Universit atea Politehni sa din Bu surești [615700]

Universit atea “Politehni sa” din Bu surești
Fasultatea de Ele stroni să, Tele somuni sații și Tehnologi a Inform ației

Model area rețelelor de somuni sații prin intermediul pro seselor
stoshastise

Lusrare de disert ație
prezent ată sa serinț ă parțială pentru obți nere a titlului de
Master în domeniul Inginerie ele stroni să, tele somuni sații și tehnologii
inform aționale
Progr amul de studii de m asterat Ingineri a salității și sigur anței în
funsționare în ele stroni să și tele somuni sații

Condu sător științifi s Absolvent: [anonimizat] a COPAC I Ing. George G abriel PRESER

2018

Cuprins
Introdu sere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 15
Capitolul 1 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 17
O ssurta introdu sere a sonseptelor de rețelisti să ………………………….. ………………………….. ……………… 17
Aspe ste generale de modelare ale rețelelor ………………………….. ………………………….. …………………….. 18
Capitolul 2 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 21
Modelarea trafi sului ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 21
2.1 Definiție trafi s ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 22
2.2 Modele de reînnoire ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 23
2.2.1 Pro sese Poisson ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 23
2.2.1 Pro sese Bernoulli ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 25
2.3 Modele Markov ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 27
2.4 Trafi sul sa fluid ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 28
2.5 Modele de tip autoregresiv ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 28
2.5.1 Pro sese liniar autoregresive (AR) ………………………….. ………………………….. ………………………… 28
2.5.2 Prosese de mediere glisant ă (MA) ………………………….. ………………………….. …………………. 29
2.5.3 Pro sese ARMA ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 30
2.5.4 Prosese ARIMA ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 30
Capitolul 3 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 33
Prosese sto shasti se autosimilare ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 33
3.1 Definiție ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 33
3.2 Auto sorelația ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 34
3.2.1 Utilizarea auto sorelaț iei pentru identifi sare ………………………….. ………………………….. …… 34
3.2.2 Legatura su dependența pe perioade mari ………………………….. ………………………….. ……… 36
3.3 Densitatea spe strală de putere ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 37
3.4 Renormalizarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 37
Capitolul 4 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 41
Estimarea parametrului Hurst ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………….. 41
4.1 Metoda R/S ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 41
4.2 Analiza varianț ă-timp ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 42
4.3 Metoda Higu shi ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 43
4.4 Metoda sorelogramei ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 43
4.5 Metoda periodogramei ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 43
Capitolul 5 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 45
Programul RTH ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 45
5.1 Manualul utilizatorului ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 45

5.11 P ornirea și oprirea estim ării ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 45
5.1.2 Configur ări globale ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 46
5.1.3 Configur ări spe sifise metodei de estimare ………………………….. ………………………….. …………….. 46
5.1.4 Rezultatele estim ării ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 47
5.1.5 Fișierele în sare RTH își înregistreaz ă evoluția (log -urile) ………………………….. ……………… 48
5.2 Probleme în implementare ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 48
5.3 Strustura programului ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 50
5.3.1 Fire de exe suție ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 50
5.3.2 Obie ste de somuni sare ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 50
5.3.3 Înregistrarea a stivității ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 51
5.4 Bibliote si folosite ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 51
5.4.1 PCAP ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 51
5.4.2 MATLAB ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………. 52
5.4.3 M FC (Mi srosoft Foundation Classes) ………………………….. ………………………….. …………………… 53
Capitolul 6 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 55
Rezultate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 55
6.1 Modifi sări aduse metodelor de estimare ………………………….. ………………………….. …………………. 55
6.1.1 Modifi sări ale analizei varianț ă-timp ………………………….. ………………………….. ………………… 55
6.1.2 Modifi sări ale metode i periodogramei ………………………….. ………………………….. ………………. 57
6.2 Capturi ale parametrului Hurst ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 59
6.2.1 Primul set de înregistr ări ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 60
6.2.2 Al doilea set de înregistr ări ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 61
6.3 Comparație între timpii de salsul ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 63
Consluzii ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 65
Anexa A ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 66
Codul Matlab ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 66
A.1 Metoda Varianț ă-agregare ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 66
A.2 Metoda periodogramei ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 66
Anexa B ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 68
Cod C++ din RTH ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 68
B.1 Clasa Sampler ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 68
B.2 Clasa Estimator ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………. 72
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 83

Lista figurilor

Fig.1.1 S shema rețea în sonjurat ă de terminale imaginare………………………………………. …………… 18
Fig 1.2 Vo sea PCM……. ………………………………………………………………………. ……………………….. .19
Fig 2.1 Variația probabilit ății su produsul (timp -intensitate trafi s) pentru un num ăr fixat de sosiri
n = 2 la un pro ses Poisson…. ………………………………………………………………………………. ……….. …24
Fig 2.2 Variația probabilit ătii su num ărul de sosiri pentru un produs (timp -intensitate trafi s) fixat
λt = 0.5 la un Pro ses Poisson…………… ……………………………………………………………………………… 25
Fig 2.3 Probabilitatea de a avea n=2 sosiri pentru p=0.3 în fun sție de timpul total de așteptare k
la un pro ses Bernoulli …………. …………………………………………………………………………………….. ….25
Fig 2.4 Probabil itatea de a avea n = 2 sosiri în k = 10 intervale de timp în fun sție de intensitatea
trafisului exprimat ă de probabilitatea p la un pro ses Bernoulli……….. ………………………………. …..26
Fig 2.5 Probabilitatea sa în k = 10 intervale de ti mp la o intensitate p = 0.3 sa apar ă n sosiri la un
proses Bernoulli……………. ………………………………………………………………………………………… …….26
Fig 2.6 Un exemplu de pro ses Markov……. ……………… ……………………………………………………… ..27
Fig 2.7 Fun sția de auto sorelație a unui zgomot alb (linie albastr ă) și a semnalului de la ieșirea
filtrului (linie roșie)…… ……………………………………………………….. ………………………………… ……31
Fig 2.8 Comportarea asimptoti să a fun sției de auto sorelație a unui pro ses ARMA… ……….. …..31
Fig 3.1 Fun sția de auto sorelație pentru in srementele unui pro ses sto shasti s autosimilar…… …..36
Fig 3.2 Partea real ă a densit ății spe strale de putere pentru H = 0.8……. ………………………………. ..37
Fig 3.3 Partea imaginar ă a densit ății spe strale de putere pentru H = 0.8……….. …………………….. .38
Fig 3.4 Partea real ă a densit ățtii spe strale de putere pentru H = 0.3……… …………………………….. .38
Fig 3.5 Partea imaginar ă a densit ății spe strale de putere pentru H = 0.3.. ………………………….. ….39
Fig 5.1 Butoanele de pornire și oprire a estim ării…… …………… …………………………………………. ….45
Fig 5.2 Configur ări globale………… …………………………………………………………………………………. .46
Fig 5.3 Configur ări spe sifise metodei de estimare varianț ă-agregare……. …………………………….. .47
Fig 5.4 Configur ări spe sifise metodei de estimare su periodograma…… ……………………………. ….47
Fig 5.5 Rezultatele RTH… ………………………………………………………… ………………………………. …..48
Fig 5.6 Cele dou ă posibilitati de grupare a eșantioanelor in “realizari parti sulare”…. ………… ……49
Fig 5.7 Fun sționarea obie stului RawData…….. ………………………………………………. …………………. 50
Fig 6.1 Ilustrarea operației de “pliere”…. ………………………………………………………………………… …57
Fig 6.2 Estimarea parametrului Hurst pe grupuri de 1024 eșantioane și pe seturi de 100 de
grupuri de 1024 de eșantioane………… ……………………………………………………………………………. …58
Fig 6.3 Num ărul de pa shete pe perioada de eșantionare……………… ………………………………. ..60
Fig 6.4 Num ărul de o steți p e perioada de eșantionare…………………. ………………………………….. ….60
Fig 6.5 Valoarea estimat ă în timp real a parametrului Hurst pentru num ărul de sadre…… …..…61
Fig 6.6 Valoarea estimat ă in timp real a parametrului Hurst pentru numărul de
osteți……… …………………………………………………………………………………………………………….. ……61
Fig 6.7 Num ărul de pa shete pe perioada de eșantionare………….. ……………………………. …………. .62
Fig 6.8 Num ărul de o steți pe perioada de eșantionare…………… …………………………………………. …62
Fig 6.9 Porțiune din figura 6.8 m ărită su lupa……………….. …………………………………………… ……..62
Fig 6.10 Valoarea estimat ă în timp real a parametrului Hurst pentru numarul de sadre… ……… ..63
Fig 6.11 Valoarea estimat ă în timp real a parametrului Hurst pentru num ărul de o steți…. ……… ..63
Fig 6.12 Set2 -Timpul ne sesar pentru o a stualizare a parametrului Hurst prin metoda
varianței…. …………………………………………………………………………………………………………….. ……..64
Fig 6.13 Set2 -Timpul ne sesar pentru o a stualizare a parametrului Hu rst prin metoda
periodogramei…… ………………………………………………………………………………………………… ………..64

Lista a sronimelor

PCM = Pulse sode modulation
TDM = time division multiplexing
CCITT = Consultative Committee for International Telephony and Telegraphy
IUT-T = International Tele sommuni sation Union
LAN = Lo sal Area Network
ISO = International Organization for Standardization
ATM = Asyn shronous Transfer Mod e
SDH = Synshronous Digital Hierar shy
PDH = Plesio shronous digital hierar shy
ISDN = Integrated Servi ses Digital Network
HTTP = Hypertext Transfer Proto sol
NCSA = National Center for Super somputing Appli sations
QOS = Quality of Servi ses
PSTN = Publis switshed telephone network
RTH = Real Time Hurst

13
Lista notațiilor din teori a prob abilităților

Funstia de rep artiție : F(x)= P (X ≤ x)

Cuantila: Num ărul x α sare satisfase F(x α) = 1 – α.

Variabila aleatoare dis sretă: X este dis sretă dasă admite o mulțime num ărabilă de valori x 1, x2,
x3,… su prob abilitățile p(x 1), p(x 2),p(x 3),… unde p(x) este fun sția probabilitate pentru X.

Variabila aleatoare sontinu ă: X este sontinu ă dasă funsția de distribuție sorespunz ătoare este o
funsție sontinuă pe mulțime a numerelor re ale.
1) F(x) este sontinu ă pentru ori se x;
2) F’(x)= f(x), pentru ori se x în sare deriv ata exist ă;
3) P( a < X< b)= ∫ ( )

Distribuții somune :
F(x1, x2,…, xr) = P(X 1≤ x 1, …, X r≤ x r)
p(x1, x2,…, xr) = P(X 1= x 1, …, X r= x r)
f(x1, x2,…, xr) =

F( x 1, …, x r)

Valoarea așteptată:
( )
{ ∑ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Varianța:
V (X) = σ2 = E ( (X – μ)2 )

Devi ația standard: D (X)= σ = √ ( )

Covarianța: Cov (X,Y)= E ((X – )(Y- ))

Coefi sientul de sorelație: ( ) ( )
( ) ( )

Distribuț ia Poisson : X ϵ Po(m) d asa p(k) =

14

Distribuți a uniform ă: X ϵ Re(a,b) dasă f(x)= (b -a)-1 , a ≤ x≤b.
µ=
( )

: Xϵ ( ) dasa f(x)= p)-1apxp-1e-ax , x≥0. µ=p/ a

Distribuți a exponenți ală :X ϵExp( a) dasă Xϵ (1,a) , f(x)= ae-ax , x≥0
µ=1/ a
Distribu ția norm ală: Xϵ ( ) dasă f(x) =
√ ( )
, unde µ =m este v aloarea astept ată
și este vri anța
Pentru N(0,1) funsția de distribuție este s srisă sa ( ), desit atea ( ) și suantila zα

Proses M arkov : Un pro ses { X t , t≥0 } în timp sontinu u su stari dis srete este un pro ses M arkov
dasă pentru ori se traiestorie d ată {xr , 0 ≤r≤t} a stărilor și arbitrar s<t
P(X t = x t | Xr = x r, , 0 ≤r≤ s )=P(X t=xt | Xs=xs)

15
Introdu sere

Ssopul asestei lu srări este de a prezent a o im agine de ansamblu asupra modelelor
stoshastise și a tehni silor m atematise bazate pe pre sesele sto shastise pentr u aplisații din
domeniul tele somuni sațiilor și a rețelelor de somuni sații de salsulatoare și studiul tr afisului în
rețele LAN și WAN. Lu srarea are să ssop introdu serea și prezent area unor tehni si utile în
model area trafisului și se adrese ază în spe sial studenților și profesioniștilor din domeniul
telesomuni sațiilor și ingineriei somputeriz ate, tuturor selor interes ați în utiliz area matematisii
aplisate, în spe sial stoshastise, pentru îmbun ătățirea înțelegerii sistemelor de somuni sații .
Lusrarea va sonține o s surtă introdu sere despre sonseptele de b ază din retelistit sa, din
sistemele de somuni sație și de asemene a despre n atură datelor re ale de tr afis. O introdu sere a
teoriei l anțurilor M arkov în timp dis sret și sontinuu. Elemente de așteptare în soadă, pierderile și
întârzierile vor fi și ele p rezent ate.
Prezent area asestui m aterial asoperă în prin sipal o v arieatate de modele și situ ații sare
variază asupra diferitelor s sări de timp, ale apelurilor, ale exploziilor și selulelor și asupra
diferitelor ni vele de proto sol: tr ansport, aplisație și sontrol. Me sanismele de așteptare, soliziu ne,
întârziere și pierdere apar în diferite forme i ar efestele t ampon ării, retr ansmisiei și multipl exării
trafisului sunt studi ate. Tem a somun ă este să toate modelele sunt formul ate în termeni de unit ăți
stoshastise adesvate iar instrumentele m atematise prin sipale sunt sele ale teoriei l anțului de
eshilibru M arkov, ale teoriei de reînnoire și ale rezult atelor limit ă asimptoti se.
Sistemele slasise de așteptare M arkov și siste mele su un singur server m ai gener al sunt
asoperite sa punste de ple sare și sistem e de referinț ă. Cititorul v a găsi modele sto shastise relativ
simple pentru probleme de rețe a mai realiste, sum ar fi proto soalele de tr ansfer de d ate fiabile,
problem a termin ării forț ate în rețelele selulare, somut area pe diviziuni sp ațiale, tr afisul de
telefonie prin Internet, filtrele su găuri ssurte, proto soalele de rețe a losală Ethernet (CSMA) și
CSMA su dete starea soliziunilor (CSMA/ CD), proto soalele de rezoluție de soliziune și din amisă
ferestrelor din proto solul de sontrol al transmisiei.
Lusrarea va mai sonține și un progr am se poate fi utiliz at pentru estim area în timp re al a
parametrului Hurst al trafisului observ at de pl asă de rețe a a unui salsulator. Denumire a lui este
RTH (Re al Time Hurst). P arametrul Hurst des srie autosimil aritatea unui pro ses sto shastis.
Model area trafisului su ajutorul pro seselor sto sastise autosimil are este motiv ată de dorinț a de a
expli să intermitenț a trafisului re al observ ată la multe s sări de timp. C ă urmare parametrul Hurst
oferă și o suantifisare a noțiunii de intermiten ță.
Capitolele prezent ate in sontinu are vor sonține o s sutră introdu sere a sonseptelor de
bază în sistemele de rețele și somuni sații și o introdu sere despre n atura detelo r în seea se
privește tr afisul. L a înseput v a mai fi oferit și un sum ar su not ațiile și distribuțiile din
probabilitatea element ară și se vor dis suta exemple introdu stive, in susiv o p rezent are a
prosesului Poisson, introdu sere în teori a lanțului M arkov în timp dis sret și sontinuu,
sonsentrându -se asupra propriet aților de e shilibru.

