UNIVERSIT A TEA DIN BUCURES , TI F A CUL T A TEA DE MA TEMA TIC€ S , I INF ORMA TIC€ Lucrare de licent , FUNCT ,II LIPSCHITZ Co ordonator s , tiint ,… [611744]

UNIVERSIT A TEA DIN BUCURES , TI
F A CUL T A TEA DE MA TEMA TIC€ S , I INF ORMA TIC€
Lucrare de licent , 
FUNCT ,II LIPSCHITZ
Co ordonator s , tiint , ic:
Conf. Dr. Radu Miculescu
Absolv en t:
Alexandru-Georgian Constan tine-
scu
Bucures , ti
Iunie, 2017

Cuprins
In tro ducere 3
1 GENERALIT €T , I PRIVIND FUNCT , I ILE LIPSCHITZ S , I TEOREMA
LUI RADEMA CHER 4
1.1 NOT , IUNEA DE FUNCT , IE LIPSCHITZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 TEOREMA LUI RADEMA CHER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 SP AT , I I METRICE LIPSCHITZ ECHIV ALENTE 12
2.1 TEOREMA LUI AHAR ONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 TEOREMA LUI ASSOUAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 AL TE REZUL T A TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 EXTINDERI PENTR U FUNCT , I I LIPSCHITZ 27
3.1 TEOREMA LUI KIRSZBRA UN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 TEOREMA LUI McSHANE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 TEOREMA LUI CZIPSZER S , I GEHÉR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 REZUL T A TELE LUI V ALENTINE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 TEOREMA LUI SCHOENBER G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6 TEOREMA LUI FLETT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 APR O XIMAREA CU FUNCT , I I LIPSCHITZ 54
4.1 O GENERALIZARE A TEOREMEI LUI GEOR GANOPOULOS . . . . . 54
4.2 O AL T € METOD € DE A OBT , INE REZUL T A TE DE APR O XIMARE . 57
Bibliograe 61
2

In tro ducere
P e 14 mai 1832 se nas , te, la K önigsb erg, un ul din tre cei mai mari matematicieni ai
lumii: Rudolf Otto Sigism und Lipsc hitz. Fiul un ui proprietar de teren uri, tân rul Rudolf
a crescut la proprietatea tat lui s u din Bönk ein. La 15 ani încep e s  studieze la Univ ersi-
tatea din K önigsb erg, iar mai târziu îs , i con tin u  studiile la Univ ersitatea din Berlin, unde
îl are coleg p e un alt matematician celebru, Gusta v Diric hlet.
Dup  ce a profesat la Univ ersitatea din Bonn s , i la Univ ersitatea din Breslau, în 1864,
Lipsc hitz public  în tr-un articol studiul s u privind condit , iile de con v ergent ,   a seriilor F o-
urier p en tru unele clase de funct , ii. P este doar doi ani, acesta public  un nou articol în care
studiaz  problema Cauc h y p en tru ecuat , ii diferent , iale ordinare, unde stabiles , te unei funct , ii
condit , ia ca pro dusul din tre v ariat , ia v alorilor celei de a doua comp onen te a argumen tului
s , i o constan t  s  domine v ariat , ia v alorilor funct , iei. Datorit  acestor dou  studii, apare o
nou  tem  de cercetare n umit  teoria funct , iilor Lipsc hitz.
La data de 7 o ctom brie 1903, la v ârsta de 71 de ani, Rudolf Lipsc hitz se stinge din
viat ,   la Bonn.
F unct , iile Lipsc hitz sun t folosite în diferite probleme de ecuat , ii diferent , iale, teoria
m surii, geometrie diferent , ial , analiz  funct , ional , dar s , i în mecanic , zic  sau econo-
mie.
În con tin uare, ceea ce ne propunem este s  prezen t m o parte din rezultatele în
care înlo cuirea ip otezelor de diferent , iabilitate cu cele de a  Lipsc hitz a a vut succes. Lu-
crarea cont , ine patru capitole: Generalit t , i privind funct , iile Lipsc hitz s , i T eorema
lui Rademac her , Spat , ii metrice Lipsc hitz ec hiv alen te , Extinderi p en tru funct , ii
Lipsc hitz s , i Apro ximarea cu funct , ii Lipsc hitz .
Prim ul capitol prezin t , as , a cum deducem s , i din titlul s u, generalit t , i privind
funct , iile Lipsc hitz: denit , ii(funct , ie Lipsc hitz, funct , ie lo cal Lipsc hitz, homeomorsm Lips-
c hitz, lip eomorsm, imersie LIP) s , i cele mai imp ortan te propriet t , i ale funct , iilor Lipsc hitz.
De asemenea, în acest capitol este prezen tat  s , i celebra T eorem  a lui Rademac her, care
spune c  orice funct , ie Lipsc hitz, denit  p e o m ult , ime desc his  din Rn, este diferent , iabil 
F réc het aproap e p este tot. Astfel, condit , ia ca o funct , ie s  e Lipsc hitz p oate  privit  ca
o aten uare a diferent , iabilit t , ii.
Cel de-al doilea capitol este dedicat spat , iilor metrice Lipsc hitz ec hiv alen te. Este
expus  T eorema lui Arahoni, care spune ca orice spat , iu metric separabil este Lipsc hitz
ec hiv alen t cu o subm ult , ime a luic0 , dar s , i rezultatul lui P . Assouad cu privire la aceasta.
De asemenea, sun t amin tite s , i alte rezultate ar tate de P . Assouad, J. Luukk ainen s , i H.
Moha v eni-Lank arani, Kil-W oung Jun, Dol-W on P ark.
În capitolul al treilea prezen tate s , i demonstrate teoremele de extindere p en tru funct , ii
Lipsc hitz: T eorema lui Kirszbraun, T eorema lui McShane, T eorema lui Czipser s , i Gehér,
Rezultatele lui V alen tine, T eorema lui Sc ho en b erg, T eorema lui Flett.
Ultim ul capitol are ca obiect de studiu apro ximarea cu funct , ii Lipsc hitz. Este expus 
o generalizare a celebrei T eoreme a lui Georganop oulos ce foloses , te existent , a partit , iei LIP
a unit t , ii, acest rezultat ind datorat lui R. Miculescu. T ot în acest capitol este prezen tat 
s , i o alt  meto d  de a obt , ine rezultate de apro ximare.
3

1 GENERALIT €T , I PRIVIND FUNCT , I ILE LIPSCHITZ
S , I TEOREMA LUI RADEMA CHER
1.1 NOT , IUNEA DE FUNCT , IE LIPSCHITZ
Clasa funct , iilor Lipsc hitz este una din tre cele mai imp ortan te subm ult , imi a clasei funct , iilor
uniform con tin ue. A cestea se remarc  în studiul ecuat , iilor diferent , iabile (o funct , ie Lips-
c hitz implic  existent , a s , i unicitatea solut , iei), în teoria optimiz rii (prin sc him barea ip ote-
zelor de diferent , iabilitate cu cele de a  Lipsc hitz), dar s , i în alte studii matematice.
Hans Rademac her a demonstrat în 1919 c  o funct , ie Lipsc hitz f:U=
URn!Rm
este diferent , iabil  Leb esgue aproap e p este tot. Astfel condit , ia Lipsc hitz este o aten uare a
diferent , iabilit t , ii.
Celebra teorem  a lui Rademac her a format stim ulul cercet rii am n unt , ite al funct , iilor
Lipsc hitz s , i lo cal Lipsc hitz (LIP).
Consider  m sp at , iile metric e (X;d);(Y;d0) .
Denit , ia 1. Fief: (X;d)!(Y;d0) o funct , ie. Dac  p en tru oricare x;y2X , exist 
L2R+[f0g , cu proprietatea c :
d0(f(x);f(y))L
d(x;y) , (1)
atuncif se n umes , te funct , ie Lipsc hitz.
Se n umes , te constan ta Lipsc hitz a funct , ieif , notat lip(f) , cel mai mic n um r L2R+[f0g
ce îndeplines , te (1).
Denit , ia 2. Fief: (X;d)!(Y;d0) o funct , ie. Dac  p en tru oricare x2X , exist  o
v ecin tateV a luix cu proprietatea c  fjV este Lipsc hitz, atunci f se n umes , te funct , ie
lo cal Lipsc hitz, notat  f2LIP .
Denit , ia 3. Fief: (X;d)!(Y;d0) o funct , ie. Dac f este bijectiv  , iar f s , if1
sun t Lipsc hitz, atunci f se n umes , te homeomorsm Lipsc hitz. Dac  f s , if1sun t lo cal
Lipsc hitz, atunci f se n umes , te lip eomorsm.
Denit , ia 4. Fief: (X;d)!(Y;d0) o funct , ie. Dac  p en tru oricare x2X , exist  o
v ecin tateU a luix cu proprietatea c  fjU:U!f(U) este lip eomorsm, atunci f se
n umes , te imersie LIP .
În urm toarele rânduri v or  prezen tate cele mai imp ortan te propriet t , i ale funct , iilor
Lipsc hitz.
Prop ozit , ia 1. Consider m X;Y;Z trei spat , ii metrice,f:X!Y s , ig:Y!Z . F unct , ia
gf este Lipsc hitz, resp ectiv LIP , dac  f s , ig sun t Lipsc hitz, resp ectiv LIP .
Prop ozit , ia 2. Consider m X un spat , iu metric,f;g:X!Rn,':X!R trei funct , ii
Lipsc hitz s , ic2R . A tuncif+g s , icf sun t funct , ii Lipsc hitz. În plus,f
'este funct , ie
Lipsc hitz dac  exist  M2R+ cu proprietatea c  j'(x)jM , p en tru oricare x2X .
Prop ozit , ia 3. Consider m X un spat , iu metric s , if:X!Rn,':X!R dou  funct , ii
Lipsc hitz. A tuncif
'este LIP dac  p en tru oricare x2X ,'(x)6= 0 .
Prop ozit , ia 4. Consider m X un spat , iu metric s , i; 6=AX o m ult , ime. A tunci
x2X!d(x;A)2R este funct , ie Lipsc hitz. Dac  A s , iB sun t dou  m ult , imi înc hise
s , i disjuncte incluse în X , atunci exist  f:X![0;1] o funct , ie LIP cu proprietatea c 
A=f1(0) s , iB=f1(1) .
4

1.2 TEOREMA LUI RADEMA CHER
A v ând în v edere rezultatul urm tor, condit , ia ca o funct , ie s  e Lipsc hitz (LIP) p oate 
privit  ca o aten uare a diferent , iabilit t , ii.
T eorem  (a lui Rademac her). Consider m f:Rn!Rmo funct , ie Lipsc hitz s , i not m cu
Lnm sura Leb esgue. A tunci f este diferent , iabil  F réc hetLnaproap e p este tot.
Demonstr at , ie. Problema p oate  redus  la m= 1 .
Consider m v2Rn, cujjvjj= 1 . Denim
Dvf(x) =lim
t!0f(x+tv)f(x)
t,
p en tru oricare x2Rnastfel încât limita de mai sus s  existe.
P en tru aproap e tot , ix , exist Dvf(x) . Astfel
Dvf(x) =limsup
t!0f(x+tv)f(x)
t=lim
t!0sup
t2[;]f0gf(x+tv)f(x)
t=
=lim
k!1sup
t2[1
k;1
k]f0gf(x+tv)f(x)
t=lim
k!1sup
0<jtj<1
k;t2Qf(x+tv)f(x)
t
V om demonstra ultima egalitate:
Inegalitatea
lim
k!1sup
t2[1
k;1
k]f0gf(x+tv)f(x)
tlim
k!1sup
0<jtj<1
k;t2Qf(x+tv)f(x)
t
este eviden t .
P en tru cealalt  inegalitate, v om nota F(t) =f(x+tv)f(x)
t.
Observ  m ca F este con tin u . Consider m t02[1
k;1
k]f0g s , i(tn)n1Q astfel încât
p en tru oricare n2N,tn2[1
k;1
k]f0g s , ilim
n!1tn=t0 a v em:
F(t0) =F(lim
n!1tn) =lim
n!1F(tn)sup
0<jtj<1
k;t2QF(t)
Deci
sup
t2[1
k;1
k]F(t)sup
0<jtj<1
k;t2QF(t) ,
as , adar
lim
k!1sup
t2[1
k;1
k]F(t)lim
k!1sup
0<jtj<1
k;t2QF(t) .
Astfel, am demonstrat c 
Dvf(x) =lim
k!1sup
0<jtj<1
k;t2Qf(x+tv)f(x)
t
5

