– Topografie pag 1 [611668]

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 1
Cap. 1 Introducere

1.1 Noțiuni privind m ăsurătorile terestre

Măsurătorile terestre – situat e printre cele mai vechi științe dezvoltate de-a
lungul istoriei – s-au impus din necesitatea fireasc ă a omului , de cunoa ștere
a mediului în care î și desfășoară viața și activitatea. Progresul acestora în
timp este strâns legat de dezvoltarea rela țiilor sociale și economice ș i de
evoluția tehnicii în ansamblu.
Alături de alte ș tiințe ca: fizica, matematica, astronomia, geologia,
oceanografia, vulcanologia, etc., m ăsurătorile terestre contribuie la
aprofundarea cunoa șterii planetei albastre ș i a altor corpuri cere ști în special
prin studiul formei și dimensiunilor acestora și prin m ăsurarea și
reprezentarea suprafe țelor lor.
Domeniul relativ larg al m ăsurătorilor terestre este alc ătuit din câteva ramuri
principale: geodezia, topografia , cartografia, fotogrammetria și teledetec ția,
cu caracteristici specifice, în func ție de obiectul acestora.
G e o d e z i a are ca obiect m ăsurarea și reprezentarea planetei
Pământ și a câmpului gravita țional al acestuia , într-un spa țiu
tridimensional, în func ție de timp. Rezult ă deci că geodezia surprinde
variațiile temporale ale fo rmei , dimensiunilor și câmpului gravita țional ale
planetei noastre. Acest tip de studiu se extinde în ultima perioad ă și asupra
altor corpuri cere ști care prezint ă interes pentru oameni. Ca știință ,
geodezia s-a dezvoltat în ultimii 350-400 de ani , în corela ție cu astronomia ,
iar în momentul de față are câteva direc ții importante ca astronomia
geodezică , geodezia cosmic ă , geodezia iner țială , gravimetria geodezic ă și
geodezia propriu-zis ă.
T o p o g r a f i a sau topometria studiaz ă tehnicile de m ăsurare, de
calcul și de reprezentare sub form ă de planuri, a unor por țiuni limitate ale
suprafeței terestre, pentru deservirea unor scopuri economice, ecologice,
militare sau de alt ă natură. Pentru ca reprezent ările topografice ale unor
zone vecine să se poată racorda, m ăsurătorile și calculele t opografice se
sprijină pe un sistem unitar de puncte de referin ță, creat prin determin ări
geodezice, numit re țea de sprijin . Aceasta este alc ătuită dintr-o mulț ime de
puncte materializate pe teren în dife rite moduri. Topografia are ca direc ții
principale topografia general ă, care se ocup ă de aparatur ă și de tehnicile de
măsurare și calcul și topografia special ă, care are sec țiuni specifice, dedicate
anumitor activit ăți(cadastru, lucr ări hidrotehnice și de îmbun ătățiri funciare,
construcții civile și industriale, c ăi de comunica ții, urmărirea comportă rii
construcțiilor și terenurilor, trasarea pe teren a construc țiilor proiectate,
etc.).

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 2
C a r t o g r a f i a are ca obiect studiul metodelor de realizare a
reprezentă rilor în plan a suprafe ței terestre , în ansamblu sau pe por țiuni , cu
un control riguros al deforma țiilor produse prin reprezentare. Deoarece
suprafețele sferică sau elipsoidal ă , cu care se aproximeaz ă forma suprafe ței
terestre , nu sunt desf ășurabile , cartografia opereaz ă cu aș a-numitele
proiecții cartografice; acestea permit ob ținerea unui transfer controlat al
punctelor de pe suprafe țele sferice și elipsoidale pe suprafe țe curbe
desfășurabile , în vederea realiz ării reprezent ărilor plane sub form ă de hă rți.
F o t o g r a m m e t r i a este un ansamblu de tehnici pentru
reprezentarea în plan a suprafe ței terestre , bazat pe imaginile fotografice
metrice (fotograme). Imaginile fotografice ale suprafeț ei terestre sunt
preluate , în general , de la în ălțime (din aer sau din cosmos). Stereofoto-
grammetria opereaz ă cu cupluri de fotograme (imagini ale aceleia și porțiuni
de teren , preluate din dou ă sau mai multe puncte diferite). Exploatarea
stereoscopic ă a acestor cupluri de fotograme face posibil ă reprezentarea
reliefului. Ob ținerea reprezent ărilor plane este posibilă prin examinarea
imaginilor fotografice în cadrul unui proces numit fotointerpretare , care
conduce la identificarea obiectelor și la evaluarea dimensiunilor spa țiale ale
acestora.
T e l e d e t e c ț i a este o ramur ă mai recent ă a măsurătorilor
terestre , care utilizeaz ă tehnologii de vârf pentru studiul de la distan ță al
suprafeței și chiar al subsolului P ământului sau ale altor planete. Dac ă în
fotogrammetrie informa ția referitoare la suprafa ța studiată este transmis ă
prin intermediul luminii ș i stocată pe pelicula fotografic ă , în teledetec ție
purtătorii de informa ție sunt undele electrom agnetice din spectre de
frecvență diferite de cel al luminii (unde acustice , infra sau supraacustice ,
unde radio , radar , etc.) , care se stocheaz ă pe înregistr ări magnetice sau de
alt fel. Valorile înregistrate ale intensit ății și variațiilor acestor câmpuri
electromagnetice purt ătoare de informa ții se coreleaz ă cu caracteristicile
obiectelor sau fenomenelor studiate , în cadrul procesului de calibrare a
înregistrărilor , dup ă care aceste înregistr ări se pot transforma în imagini
neconven ționale (electronice) ale suprafe țelor studiate. Exploatarea acestor
imagini permite ob ținerea de reprezent ări sub form ă de hărți ale suprafe ței
studiate sau determinarea unor caracteristici fizice și dimensionale ale unor
obiecte. Studiul prin teledetec ție al unei zone se poate repeta la intervale
mici de timp , astfel că se poate surprinde dinamica modific ărilor obiectelor
și fenomenelor , fapt care confer ă teledetec ției un avantaj important.
În momentul de fa ță , dezvoltarea extraordinar ă a informaticii și a
tehnologiilor electronice de m ăsurare dau o nouă dimensiune domeniului
măsurătorilor terestre , prin cre șterea vitezei , preciziei și a posibilit ăților de
lucru în acest domeniu.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 3
1.1 Scurt istoric al m ăsurătorilor terestre

Începuturile m ăsurătorilor terestre coboar ă în timp pân ă în neolitic ,
fiind legate de teritoriile pe care s-au dezvoltat vechile civiliza ții ale lumii.
Deși nu există dovezi scrise , construc țiile megalitice demonstreaz ă
existența , în acea perioad ă , a unor cuno ștințe de astronomie , de geometrie
și de măsurare.
Cele mai vechi dovezi care atest ă preocup ări științifice privind
măsurătorile terestre provin de la civiliza țiile antice sumerian ă , babilonian ă,
egipteană , greco-roman ă , indiană și chineză. Cea mai veche reprezentare
topografic ă a unui teritoriu este realizat ă pe o plăcuță de lut , datat ă la anul
3000 î.H. ș i a fost descoperit ă lângă localitatea Kirkuk din Iraq. Pe aceast ă
plăcuță sunt gravate ape curg ătoare , mun ți , aș ezări omeneș ti și inscripțiile
pentru punctele cardinale Est și Vest.
De la civiliza țiile sumerian ă și babilonian ă provine câte o pl ăcuță de
lut , una dintre acestea cu harta lumii (P ământul este reprezentat sub forma
unui disc) , respectiv cealaltă cu planul oraș ului antic Nippur.
Cea mai veche hart ă păstrată până în prezent este realizat ă pe
pergament și datează din vremea faraonului Seti I (1304-1290 î.H). Pe
această hartă sunt reprezentate dou ă șiruri de mun ți între care se afl ă două
drumuri , de-a lungul unor v ăi care duc spre mare ș i pozițiile unor exploat ări
miniere.
Cele mai vechi etaloane de lungi me cunoscute sunt cel de la Lago ș
(Mesopotamia) și cel egiptean (cotul lui Amenhotep-anul 1550 î.H.).
Observa țiile astronomice -legat e de eclipsa de lun ă din anul 4400 îH
și de eclipsa par țială de soare din anul 2700 îH-e fectuate în Egiptul Antic
sunt atestate documentar.
Începutul utiliz ării acului magnetic este datat în anul 2673 îH, în
China și tot aici au fost descoperite dou ă hărți reprezentate foarte exact, la
scară, pe pânză de mătase, acestea provenind din timpul dinastiei Han(anul
200 îH).
Civiliza ția greco-roman ă a contribuit substan țial la dezvoltarea
măsurătorilor terestre înc ă din secolele VII-VI îH, când școala din Milet a
adoptat concep ția materialist ă asupra fenomenelor naturale. În aceast ă
perioadă, școala lui Pitagora din Samos(540- 500 îH) emite teoria sfericit ății
Pământului. Această teorie este explicat ă mai târziu de filosoful Aristotel
din Stagira(384-322 îH), elev al lui Platon, prin vestitul exemplu al
dispariției la orizont al ca targului unei cor ăbii.
Ideea heliocentrismului a fost emis ă de un discipol al școlii din
Samos, Aristarh(310-230 îH), care în anul 265 îH a realizat și o determinare
a distanțelor Pământ-Lun ă și Pământ-Soare. Cu 25 de an i mai târziu va fi

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 4
realizată cea mai renumit ă măsurătoare a antichit ății, de că tre Eratostene din
Cirene(275-194 îH) și anume determinarea lungimii meridianului terestru ,
pe baza m ǎsurǎrii a dou ǎ elemente: distan ța dintre ora șele egiptene
Alexandria și Sienne(Assuan)-situate pe acela și meridian terestru- și a
unghiului la centrul P ǎmântului corespunzǎ tor acestei distan țe. Rezultatul
acestei determin ări este remarcabil, pentru epoca respectiv ă, el diferind doar
cu circa 350 km față de valoarea acceptat ă astăzi(40008 km ).
Introducerea no țiunilor de latitudine și longitudine, prin împ ărțirea
paralelelor și meridianelor în grade se datoreaz ă geografului Hiparh din
Niceea (190-125 îH). Tot aces ta a pus bazele proiec țiilor cartografice
(proiecția stereografic ă) pentru reprezentarea suprafe țelor terestre în plan.
O oper ă geografic ă foarte important ă a antichit ății a fost realizat ă de
Strabo (63 îH-19 dH) și se nume ște “Geographica”; aceasta este realizată în
17 volume și cuprinde numeroase informa ții regionale și generale. Cel mai
mare geograf și cartograf al antichităț ii este îns ă considerat Claudiu
Ptolemeu (90-168 dH), care a rea lizat “Tratatul de astronomie” și “Tratatul
de geografie matematic ă”, acesta din urm ă fiind însoț it de 27 de hă rți, care
constituie primul atlas geografic cunoscut. Ptolemeu introduce no țiunea de
proiecție conică dreaptă și expune sistemul lu mii bazat pe teoria
geocentric ă, teorie comb ătută, în sec. XII , de c ătre astronomul arab Al
Bitrogi (supranumit Alpetragius), în lucrarea sa “Despre mi șcarea
corpurilor cere ști” și, mai târziu, în anul 1510, de c ătre Nicolaus Copernicus
(1473-1543), în lucrarea sa “Mic comentariu”.
În perioada Evului Mediu are loc o acumulare treptat ă a
cunoș tințelor de matematici, fizic ă, chimie, etc. , se realizeaz ă călătorii și
schimburi de cuno ștințe între diferitele civiliza ții ale globului.
O pierdere important ă a acestei perioade este incendiul bibliotecii din
Alexandria (anul 640), în urma c ăruia multe din crea țiile antice sunt
pierdute. Aceast ă mare pierdere va fi compensat ă treptat prin înfiin țarea
primelor universit ăți europene în Bologna (anu l 1088), Salerno (anul 1150),
Paris (anul 1160), Oxford (1167) și altele, care vor contribui la o nou ă
revoluție științifică, ce va atinge un apogeu în epoca Rena șterii, după anul
1450. Exist ă mărturii ale evolu ției continui a m ăsurătorilor terestre și în
Evul Mediu. Astfel, geograful și cartograful arab Edrisi (1099-1165) a
întocmit un atlas geografic cu 71 de h ărți, însoțit de lucrarea “Recrea ții
geografice”, în care sunt cuprinse numeroase informa ții geografice ș i
istorice referitoare la ținuturi din Africa și Asia. În secolele XII-XIII apar
“portolanele”-h ărți maritime portugheze, care de și nu au o bază cartografic ă
științifică, conț in numeroase informa ții privind porturile, punctele de
aprovizionare, duratele de parcurs, etc. , pentru diferite trasee maritime, care

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 5
au rămas multă vreme secrete. Aceste informa ții au fost cuprinse în a șa-
numitele “c ărți pilot”, înso țitoare ale acestor h ărți.
Rena șterea a adus cu sine o revolu ție spectaculoas ă în toate
domeniile, astfel c ă măsurătorile terestre au beneficiat de foarte multe noi
descoperiri. Dintre momentele impor tante ale acestei perioade merit ă să fie
subliniate urm ătoarele:
-se face cunoscută teoria heliocentrismului, a lui Nicolaus Copernicus, în
anul 1510;
-în anul 1552 cartograful flamand Mercator inventeaz ă proiecția cartografic ă
ce-i poartă numele; tot Mercator întocme ște în anul 1569 harta nautic ă a
lumii, utilizând proiec ția cilindric ă proprie;
-în anul 1576 germanul Erasmu s Habermehl (1538-1606) inventeaz ă un
aparat pentru m ăsurarea unghiurilor verticale și orizontale, precursor al
teodolitului;
-în anul 1580 italianul Gi ovani Battista inventeaz ă luneta;
-în perioada 1576-1580 se pun bazele triangula ției prin lucr ările danezului
Tycho Brahe; triangula ția va fi dezvoltată mai târziu de Snellius;
-se construie ște telescopul, de că tre G. Galilei, în anul 1609;
-se inventează dispozitivul de citire cu vernier, de c ătre Pierre Vernier, în
anul 1631;
-mecanicul F. Thevenot construie ște nivela toric ă în anul 1669; în acela și an
abatele francez J. Picard utilizeaz ă un aparat la care luneta este prev ăzută cu
reticul;
-olandezul Brunning inventeaz ă mira gradată în anul 1769;
-este construit teodolitul de c ătre englezul J. Ramsden, în anul 1770;
-în anul 1795, inventatorul francez Alexis Marie Rochon construieste
telemetrul optic;
-nivela cu lunetă este construit ă în anul 1806 de c ătre Pierre Egault des
Noes;
-în anul 1847 sunt puse bazele nivelmentului de precizie, odat ă cu execu ția
nivelmentului la canalul de Suez;
-inventarea fotogrammetriei (procedeu pentru ridica rea de relevee
topografice prin fotografiere) este realizat ă în anul 1880 de că tre francezul
Aimé Laussedat (1819-1907);
-în anul 1919 inginerul francez G. Poivilliers pune bazele
stereofotogrammetriei prin cons truirea unui aparat de restitu ție a imaginilor
stereoscopice luate din avion; în acela și an ora meridianului zero
(Greenwich) este introdus ă ca oră universal ă.
Secolul XX a determinat o evolu ție spectaculoas ă a măsurătorilor
terestre, odată cu devoltarea electronicii și a zborurilor cosmice. În

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 6
momentul actual acest domeniu beneficiaz ă de tehnologii de vârf, care
conduc la o acurate țe deosebit ă și la automatizarea lucr ărilor.
În spa țiul românesc, de și există relativ pu ține izvoare istorice înainte
de secolul al XVIII-lea se poate presupune c ă preocupările în domeniul
măsurătorilor terestre au mers în paralel cu cele europene, deoarece în anul
1737 este tipă rită la Haga prima hart ă a Moldovei realizat ă de D. Cantemir,
iar în Muntenia, Alexandru Ipsilant e emite în 1780 Pravilniceasca Condic ă,
în care sunt cuprinse normele referi toare la exercitarea profesiunii de
hotarnic. De altfel, în anul 1833, Regulamentul Organic va statuta c ă
lucră rile specifice acestei profes iuni trebuie executate de c ătre ingineri.
Primul plan al ora șului Iași este realizat în anul 1769 și tot aici, în
1814 este înfiin țată de către Gh. Asachi prima școală de ingineri hotarnici,
care a scos prima promo ție de absolven ți în anul 1819. Tot la Ia și apare
primul tratat de topografie în limba român ă, în anul 1854, autorul s ău fiind
Dimitrie Asachi.
În perioada 1872-1892 se execut ă în Moldova și Muntenia primele
ridică ri topografice de anvergur ă, pentru necesit ățile armatei. În anul 1890,
sub îndrumarea astronomului C. C ăpităneanu se pun bazele triangula ției
generale a României.
Odat ă cu înfiin țarea Direc ției Cadastrului (1919), lucr ările
topografice au vizat o suprafa ță de 10 milioane hectare, ridicat ă până în anul
1930, când se adopt ă în România sistemul de proiec ție stereografic.
În anul 1951 se introduce și sistemul de proiec ție Gauss-Kr űger cu
elipsoidul de referin ță Krasovski, iar în 1958 ia fiin ță Centrul de
fotogrammetrie.
Dup ă anul 1989 România adopt ă tehnologiile moderne cum sunt
sistemul de poziț ionare global ă (GPS), sta țiile totale, înregistr ările de
teledetecție satelitar ă și noile genera ții de calculatoare și aparate de scanat.
Toate acestea, înso țite de programele de calculator specifice conduc la
automatizarea unui însemnat segment al domeniului, la cre șterea preciziei
de măsurare și a vitezei de prelucrare a date lor, contribuind la modernizarea
integrală a măsurătorilor terestre.

1.2 Locul și importan ța topografiei

De la prima reprezentare topografic ă cunoscut ă a unui teritoriu și
până astăzi s-au scurs cinci milenii în care topografia a avut o evolu ție
continuă. Dat fiind puternicul s ău caracter aplicativ, în momentul de fa ță nu
se poate concepe practic nici o lucrare de construc ții, cadastru, etc. care s ă
nu fie înso țită de măsurători topografice. Mai mult, diferite alte activit ăți
economice și sociale impun cunoa șterea teritoriului din punct de vedere al

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 7
poziției, formei m ărimii și al detaliilor, care pot fi naturale (munti ape,
păduri etc.) sau artificiale (drumuri, cl ădiri, construc ții hidrotehnice etc.).
Toate acestea presupun m ăsurarea și reprezentarea suprafe țelor de teren sub
formă de planuri topografice sau h ărți, care redau la scar ă redusă atât
imaginea de ansamblu cât și elementele componente ale teritoriului
considerat, cu o precizie corespunz ătoare cerin țelor.
De asemenea, aplicarea pe teren a construcț iilor proiectate de orice
tip și urmărirea în timp a deforma țiilor unor construc ții hidrotehnice,
industriale sau civile de mare importan ță impun realizarea de m ăsurători și
calcule topografice.
Prin caracterul s ău aplicativ, topografia ș i-a creat metode speciale de
măsurare, calcul și reprezentare, în func ție de domeniul vizat, astfel c ă în
momentul de fa ță are ramuri specifice, ca de exemplu: topografie pentru
lucră ri hidrotehnice, topografie cadastral ă, topografie minieră , pentru
construcții, silvică etc.
În concluzie, lucră rile topografice permit schimbul, vânzarea sau
transmiterea prin mo ștenire a proprietăț ilor funciare, organizarea și
echiparea suprafe țelor urbane, agricole și silvice, realizarea și urmărirea în
timp a construc țiilor, deschiderea și dezvoltarea exploat ărilor miniere,
inventarierea, utilizarea și protecția apelor și multe altele, care atest ă
impotanța sa economic ă.
Din punct de vedere tehnologic și științific, topografia contribuie
continuu la îmbun ătățirea metodelor de m ăsurare, a calculului matematic, cu
care opereaz ă din plin ș i a multor domenii ale cunoa șterii.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 8
Cap. 2 No țiuni de geodezie

2.1 Configuraț ia Pământului ș i aproximarea formei acestuia

Planeta noastr ă are neregularit ăți ale scoar ței, caracterizate prin
înălțimi până la 8848m (vârful Everest, Hymalaya) și adâncimi pân ă la
11033m (fosa Mariane, Oceanul Pacific), fa ță de nivelul m ărilor deschise.
Rezult ă că amplitudinea maxim ă a denivelă rilor scoar ței terestre este
de 19,881 km, ceea ce reprezint ă doar 0,31% din raza ecuatorial ă a
Pământului (6378,136 km).
Zona de uscat prezint ă altitudini medii care variaz ă între 340m
(Europa și Australia) și 2263m (Antarctica). Altitudinea medie ponderat ă a
uscatului este de 847,99m, adic ă 0,0133% din raza terestră .
În zona oceanic ă se întâlnesc adâncimi medii între 3330m (în
oceanele Atlantic și Arctic) ș i 4030m (în oceanul Pacific), media global ă
ponderată fiind de 3796,71m, adic ă 0,0595% din raza P ământului.
Suprafe țele ocupate de uscat și de oceane sunt respectiv, de 41,29%
și 58,71%.
Din elementele prezentate rezult ă că suprafața planetei noastre nu
poate fi exprimat ă din punct de vedere matematic printr-o rela ție general ă,
dar dacă se ia în considerare o eroare acceptabil ă, aceasta se poate aproxima
cu suprafa ța unui corp geometric regulat.
Aceast ă aproximare creeaz ă, pe de o parte, tocmai posibilitatea
studiului formei P ământului și pe de alt ă parte permite exprimarea
coordonatelor punctelor geodezice de pe un anumit teritori u, într-un sistem
unitar.
Se cunoș te că încă din antichitate sfera a fost o prim ă idealizare a
formei Pământului. Aproximarea suprafe ței terestre cu suprafa ța unei sfere
de rază medie este utilizat ă și în momentul de fa ță datorită faptului că
poziția unui punct pe sfer ă se exprim ă foarte ușor în raport cu un sistem de
axe de coordonate cartezian spa țial având originea în centrul sferei (raza
sferei medii utilizat e în momentul de fa ță în geodezie și cartografie este de
6367.435 km).
După anul 1669, determin ările din ce în ce mai precise de lungimi de
arce de meridian de 10, efectuate la diferite latit udini pe globul terestru au
condus la concluzia c ă meridianul nu este un cerc (cum este normal în cazul
sferei), ci prezintă turtiri în regiunea polilor tere ștri Nord și Sud, cu alte
cuvinte meridianul este o elips ă, cu axa mică pe direcția Polul Nord-Polul
Sud și cu axa mare în planul ecuatorului terestru. Prin rotirea acestei elipse
în jurul axei sale mici (linia polilor) ia na ștere un corp geometric regulat,
elipsoidul de rota ție, a cărui suprafa ță o aproximeaz ă foarte bine pe cea a

