URL: secretariat_ac@tuiasi.ro * E-mail: decanat@ ac.tuiasi.ro Tel. +40 232 701331 * Str.Prof.dr.doc Dimitrie Mangeron, nr. 27, 700050, Iași Proiect… [630038]

ROMÂNIA
MINISTERUL EDUCAȚIEI, CERCETĂRII, TINERETULUI ȘI SPORTULUI
Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași

FACULTATEA DE AUTOMATICĂ ȘI
CALCULATOARE
DEPARTAMENTUL DE
AUTOMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
APLICATĂ
URL: [anonimizat] * E-mail: decanat@ ac.tuiasi.ro
Tel. +40 232 701331 * Str.Prof.dr.doc Dimitrie Mangeron, nr. 27, 700050, Iași

Proiect de licență

Controlul convertoarelor DC -DC de putere în
automotive

Autor Îndrumător
Tataroi Mihai Prof.dr.ing Alexandru Onea

DECLARAȚIE

Subsemnatul Tataroi Mihai, legitimat cu C.I. seria B nr. 1722339 , CNP [anonimizat]
autorul lucrării „ Controlul convertoarelor DC -DC de putere în automotive ” elaborată în vederea
susținerii examenului de finalizare a studiilor de licenta organizat de către Facultatea de
Automatică și Calculatoare din cadrul Universități i Tehnice „Gheorghe Asachi” din Iași, sesiunea
Iulie a anului universitar 2019 -2020 luând în considerare conținutul Art. 34 din Codul de etică
universitară al Universității Tehnice „Gheorghe Asachi” din Iași (Manualul Procedurilor,
UTI.POM.02 – Funcționare a Comisiei de etică universitară), declar pe proprie răspundere, că
această lucrare este rezultatul propriei activități intelectuale, nu conține porțiuni plagiate, iar
sursele bibliografice au fost folosite cu respectarea legislației române (legea 8/1996) și a
convențiilor internaționale privind drepturile de autor.

Data Semnatura
01.07.2020

Cuprins

Introducere ……………………………………………………………………………………………. ………. …………………………. .1

1. Convertorul DC -DC de putere ………………………………………… ………………………. …………………. 2
1.1. Generalități. Clasificare ………. ………………………. ……… ……………………….. …………………….. 2
1.2. Convertorul de tip buck cu funcționare în două cadrane ……………………. ………3
1.3. Tranzistorul MOSFET de putere …………… ……………. ………. …………………… ……………… 5
1.4. Aplicații de bază ………………… ………………………. ………. ……………………………. ……………………. 6

2. Modelarea conver torului DC -DC de putere ………………….. ……………….. ……………………. 8
2.1. Metode de modelare a proceselor ……………………………….. …………….. …………………… …8
2.1.1. Transferul intrare -ieșire în timp continuu …………….. ………….. ………………. 9
2.1.2. Transferul intrare -stare -ieșire în timp discret ……………….. ………………….. 9
2.2. Modelul de tip intrare -ieșire al convertorului DC -DC
în timp continuu …………………………………… ……………… ………………… …………………………….. ……11
2.3. Modelul de tip intrare -stare -ieșire al convertorului DC -DC
în timp discret …………………………………………………………. …………………………. ………………………. 13

3. Reglarea convenționala a convertorului DC -DC de putere …………….. …………17
3.1. Regulatoare. Caracteristici generale …………………. ………………. ………………… ………..17
3.1.1. Regulatorul proporțional – integral (PI) ……………………….. …………… …….18
3.2. Reglarea în cascadă ……………………………………………………………. …………………………… ……….. 19
3.2.1. Acordarea regulatorului din bucla internă ……….. ………….. ………………… 20
3.2.2. Acordarea regulatorului din bucla externă ………………. …………. …………. 22

4. Controlul convertorului DC -DC prin reglarea după stare ………………… ……… ..27
4.1. Prezentarea metodei …….. ……………….. ……………. …………. ……………………………….. …….. ….27
4.2. Proiectarea legii de reglare după stare ………….. ………………………. ……….. …….. ………29
4.3. Introducerea componentei integrale ……….. ………….. ……………………….. ………………. 33
4.4. Proiectarea estimatorului de ordin complet …………………….. ……………………. …….35

5. Compararea rezultatelor. Concluzii …………………………………………… …………………… …….38

6. Bibliografie …………………………………………………………………………… …………………………………… …………….. 39

7. Anexă ……………………………. …………………. …………………… ……………………………………………………………………. 40

1

Introducere

Vehiculele electrice s-au dezvoltat rapid datorită eficienței ridicate și a avantajelor sale cu
privire la poluarea mediului. Sporirea numărului de vehicule electrice impune o creștere a
cerințelor tehnice p entru convertoarele de bord . Datorită limitării spațiului din interior ul
vehiculului, convertoarele de bord trebuie să îndeplinească cerințele de densitate mare de putere,
eficiență ridicată la încărcare și efect de disipare a căldurii bune . Convertoarele de bord includ
redresorul și convertor ul DC -DC. Primul transformă curent ul alternativ în curent continuu, oferind
o gamă largă de curent continuu pentru în cărcarea bateriilor montate pe vehicul. Obiectivele de
cercetare ale convertoarelor de bord pentru vehiculele electrice și hibride sunt axate în mare parte
pe îmbunătățirea eficienței operațion ale și reducerea volumului. Cercetarea redresoarelor este
relativ matură, cercetările existente obținând mai mult de 98% eficiență. Prin urmare, eficiența și
densitatea de putere , per total, depind mai mult de proiectarea și funcționarea convertorului DC –
DC. În prezent, comutare a de înaltă frecvență este utilizat ă pe scară largă în convertorul DC -DC.
Frecvența de comutare este, în genera l, la nivelul zecilor de kHz . Deși creșterea frecvenței de
comutare reduce foarte mult volumul echipamentelor, aceasta provoacă, de asemenea, probleme
precum creșterea pierderilor de co mutare, scăderea eficienței și creșterea interferenței
electromagnetice.
Aceast ă lucrare îsi propune să prezinte aspecte teoretice de modelare și reglare a unui
convertor DC -DC de putere existent, cu o structură și specificații bine stabilite, atât în dom eniul
timp cât și în domeniul discret. În abordare au fost luate două metode de control: reglarea în
cascadă și reglarea după stare. Scopul acestei teze este de a determina care din aceste metode este
mai eficientă în obținerea performanțelor și rejecția p erturbațiilor.
Astfel, conținutul lucrării este următorul:
 Capitolul 1 : Definiția convertorului DC -DC, rolul și modul de funcționare al acestuia.
Informații despre elemente de comutație și de modul de comandă al convertorului DC -DC;
 Capitolul 2 : Având structura convertorului DC -DC (circuit electric) se determină două
modele al e acestuia: model de tip funcție de transfer și model de tip intrare -stare -ieșire,
pentru ca ulterior să se poată face reglarea;
 Capitolul 3 : Este explicată și implementată reglare a în cascadă cu două bucle de reglare,
cu eventuale observații și concluzii;
 Capitolul 4 : Prezentarea și proiectarea unei legi de reglare după stare cu componentă
integrală și estimator de stare, cu observații și concluzii aferente;
 Capitolul 5 : Accentuarea diferenței dintre cele două metode de reglare implementate în
capitolele anterioare.

2

1. Convertorul DC -DC de putere

1.1 Generalități. Clasificare

Convertoarele statice curent continuu – curent continuu sunt echipamente electronice care
realizează conversia energiei de c.c. având parametrii constanți tot în energie de c.c., dar cu
parametrii reglabili (se poate regla valoarea medie a tensiunii livrat ă de convertor). Din această
cauză, acest tip de convertoare mai este cunoscut și sub denumirea de variatoare de tensiune
continuă (VTC). În literatura de specialitate de limbă engleză, dar nu numai, pentru aceste
echipamente se folosește denumirea de chop per (de la englezescul chop – a tăia).[6]
Chopper -ul se intercalează între sursa de tensiune continuă constantă și sarcina care se
dorește a se alimenta la o tensiune având valoarea medie reglabilă (Fig. 1.1).

Figura 1.1 Chopper

Chopper -ele sunt conv ertoare cu comutație comandată (forțată) care folosesc în partea de
forță fie tiristoare prevăzute cu circuite auxiliare de stingere, fie dispozitive complet comandate
(tiristoare cu blocare pe poartă GTO, tranzistoare de putere bipolare sau MOSFET, tranzi stoare
bipolare cu poartă izolată IGBT etc.). Comanda acestor dispozitive, atât pentru intrarea în
conducție cât și pentru blocarea lor se realizează numai la momente de timp bine determinate, de
unde și denumirea de convertoare cu comutație comandată (for țată).
Principiul de funcționare al variatoarelor de tensiune continuă este următorul: ele
transformă o tensiune continuă constantă într -un tren de impulsuri, de obicei dreptunghiulare, a
căror durată și/sau frecvență pot fi modificate prin comandă, astfe l încât valoarea medie a tensiunii
rezultate este reglabilă.[6]
În funcție de raportul dintre tensiunea de intrare 𝑼𝒊 și cea de ieșire 𝑼𝒔,
convertoarele DC -DC se pot clasifica în:
o convertoare coborâtoare (step -down converter) sau convertoare serie (buck
converter), la care tensiunea de ieșire este mai mică sau cel mult egală cu tensiunea
de intrare;
o choppere ridicătoare (step -up converter) sau choppere paralel (boost converter), la
care tensiunea de ieșir e este mai mare sau cel mult egală cu tensiunea de intrare;
o choppere coborâtoare -ridicătoare (buck -boost converter), la care tensiunea de
ieșire poate fi mai mică sau mai mare decât tensiunea de intrare.
 După cadranul din planul ( 𝑼𝒔, 𝑰𝒔) în care funcți onează, convertoarele DC -DC se pot
clasifica în:
o convertoare care funcționează într-un singur cadran , numai în cadranul I al
planului (𝑈𝑠, 𝐼𝑠);

3
o convertoare care funcționează în 2 cadrane , în cadranele I -II sau I -IV ale planului
(𝑈𝑠, 𝐼𝑠);
o convertoare care funcționează în 4 cadrane .
 În funcție de modul în care se realizează transferul energiei către sarcină,
convertoarele DC -DC se pot clasifica în:
o convertoare cu legătură directă , la care nu există un element de stocare (acumulare)
a energie i între intrarea și ieșirea chopper -ului;
o convertoare cu legătură indirectă (cu acumulare), la care există un element de
stocare a energiei între intrarea și ieșirea chopper -ului.

