Teza 22.09.2016 [604787]
ACADEMIA DE ȘTIINȚE A MOLDOVEI
INSTITUTUL DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
Cu titlu de manuscris
C.Z.U.: 519.872
COSTEA ALINA
ANALIZA ȘI MODELAREA MATEMATICĂ A PROCESĂRII
FLUXULUI INFORMAȚIONAL ÎN ACTIVITATEA PORTULUI
MARITIM
112.03 – CIBERNETICĂ MATEMATIC Ă ȘI CERCETĂRI
OPERAȚIONALE
Teză de doctor în științe matematice
Conducător științific: Gheorghe Mișcoi
Dr.hab. în șt. fiz -mat., prof. Univ.,
Academician al A.Ș.M.
Autorul: Alina Costea
CHIȘINĂU, 2016
2
© Costea Alina, 2016
3
CUPRINS
ADNOTĂRI ………………………………………………………………………………………5
LISTA ABREVIERILOR ………………………………………………………………………..8
INTRODUCERE …………………………………………………………………………….…10
1. EVOLUȚIA CERCETĂRILOR ÎN DOMENIUL TEORIEI AȘTEPTĂRII
1.1. Aplicarea standardelor QoS și Co S……………… …… ………………………….16
1.2. Transformatele Laplace și Laplace -Stieltjes………………….……………………..19
1.3. Clasificarea sistemelor de așteptare…………………………………..……………..25
1.4. Portul Constanța – caracteristici generale. Organigrama Port Constanța……………40
1.5. Concluzii la capitolul 1…………………………………………………………..….43
2. MODELE CLASICE PENTRU ANALIZA TRAFICULUI INFORMAȚIONAL
PORTUAR
2.1. Modelul clasic
1//GM . Ecuația Kendall………………………………………….44
2.2. Sisteme de așteptare cu priorități cu aplicare în port ul maritim…………………….54
2.3. Analiza coeficientului de trafic pentru sistemele de așteptare cu priorități aplicate în
portul maritim……………………………………………………………………………62
2.4. Repartiția perioadei de ocupare pentru sisteme de așteptare cu priorități………..…69
2.5. Concluzii la capitolul 2……………………………………………………………..79
3. ELABORAREA SOFTWERULUI NECESAR ȘI APLICAREA LUI ÎN PROBLEMELE
DE MODELARE A ACTIVITĂȚII PORTUARE
3.1. Aplicarea modelului
1//GM în activitatea portuară………………………………80
3.2. Algoritmi de evaluare a caracteristicilor sistemului de așteptare generalizat cu
aplicarea în portul maritime………………………………………………………..…….88
3.3. Algoritmi de modelare a repartiției perioadei de ocupare în activitatea portuară…..97
4
3.4. Algoritmi de mode lare a coeficientului de trafic în portul maritime………………….…99
3.5. Concluzii la capitolul 3…………………………………………………………….118
CONCLUZII GENERALE ȘI RECOMANDĂRI ………………………………………….119
BIBLIOGRAFIE ……………………………………………………………………..………..121
ANEXE
Anexa 1. Codul sursă pentru coeficientul de trafic în cazul în care se continuă servirea
întreruptă………………………………………………………………………………………..124
Anexa 2. Codul sursă pentru coeficientul de trafic în cazul în care se pierde servirea…………128
Anexa 3. Codul sursă pentru coeficie ntul de trafic în cazul în care mesajul întrerupt se servește
de la început…………………………………………………………………………………….132
DECLARAȚIA PRIVIND ASUMAREA RĂSPUNDERII …………… …………………..136
CURRICULUM VITAE ……………………………………………………………………….137
5
ADNOTARE
la teza de doc tor “Analiza și modelarea matematică a procesării fluxului informational în
activitatea portului maritim ”
înaintată de către Costea Alina pentru obținerea titlului de doctor în științe matematice la
specialitatea 112.03 – Cibernetică Matematică și Cercetări Operaționale
Teza a fost elaborată la Academia de Științe a Moldovei, Chișinău , în anul 2016.
Structura tezei: Teza este scrisă în li mba română și conține introduce re, trei capitol e, concluzii
generale și recomandări, bibliografie ce cuprinde 101 titluri , 3 anexe . Lucrarea conține 120
pagini de text de bază. Rezultate le obținute sunt publicate în 14 lucrări științifice.
Cuvintele cheie: clase de prioritate, coeficient de trafic, condiții de staționaritate
Domeniul de studiu al tezei: Teoria sistemelor de așteptare
Scopul și obiectivele lucrării. Analizarea datelor din portul m aritim Constanța și aplicarea
algoritmilor care stabilesc staționaritatea sistemului. Astfel se vor elabora algoritmi în cazul î n
care sistemul este fără prorități și cazul în care an alizăm coeficientul de trafic pentru sistemele de
așteptare cu priorități aplicate în portul maritim.
Noutatea și originalitatea științifică constă în elaborarea algoritmilor necesari pentru evaluarea
coeficientului de trafic și aplicarea lor în activitate a portuară.
Problema științifică importantă soluționată constă în eficientizarea fluxului de informații în
portul maritim, analizând coeficientul de trafic, care ne arată încărcarea sistemului portuar.
Semnificația teoretică este determinat ă de aplicarea t uturor noțiunilor din teoria așteptării în
activitatea portuară.
Valoarea aplicativă Se propun algoritmi de calcul ai coeficientului de trafic, astfel stabilindu -se
eficacitatea portului Constanța.
Implementarea rezultatelor științifice Rezultatele obținut e pot servi pentru stabilirea eficienței
traficului maritim în portul Constanța. Algoritmii elaborați sunt realizați sub formă de programe
în limbajul C++.
6
АННОТАЦИЯ
к кандидатской диссертации "Математический анализ и моделирование обработки
потока данн ых в работе морского порта"
представленная Алиной Костеа для получения звания доктора математических наук по
специальности 112.03 Кибернетика математики и оперативны е исследовани я.
Диссертация была разработана в Академии наук Молдовы, Кишинев, 2016.
Структ ура диссертации: Диссертация написана на румынском языке и содержит
введение, три главы, выводы и рекомендации, библиография, содержащая 101
наименований, 3 приложения к нему. Она содержит 120 страниц основного текста.
Результаты исследования опубликованы в 14 научных работах.
Ключевые слова: классы приоритета, коэффициент трафика, условия стационарности.
Область исследования диссертации: Теория систем ожидания.
Цель и задачи. Анализ данных морского порта Констанца и применения алгоритмов,
которые определяю т стационарность системы. Так были разработаны алгоритмы для
случая когда система не имеет приоритета и для случая когда делаем анализ
коэффициента трафика для систем ожидания с приоритетом в обслуживании морского
порта.
Научная новизна заключается в разра ботке алгоритмов, необходимых для оценки
коэффициента трафика и их применение в портовой деятельности.
Важная научная проблема которая была решена состоит в оптимизации потока
информации в морском порту, анализируя коэффициент трафика, который показывает
загруженность портовой системы.
Теоретическое значение определяется путем применения всех понятий из теории
ожидания в портовой деятельности.
Практическая ценность. Были предложены алгоритмы для расчета коэффициента
трафика, создав таким образом эффективнос ть порта Констанцы.
Внедрение научных результатов. Результаты могут служить для определения
эффективности морских перевозок в порту Констанца. Разработанные алгоритмы были
реализованы в виде программного обеспечения на языке программирования C ++.
7
ANNO TATION
of the thesis “Analysis and modeling of data flow processing in maritime port activity ”
presented by Costea Alina for obtaining the doctor degree in Mathematics,
specialty 112.03 – Mathematical Cybernetics and Operations Research
The thesis has been elaborated at the Academy of Sciences of Moldova, Chi șinău, 2016.
Thesis structure: The thesis is written in Romanian and contains an introduction, three chapters,
general conclusions and recommendations, bibliography of 101 titles, three a nnexe s. The main
text of the thesis comprises 120 pages. The basic re sults o f the thesis are published in 14
scientific papers.
Keywords: priority classes, traffic coefficient, stationary conditions.
The field of study of the thesis: Queueing theory
The aim of the research: Analyzing data from Constanta Seaport and applying that determine
stationarity system. Thus, algorithms have been elaborated if the system is without priorities and
in the case in which we analyze the traffic coefficient for queueing systems with priorities
applied in seaport.
The scientific novelty and originality consist in the elaboration of algorithms nece ssary to the
evaluation of the traffic coefficient and their application in seaport activity.
The important scientific solved problem consist in streamline of information flow in seaport,
analyzing the traffic coefficient, that shows us charging of seaport system.
The theoretical significance is determined by applying all the notions of queueing th eory in
seaport activity.
The applicative value of the thesis Have been proposed algorithms for the cal culation of traffic
coefficient, thus establishing the efficacy of Constanta seaport.
The implementation of the scientific resulta The result can serve for establishing eff iciency of
maritime traffic in the seaport of Constanta. The algorithms developed ar e made in the form of
program using C++.
8
LISTA ABREVIERILOR
QoS – Quality of Service
CoS – Class of Service
) Exp(
– repartiția exponențială
,kE)k,(Erl
– repartiția Erlang de ordinul k
),( Gamma
– repartiția Gamma cu param etrii
și
],[baU
– repartiția uniformă pe segmentul
],[ba
– perioada de ocupare
)(XM
– valoarea medie a evenimentului X
)(x
– funcția de repartiție a perioadei de ocupare
)(s
– transformata Laplace -Stieltjes a funcției
)(x
– coeficient de trafic
k
– parametrul fluxului de intrare
W – timpul de așteptare în sistem
R – timpul rezidual de servire
qN
– numărul de clienți care așteaptă
T
– timpul petrecut în sistem
kW
timpul în care clienții cu clasa de prioritate k t rebuie să aștepte să fie serviți
kR
timpul rezidual de servire
kqN,
numărul de clienți cu clasa de prioritat e k care așteaptă în sistem
kT
timpul de așteptare al unui client cu clasa de prioritate k
9
k parametrul fluxului sumar de mesaje de prioritate k și mai mare decât k
1k
– momentul de primul ord in pentru mesajele de clasă k
2k
– momentul de ordinul 2
k – k – perioadă de ocupare
kk – kk – perioadă de ocupare
Hk – perioada de servire deplină a unui mesaj de prioritate k
10
INTRODUCERE
Dezvoltarea vertiginoasă a rețelelor locale și globale, apariția noilor tehnologii de rețea
capabile să mențină standardele QoS (Quality of Service) și CoS (Class of Service), înaintează
noi cerințe în procesarea și managementul fluxului informațional.
Un rol deosebit de importan t în analiza și optimizarea proceselor informaționale îl joacă
Teoria Așteptării, în particular Teoria Sistemelor de Așteptare cu Priorități. După cum s -a
demonstrat recent [1 – 5], servirea cu prioritate apare ca servire optimală în clasa tuturor leg ilor
de servire. Mai mult, diversificarea traficului informațional în clase de priorități devine o
procedură inevitabilă, actuală și promițătoare în rețelele contemporane și tehnologiile moderne
de rețea.
Însă noile cerințe înaintate de practica contemporană so licită elaborarea, cercetarea și
aplicarea noilor modele matematice, capabile să descrie mai adecvat procesele reale.
Quality of Service (QoS) și tehnologiile Class of Service (CoS) joacă în prezent un rol
important la analiza traficului de rețea, care est e foarte variat și poate fi caracterizat în termenii
de lățimea de bandă (bandwith , eng.), întârziere (delay , eng.), pierdere (loss, eng.), și
accesibilitate (availability , eng.)
Astăzi, majoritatea traficului se face în baza protocolului IP. Pe de o parte acesta este util,
deoarece asigură un protocol unic de trafic și simplifică menținerea produselor hardware și
software. Totuși, tehnologiile bazate pe IP au și multe neajunsuri. Conform protocolului IP
pachetele sunt livrate prin rețea fără a avea o cale bine determinată. Aceasta conduce la faptul că
nu se poate prezice calitatea servirii în astfel de rețele.
Totuși, astăzi, rețelele au de a face cu foarte multe tipuri de fluxuri de date, care se pot
influența reciproc într -un mod foarte nefavorabil, fiind transmise prin rețea. Tehnologiile QoS și
CoS servesc pentru a garanta că diverse aplicații pot fi întreținute cum se cuvine în rețelele IP.
Printre primele lucrări din domeniul teoriei așteptării sunt cele ale lui A.K. Erlang [6, 7],
apoi cele ale lui A. N. Kolmogorov [8], E. C. Molina [9 ]. În lucrarea lui A. M. Lee [10 ] sunt
numeroase aplicații ale teoriei așteptării în aflarea soluțiilor unor probleme din lumea reală, cum
ar fi metode de control a călătorilor, problema navelor în port, proiectarea de pi ste de aeroport,
etc. Noțiuni importante s e mai găsesc și în lucrările [11 – 15].
Principalul avantaj al teoriei așteptării este acela că ne pune la dispoziție informații extrem
de importante despre timpii de așteptare, implicit despre timpii de așteptare a navelor în portul
maritim care apar în sistem pe baza unor date minimale despre caracteristicile sosirilor în sistem,
caracteristicile stațiilor de servire și disciplina sistemului.
11
Performanțele sistemelor de așteptare în condiții de suprasolicitare jo acă un rol important
în ceea ce privește percepția consumatorilor asupra calității serviciilor. Timpii de așteptare și
întârzierile sunt inevitabili în cadrul acelor sisteme de așteptare, care răspund unor cereri
aleatoare, a căror apariție în timp și spaț iu este guvernată de anumite legi probabilistice,
cunos cute sau necunoscute. A putea oferi, în cadrul unui sistem de așteptare, capacități de servi re
suficiente pentru a evita așteptările în absolut orice circumstanțe, implică costuri uriașe. Din
acest mot iv, scopul teoriei așteptării este acela de a ne asista în proiectarea unor sisteme de
servire, în care există un echilibru între costurile de operare și timpii de așteptare ai utilizatorilor
sistemului.
În practică, teoria așteptării este folosită în spec ial pentru a scoate în evidență
disfuncționalitățile existente în cadrul unui sistem aflat în funcțiune și pentru a arăta direcțiile de
eficientizare a funcționării acestuia prin indicarea valorilor pe care trebuie să le atingă anumite
variabile de sistem, pentru a se ajunge la un nivel satisfăcător al performanțelor.
Actualitatea și importanța problemei abordate. Modelele fenomenelor de așteptare
descriu procese și sisteme de servire cu ca racter de masă, care se pot întâ lni în diverse domenii
de activitat e practică.
În studiul teoriei așteptării au fost mulți matematicieni care au adus o mare con tribuție,
printre aceștia numărâ ndu-se A.K. Erlang, A. Ia. Khincin, D.G. Kendall, F. Pollaczek, J. Little,
J.F.C. Kingman, D.R. Cox, a se vedea [ 16, 17 ].
Un rol im portant în analiza sistemelor de așteptare , implicit în analiza sistemului maritim
portuar, îl are coeficientul de trafic, cu ajutorul lui având posibilitatea de a stabili starea de
încărcare a sistemului. Coeficientul de trafic are un rol foarte important deoarece dacă stabilim
repartiția timpului de servire, toate caracteristicile sistemului pot fi determinate în funcție de
acest parametru. Astfel , apare necesitatea elaborării unor metode eficiente de evaluare a
coeficientului de trafic în activitatea por tuară .
Dacă valoarea coeficientului de trafic este foarte apropiată de 1, putem spune că sistemul
este în trafic critic. Pentru aceste valori limită a caracteristicilor sistemelor de așteptare au fost
obținute rezultate de către J.F.C. Kingman, W. Whitt, J . Abate [18 – 22], J.W. Cohen, etc.
În cazuri reale (comenzi, clienți, apeluri, așteptarea navelor în port, etc.) unele cereri au
nevoie de o anumită prioritate. Astfel apare necesitatea dezvoltării sistemelor d e așteptare cu
priorități. O dat ă cu studiere a acestor modele, s -au discutat și dificult ățile de ordin analitic,
elaborâ ndu-se metode eficiente în studiul modelelor generalizate. Una dintre aceste metode este
metoda catastrofelor , sau, cu alte cuvinte, metoda introducerii unui eveniment aleatoriu
suplimentar. Această metodă își are origine a în lucrările D. Van. Danzig [23] și H. Casten, J.
12
Runnenburg [24 ] publicate în 1955 și respectiv 1956 , însă detaliat și argumentat ea a fost
dezvoltată de G. P. Klimov în monografia [25 ], prima ediție a căreia a ap ărut în anul 1966. B. V.
Gnedenco, Э. A. Danielean, B. N. Dimitrov, G. P. Klimov, B. F. Matveev au extins această
metodă pentru cercetarea modelelor cu priorități, publicând în 1973 monografia fundamentală
[26]. O generalizare a metodei ,,catastrofelor” și aplicarea ei pentru cercetarea modelelor cu
priorități și timp de orientare a fost dată de G. P. Klimov ș i G. K. Mișcoi în monografia [27 ],
publicată în anul 1979. Recent, această metodă a fost extinsă de G. K. Mișcoi și aplicată în
cercetarea modelelor g eneralizat e în monografia [28 ], apărută în 2009 la editura Academiei de
Științe a Moldovei. Esența metodei ,,catastrofelor” constă în faptul că introducând un eveniment
suplimentar (,,catastrof ă”) se reușește să se atribuie un sens probabilist clar transfo rmatelor
Laplace și Laplace -Stieltjes, după ce se precaută evoluția sistemului de așteptare și se determină
aceste probabilități.
Scopul și obiectivele tezei Realizarea prezentei teze a pretins implicit atingerea
următorulu i scop: analizarea datelor din p ortul m aritim Constanța și aplicarea algoritmilor care
stabilesc staționaritatea sistemului. Astfel , s-au elabora t algoritmi în cazul î n care sistemul este
fără pr iorități și cazul în care analizăm coeficientul de trafic pentru sistemele de așteptare cu
priorități aplicate în portul maritim.
Noutatea științifică a rezultatelor obținute Partea de noutate științifică constă în
elaborarea algoritmilor necesari pentru evaluarea coeficientului de trafic și aplicarea lor în
activitatea portuară . Astfel se poate stabili dacă numărul de dane din portul maritim este suficient
pentru eficacitatea sistemului portuar, dac ă în anumite repartiții sistemul este viabil sau pentru a
fi mai performant mai trebuie făc ute modificări și ce anume trebuie îmbunătățit .
Importanța teoretică și valoarea aplicativă a lucrării Modelele matematice ale teoriei
așteptării joacă un rol important în modelarea, proiectarea, și analiza diverselor rețele
informațio nale contemporane. Dezvoltarea vertigionoasă a acestora, precum și apariția unor noi
tehnologii de rețea precum tehnologiile înze strate cu metodologiile QoS (quality of service) și
CoS (class of service) înaintează noi cerințe asupra elaborării a noi modele matematice de
așteptare.
O caracteristică importantă a unui sistem de aștepta re care are un aspect aplicativ bine
definit îl reprezintă coeficientul de trafic, care ne arată încărcarea sistemului portuar .
13
Aprobarea rezultatelor Rezultatele de baz ă ale tezei sunt publicate în 14 lucrări
științifice, dintre care 9 teze prezentate la conferinț e naționale și internaționale, 5 articole în
reviste recenzate și 3 lucrări fără coautori.
1. Conferința internațională „Modelare matematică, optimiza re și tehnologii
informaționale, “Metode bazate pe aparatul transformatelor Laplace și Laplace -Stieltje “, Gh.
Mișcoi, A. Costea, Chișinău, 2012 , p. 106 -114
2. The 20th Conference on Applied and Industrial Mathematics „Application of some
performance characteristics of the queueing Theory for improvement of seaport activities ”, Gh.
Mișcoi, R.I. Țicu , A. Costea, Chișinău , 2012 , p. 165 -166
3. Conferința științifică internațională “Strategii de dezvoltare socio -economică a
societății în condițiile globalizării”, “Algoritmi numerici cu aproximații successive în
soluționarea caracteristicilor modelelor exh austive Polling ”, Gh. Mișcoi, D. Bejenari, L. Mitev,
R.I. Ticu, A. Costea, Chișinău, 15 -16 octombrie 2012 , p. 321 -328
4. The 21 th conference on applied and industrial mathematics “A modelling system for
seaport activities ”, Gh. Mișcoi, A. Costea, R.I. Țic u, Bucharest , România, 19 -22 september
2013 , p. 66
5. Conferința internațională „Modelare matematică, optimizare și tehnologii
informaționale” , “Aplicarea sistemulu i de așteptare cu o singură linie în portul maritim “, Gh.
Mișcoi, A. Costea, R.I. Țicu, Chi șinău, 2014 , p. 142 -146
6. The Third Conference of Mathematical Society of the Republic of Moldova „The
application of modern information technologies in the port activity ”, A. Costea, Chișină u,
Repub lica Moldova, 19 -23 August 2014, p . 344 -347
7. Conferinț a internațională Mathematics & IT: Research and Education, MITRE
2015 , „Traffic coefficient analysis in different queueing systems ”, A. Costea , Chișinău,
Republica Moldova, 2 -5 iulie 2015 , p. 28-29
8. Conferința internațională „Modelare matematică, optimi zare și tehnologii
informaționale, “Modelarea activității terminalului maritim în baza coeficientului de trafic ”,
Gh. Mișcoi, A. Costea , R.I. Țicu, Chișinău, Republica Moldova, 2016 , p. 242 -252
9. Conferința internațională Mathematics & IT: Research and Ed ucation, MITRE
2016 , “Evaluation algorithms of the waiting time of ships in a seaport ”, Gh. Mișcoi, R.I. Țicu ,
A. Costea, Chișinău, Republica Moldova, 24 -26 iunie 2016 , p. 45-46
Rezultatele științifice descrise în teză au fost publicate în lucrările confer ințelor
menționate mai sus dar și în reviste de specialitate:
14
I. Analele Universității Maritime Constanța, „Distribution rules in seaport activities
modelling , Gh. Mișcoi, R.I. Țicu, A. Costea, 2012, Year XIII, vol 17, ISSN 1582 -3601 ,
Româ nia, p. 211 -212
II. Revista științifică Studia Universitatis, Universitatea de stat din Moldova “Method
of catastrofes and its application to analyze generalized queueing models ”, O. Groza, Gh.
Mișcoi, L. Mitev, A. Costea, Nr. 2 (52), 2012, ISSN 1857 -2073, Chișinău , p. 5-11
III. Analele Universității Maritime Constanța, “ The role of the traffic coefficient in the
analysis of information processes in a seaport ”, A. Costea, R.I. Țicu, Gh. Mișcoi, 2015, Year
XVI, vol 23, ISSN 1582 -3601, România , p. 135 -138
IV. Ponte Academic Journal, “Algorithms of evaluation of the waiting time and the
modelling of the terminal activity based on the traffic coefficient of ships in the seaport” , Gh.
Mișcoi, A. Costea , R.I.Țicu, C. Pomazan, Volume 72, Issue 8, August 2016, ISSN: 0032 -423X ,
Impa ct factor: 0,724 , p 237-248
V. Revista științifică Studia Universitatis, Universitatea de stat din Moldova ,
„Algoritmi de modelare a coeficientului de trafic în activitatea port uară”, A. Costea, Nr. 2 (92),
ISSN 1857 -2073, Republica Moldova, 2016 (în curs de publicare)
Sumarul compartimentelor tezei Teza este structurată în trei capitole în care se discută
despre aplicarea coeficientului de trafic în analiza sistemelor teoriei așteptării cu aplicare în
portul maritim. Pe lângă cele trei capitole menționate, lucrarea conține concluzii generale și
recomandări, introducere, adnotările în limbile română, rusă și engleză precum și o listă
bibliografică ce cuprinde 101 titluri, 3 anexe și CV -ul autorului.
În introducere sunt formulate scopul și obiectivele tezei, se argumentează actualitatea
temei de cercetare. Se formulează problema științifică cu menționarea importanței teoretice și a
valorii aplicative a lucrării. Este dată o analiză succintă a publicațiilor la tema tezei și se încheie
acest compartiment cu o si nteză a conținutului lucrării.
Primul capitol al tezei are un caracter introductiv și are drept scop examinarea situației în
domeniul de studiu al teoriei așteptării. În acest capitol s -au enunțat noțiunile de bază ale t eoriei
așteptării, arătându -se struc tura unui sistem de bază de așteptare cu o singură stație de servire,
urmând ca în celelalte capitole să se aprofundeze și să se discute și despre sisteme de așteptare cu
mai multe stații de servire, respectiv de spre sisteme le de așteptare cu priorități. S -au detaliat
noțiunile de transformată Laplace respectiv tran sformată Laplace -Stieltjes și s -a prezentat
metoda “catastrofelor ”. S-a descris un exemplu de sistem de așteptare din portul maritim. Tot în
acest capitol s -a prezentat p ortul Constanța, deoarece studiul coeficientului de trafic va fi aplicat
în portul maritim, respectiv în p ortul Constanța.
15
În Capitolul al doilea sunt analizate modelele clasice necesare analizei traficului
informaț ional portuar. S -a studiat modelul clasic
1//GM și ecuația lui Kendall cu aplicarea în
activitatea portuară, trecându -se la sistemele de așteptare cu priorități aplicate în portul maritim.
Un element important pentru analiza traficului informațional portuar este coeficientul de trafic
astfel în acest cap itol am cercetat coeficientul de trafic pentru sistemele de așteptare cu priorități
aplicate în portul maritim. S -a studiat cazul sistemului de așteptare cu prioritate în trei cazuri:
1. cazul în care se continuă servirea întreruptă;
2. cazul în care se pierde mesajul întrerupt;
3. cazul când mesajul întrerupt se servește de la început.
Capitolul al treilea este dedicat elaborării algoritmilor de evaluare a caracteristicilor
sistemului de așteptare generalizat cu aplicarea în portul maritim precum și a a lgoritmilor de
modelare a coeficientului de trafic în portul maritim.
În compartimentul Concluzii generale și recomandări se prezintă concluziile generale
asupra rezultatelor obținute în cadrul tezei. De asemenea, sunt expuse impactul și valoarea
elaborări lor acestor rezultate în dezvoltarea domeniului dat. Se prezintă recomandările autorului
în formă de sugestii privind cercetările de perspectivă.
În Anexa 1 este prezentat codul sursă implementat în li mbajul C++ pentru determinarea
coeficientului de tra fic în cazul în care se continuă servirea întreruptă.
În Anexa 2 este prezentat codul sursă implementat în limbajul C++ pentru determinarea
coeficientului de trafic în cazul în care se pierde servirea.
În Anexa 3 este prezentat codul sursă implementat în limb ajul C++ pentru determinarea
coeficientului de trafic în cazul în care mesajul întrerupt se servește de la început.
16
1. EVOLUȚIA CERCETĂRILOR ÎN DOMENIUL TEORIEI AȘTEPTĂRII
1.1. Aplicarea stand ardelor QoS și CoS
Quality of Service este în genera l un concept ce se referă la capacitatea rețelei de a furniza
cel mai bun serviciu pentru circulația din rețeaua selectată după diverse tehnologii.
Fluxul , în sens larg este o combinație de pachete ce trec prin rețea. QoS permite furnizarea
celei mai bune serviri în rețea pentru anumite fluxuri, stabilind prioritate mai înaltă pentru un
flux sau limitâ nd prioritatea altuia. Aceasta se poate face în difer ite moduri, în special,
proiectâ nd mecanismele de management pentru liniile de așteptare. Se poate reprez enta
construcția de bază a lui QoS din următoarele componente și pași:
• tehnica marcării QoS pentru coordonarea QoS “punct -la-punct" între elementele rețelei
• QoS în limitele singurului elem ent al rețelei
QoS se referă la mai multe aspecte ale reț elelor de calculatoare care permit transportul
traficului cu cerinț e speciale. În domeniul rețelelor de calculatoare , termenul de ingineria
traficului se referă mai degrabă la mecanismele de rezervare a resurselor decât realizarea calităț ii
serviciilor.
