Univ ersitatea O VIDIUS Constanµa [606057]

Ministerul Educaµiei Naµionale
Univ ersitatea O VIDIUS Constanµa
F acultatea de Matematic  ³i Informatic 
Sp ecializarea Matematic 
Lucrare de Licenµ 
T eorema lui Masc hk e
Co or donator ³tiinµic:
Lector Dr. Iorgulescu Gabriel
A bsolvent:
Andreea (Cazacio c) Bum bul
Constanµa
2019

Cuprins
Cuprins 1
List  de guri 2
List  de tab ele 3
In tro ducere 4
1 Noµiuni in tro ductiv e 5
1.1 Grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Subgrupuri ³i subgrupuri normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Grupuri s , i reprezen t ri 10
2.1 A ct , iuni ale grupurilor p e m ult , imi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Reprezen t ri prin p erm ut ri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Reprezen t ri ale grupurilor 20
3.1 Reprezen t ri liniare, reprezen t ri matriciale, reprezen t ri ec hiv alen te . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Reprezen t ri ireductibile. Lema Sc h ur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Reprezen t ri decomp ozabile. T eorema Masc hk e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Caractere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Relat , ii de ortogonalitate s , i teorema fundamen tal  a reprezen t rilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Reprezen tari p este corpul n umerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 T ab ele de caractere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.8 Aplicat , ii la grupuri rezolubile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.9 Reprezen t ri unitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Concluzie 62
Bibliograe 63
1

List  de guri
3.1 Sc hema subgrupurilor normale ale lui G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2

List  de tab ele
2.1 T ab elul Ca yley a grupului G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 T ab elul complet al caracterelor lui D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Caracterele ireductibile ale luiP
3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 T ab el de caractere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3

In tro ducere
Algebra este una din tre ram urile cele mai imp ortan te ale matematicii , cunos-
când în ultim ul timp o dezv oltare foarte v ariat .
Lucrarea de fat ,   cuprinde trei capitole în care se prezin t  în mo d gradat cele
mai imp ortan te not , iuni, teoreme, relat , ii s , i form ule din teoria grupurilor, not , iunea
de grup a v ând div erse aplicat , ii atât în matematic  cât s , i în zic . Se prezin t  un
rezultat fundamen tal în teoria reprezen t rilor liniare de grupuri nite, demonstrate
de Heinric h Masc hk e în an ul 1989.
Prim ul capitol are un caracter de init , iere. Se in tro duc câtev a not , iuni fundamen-
tale ca, de exemplu, cele de grup, subgrup s , i subgrupuri normale. Se obt , in exemple
de grupuri care in tervin esent , ial în teoria grupurilor.
Capitolul I I vine în con tin uarea capitolului I s , i se in tro duc reprezen t rile gru-
purilor prin p erm ut ri, reprezen t ri care sun t similare cu act , iunile grupurilor p e
m ult , imi. În acest capitol este folosit  în mare parte T eorema lui Ca yley .
Capitolul I I I studiaz  not , iuni s , i rezultate de baz  în teoria reprezen t rilor liniare
ale grupurilor cum ar  Lema Sc h ur, teorema lui Masc hk e cu aplicat , ii n umeroase
s, i imp ortan te în teoria grupurilor. T ot în acest capitol se prezin t  s , i tab elele de
caractere aso ciate un ui grup nit. În mo d constan t se dau exemple de aplicat , ii
ale reprezen t rilor în teoria obis , n uit  a grupurilor p en tru a sublinia imp ortant , a
acestora ca instrumen t de cercetare.
4

Capitolul 1
Noµiuni in tro ductiv e
1.1 Grupuri
O m ulµime nevid  G împreun  cu o op eraµie algebric  denit  p e G se n ume³te
grup dac  op eraµia algebric  satisface urm toarele condiµii, n umite ³i axiomele
grupului:
1. Legea de aso ciativitate: a(ab) = (ab) oricare ar  a;b ³ic2G ;
2. Legea elemen tului neutru : exist  un elemen t 12G , astfel încât, a
1 =
1
a=a , oricare ar  a2G ;
3. Legea in v ersului: p en tru orice a 2G exist  un elemen t a
(a)1= (a)1
a= 1
dac  satisface ³i urm toarea axiom :
4. dac  op eraµia algebric  este com utativ   , grupul se n ume³te com utativ sau
ab elian.
Exemplu 1.1.1. (Z;+) ,(Q;+) ,(R;+) ,(C;+) ,(Q;) ,(R;) ,(R
+;) ,(C;) ,
sunt grupuri c omutative.
DacaG este un grup ³i GMeste m ulµimea funcµiilor de la m ultimea M laG ,
atunciGMîmpreun  cu op eraµia dedus  din op eraµia lui G formeaza grup. P en tru
ca op eraµia dedus  este ³i ea aso ciativ  , are elemen t unitate ³i p en tru f2GM,
funcµiaf0:M!G denit  prin f0(x) = (f(x))1este in v ersa funcµiei f .
P e o m ulµime format  din tr-un singur elemen t cu o singur  structur  de grup
în care elemen ul resp ectiv este elemen t unitate. A cest grup se n ume³te grupul
unitate iar dac  op eratia este scris  aditiv, se n ume³te grup n ul.
5

CAPITOLUL 1. NO•IUNI INTR ODUCTIVE
T eorem  1.1.1. FieS un semigrup cu element unitate. A tunci submulµime a S0
a elementelor inversabile din S , c ar e este nevid , elementul unitate 1 al lui S
ap arµineS0, forme az  cu op er aµia indus  un grup.
Demonstr aµie. Se arat  ca op eraµia de p e S induce o op eraµie algebric  p e S0; asta
înseamn  c  pro dusul a dou  elemen te in v ersabile din S este in v ersabil. Fie x ³iy
elemen te in v ersabile în S ³ix1, resp ectivy1in v ersul luix , resp ectivy . Deoarece
y1x1este in v ersul lui xy rezult  c  (xy)1=y1x1.
Se observ   c  op eraµia indus  este aso ciativ   ( proprietate general  p en tru op e-
raµiile induse), orice elemen t are in v ers (c ci in v ersul un ui elemen t din S0este tot
înS0) ³i teorema este demonstrat .
1.2 Subgrupuri ³i subgrupuri normale
FieG un grup ³i o subm ulµime M6=? ,MG se n ume³te subgrup al lui G
dac  op eraµia lui G induce p e G o op eraµie algebric  cu care M formeaza grup.
P en tru a arata c  o subm ulµime M6=? a grupului G formeaz  un subgrup
trebuie v ericate urmatoarele:
a)8x;y2M=)x
y2M ;
b)e2M ;
c) dac x2M=)x12M .
A ceste condiµii se p ot cum ula in una singur  :
a') p en tru orice x;y2M rezultaxy12M .
Eviden t c  a), b), c) =) a'). Recipro c, din a') rezult  c  p en tru x2M ,a v em
xx1=e2M . Din a') rezult  b). Considerând elemen tele e six , obµinemx12
M , însemnând c  din a') rezult  c) ,ap oi considerand x;y2M , se ³tie deja c  a')
implic y12M ³i decixy12M ³i aplicând a'), se obµine x(y1)1=xy2M .
Exemple de subgrupuri:
6

CAPITOLUL 1. NO•IUNI INTR ODUCTIVE
P en tru orice grup G , subm ulµimea G a grupului G este un subgrup al lui G ;
m ulµimea e format  din elemen tul unitate e al lui G este subgrup . A ceste sub-
grupuri se n umesc subgrupuri improprii. Un subgrup al grupului G diferit de e ³i
G se n ume³te subgrup propriu. Subgrupul e il v om nota în con tin uare ³i cu (e)
sau mai simplu e, iar dac  op eraµia este scris  aditiv, cu 0 sau(0) .
Multiplii un ui n um r în treg în Z formeaz  grup cu op eraµia indus  de adunarea
luiZ . A cestea sun t subgrupurile grupului aditiv al lui Z . Se arat  c  acestea sun t
singurele subgrupuri ale grupului Z . Presupunem c  M este un subgrup al lui Z ;
dacaM= 0 , a v ând forma 0Z . În caz con trar, exist  în M un elemen t nen ul m . În
M sun t ³i elemen te p ozitiv e , p en tru c  dac  m< 0 ,atuncim> 0 ³im2M .
Fiea cel mai mic elemen t p ozitiv din M . Ar t m c  M este format  din m ultiplii
luia . Not m cu aZ m ultiplii lui a . DeciaZM , deoarece suma a dou  elemen te
dinM se g se³te în M ³i opusul un ui elemen t al lui M se g se³te tot în M . Mai
r mâne de demonstrat doar incluziunea con trar . Fie m2M ;
m=aq+r; (1.1)
unde 0ra . Fier=maq2M , rezult  c  r= 0 , deoarecea a fost cel
mai mic în treg p ozitiv din M ,m=aq .
Fie':G!G0un morsm de grupuri. A tunci '(G) este un subgrup al lui
G0, n umit imaginea prin ' a luiG , sau imaginea lui ' ³i se noteaz  de obicei cu
Im' .
Prop oziµie 1.2.1. P en tru un morsm de grupuri ':G!G0, sun t ec hiv alen te
armatiile:
a)' este injectiv;
b) P en tru orice grup H ³i orice dou  morsme de grupuri f;g:H!G , astfel
încât'f='g rezultaf=g .
Demonstr aµie. Implicaµia a) =) b) rezult  din urmatoarea prop oziµie:
Prop oziµie 1.2.2. O funcµief:M!N este injectiv   dac  s , i n umai dac 
oaricare ar  m ultimea M0³i functiileg;g0:M0!M , astfel incat fg=fg0,rezulta
g=g0.
7

CAPITOLUL 1. NO•IUNI INTR ODUCTIVE
Implicatia b) =) a) Se arat  c  dac  condiµia b) este v ericat , atunci
Ker'= (e) . Presupunem c  Ker'6= (e) ; se construiesc morsmele f;g :
Ker'!G astfel:f este injecµia canonic  a lui Ker'nG ,iarg(x) =e p en-
tru oricexnKer' . Este clar c  f6=g , deoarece Ker'6= (e) ³i a v em'f='g ,
p en tru c 'f(x) ='g(x) =e0oricare ar  x2Ker' . A cestea con trazic b).
dac ':G!G0este un morsm surjectiv de grupuri, atunci oricare ar 
grupulH0³i morsmele de grupuri f;g:G0!H0, astfel încat f'=g' , rezult 
f=g . Recipro ca acestei armaµii este de asemenea adev arat .
Deoarece morsmele injectiv e de grupuri satisfac condiµia b),se n umesc ³i
monomorsme. În mo d analog, morsmele surjectiv e de grupuri se n umesc ³i
epimorsme.
Deniµie 1.2.1. Un grup G se n umes , te de tip nit sau nit generat dac  exist 
o m ulµime nit  de elemen te in G care genereaz  p e G . Un grup generat de un
singur elemen t se n ume³te grup ciclic sau monogen.
Grupul aditiv Z este nit generat ind generat de 1 sau1 . De asemenea, orice
subgrup al s u este generat de un singur elemen t. A³adar grupul aditiv Z ³i toate
subgrupurile lui sun t grupuri ciclice.
Deniµie 1.2.2. FieG un grup ³i H un subgrup al s u. Se spune c  H este
un subgrup normal (sau divizor normal, subgrup distins, subgrup in v arian t) dac 
p en tru orice x2G ³ih2H;xhx12H , condiµie care se mai p oate scrie
xHx1H ,unde prinxHx1not m subm ulµimea lui G format  din toate ele-
men tele de forma xhx1,cuh2H .
Spunem c H este divizor normal la orice automorsm in terior al lui G , adic 
'x(H)H , p en tru orice x2G ,unde'x:G!G este automorsm ul in terior al
luiG ata³at luix , de aici den umirea de subgrup in v arian t. De asemenea, de aici
rezulta c H este subgrup normal dac  ³i n umai dac  x1HxH p en tru orice
x2G , caci'x1 este ³i el un automorsm in terior al lui G . Asadar, p en tru ca H
sa e subgrup normal este necesar ³i sucien t ca xHx1=H p en tru orice x2G .
Deoarece p en tru un grup ab elian singurul automorsm in terior este automor-
sm ul iden tic. Orice subgrup al un ui grup ab elian este subgrup normal. De
8

CAPITOLUL 1. NO•IUNI INTR ODUCTIVE
asemenea, în orice grup, subgrupurile improprii (adica grupul însu³i ³i subgrupul
format din elemen tul unitate) sun t normale.
Prop oziµie 1.2.3. Fie':G!G0un morsm de grupuri ³i H0un subgrup
normal în G0. A tunci'1(H0) este subgrup normal în G . dac ' este surjectiv ³i
H este subgrup normal în G , atunci'(H) este subgrup normal în G '.
Demonstr aµie. H1='1(H0) este subgrupul lui G . Fiex2G ³ih2H1 .
A tunci'(xhx1) ='(x)'(h)'(x1) ='(x)'(h)('(x))12H0, decixhx12
H1 . Ar t m c  '(H) este subgrup normal în G0, dac ' este morsm surjectiv.
Fiex02'(H) ³iy2G0. Deoarece ' este surjectiv, exist  x2H ³iy2G
astfel încât '(x) =x0;'(y) =y0. Deoarece H este subgrup normal în G , a v em
yxy12H , deci'(yxy1) ='(y)'(x)('(y))1=y0x0y012'(H) .
Imaginea direct  a un ui divizor normal prin tr-un morsm de grupuri n u este
neaparat un divizor normal.
Consider m grupul p erm ut rilor unei m ulµimi cu dou  elemen te S2 ca subgrup
al grupului p erm ut rilor unei m ulµimi cu trei elemen te S3 , considerând m ulµimea
f1;2;3g ;S2 este grupul p erm ut rilor subm ulµimii f1;2g . Fief2S2 ³ig2S3 ,
denite prin :
f(n) =8
><
>:2;daci = 1
1;daci = 2
3;daci = 3g(n) =8
><
>:3; dac  i= 1
2; dac  i= 2
1; dac  i= 3(1.2)
atunci:
(gfg1)(i) =8
><
>:1; dac  i= 1
2; dac  i= 2
3; dac  i= 3(1.3)
decigfg1=2S2 , adicaS2 n u este subgrup normal al lui S3 .
9