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 9
globului terestru, acesta fiind un al doilea tip de idealizare a formei
Pământului.
Determin ările semiaxelor elipsei meri diane a elipsoidului de rota ție
au făcut obiectul m ăsurătorilor și calculelor efectuate de-a lungul timpului
de către oameni de știință din diferite țări, cu scopul de a ob ține un sistem de
referință unic de puncte geodezice pe ntru reprezentarea suprafe țelor țărilor
respective. Deoarece orice opera ție de măsurare este afectată de erori,
rezultatele acestor determin ări au diferit în func ție de num ărul și precizia
măsurătorilor și de algoritmul de calcul utilizat, astfel c ă la primul Congres
al Uniunii Interna ționale de Geodezie și Geofizic ă de la Roma, din anul
1924 s-a convenit s ă se adopte un elipsoid interna țional, care s ă devină
sistem de referin ță unic pentru exprimarea pozi ției punctelor geodezice din
diferite țări. Elipsoidul adoptat a fost cel determinat de Hayford, dar țările
care aveau la vremea respectiv ă rețele geodezice dezvoltate au continuat s ă
folosească elipsoizii proprii, adoptaț i anterior (de exemplu, în România era
utilizat anterior elipsoidul determinat de Bessel). Datorit ă acestui fapt, între
rețelele de puncte geodezice ale țărilor vecine nu exista concordan ță, ceea ce
a dus la situa ția ca pentru acela și punct de pe o grani ță oarecare,
coordonatele determinate de țările vecine s ă difere uneori foarte mult. Acest
lucru a împiedicat mult ă vreme ob ținerea unei h ărți unice precise a globului
terestru.
În prima jum ătate a seculului XX, odat ă cu creșterea traficului aerian
și maritim interna țional s-a pus problema exprim ării poziției punctelor
geodezice de pe P ământ într-un sistem unitar, deci adoptarea unui elipsoid
unic, al c ărui centru geometric s ă corespundă și cu centrul de atrac ție al
Pământului. Pentru aceasta a fost necesar ă cunoașterea caracteristicilor
fizice ale planetei noastre, care permit realizarea de leg ături precise între
pozițiile punctelor de pe scoar ța terestră (puncte geodezice reale) și
imaginile acestora pe elipsoidul adoptat. Dou ă dintre caracteristicile fizice
ale planetei sunt foarte importante pentru acest scop și anume viteza de
rotație a Pământului în jurul axei proprii și valoarea accelera ției
gravitaț ionale în diferite puncte pe glob. M ăsurarea cu precizie a acestor
elemente a fost posibil ă odată cu realizarea gravimetrelor și a ceasurilor
electronice de precizie . Determinarea poten țialului de atrac ție în diferite
puncte pe glob a condus la g ăsirea unei suprafe țe echipotenț iale specifice
planetei noastre, numită geoid , care este o idealizare de tip fizic a formei
Pământului. Geoidul este o suprafa ță echipoten țială, al că rei poten țial,
constant, este dat de atrac ția gravita țională. Geoidul este deci o suprafa ță de
nivel a poten țialului gravita țional, care ar putea fi imaginat ă ca suprafa ța
liniștită a oceanului planet ar, care se prelunge ște pe sub continente.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 10
O proprietate important ă a acestei suprafe țe este aceea c ă direcția
forței de gravita ție se confundă cu normala la suprafa ță în orice punct
considerat. Acest fapt permite realizarea de leg ături între m ăsurătorile
geodezice și topografice efectuate pe suprafa ța reală a Pământului și geoid,
deoarece aparatele topografice utilizeaz ă în procesul de m ăsurare două
direcții importante: verticala locului (direc ția forței de gravitaț ie) și
orizontala locului (tangenta la suprafa ța geoidului în punctul respectiv,
perpendicular ă pe direcția forței gravitaționale).
Dac ă Pământul ar fi omogen ș i nu ar avea miș care de rota ție în jurul
axei proprii, geoidul corespunz ător unei astfel de situa ții ar avea form ă
sferică. În realitate, forma geoidului este infuen țată de mișcarea de rota ție,
dar și de reparti ția neuniform ă a continentelor și oceanelor pe suprafa ța
globului terestru.
Datorită mișcării de rota ție, intensitatea poten țialului terestru scade de la cei
doi poli c ătre ecuator, determinând o deformare de tip eliptic a P ământului,
adică o curbare a suprafeț ei acestuia c ătre poli, sau altfel spus distan ța de la
suprafață până la centrul de atrac ție este mai mic ă la poli decât la Ecuator,
deci raza polar ă este mai mic ă decât raza ecuatorial ă, în condi țiile în care
potențialul pe geoid este constant. Astfel se explic ă faptul că unei diferen țe
de potențial gravita țional oarecare îi corespunde o distan ță pe vertical ă mai
mare la Ecuator și mai mic ă la poli, adic ă distanț a vertical ă între dou ă
suprafețe de nivel (cu dou ă potențiale constante diferite) este mai mic ă la
poli și mai mare la Ecuator.
În condi ții de rota ție în jurul axei proprii, dac ă Pământul ar fi
omogen, geoidul ar avea forma unui el ipsoid perfect. În realitate masele
continentale și oceanice distribuite di ferit, conduc la o varia ție a intensit ății
potențialului, care se manifest ă atât de la Nord spre Sud, cât și de la Est
către Vest, iar aceast ă variație se suprapune cu cea datorat ă vitezei de rota ție
în jurul axei. Neuniformitatea intensit ății potențialului este și mai mare dac ă
iau în consideraț ie forț ele cosmice de atrac ție, în special cea a Lunii, care
conduce la varia ții ale nivelului oceanului pl anetar terestru (maree), cu
amplitudini diurne de pân ă la 19,5 m.
Datorit ă variațiilor neuniforme ale intensităț ii potențialului terestru,
suprafața geoidului este u șor ondulat ă (adică se produce o u șoară deviere a
verticalei fa țǎ de normala la suprafa ța elipsoidului și o ușoară turtire
ecuatorială a acestuia). Cu toate acestea geoidul are avantajul c ă se poate
utiliza drept suprafa ță de referin ță pentru exprimarea adîncimilor și
altitudinilor și, în plus este foarte apropiat de un elipsoid de rota ție. Între
centrul geometric al elipsoidului de rota ție, cu care se aproximeaz ă geoidul
(elipsoidul de referin ță) și centrul de atrac ție terestru se pot realiza corela ții,
pe baza m ăsurătorilor gravimetrice.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 11
Astfel punctele geodezice reale de pe scoar ța terestră pot fi transpuse
ca imagini pe elipsoidul de referin ță, cunoscând semiaxele elipsei meridiane
a acestuia și câmpul for țelor de atracț ie.
Pentru exemplificare, în tabelul 2.1 se prezint ă parametrii medii ai
elipsoidului univers al, propus la a XVIII-a Adunare General ă a Asociaț iei
Internaționale de Geodezie, în anul 1983. În anul 1984, ca urmare a utiliz ării
determinărilor efectuate cu ajutorul sistemului satelitar de pozi ționare
globală (GPS), parametrii elipsoidului de referin ță s-au recalculat și s-a
propus un nou elipsoid mondial de referin ță denumit WGS 84, cu parametri
apropiați de cei propu și în anul 1983.

Tabel 2.1 Parametrii medii ai elipsoidului de referin ță universal-1983
Nr.
crt. Parametri fundamentali Valori Unități de masură
1 Raza ecuatorial ă a Pământului 6378136 m
2 Turtirea polar ă 1:298.257 –
3 Turtirea ecuatorial ă 1:90000 –
4 Longitudinea axei mari a
elipsei ecuatoriale 150 Vest grad sexagesimal
5 Viteza unghiular ă de rotație 7.29 10-5rad/s
6 Gravitatea la ecuator 9.78 m/s2
7 Potenț ialul geoidului 62636860 m2/s2

2.2 Sisteme de coordonate carteziene și geografice

Sfera de raz ă medie și elipsoidul de rotaț ie, cu care se aproximeaz ă
forma Pământului sunt corpuri ca re pot fi definite în raport cu un sistem de
coordonate carteziene spa țial, Oxyz.
Astfel, sfera (fig. 2.1) în raport cu si stemul cartezian car e are originea în
centrul să u geometric are ecua ția:

(2.1) 02 2 2 2= − + +R z y x

Elipsoidul de rota ție (fig. 2.2 ), în raport cu sistemul cartezian având
originea în centrul geometric al acestuia are ecua ția:

0 122
22 2
= − ++
cz
ay x (2.2)

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 12
unde a este semiaxa mare (ecuatorial ă) și c-semiaxa mic ă (polară) ale elipsei
meridiane.
Cercul meridian, în cazul sferei sau elipsa meridiană în cazul elipsoidului se
obțin prin intersec ția acestor corpuri cu un plan care con ține axa Oz a
sistemului cartezian (care coincide cu axa polar ă a Pământului). Prin
intersecția acestor corpuri cu planul care con ține axele Ox și Oy se ob ține
cercul ecuatorial.
Orice punct, A, de pe suprafa ța sferei sau a elip soidului reprezint ă
imaginea unui punct real de pe scoar ța terestră și are pozi ția determinată
prin coordonatele carteziene x A, yA, zA (fig.2.1 ș i fig. 2.2).
xz
yz
y
xO R
Ra
caOAA
xAyAzA
xAyAzA2
12
1
SV V
S

Fig . 2.1 Sfera terestră de rază medie Fig. 2.2 Elipsoidul de referin ță
1-cercul ecuatorial ; 2-cercul meridian; 1-cercul ecuatorial ; 2-elipsa meridian ă;
x A , y A , zA -coordonate carteziene ale x A , y A , zA -coordonate carteziene ale
punctului A pe sfera de raz ă medie punctului A pe elipsoidul de referin ță

Exist ă însă posibilitatea ca pozi ția punctului A de pe suprafa ța sferei
sau de pe elipsoid să fie exprimat ă prin două valori unghiulare numite
coordonate geografice . În cazul sferei (fig. 2.3) se consider ă semicercul
meridian de origine, care conț ine axele Ox și Oz și semicercul meridian care
conține axa Oz și punctul A. Aceste dou ă semicercuri se intersecteaz ă după
axa Oz, formând unghiul diedru λa, denumit longitudine geografic ă
astronomic ă. Normala la sfer ă în punctul A, trece prin centrul sferei și
formează cu proiec ția sa pe planul ecuatorului unghiul φa, denumit
latitudine geografic ă astronomic ă. Se poate obseva c ă orice punct de pe
semicercul meridian al punctului A, are aceea și longitudine cu cea a
punctului A. De asemenea, se poate intui c ă toate punctele de pe sfer ă care
au coordonatele z egale cu z A, formeaz ă pe suprafa ța sferei un cerc al c ărui

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 13
plan este paralel cu planul ecuatorului. Normalele la sfer ă în toate punctele
de pe acest cerc (numit și paralel) formeaz ă același unghi cu proiec țiile lor
în planul ecuatorului, deci punctele de pe paralel au aceea și latitudine cu cea
a punctului A. În cazul elipsoidului (fig. 2.4) se consider ă semielipsa
meridiană de origine, care con ține axele Ox și Oz și semielipsa meridian ă a
punctului A, care con ține axa Oz și punctul A. Aceste dou ă semielipse se
intersecteaz ă dupa axa Oz ș i formeaz ă unghiul diedru λ, denumit
longitudine geografic ă elipsoidic ă. Normala la suprafa ța elipsoidului în
punctul A, intersecteaz ă axa polilor într-un punct diferit de centrul
geometric al elipsoidului și formeaz ă cu proiec ția sa pe planul ecuatorului
unghiul φ, denumit latitudine geografic ă elipsoidic ă. Ca ș i în cazul sferei
toate punctele situate pe aceea și semielips ă meridian ă au aceeași longitudine
și toate punctele care au acelea și coordonate z se situeaz ă pe un cerc paralel
cu planul ecuatorial, având aceea și latitudine.
x
1VR4
SROA
R
3
2y5
AzAz
a
xVa
1ScO4
zAz
23y5
A
A
Fig. 2.3 Coordonate geografice Fig . 2.4 Coordonate geografice
astronomice elipsoidice
1-meridianul zero ; 2-meridianul punctu lui A ; 1-meridianul zero ; 2-meridianul punctului A
3-Ecuator; 4-paralelul punctului A ; 3-Ecuator ; 4-paralelul punctului A ;
5-normala punctului A 5-normala punctului A

Trebuie remarcat faptul c ă două puncte, unul de pe sferă și celă lalt
de pe elipsoid, care au aceea și coordonat ă z (în sistemul cartezian spa țial) și
corespund ca imagine aceluia și punct de pe suprafa ța fizică a Pământului, nu
vor avea latitudinea și longitudinea astronomice egale cu latitudinea și
longitudinea elipsoidice, datorit ă faptului c ă, pe de o parte, normala la sfer ă
în puntul respectiv trece prin centrul sf erei iar normala la elipsoid în acest
punct nu trece prin centrul s ău și, pe de alt ă parte, între normalele respective

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 14
și direcția verticalei locului (sau normalei la geoid) exist ă un unghi denumit
deviația verticalei.
Diferenț ele de latitudini și longitudini astronomice și elipsoidice
pentru acela și punct sunt relativ mici (de ordinul secundelor) îns ă
transformate în diferen țe de distan țe ele sunt mari (chiar de ordinul sutelor
de metri). Prin urmare nu trebuie s ă se confunde aceste dou ă categorii de
coordonate geografice, între care exist ă relațiile de leg ătură de forma:

φ = φ a –ξ
λ = λ a – η . secφ (2.3)

în care : φ este latitudinea elipsoidic ă ;φa – latitudinea astronomic ă ;λ –
longitudinea elipsoidică ;λa – longitudinea astronomic ă ;ξ – devia ția
verticalei în planul meridian ; η – deviaț ia verticalei în planul primului
vertical (plan perpendicular pe planul meridian, care con ține normala la
elipsoid în punctul considerat).

2.3 Legătura între sistemul de coordonate cartezian spa țial și cel
geografic elipsoidic

Așa cum s-a ară tat, elipsoidul de referin ță pământesc este generat
prin rotația unei elipse meridiane în jurul axei sale mici, care coincide cu
axa polilor geografici ai P ământului. Principalii parametri care
caracterizeaz ă acest elipsoid sunt :
-semiaxa mare (ecuatorial ă) a elipsei meridiane, notat ă cu a ;
-semiaxa mică (polară) a elipsei meridiane, notat ă cu c ;
-turtirea elip soidului, notată cu α , având expresia:

ac a−=α (2.4)

– prima excentricitate, notat ă e, deductibil ă din relația:

22 2
2
ac ae−= (2.5)

– a doua excentricitate, notat ă e’ , determinată din relația:
22 2
2
cc ae−=′ (2.6)

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 15
– parametrul auxiliar, q, rezultat din expresia:

caq2
= (2.7)

– funcțiile fundamentale, W și V, care pentru un punct de calcul de latitudine
φ au expresiile:
W2 = 1- e2 sin2φ
V2 = 1+ e,2 cos2φ (2.8)

Poziția unui punct oarecare pe suprafa ța elipsoidului de referint ă se poate
exprima prin coordonatele cartezi ene x, y, z sau prin coordonatele
geografice elipsoidice φ, λ. Legă tura între aceste coordonate pentru un punct
oarecare (fig. 2.5) este realizat ă prin ecua țiile parametrice ale elipsoidului de
referință:

x = N cos φ . cos λ y = N cos φ sin λ z = N(1+e2) sin φ (2.9)

unde : N = a/W = q/V este raza de curbură a primului verti cal, iar celelalte
elemente au fost ar ătate mai sus.
Ca elipsoid de referin ță se alege acel a care are suprafa ța cea mai
apropiată de cea a geoidului terestru, mo tivul fiind reducerea la minimum
posibil a devia țiilor între verticala unui punct de pe geoid și normala în
punctul corespunz ător la elipsoid. În cursul timpului, diferi ți geodezi au
determinat parametrii el ipsoidului de referin ță, cu precizii mai bune sau
mai slabe, în func ție de num ărul și calitatea m ăsurătorilor geodezice,
astronomice și gravimetrice efectuate în di ferite puncte de pe glob.
Începând cu anul 1841, cele mai bune precizii au fost ob ținute de c ătre
Bessel, Clarke, Helmert, Hayford și Krasovski. Elipsoidul determinat de
Krasovski în anul 1940 a fost a doptat ca elipsoid de referin ță pentru
România în anul 1951. Acest elipsoid are urm ătorii parametri calcula ți:

-semiaxa ecuatorial ă a=6378245,000m;
-semiaxa polar ă c=6356863,019m;
-turtirea α=0,00335233;
-prima excentricitate e2=0,00669342;
-a doua excentricitate =0,00673853; 2e′
-factorul auxiliar q=6399698,902m.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 16
A
xVa
SO
xA
czAzAz
yAy

Fig 2.5 Legă tura între coordonatele carteziene și cele geografice

În prezent ace ști parametri sunt determina ți cu o precizie mult mai bun ă
datorită introducerii m ăsurătorilor electronice de distan țe, a programelor
geodezice satelitare și a calculului electronic.

2.4 Legătura între suprafa ța fizică a P ământului ș i elipsoidul de
referin ță. Rețele geodezice

Dup ă cum s-a ar ătat, corpul cu forma cea mai apropiat ă de cea a
Pământului este geoidul, care îns ă nu permite exprimarea matematic ă a
legăturii dintre pozi țiile diferitelor puncte de pe suprafa ța sa . Din acest
motiv geoidul este aproximat printr-un elipsoid de referin ță. Măsurătorile
însă, se realizeaz ă între puncte reale, existente pe suprafa ța
fizică(topografic ǎ) a planetei noastre. Pentru a corela aceste m ăsurători prin
relații matematice este necesar ca toate s ă fie raportate la suprafa ța
geometrică a elipsoidului de referin ță, deci să se găsească imaginile
punctelor reale ale scoar ței terestre pe suprafaț a elipsoidului. Acest lucru
este complicat deoarece, datorit ă unor factori ca neuniformitatea reliefului,
anomaliile gravita ționale etc. nu exist ă coinciden ță între verticala punctului
real, verticala transpusului acestui punct pe geoid și normala imaginii
punctului real pe elipsoid. Totu și, acceptând un anumit grad de aproximare
și simplificare exist ă metode care permit determinarea imaginilor punctelor
reale de pe scoarț a terestră , pe suprafa ța elipsoidului, ca de exemplu:

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 17
a) Metoda desfăș urării
În acest caz se alege un punct fizic (denumit punct fundamental)
pentru care se poate considera c ă imaginile sale pe geoid și pe elipsoid
coincid iar verticala punctu lui pe geoid este identic ă cu normala punctului
pe elipsoid. Ca date ini țiale se consider ă coordonatele geografice elipsoidice
ale punctului fundamental și un azimut determinat în acest punct (azimutul
este unghiul dintre meridianul punctului ș i o linie geodezic ă ce trece prin
punctul respectiv, m ăsurat în sens orar). Pornind din punctul fundamental se
pot determina coordonatele geodezice ale altor puncte fizice asupra c ărora
s-au efectuat m ăsurători, care s-au raportat în prealabil numai la suprafa ța
geoidului.
Această metodă de realizare a unei re țele de puncte ge odezice introduce
erori sistematice cu atât mai mari cu cât distan ța punctelor determinate fa ță
de punctul fundamental este mai mare, motiv pentru care este folosit ă doar
în cazul unor teritorii de întindere mic ă.
b)Metoda proiect ării
Aceasta (fig.2.6) const ă în transpunerea elementelor m ăsurate între
puncte de pe suprafa ța. fizică (unghiuri, direc ții, distan țe), la nivelul
elipsoidului, prin aplicarea unor corec ții. În acest fel se ob țin imaginile
punctelor de pe elipsoid. Pentru aceasta se pot utiliza dou ă procedee:

(E)(G)(S)
(N2) (N1)P1
P2(V)
(V1)P
P

Fig. 2.6 Transpunerea punctelor de pe suprafa ța fizică, pe elipsoid, prin
metoda proiect ării
Procedeul Pizzetti- traseul P-P1-P2 ; Procedeul Bruns-Helmert- traseul P-P P’
(V)-verticala punctului re al, P, de pe scoar ța terestră;
(V1)-verticala imaginii, P1, a punctului real, pe geoid;
P’și P2-imagini ale punctului real pe elipsoid, ob ținute prin cele dou ă procedee de proiectare

b1) Procedeul Pizzetti , care constă în transpunerea punctul ui real, P, de pe
suprafața fizică (S) a Pământului, în punctul P 1, de pe suprafaț a (G) a
geoidului, cu ajutorul vert icalei (V). Traseul dup ă care se face proiectarea

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 18
punctului P în P 1 nu păstrează direcția verticalei, ci se curbeaz ă datorită
anomaliilor gravita ționale. Punctul P 1 de pe geoid se proiecteaz ă în
continuare pe elipsoid (E) dup ă direcția normalei (N 1) la suprafa ța acestuia,
obținându-se punctul P 2, a că rui poziț ie poate fi exprimat ă prin coordonate
carteziene sau geografice.
Acest procedeu este relativ compli cat deoarece presupune determinarea
curburii verticalei pentru fiecare punct proiectat pe geoid, fapt care necesită
o cantitate mare de m ăsurători.
b2) Procedeul Bruns-Helmert constă în proiectarea direct ă a punctului real,
P, de pe suprafa ța fizică (S), pe suprafa ța elipsoidului (E) dup ă direcț ia
normalei (N 2) la suprafa ța acestuia, ob ținându-se punctul P’. Acest procedeu
este mai simplu și practic, fiind foarte utilizat.
Indiferent de procedeul utilizat, pe elipsoidul de referin ță se obț in
pozițiile imaginilor unor puncte reale, care pe scoarț a terestră sunt
materializate cu borne de beton. Aces te puncte sunt dispuse pe teren la
distanțe de ordinul 1-30 Km, astfel încât ele constituie vârfurile unei re țele
de triunghiuri al ăturate, numit ă rețea de triangula ție (fig. 2.7).

