Tratarea Vectoriala a Sistemelor de Ecutii Liniare

LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNVĂȚĂMÂNT

Tratarea vectorială a sistemelor de ecuații liniare

CUPRINS

Introducere

Motivația alegerii temei

Scurt istoric

CAPITOLUL I

SISTEME LINIARE DIN PUNCT DE VEDERE ALGEBRIC

1.1 Sisteme de ecuații liniare

1.2 Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare

1.2.1 Metoda matricială

1.2.2 Discuția sistemelor liniare, metoda lui Cramer

1.2.3 Metoda lui Gauss ( metoda eliminării )

CAPITOLUL II

VECTORI LIBERI

2.1 Spațiu vectorial în raport cu un corp K

2.2 Spațiul vectorial al vectorilor liberi

2.3 Proiecții ortogonale

2.4 Produsul scalar

2.5 Produsul vectorial

2.6 Produsul mixt

2.7 Planul în spațiu

2.7.1 Ecuația planului

2.8 Plane determinate de drepte

2.9 Planul prin trei puncte

2.10 Planul printr-un punct, paralel cu două direcții date

2.11 Ecuația planului printr-un punct și o normală dată

2.12 Dreapta ca intersecție a două plane

CAPITOLUL III

SISTEME DE ECUAȚII LINIARE TRATATE DIN PUNCT DE VEDERE VECTORIAL (GEOMETRIC)

3.1 Un plan (o ecuație)

3.2 Două plane

3.3 Trei plane

3.4 Exemple

3.4.1 Sisteme de 2 ecuații cu 3 necunoscute

3.4.2 Sisteme de 3 ecuații cu 3 necunoscute

3.5 ”Dicționarul” algebră – geometrie

3.6 Program care reflectă această abordare geometrică

CAPITOLUL IV

APLICAȚII

CAPITOLUL V

CONSIDERAȚII METODOLOGICE ȘI PEDAGOGICE

5.1 Considerații generale

5.2 Metode active în abordarea conceptelor matematice

5.3 Studiul matematicii prin aplicații software

5.4 Evaluarea, ca etapă a învățării

5.5 Metode și procedee de lucru

5.6 Anexă

5.7 CONCLUZII GENERALE

Bibliografie:

Introducere

Lucrarea de față reflectă un trend tot mai prezent în matematica actuală. Așa cum spunea Jacques Hadamard, în lucrul cu începătorii ne bazăm tot mai mult pe intuiție, pe experiment și tot mai puțin pe metode euclidiene – adică axiomatice, corecte formal dar prea abstracte. Iată aici expusă pe larg o metoda alternativă, geometrică de rezolvare și discuție a sistemelor liniare cu trei necunoscute care se poate cu atât mai ușor aplica celor cu două necunoscute.

Tema este dezvoltată plecînd de la câteva idei importante, în opinia mea.

Informația vizuală fiind mai ușor asimilată, cel puțin la nivel de liceu, trebuie să facem mai mult pentru a folosi metode și mijloace de invățămînt ce folosesc reprezentări grafice sau alte mijloace de vizualizare.

Știut fiind că PC-ul joacă un rol tot mai important și în învățămînt—până și la grădiniță se folosește calculatorul—e important să găsim metode alternative de predare, de rezolvare de exerciții, de evaluare, etc., în care profesorul—și elevii—să folosească cît se poate de mult calculatorul. Geometria se pretează foarte bine, cel puțin la nivel elementar, la această cerință. De aceea am inclus în lucrare o aplicație, realizată in Delphi 7, care ȘI desenează cele trei ecuații ale unui sistem 3X3, nu numai soluționînd algebric sistemul. Aceste două idei îmi par atât de importante încât le-am consacrat o parte de sine stătătoare, așa cum am făcut și cu următoarea idee.

Ariditatea matematicii predate în școlile noastre nu este dată doar de lipsa celor de mai sus ci și de lipsa, acută cred eu, referințelor istorice. Acest lucru este deosebit de periculos și este principala cauză pentru care marea majoritate a elevilor noștri trăiesc toată viața cu păreri greșite despre cît de „complicată” e matematica și, ce greu e s-o înveți. Matematica e făcută de oameni care au avut fiecare viața lor, cu aventuri, cu povești de tot felul, cu incredibile și interesante momente și cu relații între acești matematicieni. Amintirea unei anecdote, a unui fapt despre un matematician poate „lumina” o lecție și-l poate face pe copil curios. Și astfel „bătălia e cîștigată”. Această lipsă e reflectarea quasi absenței cursurilor de Istoria Matematicii din școlile noastre iar profesorii predau și ei așa cum li s-a predat. E un lanț vicios pe care fiecare dintre noi, cei ce ne numim profesori, ar trebui sa-l rupem.

Lucrarea este alcătuită din Cuprins, Introducere, Motivația alegerii temei, Scurt istoric, cinci capitole și Bibliografie.

În primul capitol am prezentat sistemele de ecuații liniare din punct de vedere algebric, punând accentul pe metoda lui Cramer și metoda lui Gauss, rezolvând o serie de sisteme de ecuații liniare, explicând modalitatea de rezolvare a lor, ceea ce se poate observa în varietatea de exemple oferite.

În al doilea capitol am insistat pe definirea corectă a vectorilor liberi , am prezentat proiecțiile ortogonale și în mod deosebit tratarea geometrică a produselor, reprezentarea planului în spațiu, definirea planului precum și alte noțiuni esențiale , care se regăsesc în lucrare, care ajută la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare din punct de vedere geometric.

În al treilea capitol se regăsește de fapt ”inima” lucrării, primele două capitole fiind premergătoare acestui capitol și anume am ”tratat” vectorial atât sistemele de 2 ecuații cu 3 necunoscute prin reprezentare grafică, cât și sistemele de 3 ecuații cu 3 necunoscute. Pentru a concretiza cât mai bine esența acestei lucrări, am schematizat într-un ”dicționar” algebră – geometrie rezolvarea sistemelor atât pe cale algebrică cât și geometrică. Iar, în finalul acestui capitol am utilizat un program informatic care reflectă foarte bine reprezentarea geometrică și pe înțelesul tuturor a sistemelor de ecuații liniare 3×3.

În al patrulea capitol am rezolvat o serie de aplicații, iar apoi am propus o serie de probleme spre rezolvare cu indicațiile corespunzătoare.

În al cincilea capitol am insistat asupra metodelor active în abordarea conceptelor matematice, studiului matematicii prin aplicații software, metodelor și procedeelor folosite în orele de matematică. Am prezentat și un plan de tehnologie didactică cu tema corespunzătoare acestei lucrări, iar, în final am menționat concluziile generale.

Bibliografia este minimală, în sensul că a fost folosită fiecare sursă.

Peste tot abundă exemplele și desenele pentru a face lucrurile cât mai clare. Notațiile sunt cele din manualele școlare sau cele folosite de autorii citați pe care am încercat să le armonizez într-un tot unitar. Dacă am reușit sau nu pot spune doar cititorii lucrării de la care aștept eventuale observații și sugestii legate de tema abordată.

Doresc și pe această cale să mulțumesc tuturor profesorilor mei de la cursurile de Master Didactic pe care tocmai le-am absolvit și nu în ultimul rând D-lui Dr. Adrian Gîrjoabă cu care am avut discuții fructuoase.

Iulie 2009 Alina Balaș

Motivația alegerii temei

Am optat în alegerea temei „Tratarea vectorială a sistemelor de ecuații liniare” cu scopul de a mă perfecționa în domeniul teoriei și metodologiei rezolvării sistemelor de ecuații liniare cu ajutorul geometriei.

În general, sistemele de ecuații liniare sunt rezolvate clasic din punct de vedere algebric, elevii urmează un algoritm de rezolvare bine stabilit, însă nu concretizează multitudinea cazurilor de incompatibilitate sau de nedeterminare.

Se observă că geometria are , tot mai mult, de suferit din cauză că programa începe să se ”subțieze” în ceea ce privește predarea noțiunilor de geometrie.

Geometria are și un pronunțat aspect educativ prin aportul ei la dezvoltarea facultăților mintale și a unor aptitudini. Ea contribuie în măsură hotărâtoare la dezvoltarea gândirii logice, prin caracterul deductiv al adevărurilor sale, la disciplinarea raționamentului obișnuind elevii cu rigoarea, dusă uneori la extreme în ceea ce privește examinarea datelor și a rezultatelor.

Manualele abundă în formalisme, în detrimentul concretului, limbajul devine din ce în ce mai ”prețios” . Informația vizuală este cea mai puternică și cel mai ușor de asimilat.

Ceea ce urmărește această lucrare este tocmai faptul de a explora calea inversă în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare și anume, de a observa geometria din rezolvarea unui sistem.

Tratarea vectorială face distincție între cazurile de incompatibilitate și explică mai bine cazurile de nedeterminare și îi face pe elevi să înțeleagă mult mai bine rezolvarea sistemelor de ecuații, datorită desenelor care îi vin în ajutor, datorită concretului (bogăția soluțiilor).

De asemenea, studiul geometriei aduce o contribuție valoroasă în formarea spiritului de observație, în dezvoltarea aptitudinilor de a pătrunde în esența lucrurilor, în stimularea muncii de cercetare și investigație pentru găsirea unor posibilități de rezolvare a problemelor sau de demonstrare a adevărurilor geometrice.

Se observă că se folosește , tot mai mult, calculatorul și softurile matematice în școli, cum ar fi AEL, programe de geometrie cu ajutorul cărora se pot vizualiza figurile geometrice, planele rezultate prin introducerea coeficienților corespunzători.

De aceea, eu mi-am propus ca în această lucrare să tratez cât mai concret și clar sistemele de ecuații liniare cu ajutorul geometriei.

Scurt istoric

Marele pedagog român Onisifor Ghibu spunea „cât de greu îi este țăranului când nu-și poate măsura grădina, livada sau via sa, când nu știe câte țigle îi trebuie la acoperișul unui șopron, câte scânduri la poditul unui coridor, câți metri cubi sunt într-un lemn pe care vrea să-l cumpere? Și mai mare nevoie de geometrie au meseriașii, de exemplu zidarii, bărdarii, pietrarii, masării, etc. care nu vor putea face nici un fel de plan fără a avea cunoștințe geometrice" .

Geometria, una din ramurile principale ale matematicii, se ocupă cu studiul formelor spațiale și al relațiilor lor de mărime. Ea a luat naștere din necesitățile practice ale oamenilor și s-a dezvoltat în strânsă legătură cu acestea. Istoricul antic Herodot ne face cunoscut că în fiecare primăvară după retragerea apelor Nilului, cultivatorii de pământ din Egipt erau nevoiți să-și măsoare din nou terenurile agricole, fie pentru așezarea contribuțiilor la care erau supuși, fie pentru restabilirea vechilor semne de hotar.

În cadrul civilizației egiptene, geometria și-a extins și și-a adâncit mereu caracterul practic ajungând la o mare înflorire datorită aplicațiilor sale în lucrările de irigații, în proiectarea mărețelor temple și a giganticelor construcții funerare, în evaluarea avutului locuitorilor și calculul impozitului a căror realizare atestă existența unor serioase cunoștințe de geometrie.

De fapt cele mai vechi documente, care interesează matematica sunt câteva papirusuri egiptene cu probleme, datând cu circa două milioane de ani î. Hr. și un mare număr de cărămizi caldeene parțial descifrate care se mai păstrează și astăzi, unul la Londra și altul la Moscova și care tratează un număr considerabil de cunoștințe de aritmetică și de geometrie, cu caracter practic.

Egiptenii au dezvoltat geometria cu deosebire sub forma imaginilor, studiul figurilor geometrice și descoperirea unor proprietăți ale acestora având loc pe baza sugestiilor pe care le poate oferi desenul. Acest stadiu de dezvoltare a geometriei este caracteristic civilizației egiptene și este cunoscut sub denumirea de stadiul imaginilor sau al contemplării directe a figurilor geometrice.

Geometria egipteană a fost preluată de greci și astfel ea a luat o dezvoltare incomparabil mai mare, atât în ceea ce privește caracterul său practic, cât și cel teoretic, datorită unor noi condiții social – economice.

Grecii nu s-au mulțumit însă cu aspectul tehnic utilizator al cunoștințelor matematice aduse din Egipt și Mesopotamia. Ei au cercetat cauzele adânci ale motivării teoretice ale metodelor de rezolvare. Au introdus demonstrația în matematică. Aceasta a dus la rândul ei la generalizarea rezultatelor particulare și la obținerea unor consecințe noi, a condus la o mai mare rigoare a raționamentelor.

Primul text de geometrie care s-a păstrat, Elementele lui Euclid (sec. III î. Hr.) lucrare scrisă în scop didactic, conține un număr mare care interesează matematica sunt câteva papirusuri egiptene cu probleme, datând cu circa două milioane de ani î. Hr. și un mare număr de cărămizi caldeene parțial descifrate care se mai păstrează și astăzi, unul la Londra și altul la Moscova și care tratează un număr considerabil de cunoștințe de aritmetică și de geometrie, cu caracter practic.

Egiptenii au dezvoltat geometria cu deosebire sub forma imaginilor, studiul figurilor geometrice și descoperirea unor proprietăți ale acestora având loc pe baza sugestiilor pe care le poate oferi desenul. Acest stadiu de dezvoltare a geometriei este caracteristic civilizației egiptene și este cunoscut sub denumirea de stadiul imaginilor sau al contemplării directe a figurilor geometrice.

Geometria egipteană a fost preluată de greci și astfel ea a luat o dezvoltare incomparabil mai mare, atât în ceea ce privește caracterul său practic, cât și cel teoretic, datorită unor noi condiții social – economice.

Grecii nu s-au mulțumit însă cu aspectul tehnic utilizator al cunoștințelor matematice aduse din Egipt și Mesopotamia. Ei au cercetat cauzele adânci ale motivării teoretice ale metodelor de rezolvare. Au introdus demonstrația în matematică. Aceasta a dus la rândul ei la generalizarea rezultatelor particulare și la obținerea unor consecințe noi, a condus la o mai mare rigoare a raționamentelor.

Primul text de geometrie care s-a păstrat, Elementele lui Euclid (sec. III î. Hr.) lucrare scrisă în scop didactic, conține un număr mare de teoreme de geometrie care sunt demonstrate într-un sistem organic. Cu apariția acestei lucrări toate celelalte texte de geometrie elementară ale altor scriitori au devenit secundare și au dispărut în timp nemaifiind scrise.

Timp de două milenii „Elementele" au fost considerate un model de perfecțiune, dar studierea lor era anevoioasă, de aceea au fost completate de alți istorici și matematicieni, ex. Hipsicle (sec.II. î. de Hr.) și Teon din Alexandria (sec. IV.). Apariția acestei lucrări marchează trecerea de la stadiul imaginilor la cel al noțiunilor.

În epoca modernă s-au realizat progrese remarcabile în această disciplină servind astfel la dezvoltarea științei și tehnicii. În același timp, concepțiile neeuclidiene ale geometriei au pătruns și produs schimbări adânci în gândirea matematică arătând totodată că adevărurile geometrice se confirmă prin experiență, prin aplicarea lor în practică.

Astăzi, ca și în trecut, geometria se bucură de o înaltă apreciere atât prin caracterul său practic, cât și prin contribuția pe care o aduce la formarea personalității în general și a raționamentului deductiv în special.

Din punct de vedere instructiv studiul sistematic al geometriei urmărește înarmarea elevilor cu o sumedenie de cunoștințe clare și precise despre formele obiectelor lumii reale, mărimea acestora și proprietățile lor. De asemenea urmărește formarea și dezvoltarea reprezentărilor spațiale, precum și a deprinderilor de a aplica practic cunoștințe de geometrie în efectuarea măsurătorilor, stabilirea unor mărimi sau distanțe, calcularea ariilor și volumelor.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare au stat la baza introducerii noțiunii de determinant. Laplace numea determinantul "rezultant", denumire care a fost păstrată și de Cauchy în Exercises d'analyse et de physique mathématique, vol II p. 161 (1841). În cursul său de analiză algebrică însă Cauchy îi denumea funcții alternate. Gauss a fost cel care a introdus denumirea de determinant.

Germenii teoriei determinanților se găsesc în scrierile lui Leibnitz (Gottfried Leibnitz (1646-1716)). A fost nevoie să treacă o jumătate de secol pentru ca matematicienii să înceapă să se intereseze de aceste noțiuni, iar primele rezultate importante au apărut doar un secol mai târziu.

Reînvierea metodei se datorează lui Cramer, cel care a dat regula de calcul a determinanților, într-o notă la Analyse des lignes courbes algébrique (publicată la Geneva în 1750). Cramer a fost urmat de Bezout, Laplace, Lagrange si Vandermonde.

În 1801 a apărut Disquisitiones Arithmeticae a lui Gauss, iar în 1807 această lucrare a fost tradusă și în franceză de către M. Poullet – Delisle. Originalitatea acestei lucrări a deschis noi drumuri în studiul determinanților. Printre altele, lui Gauss i se datorează și teorema referitoare la determinantul produsul a două matrice care este egal cu produsul determinanților celor două matrice. Binet, Cauchy și alți matematicieni au dezvoltat teoria lui Gauss și au găsit aplicații ale acesteia în geometrie.

În 1826 Jacobi a început să publice o serie de articole de popularizare a acestui subiect, serie care a continuat timp de aproape 20 de ani. În acest timp Jacobi a expus teoreme noi și importante, numele său fiind indisolubil legat de dezvoltarea acestei ramuri a algebrei. Printre cei mai celebri urmași ai lui Jacobi se numără matematicienii englezi Sylvester și Cayley.

CAPITOLUL I

SISTEME LINIARE DIN PUNCT DE VEDERE ALGEBRIC

1. 1. Sisteme de ecuații liniare

1.1.1 Definiție. Se numește sistem de ecuații liniare o mulțime de egalități de forma:

, unde aij ∈ ℝ

Observație

Toate sistemele din lucrare vor avea matrici cu elemente reale și soluțiile vor fi numere reale.

Forma matriceală a sistemului dat este A∙X = B.

1.1.2 Definiție. Un sistem de ecuații liniare ce admite soluție unică se numește sistem compatibil determinat.

Observație

este un exemplu de sistem compatibil determinat.

Sistemele pot avea mai multe soluții. De exemplu un sistem cu o ecuație și trei necunoscute.

Exemplu: x – 2y – 4z = 1

Soluția este: x = 1 + 2y + 4z, y ∈ ℝ, z ∈ ℝ, adică e ”foarte” mare.