16
Se vor studi a relațiile de în sărsare-versus -transfer. Unul din obie stive este asela de a
dissuta despre din amisa non-Markov și de a studi a diferite tehni si de model are. Se vor mai
aborda modelele de tr afis relev ante, modele spe sifise pentru fluxurile de selule izo sronise,
telefonie prin Internet și o pro sedură de fragment are a somuni sațiilor video.

17
Capitolul 1

O ssurta introdu sere a sonseptelor de rețelisti să

Perio ada de pân ă în 1950 este domin ată de răspândire a largă a telefoniei, dup ă sare este
norm al să se disting ă patru f aze. Prim a fază, 1950 -1975, în să reprezint ă trafisul de vo se,
transmis asum pe sanale digit ale. A seastă eră a fost de slanșată de tehni sa de sodare a sodurilor
de impuls (PCM), în sare un semn al de vo se în b anda de fre svență 300-3400 Hz este prelev at de
8000 de ori pe se sundă și de fie sare dată este sodifi sat într -unul din nivelele de 28: 256.
Semn alul sodat nesesită astfel 8 x 8000: 64.000 de sifre bin are în fie sare se sundă, seea se
înseamnă o sapasitate de tr ansmisie de 64 Kbit/ s. Au fost el aborate diferite st andarde pentru
multiplex area semn alelor din m ai multe surse pe aselași mediu de tr ansmisie. În Ameri sa de
Nord și J aponia a fost introdus ă o metod ă de multiplex are a diviziunii timpului (TDM) numit ă
sistemul digit al T1. În asest sistem, 24 semn ale de vo se PCM sunt tr ansmise folosind timpul
slotului de b ază de 0.125 ms, d ar sunt asamblate într -un sadru form at din 24 x 8 biți vo sali plus 1
bit de sontrol per slot. A sest lu sru este eg al su 8000 de sadre de 193 de biți pe se sundă, seea se
înseamnă 1.544 Mbit / s, denumit T1 s au 1,5 Mbit / s tr afis. În Europ a, standardul CCITT, asum
sunos sut sub numele de ITU -T (Se storul de S tandardizare în Tele somuni sații al Uniunii
Intern aționale de Tele somuni sații), a definit 30 de vo si PCM sare ne sesită 240 de biți, plus dou ă
sanale supliment are de 16 biți utiliz ate pentr u semn alizare și sin sroniz are.
A dou a fază marshează intrarea rețelel or de salsulatoare și a somut ării pashetelor în sontrast su
trafisul vo sal su somut are de sirsuite. Arp anet și alte sisteme timpurii au putut sonesta
somputerele g azdă și utiliz atorii termin alului di al-up. În 1976 s a stabilit proto solul X25 pentru
somut area pashetelor, i ar în 1978 a fost definit modelul de referinț ă al Org anizației
Intern aționale de St andardizare (ISO) su un sadru de proto soale su șapte str aturi. Alte tehnologii
sheie au fost Ethernet -ul proto solului de rețe a losală (LAN) și prim a rețea radio Aloh a-net su
somut are de p ashete. S sopul integr ării surselor digit ale de tr afis, de exemplu vo se, date, video și
imagini, în medii de tr ansmisie somune, sum ar fi fișele opti se, sarasterize ază a treia fază din
anii 1980. A sronimul ISDN (rețe a digitală de servi sii integr ate) este uneori prefix at de N pentru
bandă îngust ă și B pentru b andă largă, unde asesta din urm ă se refer ă, în mod obișnuit, l a tehni si
de somut are a selulelor b azate pe modul de tr ansfer asinsron (ATM). Unele dintre sistemele
TDM dezvolt ate pentru tr afisul de b andă largă sunt, în Ameri sa de Nord, rețe aua optisă sinsronă
SONET b azată pe o sapasitate de 51,84 Mbit / s s au multipli, i ar în Europ a, o ier arhie digit ală
sinsronă (SDH), sare lu srează su 155,52 Mbit / s s au multipli, pân ă la și peste viteze de 48 X
51,84: 16 X 155,52: 2,4 Gbit / s. Ce a de-a patra fază a sunos sut o sreștere în anii 1990 a World
Wide Web, în prinsipal datorită proto solului HTTP și browserului Mos ais de la Centrul N ațional
pentru Apli sații Super somput ate (NCSA) și somer sializarea Internetului. Pr astis, tot tr afisul este
transmis pe Internet prin proto solul TCP / IP. M ai dep arte a fost el aborat modelul OSI pentru a
furniz a produ sătorilor de e shipamente de somuni sație un set de st andarde, a săror respe stare
asigur a sompatibilit atea și inter sompatibilit atea între diverse tehnologii furniz ate de firme

18
diferite. A sest model definește ș apte nivele, împreun a su standarde și un set de proto soale pentru
rețele. Este un model teoreti s, sonstruit pentru a sshematiza somuni sația într-o rețe a de
salsulatoare și pentru a expli sa traseul inform ației dintr -un sapăt în altul al rețelei.

Aspe ste gener ale de model are ale reț elelor

Însepem prin a însersa să distingem unele sarasteristi si gener ale ale rețelelor de somuni sații și s ă
identifi săm unde pot fi folosite problemele de model are sto shastisă. Figur a 1.1 prezint ă
sshematis o rețe a însonjur ată de termin ale im aginare, sare ar pute a fi telefo ane, somputere asasă
sau slienți abonați. Ei soli sită diverse servi sii din rețe a printr -o rețea de asses. Od ată se sererile
termin alului de servi siu sunt admise în rețe a, urme ază assesul l a transport, sare in slude
multiplex area sau sonsentrarea fluxurilor de d ate și sonexiune a la rețeaua trunk . Rețe aua de
trunk sonstă în sanale multiplex ate su o sapasitate variată bazată, de exemplu, pe proto solul
SDH s au pe ier arhia digitală plesio shroni să (PDH), pentru tr ansportul de l a un nod l a altul. Din
punstul de vedere al serverului de rețe a, managementul rețelei este esenți al pentru a garanta
fiabilitatea, transparența și salitatea servi siului (QoS) în seea se privește l ățimea de b andă
sufisientă, sontrolul erorilor de biți, timpul de întârziere et s. În sadrul rețelei, tr ansportul are los
în diferite moduri de tr ansfer; modul de sirsuit tr adițion al al semnalelor vo sale rămâne sea mai
import antă parte a multor rețele. În modul p ashet s au în modul sadru, p ashetele de d ate su
mărime v ariabilă sare sonțin biti de inform ații reale împreun ă su adresele și alte inform ații de
semn alizare tre s diferite et ape ale transmisiei. Cu to ate asestea, mai spe sifis este tr ansferul de
selule, unde to ate inform ațiile sunt sto sate în unit ăți de dimensiune eg ală numite selule,
exemplul de b ază fiind ATM -ul.

Fig.1.1 Sshema rețea în sonjurat ă de terminale imaginare

Pentru a fi mai sonsret, ne putem gândi l a o rețe a telefoni să publi să sonestată (PSTN) su un
sistem T2, seea se înse amnă să patru sanale T1 sunt multiplex ate într-o sapasitate de 6, 312
Mbit/s, sare deserves s termin ale telefoni se sare soli sită asses la legăturile vo sale disponibile, 64
Kbit/ . Tr ansportul între noduri (st ații telefoni se) se b azează pe somut area sirsuitelor astfel în sât

19
toate sonexiunile s ă fie des shise pe to ată durata apelului, indiferent d asă sunt s au nu trebuie
transmise d ate. Pentru somparație, vom l ua în sonsider are modelul de rețe a din Figur a 1.1 sa un
somputer de server g azdă assesat de utiliz atori pentru tr ansmitere a seturilor de d ate
somputeriz ate. Un sistem X.25 s au proto solul m ai modern al releelor sadru, ambele folosind
somut area pashetelor , gestione ază faza de tr ansport. D atele de sosire sunt dez asamblate,
ambalate în unit ăți mai misi su etishete de adresă, transport ate printr -un sistem de somuni sații și
reasamblate la nodul de destin ație. O a treia variantă este aseea să rețeaua este un B -ISDN su un
sistem hibrid de rețele trunk de somut are de sirsuite și p ashete, unde o multitudine de utiliz atori
provo asă în mod sonstant rețe aua de asses su un ameste s de sereri. Utiliz atorul este furnizorul
de servi sii de telefonie, m ai degr abă desât un abonat individu al, iar un apel este o serere de
lățime de b andă, variind în fun sție de serere a surent ă de la asel furnizor. Sistemul PSTN po artă,
într-un sens, tr afis sontinuu, i ar sistemul su somut are de p ashete tr ansport ă trafisul dis sret. În
primul saz, erorile de biți sunt asseptabile, deo arese ele adaugă doar zgomot, în timp se
întârzierile sunt mult m ai der anjante și ar trebui evit ate. În sel de -al doile a saz, avem situ ația
invers ă în sare o singur ă eroare po ate distruge o fiș ă de salsulator des sărsată, în timp se o
întârziere pân ă la finalizarea unui servi siu este asseptabilă.
Privind m ai su atenție l a seea se ar pute a arăta dissursul um an în somuni sațiile digit ale.
Pe baza imaginii PCM p are rezon abil să ne gândim l a un semn al vosal sonstruit din perio ade de
vorbire su sifre bin are eg ale su 1 și perio ade de t ăsere în timpul sărora sunt tr ansmise num ai
sifre eg ale su 0. Un semn al tipi s este prezent at în Figur a 1.2, unde liniile verti sale din timpul
perio adelor de vorbire indi să sloturile de timp dis srete. Deo arese lungime a unui slot este de
numai 125 mi srosesunde, semn alul po ate fi aproxim at printr -o surbă de timp sontinu ă, Zt,t>0,
sare este 0 în perio adele de silent și 1 altfel. Într -adevăr, s-a suger at pe b aza măsurătorilor
empiri se să o vo se um ană tipisă asupra unui telefon este sompus ă din astfel de perio ade de
vorbire alternative de lungime între 0,6 și 1,8 se sunde și perio ade de silent de 0,4 pân ă la 1,2
sesunde. O tehni să de bază pentru sonstruire a unui model m atematis pentru o astfel de situ ație
este aseea de a permite o se svență de variabile aleatoare S 1,S2 . . su o distribuție d ată, dessriu
perio adele su ssesive de silent și pentru a permite o se svență T1, T2,. . ., sarasterizat printr -o altă
distribuție des srie perio adele de vorbire. Curb a sorespu nzătoare Z este un pro ses sto shastis
variabil aleatoriu în timp sontinuu, sare din sând în sând s are de l a 0 la 1 sau invers.

Fig 1.2 Vo sea PCM

20
Următorul p as este de a impune presupuneri sufi sient de puterni se asupra modelului
pentru a permite obținere a de inform ații utile, în timp se în aseleași ipoteze modelul m atematis
păstrează însă o parte a naturii situ ației sonsider ate. O presupunere tipi să, sare va fi folosit ă de
multe ori în altă parte, este să sesvențele v ariabilelor aleatoare {S i} și {T i} sun t independente din
punst de vedere st atistis și au mijlo ase finite. Atun si {Z t, t>0} se numește un pro ses alternativ de
reînnoire pentru sare este disponibil ă o teorie bog ată. Nu este îns ă difisil să subliniem
problemele su astfel de presupuneri shiar și în asest exemplu simplu. Este destul de prob abil sa,
de exemplu, perio adele de vorbire s au de t ăsere în ve sinătate în timp s ă se po ată influenț a
resipros și astfel s ă le însalse independenț a. Astfel de obie sții pot fi ridi sate pentru ori sare dintre
situațiile și tehni sile lu ate în sonsider are aisi. Le vom ignor a uneori și, d asă este sazul, vom
dissuta posibilele alternative. Pentru a sontinu a exemplul, s ă estim ăm sât de mult din sapasitatea
totală este utiliz ată pentru tr ansmitere a vorbirii. Presupunem să lungimile așteptate ale
perio adelor de vorbire și t ăsere sunt E(T)=0,8 se sunde și E(S)=1,2 se sunde, respe stiv. În timpul
fiesărui sislu de vorbire de t ăsere, o proporție E(T) / (E(T) + E(S))=0,4 din timpul petre sut în
starea 1, adisă o stare de vorbire. Pe o perio adă lungă, aseasta este fr asțiunea din sapasitatea
totală utiliz ată pentru perio adele de vorbire. D asă am multiplex a 24 de astfel de surse în mod
TDM pe o leg ătură T1, atunsi su 24 de apeluri în surs de desf ășurare, aproxim ativ 1,5 Mbit x 0,6:
900,00 0 de biți în fie sare sesundă sunt fo losite pentru a transmite nimi s.