Capitolul 2
Grupuri s ,i reprezen t ri
2.1 A ct , iuni ale grupurilor p e m ult , imi
Deniµie 2.1.1. FieG un grup s , iM o m ult , ime. Se n umes , te act , iune a luiG p e
M o aplicat , ie:GM!M astfel încât:
a) p en trug;g02G s, i2M:(g;g0;) =/(g;(g0;)) ;
b) p en tru2M:/(1;) =
De obicei p en tru g2G s, i2M se foloses , te notat , ia m ultiplicativ  , (g;) =
g , iar condit , iile de mai sus se scriu :
a)(g;g0)=g(g0) ;
b)1= .
GrupulG act , ioneaz  p e m ult , imeaM cu act , iunea , iar act , iunea elemen tului
g2G p e elemen tul 2M este(g;) .
2.2 Reprezen t ri prin p erm ut ri
Deniµie 2.2.1. FieG un grup s , iM o m ult , ime. Se n umes , te reprezen tare a lui
G prin p erm ut ri ale m ult , imiiM un morsm de grupuri ':G!S(M) , unde
S(M) este grup simetric p e m ult , imeaM .
Prop oziµie 2.2.1. Fie o act , iune a grupului G p e m ult , imeaM notat  m ul-
tiplicativ. P en tru ecare elemen t g2G aplicat , ia'g:M!M denit  prin
'g() =g;2M , este o p erm utare a m ult , imiiM iar aplicat , ia':G!S(M)
10

CAPITOLUL 2. GR UPURI S , I REPREZENT €RI
denit  prin '(g) ='g;g2G , este un morsm de grupuri ( ' se n umes , te repre-
zen tarea lui G prin p erm ut ri ale m ult , imiiM aso ciat  act , iunii ).
Demonstr aµie. Fieg;g02G . A v em:'gg0() = (gg0)=g(g0) ='g('g0())
oricare ar  2M , ceea ce înseamn  c  'gg0='g'g0 . Cum'1(x) = 1x=x
oricare ar  x2M , rezult  c  '1= 1M (aplicat , ia iden tic  a m ult , imiiM ). Oricare
ar g2G ,'g'g1='gg1='1= 1M s, i'g1='g1g='1 . Mai sus s-a
demonstrat c  'g este aplicat , ie bijectiv   si in v ersa este 'g1 . În plus,'g2S(M)
oricare ar  g2G , deci putem considera aplicatia ':G!S(M) din en un t.
A v em:'(gg0) ='gg0='g'g0 , oricare ar  g;g02G , ceea ce demonstreaz  c 
' este un morsm de grupuri, adic  o reprezen tare a lui G prin p erm ut ri ale
m ult , imiiM .
Prop oziµie 2.2.2. Fie':G!S(M) o reprezen tare a grupului G prin p erm utt , ri
ale m ultimii G . P en tru ecare g2G a v em'g='(g) . Se denes , te/:GM!
M prin/(g;) ='g() . A tunci/ este o act , iune a luiG p eM (/ se n umeste
act , iunea luiG p eM aso ciat  reprezen t rii prin p erm ut ri ' ).
Demonstr aµie. P en trug;g02G s, ix2M a v em(gg0;) ='gg0() = ('g'g0)() =
'g('g0()) =(g;(g0;)) s, i'(1;) ='1() = . A cestea demonstreaz  c 
este o act , iune a luiG p eM .
Deniµie 2.2.2. Se consider  grupul G care act , ioneaz  p e m ult , imeaM cu act , iunea
 s, i e':G!S(M) reprezen tarea prin p erm ut ri aso cia a act , iunii. Deoarece
' este un morsm de grupuri , n ucleul sau Ker' este un subgrup normal al lui
G. A cesta se v a n umi s , i n ucleul act , iunii s, i se v a nota cu Ker .
Ker=g2Gj'g= 1M=g2Gjgx=x p en tru orice x2M: (2.1)
A ct , iunea se n umeste del  dac  reprezen tarea prin p erm ut ri  este un mor-
sm injectiv. Se în tâmpl  acest lucru dac  n ucleul Ker este trivial. A ct , iunea
este del  dac  s , i n umai dac  :
g=x oricare ar  x2G implicag= 1: (2.2)
Deniµie 2.2.3. Consider c  m o act , iune a luiG p eM . A tunci, p en tru ecare
elemen t2M , not m
StabG() =g2Gjg=G: (2.3)
11

CAPITOLUL 2. GR UPURI S , I REPREZENT €RI
Mult , imeaStabG() care se n umes , te stabilizatorul lui  înG (relativ la actiunea
data) este un subgrup al lui G . Dac g1;g22StabG() , atuncig1;g2=g1(g2) =
g1= , decig1g22StabG() ; a v em 1= , deci 12StabG() s, i dac 
g2StabG() , atunci
g1=g1(g) = (g1g)= 1=;
deci
g12StabG(): (2.4)
A v em:
g2Ker()g= p en tru orice 2G()
g2StabG() p en tru orice 2G()g2\2MStabG():(2.5)
Prin urmare Ker=\(2M)StabG() .
Deniµie 2.2.4. Consider m o act , iune a grupului G p e m ult , imeaM notat  m ul-
tiplicativ. Se denes , te o relatie p eM luând p en tru 1;22M; 12
dac  s , i n umai dac  exist  un g2G astfel c g1=2 . Relatia este o
relat , ie de ec hiv alent ,   p eM . P en tru orice 2M a v em= 1 , deci ;
dac 1;22M s, i12 a v emg1=2 p en tru un g2G s, i atunci
g12=g1(g1) = (g1g)1= 11=1 , deci21 ; dac 1;2;32M
s, i12 s, i23 , atuncig1=2 s, ig02=3 p en trug;g02G , rezult(a)
(g0g)1==g0(g1) =g02=3 , deci13 .
Clasa de ec hiv alent ,   a un ui elemen t 2G relativ la relat , ia se n umes , te orbita
lui relativ la act , iunea s, i se noteaz  cu G . A v em:
G=y2Mjy=y2Mj exist g2G:g=y=gjg2G: (2.6)
Mult , imea factor M= este o partit , ie a m ult , imiiM . T , inând con t de acest lucru
a v em:
jMj=X
G2M=jGj: (2.7)
12

CAPITOLUL 2. GR UPURI S , I REPREZENT €RI
A ceasta este forma originar  a ecuat , iei claselor p en tru act , iunea . Ecuat , ia
claselor cap t  în unele cazuri particulare o semnicat , ie deosebit  în teoria gru-
purilor.
Prop oziµie 2.2.3. P en tru orice elemen t 2M a v em:
jGj=jG:StabG()j: (2.8)
Demonstr aµie. P en trug1;g22G , a v emg1StabG() =g2StabG()() ()
g1
1g22StabG()()g1
1g2=()g1=g2 .
Se denes , te urm toarea aplicat , ie
: (G=StabG)!G (2.9)
prin (g=StabG) =g ; aceasta aplicat , ie este bijectiv  .
Observaµie 2.2.1 . Ecuat , ia claselor p en tru act , iunea capat  um toarea form :
jMj=X
G2M=jG:StabG()j (2.10)
P en tru ecare elemen t 2G , n um rul cardinal jGj se n umes , te s , i lungimea
orbiteiG . Orbitele de lungime 1 se n umesc orbite triviale. Este eviden t c  orbita
G este trivial  dac  s , i n umai dac  G= , dac  s , i n umai dac  g= p en tru
orice elemen t g2G . Un elemen t 2M a c rui orbit  Gx este trivial  se v a
n umi elemen t xat de act , iunea . A cesta se v a nota:
FixG(M) =f2MjG=g (2.11)
m ult , imea elemen telor xate de actiunea  . Ecuat , ia claselor p en tru act , iunea
este:
jMj=jFixG(M) +X
G orbita netrivialajGj (2.12)
sau
jMj=jFixG(M) +X
G orbita netrivialajG:StabG()j: (2.13)
Deniµie 2.2.5. Consider m c  grupul G act , ioneaz  p e o m ult , imeM cu act , iunea
 . FieH un subgrup al lui G ; induce o act , iune0a luiH p eM denit  prin
0:HM!M;0(h;) =(h;) =h;h2H;2M: (2.14)
13

CAPITOLUL 2. GR UPURI S , I REPREZENT €RI
Dac ':G!S(M) este reprezen tarea prin p erm ut ri aso ciata lui  , atunci re-
prezen tarea prin p erm ut ri aso ciat  act , iunii induse 0se n umes , te restrict , ia act , iunii
 laH .
P en tru ecare elemen t 2M a v em :
StabH() =H\StabG() (2.15)
s, i
Ker0=H\Ker: (2.16)
Presupunând faptul c  H este un subgrup normal în G s, iHKer adic ,
cah= p en tru orice h2H s, i2M (men tion m faptul c  s , iH actioneaza
trivial p eM ). Se consider  proiect , ia canonic  :G!G=H s, i reprezen tarea prin
p erm ut ri':G!S(M) aso ciat  act , iunii a v em Ker=HKer= Ker'
s, i atunci exist  un morsm '0:G=H!S(M) astfel încât '0==' , adic 
'0(gH) ='(g) oricare ar  g2G . Morsm ul '0este o reprezen tare a grupului
G=H prin p erm ut ri ale m ult , imiiM s, i act , iunea corespunzatoare 0:G=HM!
M este denit  prin 0(gH; ) =(g;) , p en tru orice g2G s, i2M . Putem
spune c 0este act , iunea luiG=H p e m ultimea M , indus  de act , iunea .
P en tru ecare elemen t 2M a v emHKerStabG() s, i
StabG=H() =StabG()=H: (2.17)
Deniµie 2.2.6. Fie o act , iune a grupului G p e o m ult , imeM . O subm ult , ime
M0a luiM se n umes , testabili dac  p en tru orice 2M0s, i oriceg2G a v em
g=(g;)2M0. Se denes , te
0:GM0!M0(2.18)
prin0(g;) =(g;)(g2G;2M0) s, i0este o act , iune a grupului G p e
m ult , imeaM0. Spunem c  act , iunea0este indus  de act , iunea .
În particular, o orbit , cum este orbita O=G , relativ   la act , iunea este
stabil : p en tru orice elemen t y2O a v emy= p en tru un2G s, i atunci,
p en tru orice g2G;gy =g() = (g)2G=O .
14

CAPITOLUL 2. GR UPURI S , I REPREZENT €RI
Deniµie 2.2.7. O act , iune a grupuluiG p e o m ult , imeM se n umeste tr anzitiv 
dac  p en tru orice dou  elemen te ;02M exist  un elemen t g2G astfel încat
0=g=(g;) .
Asta înseamn  c  p en tru orice elemen t 2G a v emG=M , astfel încat o
act , iune tranzitiv    are o unic  orbit .
Dac  este o act , iune oarecare a lui G p eM s, iO este o orbit  a acestei act , iuni,
act , iunea0indus  de p eO este tranzitiv  .
Deniµie 2.2.8. Fie s, i0dou  sect , iuni ale grupului G p e m ult , imileM s, i
resp ectivM0. Spunem c  act , iunile s, i0sun t ec hiv alen te dac  exist  o aplicat , ie
bijectiv  f:M!M0astfel încât
0(g;f()) =f((g;)) (2.19)
oricare ar  g2G s, i2M , sau în notat , ia standard:
gf() =f(g) (2.20)
p en tru orice g2G;2M .
Dac  act , iunile s, i0sun t ec hiv alen te, p en tru ecare elemen t 2G a v em:
StabG() =StabG(f()) s, iKer= Ker0;f(G) =Gf() s, i, cele dou 
act , iuni s, i0au aceleas , i propriet t , i. Dac  act , iunea este tranzitiv  , atunci s , i
0este tranzitiv   s , i recipro c.
A ct , iuni prin multiplic ar e în dr e apta . FieG un grup. Se denes , te o act , iune
 a grupului G p e m ult , imeaG a elemen telor lui G ,:GG!G ea ind
exact legea de comp ozit , ie binar  a grupului G . Condit , iile a) s , i b) sun t v ericate
deoarece legea de comp ozit , ie a grupului este aso ciativ   s , i are elemen t unitate.
A ct , iunea se n umes , te act , iunea luiG p e el însus , i prin m ultiplicare la dreapta.
15

CAPITOLUL 2. GR UPURI S , I REPREZENT €RI
Relativ la actiunea  a v em p en tru ecare elemen t 2G;StabG() =g2Gjg==
1 , astfel caStabG() = 1 s, iKer= 1 rezult  c  act , iunea este del . Înseamn 
c  reprezen tarea prin p erm ut ri ':G!S(G) aso ciat  act , iunii este un morsm
injectiv s , i regasim astfel teorema lui Ca yley .
În particular, Ker0= Ker=H .
T eorem  2.2.1 ( TEOREMA CA YLEY ) . Dac  G este un grup nit de or din
n ,G este scufundat în G prin interme diul tr anslat , iilor la stânga:
GG
B!
n(2.21)
unde
s(t) =st;8t2G .
Obt , inemK – reprezen tare n a luiG compunând aceast  scufundare cu izomor-
sm ulG'n ap oi cu reprezen tarea lui n
G'nGLK(V): (2.22)
Scriind detaliat act , iunea luin a v em:
 FieG=s1;s2;


;sn s, i o baz  înV;(e1;


;en) . Dac s2G s, i1in ,
atunci(s)(ei) =ej undej21;2;


;n cussi=sj .
G se n umes , teKreprezentare regulat  la stânga a grupului G înV s, i este
notat uneori cu regG .G este o reprezen tare del  a lui G .
 FieRG reprezen tarea matricial  a lui G în baza (e1;


;en) . A ceasta se mai
n umes , te s , iKreprezentarea matricial  regulat  la stânga a lui G . Conform
denit , iei de mai sus, matricea RG(s) p en trus2G are în p ozit , ia(j;i) p e1 s, i
în rest 0 ; s , i n umai atunci când ssi=sj , sau ec hiv alen t s=sjs1
i .
Rezult  o regul  p en tru scrierea explicit  a matricii RG(s) .
Se scrie tab elul Ca yley a grupului G prin b ordare p e v ertical cu elemen tele
luiG în ordineas1;s2;


;sn s, i p e orizon tal  în ordinea s1
1;s1
2;


;s1
n .
La in tersect , ia linieij cu coloana i din tab elul Ca yley apare elemen tul sjs1
i .
Deci în matricea RG(s) în p ozit , ia(j;i) se pune elemen tul 1 dac sjs(
i1) =s ,
iar în caz con trar se pune 0.
16

