Teza de Doctorat [616080]

Universitatea Babes -Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematic a s i Informatic a
Teza de Doctorat
Rezumat
Aproximare prin Operatori Integrali Liniari
 si Neliniari de Variabile Reale  si Complexe
Doctorand: [anonimizat] ator  stiint ic:
Prof. univ. dr. Sorin Gal
Cluj-Napoca
2018

2

Cuprins
1 Descriere general a a domeniului de cercetare 5
2 Aproximare prin operatori neliniari integrali 13
2.1 Erori cantitative in cazul Durrmeyer-Choquet . . . . . . . . 13
2.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Estim ari punctuale  si uniforme . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4 Cazuri particulare de operatori . . . . . . . . . . . . 23
2.1.5 Exemple ce imbun at at esc estim arile clasice . . . . . . 29
2.1.6 Aproximare cantitativ a ^ n spat iul Lp. . . . . . . . . 32
2.2 Aproximare ^ n Lpcu tipuri Kantorovich-Choquet . . . . . . 40
2.3 Aproximare prin operatori posibilistici integrali . . . . . . . 46
2.3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 Schema lui Feller posibilistica . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.3 Aproximare prin operatori de convolutie posibilistici . 50
3 Ordin arbitrar prin operatori integrali pe R+ 53
3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Operatori Baskakov-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Operatori Sz asz-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3

4 CUPRINS
3.4 Operatori de tip Sz asz-Durrmeyer . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5 Operatori Baskakov-Sz asz-Durrmeyer-Stancu . . . . . . . . . 68
4 Ordin arbitrar cu operatori Kantorovich ^ n C 75
4.1 Mult imi compacte simplu conexe: Preliminarii . . . . . . . . 76
4.2 Operatori Baskakov-Kantorovich-Faber . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Operatori Sz asz-Kantorovich-Faber . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 Mult imi compacte multiplu conexe : Preliminarii . . . . . . 85
4.5 Operatori Baskakov-Kantorovich-Walsh . . . . . . . . . . . . 91
4.6 Operatori Sz asz-Kantorovich-Walsh . . . . . . . . . . . . . . 96
Bibliograe 100

Cap. 1
Descriere general a a
domeniului de cercetare
^In aceast a tez a, doresc s a prezint rezultatele pe care le-am obt inut ca  si
co-autor  si ca  si unic autor, privind aproximarea funct iilor reale si complexe
prin operatori integrali, adic a prin operatori in a c aror expresii apar diverse
integrale relative la funct ia de aproximat.
Teoria Aproxim arii a ap arut ^ n secolul al 18-lea ca  si o important a com-
ponent a a Analizei Matematice.
Ea const a din aproximarea unor elemente complicate ale unui spat iu (^ n
general spat iu de funct ii), cu elemente simple din punct de vedere calcu-
latoriu (de exemplu polinoame algebrice sau trigonometrice, polinoame pe
portiuni, funct ii spline,  si a sa mai departe), cu indicarea at^ t calitativ a c^ t
 si cantitativ a a erorilor de aproximare, ^ n termenii K-funct ionalelor  si a
modulelor de netezime.
Cronologic vorbind, ^ n 1895, Karl Weierstrass a obt inut primul rezultat
de aproximare, conform cu urm atoarea teorem a.
Theorema I. Pentru orice f: [a;b]!Rcontinu a pe [a;b], exist a un
5

6CAP. 1. DESCRIERE GENERAL A A DOMENIULUI DE CERCETARE
sir de polinoame algebrice, Pmn(x) =a0xmn+:+amn1x+amn, astfel ^ nc^ t
(pentrum!1 ,Pmn(x)!f(x), ^ n mod uniform pe [a;b].
De asemenea, Weierstrass a obt inut  si un rezultat analog pentru aprox-
imarea cu polinoame trigonometrice.
^In 1912, prima demonstrat ie constructiva a Teoremei I a fost obt inut a
de c atre S. N. Bernstein, care a demonstrat c a ^ n prezent a sa numitele
polinoame Bernstein date de formula
Bn(f)(x) =nX
k=0n
k
xk(1x)nkf)k=n);
converg la orice funct ie continu a f, ^ n mod uniform ^ n [0 ;1].
^In 1942, Tiberiu Popoviciu a obt inut urm atoarea estimare a erorii
jBn(f)(x)f(x)j3
2!1(f; 1=pn);8×2[0;1];n2N;
ceea ce reprezint a primul rezultat cantitativ ^ n aproximare cu polinoame de
tip Bernstein.
Aici, am notat cu !1(f;) = supfjf(x)f(y)j;x;y2[0;1];jxyjg,
modulul de continuitate al lui f.
^In paralel cu aproximarea prin polinoame algebrice, a fost dezvoltat a
 si aproximarea cu polinoame trigonometrice a funct iilor continue  si 2 pe-
riodice, primul rezultat ind obt inut in 1900 de c atre Leopold Fej er, care
a ar atat c a media aritmetic a a primelor n-sume Fourier part iale ata sate
funct ieif:R!R, 2periodic a  si continu a pe R, converge uniform la f
peR.
Apoi, ^ n 1911, D. Jackson a obt inut primul rezultat cantitativ din aprox-
imarea trigonometrica, demonstr^ nd c a dac a f:R!Reste continu a  si 2 
periodic a, se poate construi un  sir de polinoame trigonometrice numite ^ n
prezent polinoamele lui Jackson, care aproximeaza funct ia fcu ordinul de

7
aproximare !2(f; 1=n), unde!2(f;) = supfjf(x+h)2f(x)+f(xh)j; 0
h;x2Rg.
Ca o generalizare ale rezultatelor anterior ment ionate, ^ ncep^ nd cu anii
1950  si p^ na ^ n zilele noastre, o foarte important a direct ie ^ n aproximarea
funct iilor a fost dezvoltat a sub numele de teoria lui Korovkin (sau Popoviciu-
Korovkin, sau Bohman-Korovkin), ocup^ ndu-se cu aproximare cu variat i
operatori liniari  si pozitivi.
Aici putem ment iona contribut iile clasice aduse de Bohman, Popoviciu,
Korovkin, Shisha-Mond  si mult i alt ii. Aceste rezultate spun, ^ n esent  a,
c a ind dat un  sir de operatori liniari  si pozitivi ( Ln(f))n2N, pentru a
uniform convergent pe [ a;b] la funct ia continu a f, este sucient s a veric am
c aLn(ek)!ek, pentruk= 0;1  si 2, uniform pe [ a;b], undeek(x) =xk.
^In cazul aproxim arii funct iilor complexe de o variabil a complex a prin
polinoame sau funct ii ^ ntregi, putem ment iona, de exemplu, contribut iile
clasice aduse de c atre Carleman, M untz-Sz asz, Faber, Runge, Walsh, Mer-
gelyan, Arakelian  si mult i alt ii.
Aceast a tez a am ^ mp art it-o ^ n patru capitole.
^In prezentul capitol 1, dup a introducerea de mai sus, descriem pe scurt
continutul tezei.
Astfel,^ n Capitolul 2 cu titlu "Aproximare cu operatori integrali neliniari"
ideea principal a const a ^ n ^ nlocuirea integralei Lebesgue din formulele unor
operatori integrali liniari, cu integrale care nu sunt liniare. Apoi, se studiaz a
propriet at ile de aproximare bune ale operatorilor obt inuti.
Acest capitol are trei sect iuni.
^In sect iunea ^ nt^ i "Erori cantitative in cazul Durrmeyer-Choquet", ^ n
expresia polinoamelor clasice Bernstein-Durrmeyer, integrala Lebesgue este
^ nlocuita de c atre integrala neliniara Choquet bazat a pe funct ii de mult imi

8CAP. 1. DESCRIERE GENERAL A A DOMENIULUI DE CERCETARE
care nu sunt neap arat num arabil aditive. ^In acest mod, obt inem opera-
tori de aproximare neliniari. Pentru aproximarea punctual a  si uniform a,
obt inem estim ari cantitative ale erorii de aproximare ^ n termenii modulu-
lui de continuitate. ^In plus, se obt ine  si estimarea erorii de aproximare ^ n
spat iulLp, 1p < +1^ n raport cu anumite LpK-funct ionale. Pentru
alegeri particulare de funct ii de mult ime submodulare, se obt in rezultate
concrete. Posibilitatea de alegere variat a a funct iilor de mult ime submod-
ulare, ne permite obt inerea de estim ari de aproximare mai bune dec^ t ^ n
cazurile clasice.
^In sect iunea a doua ^ ntitulat a "Aproximare ^ n Lpcu tipuri Kantoro-
vich-Choquet", se ocup a cu aproxim ari cantitative ^ n norma din spat iul
Lp, cu estimarea erorii obt inut a ^ n termenii unei K-funct ionale pentru poli-
noamele Bernstein-Kantorovich-Choquet, complet^ nd astfel estim arile cali-
tative punctuale  si uniforme ^ n termenii modulului de continuitate obt inute
^ n lucrarea Gal [34].
^In a treia sect iune a capitolului, ^ ntitulat a "Aproximare prin operatori
posibilistici integrali", reconsider am schema lui Feller care genereaz a oper-
atori de aproximare liniari, pozitivi, prin ^ nlocuirea integralei Lebesgue cu
o integral a neliniar a numit a integral a posibilistic a. Acest fapt permite con-
struires de operatori de aproximare neliniari, cu bune propriet at i ^ n aprox-
imare , operatori ^ ncluz^ nd operatorii max-produs studiat i de B. Bede, L.
Coroianu, S.G. Gal ^ n numeroase lucrari (vezi de asemenea monograa de
cercetare [5] publicat a la Springer).
De asemenea, se obt in propriet at i cantitative de aproximare pentru
anumit i operatori posibilistici de convolut ie obt inut i prin schema lui Feller.
^In Capitolul 3 ^ ntitulat "Ordin arbitrar prin operatori liniari integrali
peR+", plec^ nd de la un  sir n>0,n2N, converg^ nd la zero arbi-

9
trar de rapid, construim  siruri de operatori Baskakov-Kantorovich, Sz asz-
Kantorovich, Sz asz-Durrmeyer, Sz asz-Durrmeyer-Stancu  si Baskakov-Sz asz-
Durrmeyer-Stancu, converg^ nd la funct ia aproximata f: [0;1)!R si
av^ nd ordinul de aproximare !1(f;pn).
De asemenea, aceste rezultate au  si un caracter unicator, pentru c a
pentru variate alegeri ale nodurilor n, se pot reobt ine rezultate anterioare
obt inute de c atre alt i autori.
^In Capitolul 4 ^ ntitulat "Ordin arbitrar cu operatori liniari Kantorovich
^ nC", aplic am ideile din Capitolul 3 la cazul aproxim arii funct iilor analitice
de o variabil a complex a ^ n submult imi compacte simplu sau multiplu conexe
dinC, prin operatori complec si Kantorovich-Faber de tip Baskakov  si de tip
Sz asz,  si prin operatori Kantorovich-Walsh de tip Baskakov  si Sz asz.
Prin urmare, consider^ nd un  sir n>0,n2N, converg^ nd la zero
arbitrar de rapid, construim aceste  siruri de operatori ata sati unei funct ii
analitice de o anumita cre stere exponential a ^ n mult imi compacte simplu
sau multiplu conexe, care aproximeaz a fcu ordinulO(n).
Acest capitol are  sase sect iuni. Primele trei sect iuni se ocup a cu aproxi-
marea^ n mult imi compacte simplu conexe prin operatori Kantorovich-Faber
de tip Baskakov  si Sz asz, ^ n timp ce urmatoarele trei sect iuni se ocup a cu
aproximarea^ n compacte multiplu conexe prin operatori Kantorovich-Walsh
de tip Baskakov  si Sz asz.
Concluzion^ nd, rezultatele obt inute ^ n tez a au fost obt inute de c atre
autor ^ n colaborare cu Sorin Gal, Lucian Coroianu  si Bogdan Opris, sau ca
 si unic autor, ^ n 6 lucrari, publicate de c atre revistele de mai jos :
1) Coroianu, Lucian ; Gal, Sorin G. ; Opri s, Bogdan D.; Trifa, Sorin ,
Feller's scheme in approximation by nonlinear possibilistic integral opera-
tors,Numerical Functional Analysis and Optimimization , 38 (2017),

10CAP. 1. DESCRIERE GENERAL A A DOMENIULUI DE CERCETARE
No. 3, 327-343. (IF ISI pe 2017 : 0.852 , SRI pe 2017 : 0.623 ).
2) Gal, Sorin G. ; Trifa, Sorin , Quantitative estimates in uniform
and pointwise approximation by Bernstein-Durrmeyer-Choquet operators,
Carpathian Journal of Mathematics , 33 (2017), no. 1, 49 – 58. (IF ISI
pe 2017 : 0.788 , SRI on 2017 : 0.351 ).
3) Gal, Sorin G. ; Trifa Sorin , Quantitative estimates in Lp-approxima-
tion by Bernstein-Durrmeyer-Choquet operators with respect to distorted
Borel measures, Results in Mathematics , 72 (2017), no. 3, 1405-1415.
(IF ISI pe 2017 : 0.969 , SRI on 2017 : 0.667 )
4)Trifa, Sorin , Approximation with an arbitrary order by generalized
Kantorovich-type and Durrmeyer-type operators on [0 ;+1),Studia Uni-
versitatis "Babes-Bolyai", series mathematics , vol. 62, no. 4 (2017),
485-500. (B+journal, recenzat in Mathematical Reviews si Zentralblatt f ur
Mathematik)
5)Trifa, Sorin , Approximation of analytic functions with an arbitrary
order by Baskakov-Kantorovich-Faber and Sz asz-Kantorovich-Faber oper-
ators in compact sets, Analele Universitatii din Oradea, fascicola
mathematica , vol. 25 , no. 1, (2018), 181-186. ( B+journal, recenzat
in Mathematical Reviews and Zentralblatt f ur Mathematik)
6) Gal, Sorin G. ; Trifa, Sorin , Quantitative estimates in Lp-approxi-
mation by Kantorovich-Choquet operators with respect to distorted Borel
measures, trimisa spre publicare.
Mai in detaliu, rezultatele originale din tez a sunt urm atoarele :
Capitolul 2. Teorema 2.1.6 a fost publicat a ^ n lucrarea [41] .
Teorema 2.1.8 este nou a  si apare pentru prima dat a ^ n teza. Lema 2.1.9
 si Exemplul 2.1.1 au fost publicate ^ n [41] .
Examplele 2.1.12  si 2.1.13 au fost publicate ^ n lucrarea [41] .

11
Teorema 2.1.16, Observat ia 2.1.17  si Corolarul 2.1.18 au fost publicate
^ n [42] .
Teorema 2.2.2  si Observat ia 2.2.3 au fost publicate ^ n [43] .
Teoremele 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5  si 2.3.6 au fost publicate ^ n [15] .
Capitolul 3. Lema 3.2.1, Teorema 3.2.2, Corolarul 3.2.3, Lema 3.3.1,
Teorema 3.3.2, Corolarul 3.3.3, Lema 3.4.1, Teorema 3.4.2, Corolarul 2.4.3,
Lema 3.4.4, Teorema 3.4.5, Corolarul 3.4.6, Lema 3.5.1, Teorema 3.5.2  si
Corolarul 3.5.3, au fost publicate ^ n lucrarea [57] .
Capitolul 4. Denit ia 4.1.1, Teorema 4.1.2, Lema 4.2.1, Teorema 4.2.2
 si Teorema 4.3.1 au fost publicate ^ n lucrarea [58] .
Denit ia 4.4.2, Teorema 4.5.2  si Teorema 4.6.1 sunt noi  si apar pentru
prima dat a ^ n tez a.
Cuvinte cheie : funct ie de mult ime monoton a  si submodular a, in-
tegrala Choquet, operator Bernstein-Durrmeyer-Choquet, operator Kanto-
rovich-Choquet, estim ari cantitative punctuale, uniforme  si ^ n spat ii Lp,
modul de continuitate, K-funct ionale, integrala neliniara posibilistic a, op-
eratori Picard posibilistici Picard, Gauss-Weierstrass  si Poisson-Cauchy,
operatori generalizat i Baskakov-Kantorovich, Baskakov-Durrmeyer, Sz asz-
Durrmeyer de variabil a real a, operatori liniari  si pozitivi, ordin arbitrar de
aproximare, operatori complec si Baskakov-Kantorovich-Faber, Sz asz-Kan-
torovich-Faber, Baskakov-Kantorovich-Walsh  si Sz asz-Kantorovich-Walsh,
compact simplu conex, compact multiplu conex, polinoame Faber, poli-
noame Faber-Walsh.
Imi exprim ad^ nca recuno stint  a domnului profesor dr. Sorin G. Gal,
pentru spijinul constant acordat la elaborarea acestei teze.

12CAP. 1. DESCRIERE GENERAL A A DOMENIULUI DE CERCETARE

Cap. 2
Aproximare prin operatori
neliniari integrali
^In acest capitol deducem estim ari cantitative ^ n aproximare cu operatori in-
tegrali, ^ nlocuind integrala liniar a clasic a cu integrala neliniar a Choquet  si
cu integrala neliniar a posibilistic a. Capitolul este alcatuit din trei sect iuni
: ^ n sect iunea ^ nt^ i studiem operatorii Bernstein-Durrmeyer-Choquet, ^ n
a doua sect iune studiem operatorii Kantorovich-Choquet, iar ^ n a treia
sect iune studiem operatori posibilistici.
2.1 Erori cantitative in cazul Durrmeyer-Cho-
quet
Aici studiem operatorii Bernstein-Durrmeyer multivariat i de d-variables,
Mn;, cu integralele considerate ^ n termenii unei -m asuri(Borel sau
Lebesgue) denit a pe simplexul d-dimensional, ^ nlocuite cu integrale Cho-
quet ^ n raport cu o familie de funct ii de mult imi monotone  si submodulare
13

14CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
n;x,n2N,x2Sd. Noii operatori sunt neliniari  si generalizeaz a opera-
torii liniari Bernstein-Durrmeyer. Pentru ace sti operatori, care pot  numit i
operatori Bernstein-Durrmeyer-Choquet, obt inem rezultate de aproximare
cantitative uniforme sau punctuale  si ^ n spat iul Lp, ^ n termenii modulului
de continuitate  si ai unor K-funct ionale.
De asemenea, ^ n cazul unidimensional, se prezint a  si anumite exemple
concrete care imbun at at esc ordinele de aproximare.
2.1.1 Introducere
Consider am simplexul clasic ^ n Rd
Sd=f(x1;:::;xd); 0x1;:::;xd1;0x1+:::+xd1g:
^Intr-o lucr arile [6], [7], au fost obt inute rezultate calitative privind convergent a
uniform a  si ^ n spat iul Lp(^ n mod respectiv) a lui Mn;(f)(x) c atre funct ia
f(x) (c^ ndn!1 ), undeMn;(f)(x) noteaz a operatorul liniar Bernstein-
Durrmeyer de d-variabile, ^ n raport cu o m asur a Borel marginit a :Sd!
R+, denit prin
Mn;(f)(x)
=X
jj=nR
Sdf(t)B(t)d(t)R
SdB(t)d(t)
B(x) :=X
jj=nc(;)
B(x); x2Sd; n2N;
(2.1)
cu notat iile = (0;1;:::;n), cuj0 pentruj= 0;:::;n ,jj=0+
1+:::+n=n si
B(x) =n!
0!
1!
:::
n!(1x1x2:::xd)0
x1
1
:::
xd
d
:=n!
0!
1!
:::
n!
P(x):

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 15
Rezultatele de tip calitativ din [6] asupra convergentei uniforme, au fost
extinse ^ n [40] ^ n cadrul mai general c^ nd este o funct ie de mult imi mono-
ton a, m arginit a, submodular a pe Sdiar integralele din formula (2.1), sunt
integrale Choquet denite cu ajutorul lui .
Mai jos s a descriem pe scurt aceste rezultate calitative.
FieBSdP(Sd),-algebra submult imilor m asurabile Borel  si :BSd!
[0;+1) o funct ie de mult imi normalizat a, monoton a, submodular a pe BSd.
Spunem ca este strict pozitiv a, cu condit ia ca (A\Sd)>0, pentru
ecare mult ime deschis a ARncuA\Sd6=;.
Suportul m asurii de mult ime , notatsupp(), este denit astfel :
supp =fx2Sd;(Nx)>0;8Nx2BSdvecinatate deschis a a lui x g:
S a not am cu C+(Sd) =ff:Sd![0;+1) :feste continu ag si cu
L1
(Sd), spat iul tuturor funct iilor f, cu valori reale  si BSd-m asurabile, cu
proprietatea c a exist a ESd(ce depinde de f), cu(E) = 0  si pe SdnE,
feste m arginit a.
Este de notat aici c a nu se pierde generalitatea prin condit ia de nor-
malizare asupra lui , iar condit ia supp()n@Sd6=;, ne garanteaza faptul
c a (C)R
SdB(t)d(t)>0, pentru orice B.
Primul rezultat calitativ cunoscut prive ste aproximarea uniform a.
Teorema 2.1.1. (Gal-Opri s [40]) Dac aeste monoton a, normalizat a,
submodular a, strict pozitiv a pe BSd, cu proprietatea c a supp()n@Sd6=;iar
integralele din formula (2.1) sunt integrale neliniare Choquet, atunci pentru
oricef2C+(Sd)avem
lim
n!1kMn;(f)fkC(Sd)= 0;
undekFkC(Sd)= maxfjF(x)j;x2Sdg.

16CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
Al doilea rezultat calitativ cunoscut prive ste convergent a punctual a.
Teorema 2.1.2. (Gal-Opri s [40]) Dac aeste monoton a, normalizat a,
submodular a peBSd, astfel ^ nc^ t supp()n@Sd6=;iar integralele din formula
(2.1) sunt integrale neliniare Choquet, atunci pentru orice f2L1
(Sd)cu
proprietatea f(x)0, pentru tot i x2Sd, in orice punct x2supp()de
continuitate pentru f, avem
lim
n!1jMn;(f)(x)f(x)j= 0:
Observat ie. Este de notat c a datorit a neliniarit at ii integralei Choquet,
operatoriiMn;(f) sunt neliniari.
Scopul principal al acestei sect iuni este de a prezenta estim ari cantitative
punctuale, uniforme  si^ n spat iul Lp, ^ n termenii modulului de continuitate  si
a unorK-funct ionale, ^ n aproximarea prin operatorul polinomial multivariat
mai general, Bernstein-Durrmeyer-Choquet, scris in termenii integralelor
Choquet pe simplexul standard d-dimensional, denit in lucrarea Gal-Trifa
[41] prin
Mn;n;x(f)(x) =X
jj=nc(;n;;x)
B(x); x2Sd; n2N; (2.2)
unde
c(;n;;x) =(C)R
Sdf(t)B(t)dn;;x(t)
(C)R
SdB(t)dn;;x(t)
=(C)R
Sdf(t)P(t)dn;;x(t)
(C)R
SdP(t)dn;;x(t)
 si pentru ecare n2N six2Sd, n;x= (n;;x)jj=neste o familie de funct ii
de mult imi m arginite, monotone, submodulare  si strict pozitive pe BSd.
Dac a familia n;xse reduce la o singur a funct ie de mult ime m arginit a,
monoton a, submodular a, strict pozitiv a (adic a n;;x =pentru tot i n,x

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 17
 si), atunci operatorul dat prin (2.2) se reduce la operatorul considerat ^ n
[40].
Dac ad= 1  si integralele Choquet sunt luate^ n raport cu anumite m asuri
posibilistice concrete, atunci estim arile ^ n termenii modulului de continui-
tate sunt detailate. Sunt prezentate exemple care le imbun at at esc pe cele
obt inute prin operatorii clasici de aproximare.
2.1.2 Preliminarii
Mai ^ nt^ i, prezent am c^ teva concepte cunoscute din teoria posibilit at ii, utile
in considerat iile care vor urma. Pentru detalii, se poate consulta [18].
Denit ia 2.1.3 Pentru mult imea nevida
, not am cu P(
) familia
tuturor submult imilor lui
.
(i) O funct ie :
![0;1] cu proprietatea sup f(s);s2
g= 1, se
nume ste distribut ie posibilistic a (de posibilitate) pe
.
(ii)P:P(
)![0;1] se nume ste m asura posibilistic a (de posibili-
tate), dac a satisface proprietat ile P(;) = 0,P(
) = 1  si P(S
i2IAi) =
supfP(Ai);i2Igpentru orice Ai
 siI, o familie nit a sau num arabil a
de indici. Dac a A;B
,AB, atunci ultima proprietate implic a u sor
c aP(A)P(B)  si c aP(ASB)P(A) +P(B).
Orice distribut ie de posibilitate on
, induce m asura posibilistic a P:
P(
)![0;1],P(A) = supf(s);s2Ag,A
. De asemenea, pentru
f:
!R+, integrala posibilistic a a lui fpeA
in raport cu P, este
prin denit ie ( Pos)R
AfdP= supff(t)
(t);t2Ag(vezi, de exemplu, [18],
Capitolul 1).
C^ teva concepte  si rezultate cunoscute privind integrala Choquet, pot
rezumate prin urm atoarele.
Denit ia 2.1.4 Presupunem ca
6=; si eCo-algebra de submult imi

18CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
ale lui
.
(i) (vezi [64], p. 63) Funct ia de mult ime :C! [0;+1] se nume ste
monoton a (sau capacitate) dac a (;) = 0  si(A)(B) pentru orice
A;B2C, cuAB. De asemenea, se nume ste m arginit a, dac a (
)<
+1 si submodular a dac a
(A[
B) +(A\
B)(A) +(B);pentru orice A;B2C:
^In sf^ r sit, dac a (
) = 1, ea se nume ste normalizat a.
(ii) (vezi, de exemplu, [64], p. 233, sau [13]) Dac a este o funct ie de
mult imi monoton a, normalizat a pe C si dac af:
!ResteC-m asurabil a
(adic a, pentru orice submult ime Borel BRavemf1(B)2C), atunci
pentru orice A2C, integrala Choquet este denit a prin
(C)Z
Afd=Z+1
0
F(f)\
A
d+Z0
1h

F(f)\
A
(A)i
d;
cuF(f) =f!2
;f(!)g. Dac af0 onA, atunci mai sus primim
R0
1= 0.
Funct iafse va numi Choquet integrabila pe Adac a (C)R
Afd2R.
In cele ce urmeaz a, ^ n siruim c^ teva propriet at i cunoscute ale integralei
Choquet.
Observat ia 2.1.5 Dac a:C ! [0;+1] este o funct ie de mult ime
monoton a, atunci au loc urmatoarele propriet at i :
(i) Pentru tot i a0 avem (C)R
Aafd =a
(C)R
Afd (dac af0
atunci vezi, de exemplu, [64], Teorema 11.2, (5), p. 228  si dac a fare semn
arbitrar, atunci vezi, de exemplu, [16], p. 64, Proposition 5.1, (ii)).
(ii) Pentru tot i c2R sifcu valori reale (nu neap arat pozitive), are loc
(vezi, de exemplu, [64], pp. 232-233, sau [16], p. 65) ( C)R
A(f+c)d=
(C)R
Afd+c
(A).

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 19
Dac aeste  si submodular a, atunci pentru orice f;gm arginite inferior
 si de semn oarecare, avem (vezi [16], p. 75, Theorem 6.3)
(C)Z
A(f+g)d(C)Z
Afd+ (C)Z
Agd:
(iii) Dac af(x)g(x) pentru orice x2A, atunci (C)R
Afd(C)R
Agd
(vezi [64], p. 228, Theorem 11.2, (3) dac a f;g0  si p. 232 dac a f;gsunt
de semn oarecare).
(iv) Dac af0, atunciABimplic a (C)R
Afd(C)R
Bfd: In
plus, dac aeste  si nit subaditiv a, rezult a ( C)R
ASBfd(C)R
Afd+
(C)R
Bfd.
(v) Este imediat c a ( C)R
A1
d(t) =(A).
(vi) Formula (A) =
(M(A)), unde
: [0;1]![0;1] este o funct ie
concav a  si cresc atoare, cu
(0) = 0,
(1) = 1  si Meste o m asura de
probabilitate (sau doar o m asura nit aditiva) pe o -algebra pe
(adic a,
M(;) = 0,M(
) = 1  siMeste numarabil aditiva), ne da exemple simple de
funct ii de mult imi normalizate, monotone  si submodulare (vezi, de exemplu,
[16], pp. 16-17, Example 2.1). Spre exemplu, putem lua
(t) =p
t.
Dac a funct ia
de mai sus este concav a, cresc atoare  si satisface doar
condit ia
(0) = 0, atunci pentru orice m asura Borel m arginit a m1,
formula(A) =
(m(A)) ne d a exemplu simplu de funct ie de mult imi
m arginit a, monoton a, submodular a.
Observ am ca orice m asura posibilistic a este monoton a, normalizat a  si
submodular a. ^Intr-adev ar, axioma (ASB) = maxf(A);(B)gimplic a
monotonia, ^ n timp ce proprietatea (ATB)minf(A);(B)gimplic a
submodularitatea.
(vii) Dac aeste m arginit a  si num arabil aditiva, atunci integrala Cho-
quet (C)R
Afd se reduce la cazul integralei de tip Lebesgue clasica (vezi
[16], p. 62, sau [64], p. 226).

20CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
2.1.3 Estim ari punctuale  si uniforme
Au loc urm atoarele estim ari cantitative generale din aproximarea punctuala
 si uniforma.
Teorema 2.1.6 (Gal-Trifa [41]) Pentru ecare n2N six2Sdxate,
en;x=fn;;xgjj=no familie de funct ii de mult imi marginite, monotone,
submodulare  si strict pozitive pe BSd.
(i) Pentru ecare f2C+(Sd),x= (x1;:::;xd)2Sd,n2N, avem
jMn;n;x(f)(x)f(x)j2!1(f;Mn;n;x('x)(x))Sd;
undeMn;n;x(f)(x)este data de (2.2), kxk=qPd
i=1×2
i,'x(t) =ktxk si
!1(f;)Sd= supfjf(t)f(x)j;t;x2Sd;ktxkg.
(ii) Presupunem c a familia n;xnu depinde de x. Atunci, pentru orice
f2C+(Sd) sin2N, primim
kMn;n(f)fkC(Sd)2K
f;
n
2
;
unde
n=Pd
i=1kMn;n(j'eixi1j)kC(Sd),
K(f;t) = inf
g2C1
+(Sd)fkfgkC(Sd)+tkrgkC(Sd)g;
C1
+(Sd)este subspat iul tuturor funct iilor g2C+(Sd)cu derivatele par-
tiale@ig,i2f1;:::;dgcontinue  sikrgkC(Sd)= maxi=f1;:::;dgfk@igkC(Sd)g,
'ei(x) =xi,i2f1;:::;dg,x= (x1;:::;xd),1(x) = 1 , pentru tot i x2Sd.
Demonstratie. (i) Pentrux2Sd,n2N sijj=narbitrar xat, s a
consider am Tn;;x:C+(Sd)!R+denit prin
Tn;;x(f) = (C)Z
Sdf(t)P(t)dn;;x(t);f2C+(Sd):
Deoarece ecare n;;x este monoton a  si submodular a, din demonstrat ia  si
enunt ul Lemei 3.1 din [40] (implicata in fapt prin Observat ia 2.1.5, (i), (ii),

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 21
(iii), anterioara), rezult a c a ecare Tn;;x este pozitiv omogen, subliniar  si
monoton crescator  si satisface jTn;;x(f)Tn;;x(g)jTn;;x(jfgj).
Aceasta imediat implic a faptul ca Mn;n;xpastreaza acelea si propriet at i
 si in consecint  a, rezult a
jMn;n;x(f)(x)Mn;n;x(g)(x)jMn;n;x(jfgj)(x); (2.3)
Mn;n;x(f) =Mn;n;x(f),Mn;n;x(f+g)Mn;n;x(f) +Mn;n;x(g)  si ca
fgonSdimplic aMn;n;x(f)Mn;n;x(g) onSd, pentru tot i 0,
f;g2C+(Sd),n2N,jj=n,x2Sd.
Notinde0(t) = 1 pentru t2Sd, deoarece in mod evident ca
Mn;n;x(e0)(x) = 1
pentru tot i x2Sd si tinind cont de propriet at ile din Observat ia 2.1.5, (i)
and (2.3), pentru orice xxat obt inem
jMn;n;x(f)(x)f(x)j=jMn;n;x(f(t))(x)Mn;n;x(f(x))(x)j
Mn;n;x(jf(t)f(x)j)(x): (2.4)
Dar tinind cont de propriet at ile modulului de continuitate, pentru tot i t;x2
Sdand>0, primim
jf(t)f(x)j!1(f;ktxk)Sd1
ktxk+ 1
!1(f;)Sd: (2.5)
Acum, din (2.4)  si aplicind Mn;n;xrelat iei (2.5), din propriet at ile lui Mn;n;x
ment ionate mai sus dup a inegalitatea (2.3), primim imediat
jMn;n;x(f)(x)f(x)j1
Mn;n;x('x)(x) + 1
!1(f;)Sd:
Alegind aici =Mn;n;x('x)(x), obt inem estimarea dorita.

22CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
(ii) Fief;g2C+(Sd). Avem
f(x)Mn;n(f)(x)
=f(x)g(x) +Mn;n(g)(x)Mn;n(f)(x) +g(x)Mn;n(g)(x);
ceea ce, prin folosirea  si a lui (2.3), implic a
jf(x)Mn;n(f)(x)j
jf(x)g(x)j+jMn;n(g)(x)Mn;n(f)(x)j+jg(x)Mn;n(g)(x)j
jf(x)g(x)j+Mn;n(jgfj)(x) +jg(x)Mn;n(g)(x)j
2kfgkC(Sd)+jg(x)Mn;n(g)(x)j:
Urmind liniile din demonstrat ia Teoremei 4.5 din [8], deoarece din liniile de
dup a relat ia (2.3) de la punctul anterior (i), operatorul Mn;neste monoton
 si subaditiv, pentru tot i g2C1
+(Sd),x2Sd, primim imediat
jg(x)Mn;n(g)(x)j
Mn;n(jgg(x)1j)(x)krgkC(Sd)
Mn;n dX
i=1j'eixi1j!
(x)
krgkC(Sd)
dX
i=1Mn;n
j'eixi1j

(x) =krgkC(Sd)

n:
Concluzion^ nd, rezult a
kfMn;n(f)kC(Sd)2
kfgkC(Sd)+
n
2krgkC(Sd)
;
ceea ce implic a imediat estimarea cerut a din (ii). 
Observat ia 2.1.7 Pozitivitatea lui f^ n Teorema 2.1.6, (i), (ii) este
obligatorie din cauza omogeneit at ii pozitive a integralei Choquet, care se
folose ste in demonstrat ie. Cu toate acestea, dac a fia valori reale arbitrare

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 23
 si dac a este m arginit a inferior pe Sdcuf(x)m0, pentru tot i x2Sd,
atunci Teorema 2.1.6, (i), (ii) poate  re-enunt at a pentru operatorul Bern-
stein-Durrmeyer-Choquet u sor modicat
M
n;n;x(f)(x) =Mn;n;x(fm)(x) +m:
Intr-adevar, in cazul Teoremei 2.1.6, (i), aceasta este imediat a din !1(f
m;)Sd=!1(f;)Sd si dinM
n;n;x(f)(x)f(x) =Mn;n;x(fm)(x)
(f(x)m). Observ am ca in cazul Teoremei 2.1.6, (ii), deoarece putem
considera aici ca m< 0, primim imediat relat iile
K(fm;t) = inf
g2C1
+(Sd)fkf(g+m)kC(Sd)+tkrgkC(Sd)g
= inf
g2C1
+(Sd)fkf(g+m)kC(Sd)+tkr(g+m)kC(Sd)g
= inf
h2C1(Sd);hmfkfhkC(Sd)+tkrhkC(Sd)g:
2.1.4 Cazuri particulare de operatori
Deoarece estimarile din Teorema 2.1.6, (i), (ii) sunt de un caracter foarte
general  si abstract, insemnind aparenta dicultate de a calcula integrale
Choquet, este de interes ca s a se obt ina expresii concrete pentru ordinele
de aproximare.
In acest sens, vom aplica Teorema 2.1.6, (i) pentru d= 1  si pentru c^ teva
alegeri speciale de funct ii de mult imi submodulare.
Astfel, vom considera cazul m asurilor de posibilitate. Notind pn;k(x) =
n
k

xk(1x)nk, s a denim n;k(t) =pn;k(t)
kknn(nk)nk(n
k)=tk(1t)nk
kknn(nk)nk,k=
0;:::;n . Aici, prin convent ie, consider am 00= 1, astfel ^ nc^ t cazurile k= 0
 sik=nau sens.
Considerind radacinak
na luip0
n;k(x), este u sor de vazut ca max fpn;k(t);t2
[0;1]g=kknn(nk)nkn
k

, ceea ce implic a faptul ca ecare n;keste o

24CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
distribut ie posibilistic a pe [0 ;1]. Notind cu Pn;km asura de posibilitate in-
dus a de c atre n;k si n;x:= n=fPn;kgn
k=0(adic a, este independenta
dex), operatorul neliniar Bernstein-Durrmeyer dat de (2.2) in termenii in-
tegalelor Choquet in raport cu funct iile de mult imi din n, va deveni
Dn;n(f)(x) =nX
k=0pn;k(x)
(C)R1
0f(t)tk(1t)nkdPn;k(t)
(C)R1
0tk(1t)nkdPn;k(t): (2.6)
Este u sor de vazut ca orice m asura de posibilitate Pn;keste marginita,
monoton a, submodular a  si strict pozitiv a, n2N,k= 0;1;:::;n , deci ca
suntem sub ipotezele Teoremei 2.1.6.
Putem enunt a urm atorul rezultat.
Teorema 2.1.8. FieDn;n(f)(x)dat de (2.6), f2C+([0;1]),x2[0;1]
 sin2N,n2. Avem :
(i)
jDn;n(f)(x)f(x)j
2!1
f;(1 +p
2)p
x(1x) +pxp
2n+1 +j12xj
2n!
[0;1]:
(ii)
kDn;n(f)fkC[0;1]6!1
f;1pn
[0;1]:
Pentru demonstrat ia ei, avem nevoie de urm atorul rezultat auxiliar.
Lema 2.1.9. Fien2N,n2 six2[0;1]. Notind
An;k(x) := supfjtxjtk(1t)nk;t2[0;1]g=
maxfsupf(tx)tk(1t)nk;t2[x;1]g;supf(xt)tk(1t)nk;t2[0;x]gg;
cu conventia 00= 1, pentru tot i k= 0;:::;n avem
An;k(x) = maxf(t2x)tk
2(1t2)nk;(xt1)tk
1(1t1)nkg;

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 25
cut1;t2dat prin
t1=nx+k+ 1p


2(n+ 1); t2=nx+k+ 1 +p


2(n+ 1); (2.7)
unde

= (nx+k+ 1)24kx(n+ 1) =n2
(x+ (k+ 1)=n)24xk
n
n+ 1
n
= (nxk)2+ 2x(nk) + 2k(1x) + 11:
Demonstrat ie. S a not amHn;k(t) =tk(1t)nkjtxj, cuk2f0;:::;ng.
Avem doua cazuri : (i) 1 kn1  si (ii)k= 0 ork=n.
Cazul (i). Pentru t2[x;1] obt inem Hn;k(t) = (tx)tk(1t)nk si din
H0
n;k(t) =tk1(1t)nk1[t2(n+ 1) +t(nx+k+ 1)kx] = 0, rezult a
t2(n+ 1) +t(nx+k+ 1)kx= 0, care are discrimantul

= (nx+k+ 1)24kx(n+ 1) = (nxk)2+ 2x(nk) + 2k(1x) + 11:
Deci, ecuatia patratica are doua solutii reale distincte t1<t2,
t1=nx+k+ 1p


2(n+ 1); t2=nx+k+ 1 +p


2(n+ 1);
unde prin calcule simple deducem 0 t1<t21. De asemenea, deoarece
Hn;k(0) =Hn;k(x) =Hn;k(1) = 0  siHn;k(t)0 pentrut2[x;1], rationa-
mente grace simple arata ca singura posibilitate este ca 0 t1xt2
1, cut=t2punct de maxim pe [ x;1] pentruHn;k(t).
In mod similar, pentru t2[0;x], deoarece Hn;k(t) = (xt)tk(1t)nk,
folosind rationamentele anterioare, obt inem H0
n;k(t) =tk1(1t)nk1[t2(n+
1)t(nx+k+ 1) +kx]  si cat1este un punct de maxim pentru Hn;k(t) pe
[0;x].
In concluzie, cu t1;t2date de (2.7), primim
An;k(x) = maxf(t2x)tk
2(1t2)nk;(xt1)tk
1(1t1)nkg:

26CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
Cazul (ii). Presupunem mai ^ nt^ i ca k= 0. Prin calculele din cazul
anterior (i), pentru t2[x;1] primim 0 = t1xt2=nx+1
n+11,Hn;0(t)
0  siHn;0(x) =Hn;0(1) = 0, iar calcule similare, ne conduc la faptul ca
maximul lui Hn;0(t) pe [x;1] esteHn;0(t2) = (t2x)(1t2)n.
Deci, recapatam cazul (i) cu conventia ca 00= 1. In mod similar, pentru
t2[0;x], primim ca maximul lui Hn;0(t) isHn;0(t1) = (xt1)(1t1)n
Subcazulk=neste similar, ceea ce demonstreaza lema. 
Demonstrat ia Teoremei 2.1.8 (i) Potrivit Teoremei 2.1.6, (i), avem
de estimat
Dn;n('x)(x) =nX
k=0pn;k(x)
(C)R1
0jtxjtk(1t)nkdPn;k(t)
(C)R1
0tk(1t)nkdPn;k(t):
Inainte de toate, din Denit ia 2.1.4, (ii), primim
(C)Z1
0tk(1t)nkdPn;k(t) =Z+1
0Pn;k(ft2[0;1];tk(1t)nkg)d
=Z1
0Pn;k(ft2[0;1];tk(1t)nkg)d
=Z1
0supfn;k(s);s2ft2[0;1];tk(1t)nkggd
=1
kknn(nk)nk
Z1
0supfsk(1s)nk;s2ft2[0;1];tk(1t)nkggd:
Pentru simplitate, not am En;k=kknn(nk)nk, unde din nou lu am
00= 1. Deoarece pentru  >En;kavemft2[0;1];tk(1t)nkg=; si
deoarece putem lua sup fsk(1s)nk;s2;g = 0, rezult a
(C)Z1
0tk(1t)nkdPn;k(t)
=1
En;k
ZEn;k
0supfsk(1s)nk;s2ft2[0;1];tk(1t)nkggd

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 27
=1
En;k
ZEn;k
0En;kd=En;k: (2.8)
Pe de alta parte, notind An;k(x) = supfjtxjtk(1t)nk;t2[0;1]g, prin
Obseervatia 2.1.5, (iii), (v)  si din Lema 2.1.9, pentru t1<t2in (2.7) obt inem
(C)Z1
0jtxjtk(1t)nkdPn;k(t)(C)Z1
0An;k(x)dPn;k(t)
=An;k(x)(C)Z1
01dPn;k(t) = maxf(t2x)tk
2(1t2)nk;(xt1)tk
1(1t1)nkg:
Deoarecetk
2(1t2)nk
kknn(nk)nk1,tk
1(1t1)nk
kknn(nk)nk1, din Lema 2.1.9 primim
An;k(x)
kknn(nk)nk
= max
(t2x)
tk
2(1t2)nk
kknn(nk)nk;(xt1)
tk
1(1t1)nk
kknn(nk)nk
maxft2x;xt1g
= max(p


2(n+ 1)+k+ 1nx2x
2(n+ 1);p


2(n+ 1)k+ 1nx2x
2(n+ 1))
:
Acum, pentru ca in general avem max fA;Bg=A+B+jABj
2, rezult a
An;k(x)
kknn(nk)nkp


2(n+ 1)+jk+ 1nx2xj
2(n+ 1)p


2n+jk+ 1nx2xj
2n
1
2
p


n+1
2
xk
n+1
2
j12xj
n
=1
2
p
(nxk)2+ 2x(nk) + 2k(1x) + 1
2n+1
2
xk
n+1
2
j12xj
n
1
2
p
(xk=n)2+ 2x=n+ (2k=n)
(1x)=n+ 1=n2
+1
2
xk
n+1
2
j12xj
n
jxk=nj+1p
2
px=pn+1p
2
(p
k=pn)
p
(1x)=n+1
2n+1
2
j12xj
n;

28CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
aceasta imediat implic a
Dn;n('x)(x)
nX
k=0pn;k(x)
jxk=nj+1p
2
px=pn+1p
2
p
k=n
p
(1x)=n
+1
2n+1
2
j12xj
n
p
x(1x)pn+pxp
2n+p
x(1x)p
2n+1 +j12xj
2n
=(1 +p
2)p
x(1x) +pxp
2n+1 +j12xj
2n:
Mai sus am folosit estimarea bine-cunoscutaPn
k=0pn;k(x)jxk=njp
x(1x)pn
 si inegalitatea Cauchy-Schwarz pentru polinoamele Bernstein,
Bn(f)(x)p
Bn(f2)(x);
aplicata pentru f(t) =p
t.
In nal, aplicind Teorema 2.1.6, (i), rezult a demonstrat ia Teoremei 2.1.8,
(i).
(ii) Pentru tot i x2[0;1] primim in mod u sor
(1 +p
2)p
x(1x) +pxp
2n+1 +j12xj
2n3pn;
ceea ce combinata cu estimarea din Teorema 2.1.8, (i), implic a estimarea
uniforma din (ii). 
Observat ia 2.1.10 Deoarece 1 +j12xj2 pentru tot i x2[0;1],
rezult a c a estimarea din Teorema 2.1.8 este mai buna dec^ t cea obt inut a in
Gal-Trifa [41], care este in termenii lui
2!1
f;(1 +p
2)p
x(1x) +p
2
pxpn+1
n!
[0;1]:

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 29
2.1.5 Exemple ce imbun at at esc estim arile clasice
Aceast a sect iune cont ine exemple concrete care imbun at at esc estim arile cla-
sice.
Exemplu 2.1.11 (Gal-Trifa [41]) Deoarece operatorii din aceasta sect iune
pot  deniti ^ n raport cu o familie de m asuri Borel  si Choquet combinate ^ n
diferite moduri, acest fapt ofer a o
exibilitate  si generalitate foarte inalte,
permit ind construct ia unor operatori care au chiar mai bune proprietat i
de aproximare. Ca  si un prim exemplu, este clar ca Bn(f)(x) poate de
asemenea  vazut ca  si operatorul Bernstein-Durrmeyer-Choquet in cazul
cind n;xeste compus a din m asurile Dirac k=n,k= 0;:::;n . Cu aceasta
ocazie, observ am c a deoarece m asurile Dirac nu sunt strict pozitive, este
clar ca strict pozitivitatea funct iilor de mult imi din Teorema 2.1.6 nu este
intotdeauna necesara.
Exemplu 2.1.12 (Gal-Trifa [41]) ^In formula (2.6), s a ^ nlocuim familia
de m asuri posibilistice n=fPn;kgn
k=0, cu n=fn;0;n;n;n2;k1;k=
1;:::;n1g, unde funct iile de mult imi n2;k1;k= 1;:::;n1 sunt m asura
Lebesgue,n;0=0(m asura Dirac), n;neste o funct ie de mult imi mono-
ton a, submodular a  si strict pozitiv a  si denim operatorii Durrmeyer-Cho-
quet prin
Un;n(f)(x) =pn;0(x)
(C)R1
0f(t)(1t)ndn;0
(C)R1
0(1t)ndn;0+pn;n(x)
(C)R1
0f(t)tndn;n
(C)R1
0tndn;n
+n1X
k=1pn;k(x)
(C)R1
0f(t)pn2;k1(t)dn2;k1(t)
(C)R1
0pn2;k1(t)dn2;k1(t):
Notind cu Gn(f)(x), operatorul Bernstein-Durmeyer (vezi, de exemplu,
[44]), obt inem imediat
Un;n(f)(x)f(x) =Gn(f)(x)f(x) +xn"
(C)R1
0f(t)tndn;n(t)
(C)R1
0tndn;n(t)f(1)#
:

30CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
S a alegem n;ndenit a prin n;n(A) =(A), unde, de exemplu, (A) =
p
m(A) sau(A) = sin[m(A)].
Presupunem c a f0 este strict cresc atoare pe [0 ;1]. Deoarece
(C)Z1
0f(t)tndn;n(t) =Z1
0n;n(ft2[0;1];f(t)tng)d
= (C)Z1
0f(t)tnd(t)<f(1)
(C)Z1
0tndn;n(t);
rezult a imediat
(C)R1
0f(t)tndn;n(t)
(C)R1
0tndn;n(t)f(1)<f(1)f(1) = 0:
Deoarece strict convexitatea lui fimplic aGn(f)(x)f(x)>0 pentru tot i
x2(0;1) (vezi, deexemplu, Lema 2.1, (iv) din [44]), rationamente similare
cu cele pentru exemplul anterior arata c a dac a f0 este strict convexa  si
strict crescatoare pe [0 ;1], implic a
jUn;n(f)(x)f(x)j
<max(
jGn(f)(x)f(x)j;xn(C)R1
0f(t)tnd(t)
(C)R1
0tnd(t)f(1))
:
Deci,Un;n(f)(x) approximeaza mai bine fon (0;1) dec^ tGn(f)(x).
Exemplu 2.1.13 (Gal-Trifa [41]) ^In formula (2.6), s a ^ nlocuim familia
nde m asuri posibiblistice Pn;k,k= 0;:::;n , cu familia const^ nd din
m asurile Dirac k=n,k= 0;1;:::;n1 (care sunt m asuri Borel  si deci cu in-
tegralele Choquet corespunz atoare reduc^ ndu-se la cele clasice) ^ mpreun a cu
o funct ie de mult imi monoton a, submodular a, strict pozitiv a Pn;n:=n;n,
denit a prin n;n(A) =(A), unde, de exemplu, (A) =p
m(A) sau
(A) = sin[m(A)].
Atunci, not^ nd cu
Bn(f)(x) =nX
k=0n
k
xk(1x)nkfk
n

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 31
operatorii Bernstein clasici, pentru Dn;ndin (2.6) primim
Dn;n(f)(x)f(x)
="n1X
k=0pn;k(x)fk
n
+xn
(C)R1
0f(t)tndn;n(t)
(C)R1
0tndn;n(t)#
f(x)
=Bn(f)(x)f(x) +xn"
(C)R1
0f(t)tndn;n(t)
(C)R1
0tndn;n(t)f(1)#
;
unde prin rat ionamente similare cu cele din Exemplul 5.2, pentru fstrict
crescatoare pe [0 ;1], rezult a
(C)R1
0f(t)tndn;n(t)
(C)R1
0tndn;n(t)f(1)0:
Presupunem acum c a f0 este strict cresc atoare  si strict convex a pe
[0;1]. Strict convexitatea lui fimplic a (vezi [55]) Bn(f)(x)f(x)>0
pentru tot i x2(0;1), deci, pentru x2(0;1),Dn;n(f)(x) aproximeaza mai
binefdec^ tBn(f)(x), deoarece
jDn;n(f)(x)f(x)j
<max(
jBn(f)(x)f(x)j;xn(C)R1
0f(t)tndn;n(t)
(C)R1
0tndn;n(t)f(1))
:
Observat ia 2.1.14 (Gal-Trifa [41]) Deoarece formula pentru operatorii
Dn;n(f) in (2.6) folose ste integrale Choquet ^ n raport cu m asuri posibilis-
tice, este natural s a ne punem problema unui studiu al propriet at ilor de
convergent  a a lui Dn;n(f), in cazul cind integralele Choquet ( C)R1
0in (2.6)
sunt inlocuite (toate, sau doar unele dintre ele) cu integrale posibilistice
(Pos)R1
0, a sa cum sunt ele denite prin Denit ia 2.1.3, (ii). De exemplu,
dac a toate integralele Choquet sunt inlocuite cu integrale posibilistice, din

32CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
(2.6) obt inem u sor noii operatori (care par inca s a aiba propriet at i bune de
aproximare !)
Dn;n(f)(x) =nX
k=0pn;k(x)
(Pos)R1
0f(t)tk(1t)nkdPn;k(t)
(Pos)R1
0tk(1t)nkdPn;k(t)
=nX
k=0pn;k(x)
supff(t)[tk(1t)nk]2;t2[0;1]g
supf[tk(1t)nk]2;t2[0;1]g:
Un studiu detailat al propriet at ilor de convergent  a pentru toate aceste tipuri
de operatori posibilisitici Bernstein-Durrmeyer, ram^ ne ca  si o direct ie vi-
itoare de cercetare.
2.1.6 Aproximare cantitativ a ^ n spat iul Lp
Scopul principal al acestei subsect iuni este de a studia rezultate de aproxi-
mare cantitativ a in spat iile Lp, 1p<1, pentru cazul cind n;xse reduce
la un sungur element , care este o funct ie particulara de mult imi, normal-
izat a, monoton a  si submodular a, numita m asura Borel distorsionata, adic a
pentru operatorii dat i de
Dn;(f)(x) =X
jj=nc(;)
B(x); x2Sd; n2N;
unde
c(;) =(C)R
Sdf(t)B(t)d(t)
(C)R
SdB(t)d(t)=(C)R
Sdf(t)P(t)d(t)
(C)R
SdP(t)d(t):
Dar datorit a faptului ca ( C)R1
0fdnu este, in general, aditiva ca  si funct ie
def(este doar subadditiva), chiar in cazul simplu cind, de exemplu, p= 1
 sid= 1, pentru f2L1
(insemnind ca festeB[0;1]-m asurabil a  sikfkL1=
(C)R1
0jf(t)jd(t)<1), primim
kDn;(f)kL1nX
k=0(C)Z1
0n
k
tk(1t)nkjf(t)jd(t)(n+1)
kfkL1; n2N:

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 33
Acest fapt implic a ca in cel mai general caz pentru , estimarile can-
titative din aproximarea din spat iul Lpcu operatori Bernstein-Durrmeyer-
Choquet, par sa ramina o problema deschis a.
Totu si, pentru o subclas a larga de funct ii de mult imi normalizate, mono-
tone and submodulare, numite m asuri Borel distorsionate, in subsect iunea
de fata obt inem rezultate de aproximare cantitative in spat iile Lp, 1p<
+1, in termenii unei K-funct ionale potrivite.
Dac a:BSd![0;+1) este o funct ie de mult ime monoton a  si 1 p<
+1, s a facem urmatoarele notatii :
Lp
(Sd)
=ff:Sd!R;festeBSd-m asurabil a  si ( C)Z
Sdjf(t)jpd(t)<+1g;
Lp
;+(Sd) =Lp
(Sd)\
ff:Sd!R+g;
C(Sd) =ff:Sd!R;feste continu a pe Sdg;
inzestrata cu norma kFkC(Sd)= supfjF(x)j;x2Sdg,
C+(Sd) =ff2C(Sd);f0 peSdg;
C1
+(Sd) este subspat iul tuturor funct iilor g2C+(Sd) cu derivatele partiale
@g=@xi,i2f1;:::;dg, continue,
krgkC(Sd)= max
i=f1;:::;dg(

@g
@xi

C(Sd))
;
K(f;t)Lp
= inf
g2C1
+(Sd)fkfgkLp
+tkrgkC(Sd)g; t0;
cu notatiakFkLp
=
(C)Z
SdjF(t)jpd(t)1=p
;
IC[0;1] =fg: [0;1]![0;1] :g(0) = 0;g(1) = 1;geste concava  si strict

34CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
crescatoare pe [0 ;1]  si exist a g0(0)<+1g:
Deasemenea, not am cu D(BSd) clasa tuturor funct iilor de mult imi :BSd!
[0;+1) de forma(A) =g(M(A)), pentru toate A2BSd, undeg2IC[0;1]
 siMeste o m asura de probabilitate Borel, strict pozitiv a pe BSd. Cu
cuvintele din Observat ia 2.1.5, (vi), orice astfel de va  numita m asura
de probabilitate Borel distorsionata.
Observat ia 2.1.15 Potrivit cu Observat ia 2.1.5, (vi), orice 2D(BSd)
este o funct ie de mult imi, normalizat a, monoton a, strict pozitiv a  si sub-
modular a. Exemple simple de 2D(BSd) sunt(A) = sin[
m(A)=2],
sau(A) = arctan[tan(1)
m(A)], sau(A) =2m(A)
1+m(A), sau(A) = (1
em(A))
e
e1, sau(A) = ln[1 + ( e1)m(A)], pentru toate A2BSd, unde
mdesemneaza m asura Lebesgue d-dimensionala.
Rezultatul principal al acestei subsect iuni este urm atorul.
Teorema 2.1.16 (Gal-Trifa [42]) Fie1p <1. Dac a2D(BSd),
cu=gM,g2IC[0;1] siMeste o m asura de probabilitate Borel strict
pozitiv a peBSd, atunci pentru toate f2Lp
;+(Sd),n2N, avem
kfDn;(f)kLp
c
K
f;
n;p
c
Lp
;
undec= 1 +g0(0)(p+1)=p,
n;p=Pd
i=1kDn;(j'i(x)'i(
)j)kLp
,'i(x) =xi
forx= (x1;:::;xd)2Sd.
Demonstrat ie. Mai ^ nt^ i, observ am ca din g(0) = 0,g(1) = 1  si
din concavitatea lui g, deoarece toate punctele segmentului care trece prin
punctele (0;g(0))  si (1;g(1)) sunt situate sub gracul lui g si deoarece toate
punctele tangemtei la gracul lui gin (0;g(0)) sunt deasupra gracului lui
g, imediat obt inem dubla inegalitate
xg(x)g0(0)x;pentru tot i x2[0;1]:

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 35
Aceasta implic a imediat
M(A)(A)g0(0)M(A);for allA2BSd: (2.9)
Imp artim demonstrat ia in trei pa si.
Pasul 1. Pentru toate f2Lp
;+(Sd) avem
kDn;(f)kLp
[g0(0)](p+1)=p
kfkLp
: (2.10)
^Intr-adev ar, din Lema 2.2 din [47] primim kDn;M(f)kLp
MkfkLp
M, ceea ce
combinat cu Observat ia 2.1.5, (vii)  si cu (2.9), implic a kfkLp
MkfkLp
 si
deci
kDn;M(f)kLp
MkfkLp
: (2.11)
Pe de alta parte, din acelea si inegalitati (2.9), putem scrie
kDn;M(f)kLp
M=0
@Z
Sd2
4X
jj=nB(x)
R
Sdf(t)B(t)dM(t)R
SdB(t)dM(t)3
5p
dM(x)1
A1=p
1
g0(0)1=p
0
@(C)Z
Sd2
4X
jj=nB(x)
R
Sdf(t)B(t)dM(t)R
SdB(t)dM(t)3
5p
d(x)1
A1=p
1
g0(0)1=p
0
@(C)Z
Sd2
4X
jj=nB(x)
1
g0(0)
R
Sdf(t)B(t)d(t)R
SdB(t)d(t)3
5p
d(x)1
A1=p
=1
[g0(0)](p+1)=p
kDn;(f)kLp
:
Deci, combinind asta cu (2.11), obgtinem imediat (2.10).
Pasul 2. Pentrun2N sijj=nxate, arbitrare, s a consider am
Tn;:Lp
;+(Sd)!R+denit prin
Tn;(f) = (C)Z
Sdf(t)B(t)d(t);f2Lp
;+(Sd):

36CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
Mai ^ nt^ i, observ am ca Lp
;+(Sd)L1
;+(Sd), for all 1p<+1.
Apoi, deoarece 0B(x)1 pentru tot i x2Sd, primim
0(C)Z
Sdf(t)B(t)d(t)(C)Z
Sdf(t)d(t)<1;
for anyf2Lp
;+(Sd), i.e.f
B2Lp
;+(Sd).
Acum, din Observat ia 2.1.15, este o funct ie de mult imi monoton a  si
submodular a. Bazindu-ne deasemenea pe Observat ia 2.1.5, (i), (ii), (iii)  si
rationind exact ca  si in demonstrat ia Lemei 3.1 din [40], primim jTn;(f)
Tn;(g)jTn;(jfgj). Apoi, deoarece Tn;este pozitiv omogen, sublinear
 si monoton crescator, primim imediat ca Dn;pastreaza acelea si propriet at i
 si in consecint  a rezult a
jDn;(f)(x)Dn;(g)(x)jDn;(jfgj)(x); f;g2Lp
;+(Sd);(2.12)
Dn;(f) =Dn;(f),Dn;(f+g)Dn;(f) +Dn;(g)  si cafgonSd
implic aDn;(f)Dn;(g) onSd, pentru tot i 0,f;g2Lp
;+(Sd),n2N.
Atunci, (2.12) implic a imediat
kDn;(f)Dn;(g)kLp
kDn(jfgj)kLp
: (2.13)
Pasul 3. Fief;g2Lp
;+(Sd). Vom aplica inegalitatea lui Minkowski in
cazul integralei Choquet in raport cu (vezi, de exemplu, Teorema 3.7 din
[63] sau Teorema 2 din [12]). Observa, aici ca demonstrat ia inegalit at ii lui
Minkowski din [63] sau [12] este bazata pe inegalitatea lui H older pentru
integrala Choquet,
(C)Z
Sdjfgj
(C)Z
Sdjfjd1=p


(C)Z
Sdjgjd1=q
;1=p+ 1=q= 1;
unde in demonstrat ia din cele doua lucrari citate mai sus, demonstrat ia
este facuta sub ipoteza ca ( C)R
Sdjfjd6= 0 and (C)R
Sdjgjd6= 0. Dar

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 37
din inegalitatile din (2.9), rezult a u sor ca inegalitatea lui H older are loc
imediat chiar dac a ( C)R
Sdjfjd= 0 sau (C)R
Sdjgjd= 0. Concluzionind,
sub ipotezele din enunt , inegalitatea lui Minkowski are loc in intreaga ei
generalitate.
Deci obt inem,
kfDn;(f)kLp
=k(fg) + (gDn;(g)) + (Dn;(g)Dn;(f))kLp

kfgkLp
+kgDn;(g)kLp
+kDn;(g)Dn;(f)kLp
: (2.14)
Aplicind acum (2.13)  si (2.10), primim
kDn;(g)Dn;(f)kLp
[g0(0)](p+1)=p
kfgkLp
: (2.15)
Acum, s a estim am kgDn;(g)kLp
pentrug2C1
+(Sd). Astfel, din
Dn;(e0)(x) =e0(x) = 1  si (2.12)
, primim
jg(x)Dn;(g)(x)j=jDn;(g(x))(x)Dn;(g(t))(x)jDn;(jg(x)g(
)j)(x):
Deoarece pentru g2C1
+(Sd)  six= (x1;:::;xd);t= (t1;:::;td)2Sd, rezult a
(vezi, de exemplu, [47], formula (2.5) )
jg(x)g(t)jkrgkC(Sd)dX
i=1jxitij=krgkC(Sd)dX
i=1j'i(x)'i(t)j;
aplicind aici Dn;, deoearece este subaditiva ca  si funct ie de f, rezult a u sor
Dn;(jg(x)g(
)j)(x)krgkC(Sd)
Pd
i=1Dn;(j'i(x)'i(
)j)(x).
Deci, ridicind la puterea p, integrind mai sus in raport cu x si si
aplicind inegalitatea lui Minkowski, obt inem imediat
kgDn;(g)kLp
krgkC(Sd)
nX
i=1kDn;(j'i(x)'i(
)j)kLp
: (2.16)

38CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
In concluzie, inlocuind inegalitatile (2.15)  si (2.16) in (2.14)  si notind c=
1 +g0(0)(p+1)=p, obt inem
kfDn;(f)kLp
c
kfgkLp
+krgkC(Sd)

n;p=c

;
ceea ce demonstreaza enunt ul teoremei. 
Observat ia 2.1.17 (Gal-Trifa [42]) Pozitivitatea funct iei fin Teorema
2.1.16 este necesara din cauza omogeneitatii pozitive a integralei Choquet
folosit a in demonstrat ie. Totu si, dac a feste de semn arbitrar  si m arginit a
inferior peSdwithf(x)m0, pentru tot i x2Sd, atunci enunt ul Teore-
mei 2.1.16 poate  re-enunt at pentru operatorul u sor modicat Bernstein-
Durrmeyer-Choquet, denit prin
D
n;(f)(x) =Dn;(fm)(x) +m;
unde avem D
n;(f)(x)f(x) =Dn;(fm)(x)(f(x)m). Observ am
ca putem considera aici ca m< 0  si ca imediat primi relat iile
K(fm;t)Lp
= inf
g2C1
+(Sd)fkf(g+m)kLp
+tkrgkC(Sd)g
= inf
g2C1
+(Sd)fkf(g+m)kLp
+tkr(g+m)kC(Sd)g
= inf
h2C1(Sd);hmfkfhkLp
+tkrhkC(Sd)g:
Corolar 2.1.18 (Gal-Trifa [42]) Sub ipotezele  si notatiile din Teorema
2.1.16, avem estimarea
kfDn;(f)kLp
c
K
f;d
cp
c
1pn
Lp
;
undecp>0este o constanta care depinde doar de p sic si este data prin
Teorema 2.1.16
Demonstrat ie. Fie=gM2D(BSd). Din relat ia (2.9) obt inem u sor
c(;)g0(0)
c(;M ) pentru tot i , ceea ce implic a imediat Dn;(F)

2.1. ERORI CANTITATIVE IN CAZUL DURRMEYER-CHOQUET 39
Dn;M(F), pentru orice F0. Deci, inlocuind aici F(t) cuj'i(x)'i(t)j,
luind inegalitatea la puterea p, integrind in raport cu , aplicind din nou
(2.9)  si tinind cont  si de estimarea din Lema 2.1 din [7], suntem u sor condu si
la inegalitatea
kDn;(j'i(x)'i(
)j)kLp
[g0(0)](p+1)=p
kDn;M(j'i(x)'i(
)j)kLp
M
[g0(0)](p+1)=p
cp
n1=2;
ceea ce ne conduce la

n;pd
cpn1=2;for alln2N;
undecp>0 depinde doar de p. Combinind cu Teorema 2.1.16, concluzia
este imediat a. 
Observat ia 2.1.19 Rezultatele din aceasta subsect iune arat a c a pen-
tru o subclas a larg a de operatori de tip Durrmeyer-Choquet, putem obt ine
ordine de aproximare in spat iile Lp, analoage cu cele obt inute pentru oper-
atorii din varianta clasic a. Combinat cu faptul ca rezultatele de aproximare
punctuala  si uniforma din Gal-Trifa [41] (obt inute f ar a restrictiile asupra
luidin Teorema 2.1.16) prezinta de asemenea avantajul ca pot furniza
ordine de aproximare mai bune dec^ t operatorii de tip Durrmeyer clasici,
putem concluziona ca operatorii Durrmeyer-Choquet sunt de interes in teo-
ria aproxim arii. Pe deasupra, impreuna cu rezultatele obt inute  si in [32],
cu privire la constructia operatorilor de aproximare prin schema clasica a
lui Feller, punind integralele Choquet in loc de integralele clasice, ne sug-
ereaza ca propriet at ile de aproximare ale operatorilor integrali clasici se
pot extinde,  si in multe cazuri imbun at at i, pentru corespondent ii lor de tip
Choquet.

40CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
2.2 Aproximare ^ n Lpcu tipuri Kantorovich-
Choquet
Scopul sect iunii de fata este de a continu a directia de cercetare din sub-
sect iunea anterioar a, la aproximarea ^ n spat iul Lpcu operatori Bernstein-
Kantorovich-Choquet.
Cu notatiile folosite in subsect iunea anterioara  si sugerati de forma cla-
sica a operatorilor liniari  si pozitivi ai lui Bernstein-Kantorovich, in Gal
[34] au fost denit i urm atorii operatori/polinoame Bernstein-Kantorovich-
Choquet in raport cu n;x=fn;k;xgn
k=0, prin formula
Kn;n;x(f)(x) =nX
k=0pn;k(x)
(C)R(k+1)=(n+1)
k=(n+1)f(t)dn;k;x(t)
n;k;x([k=(n+ 1);(k+ 1)=(n+ 1)]);
undepn;k(x) =n
k

xk(1x)nk.
Pentru a  bine denti acesti operatori, este sucient, de exemplu, s a
presupunem ca f: [0;1]!R+este o funct ieB[0;1]-m asurabil a, m arginit a
pe [0;1].
Observat ia 2.2.1. Este clar c a dac a n;k;x =M, pentru tot i n;k si
x, undeMeste m asura Lebesgue, atunci polinoamle de mai sus devin cele
clasice.
De asemenea, dac a n;k;x=k=n(m asuri Dirac), deoarece k=n2(k=(n+
1);(k+ 1)=(n+ 1)), este imediat ca Kn;n;x(f)(x) devin polinoamele lui
Bernstein. Acest fapt arata marea
exibilitate ale formulelor acestor opera-
tori. <ai exact, putem genera foarte multe tipuri de operatori de aproximare,
alegind pentru anumite n;k;xm asura Lebesgue, pentru anumite altele n;k;x,
m asuri Dirac iar pentru celelalte m asuri n;k;x, anumite m asuri de tip Cho-
quet.