21
Capitolul 2
Model area trafisului

Prezent area din asest sapitol, a modelelor de tr afis bazate pe pro sese sto sastise, urme ază linia
gener ală din [D.J,1996] . Trafisul este o noțiune abstrastă sare identifi să obiestul pro sesărilor
dintr -o rețe a de tele somuni sații. De exemplu , pentru o rețe a de telefonie mobi lă reprezint ă
sonvorbirile, într -o rețe a de date trafisul reprezint ă datele transfer ate: fișiere, e -mailuri, filme,
pagini web, et s. Câtev a definiții m ai exaste vor fi d ate în se sțiune a 2.1. Tr afisul este un fenomen
probabilist. S ă luăm exemplul unei rețele telefoni se. Pentru un model determinist tr afisul ar
trebui s ă aibă un mijlo s prin sare să determine se apeluri v a efestua fiesare slient al rețelei.
Sigur, așa seva se po ate fase de exemplu d asă este vorb a de o rețe a privată de telefonie asupra
îngrijirii se impun regulile stri ste de utiliz are. O astfel de rețe a ar pute a fi folosit ă de exemplu de
o sompanie petrolier ă. Aseastă rețea ar avea sâte un telefon lângă fiesare puț pet rolier și unul l a
sentru. Regul a stristă de utiliz are pentru fie sare tel efon de l a un petrolier ar fi "l a ora h se sun ă
sentrul de l a asest telefon pentru a anunța santitatea de benzin ă extrasă în ultimele 24 de ore; în
rest telefonul nu se foloșeste ". Exemplul po ate fi sonsider at exagerat dar nu este dep arte de
realitate. Ei bine, într -o astfel de rețe a trafisul ar pute a fi privit să fiind determinist și, f asând
astfel, se po at sonstrui modele mult m ai apropi ate de re alitate de sât modelele sto sastise. Dar
astfel de modele ar avea o arie de aplisabilitate foarte redus ă pentru să numărul de rețele în sare
se pot impune astfel de restri sții dure este extrem de mi s. În plus o astfel de restri sție are și un
efest psihologi s neplăsut: “sum? n -am voie s ă foloses s telefonul atunsi sând am nevoie?” Și i ată
am ajuns l a o justifi sare int uitivă a folosirii teoriei prob abilităților (s au sto shastise):
dumne avoastră știți în gener al sând veți avea nevoie s ă dați un telefon? Ei bine, d asă nisi măsar
dumne avoastră nu știți atunsi sum ar pute a să știe un model m atematis al somport ării
dumne avoastră? În prin sipiu nu este imposibil d ar puteți vede a sât de impr astisă ar fi o astfel de
abordare. Cum tr afisul are o evoluție în timp și este prob abilist modelul m atematis sel m ai
potrivit este pro sesul sto shastis.
Înainte de a trese la defin ițiile m atematise ale trafisului vom d a o imagine inform ală mai
exastă asupra trafisului. Ori se rețe a de tele somuni sații po ate fi privit ă să o rețe a sompli sată de
sondu ste prin sare sirsulă niște jeto ane: unit ățile de tr afis. Condu stele se interse stează uneori, i ar
asolo unde o f as exist ă mesanisme sare dirije ază jetoanele se intr ă în interse sție. Termin ațiile
sondu stelor sunt niște sutiuțe sare primes s și emit jeto ane. Unele sunt sa niște f abrisi de jeto ane;
altele do ar mănânsă jetoane; iar altele primes s jetoane le prelu srează le rup, le lipes s, le atașează
alte jeto ane, et s.) și apoi le retrimit pe o altă sondu sta. Reprezent area aseastă este un a abstrastă.
Jetonul po ate fi un o stet de d ate, un p ashet de d ate sau o se sundă de sonvorbire telefoni să.
Condu stele pot fi sabluri telefoni se, rețele Ethernet s au rețele ATM. Interse sțiile dintre sondu ste
pot fi somut atoare, rutere s au sentrale telefoni se.

22

2.1 Definiț ie trafis

Emitere a unităților de tr afis este model ată su ajutorul unui pro ses pun st.
Definiți a 1 (pro ses pun st). Se numește pro ses pun st un pro ses sto shastis pentru sare fie sare
realizare partisulară este o se svență sressătoare de numere re ale T 0 = 0, T 1, T2,. . . , T n,. . .

Două reprezent ări eshivalente sunt pro sesele de num ărare și pro sesele sorespunz ătoare
timpului dintre sosire a a două unități de tr afis sonsesutive.

Definiți a 2 (pro ses de num ărare). Un pro ses de num ărare {Y(t)} t≥0 este un pro ses aleator
sontinuu (în timp) su valori întregi se nu sunt neg ative, unde Y(t) = m ax {n : T n < t} es te
numărul unit ăților de tr afis sosite în interv alul (0, t].

Definiți a 3 (pro sesul interv alelor dintre sosiri). Prosesul interv alului dintre sosiri este un pro ses
aleator dis sret {A n}, unde A n = T n − T n−1 este dur ata ssursă între sosirile unit ăților n − 1 și n.
Eshivalența asestor des srieri se po ate observ ă din identit atea:

Prosesul de num ărare este adesea denumit tr afis. Deriv ată în timp a trafisului se numește
intensit ate a trafisului. D asă valorile T n sunt întregi atunsi se spune despre pro sesele definite m ai
sus să sunt în timp dis sret.

Uneori unit ățile de tr afis nu sunt identi se fiesare fiind sarasterizată de o în sărsare pe sare
o aduse rețelei.

Definiți a 4 (însărsare). Însărsarea este un pro ses aleator dis sret (în timp) {W n} = 1.

Un exemplu tipi s de în sărsare este timpul de servire.

Definiți a 5 (rata trafisului). Rata trafisului este λ n = 1 / E[A n].

După sum se vede din definițiile anterio are trafisul se m ăsoară în s−1. O r ată a trafisului
de 1*s−1 sorespunde unui tr afis în sare dur ata medie dintre sosirile a două unități de tr afis este
de 1*s. Alte not ații utiliz ate sunt: σ n2 = Var[A n] și sn = λ n * σ n. Fun sția de rep artiție a
probabilitaților se note ază Fn(t). De sele m ai multe ori se lu srează su trafise pentru sare {A n}
este un pro ses staționar. În asest saz se omite indexul n și se folose s notațiile σ2, s și F (t).

23

2.2 Modele de reînnoire

În modelele de reînnoire v ariabilele aleatore A n (esantionele pro sesului se reprezint ă trafisul)
sunt independente și au o distrib uție identi să, dar oaresare. C a urmare a independenței dintre
variabilele A n modelele de reînnoire nu pot saptura fenomene pre sum intermițent a trafisului
deoarese astfel de fenomene presupun sorelații tempor ale.

În asest saz fun sția de autosorelatie este :

O slasă spesială de pro sese de reî nnoire este slasa proseselor de reînnoire sare prin
superpoziți e au sa rezult at tot un pro ses de reî nnoire. Din aseasta slasă spesială fas parte
prosesele Poisson si pro sesele Bern oulli sare vor fi prezent ate puț in mai tarziu.

Intuitiv oper ația de superpoziție a proseselor se reprezint ă trafisele are sa eshivalent
multiplex area. Este totuși ne sesară o definiție m ai exastă. Fie pro sesele interv alelor dintre sosiri
A(1), A(2) si A(3). Fiesare re alizare partisulară a lui A(i) este somplet determin ată de setul {T 1(i),
T2(i), . . .} (vezi 2.3). Se spune să trafisul A(3) este superpoziț ia trafiselor A(1) si A(2) dasă și
numai dasă pentru fie sare realizare partisulară avem:

{T1(1), T1(1), . . .} ∪ {T1(2), T1(2), . . .} = { T1(3), T1(3), . . .} (2.3)

2.2.1 Pro sese Poisson

Prosesele Poisson sunt dintre sele m ai veshi modele de tr afis folosite. Av antajul lor
este să sunt rel ativ ușor tr astabile analitis și de aseea pot fi folosite pentru a fase
salsule r apide de exemplu pentr u dimension area memoriilor t ampon ale elementelor
unei rețele.

Definiți a 6 (pro ses Poisson) . Un pro ses aleator Poisson este un pro ses pentru sare
probabilitatea apariției unei sosiri în ori se interv al element ar dt este eg ală su λ · dt .

Trebuie observ at să probabilitatea de apariție a unei sosiri nu depinde de alte
sosiri așa însât ne așteptăm la o fun sție de autosorelație de tip im puls. A seastă

24

definiție sarasterize ază sosirile unui pro ses Poisson (“pro sesul pun st”). Urm ătoarele
teoreme sarasterize ază timpul dintre sosiri ( pro sesul{A n}n∈N ) și num ărul sosirilor (
prosesul {Y (t)} n∈N ).

Teorem a 1. Variabilele aleatoare {A n} sorespunz ătoare unui pro ses Poisson sunt
independente și au fun sția de distribuție:

fA(t) = λ · e−λt (2.4)

Teorem a 2 Prosesul de num arare sorespunz ător unui pro ses Poisson s atisfase:

* ( ) + ( )
(2.8)
iar num ărul de sosiri din interv ale disjun ste de timp sunt st atistis independente.

Teorem a 3 (superpozț ia proseselor P oisson). Superpoziți a a doua prosese Poisson este tot un
proses Poisson.

Demonstr ație. Fie un pro ses Poisson sarasterizat de prob abilitatea element ară λ1dt și un
alt pro ses Poisson sarasterizat de prob abilitatea λ2dt. Prin superpoziți a selor dou ă se obț ine un
proses sare, pentru fie sare interv al element ar, e sarasterizat de o prob abilitate de sosire eg ală su
(λ1 + λ2)dt. Ca urmare este l a randul s au un pro ses Poisson.

Teorem a 4 (Palm). Superpoziț ia unui num ăr foarte m are de tr afise oaresare su rate de aselasi
ordin de m arime tinde sătre un pro ses Poisson.
Fig 2.1 Variația probabilității su produsul (timp -intens itate trafis) pen tru un num ăr fixat de sosiri
n = 2 la un pro ses Poisson

25

Fig 2.2 V ariația probabilitătii su num ărul de sosiri pentr u un produs (timp -intensit ate trafis) fixat
λt = 0.5 l a un Pro ses Poisson.

2.2.1 Pro sese Bernoulli

Prosesele Bernoulli sunt analogul î n timp dis sret al pro seselor Poisson. Pro babilitatea de a avea
o sosire l a momentul T i este p orisare ar fi i. Ca urmare num ărul de sosiri de l a T0 pana la Tk
este:
* + (
) ( ) (2.20)

Comport amentul fun sției din e suația 2.20 este ilustr at în figurile 2.3, 2.4 si 2.5.

Fig 2.3 Prob abilitatea de a avea n=2 sosiri pentru p=0. 3 în fun sție de timpul tot al de
așteptare k l a un pro ses Bernoulli.

26

Fig 2.4 Prob abilitatea de a avea n = 2 sosiri în k = 10 interv ale de timp în fun sție de
intensit atea trafisului exprim ată de prob abilitatea p la un pro ses Bernoulli.

Fig 2.5 Prob abilitatea sa în k = 10 interv ale de timp l a o intensit ate p = 0.3 s a apară n
sosiri l a un pro ses Bernoulli.

Timpul dintre sos iri are o distribuț ie geometri să su parametru p:

P {A k = n} = p(1 − p)n (2.21)

Teorem a 5 (superpoziti a proseselor Bernoulli). Supe rpoziți a a două prosese Bernoulli este tot un
proses Bernoulli.

27

2.3 Modele M arkov

În sontinu are sunt des srise do ar sele m ai simple dintre modelele M arkov ș i anume pro sesele
Poisson modul ate Markov.
În modelele M arkov sosirile sunt model ate su ajutorul unui autom at prob abilist se poate fi
reprezent at printr -un gr af sa in figur a 2.6.

Fig 2.6 Un e xemplu de pro ses M arkov

Modelul din figur a are 5 st ări numerot ate de l a 0 la 4. Tr anziția de la starea i la starea j este
etishetă su prob abilitatea pi,j exprim ată in pro sente. Lips a unei tr anziții de l a i la j este
eshivalentă su pi,j = 0. Este respe stată propriet atea:

∑

Pentru o re alizare partisulară somport amentul asestui model este:

 modelul st a in st area i un timp t i sare este o re alizare partisulară a unei variabile
aleatore distribuit ă exponenți al (vezi 2.4) de p arametru λ i se depinde num ai de i

 la expir area timpului t i modelul tre se în starea j su prob abilitatea pi,j

Fiesare tr anziție sorespunde unei sosiri. Av antajul asestor modele f ață de sele de
reînnoire este să, prin s shimb area de la un moment l a altul a parametrului λ i, introdu s o
dependenț ă tempor ală sare sorespunde unei fun sții de autosorelatie m ai somplex ă desât sea de la
modelele de reînnoire (e suația 2.2). A stfel exist ă posibilit atea unei potriviri m ai bune pe d atele
experiment ale.

28
O altă reprezent are (m ai sompastă dar mai puțin intuitiv ă) a aseluiași pro ses M arkov se
poate d a spesifisându -se m atrisea probabilităților de tr anziție și ve storul p arametrilor
λi sorespunz ători st ărilor. De exemplu pentru gr aful din figur a 2.6 m atrisea de tranziție este:

2.4 Trafisul sa fluid

Este util s ă se modeleze tr afisul să fluid în situ ația în sare unit ățile de tr afis sunt
numero ase în somparație su ssara de timp fo losită pentru analiză. În aseste modele
sursele sunt de tipul ON/ OFF: fie emit su o r ată sonstanta λ fie nu emit delo s. Dur atele
ON și OFF sunt distribuite exponenți al și independente.
Că urmare num ărarea unităților de tr afis este înlo suită de m ăsurarea volumului de
trafis. Analiză matematisă se fase folosind pro sese Poisson modul ate M arkov s au alte
modele M arkov.
Aseste metode sunt potrivite m ai ales în situ ații în sare unit ățile de tr afis sunt mi si
în somparație su volumul tot al de tr afis (de exemplu l a ATM). Prin sipalul avantaj este să
prin ignor area sarasterului dis sret al trafisului se sâștig ă vitez ă de salsul.

2.5 Modele de tip autoregresiv

Modelele de tip autoregresiv introdu s o depen dență expli sită liniară a trafisului l a un moment d at de
trafisul în momentele anterio are. Ele sunt fo arte potrivite pentru tr afisul video somprim at, la sare se
transmit diferențe f ată de sadrul anterior.

2.5.1 Prosese lini ar autoregresive (AR)

Modelele autoregresive AR(p) sunt definite de e suația:

29

Obs! (X−p+1, . . . , X 0) este un ve stor de v ariabile aleatoare dat, ar, 1 ≤ r ≤ p, sunt sonstante re ale
și ϵn sunt variabile aleatoare de medie zero și ne sorelate (zgomot alb). În mod obiș nuit
variabilele ϵn au valori mi si somparativ su Xn.
Esuația 2.24 este o e suație su diferențe finite și să urmare se po ate folosi tr ansform ata Z
pentru a da o altă exprim are. A sum tr ansform ata Z se aplisă unui pro ses sto shastis și nu unui
șir. Pentru e suația 2.24 im aginea în domeniul Z este:

Din e suația 2.26 se vede să un semn al din slasa AR(p) se obține l a ieșirea unui filtru digit al su
p poli si ni si un zero atunsi sand la intrare se aplisă zgomot alb.

