UNIVER SITATE A ,,LUCIAN BLAGA DIN SIBIU [613620]

MINISTERUL EDUCA ȚIEI ȘI CERCET ĂRII ȘTIIN ȚIFICE
UNIVER SITATE A ,,LUCIAN BLAGA” DIN SIBIU
FACULTATEA DE ȘTIIN ȚE SOCIO –UMANE
DEPARTAMENTUL PENTRU PREG ĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

LUCRARE METODICO -ȘTIIN ȚIFICĂ PENTRU
ACORDAREA GRADULUI DIDACTIC I

Coordonator științific:
PROF. UNIV. DR. SECELEA N NICOLAE – ADRIAN

Candidat: [anonimizat]. PÎRVAN COSMIN MARIAN

SIBIU, 2019

MINISTERUL EDUCA ȚIEI ȘI CERCET ĂRII ȘTIIN ȚIFICE
UNIVER SITATE A ,,LUCIAN BLAGA” DIN SIBIU
FACULTATEA DE ȘTIIN ȚE SOCIO –UMANE
DEPARTAMENTUL PENTRU PREG ĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC

METODE ACTIVE DE STIMULARE A
CREATIVITĂȚII FOLO SITE LA PREDAREA
PARALELISMULUI ȘI CONCUREN TEI ÎN PLAN
ȘI SPAȚIU

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU
ACORDAREA GRADULUI DIDACTIC I

Coordonator științific:
PROF. UNIV. DR. SECELEA N NICOLAE – ADRIAN

Candidat: [anonimizat]. PÎRVAN COSMIN MARIAN

SIBIU, 2019

1
CUPRINS

INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 2
CAPITOLUL 1
PARALELISM ȘI CONCURENȚA ÎN PLAN ȘI SPAȚIU ………………………….. ………… 5
1.1 Drepte concurente criterii de paralelism ………………………….. ………………………….. . 5
1.2 Linii importante în triunghi ………………………….. ………………………….. ………………. 12
1.3 Teoreme de paralelism în spațiu ………………………….. ………………………….. ……….. 19
1.4 Interpretarea geometrică a sistemelor liniare cu două necunoscute …………………. 25
CAPITOLUL 2
METODE TRADIȚIONALE FOLOSITE ÎN PREDAREA GEOMETRIEI …………….. 27
2.1 Folosirea unor metode tradiționale în predarea paralelismului și concurentei în
plan și spațiu . ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 28
2.2 Aplicatii geometrice ………………………….. ………………………….. ……………………….. 35
CAPITOLUL 3
METODE ACTIVE DE STIMULARE A CREATIVITĂȚII LA MATEMATICA ….. 43
3.1 Conceptul de creativitate ………………………….. ………………………….. ………………….. 43
3.2 Metode active și creative care dezvolta creativitatea ………………………….. ………… 46
3.3 Cercetarea pedagogică ………………………….. ………………………….. …………………….. 54
3.3.1 Scopul și obiectivele cercetării ………………………….. ………………………….. …… 55
3.3.1 Metode folosite în cercetare ………………………….. ………………………….. ……….. 56
3.3.3 Descrierea experimentului pedagogic ………………………….. ………………………. 57
3.3.4 Interpretarea rezultatelor ………………………….. ………………………….. ……………. 72
CONCLUZII ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 75
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 76

2
INTRODUCERE
“Omul poate deveni om numai prin educație. El nu e nimic decât ceea ce face ecuația
din el” (Immanuel Kant)
Văzută, în general, că disciplina numerotat ă a teoremelor și temelor, sau piatra
de încoronare a mii de tineri la examenele naționale, poate matematica să fie definit ă că
o disciplin ă în care un rol deosebit îl are creativitatea?
În zilele noastre, în majoritatea domeniilor din c âmpul forței de munc ă, sunt
indisponibile aplicarea unor teoreme matematice și creativitatea în rezolvarea unor
probleme pentru crearea unei forte de munca bine pregătite.
Creativitatea est e forma cea mai înaltă și mai complexă a comportamentului
uman. În general, nivelul de creativitate nu este reflectat de randamentul școlar .
Creativitatea se formează din clasele mici, pr într-o prezentare metodică a
noțiunilor matematice, prin exemplifică rii potrivite. Utilizarea cuplului exemplu –
contraexemplu este cea mai indicat ă în procesul de predare. Personalitatea unui profesor
poate atrage elevii, atracție pe care acesta o poate utiliza în folosul dezvoltării
creativității și a personalității lor.
Unele metode inovatoare, prin care profesorul leagă noțiunile predate de realitatea vieții
cotidiene fac parte din creativitatea de predare stimulând totodată interesul elevilor
pentru aceasta disciplina blamată prea des.
Debutul geom etriei poate fi remarcat la acele civilizații din Valea Indusului și la
babilonieni acum 5 milioane de ani. Pe atunci totul se limita la câteva cunoștințe
empirice privind lungimi, unghiuri, arii, volume necesare în construcții, astronomie și
alte meșteșug uri.
Egiptenii și babilonienii cunoșteau teoremă lui Pitagora cu 1500 ani înaintea
marelui geometru grec.
În Renaștere, au fost publicate lucrări mai acce sibile pentru învățământ, datorita
diverșilor pedagogi.
În secolul al XVIII – lea, Johan Heinrich L ambert (1728 – 1777) a arătat că o
geometrie în care axioma paralelelor nu este variabil ă s-ar putea realiza pe o sfer ă

3
imaginar ă, iar Adrien – marie Legendre (1752 – 1833) a enunțat teoremele fundamentale
de geometrie absolut ă, privind suma masurilor unghiulare unui triunghi.
Geometria euclidiana este cea mai veche formalizare a geometriei și în același
timp cea mai familiara și mai folosită în viața de zi cu zi. Așa cum indica și adjectivul
euclidian, aceasta a fost enunța tă prima data de matematicianul Euclid, din Grecia
antic ă, în secolul al IV – lea i.Hr.
Geometria euclidiana este un ansamblu de teme, teoreme și demonstrații , care folosesc
doar 4 noțiuni fundamentale: punct,dreapt ă,plan și spațiu , și care se bazează pe
următoarele cinci axiome, enunțate de Euclid în cartea să ,,Elementele” :
Prin oricare două puncte neconfundate trece o dreapta și numai una.
1) Orice segment de dreapta poate fi extins la infinit (sub forma unei drepte) ;
2) Dat fiind un segment de dreapta , se poate construi un cerc cu centrul la unul din
capetele segmentului și care are segmentul drept raz ă;
3) Toate unghiurile drepte sunt congr uente;
4) Printr -un punct exterior, unei drepte se poate tra să o singură paralela la aceea
dreapta.
În geometria eucli diană, trei puncte necoliniare determin ă un plan, iar patru
puncte necoplanare determin ă un spațiu .
Începând cu secolul al XVII – lea s-au dezvoltat alte formalizări ale geometriei
(pe scurt numite geometrii) care nu accepta una sau mai multe din axiomele lui Euclid.
Acestea poartă numele colectiv de geometri neeuclidiene.
Geometria neeuclidiana este o ramur ă a geometriei pr într-o alta axioma de
paralelism.
În geometria neeuclidiana hiperbolica, numit ă de obicei geometria lui
Lobacevski, printr -un punct dat se pot duce cel putin două drepte paralele la o dreapt ă
dată.
În geometria neeuclidiana eliptica nu exista drepte paralele.
S-a demonstrat c ă geometriile neeuclidiane sunt necontradictorii și s-au construit
metode în spațiu l euclidian pe care ele le verifica.

4
Crearea acestor geometrii neeuclidiene au dovedit faptul c ă în mod logic sunt
posibile mai multe sisteme geometrice.
În aceasta lucrare vom studia o parte din proprietățile și aplicații ale dreptelor
paralele și concurente în plan și spațiu . Fiecare capitol are o scurta introducere, care
descrie conțin utul acestuia și resurse bibliografice folo site în elaborarea lui.
În capitolul 1,” Paralelism și concuren ța în plan și spațiu ” sunt prezentate,
conceptul de drepte paralele, drepte concurente, concurenta liniilor importante într -un
triunghi, criteriile de paralelism, teoreme de paralelism în spațiu și sisteme de ecuații
liniare.
În capitolul 2,” Metode tradiționale folosite în predarea geometriei ” sunt
prezentate două metode tradiționale folosite în predarea matematicii, demonstrația
matematica și metodă exercițiului , cu exemple aplicate la orele de predare – învățare.
Pe lângă aceste metode, sunt prezentate unele aplicații geometrice cu grade de
dificultate diferite.
În capitolul 3, “ Metode active de stimulare a activității la matematic ă” este
prezentat conceptul de creativitate și factorii care constau la dezvoltarea creativității la
elevi.
În acest capitol sunt prezentate metode active de stimulare a activității, exempl ificate în
lecții din unitățile de învățare: “Paralelismul” cla să a V – a și o parte din unitatea de
învățare, Campuri geometrice” din cla să a VIII – a.
Acest capitol conține și cercetarea p siho- pedagogic ă, aceasta conțin ând modele
de teste de evaluare, tabele de rezultate și reprezentări grafice.
În elaborarea acestei lucr ări am utilizat titluri bibliografice, programe școlare în
vigoare, manuale școlare și site-urile: www.didactica.ro ; www.matematica.com .ro;
ro.wikipedia.com ; www.math.md .
Mulțumesc coordonatorului științific Prof. Univ. Dr. Nicolae Adrian Secelean
pentru sprijinul acordat la realizarea acestei lucrări .

5
CAPITOLUL 1
PARALELISM ȘI CONCUREN TA ÎN PLAN ȘI SPAȚIU

În acest capitol sunt prezentate noțiuni legate de paralelism și concuren tă din
programa scolar ă pentru gimnaziu și liceu.
Titlurile bibliografice utilizate în elaborarea acestui capitol sunt: [ 1 ], [ 5 ],[ 6 ],
[ 7 ], [ 8 ], [ 10 ], [ 11 ], [ 12 ], [ 14 ].

1.1 Drepte concurente cr iterii de paralelism

Definiția 1:
Două drepte sunt paralele dac ă sunt coplanare și intersec ția lor este mulțimea
vidă.
Notăm a | | b_______________________a
________________________b

Definiția 2:
Două drepte se numesc concurente dac ă se intersecteaz ă într-un punct .
a ∩ b ={A}

6

Axioma paralelelor
Fiind dat ă o derapt ă și un punct exterior dreptei, exist ă o singură dreapt ă căreia
âi aparține punctul și care este paralel ă cu dreapta dat ă.

A ∈ a
a | | b
Axioma paralelelor mai este cunoscut ă și sub denumirea de axioma lui Euclid.

Teoremă 1.1.1 (tranzitivitatea relației de paralelism)
Dacă două drepte sun t paralele cu o a treia, atunci ele sunt paralele între ele.

Demonstrație
Avem a | | b și b | | c . Trebuie s ă arătăm că a | | c
Presupunem c ă a c ⇒ a ∩ c = { 0} ⇒
⇒ Prin punctul 0 trec două drepte a și c paralele cu b.
Absurd, deoarece contrazice axioma paralelelor.
Deci, presupunerea facu ă este fals ă
⇒ a | | c

7
Unghiuri determinate de două drepte cu o secantă
O dreapt ă se numește secant ă a două drepte dacă intersectează cele două drepte
în două puncte diferite .

(fig. 1)
Dreapta d este secant ă a dreptelor a și b deoarece d ∩ a = {A} și d ∩ b = {B} ,
A și B fiind puncte diferite

(fig. 2)
Două drepte determin ă cu o secant ă opt unghiuri care imperecheate într-un
anumit mod poartă diferite denum iri după pozițiile pe care le ocup ă Față de dreptele
date. (fig. 2)
– unghiurile ∡ 3 și ∡ 4 sau ∡ 4 și ∡ 6 se numesc alterne interne ;
– unghiurile ∡ 1 și ∡ 7 sau ∡ 2 și ∡ 8 se numesc alterne externe ;
– unghiurile ∡ 3 și ∡ 6 sau ∡ 4 și ∡ 5 se numesc interne de aceeași parte a
secantei ;

8
– unghiurile ∡ 1 și ∡ 8 sau ∡ 2 și ∡ 7 se numesc externe de aceeași parte a
secantei ;
– unghiurile ∡ 4 și ∡ 5, ∡ 4 și ∡ 8 , ∡ 2 și ∡ 6 sau ∡ 3 și ∡ 7 se numesc
corespondente ;
Criterii de paralelism
O condiție suficientă că două drepte să fie paralele este exprimată din teoremă
următoare , numită teoremă de existentă a dreptelor paralele.
Teoremă 1.1.2
Dacă două drepte determin ă cu o secant ă o pereche de unghiuri alterne interne
concurente, atunci dreptele sunt paralele

∡ 4 ≡ ∡ 2
∡ 1 și ∡ 2 sunt unghiuri alterne interne
Alte criterii de paralelism sunt date de consecințele aceste i teoreme:
Teoremă 1.1.3
Dacă două drepte determin ă cu o secantă o pereche de unghiuri altene externe
congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Teoremă 1.1.4
Dacă două drepte determină cu o secantă o pereche de unghiuri corespondente
congruente, atunci dreptele sunt paralele .