Calitatea serviciului este abilitatea de a furniza diferite priorităț i diferitelor aplicații ,
utilizatori sau fluxurilor de date, sau pentru a garanta un anumit nivel de performanță a unui flux
de date .
Pe internet și în alte rețele , QoS (Quality of Service) este ideea că vitezele de transmisie ,
ratele de erori și alte caracteristici pot fi măsurate , îmbunătățite , și, într-o anumită măsură ,
garantate în avans . QoS este de interes special pentru transmisia continuă a videourilor de înaltă
lățime de bandă și informaț ie multimedia . Transmisia acestui tip de conținut cu acuratețe este
dificilă în rețele publice care utilizează protocoale obiș nuite.
QoS (Quality of Service) se referă la o gamă largă de tehnologii ș i tehnici de rețea. Scopul
QoS este de a oferi garanții privind capacitatea unei rețele pentru a obține rezultate previzibile.
Elementele de performanță a rețelei în domeniul de aplicare de QoS includ adesea
disponibilitatea lățimii de bandă (de transfer), latență (întârziere), și rata de eroare .
QoS presupune prioritizarea traficului în rețea . QoS pot fi orientate spre o interfață de
rețea , spre un anumit server sau router de performanță , sau în funcție de aplicații specifice . Un
sistem de monitorizare a rețelei portuare trebuie să fie implementat de obicei ca pa rte a QoS,
pentru a asigura faptul că rețelele sunt performante la nivelul dorit . QoS este deosebit de
important pentru noua generație de aplicații de Internet , cum ar fi VoIP , video -on-demand și alte
servicii de consu m.
17
CoS este un mod de gestionare a traficului în rețea prin gruparea tipurilor similare de trafic
(de exemplu : e-mail, streaming video , voce , transfer al unui fișier mare ) împreună și tratarea
fiecă rui tip ca o clasă cu propriul nivel de prioritate a serviciilor.
Spre deosebire de QoS de gesti onare a traficului , CoS nu garantează un nivel a serviciului
în termeni de lățime de bandă și timpul de livrare .
Class of Service este un conc ept al fluxului de intrare a rețelei divizat î n diferite clase.
Acest conc ept asigură serviciul dependent de clasă pentru fiecare pachet din flux în dependență
de fiecare clasă de prioritate ce aparț ine lui. CoS furnizează stabilirea continuă a priorităț ilor
pentru structura retransmisiei și circulația ATM în reț ele IP. Î n struc tura circulației CoS
priorităț ile sunt s tabilite de codul Servicii Diferenț iate la începutul unui pachet IP.
Sistemele de așteptare reprezintă orice tipuri de sisteme de servire un de clienții trebuie să
aștepte în râ nd pentru servire atunci câ nd serverul nu este disponibil sau este ocupat cu
deservirea altor clienți. Astfel de tipuri de sisteme sunt actuale și se întâlnesc î n activitățile de zi
cu zi a vieții noastre, de exemplu în sisteme de transport maritim , în sisteme informaționale, în
sisteme de telecomunicații, î n sisteme de fabricație, et c. De exemplu, există clienți care ar putea
fi oameni sau obiecte, unde elementele (cerințele) ar p utea fi pachete de date, nave într -un port
maritim , etc. De asemenea, î ntr-un astfel de sistem sunt furnizori de servire care oferă facilități
pentru element ele care urmează să fie servite. De exemplu: Sistemul Internet. Oamenii trimit
mesaje și pachete informaționale prin acest sistem pentru a fi prelucrate și transmise către o
destinație. Cineva poate considera pachetele ca elemente care trebuie să fie prelu crate pentru un
client. Furnizorul de Servicii Internet (ISP) se asigură că clientul este deservit cu resurse pentru a
obține pachetele procesate și trim ise la destinația corectă fără întâ rziere și cu probabilitatea
pierderii minimă.
Clientul plătește pent ru un serviciu și se așteaptă la o anumită calitate QoS (quality of
service) a servirii, proporțional cu taxa achitată. Î n lumea ideală clienții ar dori procesarea
pachetelor imediată și ISP -ul ar dori să obțină venituri maxime posibile fără a suporta oric e
costuri. Însă, î n lumea reală resursele necesare pentru deservirea pachetelor costă bani și ISP -ul
trebuie să obțină profit, astfel că dorește să ofere cea ma i eficientă sumă a resurselor, î n timp ce
clientul care plătește pentru serviciu set ează ținta e i QoS care trebuie îndeplinită de către ISP. Î n
proiectarea unui sistem de așteptare este necesar a găsi configurații optime și reguli care vor
optim iza profitul pentru ISP și vor îndeplini QoS a clienților. Î n scopul de a f ace acest lucru
avem nevoie să î nțelegem modul în care sistemul de așteptare lucrează î n conformitate cu
diferite configurații și reguli.
18
Unele caracteristici ce prezintă interes pentru un operator de sistem de așteptare sunt
următoarele:
– Lungimea șir ului de așteptar : Lungimea șirului de așteptare se referă la numărul de
elemente, î n acest caz pachete (nave) , care sunt în așteptare î ntr-o oarecare locație sau loc de
așteptare, pentru a fi prelucrate. Acest lucru este adesea un indiciu despre câ t de calitativ es te un
sistem de așteptare . Cu câ t lungimea șirului de așteptare este mai lungă cu atâ t mai rea este
calitatea de deservire din punctul de vedere al u tilizatorului, cu toate că, nu î ntotdeauna aceasta
este corect ă.
– Probabilitatea de pierde re a cerinței : Dacă locul de așteptare î n care elementele trebuie
să aștepte este limi tat, ceea ce se întâ lnește foarte des î n sistemele reale, atunci elementele care
vor sosi după ce locul de așteptare este ocupat de alte elemente vor fi considerate pierdute și pot
reveni la un moment de timp ma i târziu. Î n sistemele de pachete de date pierderea unui pachet
poate fi foarte inacceptabilă și clienții sunt î ngrijorați de această probabilitate a perioadei de
așteptare. Cu câ t mai mare este această valoare cu atâ t mai rea este calitatea de deservire a
sistemului din perspectiva clientului.
– Timpul de așteptare : Timpul de așteptare este durata de ti mp dintre sosi rea unui element
în sistem și pâ nă la î nceperea deservirii acestuia. Aceasta este caracteristica cea mai utilizată a
calității sistemului d e către clienții. Desigur, cu câ t este mai ma re această caracteristică cu atâ t
este mai rea calitatea de servire a sistemului din punctul de vedere al clientului.
– Timpul de sistem : Acesta este timpul de așteptare plus timpul pentru a f i servit. Acesta
este perceput î n același m od ca și timpul de așteptare a î nceputului servirii cu excepția cazului
când se ocupă cu un sistem preventiv unde unele ele mente pot avea servirea uneori î ntreruptă.
– Volumul de lucru : Volumul de lucru reprezintă timpul necesar pentru a procesa
elementele de așteptare și este egal cu suma dintre timpul rămas de servire a elementului î n
servire și timpul de servire a tu turor elementelor de așteptare î ntr-un sistem de lucru de
conservare. Î ntr-un sistem de lucru de conservare servirea ce nu este completă este repe tată și
nici o lucrare nu este î nlăturată. Un sistem de așteptare devine liber și serverul devine inactiv din
moment ce volumul de muncă se reduce la zero.
– Perioada de ocupare : Perioada de ocupare reprezintă interval ul de timp care î ncepe cu
schimbul serverului către un nou șir, după ce șirul prece dent deservit este liber, și sfârșește câ nd
șirul respectiv devine gol. Această măsură prezintă mai mult interes pentru ISP, care dorește să
păstreze resursele sale utilizat e în î ntreg ime. Deci, cu câ t este mai mare această valoare cu atâ t
mai satisfăcut este un ISP. Totuși, dacă sursa care este utilizată pentru a oferi servicii est e umană,
19
cum ar fi la o bancă, î ntr-un magazin alimentar, etc., atunci există o limită pentru t impul î n care
furnizorul de servire do rește să țină un server ocupat î nainte ca serverul să devină ineficient.
În caz general, orice model de așteptare se caracterizează după următorii parametri:
– Numărul de șiruri de așteptare;
– Numărul de servere;
– Ordinea de servire;
– Disciplina de servire;
– Parametrul de intrare al fluxului de cereri;
– Servirea și comutarea (cone ctarea) de la un șir la altul.
1.2. Transformatele Laplace și Laplace -Stieltjes
În cercetarea modelelor matematice ale așteptării se foloses c cu su cces diverse metode,
fiecare avâ nd avantajele și neajuns urile ei. În cele ce urmează vom prezenta unele metode și
procedee bazate pe aparatul transformatelor L aplace și Laplace -Stieltjes, a se vedea [29 – 32]
vom aminti unel e proprietăți și noțiuni, și vom prezenta o metodă de cercetare cu o bogată istorie
de succes în obținerea a noi rezultate în Teoria Aște ptării. Este vorba de așa numita metodă a
,,catastrofelor”.
1.2.1. Noțiune a de integrală Stieltjes
Fie funcțiile de variabilă reală g(x) și A(x) date pe intervalul
],[ba și A(x) este o funcție
nedescrescătoare cu va riație mărginit ă. Vom împărți intervalul
],[ba în n mici segmente astfel
bx x xxan k ,…, ,…,1 0
,
și vom nota
],[1 k k k xx
,
1k k k xx
,
knk
1max
,
nk0 .
Vom considera suma integrală
)]( )()[(1
1
k kn
kk n xA xA g J
(1.1)
20
unde
k k .
Vom precăuta m di vizări a segmentului
],[ba ,
}{m
kx astfel ca
0 lim
m
m
,
unde
) (max11m
km
knkmx x
.
Dacă există limita sumei integrale (1 .1) pe care o vom nota astfel
b
ak kn
kknxdAxg xA xA g )()( )]( )()[( lim1
1
,
atunci această limită se numește integrala Stieltjes a funcției g(x) cu funcția de integrare A(x).
Prin definiție se consideră
b
a baxdAxg xdAxg )()( lim)()(
.
Unele priorități a le integralei Stieltjes
)( )( )( aAbA xdAb
a
Se observă că dacă A(x) este funcție de repartiție a variabile i aleatoare X atunci
} { )( bXaPxdAb
a
. (1.2)
n
kb
akb
an
kk xdAxg xdAxg
1 1).()( )()(
Dacă există derivata
)( )( xAx
atunci
b
ab
adxxxg xdAxg .)()( )()(
Mai detaliat referitor la integrala Stieltjes a se vedea liter atura din domeniu, sau cartea
[33].
21
1.2.2. Transformata Laplace și proprietățile ei
Definiția 1.1 : Se numește funcție original funcția
C R:f care satisface condițiile:
1.
0t,0)t(f
2. f este derivabilă pe porțiuni
3.
0 M și
00 astfel încât
t0Me|)t(f|
Definiția 1.2 : Transformata L aplace a funcției original
C f),0[: este funcția
dt)t(fe )s(F
0st
.
Teorema 1.1 . Integrala care definește funcția de variabilă complex ă F este convergentă în
semiplanul
} Re| {0 s Cs și uniform convergentă pe mulțimea
}] 2, 2[ arg, Re/ {0 s s Cs
Observație : Vom nota
)( ))}(({ sFstfL
Proprietăți:
1.
)s(G)s(F)s)}(t(g)t(f{L (proprietatea de liniaritate)
2.
as)}t(f{La1)s)}(at(f{L (schimbarea de scară)
3.
)as(F)s)}(t(fe{Lat (translația în complex)
4.
)s(Fe)s)}(at(u)at(f{Lsa (translația la dreapta în real)
5.
)dt)t(fe)s(F(e)s)}(t(u)at(f{La
0st sa (translația la stânga în real)
6.
)0(f)s(sF)s)}(t(f{L (derivarea originalului)
7.
)0( f )0(fs)0(fs)s(Fs)s)}(t(f{L)1n( 2n 1n n )n(
8.
)s(F)s)}(t(f)t{(L)n( n (derivarea transformatei)
9.
s)s(F)s(du)u(fLt
0
(integrarea originalului)
10.
sdu)u(F )s(t)t(fL (integrarea transformatei)
22
11.
)0(f)s(sFlim
s (teorema valorii inițiale)
12.
)t(flim)s(sFlim
t 0s (teorema valorii finale)
13.
)s(G)s(F)s)}(t)(gf{(L , unde
t
0d) t(g)(f )t)(gf( este convol uția
funcțiilor f și g.
În tabelul următor avem câteva dintre principalele transfo rmate Laplace a le unor funcții.
Tabelul 1.1 Transformata Laplace
Funcția de timp
)t(f Transformata Laplace
)s(F
0 10 0
t,t,)t(f
s1
00 0
t,Ctt,)t(fn
1ns!n
00 0
t,et,)t(ft
s1
t cos)t(f
2 2ss
tsin)t(f
2 2
s
1.2.3. Proprietățile transforma tei Laplace -Stieltjes
Pentru transformata Laplace -Stieltjes avem următoarele relații:
0 0dt)t(Fes)t(dFe )s(Fst st *
Transformata Laplace -Stieltjes poate fi obținută înmulțind de s ori transformata Laplace a
funcției
)t(F . Putem obține ușor tra nsformata Laplace -Stieltjes din corespondența transformatei
Laplace, după cum se observă din următorul tabel:
23
Tabelul 1.2 . Transformata Laplace -Stieltjes
)t(F
)s(F*
)t(F)t(F2 1
)s(F)s(F* *
2 1
)t(aF
)s(aF*
)at(F
,
) a( 0
)s(Fe* sa
)at(F
,
) a( 0
)a/s(F*
dt)t(dF)t(F
)(F)s(F[s*0
)t(Ft
ds)s(dFs*
Metoda ,,catastrofelor” , a se vedea [3 4] care va fi descrisă mai jos se bazează pe definițiile
și proprietățile transformatelor Laplace și Lapl ace Stieltjes. Mai mult de cât atât, aplicarea lor în
problemele Teoriei Așteptării deseori ne permite să evităm anumite structuri complicate. Vom
aduce u n exemplu. Presupunem că se caută suma a două variabile aleatoare C=A+B și se cere să
se afle funcția de repartiție C(x) a acestei sume. Din teoria probabilităților este știut că această
funcție se determină ca rezultatul operației de convoluție a funcțiil or de repartiție A(x) și B(x),
0 0).() ( )() ( )()( )( xdAxtB xdBxtA xBxA xC
Dacă însă
)(s și
)(x sunt transformatele Laplace -Stieltjes ale funcțiilor A(x) respectiv
B(x), atunci
),()( )( s s sc (1.3)
unde prin c(s) s-a notat transformata Laplace -Stieltjes a funcției C(x). Expresia (1.3 ) ne arată că
operația de convoluție se înlocuiește cu produsul simplu al transformatelor, ceea ce este un mare
avantaj, d eoarece se evită oper ația complicată de convoluție.
Fie funcția A(t) de variabilă reală t care satisface condițiile:
1. A(t)=0 pentru t<0 și pentru ori ce segment [0,T] , A(t) dispune de varia ție mărginită.
2. Există numere reale
0s și A, astfel încât
. )(0sAe tA
Atunci integrala
24
,)( )(
0dttAe sst
există și funcția
)(s se numește transformata Laplace a funcției A(t).
Presupunem că funcția A(t) este o funcție de repartiție. Atunci integrala
),( )(
0tdAe sst
se numește transformata Laplace -Stieltjes a funcției de repartiție A(t).
În continuare vom prezenta unele proprietăți a transformatelor mai sus menționate.
1. Transformata Laplace și transformata Laplace -Stieltjes sunt legate de expresia
).( )( sss
2. Dacă
n,…,1 sunt variabile aleatoare independente și
),(si este transformata Laplace –
Stieltjes a funcției de repartiție a variabilei
i , i=1, …, n , atunci transformata Laplace -Stieltjes
)(s
a sumei
n …1 este
).( )(
1s sin
i
3. Presupunem că există
. )( lim AtA
t
Atunci
),( lim
0s A
s
unde
)(s este transformata
Laplace -Stieltjes a funcției A(t). Această proprietate este cunoscută ca teorema Tauber [14].
1.2.4 . Metoda ,,catastrofelor”
Vom nota prin A durata ,,vieții” unui element, fie a unei siguranțe, iar prin A(t) funcția sa
de repartiție. Presupunem că independent de d urata ,,vieții” se produc câteva evenimente, pe care
le vom numi ,,catastrofe” și care formează un flux Poisson cu parametrul s>0. Atunci numărul
)( )(
0tdAe sst
, (1.4)
este probabilitatea că î n durata ,,vieții” nu s -a produs evenimentul ,,catastrofă”. Într -adevăr,
conform proprietăților fluxului Poisson, probabilitatea
)(tPn că în intervalul [0,t) vor fi
înregistrate n mesaje a fluxului Poisson cu parametrul s, este
.!)()(stn
n ensttP
25
Din ultima expresie, pentru n=0 avem
. )(0stetP Cu alte cuvinte
ste este probabilitatea
că în [0,t) nu a fost înregistrat (nu s -a produs) nici un mesaj al fluxului Poisson de ,,catastrofe”.
Pe de altă parte c onform definiției integralei Stieltjes avem
)}. ,[ { )( dtttAPtdA
Astfel partea dreaptă a formulei ( 1.4) este probabilitatea că în timpul ,,vieții” elementului
nu s-a produs nici un eveniment al fluxului de ,,catastrofe”, sau, cu alte cuvinte, nu s -a produs
nici o ,,catastrofă”. În aceasta și constă metoda ,,catastrofelor”. Datorită introducerii unui
eveniment aleatoriu suplimentar ,,cat astrofă”, care evident că nu influențează asupra duratei
,,vieții” eleme ntului precăutat, se atribuie transformatei Lap lace-Stieltjes un sens probabilistic
bine determinat. Deoarece s a fost luat arbitrar, conc luzia este valabilă pentru ori ce s>0.
1.3. Clasificarea sistemelor de așteptare
Din punct de vedere teoretic, studiul teoriei așteptării conține trei etape distinct e, și anume:
o primă etapă se ocupă cu tipul de repartiție al sosirilor și al serviciilor, în etapa a doua se
determină indicatorii modelului, iar în etapa a treia se determină un criteriu după care trebui e
luată decizia de îmbunătățire , a se vedea [35 – 37].
În practică, mijloacele materiale investite pentru crearea sau perfecționarea unui sistem de
așteptare sunt limitate și se doreș te a le utiliza în mod economic și științific justificat. Din acest
punct de vedere, putem afirma că problema principală de aplicare a teoriei așteptării constă în
stabilirea și justificarea cheltuielilor materiale necesare pentru atingerea unui nivel dat al calității
servirii în fenomenele de așteptare cu caracter de masă. Rezultă că un rol important îl au
indicatorii calități i servirii: lungimea șirului de așteptare, volumul servirilor efectuate într-o
unitate de timp și alții.
Un model de așteptare, în general, poate fi descris astfel: există anumite elemente,
aparținând unei mulțimi oarecare, care cer un anumit serviciu. Pen tru acesta, elementul care cere
un serviciu, vine la un moment dat dintr -un punct numit sursă și așteaptă până la un anumit
moment, când el este chemat să fie servit de către o stație care va executa acest serviciu. După ce
elementul este servit, părăsește aria fenomenului de așteptare.
Deci un model de așteptare este descris complet prin următoarele elemente: fluxul de
intrare, numărul de stații de servire, durata de servire a cererilor, n umărul locurilor de așteptare .
26
Fig. 1.1. Model de bază de sistem de așteptare cu un singur server
De exemp lu, a se vedea [38 ], în cazul portului maritim, u n sistem de așteptare reprezintă
un model generic care se compune din trei elemente (Figura 1.1. ):
– navele (consumatorii) care solicită un serviciu;
– stația de se rvire care are ca menire satisfacerea cererilor clienților într -un sistem de
așteptare. Stația de servire poate avea o singură dană sau pot exista mai multe dane (număr finit
sau infinit) identice care lucrează în paralel;
– firul de așteptare sau coada c are se formează în cazul în care navele trebuie să aștepte.
Modelele din teoria așteptării se diferențiază între ele în ceea ce privește:
– legile de probabilitate ce guvernează sosirea clienților și servirea acestora;
– numărul danelor din stația de se rvire;
– disciplina firului de așteptare
Modelele de așteptare cu un singur nod sunt foarte importante în domeniul teoriei
așteptării, deoarece acestea dau unele perspective foarte bune pentru studierea modelelor de
așteptare complexe cu mai multe noduri.
Un model de așteptare cu un singur nod reprezintă un sistem de așteptare, în care o navă
ajunge să fie preluată într -o singură dană. După ce nava a fost preluată, aceasta nu pleacă la o
altă dană pentru preluare ulterioară, sau mai degrabă neglijăm ceea ce se întâmplă cu ace asta în
alte dane, după ce servirea în locația curentă este finalizată.
Deoarece sistemul de s ervire are o capacitate limitată de prelucrare a cererilor, ș i cererile
sosesc neregulat, atunci se formează periodic o coadă, iar uneori s istemul este inactiv, fiind în
așteptarea cererilor. Astfel, sistemul are cheltuieli sau pierderi.
Modelele de așteptare sunt orientate spre descrierea procesului și ne ajută să înțelegem
sistemul mai bine, dar nu ne furnizează cele mai bune soluții referi toare la numărul de stații de
servire care să minimizeze costul total.
Dacă numărul de stații de servire este prea mare, se va scurta timpul de așteptare în șir, dar
aceasta înseamnă costuri suplimentare pentru stațiile de servire.
Dacă stațiile de servir e sunt prea puține, înseamnă că este un șir de așteptare mai lung și
apar costuri adiționale datorate nemulțumirii clienților sau pierderii acestora.
27
Principalele componente ale unui sistem de așteptare sunt șirul de așteptare și unitatea sau
unitățile de service . În șir se află clienții care așteaptă să fie serviți, iar în unitatea de servire se
află clienții care sunt serviți și stația sau stațiile de servire.
Numărul clienților din șirul de așteptare, intervalul de timp dintre două sosiri consecutive
și timpul de servire a unui client sunt variabile. În timp , sistemul se stabilizează și ne permite să
determinăm o rată medie de sosire , aceasta fiind numărul de sosiri în unitate de timp și o rată
medie de servire , aceasta fiind timpul mediu necesar servirii unui client, elemente care pot fi
determin ate prin observarea sistemului.
Definiția 1.3 . Sosirea clienților în șirul de așteptare vom presupune că se derulează după o
distribuție Poisson , iar timpul dintre două sosiri consecutive după o distribuție expone nțială .
Definiția 1.4 . Timpul necesar pentru servirea unui client se numește timp de servire , iar
rata de servire reprezintă timpul mediu de servire a unui client. Vom presupune că timpul de
servire a clienților se desfășoară după o distribuție exponențial ă.
Regula după care se desfășoară servirea clienților din șirul de așteptare este de obicei
primul venit – primul servit . Această regulă este adesea modificată în funcție de prioritățile de
servire sau de importanța clienților.
Definiția 1.5 Numărul de sta ții de servire este numărul de stații paralele care contribuie la
servirea clienților din șirul de așteptare. Facilitățile de servire sunt fie cu o stație unică , fie cu
stații multiple .
O soluție mai puțin costisitoare pentru controlarea timpului de aștept are este schimbarea
numărului de stații, și nu influențarea ratei de sosire a clienților.
Definiția 1.6 Numărul de clienți în sistem este numărul de clienți din șirul de așteptare și
numărul de clienți din stația sau stațiile de servire.
De obicei se presu pune că lungimea șirului este nelimitată, fapt ce ajută la simplificarea
modelului matematic. Totuși, dacă rata de servire este mai mică decât rata sosirilor, șirul tinde
spre infinit și în acest caz avem nevoie de mai multe stații de servire. Optimizarea constă în
determinarea numărului optim de stații de servire care să împiedice tendința ca lungimea șirului
de așteptare să tindă la infinit.
Pentru a descrie un sistem de așteptare, în anul 1953 David G. Kendall a introdus notația
de forma
A/B/m , căreia i -au fos t adăugate două simboluri,
K și
p, în anul 1968 de către Alec
M. Lee.
Astfel, notația
28
A/B/m/p/K
este unanim acceptată pentru caracterizarea unui sistem de așteptare și este den umit notația
lui Kendall. Semnificația acestor simboluri este:
A – se referă la procesul de sosire
B – se referă la timpii de servire
Intervalele de timp între sosiri precum și timpii de servire sunt variabile aleatoare
independente și identic distribuit e.
Distribuțiile posibile sunt:
M – distribuție markoviană ( exponențială )
kE
– distribuție Erlang de ordinul k
kH
– distribuție hiperexponențială de ordinul k
G – distribuție generală (oarecare)
D – distribuție determ inistă
m – este numărul de servere în sistem
p – este numărul de poziții în sistem
K – reprezintă capacitatea firului de așteptare (inclusiv clienții în curs de servire)
În sistemele elementare de așteptare se consideră că poate sosi un singur client (o s ingură
navă) la un moment dat și există o singură clasă de clienți pentru care regula de servire este
FIFO. Astfel, atât populația din care provin clienții (navele) cât și capacitatea firului de așteptare
sunt infinite și în acest caz nu mai este necesară specificarea lor, parametrii p și K fiind precizați
doar în cazul în care au valori finite. Dacă p este finit, spunem că sistemul de așteptare este
închis, în caz contrar sistemul este deschis.
Exemple:
a)
M/M/2 este un sistem de așteptare cu două servere și capacitate infinită. Duratele dintre
sosirile consecutive ale clienților și duratele de servire au distribuții exponențiale.
b)
7/1/ M/E4 este un sistem de așteptare cu un singur server și capacitate egală cu 7 (în
sistem s e pot afla cel mult 7 clienți simultan, 6 clienți în firul de așteptare și unul în curs de
servire). Duratele dintre sosirile consecutive ale clienților au distribuții exponențiale iar duratele
de servire au distribuție Erlang de ordinul 4.
c)
M/G/1/50 este un sistem de așteptare închis, cu un singur server, capacitate infinită,
populația de clienți are 50 de elemente. Duratele dintre sosirile consecutive ale clienților au
distribuții exponențiale iar duratele de servire au distribuție general ă.
Legea lui Little . Se poate spune că legea lui Little este una dintre cele mai importante
29
reguli din teoria așteptării. Ușor de înțeles și simplu de utilizat este frecvent aplicată pentru
scopuri teoretice și practice. Se pare că legea lui Little poate f i extinsă pentru a deveni o
propoziție de distribuție.
Conform [39] într-un sistem de așteptare care se află în regim staționar, numărul mediu de
clienți din sistem este proporțional cu durata medie petrecută de un client în sistem, constanta de
proporțio nalitate fiind rata medie de sosire a clienților în sistem.
][ ][ SM XM
,
unde
][XM este numărul mediu de clienți din sistem și
][SM
reprezintă durata medie petrecută de un client în sistem
Legea lui Little este fundamentală în analiza sistemelor de așteptare. Aceasta poate fi
aplicată oricărui sistem, indiferent de tipul proceselor de sosire și de servire a clienților (singura
condiție impusă acestor procese este de a fi staționare) și indiferent de regulil e de operare a
sistemului. Această lege poate fi aplicată rețelelor de așteptare cu configurație arbitrară precum
și oricărui subsistem al unei rețele de așteptare .