z
y
xOV
S

Fig 2.7 Re țele de triangula ție pe glob

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 19
Măsurătorile geodezice efectuate repetat asupra punctelor din aceast ă rețea
permit determinarea deforma țiilor pe care le sufer ă în timp scoar ța terestră.
În același timp aceste puncte permit s ă se facă trecerea la reprezentarea
suprafeței terestre în plan, prin adoptarea unui anum it sistem de proiec ție
cartografic ă. Prin proiec ția cartografic ă se face leg ătura între coordonatele
geografice elipsoidice al e punctelor de triangula ție și coordonatele
rectangulare plane ale acestor puncte. Detali ile mai mici de pe teren situate
între punctele re țelei de triangula ție se determin ă prin m ăsurători
topografice sprijinite pe punctele acesteia și se reprezint ă direct în planul de
proiecție adoptat.
Prin urmare m ăsurătorile geodezice au ca scop practic legarea
sistemelor rectangulare plan e de reprezentare, cu scoar ța terestră și cu
elipsoidul de referin ță, prin intermediul punctelor de triangula ție, fapt pentru
care aceast ă rețea se mai nume ște și rețea planimetric ă de sprijin.
Denumirea de re țea de triangula ție a derivat de la faptul c ă punctele
acesteia au fost determinate prin m ăsurători efectuate în principal asupra
celor trei unghiuri din fiecare triunghi al re țelei. Prin cre șterea preciziei la
măsurarea distan țelor pe cale electronic ă, în prezent exist ă astfel de re țele
ale căror puncte se determin ă prin măsurători efectuate în principal asupra
laturilor fiec ărui triunghi din re țea, acestea fiind denumite re țele de
trilaterație.
Re țelele planimetrice de triangula ție sau trilatera ție sunt rețele de tip
internațional si re țele de stat. Cele interna ționale au ca scopuri studiul
dinamicii formei P ământului, racord ările reprezentărilor cartografice de
ansamblu ale suprafeț ei terestre sau elemente de tip global. Reț elele
planimetrice de stat au scopuri na ționale de tip științific, economic, militar
etc. și sunt împ ărțite în ordine de importan ță.
În România exist ă -deș i este veche- o re țea planimetric ă ale cărei
puncte sunt împ ărțite în cinci ordine de importan ță (de la I pân ă la V).
Fiecare ordin difer ă prin: distan țele între puncte, prin forma triunghiurilor și
prin metodele și preciziile de m ăsurare și calcul. Re țelele de ordinul I și II
au aceeași destinație ca și rețeaua interna țională și constituie baza pentru
dezvoltarea întregii re țele planimetrice a României. Punctele re țelelor I și II
au distan țe medii de 13-25 Km. Re țelele de ordinul III-V sunt re țele de
îndesire care permit sprijinirea ridic ărilor topografice de detaliu, având
distanțe medii între puncte de 2-8 Km. În zonele aglomerate punctele de
ordinul V sunt dispuse la distan țe reduse (sub 1Km). În ultima vreme, prin
utilizarea sistemului satelitar de pozi ționare global ă (GPS), în România s-a
creat o rețea de puncte de sprijin de ordinul A și s-a trecut la crearea sta țiilor
GPS fixe de referin ță, modificându-se caoncep ția asupra re țelelor de sprijin.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 20
2.5 Problema exprim ării poziției pe verticală a punctelor.
Suprafe țe de nivel și rețele de nivelment

În ălțimea unui punct de pe scoar ța terestră se poate exprima prin
energia poten țială a acelui punct în raport cu centrul de atrac ție al
Pământului. Toate punctele care au acela și potențial formeaz ă o suprafa ță
echipoten țială sau o suprafa ță de nivel. Suprafaț a medie a oceanului planetar
este o suprafa ță echipoten țială denumit ă suprafață de nivel zero (geoid).
Prin două puncte cu poten țial diferit vor trece dou ă suprafeț e de nivel
diferite. Fiecare dintre aceste suprafe țe reprezint ă câte un poten țial constant,
care însă depinde de accelera ția gravita țională. Deoarece accelera ția
gravitaț ională variază în funcție de latitudine și adâncime, rezult ă că distanța
între aceste dou ă suprafeț e de nivel, m ăsurată pe vertical ă în diferite puncte,
variază (scade de la ecuator c ătre poli), deci cele dou ă suprafeț e de nivel nu
sunt paralele. Distan țele astfel considerate se denumesc cote ortometrice ale
punctelor de pe suprafa ța (S 2) în raport cu suprafa ța (S 1) (fig. 2.8)
Materializarea cotei suprafe ței de nivel zero se poate face doar la
țărmul m ării unde se marcheaz ă printr-un reper nivelu l mediu al apei în
punctul considerat. Un astfel de reper se nume ște zero fundamental și este
utilizat pentru determinar ea cotelor ortometrice ale punctelor de pe uscat pe
un teritoriu oarecare (de exemplu pentru o țară). Deoarece suprafa ța
geoidului nu este accesibil ă decât la țărmul mării cota unui punct de pe uscat
se va determina prin m ăsurători executate pe suprafa ța terenului din aproape
în aproape, plecând de la punctul zero fundamental (sau de la un punct de
cotă cunoscut ă determinat asem ǎnǎtor) până la punctul considerat.

1
221h1
h2
(S1)
(S2)
Fig. 2.8 Suprafeț e de nivel

Pe teren se m ăsoară diferența geometrică de nivel între punctul cunoscut și
cel necunoscut (fig. 2.9). Cota punctului necunoscut va rezulta prin
însumarea cotei punctului cunoscut și diferen ței de nivel între cele dou ă
puncte:

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 21
H1b= H 0 + Δh0-1 (2.10)

Cota astfel obț inută este o cot ă brută care nu ț ine cont de neparalelismul
suprafețelor de nivel și de efectul curburii și refracției atmosferice, care au
afectat m ăsurătoarea. Prin aplicarea acestor corec ții se ob ține cota
ortometric ă a punctului nou:
H1=H 1b +c 1 +c 2 (2.11)

unde c 1 este corec ția ortometric ă și c2 corecț ia de sfericitate și refracție
atmosferic ă.
Aceste corec ții se aplică în cazul determin ării cotelor punctelor din re țeaua
de sprijin pentru nivelment, dar pentru ridic ări nivelitice obi șnuite, unde
distanțele dintre puncte sunt mici se utilizeaz ă cotele brute conform rea ției
(2.10), deoarece erorile sunt foarte mici.

01
h0-1
H0H1
1

Fig. 2.9 Determinarea cotei unui punct nou
1-suprafa ță de referin ță

Re țeaua de puncte de sprijin pentru nivelment este format ă din
puncte marcate pe teren cu borne de beton, diferite de cele ale reț elelor
planimetrice de sprijin. Punctele de sprijin pentru nivelment sunt împ ărțite
în modul urm ător:
-re țele de tip α, numite și re țele de nivelment geometric geodezic;
-re țele de tip β, care îndesesc re țelele de tip α;
-re țele de tip local.
Rețelele de tip α sunt rețele de nivelment de înalt ă precizie împ ărțite în patru
ordine de importan ță (I-IV). Ele const ituie baza principal ă pentru ridic ările

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 22
topografice altimetrice și servesc unor scopuri științifice ca de exemplu
studiul deplasărilor pe vertical ă ale scoar ței terestre și determinarea
diferențelor de cot ă ale mărilor și oceanelor.
Re țeaua α de ordinul I formeaz ă poligoane cu lungimi de 1200-
1500Km. Punctele sunt dispuse în lungul c ăilor ferate sau șoselelor, iar
cotele lor se încadreaz ă într-o toleran ță de determinare de + 2mm/Km.
Această rețea se leag ă de cele ale țărilor vecine, fiind utilizat ă pentru studii
de ansamblu. Re țeaua α de ordinul II formeaz ă poligoane cu lungimi de
500-600 Km sprijinite pe re țeaua de ordinul I. Punctele re țelei sunt dispuse
în lungul că ilor de transport și al apelor mari (râuri, fluvii). Cotele acestor
puncte sunt determinate cu o toleran ță maximă de + 5mm/Km.
Re țeaua α de ordinul III formeaz ă poligoane cu perimetrul de 150-
200Km și se sprijin ă pe rețelele de ordinul I și II Cotele punctelor au o
toleranță de determinare de + 10mm/Km.
Re țeaua α de ordinul IV se sprijin ă pe rețelele de ordi n superior și
formează poligoane sau traverse cu o desf ășurare de 50-100Km. Cotele sunt
determinate cu o toleran ță de + 20mm/Km.
În re țelele de tip α se includ și cele pentru nivelment urban, care
corespund ca grad de precizie re țelelor de ordin II-IV.
Re țelele de nivelment de tip β sunt rețele de îndesire ale celor de tip
α și sunt utilizate pentru lucră ri topografice.
Re țelele de nivelment locale s unt utilizate pentru lucr ări speciale
cum sunt cele de urm ărirea tas ării construc țiilor importante. Aceste re țele în
general nu sunt lega te de cele de tip α sau β.
Re țeaua de puncte de nivelment de sprijin de tip α și β constituie o
bază unitar ă de exprimare a cotelor pentru to t teritoriul României, în raport
cu punctul zero fundamental situat în portul Constan ța, la nivelul geoidului
terestru.

2.6 Marcarea și semnalizarea punctelor re țelelor de sprijin

Atât punctele din re țelele de triangula ție, cât ș i cele din re țelele de
nivelment au fost marcate pe teren de a șa natură, încât să asigure p ăstrarea
nealteratǎ, în timp, a poziț iei lor.
În cazul punctelor de triangula ție intereseaz ă păstrarea pozi ției în
plan orizontal a verticalei punctului considerat, iar în cazul punctelor de
nivelment este important ă păstrarea intact ă a cotei punctului. Aceste cerin țe
sunt îndeplinite prin plantarea în sol a unor borne de beton armat și
încastrarea în aceste borne a unor m ărci realizate din font ă, care reprezintă
punctul matematic. Adâncimea de instalare a bornelor în sol este mai mare decât adâncimea de înghe ț și depinde de stabilitatea solului. Bornele au

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 23
formă de trunchi de piramid ă cu secțiune pătrată, iar dimensiunile acestora
depind de clasa de importan ță a punctului și de condi țiile de instalare.
În cazul puncte lor de triangula ție, sub borna de be ton, la o anumită
adâncime se instaleaz ă una sau mai multe borne suplimentare cu m ărci din
fontă care materializeaz ă verticala punctului (fig . 2.10). Acestea permit
refacerea bornei superioare în cazu l distrugerii sale accidentale.Deasupra
bornei inferioare se intercaleaz ă un strat de semnalizare din c ărbune,
cărămidă sau alte materiale deosebite care s ă atenționeze despre existen ța
reperului suplimentar, care nu trebuie s ă fie deranjat când se sap ǎ.
La re țelele de nivelment instalarea borne lor de beton se face astfel
încât marca de font ă încastrat ă în capul bornei s ă se situeze la o adâncime de
1m sub nivelul terenului iar baza bornei s ă fie situat ă sub adâncimea
maximă de înghe ț (fig. 2.11). O astfel de amplasare fere ște reperul de
variațiile de temperatur ă care produc dilat ări sau contrac ții și de fenomenul
de dislocare datorit ă înghețului și dezghețului din sol. În terenurile mai
slabe, în locul bornei se realizeaz ă coloane de beton armat turnate în foraje,
executate pân ă la un strat tare sau impermeabil.
Punctul matematic (punctul asupra c ăruia se realizeaz ă măsurătorile)
este reprezentat de cap ul semisferic al m ărcii de font ă încastrat ă în corpul
bornei de beton (fig. 2.12).
Așa cum s-a afirmat, la punctele re țelelor de triangulaț ie intereseaz ă
stabilitatea verticalei acestora. Deoarece asupra aces tor puncte se realizeaz ă
măsurători unghiulare de la mare distan ță, verticala lor a fost materializat ă
deasupra bornelor prin intermediul unor semnale vizibile. Aceste semnale
s-au construit de obicei sub forma unor piramide la sol (fig 2.13) sau
piramide cu poduri (fig. 2.14). La partea superioar ă a acestora se instaleaz ă
un pop vertical a că rui axă coincide cu verticala punc tului marcat la sol. Pe
acest pop se instaleaz ă un semnal sub forma unui cilindru sau fluture.
Piramidele sunt construite din lemn sau metal și au trei sau patru picioare,
având înălțimi de 10-30m.
În interiorul ora șelor punctele de triangula ție se fixeaz ă pe terasele acoperi ș
ale clădirilor înalte și se semnalizeaz ă prin intermediul balizelor cu pilastru
(fig. 2.15) iar punctele de nivelment se marcheaz ă cu reperi planta ți în
pereții construc țiilor stabile (fig. 2.16).
Trebuie subliniat c ă în interiorul ora șelor, construc țiile înalte cum sunt
clopotnițele bisericilor, co șurile de fum, castelele de ap ă ,antenele de
televiziune sunt utilizate ca puncte de îndesire a re țelei de triangula ție.
Astfel, pentru crucile bisericilor și pentru paratr ăsnetele de pe celelalte
construcții înalte se calculeaz ă coordonatele rectangulare. De și aceste
puncte nu sunt accesibile, ele sunt utilizate pentru ridic ări topografice în
orașe, coordonatele lor fiind de terminate printr-o metod ă special ă de

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 24
îndesire a re țelelor de sprijin, numită intersec ție directă sau intersec ție
înainte, care nu presupune accesul în punctul respectiv.

1
2
7
8
5
4
31
2
7
8
3
5
4449
3
Fig. 2.10 Marcarea punctelor din re țelele planimetrice de triangula ție
a-bornă de suprafa ță ; b-bornă îngropată
1-marcă de fontă cu cap sferic ; 2-born ă de beton armat ; 3- borne suplimentare ; 4-m ărci de font ă
suplimentare ; 5-strat de balast ; 6-mortar de ciment ; 7- umplutur ă de pământ ; 8-groap ă de fundație ;
9-șanț de scurgere a apelor pluviale

1
32
1
TEMLEVI
adincime de inghet
234
5
min. 1m1m

Fig. 2.11 Reper fundamental Fig. 2.12 Marc ă de fontă pentru
de nivelment reperi
1-marcă de fontă cu punctul matematic; 1-corpul m ărcii; 2-punctul matematic;
2-marcă suplimentar ă;3-bornă de beton armat 3-born ă de beton armat;
4-capac; 5- șanț de scrgere a apelor pluviale

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 25

82136754
12
3456
7

Fig. 2.13 Piramid ă la sol Fig. 2.14 Piramid ă cu poduri
1- bornă superioar ă; 2- bornă suplimentar ă 1- born ă ; 2- picior ; 3- contravântuire;
3- punct matematic; 4- pop ; 5- fluture ; 4- poduri ; 5- pop ; 6- cilindru; 7- pilastru
6- contrafi șă ; 7- rigidizare ; 8- picior

4
3
2
1123

Fig. 2.15 Baliz ă cu pilastru Fig. 2.16 Reper de perete
pentru nivelment
1- terasă acoperiș ; 2- pilastru de beton ; 1- punct matematic ; 2- coada reperului ; 3- perete
3- pop ; 4- fluture

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 26
Cap. 3 No țiuni de cartografie

3.1 Elemente privind proiec țiile cartografice

Cartografia studiaz ă modalit ățile de reprezentare a suprafe ței
Pământului în plan, de ob ținere a planurilor și h ărților și de multiplicare a
acestora . Deoarece suprafa ța sferoidal ă a Pământului nu este desf ășurabilă
în plan, se recurge la proiec ția cartografic ă, adică o modalitate de
transpunere a detaliilor scoar ței terestre, de pe sfer ă sau elipsoid, pe
suprafețe curbe, care prin desf ășurare permit ob ținerea planurilor și hărților.
Această transpunere are loc dup ă relațiile cartografiei matematice, astfel
încât pentru toate punctele s ă existe o leg ătură între coordonate le geografice
de pe sfer ă sau elipsoid și cele rectangulare din planul proiec ției iar
deformațiile rezultate la reprezentare s ă fie cât mai mici și să poată fi
evaluate.
Din punct de vedere al ti pului de deformare, proiec țiile cartografice
sunt:
-proiecții conforme , la care unghiurile între aliniamente rezultate în
reprezentarea în plan su nt egale cu cele dintre aliniamentele corespondente
din teren;
-proiecții echivalente , la care se p ăstrează raportul dintre suprafe țele din
reprezentare și cele din teren, dar forma suprafe ței se modifică prin
proiecție;
-proiecții arbitrare , la c are s e m o d if ic ă și unghiurile și suprafețele, dar se
menține echivalen ța unor distan țe.
În funcț ie de suprafaț a desfășurabilă pe care se face proiec ția se deosebesc:
a) Proiecții conice , la care se utilizeaz ă suprafața laterală a unui con situat
tangent sau secant la sfera terestră. Prin desf ășurarea conului meridianele
rezultă sub forma unor drepte conver gente iar paralelele rezult ă ca arce de
cerc concentrice (fig. 3.1).
Aceste proiec ții pot fi normale, oblice sau transversale, dup ă cum înălțimea
conului și axa polilor tere ștri coincid, formeaz ă un unghi oarecare sau sunt
perpendiculare.
b) Proiecții cilindrice , la care suprafa ța de proiec ție este un cilindru tangent
la sfera sau la elipsoidul terestru. Prin desf ășurarea cilindrului se ob ține
planul proiec ției. Aceste proiec ții sunt normale, oblice sau transversale,
după cum axa polilor tere ștri și axul cilindrului coincid, formeaz ă un unghi
oarecare sau sunt pepe ndiculare (fig. 3.2)
c) Proiecț ii azimutale sau zenitale, la care suprafa ța Pământului este
proiectată pe un plan care este tangent sau secant la sfera sau elipsoidul

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 27
terestru într-un punct oar ecare numit centrul proiec ției. Aceste proiec ții se
împart la rândul lor în:
– proiecț ii azimutale ortografice , la care dreptele de proiec ție sunt paralele
între ele (fig. 3.3a);
– proiecții azimutale centrale , la care dreptele de proiec ție sunt razele sferei
sau elipsoidului (fig. 3.3b);
– proiecții azimutale stereografice , la care dreptele de proiec ție pornesc
dintr-un punct diametra l opus centrului proiec ției (fig. 3.3c)

P'P
P'P1
P

Fig. 3.1 Proiecț ie conică normală Fig. 3.2 Proiec ție cilindric ă normală

a. b. c.

Fig. 3.3 Proiecț ie azimutal ă pe plan tangent
a- ortografic ă ; b- central ă ; c- stereografic ă

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 28
3.2 Proiecț ii cartografice utilizate în România

În România se utlizeaz ă în mod curent dou ă proiecții cartografice:
a) Proiecția Gauss-Krüger
Aceasta este o proiec ție cilindric ă transversal ă de tip conform care a
fost adoptat ă de majoritatea țărilor lumii, datorit ă avantajelor sale referitoare
la reprezentarea în mod unitar a întregului P ământ. În aceast ă proiecție
punctele de pe supraf ța fizică a Pământului se consideră c ă sunt deja
reprezentate pe elip soidul de referin ță. Suprafa ța elipsoidului este împ ărțită
prin meridiane trasate la diferen țe de longitudine de 60, în 60 de fuse,
începând cu meridianul de 1800, opus meridianului zero (Greenwich). Prin
mijlocul fiec ărui fus trece un meridian numit meridian axial.
Se consider ă un semicilindru eliptic al c ărui ax este perpendicular pe
axa polilor P ământului. Acest semicilindru este pozi ționat astfel încât s ă fie
tangent la elipsoidul de referin ță de-a lungul meridianului axial al unui fus
(fig 3.4). Punctele fusulu i respectiv se proiecteaz ă spre exterior pe suprafa ța
semicilindrului, dup ă care acesta se desf ășoară. Rezultă astfel imaginea în
plan a fusului, în care meridianul axial și Ecuatorul sunt proiectate ca dou ă
drepte perpendiculare care constituie axele Ox și Oy ale sistemului
rectangular plan corespunzător acestui fus. Fiecare fus desf ășurat va avea
propriul sistem rectangular plan de axe de coordonate.
24°27°
30°x=N
y=E1
20meridian axial
34

Fig. 3.4 Proiecț ia cilindric ă transversal ă Gauss-Krüger
1- Ecuator ; 2- fusul nr. 35 cu meridianele marginale de 240 și 300 ;3- fusul nr. 35 cu meridianele
marginale de 240 și 300 proiectat pe semicilindru; 4- imaginea fusului nr. 35 de pe semicilindru
desfășurată în plan

Dacă se procedează în mod asem ănător pentru fiecare fus în parte se vor
obține 60 de imagini în plan care redau suprafa ța întregului P ământ. Cele

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 29
60 de fuse sunt numerotate cu cifr e arabe de la vest la est: fusul din
dreapta meridianului de 1800 are numărul 1 iar cel din stânga are num ărul
60, astfel că fusele de lâng ă meridianul Greenwich sunt numerotate cu 30 și
31.
Suprafa ța României este cuprins ă în fusele 34 și 35 cu meridianele
axiale de 210 și 270 longitudine estic ă (fig.3.5).
În acest sistem de proiec ție distanțele în lungul meridianului axial nu
suferă deforma ții dar cele de la marginea fu sului sunt deformate; la
latitudinea de 450 deformația în marginea fusului este de 0,67m pentru o
distanță de 1Km.
Pentru un fus oarecare, între coordonatele geografice φ și λ ale unui
punct de pe elipsoid și coordonatele x și y ale punctului respectiv pe
suprafața desfășurată a fusului (coordonate rect angulare plane) exist ă o
coresponden ță de forma:
x = f 1(φ, λ,a,c)
y = f 2(φ, λ,a,c) ( 3.1)

unde a și c sunt semiaxele elipsei me ridiane a elipsoidului de
referință.
Craiova21°
44°45°
24°DrobetaOradea
TimisoaraArad47°
ClujSatu
Mare48°
Baia
Mare
Galati
Bucuresti
27°BrasovFagarasSuceava
Iasi
Constanta21°27°
ridian axial
34meridian axial
fus 3524°
fusul 34 fusul 35
Fig. 3.5 Pozi ția suprafeț ei României în proiec ția cilindric ă transversal ă
Gauss-Krüger

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 30
b) Proiecția stereografic ă pe plan secant unic –1970
Aceast ă proiecț ie azimutală, oblică, conform ă este utilizat ă în
România începând cu anul 1973 pentru scopuri economice. Punctul central
al proiecției este ales aproximativ la mijloc ul teritoriului României (la nord
de orașul Făgăraș) având coordonate le geografice φ = 460 și λ = 250, iar
planul de proiec ție intersecteaz ă elipsoidul de referin ță la adâncimea de
3189.478 m fa ță de punctul de tangen ță. Prin această intersecție rezultă
aproximativ un cerc a c ărui rază este de 201,718Km, de-a lungul c ăruia
deformațiile prin proiec ție de pe elipsoid pe planul secant sunt nule. În
interiorul acestui cerc distan țele proiectate sufer ă deformații negative iar în
exterior deformaț ii pozitive fa ță de valorile reale (fig. 3.6). Sistemul
cartezian al proiec ției are originea în punctul central, axa Ox pe direc ția
Nord a meridianului de 250 longitudine estic ă iar axa Oy pe direc ția Est a
paralelei de 460 latitudine nordică (fig. 3.7). Coordonatele rectangulare
plane ale originii sistemului sunt x0 = 500.000m și y0 = 500.000m, alese
astfel ca toate punctele de pe teritoriul țării să aibă coordonate pozitive.
Adâncimea planului seca nt, deci în consecin ță, raza cercului de deforma ție
nulă s-a ales astfel încât în centrul proiec ției, deforma țiile specifice la
proiecția distanțelor de pe elipsoid pe plan s ă fie de – 0,25 m/Km iar în zona
granițelor să fie de +0,215 m/km, adic ă deforma țiile negative cu cele
pozitive s ă se echilibreze pe ansamblul suprafe ței țării.
Această proiecț ie prezint ă deforma ții mai mici decât cea cilindric ă
transversal ă, iar rela țiile de trecere de la elipsoid la plan sunt mai u șor de
aplicat, astfel c ă ea se folosește în România pentru ob ținerea planurilor și
hărților topografice și de interes economic.