s , i, analog,
Dvf(x) =lim
k!1inf
0<jtj<1
k;t2Qf(x+tv)f(x)
t.
A tunci,Dvf(x) s , iDvf(x) sun t m surabile s , i
Av=fx2RnjDvf(x) n u exist g=
=fx2RnjDvf(x)<Dvf(x)g= (Dvf(x)Dvf(x))1(0;1)
este m surabil .
P en tru oricare x;v2Rncu proprietatea c  jjvjj= 1 , denim funct , ia':R!R cu
'(t) =f(x+tv) , p en tru oricare t2R .
' este funct , ie Lipsc hitz, deci cu v ariat , ie m rginit . Astfel, ' se p oate scrie ca diferent , a
a dou  funct , ii cresc toare. Deci ea este diferent , iabil  aproap e p este tot s , i p en tru oricare
t0 , exist lim
t!t0f(x+tv)f(x+t0v)
tt0.
P en tru aproap e p este tot , iX=x+t0v , not mT=tt0 . A tunci exist 
lim
T!0f(X+Tv)F(X)
T.
P en tru oricare L o dreapt  paralel  cu v ,H1(Av\L) = 0 (dimensiunea Hausdor ).
Conform teoremei lui F ubini, a v em c  Ln(Av) = 0 , deci exist 
gradf(x) =@f
@x1(x);@f
@x2(x);:::;@f
@xn(x)
p en tru aproap e tot , ix2Rn.
P en tru aproap e tot , ix2Rn, v om demonstra c  Dvf(x) =v
gradf(x) .
A tunci consider m 2C1
c(Rn) s , i a v em
Z
Rn
f(x+tv)f(x)
t
(x)dx=Z
Rnf(x)(x)
tdx+Z
Rnf(x+tv)
t(x)dx=
=Z
Rnf(x)(x)
tdx+Z
Rnf(y)
t(ytv)dy=
=Z
Rnf(x)[(x)xtv
t]dx .
As , adarZ
Rn
f(x+tv)f(x)
t
(x)dx=Z
Rnf(x)[(x)xtv
t]dx . (1)
P en tru c f este Lipsc hitz,
jf(x+1
kv)f(x)j
jj1
kvjjlip(f) ,
as , adar
6

f(x+1
kv)f(x)
1
klip(f) ,
deci
2
64f(x+1
kv)f(x)
1
k3
75(x)lip(f)j(x)j ,
p en tru oricare x2Rn.
P en tru oricare x2Rns , ik2N, v om nota
Fk(x) =f(x+1
kv)f(x)
1
k(x) .
As , adarFk s , iDvf
 sun t m surabile, iar p en tru oricare x2Rns , ik2N,
lim
k!1Fk=Dvf
 s , ijFk(x)jlip(f)j(x)j .
Deoarece2C1
c(Rn) s , ilip(f)jj este in tegrabil , cu a jutorul teoremei de con v ergent ,  
dominat  a lui Leb esgue a v em c 
lim
k!1Z
Rn2
64f(x+1
l)f(x)
1
k3
75(x)dx=Z
RnDvf(x)(x)dx . (2)
Deoarece este cu sup ort compact s , i
(x)(xtv)
tsup
u2[xtv;x]jj0(u)jjsup
u2Rnjj0(u)jj ,
exist  un n um r real M0 astfel încât
f(x)
(x)(xtv)
tM0
p en tru oricare x2Rns , it2R
F olosind teorema de con v ergent ,   dominat  a lui Leb esgue s , i relat , ia
lim
k!1f(x)(x)(x1
kv)
1
k=f(x)Dv(x)
obt , inem
lim
k!1Z
Rnf(x)(x)(x1
kv)
1
k=Z
Rnf(x)Dv(x)dx . (3)
Din relat , iile (1) , (2) s , i (3) reiese c 
7

Z
RnDvf(x)(x)dx=Z
Rnf(x)Dv(x)dx=
=nX
i=1Z
Rnf(x)@
@xi(x)dx()=nX
i=1viZ
Rn@f
@xi(x)(x)dx=
=Z
Rnv
gradf(x)
(x)dx ,
as , adar
Z
Rn[Dvf(x)v
gradf(x)](x)dx= 0 , (4)
p en tru oricare 2C1
c(Rn) .
T rebuie s  demonstr m c  () este adev  rat . Conform teoremei lui F ubini s , i p en tru c 
f
 este cu sup ort compact, deducem c 
Z
Rn@(f
)
@xi(x)dx=
=Z
Rn1Z
R@(f
)
@xi(x)dxi
dx1:::dxi1dxi+1:::dxn=
=Z
Rn1h
lim
!1(f
)(x1;:::;xi1;";xi+1;:::;xn)
lim
"!1(f
)(x1;:::xi1;";xi+1;:::;xn)i
dx1:::dxi1dxi+1:::dxn= 0 ,
deci rezult  () .
P en tru c 
Dvf(x) =lim
k!1f(x+1
kv)f(x)
1
k,
p en tru aproap e tot , ix ,Dvf este m surabil . În plus, deoarece
jjDvfjjlip(f) ,
reiese c Dvf este lo cal in tegrabil .
Astfel,Dvfv
gradf este lo cal in tegrabil .
Fiindc f este lo cal in tegrabil  p e
Rns , i
Z

f
dx= 0 ,
p en tru oricare 2C1
c(
) , deducem c  f= 0 aproap e p este tot. (5) .
Din relat , iile (4) s , i (5) rezult  c 
Dvf(x) =v
gradf(x)
8

p en tru aproap e tot , ix2Rn.
Consider m (vk)k0 o familie dens  în F r B(0;1) . P en tru oricare k2N denimAk=
fx2RnjDvkf(x) s , i gradf(x) exist  s , iDvkf(x) =vk
gradf(x)g .
A v ând în v edere notat , iile an terioare, dac 
A=A1\A2\:::\An\::: ,
atunci
Ln(RnnA) = 0 .
P en tru a termina demonstrat , ia, v om demonstra c  f este diferent , iabil  în orice punct din
A .
Consider m x2A arbitrar xat. P en tru v2 F rB(0;1) s , it2Rnf0g denim
Q(x;v;t ) =f(x+tv)f(x)
tv
gradf(x) .
P en truv02 F rB(0;1) a v em
jQ(x;v;t )Q(x;v0;t)j
f(x+tv)f(x+tv0)
t+(vv0)
gradf(x)
lip(f)jjvv0jj+jj gradf(x)jj
jjvv0jj
(pn+ 1)lip(f)jjvv0jj .
V om ar ta c  ultima inegalitate este adev  rat .
P en tru oricare i2f1;2;:::;ng , a v em
f(x+tei)f(x)
tlip(f) ,
as , adar
jjgradf (x)jj=vuutnX
i=1@f
@ei(x)2
lip(f)pn
.
Deci
jQ(x;v;t )Q(x;v0;t)j(pn+ 1)lip(f)jjvv0jj . (6)
P en tru c  F r B(0;1) este compact , p en tru oricare "0exist l2Ns , iu1;u2;:::;ul2 F r
B(0;1) astfel încât
F rB(0;1)B(u1;"0=2)[B(u2;"0=2)[:::[B(ul;"0=2) .
Lu mvk1;vk2;:::;vkl astfel încât, p en tru orice i2f1;2;:::;lg ,
9

jjvkiuijj"0
2.
As , adar, p en tru v2 F rB(0;1) ales arbitrar, exist  i02 f1;2;:::;lg astfel încât v2
B(ui0;"0=2) , deci
jjvui0jj<"0
2.
Deoarece
jjvki0ui0jj"0
2,
reiese c 
jjvvki0jj"0.
Astfel, p en tru oricare ">0 s , i oricarev2 F rB(0;1) , luând
"0="
2(pn+ 1)lip(f),
exist k2f1;2;:::;Ng , undeN=maxfk1;k2;:::;klg , astfel încât
jjvvkjj"
2(pn+ 1)lip(f). (7)
Fiindc , p en tru oricare k2f1;2;:::;Ng ,
lim
t!0Q(x;vk;t) = 0 ,
exist >0 astfel încât p en tru oricare t cu proprietatea c  0<jtj< deducem c 
jQ(x;vk;t)j<"
2. (8)
A tunci, din relat , iile (6) , (7) s , i (8) , p en tru oricare t cu proprietatea c  0<jtj< s , i oricare
v2 F rB(0;1) , a v em
jQ(x;v;t )jjQ(x;v;t )Q(x;vk;t)j+jQ(x;vk;t)j<"
2+"
2=" ,
ceea ce ilustreaz  c  p en tru oricare v2 F rB(0;1) a v em c 
lim
t!0Q(x;v;t ) = 0 . (9)
P en truy2Rnnf0;xg , cu notat , iile
t=jjyxjj s , iv=yx
jjyxjj,
a v em
f(y)f(x) gradf(x)(yx) =
=f
x+jjyxjjyx
jjyxjj
f(x)jjyxjjyx
jjyxjjgradf(x) =
f(x+tv)f(x)tv
gradf(x) =tQ(x;v;t ) .
Astfel,
10

f(y)f(x)gradf (x)(yx)
jjyxjj=Q(x;v;t ) .
Din relat , ia (9) reiese c 
lim
y!xf(y)f(x)gradf (x)(yx)
jjyxjj= 0 ,
de unde concluzion m c  f este diferent , iabil  înx s , iDf(x) = gradf(x) .
Observ at , ie. Dac   n=1 se obt , ine te or ema de derivar e a funct , ilor monotone a lui L eb esgue.
Corolar. Fief:U=
URn!RmLipschitz. A tunci f este difer ent , iabil Frechet$n
apr o ap e p este tot.
T eorema lui Rademac her a a juns un rezultat foarte folosit în matematic . Din aceast  ca-
uz  s-au c utat rezultate p en tru extinderea acestuia. Prin tre aceste generaliz ri amin tim:
T eorema lui Mankiewicz , T eorema lui Aronsza jn , T eorema lui Phelps , T eorema
lui Preiss .
11

2 SP AT , I I METRICE LIPSCHITZ ECHIV ALENTE
Denit , ie. Consider m (X;d) s , i(Y;d0) dou  spat , ii metrice. Dac  exist  f:X!Y
bijectiv  , Lipsc hitz s , if1Lipsc hitz (exist  în tre ele un homeomorsm Lipsc hitz), atunci
(X;d) s , i(Y;d0) se n umesc Lipsc hitz ec hiv alen te.
2.1 TEOREMA LUI AHAR ONI
Rezultatul care spune c  orice spat , iu metric separabil este Lipsc hitz ec hiv alen t cu o
subm ult , ime a luic0 îl dator m lui I. Aharoni. În con tin uare v om prezen ta câtev a pre-
liminarii necesare demonstr rii teoremei lui Aharoni.
Denit , ia 1. Consider m X un spat , iu Banac h (p este un corp K ). Fie (ei)i2N o baz 
Sc hauder a lui X cu proprietatea c  jjeijj= 1 , p en tru oricare i2N. A tunci, oricare
x2X este reprezen tat unic astfel:
x=1P
i=1xiei , undexi2K .
Consider m Pn:X!X ,n2Nastfel încât
Pnx=1P
i=1xiei , undex=1P
i=1xiei .
Denim s , i
P0x= 0 ,
p en tru oricare x2X .
Observ at , ia 1. Denim
jjjxjjj=sup
m<njjPnxPmxjj ,
p en tru oricare x2X .
A tuncijjj
jjj este norm  p e X (ec hiv alen t  cujj
jj ), cu proprietatea c  tot , iPnPm au
norma 1 în spat , iul(X;jjj
jjj ) .
Astfel presupunem c 
jjPnPmjj= 1 ,
p en tru oricare m;n2N cum6=n .
Deoarece norma este con v ex , p en tru oricare x=1P
i=1xiei , oricarem;n2N cum<n , s , i
oricares;t2[0;1] are lo c inegalitatea
jjtxmem+PnxPmx+sxn+1en+1jjjjxjj .
Denit , ia 2. Dac  exist  n2N astfel încât Pnx=x , atuncix2X este de sup ort nit.
Cel mai mic n2N cu proprietatea an terioar  este lungimea lui x (notat l(x) ).
12