1.1.3 Definiție. Un sistem de ecuații liniare ce admite mai mult de o soluție se numește sistem compatibil nedeterminat.

Observație

Sistemul este un exemplu de sistem compatibil nedeterminat, pentru că (1, 0 -1) și (0, 1, -3) sunt soluții. Se poate întâmpla ca anumite sisteme sa nu aibă nici o soluție.

Exemplu:

1.1.4 Definiție. Un sistem de ecuații liniare ce nu admite nici o soluție se numește sistem incompatibil.

1.1.5 Definiție. Două sisteme sunt echivalente dacă sunt amândouă incompatibile sau sunt amândouă compatibile și au aceleași soluții.

1.1.6 Definiție. Sistemul liniar omogen este sistemul care are matricea termenilor liberi nulă (toate elementele sale sunt egale cu zero).

Observație

Orice sistem liniar omogen este compatibil, acesta admițând soluția banală

α 1 = α 2 = … = α n = 0.

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare

1.2.1 Metoda matricială: A∙X = B (1)

Dacă det A0, atunci A este inversabilă, deci există astfel încât

Deducem că soluția este: (2)

Exemplu:

Rezolvați sistemul de ecuații:

Scriem A∙X = B, unde:

Folosind det A = 22 și relațiile (1), (2), vom calcula , obținând:

, calculăm

Discuția sistemelor liniare, metoda lui Cramer

Aproximativ 20% din testele la metode de calcul se referă la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare și matrice. Tema respectivă se studiază în detalii în cursul matematicii în clasele a XI-a – a XII-a de liceu. Din aceste considerente vom aminti numai noțiunile de bază.

Se consideră un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute x1, x2, …, xn, care poate fi scris astfel:

I. Metoda lui Cramer

Un sistem liniar de n ecuații cu n necunoscute, cu matricea coeficienților sistemului nesingulară, se numește sistem Cramer. Folosind metoda matricei inverse am văzut că un astfel de sistem este compatibil determinat. Soluția sa unică se poate afla cu ajutorul formulelor lui Cramer, expuse în continuare.

Dacă notăm cu A matricea pătratică de ordinul n: (formată din coeficienții necunoscutelor sistemului)

(1)

dacă d = det A ≠ 0, adică această matrice este nesingulară atunci sistemul are o unică soluție, dată de formulele:

în care d = det A este determinantul matricei sistemului, iar determinantul care se obține din d, înlocuind coloana i cu coloana termenilor liberi B îl notăm cu: dxi

Fie, determinantul matricei sistemului este nenul. Vom nota :

Sistemul (1) se poate rescrie sub forma unei ecuații matriciale:
AX = B

Fie d = det A determinantul sistemului și dj, 1< j<n determinantul matricei a j care se obține din A prin înlocuirea coloanei j prin coloana B.

etc.

Observații

1. Regula lui Cramer se poate aplica doar pentru un sistem în care numărul de linii este egal cu numărul de coloane.

2. Dacă d = 0, nu se mai poate aplica regula lui Cramer, deci sistemul nu mai are soluție unică.

3. În cazul aplicării regulii lui Cramer, deoarece obținem soluție unică, spunem că sistemul este compatibil determinat.

Exemple:

1. Pentru sistemul:

iar

S = (1, 1, 1)

2. Să se rezolve sistemul:

Rezolvare:

Deci soluția este:

3. Să se rezolve sistemul:

Rezolvare:

Determinantul sistemului este:

Deci:

Am văzut în exemplele date cum se poate rezolva un sistem dacă numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații și det A ≠ 0, aplicând regula lui Cramer.

Vom vedea în continuare ce se întâmplă când nu putem aplica regula lui Cramer.

II. Numărul de necunoscute este diferit de numărul de ecuații (matricea sistemului are m linii și n coloane, m ≠ n) sau matricea sistemului este singulară.

Rezolvarea acestui sistem se face urmând etapele:

Se caută un minor principal ()

Se stabilește compatibilitatea sistemului cu teorema lui Rouche;

dacă sistemul este incompatibil ne oprim, dacă sistemul este compatibil, trecem la pasul următor.

Păstrăm doar liniile minorului principal, le eliminăm pe celelalte.

Necunoscutele care intră în minorul principal se numesc necunoscute principale și vor fi păstrate în membrul stâng, iar celelalte se numesc necunoscute secundare și vor fi mutate în membrul drept (pe post de termeni liberi).

Sistemul pe care l-am obținut se rezolvă cu regula lui Cramer, care se poate aplica deoarece d = .

Necunoscutele principale se vor obține în mod unic în funcție de necunoscutele secundare, ceea ce înseamnă că sistemul are o infinitate de soluții.

În această situație sistemul se numește compatibil nedeterminat și poate fi simplu nedeterminat , dublu nedeterminat, în funcție de numărul necunoscutelor secundare.

Exemple:

1. Să se rezolve sistemul:

Rezolvare:

Păstrăm liniile (1) și (2) din sistem cu x, y necunoscute principale și z necunoscuta secundară.

Notăm z = α și îl mutăm în dreapta.

Deci, sistemul este compatibil simplu nedeterminat, cu soluția (1 – α, -2 + α, α), α ∈ ℝ

2. Să se rezolve sistemul:

Rezolvare:

Păstrăm liniile (1) și (2) din sistem și notăm x = α , y = β și-i mutăm în dreapta.

Deci, sistemul este compatibil dublu nedeterminat, cu soluția (α, β, -α + 2β, 1) , α, β ∈ ℝ

3. Să se rezolve sistemul și să se discute după valorile parametrului real m:

Calculăm determinantul sistemului:

Cazul I:

Dacă m ∈ ℝ \ {-1, 0, 1}, atunci sistemul este compatibil determinat și se rezolvă cu regula lui Cramer.

Găsim soluția :

Cazul II:

Dacă m = 0, sistemul devine:

Cazul III:

Dacă m = 1, sistemul devine:

.

Folosim liniile (2) și (3) din sistem unde avem: – x și y sunt necunoscutele principale

– z este necunoscuta secundară

Notăm z = α și o mutăm în membrul drept.

Deci, în acest caz, sistemul este compatibil simplu nedeterminat, cu soluția (α, 1, α ),

α ∈ℝ.

Cazul IV:

Dacă m = – 1, sistemul devine:

Păstrăm liniile (1) și (2) din sistem unde avem: – y și z sunt necunoscutele principale

– x este necunoscuta secundară

Notăm x = α și o mutăm în membrul drept.

Deci și în acest caz, sistemul este compatibil simplu nedeterminat, cu soluția (α, α, -1),

α ∈ℝ.

Observații

1. Teorema lui Rouché este : un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă toți minorii caracteristici sunt nuli.

2. Regula lui Cramer este un caz particular de la cel mai de sus.

3. Avem un algoritm de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare cu mare valoare operațională, dar cu mică valoare intuitivă și care este general (cuprinde toate sistemele liniare).

4. Cazul sistemelor liniare nu este unul deosebit , se încadrează în algoritmul de mai sus. Astfel din cauză că toți sunt nuli (termenii liberi sunt nuli) rezultă că orice sistem omogen este compatibil.

Metoda lui Gauss ( metoda eliminării )

Metoda lui Gauss, numită și metoda eliminării parțiale, folosește transformările elementare pentru a înlocui un sistem de forma (S) printr-un sistem triunghiular.

2.3.1 Definiție. Vom spune că două matrice A si B sunt echivalente dacă asupra lui A am efectuat operații elementare cu linii, obținând matricea B.

Proprietate. Dacă matricele extinse a două sisteme liniare sunt echivalente, atunci sistemele ori sunt amândouă incompatibile, ori au aceeași soluție.

Pentru a rezolva un sistem prin eliminare gaussiană vom începe cu formarea matricei extinse a sistemului Ae , iar apoi , folosind operații elementare cu linii vom încerca să reducem pe Ae la o formă mai simplă Be . Vom reintroduce variabilele și vom obține un sistem mai simplu, a cărui matrice extinsă este Be .

Deoarece matricele Ae și Be sunt echivalente, sistemul de la care s-a plecat are aceleași soluții cu cel la care s-a ajuns.

Observații

1. Soluția unui sistem liniar nu este afectată în nici un fel dacă efectuăm operații elementare cu linii, și anume:

Schimbăm două linii între ele;

Înmulțim sau împărțim o linie cu un număr a ≠ 0 (adică schimbăm Li cu a • Li și notăm acest lucru a • Li → Li);

Adăugăm la o linie o altă linie înmulțită cu un anumit număr (adică schimbăm Lj cu a • Li + Lj și vom nota a • Li + Lj → Lj).

2. Acest algoritm are mare valoare operațională (este implementat în programe de calculator).

3. Această metodă ne furnizează și discuția sistemelor liniare cum se va vedea în exemplele de mai jos.

Exemple:

1. Fie următorul sistem liniar:

În rezolvarea sistemelor prin metoda lui Gauss, nu ne interesează decât coeficienții, astfel încât vom începe prin alcătuirea matricei coeficienților sistemului și a matricei extinse.

Rezolvare:

Înlocuim cu 1

Înlocuim cu 0

Am obținut

Deci, noul sistem este: a cărui soluție este și soluția sistemului inițial.

2. Fie sistemul (S):

Rezolvare:

Matricea extinsă a sistemului este:

Scopul nostru este să o reducem la o matrice echivalentă folosind operații elementare cu linii care să corespundă unui sistem liniar de tipul și care are matricea extinsă

. Operațiile sunt următoarele:

Înlocuim cu 1

Înlocuim cu 0

Înlocuim cu 1

Înlocuim cu 0

Am obținut

Deci, noul sistem este: care are soluția (-1, 2) și care reprezintă soluție și pentru sistemul (S).

Metoda lui Gauss (metoda eliminării succesive), cel mai des folosită în liceu urmărește transformarea unui sistem de ecuații liniare dat într-un sistem triunghiular echivalent. Această metodă se poate aplica oricărui tip de sistem de ecuații liniare. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, utilizând metoda lui Gauss, presupune parcurgerea următoarelor etape:

se fixează o necunoscută în prima ecuație, care se elimină din toate celelalte ecuații, prin transformări elementare (adunarea unei linii înmulțită cu un număr la altă linie, înmulțirea unei linii cu un scalar nenul, schimbarea a două linii între ele);

vom elimina o altă necunoscută din următoarele ecuații, până la obținerea unui sistem triunghiular.

Exemplu:

Rezolvați sistemul de ecuații:

– vom elimina necunoscuta x din ecuațiile (2) și (3):

de unde, prin adunare, obținem: -3y – 2z = – 2.

Am obținut sistemul echivalent:

– vom elimina necunoscuta y din ultimele două ecuații:

de unde, prin adunare obținem -2z = 4

Am obținut sistemul echivalent:

de unde, începând cu a treia ecuație, obținem:

1. Se dă sistemul:

Rezolvare:

Pentru a ușura aplicarea algoritmului lui Gauss schimbăm între ele primele două ecuații ale sistemului și obținem sistemul echivalent cu cel inițial:

Pentru reducerea necunoscutei x1 din ecuațiile 2, 3 și 4 facem următoarele transformări:

-2L1 + L2 → L2

– L1 + L3 → L3

-3L1 + L4 → L4

Se obține:

Reducem necunoscuta x2 din ecuațiile 3 și 4 ale sistemului anterior. Pentru aceasta facem următoarele transformări:

2L2 + L3 → L3

-2L2 + L4 → L4

Se obține:

Acesta reprezintă un sistem liniar de două ecuații cu trei necunoscute.

Din ultima ecuație, notând x3 = λ, λ – parametru real, obținem sistemul:

Sistemul inițial este compatibil nedeterminat.

2. Arătați că următorul sistem este incompatibil:

Rezolvare:

Înlocuim cu 1

Înlocuim cu 0

Înlocuim cu 1

Înlocuim cu 0

Am obținut :

Observăm că ultima ecuație se scrie : 0 ∙ x1 + 0 ∙ x2 + 0 ∙ x3 + 0 ∙ x4 = -, care este incompatibilă , deci sistemul este incompatibil.

CAPITOLUL II

VECTORI LIBERI

În acest capitol vom introduce spațiul vectorial al vectorilor liberi (ca mulțime înzestrată cu operații), vom arăta că el este izomorf cu ℝ3 obținând astfel expresia analitică a unui vector liber și vom examina primele proprietăți ce decurg de aici.

Ideea principală a acestui capitol este ”de la geometrie la expresie analitică”, adică toate definițiile vor fi date geometric (segmente, unghiuri, drepte etc.) și apoi vom vedea la ce revin aceste definiții când folosim expresii analitice (de fapt algebrice).

Introducerea noțiunii de vector liber în spațiul geometric E3 a fost posibilă ținând seama de noțiunile fundamentale ale geometriei euclidiene cum ar fi punctul, dreapta, planul, distanța, precum și de axiomele la care sunt supuse aceste noțiuni.

Gama unor proprietăți enunțate se îmbogățește mult dacă pe spațiul vectorial al vectorilor liberi se definește un produs scalar. Se definește astfel noțiunea de spațiu punctual euclidian al vectorilor liberi 3. Produsul scalar definește la rândul său noțiunile de normă euclidiană a unui vector, unghiul a doi vectori și respectiv noțiunea de distanță euclidiană.

În cele ce urmează, vom aborda calea construcției acestuia așa cum a evoluat ea în matematică și vom evidenția apoi echivalența noțiunilor introduse cu cele definite în cazul general. Vom folosi unele noțiuni definite în cadrul structurii de spațiu afin geometric al vectorilor liberi și vom pune în evidență diferențele specifice ce apar în cazul structurii euclidiene.

2.1. Spațiu vectorial în raport cu un corp K

2.1.1 Definiție. Se numește spațiu vectorial (liniar) în raport cu corpul K, mulțimea X nevidă, înzestrată cu o lege de compoziție internă (notată aditiv și numită adunare):

“+” : X X X,

o lege de compoziție externă (notată multiplicativ și numită înmulțire cu scalar):

“” : K X X,

care au următoarele proprietăți:

(i) (x + y) + z = x + (y + z), () x, y, z X (asociativitate);

(ii) () în X un element, notat 0, numit element neutru, astfel că

x + 0 = 0 + x = x, () xX;

(iii) () x X, () în X un element, notat – x, numit opusul elementului x, astfel că:

x + (- x) = (- x) + x = 0;

(iv) x + y = y + x, () x, y X (comutativitate);

(v) x = x + x, () K, xX;

(vi) ( x + y) = x + y, () K, x, yX;

(vii) x = ( x), () K, xX;

(viii) Dacă 1 este elementul neutru la înmulțirea din K atunci 1 x = x, () x X.

Elementele spațiului vectorial X le vom numi vectori, iar elementele corpului K le vom numi scalari. Elementul 0 se mai numește elementul nul al spațiului X.

Corpul K este unul din corpurile R al numerelor reale sau corpul C al numerelor complexe; dacă K R atunci X se numește spațiu vectorial real, iar dacă K C spațiul X se numește spațiu vectorial complex.

Exemple:

1) Produsul cartezian Kn = KK…K, adică mulțimea:

Kn = {x | x = (x1, x2,…,xn), xiK, i = 1, 2, …,n}

formează o structură de spațiu vectorial peste corpul K, dacă definim operațiile de adunare și înmulțire cu scalari astfel:

(x1, x2, ..,xn) + (y1, y2, …,yn) = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn)

și

(x1, x2, …xn) = (x1, x2, …, xn).

Vectorul nul este în acest caz vectorul 0 = (0, 0, …,0), iar opusul vectorului

x = (x1, x2, …xn) este vectorul –x = (-x1, -x2, …-xn).

2) Mulțimea polinoamelor de o nedeterminată, de grad cel mult n (nN), cu coeficienți într-un corp K, în raport cu operațiile de adunare a polinoamelor și de înmulțire a polinoamelor cu un element din corpul K.

Cazuri particulare:

Rn = {x | x = (x1, x2,…,xn), xiR, i = 1, 2, …,n},

Cn = {x | x = (x1, x2,…,xn), xiC, i = 1, 2, …,n}.

3) Mulțimea șirurilor x = (xn)nN de numere reale sau complexe, care satisfac condiția de mărginire: xn a(x), () nN, a(x) fiind un număr pozitiv care depinde de x, cu legile de compoziție astfel definite:

(xn)nN + (yn)nN = (xn + yn)nN,

(xn)nN = (xn)nN, K.

4) Mulțimea C[a,b] = {f | f:[a,b]R, f – continuă pe [a,b]} a funcțiilor continue pe intervalul închis [a,b] în raport cu operațiile:

(f + g)(t) = f(t) + g(t), () t[a,b],

(f )(t) = f(t) , () R, t[a,b].

5) Mulțimea Mm,n(K) a matricelor cu m linii și n coloane cu elemente numere reale (sau complexe) formează un spațiu vectorial peste corpul R (sau C), în raport cu operațiile de adunare a matricelor de același tip și de înmulțire a matricelor cu un scalar.

Dacă A,BMm,n(K), A = , B = se definește suma celor două matrice ca fiind matricea

S = A+B, SMm,n(K), S = , sij = aij + bij , ,

iar înmulțirea cu scalari a unei matrice este tot o matrice definită astfel:

(α,A)αA, αAMm,n(K),

.

2. 2. Spațiul vectorial al vectorilor liberi

Definiția spațiului vectorial al vectorilor liberi din E3

Vom porni de la o mulțime S ce conține săgeți orientate pe care vom da o relație de echivalență. Mulțimea factor va fi notată cu V3 și o vom numi mulțimea vectorilor liberi sau geometrici.

În continuare vom da o descriere a unei săgeți orientate și nu o definiție minimală.

2.2.1 Definiție. O săgeată orientată din E3 este caracterizată de două puncte A și B, A fiind originea, iar B extremitatea, de o dreaptă suport, dreapta ce trece prin A și B, sens pe dreapta suport – sensul fiind de la A spre B și lungime, lungimea (în spațiul euclidian E3) segmentului cu capete în A și B.

Fig. 1

Vom nota săgeata orientată cu AB, iar lungimea ei cu |AB|. Pe mulțimea S a săgeților orientate vom defini următoarea relație: spunem că săgețile AB și CD sunt echipolente ,

AB ~ CD, dacă și numai dacă au aceeași dreaptă suport sau drepte suport paralele, au același sens, au aceeași lungime.

Observăm că a doua condiție din definiția de mai sus are sens datorită primei condiții. Este ușor de văzut că avem o relație de echivalență.

Se numește vector liber o clasă de echivalență pentru relația de mai sus. Mulțimea factor S/~ o vom numi deci mulțimea vectorilor liberi și o vom nota cu V3. Vom nota un vector liber(clasă de echivalență) cu unde săgeata orientată AB este un reprezentant din acea clasă. Deci V3 = S/~ = {| AB săgeată orientată}.