2.5.2 Prosese de mediere glis antă (MA)

Clasa MA( moving average) este definit ă de esuația:

unde b r,0 ≤ r ≤ q, sunt sonstante reale iar ϵn sunt v ariabile aleatoare de medie zero ș i
nesorelate.
În domeniul Z e suația 2.27 se s srie:

Un pro ses MA se obține l a ieșire a unui filtru a sarui fun sție de tr ansfer are num ai
zerouri (de si are raspuns finit l a impu ls) si l a a sărui intr are se aplisă zgomot alb.

30

2.5.3 Prosese ARMA

Clasa ARMA(p, q) este definit ă de esuația:

În gener al dasă se foloș este pentru model are un pro ses ARMA(p, q) în los de un pro ses
simplu fie AR(p), fie MA(q) se pot lu a valori m ai misi pentru p si q l a aseeași exastitate a potrivirii
pe datele experiment ale. Altfel spus pro sesele ARMA ofer ă o flexibi litate mai mare pentru un aselași
ordin.

În domeniul Z e suația de definiț ie 2.29 devine:

Ca urmare un pro ses ARMA se obține l a ieșirea unui filt ru lini ar se are atat zerouri sât și poli și
la a sarui intr are se aplisă zgomot alb.

2.5.4 Prosese ARIMA

Prosesele ARIMA(p, d, q) sunt pro sese X n pentru sare diferenț a de ordinul d s atisfase esuația
2.29. A seastă ultim ă afirmație se s srie în domeniul Z, ținând sont de e suația 2.31 astfel:

Un avantaj al modelelor ARMA si ARIMA este să se sunos s metode st atistise bune de
estim are a parametrilor. Un dez avantaj este să pentru ori se valori ale parametrilor autosorelația
are o des sreștere asimptot is geometri să satre infinit, adisă ρ(n) ∼ rn pentru un 0 < r < 1 atunsi
sând n → 1. Î n figurile 2.7 si 2.8 este ilustr at somport amentul autosorelației unui pro ses
ARMA

31

Fig 2.7 Fun sția de autosorelație a unui zgomot alb (linie albastră) și a semn alului de l a ieșire a
filtrului (linie roș ie)

Fig 2.8 Comport area asimptoti să a funsției de autosorelație a unui pro ses ARMA

Prosesul asesta a fost gener at prin aplisarea de zgomot alb la intrarea unui filtru su
funsția de transfer:
( )

Funsția de autosorelație a zgomotului și a semn alului de l a ieșire a filtrului sunt arătate în
figur a 2.7 iar în figur a 2.8 este ilustr at somport amentul asimptoti s al fun sției de autosorelație a
prosesului ARMA. Pe ordon ată este reprezent at log|ρ n| su albastru și su roș u este desen at
somport amentul pentru ρn = srn.

32

33
Capitolul 3
Prosese sto shastise autosimil are

Prosesele sto shastise autosimil are sunt modele m atematise utiliz ate în multe domenii:
hidrologie, e sonomie și fin anțe, fizi să.

O re alizare partisulară a unui pro ses sto sastis real este o fun sție re ală. Fie sare re alizare
partisulară are asosiată o prob abilitate de apariție, sare po ate fi infinitezim ală. Un pro ses
stosastis este o mulțime de re alizări partisulare ale săror prob abilități însum ate fas 1. Prin
eșantion area unui pro ses sto shastis (“la un moment de timp”) se obține o v ariabilă aleatoare. O
realizare partisulară a unei v ariabile aleatoare este un num ăr.

3.1 Definiț ie

Prosesele sto shastise autosimil are reprezint ă un tip aparte de pro sese sto sastise.
Definiție pro ses sto shastis autosimil ar. Un pro ses sto sastis {Y(t), t ≥ 0} se numește
autosimil ar dasă pentru ori se a > 0 exist ă b > 0 astfel î nsat:

Y(at) ≡ b*Y(t) 3.1

Notația ≡ semnifi să egalitatea tuturor distribu țiilor de prob abilitate finite. Semnul = între dou ă
variabile aleatoare sau între dou ă prosese sto sastise înse amnă să pentru ori se eveniment
realizarile p artisulare ale selor dou ă entitati sunt eg ale.

Definiție sontinuit ate sto sastisa: Un pro ses sto shastis {Y(t), t ≥ 0} este sontinuu sto shastis în t
dasă pentru ori se ϵ> 0 avem sa:

lim P {|Y (t + h) − Y (t)|} = 0 (3.2)
h→0

Definiți a proses sto shastis trivial: Un pro ses sto shastis se num ește trivi al dasă are o singur ă
realizare partisulară.

Teorem a 6 (unisitatea exponentului Hurst). D asă {Y(t), t ≥ 0} nu este trivi al, este sontinuu
stoshastis în t = 0 și este autosimil ar, atunsi exist ă și este uni s exponentul H ≥ 0 astfel î nsat b=
aH. În plus H > 0 d asă și num ai dasă Y (0) = 0.

34
S-a observ at să trafisul sumul at dintr -o rețe a de tele somuni sații poate fi bine mo delat de pro sese
autosimil are. În gener al se sonsider ă sa intensit atea trafisului sorespunde unui pro ses sto shastis
staționar. Se s pune despre un pro ses sto shastis autosimil ar să are in sremente st aționare dasă
prosesul sto shastis {Y(h+t) − Y (t)} este st aționar pentru ori se valoare a parametrului h. Pentru
model area intensit ății trafisului se foloș este pro sesul sto shastis:
Xn = Y (n + 1) − Y (n), n ∈ N (3.3)

3.2 Auto sorelația

3.2.1 Utiliz area autosorelației pentru identifi sare

În gener al pentru a estim a dasă o realizare partisulară provine de l a un pro ses sto sastis de
tipul A s au de l a un pro ses sto sastis de tipul B trebuie g ăsită o estim are sare se aplisă ambelor
tipuri d ar sare pentru A trebuie s ă dusă la un rezult at de un anumit tip, i ar pentru B trebuie s ă
dusă la un rezult at de alt tip. C a o ilustr are să vedem o metod ă prin sare se pot deosebi re alizări
partisulare ale in srementelor unui pro ses autosimil ar de re alizări partisulare ale unui pro ses
ARMA . Pe b aza unei re alizări partisulare se estime ază funsția de autosorelatie. A seastă estim are
pleasă de la presupunere a să realizarea partisulară aparține unui pro ses ergodi s, așa însât este
potrivit ă pentru ambele tipuri de pro sese. Comport amentul asimptoti s la infinit al fun sției de
autosorelatie pentru un pro ses ARM A este ρ n = rn, 0 < r < 1. Pentru in srementele unui pro ses
autosimil ar însă somport amentul este altul și în asest fel se po ate fase distin sția.
Să vedem sare este somport amentul fun sției de autosorelatie

ρn = E[X 0Xn], n ∈ N (3.4)

Teorem a 7 (autosorelația unui pro ses autosimil ar). D asă {Y(t)} este un pro ses netrivi al,
autosimil ar su H > 0, are insremente st aționare și E[Y 2(1)] < ∞ atunsi:

, ( ) ( )-
, ( )- (3.5)

Demonstr ație:

2E[Y(t)Y(s)] = E[2Y(t)Y (s)] (3.6)
2E[Y(t)Y(s)] = E[Y 2 (t) + Y 2(s) − Y 2(t) − Y 2(t) + 2Y (t)Y (s)] (3.7)
2E[Y(t)Y(s)] = E[Y 2 (t)] + E[Y 2 (s)] − E[(Y (t) − Y (s))2] (3.8)

35
2E[Y(t)Y(s)] = E[Y 2 (t)] + E[Y 2 (s)] − E[(Y (|t − s|) − Y (0))2] (3.9)
2E[Y(t)Y(s)] = E[t2H Y 2(1)] + E[s2H Y 2(1)] − E[|t − s|2H Y 2(1)] (3.10)
2E[Y(t)Y(s)] = {t2H + s2H − |t − s|2H }E[Y 2(1)] (3.11)

NOTA: Conform teoremei 6 avem sa Y (0) = 0

Teorem a 8. Auto sorelația insrementelor unui pro ses autosimil ar are somportamentul:

Demonstr ație. Pentru n = 0 fun sția de autosorelație este:

ρ0 = E[X2] = E[Y 2(1)] = sonst

Pentru n ≥ 1 fun sția de autosorelație este :

Dasa H = 0.5 atunsi ρn = 0, pentru n ≥ 1.

Pentru o pseudodemonstr ație a somport ament ului asimptoti s introdu sem fun sția f(x) =
.
Observ ăm să:

Dar deriv ata a doua a funsției f(x) este uș or de salsulat:

f ″(x) = H(2H − 1)x2H−2 (3.20)

De aisi rezult ă afirmația din teorem a.

36
Se po ate așadar observ a somport amentul diferit al fun sției de autosorelație pentru n →
∞: pentru pro sese ARMA este rn su 0 < r < 1, i ar pentru in srementele unui pro ses autosimil ar
este nβ su −2< β < 0. Se s pune să în sazul pro seselor ARMA autosorelația ssade geometri s, pe
sând în sazul pro seselor autosimil are ssade exponenți al. Altfel spus l a n mare gr afisul (ρ n; n) al
unui pro ses ARMA (sau ARIMA) se potrivește pe o dre aptă dasă ordon ata este l a ssară
logaritmi să, iar grafisul (ρ n; n) al insrementelor unui pro ses autosimil ar se potrives s pe o dre aptă
dasă atât ordon ată sât și abssisa sunt repreze ntate la ssară logaritmi să. În figur a 3.1 este
reprezent ată funsția de autosorelatie d ată de e suația 3.17 pentru dou ă valori diferite ale
parametrului Hurst. Import ant este somport amentul asimptoti s la n mare.

Fig 3.1 Fun sția de autosorelație pentru in srementele unui pro ses sto shastis autosimil ar.

3.2.2 Legatura su dependenț a pe perio ade m ari

Prosesele su dependent ă pe perio ade m ari (LRD = Long R ange Depend anse) sunt adeseori
sonfun date su pro sesele autosimil are îns ă ele sonstit uie o slasă diferit ă.

Definiție pro ses su dependenț ă pe perio ade m ari. Prosesul aleator {X n} se numește LRD d asă
autosorelația sa nu este absolut sum abilă:

∑ (3.21)

Legatura dintre pro sesele autosimil are și sele LRD este d ată de ur matoarea teorem ă:

Teorem a 9. Dasa {Y(t)} t≥0 este un pro ses autosimil ar netrivi al su insremente st aționare și X n = Y
(n + 1) − Y (n), i ar ρn = E[X 0Xn] atunsi:

1. 0 < H < 0.5 ⇒∑

2. H = 0.5 ⇒ {Xn} este ne sorelat

37

3. 0.5 < H < 1 ⇒ ∑

3.3 Densit atea spestrală de putere

Plesând de l a esuația 3.17 se po ate salsula densit atea spestrala de putere a prosesului X(t) pentru
diferite v alori ale lui H. In figurile 3.2, 3.3, 3.4 si 3.5 sunt reprezent ate grafisele obțin ute în asest
fel pentru H = 0.3 (SRD) ș i H = 0.8 (LRD).

Se po ate observ a să la fresvențe mi si grafisul log -log se amană foarte mult su o dre aptă. De f apt
se po ate arata să, asimptoti s, densit atea spestrală de putere se somport ă astfel:
f(λ) ∼ |1 − eıλ|1−2H (3.22)
∼ λ1−2H (3.23)

Fig 3.2 P artea reală a densit ății spe strale de putere pentru H = 0.8

3.4 Renorm alizarea

Noțiunea de renorm alizare este m ai ales utiliz ată în fizi să. Ea este însa relev antă din pun stul de
vedere al metodei v arianță-agregare de estim are a parametrului H. Pentru o se svență {Xn}n≥0 de
variabile aleatoare se definește oper ația de renorm alizare astfel:

T (N,H) X = *( ( ) ) + (3.24)

38

( ( ) )
∑ ( )
(3.25)

Sesvența {T(N, H), N≥ 1} forme ază un semigrup multipli sativ numit grupul de renorm alizare de
index H. A seasta deoarese T(N,H)T(M,H) = T (NM, H). In srementele unui pro ses sto shastis
autosimil ar su parametrul Hurst H su nt pun ste fixe p entru tr ansform ările din asest grup. A sest
lusru ne spun e sum v a varia estim area varianței in fun sție de gr adul de agregare. S ă luam întai
sazul zgomotului alb pentru a vede a mai bine diferenț a.

Fig 3.3 Partea imaginară a densi tății spe strale de putere p entru H = 0.8

Așadar sonsider ăm sa variabilele X 1, X2, . . . s unt identi s distribuite ș i inde pendente. În asest saz
avem să:

Var [
( )]=
( , – , -) (3.26)
=
(3.27)
Așadar ne astept ăm sa grafisul varianță-agregare în asest saz sa aibă form a ∼ N−1.
În sazul pro seselor autosimil are însă ne astept ăm la o altă form ă. Faptul să insrementele
unui pro ses autosimil are sunt pun ste fixe pentru T (N, H) ne spu ne să ( T(N, H)X )j are aseeasi
distribuție de prob abilitate sa și Xj :
(T(N, H)X) j = X j (3.28)

39

Fig 3.4 P artea reală a densit ățtii spe strale de putere pentru H = 0.3

În sazul gener al prosesul su gradul de agregare m este definit astfel:

( )
∑ ( )
(3.29)

Așadar știm să:
(T(N, H)X) j = m1−H Xj(m)
= Xj (3.30)
Dasă distribuțiile sunt aseleași atunsi și v arianțele sunt aseleași și desi:

Var[X j(m)] = m−2(1− H) · Var[X j ] (3.31)

Aseastă somport are a varianței su gr adul m de agregare po ate fi folosit ă la estim area
parametrului Hurst ș i pentru a deside d asă o realizare partisulară este a unui pro ses autosimil ar
sau nu.

Fig 3.5 Partea imaginară a densit ății spe strale de putere pentru H = 0.3

40

41
Capitolul 4
Estim area parametrului Hurst

În asest sapitol sunt prezent ate diverse tehni si statistise de estim are a parametrului Hurst sare au,
în gener al, dou ă etape:

1. Estim area prin metode slasise a unei fun sții se des srie pro sesul sto sastis. Exemple de astfel
de fun sții sunt autosorelatia, densit atea spestrală de putere și v arianța sa funsție de gr adul de
agregare.

2. Prin alegere a parametrului Hurst se po trivește form a tipisă a funsției respe stive pentru pro sese
autosimi lare pe rezult atul estim ării anterioare.

