σcc , cu α 0,6, se construiește lonjeronul și se verifică talpa .

Învelișul va plisa înainte de S.U. ;

– Pentru o construcție cu lonjeroane se admite flambajul ( local , general sau de tranziție al uneia , al unora sau al tuturor liselor la S.U. ) ;

– În aceste condiții construcția verifică criteriile de rezistență la S.U. dacă se demonstrează că în aceleași condiții tălpile lonjeroanelor nu cedează la crippling ;

– Flambajul ( plisajul de înveliș ) în compresiune sau combinat cu PF nu se admite în zbor orizontal în nici un caz ;

– Sarcina ultimă este dată de cripplingul panoului ;

Predimensionarea lonjeroanelor

Pentru dimensionarea tălpilor de lonjeron, se admite faptul că momentul total preluat de lonjeroane se repartizează pe fiecare lonjeron astfel:

De aici rezultă;

În formula, este o cotă efectivă a tălpilor si este grosimea profilului în dreptul lonjeronului.

Se determina ariile de talpi necesare:

În cazul calculului de rezistență al structurilor aeronautice cunoașterea tensiunii critice de cedare este importantă pentru că ea reprezinta limita tensiunii admisibile la compresie. Pentru calculul acestei tensiuni critice a profilelor se utilizează metode semiempirice. Pentru talpa T avem urmatoarea formulă:

Pentru dimensionarea inimilor de lonjeron se admite ipoteza de încovoiere pură :

De aici se determină . Se determină

Se admite Mt înlocuit cu un cuplu T – T pe lonjeroanele extreme :

,

pe lonjeroanele extreme fluxurile de calcul.

Grosimile inimilor : ; în general se va lua

În condițiile ipotezei de încovoiere pură , învelișul și lisele din secțiunea S0 nu pot fi predimensionate . Pentru această secțiune se admite în primă aproximație că învelișul și lisele păstrează dimensiunile din secțiunea tipică S1 .

Valoarea informativă pentru înveliș este dată de :

,

De regulă se obțin valori inacceptabile din punct de vedere constructiv , de aceea acestea sunt pur informative .

Dimensiunile finale adoptate

Valorile rezultate din calcul se rotunjesc constructiv .

sau

unde

kσ = 4,5 .. 5 ( recomandat )

kτ = 6 .. 10 ( acoperitor )

σef = const = σmax-

se determină prin încercări o valoare pentru δ .

Lisele

Se determină o cotă medie a panoului rigidizat :

Se alege δlisă de referință care verifică condiția de dimensionare relativă lisă – înveliș : Alisă ref = μref b δ , cu μref = 0,75 .

Se determină pentru aceste lise σu-lisă pe zona de tranziție.

Dimensionare lise : σu-lisă =σcr , la SE : σef SE σu-lisă .

Panoul lucrând are secțiunea de lucru efectivă dată de relația:

unde : N = număr de lise pe panoul comprimat , m = număr de lonjeroane + lonjeroane false

Pentru predimensionarea structurii se va folosi metoda directă:

Se consideră coeficientul k (=0.4)

MxU lonj = k MxU

MxU panlise = ( 1- k ) MxU .

a ) În cazul lonjeroanelor se procedează ca în secțiunea S0 ;

b ) Pentru panouri și lise :

-dimensionări în σ :

extrados :

Se estimează eforturile maxime efective în compresie pe extrados (ca fiind cel din talpa lonjeronului ). Se consideră o lege liniară cu factorul de sarcină nU = 1,5 n1, σef = σUe- , nFlp

în care Hmax este grosimea maximă a profilului .

Se determină ( în prima aproximație ) grosimea învelișului din condiția de plisaj ( în compresie ) la σmax din formula de mai sus , respectiv :

unde kσ = 4 , acoperior fiind 4,5 .. 5 .

De aici se obține δ1* – prima aproximare pentru δ .

Dimensionări în τ :

Se obține în prima aproximație contribuția torsiunii

, cu

Se determină δ din torsiune , cu τa = σr / 2 .

De regulă , condiția din dimensionarea în σ este mai puternică decât cea din dimensionarea în τ , de aceea valoarea δ** este , în principiu , aproximativă .

Dimensionarea efectivă a panourilor de înveliș

Se compară δ1* cu δ** și se obține δ1 = max (δ1* , δ** ) ;

– plisaj combinat : se determină pentru δ1 astfel rezultat eforturile efective din calculul de plisaj :

– se aplică relația de interacțiune RC + R2S = 1

Deoarece se admite că σef = constant , problema se poate rezolva și astfel :

la SU : σef SU σUL .