Vectorii liberi mai pot fi numiți și vectori geometrici.

Observăm că dacă mișcăm prin paralelism săgeata orientată AB în spațiul E3 , obținem același vector liber, rămânem în aceeași clasă de echivalență și că aceasta este singura ”mutare” pe care o putem face fără să ieșim din clasa lui AB. De aceea acești vectori se numesc liberi.

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

În desenele de mai sus doar în primul caz săgețile orientate AB și CD reprezintă același vector liber.

Observație

Un alt mod de a defini relația ce ne conduce la V3 este următorul AB≈CDmijlocul segmentului AD coincide cu mijlocul segmentului BC.

Notăm prin E3 spațiul geometric punctual (adică mulțimea punctelor din spațiul ambiant, împreună cu distanța euclidiană).

Prezentăm, în continuare, alte denumiri pentru noțiunile de mai sus.

2.2.2 Definiție. O pereche E3 E3 se numește segment orientat din E3, de origine și extremitate . Acesta se notează . Lungimea segmentului orientat se numește modulul acestuia și se notează ||.

2.2.3 Definiție. Două segmente orientate și se numesc echipolente dacă patrulaterul este paralelogram. Se notează ~.

Relația de echipolență definită mai sus are următoarele proprietăți, a căror justificare este imediată:

a) ~;

b) ~~;

c) ~ și ~ ~;

deci relația “ ~” este o relație de echivalență în mulțimea segmentelor orientate.

Definiție. O clasă de echivalență în raport cu relația de echipolență în mulțimea segmentelor orientate din E3 se numește vector liber.

Deci un vector liber poate fi considerat ca fiind mulțimea segmentelor orientate echipolente cu un vector dat.

Deoarece două segmente orientate echipolente au module egale, aceeași direcție (adică dreptele care unesc extremitățile lor au aceeași direcție) și aceeași orientare, rezultă că modulul, direcția și sensul, comune tuturor segmentelor orientate dintr-o clasă de echivalență, sunt elemente ce caracterizează vectorii liberi.

Vom nota vectorii liberi prin , mulțimea vectorilor liberi prin V3 (V3 = S3/~), iar modulul vectorului prin ||||.

Construcția noțiunii de vector liber este sugerată în figura următoare:

Fig. 6

E3 S3 V3

2.2.5 Propoziție. Orice vector liber admite reprezentare unică printr-un segment orientat în orice punct din spațiul E3.

Demonstrație. Fie vectorul și un punct E3. Notăm cu sfera de centru și de rază ||||. Aceasta este intersectată de dreapta ce trece prin și are direcția lui , în două puncte și . Unul singur dintre segmentele orientate și are sensul lui și acesta este cel căutat.

Doi vectori liberi sunt egali dacă și numai dacă au module egale, aceeași direcție și orientare.

2.2.6 Definiție. Se numește adunare a vectorilor liberi legea de compunere V3 V3 V3, care asociază vectorilor și , vectorul definit prin regula triunghiului sau regula paralelogramului, reprezentate în continuare:

Fig. 7

2.2.7 Propoziție. Mulțimea V3 a vectorilor liberi posedă o structură de grup abelian în raport cu adunarea.

2.2.8 Definiție. Se numește amplificatul vectorului liber prin scalarul , vectorul definit astfel:

a) ;

b) pentru orientările vectorilor și coincid iar pentru

acestea sunt opuse;

c) direcția lui coincide cu cea a lui .

Se demonstreză cu ușurință următorul rezultat:

2.2.9 Propoziție. Pentru orice V3 și avem:

a) ;

b) ;

c) ;

d)

Din propozițiile 1 și 2 rezultă următorul rezultat

2.2.10. Teoremă. Mulțimea V3 a vectorilor liberi posedă o structură de spațiu vectorial peste corpul numerelor reale în raport cu operațiile de adunare și amplificare a vectorilor cu scalari.

Observație

Notând cu E2 planul punctual, o construcție identică cu cea de mai sus ne permite să obținem spațiul V2 al vectorilor liberi din plan.

2.2.11. Teoremă. cu adunarea și înmulțirea cu scalari este spațiu vectorial real.

În continuare vom arăta că spațiul vectorial este izomorf cu spațiul vectorial .

Fie . Să luăm unde O este originea sitemului de coordonate carteziene a lui . Fie versorii axelor Ox, Oy și Oz, ca în desen:

Deci au orientările axelor Ox, Oy și Oz și lungimea 1. Proiectăm A în planul xOy și obținem punctul M. De asemenea, proiectăm A pe axe și obținem punctele P, Q, R. Avem: .

Pe de altă parte, , unde sunt coordonatele carteziene ale punctului (vectorului) A din . Deci și această exprimare este unică, deoarece coordonatele carteziene ale unui punct sunt unice. Rezultă că este bază în , deci = 3. Deducem că este izomorf cu . Mai mult, izomorfismul de mai sus duce baza în baza canonică a lui , = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) , = (0, 0, 1) și are deci, ca matrice asociată – în baza canonică – matricea unitate . este baza canonică a lui . Din faptul că acesta este izomorfism rezultă că adunarea în se face pe componente, ca și în și înmulțirea cu un scalar se face de asemenea, ca în . Coordonatele vectorilor în sunt chiar coordonatele (carteziene) din în raport cu bazele canonice.

Dacă notăm cu acest izomorfism, ,

rezultă că:

și , i.e.

și

.

Formula ne dă expresia analitică a lui .

Observații:

1. Deoarece figura se poate muta prin paralelism rezultă că izomorfismul nu depinde de alegerea originii O.

2. Descompunând pe , prin proiecții paralele, deducem că oricare trei vectori (nenuli) ale căror direcții nu sunt paralele cu același plan, formează bază în .

3. Încă o dată facem precizarea că totul a fost prezentat în contextul spațiului profitând de: sistemul cartezian de coordonate, lungime, drepte, segmente, etc din .

2.3. Proiecții ortogonale

Fie E3 spațiul de puncte al geometriei euclidiene, definit cu ajutorul unui sistem axiomatic, în care considerăm introdusă noțiunea de vector.

Observație

Structura de spațiu vectorial este foarte des întâlnită, majoritatea obiectelor matematice studiate până acum încadrându-se în această categorie: matrici, polinoame, șiruri, funcții, corpuri de numere etc.

Lungimea unui vector V3 a fost definită de numărul real d(AB), adică distanța dintre punctele A și B, pe care o vom nota în continuare cu ||, modulul vectorului sau lungimea geometrică a vectorului .

Un vector cu proprietatea || = 1 se numește versor sau vector unitate. Orice vector V3 coliniar cu , poate fi scris sub forma = || .

Dacă dreapta d E3 este perpendiculară pe planul E3 atunci proiecția paralelă cu planul a vectorului V3 pe dreapta d va fi numită proiecția ortogonală a vectorului pe dreapta d și va fi notată cu , iar proiecția paralelă cu dreapta d a vectorului pe planul va fi numită proiecția ortogonală a vectorului pe planul și va fi notată cu .

Se demonstrează ușor că proiecția unui vector pe două drepte paralele ne procură același vector, ceea ce înseamnă că proiecția unui vector pe o dreaptă depinde numai de direcția acesteia. De aceea, dacă este un vector nenul care definește direcția dreptei d, atunci putem vorbi de proiecția lui pe , pe care o vom nota cu .

Dacă este versorul lui , adică = || , atunci pentru V3 , este un vector coliniar cu , = || .

Numărul real || se numește mărimea algebrică a proiecției ortogonale pe care o vom nota simplu , și care reprezintă coordonata vectorului pe direcția determinată de .

2.3.1. Teoremă. Pentru V3 \ {} , V3 , și R avem:

(2.3.1)

Demonstrație. Fie o dreaptă având aceeași direcție cu și vectorii , , având suma (fig. 8).

Notând cu și respectiv proiecțiile vectorilor și pe dreapta d rezultă

Analog (fig. 9)

Fig. 8 Fig. 9

Proprietățile din teorema 2.3.1 ale proiecției ortogonale, induc aceleași proprietăți pentru mărimea algebrică a acestei proiecții, adică

(2.3.2)

Dacă considerăm două semidrepte |OA și |OB în spațiul punctual E3, atunci numim unghi al vectorilor liberi nenuli, și , notat cu , unghiul [O, ] format de semidreptele |OA și |OB.

Vectorii și nenuli sunt ortogonali dacă unghiul lor este . Unghiul vectorilor și nu depinde de alegerea reprezentanților și respectiv . Convenim că vectorul nul este ortogonal pe orice vector.

Noțiunea de unghi permite explicitarea mărimii algebrice a proiecției unui vector în funcție de lungimea vectorului și unghiul dintre vector și direcția dreptei pe care se face proiecția (fig. 10) Fig. 10

(2.3.3)

Cu aceste elemente putem introduce noțiunea de produs scalar pe spațiul vectorial al vectorilor liberi.

2.4. Produsul scalar

Fie V3 spațiul vectorial real al vectorilor liberi.

(2.4.1)

definește un produs scalar pe spațiul vectorial al vectorilor liberi.

Demonstrație. Să verificăm cele patru condiții ce definesc un produs scalar.

1. , V3

Din definiția produsului scalar și proprietatea (2.3) avem

=|| || = || || , V3 \ {} , deci

= || || = == · + · .

2. ()· = (· ), , V3, R.

()·= || ||= || ||= (· ), ,V3, R.

3. · = ·, , V3 . Comutativitatea rezultă din comutativitatea produsului în mulțimea numerelor reale.

4. · 0, · = 0 = , V3.

<, > = ||2 0, ||2 = 0 = .

Pentru cazul în care cel puțin un factor al produsului scalar este vectorul nul proprietățile rezultă imediat.

Observație

Produsul de mai sus este produsul euclidian.

2.4.2. Consecință. Spațiul vectorial al vectorilor liberi V3 înzestrat cu produsul scalar (2.4.1)

este un spațiu vectorial euclidian real.

2.4.3. Consecință. Spațiul afin A3 = ( E3, V3, ) având ca spațiu vectorial asociat spațiul euclidian V3, devine un spațiu punctual euclidian pe care-l vom nota cu 3.

Observații

1. În paragraful precedent au fost evidențiate bijecțiile naturale dintre spațiile E3, V3 și R3. Astfel, având fixat un reper cartezian R (O; ) în spațiul afin A3, funcția de coordonate f: V3 R3, definită prin f () = ( x1, x2, x3) R3, V3 , realizează o bijecție între cele două spații vectoriale. Această bijecție reprezintă un izomorfism de spații vectoriale care permite transportul structurii euclidiene canonice definită pe R3 pe spațiul vectorial al vectorilor liberi V3.

Se verifică ușor că aplicația :

< ,> :V3 V3 R, (,) <,> =: <f(), f()>R (2.4.2)

este un produs scalar pe V3, unde < , >R este produsul scalar definit pe R3.

Cu ajutorul acestui produs scalar se definește în mod natural norma |||| = = R

Dacă, considerăm două puncte arbitrare A, B E3 și vectorii de poziție și caracterizați de ternele ( x1, x2, x3) R3 , și respectiv ( y1, y2, y3) R3, atunci vectorul va fi caracterizat de terna (y1 – x1, y2 – x2, y3 – x3) și va avea norma dată de

= = R =

= = = ||.

Acest rezultat arată că norma |||| definită de produsul scalar (2.4.2) coincide cu lungimea geometrică || , a vectorului .

Unghiul a doi vectori nenuli și V3 definit de produsul scalar < , > coincide cu unghiul (geometric) definit de direcțiile semidreptelor |OA și |OB .

Într-adevăr, = = = .

În consecință, produsul scalar (2.4.2), indus de bijecția f, pe spațiul vectorial V3 al vectorilor liberi, coincide cu produsul scalar (2.4.1).

2. Cunoașterea produsului scalar pe spațiul vectorial al vectorilor liberi permite calculul lungimii vectorilor și a unghiului dintre doi vectori:

|||| = , , () (2.4.3)

3. Doi vectori nenuli sunt ortogonali produsul lor scalar este nul.

Fie B = {} o bază în spațiul vectorial V3.

Dacă și , atunci obținem:

(2.4.4)

Deci, produsul scalar a doi vectori este perfect determinat dacă se cunoaște înmulțirea scalară a vectorilor bazei B.

O bază în V3 formată din versori ortogonali doi câte doi este numită bază ortonormată, iar coordonatele unui vector într-o bază ortonormată se numesc coordonate carteziene.

În geometria euclidiană se demonstrează că printr-un punct există trei drepte perpendiculare două câte două de unde rezultă existența unui reper cartezian ortonormat în spațiul punctual euclidian 3.

Dacă B = {, , } este o bază ortonormată în V3 atunci , , adică produsul scalar al vectorilor bazei B este dat de tabelul

Produsul scalar a doi vectori oarecare și va avea expresia canonică

(2.4.5)

Această relație rezultă din Teorema 2.3.1 și din tabelul de mai sus.

Proiecția ortogonală a vectorului pe direcția vectorului este dată de , analog și .

Astfel coordonatele euclidiene ale vectorului reprezintă mărimile proiecțiilor ortogonale ale lui pe cele trei axe ale reperului cartezian ortonormat.

Expresiile analitice ale normei unui vector și respectiv unghiului a doi vectori vor fi date de:

|||| = (2.4.6)

= , [0, ] (2.4.7)

În particular, vectorii și sunt ortogonali dacă și numai dacă

a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 (2.4.8)

2.5. Produsul vectorial

Structura geometrică a lui V3 de până acum este ”săracă”, nu putem rezolva multe probleme. Produsele de vectori liberi îmbogățesc structura geometrică a lui V3 oferindu-ne căi de rezolvare a problemelor legate de : unghiuri, arii și volume. Formulele de la geometrie analitică se exprimă și se deduc cu ajutorul acestor produse.

Fie vectorii și V3. Pentru și notăm cu [0, ] unghiul dintre și .

2.5.1 Definiție. Se numește produs vectorial, operația binară internă “”:V3 V3 V3, care asociază perechii ordonate (,) vectorul notat cu , caracterizat de:

1) || || = |||| |||| sin

2) = este ortogonal pe și

3) Sensul vectorului = este dat de regula mâinii drepte când rotim pe peste sub un unghi ascuțit (regula șurubului drept) (fig. 11) Fig. 11

Dacă notăm cu versorul direcției ortogonale pe și atunci

= |||| |||| sin .

Demonstrație.

1. Din definiția produsului vectorial rezultă că vectorii și au aceeași normă, aceeași direcție, dar sensuri opuse.

2. Să considerăm reprezentanții , și ai vectorilor și și respectiv în punctul O E3 și planul prin O perpendicular pe direcția vectorului . (fig. 12)

Fig. 12

Notând cu , obținem

= |||| |||| sin = |||| |||| = =

analog = =

Dacă + = iar paralelogramul OBDC este proiecția paralelogramului OBDC pe planul , atunci = .

Vectorul se obține rotind cu un unghi de /2 vectorul în planul , și înmulțind vectorul obținut cu ||||. Analog se obține din . Prin rotirea paralelogramului OBDC cu un unghi de /2 și înmulțind cu |||| se obține tot un paralelogram (asemenea cu primul) de unde rezultă că și |||| = |||| ||||.

Similar, se demonstrează distributivitatea produsului vectorial în raport cu primul factor, adică

3. Pentru > 0, vectorul are direcția și sensul vectorului iar () și () au aceeași direcție și același sens.

În plus,

Pentru < 0, vectorul are direcția și sensul lui – iar () și () au aceeași direcție și același sens.

În plus,

Analog se demonstrează () = ( ).

Pentru = 0, din 3 rezultă = .

4. Dacă , , din = 0 rezultă că |||| = 0 sin = 0, adică vectorii și sunt coliniari, = .

Din definiția produsului vectorial avem |||| = 0 , de unde obținem = 0 .

Dacă = atunci =() = () = 0.

5. Pentru și necoliniari construim paralelogramul OACB (fig. 13)

B C

h

O Fig. 13

adică aria paralelogramului determinat de și .

Dacă B ( , , ) este o bază ortonormată în V3 atunci folosind definiția produsului vectorial și proprietățile acestuia, precum și tabelul de mai jos și obținem expresia analitică a prosusului vectorial:

Astfel, produsul vectorial a doi vectori și , și , va avea expresia canonică

, (2.5.2)

Expresia canonică (2.5.2) se poate obține dezvoltând după prima linie determinantul formal

(2.5.2)

Doi vectori sunt coliniari ( = ) dacă și numai dacă

(2.5.3)

2.5.3 Propoziție. Pentru doi vectori oarecare și este satisfăcută identitatea lui Lagrange:

()2 + ( )2 = ||||2 ||||2 (2.5.4)

Demonstrație. Din definiția produsului scalar avem

()2 = , iar ( )2 =

Însumând cei doi termeni obținem egalitatea (2.5.4).

Observație importantă

Identitatea lui Lagrange nu este altceva decât formula fundamentală a trigonometriei sau teorema lui Pitagora, care sunt echivalente (în sistemul axiomatic al lui Hilbert), cu postulatul al 5-lea al lui Euclid.

Din definiția produsului vectorial rezultă că vectorul este coplanar cu vectorii și (vectorii din paranteză). Dacă, construim vectorul () = , acesta va fi un vector

coplanar cu și de unde rezultă că .

2.6. Produsul mixt

2.6.1 Definiție. Fie vectorii , , V3. Se numește produsul mixt al vectorilor , și numărul real (, , ) dat de (, , ) = : ( ) (2.6.1)

1) () = (, , ) + (, , )

2) (, , ) = (, , )

3) (,,) = () , S3, = 1.

4) (, , ) = 0 , , sunt liniar dependenți (coplanari)

5) |(, , )| = , pentru , , V 3 \ {0}

Proprietățile 1) și 2) , aditivitatea și respectiv omogenitatea, rezultă din definiția produsului mixt și se extinde pentru orice factor.

Proprietatea 3) se poate exprima echivalent prin proprietățile:

3) (, , ) = (, , ) = (, , )

ce exprimă invarianța produsului mixt la permutări circulare, adică = + 1 ( S3 – permutare pară) și

3) (, , ) = – (, , ) ,

și celelalte relații corespunzătoare permutărilor impare care exprimă proprietatea de anticomutativitate pentru orice doi factori alăturați.

Echivalența 4) rezultă imediat pentru cel puțin un factor egal cu vectorul nul, iar pentru , , V 3\ {0}, anularea produsului mixt este echivalentă cu ortogonalitatea vectorilor și , adică coplanaritatea vectorilor , și .