CAPITOLUL 2. GR UPURI S , I REPREZENT €RI
T ab ela 2.1: T ab elul Ca yley a grupului G
Observaµie 2.2.2 . P en tru a descrie explicit o K -reprezen tare liniar  :G!
GLK(V) a un ui grup G este sucien t s  cunoas , tem(s) p en trus parcurgând
un sistem de generatori al lui G .
O alta act , iune a grupului G p e m ult , imea elemen telor lui G se denes , te prin
0:GG!G;0(g;) =g1. P en tru a v erica condit , iile a) s , i b) din denit , ia
unei act , iuni pro cedeaz  astfel:
0(gg0;) =(gg0)1=(g01g1= (g01)g1=
0(g;g1) =0(g;0(g0;));0(1;) =11=:(2.23)
V om spune c  0este act , iunea luiG p e el însus , i prin m ultiplicare la stanga.
Fie act , iunea luiG p e el însus , i prin m ultiplicare la dreapta s , i0act , iunea lui
G p e el însus , i prin m ultiplicare la stânga. Putem deni aplicat , iaf:G!G prin
f() =1;este lar c  f este o aplicat , ie bijectiv  .
Deoarece
0(g;f()) =0(g;1) =1g1= (g)1=f(g) =f((g;)); (2.24)
rezult  c  act , iunile s, i0sun t ec hiv alen te.
17

CAPITOLUL 2. GR UPURI S , I REPREZENT €RI
FieG un grup s , iH un subgrup al lui G . Se consider  act , iunea luiG p e el
însus , i prin m ultiplicare la dreapta s , i ap oi restrict , ia acestei actiuni la H . Orbita
un ui elemen t 2G relativ la aceast  restrict , ie este exact clasa de congruen t  la
dreaptaH .
jHj=jH:StabH()j
StabH() =H\StabG() =H\1 = 1(2.25)
rezultajHj=jHj p en tru orice 2G . Ecuat , ia claselor p en tru act , iunea noastr 
devine:
jGjX
H2(G=H )djHj=j(G=H )djjHj=jG:HjjHj (2.26)
s, i reobt , inem teorema lui Lagrange.
FieM o m ult , ime. Mult , imea funct , iilor bijectiv e de la M laM formeaz  un
grup care se notez  cu S(M) s, i se n umes , te grupul tuturor p erm ut rilor ( sau
substitut , iilor) m ult , imiiM sau grupul simetric al m ult , imiiM . P en tru m ult , imile
izomorfeM ³iM0, grupurile S(M);S(M0) sun t izomorfe, iar p en tru o m ult , ime
cun elemen te notat cu Sn grupul s u simetric. Se n umes , te grup de p erm ut ri al
m ult , imiiM orice subgrup al grupului simetric S(M) . Dac M este o m ult , ime
nit  cun elemen te, un grup de p erm ut ri al lui M se n umes , te grup de p erm ut ri
de gradn , iar un elemen t al s u o p erm utare de gradul n .
S , tim c  n umarul funct , iilor bijectiv e de la o m ult , imeM cun elemen te în ea este
egal cun! .
O p erm utare degradn se scrie astfel:
=1 2


n
(1)(2)


(n)
(2.27)
punându-se astfel în eviden t  toate v alorile funct , iei. Se mai noteaz  (i) =i;i=
1;2;


;n . Dac 
=1 2


n
(1)(2)


(n)
(2.28)
18

CAPITOLUL 2. GR UPURI S , I REPREZENT €RI
este o alta p erm utare de grad n , atunci
=1 2


n
(1)(2)


(n)
(2.29)
Fien un n um r natural s , iSn grupul simetric de grad n . Se denes , te o funct , ie:
":Sn!(1;1); (2.30)
în care (1;1) este grupul m ultiplicativ al n umerelor în tregi 1 s, i1 punând p en tru
2Sn :
()"() =Y
1i<jn((j)(i))=(ji) (2.31)
19

Capitolul 3
Reprezen t ri ale grupurilor
3.1 Reprezen t ri liniare, reprezen t ri matriciale, reprezen t ri ec hiv a-
len te
FieG= (Z=nZ;+);V un spat , iu liniar complex (de dimensine nit ) s , ibt);t2Z
, o clas  mo dulo n . Aplicat , iaTbt:V!V;e2
ti=n este un automorsm al lui V
iar aso ciereabt!Tbt denes , te o reprezen tare a lui Z=nZ înV .
FieG= (R;+);V=C2;a2R s, ifa:V!V o aplicat , ie liniar  denit 
prinfa(u;v) = (u;au +v) ;(fa)(a2R) biject , ii iar aso cierea a!fa denes , te o
reprezen tare f:R!GL(V) , a lui (R;+) înV de gradul doi.
FieE o baz  în tr-un spat , iu liniarV (de dimensiune nit ) p este un corp K
iarT:G!P(E) o reprezen tare prin p erm ut ri a un ui grup G în m ult , imeaE .
T induce o reprezen tare liniar  lui G înV s, i este denit  prin T(g)(Piei) =PiT(g)(ei);i2K;g2G . Dac E=G iarT:G!P(G) este aplicat , ia
denit  prin g!Tg;Tg(g0) =gg0;g;g02G , atunciT se n umes , te r epr ezentar e a
r e gulat  (la stanga)a lui G p esteK .
FieV un spat , iu liniar p este un corpK s, iT:G!GL(V) o reprezen tare a lui
G înV . Reprezen tarea T induce o structur  p e V de mo dul p este inelul KG .
(X
aigi)=X
aiT(gi)();ai2K;gi2G;2V: (3.1)
20

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Structura de mo dul a lui V p esteKG extinde structura de K -spatiu liniar a lui
V cu a jutorul reprezen t rii T((ae)aT(e)() =a oricare ar  a2K;2V ;
e este elemen tul unitate din G ). Recipro c, dat un mo dul M p esteKG el devine
unK -spatiu liniar prin restrict , ia scalarilor de la KG laK (K p oate  considerat
ca sub corp în KG prin omomorsm ul injectiv a!ae ) rezul a
= (ae) .
Aplicat , iileTg:V!V;!g , sun t liniare, M ind mo dul p este KG s, i bijectiv e
în trucat a v em TgTg1=Tg1Tg= 1 . Aplicat , iaT:G!GL(V) dat  pring Tg
constituie o reprezen tare a lui G înV .
FieV un spat , iu liniarn -dimensional, E= (e1;:::;en) o baz  a lui s , iT o
reprezen tare a un ui grup G înV .T se p oate descrie prin matricile in v ersabile
t(g) =

t11(g)t1n(g)
tn1(g)tnn(g

(3.2)
aso ciate autromorsmelor T(g) ;
T(g)ej=nX
i=1tij(g)ei: (3.3)
Matricile (t(g))g denesc un morsm de grupuri t:G!GLn(K);g!t(g) ,
acesta se n umes , te reprezen tarea matricial  aso ciat  lui T în bazaE .T este
p erfect denit prin reprezen tarea sa matricial  t . Reprezen tarile un ui grup G în tr-
un spat , iu liniar 1 -dimensional sun t determinate de morsmele de grup G!K=
GL 1(K) , undeK noteaza grupul m ultiplicativ al elemen telor nen ule din K .
FieT:G!GL(V);T0:GL(V0) dou  reprezen tari ale lui G înK -spat , iile
liniareV;V0.T s, iT0sun t ec hiv alen te dac  exist  un izomorsm h:V!V0de
K -spat , ii liniare astfel încat:
hT(g) =T0(g)h (3.4)
oricare ar  g2G , rezult h(g) =g(T(g)()) =T0(g)h() =gh() oricare ar
g2G ,2V . Clasa de ec hiv alen t  a unei reprezen t ri date T se n umeste tipul
r epr ezent rii , iar aceste tipuri de reprezen t ri corespund claselor de izomorsm
aso ciateKG -mo dulelor.
21

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Fiet;t0:G!GLn(K) dou  reprezen t ri matriciale. t s, it0sun t e chivalente
dac  exist  o matrice C2GLn(K) astfel încat:
Ct(g) =t0(g)C (3.5)
oricare ar  g2G . Clasa de ec hiv alen t  a lui t se n umes , te tipul luit .Tipurile
reprezen t rilor corespund tipurilor reprezen t rilor matriciale aso ciate.
FieG un grup ciclic de ordin r s, ig un generator al s u. Morsmele de grup G!
Ksun t în coresp ondent ,   biuniv o c  cu m ult , imea rad cinilor r -are ale unit t , ii din
K , coresp ondent , a ind dat  prin f!f(g) . Num rul tipurilor reprezen t rilor de
gradul în tâi ale lui G este egal cu n um rul rad cinilor r ale unit t , ii dinK . În
cazul reprezen t rilor de gradul doi, relat , ia de ec hiv alent ,   n u se reduce la relat , ia
de egalitate ca în cazul gradului în tai.
Exemplu 3.1.1. PentruG=Z=2Z;K=Q , matricile Ea:=

1 2a
01

;a2Q ,
sunt r ad cini 2 -ar e ale unit t , ii înGL 2(Q) s, i denesc r epr ezent rile matriciale
fa:Z=2Z!GL 2(Q);b1 Ea .
A c este a sunt to ate e chivalente s , i avem:

1a
01

1 0
01

=

1 2a
01

1a
01

; (3.6)
r ezult faf0 .
F unct , ia constan t  G!K;g 1k constituie o reprezen tare matricial  de
gradul în tâi. Este n umit  r epr ezentar e a unitate a luiG p esteK s, i corespunde
reprezen t rii G!GL(V);g!1V;V=K care induce p e V structura trivial  de
KG -mo dul;g
= oricare ar  2V;g2G . Reprezen tarea unitate se mai
n umes , te trivial  .
3.2 Reprezen t ri ireductibile. Lema Sc h ur
Un mo dulM se n umes , te ir e ductibil dac  n u are submo dule diferite de 0 s, iM ;
în caz con trar el se n umes , te r e ductibil .
22

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
FieV un spat , iu liniar (de dimensiune nit ) p este un corp K . O reprezen tare
(liniar )T a un ui grup G înV se n umes , te ir e ductibil  (rep ectiv r e ductibil  ) dac 
V cu structura sa de KG -mo dul indus  de T este un mo dul ireductibil resp ectiv
reductibil. O reprezen tare T0a luiG înV , ec hiv alen t  cu T , este ireductibil 
dac  s , i n umai dac  T este ireductibil . T oate reprezen t rile de gradul în tai sun t
ireductibile dar reprezen t rile de gradul al doilea p ot  s , i reductibile.
Un subspat , iu liniarWV este un sub- KG -mo dul dac  :
gW=T(g)(W)W oricare ar  g2G: (3.7)
Oricare ar  g , aplicat , iaf(g) actioneaz  trivial p e W ; recult  c  W este un
subCR mo dul. Presupunem c  EC2este un subCR mo dul de dimensiune
1 . Lu m un v ector nen ul = (1;2)2E , rezult  c  p en tru orice a2R a v em
a2E s, i deci exist  ta2C astfel încât
(1;a 1+2) =:a= (ta1;t22): (3.8)
Rezult 1= 0 s, i prin urmare EW . DeciE=W .
Lema 3.2.1 ( Lema Sc h ur ) . FieT s, iS dou  reprezen t ri ireductibile ale un ui
grupG în spat , iile liniareV , resp ectiv, W iarh:V!W o aplicat , ie liniar  astfel
încât:
hT(g) =S(g)h oricare ar  g2G: (3.9)
A tunci,h= 0 sauh este o biject , ie în careT s, iS sun t ec hiv alen te.
Demonstr aµie. Condit , ia 3.9 arm  c  aplicat , iah este un omomorsm de KG –
mo dule (K ind corpul p este care sun t date V ,W ). FieU imaginea lui h .U
este un subKG mo dul al mo dulului ireductibil W . DeciU= 0 în careh= 0
sauU=W în careh este surject , ie. Dac h n u este inject , ie atunci n ucleul lui
h este un subKG mo dul nen ul al lui V s, i coincide cu V(h= 0) , acesta ind
ireductibil. Prin urmare h este biject , ie dac  este nen ul.
Coloral 3.2.1.1. FieG un grup nit s , iT:G!GL(V) o reprezen tare ireducti-
bil  a luiG înK spatiul liniar V . A tunci,Z(ImT) este ciclic.
Demonstr aµie. FieF inelul endomorsmelor KG mo dululuiV . Elemen tele ne-
n ule dinF sun t automorsme datorit  Lemei Sc h ur s , iF este un inel cu diviziune;
cen trul s u C este un corp care cont , ine cen trul lui ImT deoarece elemen tele lui
F com ut  cu toate elemen tele din ImT .
23

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Coloral 3.2.1.2. FieP un subgrup normal minimal netrivial al grupului nit G .
Dac P este unp grup atunci Z(G=CG(P)) este ciclic.
Demonstr aµie. FieZ(P) s, iPp=fpj=2Pg subgrupuri normale ale lui G din
P . Din minimalitate rezult  c  Z(P);Ppsun t subgrupuri improprii ale lui P . Dar
jZ(P)j>1 s, i deciZ(P) =P , deciP este ab elian. Aplicat , iaf:P!Pp,!p
este surjectiv   dar n u este s , i injectiv   p en tru c  jKerfj=p , rezult Pp= 1 .
Rezult  c P estep grup elemen tar ab elian s , i aplicat , iaZ=pZP!P;(bt;)!
teste bine denit  s , i îi atribuie lui P o structur  canonicî de Z=pZ spat , iu liniar.
Aso ciereag!Tg;Tg() =gg1denes , te o reprezen tare T a luiG înZ=pZ spat , iu
liniarP , care este ireductibil  deoarece P este subgrup normal minimal. Rezult 
c Z(ImT) este ciclic s , i deoarece ImT=G=KerT , iarKerT=CG(P) , corolarul
este demonstrat.
Coloral 3.2.1.3. FieV un spat , iu liniar p este un corp algebric înc his K iarT o
reprezen tare ireductibil  a un ui grup nit G înV . Fieh:V!V o aplicat , ie
liniar  :
hT(g) =T(g)h oricare ar  g2G: (3.10)
Exist a2K astfel încat h() =a oricare ar  2V .
Demonstr aµie. K ind algebric inc his, h are o v aloare proprie a2K , adic h() =
a p en tru un an umit elemen t nen ul 2V . Deci aplicatia f=ha1 n u este
injectiv   p en tru c  f() = 0;6= 0 . Darf satisface, 3.10 s , i conform Lemei Sc h ur
a v em necesar f= 0 .
Coloral 3.2.1.4. Orice reprezen tare ireductibil  a un ui grup com utativ în tr-un
spat , iu liniar p este un corp algebric înc his are gradul un u.
Demonstr aµie. FieG un grup com utativ s , iT o reprezen tare ireductibil  a lui G
în tr-un spat , iu liniarV p este un corp algebric înc his K :
T(g0)T(g) =T(g0g) =T(gg0) =T(g)T(g0) (3.11)
T(g0) satisface 3.11 p en tru orice g02G . Rezult  exista a0
g2K astfel încat
T(g0) =a0
g
1 . Dar orice subK spatiu al lui V ramâne in v ariat de aplicat , iile
24

