Transformarea Fourier. Aplicaţii în studiul Miscarilor Seismice [301903]

CUPRINS

CAPITOLUL 1. ASPECTE FUNDAMENTALE 3

1.1. Introducere 3

1.2. Conținutul tezei de doctorat 4

CAPITOLUL 2. NOȚIUNI DE TEORIE GENERALĂ A SISTEMELOR APLICATE ÎN CONSTRUCȚII 7

2.1. Sistem mecanic 7

2.2. Model de calcul 8

2.3. Tipuri de modele 10

2.3.1. Model fizic 10

2.3.2. Model experimental 13

2.3.3. Model matematic 13

2.4. Metoda elementului finit ca aparat matematic aplicat modelului fizic 16

2.5. Modelul de calcul al unei structuri reale 18

2.5.1. Descrierea structurii reale 18

2.5.2. Descrierea modelului de calcul 20

2.5.1. Concluzii 24

CAPITOLUL 3. UTILIZAREA SPECTRELOR FOURIER ÎN ANALIZA MIȘCĂRILOR SEISMICE 25

3.1. Definiția transformatei Fourier 25

3.2. Proprietăți 26

3.3. Transformata Fourier Rapidă 29

3.4. Transformata Rapidă Fourier cu decimare în frecvență 32

3.5. Densități spectrale 33

3.5.1. Densitatea spectrală de energie (D.S.E.) 33

3.5.2. Densitatea spectrală de putere (D.S.P.) 34

3.6. Analiză spectrală 35

3.7. Concluzii 38

CAPITOLUL 4. ANALIZA DINAMICĂ ÎN PROGRAMELE DE ELEMENT FINIT 39

4.1. Integrarea directă a sistemului de ecuații diferențiale ale mișcării 39

4.1.1. Metoda θ-Wilson 40

4.1.2. Metoda Newmark 41

4.2. Elemente finite și elemente infinite 41

4.2.1. Răspunsul dinamic al elementelor infinite 41

4.2.2. Definirea nodurilor pentru elementele finite ale mediului solid 44

4.2.3. Definirea nodurilor pentru elemente infinite acustice 46

4.2.4. Utilizarea elementelor infinite ale mediului solid în analiza eforturilor plane 46

4.2.5. Utilizarea elementelor infinite ale mediului solid în analiza dinamică 47

4.2.6. Optimizarea transmiterii energiei în afara rețelei de element finit 48

4.3. Observații asupra integrării numerice a accelerogramelor în aplicațiile ce folosesc MEF 48

4.4. Calibrarea modelului 51

4.5. [anonimizat] 53

4.5.1. Descrierea modelului 54

4.5.2. Rezultate 57

CAPITOLUL 5. INTERACȚIUNEA DINTRE MEDIUL DE FUNDARE ȘI SISTEMUL STRUCTURAL 59

5.1. [anonimizat] 60

5.2. Modele de analiză a [anonimizat] 63

5.3. Modelul Winkler 64

5.3.1. Grinda continuă 64

5.3.2. Grinda infinită acționată de o forță concentrată 65

5.3.3. Grinda infinită acționată de mai multe forțe concentrate 68

5.3.4. Grinda infinită acționată de moment încovoietor 69

5.3.5. Grinda finită 70

5.4. Calculul grinzilor pe mediu Boussinesq 71

5.4.1. Metoda Jemocikin 71

CAPITOLUL 6. STUDII DE CAZ 77

6.1. [anonimizat] 77

6.1.1. [anonimizat], modele fizice analizate și acțiunea seismică 77

6.1.2. Rezultate obținute 82

6.1.3. Comparații între mărimile cinematice de la ultimul nivel al structurii 36m 123

6.2. Studiu de caz asupra influenței delimitării modelului fizic 126

6.2.1. Modele fizice analizate 126

6.2.2. Rezultate obținute 127

6.2.3. Comparații 139

CAPITOLUL 7. CONCLUZII, CONTRIBUȚII PERSONALE ȘI VALORIFICAREA REZULTATELOR 142

7.1. Concluzii privind studiile de caz efectuate 142

7.2. Contribuții personale 146

7.3. Valorificarea rezultatelor 147

BIBLIOGRAFIE 148

ASPECTE FUNDAMENTALE

Introducere

Pe plan național cât și internațional se urmărește cunoașterea cât mai detaliată a comportării structurilor de rezistență în timpul execuției și a exploatării. Deoarece o analiză riguroasă pentru o [anonimizat], pentru acest domeniu al construcțiilor s-au dezvoltat anumite programe de calcul automat, precum ETABS, SAP, ANSYS, PLAXIS, ABAQUS etc.

Concepția unui sistem structural pentru o anumită construcție, care să satisfacă toți parametrii ce intervin în exploatare, este dificilă, poate chiar imposibilă. Pentru a putea rezolva această problemă, se admit o serie de simplificări care se referă la acțiuni, la comportarea materialelor și la alcătuirea structurii. Structura rezultată în urma acestor ipoteze simplificatoare constituie modelul fizic al structurii reale. Pe acest model fizic se elaborează modelul matematic, care la rândul lui poate fi afectat de o serie de ipoteze simplificatoare.

O foarte mare problemă intervine totuși în alegerea modelului fizic al structurilor introduse în programele de calcul, nivelul de detaliere al acestora, simplificările necesare unui calcul riguros aduse structurii, simplificările incluse în program, cât și delimitarea modelului de mediul exterior. Printre altele, delimitarea modelului de mediul înconjurător se referă la delimitarea ansamblurilor secundare de structura suport, decuplarea anumitor subsisteme din sistemul dinamic, izolarea anumitor elemente din sistem pentru a fi analizate separat.

Un exemplu special ce definește importanța delimitării modelului fizic al unei structuri este modul de considerare a interacțiunii teren-structură.

Obiectivul lucrării de doctorat este studiul influenței delimitării modelului fizic asupra răspunsului dinamic al structurilor determinat prin calcul, în particular a răspunsului seismic și îndeosebi a considerării interacțiunii teren-structură.

În ultimul timp, pe plan mondial, au apărut foarte multe lucrări cu această temă, dovedind necesitatea dezvoltării acestui domeniu de către cercetători și impactul real pe care aceste studii îl pot aduce. Câteva coduri de proiectare din țări avansate din punct de vedere tehnic au început deja să introducă prevederi speciale pentru modelarea interacțiunii teren-structură în vederea proiectării construcțiilor importante, și, cu toate că demersul este timid, aplicând doar câteva relații pentru creșterea perioadelor de vibrație și a amortizării structurilor și neglijând alte aspecte importante, este un demers semnificativ în direcția elaborării unui model fizic mai complex pentru construcțiile ce justifică acest lucru.

Conținutul tezei de doctorat

În Capitolul 1. Aspecte fundamentale este prezentată o scurtă introducere legată de domeniul de studiu ales, stadiul actual pe plan național și internațional al acestuia, obiectivul acestei lucrări, cât și o scurtă descriere a lucrării.

Capitolul 2 este intitulat Noțiuni de teorie generală a sistemelor aplicate în construcții. Se definesc noțiunile de sistem mecanic, model de calcul, tipurile de modele, incluzând modelul fizic, modelul experimental și modelul matematic, precum și o scurtă descriere a metodei elementelor finite ca aparat matematic aplicat modelului fizic. În final se exemplifică aceste noțiuni în cazul unei structuri reale modelate în programele GRAITEC EFFEL și ETABS.

Capitolul 3 este intitulat Utilizarea spectrelor Fourier în analiza mișcărilor seismice. Se definesc proprietățile transformatei Fourier, avantajele transformatei Fourier rapidă, precum și densitățile spectrale de energie și de putere. Se efectuează un studiu de caz asupra prelucrării spectrelor Fourier și a densității spectrale de putere pentru semnalul dat de accelerograma cutremurului din Martie, 1977 folosind aplicația SeismoSignal și funcțiile implementate în programul MathCAD.

Capitolul 4 este intitulat Analiza dinamică în programele de element finit. Se descrie integrarea directă a sistemului de ecuații diferențiale ale mișcării prin metodele θ-Wilson și Newmark, definiția nodurilor pentru elementele finite și elementele infinite ale unei rețele și aplicațiile unde elementele infinite sunt necesare.

Se mai prezintă o importantă observație asupra integrării numerice a accelerogramelor în aplicațiile ce folosesc metoda elementului finit: dacă o accelerogramă este introdusă în calcul ca acțiune, atunci când se face integrarea acesteia pentru determinarea vitezelor și a deplasărilor apar erori din cauza neaplicării condițiilor inițiale.

Se folosesc rezultatele obținute în programul NERA (Nonlinear Equivalent Response Analysis) pentru calibrarea modelului introdus în programul de element finit PLAXIS. Apar mici diferențe din cauza diferențelor de modelare (unidimensională pentru NERA, bidimensională pentru PLAXIS).

Se efectuează un studiu de caz în care se pune în evidență diferența de morfologie a suprafeței terenului. În primul caz se consideră o discontinuitate geometrică concavă la nivelul terenului și în al doilea caz o discontinuitate convexă. Se face comparația cu al treilea caz în care suprafața terenului este plană.

În urma analizei rezultatelor obținute se constată faptul că în cazul discontinuității geometrice concave există o amplificare semnificativă, aceasta generând accelerații de 1.6 ori mai mari decât în cazul suprafeței plane, în timp ce în cazul suprafeței convexe accelerațiile se reduc la 80% din valoarea corespunzătoare suprafeței plane.

Capitolul 5 este intitulat Interacțiunea dintre mediul de fundare și sistemul structural.

Se descrie modul de abordare a problemelor de interacțiune teren-structură și modelele de analiză a acestora și se definesc două metode frecvent utilizate în modelare: metoda Winkler și metoda Boussinesq.

Se descrie aplicarea metodei Winkler pentru grinzi continue, grinzi infinite și grinzi finite și aplicarea modelului Boussinesq la grinzi de fundare prin metoda Jemocikin.

În Capitolul 6. Studii de caz sunt efectuate două studii de caz pentru a analiza efectul interacțiunii teren-structură și influența delimitării modelului fizic asupra răspunsului dinamic al unei structuri.

În primul studiu se aleg trei clădiri multietajate pe structură metalică cu următoarele regimuri de înălțime:

1). S+P+5E, cu o singura deschidere de 6m, notat [6m];

2). 2S+P+11E, cu trei deschideri de 6m, notat [18m];

3). 3S+P+23E, cu 6 deschideri de 6m, notat [36m].

Pentru aceste trei structuri se consideră patru modalități de sprijinire:

a). încastrări la nivelul radierului, model notat cu [r];

b). încastrări la nivelul terenului fără a considera subsolurile, model notat [fs];

c). reazeme elastice (Winkler) la nivelul radierului și a pereților subsolului, model notat [w];

d). sprijinire directă a structurii pe teren, considerând interacțiunea dintre acesta și structură, model notat [p].

În cel de-al doilea studiu este aleasă clădirea din studiul anterior (modelul [36m_p]) cu regim de înălțime 3S+P+23E și șase deschideri de 6m, cu subsolul din beton armat și având radier general. Pentru această structură s-au considerat trei modele în care se modifică mărimea terenului luat în calcul la stânga și la dreapta structurii:

1). modelul [36m_p_15], în care mărimea modelată este de 15m stânga și 15m dreapta;

2). modelul [36m_p_150], în care mărimea modelată este de 150m stânga și 150m dreapta;

3). modelul [36m_p_300], în care mărimea modelată este de 300m stânga și 300m dreapta.

Ca dată de intrare în analizele efectuate a fost utilizată accelerograma cutremurului din 4 martie 1977, INCERC, cu componenta sa maximă (direcția N-S) și stratificația terenului a fost considerată cea din estul Bucureștiului.

În cele două studii de caz se analizează răspunsul seismic în termeni de accelerații absolute, viteze relative și deplasări relative la diferite niveluri ale structurii, spectre seismice de răspuns la nivelul terenului exprimate în accelerații absolute, viteze relative și deplasări relative, moduri proprii de vibrație și eforturi în elementele structurale ale clădirii, pe baza cărora se formulează câteva concluzii importante.

În Capitolul 7. Concluzii, contribuții personale și valorificarea rezultatelor se prezintă concluziile studiilor de caz, principalele contribuții ale autorului aduse prin lucrarea de doctorat, precum și câteva direcții viitoare de cercetare.

NOȚIUNI DE TEORIE GENERALĂ A SISTEMELOR APLICATE ÎN CONSTRUCȚII

Sistem mecanic

Studiul unui sistem prezintă interes pentru înțelegerea relațiilor dintre componentele acestuia sau pentru prezicerea modului cum va funcționa sistemul în condiții noi. Uneori este posibil să se facă experiențe cu sistemul însuși, însă nu întotdeauna. Sistemul poate să nu existe încă, ci poate fi numai în formă ipotetică sau în fază de proiectare. În consecință, studiul sistemelor se realizează deseori cu modelul sistemului.

Un sistem cuprinde multiple aspecte, de exemplu planificare, specificații, analiză, proiectare, implementare, desfășurare, structură, comportare, date de intrare și date de ieșire. Modelul unui sistem este necesar pentru a descrie și a reprezenta aceste aspecte multiple. Un model (în contextul studiului sistemelor) este definit ca o reprezentare conceptuală (abstractă) a unui sistem care reproduce și descrie artificial sistemul original existent, care permite studierea sistemului, servind astfel pentru cunoașterea proprietăților sistemului original și predicția comportării acestuia. Un model este o descriere schematică a unui sistem, a unei teorii sau a unui fenomen care explică proprietățile sale cunoscute sau presupuse și care poate fi folosit pentru studiul ulterior al proprietăților sale.

Pentru multe studii este necesar să se ia în considerare numai acele aspecte (sau variabile) ale sistemului care sunt relevante pentru problema cercetată. Aceste aspecte (variabile) sunt reprezentate în modelul sistemului, iar modelul, prin definiție este o reprezentare simplificată a sistemului. Pe de altă parte, modelul trebuie să fie suficient de detaliat pentru a permite să se tragă concluzii valabile la efectuarea experiențelor asupra modelului, pentru cunoașterea proprietăților sistemului real. Nici un model al unui sistem nu va include toate caracteristicile sistemului real care prezintă interes și nici un model al unui sistem nu trebuie să includă toate entitățile care aparțin sistemului real de interes. Sistemele sunt deseori modelate ca blocuri componente (subsisteme) care au conexiuni între ele. Există alternativele de a reprezenta un sistem ca o singură unitate pe un singur nivel, sau ca o colecție de subsisteme (de exemplu, componente și subcomponente) care trebuie să fie coordonate la "nivelul sistemului" general. Aceasta este o importantă decizie de modelare, atunci când dimensiunea sistemului este mare.

Sistemul mecanic este alcătuit din puncte materiale, corpuri rigide și corpuri deformabile interconectate prin legături indeformabile sau deformabile, astfel încât permit un schimb permanent de energie cu mediul înconjurător.

Mărimile de intrare sunt acțiunile care reprezintă cauze dependente sau independente de timp: cutremurul de pământ, vântul, funcționarea utilajelor, trafic etc.