9
Teoremă 1.1.5
Dacă două drepte determină cu o secantă o pereche de unghiuri externe de
aceeași parte a secantei suplimentare, atunci dreptele sunt paralele.
Teoremă 1.1.6
Dacă două drepte paralele determină cu o secantă o pereche de unghiuri externe
de aceeași parte a secantei suplementare, atunci dreptele sunt paralele.
Reciproca teoremei unghiurilor alte rne interne are următorul enunț :
Teoremă 1.1.7
Două drepte paralele determină cu orice secantă unghiuri alterne interne
congruente.
În cele ce urmeaz ă vom demonstra aceasta teoremă .

Demonstrație
Avem a | | b d ∩ a = {A}
d ∩ b = {B}
C ∈ a, D ∈ b
C și D sunt de o parte și de alta a dreptei AB. Trebuie să demonstrăm că ∡ BAC ≡ ∡
ABD
Presupunem prin reducere la absurd că m (∡ BAC) ≠ m (∡ ABD) ⇒ E ∉ a
și ∡ BAC ≡ ∡ ABD

10
Notăm AE = a’
cum ∡ BAE ≡ ∡ ABD ⇒ a’ | | b absurd, deoarece ar însemna că prin punctul
A vom avea două drepte a și a’ paralele cu dreapta b; contrazice axioma
paralelelor.
Deci, presupunerea făcută este falsă ⇒ ∡ BAC ≡ ∡ ABD
Teoremă 1.1.8
Două drepte paralele determină cu orice secantă unghiuri alterne externe
congruente .
Teoremă 1.1.9
Două drepte paralele determină cu orice secantă unghiuri corespondente
congruente.
Teoremă 1.1.10
Două drepte paralele determină cu orice secantă unghiuri interne de aceeași
parte a secantei suplementare.
Teoremă 1.1.11
Două drepte paralele determină cu orice secantă unghiu ri externe de aceeași
parte a secantei suplementare.
În cele ce urmează voi prezenta c âteva probleme rezolvate, rezultatele acestora
putând fi folosite în rezolvarea altor probleme, deci le putem considera teoreme.
Teoremă 1.1.12
Două drepte perpendiculare pe oricare dreapt ă sunt paralele.

11

a ⊥ c ; a ∩ c = {A} ⇒ m (∡ A1) = 90o
a ⊥ c ; b ∩ c = {B} ⇒ m (∡ B2) = 90o
Teoremă 1.1.13
Dacă două drepte sunt paralele, atunci orice perpendicular ă pe una dintre ele este
perpendicular ă și pe cealalt ă dreapt ă.

a | | b ⇒ ∡ A1 ≡ ∡ B2
c ⊥ a
c ∩ a = {A}

12
Teoremă 1.1.14
Unghiurile cu laturile paralele sunt congruente sau suplementare .

a | | b
a’ | | b’
a’ ∩ b = {c}
a | | b ⇒ ∡ A1 ≡ ∡ C4 (corespondente)
a’ | | b’ ⇒ ∡ C4 ≡ ∡ B2 (corespondente)
m(∡ B2) + m( ∡ B3) = 180o
∡ A1 ≡ ∡ B2
Avem unghiurile ∡ A1 și ∡ B1 cu laturile paralele congruente și unghurile ∡ A1 și
∡ B3 cu laturile suplementare.

1.2 Linii importante în triunghi

Bisectoarea unui Unghi propriu
Definiția 1
Semidreapta cu originea în vârful unghiului, interioara unghiului, ce formează cu
laturile unghiului două drepte adiacente congruente, se numește bisectoare.

13

[ OC ⊂ int( ∡ 𝜃OB) ]
∡ 𝜃OC = ∡ BOC
⇔ [ OC este bisectoarea unghiului ∡ AOB

Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi.

Teoremă 1.2.1
Un punct interior unui unghi este situat pe bisectoarea unghiului, dacă și numai
dacă este egal depărtat de laturile unghiului .
[ OP este bisectoarea ∡ xOy ⇔ d ( P, Ox) = d (P,Oy)

Concurenta bisectoarelor unui triunghi.
Teoreama 1.2.2
Bisectoarea unghiurilor unui triunghi sunt concurente într-un punct egal depărtat
de laturile triunghiului.

14
Punctul lor de intersecție se notează de obicei cu I și se numește centrul cercului
înscris în triunghi.

Având trei unghiuri, evident că triunghiul are și trei bisectoare .
În 𝛥ABC, fie [ AA’ bis ∡BAC ⇒ ∡BAA’ ≡ ∡CAA’ ⇒𝑚 (∡ BAA’) =
=𝑚 (∡ CAA’) = 𝑚 (∡ BAC )
2
În 𝛥ABC, fie [ BB’ bis ∡A’BC ⇒ ∡ABB’ ≡ ∡CBB’ ⇒ 𝑚 (∡ ABB’) = 𝑚 (∡ CBB’) =
= 𝑚 (∡ ABC )
2
În 𝛥ABC : m( ∡BAC ) + m( ∡ABC ) + m( ∡ACO ) ⇒ m(∡BAC ) + m( ∡ABC ) < 180o ⇒
⇒ m(∡BAC ) + m( ∡ABC ) < 180o ⇒ 𝑚 (∡ BAC )
2 + 𝑚 (∡ ABC )
2 < 90o ⇒
⇒ m(∡ABB’ ) + m( ∡BAA’ ) < 90o
∡ABB’ și ∡BAA’ sunt formate din dreptele AA’ și BB’ cu secant a AB (1)
∡ABB’ și ∡BAA’ sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei AB (2)
m(∡ABB’ ) + m( ∡BAA’ ) < 90o ⇒ ∡ABB’ și ∡BAA’ nu sunt suplementare (3)
Din relațiile 1, 2 și 3 ⇒ AA’ BB’ ⇒ exista I astfel încât AA’ și BB’ = { I}

15
[AA’ bis ∡BAC
I ∈ AA’
[BB’ bis ∡ABC
I ∈ BB’
d(I, AB) = d(I, BC)
d(I, AB) = d(I,AC)
⇒ [CI este bisectoarea ∡ACB
Deci [AA’ ∩ [BBI ∩ [CC’ = {I}

Mediatoarea
Definiția 2
Mediatoarea unui segment este perpendicular ă pe segment în mijlocul acestuia .
d ⊥ AB
d ∩ AB = {0}
0-mij. segmentului [AB]

16
Proprietatea paralelelor de pe mediatoarea unui segment .
Teoremă 1.2.3
Un punct aparține mediatoarei unui segment dacă și numai dacă este egal
depărtat de capetele segmentului.

Mediatoarele laturilor unui triunghi
Deoarece orice triunghi are trei laturi (trei segmente), deducem că în orice 𝛥ABC putem
const rui trei mediatoare d1, d2 și d3.
Teoremă 1.2.4
Mediatoarele laturilor oricărui triunghi sunt concurente într-un punct egal
depărtat de vârfurile triunghiului .

Acest punct se notează cu O și se numește centrul cercului circumscris
triunghiului dat.
Cercul circumscris unui triunghi oarecare ABC este cercul de raza R ce conține toate
vârfurile triunghiului, iar R = OA = OB = OC

17
Dacă triunghiul este ascuțitunghic ,dreptunghic,optuzunghic, atunci centrul
cercului înscris 𝛥ABC se afla în interiorul triunghiului, în mijlocul ipo tenuzei, respectiv
în exteriorul triunghiului.

Înalțimea
Definiția 3
Perpendiculara construită din vârful triunghiului pe latura opu să se numește
înaltime .
AD este înaltime în 𝛥ABC ⇔ AD ⊥ BC
Obs. orice triunghi are trei înalțimi .

Teoremă 1.2.5
Dreptele care conțin înălțimile oricărui triunghi sunt concurente într-un punct
numit ortocentrul triunghiului. notat cu H.
AD, BE, CF sunt înalțimi în 𝛥ABC ⇔ ( ∃ ) H, astfel încât AD ∩ BE ∩ CF = {H}

• în orice triunghi ascuțitunghic ortocentrul este în interiorul triunghiului.
• în orice triunghi dreptunghic ortocentrul coincide cu vârful drept al triunghiului

18
• în orice triunghi obtuzunghic ortocentrul se afl ă în exteriorul triunghiului
Obs. Într-un 𝛥ABC , m( ∡A) = 90o, două dintre înălțimi sunt catetele AB și AC.
Mediana
Definiția 4
Segmentul cu extremitațile în vârful triunghiului și , respectiv, în mijlocul laturii
opuse se numește median ă.

[AM] – mediana în 𝛥ABC ⇔ M – mijlocul lui [BC]
Obs. Orice triunghi are trei mediane.
În cazul nostru [AM], [BN] și [OP] sunt mediane în 𝛥ABC.
Teoreama 1.2.6
În orice triunghi medianele sunt concurente într-un punct G, numit centru de
greutate al triunghiului care este situat pe fiecare dintre mediane la două treimi de vârf
și o treime de baza.
[AM] – mediana în 𝛥ABC
G – centrul de greutate al 𝛥ABC
⇒ G ∈ [AM] astfel încât
GM = 1
3 * AM
AG = 2
3 * AM
AG = 2 * GM

19
1.3 Teoreme de paralelism în spațiu

Pozițiile relative ale dreptei și planului
Date o dreapta d și un plan α, sunt posibile următoarele situații :
1) d este inclu să în planul α
d⊂ α

2) d înțeapa planul α (d este secantă planului α): dreapta și planul au un singur punct în
comun
d ∩ α = {O}

3) d este paralel ă cu α : dreapta și planul nu au niciun punct în comun
d | | α sau d ∩ α = ∅

20
Teoremă 1.3.1
Fie d o dreapt ă care nu este inclu să în planul α. Dacă exista o dreapt ă a în planul
α astfel încât d | | a, atunci d | | α.

d ⊄ α
a ⊂ α
d | | a

Teoremă 1.3.2
Fie d o dreapt ă paralel ă cu planul α. Un plan β conține dreapta d și intersectează
planul α după dreapta a.
În aceste condiții , d | | a
d | | α
d ⊂ β
α ∩ β = {a}

21
Teoremă 1.3.3
Fie d o dreapt ă paralel ă cu planul α . Prin punctul A ∈ α ducem paralela a la
dreapta d.

În aceste condiții , a ⊂ α
d | | α
A∈ α
a | | d

Plane paralele. Teoreme de paralelism

Definiția 1
Spsunem că două plane α și β sunt paralele dacă ele nu au puncte comune.
α | | β ⇔ α ∩ β = ∅

22
Teoremă 1.3.4
Dacă α și β sunt două plane paralele, orice dreapt a inclu să în planul α este
paralela cu planul β.
α | | β
d ⊂ α

Teoremă 1.3.5 (a fierastraului)
Fie α și β două plane paralele, iar γ un plan care intersectează planele α și β
după dreptele a și b. În aceste condiții , dreptele a și b sunt paralele.
α | | β
α ∩ γ = {a}
β ∩ γ = {b}

Teoremă 1.3.6 (criteriul de paralelism)
Dacă un plan α conține două drepte concurente paralele cu un plan β, atunci
planele α și β sunt paralele.
d1 , d2 ⊂ α
d1 | | β ; d 2 | | β
d1 ∩ d2 = {0}

23

Teoremă 1.3.7 (tranzitivitatea relației de paralelism între plane)
Două plane paralele cu un al treilea sunt paralele între ele.
α | | γ
β | | γ

Teoremă 1.3.8
Două plane paralele determină pe două drepte paralele, pe care le intersectează ,
segmente congruente.

d | | β
d1 | | d 2
d1∩ α = {A 1}
d1 ∩ β = {B 1}
d2 ∩ α = {A 2}
d2 ∩ β = {B 2}

24
Teoremă 1.3.9 (Teoremă lui Thales în spațiu )
Trei sau mai multe plane paralele determină pe două drepte oarecare pe care le
intersectează , segmente propo rționale.
Observație :
Dacă α și β sunt două plane paralele și A1, A2 sunt două puncte oarecare în
planul α, atunci d (A 1, β) = d (A 2, β) .
Distanța dintre un punct oarecare al planului α și planul β se numește distanța
dintre planele α și β :
α | | β ⇒ d (α, β) = d (A, β), unde A ∈ α
Secțiunii paralele cu baza unei piramide
Un plan paralel cu baza intersectează o piramid ă după un poligon asemenea cu baza
piramidei.
În urma sec ționării se obține o piramid ă asemen ea cu cea inițială și un trunchi de
piramid ă.

