Teste SIMULARE BAC [603830]

Teste propuse5
Teste SIMULARE BAC
pentru clasa a XI-a
Test 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați partea reală a numărului complex 3 + i _ 3 − i .
5p 2. Soluțiile ecuației x 2 − (2m + 1) x + 3m + 5 = 0 sunt x 1 ș i x 2 , iar m este un
număr real. Arătați că 3 ( x 1 + x 2 ) − 2 x 1 x 2 + 7 = 0 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 2 4x + log 2 x = 4 .
5p 4. Determinați câte numere pare de 3 cifre se pot forma folosind elementele
mulțimii A = {1, 2, 3, 4 . 5} .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră vectorii ⟶ AB = 2 → i + 5 → j ș i ⟶ AC =
(m + 2) → i + (4m − 1) → j , unde m este un număr real. Determinați numărul
real m astfel încât ⟶ AC = 3 ⟶ AB .
5p 6. Știind că tg a = 2 _ _ , arătați că 3 sin a + cos a _ 3 sin a − cos a = 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul D (x, y) = | 1
1
1
x y 3
x 3
y 3
27 | , unde x , y sunt numere reale.
5p a) Arătați că D (0, 1) = 2 4 .
5p b) Arătați că D (x, y) = (y − x) (3 − x) (3 − y) (x + y + 3) (∀) x, y ∈ ℝ .
5p c) Demonstrați că numărul D (x, y) este divizibil cu 6 pentru orice numere
întregi x , y .
2. Se consideră matricea A (x) = ( x + 1
0
x
0 1 0
x
0
x + 1 ) , unde x este număr real.
5p a) Calculați A (2) − A (1) .
5p b) Arătați că A (a) A (b) = A (a + b + 2ab) pentru orice numere reale a, b.
5p c) Determinați numerele naturale pentru care A (a) A (a + 5) = A (18a + 1) .

Teste propuse6
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (0, + ∞) → ℝ, f (x) = 2 x + 1 _ x + 3 și șirul de numere
reale ( x n )
n≥1 x n = f (n) .
5p a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ la graficul funcției f.
5p b) Demonstrați că șirul ( x n )
n≥1 este crescător.
5p c) Calculați lim n→+∞ ( n 2 + 1) ln x n _ x n+1 .
2. Se consideră funcția:
f : ℝ → ℝ, f (x) = { 2x + a pentru x ≤ 2
x 2 + ( a 2 − a) x pentru x > 0 , unde a este un număr real .
5p a) Determinați numerele reale a pentru care funcția f este continuă în x = 2 .
5p b) Calculați lim x→∞ √√ _ f (x) _ x .
5p c) Pentru a = 2 , arătați că ecuația f (x) = ( 1 _ 2 ) x
are cel puțin o soluție în in –
tervalul (− 1, 0)
Test 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați |6 log 3 3 √ _ 243 − 4 √ _
16 | .
5p 2. Fie funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 − 7x + 3 , g (x) = − 3x − 3 . Aflați
punctele de intersecție ale graficelor celor două funcții.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( 5 x − 5) ( 2 x − 1 _ 2 ) = 0 .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să conțină cel puțin un număr impar .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (4, 3) , B (6, − 3) , C (− 2, 5) .
Determinați ecuația medianei dusă din A .
5p 6. Arătați că cos (x + π _ 4 ) cos (x − π _ 4 ) + sin (x + π _ 4 ) sin (x − π _ 4 ) = 0 pentru orice
număr real x.

Teste propuse7
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie permutarea σ = ( 1 2 3 4 3 4 2 1 ) ∈ S 4
5p a) Calculați σ −1 .
5p b) Arătați că permutarea σ este impară.
5p c) Dacă ω = ( 1 2 3 4 3 1 2 4 ) , rezolvați în S 4 ecuația σx = ω .
2. Fie matricea A = ( 1 3 0 1 ) și mulțimea M = {X ∈  2 (ℝ) |AX = XA} .
5p a) Arătați că A, I 2 ∈ M .
5p b) Arătați că dacă X ∈ M atunci există numerele reale a și b astfel înc ât
X = ( a b 0 a ) .
5p c) Arătați că dacă X, Y ∈ M atunci XY ∈ M .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x 3 + x − 2 _ x 2 + 3 .
5p a) Calculați lim x→−∞ f (x) .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre + ∞ la graficul funcției f .
5p c) Arătați că lim x→1 f (x) _ x − 1 = 1 .
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = { 2 x + 3x + m pentru x ≤ 0
sin 4x _ 2x pentru x > 0
unde m ∈ ℝ .
5p a) Arătați că lim
x→0 x>0 f (x) = 2 .
5p b) Determinați numărul real m pentru care funcția f este continuă în x = 0 .
5p c) Pentru m = 1 arătați că ecuația f (x) = 0 admite o rădăcină negativă,
care nu aparține mulțimii numerelor întregi.

Teste propuse8
Test 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul real x știind că numerele x, √ _ x + 3 și 2x + 2 sunt ter –
meni pozitivi consecutivi ai unei progresii geometrice.
5p 2. Determinați numărul real m știind că funcția f : ℝ → ℝ, f (x) =
x 2 + 4x − 2m are graficul tangent la axa Ox.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 √ _
x 2 − 5 3 √ _ x + 4 = 0 .
5p 4. Determinați câte numere impare de 3 cifre se pot forma cu elementele
mulțimii M = {3, 4, 5, 6, 7} .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (− 1, a) , B (5, 17) ș i C
(− 2, − 4) . Știind că a este un număr real, determinați valorile lui a astfel
încât punctele A, B, C să fie coliniare.
5p 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris △ ABC știind că BC = 6
și cos A = 2 √ _
2 _ 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră permutarea σ ∈ S 5 , σ = ( 1 2 3 4 5 5 2 1 3 4 ) .
5p a) Determinați cel mai mic număr natural nenul k astfel încât σ k = e , unde
e = ( 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ) .
5p b) Pentru θ = ( 1 2 3 4 5 4 5 1 2 3 ) , rezolvați în mulțimea permutărilor de
ordinul 5 ecuația σ 3 x = θ .
5p c) Arătați că ecuația x 2 = σ nu are soluții în S 5 .
2. Se consideră matricea A (x) = ( 1 + x − x 2x 1 − 2x ) , x fiind un număr real.
5p a) Arătați că det (A (2) ) = − 1 .
5p b) Arătați că A (x) A (y) = A (x + y − xy) pentru orice numere reale x și y.
5p c) Aflați numerele reale x pentru care A (x) A ( x 2 + 1) = [A (x) ] 2 .

Teste propuse9
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Pentru fiecare număr natural n ≥ 2 se consideră numărul
a n = 1 + 2 + . . . + n _ C n+1 3 .
5p a) Arătați că a n = 3 _ _ − 1 pentru orice număr natural n ≥ 2 .
5p b) Arătați că a n+1 < a n pentru orice număr natural n ≥ 2 .
5p c) Calculați lim n→∞ ( a n+1 _ a n ) √ _
a n+2 _ a n+1
.
2. Se consideră funcția f : (− 3, + ∞) → ℝ, f (x) = a x 2 + bx + 1 _ x + 3 , unde a și b sunt
numere reale.
5p a) Pentru a = b = 1 calculați lim
x→−3 x>−3 f (x) .
5p b) Determinați numerele reale a și b astfel încât funcția f să admită asimp –
totă oblică spre + ∞ dreapta de ecuație y = x + 1.
5p c) Pentru a = 1, b = 4 calculați lim x→∞ ( f (x) _ x + 1 ) x+2019
.
Test 4
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Știind că [a] reprezintă partea întreagă a numărului real a , calculați va –
loarea sumei [ log 2 1 0] + [ 3 √ _
7 ] .
5p 2. Determinați numărul real m pentru care ecuația x 2 − (2m + 3) x + 4 = 0
are soluții reale și egale.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( log 2 x − 3) ( 3 x − 3) = 0 .
5p 4. Aflați numărul funcțiilor injective f : {a, b, c} → {1, 2, 3, 4, 5} .
5p 5. Determinați numărul real a știind că dreptele de ecuații 2x − (a + 3)
y + 7 = 0 și − 4x + y − 2019 = 0 sunt perpendiculare.
5p 6. Știind că α ∈ (π, 3π _ 2 ) și sin α = − 5 _ _ 3 , calculați sin 2α.

Teste propuse10
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul D (x, y) = | 1
x 2
x 3
1 y 2 y 3
1
4
8 | , unde x și y sunt numere
reale.
5p a) Calculați D (3, 1) .
5p b) Arătați că D (x, y) = (y − x) (2 − x) (2 − y) (xy + 2x + 2y) pentru orice
x, y ∈ ℝ
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația D ( 4 x , 8 x ) = 0
2. Se consideră matricea A (a) = ( 1
1
1
1 a 5
1
5
a ) , unde a este număr real.
5p a) Calculați (A (1) ) 2 .
5p b) Arătați că det (A (1) ) = (a − 5) (a + 3)
5p c) Determinați numărul real a pentru care A (a) ⋅ A (3 − a) = A (3 − a) ⋅ A (a) .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Pentru orice număr natural n se consideră șirul ( a n )
n ∈ ℕ definit prin relația de
recurență a n+1 = a n 2 − 10 a n + 30 și având termenul inițial a 0 = 5, 5 .
5p a) Arătați că a n > 5 pentru orice număr natural n .
5p b) Arătați că șirul ( a n )
n ∈ ℕ este mărginit.
5p c) Demonstrați că șirul ( a n )
n ∈ ℕ este convergent și calculați limita șirului.
2. Se consideră funcția f : ℝ * → ℝ, f (x) = (x − 3) e −2 _ x .
5p a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f (x) [f (x) + e −2 _ x ] ≤ 0 .
5p b) Verificați dacă funcția f admite limită în punctul x = 0 .
5p c) Arătați că dreapta de ecuație y = x − 5 este asimptota oblică spre + ∞ la
graficul funcției f .

Teste propuse11
Test 5
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numerele reale a și b , știind că a + bi este numărul conjugat
corespunzător numărului complex z = 2 + i _ 3 − i .
5p 2. Determinați numărul real m astfel încât vârful parabolei asociată funcției
f : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 + 2x + m să fie situat pe prima bisectoare .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 2 ( 2 x + 16) = x + 1 .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând aleatoriu un număr de 3 cifre, acesta
să fie multiplu de 3, fără a fi și multiplu de 9.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (2, 3) , B (− 1, 5) și C (8, 2) .
Aflați coordonatele unui punct D astfel încât ABCD să fie un paralelo –
gram.
5p 6. Într­un △ABC se cunosc lungimea laturii BC = 6 cm și m ( ˆ A ) = π _ _ ,  
m ( ˆ C ) = π _ _ 2 . Calculați lungimea laturii AC.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A (x) = ( x + 5 1 1 x + 5 ) , x ∈ ℝ.
5p a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația det (A (x) ) = 0 .
5p b) Arătați că (A (x) ) 2 = (2x + 10) A (x) − ( x 2 + 10x + 24 ) I 2 .
5p c) Determinați numerele reale x astfel încât A 2 = 2A
2. Se consideră determinantul D (x, m) = | x 2
x
1
− 2 2 1
x
1
m | , unde x, m ∈ ℝ
5p a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația D (1, m) = 0.
5p b) Arătați că D (x, m) = 2 (x + 1) (mx + 1) pentru orice x, m ∈ ℝ .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația D (m + 1, m − 1) ≤ 0.

Teste propuse12
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Fie funcția f : [0, ∞ ) → ℝ, f (x) = ln x + 2 _ x + 1 ș i ( x n )
n≥1 , x n = f (n) , un șir de
numere reale asociat funcției.
5p a) Arătați că șirul ( x n )
n≥1 este strict descrescător.
5p b) Calculați lim n→∞ [ (n + 100) ( a 1 + a 2 + . . . + a n + ln 2 _ n + 3 ) ] .
5p c) Demonstrați că ecuația f (x) = x are cel puțin o rădăcină în intervalul (0, 1) .
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = { 2x + m, pentru x ≤ 0 arctg x _ x + 1 , pentru x > 0 ,
m ∈ ℝ .
5p a) Determinați numărul real m astfel încât funcția f să fie continuă în x = 0 .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ la graficul funcției f .
5p c) Calculezați lim x→∞ x 2 [f (x + 1) − f (x) ] .
TEST 6
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați modulul numărului complex z = 3 + 4 i _ 4 + 3 i .
5p 2. Calculați 1 _ x 1 + 1 _ x 2 , știind că x 1 ,  x 2 sunt rădăcinile ecuației x 2 − x − 1 = 0 .
5p 3. Rezolvați ecuația log 3 (x − 1) = 3 .
5p 4. Determinați numărul funcțiilor f : {1, 3, 5} → {0, 1} cu proprietatea
f (1) + f (3) + f (5) = 1 .
5p 5. Se considera dreptele de ecuații ax − 3y − 1 = 0 și 3x − y + 4 = 0,
a ∈ ℝ . Determinați numărul real a astfel încât cele două drepte să fie pa –
ralele.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 4 , BC = 5 , respectiv CA = 6 .
Calculați cosA .

Teste propuse13
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră matricele A = ( 4 − 6 2 − 3 ) , I 3 = ( 1 0 0 1 ) ș i X (a) = I 2 + aA, a ∈ ℝ .
5p a) Calculați A 3 .
5p b) Arătați că X (a) X (b) = X (a + b + ab) , oricare ar fi a, b ∈ ℝ .
5p c) Calculați X( − 1)X(0)X(1)X(2).
2. Se consideră determinantul d = | a
b
c
c a b
b
c
a | .
5p a) Pentru a = b = 1 , c = 3, calculați d.
5p b) Arătați că d = 1 _ 2 (a + b + c) ( (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ) .
5p c) Rezolvați ecuația d = 0, în cazul a = 3 x ,  b = 5 x ,  c = 2 x .
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x + sinx.
5p a) Arătați că graficul funcției f nu admite asimptote.
5p b) Arătați că graficul funcției f intersectează axa Ox cel puțin o dată.
5p c) Calculați lim x→0 f (x) _ x .
2. Se consideră funcțiile f n : (0, ∞) → ℝ, f n (x) = x n l nx.
5p a) Calculați lim x↓0 f 0 (x) . .
5p b) În cazul în care x ∈ (0, 1) , calculați lim n→∞ f n (x) .
5p c) Determinați f ( (1, ∞) .)
TEST 7
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați z 2019 , știind că z este un număr complex cu proprietatea
z + 1 _ z = − 1 .

Teste propuse14
5p 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 3 _ x − 3 < 1 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 x+2 + 3 x = 90 .
5p 4. Determinați numărul natural n pentru ca C n 0 + C n 1 + C n 2 = 7 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O (0, 0) , A (2, 3) ,  B (1, 3) .
Determinați coordonatele centrului de greutate al triunghiului OAB .
5p 6. Determinați x ∈ (0, π _ 2 ) știind că √ _
3 sinx + 3cosx ____________ cosx = 4 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele A = ( 1
1
2
0 1 3
0
0
1 ) .
5p a) Arătați că detA = 1 .
5p b) Arătați că (A − I 3 ) 3 = O 3 .
5p c) Determinați inversa matricei A .
2. Se consideră determinantul D (a, b, c) = | 1
1
1
a b c
a 2
b 2
c 2 | ,  a, b, c ∈ ℝ
5p a) Arătați că D (1, 1, c) = 0 .
5p b) Arătați că D (a, b, c) = (b − a) (c − a) (c − b)
5p c) Arătați că (a + b + c) D (a, b, c) este divizibil prin 6 pentru oricare a, b, c
numere naturale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (0, ∞) ∖ {1} → ℝ, f (x) = lnx _ x − 1
5p a) Calculați lim x→1 f (x) .
5p b) Arătați că dreapta de ecuație x = 0 este asimptotă verticală la graficul
funcției f.
5p c) Arătați că graficul funcției f intersectează axa Ox în cel puțin un punct în
intervalul (0, 1) .
2. Se consideră șirul de numere reale ( a n )
n≥1 definit prin relația de recurență a n+1 =
a n + 3 − a n , a 1 ∈ ℝ .
5p a) Arătați că șirul ( a n )
n≥1 este strict crescător.
5p b) Arătați că șirul ( a n )
n≥1 este nemărginit.
5p c) Calculați lim n→∞ ( 3 a n+1 − 3 a n ) .