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
a0
g
1 s, i prin urmare este c hiar un sub KG mo dul al lui V . Dac dImV > 1
am spune c  V este reductibil dar n u se p oate.
Prop oziµie 3.2.1. Num rul reprezen t rilor de gradul în tai ale un ui grup nit G
p este un corp algebric înc his K a c rui caracteristic  n u divide jGj este indexul
subgrupului com utator G0al luiG .
Demonstr aµie. Aplicat , iaHom (G=G0;K)!Hom (G;K) denit  prin f!
fq;q :G!G=G0ind surject , ia canonic , constituie o biject , ie în trucat orice
omomorsm al lui G în tr-un grup com utativ se factorizeaz  prin ab elianizatul lui
G . Dac H este un grup ciclic nit atunci Hom (H;K) este în coresp onden t 
biuniv o c  cu m ult , imea rad cinilorjHj are ale unitat , ii care sun t exactjHj deoa-
rece caracteristica lui K n u dividejHj . Dac H este un grup ab elian nit atunci
el este un pro dus nit de grupuri ciclice: H=H1:::H8 s, iHom (H;K)
este în coresp ondent ,   biuniv o c  cu Hom (H1;K):::Hom (H8;K) care
arejHj=jH1j:::jH8j elemen te. Prin urmare, Hom (G;K) are exact
jG:G0j=jG=G0j elemen te.
Observ  m c  g2G apart , ine subgrupului com utator dac  s , i n umai dac  t(g) = 1
p en tru orice reprezen tare de gradul în tâi t a luiG .
Lema 3.2.2. FieG unp grup s , iT o reprezen tare a sa în tr-un spat , iu liniarV
este uncorp K de caracteristic  p . A tunciV cont , ine un v ector nen ul xat de
toate elemen tele lui G .
Demonstr aµie. V om face induct , ie dup jGj , armat , ia ind trivial  când jGj= 1 .
FieH un subgrup maximal în G .
NG(H)6=H rezult NG(H) =G;HE . Grupul factorG
Hcont , ine un subgrup
de ordinp care corespunde un ui subgrup H0>H . Îns H ind maximal rezult 
G=H0decijG:Hj=p . Mult , imeaW=FixH(V) este nen ul  s , i formeaz 
un subKH mo dul al lui V ; cel mai mare submo dul p e care restrict , ia luiT
laH actioneaz  trivial. W este c hiar subKG mo dul al lui V deoarece p en tru
2W;g2G , a v em:
h(g) = (hg)= (gh0)=g p en tru orice h2H;
h0: =g1hg2H s, i decig2W:(3.12)
25

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Fieg2G=H . A v emgp2H rezult T(g)p=T(gp) induce aplicat , ia iden tic  p e
spat , iulW . Decif:=T(g)jW este o radacin  a p olinom ului Xp1 . Darf este o
radacin  a p olinom ului s u caracteristic P s, i prin urmare a celui mai mare divizor
D al luiP s, iXp1 [În inelulK[X] al p olinoamelor în tr-o nedeterminata X p este
K este v alabil  s , i se arat  c  D exist  s , i este generatorul idealului PK[X]+(Xp
1)K[X] ]. Rezult  c  D are formaD=PR+Xp1)S;D(f) = 0 . DeciD n u este
constan t s , i admite p e 3.12 ca r d cin  în K deoareceDj(Xp1) = (X1)p. 3.12
este radacin  s , ia luiP ceea ce înseamn  c  f admite p e 3.12 ca v aloare proprie.
Fie02W un v ector propriu corespunzator acestei v alori proprii. A v em g0=
f(0) =0 s, i deci elemen tele din clasa stang  gH in v ariaz  p e 0 . În consecint ,  ,
G in v ariaz 0 în trucât<g;H > =G .
T eorem  3.2.3. FieT o r epr ezentar e ir e ductibil  unui grup nit G într-un sp at , iu
liniarV p este uncorpK de c ar acteristic   p6= 0 . A tunci, ImT nu ar ep sub grupuri
normale neriviale 6= 1 .
Demonstr aµie. FieHEImT unp subgrup normal al lui ImT . Conform lemei
preceden te aplicat  reprezen t rii T dat  de compunerea H ,!ImT ,!GL(V) ,
exist  un v ector nen ul 2V xat de toate elemen tele lui H . Rezult  c  W:=
FixH(V) este nen ul. El formeaz  un sub K .(ImT) mo dul al lui V . Structura
luiV este dat  de reprezen tarea ImT ,!GL(V) care este ireductibil  deoarece
T este ireductibila. Prin urmare, W=V s, i deciH actioneaza trivial p e in treg V .
RezultaH= 1 .
Coloral 3.2.3.1. Fiecare reprezen tare ireductibil  a un ui p grup în tr-un spat , iu
liniar p este un corp de caracteristica p este trivial .
Demonstr aµie. FieG unp grup,V un spat , iu liniar p este un corp de caracteristic 
p s, iT o reprezen tare ireductibil  a lui G înV . Conform teoremei preceden te ImT
n u arep subgrupuri normale netriviale s , i deci ImT= 1 .
FieH un subgrup normal minimal netrivial al p grupuluiG . Rezult  c  H este
p grup elemen tar ab elian deci i se p oate atribui o structur  de Z=pZ spatiu li-
niar. Aplicat , iileTg:H!H;h!ghg1sun t eviden t Z=pZ -liniare s , i coresp ondent , a
g!Tg denes , te o reprezen tare a lui G în spat , iul liniarH . Din minimalitatea lui
26

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
H rezult  ireductibilitatea lui T s, i conform corolarului preceden t T este trivial .
DeciH < Z (G) ceea ce înseamn  c  orice subgrup normal netrivial al lui G are
in tersect , ie netrivial  cu Z(G) .
3.3 Reprezen t ri decomp ozabile. T eorema Masc hk e
FieT:G!GL(V);T0:G!GL(V0) dou  reprezen t ri ale grupului G
în spat , iile liniareV;V0p este corpul K . A tunci, reprezen tarea S:G!GL(V
V0);S(g) =T(g)T0(g);g2G se n umes , te suma direct  a lui T cuT0s, i se noteaz 
cuTT0. Dac eT;eT0sun t alte dou  reprezen t ri ale lui G astfel încât (eT)
T;(eT)0T0, atunci (eT)(eT)0T . Fiet;t0reprezen t rile matriciale aso ciate
luiT;T0. Deci aplicat , iag!

t(g) 0
0t0(g)

denes , te o reprezen tare matricial 
s:G!GLn+n0(K);n=dimV;n0=V0care este c hiar reprezen tarea matricial 
aso ciat  lui TT0. Rezult :

0En0
En0

t(g) 0
0t0(g)

=

t0(g) 0
0t(g)

0En0
En0

(3.13)
(En  matricea unitate)
Un mo dul se n umes , te de c omp ozabil dac  p oate  scris ca suma direct  a dou 
submo dule proprii altfel se n umes , te inde c omp ozabil . O reprezen tare T a gru-
puluiG în spat , iul liniarV p este corpul K se n umes , te de c omp ozabil  (resp ec-
tiv inde c omp ozabil  ) dac V cu structura de KG mo dul indus  de T este un
mo dul decomp ozabil (resp ectiv indecomp ozabil). Q(Z=2Z) mo dululVa=Q2,
bt
(;y) = (+ 2tay;(1)ty);t2Z , este izomorf cu aQ(Z=2Z) mo dulelor
W1=Q;bt= s, iW2=Q;bt= (1)t;t2Z , ale caror reprezen t ri matriciale
(Z=2Z)!GL 1Q=Qsun t date prin b1 1 , resp ectiv1 . O reprezen tare este
decomp ozabil  dac  reprezen tarea ei matricial  este ec hiv alen t  cu o reprezen tare
matricial  de forma:
s(g) =

s0(g) 0
0s0(g)

; (3.14)
27

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
unde (s0(g))g;(s00(g))g denesc dou  reprezen tari matriciale alea aceluias , i grup.fa
era ec hiv alen t  cu f0 care, a v ând forma
f0(bt) =

1 0
0 (1)t

; (3.15)
FieK un corp de caracteristic  p6= 0 s, if:Z=pZ!GL 2(K) reprezen tarea
matricial  denit  prin f(bt) =

1t
0 1

.
Nu exista nici o 22 matrice in v ersabil  C:=

a b
c d

s, i nici o matrice diago-
nala de forma D:=

u0
0v

astfel încât
C
f(b1) =D
C: (3.16)
În tr-adev  r, dac  3.16 are lo c atunci a v em a=ua;a +b=ub;vc =c+d . Dac 
u6= 1 sauv6= 1 rezult a=b= 0 , rep ectiv,c=d= 0 . Dac u=v= 1 rezult 
a=c= 0 . DeciC n u p oate  in v ersabil . Con tradict , ie. Rezult  f este inde-
comp ozabil . P e de alta parte, K(Z=pZ) – mo dululV=K2;bt(;y) = (+ty;y)
denit def este reductibil în trucât admite p e K0 ca subK(Z=pZ) mo dul
propriu. Rezult  f denes , te o reprezen tare reductibil  dar indecomp ozabil .
T eorem  3.3.1 ( T eorema Masc hk e ) . FieG un grup nit s , iV un sp atiu
ve c orial p este un c orp K a c  rui c ar acteristic   nu divide jGj . A tunci, oric e r epr e-
zentar e r e ductibil  a lui G înV este de c omp ozabil .
Demonstr aµie. FieT o reprezen tare reductibil  a lui G înV s, iWV un
subKG mo dul propriu al lui V p en tru structura dat  de T . Exist  o aplicat , ie
K liniar q:V!V astfel încât:
ImqW;qjW= 1: (3.17)
În tr-adev  r, e E0= (e1;:::;er) o baz  înW s, iE00= (er+1;:::;en) o com-
pletare a lui E0pan  la o baza în V . Aso ciereaPn
i=1iei Pr
i=1iei denes , te
28

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
aplicat , iaq . Fie aplicat , iaK liniar 
q0=1
jGjX
g2GeT(g)qeT(g1) (3.18)
G este nit iarjGj neind m ultiplu al caracteristicii lui K . A v em:
eT()q0eT((1)) =1
jGjX
g2GeT(g)qeT((g)1) =
=1
jGjX
g0=g2GeT(g0)q
eT(g01) =q0(3.19)
rezult q0este un omomorsm c hiar de KG mo dule.
Subspat , iulW0= Im(1q0) este un subKG mo dul al lui V în trucat 1q0
este omomorsm de KG mo dule.
V=WW0: (3.20)
A v em:
q0(z) =1
jGj(X
g2GeT(g)eT(g1))(z) =z (3.21)
p en tru orice z2W în trucatq actioneaz  iden tic p e W .q0satisface 3.17, de unde
rezult  3.20.
Un omomorsm de KG mo duleq0:V!V are un subKG mo dulW al lui
Vq02=q0,q0se n umeste pr oie ctor . Dac q0este proiector atunci (1q0)2= 1q0
s, i1q0este s , i el proiector. Un sistem de proiectori q1;:::;qr alKG mo dulului
V se n umes , te orto gonal c omplet dac :
i)qiqj= 0 p en tru orice i6=j ;
ii)Pr
i=1qi= 1 .
V este suma direct  a sub KG mo dulelorfImqigi=1;:::;r . Un exemplu de
sistem ortogonal complet de proiectori a fost sistem ul fq0;1 =q0g .
29

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Dac fqig formeaza un sistem ortogonal complet de proiectori ai lui V s, iei=
feijgj2Ji formeaz  o baz  în Imqi atunci în baza e=[iei a luiV un proiector
qi este denit prin tr-o matrice în care toate elemen tele sun t n ule cu except , ia a
dIm(Imqi) p ozitii p e diagoal  unde apare 1 . Rezult dIm Imqi=Trqi (urma
unei matrici patratice ind suma elemen telor de p e diagonala iar urma lui qi ,
notataTrqi , ind urma matricii aso ciate lui qi în tr-o baza oarecare ).
Coloral 3.3.1.1. Orice reprezen tare a un ui grup nit G în tr-un spat , iu liniar p este
un corp a c rui caracteristic  n u divide jGj este o sum  direct  de reprezen t ri
ireductibile.
Demonstr aµie. Dac  reprezen tarea este ireductibil  ,armat , ia este indeplinit  tri-
vial. Dac  este reductibil  o putem exprima ca sum  direct  a dou  reprezen t ri
de grade strict mai mici, conform T eoremei lui Masc hk e. Rezultatul este o aplicat , ie
imediat  a induct , iei dup  gradul reprezen t rii.
Coloral 3.3.1.2. FieG un subgrup nit com utativ al lui GLn(K) , undeK este un
corp algebric înc his a c rui caracteristic  n u divide jGj . A tunci,G este conjugat
înGLn(K) cu un subgrup format din matrici diagonale.
Demonstr aµie. Incluziunea GGLn(K) denes , te o reprezen tare matricial  t a
luiG . Ea este o sum  direct  de reprezen t ri matriciale ireductibile. Dar toate
reprezen t rile matriciale ireductibile ale lui G sun t de gradul în tâi. Rezult  c  t
este ec hiv alen t  cu o reprezen tare t0de format0(g) =

t10
0tn(g)

suma direct 
a reprezen t rilor de grad un u t1;:::;t (n) , rezult  exist  o matrice in v ersabil  C
astfel încât
Ct(g) =t0(g)C oricare ar  g2G: (3.22)
Rezult  Imt este conjugat cu Imt0care este format doar din matrici diagonale.
O imp ortan t  consecint ,   a T eoremei Masc hk e în teoria grupurilor este urma-
toarea:
T eorem  3.3.2. FieH unp grup elementar ab elian s , iGAutH unq sub grup
ab elian ne ciclic, q6=p . A tunci,
H=Y
g2Gn1Fi<g>(H): (3.23)
30