Consider m
x=1P
i=1xiei2Xnf0g ,
2(0;jjxjj) s , i cel mai mic n2N cu proprietatea c 
jjxPnxjj< ,
adic 
jjxPn1xjj .
Consider m t2[0;1] astfel încât
jjxPnx+txnenjj= .
V om deni Q:Xnf0g!X ,Q(x) =Pnxtxnen ,
p en tru oricare x2X .
Observ at , ia 2. Deoarece
jjQ(x)jj=jj(1t)(PnxP0x) +t(Pn1xP0x)jj
(1t)jjPnxP0xjj+tjjPn1xP0xjj
(1t)jjxjj
jjPnP0jj+tjjxjj
jjPn1P0jj
(1t)jjxjj+tjjxjj=jjxjj ,
a v em c 
jjQ(x)jjjjxjj ,
p en tru oricare x2Xnf0g .
În plus, p en tru oricare x2Xnf0g a v em c 
jjxQxjj= .
Dar p en tru oricare y2X cu proprietatea
l(y)<l(Qx) ,
rezult 
=jjxQxjjjxPn1xjjjjxyjj .
A tunci
jjxyjj .
Lema 1. Consider m X un spat , iu Banac h ca mai sus, a>0 s , i>0 . A tunci exist  un
s , ir(zj(a;))j2NX , de sup ort nit astfel încât:
a)jjzj(a;)jj , p en tru oricare j2N;
b)j7!l((zj(a;)) este nem rginit  s , i cresc toare;
13

c) p en tru oricare z2X cu sup ort nit s , i cu proprietatea c  jjzjj , exist j2Nastfel
ca
jjzzj(a;)jja ,l(zj(a;)) =l(z)
s , i, p en trum=l(z) , a v em
(zj(a;))m
zm>0 ,
undezm reprezin t  co ecien tul lui em din reprezen tarea lui z .
Demonstr at , ie. Deoarece m ult , imile
An=fz2Xjl(z) =n;zn>0;jjzjjg
s , i
Bn=fz2Xjl(z) =n;zn<0;jjzjjg
sun t total m rginite, p en tru oricare n2N , exist  dou  m ult , imi nite:
An=fzj(a;)jj2fp2n2+ 1;:::;p 2n1gAn
s , i
Bn=fzj(a;)jj2fp2n1+ 1;:::;p 2ngBn
cu urm toarele propriet t , i:
d(x;An)<a , p en tru oricare z2An ,
s , i
d(x;Bn)<a , p en tru oricare z2Bn ,
s , i p en tru (pn)nZ cresc tor, a v ând p0= 0 .
S , irul p e care îl c utam este
(zj(a;))j2N .
Denit , ia 3. Consider m a>0;n;k;j2N cu propriet t , ile c n6 s , i1k2n
3.
Consider m i= (n;j;k ) s , i denim m ult , imile
Ma
i=fx2Xj(n2)ajjxjj(n+ 1)a;Qkax=zj(a;na )g
s , i
ta
i= (k1)a , undezj(a;na ) este dat din lema an terioar .
Observ at , ia 3. P en tru unii i , m ult , imileMa
i=; . V om lua în considerare doar m ult , imile
Ma
i nevide.
Lema 2. P en tru oricare x2X , exist  un n um r nit de i= (n;j;k ) cu proprietatea c 
d(x;Ma
i)<ta
i .
Demonstr at , ie. P en tru oricare
14

n>3jjxjj
a+ 1
,1k2n
3s , iy2Ma
i ,
se în tâmpl  c 
jjyxjjjjyjjjjxjj(n2)an
31
akaa=ta
i ,
deci
d(x;Ma
i)ta
i .
P en tru oricare
n<3jjxjj
a+ 1
,
v om a v ea c 
jjxjj>(n3)a
3a .
P en tru c Qa
2x este de sup ort nit, exist  j02N cu proprietatea c 
l(zj0(a;na ))>l(Qa
2x) .
Astfel, p en tru jj0 ,
l(zj(a;na ))>l(Qa
2x) .
P en tru unj ca mai sus, a v em i= (n;k;j ) s , i p en tru oricare y2Ma
i , rezult  cu a jutorul
observ at , iilor de mai sus:
jjyxjjjjyQa
2xjjjjxQa
2xjjjjyQkayjja
2=kaa
2>(k1)a=ta
i ,
de unde a v em c 
d(x;Ma
i)ta
i ,
p en tru un triplet de forma i= (n;k;j ) .
Lema 3. Consider m a>0 s , ix;y2X cu urm toarele propriet t , i:
jjxjjjjyjj s , ijjxyjj36a .
A tunci exist  i= (n;k;j ) astfel încât:
a)d(x;Ma
i)<a s , id(y;Ma
i)ta
i ;
b)ta
ijjxyjj
2;
c)ta
iajjxyjj
4.
Demonstr at , ie. Consider m
n=hjjxjj
ai
+ 1 s , ik=hjjxyjj
3ai
.
Astfel
2na2jjxjjjjxyjj ,
15

deci
k2n
3s , ijjQkaxjjjjxjjna .
Consider m zj=zj(a;na ) ( Lema 1 , p en truz=Qkax ).
R mâne s  ar t m c  i= (n;k;j ) este cel p e care îl c ut m.
A v em c 
jjuxjj=jjzjQkaxjj<a , p en truu=zj+xQkax .
Deci
Qkau=zj.
Astfel
(n2)a= (n1)aajjxjjajjujjjjxjj+ana+a= (n+ 1)a ,
deci
u2Ma
i s , id(x;Ma
i) =jjuxjj<a .
Îns , p en tru oricare v2Ma
i ,
Qkav=zj,
deci
jjyvjjjjyxjjjjxQkaxjjjjQkaxzjjjjjzjvjj
3kakaaka= (k1)a=ta
i .
Astfel a) este adev  rat, p en tru c  d(y;Ma
i)ta
i .
Se observ   c 
ta
i= (k1)ajjxyjj
3a<jjxyjj
2,
deci b).
În cele din urm , a v em c 
ta
ia
jjxyjj(k2)a
3(k+ 1)a=k2
3(k+ 1)1
4.
Dar inegalitateak2
3(k+ 1)1
4este ec hiv alen t  cu k11 , deoarece
k>jjxyjj
3a136
3a1 = 121 = 11 , deci c). 
T eorema lui Aharoni. Exist  o constan t  p ozitiv   k cu proprietatea c , p en tru oricare
spat , iu metric separabil X , exist T:X!c0 astfel încât
d(x;y)jjTxTyjjk
d(x;y) ,
16

p en tru oricare x;y2X .
Demonstr at , ie. Din T eorema Banac h-Mazur a v em c  oricare spat , iu metric separabil este
izometric cu o subm ult , ime a luiC([0;1]) . A cesta este un spat , iu Banac h cu o baz  Sc hauder
normalizat  s , i
jjPnPmjj= 1
p en tru oricare m ,n2N ,m6=n .
Fiea>0 . Consider m funct , ia
Ta:X!c0
dat  de
(Tax)i= max(0;ta
id(x;Ma
i)) .
Conform Lemei 2, p en tru oricare x2X ,Tax are sup ort nit.
Mai m ult,Ta0 = 0 , indc  p en tru oricare x2Ma
i
ta
i= (k1)a(n2)ajjxjj ,
p en tru oricare i .
În plus,
jjTaxTayjjjjxyjj ,
p en tru oricare x;y2X .
De fapt, p en tru a motiv a aceasta, v om analiza urm toarele trei cazuri relativ e la un i :
a)(Tax)i= (Tay)i= 0
Eviden t
j(Tax)i(Tay)ijjjxyjj .
b)(Tax)i6= 0 s , i(Tay)i= 0 .
A v em c 
d(x;Ma
i)<ta
i<d(y;Ma
i)
s , i
ta
i<d(y;Ma
i)jjxyjj+d(x;Ma
i) .
Rezult  astfel c 
j(Tax)i(Tay)ij=jta
id(x;Ma
i)jjjxyjj .
c)(Tax)i6= 0 s , i(Tay)i6= 0 .
A v em c 
j(Tax)i(Tay)ij=jd(x;Ma
i)d(y;Ma
i)jjjxyjj .
17

În plus, dac jjxjjjjyjj ,jjxyjj 36a s , i conform Lemei 3 , exist i cu urm toarele
propriet t , i:
(Tay)i= 0
s , i
jjxyjj
4ta
iata
id(x;Ma
i) = (Tax)ita
i .
Astfel,
j(Tax)i(Tay)ijta
iajjxyjj
4.
Ap oi, consider m funct , ia
Sa:X!c0
prin
(Sax)i= min((Tax)i;72a) ,
p en tru oricare x2X .
A v em c 
Sa0 = 0 ,jjSaxjj72a s , iSax este cu sup ort de nit,
p en tru oricare x2X .
Mai m ult,
jjSaxSayjjjjxyjj .
P en tru a motiv a inegalitatea de mai sus, v om considera urm toarele cazuri:
 )(Sax)i= (Tax)i s , i(Say)i= (Tay)i .
A v em c 
j(Sax)i(Say)ij=j(Tax)i(Tay)ijjjxyjj .
 )(Sax)i= (Say)i= 72a
A tunci
j(Sax)i(Say)ij= 0jjxyjj .

)(Sax)i= (Tax)i s , i(Say)i= 72a .
A v em c 
(Tax)i72a(Tay)i .
Astfel
j(Sax)i(Say)ij= 72a(Tax)i(Tay)i(Tax)ijjxyjj .
Mai m ult, p en tru
36ajjxyjj72a ,
18

a v em c 
jjSaxSayjjjjxyjj
4,
indc , folosind Lema 3 , exist  un i cu proprietatea c 
d(y;Ma
i)ta
i .
Astfel
(Tay)i= 0 ,
deci
(Say)i= 0 .
Dac  (Sax)i= (Tax)i , rezult  c 
j(Sax)i(Say)ij= (Tax)i=j(Tax)i(Tay)ijjjxyjj
4.
Dac  (Sax)i= 72a , rezult  c 
j(Sax)i(Say)ij= 72ajjxyjjjjxyjj
4.
V om deni aplicat , ia
T:X!1P
n=1c0
0'c0
prin
T= 4
T11P
n=1S1
2n
,
adic 
Tx= 4
T1x;S 1
2nx;:::;S 1
2nx;:::

,
care îndeplines , te toate condit , iile cerute. 
Observ at , ia 3. Se p oate demonstra c  putem lua k > 6 . Demonstrat , ia de mai sus n u
cuprindek= 4 , p en tru c C([0;1]) trebuie renormat astfel încât, p en tru o baz  Sc hauder,
jjPnPmjj= 1 ,
p en tru oricare m ,n2N ,m6=n . Nu este cunoscut  cea mai mic  v aloare a lui k , dar
prop ozit , ia urm toare ne arat  c  k2 .
Prop ozit , ie. Consider m T:l1!c0 cu proprietatea c 
jjxyjjjjTxTyjjk
jjxyjj ,
p en tru oricare x ,y2X . A tuncik2 .
Demonstr at , ie. Presupunem, f r  pierderea generalit t , ii, c 
T0= 0
Presupunem, prin reducere la absurd, c  k<2 .
19

Consider m
ei= (0;0;:::;0;1;0;:::;0;:::) , unde p e p ozit , iai este1 .
Consider m
M=fn2Njj(Te1)n(Te2)nj42kg .
P en trui;j2N ,i;j3 ,i6=j , denim
Mij=fn2Njj(Tei)n(Tej)nj42kg .
M s , iMij sun t nite. V om demonstra c  M\Mij6=; , p en tru oricare i;j2N ,i;j3 ,
i6=j .
Astfel
jjT(e1+ei)T(e2+ej)jjjj (e1+ei)(e2+ej)jj= 4 .
Rezult  c  exist  n02N cu proprietatea c 
j(T(e1+ei))n0(T(e2+ej))n0j4 .
A tunci
j(Te1)n0(Te2)n0jj(T(e1+ei))n0(T(e2+ej))n0j
j(T(e1+ei))n0(Te1)n0jj(T(e2+ej))n0(Te2)n0j
4jjT(e1+ei)Te1jjjjT(e2+ej)Te2jj
4kk= 42k ,
decin02M . La fel se demonstreaz  c  n02Mij .
Consider m PM proiect , ia canonic  a lui c0 p e spanfengn2M . Astfel m ult , imea

PMTei

i3
este m rginit  în tr-un spat , iu nit.
A ceasta este o con tradict , ie cu faptul c j(Te1)n0(Te2)n0j42k .
20

