Universit a tea Alexandr u Io an Cuza din Ia³i [605829]

Universit a tea Alexandr u Io an Cuza" din Ia³i
F a cul t a tea de Ma tema tic 
Grupuri de permut  ri
Lucrare de licenµ 
Conduc tor ³tiinµic:
Prof. dr. F otea Violet aCandidat: [anonimizat], 2019
Ia³i

2

Cuprins
1 Grupuri nite 7
1.1 Grupuri ciclice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Grupuri nite de p erm utari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Grupuri de p erm ut ri 15
2.1 Grupul Sn .Generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Grupul (Sn;
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Grupul An .Generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Grupuri Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Aplicaµii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Bibliograe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3

4 CUPRINS

Intr o duc er e
Lucrarea de licenµ  trateaz  teoria grupurilor nite de p erm ut ri, cu denirea
structurilor fundamen tale ³i caracterizarea in trumen telor sp ecice.
Studiul grupurilor nite are aplicaµii în div erse domenii ale matematicii ³i
în alte ³tiinµe precum zica ³i c himia.
În prim ul capitol am f cut o scurt  in tro ducere în teoria grupurilor nite
denind noµiunea de grup,p erm utare, p erm uatre ciclic , ³i am caracterizat gru-
purile ciclice.
În cel de al doilea capitol am caracterizat cele mai imp ortan te grupuri p e p er-
m ut ri, grupurile An ³iSn .
5

6 CUPRINS

Capitolul 1
Grupuri nite
1.1 Grupuri ciclice
Ordin ul un ui elemen t
Fie G un grup, a2G ³il2Z .
V om nota cu:
ak=8
>>>>><
>>>>>:a
a
a
:::
a|{z}
k oridac k>0
e dac k= 0
a1
a1
:::
a1
|{z}
(-k) oridac k<0
ordin ul elemen tului a.
Deniµia 1.1. Spunem c   a ar e un or din innit dac   ak6=e , ³i vom spune c  
a ar e un or din nit dac   9k02Zastfel înc ât ak0=e , p entru oric e k2Z.
Deniµia 1.2. G se numeµe grup nit dac   mulµime a G este nit .
Dac  G este un grup nit, atunci n um rul elemen telor sale se n ume³te ordin ul
lui G acesta notându-se cu ordG.
Exemplul 1.
Dac   G este grupul unitate atunci or dinul grupului G este 1.
Dac   G este un grup nit, atunci oric e sub grup al s u ar e indic e nit.
Observ aµii.
1. Elementul a2G ar e or din nit dac   ³i numai dac   9k1;k22Z;k16=k2 astfel
înc âtak1=ak2 .
2. Elementul a2G ar e or din innit dac   ³i numai dac   8k1;k22Z;k16=k2
astfel înc ât ak16=ak2 .
7

8 CAPITOLUL 1. GR UPURI FINITE
Prop oziµia 1.1. Fie(G;) un grup ³i e a,b din G. A u lo c urm to aer ele ar-
maµii:
1.ak=e,ord(a)jk , undek2N;
2.ord(a) =ord(a1) ;
3. or d(ab)=or d(b a);
4.ord(xax1) =ord(a);8x2G ;
5. dac   or d(a)=m, or d(b)=n, (m,n)=1 ³i ab=b a, atunci ord(ab) =m
n .
Demonstraµie.
1.")" Dinak=e)ord(a)<1 . Not m or d(a)=h 2N. Din te or ema
împ  rµirii cu r est r ezult  c   exist  q;r2N;k=hq+r;0r < h .
Dac  r6= 0 , atunciar=akhq=ak
(ah)q=e , c ontr adicµie cu
or d(a)=k. De ci r=0, de unde h=or d(a)|k.
"(" Fie or d(a)=h. Din h|k r ezult  c   exist  s2Nastfel înc ât k=hs.
A vemak= (ah)s=e
2. Observ m c   ar e lo c e chivalenµa :
at=e,at=e;8t2N
De ci, dac   or d(a)= 1 , atuncian6=e;8n2Nde ci ³i (a1)n6=e;8n2N,
adic  ord(a1) =1 .
Dac   or d(a)=c, c2N, atunciac=e ³iat6=e;8t2N , 0 <t<c. R ezult 
c  ac=e ³iat6=e;8t2N , 0<t<c, adic   ord(a1) =c=ord(a):
3. A r e lo c e chivalenµa :
(ab)t=e,(ba)t=e;8t2N
Într-adev r,8t2N , avem (ab)t=e,a(ba)t1b=e,(ba)t1b=
a1,(ba)t=e:
De unde se veric   similar c a la 2 e galitate a c erut .
4. Din 3 avem c   ord(ba)1b=ordb1(ba) de ciord(bab1) =ord(a)
5. A vem (ab)mn=amnbmn=e , de ci or d(ab)=k, k2N: Mai mult, k|mn,
c onform cu 1.
Dinakbk=e)ak=bkde undeakm=bkm=e , adic  bkm=e)
njkm . Cum (m,n)=1) n|k.
Similar vom obµine m|k ³i (m,n)=1 ) mn|k. Dar k|mn, de ci k=mn, adic  
or d(ab)=mn.