Teste propuse15
Teste SIMULARE BAC
pentru clasa a XII-a
TEST 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul log 2 √ _ 2 + √ _
2 + log 2 √ _ 2 − √ _
2 este rațional.
5p 2. Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 − 5x + 4, g (x) = 2x + 1. Re-
zolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (f ∘ g) (x) = 0.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9 x+1 − 1 = 3 x − 3 x+2 .
5p 4. Determinați numărul funcțiilor impare f : {− 2, − 1, 0, 1, 2} →
{− 2, − 1, 0, 1, 2} .
5p 5. Fie ABCDEF un hexagon regulat cu latura AB = 3 cm. Calculați ⟶ AB ⋅ ⟶ AD .
5p 6. Arătați că un triunghi având lungimea laturilor de 2 cm, 3 cm și 4 cm este
obtuzunghic.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie A (m) = ( m + 1
1
1
1 m + 1 1
1
1
m + 1 ) și sistemul ⎧
⎪
⎨ ⎪
⎩ (m + 1) x + y + z = − 1
x + (m + 1) y + z = − 1
x + y + (m + 1) z = m + 5 u n d e
m ∈ ℝ .
5p a) Arătați că det (A (1) ) = 4 .
5p b) Arătați că det (A (m) ) = m 2 (m + 3) pentru oricare m ∈ ℝ .
5p c) Pentru m = − 3 determinați soluția sistemului ( x 0 , y 0 , z 0 ) pentru care
x 0 y 0 + z 0 2 = 5 .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∘ y
= xy − 5x − 5y + 30 .
5p a) Arătați că x ∘ y = (x − 5) (x − y) + 5 .

Teste propuse16
5p b) Calculați √ _
1 ∘ √ _
2 ∘ . . . ∘ √ _ 2020 .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi sistemul { x ∘ x = y y ∘ y = x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (− 3, + ∞) → ℝ, f (x) = e x _ x + 3 .
5p a) Arătați că f ′ (x) = e x (x + 2) _ (x + 3) 2 pentru orice x ∈ (− 3, + ∞) .
5p b) Calculați lim x→0 f (x) − 1 _ 3 _ x .
5p c) Arătați că f ( − 1 _ 2019 ) + f ( 1 _ 2021 ) > 2 _ _ e 2 .
2. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 1 _ _√
√ _ x 2 + 3 și numărul I n = ∫
0 1 x n f (x) dx asociat fiecărui
număr natural n .
5p a) Arătați că ∫
0 1 f (x) dx = 1 _ 2 ln 3 .
5p b) Calculați I 1 .
5p c) Arătați că n I n = 2 − 3 (n − 1) I n−2 pentru orice număr natural n ≥ 2 .
TEST 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați termenul a 7 al progresiei aritmetice ( a n )
n≥1 știind că a 5 = 5 ș i a 9
= 13 .
5p 2. Determinați numărul real m astfel încât valoarea minimă a funcției f : ℝ
→ ℝ , f (x) = x 2 + mx + m + 2 să fie 3.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 9 x + log 27 x + log 1 _ 3 x =
= −  1 _ 6
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr natural de 3 cifre, acesta să
aibă toate cifrele pătrate perfecte.

Teste propuse17
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (2, 3) , B (− 5, 7) , C (8, 3) ,
D (1, a) , numărul a fiind un număr real. Determinați numerele reale a ast-
fel încât AB ∥ CD.
5p 6. Arătați că, dacă a + 2b = π _ _ , atunci 4 sin b cos b = cos  a − √ _
3 sin a.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A (m) = ( 1
− 1
1
1 m + 1 − m
m
m
− 1 ) și sistemul ⎧
⎪
⎨ ⎪
⎩ x − y + z = 1
x + (m + 1) y − mz = 2
mx + my − z = m + 1 , unde
m este un număr real.
5p a) Arătați că det (A (m) ) = (m + 1) (m − 2) .
5p b) Pentru m = 0, arătați că matricea este inversabilă și calculați A −1 .
5p c) Determinați numerele reale m pentru care sistemul este incompatibil.
2. Pe mulțimea G = (1, + ∞) se definește legea de compoziție
x ∘ y = √ ______________ x 2 y 2 − x 2 − y 2 + 2 pentru orice x, y ∈ G.
5p a) Arătați că dacă x, y ∈ G, atunci x ∘ y ∈ G.
5p b) Rezolvați în mulțimea G ecuația x ∘ x ∘ x = x .
5p c) Se consideră funcția f : (0, ∞) → (1, ∞) , f (x) = √ _ x + a . Determinați nu –
merele reale a astfel înc ât f (xy) = f (x) ∘ f (y) .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 − 4x + 4 _ e x .
5p a) Arătați că f ′ (x) = −   x 2 + 6x − 8 _ e x , unde x ∈ ℝ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției f.
5p c) Arătați că ( x _ 2 ) 2 − x + 1 ≤ e x−4 , pentru orice x ∈ [2, + ∞) .
2. Se consider ă func ția f : ℝ → ℝ, f (x) = x e 2x .
5p a) Arătați că ∫
1 2 f (x) _ x dx = e 2 ( e 2 − 1) _ 2 .
5p b) Determinați primitiva F a funcției f pentru care F (0) = 3 _ _ .
5p c) Dacă pentru fiecare număr natural n se consideră numărul I n = ∫
0 1 x n f (x) d x ,
arătați că 2 I n = e 2 − (n + 1) I n−1 pentru orice număr natural n ≥ 2.

Teste propuse18
TEST 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați z 2019 , știind că z este un număr complex cu proprietatea
z + 1 _ z = 1 .
5p 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația x 2 − 3x < 0 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 2x + 3 x = 2 .
5p 4. Determinați numărul natural n pentru ca C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . + C n n = 64 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O (0, 0) , A (2, 3) ,  B (1, 3) .
Calculați aria triunghiului OAB .
5p 6. Determinați x ∈ (0, π _ 2 ) știind că √ _
3 sinx + 3cos x ___________ cosx = 6 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele A = ( 1
1
2
0 1 3
0
0
1 ) .
5p a) Arătați că rangA = 3 .
5p b) Arătați că (A − I 3 ) 3 X = X (A − I 3 ) 3 ,  ∀ X ∈ M 3 ( ) .
5p c) Determinați inversa matricei A .
2. Se consideră pe intervalul [9, 10] legea de compoziție x ∘ y = xy − 9x − 9y + 90 .
5p a) Arătați că x ∘ y = (x − 9) (y − 9) + 9,  ∀ x, y ∈ [9, 10 ] .
5p b) Arătați că legea admite element neutru.
5p c) Determinați elementele simetrizabile din mulțimea [9, 10] în raport cu
legea dată.

Teste propuse19
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră șirul definit prin relația de recurență a n+1 = 2 a n + 3 _ a n , a 0 > 0.
5p a) Arătați că a n > 2,  ∀ n ≥ 1 .
5p b) Arătați că | a n+1 − 3| < 1 _ 2 | a n − 3| ,  ∀ n ≥ 0 .
5p c) Arătați că lim n→∞ a n = 3 .
2. Se consideră șirul de numere reale ( I n )
n≥1 definit prin I n = ∫ x n _ 4 x 2 + 3 dx .
5p a) Arătați că șirul ( I n )
n≥1 este strict descrescător
b) Arătați că șirul ( I n )
n≥1 este mărginit.
5p c) Calculați lim n→∞ I n .

Teste propuse20

Teste propuse21
TESTE SIMULARE BAC
PENTRU NOTA 6
TEST 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați [ 2 _ 3 √ _
2 − 4 ] .
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 3x + 2. Calculați valoarea sumei S
= f (1) + f (2) + . . . + f (20) .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 2 x + 2 log 4 x + 3 log 8 x =
12 .
5p 4. Determinați numărul funcțiilor f : {0, 1, 2, 3} → {2, 3, 4, 5, 6} cu proprieta –
tea că f (0) este număr par.
5p 5. Fie dreptunghiul ABCD cu AB = 5, AC = 13 . Calculați ⟶ AD ⋅ ⟶ AC .
5p 6. Calculați valoarea sumei cos 105 ∘ + sin 15 ∘ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuații liniare
{ x + 2y − 3z = 3
2x − ay + z = 1
3x + y − 2z = b unde a, b ∈ ℝ .
5p a) Determinați a, b ∈ ℝ astfel încât sistemul să admită soluția x 0 = 2, y 0 = 2 ,
z 0 = 1 .
5p b) Determinați a ∈ ℝ astfel încât sistemul să fie compatibil determinat.
5p c) Determinați a, b ∈ ℝ astfel încât sistemul să fie compatibil nedeterminat.
2. Se consideră polinomul f = X 4 − 4 X 3 + 12 X 2 − 16X + 15 ∈ ℝ [X] .
5p a) Calculați restul și câtul împărțirii polinomului la X 2 − 2X + 3 .
5p b) Ar ătați că polinomul nu are nicio rădăcină reală.
5p c) Calculați suma modulelor rădăcinilor polinomului.

Teste propuse22
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (1, ∞) → ℝ, f (x) = e x _ x − 1 .
5p a) Verificați dacă f ′ (x) = e x (x − 2) _ (x − 1) 2 pentru orice x > 1 .
5p b) Calculați lim
x→1 x>11 f (x) .
5p c) Arătați că e x 2 − 2 ≥ x 2 − 1 pentru orice x ∈ (1, + ∞) .
2. Pentru fiecare număr natural n , se consideră numărul I n = ∫
3 4 x n _ x 2 + 16 dx .
5p a) Arătați că I 1 = ln 4 √ _
2 _ 5 .
5p b) Determinați I 2 .
5p c) Demonstrați că I n+2 + 16 I n = 4 n+1 − 3 n+1 _ n + 1 pentru orice n ∈ ℕ.
TEST 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie progresia aritmetică ( a n )
n≥1 cu rația r = 3 și a 5 + a 9 = 38 . Aflați terme –
nul a 1 .
5p 2. Arătați că funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x 3 + x + 2 sin x este impară.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √ _ x + 3 + √ _ x = 3 .
5p 4. Determinați numărul funcțiilor f : {3, 3, 4, 5} → {3, 4, 5, 6} cu proprietatea
f (2) + f (3) = 7 .
5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele M (3, 5) ,  
A (2, 7) și B (5, 3) . Calculați lungimea vectorului ⟶ MA + ⟶ MB .
5p 6. Arătați că sin (x + π _ 4 ) sin (x − π _ 4 ) = sin 2 x − 1 _ 2 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A (x) = ⎛
⎜
⎝ 3x − 1
0
x
0 1 _ 3 0
x
0
3x − 1 ⎞
⎟
⎠ , x ∈ ℝ .

Teste propuse23
5p a) Demonstrați că det (A (x) ) = 1 .
5p b) Demonstrați că A (x) + A (1 − x) = 2A ( 1 _ 2 ) .
5p c) Determinați numărul real x astfel încât matricea A (x) să fie inversabilă.
2. Fie a ∈ ℝ și polinomul f = X 3 − 3 X 2 + 3X + a cu rădăcinile x 1 , x 2 , x 3 .
5p a) Pentru a = 4, arătați că restul împărțirii polinomului f la X − 2 este 6.
5p b) Calculați ( x 1 − x 2 ) 2 + ( x 1 − x 3 ) 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 .
5p c) Determinați numărul real a astfel încât toate rădăcinile polinomului f să
fie numere reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : [0, ∞) → ℝ, f (x) = x − √ _ x 2 + 2x .
5p a) Ar ătați că f ′ (x) = √√ _ x 2 − 2x − x − 1 ___________ √ _ x 2 + 2x , (∀) x ∈ (0, ∞) .
5p b) Calculați lim x→1 f (x) − f (1) _ x − 1 .
5p c) Determinați ecuația asimptotei spre + ∞ la graficul funcției f .
2. Se consideră funcțiile F, f : ℝ → ℝ, F (x) = (x + 5) e x și f (x) = (x + 6) e x .
5p a) Verificați dacă F este o primitivă a funcției f .
5p b) Calculați ∫
0 1 F (x) − f (x) _ e x + 2 dx .
5p c) Calculați ∫
1 e [f (ln x) − 6x] dx .
TEST 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calcul ți suma S = 3 + 8 + 13 + . . . + 248 .
5p 2. Se consideră ecuația x 2 − (2m + 1) x + 3m + 2 = 0 , cu rădăcinile x 1 , x 2 . D e-
terminați numărul real m astfel încât 5 ( x 1 + x 2 ) = 3 x 1 x 2 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația log 2 [ log 3 (x + 2) ] < 1 .

Teste propuse24
5p 4. Se consideră mulțimea M = {0, 1, 2, 3, 4} . Aflați probabilitatea ca, ale –
gând aleatoriu un element n ∈ M , să fie adevărată relația 2 n ≥ n !
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (2, 3) , B (− 1, 5) ș i G (4, 2)
. Determinați coordonatele unui punct C astfel încât G să fie centrul de
greutate al △ ABC .
5p 6. În triunghiul ABC , BC = 24 și cos A = 5 _ _ 3 . Calculați lungimea razei cer –
cului circumscris triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul D (x, y) = | 1
1
1
x y 3
x 2 + 5
y 2 + 5
14 | .
5p a) Calculați D (2, − 2) .
5p b) Arătați că D (x, y) = (x − y) (3 − x) (3 − y) .
5p c) Determinați numerele reale x astfel încât D ( 3 x , 9 x ) = 0 .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y =
xy − 6x − 6y + 42 pentru orice numere reale x, y.
5p a) Calculați 2 ∘ 3 .
5p b) Arătați că x ∘ y = (x − 6) (y − 6) + 6 .
5p c) Determinați numerele reale x, y astfel încât x ∘ x ∘ x = x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 5x + e x .
5p a) Calculați f ′ (x) , (∀) x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că lim x→0 f (x) − 1 _ x = 6 .
5p c) Arătați că f (x) ≥ 6x + 1 pentru orice număr real x.
2. Se consideră funcția f : [0, ∞) → ℝ, f (x) = 5 x + 18 _ x + 4 .
5p a) Arătați că ∫
0 1 (x + 4) f (x) dx = 4 1 _ 2 .
5p b) Arătați că orice primitivă a funcției f este convexă.
5p c) Calculați ∫
0 1 f (x) _ x + 3 dx .

Teste propuse25
TEST 4
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul 3 + i _ 3 − i + 3 − i _ 3 + i este real.
5p 2. Știind că f : ℝ → ℝ, f (x) = 3x − 2 și g : ℝ → ℝ, g (x) = x 3 − x 2 + 1 , calculați
(f ∘ g) (1) .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 2 ( 2 x+1 − 32) = 5 .
5p 4. Fie mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Calculați probabilitatea ca, alegând
aleatoriu una din submulțimile cu trei elemente ale mulțimii A , aceasta
să conțină doar numere pare.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d cu ecuația y = 5x + 4 și
punctele A (2, 4) ș i B (− 4, 2) . Determinați ecuația unei paralele dusă prin
mijlocul segmentului [AB] la dreapta d.
5p 6. Arătați că sin (x + π _ 4 ) + sin (x − π _ 4 ) = √ _
2 sin x pentru orice număr real x.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A (a) = ( 2
2
2
2 a 3
2
3
a ) , unde a este număr real.
5p a) Arătați că det (A (3) ) = 0 .
5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația det (A (a) ) ≥ 6 .
5p c) Determinați inversa matricei A (2) .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociată x ∘ y =
3xy − 6x − 6y + 14 .
5p a) Arătați că x ∘ y = 3 (x − 2) (y − 2) + 2 .
5p b) Calculați 1 _ 500 ∘ 2 _ 500 ∘ 3 _ 500 ∘ . . . ∘ 2000 _ 500 .
5p c) Determinați numerele naturale x, y, z care verifică relația x ∘ y ∘ z = 65 .

