Universit a tea Alexandr u Io an Cuza ia³i [625400]

Universit a tea "Alexandr u Io an Cuza" ia³i
F a cul t a tea de Ma tema tic 
TESTE ST A TISTICE PENTRU
DA TE PERECHI
Lucrare de licenµ 
Co ordonator ³tiinµic:
Lect. Dr. Iulian StoleriuCandidat:
P anariu Marinela
Iulie, 2020
Ia³i

Cuprins
In tro ducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I T este statistice 3
I.1 T estarea ip otezelor statistice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2 Ip oteze alternativ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.3 Erori în testarea ip otezelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.4 Tipuri de teste statistice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Bibliograe 15
1

In tro ducere
In tro ducerea
2

Capitolul I
T este statistice
I.1 T estarea ip otezelor statistice
O ip otez  statistic  reprezin t  presupunerea relativ la v alorile parametrilor ce apar
în legea de probabilitate a caracteristicii studiate sau c hiar referitoare la tipul legii
caracteristicii. T estarea ip otezelor statistice este o meto da prin care se iau decizii
statistice, utilizând datele exp erimen tale culese.
Un test statistic este o meto da de decizie care ne a jut  la v alidarea sau in v alidarea
cu un an umit grad de siguranµ  a unei ip oteze statistice.
Deniµie I.1. Se nume³te nivel de semnic aµie (sau pr ag de semnic aµie, notata cu
 ), pr ob abilitate a r espingerii ip otezei f  cute c ând în r e alitate es este adev r at .
Pentru c a o ip otez  s  e r espins  c ât mai gr eu se va ale ge '0 (adic  = 0:01
sau= 0:05 ).
Deniµie I.2. Se nume³te r e giune a critic   (sau r e giune a r espinger e) mulµime a tutu-
r or valorilor statisticii utilizate u(x1;:::;xn)2R p entru c ar e ip oteza nul  (H0) va
 r esprins .
Putem scrie regiunea critic  cu un niv el de semnicaµie  sub forma
= (x1;:::;x 2)2Rn: ip oteza (H0) este adev  rat , prin utilizarea statisticii u;
undeP((x1;:::;x 2)2) =:
Deci dac  (x1;:::;x 2)2 , atunci ip oteza (H0) se respinge. Dac  (x1;:::;x 2)=2 ,
atunci ip oteza H0 se accept  iar m ulµimea Rnn se v a n umi regiunea de acceptare
cu un niv el de semnicaµie  .
T estele statistice v eric  v eridicitatea unor ip oteze statistice:
ˆ ip otezaH0 (sau ip oteza de n ul): datele n u prezin t  leg turi în tre ele, sun t
indep enden te/ v alorile comparate n u difer  în tre ele.
3