1.1. GR UPURI CICLICE 9
Aplicaµie
1. Fie (G;
) un grup.Ar taµi c  :
i) Dac x;y2G satisfac condiµiile:
xy=yx;ord (x) =m<1;ord(y) =n<1;(m;n) = 1;
atunci ord(xy)=mn.
ii) Dac x2G a v ând ord(x)=mn, m;n2N,(m,n)=1, atunci exist 
³i sun t unice elemn tele y;z2G astfel încât x=yz=zy ³i ord(y)=m,
ord(z)=n.
Soluµie:
i) A v em (xy)mn=xmnynm= (xm)n(yn)m=enem=e: (1)
Fiek2Z astfel încât (xy)k=e . A tuncixkyk=e sauxk=yk:
Dac  se ridic  la puterea n, se obµine xkn=ykn= (yn)k=e .
Rezult  c  m/kn, ³i cum (m,n)=1, deducem m/k.
În mo d similar, se obµine n/k. Cum (m,n)=1 rezult  c  mn/k. (2)
Din relaµiile (1) ³i (2) rezult  c  ord(xy)=mn.
ii) Fie ³i2Z astfel încât m+n= 1 ³iy=xn;z=xm. A v em
x=x1=xm +n=xmxn=xnxm.
De asemenea ym=xmn= (xmn)=e=e , iar dac k2Z astfel
încâtyk=e , atuncixnk=e , de unde obµinem m/k.
Prin urmare ord(y)=m.
În mo d similar se arat  c  ord(z)=n.
Deniµia 1.3. Spunem c   gupul (G;) este grup ciclic, dac   exist  a2G astfel
înc ât G c oincide cu sub grupul ciclic [a] gener at de a. În ac est c az, spunem c   a
este gener ator al grupului ciclic G.
Prop oziµia 1.2.
i) Oric e grup ciclic este c omutativ.
ii) Oric e sub grup ³i oric e grup factor ale unui grup ciclic sunt ciclic e.
T eorem  1.1.
Fie<G;
> un grup ciclic gener at de x:
a) Dac  ord(x) =1 , atunci<G;
>(Z;+) ;
b) Dac   or d(x)=n, atunci (G;
)<Zn;+> .
Demonstraµie.
Se c onsider   funcµia f;Z!G , denit  prin: f(k) =xk: , cu f morsm surje ctiv
de grupuri.
Kerf =fk2Zjxk=eg .

10 CAPITOLUL 1. GR UPURI FINITE
a) Dinord(x) =1 r ezult  c  8k2N;xk6=e , de unde obµinem c   p entru
oric ek2Z\(1;0) ,xk6=e ar e lo c numai p entru k=0.
De ciKerf =f0g ³i c onform primei te or eme de izomorsm r ezult  c  
<G;
>(Z;+) .
b) A vem:Kerf =nZ .
Într-adev r ,8n
m2nZ , avemxn
m= (xn)m=e , de cin
m2Kerf;
³i8k2Kerf , exist  q,r2Z;r>0; r<n, astfel înc ât k=qn+r, de unde
e=xk= (xn)qxr=xr:
Din minimalitate a lui n r ezult  c   r=0, de ci n|k, adic   k2nZ .
Conform primei te or eme de izomorsm, r ezult  c   (Z=nZ;+)(G;
); ³i
cum (Z=nZ;+)(Zn;+) , r ezult  c   (G;
)(Zn;+) .
1.2 Grupuri nite de p erm utari
Deniµia 1.4. Fien2N;n>2: O p ermutar e 2Sn se va nota cu:
=1 2 :::n
(1)(1):::(n)
;
iar p ermutar e a identic   a lui Sn cu e.
Exemplul 2.
1.ordSn=n!
2.Sn este grup ne c omutativ, p entru n>3 .
Deniµia 1.5. Fie M o mulµime nevid . A tunci mulµime a S(M) =ff:M!
Mjf=bijectivg , împr eun  cu op er aµia de c ompuner e a funcµiilor, este un grup,
numit grupul p ermut rilor mulµimii M (sau grupul simetric aso ciat mulµimii M).
Observ aµie. Dac   N este o mulµime având pr oprietate a c   exist  o bije cµie într e
N ³i M, atunci grupurile S(N) ³i S(M) sunt izomorfe.
Deniµia 1.6. FieI=fi1;i2;:::;irgf 1;2;:::;ng; (undern) . O p ermutar e
2Sn se numeµe p ermutar e ciclic   (ciclu) de lungime r determint  de mulµime a
I, dac  :
i)(i1) =i2;(i2) =i3;:::; (ir) =i1 ;
ii)(i) =i , p entru oric e i2f1;2;:::;ngnI .
Observ aµii.
1. Pentru oric e k2f1;2;:::;rg; avem:
(i1i2::::::ir) = (ikik+1:::iril:::ik2ik1):

1.2. GR UPURI FINITE DE PERMUT ARI 11
2. A u lo c:
h(ik) =ih+k , dac   1h+kr ,
h(ik) =ih+kr , dac   1h+k2r
3.ord() =r .
4. Dac   r=1, atunci =e .
Deniµia 1.7. Doi cicli= (i1i2:::ir) ³i= (j1j2:::jn) se numesc disjuncµi,
dac   (i1i2:::ir)\(j1j2:::jn) =?
Deniµia 1.8. Un ciclu de lungime 2 se numeµe tr ansp oziµie
T eorem  1.2.
Oric e p ermutar e din Sn , se scrie în mo d unic c a un pr o dus nit de cilci disjuncµi,
abstr acµie fac ând de or dine a factorilor ³i de ciclii de lungime l.
Demonstraµie.
Fie2Sn:
Not m cuIn mulµime a {1,2,…,n}.
Denim p e In r elaµia:ab,9i2Z astfel înc ât b=i(a) unde0este funµia
identic  .
Se veric   c    este o r elaµie de e chivalenµ ( simetric  , r eexiv , tr anzitiv ).
Consider  m clasa de e chivalenµ  a elementului a: 0=fa1;a2;:::;aqg unde
8k2Iq;ak=k1(a) .
Denim funcµia :In!In; (aj) =aj+1; p entruj2Iq1< q; (aq) =
a1; (x) =x;8x2In0; este o p ermutar e ciclic  .
Se c onsider   C1;C2;::;Cm clasele de e chivalenµ  mo dulo  ³i e 1; 2;:::; m
cicli c or espunz tori.De ci = 1 2::: m: Iar 1; 2;:::; m sunt disjuncµi
de o ar e c e p entru i;j2Im;i6=j;Ci\Cj=?:
A r  t m acum unicitate a scrierii.
Pr esupunem c   ar exista dou  desc ompuneri diferite, în cicli disjuncµi, ai unei
p ermut ri ³i anume= 1 2::: m ³i=12:::s .
Din desc ompuner e a diferit  a c elor dou  r ezult  c   exist  i;j2In , astfel înc ât
i ³i j sunt elemente c onse cutive dintr-un ciclu din prima desc ompuner e ³i nu
sunt elemente c onse cutive în nici unul din cicli 1;2;:::s ai c ele-i de-a doua
desc ompuneri.Fie k6=j elementul c onse cutiv al lui i intr-un ciclu din c e a de-
a doua desc ompuner e. Consider ând i ³i j elemente c onse cutive în ciclu q va
r ezult  c   q(i) =j ,de ci(i) =j . Pe de alta p arte, c onsider ând i ³i k elemente
c onse cutive din ciclu t va r ezult  c   t(i) =k ³i de ci ³i(i) =k:
A³adar, j=k, c e e a c e este fals.
T eorem  1.3. Oric e p ermutar e se scrie c a un pr o dus de tr ansp oziµii.
Demonstraµie. Se aplic   te or ema pr e c e dent , observând c   oric e ciclu se p o ate
scrie c a pr o dus de tr ansp oziµii.
Într-adev r, ar e lo c e galitate a:
(i1i2