Mărimile de ieșire sunt efectele acestor acțiuni și sunt numite pe scurt răspuns: eforturi, tensiuni, deplasări, viteze, accelerații, deformații, deformații specifice etc.

Fig. 2.1: Acțiune – Sistem – Răspuns

Între cele trei componente funcționale (acțiune – sistem – răspuns) se pot stabili următoarele corelații:

Analiza reprezintă studiul – cu ajutorul unui ansamblu de metode și procedee adecvate – a elementelor componente ale sistemului și a legăturilor dintre acestea precum și a acțiunii în vederea determinării răspunsului sistemului.

Sinteza reprezintă determinarea proprietăților de comportare a elementelor componente ale sistemului pe baza cunoașterii funcțiilor de intrare și de ieșire. Sinteza implică optimizarea caracteristicilor sistemului structural.

Indentificarea acțiunii se folosește la stabilirea intrărilor, sistemul devenind un instrument de măsură.

Model de calcul

Concepția unui sistem structural pentru o anumită construcție, care să satisfacă toți parametrii ce intervin în exploatare, este dificilă, poate chiar imposibilă. Pentru a putea rezolva această problemă, se admit o serie de simplificări care se referă la acțiuni, la comportarea materialelor și la alcătuirea structurii.

Structura rezultată în urma acestor ipoteze simplificatoare constituie modelul fizic al structurii reale. Pe acest model fizic se elaborează modelul matematic, care la rândul lui poate fi afectat de o serie de ipoteze simplificatoare.

Fig. .: Modelarea sistemelor

Astfel, se consideră că un sistem structural este caracterizat de modelul de calcul, care este compus din modelul fizic căruia i s-a atașat modelul matematic.

Modelul de calcul este un mijloc de studiu al unui sistem structural. În dinamica structurilor, modelul de calcul mai este numit modelul dinamic al sistemului structural.

În procesul de modelare fizică în vederea proiectării, datele de intrare necesare pentru majoritatea structurilor curente sunt următoarele: materiale, secțiuni, încărcări (statice, dinamice, liniare, neliniare), combinații de încărcări etc. Se poate observa că la fiecare dintre acestea se aplică unele simplificări mai mari sau mai mici față de realitate.

Tipuri de modele

Model fizic

Modelarea fizică este etapa în care se stabilește un model, modelul fizic, ce descrie fidel comportarea sistemului real. Trecerea de la sistemul real la modelul fizic se face prin abstractizare. Modelul fizic este construit din elemente simple, fiind accesibil analizei.

Similar, legăturile exterioare ale structurii (reazemele) și cele interioare, dintre elemente, pot fi rigide sau deformabile. Reazemele și legăturile interioare se diferențiază în cazul plan, respectiv spațial, prin numărul și direcția gradelor de libertate blocate (total în cazul legăturilor ideale și parțial în cazul legăturilor elastice).

Modelul fizic poate fi un model discret sau continuu. Modelul discret este ușor de utilizat în cazul structurilor, elementele reale fiind înlocuite cu elemente structurale de tip bară, placă și bloc:

Elemente de tip bară (unidimensionale):

– sunt elementele pentru care una din dimensiuni este mult mai mare decât celelalte două (stâlpi, grinzi etc.)

– sunt caracterizate de dimensiunile secțiunii transversale și de axa acesteia

Elemente de tip placă (bidimensionale):

– sunt elementele pentru care două dimensiuni sunt comparabile și mult mai mari decât a treia (plăci, pereți etc.)

Elemente de tip bloc (tridimensionale):

– sunt elemente pentru care cele trei dimensiuni sunt comparabile.

Modelul fizic continuu, mai greu de utilizat datorită complexității, face apel la mecanica corpului continuu. Elementele modelului fizic sunt caracterizate prin parametri (dimensiuni, masă, rigiditate etc.) a căror stare este descrisă de mărimi de stare (presiune, viteză, accelerație etc.). Modificarea mărimilor de stare are loc cu respectarea legilor fizicii.

Fig. .: Tipuri de elemente: a) unidimensionale, b) bidimensionale, c) tridimensionale

Comportarea structurii de rezistență a oricărei construcții este influențată semnificativ de materialele din care este alcătuit. Caracteristicile fizico-mecanice ale materialelor se obțin pe cale experimentală, prin încercări pe probe standardizate, în urma cărora rezultă curbe caracteristice specifice fiecărui material. Diversitatea curbelor caracteristice ale materialelor utilizate în construcții a impus schematizarea lor prin folosirea unor modele de deformare (reologice) simple ce aproximează comportarea materialelor la diferite încărcări.

Fig. 2.4: Modele de comportare ale materialelor (i)

Fig. 2.5: Modele de comportare ale materialelor (ii)

În general se consideră că:

– structura internă a materialului este continuă;

– materialul este omogen și păstrează această omogenitate în timp;

– materialul se comportă perfect elastic în condiții de exploatare.

Acțiunile care se exercită asupra unei structuri pot fi grupate ca încărcări: greutate proprie, sarcină utilă, acțiunea zăpezii, presiune sau sucțiune a vântului, seism etc. și sub formă de deplasări și deformații impuse: variații de temperatură, cedări de reazeme etc.

Încărcările pot fi clasificate ca:

– încărcări permanente (rămân constante în raport cu timpul);

– cvasi-permanente (au intensități ridicate pe durate lungi de timp);

– temporare (apar intermitent sau cu intensitate variabilă);

– variabile (au intensitate variabilă sau pot fi nule pe intervale lungi de timp);

– excepționale (apar foarte rar cu intensitate semnificativă).

Caracteristicile acțiunilor sunt:

– intensitate;

– direcție;

– mod de aplicare (concentrate, distribuite etc.);

– tipul acțiunii (statică, dinamică).

Model experimental

În cazul unor construcții unicat sau speciale, de mare importanță, ce trebuie proiectate sau sunt deja executate, dar a căror capacitate de a fi utilizate în continuare trebuie expertizată, se impune efectuarea unor cercetări experimentale pe modelele fizice structurale. Dacă este posibil, aceste modele pot fi identice cu structura reală, caz în care modelul experimental este un prototip. În caz contrar, modelul experimental se realizează la o scara redusă, pe baza legilor de similitudine cu structura reală. Aceste legi se referă la stabilirea dimensiunilor geometrice și a modului de rezemare, la alegerea materialelor și a schemei de încărcare a modelului.

Modelul experimental se echipează cu aparatură și dispozitive de acționare, de înregistrare, măsurare și prelucrare a unor parametri de răspuns (deplasări, deformații, accelerații etc.).

Modelul fizic este încercat pe baza unui program experimental, obținându-se valori ale parametrilor de răspuns, fie direct prin măsurare, fie dupa unele prelucrări, de obicei automate, bazate pe teoria similitudinii. Rezultatele obținute se folosesc la stabilirea modului de comportare a structurii reale, la confruntarea cu rezultatele teoretice obținute prin analiza modelului de calcul și, pe aceste baze la luarea unor decizii de îmbunatățire a modelului de calcul și a proiectării structurii reale.

În anumite situații, costul mare și durata îndelungată a unui program experimental pot fi evitate prin înlocuirea cu un program de simulare numerică a experimentărilor.

Model matematic

Un model matematic utilizează simboluri și relații matematice pentru a evalua o situație. Modelele matematice pot fi deterministe sau stohastice (probabiliste). Un model matematic determinist este un model în care fiecare set de stări ale variabilelor este determinat în mod unic de parametrii modelului și de seturile de stări anterioare ale acestor variabile. Într-un model stohastic este prezent caracterul aleatoriu, iar stările variabilelor nu sunt descrise de valori unice, ci mai degrabă de distribuții de probabilitate.

Se deosebesc modelele matematice topologice și geometrice.

În modelele matematice topologice sunt reflectate componența și interacțiunile elementelor obiectului sistemic. Aceste modele se utilizează, în special, pentru descrierea obiectelor care constau dintr-un număr mare de elemente, la rezolvarea problemelor de atașare a elementelor constructive la poziții spațiale determinate sau la diferite momente de timp. Modelele topologice pot fi sub formă de grafuri, tabele (matrice), liste etc.

În modelele matematice geometrice sunt reflectate caracteristicile geometrice ale obiectelor sistemice. În aceste modele, suplimentar față de informații asupra poziției reciproce a elementelor sunt incluse informații asupra formei geometrice. Modelele matematice geometrice pot fi exprimate printr-un ansamblu de ecuații ale liniilor și suprafețelor; prin relații care descriu domeniile ce alcătuiesc corpurile sistemului.

Un tip particular de model matematic al unui sistem este modelul de simulare, cu ajutorul căruia sunt simulate fenomenele ce caracterizează sistemul respectiv, păstrându-se structura lor logică și succesiunea evoluției în timp, ceea ce permite ca prin variația parametrilor de intrare să se obțină informații asupra stărilor procesului la momente de timp determinate.Starea sistemului este definită ca fiind acel grup de variabile necesare pentru a descrie sistemul în orice moment de timp, relativ la obiectivele studiului. Cu ajutorul unui model de simulare se studiază comportarea sistemului, așa cum acesta evoluează în timp. Acest model se prezintă sub forma unui set de ipoteze privind funcționarea sistemului. Aceste ipoteze sunt exprimate prin relații matematice, logice și simbolice, între entitățile sau obiectele care prezintă interes, ale sistemului.

Modelele de simulare pot fi clasificate în modele statice sau dinamice, deterministe sau stohastice. Modelele dinamice de simulare reprezintă sistemele așa cum se modifică acestea în timp.

Modelele de simulare care nu conțin variabile aleatoare sunt modele deterministe. Modelele deterministe au un set cunoscut de valori de intrare care vor conduce la un set unic de valori de ieșire.

Un model stohastic de simulare are una sau mai multe variabile aleatoare ca variabile de intrare. Intrările aleatoare conduc la ieșiri aleatoare. Deoarece ieșirile sunt aleatoare, ele pot fi considerate doar ca estimări ale caracteristicilor sistemului. Un model stohastic furnizează o relație între caracterizări de tip probabilistic ale mărimilor utilizate pentru descrierea matematică.

Modelele matematice ale sistemelor trebuie să îndeplinească anumite cerințe după cum urmează :

– Realismul modelului. Sunt utile modele matematice care să reprezinte sistemul cât mai realist posibil, cât mai complet și mai exact. Totuși, dacă un model este excesiv de realist, acesta poate fi netratabil matematic, datorită complexității sale.

– Ierarhia modelelor. Pentru orice situație de modelare se poate concepe o ierarhie de modele, fiecare fiind mai realist decât precedentul și fiecare fiind urmat, probabil, de un model mai bun.

– Precizia relativă a modelului. Diferitele modele diferă în ceea ce privește precizia lor și concordanța cu observațiile. Precizia modelului se estimează prin gradul de concordanță al valorilor performanțelor sistemului calculate cu modelul matematic cu valorile acelorași performanțe ale sistemului real.

– Robustețea modelului. Un model matematic este robust dacă este puțin sensibil la variațiile parametrilor perturbatori.

– Simplitatea sau complexitatea excesivă. Un model poate să nu reprezinte satisfăcător modelul real, atunci când este prea simplu. Pe de altă parte, o complexitate excesivă înseamnă un model capabil să furnizeze soluții cu precizie ridicată; totuși, complexitatea modelului nu trebuie să depășească pe cea necesară pentru a realiza scopurile pentru care modelul este destinat. Este necesar să se păstreze numai caracteristicile esențiale ale sistemului real.

– Concordanța modeluluicu sistemul real depinde de scopul modelării. Verificarea concordanței constă în compararea unui set de performanțe obținute cu ajutorul modelului, cu performanțele colectate experimental.

– Modelarea parțială pentru subsisteme. Înainte de a elabora un model pentru întregul sistem, poate fi convenabil să se conceapă modele parțiale pentru subsisteme, să se testeze valabilitatea lor, apoi să se integreze aceste modele parțiale într-un model complet.

– Perfectibilitatea modelului. Nici un model matematic nu este perfect și orice model este perfectibil, pentru a se obține o aproximare utilă. Totuși, orice perfecționare poate necesita consumuri suplimentare de timp și bani, de aceea trebuie să fie justificată.

– Posibilitatea estimării parametrilor. Orice model matematic poate conține parametri ale căror valori trebuie estimate. Estimarea necesită experimente sau observații precum și metode de prelucrare a datelor experimentale.

Se pot identifica următoarele elemente ale modelelor matematice :

– Variabilele sistemului. Acestea sunt mărimi care caracterizează diferite stări ale sistemului, luând diferite valori (dintr-un domeniu de valori tehnic posibile).

– Parametrii sistemului. Acestea sunt mărimi care au o valoare dată, pentru o formulare particulară a modelului. Pentru modele de simulare, parametrii rămân ficși în timpul unei rulări unice pe calculator a simulării.

– Constantele sistemului. Sunt mărimi invariabile, caracteristice fenomenului studiat (de exemplu, constanta gazelor).

– Relații matematice. Sunt ecuații sau inecuații care descriu interacțiunea dintre variabile, parametri și constante. Relațiile matematice încearcă să descrie funcționarea sistemului în condițiile impuse de mediul său înconjurător, adică în condițiile variabilelor perturbatoare care descriu factorii exteriori sistemului.

În etapa de modelare este foarte importantă distincția dintre variabile și parametri, ceea ce constituie o decizie subiectivă, dictată de opțiunile în nivelul ierarhic al definirii sistemului.

Există două moduri de abordare a construirii unui model matematic pentru un model fizic :

– modelarea bazată pe principii fizice, care face apel la legile cunoscute din fizică, ce sunt aplicate subsistemelor ce compun sistemul considerat;

– identificarea sau modelarea bazată pe date experimentale, obținute prin teste, care constă în alegerea unui model ce aproximează cât mai bine datele experimentale, conform unui anumit criteriu impus pentru sistemul considerat.

Întocmirea modelelor matematice ale sistemelor include următoarele etape :

– formularea problemei;

– stabilirea variabilelor și parametrilor implicați;

– construirea modelului matematic al sistemului prin transpunerea problemei în limbaj matematic;

– stabilirea algoritmului de rezolvare a modelului matematic, adică de rezolvare a ecuațiilor modelului. Metodele de rezolvare pot fi analitice sau numerice;

– rezolvarea problemei;

– verificarea experimentală a modelului prin compararea predicțiilor cu observațiile sau datele disponibile și îmbunătățirea modelului și a metodelor de rezolvare;

– deducerea concluziilor pe baza modelului și testarea concluziilor în comparație cu datele anterioare sau cu datele suplimentare care pot fi colectate.

Metoda elementului finit ca aparat matematic aplicat modelului fizic

În urma dezvoltării tehnicii de calcul și a mijloacelor de calcul a structurilor, pentru modelarea matematică a structurilor a fost dezvoltată metoda elementului finit, consacrându-se ca o metodă generală și eficientă a calculului oricărui câmp de tensiuni sau deplasări.

Prin aceasta metodă se pot modela structuri indiferent de cât de simple sau complexe sunt, indiferent de geometrie, condiții de rezemare, materialele din care sunt compuse ș.a.m.d. Pentru reducerea complexității acestor modele, există diferite mijloace precum folosirea substructurilor sau reducerea sistemelor spațiale la sisteme plane cu scopul final de a micșora timpul necesar calculului.