1.3.1. Repartiții importante în teoria așteptării
În cazul sistemelor de așteptare vom uti liza mai multe tipuri de repartiție. În continuare
vom detalia câteva dintre aceste repartiții
a. Repartiția exponențială
Fie X o variabilă aleatoare. Repartiția exponențială se notează cu
) Exp( și este egală cu:
0 10
x ,ex ,0F(x)x
Repartiția exponențială are densitatea de repartiție :
x-e f(x)
,
0 0, x
Valoarea medie este:
1
0 0
0x x
x-dxe ex dxex )X(M
Dispersia este:
30
0 02 2
01 2 1 1dxe xex dxe x D(X)xx
x
2
02 2
0 02
21 12 1 2 121
x
xxedxeex
Transformata Laplace a repartiției exponențiale est e:
sdt e)s (sdt e dte e f(s)t)s( t)s( t- st
0 0 0
b. Repartiția Erlang
Fie
X o variabilă aleatoare. Aceasta are repartiția k -Erlang cu valoarea medie
k dacă
X
este suma a k variabile aleatoare independente
kX,X1 care au o repartiție exponențială
comună, cu valoarea medie
1 .
Repartiția Erlang pentru timpul de servire al mesajelor de ordinul k se notează cu
,kE)k,(Erl
.
Variabila aleatoare
X are distribuția Erlang egală cu:
xk
X e)! k()x()x(f
11
,
0x
Variabila aleatoare
X are funcția de repartiție:
x
tk
0x dacă ,dte)! k()t(x dacă ,
)x(F
01
10 0
dtet)! k()x(Fx
t kk
011
1
Integrând prin părți, obținem:
31
dtet) k( et)! k()x(Fx
t kxk kk
02
011
11
dte t)! k(e)! k()x(x
t kk
xk
022 1
2 1
Repetând integrar ea prin părți, obținem:
1
01k
nxn
e!n)x()x(F
Valoarea medie este:
k
)!1(M(X)
0dxexkx kk
Transformata Laplace -Stieltjes este dată de:
k
sf(s)
Observație:
Dacă
)(Exp E kk,1 1
4/)1( 11)1()(2tt tt
c. Repartiția Gamma
Fie
X o variabilă aleatoare. Aceasta are repartiția Gamma cu parametrii
0 și
0
dacă are densitatea de repartiție:
0 ,00 ,)( )(1
x dacăx dacă exxfx
Funcția de repartiție este:
x
tx dacă dtetx dacă
xF
010 ,)(0 ,0
)(
32
unde:
01)( dxexx
Pentru
)!1()( k k și repartiția Gamma devine repartiție Erlang.
Valoarea medie este:
)X(M
Dispersia este:
2)X(D
Transformata Laplace -Stieltjes este:
01
0dx)(exdx)x(dFe )s(fx)s(
sx
s)s(f
d. Repartiția uniformă
Fie
X o variabilă aleatoare. Aceasta are repartiția uniformă pe segmentul
],[ba dacă are
densitatea de repartiție:
]b,a[x dacă ,]b,a[x dacă ,ab )x(f
01
Funcția de repartiție este:
abaxdtabdt)t(f )x(Fx
ax
1
pentru
]b,a[x
bx dacă ,]b,a[x dacă ,abaxax dacă ,
)x(F
10
Valoarea medie este:
2 212ba x
abdxabxdx)x(xf )X(Mb
ab
a
Dispersia este:
33
12222
)ab(dxabbax
)X(Db
a
Transformata Laplace -Stieltjes este:
)e e()ab(s)s(fsb sa 1
e. Repartiția normală
Fie
X o varia bilă aleatoare. Aceasta are repartiția normală de parametri
a și
2 dacă are
densitatea de repartiție:
22
2
21
)ax(
e )x(f
Funcția de repartiție este:
dt e )x(Fx )at(
22
2
21
Valoarea medie este:
dx xe dx)x(xf )X(M)ax(
22
2
21
Pentru a calcula această integrală, facem substituția
at x și obținem:
dteadtet dt e)at( )X(Mt t t
2 2 22 2
222
2 2 21
Deoarece
022
dtett , iar
222
dtet (integral a lui Poisson), obținem:
a)X(M
Dispersia e ste:
dx e )ax( dx)x(f)ax( )X(D)ax(2
22 2 2
21
Folosind aceeași substituție, obținem:
34
dte dtet dt et dtet )X(Dt t t t
22
22
22
2 222 2 2 2
2 2 2 2
2)X(D
Transformata Laplace -Stieltjes este:
sas
e)s(f22
f. Repartiția normal standard
Dacă la repartiția normală luăm
0a și
1 , obținem repartiția normal standard cu
densitatea:
22
21x
e )x(f
Funcția de repartiție este:
dte )x(Fx t
22
21
Valoarea medie este:
0)X(M
Dispersia este:
1)X(D
Transform ata Laplace -Stieltjes este:
2s
e)s(f
35
1.3.2. Estimarea parametrilor
Repartițiile enunțate mai devreme pot furniza probabilitățile de apariție a diferitelor
evenimente de interes dacă sunt cunoscuți parametrii distribuțiilor lor. În pract ică, de multe ori
trebuie urmată o cale inversă, deoarece pentru anumite fenomene aleatoare trebuie să obținem
informații privind tipul distribuțiilor și parametrii acestora pe baza unor date culese direct din
sistemul analizat. Statistica matematică furni zează suportul pentru analizarea și interpretarea
unor asemenea date [ 40]. Orice mulțime de elemente care formează obiectul unei analize
statistice poartă denumirea de populație statistică iar elementele acesteia se numesc unități
statistice sau indivizi. Numărul tuturor indivizilor dintr -o populație statistică se numește efectivul
total al acelei populații sau volumul populației . Volumul unei populații statistice poate fi finit sau
infinit. Analiza statistică poate avea în vedere una sau mai multe caracter istici (trăsături)
comune tuturor indivizilor ce alcătuiesc populația statistică. O caracteristică se numește
cantitativă dacă se poate măsura. În caz contrar, caracteristica se numește calitativă .
Informațiile privind valorile unei caracteristici nu se cu leg de la întreaga populație, ci se
consideră la întâmplare o submulțime finită a populației. Această submulțime și, implicit,
valorile corespunzătoare caracteristicii studiate poartă denumirea de eșantion sau selecție .
Procedeul de extragere a unui eșanti on dintr -o populație statistică se numește sondaj . Metodele
de inferență statistică permit estimarea unei caracteristici a întregii populații pe baza datelor
colecționate într -un eșantion.
Intuitiv, putem afirma că valoarea estimată ( estimator ) este cu atâ t mai apropiată de
valoarea reală cu cât dimensiunea eșantionului investigat este mai mare; iar cele două valori
coincid perfect dacă eșantionul cuprinde întreaga populație. De asemenea, indiferent de
dimensiunea eșantionului investigat, acesta trebuie să fie reprezentativ pentru populația din care
provine.
Aceste două aspecte conduc la proprietățile de consistență și nedeviere ale unui estimator.
Studiul următoarelor domenii constituie subiectul statisticii matematice:
A. Estimatori statistici. Diferite e șantioane ale aceleiași populații vor furniza estimatori
distincți. Se poate pune problema determinării distribuției statistice a acestor estimatori. Dacă
tipul distribuției (normală, exponențială, etc.) populației studiate este cunoscut, se poate pune
problema estimării parametrilor necunoscuți ai populației. În același timp, trebuie precizat
nivelul de încredere în acești estimatori.
B. Teste statistice. În cazul în care tipul distribuției populației studiate este necunoscut,
atunci se pot efectua teste p entru a verifica dacă această distribuție este de un anumit tip. De
36
asemenea, în loc de a estima anumite proprietăți ale populației, se pot testa diferite ipoteze
privind proprietățile funcției de distribuție a populației.
A. Estimatori statistici
Presup unem că o populație
X are o distribuție specificată cu excepția valorii unui anumit
parametru
. (a se vedea [41 ]). Estimarea acestui parametru se va baza pe o colecție
nx xx ,,,2 1
de realizări ale un ui experiment statistic. Fiecare valoare
ix obținută experimental
reprezintă, de fapt, o realizare a unei variabile aleatoare
iX . Mulțimea variabilelor aleatoare
nX XX ,,,2 1
se numește eșantion de lungi me n al populației
X cu distribuția
)(xF , dacă sunt
mutual independente și au aceeași funcție de repartiție,
)( )( xFxF
iX , pentru orice valori ale lui
i și x.
O funcție
),,,(ˆˆ
2 1 nX XX utilizată p entru a estima valoarea parametrului
al
populației se numește estimator, iar o valoare a acesteia
),,,(ˆˆ
2 1 nx xx calculată pe baza
realizărilor
nx xx ,,,2 1 ale unui experiment statistic reprezintă o estimare a l ui
.
Funcția
),,,(ˆˆ
2 1 nX XX reprezintă un estimator nedeviat al parametrului
dacă
media sa coincide cu valoarea adevărată a lui
:
)],,,(ˆ[2 1 nX XX M
(1.3.1 )
Valoarea me die empirică sau speranța matematică a eșantionului
nX XX ,,,2 1 , definită
prin relația
n
iiXnX
11
(1.3.2 )
reprezintă un estimator nedeviat al valorii medii a populației
][XM , dacă există
valoarea medie a po pulației.
][ ][1][1][1 1][
1 1 1XM XMnnXMnXMnXnM XMn
in
iin
ii
(1.3.3 )
De asemenea, se poate calcula dispersia valorii medii a eșantionului ținând cont de
independența variabilelor
nX XX ,,,2 1 ,
37
n
in
iin
iinX VarX VarnX VarnXnVar X Var
1 12 2
1][][1][1 1][ (1.3.4 )
Relația (1.3.4) ne arată că precizia valorii medii pe eșantion
X ca estimator al valorii
medii
a populației crește o dată cu creșterea dimensiunii n a eșantionului, dacă dispersia
populației
][XVar este finită.
Se poate demonst ra că funcția
n
ii n X XnX XX
12
2 1 ) (1),,,(ˆ
(1.3.5 )
constituie un estimator deviat al dispersiei populației. Dar dispersia empirică a eșantionului
nX XX ,,,2 1
, definită prin relația
n
iiX XnS
12 2) (11
(1.3.6 )
constituie un estimator nedevi at al dispersiei populației,
][2XVar .
Estimatorii (1.3.5) și (1.3.6) diferă foarte puțin atunci când lungimea eșantionului este
suficient de mare, iar formula (1.3.6) se poate aplica atunci când populația investigată este
infinită.
Pentru o populație finită de mărime N, un estimator nedeviat al dispersiei este:
n
iiX XnNS
12 2) (111
(1.3.7)
Spunem că
ˆ este un estimator consistent al parametrului
dacă pentru orice
0 este
satisfăcută relația:
1]| ˆ[| lim
P
n
(1.3.8)
adică valoarea estimatorului
ˆ tinde în probabilitate către valoarea parametrului atunci
când dimensiunea eșantionului tinde la infinit.
Se poate demonstra că valoarea medie pe un eșantion (1.3.2) este un estimator consistent al
valorii medii a populației
][XM .
O altă modalitate de analizare a valorilor colecționate într -un set de realizări
nx xx ,,,2 1
38
corespunzătoare unei populații X constă în construirea funcției empirice de repartiție
)(ˆxF .
Pentru orice
Rx , fie
xk numărul de valori care sunt mai mici sau egale cu x. Funcția empirică
de repartiție este definită prin:
nkxFx)(ˆ
(1.3.9)
Se poate demonstra [40] că funcția
)(ˆxF este un esti mator consistent al funcției de
repartiție a populației.
Pentru un eșantion
nX XX ,,,2 1 se pot defini momentele empirice și momentele centrale
empirice prin următoarele formule:
n
ik
i k Xnm
11
, pentru
1k sau
3k (1.3.10)
respectiv
n
ik
i k X Xnm
10) (1
, pentru
3k (1.3.11)
Observație Momentul empiric de ordin ul 1 reprezintă valoarea medie empirică,
X m1 .
pentru momentul centrat empiric de ordinul 2 se aplică una din relațiile (1. 3.6) sau (1.3.7), în
funcție de dimensiunea populației investigate,
2 0
2S m .
Momentele empirice st au la baza așa -numitei metode a momentelor pentru estimarea unuia
sau mai multor parametri ai distribuției populației
X pe baza unui eșantion de lungime n,
nX XX ,,,2 1
. Această metodă constă în egalarea primelor câteva mom ente empirice ale
eșantionului cu momentele corespunzătoare ale populației astfel încât să se obțină un număr de
ecuații egal cu numărul param etrilor care trebuie estimați. V alorile estimate, obținute prin
rezolvarea acestui sistem de ecuații, în general, reprezintă estimatori consistenți ai parametrilor.
B. Teste statistice
În verificarea ipotezelor statistic e apar două cazuri distincte. Pr esupunând cunoscut tipul
distribuției de probabilitate a populației
X , fie unul sau mai mulți pa rametri ai acesteia trebuie
estimați, fie trebuie verificată o relație între acești parametri. Pentru aceasta, există teste
specializate care privesc valoarea medie sau dispersia populației.
Pentru o populație cu distribuție continuă de probabilitate cel m ai des utilizat test de acest
39
tip este testul Kolmogorov -Smirnov [42, 43 ].
Testul Kolmogorov -Smirnov încearcă să determine dacă două date de baze diferă în mod
semnificativ. Această metodă de testare este avantajoasă pentru că nu face nici un fel de
presup uneri asupra distribuției datelor, adică este un test non -parametric. Cu toate acestea, există
alte teste care pot fi mult mai sensibile în cazul carecare datele respectă cerințele testului
respectiv.
Metoda de verificare Kolmogorov -Smirnov, verifică conc ordanța dintre o re partiție
teoretică F(x) (normală, binomială , Poisson) și una experimentală
)(xFn , pașii parcurși fiind:
1. datele observate se grupează în intervale, (determinându -se numărul m de clase),
calculându -se în continuare val orile frecvențelor absolute
ia , respectiv v alorile frecvențelor
relative
if ;
2. se calculează valoarea mediei aritmetice
X , și abaterea medie pătratică utilizându -se
S
(1.3.2) și (1.3.6).
3. se calculează valorile funcției de repartiție ex perimentale, utilizând relația:
n
ii i n f xF
1)(
4. se aplică transformarea de variabilă, aplicând relația
SXXz
pentru repartiția teoretică, valorile funcțiilor densitate de probabilitate
)(zf și ale funcției
de repartiție
)(zF fiind date tabelare, aceasta în cazul verificării normalității.
5. cu valorile grupate pe intervale se calculează diferența:
)( )(i i n xF xF
6. se determină valoarea maximă a diferenței:
|)( )(|maxi i n n xF xF d
7. pentru un nivel semnificativ
1 , (sau risc
) adoptat , se scrie relația:
)( 1
K
ndPn
40
Valoarea lui
obțin ându -se din tabelele funcției calculate K, se calculează în continuare
valoarea raportului
n ;
8. Dacă:
ndn
se acceptă ipoteza concordanței dintre repartiția teoretică și cea observată.
În caz contrar ipoteza se respinge.
1.4. Portul Constanța – caracteristici generale. Organigrama Port Constanța
Deoarece vom studia aplicabilitatea teoriei așteptării în portul maritim, respectiv analiza
coeficientului de trafic, în continuare vom face o p rezentare a p ortului Constanța .
Conform [44 ], portul Constanța beneficiază de o poziționare geografică avantajoasă, fiind
situat pe rutele a 3 coridoare de transport pan -european: Coridorul IV, Coridorul IX și Coridorul
VII (Dunărea) – care leagă Marea No rdului de Marea Neagră p rin culoarul Rhin -Main -Dunăre.
portul Constanța are un rol major în cadrul rețelei europene de transport intermodal, fiind
favorabil localizat la intersecția rutelor comerciale care leagă piețele țărilor fără ieșire la mare din
Euro pa Centrala și de Est cu regiunea Transcaucaz, Asia Centrala și Extremul Orient.
Aproape de p ortul Constanț a sunt situate cele două porturi satelit Mangalia și Midia, care
fac parte din complexul portuar maritim românesc aflat sub coordonarea Administrație i
Porturilor Maritime SA Constanț a.
Vedere din satelit a portului Constan ța, conform [45 ]
41
Portul Constanț a este unul dintre principalele centre de distr ibuție care deser vesc regiunea
Europei Centrale ș i de Est, având o serie de avantaje, print re care se numără următoarele , a se
vedea [44 ]:
– Port multifuncțional cu facilități moderne și adâncimi ale apei î n bazinul portuar
suficiente pentru acostarea celor mai mari nave care trec prin Canalul Suez;
– Acces direct la țările Europei Centrale ș i de Est prin Coridoru l Pan European VII –
Dună rea;
– Centru de distribuție a containerelor că tre porturile din Marea Neagr ă;
– Legături bune cu toate modalităț ile de transport: cale ferată , rutie r, fluvial, aerian ș i
conducte;
– Terminale Ro -Ro și Ferry Boa t care asigură o legătură rapidă cu porturile Mării Negre și
Mării Mediterane;
– Facilităț i moderne pentru navele de pasageri;
– Disponibilitatea suprafeț elor pentru eventualele dezvoltă ri necesare în viitor ;
– Portul Constanț a are statutul de Zonă Liber ă, ceea ce permite stabilirea cadrului general
necesar pentru efectuarea comerțului exterior și a tranzitului de mărfuri către/dinspre Europa
Centrală ș i de Est.
Port maritim
Portul Constanț a este situat pe coasta vestică a Mării Negre și are o suprafață totală de
3.926 ha, din care 1.313 ha uscat și 2.613 ha apă. Cele două diguri situate î n partea de nord și în
partea de sud adăpostesc portul, creând condițiile de siguranță optimă pentru activități le portuare .
Portul Constanț a are o capacitate de operare anuala de aproximativ 120 milioane tone, fiind
deservit de 156 de dane, din c are 140 sunt operaț ionale. Lungimea totală a che urilor este de
29,83 km, iar adâncimile variază între 7 ș i 19 m.
Aceste caracteristici sunt c omparabile cu cele oferite de că tre ce le mai importante porturi
europene și internaționale, permițâ nd accesul tancurilor cu capacitatea de 165.000 dwt. ș i a
vrachierelor cu capacitatea de 220.000 dwt.
În prezent, se află î n derul are mai multe proiecte care au în vedere atâ t construirea d e noi
facilități pentru operarea mărfurilor, cât și îmbunătățirea legă turilor de transport dintre p ortul
Constanța ș i hinterland. Aceste proiecte sunt localizate în principal î n partea de sud a portului.
42
Port fluvial
Portul Constanța este atâ t port mariti m, c ât și port fl uvial. Facilitățile oferite de p ortul
Constanț a permit acostarea o ricărui tip de navă fluvială .
Legătura p ortului Constanța cu Dunărea se realizează prin Canalul Dunăre – Marea Neagră
și reprezintă unul di ntre principalele avantaje ale p ortului Constanța. Datorită costurilo r reduse și
volumului mare de mă rfuri care pot fi transportate, Dună rea este unul dintre cele mai rentabile
moduri de transport, reprezentând o alternativă eficientă la transportul rutier ș i feroviar
congestionat din Europa.
Conform [46], portul Constanța are mai multe terminale:
– terminalul de vrac lichid: produse petroliere rafinate și nerafinate precum și petrol
brut
– terminalul de vrac solid: cărbune, cocs, minereu , cereale, ciment vrac și
materiale de construcții
– terminalul de mărfuri generale: produse alimentare, produse chimice, cherestea și
produse metalice
– terminalul de containere care este cel mai mare terminal de containere de
la Marea Neagră având o capacitate anuală de peste 1.000.000 TEU
– terminalul de ro -ro/ferry în care pot sosi nave ce pot acomoda până la 4.800 de
vehicule/legături prin ferry -boat cu alte țări riverane Mării Negre
– terminalul de pasageri cu o capacitate anuală de 100.000 de pasageri.
Organigrama Port Constanța
Administraț ia Porturilor Maritime "S.A. Constanța”
1. Compartimente în subordinea directorului general
– Comp artimentul consilieri
– Serviciul secretariat, comunicare ș i informaț ii publice
– Serviciul de relaț ii publice, protocol
– Serviciul resurse umane – securitate și sănătate în muncă
– Serviciul juridic și contencios
– Biroul litigii maritime și asigură ri
– Biroul audit intern
2. Direcția financiară
3. Direcția comercială
4. Direcț ia domenii portuare
43
5. Direcția exploatare, siguranță și securitate portuară
6. Direcția tehnică – achiziț ii publice
7. Sucursale
– Sucursala energetică Port Constanța
– Sucursala nave tehnice Port Constanța
– Sucursala de servicii Port Constanța
– Sucursala zonelor li bere Constanța Sud și B asarabi
1.5. Concluzii la c apitolul 1 Modelele de așteptare joacă un rol important în determinarea
eficientizării operațiunilor p ortuare și astfel se dorește îmbunătățirea caracteristicilor lor.
Analiștii sunt cei care decid dacă vor fi schimbări la configurarea liniilor de servire (a numărului
de dane în cazul nostru). În general, pentru a se îmbunătății operațiile în linia de aște ptare se
îmbunătățește rata preluării și deservirii clienților (navelor).
În acest capitol s -au amintit noțiunile de bază ale teoriei așteptării. Astfel:
– s-a descris structura unui sistem de bază de așteptare cu o singur ă stație de servire,
urmând ca î n celelalte capitole să se aprofundeze și să se discut e și despre sisteme de
așteptare cu mai multe stații de servire, respectiv de sisteme de așteptare cu priorități.
– s-au detaliat noțiunile de bază pe care le vom utiliza, transformata Laplace respectiv
transformata Laplace -Stieltjes
– s-a prezentat metoda “catastrofelor ”
– s-a făcut o prezentare generală a p ortului Constanța deoarece toate noțiunile din teoria
așteptării le vom aplica în portul maritim .
44
2. MODELE CLASICE PENTRU ANALIZA TRAFICULUI IN FORMAȚIONAL
PORTUAR
2.1. Modelul clasic
1//GM . Ecuația Kendall
Vom considera binecunoscutul model de așteptare
1//GM , a se vedea [47 -50] care
constă dintr -o stație de servire la care sosesc nave pentru a fi servite cu un flux Poisson de
mesaje cu parametrul
>0 și cu repartiție exponențială
) Exp(x . Timpul de servire a
mesajelor este o variabilă aleatoare B cu funcția de repartiție
}. { )( xBPxB Urmând [25 , 51,
52] vom defini pe rioada de ocupare ca intervalul de timp care începe cu sosirea mesajului în
sistemul liber și sfârșește când sistemul devine din nou liber. Notăm prin
perioada de
ocupare, iar prin
} { )( x Px funcția de repartiție. Fie
)(s și
)(s transformatele
Laplace -Stieltjes a funcțiilor
)(xB și
)(x , iar
1 respectiv
1 primele momente.
0)( )( xde ssx
și
0 0] 1[ )( )( ex de xdBe ssx sx
Are loc următorul rezultat, cunoscut ca ecuația funcțională Kendall pentru perioada de
ocupare , a se vedea [ 53, 54 ].
Teorema 2.1 (Kendall). Transformata Laplace -Stieltjes
)(s a funcției de repartiție a
perioadei de ocupare se determină în mod unic din ecuația funcțională
))( ()( s s s
(2.1)
Dacă
,11
atunci:
11
11
(2.2)
3
12
2) 1(
Demonstrație: Vom considera că independent de evoluția sistemului se produc câtev a
,,catastrofe” care formează un flux Poisson cu parametrul s>0. Atunci transformata Laplace
Stieltjes a perioadei de ocupare
45
),x(de )s(sx
0 (2.3)
este probabilitatea că în decursul ,,vieții” perioadei de ocupare nu s -a produs ,,catastrofa”. Pe de
altă parte pentru aceasta este necesar și suficient ca
).(!)()]([ )(
0 0xdBekxe s sxk
sx
kk
(2.4)
Într-adevăr, pentru ca să se realizeze fără ,,catastrofă” este necesar și suficient ca în
timpul servirii B să nu se producă evenimentul ,,catastrofă” (probabilitatea acestui eveniment
este
)),(xdBesx în perioadele de ocupare asociate cu cele k0 mesaje sosite în timpul servirii
primului mesaj, (probabilitatea este
xk
ekx
!)( ) să nu se producă de asemenea ,,catastrofa”
(probabilitatea este
ks)]([ ).
Din (2.4) rezultă
)(!))(()(
00) (xdBkxse sk
kx s
)( ()( )(
0))( ( )(
0) (s s xdB e xdB e exs s xs x s
,
ceea ce și demonstrează (2.1).
În continuare vom demonstra formula (2.2).
Observăm că derivând ambele părți în (2.3 ) după s obținem:
).( )(
0xdxe ssx
Considerând în ultima expresie s=0, avem
1
0)( )0(
xdx
. (2.5)
Astfel, am obținut o procedură simplă de calcul a valorii medii a variabilei aleatoare având
dată doar transformata ei Laplace -Stieltjes. În continuare vom aplica (2.5) pentru a obține (2.2).
Avem
46
)).( ())( 1()( s s s s
Considerând s=0, obținem
),0())0( 1()0(
deoarece
,1)0( sau
1 1 1 ) 1( , de unde și rezultă (2.2).
Pentr u stabilirea faptului că sistemul funcționează normal sau se supraîncarcă apare
necesitatea de a de fini un indicator de performanță pe care îl vom numi coeficient de trafic și îl
vom nota . Coeficientul de trafic, în general, se calculează ca raportul din tre valoar ea medie a
timpului de servire ș i valoarea medie a intervalului dintre sosirile consecutive a cerințelor în
sistem.
)()(
kzMBM
,
unde
kz este intervalul de timp dintre două sosiri consecutive în sistem,
0)t(tdB )B(M
este valoarea medie a timpului de servire,
0)t(tdA )z(Mk k
este valoarea medie a intervalului dintre 2 sosiri consecutive în sistem,
}x z{P)x(Ak
și
}xB{P)x(B funcțiile de repartiție a fluxului Poisson.
Este eviden t că dacă valoare a medie a timpului de servire este mai mică decât valoarea
medie a timpului dintre două sosiri consecutive a două cereri ( < 1), atunci nodul rețelei unde se
prelucrează informația va lucra în regim de lucru normal (fără supraîncărcare). Dacă valoarea
medie de servire a unei cereri este mai mare decât timpul mediu dintre două cereri consecutive (
> 1), atunci se formează un șir de așteptare care se extinde către infinit și sistemul se
supraîncarcă.
Cazul = 1 este un caz delicat care pr esupune o cercetare specială și deschide un larg
domeniu de cercetare.
Astfel coeficientul de trafic are un aspect aplicativ bine pronunțat, el descrie încărcarea
sistemului și are o importanță fundamentală, deoarece, o dată stabilită repartiția timpului de
servire, toate caracteristicile modelului studiat se exprimă în funcție de acest parametru.
Coeficientul de trafic este
)]([xBM , iar condiția de staționaritate a sistemului este
1)]([ xBM
.
47
O formulă foarte importantă în te oria așteptării este formula lui Pollaczek -Khinchin , a se
vedea [55 -57].
Considerăm următoarele notații:
– W timpul în care clienții (navele) trebuie să aștepte să fie servite (timpul de
așteptare în sistem)
– R timpul rezidual de servire
–
qN numărul de clienți (nave) care așteaptă
Atunci:
][ ][][ ][ RMBM NM WMq
(2.6)
Folosind legea lui Little putem obține valoarea medie a lungimii șirului
][qNM și ținând
cont de faptul că
][BM , obținem:
1][][ ][ ][RMWM WM NMq
(2.7)
Mai rămâne să aflăm timpul rezidual de servire. Acesta poate fi dedus folosind metoda
grafică.
Fie un interval lung de timp t. Valoarea medie a curbei poate fi calculată împărțind suma
ariilor în triunghuiri de lungime a inte rvalului, așa cum se poate obs erva în Figura 2.1.