CAPITOLUL I. TESTE ST A TISTICE
ˆ ip otezaH1 (sau ip oteza alternativ  ): datele prezin t  leg turi în tre ele, sun t
dep enden te/ v alorile comparate difer  în tre ele.
Ip oteza n u  este testat  în mo d frecv en t faµ  de ip oteza alternativ   care se consider 
adev  rat  dac  ip oteza n ul  este fals . De obicei, ip oteza alternativ   înseamn  c 
datele rezult  din tr-un efect real, n u în mo d aleatoriu. Un exemplu de format curen t
p en tru testarea ip otezei n ule H0 este armaµia: dou  medii ale p opulaµiei sun t egale.
Rezultatul test rii este ap oi folsit p en tru luarea unei an umite decizii, cum ar 
decizia de cump rare a un ui an umit automobil. (bazat  p e testul privind consum ul
de carburan t), de administrarea a un ui an umit emdicamen t (bazata p e testul privind
ecienµa acestuia), de aplicare a unei an umite strategii de mark eting (bazata p e
testul privind reactia consumatorilor la aceasta strategie), ³.a T estarea unei ip oteze
statistice este pro cedeul prin care folosind informaµia din tr-o selecµie a pupulaµiei
se a junge la o decizie asupra ip otezei în cauz . Dac  informaµia dat  de selecµie
este consisten t  cu ip oteza, atunci se accept  ip oteza, iar în caz con trar aceasta
este respins . P en tru a înµelege mo dul de aplicare a testului statistic, consider m
urm torul exemplu:
Exemplul I.1.1. Dorim s  cump  r  m 100 km de c ablu de un anumit tip, cu c ondiµia
c   sp e cic aµia pr o duc  torului c   ac est c ablu ar e o r ezistemµ  de rup er e de =0=
200 kg este îndeplinit . A c e asta r epr ezint  testar e a ip otezei (numit  ip oteza nul )
=0= 200 . De cidem s  nu cump  r  m c ablul dac   testul statistic ar at  c   valo ar e a
  r e al =0<200 , de o ar e c e ac e asta ar at  c   ac est tip de c ablu ar e o r ezistenµ 
la rup er e mai mic   de c ât c e a dorit . V alo ar e a 1 se nume³te ip oteza alternativ  a
testului. F ormaliz m ac e asta prin
H0:= 200
H1:<200
Dac   r ezultatul testului suger e az  c   ip oteza nul  H0 este adev  r at , vom ac-
c epta ac e ast  ip otez  iar, în c az c ontr ar o vom r espinge (³i vom ac c epta de ci ip oteza
alternativ  H1 ).
T r ebuie avut îns  în ve der e c   veric ar e a cu sigur anµ  a imp otezei c onsider ate este
imp osibil  în pr actic   (cu exc ep µia c azului c ând se p o ate sele cta într e aga p opulaµie),
³i de ci veric ar e a ip otezelor statistic e tr ebuie avut  în ve der e pr ob abilitate a lu rii unei
de cizii gr e³ite: vom nota prin  pr ob abilitate a de a r espinge ip oteza nul  H0 c ând de
fapt ac e asta este adev r at . V alo ar e a  se nume³te nivelul de semnic aµie al testului.
Sele ctând în mo d ale ator 25 de r ole de c ablu, ³i t ind c âte o buc at  de e c ar e,
pbµinem un e³antion de volum n= 25 din p opulaµia c onsider at . Dac   se m  so ar  
4

r ezistenµa la rup er e a e c  r ei buc  µi de c ablu, obµinem spr e exemplu r ezistenµa me die
de rup er eX= 197 kg ³i ab ater e a p  tr atic   me die s= 6 kg.
Ne punem pr oblema dac   difer enµa 197200 =3 este dator at  anumitor factori
ale atori (er ori de m sur ar e, spr e exemplu), sau dac   e a este semnic atv  p entru
p opulaµia studiat .
Dac   pr esupunem c   r ezistenµa c ablului este o variabil  ale ato ar e normal  N(;) ,
în ip oteza c   =0= 200 (adic   dac   ip oteza nul  este adev  r at ), variabila ale a-
to ar e
T=X0
Spn
este o variabil  ale ato ar e Student cu n1 gr ade de lib ertate.
De o ar e c e în ac est c az este imp ortant  r espinger e a ip otezei nule c ând valo ar e a me-
die a e³antionului este mic   (c ând c ablul nu ar e r ezitenµa dorit ), p entru un nivel
de semnic aµie = 5% xat, folosind T ab elul I.1.1 determin m valo ar e a c onstan-
teic astfel înc ât F(c) =P(Tc) == 0:05 , obµinând c=1:71 (de o ar e c e
valo ar e a 0:05<0:5 , p entru a determina p e c folosind T ab elul I.1.1, folosim faptul
c   distribuµia Student este simetric   faµ  de origine, ³i determin m ~c ) astfel înc ât
F(~c) = 10:05 = 0:95 , adic   ~c= 1:71 . V alo ar e a lui c este de cic=~c=1:71 . A
se ve de a Figur a I.1.1.
Ide e a testului este urm  to ar e a: dac   ip oteza nul  este adev r at , pr ob abilitate a
c a o valo ar e c alculat  t a luiT s  e mai mic   de c ât c=1:71 este= 0:05
(pr ob abilitate a este apr o ap e nul ). De ci, dac   p entru sele cµia c onsider at  obsrv m
c   valo ar e a t este mai mic   de c ât c=1:71 , arm m c   ip oteza nul  nu p o ate 
adev  r at  ³i r espingem ac e ast  ip otez , adic   ac c ept m ip oteza alternativ . Dac  
îns tc , atunci ac c ept m ip oteza nul .
În c azul c oncr et pr ezentat avem1
t=x0
Spn=197200
6
5=5
2=2:5<1:71;
³i de ci r espingem ip oteza nul  =0= 200 ³i ac c ept m ip oteza alternativ  =
1<200:
Figura I.1.1: F uncµia de densitatea a distribuµiei Studen t este simetric  faµ  de
origine.
1Înlo cuimX=X1+