α = ( A’ B’ C’)
( A’ B’ C’ ) | | ( ABC )

25
1.4 Interpretarea geometric ă a sistemelor liniare cu două necunoscute

Fiecare ecuație a unui sistem liniar cu două necunoscute se reprezint ă în plan
prîntr-o dreapt ă.
Pentru a interpreta geometric un sistem liniar de două ecuații cu două
necunoscute vom reprezenta grafic dreptele corespunzătoare ecuații lor sistemului.
Coordonatele punctului de intersecție , dacă exista, verific ă simultan ecuații le sistemului
și reprezintă soluția acestui sistem.
Fie ecuația ax + by + c = 0, b ≠ 0 și funcția y = mx + n , unde m = – 𝑎
b ; n = – 𝑐
b ,
a carei reprezentare este o dreapta.
• Dacă n ≠ 0, atunci dreapta y = mx + n intersectează axa O x în punctul ( – 𝑛
m , 0)
• Dacă m = 0 și n =0 atunci dreapta y = 0 reprezintă axa O x
• Dacă m = 0 și n ≠ 0, atunci dreapta y = n reprezintă o paralela la axa Ox, deci nu
are punct de intersecție cu O x
În interpretarea geometrică a unui sistem liniar cu două necunoscute putem avea
următoarele situații .
1) Sistemul are o infinitate de soluții și o infinitate de puncte de intersecție ale celor
două drepte; În acest caz cele două drepte coincid, uneia dintre cele două necunoscute i
se poate da o valoare arbitrară , iar cealaltă este determinată în funcție de prima.

26
2) Sistemul are o soluție unică; în acest caz dreptele se intersectează inrt-un singur
punct .

3) Sistemul nu are soluții ; dreptele sunt distincte și paralele.

27
CAPITOLUL 2
METODE TRADIȚIONALE FOLOSITE ÎN PREDAREA
GEOMETRIEI
Acest capitol cuprinde prezentarea a două metode tradiționale folosite în
predarea matematicii: demonstrația matematic ă și metodă exercițiului cu exemplificări
prin lecții din unitățile de învățare : “ Noțiuni geometrice fundamentale”
“ Lini importante în triunghi ”
-clasa a VI – a, “ Relații între puncte, drepte, plane “ – clasă a VIII – a și “
Sisteme de ecuații liniare și determinan și “ – clasă a XI – a.
Lucrarile bibliografice utilizate în elaborarea acesstui capitol sunt: [ 1 ], [ 2 ],
[ 3 ], [ 4 ], [ 5 ], [ 6 ], [ 7 ], [ 11 ], [ 13 ], [ 15 ], [ 16 ], [ 17 ], [ 18 ],
Termenul metodă proprie din cuvintele grece ști metha = spre, către , și odos = cale,
drum și a rămas cu înțelesul de drum spre.
Metodă didactică se referă la o cale ce se urmează spre atingerea unor obiective
educaționale . În mod simptomatic metodele de predare sunt aceleași cu metodele de
cercetare.
Metodă de învățământ reprezintă modalitatea de lucru secționată de profesor și
aplicată cu ajutorul și în beneficiul elevilor, ce asigur ă cooperarea profesor – elev și
permite profesorului să se afirme că un purtător competent al conțin uturilor
învățământului ce âi justific ă rolurile de animator, g hid și evaluator.
Metodele de predare sunt și trebuie să fie extrem de variate pentru că profesorul
să aibă de unde selecta pe cea considerată optimă în raport cu o secvența de cunoștințe
și un grup de elevi, dar nu este exclu să eventualitatea ca profesorul să creeze o metod ă
mai adecvată unor circumstanțe speciale.
Cunoașterea “ arsenalului ” este un sprijin și nu o piedică pentru creativitate.
Printre metodele tradiționale folosite în procesul de predare – învățare la orele
de matematic ă amintim: demonstrația matematic ă și metodă exercițiului .

28
2.1 Folosirea unor metode tradiționale în predarea paralelismului și concurentei în
plan și spațiu .

Demonstrația matematic ă
Demonstrația matematic ă este o metod ă de predare învățare specific ă
matematicii să apară ca o form ă a demonstrației logice care constă într-un șir de
raționamente prin care se verific ă un anumit adevăr , exprimat prin propoziții .
Demonstrația matematic ă este metodă specific ă de justificare a teoremelor și
constă în a arăta că, dacă ceea ce afirm ă ipoteza are loc, atunci concluzia rezult ă din ea
în mod logic.
În orice demonstrație ne putem baza numai pe axiome și / sau teoreme
demonstrate anterior. Nu este admis să fie utilizate propoziții / proprietăți care încă nu
au fost demonstrate.
În cartea să , Polya d ă un răspuns întrebării dacă trebuiesc prezentate
demonstrații riguroase elevilor din învățământul preuniver sitar: “ Da, trebuie s -o facem
dacă nu suntem sili ți de cine știe ce condiții extrem de vitrege să coborâm ștacheta
exigentei “.
Exemplific ăm posibile aleg eri pentru demonstrarea concu rentei liniilor
importante în triunghi.
În clasa a VI – a se definesc mediatoarea unui segment, bisectoarea interioar ă și
respectiv exterioară a unui unghi, mediana și înălțimea corespunzătoare unei laturi a
unui triunghi.
Pentru concurenta mediatoarelor și bisectoarelor se folosește proprietatea
fiecă reia de a constitui un anumit loc geometric.
Concurenta medianelor unui triunghi se bazează pe proprietățile liniei mijlocii
într-un triunghi, pe congruenta triunghiurilor și pe unicitatea punctului care împarte un
segment într-un raport dat.
Pentru concurenta înălțimilor unui triunghi se construiește un alt triunghi ale
cărui mediatoare coincid cu înălțimile triunghiului inițial .

29
Acest triunghi special se obține aducând paralelele prin vârfurile triunghiului dat
la laturile opuse.
După intro ducerea și demonstrarea teoremei lui Ceva și a reciprocei sale
concurenta medianelor, înălțimilor și a bisectoarelor interioare ale unui triunghi se poate
demonstra pr într-o aceeași metodă : se aplica reciproca teoremei lui Ceva. Evident,
demonstrațiile folosesc atât teoremă lui Pitagora cât și cea a bise ctoarelor interioare.
Este indicat că, pe parcursul anului școlar vizat cu introducerea unor elemente
noi să se revină la unele probleme și să se redemonstreze.
Se motivează astfel introducerea acelui re zultat și se pot face comparări critice ale
metodelor de demonstrare folosite.
Esențial , atât pentru elevii de gimnaziu cât și pentru elevii de liceu, este că în
predarea – învățarea teoremelor să se tina seama de următoarele aspecte:
– să se asigure însușirea faptului matematic exprimat în teoreme;
– să se desprindă ipoteza de concluzie;
– să se transcrie în simboluri matematice ipoteza și concluzia;
– efectuarea demonstrației , utilizând formele de scriere specifice cu atenționarea
necesară efectuări eventu ale a dublei implicații pentru teoreme cu permut ările :
“ condiția necesară și suficientă …” sau “ … Dacă și numai Dacă ….”
Demonstrația prin metodă induc ției matematice este o metodă de raționament
prin care se realizează trecerea de la prepozi ții particulare la prepozi ții generale.
Aceast ă metod ă se aplic ă tuturor propozi țiilor matematice care depind de un
număr natural, fiind mai putin utilizate în geometrie.

Metodă sintetica
Aceast ă metod ă constă în construirea lanțului cauzal ( deductiv ) plec ând de la
ipotez ă și termin ând cu concluzia.
I ⇒ C1 ⇒ C2 ⇒ ….. ⇒ Ci ⇒ C
unde am notat cu Ci rezultat ele ( concluziile ) intermediare.

30

Exemplu:
Fie cubul ABCDA’B’C’D’, O centrul pătratului ABCD. Demonstrați că
AO ⊥ DB’

Demonstrație
Din proprietatea pătratului ⇒ AO ⊥ DB’
BB’ ⊥ ( ABC )
AO ⊂ ( ABC )
Deci AO devine perpendicular ă pe dreptele concurente DB și BB’ din planul ( DBB’)
AO ⊥ DB
AO ⊥ BB’
DB , BB’ ⊂ ( DBB’ )
DB ∩ BB’ = { B }
Dar DB’ ⊂ ( DBB’ ) ⇒ AO ⊥ DB’ g. e. d
Observam in să că textul de mai sus reprezintă mai mult o redactare a unei
soluții , nu firul ra ționamentelor care a dus la demonstrarea concluziei.
Probabil elevul a găsit : ce mi se cere în problem ă ? Să demonstreze că o
dreapt ă este perpendicular ă pe alt ă dreapt ă. Ce metode c unosc? Pot construi unghiul
celor două drepte și demo nstra că este un unghi drept, sau pot demonstra că una din
drepte este perpendicular ă pe un plan ce conține cealaltă dreapt ă.

31
Datele problemei și desenul ce îmi sugerează ? Pe care din variante să o aleg?
Probabil a două .
După găsirea soluției , elevul redactează probabil ca mai sus, sintetic soluția .
Dar raționamentul l-a făcut pornind de la concluzie, apoi căutând un rezultat
intermediar care să implice rezultatul intermediar precedent și tot așa până ajunge la
ipoteza. Este vorba de o demonstrație analitică .
Metodă analitică constă în realizarea urm ătorului tip de lan ț cauzal.
I ⇒ I1 ⇒ I2 ⇒ ….. ⇒ Ij ⇒ I
Metodă analitică este una formativă , de aceea se recomand ă ca, atunci când
profesorul demonstrează la tablă o teoremă , să explic e modul în care a gândit alegând
calea analitică .
Aceeași observație și în legătură cu modul în care profesorul poate g hida elevii
în demonstrația lor proprie.
În general se folosesc metode combinate – analitic a și sintetica pentru
demonstrarea diverselor propoziții matematice.

Demonstrația matematic ă prin metodă reducerii la absurd
Metodă reducerii la absurd este in trodusă încă din cl asa a VI – a și este specific ă
matematicii, bazându -se pe elemente de logic ă.
Aceast ă metod ă constă în demonstrarea propoziției contrar ă reciprocei ( non B
→ non A ), care are aceeași valoare de adevăr că prepozi ția (teoremă ) direct ă.
Raționamentul metodei constă în următorii pasi :
– se neag ă concluzia propoziției de demonstrat ;
– se efectuează , pornind de la ipoteza propoziției și ipoteza contrarei reciproce i, A
∧ non B, un șir de raționamente corecte;
– în urma acestor raționamente ajungem la o prepozi ție care este fal să ( ajungem la
o contradic ție).

32
Contradicția la care se ajunge este A ∧ non A ( o prepoziție este sau falsă sau
adevărată și nu poate fi în același timp și adevărată și falsă ).
Se ajunge la aceast ă contradic ție deoarece am presupus non B propoziție
adevărată , adică , am presupus implicit B fal să.
Rezult ă deci că B este adevărată și astfel s -a demonstrat, prin reducere la absurd,
prepoziția A → B .
În unele situații se ajunge la o contradic ție nu cu prepozi ția din ipotez ă, ci cu o
alta despre care am demonstrat sau cunoaștem că este adev ărată.
Metodă reducerii la absurd constituie o problem ă de logic ă destul de dificil ă
pentru o categor ie destul de numeroa să de elevi, de aceea este recomandabil să se
ilustreze metodă printr -un număr însemnat de probleme, începând cu cele mai simple în
care ipoteza și concluzia propoziției date conține o singur ă condiție .
Exemplu
Fie A, B, C, D patru puncte astfel încât , C și D sunt de o parte și de o alta a
dreptei AB și ∡ BAC ≡ ∡ ABD.
Stabiliți pozitia dreptelor AC și BD.