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
H este gener at de sub grupurile sale Fix<g>H;g2Gn1 .
Demonstr aµie. G estep grup elemen tar ab elian, el este un Z=pZ spat , iu liniar
rezult  c  incluziunea eT:G,!Aut(H) constituie o reprezen tare liniar  a lui G
înH . Exist  reprezen tari ireductibile eTi;i= 1;:::;r ale luiG înH astfel încat
eT=r
i=1eTi: (3.24)
G ind ab elian ,subgrupurile ImeTi sun t ab eliene s , i ciclice. Dar G n u este ciclic
s, i deci subgrupurile Gi= KereTi sun t netriviale. Alegem cate un elemen t gi din
ecareGi .
FieHi<H spat , iul reprezen t rii Ti . Din 3.24 rezult 
H=r
i=1Hi (3.25)
a v emHiFix<gi>H;Gi actionând trivial p e Hi rezult 
HrX
i=1Fix<gi>(H): (3.26)
T recând relat , ia 3.26 în scriere m ultiplicativ   obt , inem relat , ia 3.23.
3.4 Caractere
Fiet:G!GLn(K) o reprezen tare matricial  de grad n a un ui grup G p este
corpulK . Aplicat , ia:G!K;g Trt(g) :=Pn
i=1tii(g) se n umes , te c ar acterul
aso ciat r epr ezent rii t ,Tr t(g) ind urma matricii t(g) .
Reprezen tarea matricial  t aso ciat  în baz  canonic  f(1;0);(0;1)g , reprezen-
tareaf:R!GL(C2) ind dat  prin:
a

1 0
a1

;a2R: (3.27)
Caracterul aso ciat luit este funct , ia constan t  R!C;a!2 .
Fiefa:Z=2Z!GL 2Q;a2Q . F unct , ia:Z=2Z!Q , denit  prin (b0) = 2 ,
(b1) = 0 este caracterul (unic) aso ciat lui fa;a2Q .
31

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
FieE o baz  în tr-un spat , iu liniar nit dimensional V p este uncorp K iar
eT:G!P(E) o reprezen tare prin p erm ut ri a un ui grup G în m ult , imeaE .
Consider m reprezen tarea eT a luiG înV dat  prin (eT)(g)(e) =eT(g)(e);e2E .
Urma(g) a matricii aso ciate lui eT(g) în baza E coincide cu neT(g)
1K , unde
neT(g) reprezin t  n umarul de elemen te din E xat de p erm utarea T(g) . Dac 
E=e1;e2;e3 iarT este reprezen tarea iden tic  a lui G=P
3 p eP(E) , caracterul
 al reprezen t rii matriciale aso ciate lui eT în bazaE este denit prin:
((1)) = 3;((12)) =((13)) =((23)) = 1;
((123)) =((132)) = 0 :(3.28)
FieG un grup nit, K un corp,V spat , iul liniar de baz  G p esteK(V=
g2GKg) ,eT:G!GL(V) reprezen tarea regulat  (stanga) a lui G p esteK .
Caracterulreg:G!K al reprezen t rii matriciale aso ciate lui T în bazaG este
denit prin:
reg(g) =(
jGj
1K; dac  g= 1;
0K; dac  g6= 1:(3.29)
Prop oziµie 3.4.1. Fie caracterul unei reprezen t ri matriciale T de gradul n a
un ui grup G. A tunci:
i)(1) =n ;
ii)(gg0) =(g0g) ;
iii)(gg0g1) =(g0) ;
p en tru orice g;g02G .
Demonstr aµie. Urma matricii unitate ind ordin ul ei rezult  i). Fie B= (bij);C=
(cij) douann matrici. A v em:
Tr(BC) =nX
i=1(nX
j=1bijcji) =nX
j=1(nX
i=1cjibij) =Tr(CB) (3.30)
rezult (gg0) =Tr(eT(g)eT(g0)) =Tr(eT(g0)eT(g)) =(g0g) , adic  ii), obt , inem
(gg0g1) =(g1(gg0)) =(g0) .
Prop oziµie 3.4.2. Dou  reprezen t ri matriciale ec hiv alen te au acelas , i caracter.
32

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Demonstr aµie. FieT;T0dou  reprezen t ri matriciale ec hiv alen te de gradul n ale
un ui grupG p este uncorpK . A tunci, exist  o nn matriceC2GLn(K) astfel
încâtCeT(g)C1=eT0(g) oricare ar  g2G .
TreT0(g) =Tr(CeT(g)C1) =TreT(g) (3.31)
P en tru orice g2G , ceea ce spune exact c  cele dou  caractere eT;eT0 aso ciate
laT s, iT0coincid.
Putem aso cia oric rui tip de reprezen tare caracterul unei reprezen t ri matriciale.
Dac  reprezen tarea are gradul n , caracterul se n umes , te degradul n .
O funct , ief:G!K se n umes , te c entr al  dac 
f(gg0g1) =f(g0) oricare ar  g;g02G: (3.32)
F unct , iile cen trale ale un ui grup nit G p estecorpul K formeaz  un K spatiu
liniarF(G;K ) a c rui dimensiune este exact n um rul de clase de conjugare ale
luiG , o baz  înF(G;K ) ind dat  de aplicat , iileG!K care iau v aloarea 1 p e
o clas  de conjugare s , i0 celelalte cazuri. Uneori caracterele ireductibile (adic 
caracterele aso ciate tipurilor de reprezen t ri ireductibile) ale lui G formeaz  de
asemenea o baz  în F(G;K ) .
Prop oziµie 3.4.3. FieeT;eT0dou  reprezen t ri ale lui G p este un corp K;eTeT0
suma lor directa iar eT;eT0;eTeT0 caracterele lor aso ciate. A tunci,
eTeT0=eT+eT0; (3.33)
suma are lo c în K spatiul liniarF(G;K ) .
Demonstr aµie. Dac t;t0sun t reprezen t ri matriciale aso ciate lui eT;eT0, atunci o
reprezen tare matricial  s a luieTeT0este dat  prin
s(g) =

t(g) 0
0t0(g)

(3.34)
Rezult 
eTeT0(g) =Trs(g) =Trt(g) =Trt0(g) =eT(g) +eT0(g): (3.35)
33

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
FieG un grup nit s , iK un corp a c rui caracteristic  n u divide jGj . Aplicat , ia
<;>:F(G;K )F(G;K )!K (3.36)
denit  prin (f;h)!< f;h > =1
jGjP
(g2G)f(g)h(g1) satisface urm toarele
relat , ii:
i)<f;h> =<h;f > ;
ii)<f 1+f2;h> =<f 1;h> +<f 2;h> ;
iii)<af;h> =<a<f;h> ;
oricare ar  f1;f2;f;h2F(G;K );a2K . O funct , ie<;> care satisface i), ii), s , i
iii) este n umit  forma biliniar   simetric   . Se p oate nota s , i<;>G în lo c de<;> .
Fie un caracter de gradul în tâi al un ui grup nit G p este un corp a c rui
caracteristic  n u divide jGj . A tunci,:G!Keste un morsm de grupuri.
<;> =1
jGjX
g2G)(g)(g1) =1
jGjX
g2G(gg1) = 1: (3.37)
Fie caracterul lui G=P
3 p este un corp de caracteristic  6= 2;3;0caracterul
unitate iar00:G!K caracterul denit de signatura; g!(1K)(g), unde(g)
noteaz  n umarul de in v ersiuni ale p erm ut rii g .
A v em:
<;> =1
6

(1)
2+ 3
(12)
2+ 2
(123)
2
= 2;
<;0>=1
6

(1)

+ 3
(12)

+ 2
(123)

= 1;
<;00>= 0;(3.38)
<;> ia v alori de forma n
1K , unden este un n umar natural.
Prop oziµie 3.4.4. FieG un grup nit, K un corp a c rui caracteristic  n u divide
jGj ,f:G!K o funct , ie cen tral  s , iT o reprezen tare a lui G în tr-unK spat , iu
liniarV . Aplicat , iap=P
(g2G)f(g1)eT(g) constituie un omomorsm de
KG mo dule al lui V în el însus , i (structura de mo dul a lui V ind dat  de T ).
34

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Dac K este algebric înc his s , i reprezen tarea T este ireductibil , atunci p=a
1
p en tru un elemen t a2K care satisface
(1)a=jGj<f;>; (3.39)
unde noteaz  caracterul aso ciat lui T .
Demonstr aµie. A v em:
eT(h1)peT(h) =X
g2Gf(g1)eT(h1gh)
=X
g2Gf(h1h1)eT() =p:(3.40)
f funct , ie cen tral . Rezult  peT(h) =eT(h)p oricare ar  h2G . Dac V este
ireductibil, atunci p=a
1 p en tru una2K . Rezult :
(1)a=Tr(a1) =Trp=X
g2Gf(g1)TreT(g) =jGj<f;>: (3.41)
3.5 Relat , ii de ortogonalitate s , i teorema fundamen tal  a reprezen t ri-
lor
T eorem  3.5.1. Fiet;t0;t(g) = (tij(g));t0(g) = (t0
ij(g)) dou  r epr ezent ri ma-
triciale ir e ductibile ne e chivalente ale unui grup G p este un c orp K . A tunci:
i)P
g2Gtij(g)t0
rk(g1) = 0 p entru totii;j;r;k .
Dac  K este algebric închis atunci
ii)dtP
g2Gtij(g)trk(g1) =jGjikjr;
undedt este gr adul lui t iarjr=(
1K dac  j=r;
0; dac  j6=r:
Demonstr aµie. Fiedt;d0
t gradul luit , resp ectiv, t;B odtd0
t matrice oarecare s , i
C=P
g2Gt(g)Bt0(g1) . Oricare ar  h2G a v emt(h)Ct0(h1) =P
g2Gt(hg)Bt0(hg1) =
C . Reprezen t rile t;t0sun t neec hiv alen te rezult  C= 0 conform Lemei Sc h ur. Fie
j;r n umerele naturale dt , resp ectiv, d0
t . LuândB dreptdtd0
t matricea al
c rei unic elemen t nen ul este 1K situat p e linia j coloanar obt , inem i).
35

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
FieC0=P
g2Gt(g)B0t(g1);B0odtdt matrice arbitrar . Obt , inemt(h)C0=
C0t(h) p en tru orice h2G .C0este o matrice scalar  de forma aEdt;a2K . Fie
j;r dou  n umere naturale dt . Luând drept B0= (bik) matricea denit  prin
bik=ikrk obt , inem:X
g2Gtuj(g)trv(g1) =a
uv: (3.42)
Dar :
adt=TrC0=X
g2GTr(t(g)B0t(g1)) =X
g2GTrB0=jGjjr (3.43)
Înlo cuima în 3.42 s , i obt , inem i).
Coloral 3.5.1.1. Fiet o reprezen tare ireductibil , diferit  de cea trivial , a un ui
grup nitG în tr-un spat , iu liniar. A tunci
X
g2Gt(g) = 0: (3.44)
Coloral 3.5.1.2. Fie;0dou  caractere aso ciate la dou  reprezen t ri ireductibile
neec hiv alen te ale un ui grup nit G p este un corp K a c rui caracteristic  n u divide
|G|. A tunci,
i)<;0>= 0 .
Dac K este algebric înc his, atunci
ii)<;> = 1 .
Demonstr aµie. Fiet;t0dou  reprezen t ri matriciale ireductibile neec hiv alen te ale
c ror caractere sun t  , resp ectiv, 0. A v em:
<;0>=1
jGjX
g2G(g)0(g1) =1
jGjX
i;j(X
gtii(g)t0
jj(g1)) = 0 (3.45)
Dac K este algebric înc his obt , inem:
<;> =1
jGjX
g2G(g)(g1) =1
jGjX
g2Gtii(g)tjj(g1))
=1
jGjdtX
i;jjGj
dtij= 1;(3.46)
dt este gradul lui t .
36

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Coloral 3.5.1.3. Dou  reprezen t ri ireductibile ale un ui grup nit G p este un
corp algebric înc his K a c rui caracteristic  n u divide jGj sun t ec hiv alen te dac  s , i
n umai dac  au acelas , i caracter.
Demonstr aµie. Fiet;t0dou  reprezen t ri ireductibile ale lui G p esteK . Dac t;t0
sun t ec hiv alen te, atunci au acelas , i caracter . Recipro c, dac  t;t0sun t neec hiv alen te
s, i au acelas , i caracter, adic  t=t0 , atunci:
0 =<t;t0>=<t;t>= 1 (3.47)
ceea ce este absurd.
Coloral 3.5.1.4. Caracterele, ireductibile distincte ale un ui grup nit G p este
un corp algebric înc his K a c rui caracteristic  n u divide jGj formeaz  un sistem
K liniar indep enden t în F(G;K ) .
Demonstr aµie. Fie1;:::;r o m ult , ime nit  de caractere ireductibile distincte
ale luiG p esteK s, ia1;:::;ar scalari dinK astfel încât
rX
i=1aii= 0: (3.48)
A tunci a v em
aj=X
iai<i;j>=<0;j>= 0 (3.49)
p en tru orice j= 1;:::;r .
Coloral 3.5.1.5. FieG un grup nit a v ând s clase de conjugare s , iK un corp
algebric înc his a c rui caracteristic  n u divide jGj . A tunci, exist  cel m ult s
caractere ireductibile ale lui G p esteK . În cazul de fat  exist  cel m ult s tipuri
de reprezen t ri ireductibile ale lui G p esteK .
Coloral 3.5.1.6. FieG s, iK ca s , i în corolarul preceden t, treg reprezen tarea re-
gulat  (stanga) a lui G p esteK , iart1;:::;tr reprezen t ri ireductibile de grade
d1;:::;dr ale luiG p esteK , astfel încât caracterele lor 1;:::;r formeaz  m ult , imea
tuturor caracterelor ireductibile (distincte) ale lui G p esteK . A tunci:
i) exist  în tregii nenegativi c1;:::;cr astfel încât ci
1K=di
1K (adic c1d1
mo dulo caracteristica lui K ) s , itregPr
i=1citi:
37

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
ii)(Pr
i=1d2
i)
1K=jGj
1K ;
iii)(Pr
i=1dii)(g) = 0 p en tru tot , ig6= 1;g2G .
Demonstr aµie. Conform Corolarului exist  în tregii c1;:::;cr0 astfel încâttreg
r
i=1citi . A v em:
cj
1K=hrX
i=1cii;ji=hreg;ji=1
jGjX
g2Greg(g)j(g1)
=1
jGj(jGjj(1)) =dj
1K(3.50)
Rezult :
reg=rX
i=1cii=rX
i=1dii (3.51)
s, i deci
(rX
i=1dii)(g) =(
jGj1K dac  g= 1;
0; dac  g6= 1:(3.52)
Prin urmare a v em ii) s , i iii).
Fie o reprezen tare oarecare t a luiG p esteK , exist  în tregii nenegativi c1;:::;cr
0 astfel încât tregr
i=1citi .
Dac  este caracterul lui t , atunci a v em =Pr
i=1cii . Ar t m c  ci
1K=<
;i>
1K . Dac K are caracteristica zero, obt , inemci=<;i> si prin urmare
n um rul de câte ori apare ti în descompunerea lui t n u depinde de descompunerea
dat .
Prop oziµie 3.5.1. FieG s, iK;C 1= 1;:::;C 8 clasele de congruen t  ale lui G iar
(1);:::;(r)m ult , imea caracterelor ireductibile ale lui G p esteK . A tunci:
srX
i=1(i)(g)(i)(h1) =(
G
jCjjdac  g;h2Cj;j= 1;:::;s;
0 dac  g sih nu sunt c onjugate ;(3.53)
jCjj noteaz  n umarul de elemen te din clasa Cj .
38