Panou lucrînd:

Se pune condiția .

Pentru aria lisei se alege valoarea maximă dintre valorile determinate și se verifică la toate criteriile de la σU lise .

Dacă valoarea nu satisface criteriul constructiv , trebuie refăcut calculul.

Dimensionarea structurii s-a făcut pentru cazul încărcării disimetrice.

După dimensionare s-a făcut verificarea structurii de rezistență a aripii la solicitări compuse. Verificarea de rezistență (la sarcini ultime) validează dimensiunile alese în urma calcului de dimensionare.

Rezultate

Cotele considerate pentru secțiunile de calcul sunt urmatoarele:

În figura următoare sunt reprezentate dimensiunle calculate:

Lonjeron 2:

Dimensiuni adoptate pentru talpa superioară (m):

b (m):

B (m):

t (m):

Dimensiuni talpa inferioară (m):

b (m):

B (m):

t (m):

Lonjeron 1:

Dimensiuni talpa inferioară:

b (m):

B (m):

t (m):

Dimensiuni talpa superioară:

b (m):

B (m):

t (m):

Dimensiunile inimilor de lonjeroane atât pentru primul, cât și pentru al doilea linjeron, sunt:

Lonjeron 1:

Lonjeron 2:

Dimensiunile liselor:

Lățimea profilului (m):

Grosimea lisei (m):

Grosimea invelișului (m):

Dispunerea sectiunilor de calcul pe aripă:

Capitolul 6. Dimensionarea fuselajului

Principii de predimensionare

Se consideră construcție convențională având secțiunea transversală circulară.

Sistemul de referință este reprezentat sistemul de referință al avionului (legat de CG avion).

Se presupun cunoscute pentru fiecare sectiune urmatoarele tipuri de solicitări (valori maxime)

S: Forțe simetrice maxime (cu precizarea cazului din care apar) in sectiunea constanta.

Pentru determinarea lor se au in vedere toate cazurile de evolutii cu factor de sarcina.

S1: Forte simetrice din zborul orizontal stabilizat cu specificare corecta a cazului.

L: Forte laterale maxime din sectiuni cu specificarea cazului in care apar.

Cazuri de calcul pentru predimensionare:

Se cosidera pentru fiecare sectiune urmatoarele combinatii de forte:

a) simetric maxim (S)

b)lateral maxim (S1L):

c)combinat (0,75SL) – acesta este un caz fictiv

Principii de predimensionare elemente structurale

Lise:

-sub sarcina ultima nu se admite flambaj pentru nici o lisa.

Invelis:

-nu se admite plisaj de panouri de invelis-compresie-forfecare-combinat sub sarcini.

unde

Teoria de forfecare

Se considera sectiunea circulară.

Succesiv se obțin următoarele relații de calcul, îm baza ipotezelor forfecării pure:

-fluxul de forfecare

unde

-analog se obține

-fluxul de forfecare rezultant:

se considera pe zona care se suprapune cu (+)

determinarea maximului functiei (10)

Calculul de predimensionare intr-o secțiune oarecare

A. Invelisul

Determinarea fluxurilor de calcul.

Cazul I(S):

Cazul II(S1L):

Se determină fluxul de forfecare de calcul maxim rezultant:

sau formula

-Din solicitarea de torsiune avem:

Fluxul total:

Cazul III (0,75SL)-se procedează asemănător cu cazul II:

-Rezulta fluxul de calcul.

cu

Formule analitice

Pentru fuselaj circular,cu foarte multe lise.

Se considera o coca fictiva cu:

In această situație

Rezultă

analog :

combinat:

B. Lisele

Se admite că se cunoaște configurația (numarul si dispunerea liselor pe contur).

Se determină efortul axial de calcul:

CazulI:

Cazul II:

Cazul III:

Efortul de calcul:

Dimensionarea lisei:

Se face la sarcina ultimă (caz critic)

Condiții de dimensionare:

-condiții constructive:

unde b-pasul lisei

Se aplicăo metodă iterativă, cu următorii pași:

1.Se alege forma (secțiunii) lisei

2.Se admite

-se poate lua .

-se calculează lățimea lucrândă:

-se determină aria lisei necesară.

-se adoptă o lisa din catalog prin rotunjire în plus cu cca. 25%.

-se are în vedere și criteriul constructiv (34).