1.2 Convertorul de tip buck cu funcționare în două cadrane

Topologia convertorului cu funcționare în două cadrane include două dispozitive de putere
controlabile (tranzistoare) cu diode în antiparalel formând binecunoscuta structură " braț de punte "
(half bridge – semipunte). Modul în care brațul de punte se conectează la su rsa 𝑈𝑑 și la sarcina
activă reprezentată de motorul de c.c. este prezentat în Fig. 1.2.[1]

Figura 1.2 Topologia convertorului DC -DC cu funcționare în două cadrane

În comparație între chopper -ul de un cadran și chopper -ul de două cadrane evidențiază o
investiție suplimentară minimă la acesta din urmă: un tranzistor de putere în plus. Avantajele de
funcționare însă compensează cu prisosință această cheltuială. Un argument în acest sens îl
constituie și posibilitatea utilizării unui modul de putere inte grat (PIM – Power Integrated Module)
care implementează exact structura braț de punte. Asemenea module sunt ofertate de numeroase
firme, sunt ieftine și ușor de utilizat deoarece toate legăturile între dispozitive sunt realizate în
interiorul capsulei.[1]
O problemă de care trebuie ținut cont la acest tip de convertor constă în modalitatea de
comandă a celor două tranzistoare din structura brațului. Semnalele de comandă pentru cele două
tranzistoare sunt, de obicei, modulate în lățime (PWM) și complementa re. Pentru o înțelegere mai

4
ușoară, analiza funcționării convertorului se face în condițiile ideale, considerând că tranzistoarele
de putere comută instantaneu. În consecință, semnalele de comandă PWM pot fi complementare,
fără timp mort, așa cum se prezin tă în Fig. 1.3. Cu această aproximare, se obține următoarea relație
de legătură între duratele relative de conducție ( 𝐷𝑅𝐶) ale celor două tranzistoare:

𝑡𝑜𝑛(𝑇1)+𝑡𝑜𝑛(𝑇2)=𝑇𝑐⇔𝑡𝑜𝑛(𝑇1)
𝑇𝑐+𝑡𝑜𝑛(𝑇2)
𝑇𝑐=1⇔𝐷𝑅𝐶(𝑇1)+𝐷𝑅𝐶(𝑇2)=1 (1.1)

În realitate dispozitivele semiconductoare de putere nu comută instantaneu. Pentru a evita
o suprapunere a conducției dispozitivelor controlabile din structura brațului (ceea ce este
echivalent cu un scurt cicuit la bornele sursei 𝑈𝑑) în practică sunt utilizate semnale PWM
complementare cu timp mort pentru comanda tranzistoarelor 𝑇1 și 𝑇2. Analiza influenței timpului
mort asupra relației de calcul a tensiunii medii de la ieșirea convertorului poate fi realizată ulterior
atunci când se tratează funcționarea convertorului în aplicații pretențioase cum ar fi în schemele
de control automat unde precizia de reglare este esențială.[1]
Formele de undă ale tensiunii de ieșire 𝑢𝑒(𝑡) și a curentului 𝑖𝑒(𝑡) corespunătoare unui
convertor DC -DC cu funcționare în două cadrane sunt prezentate în Fig. 1.3.

Figura 1.3 Formele de undă corespunzătoare unui convertor DC -DC cu funcționare în două
cadrane

5
În ceea ce privește media curentului de ieșire (componenta continuă) 𝐼𝑒 se situează
aproxima tiv la jumătatea distanței dintre 𝐼𝑚𝑎𝑥 și 𝐼𝑚𝑖𝑛 pe diagrama corespunzătoare din Fig 1.3 și
poate fi calulată cu relația:

𝐼𝑒≈𝐼𝑚𝑎𝑥+𝐼𝑚𝑖𝑛
2 (1.2)

În funcție de cum se plasează cele două extreme 𝐼𝑚𝑎𝑥 și 𝐼𝑚𝑖𝑛 curentul mediu de ieșire poate
fi pozitiv sau negativ. [1]
Iar expresia valorii medie a tensiunii poate fi calculată cu ajutorul relației:

𝑈𝑒=𝑈𝑑∙𝐷𝑅𝐶≥0 (1.3)

1.3 Tranzistorul MOSFET de putere

Acest tip de tranzistoare s -a dezvoltat rapid după 1980, înlocuind treptat tranzistoarele
bipolare BPT, în special în aplicațiile de putere de frecvență înaltă.

Figura 1.4 Tranzistorul MOSFET de putere : simboluri și caracteristica de transfer pentru
un tranzistor cu canal "n"

Tehnologia de fabricare a tranzistoarelor de putere MOSFET cu canal n este mai simplă și
de aceea în electronica de putere se f olosește aproape în exclusivitate acest tip de tranzistoare.
Pentru conducție, un tranzistor MOSFET cu canal n are nevoie de o tensiune de poartă pozitivă
mai mare decât o tensiune de prag (threshold):

𝑈𝐺𝑆>𝑈𝐺𝑆𝑃 (1.4)

Timpii de conducție sunt de ordinul 102ns, deci frecvența de lucru este în plaja (30 ÷ 100)
KHz.
Pe lângă avantajul că purtătorii de sarcină sunt de un singur tip și datorită acestui fapt nu
apar probleme legate de evacu area sarcinii în exces stocate, tranzistoarele MOS de putere au, față
de tranzistoarele bipolare și alte avantaje :
 fiabilitate mai mare
 reproductibilitate mai bună a parametrilor
 comanda se face în tensiune, puterea necesară fiind mult mai mică

6
 timpii de comutație sunt mai reduși, deci frecvența de lucru este mai mare
 absența fenomenului de străpungere secundară și a așa numitelor “puncte fierbinți”
 capabilitate mai mare de supraîncărcare în curent
Dintre dezavantaje trebuie menționate următoarele:
 costuri mai mari pentru aceeași putere
 rezistența echivalentă în blocare (stare off) mai mică decât în cazul tranzistoarelor
bipolare
 rezistența echivalentă în stare de saturație (stare on) mai mare decât în cazul
tranzistoarelor bipolare
 căderea de tensiune pe d ispozitiv în stare de conducție este mai mare decât
tensiunea corespunzătoare de saturație a tranzistoarelor bipolare

1.4 Aplicații de bază

Aplicațiile convertoarele statice acoperă tot domeniul ingineriei electrice. Cele mai
importante sunt:
 acționările electrice
 tracțiunea electrică
 aplicațiile casnice
Alte aplicații:
 surse de putere în comutație
 transmisia energiei electrice în c.c. (puteri mai mari de 1GW)
 încălzirea prin inducție

1. Surse de putere
În aceste aplicații se folosesc în special convertoare rezonante. Densitatea de putere a depășit
2000W/cm3, iar frecvența de comandă PWM – 40KHz.

2. UPS – surse de alimentare neîntreruptă
Acest tip de echipamente sunt destinate în special alimentării calculatoarelor personale. Pentru
puteri sub 200KV A se folosesc convertoare statice echipate cu IGBT. În prezent s -a ajuns până la
puteri de ordinul MVA.

3. Transportul energiei în c.c. și înaltă tensiune
Pentru acest tip de aplicații, în stațiile linilor de transport al energiei în c.c. și înaltă tensiune
se folosesc cele mai mari convertoare statice, puterile instalate depășind 1GW.

4. Servoacționări electrice
Pentru multe aplicații casnice (cel mai bun exemplu fiind cel al mașinilor de spălat automate)
se folosesc convertoare statice de puteri mici, echipat e cu tranzistoare MOSFET, în care se
utilizează comanda PWM.

7
5. Acționări industriale
Pentru obținerea de performanțe energetice bune, în acest tip de aplicații de putere mare (peste
10KW) se utilizează invertoare cu 3 nivele. Convertoarele statice se fol osesc atât în acționări de
c.c. cât și de c.a.

6. Încălzirea prin inducție
Până în 1990, generatoarele pentru încălzire prin inducție au folosit mașini rotative sau tuburi
electronice de mare putere (la înaltă frecvență). În prezent în aceste aplicații, până la frecvențe de
10 – 20KHz se folosesc tiristoare rapide. Folosind convertoare echipare cu SIT și MOSFET s -a
ajuns până la frecvențe de 400KHz.

8
2. Modelarea convertorului DC -DC de putere

2.1 Metode de modelare a proceselor

Cunoașterea științifică se bazează pe două categorii de metode: metode experimentale și
metode de modelare . Metodele experimentale implică interacțiunea directă cu obiectul de studiu
și au, în unele situații, aplicabilitate limitată. Sistemele reale asupra cărora se pot face observații
experimentale sunt, principial, modelabile. Experimentele care nu pot fi realizate cu sistemele
reale, pot fi făcute pe modelele respectivelor sisteme.
În scopul înțelegerii fu ncționării sistemelor dinamice , atât sub aspect fenomenologic cât
și sub aspect relațional -cantitativ, trebuie să se cunoască modelele lor matematice . În consecință
este necesar să se analizeze relațiile dintre variabilele unui sistem dat și să se scrie e cuațiile
corespunzătoare. Deoarece sistemele care vor fi avute în vedere evoluează în timp, adică sunt
sisteme dinamice, relațiile dintre variabile au forma unor ecuații diferențiale și/sau integro –
diferențiale. Adesea aceste ecuații sunt liniare. În aceas tă situație se aplică transformarea Laplace
fie în scopul soluționării ecuațiilor diferențiale și / sau integro -diferențiale (liniare sau liniarizate),
fie pentru analize mai profunde ale sistemului[7].
Setul de ecuații diferențiale și / sau integro -diferențiale care descriu un sistem dinamic real
se numește modelul matematic al respectivului sistem. Aceste ecuații se obțin pe baza legilor
generale ale naturii. Pe baza caracterului relațiilor dintre variabilele caracteristice pentru sistemele
fizico -tehnic e uzuale se ajunge la concluzia că ele pot fi împărțite (în mod natural) în două mari
clase:
 variabile longitudinale
 variabile transversale.
Pentru un sistem electric avem urm ătoarea variabilă longitudinală și transversala(Tabelul 2.1):

Variabilă longitud inală Variabil ă transversală
curentul i tensiunea u
Tabelul 2.1 Sumar al variabilelor fizico -tehnice

Din punct de vedere energetic se disting următoarele clase de sisteme:
 sisteme disipative
 sisteme cu acumulare inductivă
 sisteme cu acumulare capacitivă.
Ecuațiile pentru un sistem electric de tipul celor enumerate anterior avem(Tabelul 2.2):

Sistem de tip: Parametrul fizic Ecuația
Disipativ Rezistența electrica R 𝑖=1
𝑅𝑢
Acumulator inductiv Inductanța electrica L 𝑢=𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡
Acumulator capacitiv Capacitatea electrică C 𝑖=𝐶𝑑𝑢
𝑑𝑡
Tabelul 2.2 Sumar al ecua țiilor sistemelor

9
2.1.1 Transferul intrare -ieșire în timp continuu

În general un sistem dinamic neted, cu parametri concentrați, liniar și invariant în timp, cu
o singură mărime de intrare și o singură mărime de ieșire este descris de o ecuație diferențială
ordinară, liniară, cu coeficienți constanți, de forma:

𝑎𝑛𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑡𝑛+𝑎𝑛−1𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑡𝑛−1+⋯+𝑎0𝑦=𝑏𝑚𝑑𝑚𝑢
𝑑𝑡𝑚+𝑢𝑚−1𝑑𝑚−1𝑢
𝑑𝑡𝑚−1+⋯𝑏0𝑢, 𝑡𝜖𝑅, (2.1)