2.2 TEOREMA LUI ASSOUAD
Lui P . Assouad îi dator m rezultatul care spune c  p en tru oricare spat , iu metric separabil
(X;d) s , i p en tru oricare ">0 , exist f:X!c+
0 astfel c 
d(x;y)jjf(x)f(y)jj(3 +")
d(x;y) ,
p en tru oricare x;y2X .
În con tin uare v om prezen ta o denit , ie s , i o prop ozit , ie care v or folosi la demonstrarea
teoremei lui Assouad.
Denit , ia 1. Fie(X;d) un spat , iu metric. A tunci Y se n umes , te a-ret , ea a lui (X;d) dac 
d(x;Y)<a , p en tru oricare x2X
s , i
d(y;y0)a , p en tru oricare y;y02Y ,y6=y0.
Prop ozit , ia 1. Consider m (X;d) un spat , iu metric separabil, X0X o subm ult , ime s , i
2(2;1) . A tunci exist  (Mi)i2NX cu propriet t , ile:
a) p en tru oricare x2X0 exist i2N astfel c 
d(x;Mi)<1 ;
b) p en tru oricare x2X ,fi2Njd(x;Mi)<1g este nit ;
c) p en tru oricare i2N ,diam (Mi)<2 .
Demonstr at , ie. Consider m Y=fyjgj2N o 1-ret , ea a lui (X;d) ce cuprinde o 1-ret , ea a lui
(X0;d) , notat Z .
Consider m
M0=B(y0;)\Z
s , i
Mi= (B(yi;)\Z)ni1[
j=0Mj;
p en tru oricare i2N.
A tunci a) este adev  rat p en tru c  (Mi)i2N este acop erire a lui Z .
Consider m x2X . A tunci exist  j02N cu proprietatea c  d(x;yj0)<1 .
P en tru oricare i2N a v em c 
d(x;Mi)<1 ,
ceea ce implic 
d(Mi;yj0)< .
21

Astfel exist  z2Mi cu
d(z;yj0)< .
Presupunem, prin reducere la absurd, c  j0<i .
A tunci, din denit , ia luiMi , a v em c z =2Mj0 , darz2B(yj0;) . Rezult  astfel c 
z2M1[M2[:::[Mj01 .
Con tradict , ie cuz2Mi .
În concluzie, m ult , imea
x2X ,fi2Njd(x;Mi)<1g
are cel m ult j0+ 1<1 elemen te, deci are lo c b).
Deoarece, p en tru oricare i2N,
MiB(yi;) ,
deci s , i c) adev  rat. 
A cum putem demonstra T eorema lui Assouad.
T eorema lui Assouad. Consider m (X;d) spat , iu metric separabil, ">0 ,>2 s , i>0
astfel încât

2(1 +) = 1 +"
3.
Consider m e2X .
P en tru un în treg n, denim
an= (1 +)n,Xn=XnB
e;3an
2
,dn=d
an.
Fie(Min)i2N construit în prop ozit , ia de mai sus, p en tru (X;dn) spat , iu metric separabil s , i
XnX .
P en trui2N s , ix2X , e
fin(x) = [(1)and(x;Min)]+.
Prin in termediul lui NZ index m baza canonic  a lui l1 :
(ein)(i;n)2NZ ,
s , i p en tru oricare x2X , consider m
f(x) =X
(i;n)2NZeinfin(x)
.
A tunci, p en tru oricare x;y2X ,
22

f(x)2c+
0 s , id(x;y)
3 +"jjf(x)f(y)jjd(x;y) .
Demonstr at , ie. Consider m x2X;m;n 02Z cu proprietatea c 
fim(x)(1)an0 .
A tunci
[(1)amd(x;Mim)]+(1)an0 s , i, deci,mn0 .
Efectiv,m>n 0 implic an0>am , de unde
(1)amd(x;Mim)(1)an0>(1)am .
Astfel se obt , ine con tradict , ia0>d(x;Mim) .
P e de alt  parte,
B(x;(1)am)\Xm este nevid .
Deci exist  y2Xm cu proprietatea c 
d(x;y)<(1)am .
Deoarecey2Xm , rezult  c 
d(y;e)3am
2
s , i
d(x;e)d(y;e)d(x;y)3am
2(1)am=(+ 2)am
2.
Astfel, conform celor en unt , ate mai sus s , i punctului b) de la prop ozit , ia an terioar ,
f(i;n)2NZjfin(x)(1)an0g este nit .
Consider m x;y2X;x6=y s , in2Z cu proprietatea c 
3and(x;y)<3(1 +)an .
Ev en tual in v ersând p e x cuy , presupunem c 
d(x;e)3an
2.
Decix2Xn .
Exist  un n um r natural i astfel încât
d(x;Min)<an<(1)an .
As , adar
fin(x) = (1)and(x;Min)>(2)an .
De asemenea, sup ortul lui fin este inclus în B(x;3an) .
P en tru c 
23

d(x;Min)<a ,
exist z02Min astfel încât
d(x;z0)<a .
Consider m y cu proprietatea c 
d(x;y)3an .
P en tru oricare z2Min se în tâmpl  c 
d(z;y)d(y;x)d(x;z0)d(z0;z)3anan2an= (1)an ,
indc 
d(z0;z)diam (Mi)2an .
Astfel,
d(y;Min)(1)an ,
adic 
fin(y) = 0 .
În concluzie,
jjf(x)f(y)jjjfin(x)fin(y)j>(2)an2
3(1 +)
d(x;y) =d(x;y)
3 +".
Reiese c 
d(x;y)
3 +"jjf(x)f(y)jj()d(x;y) ,
inegalitatea (*) rezultând din faptul c  f:X![0;1) ,f(x) =d(x;Min) , p en tru oricare
x2X , este Lipsc hitz. 
24

2.3 AL TE REZUL T A TE
În urm toarele rânduri v or  prezen tate alte cinci rezultate ale spat , iilor metrice Lips-
c hitz ec hiv alen te, al turi de denit , ii s , i observ at , ii folositoare în înt , elegerea s , i demonstrarea
acestora.
Denit , ia 1. Fie(X;d) un spat , iu metric. A cesta se n umes , te(C;s)omogen dac  are
lo c inegalitatea
card(Y\Z)C
b
as
,
p en tru oricare 0<a<b ,Y m ult , ime a-discret  s , iZ m ult , ime cudiam (Z)b .
Se n umes , te dimensiunea metric  a spat , iului metric (X;d) m ult , imea
dim(X;d) =inffs0j exist C > 0 cu proprietatea c  (X;d) este(C;s)omogeng .
T eorema 1. (rezultat ar tat de P . Assouad)
Fie(X;d) un spat , iu metric astfel încât dim(X;d)<1 s , i ep2(0;1) .
A tunci exist  un n um r natural n , o funct , ief: (X;dp)!(R2;jj
jj 2) s , iA;B > 0 cu
proprietatea c 
A
dp(x;y)jjf(x)f(y)jjB
dp(x;y) ,
p en tru oricare x;y2X .
Observ at , ia 1. Rezultatul an terior arat  c  p en tru un spat , iu metric (X;d) cudim(X;d)<
1 , acesta p oate  scufundat în tr-un Rn. As , adarf:X!f(X) are proprietatea c  atât
f , cât s , if1, sun t Lipsc hitz.
Denit , ia 2. Spunem c  un spat , iu metric (X;d) este ultrametric dac  distant , a d(distant , a
ultrametric ) v eric  urm toarea inegalitate:
d(x;y)maxfd(x;z);d(y;z)g ,
p en tru oricare x;y;z2X .
T eorema 2. (rezultat demonstrat de J. Luukk ainen s , i H. Moha v eni-Lank arani)
Consider m un spat , iu ultrametric (X;d) astfel încât dim(X;d)<n .
A tunci p en tru oricare x;y2X , exist f: (X;d)!(Rn;jj
jj 2) s , iL1 cu proprietatea c 
1
L
d(x;y)jjf(x)f(y)jjL
d(x;y) .
De asemenea, s , i recipro ca este adev  rat .
T eorema 3. (J. Luukk ainen s , i H. Moha v eni-Lank arani au ar tat urm torul rezultat)
Fie(X;d) un spat , iu ultrametric s , in un n um r natural astfel încât
dim(X;d) =n .
A tunci n u exist  o funct , ief:X!Rnp en tru care exist  L1 cu proprietatea c 
1
L
d(x;y)jjf(x)f(y)jjL
d(x;y) ,
25

p en tru oricare x;y2X .
T eorema 4. (H. Moha v eni-Lank arani a demonstrat acest rezultat)
Fie un spat , iu ultrametric compact (X;d) s , iH un spat , iu Hilb ert innit dimensional.
A tunci exist  L1 s , i o funct , ief:X!H cu proprietatea c 
1
L
d(x;y)jjf(x)f(y)jjL
d(x;y) ,
p en tru oricare x;y2X .
Denit , ia 3. Consider m dou  spat , ii Banac h reale X s , iY . Se n umes , te" -bi-Lipsc hitz o
funct , ief:X!Y dac 
(1")jjxyjjjj (f(x)f(y)jj(1 +")jjxyjj ,
p en tru oricare x;y2X .
Observ at , ia 2. (un rezultat al lui S. Mazur s , i S. Ulam)
FieX s , iY dou  spat , ii Banac h reale. A tunci o izometrie f:X!Y cuf(0) = 0 este
liniar .
T eorema 5. (rezultat demonstrat de Kil-W oung Jun s , i Dal-W on P ark)
Consider m X s , iY dou  spat , ii Banac h reale s , i o funct , ie" -bi-Lipsc hitz f:X!Y , p en tru
oricare"2
0;1
3
, cuf(0) = 0 .
A tuncif este aproap e liniar , adic 
jjf(x+y)f(x)f(y)jjD(")(jjxjj+jjyjj)
s , i
jjf(x)f(x)jjD(")E()jjxjj ,
p en tru oricare x;y2X ,2R s , i
lim
"!0D(") = 0 s , ilim
!0E() = 0 .
26

3 EXTINDERI PENTR U FUNCT , I I LIPSCHITZ
Datorit  imp ortant , ei în analiza matematic  a teoremei lui Tietze, au început s  se studieze
asemenea rezultate s , i p en tru funct , iile Lipsc hitz. În plus, cum reiese s , i din tr-un articol al
lui Earl J. Mic kle, aceste rezultate au s , i implicat , ii practice:
In a pr oblem on surfac e ar e a the writer and Helsel wer e c onfr onte d with the
fol lowing question: Can a Lipschitz tr ansformation fr om a set in a Euclidian
thr e e-sp ac e into a Euclidian thr e e-sp ac e b e extende d to a Lipschitzian tr ansfor-
mation dene d on the whole sp ac e?
3.1 TEOREMA LUI KIRSZBRA UN
P en tru a putea demonstra T eorema lui Kirszbraun, a v em nev oie de urm toarea lem :
Lema 1. Fie
Yt=fyj exist  (a;r)2P cu proprietatea c  jjyajjrtg=
=\
(a;r)2PB(a;rt);
p en trut2[0;1) s , i;6=PRnfrj0<r<1g .
A tunci:
a)c=infftjYt6=;g<1 ;
b) m ult , imeaYc are un singur elemen t s , i îl not m cu b ;
c)b se a  în acop erirea con v ex  a m ult , imii
A=faj exist r astfel încât (a;r)2P s , ijjbajj=rtg .
Demonstr at , ie. P en tru oricare t2[0;1) ,Yt este compact  p en tru c  este o subm ult , ime
înc his  aB(a;rt) .
P e de alt  parte, observ  m c  p en tru 0t1t2 , a v em c Yt1Yt2 . (*)
Ar t m c 
Yc=\fYtjc<t<1g .
Incluziunea direct  reiese din (*) .
P en tru a ar ta cealalt  incluziune, v edem c  p en tru y2Yt , a v em c jjyajjrt , p en tru
oricaret>c . Astfeljjyajjrc , p en tru oricare (a;r)2P . Deciy2Yc .
Spunem c  Yc6=; .
Presupunem con trariul. A tunci
\fYtjc<tg=; .
27

DeoareceYt sun t compacte, a v em c 
[
f2FYt=;;
p en truF (c;1) nit .
As , adar,
YM=; ,
undeM=minF >c .
Dar exist t0<M cu proprietatea c  Yt06=; .
A ceasta este o con tradict , ie:;6=Yt0YM=; .
Fie
=supfrj exist a2Rnastfel încât (a;r)2Pg .
Dac y;z2Yc s , i(a;r)2P , atunci
y+z
2a2
=jjy+zjj2
4+jjajj2(y+z)
a=
=jjyjj2
2+jjzjj2
2jjyzjj2
4+jjajj2y
az
a=
=(jjyajj2+jjzajj2)
2jjyzjj2
4r2c2r2jjyzjj2
42.
Astfel
y+z
22Yt0 ,
unde
t0=
c2jjyzjj2
421=2
.
DeciYt06=; .
As , adarct0 , de unde rezult  c 
y=z .
În cele din urm , Yc are un singur elemen t.
F olosind ev en tual o translat , ie a lui Rn, presupunem c  Yc= 0 .
Fie">0 . A tunci
"u =2Yc= 0 ,
p en truu2Rncujjujj= 1 .
Astfel exist  (a";r")2P cu proprietatea c 
28

r2
"c2<jj"ua"jj2="2+jja"jj22"u
a" .
Deoarece 02Yc , a v em
jja"jj2r2
"c2.
Prin urmare,
u
a""
2.
Deci exist  (an;rn)n1P astfel încât
u
an1
2n.
P en tru c P este compact , lu m un subs , ir con v ergen t al s , irului de mai sus. Presupunem
c  este c hiar (an;rn)n1 .
În consecint ,  , exist  (a0;r0)2P cu proprietatea c 
lim
n!1(an;rn) = (a0;r0)2P .
Este clar c  u
a00 .
A v em
jjanjj2r2
nc2<1
n2+jjanjj22
nu
an ,
de unde
jja0jj2r2
0c2jja0jj2,
ceea ce implic 
jja0jj2=r0c .
Prin urmare
P\f(a;r)jjjajj=rc s , iu
a0g6=; ,
de unde rezult  c 
A\faju
a0g6=; . (**)
În concluzie, 0 n u p oate  separat de A de niciun (n1) -hip erplan.
V om folosi un rezultat de analiz  funct , ional :
Consider  m un sp at , iu ve ctorial top olo gic X ,A;B6=; , c onvexe, disjuncte. În
plus,A este c omp act , iar B închis .
A tunci exist  f2X,
1;
22R astfel înc ât p entru oric ar e x2A ,y2B se
întâmpl  c  
Ref(x)<
1<
2<Ref (y) .
Presupunem, prin reducere la absurd, c  0=2coA . A tuncif0g;coA6=; , con v exe, disjuncte.
În plus,f0g este compact  s , icoA este înc his .
29