+X2
n(media selecµiei) ³i S=qPn
i=1(XiX)
n1(disp ersia
selecµiei) prin v alorile observ atie x= 197 ³is= 6 .

CAPITOLUL I. TESTE ST A TISTICE
Exemplul anterior ilustr e az  etap ele p ar curse în elab or ar e a unui test statistic, ³i
anume:
1. Se forme az  ip oteza nul  ( =0 în exemplul anterior)
2. Se forme az  ip oteza alternativ  (  < 0 în exemplul anterior)
3. Se ale ge un nivel de semnic aµie  dorit (spr e exemplu 5%;1%;0:1% ,etc)
4. Se determin  o variabil  ale ato ar e  =g(X1;:::;X 2) c e depinde de p ar ametrul
ne cunoscut  al p opulaµiei, dar c  r ei distribuµiei nu depinde de  . F olosind
distribuµia variabilei ale ato ar e  se determin  valo ar e a critic   c(P(Tc) =
 în exemplul anterior )
5. Pentru valori x1;:::;xn ale e³antionului, se determin  valo ar e a observat  =
g(x1;:::;xn) a lui 
6. Se ac c ept  sau se r espige ip oteza nul , în funcµie de valorile c oncr ete a lui  ³i
c (în exemplul anterior, se r espinge ip oteza nul  t<c )
I.2 Ip oteze alternativ e
S  presupunem parametrul necunoscut al p opulaµiei studiate este  , ³i c  ip oteza
n ul  testat  est =0 . În principiu, în acest caz exsit  trei ip oteze alternativ e, ³i
an ume:
(1)> 0
(2)< 0
(3)6=0
(1) ³i(2) se n umesc ip oteze alternativ e unilaterale, iar (3) se n ume³te ip otez  alter-
nativ   bilateral .
În cazul ip otezei alternativ e (1) , v aloarea critic  c trebuie aleas  la dreapta lui
0 , p en tru c  în acest caz v alorile  din ip oteza alternativ   se a  la dreapta lui 0 (a
se v edea Figura 1.2.1). Regiunea p en tru care se accept  ip oteza n ul  (la stânga lui
c în acest caz) se n ume³te regiune de acceptare, iar regiunea p en tru care se respinge
ip oteza n ul  (la dreapta lui c în acest caz) se n ume³te regiune de respingere. V aloarea
c care separ  aceste regiune se n ume³te v aloare critic .
În mo d similar, în cazul ip otezei (2) , v aloarea critic  c trebuie aleas  la stanga
lui0 , iar în cazul ip otezei alternativ e (3) , v alorile critice c1 ³ic2 trebuie alese de o
parte ³i de alta a lui 0 .
6

CAPITOLUL I. TESTE ST A TISTICE
T oate cele trei ip oteze alternativ e prezen tate apar în probleme practice, cum ar
:
ˆ atunci când este imp ortan t ca v aloarea lui  s  n u dep ³easc  o v aloare ma-
xim  admis  0 (spre exemplu tensiunea maxim  de alimen tare a un ui circuir
electric), se alege ip oteza alternativ   (1) ;
ˆ atunci când este imp ortan t ca v aloarea lui  s  n u e mai mic  decât o v aloare
minim  admis  0 (ca în exemplul an terior), se alege ip oteza alternativ   (2) ;
ˆ atunci când este imp ortan t ca v aloarea lui  s  aib  exact dimensiunea dorit 
(spre exemplu diametrul un ui ³urub trebuie s  aib  o dimensiune precis  p en tru
a putea  înletat), se alege ip oteza alternativ   (3) .
Figura I.2.1: Cele trei tipuri de ip oteze alternativ e: (1) >  0 (sus), (2) <  0
(mijlo c) ³i (3)6=0 (jos).
I.3 Erori în testarea ip otezelor
În testarea ip otezelor apare riscul a dou  tipuri de decizii eronate:
I Respingerea ip otezei n ule atunci când ea este adev  rat  (n umit  eroare de tip
I ). Not m cu  probabilitatea unei erori de tip I , adica
P( se respingeH0jH0 este adev  rat  ) =
I I A cceptarea ip otezei n ule atunci când ea este fals  (n umit  eroare de tip II ).
Not m cu probabilitatea unei erori de tip II , adic 
P( se accept H0jH0 este fals  ) =
7

