Universit a tea Alexandr u Io an Cuza din Ia³i [611461]

Universit a tea Alexandr u Io an Cuza" din Ia³i
F a cul t a tea de Ma tema tic 
Grupuri de permut  ri
Lucrare de licenµ 
Conduc tor ³tiinµic:
Prof. dr. (G;) F otea Violet a
Candidat: [anonimizat]. Elena-Cristina
Iulie, 2019
Ia³i

2

Cuprins
1 Grupuri nite 7
1.1 Grupuri ciclice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Grupuri nite de p erm utari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Exemple de grupuri de p erm ut ri 13
2.1 Grupul Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Grupul An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Bibliograe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3

4 CUPRINS

Intr o duc er e
Lucrarea de licenµ  trateaz  teoria grupurilor nite de p erm ut ri, cu denirea
structurilor fundamen tale ³i caracterizarea in trumen telor sp ecice.
Studiul grupurilor nite are aplicaµii în div erse domenii ale matematicii ³i
în alte ³tiinµe precum zica ³i c himia.
În prim ul capitol am f cut o scurt  in tro ducere în teoria grupurilor -
nite denind noµiunea de grup,p erm utare, p erm uatre ciclica, ³i am caracterizat
grupurile ciclice.
5

6 CUPRINS

Capitolul 1
Grupuri nite
Deniµia 1.1. Fie G o mulµime nevid  ³i "" o op er aµie algebric   p e G.
(G;) se nume³te grup,dac   satisfac e urm to ar ele axiomele:
i) op er aµia "" este aso ciativ ;
ii) op er atµia "" admite element neutru ;
iii) oric e element din G este simetrizabil faµ  de op er aµia ""
iv) dac  , în plus, este satisf cut  axioma: op er aµia "" este c omutativ ,
atunci spunem c   grupul (G;) este c omutativ (ab elian).
Fie G un grup.
Deniµia 1.2. G se numeµe grup nit dac   mulµime a G este nit .
1.1 Grupuri ciclice
Ordin ul un ui elemen t
Fie G un grup, a2G ³il2Z . V om nota cu
Deniµia 1.3. Spunem c   a ar e un or din innit dac   ak6=e , ³i vom spune c  
a ar e un or din nit dac   9k02Zastfel înc ât ak0=e , asta p entru oric e k2Z.
Dac  G este un grup nit, atunci n um rul elemen telor sale se n ume³te ordin ul
lui G acesta notându-se cu ordG.
Exemplul 1.
Dac   G este grupul unitate atunci or dinul grupului G este 1.
Dac   G este un grup nit, atunci oric e sub grup al s u ar e indic e nit.
7

8 CAPITOLUL 1. GR UPURI FINITE
Observ aµie.
Elementula2G ar e or din nit dac   ³i numai dac   9k1;k22Z;k16=k2 astfel
înc âtak1=ak2 .
Elementula2G ar e or din innit dac   ³i numai dac   8k1;k22Z;k16=k2 vom
ave aak16=ak2 .
Prop oziµia 1.1. Fie(G;) un grup ³i e a,b din G. A u lo c urm to aer ele ar-
maµii:
1.ak=e,ord(a)jk , undek2N;
2.ord(a) =ord(a1) ;
3. or d(ab)=or d(b a);
4.ord(xax1) =ord(a);8x2G ;
5. dac   or d(a)=m, or d(b)=n, (m,n)=1 ³i ab=b a, atunci ord(ab) =m
n .
Demonstraµie.
1.")" Dinak=e)ord(a)<1 . Not m or d(a)=h 2N. Din te or ema
împ  rµirii cu r est r ezult  c a exist  q;r2N;k=hq+r;0r < h .
Dac  r6= 0 , atunciar=akhq=ak
(ah)q=e , c ontr adicµie cu
or d(a)=k. De ci r=0, de unde k=or d(a)|k.
"(" Fie or d(a)=h. Din h|k r ezult  c   exist  s2Nastfel înc ât k=hs.
A vemak= (ah)s=e
2. Observ m c   ar e lo c e chivalenµa :
at=e,at=e;8t2N
De ci, dac   or d(a)= 1 , atuncian6=e;8n2Nde ci ³i (a1)n6=e;8n2N,
adic  ord(a1) =1 .
Dac   or d(a)=c, c2N, atunciac=e ³iat6=e;8t2N , 0 <t<c. R ezult 
c  ac=e ³iat6=e;8t2N , 0<t<c, adic   ord(a1) =c=ord(a):
3. A r e lo c e chivalenµa :
(ab)t=e,(ba)t=e;8t2N
Într-adev r,8t2N , avem (ab)t=e,a(ba)t1b=e,(ba)t1b=
a1,(ba)t=e:
De unde se veric   similar c a la 2, e galitate a c erut .
4. Din 3 avem c   ord(ba)1b=ordb1(ba) de ciord(bab1) =ord(a)
5. A vem (ab)mn=amnbmn =e , de ci or d(ab)=k, k2N: Mai mult, k|mn,
c onform cu 1
Dinakbk=e)ak=bkde undeakm=bkm=e , adic  bkm=e)
njkm . Cum (m,n)=1) n|k.
Similar vom obµine m|k ³i (m,n)=1 ) mn|k. Dar k|mn, de ci k=mn, adic  
or d(ab)=mn.