33
Rezolvare
Dreptele AC și BD fiind coplanare sunt paralele sau concurente.Verific ăm dacă sunt
concurente.
Presupunem că AC ∩ BD = { E } ⇒ E ∈ AC
Pe semidreapta opu să lui [ AE ] consider ăm punctul F astfel încât [ AF ] ≡ [ BE ].

Compar ăm 𝛥 BAF cu 𝛥 ABE :
[ AF ] ≡ [ BE ]
∡ BAF ≡ ∡ ABE
[ BA ] ≡ [ AB ]
⇒ ∡ ABF ≡ ∡ BAE ( 1 )
Din m ( ∡ BAF ) + m ( ∡ BAE) = 180o și din relatia ( 1 ) ⇒
⇒ m ( ∡ ABE ) + m ( ∡ ABF) = 180o ⇒ m ( ∡ EBF ) = 180o ⇒ E, B, F coliniare,
ceea ce ar însemna că prin E și F trec două drepte una prin A și una prin B, adică este
contrazi să axioma dreptei .
Cum din presupunerea făcută am ajuns la un rezultat absurd rezult ă că
presupunerea făcută este fal să.
Deci AC ∩ BD = ∅
AC, BD – coplanare
O alta metod ă foarte des utilizată în matematic ă este metodă exercițiului .
Exercițiul presupune efectuarea conștientă și repetată a unor opera ții sau acțiuni
mintale sau motrice în vederea formării de priceperi și deprinderi, pentru dezvoltarea
unor capacitați intelectuale și toate acestea în scopul învățării matematicii.
Cu ajutorul exerci țiilor se asigur ă fixarea noilor cunoștințe în evenimentele de
asigurare a re ținerii, a transferului, a ab ținerii de performan ță.
În rezolvarea exerci țiilor se recomand ă parcurgerea următoarelor etape:

34
– Cunoașterea de către elevi a enun țului exercițiului ;
– înțelegerea exercițiului de către elevi ;
– rezolvarea propriu zi să a exercițiului ;
– verificarea rezultatului obținut .
Prin metodă exercițiului se urmărește , in primul rând, să se dea modele de
rezolvări care ulterior să-i determine pe elevi să rezolve atât exerciții de tipurile
prezentate, cât și descoperirea de noi metode sau algoritmi.
Exercițiile pot fi :
– exerciții de recunoaștere a unor noțiuni , figuri geometrice etc.
– exerciții de aplicare imediat ă a unor formule sau algoritmi;
Utilizarea contraexemplelor vine să sublinieze tr ăsăturile esenția le iar analiza
erorilor este foarte utilă în descoperirea unor lacune ale elevilor.
– exerci ții grafice, în cadrul cărora se folosește figurarea datelor unor teoreme sau
probleme, având acelaș i aport intelectual ;
– exerci ții de autoinstruire, prin care se urmărește însușirea de cunoștințe noi
pornind de la cele dob ândite anterior ;
– exerci ții de calcul mintal ;
– exerci ții comentate , prin care se poate începe orice munc ă independent ă a
elevilor.
Formele de organizare a activității bazate pe metodă exercițiului sunt variate.
De exemplu, se poate lucra independent ( individual sau pe grupe cu fi șe de
exerciții ) sau frontal ( cu cla să ).
În cadrul muncii independente exercițiile pot fi diferen țiate sau nu.
În predarea – învățarea matematicii nu exist ă lecție care să nu se aplice metodă
exercițiului .
În ce-a de-a două parte din acest capitol, voi prezenta mai multe tipuri de
exerciții , cu grad de dificultate diferite din unitățile de învățare specifice
,, Paralelismului ” și concurentei în plan și spațiu .

35
2.2 Aplicatii geometrice

2.2.2
Determinați măsurile de unghiuri exprimate prin x, y, z din figurile de mai jos,
știind că a | | b.
a)

b)

Rezolvare
a) Dacă a | | b, d – secantă ⇒ x și 4x sunt externe de aceeași parte a secantei
suplementare ⇒
x + 4x = 180o ⇒
5x = 180o ⇒ 180𝑜
5 ⇒ x = 36o
Dar, 4x și z + 20o sunt unghiuri opuse la vârf ,
⇒ 4x = z + 20o ⇒
4 ∙ 36 = z + 20o ⇒
144o = z + 20o ⇒ z = 124 o

36
b) Observ ăm că 50 și x + y sunt suplementare ⇒ x + y – 50 = 180o
⇒ x + y = 130o ( 1 )
Dacă a | | b și dreapta d este secantă ⇒ x = 50o (unghiuri alterne externe congruente)
Din ( 1 ) ⇒ 50o + y = 130o ⇒
y = 80o
Dacă a | | b și d – secantă ⇒
x + y = z ⇒ z = 130o

2.2.2
Fie 𝛥 ABC, cu F ∈ ( BC ), E ∈ ( AB ), astfel încât BF = 1
2 ∙ BC și AE = EB . Fie
D – mijlocul laturii [ AC ] și CE ∩ AF = { G }. Ar ătați că AF, BD, CE sunt concurente.

Rezolvare
BF = 1
2 ∙ BC ⇒ F – mijlocul lui [ BC ] ⇒ AF median ă în 𝛥 ABC ( 1 )
AE = EB ⇒ E – mijlocul lui [ AB ] ⇒ CE – median ă în 𝛥 ABC ( 2 )
D – mijlocul lui [ AC ] ⇒ BD – median ă în 𝛥 ABC ( 3 )
Din ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) ⇒ AF ∩ BD ∩ CE = { G } adică medianele într-un triunghi sunt
concurente, punctul lor de concurenta fiind centrul de greutate al triunghiului.

37
2.2.3
Fie un plan α su punctele A, B ∈ α și O ∉ α. Considerăm punctele C ∈ ( OA ),
D ∈ ( OB ), astfel încât OC = 3 cm, OD = 5 cm, AC = 6 cm și BD = 10 cm. Arătați că
CD | | α.

Rezolvare

Dacă OC = 3 cm, OD = 5 cm, AC = 6cm, BD = 10 cm obține m faptul că :
𝑂𝐶
𝐶𝐴 = 3
6 = 1
2
𝑂𝐷
𝐷𝐵 = 5
10 = 1
2
CD | | AB
AB ⊂ α

2.2.4
Se consider ă cubul ABCDA’B’C’D’. în care AB = a.
a) Arătați că ( A’BD ) | | ( CB’D’ )
b) AC’ ⊥ ( CB’D’ )

38
Rezolvare

a) Pentru a demonstra că două plane sunt paralele, trebuie să demonstrăm că unul din
plane conține două drepte concurente, ambele paralele cu cel de-al doilea plan.

ABCDA’B’C’D’ cub ⇒ BDD’B’ – dreptunghi
⇒ BD | | B’D’
B’D’ ⊂ ( CB’D’ )
A’B’ | | AB
AB | | CD
⇒ A’D | | B’C
B’C ⊂ ( CB’D’ )
Din ( 1 ) și ( 2 ) ⇒
BD | | ( CB’D’ )
A’D | | ( CB’D’ )
BD, A’D ⊂ ( A’BD )
BD’ ∩ A’D = { D }

39
b) A’B ⊥ AB’
A’B ⊥ B’C’
AB’, B’C’ ⊂ ( AB’C’)
AB’ ∩ B’C’ = { B’ }

A’D ⊥ AD’
A’D ⊥ D’C’
AD’, D’C’ ⊂ ( AD’C’)
AD’ ∩ D’C’ = { D’ }

Din ( 3 ) și ( 4 ) obține m:
AC’ ⊥ A’B
AC’ ⊥ A’D
A’B ∩ A’D = { A’ }
A’B, A’D ⊂ ( A’BD )
AC’ ⊥ ( A’BD )
Din a) ( A’BD ) | | ( CB’D’) ⇒ AC’ ⊥ ( CB’D’)

2.2.5
Fie ABCDA’B’C’D’ un cub, punctele M ∈ ( A’D’ ), N ∈ ( AB ), P ∈( CC’ ), cu
D’M = AN = CP și punctele x ∈ ( D’C’ ), y ∈ ( BC ), z ∈ ( AA’ ) cu C’x = yB = zA’
Demonstrați că ( xyz ) | | | ( MNP )
Petru Braica, Sătu Mare

40
Rezolvare

Notăm AB = a , D’M = b și C’x = P
În 𝛥A’AN, m ( ∡A’AN ) = 90o aplic teorem a lui Pitagora:
A’N2 = a2 + b2
Analog în 𝛥A’NM, m ( ∡NA’M ) = 90o ⇒ MN = √𝑎2+𝑏2+(𝑎−𝑏)2
Analog NP = √𝑎2+𝑏2+(𝑎−𝑏)2
MP = √𝑎2+𝑏2+(𝑎−𝑏)2

Prin urmare, 𝛥MNP este echilateral.
Parcurgând aceleași etape, obține m că 𝛥xyz este echilateral.
În 𝛥 B’A’M, m ( ∡B’A’M) = 90o ⇒ B’M = √𝑎2+(𝑎−𝑏)2
Analog B’N = √𝑎2+(𝑎−𝑏)2
B’P = √𝑎2+(𝑎−𝑏)2

41
Prin urmare, piramida cu vârful în B’ și baza MNP este o piramid ă regulată .
Dacă B’O ⊥ ( MNP ) (1) ⇒ O este centrul cercului circumscris 𝛥MNP.Dar și
piramid ă cu vârful în D și baza MNP este o priramida regulată ⇒ DO ⊥ ( MNP ) (2)
Din (1) și (2) ⇒ B’,O și D coli niare ⇒ B’D ⊥ ( MNP ) (3)
Analog se demonstrează că :
B’D ⊥ ( xyz ) (4)
Din (3), (4) ⇒ ( MNP ) | | ( xyz )

2.2.6
Interpreta ți geometric sistemele :
1) {4𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥 + 2𝑦 = 10
2) {4𝑥 + 𝑦 = 12
8𝑥 + 2𝑦 = 24
1) {4𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥 + 2𝑦 = 10 ⇒ {4𝑥 + 𝑦 = 12
𝑥 = 10 − 2𝑦
4(10 – 2y) + y = 12
40 – 8y + y = 12 ⇒ -7y = -28 ⇒ y = 4
x= 10 – 2 ∙ 4 ⇒ x = 10 – 8 ⇒ x = 2

Sistemul are soluția
S = {( 2, 4 )}, sistemul fiind compatibil determinat.
În concluzie, cele două ecuații ale sistemului reprezintă ecuații le a două drepte care se
intersectează în punctul ( 2, 4 )

42

2) {4𝑥 + 𝑦 = 12 | ∙ 2
8𝑥 + 2𝑦 = 24 ⇒ {8𝑥 + 2𝑦 = 24 (1)
8𝑥 + 2𝑦 = 24 (2)
Din (1) și (2), prin scădere membre cu membre ⇒ O = 0 adevarat ⇒ Sistemul are o
infinitate de soluții .
S = {(x, y)} | y = 12 – 4x, x ∈ ℝ
Sistemul este compatibil nedeterminat, în concluzie, cele două ecuații ale
sistemului sunt ecuații le a două drepte care coincid.
Coordonatele oricărui punct de pe dreapta 4x + y = 12 reprezintă o soluție a
sistemului.

43
CAPITOLUL 3
METODE ACTIVE DE STIMULARE A CREATIVITĂȚII LA
MATEMATIC Ă

În acest capitol am prezentat noțiunea de creativitate, precum și factorii care
contribuie la de zvoltarea să.
Tot în acest capitol am prezentat metode active care dezvolt ă creativitatea, cu
exemplificări prin aplica ții legate de paralelism și constanta în plan și spațiu
În acest capitol se reg ăsește și cercetarea psiho – pedagogic ă realizat ă
Lucrarile bibliografice utilizate în elaborarea acestui capitol sunt : [ 1 ], [ 2 ], [ 5 ], [ 8 ],
[ 10 ], [ 11 ], [ 13 ], [ 14 ], [ 15 ], [ 16 ], [ 17 ], [ 18 ], [ 19 ].