R(t)
R
1B
2B
nB t
Fig. 2 .1. Valoarea medie a timpului rezidual de servire
Numărul de triunghiuri obținut, perioada de ocupare, este
n și este determinat de rata
sosirii
, numărul mediu fiind
t .
][21
21 1
211)(1][2
12
12
0BM BntnBttdtRtRMn
kkn
kkt
(2.8)
48
Înlocuind (2.8) în (2.7), obținem formula de medie a timpului de așteptare Pollaczek –
Khinchin
)1(2][][2
BMWM
(2.9)
Din valoarea medie a timpului de așteptare putem să obținem valoarea medie a timpului
petrecut în sistem.
][ ][ ][ WMBM TM
Dacă notăm pătratul coeficientului de var iație a timpului de servire,
22
][][
BMBDCs , știind
că:
2 2][ ][ ][ BMBD BM
,
obținem:
1][
21
)1(2][][2 2BM C BMWMs
)1(2][][ ][2
BMBM TM
][1 211][2
BMCTMs
Aplicând în continuare rezultatele lui Little, vom obține următoarele formule pentru
valoa rea medie a numărului de clienți (nave) care așteaptă, respectiv v aloarea medie a numărului
de clienți din sistem:
)1(2][][ ][2 2
BMWM NMq
1 21][2 2
s
qCNM
)1(2][][ ][ ][2 2
BMTM TM NM
1 21][2 2
sCNM
49
Exemple
În continuare vom prezenta formulele de m edie Pollaczek -Khinchin în cazul sistemelor
1//MM
și
1//DM
2.1.1. Cazul sistemului
1//MM . În acest caz distribuția este exponențială și valoarea
dispersiei este
1 ][ ][2 2sC BM BD
Astfel:
1 1][2
NM
][11][11][ BM BM TM
2.1.2. Cazul sistemului
1//DM . În acest caz distribuția este deterministă (timpul de
servire este constant) și valoarea dispersiei este:
0][BD
Astfel:
121][2
NM
][1211][ BM TM
În continuare vom da o altă formă a formulei lui Pollaczek -Khinchin pentru repartiția
lungimii șirului cu privire la momentele de plecare.
Timpul de servire are o distribuție generală cu densitatea
Bf și valoarea medie
)(BM . În
acest caz mai facem notațiile:
– n numărul de clienți din sistem
– x timpul de servire deja petrecut de client în servire.
Fie
na probabilitatea ca exact n clienți să sosească în perioada timpului de servire, și
jip,
probabilitățile de tranziție ale lanțului Markov. Astfel, obținem:
50
0)(!)(dttfentaBtn
n,
,2,1,0n (2.10)
Este evident că pentru
1ij ,
0,jip , iar pentru
1ij obținem probabilitatea că
exact
1ij clienți sosesc pe parcursul timpului de servire al unui client. Acest lucru este
valabil pentru
0i . În starea 0, un client lasă în urmă un gol în sistem și atunci
jp,0 ne dă
probabilitatea că în timpul de servire al clientului următor, sosesc exact j clienți.
Deci matricea probabilităților de tranziție are următoarea formă:
01 02 1 03 2 1 03 2 1 0
0 0 00 00
aa aaa aa aa aa aa a
P
Probabilitățile de echilibru
ip satisfac ecuațiile de echi libru
i i i i i apap ap ap p0 1 1 01
i
ni nn i i ap a p p
00 1
,
,2,1,0i (2.11)
Ecuația (2.10) poate fi rescrisă astfel:
) (0 1 1 01 i i i i i apap ap p ap
(2.12)
Astfel, după ce am determinat valorile pentru
0p până la
ip , putem folosi aceste ecu ații
(2.12) pentru a determina
1ip .
Pentru a rezolva ecuațiile de echilibru vom folosi funcțiile generatoare.
În continuare vom introduce funcțiile generatoare de probabilitate:
0)(
ii
izp zP
0)(
ii
iza zA
care sunt definite pentru orice
1z .
Înmulțind relația (2.11) cu
iz și sumând după i, obținem:
51
0 00 1 )(
iii
ni nn i zap a p zP
0 0 001
11
iii
n iin in
nn i zap zza p z
001
11)(
n nin in
nn i zAp zza p z
001
11)(
n nin i
n in
n zAp z p za z
)( ) )()((0 01zAp pzPzAz
Deci obținem:
)( 1) 1)(()(11
0
zAzz zApzP
Înlocuind
10p și înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu -z, obținem:
zzAz zAzP)()1)(()1()(
(2.13)
Utilizând relația (2.10), funcția generatoare
)(zA poate f i rescrisă astfel:
00)(!)()(
n tn
Btn
dtztfentzA
0 0)(!)(
tnBtn
dttfentz
0) ()(
tBtzdttf e
) ()( z bzA
(2.14)
Înlocuind relația (2.14) în (2.13), obținem:
zz bz z bzP) ()1)( ()1()(
(2.15)
Această formulă este o altă formă a formulei Pollaczek -Khinchin. Derivând formula (2.15)
se pot determina momentele lungimii șirului de așteptare. Pentru a determina repartiția trebuie să
52
inversăm formula (2.15), care de obicei este foarte dificil. În continuare vom inversa formula
pentru repartiția exponențial ă și repartiția Erlang de ordinul 2.
Exemple
2.1.3. Cazul sistemului
1//MM . În acest caz distribuția este exponențială și valoarea
medie este
1 . Atunci:
ssb)(
Astfel, obținem:
zzzzzP
)1( )1(
)(
)1)( ()1()1(
) ()1()1(
z zz
z zz
zzP11)(
Deci:
n
np )1(
,
,2,1,0n
2.1.4. Cazul sistemului
1/)2(/ErlM . În acest caz distribuția este Erlang de ordinul 2 și
valoarea medie este
2 . Atunci:
2
)(
ssb
Astfel, obținem:
zzzzzP
22
)1( )1(
)(
53
2 22
) ()1()1(
z zz
4/)1( 1)1()1(
2z z zz
Pentru
31 obținem:
2133624
36)1(
3132
)(zz z zzzP
) 9)( 4(24)(z zzP
După ce descompunem fracția în fracții simple, obținem:
z zzP91
524
41
524)(
911
158
411
56)(z zzP
Deci,
n n
np
91
158
41
56
,
,2,1,0n
54
2.2. Sisteme de așteptare cu priorități cu aplicare în portul maritim
La intrarea navelor în portul m aritim Constanța se ține cont de următoarele criteri i
principale:
– tipul de mărfuri de încărcat sau descărcat;
– existența mărfurilor la încărcare pentru cel puțin trei etape de operare;
– condițiile contractuale de operare, printre care criteriul principal îl constituie rata
contrastaliilor.
În funcție de acest e criterii se formează șiruri de așteptare pentru fiecare tip de marfă care
se operează la danele specializate, în ordinea criteriilor anunțate anterior precum și un șir general
pentru navele care au mărfuri ce nu se operează în astfel de dane (mărfuri gen erale). Pentru
navele la descărcare, criteriul de existență al mărfurilor se co nsideră satisfăcut automat iar
șirurile de așteptare se vor modifica pe măsura apariției de noi elemente care, în cadrul criteriilor,
pot schimba ordinea în șirul de așteptare.
Pentru programarea sosirii și a depozitării mărfurilor în port se ține cont de avizarea
navelor care urmează să sosească în port sau care sunt deja sosite în port și la radă, astfel încât să
fie asigurat în permanență stocul de mărfuri necesar operării nav elor cel puțin 3 zile.
Ca restricții se ține seama de distribuția celorlalte mărfuri pentru aceeași navă în spațiile de
depozitare și de spațiul disponibil existent, căutându -se realizarea unei comasări a mărfurilor
care să asigure reducerea distanțelor de transport.
Pentru programarea dinamică a repartizării navelor la danele de operare se ține cont de
două restricții principale:
– specializarea danelor;
– pescajul admis la dană.
Principalul criteriu de alegere al danei este minimizarea costului total al trans portului
interior; acest cost fiind calculat pentru fiecare pereche navă – dană.
2.2.1. Sistemul
1//GM cu priorități
În multe aplicații este de preferat să se dea o servire preferențială unor anumite clase de
clienți. Șirul de așteptare e ste ordonat și clienții cu o prioritate mai mare sunt serviți primii. În
continuare vom vorbi doar de sistemele de așteptare cu prioritate cu un singur server , a se vedea
[58-61].
Fie un sistem de așteptare î n care clienții au clasa de prioritate k, k=1,2, ….,r.
Notăm:
55
–
kW timpul în care clienții cu clasa de prioritate k t rebuie să aștepte să fie serviți
(timpul de așteptare în sistem)
–
kR timpul rezidual de servire
–
kqN, numărul de clienți cu clasa de prioritate k care așteaptă în sistem
–
kT timpul de așteptare al unui client cu clasa de prioritate k.
În continuare dorim să aflăm valoarea medie a timpului de așteptare în sistem precum și
valoarea medie a numărului de clienți care așt eaptă în sistem , a se vedea [62-64].
Pentru început să calculăm valoarea medie a timpului de așteptare al unui client cu clasa de
prioritate 1. De fapt, valoarea acestuia este egală cu valoarea medie a timpului de așteptare
calculat în cazul sistemului
1//GM .
) 1(2][ 1][
12
1
11BMTM
Valoarea medie a timpului de așteptare al unui client cu clasa de prioritate
k ,
2k , este
suma a trei termeni:
][ ][ ][ ][3, 2, 1, k k k k TM TM TM TM
unde,
a)
][1,kTM este v aloarea medie a timpului de servire și
kkTM1][1,
b)
][2,kTM este valoarea medie a timpului necesar, la sosirea unui client cu clasa de
prioritate k, să servească clienții de clasa 1 până la k deja aflați în sistem .
c)
][3,kTM este valoarea medie a timpului de ședere al unui client de clasa 1 până la k -1
care sosește în timp ce clientul de clasă k este în sistem.
În continuare vom calcula
][2,kTM . atunci când un client de clasă de prioritate k soseșt e în
sistem, timpul de așteptare dinaintea intrării în server pentru prima dată este același ca cel
calculat în cazul sistemului fără prioritate, unde clienții de clasă
r k,…,1 sunt neglijați, adică
0i
pentru
r ki ,…,1 . Motivul este că suma timpilor rămași pentru servire a tuturor
clienților din sistem este indepenent de disciplina de servire a sistemului. Acest lucru este
adevărat pentru orice sistem în care serverul este mereu ocupat.
Astfel,
56
k
i iiq
k kNMRM TM
1,
2,] [][ ][
Conform formulei lui Little,
][ ] [2, , k i iq TM NM
, pentru
k i ,…,2,1
De asemenea, ca în cazul sistemului de așteptare fără priorități,
k
ii k BM RM
12][21][
Astfel, obținem:
k
ik ik
ii k TM BM TM
12,
12
2, ][ ][21][
k
iik
ii
kBM
TM
112
2,
1][21
][
În cele ce urmează vom calcula
][3,kTM .
Conform formulei lui Little, valoare a medie a numărului de clienți de clasă
i , cu
1 ,…,2,1 k i
care sosesc pe perioada timpului de ședere al unui client care are clasa de
prioritate k este
][k iTM .
Prin urmare,
1
13, ][ ][k
ik i k TM TM
În final, obținem
k
iik
ii
kk
iikBM
TM
112
1
11][
21 1
11][
Folosind formula lui Little vom obține valoarea medie a numărului de clienți care așteaptă
în sistem.
k
iik
ii k
k k
iikBM
NM
112
1
11][
21
11][
57
2.2.2. Sistemul
1//r rG M
În continuare presupunem că într -un sistem de așteptare, cu o singură stație, sosesc
r
fluxuri poi ssoniene independente de mesaje F1, F 2, …,F r cu parametrii de intrare
r,,…1 .
Timpul de servire a mesaje lor fluxului Fk este dat de funcția de repartiție Bk(t), k = 1,…,r, șirul
de așteptare fiind nelimitat.
Mesajele fluxului Fk le vom numi mesaje de prioritatea k. Vom spune că mesajele fluxului
Fi au o prioritate mai înaltă față de mesajele fluxului Fj, dacă i < j. Printre mesajele ce așteaptă
începutul servirii, mesajele de prioritate mai înaltă, vor fi servite înaintea mesajelor de prioritate
mai joasă. Pentru mesajele de aceeași prioritate, modul de servire va fi considerat după legea
LIFO.
Conform clas ificării Kendall un astfel de sistem se va nota
1//r rG M .
În literatura din domeniu [65-68] se examinează mai multe le gi de prioritate. Cele mai
răspâ ndite în sistemele reale și în activitatea portuară se consideră prioritatea absolută și
prioritatea relativă. În continuare vom descrie detaliat cele două tipuri de priorități.
Prioritatea absolută. Conform acestei legi, a se vedea [69 -71] servirea mesajului clasei cu
o prioritate mai joasă este întreruptă de sosirea în sistemul de așteptare a unui mesaj cu o
prioritate mai înaltă. După ce sistemul se va elibera de toate mesajele de o prioritate mai înaltă ca
acela, servirea căreia a fost întreruptă, cu mesajul întrerupt se va proceda în felul următor:
1. Mesajul întrerupt își continuă servirea, începând de la punctul întrerupt.
2. Mesajul întrerupt se pierde fără revenire în sistem.
3. Mesajul întrerupt se servește de la început.
Trecerea servirii de la o clasă la alta are loc numai la sfârșitul servirii mesajului. Timpul de
trecere de la o clas ă la alta este egal cu zero.
Vom introduce următoarele notații:
k
– parametrul fluxului Poisson a clasei de prioritate
r,…,k ,k 1 ,
r – numărul claselor
de prioritate.
)t(Bk
– funcția de repartiție a lungimii servirii a unui mesaj din clasa
k .
0)t(dBe)s(kst
k
transformata Laplace -Stieltjes a lui
)t(Bk .
01 t tdBk k
– momentul de primul ordin pentru mesajele de clasă k.
58
02
2 tdBtk k- momentul de ordinul 2.
k k …1
parametrul fluxului sumar de mesaje de prioritate k și mai mare decât k,
00
,
r .
П
variabila aleatoare a perioadei de ocupare.
}tП{P)t(П
funcția de repartiție a perioadei de ocupare.
01 ttdП
– momentul de primul ordin a perioadei de ocupare.
02
2 tdПt
– momentul de ordinul 2 al perioadei de ocupare.
În cele ce urmează vom opera cu unele perioade s pecifice de timp, a se vedea [ 72-74]
funcțiile de repartiție ale cărora vor apărea mai jos ca funcții auxiliare, prin intermediul cărora se
va construi perioada de ocupare.
Vom nota:
k (sau k – perioadă) – intervalul de timp, care începe cu sosirea în sis temul liber de mesaje
de prioritate k și mai mare, a unui mesaj de prioritate
k sau mai mare și se sfârșește cu eliberarea
sistemului de mesaje de prioritate k și mai mare decât k, k = 1,…,r.
Prin
)t(П se va nota funcția de repartiție a variabilei k. Evident că rt = t.
kk (sau kk – perioadă) – intervalul de timp, care începe cu sosirea în sistemul liber de
mesaje de prioritatea k a unui mesaj de prioritate k și se sfârșește cu eliberarea sistemului de
mesaj e de prioritate k, și mai mare decât k, k = 1,…,r.
}tП{ tПkk kk
– funcția de repartiție a variabilei
kkП .
0t dПe skkst
kk
– transformata Laplace -Stieltjes a lui kkt.
k – ciclu – durata de timp, care începe cu momentul î nceperii servirii a mesajului de
prioritate k și se termină imediat după eliberarea sistemului de acest mesaj.
Hk – perioada de servire deplină a unui mesaj de prioritate k. Evident că Hk Bk, însă
pentru k = 1, H1 = B1.
Hk(t) – funcția de repartiție a perioadei Hk.
hk(s) – transformata Laplace -Stieltjes a funcției de repartiție a lui Hk(t).
59
)n(
kkП– un interval de timp, care începe cu servirea unui mesaj de prioritate k din cele k
mesaje de prioritate k inițial aflate în sistem , k =
1,…,r, n .
)t(П)n(
kk
– funcția de repartiție a lui
)n(
kkП .
0)( )()(t dПe sn
kkst n
kk
transformata Laplace -Stieltjes respectivă.
,)(
01
x xdk k
02
2 )(x dxk k – primul și al doilea moment al v ariabilei
kП
2 1 k kh,h
– primul și al doilea moment al variabilei
kН
Teorema 2.2 Pentru legea de prioritate 1 când mesajul întrerupt își continuă servirea,
începând de la punctul întrerup t au loc următo arele relații
a)
))( ( )(1 1 1 s s shk k k k k (2.16)
))( ( )( s shskkk k k kk
(2.17)
))( ( )(,1 s s skkk k ik ki
(2.18)
))( …)( )(1 1 s s skkk k kk
(2.19)
ce determină funcțiile hk(s), ki(s), k(s), i 1,…, k, k 1,…, r, unice și analitice pentru
Res , unde | hk(s) | , | ki(s) | , | ks|
b) Fie
1 212 111 …kk k
(2.20)
Atunci pentru
1k
1
1
(2.21)
11
11
kk
kh
(2.22)
Demonstrație. Vom demonstra (2.19). Presupun em că independent de funcționarea
sistemului se produc unele evenimente “catastrofe”, ce formea ză un flux poi ssonian cu
parametrul s > 0. Disciplina servirii este conform schemei LIFO (ultimul sosit, pr imul servit).
Probabilitatea că în timpul Пk perioadei de ocupare a sistemului, evenimentul “catastrofă” nu s -a
60
produs este
)(sk . Legăm perioada de ocupare a sistemului cu acel mesaj cu care se începe
perioada de ocupare. Invers, fiecărui mesaj îi corespunde o perioadă d e ocupare, adică dura ta de
timp de la începutul servirii acestui mesaj până la următorul moment, când sistemul se eliberează
de acest mesaj și de mesajele sosite după el. Perioadele de ocupare, corespunzătoare mesajelor,
sosite în sistem în perioada de servire a acelui mesaj, nu se intersectează, sunt independente și au
aceeași repartiție. Perioada de ocupare a unui mesaj este formată din perioada de servire a acestui
mesaj plus perioada de ocupare a mesajelor sosite în sistem până la servirea lui. Presupunem că
în perioada de ocupare Пk n-a avut loc evenimentul “catastrofă”, pentru aceasta e necesar și
suficient, ca
– ori perioada Пk cu probabilitatea
k1 va fi a Пk1 perioadă și pe parcursul realizării ei nu
se va produce evenimentul “catastrofă” (probabilit atea acestui eveniment este
)(1sk ),
– ori perioada Пk cu probabilitatea
k2 va fi a Пk2 perioadă și pe parcursul realizării ei nu
se va produce evenimentul “catastrofă” (probabilitatea acestui eveniment este
)s(k2 ), și a.m.d.,
– ori perioada Пk cu probabilitatea
kk
va fi a Пkk perioadă și pe parcursul realizării ei nu
se va produce evenimentul “catastrofă” (probabilitatea acestui eveniment este
)(skk ).
Astfel, formula ( 2.9) este demonstrată. Restul formulelor se demonstrează analog.
Teorema 2.3. Pentru legea de prioritate 2 când mesajul întrerupt se aruncă, fără revenire
în sistem, are loc următorul sistem recurent de ecuații funcționale
a)
(s) )] ( 1[ ) ( )(1 1
11
1
k k k
kk
k k k sss sh (2.23)
))( ( )( s shskkk k k kk
(2.24)
))( ( )(,1 s s skkk k ik ki
(2.25)
))( …)( )(1 1 s s skkk k kk
(2.26)
ce determină funcțiile hk(s), ki(s), k(s), i 1…k, k 1,…, r, unice și analitice pentru
Res , unde |hk(s)| , |ki(s) | , |ks|
b) Fie
61
)] ( 1[ …)]( 1[1
11 2
12
111
k k
kk
k (2.27)
Atunci pentru
k (2.28)
kk
kk11
(2.29)
) 1() ( 1
11
1
k kk k
kh
(2.30)
Demonstrație. Presupunem că independent de funcționarea sistemului au loc câteva
evenimente numite “catastrofe” care se produc după un flux poissonian cu parametrul s > 0.
Atunci conform metodei catastrofelor, probabilitatea că în perioada de servire a mesajului de
prioritate k nu s-a produ s evenimentul “catastrofă” și nu au sosit mesaje de prioritate mai mare
decât k va fi:
0) (
1 )( ) (1tdB e skt s
k kk
Fluxul sumar de catastrofe și a mesajelor de prioritate mai mare decât k este poissonian cu
parametrul s + k-1. Fiecare mesaj al fluxului sumar, independent de celelalte mesaje cu
probabilitatea
11
kk
s aparține fluxului de mesaje cu prioritate mai mare decât k. De aici,
)] ( 1[1
11
k k
kkss
este probabilitatea că servirea mesajului de prioritatea k este întreruptă,
până la momentul întreruperii, evenimentul “cat astrofă” n -a sosit. Presupunem că în perioada de
timp, începându -se cu momentul servirii mesajului de prioritate k și terminându -se cu primul
moment, când sistemul se eliberează de mesaje de prioritate mai mare decât k și de acest mesaj
de prioritate k, n-au sosit evenimente “catastrofă”. Pentru aceasta, e necesar și suficient ca, sau
mesajul de prioritate k n-a fost întrerupt de la servire, iar în perioada de servire evenimentele
“catastrofă” n -au sosit; sau servirea mesajelor de prioritate k a fost între ruptă din cauza sosirii a
unui mesaj de prioritate mai înaltă (ceea ce înseamnă pierderea mesajului întrerupt);
evenimentele “catastrofă” n -au avut loc până la pierderea mesajului, iar mai departe servirea
mesajelor de prioritate mai înaltă decât k, se pro duce fără “catastrofă”.
Fie – momentul de servire a mesajului de prioritate k și mesaje de prioritate mai mare
62
decât k. Pe parcursul de timp , mesaje le de prioritatea k pot sosi și pot să nu sosească. Dacă pe
parcursul de timp mesaje le de prioritatea k în sistem n -au sosit, atunci cu terminarea perioadei
se termină și perioada kk. Dacă au sosit mesaje de prioritate k, atunci fiecare din mesajele
sosite e legat de perioada kk. Mesajul de prioritate k este numit “rău”, dacă în perioada legată de
el au sosit “catastrofe”. Fiecare mesaj de prioritate k, independent de celelalte mesaje, este “rău”
cu probabilitatea 1 kk(s). Fluxul de mesaje “rele” este pois sonian cu parametrul ak(1–kk(s)).
Fluxul de mesaje “rele” de prioritate k și “catastrofe” este pois sonian cu parametrul s + ak –
akkks.
Pentru ca mesajul de prioritate k să nu fie „rău” (probabilitatea este kk(s), este necesar și
suficient, ca în perioada de timp să nu sosească “catastrofe” și să nu sosească mesaje “rele” de
prioritate k (probabil itatea este hk(s + ak – akkk(s)). Aceasta demonstrează (2.24). Formulele
(2.25) și (2.26) se demonstrează analog, pentru s .
Remarcă . Inegalitatea (2.28) ne prezintă condiția de încărcare staționară a sistemului.
Vom observa că momentele de ordinul 1 și 2 ale variabilelor
kП și
kH se exprimă prin
coeficientul de trafic
k . Pentru calcula rea lor este necesar să calculăm
k.
Teorema 2.4 Pentru legea de prioritate 3 când mesaj ul întrerupt se servește de la început,
au loc următoarele relații :
a)
1
1 1
11
1 )}( )] ( 1[ 1){ ( )(
s sss shk k k
kk
k k k (2.31)
) ( )( …)( )(1 ki s s skkk kk kk
(2.32)
))( ( )( s shskkk k k kk
(2.33)
))( ( )(,1 s s hskkk k ik ki
(2.34)
ce determină funcțiile h k(s), ki(s), k(s), i 1,…, k, k 1,…, r, unice și analitice pentru
Res , unde | hk(s) | , | ki(s) | , | ks|
b) Fie
1) (1…1)(1
1 1 1 2 12
11
k k kk
k
(2.35)
Atunci pentru
k (2.36)
63
kk
kk11 (2.37)
]1) (1[) 1(1
1 11
k k k kkh
(2.38)
Demonstrație . Presupunem că în momentul de servire a mesajelor de prioritate k și de
prioritate mai mare decât k nu s-a produs evenimentul “catastrofă ” (cu probabilitatea hk(s)).
Pentru aceasta e necesar și suficient ca, sau în perioada de servire a mesajelor de prioritate k nu
s-a produs evenimentul din următorul flux sumar de evenimente: fluxul catastrofelor și fluxul de
mesaje de prioritate mai mare decât k (probabilitatea ks + k-1, sau în timpul de servire a
mesajelor de prioritate k s-a produs evenimentul “nedorit” (probabilitatea 1 –ks + k-1), tot la
fel de “nedorit” a fost mesajul de prioritate k (probabilitatea
11
kk
s ), și că în perioada de
ocupare a sistemului cu mesaje de prioritate mai mare decât k, “catastr ofa” nu s -a produs
(probabilitatea este
))(1sk și e necesar, ca pe intervalul de timp, începându -se cu servirea
repetată a mesajului de prioritate k și terminându -se cu eliberarea sistemului de acest mesaj și de
mesaje de prioritate mai îna ltă decât k, catastrofa nu s -a produs (probabilitatea hk(s)). De aici
rezultă formula (2.3 1). Analog se obțin și celelalte formule.
2.3. Analiza coeficientului de trafic pentru sistemele de așteptare cu priorități aplicate
în portul maritim
Modelele în ca re disciplina de servire se stabilește după criterii care nu iau în considerare
ordinea intrării clienților în sistem, se numesc modele cu prioritate. În astfel de sisteme, clienții
sunt împărțiți în clase de priorități. Dacă notăm cu n numărul total de cl ase, atunci clienții clasei i
au prioritate la servire față de clienții clasei j dacă i<j. De asemenea, în cadrul aceleiași clase,
clienții sunt serviți în ordinea FIFO. Clienții pot sosi în sistem după aceeași repartiție sau după
repartiții ale timpului î ntre sosiri diferite.
În continuare vom prezenta cazul cu mai multe stații de servire , a se vedea [ 75-78].
Se consideră un sistem de așteptare cu k stații de servire, în care sosirile se realizează după
o lege Poisson și servirea a re loc după o lege exponențială, a se vedea [ 79, 80 ]
Starea de stabilitate a sistemului se realizează dacă
k .
Relațiile importante pentru acest caz sunt următoarele:
– Probabilitatea ca nicio navă să fie în port este:
64
1
00
) 1(! !1
k
nk n
k k nP
– Probabilitatea ca n nave să fie în port este:
kn pk kkn pnP
knnn
n
daca ,!0 daca ,!
00
– Numărul estimat de nave în sistemul de așteptare este:
0 21
) ()!1(pk kLk
q
– Timpul de așteptare petrecut de o navă în sistemul de așteptare este:
q
qLW
– Numărul esti mat de nave în șirul de așteptare este:
q sL L
– Timpul de așteptare petrecut de o navă în șirul de așteptare este:
1
q sW W
În continuare vom considera cazul în care timpul de orientare este nul.
Fie sistemul de așteptare
1r rGM cu r clase de prioritate de cereri. Clasele de prioritate
sunt numărate în număr descrescător de priorități, adică presupunem că mesajul i are o prioritate
mai mare decât mesajul j dacă
ji . Presupunem că serverul are n evoie de timp pentru a
schimba procesele de servire de la o interogare i la o interogare j. Lungimea schimburilor i, j
este considerată o variabilă aleatoare cu funcția de distribuție
jinjjixCij , , ),( . De
asemenea, presupunem că schimbarea
ijC depinde doar de indexul j
j ijC C .
