Un sistem real aflat în mișcarea oscilatorie întâmpină o anumită rezistență din partea mediului în care oscilează efectueaz ăoscilații amortizate =… [626676]

1
CURS 3
OSCILAȚII
3.1Oscilații amortizate
Un sistem real aflat în mișcarea oscilatorie întâmpină o anumită rezistență din partea
mediului în care oscilează efectueaz ăoscilații amortizate = amplitudinea lor scade pân ăla
dispari ție o data cu trecerea timpului. Ele sunt determinate de acțiunea simultană a forței
elastice și a forței de frecare.
Fig.3.1 prezintă un oscilator care execută o oscila ții amortizate sub acțiunea forț ei elastice
kx Fe și a forței de frecare cu mediul v Frf (k= constanta elastică a resortului , =
coeficientul de frecare vâscoasă al mediului ).
Fig.3.1 Oscilații amortizate.
Ecuația mișcării amortizate este
rf eF FF (3.1)
adică
dtdxkxdtxdm22
 (3.2)
sau
0xdtdx2
dtxd2
0 22
 (3.3)
unde m2 – coeficientul de amortizare
mk2
0 -pătratul frecvenței unghiulare proprii oscilatorului
Căutăm solu ția ecua ției (3.3) de forma
tCex (3.4)
care, pentru imaginar, este o combina ție de func ții armonice. Înlocuim (3.4) în (3.3) și obținem
0 22
02 (3.5)
numit ăecuația caracteristică a ecua ției diferen țiale (3.3). Ea admite solu țiile
2 2
02 2
2 , 1   i (3.6)
Consider ăm solu ția ecua ției (3.3) de forma
t teC eCx2 1
2 1  (3.7)
care ne conduce la
) (2 1ti ti teC eCex      (3.8)
unde

2
2 2
0  (3.9)
care este pulsația oscilatorului amortizat .
Obs.important ă:soluția (3.8) descrie o mișcare oscilatorie numai pentru 02 2
0 .
(pentru 02 2
0 descrie o mișcarea aperiodică amortizată ).
Cu ajutorul formulei lui Euler ( sin cos i ei ) rela ția (3.8) se scrie
) cos(0  t eAxtt(3.10)
unde
teA tA
0 )( (3.11)
unde – A(t)= amplitudinea oscilatorului amortizat (dependent ăde timp)
-A0= amplitudinea inițială a oscilatorului (la 0t →0 ) 0 (A A ).
Dacă forța de frecare este mică, (3.11) descrie o mișcare periodică cu amplitudine
descresc ătoare în timp (fig.3.2).
Fig.3.2 Oscilații amortizate.
Când cre ște coeficientul de frecare al mediului ( γ) crește coeficientul de amorizare ( δ) 
amortizarea devine mai puternic ă. Rata amortizării este exprimată prin logaritmul natural al
raportului ) ()(
TtAtA
, și se numește decrementul logaritmic al amortizării
TTtAtA) ()(ln (3.12)
Din (3.9) rezult ăcăamortizarea oscila țiilor modific ăperioada acestora
mkTT
4120
 (3.13)
unde kmT20 -perioada proprie a oscilatorului .
Dacă fF
crește Tcrește până când se ajunge la 142
munde oscilațiile încetează.
Energia oscila țiilor amortizate este
t teE eA m A m E     2
02 2
02 2 2
21
21(3.14)

3unde 0E= energia ini țială. Energia oscila țiilor amortizate scade exponențial în timp.
Funcți a de disipație sau factorul de calitate al unui oscilator amortizat se define ște
2
21v Q (3.15)
Este o mărime adimensională cu proprietăți le:
-derivata ei în raport cu viteza este egală cu forța de frecare luată cu semn schimbat
vdvdQFfr   (3.16)
-puterea disipată este egală cu dublul funcției de disipație
22 v QdtdE  (3.17)
Oscilatorul este cu atât mai ” bun” (adică va avea un Q mai mare, os cilează un timp mai
îndelungat) cu cât , respectiv , sunt mai mici.
3.2Oscilații forțate
Pentru a întreține oscilațiile care datorită frecării cu mediul s e amortizează, se aplică
oscilatorului (fig.3.3) o forță periodică extern ă,Fp(t)
t FtF cos )(0 (3.18)
unde ω = pulsația forței exterioare
F0= valoare maximă a forțe i exterioare .
Fig.3.3 Oscila ții forțate.
Ecuația de mișc are pent ru oscilatorul forțat este
)(tF F FFfr e (3.19)
t F kxdtdx
dtxdm   cos0 22
 (3.21)
t cosmFxdtdx2dtxd0 2
0 22
 (3.22)
Ecua ția (3.22) reprezint ăecuația de mișcare a oscilațiilor forțate (oscilații lorintreținute )
deoarece ac țiunea for ței periodice exterioare asupra oscilatorului împiedic ă„stingerea”
oscila țiilor acestuia, cu alte cuvinte „le intre ține”.
Soluția căutată pentru ecuație diferențială (3.22) este de forma (3.10). Prin înlocuirea
expresiei (3.11 ) în ecuația de mișcare (3.2 2) și prin egalarea coeficienților lui tsin , respectiv
tcos , din membrul stâng și membrul drept al ecuației se obține un sistem de două ecuații a
cărui rezolvare conduce la expresiile pentru A și 
2 222 2
00
41)(

mFA (3.23)