Teste propuse26
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (3, ∞) → ℝ, f (x) = x 2 + x − 11 _ x − 3 .
5p a) Arătați că f ′ (x) = x 2 − 6x + 8 _ (x − 3) 2 pentru orice x ∈ (3, ∞) .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f.
5p c) Arătați că f (π) > 25 .
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = sin  x + x + 3 .
5p a) Determinați primitiva F a funcției f pentru care F (0) = 1 .
5p b) Arătați că ∫
0 1 f (x) dx = 9 _ _ − cos 1 .
5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a grafi –
cului funcției g : [0, π _ 2 ] , g (x) = f (x) − x − 3 este egal cu π 2 _ 4 .
TEST 5
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul complex z știind că _ z este conjugatul numărului z și
că 2z − 3 _ z = − 3 + 25i .
5p 2. Ecuația x 2 − 5x + 3 = 0 are rădăcinile x 1 ș i x 2 . Arătați că suma x 1 2 + x 2 2 este
un număr natural.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 x+3 _ 2 + 2 x+2 = 24 .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând o submulțime a mulțimii
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , aceasta să aibă cel puțin 5 elemente.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (2, 0) , B (3, 2) și C (1, 3) .
Aflați ecuația perpendicularei dusă din A pe BC .
5p 6. Determinați numerele reale x ∈ [ π _ 2 ,  π] care verifică ecuația cos 2x = cos  x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A (m) = ( 1
2
1
1 1 m
1
3
m + 4 )

Teste propuse27
și sistemu l ⎧
⎪
⎨ ⎪
⎩ x + 2y + z = 0
x + y + mz = 0
x + 3y + (m + 4) z = 0 , unde m este un număr real.
5p a) Arătați că det (A (− 2) ) = 6 .
5p b) Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul admite soluție
unică.
5p c) Determinați numerele reale m pentru care sistemul admite soluția ( x 0 , y 0 , z 0 )
cu proprietatea x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 = 14 .
2. Se consideră polinomul f = X 3 − (a + 2) X 2 − (a + 2) X + 1 , cu a ∈ ℝ.
5p a) Arătați că f (2) = − 15 pentru a = 2 .
5p b) Arătați că polinomul f este divizibil cu X + 1 .
5p c) Determinați valorile reale ale lui a pentru care polinomul f are toate ră –
dăcinile reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x 100 + 5x + 3 .
5p a) Arătați că f ′ (x) = 100 x 99 + 5 .
5p b) Determinați numărul real a știind că punctul A (a, 8) aparține tangentei
dusă la graficul funcției f în punctul de abscis ă x = 0 situat pe graficul
funcției f.
5p c) Calculați lim x→∞ x f ″ (x) _ f ′ (x) .
2. Se consideră funcția f : [0, + ∞) → ℝ, f (x) = 1 _ _ + 2 − 1 _ x + 1 .
5p a) Arătați că ∫
0 1 f (x) dx = ln 3 _ 4 .
5p b) Calculați ∫
0 1 f ( x 2 ) dx .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ∫
0 a f (x) dx = 3 ln 2 − 2 ln 3 .

Teste propuse28
TEST 6
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex z = 4 + 3i și conjugatul său _ z . Calculați
suma z 2 + 2 _ z .
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 + 2x + m , unde m este un număr
real. Determinați valorile reale ale lui m pentru care valoarea minimă a
funcției este 5.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9 x + 2 ⋅ 3 x − 15 = 0 .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de 3 cifre, acesta să fie un cub perfect.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (1, 7) , B (− 2, 1) , C (3, m) .
Determinați valorile reale ale lui m pentru care punctele A, B și C sunt
coliniare.
5p 6. Arătați că dacă x, y ∈ ℝ și x + y = π _ _ , atunci 2 cos x = √ _
3 cos y + sin y .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul D (x) = | 1
x
9
2 x − 2 16 − x
1
− 3
x 2 | , unde x este un număr
real.
5p a) Calculați D (2) .
5p b) Arătați că D (x) = (x + 3) (x + 2) (2 − x) , pentru orice x real.
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația D ( 4 x ) = 0 .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție
x ∘ y = xy − 7x − 7y + 56
5p a) Verificați dacă relația x ∘ y = (x − 7) (y − 7) + 7 este adevărată.
5p b) Calculați C 7 1 ∘ C 2019 1 .
5p c) Rezolvați ecuația x ∘ x ∘ x = x în mulțimea numerelor reale.

Teste propuse29
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. f : (0, + ∞) → ℝ, f (x) = ln  x + e 3x .
5p a) Arătați că x f ′ (x) = 1 + 3x e 3x .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul cu abscisa
x = 1 , situat pe graficul funcției f .
5p c) Calculați lim x→∞ f ′ (x) _ f ″ (x) .
2. Pentru fiecare număr n ∈ ℕ * se consideră funcția f n : (0, + ∞) → ℝ,
f n (x) = l n x _ x n .
5p a) Arătați că ∫ e e 2 f 1 (x) _ ln x dx = 1 .
5p b) Calculați ∫
1 e x f 1 (x) dx .
5p c) Arătați că ∫
1 e f n (x) dx < 1 _ n − 1 .
TEST 7
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați partea întreagă a numărului real 1 − 2 √ _
3 .
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f (x) = x 2 − x . Determinați o valoare reală
a pentru care f(a ) ⋅ f(2 − a ) < 0 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 x − 2 x = 0 .
5p 4. Determinați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor
naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor sale egală cu 10.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(a, b) și B(b, a) . Dați
exemplu de o pereche de valori reale (a, b) pentru care lungimea vecto –
rului ⟶ AB să fie egală cu √ _
2 .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC pentru care se cunosc m(∢ ABC ) = 3 0 ∘ , m(∢
BCA ) = 4 5 ∘ și lungimea înălțimii din A egală cu 1. Calculați perimetrul
triunghiului ABC .

Teste propuse30
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricele A = ( a
1
1
1 − 1 2
2
1
3 ) și B = ( − 3
1
5
2 − 2 3
5
7
8 ) cu A, B ∈ M 3 (ℝ) .
5p a) Determinați a ∈ ℝ astfel încât matricea A să fie inversabilă.
5p b) Rezolvați ecuația 2A + X = B unde X ∈ M 3 (ℝ) .
5p c) Determinați inversa matricei A(1) .
2. Pe mulțimea numerelor reale ℝ se definește legea de compoziție x ∘ y =
− xy + x + y , oricare x, y ∈ ℝ .
5p a) Verificați că x ∘ y + (x − 1) (y − 1) − 1 = 0 , oricare x, y ∈ ℝ .
5p b) Arătați că legea de compoziție verifică proprietatea (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z)
, oricare ar fi numerele reale x, y și z.
5p c) Rezolvați în mulțimea R ecuația 3 x ∘ 5 x ∘ 7 x = 1 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f(x ) = { √ _ x − 1, x > 1 e x − e, x ≤ 1 .
5p a) Studiați continuitatea funcției f în punctul x 0 = 1 .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul x 0 = 4 .
5p c) Arătați că funcția f este concavă pe intervalul (1, + ∞) .
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f (x) = { 1 − 3x, x < − 1 x 2 + 3, x ≥ − 1 .
5p a) Demonstrați că funcția f admite primitive pe ℝ .
5p b) Calculați ∫
−2 0
f (x) dx .
5p c) Calculați ∫
1 e
f (x) ⋅ ln xdx .

Teste propuse31
TEST 8
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Dați exemplu de o pereche de numere iraționale ale căror sumă și produs
sunt exprimate prin numere întregi.
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f (x) = 3 x 2 − 2x − 1 . Rezolvați ecuația
f( − x ) = f(x) .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația (x − 1) 3 − (x + 1) 3 = 0 .
5p 4. Determinați numărul de submulțimi ale mulțimii A = {1, 2, 3, 4, 5} care
au proprietatea că sunt formate din câte două elemente de parități dife –
rite.
5p 5. Determinați a ∈ ℝ pentru care → v = 3 → i − 2 → j ș i → u = 2 → i − a → j au direcții per –
pendiculare.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC pentru care se cunosc AB = AC = 5 și m(∢
ABC ) = 30 ∘ . Determinați lungimea laturii BC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul D( x) = | 1
1
1
2 x 3
4
x 2
9 | , x ∈ R .
5p a) Calculați D(5).
5p b) Rezolvați determinantul D( x).
5p c) Fie S și P suma și respectiv produsul rădăcinilor ecuației D( x) = 0. Cal –
culați S + P.
2. Pe mulțimea R se definește legea de compoziție x ∗ y = x + y − 2 .
5p a) Arătați că (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) oricare ar fi numerele reale x, y, z.
5p b) Verificați dacă e = 2 este elementul neutru al legii de compoziție.
5p c) Determinați soluțiile reale ale ecuației x 2 ∗ (2x + 1) ∗ (x − 3) = 0 .

Teste propuse32
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x ) = 3 x + 2019 x .
5p a) Calculați lim x→0 f(x ) − f(0) _ x .
5p b) Determinați ecuația asimptotei spre − ∞ la graficul funcției f.
5p c) Arătați că funcția f este convexă pe ℝ .
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f (x) = √ _ x 2 + 9 .
5p a) Calculați ∫ f 2 (x) dx .
5p b) Demonstrați că ∫
0 4
f (x) dx ≤ 20 .
5p c) Calculați ∫
−4 4
f (x) ⋅ f ′ (x) dx .
TEST 9
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 + 2 −1 + 2 −2 = 1, 75 .
5p 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 3 _ x − 5 < 0 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √ _ x + 2 = 1 .
5p 4. La o bancă a fost depusă într ­un depozit suma de 900 lei cu o dobândă de p%
pe an. Calculați p, știind că, după un an, în depozit suma este de 1008 lei.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O (0, 0) ș i A (2, 3) . Determi –
nați coordonatele punctului B , știind că A este mijlocul segmentului [OB] .
5p 6. Determinați . știind că sinx + 3cosx _ sinx = 4 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele H (x) = ( 1
0
0
0 1 log 3 x
0
0
1 ) , cu x ∈ (0, ∞) .
5p a) Arătați că det (H (x) ) = 1 , pentru orice x ∈ (0, ∞) .

Teste propuse33
5p b) Determinați numărul real a astfel încât H (x) ⋅ H (a) = H (x) , pentru orice
x > 0.
5p c) Calculați determinantul matricei H (1) + H (2) + . . . + H (2020 ) .
2. În ℝ [X] se consideră polinomul f = X 3 + 3 X 2 − 3X − 1 , cu rădăcinile x 1 , x 2 , x 3 .
5p a) Arătați că f (1) = 0 .
5p b) Calculați x 1 x 2 x 3 .
5p c) Verificați dacă (2 − x 1 ) (2 − x 2 ) (2 − x 3 ) = 13.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (0, ∞) → ℝ, f (x) = x + 1 _ e x .
5p a) Arătați că f’ (x) = − x _ e x pentru orice x ∈ (0, ∞) .
5p b) Arătați că dreapta de ecuație y = 0 este asimptotă orizontală la graficul
funcției f.
5p c) Arătați că funcția f este descrescătoare pe (0, ∞) .
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 + x.
5p a) Determinați primitiva F : ℝ → ℝ a funcției f, care verifică relația F (0) =
1 .
5p b) Calculați ∫ f (x) _ x + 1 dx .
5p c) Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei Ox, a grafi –
cului funcției f .
TEST 10
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul complex z , știind că i z ̅ = 3 + 4i .
5p 2. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 3x − 4 . Calculați f (0) _ f (1) .
5p 3. Rezolvați ecuația √ _ x − 1 = 3 .

Teste propuse34
5p 4. Calculați câte numere de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 0, 1,
3, 5,7.
5p 5. Se considera vectorii → v 1 = 3 i ⃗ + 9 j ⃗ ș i → v 2 = ai + 3 j ⃗ ,  a ∈ ℝ . Determinați nu –
mărul real a astfel încât → v 1 = 3 → v 2 .
5p 6. Fie triunghiul dreptunghic ABC cu A = π _ 2 . Determinați măsura laturii BC
știind că raza cercului circumscris triunghiului are lungimea egală cu 3.
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.Se consideră matricele A (a) = ( a a 0 a 0 a ) , unde a ∈ ℝ .
5p a) Determinați a ∈ ℝ astfel încât A (1) + A (3) = A (a − 5) .
5p b) Arătați că rangul matricei A (3) este 2.
5p c) Arătați că matricea A (1) A (3) t este inversabilă.
2. Se consideră polinomul f = X 3 + X 2 + a ∈ ℝ [X] cu rădăcinile x 1 , x 2 , x 3 .
5p a) Rezolvați inecuația f (0) f (1) > 0 .
5p b) Calculați (1 − x 1 ) (1 − x 2 ) (1 − x 3 ) .
5p c) Pentru a = − 2 , arătați că X − 1 / f .
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2x _ x 2 + 1 .
5p a) Determinați asimptotele graficului funcției .
5p b) Arătați că f’ (x) = 2 (1 − x 2 ) _ ( x 2 + 1) .
5p c) Arătați că funcția f este strict descrescătoare pe (1, ∞) .
2. Se consideră funcția f n : ℝ → ℝ, f n (x) = x n _ x 2 + 1 ,  n ∈ ℕ
5p a) Calculați ∫ f 0 (x) dx .
5p b) Calculați ∫ 2 f 1 (tg x _ 2 ) dx .
5p c) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției
g : [0, 1] → ℝ, g (x) = ( x 2 + 1) f 1 (x) ,   ∀ x ∈ [0, 1] în jurul axei Ox.

Teste propuse35
TEST 11
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul real x , știind că 1, 4, 4x + 1 sunt în progresie arit –
metică.
5p 2. Rezolvați inecuația |4x − 1| ≤ 7 .
5p 3. Rezolvați ecuația log 3 (x − 1) = 3.
5p 4. Calculați câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 3,
5, 7, 9.
5p 5. Se consideră punctele A (− 1, 3) ș i B (3, − 1) . Determinați coordonatele
mijlocului segmentului AB .
5p 6. Știind că sinx = 1 _ 3 , calculați cos2x .
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră matricele A (a) = { a 1 a a + 1 } , unde a ∈ ℝ .
5p a) Calculați A (1) ⋅ A (− 1) .
5p b) Arătați că detA ≥ 0 , oricare a ∈ ℝ .
5p c) Arătați că rangul matricei A (0) este 1.
2. Se consideră pe mulțimea numerelor reale legea de compoziție x ∘ y =
xy − 4x − 4y + 20 .
5p a) Arătați că x ∘ y = (x − 4) (y − 4) + 4,  ∀ x, y ∈ ℝ .
5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x ∘ x = 20 .
5p c) Arătați că (x ∘ 5) 3 = 8 are o singură soluție.
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2x − sinx .
5p a) Calculați lim x→0 f (x) _ x .
5p b) Arătați că f’ (0) = 1 .

Teste propuse36
5p c) Arătați că funcția f este strict crescătoare.
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = xsinx .
5p a) Calculați ∫ f (x) _ x dx .
5p b) Arătață că funcția F : ℝ → ℝ, F (x) = sin x − xcosx este o primitivă a func-
ției f.
5p c) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției
g : [1, 3] → ℝ, g (x) = f (x) _ sinx ,  ∀ x ∈ [1, 3] în jurul axei Ox.
TEST 12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie numărul complex z = 3 − i . Arătați că z 2 + _ z 2 este pătratul unui număr
natural.
5p 2. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f(x ) = 2 x 2 − 5x + 3 . Determinați ecuația axei de si –
metrie a parabolei asociate funcției f.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √ _ (x − 4) 4 = 16 .
5p 4. Determinați numărul de submulțimi cu 3 elemente ale mulțimii numere –
lor naturale prime mai mici decât 100.
5p 5. Fie vectorii _ u = (m + 1) _
i + 8 _
j ș i _ v = 3 _
i + 4 _
j . Determinați parametrul real
m pentru care cei doi vectori sunt coliniari.
5p 6. Fie α ∈ ( π _ 2 ,  π) , astfel încât sin α = 1 _ 3 . Calculați sin 2α .
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A(x ) = ( x
0
x
0 0 0
x
0
x ) , unde x este un număr real.
5p a) Calculați det (A (1) − I 3 ) .
5p b) Arătați că A(2 ) ⋅ A(3 ) = 12 A (1) .
5p c) Determinați numărul natural n pentru
care (A (1) ) 2 + (A (2) ) 2 + . . . + (A (11) ) 2 = A (2n (n + 1) )

Teste propuse37
2. Se consideră pe mulțimea numerelor reale legea de compoziție x ⊥ y = x + y − xy .
5p a) Calculați √ _
7 ⊥ (−  √ _
7 ) .
5p b) Arătați că legea de compoziție este asociativă.
5p c) Determinați numărul real nenul x pentru care (x − 5) ⊥ (5 − x) = 25 .
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x ) = 5 e x − x 5 .
5p a) Calculați f’(x) .
5p b) Calculați lim x→0 f (x) .
5p c) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x 0 = 0
situat pe graficul funcției f.
2. Se consideră funcția f : (0, + ∞ ) → ℝ, f(x ) = 2 ln x _ x .
5p a) Arătați că funcția F : (0, + ∞ ) → ℝ, F(x ) = l n 2 x + 2 este o primitivă a
funcției f .
5p b) Calculați ∫
1 e
xf(x ) dx .
5p c) Calculați ∫
1 e
f(x ) dx .
TEST 13
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați suma primilor 100 de termeni ai progresiei aritmetice care are
a 2 = 5, a 4 = 11 .
5p 2. Arătați că, oricare m ∈ ℝ , parabola asociată funcției f : ℝ → ℝ,
f (x) = x 2 − 2mx + m 2 + 1 este situată deasupra axei Ox .
5p 3. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = { √ _
1 ,
√ _
2 , √ _
3 , √ _
4 ,   . . . , √ _ 1001 } , acesta să fie număr irațional.
5p 4. Arătați că numărul 2018 ! _ (1009 !) 2 este natural.
5p 5. Scrieți ecuația medianei duse din vârful A al triunghiului care are vârfu –
rile A(5; − 8) , B( − 13; 6) și C(3, 4) .