Esența analizei structurale prin elemente finite o constituie înlocuirea corpului deformabil printr-un sistem de subregiuni numite elemente finite și care, de fapt, sunt părți componente ale acelui corp. Se poate deci vorbi de un sistem de elemente finite ce înlocuiesc structura reală.

Un element este deci o regiune bine definită a corpului, dar nu numai atât. Este necesar ca proprietățile elementului să fie formulate astfel încât acesta să îndeplinească restricțiile impuse de comportarea întregului din care face parte. Formularea corectă a acestor proprietăți se face prin intermediul metodelor matriceale.

Formularea poprietăților elementelor finite, ca parte a unui întreg, constituie punctul de plecare în rezolvarea problemei și se bazează pe cunoașterea precisă a caracteristicilor geometrice și mecanice ale fiecărui element în parte și pe evaluarea separat pentru fiecare element, a forțelor nodale. În componența forțelor nodale intră două tipuri de forțe: forțe concentrate preluate de către noduri și transmise elementului și forțe transmise în noduri de către elementul însuși. Acestea din urmă sunt cauzate de sarcinile distribuite de-a lungul elementului și de solicitările datorate temperaturii, inexactităților de montaj etc.

Deformațiile de pe domeniul elementelor finite sunt aproximate prin combinații liniare ale deplasărilor nodale. Deplasările nodale pentru întreaga structură formează vectorul global al necunoscutelor, X. Sistemul de ecuații de echilibru pentru întreg sistemul se poate scrie în următoarea formă:

unde: – F(t) – vectorul forțelor exterioare;

– X – vectorul deplasărilor;

– K – matricea de rigiditate;

– – vectorul vitezelor;

– C – matricea disipativă (matricea de amortizare);

– – vectorul accelerațiilor;

– M – matricea inerțială (matricea maselor).

Metoda elementului finit are în vedere aproximarea cu ajutorul discretizării elementelor a:

– câmpului de deplasări:

– câmpului de deformații:

– câmpului de tensiuni:

Aspectele principale ale metodei elementului finit sunt:

– alegerea formei elementelor finite și definirea proprietăților lor;

– discretizarea structurii și determinarea numărului total de noduri și de elemente finite rezultate în urma discretizării;

– stabilirea necunoscutelor din nodurile structurii;

– stabilirea relațiilor matematice necesare calculului acestor necunoscute;

– impunerea condițiilor de identificare a structurii cu modelul finit rezultat în urma operației de discretizare.

După cum se poate observa, atât modelul fizic, cât și cel matematic beneficiază de metoda elementului finit.

Modelul de calcul al unei structuri reale

Descrierea structurii reale

Exemplul prezentat constă în modelul de calcul al unei clădiri de birouri (2S+P+3-8-10E) localizată în București, Sector 3, Str.Vulturilor, Nr. 98.

Terenul are o formă aproape trapezoidală, cu o deschidere de 30m la stradă. Clădirea este descrisă pe direcție verticală de două subsoluri, parter și zece etaje cu următoarele înălțimi: 2.70m pentru fiecare subsol, 4.05m pentru parter și 3.40m pentru fiecare etaj. Din cauza normelor urbanistice construcția are două retrageri: una la etajul 3 și cealaltă la etajul 8.

Fig. 2.6: Modelul fizic al structurii imobilului – Graitec Effel

Pe direcție longitudinală structura are 5 travei la bază și 3 travei la ultimul etaj. Pe direcție transversală structura are 5 deschideri. Aceasta ocupă aproape 84% din terenul aferent, având următoarele suprafețe: Subsoluri -710mp, Parter, Etaje 1,2 – 565mp, Etaje 3-8 – 405mp și Etaje 9-10 – 255mp.

Fundația este realizată dintr-un radier de beton armat de 1.20m grosime. Excavația generală este realizată sub protecția unor piloți de beton armat pe marginile din nord și vest.

Infrastructura este compusă din cadre și pereți din beton armat dispuși pe ambele direcții. Subsolurile sunt extinse până la limita piloților sau a terenului și prezintă pereți de închidere de 40cm pe toate laturile. Funcția primară a celor două subsoluri este de parcaj subteran iar în al doilea subsol există un adăpost A.L.A.

Suprastructura este formată din cadre și pereți de beton armat pe ambele direcții. Pereții structurali au 40cm grosime. Stâlpii sunt circulari având diametrul de 50 sau 80cm. Grinzile au baza de 35cm și înălțimea de 55cm. Planșeele sunt din beton armat și au grosimea de 15cm

Din punct de vedere seismic, structura este încadrată în clasa de importanță III, zona seismică cu ag=0.24g și Tc=1.6s, în conformitate cu P100-1/2006.

Din cauza condițiilor funcționale s-au ales dimensiuni minime petru secțiunile sistemului structural. Astfel, s-a optat pentru beton armat de clasă C30/37.

Descrierea modelului de calcul

Calculul dinamic al structurii s-a efectuat în două programe specializate: GRAITEC EFFEL 14.1E și ETABS 9.0.7.

Modelul fizic este format, conform metodei elementului finit, din elemente unidimensionale (stâlpi, grinzi) și elemente bidimensionale (plăci, pereți). După cum se observă în Fig. 2.7 și Fig. 2.8 elementele au fost discretizate.

În cele două programe de calcul amintite mai sus, discretizarea modelului se poate efectua automat după anumiți parametri (de obicei se pot alege dimensiunile maxime ale elementului sau aria maximă a acestuia).

Încărcarea utilă considerată, conform temei de proiectare (destinația clădirii – birouri), este de 200kg/mp în încăperi, 300kg/mp în holuri și pe scări și 500kg/mp pentru garaje, iar încărcarea permanentă (șapă + finisaj) este de 150kg/mp.

Fig. 2.7: Modelul fizic al structurii (S2, S1, P-E2) – Graitec Effel

Fig. 2.8: Modelul fizic al structurii (E3-E8, E9-E10) – Graitec Effel

Ținând cont de caracteristicile structurale și de importanța clădirii, pentru proiectarea curentă acesteia poate fi folosită una din următoarele metode:

– metoda static – echivalentă (pentru clădiri regulate în plan și pe verticală, cu înălțime maximă 30m și perioada proprie de vibrație T1< 1.50s);

– analiza modală folosind spectre de răspuns, aplicabilă pentru orice tip de clădire.

Folosind cea de-a doua variantă, în cele două programe s-a efectuat calculul structural al clădirii. S-au analizat diferențele dintre metodele de rezolvare ale programelor pe baza valorilor perioadelor proprii, deplasărilor și a eforturilor. Dintre acestea sunt prezentate diferențele dintre perioadele proprii și dintre deplasările pe direcția X la starea limită ultimă în cazul peretelui din ax A/8.

Fig. 2.9: Comparație perioade de vibrație

Fig. 2.10: Comparație deplasări relative

Concluzii

Din studiul comparativ al celor două modele se pot observa mici diferențe atât în comportarea lor cât și în răspunsul dinamic al acestora.

Aceste diferențe provin din simplificările aduse modelului de calcul de către cele două aplicații sau din erorile algoritmilor de calcul folosiți:

elementele structurale au fost discretizate automat având ca parametru de discretizare o dimensiune maximă, astfel încât câteva din elementele finite din cadrul plăcilor și a pereților au formă diferită în cele două programe; acest aspect nu modifică eforturile pe ansamblu în plăci și pereți, dar apar diferențe la analiza în detaliu a acestor elemente;

prima diferență de modelare în cele două programe se referă la tipul elementelor finite ce compun pereții structurali; ETABS-ul modelează pereții ca plăci de tip SHELL, iar EFFEL-ul folosește modelul stâlp și grinzi infinit rigide pentru aceleași elemente;

a doua diferență în modelul de calcul al celor două programe se referă la plăcile de nivel ale clădirilor; în acest caz ETABS-ul folosește plăci de tip MEMBRANE sau SHELL, iar EFFEL-ul folosește un model îmbunătățit de tip PLATE.

La introducerea modelului structural în programele de specialitate pentru calculul și dimensionarea structurilor, ar trebui acordată o atenție sporită asupra caracteristicilor de calcul ale acestora cât și asupra simplificărilor introduse în modelare și în calcul.

UTILIZAREA SPECTRELOR FOURIER ÎN ANALIZA MIȘCĂRILOR SEISMICE

Din Transformata Fourier, în special sub forma transformatei Fourier rapide (Fast Fourier Transform – FFT) este cel mai răspândit instrument de analiză a funcțiilor armonice complexe.

Analiza unidimensională folosește FFT după următorul algoritm: accelerograma la nivelul rocii de bază este descompusă în câmp de frecvențe care se transmit de la un strat elementar la celălalt prin intermediul unor funcții de transfer. La nivelul suprafeței terenului accelerograma se recompune.

Definiția transformatei Fourier

În matematică, transformata Fourier (de obicei abreviată cu TF) este o operație ce transformă o funcție complexă cu o variabilă reală, într-o altă funcție complexă. În aplicații precum procesarea semnalelor, domeniul funcției originale este în general cel al timpului și astfel este numit “domeniul timpului”. Domeniul funcției noi este in general domeniul frecvențelor, iar noua funcție însăși este reprezentarea în domeniul frecvențelor a funcției originale. Astfel se pot arăta frecvențele prezente în funcția originală. Acest process este analog cu a arăta pentru o coardă, în domeniul muzicii, ce note trebuiesc cântate. De fapt, transformata Fourier descompune o funcție în funcții oscilatorii. Expresia “Transformare Fourier” se referă atât la reprezentarea în domeniul frecvențelor a unei funcții, cât și la procedeul (formula) ce transformă o funcție într-o alta.

Transformata Fourier și generalizările acesteia constituie subiectul analizei Fourier. În acest caz, atât domeniul timpului cât și cel al frecvențelor sunt continui, lineare și nemărginite. Astfel este posibil să definim transformata Fourier a unei funcții cu n variabile, cu importanță în studiul mișcării undelor sau în domeniul opticii. De asemenea putem generaliza transformata Fourier pe structuri discrete, precum grupuri finite.

Există mai multe moduri de a defini transformata Fourier a unei funcții integrabile, . Se vor folosi următoarele relații ce pot descrie transformata Fourier și inversa transformării Fourier:

Motivul existenței transformării Fourier vine din studiul seriilor Fourier. Pe parcursul studiului seriilor Fourier, se poate observa că funcții periodice complexe sunt scrise ca sumă de unde simple, matematic reprezentate de sinus și cosinus Datorită proprietăților acestor funcții elementare, este posibil să se reconstruiască unda inițială printr-o însumare sau integrare.

În multe cazuri este de dorit a se folosi formula lui Euler:

pentru a scrie o serie Fourier cu termeni reprezentând unde simple

Această scriere are avantajul de a simplifica o mare parte dintre formulele implicate precum și de a oferi o formulare pentru seriile Fourier ce se apropie mai mult de definiția pe care a urmat-o această lucrare. Trecerea de la sinus și cosinus la valori exponențiale complexe, implică necesitatea ca toți coeficienții Fourier să fie de tip complex. Interpretarea uzuală a unui număr complex este aceea că îți oferă atât amplitudinea (sau mărimea) undei precum și faza (sau unghiul inițial) al acesteia. Această trecere introduce de asemenea și nevoia de frecvențe negative. Dacă θ este măsurat în secunde, atunci undele e2πiθ și e−2πiθ ar completa un ciclu pe secundă, dar totuși reprezintă frecvențe diferite în transformata Fourier.Prin urmare, frecvența nu se mai măsoară în numărul de cicluri pe unitate de timp, dar este strâns legată de aceasta.

Proprietăți

Proprietăți derivate:

Liniaritate

Proprietatea de schimbare a variabilei “timp”

Unde

Proprietatea de schimbare a variabilei “frecvență”

Proprietatea de modulare

În mod similar,

Proprietatea de scalare a variabilei “timp”

Cazul (i) Când , avem:

Cazul (ii) Când , noua variabilă s=αt își schimbă semnul. Astfel , când , . S-a luat în considerare și schimbarea de semn survenită la limitele de integrare superioară și inferioară pentru derivarea de mai jos.

Combinând cele 2 cazuri, rezultă:

Proprietatea de simplificare a funcției

Aceasta este rezultatul proprietății de scalare a variabilei “timp”: Introducând α = -1 în formula de scalare de mai sus, vom obține imediat proprietatea de simplificarea funcției.

Transformarea unei transformări

Transformarea derivatei

Derivarea transformatei

Următoarele relații reprezintă inversa și transformata Fourier care sunt obținute prin alegerea a două funcții de numere complexe periodice x(n) și X(k) având perioada N:

Transformarea are proprietăți liniare. Funcția , cu α și β scalari, este o pereche Fourier cu funcția

O translație a funcției x(n) produce o schimbare de fază pentru X(k) precum și o rotație a unghiului 2πmk/N:

Există o simetrie în exprimarea transformării Fourier pentru funcția x(n) când este real: numerele X(k) și X(N-k) sunt complexe conjugate:

Dacă funcția x(n) este reală și pară, atunci secvența X(k) este deasemenea reală și pară.

Pentru N=2P+1 rezultă:

Dacă funcția x(n) este reală și impară atunci X(k) este pur imaginară.

Iar, pentru N=2P=1 rezultă:

În acest caz și .

Orice semnal real poate fi descompus într-o sumă de două semnale, unul par și unul impar, în aceasta constând importanța acestei proprietăți.

Transformarea unui produs compus conduce catre produsul unei transformări Fourier. Dacă x(n) și h(n) sunt două funcții având aceeași perioadă N, produsul compus este prin definiție:

Transformarea este prin definiție:

Relația lui Parseval stipulează că puterea unui semnal este suma puterii componentelor, după cum urmează:

Astfel transformata Fourier are o importanță crucială în procesarea numerică a semnalelor.

Transformata Fourier Rapidă

Transformata Fourier furnizează o relație între două seturi de numere complexe.

Pentru o matrice convenabilă, se face următoarea notație:

care conduce la:

Puterile lui W sunt toate modul unic și sunt rădăcini de ordinul n. Transformata inversă Fourier este obținută prin scoaterea coeficientului 1/N și prin schimbarea puterilor Wn în W-n.

Matricea din expresia de mai sus are o structură specială. Ea este simetrică dupa diagonala principală. Această particularitate este folosită pentru a mări viteza calculului transformatei Fourier. Un caz special este reprezentat de funcțiile cu perioadă N, când N este o putere de 2. Prin împărțirea funcției x(n) sau X(k) în subfuncții interpolate, una cu indici pari și cealaltă cu indici impair, obținem:

Folosind notația TN/2 pentru matricea ce se înmulțește cu vectorul componentelor cu indici pari din funcția x(n), cealaltă matrice ce se înmultește cu vectorul componentelor cu indici impair poate fi descompusă în factori conform relației de mai jos:

Conform cu relația , componentele lui X(k) pot fi calculate astfel:

Diferența în calculul celor două jumătăți ale vectorului X(k) este dată doar de schimbarea de semn a celui de-al doilea termen al expresiei. Astfel, calculul unei transformate Fourier de ordinul N este redus la calculul a două funcții transformate de ordin N/2 la care se adaugă N/2 înmulțiri de numere complexe. Următoarea schemă este reprezentativă pentru acest tip de calcul.

