Universit a tea din Bucure³ti [631601]

Universit a tea din Bucure³ti
F a cul t a tea de Ma tema tic  ³i Inf orma tic 
FORME DETERMINANT ALE
Co ordonator ³tiinµic,
Conf.univ.dr. Victor Corneliu V uletescu
Absolv en t,
Grigor e Marius B loi
Bucure³ti
2016

Cuprins
In tro ducere 2
Spaµii proiectiv e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mulµimi algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Meto da lui Gauss p en tru forme p tratice . . . . . . . . . . . . . . . 6
Reprezen t ri determinan tale 8
Cazul a dou  nedeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Cazul a trei ³i patru nedeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
T eorema privind formele p tratice în patru v ariabile . . . . . . . . . 15
T eorema lui Dic kson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
T eorema lui Dic kson privind curb ele plane . . . . . . . . . . . . . . 25
T eorema privind formele cu mai m ult de patru v ariabile . . . . . . . 29
P ostfaµ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1

Introducere
Înc  de la începutul secolului al XIX-lea, s-a pus problema exprim rii unei
ecuaµii ce dene³te o v arietate sub form  de determinan t. Leonard Eugene
Dic kson în lucrarea [ Dic kson1 ] trateaz  complet acest subiect. Ne v a in te-
resa s  trat m cazul p olinoamelor omogene ce se p ot exprima sub forma un ui
determinan t cu toate in tr rile forme liniare.
V om încep e prin tr-o scurt  trecere în revist  a cîtorv a noµiuni de baz  ce v or
ap rea în prezen ta lucrare.
Spaµii proiectiv e
V om considera urmatoarele axiome:
A1 Prin dou  puncte distincte trece o unic  dreapt .
A2 Orice dreapt  are cel puµin trei puncte distincte; exist , de asemenea,
trei puncte necoliniare.
A3 Exist  dou  drepte disjuncte.
A4(V eblen) Consider m patru puncte distincte A; B; C; D astfel încît
drepteleAB &CD s  e concuren te. A tunci ³i dreptele AC &BD
sîn t concuren te.
Deniµie: Consider m o m ultime X , nevid , ale c rei elemen te se v or n umi
puncte ³i o familie DP (X) , ale c rei elemen te se v or n umi drepte. P ere-
c hea (X;D) se n ume³te spaµiu proiectiv daca sîn t satisfacute axiomele A1-
A4 .
Exemplul 1: Proiectivizatul un ui spaµiu v ectorial
Consider m un corp com utativ K ³i V unK – spaµiu v ectorial de dimensiune
dimKV=n2 . Denim p e Vnf0g relaµia de ec hiv alenµ  "  " astfel:
xy,92Knf0Kg:x=y: A tunci,Vnf0g
este un spaµiu proiectiv.
Not m cu [x0:x1:


:xn] clasa de ec hiv alenµ  a lui (x0;x1;


;xn); acestea
n umindu-se, de asemenea ³i co ordonate omogene.
2

Exemplul 2: Completatul proiectiv al un ui spaµiu an.
Consider mA un spaµiu an n -dimensional. V om n umi "puncte de la innit"
clasele de ec hiv alenµ  a hip erplanelor ane mo dulo relaµia de paralelism an,
iar punctele luiA se v or n umi "puncte proprii". V om nota în con tin uare cu
H1 m ulµimea punctelor de la innit.
Fix m un rep er cartezian R înA: A tunci, orice punct P2A; de co ordona-
tele carteziene (x1
P;


;xn
P) în rap ort cuR; v a a v ea co ordonatele omogene
[x0
P:x1
P:


:xn
P]; undex0
P6= 0: S  remarc m c  [x0
P:x1
P:


:xn
P] =
[x0
P
x0
P:x1
P
x0
P:


:xn
P
x0
P] = [1 :x1:


:xn]: În exemplul nostru, p en tru simplitate,
consider m c  H1:x0= 0: A tunci, orice punct de la innit v a a v ea, co or-
donatele omogene [0 :x1:


:xn]: Cu aceste consideraµii, A[H1 este un
spaµiu proiectiv.
Observ aµie: Cele dou  exemple sîn t izomorfe.
Deniµie: FieA un inel com utativ arbitrar. Consider m inelul de p oli-
noameA[X0;:::;Xn]: Un p olinom f2A[X0;:::;Xn] de forma
f=X
(0;:::; n);i0g1;:::; nX0
1


Xn
n
se n ume³te omogen dac  toate monoamele sale au acelasi grad.
Observ aµie: Num rul de termeni din tr-un p olinom omogen de grad r înn
v ariabile este dat de co ecien tul binomialr+n1
r

=(r+n1)!
r!(n1)!:
Justicare : Reform ul m problema astfel:
Cîte monoame de tipul X1
1


Xnn se p ot forma astfel încît 1+


+n=r?
1+


+n=r() (1+ 1) + (2+ 1) +


+ (n+ 1) =r+n()
Propunem urm toarea reprezen tare grac .
01+ 1
2+ 11+2+ 2
3+ 11+2+3+ 3 ……….1+


+n+n
A tunci, via () problema se reduce la a studia în cîte mo duri putem aranja
r elemen te din n+r1: Eviden t, în trucît n u trebuie s  impunem condiµia
de ordonare, obµinemr+n1
r

mo duri de aranjare.

3

Mulµimi algebrice
Consider m un corp arbitrar K ³i spaµiul an Kn:
Armaµie:
FiePn(K) =f[x0:


:xn]=(x0;:::;xn)2Kn+1nf0Kn+1gg ³iF2K[X0;:::;Xn]
de gradr: A tunci,F([x0:


:xn]) n u este corect denit . Dac  ar , ar
trebui caF((x0:


:xn)) =F((x0:


:xn)); p en tru orice 2Knf0Kg:
Justicare:
P en tru simplitate, s  consider m F(X0;X1;X2;X3) =X1X2
22X2
2+ 3;
F2R[X0;:::;X 3]: S  observ  m c  F((0 :1 : 1 : 0)) = 0 ; iar
F((0 :2 : 2 : 0)) =13; de³i(0 :1 : 1 : 0)(0 :2 : 2 : 0): Prin urmare,
n u are sens F([x0:


:xn]); deoarece v aloarea depinde de reprezen tan tul
ales.

Observ aµie:
S  consider m F2K[X0;:::;Xn]; omogen de grad r:
A tunci,F((x0:


:xn)) =rF((x0:


:xn)):
Justicare:
DeoareceF e p olinom omogen, F=Pg1;:::; nX0
1


Xnn; undePi=r:
A tunci,F((x0:


:xn)) =Pg1;:::; n(x0)0


(xn)n=
=Pg1;:::; n1+


+n(x0)0


(xn)n=rPg1;:::; n(x0)0


(xn)n=
=rF((x0:


:xn)):

Exemplu:
S  consider m F(X0;X1;X2) =X1X2+X2
2+X2
0; F2R[X0;:::;X 3]: Ob-
serv  m c F((0 : 1 : 2)) = 6 ³iF((0 : 4 : 8)) = 96 : Gradul p olinom ului F
este2 , iar (0 : 1 : 2)(0 : 4 : 8); c ci(0 : 4 : 8) = 4(0 : 1 : 2) : A tunci, via
observ aµia preceden t , F((0 : 4 : 8)) = 42F((0 : 1 : 2)); i.e.96 = 16
6:X
Remarc :
FieF2K[X0;:::;Xn]; omogen de grad r: Are sens s  v orbim despre calita-
tea luiF de a se an ula sau n u în tr-un punct P2Pn(K):
Reform ulare : Dac F((x0:


:xn)) = 0; atunciF((y0:


:yn)) = 0;
p en tru orice (y0:


:yn)2[x0:


:xn]:
4

Justicare:
Deoarece (y0:


:yn)2[x0:


:xn]; exist 2Knf0Kg astfel încît
(y0:


:yn) =(x0:


:xn):
DeciF((y0:


:yn)) =F((x0:


:xn)) =rF((x0:


:xn)) = 0:

Deniµie: Se n ume³te m ulµime algebric  în Pn(K) o subm ulµime ZPn(K)
p en tru care exista f1;:::;fr p olinoame omogene, n u neap rat de acela³i grad,
astfel încît Z=fP[x0:


:xn]=f1(P) =


=fr(P) = 0g:
Reform ulare : O m ulµime algebric  proiectiv   este m ulµimea zerourilor un ui
p olinom omogen.
Exemple:
1. Dreptele proiectiv e d:f[x0:x1:x2]=ax1+bx2+cx0= 0g sîn t m ulµimi
algebrice.
2. Hip ercuadricele proiectiv e sîn t m ulµimi algebrice.
Z=f[x0:


:xn]=f(x0:


:xn) = 0g undef e un p olinom omogen de
grad 2.
Deniµie: Fie Xnot= Z(f) m ulµimea zerourilor p olinom ului omogen f . Un
punctP(x0:


:xn)2Pn(K) astfel încît f(P) = 0 se n ume³te punct
raµional al lui X p este corpulK .
Notaµie: X (K) =fP=P este raµional p este Kg
Observ aµie: Spunem c  un obiect algebric (punct de an umite co ordonate,
dreapt , plan, etc…) este raµional p este un corp dac  are (sau m car p oate
 adus) la co ecienµi din corpul în care lucr m.
Exemple:
1.Fief=x2+y2+z2³i X= Z(f):
1.1 X(R) =?; c cix2+y2+z2= 0 înR; doar dac x=y=z= 0;
iar(0;0;0)=2P2(R):
1.2 X(C)6=?; c ci, spre exemplu, (1;i;0)2 X:
2. Fief=x22y23z2³i X= Z(f):
2.1 X(R)6=?; c ci, spre exemplu, (p
2;1;0)2 X:
2.2 1.1 X(Q) =?:
5

Meto da lui Gauss p en tru forme p tratice
În con tin uare prin form  p tratic  v om în telege un p olinom omogen de gra-
dul al doilea.
T eorema lui Gauss:
Oric e form  p  tr atic   în n variabile se p o ate aduc e la o form  c anonic  .
Demonstraµie :[ OT ]
Demonstraµia v a decurge aplicînd meto da inducµiei matematice dup  n um –
ruln de v ariabile ce apar în P , unde am notat cu P forma p tratic .
Dac P= 0 , demonstraµia este înc heiat . Presupunem c  P6= 0: Dac 
n= 1; P=a1X2
1; care este în form  canonic .
Presupunem c  armaµia r mîne adev  rat  p en tru cazul în care P are(n1)
v ariabile ³i demonstr m c  este adev  rat  p en tru n v ariabile.
Presupunem c  P are o scriere de forma
P=a11X2
1+ 2a12X1X2+


+ 2a1nX1Xn+~P , unde ~P este o form  p tra-
tic  ce n u conµine X1: V om face presupunerea c  exist  macar un co ecien t
aij6= 0: F r  a restrînge generalitatea, ev en tual ren umerotînd, presupunem
c a116= 0:
A tunci,P=1
a11[a2
11X2
1+ 2a11a12X1X2+


+ 2a11a1nX1Xn] +~P=
=1
a11[(a11X1+a12X2+


+a1nXn)2a2
12
a11X2
2


a2
1n
a11X2
n] +~P=
=1
a11(a11X1+a12X2+


+a1nXn)2+~~P; unde~~P n u conµine X1:
Consider m sc him barea de v ariabile:(
Y1=a11X1+a12X2+


+a1nXn
Yi=Xi;i2f2;:::;ng:
A tunci,P(Y1;:::;Yn) =1
a11Y2
1+~~P(Y2;:::;Yn): Conform pasului de inducµie,
este p osibil  o sc him bare de v ariabile astfel încît
~~P(Y2;:::;Yn) =a2Z2+


+anZ2
n:
Considerînd sc him barea de v ariabile:(
T1=Y1
Tj=Zj;j2f2;:::;ng;
P(T1;:::Tn) =a1T2
1+


+anT2
n; unde am notat cu a1 p e1
a11:

Observ aµie: A tragem atenµia c  forma canonic  obµin ut  prin meto da lui
Gauss n u este unic  deoarece, a³a cum se observ   ³i în demonstraµia teore-
mei, forma canonic  p e care am g sit-o în nal a depins de mai m ulte alegeri.
6

Aplicaµia 1: Consider m urm torul p olinom omogen:
F(X0;X1;X2;X3) =X2
0+X2
1X2
2+ 2X2
32X1X2: S  se aduc  la o form 
canonic  utilizînd meto da lui Gauss an terior descris .
Soluµie:
F(X0;X1;X2;X3) = (X1X2)22X2
2+ 2X2
3+X2
0:
Considerînd sc him barea de v ariabile:(
Y1=X1X2
Yj=Xj;j2f0;2;3g;obµinem c 
F(Y0;Y1;Y2;Y3) =Y2
12Y2
2+ 2Y2
3+Y2
0:

7

Reprezent ri determinantale
Cazul a dou  nedeterminate
T eorema 1:
Oric e p olinom P , într-o variabil , cu c o ecienµi într-un c orp algebric închis
K , de gr adr , admite r epr ezentar e determinantal .
Justicare:
DeoareceK este corp algebric înc his, atunci toate r d cinile p olinom ului P
sîn t înK . Prin urmare, v om a v ea o factorizare a lui P p esteK[X] ca pro dus
de factori liniari, i.e. P=Qr
i=1(Xxi); undexi este r d cin  a lui P: A tunci,
P(X) =Xx1 0 0::: 0
0Xx20::: 0
………. . ….
0 0 0 ::: Xxr:

Consecinµ : Orice p olinom omogen în dou  v araibile p este un corp algebric
înc his are reprezen tare determinan tal .(v ezi Aplicaµia 3 )
Aplicaµia 2: S  se exprime în form  determinan tal  p olinom ul
P(X) =X4+ 12C[X]:
Soluµie:
DeoareceC este un corp algebric înc his, a v em o factorizare a lui P p este
C[X] în pro dus de factori liniari. Prin urmare, rezolv  m ecuaµia X4+ 1 = 0
p en tru a g si r d cinile.
X4+ 1 = 0,X4+ 2X2+ 12X2= 0,(X2+ 1)22X2= 0,
,(X2+p
2X+ 1)(X2p
2X+ 1) = 0: Prin urmare, Z( P) =fp
2ip
2
2g:
Prin urmare, a v em reprezen tarea determinan tal 
P=Xp
2+ip
2
20 0 0
0Xp
2ip
2
20 0
0 0 Xp
2+ip
2
20
0 0 0 Xp
2ip
2
2:
8

Remarc : P en tru cazul p olinoamelor omogene în dou  v ariabile, teorema
de mai sus se p oate extinde foarte m ult; putem ren unµa la condiµia de a lucra
p este un corp algebric înc his. Prin urmare, d m urm toarea teorem :
T eorema 2: [ Dic kson1 ]
Oric e p olinom omo gen în dou  variabile, cu c o ecienµi într-un c orp arbitr ar
K (sau chiar într-un inel c omutativ!), de gr ad r , se p o ate exprima în form 
determinantal  astfel:
a0xr+a1xr1y+


aryr=a0x+a1y y 0 0::::0
a2y x y 0::::0
a3y 0x y :::: 0
a4y 0 0x :::: 0
…………. . ….
(1)rar1y0 0 0:::: y
(1)r+1ary0 0 0:::: xnot= D:
Demonstraµie :
V om dezv olta determinan tul D , de ordinr; dup  prima linie.
D=a0x+a1y y 0 0:::0
a2y x y 0:::0
a3y 0x y ::: 0
a4y 0 0x ::: 0
…………. . ….
(1)rar1y0 0 0::: y
(1)r+1ary0 0 0::: x= (a0x+a1y)x y 0:::0
0x y ::: 0
0 0x ::: 0
………. . ….
0 0 0::: y
0 0 0::: x
ya2y y 0:::0
a3y x y ::: 0
a4y 0x ::: 0
………. . ….
(1)rar1y0 0::: y
(1)r+1ary0 0::: x= (a0x+a1y)xr1ya2y y 0:::0
a3y x y ::: 0
a4y 0x ::: 0
………. . ….
(1)rar1y0 0::: y
(1)r+1ary0 0::: x.
Dezv olt m dup  prima linie determinan tul de ordin r2 obµin ut.
9