Dacă notăm cu volumul paralelipipedului format de reprezentanții vectorilor , , într-un punct O E3 (fig.14 ) și notând cu = < (, ) , cu = < (, ), obținem Fig.14

Dacă B = (, , ) este o bază ortonormată în spațiul vectorial al vectorilor liberi V 3, iar = + + , și sunt expresiile analitice ale vectorilor , și respectiv , atunci produsul mixt are expresia canonică dată de

(2.6.2)

care rezultă din expresiile analitice ale produsului scalar și vectorial.

Trei plane se intersectează (, , ) ≠ 0

Ținând seama de proprietățile determinanților și de expresia analitică canonică a produsului mixt pot fi ușor de verificat proprietățile 1-5.

Spunem că o bază B = {, , } V 3 este pozitiv (negativ) orientată dacă produsul mixt (, , ) este pozitiv (negativ).

2.7. Planul în spațiu

2.7.1. Ecuația planului

O primă modalitate de a da un plan este planul ce trece printr-un punct și este ortogonal unei direcții.

Fie P0(x0, y0, z0) și un vector ce reprezintă direcția ortogonală, normală, planului π. Fie M(x, y, z), este evidentă echivalența M ∈ π ortogonal pe .

Fig. 15

Exprimând, cu produsul scalar, această condiție obținem:

M ∈ π A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 aceasta fiind ecuația planului π

(π): A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

Observații

1. Dacă în loc de luăm un alt vector coliniar cu obținem, evident, același plan. Este exprimarea geometrică a faptului (algebric) că dacă înmulțim o ecuație cu un număr nenul obținem o ecuație echivalentă (cu aceleași soluții). Orice manipulare algebrică are o semnificație geometrică.

2. Ecuația planului de mai sus este liniară. În propoziția următoare vom vedea că reciproca acestei afirmații este adevărată.

2.7.2. Propoziție. Orice ecuație (liniară) de forma Ax + By + Cz + D = 0, cu A, B, C nu toți nuli este ecuația unui plan.

Demonstrație

Notăm cu (x0, y0, z0) o soluție a ecuației de mai sus, de exemplu dacă B ≠ 0 se pot lua x0 și z0 arbitrari și y0 rezultă din ecuație. Avem deci Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ecuație pe care o scădem din ecuația din enunț. Ajungem la A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Fie P0(x0, y0, z0), P(x, y, z) și , ecuația de mai sus este echivalentă cu , care este condiția necesară și suficientă ca P să aparțină planului ce trece prin P0 și este ortogonal lui .

Observație importantă

Pe această propoziție se bazează tratarea vectorială (geometrică) a sistemelor liniare.

Iată cum putem folosi această informație pentru a găsi ecuația planului determinat de trei puncte. Atragem atenția că ”rezolvarea” de mai jos a acestei probleme reflectă ”filozofia” opusă , adică ” de la algebră spre geometrie”. O prezentăm aici pentru a se vedea mai bine, prin contrast, cum sunt abordate problemele de geometrie.

Rezolvare algebrică:

Fie π planul determinat de punctele Pl(xl, yl, zl), l = 1, 2, 3. Acest plan are o ecuație liniară

(π): Ax + By + Cz + D = 0. Adăugăm la această ecuație celelalte 3 ecuații Pl ∈ π și obținem un sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute A, B, C și D. Deoarece acest sistem nu are soluție unică rezultă că determinantul său este nul.

Ecuația planului π este deci

Rezolvare geometrică:

Fie M(x, y, z), cu notațiile de mai sus este evidentă echivalența:

M ∈ π , și sunt coplanari.

Fig. 16

Exprimăm această condiție cu produsul mixt și obținem , deoarece

= ,

Fig. 17

Această ecuație este clar echivalentă cu cea de mai sus, determinantul 3×3 obținându-se scăzând, în determinantul 4×4, linia întâi din celelalte linii și dezvoltând după ultima coloană.

Un mod mai economic de a da un plan, cu doar 3 numere reale este următorul: planul care face cu axele unghiurile α, β, y și se află la distanța (cu semn) p de originea sistemului de coordonate.

Observație

Unghiul de mai sus este, de fapt, unghiul pe care direcția normală la plan o face cu o axă. Intervin astfel cosinusurile directoare ale normalei.

Scriind ecuația (π): Ax + By + Cz + D = 0 cu normala sub forma obținem ecuația

(π) : xcosα + ycosβ + zcosy + p = 0, unde are semnificația de distanță de la π la origine, iar α, β, y sunt unghiurile pe care le face cu axele Ox, Oy și Oz.

Aceasta este ecuația normală a planului, în care cos2α + cos2 β + cos2y = 1.

2.8 Plane determinate de drepte

două drepte concurente în Ele determină planul a cărui ecuație vrem s-o găsim.

Fig. 18

Fie , doi vectori ce reprezintă direcțiile dreptelor și și M(x,y,z). Este evidentă echivalența:

sunt coplanari

Scriind cu produsul mixt această echivalență, obținem ecuația planului determinat de și :

Am fi putut proceda și altfel: planul trece prin și are normala

Fie acum și

două drepte paralele.

Dacă aceste drepte nu sunt confundate, ele determină planul al cărei ecuație o vom scrie.

Fig. 19

Este evident că sunt coplanari. Explicităm această condiție și obținem ecuația lui .

Am fi putut proceda și astfel: este determinat de dreapta și ; evident că conține, odată cu , toată dreapta . Așa vom face în continuare.

Fie și . Dacă atunci avem un plan, , unic determinat:

Fig. 20

sunt coplanari. Ecuația planului determinat de o dreaptă și un punct este:

Pentru a obține această ecuație puteam folosi noțiunea de fascicul de plane. Se poate scrie mulțimea tuturor planelor ce conțin dreapta și apoi ne alegem planul ce conține ; acesta este planul .

Această noțiune de fascicul de plane este foarte utilă. O vom prezenta în continuare.

2.8.1. Definiție. Se numește fascicul de plane, dat de dreapta , mulțimea tuturor planelor ce conține .

Propoziție. Dacă dreapta este dată ca intersecție de două plane

atunci ecuația fasciculului de plane dat de este:

.

Demonstrație. Observăm că este un plan (are o ecuație liniară) oricare ar fi real. Fie ; rezultă că , deci toate planele din fascicul conțin . Fie acum un plan ce conține , de ecuație . Toate planele ce conțin au normalele perpendiculare pe , deci normalele planelor sunt coplanare, adică vectorii ce le reprezintă, sunt liniar dependenți. Exprimăm ca o combinație liniară de și de exemplu cu și nu ambii nuli. Să presupunem și să observăm că vectorii și reprezintă aceeași direcție, deci determină același plan . Notăm și scriem ecuația lui sub forma:

unde .

În final, are ecuația:

Din faptul că rezultă că și , de unde rezultă ca se scrie:

, i.e. ecuația lui din enunț. Am arătat deci că mulțimea de plane conține toate planele ce conțin și propoziția este demonstrată.

Cu ajutorul fasciculului de plane se pot obține aproape toate ecuațiile planelor deduse mai sus.

Sigur că un plan poate fi determinat în multe feluri; toate aceste feluri vor fi tratate ca probleme, teoria expusă până acum fiind suficientă pentru a le rezolva.

Problemă. Să se determine distanța de la planul la punctul .

Rezolvare

Se parcurg următorii pași:

condiții de existență,

rezolvarea conceptuală, geometrică a problemei,

calcule algebrice,

scrierea și explicarea soluției.

Notăm cu distanța de la la . Evident, . Deci fie .

Fig. 20

a. Scriem ecuațiile dreptei ce trece prin și este perpendiculară pe ; direcția lui este dată de normala la .

b. Fie . Pentru a afla P scriem sub formă parametrică (problemă de intersecție).

c.

Să le luăm pe rând:

.

Rezultă .

Coordonatele lui P sunt .

Scriem soluția problemei și facem observații:

.

Observații

1. Dacă , atunci formula ne arată că .

2. Dacă renunțăm la modul, atunci obținem distanța cu semn (orientată) de la la (vezi ecuația normală a planului). Semnificația geometrică e clară: se află de parte sau alta a planului . Avem deci o metodă să aflăm cărui semispațiu îi aparține .

3. Formula seamănă foarte mult cu formula din liceu a distanței de la un punct din planul la o dreaptă din acel plan.

Observația 3 de mai sus merită analizată cu atenție căci este importantă.

Observație importantă

În geometria obiectelor “scufundate” în alte obiecte mai “mari” (cum ar fi curbe și suprafețe scufundate în E) nu contează așa mult dimensiunea obiectului, cât codimensiunea sa.

codim obiect = dim spațiu “mare” – dim obiect

Dreapta în plan și planul în spațiu (E) au aceeași codimensiune egală cu 1. Deci au aceleași proprietăți geometrice și nu întâmplător formulele seamănă.

Iată un exemplu grăitor pentru cele de mai sus. Dreapta din plan care “taie” axele și în și are ecuația .

Planul din spațiu care “taie” axele , și în , și are ecuația (se obține ușor din ecuația planului prin trei puncte):

.

În continuare, voi expune noțiunile de mai sus, însă prezentate într-un cadru aproape de cel axiomatic.

În spațiul geometriei euclidiene E3, un plan este în mod unic determinat de următoarele condiții:

1) trei puncte necoliniare

2) un punct și o dreaptă

3) două drepte (concurente sau paralele)

4) un punct și o direcție

1. Trei puncte necoliniare determină un plan.

Punctele coplanare A,B,C,D, determină un singur plan. Erau suficiente doar trei puncte pentru a dermina planul. Având 4 puncte putem nota planul în mai multe moduri:

(ABC), (ABD), (ACD), (BCD). Observăm că mai avem un punct E în exteriorul planului dat. Câte plane se formează? Care sunt acestea?

2. O dreaptă și un punct care nu-i aparține determină un plan.

Se dă dreapta d si un punct M care nu aparține dreptei d. Dreapta d conține cel puțin două puncte distincte A si B. Avem deci 3 puncte A, B, M necoliniare, care știm că determină un plan.

3. Două drepte concurente determină un plan.

Se dau dreptele concurente a și d. a ∩ d = {M}

Fie A ∈ d, B∈ a. Avem trei puncte distincte care determină planul (ABM);

{A}, {M} ∈ d d (ABM);

{B}, {M} ∈ a a (ABM);

Deci dreptele concurente d și a determină un plan pe care îl putem nota (d, a).

4. Două drepte paralele determină un plan.

Se dau dreptele paralele a și b. Se ia de exemplu un punct pe dreapta b, A. Știm ca o dreaptă și un punct exterior ei determina un plan, deci dreapta a și punctul A determină un plan (a, A). La fel putem lua un punct pe dreapta a care împreună cu dreapta b va determina un plan. Planul determinat de cele două drepte îl putem nota (a, b).

2.9 Planul prin trei puncte

Iată acum o tratare în cadrul afin e ecuațiilor planelor. Fie M0, M1, M2 E3 trei puncte necoliniare (afin independente). Subspațiul afin E3 generat de punctele M0, M1, M2 are ca spațiu vectorial director un subspațiu de dimensiune doi în spațiul vectorial V3, dat de

V2 = { , astfel încât }

Un punct M dacă și numai dacă V2.

Fig. 22

Un punct M dacă și numai dacă V2.

Dacă notăm cu = , = , i = 0, 1, 2 vectori de poziție ai punctelor M și respectiv M0, M1, M2 în reperul cartezian R (O; , , ), (Oxyz) atunci mulțimea punctelor planului va fi caracterizat de relația vectorială

, , R (2.9.1)

numită ecuația vectorială a planului prin trei puncte.

Dacă (x, y, z), (xi, yi, zi) R3, i = 0, 1, 2 sunt coordonatele punctelor M și respectiv Mi, i = 0, 1, 2 atunci ecuația vectorială (1.1) scrisă în reperul cartezian Oxyz este echivalentă cu ecuațiile

(2.9.2)

numite ecuațiile carteziene parametrice ale planului prin trei puncte.

Relația = + reprezintă condiția de coplanaritate a vectorilor , , echivalentă cu anularea produsului mixt, adică

(, , ) = 0 sau (,,) (2.9.3)

În coordonate carteziene ecuația (1.3) se scrie sub forma

sau (2.9.4)

numită ecuație carteziană a planului prin trei puncte.

În particular, punctele A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c) situate pe axele de coordonate ale reperului Oxyz determină un plan , iar coordonatele punctelor sale satisfac ecuația

, sau după dezvoltare

(2.9.5)

numită ecuația prin tăieturi a planului .

Remarcă. Condiția necesară și suficientă pentru ca patru puncte Mi(xi,yi, zi), să fie situate într-un plan este

(2.9.6)

2.10 Planul printr-un punct, paralel cu două direcții date

Fie punctul M0 E3 și dreptele distincte d1, d2 E3. Considerăm în punctul M0 reprezentanții vectorilor (l1, m1, n1) , (l2, m2, n2) paraleli dreptelor d1 respectiv d2 (fig.23)

Vectorii și , liniar independenți generează subspațiul vectorial

V2 = {, astfel încât }.

Fig.23

Punctul M0 E3 și subspațiul vectorial V2 determină subspațiul afin bidimensional E3. Un punct M dacă și numai dacă V2, adică vectorii , și sunt coplanari.

Utilizând vectorii de poziție și corespunzători punctelor M și respectiv M0, relația de coplanaritate se scrie sub forma

(2.10.1)

numită ecuația vectorială a planului printr-un punct, paralel cu două direcții.

Proiectând ecuația (1.7) pe axele sistemului cartezian de coordonate Oxyz obținem:

, R (2.10.2)

numite ecuațiile carteziene sub formă parametrică ale planului printr-un punct, paralel cu două direcții.

Relația de coplanaritate a vectorilor , și este caracterizată de anularea produsului mixt al celor trei vectori, adică (, ,) = 0. Obținem astfel ecuația

(2.10.3)

numită ecuația carteziană a planului printr-un punct, paralel cu două direcții.

Remarcă. În particular, ecuația (2.10.3) poate fi adaptată și pentru alte situații cunoscute din geometria elementară, în care un plan este perfect determinat. Anume: planul determinat de o dreaptă și un punct nesituat pe dreaptă, planul determinat de două drepte concurente și respectiv planul determinat de două drepte paralele.

2.11. Ecuația planului printr-un punct și o normală dată

Primele două cazuri de determinare ale unui plan sunt specifice unui spațiu afin, planul fiind gândit ca mulțimea suport a unui subspațiu afin de dimensiunea doi al spațiului afin E3. Punând în valoare proprietățile oferite de structura euclidiană a spațiului vectorial V3, putem caracteriza algebric punctele unui plan printr-un punct și care să fie perpendicular pe o direcție dată.

Se știe din geometria elementară că există un singur plan și numai unul care trece printr-un punct și este perpendicular pe o dreaptă dată. Din punct de vedere algebric acest fapt se exprimă în felul următor: dacă V2 este un subspațiu vectorial de dimensiune doi în spațiul vectorial euclidian al vectorilor liberi V3 atunci există un unic complement ortogonal V1, subspațiu de dimensiune unu, care permite scrierea în sumă directă a spațiului vectorial al vectorilor liberi, sub forma V3 = V2 V1.

Deci, determinarea planului afin printr-un punct având ca spațiu vectorial director pe V2 este echivalentă cu determinarea planului printr-un punct având direcția normalei paralelă cu subspațiul V1 ortogonal subspațiului V2.

Un vector cu direcție perpendiculară pe un plan va fi numit vectorul normal al planului sau pe scurt normala planului.

Fie un punct M0 (xo, y0, z0) E3 și vectorul nenul (A, B, C) V3 în spațiul punctual euclidian E3 dotat cu reperul cartezian ortonormat R (O; , , ), (fig.24).

Fig.24

Un punct M(x, y, z) este situat în planul , planul prin punctul M0 perpendicular pe dreapta , dacă și numai dacă vectorul este ortogonal pe vectorul , adică = 0. Folosind expresia analitică a produsului scalar obținem:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (2.11.1)

numită ecuația planului printr-un punct și de normală dată.

Prelucrând membrul stâng al ecuației (1.10) și notând cu

D = – (Ax0 + By0 + Cz0) obținem:

Ax + By + Cz + D = 0 (2.11.2)

numită ecuația carteziană generală a unui plan.

Observații

1. Orice plan E3 este caracterizat într-un reper cartezian Oxyz de o ecuație polinomială de gradul I în nedeterminatele x, y, z și reciproc.

2. În ecuația (2.11.2) coeficienții nedeterminatelor reprezintă coordonatele vectorului normal la plan. În consecință, două plane ale căror ecuații diferă prin termenul liber sunt plane paralele, deci ecuația

Ax + By + Cz = , R (2.11.3)

reprezintă familia planelor paralele din spațiu de normală dată (A, B, C). Pentru = 0 ecuația (2.11.3) reprezintă ecuația unui plan prin origine.

3. Ecuațiile planelor de coordonate. Aceste plane conțin originea, deci = 0 și au ca normale vectorii reperului R (O; , , ), = (1,0,0), = (0,1,0), = (0,0,1). Obținem:

z = 0 – ecuația planului xOy

y = 0 – ecuația planului xOz

x = 0 – ecuația planului yOz

4. Ecuația normală a unui plan. Să considerăm planul E3 și punctul M0 proiecția originii reperului R (O; , , ) pe planul . Dacă notăm cu p distanța de la origine la planul , cu , , unghiurile pe care le face vectorul cu axele de coordonate atunci putem scrie:

= |||| = p (cos + cos + cos),

|||| = 1 cos2 + cos2 + cos2 = 1

Un punct M (x, y, z) este situat în planul dacă și numai dacă vectorii = p cos + p cos + p cos și = – = = (x – p cos) + (y – p cos) + (z – p cos) sunt ortogonali, adică = 0. În coordonate condiția de ortogonalitate este

echivalentă cu:

x cos + y cos + z cos – p = 0 (2.11.4)

numită ecuația normală a planului sau ecuația planului sub forma lui Hess.

În ecuația (2.11.4) p R+ reprezintă distanța originii la planul , iar cantitățile cos, cos, cos cu proprietatea cos2 + cos2 + cos2 = 1 reprezintă coordonatele versorului al direcției normale la planul și vor fi numite cosinusurile directoare ale direcției .

Dacă, considerăm planul dat prin ecuația generală Ax + By + Cz +D = 0, având normala = (A, B, C) și împărțim ecuația prin obținem:

(2.11.5)

numită ecuația normalizată a planului . Alegem semnul + sau – după cum D este negativ sau pozitiv, întrucât comparând ecuația (2.11.5) cu ecuația (2.11.4) avem , , , și termenul liber , în care p > 0, reprezintă o distanță.