Teste propuse38
5p 6. Fie x ∈ (0, π _ 2 ) și cos x = 3 _ 5 . Calculați tgx .
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră matricele M = ( − 2 2 − 1 − 1 ) și I 2 = ( 1 0 0 1 ) .
5p a) Arătați că det (M + 2 I 2 ) = 2 .
5p b) Arătați că M ⋅ M + 3 ⋅ M + 4 ⋅ I 2 = O 2 , unde O 2 = ( 0 0 0 0 ) .
5p c) Determinați matricea X = ( a b c d ) ∈ M 2 (ℜ) care verifică egalitatea
(M + 2 ⋅ I 2 ) ⋅ X = ( 2 2 0 0 )
2. Pe ℝ se consideră legea de compoziție x ∗ y = xy − 2x − 2y + 6 .
5p a) Rezolvați în ℝ ecuația x ∗ 4 = 0 .
5p b) Demonstrați că x ∗ y = (x − 2) (y − 2) + 2 , oricare x, y ∈ ℝ .
5p c) Știind că legea de compoziție „ ∗ ” este asociativă, rezolvați în ℝ ecuația
x ∗ x ∗ x = x .
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x 17 + 1 7 x + 18 .
5p a) Calculați lim x→1 f (x) − f (1) _ x − 1 .
5p b) Arătați că funcța nu admite asimptotă orizontală spre ∞ .
5p c) Demonstrați că funcția f este crescătoare pe ℝ .
2. Se consideră funcțiile f, F : ℝ → ℝ , f(x ) = 2x + 2018 și F(x ) = x 2 + 2018 x − 2009 .
5p a) Arătați că F este o primitivă a funcției f .
5p b) Calculați ∫
0 1
f ( x 2 ) dx .
5p c) Calculați lim x→0 G(x ) − G(0) _ x , unde G este o primitivă a funcției f .

Teste propuse39
TEST 14
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați i + i 2 + i 3 + . . . + i 102 .
5p 2. Fie ecuația x 2 − 5x + m = 0. Determinați valoarea lui m pentru care între
rădăcinile ecuației are loc relația x 1 2 − x 2 2 = 15 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 √ _ 3x − 1 = x − 1 .
5p 4. Determinați numărul elementelor unei mulțimi care are exact 20 de sub –
mulțimi cu 3 elemente.
5p 5. Fie vectorii _ u = (m + 4) _
i + 6 _
j ș i _ v = 3 _
i − _
j . Determinați parametrul real m
pentru care cei doi vectori sunt perpendiculari (ortogonali).
5p 6. Arătați că (sin x + cos x) 2 + (sin x − cos x) 2 = 2.
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A = ( 1
1
1
3 3 3
− 5
− 5
− 5 ) .
5p a) Arătați că A 2 + A = O 3 , unde O 3 = ( 0
0
0
0 0 0
0
0
0 )
5p b) Arătați că matricea A + A t nu este inversabilă.
5p c) Determinați numărul real nenul x din ecuația det (A + x I 3 ) = 0 , unde I 3 =
( 1
0
0
0 1 0
0
0
1 ) .
2. Se consideră polinomul f ∈ R[X], f(x) = ( X 2 − 2X + 1) 49
5p Determinați suma coeficienților polinomului f.
5p Calculați f( − 203 ) ⋅ f( − 202 ) ⋅ . . . ⋅ f(202 ) ⋅ f(203)
5p Demonstrați că restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X + 1 este
pătrat perfect.

Teste propuse40
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ ∗ → ℝ, f(x ) = 2 e x _ x 2 .
5p a) Calculați f’(x) .
5p b) Determinați asimptota verticală la graficul funcției f.
5p c) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x 0 = 1
situat pe graficul funcției f.
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x ) = 1 _ x 2 + 9 .
5p a) Calculați ∫
3 5
( x 2 + 9) ⋅ f (x) dx
5p b) Calculați ∫
0 1
x 2 f(x ) dx .
5p c) Calculați ∫ x _ x 2 + 9 dx .
TEST 15
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calcula ți (3 + √ _
3 ) 3 − (3 − √ _
3 ) 3 .
5p 2. Fie f : ℝ → ℝ o funcție pară astfel încât f( − 3 ) = 8 . Calculați
f (− 3) + f(3) .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 3 (x − 3) + log 3 (x + 3) =
3 .
5p 4. Determinați probabilitatea de a alege aleatoriu un element din mulțimea
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} care s ă nu fie soluție a ecuației: x 2 − 6x + 8 = 0 .
5p 5. Fie vectorii _ u = (m + 4) _
i + _
j și _ v = 3 _
i − _
j . Determinați parametrul real m
pentru care cei doi vectori au același modul.
5p 6. Calculați cos 2 x , pentru x ∈ ( π _ 2 ,  π) știind că sin x = 1 _ 3 .

Teste propuse41
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuații:
{ 2x − y − z = 0
x + y + mz = 4
3x − y − z = 1 , unde m este un parametru
real.
5p a) Pentru m = −1 calculați determinantul matricei asociate sistemului.
5p b) Determinați m pentru care matricea asociată sistemului are determinan –
tul nul.
5p c) Pentru m = 2 rezolvați sistemul de ecuații.
2. Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție
x ∗ y = xy + x _ 5 + y _ 5 − 4 _ 25 , pentru orice numere reale x și y.
5p a) Arătați că x ∗ (−  1 _ 5 ) = −  1 _ 5 pentru orice număr real x.
5p b) Demonstrați că legea poate fi scrisă sub forma:
x ∗ y = (x + 1 _ 5 ) (y + 1 _ 5 ) − 1 _ 5 pentru orice numere reale x și y.
5p Calculați (−  8 _ 15 ) ∗ (−  7 _ 15 ) ∗ . . . ∗ (−  2 _ 15 ) ∗ (−  1 _ 15 ) .
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (0, + ∞ ) → ℝ, f(x ) = 3 − 2x + ln x.
5p a) Arătați că f ′ (x ) = 1 − 2x _ x , oricare ar fi x > 0 .
5p b) Studiați monotonia funcției f.
5p c) Demonstrați că funcția f este concavă pentru orice x ∈ (0; ∞) .
2. Se consideră funcția f : (0, + ∞ ) → ℝ, f(x ) = 1 _ x + 3 + 1 _ x + 4 .
5p a) Calculați ∫ (f (x) − 1 _ x + 3 ) dx
5p b) Determinați primitivele funcției f.
5p c) Determinați aria suprafeței plane cuprinse între graficul funcției f, axa Ox
și dreptele de ecuații x = 1 și x = 2.

Teste propuse42
TEST 16
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați primul termen al unei progresii geometrice ( b n )
n≥1 cu
b 4 = 135 și b 7 = 3645 .
5p 2. Fie f : ℝ → ℝ , f(x ) = x 2 + 4 . Determinați coordonatele vârfului parabolei
asociate funcției f.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația 9 x − 5 ⋅ 3 x + 6 = 0 .
5p 4. Determinați probabilitatea de a alege aleatoriu un element din mulțimea
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} astfel încât să fie soluție a ecuației:
x 2 − 8x + 15 ≤ 0 .
5p 5. Fie vectorul _ u = (a − 6) _
i + _
j . Determinați parametrul real a pentru care
verctorul → u are modulul egal cu modulul vectorului → v = 1 _ 2 → i + √ _
3 _ 2 → j .
5p 6. Aflați raza cercului circumscris unui triunghi ABC cu AC = 6 cm și cos B
= √ _
3 _ 2 .
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Pentru fiecare număr real x se consideră matricea A (x) = ( 2x
1
3
3 1 1
1
0
− 2x ) .
5p a) Calculați det (A (1) − I 3 ) , unde I 3 = ( 1
0
0
0 1 0
0
0
1 ) .
5p b) Determinați numărul real x știind că suma elementelor matricei
B = A (x) ⋅ A (− x) este egală cu 30.
5p c) Pentru orice număr natural n calculați suma: A (1) + A (2) + . . . + A (n) .
2. Se consideră polinomul f ∈ R[X], f(x) = ( X 2 − 4X + 4) 101 .
5p a) Arătați că termenul liber din dezvoltarea polinomului f este pătrat per –
fect.
5p b) Aflați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X − 2 .
5p c) Determinați câtul împărțirii polinomului f la polinomul h = (2 − X) 202 .

Teste propuse43
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 − 2x + 2 _ x 2 + 2x + 2 .
5p a) Calculați lim x→0 f (x) − f (0) _ x .
5p b) Calculați lim x→∞ f (− x) .
5p c) Arătați că f admite două puncte de extrem.
2. Se consideră funcția f : [0, ∞) → ℝ , f(x ) = 3 √ _ x + 2 .
5p a) Calculați ∫
0 1
(f(x ) − 2) dx .
5p b) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a graficu –
lui funcției h : [0, 2] → ℝ , h(x ) = f(x ) − 2 _ 3 .
5p c) Arătați că F : [0, ∞) → ℝ , F(x ) = 2x √ _ x + 2x − 1 _ 3 este o primitivă a func-
ției f .
TEST 17
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați media geometrică a soluțiilor ecuației (x − 2 ) ( − x + 8)
(x − 4) = 0 .
5p 2. Aflați funcția de gradul întâi f : ℝ → ℝ, f (x) = ax + b, a ≠ 0 care veri –
fică relația f (f (x) ) − 2f (x) − 1 = 0 pentru orice număr real x.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 √ _____________ x 3 + x 2 + 3x + 2 = x .
5p 4. Demonstrați că A 5 1 + C 10 2 + 4 P 3 este divizibil cu 37 .
5p 5. Dacă D(0, 4), E(4, −2), F(−2, 4) sunt mijloacele laturilor BC, AC și re –
spectiv AB ale triunghiului ABC , determinați coordonatele vârfurilor tri –
unghiului ABC .
5p 6. Aflați produsul scalar al vectorilor → u = 3 → i − 5 → j ș i → v = 4 → i + 6 → j .

Teste propuse44
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O(0, 0) și A n (n + 2, n + 3) ,
n ∈ ℕ .
5p a) Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctele A 0 ș i A 2 .
5p b) Calculați perimetrul triunghiului determinat de punctele O , A 1 , A 2 .
5p c) Calculați aria triunghiului determinat de punctele O , A 1 , A 2 .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție
x*y = xy + 5x + 5y + 20.
5p a) Demonstrați că x*y = (x + 5) ∙ (y + 5) − 5,  ∀ x, y ∈ R.
5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x − 12) * (x + 13) = − 5.
5p c) Calculați S = (− 5) * (− 4) *…*0*….1005.
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = ( x 2 − 2x + 2) e x .
5p a) Calculați lim x→1 f (x) − f (1) _ x − 1 .
5p b) Calculați lim x→∞ f (− x) .
5p c) Arătați că f este o funcție crescătoare pe ℝ .
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f(x ) = 2 _ e x + 2 .
5p a) Arătați că ∫
1 2
(2 e x + 4) f (x) dx = 4 .
5p b) Calculați ∫ x _ f (x) dx .
5p c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a gra –
ficului funcției h :  [ 0; 1 ]  → ℝ, h (x) = √ _ e x _ 2 f (x) .

Teste propuse45
TESTE SIMULARE BAC
PENTRU NOTA 8
TEST 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Dacă z ∈ ℂ și 4z + 3 _ z = 28 + 3i , calculați |z| .
5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție dintre dreapta y =
3x + 2 și parabola y = x 2 + 7x + 5 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 x+3 + 2 3−x = 20 .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând aleatoriu un număr din mulțimea
A = {1, 2, 3, . . . , 1000 } , acesta să fie multiplu de 2 sau de 3.
5p 5. Dacă ecuațiile dreptelor d 1 ș i d 2 sunt mx + 4y − 5 = 0 , respectiv x − 8y + 13
= 0, determinați m ∈ ℝ astfel încât dreptele să fie paralele.
5p 6. Știind că ctg a = 4 și ctg b = 5 , calculați tg (a + b) .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuații liniare cu coeficienți reali :

{ x − y + mz = m + 2
mx + y − mz = m + 3
2x + my + z = 5 .
5p a) Calculați determinantul matricei A a sistemului.
5p b) Ar ătați că ∀ m ∈ ℝ, rang A ≥ 2 .
5p c) Determinați m ∈ ℝ pentru care sistemul este incompatibil.
2. Se consideră polinomul f = X 3 − mX + 2, m ∈ ℝ cu rădăcinile x 1 , x 2 și x 3 .
5p a) Determinați valoarea lui m astfel încât f să dividă X − 1.
5p b) Determinați valoarea lui m astfel încât x 1 x 2 = 2
5p c) Arăta ți că x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 + 3 x 1 x 2 x 3 + 12 = 0 pentru orice valoare a parame –
trului real m.

Teste propuse46
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
2. Se consideră funcția f : (− ∞ ,  − 2] ∪ (3, ∞) → ℝ, f (x) = √ _
x + 2 _ x − 3 .
5p a) Calculați f ′ (x) .
5p b) Calculați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x = 7
situat pe graficul funcției f.
5p c) Calculați lim x→∞ f (x) 4x+200
2. Fie șirul ( I n )
n∈ℕ , I n = ∫
1 e (x + 1) l n n x dx , ∀ n ∈ ℕ .
5p a) Arătați că I 1 = e 2 + 5 _ 4 .
5p b) Arătați că șirul ( I n )
n∈ℕ este monoton.
5p c) Arătați că șirul ( I n )
n∈ℕ este mărginit.
TEST 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Ordonați crescător numerele √ _
2 , log 5 4, 4 √ _
3 .
5p 2. Determinați m ∈ ℝ astfel încât parabola asociată funcției f : ℝ → ℝ,
f (x) = x 2 − (2m + 1) x + 9 să fie tangentă la axa Ox.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg (x + 2) + lg (5 − 2x) = 1 .
5p 4. Se consideră mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Aflați care este probabilitatea
ca, alegând o pereche (a, b) din mulțimea A × A , să fie adevărată relația
a + b ≤ 4.
5p 5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se consideră punctele A (4, 2) ,  
B (− 1, 3) și C (2, − 1) . Calculați lungimea înălțimii din A a △ ABC .
5p 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris △ ABC , știind că AB = 13,
AC = 14, BC = 15.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A = ( x
x + 2
x + 4
y y + 2 y + 4
1
1
x ) , cu x, y ∈ ℝ.

Teste propuse47
5p a) Arătați că rang A ≥ 2, (∀) x, y ∈ ℝ .
5p b) Arătați că det A = 2 (x − y) (x − 1)
5p c) Calculați inversa matricei A pentru x = − 2, y = 2
2. Se consideră polinomul f = X 3 − m X 2 + 4, f ∈ ℝ [X] , având rădăcinile x 1 , x 2 , x 3 .
5p a) Determinați m știind că X − 1 | f .
5p b) Calculați (2 − x 1 ) (2 − x 2 ) (2 − x 3 ) , în funcție de parametrul real m.
5p c) Aflați valorile lui m pentru care f are o rădăcină dublă.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ − {− 2} → ℝ, f (x) = x 2 − x + 1 _ x + 2
5p a) Determinați ecuația asimptotei la graficul funcției f la − ∞ .
5p b) Arătați că f ′ (x) = x 2 + 4x − 3 _
(x + 2) 2 , x ∈ ℝ − {− 2} .
5p c) Arătați că funcția este convexă pe intervalul (− 2, + ∞) .
2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n = ∫ n n+1 3x + 1 _ x dx, n
∈ ℕ *
5p a) Arătați că I n = 3 + ln n + 1 _ n .
5p b) Studiați monotonia șirului ( I n )
n∈ ℕ ∗ .
5p c) Calculați lim n→∞ (n + 2) ( I n − 3) .
TEST 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie progresia aritmetică ( a n )
n≥1 . Știind că a 5 + a 11 = 20 , calculați termenul a 8 .
5p 2. Se consideră funcțiile f, g : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 − 4, g (x) = 3x + 5 . Rezolvați
ecuația (f ∘ g) (x) = 0 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 √ _ x − 5 + 5 = x .
5p 4. Se consideră mulțimile A = {1, 2, 3} și B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} . Determinați
numărul funcțiilor strict crescătoare f : A → B.
5p 5. Fie punctele A (1, 1) , B (3, 2) , C (2, 3) . Determinați cosinusul unghiului

Teste propuse48
format de vectorii ⟶ AB ș i ⟶ AC .
5p 6. Calculați lungimea razei cercului înscris în △ ABC , știind că AB = 6, AC
= 8 și BC = 10
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricele A = ( 3 2 0 3 ) , B = ( 5 5 0 5 ) și mulțimea C (A) = {x ∈  2 (ℝ) |XA =
AX}
5p a) Arătați că A, B ∈ C (A) .
5p b) Arătați că dacă X ∈ C (A) , atunci există a, b ∈ ℝ astfel încât
X = ( a b 0 a ) .
5p c) Arătați că dacă X, Y ∈ C (A) , atunci X ⋅ Y ∈ C (A) .
2. Se consideră funcția f : ℤ 5 → ℤ 5 , f (x) = x 4 + ˆ 3 x + ˆ 3 .
5p a) Calculați f ( ˆ 2 ) + f ( ˆ 3 ) .
5p b) Arătați că funcția nu este surjectivă.
5p c) Descompuneți polinomul X 4 + ˆ 3 X + ˆ 3 ∈ ℤ 5 [X] în produs de factori ire –
ductibili .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 + ax + 4 _ √ _ x 2 + 4 , a ∈ ℝ
5p a) Arătați că f ′ (x) = x 3 + 4x + 4a _ √ _ ( x 2 + 4) 3 , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați a ∈ ℝ a stfel încât x = 2 să fie abscisa unui punct de extrem.
5p c) Pentru a = 0 , scrieți ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f la + ∞ .
2. Se consideră funcțiile: f : (0, + ∞) → ℝ, f (x) = 1 _ _ (x + 2) ș i g : [2, 3] → ℝ, g (x) =
xf (x) .
5p a) Arătați că ∫
1 2 f (x) dx = 1 _ _ ln 3 _ _ .
5p b) Calculați volumul corpului geometric obținut prin rotația în jurul axei Ox
a graficului funcției g .