2.2. APROXIMARE ^INLPCU TIPURI KANTOROVICH-CHOQUET 41
S a punct am c a aproximarile punctual a  si uniform a cu Kn;n;x(f)(x) au
fost studiate in [34].
^In aceasta sect iune, studiem rezultate cantitative de aproximare in spat iile
Lp, 1p<1, pentru polinoamele Kn;n;x(f)(x) c^ nd n;x=fg.^In acest
caz, le not am cu Kn;.
Dar ca  si in cazul polinoamelor Bernstein-Durrmeyer-Choquet studi-
ate in subsect iunea anterioara, chiar  si in cazul simplu cind, de exemplu,
p= 1, pentru f2L1
(insemnind ca festeB[0;1]-m asurabil a  sikfkL1=
(C)R1
0jf(t)jd(t)<1), considerind de exemplu operatorul Kn;, primim
u sor
kKn;(f)kL1nX
k=0(C)Z1
0pn;k(x)d(x)
(C)R(k+1)=(n+1)
k=(n+1)f(t)d(t)
([k=(n+ 1);(k+ 1)=(n+ 1)])
nX
k=0(C)Z(k+1)=(n+1)
k=(n+1)f(t)d(t)(n+ 1)
kfkL1:
Aceasta este datorat faptului ca ( C)R1
0fdnu este, in general, aditiv ca  si
funct ie def(este numai subaditiva).
Prin urmare, problema estimarilor cantitative in aproximare din spat iile
Lpcu polinoame Bernstein-Kantorovich-Choquet, ramine, in cazul general,
o problema deschis a.
Totu si, in cele ce urmeaz a, ca  si ^ n cazul aproxim arii in spat iile Lpcu
operatori Bernstein-Durrmeyer-Choquet, pentru o clas a larg a de m asuri
Lebesgue distorsionate, vom putea demonstra rezultate de aproximare in
Lp.
Cu notat iile din subsect iunea anterioara, putem enunt a urm atoarea.
Teorema 2.2.2 (Trifa [43]) Fie1p<1. Dac a2D(B[0;1]), atunci

42CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
pentru toate funct iile f2Lp
;+[0;1] sin2N, avem
kfKn;(f)kLp
cp
K
f;1
2pn+ 1
Lp
;
undecp= 1 +g0(0)(p+1)=p.
Demonstrat ie. Fie(A) =g[M(A)] with2D(B[0;1]). Ideile princi-
pale folosit a de mai multe ori in demonstrat ie, sunt ca integrala Choquet in
raport cumse reduce la integrala clasica Lebesgue  si c a dac a  sisunt
doua funct ii de mult imi (A)c
(A) pentru tot i A, cuc>0 o constanta
independenta de A, atunci (C)R1
0Fdc
(C)R1
0Fd, pentru orice F0.
Mai ^ nt^ i, observ am ca din g(0) = 0,g(1) = 1  si din concavitatea lui
g, deoarece toate punctele segmentului trecind prin punctele (0 ;g(0))  si
(1;g(1)) sunt sub gracul lui f si deoarece toate punctele tangentei la gra-
cul luifin (0;g(0)) sunt deasupra gracului lui f, imediat primim inegali-
tatea dubla
xf(x)g0(0)x;pentru tot i x2[0;1]:
Aceasta implic a imediat
M(A)(A)g0(0)M(A);pentru tot i A2B [0;1]: (2.17)
Diviz am demonstrat ia in trei pa si.
Pasul 1. Pentru tot i f2Lp
;+[0;1] avem
kKn;(f)kLp
[g0(0)](p+1)=p
kfkLp
: (2.18)
Intr-adevar, deoarece este u sor de demonstrat ca (vezi de asemenea, de ex-
emplu, [11])kKn;M(f)kLp
MkfkLp
M, combinat cu (2.17), implic a kfkLp
M
kfkLp
 si deci
kKn;M(f)kLp
MkfkLp
: (2.19)

2.2. APROXIMARE ^INLPCU TIPURI KANTOROVICH-CHOQUET 43
Pe de alta parte, din acelea si inegalitati (2.17), putem scrie
kKn;M(f)kLp
M
=0
@Z1
02
4nX
k=0pn;k(x)
(C)R(k+1)=(n+1)
k=(n+1)f(t)dM(t)
M([k=(n+ 1);(k+ 1)=(n+ 1)])3
5p
dM(x)1
A1=p
1
g0(0)1=p

0
@(C)Z1
02
4nX
k=0pn;k(x)
(C)R(k+1)=(n+1)
k=(n+1)f(t)dM(t)
M([k=(n+ 1);(k+ 1)=(n+ 1)])3
5p
d(x)1
A1=p
1
g0(0)1=p

0
@(C)Z1
02
4nX
k=0pn;k(x)
1
g0(0)
(C)R(k+1)=(n+1)
k=(n+1)f(t)d(t)
([k=(n+ 1);(k+ 1)=(n+ 1)])3
5p
d(x)1
A1=p
=1
[g0(0)](p+1)=p
kKn;(f)kLp
:
Prin urmare, combinind aceasta cu (2.19), obt inem imediat (2.18).
Pasul 2. Pentrun2N si 0knarbitrare, xate, s a consider am
Tn;k:Lp
;+[0;1]!R+denit prin
Tn;k(f) = (C)Z(k+1)=(n+1)
k=(n+1)f(t)d(t);f2Lp
;+([0;1]):
Mai ^ nt^ i, not am ca Lp
;+[0;1]L1
;+[0;1], pentru tot i 1p <+1. Intr-
adevar, aceasta rezult a imediat din Lp
M;+[0;1]L1
M;+[0;1]  si deoarece din
(2.17) in mod clar avem f2Lp
M;+[0;1] dac a  si numai dac a f2Lp
;+[0;1].
Observ am ca 0(C)R(k+1)=(n+1)
k=(n+1)fp(t)d(t)(C)R1
0fp(t)d(t)<1,
pentru orice f2Lp
;+[0;1].
Acum, deoarece este o funct ie de mult imi monoton a  si submodular a  si
rationind exact ca  si in demonstrat ia Lemei 3.1 din [40] (vezi de asemenea

44CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
demonstrat ia Teoremei 2.1.6), primim jTn;k(f)Tn;k(g)jTn;k(jfgj).
Apoi, deoarece Tn;keste pozitiv omogen, sublinear  si monoton crescator,
obt inem imediat ca Kn;pastreaza acelea si propriet at i  si in consecint  a
rezult a
jKn;(f)(x)Kn;(g)(x)jKn;(jfgj)(x); f;g2Lp
;+[0;1];(2.20)
Kn;(f) =Kn;(f),Kn;(f+g)Kn;(f) +Kn;(g)  si cafgon [0;1]
implic aKn;(f)Kn;(g) pe [0;1], pentru tot i 0,f;g2Lp
;+[0;1],
n2N.
Atunci, (2.20) implic a imediat
kKn;(f)Kn;(g)kLp
kKn;(jfgj)kLp
: (2.21)
Pasul 3. Fief;g2Lp
;+[0;1]. Vom aplica inegalitatea lui Minkowski in
cazul integralei Choquet in raport cu (vezi, de exemplu, Teorema 3.7 din
[63] sau Teorema 2 din [12]).
Prin urmare, obt inem
kfKn;(f)kLp
=k(fg) + (gKn;(g)) + (Kn;(g)Kn;(f))kLp

kfgkLp
+kgKn;(g)kLp
+kKn;(g)Kn;(f)kLp
:
Aplic^ nd acum (2.21)  si (2.18), primim
kKn;(g)Kn;(f)kLp
[g0(0)](p+1)=p
kfgkLp
: (2.22)
Acum, s a estim am kgKn;(g)kLp
pentrug2C1
+[0;1]. Astfel, din
Kn;(e0)(x) =e0(x) = 1  si (2.20) ;
primim
jg(x)Kn;(g)(x)j=jKn;(g(x))(x)Kn;(g(t))(x)jKn;(jg(x)g(
)j)(x):

2.2. APROXIMARE ^INLPCU TIPURI KANTOROVICH-CHOQUET 45
Deoarece pentru g2C1
+[0;1]  six;t2[0;1], primim (vezi, de exemplu, [47],
formula (2.5))
jg(x)g(t)jkg0kC[0;1]
jxtj=kg0kC[0;1]
'x(t);
aplicind aici Kn;, deoarece este subaditiva ca  si funct ie de f, rezult a u sor
Kn;(jg(x)g(
)j)(x)kg0kC[0;1]Kn;('x).
Prin urmare, luind la puterea p, integrind mai sus in raport cu x si,
obgtinem imediat
kgKn;(g)kLp
kg0kC[0;1]
kKn;('x)kLp
: (2.23)
Concluzionind din (2.22)  si (2.23)  si notind cp= 1+g0(0)(p+1)=p, obt inem
kfKn;(f)kLp
cp
kfgkLp
+kg0kC[0;1]

n;p=cp

;
unde am notat
n;p=kKn;('x)kLp
,'x(t) =jxtjpentrux;t2[0;1].
Dar rationamentele de la Pasul 1 din demonstrat ia Teoremei 2.2.2, ne
conduc la estimarea

n;p=cp[g0(0)](p+1)=p
cp
kKn;M('x)kLp
M[g0(0)](p+1)=p
cp
kKn;M('x)kC[0;1]
[g0(0)](p+1)=p
cp
1
2pn+ 11
2pn+ 1:
(pentru estimarea lui kKn;M('x)kC[0;1], am folosit inegalitatea
jKn;M('x)(x)jp
(n1)x(1x)
n+ 1;
vezi, de exemplu, [3], p. 334).
Aceasta demonstreaza imediat enunt ul din teorema. 
Observat ia 2.2.3. Pozitivitate funct iei fdin Teorema 2.2.2 este nece-
sara din cauza pozitiv omegeneitatii integralei Choquet folosit a in demon-
strat ie. Dac a feste de semn arbitrar  si m arginit a inferior pe [0 ;1] cu

46CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
f(x)m0, pentru tot i x2[0;1], atunci Teorema 2.2.2 poate  re-
enunt ata pentru operatorii Bernstein-Kantorovich-Choquet u sor modicati,
deniti prin
K
n;(f)(x) =Kn;(fm)(x) +m;
unde avem K
n;(f)(x)f(x) =Kn;(fm)(x)(f(x)m). Not am ca
deoarece putem considera aici ca m< 0, primim imediat relat iile
K(fm;t)Lp
= inf
g2C1
+[0;1]fkf(g+m)kLp
+tkrgkC[0;1]g
= inf
g2C1
+[0;1]fkf(g+m)kLp
+tkr(g+m)kC[0;1]g
= inf
h2C1[0;1];hmfkfhkLp
+tkrhkC[0;1]g:
2.3 Aproximare prin operatori posibilistici
integrali
In aceasta sect iune construim  siruri de operatori neliniari de aproximare,
prin inlocuirea in schema clasica a lui Feller, a integralei Lebesgue cu a sa
numita integral a posibilistic a. In particular, pentru cazul discret, sunt
reobt inuti a sa numit ii operatori de tip max-produs Bernstein, impreuna cu
propriet at ile lor calitative de aproximare. Mai mult, studiem  si convergent a
operatorilor neliniari de tip Picard, Poisson-Cauchy si Gauss-Weiesrtrass.
2.3.1 Introducere
Propriet at ile de aproximare cantitativa pentru operatorii max-produs tip
Bernstein, Sz asz-Mirakjan, Bleimann-Butzer-Hahn, Baskakov  si Meyer-K o-
nig-Zeller, au fost studiate in profunzime in, de exemplu, monograa [5].

2.3. APROXIMARE PRIN OPERATORI POSIBILISTICI INTEGRALI 47
Recent, in lucrarea [31], folosind idea lui Bernstein din [9]  si bazat a  si
pe o inegalitate de tip Chebyshev din teoria posibilitatii, aceste tipuri de
operatori au fost interpretate ca  si expectant e posibilistice ale unor vari-
abile fuzzy discrete (cu variate distributii posibilistice), fapt care a permis
obt inerea de rezultate de convergent  a calitative.
Teoria posibilitat ii este o teorie alternativa teoriei probabilitat ii, care se
ocupa cu anumite tipuri de evenimente incerte (vezi [18], [14]) .
Scopul principal al acestei sect iuni este de a dezvolta o alternativa posi-
bilistic a la schema binecunoscuta a lui Feller din aproximare. Aceasta
schema ne permite s a s a d am o abordare naturala operatorilor de aproxi-
mare de tip max-produs.
Rezumativ, s a ne reamintim ca schema clasic a a lui Feller const a din
ata sarea la orice funct ie continu a si m arginit a pe R, a operatorului
Ln(f)(x) =Z

fZ(n;x)dP=Z
Rf(t)
n;x(t)dP(t):
AiciPeste o probabilitate, (
;C) este un spat iu m asurabil, Z:NI!
M2(
), este o variabila aleatoare de p atrat integrabila (in raport cu P) pe

,Ieste un subinterval din Riarn;xeste densitatea de probabilitate a lui
Z(n;x).
Notind acum cu E(Z(n;x))  siVar(Z(n;x)) expectant a  si variant a lui
Z(n;x), in mod respectiv, sub ipotezele
lim
n!1E(Z(n;x)) =x; si lim
n!1Var(Z(n;x)) = 0;uniform pe I;
schema lui Feller arma ca pentru tot i fca mai sus, Ln(f) converge la f
uniform pe ecare subinterval compact al lui I.
Nu este f ar a interes s a ment ion am aici ca in lucrarea recenta Gal [32],
schema clasica a lui Feller a fost generalizata prin inlocuirea integralei
Lebesgue clasice cu integrala Choquet.

48CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
In cele ce urmeaza, prin analogie cu ideile anterioare, introducem, pe
scurt, o schema de tip Feller bazata pe integrala posibilistic a, fapt care
permite s a construim  siruri convergente variate de operatori neliniari. Ca
 si cazuri particulare. se reobt in propriet at ile calitative de aproximare la
tot i a sa-numit ii operatori de tip Bernstein max-produs. De asemenea, sunt
considerati  si noii operatori posibilistici convergenti de tip Picard, Gauss-
Weierstrass  si Poisson-Cauchy obt inuti prin aceasta shema a lui Feller.
2.3.2 Schema lui Feller posibilistica
^Incepem prin sumarizarea unor concepte cunoscute din teoria posibilitatii,
care, pe linga cele introduse prin Denit ia 2.1.3, vor  folosite ^ n cele ce
urmeaz a (vezi [18] sau [14]).
Denit ia 2.3.1. Fie
o mult ime nevida.
(i) Orice aplicat ie X:
!Rse nume ste variabil a fuzzy.
(ii) FieXo variabila fuzzy cu distribut ia posibilistic a . Atunci for-
mulaMsup(X) = sups2
X(s)(s) reprezint a expectant a posibilistic a a lui
X. De asemenea, formula Vsup(X) = supf(X(s)Msup(X))2(s);s2
g
reprezint a variant a posibilistic a a lui X.
De baz a in deducerea schemei lui Feller posibilistice este  si urm atoarea
analoag a posibilistic a a inegalit at ii lui Chebyshev din teoria probabilitatilor.
Teorema 2.3.2. (vezi Teorema 2.2 din [31]) Fie
6=;,X:
!R si
distributia de posibilitate pe
. Pentru tot i r>0, rezult a
P(fs2
;jX(s)Msup(X)jrg)Vsup(X)
r2;
cuPm asura posibilistic a indus a de c atre .
Pentru a ne indeplini scopul nostru, not am Varb(
) =fX:
!
R;marginit ag siVarb
+(
) =fX:
!R+;marginit ag. De asemenea,

2.3. APROXIMARE PRIN OPERATORI POSIBILISTICI INTEGRALI 49
pentru price interval IR, s a lu amZ:NI!Y, cuY=Varb(
) sau
Y=Varb
+(
).
Este clar ca putem scrie formulele
Msup(Z(n;x)) = (Pos)Z

Z(n;x)(t)dP(t) :=n;x; (2.24)
Vsup(Z(n;x)) = (Pos)Z

(Z(n;x)(t)n;x)2dP(t) :=2
n;x: (2.25)
Suntem acum in pozit ia de a enunt a urm atorul rezultat de tip Feller.
Teorema 2.3.3. (Coroianu-Gal-Opris-Trifa [15]) Presupunem c a IR
este un subinterval, Z(n;x)2Varb
+(
) pentru orice (n;x)2NI si
f:R!R+este m arginit a  si uniform continu a pe R. Folosind notat iile din
(2.24), (2.25)  si consider^ nd operatorii integrali posibilistici
Ln(f)(x) = (Pos)Z

fZ(n;x)dP;
sub ipotezele c a limn!+1n;x=x silimn!+12
n;x= 0, uniform cu x2I,
rezult a limn!1Ln(f)(x) =f(x), uniform pe I.
Observat ii. 1)^In Teorema 2.3.3, putem considera operatorii mai gen-
erali de forma
Ln(f)(x) := (Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t) = (Pos)Z

fZ(n;x)dPn;x; x2I;
undePn;x:P(
)![0;1], (n;x)2NI, este m asura de posibilitate indus a
de distribut ia n;x, (n;x)2NI.
2) In particular, propriet at i calitative de aproximare pot  deduse prin
schema lui Feller din Teorema 2.3.3, pentru tot i operatorii de tip max-produs
Bernstein. De exemplu, luind
= f0;1;:::;ng,I= [0;1],Z(n;x)(k) =k
n,
f: [0;1]!R+,n;x(k) =pn;k(x)Wn
j=0pn;j(x), undepn;k(x) =n
k

xk(1x)nk si

50CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
Wn
j=0pn;j(x) = max j=f0;:::;ngfpn;j(x)g, din Lema 2.3.3 primim
Ln(f)(x) = (Pos)Z

fZ(n;x)dPn;x=nW
k=0pn;k(x)fk
n

nW
k=0pn;k(x);
ceea ce reprezinta operatorii Bernstein B(M)
n(f)(x) de tip of max-produs,
carora le putem aplica acum Teorema 2.3.4.
In mod similar, din Teorema 2.3.3 se pot obt ine rezultate calitative
de aproximare pentru alt i operatori de tip max-produs, precum cei de
tip Sz asz(Mirakjan), Baskakov, Bleimann-Butzer si Hahn, si Meyer-K onig-
Zeller.
2.3.3 Aproximare prin operatori de convolutie posi-
bilistici
S a consider am operatorii clasici ai lui Picard, Poisson-Cauchy si Gauss-
Weierstrass,
Pn(f)(x) =n
2Z
Rf(t)enjxtjdt; Qn(f)(x) =n
Z
Rf(t)
n2(tx)2+ 1dt;
Wn(f)(x) =pnpZ
Rf(t)enjtxj2dt;
in mod respectiv, cu n2N six2R.
Bazat i pe schema posibilistic a a lui Feller, pentru
= f0;1;:::;k;:::;g
 siZ(n;x)(k) =k=nca  si in Observat ia 2 de mai sus, denind n;x(k) =
enjxk=njW1
k=1enjxk=nj, primim urmatorii operatori posibilistici (max-produs) Pi-
card
P(M)
n(f)(x) =W+1
k=1f(k=n)
enjxk=nj
W+1
k=1enjxk=nj:

2.3. APROXIMARE PRIN OPERATORI POSIBILISTICI INTEGRALI 51
Analog, dac a n;x(k) =en(xk=n)2
W1
k=1en(xk=n)2 sin;x(k) =1=(n2(xk=n)2+1)W1
k=01=(n2(xk=n)2+1)
primim urm atorii operatori posibilistici,
W(M)
n(f)(x) =W+1
k=1f(k=n)
en(xk=n)2
W+1
k=1en(xk=n)2;- de tip Gauss-Weierstrass ;
Q(M)
n(f)(x) =W+1
k=1f(k=n)
1
n2(xk=n)2+1W+1
k=11
n2(xk=n)2+1;- de tip Poisson-Cauchy :
Acum, not am BUC +(R) =ff:R!R+;fmarginit a, uniform continu a g.
Propriet at i calitative de aproximare pentru acesti operatori pot  obt inute
din Teorema 2.3.3. Mai mult dec^ t atit, prin urm atoarele rezultate putem
obt ine  si estim ari cantitative, dup a cum urmeaza.
Teorema 2.3.4. (Coroianu-Gal-Opris-Trifa [15]) Dac af2BUC +(R),
atunci avem
jP(M)
n(f)(x)f(x)j2
!1(f; 1=n)R:
Teorema 2.3.5. (Coroianu-Gal-Opris-Trifa [15]) Dac af2BUC +(R)
atunci avem
jW(M)
n(f)(x)f(x)j2
!1(f; 1=pn)R:
Teorema 2.3.6. (Coroianu-Gal-Opris-Trifa [15]) Dac af2BUC +(R),
atunci avem
jQ(M)
n(f)(x)f(x)j2
!1(f; 1=(2n))R:
O Aplicatie la Sectiunea 2.2. Intocmai ca si polinoamele Bernstein,
polinoamele de tip Choquet pot prezenta aplicatii in CAGD (Computer
Aided Geometric Design), adica in modelarea formelor cu autorul calcula-
torului (de exemplu, la designul caroseriilor unor masini).
Astfel, de exemplu, daca consideram polinoamele Kantorovich-Choquet
Kn;(f)(x) studiate in Sectiunea 2.2, din Corolarul 3.5, (ii) din lucrarea

52CAP. 2. APROXIMARE PRIN OPERATORI NELINIARI INTEGRALI
recenta Gal [28], rezulta ca Kn;(f)(x) conserva monotonia si concavitatea
pentru cazul cind (A) =p
M(A) undeMeste masura Lebesgue.
Pe de alta parte, din ultimul exemplu (vezi pp. 11-12) din lucrarea Gal
[34], rezulta ca ordinul de aproximare prin Kn;(f)(x) in cazul cind feste
crescatoare si concava, este mai bun decit ordinul de aproximare obtinut in
cazul operatorilor liniari.
In concluzie, alegind in mod potrivit functia de multime ,
utilizarea acestor polinoame Kantorovich-Choquet in CAGD ar
putea prezenta anumite avantaje fata de cazul utilizarii operato-
rilor liniari .