D=a0xr+a1xr1y+a2y2x y 0:::0
0x y ::: 0
0 0x ::: 0
………. . ….
0 0 0::: y
0 0 0::: xya3y y 0:::0
a4y x y ::: 0
………. . ….
(1)rar1y0 0::: y
(1)r+1ary0 0::: x=
=a0xr+a1xr1y+a2xn2y2y Dn3; unde prin Dn3 am notat determi-
nan tul D de ordinn3: Con tin uînd dezv oltarea determinan tului, se observ  
c  obµinem a0xr+a1xr1y+


aryr= D:

Aplicaµia 3: FieK un inel com utativ arbitrar ³i P(X1;X2)2K[X1;X2];
undeP(X1;X2) =X3
1X22X2
1X2
2+X4
2: S  se exprime P în form  determi-
nan tal .
Soluµie:
Iden ticînd elemen tele din T eorema 2 , observ  m c  r= 4; a0= 0;
a1= 1; a2=2; a3= 0; a4= 1: A tunci, arm m c 
P(X1;X2) =a0X1+a1X2X20 0
a2X2X1X20
a3X2 0X1X2
a4X2 0 0x1=X2X20 0
2X2X1X20
0 0X1X2
X20 0X1:
Dezv olt m ultim ul determinan t.
X2X20 0
2X2X1X20
0 0X1X2
X20 0X1=X2X1X20
0X1X2
0 0X1X22X2X20
0X1X2
X20X1=
=X3
1X2X22X2X20
0X1X2
X20X1=X3
1X22X2
1X2
2+X4
2:

Observ aµie: Dac  impunem condiµia ca în en unµul de mai sus, K s  e un
corp algebric înc his, atunci scrierea determinan tal  se p oate face mai u³or.
10

P asul 1. Deomogeniz m1p olinom ul în rap ort cu v ariabila X1 ³i not m v ari-
abilaX2 cux . Se obµine p olinom ul ~P(x) =x42×2+x:
P asul 2. DeoareceK a fost presupus corp algebric înc his, putem face referire
la T eorema 2 . Prin urmare, a v em o factorizare de forma ~P=Q4
i=1(xxi);
undexi este r d cin  a lui ~P: Observ  m u³or c  ~P(0) = 0: Momen tan, a v em
factorizarea x(x32x+ 1): Not m cu~~P p olinom ulx32x+ 1: Observ  m
c ~~P(1) = 0 ³i împ rµim~~P lax1 .
x32x+ 1x1
x3+x2x2+x1
x22x+ 1
x2+x
x+ 1
x1
0
Celelalte dou  r d cini ale p olinom ului ~P v or  r d cinile p olinom ului
x2+x1; adic 1+p
5
2&1p
5
2: Deci, ~P(x) =x(x1)(x1+p
5
2)(x1p
5
2):
A ceast  factorizare a lui ~P ne conduce la scrierea determinan tal :
~P(x) =x 0 0 0
0x1 0 0
0 0x1+p
5
20
0 0 0 x1p
5
2:
P asul 3. Reomogeniz m2factorii liniari din scrierea determinan tal  a lui ~P:
A tunci, obµinem reprezen tarea determinan tal  a p olinom ului omogen iniµial
astfel:
P(X1;X2) =X2 0 0 0
0X2X1 0 0
0 0 X21+p
5
2X1 0
0 0 0 X21p
5
2X1():

Precizare : Scrierea determinan tal  () e v alid  în orice corp în care are sensp
5: Spre exemplu, () e v alid  înC sau înR; (c hiar daca n u este corp algebric
înc his) dar n u este v alid  în Q .
1Prin deomogenizare determin m urma unei m ulµimi proiectiv e p e un spaµiu an.
2Prin omogenizare scufund m o m ulµime an  în completatul proiectiv.
11

Cazul a trei ³i patru nedeterminate
Consecinµ  a T eoremei lui Gauss:
Oric e c onic   ³i cuadric   pr oie ctiv  p este un c orp algebric închis se p o ate ex-
prima în form  determinantal .
Justicare:
O conic  sau o cuadric  proiectiv   este descris  ca m ulµimea zerourilor un ui
p olinom omogen de gradul al doilea. Prin urmare, se p oate aduce la o form 
canonic  via Meto da lui Gauss . Con tin u m justicarea prin urm toarea
aplicaµie:
Aplicaµia 4: S  se g seasc  reprezen tarea determinan tal  a p olinom ului
omogen:F(X0;X1;X2;X3) =X2
0+X2
1X2
2+ 2X2
32X1X2:
Soluµie:
În Aplicaµia 1 am v  zut c  F se p oate aduce la forma canonic 
F(Y0;Y1;Y2;Y3) =Y2
12Y2
2+ 2Y2
3+Y2
0:
Dac  în m ulµimea co ecienµilor p olinom ului omogen are sensp
2 ,(x) putem
con tin ua cu sc him barea de v ariabile(
Zj=Yj;j2f0;1g
Zk=p
2Yk;k2f2;3g:
V om obµine, atunci c  F(Z0;Z1;Z2;Z3) =Z2
0+Z2
1Z2
2+Y2
3; ceea ce ne
conduce la a arma c 
F(Z0;Z1;Z2;Z3) =Z0+iZ1Z2Z3
Z2+Z3Z0iZ1:
Justicarea vine imediat, calculînd efectiv determinan tul de ordin 2 , Z0+iZ1Z2Z3
Z2+Z3Z0iZ1= (Z0+iZ1)(Z0iZ1)(Z2Z3)(Z2+Z3) =
=Z2
0+Z2
1Z2
2+Y2
3=F(Z0;Z1;Z2;Z3):
Rev enind la sc him barea de v ariabil , obµinem c 
F(X0;X1;X2;X3) =X0+i(X1X2)p
2 (X2X3)p
2 (X2+X3)X0+i(X1X2)():
Cititorului îi este, desigur, clar faptul c  reprezen tarea determinan tal  ()
este strîns legat  de condiµia (x):
12

Aplicaµia 5: S  se g seasc  reprezen tarea determinan tal  a p olinom ului
omogen:F(X0;X1;X2;X3) =X2
0+X2
1+X2
2+X2
3:
Soluµie:
Arm m c  F(X0;X1;X2;X3) =X0+iX1X2+iX3
X2+iX3X0iX1:
Dezv olt m determinan tul ³i obµinem c 
(X0+iX1)(X0iX1)(X2+iX3)(X2+iX3) =X2
0+X2
1+X2
2+X2
3:

Aplicaµia 6: S  se g seasc  reprezen tarea determinan tal  a p olinom ului
omogen:F(X0;X1;X2;X3) =X2
0+X2
1+X2
2X2
3:
Soluµie:
Arm m c  F(X0;X1;X2;X3) =X0+iX1X2+X3
X2+X3X0iX1:
Dezv olt m determinan tul ³i obµinem c 
(X0+iX1)(X0iX1)(X2+X3)(X2+X3) =X2
0+X2
1+X2
2X2
3:

Aplicaµia 7: S  se g seasc  reprezen tarea determinan tal  a p olinom ului
omogen:F(X0;X1;X2) =X2
0+X2
1+X2
2:
Soluµie:
Arm m c  F(X0;X1;X2) =X0+iX1X2
X2X0iX1:
Dezv olt m determinan tul ³i obµinem c 
(X0+iX1)(X0iX1)(X2)X2=X2
0+X2
1+X2
2:

Aplicaµia 8: S  se g seasc  reprezen tarea determinan tal  a p olinom ului
omogen:F(X0;X1;X2) =X2
0X2
1+X2
2:
Soluµie:
Arm m c  F(X0;X1;X2) =X0+iX2X1
X1X0iX2:
Dezv olt m determinan tul ³i obµinem c 
(X0+iX2)(X0iX2)X2
1=X2
0X2
1+X2
2

13

Observ aµie:
Am v  zut în Consecinµa T eoremei lui Gauss ce se în tîmpl  în cazul co-
nicelor ³i cuadricelor proiectiv e p este un corp algebric înc his. În trebarea
natural  este daca discuµia r mîne v alabil  p en tru conicele ³i cuadricele pro-
iectiv e p este un corp arbitrar? Arm m c  acestea n u sîn t determinan tale.
Justicare:
Consider m conica Q(x0;x1;x2) :x2
0+x2
1+x2
2= 0 p este corpulR:
Eviden tQ(R) =?: S  presupunem, prin absurd, c  Q e determinan tal .
A tunci,Q=Q11Q12
Q21Q22, undeQij sîn t forme omogene de grad 1;
i:e: Qij(x0;x1;x2) =aij
0x0+aij
1×1+aij
2×2:
ÎnP2(R); m ulµimeaZ(Qij) =f(x0;x1;x2)=Qij(x0;x1;x2) = 0g reprezin t  o
dreapt  proiectiv  . Prin urmare, spre exemplu, Z(Q11)\Z(Q12)6=?:
Deci, exist  P2P2(R) astfel încît P2Z(Q11)\Z(Q12):
DeoareceQ a fost presupus  determinan tal ,
Q(P) =Q11(P)Q12(P)
Q21(P)Q22(P)=0 0
Q21(P)Q22(P)= 0:
Deci,P2Q: Con tradicµie cu Q(R) =?!

Remarc : Justucarea decurge similar ³i în cazul cuadricelor, mo dicîndu-
se doar n um rul de p trate.
Exemplu:
CuadricaQ(x0;x1;x2;x3) =x2
0+x2
1+x2
2+x2
3= 0 p este corpulQ n u este
determinan tal . Eviden t, este determinan tal  p este C:
14

T eorema privind formele p tratice în patru v ariabile [Dic kson2]
Consider  m P=P
ijaijXiXj2K[X1;X2;X3;X4] o form  p  tr atic   cu
c o ecienµi într-un c orp arbitr ar, K , cu[aij]ijnot=A2GL(4;K) .
1. Dac   exist  un punct r aµional p este K de forma (x0;0;z0;w0) astfel
încît P(x0;0;z0;w0) = 0; atunciX2 P este o form  determinantal .
2. Dac   P(x0;y0;z0;w0)6= 0 p entru oric e punct r aµional de c o or donate
(x0;y0;z0;w0); undey06= 0; atunciX2 P este determinantal  dac   ³i
numai dac  
2.1X2 P este o form  ternar  
sau
2.2 Determinantul matric ei A este p  tr atul unui element nenul
dinK ³i determinantul lui P(x0;y0;z0;w0) e nenul.
3. Dac   P nu se anule az  în nici un punct r aµional p este K de forma
(x0;0;z0;w0) ³i P se anule az  în puncte r aµionale de forma (x0;y0;z0;w0) ,
undey06= 0; atunciX2 P nu e determinantal .
Demonstraµie:
1. Aplic m meto da lui Gauss p en tru a rescrie p olinom ul P sub forma
P0=aX2
1+~P(X2;X3;4): V om presupune, p en tru simplitate, c  a= 1:
A tunci, P0not= Q=X2
1+~P(X2;X3;X4):
Fie punctul P(x0;0;z0;w0) astfel încît Q(P) = 0: Putem presupune, spre
exemplu, c  w06= 0:
Consider m sc him barea de v ariabile8
>>><
>>>:X=X1
Y=X2
Z=w0X3z0X4
W=X4:
Punctul inµial P v a a v ea urm toarele co ordonate:8
>>><
>>>:X(P) =x0
Y(P) = 0
Z(P) =w0z0z0w0= 0
W(P) =w0:
15

Putem presupune, deci, c  P are co ordonatele (t;0;0;1); undet=x0
w0; c ci
w0 a fost presupus nen ul.
Not m cuY L suma monoamelor din ~P ce conµin v ariabila Y:
A tunci, Q=X2+Y L+dZ2+eZWt2W2:
Arm m c 
Y Q=X+tW Y 0
LXtW Z
dZ+eW 0Y:()
Dezv oltînd determinan tul, obµinem c 
X+tW Y 0
LXtW Z
dZ+eW 0Y=Y(X2t2W2) +dYZ2+eYZW +Y2L=Y QX:
N
2. Presupunem c  Q n u se an uleaz  în nici un punct raµional p este K de
forma (x0;y0;z0;w0); undey06= 0: S  presupunem c  Y Q e determinan tal .
A tunci,Y Q=l1l2l3
l4l5l6
l7l8l9not= D; undeli(X;Y;Z;W ) este o form  liniar .
Deoarece în Y Q singurul monom care conµine v ariabila X esteX2Y; analizînd
scrierea determinan tal  () , facem urm toarele presupuneri:
 co ecien tul lui X dinl1 este1 .
l1=X+l0
1
l5=X+l0
5
l9=Y
l0
1;l2;l3;l4;l0
5;l6;l7;l8 n u conµin v ariabila X
l3;l6;l7 n u conµin v ariabila Y:
Cu aceste presupuneri, D=X+l0
1l2l3
l4X+l0
5l6
l7l8Y: Dezv oltînd, a v em c 
D=Y(X+l0
1)(X+l0
5) +l3l4l8+l2l6l7l3l7(X+l0
5)l6l8(X+l0
1)l2l4Y=
=X2Y+(l0
1+l0
5)XY+l0
1l0
5X(l3l7+l6l8)l2l4Yl3l7l0
5l0
1l6l8+l3l4l8+l2l6l7:
16

În Q; co ecien tul lui XY ³i al luiX este0: A tunci,l0
1+l0
5= 0 &l3l7+l6l8= 0:
Deci,l0
5=l0
1: Prin urmare, D=X+l0
1l2l3
l4Xl0
1l6
l7l8Y:
S  observ  m c  exist  o innitate de puncte raµionale (p este K ) de co ordonate
(x;y;z;w ) astfel încît p en tru ni³te alegeri con v enabile, D= 0: Spre exemplu,
lu mX=l0
1; iar p el2=l3= 0: A tunci, D=l0
1+l0
1 0 0
l4Xl0
1l6
l7l8Y= 0:
Armaµie: Consider m trei forme liniare F; G; H: Dac  F se an uleaz  în
punctele în care de an uleaz  G ³i H; atunci F e o com binaµie liniar  de G ³i
H:
Justicare:
S  presupunem c  a v em F=PaiXi; G=PbiXi; iar H=PciXi:
Din ip otez , orice soluµie a sistem ului(
G= 0
H= 0este ³i soluµie
a sistem ului8
><
>:F= 0
G= 0
H= 0; prin urmare, linia F= 0 p oate  considerat  linie
secundar , deci rangul sistem ului este dat doar de a doua ³i a treia linie.
A tunci, F este o com binaµie liniar  de G ³i H:
H
În lumina ultimei armaµii, facem urm toarele presupuneri:
Y este o com binaµie liniar  de l2 ³il3: A tunci,l2=Y+l3; cu6= 0:
Y este o com binaµie liniar  de l4 ³il6: A tunci,l4=rY+sl6; under6= 0:
Am ar tat mai devreme c  l3l7+l6l8= 0: A tunci, presupunem c  sl66= 0 ³i
facem alegerile urm toare:
l8=vl3; c cil36= 0 cuv6= 0:
l7=vl6; cuv6= 0:
Cu aceste alegeri, D=X+l0
1Y+l3l3
rY+sl6Xl0
1l6
vl6vl3Y=X2YY(l0
1)2+
+vl2
3(rY+sl6)vl2
6(Y+l3) +vl3l6(Xl0
1)vl3l6(X+l0
1)l2l4Y
17