3.1 Conceptul de creativitate

Termenul creativitate provine din latinescul ,,creare” – a naște, a z âmbii, a crea.
Termenul a fost folosit în literatura de specialit ate de Gordon Allpont, în 1937 –
creativity, cu sensul de capacitate de a genera n oul, dispozi ție general ă a personalității .
Mulțimea defini țiilor dat ă creativității diferă în funcție de prioritatea abordării .
Creativitatea este, în esență un proces complex, o complex ă activitate psihica ce se
finalizeaz ă într-un anumit produs, este capacitatea omului de a realiza noul, sub diferite
forme: tehn ică, teoretic ă, științifică, social ă.
Creativitatea este definita că “ reprezentând cel mai înalt nivel comportamental
uman, capabil de a antrena și focaliza toate celelalte niveluri de co nduit ă biologic ă și
logic ă ( instincte, deprinderi, inteligen ța ), precum și toate însușirile unui individ
(gândire , memorie, atenție , voință , afectivitate ).
V. Oprescu considera creativitatea că fiind abilitatea de a face combina ții noi
între două sau mai multe concepte existente deja în minte, combina ții din care rezult ă
produse care corespund unor nevoi individuale sau sociale; cu cât elementele noi
combinate sunt mai independente unele de altele, cu atât soluția este mai creativă .

44
O prima nota definitiva a creativității o constituie noutatea; orice proces prin
care se produce ceva nou poate fi considerat creator.
Creativitatea este o facultate superioara a omului, un proces psihic de
identificare a posibilităților noi.
Al. Roșca def inește creativitatea că un proces care duce la un anumit produs,
caracterizat prin originalitate sau noutate și prin valoare, sau utilitate pentru societate.
În cazul în care accentul este pus pe persoana, creativitatea este definita fie că o
caracteristic a a performantei persoanei, fie că facultate sau capacitate de a inventa, de a
descoperi, de a crea.
V. Feier vede creativitatea că pe un întreg ale cărui elemente fundamentale:
subiectul creator, activitatea creatoare, produsul creativ, mediul creativ, su nt în
rezonanta cauzatoare de armonie.
M. Rocco afirma: “ creativitatea se definește că o formațiune deosebit de
complexă a personalității, caracterizata, în principal, prin originalitate și valoare, ea
integrând într -un mod specific toate aspectele care c oncura la realizarea noului.
Creativitatea se prezintă în diferite forme și se situează la diverse niveluri
tehnice. După C. W. Taylor se disting cinci niveluri ale creativității:
• creativitatea expresiv ă, caracterizat ă prin sp ontaneitate și libertate de ex presie
fară preocup ări de utilizare sau valoare, ca în cazul desenelor realizate de copii;
• creativitatea productiv ă, care constă în însușirea de informa ții, formarea și
dezvoltarea unor priceperi, a unor tehnici, originalitatea fiind minim ă;
• creativitatea inventiv ă face posibile inven țiile, îmbun ătățirile aduse produselor,
suficient de importante pentru a fi brevetate;
• creativitatea inovatoare duce la modific ări ale principiilor de exprimare,
specifice talentelor;
• creativitatea emergent ă se manifest ă la omul de geniu care revolu ționeaz ă un
domeniu științific, ori la crea ția artistic ă, deschiz ând noi c ăi de abordare;
Voinț a, perseveren ța sunt necesare în finalizarea procesului de crea ție, care cere
eforturi și o lupta îndărjită pentru realizare a obiectivului propus.
Activitatea matematic ă implic ă efectul g ândirii, în primul rând al celei creative.

45
Este incontestabilă contribuția matematicii la formarea unei gândiri logice,
concrete și creative, la formarea unor deprinderi de munc ă, de ordine, de punctua ție.
În cadrul orelor de matematic ă putem influența gândirea creativă a elevilor prin
diferite modalități și tehnici:
– Completarea problemei prin introducerea de date noi sau prin modificarea
întrebării;
– Propunerea unor exerciții variate de cal cul oral și scris, gradate din punct de
vedere al dificult ății;
– Rezolvarea problemei prin două sau mai multe metode;
– Formularea unor întrebări care se adresează gândirii , pun ându-l pe elev în
postura de a căuta , de a descoperi ;
– Alegerea cele i mai scurte și mai economico ase căi de evaluare;
– Jocul matematic, plăcut prin libertatea de gândire și acțiune , de cultivare a
încrederii , de manifestare a inițiativei ;
Compunerea problemelor este una din modalitățile principale de a dezvolta
gândirea independent ă și original ă a elevilor, de cultivare și educare a creativității
gândirii lor.
Se pot compune și crea probleme în următoarele forme și următoarele succesiuni
graduale:
• compunere de probleme după o acțiune sau o poveste;
• compunere de probleme după tablouri sau imagini;
• compunere de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior ;
• compunere de probleme după un plan stabilit ;
• compunere de probleme cu mai multe întrebări posibile ;
• compunere de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date;
• compunere de probleme după un exercițiu simplu sau compus;
• compunere de probleme după un model simbolic;
• compunere de probleme cu modificarea conțin utului și a datelor;
• crearea liber ă de probleme .
Gândirea creati vă se dezvolt ă în mod deosebit prin rezolvarea unor probleme care
solicit ă strategii atipice, inventate și prin compunerea de probleme.

46
3.2 Metode active și creative care dezvolt ă creativitatea

Metodele active de stimulare a creativității pot fi definite că un sistem de
procedee specifice, polivalente, orientate spre dezvoltarea mentală a elevului, prin
oferirea de oportunități pentru a încerca idei noi, modalități noi de gândire și de
rezolvare a problemelor .
Strategia pentru o predare creativă în școală reprezintă organizarea proiectiv ă a
unei înlănțuiri de situații educaționale prin parcurgerea cărora elevul dobândește
cunoștințe noi, priceperi, deprinderi și competente.
Aceste metode se contureaz ă exclusiv pe elev și sunt decisive în formarea
personalit ății acestuia.
Privind elevul că subiect al învățăturii, metodele active consider ă efectele
instructive și cele formative ale învățământului că sunt proporționale cu nivelul de
angajare și participare ale acestuia în activitatea de învățare .
Aceste metode reprezintă o strategie modernă de organizare și conducere a
procesului instructiv – educativ schimbând radical viziunea asupra actului didactic,
elevul devenind subiect, partener ini țiator al actului instructiv – educativ.
Totuși , nu trebuie să ne rupem tot al de metodele tradiționale , și să le combin ăm
cu cele moderne.
Avantajele învățăturii centrate pe elev sunt:
– creșterea motivației elevilor;
– eficacitatea mai mare a învățăturii și aplic ării celor învățate;
– învățarea capătă sens, deoarece a stăpânii materia înseamnă a o înțelege;
– posibilitatea mai mare de includere;
Metodele active se pot clasifica:
• Metode de predare învățare interactivă în grup: metodă mozaicului, metodă
cascadei, metodă piramidei.
• Metode de fixare și sistematizare a cunoștințelor , dar și de verificare: harta
cognitiva, matricele.

47
• Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativității : brainstorming,
metodă pălăriilor gânditoare, ma să rotund ă, studiul de caz, philips 6/6.
• Metode de cercetare în grup: proiectul de cercetare, portofoliul de grup

Metodă brainstorming
Etimologic, brainstorming provine din englez ă, din cuvintele “ brain “ = cre ir și
“ storm ” = furtun ă, plus desinen ța “ – ing “ specific ă limbii engleze , ceea ce înseamnă
,, furtuna în creier “, o stare de inten să activitate imaginativ ă, un asalt de idei. Principiul
acestei metode este: cantitatea generează calitatea. A sta înseamnă că pentru a ajunge la
idei variabile și inedite este necesară o prod uctivitate creativă cât mai mare.
Brainstorming este o metod ă care ajut ă la crearea unor idei și concepte creative
și inovatoare. Pentru un brainstorming eficient inhibi țiile și criticile suspendate vor fi
puse de -o parte. Astfel exprimarea va devenii liber ă și participanții la un proces de
brainstorming își vor spune ideile și părerile fara teama de a fi respinși sau critica ți.
Un brainstorming durează în jur de o jum ătate de or ă și particip ă în medie 10
elevi sau grupu ri de minim 10 elevi.
Etapele unui brainstorming sunt următo arele :
• deschiderea sesiunii de brainstorming, aceasta durează 5 – 10 minute, se discut ă
scopul acest eia și regulile de baz ă care pot fi utilizate;
• perioada de acomodare; aceasta durează 5 – 10 minute, participanții fiind
stimula ți să discute idei generale pentru a putea trece la un nivel superior;
• partea creativă a brainstormingului, care are o durata de 25 – 30 de minute;
Este recomandabil că în timpul derulării acestei etape, profesorul să amintească
timpul care a trecut, să “ preseze ” participa nții și, în finalul părții creative să mai acorde
cate 3 – 4 minute.
La sfârșitul părții creative, profesorul clarific ă ideile care au fost notate și puse
în discuție și verific ă dacă toată lumea a înțeles punctele dezb ătute. Pe timpul
brainstormingului participan ților nu li se va cere explica ții pentru ideile lor. Aceasta
metodă creativă are o lunga istorie dar ea a fost reactivat ă de profesorul Alex Osborne,
prorector la Universitatea Buffalo și fondatorul Institutului de Crea ție Theni ca, S.U.A.

48
În principiu, fiecare dintre noi este o persoan ă creativă sau are anumite laturi
creative. De multe ori ideea este “ omor âtă “ chiar de creatorul ei din frica înfrunt ării
criticilor colegilor săi, de teama de a nu se face de râs.
Se recom andă 7 reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei ședințe
reușite de brainstorming:
1) Nu judeca ți ideile celorlalți ; nu exist ă idei proaste și idei bune și ideile slabe
putând fi valoroase prin faptul că pot da naștere unor idei bune;
2) Încuraja ți ideile nebune ști sau exagerate, găsiți soluții nebunești și vedeți în ce se
transform ă;
3) Căutați cantitate, nu calitate; la sfârșitul întâlnirii ceea ce conteaz ă este num ărul
de idei;
4) Notați tot;
5) Fiecare e lev este la fel de important, nu exista șefi și subalterni, nu exista elevi
mai creativi sau mai putin creativi;
6) Nașteți idei din idei; asculta ți cu atenție ideile celorlalți și dezvolta ți-le;
7) Nu v ă fie fric ă de exprimare; orice idee, oricât de ciudat ă, oricât de nebuneasc ă
sau de exagerat ă va fi luat ă pur și simplu că idee.
8)
Exemplu
Aplicarea metodei brainstorming la rezolvarea unei probleme de geometrie la cla să a
VIII – a
1) Alegerea sarcinii de lucru.
Pe muchiile [ VA ], [ VB ], [ VC ] ale piramidei triunghiulare VABC se
consider ă punctele D, E și respectiv F astfel încât 𝑉𝐷
𝑉𝐴= 2
7 , 𝑉𝐸
𝐸𝐵= 2
5 și 𝐶𝐹
𝐹𝑉= 10
4 .
Arătați că:
a) DE | | AB
b) ( DEF ) | | ( ABC )

49
2) Solicitarea exprimării , într-un mod cât mai rapid, a tuturor ideilor legate de
rezolvarea problemei.
Cere ți elevilor să propună strategii de rezolvare a problemei.
Pot apărea , de exemplu, sugestii legate de realizarea unei figuri cât mai corecte.
Sub nici un motiv nu se vor adm ite verificări critice.
2) Înregistrarea tuturor ideilor în scris ( pe tablă ).
Se anun ță o pauz ă pentru așezarea ideilor. Elevii vor transcrie aceste idei pentru
a mai reflecta asupra lor .
4) Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, cuvinte cheie etc .
Pentru problema analizat ă, cuvintele – cheie ar putea fi: paraleli sm, teorem a lui
Thales, reciproca teoremelor lui Thales.
5) Analiza critic ă, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise
anterior.
Puneți întrebări de tipul:
Cum putem demonstra că 𝑉𝐷
𝑉𝐴= 𝑉𝐸
𝑉𝐵 ?
Care este pozi ția dreptelor DE și EF Față de planul ( ABC ) ?
6) Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai cariate și originale.
Că urmare a discuțiilor acute cu elevii, trebuie să rezulte strategia de rezolvare a
problemei. Aceasta poate fi sintetizat ă sub forma un or indicații de rezolvare de tipul :
– construim piramida triunghiular ă;
– aplic ăm reciproca teoremei lui Thales ;
– aplic ăm condiția de paralelism a două plane .