Deci exist  f2X,
1;
22R cu proprietatea c 
Ref(x)<
1<
2<Ref (y) ,
p en trux= 0 s , i oricarey2coA .
Dar exist u2Rncujjujj= 1 cu proprietatea c 
f(x) =hx;ui ,
p en tru oricare x2Rn.
Astfel
0<
1<
2<hx;ui ,
p en tru oricare y2A . A ceasta este o con tradict , ie cu (**) .
În concluzie, 02coA .
F olosind rezultatul an terior putem demonstra T eorema lui Kirszbraun.
T eorema lui Kirszbraun. FieSRms , i o funct , ie Lipsc hitz f:S!Rn.
A tunci exist  F:Rm!Rno funct , ie Lipsc hitz cu urm toarele dou  propriet t , i:
a)FjS=f ;
b)lip(F) =lip(f) .
Demonstr at , ie. Presupunem c  lip(f) = 1 .
Consider m m ult , imea

=f(h;S0)j exist S0Rm,SS0,h:S0!Rnfunct , ie Lipsc hitz astfel încât gjS=f
s , ilip(g) =lip(f) = 1g .
Din lema lui Zorn rezult  c 
are un singur elemen t maximal (F;T) , cuF:TRm!
Rn.
V om demonstra c  p en tru 2RmT , exist 2Rncu proprietatea c 
jjF(x)jjjjxjj ,
p en tru oricare x2T .
As , adar
F[f(;)g2
,
aceasta ind o con tradict , ie cu maximilitatea lui F .
Deci v om demonstra c 
\
x2FfB(F(x);jjxjj)g6=;:
30

P en tru c fB(F(x);jjxjj)g sun t compacte, trebuie s  v eric m relat , ia de mai sus
p en tru oricareFT nit .
Astfel, v om folosi lema de mai sus p en tru
P=f(F(x);jjxjj)jx2Fg .
Deci exist  x1;x2;:::;xk2F s , i1;2;:::;k2R+ astfel încât F(xi)2A , adic 
jjbF(xi)jj=jjxijj
c ,
p en tru oricare i=1;k , s , i
b=kX
i=1iF(xi)
cu
kX
i=1i= 1:
F olosind
2u
v=jjujj2+jjvjj2jjuvjj2,
obt , inem c 
0 = 2kX
i=1i[F(xi)b]2
= 2kX
i;j=1ij[F(xi)b]
[F(xj)b] =
=kX
i;j=1ij[jjjF(xi)bjjj2+jjjF(xj)bjjj2jjjF(xi)F(xj)jjj2]
kX
i;j=1ij[c2jjxijj2+c2jjxjjj2jjxixjjj2] =
=kX
i;j=1ij[2c(xi)
c(xj) + (c21)jjxixjjj2] =
= 2ckX
i=1i(xi)2
+ (c21)kX
i;j=1ijjjxixjjj2:
As , adar, consider m k= 1 s , ic= 0 (p en tru c 6=x12T , s , i consider m k>1 s , ic1 .
În concluzie c1 s , i rezult  c 
fbg2YcY1 ,
adic 
31

b2\
x2FfB(F(x);jjxjj)g:
Observ at , ie. Dac  norma cu care RnsauRmsun t înzestrate n u pro vine din tr-un pro dus
scalar, atunci teorema lui Kirszbraun p oate s  n u mai e adev  rat .
Exemplu. FieS=f(1;1);(1;1);(1;1)gR2,f:S!R2astfel
f(1;1) = (1;0) ,f(1;1) = (1;0) ,f(1;1) = (0;p
3)
s , i
(x) =supfjx1j;jx2jg ,v(x) = [(x1)2+ (x2)2]1=2, p en tru orice x2R2.
A tunci
(uv) = 2 =v[f(u)f(v)] s , i(u) = 1 ,
dar n u exist  2R2astfel încât
c[f(u)]1 ,
p en tru oricare u;v2S .
Astfelf n u are extinderi Lipsc hitz, la S[f(0;0)g , de constan t  Lipsc hitz 1.
32

3.2 TEOREMA LUI McSHANE
T eorema lui McShane. Consider m un spat , iu metricX ,SX s , i o funct , ie Lipsc hitz
f:S!R .
A tunci exist  F:X!R cu urm toarele dou  propriet t , i:
a)FjS=f ;
b)lip(F) =lip(f) .
Demonstr at , ie. Fie
F(x) =supff(y)lip(f)d(x;y)jy2Sg ,
p en tru oricare x2X .
Dac x2S xat, atunci
f(y)lip(f)d(x;y)f(x) ,
p en tru oricare y2S .
As , adarF este bine denit .
În relat , ia an terioar  a v em egalitate dac  x=y . A tunci obt , inem
F(x) =f(x) ,
p en tru oricare x2S , ceea ce v eric  a).
Consider m x;y2X arbitrari. A tunci, p en tur oricare ">0 , exist z2S cu proprietatea
c 
F(x)"<f (z)lip(f)d(x;z) .
Astfel
F(x)F(y)<"+f(z)lip(f)d(x;z)f(z) +lip(f)d(y;z) =
="+lip(f)(d(y;z)d(x;z))"+lip(f)d(x;y) .
F acem sc him barea din tre x s , iy . A tunci
F(y)F(x)"+lip(f)d(x;y) .
As , adar
jF(x)F(y)j"+lip(f)d(x;y):
Deoarece" era arbitrar, a v em
jF(x)F(y)jlip(f)d(x;y) ,
p en tru oricare x;y2X .
DeciF este Lipsc hitz s , i
lip(F)lip(f) .
Presupunem, prin reducere la absurd, c  lip(F)<lip (f) . DarFjS=f , ceea ce con trazice
denit , ia luilip(f) .
As , adarlip(F) =lip(f) , deci este v ericat s , i b). 
33

3.3 TEOREMA LUI CZIPSZER S , I GEHÉR
T eorema lui Czipszer s , i Gehér. Consider m un spat , iu metricX ,f:S!R funct , ie
LIP , p en tru SX înc his .
A tunci exist  F:X!R funct , ie LIP cu proprietatea c  FjS=f .
Demonstr at , ie. Presupunem c  funct , iaf este m rginit , adic  exist  M2R astfel încât
jf(x)jM , p en tru oricare x2S .
P en tru oricare x2S , exist Kx2R cu proprietatea c 
jf(x)f(y)jKxd(x;y) ,
p en tru oricare y2X .
Din ip otez , p en tru oricare x2S , exist k10 s , ir>0 astfel încât
jf(x)f(y)jk1d(x;y) ,
p en tru oricare y2B(x;r) .
Consider m k22M
rs , i atunci p en tru y =2B(x;r) rezult  c 
jf(x)f(y)j2Mk2rk2d(x;y) .
Deci, p en tru Kx=max(k1;k2) , a v em
jf(x)f(y)jKxd(x;y) ,
p en tru oricare y2X .
Demonstr m c  F:X!R ,F(x) =inf
y2S[f(y) +Kyd(x;y)] , p en tru oricare x2X , este
extensia c utat .
A v em c 
f(y) +Kyd(x;y)f(x);
p en tru oricare y2S .
A tunciF este bine denit  s , i
f(x)F(x) ,
p en tru oricare x2X .
Deoarece
f(x) +Kxd(x;x) =f(x) ,
p en trux2S , a v em
F(x) =inf
y2S[f(y) +Kyd(x;y)] =f(x) .
DeciFjS=f .
Alegemx02X arbitrar. A tunci a v em dou  cazuri:
34

i)x02S ;
ii)x0=2S .
i) Dac x2X ,
F(x)f(x0) +Kx0d(x;x0) ,
i.e.
F(x)f(x0) =F(x)F(x0)Kx0d(x;x0) .
P en truy2Snfx0g a v em c 
f(y)f(x0)Kyd(y;x0) (*)
s , i
f(y)f(x0)Kx0d(y;x0) . (**)
Înm ult , im p e (*) cud(x;y)
d(x;y) +d(x;x0)s , i p e (**) cud(x;x0)
d(x;y) +d(x;x0). A tunci a v em
f(y)f(x0)[Kyd(x;y) +Kx0d(x;x0)]d(y;x0)
d(x;y) +d(x;x0)
[Kyd(x;y) +Kx0d(x;x0)] .
As , adar
f(y) +Kyd(x;y)f(x0)Kx0d(x;x0) .
Relat , ia de mai sus este adev  rat  s , i dac y=x0 .
Deci
F(x) =inf
y2Sjf(y) +Kyd(x;y)jf(x0)Kx0d(x;x0) ,
i.e.
F(x)f(x0) =F(x)F(x0)Kx0d(x;x0) .
Astfel
jF(x)f(x0)j=jF(x)F(x0)jKx0d(x;x0) ,
p en tru oricare x2X .
ii) Not m
d=d(x0;S)>0 s , iU=B
x0;d
2
.
P en tru oricare z2S xat s , ix2U , a v em
F(x)f(z) +Kzd(x;z)f(z) +Kz(d(x;x0) +d(x0;z))
f(z) +Kz
d(x0;z) +d
2
.
Dar
35

F(x)inf
y2Sf(y)M ,
p en tru oricare x2U .
As , adarF este marginit  (p e U ) s , i exist N > 0 cu proprietatea c 
jF(x)jN ,
p en tru oricare x2U .
Lu mx12U . A tunci p en tru oricare ">0 , exist y2S cu proprietatea c 
F(x1)f(y) +Kyd(x1;y)" . (1)
P en tru c 
F(x0)f(y) +Kyd(x0;y) ,
a v em
F(x0)F(x1)Ky(d(x0;y)d(x1;y)) +"Kyd(x0;x1) +" . (2)
Din (1) rezult  c 
KyF(x1)f(y) +"
d(x1;y)N+M+"
d
2.
Deci din (2) obt , inem c 
F(x0)F(x1)N+M+"
d
2d(x0;x1) +" .
P en tru c " este ales arbitrar, deducem c 
F(x0)F(x1)N+M
d
2d(x0;x1) .
La fel se arat  c 
F(x1)F(x0)N+M
d
2d(x1;x0) .
În concluzie,
jF(x1)F(x0)2N+M
d(x0;S)d(x1;x0) ,
p en trud(x1;x0)1
2d(x0;S) .
Astfel, dac  f este m rginit , rezultatul este demonstrat.
V om trata s , i cazul general. Se observ   c , dac 
jf(x)jM ,
p en tru oricare x2S , atunciF p oate  luat  astfel ca
36

jF(x)j<M ,
p en tru oricare x2X .
Astfel, putem presupune c  tot , iKx>1 .
Dac x =2S ,
F(x)M+d(x;S)>M .
Se observ   c  funct , ia dat  de
F1(x) =min[F(x);M] ,
p en tru oricare x2X este o extensie LIP a funct , iei f s , i v eric  urm toarea inegalitate:
M <F 1(x)M ,
p en tru oricare x2X .
La fel a m o extensie LIP a lui f care v eric  inegalitatea
M <F 2(x)M ,
p en tru oricare x2X .
Prin urmare, funct , ia dat  de
(x) =1
2[F1(x)F2(x)] ,
p en tru oricare x2X , este s , i ea o extensie LIP a funct , iei f s , i v eric  inegalitatea
M < (x)<M ,
p en tru oricare x2X .
Fie funct , ia dat  de
g(x) = arctgf(x) ,
funct , ie LIP , p en tru oricare x2S .
Deci exist  o extensie LIP a lui g , notat G , cu proprietatea c 
jG(x)j<
2,
p en tru oricare x2X .
În concluzie, extensia LIP a lui f este dat  de
F(x) = tgG(x) ,
p en tru oricare x2X .
37