OzX
Nord
diametrul cercului
deformatiilor nule
imaginea pe sfera a punctului real de
la Nord de Fagaras(punct de
tangenta)
punct de vedere al proiectiei
STEREO 70centrul(originea)
proiectiei STEREO 70adâncimea de taiere(secanta)
a planului STEREO 70
planul
proiectiei STEREO 70
(plan secant)deformatie negativa la proiectia unei
distante de pe sfera pe plan
(în interiorul cercului deformatiilor nule)h
deformatie pozitiva la proiectia unei distante de pe sfera pe plan
(în afara cercului deformatiei nule)201.718 km
201.718 km
x
y
sistemul rectangular spatial Oxyz al sferei terestrefascicul de directii de proiectie a punctelor
de pe sfera pe planul STEREO 70axa Ox din planul proiectiei
STEREO 70

Fig. 3.6 Proiecț ia stereografic ă pe plan secant unic-1970

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 31

Craiova46°
21°
44°45°
22°
23°24°DrobetaOradea
TimisoaraArad47°
ClujSatu
Mare48°
Baia
Mare
Galati
26°25°Bucuresti
27°Brasov FagarasSuceava
Iasi
28°Constanta29°21°27°
y=500000m
ϕ=46°x=500000m λ=25°
YX
Nord
Est
Ocercul deformatiilor
nule-r=201,718km

Fig. 3.7 Sistemul rectangular plan și cercul deformaț iilor nule
la proiecț ia Stereo 70

3.3 Hărți și planuri topografice

Hărțile sunt reprezent ări conven ționale asemenea, reduse la o scar ă
anume, ale unor suprafeț e terestre, pe foi de hârtie. Dac ă suprafețele de
reprezentat sunt foarte ma ri, atunci este necesar s ă s e i a î n c o n s i d e r a ție
curbura P ământului, iar pentru ob ținerea reprezentării se utilizeaz ă o
proiecție cartografic ă. În acest caz reprezen tarea va fi o hart ă. Dacă îns ă
suprafețele de reprezentat sunt reduse, atunci reprezentarea lor în plan se
poate realiza prin proiectante paralele verticale (o proiec ție geometrică
obișnuită). În acest caz nu se ț ine seama de curbura P ământului și se obțin
planuri topografice.
Considerând o foaie de hârtie de m ărime obi șnuită, prin proiec ție
geometrică clasic ă se poate reprezenta pe aceasta o suprafață de teren egal ă
cu cea a foii de hârtie. În acest caz scara de reprezentare este 1:1, adică
distanțele orizontale de pe teren s-au reprezentat cu aceea și mărime pe plan,
rezultând toate detaliile de pe suprafa ța respectiv ă. Dacă pe aceea și foaie de
hârtie se dorește reprezentarea unei suprafe țe de patru ori mai mare, atunci
distanțele orizontale din teren trebuie s ă fie reduse de dou ă ori; scara de

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 32
reprezentare este deci 1:2. În acest caz unele detalii mici din teren nu mai
pot fi reprezentate pe fo aia de hârtie datorit ă limitărilor impuse de grosimea
liniilor și de claritatea desenului.
Dac ă scara de reprezentare se alege de exemplu 1:5000, atunci
distanțele din teren se vor reduce de 5000 de ori iar suprafa ța de teren
reprezentat ă va fi de 5000×5000=25000000 de ori mai mare decât a foii de
hârtie. Pe foaia de hârtie se pot reprezenta clar, detalii care au dimensiuni
minime de 0,5mm, adic ă în teren au dimens iuni de 0,5mm x 5000 =
2500mm =2,5m. Rezult ă că la scara 1:5000 nu pot fi reprezentate detalii cu
dimensiuni reale mai mici de 2,5m. Cu cât reducerea distan țelor este mai
important ă, cu atât detaliile din teren pos ibil de reprezentat pe foaia de
hârtie vor avea dimensiuni mai mari, astfel c ă la scara 1:1.000.000 detaliile
cele mai mici vor avea dimensiuni reale de 0,5mmx1.000.000 = 500m.
Scara de reprezentare a unei hăr ți se define ște deci ca un raport
(constant pentru o hartă dată) între distan ța reprezentată și distanța reală
corespunz ătoare:
Dd
N=1 sau 1:N =d:D (3.2)

unde N este numitorul sc ării, d- distanța reprezentat ă în planul h ărții și D-
distanța corespunzătoare de pe teren.
Hărțile se întocmesc de obicei la sc ări care au valoarea N rotundă
(1:100, 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000……….1:1.000.000). Dacă numitorul
scării este mic scara este mare iar dac ă numitorul este mare scara este mic ă,
deoarece, de exemplu 1:100 > 1:1000. De obicei scara unei h ărți este
prezentată pe foia de hârtie sub form ă numeric ă (de exemplu 1:1000) și sub
formă grafică simplă.
Scara grafic ă simplă (fig.3.8) este o reprezentare a sc ării numerice,
sub forma unei axe cu o origine. În stânga originii se reprezint ă la scara dat ă
o distanță rotundă reală , împărțită în diviziuni având de asemenea valori
rotunde. În dreapta orig inii este reprezentată aceeași distanță de mai multe
ori.
1 Km 750 m 500 m 250 m 0 1 Km 2 Km1:25.000

Fig. 3.8 Scara grafic ă simplă

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 33
Partea din stânga originii se nume ște talonul scă rii grafice. Scara grafic ă este
utilizată la determinarea pe hart ă a distan țelor cu ajutorul compasului
distanțier.

3.3.1 Con ținutul unei h ărți

Reprezentarea unei h ărți se realizeaz ă pe foi de hârtie cu format
dreptunghiular, astfel încât latura din stânga reprezint ă direcț ia locală Nord
– Sud a proiecț iei respective. Repr ezentarea propriu-zis ă este limitat ă în
stânga și în dreapta de traseele a dou ă meridiane, iar partea superioar ă și cea
inferioară de traseele a dou ă paralele.
La exteriorul zonei desenate es te trasat cadrul geografic al h ărții (fig.
3.9) format din dou ă linii paralele între care se afl ă spaț ii albe și spații negre.
Lungimea unui spaț iu alb sau negru de pe laturile stânga și dreapta ale h ărții
reprezintă lungimea unui arc de meridian, corespunz ător unui unghi de 1’
latitudine. Lungimea unui spa țiu alb sau negru de pe laturile superioar ă și
inferioară ale hărții reprezint ă lungimea unui arc de paralel, corespunză tor
unui unghi de 1’ longitudine. L ungimile arcelo r de paralel și de meridian,
corespunz ătoare unui unghi de 1’ sunt diferite, astfel c ă spațiile albe și negre
de pe laturile stânga-dreapta ale cadrului geografic au lungimi diferite fa ță
de cele de pe laturile superioar ă-inferioar ă.
Dac ă se unesc imaginar capetele segmentelor negre și albe de pe
laterale se ob țin paralelii de pe zona reprezentat ă, la diferen țe de 1’ pe
latitudine, iar prin unirea capetelor segmentelor negre și albe de pe p ărțile
superioară și inferioar ă se obțin meridianele zonei respective, la diferen țe de
1’ pe longitudine. În colț urile cadrului geografic sunt înscrise latitudinile și
longitudinile minime și maxime ale zonei reprezentate, în grade și minute
sexagesimale.
Cadrul geografic permite dete rminarea coordona telor geografice
(latitudinea, φ și longitudinea, λ) pentru oricare punct de pe suprafa ța
reprezentat ă, în modul urm ător (vezi fig. 3.9): di n punctul respectiv se
coboară perpendiculare pe latura inferioar ă și pe cea din stânga, ale cadrului
geografic, determinându-se astfel latitudinea, φ0 și longitudinea, λ0 ale
capetelor de segment alb sau negru, intersectate de perpendiculare.
În continuare se m ăsoară lungimile segmentelor de cadru corespunz ătoare
unui minut de latitudine ( l2) și longitudine ( l4) și distanțele de la capetele
segmentelor intersectate pân ă la perpendicularele re spective, pe latitudine
(l1) și pe longitudine ( l3).

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 34
A
l4l3l1l2
Δϕ A
Δλ Aϕ0ϕA
λ0λA45°10' 45°10'45°13' 45°13'25°30' 25°34'
25°30' 25°34'1
2
Fig. 3.9 Cadrul geografic al h ărții
1- paralele ; 2- meridiane

Coordonatele geografice ale punctulu i respectiv (punctul A din figur ă) vor
fi:

21 '
0 0 1ll
A A ⋅ + = Δ + =ϕ ϕ ϕ ϕ
43 '
0 0 1ll
A A ⋅ + = Δ + =λ λ λ λ (3.3)

Peste zona care cuprinde reprezentarea propriu-zis ă a hărții este
suprapusă o rețea de pătrate trasate cu linii de culoare neagr ă. Laturile
acestei re țele sunt paralele cu axele Ox și Oy ale sistemului cartezian,
considerate în centrul sistemului de proiec ție ales, dar nu sunt paralele cu
marginile reprezentării care sunt meridiane și paralele ale zonei. Latura unui
pătrat reprezintă pe teren o distan ță de 1 Km. Pe marginea reprezent ării sunt

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 35
înscrise, în cifre, co ordonatele liniilor re țelei de p ătrate față de originea
sistemului cartezian al centrului de proiec ție, în Km (fig. 3.10).
Re țeaua de p ătrate a h ărții permite determin area coordonatelor
carteziene plane ale unui punct A, de pe hart ă astfel (fig. 3.10): din punctul
respectiv se coboar ă perpendiculare pe laturile din stânga și de jos ale
pătratului în care se afl ă punctul A. Coordonatele col țului din stânga jos al
pătratului, x0 și y0 se pot citi direct pe marginea reprezent ării hărții. În
continuare se m ăsoară distanțele d1 și d2, între col țul stânga jos și picioarele
perpendicularelor coborâte di n punctul A. Aceste distan țe vor reprezenta
diferențele de coordonate:

Δ xA = d 1 . N și Δ yA = d 2 . N (3.4)

unde N este numitorul sc ării hărții.

Ax(km)
x0
y0y (km) 580 585 590570575
A
d2d1
y0x0
565

Fig. 3.10 Re țeaua rectangulară a h ărții

Coordonatele rectangulare ale punctului A vor fi:

xA = x 0 + Δ xA
yA = y 0 + Δ yA (3.5)

În exteriorul cadrului h ărții sunt înscrise cu cifre și litere informa ții
privitoare la hart ă și la zona de teren reprezentat ă. La partea superioar ă este
înscrisă numerotarea h ărții și numele localit ății principale din zona
reprezentat ă. La partea inferioară sunt înscrise scara h ărții sub form ă

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 36
numerică și grafică, valoarea convergen ței medii a meridianelor, anul
execuției hărții și altele.

3.3.2 Reprezentarea detaliilor de suprafa ță și de relief pe h ărți

Pe zona de reprezentare propriu-zis ă a hărții se regăsesc sub form ă
micșorată (la scara h ărții) detaliile vizibile de pe teren. Aceste detalii sunt
constituite din: trasee le cursurilor de ap ă, lacurile naturale sau artificale,
traseele șoselelor, orice tip de construc ție, localit ăți etc. În general, dac ă
proiecția în plan a detaliului respectiv este suficient de mare, atunci prin
reducerea la scară a dimensiunilor acestuia rezult ă un contur care poate fi
reprezentat pe plan printr-o linie închis ă sau deschis ă. În acest caz detaliul
respectiv este trasat pe plan prin conturul s ău real redus la scara h ărții.
Dac ă detaliul din teren are dimensiuni mici, atunci prin reducerea la
scară a conturului său rezultă un punct, deci detaliul nu poate fi reprezentat
la scara planului. În acest caz în punctul respectiv se deseneaz ă pe hartă un
simbol cartografic care reprezint ă obiectul respectiv. Acest simbol se
numește semn convenț ional specific. La realizarea h ărților se utilizeaz ă mai
multe tipuri de semne conven ționale standardizate, care se reg ăsesc în
atlasul de semne conven ționale, astfel c ă fiecare tip de de taliu din teren are
un semn conven țional caracteristic.
Pe lângă conturul detaliilor mari și semnele conven ționale ale
detaliilor mici, pe suprafa ța hărții apar și inscripții formate din cifre și litere,
care dau unele explica ții referitoare la detaliile reprezentate, ca de exemplu
denumirile localit ăților, denumirile cursurilor de ap ă, cotele unor puncte
importante, dimensiuni importa nte etc. La multe dintre h ărți se utilizeaz ă și
culori pentru a înlesni recunoa șterea unor detalii. Spre exemplu, pentru
reprezentarea zonelor ocupate de ap ă (cursuri de ap ă, lacuri, m ări) se
utilizează culoarea albastră.
De și harta este o reprezentare în plan, formele de relief ale terenului
se pot desena prin intermediul unor semne conven ționale speciale numite
curbe de nivel. Curbele de nivel sunt lin ii închise desenate cu culoarea sepia
(maro) care au o semnifica ție fizică: fiecare linie reprezint ă punctele de pe
teren care au aceeaș i altitudine. Pe hart ă se reprezint ă de obicei curbe de
nivel ale punctelor cu altitudini de valoare rotund ă, care difer ă cu un anumit
interval tot de valoare rotund ă, numit echidistan ță.
Se consider ă o form ă de relief (de exemplu o colin ă), planul de
proiecție situat la nivelul m ării și mai multe plane para lele cu planul de

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 37
proiecție, situate la altitudini cresc ătoare cu un interval constant, E. Prin
intersecția între forma de relief și aceste planuri se ob țin contururi închise
(fig.3.11) care, pot fi proiectate pe planul de proiecț ie, rezultând curbele de
nivel. Pe fiecare curb ă de nivel se înscrie valo area altitudinii planului
orizontal, care prin intersec ție cu terenul a generat curba respectiv ă. În acest
mod se ob țin contururi închise incluse unul în cel ălalt (care nu se
intersecteaz ă). Dacă se studiaz ă atent forma în plan a acestor contururi și
altitudinile pe care le reprezint ă se obț in informa ții despre tipul formei de
relief și înclinarea terenului în zona respectiv ă.
Curbele de nivel se deseneaz ă pe hartă prin suprapunere peste
detaliile plane reprezentate și permit s ă se determine cu o precizie suficient
de bună cota unui punct oarecare de pe zona reprezentat ă. Această operație
decurge în modul urm ător: dacă punctul este situat chiar pe traseul unei
curbe de nivel de pe hart ă, atunci altitudinea acestuia va fi egal ă cu
altitudinea reprezentat ă de curba de nivel respectiv ă, valoare care se cite ște
pe traseul curbei respective sau se calculeaz ă față de valoarea înscrisă pe o
curbă vecină. Dacă punctul nu este situat pe o curb ă de nivel, atunci acesta
se va situa automat între dou ă curbe de nivel vecine ale c ăror altituduni
diferă prin valoarea constant ă, E (echidistan ța).
Z5Z4
Z3
Z2
Z1E
E
E
E
Z2 Z1 Z3 Z4 Z5
Z4

Fig. 3.11 Semnifica ția fizică a curbelor de nivel

În această situaț ie, cota punctului oarecare, A se va determina în maniera
următoare (fig. 3.12): prin punc tul respectiv se traseaz ă pe hartă o dreaptă
aproximativ normal ă la curbele de nivel vecine, care reprezint ă cotele z1 și
z2 = z 1 + E și care încadreaz ă acest punct. Se m ăsoară cu o rigl ă distanțele l1
și l2 iar altitudinea punctului a se va calcula cu relaț ia:

2 11 2 1
1) (
l lz z lz zA+−⋅+ = (3.6)

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 38

unde z2 –z 1 = E este echidistan ța planelor care au generat curbele de
nivel( echidistan ța curbelor de nivel ).

12
A
Z1ZAZ2
1 A2Z1
Z2Z
D

Fig. 3.12 Determinarea altitudinii unui punct cu ajutorul cu rbelor de nivel

Panta terenului în lungul aliniamentului 1-2 se poate calcula cu rela ția:

N l lz ztg p⋅ +−= =) (2 11 2
12α (3.7)

unde N este numitorul scării h ărții iar α este unghiul de înclinare a
aliniamentului 1-2 fa ță de orizontal ă.

3.3.3 Numerotarea foilor de hart ă

În cazul unui teritoriu de întindere mare, reprezentarea acestuia nu se
poate realiza pe o singur ă foaie de hârtie deoarece suprafa ța acesteia ar
trebui să fie prea mare iar utiliz area sa foarte dificil ă. De obicei, pentru
întocmirea h ărților se utilizează foi de hârtie cu fo rmatul de aproximativ
40x50cm. Rezult ă deci că teritoriul respectiv se împarte în suprafe țe mai
mici, aproximativ egale, care la scara aleas ă se pot reprezenta pe o foaie de
hârtie cu formatul dat mai sus. Pentru a crea o ordonare a suprafe țelor
reprezentate și pentru a recunoa ște sistemul de proiec ție utilizat, aceste
suprafețe parțiale și hărțile lor primesc fiecare în parte o denumire (sau o
numerotare).
Consider ăm ca exemplu împ ărțirea sferei terestre prin meridiane
trasate din 60 în 60, în proiec ția cilindric ă transversal ă Gauss- Krüger în care,
așa cum s-a ar ătat , rezultă 60 fuse terestre numerotate 1…60.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 39
A
A
2KLMNOPU
B
C
D
U4
5
1
3

Fig. 3.13 Împăr țirea sferei terestre în trapeze în proiec ția Gauss- Krüger
1- meridianul zero ; 2- Ecuator ; 3- fuse de 60 pe longitudine ; 4- zone de 40 pe latitudine ;
5- trapezul L-35

Peste re țeaua de meridiane se suprapune o re țea de paralele trasate
din 40 în 40 latitudine începând de la Ecuator c ătre cei doi poli tere ștri. Se
formează astfel zone de 40 latitudine notate cu literele mari ale alfabetului
latin, începând de la Ecuator c ătre cei doi poli (fig. 3.13). Suprafa ța
Pământului este astfel împ ărțită în trapeze curbilinii care primesc drept
denumire litera zonei de latitudine și numărul fusului ( ex. L- 35). Teritoriul
corespunz ător unui trapez curbiliniu astfel obț inut se poate reprezenta sub
formă de hartă pe o foaie de hârtie de format obi șnuit la scara 1:1.000.000.
Pentru a întocmi harta emisferei nordice a P ământului la scara 1:1.000.000
sunt necesare: 60 fuse x 22 zone = 1320 tr apeze, deci 1320 foi de hârtie de
format obi șnuit.
Suprafața României este cuprins ă în trapezele K-34, K-35, L-34, L-35, M-
34, M-35, deci pentru harta României la scara 1:1.000.000 sunt necesare 6
foi de hârtie.
Pentru a realiza harta României la scara 1:500.000, teritoriul fiec ărui
trapez de scară 1:1.000.000 se împarte în 4 suprafe țe aproximativ egale (fig.
3.14) notate cu denumirea trapezului la care se adaug ă literele mari ale
alfabetului A, B, C, D. Rezult ă că pentru suprafaț a țării sunt necesare 6 x 4
= 24 foi de hârtie pentru a ob ține harta la scara 1: 500.000. Acestea vor fi
notate K-34-A…….M-35-D.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 40
Pentru harta României la scara 1:200.000, suprafa ța fiecărui trapez
de scară 1:1.000.000 se împarte în 36 de p ărți egale, caz în care vor fi
necesare 6×36=216 foi de hart ă notate K-34-I……..M- 35-XXXVI (fig. 3.15).

L-35-A L-35-B
L-35-D L-35-CL-35-I L-35-VI
L-35-XXXVI L-35-XXXI

Fig. 3.14 H ărți la scara 1:500000 Fig. 3.15 H ărți la scara 1:200000
pentru trapezul L-35 pentru trapezul L-35

Pentru harta României la scara 1: 100.000 trapezele K-34……M-36(de scar ă
1:1.000.000) se împart fiecare în 144 p ărți egale, care vor fi reprezentate pe
foi de hârtie de format obi șnuit.
În acest caz vor fi necesare 6×144=864 foi de hârtie iar h ărțile astfel
obținute vor fi numite K- 34-1…….M-35-144 (fig. 3.16).
Hărțile la scara 1:50.000 se ob țin prin împ ărțirea suprafe țelor
corespunz ătoare fiec ărui trapez reprezentat la scara 1:100.000 în 4 p ărți
egale notate A, B, C, D. În acest caz trapezul terestru L-35, de exemplu, va
fi reprezentat la scara 1:50.000 pe 144×4=576 foi de hârtie. H ărțile obț inute
astfel se notează-pentru trapezul L-35- de la L-35-1-A…….L-35-144-D.