3.Se verifică calculele de la punctul 2 in sens invers:

-se determina

-se determina

-se recalculează lățimea lucrândă la efectiv

-se estimează efortul maxim de compresie în lise cu fornula:

-verificarea trebuie să ofere o margine de siguranță de circa 25%

Verificarea criteriului de plisaj pentru inveliș

Se verifica separat, solicitarile:

Se admite variația liniară a eforturilor cu sarcina, astfel încât valorile de verificare vor fi:

,

Se determină eforturile critice pentru panouri in flambaj, ,separat : (formulele pentru flambajul panoului sub comprimare uniaxială, respectiv forfecare)

Condiția de verificare:

cu marginea de siguranță cât mai mare (recomandabil).

Dacă aceste condiții nu sunt verificate se revine în predimensionare (de la înveliș).

Procedura generală de verificare la solicitări compuse este identică cu cea folosită la aripă.

Rezultate

S-au considerat urmatoarele sectiuni de calcul:

Acolo unde există sarcini concentrate datorita jonctiunilor sau unde are loc fixarea motorului se vor considera doua sectiuni foarte apropiate pentru a prinde efectul sarcinilor concentrate

Sectiunile sunt reprezentate schematic astfel:

Distribuția de mase pe fuselaj:

Diagramele de solicitări (forțele exprimate în N, momentele în Nm, x în metri):

Încărcări simetrice (DMR) – cazurile A,D și E:

Încărcare nesimetrică datorată bracajului brusc de profundor:

Incărcarea laterală datorată bracajului de direcție:

În urma dimensionării, conform procedurilor indicate, s-au obținut următoarele dimensiuni în secțiunile de calcul (numărul de lise este 24):

Capitolul 8. Metoda ElementelorFinite

Introducere

Bazele analizei cu elemente finite au fost pentru prima dată formulate în 1943 de către matematicianul german Richard Courant (1888-1972), care, îmbinând metoda Ritz cu analiza numerică în probleme de calcul variațional și minimizare, a obținut soluții satisfăcătoare pentru analiza sistemelor cu vibrații. Începând cu anii ’70, metoda elementelor finite a fost folosită la rezolvarea celor mai complexe probleme din domeniul structurilor elastice continue, de la construcțiile civile, industriale sau de baraje până la construcțiile de nave maritime, respectiv aeronave.

Fig. 8.1 Elemente finite

Metoda elementului finit a fost folosită ca metodă generală de aproximare a soluțiilor numerice a problemelor fizice descrise de un câmp de ecuații intr-un mediu continuu, chiar conținând multe dintre shemele diferențialelor finite ca și cazuri speciale. Azi, după introducerea în domeniul ingineriei, metoda elemetului finit este definită într-un mod elegant, riguros, într-un cadru formal, cu condiții de existența și criterii de convergență precise matematic și limite de derivare exacte.

Etapele de rezolvare a unei probleme cu ajutorul metodei elementelor finite

Etapa 1.- Împărțirea domeniului de analiză în elemente finite. În această etapă analistul alege tipul sau tipurile de elemente finte adecvate problemei de rezolvat, apoi împarte structura în elemente finite. Această operație, care se numește și discretizare, poate fi făcută cu ajutorul calculatorului. Tipul de element finit este definit de mai multe caracteristici, cum sunt numărul de dimensiuni (uni-, bi-, tridimensional), numărul de noduri ale elementului, funcțiile de aproximare asociate și altele. Alegerea tipului de element finit are mare importanță pentru necesarul de memorie internă, pentru efortul de calcul impus calculatorului și pentru calitatea rezultatelor.

Etapa 2. -Constituirea ecuațiilor elementelor finite (ecuațiile elementale). Comportatea materialului sau mediului în cuprinsul unui element finit este descrisă de ecuațiile elementelor finte denumite și ecuații elementale. Acestea alcătuiesc un sistem de ecuații al elementului.

Etapa 3. -Asamblarea ecuațiilor elementale în sistemul de ecuații al structurii. Comportarea întregii structurii este modelată prin asamblarea sistemelor de ecuații ale elementelor finte în sistemul de ecuații al structurii, ceea ce din punct de vedere fizic înseamnă că echilibrul structurii este condiționat de echilibrul elementelor finite. Prin asamblare se impune ca, în nodurile comune elementelor, funcția sau funcțiile necunoscute să aibă aceeași valoare.