în care 𝑎𝑖𝜖𝑅,𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅ ,𝑎𝑛≠0,𝑏𝑗𝜖𝑅,𝑗=1,𝑚̅̅̅̅̅̅. Numerele naturale m și n sunt corelate cu
numărul de elemente acumulatoare de energie, independente între ele, conținute de sistem.
Pentru fixarea cadrului tratării și în conformitate cu definiția transformării Laplace, care se
utilizează în continuare, se admite că până la momentul inițial 𝑡0=0 sistemul descris de ecuația
(2.1) se află în repaus, ceea ce analitic se exprimă prin:

𝑢(𝑡)≡0,𝑦(𝑡)≡0,𝑡<0. (2.2)

Aplicând ecuației (2.1) transformarea Laplace, cu condițiile inițiale care rezultă din (2.2)
, se obține:

(𝑎𝑛𝑠𝑛+𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1+⋯+𝑎0)𝑌(𝑠)=(𝑏𝑚𝑠𝑚+𝑏𝑚−1𝑠𝑚−1+⋯+𝑏0)𝑈(𝑠), (2.3)

în care 𝑈(𝑠)=𝐿{𝑢(𝑡)},𝑌(𝑠)=𝐿{𝑦(𝑡)}.
Raportul dintre transformatele Laplace ale mărimilor de ieșire și de intrare ale
sistemului dinamic (modelului matematic) (2.1) se numeș te funcția de transfer [7].
Se notează funcția de transfer cu 𝐺(𝑠)=𝑌(𝑠)𝑈(𝑠)⁄ și conform ecuației (2.3) rezultă:

𝐺(𝑠)=𝑏𝑚𝑠𝑚+𝑏𝑚−1𝑠𝑚−1+⋯+𝑏0
𝑎𝑛𝑠𝑛+𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1+⋯+𝑎0. (2.4)

2.1.2 Transferul intrare -stare -ieșire în timp discret

Se presupune ca ecuația diferențială a sistemului monovariabil și variabilele de stare 𝑥(𝑡)
sunt date.
Ecuația de stare este:

𝑥̇(𝑡)=𝐴𝑥(𝑡)+𝐵𝑢(𝑡) (2.5)

iar ecuația ieșirii este:

𝑦(𝑡)=𝐶𝑥(𝑡)+𝐷𝑢(𝑡). (2.6)

Ecuația diferențiala de stare poate fi rezolvată cu ajutorul transformatei Laplace:

𝑠𝑋(𝑠)−𝑋(0+)=𝐴𝑋(𝑠)+𝐵𝑢(𝑠) (2.7)

10
unde 𝑋(0+) reprezintă starea inițială. Se obține:

𝑋(𝑠)=(𝑠𝐼−𝐴)−1𝑋(0+)+(𝑠𝐼−𝐴)−1𝐵𝑈(𝑠). (2.8)

Cu ajutorul transformatei Laplace inverse se obțin e:

𝑋(𝑡)=𝜙(𝑡)𝑋(0+)+∫𝜙(𝑡−𝜏)𝐵𝑈(𝜏)𝑑𝜏𝑡
0 (2.9)

unde:
𝜙(𝑡)=𝐿−1{[𝑠𝐼−𝐴]−1}=𝑒𝐴𝑡. (2.10)

𝜙(𝑡) este numită matricea tranzițiilor de stare [5].
Pentru sisteme cu intrări și ieșiri eșantionate, reprezentarea pe stare poate fi obținută simplu
din (2.9) și (2.10) considerând că procesul liniar este prevăzut cu extrapolator de ordin 0 pe intrări:

𝑢(𝑡)=𝑢(𝑘𝑇), 𝑘𝑇≤𝑡<(𝑘+1)𝑇 (2.11)

și cu starea inițială 𝑥(𝑘𝑇) pentru 𝑘𝑇≤𝑡<(𝑘+1)𝑇 :

𝑥(𝑡)=𝜙(𝑡−𝑘𝑇)𝑥(𝑘𝑇)+𝑢(𝑘𝑇)∫𝜙(𝑡−𝜏)𝐵𝑑𝜏𝑡
𝑘𝑇. (2.12)

Daca ne interesează numai soluția la 𝑡=(𝑘+1)𝑇, atunci:

𝑥((𝑘+1)𝑇)=𝜙(𝑇)𝑥(𝑘𝑇)+𝑢(𝑘𝑇)∫𝜙((𝑘+1)𝑇−𝜏)𝐵𝑑𝜏(𝑘+1)𝑇
𝑘𝑇 (2.13)

și cu substituția 𝑞=(𝑘+1)𝑇−𝜏;𝑑𝑞=−𝑑𝜏 rezultă:

𝑥(𝑡+1)=𝜙(𝑇)𝑥(𝑘)+𝑢(𝑘)∫𝜙(𝑞)𝐵𝑑𝑞𝑇
0. (2.14)

Se introduc notațiile prescurtate:

{𝜙=𝜙(𝑇)=𝑒𝐴𝑇
𝛤=∫𝜙(𝑞)𝐵𝑑𝑞𝑇
0 (2.15)

Se obține ecuația cu diferențe vectorială împreună cu ecuația ieșirii din (2.6) :

𝑥(𝑘+1)=𝜙𝑥(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘) (2.16)
𝑦(𝑘)=𝐶𝑥(𝑘)+𝐷𝑢(𝑘). (2.17)

11
2.2 Modelul de tip funcție de transfer al convertorului DC -DC în timp
continuu

După cum s -a menționat anterior, setul de ecuații diferențiale care descriu un sistem
dinamic se obțin pe baza legilor generale ale naturii. Deoarece co nvertorul DC -DC este un
dispozitiv electric, pentru determinarea setului de ecuații diferențiale se aplica Legea lui Ohm și
Legile I și II ale lui Kirchhoff . Schema circuitului electric a convertorului DC -DC este dată în Fig.
2.1.

Fig. 2.1 Circuitul electric al convertorului DC -DC de putere

Circuitul electric al convertorului DC -DC este compus din următoarele componente:
bateria 𝐸, rezistențele 𝑅1, 𝑅2 bobinele 𝐿1, 𝐿2 condensatoarele 𝐶1, 𝐶2 sursa de
curent 𝐼, tranzistoarele MOSFET 𝑀𝑂𝑆1 și 𝑀𝑂𝑆2. Valorile parametrilor fizici ale componentelor
enumerate mai sus sunt prezentate in Tabelul 2.3.

Tabelul 2.3 Valorile parametrilor componentelor fizice

Aplicând Kirchhoff I pentru nodul 𝑁1 și Kirchhoff II pentru buclele I și II din circuit se
obține următorul sistem cu ecuații diferențiale:

{ 𝑉𝑖𝑛=𝑅1𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙+𝐿1𝑑𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙
𝑑𝑡+𝑉𝑐
𝑉𝑐=𝑅2𝑖𝑒𝑚𝑖+𝐿2𝑑𝑖𝑒𝑚𝑖
𝑑𝑡+𝑉𝑜𝑢𝑡
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙=𝑖𝐶1+𝑖𝑒𝑚𝑖 (2.18)
Parametrul
fizic Valoarea Parametrul
fizic Valoarea
𝐸 48 𝑉 𝐶1 120∙10−6 𝐹
𝑅1 3∙10−3 Ω 𝐶2 300∙10−6 𝐹
𝑅2 0.2∙10−3 Ω 𝐿1 1.6∙10−6 𝐻
𝐼 100 𝐴 𝐿2 0.1∙10−6 𝐻
𝐿2
𝐿1
𝑅1
𝑅2
𝐶1
𝐶2
𝑉𝑖𝑛
𝐸
𝑀𝑂𝑆1
𝑀𝑂𝑆2
𝑉𝑜𝑢𝑡
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙
𝑖𝑒𝑚𝑖
𝐼
𝑖𝑙𝑜𝑎𝑑
I
II
𝑁1
𝑁2
𝑉𝑐

12
Aplicând transformata Laplace pentru sistemul (2.18) și pentru ecuațiile din Tabelul 2.2
obținem:

{ 𝑉𝑖𝑛(𝑠)−𝑉𝑐(𝑠)=(𝐿1𝑠+𝑅1)𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)
𝑉𝑐(𝑠)−𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)=(𝐿2𝑠+𝑅2)𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑠)
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)=𝑖𝐶1(𝑠)+𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑠)
𝑖𝐶1(𝑠)=𝐶1𝑠∙𝑉𝑐(𝑠)
𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑠)=𝐶2𝑠∙𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠) (2.19)

Schema bloc care redă dinamica și funcționarea unui convertor DC -DC r eiese din (2.19)
după cum urmează:

Figura 2.2 Schema bloc a convertorului DC -DC

Pentru reglarea în cascadă cu două bucle de reglare (Capitolul 3), funcția de transfer a
procesului trebuie să poată fi împărțită în două funcții de transfer, care sa aibă ca ieșiri mărimi
măsurabile. Pentru cazul nostru, marimile măsurabile sunt 𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑡) și 𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑡). Din păcate, fără
cunoașterea mărimilor 𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑡) și 𝑉𝑐(𝑡), s-a dovedit a fi complicat atingerea obiectivului de mai
sus.
O soluție ar fi aproximarea circuitului din Fig. 2.2, cu un circuit care are doar o singură
buclă RLC serie cu următoarele considerente:

Figura 2.3 Modelul simplificat al convertorului DC -DC

Aproximarea din Fig. 2.3 a fost facută din ipoteza că deoarece 16𝐿2=𝐿1 și 15𝑅2=𝑅1,
𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑡) este aproximativ egal cu 𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑡). Din această presupunere, rezultă ca condensatoarele 𝐶1
și 𝐶2 pot fi considerate ca fiind conectate în paralel, iar bobinele 𝐿1 și 𝐿2, și rezistențele 𝑅1 și 𝑅2
conectate în serie.

𝑉𝑖𝑛(𝑠)
1
𝐿1𝑠+𝑅1
+
−
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)
𝑖𝐶1(𝑠)
1
𝐶1𝑠

1
𝐿2𝑠+𝑅2
1
𝐶1𝑠

𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)
𝑉𝑐(𝑠)
𝑖𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑠)
+
−
−
+
𝑉𝑖𝑛(𝑠)=𝐸∙𝐷(𝑠)
𝐿𝑡
𝑅𝑡
𝐶𝑡
𝑉𝑖𝑛
𝐸
𝑀𝑂𝑆1
𝑀𝑂𝑆2
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙
I
𝑉𝑜𝑢𝑡
൞𝐿𝑡=𝐿1+𝐿1
𝑅𝑡=𝑅1+𝑅2
𝐶𝑡=𝐶1+𝐶2
𝑉𝑜𝑢𝑡=𝑉𝐶𝑡

13
Schema bloc care rezultă din Fig. 2.3 este:

Figura 2.4 Schema bloc a convertorului DC -DC simplificat

Validarea modelului din Fig. 2.4 se va face cu ajutorul mediului de simulare SIMULINK.
Se va urmări diferența dintre raspusul indicial al sistemului din Fig. 2.1 și cu cel din Fig. 2.3.