Pentru evaluarea pas cu pas cu, se obține o transformare de ordinal 2 care are următoarea matrice:

Fig. 3.1: Pas de calcul pentru transformata Fourier de ordinul 2

La fiecare pas sunt necesare N/2 multiplicări ale numerelor complexe astfel că întreaga transformare necesită înmulțiri și însumări de numere complexe. În mod simplificat, numărul de înmulțiri poate fi redus mai mult, date fiind proprietățile puterilor numerelor W. De exemplu, și , deci 3 înmulțiri pot fi stocate în prima etapă a calculului, 3N/8 pot fi eliminate în penultimul pas și 2N/4 în cel final. Astfel se ajunge la 5N/4-3 și minimul de înmulțiri este . În schimb, implementările software/hardware nu sunt atât de ușor de făcut.

Matricea pentru o transformare de ordinul 4 ar arăta astfel:

Diagrama de calcul pentru această situație este dată mai jos:

Fig. 3.2: Diagrama de calcul pentru transformata rapidă Fourier de ordinul 4

Datorită formei sale, acest tip de diagramă este denumită “Fluture”.

Este o regulă generală ca indicii pentru transformata X (k) să fie tratați în ordinea lor naturală și cei pentru funcția transformată într-o ordine permutată. Permutarea este produsă prin intercalații successive și rezultatul ei coincide cu inversarea ordinii biților în reprezetare binară a indicelui funcției. Pentru N = 8, de exemplu, avem următoarea schemă:

Fig. 3.3: Schemă grafică a calculului unei transformate rapide Fourier de ordin 8

Pe ramuri, cu săgeți, sunt plasate ca puteri parte din valoarea complexă W, definită anterior.

Metoda de calcul se regăsește în literatură sub numele impropriu de decimare în timp. Se notează că memoria necesară pentru calculul transformării unei funcții de lungime N este acela pentru N numere complexe. Calculul se desfășoară cu perechi de variabile conform schemei “Fluture” și rezultatele sunt menținute în pozițiile din schemă până la sfârșit.Transformarea inversă este obținută prin schimbarea semnului exponenților lui W. În mod similar, există o decimare și în frecvență. Schema “Fluture” este aceeași, cu mențiunea că ordinea intercalării este inversată. Interpolările de 4 la 4 sunt în partea din dreapta a diagramei, pe când cele simple se regăsesc în stânga.

Transformata Rapidă Fourier cu decimare în frecvență

Vectorul de elemente X(k) poate fi despărțit în două părți interpolate, una cu indici pari și una cu indici impari. Pentru prima parte cu indici pari, cu presupunearea că , se obține:

pentru cealaltă parte, cu indici impari, avem:

folosind notația TN/2 pentru matricea utilizată în relația pentru partea cu indici pari.

Decimarea în frecvență conduce la același volum de calcul ca și în cazul interpolării în timp. Numerele x(n) apar în ordinea naturală. Numerele X(k) sunt cele ce apar de această dată permutate după regula de inversare a biților în expresia binară a indicilor. Algoritmul prezentat, ca și cel anterior, este bazat pe descompunerea transformării în transformări elementare de ordinul 2 care nu necesită înmulțiri reciproce. Acești algoritmi sunt denumiți algoritmi de a doua rădăcină (radix-2). Alte transformări elementare pot fi folosite, de exemplu de a patra rădăcină, care utilizează matricea T4, pentru N fiind o putere de 4.

Fig. 3.4: Transformata Rapidă Fourier de ordinul 8 prin decimarea în frecvență

Densități spectrale

Densitatea spectrală de energie (D.S.E.)

Densitatea spectrală de energie descrie distribuția energiei unui semnal în raport cu frecvența. Dacă f(t) este un semnal de energie finită, densitatea spectrală Φ(ω) a unui semnal este pătratul mărimii transformatei continue Fourier a acelui semnal:

unde ω este frecvența unghiulară (ω = 2π ν), iar F(ω) este transformata continuă Fourier a lui f(t), iar F*(ω) conjugata complexă a acestuia.

Dacă semnalul este discret, cu valori fn, pe un număr infinit de valori, avem în continuare densitate spectrală de energie:

unde F(ω) este transformata discretă Fourier a lui fn.

Densitățile spectrale continue și discrete sunt de cele mai multe ori notate cu aceleași simboluri, cum este cazul mai sus, deși dimensiunile și unitățile lor de măsură diferă. Ele pot fi ajustate pentru a avea aceleași dimensiuni și unități de măsură prin măsurarea timpului în unități de interval sau prin scalarea cazului discret la unitatea de timp necesară.

Factorul multiplicativ nu este absolut. El depinde de constantele particulare de normalizare folosite în definiția transformatelor Fourier.

Densitatea spectrală de putere (D.S.P.)

Definițiile de mai sus ale densității spectrale de energie necesită ca transformatele Fourier ale semnalelor să existe, adică semnalele să fie integrabile. O alternativă mult mai folosită este Densitatea Spectrală de Putere (D.S.P.) care descrie distribuția puterii unui semnal în raport cu frecvența.

Spectrul de Putere G(f) este definit ca:

cu R(τ) funcția de autocorelare a semnalului.

Densitatea spectrală a lui f(t) și autocorelarea lui f(t) formează o pereche de transformări Fourier (pentru D.S.E. și D.S.P. se folosesc definiții diferite ale funcției de autocorelare).

Analiza spectrală a acțiunii seismice

Ca dată de intrare în analiza efectuată a fost utilizată accelerograma cutremurului din 4 martie 1977 cu componenta sa maximă (direcția N-S).

Fig. 3.5: Accelerograma seismului din 4 martie 1977 – amax = 1.945 m/s2

Fig. 3.6: Hodograma seismului din 4 martie 1977 – vmax = 0.70 m/s

Fig. 3.7: Seimograma seismului din 4 martie 1977 – dmax = 0.898 m

Pentru prelucrarea spectrelor Fourier s-au folosit aplicațiile informatice SeismoSignal și MathCAD.

SeismoSignal este o modalitate ușoară și eficientă de a procesa date din mișcări seismice. Acest program este capabil să calculeze anumiți parametri seismici necesari inginerilor proiectanți de structuri în zone seismice. Din mulțimea parametrilor seismici calculați de acest program aici vor fi selectați doar cei ce fac obiectul studiului, adică Spectrul Fourier și Densitatea Spectrală de Putere.

Aplicația MathCAD este un produs al companiei PTC specializat în rezolvarea, verificarea, documentarea calculelor matematice. Printre numeroasele funcții ale programului se află și modulul de calcul simbolic. Calculul spectrelor Fourier este inclus în acest modul.

Am preferat să folosesc din MathCAD funcțiile implementate direct pentru un control mai bun asupra rezultatelor. Funcțiile disponibile pentru calculul spectrelor Fourier sunt următoarele:

– cfft(v) – produce Transformata Discretă Fourier a unui vector v cu n elemente, calculată folosind metoda Singleton, normalizat cu

– CFFT(v) – produce Transformata Discretă Fourier a vectorului v în mod echivalent cu fft(v); diferența constă în normalizarea spectrului cu și folosirea unui exponent negativ.

Algoritmul de calcul este următorul:

– se definește vectorul v, constând, în cazul acesta, în valorile accelerațiilor la un interval fix de timp între ele;

– se definește variabila N0, numărul de elemente ale vectorului sau lungimea vectorului v, ;

– se definește p, o variabilă cu care se va accesa fiecare element al transformatei Fourier, ;

– se definesc Amplitudinile Fourier în funcție de normalizarea necesară, sau ;

– se extrage graficul (Spectrul Fourier); frecvența va fi dată de , unde fs este intervalul de timp dintre citirile pe accelerogramă;

– pentru densitatea spectrală de putere se ridică la pătrat amplitudinea Fourier, iar frecvența se va păstra aceeași.

Se vor arăta mai departe rezultatele calculului în cele două programe, în termeni de Spectre Fourier (S.F.) și Densitate Spectrală de Putere (D.S.P.)

Fig. 3.8: Comparație între Spectrele Fourier

Fig. 3.9: Comparație între Densitățile Spectrale de Putere

Concluzii

De la început se pot observa mici neconcordanțe între spectrele Fourier calculate în MathCAD și cele calculate cu SeismoSignal. Aceste diferențe pot proveni din:

– Algoritmul de calcul al transformatei Fourier (există mai mulți algoritmi de calcul rapid – Cooley-Tukey, Bruun, Rader, Bluestein, Split-radix, Prime-factor ș.a.).

– Existența zgomotului (o amplitudine a spectrului Fourier mai mult sau mai puțin constantă la anumite frecvențe (joase sau înalte) este de obicei un semn că există zgomote de frecvență joasă sau înaltă).

SeismoSignal folosește algoritmul Bruun, iar MathCAD folosește algoritmul Singleton, deci micile diferențe din cauza algoritmului erau anticipabile.

Corectarea zgomotului este necesară și se poate face cu ajutorul unor filtre de bandă pasantă, spre exemplu, Seismo Signal are implementate mai multe tipuri de filtre (Butterworth, Cebyshev, Bessel) și opțiunea de high-pass, low-pass, band-pass sau band-stop), dar această corectare este complicată în MathCAD.

Ca o ultimă concluzie trebuie spus că în anumite cazuri graficele densității spectrale de putere pot oferi mai multe informații decât spectrele Fourier. Densitatea spectrală de putere, fiind pătratul spectrelor Fourier (pentru valori reale) mărește amplitudinile mari și scade amplitudinile mici, crescând diferențele, deci ajutând la observarea lor.

ANALIZA DINAMICĂ ÎN PROGRAMELE DE ELEMENT FINIT

Integrarea directă a sistemului de ecuații diferențiale ale mișcării

În implementarea numerică a dinamicii, formularea integrării sitemului de ecuații diferențiale ale mișcării constituie un factor important pentru stabilitatea și acuratețea procesului de calcul.

În integrarea directă a sistemului de ecuații diferențiale, acesta se rezolvă fără a fi transformat în alte forme. Timpul în care se analizează răspunsul dinamic se divide în pași de timp, de unde și numele de metode de integrare pas-cu-pas (step-by-step).

Răspunsul dinamic la un moment dat se bazează pe datele din pașii precedenți.

Unele metode sunt stabile pentru orice mărime a pasului de timp. Acestea se numesc necondiționat stabile. Dacă stabilitatea metodei depinde de mărimea pasului de timp, atunci metoda este condiționat stabilă.

Chiar dacă un procedeu este stabil, se pune problema exactității rezolvării, rezultând necesitatea îndesirii pașilor de timp. De aici se ridică problema cumulării erorilor în decursul procesului recursiv. Acesta este un dezavantaj față de metoda superpoziției modale, în care răspunsul dinamic este conținut în puține moduri proprii de vibrație.

Avantajul metodelor de integrare directă este că se aplică sistemelor dinamice structurale cu comportare neliniară.

Metodele în care răspunsul la un moment dat se găsește pe baza răspunsului dintr-un singur pas precedent se numesc metode uni-pas.

Metodele în care răspunsul la un moment dat se determină pe baza răspunsurilor din mai mulți pași precedenți se numesc metode multi-pas. Metodele multi-pas necesită procedee speciale de pornire a procesului recursiv.

Metodele de integrare directă sunt explicite dacă matricea coeficienților necunoscutelor dintr-un pas este o matrice a maselor modificată. Dacă matricea coeficienților necunoscutelor dintr-un pas este matricea rigidităților modificată, atunci metodele sunt numite implicite.

Avantajul metodelor de integrare explicite este că acestea sunt relativ simplu formulate. Totuși, dezavantajul este că procesul de calcul nu este destul de robust și impune limitări asupra pasului de timp. Metodele implicite sunt mai complicate, dar produc un proces de calcul mai stabil și de obicei o soluție mai precisă.

Tabel .

Metoda θ-Wilson

Metoda θ-Wilson este o metodă implicită, adică matricea coeficienților necunoscutelor este o matrice de rigiditate modificată, este unipas, deci nu are nevoie de un procedeu de pornire a integrării directe și stabilitatea este necondiționată pentru θ1.37. De obicei se alege θ=1.40.

Metoda se bazează pe ipoteza accelerației liniare și echilibrul dinamic pentru intervalul (t,t+h) se exprimă la momentul t+θh.

Accelerația va avea forma următoare:

unde este constantă, iar este accelerația inițială.

Integrând, se obține viteza:

unde este viteza inițială.

Integrând încă o dată, se obține deplasarea:

unde este deplasarea inițială.

Fig. .: Schema metodei θ-Wilson

Metoda Newmark

Metoda Newmark este o metodă implicită de integrare foarte folosită în programele de element finit. Cu această metodă, deplasarea și viteza la un moment de timp t+h sunt exprimate după cu urmează:

unde h este pasul de timp, iar coeficienții α și β determină acuratețea integrării numerice.

Pentru a obține o soluție stabilă, trebuie aplicate următoarele condiții:

Valorile utilizate în mod obișnuit (metoda accelerației medii) sunt α=0.25 și β=0.50.

Elemente finite și elemente infinite

Stările de eforturi analizate adesea întâlnesc dificultăți în domeniile nemărginite sau în cazurile în care zona de interes este mică în comparație cu mediul înconjurător. Mediul nelimitat sau infinit poate fi aproximat prin extinderea rețelei de element finit la o distanță mare, unde influența mediului înconjurător pe regiunea de interes este considerată îndeajuns de mică astfel încât este neglijată. Această aproximare făcută pentru experimentarea cu rețele de element finit mici și condiții de margine presupuse la marginile secționate ale rețelei nu este întotdeauna sigură. Este o particularitate a analizei dinamice, când marginea rețelei poate reflecta energia înapoi în regiunea modelată.

O aproximare mai bună se face prin folosirea „elementelor infinite”, elemente definite peste domeniile semi – infinite cu alegerea corespunzătoare a funcțiilor de amortizare. Elementele sunt folosite în legătură cu elementele finite standard, care modelează suprafața în jurul regiunii de interes și cu elementele infinite care modelează câmpul regiunii îndepărtate .

Răspunsul dinamic al elementelor infinite

Răspunsul dinamic al elementelor infinite este bazat pe considerarea undelor de volum plane traversând ortogonal marginile. Se admite că răspunsul adiacent marginii este al unei amplitudini destul de mici astfel încât mediul răspunde într-un mod liniar elastic.

Ecuația de echilibru este:

Unde:

= densitatea materialului

= accelerația particulei materiale

= efortul și x este poziția

Se admite că materialul este izotrop, liniar elastic și poate fi scris astfel:

unde:

= deformația

și

sunt constantele lui Lame ( E este modului lui Young și este coeficientul lui Poisson).