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Demonstr aµie. Fiet(1);:::;t(r)reprezen t rile ireductibile ale lui G p esteK ale
c ror caractere sun t exact (1);:::;(r). FieBij=P
g2Cjt(i)(g);i= 1;:::;r ;j=
1;:::;s oricare ar  h2G a v em:
Bijt(i)(h) =X
g2Cjt(i)(gh) =X
g02Cjht(i)(g0) =X
g02hCjt(i)(g0)
=X
g2Cjt(i)(hg) =t(i)(h)Bij(3.54)
deoareceCjh=hCj rezult Bij=aEdi;di=i(1) p en tru una2K rezult 
adi=TrBij=X
g2Cj(i)(g) =jCjj(i)(Cj): (3.55)
undedi noteaza gradul lui t(i). A v em:
Bij=jCjj
di(i)(Cj)Edi: (3.56)
Fie(hijk) co ecient , ii de înm ult , ire ai claselor de conjugare ale lui G . A v em
CiCj=P
khijkCk rezult :
BijBil=sX
k=1hjlkBik;i= 1;:::;r;j;l = 1;:::;s: (3.57)
rezult :
jCjj
di(i)(Cj)
jClj
di(i)(Cl) =sX
k=1hjlkjCkj
di(i)(Ck): (3.58)
A dun m dupa i s, i obt , inem:
jCjjjCljrX
i=1(i)(Cj)(i)(Cl) =sX
k=1hjlkjCkjrX
i=1di(i)(Ck)
=hjl1jC1j=rX
i=1d2
i=hjl1jGj;(3.59)
39

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Darhjl16= 0 doar cândC1
j=Cl s, ihjl1=jCjj=jClj . Prin urmare, dac  g2Cj
s, ih12Cl a v em:
jCjjjCljX
i(i)(g)(i)(h1) =jCjjjGjjl: (3.60)
T eorem  3.5.2 ( T eorema fundamen tal  a reprezen t rilor ) . FieG un grup
nit s , iK un c orp algebric închis a c  rui c ar acteristic   nu divide jGj . A tunci, nu-
m rul tipurilor de r epr ezent ri ir e ductibile ale lui G p esteK c oincide cu num rul
claselor de c ongruent ,   ale luiG .
Demonstr aµie. Fie(i);:::;(r)caracterele ireductibile ale lui G p esteK s, iC1;:::;Cs
clasele de conjugare ale lui G . A v emrs .Ar t m c  v ectorii
zj=
(1)(Cj);:::;(r)(Cj)

2Kr;j= 1;:::;s; (3.61)
formeaz  un sistem K liniar indep enden t. Fie (aj)j scalari din K astfel încâtPs
j=1ajzj= 0 , adic 
sX
j=1aj(i)(Cj) = 0;i= 1;:::;r: (3.62)
Înm ult , im cu(i)(C1
l) s, i sum m dupa i. Obt , inem:
0 =sX
j=1ajrX
i=1(i)(Cj)(i)(C1
l) =sX
j=1ajjGj
jCjjjl=aljGj
jCjj(3.63)
Decial= 0;l= 1;:::;s .
FieG=P
3;K=C . Subgrupul com utator G0al luiG este de indice 2 ;
G0=f(1);(123);(132)g rezult  c G are dou  caractere de gradul în tâi: un ul este
caracterul unitate (1);g 1 , celalalt ind signatura (2);g (1)(g), unde(g)
noteaz  n umarul de in v ersiuni al p erm ut rii g . Al treilea caracter ireductibil (P
3
are trei clase de congruent ,  )(3)are gradul doi în trucât 22+ 12+ 12= 6 =jGj .
40

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
A v em:
0 =3X
i=1(i)((1))(i)((12)) = 11 + 1(1) + 2(3)((12)); (3.64)
de unde rezult  (3)((1;2)) = 0 . Obt , inem:
11 + 11 + 2(3)((123)) = 0
(3)((123)) =1:(3.65)
T eoria grupurilor nite presupune descrierea tuturor tipurilor de grupuri -
nite. În ceea ce priv es , te grupurile ab eliene, se p ermite descrierea tuturor tipurilor
deCG -mo dule care sun t spat , ii liniare complexe de dimensiune nit . P en tru
orice grup nit G exist  un n umar nit de CG -mo dule reductibile, toate celelalte
CG mo dule ind sume directe .
În cazulG=P
3 le v om construi efectiv.
FieE1CP
3 mo dulul obt , in ut din (C;+) cu structura trivial  (P
iigi=P
i(i ) s , iE2CP
3 mo dulul obt , in ut din (C;+) cu înm ult , irea extern  (P
(iigi))=P
(i(1)(i)((gi))) , unde(gi) noteaz  signatura p erm ut rii. Eviden t, E1;E2
sun tP
3 mo dule ireductibile neizomorfe corespunzatoare la (1);(2). P en tru
a deni mo dulul E3 corespunz tor lui (3)trebuie s  cunoas , tem o reprezen tare
matricial  de caracter (3)(în primele dou  cazuri, caracterul se iden tic  cu re-
prezen tarea sa matricial , dar p en tru caractere de grad 2 problema p oate 
dicil ). Matricile
u=

1 0
01

v=

1
2p
3
2
p
3
21
2

(3.66)
genereaz  în GL 2(C) un subgrup necom utativ cu s , ase elemen te iar aplicat , iaeT:P
3!GL 2(C);(12)!u;(123)!v constituie o reprezen tare matricial  a luiP
3
de gradul al doilea al c rui caracter coincide cu (3). Se ia al treilea CP
3 mo dul
ireductibilE3 ca ind mo dulul obt , in ut din C spat , iul liniar C2cu structura indus 
deT , de(12)
(1;2) = (1;2);(123)
(1;2) = (1
21+p
3
22;p
3
211
22) .
41

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
T eorem  3.5.3. FieG un grup nit, K un c orp algebric închis de c ar acteristic  
zer o,f(i)gi=1;:::;rKG mo dulele ir e ductibile ale lui G p esteK ,fE(i)gi=1;:::;r
KG mo dulele ir e ductibile c or espunz to ar e c ar acter elor f(i)g s, iT o r epr ezentar e
a luiG într-unK sp at , iu liniarV . A tunci:
i)V este suma dir e ct  a unor sub KG mo dule ale salefV(i)gi=1;:::;r cu prprie-
tate a c   e c ar e V(l)este la r ândul s u suma dir e ct  de c opii ale lui E(i) pr oprietate
c ar e le determin  în mo d unic;
ii) aplic at , iile
i:=(i)(1)
jGjX
g2G(i)(g1)eT(g);i= 1;:::;r: (3.67)
c onstituie un sistem orto gonal c omplet de pr oie ctori c ar e denes , te desc ompu-
ner e aV=Vi dar avemVi= Imi .
Demonstr aµie. FieEV un subKG mo dul ireductibil al lui V .i:V!V
este un omomorsm de KG mo dule iarijW constituie o omotetie a lui W dat 
de(i)(1)
(1)<(i);> , unde noteaz  caracterul lui eTjW . Rezult :
ijW=(
0 dac a6=(i);
1W dac a=(i):(3.68)
Submo dulul V(i)= Imi cont , ine n umai submo dule ireductibile izomorfe cu E(i)
s, i este suma direct  de copii ale lui E(i). Din 3.68 rezult :
ij=iij;X
ii= 1V; (3.69)
V ind o suma direct  de submo dule ireductibile. Deci figi formeaz  un sistem
ortogonal complet de proiectori s , i în particular a v em
V=r
i=1V(i)(3.70)
Dat  ind o alt  descompunere de tip i) a lui V;V =iV0(i)deducem din 3.68 c 
ijV0(i)=(
0 dac  i6=j
1W dac  i=j(3.71)
rezult V0(i)=V(i).
42

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
3.6 Reprezen tari p este corpul n umerelor complexe
T eorem  3.6.1. FieT o r epr ezentar e matricial  a unui grup nit G , c ar acterul
s u s , ig un element o ar e c ar e din G . A tunci:
i)(g) =!1+


+!d , unded=(1) este gr adul r epr ezent rii iar !1;:::;!d
sunt r ad cini de or din o(g) ale unit t , ii;
ii)j(g)jd ;
iii)(g1) =(g) , unde "" note az  c onjugar e a c omplex ;
iv)j(g)j=d dac   s , i numai dac  eT(g) este o matric e sc alar a, adic   eT(g) =aEd
p entru una2C ; în ac est c az, eT(g)2Z(ImeT) ;
v)(g) =d dac   s , i numai dac   eT(g) este matric e a unitate;
vi)KereT=f2Gj() =dg .
Demonstr aµie. SubgrupuleT(<g> )GLaC este conjugat cu un subgrup format
din matrici diagonale. Se sc him b  eT cu o reprezen tare ec hiv alen t  putem presu-
pune p en tru momen t ca eT(< g > ) este format din matrici diagonale. eT(g) are
forma
eT(g) =

!1 0
. . .
0!d

(3.72)
s, i deoareceeT(g)o(g)=Ed rezult !o(g)
i= 1 . Eviden t a v em i) s , i deci
j(g)j=j!1+


+!djj!1j+


+j!dj=d; (3.73)
adic  ii).
Inegalitatea din 3.73 devine egalitate dac  s , i n umai dac  tot , i!i sun t egali
(eviden t, suma geometric  a dou  puncte de p e cercul cu raza unitate este un
punct de mo dul doi n umai în cazul când punctele coincid). Rezult  eT(g) =!Ed .
Dac (g) =d , obt , inem din iv) d!=d rezult != 1 , adic  v). Prin urmare,
rezult  vi).
43

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
A v em!
i=!i rezult 
(g1) =Tr(eT(g1)) =!1
1+


+!1
d=!1+


+!d=(g): (3.74)
Subgrupulf2Gj() =(1)gEG se n umes , te n ucleul caracterului  s, i se
noteaz  prin Ker .
Prop oziµie 3.6.1. FieH un subgrup normal al un ui grup nit G. A tunci, exist  o
coresp ondent ,   biuniv o c  în tre m ult , imea caracterelor ireductibile f(i)gi=1;:::;s ale
grupului factor GjH s, i m ult , imea caracterelor ireductibile f(i)gi=1;:::;s ale luiG al
c ror n ucleu cont , ineH , iarH=\s
i=1Ker(i).
Demonstr aµie. Fiep:G!GjH surject , ia canonic  s , ifeT(i)
gi=1;:::;s reprezen t rile
ireductibile ale lui GjH . A tuncieT(i)=eT(i)
p constituie reprezen t ri ireductibile
ale luiG s, i, eviden t, aso cierea !p denes , te coresp ondent , a cautat . P e de
alt  parte, reprezen tarea regulat  a lui GjH are n ucleul trivial ; Kerreg=fHg
. Deoarecereg=Ps
i=1di(i)rezult :
fHg= Kerreg=\s
i=1Ker(i)(3.75)
dar
H=\s
i=1Ker((i)p) =\s
i=1Ker(i): (3.76)
FieR un inel com utativ cu unitate de caracteristica zero. Un elemen t 2R
se n umes , te într e g algebric dac  exist  n umerele în tregi (rat , ionale)a12Z;i=
1;:::;n , astfel încât
n+nX
i=1ain1= 0; (3.77)
0noteaz  ca de obicei 1R .
Lema 3.6.2. Urm toarele armat , ii sun t ec hiv alen te p en tru 2R :
i)x este în treg algebric;
ii) inelul Z[] generat dex înR este nit generat ca grup aditiv;
iii) exist  un subinel R0R care cont , inex s, i este nit generat ca grup aditiv.
44

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Demonstr aµie. i)=) ii) Înlo cuim toate puterile lui  prin expresii de formaPn1
i=0bii;bi2Z s, i deciZ[] este generat def1R;;:::;n1g . P en truR0=Z[]
obt , inem ii) =) iii).
A dmitem acum iii)s , i er1;:::;rs un sistem de generatori ai grupului aditiv R0.
Rezult  exist  o ss matrice (aij) p esteZ astfel încât
ri=sX
j=1aijrj;i= 1;:::;s: (3.78)
MatriceaC=(jijaijj) satisfaceCri= 0 rezult  (detC )
ri= 0 oricare ar
i . Rezult  (detC )
R0= 0 s, i(detC ) = (detC )
10
R= 0 .
Coloral 3.6.2.1. Suma s , i pro dusul a doi în tregi algebrici sun t înc  în tregi alge-
brici.În tregii algebrici formeaz  un subinel ~R înR . Dac R=Q atunci ~R=Z .
.
Demonstr aµie. Dac x;y sun t în tregi algebrici, atunci inelul Z[;y] generat dex;y
înR este nit generat ca grup rezult  +y;
y2Z[;y] sun t în tregi algebrici.
Dac =c
d;2Q(c;d) = 1 este un în treg algebric, a v em
cn+nX
i=1aicn1di= 0: (3.79)
Fiep un divizor primal lui d . Din 3.79 rezult  pjc s, i deci (c;d)p , ceea ce este
absurd. Prin urmare, Q n u cont , ine în tregi algebrici care n u sun t rat , ionali.
Prop oziµie 3.6.2. Fie un caracter ireductibil al un ui grup nit G s, iC o clas 
de conjugare în G . A tunci n umerele complexe:
f(g)gg2G;jCj(C)
(1)(3.80)
sun t în tregi algebrici.
Demonstr aµie. (g);g2G , sun t în tregi algebrici. Fie t:G!GL(V) o reprezen-
tare cu caracterul  . Consider m structura de CG mo dul dat  de t p e spat , iul
liniar complex V . Elemen tul e=P
g2Cg satisface
(eg)=X
g02eCg0=X
g02Ceg0= (ge) (3.81)
45