Notăm prin
)(xk funcția de distribuție a perioadei de ocupare cu me sajul de prioritate mai
mic decâ t k,
k k 2 1 .
65
Transformatele Laplace -Stieltjes ale funcțiil or de distribuție
)(xBi ,
)(xCj ,
)(x ,…,
)(xk
sunt
)(si ,
)(scj ,
)(s ,…,
)(sk .
Propoziție. Transformata Laplace -Stieltjes
)( )( s sr a funcției de distribuție a
perioadei de ocupare este determinată (la
rk ) din următorul sistem de ecuații recurente :
)])( 1[ ( { ) ( )(1 1 1 1 s s s sk k k k k k k kk
)( )])( 1[ ()} (1 s s sv skkk k k k k k
, (2.39)
)( )])( 1[ ( )( s s svsk k k k kk
, (2.40)
)])( 1[ ( )( s shsk k k k
, (2.41)
unde
)])( 1[ ( )(1 1 s scsvk k k k
, (2.42)
1
1 1
11
1 )()( )] ( 1[ 1) ( )(
svs sss shk k k k
kk
k k k
(2.43)
Observație 1. Funcțiile
)(svk ,
)(shk și
)(skk pot fi văzute ca funcții auxiliare. Ast fel,
)(svk
și
)(shk sunt transformatele Laplace -Stieltjes ale clasei k a schimbului de prioritate
respectiv a timpului complet de servire a mesajului k.
Observație 2. Perioada de ocupare a sistemului Gnedenko
Dacă
1,,,1,0 rr j Cj , din relațiile (2.39 )-(2.43), în lucrarea [26 ], Gnedenko a
demonstrat că :
)( )))( 1( ( )(1 1 s s s skkk kk k k k kk
)))( 1( ( )( s shskk k k kk
1
1 1
11
1 )( )] ( 1[ 1) ( )(
s sss shk k k
kk
k k k
Observație 3. Ecuația Kendall -Takacs
Dacă
1,0r Cj , sistemul format de ecuațiile (2.39) -(2.43) reprezintă o singură ecuație
)))( 1( ( )(11 1 1 11 s shs
Dar dacă
1r rezultă că
)( )(1 1 s sh și
)( )(11 s s .
66
Pentru
1 și
1 are loc următoarea relație ( cunoscută ca ecuația funcțională
Kendall -Takacs pentru perioada de ocupare a sistemului M/G/1):
))( ()( s s s
Astfel, sistemul (2.39) -(2.43) poate fi considerat ca analogul n -dimensi onal al ecuației
Kendall -Takacs , a se vedea [81, 82 ].
Condițiile de echilibru și coeficientul de trafic
Propoziție. Fie
k
iii k b
1 , unde
11111 11
11 ccb
) 1(11 1 1 1 i i k k k c b
11
,
1 1 1 )( (1ii i i i i c
,
k,,21
Dacă
1k ,
atunci
kk k
kk
11 2
1
,
kk
kb
11
111
kk
kbh
,
1
11 2
11k
kk
k c v
Pentru sistemele de așteptare cu priorități,
1r rGM , coeficientul de trafic
poate fi
calculat cu ajutorul formulelor analitice utilizând valoarea medie a timpului de servire și
intensitățile fluxului de intrare.
Prin urmare, coeficientul de trafic pentru sistemul
1r rGM poate fi calculat astfel:
r
kkkba
1
,
unde
kb are următoarele expresii:
– pentru servirea tim pului rămas:
)(k k BM b
67
– pentru servirea neidentică:
11 1
1 1 kk kkb
– pentru pierderea cererii:
] 1[1
1
1
kk
kkb
Dacă
1 atunci
1)0( și
)(t este o funcție de repartiție improp rie, adică
1)( lim
t
t
, deci perioada de ocupare are o lungime infinită cu o probabilitate pozitivă.
Dacă
1 atunci
1)0( și funcția de repartiție
)(t a perioadei de ocupare este
proprie.
Valoarea funcției
)(s se determină utilizâ nd algoritmi numerici (clasic sau perfectat)
elaborați pentru soluționarea ecuației multidimensionale Kendall.
Algoritm clasic
Input :
r
k kr
kk s a Esr1 1*)}({,}{,0 ,,
Output :
)(*sk
Descri ere:
if
)0 (k then
0:)(*
0s ; return
1:k
;
1:q ;
0:0 ;
Repeat
)(qinc
;
q q q a1 :
;
Until
r q ;
Repeat
1 *
1 1*
1*1
1* *)}( )] ( 1[ 1){ ( :)(
s sss shk k k
kk
k k k
;
68
1:;0:)(* )0(n skk;
Repeat
) ( :)()1( * * )( n
kkk k kn
kk aash s
;
)(ninc
Until
E s sn
kkn
kk )( )(* )1( * )( ;
)( :)(* )( *s sn
kk kk
;
)())( (:)(** *
1 1 *sa s a asskk
kk
kkkk k k k
kk
;
)(kinc
;
Until
r k ;
Sfârșit Algoritm clasic
Algoritm perfectat
Input:
r
k kr
kk s a sr1 1*)}({,}{,0,,
Output :
)(*sk
Descriere :
if
)0 (k then
0:)(*
0s ; return
1:k
;
1:q ;
0:0 ;
Repeat
)(qinc
;
q q q a1 :
;
Until
r q ;
Repeat
69
1 *
1 1*
1*1
1* *)}( )] ( 1[ 1){ ( :)(
s sss shk k k
kk
k k k ;
1:)0(~;0:)0()( )( n
kkn
kk
;
Repeat
))(~( :)(~ * )1( * * )(s aash sn
kkk k kn
kk
;
))( ( :)(* )1( * * )(s aash sn
kkk k kn
kk
)(ninc
Until
2)( )(~ * )( * )(s sn
kkn
kk ;
2)( )(~
:)(* )( * )(
* s ssn
kkn
kk
kk
;
)())( (:)(** *
1 1 *sa s a asskk
kk
kkkk k k k
k
;
)(kinc
;
Until
r k ;
Sfârșit Algoritm perfectat
2.4. Repartiția perioadei de ocupare pentru sisteme de așteptare cu priorități
2.4.1 Reparti ția șirului de a șteptare
În acest subcapitol ne va interesa analiza lungimii șirului de a șteptare a mesajului în
momentul arbitrar de timp
t ,
),0[t .
Fie
)(tPm probabilitatea că în momentul de timp
t în sistemul de a șteptare se afl ă
m
mesage. Vom nota fu ncția generatoare cu
),(tzP
0,)( ),(
mm
mztP tzP
unde
,1 0z
iar transformata ei Laplace
0),( ),( dttzPe szpst
(2.44)
70
Presupunem c ă independent de func ționarea sistemului se produc unele evenimente numite
“catastrofe ”, care formeaz ă un flux Poisson cu parametrul
0s . Un mesaj arbitrar se va vopsi în
roșu cu probabilitatea
z , sau în albastru cu probabilitatea
z1 , independent de cum au fost
vopsite restul mesaj elor.
În continuare vom înmul ți ambele p ărți a egalită ții (2.44 ) cu parametrul
.s Atunci
0),( ),( dttzPesszspst
(2.45)
conform metodei catastrofelor, este probabilitatea c ă prima “catastrof ă“ s-a produs în momentul
de timp
t , când în sistemul de a șteptare se afl au doar cerin țe roșii. Reie șind din acest sens
probabilistic, în continuare vom ob ține expresii pentru determinarea func ției
),(szp .
Notăm:
),(szs
– probabilitatea c ă prima “catastrof ă“ s-a produs pe parcursul unei perioade de
ocupare
П , în momentul de timp c ând în sistem se afl ă doar cerin țe roșii.
),(szs
– probabilitatea c ă prima “catastrof ă“ s-a produs pe parcursul unei durate de
servi re
,B în momentul de timp c ând în sistem se afl ă doar cer ințe roșii.
Presupunem c ă în sistem se află
n mesage. Vom avea nevoie s ă examinăm perioada de
timp care începe cu servirea unui mesaj din cele
n mesaje și se termin ă imediat cum sistemul
devine liber. Această perioad ă se va numi
nП – perioad ă. Func ția de reparti ție se va nota
)(tПn ,
iar transformata Laplace -Stieltjes –
).(sn
Evident, că:
.)]([)(n ns s
Vom examina o
nП – perioad ă. Presupunem c ă
)(tРm este probabilitatea c ă în momentul
de timp
nПt în sistem se afl ă
m mesaje. Fie
mm
mnztP tzП )( ),(
și
0),( ),( dttzПe szn st n
transformata Laplace dup ă
t a func ției
).,(tzПn
71
Procedând ca mai sus vom observa c ă
),(sz sn este probabilitatea c ă prima “catastrof ă“ s-
a produs pe parcursul unei
nП – perioade în momentul de timp
t , când în sistem se afl ă doar
mesaje ro șii.
Teorema 2.5 . Transformata Laplace a func ției generatoare a reparti ției șirului de
așteptare pe
nП se determin ă din expresia
,)()]([),( ),(s zs zsz szn n
n
unde
),(sz este transformata Laplace a func ției generatoare a lungimii șirului de a șteptare pe
perioada de ocupare.
Demonstra ție. Vom arăta că
),( )]([… ),()( ),( ),(1 2 1szs s zszss zszssz sn n n n
(2.46)
Presupunem c ă prima “catastrof ă“ s-a produs pe
nП în momentul de timp când în sistem
se afl ă doar mesaje ro șii (probabilitatea acestui eveniment este
),(sz sn ). Pentru aceasta este
necesar și suficient, ca:
– prima “catastrof ă“ s-a produs pe perioada de ocupare legat ă de primul din cele
n mesaje
inițiale, în momentul de timp când în sistem se afl ă doar mesaje ro șii (probabilitatea acestui
eveniment este
),(szs ), restul
1n mesaje sunt ro șii (probabilitatea este
1nz );
– sau prima “catastrof ă“ s-a produs pe perioada de ocupare legat ă de al doilea din cele
n
mesaje ini țiale (probabilitatea acestui eveniment este
),(szs , pe parcursul perioadei de ocupare
legat ă de pr imul mesaj nu s -a produs evenimentul “catastrof ă“ (probabilitatea este
)(s ), restul
2n
mesaje r ămase sunt ro șii (probabilitatea este
1nz ) etc.;
– sau prima “catastrof ă“ s-a produs pe perioada de ocu pare legat ă de ultimul din cele
n
mesaje ini țiale (probabilitatea este
),(szs ), ea nu s -a produs pe parcursul perioadelor de
ocupare legate de
1n mesaje ini țiale (probabilitatea acestui eveniment est e
1)]([ns ).
Expresia (2.46) o vom transcrie în felul urm ător:
})]([… )( ){,( ),(1 2 1 n n n ns zs zszssz s
sau
)()]([),( ),(s zs zszssz sn n
n
(2.47)
72
Împărțind la
s ambele p ărți a expresiei (2.47 ) obținem următoarea teoremă:
Teorema 2.6. Transforma ta Laplace a funcției generatoare a repartiției șirului de
așteptare pe perioada de ocupare se determină din expresia
) ()(),( ),(azas zs zsz sz
unde
) ( azas este transformata Laplace -Stieltjes a funcției
)(tB în punctul
azas .
Demonstrație . Demonstrăm că
1 0)(!)(),( ),( ),(
natn
st ntdBenatesz s szsszs
(2.48)
Presupunem că prima "catastrofă" s -a produs pe o perioadă de ocupare luată a parte într -un
moment de timp, câ nd în sistem se află doar mesaje roșii (după cum am menționat mai sus ,
probabilitatea acestui eveniment este
),(szs . Pentru acesta este necesar și suficient ca,
– prima "catastrofă" s -a produs pe parcursul servirii mesajului, ce a deschis perioada de
ocupare într -un moment de timp câ nd în sistem se află doar mesaje roșii (probabilitatea acestui
eveniment este, după cum s -a menționat mai sus,
),(zss );
– sau în timpul de servire
B a acestui mesaj nu s -a produs evenimentul "catastrofă"
(probabilitatea acestui eveniment este
ste ), au sosit
1n mesaje (probabilitatea acestui
eveniment este
atn
enat
!)( ) și prima "catastrofă" s -a produs pe perioada
nП , într-un moment de
timp, cân d în sistem se află doar mesaje ro șii (probabilitatea acestui eveniment este
),(sz sn ).
Vom simplifica cu
s ambele părți a le expresiei (2.48 ), vom nota prin
termenul al
doilea al acestei expresii și obținem:
1 0)(!)(),(
natn
st ntdBenatesz
10) ().(!))((
!)(
)(),(
ntasn n
tdB entsa
nazt
s zsz
Observăm că expresia din paranteza pătrată este 0 pentru
0n . De acee a putem efectua
sumarea, schimbâ nd parametrul
1n cu
0n . Vom obține,
)()(),() (
0)(tdB e e es zsztas tsa ast
73
.)( ) ()(),(saas azass zsz
Conform expresiei (2.1) vom înlocui
))( ( saas prin
)(s .
Vom obține
)() ()(),(s azass zsz
Vom introduce expresia obținută în formula (2.48 ), redusă la
s .
)() ()(),(),(),( s azass zszsz sz
Exprimâ nd
),(sz vom avea :
),( })()() (1){,( szs zs azassz
sau
),()() (),( szs zazas zsz
Teorema 2.7. Transformata Laplace a funcției generatoare a repartiției șirului de
așteptare în timpul servirii unui mesaj se determină din expresia
azasazaszsz) (1),(
Demons trație. Arătăm că
0)1()]( 1[ ),( dt esexB zszsts a st
(2.49 )
Într-adevăr, presupunem că prima "catastrofă" s -a produs într -un moment de timp luat pe
durata
B a servirii unui mesaj câ nd în sistem se află doar mesaje roșii. Probabilitatea acestui
eveniment este
),(szs . Pentru aceasta este necesar și suficient ca
– prima "catastrofă" să se producă în momentul de timp
t (probabilitatea este
dtsest ),
când servirea mesajului încă nu s -a terminat (prob abilitatea acestui eveniment este
)( 1 tB ),
până la producerea "catastrofei" în sistem nu vor sosi mesaje nu roșii (probabilitate acestui
eveniment este
ts ae)1( ), mesajul inițial este roșu (probabilitatea este
z ).
74
Așadar, din (2.49 ) după reducere la s și integrare avem
azasazaszsz) ( 1),(
Teorema 2.8. Transformata Laplace
),(szp a repartiției șiruri de așteptare pentru orice
moment d e timp se determină din relația
,)(),( 1),(saasszaszp
(2.50 )
Demonstrație. Ne va interesa probabilitatea următor ului eveniment: dintre două
evenimente producerea "catastrofei" și sosirea în sistem a unui mesaj – primul a fost înregistrat
(s-a efectuat) “sosirea mesajului". Probabilitatea acestui evenime nt, evident, este :
asa
Analog, probabilitatea evenimentului: dintre două evenimente: producerea "catastrofei" și
sosirea în sistem a unui mesaj – prima s -a produs "catastrofă ", este :
ass
Vom arăta că se îndeplinește eg alitatea :
),()( ),( ),( szspsasaszsasa
assszsp
(2.51 )
Într-adevăr, presupunem că prima "catastrofă" s -a produs în momentul de timp, când în
sistem su nt doar mesaje roșii. Probabilitatea acestui eveniment este
),(szsp . Pentru aceasta este
necesar și sufic ient ca,
– sau prima "catastrofă" s -a produs în momentul de timp câ nd sistemul este liber
(probabilitatea este
ass
);
– sau prima “catastrofă” s -a produs pe prima perioadă de ocupare (probabilitatea acestui
eveniment este
),(szsasa );
– sau în prima perioadă de ocupare nu s -a produs “catastrofă”, ea s-a produs într -un
moment, când în sistem sun t doar cerințe roșii (probabilitatea acestui eveniment este
),()( szspsasa
). După reducerea lui
s în (2.51 ) avem :
75
assza
assaszp),( 1])(1)[,(
Remarcă . Aceste rezultate ne permit să găsim valoarea medie a lungimii șirului de
așteptare. Vom nota prin
)(tN valoarea medie în momentul
t , iar prin
0)( )( dttNe snst
transforma ta Laplace a acestei funcții. Atunci valoarea medie virtuală (în termenii transformatei
Laplace) va fi
))( ))(( 1())( 1)(( 1)(saasss s
ssasn
(2.52)
Formula (2.50) se obține aplicând următoarea procedură asupra expresiei (2.48)
1),()(
z zszpsn
Într-adevăr, este știut, că dacă
)(zP este funcția generatoare a unei variabile aleatoare
discrete
X (cum este, de exemplu numărul de cerințe în șirul de așteptare),
n
nzP zP)( ,
1 0z
, atunci valoarea medie
1'|)( )(zzP XM .
Conform [83, 84], pe parcursul anilor 2013 -2015, Serviciul VTS Constanța și ‐a desfășurat
activitatea de supraveghere, coordonare și monitorizare a traficului naval în zona VTS Constanța
în scopul:
‐ creșterii siguranței navigației;
‐ prevenirii situațiilor potențial periculoase în trafic;
‐ fluidizării și eficientizării traficului în zona VTS;
‐ prevenirii poluării mediului marin.
În continuare prezentăm situația anilor 2013 -2015 prin monitorizarea, coordonarea și
supravegherea în zona VTS Constanṭa a navelor operate.
76
Tabel ul 2.1. Număr nave monitorizate în anul 2013
LUNA SOSIRI PLECĂRI MUTĂRI TOTAL
ianuarie 328 332 63 723
februarie 314 343 56 713
martie 353 378 71 802
aprilie 366 368 53 787
mai 367 395 51 813
iunie 403 423 65 891
iulie 374 399 102 875
august 473 435 88 996
septembrie 418 415 85 918
octombrie 404 439 118 961
noiembrie 368 366 111 845
decembrie 347 346 72 765
TOTAL 4515 4639 935 10089
Fig. 2.1 Număr nave monitorizate în 2003
77
Tabelul 2.2. Număr nav e monitorizate în anul 2014
LUNA SOSIRI PLECĂRI MUTĂRI TOTAL
ianuarie 318 295 50 663
februarie 289 319 79 687
martie 324 343 64 731
aprilie 307 304 71 682
mai 348 358 72 778
iunie 355 313 60 728
iulie 371 381 113 865
august 373 383 94 850
septem brie 413 379 112 904
octombrie 403 415 124 942
noiembrie 343 353 136 832
decembrie 322 338 115 775
TOTAL 4166 4181 1090 9437
Fig. 2.2 Număr nave monitorizate în 2004
78
Tabel ul 2.3. Număr nave monitorizate în anul 2015
LUNA SOSIRI PLECĂRI MUTĂRI TOTAL
ianuarie 323 324 74 721
februarie 296 314 105 715
martie 336 346 108 790
aprilie 342 330 93 765
mai 359 381 102 842
iunie 390 357 86 833
iulie 378 392 107 877
august 393 382 101 876
septembrie 377 347 139 863
octombrie 352 375 93 820
noiembrie 302 307 82 691
decembrie 342 331 107 780
TOTAL 4190 4186 1197 9573
Fig. 2.3 Număr nave monitorizate în 2005
79
Conform [44], din analiza buletinelor informative și a bazei de date referitoare la toate
navele operate în Portul Constanța, obținem o imagin e general ă a gradului de ocupare a
diverselor dane.
În comerțul internațional ritmurile obișnuite de operare a navelor sunt:
– navele de containere: 2 zile
– nave de colectare a containerelor: 1 zi
– nave RoRo: 1 -2 zile
– nave de transport în vrac (încărcare speci ală): 2 -4 zile
– nave de transport în vrac (încărcare convențională): 4 zile
– nave de transport în vrac (descărcare specială): 4 zile
– petroliere cu țiței (încărcare și descărcare): 1 -2 zile
– nave tanc de transportat substanțe lichide: 2 -3 zile
– nave convențion ale pentru mărfuri generale: 2 -4 zile
În urma analizării datelor referitoare la terminale, furnizate de Portul Constanța, observăm
că randamentul portului este corespunzător practicilor internaționale.
Însă, îmbunătățirea randamentului unu i port este un pr oces permanent .
2.5 Concluzii la capitolul 2
În acest capitol am analizat modelele clasice pentru analiza traficului informațional în
portul maritim, discutând despre modelul clasic
1//GM și ecuația lui Kendall.
S-au analizat sistemele d e așteptare cu priorități și timp nul de orientare cu aplic area în
portul maritim .
S-a studiat coeficientul de trafic pentru sistemele de așteptare cu priorități, o caracteristică
foarte importantă pentru analiza traficului informațional.
În continuare s -a analizat repartiția perioadei de ocupare pentru sistemele de așteptare cu
priorități precum și aplicarea tuturor caractristicilor sistemeleor de așteptare în portul maritim.
80
3. ELABORAREA SOFTWERULUI NECESAR ȘI APLICAREA LUI ÎN
PROBLEMEL E DE MODE LARE A ACTIVITĂȚII PORTUARE
3.1. Aplicarea modelului
1//GM în activitatea portuară
În continuare (a se vedea [57 ]) vom considera sistemul clasic M/G/1 cu repartiție
exponențială
) Exp(x . Considerăm
intensitatea fluxului de intrare Poisson,
numărul
mediu de nave procesate într -o unitate de timp și
} { )( tBPtB funcția de repartiție a servirii.
Fie
)(t funcția de repartiție a perioadei de ocupare și tran sformatele Laplace -Stieltjes ale
funcțiilor
)(t și
)(tB :
0)( )( tde sst
și
0 0] 1[ )( )(bt st ste de tdBe s
În acest caz,
bss11)( , iar
)(s se determină din Teorema lui Kendall.
))( ()( s s s
Coeficientul de trafic este
)]([tBM , iar condiția de staționaritate a sistemului este
1)]([ tBM
.
Algoritmul de calcul pentru perioada de ocupare este:
Pasul 0)
0)()(0 s s
Pasul 1)
))( ()(0 1s s s
Pasul 2)
))( ()(1 2s s s
………………………………………..
Pasul n)
))( ()(1s s sn n
|)( )(|1s sn n
81
)( )( s sn
Pentru acest sistem vom calcula:
– Valoarea medie a perioadei de ocupare:
)B(M)B(MM1 11
– Numărul mediu de nave în șirul de așteptare:
1 12
1 2M M
– Timpul mediu de așteptare a navei în sistem:
bM1
3
– Timpul mediu de așteptare a navei în șirul de așteptare:
bM4
În baza datelor obținute din Buletinele informative ale p ortului maritim Constanța vom
analiza coeficientul de trafic atunci când repartiția șirului de așteptare este exponențială, așa cum
s-a stabilit aplicând criteriul Kolmogorov -Smirnov, iar apoi vom presupune că repartiția șirului
de aștep tare este Erlang de ordinul 2, Erlang de ordinul 3, Gamma cu parametrul
4 , Gamma
cu parametrul
5 sau repartiția este uniformă în intervalul
],[ba dat.
În cazul în care coeficientul de trafic este ma i mic decât 1, înseamnă că sistemul portuar
lucrează în regim staționar, iar dacă valoarea coeficientului de trafic este mai mare ca 1, atunci
înseamnă că deservirea navelor a fost mai lentă și sosirile navelor în dană au fost mai rapide,
sosind în port un număr mai mare de nave, astfel realizându -se un șir mai mare de așteptare.
Exemplul 3.1.1: În portul maritim sosesc nave în mod aleator, iar dacă acestea nu pot fi
preluate imediat la o dană, așteaptă, astfel formându -se un șir de așteptare.
Fluxul este Poisson și repartiția este exponențială. Știm numărul mediu de nave ce sosesc
în port într -o unitate de timp (
) și numărul mediu de nave deservite într -o unitate de timp (
b ).
Valoarea inversă 1/ este timpul medi u dintre două sosiri consecutive a navelor, iar
valoarea inversă
b1 este timpul mediu de servire a unei nave.
b)B(M1
și
1)z(Mk
82
Intervalul mediu dintre sosirile navelor în port pentru toate cele 5 dane este de 5 ore, iar
timpul mediu de deservire a unei nave este de: 8 ore, 6 ore, 4,5 ore, 3 ore pentru fiecare dană.
Tabelul 3.1.1. Repartiție exponențială
Caracteristicile
terminalului Dana 1 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
)(kzM
5 ore 5 ore 5 ore 5 ore 5 ore
)(BM
8 ore 6 ore 4,5 ore 3 ore 5,5 ore
b
0,12 0,16 0,22 0,33 0,19
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
1,6 1,2 0,9 0,6 1,1
1M
-2,6 -6 9 1,5 -11
2M
-4,3 -7,2 8,1 0,9 -12,1
3M
-12,5 -25 50 7,7 -100
4M
-20 -30 45 4,6 -110
Din analiza Tabelului 3.1.1 observăm că danele 1, 2 și 5 nu sunt viabile, deoarece șirul de
așteptare va crește nel imitat pentru că
1 , în timp ce danele 3 și 4 au coeficientul de trafic
mai mic de 1, astfel sistemul fiind viabil.
Exemplul 3.1.2: În portul maritim sosesc nave în mod aleator, iar dacă nu pot fi preluate
imediat la o dană, ele așteap tă, astfel formându -se un șir de așteptare.
Fluxul este Poisson și repartiția este Erlang de ordinul 2.
Știm numărul mediu de nave ce sosesc în port într -o unitate de timp (
) și numărul mediu
de nave deservite într -o unitate de timp (
b).
Valoarea inversă 1/ este timpul mediu dintre două sosiri consecutive a navelor, iar
valoarea inversă
b1 este timpul mediu de servire a unei nave.
bBM2)(
și
1)(kzM
83
Tabelul 3 .1.2. Repartiție Erlang de ordinul 2
Caracteristicile
terminalului Dana 1 2 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
2 5 1 3 4
b
3 4 2 7 6
)(kzM
0,5 0,2 1 0,3 0,25
)(BM
0,66 0,5 1 0,28 0,5
1,32 2,5 1 0,9 2
Din analiza Tabelului 3.1.2 observăm că danele 1, 2 și 5 nu sunt viabile, deoarece șirul de
așteptare va crește nelimitat pentru că
1 , în timp ce danele 3 și 4 au coeficientul de trafic
mai mic sau egal cu 1.
Tabelul 3.1.3 Repartiție Erlang de ordinul 2
Caracteristicile
terminalului Dana 1 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
2 5 1 3 4
b
5 11 3,3 6,6 13
)(kzM
0,5 0,2 1 0,3 0,25
)(BM
0,4 0,18 0,6 0,3 0,15
0,8 0,9 0,6 1 0,6
Din analiza Tabelului 3.1.3 observăm că toate danele au coeficientul de trafic mai mic sau
egal cu 1.
Exemplul 3.1.3: În port ul maritim sosesc nave în mod aleator, iar dacă n u pot fi preluate
imediat la o dană ele așteaptă, astfel formându -se un șir de așteptare. Fluxul este Poisson și
repartiția este Erlang de ordinul 3. Știm numărul mediu de nave ce sosesc în port într -o unitate de
timp (
) și numărul me diu de nave deservite într -o unitate de timp (
b ).Valoarea inversă 1/
84
este timpul mediu dintre două sosiri consecutive a navelor, iar valoarea inversă
b1 este timpul
mediu de servire a unei nave.
bBM3)(
și
1)(kzM
Tabelul 3.1.4 . Repartiție Erlang de ordinul 3
Caracteristicile
terminalului Dana 1 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
2 5 1 3 4
b
3 4 2 7 6
)(kzM
0,5 0,2 1 0,3 0,25
)(BM
1 0,75 1,5 0,4 0,5
2 3,75 1,5 1,3 2
Tabelul 3.1.5 Repartiție Erlang de ordinul 3
Caracteristicile
terminalului Dana 1 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
2 5 1 3 4
b
7 16 5 9 15
)(kzM
0,5 0,2 1 0,3 0,25
)(BM
0,4 0,18 0,6 0,3 0,2
0,8 0,9 0,6 1 0,8
Din analizele tabelelor 3.1.4 și 3.1.5 observăm că sistemul este viabil doar dacă în
intervalul de ore stabilit n umărul mediu de nave deservite într -o unitate de timp este cât mai
mare. De exemplu, dacă la Dana 1 numărul de nave deservite în aceeași unitate de timp a
crescut, dana a devenit viabilă.