1.2. GR UPURI FINITE DE PERMUT ARI 9
Deniµia 1.4. Spunem c   gupul (G;) este grup ciclic, dac   exist  a2G astfel
înc ât G c oincide cu sub grupul ciclic [a] gener at de a. În ac est c az, spunem c   a
este gener ator al grupului ciclic G.
Prop oziµia 1.2. *
i) Oric e grup ciclic este c omutativ.
ii) Oric e sub grup ³i oric e grup factor ale unui grup ciclic sunt ciclic e.
1.2 Grupuri nite de p erm utari
Deniµia 1.5. Fien2N;n>2: O p ermutar e 2S se va nota cu:
=1 2 :::n
(1)(1):::(n)
;
iar p ermutar e a identic   a lui S cu e.
Exemplul 2.
1.ordSn=n!
2.Sn este grup ne c omutativ, p entru n>3 .
Deniµia 1.6.
Fie M o mulµime nevid . A tunci mulµime a S(M) =ff:M!Mjf=bijectivg ,
împr eun  cu op er aµia de c ompuner e a funcµiilor, este un grup, numit grupul
p ermut rilor mulµimii M (sau grupul simetric aso ciat mulµimii M).
Dac  N este o m ulµime a v ând proprietatea c  exist  o bijecµie în tre N ³i M,
atunci grupurile S(N) ³i S(M) sun t izomorfe.
Deniµia 1.7. FieI=fi1;i2;:::;irgf 1;2;:::;ng; (undern) . O p ermutar e
2Sn se numeµe p ermutar e ciclic   (ciclu) de lungime r determint  de mulµime a
I, dac  :
i)(i1) =i2;(i2) =i3;:::; (ir) =i1 ;
ii)(i) =i , p entru oric e i2f1;2;:::;ngnI .
Se va nota cu = (i1;i2;:::;in):
Observ aµie.
1. Pentru oric e k2f1;2;:::;rg; avem:
(i1i2::::::ir) = (ikik+1:::iril:::ik2ik1):

10 CAPITOLUL 1. GR UPURI FINITE
2. A u lo c:
h(ik) =ih+k , dac   1h+kr ,
h(ik) =ih+kr , dac   1h+k2r
3.ord() =r .
4. Dac   r=1, atunci =e .
Deniµia 1.8. Doi cicli= (i1i2:::ir) ³i= (j1j2:::jn) se numesc disjuncµi,
dac   (i1i2:::ir)\(j1j2:::jn) =?
Prop oziµia 1.3.
1. Oric e doi cicli disjuncµi c omut .
2. Oric e p ermutar e din Sn , se scrie în mo d unic c a un pr o dus nit de cilci
disjuncµi, abstr acµie fac ând de or dine a factorilor ³i de ciclii de lungime l.
3. Dac  2Sn este desc ompus  de ciclii disjuncµi =12:::k; atunci
ord() =c:m:m:c:ford(1);ord(2);:::;ord (k)g:
Demonstraµie.
1. Se demonstr e az  cu usurinµ .
2. Fie2Sn:
Not m cuIn mulµime a {1,2,…,n}.
Denim p e In r elaµia:ab,9i2Z astfel înc ât b=i(a) unde0este
funµia identic  .
Se veric   c    este o r elaµie de e chivalenµa ( simetric  , r eexiv , tr anzi-
tiv ).
Consider  m clasa de e chivalenµ  a elementului a: 0=fa1;a2;:::;aqg
unde8k2Iq;ak=k1(a) .
Denim funcµia :In!In; (aj) =aj+1; p entruj2Iq1< q; (aq) =
a1; (x) =x;8x2In0; este o p ermutar e ciclic  .
Se c onsider   C1;C2;::;Cm clasele de e chivalenµ  mo dulo  ³i e 1; 2;:::; m
cicli c or espunz tori.De ci = 1 2::: m: Iar 1; 2;:::; m sunt dis-
juncµi de o ar e c e p entr i;j2Im;i6=j;CiaCj=?:
A r  t m acum unicitate a scrierii.
Pr esupunem c   ar exista dou  desc ompuneri diferite, în cicli disjuncµi, ai
unei p ermut ri  ³i anume= 1 2::: m ³i=12:::s .
Din …… lor r ezult  c   exist  i;j2In , astfel înc ât i ³i j sunt elemente
c onse cutive dintr-un ciclu din prima desc ompuner e ³i nu sunt elemente
c onse cutive în nici unul din cicli 1;2;:::s ai c ele-i de-a doua desc ompu-
neri.Fiek6=j elementul c onse cutiv al lui i intr-un ciclu din c e a de-a doua
desc ompuner e. Consider ând i ³i j elemente c onse cutive în ciclu q r ezult 
c   q(i) =j ,de ci(i) =j . Pe de alta p arte, c onsider ând i ³i k elemente
c onse cutive din ciclu t r ezult  c  t(i) =k ³i de ci ³i(i) =k
A³adar, j=k, c e e a c e este falc.