L-35-1 L-35-12
L-35-133 L-35-144

Fig. 3.16 H ărți la scara 1:100000 pentru trapezul L-35

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 41
Dac ă trapezele corespunz ătoare scării 1:50.000 se împart la rândul
lor în 4 p ărți notate a, b, c, d se obț in suprafe țe care pot fi reprezentate pe o
foaie de hârtie de format obi șnuit la scara 1:25.000. În acest caz trapezul
terestru L-35, de exemplu se va putea reprezenta pe 144x4x4=2304 h ărți la
scara 1:25.000 notate L-35-1-A-a……….L-35-144-D-d.
Pentru ob ținerea hăr ților la scara 1:10. 000, fiecare suprafa ță
corespunz ătoare hărților la scara 1:25.000 se împarte în 4 p ărți notate 1, 2, 3,
4. În acest caz reprezentarea trapezului terestru
L-35 la scara 1:10.000 se va putea face pe 144x4x4x4=9216 foi de hârtie de
format obi șnuit, iar h ărțile obținute se denumesc L-35-1-A-a-1……….L-35-
144-D-d-4.
Rezult ă că cele 6 trapeze tere stre pe care se afl ă suprafața României
se pot reprezenta la scara 1:10.000 pe 6×9216=55296 foi de hârtie de format obișnuit.
Denumirile h ărților, așa cum s-a ar ătat mai sus sunt valabile în
proiecția Gauss-Krüger, dar pentru țara noastr ă se păstrează aceeași
numerotare a h ărților și în planul proiec ției stereografice pe plan secant
1970, cu excep ția hărților la scări mai mari de 1:10.000.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 42
Cap. 4 No țiuni privind erorile de m ăsurare în topografie

4.1 Tipuri de m ăsurători

În topografie se execut ă măsurători asupra a dou ă tipuri de m ărimi
fizice și anume distan țele și unghiurile. În practic ă valoarea numeric ă a unei
mărimi măsurate este cunoscut ă numai aproximativ, indiferent de calitatea
măsurătorii efectuate, deoarece erorile de m ăsurare nu se pot înl ătura.
În funcție de modul de determinare a valorii numerice a unei m ărimi fizice
există trei tipuri de m ăsurători:
1. Măsurători directe -sunt acele m ăsurători la care valoarea m ărimii
măsurate rezult ă direct și independent din compararea acestei m ărimi cu una
asemănătoare. De exemplu m ăsurarea distan ței între dou ă puncte situate pe
teren, cu ajutorul un ei rulete este o m ăsurătoare de tip direct.
2. Măsurători indirecte -presupun m ăsurarea directă a unor m ărimi care sunt
legate printr-o rela ție fizico-matematic ă de mărimea a cărei valoare se
dorește a fi determinat ă. Spre exemplu, dac ă se dorește determinarea
proiecției, D, în plan orizontal, a distan ței înclinate, L, între dou ă puncte
situate pe teren în pant ă, este necesar s ă se măsoare în mod direct valoarea L
a distanței înclinate și unghiul de înclinare, fa ța de orizontal ă, φ sau fața de
verticală, V, a segmentului cuprins între cele dou ă puncte. În acest caz
valoarea c ăutată, D va rezulta din rela ția sa geometrică cu cele dou ă
elemente m ăsurate:
D = L cos φ (4.1)
sau
D = L sin V (4.2)

În mod asem ănător, viteza rectilinie uniform ă a unui mobil se poate
determina prin m ăsurarea direct ă a spațiului parcurs și a timpului necesar și
prin efectuarea raportului celor dou ă valori.
3. Măsurători condi ționate -reprezint ă un caz particular al m ăsurătorilor
directe, în care mai multe m ărimi de aceea și natură sunt m ăsurate direct și
independent, dar între ele exist ă o relație de condi ționare. Un exemplu
concludent în acest sens îl constituie cazul m ăsurării celor trei unghiuri într-
un triunghi situat în plan orizontal. Dup ă măsurarea direct ă și independent ă
a acestora, suma lor trebuie s ă satiafac ă condiția de egalitate cu valoarea a
două unghiuri drepte (1800 sau 200g).
În general, r ezultatul unei m ăsurători depinde de condi țiile obiective
și subiective în care se desf ășoară aceasta, adic ă de metoda de m ăsurare, de
condițiile naturale (temperatur ă, presiune etc.), calitatea aparaturii și de
operatorul care o execut ă. Dacă se efectueaz ă mai multe m ăsurători asupra

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 43
aceleiași mărimi și condițiile arătate mai sus nu se modific ă, aceste
măsurători au acela și grad de încredere și se numesc m ăsurători de aceea și
precizie. Dacă la efectuarea șirului de m ăsurători se modific ă unul din
factorii enumera ți atunci rezultatele vor avea gr ade diferite de încredere iar
măsurătorile sunt de precizii di ferite. Indiferent de situa ție, rezultatele unui
șir de măsurători asupra aceleia și mărimi sunt în general diferite, datorit ă
erorilor acestui proces.

4.2 Tipuri de erori de m ăsurare

Calitatea rezultatului, xi al unei m ăsurători se apreciaz ă în funcție de
abaterea, ε a acestuia fa ță de valoarea reală, X a mărimii măsurate. Aceast ă
abatere dat ă de:
ε = x i – X (4.3)

se numește eroare absolută a rezultatului m ăsurătorii. Cu cât eroarea
absolută este mai mic ă cu atât m ăsurătoarea este mai precis ă.
În măsurătorile obi șnuite, valoarea real ă a mărimii nu se cunoa ște, deci nici
eroarea absolută a rezultatului nu este cunoscut ă. Chiar dac ă erorile absolute
nu pot fi definite prin valoarea lor, studiul rezultatelor unui șir de măsurători
permite aprecierea –cu un anumit grad de certitudine- a m ărimii acestora. În
funcție de mărimea erorilor și de modul lor de producere se deosebesc:
1. Erori grave – acestea conduc la rezult ate foarte diferite față de majoritatea
rezultatelor din șirul de m ăsurători. Ele se produc datorită unor cauze
subiective cum sunt de exemplu gre șelile de citire sau cele de scriere a
rezultatului. În general rezultatele afectate de erori grave se elimin ă din șirul
respectiv.
2. Erori sistematice – sunt generate de cauze obiective cum ar fi de exemplu,
metoda de m ăsurare utilizată, etalonarea aparatului de m ăsură, temperatura
diferită în momentul m ăsurării fața de cel al etalon ării etc. Aceste erori
conduc la rezultate deplasate în acela și sens și cu valori apropiate fa ță de
valoarea real ă a mărimii măsurate. Deoarece condi țiile care au generat
aceste erori pot fi evaluate, erorile si stematice pot fi în general eliminate
prin aplicarea unor corec ții la rezultatele m ăsurătorilor.
3. Erori aleatoare – rezultă datorită unor factori obiectivi sau subiectivi
imposibil de evaluat în timpul m ăsurătorii, dar aceste erori au valori foarte
reduse. Ele nu pot fi eliminate și afecteaz ă rezultatul m ăsurării, constituind
subiectul opera țiilor de compensare. Deoarece erorile în procesul de
măsurare sunt inevitabile, o singur ă măsurătoare aspra unei m ărimi nu
permite s ă se aprecieze gradul de calitate al rezult atului. Din acest motiv,
pentru măsurătorile preten țioase se execută mai multe m ăsurători (un șir)

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 44
asupra m ărimii. Dintr-un șir de n măsurători asupra unei m ărimi reale X,
rezultă valorile determinate x1 ,x2,……,x n. Se pot deci scrie n ecuaț ii ale
erorilor absolute de forma εi = x i – X, iar numărul necunoscutelor este n + 1 ,
deoarece m ărimea X este necunoscut ă. Rezultă că problema daterminării
valorii reale X este nerezolvabil ă, însă datorită faptului c ă erorile aleatoare
rezultate din observaț ii se supun unor legi cunoscute, exist ă posibilitatea
determinării unei valori acceptabile, apropiat ă de valoarea reală, și , a
preciziei acesteia.

4.3 Estima ții ale adev ăratei valori a unei m ărimi măsurate

Se consider ă o mărime a c ărei valoare real ă este X și un șir de n
valori ale m ăsurătorilor efectuate asupra acestei m ărimi, având rezultatele
x1, x2,……x n. Se consider ă că au fost eliminate rezultatele care au con ținut
erori grave, iar erorile sistemati ce au fost corectate, deci cele n valori sunt
afectate doar de erori aleatoare.
Deoarece valoarea real ă, X nu poate fi determinat ă cu certitudine se
procedează la estimarea acesteia, adic ă la găsirea unei valo ri foarte
apropiate, prin pelucrarea rezultatelor m ăsurătorilor. Aceast ă estimare se
poate face în dou ă moduri:
a) Printr-o valoare unic ă dată de o func ție f(x1, x2,…..x n) a rezultatelor din
șirul de m ăsurători. În acest caz estima ția se numește punctual ă.
b) Prin determinar ea unui interval ( a – Δx, a + Δ x) în care valoarea real ă să
se găsească cu o probabilitate P, numită nivel de încredere. În acest caz este
vorba de o estimare printr- un interval de încredere.
În măsurătorile topografice se utilizeaz ă în mod frecvent estimaț ia punctual ă
a adevăratei valori a m ărimii măsurate, prin media aritmetic ă a șirului de
măsurători. Astfel, pentru m ăsurători de egală precizie, valoarea estimat ă
este media aritmetic ă a șirului de m ăsurători:

inxn nx x xx X Σ ⋅ =+++= ≈1 …..2 1 (4.4)

În teoria erorilor se spune c ă această estimaț ie este nedeplasat ă, adică
valoarea xcoincide cu media teoretic ă a șirului, și, consistent ă, ceea ce
înseamnă că aceasta tinde c ătre valoarea real ă X, în cazul când num ărul n de
măsurători crește.
În cazul când m ăsurătorile efectuate au precizii diferite, atunci
fiecăreia i se atribuie o pondere p1, p2,……,p n, iar estima ția punctual ă a
adevăratei valori se va exprima prin media ponderat ă:

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 45

ii i
nn n
pp x
p p pp x p x p xx XΣ⋅Σ=+ +⋅++⋅+⋅= ≈……….
2 12 2 1 1 (4.5)

Această estimație punctual ă are acelea și proprietăț i ca și precedenta iar
valoarea determinat ă nu depinde de ponderi ci de raportul acestora.
Așa cum s-a ar ătat, erorile absolute nu pot fi cunoscute deoarece nu se
cunoaște valoarea real ă ci doar estimarea acesteia. În leg ătură cu media
aritmetică se pot îns ă defini erorile aparente, ca diferen ță între valorile
rezultate din m ăsurători xi și valoarea estima ției punctuale (media
aritmetică), x:
v1 = x 1 – x
v2 = x 2 – x
………………. (4.6)
vn = x n – x

Erorile aparente sunt asem ănătoare cu cele aleatoare și au două propriet ăți
importante:
-suma lor algebric ă este nul ă:

Σ vi = Σ(xi – x) = Σ xi – n. x = n. x– n. x =0 (4.7)

-suma pătratelor erorilor aparente admi te ca minim valoarea de referin ță,
adică media aritmetic ă :

Σ vi2 = Σ(xi – x)2 = (x 1 -x)2 + (x 2 -x)2 +……..+ (x n -x )2 = min (4.8)

După derivarea expresiei (4.8) și egalarea cu zero se ob ține:

-2(x 1 -x ) – 2(x 2 -x) -….-2 (x n – x) = -2.Σ xi + 2.n. x = 0 (4.9)

de unde:
ixnxΣ ⋅ =1 (4.10)

4.4 Reparti ția normal ă a erorilor aparente

Studiul efectuat de C.F.Gau ss asupra erorilor de observa ție aleatoare a
condus la concluzia c ă acestea sunt caracterizate de o func ție de reparti ție.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 46
Dacă pentru un șir suficient de lung de m ăsurători, x1, x2, ……xn se reprezint ă
–într-un sistem cartezian- pe axa abscis elor valorile erorilor, iar pe axa
ordonatelor num ărul de m ăsurători în care au rezultat acelea și valori ale
erorilor respectiv e (sau probabilit ățile de apari ție a acestor erori) se ob ține o
mulțime de puncte care sunt dispuse sub o curb ă asemănătoare celei din fig.
4.1. Aceasta se numește curba repartiț iei normale a erorilor, a lui Gauss.
Dacă se consider ă valoarea medie a celor n măsurători, xși erorile aparente
de forma (4.6), atunci func ția care definește această curb ă este de forma:

22) (
21
21) (σ
π σiv
i e v p⋅ −
⋅ ⋅= (4.11)

Această funcție are un maxim pentru vi=0 și puncte de inflexiune pentru vi=
±σ. Factorul σ se numește factor de precizie sau eroarea medie p ătratică a
unei singure m ăsurători și a fost definit de Bessel pentru m ăsurători directe
de aceeași precizie sub forma:

12
−± =nviΣσ (4.12)

0P(v i)
+v i -vi
Fig. 4.1 Curba Gauss de reparti ție normal ă a erorilor aparente

Cu cât factorul σ este mai mic, cu atât maximul curbei este mai
mare, ceea ce înseamn ă că precizia estima ției este mai mare (fig. 4.2).

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 47
+v i+v i -viP(v i)

Fig. 4.2 Forma curbei Gauss în func ție de factorul de precizie

Forma curbei lui Gauss conduce la câteva concluzii importante:
-măsurătorile cu erori negative sunt la fel de frecvente ca și cele cu erori
pozitive;
-măsurătorile cu erori mici sunt mai frecvente decât cele cu erori mari;
-practic, erorile maxime nu pot dep ăși o anumită limit ă;
-media aritmetic ă a erorilor tinde la zero pentru un num ăr mare de
măsurători.
Func ția p(v i) permite stabilirea unui interval de forma (-λσ, +λσ) în
care o anumit ă eroare se poate situa, cu un grad de probabilitate P. În tabelul
4.1 se dau câteva valori ale limitelor de interval și probabilitatea ca eroarea
să fie în acest interval.

Tabel 4.1
Valoare interval ±0.67σ ±1σ ±1.96σ ±2σ ±2.58σ ±3σ
Probabilitate(%) 50.00 68.30 95.00 95.40 99.00 99.70

Din tabelul 4.1 rezult ă că se poate realiza o estimare a valorii unei erori
printr-un interval de încredere. Spre exemplu, se poate estima c ă la un grad
de încredere P=50% eroarea unei m ăsurători va fi cuprins ă în intervalul (-

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 48
0,67σ , +0,67σ ). Valoarea +0,67σ se numește eroarea probabilă iar valoarea
+1.σ se numște eroarea medie a m ăsurătorii.

4.5 Eroarea medie a mediei aritmetice

S-a ar ătat că pentru un șir de m ăsurători de aceea și precizie x1,
x2,……x n estimarea punctual ă presupune găsirea unei valori y=f(x x, x2,….x n),
considerat ă ca valoare probabil ă a rezultatului m ăsurătorii. Considerând că
erorile măsurătorilor raportate la estimarea punctual ă prin media aritmetic ă,
xsunt v1, v2,….v n, atunci conform legii lui Gauss a propag ării erorilor,
eroarea medie p ătratică a estimaț iei punctuale (deci a me diei aritmetice) are
forma:
n n nvi
xσσ ± =− ⋅± =) 1 (2Σ (4.13)
unde σ este eroarea medie p ătratică a unei m ăsurători iar n- numărul de
măsurători din șir.
Cu ajutorul valorii xσ se poate stabili un interval de forma (xxσ λ⋅ − ,
xxσ λ⋅ +) în care valoarea estimat ă a rezultatelor m ăsurătorii se afl ă cu un
grad de probabilitate P. Valoarea λ care caracterizeaz ă intervalul poate fi
aleasă astfel încât s ă se obțină o limită minim ă de încredere sau, una
tolerabilă, a valorii estimate fa ță de valoarea real ă a mărimii măsurate.
Trebuie specificat c ă erorile observa țiilor nu au reparti ție normală pentru
orice tip de m ăsurători, deci exist ă și alte tipuri de reparti ție pentru care
relațiile de mai sus nu mai sunt valabile . Spre exemplu, erorile datorate
centrării limbului, la m ăsurarea unghiurilor orizontale cu ajutorul
tahimetrelor, urmeaz ă o lege de distribu ție parabolic ă.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 49
Cap. 5 Topografia general ă

5.1 Obiectul și importan ța

Topografia este o știin ță cu un puternic caracter aplicativ, care s-a
dezvoltat din necesitatea unei cunoa șteri detaliate și a unei utiliză ri optime a
suprafețelor de teren. Cuvântul to pografie are origine greac ă (topos=loc și
graphein=a desena) și definește chiar obiectul acestei științe: măsurarea și
desenarea unui loc oarecare, a unei suprafe țe de teren oarecare, adic ă
obținerea planului topogra fic al acelei suprafe țe.
Se știe că în limitele orizontului observabil al unui om, curbura
Pământului nu se poate sesiza. De oarece în topografie se opereaz ă în aceste
limite, nu se ia în considerare curbura P ămâtului, iar suprafe țele măsurate se
consideră că au fundament orizontal. Altfel spus, pentru a ob ține planul
topografic al unui loc, m ăsurătorile se realizeaz ă astfel încât să se obț ină o
imagine- proiectat ă prin drepte paralele vertic ale- a locului respectiv, pe
planul orizontal tange nt la sfera terestră într-un punct ce ntral din zona
respectivă. Dar topografia nu vizeaz ă numai obț inerea imaginii plane a
terenului, ci și pe cea a reliefului din zona respectiv ă, adică se studiaz ă și se
reprezintă, de asemenea, dispozi ția pe vertical ă a detaliilor.
Topografia are dou ă secțiuni importante:
– topografia general ă are un pronun țat caracter teoretic; ea vizeaz ă studiul
metodelor de m ăsurare și calculul pentru determinarea elementelor necesare
la realizarea planului topografic și, de asemenea, studiul din punct de vedere
constructiv al aparaturii de m ăsură utilizate;
– topografia special ă are un pronun țat caracter aplicativ, specific unui sector
economic oarecare, în care lucr ările topografice sunt ut ilizate; în acest sens
se poate vorbi de topografie cadastrală, minier ă, silvică, militară etc.
Din punct de vedere economic topografia are o impotanță foarte
mare. Măsurarea suprafe țelor pentru sectorul de cadastru permite schimbul,
vânzarea și transmiterea prin moștenire a propriet ăților funciare și de
asemenea, stabilirea impozitelor. Amen ajarea terenurilor pentru agricultur ă
presupune cunoa șterea configura ției topografice a acestora. În domeniul
construcțiilor de orice fel topografia este necesară pentru realizarea
proiectelor, pentru trasarea pe teren a poziț iei și apoi pentru urm ărirea
deplasă rilor pe orizontal ă și pe vertical ă a construc țiilor. Această enumerare
ar putea continua cu multe domenii ale activit ății economice și științifice, în
care topografia este aplicată.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 50
5.2 Elemente topografice cu care se opereaz ă în măsurători și calcule

Topografia opereaz ă cu noțiuni de geometrie plan ă și în spațiu,
trigonometrie, geometrie analitic ă și altele. Din punct de vedere fizic
măsurătorile topografice vizeaz ă două m ărimi fizice ale Sistemului
Internațional de unit ăți de măsură: lungimi și unghiuri. Lungimea este o
mărime fizic ă fundamental ă și are ca unitate de m ăsură metrul cu multiplii și
submultiplii lui. Unghiul plan este o m ărime suplimentar ă a Sistemului
Internațional de unit ăți de măsură, a cărui unitate de m ăsură este radianul.
Cu toate acestea în mu lte domenii se opereaz ă cu gradul sexagesimal sau cu
cel centezimal și, submultiplii acestora, a șa cum se procedeaz ă și în
topografie.
Din punct de vedere dimensional aceste unit ăți se definesc în modul
următor:
– metrul este lungimea egal ă cu 1650763,73 lungimi de undă în vid ale
radiației emise la tranzi ția atomului de kripton 86 între nivelele energetice
2p10 și 5d 5;
– radianul este unghiul plan cu vârful în centrul unui cerc, care delimiteaz ă
pe circumferin ța cercului un arc a c ărui lungime este egal ă cu raza acelui
cerc;
– gradul sexagesimal este unghiul plan cu vârful în centr ul unui cerc, care
delimiteaz ă pe circumferin ță un arc egal cu 1/360 din lungimea cercului;
– gradul centezimal este unghiul plan cu vârful în centrul unui cerc, care
delimiteaz ă pe circumferin ță un arc egal cu 1/400 din lungimea cercului.
Măsurătorile topografic e se realizeaz ă pe suprafa ța fizică (reală) a
Pământului, numit ă suprafa ță topografic ă, care, ca orice suprafa ță, este
formată dintr-o infinitate de puncte.Dar pentru a m ăsura un element, acesta
trebuie definit prin anumite puncte care îi sunt caracteristic e. Spre exemplu,
dacă se consider ă un segment de dreapt ă, pe suprafaț a terenului acesta va fi
definit prin dou ă puncte: capetele sale, care vor fi marcate pe teren cu
ajutorul unor obiecte înfi pte în sol (de exemplu țăruși, borne de beton sau
altele). În mod asem ănător, un unghi plan este definit prin intersec ția a două
direcții oarecare. Prin urmare caracter izarea sa se va putea realiza cu
ajutorul a cel pu țin 3 puncte: pentru vâ rful unghiului un punct și pentru
definirea celor dou ă laturi ale sale câte un punct. Efectuarea m ăsurătorilor
pe teren presupune ca aceste puncte s ă fie materializate cu țăruși, deci sǎ fie
vizibile. În calculele topografice se opereaz ă și cu elemente geometrice
caracteristice suprafe ței de teren, dar care nu pot fi materializate, ci numai
intuite. În continuare se explic ă fiecare din elementele topografice cu care se
operează în procesul de m ăsurare și cel de calcul.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 51
a) Punctul topografic – este un punct materializat pe suprafaț a terenului cu
ajutorul unui obiect plantat în sol, care poate fi o born ă de beton, cum este
cazul punctelor din re țelele de sprijin despre care s-a explicat anterior, sau
printr-un țăruș de lemn sau metal. Deoarece aceste obiecte sunt mai mari
decât punctul propriu-zis, acesta se materializeaz ă cu o marc ă semisferic ă la
borna de beton (vezi fig. 2.12) sau prin înfigerea unui cui sub țire în cazul
țărușului de lemn. În cazul țărușului de metal se practic ă o mică scobitur ă în
capul acestuia, cu ajutorul unui poanson.
Marcarea se realizeaz ă, de obicei, doar pentru punctele topografice de
sprijin. Punctele de detaliu sunt mate rializate prin elementele constructive
de pe teren (spre exemplu colț ul unei cl ădiri este materializat de muchia
respectivei cl ădiri).
În secț iune vertical ă prin teren, punctul marcat se reprezint ă ca în fig.5.1.
88101h
d
Fig. 5.1 Puncte topografice marcate pe teren

b) Distan ța înclinat ă- este o distan ță rectilinie între dou ă puncte marcate pe
teren (fig. 5.2). Practic, suprafa ța terenului – datorit ă complexit ății sale – nu
este nici plan ă și nici orizontal ă.
101L101-102L101-102
102
dh