2.12. Dreapta ca intersecție a două plane

Se știe din geometria elementară că două plane neparalele se intersectează după o dreaptă (d). În paragraful precedent această situație geometrică este caracterizată analitic de un sistem de ecuații liniare compatibil nedeterminat, format cu ecuațiile celor două plane. Astfel, ecuațiile sistemului

(2.12.1)

vor fi numite ecuațiile dreptei (d) dată de intersecția a două plane.

O soluție (x0, y0, z0) a sistemului (2.12.1) va caracteriza un punct al dreptei (d) iar vectorul , unde și sunt normalele celor două plane ce determină dreapta (d).

CAPITOLUL III

SISTEME DE ECUAȚII LINIARE TRATATE DIN PUNCT DE VEDERE VECTORIAL (GEOMETRIC)

Un plan (o ecuație)

O ecuație liniară cu 3 necunoscute reprezintă ecuația generală a unui plan în geometria analitică în spațiu.

Sistemele de ecuații cu 3 variabile sunt sisteme de plane. Din moment ce ecuațiile au 3 plane, acestea descriu un plan tridimensional.

În imaginea de mai sus se reprezintă grafic ecuația dată . Triunghiul roșu este o porțiune a planului pentru care x, y, z au toate valori pozitive. Planul continuă și în direcția negativă, direcție reprezentată prin axele punctate.

Două plane

Studiul pozițiilor geometrice a două plane 1, 2 E3:

plane ce se intersectează după o dreaptă

plane paralele (strict)

plane confundate,

se reduce la studiul mulțimii soluțiilor sistemului format cu ecuațiile celor două plane.

Plane paralele Plane secante

Două plane pot fi paralele sau concurente.

• Plane paralele. Două plane paralele au urmele de același nume paralele între ele (figura 24). Această reprezentare se bazează pe următoarea teoremă: două plane paralele se intersectează cu un al treilea, după două drepte paralele.

• Plane concurente. Două plane concurente se intersectează după o dreaptă. Planele concurente se pot întâlni sub un unghi oarecare sau pot fi perpendiculare.

Pentru a determina dreapta de intersecție a două plane, se stabilesc două puncte comune celor două plane (figura 24) sau un punct comun și direcția (poziția) dreptei de intersecție (figura 25).

În figura 24, se determină dreapta de intersecție a planelor [P] și [Q], stabilind două puncte comune celor două plane. Planele [P] și[Q] fiind reprezentate prin urme, punctele comune sunt situate la intersecția urmelor de același nume ale planelor.

La intersecția urmelor orizontale ale planelor, rezultă un punct comun H(h, h′) iar la intersecția urmelor verticale ale planelor al doilea punct comun V (v, v′). Pentru dreapta de intersecție a celor două plane, punctele H și V reprezintă urmele dreptei.

Fig. 24

Fig 25

În figura 25, planele [P] și [Q] sunt perpendiculare pe planul orizontal de proiecție, deci și dreapta lor de intersecție va fi perpendiculară pe planul orizontal. La intersecția urmelor orizontale ale planelor, rezultă un punct comun, care corespunde cu urma orizontală și cu proiecția orizontală a dreptei, dreapta de intersecție fiind o verticală.

• Plane perpendiculare. Un plan este perpendicular pe alt plan, dacă va conține o dreaptă perpendiculară pe acel plan.

Acum facem legătura cu expresia algebrică (dată de ecuațiile planelor) a discuției de mai sus.

Să considerăm în reperul cartezian ortonormat R (O; , , ) planele:

(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 și (2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Dacă notăm cu matricea sistemului

(3.2.1)

avem următoarele cazuri:

– rang M = 2 sistemul (S ) este compatibil simplu nedeterminat.

Mulțimea soluțiilor sistemului caracterizează locul geometric al punctelor comune celor două plane, adică dreapta de intersecție a celor două plane d = 1 2 .

– rang M = 1 și c = 0 – sistemul (S ) este compatibil dublu nedeterminat, adică cele două plane coincid, 1 2.

– rang M = 1 și c 0 – sistemul (S ) este incompatibil. Cele două plane nu au nici un punct comun, 1 || 2.

3.3 Trei plane

Studiul pozițiilor geometrice a 3 plane 1, 2, 3 E3:

plane concurente într-un punct;

plane concurente după o dreaptă;

plane concurente după un plan;

plane paralele,

se reduce la studiul mulțimilor soluțiilor sistemului format cu ecuațiile celor 3 plane.

Concurența planelor într-un punct

Concurența planelor după o dreaptă

Planele coincid

Planele sunt paralele

În spațiul punctual euclidian 3 dotat cu reperul cartezian R (O; , , ) considerăm planele:

(1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(S ) (2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

(3): A3x + B3y + C3z + D3 = 0

Notăm cu , matricea sistemului format cu ecuațiile celor trei planuri.

Avem următoarele cazuri:

a) rang M = 3 sistemul (S ) este compatibil determinat. Soluția sistemului reprezintă coordonatele punctului comun celor trei plane. Vom spune că cele trei plane sunt concurente (snop de plane).

b) rang M = 2 și c = 0 sistemul (S ) este compatibil simplu nedeterminat. Mulțimea soluțiilor reprezintă coordonatele punctelor situate pe o dreaptă comună celor trei plane. Spunem că cele trei plane formează un fascicul de plane.

Condițiile rang M = 2 și c = 0 sunt echivalente cu faptul că o ecuație a sistemului (S ) este o combinație liniară a celorlalte. Dacă planele (1) și (2) determină o dreaptă (d) atunci orice plan prin dreapta de intersecție este reprezentat analitic ca o combinație a ecuațiilor celor două plane.

Ecuația fasciculului de plane prin dreapta de intersecție a planelor 1 și 2, numită axa fasciculului, este dată de

(A1x + B1y + C1z + D1) + (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 , R, 2 + 2 0 (3.3.1)

Ecuația A1x + B1y + C1z + D1 + (A2x + B2y + C2z + D2) = 0, R

reprezintă ecuația fasciculului prin dreapta (d) din care lipsește planul 2.

În particular, axa Ox gândită ca intersecția planelor xOy și xOz, determină fasciculul planelor prin Oz caracterizat de

y + z = 0 (3.3.2)

c) rang M = 2 și c 0 sistemul (S ) este incompatibil. Două plane se intersectează după o dreaptă, al treilea plan fiind paralel cu dreapta de intersecție a primelor două plane ( planele formează o prismă).

d) rang M = 1 și = = 0 sistemul (S ) este compatibil dublu nedeterminat. Cele trei plane sunt confundate.

e) rang M = 1 și 0 sistemul (S ) este incompatibil. Planele sunt paralele (strict sau două pot fi confundate).

Observații

1. Această parte este partea centrală a lucrării.

2. Privind ecuațiile cu 3 necunoscute ca și plane în spațiu putem antrena intuiția elevilor.

3. Pe desen se poate observa că și incompatibilitatea poate avea mai multe grade.

Exemple

3.4.1. Sisteme de 2 ecuații cu 3 necunoscute

Cazul I – plane concurente după o dreaptă

Fie sistemul

Rezolvare geometrică:

Rezolvare algebrică:

sistemul este compatibil simplu nedeterminat

Intersecția celor 2 plane e o dreaptă cu soluțiile parametrice: x = 11 + α

y = – α

z = α

Cazul II – plane paralele

Se dă sistemul

Rezolvare geometrică:

Intersecția celor două plane este vidă.

Se poate observa mai jos reprezentarea grafică a lor:

Rezolvare algebrică:

sistemul este incompatibil

Intersecția celor 2 plane este vidă.

Cazul III – plane confundate

Se dă sistemul

Rezolvare geometrică:

Rezolvare algebrică:

sistemul este compatibil

nedeterminat

Cele două plane coincid.

3.4.2. Sisteme de 3 ecuații cu 3 necunoscute

Cazul I –trei plane paralele (sistem incompatibil)

Se dă sistemul

Rezolvare geometrică:

Intersecția celor 3 plane este vidă; sunt plane distincte, paralele între ele.

Rezolvare algebrică:

, det A = 0, rang A = 1, rang = 2 sistemul este incompatibil

Cazul II –două plane confundate paralele cu al treilea (sistem incompatibil)

Se dă sistemul

Rezolvare geometrică:

Intersecția celor 3 plane este vidă.

Rezolvare algebrică:

, det A = 0, rang A = 1, rang = 2 sistemul este incompatibil

Cazul III – două plane concurente două câte două (sistem incompatibil)

Se dă sistemul :

Rezolvare geometrică:

Intersecția celor 3 plane este vidă. Fiecare dintre plane este paralel cu dreapta de intersecție a celorlalte două.

Rezolvare algebrică:

Cazul IV – plane concurente după o dreaptă (sistem compatibil simplu determinat)

Se dă sistemul

Rezolvare geometrică:

Rezolvare algebrică:

Păstrăm liniile (1) și (2) din sistem cu x, y necunoscute principale și z necunoscuta secundară.

Notăm z = α și îl mutăm în dreapta.

Deci sistemul este compatibil simplu nedeterminat, cu soluția (1 – α, -2 + α, α), α ∈ ℝ

Cazul V – plane concurente după un plan, cele 3 plane coincid (sistem compatibil dublu determinat)

Se dă sistemul

Rezolvare geometrică:

Cele trei plane coincid

Rezolvare algebrică:

, det A = 0, rang A = 1, rang = 1 sistemul este compatibil dublu

nedeterminat

Cazul VI – plane concurente într-un punct (sistem compatibil simplu determinat)

Se dă sistemul

Rezolvare geometrică:

Rezolvare algebrică:

, det A = 1, rang A = 3, rang = 3 sistemul este compatibil

determinat

Cele trei plane se intersectează într-un singur punct P (1, 1, 1).

3.5. ”Dicționarul” algebră – geometrie

Considerăm sistemul

Într-un sistem ortogonal de axe Oxyz, fiecare ecuație reprezintă un plan.

Fie

Cazurile de compatibilitate sau incompatibilitate ale sistemului dat sunt criterii necesare și suficiente pentru determinarea pozițiilor relative a trei plane oarecare în spațiu.

În concluzie vom schematiza discuția de mai sus într-un tabel ce se constituie într-un ”dicționar” algebră – geometrie și , sperăm noi, cât mai puțin folosit dinspre geometrie spre algebră.

Pe desen se poate observa imediat cât de ”bogată” este soluția. De asemenea, se poate observa gradul de incompatibilitate. De exemplu, cazul în care 3 plane sunt paralele arată cea mai mare incompatibilitate.

3.6 Program care reflectă această abordare geometrică, vizuală a rezolvării (și discuției) sistemelor liniare cu trei necunoscute.

În continuare, voi prezenta pașii care trebuia urmați în folosirea programului care rezolvă atât algebric cât și vectorial sistemele de 3 ecuații liniare cu 3 necunoscute.

Pasul 1:

Pasul 2:

Pentru fiecare plan se introduc coeficienții doriți.

Pasul 3:

Se rulează programul și obținem:

Observații

1. Problemele de concurență în spațiu, în general de intersecții pot fi foarte simplu rezolvate cu calculatorul, eventual rotind cu mouse-ul figurile spațiale.

2. E mai simplu să rotești (în spațiu) o figură decât să rezolvi un sistem.

3. Folosind soft-ul matematic (vizualizare) se poate, la fel, examina problema intersecției a mai mult de 3 plane în spațiu.

Concluzie:

Cum fiecare ecuație a sistemului este ecuația unui plan în spațiul cartezian Oxyz , se poate interpreta geometric sistemul compatibil determinat prin concurența planelor într-un punct , iar sistemul compatibil nedeterminat prin concurența planelor după o dreaptă (sistem simplu determinat) sau după un plan (sistem dublu nedeterminat – cele trei plane coincid). În fine sistemul incompatibil corespunde celorlalte situații ale planelor în spațiu (plane paralele , două plane paralele intersectate de al treilea , plane concurente două câte două , fără punct comun pentru cele două drepte etc.)

Două sisteme sunt echivalente dacă sunt amândouă incompatibile sau sunt amândouă compatibile și au aceleași soluții.

CAPITOLUL IV

APLICAȚII

4.1. Începem cu câteva formule teoretice necesare rezolvării acestor probleme

1. Dreapta determinată de un punct și un vector director  :

– ecuațiile parametrice (1.1)

– ecuațiile canonice (1.2)

Cosinusurile directoare ale dreptei d sunt :

(1.3)

2. Dreapta determinată de două puncte și  :

(1.4)

3. Unghiul dintre două drepte de vectori directori și  :

(1.5)

4. Planul determinat de un punct și de un vector normal  :

(1.6)

5. Ecuația generală a unui plan:

(1.7)

6. Planul determinat de trei puncte necoliniare  :

(1.8)

sau (1.9)

7. Planul determinat de un punct și doi vectori necoliniari și  :

sau (1.10)

8. Unghiul dintre două plane orientate :

(1.11)

9. Dreapta ca intersecție de plane :

(1.12)

Direcția acestei drepte este dată de , , .

Fasciculul de plane care trec prin dreapta considerată :

(1.13)

10. Distanța de la un punct A la o dreaptă D ce trece prin și are direcția  :

. (1.14)

11. Distanța de la un punct la un plan  :

(1.15)

12. Unghiul dintre o dreaptă orientată de direcție și un plan orientat  :

(1.16)

13. Pentru determinarea ecuațiilor perpendicularei comune a două drepte oarecare și de vectori directori și se poate proceda astfel :

se stabilește direcția perpendicularei comune ,

se scrie ecuația unui plan ce trece prin și conține pe ,

se scrie ecuația unui plan ce trece prin și conține pe .

Intersecția celor două plane este perpendiculara comună căutată.

14. Distanța dintre două drepte și , de vectori directori și  :

(1.17)

unde punctele , .

4.2. Probleme rezolvate

P1. Se consideră dreapta determinată de punctele A(1,2,3) și B(-2,1,4). Să se găsească punctele ei de intersecție cu planele de coordonate.

Soluție. Cu (1.4), ecuațiile dreptei sunt . Notând cu t valoarea comună a rapoartelor, ecuațiile parametrice (1.1) au expresia: . Punctul de intersecție cu planul xOy are z=0, deci t=4. Ca urmare, coordonatele punctului de intersecție sunt (10,5,0). Analog, dreapta intersectează planul yOz în punctul , iar planul xOz în (-5,0,5).

P2. Să se scrie ecuațiile dreptei care trece prin punctul A(1,-2,3) și este paralelă cu dreapta .

Soluție. Ecuațiile canonice (1.2) pentru dreapta D sunt . Dreapta căutată are astfel vectorul director și se obțin ecuațiile .

P3. Să se scrie ecuațiile dreptei care trece prin punctul (2,-5,3) și este :

a) paralelă cu axa Oz ;

b) paralelă cu dreapta  :  ;

c) este paralelă cu dreapta .

Soluție.

a) Direcția dreptei este , deci (1.2) se scrie .

b) Direcția dreptei este aceeași cu a dreptei adică . Ca urmare, ecuațiile dreptei sunt .

c) Vectorul director al dreptei este , unde , . Se obține , astfel că ecuațiile dreptei sunt .

P4. Să se determine cosinusurile directoare ale dreptelor

a)  ; b) .

Soluție.

a)Vectorul director al dreptei este . Din (1.3) rezultă ;

b) Direcția dreptei este dată de

Cosinusurile directoare sunt .

P5. Să se arate că dreptele , sunt secante și să se afle punctul lor de intersecție.

Soluție. Condiția ca două drepte , i =1,2 ce trec prin punctele și au vectorii directori să fie secante (coplanare) este :

.

Cum , dreptele sunt secante. Pentru a găsi coordonatele punctului de

intersecție, se rezolvă sistemul .

Deoarece , , se obține t=1 și, corespunzător punctul (1,2,3).

P6. Să se scrie ecuația planului determinat de punctele , , .

Soluție. Se folosește (1.8) sau (1.9),

, sau .

Se obține .

P7. Să se scrie ecuația planului care trece prin punctul și are vectorul normal .

Soluție. Ecuația planului de vector normal este dată de (1.7), adică . Din cerința ca să aparțină planului rezultă d=16.

P8. Să se calculeze distanța punctului A(3,1,-1) la planul .

Soluție. Conform cu (1.15), se obține

.

P9. Să se găsească distanța punctului P(1,2,-1) la dreapta .

Soluție. Dreapta trece prin (0,0,0) și are vectorul director .

Cum , din (1.14) rezultă .

P10. Fie dreptele și . Să se găsească : a) unghiul dintre și  ;

b) perpendiculara comună a celor două drepte ;

c) distanța dintre și .

Soluție. a) Dacă și sunt vectorii directori ai celor două drepte, unghiul dat de (1.5) este , deci  ;

b) Perpendiculara comună are vectorul director . Ecuația planului ce trece prin și conține pe este, aplicând (1.10), sau .

Analog, planul care trece prin și conține pe are ecuația sau .

Perpendiculara comună este  ;

c) Pe alegem punctul A(1,3,-2) iar pe punctul B(1,-2,9). După (1.17) rezultă , unde și . Deci, .

Observație

Orice rezolvare, alta decât geometrică revine la calcule foarte multe (metoda multiplicatorilor lui Lagrange)

P11. Să se stabilească poziția relativă a planelor :

.

Soluție. Se studiază sistemul . Rangul fiind doi, planele nu se intersectează într-un singur punct. Primele două ecuații au soluția , deci dreapta de intersecție a planelor și este . Analog, și se taie după dreapta , respectiv, și au în comun dreapta . Se observă că cele trei plane se intersectează după drepte paralele.

P12. Să se calculeze unghiul dintre dreapta și planul (P) .

Soluție. Vectorul director al dreptei D este , unde și . Rezultă . Conform cu (1.16), . Dreapta (D) este fie paralelă cu planul, fie conținută în plan. Un punct al dreptei este (0,0,0) care nu verifică ecuația planului, deci nu aparține planului. În concluzie, (D) este paralelă cu planul.

P13. Să se scrie ecuația planului care trece prin punctul M(1,2,+1) și dreapta .

Soluție. Ecuația fasciculului de plane care trec prin dreapta dată este . Deoarece M aparține planului, se obține r=-2s . Dar ecuația planului este .

P14. Să se scrie ecuația planului paralel cu planul și care trece prin punctul de intersecție a planelor , .

Soluție. Punctul de intersecție al planelor este soluția sistemului format din ecuațiile celor trei plane. Prin calcul se obține punctul (1,1,1). Orice plan paralel cu planul are ecuația . Din ecuația ca (1,1,1) să aparțină planului se obține d =-4. Deci planul cerut are ecuația .