CAPITOLUL I. TESTE ST A TISTICE
Cu toate c  n u putem elimina apariµia acestor dou  tipuri de erori, putem alege
niv ele acceptabile de apariµie a acestor erori,  ³i .
Spre exemplu, s  consider m cazul test rii ip otezei =0 în cazul ip otezei
alternativ e =1> 0 (celelalte cazuri sun t similare).
Alegem o v aloare critic  corespunz toare, ³i p en tru e³an tion xat x1;:::;xn cal-
cul m v aloare =g(x1;:::;xn) p en tru o an umit  func tie g (spre exemplu, în cazul
în care reprezin t  media, alegem =g(x1;:::;xn) =x=x1;:::;x n
n). Dac  > c
respingem ip oteza n ul , iar dac  c o accept m.
V aloare este v aloarea observ at  a v ariabilei aleagoarea  =g(X1;:::;Xn) ,
deoarecex1;:::;xn sun t v alorile observ ate ale selecµiei X1;:::;Xn .
În cazul unei erori de tip I , ip oteza n ul  este respins  de³i ea este adev  rat  (adi  u
a=0 ), ³i deci probabilitatea acestei erori este
P((X1;:::;Xn)>cj=0) =;
iar se n ume³te niv elul de semnicaµie al testului.
În cazul unei erori de tip II , ip oteza n ul  este acceptat  de³i ea este fals  (adic 
=1 ), ³i deci probabilitatea acestei erori este
((X1;:::;Xn)>cj1) =;
iar= 1 se n ume³te puterea testului (  este probabilitatea de a respinge ip oteza
n ul  atunci când ea este fals ).
Probabilit µile  ³i din form ulele an terioare depind de v aloarea lui c ³i este
doric ca v aloarea lui c s  e astfel aleas  încât am b ele probabilit µi s  e cât mai
mici. A cest lucru n u este îns  p osibil, deoarece p en tru ca probabilitatea  s  e
minim ,c trebuie ales cât mai mare (spre dreapta lui 0 ), ³i atunci probabilitatea
cre³te.
În practic , se alege o v aloare con v enabil  p en tru  (spre exemplu = 5%sau1% ),
se determin  v aloarea lui c , ³i ap oi se calculeaz  v aloarea lui  . Dac  v aloarea  ob-
µin ut  este prea mare, atunci se rep et  testul, considerând o selecµie de v olum mai
mare.
Dac  ip oteza alternativ   n u este de forma =1 ci de una din fomele (1) -(3) ,
atunci probabilitatea  este o funcµie de  (n umit  caracteristic  de op erare). Gra-
cul acestei funcµii (n umit curb  caracteristic ) p ermite determinarea probabilit µii
 p en tru o an umit  v aloare a lui  (³i al v olum ului n al selecµiei).
Gra vitatea comiterii celor dou  erori depinde de problema studiat . De exemplu,
riscul de gen ul (I) este mai gra v decât riscul de gen ul al (II) -lea dac  v eric m
calitatea un ui articol de îm br c min te, iar riscul de gen ul al (II) -lea este mai gra v
8