Figura 2.5 Eroarea de modelare a convertorului DC -DC simplificat

Eroarea de modelare poate părea inadmisibilă la prima vedere, dar pentru controlul care
urmează a fi făcut (Capitolul 3), aceasta nu reprezintă o mare problemă. Deoarece în primele sute
de 𝜇𝑠, timp în care se dorește a fi regimul trazitoriu, eroarea de modelare ia valori între
[−7.5,4.2]∙10−2V, iar frecvența oscilațiilor ce urmează este în jur de 6𝑘𝐻𝑧, care este de 22 de
ori mai mică decât frecvența de control. Prin urmare, eroarea de model are în intervalul în care se
presupune a fi regimul trazitoriu este neglijabilă, iar frecvența ridicată de control va rejecta cu
ușurință impreciziile ce urmează.

2.3 Modelul de tip intrare -stare -ieșire al convertorului DC -DC în timp discret

Modelul (2.5) împreuna cu (2.6) poate fi obținut calculând matricile 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷. Dar,
mai întai de toate trebuie sa construim vectorul de stare 𝑥(𝑡). Stările sistemului se aleg în funcție
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
1
𝐿𝑡𝑠+𝑅𝑡
+
−
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)
1
𝐶𝑡𝑠

𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)
E
𝐷(𝑠)

14
de câte elemente inductive(bobine) și capacitive(condensatoare) av em în sistem. Deci, vectorul
𝑥(𝑡) va fi:

𝑥(𝑡)=[𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4]𝑇=[𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙 𝑉𝑐 𝑖𝑒𝑚𝑖 𝑉𝑜𝑢𝑡]𝑇 (2.20)

Având în vedere sistemul (2.18) și Tabelul 2.2, putem cu ușurința obține variațiile
stărilor în funcție de timp :

{ 𝑑𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙
𝑑𝑡=−𝑅1
𝐿1𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙−1
𝐿1𝑉𝑐+1
𝐿1𝑉𝑖𝑛
𝑑𝑉𝑐
𝑑𝑡=1
𝐶1𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙−1
𝐶1𝑖𝑒𝑚𝑖
𝑑𝑖𝑒𝑚𝑖
𝑑𝑡=1
𝐿2𝑉𝑐−1
𝐿2𝑉𝑜𝑢𝑡−𝑅2
𝐿2𝑖𝑒𝑚𝑖
𝑑𝑉𝑜𝑢𝑡
𝑑𝑡=1
𝐶2𝑖𝑒𝑚𝑖 (2.21)

Din (2.21) considerând intrarea 𝑢(𝑡)=𝑉𝑖𝑛(𝑡) și ieșire 𝑦(𝑡)=𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑡) matricile 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷
devin:

𝐴=
[ −𝑅1
𝐿1−1
𝐿100
1
𝐶10−1
𝐶10
01
𝐿2−𝑅2
𝐿2−1
𝐿2
001
𝐶20]
, 𝐵=
[ 1
𝐿1
0
0
0]
(2.22)

𝐶=[0001], 𝐷=0 (2.23)

Pentru discretizarea modelului (2.22) și (2.23), trebuie să fixam o perioada de
eșantionare care sa repecte teorema lui Shannon . Deoarece perioada de eșantionare este data de
producatorii convertorului DC-DC, ramâne doar sa verificam daca satisface teorema menționată
mai sus.

Teorema lui Shannon. Oscilația de frecvență maximă 𝜔𝑚𝑎𝑥, de perioadă 𝑇𝑝=2∙𝜋𝜔𝑚𝑎𝑥⁄
trebuie eșantionată de cel puțin 2 ori pe perioadă.[5]

15

Aducând modelul intrare -ieșire la o formă ZPK(Zero -Pole-Gain) de tipul:

𝐺𝑍𝑃𝐾(𝑠)=𝜔12∙𝜔22
(𝑠2+2𝑑1𝜔1𝑠+𝜔12)∙(𝑠2+2𝑑2𝜔2𝑠+𝜔22), (2.24)

oscilația de frecvență maximă poate fi calculată în felul urmator: 𝜔𝑚𝑎𝑥=max{𝜔1, 𝜔2}.
Prin urmare, obținem:

𝐺𝑍𝑃𝐾(𝑠)=1.7362∙1020
(𝑠2+1879𝑠+1.442∙109)∙(𝑠2+1996𝑠+1.204∙1011), (2.25)

cu 𝜔𝑚𝑎𝑥=max{𝜔1, 𝜔2}=√𝜔22=3.4699∙105 𝑟𝑎𝑑/𝑠.

Perioada de eșantionare impusa de proiectanții convertorului DC -DC este:

𝑇𝑠=1
𝐹𝑠=1
133𝑘𝐻𝑧=7.5188𝜇𝑠 (2.26)

iar 𝑇𝑚𝑎𝑥=1
𝐹𝑚𝑎𝑥=2∙𝜋
𝜔𝑚𝑎𝑥=18.108𝜇𝑠, de unde rezultă ca teorema lui Shannon este respe ctată:

𝑇𝑠≤𝑇𝑚𝑎𝑥
2. (2.27)

Utiliz ând mediul MATLAB, matricile 𝜙, 𝛤, 𝐶, 𝐷 care compun modelul (2.16) și (2.17) se pot
determina folosind relațiile (2.15) sau funcția c2d care returnează o structura ce conține
matricile de mai sus. Urmând una din aceste două cai, obținem următorul model:

𝑥(𝑘+1)=[0.8888−1.89860.0789 −2.5875
0.0253−0.3677−0.0115 1.2700
1.262213.7987−0.7996−16.3862
0.01380.5080 0.0055 0.4737]𝑥(𝑘)+[4.4862
0.0977
2.5875
0.0183]𝑢(𝑘) (2.28)

𝑦(𝑘)=[0001]𝑥(𝑘). (2.29)

Validarea modelului (2.28) și (2.29) se va face la fel cu ajutorul mediului de simulare
SIMULINK. Se va urmări eroare de modelare data de diferența dintre ieșirea modelului și ieșirea
parții fixate la aplicarea unui semnal de tip treapta unitară la intrare(Anexă Fig.2). Deoarece partea
fixată are la ieșire un semnal continuu, pentru a calcula eroarea de modelare acesta va fi discretizată
cu ajutorul extrapolatorului de ordin zero. Eroarea de modelare poate fi urmărită în Fig. 2.6:

16

Figura 2.6 Eroarea de modelare

17
3. Reglarea convențională a convertotului DC -DC
de putere

3.1 Regulatoare. Caracteristici generale

Acestea sunt aparatele care prelucrează informația 𝜀(𝑡), despre abaterea valorii mărimii
interesate (măsurată direct din proces), față de valoarea aceleiași mărimi, stabilită ca valoare de
referință (valoare impusă ), prin programul de conducere. Regulatorul stabilește, în baza
algoritmului propriu de reglare a procesului, strategia de acțiune a elementului de execuție, prin
comanda aplicată acestuia. Strategia de acțiune este în funcție de abaterea 𝜀(𝑡), ce apare în sistem,
între valoarea impusă 𝑟(𝑡) și cea reală 𝑦(𝑡), măsurată direct la ieșirea din proces. Această strategie
constă în elaborarea, de către regulator, a unui semnal de comandă 𝑢(𝑡), emis către elementul de
execuție, în vederea anulării abaterii 𝜀(𝑡). Algoritmul de reglare, conținut sau elaborat de regulator,
este legea de dependență impusă, între 𝑟(𝑡) și 𝑦(𝑡), care sunt variabile în timp Fig. 3.1.

Figura 3.1 Structura de reglare automată

În practică este necesar a se stabili:
– legile după care trebuie prelucrată abaterea (de tip P, PI, sau PID);
– parametri de reglare (K R , TI , TD).

Clasificarea regulatoarelor se poate face după mai multe criterii, impuse de:
I. Tipul și caracteristicile procesului reglat :
a. regulatoare pentru procese invariate, ale căror funcționare este caracterizată de
valoarea constantă a parametrilor de reglare;
b. regulatoare adaptive, pentru procese variabile în timp, respec tiv cu parametrii de
reglare variabili;
II. Caracteristicile de funcționare ale regulatorului:
a. regulatoare liniare și neliniare , clasificate după dependența între mărimea de
comandă 𝑢(𝑡), și abaterea aplicată la intrare 𝜀(𝑡));
b. regulatoare cu acțiune conti nuă (semnalul 𝑢(𝑡) este continuu în timp) și acțiune
discretă (semnalul 𝑢(𝑡) este discontinuu, de tip ieșire pe releu sau numeric);
c. regulatoare convenționale (tip P, PI, PID) și cu caracteristici speciale (adaptive,
optimale, estimatoare de stare), în clasificare după algoritmul de lucru;
d. regulatoare electronice, pneumatice, hidraulice și mixte , clasificate după natura
semnalelor (ex. la electronice semnalele de intare/ieșire sunt numai de natură
electrică);
e. regulatoare unificate și specializate , clasif icate după caracterul semnalului de
intrare.
𝑟(𝑡)
+
−
Proces
,,,,,
Regulator

+
+
𝜀(𝑡)
𝑢(𝑡)
𝑝(𝑡)
𝑦(𝑡)

18
Cele mai răspândite regulatoare, în practică, sunt regulatoarele electronice cu acțiune
continuă sau discretă, liniare, de tip proporțional (P), proporțional -integral (PI), proporțional –
derivativ (PD) și proporț ional -integral -derivativ (PID).

3.1.1 Regulatorul proporțional – integral (PI)

Acest regulator combină efectul proporțional, cu un efect integral (integrează abaterea 𝜀(𝑡)
în timp) și este descris de următoarea relație:

𝑢(𝑡)=𝐾𝑅𝜀(𝑡)+1
𝑇𝐼∫𝜀(𝑡)∙𝑑𝑡𝑡
0 (3.1)

unde, K R – este un parametru denumit factorul de proporționalitate , iar T I – este un parametru
denumit timp ul de integrare al regulatorului .
Aplicând transformata Laplace relației (3.1), obținem funcția de transfer a regulatorului PI
în forma paralelă :

𝑈(𝑠)=(𝐾𝑅+1
𝑇𝐼𝑠)Ε(𝑠)𝑈(𝑠)=𝐸(𝑠)
𝑌(𝑠)=𝑈(𝑠)
1𝑇𝐼⁄=𝐾𝐼⇒ 𝐺(𝑠)=𝐾𝑅+𝐾𝐼1
𝑠 (3.2)

Acești factori K R, KI, constituie parametrii de acordare ai regulatorului de tip PI și ei pot fi
modificați în limite largi, în funcție de performanțele impuse sistemului de reglare automată. Un
regulator de tip PI este o combinație între un regulator P, completat cu un regulator I, efectul
integrator este cel care determină panta de ungh i α, pentru răspunsul 𝑢(𝑡) al regulatorului de tip
PI. Creșterea factorului de amplificare K R, determină o reducere a erorii staționare 𝜀 (deci o
creștere a preciziei) și o reducere a constantei de timp T (timpul necesar intrării în regim staționar)
a sistemului.