is1is) = (i1is)(i1ik1):::(i1i2)

12 CAPITOLUL 1. GR UPURI FINITE
.
Prop oziµii 1.1.
1. Oric e doi cicli disjuncµi c omut .
2. Dac   este un ciclu de lingime r, atunci ord() =r .
3. Dac  2Sn este desc ompus  de ciclii disjuncµi =12:::k; de lun-
gimin1;n2;:::;np atunciord() =c:m:m:c:ford(1);ord(2);:::;ord (k)g
adic  ord() =c:m:m:c:fn1;n2;:::;npg .
Demonstraµie.
1. Se observ  u³or.
2. Fie= (i1i2:::ir): Observ m c   k(il) =il+k; dac   l+k r ³ik(il) =
il+kr; dac   r<t+k. De ci r ezult  c   ord() =r .
Într-adev r, oric ar e ar  i2fi1;i2;:::;irg ,r(il) =ir+lr=il , ³i oric ar e
ar i2f1;2;:::;ngfi1;i2;::;irg;r(i) =i:
Pe de alt  p arte, dac   r'<r, atunci 1+r'  r ³ir0(i1) =i1+r0i1 , de ci
r0este diferit  de p ermutar e a identic  .
3. Fiem=c:m:m:m:c (n1;n2;:::;np) ³iord() =k .
Cum ciclii1;2;:::;p sunt cicli disjuncµi r ezult  c   k=k
1k
2:::k
p sunt
cicli disjuncµi, de ci obµinem k
1=";k
2=";:::;k
p=" , de unde r ezult  c   k
este multiplu c omun p entru n1;n2;:::;np ; unde" este p ermutar e a identic  .
De ci m|k. Pe de alt  p arte, m=m
1m
2:::m
p: R ezult  c   m=k.
Prop oziµia 1.3. Oric e p ermutar e din Sn se scrie c a un pr o dus nit de tr ansp o-
ziµii; scrier e a nu este unic  , dar, p entru oric e scrier e a unei p ermut ri c a pr o dus
de tr ansp oziµii, p aritate a num rului factorilor este ac e e a³i.
Observ aµie. Fie=
1 2 ::: n
(1)(2):::  (n)
2Sn: O p er e che (i,j) se nu-
me³te inversiune a p ermut rii  , dac   i<j ³i (i)<(j):
Se va nota cu inv() num rul inversiunilor p ermut rii  .
Denim aplicaµia:
":Sn![1;1];"() =Y
1ijn(j)(i)
ji:
Unde"() p oart  n umele de semn ul (signatura) p erm ut rii  .
A v em"() = (1)inv(); pentru orice  2Sn .
Deniµia 1.9. O p ermtar e 2Sn se numeµe p ar  , dac   "() = +1 , ³i se
nume³te imp ar   dac   "() =1

1.2. GR UPURI FINITE DE PERMUT ARI 13
V om considera transp oziµia (ij)2Sn . Dac  presupunem i<j, atunci v om
a v eainv() = 2(j1)1 . A v em"() =1; deci este o p erm utare im-
par . Cum a v em ³i "(e) = (1)inv(e)= (1)0= 1 , obµinem c  aplica cia este
surjectiv  .
Not m cuAn n ucleul morsm ului " ³i îl n umim grupul altern de gradul n.
Conform teoremei 1 de izomorsm a grupurilor, a v em izomorsm ul de grupuri:
Sn=Anf 1;1g;
deci [Sn:An] = 2 ³iordAn=n!
2: În concluzie, exist n!
2p erm ut ri pare de
grad n ³in!
2p erm ut ri impare de grad n.
T eorem  1.4. T eo rema lui Ca yley
Oric e grup este izomof cu un grup de substituµii.
Demonstraµie. Fie(G;
) un grup ³iSG grupul substituµiilor mulµimii G, adic  :
SG=f:G!Gj bije cµieg
Denim funcµia :G!SG; (g) =g ; undeg:G!G; g(x) =gx:
A r  t m c   este un mosm.
Observ m c   g2SG; adic   g este bije ctiv.
Într-adev r, dac   g(x1) = g(x2) atuncigx1=gx2 , adic  x1=x2; ³i p e de alt 
p arte ,8y2G;9x=g1y2G , astfel înc ât g(g1y) =g(x) =y ; morsm
de o ar e c e8g1;g22G , avem (g1g2) =g1g2 ³ig1g2(x) =g1g2x=g1(g2x) =
g1(g2)(x) = (g1g2)(x) adic   (g1g2) =g1g2=g1g2= (g1) (g2) .
Dar, Ker =g2Gj (g) = 1G , de ci:g2Ker ,g= 1g,8x2G;gx =
x,g=e , adic  Ker =e , de ci este inje ctiv.
Asadar, este un monomorsm ³i, c onform primei te or eme de izomorsm,
exist  un izomorsm c anonic ':G=Ker !Im , adic  ':G!Im ³i cum
Im SG , r ezult  c   G este un izomorsm cu un grup de substituµii.