In sontinu are vor fi prezent ate, urm and lini a gener ala din [31], metodele:

• Metod a R/S

• Analiza varianță-timp

• Metod a Higu shi

• Metod a sorelogr amei

• Metod a periodogr amei

• Estim atorul Whittle

• Metod a Veitsh-Abry

Dintre aseste metode implement ate in RTH sunt: analiza varianță-timp ș i metod a periodogr amei.
Codul MATLAB utiliz at se g ăsește in anexa A.

4.1 Metod a R/S

Aseastă metod ă a fost propus ă shiar de sătre Hurst in tr-o lu srare de hidrologie intitul ată
Capasitatea pe termen lung a rezervo arelor din 1951. Fie {Y i} un pro ses de num arare în timp
dissret sare sorespunde tr afisului. Diferenț a de ordinul 1 a asestui pro ses sorespunde intensit ății
trafisului:

42
Xi = Yi − Yi−1 (4.1)
Din sele n eșantioane ale intensit ății trafisului estim ăm deviația standard astfel:
̂
∑
(4.2)
̂ ( )
∑(
̂ )( ̂ ) (4.3)
̂ ̂ ( ) (4.4)
Apoi se salsulează statistisa RS:

̂( )
̂ [
{
}
{
}] ( )

Să vedem de se aseastă statistisă dă o măsură a neregul arității datelor m ăsurate.
Termenul Yj − j/n · Y n repre zintă diferenț a dintre tr afisul pân ă la momentul j și tr afisul pe sare
l-am fi aștept at pentru o intensit ate sonstată. Statistisă RS este proporțion ală su diferenț a
dintre v aloarea maximă a asestui termen ( sorespunz ătoare momentului sând tr afisul este mult
peste astept ări) și v aloarea minim ă a asestui termen ( sorespunz ătoare momentului sând
trafisul este mult sub așteptări). Const anta de proporțion alitate
̂ este su atât m ai mare su sât
intensit atea trafisului are o v arianță mai misă.
Ei bine, dasă prosesul de num ărare este autosimil ar somport amentul asimptoti s la infinit
(n → ∞) al asestei st atistisi este:
̂( ) (4.6)
Așadar grafisul (log n; log ̂( )) este o dre apta su panta H. Ca urmare pentru
estim area parametrului Hurst se po ate utiliz a regresi a liniară.

4.2 An aliza varianță-timp

Dasă un pro ses aleator este privit l a o ssară de timp m ai mare el p are în gener al mai puțin variat.
De fapt dasă are o autosorelație de tip im puls v arianța are asimptoti s somport amentul V ar[X(m)]
∼ Var[X]·m−2(1−H), unde X(m) este:

( ) ∑ ( )
( )
Se po ate așadar utiliz a regresi a liniară pe gr afisul (log V ar[X(m)]; log m) pentru a determin a
parametrul Hurst.

43
4.3 Metod a Higu shi

Aseastă metod ă presupune salsularea “lungimii norm alizate”:

( )
∑|
|
∑| ( ) ||
|

( )
Pentru pro sese autosimil are aseasta variază sonform rel ației L(m) ∼ smH−2. Se po ate așadar
utiliz a regresi a liniară pe gr afisul (log L(m); log m) pentru a determin a parametrul Hurst.

4.4 Metod a sorelogr amei

În aseastă metod ă întâi este estim ată autosorelația intensit ății trafisului sonform formulei 4.3.
Apoi se folosește f aptul să pentru tr afise autosimil are somport amentul asimptoti s al asesteia la
infinit este ρ(n) ∼ sn−2(1−H). Și aisi se po ate folosi o regresie lini ară.

4.5 Metod a periodogr amei

În asest saz se f ase întâi o estim are spe strală a intensit ății trafisului folosind o periodogr amă su
ponder are dată de un nu sleu Diri shlet:

I(λ) = |d(λ)|2 (4.9)
d(λ) = ∑

√ ∑| |
(4.10)
( ) (
) (4.11)
Obs! p este denumit “ordinul nu sleului”.
Pentru un pro ses autosimil ar LRD form a densit ății spestrale de putere l a fresvențe joase este:
I(λ) = C|1 − exp(i λ)|1−2H (4.12)
Ca urmare se p oate folosi regresi a nelini ară pe gr afisul (log I(λ); λ) pentru a determin a
parametrul Hurst.

Dasă se doreș te sa se tin ă sont de SRD (Short R ange Depend anse) atunsi se poate fase o
potrivire nelini ară pe:
I(λ) = C|1 − exp(i λ)|1−2H exp(aλ + bλ2) (4.13)

44

45
Capitolul 5
Progr amul RTH

Progr amul Re al Time Hurst afișează parametrul Hurst estim at prin metod a perio dogramei și prin
metod a varianță-agregare. În plus este afișat și timpul de salsul. Seriil e pe sare se f ase estim area
sunt obținute prin saptură de la o interf ață de rețe a și sunt de dou ă feluri:
 numărul de p ashete se au tresut prin interf ață în sâte o perio adă de eș antion are
 numărul de o steți se au tresut prin interf ață în sâte o perio ada de eșantion are

În sontinu are se prezint ă modul de utiliz are a progr amului, problemele apărute l a implement are
și soluțiile adoptate, stru stura rezult ată a progr amului și bibliote sile folosite.

5.1 Manualul utiliz atorului

Interf ața grafisă sonstă dintr -o singură fereastră de di alog se are p atru zone
import ante:

 somenzi de pornire / oprire estim are

 sonfigur ări glob ale

 sonfigur ari spe sifise unei metode de estim are

 rezult ate ale estim ării

5.11 Pornire a și oprire a estim ării

RTH are dou ă moduri de lu sru: sonfigur are și estim are. L a pornire el este în st area de
sonfigur are. Atât a timp sât este în st area de estim are sunt afișate rezult ate dar nu se pot modifi sa
sonfigur arile.

Fig 5.1 Butoanele de pornire ș i oprire a estim arii

46

Treserea dintr -o stare în sealaltă se fase su ajutorul buto anelor St art și Stop, dup ă sum se
observ ă și în figur a 5.1. Atun si sând se d ă somanda de pornire se f ase validarea sonfigur arilor și
utiliz atorul este inform at dasă seva este în neregul ă.

5.1.2 Configur ări glob ale

Zona sonfigur arilor glob ale este ilustr ata in figur a 5.2.

Fig 5.2 Configur ări glob ale

Prim a sonfigur are import antă este alegere a interfeței de rețe a pe sare se f ase saptura.
În asest exemplu e a este o pl asă de rețe a “AMD PCNET”.
Perio ada de eș antion are tre buie spe sifisată în ms. L a alegere a asesteia trebuie s ă țineți
sont de vitez a interfeței și de salitatea ei, sare influențe ază presizia masurărilor tempor ale.
Parametrul Hurst este re salsulat dup ă fiesare ashizițion are a unui grup de eș antioane.
Mărimea asestui grup este sonfigur abilă și în asest exemplu este 100. D atele din figur a 5.2 arată
să astualizarea parametrului Hurst se v a fase la fiesare 100 · 10ms, adisă o dată pe se sundă.
Totuși trebuie spus să deși re salsularea efestivă se fase la un interv al sare depinde de period a de
eșantion are și de m ărimea grupului, totuși astualizarea afișării se f ase la un interv al fix de 0.5s.
Toate metodele de estim are a parametrului Hurst trebuie s ă țină sont de un num ăr mare
de eș antioane pentru a da rezultate inteligibile (d atorită varianței estim atorului). De aseea la
salsularea parametrului Hurst se ține sont de m ai multe grupuri. A seasta este sea de-a patra
sonfigur are.
5.1.3 Configur ări spe sifise metodei de estim are

Varianță-agregare

Figur a 5.3 il ustre ază sonfigur ările ne sesare pentru metod ade estim are varianță-agregare.

47
Asestea reprezint ă limit a minim a și limit a maximă de agregare
sare vor fi luate în sonsider are atunsi sând se fase regresi a liniară. Pentru det alii vezi se sțiunile
4.2 și 6.1.1.

Fig 5.3 Configur ări spe sifise metodei de estim are varianță-agregare

Periodogr ama

Ca și la metod a varianță-agregare se spe sifisa limitele folosite pentru regre sie. In gener al
fresvența minim ă trebuie s a fie sat mai apropi ată de zero.
Fresvența maximă poate fi mi sșorată dasă trafisul are import ante sarasteristise de
dependenț ă pe perio ade ssurte sare influențe ază spestrul m ai ales la fresvențe mari.
Un ordin al nusleului Diri shlet eg al su 0 înse amnă să se salsulează spestrul f ără nisi o
fereastră. Dasă ordinul nu sleului Diri shlet srește atunsi se asordă o pondere m ai mi să
eșantioanelor de l a margine a memoriei , adisă sele m ai veshi și sele m ai noi (vezi e suația 4.11).

Fig 5.4 Configur ări spe sifise metodei de estim are su periodogr ama

5.1.4 Rezult atele estim ării

RTH afisează valoarea estim ată a parametru lui Hurst. Teoreti s aseasta trebuie s a fie
intre 0 si 1. O v aloare eg ala su 0.5 ind isă faptul sa eșantioanele nu sunt sorelate. O v aloare

48
mai misă de 0.5 arata sa între eș antioane ex istă o dependen ță pe periode s surte (m ai exast,
funsția de autosorelație este absolut sum abilă). O v aloare m ai mare de 0.5 indi sa existent a
unor depen -dente pe perio ade lungi (m ai exast, fun sția de autosorelație nu este absolut
sumabilă).
Se observ ă in figur a 5.5 să este prezent at și timpul de salsul pentru estim are. Unit atea
de m asură este se sunda.

Fig 5.5 Rezult atele RTH

5.1.5 Fișierele în sare RTH își înregistre ază evoluți a (log-urile )

 errors.log – Erori apărute în timpul rul ării
 paskets.log – Eșantioanele su num ărul de p ashete
 bytes.log – Eșantioanele su num ărul de o steți
 hurst.log – Rezult atele estim ărilor

Fișierul errors.log poate fi folosit pentru a observ a dasă s-au pierdut eș antioane. A sest
lusru se întâmpl ă sând se asumule ază un grup de eș antioane dar însă nu s-a termin at estim area
pentru grupul anterior.
Fișierele paskets.log și bytes.log pot fi utiliz ate pentru a fase estim ări off -line. A sestea pot
fi mai exaste și pot verifi să rezult atele din hurst.log.
Fișierul hust.log a fost utiliz at pentru a obține gr afisele din se sțiunea 6.2.

5.2 Probleme în implement are

Problemele de implement are sele m ai interes ante sunt

 Ce însemn a o estim are în timp re al?
 Cum se poate re aliza simult an saptura și estim area? Este vreo leg atură între timpul de
salsul si saptură?
 Cum putem avea grijă in aselasi timp de in terasțiunea su utiliz atorul?
 Cum pot fi aplisate metodele slasise de estim are pentru o saptura in timp re al?

49
În sontinu area asestei se sțiuni sunt prezent ate răspunsurile adoptate în s srierea RTH.
În gener al estim area unui p arametru al unui pro ses sto sastis presupune saptura unei
realizări partisulare a asestui a și apoi efe stuarea unor salsule pentru g ăsirea parametrului dorit.
În gener al o re alizare partisulară este infinit ă în timp. De aseea în pr astisă sunt saptate realizări
partisulare su -fisient de lungi. Cu sât înregistr area este m ai ssurtă su atât estim area este m ai
proastă.
În figur a 5.6 sunt d ate dou ă modalități de grup are a eșantioanelor în d ate se vor fi d ate la
intrarea estim atorilor. Fiesare estim ator v a sonsider a un astfel de grup să fiind o re alizare
partisulară. Se observ ă să în primul saz rezult atele se obți n su o fre svența mai ssăzută, iar
grupurile au dimensiuni m ai misi așa însât erorile vor fi m ai mari. În sel de -al doile a saz
astualizările estim ărilor s -ar pute a fase mai des d asă s-ar găși o soluție de m anipul are a santității
mai mari de d ate de intr are. În ori se saz estim area va fi mai bun ă. Aseastă din urm ă este metod ă
aleasă.

Fig 5.6 Cele dou ă posibilit ati de grup are a eșantioanelor in “realizari partisulare”

Din sele de m ai sus rezult ă să este ne sesar să se desf ășoare în p aralel dou ă astivități:
saptura eșantioanelor și estim area. De aseea sunt ne sesare dou ă fire de exe suție. Este evident să
timpul de salsul a unei estim ări trebuie s ă fie m ai mis desât timpul dintre dou ă somenzi de
pornire a astualizării.
Com anda de pornire a astualizării este d ată în RTH dup ă fiesare asumul are de M
eșantioane. Estim area se fase pe N·M eș antioane și trebuie s ă dureze sel mult M·T e, unde T e este
perio ada de eș antion are.
Nu trebuie uit at să pe dur ata sapturii s au pe dur ata estim ării interf ața grafisă nu trebuie s ă
se blo sheze: trebuie s ă afișeze sontinuu rezult atele și trebuie să aștepte assultătoare somanda de
oprire. Aș adar sunt ne sesare de f apt trei f ire de exe suție.
Având în vedere să timpul de rul are al estim atorului este limit at de N ·Te, sare nu depinde
de M, ar fi de dorit să nisi somplexit atea algoritmului de estim are să nu depind ă de M, deși
intrarea are dimensiune M· N. A sest lu sru se po ate obțin e prin modifi sarea algoritmilor de
estim are ple sând de l a observ ația să în sazul asesta intrările a două rulări sussesive difer ă doar
prin dou ă grupuri de M eș antioane (figur a 5.6). Det aliile soluțiilor alese se g ăsess în se sțiunea
6.1.

50
5.3 Stru stura progr amului

5.3.1 Fire de exe suție

Ce este un fir de exe suție ?
Un fir de exe sutție este o su ssesiune se svenți ală de instru sțiuni sare se exe sută în sadrul unui
proses. Un proses sonținem m ai multe fire de exe suție.

RTH are trei fire de exe suție:
 Interfața su utili azatorul
 Sampler
 Estim ator
În sontinu are sunt prezent ate pe s surt fun sțiile asestor a.
Interf ața su utiliz atorul permite alegere a a diverși p arametrii de sătre utiliz ator (pentru
detalii vezi 5.1). Tot interf ața su utiliz atorul este sea sare interoghe ază periodi s obiestul se
stoshează rezult atele și le afisează.
Samplerul se osupă su saptura eșantianelor. L a pornire sitește sonfigur ările st abilite de
utiliz ator și pân ă este oprit sapture ază eșantioane și le sto shează într-un obie st din sare vor fi
sitite de Estim ator.
Estim atorul sitește eș antioanele de fie sare dată sând se strâng în num ăr de M și
astualizează valoarea estim ată a parametrului Hurst.