Etapa 4. Implementarea condițiilor la limită și rezolvarea sistemului de ecuații al structurii. Sistemul de ecuații obținut în urma implementării condițiilor la limită corespunzătoare problemei concrete este rezolvat printr-unul din procedeele obișnuite.

Etapa 5. -Efectuarea de calcule suplimentare pentru determinarea necunoscutelor secundare. În unele probleme, după aflarea necunoscutelor primare, analiza se încheie. Acesta este de obicei cazul problemelor de conducție termică, în care necunoscutele primare sunt temperaturi nodale. În alte probleme însă, cunoașterea numai a necunoscutelor primare nu este suficientă, analiza trebuind să continuie cu determinarea necunoscutelor secundare sau de ordinul doi. Acestea sunt derivate de ordin superior ale necunoscutelor primare. Astfel, de exemplu, în problemele mecanice de elasticitate, necunoscutele primare sunt deplasările nodale. Cu ajutorul lor, în această etapă, se determină necunoscutele secundare care sunt deformațiile specifice și tensiunile.

Discretizarea

Modelul structurii ce trebuie supusă analizei cu elemente finite, în cazul general, este format din linii si din suprafețe plane și curbe. În această prima etapă a analizei, modelulul este un continuu, cu o infinitate de puncte, ca și structura considerata. Discretizarea este pasul fundamental cerut de analiya cu elemente finite și constă în trecerea de la structura continuă (cu o infinitate de puncte) la un model discret, cu un număr finit de puncte. Această operație se face “acoperind” structura modelului cu o rețea de dicretizare și se justifică prin faptulcă din punct de vedere ingineresc, sunt suficiente informațiile privind structura (ca de exemplu, cunoașterea valorilor deplasărilor și ale tensiunilor) într-un număr finit de puncte ale modelului.. Metoda elementelor finitedefinește necunoscutele (deplasări sau eforturi) în punctele modelului și calculează valorile lor în aceste puncte. În aceasta situație, rezultă că dicretizarea trebuie făcută in așa fel încât să se definească un număr suficient de puncte în zonele importante ale modelului, pentru ca aproximarea geometriei structurii, a condițiilor de rezemare și condițiilor de încărcare să fie satisfăcătoare pentru scopul urmărit de FEA.

Fig. 8.2 Exemplu de discretizare

Nodul

Punctele care sunt definite prin intermediul rețelei de dicretizare poarta denumirea de noduri. În noduri se definesc necunoscutele nodale primare, ale căror valori sunt rezultatele analizei cu elemente finite . Necunoscutele asociate nodurilor pot fi deplasările sau eforturile.. Pentru modelul deplasare se admite faptul că forma deformată a structurii, ca urmare a unei solicitări oarecare, este definită de deplasările nodurilor raportate la rețeaua nodurilor înainte de deformare, fiecare nod având maximum șase componente ale deplasării, în raport cu un reper global: trei componente u, v, w ale deplasării liniare și trei rotiri ϕx, ϕy, ϕz. Componentelor nenule ale deplasărilor unui nod al modelului structurii în procesul de deformație li se asociază un versor denumit grad de libertate geometrică. Se pot defini gradele de libertate geometrică ale structurii în totalitate. Astfel, rezultă că numărul total al necunoscutelor care trebuiesc determinate este egal cu numărul gradelor de libertate geometrică cărora le sunt atașate necunoscute, pentru toate nodurile modelului structurii. Unele din gradele de libertate ale structurii trebuiesc “eliminate” pentru ca unele noduri sunt “legate”, reprezentând reazeme și deci deplasările lor sunt nule sau au valori cunoscute, astfel nemaitrebuind a fi calculate.

Fig. 8.3 Exemplu de noduri

Elementul finit

Procesul de discretizare are drept consecințădivizarea modelului într-un număr de fragmente sau elemente. Aceste elemente finite se leagă între ele prin nodurile comune, care sunt vârfurile patrulaterelor sau triunghiurilor Un element finit poate fi privit ca o “piesă” de sine stătătoare, care interacționeaza cu celelalte elemente numai în noduri. Studiul structurii reale este inlocit așadar cu studiul ansamblului de elemente finite obținut in urma discretizării, care devine astfel o idealizare a structurii originare și este un model de calcul al structurii considerate. Pentru ca rezultatele analizei să aibă o acuratețe cât mai mare, trebuie ca procesul de idealizare al structurii să fie cât mai “performant”, ceea ce presupune respectarea unor regului privind discretizarea, elaborarea modelului de calcul și utilizarea unor elemente finite adecvate. În principiu, dimensiunile elementelor finite pot fi oricât de mici, dar trebuie ca totdeauna să fie finite, așadar sa nu poate fi făcută o trecere la limită prin care dimensiunile acestora să tindă spre zero.