Teste propuse49
5p c) Arătați că lim n→∞ (2n + 3) ∫ n n+2 g (x) dx=4 .
TEST 4
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați [ log 2 7] + {− 1, 6} .
5p 2. Ecuația x 2 + 7x + 3 = 0 are rădăcinile x 1 și x 2 . Calculați x 1 3 + x 2 3 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √ _____________ x + 1 + 4 √ _ x − 3 = 3 .
5p 4. Dintr ­un grup de 14 fete și 16 băieți care urmează cursurile de parașutism
la un club sportiv, se va alege o delegație de doi băieți și o fată, pentru a
reprezenta clubul la o paradă. Câte posibilități de alegere există?
5p 5. △ ABC are coordonatele vârfurilor A (4, 8) , B (− 3, 5) ș i C (1, 9) . Determi –
nați ecuația medianei dusă din vârful A.
5p 6. Știind că sin x − cos x = 1 _ _ , calculați sin 2x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A = ( 2 4 x 6 ) , unde x ∈ ℝ .
5p a) Determinați x ∈ ℝ astfel încât A 2 = 8A .
5p b) Determinați x ∈ ℝ astfel încât rang (A − A t ) = 1 , unde A t este transpusa
matricei A .
5p c) Pentru x = 3 , arătați că A n = 8 n−1 A, (∀) n ∈ ℕ * .
2. Pe mulțimea ℝ se definește legea de compoziție x ∘ y = xy − 5x − 5y + 30 .
5p a) Studiați dacă legea de compoziție admite element neutru.
5p b) Determinați mulțimea elementelor întregi simetrizabile în raport cu legea
de compoziție.

Teste propuse50
5p c) Pentru f : ℝ → ℝ, f (x) = x − 5 , verificați că relația f (x ∘ y) = f (x) f (y) este
adevărată.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ f (x) = 1 − x 2 _ 2 − cos x .
5p a) Arătați că f ′ (x) = sin  x − x .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul cu abscisa x
= π _ _ .
5p c) Calculați lim x→0 f (x) _ x 4 .
2. Se consideră funcția f : (0, ∞) → ℝ f (x) = l n x _ 3 √ _ x
5p a) Arătați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe intervalul [1, ∞) .
5p b) Arătați că funcția F : (0, ∞) → ℝ F (x) = 3 _ _ 3 √ _
x 2 l n  x − 9 _ 4 3 √ _
x 2 este o primitivă
a funcției f.
5p c) Calculați aria cuprinsă între graficul funcției, axa Ox și dreptele de ecua –
ții x = 1 _ _ și x = 1.
TEST 5
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați suma primilor 10 termeni ai progresiei aritmetice cu a 1 = 6 și a 3
= 10 .
5p 2. Determinați m ∈ ℝ pentru care dreapta x = 5 este axa de simetrie a grafi –
cului funcției f : ℝ → ℝ f (x) = x 2 − (3m + 1) x + 7 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( 2 x − 8) ( log 2 x − 4) = 0 .
5p 4. Care este probabilitatea ca, alegând aleatoriu un număr de 3 cifre, acesta
să conțină doar cifrele 4, 5 și 6?
5p 5. Determinați m ∈ ℝ pentru care vectorii → u = (m + 2) → i + 3 → j ș i → v = 4 → i + 8 → j
sunt perpendiculari.
5p 6. Arătați că cos (x + π _ 3 ) cos (x − π _ 6 ) + sin (x + π _ 3 ) sin (x + π _ 6 ) = √√ _
3 _ 2 , (∀) x ∈ ℝ .

Teste propuse51
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A (a) = ( 1
1
1
1 a 4
1
4
a ) și sistemul
{ x + y + z = 1
x + ay + 4z = 3
x + 4y + az = 3 .
5p a) Arătați că det A (a) = (a − 4) (a − 2) , (∀) a ∈ ℝ .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care sistemul are soluția unică (2, y 0 , z 0 ) .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care sistemul este incompatibil.
2. Se definește legea de compoziție x ∘ y = 3 xy + 6x + 6y + 10 pe mulțimea
numerelor reale.
5p a) Arătați că x ∘ y = 3 (x + 2) (y + 2) − 2, (∀) x, y ∈ ℝ .
5p b) Determinați x ∈ ℕ pentru care x ∘ x = x .
5p c) Calculați 3 √ _ − 100 ∘ 3 √ _ − 99 ∘ . . . ∘ √ _ 100
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (3, + ∞) → ℝ, f (x) = 2 x + 7 _ (x − 3) 2 .
5p a) Arătați că f ′ (x) = − 1 3 _ (x − 3) 2 .
5p b) Arătați că funcția este convexă pe intervalul (3, + ∞) .
5p c) Determinați un punct pe graficul funcției f în care tangenta la graficul
funcției f este paralelă cu dreapta de ecuație y = − 13 x + 2019 .
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = (x + 1) e 2x .
5p a) Arătați că ∫
0 1 f (x) _ x + 1 dx = e 2 − 1 _ 2 .
5p b) Determinați o primitivă a funcției f al cărei grafic trece prin origine.
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n = ∫
0 1 x n f (x) d x .
Calculați lim n→∞ I n .
TEST 6
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Știind că log 2 3 = a , arătați că log 64 18 = 1 + 2a _ 6 .

Teste propuse52
5p 2. Fie parabola asociat ă funcției f : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 − 8x + 15 . Arătați că
vârful parabolei aparține unei drepte a cărei ecuație este x + y = 3 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5 x + 2 5 x = 6 _ _ 5 .
5p 4. Se consideră mulțimea A = {− 2, − 1, 0, 1, 2} . Câte funcții impare f : A → A
există?
5p 5. Se consideră punctele M (2, 3) , N (4, 5) ș i P (8, m) , cu m ∈ ℝ. Determinați
m astfel încât ⟶ MN ⋅ ⟶ MP = 10 .
5p 6. Dacă α ∈ (0, π _ 2 ) și sin α = 3 _ _ , calculați ctg 2α .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie matricea A (a) = ( 1
a + 1
2
1 2a + 1 3
1
a + 1
a − 2 ) și sistemul
⎧
⎪
⎨ ⎪
⎩ x + (a + 1) y + 2z = 1
x + (2a + 1) y + 3z = 1
x + (a + 1) y + (a − 2) z = 2a + 1 , cu a ∈ ℝ .
5p a) Arătați că det A = a (a − 4) .
5p b) Determinați valorile parametrului a pentru care sistemul este incompati –
bil.
5p c) Pentru a = 0 , determinați soluțiile întregi ( x 0 , y 0 , z 0 ) care au proprietatea
2 x 0 2 + 3 y 0 2 + 4 z 0 2 = 2 .
2. Se consideră polinomul f = X 3 − a X 2 − aX + 1, a ∈ ℝ .
5p a) Arătați că restul împărțirii polinomului la X + 1 nu depinde de a.
5p b) Determinați valorile lui a astfel încât f (i) = 0 .
5p c) Determinați numerele reale a astfel încât polinomul să admită toate rădă –
cinile reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (− 3, 3) → ℝ f (x) = ln 3 − x _ 3 + x .
5p a) Arătați că f ′ (x) = 6 _ _ x 2 − 9 , (∀) x ∈ (− 3, 3) .
5p b) Calculați lim x→∞ (2x + 7) f ( 1 _ x ) .

Teste propuse53
5p c) Determinați punctele de inflexiune ale graficului funcției f.
2. Se consideră șirul ( I n )
n∈ℕ definit prin relația I n = ∫
0 1 x n _ x n + 5 dx, (∀) n ∈ ℕ * .
5p a) Arătați că I 2 = 1 + √ _
5 arctg √√ _
5 _ 5 .
5p b) Verificați dacă I n+2 + 5 I n = 1 _ _ + 1 .
5p c) Calculați lim n→∞ I n .
TEST 7
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Aflați numerele reale x, y pentru care 2x + 5y + i (3y + 4x) = 12 + 10i .
5p 2. Demonstrați că dreapta de ecuație y = x + 6 este tangentă parabolei de
ecuație y = x 2 − 5x + 15 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √ _ x − 3 + √ _ x = 3 .
5p 4. Fie mulțimea A = { 4 √ _
1 , 4 √ _
2 , 4 √ _
3 , . . . , 4 √ _ 2000 } . Dacă se extrage un număr
din mulțimea A , calculați probabilitatea ca numărul extras să fie rațional.
5p 5. În △ ABC, punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, BC și respectiv
AC . Arătați că ⟶ AN + ⟶ BP + ⟶ CM = → 0 .
5p 6. Știind că sin x = 5 _ _ 3 și x ∈ ( π _ 2 ,  π) , calculați sin 2x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie n ∈ ℕ * și A n ∈  n (ℝ) o matrice având pe diagonala principală toate elementele
egale cu 3 și restul elementelor egale cu 5.
5p a) Calculați det (4 A 2 ) .
5p b) Rezolvați în ℝ ecuația det ( A 3 − x I 3 ) = 0 .
5p c) Aflați inversa matricei A 3 .
2. Se consideră a ∈ ℝ și x 1 , x 2 , x 3 rădăcinile ecuației x 3 − x 2 + 4x − a = 0 .
5p a) Aflați rădăcinile ecuației pentru a = 4 .
5p b) Arătați că ecuația are o singură rădăcină reală pentru orice a număr real.

Teste propuse54
5p c) Calculați valoarea expresiei E = x 1 + x 2 _ x 3 + x 1 + x 3 _ x 2 + x 2 + x 3 _ x 1 în funcție de a
număr real nenul.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (2, + ∞) → ℝ, f (x) = ln (x + 2) − x − 1 .
5p a) Arătați că f ′ (x) = −  x − 1 _ x + 2 , (∀) x ∈ (− 2, + ∞) .
5p b) Studiați existența asimptotelor la graficul funcției f la + ∞ .
5p c) Arătați că ln (2000 ) _ 1999 < 1 .
2. Se consideră funcția f : [1, e 2 ] → ℝ, f (x) = √ _ ln x .
5p a) Ar ătați că ∫
0 1 f ( e x 4 ) = 1 _ _ .
5p b) Calculați volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției f în
jurul axei Ox.
5p c) Pentru fiecare număr natural n se consideră numărul I n = ∫
1 e 2 f (x) _ x n .
Calculați
lim n→∞ I n .
TEST 8
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că (2 + i) 2 + (2 − i) 2 este un număr real.
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2x + 3. Calculați suma
S = f (1) + f (2) + . . . + f (20) .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log x+1 ( x 2 + 5x − 5) = 2 .
5p 4. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale inecuația C n+2 2 ≤ 10 .
5p 5. Se consideră două drepte, cu ecuațiile (2m + 1) x + 5y − 3 = 0 și
5x − 3y + 100 = 0 . Determinați m ∈ ℝ astfel încât dreptele să fie perpen –
diculare.
5p 6. Știind că a + b = 5 π  _ 2 , arătați că cos 2 a + cos 2 b = 0 .

Teste propuse55
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A (m) = ( 2
1
− m
4 1 − m
1
m
− 4 ) și sistemul de ecuații

{ 2x + y − mz = 4
4x + y − mz = 8
x + my − 4z = m
5p a) Arătați că det (A (m) ) = 2 (2 − m) (2 + m) .
5p b) Determinați numerele reale m pentru care sistemul este incompatibil.
5p c) Dacă m = 2 , aflați soluția ( x 0 , y 0 , z 0 ) pentru care
( x 0 − 1) 2 + ( y 0 − 1) 2 + ( z 0 − 1) 2 = 2 .
2. Pe mulțimea G = (3, + ∞) se definește legea de compoziție
x ∘ y = √ __________________ x 2 y 2 − 9 x 2 − 9 y 2 + 90
5p a) Demonstrați că legea de compoziție este bine definită pe G .
5p b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție.
5p c) Fiind dată funcția f : (0, + ∞) → (3, + ∞) , f (x) = √ _ x + 9 , arătați că
f (xy) = f (x) ∘ f (y) , (∀) x, y ∈ (0, + ∞) .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ − {− 2} → ℝ, f (x) = arctg x _ _ + 2 .
5p a) Arătați că f ′ (x) = 1 _ _ x 2 + 2x + 2 , x ∈ ℝ − {2} .
5p b) Determinați ecuația asimptotei la + ∞ la graficul funcției f .
5p c) Arătați că f ′ este o funcție strict descrescătoare pe intervalul (− 1, + ∞) .
2. Pentru fiecare număr natural n se consideră numărul I n = ∫
0 1 x n _ x 2 + 8x + 17 dx .
5p a) Arătați că I 0 = arctg 5 − arctg 4 .
5p b) Demonstrați că I n+2 + 8 I n+1 + 17 I n = 1 _ _ + 1 pentru orice număr natural n .
5p c) Calculați lim n→∞ I n .

Teste propuse56
TEST 9
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați modulul numărului complex z = (1 − i) 6 ⋅ (1 + i) 4 .
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f (x) = x 2 − 6x + 9 . Determinați a ∈ ℝ ast-
fel încât f(a − x ) = f(a + x) , oricare ar fi x ∈ ℝ .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 2x + 2 = 3 x+1 .
5p 4. Demonstrați că n _ 2 C n−1 1 = 3 _ _ + 1 C n+1 n−2 , oricare ar fi n ∈ ℕ, n ≥ 2 .
5p 5. Demonstrați că dacă ⟶ AD = ⟶ BC , pentru oricare punct M , coplanar cu
A, B, C și D , este adevărată relația de egalitate ⟶ MA − ⟶ CM = ⟶ MB − ⟶ DM .
5p 6. Pentru x ∈ (0, π) , rezolvați ecuația sin x ⋅ cos x = 1 _ _ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele A = ( b 2a 2c b ) ∈ M 2 (ℕ) și I 2 = ( 1 0 0 1 ) ∈ M 2 (ℝ) .
5p a) Pentru b = 4 , determinați câte matrice de tip A nu sunt inversabile.
5p b) Determinați câte matrice de tip A au proprietatea că A ⋅ A = 4 I 2 .
5p c) Dacă a, b și c sunt coeficienții ecuației de gradul al doilea a x 2 − bx + c =
0 pentru care știm că soluțiile sunt b și c , determinați mulțimea valorilor
determinanților matricelor de tip A în condițiile date.
2. Se consideră polinomul p = X 3 − X + m , unde m ∈ ℝ . Notăm cu x 1 , x 2 , x 3 ∈ ℂ
rădăcinile polinomului p .
5p a) Determinați rădăcinile polinomului p în cazul m = − 6 .
5p b) Determinați valoarea reală a lui m pentru care x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 .
5p c) Determinați intervalul maxim de valori reale ale lui m pentru care poli­
no mul admite 3 rădăcini reale distincte.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f(x ) = x 3 _ 3 x 2 + 3x + 1 .