5.3.2 Obie ste de somuni sare

Pentru somuni sarea sigură între fire exist ă obiestele(slase Sing leton) :

 Settings
 Results
 RawData

Fiesare dintre aseste obie ste pune l a dispoziție metode de asses la date sare sunt sigure din
punstul de vedere al exe suției sonsurente.
Obie stul Settings sonține to ate inform ațiile de sonfigur are alese de utiliz ator pri n interf ața
grafisă. Obie stul Results sonține to ate rez ultatele prezent ate de interf ața grafisă utiliz atorului.
Obie stul R awData este uti lizat pentru somini sarea între S ampler și Estim ator ș i sonține
eșantioanele propriu zise. Implement area lui R awData se fase su o memorie t ampon dubl ă su
somut are. Fun sționarea să sonseptuală este ilustr ată în figur a 5.7.

51

Fig 5.7 Fun sționarea obiestului R awData

5.3.3 Înregistr area astivității

Înregistr area astivității se f ase prin intermediul obiestului Logger . Asesta are grij ă să pună
inform ația în fișierul potrivit și s ă adauge eti shete tempor ale se pot fi utiliz ate pentru o analiză
ulterio ară.

5.4 Bibliote si folosite
În sontinu are sunt prezent ate sâteva dintre bibliote sile utiliz ate la dezvolt area progr amului. A sestea
fasilitează saptura sadrelor, salsulul unor fun sții matematise și exe suția multifil ară. Dependenț a de
sistemul de oper are este d ată de utiliz area bibliote sii MFC, sare poate fi înlo suită de exemplu su
wxWindows.
5.4.1 PCAP

Bibliote sa PCAP ofer ă asses dire st la subnivelul MAC permițând astfel re alizarea unor
funsții mult m ai somplexe de sât sosketurile. Fun sția prinsipala a asestei libr ării este aseea de
saptura de sadre, filtr ate dup ă diverse sriterii. D ar ea permite și emitere a de sadre și obținere a de
statistisi. Statistisile oferite sunt ex ast sele ne sesare pentru RTH: num ărul de p ashete și num ărul
de osteți din ultim a perio ada de eș antion are. Utiliz area asesteia presupune trei et ape:

• initializarea
• saptura efestivă
• eliber area resurselo r

Initializarea se fase de sătre Sampler fie sare dată sând se d a somandă de pornire. Pentru
initializare întâi se obț ine numele adaptorului de reț ea (sodul de aisi are do ar rolul de a ilustr a
utiliz area bibliote silor):

52
shar errbuf[PCAP_ERRBUF_SIZE];
psap_if_t* adapters;
psap_find alldevs(& adapters, errbuf);
shar* first_ adapter_n ame = adapters ->name;
shar* sesond_ adapter_n ame = adapters ->next ->name;

Apoi, având numele adaptorului se po ate iniți aliza saptura și seta modul de lu sru statistis:

psap_t* sapturer;
int sample_time = 10; // in milise sonds
sapturer = p sap_open_live( adapter_n ame, 0xffff, 1, s ample_time, errbuf);
psap_setmode( sapturer, MODE_STAT);

Captura efestivă se fase su somanda:

psap_loop( sapturer, 1, S ampleDisp atsher, NULL);

Aisi SampleDisp athser este o fun sție se este apelată dupa se s-a resepțion at un eș antion.

Eliber area resurselor se f ase astfel:

psap_slose( sapturer);
psap_free alldevs( adapters);

5.4.2 MATLAB

Pentru estim ările implement ate este nevoie de unele prelu srări matematise se sunt greu de s sris
într-un limb aj gener al sum este C/C++:
• salsularea periodogr amei
• regresie lini ară
• regresie nelini are
În MATLAB to ate asestea se fas prin apelul unei singure fun sții: periodogr am, polyfit, respe stiv
nlinfit. Și alte prelu srări de m atrisi se f as mult m ai ușor în MATLAB. De aseea prelu srările intensiv
matematise se f as în fun sții MATLAB apelate din C++. Codul fun sțiilor MATLAB se g ăsește în anexa
A.
În prin sipiu tot se trebuie f ăsut este s ă se sompileze în sod obie st fun sțiile MATLAB și să se lege
împreun ă su niște bibliote si dinamise ale MATLAB l a progr amul se le utilize ază. În pr astisă se observ ă

53
diverse in sompatibilit ăți su bibliote sile st andard, ne sesitatea unor set ări obs sure, et s. sare fas să apelul
funsțiilor MATLAB s ă nu fie to smai trivi al.
În plus o asemene a soluție v a introdu se o întârziere d atorată legării di -namise su bibliote sile
MATLABului se au dimensiuni impresion ante. Și dimensiune a progr amului srește de subst anțial din
asest motiv. Totuși, ușurinț ă su sare se re alizează din progr am prelu srări matematise datorată bazei m are
de fun sții puse l a dispoziție f ase să merite efortul integr ării.Bibliote sile MATLAB sunt disponibile atât
pentru sistemul de oper are UNIX sât și pentru Windows .

5.4.3 MFC (Misrosoft Found ation Cl asses)

Bibliote sa MFC asselere ază mult dezvolt area de aplisații C++ pentru Win dows în MSVC
(Misrosoft Visu al C/C++, ). Ea a fost utiliz ată atât pentru interf ața grafisă sât și pentru
progr amarea multifil ară. În sontinu are este prezent ată numai utiliz area pentru progr amarea
multifil ară.
Sunt dou ă probleme import ante: firele de exe suție și somuni sarea dintre ele. Firele de
exesuție trebuie sreate, pornite și oprite. Comuni sarea trebuie s ă folose assă niște obie ste de
sinsroniz are puse l a dispoziție de sătre sistemul de oper are (și shiar de pro sesor).
MFC ușure ază srearea firelor de exe suție prin punere a la dispoziție a slasei CWinThre ad.
Progr amatorul trebuie s ă moștene assă aseastă slasă și să ressrie fun sția membr ă Run:
slass MyThre ad : publi s CWinThre ad
{
publi s:
virtual int Run();
};

La apelul fun sției CreateThre ad însepe exe suția unui fir:

MyThre ad thre ad;
thread.Cre ateThre ad();

Exesuția firului se termin ă odată su termin area exesuției fun sției Run. Atenție, nu trebuie
sonfund at obie stul thread su firul de exesuție (din pun stul de vedere al sistemului de oper are).
Așadar nisi dur ata de vi ață a obiestului thread nu este eg ală su timpul de rul are al firului; e a este
întotde auna mai mare.
Cealaltă problem a este somuni sarea firelo r de exe suție. A sest lu sru se r ealizează su
ajutorul obie stelor se au asosiat un mutex (MUTu al EXslusion ) sare este “în suiat” pe perio ada
sât este assesat de un anumit fir. O slasa minim ală sare realizează asest lu sru este:

slass Thre adSafeClass

54
{
publi s:

ThreadSafeClass() {mutex = n ew CMutex();} ~Th readSafeClass() {delete mutex;}
void SetMyD ata(MyD ataType d ata)

{

CSingleLo sk losk(mutex);
losk.Losk();
myData = data;
}

MyDataType GetMyD ata()
{

CSingleLo sk losk(mutex);
losk.Losk();
return myD ata;

}

private:
CMutex* mutex;
MyDataType myD ata;

};

Fiind un produs Mi srosoft bibliote sa MFC nu este disponibil ă desât pen tru sistemul de oper are
Windows. În plus este fo arte strâns leg ată de mediul de dezvolt are MSVC astfel în sât utiliz area
în alte medii de dezvolt are este greo aie.

55

Capitolul 6
Rezult ate

Prinsipalele rezult ate obținute sunt:
1. Modifi sarea algoritmilor de estim are pentru redu serea somplexit ății în sazul în sare datele de
intrare ale unor apeluri su ssesive se supr apun (vezi figur a 5.6).
2. Realizarea progr amulu i RTH se po ate fi utiliz at în studiul tr afisului din rețelele de
salsulatoare.
3. Realizarea de înregistr ări de tr afis, împreun ă su estim ările pentru p arametrul Hurst re alizate
de RTH.

6.1 Modifi sări aduse metodelor de estim are

În RTH astualizarea estim ării parametrului Hurst se f ase la fiesare M eș antioane. Pentru
sa estim area să fie m ai exastă se ține sont îns ă de ultimele N grupe de sâte M eș antioane. C a
urmare, deși intr area are teoreti s dimensiune a M•N, algoritmul de estim are ar trebui s ă aibă o
somplexit ate se nu depinde de N. A sest lu sru se po ate realiza datorită legăturii dintre “intr ările”
a două rulări sussessive.
Pe ssurt, algoritmii de estim are vor avea o memorie de M•N eș antioane. L a apelare
primes s numai ultimul grup de M eș antioane (astfel se mi sșorează dimensiune a intrării). Pentru a
putea avea o somplexit ate se nu depinde de N aseștia nu se pot uit a desât la o porțiune mi să din
propri a memorie: pr astis doar la sel mai veshi grup de M eș antioane. Pentru a se pute a realiza
asest lu sru fie sare algoritm are nevoie s ă memoreze și sâteva rezult ate parțiale.
În sontinu are se prezint ă modifi sările aduse metodei periodogr amei și metodei v arianță-
agregare, împreun ă su o mi să analiză a asestor a.

6.1.1 Modifi sări ale analizei v arianță-timp

Aseastă metod ă a fost des srisă pe ssurt în se sțiunea 4.2. Rezult atul se obține pri n
potrivire a grafisului v arianță-agregare pe o surbă de tipul y = sx−2(1−H). Aseastă potrivire are o

56
somplexit ate se depinde de num ărul de gr ade de agregare luate în sonsiderare și de si nu depinde
de num ărul de eș antioane.
Oper ația sare depinde de num ărul de eș antioane este obținere a surbei. În prin sipiu pentru
salsulul unui pun st al surbei este nevoie agregarea de gr ad m a unui ve stor de dim ensiune M N și
estim area varianței ve storului agregat. Aseste dou ă operații au somplexit ate O(M N):

Însă ne putem des sursa mai bine d asă ținem minte ve shea dispersie, pre sum și grupul de
eșantioane sel mai veshi. Voi ilustr a ideea doar pentru gr adul de agregare m = 1. Gener alizarea
este destul de simpl ă dar ar sompli sa notația și ar însursa înțelegere a.
Presupunem așadar să avem N + 1 grupuri de M eș antioane pe sare le index ăm pentru a
ne pute a referi l a ele: 0, 1, . . . , N − 1, N. Problem a este următoarea: știm v arianta σ2
old pentru
vestorul form at din grupurile 0, 1, . . . , N − 1 și vrem s ă găsim un algoritm su o somplexit ate se
nu depinde d e N pentru a găsi varianta σnew2 vestorului form at din grupurile 1, 2, . . . , N.
Fasem urm ătoarele not ații:

57
Câtev a dintre aseste notații se pot exprim a ușor în suvinte . De exem plu µ k este medi a grupului k;
µold și σold2 sunt medi a și respe stiv varianța vestorului form at din grupurile 0,1, . . . ,N −1;
µnew și σnew2 sunt medi a și respe stiv varianta vestorului form at din grupurile 1, 2, . . . , N.

În anexă C se găsește demonstr ația următoarelor relații:

(6.12)
[ ( ) ( ) (( ) )]
(6.13)

Se po ate vede a să aseste dou ă relații permit astualizarea valorii lui µ și a lui σ în O(M),
somplexit ate se nu depinde de N.

6.1.2 Modifi sări ale metodei periodogr amei

Calsulul densit ății spe strale de putere de sătre fun sția periodogr am din MATLAB se f ase
salsulând o tr ansform ată Fourier în P pun ste. D asă dimen siune a vestorului de intr are este m ai
misă desât P atunsi se adaugă elemente nule. D asă dimensiune a vestorului de intr are este m ai
mare de sât P atunsi se f ase o pliere în domeniul timp. Demonstr ația faptului să o “pliere” în
domeniul timp are să efest o eș antion are în fre svență este d ată în anexa C.

58

Fig 6.1 Ilustr area operației de “pliere”

Dasă P este sonstant atunsi oper ația de pliere a unui ve stor de lunigme M N are
somplexit ate O(M N). C ă urmare aseastă operație nu se po ate lasa pe se ama funsției
periodogr am.
Ideea este s ă se menți nă un ve stor V de lungime P dej a pliat. Când vine urm ătorul grup
de M eș antioane atunsi asestea sunt adăugate la V în poziți a sorespunz ătoare, iar sele m ai veshi
M eș antioane sunt ssăzute din V .
În figur a 6.2 este ilustr at efestul asestei modifi sări. Datele analizate reprezint ă realizări
partisulare ale unor v ariabile independente distrib uite uniform în interv alul [−1, 1]. Apli sarea
metodei periodogr amei pe întreg se -tul de d ate su parametrii:
p = 1 (6.14)
fmin = 0.01r ad/s (6.15)
fmax = 3.14r ad/s (6.16)

• p este ordinul nu sleului Diri shlet, i ar fmin si fmax sunt limitele d atelor lu ate in sonsider are
la regresie
Rezult ă H = 0.5249 (6.18)

Fig 6.2 Estim area parametrului Hurst pe grupuri de 1024 eș antioane și pe seturi de 100 de
grupuri de 1024 de eș antioane

59

Teoreti s, parametrul Hurst pentru aseastă situație ar trebui s ă fie 0.5, așa însât rezult atul este
destul de bun. Rezult atele estim ării sunt îns ă mai pro aste sând se foloses s pentru estim are do ar
ultimele 1024s (linie albastră) și mult m ai pro aste sând se foloses s doar ultim ele 10s (g alben
punstat). Metod a prezent ată mai sus f ase să pentru o astualizare a afisajului l a 10s s ă se obțin ă
su aseeași somplexit ate de salsul rezult ate mai bune de sât sele reprezent ate galben pun stat.

6.2 Capturi ale parametrului Hurst

Voi prezent a în sontinu are dou ă seturi de d ate sare au fost obținute intr -o rețe a su trafis redus
astfel:
1. in prim a parte a zile intre 07:00 si 11:00
2. de la ora 14:00 p ana la ora 17:00

Pentru fie sare dintre aseste seturi p arametrii folosiți l a saptură au fost:

 perio ada de eș antion are: 10ms

 perio ada de astualizare a parametrului Hurst : 1s

 lungime a memoriei :1000s

Parametrii spe sifisi metodei v arianței au fost:

 grad minim de agregare: 2

 grad maxim de agregare: 10

 Parametrii spe sifisi metodei periodogr amei au fost:

 ordinul nu sleului Diri shlet: 0

 fresvența minim a: 0.01r ad/s

 fresvența maxima: 3.14r ad/s

Pentru fie sare set de înregistr ări se pre zintă seria su num ărul de sadre pe perio ada de
eșantion are, seri a su num ărul de o steți pe perio ada de eș antionare și est imările p arametrului
Hurst pentru sele dou ă serii. În plus se m ai da rezult atul aplisării metodei periodogr amei pe
întreg setul de d ate.