Nu poate fi conceput un element finit general, care să aibă o utilitate universală. Pentru a putea fi implementat într-un program ce folosește metoda elementului finit și utilizat pentru un model de calcul, acestatrebuie în prealabil definit în toate detaliile, adică din punct de vedere geometric, fizic, matematic . Aceasta presupune ca elementul de o anumită formă geometrică, de exemplu patrulateră, să aibă un număr cât mai mare de noduri, fiecare nod să aibă un număr cât mai mare de grade de libertate geometrică, iar funcțiile de interpolare să fie cât mai complexe.

Principiul de bază al analizei cu elemente finite este că, pentru un element oarecare, trebuie făcută ipoteza că deplasările din interiorul acestuia variază după o lege “cunoscută”, determinată de o funcție de interpolare.

Funcții de interpolare

Funcțiile de interpolare au de cele mai multe ori forma unor polinoame. Alegerea gradului polinomului și determinarea valorilor coeficienților trebuie să asigure o aproximare cât mai exactă a soluției problemei date.. Elementele care au aceleași tipuri de funcții ( polinoame), atât pentru definirea geometriei elementului (de exemplu, pentru laturile sale), cât și pentru definirea deplasărilor în interiorul său (funcția de interpolare), se numesc elemente izoparametrice și sunt cele mai eficiente și folosite elemente finite în practica metodei elementului finit

Metodele bazate pe definirea funcțiilor de interpolare pe întregul domeniu, precum funcțiile trigonometrice ce conduc la serii Fourier, sunt folosite în metodele de distribuire și spectrale, unde funcțiile pot fi definite ca și polinoame ortogonale ale lui Legendre, Chebyshev ori asemănătoare. O altă posibilă de a alege sunt funcțiile curbe, ce ajung la metode de interpolare curbe. În cazurile date, coeficienții sunt determinați prin dezvoltarea funcțiilor de bază în serii. În metoda elementului finit standard funcțiile de interpolare sunt alese astfel încât să fie polinoame definite local în fecare element, fiind egale cu zero în afara elmentului considerat. În plus, coeficienții din dezvoltare reprezintă valorile nodale necunoscute ale variabilei .Astfel, interpolarea locală a funcției satisface următoarele condiții în fiecare element (e), cu nodul I: dacănu esteîn elementul (e). iar reprezintă necunoscutele din punctul I:

în fiecare punct avem :

O altă condiție este oferită de cerința de a reprezenta exact o funcție constantă constant. In consecință, acest lucru necesită pentru toate .

Funcțiaeste obținută prin asamblarea contribuțiilor al tuturor elementelor care conțin nodul I. Condiția de mai sus asociază funcții de bază variabile în element cu polinoamele permise dependente de numărul de noduri al fiecărui element.

Interpolarea funcțiilor cu elemente finite

În general, sunt luate în considerare două familii de elemente, în funcție de gradul continuității între elemente și a valorilor nodale asociate. Dacă valorile lor nodale sunt definite in mod similar valorilor unor funcții necunoscute, atunci continuitatea la limita dintre elemente este suficientă pentru descrierea sistemelor cu nu mai mult de două ecuații cu functii diferențiale parțiale. Aceste elemente și funcțiile de formă asociate se numesc elemente Lagrange.

Dacă derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției necunoscute sunt considerate grade de libertate adiționale, continuitatea dintre elemente până la ordinul de derivare cel mai mare vor fi impuse în general, iar elementele ce satisfac aceste condiții se numesc elemente Hermite. Când condițiile de continuitate necesare sunt respectate în fiecare punct de pe frontierea dintre elemente, elementele se numesc conforme. Condiția de continuitate este impusă unui număr limitat de puncte de pe limită, iar elementele din vecinătatea acestora se numesc neconforme.

Principiul lucrului mecanic virtual (principiul deplasarii virtuale)

Corespunzător variației deplasărilor se consideră că apar și variații ale tensiunilor și forțelor, astfel încât variațiile lucrului mecanic și a energiei interne de deformație sunt determinate pentru cazul când deformațiile specifice obținute din deplasările virtuale satisfac ecuațiile de echilibru și de compatibilitate.