1.2. GR UPURI FINITE DE PERMUT ARI 11
Deniµia 1.9. Un ciclu de lungime 2 se numeµe tr ansp oziµie
Prop oziµia 1.4. Oric e p ermutar e din Sn se scrie c a un pr o dus nit de tr ansp o-
ziµii; scrier e a nu este unic  , dar, p entru oric e scrier e a unei p ermut ri c a pr o dus
de tr ansp oziµii, p aritate a num rului factorilor este ac e e a³i.
Observ aµie. Fie=
1 2 ::: n
(1)(2):::  (n)
2Sn: O p er e che (i,j) se nu-
me³te inversiune a p ermut rii  , dac   i<j ³i (i)<(j):
Se va nota cu inv() num rul inversiunilor p ermut rii  .
Denim, de asemenea, aplicaµia:
":Sn![1;1];"() =Y
1ijn(j)(i)
ji:
Unde"() p oart  n umele de semn ul (signatura) p erm ut rii  .
A v em"() = (1)inv(); pentru orice  2Sn .
Deniµia 1.10. O p ermtar e 2Sn se numeµe p ar  , dac   "() = +1 ³i se
nume³te imp ar   dac   "() =1
V om considera transp oziµia (ij)2Sn . Dac  presupunem i<j, atunci v om
a v eainv() = 2(j1)1 . A v em"() =1; deci este o p erm utare im-
par . Cum a v em ³i "(e) = (1)inv(e)= (1)0= 1 , obµinem c  aplica cia este
surjectiv  .
Not m cuAn n ucleul morsm ului " ³i îl n umim grupul altern de gradul n.
Conform teoremei 1 de izomorsm a grupurilor, a v em izomorsm ul de grupuri:
Sn=Anf 1;1g;
deci[Sn:An] = 2 ³iordAn=n!
2: În concluzie, exist n!
2p erm ut ri pare de
grad n ³in!
2p erm ut ri impare de grad n.
T eorem  1.1. T eo rema lui Ca yley
Oric e grup este izomof cu un grup de substituµii.
Demonstraµie. Fie(G;
) un grup ³iSG grupul substituµiilor mulµimii G, adic  :
SG=f:G!Gj bije cµieg
Denim funcµia :G!SG; (g) =g ; undeg:G!G; g(x) =gx A r  t m
c   este un mosm.
Observ m c   g2SG; adic   g este bije ctiv.
Într-adev r, dac   g(x1) = g(x2) atuncigx1=gx2 , adic  x1=x2; ³i p e de
alt  p arte ,8y2G;9x=g1y2G , astfel înc ât g(g1y) =g(x) =y .
morsm de o ar e c e 8g1;g22G , avem (g1g2) =g1g2 ³ig1g2(x) =g1g2x=
g1(g2x) =g1(g2)(x) = (g1g2)(x) adic   (g1g2) =g1g2=g1g2=

12 CAPITOLUL 1. GR UPURI FINITE
(g1) (g2) .
Dar, Ker =g2Gj (g) = 1G , de ci:g inKer ,g= 1g,8x2G;gx =
x,g=e , adic  Ker =e , de ci este inje ctiv.
Asadar, este un monomorsm ³i, c onform primei te or eme de izomorsm,
exist  un izomorsm c anonic :G=Ker !Im , adic  :G!Im ³i cum
Im SG , r ezult  c   G este un izomorsm cu un grup de substituµii.