Introducând acest răspuns material în ecuația de echilibru și admițând eforturi mici:

rezultă ecuația de control pentru mișcare:

Se consideră undele plane propagându-se în lungul axei x. Două soluții de undă de volum există pentru această formă a ecuației. Se descriu undele longitudinale, plane (,,push”), care au forma:

Unde prin înlocuire în ecuația de deasupra se află viteza undelor, ca fiind:

Altă rezolvare a acestei forme este soluția undei de forfecare

Unde, din nou prin înlocuirea în ecuația de control se obține:

În fiecare caz soluția f(x-vt) reprezintă mișcarea undelor în direcția creșterii lui x, în timp ce f(x+vt) reprezintă mișcarea undelor în direcția descreșterii lui x.

Acum considerăm o limită la x = L a mediului modelat cu elemente finite în x<L. Se introduce amortizarea distribuită pe aceasta limită, după cum urmează:

unde se vor alege acum constantele de amortizare dp și ds pentru a evita reflexia energiei undelor longitudinale și transversale înapoi în mediul analizat cu x<L. Undele longitudinale, aproximând marginea au forma: . Dacă ele sunt reflectate într-o anumită măsură ca și unde longitudinale, de suprafață reflexia lor se va propaga departe de margine într-o formă: .

Din momentul în care problema este liniară, din suprapunerea efectelor rezultă deplasarea totală , cu eforturile corespunzătoare iar toate celelalte cu și viteza . Pentru ca această soluție să satisfacă comportarea amortizării introdusă pe margine la x = L necesită:

Se poate, din acest motiv, asigura că (astfel încât ) pentru oricare prin alegerea:

Aplicând un argument similar pentru unde similare rezultă:

Aceste valori ale amortizării de la margine sunt implementate în elementele finite. Din discuția anterioară vedem că ele transmit exact toate undele de volum de suprafață (date încât comportarea materialului apropiat de margine este liniar elastică). În general problemele implică unde de volum de adâncime care nu vin în contact cu marginea pe o direcție ortogonală și poate de asemenea să implice unde de suprafață Rayleigh și unde Love. Cu toate acestea aceste margini lucrează foarte bine chiar pentru cazuri generale, aranjate astfel încât direcția dominantă a propagării undei este ortogonală pe margine sau, la suprafețe libere si interfețe unde undele Rayleigh sau Love sunt ortogonale la suprafață.

În timpul analizei răspunsului dinamic urmărind încărcarea statică (cum este obișnuit în aplicațiile geotehnice), tracțiunea produsă de elementele infinite la marginea rețelei elementelor finite constă în efortul constant obținut din răspunsul static cu frontiera considerată „quiet boundary” (amortizarea completă a tuturor oscilațiilor).

Deci, elementele infinite prezintă următoarele caracteristici:

– sunt folosite pentru valorile de margine definite în domenii nemărginite sau în cazul în care regiunea de interes este mică ca mărime în comparație cu mediul înconjurător

– sunt folosite de obicei în legătură cu elemente finite

– pot avea doar comportare liniară

– furnizează rigiditatea în analiza statică a solidului continuu

– furnizează amortizări la marginile modelului în analiza dinamică

Definirea nodurilor pentru elementele finite ale mediului solid

Numărul nodurilor pentru elementele infinite trebuie să fie definit astfel încât prima față să fie conectată la elementul finit component al rețelei. Acestea sunt nodurile plasate departe de rețeaua elementului finit într-o direcție infinită. Locația acestor noduri nu este semnificativ pentru analiza explicită. [64] [65]

Principiile formulării elementelor mediului solid pentru analiza statică este aceea că soluția câmpului îndepărtat în lungul fiecărei margini de element care tinde la infinit este concentrată în jurul unei origini numită pol. De exemplu, pentru o încărcare punctuală aplicată la marginea semi – spațiului are polul la punctul aplicării încărcării. Este important să se aleagă poziția nodurilor în direcția infinit apropiată polului. Nodul secundar în lungul fiecărei margini în direcția infinită trebuie să fie poziționat astfel încât să fie de două ori mai departe de pol ca și nodul de pe aceeași margine dintre elementele finite și infinite. Trei exemple sunt date în , și . În plus la această considerare a lungimii, utilizatorul trebuie sa specifice nodurile secundare în direcția infinită astfel încât marginile elementului în direcția infinită să nu treacă peste, care ar da caroiaje diferite (). Se pot folosi generatoare de elemente infinite pornind de la un pol central. Se folosesc pozițiile polului și nodurilor de pe marginea dintre elementele finite și cele infinite. [64] [65]

Fig. .:Încărcarea punctuală pe semispațiul elastic

Fig. .:Fundație continuă pe stratul de pământ extins la infinit

Fig. .:Problemă biaxial simetrică

Fig. .:Exemplu de elemente infinite bidimensionale modelate corect și incorect

Definirea nodurilor pentru elemente infinite acustice

Nodurile elementelor infinite acustice necesită să fie definite doar pentru fața care este conectată la elementul finit care face parte din rețea. Nodurile adiționale sunt generate intern în direcția „razei nodului” (Fig. 4.6). Razele nodului, care sunt specificate mai devreme în această secțiune în contextul definirii punctului de referință, definesc aspectele elementelor infinite acustice. [64] [65]

Utilizarea elementelor infinite ale mediului solid în analiza eforturilor plane

În analiza eforturilor plane când încărcarea nu este auto-echilibrată, deplasările tipice câmpului îndepărtat au forma , unde r este distanța de la origine. Această formă implică faptul că deplasarea este aproximată infinit ca . Elementele infinite nu furnizează o soluție unică de deplasare pentru fiecare dintre cazuri. Experimentele arată că, deși, ele pot încă fi folosite, rezultatele deplasării sunt considerate ca având o valoare de referință arbitrară. Astfel, încărcările, eforturile și deplasările relative fără element finit componentă a modelului vor converge la valori unice după cum modelul este de exact, deplasările totale vor depinde de mărimea regiunii modelate cu elemente finite. Dacă încărcarea este auto-echilibrată, deplasările totale vor converge, de asemenea la o soluție unică. [64] [65]

Fig. .: Laturi radiate dintr-un nod de convergență

Utilizarea elementelor infinite ale mediului solid în analiza dinamică

În integrarea directă implicit analiza răspunsului dinamic, soluția directă în regim dinamic, analiza domeniului frecvențelor și analiza dinamică explicită, elementele infinite dau „îndulciri” marginilor la modelul elementului finit. De asemenea mențin forța statică care a fost prezentă la începutul analizei răspunsului dinamic pe această margine, ca o consecință, nodurile câmpului îndepărtat în elementele infinite nu se vor mișca în timpul răspunsului dinamic. [64] [65]

În timpul pașilor dinamici elementele infinite introduc tracțiunile adiționale normale și transversale pe marginea elementului finit care sunt proporționale cu componentele normale și transversale ale vitezei marginii. Aceste constante de amortizare a marginii sunt alese să minimizeze reflexia energiei undelor adiționale normale și transversale înapoi în rețeaua de element finit. Această formulare nu furnizează perfect transmiterea energiei în afara rețelei, cu excepția când ortogonalitatea undelor pane de volum pe margine este un mediu izotrop. Oricum, de obicei furnizează o modelare acceptabilă pentru majoritatea cazurilor practice. În timpul analizei răspunsului dinamic elementele infinite mențin încărcarea statică constantă pe margine dar nu dau și rigiditatea. Pentru aceasta, anumite mișcări rigide ale regiunii modelate vor exista în general, acest efect fiind de obicei mic. [64] [65]

Optimizarea transmiterii energiei în afara rețelei de element finit

Pentru cazurile dinamice abilitatea elementelor infinite de a transmite energie în afara rețelei de element finit, fără captarea sau reflectarea ei, este optimizată prin alegerea marginii dintre elementele finite și cele infinite cât mai aproape posibil să fie ortogonală pe direcția după care undele vor veni în contact cu această margine. Aproape la o suprafață liberă, unde undele Rayleigh pot fi importante sau aproape la interfața unui material, unde undele Love pot fi importante, elementele infinite sunt cele mai eficiente dacă ele sunt ortogonale pe suprafață. Undele Rayleigh și Love sunt unde de suprafață care nu se mai resimt pe măsură ce crește distanța de la suprafață. [64] [65]

Observații asupra integrării numerice a accelerogramelor în aplicațiile ce folosesc MEF

Se poate observa că atunci când se realizează un rulaj de analiză dinamică, în care se introduce accelerogramă apare o eroare la cea de-a doua integrare.

Dacă pornim de la ecuația accelerației:

unde:

a = accelerația

t = timpul

 = pulsația

 = unghiul de incidență, pe care îl considerăm 0.

cum  = 2  f

unde: f = frecvența

Ecuația devine:

Dacă integram accelerația propusă rezultă viteza:

unde:

cv = constanta de integrare

Dacă punem condiția că la t=0s, viteza v=0m/s2. Din această condiție ne rezultă constanta de integrare.

Dacă integram viteza ne rezultă deplasarea:

unde cx = constanta de integrare

Constanta de integrare cx în cazul acesta pentru t=0s, viteza v=0m/s2 este 0.

Pornind de la ecuația accelerației și integrând fără a rezolva constantele de integrare vom avea următoarele ecuații:

Reprezentând grafic ecuațiile ) pentru o frecvență de 1 Hz se obține

Figura 4.1: Reprezentarea grafică a rezultatelor obținute din integrarea accelerației cu constante nule ,

Introducând într-un program de element finit aceeași accelerație, la baza modelului, în punctul B, rezultă următorul grafic:

Figura 4.2: Variația accelerației, vitezei și deplasării în punctul B la baza modelului,

Odată puse condițiile inițiale se poate observa că accelerațiile, vitezele și deplasările revin la parametrii normali:

Figura 4.3:Variația corectă a accelerației, vitezei și deplasării ,

Din acest motiv pentru a putea realiza rulaje în două dimensiuni am folosit ca date de intrare doar deplasările, pentru a evita integrarea numerică a programului.

Calibrarea modelului

Scopul aceste calibrări a fost acela de a verifica dacă rezultatele unui model neliniar 1D clasic se potrivesc cazului modelului 2D elasto-plastic amortizat, creat cu MEF.

Pentru a studia potrivirea între cele două metode de analiză, modelul implementat în MEF prin intermediul aplicației Plaxis () a încercat să preia aceleași ipoteze care au stat la baza unui model 1D analizat cu NERA, o aplicație de procesare unidimensională a accelerogramelor pe baza unui model visco-elastic neliniar:

– lungimea modelului este foarte mare comparativă cu grosimea sa (500 m pentru o înălțime de 77m);

– problema este una de efort-deformație plană;

– condițiile pe contur –în extremitatea stângă și dreaptă sunt de tip “quiet” sau “absorbant”;

– la baza modelului condițiile sunt: reazem vertical ce simulează roca de bază, cu posibilitatea de deplasare liberă pe orizontală, iar excitația seismică se aplică tot pe această suprafață cu scopul de a simula trecerea undei de la rocă la stratele litologice superioare.

Fig. 4.7: Modelul 2D folosit pentru a compara analiza 1D în NERA ,

Primul pas în cadrul analizei este aplicarea încărcării geostatice () după care, în al doilea pas, de tip dinamic, accelerograma de la nivelul rocii de bază.

Fig. 4.8: Efortul sferic (geostatic) aplicat modelului ,

Pentru monitorizarea modificărilor accelerogramei-răspuns odată cu adâncimea, s-au pus mai multe puncte de referință, atât pe bază, cât și la suprafața terenului, precum și la interfața dintre straturi.

Fig. 4.9: Punctele de referință (de la A – suprafața terenului, la D – roca de bază) cu ajutorul cărora a fost urmărită accelerograma-răspuns. ,

Rezultatele, arătate în au demonstrat o potrivire foarte bună a răspunsurilor celor două metode. Acestea demonstrează o alterare a semnalului inițial de același ordin de mărime.

Fig. 4.10: Comparație între accelerograma originală și accelerogramele-răspuns obținute la suprafața pământului realizate cu modele în NERA și Plaxis ,

Influența discontinuităților morfologice asupra accelerogramei-răspuns

Pentru a sublinia influența morfologiei terenului asupra rezultatelor analizei seismice, s-au utilizat trei modele cu metoda MEF. Toate trei s-au considerat ca medii omogene, cu amortizare, singura diferență fiind geometria suprafeței terenului.

În primul caz a fost considerată o suprafață orizontală. În alte două cazuri, acestei suprafețe regulate i s-a adăugat sau scos o formă circulară, care să genereze imperfecțiuni terenului de tip concav sau convex, astfel generând și celelalte două modele.

Din cauza diferenței de rigiditate dintre mediul elastic și mediul exterior la nivelul interfeței superioare au loc două tipuri de fenomene: reflexie și apariție a undelor Rayleigh. Refracția nu este posibilă neexistând un mediu elastic exterior. Din cauza cele două fenomene de amintite, suprafața exterioară se comportă asemănător unei oglinzi convexe, concave sau plane.

Discontinuitatea geometrică de tip „deal” reprezintă din punct de vedere al undelor incidente mecanice provenite din semispațiul elastic o oglindă concavă, focalizându-le spre interiorul masivului de unde se pot regenera unde compatibile creându-se astfel posibilitatea unor interferențe cu efect defavorabil.

Existența unei discontinuități de tip „vale” induce două efecte principale: pe de o parte dispersarea undelor incidente prin prisma formei de oglindă convexă a suprafeței superioare și pe de altă parte efectul de izolare mecanică a marginii discontinuității opusă undelor incidente. În exemplul analizat acest al doilea fenomen nu se manifestă deoarece modelul de calcul a fost încărcat în mod uniform de la întreaga suprafață a bazei spre partea superioară. În cazul unui cutremur efectul de ecranare se produce în cazul unor astfel de discontinuități geometrice în special pentru undele Rayleigh pe direcția și în sensul propagării mișcării seismice.

Suprafața plană generează în situația unor solicitări dinamice în teren interferențe de tip bandă care nu se manifestă în modelul numeric analizat din cauza încărcării uniforme pe bază. Modelul cu suprafață plană a fost folosit în prezenta teză de doctorat doar ca valoare de referință pentru ilustrarea discontinuităților geometrice.

În toate cele trei cazuri s-au urmărit alterările induse de discontinuităților geometrice asupra frecvențelor de rezonanță ale amplasamentelor măsurate la suprafața terenului precum și a amplitudinii maxime la rezonanță a accelerației.

Descrierea modelului

Conform , , pentru a putea diferenția o analiza bidimensională față de cea unidimensională și de a pune în valoare forma pământului în momentul producerii seismului s-au ales trei modele după cum urmează:

Fig. 4.11: Modelul 1 ,

Fig. 4.12: Modelul 2

Fig. 4.13: Modelul 3 ,

Secțiunile au fost alese astfel încât distanța de la punctul A la baza secțiunii să rămână constantă.

Condițiile de margine ale modelului sunt de tip „quiet boundary” (elemente semi-infinite) pentru a se evita reverberațiile.

În partea de jos a modelului folosind programul Plaxis s-a impus o deplasare sinusoidală folosind aceiași amplitudine, modificând decât frecvența.