50
Metodă Cubului
Metodă cubului este o metod ă activ ă de învățare care presupune explorarea unui
subiect, a unei situații din mai multe perspective, permiț ând abordarea complexă și
integratoare a unei teme.
Sunt recomandate următoarele etape:
• Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie, compar ă,
analizeaz ă, asociaz ă, aplic ă, argumenteaz ă;
• Anun țarea temei, subiectului pus în discuție ;
• Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examin ând tema din per spectiva
cerinței de pe una din fe țele cubului.
– descrie : culoril e, formele, m ărimile etc
– compar ă: ce este asemănător ? ce este diferit ?
– analizeaz ă: spune din ce este făcut , din ce se compune
– asociaz ă: la ce te îndeamnă să te gândești ?
– aplic ă : ce po ți face cu aceasta
– argumenteaz ă: pro sau contra și enumer ă o serie de motive care vin
în spriji nul afirma ției tale.
În desfășurarea activității , profesorul are grij ă să dea indicații unde este necesar ,
să soluționeze soluțiile în care nu toți elevii s -au implicat, s -au când un elev a
monopolizat toate activitățile .
Exemplu
Metodă cubului la lecția de recapitulare și sistema tizare a cunoștiințelor .
Unitatea de învățare : corpuri geometrice – clasă a VIII – a
Am realizat un cub din carton și am colorat fiecare Față diferit, iar fiecărei fețe i-am
asociat un verb, as tftel:
Fața 1 – albastru ;
– verbul descrie ;
Fața 2 – roșu;
– verbul compară;

51
Fața 3 – verde ;
– verbul asociază;
Fața 4 – portocaliu ;
– verbul analizează;
Fața 5 – galben ;
– verbul argumentează;
Fața 6 – mov;
– verbul aplic ă;
Elevii care au primit fi șa de lucru cu verbul DESCRIE au avut următoarele
sarcini :
– de desenat două plane paralele
– de enunțat : teoremă lui Thales în spațiu , tranzitivitatea relației de
paralelism între plane, condiția că o dreapta să fie paralela cu un
plan; condiția că două plane să fie paralele.
Fișa numărul 1: Verbul “ DESCRIE ”
1. Desenați două plane paralele α și β;
2. Enunțați teoremă lui Thales în spațiu , cu condiția că o dreapta să fie paralel ă
cu un plan, condiția că două plane să fie paralele, tranzitivitatea relației .
3. Descrieți în limbaj matematic cele enunțate la punctul 2.
Elevii care au primit fi șa de lucru cu verbul “ COMPARĂ “ au stabilit asem ănări și
deosebiri între: tranzitivitatea relației de paralelism între trei drepte, între trei plane,
condiția ca o dreapta să fie paralela cu un plan, condiția ca două plane să fie paralele.
Fișa numărul 2 : Verbul “ COMPARĂ “
1) Realizați un scurt eseu matematic în care să puneți în evidență asemănări și
deosebiri între teoremă lui Thales și teoremă lui Thales în spațiu , piramida
regulată și trunchiul de piramid ă regulată ;
2) Rezolvați următoarele probleme și comparați rezultatul obținut :

52
Problema 1
𝛥 ABC are BC ⊂ α , A ∉ α. Dacă AB = 6 cm, AC = 18 cm, E ∈ [ AB ], F ∈ [ AC ]
astfel încât AE = 2 cm și AF = 6 cm, verificați dacă EF | | α

Problema 2
Trapezul ABCD are baza AB ⊂ α. Notăm cu E și F mijloacele laturilor [ AB ] și
[ BC ]. Ce poziție are dreapta EF față de planul α ?
Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul ASOCIAZĂ au completat spațiile
punctate cu răspunsuri corecte.
Fișa numărul 3: Verbul “ ASOCIAZĂ ”
1) Completați spațiile punctate cu răspunsul corect:
a) Dacă o dreapt ă este paralel ă cu o dreapt ă inclu să într-un plan atunci dreapta este
………. cu planul
b) Dacă două plane sunt perpendiculare pe un al treilea atunci ele sunt……
c) Distanța dintre cele două baze ale unei prisme se numește …………
Pentru grupa care a avut verbul ANALIZ EAZĂ au avut de rezolvat o problema,
analizând rezulta tul obținut .
1) Se consider ă pătratul ABCD cu AB = 4 cm. În punctul A se ridic ă
perpendiculara AM pe planul pătratului . Se știe că AM = 4 cm. Verificați dacă
𝛥 MAC și 𝛥 MBC sunt dreptunghice.
Elevii care au primit o fișă cu ARGUMENTEAZĂ au avut de anali zat și
justificat valo area de adevăr a unor propoziții , ce au conțin ut și capcane, după care li s -a
cerut să realizeze și scurte demonstrații .
Fișa numărul 5: Verbul “ ARGUMENTEAZĂ “
1) Precizați și justificați valoarea de adevăr a propozi țiilor:
a) Dacă două plane sunt paralele, atunci orice dreapt ă conțin ută într-unul dintre
plane este paralel ă cu al doilea plan ;
b) Dacă două plane sunt paralele, atunci orice dreapt ă conțin ută într-unul dintre ele
este paralel ă cu o infinitate de drepte conțin ute în celalalt pl an;

53
c) Dacă două plane sunt paralele, atunci orice dreapt ă conțin ută într-unul dintre ele
este paralela cu orice dreapt ă din celalalt plan;
d) Date fiind planele α și β și un punct M în spațiu , M ∉ α și M ∉ β , exist ă o unic ă
dreapt ă d care conțin e punctul M și este paralela cu punctele α și β;
e) Date fiind două drepte necoplanare a, b și punctul M ∉ a și M ∉ b atunci exist ă
un plan care conține punctul M și este paralel cu dreptele a și b;
f) Este suf icient că două plane diferite să fie paralele cu aceași dreapt ă pentru că
cele două plane să fie paralele între ele;
g) Dacă două plane diferite sunt paralele cu două drepte necoplanare,atunci acele
două plane sunt paralele.
Elevii din grupa verbului APLIC Ă au un set de probleme în care au de aplicat
reciproca teoremei lui Thales, teorem a de paralelism, condiția de paralelism a două
plane, a unei drepte cu un plan.
Fișa numărul 6: Verbul “ APLICA ”
1) Fie un plan α și punctele A, B ∈ α ,O ∈ α. Fie C ∈ ( OA ), D ∈ (OB), astfel încă
OC = 3 cm, OD = 5 cm, AC = 6 cm, BD = 10 cm. Arătați că CD | | α;
2) Fie ABEF și ABCD două paralelograme situate în plane diferite. Arătați că: DC
|| (ABE); AF | | ( CBE ); AE ( DBC );
3) Fie VABCD o piramid ă cu baza paralelogramul ABCD. Dacă M, N, P sunt
mijloacele laturilor [ VA ], [ VD ] și [ DC ] Arătați că ( MNP ) | | ( ABC )
Pentru evaluarea activității am aplicat metodă “ turul galer iei “
Materialele realizate au fost expuse în 6 locuri vizibile, unde fiecare grup și-a
prezentat sărcina de lucru și modul de realizare, după care au acordat note celorlalte
grupe. Metodă “ turul galeriei ” se folosește cu succes împreun ă cu metodă cubului,

Turul galeriei
Turul galeriei este o metodă interactivă de învățare bazata pe colaborarea între elevi,
care sunt puși în ipostaze de a găsi soluții de rezolvare a unor probleme.
Acesta m etodă âi încurajeaz ă pe el evi să își exprime propriile op inii,
presupun ând evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grup ări

54
de elevi. Aceste produse sunt expuse într-o galerie , prezentate și susținute de secretarul
grupului, evaluate și discutate atât de elevi cât și de profesor.
Aceasta metodă constă în următoarele :
1) Elevii, în grupuri de 3 sau 4, rezolv ă o problema suscept ibilă de a avea mai
multe soluții ;
2) Rezultatele muncii elevilor se materializeaz ă într-o schema, diagram ă, inventar
de idei etc;
3) Posterele se expun pe pere ții clasei, transforma ți într-o veritabila galerie.
4) La semnalul profesorului , grupurile trec pe rând, pe la fiecare poster pentru a
analiza soluțiile propuse de colegi.
Comentariile și observațiile sunt scrise pe posterul analizat.
5) După ce se încheie turul galeriei, fiecare echipa își reexamineaz ă produsul
muncii lor comparativ cu ale celorlalți și discut ă observațiile și comentariile
notate de colegi pe propriul poster.
Metod a “ turul galeriei “ se poate combina foarte util cu metod a cubului și cu alte
metode moderne în cadrul orelor de matematic ă.

3.3 Cercetarea pedagogică

Verbul “ a cerceta “ are mai multe înțelesuri : a observa, a examina cu atenție , a
întreba, a căuta .
La întrebarea: “ Ce este cercetarea pedagogică ? “ s-au dat mai multe r ăspunsuri.
Cercetarea pedagogică este o strategie desfășurată în scopu l surprinderii unor
relații noi între componentele acțiunii educaționale și al elabor ării, pe aceasta baza, a
unor soluții optime ale problemelor pe care le ridic ă procesul instructiv – educativ, în
conformitate cu exigentele sociale și cu logica interna a desfășurării lui.
( I. Nicola, 1994, p. 56, apud. I. Jinga & E. Istrate, 2001, p. 62 )
Cercetarea pedagogică trebuie să fie continuu ameliorativ ă, adică ea trebuie să
ducă, prin intervențiile sale modelatoare, la optimizarea activității de instruire și educare
a elevilor, la sporirea eficienței actului pedagogic concret.

55
Ca și cadru didactic, am încercat ca prin lec țiile de matematic ă la clasele V –
VII, să ofer elevilor posibilitatea să își însușească noțiunile matematice, urmărind
fixarea acestora prin aplica ții ( uneori practice ), cre ându-le un suport solid de
cunoștințe care să constituie baza unor activități matematice viitoare.
Unul din faptele pedagogice ce pot constitui obiectul unei cercetări pedagogice
poate fi : “ Metode active de stimulare a creativității folosite la predarea paralelismului
și concurentei în plan și spațiu “.
În cadrul acestei teme am încercat să demonstrez faptul că utilizând cât mai
multe metode active și tehnici de dezvoltare a creativității în cadrul orelor de
matematic ă, efortul nostru poate da roadele așteptate , în măsura în care știm să ne
construim demersul. Pornind de la aceste date, activitatea a fost organizat ă în scopul
eficientiz ării demersului didactic și al optimizări i rezultatelor școlare .
În acest scop am optat pentru folosirea metodelor active ( brainstorming, metod a
cubului, turul galeriei ), alternarea formelor de organizare a colectivului de elevi,
utilizarea calculatorului.

3.3.1 Scopul și obiectivele cercetării

În aceast ă cercetare pedagogică am avut că punct de pornire următoarea ipotez ă:
Trebuie acordat ă foarte mare atenție momentului și locului în care se desfășoară
procesul de predare – învățare . În cazul în care profesorul sprijin ă în mod sistematic și
stimuleaz ă poten țialul creativ al elevilor prin utilizarea metodelor moderne care
stimuleaz ă creativitatea, acesta se va bucura de roadele muncii sale, care se va reflecta
în nivelul de preg ătire al elevilor cât și în modul de abordare a problemelor cu care se
confrunta în viața cotidiană .
În cadrul acestei lucrări , mi-am propus declan șarea unei cercetări
psihopedagogice în cadrul căreia s-a urmărit realizarea următoarelor obiective:
• Identificarea potențialului creativ al elev ilor;
• Cunoașterea și eliminarea elementelor care pot bloca manifest ările creative ale
elevilor;

56
• Proiectarea și organizarea unor activități de predare și învățare în vederea
dezvolt ării potențialului creativ al elevilor;
• Evaluarea și înregistrarea progreselor elevilor la sfârșitul cercet ării;

3.3.1 Metode folosite în cercetare

Metodele utilizate în realizarea cercetării psihopedagogice sunt următoarele :
1. Metode nonexperimentale de colectare a datelor
• Convorbirea, care este o form ă de anchet ă realizat ă pe baza unui plan bine
stabilit și a unor întrebări bine elaborate.
Aceasta constă în dialogul dintre profesori și elevi în vederea obține rii unor date în
legătură cu fenomenele pe care le urmărește .
• Testele au permis evaluarea și înregistrarea progreselor elevilor în timpul și după
efectuarea experiment ării;
• Observa ția sistemati că a permis urm ărirea faptelor în desfășurarea lor în condiții
normale. Aceasta s -a realizat cu scopul de a compar a și surprinde reac țiile
elevilor ;
• Metod a analizei produselor activității în cadrul unei ore de recapitulare s -a
aplicat metodă cubului, metodă ciorchinelor, precum și la o ora de predare –
învățare când s-a folosit calculatorul;
• Chestionarul s -a aplicat la sfârșitul unei lecții de recapitulare și sistematizare a
cunoștințelor , fiind alc ătuită din întrebările:
Îți plac să rezolvi probleme cu caracter aplicativ ? Îti plac activitățile practice ? Îti
plac activitățile de grup ? Cu ce dificult ăți te-ai confruntat în cadrul activităților în
grup ?
2. Metode de ac ționare sau de interven ție.
Principala metodă de investigație folosită a fost expe rimentul. Experimentul pedagogic
presupune crearea unor situații noi prin introducerea unor modific ări în desfășurarea
acțiunii educaționale . Cercet ătorul se bazează pe ipoteza că modific ările aduse în mod
inevitabil vor conduce la obține rea unor performante.