Figura 3.2 Graficul de funcționare al regulatorului de tip PI

Răspunsul indicial ideal al regulatorului PI este prezentat în Fig. 3.2. Curba continuă
reprezintă răspunsul indicial ideal, iar curba punctată reprezintă răspunsul indicial real, pentru un
semnal de intrare de tip treaptă unitară ( 𝜀(𝑡)=1).
𝑡
𝜀(𝑡),𝑢(𝑡)
𝜀(𝑡)=1
𝑢(𝑡)=𝐾𝑅𝜀(𝑡)
𝑢(𝑡)
𝛼
𝛼
𝐾𝑅<1
𝑇𝐼
𝜀
0

19
Eroarea staționară este 𝜀=0, iar anularea acesteia, în timp, este determinată de efectul
integral. La alegerea unui regulator PI, pentru un proces dat, se vor avea în vedere frecvența
perturbațiilor asupra desfășurării procesului, precum și modul de variație al mărimii de intrare în
regulator (de obicei 𝜀(𝑡)), unde K I, și K R se vor alege, ținând seama de necesitatea realizării unui
răspuns dorit. Pentru procese rapide, cu schimbări rapide ale intrării și frecvențe mari ale
perturbațiilor nu se recomandă regulatorul PI.

3.2 Reglarea în cascadă

Reglarea în cascadă este utili zată atât în cadrul proceselor rapide, cât și în cazul proceselor
lente, cu timp mort. Prezența unui număr mare de constante de timp în funcția de transfer a părții
fixate face dificilă utilizarea unor algoritmi de reglare tipizați impunându -se pentru comp ensarea
acestor constante de timp algoritmi de reglare care să conțină mai multe binoame de gradul întâi.
Date fiind dificultățile de acordare ale unor asemenea regulatoare și ținând seama de efectul
negativ pe care -l au componentele derivative asupra răsp unsului sistemului (amplificarea
zgomotelor) se recomandă reglarea în cascadă. Aceasta este ilustrată în Fig. 3.3 pentru cazul a
două blocuri de reglare 𝐺𝑓1 și 𝐺𝑓2[3].

Figura 3.3 Structura de reglare în cascadă

Blocul părții fixate este separat în subansamblele 𝐺𝑓1 și 𝐺𝑓2 prin selectarea mărimii 𝛼(𝑡) din
următoarele considerente:
 mărimea 𝛼(𝑡) să fie măsurabilă prin mijloace tehnice simple;
 fiecare subansamblu 𝐺𝑓1 și 𝐺𝑓2 să fie caracterizat de cel mult două constante de timp
principale;
 un număr de perturbații să acționeze asupra subansamblului 𝐺𝑓1.
Prin intermediul mărimii 𝛼(𝑡) se realizează o buclă interioară de reglare cu 𝐺𝑅1, iar prin
intermediul mărimii reglate 𝑦(𝑡) se realizează bucla exterioară de reglare cu 𝐺𝑅2. Bucla interioară,
numită și buclă auxiliară este condusă de regulatorul principal 𝐺𝑅2 (din bucla exterioară sau
principală) prin mărimea 𝑢2(𝑡). Bucla de reglare auxiliară facilitează conducerea procesului de
către regulatorul principal prin:
 compensarea perturbației 𝑝1(𝑡) asupra mărimii 𝛼(𝑡), prin aceasta diminuându -se
substanțial efectul lui 𝑝1(𝑡) asupra mărimii reglate principale;
𝑟(𝑡)
+
−
𝐺𝑅2

𝜀(𝑡)
𝑢1(𝑡)
𝑝1(𝑡)
𝑦(𝑡)
𝑢2(𝑡)
+
𝐺𝑅1

𝐺𝑓1

𝐺𝑓2

𝑝2(𝑡)
−
𝛼(𝑡)
Partea fixată
Partea de control

20
 reducerea inerției pe care o prezintă procesul în raport cu comanda 𝑢2(𝑡) elaborată în
funcție de abaterea lui 𝑦(𝑡) față de 𝑟(𝑡), asigurându -se o compensare mai rapidă a efectului
perturbației 𝑝2(𝑡) și o urm ărire mai bună a variațiilor referinței 𝑟(𝑡)[3].

Aceste două avantaje sunt asigurate numai dacă mărimea intermediară 𝛼(𝑡) răspunde la
perturbații mai rapid de cât mărimea de ieșire 𝑦(𝑡).
Părțile 𝐺𝑓1 și 𝐺𝑓2 ale procesului condus nu au, în general, un corespondent fizic separabil,
descompunerea unui proces în două sau mai multe părți înseriate având în primul rând un caracter
informațional.
Dificultățile în obținerea unor performanțe cât mai bune cu ajutorul reglării în cascadă sunt
legate de alegerea și acordarea regulatoarelor, având în vedere că regulatoarele buclelor interioare
au referințe fixate intern de către un alt regulator.
Regulatoarele 𝐺𝑅1 și 𝐺𝑅2 pot fi blocuri de reglare tipizate. Parametrii de acord ai regulatoarelor
se vor calcula mai întâi pentru bucla internă și apoi pentru bucla externă [3].

3.2.1 Acordarea regulatorului din bucla intern ă (bucla de curent)

Având în vedere modelul părții fixate sub forma unei scheme bloc (Fig. 2.4), de terminat în
Cap. 2, acesta are o formă puțin diferită de cea a părții fixate din Fig. 3.3. Diferența constă în
prezența unei reacții negative de la ieșire și ponderarea mărimii de intrare în proces. Una din soluții
ar fi compensarea software al efectului acestor diferențe în avans, astfel eliminând influența
reacției negative și a ponderării mărimii de intrare, așa cum este reprezentat în Fig 3.4:

Figura 3.4 Schema bloc cu eliminarea unor efecte din partea fixată

Modelul rezultat este compus din dou ă funcții de transfer 𝐺𝑓1 și 𝐺𝑓2, exact așa cum este
necesar pentru realizarea reglării în cascadă (Fig. 3.5).

Figura 3.5 Modelul părții fixate

Cu precizările de mai sus, schema bloc a buclei interne de reglare (bucla de curent) rezultă
astfel:

𝑉𝑖𝑛(𝑠)
1
𝐿𝑡𝑠+𝑅𝑡
+
−
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)
1
𝐶𝑡𝑠

𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)
E
𝐷(𝑠)
1
𝐸

+
+
𝑢1(𝑠)
Partea fixată
Partea de control
1
𝐿𝑡𝑠+𝑅𝑡
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)
1
𝐶𝑡𝑠

𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)
𝑢1(𝑠)
𝐺𝑓1(𝑠)
𝐺𝑓2(𝑠)

21

Figura 3.6 Schema bloc a buclei interne de reglare

Acest subcapitol are ca scop determinarea parametrilor 𝐾𝑅1 și 𝐾𝐼1, ai regulatorului PI, prin
metoda alocării [2][3]. Astfel, pentru acordarea regulatorului din bulca internă se vor parcurge
următoarele etape:
1. Determinarea funcției de transfer în circuit închis 𝐺01(𝑠), care sa aibă ca parametri
necunoscuți 𝐾𝑅1 și 𝐾𝐼1;
2. În funcție de performanțele dorite , se va alege o funcție de transfer optimă în circuit închis
𝐺01_𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚(𝑠);
3. Se vor calcula parametrii 𝐾𝑅1 și 𝐾𝐼1 prin egalarea coeficienților polinoamelor de la numitor
ai 𝐺01(𝑠) și 𝐺01_𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚(𝑠);
4. Se va simula schema bloc din Fig. 3.6.

1. Folosind rela țiile pentru conexiunea "serie" și "cu reacție", schema bloc din Fig. 3.6 poate fi
descrisă de următoarea funcție de transfer în circuit închis 𝐺01(𝑠):

𝐺01(𝑠)=𝐾𝑅1𝑠+𝐾𝐼1
𝑠(𝐿𝑡𝑠+𝑅𝑡)
1+𝐾𝑅1𝑠+𝐾𝐼1
𝑠(𝐿𝑡𝑠+𝑅𝑡)=𝐾𝑅1(𝑠+𝐾𝐼1
𝐾𝑅1)
𝐿𝑡(𝑠2+(𝑅𝑡+𝐾𝑅1
𝐿𝑡)𝑠+𝐾𝐼1
𝐿𝑡) (3.3)

2. Având în vedere că prezența unui zerou are efecte mai puțin plăcute asupra performanțelor (ex.
crește suprareglarea) sistemului, funcția de transfer optimă 𝐺01_𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚(𝑠) va fi:

𝐺01_𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚(𝑠)=𝐾𝑅1(𝑠+𝐾𝐼1
𝐾𝑅1)
𝐿𝑡(𝑠+𝑝1)(𝑠+𝐾𝐼1
𝐾𝑅1) (3.4)

în urma simplificării polului cu zeroul, vom obține o funcție de transfer de ordinul 1, cu constanta
de timp 1𝑝1⁄, și factorul de amplificare 𝐾𝑅1(𝐿𝑡𝑝1)⁄ . Performanțele care se pot impune țin doar
de parametrul liber 𝑝1, și anume:

{𝑡𝑡𝑖=17𝑢𝑠
4𝑝1⁄=𝑡𝑡𝑖⇒𝑝1=235.29∙103 (3.5)

unde 𝑡𝑡𝑖 – durata regimului tranzitoriu al buclei interne.

3. Parametrii 𝐾𝑅1 și 𝐾𝐼1 se obțin din relațiile (3.3), (3.4) și (3.5), folosind relațiile lui Viete pentru
ecuația de gradul 2:
1
𝐿𝑡𝑠+𝑅𝑡
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)
𝐺𝑓1(𝑠)
𝑢1(𝑡)
𝑢2(𝑡)
𝐾𝑅1𝑠+𝐾𝐼1
𝑠

𝐺𝑅1(𝑠)
+
−

22

{ 𝑅𝑡+𝐾𝑅1
𝐿𝑡=𝑝1+𝐾𝐼1
𝐾𝑅1
𝐾𝐼1
𝐿𝑡=𝑝1𝐾𝐼1
𝐾𝑅1 ⇔ {𝐾𝑅1=0.4
𝐾𝐼1=752.941 (3.6)

4. Schema bloc din Fig. 3.6 implementată în SIMULINK arată astfel (codul, Anexă Fig.12):

Figura 3.7 Bucla internă de reglare implementată în SIMULINK

Iar răspunsul indicial al sistemului considerat este:

Figura 3.8 Răspunsul indicial al buclei de curent

După cum și era de așteptat, durata regimului tranzitoriu este identică cu cea impusă prin
metoda de alocare. Funcția de transfer 𝐺01(𝑠) având doar un singur pol acordarea regulatorului a
fost realizată foarte ușor, dar acest regulator intern nu are ca sco p atât reglarea curentului, cât
rejecția curentului de sarcină care va apărea.

