Universit a tea Alexandr u Io an Cuza din Ia³i [611460]

Universit a tea Alexandr u Io an Cuza" din Ia³i
F a cul t a tea de Ma tema tic 
Grupuri de permut  ri
Lucrare de licenµ 
Conduc tor ³tiinµic:
Prof. dr. F otea Violet aCandidat: [anonimizat]. Elena-Cristina
Iulie, 2019
Ia³i

2

Cuprins
1 Grupuri 5
1.1 Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor . . . . . . . 5
Bibliograe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3

4 CUPRINS
Intr o duc er e
Lucrarea trateaz  teoria grupurilor nite, cu denirea structurilor fundamen tale
³i caracterizarea instrumen telor de in v estigaµie sp ecice.
Studiul grupurilor nite are aplicaµii în div erse domenii ale matematicii ³i în
alte ³tiinµe precum zica ³i c himia.
În prim ul capitol am f cut o scurt  in tro ducere în teoria grupurilor denind
noµiunea de grup, pro dusul direct a dou  grupuri, morsme de grupuri ³i am
caracterizat grupurile ciclice, grupurile nite ³i subgrupurile un ui grup.
În capitolul I I am en unµat teorema lui Lagrange ³i teoreme de izomorsm
prezen tând deniµia indicelui un ui subgrup în tr-un grup ³i caracterizând sub-
grupurile generate de o m ulµime, subgrupurile normale ³i grupurile factor. Am
dat drept consecinµe teoremele lui Euler, F ermat ³i Wilson. În nalul capitolului
am prezen tat teoremele de izomorsm cu aplicaµii la studiul subgrupurilor un ui
grup ciclic ³i a grupurilor rezolubile.
În capitolul I I I am prezen tat grupurile ab eliene nit generate insistând asu-
pra structurii acestora cu evidenµierea p rµii de torsiune a un ui grup ab elian ³i
caracterizând grupurile ab eliene lib ere de rang nit ³i p-grupurile ab eliene. Ne-
am o cupat ³i de determinarea tuturor tipurilor de grupuri ab eliene nit generate
³i am caracterizat grupul automorsmelor un ui grup ciclic.

Capitolul 1
Grupuri
1.1 Grupuri; subgrupuri; divizori normali; gru-
puri factor
Deniµia 1.1. Fie G o mulµime nevid  ³i " op er aµie algebtic   p e G. Cuplul
(G;) se nume³te grup,dac   sunt satisf  cute axiomele:
i) op er aµia "" este aso ciativ ;
ii) op er atµia "" admite element neutru ;
iii) oric e element din G este simetrizabil faµ  de op er aµia ""
Dac  , în plus, este satisf cut  axioma:
iv) op er aµia "" este c omutativ ,
atunci spunem c   grupul (G;) este c omutativ (ab elian).
Observ aµie. Fie M o mulµime nevid . A tunci mulµime a S(M) =ff:M!
Mjf=bijectivg , împr eun  cu op er aµia de c ompuner e a funcµiilor, este un grup,
numit grupul p ermut rilor mulµimii M (sau grupul simetric aso ciat mulµimii M).
Dac  N este o m ulµime a v ând proprietatea c  exist  o bijecµie în tre N ³i M,
atunci grupurile S(N) ³i S(M) sun t izomorfe.
Deniµia 1.2. Fien2N;n>2:
O p erm utare 2S v a  notat :
=1 2 :::n
(1)(1)::: (n)
;
iar p erm utarea iden tic  a lui S, cu e.
5

6 CAPITOLUL 1. GR UPURI

Bibliograe
[1] V. Leorean u-F otea, F undamen te de algebr , Matrix Rom, 2001
[2] Ion D. Ion, N. Radu, Algebr , Editura Didactic  s , i P edagogic , Bucure³ti,
1991
[3] M. T rn ucean u, Probleme de algebr , v ol I, Ed Univ. Al. I. Cuza,2003
7