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
rezult  omotet , ia dat  dee p eCG mo dululV induce un omomorsm h:V!
V; e , rezult 
h=b
1 textit p en tru un an umit n um r complex b: (3.82)
A v em:X
2Ct(g)() =e=b;2V (3.83)
obt , inem:
jCj(C) =X
g2G(g) =b(1): (3.84)
 3.81ind de gradul lui t .
Ar t m c  b este un în treg algebric. Inelul Z[G] generat în QG de elemen tele
luiG este ca grup un grup ab elian lib er de baza G . Prin urmare, elemen tele sale
sun t toate în tregi algebrici. Rezult :
0 = (en+nX
i=1aien1)= (bn+nX
i=1aibn1);2V: (3.85)
V ind un C spat , iu liniar, din 3.85 obt , inem:
bn+nX
i=1aibn1= 0: (3.86)
T eorem  3.6.3. Gr adul unui c ar acter ir e ductibil al unui grup nit divide or dinul
grupului.
Demonstr aµie. Fie un caracter ireductibil al un ui grup nit G a v ând clasele de
congruent ,  C1;:::;C 8 .
sX
i=1jCij(Ci)(C1
i) =X
g2G(g)(g1) =jGj<;jGj: (3.87)
46

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Num rul rat , ional:
jGj=((1)) =sX
i=1(jCij(Ci)
(1))(C1
i) (3.88)
este în treg algebric rezult  este un în treg rat , ional. Prin urmare (1)jjGj .
Lema 3.6.4. Fie un caracter oarecare al un ui grup nit. A tunci <;> este
un n um r natural iar h;i= 1 dac  s , i n umai dac   este ireductibil.
Demonstr aµie. Scriem ca o sum  de caractere ireductibile; e =Pr
i=1mi(i);mi
ind n umere naturale. Deci h;i=Pr
i;j=1mimjh(i);(j)i=Pmimjij=Pm2
i este un n um r natural. Eviden t h;i= 1 n umai dac  r= 1 iarm1= 1 ,
adic =(1).
T eorem  3.6.5. Gr adul unui c ar acter ir e ductibil al unui grup nit G de c entru
C dividejG:Cj .
Demonstr aµie. Fiet o reprezen tare ireductibil  a lui G în spat , iul liniar com-
plexV s, in un n um r natural. Fie E=fe1;:::;emg o baz  a lui V s, iW=
1i1;:::;i nmC(ei1;:::;ein) spat , iul liniar complex de baz  E


|{z}
n oriE . Presupu-
nemt dat matricial în baza E prin:
t(g)ej=mX
i=1tij(g)ei;j= 1;:::;m (3.89)
s, i denim o reprezen tare t(n)aluiH :=G


|{z}
n oriG înW prin:
t(n)(g1;:::;gn)(ej1;:::;ejn) =X
1i1;:::;i (n)mti1j1(g1)




tinjn(gn)
(ei1;:::;ein):
(3.90)
W este pro dusul tensorial Eniart(n)este dat de g t(g)




|{z}
n orit(g) . Carac-
terul(n)al luit(n)este dat prin:
(n)(g1;:::;gn) =X
1i1;:::;i nmti1i1(g1):::tinin(gn) =(g1):::(gn); (3.91)
47

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
 noteaz  caracterul lui t . Reprezen tarea t(n)este ireductibil  în trucat
h(n);(n)iH=1
jGjnX
g1;:::;g n2G((g1):::(gn))((g1
1):::(g1
n)) ==h;iG:::h;iG= 1
(3.92)
FieH0subgrupul lui H generat def(g1;:::;gn)jg1:::gn= 1 s, ig12C p en tru
oriceig .H0este subgrup normal în H de ordinjCjn1cont , in ut în Kert(n).t(n)
induce o reprezen tare t0:HjH0!AutW denit  prin hH0!t(n)h . Ea este
ireductibil  p en tru c  t(n)este ireductibil , obt , inem:
(1)n=n(1) textit dividejHjH0j=jGjn=jCjn1: (3.93)
Oricare ar  n;(jGj=(1)jCj)n2Z
1=jCj s, i deci Z[u];u:=jGj=(1)jCj este
un subinel în Q nit generat ca grup (generat de un singur elemen t astfel încât
Z1
jCj=Z ).u este în treg algebric, rezult  u2Z rezult (1)jjG:Cj .
Prop oziµie 3.6.3. FieP un p olinom cu co ecien ti în tregi în tr-o v ariabil , iar 
un caracter al un ui grup nit G . A tunci, n um rul în treg q=P
g2GP((g)) este
un m ultiplu al lui jGj .
Demonstr aµie. Presupunem P=X . Fie(1)caracterul trivial al lui G . Rezult X
g2G(g) =X
g2G(g)(1)(g)(1)=jGjh;(1)i: (3.94)
Darh;(1)i este un n umar natural
X
g2G(g)0(modjGj): (3.95)
FieP=Xn;n2N . Consider m caracterul (n)al grupului H=G


G|{z}
n
indus de . Fie4:G!H aplicat , ia diagonal  g!(g;:::;g ) . Eviden t,
0:=n4 este un caracter al lui G (n umit puterea na a lui ) care v eric 
0(g) =(g)n: (3.96)
Se aplic  3.95 caracterului 0s, i rezult 
X
g2G(g)n0(modjGj): (3.97)
48

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Rezultatul este o consecin t  al lui 3.97 tinând con t c  orice p olinom este o sum 
de monoame de forma aXn.
Prop oziµie 3.6.4. Fie G un grup nit, C1;:::;Cr clasele sale de conjugare s , ihijk
co ecient , ii lor de înm ult , ire. A tunci, o funct , ie cen tral f:G!C este un caracter
ireductibil dac  s , i n umai dac  f satisface:
i)hf;fi= 1 ;
ii)f(1) este un n um r real strict p ozitiv;
iii) matricea p olinomial  A(Y) :=Pr
i=1hijkYi

jkp este inelul C[Y] admite p e
(Y) =Pr
i=1Cif(Ci)
f(1)Yi drept v aloare proprie, adic  (Y) este o solut , ie a p olino-
m ului caracteristic detjXErA(Y)j= 0;Er indrr matricea unitate.
Demonstr aµie. Fief un caracter ireductibil. A tunci el satisface i), ii).Rezult :
jCijf(Ci)
f(1)
jCjjf(Cj)
f(1)=rX
k=1hijkjCkjf(Ck)
f(1): (3.98)
Înm ult , im cuYi s, i sum m dup  i deducem:
(Y)jCjjf(Cj)
f(1)=rX
k=1ajkjCkjf(Ck)
f(1); (3.99)
undeajk noteaz  elemen tul lui A(Y ) de p ozit , ie(j;k) . 3.99 spune c  sistem ul liniar
omogen
rX
k=1((Y)jkajk)Zk= 0;j= 1;:::;r; (3.100)
are o solut , ie nen ul jCkjf(Ck)
f(1)

kînC s, i prin urmare detj(Y)jkajkj= 0 .
Fief o funct , ie cen tral  care satisface i), ii) s , i iii). Caracterele ireductibile
(i);:::;(r)ale luiG formeaz  o baz  în F(G;C) s, idetj(i)(Cj)j6= 0 . Prin
urmare a v em detjjCjj(i)(Cj)
(i)(1)j6= 0 s, i rezult  distincte p olinoamele
i(Y) =X
jCj(i)(Cj)
(i)(1)Yj;j= 1;:::;r: (3.101)
49

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
P en tru c (i)este un caracter ireductibil, el v eric  iii), rezult  i(Y) este o
v aloare proprie a lui A(Y) . A v em
detjXEA(Y)j=rY
i=1(Xi(Y)): (3.102)
Dac f satisface iii), obt , inem(Y) o v aloare proprie a lui A(Y) s, i a v em(Y) =
i(Y) p en tru uni= 1;:::;r :
rX
j=1Cj(i)(Cj)
(i)(1)Yj=rX
j=1Cjf(Cj)
f(1)Yj: (3.103)
Rezult 
f(Cj)(i)(1) =f(1)(i)(Cj);j= 1;:::;r (3.104)
f este prop ort , ional cu(i), adic f=t(i);t2C . Din i) obt , inem:
1 =hf;fi=t2h(i);(i)i=t2(3.105)
s, i, deducem t=1 . Îns t>0 rezult f(i).
3.7 T ab ele de caractere
FieG un grup nit, C1;:::;Cr clasele sale de conjugare, (hijk) co ecient , ii lor de
înm ult , ire, iar(1);:::;(r)caracterele sale ireductibile. Matricea ((i)(Cj))i;j=1;:::;r
se n umes , te tab el de c ar acter e al grupului G . Sc him bând ordinea n umerot rii cla-
selor de conjugare sau a caracterelor obt , inem alte tab ele de caractere. De obicei
not m prin (1)caracterul trivial al lui G s, i lu mC1= 1 .
Propriet t , ile de baz  ale caracterelor:
1. Prima relat , ie de ortogonalitate :
rX
k=1jCkj(i)(Ck)(j)(Ck) =jGjh(i);(j)i=jGjij: (3.106)
50

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
2. A doua relat , ie de ortogonalitate:
rX
i=1(i)(Ck)(i)(Cj) =jGj
jCjjjk: (3.107)
3. Relat , ia din tre caractere s , i co ecient , ii de înm ult , ire:
jCjj(i)(Cj)
(i)(1)jCej(i)(Ce)
(i)(1)=rX
k=1hjekjCkj(i)(Ck)
(i)(1): (3.108)
4. Numerele complexe(
(i)(g);jCjj(i)(Cj)
(i)(1)g2G; i;j = 1;:::;r)
(3.109)
sun t în tregi algebrici.
5.(i)(1) este gradul caracterului (i)s, i a v emPr
i=1(i)(1)2=jGj
6.(i)(1) dividejG:Z(G)j .
Prop oziµie 3.7.1. Exist  un algoritm care aso ciaz  oric rui grup nit G tab elul
s u de caractere.
Demonstr aµie. Fiind datG se p ot determina clasele sale de conjugare Ci s, i co ecient , ii
i=rX
j=1bijYj;i= 1;:::;r ;
bij=jCjj(i)(Cj)
(i)(1)2C:(3.110)
Putem determina bij;i ind solutiile p olinom ului detjXEAj= 0 . Carac-
terele ireductibile se p ot determina din relat , ia
(i)(Cj) =b(ij)(i)(1)
jCjj(3.111)
A v em:
1 =h(i);(i)i=(i)(1)2
jGjrX
k=1b(ijbij)
jCjj; (3.112)
de unde putem aa (i)(1) .
51

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
P en tru exemplicare, e G=D4=hu;vi;u4= 1;v2= 1;vuv =u3, gru-
pul diedral de grad 4 . GrupulG are cinci clase de conjugare: C1=f1g;C2=
fu2g;C3==fu;u3g;C4=fv;vu2g;C5=fvu;vu3g care satisfac relat , iile:
8
<
:C1Cj=Cj(1j5); C 2C2=C1; C 2Ci=Ci(3i5);
C3C3= 2(C1+C2); C 3C4= 2C5; C 3C5= 2C4;
C4C4= 2(C1+C2); C 4C5= 2C3; C 5C5= 2(C1+C2):(3.113)
MatriceaM=jXEAj are în acest caz forma:

XY1Y2Y3Y4Y5
Y2XY1Y3Y4Y5
2Y32Y3XY1Y22Y52Y4
2Y42Y42Y5XY1Y22Y3
2Y52Y52Y32Y3XY1Y2

(3.114)
Sc dem coloana a doua din prima s , i ap oi adun m linia în tâi la linia a doua
obt , inem:
detM = (XY1+Y2)detM 1; unde (3.115)
M1=

XY1Y22Y32Y42Y5
2Y3XY1Y22Y52Y4
2Y42Y5XY1Y22Y3
2Y52Y42Y3XY1Y2

: (3.116)
A dunând in M1 toate liniile la prima linie s , i sc zând prima coloan  din celelalte
obt , inem:
detM 1= (XY1Y22Y32Y42Y5)detM 2 (3.117)
undeM2 este urmatoarea matrice

XY1Y2+ 2Y3 2(Y3Y5) 2( Y3Y4)
2(Y4Y5)XY1Y2+ 2Y42(Y3Y4)
2(Y4Y5)2(Y3Y5)XY1Y2+ 2Y5

(3.118)
52

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
A dunând în M2 a doua linie la a treia s , i sc zând ultima coloan  din a doua
deducem:
detM 2= (XY1Y2+ 2Y52Y3+ 2Y4)detM 3;unde (3.119)
M3=

XY1Y2+ 2Y3 2(Y4Y5)
2(Y4Y5)XY1Y2+ 2Y3

: (3.120)
Rezult M are urmatoarele v alori proprii:
1=Y1+Y2+ 2Y3+ 2Y4+ 2Y5;
2=Y1+Y22Y3+ 2Y42Y5;
3=Y1+Y2+ 2Y32Y42Y5;
4=Y1+Y22Y32Y4+ 2Y5;
5=Y1Y2:(3.121)
care denesc co ecient , iibij . Rezult :
(i)(1) = 1 p entrui<5 s, i(5)(1) = 2; (3.122)
obt , inem tab elul complet al caracterelor lui D4 :

1 1 1 1 1
1 11 11
1 1 111
1 111 1
22 0 0 0

T ab ela 3.1: T ab elul complet al caracterelor lui D4
T ab elul de caractere al un ui grup G este p erfect determinat de co ecient , ii de
înm ult , irehijk .jCjj coincide cu hjj01 , undej0se alege astfel încât Cj0= (Cj)1s, i
53

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
jGj=Pr
j=1jCjj . Dac  dou  grupuri au aceias , i co ecient , i de înm ult , ire ai claselor
de conjugare, au acelas , i tab el de caractere.
FieG grupul cuaternionilor G=h1;u;v;wi;u2=v2=w2=1;uv=
vu==w;vw =wv=u;wu =uw=v .G are sase clase de conjugare:
C1=f1g;C2=f1g;C3=fu;ug;C4=fv;vg;C5=fw;wg: (3.123)
Grupul diedral D4 s, i grupul cuaternionilor prezin t  aceias , i co ecient , i de înm ult , ire,
ceea ce înseamn  c  au acelas , i tab el de caractere; dou  grupuri neizomorfe p ot
a v ea acelas , i tab el de caractere.
Prop oziµie 3.7.2. A v ând tab elul de caractere al un ui grup nit G putem deter-
mina urmatoarele:
i) gradele caracterelor ireductibile ale lui G ;
ii)jGj ;
iii) ordinele cen tralizatorilor elemen telor;
iv) ordinele claselor de conjugare ale elemen telor;
v) subgrupurile normale ale lui G ca reuniune de clase de conjugare:
Exemplu 3.7.1. Z(G) este r euniune a claselor de c onjugar e de or dinul întâi,
iar sub grupul c omutator G0este r euniune a claselor de c onjugar e incluse in
nucle ele tutur or c ar acter elor de gr adul întai ale lui G ;
vi) co ecient , iihijk de înm ult , ire ai claselor de conjugare;
vii) tabla de înm ult , ire a luiZ(G) .
Dou  grupuri nite au acelas , i tab el de caractere dac  s , i n umai dac  au aceias , i
co ecient , i de înm ult , ire ai claselor de conjugare.
Demonstr aµie. Gradele caracterelor ireductibile sun t trecute în prima coloan  ele
ind(i)(1) . Rezult jGj=Pr
i=1(i)(1)2. FieCG()  cen tralizatorul elemen tului
2Cj . A v em:
jCG()j=jGj
jCjj=rX
i=1(i)(Cj)(i)(Cj) =rX
i=1j(i)(Cj)j2(3.124)
54