Exemplul 3.1.4: În portul maritim sosesc nave în mod aleator, iar d acă nu pot fi preluate
imediat la o dană ele așteaptă, astfel formându -se un șir de așteptare. Fluxul este Poisson și
repartiția este Gamma cu parametrul
4 . Știm numărul mediu de nave ce sosesc în port într -o
unitate de timp (
) și numărul mediu de nave deservite într -o unitate de timp (
b ).Valoarea
85
inversă 1/ este timpul mediu dintre două sosiri consecutive a navelor, iar valoarea inversă
b1
este timpul mediu de servire a un ei nave.
bBM)(
și
1)(kzM
Tabelul 3.1.6 . Repartiția Gamma cu parametrul 4
Caracteristicile
terminalului Dana 1 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
5 2 3 7 4
b
9 7 10 5 9
)(kzM
0,2 0,5 0,33 0,14 0,25
)(BM
0,4 0,57 0,4 0,8 0,44
2 1,1 1,2 5,7 1,7
Tabelul 3.1.7 . Repartiția Gamma cu parametrul 4
Caracteristicile
terminalului Dana 1 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
5 2 3 7 4
b
40 10 13,3 33,3 16
)(kzM
0,2 0,5 0,33 0,14 0,25
)(BM
0,1 0,4 0,3 0,12 0,25
0,5 0,8 0,9 0,85 1
Din analizele tabelelor 3.1.6 și 3.1.7 observăm că sistem ul este eficient doar dacă numărul
de nave deservite într -o unitate de timp este mult mai mare față de cel din cazul repartiției
exponențiale.
Exemplul 3.1.5: În port ul maritim sosesc nave în mod aleator, iar dacă nu pot fi preluate
imediat la o dană, așt eaptă, astfel formându -se un șir de așteptare. Fluxul este Poisson și
repartiția este Gamma cu parametrul
5 . Știm numărul mediu de nave ce sosesc în port într -o
unitate de timp (
) și numărul mediu de nave deservit e într -o unitate de timp (
b ).Valoarea
86
inversă 1/ este timpul mediu dintre două sosiri consecutive a navelor, iar valoarea inversă
b1
este timpul mediu de servire a unei nave.
bBM)(
și
1)(kzM
Tabelul 3.1.8 Repartiția Gamma cu parametrul 5
Caracteristicile
terminalului Dana 1 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
5 2 3 7 4
b
9 7 10 5 6
)(kzM
0,2 0,5 0,33 0,14 0,25
)(BM
0,5 0,7 0,5 1 0,9
2,5 1,4 1,5 7,14 3,6
Tabelul 3.1.9 Repartiția Gamma cu parametrul 5
Caracteristicile
terminalului Dana 1 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
5 2 3 7 4
b
50 12,5 16,6 41,6 30
)(kzM
0,2 0,5 0,33 0,14 0,25
)(BM
0,1 0,4 0,3 0,12 0,16
0,5 0,8 0,9 0,85 0,64
Din analizele tabelelor 3.1.8 și 3.1.9 observăm că sistemul este eficient doar dacă numărul
de nave dese rvite într -o unitate de timp este mare.
Exemplul 3.1.6: În portul maritim sosesc nave în mod aleator, iar dacă nu pot fi preluate
imediat la o dană, așteaptă, astfel formându -se un șir de așteptare. Fluxul este Poisson și
repartiția este uniformă în inter valul
],[ba dat. Știm numărul mediu de nave ce sosesc în port
într-o unitate de timp (
) și numărul mediu de nave deservite într -o unitate de timp
)(b .
87
Valoarea inversă 1/ este timpul mediu dintre d ouă sosiri consecutive a navelor, iar valoarea
inversă
b1 este timpul mediu de servire a unei nave.
2)(baBM
și
1)(kzM
Tabelul 3.1.10 Repartiție uniformă
Caracteristicile
terminalului Dana 1 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
a
2 1 3 1 2
b
4 7 5 3 6
3 2 7 5 8
)(kzM
0,2 0,5 0,33 0,14 0,12
)(BM
3 4 4 2 4
15 8 12 10 33
Tabelul 3.1.11 Repartiția uniformă
Caracteristicile
terminalului Dana 1 Dana 2 Dana 3 Dana 4 Dana 5
a
2 1 3 1 2
b
4 7 5 3 6
0,26 0,22 0,17 0,15 0,3
)(kzM
3,75 4,4 5,7 6,6 3,3
)(BM
3 4 4 2 4
0,8 0,9 0,7 0,3 1,21
Din analiza tabelelor 3.1.10 și 3.1.11 observăm că în acelați interval de timp și pentru
același timp mediu de servire al unei nave, mai eficient este sistemul în care numărul de nave
sosite în port este mai mic.
88
3.2. Algoritmi de evaluare a caracteristicilor sistemului de așteptare generalizat cu
aplicarea în portul maritim
În continuare se precaută un model de așteptare cu intrări poissoniene ordonate în 5 clase
de priorități, cu s ervire exhaustivă și funcții de repartiție arbitrare ale servirilor. În mod general
(pentru un număr arbitrar de clase de priorități) acest model, succinct notat prin abrevierea
1||r rG M
, este descris și cercetat în monografiile [ 86 – 93]. În cărțile menționate sunt obținute
principalele caracteristice de performanță ale evoluției modelului, printre care condițiile de
staționare și coeficientul de trafic. Îns ă, atât coeficientul de trafic câ t și condițiile de staționare se
exprimă, ca regulă, prin transformatele Laplace -Stieltjes ale funcțiilor de repartiție ale servirilor.
Problema constă în faptul că pentru modelarea acestor caracteristice trebuie să aflăm valorile
numerice ale transformatelor Laplace -Stieltjes pentru anumite valori ale param etrului fluxului
sumar. În modelele cu prioritate se folosesc mai multe legi de prioritate. Mai jos sunt prezentate
tabele cu modelări numerice ale coeficientului de trafic pentru 3 strategii ale servirilor cu
prioritate absolută, a se vedea [94-99]:
1) cazul cu continuarea servirii întrerupte;
2) cazul cu pierderea servirii;
3) cazul cu servirea de la început a servirii întrerupte.
Vom introduce următoarele notații:
Vom nota prin
)(xBk funcția de repartiție a servirilor pentru navele de prioritate k;
0)( )( x dBe sksx
k
transformata Laplace -Stieltjes a funcției
)(xBk ;
01 )( )( x xdB xk k
momentul de ordinul 1 pentru
)(xBk ;
k
– parametrul fluxului de intrare
k k …1
, unde
5,…,1k .
3.2.1. Cazul sistemului
1||r rGM cu continuarea servirii întrerupte
În acest caz, coeficientul de trafic se calculează după formula:
1 212 111 1 …kk k
.
Sistemul este viabil dacă coeficientul de trafic este mai mic decât 1.
89
În continuare vom analiza acest coeficient de trafic în cazul în care timpul de servire al
navelor din portul maritim are repartiția exponențială, uniformă în intervalul
],[k kba , este o
repartiție Erlang de ordinul 2 sa u o repartiție Gamma cu parametrul
3 . Pentru aceste cazuri
vom concluziona când sistemul este viabil. (coeficientul de trafic trebuie să aibă în toate cazurile
valori subunitare)
Exemplul 3.2.1: În portul maritim timpul dintre două so siri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a navelor este o repartiție
exponențială, atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde funcția de repartiție
xb
kke xB1)(
are transformata Laplace -Stieltjes
kk
kbsbs)( , iar momentul de ordinul 1
este
kkbxM1)(1 .
Tabelul 3.2.1 . Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție exponențială
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
kb
7 5 4 3 6
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
1k
0,14 0,2 0,25 0,33 0,16
k
0,12 0,18 0,36 0,52 0,65
Exemplul 3.2.2: În portul maritim timpul dintre două sosiri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a navelor este o repartiție
uniformă în intervalul
],[k kba dat, atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde funcția de
repartiție
k kk
kabaxxB)( are transformata Laplace -Stieltjes
) () (1)(k k sb sa
k kk e eabss ,
iar momentul de ordinul 1 este
2)(1k k
kb axM .
90
Tabelul 3.2.2 . Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție uniformă
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
],[k kba
]5,2[
]7,2[
]3,1[
]8,3[
]8,1[
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
1k
3,5 4,5 2 5,5 4,5
k
3,15 4,5 5,9 8,65 12,25
Exemplul 3.2.3: În portul maritim timpul dintre două sosiri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a navelor este o repartiție Erlang
de ordinul 2, atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde transformata Laplace -Stieltjes a
funcției de repartiție a timpului de servire este:
2
)(
kk
kbsbs , iar momentul de ordinul 1
este
kkbxM2)(1 .
Tabelul 3.2.3 . Coeficientul d e trafic pentru timpul de servire cu repartiție Erlang de ordinul 2
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
kb
7 5 4 3 6
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
1k
0,28 0,4 0,5 0,66 0,33
k
0,25 0,37 0,72 1,05 1,31
Exemplul 3.2.4: În portul maritim timpul dintre două sosiri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a navelor este o repartiție Gamma
cu parametrul
3 , atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde transformata Laplace –
Stieltjes a funcției de repartiție a timpului de servire este:
91
3
)(
kk
kbsbs , iar momentul de ordinul 1 este
kkbxM3)(1 .
Tabelul 3.2.4 . Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție Gamma
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
kb
7 5 4 3 6
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
1k
0,4 0,6 0,75 1 0,5
k
0.36 0,54 1,06 1,56 1,96
3.2.2. Cazul sistemului
1||r rGM cu pierderea mesajului întrerupt
În acest caz, coeficientul de trafic se calculează după formula:
) ( 1 …)( 11
11 2
12
11 1
k k
kk
k
,
unde
k k …1 .
Sistemul este viabil dacă coeficientul de trafic este mai mic decât 1.
În continuare vom analiza acest coeficient de trafic în cazul în care timpul de servire al
navelor din portul maritim are repartiția exponențială, uniformă în intervalul
],[k kba , este o
repartiție Erlang de ordinul 2 sau o repartiție Gamma cu parametrul
3 .
Exemplul 3.2.5: În portul maritim timpul dintre două sosiri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a navelor este o repartiție
exponențială, atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde funcția de repartiție
xb
kke xB1)(
are transformata Laplace -Stieltjes
kk
kbsbs)( , iar momentul de ordinul 1 este
14,01)(
11 bxM .
92
Tabelul 3.2. 5. Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție exponențială
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
kb
7 5 4 3 6
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
k
0,9 1,2 1,9 2,4 3,2
k
0,12 0,17 0,3 0,4 0,49
Exemplul 3.2.6: În portul maritim timpul dintre două sosiri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a na velor este o repartiție
uniformă în intervalul
],[k kba dat, atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde funcția de
repartiție
k kk
ka baxxB)( are transformata Laplace -Stieltjes
) () (1)(k k sb sa
k kk e ea bss ,
iar momentul de ordinul 1 es te
5,32)(1 1
1 baxM .
Tabelul 3.2.6 . Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție uniformă
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
],[k kba
]5,2[
]7,2[
]3,1[
]8,3[
]8,1[
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
k
0,9 1,2 1,9 2,4 3,2
k
3,15 3,47 3,98 4,24 4,57
Exemplul 3.2.7: În portul maritim timpul dintre două sosiri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a navelor este o repartiție Erlang
de ordinul 2, atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde funcția de repartiție a timpului de
93
servire are transformata Laplace -Stieltjes:
3
)(
kk
kbsbs , iar momentul de ordinul 1 este
28,02)(
11 bxM
.
Tabelul 3.2.7 . Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție Erlang de ordinul 2
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
kb
7 5 4 3 6
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
k
0,9 1,2 1,9 2,4 3,2
k
0,25 0,34 0,57 0,73 0,89
Exemplul 3.2.8: În portul maritim timpul dintre două sosiri a navelor are repa rtiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a navelor este o repartiție Gamma
cu parametrul
3 , atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde funcția de repartiție a
timpului de servire are transformata Laplace -Stieltjes:
3
)(
kk
kbsbs , iar momentul de
ordinul 1 este
4,03)(
11 bxM .
Tabelul 3.2.8 . Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție Gamma
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
kb
7 5 4 3 6
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
k
0,9 1,2 1,9 2,4 3,2
k
0,36 0,49 0,8 1 1,21
94
3.2.3. Cazul sistemului
1||r rG M când mesajul întrerupt se servește d e la început
În acest caz, coeficientul de trafic se calculează după formula:
1) (1…1)(1
1 1 1 2 12
11 1
k k kk
k
,
unde
k k …1 . Sistemul este viabil dacă coeficientul de trafic este mai mic decât 1.
În continuare vom analiza acest coeficient de trafic î n cazul în care timpul de servire al
navelor din portul maritim are repartiția exponențială, uniformă în intervalul
],[k kba , este o
repartiție Erlang de ordinul 2 sau o repartiție Gamma cu parametrul
4 .
Exemplul 3.2.9: În portul maritim timpul dintre două sosiri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a navelor este o repartiție
exponențială, atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde f uncția de repartiție
xb
kke xB1)(
are transformata Laplace -Stieltjes
kk
kbsbs)( , iar momentul de ordinul 1
este
14,01)(
11 bxM .
Tabelul 3.2.9 . Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție exponențială
Caracte risticile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
kb
7 5 4 3 6
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
k
0,9 1,2 1,9 2,4 3,2
k
0,12 0,18 0,35 0,51 0,64
Exemplul 3.2.10: În portul maritim timp ul dintre două sosiri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a navelor este o repartiție uniformă
în intervalul
],[k kba dat, atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde funcția de repartiție
95
k kk
ka baxxB)( are transformata Laplace -Stieltjes
) () (1)(k k sb sa
k kk e eabss , iar momentul
de ordinul 1 este
5,32)(1 1
1 baxM .
Tabelul 3.2.10 . Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție unif ormă
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
],[k kba
]5,2[
]7,2[
]3,1[
]8,3[
]8,1[
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
k
0,9 1,2 1,9 2,4 3,2
k
3,15 11,9 16,4 763,3 824,7
Exemplul 3.2.11: În portul maritim timpul dintre două sosiri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de ser vire a navelor este o repartiție Erlang
de ordinul 2, atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde funcția de repartiție a timpului de
servire are transformata Laplace -Stieltjes:
3
)(
kk
kbsbs , iar momentul de ordinul 1 este
28,02)(
11 bxM
.
Tabelul 3.2.11 . Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție Erlang de ordinul 2
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
kb
7 5 4 3 6
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
k
0,9 1,2 1,9 2,4 3,2
k
0,25 0,38 0,78 1,21 1,53
96
Exemplul 3.2.12: În portul maritim timpul dintre două sosiri a navelor are repartiție
exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire a navelor este o repartiție Gamma
cu parametrul
3 , atunci putem calcula coeficientul de trafic, unde funcția de repartiție a
timpului de servire are transformata Laplace -Stieltjes:
3
)(
kk
kbsbs , iar momentul de
ordinul 1 este
4,03)(
11 bxM .
Tabelul 3.2.12 . Coeficientul de trafic pentru timpul de servire cu repartiție Gamma
Caracteristicile
terminalului Dana 1
k 1 2 3 4 5
kb
7 5 4 3 6
k
0,9 0,3 0,7 0,5 0,8
k
0,9 1,2 1,9 2,4 3,2
k
0,36 0,57 1,26 2,14 1,79
În tabelele 3.2.1 -3.2.12 sunt prezentate modelări numerice ale coeficietului de trafic în
funcție de caracteristicile inițiale date de terminalul maritim. Ca parametri inițial da ți se
consideră funcțiile de repartiție ale servirilor cu parametrii lor numerici precum și parametrii
fluxului de intrare pentru clasa dată. Variind acești parametri, noi putem obține valori ale lui
1k
mai mici ca 1, asigurând prin ace asta un proces normal de lucru fără supraîncărcarea
terminalului. După cum se vede din tabelele prezentate, doar datele prezentate în Tabelul 3.2.1,
Tabelul 3.2.5, Tabelul 3.2.7 și Tabelul 3.2.9 ne asigură un proces staționar fără supraîncărcare,
deoarece doar datele inițiale din aceste tabele ne permit să obținem ca toți
k (
5,…,1k ) să fie
mai mici ca 1. Evident că este suficient ca două valori ale coeficientului
k să fie mai mari sau
egale cu 1 (ca în cazul tabelelor 3.2.3, 3.2.8 și 3.2.11) ca să fie stopată integral servirea,
necontând faptul că în restul claselor procesul este staționar, dat fiind faptul că
3 1,…, sunt
mai mici ca 1. Modelările ne mai indică și clasa de prioritate î n care trebuie să intervenim pentru
a asigura exploatarea terminalului fără supraîncărcare.
97
3.3. Algoritmi de modelare a repartiției perioadei de ocupare în activitatea portuară
Următorul algoritm, elaborat de Gh. Mișcoi în lucrarea [99] este un algoritm pentru soluția
numerică a k perioadei de ocupare
)(sk cu un k -ciclu de schimbări
)(svk , ciclul k de servire
)(shk
și perioada kk
)(skk .
Input:
r
k kr
k kr
kk sc s sr1 1 1*)}({,)}({,}{,0,, ;
Output:
)(*sk ;
Descriere :
If
)0 (k then
0:)(*
0s ; Return
1:k
;
1:q ;
1:0 ;
Repeat inc(q);
q q q 1 :
;
Until
r q ;
Repeat
)])( 1[ ( :)(*
1 1*s sc svk k k k ;
1
* *
1 1*
1*1
1*)()( )] ( 1[ 1) ( :)(
svs sss shk k k k
kk
k k k ;
0:)(* )0(skk ;
1:n ;
Repeat
))( ( :)(* )1( * * )(s sh sn
kkk k kn
kk ;
inc(n) ;
Until
)( )(* )1( * )(s sn
kkn
kk
))( ( () (:)(* *
11*
1 1 *s ssskkk k k
kk
kk k k
k
)( ))( ( )])( 1[ ()) (* * * * * *
1 s s sv s sv skk kkk k
kk
kk k k k k
;
Inc(k);
Until
r k ;
Sfârșit algoritm .
98
Schema activității de bază în exploatarea portuară
99
3.4. Algoritmi de modelare a coeficientului de trafic în portul maritim
3.4.1. Cazul
1r rGM cu continuarea servirii întrerupte
În acest caz, formulele pentru funcțiile de repartiție ale durate i ciclurilor de orientare ș i a
ciclurilor de servire sunt următoarele, iar rezu ltatele au fost publicate în [ 100].
1
1 1
11
1 )}( )] ( 1[ 1){ ( )(
s scsscsvk k k
kk
k k k
;
)])()( 1[ ( )(1 1 svs s shk k k k k
,
Coeficientul de trafic se află din relația:
r
kkk k ba
1
,
11111 11
11 cacb
,
) (1
11 1 1
k kk k kcb ,
r k ,,2 ,
11
,
1) (1 )(1
1 11 1 1
k k kk k k k
kca ,
r k ,,2 .
Următorul algoritm ne oferă soluția numerică a coeficientului de trafic
k
Input:
r
k kr
k kr
kk sc s a sr1 1 1*)}({,)}({,}{,0,, ;
Outpu t:
)(*sk ,
)(*svk ,
)(*shk ,
;
Descriere :
If
)0 (k then
0:)(*
0s ; Return
1:k
;
1:q ;
0:0 ;
1: ;
1:1f
;
1:p ;
11111 11
11:cacb
;
100
11:ba
Repeat inc(q);
q q q a1 :
;
Until
r q ;
Repeat ;
)])()( 1[ ( )(* *
1 1* *svs s shk k k k k
1 *
1 1*
1*1
1*)}( )] ( 1[ 1){ ( )(
s scsscsvk k k
kk
k k k
;
1:n ;
0:)(* )0(skk ;
1:)(* )0(skk
Repeat
))( ( :)(* )1( * * )(s aash sn
kkk k kn
kk
;
))( ( :)(* )1( * * )(s aash sn
kkk k kn
kk
;
inc(n) ;
Until
2)( )(* )( * )(s sn
kkn
kk ;
:)(*skk
2)( )(* )( * )(s sn
kkn
kk
;
))( )( () (:)(* *
11*
1 1 *s a a sasskkk k k
kk
kk k k
k
)( ))( ( )])( 1[ ()) (* * * * * *
1 s s a asvas asvaskk kkk k k
kk
kk k k k k
;
) (1:
11
k kk kcp b
;
kkba:
;
1) (1 )(1:
1 11 1 1
k k kk k k k
kcaf
;
101
pfpk:;
Inc(k);
Until
r k ;
Sfârșit algoritm .
În continuare vom da câteva exemple pentru analiza coeficientului de trafic al sistemelor
de așteptare cu priorități în ca zul în care timpii de orientare sunt nenuli aplicând algoritmii
prezentați mai sus.
Exemplul 3.4.1. În cazul sistemului cu priorități
15 5GM , în portul maritim timpul dintre
două sosiri a navelor are repartiție exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire
a navelor este o repartiție exponențială cu parametrii
kb ,
5,…,1k și timpul de orientare are
repartiția exponențială de parametrii
kq ,
5,…,1k , atunci putem calcula coeficientul de trafic.
Transformata Laplace -Stieltjes pentru funcția de repartiție a timpului de servire este:
kk
kbsbs)(
și pentru funcția de repartiție a timpului de orientare este:
s qqsc
kk
k)( .
Tabelul 3.4.1. Coeficientul de trafic pentru timpul de orientare cu repartiție exponențială
Caracteristicile
terminalului Datele din p ortul Constanța
k 1 2 3 4 5
kq
0,95 0,4 0,2 0,1 0,15
k
0,1 0,15 0,2 0,23 0,3
kb
1,35 0,7 0,3 0,15 0,29
k
0,1351 0,2401 0,2698 0,3371 0,4245
Exemplul 3.4.2: În cazul sistemului cu priorități
15 5GM , în por tul maritim timpul dintre
două sosiri a navelor are repa rtiție exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire
a navelor este o repartiție exponențială cu parametrii
kb ,
5,…,1k și timpul de orientare are
102
repartiția uniformă în in tervalul
],[2 1cc dat, atunci putem calcula coeficientul de trafic
Transformata Laplace -Stieltjes pentru funcția de repartiție a timpului de servire este:
kk
kbsbs)(
și pentru funcția de repartiție a timpului de orientare este:
) () (1)(2 1
1 2sc sc
k e eccssc
.
Tabelul 3.4.2 . Coeficientul de trafic pentru timpul de orientare cu repartiție uniformă
Caracteristicile
terminalului Datele din p ortul Constanța
k 1 2 3 4 5
],[2 1cc
]2,1[
]3,2[
]4,3[
]5,4[
]6,5[
k
0,1 0,15 0,2 0,23 0,3
k
0,1874 0,3158 0,5198 1,6093 132,5432
Exemplul 3.4.3: În cazul sistemului cu priorități
15 5GM , în portul maritim timpul dintre
două sosiri a navelor are repartiție exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire
a navelor este o repartiție exponențială cu parametrii
kb ,
5,…,1k și timpul de orientare are
repartiția Gamma cu parametrul
3 , atunci putem calcula coeficientul de trafic.
Transformata Laplace -Stieltjes pentru funcția de repartiție a timpului de servire este:
kk
kbsbs)(
și pentru funcți a de repartiție a timpului de orientare este
3
)(
kk
kqsqsc .
Tabelul 3.4.3. Coeficientul de trafic pentru timpul de orientare cu repartiție Gamma
Caracteristicile
terminalului Datele din p ortul Constanța
k 1 2 3 4 5
kb
1,35 1.30 9,61 1199,22 483051,87
k
0,1 0,15 0,2 0,23 0,3
k
0,1351 0,3305 2,2531 278,0748 145193,6406
103
Din analiza tabelelor 3.4.1 -3.4.3, observăm că în cazul în care repartiția, timpul de servire
și timpul de orientare sunt exponențiale, sistemul este viabil, deoarece toate valorile
coeficientului de trafic sunt mai mici decât 1, iar în cazul în care timpul de orientare ar avea
repartiție uniformă pe un interval dat sau repartiție Gamma cu parametrul
3 , atunci sistemul
începe să nu mai fie viabil, valorile coeficientului de trafic fiind mul t mai mari decât 1, mai ales
în cazul repartiției Gamma.
3.4.2. Cazul
1r rGM cu pierderea mesajului întrerupt
În acest caz, formulele pentru func țiile de repartiție ale duratei ciclurilor de orientare și a
ciclurilor de servire sunt:
1
1 1
11
1 )}( )] ( 1[ 1){ ( )(
s scsscsvk k k
kk
k k k
;
)])()( )] ( 1[ ) ( )(1 1
11
1 svs sss shk k k k
kk
k k k
,
Coeficientul de trafic se află din relația:
r
kkk r ba
1
,
11111 11
11 cacb
,
) (1 1)] ( 1[
1 11 1 1
k k kk k k kcb ,
r k ,,2 ,
11
,
1) (1 )(1
1 11 1 1
k k kk k k k
kca ,
r k ,,2 .
Următorul algoritm ne oferă soluția numerică a coeficientului de trafic
k
Input:
r
k kr
k kr
kk sc s a sr1 1 1*)}({,)}({,}{,0,, ;
Output:
)(*sk ,
)(*svk ,
)(*shk ,
;
Descriere :
104
If
)0 (k then
0:)(*
0s ; Return
1:k
;
1:q ;
0:0 ;
1: ;
1:1f
;
1:p ;
11111 11
11:cacb
;
11:ba
Repeat inc(q);
q q q a1 :
;
Until
r q ;
Repeat ;
)])()( )] ( 1[ ) ( )(* *
1 1*
1*1
1* *svs sss shk k k k
kk
k k k
1 *
1 1*
1*1
1*)}( )] ( 1[ 1){ ( )(
s scsscsvk k k
kk
k k k
;
1:n ;
0:)(* )0(skk ;
1:)(* )0(skk
Repeat
))( ( :)(* )1( * * )(s aash sn
kkk k kn
kk
;
))( ( :)(* )1( * * )(s aash sn
kkk k kn
kk
;
inc(n) ;
Until
2)( )(* )( * )(s sn
kkn
kk ;
:)(*skk
2)( )(* )( * )(s sn
kkn
kk
;
))( )( () (:)(* *
11*
1 1 *s a a sasskkk k k
kk
kk k k
k
105
)( ))( ( )])( 1[ ()) (* * * * * *
1 s s a asvas asvaskk kkk k k
kk
kk k k k k ;
) (1 1)] ( 1[
1 11
k k kk k kcp b
;
kkba:
;
1) (1 )(1:
1 11 1 1
k k kk k k k
kcaf
;
pfpk:
;
Inc(k);
Until
r k ;
Sfârși t algoritm .
Exemplul 3.4.4. În cazul sistemului cu priorități
15 5GM , în portul maritim timpul dintre
două sosiri a navelor are repartiție expo nențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire
a navelor este o repartiție exponențială cu parametrii
kb ,
5,…,1k și timpul de orientare are
repartiția exponențială de parametrii
kq,
5,…,1k , atunci putem calcula coeficientul de trafic.