3.2.2 Acordarea regulatorului din bucla externă (bucla de tensiune)

Ca rezultat al acordării regulatorului din bucla internă, funcția de transfer echivalentă a
întregii bucle de curent este egală cu 𝐺01𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚(𝑠).

23
Prin urmare, schema bloc a buclei de tensiune este (Fig. 3.9)

Figura 3.9 Schema bloc a buclei externe de reglare

Sinteza regulatorului 𝐺𝑅2(𝑠) se va efectua, la fel, printr -o metodă de alocare , deoarece
atât timp cât scopul reglării este atingerea unor performanțe de regim tranzitoriu și de regim
staționar impuse, această metodă este binevenită. Determinarea parametrilor 𝐾𝑅2 și 𝐾𝐼2 va avea
loc în urma parcurgerii acelorași etape parcurse în acordarea regulatorului din bulca de curent:
1. Determinarea funcției de transfer în circuit închis 𝐺02(𝑠), care să aibă ca parametri
necunoscuți 𝐾𝑅2 și 𝐾𝐼2;
2. În funcție de performanțele dorite, se va alege o funcție de transfer optimă în circuit închis
𝐺02_𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚(𝑠);
3. Se vor calcula parametrii 𝐾𝑅2 și 𝐾𝐼2 prin egalarea coeficienților polinoamelor de la numitor
ai 𝐺02(𝑠) și 𝐺02_𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚(𝑠);
4. Se va simula atât schema bloc din Fig 3.9 cât și reglarea în cascadă aplicată convertorului
DC-DC (un model mai realist).

1. Funcția de transfer în circuit închis pentru schema bloc din Fig. 3.9 este:

𝐺02(𝑠)=𝐾𝑅1(𝐾𝑅2𝑠+𝐾𝐼2)
𝐿𝑡𝐶𝑡𝑠2(𝑠+𝑝1)
1+𝐾𝑅1(𝐾𝑅2𝑠+𝐾𝐼2)
𝐿𝑡𝐶𝑡𝑠2(𝑠+𝑝1)=𝐾𝑅1𝐾𝑅2(𝑠+𝐾𝐼2
𝐾𝑅2)
𝐿𝑡𝐶𝑡(𝑠3+𝑝1𝑠2+𝐾𝑅1𝐾𝑅2
𝐿𝑡𝐶𝑡𝑠+𝐾𝑅1𝐾𝐼2
𝐿𝑡𝐶𝑡) (3.7)

2. În stabilirea performanțelor din bulca externă, trebuie să ne aducem aminte că bucla inte rnă
trebuie sa fie de cel puțin 5 ori mai rapidă decât cea externă (timp de răspuns de 5 ori mai mic),
astfel performanțele dorite vor fi următoarele:

{5𝑡𝑡𝑖𝜎≤4.3%
≤𝑡𝑡𝑢≤0.2𝑚𝑠
𝜀𝑝=0⟹
{ 𝜁=0.707
𝜔𝑛=4
𝑡𝑡𝑢𝜁=[28.28,66.56]∙103𝑟𝑎𝑑𝑠⁄
𝐺0(1)=1 (3.8)

iar funcția de transfer optimă 𝐺02_𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚(𝑠):
𝐺02𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚(𝑠)=𝐾𝑅1𝐾𝑅2(𝑠+𝐾𝐼2
𝐾𝑅2)
𝐿𝑡𝐶𝑡(𝑠+𝑝2)(𝑠+𝑝3)(𝑠+𝑝4)=𝐾𝑅1𝐾𝑅2(𝑠+𝐾𝐼2
𝐾𝑅2)
𝐿𝑡𝐶𝑡(𝑠2+2𝜁𝜔𝑛𝑠+𝜔𝑛2)(𝑠+𝑝4) (3.9)

cu −𝑝2, −𝑝3 poli dominanți și −𝑝4 pol îndepărtat ( −𝑝4≤−3𝜔𝑛).
𝐾𝑅1
𝐿𝑡(𝑠+𝑝1)
𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)
𝐺01_𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚(𝑠)
𝑢2(𝑡)
𝑟(𝑡)
𝐾𝑅2𝑠+𝐾𝐼2
𝑠

𝐺𝑅2(𝑠)
+
−
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)
1
𝐶𝑡𝑠
𝐺𝑓2(𝑠)

24
3. Având în vedere informațiile din (3.7), (3.8), (3.9), parametrii 𝐾𝑅2 și 𝐾𝐼2 se determin ă folosind
relațiile lui Viete pentru ecuațiile de gradul 2 și 3:

{ 𝑝2+𝑝3=2𝜁𝜔𝑛
𝑝2𝑝3=𝜔𝑛2
𝑝2+𝑝3+𝑝4=𝑝1
𝑝4(𝑝2+𝑝3)+𝑝2𝑝3=𝐾𝑅1𝐾𝑅2
𝐿𝑡𝐶𝑡
𝑝2𝑝3𝑝4=𝐾𝑅1𝐾𝐼2
𝐿𝑡𝐶𝑡
𝑝4≥3𝜔𝑛 ⇒
{ 𝑝2=33.61∙103+33.62∙103𝑖
𝑝3=33.61∙103−33.62∙103𝑖
𝑝4=168∙103
𝐾𝑅2=24.2
𝐾𝐼2=678.12∙103 (3.10)

unde 𝑡𝑡𝑢=0.119𝑚𝑠, iar 𝜔𝑛=47.54∙103𝑟𝑎𝑑𝑠⁄.

4. Deoarece răspunsul sistemului împreună cu c ele două regulatoare acordate 𝐺𝑅1 și 𝐺𝑅2 (Anexă
Fig. 13) depășește mult peste supra reglarea impusă (cauzată de prezența zeroului) , vom trece
referința printr -o funcție de transfer 𝐺𝑎𝑧(𝑠), care va anula influența zeroului. Ca efect defavorabil,
se va mări puțin durata regimului tranzitoriu. 𝐺𝑎𝑧(𝑠) trebuie aleasă astfel încât sa simplifice zeroul
dar să nu modifice factorul de amplificare (să respecte teorema valorii finale ):

𝐺𝑎𝑧(𝑠)=𝐾𝐼2
𝐾𝑅2(𝑠+𝐾𝐼2
𝐾𝑅2) (3.11)

Implementând schema bloc din Fig. 3.9 împreună cu funcția de transfer din relația (3.11)
obținem (codul, Anexă Fig. 14):

Figura 3.10 Structura de reglare în cascadă SIMULINK

Aplicând la intrare un semnal de tip treaptă de amplitudine 𝑟(𝑡)=12 𝑉, rezultă
următorul răspuns:

25

Figura 3.11 Efectul eliminării influenței zeroului

Rezultatul obținut este unul favorabil, deși trece puțin peste limita stabilită de durată a
regimului tranzitoriu, suprareglarea este la un nivel acceptabil.
În continuare, se va aplica această structură de reglare în cascadă cu două bucle de reglare
pe un circuit electric în SIMULINK care descrie funcționarea unui convertor DC -DC (Anexă Fig.
6). Acest circuit va fi însoțit și de un circuit generator de semnal PW M (Anexă Fig. 7) și de niște
module de mediere a semnalelor (explicație Cap. 4.2). Vom considera frecvența de comutație a
tranzistoarelor MOSFET egală cu 140kHz.

Figura 3.12. Reglarea în cascadă aplicată convertorului DC -DC (circuit electric)

Pentru a verifica nu doar performanțele de regim tranzitoriu și staționar, vom aplica un
curent de sarcină (care va avea rolul de perturbație) în scopul de a verifica cât de bine se descurcă
structura de reglare în cascadă cu rejecția perturbațiilor. Se va aplica la intrare un semnal treapta
𝑟(𝑡)=12 𝑉, iar când ieșirea se va stabili în regimul staționar, la momentul 𝑡𝑝=0.25 𝑚𝑠 un
curent de sarcină 𝑝1(𝑡)=5𝐴 (Anexă Fig. 8) va incerca să descarce condensatorul 𝐶2 (Fig. 3.13).

26

Figura 3.13. Reglarea în cascad ă + rejecția perturbației

Necătând la oscilațiile cauzate de imprecizia modelului, reglarea în cascadă cu proiectarea
regulatoarelor prin metoda alocării s -a descurcat cu obiectivele impuse ce țin de performanțe și de
rejecția perturbației (tensiunea a r eușit să scada cu 0.15 V). Se poate mai bine? Aceasta este
întrebarea la care trebuie să răspundem în capitolul ce urmează, în care vom proiecta o lege de
reglare după stare.

27
4. Controlul convertorului DC -DC prin reglarea
după stare

4.1 Prezentarea metodei

Se consideră un proces tehnologic monovariabil descris de modelul intrare -stare -ieșire de
forma:

{𝑥(𝑘+1)=𝜙𝑥(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘)=𝐶𝑥(𝑘) (4.1)

unde: 𝑥∈𝑅𝑛, 𝑢∈𝑅𝑚, 𝑦∈𝑅𝑝, 𝜙∈𝑅𝑛×𝑛, 𝛤∈𝑅𝑛×𝑚, 𝐶∈𝑅1×𝑝.

Automatizarea procesului constă în construirea unui sistem decizional adecvat, genererator
al comenzilor 𝑢(𝑘) care produc o anumită evoluție a sistemului. Această evoluție se definește în
sensul obținerii unor traiectorii temporale ale ieșirilor tehnologice (reglate), exprimate prin
vectorul 𝑦(𝑘), cât mai apropiate de traiectoriile impuse tehnologic prin vectorul referință 𝑟(𝑘).
Pentru procesele reprezentate în forma intrare – stare – ieșire (modelul (4.1)), cel mai simplu
algoritm decizional constă în utilizarea unei reacții proporționale după starea sistemului. Legea de
reglare, de tipul reacție după stare, este de forma:

𝑢(𝑘)=𝐾0𝑟(𝑘)−𝑓𝑇𝑥(𝑘) (4.2)

Structura sistemului automat obținut este reprezentată în Fig. 4.1:

Figura 4.1. Structura sistemului de reglare automat ă

Înlocuind (4.2) în (4.1) se obține modelul sistemului în circuit închis:

{𝑥(𝑘+1)=(𝜙−𝛤𝑓𝑇)𝑥(𝑘)+𝛤𝐾0𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘)=𝐶𝑥(𝑘) (4.3)

Se observă că uti lizarea reacției după stare permite modificarea localizării valorilor proprii
ale sistemului (valorile proprii asociate matricii de evoluție, 𝜙, ale procesului reglat sunt translate
în pozițiile determinate de valorile proprii asociate matricii de evoluți e 𝜙−𝛤𝑓𝑇 ale sistemului
automat). Acest lucru este benefic în cazul în care procesul reglat este instabil sau în cazul în care

𝑓𝑇
+
−
𝑥(𝑘+1)=𝜙𝑥(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘)=𝐶𝑥(𝑘)
𝐾0
𝑟(𝑘)
𝑦(𝑘)
𝑥(𝑘)
𝑢(𝑘)

28
acesta este stabil, dar configurația spectrului matricii 𝜙 este nefavorabilă, implicând o evoluție
neconvenabilă în regim tra nzitoriu.
Alocarea completă a valorilor proprii ale sistemului automat este posibilă numai în situația
în care procesul este complet controlabil . Condiția care trebuie îndeplinită este:

𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑅=𝑟𝑎𝑛𝑔 [𝛤 𝜙𝛤 𝜙2𝛤… 𝜙𝑛−1𝛤]=𝑛 (4.4)

Determinarea matricii 𝑓𝑇 se realizează utilizând procedura de alocare Ackermann :
 Se verifică controlabilitatea perechii (𝜙,𝛤) și se determină 𝑅−1;
 Se reține ultima linie a matricii 𝑅−1 în ℎ𝑇;
 Se construiește pe baza performanțelor polinomul caracteristic al sistemului de reglare în
circuit închis:
𝑃𝑐(𝑧)=(𝑧2+𝛼1𝑧+𝛼2)∏(𝑧−𝛼𝑖)𝑛
𝑖=3=𝑎1+𝑎2𝑧+⋯+𝑎𝑛𝑧𝑛−1+𝑧𝑛, (4.5)
cu:
𝛼1=−2𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑇𝑠cos(𝜔𝑛𝑇𝑠√1−𝜁2); 𝛼2=𝑒−2𝜁𝜔𝑛𝑇𝑠; 𝛼𝑖=𝑒−(3÷5)𝜔𝑛𝑇𝑠; (4.6)

unde 𝜁 și 𝜔𝑛 se obțin din Tabelul 4.1.