P15. Să se calculeze unghiul următoarelor plane :

și .

Soluție. Unghiul celor două plane este unghiul normalelor la cele două plane , . Cu (1.11) se obține .

P16. Să se scrie ecuația planului care trece prin punctul (1,2,1) și este paralel cu dreptele

Soluție. Se folosesc (1.12). Vectorul director al dreaptei este , , . Rezultă . Analog se obține . Cu (1.10) , adică .

4.3. Probleme propuse

P1. Să se scrie ecuațiile unei drepte care trece prin punctul A(1,1,-2) și este paralelă cu dreapta D

a) ; b)

Indicație.

a) Vectorul director al dreptei D este . Dreapta căutată are ecuațiile ;

b) Vectorul director al dreptei D este . Ecuațiile dreptei sunt .

P2. Să se găsească ecuațiile parametrice ale dreptei ce trece prin punctul (2,3,1) și este paralelă cu vectorul (3,-7,4).

Indicație. .

P3. Să se calculeze distanța de la punctul A(1,1,1) la dreapta D

a) ; b)

Indicație. Fie un punct oarecare. Pentru x=1 prin rezolvarea sistemului se obțin coordonatele (1,-1,1) ale punctului . Rezultă , unde este vectorul director al dreptei D; b) Analog, .

P4. Să se scrie ecuația planului ce trece prin punctul A(1,1,-1) și este perpendicular pe dreapta D.

a) ; b)

Indicație. a) Vectorul director al dreptei D trebuie să fie vector normal pentru planul căutat. Deci și planul are ecuația ; b) , .

P5. Să se scrie ecuația planului ce trece prin punctul A(0,1,-1) și prin dreapta D:

a) ; b)

Indicație. Planul căutat conține dreapta D dacă conține orice punct de pe D. a) Fie B(4,-2,-1) un punct ce aparține lui D. Planul căutat este determinat de vectorii , și de punctul A. Se obține ; b) Fasciculul de plane care trece prin D are ecuațiile . Deoarece A aparține planului, rezultă și ecuația planului este .

P6. Se dau planele , , .

a) Să se arate că planele sunt perpendiculare două câte două;

b) Să se determine punctul comun al celor trei plane;

c) Să se calculeze distanța de la punctul A(2,4,7) la planul .

Indicație. Rezolvarea se poate face și cu ajutorul unui soft matematic, care ar reda foarte concret și clar poziția planelor.

a) , , . Se găsește , deci planele sunt perpendiculare;

b) Sistemul format din ecuațiile celor trei plane are soluția ;

c) .

P7. Să se verifice că dreptele următoare sunt concurente:

; .

Să se scrie ecuația planului determinat de acestea.

Indicație. Fie și . Deoarece , , se obține , prin urmare dreptele sunt concurente în punctul M(-3,5,-3) . Planul căutat este determinat de , și un punct oarecare al dreptei sau .

Se obține .

P8. Să se calculeze unghiul dintre dreptele:

a) , ;

b) ,

Indicație. a) ; b) , , .

P9. Se dau dreptele:

,

Să se scrie ecuațiile perpendicularei comune a celor două drepte.

Indicație.

P10. Să se determine unghiul dintre dreapta și planul .

Indicație. .

P11. Să se calculeze unghiul dintre planele , .

Indicație. .

P12. Să se afle distanța dintre dreptele și :

a) , ;

b) , ;

Indicație. a) d=1; .

P13. Să se studieze poziția relativă a planelor:

a) , , ;

b) , , ;

c) , , .

Indicație.

a) Sunt concurente în punctul A(3,-1,0);

b) și sunt paralele, și , respectiv, și , se intersectează după o dreaptă;

c) Cele trei plane se intersectează după o dreaptă de ecuații .

P14. Să se găsească ecuația planului determinat de dreptele

,

Indicație. .

P15. Să se determine poziția dreptei D față de planul P dacă:

a) , ;

b) , ;

c) , .

Indicație. a) ; b) ; c) .

P16. Se dă dreapta . Să se determine direcția lui D. Alegând un punct pe D , să se scrie ecuațiile dreptei sub formă de rapoarte.

Indicație. , .

P17. Să se scrie ecuațiile perpendicularei din A(0,-1,1) pe dreapta și să se afle distanța de la punctul A la dreapta D.

Indicație. ; .

P18. Să se scrie ecuația planului ce trece prin dreapta de intersecție a planelor și și

a) trece prin punctul M(1,2,0);

b) este paralel cu axa Ox;

c) este perpendiculară pe planul .

Indicație. a) ; b) ; c) .

P19. Pentru ce valori ale lui și dreapta aparține planului .

Indicație. .

P20. Să se determine parametrii și astfel încât planele , ,

a) să aibă un punct comun;

b) să aibă o dreaptă comună;

c) să se intersecteze după trei drepte paralele distincte.

Indicație. a) ; b) ; c) :

P21. Să se scrie ecuația planului ce trece prin punctul M(1,2,1) și este perpendicular pe planele , .

Indicație. .

P22. Să se scrie ecuația planului ce trece prin punctele , și este perpendicular pe planul .

Indicație. .

P23. Să se găsească ecuația unui plan ce trece prin punctele (1,0,-1), (2,1,3) și este paralel cu vectorul (1,1,-1).

Indicație. .

P24. Să se găsească ecuația unui plan P care trece prin punctul (1,-1,4) și este perpendicular pe planele , . Să se afle unghiul dintre și .

Indicație. ; .

P25. Să se arate că dreptele , aparțin aceluiași plan. Să se determine ecuația acestui plan.

Indicație. .

P26. Să se scrie ecuația unui plan ce trece prin dreapta și este paralel cu dreapta .

Indicație. .

P27. Să se arate că punctele A(1,1,1), B(2,3,2), C(4,-1,5), sunt coplanare.

Indicație. , deci punctele sunt coplanare.

CAPITOLUL V

CONSIDERAȚII METODOLOGICE ȘI PEDAGOGICE

5.1 Considerații generale

În esență, geometria este studiul proprietăților figurilor (mulțimilor de puncte) din spațiu. Aceasta nu este o disciplină matematică închisă (suficientă sieși) așa cum nici matematica în ansamblu nu este astfel, ci s-a conturat și dezvoltat într-un efort de modelare a lumii fizice și există în virtutea interconexiunilor ei cu alte discipline matematice precum și pe baza unor reveniri la modelări din ce în ce mai fidele ale unor fenomene din lumea înconjurătoare.

Una dintre cele mai importante noțiuni geometrice create în mod special pentru a modela situații din lumea fizică este cea de vector liber.

Observații simple arată că există mărimi fizice care sunt complet caracterizate de măsura lor (un număr real). De exemplu, temperatura unui corp, lungimea unei bare, suprafața unei foi de tablă, rezistența unui conductor ș.a. Pe de altă parte, există mărimi fizice pentru a căror caracterizare completă sunt necesare și alte elemente. Astfel, pentru a descrie forța cu care locomotiva acționează asupra unei garnituri de vagoane, trebuie să precizăm intensitatea ei (un număr real), dar și direcția și sensul ei de acțiune. Asemănător trebuie să procedăm pentru descrierea vitezei și accelerației unui corp în mișcare.

Așadar, există mărimi fizice care necesită și alte atribute decât măsura lor și anume direcție și sens. Asemenea mărimi se numesc mărimi vectoriale, iar cele caracterizate complet de un număr se numesc mărimi scalare.

Modelul geometric potrivit pentru mărimile vectoriale este dat de vectorii liberi. Ideea de direcție este modelată de o familie (fascicul) de drepte paralele între ele în sensul că putem accepta intuitiv că două sau mai multe corpuri mișcându-se pe drepte paralele au aceeași direcție de deplasare. Pe o dreaptă dată un mobil se poate deplasa în două sensuri: de la stânga spre dreapta observatorului sau invers. Este natural să spunem că două mobile se mișcă în același sens numai dacă se deplasează pe aceeași dreaptă sau pe drepte paralele, simultan de la stânga spre dreapta observatorului sau invers. Numărul asociat unei mărimi vectoriale poate fi reprezentat prin lungimea unui segment. Cele spuse până acum sunt câteva dintre numeroasele situații practice și considerații teoretice care au condus la noțiunea de vector liber.

Aparent noțiunea de vector liber nu răspunde direct obiectului geometriei, ea rezultând dintr-o compunere de caracteristici ale unor figuri geometrice simple: segment, dreaptă. Noțiunea de vector liber, model geometric pentru numeroase aspecte ale realității, este un instrument important de aplicare a geometriei în practică, direct sau prin intermediul altor discipline științifice.

Vectorii liberi și operațiile cu ei oferă o cale de a exprima unitar și elegant noțiuni și rezultate de geometrie. Studiul transformărilor geometrice și geometria analitică beneficiază enorm de folosirea vectorilor.

Calculul cu vectori liberi poate fi folosit în rezolvarea unor probleme de geometrie, unele chiar foarte rezistente la o abordare directă. Se vorbește curent de metoda vectorială ca metodă de rezolvare a problemelor de geometrie.

Structura algebrică a mulțimii vectorilor liberi oferă un model (abstract) pentru noțiunea, probabil cea mai importantă a matematicii contemporane, de spațiu liniar (numit uneori și vectorial) peste un câmp oarecare.

Terminologia legată de vectori s-a extins și asupra altor domenii ale matematicii, oferind căi ușoare de înțelegere și interpretare a unor rezultate foarte abstracte.

Atât predarea cât și învățarea noțiunii de vector liber ridică o serie de dificultăți. Ele se datorează, pe de o parte, faptului că ingredientele necesare în edificarea noțiunii de vector sunt printre noțiunile fundamentale în geometrie. Dacă acestea sunt lăsate pe seama intuiției elevilor, profesorul trebuie să se asigure că ele există în aproximativ aceeași formă în mintea tuturor elevilor și să le fixeze într-o terminologie unitară, folosită în matematica-știință. Dacă se încearcă explicitarea lor, se consumă un timp lung cu eficiență redusă, pentru că nu toți elevii simt necesitatea acestei explicitări și datorită aridității provocate de stringența logică pe care o presupune o asemenea explicitare. Pe de altă parte, după cum vom vedea în definiția formală de mai jos, vectorul liber este o clasă de echivalență în raport cu o anume relație de echivalență în sens algebric. Deși procedeul de a crea noi obiecte matematice prin "factorizare" este foarte des utilizat în matematică, el nu este prea accesibil elevilor. Clasa de echivalență este o mulțime formată din elemente care într-un sens bine precizat sunt pe picior de egalitate. Oricare dintre ele poate reprezenta clasa de echivalență în totalitate, adică este un reprezentant al ei, și oricând un reprezentant poate fi înlocuit prin altul. Operațiile de orice natură cu aceste clase de echivalență se reduc la operații similare cu elemente din ele (reprezentanți) și totdeauna trebuie să clarificăm ce se întâmplă la interschimbarea reprezentanților. Operația este corect definită dacă nu depinde de reprezentanți. Posibilitatea de a înlocui oricând un element al unei clase de echivalență cu un altul din aceeași clasă oferă avantaje semnificative, dar poate tocmai această interschimbare a reprezentanților dă o anume nesiguranță elevilor care nu au înțeles esența definirii prin clase de echivalență (factorizare). Credem că această modalitate de definire merită în continuare a fi analizată de psihologi-specialiști în probleme de învățare.

Având în vedere dificultățile menționate și importanța studiului noțiunii de vector apreciem că strategia optimă este de a introduce noțiunea de vector și operațiile cu vectori într-o manieră neformală, prin considerații geometrice simple, pe baza intuiției sprijinită de o terminologie specifică, mai întâi în plan și apoi în spațiu.

5.2 Metode active în abordarea conceptelor matematice

Apariția noilor programe, centrate pe achizițiile elevilor, impune anumite schimbări în didactica fiecărei discipline.

Diversificarea metodelor de învățare, a modurilor și formelor de organizare a lecției, a situațiilor de învățare, constituie cheia schimbărilor pe care le preconizează noul curriculum.

Asigurarea unor situații de învățare multiple creează premise pentru ca elevii să poată valorifica propriile abilități de învățare.

Metodele de învățare sunt scheme de acțiune identificate de teoriile învățării ; ele sunt aplicate conținuturilor disciplinei studiate și prezintă acțiuni interiorizate de elev. Exemplificăm mai jos câteva metode de învățare:

În practica didactică, este acceptat faptul că un elev reține 10% din ceea ce citește, 20% din ceea ce aude, 30% din ceea ce vede și aude în același timp, 80% din ceea ce spune, 90% din ceea ce spune, făcând un lucru la care reflectează și care îl interesează, pentru că elevul nu este un vas pe care trebuie să-l umpli, ci o flacără pe care trebuie să o aprinzi. De aceea, învățarea devine eficientă doar atunci când îl punem pe elev să acționeze.

Sensul schimbărilor în didactica actuală este orientat spre formarea de competențe, adică a acelor ansambluri structurate de cunoștinte și deprinderi dobândite prin învățare, care permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice, în contexte diverse.

Învățarea nu mai poate, ca unic scop, memorarea și reproducerea de cunoștinte: în societatea contemporană, o învățare eficientă presupune explicarea și susținerea unor puncte de vedere proprii, precum și realizarea unui schimb de idei cu ceilalți.

Pasivitatea elevilor în clasă, ca o consecință a modului de predare prin prelegere, nu produce învățare decât în foarte mică măsură. Deoarece prelegerea presupune că toți elevii pot asimila aceleași informatii, în același ritm, ceea ce este departe de realitate. Pentru elevi, este insuficient dacă, în timpul unei ore, ascultă explicațiile profesorului și văd o demonstrație sau un experiment.

Este mult mai eficient dacă elevii participă în mod activ la procesul de învățare: discuția, argumentarea, investigația, experimental, devin metode indispensabile pentru învățarea eficientă și de durată.

Toate situațiile în care elevii sunt puși și care îi scot pe aceștia din ipoteză de obiect al formării și-i transformă în subiecți activi, coparticipanti la propria formare, reprezintă forme de învățare active.

În cele ce urmează voi expune câteva dintre posibilele situații de învățare active care se pot organiza în orele de matematică. Avantajul major al folosirii acestor metode provine din faptul că ele pot motiva și elevii care au rămâneri în urmă.

Metodele active necesită o pregătire atentă, ele nu sunt eficiente decât în condițiile respectării ” regulilor jocului”.

Metoda Brainstorming înseamnă formularea a cât mai multor idei ca răspuns la o situație enuntată, după principiul cantitatea generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară o productivitate creativă cât mai mare.

Etape:

1. Alegerea sarcinii de lucru

2. Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid, a tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei. Sub nici o formă nu se vor admite referiri critice.

3. Înregistrarea tuturor ideilor în scris pe table.

4. Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie.

5. Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise anterior. Se vor selecta acum ideile originale sau a celor mai apropiate de soluție.

6. Se vor afișa ideile rezultate în forme cât mai variate și originale: cuvinte, propoziții, colaje, imagini, desene.

Obiectivul fundamental al acestei metode constă în exprimarea liberă a opiniilor, prin eliberarea de orice prejudecăți. De aceea trebuie acceptate toate ideile, chiar trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum le vine în mintea elevilor. Pentru determinarea progresului în învățare al elevilor cu rămâneri în urmă, este necesar ca aceștia să fie antrenați în schimbul de idei.

Metoda mozaicului presupune învățarea prin cooperare la nivelul unui grup și predarea achizițiilor dobândite de către fiecare membru al grupului unui alt grup.

Etape:

1. Împărțirea clasei în grupuri eterogene de câte 4 elevi, fiecare dintre aceștia primind câte o fișă de învățare numerotată de la 1 la 4. Fișele cuprind părți ale unui material, ce urmează a fi înțeles și discutat de elevi.

2. Prezentarea succintă a subiectului tratat. Explicarea sarcinii de lucru și a modului în care se desfășoară activitatea.

3. Regruparea elevilor, în funcție de numărul fișei primite, în grupuri de experți: toți elevii care au numărul 1 vor forma un grup, cei cu numărul 2 vor forma alt grup ș.a.m.d.

4. Învățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit fiecărui grup de 4 experți. Elevii citesc, discută, încearcă să înțeleagă cât mai bine, hotărăsc modul în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor din grupul lor originar.

5. Revenirea în grupul originar și predarea secțiunii pregătite celorlalți membri. Dacă sunt neclarități, se adresează întrebări expertului sau celorlalți membri.

6. Trecerea în revistă a materialului dat prin prezentare orală cu toată clasa.

Metoda mozaicului are avantajul că implică toți elevii în activitate și că fiecare dintre ei devine responsabil, atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți. Metoda este foarte utilă în motivarea elevilor cu rămâneri în urmă, faptul că se transformă, pentru scurt timp, în ,,profesori,, le conferă un ascendent moral asupra colegilor.

Investigația la matematică implică, pe de o parte, rezolvarea unor probleme întâlnite în cotidian sau în alte domenii ale disciplinelor școlare și, pe de altă parte, explorarea unor concepte matematice necunoscute utilizând metode, tehnici, concepte cunoscute. Investigația presupune atât rezolvarea de probleme cât și crearea de probleme. Investigația pune toți elevii în situația să acționeze. Deoarece sarcinile de lucru nu vizează doar sfera cognitivă, în cadrul investigatiei se găsește un rol pentru fiecare elev, de aceea, toți elevii conștientizează propria importanță pentru derularea activității.

Proiectul înseamnă realizarea unui produs, ca urmare a colectării și prelucrării unor date referitoare la o temă anterior fixată. Proiectul este activitatea cel mai pregnant centrată pe elevi. Este un produs al imaginației acestora, menit să permită folosirea liberă a cunoștințelor însușite, într-un context nou și relevant. Proiectul este o activitate personalizată, elevii putând decide nu numai asupra conținutului său, dar și asupra formei de prezentare. Proiectul încurajează cel mai bine abordarea integrată a învățării: elevilor li se creează ocazia de a folosi în mod unitar cunoștințe și tehnici de lucru dobândite la mai multe discipline.

Fiind o activitate centrată pe elev, îi dă acestuia posibilitatea de a ansambla într-o viziune personală cunoștințele pe care le are, răspunzând astfel unei întrebări esențiale: ,, Ce pot face cu ceea ce am învățat la școală? ,,Proiectul începe în clasă, prin conturarea obiectivelor, formularea sarcinii de lucru și precizarea echipei care îl realizează. Proiectul prezintă avantajul antrenării elevilor în activități complexe, ce presupun identificarea și colectarea de date, precum și prelucrarea și organizarea acestora într-un mod original.