Fig. 4.14: Accelerația, viteza și deplasarea pentru f=0.5Hz ,

Fig. 4.15: Accelerația, viteza și deplasarea pentru f=1.0Hz ,

Fig. 4.16: Accelerația, viteza și deplasarea pentru f=1.5Hz ,

Fig. 4.17: Accelerația, viteza și deplasarea pentru f=2.0Hz ,

Rezultate

Rezultatele obținute au fost introduse într-un tabel centralizator. Din fiecare rulare în parte s-a ales maximul accelerație în punctul A, o dată găsită frecvența de rezonanță s-au mai realizat patru rulări în jurul valorii de maxim găsite.

Fig. 4.18: Rezultatele accelerațiilor în punctul A pentru secțiunile 1, 2 și 3 ,

În urma analizei rezultatelor obținute se constată faptul că în cazul discontinuității geometrice concave există o amplificare semnificativă, aceasta generând accelerații de 1.6 ori mai mari decât în cazul suprafeței plane, în timp ce în cazul suprafeței convexe accelerațiile se reduc la 80% din valoarea corespunzătoare suprafeței plane.

INTERACȚIUNEA DINTRE MEDIUL DE FUNDARE ȘI SISTEMUL STRUCTURAL

Conform cu și , în calculul la acțiuni seismice a structurilor, interacțiunea dinamică dintre construcție și masivul de pământ poate influența sensibil răspunsul structural. Masivul de pământ acționează, în conlucrarea lui cu sistemul de fundare, indirect ca filtru de frecvență și direct ca reazem deformabil pe o zona activă a fundației. Proprietățile dinamice ale celor două sisteme – structura și masivul de pământ – conduc la efecte neglijabile în cazul unor medii de fundare rigide, însă devin semnificative pentru medii pentru care rigiditatea relativă teren-structură este importantă.

Analizele de interacțiune seismică mediu de fundare – sistem structural s-au dezvoltat în ultimele decenii odată cu proiectarea structurilor importante pe terenuri slabe cu viteza undelor seismice secundare, vs ≤ 100m/s, situație în care răspunsul seismic este influențat semnificativ de comportarea dinamică a masivului de pământ pe care acestea sunt amplasate.

Rigurozitatea analizei interacțiunii mediu de fundare – sistem structural la acțiuni seismice este legată de corectitudinea modelării sistemului alcătuit din structură și masivul de pământ, de acuratețea valorilor atribuite parametrilor care definesc excitația seismică și de proprietățile fizico-mecanice ale pământului. Deși afectate încă de incertitudini, analizele de interacțiune seismică au făcut, pe plan mondial, progrese remarcabile în formularea modelelor de calcul pentru definirea excitației seismice și evaluarea corectă a caracteristicilor dinamice ale masivului de pământ.

Investigațiile teoretice și experimentale efectuate în ultimul timp abordează o serie de aspecte în care efectele în interacțiunea seismică mediu de fundare – sistem structural pot fi semnificative și pentru care abordările actuale sunt nesatisfăcătoare: structuri îngropate și parțial îngropate (construcții speciale, tuneluri, conducte etc.), fundații flexibile și fundații pe piloți, presiuni provenite din seism pe pereții substructurilor etc.

Pe plan mondial, modelele de calcul structural bazate pe interacțiunea teren-structură au fost considerate inițial pentru proiectarea centralelor nucleare. Din acest motiv s-a considerat că influența proprietăților dinamice ale terenului asupra răspunsului structural este cu atât mai importantă cu cât structura are rigiditate mai mare, fiind fundată pe terenuri relativ slabe. Odată cu apariția modelelor de calcul pentru structuri civile care să țină seama de interacțiunea teren-structură, s-a observat că în anumite condiții aceste tipuri de structuri, chiar fiind mult mai flexibile decât cele nucleare, pot avea un răspuns structural semnificativ influențat de cuplajul dinamic dintre teren și structură.

Abordarea problemelor de interacțiune teren-structură

Modelul mediului de fundare elastic nu este un model general care să caracterizeze comportarea materialelor terenului de fundare. Acuratețea modelului acceptat pentru analiza fundațiilor trebuie gândită în raport cu parametrii definitorii pentru acest tip de element structural, momentele încovoietoare în fundație și tasările fundației fiind de importanță esențială în proiectare.

Pentru a putea ilustra comportarea fundației, considerăm problema obișnuită, în care o structură reazemă pe o fundație, concept ilustrat în . Există trei componente ale problemei: fundație, mediul de fundare și structură.

Fig. 5.1: Structură, fundație, mediu de fundare

Valorile care alcătuiesc perechea încărcări – deplasări pentru oricare dintre componente (fundație, mediu de fundare și structură) sunt fizic legate între ele și comportarea fiecăreia depinde de a celorlalte două. În este ilustrat conceptual felul în care combinația fundație – structură este de fapt un singur sistem structural care se găsește în contact cu terenul. Ca rezultat al unui sistem de încărcări aplicate sistemului structural vor apărea deplasări pe direcție verticală, (tasări) la nivelul fundației, s(x,y).

Fig. 5.2: Sistemul structural

Atât sistemul structural cât și mediul de fundare, trebuiesc discretizate și rezolvate folosind o metodă numerică de calcul, cum ar fi metoda elementului finit.

Problema reală a fundației este de fapt o problemă complexă static nedeterminată, așa că înainte de a discuta despre rezolvarea cu ajutorul unui program de calcul specializat s-a desfăcut sistemului în trei componente așa cum este arătat în . Analizarea sistemului și proiectarea acestuia se desfășoară apoi separat.

Fig. 5.3: Sistemul structural împărțit în componente

În concluzie, metodologia analitică exactă folosită pentru fiecare componentă a soluției nu este de foarte mare importanță, de altfel fiind important să notăm că analiza se face în general într-un spațiu bi-dimensional și nu într-unul tridimensional. Oricum, în situația reală, așa cum este ea ilustrată mai sus, p(x,y) este de fapt o forță internă, a carei intensitate se determină ca parte a întregului proces. Rolul inversat al lui p(x,y), din rezultat al analizei, în parametru de intrare are o influență determinantă asupra analizei interacțiunii teren-structură.

Din această cauză devine util să definim cu ajutorul lui un parametru de rigiditate al mediului de fundare și anume k(x,y), coeficientul de reacțiune al mediului de fundare care este exprimat de următoarea relație:

Chiar și cu aportul mijloacelor moderne de calcul, în proiectarea construcțiilor civile metoda tradițională a descompunerii problemei fundației în cele trei componente și analizarea lor separată este încă o practică curentă. Primul avantaj al modelului structural este acela că reacțiunea mediului de fundare trebuie modelată matematic. Pentru acest model se poate folosi cu un oarecare succes metoda Winkler, metodă folosită de-a lungul multor ani pentru modelarea lui p(x,y).

Fig. 5.4: Modelul structural

Modelul geotehnic pleacă de la presupunerea că fundația și mediul de fundare sunt grupate în acelasi sistem. Acest tip de analiză permite elaborarea de modele complicate și cu un grad de precizie ridicat pentru materialele care alcătuiesc mediul de fundare, acesta fiind modelat ca un spațiu continuu semi-infinit.

Fig. 5.5: Modelul geotehnic

O alternativă la cele două modele este oferită de programele de calcul comerciale. Diferența esențială este aceea că în pofida faptului că ipoteza Winkler care oferă doar un grad mediu de precizie este păstrată, valorile coeficienților modelului sunt îmbunătățite semnificativ, astfel că și rezultatele finale trec prin acest proces de perfecționare.

Modele de analiză a interacțiunii structură – teren de fundare

Dezvoltarea conceptului modelării mediului de fundare se bazează pe cunoașterea următoarelor aspecte ale problemei:

– din punct de vedere al comportării geotehnice, cele mai multe dintre problemele de interacțiune teren – structură sunt discutate în raport cu starea limită de exploatare normală (SLEN) a terenului și în raport cu starea limită ultimă (SLU):

– în majoritatea problemelor de interacțiune teren – structură, mediul de fundare care afectează comportarea structurii este de fapt un continuu tridimensional ce poate fi considerat un cvasi – solid chiar dacă în realitate nu se comportă ca un solid adevărat.

Cu toate că în problemele de interacțiune teren – structură mediul de fundare este întotdeauna tridimensional, prima decizie în ceea ce privește modelarea acestuia este aceea de a alege să se modeleze în mod explicit toate cele trei dimensiuni sau doar două dintre ele (planul orizontal în mod explicit, iar adâncimea într-o maniera indirectă).

Cu toate că opțiunea inițială ar fi în favoarea modelării tridimensionale a mediului de fundare, această metodă ridică întrebări în primul rând asupra metodei de calcul numeric folosită (metoda elementului finit) cât și asupra modelării acțiunilor seismice pe două sau trei direcții.

Concluzia generală este că în prezent atenția ar trebui îndreptată către modelele de calcul bidimensional, a căror utilizare ar fi mai adecvată.

Modelele bidimensionale pentru mediul de fundare pot fi împărțite în trei categorii mari, care în ordinea creșterii aproximărilor pe care le introduc sunt următoarele:

– metoda elementului de frontieră; Aceasta presupune cel mai mare grad de rigurozitate și o precizie ridicată a expresiilor matematice utilizate;

– metoda elementului de suprafață (Modelul Winkler); Este o tehnică similară cu metoda elementului de frontieră dar implică relații matematice mai puțin exacte în descrierea comportamentului mediului de fundare;

– metoda echilibrului static. Prin această metodă rezultatele au o marjă de eroare ridicată, deoarece doar amplitudinea și modul de distribuție al reacțiunii mediului de fundare sunt tratate.

Modelul Winkler

Grinda continuă

Din [63], [64], [67] și , calculul momentelor ȋncovoietoare, al forțelor tăietoare și al deformațiilor unei grinzi continue solicitată la ȋncovoiere se bazează pe ecuația diferențială a fibrei deformate mediane a grinzii.

unde este ȋncărcarea pe unitate de lungime, iar produsul EI este rigiditatea la ȋncovoiere a grinzii.

Pentru a exprima relația dintre și presiunea de contact la nivelul fundației se poate folosi următoarea relație:

unde B este lățimea grinzii.

Înlocuind relația (5.3) în ecuația (5.2) obțintem:

Ținând cont că , rezultă:

sau

Ȋnmulțind și ȋmpărțind cu 4 termenul al doilea, rezultă:

Putem introduce notația , unde λ se măsoară ȋn m-1. Ecuația diferențială devine:

Soluția generală a acestei ecuații diferențiale este:

Constantele de integrare Ci, unde i=1÷4, se determină din condițiile de margine.

Grinda infinită acționată de o forță concentrată

Fig. 5.6: Grinda infinită acționată de o forță concentrată [67],

Din condițiile de margine se obține:

Pentru x=±∞, M=0, T=0 → C1=C2=0;

Pentru x=0,, → C3=C4;

Pentru x=0, , →

Soluția ecuației diferențiale devine astfel:

unde .

unde .

Se introduce notația unde le este lungimea elastică.

unde .

unde .

Variația funcțiilor , , și având ca argument pe , este descrisă ȋn . Aceste funcții pot fi utilizate pentru calculul lui z, θ, M și respectiv T.

Fig. 5.7: Variația coeficienților de efort pentru lungimea adimensională [67],

Deoarece diagrama forței tăietoare este antisimetrică față de punctul de aplicație al forței, valorile funcției f4 se vor lua cu semnul indicat ȋn figură când forța se află la stânga față de secțiunea de calcul și cu semn contrar când punctul de aplicație al forței este situat ȋn partea dreaptă a secțiunii.

Diagramele deformatei, a rotirii, a momentului ȋncovoietor și respectiv a forței tăietoare pentru grinda infinită acționată de o forță concentrată sunt redate ȋn .

Fig. 5.8: Distribuția eforturilor secționale de-a lungul unei grinzi infinite acționate de o forță concentrată [67],

Grinda infinită acționată de mai multe forțe concentrate

Pentru cazul în care grinda este acționată de mai multe forțe concentrate Pi, i=1÷n, determinarea valorilor pentru z, θ, M, T într-o secțiune se face prin suprapunerea efectelor ().

Fig. 5.9: Grindă încărcată cu mai multe forțe concentrate [67],

Grinda infinită acționată de moment încovoietor

Momentul ȋncovoietor M0 este ȋnlocuit de un cuplu de forțe PΔx ().

Fig. 5.10: Grindă acționată de moment ȋncovoietor [67],

Pentru determinarea tasării grinzii ȋntr-o secțiune situată la distanța x fața de punctul de aplicație al cuplului, se folosește relația (5.18) pentru cazul în care acționează două forțe concentrate.

Deci, pentru calcularea deformației unei grinzi infinite acționată de un moment încovoietor M0, se folosește funcția f2(λx), funcție care descrie rotația în cazul unei grinzi acționată de o forță concentrată P. Aceasta inseamnă că pentru θ, M, T funcțiile f1, f3 si f4 vor fi refolosite, prin permutarea corespondenței descrisă ȋn Tabel 5.1

Tabel . [67],

Grinda finită

Pentru utilizarea funcțiilor determinate ȋn cazul grinzilor infinite, grinda finită este calculată după metoda forțelor fictive.

Considerăm grinda de lungime finită care e transformată ȋntr-o grindă infinită adăugând prelungiri fictive la capetele A și B ().

Grinda de fundare considerată ca o grindă infinită este acționată de sistemul de forțe Pi, i=1÷n, ȋmpreună cu forțele fictive Vi, i=1÷4 situate de o parte și de alta a grinzii, cu valori determinate astfel ȋncât stare de eforturi și cea de deformații ale grinzii de lungime finită să nu fie modificate.

Fig. 5.11: Grinda finită [67],

Pentru determinarea forțelor fictive sunt utilizate condițiile de margine, după cum urmează: MA=0, TA=0, MB=0, TB=0.

Folosind funcțiile și definite anterior și impunând condiția pentru care capetele grinzii sunt libere, se obține un sistem de patru ecuații liniare pentru determinarea valorilor forțelor fictive.

Pentru ușurința calculului, distanța dintre forța V1 și capătul A al grinzii este aleasă ȋn așa fel ȋncât momentul ȋncovoietor să fie nul, iar punctul de aplicație al forței V2 este ales astfel ȋncât forța tăietoare asociată din secțiunea A să fie de asemenea nulă.

Aceeași abordare este utilizată și ȋn cazul forțelor V3 și V4 față de momentul ȋncovoietor și forța tăietoare din capătul B al grinzii.

Din tabelele funcțiilor și reiese că pentru ca forțele fictive ce apar ȋntr-o ecuație să se anuleze reciproc, distanțele de la capetele grinzii până la punctele de aplicație ale forțelor fictive trebuie alese după cum urmează:

Forțele Vi, i=1÷4 obținute anterior sunt introduse ȋn schema de ȋncărcare a grinzii de lungime finită iar calculul deformațiilor și a eforturilor secționale pot fi făcute folosind tabelele și diagrame asociate grinzii infinite.

Calculul grinzilor pe mediu Boussinesq

Metoda Jemocikin

Conform [67] și grinzile având raportul sunt considerate ca fiind nedeformabile în direcție transversală (Fig. 5.12) și, ca urmare, presiunea pe lățimea B se consideră a fi uniform repartizată.

Fig. .: Grindă pe mediu Boussinesq [67],

Pentru determinarea presiunilor de contact fundație-teren se consideră o distribuție continuă conform diagramei prezentată în Fig. 5.13.

