Teza Tot 23.04.2018 1,5 [308011]
ȘCOALA DOCTORALĂ INTERDISCIPLINARĂ
Facultatea de Mecanică
Ing. Cristian Dorin NĂSTAC
TEZĂ DE DOCTORAT
Conducător științific
Prof.dr.ing. Sorin VLASE
BRAȘOV, 2018
Ing. Cristian Dorin NĂSTAC
TEZĂ DE DOCTORAT
TITLU (română):
Studiul vibratiilor structurilor cu elemente repetitive utilizate in ingineria civila (constructii si instalatii)
TITLU (engleză): …………………………………………………………………………..
Domeniul de doctorat: INGINERIE MECANICĂ
Comisia de analiză a tezei:
Prof.dr.ing. ……………………….. Președinte, Universitatea Transilvania din Brașov
Prof.dr.ing. …………………………. [anonimizat].dr.ing. ……………………….. [anonimizat]/Instituția……………………..
Prof.dr.ing. ……………………….. [anonimizat]/ Instituția……………………..
Prof.dr.ing. ……………………….. [anonimizat]/ Instituția……………………..
CUVÂNT INTRODUCTIV
În cadrul lucrării de doctorat elaborate m-am ocupat de o problemă pe care o consider de importanță în domeniul construcțiilor civile și anume utilizarea simetriilor pentru ușurarea calculului și a timpului de proiectare a unei structuri cu părți identice. [anonimizat], halelor, etc au în componență părți identice și prezintă simetrii. Asta se întamplă din timpul antichității iar motivele sunt de mai multe feluri. Mai întâi o [anonimizat], apoi o [anonimizat], din considerente estetice.
Din multitudinea aspectelor care pot fi studiate m-[anonimizat], spre studiul comportării la vibrații. [anonimizat], trecând într-o [anonimizat] a [anonimizat], [anonimizat]-au lărgit cunoștințele și puterea de înțelegere a comportării dinamice a [anonimizat]. Toată această cercetare o [anonimizat]-a adus o expertiză extrem de utilă în zone noi.
Rezultatul acestei activități s-a [anonimizat] a Universității Transilvania din Brașov.
[anonimizat] m-[anonimizat], sprijinit pe parcursul derulării acestei teze de doctorat.
[anonimizat], să mulțumesc pentru sprijinul direct și indirect primit și pentru îndrumarea primită de la Universitatea TRANSILVANIA din Brașov.
Elaborarea, fundamentarea științifică și verificarea acestei teze de doctorat a fost posibilă ca urmare a [anonimizat]. [anonimizat], desfǎșurate în Departamentul de Inginerie Mecanică sub conducerea Prof. Univ. Dr. Hab. Sorin VLASE cǎruia, [anonimizat] pentru tot ajutorul acordat în toatǎ aceastǎ perioadǎ.
Doresc să aduc mulțumiri totodată distinșilor referenți din componența Comisiei de doctorat pentru atenția cu care au lecturat lucrarea și pentru observațiile pe care le-au făcut. Domnul prof.dr.ing.dr.h.c. Polidor Bratu de la Universitatea Dunărea de Jos din Galați, D-l prof.dr.ing. Iuliu Negrea de la Universitatea Tehnică Cluj Napoca și D-l prof.dr.ing. Reiner Gillich de la Universitatea din Reșița au avut bunăvoința de a accepta de a face parte din Comisia de referenți și și-au răpit din timp pentru a citi și face observații legate de teză și de conținutul ei și a contribui la îmbunătățirea conținutului acestei lucrări.
Mulțumesc, de asemenea, tuturor colegilor din cadrul Universității TRANSILVANIA din Brașov de la Facultatea de Construcții, pentru sprijinul fizic și moral acordat. Mulțumesc familiei care m-a sprijinit pe toată perioada derulării stagiului de doctorat și a fost cu totul dedicatǎ activitǎții mele.
Capitolul 1
OPORTUNITATEA, OBIECTIVELE, STRUCTURA ȘI CONȚINUTUL TEZEI DE DOCTORAT
Prezentare generală
Prezenta cercetare este elaborată sub autoritatea Școlii Doctorale Interdisciplinare a Universității ”Transilvania” din Brașov.
În construcții structurile simetrice sunt utilizate frecvent datorită unei multitudini de factori cum ar fi: ușurința în proiectare, ușurința de fabricare, costul mai redus al proiectării, costul mai redus al fabricării acestor structuri, alcătuite din elemente repetitive și, o sa vedem în cadrul lucrării, datorită unor posibile comportări îmbunătățite în exploatare. Dat fiind aria atât de largă de utilizare se pune problema dacă simetriile structurale care apar în acest sisteme nu ar putea fi folosite pentru a ușura calculele legate de proiectarea și dimensionarea lor. Deși pentru cazul static problema a fost studiată și s-au desus proprietăți care ușurează munca de proiectare și de calcul, în domeniul analizei dinamice utilizarea acestor proprietăți este încă redusă. Este motivul pentru care lucrarea de doctorat își propune să analizeze anumite tipuri de structuri, încă nestudiate, pentru a identifica proprietăți la vibrații care ar putea ajuta proiectantul și constructorul.
Obiectivul general al tezei îl constituie prezentarea identificare unor proprietăți la vibrații ale sistemelor continue cu bare, proprietăți care pot face ca procesul de proiectare, calcul și realizare a unor astfel de structuri să se ușureze. Câmpul principal de aplicabilitate al acestor proprietăți este în domeniul construcțiilor civile dar, la fel de bine, există aplicații în toate aplicațiile inginerești. În cadrul acestui obiectiv general teza își propune:
– studiul proprietăților la vibrații a unor sisteme încă nestudiate și anume la structuri cu diferite simetrii utilizate în cadrul construcțiilor civile;
– verificarea metodei la calculul unei structuri reale prin realizarea structurii reale și validarea experimentală a rezultatelor obținute teoretic în acest caz;
– propunerea unor proceduri care să ajute proiectanții de astfel de structuri să economisească timpul de proiectare și care vor avea ca rezultat și scăderea costurilor cu realizarea practică a structurii.
Obiectivul general care urmează a fi realizat în etapele principale enunțate mai sus conduce la obiective conexe, care vor fi definite pentru diferite faze ale realizării tezei și care, îndeplinite, vor conduce spre îndeplinirea globală a temei propuse spre cercetare. Autorul își propune:
O analiză a cercetărilor în domeniu studiat și identificarea stadiului actual al cercetărilor. Domeniul este interdisciplinar și asta a făcut necesară studierea unor lucrări și a literaturii din mecanică, analiza structurilor civile, matematică, metode numerice, metoda elemnentelor finite, încercări mecanice etc. În bibliografie este menționată literatura considerată mai sugestivă la acest capitol, aleasă dintr-o multitudine de lucrări, existente mai ales în domeniile conexe;
Identificarea unor direcții de cercetare noi în cadrul domeniului, cuprinzând noi tipuri de structuri care nu au mai fost analizate în trecut din acest punct de vedere;
Analiza critică a metodelor de modelare și de rezolvare cantitativă și calitativă a ecuațiilor diferențiale obținute;
Alegerea celor mai potrivite metode pentru scrierea ecuațiilor de mișcare pentru sisteme cu simetrii, rezolvarea lor și interpretarea calitativă;
Analiza și identificarea celor mai potrivite metode de calcul numeric pentru rezolvarea problemelor speciale impuse de tematică;
Modelarea sistemelor mecanice continue prin modele teoretice continue, utilizabile la sistemele mecanice cu bare legate rigid;
Modelarea sistemelor studiate utilizând Metoda Elementelor Finite;
Studiul teoretic al unor astfel de sisteme și determinarea unor proprietăți caracteristice;
Analiza unui sistem structural real, modelarea, calculul la vibrații și verificarea teoretică a proprietăților enunțate anterior;
Analiza experimentală a sistemului structural real pentru validarea modelului;
Analiza critică a rezultatelor teoretice obținute, concluzii și propuneri de valorificare a cercetărilor;
Diseminarea rezultatelor prin publicarea rezultatelor în reviste indexate ISI și prin participarea la conferințe științifice naționale și internaționale;
Identificarea unor posibile viitoare direcții de cercetare și de dezvoltare ale subiectului;
Formularea unor concluzii și indicații pentru proiectanții de structuri mecanice.
Structura tezei
Pentru o mai facilă deslușire a împărțirii în capitole și a logicii în care a fost organizat materialul tezei, procedăm mai jos la o trecere în revistă a conținutului principalelor capitole.
Capitolul 1. OPORTUNITATEA, OBIECTIVELE, STRUCTURA ȘI CONȚINUTUL TEZEI DE DOCTORAT. Este capitolul de față care explică obiectivul tezei, justifică motivațiile generale pentru care s-a abordat această direcție de cercetare, obiectivele conexe prevăzute sau apărute pe parcursul derulării cercetării, logica desfășurării activităților și utilitatea care se presupune a cercetării. De asemenea în cadrul acestui capitol, s-a prezentat, rezumativ, conținutul tezei de doctorat și conținutul fiecărui capitol în parte.
Capitolul 2. STADIUL ACTUAL AL CERCETĂRILOR ÎN DOMENIU. Capitolul își propune să studieze consecințele pe care le pot avea, în domeniul construcțiilor, existența unor simetrii și antisimetrii în cazul unor structuri. În inginerie, în construcții dar și în alte domenii, cum ar fi de exemplu industria constructoare de mașini sau de utilaje, industria automobilelor, industria aerospațială, există produse, elemente, mașini și componente care conțin părți identice, repetitive, care au în componența lor părți care prezintă simetrii de diferite tipuri. În cadrul construcțiilor majoritatea clădirilor, lucrărilor de artă, halelor, etc au în componență părți identice și prezintă simetrii. Motivele sunt de mai multe feluri. O proiectare ușoară, rapidă și apoi o realizare mai ieftină. Aceste proprietăți pot fi folosite cu succes la ușurarea analizei statice și dinamice a unor structuri. Simetriile de diferite feluri care oferă proprietăți specifice structurilor au fost observate de mai multă vreme și utilizate mai ales în cazul static. Ele sunt prezentate în cursurile clasice de Rezistența materialelor sau Analiză Structurală. Simetriile în Mecanică au fost studiate mai ales din punctul de vedere al matematicienilor (Holm et al 2009, Marsden și Ratiu 2003). In ianuarie 2018 a fost lansat un număr special al revistei Symmetry dedicate aplicațiilor în Mecanica Structurilor (Civil Engineering and Symmetry – 2018, A special issue of Symmetry -ISSN 2073-8994, vezi ref. 10***). A fost finanțat și un proiect european pentru studiul acestor tip de probleme (Mechanics and symmetry in Europe: the geometry and dynamics of deformable systems. Project. HPRN-CT-2000-00113, Funded under: FP5-HUMAN POTENTIALvezi ref. 9***) și s-au ținut cursuri la Centrul de Mecanica Solidelor – CISM de la UDINE (Similarity, Symmetry and Group Theoretical Methods in Mechanics, September 7, 2015 — September 11, 2015. Lectures at the International Centre for Mechanical Sciences, vezi ref. 11***).
În cadrul acestui capitol sunt analizate două mari grupe de aplicații pentru aceste tipuri de structuri, primul grup dedicat structurilor discrete (cu număr finit de grade de libertate) și al doilea grup structurilor cu elemente continue. Teza de față își propune să completeze cazurile studiate și să ofere propuneri de aplicare a acestor proprietăți care ar putea ajuta un inginer proiectant să-și ușureze efortul.
Sunt explicate, la începutul capitolului, aceste concepte de simetrie, asimetrie și antisimetrie și este arătat cum aceste proprietăți pot fi utilizate pentru ușurarea calculului unor structuri din Rezistența Materialelor.
Un prim grup de sisteme mecanice studiate este cel al structurilor cu număr finit de grade de libertate. În cadrul capitolului este tratat un model al unei transmisii cu două motoare identice. Este vorba de un sistem discret, cu volanți în mișcare de rotație, cu un număr finit de grade de libertate. Sunt identificate proprietăți la vibrații datorate simetriilor și sunt demonstrate aceste proprietăți.
Al doilea grup de probleme studiate este cel al sistemelor continue. Sunt prezentate și demonstrate proprietăți pe care le au astfel de sisteme mecanice referitoare la valorile proprii și la modurile proprii de vibrație în cazul vibrațiilor transversale ale unui sistem de bare în care două dintre cele trei bare sunt identice. Determinarea acestor proprietăți permite ușurarea efortului și timpului de calcul și, implicit, creșterea preciziei calculelor în astfel de probleme.
În finalul capitolului este prezentată rezumativ Analiza modală, la nivelul necesităților implicate de rezolvarea obiectivelor tezei, ca un instrument deosebit de puternic pentru analiza vibrațiilor lineare ale sistemelor și care va fi utilizată frecvent în cadrul lucrării.
Capitolul 3. VIBRAȚIILE SISTEMELOR CONTINUE. În cadrul acestui capitol se face o trecere în revistă a vibrațiilor sistemelor continue cu sublinierea aspectelor importante din punctul de vedere al dezvoltărilor din cadrul tezei. Deoarece în cadrul lucrării ne vom axa pe sisteme de bare, este studiată comportarea acestui element de structură la vibrații. Sunt studiate pe rând vibrațiile longitudinale, vibrațiile transversale și vibrațiile torsionale ale barelor. Studiul se face pe un model frecvent utilizat în cadrul Rezistenței Materialelor. Este posibil să se utilizeze modele perfecționate care să țină seamă de diferite efecte, care vor oferi soluții probabil mai bune însă concluziile trase pe modelele utilizate rămân valabile indiferent de complexitatea modelului ales. Este prezentat modul în care se pot scrie ecuațiile de mișcare pentru un element de bară, de unde rezultă, prin integrare, relația care ne dă evoluția în timp și spațiu a punctelor barei. Sunt prezentate metodele prin care pot fi determinate frecvențele proprii pentru un element de bară cât și modurile proprii de vibrație. Pentru o bară sunt analizate condițiile inițiale și condițiile de capăt care vor determina constantele de integrare ce definesc mișcarea vibratorie a unei bare.
Capitolul 4. PROPRIETĂȚI LA VIBRAȚII ALE SISTEMELOR CONTINUE. Teoria prezentată în capitolul anterior este utilizată pentru modelarea, scrierea ecuațiilor de mișcare și rezolvarea acestora în cazul unor sisteme mecanice continue. Pentru determinarea valorilor proprii ale structurii și a modurilor proprii s-a utilizat softul specializat de element finit ABAQUS. Menționăm că o analiză în paralel s-a făcut și cu programul de calcul AXIS, rezultatele obținute fiind în general compatibile. Cu programul de calcul AXIS introducerea datelor și obținerea rezultatelor reprezintă procedee foarte rapide, motiv pentru care am folosit acest program pentru a verifica mai multe modele, în scopul de a determina care este cea mai bună soluție pentru a sprijini structura pe sol prin legături care să ofere cele mai bune valori teoretice, apropiate de valorile măsurate apoi experimental. Softul ABAQUS oferă multiple avantaje pentru postprocesarea datelor, motiv pentru care l-am folosit în prezentarea rezultatelor în cadrul tezei. În cadrul capitolului s-au evidențiat câteva proprietăți importante pe care le au la vibrațiile acestor sisteme cu elemente simetrice. Utilizarea proprietăților evidențiate permite ușurarea calcului în faza de proiectare a structurii. Pentru o structură reală este făcut calculul cu ajutorul metodei elementelor finite și sunt verificate proprietățile enunțate și demonstrate în cadrul lucrării.
Capitolul 5. VALIDARE EXPERIMENTALĂ. Pentru validarea modelului cu elemente finite propus s-a făcut o cercetare experimentală în vederea determinării spectrului de frecvențe pentru structura realizată în laborator. S-a construit o structură reală, pe baza modelului prezentat în Cap.4. Structura are drept scop de a servi drept suport pentru un ciller industrial. Modelul experimental construit este identic cu sistemul modelat cu metoda elementelor finite. Pe această structură alcătuită din bare legate rigid între ele s-au montat accelerometre în mai multe puncte pentru a determina spectrul de frecvențe la o excitație realizată cu un ciocan de impact. Punctele în care s-a făcut această excitație sunt alese pe conturul structurii, pentru a putea culege informația din cât mai multe puncte ale structurii, în vederea determinării cu o bună acuratețe a pulsațiilor proprii. Măsurătorile efectuate ne-au oferit rezultate obținute experimental pentru valorile proprii care coincid, cu o bună precizie, cu valorile calculate.
Capitolul 6. CONTRIBUȚII ORIGINALE, CONCLUZII, VALORIFICAREA REZULTATELOR ȘI DIRECȚII VIITOARE DE CERCETARE. Teza de doctorat își propune sa aducă contribuții în domeniul construcțiilor civile dar și al industriei constructoare de mașini în general. Ambele domenii sunt în plină dezvoltare în cadrul mai larg al ingineriei. Ca direcție principală de studiu în această teză a fost identificare unor proprietăți pe care le au la vibrații structurile alcătuite din bare, legate rigid între ele. Rezultatele acestor cercetări ar putea fi folosite în procesul de proiectare și ar putea determina scăderea costurilor legate de realizarea și întreținerea unor astfel de structuri. Problematica abordată în lucrare a fost relativ puțin studiată, totuși unele lucrări în domeniu există iar importanța elementelor (părților) repetitive sau a simetriilor în efectuarea unor calcule de rezistență a fost observată de multă vreme. Rezultatele obținute în cadrul tezei de doctorat sunt originale și se adaugă altor cercetări în acest domeniu. Sunt prezentate pe parcursul acestui capitol contribuțiile originale aduse de autor la studiul problemei, sunt prezentate lucrările în subiectul tezei publicate (4 lucrări indexate ISI, 1 SCOPUS și 1 BDI), lucrările în domeniul științific al tezei (5 lucrări indexate ISI și 2 BDI) cât și direcțiile viitoare de cercetare care vor fi abordate.
Anexele: Cuprind rezultatele experimentale obținute la care se face referire în text care ar fi afectat cursivitatea conținutului propriu-zis al lucrării dacă ar fi prezentate în cadrul tezei.