CAPITOLUL I. TESTE ST A TISTICE
decât riscul de gen ul (I) dac  v ericam concen traµia un ui medicamen t.
În general, regiunea critic  se dene³te similar, folosind div erse statistici S(x1;x2;:::;xn) .
Dac  putem scrie regiunea critic  sub forma: U= (x1;x2;:::;xn)2RnjS((x1;x2;:::;xn))c;
atunci v aloarea c se n umeµe v aloare critic , iar S((x1;x2;:::;xn)) se n ume³te statis-
tica test.
Din punct de v edere matematic, o subm ulµime UR se n ume³te regiunea critic 
cu un niv el de semnicaµie 2(0;1) dac  probabilitatea de a respinge o ip otez 
adev  rat  este  . Scriem astfel:
P((x1;x2;:::;xn)2UjH0 – adev  rat  ) =:
Construirea un ui test statistic revine la construirea unei astfel de m ulµimi critice.
folosind datele observ ate ³i U determinat ca mai sus, putem a v ea dou  cazuri:
ˆ (i)(x1;x2;:::;xn)=2U , adic H0 este acceptat  (pân  la o alt  testare);
ˆ (ii)x1;x2;:::;xn)2U , adic H0 este respins  (adic  H1 este acceptat );
Exemplul I.3.1. Un exemplu simplu de test statistic este testul de sar cin . A c est
test este, de fapt o pr o c e dur   statistic   c e ne d  dr eptul s  de cidem dac   exist  sau
nu suciente evidentµe c a s  c oncluzion m c   o sar cin  este pr ezent . Ip oteza nul 
ar  lipsa sar cinii. Majoritate a o amenilor în ac est c az vor c  de a de ac or d cum c a un
false ne gative este mai gr av de c ât un fals p ositive. T otu³i, pr ob abili c   aici vor exista
opinii sep ar ate într e b  rb aµi c si femei r elativ la gr avitate a er orilor de testar e.
I.4 Tipuri de teste statistice
T estul statistic p oate  referitor la parametrii de care depinde legea de probabilitate
a caracteristicii X . În acest caz testul se n ume³te parametric. În caz con trar se
obµine un test neparametric.
Tipul uni test statistic este determinat de ip oteza alternativ   H1 . A v em astfel:
ˆ test unilateral stânga, atunci când ip oteza alternativ   este < 0 ;
ˆ test unilateral dreapta, atunci când ip oteza alternativ   este > 0 ;
ˆ test bilateral, atunci când ip oteza alternativ   este 6=0 .
A³adar, p en tru a construi un test statistic v om a v ea nev oie de o regiune critic .
P en tru a construi aceast  regiune critic  v om utiliza meto da in terv alelor de încredere.
Dac  v aloarea observ at  se a  în regiunea critic  (adic  în afara in terv alului de
încredere), atunci respingem ip oteza n ul .
9

CAPITOLUL I. TESTE ST A TISTICE
T estele statistice p ot  clasicate dup  mai m ulte criterii, cele mai imp ortan te
id urm toarele:
ˆ dac  în aplicarea testului este nev oie sau n u s  se ³tie dac  v ariabila de prelucrat
urmeaz  o distribuµie predeterminat ;
ˆ teste parametrice – se bazeaz  p e ip oteze distribuµionale;
ˆ teste neparametrice – sun t indep enden te de aceste ip oteze;
ˆ în funcµie de mo dul de form ulare a ip otezei alternativ e;
ˆ teste unilaterale – alternativ   este form ulat  ca o inegalitate;
ˆ teste bilateral – alternativ   este form ulat  ca o egalitate;
ˆ în rap ort cu n um rul de e³an tioane folosite;
ˆ teste ce folosesc v alorile observ ate la niv elul un ui e³an tion;
ˆ teste ce folosesc v alorile observ ate la niv elul mai m ultor e³an tioane care la
rândul lor p ot s  e indep enden te sau dep enden te.
În con tin uare, v om prezen ta cele mai folosite teste parametrice. Încep em prin a
prezen ta etap ele care apar în tr-o testare parametric :
ˆ Consider m o selecµie în tâmpl toare x1;x2;:::;xn de observ aµii asupra carac-
teristicii de in teres. De m ulte ori, aceast  selecµie pro vine din tr-o repartiµie
normal . În caz con trar, v a trebui ca v olum ul selecµiei s  e mare, de regula
n30 . FieX1;X2;:::;Xn v ariabile aleatoare de selecµie;
ˆ Alegem o statistic  (criteriu) S(X1;X2;:::;Xn) care, dup  acceptarea ip otezei
(H0) , aceast  are o repartiµie cunoscut , indep enden t  de parametrul testat;
ˆ Alegem un niv el de semnicaµie  apropiat de 0 . De regul , = 0:01;0:02;0:05 .
ˆ G  sim regiunea critic  U ;
ˆ Calcul m v aloare s0 a statisticii S(X1;X2;:::;Xn) p en tru selecµia considerat ;
ˆ Lu m decizia
 Dac s02U , atunci ip oteza n ul , (H0) , se respinge;
 Dac s0=2U , atunci ip oteza n ul , (H0) , se admite (mai bine zis, n u a v em
motiv e s  o respingem ³i o admitem pân  la efectuarea ev en tual  a un ui
test mai puternic).
10