Astfel, în scopul determinării δW,δU forțele și tensiunile în structură pot fi considerate constante, în timp ce deplasările au variația {u}→{u + δu}. De aceea deplasările trebuie să genereze deformații specifice care satisfac ecuațiile de compatibilitate, dar nu în mod obligatoriu și ecuațiile de echilibru exprimate în termenii componentelor deformației specifice. Aceasta înseamnă că {δu} poate fi orice deplasare infinitezimală atâta timp cât geometric sunt posibile, trebuie să fie continue la interiorul structurii și să satisfacă condițiile de margine cinematice impuse pentru câmpul actual de deplasări {u}(de exemplu deplasare și rotire zero pentru o grindă încastrată la un capăt). Aceste deplasări infinitezimale {δu} poartă denumirea

de deplasări virtuale.

Din relațiile variației energiei interne de deformație, a variației lucrului mecanic și cea de mai sus se obține relația δW = δU, care reprezintă principiul lucrului mecanic virtual: o structură elastică se află în echilibru la acțiunea unui sistem de încărcări dat și o distribuție de temperatură dată, dacă pentru orice deplasare virtuală {δu} compatibilă cu câmpul de deformații {u}, lucrul mecanic virtual δW este egal cu energia internă de deformație virtuală δU .

Ca o consecință, variațiile δW,δU date de deplasările virtuale {δu} poartă numele de lucru mecanic virtual și energie internă de deformație virtuală.

Interpolarea funcțiilor cu elemente finite

Exista două familii de elemente, in funcție de gradul continuitătii intre elemente și a valorilor nodale asociate:

– Elemente Lagrange: valorile lor nodale sunt definite in mod similar valorilor unor funcții necunoscute ;

– Elemente Hermite : derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției necunoscute sunt considerate grade de libertate adiționale

Elementele liniare Lagrange:

Cel mai simplu element are o porțiune a unei funcții de interpolare liniară și conține două noduri.

Elementul dintre nodurile i și i-1 se notează ca elementul 1, iar cel dintre i și i+1 ca elementul 2. Aceste alemente au în comun nodul i și au lungimile și respectiv .

Considerând elementul 1, rezultă două condiții, și obținem forma liniară a funcțiilor de formă în nodurile i și i-1 ale elementului 1 :

Pentru elemetul 2 avem următoarele funcțiile de formă liniare:

Dacă se definește coordonata locală ξ pentru fiecare element,

funcția de interpolare primește forma generală:

Pentru elementul al doilea, funcția se obtine in mod similar.

Elemente bidimensionale

Sunt printre cele mai utilizate elemente utilizate pentru analiza structurală. Acestea pot fi cu laturi drepte sau curbe și, prin urmare, pot fi impărțite in triunghiuri si patrulatere.

Clasificarea elementelor bidimensionale :

Elemente triunghiulare

Funcția de interpolare este reprezentată de un polinom de gradul I pe porțiuni :

Unde A este aria triunghiului definit de cele trei noduri.

Elemente patrulatere :

Funcțtia de interpolare este un polinom biliniar pe porțiuni.

Elemente tridimensionale :

Tetraedru

Elementul hexagonal

Calculul matricilor de rigiditate pentru solicitări elastice

Legătura dintre vectorul deformațiilor specificeși vectorul deformațiilor nodale:

Relația de calcul a matricii de rigiditate [K] pentru corpuri elastice este:

Vom determina matricea de rigiditate pentru o bară supusă la diferite incărcări:

Bara supusă întindere-compresiune:

Funcția câmp de deplasare se scrie:

unde .

Din condițiile la limită: u(0) = u1 ; u(1) = u2 se determină funcțiile de interpolare. Practic se obțin funcțiile de interpolare:

Rezultă deplasarea de formă:

Se determină matricea de legătură [B] dintre vectorul deformațiilor specifice {ξ} și vectorul deformațiilor nodale {d}:

dar:

Prin identificare rezultă matricea [B] de forma:

Matricea de rigiditate pentru element este:

Bara supusă la încovoiere:

Funcția câmp de deplasări:

Unde

Din condițiile la limită:

;

;

se determină funcțiile de interpolare. Datorită faptului că funcțiile de interpolare trebuie să asigure continuitatea cât și derivabilitatea în noduri se aleg funcțiile de interpolare Hermite.

Aceste polinoame de interpolare îndeplinesc, prin construcția lor, dezideratele cerute. Astfel avem

Pentru determinarea legăturii între deformații și deplasări nodale se consideră ipoteza secțiunilor plane.