Tema tezei de doctorat Studiul vibratiilor structurilor cu elemente repetitive utilizate in ingineria civila (constructii si instalatii) se încadrează în domeniul ingineriei mecanice, dar pentru tratarea subiectului este necesară o abordare multidisciplinară, pentru că lucrarea înglobează noțiuni de rezistența materialelor, vibrații, metoda elementelor finite, metode numerice, ecuații diferențiale, fizică, acustică și programare.
Capitolul 2
STADIUL ACTUAL AL CERCETĂRILOR ÎN DOMENIU
Simetria și antisimetria în construcții și în tehnică
În domeniul ingineresc, atât în construcții cât și în alte domenii cum ar fi de exemplu industria constructoare de mașini sau de utilaje, industria automobilelor, industria aerospațială există produse, părți de produse, mașini, componente care conțin elemente identice, repetitive, care au în componența lor părți care prezintă simetrii de diferite tipuri.
În cadrul construcțiilor majoritatea clădirilor, lucrărilor de artă, halelor, etc au în componență părți identice și prezintă simetrii. Asta se întamplă din timpul antichității iar motivele sunt de mai multe feluri. Mai întâi o proiectare mai ușoară, mai rapidă, apoi o realizare mai ieftină și, ceea ce este mai puțin important pentru ingineri dar este important pentru beneficiari, din considerente estetice. În cele ce urmează dăm câteva exemple de astfel de construcții din mulțimea, aproape infinită a unor astfel de construcții care se întâlnesc în toată lumea civilizată.
Fig.2.1. Golden Gate Bridge [1***]
Fig.2.2. Harbour Bridge, Sydney [2***]
Fig.2.3. [3***]
Fig.2.4. Construcție Anglia [4***] Fig.2.5. Le Grand Palais, Paris [5***]
Fig.2.6. Clădiri din complexul militar Pentagon, SUA (captură GoogleEarth)
Fig.2.7. Parlamentul Romaniei [6***]
Fig.2.8. Motor de avion [7***] Fig.2.9. Structura exterioară a unui avion [8***]
Am încercat să ilustrăm doar câteva exemple de structuri care au în componența lor elemente repetitive sau prezintă diferite forme de simetrie. Aceste proprietăți pot fi folosite cu succes la ușurarea analizei statice și dinamice a unor structuri.
Simetriile și proprietăților pe care acestea le dau structurilor au fost observate de cercetători și utilizate mai ales în cazul static și sunt prezentate în cursurile clasice de Rezistența materialelor sau Analiză Structurală.
Simetriile în Mecanică au fost studiate mai ales din punctul de vedere al matematicienilor (Holm and Stoica 2009, Marsden and Ratiu 2003, Singer 2004) întrucât au efecte în scrierea ecuațiilor de mișcare, dar cu mai puține aplicații în practică. In ianuarie 2018 a fost lansat un număr special al revistei Symmetry dedicate aplicațiilor în Mecanica Structurilor (Civil Engineering and Symmetry – 2018, A special issue of Symmetry -ISSN 2073-8994, vezi ref 10***). A fost finanțat și un proiect european pentru studiul acestor tip de probleme (Mechanics and symmetry in Europe: the geometry and dynamics of deformable systems. Project. HPRN-CT-2000-00113, Funded under: FP5-HUMAN POTENTIAL, vezi ref. 9***) și s-au ținut cursuri la Centrul de Mecanica Solidelor – CISM de la UDINE (Similarity, Symmetry and Group Theoretical Methods in Mechanics, September 7, 2015 — September 11, 2015. Lectures at the International Centre for Mechanical Sciences, vezi ref. 11***).
Pentru domeniul vibrațiilor efectul simetriilor a fost mai puțin utilizat dar există lucrări care au început să studieze acest tip de probleme (Goia și Vlase 1987, Goia și Vlase 1988, Goia et al. 1988, Mangeron et al 1991, Vlase 2003, Vlase et al. 2003, Vlase et al. 2004, Vlase 2005, Vlase 2009, Vlase și Chiru 2009, Vlase și Păun 2015, Zingoni 2005a,2005b,2012a, 2012b,2012c, 2014, Shi și Parker 2013, Celep 1978, Chen și Feng 2012, Paliwal și Pandey 1996). Mai sunt însă numeroase situații care pot fi studiate și, de aceea, teza de față își propune să completeze cazurile studiate și să ofere propuneri de aplicare a acestor proprietăți care ar putea ajuta un inginer proiectant să-și ușureze efortul.
Analiza statică a structurilor cu simetrii
Conceptele de simetrie și antisimetrie pot fi utilizate, cu succes, în analiza structurală. Simetria și antisimetria se pot întâlni, frecvent, la structurile din lumea reală. Subliniem că atunci când ne referim la o structură și spunem că este simetrică, această simetri privește și condițiile de încărcare și de rezemare. În Fig. 2.10 prezentăm câteva astfel de structuri simple, evident simetrice (ref 12***) :
Fig.2.10.a Fig.2.10.b
Fig.2.10.c Fig.2.10.d
Fig.2.10. Structuri simetrice
Fig.2.11.a Fig.2.11.b
Fig.2.11.c Fig.2.11.d
Fig.2.11.Structuri nesimetrice (asimetrice)
Următoarele trei structuri simple sunt antisimetrice
Fig.2.12.a Fig.2.12.b
Fig.2.12.c
Fig.2.12.Structuri antisimetrice
Nu este dificil de văzut că deformațiile unei structuri simetrice vor fi simetrice față de punctul de simetrie. Se poate arăta cu ușurință, utilizând regulile care se aplică în mecanica structurilor (ecuațiile de echilibru, condițiile de compatibilitate și relațiile constitutive), că deformațiile structurilor simetrice sunt de asemenea simetrice, respectând simetria structurii. În mod analog se întâmplă penru structurile antisimetrice. În Fig. 2.13 și Fig.2.14 sunt prezentate deformațiile în aceste două cazuri.
Figura 2.13. Deformații în structuri simetrice
Figura 2.14. Deformații în structuri antisimetrice
Utilizând aceste proprietăți calculul unor astfel de structuri poate fi simplificat în mod semnificativ.
Figura 2.15.a. Utilizarea simetriei
Nu este dificil de constatat că deformațiile, pentru o structură simetrică, sunt și ele simetrice față de aceeași axă de simetrie. Acest lucru poate fi constat în Fig. 2.15 unde se poate vedea că fiecare structură simetrică suferă deformații simetrice și poate fi demonstrat relativ ușor dacă se consideră ecuațiile de echilibru și se consideră domeniile pe care se aplică acestea. Într-un mod analog, structurile antisimetrice suferă deformații antisimetrice după cum se poate constata în Fig. 2.16. Următoarele reguli pot fi enunțate dacă ne uităm la figurile anterioare:
Pentru o structură simetrică rotația pe axa de simetrie este zero;
Pentru o structură antisimetrică deplasarea punctului aflat pe axa de antisimetrie este zero.
Aceste două proprietăți ne ajută să ne ușurăm substanțial efortul de calcul în analiza unor astfel de structuri.
Figura 2.15.b. Utilizarea antisimetriei
O bară simetrică față de centru are o diagramă de momente încovoietoare simetrică și o diagramă de forțe tăietoare antisimetrică. O bară antisimetrică față de centru are o diagramă de momente încovoietoare antisimetrică și o diagramă de forțe tăietoare simetrică.
În cele ce urmează prezentăm modalitatea în care pot fi folosite simetriile pentru un calcul la vibrații a unui sistem.
Un model al unei transmisii cu două motoare identice
Un prim articol care analizează sistemele cu simetrii este făcut în Mangeron et al 1991, pentru o problemă concretă, generată de practică. În cele ce urmează se va prezenta, într-o formă simplificată, problema tratată în articolul citat. Să considerăm un sistem (S) (Fig.2.16) alcătuit din două subsisteme identice (S1) și două sisteme diferite (S2) și (S3). Este cazul unei transmisii de autocamion acționat de două motoare identice. Acest caz a fost tratat in Mangeron 1991, Chiru et al. 2009 și prezentat pe larg în teza de doctorat Ambruș 2014.
Ecuațiile de mișcare sunt pot fi scrise utilizând diferite metode (Negrean 2017a, 2017b, Radoi și Deciu 1981, Ripianu 1960, Vâlcovici et al 1963, Vlase 1987a, 1987b, Voinea et al 1984). Sunt studiate vibrațiile torsionale ale unui sistem cu arbori. Dacă considerăm un singur volant din sistem, volantul numărul i, legat de volanții precedent i-1 și următor i+1 prin elemente elastice cu rigiditățile , respective ecuația de mișcare ale acestui volant sunt date de relația:
(2.3.1)
În această ecuație într-o primă aproximație se vor neglija amortizările, întrucât rezultatele obținute rămân calitativ la fel și în cazul unor amortizări Caughey. În aceste relații reprezintă momentul de inerție al volantului i, rotirea acestuia, rigiditatea elementului de legătură care unește volanții i-1 și i, rigiditatea elementului de legătură care unește volanții i și i+1 iar momentul exterior care acționează asupra rotorului i. Volantul cu momentul de inerție Jo are un rol special în modelul considerat, el asigură legătura dintre cele patru subsisteme. Pentru acest volant ecuația de mișcare va fi dată de:
(2.3.2)
Rigiditățile , , sunt explicitate în Fig. 2.16. În continuare se va nota cu , , subsistemele obținute din luate fiecare independent (Fig.2.17) și fixate într-o parte. Pentru fiecare dintre aceste sisteme forma simbolică a ecuațiilor de mișcare va fi:
(2.3.3)
unde i = 1,2,3.
Figura 2.17. Subsistemele care, prin compunere, dau sistemul simetric9Mangeron et al. 1991)
Se va nota cu:
(2.3.4)
Se vor nota cu: polinoamele caracteristice pentru fiecare dintre sistemele , , . De asemenea, se va nota:
(2.3.5)
Dacă se consideră întregul sistem, ecuațiile vibrațiilor libere neamortizate pot scrise sub forma:
(2.3.6)
sau, grupat:
(2.3.7)
unde reprezintă vectorul unghiurilor de rotație al volanților, matricea de inerție iar matricea de rigiditate.
Pentru sistemul din Fig.2.16 ecuația caracteristică atașată sistemului de ecuații diferențiale este:
(2.3.8)
Există următoarea Teoremă: Pulsațiile proprii calculate pentru sistemele sunt pulsații proprii și pentru întregul sistem (S).
Demonstrație: Polinomul caracteristic pentru sistemul studiat este:
(2.3.9)
Se va nota cu determinantul care se obține înlocuind în (2.9) , ultima dintre coloane cu: . Dacă se va utiliza regula Laplace pentru dezvoltarea determinanților, rezultă:
=
.
Dacă va rezulta , de unde rezultă că pulsațiile proprii pentru sistemul se identifică cu pulsațiile proprii ale sistemului (S).
În continuare se vor face notațiile: reprezintă valorile proprii proprii ale sistemului iar celelalte valorile proprii ale sistemului (S).
Pentru a determina modurile proprii de vibrație (vectorii proprii) va trebui să rezolvăm, în conformitate cu teoria clasică, sistemul linear omogen:
(2.3.10)
unde vectorul propriu a fost partiționat corespunzător subsistemelor (S1), (S2), (S3).
În acest caz avem următoarele proprietăți:
P1. Soluțiile sistemului (2.3.10 ) , pentru , sunt de forma:
(2.3.11)
Demonstrație:
Sistemul (2.3.10) poate fi descompus în subsistemele lineare omogene:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Din i) și ii) rezultă:
(2.3.12)
deoarece, prin ipoteză:
Rel. iii) și iv) se pot scrie:
(2.3.13)
și, întrucât rezultă imediat:
(2.3.14)
Rel. v) dă, dacă se ține seama că :
(2.3.15)
Rezultă și:
(2.3.16)
și:
. (2.3.17)
Folosind acest rezultat, sistemele i) și ii) pot fi scrise:
(2.3.18)
și, dacă se determină mărimile necunoscute din vectorii modali și în funcție de , se va obține:
(2.3.19)
P1. Pentru sistemul (2.3.10 ) are soluții de forma:
(2.3.20)
Demonstrație: Deoarece în acest caz relațiile i) și ii) pot fi puse sub forma:
De aici rezultă:
În cele ce urmează este prezentat un exemplu de calcul pe care sunt verificate proprietățile demonstrate anterior. Se analizează un sistem mai simplu care este format dintr-un sistem de volanți compus din doua subsisteme identice (fig.2.18).
Figura 2.18. Sistem cu volanți cu ramuri identice
În fig.2.19 este prezentată partea repetitivă din sistem, care va trebui să aibă modurile proprii identice cu ale întregului sistem.
Figura 2.19. Subsistemul cu vibrații proprii egale cu ale sistemului simetric
Dacă se calculează valorile proprii pentru subsistemul (S1) și se compară cu valorile proprii ale sistemului integral, se constată că acestea sunt și valori proprii pentru întregul sistem. În cele ce urmează se va face o reprezentare grafică a modurilor proprii care va fi sugestivă pentru prezentarea rezultatelor. Se constată că pentru vibrațiile proprii calculate pentru subsistemului (S1) (și care se regăsesc printre vibrațiile proprii cele ale sistemului integral (S)), modurile proprii de mișcare, calculate pentru cele două subsisteme (S1), vor fi egale dar de sens contrar. Celelalte mase concentrate (volanți în cazul nostru) vor fi în repaus. Aceste situații sunt reprezentate cu albastru. Pentru celelalte valori proprii ale sistemului integral modurile proprii de mișcare ale subsistemelor (S1) vor fi identice. Aceste moduri sunt reprezentate cu roz.
Figura 2.20.a
Figura 2.20.b
Figura 2.20.c
Figura 2.20.d
Figura 2.20.e
Figura 2.20.f
Figura 2.20.g
Figura 2.20.h
Figura 2.20. Modurile proprii de vibrație pentru sistemul ramificat simetric din fig. 2.18
Figura 2.21. Modurile proprii de vibrație pentru sistemul (S1) din fig. 2.19
Vibrații forțate în sisteme cu simetrii structurale
Se va studia situația vibrațiilor forțate ale unui sistemul mecanic cu simetrii și care a fost studiat în paragraful precedent. Se va considera că cele două subsisteme identice (S1) care compun sistemul (S) au aceiași excitație (adică momentele externe care excită volanții sunt egale pentru cele două ramuri). Atunci vectorul momentelor de torsiune care acționează asupra sistemului poate fi scris sub forma:
(2.4.1)
S-a făcut partiționarea conform subsistemelor care compun sistemul studiat. Rel. (2.3.7) vor lua forma:
(2.4.2)
Se notează cu matricea modală obținută pentru sistemul liber:
(2.4.3)
Se vor nota cu coordonatele canonice ale sistemului. În acest caz se poate scrie:
(2.4.4)
Să facem notațiile:
(2.4.5)
matricea inerțială diagonală a sistemului de ecuații diferențiale exprimat în coordonate nodale. Elementele nenule ale acestei matrice sun: . Apoi:
(2.4.6)
matricea de rigiditate diagonală ale sistemului de ecuații diferențiale. Elementele nenule sunt date de relația: și:
(2.4.7)
vectorul momentelor care sunt reduse la coordonatele canonice. Elementele matricei sunt date de: . Dacă se fac aceste notații și se aplică teoria clasică de rezolvare pentru astfel de sisteme, vibrația forțată a sistemului este descrisă de un set de n ecuații diferențiale cu coeficienți constanți, de ordinul doi, decuplate:
(2.4.8)
sau:
, i=1,n (2.4.9)
Dacă împărțim rel. (2.4.9) cu și dacă se face notația: se va obține setul de ecuații diferențiale decuplate:
(2.4.10)
Există următoarea proprietate:
T1. Sistemul (2.4.8) are pentru pulsațiile proprii soluția sistemului omogen (asta înseamnă că excitația nu va influența mișcarea sistemului).
Pentru a arăta acest lucru se face o reordonare a matricei modale. După această reordonare primii n vectori proprii vor corespunde pulsațiilor proprii . Preînmulțind vectorul moment cu modul de mișcare se obține:
(2.4.11)
(modurile proprii obținute pentru pulsațiile proprii vor fi ortogonale excitației). Va rezulta, pentru sistemul (2.4.10), forma mai simplă:
(2.4.12)
Soluția sistemului va fi:
(2.4.13)
Pentru celelalte valori proprii avem următoarea proprietate: amplitudinile vibrațiilor forțate calculate pentru celălalte pulsații proprii au, pentru fiecare armonică p pentru care avem , forma:
(2.4.14)
adică forma soluției rămâne aceeași cu excitația:
(2.4.15)
Să scriem sistemul linear de ecuații:
(2.4.16)
sub forma:
(2.4.17)
sau:
i)
ii)
iii)
iv)
v) . (2.4.18)
Dacă vom analiza relațiile scrise rezultă că sistemele i) și i)) au aceeași soluție. Proprietatea se păstrează și în cazul în care avem un sistem cu amortizare proporțională sau, în cazul mai general, în care matricea de amortizarea este o matrice de tip Caughey.
Figura 2.22. Un sistem cu simetrii
Un exemplu
Un exemplu simplu va ilustra proprietățile demonstrate anterior (Fig.2.22). Avem două ramuri identice pe care le vom izola în cadrul modelului. Se consideră următoare valori pentru momentele de inerție: . Pentru constantele elastice se consideră valorile: .
Se notează . Se utilizează mediul de programare MatLab pentru detereminarea valorilor proprii. Se obțin valorile: 2853 p, 2754 p, 2438 p, 2415 p, 2181 p, 1691 p, 1667 p, 1212 p, 917 p, 780 p, 659 p, 194 p.
În Fig.2.23 se prezintă descompunerea sistemului conform celor prezentate la începutul capitolului.
Figura 2.23. Descompunerea în subsisteme
Matricea modală pentru acest exemplu este:
Vectorii modali calculați se vor reprezenta în Fig.2.24.