=X2YY(l0
1)2+vl2
3l4vl2l2
6+vl3l6Xvl3l6l0
1vl3l6Xvl3l6l0
1l2l4Y=
=Y(X2(l0
1)2l2l4)v(2l0
1l3l6+l2l2
6l2
3l4):
Not m cu= 2l0
1l3l6+l2l2
6l2
3l4:
A tunci,= 2l0
1l3l6+Yl2
6+l3l2
6rl2
3Ysl2
3l6=
=l3l6(2l0
1+l6sl3) +l2
6Yrl2
3Y:
I. Dac l3l66= 0; putem presupune c  l0
1 n u conµine v ariabila Y: A tunci,
deoarece v ariabila Y apare în dezv oltarea lui D; conc hidem c  l0
1=s
2l3
2l6:
D=X+l0
1Y+l3l3
rY+sl6Xl0
1l6
vl6vl3YL2=L2+kL1=
=X+l0
1 Y+l3 l3
rY+sl6+kX+kl0
1Xl0
1+kY +kl3l6+kl3
vl6 vl3 YC1=C1kC2=
=X+l0
1kYkl3 Y+l3 l3
rY+sl6+kX+kl0
1kX+kl0
1k2Yk2l3Xl0
1+kY +kl3l6+kl3
vl6kvl3 vl3 Y=
=X+l0
1kYkl3 Y+l3 l3
rY+sl6+ 2kl0
1k2Yk2l3Xl0
1+kY +kl3l6+kl3
vl6kvl3 vl3 Y=
=X+l0
1kl2l2l3
l4+ 2kl0
1k2l2Xl0
1+kl2l6+kl3
l7kl8 l8Y:()
Din dezv oltarea determinan tului () obµinem c 
Q=D
Y=X2(l0
1)2l2l4vl2
6+vrl2
3:
Matricea co ecienµilor formei p tratice în v ariabilele Q(X;Y;l 3;l6) care se ob-
µine via condiµiile8
><
>:l2=Y+l3
l4=rY+sl6
l0
1=s
2l3
2l6v a a v ea determinan tul (r(vs2
4r+2
4))2:
Matricea co ecienµilor formei p tratice în v ariabilele Q(l3;l6) v a a v ea deter-
minan tulvrm; undemnot= (vs2
4r+2
4): A ceste v alori, se obµin efectiv
calculînd determinanµii corespunz tori de forma ():
18

P en tru a evita, totu³i aceste calcule, putem aplica meto da lui Gauss p en tru
a reduce termenii în l3l6: “tiam c  Q=X2(l0
1)2l2l4vl2
6+vrl2
3:
Considerînd sc him barea de v ariabil  T=Y+
2l3+s
2rl6; obµinem c 
Q=X2rT2+rml2
3ml2
6: A tunci, matricea co ecienµilor lui Q are
determinan tul (rm)2:
S  presupunem c  m= 0: A tunci, Q= 0 p en truX=T= 0; deciY= 0
doar dac T=Y: Prin urmare, Y Q este o form  în dou  v ariabile.
H
I I. Dac l3=l6= 0; atunci Q=D
T=X2(l0
1)2rY2:
P en tru8
><
>:Xl0
1=Y
X+l0
1=Y
=r; 6=D=Y Y 0
rY Y 0
0 0Y=Y(Y2rY2) = 0:
A³adar, p en tru aceast  alegere Q se an uleaz . Deducem c  Y= 0 doar
atunci cînd l0
1= 0: În acest caz, Y Q este o form  în dou  v ariabile.
H
I I I. Dac l3= 0 &l66= 0; atunci D=X+l0
1Y 0
rY+sl6Xl0
1l6
vl6 0Y=
=Y(X2(l0
1)2) +l6l7YY2(rY+sl6):
Prin urmare, Q=D
Y=X2(l0
1)2+l6l7Y(rY+sl6):
P en tru8
><
>:X=l0
1
Y=l6(1)
rY+sl6=l7(2)Q= 0 . Din (1) & (2) obµinem c  rl6+sl6=l7:
Decil7=kl6; iarY= 0:
P en tru8
>>><
>>>:Y=l6
Xl0
1Y=Y
X+l0
1Y=Y
=(r+sk); 6=D=Y Y 0
kY Y l 6
kY 0Y= 0:
A tunci, Q= 0; deciY= 0 p en trul0
1= 0: Prin urmare, Y Q este o form  în
v ariabileleX;Y &l6:
H
IV. Dac l36= 0 &l6= 0; p erm ut m în DL1 cuL2 ³iC1 cuC2: A tunci,
discuµia este acop erit  de cazul I I I.
H
19

V. Dac l3l66= 0; atunci ne-a ramas cazul în care s== 0:
A tunci,l0
1= 0; l2=Y; iarl4=rY: Am ar tat mai sus c  l3l7+l6l8= 0:
Prin urmare, sau l6 saul8 e m ultiplu de l3:
Dac l8 e m ultiplu de l3; s  presupunem c  l8= 0:
A tuncil7= 0; iar D=X+l0
1Y 0
rY Xl0
10
0 0 Y; caz deja tratat.
Dac l6=gl3; undeg6= 0; deoarecel3l7+l6l8= 0; a v em c l7=gl8: În
D singurul termen în care n u apare Y este2gl0
1l3l8; de unde obµinem c 
l0
1l8= 0: Am tratat deja cazul în care l8= 0:
Dac l0
1= 0; Q=X2rY2+ (rg2)l3l8:
P en tru8
><
>:X=r
Y=g
l3l8=rQ= 0:
Dac  n u a v em nici o dep endenµ  în tre l3 ³il8; cazul este deja tratat.
Reamin tim faptul c  am p ornit cu forma Q care a v ea scrierea Q=X2+~P:
FieM matricea co ecienµilor acestei forme. Presupunem c  det(M) =j2;
undej este raµional p este K: Aplic m din nou meto da lui Gauss p en tru a
elimina monoamele de forma ZW; YZ; YZ: Presupunem c  s== 0 ³i ne
folosim de relaµiile determinate mai sus.
A tunci, obµinem c  Q=Y(X2rY2+rvl2
6);
care are reprezen tarea determinan tal X Y l 3
rY X l 6
vl6vl3Y:
N
3. Presupunem c  Q n u se an uleaz  în nici un punct raµional p este K de forma
(x0;0;z0;w0) ³i Q se an uleaz  în puncte raµionale de forma (x0;y0;z0;w0) ,
undey06= 0: V om demonstra c  Y Q n u e determinan tal .
S  observ  m c  în tr-adev  r exist  forme ce satisfac presupunerea de mai sus.
Spre exemplu, lu m Q(R) =X2Y2+ 2Z2+ 3W2:
Eviden t Q(R)(X;0;Z;W ) =X2+ 2Z2+ 3W2=?; iar, spre exemplu,
Q(P(1;1;0;0)) = 0:
S  presupunem c  Y Q=X+l0
1l2l3
l4Xl0
1l6
l7l8Ynot= D:
20