Indice de performanță Simbol Formula de calcul Regim tranzitoriu Suprareglarea 𝜎
𝜎=𝑒−𝜋𝜁
√1−𝜁2

Durata regimului tranzitoriu
𝑡𝑡 𝑡𝑡=ln0.05√1−𝜁2
−𝜁𝜔𝑛, pentru
0.5 ≤𝜁≤0.8⇒ 𝑡𝑡≅4
𝜁𝜔𝑛
Gradul de amortizare 𝛿
𝛿2=𝑒−2𝜋𝜁
√1−𝜁2
Lărgimea de bandă 𝜔𝑏 𝜔𝑏=𝜔𝑛√1−2𝜁2+√2−4𝜁2+4𝜁4 Regim
stațion ar Eroare staționară 𝜀𝑝 𝜀𝑝=0⇒𝐺0(1)=1
Eroare de viteză 𝜀𝑣 𝜀𝑣=1
𝑝1+1
𝑝2=2𝜁
𝜔𝑛
Tabelul 4.1 Performanțele de regim tranzitoriu și staționar

 Se determină matricea de reacție după stare:

𝒇𝑻=𝒉𝑻𝑷𝒄(𝝓) (4.7)

Problema reglării se rezolva impunând condiția 𝐺0(1)=1, de unde rezultă parametrul
𝐾0:
𝐾0=1
𝐺(1) (4.8)

29
4.2 Proiectarea legii de reglare după stare

Pornind de la modelul validat (2.28) și (2.29), legea de reglare după stare (4.2) se
determină urmând algoritmul Ackermann. Dar mai întâi de toate, trebuie să verificam condiția
(4.4) și anume – sistemul să fie complet controlabil:

𝑅=[4.48623.95873.40212.2007
0.09770.07110.19130.2433
2.58754.64200.06513.9365
0.01830.13440.17980.2296]⇒𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑅=𝑛=4 (4.9)

În continuare, urmeaza să determinam 𝑓𝑇 cu procedura de alocare Ackermann:
 Matricea 𝑅−1:

𝑅−1=[0.0998 5.6178 0.0571−7.8879
0.1116−7.88450.0600 6.2568
0.1618−1.8791−0.24204.5887
−0.19995.6360 0.1498−2.2692] (4.10)

 Vectorul ℎ𝑇:

ℎ𝑇=[−0.19995.63600.1498−2.2692] (4.11)

 Polinomul car acteristic se construiește pe baza următoarelor performanțe:

{𝜎≤4.3%
𝑡𝑡≤0.2𝑚𝑠
𝜀𝑝=0 ⟹ {𝜁=0.707
𝜔𝑛≥28.28∙103𝑟𝑎𝑑𝑠⁄
𝐺0(1)=1 (4.12)

𝑃𝑐(𝑧)=(𝑧2+𝛼1𝑧+𝛼2)∙(𝑧−𝛼𝑖)2=(𝑧2+1.414∙𝑧+0.548)∙(𝑧−0.1192)2 (4.13)

 Matricea de reacție după stare 𝑓𝑇:

𝑓𝑇=ℎ𝑇𝑃𝑐(𝜙)=[−0.3548−15.22960.523914.5795] (4.14)

Toate calculele au fost facute cu ajutorul MATLAB -ului(Anexă Fig.3 -5). De asemenea,
MATLAB pune la dispoziție determinarea matricii de reacție după stare prin intermediul funcției
acker , care are ca parametrii de intrare matricile 𝜙, 𝛤 și vectorul valori lor proprii (polii doriți).
Dupa cum a fost menționat anterior, problema reglarii se rezolvă introducând un parametru
𝐾0, care ponderează referința astfel încât să obținem eroare staționară nulă. Valoare 𝐺(1) poate fi
determinată pe cale experimentală, ana lizând raspunsul indicial al sistemului în bucla închisă
(Fig.4.2).

30

Figura 4.2 Răspunsul indicial al sistemului în bucla închisă

Din Fig.4.2 putem observa că valoare de regim staționar este 𝐺(1)=2.858, deci:

𝐾0=1
2.858=0.3499 (4.15)

Având calculte 𝑓𝑇 și 𝐾0, structura de reglare automată poate fi construită ca în Fig. 4.3:

Figura 4.3 Implementarea legii de reglare după stare

Deoarece modelul redă dinamica unui convertor DC -DC electronic de putere de tip buck,
referința trebuie să fie strict mai mică decât tensiunea la intrare ( 𝑉𝐼𝑁). Drept exemplu, vom aplica
o referință 𝑟(𝑘)=12𝑉, aplicată la momentul 𝑡0=10𝜇𝑠(Fig.4.4).

31

Figura 4.4 Răspunsul sistemului(Fig. 4.3) la o referință de t ip treapta

După cum bine se observă din Fig. 4.4, performanțele de regim tranzitoriu și cele de regim
staționar sunt echivalente cu cele impuse prin metoda de alocare a polilor( 𝜎≤4.3% ,𝑡𝑡≤
0.2𝑚𝑠 ,𝜀𝑝=0).
Având aceste rezultate favorabile, putem a plica legea de reglare pe un model mai realist
(compus din modele de condesantoare, rezistențe, bobine, etc). În continuare vom numi acest
model mai realist, generic, parte fixată(Anexă Fig. 6). Înlocuind modelul de tip intrare -stare -ieșire
cu această part e fixată, trebuie introduse și niște modificări în structura de reglare, și anume:
1. Deoarece partea fixată are la intrare un semnal PWM (Pulse Width Modulation), va trebui
să transformăm comanda calculată la un anumit moment de timp 𝑢(𝑘), într -un semnal c u
un factor de umplere corespunzător (Anexă Fig. 7);
2. Având la ieșire mărimi continue și oscilante, va trebui să discretizăm semnalele (folosind
un extrapolator de ordin zero) și să le facem o medie la sfârșitul fiecărei perioade de
eșantionare;
Considerând aceste observații, sistemul reglat devine asemănator cu cel din Fig. 4.5:

32

Figura 4.5. Legea de reglare după stare aplicată părții fixate

După aplicarea aceluiași semnal de tip treaptă 𝑟(𝑘)=12𝑉, la momentul 𝑡0=10𝜇𝑠
obținem următorul răspuns(Fig.4.6 ):

Figura 4.6 Răspunsul sistemului (Fig. 4.5) la o referință de tip treapta

Mica diferență dintre răspunsul din Fig.4.4 și cel din Fig.4.5 este de faptul că în sistemul
din Fig.4.5 avem la ieșire o marime continue și discretizarea acesteia introduce o mica întârziere
în răspuns. Cu toate acestea, diferența poate fi neglijată, pentru că performanțele răspunsului
corespund celor prestabilite.
În continuare, vom simula apariția unui consumator conectat la ieșirea convertorului DC –
DC. Acest consumator va f i dat de o sursa de curent, care va descarca condesatorul 𝐶2 cu o variație
de tip treapta unitară, incepând cu momentul 𝑡0=0.2𝑚𝑠(Anexă Fig.8), după ce sistemul s -a
stabilit în regim staționar. Acest consumator poate fi privit și ca o perturbație pentru sistemul

33
reglat, deoarece influențează mărimea de ieșire la un moment necunoscut și cu o valoare
impredictibilă. Rezultatul acestei simulări este reprezentat în Fig. 4.7:

Figura 4.7. Răspunsul sistemului la apariția unui consumator

Se observă foarte b ine din Fig. 4.7, că după introducerea perturbației la momentul 𝑡0=
0.2𝑚𝑠, mărimea de ieșire trece și se stabilește într -o altă stare, cu alte cuvinte, apare o eroare
staționară nenulă. Astfel, una din performanțele impuse nu este respectată( 𝜀𝑝=0) și a cest fapt nu
poate fi neglijat, deoarece consumatorul este un factor care inevitabil va apărea. Problema care a
intervenit implică modificarea structurii de reglare, astfel încât această eroare la poziție să fie
sesizată și eliminata.