Figura 2.24.a
Figura 2.24.b
Figura 2.24.c
Figura 2.24.d
Figura 2.24.e
Figura 2.24.f
Să facem calculul valorilor proprii pentru substructura simetrică. Se vor obține valorile 2754 p, 2415 p, 1691 p, 917 p, 659 p. Matricea modală pentru acest subsistem va fi:
In Fig.2.25 se reprezintă modurile proprii de vibrație pentru această situație.
Fig.2.25a
Fig.2.25b
Fig.2.25c
Figura 2.25. Modurile proprii pentru substructura simetrică
Pentru acest caz special se poate face și o modelare care va simplifica calculul. Considerăm sistemul din Fig.2.26. Acesta va modela cu rezultate identice din punct de vedere mecanic sistemul studiat având deci valorile proprii identice cu valorile proprii ale sistemului inițial.
Calculând valorile proprii pentru acest sistem se obține: 2853 p, 2438 p, 2181 p, 1667 p, 1212 p, 780 p, 194 p. Matricea modurilor proprii va fi dată de:
Figura 2.27.a
Figura 2.27.b
Figura 2.27.c
Figura 2.27.d
Sisteme continue alcătuite din bare
Introducere
În cele ce urmează prezentăm proprietăți pe care le au unele sisteme mecanice continue care prezintă diferite forme de simetrie. Probleme de acest gen apar în mod frecvent în aplicațiile inginerești și în contrucții, multe sisteme mecanice utilizate în aceste domenii prezentând proprietăți de simetrie, rezultate în urma procesului de proiectare, din considerente constructive, de simplitate, de cost sau logistice. Sunt prezentate în continuare cercetări referitoare la proprietăți ale valorilor proprii și ale modurilor proprii de vibrație în cazul vibrațiilor transversale ale unui sistem de bare în care două dintre cele trei bare sunt identice. Determinarea acestor proprietăți permite ușurarea efortului și timpului de calcul și, implicit, creșterea preciziei calculelor în astfel de probleme. Pentru cazul calculului static, în rezistența materialelor există metode cunoscute și aplicate de determinarea tensiunilor și deformațiilor pentru structure simetrice sau antisimetrice. Și pentru calculul în regim dinamic se cunosc, mai mult intuitiv, anumite proprietăți pe care le au soluțiile obținute. Lucrări care să abordeze sistematic această problemă nu prea se întâlnesc, unele rezultate au fost publicate în Vlase et al 2017a, 2017b.
Descrierea unui sistem cu bare
Figura 2.28
Să considerăm un sistem mecanic, continuu (Fig.2.28), alcătuit din două bare identice AC și BC legate rigid (prin sudură în cazul unui sistem ingineresc) de o a treia bară CD. Bara CD este în prelungirea barelor paralele AC și BC. În punctele A și B avem încastrare (sunt nule deplasările și rotirile capătului barei). La fel în D. În punctul C deplasările transversale ale punctului C aparținând tuturor celor trei bare și rotirea sectiunilor celor trei bare în C sunt egale, datorită legăturii rigide dintre ele. Dacă se consideră elementul infinitezimal din jurul punctului C, va trebui ca acesta să se afle în echilibru, deci forțele tăietoare din cele două bare identice să fie egale cu forța tăietoare din bara CD. O relație similară se obține și pentru echilibrul momentelor încovoietoare. Aceste considerații vor defini condițiile de capăt (boundary conditions).
Ecuațiile vibrațiilor transversale ale sistemului mecanic prezentat
Pentru o bară continuă, cu secțiune constantă, vibrațiile transversale ale sistemului sunt descrie, în lipsa unei forțe distribuite de-a lungul barei, de ecuațiile clasice Buzdugan et al. 1982, Bratu 2000, Bratu și Drăgan 2002, Timoshenko și Gere 2009:
(2.6.1)
unde: v este săgeata barei, x este distanța de la capătul din stanga a barei până la punctual care are deplasarea v, reprezintă densitatea materialului, A aria secțiunii barei, E modulul de elasticitate longitudinal, Iz momentul de inerție al secțiunii în central de greutate.
Conform procedurii clasice, pentru rezolvarea ecuației diferențiale prezentate (Arnold 1973, Henderson și Luca 2016, Myint-U 1977, Radeș 2010, Șabac 1981) se caută o soluție sub forma:
(2.6.2)
Introducând această funcție în (2.6.1), după simplificări, se obține:
(2.6.3)
Dacă se notează:
(2.6.4)
se obține ecuația diferențială care oferă deformata barei (modul propriu) care va vibra cu pulsația p:
(2.6.5)
În cazul nostru avem de-a face cu trei bare cărora le vor corespunde trei astfel de ecuații diferențiale scrise pentru cele trei porțiuni, AC, BC, CD. Avem:
Pentru bara AC: (2.6.5a)
Pentru bara BC: (2.6.5b)
Pentru bara CD: (2.6.5c)
Dacă se notează:
soluțiile sunt:
(2.6.6a) (2.6.6b) (2.6.6c)
Condițiile de contur sunt:
Pentru bara AC capătul A este încastrat, deci: ; .
Pentru bara BC capătul B este încastrat, deci: ; ;
Pentru bara CD capătul D este încastrat, deci: : ; ;
deci se obțin sase condiții.
Înlocuind condițiile de contur în relațiile (2.6.6a),(2.6.6b) și (2.6.6c) se obțin ecuațiile:
= 0 (2.6.7a)
= 0 (2.6.7b)
= 0 (2.6.7c)
= 0 (2.6.7d)
(2.6.7e)
(2.6.7f)
Pentru C lucrurile sunt mai complexe: avem odată că deplasările pentru toate cele trei ecuații diferențiale în C sunt egale: v AC (l1,t) = v BC (l1,t) = v CD (0,t) (două condiții) si rotirile sunt egale v’ AC (l,t) = v’ BC (l,t) = v’ CD (0,t) (doua conditii) .
= (2.6.7g)
= (2.6.7h)
=
(2.6.7i)
= (2.6.7j)
Pentru determinarea constantelor din ecuațiile diferențiale scrise mai sunt necesare două condiții. Este se obțin considerând echilibrul unui element infinitezimal de masa care conține punctul C.
Avem: Suma fortelor tăietoare pe cele două ramuri AC și BC care apar în punctul C este egală cu forta taietoate a barei CD in stanga, în punctul C:
T1+T2 = T (2.6.8)
O relație de echilibru similar se obține pentru momentele încovoietoare:
M1+M2=M. . (2.6.9)
Forța tăietoare care apare într-o secțiune a barei la distanța x de capătul din stânga a barei este dată de
(2.6.10)
Relația (2.6.8) devine, dacă se ține seama de (2.6.10):
(2.6.11)
Derivând funcțiile (2.6.6a), (2.6.6b) și (2.6.6c) de trei ori se obțin forțele tăietoate pentru cele trei bare în punctual C:
(2.6.12)
(2.6.13)
(2.6.14)
și, înlocuind în (2.6.11), condiția finală pentru echilibru de forțe tăietoare devine:
= (2.6.7k)
Momentul într-o secțiune a barei la distanța x față de capătul din stânga este:
(2.6.15)
Ecuația (2.6.9) devine:
(2.6.16)
Derivatele de ordinal doi ale funcțiilor (2.6.6a), (2.6.6b) și (2.6.6c) în punctul C sunt:
(2.6.17)
(2.6.18)
(2.6.19)
Condiția finală pentru echilibru momentelor încovoietoare (2.6.16) devine:
= (2.6.7l)
Pentru determinarea constantelor care ne asigură condițiile de capăt impuse este necesar să rezolvăm sistemul linear omogem (2.6.7a)-(2.6.7l) pentru a determmina constantele , , , , , , , , , , , . Punând condiția ca determinantul sistemului să fie zero vor rezulta din aceasta pulsațiile proprii ale sistemului mecanic studiat.
Dacă se notează:
(2.6.20)
(2.6.21)
(2.6.22)
(2.6.23)
matricea sistemului se poate scrie sub forma:
S= (2.6.24)
Condiția det (S)=0 permite determinarea valorilor proprii pentru sistemul dat.
Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii
Să considerăm una singură dintre barele identice AB sau AC. Vibrațiile transversale ale acesteia sunt descrise de ecuația diferențială binecunoscută:
Figura 2.29
(2.6.25)
Condiții de capăt sunt:
Punctul A: x=0; v(0,t)=0 ; v’(0,t)=0 și Punctul B: x=l; v(l,t)=0 ; v’(l,t)=0
Dacă se alege pentru v funcția:
(2.6.26)
și se introduce în ecuația diferențială inițială se obține:
(2.6.27)
cu soluția:
(2.6.28)
Capetele A și C sunt încastrate deci: ; , ; . Punând aceste condiții pentru soluția (2.6.28) constantele C1,C2,C3,C4 se determină din sistemul linear omogen:
(2.6.29)
Condiția det (A) = 0 permite determinarea valorilor proprii ale barei AC (sau BC). Efectuând calculele se obține:
(2.6.30)
relație care permite determinarea pulsațiilor proprii ale unei singure bare AC sau BC.
Vom demonstra următoarea teoremă:
T1. Valorile proprii pentru bara AB, încastrată la capete, sunt și valori proprii pentru întreg sistemul mecanic.
Demonstrație: Trebuie să arătăm că det(A)=0 implică det (S)=0. În lucrarea [ ] este demonstrată această proprietate într-un caz mai general. Rezultă că proprietatea există și pentru cazul particular pe care-l avem în lucrare.
De aici rezultă că valorile proprii ale ale unei singure bare, încastrate la capete, sunt și valori proprii ale întregului sistem, încastrat în punctele A,B și D.
Se pot demonstra următoarele două teoreme:
T2. Pentru valorile proprii care sunt comune subsistemului format dintr-o bara încastrată la capete și sistemul total (existența lor e probată de teorema T1) vectorii proprii sunt de forma:
(2.6.31)
Demonstrație: Pentru valorile proprii obținute din (2.6.30) trebuie rezolvat sistemul:
(2.6.32)
cu
(2.6.33)
Condiția (2.6.33) implică că poate fi găsit un vector astfel încît:
(2.6.34)
Atunci (2.6.34) devine:
(2.6.34a)
(2.6.34b)
(2.6.34c)
Din (2.6.34a), deoarece rezultă imediat:
(2.6.35)
și introducând în (2.6.34c) se obține , relație care verifică și (2.6.34b) dacă se ține seama de (2.6.34). Dacă se notează rezultă (2.6.31).
T3. Pentru celelalte pulsații proprii, care nu se obțin din T1, vectorii proprii sunt de forma:
(2.6.36)
Demonstrație: Pentru valorile proprii calculate trebuie rezolvat sistemul:
(2.6.37)
cu .
sau:
(2.6.38a)
(2.6.38b)
(2.6.38c)
Scăzînd (2.6.38a) din (2.6.38b) se obține:
(2.6.39)
Dacă , atunci rezultă deci .
Pentru exemplificare, în cele ce urmeaza se prezintă modurile proprii de vibrație pentru sistemul mecanic format din trei bare din care două identice, studiat în lucrare. Pentru pulsațiile proprii ale sistemului care coincid cu cele ale unei singure bare încastrate la cele două capete, modurile proprii de vibrație sunt antisimetrice, cele două bare identice vibrează în contrafază (Fig.2.30.a), iar cea de-a treia bara se gaseste în repaus. Pentru celelalte pulsații proprii de vibrație, barele identice au modurile de vibrație identice și au aspectul din Fig.2.30.b.
Moduri de vibrații antisimetrice b. Moduri de vibrație simetrice
Figura 2.30
Analiză modală
În acest domeniu prezentarea și descrierea metodei este la momentul de față bine stabilită și cunoscută, dar o trecere în revistă a modalității de rezolvare a vibrațiilor unor astfel de sisteme pentru a răspunde scopului tezei se impune (Radeș 2010, Timoshenko și Zoung 1955, Meirovitch 1996 etc ).
2.7.1. Introducere
O clasă extrem de largă de probleme în cadrul mecanicii sistemelor elastice, continue sau discrete, conduce, prin linearizarea forțelor care se manifestă între diferitele componente ale sistemului, la ecuații de evoluție (mișcare) de forma:
(2.7.1.a)
Dacă se vor considera și amortizările proporționale care apar în sistem, se va obține forma:
(2.7.1.b)
care reprezintă un sistem de ecuații diferențiale de ordinul doi cu coeficienți constanți. Există și aplicații în care forma ecuațiilor este cea dată de ec.(2.7.1.b) dar coeficienții matriceali care apar nu mai sunt constanți. Ei pot să conțină timpul explicit sau parametrii care pot depinde de configurația sistemului, dependentă, la rândul ei de timp. Pentru aceste situații este posibil să se facă un studiu incremental al sistemului de ecuații obținut, pe intervale de timp pe care se poate considera că acesti coeficienți sunt constanți. Capitolul care urmează face o analiză a unor astfel de sisteme considerând coeficienții matriceali constanți.
2.7.2. Moduri de mișcare
O metodă de analiză a sistemelor de ecuații diferențiale cu coeficienți constanți este metoda superpoziției modale. Analiza modală pe lângă faptul că reprezintă un instrument puternic care permite analiza sistemelor de ecuații diferențiale cu coeficienți constanți oferă în bacelași timp și un suport intuitiv pentru o bună înțelegere fizică a fenomenelor. În esență metoda constă în transformarea sistemului inițial într-o formă mai simplă, cu ajutorul unei transformări lineare:
(2.7.2)
unde matricea poartă numele de matrice modală. Pentru ecuațiile de mișcare obținute sub forma (2.7.1.a) această transformare există întotdeauna. Pentru ecuațiile (2.7.1.b) matricea amortizărilor proporționale trebuie să îndeplinească anumite condiții pentru a se obține o formă mai simplă, condiții care vor fi menționate. Cu această transformare sistemul inițial (2.7.1.a) sau (2.7.1.b) se transformă (se sparge) într-un număr de n ecuații diferențiale independente, de ordinul doi și cu coeficienți constanți. Rezolvarea unei astfel de ecuații nu mai este o problemă.
2.7.2.1. Pulsații proprii
Să considerăm pentru început ecuațiile (2.7.1.a). Noțiunea de pulsație proprii pentru un sistem fizic care poate executa o mișcare de vibrație poate fi introdusă în cazul așa numitelor vibrații libere, adică este cazul în care sistemul nu este excitat din exterior.
Teoria ecuațiilor diferențiale lineare cu coeficienți constanți este bine cunoscută și vom prezenta, pe scurt, metodologia de rezolvare. Se vor pentru sistem cauta soluții de forma:
(2.7.4)
Dacă se derivează (2.7.4) se obțin relațiile:
(2.7.5)
(2.7.6)
Dacă punem condiția ca soluția (2.7.4) să verifuice sistemul (2.7.1.a) se obține:
(2.7.7)
Relație care trebuie să fie valabilă la orice moment de timp t. Acest lucru impune:
(2.7.8)
Condiția (2.7.8) reprezintă un sistem linear, omogen care admite și alte soluții în afară de soluția banală, zero, dacă și numai dacă:
(2.7.9)
Daca s-a notat cu n dimensiunea sistemului, prin dezvoltarea determinantului (2.7.9) se obține un polinom de gradul n în 2 :
(2.7.10)
Rel. (2.7.10) poartă numele de polinomul caracteristic al sistemului. Ecuația P() = 0 poartă numele de ecuație caracteristică. Alternativ mai este numită ecuația valorilor proprii sau ecuația frecvențelor. Valorile sunt numite pulsațiile proprii ale sistemului mecanic studiat. Mai departe, definițiile pentru frecvențe și perioade sunt aceleași ca pentru studiul vibrațiilor cu un grad de libertate. Pulsația fundamentală este denumită pulsația cea mai joasă determinată.
În cazul unei analize a sistemelor la vibrații, se poate face o ordonare a valorilor proprii și pot fi definite serii spectrale formate din:
– frecvențele proprii:
cu: f1 f2 …fn ;
– pulsațiile proprii:
,
cu ordonate crescător: … ;
– perioadele proprii
cu: T1 T2 …Tn .
Valorile proprii depind doar de proprietățile elastice și de distribuția maselor (caracteristicile naturale ale sistemului). Ele nu sunt influențate de valorile inițiale pe care le au pozițiile și vitezele și nici de forțele care externe care acționează în sistem. Pentru un sistem cu un număr finit de grade de libertate numărul valorilor proprii va fi acelaș cu numărul gradelor de libertate.
Considerăm acum sistemul (2.7.8). Dacă alegem o valoare proprie pe care introducem acest sistem se obține o soluție corespunzătoare :
(2.7.11)
Soluția sistemului (2.7.11) poartă numele de vectorul propriu de rangul i . Întrucât exista condiția:
,
sistemul care oferă vectorul propriu este nedeterminat deci cele n componente ale lui nu sunt. În acest caz nu se poate obține mărimea acestui vector ci doar direcția lui. Ar trebui să se aplice un procedeu de scalare (normalizare) pentru și atunci spunem că am obținut modul de mișcare de rang i . Modurile proprii se notează cu unde scalarul depinde de procedeul ales pentru normalizare. Ansamblul modurilor proprii oferă matricea modală :
(2.7.12)
Modalitatea de obținere a scalarilor va fi prezentă într-un paragraf următor.
2.7.2.2. Proprietăți generale ale valorilor proprii
P1. Dacă matricea de rigiditate [ K ] este singulară atunci este o valoare proprie pentru ecuația caracteristică.
Demonstrație: Într-adevăr deci rezultă că este valoare proprie.
Mai mult, se poate arăta că dacaă rang ( [K] ) = n-l atunci 2 = 0 va fi o rădăcină a ecuației caracteristice P( 2 ) = 0 cu ordinul l de multiplicitate.
P2. Dacă [ K ] și [ M ] sunt simetrice, valorile proprii vor fi reale. (Acest lucru se întâmplă întotdeauna în sistemele ingineresti studiate în cadrul tezei).