3.4 REZUL T A TELE LUI V ALENTINE
Consider m M;M0spat , ii metrice. P en tru xi2M ,x0
i2M0,ri2R , not m
Si=fx2Mjd(x;xi)rig
s , i
S0
i=fx02M0jd0(x0;x0
i)rig .
Prop ozit , ie. Urm toarele armat , ii sun t ec hiv alen te:
I. Proprietatea de extindere p en tru con tract , ii (EC). P en tru oricare S
TM s , i oricaref:S!M0astfel încât
d0(f(x);f(y))d(x;y) ,
p en tru oricare x;y2S , exist  o funct , ieF:T!M0cu propriet t , ile:
a)FjS=f ;
b)d0(F(x);F(y))d(x;y) , p en tru oricare x;y2T .
I I. Proprietatea E. P en tru oricare (Si)i2IM ,(S0
i)i2IM0familii de sfere cu propri-
etatea
d0(x0
i;x0
j)d(xi;xj) ,
p en tru oricare i;j2I ,
\
i2ISi6=;
implic 
\
i2IS0
i6=;:
Dac  , în plus, M;M0sunt sp at , ii normate, atunci I. este e chivalent  s , i cu:
I'. Proprietatea de extindere Lipsc hitz cu p strarea normei (ELn). P en tru oricare
STM s , i oricaref:S!M0astfel încât exist  K2R cu proprietatea c 
jjf(y)f(x)jjKjjxyjj ,
p en tru oricare x;y2S , exist  o funct , ieF:T!M0cu propriet t , ile:
a)FjS=f ;
b)jjF(y)F(x)jjKjjxyjj , p en tru oricare x;y2T .
În acest caz, lip(F) =lip(f) .
38

Demonstr at , ie. I.) I I.
F unct , iaf:fxiji2Ig!fx0
iji2Ig ,f(xi) =x0
i , satisface inegalitatea
d0(f(xi);f(xj))d(xi;xj) ,
p en tru oricare i;j2I .
Consider m
s2\
i2ISi:
Din ip otez  rezult  c  exist 
F:T=fxiji2Ig[fsg!M0
cu propriet t , ile:
a)Fjfxiji2Ig=f ;
b)d0(F(x);F(y))d(x;y) , p en tru oricare x;y2T .
Astfel, a v em c 
d0(F(xi);F(s))d(xi;s) ,
p en tru oricare i2I .
Not mF(s) =s0.
DeoareceF(xi) =f(xi) =x0
i ,
rezult 
d0(x0
i;s0)d(xi;s)ri ,
p en tru oricare i2I , i.e.
s02\
i2IS0
i
I I.) I. Fie
M=f(g;U)jSUT s , ig:U!M0astfel încât
gjS=f s , id0(g(x);g(y))d(x;y) , p en tru oricare x;y2Ug .
Deci (f;S)2M . A tunciM6=; .
Mult , imeaM este inductiv ordonat  cu relat , ia
(g;U)(g0;U0),UU0s , ig0jU=g .
F olosind Lema lui Zorn, rezult  c  exist  un elemen t maximal (F;T 0)2M .
Armat , ie.T0=T .
Dac  aceast  egalitate este justicat , atunci demonstrat , ia se înc heie.
39

Justic ar e. Presupunem c  T0T . Consider m x02TT0 . P en tru oricare xt2T0 ,
consider m:
rt=d(x0;xt) ,x0
t=F(xt) ,
St=fx2Mjd(x;xt)rtg
s , i
S0
t=fx02Mjd(x0;x0
t)r0
tg .
Deci
d0(x0
t;x0
u) =d0(F(xt);F(xu))d(xt;xu) ,
p en tru oricare xt;xu2T s , i
x02\
t2T0St:
A tunci
\
t2T0St6=;:
Astfel
\
t2T0S0
t6=;:
Lu m
t02\
t2T0S0
t:
Consider m funct , iaG:T0[fx0g!M0,
G(x) =F(x);x2T0;
t0;x=x0:
Deoarece
d0(G(x0);G(xt)) =d0(t0;F(xt))
s , i
t02\
t2T0S0
t
40

rezult  c 
d0(G(x0);G(xt))rt=d(x0;xt) .
Astfel,
d0(G(x);G(y))d(x;y) ,
p en tru oricare x;y2T0[fx0g .
As , adar,
GjT0=F .
A tunci, în particular,
GjS=f .
Deci,
(G;T 0[fx0g)2M s , i(F;T 0)(G;T 0[fx0g) .
În concluzie, a v em con tradict , ie cu faptul c  (F;T 0)2M este elemen t maximal. 
Observ at , ie. Propriet t , ile E , EC s , i ELn sun t v alabile dac :
a)M=M0=Rn.
b)M=M0=fx2Rn+1jjjxjj= 1g .
c)M s , iM0sun t spat , ii Hilb ert.
41

3.5 TEOREMA LUI SCHOENBER G
Mai jos v om ar ta, folosind o demonstrat , ie simpl , c  Rnare proprietatea E .
T eorema lui Sc ho en b erg (T eorema 1). Fiem bile incluse în Rn, cu cen trele xi s , i
razeleri astfel:
Si=fx2Rnjjjxxijjrig ,
i2f1;2;:::;mg , s , i
m\
i=1Si6=;:
Dac  lu m bilele incluse în Rncu cen trele x0
i s , i razeleri astfel:
S0
i=fx2Rnjjjxx0
ijjrig ,
i2f1;2;:::;mg , s , i care v eric  inegalitatea
jjx0
jx0
ijjjjxjxijj ,
p en tru oricare i;j2f1;2;:::;mg , atunci
m\
i=1S0
i6=;:
Observ at , ia 1. Altfel spus, teorema de mai sus spune c  dac  m bile din Rnau cel put , in
un punct com un, atunci ele v or a v ea cel put , in un punct com un s , i dac  se deplaseaz  astfel
încât noile distant , e din tre cen tre s  n u se mareasc .
Observ at , ia 2. T eorema 1 este ec hiv alen t  cu urmatoarea teorem :
T eorema 2. Consider m xi;x0
i2Rn;i2f1;2;:::;mg cu proprietatea c 
jjx0
jx0
ijjjjxjxijj ,
p en tru oricare i;j2f1;2;:::;mg .
Lu mp2Rnarbitrar. A tunci exist  p02Rncu proprietatea c , p en tru oricare i2
f1;2;:::;mg ,
jjp0x0
ijjjjpxijj . (1)
Observ at , ia 3. F olosind 3.4, teorema 1 este ec hiv alen t  s , i cu teorema lui Kirszbraun,
p en trun=m .
Demonstr at , ie. Dac  exist  un i2f1;2;:::;mg cu proprietatea c  p=xi , atunci lu m
p0=x0
i ,
iar teorema este demonstrat .
Presupunem c 
42

p6=xi ,
p en tru oricare i2f1;2;:::;mg .
Fief:Rn!R con tin u ,
f(x) =max
i2f1;2;:::;mgjjxx0
ijj
jjpxijj,
p en tru oricare x2Rn.
P en tru c 
lim
x!1f(x) =1 ,
exist p02Rncu proprietatea c 
f(p0) =min
x2Rnf(x) = .
V om motiv a existent , a luip0.
P en tru asta v om lua o bil  înc his  cen trat  în 0 ,B1 . Deoarece f este con tin u , aceasta
îs , i atinge maxim ul p e bila B1 s , i îl not m cu M .
P en tru c 
lim
x!1f(x) =1 ,
exist  o alt  bil  înc his  cen trat  în 0 ,B2 , cu proprietatea c 
x =2B2 ,
de unde rezult 
jjf(x)jj<M .
A v em c 
f(Rn) =f(B1)[f(B2B1)[f(RnB2) .
f(Rn) este un in terv al, în timp ce f(B1) ,f(RnB2) s , if(B2B1) sun t in terv ale compacte.
f(B1) se a  la stânga lui M , iarf(RnB2) la dreapta lui M .
A tuncif(Rn) este înc his la stânga, iar p0este cap tul din stânga.
Demonstr m c  p0v eric  (1) .
Dac = 0 , a v em
p0=x0
1=x0
2=:::=x0
m .
A tunci (1) este v ericat .
V om v erica acum p en tru >0 .
Dup  o ev en tual  ren umerotare a punctelor, presupunem c  exist  k2f1;2;:::;mg cu
proprietatea c 
43

jjp0x0
ijj
jjpxijj==; i2f1;2;:::;kg;
<;i2fk+ 1;:::;mg:
Armat , ie.p02K(x0
1;x0
2;:::;x0
k) , undeK(x0
1;x0
2;:::;x0
k) este acop erirea con v ex  a punc-
telorx0
1;x0
2;:::;x0
k.
Justic ar e. Dac  asta n u s-ar în tâmpla, prin deplasarea lui p0, se p ot mics , ora distant , ele
jjp0x0
ijj;i2f1;2;:::;kg , astfel încât
jjp0x0
ijj
jjpxijj< ,
p en tru oricare i2f1;2;:::;mg .
Astfel, aceasta este o con tradict , ie cu denit , ia lui .
P en tru c  din k= 1 , rezult  c  = 0 , se con trazice ip oteza s , i a v em c k2 .
T eorema v a  demonstrat  dac  1 .
Presupunem con trariul ( >1 ).
Not m
Ri=xip s , iR0
i=x0
ip0.
A tunci rezult 
R02
i>R2
i ,
p en tru oricare i2f1;2;:::;kg , unde
R2
i=hRi;Rii s , iR02
i=hR0
i;R0
ii .
A cum putem rescrie inegalitatea din ip otez  astfel:
(R0
iR0
j)2(RiRj)2,
p en tru oricare i;j2f1;2;:::;kg s , i obt , inem
R0
i
R0
j>Ri
Rj , (2)
p en tru oricare i;j2f1;2;:::;kg .
Dar exist c1;c2;:::;ck , astfel încât
kX
i=1ci= 1
s , i
p0=kX
i=1cix0
i:
A tunci rezult 
44

0 =kX
i=1cix0
ip0=kX
i=1cix0
ikX
i=1cip0;
i.e.
kX
i=1ciR0
i= 0:
Prin urmare, înm ult , ind (2) cu2cicj s , i sumând, rezult  con tradict , ia:
0 =kX
i=1ciR0
i2
>kX
i=1ciRi2
0:
.
45

3.6 TEOREMA LUI FLETT
T eorema lui Flett (T eorema 1). Consider m dou  spat , ii normateX s , iY . FieCX
o m ult , ime m rginit , înc his  s , i con v ex  cu diametrul  s , iB[x0;]C o bil  înc his 
cen trat  în x0 s , i de raz  > 0 . Fief:C!Y o funct , ie ce satisface, p en tru K o
constan t , inegalitatea
jjf(x)f(y)jjKjjxyjj ,
p en tru oricare x;y2C .
A tunci exist  F:X!Y cu urm toarele dou  propriet t , i:
a)FjC=f ;
b)jjF(x)F(y)jjK
jjxyjj , p en tru oricare x;y2X .
Demonstr at , ie.
Armat , ie. Dac C este marginit , înc his  s , i con v ex  cu diametrul  s , iB[0;]C o bil 
înc his  cen trat  în 0 s , i de raz  >0 ,y2FrC , s , iz2C , atunci, p en tru oricare 1 ,
are lo c inegalitatea
jjyzjjjjyzjj
. (1)
Dac  armat , ia de mai sus este justicat , atunci funct , iag:X!Y ,g(x) =x , dac x2C
s , ig(x) este singurul punct ce apart , ineFrC\Ox , în caz con trar, v eric  relat , ia
jjg(x)g(y)jj
jjxyjj , (*)
p en tru oricare x;y2X .
As , adar, p en tru c  putem presupune c  x0= 0 , lu m
F=fg ,
iar teorema este demonstrat .
V om ar ta c  g este bine denit  s , i v om v erica relat , ia (*) .
Presupunem c  exist 
x06=x002FrC\Ox .
A tunci
x02FrC =C
C=C
C .
Astfel,x02C .
Presupunem c 
jjx00jj<jjx0jj .
Analog se trateaz  s , i cel lalt caz.
Consider m y;z2FrBC , undey s , iz sun t diametral opuse. Consider m m ult , imea
46