Teste propuse57
5p a) Calculați lim x→1 7f(x ) − 1 _ 7x − 7 .
5p b) Determinați mulțimea de valori reale pentru care f’(x ) < 0 .
5p c) Demonstrați că oricare are fi k ∈ ℝ , ecuația f(x ) = k admite soluție unică.
2. Se consideră funcțiile f, F : ℝ → ℝ , f(x ) = sin x 2 și F(x ) = ∫ ∫
x
f(t ) dt .
5p a) Demonstrați că funcția F este o primitivă a funcției f cu proprietatea că
F(1 ) = 0 .
5p b) Calculați ∫
0 1
x ⋅ f(x ) dx .
5p c) Calculați ∫
0 1
F(x ) dx
TEST 10
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Verificați că valorile 4 log 2 5 , 3 √ _ 125 și sin 2 017π  _ 2 sunt valorile corespunză –
toare la trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f (x) = x 2 − x + 1 . Determinați valorile
reale corespunzătoare lui a pentru care f(a ) = a .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √ _ x − 1 = x − 1 .
5p 4. Se consideră mulțimea A = {x ∈ ℕ| 3 x < 243 } . Determinați numărul de
submulțimi ale mulțimii A .
5p 5. Se consideră paralelogramul ABCD și E un punct astfel încât ⟶ EA = 3 ⟶ CE .
Demonstrați că ⟶ BE = ⟶ BA + 3 ⟶ BC ___________ 4 .
5p 6. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC , cu m(∢ BAC ) = 9 0 ∘ ș i BC = 10 .
Determinați lungimea segmentului care are drept capete ortocentrul și,
res pectiv, centrul cercului circumscris triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Fie funcția f : ℝ → M 2 (ℝ) , f (x) = ( 2x 0 0 2x ) .

Teste propuse58
5p a) Calculați f ( 1 _ 2 ) + f (− 1 _ 2 ) .
5p b) Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor reale f ( √ _
5 _ 2 a) = I 2 .
5p c) Determinați suma S = f (1) + (f (1) ) 2 + . . . (f (1) ) 2018 .
2. Se consideră inelul ( ℤ 6 ,  + ,  ⋅ ) .
5p a) Arătați că mulțimea G = { 0 ̂ , 2 ̂ , 4 ̂ } ⊂ ℤ 6 este parte stabilă în raport cu adu –
narea din ℤ 6 .
5p b) Calculați suma soluțiilor ecuației 3 ̂ x + 4 ̂ = 1 ̂ , în ℤ 6 .
5p c) Fiind dată matricea A = ( 2 ̂ 1 ̂ 3 ̂ 4 ̂ ) , calculați suma
A + A 2 + A 3 + A 4 + . . . + A 2019 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ\ {2019 } → ℝ , f (x) = x + 2019 _ x − 2019 .
5p a) Calculați f ′ (x) , oricare ar fi x ∈ ℝ\ {2019 } .
5p b) Calculați lim x→0 f(x ) − f(0) _ x .
5p c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul A(0, − 1) .
2. Se consideră funcția f : (0, 3 ) → ℝ , f(x ) = l n x _ 3 − x .
5p a) Calculați ∫
1 e
(3 − x ) f(x ) dx .
5p b) Verificați că ∫
1 e
( x 2 − 6x + 9 ) f(x ) dx = 1 1 − e 2 _ 4 .
5p c) Determinați intervalele de monotonie ale unei primitive F : (0, 3 ) → ℝ
a funcției f .
TEST 11
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați log 7 (3 + √ _
2 ) + log 7 (3 − √ _
2 ) .
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 + ax + b . Determinați numerele
reale a și b pentru care graficul funcției f conține punctele A (2, 3) ș i B
(− 1, 0)

Teste propuse59
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 x + 3 x+1 = 36 .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr de 2 cifre,
acesta să fie divizibil cu 4.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M (2, − 1) ș i N (− 1, 3) . D e-
terminați coordonatele vectorului ⟶ OM + ⟶ ON .
5p 6. Determinați lungimea laturii unui triunghi echilateral, care are aria egală
cu 4 √ _
3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A = ( m
− 1
1
1 m − 1
1
− 2
1 ) și sistemul de ecuații mx − y + z = 0
x + my − z = 0
x − 2y + z = 0 ,
unde m este parametru real.
5p a) Calculați determinantul matricei A.
5p b) Determinați valorile reale ale lui m pentru care tripletul (− 1, 2, 5) este o
soluție a sistemului.
5p c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul admite doar so –
luția (0, 0, 0).
2. Pe mulțimea ℝ se definește legea de compoziție x * y = xy + x + y .
5p a) Arătați că legea „ ∗ ” este asociativă.
5p b) Determinați elementul neutru al legii „ ∗ ” .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x 2 * 2 = x * 4 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (0, ∞) → ℝ, f (x) = √ _ x − lnx .
5p a) Arătați că lim f (x) − f (4) _ x − 4 = 0 .
5p b) Demonstrați că funcția f este crescătoare pe intervalul (4, ∞) .
5p c) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f.
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x e x .
5p a) Arătați că funcția F : ℝ → ℝ , F (x) = x e x − e x + 2020 este o primitivă a
funcției f.

Teste propuse60
5p b) Calculați ∫ f (lnx) dx .
5p c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a gra –
ficului funcției g : [1, 2] → ℝ, g (x) = f (x) _ x .
TEST 12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Ordonați crescător numerele √ _
12 , 2 √ _
2 și 3.
5p 2. Rezolvați sistemul de ecuații x + y = 5 xy = 6 .
5p 3. Se consideră funcțiile f : (− 1, ∞) → ℝ, f (x) = log 2 (x + 1) și
g : (− 1, ∞) → ℝ, g (x) = 2 x − 1 . Calculați f (g (1) ) .
5p 4. Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi este egal cu
10. Determinați numărul elementelor mulțimii.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele O (0, 0), A (5, 1), B (3, 5).
Calculați lungimea medianei din vârful O în triunghiul OAB .
5p 6. Se consideră triunghiul MNP cu MP = 6, sinN = 3 _ 5 și sinP = 4 _ 5 . Calculați
MN.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuații mx − 2y + z = 1
2x − my − 3z = 3
x − y + 2z = 4 , unde m ∈ ℝ .
5p a) Arătați că suma elementelor de pe diagonala principală a matricei siste –
mului este egală cu 2.
5p b) Determinați valorile reale ale lui m pentru care matricea sistemului are
determinantul diferit de zero.
5p c) Pentru m = 1 arătați că y 1 2 = x 1 ⋅ z 1 , unde ( x 1 , y 1 , z 1 ) este soluția sistemu –
lui.
2. Se consideră polinomul f = X 3 + m X 2 + mX + 1 , unde m ∈ ℝ .
5p a) Pentru m = 0 , calculați restul împărțirii polinomului f la X − 1 .

Teste propuse61
5p b) Arătați că polinomul f este divizibil cu X + 1 , pentru orice număr real m .
5p c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care polinomul f are trei rădă –
cini reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2 x 2 − 1 _ x 2 + 2 .
5p a) Arătați că f’ (x) = 10x _ ( x 2 + 2) 2 , pentru orice x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre ∞ la graficul funcției f.
5p c) Demonstrați că − 1 _ 2 ≤ f (x) ≤ 1 _ 3 , pentru orice x ∈ [0, 1] .
2. Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul I n = ∫ x n _ x + 1 dx.
5p a) Calculați I 1 .
5p b) Arătați că I n + I n+1 = 1 _ n + 1 , pentru orice număr natural nenul n .
5p c) Demonstrați că 0 ≤ I 2020 ≤ 1 .
TEST 13
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați log 6 3 + log 6 1 2
5p 2. Determinați coordonatele vârfului parabolei asociate funcției f : ℝ → ℝ, f
(x) = 2 x 2 − x + 3.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7 x + 7 x+1 = 392 .
5p 4. Determinați n ∈ ℕ, n ≥ 2 , pentru care C n 2 = 4 A n 1 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (0, − 2) ș i B (4, m) , unde
m ∈ ℝ . Determinați valorile lui m pentru care AB = 5 .
5p 6. Calculați cos 2π _ 9 + cos 7π _ 9 .

Teste propuse62
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuații x + y − 2z = 0
x − y + z = 1
x + y + az = 2 , unde a ∈ ℝ .
5p a) Arătați că determinantul matricei asociate sistemului este − 2 (a + 2) .
5p b) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea asociată sistemu –
lui este inversabilă.
5p c) Determinați valorile reale ale lui a în cazul în care sistemul de ecuații are
soluția (1, 1, 1).
2. Fie legea de compoziție asociativă x * y = x + y − 1,  ∀ x, y ∈ ℝ .
5p a) Arătați că x * 1 = x , pentru orice x ∈ ℝ .
5p b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x * x * x = 4 .
5p c) Determinați numărul natural n , n ≥ 2 , pentru care C n 1 ∗ C n 2 = 14 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (0, ∞) → ℝ, f (x) = x 2 − x + 1 _ x .
5p a) Arătați că limf (x) = ∞
5p b) Arătați că dreapta de ecuație y = x − 1 este asimptotă oblică.
5p c) Arătați că f’ (x) > 0,  ∀ x > 1 .
2. Se consideră funcția f : [0, ∞) → ℝ, f (x) = e √ _ x .
5p a) Arătați că ∫ f ( x 2 ) dx = e − 1 .
5p b) Arătați că orice primitivă a funcției f este strict crescătoare.
5p c) Arătați că 1 ≤ ∫ f (x) dx ≤ e .
TEST 14
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați rația progresiei geometrice ( a n )
n≥1 , știind că a 3 = 15, a 5 = 135
.

Teste propuse63
5p 2. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 4x − 3 . Calculați (f ∘ f) (0) .
5p 3. Rezolvați ecuația √ _ x − 1 = 3 − x .
5p 4. Calculați câte echipe de două fete și trei băieți se pot forma, știind că
avem 6 fete și 7 băieți.
5p 5. Se considera vectorii → v 1 = 3 i ⃗ + 9 j ⃗ ș i → v 2 = ai + 3 j ⃗ ,  a ∈ ℝ . Determinați nu –
mărul real a astfel încât → v 1 ⊥ → v 2 .
5p 6. Arătați că 1 + cos x + cos2x ______________ 1 − cos x + cos2x = 2cosx + 1 _ 2cosx − 1 .
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră permutarea σ = ( 1 2 3 3 1 2 ) , unde σ ∈ S 3 .
5p a) Arătați că permutarea σ este permutare pară.
5p b) Rezolvați ecuația σx = σ −1 .
5p c) Arătați că ecuația x 2 σ = ( 1 2 3 2 1 3 ) nu are soluție.
2. Se consideră polinomul f = X 3 + X 2 + aX + a ∈ ℝ [X] cu rădăcinile x 1 , x 2 , x 3 .
5p a) Arătați că f = (X + 1) ( X 2 + a) .
5p b) Calculați x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 .
5p c) Pentru a = − 1 , arătați că (X + 1) 2 /  f .
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : D → ℝ, f (x) = ln (4 − x 2 ) , unde D este domeniul maxim
de definiție al funcției f .
5p a) Determinați mulțimea D .
5p b) Arătați că f’ (x) = − 2x _ (4 − x 2 ) .
5p c) Determinați asimptotele graficului funcției f .
2. Se consideră funcția f n : ℝ → ℝ, f n (x) = e x n ,  n ∈ ℕ .
5p a) Calculați ∫ f 1 (x) dx .
5p b) Calculați ∫ 2x f 2 (x) dx .
5p c) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției g :
[0, 1] → ℝ, g (x) = f 1 (x) ,  ∀ x ∈ [0, 1] în jurul axei Ox.

Teste propuse64
TEST 15
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Rezolvați în mulțimea numerelor complexe ecuația 4 z 2 − 3z + 1 = 0 .
5p 2. Determinați soluțiile reale ale ecuației log 2 (x + 2) + log 2 x = 3 .
5p 3. Determinați numărul real m știind că reprezentarea grafică a funcției
f : (1, ∞) → ℝ, f (x) = − x − m nu intersectează axa Ox.
5p 4. Calculați C 4 2 + C 5 2 .
5p 5. Se considera vectorii → v 1 = i ⃗ + 3 → j ș i v 2 = (a + 3) i ⃗ + 2 j ⃗ . Determinați
numărul real pozitiv a pentru care vectorii sunt coliniari.
5p 6. Fie triunghiul ascuțitunghic ABC . Determinați cosA , știind că BC = 6 ,
AC = 5, AB = 4 .
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră matricele A (x, y) = ( x 2y y x ) , unde x, y ∈ ℝ .
5p a) Arătați că există cel puțin o pereche de numere reale (x, y) astfel încât
detA (x, y) = − 1 .
5p b) Arătați că A (x, y) A (0, 1) = A (0, 1) A (x, y) ,   ∀ x, y, a, b ∈ ℝ .
5p c) Arătații că A 2 (0, 1) = I 2 .
2. Se consideră polinomul f = X 3 + X 2 − 2X − 2 ∈ ℝ [X] .
5p a) Calculați f ( √ _
2 ) .
5p b) Arătați că ( X 2 − 2) divide polinomul f .
5p c) Descompuneți polinomul f în produs de polinoame ireductibile cu
coeficienți reali.
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = x − ln ( e x + 1) .
5p a) Arătați că dreapta de ecuație y = 0 este asimptotă orizontală spre ∞ .

Teste propuse65
5p b) Calculați f’ (x) .
5p c) Arătați că funcția f este strict crescătoare .
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 1 _ 2 + sinx .
5p a) Calculați ∫ f (x) dx ≥ 0.
5p b) Arătați că orice primitivă a funcției f este o funcție strict crescătoare.
5p c) Calculați ∫ f (x) cosxdx .
TEST 16
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați modulul numărului complex z = (2 − 4i) 2 .
5p 2. Fie funcția f: ℝ → ℝ , f(x) = x 2 − 7mx + 12. Aflați parametrul real m
știind că vârful parabolei asociate funcției f este situat pe axa Ox.
5p 3. Rezolvați în ℝ ecuația 1 _ 49 x = 7 −4 .
5p 4. Fie mulțimea A = {x, y, z, t} . Determinați probabilitatea ca, alegând o
submulțime a mulțimii A, aceasta să conțină 3 elemente.
5p 5. Scrieți ecuația unei drepte d care trece prin punctul A (− 1; − 1) și este
paralelă cu dreapta de ecuație y = 3x − 4.
5p 6. Calculați tg2 x știind că x ∈ ( π _ 2 ,  π) și cos x = −  3 _ 5 .
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Pentru fiecare t ∈ ℝ se consideră matricea M (t) = ( cos t − sin  t sin t cos t ) .
5p a) Demonstrați că matricea M (t) este inversabilă pentru orice t ∈ ℝ .
5p b) Arătați că [M (t) ] 2 = M (2t) pentru orice t ∈ ℝ .
5p c)Calculați [M ( π _ 2 ) ] 8 .
2. Pe mulțimea ℤ se consideră legile de compoziție x ∗ y = 2x + 2y − 4 și x ∘ y =
mx + ny + 4 , cu m, n ∈ ℤ ∗ .
5p a) Rezolvați ecuația (3x ) ∗ (4x ) = 10 .
5p b) Determinați m, n ∈ ℤ * pentru care legea de compoziție „ ∘ ” este
asociativă.
5p c) Dacă m = n = 1 , rezolvați sistemul de ecuații: { x ∗ (− y) = 2 x ∘ y = 11 .

Teste propuse66
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (0; ∞) → ℝ, f (x) = ln x _ √ _ x .
5p a) Arătați că f ‚ (x) = 2 − ln x _ 2x √ _ x .
5p b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției f.
5p c) Arătați că ln x e ≤ 2 √ _ x , (∀) x ∈ (0; ∞) .
2. Fie funcția f: [0, 1] → ℝ , f(x ) = 1 _ x 2 + 5x + 6 .
5p a) Determinați primitivele funcției g: [0, 1] → ℝ , g(x) = (x + 3 ) · f(x).
5p b) Aflați a ∈ (0; ∞) astfel încât: ∫
0 a
(2x + 5) ⋅ f (x) dx = ln 2 .
5p c) Determinați volumul corpului de rotație obținut prin rotirea graficului
funcției g: [0, 1] → ℝ , g(x) = (x + 3 ) · f(x) în jurul axei Ox.

Teste propuse67
TESTE SIMULARE BAC
PENTRU NOTA 10
TEST 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numerele reale a și b știind că 5 − 3i _ 1 + i = a + bi .
5p 2. Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale graficului funcției
f : ℝ → ℝ, f (x) = 2 x+3 − 16 cu axele de coordonate.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg 2 x 3 − 10 lg x + 1 = 0 .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, extrăgând aleatoriu un număr din mulțimea
numerelor naturale de 3 cifre, acesta să aibă toate cifrele pare.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (2, 3) ,  B (4, 7) ,  C (− 2, 5) .
Determinați ecuația dreptei paralele cu BC, dusă prin mijlocul segmen –
tului AC .
5p 6. Determinați x ∈ (0, π) pentru care cos 2 x + 2 sin x = 7 _ _ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A (a) = ( 1
1
− a
1 − a 1
− a
1
1 ) cu a ∈ ℝ .
5p a) Arătați că det (A (a) ) = (a − 2) (a + 1) 2 .
5p b) Determinați elementele matricei X = ( x
y
z ) știind că A (1) ⋅ X = ( 2
2
2 ) .
5p c) Determinați numerele întregi a și b pentru care suma elementelor matri –
cei A (a) ⋅ A (b) este 3.
2. Fie m, n ∈ ℝ și polinomul f = x 3 − 5 x 2 + mx + n , cu rădăcinile x 1 , x 2 , x 3 .
5p a) Determinați m și n astfel încât x 1 = 1 + i .
5p b) Determinați m și n astfel încât polinomul f să fie divizibil cu (x − 1) 2 .
5p c) Pentru m = 12 și n ∈ ℝ , arătați că polinomul admite cel mult o rădăcină
întreagă.