Fig. 5.2 Distan ța înclinată între dou ă puncte ale terenului

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 52
Măsurarea unei distan țe înclinate se poate realiza fie la nivelul solului, între
țărușii din capetele segmentului fie la o anumit ă înălțime, paralel cu terenul,
între verticalele celor dou ă puncte.
c) Distan ța orizontal ă (distan ța redusă la orizont) – este proiec ția unei
distanțe înclinate pe planul orizontal de proiec ție (fig. 5.3). Aceast ă distanță
nu poate fi m ăsurată direct pe teren, dar valoarea sa este necesar ă pentru
reprezentarea în proiec ție pe plan orizontal, deci pentru ob ținerea planurilor
topografice. Valoarea sa se poate calcula dac ă se cunoa ște distan ța înclinată
între cele dou ă puncte ș i înclinarea terenului pe direc ția respectiv ă.
d) Unghiul vertical plan (unghiul vertical) – este un unghi care exprim ă
înclinarea unui segment (aliniament) de pe teren, deci înc linarea terenului pe
direcția aliniamentului respectiv. Consider ăm două puncte topografice și
aliniamentul dintre ele. Vertic ala unui punct se materializeaz ă cu un fir cu
plumb. Prin acela și punct se consider ă un plan orizontal.
L101-102
D101-102101102h
d

Fig. 5.3 Distan ța redusă la orizont între dou ă puncte ale terenului

Se pot defini dou ă unghiuri situate în pl anul vertical care con ține
aliniamentul (fig. 5.4):
– unghiul vertical zenital, V101-102 , dintre verticala firului cu plumb și
aliniament;
– unghiul vertical de pant ă, φ101-102 , dintre proiec ția aliniamentului pe planul
orizontal și aliniament.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 53
101L101-102
102
V101-102V102-101h
d

Fig. 5.4 Unghiurile verticale zenital și de pant ă ale unui aliniament
Așa cum se observ ă în fig. 5.4, unghiul vert ical (zenital sau de pant ă) se
măsoară într-un cap ăt al aliniamentului sau în cel ălalt capăt, în func ție de
sensul în care este privit aliniamentul. Unghiul verti cal (zenital sau de pant ă)
este utilizat în topografi e pentru calculul distan țelor reduse la orizont și al
diferențelor de nivel între dou ă puncte. Aparatele topografice de fabrica ție
mai recent ă măsoară unghiuri verticale zenitale, dar exist ă și aparate mai
vechi care m ăsoară unghiuri de pant ă.
e) Unghiul orizontal plan (unghiul orizontal) este unghiul care se poate
măsura între proiec țiile pe planul orizontal, a dou ă aliniamente oarecare,
concurente, de pe suprafa ța terenului. Se consider ă un sistem cartezian
spațial Oxyz și o porțiune de teren pe suprafaț a căreia s-au trasat dou ă
aliniamente concurente 1-2 și 1-3 (fig. 5.5). Punctele 1, 2, 3 se proiecteaz ă
pe planul orizontal xOy prin drepte proiectante verticale și se ob țin
segmentele orizontale 1’-2’ și 1’-3’. Acestea formeaz ă unghiul orizontal α
care este de fapt unghiul orizonta l al aliniamentelor reale 1-2 și 1-3. Se
observă că proiectantele verticale determin ă două planuri verticale care se
intersecteaz ă după dreapta 1-1’ , care este de fapt verticala punctului de
intersecție al aliniamentelor. Unghiul orizontal α este și unghiul diedru al
acestor dou ă plane verticale.
Se atrage aten ția că nu trebuie confundat unghiul orizontal α, cu
cel format de aliniamentele reale pe teren(care este un unghi din planul
oarecare format de aceste aliniamente).

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 54
Z
X
Y1'
3'1
3
2'2

Fig. 5.5 Unghiul orizontal a dou ă aliniamente concurente

Un caz special de unghiuri orizontale este cel al unghiurilor de
orientare sau mai simplu al orient ărilor. Se știe că meridianele converg c ătre
polii geografici Nord și Sud ai P ământului și deci direc ția nordului geografic
într-un anumit punct va fi dat ă de direc ția meridianului care trece prin acel
punct. Unghiul orizontal pe care îl formeaz ă proiecțiile pe planul orizontal
ale unui segment (aliniament) de pe teren și a meridianului ce trece printr-un capăt al segmentului- acest unghi fiind m ăsurat spre dreapta, de la direc ția
meridianului pân ă la direc ția segmentului- se nume ște
orientare geografic ă
sau azimut.
Deoarece meridianele converg, rezult ă că orientarea unor segmente
nu poate fi exprimată unitar pentru un anumit teritoriu. Din acest motiv se aplică conven ția ca pentru teritoriul respectiv s ă se considere un anumit
meridian ca direc ție de referin ță către Nord. A șa cum s-a ar ătat la proiec ția
stereografic ă pe planul secant unic 1970, în cazul României se consideră ca
meridian de referin ță cel cu longitudinea de 25
0 Est care împarte teritoriul
țării în dou ă părți aproximativ egale. Pe acest meridian s-a ales axa Ox a
sistemului rectangu lar plan al proiec ției stereografice, iar originea este
situată în apropierea ora șului Făgăraș (vezi fig. 3.7). Pentru oricare segment
de pe suprafaț a României, orientarea se va dete rmina în raport cu meridianul
centrului de proiecț ie, adică în raport cu axa Ox a sistemului rectangular
plan. În acest caz orient area segmentului se nume ște orientare topografic ă
și reprezint ă unghiul orizontal pe care îl formeaz ă o paralel ă la axa Ox a
sistemului de proiec ție, trasat ă prin cap ătul proiec ției segmentului și

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 55
proiecția orizontal ă a acestuia, unghiul fiind m ăsurat totdeauna în sens orar,
de la direcț ia paralelei la proiec ția segmentului. În fig. 5.6 se prezintă
orientarea topografic ă și orientarea geografic ă (azimutul) pentru un
aliniament oarecare 1-2. Dac ă în locul direc ției nordului geografic se
consideră direcț ia nordului magnetic, dat ă de acul busolei, atunci se vorbe ște
de orientarea magnetic ă a unui segment. Deoarece polii magnetici ai
Pământului î și schimb ă poziția în timp, nici orientarea magnetic ă nu va avea
o valoare constant ă pentru un segment dat.
În lucr ările topografice, prin orientare se va în țelege deci orientarea
topografic ă, la care direc ția Nord este dat ă de meridianul centrului
proiecției. Un segment oarecare poate avea dou ă unghiuri de orientare, după
cum direcț ia Nord se consideră într-un cap ăt sau în celă lalt al segmentului.
Aceste dou ă unghiuri diferă între ele cu 1800 (200g) și se numesc orientare
directă și orientare invers ă a segmentului considerat (fig.5.7). Dac ă unul din
cele două unghiuri este consid erat orientare direct ă, atunci cel ălalt va fi
orientare invers ă pentru acel segment. O orient are poate avea valori cuprinse
în intervalul 0-400g (0-3600).

CraiovaDrobetaOradea
TimisoaraAradClujSatu
Mare Baia
Mare
Galati
25°Bucuresti
27°BrasovFagarasSuceava
Iasi
Constanta27°
y=500000m
ϕ=46°x=500000m λ=25°
YX
Nord
Est
O1
2Ndirectia acului busolei in punctul 1
(Nord magnetic in punctul 1)
meridian prin capatul segmentului
(Nord geografic in punctul 1)
orientare topografic a
?1-2orientare magnetica
1-2orientare geografica(azim u
A1-2paralela la axa Ox a centrului pro i
prin capatul segmentului 1-2
(Nord topografic in punctul 1)

Fig. 5.6 Orientarea geografic ă, magnetic ă și topografic ă,
ale aliniamentului 1-2

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 56

Este important de re ținut că orientarea topografic ă a unui segment
nu poate fi m ăsurată pe teren , deoarece direcț ia axei Ox nu se poate
determina decât pe traseul meri dianului din centrul de proiec ție. Valoarea
orientării topografice rezultă prin calcul , dacă se cunosc coordonatele
punctelor din capetele segmentu lui, în planul de proiec ție orizontal.
x
N
θ1-2
y1 y2x1x2
12θ2-1
yN N

Fig. 5.7 Orientarea direct ă și inversă a unui aliniament

Din fig. 5.7, considerâ nd coordonatele punctelor: x1, y1 pentru punctul 1 și
x2, y2 pentru punctul 2, orient ările direct ă și inversă se vor calcula în grade
centezimale cu rela țiile:

g gkx xy yarctg kxyarctg 200200200200
1 21 2
2 12 1
2 1 ⋅ +−−⋅ = ⋅ + ⋅ =
−−
−π πθΔΔ , k=0,1,2
(5.1)
și
g gkx xy yarctg kxyarctg 200200200200
2 12 1
1 21 2
1 2 ⋅ +−−⋅ = ⋅ +ΔΔ⋅ =
−−
−π πθ , k=0,1,2
(5.2)

Deoarece sistemul topografic de axe rectangulare are axa Ox pe direc ția
Nord, deci este inversat fa ță de sistemul matematic, pentru a p ăstra
definițiile cunoscute ale func țiilor trigonometrice se va proceda și la
inversarea cercului trigonometric, care devine astfel cerc topografic (fig.
5.8), iar unitatea de m ăsură pentru unghiuri va fi gr adul centezimal. Astfel
cercul topografic este caracterizat prin:
– axa Ox pe direc ția Nord și axa Oy pe direc ția Est;
– sensul de m ăsurare a unghiurilor spre dreapta începând de la axa Ox;
– numerotarea cadranelor se face spre dreapta;

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 57
– cercul are 400 grade centezimale (g), iar submultiplii gradului
centezimal sunt minutul centezimal (c) și secunda centezimal ă (cc); (1g =
100c ; 1c = 100cc).

θx
Cadran I
Cadran II Cadran IIICadran IV
y 100
2003000N = 180°= 200g
= 44g 88c 99cc = 44,8899g = 0,7051289003 rad =
=40,400910° =40°24´ 3"
sin (44,8899g) = sin (40°24´3") = 0,6481319961
cos (44,8899g) = cos (40°24´3") = 0,7615280137
tg (44,8899g) = tg (40°24´3") = 0,8510940956
Fig. 5.8 Cercul topografic

f) Diferen ța de nivel între dou ă puncte topografice – este distan ța măsurată
pe vertical ă între dou ă planuri orizontale care con țin, fiecare, câte unul din
cele două puncte (fig. 5.9). În cazul în care valoarea diferen ței de nivel nu
depășaște 3-4m, iar distan ța dintre puncte nu este prea mare (maximum 100-
150m) se poate realiza o m ăsurare directă cu ajutorul unor aparate
topografice speciale numite nivelmetre. Când diferen ța de nivel este mai
mare, aceasta se poate calcula indirect, dup ă ce pe teren s-a m ăsurat distan ța
înclinată dintre cele dou ă puncte și unghiul vertical al segmentului
determinat de punctele respective.

Z
X
YZB
AB
ZAΔzA-B

Fig. 5.9 Diferen ța de nivel între dou ă puncte

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 58
g) Altitudinea unui punct – este distan ța verticală între punctul respectiv și
planul orizontal de referin ță situat la nivelul m ării (planul zero).

5.3 Generalităț i privind planimetria, altimetria și tahimetria

În capitolul 2 s-a ar ătat că pe suprafa ța Pământului exist ă două tipuri
de rețele de sprijin: re țelele de triangula ție (rețele planimetrice ) și re țele de
nivelment. Re țelele planimetrice sunt formate din puncte ale c ăror
coordonate rectangulare au fost calcula te în raport cu sistemul de axe
carteziene pentru un anumit plan de proiec ție, ca de exemplu cel
stereografic.
O parte a topografiei, numit ă planimetrie se referă la determinarea
coordonatelor rectangulare plane (x,y) ale unor puncte de îndesire a re țelei
planimetrice de sprijin și ale punctelor de detaliu care vor fi reprezentate pe
planurile topografice. Aceast ă operație este posibil ă dacă se porne ște de la
punctele re țelelor planimetrice de sprijin ale c ăror coordonate se cunosc,
utilizându-se totodată și rezultatele m ăsurătorilor efectuate pe teren asupra
unghiurilor orizontale și verticale și asupra distan țelor înclinate ale
aliniamentelor de leg ătură. În principiu pentru a determina coordonatele
rectangulare plane x101, y101 ale unui punct nou de pe teren, notat 101, sunt
necesare minimum dou ă puncte de coordonate cunoscute, cu care s ă se facă
legătura către punctul nou. S ă presupunem c ă cele dou ă puncte de sprijin
sunt 22 (x22 ,y22) și 51 (x51, y51), iar situa ția de pe teren se prezint ă ca în fig.
5.10. Pe teren se m ăsoară: distanț a inclinat ă L22-51 cu ajutorul unei rulete,
unghiul orizontal α22 între aliniamentele 22-51 și 22-101 și unghiul vertical
V22-101 al aliniamentului 22-101, cu ajutorul unui teodolit.
22
2251
101101
θ22−101θ22−51
D22-101Z
L22-101Z
2251
YXV22-101

Fig. 5.10 Determinarea planimetric ă a unui punct nou

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 59
Cu aceste elemente se calculeaz ă în continuare:
– orientarea aliniamentul ui 22-51 cu ajutorul coordonatelor punctelor 22 și
51:

g gkx xy yarctg kxyarctg 200200200200
22 5122 51
51 2251 22
51 22 ⋅ +−−⋅ = ⋅ +ΔΔ⋅ =
−−
−π πθ
(5.3)

– distanța redusă la orizont între punctele 22 și 101:

D 22-101 = L 22-101 sin V 22-101 (5.4)

– orientarea aliniamentului 22-101:

θ22-101 = θ 22-51 + α 22 (5.5)

– diferen ța între coordonatele punctului 101 și ale punctului 22 (sau
coordonatele relative ale punctului 101 în raport cu punctul 22) conform fig.
5.11:

Δx22-101 = D 22-101 cos θ 22-101
Δy22-101 = D 22-101 sin θ22-101 (5.6)

x22x
y2222
y101θ22-101N
x10110151
Δy22-101Δx22-101
yθ22-51
22
D22-101200g−θ 22-101Δx22-101=D22-101 cos(200g -θ22-101)=−D22-101 cos θ22-101
Δy22-101=D22-101 sin(200g -θ22-101)=+D 22-101 sin θ22-101
Nota : se observa ca desi coordonatele
relative sunt lungimi, ele primesc semne
algebrice, date de valoarea functiilor
trigonometrice sin si cos in cadranul in care
se afla unghiul de orientare, astfel:
-cadranul I : + Δx , +Δy ;
-cadranul II : – Δx , +Δy (cazul din figura);
-cadranul III : – Δx , -Δy ;
-cadranul IV : + Δx , -Δy ;N

Fig. 5.11 Calculul coordonatelor relative ale punctului nou

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 60
– calculul coordonatelo r rectangulare plane ale punctului 101:

X101 = X 22 + Δx22-101
Y101 = Y 22 + Δy22-101 (5.7)

Situaț ia se complic ă atunci când num ărul de puncte de detaliu este foarte
mare iar num ărul punctelor din re țeaua planimetric ă de sprijin este redus.
O alt ă parte a topografiei, denumit ă altimetrie (nivelment) se referă
la metodele de m ăsurare și calcul necesare în scopul determin ării poziției pe
verticală a punctelor în raport cu ni velul fundamental de referin ță
(altitudinile punctelo r sau coordonatele Z). În principiu este necesar un
singur punct de altitudine cunoscut ă, din reț eaua de sprijin de nivelment,
pentru a determina altitudin ea unui punct nou. Fie un punct din re țeaua de
sprijin notat 150, de altitudine cunoscută, Z150 și un punct nou, 501. Pe teren
se măsoară înălțimile h1 și h2 (fig. 5.12), de la cele dou ă puncte pân ă la un
plan orizontal, creat cu ajutorul unui aparat topografic special numit
nivelmetru, pe dou ă rigle de lemn gradate (mire topografice) fixate vertical
pe puncte. Cu elementele cunoscute se calculeaz ă apoi:
– diferența de nivel între punctele 150-501:

Δz150-501 = h 1 – h 2 (5.8)

– altitudinea punctului nou, 501:

Z501 = Z 150 + Δz150-501 (5.9)

z
(x,y)h1h2
150501z501
z150Δz150-501

Fig. 5.12 Determinarea diferen ței de nivel între dou ǎ puncte

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 61
Dacă punctele de sprijin sunt rare iar cele de detaliu sunt numeroase se
aplică metode de îndesire a re țelei de sprijin de nivelment și diferite
procedee de determinare a altitu dinilor punctelor de detaliu.
A treia parte a topografiei- tahimetria – vizează metodele și aparatele
care permit determinarea simultan ă a poziției în plan orizontal și pe vertical ă
a punctelor. Se realizeaz ă astfel o reuniune a planimetriei și nivelmentului
într-o singur ă operație de măsurare. În acest scop se utilizeaz ă un tip special
de aparat de m ăsură numit tahimetru , care poate m ăsura unghiuri orizontale
și verticale dar și distanțe. Distanțele sunt m ăsurate pe cale indirect ă (optic
sau electronic). Acest ti p de aparat s-a perfec ționat permanent, astfel c ă în
momentul de fa ță există tahimetre electronice care au posibilitatea ca
printr-o singur ă măsurătoare să determine elementele necesare și să
calculeze și să afișeze direct coordonatele punctului m ăsurat. Rapiditatea
execuției măsurătorilor și precizia din ce în ce mai mare impun acest tip de
aparat într-o gam ă largă de opera ții topografice.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 62
Cap. 6 Mă surarea pe teren a distan țelor

6.1 Măsurarea direct ă a distanț elor

Măsurarea directă a umei distan țe presupune compararea acesteia cu
lungimea unui instrument de m ăsură destinat acestui scop. Cele mai utilizate
instrumente pentru m ăsurarea direct ă a distan țelor în lucr ările topografice
sunt panglicile de otel, ruletele și firele invar.
Panglica topografic ă de oțel cu lungimea de 50m (fig. 6.1) este
realizată dintr-o band ă cu lățimea de 18-20mm și grosimea de 0,4-0,6mm.
Etalonarea sa este realizat ă la temperatura de 200C și forța de întindere de
29,43 N/mm2. Eroarea tolerat ă de etalonare este de +6mm. Reperii
decimetrici ai panglicii se realizeaz ă prin perforare cu g ăuri de diametru
redus (2-3mm). iar diviziunile metrilor se marcheaz ă pe ambele fe țe, în
dublu sens, cu pl ăci metalice din alam ă. Reperele jum ătăților de metru se
marcheaz ă prin nituire. La ambe le capete panglica topografic ă este
prevăzută cu inele de întindere cu diametru de 33 +1mm realizate din bronz,
pe corpul că rora sunt realiza ți reperii de cap ăt. Corecția de alungire datorită
modificării temperaturii este de 11,5 μm/m 10C.
0
2 m

Fig. 6.1 Panglica topografic ă

Firul invar este un instrume nt foarte precis pentru m ăsurarea
distanțelor. El este realizat dintr- un aliaj fier-nichel (64% fier și 36% nichel)
și are un coeficient de dilatare termic ă foarte redus. Lungimea obișnuit ă a
firului este de 24m. La m ăsurare firul este întins între dou ă trepiede iar la
capete i se aplic ă tensiuni de întindere de 100 N.
Pentru m ăsurarea direct ă a diferen țelor de nivel se utilizeaz ă mirele
topografice. Acestea sunt rigle gradate centimetric cu lungimi de 2-4m,
realizate din lemn. Ele sunt prev ăzute cu sabo ți metalici în capete și cu
nivelă sferică cu bulă de aer pentru verticaliz are. Gradarea se realizeaz ă ca
în fig. 6.2.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 63

12
11
10
9

Fig. 6.2 Modul de gradar e a mirelor topografice obișnuite

La măsurătorile de nivelment de precizie se utilizeaz ă mire speciale cu
bandă invar.
Pentru m ăsurarea direct ă a lungimii unor alinia mente este necesar ca
acestea să fie marcate pe teren pr in jaloane iar terenul s ă fie curat și relativ
uniform din punct de vedere al pantelor.

6.2 Corecț ii aplicate la m ăsurarea directă a distanț elor

În cazul când la m ăsurători condi țiile în care este utilizat ă panglica
topografic ă diferă față de cele de la etalonare, se produc erori sistematice
care afectez ă exactitatea rezultat elor. Pentru eliminarea acestor erori , în
timpul m ăsurătorilor se pot utiliza ca instrumente auxiliare termometrul
pentru determinarea temperaturii și dinamometrul pentru stabilirea for țelor
de întindere a panglicii. Corec țiile aplicate rezultatel or în acest caz sunt:
a) Corecția de etalonare, C e:
0LLE Ce e⋅ − = (6.1)
b) Corecția de alungire datorit ă temperaturii, C t:

Ct = α (t-to) L (6.2)

c) Corecția de alungire datorit ă tensiunii, C f :
SLF F K Cf ⋅ − ⋅ =) (0 (6.3)

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 64
În rela țiile de mai sus L este distan ța măsurată pe teren; Lo- lungimea
panglicii topografice; α- coeficient de dilatare termic ă; t- temperatura în
timpul m ăsurării; t0- temperatura la etalonare (200C); K – coeficient de
elasticitate al panglicii; F- forț a de întindere în timpul m ăsurătorii; F0- forț a
de întindere la etalonare; s – sec țiunea transversal ă a panglicii topografice.