14 CAPITOLUL 1. GR UPURI FINITE

Capitolul 2
Grupuri de p erm ut ri
2.1 Grupul Sn .Generatori
Se noteaz  cu Sn grupul p erm ut rilor m ulµimii {1,2,3,…,n}.
T eorem  2.1.
Oric e p ermutar e din Sn este un pr o dus de tr ansp oziµii: în num r p ar dac   p er-
mutar e a este p ar a ³i în num r imp ar dac   p ermutar e a este imp ar  .
Demonstraµie.
Sucient s  demonstr  m existenµa unei desc ompuneri, p entru c   a doua ar-
maµie r ezult  din faptul c   o tr ansp oziµie este o p ermutar e imp ar  , iar " este
morsm de grupuri.
Demonstr  m prin inducµie dup   num rul ac elor numer e i, 1in; p entru
c ar e(i)6=i:
Pr esupunem c   exist  k numer e cu 1i1n p entru p ermutar e a  astfel înc ât
(i1) =i2 ,cui16=i2 . În ac est c az vom c onsider a p ermutar e a (i1;i2)= ~ , unde
p ermutar e a ~ ar e pr oprietate a: ~(i) =i p entru 1in p entru c ar e (i) =i
³i~(i1) =i1 . De ci exist  c el mult k-1 numer e 1i1n astfel înc ât (i)6=i .
Din ip oteza inductiv  r ezult  c   ~ este pr o dus de tr ansp oziµii , iar din r elaµia
(i1;i2)= ~ se obµine c   = (i1;i2)~ , (de o ar e c e (i1;i2)(i1;i2); este p ermutar e a
identic  ) .De ci,  este un pr o dus de tr ansp oziµii.
Pentru k=0,  identic cu p ermutar e a identic  , r ezult  c   = (i1;i2)(i1;i2) p en-
tru oric e tr ansp oziµie (i1;i2)2Sn .
Desc ompuner e a unei p ermut ri în pr o dus de tr ansp oziµii nu este unic   de o ar e c e
p entru oric e tr ansp oziµie  exist  e galitate a 2=e .
Deniµia 2.1.
O p ermutar e 2Sn se nume³te ciclu de lungime l>1, dac   exista nume-
r ele într e gi i1;i2;:::;is din intervalul [1,n], distincte dou  c âte dou , astfel în-
c ât(im) =im+1 p entru m=1,2,…,s-1, (is) =i1 ³i(j) =j , p entru
j6=ir;r=i;s .
15

16 CAPITOLUL 2. GR UPURI DE PERMUT €RI
Observ aµii.
1. Ciclul denit mai sus se va nota astfel:
= (i1;i2;:::;is) = (i2;:::;is;i1) = (ik;ik+1;:::;is;;i1;:::;ik1)
p entru oric e 2ks .
2. Or dinul lui  este s de o ar e c e s(j) =j;8j2[1;n] ³ik(i1) =i1+k p entru
oric e 1k<s
Exist  urm toarea descompunere a un ui ciclu în pro dus de transp oziµii:
(i1;i2;:::;ir) = (i1;ir)(i2;ir1):::(i1;i2)
Se observ   c  pro dusul a dou  cicluri care n u au elemen te com une este com uta-
tiv: dac m= (i1;i2;:::;ir) ³in= (j1;j2;:::;jp) sun t dou  cicluri f r  elemen te
com une, atunci c=mn=nm v a  p erm utarea denit  prin:
c(i) =8
><
>:m(i); dac i=i1;i2;:::;ir;
n(i); dac i=j1;j2;::;jp;
i; dac ii1;i2;:::;ir;j1;j2;:::;jp:
Deniµia 2.2.
T ripletul (M,G,f ) unde M este o mulµime, G este un grup iar f:GM!M
o funcµie c e ar e urm to ar ele pr opriet µi:
 f(e,x)=x,8x2M ³i e este elementul unic din G,
 f(m,f(n,x))=f(mn,x), 8x2M;m;n2G ,
se nume³te G-mulµime.
Observ aµie.
Mai spunem c   G acµione az  p e M prin op er aµia extern  f sau c   s-a dat acµiune a
f a lui G p e M. De obic ei acµiune a f se note az  multiplic ativ, adic   f(a,x)=ax,
p entrua2G ³ix2M .
Prop oziµia 2.1.
Fie G un grup, M o G-mulµime ³i x2M .A tunciHx=fa2Gjax=xg este un
sub grup al lui G ³i indic ele lui Hx în G este e gal cu c ar dinalul orbitei lui x.
Dac  , în plus, M este mulµime nit , atunci cardM =P
x[G:Hx] unde x
p ar cur ge un sistem de r epr ezentanµi p entru orbitele lui G p e M iar [G:Hx] este
indic ele lui Hx în G.
Prop oziµia 2.2. Oric e grup este izomorf cu un grup de p ermut ri.