Se aproximează diagrama reală de presiuni pe teren cu o diagramă în trepte, împărțind suprafața de fundare în suprafețe dreptunghiulare cu lățimea B și lungimea l, în lungul suprafeței de fundare. Fie R rezultanta presiunilor uniform distribuite aferente suprafeței Bxl. R poate fi privită ca reacțiunea într-o bară rigidă.

Sistemul fundație – teren se substituie cu sistemul echivalent al unei grinzi flexibile rezemată pe terenul deformabil prin intermediul unor bare rigide verticale, articulate la capete dispuse în centrul de greutate al suprafețelor dreptunghiulare de dimensiuni în plan (Fig. 5.14).

În acest mod, se înlocuiește contactul continuu dintre fundație și teren prin contacte în punctele izolate de egală interdistanță l. Cu cât numărul de puncte de contact este mai mare, cu atât calculul aproximează mai bine diagrama continuă de presiuni de contact fundație – teren.

Fig. .: Distribuția presiunilor de contact [67],

Considerând presiunea pi, distribuită pe o suprafață dreptunghiulară i de arie , ca fiind uniformă, forța axială în bara rigidă, din punctul analizat va avea valoarea:

Fig. .: Aproximarea terenului deformabil [67],

Determinarea forțelor Ri, i=1÷n, se face considerând separat deplasarea verticală a capetelor superioare, articulate în talpa fundațiilor () și deplasarea verticală a capetelor inferioare ale barelor, articulate pe teren ().

Din condiția de continuitate ca, după deformare, talpa fundației să păstreze legătura cu terenul rezultă că deplasările capetelor barelor trebuie să fie egale obținându-se astfel un număr de ecuații egal cu numărul forțelor necunoscute Ri.

Pentru a scrie deplasările pe verticală ale unui punct i de pe talpa fundației și de pe suprafața de fundare se consideră, de o parte, grinda de fundație cu încărcările Pj, j=1÷m și reacțiunile Ri, i=1÷n din barele de legătură cu terenul și, de altă parte, terenul solicitat de forțele (Ri), transmise prin barele de legătură.

Deplasările grinzii continue de fundație se stabilesc prin referire la un sistem static de bază de tipul grindă încastrată în secțiunea de capăt (Fig. 5.15).

Fig. .: Sistemul static de bază [67],

Se consideră grinda încastrată la capăt, ceea ce echivalează cu introducerea a două noi necunoscute, deplasarea z0 și rotirea 0. Pentru determinarea necunoscutelor Ri, z0 și 0 se scrie următorul sistem de ecuații:

Coeficienții ik se compun din deformațiile pământului și ale grinzii de fundație în secțiunea i sub acțiunea unei sarcini unitare aplicate în secțiunea k.

Deformația grinzii produsă de reacțiunea Rk=1, zik_fundație, se calculează după metodele din statica construcțiilor:

În relația (D.4) AriaM este suprafața diagramei de momente M pentru grinda încastrată din sistemul de bază solicitată în punctul k de o forță concentrată egală cu unitatea; zm este ordonata diagramei de moment m, rezultată din aplicarea unei forțe fictive egală cu unitatea în direcția deplasării zik_fundatie, în punctul i, ordonată măsurată în dreptul centrului de greutate al diagramei M (Fig. D.5).

Fig. .: Determinarea suprafeței diagramei de momente M [67],

Se obține pentru deformata grinzii de fundație următoarea relație de calcul:

de unde:

unde cu n multiplu întreg de 0.5.

Pentru situația în care rapoartele respectiv sunt multipli întregi de 0.5, valorile pentru se regăsesc în Tabel 5.2

Tabel . [67],

Pentru obținerea valorilor zik_teren se analizează următoarele situații:

a) deformația într-un punct la distanța r față de o forță concentrată P (Fig. 5.17) se calculează cu relația lui Boussinesq:

Fig. .: Determinarea deformației (i) [67],

b) deformația într-un punct i la distanța x de un dreptunghi încărcat uniform cu sarcina având centrul într-un punct k (Fig. 5.18) se calculează cu relația:

Fig. .: Determinarea deformației (ii) [67],

Valorile pentru și sunt date în Tabel 5.3

Tabel . [67],

Înlocuind valorile în sistemul de ecuații (5.21) se pot determina valorile Ri, i=1÷n, cu ajutorul cărora se determină ordonatele în diagramele de forță tăietoare și moment încovoietor.

STUDII DE CAZ

Studiu de caz asupra interacțiunii teren – structură

Structuri studiate, tipuri de rezemări utilizate, modele fizice analizate și acțiunea seismică

Pentru evaluarea interacțiunii dintre mediul de fundare și sistemul structural au fost alese trei clădiri multietajate pe structură metalică cu următoarele regimuri de înălțime:

1). S+P+5E, cu o singura deschidere de 6m, notat [6m] (Fig. 6.2);

2). 2S+P+11E, cu trei deschideri de 6m, notat [18m] (Fig. 6.3);

3). 3S+P+23E, cu 6 deschideri de 6m, notat [36m] (Fig. 6.4).

Subsolurile fiecărei structuri sunt din beton armat având radier general.

Pentru aceste trei structuri s-au considerat patru modalități de sprijinire:

a). încastrări la nivelul radierului, model notat cu [r];

b). încastrări la nivelul terenului fără a considera subsolurile, model notat [fs];

c). reazeme elastice (Winkler) la nivelul radierului și a pereților subsolului, model notat [w];

d). sprijinire directă a structurii pe teren, considerând interacțiunea dintre acesta și structură, model notat [p].

Ca dată de intrare în analizele efectuate a fost utilizată accelerograma cutremurului din 4 martie 1977, INCERC, cu componenta sa maximă (direcția N-S), accelerogramă prezentată în Fig. 6.1 și exprimată în fracțiuni din accelerația gravitațională g, pe o durată de 40 de secunde.

Fig. .: Accelerograma seismului din 4 martie 1977, INCERC N-S, amax=0.195g

Stratificația terenului a fost considerată cea din estul Bucureștiului :

±0.00…-2.80 umplutură;

-2.80…-4.30 argilă nisipoasă;

-4.30…-14.10 pietriș de „Colentina”;

-14.10…-40.00 depozite intermediare (argilă și pietriș);

-40.00…-50.00 nisipuri de „Mostiștea”;

-50.00…-73.40 lentile de argilă mărnoasă și nisipuri fine cu calcar;

-73.40…-150.00 a fost considerat un strat de calcar intercalat cu argilă.

a) b) c) d)

Fig. 6.2: Modelul [6m], variante [r], [fs], [w], [p]

a) modelul încastrat la baza radierului

b) modelul încastrat la cota 0.00 a structurii (fără considerarea subsolului)

c) modelul cu reazeme elastice la baza și pe părțile laterale ale subsolului

d) modelul care ține seama de conlucrarea cu terenul de fundare

a) b) c) d)

Fig. 6.3: Modelul [18m], variante [r], [fs], [w], [p]

a) modelul încastrat la baza radierului

b) modelul încastrat la cota 0.00 a structurii (fără considerarea subsolurilor)

c) modelul cu reazeme elastice la baza și pe părțile laterale ale subsolurilor

d) modelul care ține seama de conlucrarea cu terenul de fundare

a) b) c) d)

Fig. 6.4: Modelul [36m], variante [r], [fs], [w], [p]

a) modelul încastrat la baza radierului

b) modelul încastrat la cota 0.00 a structurii (fără considerarea subsolurilor)

c) modelul cu reazeme elastice la baza și pe părțile laterale ale subsolurilor

d) modelul care ține seama de conlucrarea cu terenul de fundare

În total s-au studiat 12 variante. S-a utilizat programul SAP2000 versiunea 14.

Rezultate obținute

Pentru modelul [6m_r] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter și nivelul 6 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.8)

viteze relative la parter și nivelul 6 în domeniul timp (Fig. 6.9)

deplasări relative la parter și nivelul 6 în domeniul timp (Fig. 6.10)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.18)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.22)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.26)

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.78 și Fig. 6.81).

Pentru modelul [6m_fs] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter și nivelul 6 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.11)

viteze relative la parter și nivelul 6 în domeniul timp (Fig. 6.12)

deplasări relative la parter și nivelul 6 în domeniul timp (Fig. 6.13)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.19)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.23)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.27).

Pentru modelul [6m_w] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter și nivelul 6 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.14)

viteze relative în domeniul timp la parter și nivelul 6 (Fig. 6.15)

deplasări relative în domeniul timp la parter și nivelul 6 (Fig. 6.16)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.20)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.24)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.28)

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.79 și Fig. 6.82).

Pentru modelul [6m_p] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter și nivelul 6 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.5)

viteze relative la parter și nivelul 6 în domeniul timp (Fig. 6.6)

deplasări relative la parter și nivelul 6 în domeniul timp (Fig. 6.7)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.17)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.21)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.25)

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.77 și Fig. 6.80).

Pentru modelul [18m_r] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6 și nivelul 12 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.32)

viteze relative la parter, nivelul 6 și nivelul 12 în domeniul timp (Fig. 6.33)

deplasări relative la parter, nivelul 6 și nivelul 12 în domeniul timp (Fig. 6.34)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.42)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.46)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.50)

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.84 și Fig. 6.87).

Pentru modelul [18m_fs] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6 și nivelul 12 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.35)

viteze relative la parter, nivelul 6 și nivelul 12 în domeniul timp (Fig. 6.36)

deplasări relative la parter, nivelul 6 și nivelul 12 în domeniul timp (Fig. 6.37)

spectrul seismic de răspuns determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute la nivelul terenului (Fig. 6.43)

spectrul seismic de răspuns determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative la nivelul terenului (Fig. 6.47)

spectrul seismic de răspuns determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative la nivelul terenului (Fig. 6.51).

Pentru modelul [18m_w] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6 și nivelul 12 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.38)

viteze relative la parter, nivelul 6 și nivelul 12 în domeniul timp (Fig. 6.39)

deplasări relative la parter, nivelul 6 și nivelul 12 în domeniul timp (Fig. 6.40)

spectrul seismic de răspuns determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute la nivelul terenului (Fig. 6.44)

spectrul seismic de răspuns determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative la nivelul terenului (Fig. 6.48)

spectrul seismic de răspuns determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative la nivelul terenului (Fig. 6.52).

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.85 și Fig. 6.88).

Pentru modelul [18m_p] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6 și nivelul 12 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.29)

viteze relative la parter, nivelul 6 și nivelul 12 în domeniul timp (Fig. 6.30)

deplasări relative la parter, nivelul 6 și nivelul 12 în domeniul timp (Fig. 6.31)

spectrul seismic de răspuns determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute la nivelul terenului (Fig. 6.41)

spectrul seismic de răspuns determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative la nivelul terenului (Fig. 6.45)

spectrul seismic de răspuns determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative la nivelul terenului (Fig. 6.49)

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.83 și Fig. 6.86).

Pentru modelul [36m_r] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.56)

viteze relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.57)

deplasări relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.58)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.66)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.70)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.74)

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.90 și Fig. 6.93)

diagramele de forță axială (Fig. 6.96), forță tăietoare (Fig. 6.99) și moment încovoietor (Fig. 6.102).

Pentru modelul [36m_fs] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.59)

viteze relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.60)

deplasări relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.61)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.67)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.71)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.75).

Pentru modelul [36m_w] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.62)

viteze relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.63)

deplasări relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.64)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.68)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.72)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.76

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.91 și Fig. 6.94)

diagramele de forță axială (Fig. 6.97), forță tăietoare (Fig. 6.100) și moment încovoietor (Fig. 6.103).

Pentru modelul [36m_p] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.53)

viteze relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.54)

deplasări relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.55)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.65)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.69)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.73)

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.89 și Fig. 6.92)

diagramele de forță axială (Fig. 6.95), forță tăietoare (Fig. 6.98) și moment încovoietor (Fig. 6.101).

De asemenea, în paragraful 6.1.3. se compară mărimile cinematice de la ultimul nivel al structurii [36m], obținute pentru cele patru tipuri de rezemări ([r], [fs], [w] și [p]).

Fig. 6.5: Modelul [6m_p] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.6: Modelul [6m_p] – viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.7: Modelul [6m_p] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.8: Modelul [6m_r] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.9: Modelul [6m_r] –viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.10: Modelul [6m_r] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.11: Modelul [6m_fs] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.12: Modelul [6m_fs] –viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.13: Modelul [6m_fs] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.14: Modelul [6m_w] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.15: Modelul [6m_w] –viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.16: Modelul [6m_w] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.17: Modelul [6m_p] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.18: Modelul [6m_r] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.19: Modelul [6m_fs] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.20: Modelul [6m_w] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.21: Modelul [6m_p] – spectrul de răspuns al vitezelor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.22: Modelul [6m_r] – spectrul de răspuns al vitezelor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.23: Modelul [6m_fs] – spectrul de răspuns al vitezelor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.24: Modelul [6m_w] – spectrul de răspuns al vitezelor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.25: Modelul [6m_p] – spectrul de răspuns al deplasărilor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.26: Modelul [6m_r] – spectrul de răspuns al deplasărilor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.27: Modelul [6m_fs] – spectrul de răspuns al deplasărilor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.28: Modelul [6m_w] – spectrul de răspuns al deplasărilor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.29: Modelul [18m_p] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.30: Modelul [18m_p] – viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.31: Modelul [18m_p] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.32: Modelul [18m_r] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.33: Modelul [18m_r] –viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.34: Modelul [18m_r] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.35: Modelul [18m_fs] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.36: Modelul [18m_fs] –viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.37: Modelul [18m_fs] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.38: Modelul [18m_w] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.39: Modelul [18m_w] –viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.40: Modelul [18m_w] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.41: Modelul [18m_p] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.42: Modelul [18m_r] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.43: Modelul [18m_fs] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.44: Modelul [18m_w] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.45: Modelul [18m_p] – spectrul de răspuns al vitezelor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.46: Modelul [18m_r] – spectrul de răspuns al vitezelor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.47: Modelul [18m_fs] – spectrul de răspuns al vitezelor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.48: Modelul [18m_w] – spectrul de răspuns al vitezelor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [18m_p] – spectrul de răspuns al deplasărilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [18m_r] – spectrul de răspuns al deplasărilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [18m_fs] – spectrul de răspuns al deplasărilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [18m_w] – spectrul de răspuns al deplasărilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.53: Modelul [36m_p] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.54: Modelul [36m_p] – viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.55: Modelul [36m_p] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.56: Modelul [36m_r] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.57: Modelul [36m_r] –viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.58: Modelul [36m_r] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.59: Modelul [36m_fs] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.60: Modelul [36m_fs] –viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.61: Modelul [36m_fs] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.62: Modelul [36m_w] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. 6.63: Modelul [36m_w] –viteze la nivelul etajelor