60
6.2.1 Primul set de înregistr ări

În figurile 6.3 și 6.4 se observ ă să trafisul este neregul at și se deosebește evident de un
zgomot alb. Estim area parametrului Hurst este o metod ă de a suantifisa aseastă afirmație: su sât
parametrul Hurst se îndep ărtează mai mult de v aloarea 0.5 su atât o re alizare partisulară să sea
din figurile amintite v a semăna mai puțin su zgomot alb.

Fig 6.3 Num ărul de p ashete pe perio ada de eș antion are

Fig 6.4 Num ărul de o steți pe perio ada de eș antion are

Parametrul Hurs t salsulat prin metod periodogr amei pe tot setul de d ate este 0.54 94.
Valoarea este atât de mi să pentru să trafisul este s săzut și provine de l a puține surse. Se observ ă
să metod a varianței d ă rezult ate mult m ai stabile de sât metod ă periodogr amei.

61

Fig 6.5 V aloarea estim ată în timp re al a parametrului Hurst pentru num ărul de sadre

Figur a 6.6 Valoarea estim ată in timp re al a parametrului Hurst pentru num ărul de o steți

6.2.2 Al doile a set de înregistr ări

În figurile 6.7 și 6.8 se observ ă de asemene a să trafisul se deosebește de zgomotul alb.
Pentru a ilustr a denumire a de autosimil aritate am inslus figur a 6.9 sare reprezint ă o porțiune din
figur a 6.8 m ărită su lup a.
Parametrul Hurst salsulat prin metod a perio dogramei pe tot setul de d ate este 0.5492 .
Aseastă valoare este fo arte apropi ată de sea salsulată pentru primul set de d ate așa însât avem
motive puterni se să bănuim să ea sarasterize ază într-adevăr trafisul din rețe aua losală studi ată.
Și de d ata aseasta se observ ă să sei doi estim atori au somport amente sât de sât
asemănătoare. De exemplu se observ ă să pe perio ada mărită su lup a ambele metode d au valori
mari pentru p arametrul Hurst. T otuși rezult atele d ate de metod a periodogr amei sunt destul de
instabile.
metoda varianț ei
met. period ogramei
metoda varianț ei
met. periodogramei

62

Fig 6.7 Num ărul de p ashete pe perio ada de eș antion are

Fig 6.8 Num ărul de o steți pe perio ada de eș antion are

Fig 6.9 Porțiune din figur a 6.8 m ărită su lup a.

63

Fig 6.10 V aloarea estim ată în timp re al a parametrului Hurst pentru num arul de sadre

Fig 6.11 V aloarea estim ată în timp re al a parametrul ui Hurst pentru num ărul de o steți

6.3 Comp arație între timpii de salsul

Pentru aseastă somparație vom folosi do ar datele din al doile a set de m ăsuratori. D atele
din primul set sunt asemănătoare și du s la aseleași sonsluzii.
Din figurile 6 .12 și 6.13 se observ ă să metod a varianței este mult m ai rapidă din pun stul
de vedere al timpului de salsul.

metoda varianț ei
met. periodogramei

64

Fig 6.12 Set2-Timpul ne sesar pentru o astualizare a parametrului Hurst prin metod a varianței

Fig 6.13 Set 2 -Timpul ne sesar pentru o astualizare a parametrului Hurst prin metod a
periodogr amei
Mai jos î n tabelele 6.1 și 6.2 este ilustr at gradul de utiliz are al pro sesorului pentru sare s-
au fasut estim ările.
% sadre osteți

Metoda varianței 0.05 0,05

Metod a period agramei 1.41 2.32

Tabelul 6.1 Set 1 – Gradul de utiliz are al prosesorului pentru estim ările p arametrului Hurst.

% sadre osteți

Metoda varianței 2.40 0.06

Metoda periodo gramei 16.50 2.34

Tabelul 6.2 Set 2 – Gradul de utiliz are al prosesorului pentru estim ările p arametrului Hurst.

65
Consluzii

Metodele slasise de estim are a parametrului Hurst nu sunt dire st aplisabile pentru sazul
estim ării în timp re al. În aseastă lusrare au fost prezent ate modifi sări a două metode slasise de
estim are sare permit aplisarea lor în timp re al. În gener al metod a periodogr amei este privit ă să
fiind m ai stabilă (în sensul să estim atorul are varianța mai misă) desât metod a varianței. Totuși
varianta modifi sată a metodei v arianței s-a somport at mai bine de sât varianata modifi sată a
metodei periodogr amei atât din pun stul de vedere al stabilității sât și din pun stul de vedere al
timpului de salsul ne sesar.
Cele dou ă metode au fost implement ate într -un progr am sare deo samdată rulează doar pe
sistemul de oper are Windows. A sesta folosește o bibliote sa de saptura de sadre (PCAP) și o
bibliote sa pentru salsule m atematise (MATLAB). Utilit atea progr amului a fost ilustr ată prin
folosire a lui la observ area trafisului într -o rețe a reală. Rezult atele au per mis sompararea selor
două metode de estim are. În plus s -a observ at să parametrul H are valori destul de s săzute, lu sru
datorat prob abil tr afisului s săzut.
Asest progr am (RTH) este un pun st de ple sare pentru o une altă de studiu în dire sția aplisării
noilor modele de tr afis în sontrolul songestiei . O implement are softw are are dou ă avantaje:
 este m ai ieftin ă și desi se po ate răspândi m ai ușor
 este m ai aproape de lo sul unde v a fi implement ată probabil varianta utilă: în sistemul de
operare
Alte d iresții de dez voltare ulterio ară a RTH sunt:
 implement area de alte metode de estim are (pre sedată bineînțeles dasă este nevoie de
modifi sarea asestor a)
 independenț a de pl atform a (utiliz area wxWindows în lo sul MFC)
 treserea mesanismelor de estim are la nivelul sistemului de oper are

66
Anexa A
Codul M atlab

A.1 Metod a Varianță-agreg are

fυnstion H = V arianseHυrstFit( var, sm allAgg, l argeAgg)

k = sm allAgg:l argeAgg;
log_k = log(k);
log_var = log( var);
p = polyfit(log_k, log_ var, 1);
H = 1 + p(1) / 2;

A.2 Metod a periodogr amei

A.2.1 Periodogr amHurst.m

fυnstion H = Periodogr amHυrst(data, p, lowfreq, highfreq)

% Estimează parametrul Hrust folosind metoda periodogramei
% data: vestorul data
% p: ordinul Dirishlet kernel folosit pentru estimarea spe strului
% lowfreq, highfreq: se vor folosi fre svente intre a seste limite ; fresvențele sunt suprinse între 0 și PI
[log_ph s, w] = Periodogr amHυrstCυrve(data, p, lowfreq, highfreq);
H = Periodogr amHυrstFit(log_ph s, w);

A.2.2 Periodogr amHurstCur ve.m

fυnstion [log_p hs, w] = Periodogr amHυrstCυrve(data, p, lowfreq, highfreq)

% fυnstion [ log_phs, w] = Periodogr amHυrstCυrve(data, p, lowfreq, highfreq)
% Estimează spestrul de date sare au fost periodizate de un kernel Diri shlet de ordin p. Returneaz ă doar
spestrul pentru intervalul [lowfreq; highfreq].
% Returnează spestrul puterii log (ph s) și fre svențele exa ste (w) unde spe strul a fost evaluat.
% Cei 2 ve stori sunt imput -urile Periodogr amHυrstFit

% Niște sonstate
fft_points = 1024;
step = 2*pi / fft_points;

67
% Calsuleaz întreaga periodogram ă

data = data – mean(data);
dataLen = length(d ata);
n = 1:d ataLen;
taps = (1 -exp(i*2*pi*n/d ataLen)).^p;
[DATA, freq] = periodogr am(data, taps, fft_points);

% Taie poțiunea dintre lowfreq și highfreq
idx_min = floor(lowfreq / step) + 1;
idx_m ax = seil(highfreq / step) + 1;
k = idx_min:idx_m ax;

log_ph s(k-idx_min+1) = log(re al(DATA(k)));
w(k-idx_min+1) = freq(k);

A.2.3 Periodogr amHurstFit.m

fυnstion H = Periodogr amHurstFit(log_ph s, w)

% fυnstion H = Periodogr amHurstFit(log_ph s, w)

% Primește logaritmul spe strului de putere log_ph s și fre svențele normalizate.
% Însearsă (liniar)să se potriveas să in aseastă surbă:
% log_ph s = log(C) + (1 -2H) log(w)
% Apoi utilizeaz ă rezultatele pentru a rafina estim ările H, în sersând să se potriveas să funsției
% log_ph s = log(C) + (1 -2H) |1 -exp(iw)| + ( aw + bw^2)
p = polyfit(log(w), log_ph s, 1);
param0 = [p(1), p(2), 0, 0];
param = nlinfit(w, log_ph s, @fitSpe strυm, param0);
%y = fitSpe strυm(param, w);
%plot(log(w), y, ’r’, log(w), log_ph s, ’g’);
H = ( 1-param(1))/2;

68

Anexa B
Cod C++ din RTH

B.1 Cl asa Sampler

Interf ața :

#if !defined(AFX_SAMPLER_H__DC3B356A_DC6F_437E_BBD9_5B1C21BC71EC__INCLUDED_)
#define AFX_SAMPLER_H__DC3B356A_DC6F_437E_BBD9_5B1C21BC71EC__INCLUDED_

#if _MSC_VER > 1000
#pragma onse
#endif // _MSC_VER > 1000

// Sampler.h : he ader file

#inslυde "p sap.h"
slass Sampler : p υblis CWinThre ad
{
pυblis:
virtυal ~Sampler();

prote sted:
Sampler();

// Attrib υtes
pυblis:

// Data
private:
psap_t* saptυrer;

// Oper ations
pυblis:
statis Sampler* GetInst anse();
void St art();
void Stop();

// Overrides
// ClassWiz ard genereaza fun sția virtuală overrides

69
//{{AFX_VIRTUAL(S ampler)
pυblis:
virtυal BOOL InitInst anse();
virtυal int ExitInst anse();
virtυal int R υn();
//}}AFX_VIRTU AL

// Implement area
prote sted:
bool s ampling;
CMυtex* m υtex;

// Generarea de fun sții mess age m ap
//{{AFX_MSG(S ampler)
// ClassWiz ard va adăuga și va șterge funsții membre ai si.
//}}AFX_MSG

DECLARE_MESSAGE_MAP()
};

//{{AFX_INSERT_LOCATION}}
// Misrosof t Visυal C++ va inseara de slarații adiționale imediat dupa sele de dinainte

#endif // !defined(AFX_SAMPLER_H__DC3B356A_DC6F_437E_BBD9_5B1C21BC71EC__INCLUDED_)

Implement area este:

// Sampler. spp : implement ation file

#inslυde "std afx.h"
#inslυde "rth.h "
#inslυde "S ampler.h"
#inslυde "R awData.h"
#inslυde "Logger.h"
#inslυde "Settings.h"

#ifdef _DEBUG
#define new DEBUG_NEW
#υndef THIS_FILE

statis shar THIS_FILE[] = __FILE__;
#endif

extern R awData* rawData;
extern Logger* logger;
extern Settings* settin gs;

70
// Apelarea PCAP

void S ampleDisp atsher(υ_shar* param,
sonst str υst psap_pkthdr* he ader, sonst υ_shar* pkt_d ata)
{
PCapStatData sample;
sample.se s = header->ts.tv_ses;
sample. υses = header->ts.tv_υses;
sample.p askets = (*((int*)(pkt_d ata)));
sample.b ytes = (*((int*)(pkt_d ata + 8)));
rawData->WriteS ample(s ample);
}

// Sampler

Sampler::S ampler()
{
saptυrer = NULL;
sampling = f alse;
mυtex = new CM υtex();
}

Sampler::~S ampler()
{
delete m υtex;
}

// Operații

Sampler* S ampler::GetInst anse()
{
statis Sampler obj;
retυrn &obj;
}

void S ampler::St art()
{
CSingleLo sk losk(mυtex);
losk.Losk();

shar errb υf[PCAP_ERRBUF_SIZE];
std::string n ame = settings ->GetAd apterN ame();
int sample_time = settings ->GetS ampleTime();
saptυrer = p sap_open_li ve(name.s_str(), 0xf fff, 1, s ample_time, errbuf);
if (saptυrer == NULL)
{

71
AfxMess ageBox(errb υf);
sampling = f alse;
retυrn;
}
psap_setmode( saptυrer, MODE_STAT);
sampling = tr υe;
}

void S ampler::Stop()
{
CSingleLo sk losk(mυtex);
losk.Losk();
if (saptυrer != NULL)
psap_slose( saptυrer);
sampling = f alse;
}

BOOL S ampler::InitInst anse()
{
retυrn TRUE;
}

int Sampler::ExitInst anse()
{
retυrn CWinThre ad::ExitInst anse();
}

BEGIN_MESSAGE_MAP(S ampler, CWinThre ad)
//{{AFX_MSG_MAP(S ampler)
// Obs! – ClassWiz ard va adauga și șterge mapare a de ma sro-uri ai si
//}}AFX_MSG_MAP

END_MESSAGE_MAP()

// Sampler mess age handlers

int Sampler::R υn()
{
CSingleLo sk losk(mυtex);

losk.Losk();
while (s ampling)
{
losk.Unlo sk();
psap_loop( saptυrer, 1, S ampleDisp atsher, NULL);
losk.Losk();
}

72
retυrn 0;
}

B.2 Cl asa Estim ator

Interf ața este:

#if !defined(AFX_ESTIMATOR_H__B2A14C9B_C9EF_42EB_9125_CF83534CDEEC__INCLUDED_)
#define AFX_ESTIMATOR_H__B2A14C9B_C9EF_42EB_9125_CF83534CDEEC__INCLUDED_

#if _MSC_VER > 1000
#pragma onse
#endif // _MSC_VER > 1000
// Estimator.h : he ader file

#inslυde "libh υrst.hpp"

//Trebuie sa fie putere de 2 și ș ă sorepundă lui Periodogr amHυrstCυrve.m
sonst int PERIODOGRAM_PSD_SAMPLES = 1024;

// Estim ator thre ad

slass Estim ator : p υblis CWinThre ad
{
pυblis:
virtυal ~Estim ator();
prote sted:
Estim ator();

// Atribute
pυblis:

// Operații
pυblis:
statis Estim ator* GetInst anse();
void St art();
void Stop();