CAPITOLUL I. TESTE ST A TISTICE
T este parametrice:
ˆ T estult p este medie
ˆ T est p en tru disp ersie
ˆ T est p en tru proproµie în tr-o p opulaµie binomial 
ˆ T este parametrice p en tru dou  p opulaµii
ˆ T estult p en tru diferenµa mediilor a dou  selecµii
ˆ T estulF p en tru rap ortul a dou  disp ersii
ˆ T estul p en tru egalitatea a dou  prop orµii
T estult p en tru diferenµa mediilor a dou  selecµii T estul t p en tru diferenµa mediilor
se folose³te p en tru selecµii normale indep enden te de v olum mic (n<30) , atunci când
disp ersiile p opulaµiilor considerate sun t necunoscute apriori. Dorim s  test m ip oteza
n ul  c  mediile sun t egale
(H0) :1=2
vs. ip oteza alternativ  
(H1) :16=2
P en tru testul t p en tru diferenµa mediilor distingem dou  cazuri (1)16=2 sun t
necunoscute; (2)1=2 ³i sun t necunoscute.
Etap ele testul t p en tru diferenµa mediilor
1. Se dau: x11;x12;:::;x 1n1 ,x21;x22;:::;x 2n2 (date normale), 0 , ;
2. Calcul m x1;x2;s1 ³is2 dup  form ulele uzuale;
3. Determin m v aloarea t1
2;m (undem=N , dac 16=2 saum=n1+n22 ,
dac 12 ) astfel încât funcµia de repartiµie p en tru repartiµia Studen t t(m) ,
Fm(t1
2;m) = 1
2:
Aici,N=(s2
1
n1+s2
2
n2)2
(s2
1
n1)21
n11+ (s2
2
n2)21
n212
4. Calculez v aloare
t0=8
>>><
>>>:x1x2r
s2
1
n1+s2
2
n2,dac 16=2
x1x2
(n11)s2
1+(n21)s2
2r
n1+n22
1
n1+1
n2,dac 1=2(I.1)
11