Tabelul 3.4.4 Coeficientul de trafic pentru timpul de orientare cu repartiție exponențială
Caracteristicile
terminalului Datele din p ortul Constanța
k 1 2 3 4 5
kq
0,95 0,4 0,2 0,1 0,15
k
0,1 0,15 0,2 0,23 0,3
kb
1,3 2,1 2,7 2,5 1,9
k
0,1351 0,4501 0,9915 1,5813 2,1773
106
Exemplul 3.4.5: În cazul sistemului cu priorități
15 5GM , în portul maritim timpul dintre
două sosiri a navelor are repartiție exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire
a navelor este o repartiție exponențială cu parametrii
kb ,
5,…,1k și timpul de orientare are
repartiția uniformă în intervalul
],[2 1cc dat, atunci putem calcula coeficientul de trafic
Transformata Laplace -Stieltjes pentru funcția de repartiție a timpului de servire este:
kk
kbsbs)(
și pentru funcția de repartiție a timpului de orientare este:
) () (1)(2 1
1 2sc sc
k e eccssc
.
Tabelul 3.4.5 . Coeficientul de trafic pentru timpul de orientare cu repartiție uniformă
Caracteristicile
terminalului Datele din p ortul Constanța
k 1 2 3 4 5
],[2 1cc
]2,1[
]3,2[
]4,3[
]5,4[
]6,5[
k
0,1 0,15 0,2 0,23 0,3
k
0,1874 0.5725 2,3865 20,2136 914,0269
Exemplul 3.4.6: În cazul sistemului cu priorități
15 5GM , în portul maritim timpul dintre
două sosiri a navelor are repartiție exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire
a navelor este o repar tiție exponențială cu parametrii
kb ,
5,…,1k și timpul de orientare are
repartiția Gamma cu parametrul
3 , atunci putem calcula coeficientul de trafic.
Transformata Laplace -Stieltjes pentru funcția de repartiție a timpului de servire este:
kk
kbsbs)(
și pentru funcția de repartiție a timpului de orientare este
3
)(
kk
kqsqsc .
107
Tabelul 3.4.6 . Coeficientul de trafic pentru timpul de orientare cu repartiție exponențială
Caracterist icile
terminalului Datele din p ortul Constanța
k 1 2 3 4 5
kb
1,35 3,9 85.45 19623,5 3297925
k
0,1 0,15 0,2 0,23 0,3
k
0,1351 0,7211 17,8112 4531,2343 993908,75
Din analiza tabelelor 3.4.4 -3.4.6, observăm că în nici un caz sistemul nu este viabil,
deoarece în toate cele 3 exemple coeficientul de trafic este mai mare decât 1.
3.4.3. Cazul
1r rGM când mesajul întrerupt se servește de la început
În acest caz, formulele pentru funcțiile de repartiție ale duratei ciclurilor de orientare și a
ciclurilor de servire sunt:
1
1 1
11
1 )}( )] ( 1[ 1){ ( )(
s scsscsvk k k
kk
k k k
;
1
1 1
11
1 )])}()( )] ( 1[ 1){ ( )(
svs sss shk k k k
kk
k k k
,
Coeficientul de trafic se află din relația:
r
kkk r ba
1
,
11111 11
11 cacb
,
) (1 11) (1
1 1 1 11 1
k k k k kk kcb ,
r k ,,2 ,
11
,
1) (1 )(1
1 1 11 1 1
k k kk k k k
kca ,
r k ,,2 .
108
Următorul algoritm ne oferă soluția numerică a coeficientului de trafic
k
Input:
r
k kr
k kr
kk sc s a sr1 1 1*)}({,)}({,}{,0,, ;
Output:
)(*sk ,
)(*svk ,
)(*shk ,
;
Descriere :
If
)0 (k then
0:)(*
0s ; Return
1:k
;
1:q ;
0:0 ;
1: ;
1:1f
;
1:p ;
11111 11
11:cacb
;
11:ba
Repeat inc(q);
q q q a1 :
;
Until
r q ;
Repeat ;
1 * *
1 1*
1*1
1* *)])}()( )] ( 1[ 1){ ( )(
svs sss shk k k k
kk
k k k
1 *
1 1*
1*1
1*)}( )] ( 1[ 1){ ( )(
s scsscsvk k k
kk
k k k
;
1:n ;
0:)(* )0(skk ;
1:)(* )0(skk
Repeat
))( ( :)(* )1( * * )(s aash sn
kkk k kn
kk
;
))( ( :)(* )1( * * )(s aash sn
kkk k kn
kk
;
inc(n) ;
Until
2)( )(* )( * )(s sn
kkn
kk ;
109
:)(*skk
2)( )(* )( * )(s sn
kkn
kk ;
))( )( () (:)(* *
11*
1 1 *s a a sasskkk k k
kk
kk k k
k
)( ))( ( )])( 1[ ()) (* * * * * *
1 s s a asvas asvaskk kkk k k
kk
kk k k k k
;
) (1 11) (1
1 1 1 1
k k k k kkcp b
;
kkba:
;
1) (1 )(1:
1 11 1 1
k k kk k k k
kcaf
;
pfpk:
;
Inc(k);
Until
r k ;
Sfârșit algoritm .
Exemplul 3.4.7. În cazul sistemului cu priorități
15 5GM , în portul maritim timpul dintre
două sosiri a navelor are repartiție exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire
a navelor este o repartiție exponențială cu parametrii
kb ,
5,…,1k și timpul de orientare are
repartiția exponențială de para metrii
kq ,
5,…,1k , atunci putem calcula coeficientul de trafic.
Transformata Laplace -Stieltjes pentru funcția de repartiție a timpului de servire este:
kk
kbsbs)(
și pentru funcția de repartiție a timpului d e orientare este:
s qqsc
kk
k)( .
110
Tabelul 3.4.7 . Coeficientul de trafic pentru timpul de orientare cu repartiție exponențială
Caracteristicile
terminalului Datele din p ortul Constanța
k 1 2 3 4 5
kq
0,95 0,4 0,2 0,1 0,15
k
0,1 0,15 0,2 0,23 0,3
kb
1,35 2,62 6 14,1 11
k
0,1351 0,5289 1,7470 4,9910 8,2942
Exemplul 3.4.8: În cazul sistemului cu priorități
15 5GM , în portul maritim timpul dintr e
două sosiri a navelor are repartiție exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire
a navelor este o repartiție exponențială cu parametrii
kb ,
5,…,1k și timpul de orienta re are
repartiția uniformă în intervalul
],[2 1cc dat, atunci putem calcula coeficientul de trafic
Transformata Laplace -Stieltjes pentru funcția de repartiție a timpului de servire este:
kk
kbsbs)(
și pentru funcția de repartiție a timpului de orientare este:
) () (1)(2 1
1 2sc sc
k e eccssc
.
Tabelul 3.4.8 . Coeficientul de trafic pentru timpul de orientare cu repartiție uniformă
Caracteristicile
terminalului Datele din p ortul Constanța
k 1 2 3 4 5
],[2 1cc
]2,1[
]3,2[
]4,3[
]5,4[
]6,5[
k
0,1 0,15 0,2 0,23 0,3
k
0,1874 0,6687 4,7502 102,80 5049,19
111
Exemplul 3.4.9: În cazul sistemului cu priorități
15 5GM , în portul maritim timpul dintre
două sosiri a navelor are repartiție exponențială cu parametrii
k ,
5,…,1k și timpul de servire
a navelor este o repartiție exponențială cu parametrii
kb ,
5,…,1k și timpul de orientare are
repartiția Gamma cu parametrul
3 , atunci putem calcula coeficientul de trafic.
Transformata Laplace -Stieltjes pentru funcția de repartiție a timpului de servire este:
kk
kbsbs)(
și pentru funcția de repartiție a timpului de orientare este
3
)(
kk
kqsqsc .
Tabelul 3.4.9 . Coeficientul de trafic pentru timpul de orientare cu repartiție Gamma
Caracteristicile
terminalului Datele din p ortul Constanța
k 1 2 3 4 5
kb
1,35 4,8 192,2 107930,2 18248624
k
0,1 0,15 0,2 0,23 0,3
k
0,1351 0,8676 39,3203 24863,2 5499450,5
Din analiza tabelelor 3.4.7 -3.4.9, observăm că, la fel ca în cazul în care se pierdea mesajul
de la început, în nici un caz sistemul nu este viabil, deoarece în toate cele 3 exemple coeficientul
de trafic este mai mare decât 1.
Sistemul de operare utilizat în portul Constanța
Pentru gestionarea și monitorizarea activității de operare a n avelor și a planificării întregii
activități se folosesc diverse sisteme de operare. În majoritatea cazurilor, așa cum se întâmplă și
în cazul terminalului CSCT (Constanța South Contain er Terminal SRL), a se vedea [101 ]
sistemul de operare utilizat este TO S-EDI (Terminal Operating System -Electronic Data
Interchange). Astfel, se utilizează Express (baza de date) și Sparcs (interfața grafică). Prin
intermediul acestor programe se gestione ază și se monitorizează întreag a activitate de operare a
nave lor și de planif icare a activității.
112
WebAccess este interfața folosită de client pentru a efectua operațiuni Pre -gate și diverse
rapoarte. Navis Support este programul utilizat pentru găsirea unor soluții pentru diversele
probleme apărute în cadrul activității desfășurate în terminal.
EDI este folosit în cadrul terminalului pentru eficientizarea schimbului de documente
operative cu partenerii și furnizorii. EDI folosește două tipuri de fișiere: fișiere COARRI (prin
intermediul cărora se raportează mișcarea de încărcare sau de descărcare de la navă) și fișiere
CODECO (prin intermediul cărora se ține evidența containerelor in trate sau ieșite pe Gate/Rail).
Fig. 3.1. Electronic data interchange
113
Fig. 3.2. Schema operațiunilor efectuate în sistem
Operațiunile desfășurate într-un terminal, (în cazul nostru, CSCT) sunt:
– Formalitățile vamale;
– Operarea navelor;
– Planificarea navelor la dane;
– Operațiuni de descărcare;
– Operațiuni de încărcare;
– Acostarea și plecarea navei;
– Stivuirea și amararea în containere a mărfu rilor.
În continuare vom da un exemplu de cum se operează infor mațiile în sistem.
Deliver Empty
Proces current:
1. Comanda de lucru este transmis ă via email către CSCT de către agentul liniei/casa de
expediții ( gate@csc pty t.ro ). Procesul pregate se încheie odată cu introducerea informațiilor în
EXPRESS de către personalul CSCT.
114
2. Procesul INGATE presupune validarea datelor din sistemele CSCT, confruntate cu
mijlocul de transport prezent la main gate. Șoferul primește “pickup ticket“ cu poziția curentă a
containerlui, BAT #
3. Procesul OUTGATE încheie tranzacția deliver empty odată cu validarea datelor din
sistemele CSCT confruntate cu inspecția fizică a containerului (caracteristicile containerului,
avarii). Conducăt orul auto primește EIR care certifică starea fizică a containerului.
Notă:
Orice discrepanță constatată între înregistrările din sistemele CSCT și starea fizică a
containerului va fi anunțată și poate atrage anularea tranzacției.
Proces via webaccess:
1. Agentul de linie/casa de expediții accesează portalul WEBACCESS al CSCT. În meniul
Gate selectează “PreGate Deliver Empty” pentru inițierea etapei de pregate. Se vor introduce
datele tranzacției în câmpurile relevante asigurând transmitrera setului minim de informații
agreat.
– Compania de transport
– Linia containerului
– Tipul și dimensiunea containerului
În câmpul chs Type se va selecta “OWN”
Informațiile vor fi introduse pentru etapa de noapte până la ora 11 cel târziu și pentru etapa
de zi a zilei următo are până la ora 19 cel târziu.
115
Fig. 3.3. Fereastră pentru o livrare nouă
Butonul “Submit” încheie procesul de introducere a datelor, informațiile fiind salvate în
baza de date CSCT. Un PIN # este generat identificând tranzacția .
Fig. 3.4. Fereastra pentru tranzacția completă
Agentul de linie sau casa de expediție va transmite PIN -ul conducătorului .
2. Procesul INGATE presupune identificarea tranzacției cu PIN# comunicat de către
conducătorul auto, nominarea containerului precum și confruntarea da telor introduse via
webacess cu mijlocul de transport prezent la main gate.
Șoferul primește “pickup ticket“ cu poziția curentă a containerlui, BAT #
116
3. Procesul OUTGATE încheie tranzacția deliver empty odată cu validarea datelor din
sistemele CSCT confr untate cu inspecția fizică a containerului (caracteristicile containerului,
avarii)
Conducătorul auto primește EIR care certifică starea fizică a containerului.
Notă:
– Orice discrepanță constatată între înscrisurile din documente și datele introduse în
interfață Webaccess va fi anunțată, și poate atrage anularea tranzacției ce va impune
refacerea procesului PREGATE via Webaccess.
– Pentru orice discrepanță constatată între starea fizică a containerului și înscrisurile
din documente (comanda de lucru) se vor aplica procedurile curente ale terminalului.
Pentru perioada pilot cele două procese vor funcționa în paralel (modul curent de lucru și
modul de operare prin introducerea datelor în interfața Webaccess).
Receive Empty
Proces current:
1. Comanda de lucru e ste transmisă via email către CSCT de către agentul liniei sau casa
de expediții ( gate@csct.ro ). Procesul pregate se încheie odată cu introducerea informațiilor în
EXPRESS de către personalul CSCT.
2. Procesul INGATE pre supune validarea datelor din documente, confruntate cu inspecția
fizică a containerului (caracteristicile containerului, avarii). Șoferul primește “dropoff ticket“ cu
poziția alocată containerului, BAT # precum și EIR care certifică starea fizică a contai nerului.
Orice discrepanță constatată între înscrisurile din documente și starea fizică a containerului
va fi anunțată și poate atrage anularea tranzacției.
3. Procesul OUTGATE încheie tranzacția receive empty.
Proces via webaccess:
1. Agentul de linie sa u casa de expediții accesează portalul WEBACCESS al CSCT. În
meniul Gate selectează “PreGate Receive Empty” pentru inițierea etapei de pregate. Se vor
introduce datele tranzacției în câmpurile relevante asigurând transmitrera setului minim de
informații ag reat:
– ID Container
– Compania de transport
– Linia containerului
117
– Tipul și dimensiunea containerului
În câmpul chs Type se va selecta “OWN”.
Informațiile vor fi introduse pentru etapa de noapte până la ora 11 cel târziu a zilei în
curs și pentru etapa de zi a zilei următoare până cel târziu la ora 19 a zilei în curs.
Fig. 3.5. Fereastră pentru o primire nouă
Butonul “Submit” încheie procesul de introducere a datelor, informațiile fiind salvate în
baza de date CSCT. Un PIN # este generat identificând tranza cția .
Fig. 3.6. Tranzacție încheiată
118
Agentul de linie sau casa de expediție va transmite PIN -ul conducătorului auto.
2. Procesul INGATE presupune identificarea tranzacției cu PIN# comunicat de către
conducătorul auto și confruntarea datelor introduse v ia webacess cu inspecția fizică a
containerului (caracteristicile containerului, avarii). Șoferul primește “dropoff ticket“ cu poziția
alocată containerlui, BAT # precum și EIR care certifică starea fizică a containerului .
Notă:
– Orice discrepanță cons tatată între înscrisurile din documente și datele introduse în
interfața Webaccess va fi anunțată și poate atrage anularea tranzacției ce va impune refacerea
procesului PREGATE via Webaccess.
– Pentru orice discrepanță constatată între starea fizică a con tainerului și înscrisurile din
documente (comanda de lucru) se vor aplica procedurile curente ale terminalului.
3. Procesul OUTGATE încheie tranzacția receive empty
Pentru perioada pilot cele două procese vor funcționa în paralel (modul curent de lucru și
modul de operare prin introducerea datelor în interfata Webaccess).
3.5. Concluzii la capitolul 3 În acest capitol au fost elaborați mai mulți algoritmi, astfel s -au
detaliat:
– algoritmii de evaluare a caracteristicilor sistemului de așteptare generaliza t,
– algoritmii de modelare a coeficientu lui de trafic în portul maritim
– aplicarea algoritmilor pe baza datelor furnizate de portul m aritim Constanța și de
Autoritatea Navală Română. Rezultatele obținute se încadrează în schema generală a cercetărilor
efectuate în capitolul 2 și se finalizează cu aplicarea lor în portul maritim.
119
CONCLUZII GENERALE ȘI RECOMANDĂRI
Studiul realizat în prezenta lucrare conduce la următoarele concluziii și recomandări.
Concluzii generale asupra rezultatelor obținute: Problema examinată în teza de doctor
“Analiza și modelarea matematică a procesării fluxului informațional în activitatea portului
maritim ” face parte de direcția de cercetare din teoria așteptării ce ține de elaborarea algoritmilor
și metodelor corespunzăto are obținerii staționarității unui sistem cu aplicații în diverse domenii.
Rezultatele teoretice obținute în legătură cu algoritmii de evaluare a caracteristicilor sistemului
de așteptare generalizat cu aplicarea în portul maritim precum și algoritmii de m odelare a
coeficientului de trafic în portul maritim Constanța, conduc la următoarele concluzii:
1. S-au detaliat modelele de așteptare gener alizate cu priorități și s -au prezentat rezultatele
analitice, dar deoarece în majoritatea proceselor reale apar și transformatele Laplace -Stieltjes,
pentru a put ea fi aplicate s -au elaborat algoritmi numerici pentru determinarea caracteristicilor
sistemului.
2. Un rol foarte important în caracterizarea unui sistem de așteptare îl are coeficientul de
trafic, fiind cel care ne indică încărcarea sistemului, astfel putând stabili în ce condiții sistemul
este fiabil sau ar mai trebui îmbunătățit.
3. S-au colectat datele din Buletinele informative și Rapoartele anuale furnizate de p ortul
Constanța și Autoritatea Navală Român ă.
4. S-au elaborat algoritmii de evaluare a caracteristicilor sistemului de așteptare generalizat
și i-am aplicat folosind datele din port.
5. În baza algoritmilor realizați s -au elaborat programele în limbajul de programare C++,
astfel evaluând caracteri sticile numerice ale sistemului portuar.
Teza conține o componentă practică, algoritmii realizați fiind apli cați pentru a analiza
situația portului m aritim Constanța.
Rezultatele prezentate în lucrare pot servi ca suport pentru continuarea cercetărilor din
domeniul teoriei așteptării, putându -se realiza algoritmi și pentru alte scheme ale sitemului de
așteptare cu priorități.
Avantajele și valoarea elaborărilor propuse: Rezultatele prezentate constau în realizarea
algoritmilor necesari stabilirii staționari tății unui sistem pr ecum și analizarea datelor din p ortul
maritim Constanța pentru a stabili dacă mai este nevoie de modificări pentru a se eficientiza
fluxul informațional în activitatea portului.
120
Recomandări: În calitate de recomandări putem spune că în stadiul actual activitatea în
portul m aritim Constanța este eficientă, dar se preconizează o creștere a activității, astfel că
propunem:
– Extinderea spre sud a danei de gabare din p ortul Constanța
– Pentru eficientizarea operațiunilor portuare în vederea sporirii atractivității față de
utilizatori și creșterea traficului de nave în portul maritim, propunem extinderea spre sud a danei
de gabare din p ortul Constanța prin crearea unui teritoriu suplimentar de aproximativ 10.000 mp,
care conferă condiții pent ru realizarea unor lucrări de suprastructură.
– Deoarece în momentul actual în portul Constanța nu există o linie regulate de feriboturi
RoRo, dar se preconizează că se va înființa o linie de feribot care să lege Constanța de regiunea
Caucazului, astfel mă rindu -se volumul prognozat de mărfuri, propunem instalarea unui terminal
RoRo complet specializat care să acopere volumul de trafic preconizat.
– Algoritmii realizați pentru stabilirea eficientizării unui sistem pot fi aplicați și în alte
domenii
121
BIBLIOGRAFIE
1. Whittle P . Networks. Optimization and Evolution. Statistical Laboratory. University of
Cambridge, Cambridge Univer. Press, 2007. 282 p.
2. Janos S . Basic queueing theory. GlobeEdit, 2016. 125 p.
3. Mishkoy Gh., Giordano S., Bejan A., Bend erschi O. Generalized priority models for QoS and
CoS network technoloigies. Comput. Sci. J. Moldova . vol. 15. nr. 2, 2007. p. 217 -242.
4. Mishko y Gh., Giordano S., Bejan A. Priority queueing systems and prioritization phenomena in
information networks. Merid ian Ingineresc , 2006. p. 11 -14.
5. Mishkoy Gh. Priority queueing involving orientation and the problems of their software
implementation. Computers Math. Applic., 1990. p. 109 -113.
6. Erlang A. K. Theory of Probabilities and Telephone Conversation. Nyt Tidsskrif t for Matemaik,
Ser. B. vol. 20, 1909. p.33-39.
7. Erlang A.K. Solution of Some Probability Problems of Significance fo r Automatic Telephone
Exchanges. Elektroteknikeren. vol. 13, 1917. p. 5-13.
8. Kolmogorov A. N. Sur le probleme d’attente. Mat. Sbornik. 38. Nr . 1-2, 1931. p. 101 -106.
9. Molina E. C. Application of the theory of probability to telephone trunking problems. Bell Syst.
Tech. vol. 6, 1927. p. 461-494.
10. Lee A. M. Applied queueing theory. The Macmill an Press Limited. London, 1966. 244 p.
11. Buzacott J.A., Shanthikumar J.G. Stochastic Models of Manuf acturing Systems. Prentice -Hall.
New York , 1992. p. 1-45.
12. Gross D., Harris C.M. Fundament als of Queueing Theory. 3rd Ed. John Wiley and Sons Inc.
NY, 1998. 528 p.
13. Asmussen S. Ruin Probabilities. volume 2 of Advance d Series on Statistical Science & Applied
Probability. London: World Scientific, 2000. 385p.
14. Asmussen S., Bladt M. Renewal theory and queueing algorithms for matrix -exponential
distributions. In: Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Matrix -analy tic metho ds in
stochastic models. Dekker. New York, 1997. vol. 183. p. 313 -341.
15. Bejan A. On algorithms of busy time period evaluation in priority queues with orientation time.
in: Proceedings of the Second Conference of the Mathematical Society of the Rep ublic of
Moldova. Chisinău: Evrica, 2004. p. 32 -36.
16. Kendall D.G. Some problems in the theory of queues. J. Roy. Statist. Soc. (B), 1951. p. 151 -185.
17. Kendall D.G. Stochastic processes o ccuring in the theory of queues and their anlysis by the
method of the imbedded markov c hain. J. Roy. Statist. Soc., 1953 . p. 151 -185.
122
18. Abate J., Valko P. Multi -precision Laplace transform inversion. Int. J. Numer. Meth.Engng ,
2004. p. 979 -993.
19. Abate J., C houdhury G.L., Whitt W. An introduction to numerical transform inversion and its
application to probability m odels . In Computational Probability . W. Grassman. Kluwer. Boston,
1999. p. 257 -323.
20. Abate J., Whitt W. An operational calculus for probability distributions via Laplace transforms.
Advances in Applied Probability , 1996. p. 75 -113.
21. Abate J., Whitt W. Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions.
ORSA Journal on Computing , 1995. p. 38 -43.
22. Abate J., Whitt W. Solving probability transform functional equations for numericalinversion.
Operation Resear ch Letters , 1992. p. 275 -281.
23. Danzig D.V. Chaines of Markof dans les ensembles abstraits et applications aux processus avec
regions absorbant es et an probleme des boucles. Ann. de I’Inst. H. Poinca re, 1955. fasc. 3, p.
145-199.
24. Kesten H., Runnenburg J. The Priority in waiting line problems. Amsterdam, 1957. 25 p.
25. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. Второе издание . Москва , 2011. 244
p.
26. Gnedenko B.V. ș. a. Sisteme de așteptare cu prioritate. MGU. Moscova, 1973 (în rusă). 224 p .
27. Климов Г. П. , Миш кой Г. К. Приоритетные системы обслужи вания с ориентацией. Изд -во
МГУ. Москва , 1979. 222 p .
28. Мишкой Г. К. Обобщенные приоритетные системы. Кишинев, Știința, 2009. 200 p .
29. Mișcoi Gh., Costea A. Metode bazate pe aparatul transformate lor Laplace și Laplace -Stieltje.
Academia de Transport uri, Informatică și Comunicații. Conferința internațională Modelare
matematică, optimizare și te hnologii informaționale. ISBN 978 -9975 -941-88-4. Chișinău, 2012.
p. 106 -114.
30. Stehfest H. Algorithm 368: Numerical inversion of Laplac e transforms. Communications of the
ACM , 1970. p. 47 -49.
31. Dubner H., Abate J. Numerical inversion of Laplace transforms and the Finite Fourier
Transform. J. ACM , 1986. p. 115 -123.
32. Veillon F. Numerical inversion of Laplace transforms . Comm. ACM. v. 17 . N 10 ., 1974. р. 587 –
589.
33. N. Tian, Z. G. Zhang. Vacation Queueing Models. Theory a nd Applications. Springer, 2006. 386
p.
123
34. Groza O., Mișcoi Gh., Mitev L., Costea A. Method of catastrofes and its application to analy ze
generalized queueing models. Revista științi fică Studia Universitatis. Universitatea de Stat din
Moldova. Nr. 2 (52). ISSN 1857 -2073. Republica Moldova, 2012. p. 5-11.
35. Adan I., Resing J. Queueing systems. Department of Mathematics and Computing Science
Eindhoven University of Technology. the Netherl ands, 2015 . 182 p .
36. Mevert Р. А Priority System with Setup Times . Oper. Res . v. 16 . N 3, 1968. p. 602-613.
37. Van der Mei R., Winands E. Heavy traffic analysis of polling models by mean value analysis. I n:
Performance Evaluation, 2008. vol. 65(6 -7). p. 400 -416.
38. Mișcoi Gh., Costea A., Țicu R.I. Aplicarea sistemului de așteptare cu o singură linie în portul
maritim , Academia de Transporturi, Informatică și Comunica ții, Conferința internațională
Modelare matematică, optimizar e și tehnologii informaționale. ISBN 9 78-9975 – 62-365-0.
Chișinău: Republica Moldova, 2014. p. 142 -146.
39. Cassandras C.G.,Discrete event systems: m odeling and performance analysis. Aksen Associates
Inc. Publishers , Homewood, Il and Boston, 1993. 26 p.
40. Mihoc Gh., Micu N. Teoria probabilităț ilor ș i statistică matematică. Ed. Didactică și pedagogică,
București, 1980. 289 p.
41. Matcovschi M-H, Lanțuri și sisteme de așteptare markoviene. Ed. Gh. Asachi. Iași, 2003. 208 p.
42. Bolch G., ș.a Queueing networks and Markov chains: Modeling and performance evaluat ion
with computer science applications. John Wiley and Sons. New York, 1998. 896 p.
43. http://www.scribd.com/doc/56794524/86/Testul -KOLMOGOROV -SMIRNOV .
44. http://www.portofconstantza.com/apmc/portal/static.do?package_id=infgen_port_maritim&x=lo
ad.
45. http://www.por tofconstantza.com/apmc/portal/static.do?package_id=prezentare&x=load .
46. http://portal.rna.ro/c%C4%83pit%C4%83nii/prezentare/cz -constan%C5%A3a .
47. Mișcoi Gh., Țicu R.I., Costea A. Distribution rules in seaport activities modeling. Analele
Universității Maritime Constanța. Year XIII. vol 17. ISSN 1582 -3601. România, 2012. p. 211 –
212.
48. Cohen J.W. The single server queue . North -Holland : Amsterdam, 1982 . p. 37 -50.
49. Filipowicz B., Kwiecien J. Queueing systems and ne tworks. Models and applications . Bulletin of
the Polish Academy of Sciences. Technical Sciences. Vol 56. No. 4, 20 08. p. 379-390.