4și
22 2
02tan
 (3.24)
Fenomenul de rezonanță = transferul de energie dinspre sistemul exterior (forța
periodică) înspre oscilator se face cu randament maxim, iar energia și amplitudinea
oscilatorului devin maxime.
Pentru a afla care este pulsația forței exterioare la rezonan țăse ține cont ca EA2(se
demonstreaz ămai târziu) și se impune condiția 0ddAde unde
2 2
02 rez (3.25)
unde rez= frecvența de rezonanță (se apropie cu atât mai m ult de frecvența proprie de oscilație
cu cât coeficientul de atenuare, δ,este mai mic).
Fig.3.4 prezint ă curbele de variație a amplitudinii pentru diferite valori ale pulsa ției și
ale coeficientului de amortizare δ(conform (3.23)). Se observ ăcăla sc ăderea rezistenței
mecanice a mediului în care au loc oscilațiile forțate amplitudinea acestora crește.
Fig.3.4 Variația amplitudinii în funcție de pulsația și de coeficientul de amortizare δ.
Efectul de rezon anță devine mai accentuat atunci când coeficientului de amortizare δ
(respectiv coeficientul de frecare )descrește deoarece A cre ște.
La rezonanță , când nu există frecare (γ = 0), amplitudinea oscilatorului tinde spre infinit,
iar sistemul se poate distruge atentie la proiectare în domeniul ingineriei mecanice sau al
ingineriei construc țiilor. Pe de alt ăparte, deoarece la rezonan țătransferul de energie dinspre
exterior înspre sistemul oscilant se face cu randament maxim, rezonan ța este dorit ăîn domeniul
electronicii (circuitele oscilante se acordeaz ăla rezonan țăpentru ca pierderile de semnal s ăfie
minime).
Menționă următoarele propriet ăți ale oscila țiilor for țate:
-frecvența oscilațiilor forțate este egală cu frecvența forței externe.
-amplitudinea și defazajul oscilațiilor forțate depind de structura sistemului mecanic ce
oscilează ( k, m) și de frecvența a forței externe, și nu depind de condițiile inițiale.
Dupăînceperea ac țiunii for ței exterioare asupra oscilatorului între ținut urmez ă regimul
tranzitoriu (oscilatorul înc ămai oscileaz ăcu frecven ța proprie), iar dup ăun timp regimul
permanent (oscilatorul începe s ăoscileze cu pulsația forței externe ).

5UNDE
3.3 Unde mecanice
Undele mecanice reprezi ntă f enomenul de propagare a oscilațiilor mecanice într -un
mediu elastic. O perturbație locală produsă într -un mediu elastic se va transmite în toate
direcțiile, din aproape în aproape, din cauza forțelor elastice ce se exercită între particulele
constitutive ale acelui mediu.
Fenomenul ondulatoriu nu presupune o deplasare de de materie ci numai una de
energie prin mediul elastic.
Clasificare d upătipul de energie transport ă:
(i) unde elastice – transport ă energie mecan ică; generate de perturba țiile mecanice
produse în mediilor elastice;
(ii) unde electromagnetice – forma de propagare a câmpurilor electromagnetice;
fenomenul se produce și în absența unui mediu elastic (în vid);
(iii) unde magneto-hidrodinamice – generate prin perturba ții electro magnetice și
elastice ale mediului de propagare.
Clasificare în funcție de relația dintre direcția de propagare a unde i și direcția oscilațiilor
particulelor mediului elastic:
(i) unde transversale , când oscilațiile particulelor din mediul elastic sunt perpendiculare
față de direcția de propagare a undei;
(ii)unde longitudinale , când oscilațiile particulelor din mediul elastic sunt paralele la
direcția de propagare a undei.
Front de undă = locul geometric al punctelor mediului atinse în același moment de
mișcarea oscilatorie .
Clasificare în functie de forma frontului undei (fig.3.5):
(i) unde plane – frontul undei este plan;
(ii) unde sferice –frontul undei este o suprafață sferică.
a. b.
Fig.3.5 a.Undă plană; b.undă sferică.
Câmp de unde = starea in care se afla s pațiul din jurul sursei de oscilații străbătut de
undele elastice.
3.4Ecuația undelor
Fie o coardă întinsă de -a lungul axei Oxși o undă transversală ce se propag ă prin această
coardă. La momentul 00t , în originea axei Ox, forma coardei (fig.3.6 a) este afectată de o
perturbație descrisă de ecuația
) 0 (f (3.26)
unde ψ este deplasarea transversală a corzii în poziția x=0.