Teste propuse68
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2 x + 1 _ √ _ x 2 + 2 .
5p a) Arătați că lim x→1 f (x) − √ _
3 _ x − 1 = √√ _
3 _ 3 .
5p b) Determinați imaginea funcției.
5p c) Calculați lim n→∞ n 2 (f (n + 1) − f (n) ) .
2. Se consideră funcția f : [0, + ∞) → ℝ, f (x) = 1 _ _ x 2 + 5x + 6 .
5p a) Arătați că orice primitivă a funcției f este concavă.
5p b) Calculați ∫
0 1 f (x) dx .
5p c) Calculați lim n→∞ (2n + 1) 2 ∫ n n+1 f (x) dx .
TEST 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 + i este o soluție a ecuației x 2 − 2x + 2 = 0 .
5p 2. Determinați numărul real a astfel încât funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = ( a 2 − 9)
x + 2019 să fie constantă.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația ( 5 _ 2 ) 3x−1
< ( 2 _ 5 ) −5x+7
.
5p 4. Determinați numărul termenilor raționali din dezvoltarea expre –
siei (1 + 3 √ _
2 ) 100
.
5p 5. În sistemul de coordonate xOy se consideră punctele A (2, 3) , B (4, 5) ,  
C (3, 11) ș i D (α, β) . Determinați coordonatele punctului D astfel încât pa –
trulaterul ABCD să fie un paralelogram.
5p 6. Fie △ ABC cu AB = 2, AC = 4, BC = 2 √ _
6 . Calculați sin A .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul D (a, b) = | 1
1
1
a b 1
a 3
b 3
1 | , cu a, b numere naturale.

Teste propuse69
5p a) Arătați că D (3, 4) = 48 .
5p b) Arătați că D (a, b) = (a − 1) (b − 1) (b − a) (a + b + 1) .
5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația D ( log 2 x, 3) = 0
2. Se consideră polinomul f = X 3 + a X 2 + bX + c, cu a, b, c ∈ ℚ și rădăcinile x 1 ,
x 2 , x 3 .
5p a) Aflați a, b, c astfel încât x 1 = x 2 = 2 și x 3 = − 1 .
5p b) Arătați că, dacă polinomul admite rădăcina 2 + √ _
3 , atunci polinomul f ad-
mite o rădăcină rațională.
5p c) Arătați că, dacă a, b, c ∈ ℤ, f (1) = 2017 și f (2) = 2019 , atunci f nu are ră –
dăcini întregi.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = e 3x − 2x + 1
5p a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f la − ∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul cu abscisa
x 0 = 0 , situat pe graficul funcției f.
5p c) Calculați lim n→∞ [f (− 1) + f (− 2) + . . . + f (− n) − n 2 − 2n] .
2. Fie funcția f : (− 3, 3) → ℝ, f (x) = 1 _ _√
√ _ 9 − x 2 .
5p a) Arătați că ∫
0 1 x ⋅ f (x) dx = 3 − 2 √ _
2 .
5p b) Calculați ∫
0 1 f (x) ⋅ arcsin x _ _ dx .
5p c) Calculați ∫
0 1 e x [f (x) + f ′ (x) ] dx .
TEST 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați rația progresiei geometrice cu termeni pozitivi ( b n )
n≥1 știind că
b 1 + b 2 = 8 și b 3 + b 4 = 72
5p 2. Determinați numărul real a astfel încât axa Ox să fie tangentă la graficul
funcției f : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 + 2x − a .

Teste propuse70
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 x + 2 x+2 = 12 .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, extrăgând aleatoriu un număr din mulțimea
numerelor naturale de 3 cifre, acesta să aibă suma cifrelor egală cu 3.
5p 5. Determinați numărul real a astfel încât vectorii → u = 3 → i + 7 → j ș i
→ v = (a + 1) → i + 14 → j să fie coliniari .
5p 6. Calculați sin x − cos x știind că x ∈ (0, π _ 4 ) și sin x cos x = 1 _ _ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele A = ( 2 3 6 9 ) și B = ( 0 3 6 7 )
5p a) Arătați că A 2 = 11 A .
5p b) Calculați rangul matricei A 100 .
5p c) Dacă matricea X ∈  2 (ℝ) are proprietatea AX = XA , arătați că există a, b
∈ ℝ pentru care X = a I 2 + bB .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție
x ∘ y = − 3 xy + 6x + 6y − 10
5p a) Arătați că x ∘ y = − 3 (x − 2) (y − 2) + 2
5p b) Determinați numerele naturale m și n astfel încât m ∘ n = 11
5p c) Calculați 4 √ _
1 ∘ 4 √ _
2 ∘ . . . ∘ 4 √ _ 100
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consider ă func ția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2x − arctg x
5p a) Determinați ecuația asimptotei la graficul funcției f spre − ∞ .
5p b) Arătați că f este o funcție bijectivă.
5p c) Calculați lim x→0 x s i n 2 3x _ f (x) − x
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = e −2x
5p a) Arătați că ∫
0 1 f (x) dx = e 2 − 1 _ 2 e 2 .
5p b) Calculați ∫
0 1 x 4 f ( x 5 ) dx .
5p c) Demonstrați că șirul I n = ∫
0 n f ( x 5 ) dx este convergent.

Teste propuse71
TEST 4
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice sunt 2, 6 și 5x + 3,
x ∈ ℝ . Determinați valoarea x .
5p 2. Arătați că parabola asociată funcției f : ℝ → ℝ, f (x) = x 2 + mx + m 2 + 5, m
∈ ℝ nu intersectează axa Ox.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 x+1 _ 2 + 2 x+3 = 80 .
5p 4. Determinați termenul liber obținut prin dezvoltarea expresiei ( 3 √ _ x + 5 _ √ _ x ) 100
.
5p 5. Aria unui triunghiului echilateral ABC este 9 √ _
3 . Calculați ⟶ AB ⋅ ⟶ AC .
5p 6. Fie △ ABC cu AB = 4, AC = 2 √ _
2 și m ( ˆ BAC ) = 4 5 ∘ . Calculați lungimea
medianei din A.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A (x) = ( 2 − x 1 − x 2x − 2 2x − 1 ) , în care x este un număr real
nenul.
5p a) Arătați că det (A (x) ) = x .
5p b) Arătați că A (x) ⋅ A (y) = A (xy) .
5p c) Determinați numărul real x astfel încât (A (x) ) 4 = ( − 14 − 15 30 31 ) .
2. Fie numerele reale a, b, c și polinomul f = X 4 + a X 3 + b X 2 + cX + 12, f ∈ ℝ [X]
cu rădăcinile x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .
5p a) Dacă restul împărțirii polinomului f la X − 1 este 5, arătați că a + b + c =
− 8 .
5p b) Determinați c ∈ ℝ astfel încât 1 _ x 1 + 1 _ x 2 + 1 _ x 3 + 1 _ x 4 = 2 _ _ .
5p c) Pentru a = b = c = 1 calculați valoarea sumei
1 _ 1 − x 1 + 1 _ 1 − x 2 + 1 _ 1 − x 3 + 1 _ 1 − x 4 .

Teste propuse72
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (0, + ∞) → ℝ, f (x) = l n x _ x
5p a) Arătați că f ′ (x) = 1 − ln x _ x 2 , x > 0 .
5p b) Arătați că funcția f admite un singur punct de extrem.
5p c) Arătați că ln 2 _ √ _
2 + ln 3 _ √ _
3 < 4 _ _ .
2. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2 x + 5 _ x 2 + 4 .
5p a) Arătați că F : ℝ → ℝ, F (x) = ln ( x 2 + 4) + 5 _ 2 arctg x _ _ este o primitivă a
funcției f .
5p b) Calculați ∫
0 2 f (x) dx .
5p c) Arătați că șirul ( a n )
n∈ ℕ * cu termenul general a n = ∑
k=1 n
2k + 5n _ k 2 + 4 n 2 este conver –
gent.
TEST 5
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați modulul numărului complex z = (1 − i) 2018 + (1 + i) 2018 .
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f (x) = x 2 − 6x + 9 . Determinați mulțimea
soluțiilor reale ale ecuației f 3 (x ) − 3 f 2 (x ) = 1 − 3f(x) .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 x + log 3 x + 3 log 3 x = 31 .
5p 4. Demonstrați că 2018 ! _ (1009 !) 2 ∈ ℕ .
5p 5. Demonstrați că dacă ⟶ AD = ⟶ AB − 3 ⋅ ⟶ CA ____________ 4 , atunci B, C și D sunt puncte
coliniare.
5p 6. Demonstrați că oricare ar fi x ∈ ℝ , sin 2 (x − π _ 2 ) + cos 2 (x + π _ 2 ) = 1 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele A = ( 1
1
1
1 1 1
1
1
1 ) ∈ M 3 (ℝ) și
I 3 = ( 1
0
0
0 1 0
0
0
1 ) ∈ M 3 (ℝ) .

Teste propuse73
5p a) Dați exemplu de o matrice B ∈ M 3 (ℝ) , B ≠ A , astfel încât
rang(B ) ≤ rang (A) .
5p b) Rezolvați ecuația det ( I 3 + x A 2 ) = 0 , unde x ∈ ℝ .
5p c) Determinați o matrice B ∈ M 3 (ℝ) cu proprietatea că B 3 = A .
2. Se consideră grupul multiplicativ ( ℝ + * ,  ⋅ ) și mulțimea H = (0, 1) în ra port
cu care se definește legea de compoziție internă, asociativă, „ ∘ „ : x ∘ y =
x y _____________ xy + (1 − x ) (1 − y) , oricare ar fi x, y ∈ H .
5p a) Determinați mulțimea soluțiilor ecuației x ∘ (1 − x ) = 1 _ _ , unde x ∈ H .
5p b) Verificați că funcția bijectivă f : H → ℝ + * , f(x ) = y _ _ − y îndeplinește con –
diția f(x ∘ y ) = f(x ) ⋅ f(y) , oricare ar fi x, y ∈ H .
5p c) Rezolvați în mulțimea H ecuația x ∘ x ∘ x = 1 _ _ , unde „ ∘ „ este operația
definită de problemă.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f(x ) = { x 2 + 2x + a, x ≤ 0 b ⋅ ln (x + 1 ) , x > 0 , unde a, b ∈ ℝ .
5p a) Determinați valorile reale corespunzătoare lui a și lui b astfel încât func –
ția f să fie derivabilă pe ℝ .
5p b) Pentru a = 0 și b = 2 determinați valoarea minimă a funcției f .
5p c) Demonstrați că 1 _ 3 < ln 3 _ _ < 1 _ _ .
2. Se consideră funcțiile f, F : ℝ → ℝ , f(x ) = e − x 2 și F(x ) = ∫ ∫
x
f(t ) dt .
5p a) Determinați punctele de inflexiune ale graficului funcției F .
5p b) Calculați ∫
0 1
x ⋅ f(x ) dx .
5p c) Calculați ∫
0 1
F(x ) dx .

Teste propuse74
TEST 6
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați rația progresiei geometrice ( b n )
n≥1 știind că b 1 − b 2 = 3 ș i b 4 =
4 ⋅ b 2 .
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f (x) = x 2 + x − 6 . Determinați mulțimea
soluțiilor întregi ale inecuației f(x ) < 0 .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log 16 2 x = √ _ x − 1 .
5p 4. Determinați probabilitatea ca alegând două vârfuri distincte ale unui oc –
togon, acestea să reprezinte capetele unei diagonale a octogonului res­
pectiv.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 1) și C(1, 3) . Determi –
nați punctul B(4, b) , unde b ∈ ℝ , pentru care unghiul BCA este drept.
5p 6. Determinați valoarea numerică pentru tg2x știind că sin x = 1 _ 3 și
x ∈ ( π _ 2 ,  π) .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul
{ x + 2y − z + t = 0
x + y + z − 2t = 0
2x − y + az = 0 , unde a ∈ ℝ .
5p a) Verificați faptul că matricea sistemului are rangul 3, oricare ar fi a ∈ ℝ .
5p b) Determinați soluția sistemului în cazul a = 0 și pentru care suma compo –
nentelor soluției este egală cu 24.
5p c) Determinați domeniul de valori ale lui a pentru care o soluție cu cel puțin
o componentă nenulă a sistemului dat, de forma ( x 0 , y 0 , z 0 , t 0 ) , verifică și
relația x 0 − y 0 + z 0 − t 0 = 0 .
2. Se consideră polinomul f = x 4 + 4 x 3 + 5 x 2 + 2x − 2 cu coeficienți reali.
5p a) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul
g = x 2 + 2x .
5p b) Calculați suma inverselor rădăcinilor polinomului f .

Teste propuse75
5p c) Determinați polinomul g de grad 4 care admite ca rădăcini inversele ră –
dăcinilor polinomului f , având și proprietatea că g( − 1 ) = 2 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ\ { 0} → ℝ , f(x ) = √ _ x 2 + 1 _ x .
5p a) Studiați asimptotele funcției f .
5p b) Determinați f'(x) , oricare x ∈ ℝ\ { 0} .
5p c) Determinați imaginea funcției f .
2. Se consideră șirul ( I n )
n≥1 pentru care legea de formare este I n = ∫
a 1
x n _ 1 + x 2n dx ,
oricare n ∈ ℕ\ { 0} și a ∈ ℝ .
5p a) Pentru a = − 1 calculați I 1 .
5p b) Pentru a = 0 verificați că 0 < I n < 1 , oricare n ∈ ℕ\ { 0} .
5p c) Pentru a = − 1 , demonstrați că lim n→∞ I n = 0 .
TEST 7
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Într­o progresie aritmetică ( a n )
n≥1 se cunosc a 1 = 5 și r = 2 . Calculați suma
primilor 5 termeni ai progresiei.
5p 2. Determinați numărul real m pentru care ecuația x 2 − (m + 1) x + m = 0 are
soluții reale egale.
5p 3. Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficului funcției
f : ℝ → ℝ, f (x) = 2 x+1 − 1 cu axele Ox și respectiv Oy.
5p 4. Calculați 2 C 4 2 − 3 A 4 1 .
5p 5. Se consideră vectorii → v 1 = 2 → i + a → j ș i → v 2 = (a + 3) → i + 2 → j , unde a ∈ ℝ . Deter –
minați numărul a > 0 pentru care vectorii → v 1 ș i → v 2 sunt coliniari.
5p 6. Aria triunghiului MNP este egală cu 16, iar MN = NP = 8 . Calculați sin N
.

Teste propuse76
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele I 2 = ( 1 0 0 1 ) , A = ( 1 − 1 − 2 2 ) ș i X (a) = I 2 + aA , unde a
∈ ℤ .
5p a) Calculați A 2 − 3A .
5p b) Demonstrați că X (a) ⋅ X (b) = X (a + b + 3ab) , oricare ar fi a, b ∈ ℤ .
5p c) Arătați că X (a) este matrice inversabilă, oricare ar fi a ∈ ℤ .
2. Polinomul f = X 3 + 2 X 2 − 5X + m , cu m ∈ ℝ are rădăcinile x 1 , x 2 și x 3 .
5p a) Calculați x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 .
5p b) Determinați m ∈ ℝ ∗ pentru care x 1 + x 2 + x 3 = 1 _ x 1 + 1 _ x 2 + 1 _ x 3 .
5p c) Arătați că determinantul Δ = | x 1
x 2
x 3
x 2 x 3 x 1
x 3
x 1
x 2 | este număr natural, oricare ar fi
m ∈ ℝ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (0, + ∞) → ℝ, f(x ) = x + 1 _ e x .
5p a) Arătați că f’ (x) _ f (x) = −  x _ x + 1 pentru orice x ∈ (0, + ∞) .
5p b) Arătați că funcția f este descrescătoare pe (0, + ∞)
5p c) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției g : (0, + ∞) → ℝ ,
g (x) = e 2x ⋅ f 2 (x) _ x .
2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ , f (x) = x 2020 + x 2019 + x 2 + x .
5p a) Determinați primitiva F : ℝ → ℝ a funcției f, care verifică relația F (0) =
1 .
5p b) Calculați ∫
0 1
f (x) _ x + 1 dx .
5p c) Calculați volumul corpului obținut prin rotația, în jurul axei Ox, a grafi –
cului funcției g : [1, 2] → ℝ, g (x) = f (x) − x 2020 − x 2019

Teste propuse77
TEST 8
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați x ∈ ℝ pentru care numerele x − 1 , x + 1 și 3x − 1 sunt ter –
meni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
5p 2. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 5 − x . Calculați f (0) ⋅ f (1) ⋅ . . . ⋅ f (10) .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √ _ x − 1 = x − 3 .
5p 4. Determinați numărul submulțimilor ordonate cu 2 elemente ale unei
mulțimi cu 7 elemente.
5p 5. Calculați distanța de la punctul A (2, 3) la punctul de intersecție a drep –
telor d 1 : 2x − y − 6 = 0 și d 2 : − x + 2y − 6 = 0 .
5p 6. Calculați cosinusul unghiului M al triunghiului MNP știind că MN = 4 ,
MP = 5 și NP = 6 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră mulțimea M = { ( x y z t ) ,  x, y, z, t ∈ ℕ} și matricea
A = ( 1 0 3 3 ) ∈ M .
5p a) Câte matrice din mulțimea M au suma elementelor egală cu 1?
5p b) Arătați că A −1 ∉ M.
5p c) Determinați matricele B ∈ M care au proprietatea că B −1 ∉ M .
2. Se consideră polinomul f = X 3 + m X 2 + 1 , unde m ∈ ℝ .
5p a) Pentru m = 0 , calculați restul împărțirii polinomului f la X + 1 .
5p b) Arătați că polinomul g = X 3 + mX + 1 are rădăcinile inversele rădăcinilor
polinomului f .
5p c) Arătați că dacă m > 0 , atunci polinomul f nu are toate rădăcinile reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : (0, ∞) → ℝ, f (x) = 1 _ 2 l n 2 x .