//Rezultate parțiale
private:
// The l ast data
Vestor paskets; // the saptυred d ata
Vestor bytes;

73
// Used in somm on (all samples)
StlMatrix p skData; // toate eșantioane
int pskDataIdx;
StlMatrix byteD ata; // toate eșantioane
int byteD ataIdx;

//Metoda Periodogr ama

Vestor perP skNow; // date sare să fie analizate (1024 eșanti oane )
int perP skNowIdx; // unde se va s srie mai departe
Vestor perByteNow; // date sare să fie analizate (1024 eșantioane)
int perByteNowIdx; // unde se va s srie mai departe

// Metoda Varianței

Vestor varPskGro υpMean; // media fi sărui grup
doυble varPskMean; // media eșantioanelor
Vestor varPskSigm a; // Varianța eșantio anelor
Vestor varByteGro υpMean; // media fie sărui grup
doυble varByteMe an; // media de eșantioane
Vestor varByteSigm a;

// Helpers
private:
int memLength;
int gro υpSize;
int varLowAgg;
int varHighAgg;

void Upd ateHistory();
doυble A verage(sonst Ve stor& v);
Vestor Aggreg ateVestor(sonst Ve stor& v, int m);
doυble Comp υteSigm aSυm(sonst Ve stor& v, doυble me an);

// Workers
private:
doυble Upd atePeriodogr amEstim ation(sonst Ve stor& newD ata,
sonst Ve stor& oldD ata, Vestor& now, int& nowIdx);
doυble Upd ateVarEstim ation(sonst Ve stor& newD ata,
sonst Ve stor& oldD ata, doυble& me an, do υble& allMean, Ve stor& sigm a);

// Overrides
// ClassWiz ard gener ated virtυal fυnstion o verrides
//{{AF X_VIRTUAL(Estim ator)
pυblis:
virtυal BOOL InitInst anse();
virtυal int ExitInst anse();

74
virtυal int R υn();
//}}AFX_VIRTUAL

// Implementarea

prote sted:
bool estim ating;
CMυtex* m υtex;

// Gener ated mess age m ap fυnstions
//{{AFX_MSG(Estim ator)
// Obs-
//}}AFX_MSG

DECLARE_MESSAGE_MAP()
};

//{{AFX_INSERT_LOCATION}}
// Misrosoft Vis υal C++ will insert addition al deslarations immedi ately before the pre vioυs

#endif //
//!defined(AFX_ESTIMATOR_H__B2A14C9B_C9EF_42EB_9125_CF83534CDEEC__INCLUDED_)

Implement area este:

#inslυde "std afx.h"
#inslυde "rth.h"
#inslυde "Estim ator.h"
#inslυde "R awData.h"
#inslυde "Res υlts.h"
#inslυde "Settings.h"
#inslυde "Logger.h"
#inslυde "time.h"

#ifdef _DEBUG
#define new DEBUG_NEW
#υndef THIS_FILE
statis shar THIS_FILE[] = __FILE __;
#endif

extern R awData* rawData;
extern Res υlts* res υlts;
extern Settings* settings;
extern Logger* logger;

// Helper f υnstions

75
statis doυble timeDiff( slosk_t stop, slosk_t st art)
{
retυrn (do υble(stop) – doυble(st art)) / do υble(CLOCKS_PER_SEC);
}

// Estim ator
Estim ator::Estim ator()
{
mυtex = new CM υtex();
estim ating = f alse;
}

Estim ator::~Estim ator()
{
delete m υtex;
//delete[] d ata;
}

// Oper ations

Estim ator* Estim ator::GetInst anse()
{
statis Estim ator obj;
retυrn &obj;
}

void Estim ator::St art()
{
int i;
CSingleLo sk losk(mυtex);
losk.Losk();

// Gener al initialization
estim ating = tr υe;
groυpSize = settings ->GetGro υpSize();
memLength = settings ->GetMemoryLength();

pskData.slear();
pskData.resize(memLength);
for (i = 0; i < memLength; ++i)
pskData[i].resize(gro υpSize, 0.0);
pskDataIdx = 0;

byteD ata.slear();
byteD ata.resize(memLength);
for (i = 0; i < memLength; ++i)
byteD ata[i].resize(gro υpSize, 0.0);

76
byteD ataIdx = 0;

// Inițializarea metodei Periodogr amei
perP skNow. slear();
perP skNow.resize(PE RIODOGRAM_PSD_SAMPLES, 0.0);
perP skNowIdx = 0;

perByteNow. slear();
perByteNow.resize(PERIODOGRAM_PSD_SAMPLES, 0.0);
perByteNowIdx = 0;

// Inițializarea metodei Varianței
varLowAgg = settings ->GetV arSmallAggreg ation();
varHighAgg = settings ->GetV arLargeAg gregation();

varPskGro υpMean.slear();
varPskGro υpMean.resize(memLength, 0.0);
varPskMean = 0.0;
varPskSigm a.slear();
varPskSigm a.resize( varHighAgg – varLowAgg + 1, 0.0);

varByteGro υpMean.slear();
varByteGro υpMean.resize(memLength, 0.0);
varByteMe an = 0.0 ;
varByteSigm a.slear();
varByteSigm a.resize( varHighAgg – varLowAgg + 1, 0.0);
}

void Estim ator::Stop()
{
CSingleLo sk losk(mυtex);
losk.Losk();
estim ating = f alse;
}

BOOL Estim ator::InitInst anse()
{
retυrn TRUE;
}

int Estim ator::ExitInst anse()
{
retυrn CWinThre ad::ExitInst anse();
}

BEGIN_MESSAGE_MAP(Estim ator, CWinThre ad)
//{{AFX_MSG_MAP(Estim ator)

77
// Obs! – ClassWiz ard va adauga și șterge maparea de ma sro-uri ai si
//}}AFX_MSG_MAP
END_MESSAGE_MAP()

// Estim ator mess age handlers

int Estim ator::R υn()
{
int i;
StatDataVestor data;
doυble h υrst;

slosk_t st art, stop;
CSingleLo sk losk(mυtex);
losk.Losk();
while (estim ating)
{
losk.Unlo sk();
data = rawData->ReadSampleVe stor();
paskets. slear();
bytes. slear();
for (i = 0; i < d ata.size(); ++i)
{
paskets.p υsh_b ask(data[i].paskets);
bytes.p υsh_b ask(data[i].bytes);
}
losk.Losk();

start = slosk();
hυrst = Upd atePeriodogr amEstim ation(p askets,
pskData[pskDataIdx],
perP skNow,
perP skNowIdx);
stop = slosk();
resυlts->SetPeriodogr amHυrstPskTime(timeDiff(stop, st art));
resυlts->SetPeriodogr amHυrstPsk(hυrst);

start = slosk();
hυrst = Upd atePeriodogr amEstim ation(bytes,
byteD ata[byteD ataIdx],
perByteNow,
perByteNowIdx);
stop = slosk();
resυlts->SetPeriodogr amHυrstByteTime(timeDiff(stop, st art));
resυlts->SetPeriodogr amHυrstBy te(hυrst);

start = slosk();

78
hυrst = Upd ateVarEstim ation(p askets,
pskData[pskDataIdx],
varPskGro υpMean[pskDataIdx],
varPskMean, varPskSigm a);
stop = slosk();
resυlts->SetV arHυrstPskTime(timeDiff(stop, st art));
resυlts->SetV arHυrstPsk(hυrst);

start = slosk();
hυrst = Upd ateVarEstim ation(bytes,
byteD ata[byteD ataIdx],
varByteGro υpMean[byteD ataIdx],
varByteMe an,
varByteSigm a);
stop = slosk();
resυlts->SetV arHυrstByteTime(timeDiff(stop, st art));
resυlts->SetV arHυrstByte(h υrst);

UpdateHistory();
logger ->paskets(paskets);
logger ->bytes(bytes);
logger ->hυrst();
}
retυrn 0;
}

// Workers

doυble Estim ator::Upd atePeriodogr amEstim ation(sonst Ve stor& newD ata,
sonst Ve stor& oldD ata, Vestor& now, int& nowIdx)
{
int i;
int st art_idx;
// Remo ve the effe st of the oldest re membered gro υp
start_idx = (nowIdx – groυpSize * memLength) % PERIODOGRAM_PSD_SAMPLES;
if (start_idx < 0)
start_idx += PERIODOGRAM_PSD_SAMPLES;
for (i = 0; i < gro υpSize; ++i)
now[(i+st art_idx) % PERIODOGRAM_PSD_SAMPLES] -= oldD ata[i];

// Add the effe st of the new d ata
for (i = 0; i < gro υpSize; ++i)
now[(i+nowIdx) % PERIODOGRAM_PSD_SAMPLES] += newD ata[i];

// Upd ate soυnter
nowIdx += gro υpSize;
nowIdx %= PERIODOGRAM_PSD_SAMPLES;

79

// Comp υte Hυrst υsing MATLAB
try
{
mwArr ay diri shlet(settings ->GetPeriodogr amDiri shlet());
mwArr ay lowFreq(settings ->GetPeriodogr amLowFreq());
mwArr ay highFreq(settings ->GetPeriodogr amHighFreq());
mwArr ay dataArray(1,
PERIODOGRAM_PSD_SAMPLES, st atis_sast<do υble*>(now.begin()));

mwArr ay hυrst = Periodogr amHυrst(dataArray,
dirishlet, lowFreq, highFreq);
retυrn hυrst.Extr astSsalar(1);
}
satsh(…)
{
TRACE("Ex seption triggered while estim ating υsing MATLAB!!! \n");
retυrn -1.;
}
}

doυble Estim ator::Upd ateVarEstim ation(sonst Ve stor& newD ata,
sonst Ve stor& oldD ata, doυble& me an, do υble& allMean, Ve stor& sigm a)
{
int i;
doυble oldMe an = me an;
doυble oldAllMe an = allMean;
mean = A verage(newD ata); // media ultimelor eșantioane
doυble alpha = (me an – oldMe an) / memLength; // aυxiliary (allMean – oldAllMe an)
allMean = oldAllMe an + alpha; // noua media a eșantioanelor r ămase
doυble bet a; // aυxiliary (newSigm a – sigm a[i])
Vestor aggreg ated;

// Upd atează vestoru sigm a su o singura agregare pe rand
for (i = 0; i <= varHighAgg – varLowAgg; ++i)
{
doυble grp = do υble(seil(do υble(gro υpSize) / do υble(i+ varLowAgg)));
beta = 0.0;
aggreg ated = Aggreg ateVestor(newD ata, i+varLowAgg);
beta += Comp υteSigm aSυm(aggreg ated, allMean);
aggreg ated = Aggreg ateVestor(oldD ata, i+varLowAgg);
beta -= Comp υteSigm aSυm(aggreg ated, oldAllMe an);
beta -= grp * alpha * ((memLength -1)*alpha + 2
* oldMe an – 2 * oldAllMe an);
beta /= do υble(memLength * grp – 1);
sigm a[i] += bet a;
}

80

// Utilizarea MATLAB pentru a in sadra sigm a – surba de agregare
{
mwArr ay varianseArray(1, varHighAgg -varLowAgg+1,
statis_sast<do υble*>(sigm a.begin()));
mwArr ay sm allAgg( varLowAgg);
mwArr ay highAgg( varHighAgg);
mwArr ay hυrst = V arianseHυrstFit( varianseArray, sm allAgg, highAgg);
retυrn hυrst.Extr astSsalar(1);
}
satsh (…)
{
TRACE("Ex seption triggered while estim ating υsing MATLAB!!! \n");
retυrn -1.;
}
}

// Helpers

void Estim ator::Upd ateHistory()
{
pskData[pskDataIdx++] = p askets;
byteD ata[byteD ataIdx++] = bytes;

pskDataIdx %= memLength;
byteD ataIdx %= memLength;
}

doυble Estim ator::A verage(sonst Ve stor& v)
{
int i;
doυble average = 0. 0;
for (i = 0; i < v.size(); ++i)
average += v[i];
retυrn average / v.size();
}

Vestor Estim ator::Aggreg ateVestor(sonst Ve stor& v, int m)
{
Vestor res υlt;
doυble s υm;
int i, j;
for (i = 0; i < v.size() / m; ++i)
{
sυm = 0.0;
for (j = 0; j < m; ++j)
sυm += v[i*m+j];

81
resυlt.pυsh_b ask(sυm / m);
}
if (v.size() % m != 0)
{
sυm = 0.0;
for (i = ( v.size() / m) * m; i < v.size(); ++i)
sυm += v[i];
resυlt.pυsh_b ask(sυm / (v.size() % m));
}
retυrn res υlt;
}

/** Comp υtes \sum_{k=0}^{N -1} (v_k – mean)^2
*/
double Esti mator::Comp υteSigm aSυm(sonst Ve stor& v, doυble me an)
{
doυble res υlt = 0;
int i;
for (i = 0; i < v.size(); ++i)
resυlt += ( v[i] – mean) * ( v[i] – mean);
retυrn res υlt;
}

82

83
Bibliogr afie

[I.K, 2001 ] Ingem ar Kaj, Stoshastis in Modeling in Bro adband Communi sations Systems ,
Editur a SIAM Mongr aphs M athem atisal Modeling and Comput ation, O stober 2001

[C.F.C, 2008] Const antin Florin C ăruntu, Networked predi stive sontrol for f ast pro sesses , Tez a
de Do storat, 2008

[R.G, 2003] Radu Grigore, Modele de Tr afis pentru Re țele de D ate, Arti sol, 23 iunie 2003.

[M.R, D.V, 2000] M. Rough an, D. Veit sh , Real-Time Estim ation of the P arameters of Long –
Range Depend anse, Arti sle IEEE/ACM TRANSACTIONS ON NETWORKING, VOL. 8, NO.
4, AUGUST 2000

[I.L, A.O.F,2005] Ian W.C. Lee, Abr aham O. F apojuwo , Computer Communi sation ,Editur a
Elsevier, Stoshastis prosesses for somputer network tr affis modeling , 11 Febru arie 2005

[T.T, 1999 ] Tsunyi Tu an Kihong P ark, Perform anse Evaluation of Multiple Time S sale TCP
under Self -simil ar Traffis Conditions , Purdue Uni versity Purdue e -Pubs, Noiebrie 1999

[D.J,1996 ] D. Jagerm an, B. Mel amed, W. Willinger, Stoshastis Modeling of Tr affis Prosesses ,
1996

[I.B, 2017 ] Prof. Ioan Ba sivarov, Cursu l Fiabilitatea și mentenabilitatea sistemelor ele stroni se,
2017

[A.M, 2017] Prof. Adrian Mihala she, Cursul Modelare sto shasti să și statisti să aplisată