50. Bejan A. Numerical treatment of the Kendall equation in the analysis of priority queueing
systems. Bul. Acad. Stiinte Repub. Mold. Mat. , 2006. p. 17 -28.
124
51. Mișcoi Gh., Bejenari D. Algo ritmi numerici pentru perioada de ocupare în modele exhaustive
Polling. În: Analele Universității Li bere Internaționale din Moldova. Seria Economie. Chișinău:
ULIM, 2010. vol. 10. p. 54 -63.
52. Mișcoi Gh., Bejenari D., Usatîi L. Modelarea perioadei de ocupare și a repartiției șirului de
așteptare pentru sisteme Polling cu servire exhaustivă. În: Materialele Conferinței Științifice
Internațională ”Modelare Matematică, Optimizare și Tehnologii Informaț ionale”. Chișinău:
Evrica, 2010. p. 168 -176.
53. Mișcoi Gh., Ben derschi O. Cu privire la calculul intensității de trafic in sistemele de așteptare
generalizate. În: Materialele Conferinței Științifice Internațională ”Modelare Matematică,
Optimizare și Tehnologii Informaț ionale”. Chișinău: Evrica, 2008. p. 167-174.
54. Griza Iu., Koroliuk V., Mamonova A., Mishkoy Gh. Queuing systems with semi -Markov flow in
average and diffusion approximation schemes. In: Abstracts of the 16th Conference on Applied
and Indust rial Mathematics, CAIM. Romania. Oradea, 2008. p. 28 -29.
55. Mișcoi Gh. A virtual analog of Pollaczek -Khintchin transform equat ion. Buletinul Academiei de
Științe a Republicii Moldova: Matematica. Nr. 2, 2008. p. 81 -91.
56. Mishkoy Gh., Bejenari D., Mitev L. An analog of the Pollaczek -Khintchin transform equation.
In: Abstracts of the 7 -th Congress of R omanian Mathematicians. România: Brașov, 2011. p. 79.
57. Mishkoy Gh., Bejenari D., Mitev L. Method of catastrophes and numerical problems in queueing
theory. In: Abstracts of the Mathematics & Information Technologies: Research and Education.
Chișinău: USM, 2011. p. 73 -74.
58. Panayiotopoulos J.-C. Solving queueing systems with increasing priority numbers. J.Operational
Research Society , 1980. p. 637 -646.
59. Shimshak D.G., Gropp Damico D., Burden H.D. A priority queueing model of a hospital
pharmacy unit. European J. of Operational Research, 1981 . p. 350 -354.
60. Murata M ., Takagi H . Mean waiting times in nonpreemptive prority М/G/1 queues with server
switchover times . Teletrafic Anal. Proc. Int. Semin. Amsterdam . June 2 -6, 1986 . р. 395 -407.
61. Kapa dia A.S., Chiang Y.K., Kazmi M.F. Finite -capacity priority -queues with potential health
applications. Com puters and Operational Research , 1985. p. 411 -420.
62. Van der Mei R., Winands E. Heavy traffic analysis of polling models by mean value analysis. In:
Performance Evaluation, 2008 . vol. 65(6 -7). p. 400 -416.
63. Van Vuuren M., Winands E. Iterative approximation of k -limited polling systems. In: Queueing
Systems, 2007. vol. 55(3). p. 161 -178.
64. Vlasiou M., Adan I., Boxma O. A two -station queue with dependent prepa ration and service
times. In: European Journa l of Operational Research, 2009. vol.195(1). p. 104 -116.
125
65. Allen A.O. Probability, statistics and queueing theory with computer science applications. New
York : Academic Press, 1978 . 390 p.
66. Asmussen S. Applied probability and queues. Wile y: New York, 1987 . 438 p
67. Mihoc Gh., Ciucu G., Muja A. Modele matematice ale aștep tării. Editura Academiei R.S.R. :
București, 1973 . 465 p.
68. Takagi H. Queueing analysis. of polling systems. North -Holland : Amsterdam, 1990. p.267 -318
69. Bejan A. On algorithms of b usy time p eriod evaluation in priority queues with orientation t ime.
In: Proceedings of the Second Conference of the Mathematical Soc iety of the Republic of
Moldova, Chișinău: Evrica, 2004. p. 32 -36.
70. Mishkoy Gh., Bejenari D. Numeric al k-busy periods algorithms for Polling systems with semi –
Marko v switching. In: Romai J., 2009. vol. 5 (2). p. 119 -126.
71. Mișcoi Gh., Bejenari D., Usatîi L. Modele semimarkoviene de servire cu priorități. În: Analele
Universității Libere Internaționale din Moldova, Seria Economie. Chișinău : ULIM, 2011. vol.
11. p. 95 -105.
72. Mișcoi Gh., Rykov Gh., Andronati N., Bejenari D. Probabilitățile stărilor pentru sisteme Polling
cu schimb semi -Markov și așteptare nelimitată. In: Proceedings of the 33rd ARA Congress
Modernism and Progress in Arts and S ciences. România. Sibiu, 2009. vol. 2. p. 149 -151.
73. Griza Iu., Koroliuk V., Mamonova A., Mishkoy Gh. K. Queuing systems with semi -Markov
flow in average and diffusion approximation schemes. In: Abstracts of the 16th Confer ence on
Applied and Industrial Mat hematics. C aim. România. Oradea, 2008. p. 28 -29.
74. Griza Iu., Korolyuk V., Mamonova A., Mishkoy Gh. Queueing Systems with semi -Markov Flow
in the Series Scheme. In: Preprint. Bielefeld University. Germany, 2008. 28 p.
75. Rege K.M., Sengupta B. A prioity -based admission scheme for a multiclass queueing system.
AT&T Technical J. , 1985. p. 1731 -1753.
76. Taylor I.D.S, Templeton J.G.C. Waiting time in a multi -server cuto® -priority queue, and its
application to an urban ambulance servic e. Operations Research 28, 19 79. p. 1168 -1188.
77. Grama I., Mishkoy G. The object oriented programming for queuing system . Comp. Sc. J. of
Moldova . vol. 1 . N.1, 1993. p. 85 -104.
78. Bogunovic N. Processes scheduling procedure for a class of real -time computer syst ems. IREE
Trans. Ind. Electron . v. 34. N 1.,1987. р. 29 -34.
79. Mișcoi D. Un algoritm numeric de soluțio nare a ecuației de trafic. Ulim . Symposia Professorum .
Seria Economie . Chișinău, 1999 . р. 32 -34.
80. Mișcoi G., Mișcoi D. Condițiile de trafic pentru sisteme de așteptare cu fluxuri de intrare
neomogene . Ulim. Symposia Professorum . Seria Economie . Chișinău, 1999 . р. 29 -32.
126
81. Mishkoy D. Numerical inversion of Laplace transform. Studii în metode de analiză numerică și
optimizare. Vol. 2 . n. 2(4) . Chișin ău, 2000 . р. 180-186.
82. Mishkoy G h., Andr onaty N. , Mishkoy D. Virtual queues in a multiprocessor network.
Proceedings of the 10th Intemational Symposium on Applied Stohastic Models and Data –
Analysis -Amsda -2001 . Compiegne . 12-15 June . France, 2001 . р. 754 -760.
83. http://porta l.rna.ro/SiteAssets/PDF/Raport%20anual%20ANR%20 -%202014.pdf .
84. http://portal.rna.ro/SiteAssets/PDF/Raport%20anual%20ANR%20 -%202013.pdf .
85. Costea A., Țicu R.I., Ion L., Mishkoy Gh. The role of the traffic coefficient in the analysis of
infor mation processes in a seaport. Analele Universității Maritime Constanța: Year XVI. vol 23.
ISSN 1582 -3601. România, 2015. p. 135 -138.
86. Gneden ko B.V., Kovalenko I.IN. I ntroducere în Teoria Așteptării. Moscova, 2005 . 315 p.
87. Cooper R.B. Introduction to queueing theory. Second ed ition. North Holland, 1977. 361 p.
88. Deng Y., Tan J. Priority queueing model with changeover times and switching threshold. J.
Appl. Probab. , 2001. p. 263 -273.
89. W. Feller. An introduction to probabil ity theory and its applications. New York: Wiley, 1971.
vol II. 683 p .
90. Kingman J.F.C. Poisson processes.Clarendon Press . Oxford , 1992. 112 p.
91. Gnedenko B.V. ș. a. Sis teme de așteptare cu priorități. Moscova, 1974 (în Rusă). 215 p .
92. Klimov G. Probability the ory and Mathematical statistics. Mir Publishers. Moscow, 1986 . 333 p.
93. Lee A.M. Teoria așteptări i cu aplicații. Editura Tehnică. București , 1976. 241 p.
94. Mișcoi Gh., Costea A., Țicu R.I. Modelarea activității terminalului maritim în baza
coeficientului de trafic . Academia de Transporturi, Informatică și Comunicații, C onferința
internațională „Modelare matematică, optimizare și tehnologii i nformaționale”. ISBN 978 -9975 –
3099 -8-1. Chișinău: Republica Moldova, 2016. p. 242 -252.
95. Mișcoi Gh., Țicu R.I., Costea A. Evaluation algorithms of the waiting time of ships in a seaport .
International Scientific Conference Mathematics & IT: Research and Edu cation. Chișinău:
Repu blica Moldova, 2016. p.45-46.
96. Firescu. D., Muja A. Asupra timpului de orientare in sistemele de servire cu prioritate absoluta ,.
An. Univ. București Mat. -Mec. Anul. XX . N 2, 1971. р. 91 -97.
97. Kendall D.G. Some problems in the theory of queues. In: J. Roy. Statist. Soc. , 1953 . vol. 13(2B).
p. 151 -180.
98. http://portal.rna.ro/servicii/vts -trafic -maritim .
99. Mișcoi Gh. Generalized priority systems. Analytical results and num erical algorithms . Serdica
Journal of Computin g. No. 3. Bulgaria, 2014. p. 281 -290.
127
100. Mișcoi Gh., Costea A., Țicu R.I., Pomazan C. Algorithms of evaluation of the waiting time and
the modelling of the terminal activity based on the traffic coefficient of shi ps in the seaport .
Ponte Academic Journal. Volume 72. Issue 8. ISSN: 0032 -423X. Factor impact: 0,724, 2016. p.
237-248.
101. http://www.practicanavala.ro/stagii/CSCT.pdf .
128
ANEXE
Anexa 1 . Codul sursă pentru coeficientul de trafic în cazul în c are se continuă servirea întreruptă
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int r;
const float epsilon=0.00001;
float s=1;
float l[100], q[100], c[100], sigma[100];
float Get_Pi_kk(int k, float p);
float Get_Pi_k(int k, float p);
float nu(int k, float p);
void Initialize(void)
{ system("cls");
int i; cout<<"Parametri initiali \n";
cout<<"r = "; cin>>r;
for (i=1; i<=r; i++) {
cout<<"l["<<i<<"] = " ; cin>>l[i];
}
for (i=1; i<=r; i++) {
cout<<"q["<<i<<"] = "; cin>>q[i];
}
for (i=1; i<=r; i++) {
cout<<"c["<<i<<"] = "; cin>>c[i];
}
sigma[0]=0;
cout<<endl;
for (i=1; i<=r; i++)
sigma[i]=sigma[i -1]+l[i];
129
}
float beta(int k, float p) {return q[k]/(p+q[k]); }
float gamma(int k, float p) {return c[k]/(p+c[k]); }
float h_k_Calc(int k, float p) {
float h_k, pk,niu,expr1;
if (k==1)
h_k=beta(1, p);
else {
pk=Get_Pi_k(k -1, p);
expr1=gamma (k, p+sigma[k -1]);
niu=expr1/ (1 -sigma[k-1]*(1-expr1)*pk/(p+sigma[k -1]));
h_k=beta(k, p+sigma[k -1]*(1-pk*niu) );
}
return h_k;
}
float Get_Pi_kk (int k, float p){
float vrem1=0, vrem2=0, dif=0, P_kk_D,
P_kk_U, P_kk; P_kk_D=0; P_kk_U=1;
if (k==0) return 0.0;
do{
vrem1=P_kk_D;
vrem2=P_kk_U;
P_kk_D=h_k_Calc(k, p+l[k]*(1 -vrem1));
P_kk_U=h_k_Calc(k, p+l[k]*(1 -vrem2));
dif =fabs(P_kk_U -P_kk_D)/2.0;
} while (dif>epsilon );
P_kk= fabs(P_kk_U+P_kk_D)/2.0;
return P_kk;
}
float Get_Pi_k (int k, float p) {
float pikk=0, pik=0, pika=0, pikak=0, ss=0;
float expr1=0, expr2=0, expr3=0, niu=0;
if (k==1) {
130
pikk=Get_Pi_kk(1,p);
pik=l[k]*gamma(k,p+l [1])*(1-pikk)+sigma[k -1]*pikk/sigma[k];
} else {
pikk=Get_Pi_kk(k,p);
pika=Get_Pi_k(k -1,p+l[k]);
pikak=Get_Pi_k(k -1,p+l[k]*(1 -pikk));
ss=p+l[k]*(1 -pikk);
expr1=gamma(k,ss+sigma[k -1]);
expr2=1-sigma[k-1]*(1-expr1)*pikak/(ss+sigma[k -1]);
niu=expr1/expr2;
expr1=sigma[k -1]*pika;
expr2=sigma[k -1]*(pikak -pika)*niu;
expr3=l[k]*niu*pikk;
pik=(expr1+expr2+expr3)/sigma[k];
}
return pik;
}
float nu (int k, float p) {
float expr1, expr2=1;
expr1=gamma(k, p+sigma[k -1]);
if (k>1) expr2=1 -sigma[k-1]*(1-expr1)*Get_Pi_k(k -1,p)/(p+sigma[k –
1]);
return expr1/expr2;
}
int main (void){
int i;
float ro=0, b[10], f[10], pr=1, pk, g;
Initialize();
b[1]=(beta(1,1)+c[1])/(1+l[1]*c[1]);
ro=l[1]*b[1];
f[1]=1;
pr=f[1];
for (i=2; i<=r; i++) {
131
pr=pr*f[i -1];
g=gamma(i,sigma[i -1]);
b[i]=pr*q[i]/((1 -q[i])*g);
ro=ro+l[i]*b[i];
pk=Get_Pi_k(i -1, l[i]);
f[i]=1+(1/g -1)*(sigma[i] -sigma[i-1]*pk)/sigma[i -1];
printf("i=%i \npr=%f\ng=%f\nb[%i]=%f \nro=%f\npk=%f\nf[%i]=%f \n-
––––––––––– \n", i, pr, g, i, b[i], ro, pk, i,
f[i],b[1]);
}
printf(" \nro = %f", ro);
return 0;
}
132
Anexa 2. Codul sursă pentru coeficientul de trafic în cazul în care se pierde servirea
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int r;
const float ep silon=0.00001;
float s=0, nc=1, pk=0;
float a[100], b1[100], b2[100], c[100], sigma[100];
float Get_Pi_kk(int k, float p);
float Get_Pi_k(int k, float p);
float nu(int k, float p);
void Initialize(void)
{
system("cls");
int i; cout<<"Parametri in itiali\n";
cout<<"r = "; cin>>r;
for (i=1; i<=r; i++) {
a[i]=1; b1[i]=0; b2[i]=1; c[i]=100;
}
sigma[0]=0;
cout<<endl;
for (i=1; i<=r; i++)
sigma[i]=sigma[i -1]+a[i];
133
}
float beta(int k, float p) {return ( -exp(-b1[k]*p) -exp(-
b2[k]*p))/(b2[k] -b1[k]); }
float gamma(int k, float p) {return c[k]/(p+c[k]); }
float h_k_Calc(int k, float p) {
float b=0, h_k=0, pk,niu,expr1;
if (k==1)
h_k=beta(1, p);
else {
b=beta(k,p+sigma[k -1]);
pk=Get_Pi _k(k-1, p);
expr1=gamma (k, p+sigma[k -1]);
niu=expr1/ (1 -sigma[k-1]*(1-expr1)*pk/(p+sigma[k -1]));
h_k=b+sigma[k -1]*(1-b)*pk*niu/(p+sigma[k -1]);
}
return h_k;
}
float Get_Pi_kk (int k, float p){
float vrem1=0, vrem2=0, dif=0, P_kk_D,
P_kk_U, P_kk; P_kk_D=0; P_kk_U=1;
if (k==0) return 0.0;
do{
vrem1=P_kk_D;
vrem2=P_kk_U;
P_kk_D=h_k_Calc(k, p+a[k]*(1 -vrem1));
P_kk_U=h_k_Calc(k, p+a[k]*(1 -vrem2));
dif =fabs(P_kk_U -P_kk_D)/2.0 ;
134
} while (dif>epsilon);
P_kk= fabs(P_kk_U+P_kk_D)/2.0;
return P_kk;
}
float Get_Pi_k (int k, float p) {
float pikk=0, pik=0, pika=0, pikak=0, ss=0;
float expr1=0, expr2=0, expr3=0, niu=0;
if (k==1) {
pikk=Get_Pi_kk(1,p);
pik=a[k]*gamma(k,p+a[1])*(1 -pikk)+sigma[k –
1]*pikk/sigma[k];
} else {
pikk=Get_Pi_kk(k,p);
pika=Get_Pi_k(k -1,p+a[k]);
pikak=Get_Pi_k(k -1,p+a[k]*(1 -pikk));
ss=p+a[k]*(1 -pikk);
expr1=gamma(k,ss+sigma[k -1]);
expr2=1-sigma[k-1]*(1-expr1)*pikak/(ss+sigma[k -1]);
niu=expr1/expr2;
expr1=sigma[k -1]*pika;
expr2=sigma[k -1]*(pikak -pika)*niu;
expr3=a[k]*niu*pikk;
pik=(expr1+expr2+expr3)/sigma[k];
}
return pik;
}
float nu (int k, float p) {
float expr1, expr2=1;
expr1=gamma(k, p+sigma[k -1]);
if (k>1) expr2=1 -sigma[k-1]*(1-expr1)*Get_Pi_k(k –
1,p)/(p+sigma[k -1]);
135
return expr1/expr2;
}
int main (void){
int i;
float ro=0, b[10], f[10], pr=1, pk, g ;
Initialize();
b[1]=((b1[1]+b2[1])/2+nc/c[1])/(1+nc*a[1]/c[1]);
ro=a[1]*b[1];
f[1]=1;
pr=f[1];
for (i=2; i<=r; i++) {
pr=pr*f[i -1];
g=gamma(i,sigma[i -1]);
b[i]=pr*(1 -beta(i,sigma[i -1]))/(sigma[i -1]*g);
ro=ro+a[i]*b[i];
pk=Get_Pi_k(i -1, a[i]);
f[i]=1+(1/g -1)*(sigma[i] -sigma[i-1]*pk)/sigma[i -1];
printf("i=%i \npr=%f\ng=%f\nb[%i]=%f \nro=%f\npk=%f\nf[%i]=%f \n–-
–––––––––– \n", i, pr, g, i, b[i], ro, pk, i,
f[i]);
}
printf(" \nro = %f", ro);
return 0;
}
136
Anexa 3. Codul sursă pentru coeficientul de trafic în cazul în care mesajul întrerupt se servește
de la început
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>
#include<stdli b.h>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int r;
const float epsilon=0.00001;
float s=1;
float l[100], q[100], c[100], sigma[100];
float Get_Pi_kk(int k, float p);
float Get_Pi_k(int k, float p);
float nu(int k, float p);
void Initialize(void)
{
system("cls");
int i; cout<<"Parametri initiali \n";
cout<<"r = "; cin>>r;
for (i=1; i<=r; i++) {
cout<<"l["<<i<<"] = "; cin>>l[i];
}
for (i=1; i<=r; i++) {
cout<<"q["<<i<<"] = "; cin>>q[i];
}
for (i=1; i<=r; i++ ) {
cout<<"c["<<i<<"] = "; cin>>c[i];
137
}
sigma[0]=0;
cout<<endl;
for (i=1; i<=r; i++)
sigma[i]=sigma[i -1]+l[i];
}
float beta(int k, float p) {return q[k]/(p+q[k]); }
float gamma(int k, float p) {return c[k]/(p+c[k]); }
float h_k_Calc(int k, float p) {
float h_k, pk,niu,expr1;
if (k==1)
h_k=beta(1, p);
else {
pk=Get_Pi_k(k -1, p);
expr1=gamma (k, p+sigma[k -1]);
niu=expr1/ (1 -sigma[k-1]*(1-expr1)*pk/(p+sigma[k -1]));
h_k=beta( k,p+sigma[k -1])/(1-sigma[k-1]*(1-beta(k,p+sigma[k –
1]))*pk*niu/(p+sigma[k -1]));
}
return h_k;
}
float Get_Pi_kk (int k, float p){
float vrem1=0, vrem2=0, dif=0, P_kk_D,
P_kk_U, P_kk; P_kk_D=0; P_kk_U=1;
if (k==0) return 0.0;
do{
vrem1=P_kk_D;
vrem2=P_kk_U;
138
P_kk_D=h_k_Calc(k, p+l[k]*(1 -vrem1));
P_kk_U=h_k_Calc(k, p+l[k]*(1 -vrem2));
dif =fabs(P_kk_U -P_kk_D)/2.0;
} while (dif>epsilon);
P_kk= fabs(P_kk_U+P_kk_D)/2.0;
return P_kk;
}
float Get_Pi_k (int k, float p) {
float pikk=0, pik=0, pika=0, pikak=0, ss=0;
float expr1=0, expr2=0, expr3=0, niu=0;
if (k==1) {
pikk=Get_Pi_kk(1,p);
pik=l[k]*gamma(k,p+l[1])*(1 -pikk)+sigma[k -1]*pikk/sigma[k];
} else {
pikk=Get_Pi_kk(k,p);
pika=Get_Pi_k(k -1,p+l[k]);
pikak=Get_Pi_k(k -1,p+l[k]*(1 -pikk));
ss=p+l[k]*(1 -pikk);
expr1=gamma(k,ss+sigma[k -1]);
expr2=1-sigma[k-1]*(1-expr1)*pikak/(ss+sigma[k -1]);
niu=expr1/expr2;
expr1=sigma[k -1]*pika;
expr2=sigma[k -1]*(pikak -pika)*niu;
expr3=l[k]*niu*pikk;
pik=(expr1+expr2+expr3)/sigma[k];
}
return pik;
}
float nu (int k, float p) {
float expr1, expr2=1;
expr1=gamma(k, p+sigma[k -1]);
139
if (k>1) expr2=1 -sigma[k-1]*(1-expr1)*Get_Pi_k(k -1,p)/(p+sigma[k –
1]);
return expr1/expr2;
}
int main (void){
int i;
float ro=0, b[10], f[10], pr=1, pk, g;
Initialize();
b[1]=(beta(1,1)+c[1])/(1+l[1]*c[1]);
ro=l[1]*b[1];
f[1]=1;
pr=f[1];
for (i=2; i<=r; i++) {
pr=pr*f[i -1];
g=gamma(i,sigma[i -1]);
b[i]=pr*(1/beta(i,sigma[i -1])-1)/(sigma[i -1]*g);
ro=ro+l[i]*b[i];
pk=Get_Pi_k(i -1, l[i]);
f[i]=1+(1/g -1)*(sigma[i] -sigma[i-1]*pk)/sigma[i -1];
printf("i=%i \npr=%f\ng=%f\nb[%i]=%f \nro=%f\npk=%f\nf[%i]=%f \n-
––––––––––– \n", i, pr, g, i, b[i], ro, pk, i,
f[i],b[1]);
}
printf(" \nro = %f", ro);
return 0;
}
140
DECLARAȚIA PRIVIND ASUMAREA RĂSPUNDER II
Subsemnata , declar pe răspundere personală că materialele prezentate în teza de doctorat
sunt rezultatul propriilor cercetări și realizări științifice. Conștientizez, că în caz contrar, urmează
să suport consecințele în conformitate cu legislația în vi goare.
Costea Alina
Semnătura:
Data:
141
CURRICULUM VITAE
Numele de familie și prenumele: Costea Alina
Data nașterii: 11.03.1980
Locul nașterii: Constanța, România
Studii:
Licență: Universitatea “Ovidius”, Constanța, Facultatea de Matematică și Inform atică,
Specializarea Matematică , 1998 -2002
Masterat: Universitatea “Ovidius”, Constanța, Facultatea de Matematică și Informatică,
Specializarea M atematică didactică, 2009 -2011
Doctorat: Academia de științe a Moldovei , 2011 -2016, spec ialitatea 112.03 -Cibernetică
Matematică și Cercetări Operaționale
Domenii de interes științific: teoria așteptării, metode de eficientizare a traficului portuar.
Activitatea profesională:
Liceul Callatis Mangalia, Profesor de matematică, 2003 -2006
Universi tatea Maritimă Constanța, Departamentul de Științe Fundamentale și Umaniste,
Colaborator extern, 2006 -2008
Universitatea Maritimă Constanța, Departamentul de Științe Fundamentale și Umaniste
Preparator universitar, 2008 -2009
Universitatea Maritimă Constanț a, Departamentul de Științe Fundamentale și Umaniste
Asistent universitar, 2009 -prezent
Participări la proiecte științifice naționale și internaționale:
1. M embru în proiectul „GLOBE – Influența modificărilor geo -climatice globale și regionale
asupra dezv oltării durabile în Dobrogea”, Programul 4 – Parteneriate în domeniile prioritare,
2009 -2011
2. Membru în grupul țintă în proiectul: „ MARCON – Dezvoltarea și implementarea unui sistem
calitativ de formare inițială și continuă a cadrelor didactice din învăț ământul superior de marină
142
și furnizarea de programe de perfecționare în conformitate cu cerințele industriei maritime”,
2009 -2011
3. Membru în grupul țintă în proiectul POSDRU NR. 57/1.3/s/17884: „Specializarea
personalului didactic universitar pentru fun cția de supervizor de practică tehnologică și de
cercetare”, 2009 – 2012
4. Membru în proiectul Modele de așteptare semi -Markov, Programul Tineri Cercetători,
Institutul de Matematică și Informatică, 2013 -2014
Participări la foruri științifice:
1. Conferinț a internațională „Modelare matematică, optimizare și tehnologii informaționale”,
ATIC, Chișinău, 2012
2. The 20th Conference on Applied and Industrial Mathematics CAIM 2012, Chișinău, 22 -25
august 2012
3. Conferința Științifică Internațională “Strategii d e dezvoltare socio -economică a societății în
condițiile globalizării”, Universitatea Liberă Internațională din Moldova, Chișinău, 15 -16
octombrie 2012
4. The 21 th conference on applied and industrial mathematics, CAIM 2013, Bucharest,
România, 19 -22 septe mber 2013
5. Conferința internațională „Modelare matematică, optimizare și tehnologii informaționale”,
Chișinău, Republica Moldova, 2014
6. The Third Conference of Mathematical Society of the Republic of Moldova, Chisinau,
Republica Moldova, 19 -23 August 2014
7. International Scientific Conference Mathematics & IT: Research and Education, MITRE
2015, Chișinău, Republica Moldova, 2 -5 iulie 2015
8. Conferința internațională „Modelare matematică, optimizare și tehnologii informaționale”,
Chișinău, Republica M oldova, 2016
9. International Scientific Conference Mathematics & IT: Research and Education, MITRE
2016, Chișinău, Republica Moldova, 24 -26 iunie 2016
Lucrări științifice publicate: Articole – 7, teze ale comunicațiilor științifice – 9, cărți – 3.
Cunoașt erea limbilor: română – maternă, engleză – bine
Date de contact: Strada Mircea cel Bătrân 104, Constanța, Telefon: 0241 664 740 ,
alina.costea2009@yahoo.com ,
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Teza 22.09.2016 [604787] (ID: 604787)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.