Alte situații de învățare active ce se pot organiza la orele de matematică

1. Utilizarea eficientă a manualului.

Manualele alternative conduc la o diversificare a ofertei educaționale, în condițiile în care unul dintre principiile pedagogice vizează trecerea de la învățământul pentru toți la învățământul pentru fiecare:

a) prelucrarea de către elevi a informațiilor esențiale din lecție;

b) minimizarea notițelor elevilor;

c) integrarea în predare a sarcinilor de lucru din manuale;

2. Utilizarea metodelor specifice altor discipline

Aceste metode pot fructifica potențialul unor elevi care au alt profil de învățare decât cel logico-matematic. În acest mod, elevii cu dificultăți în învățare pot fructifica propriile abilități, specifice altor domenii și își pot dovedi utilitatea.

3. Povestiri cu subiect dat

Alegem un concept oarecare (triunghiul dreptunghic) și cerem elevilor să creeze o povestire în care personajul principal este conceptual ales, iar alte personaje sunt rudele acestuia.

4. Justificări experimentale

Se vor înlocui demonstrațiile ,,pur,, matematice, prin experimente ce pot crea convingeri matematice. Se va cere elevilor să-și imagineze și să desfășoare experimente diverse, iar apoi să interpreteze concluziile.

5. Jocul de rol

Se realizează prin simularea unei situații, care pune participanții în ipostaze care nu le sunt familiare, pentru a-i ajuta să înțeleagă situația resspectivă si să înțeleagă alte persoane care au puncte de vedere, responsabilități, interese, preocupări și motivații diferite.

Tratarea diferențiată a elevilor folosind metode de învățare active

O educație pentru înțelegere, în concepția lui Howard Gardner, ar trebui să se construiască pe două fundamente. Pe de o parte este necesar ca educatorii să recunoască dificultățile cu care se confruntă elevii în obținerea unei înțelegeri adevărate a anumitor obiecte de studiu și concepte importante. Pe de altă parte, este necesar ca educatorii să ia în considerare diferențele în plan mintal dintre diferite persoane și, pe cât posibil, să se adreseze unei varietăți foarte largi de elevi. Teoria inteligențelor multiple poate contribui efectiv la un proces eficient de predare. O perspectivă bazată pe inteligențe multiple poate potența înțelegerea în cel puțin 3 feluri:

1. Prin oferirea unor puncte de acces semnificative

Punctele de acces pot fi organizate astfel încât să valorifice diferite puncte de inteligență. Sugerez în continuare câteva puncte de acces: narativ, numeric, logic, estetic, practic, interpersonal.

2. Prin oferirea unor analogii corespunzătoare

Analogii și metafore sugestive – matematica este, prin definiție, un domeniu al cogniției. Multe din rezultatele matematice, deși teoretice și abstracte, pot fi însă explicate prin analogii și metafore sugestive.

3. Prin oferirea unor reprezentări multiple ale ideilor centrale sau de bază legate de un subiect

Perspectiva reprezentărilor multiple o contraatacă pe cea a analogiei și metaforei, deoarece în cazul reprezentărilor multiple se aleg elemente din sfere de referință care se aplică imediat la subiectul în discuție.

Ca obiect de studiu abstract și complex, matematica școlară este percepută de către unii elevi ca generatoare de eșec școlar. O ambianță școlară în care elevul se simte bine, un climat instituțional în care elevul este implicat în alegerea parcursului de formare, un mediu centrat pe învățare care valorizează fiecare membru al comunității, pun elevul în consens cu propriile sale aspirații , ducându-l spre realizarea personală și profesională.

Procesul de predare și învățare este, în cea mai mare parte, un proces de comunicare între cel care predă (profesorul) și cei care învață (elevii). Cele două componente ale acestui proces – predarea și învățarea – sunt ele însele, în bună măsură, procese de comunicare sau care implică în mod direct comunicarea. A preda înseamnă a elabora și a transmite mesaje, iar a învăța (cu sensul de a învăța în clasă, în relație cu profesorul) înseamnă a recepta și a asimila mesaje. Firește, procesul real al comunicării este mult mai complex. A învăța în procesul de învățământ nu se reduce la a recepta, ci implică participarea activă a elevului în ambele ipostaze, de receptor și emitent de mesaje, după cum a preda nu se limitează la a transmite, ci implică și actul receptării și al reacției de feed-back la mesaje emise de elevi, schimbarea dinamică a rolurilor fiind una din condițiile principale ale comunicării eficiente în procesul de învățământ. Important este faptul că procesul de predare – învățare în matematică poate fi mai bine înțeles și mai bine condus dacă se cunosc și se aplică câteva dintre metodele active, care se potrivesc acestei discipline. În cele ce urmează vă prezentăm specificul a câtorva dintre aceste metode active folosite de noi la clasă, iar mai apoi le vom exemplifica prin proiecte didactice.

Ciorchinele creează structura necesară pentru a stimula gândirea cu privire la legăturile între idei. Aceasta metodă încurajează o formă neliniară de gândire care reflectă felul în care funcționează mintea noastră. Poate fi folosită pentru a stimula gândirea înainte ca un subiect să fie studiat mai în detaliu. De asemenea, poate fi utilizată ca mijloc de rezumare a ceea ce s-a studiat, ca mod de construire a unor noi asocieri sau ca mod de reprezentare grafică a noilor rațiuni. În general, este o modalitate de accesare a propriilor cunoștințe, rațiuni sau convingeri despre un subiect. Deoarece este o activitate de scriere, aceasta servește de asemenea la informarea autorului asupra cunoștințelor și legăturilor pe care acesta nu era conștient.

Ciorchinele poate fi realizat individual sau ca activitate de grup. Ca activitate de grup, el poate servi drept cadru pentru ideile grupului, oferindu-le elevilor prilejul să cunoască asocierile și relațiile pe care alți elevi le deduc din îndrumări. Activitatea individuală de elaborare a ciorchinelui reprezintă o alternativă la brainstorming-ul de grup, deoarece este rapidă și permite tuturor elevilor să se implice activ în procesul de gândire. Totuși, atunci când această activitate este realizată individual, subiectul trebuie să fie unul pe care elevii îl cunosc destul de bine din moment ce ei nu vor beneficia de împărtășirea experienței de grup de la care puteau să mai obțină informații.

• Rugați-i pe elevi să scrie un cuvânt sau expresie nucleu în centrul unei foi de hârtie.

• Spuneți-le să scrie cuvinte sau expresii care le vin în minte despre subiectul selectat.

• În timp ce ei își scriu ideile, rugați-i să facă legături între ele.

• Spuneți-le să scrie cât mai multe idei care le vin în minte fie până la expirarea timpului sau până la epuizarea tuturor ideilor.

• După ce termină, ciorchinele realizate individual pot fi comparate în perechi sau cu întregul grup. Există doar câteva reguli de bază pe care trebuie să le arătați elevilor atunci când folosesc ciorchinele:

• Scrieți tot ce vă vine în minte. Nu faceți nici o apreciere cu privire la gânduri, doar notați-le. Nu vă preocupați de ortografie sau de alte reguli de scriere.

• Nu vă opriți din scris până nu trece suficient timp să vă adunați toate ideile.

• Construiți cât mai multe legături. Nu vă limitați volumul de idei sau fluxul de legături.

Turul galeriei

Problemă

Cum se pot utiliza la maximum spațiile de expunere din clasă și cum pot obține materiale care merită expuse?

Provocarea

Să organizăm spații de expunere în clasă care să susțină procesul de învățare al tuturor elevilor și să le răsplătească succesele.

Ce putem face?

• Creați afișe care să fie reprezentative pentru programa urmată

• Expuneți lucrările elevilor care sunt reprezentative pentru activitatea desfășurată

• Schimbați frecvent exponatele

Exponatele trebuie să fie în legătură directă cu programa – ele trebuie să reprezinte instrumente efective de predare și învățare. Informațiile din exponate trebuie să fie legate de cunoștințele elevilor, să sprijine învățarea lor și să îi ajute să se simtă mândri de cele realizate, învățate.

Creați afișe sau exponate care să demonstreze efortul elevilor de a învăța, nu doar stăpânirea unor cunoștințe sau abilități. Aceste expoziții trebuie să facă fiecare elev să se simtă apreciat, indiferent de nivelul cunoștințelor sau de talent. Prin crearea unor expoziții care să pună accentul pe efort și nu pe perfecțiune, copiii înțeleg mai bine că procesul de învățare este legat de creștere, nu o problemă de atingere a perfecțiunii. Expozițiile oferă elevilor posibilitatea de a învăța unii de la alții și îi învață cum să aprecieze munca altora, hrănind sentimentele de empatie, respect și un sentiment de comunitate în clasă.

Împrospătați tot timpul exponatele. Asigurați-vă că lucrările copiilor sunt schimbate suficient de des pentru a fi relevante pentru temele și subiectele studiate.

Păstrați zona de expunere neaglomerată. Unele exponate, spre exemplu cele rezultate dintr-o lecție care se finalizează cu o activitate de tipul „turul galeriei" pot fi îndepărtate după terminarea lecției, în cazul în care nu mai prezintă relevanță pentru lecțiile următoare.

Metoda cubului. Metoda cubului este o strategie care facilitează analiza unui subiect din diferite puncte de vedere. Aceasta implică folosirea unui cub, ce poate fi obținut prin acoperirea unei cutii mici (15 până la 20 cm latură) cu hârtie sau prin confecționare din carton.

• Scrieți câte unul dintre următoarele cuvinte pe fiecare față a cubului:

Descrie

Compară

Asociează

Analizează

Aplică

Argumentează pro sau contra

• Cereți elevilor să scrie timp de 2-4 minute pe un subiect dat (subiectul lecției). Îndrumați-i să se gândească la subiect și să îl descrie, adică să îl privească și să descrie ceea ce văd, inclusiv culori, forme și semne.

• Ținând cont de aceste indicații, elevii scriu o perioadă de timp limitată. Procesul continuă în mod similar pentru toate cele șase fețe ale cubului.

• Indicațiiie extinse pentru cele șase fețe sunt următoarele:

Descrieți. Priviți obiectul cu atenție (poate doar în imaginație) și descrieți cu atenție ceea ce vedeți, inclusiv culori, forme, mărimi.

Comparați. Cu ce este similar? De ce diferă?

Asociați. La ce vă face să vă gândiți? Ce vă inspiră? Pot fi lucruri similare, sau lucruri diferite, locuri sau oameni. Eliberați-vă mintea și căutați asociații pentru acest obiect.

Analizați. Spuneți cum este făcut, din ce, ce părți conține.

Aplicați. Cm poate fi utilizat?

Argumentați : pro sau contra. Luați o poziție. Folosiți orice fel de argumente logice pentru a pleda în favoarea sau împotriva subiectului.

• După perioada de scriere, rugați elevii să „rostogolească" cubul și să își împărtășească răspunsurile pentru fiecare față a cubului. De obicei, această activitate are loc, la început, în perechi. Fiecare persoană alege trei părți ale cubului și citește ceea ce a scris, apoi ascultă ce a scris partenerul său.

Metoda cubului poate fi folosită cu orice tip de subiect sau orice grupă de vârstă.

Portofoliul. În discursurile ținute în cadrul Asociației de Evaluare din Nordwet, Carol Meyer, Leon și Pearl Paulson au definit portofoliul ca o colecție de lucrări ale elevilor constituită cu scopul de a indica eforturile, progresele și rezultatele acestora la una sau mai multe discipline . Colecția trebuie să reflecte participarea elevilor la selectarea temelor, criteriile de selecție, judecățile de valoare despre materialul sistematizat și părerea personală despre conținut. Portofoliile au avantajul de a oferi informații despre creatorii lor într-o măsură imposibil de atins prin metodele tradiționale. Ele devin instrumente educaționale care permit elevilor să-și asume responsabilitatea și îi încurajează să-și controleze creațiile. Valorificând învățarea individuală, portofoliile devin o fereastră spre mintea elevilor și o cale de înțelegere a procesului educațional. Dacă sunt alcătuite cu acuratețe, portofoliile îmbină cunoașterea cu sistematizarea, componenta instrucțională curriculară cu creația.

Modalități de realizare

În practică, există o multitudine de modalități de realizare a unui portofoliu, diversitatea lor fiind dată de caracteristicile disciplinelor de învățâmânt, nivelul și personalitatea elevilor care le realizează. Pot fi evidențiate o serie de trăsături comune tuturor tipurilor de portofolii. Elementele componente sunt selectate și sistematizate astfel încât elevii să înțeleagă valoarea muncii lor. Concepute ca instrumente distincte de fișele de evaluare, portofoliile pot include note, informații despre performanțele școlare și extrașcolare sau date despre abilitățile dobândite în anumite intervale de timp. Scopurile precizate inițial și conținutul portofoliului pot fi modificate la sfârșitul semestrului sau al anului școlar, elevul având libertatea de a păstra ceea ce consideră ilustrativ pentru activitatea sa. Scopurile multiple ale portofoliilor trebuie să se armonizeze, astfel încât să existe un numitor comun între interesele elevilor, cele ale profesorilor și școlii.

În principiu, portofoliul se poate prezenta sub forma unui dosar sau a unei mape care cuprinde:

• scopurile, intențiile, motivele realizării;

• materialele propriu-zise, sistematizate în funcție de obiectivele precizate;

• judecățile de valoare despre conținut, formulate prin precizarea standardelor avute în vedere;

• concluziile personale despre subiect și conținut.

Asamblarea portofoliilor încurajează formarea abilităților pentru munca independentă, învață elevii să formuleze opinii asupra propriilor realizări și să propună soluții și oferă profesorilor o imagine pertinentă despre sistemul de valori al școlarilor la un moment dat. Conținutul portofoliului realizat la matematică depinde de scopul urmărit, vârsta elevilor, nivelul lor intelectual, metodele și tehnicile de evaluare folosite de profesor.

În principiu el poate conține:

• rezultatele aplicării metodelor tradiționale de evaluare: extemporale, lucrări de control, teme pentru acasă, probe practice;

• comentariile profesorului în legătură cu activitatea sau fișa de observație;

• răspunsuri la chestionare care surprind atitudinea față de obiectul de studiu;

• recenzia unui articol sau a unei cărți cu subiect matematic;

• biografiile unor matematicieni;

• proiecte sau investigații individuale sau realizate în grup;

• soluții la probleme deosebite;

• probleme compuse de elevi.

Evaluarea portofoliului de acest tip va avea în vedere progresul înregistrat în înțelegerea matematicii, motivația învățării, perseverența, curiozitatea, flexibilitatea, valoarea raționamentului matematic adaptat la continuturi și situații, abilitatea de a folosi instrumentele matematice și de a rezolva situațiile-problemă, înțelegerea relației dintre matematică și alte discipline de studiu.

Criteriile de evaluare propuse în fișa de evaluare sunt repere generale care se pot adapta, nuanța și diversifica în funcție de disciplina pentru care se întocmește portofoliul, subiectul abordat, scopul propus, etc.

5.3 Studiul matematicii prin aplicații software

Tema aleasă de mine și anume ”Tratarea vectorială a sistemelor de ecuații liniare” se încadrează perfect în tendința tot mai accentuată de folosire a mijloacelor electronice de învățare.

Necesitatea centrării procesului de învățământ pe elev presupune individualizarea acestui proces. Folosirea calculatorului reprezintă o posibilitate reală de individualizare a procesului de învățământ bazat pe clase și pe lecții. Cunoașterea tehnologiilor informaționale și a modalităților de aplicare a lor în practica pedagogică rămâne un deziderat: există încă un decalaj între posibilitățile tehnice ale calculatoarelor și ale tehnologiilor moderne, pe de o parte și aplicarea acestora în instruirea elevilor la disciplinele matematice, pe de altă parte.

Totuși, calculatorul trebuie utilizat la lecții foarte atent și numai în cazurile în care utilizarea lui sporește esențial calitatea instruirii. Nu trebuie uitat că o parte a tinerilor de astăzi petrec oricum prea mult timp în fața calculatorului și efectele medicale și psihice ale acestui fapt nu sunt încă pe deplin clarificate.

Majoritatea specialiștilor consideră că nu trebuie să ne întrebăm dacă instruirea se îmbunătățește prin utilizarea calculatorului, ci, mai curând, cum pot fi utilizate mai bine calitățile unice ale acestora: interactivitatea, precizia operațiilor efectuate, capacitatea de a oferi reprezentări multiple și dinamice ale fenomenelor și, mai ales, faptul că pot interacționa consistent și diferențiat cu fiecare elev în parte.

După opinia mai multor psihologi, rezultatele pozitive obținute în timpul lucrului cu calculatorul sporesc autoaprecierea elevului și încrederea în sine, posibilitatea de a rezolva probleme creative mai complicate.

Tehnologiile educaționale pot fi clasificate după obiectivele pedagogice care au fost puse la baza realizării lor: tehnologii de instruire, tehnologii de educare, tehnologii de dezvoltare, tehnologii de evaluare și tehnologii de diagnosticare.

5.4 Evaluarea, ca etapă a învățării

Perceperea evaluării de către elev ca o etapă a învățării ce îi poate furniza indicații asupra aspectelor la care mai trebuie lucrat, și nu ca o etapă în care el este notat și catalogat, poate determina creșterea motivării acestuia, fapt ce poate avea consecințe imediate în dezvoltarea sa. Oricât de democrat ar fi profesorul, frica elevului de a comite o eroare în fața sa sau a colegilor este unul dintre cei mai importanți factori care diminuează activitatea de cunoaștere și duce la scăderea motivației conștiente. În contrapondere, pentru creșterea motivației se poate interveni cu ajutorul calculatorului: acesta se poate utiliza în multiple aspecte ale activității practice, deoarece permite o modalitate originală de promovare a lecției, diminuează subiectivismul în atitudinea profesorului față de elev și permite evidențierea persoanei în colectivul clasei, etc.

În învățarea matematicii, exersarea este metoda folosită cu predilecție atât pentru formarea deprinderilor fundamentale de calcul, cât și pentru dezvoltarea diverselor tipuri de raționament și aplicarea creativă a cunoștințelor asimilate. Dacă în etapa însușirii de noi cunoștințe și noțiuni, prezentarea făcută direct de profesor, prin dialog cu elevii și implicarea efectivă a acestora, este net superioară celei ce ar putea fi realizată de calculator, când vine vorba de exersare, raportul se inversează în favoarea unui soft educațional bine conceput, care să dea fiecărui elev în parte, diferențiat, feedback-ul imediat. Din punctul de vedere al multor profesori cu experiență în predarea matematicii, un astfel de soft trebuie să îndeplinească anumite cerințe:

• Sunt preferați itemii în care elevul să introducă rezultate numerice găsite de el, în locul acelora în care elevul trebuie să selecteze (aceștia din urmă îi determină pe unii elevi să răspundă la întâmplare, să ”ghicească”) .