CAPITOLUL I. TESTE ST A TISTICE
5. Dac 
ˆ (i)jt0j<t 1
2;m , atunci1=2 ;
ˆ (ii)jt0jt1
2;m , atunci1=2 .
T estele neparametrice sun t cele în cadrul c rura n u se fac presupuneri asupra
formei repartiµiei. A ceste teste n u estimeaz  parametrii tradiµionali necunoscuµi, de
aceea mai sun t cunoscute ³i sub titulatura de meto de f r  parametri sau meto de f r 
repartii  e.
T estele neparametrice sun t grupate în urm toarele categorii:
ˆ test p en tru diferenµa din tre grupuri (p en tru selec ii indep enden te). Este cazul
compar rii mediilor a dou  selecµii ce pro vin din p opulaµii indep enden te. De re-
gul , se utilizeaz  testul t dac  ip otezele acestuia sun t îndeplinite. V arian te ne-
parametrice ale acestui test sun t: testul W ald-W olfo witz, testul Mann-Whitney
sau tesul K olmogoro v-Smirno v p en tru dou  selecµii;
ˆ teste p en tru diferenµa din tre v ariabile (p en tru selecµii dep enden te). Utilizat
la compararea a dou  v ariabile ce caracterizeaz  p opulaµia din care s-a luat
selecµia. T este neparametrice utilizate: testul semnelor, testul Wilco xon;
ˆ teste p en tru relaµii în tre v ariabile. P en tru a g si corelaµia în tre v araibile, se
utilizeaz  co ecien tul de corelaµie. Exist  v arian te neparametrice ale co ecien-
tului de corelaµie standard, de exemplu co ecien tul R (Sp earman), co ecien tul
 (Kendall) sau co ecien tul Gamma. Exist  ³i testue privind co ecien tul de
corelaµie:2sau testul Fisher exact.
A v an ta jul testelor neparametrice este c  ele folosesc mai puµine ip oteze decât
testele parametrice, cum ar  o repartiµie cunoscut  a datelor observ ate sau un v olum
mare de date. T otu³i, efectul lipsei unor ip oteze restrictiv e este c  puterea un ui test
neparametric este, în general, mai mic  decât a testului parametric corespunz tor,
care ar  folosit dac  ip otezele sale sun t satisf  cute.
Cu alte cuvin te, în cazul un ui teste neparametric sun t ³anse mai mici ca ip oteza
n ul  s  e respins  atunci când ea este, în realitate, fals .
T estele neparametrice p ot  singurele opµiuni p en tru analiza datelor statistice în
urm toarele cazuri: datele sun t ordinale, sau f r  v alori n umerice, sau datele conµin
v alori ab eran te extreme sau în cazul care datele sun t rezultatul unor m sur tori
imprecise.
T este neparametrice:
ˆ T estul semnelor p en tru date p erec hi
12

CAPITOLUL I. TESTE ST A TISTICE
ˆ T estul seriilor p en tru caracterul aleator
ˆ T estul W ald-W olfo witz (W ald-W olfo witz t w o-sample runs test)
ˆ T estul Wilco xon bazat p e ranguri cu semn (Wilco xon Signed-Rank T est)
ˆ T estult p en tru date p erec hi
ˆ T estul Wilco xon p en tru date p erec hi
ˆ T estul Wilco xon baza p e suma rangurilor (Wilco xon Rank-Sum test)
T estul semnelor date p erec hi
De m ulte ori, este nev oie de a compara caracteristicile a doua seturi de date
statistice. V om spune c  aceste date sun t date p erec hi dac  aceste date reprezin t 
observ aµii asupra aceleia³i caracteristi colectate la div erse momen te în timp. A ceste
seturi de v alori pro vin din caracteristici care n u sun t indep enden te în tre ele. Spre
exemplu, un se de date reprezin t  masele corp orale ale unor p esoane înain te de o an u-
mit  diet  ³i cel lalt set de date reprezin t  masele corp orale ale acelora³i p ersoane,
dar dup  diet . Scopul analizei statistice este studierea efectului dietei asupra masei
corp orale. Alt exemplu: p en tru testarea progresului f cut de elevi în tr-un semestru,
se compar  notele elevilor la testarea initµial  la Matematic  ³i notele acelora³i elevi
la teza de Matematic .
Presupunem c  X ³iY sun t dou  v ariabile dep enden te în tre ele observ ate asupra
aceleea³i p opulaµii (e.g., X este nota la testul iniµial ³i Y este nota la teza). Dac  se
dore³te compararea mediilor celor dou  seturi observ aµii, n u se p oate aplica testul t
p en tru diferenµa mediilor, acolo unde cerinµa de indep endeµa din tre X ³iY este una
de baz . V om v edea mai târziu (testul t p en tru date p erec hi) cum putem testa dac 
mediile sun t egale. Deo camdat , s  ne îndrept m atenµia spre medianele datelor.
Presupunem c  (x1;y1);(x2;y2);:::; (xn;yn) sun t datele p erec hi observ ate. În
m ulte aplicaµii se dore³te a se determina cum este X faµ  deY . P en tru aceasta,
se consider  diferen tele di=xiyi . Se presupune ca d1;d2;:::;dn pro vin din tr-o
p opulaµie con tin u  de mediana unic , Me . Se p oate utiliza testul an terior p en tru a
testa dac  v aloarea median  este 0 :
(H0)Me= 0 ( H0)Me= 0
(H1)sMe< 0[ sau(H1)d:Me> 0] (H1)Me6= 0
A tenµie acest test n u v eric  dac  medianele celor dou  selecµii, MeX ³iMeY , sun t
egale!
13