2.1. GR UPUL SN .GENERA TORI 17
Demonstraµie.
Fie G un grup ³i x2G . Aplic aµia vx:G!G cuvx(y) =xy este bije ctiv .
A tunci aplic aµia #:G!S(G) denit  prin #(x) =vx este un morsm inje ctiv
de grupuri, de ci G este izomorf cu un sub grup al grupului simetric S(G) al
mulµimii G.
Aplicaµie Ar taµi c  urm toarele m ulµimi constituie sisteme de generatori
p en tru grupul Sn :
i) A={ (1 2),(1 3),…,(1 n) }.
ii) B={ (1 2),(2 3),…,(n-1 n),(n 1) }
Soluµie
i) Orice p erm utare 2Sn se descompune în tr-un pro dus de transp oziµii:
= (i1j1)(i2j2):::(ikjk) .
P en tru ecare r2f1;2;:::;kg a v em (irjr) = (1ir)(1jr)(1ir):
Rezult  c  = (1i1)(1j1)(1i1)(1i2)(1j2)(1i2):::(1ik)(1jk)(1ik):
Deducem astfel c  Sn[A] , deci [A] =Sn:
ii) Sucien t s  ar t m c  A[B] .
Fie(1k)2A: A v em urm toarele relaµii:
(1k) = (12)(2k)(12)
(2k) = (23)(3k)(23)
:::::::::::::::::::::::::::::::
(k2k) = (k2k1)(k1k)(k2k1)
care, prin înm ulµire dau:
(1k) = (12)(23) :::(k2)(k1)(k1k)(k2k1):::(23)(12);
deci, (1k)2[B] .
2.1.1 Grupul (Sn;
)
Deniµia 2.3.
Numim grup r ezolubil, grupul ( G;
), dac   exist  lanµul normal:
feg=HnCHn1:::CH1CH0=G;
astfel înc ât8i=1;n;Hi1=Hi este un grup ab elian.
Un astfel de lanµ se va numi serie ab elian .
T eorem  2.2. Pentrun4 , grupulSn , este r ezolubil.

18 CAPITOLUL 2. GR UPURI DE PERMUT €RI
Demonstraµie.
S2u Z 2 , ab elian, de ci r ezolubil.
 PentruS3 ,A3CS3 ,jA3j= 3 ,jS3j= 6 ,A3uS3 , c ar e este ab elian. A vem
seria ab elian :
1CA3CS3;
cuA3 ab elian ³iS3=A3u Z 2 , ab elian, de unde r ezult  c   S3 este r ezolubil.
 PentruS4 , vom ave a:
1CKCA4CS4;
unde K este grupul lui Klein:
K=f1;(12)(34);(13)(24);(14)(23)g;
[(ij)(kl)]2= (ij)2(kl)2= 1;unde (ij)6= (kl);
|K|=4, iarjA4j=4!
2= 12 ³i vom obµinejA4
Kj= 3 , de ciA4
Kab elian ³i K
ab elian.
 V om demonstr a KCA4 . Fie2A4 ,(ij)(kl)2K .
A r  t m c   (ij)(kl)12K .
Pentrus6= {i,j,k,l},
(s)1
!s(ij)(kl)!s!(s)
(i)1
!i(ij)(kl)!j!(j)
(j)1
!j(ij)(kl)!i!(i)
(k)1
!k(ij)(kl)!l!(l)
(l)1
!l(ij)(kl)!k!(k)
De ci,(ij)(kl)1= ((i)(j))((k)(l))2K , r ezult  de ci c   KCA4:
T eorem  2.3. Pentrun>5;Sn nu este r ezolubil.
Demonstraµie. Pr esupunem prin r e duc er e la absur d c   Sn este r ezolubil, r e-
zult  c   exist  seria ab elian :
1 =HnCHn1C:::CH0=Sn
A r  t m c   dac  :
Hsf(ijk)j8i;j;k distincteg;
atunci:
Hs+1f(ijk)j8i;j;k distincteg;8s;

2.2. GR UPUL AN .GENERA TORI 19
c e e a c e se r e duc e la:
Hn= 1f(ijk)j8i;j;k distincteg;fals:
Exist  elementele i,j,k,l,m distincte.
Observ m c  :
(jil)1(kim)1(jil)(kim) = (ijk):
Într-andev r,
p(kim)!k(kim)1
!p
t(jil)!j(jil)1
!t
i(kim)!p(jil)!p(kim)1
!i(jil)1
!j
j(jil)!i(kim)1
!k
k(kim)!j(jil)!t(jil)1
!i
De ci,
(jil)1Hs+1(kim)1Hs+1(jil)Hs+1(kim)Hs+1= (ijk)Hs+1
DarHs+1CHs , iarHs=Hs+1 ab elian, iar (jil), (kim) 2Hs , r ezult  c   membrul
stâng esteHs+1 .
A³adarHs+1= (ijk)Hs+1; de ci(ijk)2Hs+1 .
Prin urmar e, pr esupuner e a f cut  este fals . De ci, Sn nu este r ezolubil.
2.2 Grupul An .Generatori
Denim funcµia "semn" astfel:
sgn:Sn!(1;1);sgn =i6=jY
i;j2In(i)(j)
ij
Au lo c urm toarele armaµii:
1. sgn este un epimorsm de la grupul Sn la grupul m ultiplicativ (-1,1);
2. dac  este o transp oziµie atunci sgn() =1 ;
3. dac =mQ
i=ji;8i2Im iari este o transp oziµie, atunci sgn() = (1)m: ;
4. în orice descompunere a unei p erm ut ri  în pro dus de transp oziµii, pari-
tatea n um rului de transp oziµii este aceia³i.

20 CAPITOLUL 2. GR UPURI DE PERMUT €RI
Demonstraµie.
Se observ  mai întâi c   82Sn;sgn()2(1;1) .
Într-adev r,
jsgn()j=i;j2InY
i6=jj(i)(j)j
jijj=i;j2InQ
i6=jj(i)(j)j
i;j2InQ
i6=jj(i)(j)j= 1;
de o ar e c e num r  torul ³i numitorul c onµin ac eia³i factori.
1. Fie1 ³i2 p ermut ri din Sn .
A vem:
sgn(12) =i;j2InY
i6=j1(2(i))1(2(j))
ij=
=i;j2InY
i6=j1(1(2(i))1(2(j)))
2(i)2(j)2(i)2(j)
ij=sgn(1)sgn(2);
de o ar e c e atunci c ând i ³i j p ar cur g In;i6=j ³i2(i) ³i2(j) p ar cur gIn , ³i
sunt diferite într e ele.
2. Fie tr ansp oziµia (k l).
În c azul ac esta avem :
sgn() =sgn(kl) =Y
fi;jgafk;lg=?ij
ij
Y
j2fk;lglj
kj
Y
j2fk;lgkj
lj
kl
lk=1:
3. V a r ezulta din 1 ³i 2.
4. V a r ezulta din 3.
Deniµia 2.4. Permutar e a  se nume³te p ermutar e p ar   dac   sgn() = 1 ³i se
nume³te p ermutar e imp ar   dac   sgn() =1:
Se v a nota cu An m ulµimea p erm ut rilor pare din Sn .
Prop oziµia 2.3. A u lo c urm to ar ele armaµii:
i) c ar dSn =n!;
ii) c ar dAn =n!
2;
iii)AnCSn:

2.2. GR UPUL AN .GENERA TORI 21
Demonstraµie.
i) Se ob erv  c   exist  n p osibilit µi p entru a deni (1) .
Dac  (1) a fost denit atunci (2) p o ate  oric e element din mulµime a {1,2,…,n}
diferit de(1) , r ezultând atunci c   sunt n(n-1) p osibilit µi de a deni p er e che a
((1);(2)) .
Dac   c onsider  m (1) ³i(2) denite atunci (3) p o ate  ales c a ind oric e
elemnt din mulµime a dat  {1,2,..,n} diferit de (1) ³i(2) .
R ezult  de ci n(n-1)(n-2) p osibilit µi de a deni tripletul ((1);(2);(3) . Con-
tinuând astfel, se va obµine num rul tutur or p ermut rilor 2Sn ac esta ind
n(n1)(n2)
:::
2
1 =n!
ii) Denim An=f1;2;:::;ng ³i o tr ansp oziµie.A tunci 1; 2;:::;n;
sunt p ermut ri imp ar e din Sn , diferite dou  c âte dou .
Dac   pr esupunem c   exist  i;j2f1;2;:::;mg;i6=j astfel înc ât i=j ,
atuncii=2i=2j=j , c e e a c e este fals. Pe de alt  p arte, oric e
p ermutar e imp ar   2Sn c oincide cu una dintr e p ermut rile 1; 2;:::;n; .
A c est lucru r ezultând din faptul c   =() unde2An .
A³adarf1; 2;:::;ng; este mulµime a tutur or p ermut rilor imop ar e din Sn ,
de ci num rul p ermut rilor p ar e din Sn este e gal cu cu num rul p ermut rilor
imapr e din Sn ac esta indn!
2.
iii) Sucient s  observ m c   An=Ker(sgn) .
Deniµia 2.5. An se nume³te grupul altern de gr ad n.
Observ aµie. Mulµime a p ermut rilor imp ar e nu este grup, de o ar e c e nu este în-
chis  la c ompuner e.
Deniµia 2.6. Fie2Sn;i;j2f1;2;::;ng;i6=j: Spunem c   (i) pr ezint  o
in v ersiune faµa de(j) dac   i<j, ³i (i)<(j) .
V om nota cu I() n um rul in v ersiunilor p erm ut rii sigma .
T eorem  2.4. Permutar e a  este p ar   dac   ³i numai dac   I() este num r
p ar.
Demonstraµie.
Denim= (ij) o tr ansp oziµie în Sn , ³i pr esupunem i<j. A r  t m c   I()6=
I()(mod2):
Caz 1 .Pr esupunem j=i=1.
Dac  (i)<(j) , atunciI() =I()+ 1 ³i r esp e ctiv, dac   (i)>(j) , atunci
I() =I()1 .
Caz 2 . Pr esupunem j6=i+ 1 c si într e i ³i j se g sesc m numer e c onse cutive
³i anume i+1,i+2,…,j-1.
A înmulµi cu c onst  în a înmulµi  cu 2m+1 tr ansp oziµii de numer e c on-
se cutive ³i anume (i i+1),(i+1 i+2),…,(j-1 j),(j-1 j-2),…,(i+1 i).Conform cu
c azul 1, r ezult  c   I()6=I()(mod2):
DarI(") = 0 ³i dac  =12:::n , atuncinn1:::21=": A vem c  I(n)
ar e p aritate a diferit  de I() , iarI(nn1) ar e p aritate a diferit  de I(n) ,

22 CAPITOLUL 2. GR UPURI DE PERMUT €RI
³.a.m.d.
În nal se ajunge la I(nn1:::1:::21) c ar e este 0. De ci, I()m(mod2);
de unde r eiese c    este o p ermutar e p ar   dac   ³i numai dac   I() este num r
p ar.
Observ aµii.
1. Sub grupurile normale ale lui Sn suntf"g;A4;S4 ³i H, unde H ar e or din 4 ³i
este format din " ³i p ermut rile de tipul (ij)(kl), cu {i,j,k,l}={1,2,3,4}.
2 Dac  n6= 4 ,Sn nu ar e alte grupuri normale în afar   de f"g;An ³iSn , unde
An nu ar e alte sub grupuri normale în afar   de f"g ³iAn .
Aplicaµie Ar taµi c  urm toarele m ulµimi constituie sisteme de generatori
p en tru grupul An .
i)A=f(ijk)ji;j;k2f1;2;:::;ng distincte dou  câte dou  }
ii)B=f(1ij)ji;j2f2;3;:::;ng;i6=jg
iii)C=f(12i)jf3;4;:::;ngg
Soluµie:
i) Orice p erm utare 2An se descompune in tr-un pro dus de transp oziµii ce
conµine un n um r par de factori: = (i1j1)(i2j2):::(j2kj2k) .
P en tru ecare n um r impar r2f1;2;:::;2k1g , a v em :
(irjr)(ir+!jr+1) =(
(irjrjr+1); dac jr=ir=1
(irjrir+1)(jrir+1jr+1); dac jr6=ir+1
Rezult  c  2[A] , deciAn[A]: Dar a v em ³i [A]An , deci din cele
dou  obµinem c  [A] =An .
ii) Sucien t s  ar t m c  A[B] .
P en tru orice ciclu de lungime 3, (ijk) cu i;j;k6= 1 v om a v ea (ijk)=(1ij)(1jk)
2[B] . Dac  i=1 sau j=1 sau k=1, atunci (ijk)2B[B] În concluzie,
A[B]:
iii) Sucien t s  ar t m c  B[C] . P en tru orice ciclu de lungime 3, (1,i,j), cu
i;j6= 2 a v em (1ij) = (12j)(i21) = (i2j)(12i)12[C] . Dac  i=2, atunci
(1ij)2C[C] , iar dac  j=2, atunci (1ij)(12i)(12i)2[C] .
În concluzie, a v em B2[C] .