Demonstrație: Dacă ecuația cu coeficienți reali det ( [K]- [M]) =0 admite pe ca rădăcină complexă, atunci o admite și pe conjugata ei . Se poate deci scrie:
(2.7.13)
(2.7.14)
Să preînmulțim acum pe (2.7.13) cu și pe (2.7.14) cu . Se obțin relațiile:
(2.7.15)
(2.7.16)
Dacă [ K ] și [ M ] sunt simetrice se va obține, prin scădere:
(2.7.17)
de unde rezultă căp în general întrucât forma este o formă pătratică pozitiv definită. Deci este real.
Fără demonstrație vom enunța următoarea proprietate.
P3. Dacă matricele [ K ] și [ M ] sunt pozitiv definite, valorile proprii sunt și ele pozitive. Pentru sistemele mecanice analizate în studiul nostru această condiție este îndeplinită întotdeauna.
2.7.2.3. Proprietăți de ortogonalitate
Deoarece matricea este o matrice simetrică se poate scrie:
(2.7.18)
Relație (2.7.18) se demonstrează cu ușurință prin scrierea explicită și calcul direct.
Le fel se întâmplă cu matricea :
(2.7.19)
Să scriem ecuația valorilor proprii sub forma:
(2.7.20)
și să o premultiplicăm cu modul de mișcare se obține:
(2.7.21)
Într-un mod similar se poate obține și:
(2.7.22)
Dacă se scad relațiile (2.7.21) și (2.7.22) se obține:
. (2.7.23)
În cazul general, presupunem îndeplinită condiția . În acest caz va rezulta:
(2.7.24)
deci și:
(2.7.25)
Se pot înlocui vectorii proprii cu modurile proprii normalizate și se obține:
și:
.
Proprietatea arătată se exprimă spunând că modurile proprii sunt ortogonale prin matricea și, respectiv prin .
2.7.2.4. Câtul Rayleigh
Dacă în relația:
(2.7.26)
înmulțim la stânga cu , obținem:
(2.7.27)
de unde:
(2.7.28)
Relația (2.7.28) poartă numele de câtul lui Rayleigh. Se poate demonstra că, dacă se aleg niște vectori proprii aproximativi (estimați) , valoarea aproximativă obținută pentru este foarte bună. Din acest motiv câtul lui Rayleigh este utilizat în metodele numerice pentru calculul aproximativ al pulsațiilor proprii. Binețeles, în relația (2.7.8) se poate înlocui cu .
2.7.2.5. Relații de ortogonalitate generalizate
Să considerăm relația:
(2.7.29)
Utilizînd această relație se poate exprima în două moduri distincte:
i) (2.7.30)
ii) (2.7.31)
Ținând seama de aceste două relații, proprietățile de ortogonalitate pot fi generalizate în două direcții complementare.
Dacă vom considera relația pe care am demonstrat-o anterior:
(2.7.32)
și se va introduce aici exprimat din relația (2.7.30), se obține:
ori:
.
Înlocuind încă o dată pe în această ultimă relație se va obține:
sau:
Acum se poate repeta procedeul și se obține, printr-un proces de inducție, rezultatul:
(2.7.33)
care este valabilă pentru
A doua cale de dezvoltare constă în a introduce în (2.7.32) vectorul exprimat cu relația (2.7.31). Se obține:
sau:
Repetând procedeul, introducând iarăși pentru vectorul obținut cu (2.7.31) se obține:
sau:
Printr-un proces inductiv se obține:
(2.7.34)
relație valabilă pentru
Am obținut două relații (2.7.33) și (2.7.34) care pot aranjate într-una singură, care poartă numele de proprietățile de ortogonalitate generalizate:
, . (2.7.35)
2.7.2.6. Matricea de amortizare
Matricea de amortizare de tip Caughey va definită drept o combinație lineară obținută cu matricele ortogonale :
cu: . (2.7.36)
Dacă se consideră un sistem mecanic cu n grade de libertate combinație lineară va conține doar n termeni independenți, deci seria este finită:
(2.7.37)
Matricea de amortizare Rayleigh, definită anterior, se va obține ca un caz particular al relației (2.7.36), prin reținerea numai a primilor doi termeni:
(2.7.38)
2.7.2.7. Normalizarea modurilor de vibrație
Am văzut anterior că soluția sistemului de ecuații lineare care oferă modurile proprii de vibrație este nedeterminată. O soluție problemei de valori proprii pentru un sistem vibrant linear va consta dintr-un vectorul unic determinat care conține cele n valoril proprii și sistemul de n vectori proprii (amplitudinile), odată nedeterminați (determinați până la un factor). Este comod de a lucra numeric cu vectori determinați complet. Eliminarea acestei nedeterminări care este introdusă de un factorul de scară poartă numele de normalizare. Există mai multe posibilități de a face această normalizare. Cele mai utilizate sunt prezentate în cele ce urmează:
se consideră că amplitudinea primului element din vectorul modal este egal cu unitatea. Se obțin în acest caz vectori modali determinați la care, în toate cazurile, primul element din vector este unitatea. Dacă primul element este zero, se face o reordonare în scrierea ecuațiilor de mișcarei;
se consideră amplitudinea maximă pentru fiecare mod de vibrație ca fiind egală cu unitatea. Vectorii modali vor avea elemente mai mici sau egale cu unu;
se impune ca . Se spune că am definit forma normalizată prin matricea inerțială [M] a modului de vibrație i. Normarea de acest fel poartă numele de normare inerțială;
se consideră condiția ca . Suma pătratelor amplitudinilor fiecărui mod de vibrație trebuie să fie 1. Vectorii devin versori pentru direcția definită de modul propriu.
Prin operația de normalizare a modurilor proprii (direcțiile proprii) prezentată mai sus acestea vor deveni unic determinate.
2.7.2.8. Decuplarea ecuațiilor de mișcare
Să considerăm sistemul de ecuații de diferențiale obținut pentru descriea unui sistem mecanic linear, cu parametrii concentrați:
(2.7.39)
Dacă se face transformarea: { } = [ ]{ q }, se obține un sistem de ecuații diferențiale în necunoscutele :
(2.7.40)
Să presupunem că matricea amortizărilor vâscoase admite o factorizare de tip Caughey. În acest caz sistemul de ecuații se poate decupla, prin înmulțire la stânga cu transpusa matricei modale :
(2.7.41)
Matricele , și devin, dacă ținem seama de relațiile (2.7.24) și (2.7.25), diagonale. Se vor nota cu:
(2.7.42)
Se va nota cu mi , ci și, respectiv, ki componentele matricelor, și aflate pe diagonală. Vor avea:
;
; (2.7.43)
;
Dacă se ține seama de relațiile de ortogonalitate, utilizând notațiile de mai sus se obține că sistemul de ecuații diferențiale inițial se decuplează într-un set de n ecuații diferențiale cu coeficienți constanți, de ordinul doi, independente:
…. (2.7.44)
Împărțim cu m, se notează: ; ; și se va obține:
…. (2.7.45)
Rămân de rezolva n ecuații diferențiale cu coeficienți constanți, de ordinul doi, independente. Să scriem una dintre ecuațiile diferențiale din setul de ecuații:
(2.7.46)
Conform teoriei generale a ecuațiilor diferențiale cu coeficienți constanți, soluția omogenă este:
(2.7.47)
La aceasta se va adăuga o soluție particulară qip.
Soluția sistemului inițial omogen se obține prin suprapunere modală:
(2.7.48)
Mai trebuie determinată o soluție particulară. Acest lucru se face descompunând mai întâi forța într-o serie armonică. Să considerăm sistemul:
(2.7.49)
În această relație pentru vectorul forță s-a considerat doar prima armonică. Pentru celelalte armonice se procedează absolut analog. Pentru acest sistem se caută o soluție particulară sub forma:
. (2.7.50)
Derivând rel.(2.7.50) se obțin:
(2.7.51)
și apoi:
. (2.7.52)
Înlocuind rel.(2.7.51) și (2.7.52) în sistemul de ecuații diferențiale (2.7.49), se va obține:
(2.7.53)
Relațiile trebuie să fie valabile în orice moment de timp. Atunci va trebui sa avem coeficienții lui și nuli, deci va trebui să avem:
ori:
(2.7.54)
Soluția sistemului se obține sub forma:
(2.7.55)
Printr-un proces similar se pot determina soluțiile particulare și pentru celelalte armonici Fourier ale forței. Soluția particulară va fi dată de suprapunerea tuturor acestor soluții:
(2.7.56)
Concluzii
În cadrul acestui capitol s-au prezentat rezultate prezentată în articole în care sunt folosite simetriile structurale care există în sistemele mecanice reale, utilizate în practică pentru obținerea unor structure, pentru a ușura calculul valorilor proprii și a modurilor proprii de mișcare pentru aceste sisteme. Sunt analizate mai întâi sistemele discrete, făcându-se analiza unui sistem tehnic real în care găsim două motoare identice care acționează aceeași transmisie. Sunt studiate vibrațiile torsionale care apar în cadrul transmisiei autovehiculului și sunt identificate proprietăți care permit ușurarea calculului. Studiul este extins apoi și în cadrul unor altor sisteme mecanice discrete cu simetrii, în care au loc vibrații torsionale. Apoi este analizată o a doua categorie de exemple, care privesc sisteme mecanice continue cu elemente sau părți simetrice. Scopul acestei prezentări este de a identifica proprietăți utile pentru a ușura analiza unei astfel de structuri. S-au demonstrat proprietăți ale valorilor proprii și ale modurilor proprii de vibrații care permit ușurarea și simplificarea calculului unei structuri reale. Acest lucru va permite scurtarea timpului și a costului privind calculele necesare. Analiza acestor probleme deja studiate a făcut posibilă fixarea direcției de cercetare în cadrul tezei de doctorat și focusarea pe sistemele continue unde studiile întreprinse sunt doar într-un stadiu incipient.
În finalul capitolului se face o prezentare succintă a Analizei modale aplicate pentru studiul sistemelor de ecuații diferențiale cu coeficienți constanți. Prezentarea introduce principalele noțiuni care vor fi utilizate în cadrul tezei de doctorat.
Capitolul 3.
VIBRAȚIILE SISTEMELOR CONTINUE
Introducere
Întrucât în cadrul tezei ne vom ocupa de studiul sistemelor continue cu bare, în cele ce urmează se va face o prezentare, clasică, a rezultatelor cunoscute în domeniu. Prezentarea din capitolul de față urmărește, în principal, rezultatele din Vlase et al 2017a, 2017b pentru barele continue. O bară poate avea vibrații transversale (de încovoiere), vibrații longitudinale (axiale) și vibrații torsionare (de răsucire) (Ivan 1985, Gioncu și Ivan 1983, Gillich 2012, Den Hartog 1960, Douglas 2012).
Vibrațiile transversale ale barelor
Barele drepte, omogene, prismatice cu un plan de simetrie vor putea vibra în acest plan (Landau și Lifchitz 1967, Vlase 2012, Vlase și Teodorescu 2013). Dacă x este de-a lungul barei, y este axa în care are loc mișcarea iar z este axa neutră a secțiunii atunci avem din literatură ( Buzdugan 1982, Voinea et al 1976, Silaș 1967, 1968, 1973, Meirovitch 1970, Mangeron 1962) ecuația fibrei medii deformate:
(3.1)
Figura 3.1
În această relație reprezintă momentul încovoietor în secțiunea x. Mărimea reprezintă modulul de rigiditate la încovoiere. Forța tăietoare în secțiunea x este:
(3.2)
iar distribuția lineară a forțelor pe lungine este dată de:
(3.3)
Să notăm acum cu v(x,t) deplasarea grinzii față de poziția de echilibru (punctual aflat pe axa neută la distanța x față de origine și la momentul t). Sarcina distribuită p(x) va putea fi considerată ca fiind alcătuită din sarcina exterioară perturbatoare și din forța elementară de inerție . Introducând în ecuația fibrei medii deformate, se obține ecuația diferențială de gradul patru:
(3.4)
În ecuațiile obținute s-au neglijat efectul rotirilor și a lunecării secțiunii. Funcția v(x,t) trebuie să satisfacă condițiile inițiale și condițiile la limită. În practica inginerească cele mai întâlnite condiții la limită, într-o secțiune oarecare xo sunt:
Încastrarea: săgeata și rotirea trebuie să fie nule. Avem două condiții:
(3.5)
Reazem simplu bilateral: săgeata zero ți momentul de asemenea zero. Rezultă condițiile:
(3.6)
Capăt liber: atât forța tăietoare cât și momentul încovoietor sunt nule:
(3.7)
Încastrare elastică: săgeata este zero dar încastrarea permite o rotire, proporțională cu rotirea secțiunii:
(3.8)
Reazem elastic: săgeata este direct proporțională cu reacțiunea din reazem iar momentul încovoietor este nul:
(3.9)
Pulsațiile proprii și modurile proprii de mișcare
Conform teoriei generale a ecuațiilor diferențiale cu coeficienți constanți se caută o soluție a ecuației diferențiale sub forma:
(3.10)
În această relație este o funcție care reprezintă forma deformată a barei iar p este pulsația vibrației. Dacă se introduce (3.10) în rel. (3.4) considerându-se forța perturbatoare p0(x,t)=0 se obține:
(3.11)
care reprezintă o ecuație diferențială de ordinul 4 în x, cu coeficienți constanți. Să facem notația:
(3.12)
Ecuația (3.11) devine:
(3.11’)
și are soluția:
(3.13)
Constantele , , și se obțin din condițiile inițiale și pot exista, pentru seturile de condiții inițiale prezentate (3.5)-(3.9), puse pentru cele două capete, cincisprezece seturi distincte de valori ale constantelor.
Primele trei derivare ale funcției (3.13) sunt:
(3.14)
(3.15)
(3.16)
Să exemplificăm cazul unei bare de lungine l, încastrate la ambele capete. Trebuie sa avem respectate, la ambele capete, condițiile (3.5): , deci:
(3.17)
(3.18)
Condiția ca sistemul linear omogen (3.18) să aibă și alte soluții decât soluția nulă este ca:
(3.19)
(3.20)
Ecuația transcendentă (3.20) are o infinitate de rădăcini:
unde (3.21)
de unde se obțin pulsațiile proprii:
(3.22)
Funcțiile proprii sunt date de relația:
(3.23)
Modurile proprii de vibrație sunt date de relația:
(3.24)
unde constantele , , și sunt determinate până la un factor arbitrar.
Funcțiile proprii sunt ortogonale între ele, adică avem:
pentru . (3.25)
Soluția generală a ecuației diferențiale (3.4) este:
(3.26)
Condițiile inițiale duc la condițiile:
(3.27)
care trebuie să permită determinarea factorilor arbitrari din funcțiile proprii și a fazelor oscilațiilor .
Vibrațiile longitudinale ale barelor
Să considerăm o bară primatică de secțiune constantă (Fig.3.2), cu secțiunea A, lungimea l, modulul de elasticitate longitudinal E și densitatea . Se separă un element infinitezimal de lungime dx la distanța x de capăt.
Figura 3.2
Efortul de întindere/compresiune N apărut în secțiunea x este legat de deformația specifică prin relația cunoscută:
(3.28)
Variația forței de inerție în bară de-a lungul lungimii este:
(3.29)
unde este densitatea materialului.
Variația efortului de întindere/compresiune pe lungime este:
(3.30)
În acest caz ecuația de echilibru dinamic devine:
(3.31)
în cazul în care bara nu este încărcată cu forțe axiale pe lungime. Ecuația diferențială cu derivate parțiale, de ordinul doi descrie vibrația liberă longitudinală a barei considerate. Trebuiesc cunoscute condițiile inițiale și condițiile la limită ale sistemului studiat. Soluția va fi o funcție . Condițiile inițiale trebuie să precizeze deplasarea și viteza la momentul inițial considerat în fiecare secțiune a barei, x.
și . (3.32)
Condițiile la limită se referă în acest caz la modul în care sunt legate capetele barei de spațiul fix. În practica inginereasca cele mai cunoscute moduri de legătură sunt:
Dacă bara este liberă la ambele capete, forța axială la cele două capete trebuie să fie egală cu zero, deci:
și ; (3.33)
Pentru bara încastrată la ambele capete, deplasările u la cele două capete trebuie să fie zero, deci:
și ; (3.34)
Dacă bara este încastrată la capătul x = 0 și liberă la celălalt capăt x = l, atunci vor exista condițiile de capăt:
; (3.35)
Pulsații proprii și funcții proprii la vibrațiile longitudinale
Rezolvarea ecuației diferențiale care descriu mișcarea vibrațiilor torsionale libere ale barei, implică, conform teoriei clasice, cautrea unor soluții de forma:
(3.36)
Punând condiția ca această soluție să satisfacă ecuația (xxx) se obține:
(3.37)
sau, după simplificări:
(3.38)
Dacă se notează:
; (3.39)
se obține soluția clasică:
(3.40)
și:
(3.41)
Se pot determina constantele de integrare C1 și C2 pentru cele trei cazuri de rezemare pe care le-am menționat anterior.
Dacă bara este liberă la ambele capete, forța axială la cele două capete trebuie să fie egală cu zero, deci:
și ; (3.42)
oricare ar fi t deci,
(3.43)
de unde:
(3.44)
Rezultă condiția:
deci (3.45)
de unde:
n=1,2,3, …… (3.46)
Există o infinitate de soluții care verifică ecuația dată,
(3.47)
Constantele de integrare vor depinde de condițiile inițiale. Din notația pentru rezultă pulsația proprie:
(3.48)
Funcțiile
(3.49)
vor fi funcțiile proprii pentru vibrațiile longitudinale (constanta C2 a fost aleasa egală cu 1).
Mișcarea descrisă de ecuația (3.49) se numește modul propriu de vibrație de ordinul n pentru vibrațiile longitudinale. Se poate verifica prin calcul direct că funcțiile proprii satisfac condițiile de ortogonalitate:
pentru (3.50)
și:
pentru (3.51)
Secțiunile în care funcțiile proprii se anulează se numesc noduri.