Capitolul 2
Exemple de grupuri de
p erm ut ri
2.1 Grupul Sn
Se noteaz  cu Sn grupul p erm ut rilor m ulµimii 1,2,3,…,n. (G;) (G;)
2.2 Grupul An
Denim funcµia "semn" astfel:
sgn:Sn!(1;1);sgn =i6=jY
i;j2In(i)(j)
ij
Au lo c urm toarele armaµii:
1. sgn este un epimorsm de la grupul Sn la grupul m ultiplicativ (-1,1);
2. dac  este o transp oziµie atunci sgn() =1 ;
3. dac =mQ
i=ji;8i2Im iari este o transp oziµie, atunci sgn() = (1)m: ;
4. în orice descompunere a unei p erm ut ri  în pro dus de transp oziµii, pari-
tatea n um rului de transp oziµii este aceia³i.
Demonstraµie.
Se observ  mai întâi c   82Sn;sgn()2(1;1) .
Într-adev r,
jsgn()j=i;j2InY
i6=jj(i)(j)j
jijj=i;j2InQ
i6=jj(i)(j)j
i;j2InQ
i6=jj(i)(j)j= 1;
13

14 CAPITOLUL 2. EXEMPLE DE GR UPURI DE PERMUT €RI
de o ar e c e num r  torul ³i numitorul c onµin ac eia³i factori.
1. Fie1 ³i2 p ermut ri din Sn .
A vem:
sgn(12) =i;j2InY
i6=j1(2(i))1(2(j))
ij=
=i;j2InY
i6=j1(1(2(i))1(2(j)))
2(i)2(j)2(i)2(j)
ij=sgn(1)sgn(2);
de o ar e c e atunci c ând i ³i j p ar cur g In;i6=j ³i2(i) ³i2(j) p ar cur gIn , ³i
sunt diferite într e ele.
2. Fie tr ansp oziµia (k l).
În c azul ac esta avem :
sgn() =sgn(kl) =Y
fi;jgafk;lg=?ij
ij
Y
j2fk;lglj
kj
Y
j2fk;lgkj
lj
kl
lk=1:
3. V a r ezulta din 1 ³i 2.
4. V a r ezulta din 3.
Deniµia 2.1. Permutar e a  se nume³te p ermutar e p ar   dac   sgn() = 1 ³i se
nume³te p ermutar e imp ar   dac   sgn() =1:
Se v a nota cu An m ulµimea p erm ut rilor pare din Sn .
Prop oziµia 2.1. A u lo c urm to ar ele armaµii:
i) c ar dSn =n!;
ii) c ar dAn =n!
2;
iii)AnCSn:
Demonstraµie.
i) Se ob erv  c   exist  n p osibilit µi p entru a deni (1) .
Dac  (1) a fost denit atunci (2) p o ate  oric e element din mulµime a {1,2,…,n}
diferit de(1) , r ezultând atunci c   sunt n(n-1) p osibilit µi de a deni p er e che a
((1);(2)) .
Dac   c onsider  m (1) ³i(2) denite atunci (3) p o ate  ales c a ind oric e
elemnt din mulµime a dat  {1,2,..,n} diferit de (1) ³i(2) .
R ezult  de ci n(n-1)(n-2) p osibilit µi de a deni tripletul ((1);(2);(3) . Con-
tinuând astfel, se va obµine num rul tutur or p ermut rilor 2Sn ac esta ind
n(n1)(n2)
:::
2
1 =n!
ii) Denim An=f1;2;:::;ng ³i o tr ansp oziµie.A tunci 1; 2;:::;n;
sunt p ermut ri imp ar e din Sn , diferite dou  c âte dou .

Bibliograe
[1] V. Leorean u-F otea, F undamen te de algebr , Matrix Rom, 2001
[2] Ion D. Ion, N. Radu, Algebr , Editura Didactic  s , i P edagogic , Bucure³ti,
1991
[3] M. T rn ucean u, Probleme de algebr , v ol I, Ed Univ. Al. I. Cuza,2003
15