2.3. GR UPURI GALOIS 23
2.3 Grupuri Galois
Deniµi 1.
1. Dac   K ³i L sunt dou  c orpuri astfel înc ât L este un sub c orp al lui K,
spunem c   K este o extinder e a lui L, ³i se note az : LK:
2. Spunem c   KL sep ar abil dac  8a2L , asep=K .
3. Spunem c a a este sep ar abil p este K ³i not m: a sep/K, dac   a alg=K ³i
Irr a nu ar e r ad cini multiple.
Unde: aalg=K dac   exist  f2F[x];f0 , astfel înc ât f(a)=0; Irr a este
p olinomul minimal de gr ad minim ³i nenul din K[x] c ar e îl ar e p e a c a
r  d cin  ³i cu c o ecient dominant 1.
4. FieKL .Spunem c   L este o extinder e normal  a lui K dac   L alg=K
³i8f2K[x] , f ir e ductibil cu f(a)=0, a2L .
5. Extinder e a KL se nume³te Galois dac   este nit , sep ar abil  ³i nor-
mal .
T eorem  2.5. FieKL o extinder e Galois, atunci Gal(L=K )Sn , unde
n=[L:K].
Demonstraµie. A vemL=K() ³i ef=Irr(;K) c ar e ar e n r ad cini.
Dac  v;w2Gal(L=K ) ³iu6=w , atunciu()6=w() , p entru c   r  d cinile lui
f ap arµin lui K() ³i dac   am ave a u() =w() , atunci u=w, c c e a c e este fals.
Fieg:Gal(L=K )!Sn;
g(u) ==1: : :  n
u(): : : u (n)
Din faptul c   uw r ezult  c  u()w() , de undeg(u)g(w) , r ezult  de ci
c   g este inje ctiv .
g este morsm. Într-adev r, dac   u1;u22Gal(L=K ) atunci ar e lo c e galitate a
g(u1u2) =g(u1)g(u2) :
g(u1u2) =1: : :  n
u1u2(1): : : u 1u2(n)
³i
g(u1)g(u2) =u2(1): : : u 2(n)
u1(u2(1)): : : u 1(u2(n))
1: : :  n
u2(1): : : u 2(n)
=g(u1u2)
În c oncluzie, Gal(L=K )Sn:
T eorem  2.6. Exist extinderi Galois KL , p entru c ar e Gal(L=K )'Sn:

24 CAPITOLUL 2. GR UPURI DE PERMUT €RI
Demonstraµie. Not mE=K(x1;x2;:::;xn) ³iF=K(1;2;:::;n) unde:
1=x1+x2+:::+xn;  2=X
1i<jnxixj; :::;  n=x1
:::
xn:
A tunciFE este o extinder e Galois, p entru c   x1 este r  d cin  p entru:
f=nY
i=1(xxi) =xn1xn1+:::+ (1)nn:
f2F[x] , f ir e ductibil cu r  d cini distincte.
[E:F]<1 , p entru c   xi;i2f1;2;:::;ng sunt algebric e (r  d cini ale lui f ).
E=Cf;F , de ci extinder e a este normal  ³i cum r  d cinile sunt distincte, r ezult 
c  FE sep ar abil .
De ci,FE este o extinder e Galois.
Fie2Sn .
Consider  m: u(xi) =x(xi); de undeu(i) =i;8i . R ezult  c   u0=F= 1F:
Aso cier e a!u este inje ctiv .De ci, vom obµine:
jSnjjGal(E=F)jjSnj
În c oncluzie, Gal(E=F)'Sn:
2.4 Aplicaµii
1. Fie2S7;
=
1 2 3 4 5 6 7
4 6 2 7 5 3 1
S  se determine 2019³i2021
Soluµie : Se decompune  în cicli disjuncµi:
= (147)(263)(5)
Ordin ul lui  ifnd c.m.m.m.c al lungimilor ciclilor, deci ord = 3 . Rezult 
c 3=e . Unde e=p erm utarea iden tic .
Deci,
2019=3
673=e;
2021=3
673+2=2;
unde
2=
=1 2 3 4 5 6 7
4 6 2 7 5 3 11 2 3 4 5 6 7
4 6 2 7 5 3 1
=1 2 3 4 5 6 7
7 3 6 1 5 2 4
2. Fie ³i2S7 :
=1 2 3 4 5 6 7
3 4 1 5 6 7 2
³i=1 2 3 4 5 6 7
2 4 7 1 5 3 6

2.4. APLICA •I I 25
i) Descomopuneµi  ³i în pro dus de cicli disjuncµi ³i determinaµi or-
din ul acestora.
ii) Daca consider m =
1, determinaµi 2018³i ordin ul acestuia.
Soluµie:
i) Se descompune atât  cât ³i :
= (13)(24567) i  = (124)(376)(5)
Ordin ul celor doua p erm ut ri ind c.m.m.m.c al lungimilor ciclilor,
deciord() = 10 , iar ordin ul lui  esteord() = 3:
ii) Se calcleaz 
1=1 2 3 4 5 6 7
4 1 6 2 5 7 3
de unde rezult 
=
1=1 2 3 4 5 6 7
6 2 4 5 7 3 1
de unde rezult  c  = (163457)(2) , deciord() = 6 .
Deci, putem calcula 2018=6
336+2=2
2=1 2 3 4 5 6 7
3 2 5 7 1 4 6
3. FieS4 ³i H={" ,(12)(34) , (13)(24,(14)(23)}.
Ar taµi c :
 H este divizor normal ab elian în S4
S4=H'S3
A4=H'Z3
Soluµie:
 H este partea stabil  a lui S4 , deoarece
[(ij)(kl)][(ik)(jl)] =i j k l
l k j i
= (il)(jk)2H;
p en tru i,j,k,l2f1;2;3;4g elemen te distincte dou c te dou .
Mai m ult,
82S4;(ij)(kl)1=(ij)1(kl)1= ((i)(j))((k)(l))2H:
DeciHCS4 .