Cap. 3
Ordin arbitrar prin operatori
integrali pe R+
Fiindn>0,n2Nun  sir cu proprietatea c a n&0 arbitrar de rapid.
^In acest capitol introducem operatori liniari generalizat i Sz asz-Kantorovich,
Baskakov-Kantorovich, Sz asz-Durrmeyer-Stancu  si Baskakov-Sz asz-Durrme-
yer-Stancu, astfel ^ nc^ t pe ecare subinterval compact din [0 ;+1), or-
dinul de aproximare uniforma este !1(f;pn). Acesti operatori generalizati
aproximeaza uniform of funct ie Lipschitz 1, pe ecare subinterval compact
din [0;1), cu ordinul arbitrar de bunpn.
3.1 Introducere
Este binecunoscut faptul c a operatorii clasici ai lui Baskakov sunt dat i de
formula (vezi [4])
Vn(f)(x) =1X
j=0n+j1
jxj
(1 +x)n+jf(j
n)
53

54CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+
= (1 +x)n1X
j=0(n+j1)!
j!(n1)!xj
(1 +x)j
= (1 +x)n1X
j=0n(n+ 1):::(n+j1)
j!xj
(1 +x)j:
^In lucrarea recenta [39], acest operator a fost modicat prin inlocuirea lui n
cu1
n si au fost obt inute propriet at ile de aproximare (de un ordin arbitrar
de bun, depinzind de n) ale noului operator Baskakov, denit prin formula
Vn(f;n)(x) = (1+x)1
n1X
j=01
j!1
n(1+1
n):::(j1+1
n)(x
1 +x)jf(jn); x0:
Mai sus, prin convent ie, avem1
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n) = 1 pentru j= 0.
Cazul variabilei complexe pentru Vn(f;n)(z) a fost studiat in [38]. De
asemenea, in [30], idea de mai sus a fost aplicata la generalizarea de tip
Jakimovski-Leviatan-Ismail a operatorilor Sz asz-Mirakjan.
Scopul capitolului de fat a este ca, bazat i pe idea de mai sus, s a in-
troducem operatorii modicati/generalizati Sz asz-Kantorovich, Baskakov-
Kantorovich, Sz asz-Durrmeyer-Stancu  si Baskakov-Sz asz-Durrmeyer-Stancu,
intr-un astfel de mod ^ nc^ t pe ecare subinterval compact din [0 ;+1),
ordinul de aproximare s a e !1(f;pn). Acesti operatori modicati pot
aproxima uniform o funct ie 1-Lipschitz pe ecare subinterval compact din
[0;1), cu ordinul arbitrar de bunpndat de la inceput.
Din acest motiv, rezultatele obt inute in acest capitol au un caracter
denitiv (adic a sunt cele mai bune posibile). In acela si timp, rezultatele au
deasemenea  si un caracter de unicare, in sensul ca pentru variate alegeri
ale nodurilor n, se pot reobt ine rezultate anterioare de aproximare obt inute
de mult i alt i autori.

3.2. OPERATORI BASKAKOV-KANTOROVICH 55
3.2 Operatori Baskakov-Kantorovich
Este cunoscut faptul ca operatorii clasici Baskakov-Kantorovich sunt denit i
prin (vezi, de exemplu, [10])
Kn(f)(x) =1X
j=0n+j1
jxj
(1 +x)n+jnZ(j+1)=n
j=nf(v)dv
= (1 +x)n1X
j=0n(n+ 1):::(n+j1)
j!xj
(1 +x)jnZ(j+1)=n
j=nf(v)dv:
Dac a ^ nlocuim ncu1
n, atunci obt inem operatorii generalizati Baskakov-
Kantorovich, deniti prin formula
Kn(f;n)(x)
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n)xj
(1 +x)j1
nZ(j+1)n
jnf(v)dv:
Peste tot not am ek(x) =xk,k= 0;1;2;:::;:
Aceasta sect iune se ocupa cu propriet at ile de aproximare ale operatoru-
luiKn(f;n)(x). Pentru scopul nostru, mai ^ nt^ i avem nevoie de urm atorul
rezultat auxiliar.
Lema 3.2.1. (Trifa [57]) Avem :
(i)Kn(e0;n)(x) = 1 ;Kn(e1;n)(x) =x+1
2
n;Kn(e2;n)(x) =
x2+ 2nx+nx2+1
3
2
n;
(ii)Kn((tx)2;n)(x) =n
x2+x+1
3
n

.
Demonstrat ie. Folosind formulele din Corolarul 2.1 din [39],
Vn(e0;n)(x) = 1;Vn(e1;n)(x) =x;Vn(e2;n)(x) =x2+nx(1 +x);
vom calcula Kn(e0;n)(x),Kn(e1;n)(x),Kn(e2;n)(x),Kn((tx)2;n)(x).
(i) Prin urmare,
Kn(e0;n)(x)

56CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n)(x
1 +x)j1
nZ(j+1)n
jndv
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n)(x
1 +x)j1
n(jn+njn)
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n)(x
1 +x)j=Vn(e0;n)(x) = 1:
De asemenea,
Kn(e1;n)(x)
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n)(x
1 +x)j1
nZ(j+1)n
jnvdv
= (1 +x)1
n

1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n)(x
1 +x)j1
n1
2(j22
n+2
n+ 2j2
nj22
n)
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n)(x
1 +x)j1
n(1
22
n+j2
n)
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n)(x
1 +x)j1
n1
22
n
+(1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n)(x
1 +x)j1
nj2
n
=Vn(e1;n)(x) +1
2n(1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n(x
1 +x)j
=Vn(e1;n)(x) +1
2nVn(e0;n)(x) =x+1
2n:
Apoi,
Kn(e2;n)(x)
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n(x
1 +x)j1
nZ(j+1)n
jnv2dv

3.2. OPERATORI BASKAKOV-KANTOROVICH 57
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n(x
1 +x)j1
n1
3((j+ 1)33
nj33
n)
= (1 +x)1
n

1X
j=01
j!1
n(1+1
n):::(j1+1
n(x
1 +x)j1
n1
3(j33
n+3j23
n+3j3
n+3
nj33
n)
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n(x
1 +x)j1
n(j23
n+j3
n+1
33
n)
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n(x
1 +x)j1
nj23
n
+(1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n(x
1 +x)j1
nj3
n
+(1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n(x
1 +x)j1
n1
33
n
= (1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n(x
1 +x)jj22
n
+(1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n(x
1 +x)jj2
n
+1
3(1 +x)1
n1X
j=01
j!1
n(1 +1
n):::(j1 +1
n(x
1 +x)j2
n
=Vn(e2;n)(x)+nVn(e1;n)(x)+1
32
nVn(e0;n)(x) =x2+2nx+nx2+1
32
n:
(ii) In nal, primim
Kn((tx)2;n)(x) =Kn(t22tx+x2;n)(x)
=Kn(t2;n)(x)Kn(2tx;n)(x) +Kn(x2;n)(x)
=Kn(e2;n)(x)2xKn(e1;n)(x) +x2Kn(e0;n)(x)

58CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+
=x2+ 2nx+nx2+1
32
n2×2xn+x2=n(x+x2+1
3n):

Rezultatul principal al acestei sect iuni este urm atorul.
Teorema 3.2.2. (Trifa [57]) Fien&0(cun!1 ) c^ t de rapid
dorim  si s a presupunem ca f: [0;+1)!Reste uniform continu a pe
[0;+1)(scriemf2UC[0;+1)). Pentru orice x2[0;+1) sin2N,
avem
jKn(f;n)(x)f(x)j2!1(f;p
n
p
x2+x+n=3);
unde!1(f;) = supfjf(x)f(y)j;x;y2[0;+1);jxyjgnoteaz a
modulul de continuitate al lui f, cu pasul.
Demonstrat ie. Din teoria clasic a (vezi Shisha-Mond [54] sau, de exem-
plu, [1], Proposition 1.6.3), pentru orice operator liniar  si pozitiv Ldenit
peUC[0;+1), obt inem
jL(f)(x)f(x)j(1 +1p
L('2
x)(x))!(f;);
pentru tot i f2UC[0;+1);x2[0;+1);> 0, unde'x(t) =jtxj.
^Inlocuind mai sus LcuKn si tinind cont ca din Lema 3.2.1, (ii) avem
p
Kn((tx)2;n)(x) =r
n(x+x2+1
3n) =p
n
r
x+x2+1
3n;
aceasta implic a
jKn(f;n)(x)f(x)j(1 +1p
n
p
x+x2+n=3)!1(f;):
Alegind acum aici =pn
p
x2+x+n=3, primim
jKn(f;n)(x)f(x)j2!1(f;p
np
x+x2+n=3);
ceea ce demonstreaza estimarea din enunt . 

3.2. OPERATORI BASKAKOV-KANTOROVICH 59
Ca  si o consecint  a imediat a a Teoremei 3.2.2, primim urm atorul rezultat.
Corolar 3.2.3. (Trifa [57]) Fien&0c^ t de rapid dorim  si presupunem
cafeste o funct ie Lipschitz, adic a exist a M > 0cujf(x)f(y)jMjxyj,
pentru oricare x;y2[0;1). Atunci, pentru orice x2[0;+1) sin2N
avem
jKn(f;n)(x)f(x)j2Mp
n
p
x+x2+n=3:
Demonstrat ie. Deoarece prin ipoteza feste o funct ie Lipschitz, primim
u sor!1(f;)M, pentru tot i  >0. Alegind =pn
p
x+x2+n=3
 si aplic^ nd Teorema 3.2.2, primim estimarea dorit a. 
Observat ii. 1) Deoarece f2UC[0;+1), este binecunoscut faptul
ca primim lim &0!1(f;) = 0. Prin urmare, alegind =n, primim ca
pentrun!1 , deoarecen&0, trecind la limita cu n!1 in estimarea
din Teorema 3.2.2, rezult a c a Kn(f;n)(x)!f(x), punctual pentru orice
x2[0;+1). Acum, pentru a primi ordinul de convergent  a ^ n rezultatele
anterioare, expresiap
x+x2+n=3 trebuie s a e m arginit a, fapt care are
loc atunci cind xapartine unui subinterval compact din [0 ;+1).
2) Dac af2UC[0;+1), atunciKn(f;n)(x) este bine denit, adic a
jKn(f;n)(x)j<+1;pentru orice x2[0;+1)  sin2N:
^Intr-adev ar, dac a feste uniform continu a pe [0 ;+1), atunci cresterea pe
[0;+1) este liniar a, adic a exist a ; > 0 cujf(x)jx+, pentru orice
x2[0;+1) (vezi [17]). Aceasta implic a imediat
jKn(f;n)(x)jKn(jfj;n)(x)
Kn(e1;n)(x) +
=(x+n=2) + <+1;
pentru oricare x2[0;+1),n2N.

60CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+
3.3 Operatori Sz asz-Kantorovich
Formula pentru operatorii liniari  si pozitivi clasici Sz asz-Kantorovich este
data de (vezi, de exemplu, [59])
Sn(f)(x) =enx1X
j=0(nx)j
j!nZj+1
n
j
nf(v)dv=enx1X
j=0(nx)j
j!Z1
0f(t+j
n)dt:
Inlocuind mai sus ncu1
n, obt inem operatorii generalizati Sz asz-Kantorovich,
deniti prin formula
Sn(f;n)(x)
=ex
n1X
j=0xj
j
nj!1
nZ(j+1)n
jnf(v)dv=ex
n1X
j=0xj
j
nj!Z1
0f(n(t+j))dt:
Studiem aici propriet at ile de aproximare ale operatorului Sn(f;n)(x). Mai
intit, avem nevoie de urmatoarea lema.
Lema 3.3.1. (Trifa [57]) Avem :
(i)Sn(e0;n)(x) = 1 ;Sn(e1;n)(x) =x+1
2
n;Sn(e2;n)(x) =
x2+ 2nx+1
3
2
n;
(ii)Sn((tx)2;n)(x) =n
x+1
3
n

.
Demonstrat ie. (i) AvemSn(e0;n)(x) =ex=nP1
j=0xj
j!j
n= 1, pentru
oricex0  sin2N.
Apoi,
Sn(e1;n)(x) =ex=n1X
j=0xj
j!j
n1
n
1
2
[(j+ 1)n]2(jn)2
=ex=n1X
j=0xj
j!j
n1
2n

22
nj+2
n

=ex=n1X
j=0xj
j!j
nn
2+n
ex=n1X
j=0xj
j
j!j
n

3.3. OPERATORI SZ ASZ-KANTOROVICH 61
=n
2+x
ex=n1X
j=1xj1
(j1)!j1
n=n
2+x
ex=n1X
k=0xk
k!k
n=n
2+x:
De asemenea,
Sn(e2;n)(x) =ex=n1X
j=0xj
j!j
n1
n
1
3
[(j+ 1)n]3(jn)3
=ex=n1X
j=0xj
j!j
n1
3n

(3j2+ 3j+ 1)3
n
=2
n
3+ex=n1X
j=1xjj22
n
j!j
n+ex=n1X
j=1xjj2
n
j!j
n
=2
n
3+ex=n1X
j=1xjj(j1)2
n
j!j
n+ 2ex=n1X
j=1xjj2
n
j!j
n=x2+ 2xn+2
n
3:
(ii) Concluzionind, primim
Sn((
x)2;n)(x) =Kn(n;e2)(x)2x
Kn(n;e1)(x) +x2
=xn+2
n=3 =n(x+n=3):

Rezultatul principal al acestei sect iuni este urm atorul.
Teorema 3.3.2. (Trifa [57]) Fien&0(cun!1 ) c^ t de rapid
dorim  si presupunem ca f: [0;+1)!Reste uniform continu a pe [0;+1).
Pentru orice x2[0;+1) sin2N, avem
jSn(f;n)(x)f(x)j2!1(f;p
n
p
x+n=3):
Demonstrat ie. Rationind exact ca  si in demonstrat ia Teoremei 3.2.2,
putem scrie
jSn(f;n)(x)f(x)j(1 +1p
Sn('2
x;n)(x))!1(f;):

62CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+
Alegind aici =p
Sn('2
x;n)(x)  si folosind Lema 3.3.1, (ii), obt inem
jSn(f;n)(x)f(x)j2!1(f;p
n
r
x+1
3n)2!1(f;p
n
r
x+1
3n);
ceea ce demonstreaza teorema. 
Ca  si o consecint  a imediat a a Teoremei 3.3.2, primim urm atorul rezultat.
Corolar 3.3.3. (Trifa [57]) Fien&0c^ t de rapid dorim  si presupunem
cafeste o funct ie Lipschitz, adic a exist a M > 0cujf(x)f(y)jMjxyj,
pentru orice x;y2[0;1). Atunci, pentru orice x2[0;+1) sin2Navem
jSn(f;n)(x)f(x)j2Mp
n
p
x+n=3:
Demonstrat ie. Deoarece prin ipoteza feste o funct ie Lipschitz, primim
u sor!1(f;)M, pentru tot i >0. Alegind acum =pn
p
x+n=3
 si aplicind Teorema 3.3.2, primim estimarea dorita. 
3.4 Operatori de tip Sz asz-Durrmeyer
Reamintim ca operatorii clasici Sz asz-Durrmeyer operators sunt dat i de
formula (vezi [49])
SDn(f)(x) =n1X
j=0sn;j(x)Z1
0sn;j(t)f(t)dt;
undesn;j(x) =enx(nx)j
j!.
Dac a ^ nlocuim ncu1
n, atunci obt inem operatorii generalizat i Sz asz-
Durrmeyer, denit i cu formula
SDn(f;n)(x) =1
n1X
j=0ex
n
xj
j
nj!Z1
0et
n
tj
j
nj!f(t)dt:
^In prima parte a acestei sect iuni studiem propriet at ile de aproximare ale
operatorului SDn(f;n)(x). Mai ^ nt^ i, avem nevoie de urmatoarea lema.

3.4. OPERATORI DE TIP SZ ASZ-DURRMEYER 63
Lema 3.4.1. (Trifa [57]) Avem :
(i)SDn(e0;n)(x) = 1 ;SDn(e1;n)(x) =x+n;SDn(e2;n)(x) =
x2+ 4nx+ 22
n;
(ii)SDn((tx)2;n)(x) =n(2x+ 2n).
Demonstrat ie. (i) NotindIj(f) =R1
0et
n(t
n)j
j!f(t)dt, putem scrie
SDn(f;n)(x) =1
n1X
j=0ex
n(x
n)j
j!
Ij(f):
Acum, tinind cont ca f(t) =tp si facind schimbarea de variabil a v=t
n,
rezult a
Ij(ep) =nZ1
0ev
vj
j!
p
n
vpdv=p+1
n
j!
Z1
0evvp+jdv
=p+1
n
j!
(p+j+ 11) =p+1
n
j!
(p+j)!;
unde funct ia gamma a lui Euler.
Deci, pentru p= 0, avemIj(e0) =n
j!j! =n, ceea ce implic a
SDn(e0;n)(x) =1
n1X
j=0ex
n(x
n)j
j!n=1
nn= 1:
Acum, pentru p= 1 avemIj(e1) =(n)2
j!(j+ 1)! = (j+ 1)2
n, ceea ce implic a
SDn(e1;n)(x) =1
n1X
j=0ex
n(x
n)j
j!(j+ 1)2
n
=1
n1X
j=0ex
n(x
n)j
j!j2
n+1
n1X
j=0ex
n(x
n)j
j!2
n
=x+n:
In nal, pentru p= 2, avemIj(e2) =(n)3
j!(j+ 2)! = (j+ 1)(j+ 2)3
n, ceea
ce implic a
SDn(e2;n)(x) =1
n1X
j=0ex
n(x
n)j
j!(j2+ 3j+ 2)3
n

64CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+
=1
n1X
j=0ex
n(x
n)j
j!j23
n+1
n1X
j=0ex
n(x
n)j
j!3j3
n
+1
n1X
j=0ex
n(x
n)j
j!23
n= (x2+nx) + 3nx+ 22
n=x2+ 4nx+ 22
n:
(ii) Concluzionind, primim
SDn((tx)2;n)(x) =SDn(t2;n)(x)SDn(2tx;n)(x) +SDn(x2;n)(x)
=x2+ 4nx+ 22
n2x(x+n) +x2= 2nx+ 22
n;
ceea ce demonstreaza lema. 
Primul rezultat principal al acestei sect iuni este urm atorul.
Teorema 3.4.2. (Trifa [57]) Fien&0c^ t de rapid dorim  si pre-
supunem c a f: [0;+1)!Reste uniform continu a pe [0;+1). Pentru
oricarex2[0;+1) sin2N, avem
jSDn(f;n)(x)f(x)j2!1(f;p
n
p
2x+ 2n):
Demonstrat ie. Rationind exact ca  si in demonstrat ia Teoremei 3.2.2,
putem scrie
jSDn(f;n)(x)f(x)j(1 +1p
SDn('2
x;n)(x))!1(f;):
Alegind aici =p
SDn('2
x;n)(x)  si folosind Lema 3.4.1, (ii), obt inem
jSDn(f;n)(x)f(x)j2!1(f;p
n
p
2x+ 2n);
ceea ce demonstreaz a teorema. 
Ca o consecint  a imediat a a Teoremei 3.4.2, primim urm atorul rezultat.
Corolar 3.4.3. (Trifa [57]) Fien&0c^ t de rapid dorim  si presupunem
cafeste o funct ie Lipschitz, adic a exist a M > 0cujf(x)f(y)jMjxyj,

3.4. OPERATORI DE TIP SZ ASZ-DURRMEYER 65
pentru oricare x;y2[0;1). Atunci, pentru orice x2[0;+1) sin2N
avem
jSDn(f;n)(x)f(x)j2Mp
n
p
2x+ 2n:
Demonstrat ie. Deoarece prin ipotez a feste o funct ie Lipschitz, primim
u sor!1(f;)M, pentru tot i >0. Alegind acum =pn
p2x+ 2n
 si aplicind Teorema 3.4.2, primim estimarea dorita. 
In cele ce urmeaz a, vom introduce  si studia operatorii generalizati Sz asz-
Durrmeyer-Stancu. Astfel, este binecunoscut faptul ca operatorii clasici
Sz asz-Durrmeyer-Stancu sunt dati de formula (vezi [36])
SD(;)
n(f)(x) =n1X
j=0sn;j(x)Z1
0sn;j(t)fnt+
n+
dt;
unde 0; sisn;j(x) =enx(nx)j
j!:
Dac a inlocuim ncu1
n, obt inem :
SD(;)
n(f;n)(x) =1
n1X
j=0ex
n(x
n)j
j!Z1
0ex
n(x
n)j
j!f t
n+
1
n+!
dt:
Mai ^ nt^ i, demonstram urmatoarea lem a.
Lema 3.4.4. (Trifa [57]) Avem :
(i)SD(;)
n(e0;n)(x) = 1 ;SD(;)
n(e1;n)(x) =x
1+n+n(+1)
1+n;
SD(;)
n(e2;n)(x) =x2
(1 +n)2+n(2+ 3)
(1 +n)2x+2
n(2+ 2+ 2)
(1 +n)2;
(ii)SD(;)
n((tx)2;n)(x) =2
n2
(1+N)2×2+n(12(+1)n)
(1+n)2x+2
n(2+2+2)
(1+n)2.
Demonstrat ie. (i) Mai ^ nt^ i, calcul am T(;)
n;k(x) :=SD(;)
n(ek)(x),
k= 0;1;2. Pentru acest scop, won folosi urmatoarea formula din Lema 2.1
din [36]
T(;)
n;k =kX
j=0k
jnjkj
(n+)kTn;j(x); (3.1)

66CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+
undeTn;k(x) =SDn(ek)(x).
Prin urmare, inainte de asta avem nevoie s a calcul am Tn;k(x). Pentru
calculul lui Tn;k(x), folosim formula de recurent  a din Lema 2.2 din [35]
T0
n;k(x) =n
xTn;k+1(x)
n+k+ 1
x
Tn;k(x); (3.2)
tinind cont ca Tn;0(x) = 1.
Astfel, luind in (3.2) k= 0, primim imediat 0 =n
xTn;1(x)(n+
1=x)Tn;0(x), ceea ce implic a Tn;1(x) = (n+ 1=x)
x
n=x+ 1=n.
Luind in (3.2) k= 1, rezult a 1 =n
xTn;2(x)
n+2
x

x+1
n

, ceea ce
implic a
Tn;2(x) =
nx+ 3 +2
nx
x+1
n
=x2+3x
n+2
n2:
Intorcindu-ne acum la formula (3.1), pentru k= 0 obt inem T(;)
n;0(x) = 1,
pentruk= 1 obt inem
T(;)
n;1=1X
j=01
jnj1j
(n+)1Tn;j(x)
=
n++n
n+
x+1
n
=n
n+x++ 1
n+;
in timp ce pentru k= 1, primim
T(;)
n;2(x) =2X
j=02
jnj2j
(n+)2Tn;j(x)
=2
(n+)2+2n
(n+)2
x+1
n
+n2
(n+)2
x2+3x
n+2
n2
=n2
(n+)2×2+n(2+ 3)
(n+)2x+2+ 2+ 2
(n+)2:
Acum, dac a inlocuim ncu1
n, obt inem u sor
SD(;)
n(e0;n)(x) = 1;