Pentru bara încastrată la ambele capete, deplasările u la cele două capete trebuie să fie zero, deci:
și ;
de unde
de unde condiția:
(3.52)
Rezultă:
n=1,2,3, …….. (3,53)
(3.54)
iar funcțiile proprii sunt în acest caz:
(3.55)
unde s-a ales:
Dacă bara este încastrată la capătul x = 0 și liberă la celălalt capăt x = l, atunci vor exista condițiile de capăt:
; (3.56)
. Rezultă: (3,57)
. Deci:
(3.58)
, n=1,2,3, …….. (3.59)
(3.60)
Funcțiile proprii sunt:
(3.61)
Vibrațiile torsionale ale barelor
Să considerăm o bară de secțiune circulară constantă (Fig.3.3), care are o rigiditate la răsucire GIp și cu momentul de inerție masic pe unitatea de lungime J. Se separă un element infinitezimal de lungime dx la distanța x de capăt.
Figura 3.3
Între momentul de torsiune în secțiunea x și unghiul de răsucire fi al secțiunii există relația stabilită:
(3.62)
Variația momentului în lungul barei devine:
(3.63)
Momentul forțelor de inerție pe unitatea de lungime a barei este, considerând teorema momentului cinetic aplicată pentru elementul infinitezimal:
(3.64)
Dacă nu există mase concentrate atașate de bară pe lungime, momentul de inerție masic J se calculează cu relația:
(3.65)
unde este densitatea materialului.
În acest caz ecuația de echilibru dinamic devine:
(3.66)
în cazul în care bara nu este încărcată cu momente de torsiune pe lungime. Ecuația diferențială cu derivate parțiale, de ordinul doi descrie vibrația liberă de torsiune (răsucire) a barei considerate. Trebuiesc cunoscute condițiile inițiale și condițiile la limită ale sistemului studiat. Soluția va fi o funcție . Condițiile inițiale trebuie să precizeze unghiul de torsiune și viteza de rotire la momentul inițial considerat în fiecare secțiune a barei, x.
și . (3.67)
Condițiile la limită se referă îmn acest cazla modul în care sunt legate capetele barei de spațiul fix. Ar putea exista trei moduri de legătură:
Pentru bara liberă la ambele capete, momentele de torsiune la cele două capete trebuie să fie egale cu zero, deci:
și ; (3.68)
Pentru bara încastrată la ambele capete, unghiurile de rotire ale capetelor barei la ambele capete trebuie să fie egale cu zero, deci:
și ; (3.69)
Dacă bara este încastrată la capătul x = 0 și liberă la celălalt capăt x = l, atunci vor exista condițiile de capăt:
; (3.70)
Pulsații proprii și funcții proprii
Pentru rezolvarea ecuației diferențiale care descriu mișcarea vibrațiilor torsionale libere ale barei, conform teoriei clasice, se caută soluții de forma:
(3.71)
Punând condiția ca această soluție să satisfacă ecuația (3.66) se obține:
(3.72)
sau, după simplificări:
(3.73)
Dacă se notează:
(3.74)
se obține soluția clasică:
(3.75)
și:
(3.76)
Se pot determina constantele de integrare C1 și C2 pentru cele trei cazuri de rezemare pe care le-am menționat anterior.
Pentru bara liberă la ambele capete, momentele de torsiune la cele două capete trebuie să fie egale cu zero, deci:
și ; (3.77)
oricare ar fi t deci,
(3.78)
de unde:
(3.79)
Rezultă condiția:
deci (3.80)
de unde:
n=1,2,3, …….. (3.81)
Deci există o infinitate de soluții care verificăp ecuația dată,
(3.82)
Constantele de integrare vor depinde de condițiile inițiale. Din notația pentru rezultă pulsația proprie:
(3.83)
Funcțiile
(3.84)
Se numesc funcții proprii (constanta C2 a fost aleasa egală cu 1).
Mișcarea descrisă de ecuația se numește modul propriu de vibrație de ordinul n. Se verifică prin calcul direct că funcțiile proprii satisfac condițiile de ortogonalitate:
pentru (3.85)
și:
pentru (3.86)
Secțiunile în care funcțiile proprii se anulează se numesc noduri.
Pentru bara încastrată la ambele capete, unghiurile de rotire ale capetelor barei la ambele capete trebuie să fie egale cu zero, deci:
și (3.87)
de unde (3.88)
de unde condiția:
(3.89)
La fel ca la punctul precedent:
n=1,2,3, …….. (3.90)
(3.91)
dar funcțiile proprii sunt în acest caz:
(3.92)
unde s-a ales:
Dacă bara este încastrată la capătul x = 0 și liberă la celălalt capăt x = l, atunci vor exista condițiile de capăt:
; (3.93)
. Rezultă: (3.94)
. Deci: (3.95)
, n=1,2,3, …….. (3.96)
(3.97)
Funcțiile proprii sunt:
(3.98)
Capitolul 4
PROPRIETĂȚI LA VIBRAȚII ALE SISTEMELOR CONTINUE
Introducere
În practica inginereasca se întâmplă deseori să se utilizeze, la proiectarea și construcția unui sistem mecanic, părți identice, din motive legate de timpul de proiectare, costurile materialelor și timpul de execuție. În statica construcțiilor simetria acestor tipuri de structure a fost studiată și utilizată pentru ușurarea calculului. În cazul analizei dinamice al unui astfel de sistem, în literatura de specialitate au fost făcute câteva observații cu privire la metodele de calcul al sistemelor simetrice, însă nu există încă un studiu sistematic; unele cazuri speciale au fost tratate în literature de specialitate și prezentate în primele capitol ale acestei teze. Proprietățile pe care le prezintă structurile studiate ar putea reduce timpul și efortul de calcul, ar implica în mod automat costuri de dezvoltare și testare mai mici și ar crește precizia calculului. Din perspectiva analizei dinamice și, în particular, a vibrațiilor pentru sistemele cu elemente elastice, deși unele proprietăți au fost observate mai de mult (vezi Meirovitch (1996)), nu au fost studiate metodic. Cazuri particulare au fost studiate în Mangeron et al. (1991), Vlase and Chiru (2009), Shi and Parker (2013), Paliwal and Pandey (1996), Celep (1978). În ceea ce urmează se prezintă studiul unor noi sisteme structurale cu bare continue. O parte dintre rezultate au fost deja diseminate în Năstac et al. 2018, Vlase et al. 2016,2017,2018.
Cuplarea vibraților transversale și longitudinale în cazul unui sistem mecanic cu două bare identice
4.2.1. Descrierea problematicii studiate
În acest paragraf se vor studia vibrațiile transversale și longitudinale a unui sistem mechanic alcătuit din bare. În continuare se va studia cazul unui sistem mecanic alcătuit din 3 grinzi, considerate în plan, dintre care două sunt identice. Vibrațiile transversale sunt considerate a avea loc în planul definit de structura celor trei grinzi. Vibrațiile longitudinale vor avea loc, de asemenea, în acest plan. Se produce în acest caz o cuplare între vibrațiile longitudinale și transversale, determinată de legătura rigidă dintre grinzi.
4.2.2. Sistem mecanic cu două bare identice
Să considerăm o structură mecanică (Fig.4.1) care constă în două bare identice MP și NP, fixate rigid de o a treia bară PR. Barele pot vibra transversal pe lungimea lor, în planul structurii și, în același timp, au vibrații longitudinale, în lungul axei.
Figura 4.1. Sistemul mecanic cu bare
M și N sunt capete libere motiv pentru care momentul de încovoiere, forța tăietoare și forța longitudinală sunt zero în aceste puncte (șase condiții de capăt). Capătul R al barei PR este încastrat. Atunci săgeata, rotirea și torsiunea în punctul R sunt zero. Condițiile de continuitate în punctul P duc la 9 condiții de contur. În final se obțin 18 condiții de contur care permit determinarea celor 18 constante de integrare.
4.2.3. Ecuațiile vibrațiilor transversale și longitudinale
Se va considera o bară omogenă, de secțiune constantă. Pentru acest caz vibrațiile transversale ale barei sunt descrise, dacă nu există forțe distribuite de-a lungul lungimii barei, de ecuația binecunoscută (vezi Buzdugan et al. (1982), Sharma and Marin (2013), Marin and Lupu (1998), Marin (2010)):
(4.1)
În ecuația (4.1) s-a notat cu v – săgeata barei, A – aria secțiunii transversale, ρ – densitatea materialului, E –modulul de elasticitate longitudinal, Iz – momentul de inerție al ariei secțiunii față de axa Cz a secțiunii transversale, C fiind central de masă și x – distanța de la capătul din stânga al barei până la secțiunea transversală. Metoda clasică de rezolvare a acestei ecuații este de a căuta o soluție de forma (Tofan și Vlase 1985):
(4.2)
Dacă punem condiția ca rel. (4.2) să verifice ec. (4.1) la orice moment de timp, după calcule elementare se obține:
(4.3)
Dacă se notează:
(4.4)
(4.1) devine:
(4.5)
unde este funcția care oferă deformata barei (modul propriu) care va vibra cu pulsația p. În cele ce urmează se va utilize soluția (4.5) obținută pentru a analiza sistemul studiat, alcătuit din cele trei bare în plan, două fiind identice. Se vor obține trei ecuații diferențiale, corespunzătoare porțiunilor MP, NP și PR:
Pentru prima bară MP: (4.5.a)
Pentru a doua bară NP: (4.5.b)
Pentru bara PR: (4.5.c)
Se notează:
; ,
Soluția sistemelor de ordinul 4 (4.5.a,b,c)) este prezentată în Douglas, Th. (2012), Timoshenko, P.S. si M. Gere, J.M. (2009), Tyn Myint-U (1977), Henderson, J. si Luca,R. (2016):
(4.6.a)
(4.6.b)
(4.6.c)
Vibrațiile longitudinale sunt descrise de ecuația:
(4.7)
unde u este deformația axială a barei, x ordonata punctului cu deplasarea u. Pentru a rezolva ecuația (4.7) se aleg soluții de forma:
(4.8)
Dacă se introduce (4.8) în ec. (4.7) se obține:
(4.9)
unde:
(4.10)
Cu aceste notații soluțiile pentru ecuația diferențială (4.9), aplicată pentru barele MP, NP și PR sunt:
(4.11.a)
(4.11.b)
(4.11.c)
Ecuațiile (4.6.a), (4.6.b), (4.6.c), (4.11.a), (4.11.b), (4.11.c) descriu vibrațiile libere ale sistemului mecanic studiat. Se observă ca avem 18 constante de integrare , care se vor determina dacă introducem condițiile de contur.
Dacă se notează cu momentul de încovoiere în bară în secțiunea aflată la distanța x de capăt, T forța tăietoare și S forța axială, condițiile de capăt poate fi scrise în forma:
Pentru bara MP, capătul M este liber, deci se poate scrie:;; ;
Pentru bara NP, capătul N este liber, deci: ; ; ;
Pentru bara PR, capătul R este încastrat, deci: ; ; ,
așa că se obțin 9 condiții. În cele ce urmează se vor scrie aceste condiții într-o formă anașlitică. Momentul încovoietor, forța tăietoare și forța axială pot fi scrise cu relația:
; ; (4.12)
Prin derivări successive se obține:
(4.13)
(4.14)
. (4.15)
pentru bara MP și ecuații similar pentru NP și PR .
Înlocuind (4.13),(4.14) și (4.15) în (4.12) și luând în considerare cele 9 condiții scrise anterior a), b) și c) se obțin ecuațiile:
(4.7_1)
(4.7_2)
(4.7_.3)
(4.7_4)
(4.7_5)
(4.7_6)
(4.7_7)
(4.7_8)
(4.7_9)
Să considerăm acum continuitatea sistemului în punctual P. Aceasta conduce la următoarele condiții: deplasările axiale ale barelor MP și NP sunt egale, opuse și egale cu săgeata barei PR în P: u MP (l1,t) = u NP (l1,t) = v CD (0,t) (două condiții), rotirea în P a barelor MP, NP și PR sunt egale: v’ MP (l1,t) = v’ NP (l1,t) = v’ PR (0,t) (două consiții), săgeata barelor MP și NP in P sunt egale cu deplasarea axială a barei PR: v MP (l1,t) = v NP (l1,t) = u CD (0,t) (două condiții). Aceste șase condiții conduc la ecuațiile:
(4.7_10)
(4.7_11)
(4.7_12)
(4.7_13)
(4.7_14)
(4.7_15)
Ultimele trei condiții sunt obținute considerând echilibrul elementului infinitesimal de masă în jurul punctului P. Avem:
T1+T2 = S (4.16)
Forța tăietoare care apare în secțiunea barei la distanța x de capătul din stânga și momentul încovoietor sunt date de rel. (4.12) și (4.14). Înlocuind în (4.16) rezultă:
(4.7.16)
Dacă se notează:
se poate scrie:
(4.7.16’)
În mod similar se poate scrie:
S1+S2=T (4.17.a)
M b1+M b2=M b . (4.17.b)
Momentul de torsiune într-o secțiune la distanța x de capăt este dat de rel. (4.12), (4.13) și (4.15). Înlocuind (4.12) în (4.17.1) și (4.17.2), ecuațiile de echilibru iau forma:
(4.18)
(4.19)
Dacă se consideră (4.13) și (4.15), condițiile finale de echilibru (4.18) și (4.19) devin:
(4.7_17)
(4.7_18)
Dacă se notează: și , rel. (7.17) și (7.18) devin:
(4.7_17’)
(4.7_18’)
Pentru a determina constantele impuse de condițiile de contur se va rezolva sistemul linear omogen (4.7_1) – (4.7_18). Se vor calcula , , , , , , , , , , , , , , , ,,.
În cele ce urmează se va nota:
vectorul constantelor de integrare.
Punând condiția ca sistemul linear să aibă determinantul zero, se vor obține frecvențele proprii ale structurii. Scrierea matriceală este cea adecvată scrierii ecuațiilor (Belmann 1969, Horn și Johnson 1985, Voinea et al. 1984).
Dacă se notează:
(4.20)
(4.21)
(4.22)
(4.23)
devine:
S18x18 =
și sistemul (4.7) poate fi scris ca:
(4.24)
Condiția ca determinantul sistemului să fie zero:
det (S) = 0 (4.24’)
permite determinarea valorilor proprii pentru problema noastră descrisă prin ecuațiile (4.7_1)-(4.7_18).
4.2.4. Vectori și valori proprii
În cele ce urmează se evidențează câteva proprietăți pentru vectorii și valorile proprii ale acestui sistem. Să considerăm acum una dintre cele două bare identice (MP sau NP), liberă în M (sau N) și încastrată în P. Vibrațiile transversale sunt descrise de ecuația diferențială (1), sub forma:
Figura 4.2. Bara MP
(4.25)
care are soluția prezentată anterior:
cu:
(4.26)
Pentru vibrațiile longitudinale, ecuația care le descrie, pentru bara MP (sau NP) este (Buzdugan et al. (1982))
(4.27)
Soluția ecuației (4.27), prezentată anterior (rel. (4.11)) va fi:
(4.28)
Capătul M este fix în timp ce P este încastrat: ; ; ; ; ; .
Dacă se consideră aceste condiții de capăt pentru soluțiile (26) și (28), constantele se pot determina rezolvând sistemul linear omogen:
(4.29)
unde este matricea definită de rel. (4.19). Condiția det (A11) = 0 ne permite să determinăm valorile proprii pentru bara MP (sau NP). După calcule simple se obțin relațiile binecunoscute în cazul barei:
și (4.30)
care, pentru un set de date geometrice cunoscute dau valorile proprii pentru bara MP (sau NP). Avem următoarea proprietate
T1. Valorile proprii ale uneia dintre barele identice, libere la un capăt și încastrate la celălalt sunt valori proprii pentru întregul sistem
Demonstrație: Dacă det () = 0 atunci rezultă det (S) = 0. În lucrarea Vlase, S. și Paun, M. (2015) acest lucru este demonstrat pentru un caz mai general. Rezultă că proprietatea există și pentru sistemul particular din lucrare. este definit de rel. (4.19) și respectiv (4.23).
Astfel, valorile proprii ale unei singure bare, încastrate la unul din capete și liberă la celălalt sunt valori proprii și pentru întregul sistem cu părți identice.
Vectorii proprii
Dacă avem matricea (4.23) și valorile proprii, pentru aceste valori proprii se pot obține vectorii proprii din ec. (4.24), scrise sub forma:
(4.24”)
S-a notat cu vectorul constantelor obținute cu valorile proprii calculate din condițiile (4.24'). În cele ce urmează vor fi demonstrate următoarele două proprietăți:
T2. Pentru valorile proprii comune ale intregului sistem (Fig.1) cu cele ale sistemului din Fig. 2, modul propriu de vibrație are forma:
(4.31)
(componentele modului propriu corespunzătoare celor două bare identice sunt antisimetrice) .
Demonstrație: Existența valorilor proprii commune este asigurată de T1. Pentru valorile proprii obținute din (4.30), trebuie rezolvat sistemul linear omogen:
(4.32)
cu
det ()=0 (4.33)
Condiția (4.33) implică găsirea unui vector astfel încât:
(4.34)
și atunci (4.32) devine:
(4.35.a)
(4.35.b)
(4.35.c)
Din (4.35.a), întrucât det se obține imediat:
(4.36)
și înlocuind în (4.35.c) se obține , care verifică și (4.35.b) în condițiile (4.34). Dacă se notează , se obține cu ușurință (4.31).
T3. Pentru celelalte valori proprii, care nu sunt date de T1, vectorul modal are forma:
(4.37)
(componentele modului propriu corespunzător celor două bare identice sunt identice
Demonstrație: Pentru valorile proprii considerate trebuie rezolvat sistemul (4.32), considerând că det , sau:
(4.37.a)
(4.37.b)
(4.37.c)
Scăzând (4.37.a) din (4.37.b) se obține:
(4.38)
Dacă det , atunci avem și deci .
Pentru valorile proprii care coincid cu cele ale unei singure bare, încastrată la un capăt și liberă la celălalt, modurile proprii de vibrașie sunt antisimetrice, cele două bare vibrează cu moduri identice dar opuse ca semn. Pentru celelalte valori proprii barele identice au moduri de vibrație identice.