4.3 Introducerea componentei integrale

Problema regl ării la apariția unei perturbații poate fi rezolvată printr -o metodă elegantă, și
anume, prin introducerea unui integrator pe calea directă ca în schema bloc de mai jos(Fig. 4.8):

Figura 4.8. Strucura de reglare automata cu componentă integrală

𝑓𝑓
+
−
𝑥𝑓(𝑘+1)=𝜙𝑥𝑓(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘)=𝐶𝑥𝑓(𝑘)
𝑓𝑖
𝑟(𝑘)
𝑦(𝑘)
𝑥𝑓(𝑘)
𝑢(𝑘)
𝑧
𝑧−1
+
−
𝑥𝑖(𝑘)

34
Modelul extins al părții fixate cu integratoare este de forma[4]:

{ [𝑥𝑓(𝑘+1)
𝑥𝑖(𝑘+1)]=[𝜙0
𝐶𝐼][𝑥𝑓(𝑘)
𝑥𝑖(𝑘)]+[𝛤
0]𝑢(𝑘)+[0
𝐼]𝑟(𝑘)
𝑦(𝑘)=[𝐶0][𝑥𝑓(𝑘)
𝑥𝑖(𝑘)]+𝑟(𝑘) (4.16)
Introducând notațiile:

𝑥′(𝑘)=[𝑥𝑓(𝑘)
𝑥𝑖(𝑘)],𝜙′=[𝜙0
𝐶𝐼],𝛤′=[𝛤
0],𝐶′=[𝐶0],𝑊=[0
𝐼] (4.17)

Modelul extins al părții fixate devine:

{𝑥′(𝑘+1)=𝜙′𝑥′(𝑘)+𝛤′𝑢(𝑘)+𝑊𝑟(𝑘)
𝑦(𝑘)=𝐶′𝑥′(𝑘)+𝑟(𝑘) (4.18)

Conform cu Fig.4.8, legea de reglare este descrisa de:

𝑢(𝑘)=𝑓𝑖𝑥𝑖(𝑘)−𝑓𝑓𝑥𝑓(𝑘)=𝑓′𝑥′(𝑘) (4.19)
Conside rând aceste schimbări, modelul extins al părții fixate reiese după cum urmează:

{
𝑥′(𝑘+1)=
[ 0.8888−1.89860.0789 −2.58750
0.0253−0.3677−0.0115 1.2700 0
1.262213.7987−0.7996−16.38620
0.01380.5080 0.0055 0.4737 0
0 0 0 11]
𝑥′(𝑘)+
[ 4.4862
0.0977
2.5875
0.0183
0]
𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘)=[00010]𝑥′(𝑘) (4.20)

Iar vectorul 𝑓′ se calculeaz ă ca și în cazul precedent printr -o metodă de alocare Ackermann,
considerând aceleași performanțe (4.12) ca și în cazul precedent. Prin urmare, vectorul 𝑓′ rezult ă
de forma(Anexă Fig.9):

𝑢(𝑘)=[−0.0901−10.04220.23510.97680.3082]𝑥′(𝑘) (4.21)

După cum s -a putut observa, structura de reglare a fost modificată astfel încât parametrul
de ponderare 𝐾0 să dispară. Acest parametru într -adevăr asigura eroare staționară nulă, dar nu
oferea o robustețe sistemului de reglare, întrucât la apariția unei p erturbații sau la modificarea
parametrilor părții fixate (de ex. proces de îmbătrânire), acesta fiind o constantă nu se putea adapta
la noile condiții ale sistemului. Pe cand existența unui integrator pe calea directă asigură eroare
staționară nulă indifer ent de apariția unor mărimi exogene.

35
Schema bloc din Fig.4.8 implementată în SIMULINK va arăta în felul următor:

Figura 4.9 Structura sistemului de reglare cu componentă integrală implementată în SIMULINK

Aplicând aceleași mărimi de intrare, care s-au aplicat în a obține răspunsul din Fig.4.7
sistemului din Fig. 4.9, cu observația că perturbația este un semnal de tip treaptă de amplitudine
5A și se va aplica la momentul 𝑡0=0.25𝑚𝑠, obținem:

Figura 4.10 Rejecția perturbației după introducerea componentei integrale

Din Fig. 4.10 se constată că în urma introducerii componentei integrale, perturbația a fost
rejectată cu succes iar performanțele au rămas în limitele stabilite.

4.4 Proiectarea estimatorului de ordin complet

În urma stabilirii modelului de tip intrare -stare -ieșire am constat că avem 4 stări. După cum
am văzut mai devreme, pentru a putea fi implementată legea de reglare după stare, valoarea acestor
stări trebuie să fie cunoscută la fiecare moment de timp 𝑘, pentru a putea fi calculată comanda.
Cunoașterea valorii unei stări implică ca această stare să fie măsurabilă. Din păcate, acest lucru nu

36
este mereu posibil sau rentabil din punct de vedere financiar. Din aceste considerente în continuare
vom recurge la un estimator de stare. Acesta va estima trei din cele patru stări 𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙, 𝑉𝑐 și 𝑖𝑒𝑚𝑖.
Modelul esti matorului de ordin complet (Luenberger) este următorul[4]:

{𝑥̂(𝑘+1)=𝜙𝑥̂(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘)+𝐿[𝑦(𝑘)−𝑦̂(𝑘)]
𝑦̂(𝑘)=𝐶𝑥̂(𝑘) (4.22)

iar structura acestuia este dată în Fig. 4.11:

Figura 4.11 Structura estimatorului de ordin complet

Din (4.22) se poate deduce ușor, prin substituție, următoarea relație:

{𝑥̂(𝑘+1)=(𝜙−𝐿𝐶)𝑥̂(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘)+𝐿𝑦(𝑘)
𝑦̂(𝑘)=𝐶𝑥̂(𝑘) (4.23)

prin urmare, dinamica estimatorului este data de matricea (𝜙−𝐿𝐶). Astfel, matricea 𝐿 trebuie
determina tă în așa mod, incât valorile proprii ale matricii de tranziție sa fie in interiorul cercului
de rază unitară (condiție de stabilitate).
Matricea L se obține cu procedura Ackermann , folosind substituțiile:

𝜙→𝜙𝑇, 𝑅→𝑂𝑇, 𝑓→−𝐿𝑇 (4.24)

pentru sistemele monovariabile rezultă:

−𝐿𝑇=−[0…01](𝑂𝑇)−1𝑃𝑐𝑒(𝜙𝑇)⇒𝐿=𝑃𝑐𝑒(𝜙)𝑂−1[0…01]𝑇 (4.25)

polinomul caracteristic al estimatorului 𝑃𝑐𝑒(𝑧) a fost ales de tip dead -beat, în așa fel, incât să
asigure viteză maximă de convergență a valorilor estimate către cele ale modelului:

𝑃𝑐𝑒(𝑧)=𝑧𝑛=𝑧4 (4.26)

Utilizând mediu MATLAB(Anexă Fig.10) matricea L rezultă după cum urmează:

𝐿=[9.77112.1025.71640.1952]𝑇 (4.27)
Adăugând estimatorul de ordin complet în structura de reglare din Fig. 4.9, obținem:
𝜙

+
𝑦(𝑘)
+
−
𝐿
𝛤
𝑢(𝑘)
𝑧−1𝐼

+
+
𝐶

𝑦̂(𝑘)
𝑥̂(𝑘)
𝑥̂(𝑘+1)

37

Figura 4.12 Structura de reglare în urma introducerii estimatorului complet (Anexă Fig. 11)

În urma aplicării unui semnal treaptă cu caracteristicile din Fig. 4.12, rezultă următorul
răspuns:

Figura 4.13. Răspunsul sistemului (Fig.4.12) la un semnal de tip treaptă

Prin concluzie, după introducerea estimatorului de ordin complet structura de regla re în
continuare își atinge cele două obiective: sistemul este stabil și performațele de regim tranzitoriu
și de regim staționar corespund cu cele impuse. O diferență însă se poate observa în comportarea
semnalului în timpul rejecției perturbației. În cazu l precedent, tensiunea doar scadea cu 0.41V,
după care revenea înapoi la referință. După introducerea estimatorului, tensiunea scade cu 0.15V,
dar apare și o suprareglare de 0.11V, ceea ce nu creează probleme, dar e o chestiune care merită
atenție. Pentru a sesiza diferența intre cele două tipuri de control realizate, va fi nevoie de ultima
simulare.

38
5. Compararea rezultatelor. Concluzii
Cele mai frecvente cerințe cu care se întâlnește un inginer automatist sunt: stabilitate,
performanțe și imunitate la per turbații. Dacă în unele cazuri performanțele cu imunitatea la
perturbații sunt secundare, stabilitatea este o condiție strict necesară. Structurile de reglare folosite
anterior în controlul convertorului DC -DC (reglarea în cascadă cu regulatoare PID și reg larea după
stare), asigură atât stabilitate cât și performanțe la un nivel înalt, deoarece în ambele cazuri s -a
folosit o metodă de alocare, care ne permite localizarea polilor conform cu cerințele impuse.
Diferența celor două structuri de control constă î n modul de rejecție a perturbației. Pentru a vedea
această diferență vom aplica pentru ambele sisteme câte o perturbație destul de "puternică" pentru
a observa evoluția semnalelor. Se va aplica o perturbație (curent de sarcină) de tip rampă de pantă
1000 A /ms la momentul 𝑡𝑝=0.25𝑚𝑠, ca în Anexă Fig. 15. Rezultatul acestei simulări este (Fig.
5.1):

Figura 5.1. Rejecția perturbației de către cele două structuri de reglare

Se observă, necătând la faptul că performanțele de regim tranzitoriu sunt aproximativ
identice, perturbația este rejectată diferit. În cazul reglării în cascadă tensiunea de pe condensator
scade cu 1.53V după care revine la valoarea de referință cu o mică suprareglare (0.5%), pe când
în urma proiectării unei legi de reglare după stare, tensiunea scade doar cu 0.73V după care
prezentând o suprareglare de 5.5% revine la valoare de regim staționar. În concluzie, dacă se
permite un compromis între suprareglarea impusă și viteza de rejecție a perturbației, reglarea
folosind o lege după stare ar fi mai potrivită, în caz contrar, mai binevenită este reglarea în cascadă.

39
Bibliografie

[1]Albu M. , ELECTRONICA DE PUTERE – VOL I: NOȚIUNI INTRODUCTIVE, CONVERIS A
STATICĂ ALTERNATIV -CONTINUU A ENERGIEI ELECTRICE (Casa de editură "VENUS"
(CNCSIS ), Iași, 2007)

[2]Dumitrache I. , INGINERIA REGL ĂRII AUTOMATE (Editura Politehnica Press, București,
2005)

[3]Lazar C., Vrabie D., Carari S . SISTEME AUTOMATE CU REGULATOARE PID (Editura
MATRIXROM, București, 2004)

[4]Ogata K. , DISCRETE -TIME CONTROL SYSTEMS . 2nd EDITION (Editura Prentice Hall,
New Jersey, 1995 )

[5]Onea A. , SISTEME AUTOMATE CU E ȘANTIONARE (Editura IASI , 1997 )

[6]Popa Dan , CONVERTOARE STATICE (Editura NAUTICA, 2007)

[7]Voicu M. , INTRODUCERE ÎN AUTOMATICĂ (Editura POLIROM, 2002)

40
Anexă

Figura 1 . Schema SIMULINK de validare a modelului de tip intrare -ieșire

Figura 2. Schema SIMULINK de validare a modelului de tip intrare -stare -ieșire

41

Figura 3. Script Matlab cu valorile componentelor

Figura 4. Script Matlab cu determinarea modelului discret

Figura 5. Script Matlab cu determinarea vectorului de reactive dupa stare ft

Figura 6. Un model mai realist al con vertorului DC -DC electronic de putere

42

Figura 7. Modelul unui generator de semnal PWM

Figura 8. Conectarea unui consumatoru la ieșire convertorului DC -DC

Figura 9. Script Matlab cu calculul vectorului 𝑓′ prin metoda de alocare Ackermann

Figura 10. Script Matlab cu calculul matricii L

43

Figura 11. Structura estimatorului de ordin complet

Figura 12. Codul Matlab pentru bucla interna de reglare

Figura 13. Influența zeroului la sistemul reglat

44

Figura 14. Codul MATLAB pentru bucla externă de reglare

Figura 15. Semnal rampă de pantă 1000 A/ms

45