6Fig.3.6. Deplasarea undelor
La momentul t, ulterior (fig.3.6b), unda s-a deplasat o d istanță tvx în sensul pozitiv
al axei Ox, vfiind viteza de propagare a undei. Perturba ția produs ăde und ăla deplasarea sa va fi
descris ăpentru momenul t de aceea și func ție ψ care va avea îns ăargumentul modificat deoarece
în noua pozi ție perturba ția este în întârziere de faz ă față de pozi ția ini țiaă
) ( tvxf (3.27)
Deci, e longația punctului de la xla momentul teste aceeași cu cea a punctului de la 0x , la
momentul 00t , însădefazat ăîn urm ă. Relația ( 3.27) reprezintă ecuația generală a undei pentru
cazul deplasării acesteia în sensul pozitiv al axei Ox. Când unda se deplasează în sensul negativ
ea devine
) ( tvxf (3.28)
Să presupunem acum că o sursă S, plasat ă in origine, produce oscilații transversale pe
direcția corzii Ox, descrise de ecuația
t At sin ), 0 ( (3.29)
Un punct M, situat pe coardă la distanța xde la sursă, va executa o oscilație identică cu
aceea a sursei dar întârziată față de aceasta (datorit ă intervalului de timp 'tnecesar udei ca să se
deplaseze până în punctul M


  vxt A tt Atx   sin ) ( sin ),('(3.30)
unde = pulsa ția undei (T22 ).
Lungimea de undă distan ța parcurs ă de undă într -un interval de timp egal cu o
perioadă
Tv (3.31)
Numărul de undă – mărime fizic ăvectorial ădefinit ă prin relația
2k . (3.32)
Cu ajutorul expresiilor (3.31) și (3.32) ecuația ( 3.30) devinea)
O xt0= 0ψb)
O xMtψ

7
 

  

 

x
TtAtxkxt A x t Atx
2sin ,) sin(2sin ,
(3.33)
Relați ile (3.33) este ecuația undelor (sub forma integrală).
Fig.3.6 ofer ă o reprezentare grafică a unei unde și pune în evidență lungimea de undă a
acesteia.
Fig.3.6 Reprezentarea grafică a unei unde.
Dacă faza inițială este diferit ă de zero, atunci ecuația de propagare a undei (3.33) se
scrie
) sin( ),(   kxt Atx (3.34)
Dacă unda se deplasează pe o direcție oarecare recuația undei devine
) sin( ),(    r kt Atr (3.35)
Utilizând relația ( 3.33) și calculând derivatele sale de or dinul doi în raport cu timpul t și
cu variabila de poziție x, rezultă
22
2 221
t v x
(3.36)
care reprezintă ecuația undelor (sub forma diferențială). Pentru o undă ce se deplasează pe o
direcție oarecare recuația ( 3.34) devine
=22
21
t v 3.37)
unde= operatorul lui Laplace (laplaceanul, definit prin relația ( 1.23),
v= viteza de propagare a undei.
Christian Huygens a enuntat în anul 1690 principiul lui Huygens care afirmă că orice
punct de pe frontul de undă poate fi considerat ca sursă a unor unde sferice secundare,iar
înfășurătoarea tuturor undelor elementare constituie noul front de undă.
Figura 3.7 prezint ăschematic principiul lui Huygens.
Fig.3.7 Principiul lui Huygens.

83.5. Viteza undelor transversale
Fig.3.8 redă o unda transversală ce se propagă de -a lungul unei corzi elastice cu viteza v.
Fig.3.8 Unda transversal ăce se propaga printr- o coardă.
Un mic element al corzii (de lungime l)formează un arc de cerc cu raza R. Dacă μ
este densitatea liniară a corzii, atunci m l reprezintă masa acestui eleme nt.
Forțele F
și 'F
care acționează asupra elementului de coardă sunt tangente la arcul de
cerc în ambele capete ale acestuia. C omponentele orizontale ale forțe lor se anulează fiind egale
și acționand pe aceeași direcție. Componentele transversale la direcția de propagare, egale cu
sinF , produc o forță totală pe verticală de sin2F , unde θeste foarte mic și astfel
RlFRlF F F22 2 sin2  (3.38)
Forța de tip centripet ce actioneaza pe elementul de coarda este
Rvm
RlF23.39)
de unde
Fv (3.40)
ce reprezintă vitezei undei transversale .Δl
θ
θθ
R
OF 'F