6.3 Măsurarea optic ă a distan țelor

M ăsurarea pe cale optic ă a distan țelor în topografie a avut la baz ă
câteva inven ții importante realizate de-a lungul timpului. Astfel în anul 1669
J. Picard construie ște prima lunet ă prevăzută cu reticul, iar cu 100 de ani
mai târziu C. Brunning inventeaz ă mira gradat ă. Primul telemetru este
construit în anul 1795 de c ătre A. M. Rochon. În acest mod s-au pus bazele
transform ării teodolitului inventat de J. Ramsden în anul 1770, într-un
aparat capabil s ă măsoare distan țele pe cale optic ă, adică tahimetrul.
În principiu, luneta stadimetric ă a tahimetrului se compune dintr-un
tub metalic prev ăzut la extremit ăți cu două sisteme de lentile: obiectivul la
un capăt și ocularul la cel ălalt capăt. Între obiectiv și ocular este fixat ă o
plachetă circular ă de cristal, numită reticul, pe care sunt trasate câteva linii
foarte sub țiri: un diametru orizontal și unul vertical numite fire reticulare și
două linii orizontale mai scurte situate la egal ă distanță față de diametrul
orizontal, numite fire stadimetrice (fig. 6.3).
3 2
1 456

Fig. 6.3 Luneta stadimetric ă
1- obiectiv ; 2- axa geometric ă și optică ; 3- ocular ;
4- reticul ; 5- fire stadimetrice; 6- fire reticulare

Dacă se une ște centrul optic al obiectivului cu punctul de intersecț ie al celor
două diametre perpendiculare ale reticulului și cu centrul optic al ocularului
se obț ine axa optic ă a lunetei care trebuie s ă se confunde cu axa geometric ă
a acesteia. O astfel de lunet ă face parte din construc ția unui tahimetru clasic.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 65
S ă presupunem un teren orizontal ș i două puncte A și B între care
se măsoară distanța pe cale optic ă. Luneta stadimetric ă se fixeaz ă orizontal
pe verticala punctului A, iar pe vert icala punctului B se va fixa o mir ă
topografic ă (fig. 6.4). Se observ ă că în situa ția când distan ța F între reticul și
obiectiv este reglat ă astfel încât imagin ea mirei topografice s ă fie văzută clar
în planul reticulului, atunci punctele 1’,O’,2’ ale acestuia vor avea drept
corespondente pe miră punctele 1, 0’’’, 2, situate, fa ță de punctul B la
înălțimile L1, L0, L2 , citite pe diviziunile mirei.
H
L2
L0
L1
DA-BD1 F
P
K1O
O'''O'
2'1'
AB1'
2'O' h2
1O''

Fig. 6.4 M ăsurarea optic ă (stadimetric ă) a distan țelor orizontale

Conform teoriei lentilelor rezult ă că:

P F D1 1 1
1= + (6.4)

unde D1 este distan ța de la obiectiv la mir ă; P- distanța focală principal ă; F-
distanța focală conjugată a obiectivului.
Distanț a vertical ă, h, între cele dou ă fire stadimetrice 1’ și 2’ ale reticulului
și distanța orizontală, K1, între obiectiv și axul mecanic vertical al
tahimetrului pe care este montat ă luneta se cunosc ca elemente constructive.
Din diferen ța lecturilor efectuate pe mir ă rezultă :

H = L 2 – L 1 (6.5)

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 66

În fig. 6.4 se vede c ă triunghiurile 1’-2’-0 și 1-2-0 sunt asemenea. Din
raportul laturilor rezult ă:
HhFD⋅ =1 (6.6)

unde distan ța focală conjugat ă, F se poate exprima din rela ția (6.4) sub
forma:
P DD PF−⋅=
11 (6.7)
Substituind valoarea F din relația 6.6 cu cea din rela ția 6.7 rezultă
distanța între obiecti vul lunetei și mira topografic ă:

P HhPD + ⋅ =1 (6.8)

În continuare distan ța între punctele A și B se scrie ca:

1 1 1 K P HhPK D DAB + + ⋅ = + = (6.9)

Elementele constructive P și h ale lunetei se aleg astfel încât raportul
KhP= să fie o valoare rotund ă (de obicei K = 100 ). De asemenea, în
construcția lunetelor stadimetrice apare o lentil ă suplimentar ă, plasată între
obiectiv și ocular, numit ă lentilă analatic ă. Aceast ă lentilă permite
deplasarea focarului principal O” în interiorul lunetei, astfel încât acesta s ă
se situeze pe axul vertical al tahime trului, deci pe verticala punctului A.
Rezultă astfel P + K 1 ≈ 0 și distanța între punctele A și B de forma:

H K HhPDAB ⋅ = ⋅ = (6.10)

Deoarece mira topografică se așeaz ă întotdeauna vertical, rezult ă că relația
(6.10) este valabil ă doar în cazul m ăsurării distan țelor în plan orizontal (deci
cu luneta la orizontal ă).
Dac ă este necesar ă măsurarea unei distan țe înclinate, atunci luneta
trebuie s ă fie fixat ă paralel cu aliniamentul de pe teren, deci mira
topografic ă, situată pe vertical ă va forma cu axul optic al lunetei un unghi

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 67
egal cu unghiul vertical ze nital al aliniamentului de m ăsurat (fig. 6.5). În
această situație diferen ța H =L 2 – L 1 a lecturilor de pe mira vertical ă se va
proiecta pe direc ția perpendicular ă la axa optic ă a lunetei, în punctul B’, de
unde rezult ă:

H’= (L 2 – L 1) cosφAB = (L 2 – L 1) sin V AB = H sin V AB (6.11)

Distanț a înclinată, LAB va fi deci:

LAB= KH’ =KH sin V AB = K(L 2 – L 1) sin V AB (6.12)

iar distanța orizontală DAB va fi în acest caz:

DAB = LAB sin V AB = KH sin2 VAB = K(L 2 – L 1) sin2 VAB (6. 13)

Rezultă, deci, c ă pe teren înclinat, pentru m ăsurarea optic ă a unei
distanțe este necesar s ă se măsoare și unghiul vertical zenital, deci axa
optică a lunetei trebuie s ă fie paralelă cu aliniamentul de m ăsurat. Acest
lucru este posibil dac ă citirea mijlocie de pe mir ă, L 0 este egal ă cu
înălțimea I, de amplasare a aparatului deasupra punctului A, sta ționat.
ABVA-B
VA-BϕA-BL1L0=IL2B'
A'
ILA-BLA-B
DA-B

Fig. 6.5 M ăsurarea optic ă a distan țelor înclinate

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 68
Trebuie specificat faptul c ă unele aparate topografice optice nu utilizeaz ă
principiul stadimetric pentru m ăsurarea optic ă a distan țelor, ci principiul
telemetric. La aceste aparate nu mai este necesar ă mira topografică,
deoarece distan ța se determin ă prin coinciden ța a două semiimagini ale unui
obiect vizat.

6.4 Măsurarea electronic ă a distan țelor

Ultimele genera ții de tahimetre electronice sunt dotate cu dispozitive
electrooptice pentru m ăsurarea distan țelor, care prezint ă avantaje în privin ța
rapidității și a preciziei cu care se efectueaz ă măsurătorile. La ultimele tipuri
de tahimetre, dispozitivele electronice pentru m ăsurarea distan țelor sunt
încorporate în aparat . În principiu, m ăsurarea distan țelor pe cale electronic ă
se realizeaz ă în modul urm ător (fig.6.6): generatorul electronic G, produce o
oscilație electric ă de o anumită frecven ță care este apoi modulat ă de către
modulatorul M, și transmis ă emițătorului E, care o emite de-a lungul
distanței de măsurat. În cel ălalt capăt al segmentului de m ăsurat este instalat
un reflector RR, care întoarce unda electromagnetic ă în direcție opusă. Unda
reflectată este recep ționată de către receptorul, R, situat ală turi de emițător.
De la receptor, unda reflectat ă este transmis ă la indicatorul diferen ței de fază
F, care determin ă diferența de fază între unda emis ă și cea recep ționată
precum și timpul parcurs în dublu sens al undei. Rezultatul compara ției este
transmis calculatorului electronic C, care apoi afi șează rezultatul m ăsurării
pe afișajul A
RR
DAG
CMFE
R21

Fig.6.6 Schema de principiu a dispozitivului electronic de m ăsurare a
distanțelor
1- undă directă ; 2- undă reflectată ; D-distan ța măsurată

În momentul de fa ță, cele mai utilizate dispozitive electronice de acest gen
sunt de tip fazic (cu emisie continu ă) cu frecven ța de modula ție fixă sau
variabilă. Distanța este calculat ă cu relația:

2 2 2λ
πϕλ⋅⋅Δ+ ⋅ = N D (6.14)

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 69

unde N este num ărul de perioade complete consumate între momentul
emisiei și cel al recep ției; λ -lungimea de und ă a emisiei electromagnetice
modulate; Δφ – diferen ța de fază între unda emis ă și cea recep ționată, care
depinde propor țional de timpul de parcurs al undei.
La valoarea D rezultată din relația 6.14 se aplică corecț ii legate de natura
constructiv ă a dispozitivului electronic și a reflectorului și de condi ții
meteorologice (temperatura și presiunea).
Dispozitivele electronice permit m ăsurarea distan țelor de ordinul a
1-20 Km, cu o eroare absolută de 2-10 mm.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 70
Cap. 7 Mă surarea pe teren a unghiurilor orizontale și
verticale

7.1 Principiul m ăsurării umghiurilor

Se știe că un unghi plan este format de dou ă drepte concurente
situate în planul respectiv. Punctul de concuren ță este vârful unghiului iar
cele două drepte sunt laturile aces tuia , laturi ce determin ă întotdeauna
planul unghiului.
Dac ă laturile unghiului au o pozi ție oarecare în spa țiu, atunci și
planul unghiului va fi un plan oarecare în spaț iu. Un unghi poate fi m ăsurat
în planul s ău utilizând un raportor circular sau semicircular, în modul
următor (fig. 7.1): se suprapune planul ra portorului (realizat de obicei
dintr-un material transparent) peste planul unghiul ui astfel încât centrul
cercului raportorului s ă coincidă cu vârful unghiului. Laturile unghiului vor
intersecta circumferin ța gradată a raportorului în dou ă puncte diferite. În
aceste puncte se efectueaz ă citirile diviziunilor de pe raportor C1 și C2.
Diferența acestor citiri va fi valoarea unghiului m ăsurat( presupunând c ǎ
raportorul este gradat în sens orar ):

α = C 2 – C 1 (+400g) (7.1)

0
100 300
200αC1
C2

Fig. 7.1 M ăsurarea unghiurilor cu ajutorul
cercului gradat(raportorului)

Valoarea α trebuie să fie pozitiv ă și mai mic ă de 400g (2π rad).

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 71
În situaț ia în care diviziunea zero a raportorului se a șează între laturile
unghiului, atunci C 2 < C 1 și valoarea α conform rela ției (7.1) rezult ă
negativă. În astfel de cazu ri la rezultatul ob ținut se adaug ă 400g (2π rad.).
Metoda de m ăsurare descris ă mai sus se nume ște metoda diferen ței citirilor.
Pentru a evita calculul diferen ței se procedează astfel: se rote ște raportorul
astfel încât diviziunea zero s ă se suprapun ă pe latura din stânga a unghiului,
deci C1 = 0 , iar citirea C2 corespunz ătoare laturii din dreapta va fi tocmai
valoarea unghiului: α = C 2. Această metodă se nume ște metoda zeroului în
coinciden ță (pe latura din stânga a unghiului).
În cazul în care laturile unghiului au o pozi ție oarecare în spa țiu, se
poate imagina proiec ția acestui unghi pe un plan particular, care este planul
orizontal, deci se poate discuta despre o valoare în plan orizontal a acestui
unghi, valoare care este diferit ă față de cea m ăsurată în planul spa țial al
unghiului. Acest caz este foarte frecvent în m ăsurătorile topografice, unde
aliniamentele au pozi ții oarecare, dar se m ăsoară valoarea proiec ției
unghiului pe plan orizontal.
Să ne imagin ăm că suprafața terenului este un plan înclinat oarecare,
iar pe acest plan sunt dou ă aliniamente concurente, PA și PB care formeaz ă
unghiul plan β. Considerăm sistemul spa țial Oxyz, astfel ca axa Oz s ă treacă
prin vârful P al unghiului. Proiec țiile OA” și OB” ale laturilor PA și PB ale
unghiului de pe teren, formeaz ă în planul orizontal xOy unghiul α care se
numește unghiul orizontal al aliniamentelor de pe teren (fig. 7.2). Măsurarea
acestuia se realizeaz ă astfel: deasupra punctului P se fixeaz ă un cerc gradat
în poziție orizontal ă astfel ca centrul lui s ă fie pe verticala lui P (axa Oz).
Proiecțiile aliniamentelor din te ren pe planul cercului, P’A’ și P’B’,
determină citirile C1 și C2 a căror diferen ță reprezint ă tocmai unghiul
orizontal α.
Acest principiu de m ăsurare a unghiurilor orizontale este utilizat la
aparatele topografice, prev ăzute cu cerc gradat care poate fi adus la pozi ția
orizontală și fixat cu centrul s ău pe verticala punctului de intersec ție a
aliniamentelor de pe teren.
În fig. 7.2 se observ ă că aliniamentele de pe teren (laturile unghiului)
PA și PB au unghiuri diferite fa ță de verticala punctului P.
Să presupunem c ă rotim sistemul cartezian în jurul axei Oz astfel
încât punctul A s ă fie conținut în planul ve rtical xOz iar A” să fie situat pe
axa Ox. Pentru a m ăsura înclinarea aliniamentului PA față de vertical ă (axa
Oz) se fixeaz ă un cerc gradat cu centrul P 1 la înălțimea h față de vârful P,
astfel încât cercul s ă fie situat în planul vertic al xOz (fig. 7.3), iar grada ția
zero să fie pe axa Oz. Prin centrul cercului se consider ă direcția P 1-A1

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 72
α0X
YZ
B''BB'A'
A
A''α
βPP'C1
C2C2-C1=α

Fig.7.2 Principiul de m ăsurare a unghiului orizontal a dou ă aliniamente

paralelă cu aliniamentul din teren PA. Direc ția axei Oz determin ă pe cercul
gradat citirea C1=0, iar direcția P 1-A1 citirea C2 care este egală cu valoarea
unghiului de înclinare V, a acesteia fa ță de vertical ă, deci și al aliniamentului
PA de pe teren. Acest procedeu de m ăsurare este utilizat la aparatele
prevăzute cu cerc vertical gradat.
0X
YZ
B''BA1
A
A''hh
VP-AVP-AC1=0
C2
P

Fig. 7.3 Principiul de m ăsurare a unghiului vertical zenital al unui
aliniament

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 73
7.2 Teodolitul

7.2.1 Schema simplificat ă și părțile constructive ale teodolitului

Teodolitul sau goniometrul este un aparat topografic destinat
măsurării unghiurilor orizontale și verticale direct pe teren. Din punct de
vedere constructiv acest aparat este un complex mecanic-optic (la ultimile
variante și electronic) realizat cu o fine țe deosebită, astfel încât s ă poată
asigura precizii de m ăsurare a unghiurilor de 8×10-7 radiani (5×10-5gon ) sau
chiar mai mari.
În principiu un teodolit este alc ătuit din câteva subansamble
caracteristice, importante, care sunt (fig. 7.4):
1) Ambaza – este partea inferioar ă a aparatului care pe rmite fixarea acestuia
pe trepied prin intermediul unui șurub special ( șurub pomp ă). În corpul
ambazei se fixeaz ă pivotul p ărții superioare a aparatul ui, care se poate roti în
jurul acestuia.
O funcție importantă a ambazei este aceea de a permite calarea aparatului,
cu ajutorul a trei șuruburi care produ c înclinarea p ărții superioare a ambazei
față de partea sa inferioară fixat ă pe trepied.

71263584

Fig. 7.4 Schema de principiu a teodolitului
1- ambază ; 2- limb ; 3- alidad ă ; 4- eclimetru ; 5- lunet ă
6- nivelă torică ; 7- șurub de calare ; 8- ax orizontal

2)Cercul orizontal gradat (limbul) – permite m ăsurarea unghiurilor
orizontale între aliniamente conc urente de pe teren. Pentru m ăsurare este
necesar ca cercul s ă fie orizontalizat prin opera ția de calare. Limbul poate fi

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 74
realizat din metal sau din sticl ă de cristal și este gradat în unit ăți centezimale
sau sexagesimale.
3) Alidada – este format ă dintr-un disc metalic prev ăzut cu un pivot coaxial
cu limbul. Alidada acoper ă cercul orizontal gradat, iar pe fa ța sa superioar ă
este prevăzută cu două bra țe verticale care sus țin axul lunetei și al cercului
vertical gradat. Tot pe corpul alidadei sunt sus ținute componentele auxiliare
ale teodolitului.
4) Cercul vertical gradat(eclimetrul) – permite m ăsurarea unghiurilor
verticale. Pentru aceasta este necesar ca eclimetrul s ă fie adus în plan
vertical prin opera ția de calare. Din punct de vede re constructiv el este fixat
pe o axă de rotație orizontal ă sprijinit ă pe cele dou ă braț e ale alidadei, astfel
încât planul eclimetrului este perpe ndicular pe planul cercului gradat
orizontal. Cercul vertical este realizat din acela și material ca și cel orizontal
și gradat la fel.
5) Luneta – este un dispozitiv optic de tip cilindric, care permite vizarea la
distanță a punctelor topografice. Constructiv, se aseam ănă cu luneta descrisă
la punctul 6.3, cu deosebirea c ă reticulul s ău nu este prev ăzut cu fire
stadimetrice. Luneta este fixat ă pe axul orizontal pe care se afl ă și
eclimetrul, deci se poate ro ti în jurul acestui ax odat ă cu eclimetrul.
6) Componente auxiliare – acestea sunt elemente constructive care permit
reglajul aparatului, calarea sa, efectu area citirilor valo rilor unghiulare pe
cele două cercuri gradate și altele. Printre aceste componente, cele mai
importante sunt nivelele cu bulă de aer utilizate la calarea aparatului și
microscopul pentru efectuarea citir ilor pe cercurile gradate. În afar ă de
acestea teodolitul este echipat cu șuruburi de blocare a mi șcărilor, șuruburi
pentru rotiri fine în jurul axelor vertical ă și orizontal ă, șurub repetitor sau
reiterator etc.
Nivelele cu bul ă de aer sunt de două tipuri: nivele torice și nivele sferice
(fig. 7.5). Nivela toric ă este utilizată pentru aducerea la orizontal ă a
suprafeței limbului (calarea). Aceast ă nivelă este format ă dintr-o fiol ă de
sticlă curbată, în form ă de tor, în care s-a introdus lichid și s-a lăsat un mic
spațiu cu aer. Fiola de sticl ă este fixat ă într-o montură metalic ă prevăzută cu
un șurub de rectificare. Pe suprafa ța superioar ă a fiolei sunt trasate diviziuni
simetrice fa ță de jumătatea lungimii torului (punctul 0 din fig. 7.5). Nivela
torică este astfel reglat ă încât tangenta sa în punctul 0 (directricea D-D) să
fie paralel ă cu discul alidadei, cu cercul orizontal gradat ș i cu fața superioar ă
a ambazei.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 75
DDDD
OO
a) b)

Fig. 7.5 Nivela cu bulă de aer
a- nivelă torică ; b- nivel ă sferică

Tangenta D-D este orizontală atunci când bula de aer este perfect centrat ă
față de punctul 0.
La nivela sferic ă fiola de sticl ă are form ă cilindric ă, iar partea superioar ă
este sferic ă. Reperul trasat pe aceast ă suprafa ță este un cerc în interiorul
căruia se situeaz ă bula de aer când tangenta D-D este orizontal ă.
Sensibilitatea (precizia de orizontalizar e) unei nivele torice este mai mare
decât a unei nivele sferice.

7.2.2 Dispozitive de citire a valorilor unghiulare pe limb și eclimetru

Teodolitele utilizate în pr ezent sunt dotate cu dou ă tipuri de dispozitive de
citire a diviziunilor pe cercurile gradate:
-dispozitive de tip optic (microscop);
-dispozitive elec tronice cu afiș aj numeric.
Microscoapele sunt sisteme optice complexe care permit citirea pe ambele
cercuri gradate. În func ție de precizia dispozitivului, exist ă trei tipuri de
microscoape: cu reper , cu s căriță (vernier optic ) și cu coinciden ță (cu șurub
micrometric ). Câmpul vizual al microscopului este împ ărțit în două zone,
una corespunz ătoare cercului vertical, inscrip ționată cu litera V și cealaltă
corespunz ătoare cercului orizontal, inscrip ționată cu literele Hz.
Microscopul cu reper (fig. 7.6a) are în centru l câmpului vizual o linie
verticală (reperul). Cercurile orizontal și vertical, ale teodolitelor dotate cu
un astfel de microscop, sunt divezate în 400g și fiecare grad este divizat în
10 părți de câte un decigrad ( 1dg=10c). În câmpul vizual apar imaginile
diviziunilor din câte o por țiune a cercului orizontal și vertical. Citirile se
execuă de la stânga spre dreapta pân ă la linia vertical ă a reperului. Se citesc
direct num ărul de grade și zeci de minute la care se adaug ă un num ăr de
0…9 minute apreciat de c ătre observator.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 76
V
Hz00 10 20 30 50 40 90 60 80 70 100
00 20 10 30 40 50 60 70 80 90 100
233101
103 104
221 222V
HzV=103g 62c
Hz=221g 73cV=101g 73c 80cc
Hz=233g 37c 50cc
a) b)

Fig. 7.6 Dispozitive pentru citirea valorilor unghiula re la teodolite
a- cu reper ; b- cu sc ăriță

Microscopul cu scări ță (fig. 7.6 b) are în câmpul vizual dou ă scale gradate
în 100 diviziuni, câte una pentru fiecar e cerc. Teodolitele cu un astfel de
microscop au cercurile divizate în 400g. Lungimea arcului corespunz ător la
1g este egală cu lungimea scalei gradate. Imag inile diviziunilor de pe cercuri
se suprapun cu imaginile s calelor gradate. Se cite ște direct num ărul de grade
de pe diviziunea cercului observat ă în câmpul vizual (apare o singur ă
diviziune a cercului). Tot direct se citește num ărul de diviziuni întregi
cuprins între cap ătul 0 al scalei și linia diviziunii cercului. Acest num ăr
reprezintă minute centezimale. În continuare se apreciaz ă de către
observator frac țiunea de diviziune r ămasă până la diviziunea cercului.
Aceasta reprezint ă numărul de secunde centezimale. Suma celor trei valori
reprezintă citirea.
Microscopul cu coinciden ță și șurub micrometric face parte din construc ția
teodolitelor de înalt ă precizie. Exist ă multe tipuri constr uctive, dintre care
cel mai perfec ționat este prev ăzut cu citire seminumeric ă (fig. 7.7).
98 0
90 915 214
citire grade
citire zeci
de minutecitire unitati de minute
citire zeci de secunde
reper fix
(citire unitati de secunde)
coincidenta
diviziuni3
citire efectuata pe dispozitiv:
Hz=214g 39c 84cc
Fig. 7.7 Microscop cu coinciden ță și șurub micrometric

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 77
La teodolitele electronice citirea valorilor unghiulare se realizeaz ă automat,
iar valorile unghiulare s unt prezentate sub form ă numerică pe afi șaje cu
cristale lichide.