57
3. Metode de prelucrare, interpretare și prezentare a datelor cercet ării.
• Tabele de rezultate
• Reprezent ări grafice
Operația de eșantionare constă în selectarea subiectelor d intr-o populație asupra
căreia urmează să se desf ășoare cercetarea. În cazul acestei cercetări au fost constituite
două eșantioane astfel :
– eșantionul experimental – clasă a VIII – a A, formata din 24 de elevi,
pe care âi voi nota E. E;
– eșantionul de control – clasă a VII – a B, formata din 26 de elevi, pe
care âi voi nota E. C;
3.3.3 D escrierea experimentului pedagogic

Experimentul pedagogic s -a desfășurat în anul școlar 2017 – 2018. Am avut în
vedere două clase de a VIII – a de la Școala Gimnaziala nr 1, George Usc ătescu “ Tg –
Cărbune ști. Subiecții selecționați reprezintă eșantionul cercetării .
Tema cercetării fiind : ,, Metode active de stimulare a creativității folosite la
predarea paralelismului și concurentei în plan și spațiu “
Acest experiment pedagogic s -a desfășurat pe parcursul orelor de matematic ă
alocate unit ății de învățare .
,, Relații între puncte, drepte și plane “
Experimentul a fost împărțit în trei etape:
• Etapa constativa – etapa în care s -a făcut evaluarea inițială și s-au stabilit
noțiunile pe care elevii le au din clasele anterioare legate de paralelism și
concurenta;
• Etapa formativă – este etapa intervenției ameliorative cu valoare formativă în
stimularea proceselor psihice și a personalit ății elevilor;
În aceast ă etapă s-a predat elevilor materia din această unitate de învățare la cla să a VIII
– a B ( cla să control ) am folosit doar metode tradiționale ( conversația , exercițiul ,
demonstrația , lucrul cu manualul); cu materiale didactice : manual, culegere, fișă de
lucru, planșe , rigl ă, echer, compas; forme de organizare: individual; frontal.

58
La cla să VIII – a A ( cla să experimental ă ) am combinat metodele tradiționale cu
metodele active de stimu lare a creativității ( brainstorming, metod a cubului, tu rul
galeriei, ciorchinele ); ca materiale didactice : față de cele folosite la cla să a VIII – a B
am ad ăugat material power -point, videoproiectorul, calculatorul, markere ; forme de
organizare : front al, individual, pe grupe, în perechi.
• Etapa evaluării are un caracter comparativ, cu privire la rezultatele obținute în
urma demersului experimental formativ. Am efectuat evaluarea final ă, la
sfârșitul unității de învățare , pentru a confirma ipoteza de plecare.
Evaluarea inițială s-a realizat pe ambele eșantioane . Testul de evaluare inițială este
structurat pe două subiecte, conține itemi obiectivi ( cu alegere dual ă, cu alegere
multipl ă ), semi -obiectivi ( răspuns scurt, de completare ) și subiectivi ( rezolvare de
probleme ).
Proiectarea testului inițial :
Obiectivele de evaluare vizate sunt următoarele :
01. Să recunoasc ă două drepte paralele și două drepte concurente;
02. Să deseneze două drepte paralele, două drepte concur ente, două drepte
intersectate de o secantă ;
03. Să cunoască criteriile de paralelism;
04. Să exprime caracteristicile linilor importante în triunghi ( concurenta lor ) prin
definiții , nota ții, desen;
05. Să calculeze lungimile unor laturi utilizând metodele adecvate ( teorem a lui
Thaless, teorem a fundamental ă a asem ănării);

Matricea de specificații
Pe liniile matricei de specificații sunt trecute con ținuturile testate, pe coloane nivelurile
cognitive la care dorim să măsurăm aceste conțin uturi ( cunoaștere , înțelegere , aplicare,
analiz a, sinteza conform taxonomiei lui Bl oon ).

59

60
Test de evaluare inițială clasă a VIII – a
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu.
Timp efectiv de lucru : 50 min
Subiectul I (50 puncte) – Pe foaia de test treceți doar răspunsurile
1) Pentru fiecare din enunțurile următoare stabiliți valoarea de adevăr .
a) Două drepte paralele tăiate de o secantă determină unghiuri alterne externe
congruente;
A F
b) Ortocentrul unui triunghi obtuzunighic se regăsește în interiorul triunghiului ;
A F
c) Punctele de intersecție ale mediatoarelor și ale bisectoarelor într-un triunghi
isoscel coincid;
A F
2) Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.
a) Lungimea laturii DB este:
A. 5 cm B. 4 cm C. 5cm
b) Dreptele DE și BC sunt:
A. Paralele B. Concurente C. Confundate
c) Perimetrul 𝛥 ABC este:
A. 24 cm B. 23 cm C. 27 cm
3) Completați spațiile punctate cu răspunsul corect:
a) Punctul de intersecție al medianelor într-un triunghi se numește ……………….
b) Două drepte distincte paralele cu o a treia dreapt ă sunt ……………….
4) Răspundeți scurt la următoarele întrebări .
a) Cui aparține un punct care este egal depărtat de extremit ățile unui segment?
R:______________________
b) Ce se demonstrează cu ajutorul teoremei lui Thales?
R:____________________

61
Subiectul II ( 40 p) – Pe foaia de test treceți rezolvări le complete
1) Desenați un triunghi ABC cu AB = 3 cm, AC = 4cm și BC = 5 cm și
Determinați : centrul cercului circum scris triunghiului.
2) În 𝛥 MNP, A ∈ ( MN ), B ∈ ( MP ), astfel încât MA = 1
2 ∙ MN, MB = BP.
Fie C – mijlocul lui ( NP ) și AP ∩ BN = { G }.
Demonstrați că AP, BN și MC sunt concurente.
.3) În 𝛥 ABC, m (∡ BAC) = 90o, [ AD ] este înălțimea , D ∈ ( BC ), [ DE ] este
înălțime în 𝛥 ADC, E ∈ ( AC ).
a) Demonstrați că DE | | AB
b) Dacă AB = 9 cm, BC = 15 cm și BD = 6 cm, calcula ți DE.

62
Baremul de corectare și notare
I 1. a) A……………………………………………………………………………………..5p
b) F……………………………………………………………………………………..5p
c) F…………………………………… ………………………………………………..5p
I 2. a) B……………………………………………………………………………………..5p
b) A……………………………………………………………………… ……………..5p
c) C………………………………………………………………………. ……………. 5p
I 3. a) centrul de greutate ……………………………………………… ……………. 5p
b) paralele între ele …. …………………………………………….. ……………. 5p
II 1. Realizarea desenului……………………………………………………… ……………. 3p
Determinarea centrului cercului circumscris triunghiului ….. ………… ….2p
II 2. MA = 1
2 ∙ MN ⇒ [ AP ] – median ă în 𝛥 ABC …………………… ……………. 2p
MB = BP ⇒ [ NB ] – median ă în 𝛥 ABC…………………………. ……………. 2p
C – mij [ NP ] ⇒ [ MC ] – median ă în 𝛥 ABC………………….. ……………. 2p
AP,NP,MC mediane ⇒ și [ MC ] trece tot prin G ⇒ AP,BN,CM – concruente ………4p
AP ∩ BN = { G }
II. 3. a) Realizare corect ă desen ………………………………………3p
[ DE ] – înălțime în 𝛥 ADC ⇔ DE ⊥ AC ⇒ DE | | AB …………………………..5p
AB ⊥ AC
b) T. P 𝛥 ABC, m (∡ BAC) = 90o ⇒ BC = 15 cm ……………..3p
DC = BC – BD ⇒ DC = 9 cm ……………………………………………2p
DE | | AB ⇒ 𝛥 CED ~ 𝛥 CAB ⇒ 𝐶𝐸
𝐶𝐴 = 𝐶𝐷
𝐶𝐵 = 𝐷𝐸
𝐴𝐵 ………………..4p
9
15 = 𝐷𝐸
9 ⇒ DE = 9∙9
15 ⇒ DE = 5, 4 cm ……………………………..3p

63
• Se acord ă din oficiu 10p. Nota final ă se obține prin împărțirea punctajului
obținut la 10.
• Pentru orice soluție corect ă, diferit ă de cea din bare m, se acord ă punctajul
corespunz ător.

64
Raportul de analiz ă al textului
Rezultatele obținute în urma corect ării testelor .
Clasa a VIII – a A ( E. E ) Clasa a VIII – a B ( E. C )
Nr.
crt. Inițialele
elevilor Nota
( rotunjită ) Nr.
crt. Inițialele
elevilor Nota
(rotunjită )
1 B. I 4 1 A. C 6
2 B. R. A 6 2 A. G 4
3 C. M 7 3 B. E 4
4 C. T 3 4 B. E 4
5 D. A. E 5 5 C. I 5
6 D. P 8 6 C. S. T 8
7 D. S 5 7 D. E 9
8 D. V. C 4 8 D. P. C 10
9 G. P 4 9 G. R 6
10 I. A 4 10 L. T 7
11 M. C. A 6 11 M. E 4
12 N. A. I 6 12 M. I . C 4
13 P. E 5 13 N. V 3
14 P. M 3 14 O.R 4
15 P. V 4 15 P. C 3
16 R. C 7 16 P. C. M 7
17 S. N. L 9 17 R. A 8
18 S. C 10 18 R. C. T 5
19 T. P 9 19 R. M. P 6
20 T. V 5 20 S. P. A 7
21 V. L 4 21 S. T 8
22 V. R 5 22 T. R 3
23 Z. C 5 23 T. A 6
24 Z. L 8 24 T. V 5
25 Z. M 5 25 U. A 7
26 U. R 4

Statistic situația notelor :
Clasa a VIII – a A ( E. E )
Notă 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Nr. elevi 1 2 2 2 3 7 6 2 – –

Media clasei este : 5,64
Nota obținută de cei mai multi elevi : 5
Promovabilitate : 68 %

65
Clasa a VIII – a B ( E. C )
Notă 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Nr. elevi 1 1 3 4 4 3 7 3 – –

Media clasei este: 5,65
Nota obținută de cei mai multi elevi : 4
Promovabilitate : 61,63 %
Evaluarea finala s -a realizat pe ambele eșantioane . Testul de evaluare final ă este
structurat pe două subiecte.
Acesta a fost aplicat la sfârșitul unității de învățare :
“ Relații între puncte, drepte și plane “
Proiectarea testului final:
Obiectivele de evaluare vizate sunt următoarele :
01: Să recunoască și să descrie proprietăți ale unor figuri geometrice plane în
configura ții date în spațiu ;
02: Să utilizeze proprietățile referitoare la drepte și unghiuri în spațiu pentru
analizarea pozi țiilor relative ale acestora;
03: Să exprime prin reprezent ări geometrice unele noțiuni legate de drepte și
unghiuri în plan și spațiu ;
04: Să cunoască teoremele de paralelism;

Matricea de specificații
Pe liniile matricei sunt trecute conțin uturile testate, pe coloan ă nivelurile
cognitive la care dormi să masurăm aceste conțin uturi ( cunoaștere , înțelegere , aplicare,
analiza, sinteza conform taxonomiei lui Bloom )

66

67
Test de evaluare final ă clasa a VIII – a
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acorda 10 puncte din oficiu.
Timp efectiv de lucru : 50 min
Subiectul I (50 puncte) – Pe foaia de test treceți doar răspunsurile
1) Pentru fiecare din enunțurile următoare stabiliți valoarea de adevăr .
a) Dacă o dreapta este paralel ă cu un plan , este paralel ă cu orice dreapt ă inclu să în
plan.
A F
b) Dacă două drepte în spațiu sunt perpendiculare pe o a treia dreapt ă ele sunt
întotdeauna paralele.
A F
c) Două plane secante au o dreapta comuna.
A F
2) Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect.
a) Dacă două plane au două drepte concurente comune, atunci planele sunt:
A) Paralele B) Confundate C) Secante
b) Dacă două drepte concurente dintr -un plan sunt paralele cu cel de -al doilea plan,
atunci cele două plane sunt:
A) Paralele B) Confundate C) Secante
c) Fie VABC o piramid ă triunghiular ă regulată , M și N mijloacele laturilor [ VA ]
și [ VB ]. Dreapta MN față de planul ( ABC ) este :
A) Inclus ă B) Secantă C) Paralelă
3) Completați spațiile punctate cu răspunsul corect:
a. Dupa drepte care au două puncte comune se numes c……………………
b. Într-un cub ABCDA’B’C’D’ muchiile AA’ și BC sunt ……………….
c. Două drepte care nu sunt nici paralele nici concurente sunt drepte…………..