• Enunțurile problemelor să fie astfel concepute, încât rezultatul să fie introdus de elev sub forma mai multor numere calculate de el, chiar dacă acesta este un polinom, o formulă. Enunțul problemei va indica forma generală a răspunsului, în care anumiți coeficienți vor fi reprezentați prin litere și vor fi determinați prin calcule de către elev. Să remarcăm că majoritatea capitolelor din matematica studiată în școală se pretează unei astfel de abordări.

• După fiecare problemă rezolvată, elevul să primească feedback, iar dacă a răspuns greșit să poată introducă un nou răspuns, cu depunctarea parțială pentru problema respectivă. Beneficiile sunt evidente: elevul este încurajat să descopere greșeala pe care a făcut-o și notarea este mult mai riguroasă, făcându-se diferența între elevi ce stăpânesc într-un grad diferit cunoștințele vizate, dar care din diferite motive ar putea introduce mai întâi un răspuns greșit.

• Problemele unui test să fie de grade de dificultate diferită și să fie plasate în ordinea crescătoare a gradului de dificultate. Astfel evităm ca un elev să rămână “blocat” într-o problemă mai dificilă și să nu aibă timp să rezolve problemele mai ușoare, de încălzire. (Ar fi ca și cum un sportiv ar efectua proba înaintea încălzirii.)

• Pentru o notare foarte corectă, se dorește ca toți elevii să primească aceleași probleme,în aceeași ordine, dar pentru a evita copiatul, se dorește ca datele numerice să fie diferite de la un elev la altul. De asemenea se dorește ca fiecare problemă să aibă cât mai multe variante, testul putând fi folosit astfel și pentru simpla exersare, fără notarea în catalog, de atâtea ori cât este necesar pentru formarea anumitor competențe.

Ultima cerință ridică cea mai dificilă problemă de programare, considerată de unii ca insurmontabilă.

“Învățând matematică, înveți să gândești”

Acest enunț, rostit nu doar de Grigore Moisil, ci de orice profesor de matematică și nu numai, ilustrează rolul special pe care îl are matematica în rândul disciplinelor școlare. Atât timp cât studiul matematicii va fi considerat necesar în învățământul preuniversitar, creatorii de soft educațional vor trebui să țină cont de rolul special al acestei discipline în dezvoltarea capacităților cognitive ale elevilor. Profesorii de matematică pun un accent deosebit pe folosirea creativă a cunoștințelor matematice, nu doar pe formarea unor deprinderi de rutină. Iată de ce profesorii de matematică, cei care recreează permanent matematica, vor dori să aibă la dispoziție un instrument foarte flexibil , care să le permite să propună oricând elevilor noi probleme,conform nivelului la care se găsesc aceștia la un moment dat.

O astfel de verificare automatizată a cunoștințelor și deprinderilor elevilor este incomparabilă ca volum, viteză și eficiență celei ce ar putea fi realizată de către profesor. Nu rămâne decât “să dăm Cezarului ce-i al Cezarului”, dar să nu uităm că nici profesorul nu poate fi înlocuit de calculator: el îl va încuraja cu un zâmbet sau o vorbă bună pe elev exact în momentul potrivit, va fi alături de el și îl va ajuta să-și descopere greșeala atunci când calculatorul se încăpățânează să-i dea același mesaj neplăcut: “Răspuns greșit!”, îi va transmite pasiunea sa pentru matematică, raționamente și pentru încă multe alte valori pe care doar oamenii știu să le transmită.

Calculatorul nu are emoții, doar oamenii au și se pot dezvolta cu ajutorul acestora. Iată ce nu va trebui să uite profesorul de matematică eliberat de către calculator, de corvoada corectării testelor sau a temelor!

5.5 Metode și procedee de lucru

În predarea-învățarea elementelor de geometrie, cuplul de metode care contribuie în foarte mare măsură la dezvoltarea spiritului de investigare, a imaginației și a creativității elevilor și care trebuie să dețină cea mai mare pondere, este problematizarea și învățarea prin descoperire, prin care elevii sunt conduși ca prin eforturi proprii să ajungă la descoperirea unor adevăruri necunoscute lor.

Metodele si procedeele didactice joacă un rol determinant deoarece, prin folosirea lor eficientă de catre profesor, elevii dobândesc cunoștințe și își formează deprinderi și priceperi specifice, învață să gândească logic, devin participanți activi la propria lor formare matematică.

Problematizarea implică elevii în situații-problemă care le ridică întrebări și îi obligă să gândească, să descopere și implicit să-și consolideze cunoștințele deja assimilate. În procesul predării-învățării elementelor de geometrie, metodele didactice se împletesc original și diferențiat în cadrul desfășurării aceleeași lectii, putându-se vorbi de structuri metodologice alternative.

Este recunoscut rolul metodicii în predare – învățare – evaluare. Iar importanța ei este cu atât mai mare cu cât gradul de rigoare a disciplinei respective este mai ridicat. Este și cazul geometriei. Se pot scrie cărți întregi pe această temă.

Tratarea metodică se impune, astfel, din cel puțin câteva considerații:

În primul rând, rigoarea amintită mai sus – să nu uităm că orice afirmație trebuie să fie justificată (pe baza ipotezei și a cunoștințelor acumulate), iar întregul raționament reprezintă o succesiune logică a implicațiilor;

Faptul (recunoscut!) că interesul elevilor este mai scăzut la geometrie față de cel pentru aritmetică și algebră;

Folosirea în cadrul unei demonstrații de geometrie, în general, a unui bagaj mare de cunoștințe legate printr-o altfel de „rețea de fire” decât cea de la alte ramuri matematice;

Aparentul paradox reprezentat de faptul că, deși pare a avea un fundament solid privind „modelul fizic”, geometria prezintă un ridicat caracter abstract;

O programă excesiv de aglomerată în care totul pare esențial, posibilitățile profesorului de a sintetiza fiind considerabil reduse – acest lucru generează și ritmul alert în care, de obicei este parcursă materia;

Tendința generală a elevilor de a memoriza, de a reduce la minimum construirea de conexiuni logice;

Ponderea redusă a geometriei în programa ciclului liceal;

Spre deosebire de algebră pe care elevii o receptează drept o înșiruire algoritmică, geometria nu prezintă imediat „tipuri de probleme” a căror rezolvare să nu ridice

dificultăți;

Nu în ultimul rând, faptul că „vederea în spațiu” este o chestiune similară „urechii muzicale”.

5.6 Anexă

PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ

Clasa: a XI-a

Obiectul: Matematică

Profesor: BALAȘ ALINA

Unitatea de învățare: Sisteme de ecuații liniare

Tema lecției: Tratarea vectorială a sistemelor de ecuații liniare

Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștințe

Obiective operaționale: la sfârșitul orei elevii vor fi capabili:

Cognitive:

OC1: să utilizeze calculul vectorial pentru determinarea ecuației vectoriale a planului;

OC2: să stabilească dacă un sistem este de tip Cramer;

OC3: să-și fixeze metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare

OC4: să rezolve sisteme de ecuații liniare prin metoda lui Cramer pentru n=3;

OC5: să recunoască compatibilitatea sau incompatibilitatea unui sistem.

B: Psiho-motorii:

OP1: Să manifeste interes pentru lecție.

OP2: Să scrie lizibil pe caiete și la tablă.

C: Afective:

OA1: Să participe activ la lecție.

OA2: Să-și dezvolte interesul pentru studiul matematicii.

Metode și procedee didactice: conversația euristică (M1), rezolvarea de exerciții (M2), explicația (M3) , exemplul(M4).

Mijloace de învățământ: manual (m1), creta (m2), tabla (m3).

Metode de evaluare: evaluare individuală (E1), aprecieri orale (E2).

5.7 CONCLUZII GENERALE

”Tratarea vectorială a sistemelor de ecuații liniare” vine în sprijinul elevilor, tocmai pentru a observa intuitiv un sistem de ecuații liniare cu ajutorul reprezentării grafice.

În general, a rezolva un sistem de ecuații liniare presupune urmarea unor pași bine stabiliți dintr-un algoritm dat, elevul învață algoritmul și pe baza lui rezolvă o serie de exerciții, fără a observa intuitiv care este, de fapt, soluția acelui sistem și ce reprezintă ea de fapt.

Prin această lucrare am vrut să arăt și latura geometrică, vectorială a sistemelor de ecuații liniare, care are o foarte mare importanță în dezvoltarea gândirii logice și intuitive a elevului. Privind ecuațiile de 3 necunoscute ca și plane în spațiu putem antrena foarte mult intuiția elevilor. Pe desen se poate observa cel mai bine cazurile de compatibilitate și incompatibilitate, ba mai mult, elevii pot observa clar că incompatibilitatea sistemelor are mai multe grade.

În sprijinul rezolvării vectoriale a acestor sisteme de ecuații liniare vine partea informatică, realizându-se cu ajutorul calculatorului tot felul de soft-uri matematice care reprezintă grafic soluțiile acestor sisteme.

Se observă clar că geometria are un caracter mult mai intuitiv decât algebra, ca dovadă a faptului că cele mai multe dintre softurile matematice realizate se bazează pe partea de reprezentare grafică.

Se observă că geometria are , tot mai mult, de suferit din cauză că programa începe să se ”subțieze” în ceea ce privește predarea noțiunilor de geometrie.

Geometria are și un pronunțat aspect educativ prin aportul ei la dezvoltarea facultăților mintale și a unor aptitudini. Ea contribuie în măsură hotărâtoare la dezvoltarea gândirii logice, prin caracterul deductiv al adevărurilor sale, la disciplinarea raționamentului obișnuind elevii cu rigoarea, dusă uneori la extreme în ceea ce privește examinarea datelor și a rezultatelor.

Profesorul de matematică are în față o sarcină dublă. El trebuie să-i pună pe elevi atât în situația de a învăța matematica cât și în aceea de a face matematică. Învățarea matematicii presupune însușirea metodelor generale și sigure de lucru, descifrarea și înțelegerea, analizarea în spirit critic a unui raționament sau a unei discipline matematice, în ansamblul ei.

Pe de altă parte, a face matematică presupune exercitarea gândirii creatoare, axată pe probleme în care raționamentul nu este dat ci trebuie găsit, iar găsirea lui nu se face prin simpla aplicare a unor metode învățate ci dimpotrivă prin evadarea de sub sugestia lor și printr-o acțiune mereu aleatoare, în care putem contribui la mărirea șanselor de succes, dar nu putem asigura succesul însuși.

Manualele abundă în formalisme, în detrimentul concretului, limbajul devine din ce în ce mai ”prețios” . Informația vizuală este cea mai puternică și cel mai ușor de asimilat.

Din păcate manualele școlare nu reflectă caracterul interdisciplinar al învățământului. Se impune o corelare mai bună a programelor disciplinelor tehnice cu programa de matematică.

La nivelul programelor școlare există resurse de realizare a unui învățământ cu caracter interdisciplinar. Se pot stabili obiective comune mai multor discipline. Se poate conduce la creșterea ponderii laturii metodologice, de cercetare, de experimentare în însușirea conținutului manualelor. Se pune accentul pe înțelegerea conceptelor fundamentale și stăpânirea tehnicilor indispensabile pentru învățarea altor discipline .
În practica predării se pune problema trecerii de la primirea cunoștințelor de către elev la dobândirea lor prin investigare experimentală și formarea unei gândiri unitare sistematice.
Elevii trebuie să fie învățați, prin studierea matematicii, să știe să calculeze, să coreleze, să asocieze cunoștințele despre anumite procese, fenomene, într-un ansamblu unitar de cunoștinte, deziderat realizabil prin studiul structurilor algebrice.

Învățământul liceal are un caracter modelator, pentru că asigură elevilor posibilitatea instruirii multilaterale: culturală, științifică și tehnică, permițându-le să întrevadă legătura interdisciplinară a obiectelor studiate. Este însă necesar ca profesorii să insiste mai mult pentru a-i lămuri pe elevi asupra acestei legături. Astfel, profesorul de matematică trebuie să arate elevilor în ce direcții se pot aplica practic noțiunile matematice studiate și pentru asta trebuie să aibă și o bună cultură tehnică, iar profesorul de specialitate trebuie să aibă o bună cultură matematică pentru a traduce în limbaj matematic problemele disciplinei sale și apoi să le rezolve.

Caracterul modelator al învățământului se poate materializa foarte bine în cadrul unor cercuri de elevi unde se pot studia teme cu caracter aplicativ, interdisciplinar.

Dacă în planul înalt al științei pure și al filozofiei, matematica nu este reductibilă la axiomatică deși procesul de axiomatizare are o valoare incontestabilă, iar rigoarea nu este absolută, cu atât mai mult în matematica școlară, trebuie pusă în valoare matematica vie, completă. Bibliografie:

[1]. Adăscăliței A, “Instruirea asistată de calculator” , Editura Polirom, Iași, 2007

[2]. Ardelean L., Secelean N. – “Didactica matematicii – noțiuni generale; comunicarea didactică specifică matematicii”, Editura Universității ”Lucian Blaga”, Sibiu, 2007

[3]. Banea H – “Metodica predării matematicii” Ed. Paralela 45, Pitești, 1998

[4]. Constantinescu C, Chiteș C., Singer B., Ilie R., Marinescu I., Streinu Cercel G., Stoianovici G., „Matematică – manual ptr cls a XI-a”, Editura Sigma, București, 2004

[5]. Cucoș Constantin, “Pedagogie”, Polirom, Iași, 2001

[6]. Drăgan I., Nicola I., , „Cercetarea psihopedagogică”, Editura Tipomur, Târgu-Mureș, 1995

[7]. Ghibu Onisifor, Pentru o pedagogie românească. Antologie de descriere pedagogice,

București, E.D.P. 1971.

[8]. Girard G. „ Geometrie vectorială. Geometrie afină”, Colecția ALEF0, Vol. II, București,

EDP, 1973

[9]. Gîrjoabă A. ”Algebră liniară și geometrie analitică – Teorie și exerciții”, versiune

electronică, Sibiu, 2008

[10]. Miron R., „ Introducere vectorială în geometria analitică plană”, București, EDP, 1970

[11]. Miron R., Brânzei D., „Fundamentele aritmeticii și geometriei”, Ed. Academiei Române, București, 1983

[12]. Moise E., Downs F., „Geometrie”, EDP, București, 1983

[13]. Pop Ioan, „Curs de geometrie analitică”, Univ. "Al. I. Cuza", Iași, 1992

[14]. Purdea G. I., Andrica D., Duca Dorel I., Pop I., „Matematica de bază”, Editura Studium, Cluj Napoca, 2004

[15]. Simionescu Gh. D., „Noțiuni de algebră vectorială și aplicații în geometrie”, Ed. Tehnică, București, 1982

[16]. Udriște C., Tomuleanu V., „Geometrie analitică. Manual pentru clasa a XI-a”,

București, EDP, 1981

[17]. www.wikidot.com/interpretarea-geometrica

[18]. www.teora.ro/manuale/878/878c.htm

Bibliografie:

[1]. Adăscăliței A, “Instruirea asistată de calculator” , Editura Polirom, Iași, 2007

[2]. Ardelean L., Secelean N. – “Didactica matematicii – noțiuni generale; comunicarea didactică specifică matematicii”, Editura Universității ”Lucian Blaga”, Sibiu, 2007

[3]. Banea H – “Metodica predării matematicii” Ed. Paralela 45, Pitești, 1998

[4]. Constantinescu C, Chiteș C., Singer B., Ilie R., Marinescu I., Streinu Cercel G., Stoianovici G., „Matematică – manual ptr cls a XI-a”, Editura Sigma, București, 2004

[5]. Cucoș Constantin, “Pedagogie”, Polirom, Iași, 2001

[6]. Drăgan I., Nicola I., , „Cercetarea psihopedagogică”, Editura Tipomur, Târgu-Mureș, 1995

[7]. Ghibu Onisifor, Pentru o pedagogie românească. Antologie de descriere pedagogice,

București, E.D.P. 1971.

[8]. Girard G. „ Geometrie vectorială. Geometrie afină”, Colecția ALEF0, Vol. II, București,

EDP, 1973

[9]. Gîrjoabă A. ”Algebră liniară și geometrie analitică – Teorie și exerciții”, versiune

electronică, Sibiu, 2008

[10]. Miron R., „ Introducere vectorială în geometria analitică plană”, București, EDP, 1970

[11]. Miron R., Brânzei D., „Fundamentele aritmeticii și geometriei”, Ed. Academiei Române, București, 1983

[12]. Moise E., Downs F., „Geometrie”, EDP, București, 1983

[13]. Pop Ioan, „Curs de geometrie analitică”, Univ. "Al. I. Cuza", Iași, 1992

[14]. Purdea G. I., Andrica D., Duca Dorel I., Pop I., „Matematica de bază”, Editura Studium, Cluj Napoca, 2004

[15]. Simionescu Gh. D., „Noțiuni de algebră vectorială și aplicații în geometrie”, Ed. Tehnică, București, 1982

[16]. Udriște C., Tomuleanu V., „Geometrie analitică. Manual pentru clasa a XI-a”,

București, EDP, 1981

[17]. www.wikidot.com/interpretarea-geometrica

[18]. www.teora.ro/manuale/878/878c.htm

Anexă

PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ

Clasa: a XI-a

Obiectul: Matematică

Profesor: BALAȘ ALINA

Unitatea de învățare: Sisteme de ecuații liniare

Tema lecției: Tratarea vectorială a sistemelor de ecuații liniare

Tipul lecției: Lecție de transmitere de noi cunoștințe

Obiective operaționale: la sfârșitul orei elevii vor fi capabili:

Cognitive:

OC1: să utilizeze calculul vectorial pentru determinarea ecuației vectoriale a planului;

OC2: să stabilească dacă un sistem este de tip Cramer;

OC3: să-și fixeze metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare

OC4: să rezolve sisteme de ecuații liniare prin metoda lui Cramer pentru n=3;

OC5: să recunoască compatibilitatea sau incompatibilitatea unui sistem.

B: Psiho-motorii:

OP1: Să manifeste interes pentru lecție.

OP2: Să scrie lizibil pe caiete și la tablă.

C: Afective:

OA1: Să participe activ la lecție.

OA2: Să-și dezvolte interesul pentru studiul matematicii.

Metode și procedee didactice: conversația euristică (M1), rezolvarea de exerciții (M2), explicația (M3) , exemplul(M4).

Mijloace de învățământ: manual (m1), creta (m2), tabla (m3).

Metode de evaluare: evaluare individuală (E1), aprecieri orale (E2).