Anexa 3: valori ale funcției de distribuție inversă – distribu ția T (Student) cu n grade de
libertate.
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,975 0,990 0,995 0,999
1 0,00 0,32 0,73 1,38 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66 318,31
2 0,00 0,29 0,62 1,06 1,89 2,92 4,30 6,96 9,92 22,333 0,00 0,28 0,58 0,98 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84 10,214 0,00 0,27 0,57 0,94 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60 7,175 0,00 0,27 0,56 0,92 1,48 2,02 2,57 3,36 4,03 5,89
6 00 0 02 6 05 5 09 1 14 4 19 4 24 5 31 4 37 1 52 1Grade de 
libertate
∞()Fz
6 0,00 0,26 0,55 0,91 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71 5,217 0,00 0,26 0,55 0,90 1,41 1,89 2,36 3,00 3,50 4,798 0,00 0,26 0,55 0,89 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36 4,509 0,00 0,26 0,54 0,88 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30
10 0,00 0,26 0,54 0,88 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17 4,1411 0,00 0,26 0,54 0,88 1,36 1,80 2,20 2,72 3,11 4,0212 0,00 0,26 0,54 0,87 1,36 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93
13 00 0 02 6 05 4 08 7 13 5 17 7 21 6 26 5 30 1 38 5
∞()Fz
13 0,00 0,26 0,54 0,87 1,35 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85
14 0,00 0,26 0,54 0,87 1,35 1,76 2,14 2,62 2,98 3,7915 0,00 0,26 0,54 0,87 1,34 1,75 2,13 2,60 2,95 3,7316 0,00 0,26 0,54 0,86 1,34 1,75 2,12 2,58 2,92 3,6917 0,00 0,26 0,53 0,86 1,33 1,74 2,11 2,57 2,90 3,6518 0,00 0,26 0,53 0,86 1,33 1,73 2,10 2,55 2,88 3,6119 0,00 0,26 0,53 0,86 1,33 1,73 2,09 2,54 2,86 3,5820 0
,00 0 ,26 0 ,53 0 ,86 1 ,33 1 ,72 2 ,09 2 ,53 2 ,85 3 ,55
∞()Fz
20 0,00 0,26 0,53 0,86 1,33 1,72 2,09 2,53 2,85 3,55
22 0,00 0,26 0,53 0,86 1,32 1,72 2,07 2,51 2,82 3,5024 0,00 0,26 0,53 0,86 1,32 1,71 2,06 2,49 2,80 3,4726 0,00 0,26 0,53 0,86 1,31 1,71 2,06 2,48 2,78 3,4328 0,00 0,26 0,53 0,85 1,31 1,70 2,05 2,47 2,76 3,4130 0,00 0,26 0,53 0,85 1,31 1,70 2,04 2,46 2,75 3,3940 0,00 0,26 0,53 0,85 1,30 1,68 2,02 2,42 2,70 3,3150 0,00 0,25 0,53 0,85 1,30 1,68 2,01 2,40 2,68 3,26
∞()Fz
100 0,00 0,25 0,53 0,85 1,29 1,66 1,98 2,36 2,63 3,17200 0,00 0,25 0,53 0,84 1,29 1,65 1,97 2,35 2,60 3,13
0,00 0,25 0,52 0,84 1,28 1,65 1,96 2,33 2,58 3,09
∞()Fz

Bibliograe
[1] 1. Gheorge Ciucu, Virgil Craiu, T e oria estimatiei si veric ar e a ip otezelor statis-
tic e , Editura Didactica si P edagogica, Bucuresti, 1968.
[2] 2. Ja y L. De V ore, Kenneth N.Berk, Mathematic al Statistics with Applic ations
(with CD-R OM) , Duxbury Press, 2006. v ol. I, Editura T ehnic , 1963.
[3] 3. George Miho c, N. Micu, T e oria pr ob abilitatilor si statistic a matematic a , Bu-
curesti, 1980.
4. Statistic   Aplic at  , Iulian Stoleriu, 2016
15