S  presupunem c  Q(P(x0;1;z0;w0)) = 0
Consider m sc him barea de v ariabile8
>>><
>>>:~X=X
~Y=Y
~Z=Zz0Y
~W=Ww0Y:
Punctul inµial P v a a v ea urm toarele co ordonate:8
>>><
>>>:~X(P) =x0
~Y(P) = 1
~Z(P) = 0
~W(P) = 0:
Cu argumen te similare ca cele din Ÿ2, a v em
D=Y(X2(l0
1)2l2l4) +l3l4l8+l2l6l7+ 2l1l3l7:
Presupunem c  m car în tr-un ul din tre l2 saul4 apareY: Ev en tual p erm utînd
liniile sau coloanele lui D; putem considera l2=Y+E2 &l4=rY+E4;
unde6= 0; iarE2&E4 sîn t forme în v ariabilele Z&W: Putem presupune
c  înl1 n u apareY:
Deoarece D=Y Q; obµinem c  Y Q=X+l0
1Y+E2l3
rY+E4Xl0
1l6
l7l8Y=X2Y
(l0
1)2Y+rl3l8Y+l3l8E4+l6l7Y+l6l7E2l3l7X+l3l7l0
1l6l8Xl6l8l0
1l2l4Y=
=X2Y(l0
1)2Y+rl3l8Y+l3l8E4+l6l7Y+l6l7E2(l3l7+l6l8)X
(l3l7+l6l8)l0
1l2l4Y=
=X2Y(l0
1)2Y+rl3l8Y+l3l8E4+l6l7Y+l6l7E2+ 2l0
1l2l7l2l4Y=
=Y(X2(l0
1)2+rl3l8+l6l7l2l4) +l3l8E4+l6l7E2+ 2l0
1l2l7=Y Q:
Prin iden ticare, a v em(
Q=X2(l0
1)2+rl3l8+l6l7l2l4
l3l8E4+l6l7E2+ 2l0
1l2l7not= R= 0:
Dac l3= 0 =l6; atunci, Q=X2(l0
1)2l2l4:
Prin urmare, Q= 0 doar dac (
X=l0
1
Y= 0 =E2:
Con tradicµie cu ip oteza c  Q n u se an uleaz  în nici un punct cu Y6= 0:
Dac l3= 0 &l66= 0; atuncil8= 0; c cil3l7+l6l8= 0: Deoarece R= 0 &
l3= 0 =l8; iarl66= 0; a v em c l7E2= 0:
21

Cu aceste ultime substituµii în D; obµinem c  Q= 0 p en tru8
><
>:X=l0
1
Y= 0
E2E4=l6l7:
Din discuµia de mai sus, conc hidem c  l3;l6;l7 ³il8 sîn t toate nen ule.
Deoarecel3l7+l6l8= 0; saul6 saul8 e m ultiplu de l3:
Dac l6=l3; atuncil7=l8; unde6= 0:
Prin urmare, din condiµia ca R= 0 a v em 2l1=E42E2:
Deci, Q= 0 dac 8
>><
>>:X=E4+2E2
2
Y= 0
l3= 0:Con tradicµie! Deci l6l3:
A tunci,l8=l3; de undel7=l6; cu6= 0: Cu aceste date mergem în
condiµia R= 0: Obµinem c  l2
3E4l2
6E22l0
1l3l6= 0: A tunciE4=kl6 ³i
kl2
3l6E22l0
1l3= 0: A³adar,E2=pl3; iar2l0
1=kl3pl6:
A tunci, Q=X21
4(kl3pl6)2(Y+pl3)(rY+kl6) +rl2
3l2
6:
Deoarece Q(P) = 0; obµinem c  r=x2
0:
Q(X;0;Z;W ) =X21
4(kl3+pl6)2+(x2
0
2l2
3l2
6):
A tunci Q= 0 dac 8
>>><
>>>:X=1
2(kl3+pl6)
Y= 0
l6=x0
l3:Con tradicµie!
S  presupunem c  Y n u apare nici în l2 , nici înl4: Consider m c  l0
1=cY+E1:
A tunci, cu o iden ticare ca mai sus, a v em(
Q=X2(l0
1)2l2l4+ 2cl3l7
l3l4l8+l2l6l7+ 2E1l3l7not= S= 0:
Dac l3l7= 0; Q= 0 p en tru8
><
>:X=E1
Y= 0
l2= 0:Con tradicµie!
A tunci,l3l76= 0: Cu acela³i argumen t, l2l46= 0: Deoarecel3l7+l6l8= 0;
obµinem c  l6l86= 0; de unde sau l6 saul8 e m ultiplu de l3:
Dac l6=l3; atuncil7=l8; unde6= 0: Prin urmare, din condiµia ca
S= 0 a v em c  2E1=l42l2:
22

A tunci Q= 0 dac 8
>><
>>:X=l4+2l2
2
Y= 0
l3= 0:Con tradicµie!
Dac l8=l3; a v em c l7=l6; cu6= 0:
A tunci S=(l2
3l4l2l2
62E1l3l6) = 0:
De aici conc hidem c  l2=dl3 ,l4=el6 &2E1=el3dl6:
În aceste condiµii Q= 0 dac 8
><
>:X=dl6
2
Y= 0
l3= 0:Con tradicµie!
Prin urmare, dac  Q n u se an uleaz  în nici un punct raµional p este K de forma
(x0;0;z0;w0) ³i Q se an uleaz  în puncte raµionale de forma (x0;y0;z0;w0) ,
undey06= 0; atunciY Q n u e determinan tal .

Observ aµie: [ Dic kson2 ] În lim ba j geometric teorema se rescrie astfel:
F orma P reprezin t , de fapt, o cuadric .
1. Cuadrica are un punct raµional com un în plan ul y= 0 .
2. T oate punctele raµionale ale cuadricei se a  în plan ul y= 0 .
3. Cuadrica are un punct raµional, dar n u conµine punctele raµionale ale
plan uluiy= 0 .
Consecinµ : Consider  m o c onic   (C) p este un c orp arbitr ar K . A tunci
(C) admite r epr ezentar e determinantal 3p esteK dac   ³i numai dac   ar e un
punct r ational, diferit de vîrf.
Justicare: S  consider m, spre exemplu, (C)(R)(x0;x1;x2) :x2
0+x2
1+x2
2:
Eviden t, (C)(R) =?: Prin urmare, (C) n u e determinan tal  p este R:

3cu in tr ri forme liniare ce au co ecienµii raµionali p este K
23

T eorema lui Dic kson [Dic kson1]
Un p olinom omo gen de gr ad r înn variabile,n>2 nu admite r epr ezentar e
determinantal  cu intr  ri forme liniar e dac   num rul mono amelor p olinomu-
lui este mai mar e de cît (n2)r2+ 2:
Demonstraµie:
Fie P2K[X1;:::;Xn]; undeK este un inel com utativ arbitrar. Presupunem
c  P admite reprezen tare determinan tal . A tunci P= D; unde D e un
determinan t de ordin r cu in tr ri forme liniare. Fie M matricea aso ciat  lui
D: A tunci,
(1)M=x1M1+


+xnMn; Mi2M (r;K):
Presupunem, f r  a restrînge generalitatea, ev en tual ren umerotînd, c  mo-
nom ulxr
1 apare în P: Deci, detM16= 0 , prin urmare M1 e in v ersabil .
Înm ulµind (1) la stînga cu M1
1; obµinem
(2)Nnot=MM1
1=x1Ir+x2N2+


+xnNn; Ni=MiM1
1:
Eviden t, detN=D
detM1, iar co ecien tul lui xr
1 înN este1K .
Presupunem ca exist  j2f2;:::;ng astfel încît Nj s  e diagonalizabil .
P en tru simplitate, ev en tual ren umerotînd, presupunem c  N2 e diagona-
lizabil . A³adar, exist  U2GL(r;K) astfel încît N2=UDU1; unde
D2Md(r;K): Înm ulµim (2) la stînga cu U ³i la dreapta cu U1: Obµinem
Pnot=UNU1=x1UIrU1+x2UDU1+x3UN 3U1+