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
subgrupurile normale sun t in tersect , ii de n uclee ale caracterelor ireductibile ale lui
G , care p ot  citite us , or p e tab el. În particular, G0este reuniunea acelor clase de
conjugareCj p en tru care (i)(Cj) = 1 oricare ar  caracterul de grad un u  al lui
G . În nal obt , inem:
hjltjGj=jCjjjCljrX
i=1((i)(Cj)((i)(C1)(i)(Ct)))
(i)(1): (3.125)
Rezult  c  (hilt) p ot  determinat , i. Ei denesc complet înm ult , irea elemen telor
dinZ(G) , deoarece clasa de conjugare a un ui elemen t din Z(G) se reduce la acel
elemen t.
Determin m subgrupurile normale ale grupului G al cuaternionilor. A cestea
sun t:
G= Ker(1);C1[C2[C3= Ker(3);C1[C2[C4
= Ker(2);C1[C2[C5= Ker(4);C1[C2
= Ker(2)\Ker(3);1 =C1= Ker(5):(3.126)
Sc hema subgrupurilor normale ale lui G este dat  în urmatoarea gura:
Exemplu 3.7.2. CazulG=P
4 . Sunt cinci clase de c onjugar e C1=f1g;C2=
f2ciclciig;C3=f3cicliig;C4=f4cicliig;C5=f(12)(34);(13)(24);(14)(23)g .
Evident,H=C1[C5 forme az  un sub grup normal în G , iarGjH ind ne c omuta-
tiv este izomorf cuP
3 . Car acter ele ir e ductibile ale luiP
3 induc prin c ompuner e
cu aplic at , iaG!GjH=P
3 c ar acter ele ir e ductibile (1);(2);(3)denite în
urm torul tab el:
C1C2C3C4C5
(1)1 1 1 1 1
(2)11111
(3)2 010 2
T ab ela 3.2: Caracterele ireductibile ale luiP
3
55

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Figura 3.1: Sc hema subgrupurilor normale ale lui G
Se c aut  c ar acter ele (4)s, i(5).
Obt , inem(4)(1) =(5)(1) = 3 . A vem:
5X
i=1(i)(Cj)(i)(C1) = 0;j= 2;:::; 5 (3.127)
r ezult :
(5)(Cj) =(4)(Cj) p entruj= 2;3;4;
(5)(C5) =2(4)(C5):(3.128)
56

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
p entruj= 1;2;3 s, ii= 4 :
113 + 61(4)(C2) + 81(4)(C3) + 61
(4)(C4) + 31(4)(C5) = 0;
113 + 6(1)(4)(C2) + 81(4)(C3) + 6
(1)(4)(C4) + 3(4)(C5) = 0;
123 + 60(4)(C2) + 8(1)(4)(C3) + 6
0(4)(C4) + 32(4)(C5) = 0(3.129)
Se r ezolv  sistemul liniar 3.129 ap oi se aplic   3.128 obt , inem într e g tab elul de
c ar acter e:

1 1 1 1 1
11 11 1
2 01 0 2
3 1 011
31 0 11

T ab ela 3.3: T ab el de caractere
3.8 Aplicat , ii la grupuri rezolubile
T eorema Burnside este o aplicat , ie a teoriei reprezen t rilor.
Lema 3.8.1. Fie un caracter ireductibil al lui G de gradm s, iC o clas  de
conjugare în G al c rei ordin este prim cu m . A tunci,(C) = 0 sauj(C)j=m .
Demonstr aµie. Prin ip otezajCj este primcu m exist  n umerele în tregi u;v astfel
încâtujCj+vm= 1 . Rezult  :
:=(C)
(1)=u
jCj(C)
(1)!
+v(C) (3.130)
este un în treg algebric ceea ce înseamn  c   satisface o ecuat , ie p olinomial  de grad
minim. Rad cinile acestei ecuat , ii=1;2;:::;n se n umesc c onjugat , i algebrici
57

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
ai lui iar ecarei este imaginea lui  prin tr-un automorsm al corpului complex.
F olosind form ulele lui Viéte rezult  c Qn
i=1i= (1)nan este un n um r în treg
a cu v aloarea absolut  1 , rezult janj n u p oate  decât 0 sau1 ; dac  este 0
obt , inem(C) = 0 , iar dac  este 1 se obt , inej(C)j=(1) =m .
Prop oziµie 3.8.1. FieG un grup nit în care ordin ul unei clase de conjugare este
puterea (nen ul ) a un ui n umar prim. A tunci G n u este simplu.
Demonstr aµie. Fie(1);:::;(r)toate caracterele ireductibile ale lui G ,(1)ind
ca de obicei caracterul s u trivial s , iC o clas  de conjugare în G al c rei ordinjCj
este o putere nen ul  a n um rului prim p . Obt , inem:
1 +rX
i=1(i)(C)(i)(1) = 0; (3.131)
de unde rezult  c  n um rul complex
1
p
rX
i=2(i)(C)(i)(1) =1
p(3.132)
n u este în treg algebric rezult  c  exist  un j2 p en tru care
a:=((j)(C)(j)(1))
p(3.133)
n u este un în treg algebric. A v em (j)(C)6= 0 ³ip-(j)(1) p en tru c a este un
în treg algebric. F olosind lema preceden t  obt , inemj(j)(C)j=(j)(1) .
FieH= Ker(j);H este subgrup normal a v em CHZ(GjH) . DeciH6= 1
p en tru c , în caz con trar rezult  CZ(G) s, ijCj= 1 . De asemenea, H6=G
deoarece(j)n u este caracterul, deci G n u este simplu.
T eorem  3.8.2 ( T eorema Burnsi ) . Oric e grup de or din paqb;p;q ind numer e
prime, este r ezolubil.
Demonstr aµie. Se aplic  induct , ia dup jGj . Grupurile de ordin pasun t rezolubile
s, i putem considera p6=q s, iab > 0 . FieH p subgrupul Sylo w al grupului G
s, i alegem un elemen t 2Z(H)n1 . Clasa de conjugare C a lui are ordin ul
jCj==jG:CG()j=qbde unde rezult  c  G n u este simplu.
58

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
FieKEG un subgrup normal în G . A tunci grupurile K;GjH sun t rezolubile
conform ip otezei de induct , ie s , i prin urmare G este rezolubil.
3.9 Reprezen t ri unitare
FieV un spatiu liniar complex. O funct , ie(;) :VV!C se n umes , te form 
hermitic   p eV dac  satisface urmatoarele propriet t , i:
i)(;y) =(y;) ;
ii)(a;y ) =a(;y) ;
iii)(1+2;y) = (1;y) + (2;y)
Oricare ar  1;2;;y2V;a2C .
Din i) rezult  (;) =(;) , deci (;)2R p en tru orice 2V . O form 
hermitic  se n umeste p ozitiv denitiv  dac  satisface :
iv)(;)0 p en tru orice 2V s, i(;) = 0 doar dac = 0 .
O form  hermitic  p ozitiv denit  se mai n umes , te pr o dus sc alar . Un spat , iu
liniar complex de dimensiune nit  înzestrat cu un pro dus scalar se n umes , te eu-
clidian . FieV un spat , iu euclidian. A tunci ;y2V se n umesc orto gonale s, i
se noteaz ?y dac  (;y) = 0 . Mai general, subm ult , imileS;eTV se n u-
mesc ortogonale scriindu-se S?eT , dac  (;y) = 0 p en tru orice 2S;y2eT .
O baz E= (ei)i=1;:::;n a luiV se n umes , te ortogonal  dac  hei;eji= 0 p en tru
i6=j s, i ortonormal  dac hei;eji=ij . Orice spat , iu euclidian admite o baz 
ortonormal  . O aplicat , ie liniar h:V!V se n umes , te unitar   sau op er ator
unitar dac  satisface
h(h);h(y)

= (;y) p en tru orice ;y2V . Un op erator
unitarh al luiV este izomorsm; el este injectiv p en tru c  din h() = 0 rezult 
(;) =
h();h()

= 0 s, i= 0 surjectiv deoarece o aplicat , ie liniar  injectiv  
V!V este s , i surjectiv  , cu V de dimensiunea nit . O matrice A2GLn(C) se
n umes , te unitar   dac A1este transpus  conjugatei lui A . Matricile unitare de
ordin n formeaz  un subgrup U(n) înGLn(C) .
59

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
FieV un spatiu euclidian. O reprezen tare T a un ui grup G înV se n umes , te
unitar   dac feT(g)gg2G sun t op eratori unitari. Fie WU un subspat , iu v ectorial
in v ariat deT , adic W este un subCG mo dul al lui V p en tru structura indus 
deT . A tunci, ortogonalul W?al luiW înVW?=f2Vj?Wg este in v ariat
deT . În tr-adev ar, dac  2W?atunci (eT(g)();y) = (;eT(g1)(y)) = 0
p en tru orice y2W rezult eT(g)()2W?. O reprezen tare matricial  t de
gradn a luiG se n umes , te unitar  dac  ImtU(n) . Reprezen tarea matricial 
aso ciat  unei reprezen t ri unitare în tr-o baz  ortonormal  este unitar . Fie T0o
alt  reprezen tare unitar  a lui G în tr-un spat , iu euclidian V0.T siT0se n umesc
unitar e chivalente dac  exist  un izomorsm (liniar) f:V!V0astfel încât:
i)(f();f(y))V0= (;y)V p en tru orice ;y2V ;
ii)eT0(g)f=feT(g) p en tru orice g2G .
T eorem  3.9.1. FieG un grup nit s , iT o r epr ezentar e a lui G într-un sp at , iu
liniar c omplex V . A tunci, exist  un pr o dus sc alar p e V p entru c ar e T devine
r epr ezentar e unitar a.
Demonstr aµie. P eV se p oate deni mereu un pro dus scalar.
Fie bazaE=fe1;:::;eng înV . P en tru=P
iaiei;y=Pbiei;ai;bi2C
denim:
(;y) =nX
i=1aibi: (3.134)
T n u este neap rat unitar relativ la (;) s, i de aceea denim un nou pro dus scalar
(;)0prin:
(;y)0=X
g2G(eT(g)();eT(g)(y));;y2V: (3.135)
Eviden t, a v em:
(eT(h)();eT(h)(y))0=X
g2G(eT(gh)();eT(gh)(y)) = (;y) (3.136)
rezult T este unitar  relativ la (;)0.
60

CAPITOLUL 3. REPREZENT €RI ALE GR UPURILOR
Coloral 3.9.1.1. Orice reprezen tare matricial  a un ui grup nit G este ec hiv alen t 
cu o reprezen tare matricial  unitar .
Lema 3.9.2. Fief:Rn!Rno aplicatie liniar  s , i unitar  în rap ort cu un pro dus
scalar (;) dat. A tunci Im(f1Rn) = Ker(f1Rn)?.
Demonstr aµie. Fie2Rns, iy2V= Ker(f1Rn) . A v em (f();y) = (f();f(y) =
(;y) rezult f()2V?, adicî Im(f1Rn)V?. Aplicat , iaf este liniar ,
rezult 
dimIm(f1Rn) =ndimV =dimV?; (3.137)
de unde rezult  Im(f1Rn) =V?.
61

Concluzie
Conceptul de grup a ap rut începând cu anii 1830. Dup  con tribut , ii v enite din
alte domenii, not , iunea de grup a fost generalizat  s , i a dev enit bine cunoscut  s , i
acceptat  p e la începutul an ului 1870. P en tru a explora grupurile, matematicienii
au pus la punct diferite not , iuni p en tru a descompune grupurile în p rt , i mai mici
s, i mai us , or de înt , eles, cum ar  subgrupurile. Sin tetizând în cuvin te cele discutate
în aceast  lucrare putem trage urmatoarele concluzii.
Lucrarea de fat ,   încearc  sa ofere o imagine de ansam blu asupra reprezen t rii
grupurilor si diferitelor feluri în care un grup p oate  concret exprimat. Subiectul
principal este dat de teoria reprezen t rilor liniare de grupuri nite, demonstrate de
Heinric h Masc hk e în an ul 1898. Men tion m c  Masc hk e a en un tat si a demonstrat
teorema în tr-o form  matricial  doar în cazul K=C . V alabilitatea rezultatului
p en tru orice corpK p en tru care Char (K)yjGj a fost observ at  prima oara de L.
E. Dic kson la nele an ului 1906.
Istoria matematicii arat  c  fenomen ul aparit , iei acestei not , iuni n u este singular,
ci se înscrie în tr-o tendint , a ev olutiv   general  ce a a vut la baz  pro cese la sfârs , itul
c rora au aparut structuri algebrice (grup, subgrup, spat , iu v ectorial , mo dul,
algebr  etc.), dev enite ast zi not , iuni clasice ale matematicii mo derne.
62

Bibliograe
[1] ION D. ION, R.NICOLAE , A lgebr   , Editura Didactic  s , i P edagogic ,
Bucures , ti, 1981
[2] C.N€ST €SESCU, C.NIT , €, C.VRA CIU , Bazele algebr ei , Editura
A cademiei Republicii So cialiste România, 1986
[3] DORIN POPESCU, CONST ANTIN VRA CIU , Elemente de te oria
grupurilor nite , Editura Stiint , ic  s , i Enciclop edic , 1986
[4] I. PURDEA, I. POP , A lgebr   , Editura GIL, Zal u, 2003
[5] CECILIA VIOLET A RADUINEA , Grupuri nite , Editura Pro Univ er-
sitaria, 2014
[6] B. HEINRICH MA TZA T, GER T-MAR TIN GREUEL, GER-
HARD HISS , A lgorithmic A lgebr a and Numb er The ory , Springer 1997
[7] JOSEPH J. R OTMAN , A n Intr o duction to the The ory of Gr oups , Sprin-
ger, New Y ork, 1995
[8] GARDINER, C.F. , A rst c ourse in gr oup the ory , Springer V erlag, Berlin,
1980
[9] GORENSTEIN, D. , Finite gr oups , Harp er and Ro w, 1968
63