7.2.3 Anexele teodolitului

La lucr ări executate pe teren teodolit ul este utilizat împreun ă cu unele
elemente anexe, care permit realizarea unor opera ții premergătoare
procesului efectiv de m ăsurare. Cele mai importante anexe sunt:
a) Cutia aparatului – permite transportul aparat ului la punctele de lucru și îl
ferește de șocuri.
b) Trepiedul – permite fixarea rigid ă a teodolitului în punctul de sta ție, la o
înălțime oarecare convenabil ă operatorului. Pentru aceasta picioarele
trepiedului sunt telescopice ș i sunt echipate cu sabo ți metalici pentru a fi
înfipți în sol.
c) Firul cu plumb – permite centrarea aparatului pe verticala punctului de
stație. În locul firului cu pl umb unele aparate sunt prev ăzute cu dispozitive
optice de centrare sau dispozitive laser.
d) Busola sau declinatorul – permite orientarea lunetei teodolitului pe
direcția Nord magnetic și măsurarea unghiurilor orizontale fa ță de aceast ă
direcție.
e) Mira topografic ă – constituie un semnal portabil cu care se
materializeaz ă verticala punctelor care nu pot fi observate direct.
Pentru lucr ări mai complexe se utilizeaz ă și alte tipuri de anexe cu destina ții
specifice fiec ărui tip de lucrare.

7.2.4 Axe și miș cări ale teodolitului

Din punct de vedere construc tiv, teodolitul are trei axe importante care
sunt concurente într-un punct, M, numit punctul mecanic al aparatului
(fig.7.8). Axa vertical ă V-V, numită axă principal ă este perpendicular ă pe
planul limbului în centrul acestuia. Pe ntru a fixa diviziunea zero a limbului
pe o anumit ă direcție, acesta poate fi rotit fa ță de axa V-V, însă în timpul
mărsurătorilor el r ămâne blocat în raport cu ambaza. Partea superioar ă a
aparatului (alidada) se rote ște complet în jurul axei verticale V-V
independent de limb.
Axa orizontal ă H-H, numită și axă secundar ă este prin construc ție
perpendicular ă pe axa principal ă și pe planul cercului vertical, în centrul
acestuia; cercul vertical și luneta sunt fixate rigid și se pot roti simultan și
complet în raport cu axa H-H.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 78
H
O
VHOV
M

Fig. 7.8 Axele teodolitului

Axa optic ă a lunetei, O-O, identică cu axa geometric ă a acesteia, este
prin construc ție perpendicular ă pe axa H-H. Direcț ia de vizare este identic ă
cu axa O-O iar sensul vizei este de la ocular c ătre obiectivul lunetei. În
funcție de acest sens exist ă două poziții în care se pot executa m ăsurători:
-poziția I – în această poziț ie cercul vertical este si tuat în stânga lunetei;
-poziția a II-a – în aceast ă poziție cercul vertical este situat în dreapta
lunetei.
Dac ă se consider ă că aparatul este fixat în pozi ție de măsurare și se
vizează același punct în pozi ția I și apoi în pozi ția a II-a , valorile unghiulare
citite pe cercul orizontal și pe cel vertical vor fi VI , HzI, VII, HzII. În ipoteza
că aparatul și măsurătorile sunt perfecte, între valorile citite în cele dou ă
poziții de măsurare exist ă relațiile:

VI = 400 g – V II
200±=II IHz Hz (7.2)

În procesul de m ăsurare a unghiurilor orizontale dispozitivele de citire
pentru cercul orizontal se mi șcă pc circumferin ța sa (prin rotirea alidadei în
jurul axului vertical), iar cercul orizontal rămâne pe loc. Aceast ă mișcare se
numește mișcare înregistratoare .
La m ăsurarea unghiurilor verticale dispozitivul de citire rămâne pe
loc iar cercul vertical se rote ște simultan cu luneta pentru a stabili o
înclinare oarecare. Aceast ă mișcare se numește mișcare în plan vertical .

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 79
Trebuie men ționat faptul c ă valorile unghiulare utilizate în calcul
sunt cele citite în poziț ia I, iar cele determinate în pozi ția a II-a a aparatului
sunt utilizate pentru corec ția unor erori datorate imperfec țiunilor de execu ție
și reglaj ale teodolitului.

7.3 Operaț ii premerg ătoare efectu ării citirilor pe limb și eclimetru

Pentru realizarea unor m ăsurători corecte este necesar s ă se respecte
principiile descrise la punctul 7. 1, ceea ce impune efectuearea unor opera ții
pregătitoare care constau în:
-fixarea pe trepied a teodolitului;
-centrarea aparatului în punctul de sta ție;
-calarea;
-efectuarea vizelor pentru fiecare punct m ăsurat.
Trepiedul se regleaz ă la o înălțime convenabil ă operatorului și se
fixează pe sol deasupra punctului de sta ție, iar teodolitul se instaleaz ă pe
trepied prin intermediul șurubului pomp ă. Firul cu plumb este suspendat pe
cârligul șurubului pomp ă pentru materializarea axei verticale a aparatului.
Centrarea aparatului în punctul de sta ție presupune deplasarea
laterală a trepiedului și/sau aparatului astfel încât verticala firului cu plumb
să coincid ă cu verticala punctului de sta ție. Definitivarea centr ării se
realizează prin schimbarea pozi ției aparatului pe trepied în limitele a 1-2cm.
La aparatele cu dispoziti v optic de centrare nu mai este necesar firul cu
plumb, iar precizia operaț iei de centrare cre ște.
Calarea teodolitului presupune aducerea limbului în plan orizontal,
operație care reclam ă utilizarea celor trei șuruburi de calare ale ambazei și a
nivelei torice. Calarea se realizeaz ă în două faze succesive (fig. 7.9):
-în prima fază se rote ște partea superioar ă a aparatului(alidada) astfel ca
fiola nivelei torice s ă ajungă pe o direc ție paralel ă cu dreapta care une ște
oricare dou ă, din cele trei șuruburi de calare ale ambazei; cele dou ă șuruburi
se rotesc simultan în direcț ii opuse până când bula de aer a nivelei torice
ajunge în poziț ie centrală, deci directricea torului este orizontal ă;
-în faza a doua, partea superioar ă a aparatului se rote ște astfel ca fiola
nivelei torice s ă ajungă pe pe o direcț ie perpendicular ă față de cea ocupat ă
în prima faz ă; se rote ște apoi numai al treilea șurub de calare într-un sens
sau în cel opus pân ă când bula de aer a ni velei ajunge în pozi ție centrală.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 80
faza 2
faza 1S2S1S3
axul vertical
al aparatului nivela
torica

Fig.7.9 Opera ția de calare a teodolitului

În continuare aparatul trebuie s ă rămână calat , deci bula de aer a nivelei s ă
se mențină în poziție centrală., indiferent de pozi ția în care se rote ște partea
superioară a aparatului(alidada).
Dac ă operația de calare nu a reu șit, cele dou ă faze ale cal ării se
repetă. În cazul în care calarea nu se realizeaz ă, chiar dac ă operația s-a
repetat, atunci este posibil ca :
-fixarea trepiedului la sol sau a aparatului pe trepied s ă nu fie suficient de
rigide;
– nivela toric ă să fie dereglată ;
-aparatul s ă aibă axul vertical deranjat datorit ă unor șocuri.
În prima situa ție se repet ă instalarea aparatului în sta ție, refăcându-se
centrarea acestuia. În a doua situa ție este necesară rectificarea pozi ției
nivelei torice, opera ție care presupune readucerea directricei torului paralel ă
cu planul cercului orizontal, operaț ie ce se poate realiza de c ătre topografii
experimenta ți. În ultima situa ție se recomand ă să se apeleze la ateliere de
specialitate. Aducerea limbului în plan orizontal presupune și fixarea în
plan vertical a eclimetrului, dat ă fiind construcț ia teodolitului.
Centrarea și calarea teodolitului sunt dou ă operații de care depinde
foarte mult precizia de m ăsurare a unghiurilor, dar la fel de important este
modul în care se realizeaz ă vizarea punctelor m ăsurate.
Vizarea corect ă presupune direc ționarea lunetei c ătre punctul
măsurat, punerea la punct a imaginii(reglarea distan ței de vizare) și aducerea
punctului central al reticulul ui lunetei în coinciden ță cu punctul m ăsurat,
prin utilizarea dispozitivelor de mi șcare fină orizontal ă și vertical ă ale
aparatului (opera ția de punctare). În situa ția când punctul m ăsurat este

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 81
vizibil atunci punctarea se face chiar pe borna sau pe țărusul care
materializeaz ă punctul respectiv (fig. 7.10).

a b
Fig. 7.10 Vizarea directă a unui punct
a – imagine pus ă la punct ; b- punctare

Dac ă punctul m ăsurat nu este vizibil, acesta este semnalizat cu un
semnal permanent sau cu un semnal mobil (jalon sau mir ă topografic ă)
așezat pe verticala punctului respectiv. În aceast ă situație punctarea se face
pe verticala semnalului, care trebuie să fie aceea și cu verticala punctului
(fig. 7.11).
a b c

Fig. 7.11 Punctarea pe verticala punctului vizat
a- pe mira topografic ă ; b- pe o baliz ă ; c- pe o turl ă de biseric ă

7.4 Procedee de m ăsurare a unghiurilor orizontale

În func ție de precizia urm ărită, măsurarea unui unghi orizontal se
poate realiza cu un aparat și cu un procedeu, corespunz ătoare.
Așa cum s-a precizat, teodolitele ofer ă în mod obi șnuit precizii de
0,5cc-1c, dar în procesul de m ăsurare intervin erori datorate imperfec țiunilor

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 82
de centrare și calare a aparatului, de centrare a semnalelor și de efectuare a
vizelor, la care se adaug ă și erorile de citire ale operatorului.
În procesul de m ăsurare a unghiurilor orizontale se utilizeaz ă trei
procedee:
a) Procedeul simplu al diferen ței citirilor constă în efectuarea unei singure
citiri pe limb pentru fiecare dintre direc țiile corespunzătoare laturilor
unghiului m ăsurat. Să presupunem c ă se măsoară unghiul orizontal, A,
format de aliniamentele concurente 20-22 și 20-101(fig. 7.12). Pe teren se
staționează punctul 20. Deasupra ac estui punct se centreaz ă și se caleaz ă
teodolitul. În continuare se vizeaz ă punctul 22 și se efectueaz ă citirea Hz22
pe limb. Se rote ște apoi alidada și se vizeaz ă punctul 101 pentru care se
efectueaz ă citirea Hz101 pe limb.
10122300
100
200
0 A
20Hz 22
Hz 101

Fig. 7.12 Procedeul diferen ței citirilor

Pentru calculul unghiului se face diferen ța între citirea pe la tura din dreapta,
Hz101 și citirea pe latura din stânga, Hz22 , ale unghiului. Sunt dou ă situații
posibile:
– dacă Hz101> Hz 22, atunci unghiul se va calcula cu:

A = Hz 101 – Hz 22 (7.3)

– dacă Hz101< Hz 22, atunci unghiul se va calcula cu:

A = Hz 101– H z 22 + 400g (7.4)

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 83
deoarece valoarea unui unghi trebuie s ă fie pozitiv ă și cuprinsă în intervalul
0-400g . În relația (7.4) s-a presupus c ă limbul este gradat centezimal.
Un caz particular al acestui procedeu este cel în care citirea pe latura
din stânga a unghiului (în cazul de mai sus Hz22) este zero. În aceast ă
situație valoarea unghiului va fi chiar valo area citirii pe latura din dreapta:

A=Hz 101- Hz 22 = Hz 101 – 0 = Hz 101 (7.5)

Diviziunea zero a limbului poate fi pozi ționată pe o anumit ă direcție
prin rotirea limbului în jurul axului vertical, cu ajutorul unui mecanism care
face parte din construc ția teodolitului (mecanism repetitor sau reiterator.).
Cazul particular de scris mai sus poart ă denumirea de procedeu al zeroului în
coinciden ță.
În cazul în care în punctul de sta ție sunt mai multe aliniamente
concurente, atunci unul dintre aces tea este considerat ca direc ție de referin ță,
față de care se m ăsoară unghiurile orizontale ale celorlalte. Pentru fiecare
dintre aliniamente se repetă opera ția de vizare și de citire pe limb (fig. 7.13).
Unghiul orizontal pentru fiecare dintre aliniamente se determin ă prin
diferența între citirea pe direc ția respectiv ă și citirea pe direc ția de referin ță:

A501 = Hz 501- Hz 22 (+400g)
………………………………………….. (7.6)
A505 = Hz 505- Hz 22 (+400g)

Hz20-501501
502
503
505 50422
A501
A502
A503
A504A505Hz20-22
Hz20-22Hz20-22
Hz20-22
Hz20-2220

Fig. 7.13 M ăsurarea unghiurilor orizontale pentru mai multe aliniamente
concurente
b) Procedeul repeti ției constă în măsurarea unui unghi orizontal de n ori. O
măsurătoare din cele n, luată separat se aseam ănă cu cea realizat ă prin
procedeul simplu, dar înl ănțuirea repeti țiilor are ceva particular: s ă
presupunem c ă se măsoară unghiul orizontal, A , între aliniamentale

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 84
concurente 20-22 și 20-101 (fig. 7.14); dup ă centrarea și calarea teodolitului
în punctul de sta ție 20 se vizează latura din stânga (deci punctul 22) și se
citește pe limb Hz0. Se vizeaz ă apoi latura din dreapta (deci punctul 101) și
se face citirea Hz1, după care, prin ac ționarea pâghiei repetitoare se fixeaz ă
limbul de alidad ă. Pentru m ăsurătoarea urm ătoare alidada se rote ște spre
stânga (simultan cu limbul care este blocat) și se vizeaz ă din nou punctul 22.
Lectura pe limb va fi în acest caz identic ă cu cea efectuată pe latura din
dreapta la m ăsurătoarea precedent ă, deci Hz1. După vizarea punctului 22 se
acționează din nou pârghia repetitoare, pentru deblocarea limbului și, se
rotește alidada spre latura din dr eapta pentru vizarea punctului 101 și se
efectueaz ă citirea Hz2, după care se ac ționează iarăș i pârghia repetitoare.
Operaț iile descrise se repet ă până când se realizeaz ă n măsurători ale
unghiului. Valoarea unghiul ui va fi calculată ca medie aritmetic ă a celor n
valori rezultate:

A1 = Hz 1 – Hz 0 (+400)
A2 = Hz 2 – Hz 1 (+400)
A3 =Hz 3 – Hz 2 (+400) (7.7)
…………………………………….
An = Hz n – Hz n-1 (+400)

și deci:
nk Hz Hz
nA A AAn n ) 400 ( ……0 2 1 ⋅+−=+++= (7.8)
Valoarea ( k.400 ) din relația (7.8) arată c ă la cele n măsurători s-a înregistrat
de k ori situația de calcul descrisă în rela ția (7.4), adic ă citirea pe latura din
dreapta a unghiului a fost mai mic ă decât cea pe latura din stânga.
c) Procedeul reitera ției sau al seriilor complete presupune m ăsurarea unui
unghi orizontal de n ori, în ambele pozi ții ale lunetei aparatului, cu condi ția
ca de fiecare dată originea de m ăsurare pe limb în poziț ia I a lunetei (deci
citirea pe direc ția laturii din stânga a unghiului) s ă fie o valoare stabilit ă
anterior. Prima origine de m ăsurare este 0g iar intervalul dintre origini
pentru n serii complete va fi dat de rela ția : Δα=200g /n .Fiecare semiserie de
măsurători trebuie s ă se încheie cu o citire suplimentar ă pe prima direc ție
vizată(închiderea turului de or izont), cu scopul verific ării . Valoarea final ă a
unghiului va fi media aritmetic ă a celor 2 n măsurători.

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 85
1012022
Hz 0Hz 1Hz 2Hz n-1
Hz 1
Hz 2
Hz 3
Hz nAnA1A2

Fig. 7.14 M ăsurarea unui unghi orizontal prin metoda repeti ției

Să presupunem c ă se măsoară unghiul orizontal, A, dintre
aliniamentele 20-22 și 20-101 (fig. 7.15) în 2 seri i complete. Intervalul între
originile de m ăsurare calculat este de Δα=200g /2=100g iar num ărul de
măsurători este 4=2seriix2pozi ții ale lunetei.
A1A2A3A4
Hz 1
Hz 2
Hz 3
Hz 40200100300
2022
101
Fig. 7.15 M ăsurarea unui unghi orizontal prin metoda reitera ției

La prima m ăsurare se vizeaz ă punctul 22, cu luneta aparatului în
prima pozi ție, după care se aduce diviziunea zero a limbului pe direc ția
respectivă, cu ajutorul șurubului reiterator al teodol itului, deci citirea pe
limb va fi CI=0. Se rotește aparatul spre dreapta, se vizeaz ă punctul 101 și
se citește pe limb valoarea Hz1. Se închide apoi turul de orizont printr-o
citire suplimentar ă CI’=0 pe direc ția către punctul 22. În continuare se
întoarce luneta aparatului în poziț ia a doua și se vizeaz ă din nou punctul 22,
cu citirea pe limb CII’=200 , se rotește apoi luneta spre stânga, pe direc ția

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 86
punctului 101, efectuându-se citirea Hz2 pe limb. Se rote ște aparatul spre
latura din stânga, se vizeaz ă punctul 22 și se efectueaz ă citirea pe limb
CII=200g (în ipoteza că aparatul și punctarea sunt perfecte). M ăsurătoarea
astfel efectuată se nume ște serie completă (adic ă s-a utilizat aparatul cu
luneta în ambele poziț ii pentru m ăsurarea aceluia și unghi). Pentru
următoarea serie se vizeaz ă din nou punctul 22 și se rotește limbul astfel ca
citirea să fie CIII=100g, cu condi ția ca luneta s ă se afle în prima pozi ție. Pe
latura din dreapta se va citi valoarea Hz3 și citirea de închidere a turului de
orizont va fi CIII’=100g . Se rotește din nou luneta peste cap și se fac citirile
CIV’=300g ,pentru latura din stânga, Hz4 pentru latura din dreapta și din nou
CIV=300g pentru latura din stânga. Valorile unghiului pentru cele dou ă serii
complete de m ăsurători vor fi:

A1 = Hz 1 – 0 = Hz 1
A2 = Hz 2 – 200 (+400) (7.9)
A3 = Hz 3 – 100g (+400)
A4 = Hz 4 – 300g (+400)
iar valoarea rezultat ă va fi:
44 3 2 1A A A AA+++= (7.10)
Ultimele dou ă procedee descrise permit ob ținerea unor precizii sporite la
măsurarea unghiurilor orizontale, pr in eliminarea unor erori ale
instrumentelui da torate imperfec țiunilor de divizare a limbului, de centrare a
acestuia pe axa vertical ă a aparatului și de colima ție orizontal ă a lunetei (axa
optică și cea geometric ă ale lunetei nu coincid). Aceste procedee se aplic ă
pentru m ăsurători efectuate la îndesirea punctelor de sprijin pentru
efectuarea ridic ărilor topografice, dar și în situa ții speciale (de exemplu la
măsurători pentru urm ărirea deplas ării în plan a construc țiilor mari).
Când num ărul de serii complete de observaț ii unghiulare este n,
numărul de m ăsurători va fi 2n, iar intervalul unghiular dintre originile
fiecărei serii de observa ții se va calcula cu rela ția Δα=200g/n.

7.5 Procedee de m ăsurare a unghiurilor verticale

S-a ar ătat că teodolitul permite m ăsurarea unghiurilor verticale cu
ajutorul cercului vertical grad at (eclimetru). De fapt se m ăsoară înclinaț ia
față de verticală a axului geometric al lunetei, deoarece rotirea acesteia în
jurul axului orizontal se face simultan cu cea a eclimetrului.
Pentru a m ăsura înclinarea general ă a terenului pe direc ția unui aliniament
este necesar ca luneta s ă fie rotit ă astfel încât axa sa geometric ă să fie

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 87
paralelă cu suprafa ța terenului pe direc ția respectiv ă. Acest lucru se
realizează în maniera urm ătoare (fig. 7.16):
L0
V22-101
22101ha
ha

Fig. 7.16 M ăsurarea unghiului vertic al al unui aliniament

Presupunând c ă se măsoară înclinarea terenului pe direc ția de la punctul 22
către 101, se va staț iona cu aparatul în punctul 22, iar verticala punctului
101 va fi semnalizat ă cu ajutorul unei mi re topografice. Dup ă instalarea
aparatului, se m ăsoară înălțimea, ha de amplasare a acestuia deasupra
punctului de sta ție. Înalțimea aparatului este distan ța vertical ă între cap ătul
țărușului cu care este marcat punctul 22 și axul de rota ție al lunetei, care este
și axul cercului vertical. Se vizeaz ă apoi verticala punctului 101, rotind
luneta astfel încât punctul central al reticulului s ă se suprapună cu
diviziunea mirei topografice situată la o înălțime față de sol egal ă cu cea a
aparatului. Unghiul fa ță de vertical ă al axului lunetei, V22-101 va fi acela și cu
unghiul de înclinare a terenului pe direc ția 22-101. Pentru m ăsurarea
unghiului vertical se efectueaz ă o singur ă citire pe eclimetru deoarece, în
cazul când luneta este în direc ția verticalei, citirea este cunoscut ă (0g sau
400g).
Pentru cazul ar ătat mai sus presupunem c ă în pozi ția I a lunetei (cercul
vertical în stânga) s-a efectuat citirea CI, iar pentru pozi ția II a lunetei
(cercul vertical în dreap ta) s-a efectuat citirea CII.
În acest caz unghiul vertical va rezulta ca medie aritmetic ă a valorilor
obținute din cele dou ă măsurători (o serie complet ă):

V1 = C I – 0g = C I
V2 = 400g – C II
2400
22 1
101 22II I C C V VV−+=+=− (7.11)

Dr. Ing. Adrian Popia – Topografie pag 88
Se observ ă că în prima pozi ție a lunetei citirea pe cer cul vertical este chiar
valoarea unghiului, caz asem ănător cu procedeul zeroului în coinciden ță la
măsurarea unghiurilor orizontale.