O metodă semianalitică pentru studiul vibrațiilor sistemelor mecanice cu bare cu o structură cu simetrii
4.3.1. Introducere
În secțiunea de față se prezintă o metodă semianalitică pentru studiul vibrațiilor unui sistem mecanic alcătuit din bare care definește o structură cu simetrii. Metoda are scopul de a ușura obținerea rezultatelor și, mai ales, obținerea unor informații rapide privind comportarea sistemului la vibrații. Metoda elementelor finite, utilizată curent în inginerie, oferă în general rezultate într-o formă standard. În analiza unor astfel de sisteme, în mecanica construcțiilor, de multe ori este necesar să se determine eforturile secționale sau deformațiile și rotirile într-un anumit punct. Trecerea rezultatelor din forma impusa, dată de metoda elementelor finite la forma solicitată de aplicația pe care o avem de rezolvat poate duce la un timp semnificativ pierdut pentru elaborarea unui soft care să facă acest lucru, relativ simplu, dar cu un cost de timp. Metoda este aplicată pentru sistemele simetrice pe care le studiem în această lucrare. Se va prezenta metoda pe cazul unei structuri care efectuează vibrații perpendiculare pe planul structurii. Metoda permite descreșterea efortului de calcul și oferă, în mod rapid, informații utile despre comportarea sistemului și despre solicitările care pot apărea. Metoda a apărut ca o necesitate, în analiza pe care am făcut-o în cadrul lucrării.
4.3.2. Prezentarea sistemului
O analiză clasică a comportării la vibrații a unei structuri mecanice cu simetrii impune calculul valorilor proprii și a modurilor proprii de mișcare ale sistemului. Pentru a se obține valorile proprii au fost dezvoltate câteva metode numerice foarte eficiente, pentru anumite modele utilizate. Pasul următor constă în determinarea vectorilor propii care, în esență, constă în rezolvarea unui sistem linear omogen. Dacă avem sisteme mecanice alcătuite din bare, larg utilizate în construcții, o modelare care să ne ofere ecuația caracteristică este relative ușor de realizat. Însă, rezolvarea acestei ecuații caracteristice duce la obținerea unei ecuații algebrice extreme de complicată. Rezolvarea unei astfel de ecuații poate fi foarte dificil de realizat, chiar și pentru cazul, foarte simplu, al unei singure bare.
Metoda elementelor finite permite determinarea vectorilor și valorilor proprii pentru un sistem mecanic cu elemente elastice. Din nefericire rezultatele sunt prezentate într-o formă standard iar pentru a putea fi utilizate este necesar să se efectueze o postprocesare a lor, ceea ce duce la consum de timp și costuri suplimentare. Structurile alcătuite din bare sunt larg utilizate în practică și sunt necesare, uneori, determinarea unor mărimi anumite, în secțiuni anumite. În prezentarea metodei ne vom concentra pe sistemele simetrice cu simetrii, sisteme care au fost analizate în cadrul lucrării (vezi Mangeron et al. (1991), Vlase and Chiru (2009), Shi and Parker (2013), Paliwal and Pandey (1996), Celep (1978)).
Ideea de bază în metoda prezentată este de a folosi beneficiile reprezentărilor anlitice, care tratează structura ca un mediu continuu și în cadrul căreia avem reprezentări punctuale ale momentelor, forțelor tăietoare, rotațiilor și săgeților. Analiza unei structuri în reprezentare analitică devine mai sugestivă și mai ușor de realizat. În același timp dorim să scăpăm de dificultatea determinării valorilor proprii din reprezentarea analitică. Și atunci, pentru a determina valorile proprii (pulsațiile proprii de vibrație) se va utiliza metoda elementelor finite, care are metode numerice extrem de puternice și bine puse la punct pentru a realiza acest lucru. După aceea se vor determina și modurile proprii de vibrație, operație care constă în rezolvarea unor sisteme lineare simple, lucru care va permite utilizarea, apoi, a reprezentărilor anlitice, care ne pot oferi informații bogate și sugestive.
4.3.3. Modelul analitic al sistemului cu bare
Se prezintă metoda pentru un sistem mecanic alcătuit din patru 4 bare dintre care 2 identice (Fig.4.3) care se găsesc într-un plan. Vibrațiile vor avea loc într-un plan perpendicular pe planul barelor. Se iau în considerare și vibrațiile torsionale. Simetria sistemului poate fi utilă pentru a reduce dimensiunea sistemului de ecuații diferențiale care se obține (vezi Mangeron et al. (1991), Vlase and Chiru (2009)). Va apare un cuplaj între vibrațiile transversale și vibrațiile torsionale.
Figura 4.3. Geometria sistemului mecanic cu bare
Să considerăm o structură de bare omogene, de secțiune constantă, ca în (Fig.4.3) alcătuită din patru bare cu geometria și caracteristicile mecanice necesare pentru calcul cunoscute AE, BE,CE și DE. Sistemul este fixat rigid în A,B,C și D. Punctul E este punct comun tuturor barelor din sistem, deci săgețile celor patru bare în E vor fi egale. Barele vor avea vibrații într-un plan perpendicular pe planul structurii. Toate barele vor avea de asemenea vibrații torsionale, de care trebuie să ținem seama, din cauză că rotirile în urma vibraților transversale a unei bare în E se transformă în torsiune pentru barele perpendiculare. În punctele în care avem încastrare, săgeata, rotirea și torsiunea sunt egale cu zero (12 condiții de contur). Faptul că cele patru bare sunt prinse rigid în E duce la condiții suplimentare. Mai întâi săgețile celor patru bare în E trebuie să fie egale (3 condiții). După aceea, rotirea barelor AE și EC în E trebuie să fie egale cu torsiunea barelor BE și DE în E (trei condiții). La fel se va întampla dacă considerăm rotirea barelor BE și DE și torsiunea barelor AE și CE în E (alte trei condiții). În final continuitatea și echilibrul forțelor în E ne va asigura ultimile trei condiții necesare. În final se vor obține 24 de condiții care duc la un sistem de 24 de ecuații cu 24 de necunoscute.
4.3.4. Ecuațiile vibrațiilor libere transversale și torsionale
În cele ce urmează se consideră o bară omogenă continuă cu secțiune constantă. Pentru această vibrațiile transversale ale barei sunt descrise, dacă nu există forțe distribuite de-a lungul lungimii barei, de ecuațiile bine cunoscute prezentate pentru cazul general în Buzdugan, Fetcu și Radeș (1982), Timoshenko si Gere, (2009):
(4.39)
În ecuația (4.39) s-a notat: v – săgeata barei, A – aria secțiunii transversale, ρ – the density of the material, E – modulul de elasticitate longitudinal, Iz – momentul de inerție al secțiunii transversale în centrul de masă, față de axa z; x – distanța de la capătul din stânga al barei până la secțiune curentă. .
Metoda clasică de rezolvare a ecuației este de a căuta soluții de forma:
(4.40)
Dacă punem condiția ca soluția (4.40) să verifice (4.39), după simplificări se obține:
(4.41)
Se notează:
(4.42)
Cu această notație, (4.39) devine:
, (4.43)
unde este funcția care va oferia deformata barei (modul propriu) care va vibra cu pulsația proprie p. Pentru că avem patru bare în sistem se pot scrie patru astfel de ecuații:
Pentru primul segment, AE:
(4.43.a)
Pentru segmentul EB:
(4.43.b)
Pentru segmentul CE:
(4.43.c)
Pentru segmentul DE:
(4.43.d)
Se notează:
; ,
Soluția sistemului de ecuații diferențiale de ordinul 4 (5.1), (5.2), (5.3) și (5.4) va fi dată de:
(4.44_1)
(4.44_2)
(4.44_3)
(4.44_4)
Vibrațiile torsionale ale unei bare sunt date de:
(4.45)
unde este unghiul de torsiune al barei, x este distanța de la capătul din stânga al barei până la secțiunea considerată. Pentru rezolvarea ecuației, se va considera o soluție de forma:
(4.46)
Dacă se pune condiția ca soluția (4.46) să verifice (4.45), se obține:
(4.47)
unde:
(4.48)
Cu aceste notații soluția sistemului de ecuații (4.47) în cazul celor patru bare AE, BE,CE și DE devine:
(4.49_1)
(4.49_2)
(4.49_3)
(4.49_4)
Ecuațiile (4.44_1)-(4.44_4) și (4.49_1)-(4.49_4) descriu comportarea sistemului în cazul vibrațiilor libere ale sistemului mecanic studiat. Se observă că în aceste avem 24 de constante de integrare: , care vor fi determinate considerând condițiile de contur.
4.3.5. Vectori și valori proprii
Condițiile de capăt în încastrările A, B, C și D se pot scrie ca:
Pentru bara AE:
Pentru bara BE
Pentru bara CE:
Pentru bara DE:
care oferă 12 condiții. Dacă se introduc aceste condiții în (4.44) și (4.49) se obțin condițiile:
Săgețile pentru punctul E, pentru toate cele patru bare trebuie să fie egale. Asta înseamnă:
Dacă se introduc aceste condiții în rel. (2) și (6) va rezulta:
Dacă se notează cu momentul de încovoiere al barei în secțiunea x, T forța tăietoare și S forța axială, se vor determina aceste mărimi într-o secțiune situată la distanța x de capătul barei. Momentul de încovoiere, forța tăietoare și forța axială se pot scrie sub forma:
(4.50)
Prin derivări succesive se obține:
(4.51)
(4.52)
(4.53)
(4.54)
În E rotația barei AE este egală cu rotația barei CE, cu torsiunea lui BE și torsiunea lui DE. Se obține:
Aceleași condiții se obțin dacă se consideră acum rotirile barelor BE și DE egale cu torsiunile barelor AE și CE. Se obține:
Continuitatea momentelor de încovoiere și echilibrul momentelor de încovoiere cu cele de torsiune dau condițiile:
Pentru a determina constantele care verifică condițiile de capăt impuse, este necesar a se rezolva un sistem omogen linear. În acest mod se vor determina constantele de integrare
,,…..,,,,…..,,,,…..,,,,….., .
În cele ce urmează se va nota:
vectorul coloană al constantelor de integrare.
Determinantul acestui sistem trebuie să fie zero, dar acest lucru este realizat de valorile proprii determinate anterior cu metodac elementelor finite. Sistemul linear omogen care ne va oferi constantele de integrare cu ajutorul cărora vom putea construi modurile proprii de mișcare sunt:
(4.55)
în condiția
det (S) = 0 (4.56)
Dacă dorim să rezolvăm ecuația caracteristică (4.56) cu metodele clasice (Demidovici și Maron 1973), este aproape imposibil datorită formei complicate pe care o ia această ecuație algebrică de gradul 24 (rezultă o formă complexă care conține funcțiile cos, sin, ch, sh. Din acest motiv pentru determinarea valorilor proprii se utilizează metoda elementelor finite, care ne dă rezultate rapide și foarte corecte într-un interval de timp foarte scurt. Ca urmare, în prima fază se poate aplica MEF pentru a determina valorile proprii după care se poate continua studiul pe modelul analitic, care are avantajul de a ne oferi forme continue pentru momentele încovoietoare și de torsiune, pentru forțele tăietoare, pentru săgeți, rotiri și torsiuni, utiluizând rel. (4.44), (4.49).
Modelul unei structuri cu bare
Modelul mecanic
În cele ce urmează se analizează, din punctual de vedere al proprietăților menționate anterior, o structură reală, menită de a susține un ciller dintr-un ansamblu de construcții. Structura este alcătuită dintr-o serie de 4 tipuri de grinzi fioxate între ele prin sudură (Fig.4.4). Dimensiunile diferitelor părți ale structurii sunt prezentate în Fig.6 și Fig.7. Toată structura are 20 de noduri care asigură legătura între 48 de bare. Planul median al figurii face legătura între două substructure identice în oglindă.
Figura 4.4. Structura analizată
Figura 4.5. Schița structurii
Figura 4.6. Vedere laterală a structurii
Figura 4.7. Vederea din față a structurii
Ecuațiile de mișcare a structurii
Dacă neglijăm amortizarea structurală și alte tipuri de amortizare proporțională care pot apărea, atunci ecuațiile de mișcare ale vibrațiilor libere sunt :
(4.57)
unde:
– matricea inerțială pentru structura din Fig.4.8;
– matricea inertială de cuplaj între cele două părți identice și elementele de legătură;
– matricea inertială pentru porțiunea care asigură legătura între cele două părți identice;
– matricea de rigiditate pentru structura din Fig.8;
– matricea de rigiditate de cuplaj între cele două părți identice și elementele de legătură;
– matricea de rigiditate pentru porțiunea care asigură legătura între cele două părți identice;
– vectorul coordonatelor independente ale jumătații din stanga a structurii;
– vectorul coordonatelor independente ale jumătații din dreapta a structurii;
– vectorul coordonatelor independente ale elementelor de legătură intre cele două structure identice.
Într-o formă prescurtată ecuațiile (4.57) pot fi scrise sub forma:
Să considerăm acum doar o jumătate de structură, reprezentată în Fig.8. Ecuațiile de mișcare pentru această substructură sunt:
Figura 4.8. Jumătate din structură
pentru partea din stânga și pentru jumătatea din dreapta ecuațiile sunt:
Modelarea celor două sisteme am făcut-o utilizând MEF. Programul utilizat pentru calcul a fost ABAQUS.
Rezultate teoretice privind vibrațiile structurii
Pentru întreaga structură a rezolva problema de valori proprii revine la a rezolva ecuația caracteristică:
Pentru substructura din Fig.8, problema de valori proprii revine la a rezolva ecuația caracteristică:
Dacă se consideră notațiile făcute, există următorul rezultat:
Să considerăm matricea format din matricele cu coeficienți complexi, de dimensiune n, notate A, B, C, L, Z=On și matricea .
atunci det(M) este divizibil prin det(A).
Demonstrația este prezentată în lucrarea Vlase S., Păun,M. (2015). Din acest rezultat se obțin imediat următoarele concluziile:
P1. Valorile proprii pentru o jumătate de structură sunt și valori proprii pentru întrega structură.
P2. Pentru valorile proprii identice pentru jumătate de structură și pentru întreaga structură modurile porprii sunt de forma:
(componentele modurilor proprii corespunzând părților identice sunt antisimetrice).
P3. Pentru celelalt valorile proprii, vectorii proprii sunt de forma:
(componentele corespunzând părților identice sunt identice).
În Tabelul 1 sunt prezentate valorile proprii pentru structura din Fig.4.5 pe a doua coloană iar în coloana a patra sunt prezentate aceste valori pentru Fig. 4.8. Analizând cele două tabele se poate constata că se regăsesc proprietățile prezentate în lucrările xxxxxxx
În Fig.4.9.- 4.16 sunt prezentate în poaralel, pentru comparație, modurile proprii pentru structura din Fig.4.5 și modurile proprii pentru structura din Fig.4.8.
Se observă că valorile proprii pentru jumătate din structură sunt (în limita unor erori de calcul) apropiate de valorile mporpii pentru întreaga structură.
Tabelul 1
Fig.4.9.a
Fig.4.9.b.
Fig.4.9. Modul propriu 2 de vibrație al structurii și modul 1 al substructurii
Fig.4.10.a
Fig.4.10.b
Fig.4.10. Modul 9 de vibrație al structurii și modul 2 al substructurii
Fig.4.11.a.
Fig.4.11.b
Fig.4.11. Modul propriu 13 de vibrație al structurii și modul 3 al substructurii
Fig.4.12.a
Fig.4.12.b
Fig.4.12. Modul propriu 15 de vibrație al structurii și modul 4 al substructurii
Fig.4.13.a
Fig.4.13.b
Fig.4.13. Modul propriu 10 de vibrație al structurii și modul 5 al substructurii
Fig.4.14.a
Fig.4.14.b
Fig.4.14. Modul propriu 11 de vibrație al structurii și modul 6 al substructurii
Fig.4.15.a
Fig.4.15.b
Fig.4.15. Modul propriu 19 de vibrație al structurii și modul 7 al substructurii
Fig.4.16.a
Fig.4.16.b
Fig.4.16. Modul propriu 20 de vibrație al structurii și modul 8 al substructurii
Concluzii
Din rațiuni legate de timpul de proiectare, costurile de material și timpul de execuție a unor structuri mecanice utilizarea în cadrul proiectelor a unor elemente identice este des folosită. În acest mod un utilaj sau o mașină pot fi executate mai repede și mai ieftin. Studiul unor structure cu elemente repetitive a constituit subiectul acestui paragraf. S-a studiat cazul unor structure alcătuite din bare, cu vibrații în planul structurii. Proprietățile demonstrate pot adduce beneficii privind proiectarea și construcția unui astfel de sistem, atât din punct de vedere al timpului de calcul necesar cât și al costurilor.
În cadrul acestei secțiuni a fost propusă o metodă semianalitică pentru studiul vibrațiilor structurilor cu bare, cu aplicație la structurile cu simetrii, care reprezintă subiectul lucrării. Utilizarea metodei este justificată de nevoile de a obține mai multe informații decât cele oferite sub o formă standard de programele comerciale de element finit, lucru care poate conduce la necesitatea elaborării unui soft specific pentru fiecare problemă. Acest lucru poate lungi timpul în care se obțin informații și reprezentări utile procesului de proiectare. În cadrul secțiunii este aplicată metoda pe o structură cu simetrii, cu o anumită simplitate, dar metoda poate fi aplicată pe orice fel de structură. Determinarea informațiilor utile într-o astfel de problemă, necesare unui proces de proiectare, se poate face în acest mod mult mai simplu și mai repede. Se scade în acest mod timpul de proiectare deci, în final, costul acestei acțiuni.
Capitolul 5
VALIDARE EXPERIMENTALĂ
Modelul analizat
Majoritatea clădirilor civile publice comerciale sau industriale care se proiectează în prezent sunt echipate cu instalații de climatizare sau frig industrial. În aceste aplicații răcirea se poate face cu agregate de tip evaporator sau chiller, în cele mai multe situații, datorită limitărilor pe care le are soluția cu evaporator și din cauza sarcinilor de răcire mari se folosesc agregate de tip chiller, care sunt în două variante constructive:
Răcite cu aer (cu capacități uzuale între 0 și 2.000 kW);
Răcite cu apă (cu capacități uzuale între 200 și peste 10.000 kW).