3.4. OPERATORI DE TIP SZ ASZ-DURRMEYER 67
SD(;)
n(e1;n)(x) =x
1 +n+n(+ 1)
1 +n;
SD(;)
n(e2;n)(x) =x2
(1 +n)2+n(2+ 3)
(1 +n)2x+2
n(2+ 2+ 2)
(1 +n)2:
(ii) Avem
SD(;)
n((tx)2;n)(x)
=SD(;)
n(e2;n)(x)2xSD(;)
n(e1;n)(x) +x2SD(;)
n(e0;n)(x)
=x21
(1 +n)22
1 +n+ 1
+xn(2+ 3)
(1 +n)22n(+ 1)
1 +n
+2
n(2+ 2+ 2)
(1 +n)2
=2
n2
(1 +n)2×2+n(12(+ 1)n)
(1 +n)2x+2
n(2+ 2+ 2)
(1 +n)2;
ceea ce demonstreaza lema. 
Rezultatul principal privind acesti operatori de tip Stancu este urm atorul.
Teorema 3.4.5. (Trifa [57]) Fie0;,n&0c^ t de rapid dorim  si
presupunem c a f: [0;+1)!Reste uniform continu a pe [0;+1). Pentru
oricex2[0;+1) sin2N, avem
jSD(;)
n(f;n)(x)f(x)j2!1(f;p
n
q
E(;)
n(x));
unde
E(;)
n(x) =n2
(1 +n)2×2+12(+ 1)n
(1 +n)2x+n(2+ 2+ 2)
(1 +n)2
.Demonstrat ie. Rat ionind exact ca  si ^ n demonstrat ia Teoremei 3.2.2,
putem scrie
jSD(;)
n(f;n)(x)f(x)j(1 +1q
SD(;)
n('2
x;n)(x))!1(f;):
Alegind aici =q
SD(;)
n('2
x;n)(x)  si folosind Lema 3.4.1, (ii), obt inem
jSD(;)
n(f;n)(x)f(x)j2!1(f;p
n
q
E(;)
n(x));

68CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+
ceea ce demonstreaza teorema. 
Ca si o consecint  a imediat a a Teoremei 3.4.5, primim urm atorul rezultat.
Corolar 3.4.6. (Trifa [57]) Fie0;,n&0c^ t de rapid dorim  si
presupunem ca feste o funct ie Lipschitz, anume exist a M > 0cujf(x)
f(y)jMjxyj, pentru oricare x;y2[0;1). Atunci, pentru orice x2
[0;+1) sin2Navem
jSD(;)
n(f;n)(x)f(x)j2Mp
n
q
E(;)
n(x):
Demonstrat ie. Deoarece prin ipoteza feste o funct ie Lipschitz, primim
!1(f;)M, pentru tot i  >0. Alegind acum =pn
q
E(;)
n(x)  si
aplicind Teorema 3.4.5, primim estimarea dorita. 
3.5 Operatori Baskakov-Sz asz-Durrmeyer-Stan-
cu
Pentru 0;, operatorii clasici Baskakov- Sz asz-Durrmeyer-Stancu sunt
dati prin formula (vezi [46])
V(;)
n(f)(x) =n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)f(nt+
n+dt;
unde,sn;j(x) =enx(nx)j
j! si
bn;j(x) =n+j1
jxj
(1 +x)n+j= (1+x)nn(n+ 1):::(n+j1)
j!xj
(1 +x)j:
Dac a inlocuim ncu1
n, obt inem formula :
V(;)
n(f;n)(x)
=1
n1X
j=0(1 +x)1
n1
n(1
n+ 1):::(1
n+j1)
j!xj
(1 +x)j

3.5. OPERATORI BASKAKOV-SZ ASZ-DURRMEYER-STANCU 69

Z1
0et
n
(t
n)j
j!f(t
n+
1
n+)dt:
Mai ^ nt^ i, avem nevoie de urm atorul rezultat auxiliar.
Lema 3.5.1. (Trifa [57]) Avem :
(i)V(;)
n(e0;n)(x) = 1 ;V(;)
n(e1;n)(x) =1
1+nx+n+n
1+n;
V(;)
n(e2;n)(x) =1 +n
(1 +n)2×2+4n+ 2n
(1 +n)2x+2
n2+ 22
n+ 22
n
(1 +n)2;
(ii)
V(;)
n((tx)2;n)(x)
=n+2
n2
(1 +n)2×2+2n22
n22
n
(1 +n)2x+2
n2+ 22
n+ 22
n
(1 +n)2:
Demonstrat ie. (i) Vom face calculele in trei pa si :
Pasul 1. Calcul am U(0;0)
n;k(x) :=V(0;0)
n(ek)(x),k= 1;2 folosind formula
de recurent  a (vezi, de exemplu, Lema 2 din [45])
U(0;0)
n;k(x) =x(1 +x)
n
h
U(0;0)
n;k(x)i0
+nx+k+ 1
nU(0;0)
n;k(x); (3.3)
 si tinind cont c a U(0;0)
n;0(x) = 1. Luind k= 0 in (3.3), obt inem
U(0;0)
n;1(x) =x(1 +x)
n
(1)0+nx+ 1
n
1 =nx+ 1
n=x+1
n:
Pentruk= 1 in (3.3), primim
U(0;0)
n;2(x)
=x(1 +x)
n
(nx+ 1
n)0+nx+ 2
n
nx+ 1
n=x(1 +x)
n+(nx+ 2)(nx+ 1)
n2
=nx(1 +x) + (nx+ 1)(nx+ 2)
n2=x2+x2+ 4x
n+2
n2:
Pasul 2. Prin calcul direct  si bazat i pe rezultatele de la Pasul 1, vom obt ine
valorile pentru V(;)
n(ek)(x) :=U(;)
n;k(x),k= 0;1;2. Intr-adevar, bazat i pe
formulele
nt+
n+=n
n+t+
n+;

70CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+
U(;)
n;k(x) =n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)f(nt+
n+)dt; (3.4)
pentruk= 0 in (3.4) obt inem
U(;)
n;0(x) =V(;)
n(e0)(x) =n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)dt=U(0;0)
n;0(x) = 1:
Apoi, pentru k= 1 in (3.4) rezult a
U(;)
n;1(x) =n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)nt+
n+dt
=n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)n
n+tdt+
n+n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)dt
=n
n+
n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)tdt!
+
n+
U(0;0)
n;0(x)
=n
n+
U(0;0)
n;1(x) +
n+=n
n+nx+ 1
n+
n+=n
n+x++ 1
n+:
In nal, petru k= 2 in (3.4) obt inem
U(;)
n;2(x) =V(;)
n(e2)(x) =n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)(nt+
n+)2dt
=n2
(n+)2
n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)t2dt!
+2n
(n+)2
n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)tdt!
+2
(n+)2
n1X
j=0bn;j(x)Z1
0sn;j(t)dt!
=n2
(n+)2
U(0;0)
n;2(x) +2n
(n+)2
U(0;0)
n;1(x) +2
(n+)2
U(0;0)
n;0(x)
=n2
(n+)2nx(1 +x) + (nx+ 1)(nx+ 2)
n2+2n
(n+)2nx+ 1
n+2
(n+)2

3.5. OPERATORI BASKAKOV-SZ ASZ-DURRMEYER-STANCU 71
=nx(1 +x) + (nx+ 1)(nx+ 2) + 2(nx+ 1) +2
(n+)2
=n2+n
(n+)2×2+4n+ 2n
(n+)2x+2+ 2+ 2
(n+)2:
Pasul 3. Calcul am U(;)
n;k(x),k= 0;1;2, inlociund la Pasul 2, ncu1
n.
Rezult a imediat
V(;
n(e0;n)(x) =U(;)
n;0(x;n) = 1;
V(;)
n(e1;n)(x) =U(;)
n;1(x;n) =1
1 +nx+n+n
1 +n;
V(;)
n(e2;n)(x) =U(;)
n;2(x;n)
=1 +n
(1 +n)2×2+4n+ 2n
(1 +n)2x+2
n2+ 22
n+ 22
n
(1 +n)2:
(ii) Avem
V(;)
n((tx)2;n)(x)
=V(;)
n(e2;n)(x)2xV(;)
n(e1;n)(x) +x2V(;)
n(e0;n)(x)
=1 +n
(1 +n)2×2+4n+ 2n
(1 +n)2x+2
n2+ 22
n+ 22
n
(1 +n)2
2x1
1 +nx+n+n
1 +n
+x2
=n+2
n2
(1 +n)2×2+2n22
n22
n
(1 +n)2x+2
n2+ 22
n+ 22
n
(1 +n)2;
ceea ce demonstreaza lema. 
Rezultatul principal al acestei sect iuni este urm atorul.
Teorema 3.5.2. (Trifa [57]) Fie0;,n&0c^ t de rapid dorim  si
presupunem ca f: [0;+1)!Reste uniform continu a pe [0;+1). Pentru
oricarex2[0;+1) sin2N, avem
jV(;)
n(f;n)(x)f(x)j2!1(f;p
n
q
F(;)
n(x));

72CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+
unde
F(;)
n(x) =1 +n2
(1 +n)2×2+22n2n
(1 +n)2x+n2+ 2n+ 2n
(1 +n)2:
Demonstrat ie. Rat ion^ nd exact ca  si in demonstrat ia Teoremei 3.2.2,
putem scrie
jV(;)
n(f;n)(x)f(x)j(1 +1q
V(;)
n('2
x;n)(x))!1(f;):
Alegund aici =q
V(;)
n('2
x;n)(x)  si folosind Lema 3.5.1, (ii), obt inem
jS(;)
n(f;n)(x)f(x)j2!1(f;p
n
q
F(;)
n(x));
ceea ce demonstreaza teorema. 
Ca  si o consecint  a imediat a a Teoremei 3.5.2, primim urm atorul rezultat.
Corolar 3.5.3. (Trifa [57]) Fie0;,n&0c^ t de rapid dorim  si
presupunem ca feste o funct ie Lipschitz, adic a exist a M > 0cujf(x)
f(y)jMjxyj, pentru oricare x;y2[0;1). Atunci, pentru orice x2
[0;+1) sin2N, avem
jV(;)
n(f;n)(x)f(x)j2Mp
n
q
F(;)
n(x):
Demonstrat ie. Deoarece prin ipoteza feste o funct ie Lipschitz, primim
!1(f;)M, pentru tot i  >0. Alegind acum =pn
q
F(;)
n(x)  si
aplicind Teorema 3.5.2, primim reuzultatul din enunt . 
Observat ie. S a preciz am ca in Teoremele 3.2.2, 3.3.2, 3.4.2, 3.4.5  si
3.5.2, pentru orice  >0  sif: [0;+1)!Runiform continue, modulul de
continuitate !1(f;) este nit. Pentru convenienta cititorului, prezentam
mai jos demonstrat ia. Intr-adevar, pentru un "0xat, din denit ia uniform
continuitatii lui f, exist a un 0>0, astfel ^ nc^ tjf(x)f(y)j<" 0, pentru
tot ix;y2[0;+1) cujxyj0. Trecind aici la supremum dup a ace sti

3.5. OPERATORI BASKAKOV-SZ ASZ-DURRMEYER-STANCU 73
x;y, rezult a imediat ca !1(f;0)"0<+1. Fie acum  >  0arbitrar.
In mod evident ca exist a un p2Nsucient de mare, astfel ^ nc^ t p
0.
Folosind acum monotonia  si subaditivitatea lui !1(f;) ca  si funct ie de ,
primim
!1(f;)!1(f;p0)p
!1(f;0)<+1:
Putem deci concluziona ca propriet at ile de aproximare obt inute pentru
tot i operatorii din acest capitol au un caracter denitiv, adic a furnizeaza
ordine de aproximare arbitrar de bune. De asemenea, este bine de notat ca
metoda din acest capitol nu funct ioneaza pentru operatorii liniari  si pozi-
tivi ale caror expresii sunt date de sume nite  si sunt denit i pe intervale
m arginite (precum operatorii/polinoamele Bernstein, operatorii/polinoamele
Kantorovich, etc).

74CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI INTEGRALI PE R+

Cap. 4
Ordin arbitrar cu operatori
Kantorovich ^ n C
Prin folosirea unui  sir n>0,n2Ncu proprietatea c a n!0 oric^ t
de rapid, ^ n acest capitol obt inem ordinul de aproximare O(n) pentru
operatorii liniari generalizat i Baskakov-Kantorovich-Faber  si pentru opera-
torii liniari generalizati Sz asz-Kantorovich-Faber, in mod respectiv, ata sati
funct iilor analitice cu cre stere exponentiala intr-un continuu (adic a intr-o
nultime conex a, compact a) GC. Mai multe exemple concrete de contin-
uuri sunt prezentate, pentru care ace sti operatori pot  construit i in mod
explicit. In plus, obt inem ordinul de aproximare O(n) pentru operatorii
liniari generalizati Baskakov-Kantorovich-Walsh  si pentru operatorii liniari
generalizati Sz asz-Kantorovich-Walsh ata sati funct iilor analitice cu crestere
exponent ial a intr-o mult ime compact a multiplu conex a GC.
75

76CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
4.1 Mult imi compacte simplu conexe: Pre-
liminarii
Fien!0 arbitrar de rapid, satisf ac^ nd ^ n plus, f ar a a pierde din general-
itate, condit ia 0 <n1
2, pentru orice n2N.
In lucrarea [38], pentru funct iile analitice cu cre stere exponent iala in
mult imi compacte simplu conexe, s-a obt inut ordinul de aproximare O(n),
prin operatorii de forma
Wn(f;n;G;z)
=1X
k=0ak(f)
kX
j=0(1 +n)
:::
(1 + (j1)n)
[0;n;:::;jn;ek]
Fj(z):
AiciFj(z) reprezinta polinoamele Faber ata sate compactului G(numit  si
continuum), f(z) =P1
k=0ak(f)Fk(z) reprezinta dezvoltarea in serie Faber
a luifpeG si [0;n;:::;jn;ek] reprezinta diferent a divizata a lui g(z) =
ek(z) =zk, pej+ 1 noduri 0 ;n;:::;jn.
Prin aceasta metoda, ordinul de aproximare O(1=n) obt inut in [26],
Sect ion 1.9, pp. 124-138, pentru operatorii Baskakov clasici (adic a pentru
n= 1=n) in discuri compacte cu centrul in origine, a fost imbunatatit
(in [38]) la O(n) dat de c atre operatorii denit i mai sus, ata sati unei
submult imi compacte  si simplu conexe din C.
Este de ment ionat aici faptul c a acest domeniu privind estim ari canti-
tative in aproximarea cu alte tipuri de operatori complec si, se g ase ste in
multe alte lucrari, ca, de exemplu, in cart ile [26], [27], [46]  si in articolele
[25], [37]-[45].
Pentru scopul nostru, reamintim pe scurt c^ teva concepte de baza despre
polinoamelor Faber sau/ si despre dezvoltari in serie Faber.
Dac aGCeste mult ime compact a cu ~CnGconex a, not am cu A(G)

4.1. MULT  IMI COMPACTE SIMPLU CONEXE: PRELIMINARII 77
spat iul Banach al funct iilor continue pe G si analitice ^ n interiorul lui G, cu
normakfkG= supfjf(z)j;z2Gg. Dac a not am Dr=fz2C;jzj<rg, din
teorema aplicat iei Riemann, exist a in mod unic o aplicat ie conform a a lui
~CnD1pe~CnGcu propriet at ile ( 1) =1 si 0(1)>0.^In consecint  a,
pentruG^ i putem ata sa un polinom de grad n,Fn(z), numit polinomul lui
Faber , prin formula 0(w)
(w)z=P1
n=0Fn(z)
wn+1; z2G;jwj>1.
Pentruf2A(G) not am
an(f) =1
2iZ
juj=1f( (u))
un+1du=1
2Z
f( (eit))eintdt;n2N[f0g
care sunt denumit i coecient i Faber corespunz atori lui f siP1
n=0an(f)Fn(z)
este denumita dezvoltarea ^ n serie Faber a lui fpeG. S a not am c a seria
Faber este ^ n fapt o generalizare a seriei lui Taylor, la cazul cind discul
unitate se ^ nlocuie ste cu o mult ime simplu conex a, marginit a de o curb a
sucient de "neted a".
Propriet at i detailate ale polinoamelor lui Faber se g asesc in [24], [56].
FieGo submult ime compact a  si conex a din C(adic a un a sa zis continuu)
 si s a facem presupunerea c a feste analitic a ^ n G, adic a exist a R > 1
cu proprietatea c a feste analitic a pe GR, adic af(z) =P1
k=0ak(f)Fk(z),
z2GR. Aici notat ia GRreprezint a interiorul curbei (inchise) de nivel R,
denit a prin R=f (w);jwj=Rg(avemGGrpentru orice 1 <r<R ).
Fie 0<n1
2, pentru orice n2N, cun!0 arbitrar de rapid.
In cele ce urmeaz a, mai ^ nt^ i vom introduce o form a potrivit a pen-
tru operatorii generalizati Baskakov-Kantorovich-Faber, folosind metoda
din [38], utilizat a acolo pentru introducerea operatorilor Baskakov-Faber
Wn(f;n;G;z) ment ionat i ^ n Introducere.
In acest sens, reamintim c a ^ n [57], am studiat urm atoarea form a de

78CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
operatori Baskakov-Kantorovich de variabil a real a, x0,
Kn(n;f)(x) = (1 +x)1=n


1X
j=01
j!
1
n
1 +1
n

:::

j1 +1
n

x
1 +xj
Hn(f)(jn);
unde funct ia Hneste astfel ^ nc^ t
Hn(f)(jn) =1
n
Z(j+1)n
jnf(t)dt=1
n
Zjn+n
jnf(t)dt:
Este u sor de vazut ca putem deni Hn(f)(x) =1
n
Rx+n
xf(t)dt.
Acum, aplic^ nd Teorema 2 din [48], obt inem formula de reprezentare
Kn(f;n)(x) =1X
j=0(1 +n):::(1 + (j1)n)
[0;n;:::;jn;Hn(f)]xj;
x0, unde prin convent ie, (1 + n):::(1 + (j1)n) = 1 forj= 0.
Presupunind c a f(z) =P1
k=0ak(f)zkeste analitic a ^ n discul compact
jzjR, pentruHn(f)(z) obt inem reprezentarea
Hn(f)(z) =1
n
Zz+n
zf(t)dt=1
n
1X
k=0ak(f)
Zz+n
ztkdt
=1
n
1X
k=0ak(f)
k+ 1[(z+n)k+1zk+1] =1X
k=0ak(f)
k+ 1 kX
j=0k+ 1
j
zjkj
n!
=1X
k=0An;k(f)zk;
unde
An;k(f) =1X
j=kaj(f)
j+ 1jk
nj+ 1
k
: (4.1)
Rat ion^ nd ca  si ^ n [38], putem introduce ^ n mod formal urm atorii operatori
Baskakov-Kantorovich pe disc compact cu centrul ^ n origine, prin formula
Kn(f;n)(z) =1X
k=0An;k(f)
kX
j=0(1+n)
:::
(1+(j1)n)
[0;n;:::;jn;ek]zj:

4.1. MULT  IMI COMPACTE SIMPLU CONEXE: PRELIMINARII 79
^In nal, proced^ nd exact ca  si ^ n Denit ia 2.1 din [38] (adic a, ^ nlocuind zj
cuFj(z) ), dac af(z) =P1
k=0ak(f)Fk(z),z2GC, undeGCeste
compact a iar Fk(z) sunt polinoamele Faber ata sate lui G, putem introduce
urm atoarea denit ie.
Denit ia 4.1.1. (Trifa [58]) Operatorii generalizat i Baskakov-Kanto-
rovich-Faber ata sati lui G sifsunt denit i cu formula
Kn(f;n;G;z)
=1X
k=0An;k(f)
kX
j=0(1+n)
:::
(1+(j1)n)
[0;n;:::;jn;ek]Fj(z);(4.2)
unde pentru j= 0  sij= 1, lu am prin convent ie
(1 +n)
:::
(1 + (j1)n) = 1:
Observat ie. Pentrun= 1=n,n2N siG=D1, deoareceFj(z) =zj,
operatorii generalizat i Baskakov-Kantorovich-Faber de mai sus, se reduc la
operatorii clasici complec si Baskakov-Kantorovich.
Acelea si rat ionamente formale pot  aplicate  si operatorilor generalizat i
Sz asz-Kantorovich, denit i ^ n cazul real in [57], prin formula
Kn(f;n)(x) =ex=n1X
j=0xj
j!j
n
1
n
Z(j+1)n
jnf(v)dv:
^Intr-adev ar, potrivit lucr arii [29], pagina 976 ( si not^ nd acolobn
an:=n),
operatorii clasici generalizat i Sz asz, Sn(f;n)(z), pot  scri si, in mod formal,
prin formula
Sn(f;n)(x) =ex=n
1X
j=0f(jn)
xj
j
nj!:
Apoi, din formula (1), p. 976 din [29], (scris a din nou pentrubn
an:=n)
pentru operatorii generalizat i Sz asz, primim forma
Sn(f)(x) =ex=n1X
j=0xj
j
nj!
f(jn) =1X
j=0[0;n;:::;jn;f]
zj:

80CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
Pastr^ nd notat ia pentru Hn(f)(x), forKn(f;n)(x), in mod formal putem
scrie
Kn(f;n)(x) =ex=n1X
j=0xj
j!j
n
Hn(jn) =1X
j=0[0;n;:::;jn;Hn]
xj:
^Inlocuind acum xcuz si consider^ nd c a f(z) =P1
k=0ak(f)Fk(z) este dez-
voltarea Faber a lui fin compactul G, rat ion^ nd ca  si ^ n cazul Denit iei
4.1.1, putem introduce urm atorul concept.
Denit ia 4.1.2. (Trifa [58]) Operatorii generalizat i Sz asz-Kantorovich-
Faber ata sati lui G sifsunt (in mod formal) denit i prin
Kn(f;n;G)(z) =1X
k=0Ak(f)kX
j=0[0;n;:::;jn;ek]
Fj(z): (4.3)
4.2 Operatori Baskakov-Kantorovich-Faber
^In aceasta sect iune, metoda din [38] descris a ^ n Sect iunea 4.1, va  apli-
cat a operatorilor complec si Baskakov-Kantorovich studiat i ^ n cazul vari-
abilei reale ^ n [57].
Mai ^ nt^ i, avem nevoie de urm atorul rezultat auxiliar.
Lema 4.2.1. (Trifa [58]) Dac ajak(f)jM
Ak
k!,k2N, cuM > 0,
0<A< 1 si1n&0, atunci pentru An;k(f)dat i de formula (4.1) avem
estimarea
jAn;k(f)jeA

M
Ak
k!
:
Demonstrat ie. Obt inem
jAn;k(f)j1X
j=kjaj(f)j
j+ 1jk
nj+ 1
k
M1X
j=kAj
j!(j+ 1)
jk
nj+ 1
k
=M
1X
j=kAj
jk
n
k!(j+ 1k)!:

4.2. OPERATORI BASKAKOV-KANTOROVICH-FABER 81
Facind ^ n ultima sum a schimbarea de indice jk=p, obt inem
jAn;k(f)jM
1X
p=0Ap+k
p
n
k!(p+ 1)!MAk
k!1X
p=0Ap
p!=M
eA
Ak
k!;
ceea ce demonstreaza lema. 
Rezultatul principal al acestei sect iuni este urm atorul.
Teorema 4.2.2. (Trifa [58]) Fien&0,0<n1
2,n2N,Gun con-
tinuum  sifanalitic a pe G(deci exist a R> 1cuf(z) =P1
k=0ak(f)Fk(z),
z2GR).^In plus, mai presupunem existenta  unui M > 0 si a unui
A21
R;1