T=fwj exist u2[z;y] cu proprietatea c  w2[x0;u]g=
=fwj exist t;t02[0;1] cu proprietatea c  w=x0+t0[z+t(yz)x0]g .
As , adarT=f([0;1]2) , cu
f(t;t0) =x0+t0[z+t(yz)x0] .
P en tru c C este con v ex , deducem c 
TC .
F unct , iaf este injectiv  . Dac  f(t;t0) =f(t1;t0
1) , a v em
x0+t0[z+t(yz)x0] =x0+t0
1[z+t1(yz)x0] .
As , adar
(t0t1t0t+t0
1t1)z+ (t0tt0
1t1)y+ (t0
1t0)x0= 0 .
Deoarecex0;y;z sun t liniari indep endent , i, rezult  c 
t0t1t0t+t0
1t1= 0; t0tt0
1t1= 0; t0
1t0= 0 .
Astfel,t0
1=t0s , it1=t .
Deci
f: [0;1]2!f([0;1]2)
este con tin u  s , i injectiv  , adic  homeomorsm ( [0;1]2este compact ). Fiindc  x002(0;x0) ,
02(z;y) , exist t0;t0
02(0;1) cu proprietatea c  f(t0;t0
0) =x00.
Prin urmare,
x002f((0;1)2) =
T
C ,
ind o con tradict , ie cu
x002FrC .
P en tru a justica relat , ia (*) , trebuie s  consider m urm toarele cazuri:
a)x;y2C .
A tunci
jjg(x)g(y)jj=jjxyjj
jjxyjj .
b)x2C s , iy2XC .
A tunci exist  1 cu proprietatea c 
y=g(y) .
As , adar
jjg(x)g(y)jj=jjxg(y)jj=x1
y
x1
y=
jjxyjj .
c)x;y2XC .
47

A tunci exist  ;1 astfel încât
x=x0; y =y0; g(x) =x0; g(y) =y0.
V om trata doar cazul c), celelalte ind similare. Presupunem c   s , ijjy0jjjjx0jj .
A tunci
jjg(x)g(y)jj=jjx0y0jjjjx0y0jj=jjx0y0jj=
=jjx0y0+y0y0jj()jjy0jj+jjx0y0jj
jjx0y0jj+jjx0jjjjy0jjjjx0y0jj+jjx0y0jj=
= 2jjx0y0jj
jjx0y0jj=
jjxyjj .
Justic ar e. Dac z apart , ine dreptei ce trece prin 0 s , iy , atunciz=y , cu1 . As , adar
jjyzjj= (1)jjyjj()jjyjj=jjyzjj2jjyzjj
jjyzjj .
În acest caz, relat , ia (1) este eviden t .
Astfel, presupunem c  z n u apart , ine acestei dreapte ( y n u apart , ine dreptei ce trece prin
0 s , iz , notat L ).
Consider mP subspat , iul v ectorial 2-dimensional generat de y s , iz al luiX . DeciP este
subspat , iu normat p en tru X .
P en tru oricare x2P , consider m distant , a de lax laL notat  cud(x) .
Eviden t, dac  x2P ,l2L s , i>0 , a v em c 
d(x1) =d(x) s , id(x) =d(x) .
Demonstr m c  exist  w2B\P , de aceeas , i parte a lui L ca s , iy , cu proprietatea c 
d(w) = .
Astfel,
=d(w)d(w;0) =jjwjj
s , i deoarecew2B(0;) , rezult  c jjwjj .
A tunci
jjwjj= .
Fiindc L este hip erplan din P ,L are ecuat , ia
U(x) = 0 ,
p en truU funct , ional  liniar  s , i con tin u  p eP .
Presupunem c 
U(y)>0 .
Consider m w2B\P astfel încât U îs , i atinge suprem um ul p e B\P .
48

Cum
y
jjyjj2B\P ,
a v em c 
U(w)Uy
jjyjj
=
jjyjjU(y)>0 .
A tunciw este de aceeas , i parte a lui L ca s , iy .
Consider m
=d(w) .
A tunci
0<jjwjj= .
Dac < , atunci exist  l2L cu proprietatea c 
jjwljj= , deci s , i(wl)
2B\P .
Astfel,
U(wl)

=U(w)
>U(w) ,
ceea ce con trazice denit , ia luiw .
Deci
= .
P en tru oricare a;b2P , not m (a;b) = segmen tul desc his de cap ete a s , ib s , i[a;b] =
segmen tul înc his de cap ete a s , ib .
Demonstr m:
i) e segmen tele [0;y] s , i(w;z) se p ot in tersecta, notând cu u in tersect , ia celor dou  seg-
men te;
ii) e dreapta M , cu0;w2M se p oate in tersecta cu segmen tul [y;z] , notând cu v aceast 
in tersect , ie.
Presupunem c  ii) n u este adev  rat  s , i c  dreapta M are ecuat , ia
V(x) = 0 ,
undeV(z)>0 .
Cum [y;z] este conex, a v em c 
V(y)0 ,
de unde rezult  c 
V(y)>0 .
49

Consider m ;2R astfel încât
y=w+z .
A tunci
U(y) =U(w) s , iV(y) =V(z) .
Astfel,
>0 s , i >0 .
Prin urmare,
y
+=w
++z
+2(w;z) .
P en tru c C este con v ex , iar w;z2C , a v em c 
y
+2C .
Deoarece 02
C , rezult  c 

0;y
+

C .
Cumy2FrC , a v em c 
y
+2[0;y] .
Consider m  cel mai mic elemen t din [1;1) unde funct , ia
!jjyzjj
îs , i atinge minim ul.
Exist , deci, un astfel de  , deoarece exist  A;B cu proprietatea c 
Ajjujjp(u)Bjjujj ,
unde
p(u=y+z) =p
2+2 .
Prin urmare, funct , ia
!jjyzjj
îs , i atinge minim ul dac  s , i n umai dac 
!p(yz) =p
2+ 1
îs , i atinge minim ul.
P en tru= 1 , demonstrat , ia este terminat .
Presupunem c  >1 .
A tunci
50

jjyzjj<jjyzjj .
As , adar, p en tru oricare x2[0;y] , observ  m c 
jjyzjjjjxzjj . (**)
Presupunem con trariul. A tunci exist  x02[0;y] cu proprietatea c 
jjyzjjjjx0zjj .
Astfel,
x;y2B(z;max (jjxzjj;jjyzjj)
s , i
y =2B(z;max (jjxzjj;jjyzjj) .
Deoarecey2[x;y ] , a v em o con tradict , ie cu faptul c 
B(z;max (jjxzjj;jjyzjj) este conex .
Presupunem c  sun tem în cazul i). As , adar exist  2(0;1) cu proprietatea c 
u=w+ (1)z .
Conform relat , iei (**) rezult  c 
jjyzjjjjuzjj=jjwzjj .
P en tru c  exist  1 cu proprietatea c 
y=u ,
deducem c 
jjyzjjd(yz) =d(y) =inffjjyljjjl2Lg=
=infn
u1
jl2Lo
=
inffjjul0jjjl02Lg
inffjjul0jjjl02Lg=d(u) =d(wz) =d(w) = .
Astfel
jjyzjjjjyzjj
 ,
deci
jjyzjj
jjyzjj .
Presupunem acum c  sun tem în cazul ii) s , i a v em:
a)w2[0;v] .
A tunci
jjyzjjjjvzjjd(vz) =d(v)d(w) = .
Deoarece
51

jjyzjj< ,
a v em c 
jjyzjj=

jjyzjj .
b)w =2[0;v] .
Deoarecew este de aceeas , i partea a lui L ca s , iy rezult  c v2(0;w) . Presupunem c 
02(w;v] . A tunci exist  <0 cu proprietatea c 
w=v .
Astfel
U(w) =U(v) ,
de unde
U(v)<0 .
Deoarece exist  t2[0;1] cu proprietatea c 
v=tz+ (1t)y ,
rezult  con tradict , ia
(1t)U(y)<0 .
A tunci
jjvzjjjjwzjjjjvwjjd(w)jjvwjj=jjvwjj
s , i
jjvzjjjjzjjjjvjj=jjzjj+jjvwjj .
Prin urmare,
jjvzjj1
2jjzjj .
Conform (**) , obt , inem
jjyzjjjjzjj .
Astfel,
jjyzjj
jjyzjjjjvzjj
jjyzjj1
2
jjzjj
jjyzjj1
2
,
i.e.
jjyzjjjjyzjj
.
Observ at , ia 1. T eorema lui Flett ne d  o form ul  explicit  a extinderii, în timp ce în
T eorema lui Kirszbraun doar este armat  existent , a extinderii.
T eorema 2. Consider m IR in terv al,X;Y dou  spat , ii reale normate, BX bil 
înc his  s , if:IB!Y con tin u  cu proprietatea c , p en tru oricare t2I ,gt:B!Y ,
52

gt(x) =f(t;x) ,
este Lipsc hitz.
A tunci exist  o funct , ie con tin u  F:IX!Y cu propriet t , ile:
a)FjIB=f ;
b) p en tru oricare t2I , funct , iaGt:X!Y ,Gt(x) =f(t;x) , p en tru oricare x2X , este
Lipsc hitz s , ilip(Gt)2
lip(gt) ;
c)sup
IXjjF(t;x)jj=sup
IXjjf(t;x)jj .
53

4 APR O XIMAREA CU FUNCT , I I LIPSCHITZ
În urm torul capitol v om descrie unele generaliz ri ale teoremei lui W eierstrass-Stone
p en tru funct , ii Lipsc hitz, care spune c  oricare funct , ie con tin u  din R , denit  p e un
spat , iu metric compact, p oate  apro ximat  cu funct , ii Lipsc hitz.
4.1 O GENERALIZARE A TEOREMEI LUI GEOR GANOPOULOS
Denit , ia 1. FieX un spat , iu metric s , i(Uj)j2J o acop erire cu m ult , imi desc hise ale lui X .
A tunci se n umes , te partit , ie LIP a unit t , ii o familie ('j)j2J de funct , ii LIP ,'j:X![0;1] ,
cu proprietatea c  sup orturile
spt'j='1
j(0;1]
alc tuiesc o familie lo cal nit , spt'jUj , p en tru oricare j2J s , i
X
j2J'j(x) = 1;
p en tru oricare x2X .
T eorem . Consider m X un spat , iu metric s , i(Uj)j2J o acop erire cu desc his , i a acestuia.
A tunci exist  o partit , ie LIP a unit t , ii, sub ordonat  acop eririi.
Demonstr at , ie. Presupunem c  p en tru oricare j2J ,Uj6=X .
Lu m (Vj)j2J astfel încât, p en tru oricare j2J ,VjUj .
P en tru oricare j2J , lu m
j(x) =d(x;ZVj) ,
p en tru oricare x2X s , i
'j= jP
j2J j:
Astfel, deoarece spt'jUj , p en tru oricare j2J ,('j)j2J este o partit , ie LIP a unit t , ii,
sub ordonat  lui (Uj)j2J .
Denit , ia 2. Fief:R!R . Numim oscilat , ia funct , ieif p e un in terv al I diferent , a din tre
suprem um ul s , i inm um ul funct , ieif , astfel:
!(f;I) =sup
x2If(x)inf
x2If(x) .
Mai general, dac  f:X!R este o funct , ie denit  p e un spat , iu top ologic X , atunci
oscilat , ia luif p e o m ult , ime desc his  UX este:
!(f;U) =sup
x2Uf(x)inf
x2Uf(x) .
54

Denit , ia 3. Fief:R!R . Numim oscilat , ia funct , ieif în tr-un punct x0 :
!(f;x0) =lim
"!0!(f;x0";x0+") .
Mai general, dac  f:X!R , undeX este un spat , iu metric, atunci oscilat , ia luif în tr-un
punctx0 este:
!(f;x0) =lim
"!0!(B(";x0)) .
T eorem . Consider m X un spat , iu metric, Y un spat , iu real normat s , iBY o
subm ult , ime con v ex . A tunci, p en tru oricare f:X!B con tin u , exist  (fn)n1 ,
fn:X!B , s , ir de funct , ii LIP , cu proprietatea c  fnu!f .
Demonstr at , ie. P en tru c !(f;x) = 0 , p en tru oricare x2X , a v em c  p en tru oricare n2N
exist  o v ecin tate desc his  a lui x ,Vx;n , cu proprietatea c 
diam (f(Vx;n))<1
n.
Conform teoremei an terioare, alegem partit , ia LIP a unit t , ii
(fx;n)x2X ,
sub ordonat  acop eririi cu desc his , i a luiX
(Vx;n)x2X .
P en tru oricare x2X s , in2N, lu myx;n2Vx;n .
P en tru oricare n2N, a v emfn:X!Y ,
fn(y) =X
x2Xfx;n(y)
f(yx;n);
p en tru oricare y2X . Deci acestea sun t LIP .
P en tru c 
X
x2Xfx;n(y) = 1;
p en tru oricare y2X ,f(X)B ,B con v ex , rezult  c 
fn(X)B ,
p en tru oricare n2N.
Dac y2X este arbitrar, p en tru n2Nxat, exist  x1;x2;:::;xp2X cu propriet t , ile:
y2sptfx1;nVx1;n ,…,y2sptfxp;nVxp;n s , iy =2sptfx;n
p en tru oricare x =2fx1;:::;xpg .
A tunci, p en tru x =2fx1;:::;xpg ,fx;n(y) = 0 .
55