+xnUNnU1
(3)P=x1Ir+x2D+P3+


+xnPn; Pi=UNiU1:
V om presupune c  exist  o matrice Pj care admite o matrice Kj ce com ut  cu
matriceaD: P en tru simplitate, s  presupunem c  j= 3: MatriceaK3P3K1
3
v a a v ea deasupra ³i sub diagonala principal  doar 1K: Înm ulµind (3) la stînga
³i la dreapta cu K3 resp ectivK1
3; obµinem
(4)Tnot=x1Ir+x2D+x3K3P3K1
3+X
xkKkPjK1
k:
Deci, înK3P3K1
3 a v em doarr2r elemen te. Asupra matricelor KjPjK1
j;
j2f3;:::;ng n u impunem nici o condiµie, prin urmare apar (n3)r2ele-
men te. Deci, a v em cel m ult (n3)r2+1+r+r2r= (n2)r2+1 elemen te
în D:

24

T eorema lui Dic kson privind curb ele plane [Dic kson1]
Ecuaµiaf= 0 aso ciat  unei curb e plane, de gr ad r; p este un c orp K algebric
închis, se p o ate scrie c a un determinant de or din r ale c  rui elemente sînt
funcµii liniar e în x;y;z:
Demonstraµie:
Este sucien t s  demonstr m armaµia p en tru forme f ireductible.
Dac f n u n u este ireductibil , factorii care apar în descompunerea sa, sîn t
forme determinan tale. S  presupunem, spre exemplu, c  f=f1f2; undefi
este de grad ri: Consider m Di reprezen tarea determinan tal  lui fi: A tunci,
f=D10
0D2:
y
x
OR1
R2
Rrz=0Construim un triunghi de referinµ . Alegem
d1:z= 0 ca dreapt  la inn t. În con-
tin uare alegem drept ax  Ox orice dreapt 
ce in tersecteaz  d1 în tr-un punct diferit de
R1;:::;Rr:
Remarc : AxaOx are drept punct
de la innit p e (1;0;0); iar din ale-
gerea facut , acest punct n u este p e
curb . Deoarece degKf=r ³iK e
algebric înc his, exist  o dreapt  ce in-
tersecteaz  curba în r puncte distincte.4
S  presupunem c  f are o scriere de forma f=Paijkxiyjzk: Deoarece
(1;0;0) n u este p e curb , putem presupune c  x3are co ecien tul 1:
DeoareceK este corp algebric înc his, in tersectînd curba f cu dreapta d1 ob-
µinem c f(x;y;0) =X1


Xr; undeXi=x+iy sîn t forme liniare distincte.
4Dac  ecare dreapt  de forma z=tx+sy in tersecteaz  f= 0 în dou  puncte care
coincid, atunci F(x;y) =f(x;y;tx +sy) = 0 are o r d cin  dubl  p en tru orice t ³is atunci
cînd@F
@x=@f
@x+r@f
@z= 0;@F
@z=@f
@y+s@f
@z= 08t;s
A tunci ecare punct de p e f= 0 este punct singular.
25

D m relaµia f=X1


Xr+Pr
k=1zkFk(x;y); unde ecare Fk este o form 
p tratic  de grad rk .
Scopul este s  demonstr m c  orice astfel de form  f , în care1


r sîn t
distincµi, are reprezen tarea determinan tal 
f=X1+c11z c 12z :::: c 1rz
……. . ….
cr1z cr2z :::: X r+crrz:(y)
Deoarecef este un p olinom omogen în trei v ariabile, de grad r; acesta arer+2
r

=1
2(r+ 2)(r+ 1) termeni. F cînd in tersecµia curb ei f cud1 , x m
r+1
r

=r+1 co ecienµi. Ne r mîn1
2(r+2)(r+1)r1 =1
2(r2+r) termeni.
Ne in tereseaz  s  g sim co ecienµii cij:
Iden ticînd f cuX1+c11z c 12z :::: c 1rz
……. . ….
cr1z cr2z :::: X r+crrz;
a jungem la un sistem cu r2necunoscute ³ir2+r
2ecuaµii.
S  presupunem acum c  cii+1= 1; cij= 0 p en truj >i + 1 ,
undei;j2f1;:::;rg: A³adar, atribuim v aloarea 1 p en trur+1 constan tecij:
Con tin u m prin a demonstra faptul c  cij cuj6i p ot  unic determinaµi.
1.T ermenii liniari în z sîn t
rX
i=1ciizX1


Xi1Xi+1


Xr:
A tunci, s  presupunem c 
zF1(y;x) =rX
i=1ciizX1


Xi1Xi+1


Xr;
undeF1 este o form  de ordin r1: Presupunerea este v alid  dac  egalitatea
se p streaz  p en tru r v aloriXi; i=f1


rg în careXi se an uleaz . Condi-
µiile care determin  în mo d unic cij;i= 1


r sîn t
cii(1i)


(i1i)(i+1i)


(ri) =F1(1;i):
26

2. T ermenii p tratici în z sîn t
X
i<jciicij
cjicjjz2X1


Xr
XiXj:
A ceast  sum  se v a iden tica cu z2F2(y;x): Dac j >i + 1; atuncicij= 0 ³i
determinan tul de ordin doi v a furniza cjjcii: Dac j=i+1; atuncicij= 1; iar
termen ul diagonal este ³tiut. T ranspunînd toµi termenii cunoscuµi ³i adunînd
z2F2; iden tic m
rX
i=1ci+1iX1


Xi1Xi+2


Xr
cu o form  p tratic  de ordin r2: P en tru aceasta este sucien t5s  consi-
der mX1= 0;X2= 0;


;Xr1= 0: Prima condiµie v a determina c21; cea
de-a doua p e c32 în funcµie de c21;::::; ultima determinînd p e crr1 în funcµie
decr1r2: În acest mo d v om determina în mo d unic toµi ci+1i:
V om presupune c  în (y) termenii de grad 1;2;:::;k1 înz au fost iden ticaµi
înf=X1


Xr+Pr
k=1zkFk(x;y) cu termenii de grad corespunz tor dat de
unica determinare a constan telor cii;ci+1r;:::;ci+2+k2i:
În(y) , termenii de grad k înz sîn t
Xci1i1ci1i2:::: ci1ik……. . ….
ciki1ciki2:::: cikikz2X1


Xr
Xi1


Xiki1<:::<i k;i1;:::;ik= 1;:::;r:
A ceasta sum  se v a iden tica cu zkFk(y;x): Dac  în determinan tul de mai
sus ecare elemen t de deasupra diagonalei principal  este 1; atunci
i2=i1+ 1; i3=i21;


; ik=ik1+ 1 =i1+k1:
De asemenea, diferenµa din tre indicii oric rui c exceptîndciki1 este mai mic 
sau egal  decît k2; a³a încîtc v a  un ul din tre cei determinaµi an terior.
Determinan tul minorului corespunz tor p en tru ciki1 este1:
V om demonstra c  dezv oltarea determinanµilor ce au r mas, conµin doar cij
determinaµi an terior, ap oi, dup  ce transpunem ³i înm ulµim cu zkFk; r mînem
cu
zkX
i= 1rk+1(1)k1ci+k1iX1