, cujak(f)jMAk
k!, pentru orice k= 0;1;:::; (de unde rezult a
jf(z)jC(r)MeArpentru orice z2Gr,1<r<R ). AiciGRnoteaz a inte-
riorul curbei de nivel inchise Rdat a de R=f (w);jwj=Rg siGGr,
pentru orice 1<r<R .
Fie1<r<1
Axat. Atunci, se poate g asi un indice n02N si constanta
C00(r;f)>0depinz^ nd de r sif, cu proprietatea c a pentru orice z2Gr si
nn0avem
jKn(f;n;G;z)f(z)jC00(r;f)
n;
undeKn(f;n;G;z)este dat de formula (4.2).
Demonstrat ie. Vom folosi ideile din demonstrat ia Teoremei 3.3 din
[38], schimbat a ^ n c^ teva locuri cu formula operatorului Kn(f;n;G)(z).
Not^ ndTn;k(z) =Pk
j=0(1+n)
:::
(1+(j1)n)
[0;n;:::;jn;ek]Fj(z),
avem
jKn(f;n;G)(z)f(z)jjKn(f;n;G)(z)1X
k=0An;k(f)
Fk(z)j
+j1X
k=0An;k(f)
Fk(z)1X
k=0ak(f)
Fk(z)j
1X
k=0jAn;k(f)j
jTn;k(z)Fk(z)j+1X
k=0jAn;k(f)ak(f)j
jFk(z)j:=  1+  2:

82CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
Acum, suma  1poate  estimat a exact ca  si ^ n demonstrat ia Teoremei 3.3
din [38], inlocuind pur  si simplu acolo ak(f) cuAn;k(f)  si tin^ nd cont de
estimarea din Lema 4.2.1 de mai sus. Astfel, obt inem
1C0(r;f)
n;
undeC0(r;f) =eA
Cr;fandC(r;f) este constanta obt inut a ^ n enunt ul
Teoremei 3.3 din [38].
R am^ ne de estimat  2.^In acest caz, deoarece ca  si in demonstrat ia
Teoremei 3.3 din [38], avem jFk(z)jC(r)
rk,k= 0;1;2;:::,  si deoarece
primul termen al sumei care exprim a An;k(f) este exact ak(f), primim
2C(r)
1X
k=0jAn;k(f)ak(f)j
rk
=C(r)1X
k=01X
j=k+1aj(f)jk
n
j+ 1
j+ 1
k
rk
C(r)1X
k=0rk1X
j=k+1jaj(f)jjk
n
j+ 1
j+ 1
k
MC(r)
1X
k=0rk1X
j=k+1Ajjk
n
j!(j+ 1)
j+ 1
k
=MC(r)
n
1X
k=0rk1X
j=k+1Ajjk1
n
j!(j+ 1)
j+ 1
k
=MC(r)
n
1X
k=0rk
k!1X
j=k+1Ajjk1
n
(j+ 1k)!:
Fac^ nd ^ n ultima sum a schimbarea de indice jk1 =p, rezult a
2MC(r)
n1X
k=0rk
k!1X
p=0Ap+k+1p
n
(p+ 2)!=MC(r)
n1X
k=0Ak+1rk
k!1X
p=0App
n
(p+ 2)!
MC(r)A
n1X
k=0Akrk
k!1X
p=0App
n
p!=MC(r)A
n1X
k=0Akrk
k!
eAn

4.3. OPERATORI SZ ASZ-KANTOROVICH-FABER 83
MC(r)AeA
n1X
k=0akrk
k!=MC(r)AeAeAr
n:
^In concluzie, obt inem
jKn(f;n;G)(z)f(z)jC00(r;f)
n;
ceea ce termin a demonstrat ia. 
Observat ii. 1) Este u sor de ar atat c a Teorema 4.2.2 r am^ ne adevarat a
^ n ipotezele mai generale jak(f)jPm(k)
Ak
k!, pentru orice k0, cuPm
polinom algebric cu propriet at ile grad(Pm) =m siPm(k)>0 pentru orice
k0,m2N.
2) Se pot da numeroase exemple pentru Gin care aplicat ia conform a  si
polinoamele lui Faber ata sate lui Gse pot explicita (vezi, de exemplu, [27],
pp. 81-83, sau [29]), dup a cum urmeaz a : G= [1;1],Geste m arginit a de
m-hipocicloid, Geste regulat m-stelata (m= 2;3;:::;),Gestem-lemniscat a
symetrica,m= 2;3;:::;,Geste semidisc, sau Geste o luna circular a. Drept
urmare, in aceste cazuri operatorii Baskakov-Kantorovich-Faber se pot  si ei
explicita.
4.3 Operatori Sz asz-Kantorovich-Faber
^In aceast a sect iune, metoda din [38] descris a in Sect iunea 4.1, va  aplicat a
la operatorii complec si de tip Sz asz-Kantorovich, studiat i ^ n cazul variabilei
reale ^ n [57].
Rezultatul principal este urm atorul.
Teorema 4.3.1. (Trifa [58]) Fien&0,0<n1
2,n2N,Gun con-
tinuum  sifanalitic a pe G(deci exist a R> 1cuf(z) =P1
k=0ak(f)Fk(z),
z2GR).^In plus, mai presupunem existenta  unui M > 0 si a unui

84CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
A21
R;1

, cujak(f)jMAk
k!, pentru orice k= 0;1;:::; (de unde rezult a
jf(z)jC(r)MeArpentru orice z2Gr,1<r<R ). AiciGRnoteaz a inte-
riorul curbei de nivel inchise Rdat a de R=f (w);jwj=Rg siGGr,
pentru orice 1<r<R .
Fie1<r<1
Axat. Atunci, se poate g asi un indice n02N si constanta
C000(r;f)>0depinz^ nd de r sif, cu proprietatea c a pentru orice z2Gr si
nn0avem
jKn(f;n;G;z)f(z)jC000(r;f)
n;
undeKn(f;n;G;z)este dat de formula (4.3).
Demonstrat ie. Vom folosi ideile din demonstrat ia Teoremei 3.3 din
[29], inlocuind peste tot in acea demonstrat iebn
ancun si schimb^ nd ^ n
anumite locuri exact cum am facut ^ n demonstrat ia Teoremei 4.2.2.
Intr-adev ar, not^ nd acum Tn;k(z) :=Pk
j=0[0;n;:::;jn;ek]Fj(z), avem
jKn(f;n;G)(z)f(z)jjKn(f;n;G)(z)1X
k=0An;k(f)
Fk(z)j
+j1X
k=0An;k(f)
Fk(z)1X
k=0ak(f)
Fk(z)j
1X
k=0jAn;k(f)j
jTn;k(z)Fk(z)j+1X
k=0jAn;k(f)ak(f)j
jFk(z)j:=  1+  2:
Acum, suma  1poate  estimata exact ca  si ^ n demonstrat ia Teoremei
3.3 din [29], ^ nlocuind acolobn
ancun,ak(f) byAn;k(f)  si t in^ nd cont de
estimarea din Lemma 4.2.1 de mai sus. Astfel, obt inem
1C0(r;f)
n;
undeC0(r;f) =eA
Cr;fandC(r;f) este constanta obt inut a ^ n enunt ul
Teoremei 3.3 din [29].

4.4. MULT  IMI COMPACTE MULTIPLU CONEXE : PRELIMINARII 85
Ram^ ne de estimat  2.^In acest caz, deoarece ca  si ^ n demonstratia
Teoremei 3.3 din [29], avem jFk(z)jC(r)
rk,k= 0;1;2;:::,  si deoarece
primul termen din suma care exprim a An;k(f) este exact ak(f), ^ ntocmai ca
 si ^ n demonstrat ia Teoremei 3.2 de mai sus, primim
2C(r)
1X
k=0jAn;k(f)ak(f)j
rkMC(r)AeA
n1X
k=0akrk
k!
=MC(r)AeAeAr
n:
^In concluzie, obt inem
jKn(f;n;G)(z)f(z)jC000(r;f)
n;
ceea ce termin a demonstrat ia teoremei. 
Observat ii. 1) Este u sor de ar atat c a Teorema 4.3.1 r am^ ne adevarat a
^ n ipotezele mai generale jak(f)jPm(k)
Ak
k!, pentru orice k0, cuPm
polinom algebric cu propriet at ile grad(Pm) =m siPm(k)>0 pentru orice
k0,m2N.
2) Se pot da numeroase exemple pentru Gin care aplicat ia conform a
 si polinoamele lui Faber ata sate lui Gse pot explicita (vezi Observatia 2
de dup a Teorema 4.2.2). Drept urmare, in aceste cazuri operatorii Sz asz-
Kantorovich-Faber se pot  si ei explicita.
4.4 Mult imi compacte multiplu conexe : Pre-
liminarii
Fief(z) =P1
k=0ak(f)Bk(z) dezvoltarea funct iei analitice f^ n serie Faber-
Walsh pe compactul multiplu conex G, undeBk(z) reprezint a a sa nu-
mitele polinoame Walsh ata sate lui G.^In lucrarea [33], se denesc  si

86CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
studiaz a operatorii complec si Sz asz-Mirakjan-Faber-Walsh, dati de formula
(vezi Denit ia 3 din [33])
Mn(f;n;G)(z) =1X
k=0ak(f)kX
j=0[0;n;:::;jn;ek]
Bj(z):
Scopul principal al urm atoarelor dou a sect iuni este de a obt ine pro-
priet at i de aproximare similare pentru operatorii Baskakov-Kantorovich-
Walsh ^ n Sect iunea 4.5  si pentru operatorii Sz asz-Kantorovich-Walsh ^ n
Sect iunea 4.6.
Dar, mai^ nt^ i, ^ n aceast a sect iune prezent am c^ teva chestiuni preliminare
despre polinoamele Walsh.
Polinoamele Faber au fost introduse de c atre Faber ^ n [19], ca  si asociate
unei mult imi compacte simplu conexe. Ele permit dezvoltarea funct iilor
analitice pe acea mult ime, ^ n serii analoage seriilor de puteri clasice.
^In Walsh [60], au fost introduse polinoame care le generalizeaz a pe cele
ale lui Faber, ata sate mult imilor compacte cu mai multe componente (adic a
a caror complementar a este un domeniu multiply conex). Aceste polinoame
Faber generalizate sunt numite polinoame Faber-Walsh  si de asemenea per-
mit dezvoltarea unei funct ii analitice in serie analoag a cu seria de puteri.
^In cele ce urmeaza, s a reamintim pe scurt c^ teva concepte de baz a privind
polinoamele Faber-Walsh polynomials  si dezvolt arile ^ n serie Faber-Walsh,
de care vom avea nevoie pe mai departe.
Peste tot ^ n Sect iunile 4.5  si 4.6, GCva  considerat a o mult ime
compact a const^ nd din mai multe componente, adic a ~CnGeste multiplu
conex a.
Denit ia 4.4.1. (vezi, de exemplu, Walsh [60]) Un domeniul lem-
niscatic este un domeniu de forma fw2~C;jU(w)j> g, unde > 0
este o anumita constant a iar U(w) = 
j=1(wj)mjpentru ni ste puncte

4.4. MULT  IMI COMPACTE MULTIPLU CONEXE : PRELIMINARII 87
1;:::;2C si exponenti reali m1;:::;m>0 cuP
j=1mj= 1.
^In cele ce urmeaz a, vom considera c a punctele 1;:::;au proprietatea
c a dintre ele pot  alese un  sir ( j)j2Nastfel ^ nc^ t pentru orice mult ime
inchis aCcare nu cont ine nici unul dintre punctele 1;:::;, exist a con-
stanteleA1(C);A2(C)>0 cu
A1(C)<jun(w)j
jU(w)jn<A 2(C); n= 0;1;2;:::; w2C; (4.4)
undeun(w) = n
j=1(wj).
FieD1;:::;Dmult imi compacte exterior mutuale (care nu se reduc
la un singur punct) ale planului complex astfel ^ nc^ t complementara lui
G:=S
j=1Djin planul complex extins, este o regiune conex a deschis a
cu-componente. Datorit a Teoremei 3 din Walsh [61], exist a un domeniu
lemniscatic
K1=fw2~C;jU(w)j>g
 si o bojectie conform a
 :~CnG!fw2~C;jU(w)j>g;cu (1) =1; si 0(1) = 1:
Aicieste capacitatea logaritmic a a lui G. Pe deasupra, bijectia invers a
conform a satisface
= 1=fw2~C;jU(w)>g! ~CnG;cu (1) = 1  si 0(1) = 1:
Consider am funct iile lui Green H1(w) = log(jU(w)j)log(),H=H1
 si pentrur>1 curbele lor de nivel
r=fw2C;H1(w) = log(r)g=fw2C;jU(w)j=rg;
(r) =fz2C;H(z) = log(r)g:

88CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
Avem r= (r). Not am cu Grinteriorul lui r si cuD1
rexteriorul lui
r(incluz^ nd1).
Este de observat c a pentru 1 <r< <R avemGGrGGR.
Datorit a Teoremei 3 din Walsh [60], pentru z2randw2D1
ravem
0(w)
(w)z=1X
n=0Bn(z)
un+1(w);cuBn(z) =1
2iZ
un(t)
0(t)
(t)zdt;>r:
PolinomulBn(z) este numit al n-lea polinom Faber-Walsh ata sat lui G si
(j)j2Niar potrivit cu Lema 2.5 din S ete [50], polinoamele Faber-Walsh sunt
independente de domeniul lemniscatic  si de aplicatia exterioar a .
Observat ii. 1) Demonstrat ia existent ei aplicat iei conforme anterioare
( si in mod implicit a existentei polinoamelor Faber-Walsh) a fost obt inut a
de Walsh [61]  si este bazat a pe ni ste rezultate asupra punctelor critice ale
polinoamelor obt inute ^ n cartea [62].
2) O proprietate interesant a a polinoamelor Faber-Walsh polynomials
obt inut a ^ n Walsh [60], pagina 31, relat ia (34), este c a
lim sup
k!1[kBkkG]1=k=;
proprietate care este similar a cu cea a polinoamelor Chebyshev ata sate
mult imii compacte multiplu conex a G si de asemenea are loc pentru multe
mult imi de polinoame denite prin proprietat i extremale (vezi Fekete-Walsh
[21], [22]). Aicik
kGnoteaz a norma uniform a pe G.
3)^In mod analog cu polinoamele Faber, datorit a Teoremei 3 din Walsh
[60], polinoamele Faber-Walsh permit dezvolt ari in serii ale funct iilor analitice
pe mult imi compacte. Anume, dac a feste analitic a^ n compactul G(cu mul-
tiple complementare conexe), exist a R > 1 astfel ^ nc^ t feste analitic a ^ n
GRiar ^ n interior GRadmite (local, uniform) dezvoltarea in serie f(z) =

4.4. MULT  IMI COMPACTE MULTIPLU CONEXE : PRELIMINARII 89
P1
k=0ak(f)Bk(z), cu
ak(f) =1
2iZ
f( (t))
uk+1(t)dt;1< <R: (4.5)
4) Dac aGeste simplu conex a, atunci polinoamele Faber-Walsh devin
polinoamele Faber.
5)^In rat ionamentele noastre, avem nevoie de asemenea de urm atoarea
estimare, vezi, de exemplu, Walsh [60], p. 29, relat ia (26)
jBk(z)jA1(r)k;for allz2r;1<r<R;k0; (4.6)
undeA1depinde doar de r.
De asemenea, din relat ia lim supn!1jakj1=k1
din Walsh [60], pagina
30, obt inem imediat estimarea
jak(f)jC(;;f )
()k;for allk= 0;1;:::; (4.7)
undeC(;;f )>0 este independenta de k. Observ am c a aici  si ^ n ratio-
namentele urm atoare vom alege 1 <r< <R .
6)^In trecut, ^ n timp ce polinoamele Faber au fost studiate  si folosite
in multe lucr ari publicate, polinoamele Faber-Walsh au fost rar studiate,
except^ nd cartea lui Suetin [56], care cont ine o sect iune scurt a despre ele.
Principalul motiv pentru neglijarea polinoamelor Faber-Walsh a fost c a nu
au fost cunoscute exemple explicite de aplicat ii lemniscatice conforme. Dar
foarte recent, prin lucrarile [50]-[53], polinoamele Faber-Walsh au fost aduse
in atentie din nou. Astfel, primul exemplu de aplicat ie conforma lemniscat-
ica Walsh pare s a e ment ionata in lucrarea foarte recenta a lui S ete-Liesen
[52]. De asemenea, primele formule explicite de polinoame Faber-Walsh
au fost studiate pentru cazul c^ nd Gconst a din doua intervale compacte
disjuncte in S ete-Liesen [53].

90CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
Pentru propriet at i suplimentare privind polinoamele Faber-Walsh, vezi,
de exemplu, Capitolul 13 din Suetin [56].
Av^ nd drept model denit iile din lucrarea [58], putem de asemenea in-
troduce urm atoarea denit ie.
Denit ia 4.4.2. FieD1;:::;Dmult imi compacte mutual exterioare
(nici una reduc^ ndu-se la un singur punct) ale planului complex, astfel
^ nc^ t complementara lui G:=S
j=1Djin planul complex extins este o
regiune deschis a multiplu conex a cu -componente  si s a presupunem ca
feste analitic a ^ n G, adic a exist a R> 1 astfel ^ nc^ t feste analitic a ^ n GR,
adic af(z) =P1
k=0ak(f)Bk(z) pentru tot i z2GR, undeBk(z) noteaz a
polinoamele Faber-Walsh ata sate lui GiarGRnoteaz a interiorul curbei de
nivel inchise R.
Operatorii generalizat i Baskakov-Kantorovich-Walsh  si operatorii gene-
ralizat i Sz asz-Kantorovich-Walsh ata sati lui G sif, ^ n mod formal vor
denit i cu
Kn(f;n;G)(z) =1X
k=0An;k(f)kX
j=0[0;n;:::;jn;ek]
Bj(z); (4.8)
 si
Kn(f;n;G)(z) =1X
k=0An;k(f)kX
j=0[0;n;:::;jn;ek]
Bj(z); (4.9)
in mod respectiv, unde
An;k(f) =1X
j=kaj(f)
j+ 1jk
nj+ 1
k
: (4.10)
Peste tot ^ n sect iunile urm atoare, ( n)n2Neste un  sir de numere reale
pozitive cu proprietatea c a n&0 arbitrar de rapid. F ar a a pierde din
generalitate, putem presupune ca n1
2, pentru orice n2N.

4.5. OPERATORI BASKAKOV-KANTOROVICH-WALSH 91
4.5 Operatori Baskakov-Kantorovich-Walsh
^In aceast a sect iune obt inem propriet at i de aproximare pentru operatorii
Baskakov-Kantorovich-Walsh.
^In demonstrat ia rezultatelor principale, avem de asemenea nevoie de
urm atorul rezultat auxiliar.
Lema 4.5.1. (vezi, de exemplu, Trifa [58]sau Lema 4.2.1) Dac ajak(f)j
M
Ak
k!,k2N, cuM > 0,0<A< 1 si1n&0, atunci pentru An;k(f)
dat i de formula (4.10), avem estimarea
jAn;k(f)jeA

M
Ak
k!
:
Acum suntem in pozit ia de a enunt a rezultatul principal.
Teorema 4.5.2. Fie1 siD1;:::;Dmult imi compacte mutual
exterioare (nici una reduc^ ndu-se la un singur punct) ale planului complex,
astfel ^ nc^ t complementara lui G:=S
j=1Dj^ n planul complex extins este o
regiune deschis a conex a  si cu -componente. Presupunem ca feste analitic a
^ nG, adic a inseamn a existent a unui R > 1cuf(z) =P1
k=0ak(f)Bk(z)
pentru oricare z2GR. Mai presupunem existent a constantelor M > 0 si
A2
1
R;1

, cujak(f)jMAk
k!, pentru orice k= 0;1;:::; (ceea ce implic a
jf(z)jC(r)MeArpentru orice z2Gr,1< r < R ). Aici,GR siGr
sunt cele denite ^ n Sect iunea 4.4.
Fie1< r <1
Axat. Atunci, se poate g asi un indice n02N si
C00(r;f; )>0ce depinde doar de r, sif, astfel ^ nc^ t pentru orice z2Gr
 sinn0avem
jKn(f;n;G;z)f(z)jC00(r;f; )
n:

92CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
Demonstrat ie. Vom folosi ideile din demonstrat ia Teoremei 3.2 din
[58], unde ^ nlocuim polinoamele Faber notate cu Fk(z), prin polinoamele
Faber-Walsh notate cu Bk(z).
Not^ ndTn;k(z) =Pk
j=0(1+n)
:::
(1+(j1)n)
[0;n;:::;jn;ek]Bj(z),
avem
jKn(f;n;G)(z)f(z)jjKn(f;n;G)(z)1X
k=0An;k(f)
Bk(z)j
+j1X
k=0An;k(f)
Bk(z)1X
k=0ak(f)
Bk(z)j
1X
k=0jAn;k(f)j
jTn;k(z)Bk(z)j+1X
k=0jAn;k(f)ak(f)j
jBk(z)j:=  1+ 2:
^In demonstrat ie vom folosi estimarea pentru polinoamele Faber-Walsh
din (4.6).
Mai ^ nt^ i, estim am suma  1folosind demonstrat ia Teoremei 3.3 din [38],
inlocuind acolo ak(f) byAn;k(f),Fk(z) cuBk(z)  si tin^ nd cont de estimarea
din Lemma 4.5.1 anterioar a.
Pentru acest scop, not am m(n) = [1=n]. Pentru 1 <r <R  siz2Gr,
primim
1X
k=0jAn;k(f)j
jTn;k(z)Bk(z)j
=m(n)X
k=0jAn;k(f)j
jTn;k(z)Bk(z)j+1X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
jTn;k(z)Bk(z)j
m(n)X
k=0jAn;k(f)j
jTn;k(z)Bk(z)j+1X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
jTn;k(z)j
+1X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
jBk(z)j
:=S1+S2+S3:

4.5. OPERATORI BASKAKOV-KANTOROVICH-WALSH 93
^In cazul lui S1, folosind Lema 4.5.1, primim estimarea
S1
m(n)X
k=0jAn;k(f)j
k1X
j=0(1 +n)
:::
(1 + (j1)n)
[0;n;2n;:::;jn;ek]
jBj(z)j
+m(n)X
k=0jAn;k(f)j
[(1 +n)
:::
(1 + (k1)n)1]
jBk(z)j
A1(r)
n
m(n)X
k=0jAn;k(f)j
(k+ 3)!
(r)k
+A1(r)m(n)X
k=0jAn;k(f)j
[(1 +n)
:::
(1 + (k1)n)1]
(r)k:
Deoarece
(1 +n)
:::
(1 + (k1)n)1(1 + (k1)n)k11
=k1X
j=1k1
j
((k1)n)j
=n
k1X
j=1k1
j
((k1)n)j1n
2k1;
primim (prin 2k1<(k+ 3)! )
S1A1(r)nm(n)X
k=0jAn;k(f)j(k+ 3)!(r)k+A1(r)nm(n)X
k=0jAn;k(f)j2k1(r)k
2A1(r)nm(n)X
k=0jAn;k(f)j(k+ 3)!(r)k:
Acum, deoarecejAn;k(f)jMeA
Ak
k!, pentru tot i k= 0;1;:::;, unde
A2
1
R;1
r
, rezult a
S12M
A1(r)
nm(n)X
k=0(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)
(Ar)k

94CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
2M
A1(r)
n
1X
k=0(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)
(Ar)k:
Pentru a estima S2, folosind  si Lema 4.5.1, obt inem
S21X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
jTn;k(z)j
1X
k=m(n)+1jAn;k(f)j

kX
j=0(1 +n)
:::
(1 + (j1)n)
[0;n;2n;:::;jn;ek]
jBj(z)j
A1(r)
1X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
(k+ 1)!
(r)k
= (m(n) + 2)
(Ar)m(n)+1
MeA
A1(r)1X
k=0(k+ 1)(Ar)k
MeAA1(r)n
1X
k=0(k+ 1)(Ar)k;
pentru tot i nn0, withn0depinz^ nd de r siA.
^Intr-adev ar, deoarece Ar < 1,a1[a]a+ 1  sim(n)!+1
pentrun!1 , rezult a u sor ca exist a acest n0cu proprietatea c a ( m(n) +
2)
(Ar)m(n)+1(1=n+ 2)
(Ar)1=nn, pentru tot i nn0.
Pentru a estima S3, deoarecek
m(n)+11, primim
S3A1(r)MeA
m(n) + 11X
k=m(n)+1kAk
k!(r)kA
r
A1(r)
MeAn1X
k=m(n)+1(Ar)k1
(k1)!
A
r
A1(r)
MeA
eAr
n:
Colectind acum estimarile pentru S1;S2 siS3, ajungem la estimarea
1C0(r;f; )
n:

4.5. OPERATORI BASKAKOV-KANTOROVICH-WALSH 95
Ram^ ne de estimat  2.^In acest caz, deoarece prin (4.6) avem jBk(z)j
A1(r)
(r)k,k= 0;1;2;:::,  si deoarece primul termen din suma care exprim a
An;k(f) este exact ak(f), primim
2A1(r)
1X
k=0jAn;k(f)ak(f)j
(r)k
=A1(r)1X
k=01X
j=k+1aj(f)jk
n
j+ 1
j+ 1
k
(r)k
A1(r)1X
k=0(r)k1X
j=k+1jaj(f)jjk
n
j+ 1
j+ 1
k
MA 1(r)
1X
k=0(r)k1X
j=k+1Ajjk
n
j!(j+ 1)
j+ 1
k
=MA 1(r)
n
1X
k=0(r)k1X
j=k+1Ajjk1
n
j!(j+ 1)
j+ 1
k
=MA 1(r)
n
1X
k=0(r)k
k!1X
j=k+1Ajjk1
n
(j+ 1k)!:
Fac^ nd ^ n ultima sum a schimbarea de indice jk1 =p, rezult a
2MA 1(r)
n1X
k=0(r)k
k!1X
p=0Ap+k+1p
n
(p+ 2)!
=MA 1(r)
n1X
k=0Ak+1(r)k
k!1X
p=0App
n
(p+ 2)!
MA 1(r)A
n1X
k=0Ak(r)k
k!1X
p=0App
n
p!=MA 1(r)A
n1X
k=0Ak(r)k
k!
eAn
MA 1(r)AeA
n1X
k=0Ak(r)k
k!=MA 1(r)AeAeAr
n:
^In concluzie, obt inem
jKn(f;n;G)(z)f(z)jC00(r;f; )
n;

96CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
ceea ce termin a demonstrat ia teoremei. 
Observat ii. 1) DeoareceP1
k=0(k+1)Pm(k)(Ar)k<+1siP1
k=0Pm(k+
1)
(Ar)k
k!<+1pentru oricare polinom algebric Pm, cugrad(Pm)msat-
isfac^ ndPm(k)>0 pentru orice k0, este imediat din demonstrat ie c a
Teorema 4.5.2 are loc sub ipoteza mai general a jak(f)jPm(k)
Ak
k!, pentru
oricek0.
2)^In cazul c^ nd mult imea Geste simplu conex a, Teorema 4.5.2 a fost
obt inut a ^ n [58].
3) Este bine de notat c a de fapt condit ia 1 din Teorema 4.5.2 poate
 neglijat a  si condit iile asupra lui A sirdin enunt ul Teoremei 4.5.2 poate
 scris ca  si A2(1=R;1), 1< r < 1=A(adic a independent de capacitatea
logaritmic a ), ^ n mod simplu, normaliz^ nd ^ n mod potrivit ca domeniul
lemniscatic s a e K1=fw:jU(w)j>1g si aleg^ nd 0(1) = 1=> 0.^Intr-
adev ar, ^ n acest caz, polinoamele ata sate Faber-Walsh ~Bk(z)  si coecient ii
Faber-Walsh ~ ak(f) din dezvoltarea f(z) =P1
k=0~ak(f)
~Bk(z), satisfac (4.5)
 si (4.6) f ar a ca s a apar a kin aceste estim ari (vezi, de exemplu, [33]).
4.6 Operatori Sz asz-Kantorovich-Walsh
^In aceast a sect iune obt inem propriet at i de aproximare pentru operatorii
Sz asz-Kantorovich-Walsh.
Rezultatul principal este urm atorul.
Teorema 4.6.1. Fie1 siD1;:::;Dmult imi compacte mutual
exterioare (nici una reduc^ ndu-se la un singur punct) ale planului complex,
astfel ^ nc^ t complementara lui G:=S
j=1Djin planul complex extins este
o regiune deschis a cu -componente. S a presupunem ca feste analitic a
^ nG, ceea ce inseamn a existent a unui R > 1cuf(z) =P1
k=0ak(f)Bk(z)

4.6. OPERATORI SZ ASZ-KANTOROVICH-WALSH 97
pentru orice z2GR. Mai presupunem existent a constantelor M > 0 si
A2
1
R;1

, cujak(f)jMAk
k!, pentru orice k= 0;1;:::; (adic ajf(z)j
C(r)MeArpentru orice z2Gr,1< r < R ). Aici,GR siGrsunt cele
denite ^ n Sect iunea 4.4.
Fie1< r <1
Axat. Atunci, se oate gasi un indice n02N si
C000(r;f; )>0ce depinde numai de r, sif, cu proprietatea c a pentru
oricez2Gr sinn0, avem
jKn(f;n;G;z)f(z)jC000(r;f; )
n:
Demonstrat ie. Vom folosi ideile din demonstrat ia Teoremei 2 din [33],
combinate cu cele din demonstrat ia Teoremei 4.1 din [58].
^Intr-adev ar, not^ nd Tn;k(z) :=Pk
j=0[0;n;:::;jn;ek]Bj(z), avem
jKn(f;n;G)(z)f(z)jjKn(f;n;G)(z)1X
k=0An;k(f)
Bk(z)j
+j1X
k=0An;k(f)
Bk(z)1X
k=0ak(f)
Bk(z)j
1X
k=0jAn;k(f)j
jTn;k(z)Bk(z)j+1X
k=0jAn;k(f)ak(f)j
jBk(z)j:=1+2:
Acum, suma  1poate  estimat a exact ca  si in demonstrat ia Teoremei 2
din [33], ^ n mod simplu, ^ nlocuind acolo ak(f) cuAn;k(f)  si tin^ nd cont de
estim arile din (4.6)  si de Lema 4.5.1 de mai sus. Mai precis, primim
1X
k=0jAn;k(f)j
jTn;k(z)Bk(z)j
=m(n)X
k=0jAn;k(f)j
jTn;k(z)Bk(z)j+1X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
jTn;k(z)Bk(z)j

98CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
m(n)X
k=0jAnk(f)j
jTn;k(z)Bk(z)j+1X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
jTn;k(z)j
+1X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
jBk(z)j
:=S1+S2+S3:
^In cazul lui S1, folosind Lema 4.5.1 din [29]  si estimarea (4.6), jBj(z)j
C(r)
(r)j,z2Gr,j0, rezult a
S1m(n)X
k=0jAn;k(f)j
k1X
j=0[0;n;2n;:::;jn;ek]
jBj(z)j
A1(r)
n
m(n)X
k=0jAn;k(f)j
(k+ 1)!
2
(r)k:
DinjAnk(f)jM
eA
Ak
k!, pentru tot i k= 0;1;:::;, undeA2
1
R;1
r
(vezi Lema 4.5.1), primim
S1M
eA
A1(r)
2
nnX
k=0(k+ 1)
(Ar)k
M
eA
A1(r)
2
n
1X
k=0(k+ 1)
(Ar)k;
undeP1
k=0(k+ 1)
(Ar)k<+1.
Pentru a estima S2, mai ^ nt^ i din relat ia Ar< 1,a1[a]a+ 1  si
m(n)%+1pentrun!1 , se vede u sor ca exist a n0depinz^ nd de r siA,
astfel ^ nc^ t
(m(n)+2)
(Ar)m(n)+1(1=n+2)
(Ar)an=bnn;pentru tot i nn0:
Acum, folosind Lema 3.2 din [38], pentru tot i nn0avem
S21X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
jTn;k(z)j

4.6. OPERATORI SZ ASZ-KANTOROVICH-WALSH 99
1X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
kX
j=0[0;n;2n;:::;jn;ek]
jBj(z)j
A1(r)
1X
k=m(n)+1jAn;k(f)j
(k+ 1)!
(r)k
(m(n) + 2)
(Ar)m(n)+1
M
eA
A1(r)1X
k=0(k+ 1)(Ar)k
MeAA1(r)n
1X
k=0(k+ 1)(Ar)k:
^In nal, pentru a estima S3, deoarecek
m(n)+11, obt inem
S3A1(r)
MeA
m(n) + 1
1X
k=m(n)+1k
Ak
k!
(r)k

A
r
A1(r)
M
eAn
1X
k=m(n)+1(Ar)k1
(k1)!
eAr

A
r
A1(r)
M
eA
n:
Colect^ nd toate estim arile de mai sus pentru S1;S2 siS3, primim imediat
estimarea
1C0(r;f; )
n:
Ram^ ne de estimat  2.^In acest caz, deoarece din (4.6) avem jBk(z)j
A1(r)
(r)k,k= 0;1;2;:::,  si deoarece primul termen din suma care exprima
An;k(f) este exact ak(f), exact ca  si ^ n demonstrat ia Teoremei 3.2 din [58]
(vezi de asemenea demonstrat ia Teoremei 4.5.2 de mai sus), primim
2C(r)
1X
k=0jAn;k(f)ak(f)j
(r)kMA 1(r)AeA
n1X
k=0Ak(r)k
k!
=MA 1(r)AeAeAr
n:

100CAP. 4. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI KANTOROVICH ^INC
^In concluzie, obt inem
jKn(f;n;G)(z)f(z)jC00(r;f)
n;
ceea ce termin a demonstrat ia teoremei. 
Observat ii. 1) DinP1
k=0(k+ 1)Pm(k)(Ar)k<+1 siP1
k=0Pm(k+
1)
(Ar)k
k!<+1pentru orice polinom algebric Pmde gradmsatisfac^ nd
Pm(k)>0 pentru orice k0, este imediat din demonstrat ie c a Teorema
4.6.1 are loc^ n ipoteza mai general a jak(f)jPm(k)
Ak
k!, pentru orice k0.
2)^In cazul c^ nd mult imea Geste un compact simplu conex, Teorema
4.6.1 a fost demonstrat a ^ n [58].
3) Este bine de notat c a de fapt condit ia 1 din Teorema 4.6.1 poate
 neglijat a  si condit iile asupra lui A sirdin enunt ul Teoremei 4.6.1 pot
scrise ca  si A2(1=R;1), 1< r < 1=A(adic a independent de capacitatea
logaritmic a ), ^ n mod simplu, normaliz^ nd in mod potrivit ca domeniul
lemniscatic s a e K1=fw:jU(w)j>1g si aleg^ nd 0(1) = 1=> 0.^Intr-
adev ar, ^ n acest caz, polinoamele ata sate Faber-Walsh ~Bk(z)  si coecient ii
Faber-Walsh ~ ak(f) din dezvoltarea f(z) =P1
k=0~ak(f)
~Bk(z), satisfac (4.5)
 si (4.6) f ar a ca s a apar a k^ n aceste estim ari (vezi, de exemplu, [33]).

Bibliograe
[1] O. Agratini, Approximation by Linear Operators (Romanian), Univer-
sity Press, "Babe s-Bolyai" University, Cluj-Napoca, 2000.
[2] O. Agratini, Approximation with arbitrary order by certain linear pos-
itive operators, Positivity , online access, 2018, DOI: 10.1007/s11117-
018-0570-9
[3] F. Altomare, M. Campiti, Korovkin-type Approximation Theory and
its Applications , de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 17. New
York, Berlin, 1994.
[4] V. A. Baskakov, An example of a sequence of linear positive opera-
tors in the space of continuous functions (Russian), Dokl. Akad. Nauk
SSSR ,113(1957), 249-251.
[5] B. Bede, L. Coroianu, S. G. Gal, Approximation by Max-Product Type
Operators , Springer, New York, 2016.
[6] E. E. Berdysheva, Uniform convergence of Bernstein-Durrmeyer op-
erators with respect to arbitrary measure, J. Math. Anal. Appl. ,
394(2012), 324-336.
101

102 BIBLIOGRAFIE
[7] E. E. Berdysheva, B.-Z. Li, On Lp-convergence of Bernstein-
Durrmeyer operators with respect to arbitrary masure, Publ. Inst.
Math. (Beograd, N.S. ,96(110)(2014), 23-29.
[8] E. E. Berdysheva, K. Jetter, Multivariate Bernstein-Durrmeyer oper-
ators with arbitrary weight functions, J. Approx. Theory ,162(2010),
576-598.
[9] S. N. Bernstein, D emonstration du th eor em de Weierstrass fonde e
sur le calcul des probabilit es, Commun. Soc. Math. Kharkov ,
13(1912/1913), 1-2.
[10] T. K. Boehme, A. M. Bruckner, Functions with convexx means, Pa-
cic J. Math. ,14(1964), 1137-1149.
[11] M. Campiti, G. Metafune, Lp-convergence of Bernstein-Kantorovich-
type operators, Ann. Polon. Math. ,LXIII (1996), 273-280.
[12] J. Cerd a, J., Mart n, P. Silvestre, Capacitary function spaces, Collect.
Math. ,62(2011), 95-118.
[13] G. Choquet, Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) ,
5(1954), 131-295.
[14] G. De Cooman, Possibility theory. I. The measure-and integral-
theoretic groundwork, Internat. J. Gen. Systems ,25(1997), no. 4,
291-323.
[15] L. Coroianu, S. G. Gal, D. B. Opri s, S. Trifa , Feller's scheme in
approximation by nonlinear possibilistic integral operators, Numer.
Funct. Anal. Optim. ,38(2017), No. 3, 327-343.

BIBLIOGRAFIE 103
[16] D. Denneberg, Non-Additive Measure and Integral , Kluwer Academic
Publisher, Dordrecht, 1994.
[17] S. Djebali, Uniform continuity and growth of real continuous func-
tions, Int. J. Math. Education in Science and Technology ,32(2001),
No. 5, 677-689.
[18] D. Dubois, H. Prade, Possibility Theory , Plenum Press, New York,
1988.
[19] G. Faber, Uber polynomische Entwicklungen, Math. Ann. ,64(1907),
116-135.
[20] J. Favard, Sur les multiplicateurs d'interpolation, J. Math. Pures
Appl. ,23(1944), No. 9, 219-247.
[21] M. Fekete, J. L. Walsh, On the asymptotic behavior of polynomials
with extremal properties, and of their zeros, J. d'Analyse Math. ,4
(1954), 49-87.
[22] M. Fekete, J. L. Walsh, Asymptotic behavior of restricted extremal
polynomials, and of their zeros, Pacic J. Math. ,7(1957), 1037-1064.
[23] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications ,
vol. II, Wiley, New York, 1966.
[24] D. Gaier, Lectures on Complex Approximation , Birkhauser, Boston,
1987.
[25] S. G. Gal, Approximation in compact sets by q-Stancu-Faber polyno-
mials,q>1,Comput. Math. Appl. ,61(2011), no. 10, 3003-3009.

104 BIBLIOGRAFIE
[26] S. G. Gal, Approximation by Complex Bernstein and Convolution-
Type Operators , World Scientic Publ. Co, Singapore-Hong Kong-
London-New Jersey, 2009.
[27] S. G. Gal, Overconvergence in Complex Approximation , Springer, New
York, 2013.
[28] S. G. Gal, Shape preserving properties and monotonicity properties
of the sequences of Choquet type integral operators, trimisa spre pub-
licare.
[29] S. G. Gal, Approximation of analytic functions by generalized Favard-
Sz asz-Mirakjan-Faber operators in compact sets, Complex Anal. Oper.
Theory ,9(5)(2015), 975-984.
[30] S. G. Gal, Approximation with an arbitrary order by generalized
Sz asz-Mirakjan operators, Stud. Univ. Babes-Bolyai, ser. Math. ,
59(1)(2014), 77-81.
[31] S. G. Gal, A possibilistic approach of the max-product Bernstein kind
operators, Results Math. ,65(2014), 453-462.
[32] S. G. Gal, Approximation by Choquet integral operators, Ann. Mat.
Pura Appl. ,195(3)(2016), 881-896.
[33] S. G. Gal, Approximation by Bernstein-Faber-Walsh and Sz asz-
Mirakjan-Faber-Walsh operators in multiply connected compact sets
ofC, in : Progress in Approximation Theory and Applicable Complex
Analysis, Springer Optimization and Its Applications (N.K. Govil et
al. eds.), 117, under press.

BIBLIOGRAFIE 105
[34] S. G. Gal, Uniform and pointwise quantitative approximation by
Kantorovich-Choquet type integral operators with respect to mono-
tone and submodular set functions, Mediterr. J. Math. ,14(2017),
No. 5, article 205, 12 pp., DOI 10.1007/s00009-017-1007-6
[35] S. G. Gal, V. Gupta, Approximation by complex Sz asz-Durrmeyer
operators in compact disks, Acta Math. Scientia ,34B(4)(2014), 1157-
1165.
[36] S. G. Gal, V. Gupta, Approximation by complex Sz asz-Mirakjan-
Stancu-Durrmeyer operators in compact disks under exponential
growth, Filomat ,29(5)(2015), 1127-1136.
[37] S. G. Gal, V. Gupta, Approximation by complex Durrmeyer type op-
erators in compact disks, in : Mathematics without Boundaries, Sur-
veys in Interdisciplinary Research , P.M. Pardalos and T.M. Rassias
(editors), Springer, New York-Heidelberg-Dordrecht-London, 2014,
pp. 263-284.
[38] S. G. Gal, D. B. Opri s, Approximation of analytic functions with an
arbitrary order by generalized Baskakov-Faber operators in compact
sets, Complex Anal. Oper. Theory ,10(2) (2016), 369-377.
[39] S. G. Gal, D. B. Opri s, Approximation with an arbitrary order by
modied Baskakov type operators, Appl. Math. Comp. ,265(2015),
329-332.
[40] S. G. Gal, D. B. Opri s, Uniform and pointwise convergence of
Bernstein-Durrmeyer operators with respect to monotone and sub-
modular set functions, J. Math. Anal. Appl. ,424(2015), 1374-1379.

106 BIBLIOGRAFIE
[41] S. G. Gal, S. Trifa , Quantitative estimates in uniform and
pointwise approximation by Bernstein-Durrmeyer-Choquet operators,
Carpathian J. Math. ,33(1)(2017), 49-58.
[42] S. G. Gal, S. Trifa , Quantitative estimates in Lp-approximation
by Bernstein-Durrmeyer-Choquet operators with respect to distorted
Borel measures, Results in Mathematics ,72(2017), no. 3, 1405-1410.
[43] S. G. Gal, S. Trifa , Quantitative estimates in Lp-approximation by
Kantorovich-Choquet operators with respect to distorted Borel mea-
sures, trimisa spre publicare.
[44] H. Gonska, D. Kacs o, I. Rasa, The genuine Bernstein-Durrmeyer op-
erators revisited. Results Math. ,62, 295-310(2012).
[45] V. Gupta, Complex Baskakov-Sz asz operators in compact semi-disks,
Lobachevskii J. Math. ,35(2014), no. 2, 65-73.
[46] V. Gupta, R. P. Agarwal, Convergence Estimates in Approximation
Theory , Springer, New York, 2014.
[47] B.-Z. Li, Approximation by multivariate Bernstein-Durrmeyer oper-
ators and learning rates of least-square regularized regression with
multivariate polynomial kernel, J. Approx. Theory ,173(2013), 33-55.
[48] A. Lupa s, Some properties of the linear positive operators, II, Math-
ematica(Cluj) ,9(32) (1967), 295-298.
[49] S. M. Mazhar, V. Totik, Approximation by modied Sz asz operators,
Acta Sci. Math. ,49(1985), 257-269.

BIBLIOGRAFIE 107
[50] O. S ete, Some properties of Faber-Walsh polynomials,
arXiv:1306.1347 (2013) .
[51] O. S ete, Oral communication .
[52] O. S ete, J. Liesen, On conformal maps from lemniscatic domains onto
multiply-connected domains, Electronic Transactions on Numerical
Analysis (ETNA) ,45(2016), 1-15.
[53] O. S ete, J. Liesen, Properties and examples of Faber-Walsh polyno-
mials, Comput. Methods Funct. Theory , 2016, online access : DOI:
10.1007/s40315-016-0176-9
[54] O. Shisha, B. Mond, The degree of convergence of linear positive
operators, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. ,60(1968), 1196-1200.
[55] D. D. Stancu, On a generalization of the Bernstein polynomials (Ro-
manian), Studia Univ. Babes-Bolyai Ser. Math.-Phys. ,14(2)(1969),
31-45.
[56] P. K. Suetin, Series of Faber Polynomials , Gordon and Breach, Ams-
terdam, 1998.
[57]S. Trifa , Approximation with an arbitrary order by generalized
Kantorovich-type and Durrmeyer-type operators on [0 ;+1),Stu-
dia Universitatis "Babes-Bolyai" , series mathematics, vol. 62, no. 4
(2017), 485-500.
[58]S. Trifa , Approximation of analytic functions with an arbitrary order
by Baskakov-Kantorovich-Faber and Sz asz-Kantorovich-Faber opera-
tors in compact sets, Anal. Univ. Oradea, fasc. math. , vol. 25, no. 1,
(2018), 181-186 .

108 BIBLIOGRAFIE
[59] Z. Walczak, On approximation by modied Sz asz-Mirakjan operators,
Glasnik Mat. ,37(2)(2002), 303-319.
[60] J. L. Walsh, A generalization of Faber's polynomials, Math. Ann. ,
136(1958), 23-33.
[61] J. L. Walsh, On the conformal mapping of multiply connected regions,
Trans. Amer. Math. Soc. ,82(1956), 128-146.
[62] J. L. Walsh, The Location of Critical Points of Analytic and Harmonic
Functions , Amer. Math. Soc. Colloquium Publ., vol. 34Amer. Math.
Soc., New York, 1950.
[63] R. S. Wang, Some inequalities and convergence theorems for Choquet
integrals, J. Appl. Math. Comput. ,35(2011), 305-321.
[64] Z. Wang, G. J. Klir, Generalized Measure Theory, Springer , New
York, 2009.