Fig. 6.64: Modelul [36m_w] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. 6.65: Modelul [36m_p] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_r] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_fs] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_w] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.69: Modelul [36m_p] – spectrul de răspuns al vitezelor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_r] – spectrul de răspuns al vitezelor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_fs] – spectrul de răspuns al vitezelor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_w] – spectrul de răspuns al vitezelor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. 6.73: Modelul [36m_p] – spectrul de răspuns al deplasărilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_r] – spectrul de răspuns al deplasărilor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_fs] – spectrul de răspuns al deplasărilor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_w] – spectrul de răspuns al deplasărilor relative la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: [6m_p] – modul 1 de vibrație (T1=0.983s)

Fig. .: [6m_r] – modul 1 de vibrație (T1=0.231s)

Fig. .: [6m_w] – modul 1 de vibrație (T1=0.277s)

Fig. .: [6m_p] – modul 2 de vibrație (T2=0.639s)

Fig. .: [6m_r] – modul 2 de vibrație (T2=0.102s)

Fig. .: [6m_w] – modul 2 de vibrație (T2=0.173s)

Fig. .: [18m_p] – modul 1 de vibrație (T1=1.019s)

Fig. .: [18m_r] – modul 1 de vibrație (T1=0.299s)

Fig. .: [18m_w] – modul 1 de vibrație (T1=0.364s)

Fig. .: [18m_p] – modul 2 de vibrație (T2=0.640s)

Fig. .: [18m_r] – modul 2 de vibrație (T2=0.094s)

Fig. .: [18m_w] – modul 2 de vibrație (T2=0.173s)

Fig. .: [36m_p] – modul 1 de vibrație (T1=1.074s)

Fig. .: [36m_r] – modul 1 de vibrație (T1=0.647s)

Fig. .: [36m_w] – modul 1 de vibrație (T1=0.716s)

Fig. .: [36m_p] – modul 2 de vibrație (T2=0.641s)

Fig. .: [36m_r] – modul 2 de vibrație (T2=0.203s)

Fig. .: [36m_w] – modul 2 de vibrație (T2=0.212s)

Fig. .: [36m_p] –diagramă forță axială

Fig. .: [36m_r] – diagramă forță axială

Fig. .: [36m_w] – diagramă forță axială

Fig. .: [36m_p] – diagramă forță tăietoare

Fig. .: [36m_r] – diagramă forță tăietoare

Fig. .: [36m_w] – diagramă forță tăietoare

Fig. .: [36m_p] – diagramă moment încovoietor

Fig. .: [36m_r] – diagramă moment încovoietor

Fig. .: [36m_w] – diagramă moment încovoietor

Comparații între mărimile cinematice de la ultimul nivel al structurii 36m

Fig. 6.104: Modelul [36m] – comparația accelerațiilor absolute la nivelul 24 în domeniul timp

Fig. 6.105: Modelul [36m] – comparația vitezelor relative la nivelul 24 în domeniul timp

Fig. 6.106: Modelul [36m] – comparația deplasărilor la nivelul 24 în domeniul timp

Studiu de caz asupra influenței delimitării modelului fizic

Modele fizice analizate

Pentru evaluarea influenței delimitării modelului fizic al structurii asupra răspunsului seismic a fost aleasă clădirea din studiul anterior (modelul [36m_p]), regim de înălțime 3S+P+23E și șase deschideri de 6m, cu subsolul din beton armat și având radier general.

Pentru această structură s-au considerat trei modele în care se modifică mărimea terenului luat în calcul la stânga și la dreapta structurii:

1). modelul [36m_p_15], în care mărimea modelată este de 15m stânga și 15m dreapta;

2). modelul [36m_p_150], în care mărimea modelată este de 150m stânga și 150m dreapta;

3). modelul [36m_p_300], în care mărimea modelată este de 300m stânga și 300m dreapta.

a) b)

c)

Fig. .: Modelul [36m_p], variante [15], [150], [300]

Rezultate obținute

Pentru modelul [36m_p_15] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.114)

viteze relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.115)

deplasări relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.116)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.123)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.126)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.129)

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.108 și Fig. 6.111)

Pentru modelul [36m_p_150] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.117)

viteze relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.118)

deplasări relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.119)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.124)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.127)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.130)

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.109 și Fig. 6.112)

Pentru modelul [36m_p_300] se prezintă următoarele rezultate:

accelerații absolute la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 (ultimul) în domeniul timp (Fig. 6.120)

viteze relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.121)

deplasări relative la parter, nivelul 6, nivelul 12 și nivelul 24 în domeniul timp (Fig. 6.122)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în accelerații absolute (Fig. 6.125)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în viteze relative (Fig. 6.128)

spectrul seismic de răspuns la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei și exprimat în deplasări relative (Fig. 6.131)

primele două moduri proprii de vibrație (Fig. 6.110 și Fig. 6.112)

De asemenea, în paragraful 6.2.3. se compară mărimile cinematice de la ultimul nivel al structurii [36m_p], obținute pentru cele trei tipuri de modelare a terenului ([15], [150] și [300]).

Fig. .: [36m_p_15] – modul 1 de vibrație (T1=0.632s)

Fig. .: [36m_p_150] – modul 1 de vibrație (T1=1.074s)

Fig. .: [36m_p_300] – modul 1 de vibrație (T1=1.483s)

Fig. .: [36m_p_15] – modul 2 de vibrație (T2=0.533s)

Fig. .: [36m_p_150] – modul 2 de vibrație (T2=0.641s)

Fig. .: [36m_p_300] – modul 2 de vibrație (T2=1.019s)

Fig. .: Modelul [36m_p_15] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. .: Modelul [36m_p_15] – viteze la nivelul etajelor

Fig. .: Modelul [36m_p_15] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. .: Modelul [36m_p_150] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. .: Modelul [36m_p_150] – viteze la nivelul etajelor

Fig. .: Modelul [36m_p_150] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. .: Modelul [36m_p_300] – accelerații la nivelul etajelor

Fig. .: Modelul [36m_p_300] – viteze la nivelul etajelor

Fig. .: Modelul [36m_p_300] – deplasări la nivelul etajelor

Fig. .: Modelul [36m_p_15] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_p_150] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_p_300] – spectrul de răspuns al accelerațiilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_p_15] – spectrul de răspuns al vitezelor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_p_150] – spectrul de răspuns al vitezelor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_p_300] – spectrul de răspuns al vitezelor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_p_15] – spectrul de răspuns al deplasărilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_p_150] – spectrul de răspuns al deplasărilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Fig. .: Modelul [36m_p_300] – spectrul de răspuns al deplasărilor absolute la nivelul terenului determinat pe baza accelerogramei

Comparații

Fig. .: Comparația accelerațiilor absolute la nivelul 24 în domeniul timp

Fig. .: Comparația vitezelor relative la nivelul 24 în domeniul timp

Fig. .: Comparația deplasărilor relative la nivelul 24 în domeniul timp

CONCLUZII, CONTRIBUȚII PERSONALE ȘI VALORIFICAREA REZULTATELOR

Concluzii privind studiile de caz efectuate

Din studiul comparativ al răspunsului seismic pentru structurile și modelele fizice analizate se constată următoarele:

creșterea perioadei proprii fundamentale de vibrație a modelului structurii cu 10…20% în cazul structurii rezemate pe mediu Winkler [w] față de structura încastrată [r] (Tabel 7.1);

Tabel .

creșterea celei de-a doua perioade proprii de vibrație a modelului structurii cu 5…85% în cazul structurii rezemate pe mediu Winkler [w] față de structura încastrată [r] (Tabel 7.2);

Tabel .

creșterea perioadei proprii fundamentale de vibrație a modelului structurii cu 66…325% în cazul modelării interacțiunii teren-structură [p] față de structura încastrată [r] (Tabel 7.3);

Tabel .

creșterea celei de-a doua perioade proprii de vibrație a modelului structurii cu 215…580% în cazul modelării interacțiunii teren-structură [p] față de structura încastrată [r] (Tabel 7.4);

Tabel .

preluarea energiei seismice de către teren și amortizarea acesteia, reducând efectul seismic asupra structurii în cazul în care se ține seama de conlucrarea cu terenul de fundare;

filtrarea mișcării seismice transmise structurii de către terenul de fundare în cazul considerării interacțiunii teren-structură;

amplificarea accelerațiilor absolute de nivel ale structurii în cazul considerării interacțiunii teren-structură;

se pot observa diferențe foarte mici în cazul modelării structurii cu subsol față de modelarea fără subsol pentru clădiri cu puține niveluri subterane, dar acestea devin semnificative în cazul clădirilor cu regim de înălțime ridicat care au nevoie de mai multe subsoluri;

o bună aproximare în privința mărimii eforturilor în elementele infrastructurii este dată de modelul Winkler;

din punctul de vedere al eforturilor în elementele structurii calculate cu ajutorul înfășuratoarei pe toată durata seismului, se constată o scădere a eforturilor la nivelurile superioare și o creștere la nivelul parterului și a infrastructurii în cazul considerării interacțiunii teren-structură;

Din analiza rezultatelor privind influența delimitării modelului fizic asupra răspunsului seismic calculat (paragraful 6.2) se desprind următoarele concluzii:

creșterea perioadei proprii fundamentale de vibrație a modelului structurii cu 70% în cazul modelării terenului cu 150m în stânga și în dreapta acesteia [36m_p_150] față de cazul considerării a 15m în stânga și în dreapta structurii [36m_p_15] (Tabel 7.5);

creșterea perioadei proprii fundamentale de vibrație a modelului structurii cu 38% în cazul modelării terenului cu 300m în stânga și în dreapta structurii [36m_p_300] față de cazul modelării a 150m în stânga și în dreapta structurii [36m_p_150] (Tabel 7.5);

Tabel .

creșterea celei de-a doua perioade proprii de vibrație a modelului structurii cu 20% în cazul modelării terenului cu 150m în stânga și în dreapta structurii [36m_p_150] față de cazul modelării a 15m în stânga și în dreapta structurii [36m_p_15] (Tabel 7.6);

creșterea celei de-a doua perioade proprii de vibrație a modelului structurii cu 58% în cazul modelării terenului cu 300m în stânga și în dreapta structurii [36m_p_300] față de cazul modelării a 150m în stânga și în dreapta structurii [36m_p_150] (Tabel 7.6);

Tabel .

din comparația deplasărilor relative la nivelul 24 în domeniul timp se constată o creștere progresivă a acestora pe măsura creșterii mărimii terenului considerat în stânga și în dreapta construcției și acest fenomen se menține pe toată durata acțiunii seismice (Fig. 6.134);

din comparația vitezelor relative la nivelul 24 în domeniul timp se constată de asemenea creșterea progresivă a acestora pe măsura creșterii mărimii terenului considerat în stânga și în dreapta construcției și acest fenomen se menține pe toată durata acțiunii seismice (Fig. 6.133);

în ceea ce privește accelerația absolută la nivelul 24 în domeniul timp valoarea maximă a rezultat de asemenea pentru modelul [36m_p_300], însă persistă mai mult timp răspunsul accentuat pentru modelul [36m_p_150], fapt ce poate fi explicat prin configurația accelerogramei cutremurului INCERC 1977, componenta N-S;

Perioada proprie a terenului poate influența răspunsul seismic al structurii în cazul terenurilor moi, pentru care frecvența proprie nu trece de 5-10 Hz, rezultând o necesitate a studierii detaliate a fenomenului de interacțiune teren-structură pentru clădiri fundate pe aceste tipuri de teren;

Rezultatele studiului sunt în concordanță cu alte lucrări pe tema interacțiunii teren-structură punând în evidență modelarea adecvată a fenomenului.

O obligație asupra studiului de interacțiune teren-structură ar trebui introdusă în codurile de proiectare pentru structurile fundate pe terenuri moi, dar pentru a încerca acest demers ar trebui colectate multiple perechi de date de pe clădiri existente și din apropierea acestora la nivelul terenului și corelate cu testele teoretice în cazul cutremurelor de pământ din sursele specifice României.

Contribuții personale

Din lucrare se pot desprinde următoarele contribuții personale ale autorului:

elaborarea unei sinteze documentare în domeniul cercetat și prezentarea stadiului actual al acestui domeniu în literatura tehnică de specialitate;

analizarea și compararea răspunsului dinamic al modelului structural al unei clădiri reale folosind aplicațiile ETABS și EFFEL;

analizarea și compararea spectrelor Fourier și a densităților spectrale de putere calculate cu aplicațiile SeismoSignal și MathCAD;

analizarea și compararea răspunsului seismic al terenului de fundare determinat cu aplicația NERA pentru modelul unidimensional și cu aplicația PLAXIS pentru modelul bidimensional;

modelarea interacțiunii dintre terenul de fundare și structură folosind metoda Winkler și modelarea propriu-zisă a terenului;

analizarea, comentarea și compararea rezultatelor obținute din efectuarea studiului de caz asupra modelării fenomenului de interacțiune a terenului de fundare cu struictura;

analizarea, comentarea și compararea rezultatelor obținute din efectuarea studiului de caz asupra influenței delimitării modelului fizic.

În urma rezultatelor obținute în teza de doctorat autorul propune ca studiu ulterior:

extinderea studiilor efectuate în teză pentru structuri neregulate;

efectuarea unor studii ce analizează problema interacțiunii teren-structură pentru diferite excitații seismice sau pe baza unor accelerograme artificiale generate conform spectrului de proiectare;

elaborarea unor norme de proiectare curentă pentru structurile cu factor de importanță ridicat ce iau în considerare efectul modelării terenului de fundare și a interacțiunii acestuia cu structura;

cercetarea efectului excitației seismice asupra ansamblului teren – structură în trei dimensiuni;

Valorificarea rezultatelor

Valorificarea rezultatelor din teza de doctorat s-a concretizat prin susținerea a trei rapoarte de cercetare și publicarea a șase articole:

A.A. Savu, C. Stamatoiu, "Analiza spectrală a mișcărilor seismice pe teritoriul României" în Sesiunea Națională de comunicări științifice studențești, Cluj-Napoca, 2009.

T. Macavei, O.M. Stan, F. Macavei, V. Manea, N. Diaconu, A.A. Savu, "Valori proprii multiple ale sistemelor dinamice spațiale" în Conferința națională "Ingineria clădirilor", București, 2011.

M. S. Șerbulea, A. Chirică, D. M. Manoli, A.A. Savu, A. Anghel, A. Andronic, A. Priceputu, A. Niculescu, " Metode moderne de modelare a cedării pământurilor granulare susceptibile la fenomenul de lichefiere" în A XII-a Conferință Națională de Geotehnică și Fundații, Iași, 2012

N. Diaconu, A.A. Savu, G. Ionică, "Influența diferențelor de flexibilitate a sistemului dinamic asupra valorilor proprii de vibrație" Buletinul Științific al Universității Tehnice de Construcții București, no. 2, pp. 12-15, Iunie 2012.

A.A. Savu, G. Ionică, N. Diaconu, "Studiu de caz pentru modelarea interacțiunii teren-structură" Buletinul Științific al Universității Tehnice de Construcții București, no. 2, pp. 67-74, Iunie 2012.

G. Ionică, N. Diaconu, A.A. Savu, "Studiu comparativ între structuri fără amortizori, cu amortizori vâscoși liniari și cu amortizori vâscoși neliniari" Buletinul Științific al Universității Tehnice de Construcții București, no. 3, Oct. 2012.