Cele mai folosite tipuri de chillere (exceptând aplicațiile de frig industrial) sunt cele răcite cu aer, cu sarcini de răcire între 50 și 500 kW și compresoare de tip „scroll” (spirală) sau „screw” (șurub). Ambele variante produc în timpul funcționării vibrații, piesele în mișcare fiind separate de ansamblu prin diferite sisteme elastice de amortizare, însă, inevitabil structurile pe care acestea sunt montate preiau o parte din aceste vibrații, pe lângă încărcările statice sau dinamice obișnuite (greutatea proprie, vânt, seism, etc.).
În funcție de aplicația deservită, montajul utilajelor de răcire se poate face pe fundații sau radiere din beton armat sau pe structuri metalice independente.
În această lucrare a fost studiată comportarea structurilor metalice cu simetrii folosite la montarea utilajelor de climatizare care produc vibrații, în acest sens a fost proiectata și executată o structură metalică formată din doua grinzi cu zabrele cu talpi paralele pe care s-au amplasat la partea superioara traverse metalice pentru sprijinirea unui agregat de tip VOYAGER 304 STD cu puterea nominală de 309,1 kW, cu dimensiunile L=3810 mm; l=2105 mm, h=2203 mm și greutatea de 2639 kg, care are în componență patru compresoare de tip scroll și șase ventilatoare axiale pentru răcire – vezi Figura 5.1.
Utilajul pentru care a fost proiectata și executată structura metalică este prevăzut cu un șasiu care descarcă sarcinile concentrat în opt puncte în care sunt prevăzuți suporți metalici – vezi Figura 5.2.
Încărcările pentru calcul au fost urmatoarele:
greutatea structurii generata automat de program la care se adauga greutatea grătarelor pentru accesul și mentenanța chiler-ului 50 daN/m distribuita pe primele și ultimele două traverse;
încarcarea din utilaj 380 daN în nodurile centrale ale grinzilor cu zabrele;
încărcare utilă pentru mentenanta chiler-ului distribuită pe primele și ultimele două traverse 200 daN/m;
Dimensionarea grinzii cu zăbrele s-a facut conform SR EN 1993-1-1 “Proiectarea structurilor din otel”, dimensiunile rezultate în urma calculului sunt următoarele:
talpa inferioară și talpa superioară ale grinzilor cu zăbrele sunt confecționate din țeavă pătrata laminată la cald cu secțiunea 30×2mm;
montanți – țeavă pătrata laminată la cald cu secțiunea 20×2mm;
diagonalele – țeavă pătrata laminată la cald cu secțiunea 20×2mm;
montanții din capetele grinzilor cu zăbrele care îndeplinesc și rolul de stâlpi sunt confecționați din țeavă pătrata laminată la cald cu setiunea 40×2,5mm;
traversele sunt confecționate din profile laminate cu sectiunea U65;
Toate elemnetele au fost realizate din otel S235JR si sunt asamblate prin sudura executată pe toata suprafata de contact a pieselor, cu grosimea de 0,7×Tmin.
Agregatul de climatizare va fi așezat pe structura metalică și va fi prins de aceasta cu asamblări filetate.
În Fig. 5.3 este prezentată structura metalică în faza de proiect de execuție, iar în Fig. 5.4 este reprezentată structura metalică finalizată, în laboratorul în care s-au făcut măsurătorile.
Figura 5.3. Vedere de ansamblu a structurii metalice proiectate
Figura 5.4. Vedere de ansamblu a structurii metalice executate
In Fig.5.5 este prezentat modelul cu elemente finite pentru structura realizată și dimensiunile elementelor structurii. Sunt utilizate 4 tipuri de profile standardizate pentru a se obține structura.
Figura 5.5. Modelul cu bare pentru utilizarea MEF
Acest model este utilizat pentru calculul frecvențelor proprii pentru a putea fi apoi comparate cu frecvențele porprii determinate experimental.
Calculul modurilor proprii de vibrație
Se utilizează MEF pentru a determinarea frecvențelor proprii și a modurilor proprii de vibrație. Modelul utilizat pentru introducerea rezultatelor este prezentat în Fig.5.5. Sistemul mecanic este un sistem alcătuit din bare legate rigid între ele prin sudură. Structura conține 4 tipuri de grindă standardizate, cu lungimile indicate în figură. Pentru acest sistem se face un calcul al frecvențelor proprii de vibrație și a modurilor proprii de vibrație. Rezultatele obținute sunt prezentate în Fig.5.6-5.25. Se observă că avem de-a face cu două tipuri de moduri: moduri simetrice și moduri antisimetrice. Cele două tipuri de moduri se datoresc simetriei sistemului, așa cum a fost arătat în capitolul de contribuții. În figurile prezentate s-au prezentat, pentru fiecare frecvență proprie determinată, două vederi ale structurii pentru a putea observa mai bine modurile proprii corespunzătoare.
Figura 5.6. Modul 1
Figura 5.7. Modul 2
Figura 5.8. Modul 3
Figura 5.9. Modul 4
Figura 5.10. Modul 5
Figura 5.11. Modul 6
Figura 5.12. Modul 7
Figura 5.13. Modul 8
Figura 5.14. Modul 9
Figura 5.15. Modul 10
Figura 5.16. Modul 11
Figura 5.17. Modul 12
Figura 5.18. Modul 13
Figura 5.19. Modul 14
Figura 5.20. Modul 15
Figura 5.21. Modul 16
Figura 5.22. Modul 17
Figura 5.23. Modul 18
Figura 5.24. Modul 19
Figura 5.25. Modul 20
Aplicarea accelerometrelor. Pentru efectuarea măsurătorilor s-au utilizat metodele clasice cunioscute (Bratu et al 2017, Ciuncanu și Chiroiu 2016, Mocanu et al. 1977). Pentru a determina experimental spectrul de vibrații al structurii s-au aplicat acceleromete în diferite puncte, prezentate în Fig. 5.26-5.27.
Figura 5.26. Plasarea accelerometrelor
S-au aplicat semnale tip impuls cu ajutorul unui ciocan excitator și s-a cules semnalul care a dat răspunsul structurii la excitație. Rezultatele au fost înregistrate în punctele în care au fost așezate accelerometrele.
Figura 5.27. Plasarea accelerometrelor
Figura 5.28. Culegerea datelor măsurătorilor
Figura 5.29
Poziționarea schematică a accelerometrelor este indicată în Fig.5.29. S-au ales 6 puncte de plasare a accelerometrelor. În aceste puncte s-au determinat răspunsul în frecvență al structurii. O comparație între valorile calculate și cele măsurate este prezentată în Tabelul 1.
Tabelul 1
Rezultatele măsurătorilor efectuate pentru un număr de trei puncte sunt prezentate în cele ce urmează:
Situația 1. Punct de măsurare P1 (direcția X)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 2. Punct de măsurare P1 (direcția Y)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 3. Punct de măsurare P1 (direcția Z)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Toate rezultatele măsurătorilor sunt prezentate în anexă
Concluzii
În cadrul capitolului s-a utilizat MEF pentru calculul frecvențelor proprii și a modurilor proprii de vibrație pentru o structură reală, a unei instalații de răcire, realizate în fizic și încercată în cadrul Institutului de Cercetare al Universității Transilvania. Sistemul mecanic studiat este un sistem alcătuit din patru tipuri de bare standardizate legate rigid între ele prin sudură. Pentru sistemul prezentat și realizat fizic s-a făcut un calcul al frecvențelor proprii de vibrație și a modurilor proprii de vibrație. Rezultatele care s-au obținut au fost prezentate grafic în Fig.5.6-5.25. În figurile prezentate se poate constata că avem de-a face cu două tipuri de moduri de vibrație: moduri simetrice și moduri antisimetrice. Cele două tipuri de moduri sunt în conformitate cu proprietățile prezentate în cadrul lucrării de doctorat. S-au prezentat, pentru fiecare frecvență proprie determinată, două vederi ale structurii pentru a putea observa mai bine modurile proprii corespunzătoare.
S-au făcut apoi verificări experimentale pentru structura studiată pentru a vedea dacă valorile obținute coincid cu cele măsurate. S-au determinat frecvențele proprii după excitarea strcturii printr-un ciocan de impact, prin lovirea în diferite puncte. Măsurătorile accelerațiilor s-au făcut cu accelerometre plasate pe barele structurii. S-au făcut mai multe seturi de măsurători pentru a crește încrederea în rezultatele obținute. Rezultatele obținute în final au dat valori apropiate de valorile calculate, modelul utilizat dovedindu-se suficient de precis pentru obținerea unor rezultate corespunzătoare. Rezultă că rezultatele obținute în cadrul capitolului 4 sunt suficient de precise pentru a justifica concluziile obținute.
Capitolul 6
CONTRIBUȚII ORIGINALE, CONCLUZII, VALORIFICAREA REZULTATELOR ȘI DIRECȚII VIITOARE DE CERCETARE
Contribuții originale
Prezenta teza de doctorat își propune sa aducă contribuții în domeniul construcțiilor civile dar și al industriei constructoare de mașini în general. Ambele domenii sunt în plină dezvoltare în cadrul mai larg al ingineriei. Ca direcție principală de studiu în această teză a fost identificare unor proprități pe care le au la vibrații structurile alcătuite din bare, legate rigid între ele. Rezultatele acestor cercetări ar putea fi folosite în procesul de proiectare dar ar determina scăderea costurilor legate de realizarea și întreținerea unor astfel de structuri.
Problematica abordată în lucrare a fost puțin studiată unele lucrări în domeniu există iar importanța existenței elementelor repetitive sau a simetriilor în efectuarea unor calcule de rezistență a fost observată de multă vreme. Rezultatele obținute în cadrul tezei de doctorat sunt originale și se adaugă altor cercetări în acest domeniu.
În continuare punctez principalele contribuții originale pe care le-am adus în cadrul studiului de față:
Am făcut o analiză critică a cercetărilor în domeniu studiat și am identificat stadiul actual al cercetărilor. Domeniul este interdisciplinar și asta a făcut necesară studierea unor lucrări și a literaturii de specialitate din mecanică, analiza structurilor civile, matematică, metode numerice, metoda elemnentelor finite, încercări mecanice etc. În bibliografie am menționat literatura considerată mai sugestivă pentru tematica lucrării, aleasă dintr-o multitudine de lucrări, existente mai ales în domeniile conexe;
Am identificat direcții de cercetare noi în cadrul domeniului, care au fost apoi dezvoltate în cadrul lucrării, cuprinzând noi tipuri de structuri care nu au mai fost analizate în trecut în acest context;
După o atentă analiză a literaturii am ales cele mai potrivite metode pentru scrierea ecuațiilor de mișcare pentru sisteme cu simetrii pentru sistemele continue, s-au căutat metodele numerice cele mai potrivite de rezolvare a lor și de interpretarea calitativă;
Pentru problematica identificată în lucrare am identificat cele mai potrivite metode de calcul numeric pentru rezolvarea acestei problematici;
Am modelat matematic sistemele mecanice continue utilizând modele teoretice continue, utilizabile la sistemele mecanice cu bare legate rigid între ele;
Am făcut o modelare utilizând Metoda Elementelor Finite pentru o structură reală studiată, pentru a putea face o analiză numerică a stării de tensiune și deformații din structurile analizate;
Am studiat teoretic sistemele mecanice continue cu bare și am determinat unele proprietăți caracteristice;
Am analizat teoretic și experimental un sistem structural real, am realizat modelul matematic, calculul la vibrații și verificarea proprietăților evidențiate anterior în cadrul lucrării de doctorat;
Am proiectat experimental pentru sistemul structural real studiat pentru validarea rezultatelor teoretice obținute și determinarea pulsațiilor proprii;
Rezultatele obținute au fost diseminate prin publicarea rezultatelor în reviste indexate ISI și prin participarea la conferințe științifice naționale și internaționale;
Am identificat posibile viitoare direcții de cercetare și de dezvoltare a subiectului;
Au fost formulate concluzii și indicații pentru proiectanții de structuri mecanice.
Valorificarea și diseminarea rezultatelor
Pe parcursul pregatirii tezei de față au fost publicate 6 lucrări în tematica strictă a tezei, dintre care:
Lucrari indexate ISI (4 lucrări):
Vlase, S., Năstac, C., Marin, M., Mihălcică, M., A Method for the Study of the Vibration of Mechanical Bars Systems with Symmetries. ACTA TECHNICA NAPOCENSIS, Series: Applied Mathematics, Mechanics, and Engineering Vol. 60, Issue IV, November, 2017, p.539-545 (Vlase et al 2017)
Vlase, S., Itu, C., Vasile, O., Năstac, C., Stanciu, M.D., Scutaru, M.L., Vibration Analysis of a Mechanical System Composed by Two Identical Parts, RJAV nr.1, 2018 (în curs de apariție) (Vlase et al.)
Vasile O., Vlase S., Năstac C., Scutaru M.L., Experimental Analysis of a Mechanical System Composed by Two identical Parts. ACTA TECHNICA NAPOCENSIS. Series: Applied Mathematics, Mechanics, and Engineering, Vol. 61, Issue 2, June, 2018 (în curs de apariție) (Vasile et al 2018)
Cristi NĂSTAC, Arina MODREA, Adrian GLIGOR, Use of the Symmetries in Civil Engineering. An Overview. 12th International Conference Interdisciplinarity in Engineering, INTER-ENG 2018, Tirgu-Mures, Romania, Procedia Manufacturing (in curs de apariție 2018).(Năstac et al 2018)
Lucrări indexate Scopus (1 lucrare)
Vlase S. et al. (2018) Dynamic Analysis of the Reaction Chamber for the ELIADE Array. In: Herisanu N., Marinca V. (eds) Acoustics and Vibration of Mechanical Structures—AVMS-2017. Springer Proceedings in Physics, vol 198. Springer, Cham (Vlase et al 2018)
Articole BDI (1 lucrare)
Vlase, S., Mihălcică, M., Scutaru, M.L., Năstac, C., COUPLED TRANSVERSAL AND LONGITUDINAL VIBRATIONS OF A PLANE MECHANICAL SYSTEM WITH TWO IDENTICAL BEAMS. Ro. J. Techn. Sci. − Appl. Mechanics, Vol. 61, N° 3, pp. 271−284 , Bucharest, 2016 (Vlase et al 2016)
În domeniul INGINERIE MECANICĂ, domeniu în cadrul căruia este elaborată teza de doctorat, în această perioadă au fost publicate următoarele lucrări:
Lucrări indexate ISI (5 lucrări)
Brezeanu A.I., Dragomir G., Hornet M., Năstac C.D., Iordan N.F., Boeriu L., The Usage of Earth’s Natural Potential for Cooling and Heating in Industrial Building. Capitol in Sustainable Energy in the Built Environment – Steps Towards nZEB; Springer International Publishing ISBN: 978-3-319-09706-0 (2014) (Brezeanu et al 2014)
Hornet M., Năstac C.D., Dragomir G., Bolocan S.I., Iordan N.F., Boeriu L., Valorification of Renewable Ground Energy in a Building Heating. Capitol in Sustainable Energy in the Built Environment – Steps Towards nZEB; Springer International Publishing ISBN: 978-3-319-09706-0 (2014) (Hornet et al 2014)
Năstac C.D., Iordan N.F., Hornet M., Modeling air change rate in a naturally ventilated building. 17 International Multidisciplinary Scientific GeoConference SGEM 2017 – Energy and Clean Technologies, Issue 42. (Năstac et al 2017)
Iordan N.F., Năstac, C.D., Hornet M., Rainwater today, from source of disasters to recovered value. 17 International Multidisciplinary Scientific GeoConference SGEM 2017 – Science and Technologies in Geology, Exploration and Mining, Issue 12. (Iordan et al 2017)
Horatiu Teodorescu-Draghicescu, Daniel Scarlatescu, Sorin Vlase, Maria Luminita Scutaru, Cristian Nastac, Advanced high-density polyethylene used in pipelines networks. 11th International Conference Interdisciplinarity in Engineering, INTER-ENG 2017, 5-6 October 2017, Tirgu-Mures, Romania, Procedia Manufacturing, p 27-34 (2018) (Teodorescu-Drăghicescu et al. 2018).
Articole BDI (2 lucrări)
Horneț M., Todor R.D., Iordan N.F., Drăghici M., Năstac C.D., Mizgan, P., Thermo-aeraulic simulation of mono façade natural ventilation. EBUILT-2016, Iași, Advanced Engineering Forum Vol.21 – februarie 2017 (Hornet et al 2017a).
Horneț M., Todor R.D., Iordan N.F., Drăghici M., Năstac C.D., Mizgan, P., The Thermal and Optical Behavior of Multilayer Low-e Solar Control Glass Surfaces. EBUILT-2016, Iași, Advanced Engineering Forum Vol.21 – februarie 2017. (Hornet et al 2017b).
Testele și analizele efectuate în această perioadă au beneficiat de coordonare din partea unor specialiști în domeniu de la Universitatea TRANSILVANIA din Brașov și de la ICECON SA București, faptul acesta crescând calitatea rezultatelor obținute.
Direcții viitoare de cercetare
Lucrarea reprezintă o bază de plecare pentru viitoare cercetări ulterioare privind structurile mecanice cu simetrii utilizate în cadrul construcțiilor industriale. Pot fi luate în considerare și alte tipuri de simetrii precum și alte soluții constructive utilizate la construcții.
În cazul vibrațiilor forțate ale unor astfel de sisteme, puțin studiate în cadrul acestei lucrări, se constată că anumiți termeni ai ecuațiilor de mișcare se anulează. Ar fi interesant de studiat modul în care acest lucru ar putea determina scăderea solicitărilor în structură și, ca o aplicație importantă, dacă aceste soluții constructive ar putea scădea, în mod natural, solicitările mecanice în cazul unor evenimente cum ar fi de exemplu cutremurele.
Cercetări experimentale ar putea valida rezultatele obținute în urma cercetărilor teoretice și ar putea crește încrederea în soluțiile propuse.