Deformațiase scrie:

Din compararea relațiilor și identificarea termenilor se obține matricea [B] de forma:

Matricea de rigiditate este:

Se poate evalua:

Făcând schimbarea de variabilă,

;

și ținând cont de relațiile anterioare, expresia matricii de rigiditate devine:

Derivând relația se obține:

Derivata de ordin 2 a matricii de interpolare se obține din derivarea relația:

Se obține:

Condițiile la limită

Matricile de rigiditate au proprietatea că suma algebrică a elementelor de pe oricare linie sau coloană este nulă. Prin urmare, soluția sistemului este nedeterminată, iar determinantul asociat este nul. Semnificația fizică este aceea că funcțiile de câmp pot lua orice valoare care verifică condițiile de compatibilitate internă. In cazul problemelor de elasticitate, structura se poate deplasa și roti ca un solid rigid. Această nedeterminare se poate elimina impunând condițiile la limită în cazul problemelor statice sau la limită și inițiale în cazul problemelor dinamice.

Exista doua tipuri de condiții la limită :

-de tip Neumann – combinații liniare între derivatele funcțiilor de câmp calculate pe frontiera domeniului de calcul. Acest tip de condiții la limită se impune în cazul structurilor axial-simetrice pe axa de simetrie sau în cazul problemelor de transfer de căldură cu flux termic conductiv impus pe frontieră. Condițiile de tip Neumann determină funcția de câmp pînă la o constantă arbitrară.

-de tip Diriclet – pe frontiera domeniului de calcul se impune valoarea funcției de câmp. Acest tip de condiții la limită se utilizează în cazul problemelor de elasticitate în care se impun valori cunoscute ale deplasării sau rotației nodurilor structurii în punctele de rezemare.

Capitolul 9. Modelul structural

Pentru calculul de rezistență al fuselajului, am utilizat un software specializat pentru analiza cu elemente finite.

Pentru început, am creat geometria simplificată a modelului (secțiunile au fost considerate de formă circulară), definind puncte cheie, și mai apoi realizând linii si arii.

Fig 9.1 Modelul realizat din linii

Fig 9.2 Modelul realizat din linii si arii

În crearea modelului, am folosit trei tipuri de elemente, după cum urmează:

Pentru modelarea liselor si a cadrelor am folosit elemente de tip bară (BEAM188). Acest tip de element este tridimensional, liniar si este definit de 2 noduri fiecare avant 6 grade de libertate care includ translatii in directiile x, z si y si rotatii in jurul acelorași axe.

Fig. 9.3 BEAM188

Bara este definită de nodurile I și J în sistemul de coordonate global, însă este necesara utilizarea si unui al treilea nod, K, al cărui scop este de a defini orientarea elementului.

Pentru fiecare secțiune a fuselajului în parte, am utilizat bare având dimensiuni și formă corespunzătoare celor obținute in urma calculului de predimensionare.

Fig 9.4 Bara uilizată pentru lisele din secțiunea 1

Pentru realizarea panourilor de înveliș am utilizat elemente de tip SHELL, cărora le-am atribuit grosimile specifice fiecărei secțiuni în parte. Acest tip de element permite solicitări de întindere-compresie, torsiune, încovoiere, forfecare si este adecvat atât pentru calcule liniare, cât si pentru calcule neliniare.

Fig 9.5 Element de tip SHELL

Al treilea element utilizat este un element tip masă concentrată MASS21 – Structural Mass, care este un element punctiform cu șase grade de libertate (3 rotații și 3 translații). Acesta se plaseaza intr-un singur nod.

De asemenea, atat pentru elementele tip bară, cât și pentru cele tip placă am definit materialul din care sunt confecționate, introducând proprietățile acestuia.

Fig 9.6 Proprietățile materialului

După realizarea geometriei modelului, asa cum am explicat anterior, atât liniilor cât și ariilor, le-au fost asociate elementele de tip bara si Shell.

Fig 9.7 Structura modelului realizată din elemente de tip bară

Fig 9.7 Structura modelului realizată din elemente de tip bară si Shell

Odată ce geometria modelului ce urmează a fi studiat a fost construiă, următorul pas îl constituie analiza structurală. Am efectuat atât analiză statică, pentru determinarea deplasărilor și tensiunilor în condiții statice de încărcare, cât și analiză modală, pentru a calcula frecventele naturale si modul de deformatie al structurii.