68
d. O dreapta care nu are niciun punct comun cu un plan este………… cu planul

Subiectul II (40 p) – Pe foaia de test treceți rezolvări le complete
1) Fie ABCD un tetraedru și punctele E ∈ ( AB ), G ∈ ( AC ); G ∈ ( AD ), astfel
încât 𝐴𝐸
𝐴𝐵 = 1
4; 𝐴𝐹
𝐹𝐶 = 1
3; 𝐺𝐷
𝐴𝐷 = 3
4
Arătați că ( EFG ) | | ( BCD )
2) Prisma patrulater ă dreapt ă ABCDA’B’C’D’ cu bazele p ătrate (fig 1) reprezintă
schematic un suport pentru umbrele .Segmentul [ AP ] reprezintă o umbrela care
se sprijin ă în punctul C’. Se știe că AB = 30 cm, AC = CC’ și AP = 90 cm.
a) Calcula ți înălțimea suportului .
b) Afla ți C’P .
c) Arătați că DD’ | | ( A’AP)

( fig. 1)

69
Barem de corectare și notare
I 1) a) F………………………………………………………………………………………5p
b) F……………………………………………………………………………… ………5p
c) A……………………………………………………………………………………..5p
I 2) a) B………………………………………………………………………………………5p
b) A……………….. ……………………………………………………………………5p
c) C………………………………………………………………………………………5p
I 3) a) confundate ………………………………………………………………………..5p
b) necoplanare …………………………… ………………………………………….5p
c) necoplanare ……………………………………………………………………….5p
d) paralela …………………………………………………………………………….. 5p
II 1) 𝐴𝐸
𝐴𝐵 = 1
4 𝐴𝐸
𝐸𝐵 = 1
3……………………………………………………………………………2p
𝐺𝐷
𝐴𝐷 = 3
4 ⇒ 𝐴𝐺
𝐺𝐷 = 1
3………………………………………………………………………..2p
𝐴𝐸
𝐸𝐵 = 𝐴𝐺
𝐺𝐷 ⇒ EG | | ( BCD ) …………………………………..3p
𝐴𝐸
𝐸𝐵 = 𝐴𝐹
𝐹𝐶 ⇒ ⇒ EF | | (BCD) ………………………………………3p
EG | | (BCD)
EF | | (BCD) ⇒ (EFG) | | (BCD) …………………………………………………………….5p
EF ∩ EG = {E}
EF, EG ⊂ (EFG)
II 2) a) AC = d pătrat = e√2 = 30 √2 cm………………………………………….3p

AC = CC’ ⇒ CC' = 30 √2 cm………………………………………………2p

70
b) Aplic T. Pitagora în 𝛥 ACC’ m(∡𝐴𝐶𝐶 ′) = 90o
AC2 + C’C2 = AC’2 ⇒ AC’ = 60 cm …………………………… ……….5p
AP = AC’ + C’P ⇒ 90 = 60 + C’P ⇒ C’P = 30 cm ………………..5p
c) ABCDA’B’C’D’ – prisma patrulater ă regulată ⇒ AA’ | | DD’ ….5p
AA’ | | DD’ ⇒ DD’ | | (A’AP) ……………………………………….5p
AA’ ⊂ (A’AP)
• Se acord ă din oficiu 10p. Nota final ă se obține prin împărțirea punctajului
obținut la 10.
• Pentru orice soluție corect ă, diferit ă de cea din bare, se acord ă punctajul
corespunz ător.

71
Raportul de analiza al textului
Rezultatele obținute în urma corectarii testelor .
Clasa a VIII – a A ( E. E ) Clasa a VIII – a B ( E. C )
Nr.
crt. Inițialele
elevilor Nota
( rotunjită ) Nr.
crt. Inițialele
elevilor Nota
(rotunjită )
1 B. I 4 1 A. C 7
2 B. R. A 8 2 A. G 4
3 C. M 9 3 B. E 5
4 C. T 4 4 B. E 4
5 D. A. E 6 5 C. I 6
6 D. P 9 6 C. S. T 8
7 D. S 6 7 D. E 9
8 D. V. C 5 8 D. P. C 10
9 G. P 4 9 G. R 7
10 I. A 8 10 L. T 8
11 M. C. A 7 11 M. E 5
12 N. A. I 8 12 M. I . C 4
13 P. E 6 13 N. V 4
14 P. M 4 14 O.R 5
15 P. V 5 15 P. C 5
16 R. C 8 16 P. C. M 8
17 S. N. L 10 17 R. A 8
18 S. C 10 18 R. C. T 5
19 T. P 10 19 R. M. P 7
20 T. V 6 20 S. P. A 7
21 V. L 6 21 S. T 8
22 V. R 6 22 T. R 4
23 Z. C 5 23 T. A 6
24 Z. L 8 24 T. V 6
25 Z. M 6 25 U. A 7
26 U. R 5

Statistic situația notelor:
Clasa a VIII – a A ( eșantionul experimental)
Notă 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Nr. elevi 3 2 5 1 7 3 4 – – –

Media clasei este : 6,72
Nota obținută de cei mai multi elevi : 6

72
Promovabilitate : 84 %
Clasa a VIII – a B ( eșantionul de control )
Notă 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Nr. elevi 1 1 5 5 3 6 6 – – –

Media clasei este: 6,23
Nota obținută de cei mai multi elevi : 5
Promovabilitate : 80,76 %

3.3.4 Interpretarea rezultatelor

Pentru a evidenția progresul elevilor în urma experimentului la care au participat
și a metodologiei aplicate am realizat diagrame cu ajutorul cărora am vizualizat grafic
aceste rezultate.

Analiza comparativă a testului inițial

024681012
Note intre 1
și 4Note de 5 Note de 6 note de 7 Note de 8 Note de 9 Note de 10Num ăr elevi
NoteE.E
E.C

73

Analiza comparativă a testului final

Am comparat rezultatele obținute la cele două probe de examinare pentru fiecare
eșantion separat.

Analiza comparativă a rezultatelor obținute de eșantionul experimental ( evaluare
inițială – evaluare final ă )
012345678
Note intre 1
și 4Note de 5 Note de 6 note de 7 Note de 8 Note de 9 Note de 10Num ăr elevi
NoteE.E
E.C
0123456789
Note de 10 Note de 9 Note de 8 Note de 7 Note de 6 Note de 5 Note intre 1
și 4Num ăr elevi
Noteev. inițială
ev. finală

74

Analiza comparativă a rezultatelor obținute de eșantionul de control (evaluare
inițială – evaluare final ă )

Concluzii: În urma comparării rezultatelor obținute de elevi în cele două etape am
obținut suficiente date pentru validarea ipotezei experimentului conform căreia
stimularea potențialului creativ al elevilor, prin folosirea combinată a metodelor
tradiționale cu cele moderne d ă rezultate mai bune, acestea reflect ându-se și în
abordarea unor probleme din viața cotidiană .

024681012
Note de 10 Note de 9 Note de 8 Note de 7 Note de 6 Note de 5 Note intre 1
și 4Num ăr elevi
Noteev. inițială
ev. finală

75
CONC LUZII
În aceast ă lucrare am dorit să evidențiez faptul că prin combinarea metodelor
tradiționale cu cele moderne și active de stimulare a creativității se poate realiza o
învățare atractivă a elevilor, care poate duce la dezvoltarea creativității lor.
Am descris unele metode active de stimulare a creativității , precum și exemple
de aplicare ale acestora în cadrul orelor de matematic ă, acestea contribuind foarte mult
la însușirea cunoștințelor , formarea priceperilor și a deprinderilor elevilor.
Prin expunerea modalităților de lucru, în partea metodică a lucr ării am urmărit
educarea și instruirea elevului, dezvoltarea personalit ății lui, optimizarea proceselor și
mecanismelor gândirii , ale inteligen ței, precum și o puternica motivare a învățării. De
asemenea, am avut în vedere trezirea în elevi a interesului pentru cunoaștere și
cercetare.
În urma realiz ării cercetării pedagogice am constatat unele rezultate deosebite :
– elevii devin mai organiza ți;
– s-a constatat o mai buna co laborare între elevi, dezvolt ându-se
spiritul de echip ă;
– se permite lucrul diferen țiat;
– elevii sunt puși în diferite situații , mobiliz ându-se mai mult;
– se îmbun ătățește vocabularul elevului, acesta fiind încurajat să se
exprime;
În concluzie, atunci când dascălul găsește suficiente resurse pentru a aborda și a
pune în practic ă astfel de strategii didactice la cla să se pot forma copii activi, capabili să
caute informa țiile de care au nevoie.
Metodele active de stimulare a creativității sunt o provoc are atât pentru cadrul
didactic, cât și pentru el evi, acestea rezolv ând multe din problemele matematicii, cât și
ale vie ții cotidiene.

76
BIBLIOGRAFIE
[ 1 ] Ardelean L. , Secelean N. Didactica matematicii, col I – II, Ed. Univeritatea ,,
Lucian Blaga “ Sibiu, 2007 .
[ 2 ] Banea Horea, Metodic a predării matematicii, Ed. Paralela 45 Pite ști 1998
[ 3 ] C îrjab Florin, Didactica predării matematicii, Ed. Corint, Buc urești 2008
[ 4 ] Dan Br ânzei, Roxana Brânzei, Metodic a predării matematicii, Ed. Paralela 45
[ 5 ] Marius Perianu, Ștefan Smărăndoiu, Cătălin Stănică, Matematică, cla sa a VI – a,
semestrul I, II Ed. ART ( clubul matematicienilor, București 2018)
[ 6 ] Marius Perianu, Ioan Balica, Dumitru Săvulescu, Matemati că cla sa a VII – a,
semstrul I ed ART ( clubul matematicienilor )
[ 7 ] Al. Roșca, Creativitatea, Ed. Enciclopedică română, București 1972
[ 8 ] I. Mihuț, Autoconducere și creativitate, Ed. Dacia, Cluj – Napoca, 1989
[ 9 ] V. Feier, Creativitatea și creativitatea managerială, Ed. Expert, București 1995
[ 10 ] Mircea Fianu, Marius Perianu, Dumitru Săvulescu, Matematică, cal sa a VIII – a
sem I, Ed. ART ( clubul matematicienilor )
[ 11 ] Dorel Lucian, Adrian Zanaschi, Gheorghe Iurea, Gabriel Popa Matematică –
algebră, geometrie – standard, cla să a VIII – a, Ed Paralela 45.
[ 12 ] Gabriela Streianu – Cercel, Gabriela Constantinescu, Gabriela Oprea, Manuela
Prejea, Boris Singer, Gheorghe Stoianovici, Costel Chites, Ioan Marinscu, Romeo Ilie,
Manual pentru cla sa a XI – a, M1, Ed Sigma, 2006.
[ 13 ] Pintilie M. Metode moderne de învățare evaluare, ed Eurdidact Cluj Napoca 2002
[ 14 ] Programa scolar ă pentru disciplina matematică, București 2017
[ 15 ] w.w.w. math.ugal.ro
[ 16 ] w.w.w.matematica.com .ro
[ 17 ] ro.wikipedia.org
[ 18 ] w.w.w.didactic.ro