BIBLIOGRAFIE
Ambrus C. (2014) Analiza dinamică a solicitărilor din ansamblul motor-transmisie al instalațiilor mobile de foraj de mare putere. Teză de doctorat, Universitatea TRANSILVANIA din Brașov.
Arnold, V.I. (1973) Ecuații diferențiale ordinare. Ed. Științifică și Enciclopedică, București.
Bellman, R.(1969) Introducere în analiza matriceală. Ed. Tehnică, Buc.
Bratu, P., Vibrațiile sistemelor elastice, Ed. Tehnică, 2000.
Bratu, P., Stuparu, A., Popa, S., Iacob, N., Voicu, O. (2017) The assessment of the dynamic response to seismic excitation for constructions equipped with base isolation systems according to the Newton-Voigt-Kelvin model. Acta Technical Napocensis, Series: Applied Mathematics, Mechanics, and Engineering Vol. 60, Issue IV, November, 2017, p.459.
Bratu, P., Drăgan, N. (2002) Modelarea dinamică a rigidului cu legături vâscoelastice lineare în regim forțat stabilizat. CNMS XXVI 2002, Brăila, p.221-226.
Brezeanu, A.I., Dragomir, G., Hornet, M., Năstac, D.C., Iordan, N.F., Boeriu, L. (2014) The Usage of Earth’s Natural Potential for Cooling and Heating in Industrial Building. Capitol in Sustainable Energy in the Built Environment – Steps Towards nZEB; Springer International Publishing ISBN: 978-3-319-09706-0.
Buzdugan, Gh., Fetcu, L., Rades, M. (1982) Vibrații mecanice. Ed. Did. si Ped., Bucharest, 1982.
Celep, Z. (1978) On the axially symmetric vibration of thick circular plates. Ingenieur-Archiv, Volume 47, Issue 6, p 411-420.
Ciuncanu, M., Chiroiu, V., On the post-earthquake damage detection of structures. Ro. J. Techn. Sci. Appl. Mechanics, Vol. 61, N 3, p. 189, Bucharest, 2016.
Chen, Y., Feng, J. (2012) Generalized Eigenvalue Analysis of Symmetric Prestressed Structures Using Group Theory. Journal of Computing in Civil Engineering. Vol 26, Issue 4, pp.488-497, DI 10.1061/(ASCE)CP.1943-5487.0000151, ISSN 0887-3801.
Chiru, A., Vlase, S., Ambrus, C., Nicoara, D., Pirna,I., Stanciu, A. (2009)
Vibration Analysis of a Heavy Truck with Two Identical Engines. Proceedings of the 13th International Conference: MODTECH 2009, p.143-146.
Demidovici, B., Maron,I. (1973) Elements de calcul numerique. Editions Moscou.
Den Hartog, J.P. (1960) Vibrations mecaniques, Paris, Dunod.
Douglas, Th. (2012) Structural Dynamics and Vibrations in Practice: An Engineering Handbook, CRC Press.
Gillich,G.-R., Praisach,Z.-I., Iavornic,C.M. (2012) Reliable method to detect and assess damages in beams based on frequency changes. ASME 2012 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. p. 129-137.
Gioncu, V., Ivan, M. (1983) Bazele calculului structurilor la stabilitate. Ed. Facla, Timișoara.
Goia, I., Vlase, S., Schwingungen symmetrischer mechanischer Systeme mit endlicher Anzahl von Freiheitsgraden. Buletinul Univ. din Brasov, Vol. XXIX-A, 1987, p.1-8.
Goia, I., Vlase, S., Absorbitori dinamici pentru sisteme ramificate cu simetrii. Bul. CIT, Brasov, 1988, p.151-156.
Goia, I., Mihalcica, V., Vlase, S., Die Schwingungen der U Motoren Kurbelwellen. A VI-a Conferinta de vibratii mecanice, Timisoara, 1988, p.164-174.
Henderson, J., Luca, R. (2016) Boundary Value Problems for Systems of Differential, Difference and Fractional Equations: Positive Solutions. Elsevier.
Holm, DD, Stoica C, Ellis, DCP (2009) Geometric Mechanics and Symmetry. Oxford University Press
Horn, RA, Johnson, ChR (1985) Matrix Analysis, Cambridge University Press.
Hornet, M., Năstac, D.C., Dragomir, G., Bolocan, S.I., Iordan, N.F., Boeriu, L. (2014) Valorification of Renewable Ground Energy in a Building Heating. Capitol in Sustainable Energy in the Built Environment – Steps Towards nZEB; Springer International Publishing ISBN: 978-3-319-09706-0.
Horneț, M., Todor, R.D., Iordan, N.F., Drăghici, M., Năstac, D.C., Mizgan, P. (2017a) Thermo-aeraulic simulation of mono façade natural ventilation. EBUILT-2016, Iași, Advanced Engineering Forum Vol.21 – februarie 2017.
Horneț, M., Todor, R.D., Iordan, N.F., Drăghici, M., Năstac, D.C., Mizgan, P. (2017b) The Thermal and Optical Behavior of Multilayer Low-e Solar Control Glass Surfaces. EBUILT-2016, Iași, Advanced Engineering Forum Vol.21 – februarie 2017
Iordan, N.F., Năstac, D.C., Hornet, M. (2017) Rainwater today, from source of disasters to recovered value. 17 International Multidisciplinary Scientific GeoConference SGEM 2017 – Science and Technologies in Geology, Exploration and Mining, Issue 12.
Ivan, M. (1985) Bazele calcului liniar al structurilor. Ed. Facla, Timișoara.
Landau,L., Lifchitz,E. (1967) Théorie de l´élasticité. Editions Mir, Moscou.
Mangeron, D. (1962) Mecanica vibrațiilor, în Fundamentele mecanicii. Ed. Academiei, București.
Mangeron, D., Goia, I., Vlase, S., Symmetrical Branched Systems Vibrations. Scientific Memoirs of the Romanian Academy, Bucharest, Serie IV, Tom XII, Nr.1, 1991,p.232-236.
Marsden, JE, Ratiu, TS (2003) Introduction to Mechanics and Symmetry: A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems. 586 p., ISBN-13: 978-0387986432, Springer
Meirovitch, L., Principles and Techniques of Vibrations. Pearson (1996).
Meirovitch, L (1970) Elements of Vibration Analysis. 2nd ed., McGraww-Hill, New York
Mocanu, R.D., ș.a. (1977) Analiza experimentală a tensiunilor. Vol.I,II, Editura Tehnică, București.
Myint-U, T (1977) Ordinary differential equations, Elsevier
Năstac, D.C.,Modrea, A., Gligor, A., Use of the Symmetries in Civil Engineering. An Overview. 12th International Conference Interdisciplinarity in Engineering, INTER-ENG 2018, Tirgu-Mures, Romania, Procedia Manufacturing (in curs de apariție 2018).
Năstac, D.C., Iordan, N.F., Hornet, M. (2017) Modeling air change rate in a naturally ventilated building. 17 International Multidisciplinary Scientific GeoConference SGEM 2017 – Energy and Clean Technologies, Issue 42.
Negrean, I. (2017a) Advanced notions in analytical dynamics of systems. Acta Technical Napocensis, Series: Applied Mathematics, Mechanics, and Engineering Vol. 60, Issue IV, November, 2017, p. 491.
Negrean, I. (2017b) Mass distribution in analytical dynamics of systems. Acta Technical Napocensis, Series: Applied Mathematics, Mechanics, and Engineering Vol. 60, Issue II, June, 2017, p.175.
Paliwal, D.N., Pandey, R.K. (1996) Free vibrations of circular cylindrical shell on Winkler and Pasternak foundations. International Journal of Pressure Vessels and Piping, Volume 69, Issue 1, p. 79-89.
Rades, M. (2010) Mechanical Vibrations, II. Ed. PRINTECH.
Rădoi, M., Deciu, E. (1981) Mecanica. Ed. Didactică și Pedagogică, Buc.
Ripianu, A. (1960) Determinarea pulsațiilor proprii corespunzătoare vibrațiilor de torsiune a arborilor cotiți. St. Cerc. Mec. Apl., Buc., 1960, nr.4.
Shi, C.Z., Parker, R.G. (2013) Modal structure of centrifugal pendulum vibration absorber systems with multiple cyclically symmetric groups of absorbers. Journal of Sound and Vibration. ISSN 0022-460X, DI 10.1016/j.jsv.2013.03.009.
Singer, S.F. (2004) Symmetry in Mechanics, ISBN 978-1-4612-0189-2, Springer
Silaș, Gh. (1968) Mecanica: Vibrații mecanice. Editura didactică și pedagogică, București
Silaș, Gh., ș.a. (1967, 1973) Culegere de probleme de vibrații mecanice. Buc., Ed. Tehnică, vol.I, 1967, vol.II.,1973.
Șabac, I.Gh. (1981) Matematici speciale, Ed. Didactică și Pedagogică, București.
Teodorescu-Draghicescu, H., Scarlatescu, D., Vlase, S., Scutaru, M.L. Năstac, D.C., (2018) Advanced high-density polyethylene used in pipelines networks. 11th International Conference Interdisciplinarity in Engineering, INTER-ENG 2017, 5-6 October 2017, Tirgu-Mures, Romania, Procedia Manufacturing, p 27-34.
Timoshenko, S., Zoung, D.H. (1955) Vibration Problems in Engineering. Van Nastrand Company.
Timoshenko, PS, Gere, JM (2009) Theory of elastic stability, McGraw-Hill, New York, London, 2nd Edition
Tofan, M., Vlase, S. (1985), Vibrații sistemelor mecanice. Ed. Universității Transilvania.
Vasile, O., Vlase, S., Năstac, D.C., Scutaru, M.L., Experimental Analysis of a Mechanical System Composed by Two identical Parts. ACTA TECHNICA NAPOCENSIS. Series: Applied Mathematics, Mechanics, and Engineering, Vol. 61, Issue 2, June, 2018 (în curs de apariție)
Vâlcovici, V., Bălan, St., Voinea, R. (1963) Mecanică teoretică. Ed. Tehnică, București
Vlase, S (1987a) A Method of Eliminating Lagrangean Multipliers from the Equation of Motion of Interconnected Mechanical System. ASME Transaction. Journal of Applied Mechanics, Vol. 54, p.235-236
Vlase, S (1987b) Elimination of Lagrangean Multipliers. Mech. Research Communications, Vol. 14, p.17-20
Vlase, S. (2003) The Vibration of the Mechanical Systems showing Certain Symmetries. The Annals of the Oradea University, vol. II (XII), p.37, mai, 2003, ISSN – 1583 – 0691.
Vlase, S., Goia, I., Modrea, A., Use of the Symmetries for Vibrational Analysis of the ROMAN 8135 Truck. Annual Session of Scientific Papers, IMT-Oradea, 27-28 mai, 2004, în Analele Universității din Oradea.
Vlase, S. (2005) Some properties of the Eigenvalues and Eigenvectors of the Elastic Systems with Three Identical Parts. Proceeding of the ASVM Conference, ISBN 973-625-238-8, Timișoara, p.227-231, 2005.
Vlase, S. (2012) Dynamical response of a multibody system with flexible elements with a general three-dimensional motion. Romanian Journal of Physics, VL 57,IS 3-4, p676-693,2012.
Vlase, S., Cândea, I., Mihălcică, V., Ambruș,C. (2009) Vibration of the transmission of a truck with two identical engines. Proceedings of the 3rd International Conference EpsMsO, Athens, Greece, 8-11 July.
Vlase, S., Chiru, A. (2009) Symmetry in the study of the vibration of some engineering mechanical systems. Proceedings of the 3rd International Conference 3rd International Conference EpsMsO, Athens, Greece, 8-11 July, 2009.
S. Vlase, Gh. Deliu, Modrea, A., M. Deliu, Some Properties of Symmetric Flexible Multi-Body Systems. 5-th Euromech Solid Mechanics Conference, ESMC, Thessaloniki,17-22 august, 2003, Grecia, p.398. ISSN 0997-7538.
Vlase, S., Itu, C., Vasile, O., Năstac, D.C., Stanciu, M.D., Scutaru, M.L. (2018) Vibration Analysis of a Mechanical System Composed by Two Identical Parts, RJAV nr.1, 2018 (în curs de apariție)
Vlase, S, Păun, M (2015) Vibration analysis of a mechanical system consisting of two identical parts, Ro. J. Techn. Sci. -Appl. Mechanics, 60, 3, pp. 216-230, Bucharest
Vlase, S., Marin, M., Oechsner, A. (2017a) Considerations of the transverse vibration of a mechanical system with two identical bars. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers. Part L: Journals of Materials: Design and Applications, november, 2017, doi.org/10.1177/ 1464420717745109
S. Vlase, M. Marin, M. L. Scutaru, and R. Munteanu (2017b) Coupled transverse and torsional vibrations in a mechanical system with two identical beams. AIP Advances 7, 065301 (2017); doi: 10.1063/1.4985271
Vlase, S., Mihălcică, M., Scutaru, M.L., Năstac, D.C. (2016) Coupled transversal and longitudinal vibrations of a plane mechanical system with two identical beams, Ro. J. Techn. Sci. Appl. Mechanics, Vol. 61, N 3, p. 276.
Vlase, S., Năstac, D.C., Marin, M., Mihălcică, M. (2017) A method for the study of the vibration of mechanical bars systems with symmetries. Acta Technical Napocensis, Series: Applied Mathematics, Mechanics, and Engineering Vol. 60, Issue IV, November, p.539.
Vlase, S., Teodorescu, P. P. (2013) Elasto-dynamics of a solid with a general "rigid" motion using FEM model. Part I. Theoretical approach. Romanian Journal of Physics, VL 58,IS 7-8, p.872-881, 2013.
Vlase, S., Borza, P.N., Suliman, G., Petcu, C., Scutaru, M.L., Ghițescu, M., Năstac, D.C, (2018) Dynamic Analysis of the Reaction Chamber for the ELIADE Array. In: Herisanu N., Marinca V. (eds) Acoustics and Vibration of Mechanical Structures—AVMS-2017. Springer Proceedings in Physics, vol 198. Springer, Cham
Voinea, R., Voiculescu, D., Ceaușu, V. (1976) Elasticitate și plasticitate, I.P. București.
Voinea, R., Voiculescu, D., Ceaușu, V. (1984) Mecanica. Ed. Didactică și Pedagogică, Buc.
Zingoni, A (2005a) On the symmetries and vibration modes of layered space grids. Engineering Structures 27:629–638
Zingoni, A (2005b) A group-theoretic formulation for symmetric finite elements. Finite Elements in Analysis and Design, 41: 615 – 635
Zingoni, A (2012a) A group-theoretic finite-difference formulation for plate eigenvalue problems. Computers and Structures. 94–95, 34–44
Zingoni, A (2012b) Symmetry recognition in group-theoretic computational schemes for complex structural systems. Computers & Structures, Vol. 94–95, pp 34-44
Zingoni, A (2012c), Group-theoretic exploitations of symmetry in computational solid and structural mechanics. Int. J. Numer. Meth. Engng.2009, 79:253–289
Zingoni, A (2014) Group-theoretic insights on the vibration of symmetric structures in engineering. Phil. Trans. R. Soc. A, Mathematica, Physical and Engineering Science, vol.372
1.*** https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_Gate_Bridge
2.*** http://onthreelegs.com/2012/03/19/happy-birthday-sydney-harbour-bridge
3.*** https://www.youtube.com/watch?v=8A8oa8hyLew
4.*** https://imgur.com/gallery/yREBnAu
5.***https://rockartfashion.net/2016/09/25/elmgreen-dragset-present-la-gallerie-perrotin-at-grand -palais-paris
6.***https://www.libertatea.ro/stiri/alesii-vor-un-nou-drapel-national-pe-palatul-parlamentului-1955187
7.***https://www.osengines.com/engines-airplane/osmg1307/index.html
8.***https://playtech.ro/2018/avion-prabusit-rusia
9.*** Mechanics and symmetry in europe: the geometry and dynamics of deformable systems. Project. HPRN-CT-2000-00113, Funded under: FP5-HUMAN POTENTIAL, University of Surrey, United Kingdom, Centre National de la Reserche Scientifique, France, Instituto Superior Tecnico, Portugal, Swiss Federeal Institute of Technology of Nottingham, Switzerland, Universita degli studi di Padova, Italy, University of Nottingham, United Kingdom, Universite du Litoral, France, Utrecht University, Netherlands
10.*** "Civil Engineering and Symmetry" – 2018, A special issue of Symmetry (ISSN 2073-8994).
11.*** Ganghoffer, J-F, Mladenov,I (organizers), Similarity, Symmetry and Group Theoretical Methods in Mechanics, September 7, 2015 — September 11, 2015. Lectures at the International Centre for Mechanical Sciences
12*** http://nptel.ac.in/downloads/105101085/
ANEXE
Rezultatele măsurătorilor efectuate
Situația 1. Punct de măsurare P1 (direcția X)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 2. Punct de măsurare P1 (direcția Y)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 3. Punct de măsurare P1 (direcția Z)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 4. Punct de măsurare P2 (direcția X)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 5. Punct de măsurare P2 (direcția Y)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 6. Punct de măsurare P2 (direcția Z)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 7. Punct de măsurare P3 (direcția X)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 8. Punct de măsurare P3 (direcția Y)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 9. Punct de măsurare P3 (direcția Z)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 10. Punct de măsurare P4 (direcția X)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 11. Punct de măsurare P4 (direcția Y)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 12. Punct de măsurare P4 (direcția Z)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 13. Punct de măsurare P5 (direcția X)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 14. Punct de măsurare P5 (direcția Y)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 15. Punct de măsurare P5 (direcția Z)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 16. Punct de măsurare P6 (direcția X)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 17. Punct de măsurare P6 (direcția Y)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Situația 18. Punct de măsurare P6 (direcția Z)
Setări semnal analizat:
ACCELERAȚIE (m/s2)
VITEZĂ (mm/s)
Diagramele de variație în timp (stânga) și diagramele spectrale (dreapta)
pentru parametrii accelerație și viteză ai vibrațiilor în punctul de măsurare
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Teza Tot 23.04.2018 1,5 [308011] (ID: 308011)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.