Analiza statică

O analiza statică calculează efectele condițiilor stationare de încarcare asupra structurii, ignorând efectele cauzate de încărcări variabile în timp.

Pentru efectuarea acestei analize, am aplicat forțe asupra structurii considerate (fuselajului) pentru a determina deformațiile și tensiunile cauzate de acestea.

În urma analizei, am obținut următoarele rezultate:

Fig 9.8 Structura modelului deformată

Fig 9.9 Structura modelului deformată

Fig 9.10 Valorile tensiunilor pe direcția x

Fig 9.11 Valorile tensiunilor pe direcția z

Fig 9.12 Valorile deplasărilor

După cum se observă in imaginile de mai sus, deplasarea maximă a structurii nu are o valoare foarte mare, acest lucru datorându- se gradului mare de rigidizare al acesteia

De asemenea, valorile tensiunilor sunt mai mici decât valorile maxime corespunzătoare materialului utilizat, lucru ce indică faptul că predimensionarea fuselajului a fost realizată in mod coresunzător

Analiza modală

Determinarea frecvențelor și a modurilor proprii de vibrație se poate realiza prin intermediul analizei modale. Frecvențele naturale și modurile de vibrație sunt parametrii foarte importanți deoarece furnizează informații despre comportarea in regim dinamic a structurilor analizate.

Analiza modală in cadrul programului utilizat este o analiza liniara. Orice neliniaritate, cum ar fi plasticitatea si elementele de contact este ignorată.

Totalitatea pulsațiilor și formele proprii corespunzătoare modurilor de vibrații pe care le are o structură, transformată in sistem oscilant cu un limitat sau infinit de grade de libertate reprezintă caracteristicile dinamice proprii ale structurii. Calculul direct exact al acestor caracteristici proprii de vibratie prin metode matematice clasice este extrem de laborios și uneori imposibil de rezolvat. De acea s-au dezvoltat foarte multe metode numerice, care prezinta avantajul ca pot fi programate pe calculator, iar rezultatele ce se obtin in timp real contin erori care pot fi controlate.Dacă se cunosc modurile unei structuri, atunci cunoaștem și frecvențele la care apar vibratiile periculoase, de rezonanță.

În cazul modelului de fuselaj, am considerat in analiza primele 10 moduri de vibrații, prezentate in imaginea de mai jos.

Fig 9.12 Frecvențe

Fig 9.13 Primul mod

Fig 9.14 Al doilea mod

Fig 9.15 Al patrulea mod

Fig 9.16 Al șaselea mod

Fig 9.16 Ultimul mod

Capitolul 10. Concluzii

In acest proiect am realizat structura fuselajului unui avion de luptă, având ca model aeronava Dasault Mirage F1.

Pentru inceput, am realizat anvelopa de zbor pentru a defini un caz de calcul. Cu ajutorul acesteia, am obținut o relație între factorul de sarcină si vitezele posibile de maevrare sigură aa avionului. Aceste rezultate a fost comparate si cu tipuri de încărcări nesimetrice.

Pentru a putea analiza si alege cazurl critic de calcul, am construit diagramele de solicitări pe aripăși mai apoi, am făcut calculul de predimensionare a structurii aripii si fuselajului. Ambele componente au fos imparțite in mai multe secțiuni de calcul.

După dimensionare, cu ajutorul datelor obținute, am realizat geometria modelului in programul de analiză structurală utilizat. După modelarea geometriei, respectând toate proprietățile caracteristice fiecărui tip de element, am obținut discretizarea modelului de fuselaj.

Pentru efectuarea simulării am introdus pe model atât masele corespunzătoare componentelor de pe fuselaj, cât si forțele care acționează asupra acestuia.

Rezultatele obținute, am concluzionat că modelul a fost predimensionat corect pentru solicitările de întindere compresiune și răsucire.

Bibliografie

G.V.Vasiliev, V. Giurgiuțiu: Stabilitatea structurilor aeronautice, Ed. Tehnică, București, 1990

M.M Niță, F.V. Moraru, R. N. Patraulea: Avoane și rachete, , Ed Militară, București, 1985

G.V. Vasiliev:Calculul structurilor cu pereți subțiri, Ed. Tehnică , București, 1987

Grosu Nicolae: Calculul structurilor de aviație, 1964

M. Radeș: Analiza cu elemente finite, 2006

Șt. Sorohan, I.N Constantinscu, Practica modelării și analizei cu elemente finite

M. Radeș: Vibrații mecanice , Ed. Printech

http://mostreal.sk/html

Anexe