Deci
jjfn(y)f(y)jj=X
x2Xfx;n(y)
f(yx;n)f(y)=
=X
x2Xfx;n(y)
f(yx;n)f(y)
X
x2Xfx;n(y)=
=X
x2Xfx;n(y)
f(yx;n)X
x2Xfx;n(y)
f(y)=
=X
x2Xfx;n(y)
(f(yx;n)f(y))=pX
i=1fxi;n(y)
(f(yxi;n)f(y))
pX
i=1jjfxi;n(y)
(f(yxi;n)f(y))jj=pX
i=1fxi;n(y)
jjf(yxi;n)f(y)jj
pX
i=1fxi;n(y)
diam (f(Vxi;n))1
n
pX
i=1fxi;n(y) =1
n
X
x2Xfx;n(y) =1
n;
p en tru oricare y2X .
Deci a v em c 
fnu!f .
Observ at , ia 1. Dac X este compact, atunci a v em rezultatul lui Georganop oulos.
Observ at , ia 2. Exist  s , i funct , ii con tin ue care n u sun t limita uniform  p en tru niciun s , ir
de funct , ii Lipsc hitz. Astfel, rezultatul an terior este optim.
56

4.2 O AL T € METOD € DE A OBT , INE REZUL T A TE DE APR O XI-
MARE
Denit , ie. Consider m X un spat , iu lo cal con v ex s , i(p)2A o familie dirijat  de semi-
norme care formeaz  top ologia spat , iuluiX . F unct , iaf:S!Rn,SX , se n umes , te
Lipsc hitz dac  exist  2A ,L0 , cu proprietatea c 
jjf(x)f(y)jjL
p(xy) ,
p en tru oricare x;y2X .
În con tin uare, v om prezen ta o alt  meto d  de a obt , ine rezultate de apro ximare. P en tru
asta a v em nev oie de urm torul rezultat:
Lem . Consider m X un spat , iu lo cal con v ex s , if:S!Rn,SX , funct , ie Lipsc hitz.
A tunci exist  F:X!RnLipsc hitz, cu proprietatea c  FjS=f .
Demonstr at , ie. Consider m f= (f1;f2;:::;fn) .
P en tru c f este Lipsc hitz, exist  2A s , iL0 cu proprietatea c 
jjf(x)f(y)jj=vuutnX
i=0(fi(x)fi(y))2L
p(xy)
p en tru oricare x;y2S .
Deci,
jfi(x)fi(y)jL
p(xy) ,
p en tru oricare x;y2S .
Fiez02S xat s , ix2X . A tunci, p en tru oricare y2S , a v em
fi(y) +L
p(xy) =fi(z0) +L
p(xy) +fi(y)fi(z0)
fi(z0) +L
p(xy)L
p(yz0)fi(z0)L
p(xz0):
As , adar,fi(z0)L
p(xz0) este minoran t p en tru m ult , imea
ffi(y) +L
p(xy)jy2Sg .
Astfel,Fi:X!Rn,
Fi(x) =inf
y2S[fi(y) +L
p(xy)] ,
p en tru oricare x2X , este bine denit .
P en trux2S s , i p en tru oricare y2S ,
fi(y) +L
p(xy)fi(x) s , ifi(x) +L
p(xx) =fi(x) .
Prin urmare,
57

Fi(x) =inf
y2S[fi(y) +L
p(xy)] =fi(x) ,
p en tru oricare x2S .
Fiex;y2X arbitrari.
P en tru oricare ">0 , exist z2S , cu proprietatea c 
fi(z) +L
p(xz)<Fi(x) +" .
Deci,
Fi(y)Fi(x)fi(z) +L
p(yz) +"fi(z)L
p(xz)L
p(xy) +" .
Înlo cuind p e x cuy s , i in v ers, a v em
Fi(x)Fi(y)L
p+" ,
deci
jFi(x)Fi(y)jL
p(xy) .
P en tru c " este arbitrar, a v em c 
jFi(x)Fi(y)jL
p(xy) ,
p en tru oricare x;y2X .
Denim funct , iaF:X!Rnprin
F(x) = (F1(x);F2(x);:::;Fn(x)) ,
p en tru oricare x2X .
Astfel, p en tru oricare x;y2X ,
jjF(x)F(y)jj=vuutnX
i=1(Fi(x)Fi(y))2pn
L
p(xy):
Drept urmare, F este Lipsc hitz.
Dac x2S , a v em
F(x) = (F1(x);F2(x);:::;Fn(x)) = (f1(x);f2(x);:::;fn(x)) =f(x) .
As , adarFjS=f .
Dac f v eric  relat , ia
jjf(x)f(y)jjL
p(xy) ,
p en tru oricare x;y2S , atunciF v eric 
jjF(x)F(y)jjpn
L
p(xy) ,
p en tru oricare x;y2X .
58

T eorema 1. Consider m X un spat , iu F réc het separabil s , iU o subm ult , ime nevid  s , i
desc his  a lui X . Dac F:U!Rneste Lipsc hitz, atunci fx2Uj exist  (DF)xg este
dens  înU .
T eorema 2 (de apro ximare). Consider m X un spat , iu lo cal con v ex, (p)2A o
familie dirijat  de seminorme care genereaz  top ologia spat , iuluiX s , i o funct , ie m rginit 
uniform con tin u  f:X!Rn. A tunci, p en tru oricare " >0 , exist  o funct , ie Lipsc hitz
F:X!Rn, cu proprietatea c 
sup
x2Xjjf(x)F(x)jj<" .
Demonstr at , ie. În cazul în care f= 0 , reiese imediat concluzia. A tunci presupunem c 
f6= 0 .
P en tru">0 , lu m"0cu proprietatea c 
0<"0<2
"pn+ 1.
P en tru c f este uniform con tin u , exist  >0 ,2A cu proprietatea c 
p(xy)< ,
deci rezult  c 
jjf(x)f(y)jj"0
2.
P en trup= 0 , alegemF(x) =f(0) , p en tru oricare x2X s , i rezult  concluzia.
A tunci presupunem c  p6= 0 .
Lu m>0 cu proprietatea c 
<min(
;"0

4
sup
x2Xjjf(x)jj)
.
P en trux2X xat, cu proprietatea c  p6= 0 , s , i p en tru= 1 +2

p(x), a v em c 
p(x
x) =j1j
p(x) = 2
 .
A tunci
M=fAXj p en tru oricare x;y2A;x6=;p(xy)g .
Dac  ordon m m ult , imeaM cu incluziunea, rezult  o m ult , ime inductiv ordonat . A tunci,
conform Lemei lui Zorn, exist  un elemen t maximal S dinM .
P en trux;y2S s , ip(xy) a v em
jjf(x)f(y)jjjjf(x)jj+jjf(y)jj2
sup
x2Xjjf(x)jj=
= 2
sup
x2Xjjf(x)jj

2
sup
x2Xjjf(x)jj

p(xy) .
59

P en trux;y2S s , ip(xy)< a v em
jjf(x)f(y)jj"0
2="0
2

"0
2

p(xy) .
Drept urmare,
jjf(x)f(y)jjmax(
2
sup
x2Xjjf(x)jj
;"0
2
)

p(xy) ,
p en tru oricare x;y2S .
A tuncifjS:S!Rneste Lipsc hitz.
Conform lemei an terioare, exist  F:X!RnLipsc hitz, cu proprietatea c 
FjS=fjS .
A tunci
jjF(x)F(y)jjpn
max(
2
sup
x2Xjjf(x)jj
;"0
2
)

p(xy) ,
p en tru oricare x;y2X .
P en trux2XnS , exist x02S cu proprietatea c 
p(xx0)<< .
Dac  s-ar în tâmpla con trariul, atunci S[fxg2M , ceea ce este o con tradict , ie c S este
elemen t maximal al lui M .
Dac x2S , exist x0=x cu proprietatea c 
p(xx0) = 0< .
Astfel, p en tru oricare x2X , exist x02S cu proprietatea c 
p(xx0)< .
As , adar, p en tru oricare x2X ,
jjf(x)F(x)jjjjf(x)F(x0)jj+jj(F(x0)F(x)jj=
=jjf(x)f(x0)jj+jjF(x0)F(x)jj
"0
2+pn
max(
2
sup
x2Xjjf(x)jj
;"0
2
)

"0pn+ 1
2
<" .
În concluzie,
jjf(x)F(x)jj" ,
p en tru oricare x2X s , iF:X!Rneste Lipsc hitz. 
Observ at , ie. P en truX un spat , iu F réc het separabil, a v em
fx2Xj(9)(DF)xg=X .
60

Bibliograe
[1] Aharoni I., Every sep ar able metric sp ac e is Lipschitz e quivalent to a subset of c+
0 , Israel
Journal of Mathematics, 19 (1974), 284-291.
[2] Assoaud P ., R emar ques sur un article de Isr ael A har oni sur les pr olongements Lips-
chitziens dans c0 , Israel Journal of Mathematics, 1 (1978), 97-100.
[3] Assoaud P ., Pr olongements Lipschitzien dans Rn, Bulletin de la So ciété Mathématique
de F rance, 111 (1983), 429-448.
[4] Czipszer J., Gehér L., Extension of functions satisfying a Lipschitz c ondition , A cta
Mathematica A cademica Scien tiarum Hungarica, 6 (1955), 213-220.
[5] Flett T.M., Extensions of Lipschitz functions , Journal of London Mathematical So ciet y ,
(2), 7 (1974), 604-608.
[6] Georganop oulos G., Sur l'appr oximation des fonctions c ontinues p ar des fonctions lips-
chitziennes , Comptes Rendus de l'A cadémie des Sciences. Série I. Mathematique, P aris,
264 (1967), 319-321.
[7] Kirszbraun M.D., Üb er die zusammenziehenden und Lipschitzshen T r ansformationen ,
F undamen ta Mathematicae, 22 (1934), 77-108.
[8] McShane E.J., Extension of r ange of functions , Bulletin of the American Mathematical
So ciet y , 40 (1934), 837-842.
[9] Miculescu R., Extensions of some lo c al ly Lipschitz maps , Bulletin Mathématique de la
So ciété des Sciences Mathématiques de Roumanies, 41(89) ,No.3 (1998), 197-203.
[10] Miculescu R., Appr oximating Uniformly Continuous Bounde d F unctions by Lips-
chitz F unctions , Revue Roumaine des Mathématiques Pures et Apliquées, XLIV ,No.2
(1999), 253-255.
[11] Miculescu R., Some Applic ations of LIP-Partition of Unity , Mathematical Rep orts,
1(51) , (1999), 227-235.
[12] Miculescu R., L es fonctions Lipschitziennes homotopiques sont Lipschitz homotopi-
ques , Revue Roumaine des Mathématiques Pures et Apliquées, XL V(1) , (2000), 119-
122.
[13] Miculescu R., A LIP immersion of Lipschitz manifolds mo del le d on some Banach
sp ac es , Bulletin of the Greek Mathematical So ciet y , 43 (2000), 99-104.
[14] Miculescu R., Appr oximation of c ontinuous functions by Lipschitz functions , Real
Analysis Exc hange, 26 , No.1 (2000/2001), 449-452.
[15] Miculescu R., Lipschitz appr oximation of uniformly c ontinuous c onvex-value d func-
tions , Bulletin of the Greek Mathematical So ciet y , 46 (2002), 129-132.
[16] Miculescu R., Mortici C., F unct , ii Lipschitz , Editura A cademiei Române, Bucures , ti
(2004), 11-127.
[17] Moha v eni-Lank arani H., On the Inverse of Mané's Pr oje ction , Pro ceedings of the
American Mathematical So ciet y , 116(2) (1992), 555-560.
61

[18] Rdemac her H., Üb er p artiel le und totale Dier enzierb arkeit von F unktionen mehr er er
V ariab eln und üb er die T r ansformation des Dopp elinte gr ale , Mathematisc he Annalen,
79 (1919), 340-359.
[19] Sc ho en b erg I.J., On a the or em of Kirszbr aun and V alentine , The American Mathe-
matical Mon thly , 60 (1953), 620-622.
[20] V alen tine F.A., A Lipschitz c ondition pr eserving extension for a ve ctor function , Ame-
rican Journal of Mathematics, 67 (1945), 83-93.
62