26 CAPITOLUL 2. GR UPURI DE PERMUT €RI
 “tim c jS4j= 24; |H|=4, decijS4=Hj= 6 , darS4=H n u este ciclic,
deoarece n u este com utativ ³i S4=H n u este com utativ, deoarece H
n u conµine subgrupul com utativ al lui S4 .
De exemplu:
(12)(13)(12)1(13)1= (12)(13)(12)(13) =2H:
DeciS4=H'S3:
 DinjA4j= 12 ³i |H|=4 rezult  c  jA4=Hj= 3 , deciA4=H'Z3:
4. FieAn grupul p erm ut rilor pare(care se descompun in tr-un n um r par de
transp oziµii) din Sm .
FieA1=f(ijk)ji;j;k distincte din {1,2,…,m}} ³i
A2=f(1ij)ji;j2f2;3;:::;mg;i6=jg:
S  se arate c  A1 ³iA2 sun t sisteme de generatori p en tru An .
Soluµie: P en tru orice 2Am se p oate scrie ca un pro dus de un n um r
par de transp oziµii.
Dac  i,j,k distincte din {1,2,3,…,m} atunci (ij)(ik)=(ikj) 2A1 .
Dac  i,j,k,l distincte din {1,2,3,…,m} atunci (ij)(kl)=(ij)(jk)(jk)(kl)=(ijk)(kjl)
2[A1] . De aici rezult  c  2[A1] , deciAn= [A1] .
P en tru i,j,k distincte din {1,2,…,m} a v em (ij)(ik)=(ij)(i1)=(i1(ik)=(i1j)(ik1)=(1ji)(1ik)
2[A2] .
P en tru i,j,k,l distincte din {1,2,…,m} a v em (ij)(kl)=[(ij)(jk)][(kj)(kl)] 2
[A2] .
DeciAn= [A2] .
5. Se consider  S4 ³i H={";(12)
(34);(13)
(24);(14)
(23) }.
S  se arate c :
i)HCG ;
ii)S4=HS3 ;
iii)A4=HZ3 .
Soluµie:
i) H este partea stabil  a lui S4 deoarece
[(ij)(kl)][(ij)(jl)] =i j k l
l k j i
= (il)(jk)2H;
p en tru i,j,k,l din { 1,2,3,4} elemen te distincte dou  câte dou .
Mai m ult,8 dinS4 ,(ij)(kl)1= ((i)(j))((k)(l))2H:
DeciHCG .
ii) “tim c jS4j= 24 ³ijHj= 4 decijS4=Hj= 6 .
DarS4=H n u este ciclic, deoarece n u este com utativ, deoarece H n u
conµine subgrupul com utativ al lui S4 ( de exemplu: (12)(13)(12)1(13)1=
(12)(13)(12)(13) =2H ).
DeciS4=HS3 .

2.4. APLICA •I I 27
iii) “tim c jA4j= 12 ³ijHj= 4 rezult  c jA4=Hj= 3 , deciA4=HZ3 .
6. Fie (G;
) un grup ³ix2G cuord(x) =n<1 .
Ar taµi c ord(xm) =n
(m;n);8m2N.
Soluµie:
Fie d=(m,n) rezult  c  exist  a;b2Nastfel încât m=da ³i n=db.
A v em: (xm)b=xmb=xdab=xna= (xn)a=ea=e: (1)
Fiek2Z astfel încât (xm)k=e .
A tuncixmk=e , deci n/mk. De unde obµinem c  b=ak ³i cum (a,b)=1,
deducem c  b/k. (2)
Din relaµiile (1) ³i (2) v a rezulta c : ord(xm) =b=n
(m;n):
7. P en tru ecare p erm utare 2Sn , not m cu inv() n um rul in v ersiunilor
sale.
Ar taµi c  are lo c urm toarea egalitate:
X
2Sninv() =n!C2
n
2:
Soluµie:
P en tru ecare p erm utare =
1 2 ::: n
(1)(2):::  (n)
dinSn , not m
cu p erm utarea obµin ut  din  prin "r sturnarea" liniei de jos, adic 
=1 2 ::: n
(n)(n1):::  (1)
.
Orice p erec he (i,j)= 1;nx1;n , cu i<j, este in v ersiune în una ³i n umai una
din p erm ut rile  ³i . A dtfel, n um rul in v ersiunilor din cele dou  p er-
m ut ri ³i este egal cu n um rul total al acestor p erec hi, adic  v om
a v ea:
inv() +inv() =n(n1)
2=C2
n:
Deoarece p erm ut rile grupului Sn , p ot  aranjate inn!
2p erec hi de tipul
(; ) ³i suma in v ersiunilor p erm ut rilor din tr-o asemenea p erec he este
n(n1)
2=C2
n rezult  c 😛
2Sninv() =n!C2
n
2:

28 CAPITOLUL 2. GR UPURI DE PERMUT €RI

Bibliograe
[1] V. Leorean u-F otea, F undamen te de algebr , Matrix Rom, 2001
[2] Ion D. Ion, N. Radu, Algebr , Editura Didactic  s , i P edagogic , Bucure³ti,
1991
[3] M. T rn ucean u, Probleme de algebr , v ol I, Ed Univ. Al. I. Cuza,2003
29