Xr
XiXi+1


Xi+k1:
5Sau putem determina crr1 punînd condiµia ca Xr= 0
27

A ceast  sum  se iden tic  cu o form  patratic  de ordin rk: Condiµiile ob-
µin ute luînd p e rînd X1= 0; …,Xrk+1= 0; v or determina p e rînd constan tele.
R mîne sa demonstr m cazul determinanµilor D ce au cel puµin un elemen t
c= 0 deasupra de diagonala principal . A vînd în v edere c  cii+1= 1;cij= 0
p en truj > i + 1 , undei;j2f1;:::;rg , v aloarea ec rui elemen t din tri-
unghiul format de c; elemen tele din dreapta ³i cele de deasupra sa este 0:
Deci,D este pro dus de doi minori principali (i.e ecare conµine elemen te din
diagonala principal  a lui D).
În cazul în care în ecare minor are un elemen t n ul deasupra de diagonal , se
descompune similar în pro dus de minori principali. A³adar, a v em do  cazuri.
În prim ul caz D este un pro dus de doi sau mai m ulµi minori principali, ecare
conµinînd un elemen t cij . în cel de-al doilea caz D este un minor principal
P; ale c ruit elemen te de deasupra de diagonala principal  sîn t 1:
Dac  elemen tele de p e diagonala un ui minor P de ordin (t+ 1) sîn tcii;
i=i1;:::;iw; atunci, a vînd în v edere c  cii+1= 1; cij= 0 p en truj > i + 1 ,
obµinemim=il+ 1; in=im+ 1 =il+ 2;:::;iw=il+t; astfel încît di-
ferenµa maxim  în tre indicii oric rui elemen t din P esteiwil=t: Cum
P are mai puµine rînduri decît D; atuncit+ 1< k ³it6k2: Conform
ip otezei de inducµie, ecare elemen t din P este prin tre cele determinate.

Consecinµ :
Oric e curb   plan  se p o ate exprima sub forma unui determinant D= 0;
cu intr  ri forme liniar e. În p articular, oric e form  în tr ei variabile f cu
factori distincµi, p o ate  tr ansformat  liniar într-o form  de tipul mf; unde
m este o c onstant , iar f(x;y;0) =X1


Xr:6În ac este c ondiµii f admite
r epr ezentar e a determinantal 
X1+c11z z 0 0:::: 0
c21z X 2+c22z z 0:::: 0
…………. . ….
cr1z c r2z cr3z cr4z :::: X r+crrz:
6Xi=x+iy cu1;:::; r distincµi.
28

T eorema privind formele cu mai m ult de patru v ariabile [Dic kson1]
Fie P2K[X1;:::;Xn];(n>2) un p olinom omo gen de gr ad r cu c o ecienµi
într-un inel arbitr ar K:
1. P nu admite r epr ezentar e determinantal  cu intr  ri forme liniar e dac  :
n>4 ³ir2 ;
n= 4 ³ir>4 ;
2. P admite r epr ezentar e determinantal  cu intr  ri forme liniar e do ar dac  :
n= 3 ³ir este variabil;
n= 4; iar r = 2sau3:
Demonstraµie:
V om trata cazul p olinoamelor omogene de grad minim um 2 , deoarece p en tru
p olinoamele omogene de gradul 1 a v em reprezen tarea determinan tal  | P |, i.e.
determinan t de ordin 1 cu o singur  in trare, P:
Conform T eoremei lui Dic kson, un p olinom omogen în n v ariabile de grad r ,
n u este exprimabil sub form  de determinan t dac r+n1
r

>(n2)r2+2:()
S  presupunem c  n= 3: A tunci, v om încerca s  g sim acei r naturali ce
v eric  condiµia ():
r+ 2
r
>r2+ 2,(r+ 2)!
2!
r!>r2+ 2,(r+ 1)(r+ 2)>2r2+ 4,
,r2+ 3r+ 22r24>0,r2+ 3r2>0,(r1)(r2)<0;
inecuaµie ce n u are soluµii naturale, prin urmare, orice p olinom omogen în
trei v ariabile este determinan tal, indiferen t de gradul s u.
S  presupunem acum c  P este un p olinom omogen în patru v ariabile, de
grad 2: P n u este determinan tal dac 2+3
2

>(42)22+ 2 i.e. dac  10>10;
ceea ce este fals. Prin urmare, un p olinom omogen în patru v ariabile de grad
2 este determinan tal.
Dac r= 3 &n= 4; obµinem c  P n u e determinan tal dac 3+3
3

>
(42)32+ 2; i.e. dac  20>20; ceea ce este fals. Deci, un p olinom omogen
în patru v ariabile de grad 3 este determinan tal.
29

S  presupunem acum c  P este un p olinom omogen în patru v ariabile, de
gradr; under >3: P n u e determinan tal dac r+3
r

>2r2+ 2; ceea ce ne
conduce la condiµia ca r36r2+ 11r6>0,(r1)(r2)(r3)>0:
P en tru a rezolv a ultima inecuaµie, în to cmim tab elul de v ariaµie.
r 0 1 2 3





1
r-1 0+ + + + + + +
r-2 0+ + + + +
r-3 0+ + +
(r-1)(r-2)(r-3) 0+ 0 0+ + +
A³adar, (r1)(r2)(r3)>0 p en trur2((1;2)[(3;1))\N: S  n u
uit m ³i presupunerea iniµiala, r > 3: A tunci, obµinem c  r2(3;1)\N:
Prin urmare, nici un p olinom omogen în patru v ariabile, de grad mai mare
decît 3 n u este determinan tal.
S  presupunem c  n>4 &r2: Cumr2)r24; iar deoarece n>4;
a v em c n2>2: A tunci,
r24
n2>2 (
)
(n2)r28
Obµinem c  (n2)r2+ 210; de under+n1
r

10: S  lu m, spre exem-
plu, v alorile minime p en tru n &r; decin= 5 &r= 2 ³i s  test m ultima
inegalitate g sit .2+51
2

=6!
2!
4!= 1510; deci se in v alideaz .
Conc hidem c  un p olinom omogen de grad r>2 înn>4 v ariabile n u admite
reprezen tare determinan tal .

Remarc : P olinom ul omogen P=x3+y3+z3mxyz; undem este un
parametru real, este determinan tal. P=x y z
z x ay
a1y z xundea+1
a=m+ 1:
Justicare:
Dezv oltînd determinan tul, obµinem c 
x y z
z x ay
a1y z x=x3+y3+z3a1xyzaxyzxyz=
=x3+y3+z3(a1+a+ 1) =x3+y3+z3mxyz:

30

Armaµie:
P olinoamele x3+y3xyz &x3+yz2admit reprezen tare determinan tal .
Justicare:
F olosindu-ne de observ aµia de mai sus,
x y z
0x y
y0x=x3+y3xyz
x y 0
0x z
z0x=x3+yz2:

31

P ostfaµ 
La baza acestei lucr ri au stat dou  articole ale lui Leonard Eugene Dic kson.
De³i discut m despre articole din anii '20, ele au stat la baza un ui articol
scos recen t [ Vi ].
Lucrarea se prezin t  în dou  capitole, neomogene ca în tindere.
În prim ul capitol am prezen tat minim um ul de noµiuni p e care le-am utilizat.
Am limitat aceasta secµiune p en tru a n u oferi v olum in util lucr rii. Am pre-
supus cunoscute noµiunile elemen tare de teoria corpurilor.
Cel de-al doilea capitol dezv olt  tema în sine. Subliniem faptul c  acest ca-
pitol n u reprezin t  doar o traducere a rezultatelor din articolele menµionate
în bibliograe, îns  maniera în care au fost prezen tate au fost trecute prin
ltrul p ersonal al autorului. Rezultatele teoretice le-am însoµit cu aplicaµii
³i/sau observ aµii ce sîn t parte in tegran t  a în telegerii lor.
Mulµumiri. În prim ul rînd îi sîn t recunosc tor co ordonatorului ³tiinµic al
acestei lucr ri, domn ului conf.dr. Victor VULETESCU, p en tru colab orarea
extraordinar  ³i p en tru c  lucrarea a c patat aceast  form  în urma sugesti-
ilor domniei sale.
De asemenea, m ulµumesc colegilor care au citit v arian te in termediare ale
lucr rii ³i au v enit cu observ aµii legate de form . Amin tesc aici p e Gabriela
Chirob o cea ³i p e Cristian T uµu.
BUCURE“TI,
IUNIE 2016
32