Teste propuse78
5p a) Determinați asimptotele graficului funcției f .
5p b) Arătați că funcția f este concavă pe intervalul (e, ∞) .
5p c) Arătați că pentru orice număr real x ≥ e , ln (x + 1) _ x + 1 < f (x + 1) − f (x) < lnx _ x .
2. Se consideră funcția f : [ − π _ 2, π _ 2 ] → ℝ, f (x) = sin x .
5p a) Calculați aria cuprinsă între graficul funcției f și axa Ox .
5p b) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției f în
jurul axei Ox .
5p c) Calculați limf ( 1 _ n ) (f ( 1 _ n ) + f ( 2 _ n ) + . . . + f ( n _ n ) ) .
TEST 9
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1 . Determinați m ∈ ℝ dacă 2 m, m + 3, 5 m + 1 sunt în progresie aritmetică.
5p 2. Calculati log 2 (3) √ _
1 _ 8 + 1 _ 2 ⋅ [− 1, 3] , unde notația [x] reprezintă partea în –
treagă a numărului real x .
5p 3 . Determinați valoarea maximă a funcției f : ℝ → ℝ, f (x) = −  x 2 − 3x + 8 .
5p 4 . Determinați câte numere naturale de patru cifre distincte se pot scrie în
baza 10.
5p 5 . Dacă tgx = 2 , calculați sin2x .
5p 6. Fie A (5, 2) , B (0, 3) ș i C ∈ Ox . Determinați coordonatele punctului C
dacă CA ⊥ CB .
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Fie τ = ( 1 2 3 4 5 1 5 3 4 2 ) ∈ S 5 și. .
5p a) Rezolvați ecuația σx = τ , în S 5 .
5p b) Determinați numărul de elemente ale mulțimii G = { σ k ,  k ∈ ℕ} .
5p c) Rezolvați ecuația x 4 = σ .
2. Fie f = X 21 + 4 ̂ X 2 + 3 ̂ X + 3 ̂ ∈ ℤ 5 [X]
5p a) Justificați că p 4 = ˆ 1,  ∀ p ∈ ℤ 5 ∖ { 0 ̂ } .

Teste propuse79
5p b) Demonstrați că polinomul f nu admite rădăcini în ℤ 5 [X] .
5p c) Determinați restul împărțirii polinomului f la polinomul g = X 2 + 4 ̂ X .
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ + → ℝ + ,   f (x) = x − ln (x + 1) .
5p a) Studiați monotonia functiei f.
5p b) Demonstrați că funcția f este inversabilă.
5p c) Calculați ( f −1 ) ’ (e − 2) .
2. Fie a n = ∫ x n _ e x dx,  ∀ n ≥ 1 .
5p a) Calculați I 1 .
5p b) Verificați dacă (n + 1) I n = 1 _ e + I n+1 ,    ∀ n ≥ 1 .
5p c) Calculați lim n I n .
TEST 10
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Dat fiind numărul complex z = 1 + i √ 3 _ 2 , calculați z 2020 + 1 _ z 2020 .
5p 2. Fiind dată funcția f : (1, ∞) → R, f (x) = −  x 2 + 3x − 2 , determinați imagi –
nea acestei funcții.
5p 3. Rezolvați ecuația 2 1 _ x−1 = 2x − 2 pe (1, ∞) .
5p 4. La un examen oral, un elev are de extras nouă subiecte de pe o masă unde
se află 26 de subiecte scrise fiecare pe câte un bilet. Dintre subiecte, 17
au fost rezolvate în timpul lecțiilor, iar 9 sunt la prima vedere. Elevul nu
este însă capabil să efectueze exerciții la prima vedere. Determinați pro –
babilitatea ca elevul să obțină la acel examen nota 10, știind că fiecare
subiect este notat cu 1 punct și că se acordă din oficiu 1 punct.
5p 5. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A(2, 1) și este perpen –
diculară pe dreapta determinată de punctul A și originea axelor de coor –
donate.
5p 6. Calculați arcsin (sin2) .

Teste propuse80
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : S 3 → S 3 ,  f (x) = x 2 .
5p a) Rezolvați în mulțimea S 3 ecuația x 2 = ( 1 2 3 2 1 3 ) .
5p b) Arătați că funcția f nu este surjectivă.
5p c) Arătați că funcția f nu este injectivă.
2. Pe mulțimea M = [8, 10] se definește legea de compoziție x * y = xy − 9x − 9y + 90
.
5p a) Arătați că legea „ * ” este asociativă.
5p b) Determinați elementul neutru al legii definite mai sus și elementele si –
metrizabile ale mulțimii M, în raport cu acestă lege.
5p c) Rezolvați ecuația x * x * …* x ⟶
2020 ori = 10 .
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția : f : (0, ∞) → R, f (x) = lnx .
5p a) Calculați lim x→∞ f (1 + e −x ) _ x −1 .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul A (e, 1) .
5p c) Arătați că lnx ≤ x _ e , oricare x > 0 .
2. Se consideră șirul ( I n )
n≥1 , I n = ∫
0 1 _ 2
1 _ √ _ 1 − x 2n dx .
5p a) Calculați I 1 .
5p b) Arătați că 0 < I n < π _ 6 .
5p c) Calculați lim n→∞ ∑
k=1 n
2 _ √ _ 4 n 2 − k 2 .

Teste propuse81
TEST 11
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Fie șirul ( b n )
n∈ ℕ ∗ definit prin b n = 5 ⋅ 3 n + a , a ∈ ℝ, n ≥ 1. Determinați va –
loarea lui a pentru care acest șir este o progresie geometrică.
5p 2. Determinați funcția f: ℝ → ℝ , f (x) = x 2 + mx + n știind că punctul A (0; 3)
aparține graficului funcției și că axa de simetrie a parabolei asociate
funcției este dreapta de ecuație x = 1.
5p 3. Rezolvați în ℝ ecuația: log 7 x + log x 7 = 5 _ 2 .
5p 4. Determinați termenul din mijloc al dezvoltării ( √ _ x − √ _ y ) 6 cu x, y ∈ (0; ∞)
.
5p 5. Determinați perimetrul triunghiului MNP , știind că MN = 8, m (∢N)
= π _ 6 , m (∢P) = π _ 4 .
5p 6. Calculați valoarea expresiei E = sin 36° _ sin 48° + cos 36° _ cos 48° .
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră sistemul de ecuații
{ ax + y + z = 112
x + ay + z = 112
x + y + az = 112 unde a ∈ ℝ .

5p a) Determinați valorile lui a pentru care matricea asociată sistemului are
determinantul nenul.
5p b) Rezolvați sistemul de ecuații pentru a = 2.
5p c) Determinați valorile lui a ∈ ℕ\ { 1} astfel încât soluțiile sistemului să fie
formate din triplete de numere naturale.
2. Se consideră polinoamele f = X 3 + 4 ̂ ∈ ℤ 6 [X] și g = X 2 + 3 ̂ ∈ ℤ 6 [X ] .
5p a) Calculați f( 2 ̂ ) .
5p b) Calculați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul g.
5p c) Rezolvați în mulțimea Z 6 ecuația f (x) g (x) = 0 ̂ .

Teste propuse82
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → (−  π _ 2 ; π _ 2 ) , f (x) = arctgx .
5p a) Calculați lim x→0 f(3x ) + f (5x)) _ x .
5p b) Calculați lim x→1 f (x) − π _ 4 _ x − 1 .
5p c) Demonstrați că arctg (n + 1) − arctgn > 0 pentru orice număr natural
nenul n.
2. Fie funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2 ( e x − x) _ −  x 2 + 2 e x + 3 .
5p a) Determinați o primitivă F : ℝ → ℝ a funcției f cu proprietatea că
F(0) = ln3.
5p b) Calculați: ∫
0 1
xf’ (x) dx .
5p c) Calculați lim x→0 F (x) − F (0) _ x .
TEST 12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați modulul numărului complex z 1 = 2a _ 1 + i + 2b _ 1 − i știind că modulul
numărului complex z 2 = a + bi este egal cu 1, unde a, b ∈ ℝ ∗ .
5p 2. Se consideră funcția f: ℝ → ℝ , f (x) = x 2 − 4mx + 9 . Aflați valorile parame –
trului real m pentru care axa Ox este tangentă la parabola asociată func –
ției f.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: log 7 ( x 2 − 8) = l o g 7
(5x − 14) .
5p 4. Fie 100 de puncte în plan, oricare trei necoliniare. Câte drepte distincte
determină aceste puncte?
5p 5. Triunghiul ABC are centrul de greutate G (6, − 2) , iar vârfurile B (4, 0) ș i
C (2, 2) . Determinați ecuația medianei dusă din vârful A al triunghiului.
5p 6. Aflați raza cercului circumscris unui triunghi cu laturile de lungimi 9,
10, 11.

Teste propuse83
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. Se consideră matricea A = ⎛
⎜
⎝ √ _
2 _ 2
0
√ _
2 _ 2
0 2 0
−  √ _
2 _ 2
0
√ _
2 _ 2 ⎞
⎟
⎠ .
5p a) Arătați că A = ⎛
⎜
⎝ 1 − 2 sin 2 π _ 8
0
2 sin π _ 8 cos π _ 8
0 2 0
− 2 sin π _ 8 cos π _ 8
0
1 − 2 sin 2 π _ 8 ⎞
⎟
⎠ .
5p b) Calculați inversa matricei A.
5p c) Determinați A n , n ≥ 2 .
2. Se consideră polinomul f = X 4 + a X 3 + b X 2 + 12X − 4 ∈ ℝ [X] , unde a și b sunt
parametri reali.
5p a) Aflați a și b știind că polinomul f este divizibil cu X − 1 și are o rădăcină
egală cu 2.
5p b) Pentru a = 0 și b = − 9 determinați rădăcinile polinomului f.
5p c) Pentru a = 0 și b = − 9 rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația
log 2 4 x − 9 log 2 2 x + 12 log 2 x − 4 = 0 .
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1. Se consideră funcția f : ℝ → ℝ, f (x) = 2x + 2 sin x .
5p a) Calculați lim
x→ π _ 3 f(x ) − f ( π _ 3 ) _ x − π _ 3 .
5p b) Demonstrați că funcția f este bijectivă.
5p c) Calculați ( f −1 ) ‚ (2π) .
2. Fie funcțiile f : ℝ → ℝ, f (x) = e 2x + 2 _ 2 e x și g : ℝ → ℝ, g (x) = e 2x − 2 _ 2 e x .
5p a) Calculați ∫ (f (x) + g (x) ) dx .
5p b) Arătați că funcția f este o primitivă a funcției g.
5p c) Calculați aria suprafeței plane delimitată de graficul funcției f, axa absci –
selor și dreptele de ecuații x = 0 și x = 1 .

Teste propuse84

Teste propuse85
Rezolvãri și bareme
de corectare clasa a XI-a
TEST 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. z = 3 + i _ 3 − i = (3 + i) 2 _ (3 + i) (3 − i) = 8 + 6 i _ 10 = 8 _ 10 + 6i _ 10 = 4 _ 5 + 3 _ 5 i ⇒ partea reală a lui z
este 4 _ 5
2. Din relațiile lui Viète: x 1 + x 2 = 2 m + 1   și   x 1 x 2 = 3 m + 5 3 (2m + 1) − 2
(3m + 5) + 7 = 6 m + 3 − 6m − 10 + 7 = 0
3. Condiția de existență: x > 0 ⇒ x ∈ (0, + ∞) log 2 4 + log 2 x + log 2 x = 4 ⇒ 2
log 2 x = 2 ⇒ log 2 x = 1 ⇒ x = 2
4. Numerele de trei cifre de forma ‾ abc sunt pare doar dacă c ∈ {2, 4} ⇒
pentru cifra c există două variante de alegere. Pentru cifra a , dar și pentru b ,
există 5 variante de alegere din mulțimea A = {1, 2, 3, 4 . 5} . Deci numărul
total al variantelor de alegere posibile este 5 2 ⋅ 2 = 50 ⇒ f din mulțimea
A = {1, 2, 3, 4 . 5} se pot forma 50 de numere pare de trei cifre.
5. 3 ⟶ AB = 6 → i + 15 → j = (m + 2) → i + 4 (m − 1) → j ⇒ m + 2 = 6 și 4m − 1 = 15 ⇒ m
= 4
6. 3 sin a + cos a _ 3 sin a − cos a = 3 ⋅ sin a _ cos a + 1 _
3 ⋅ sin a _ cos a − 1 = 3tg a + 1 _ 3tg a − 1 = 3 2 _ 3 + 1 _
3 2 _ 3 − 1 = 3 _ 1 = 3
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) D (0, 1) = | 1
1
1
0 1 3
0
1
27 | = | 1 3 1 27 | = 27 − 3 = 24
1.b) D (x, y) = | 1
1
1
x y 3
x 3
y 3
27 | = | 1
0
0
x y − x 3 − x
x 3
y 3 − x 3
27 − x 3 | =
= (y − x) (3 − x) | 1 1 y 2 + xy + x 2 9 + 3 x + x 2 | = (y − x) (3 − x) (9 + 3 x − y 2 − xy) =
= (y − x) (3 − x) [ (3 − y) (3 + y) + x (3 − y) ] = (y − x) (3 − x) (3 − y) (x + y + 3)

Teste propuse86
1.c)Se demonstrează că produsul (y − x) (3 − x) (3 − y) (x + y + 3) este multiplu
de 6.
Variante posibile:
Dacă x și y au aceiași paritate ⇒ (x − y) ⋮ 2 , iar dacă sunt de parități
diferite ⇒ (3 − x) ⋮ 2 sau (3 − y) ⋮ 2 pentru că sau x sau y este impar.
x ⋮ 3 sau y ⋮ 3 ⇒ (3 − x) ⋮ 3 sau (3 − y) ⋮ 3
x și y nu sunt multipli de 3, fiind de forma 3k + 1 sau 3k + 2
x și y au aceeași formă ( 3k + 1 sau 3k + 2 ) ⇒ (x − y) ⋮ 3
x și y au forme diferite ⇒ (x + y + 3) ⋮ 3
În orice variantă, un termen al produsului (y − x) (3 − x) (3 − y) (x + y + 3)
este divizibil cu 2 și altul este divizibil cu 3, deci D (x, y) este divizibil cu
6 pentru orice numere întregi x , y .
2.a) A (2) − A (1) = ( 1
0
1
0 0 0
1
0
1 )
2.b) A (a) ⋅ A (b) = ( a + 1
0
a
0 1 0
a
0
a + 1 ) ( b + 1
0
b
0 1 0
b
0
b + 1 ) =
= ( (a + 1) (b + 1) + ab
0
b (a + 1) + a (b + 1)
0 1 0
a (b + 1) + b (a + 1)
0
ab + (a + 1) (b + 1) ) =
= ( 2ab + a + b + 1
1
2ab + a + b
0 1 0
2ab + a + b
0
2ab + a + b + 1 ) = A (a + b + 2ab) .
2.c) A (a) ⋅ A (a + 5) = A (a + a + 5 + 2a (a + 5) ) = A (2a + 5 + 2 a 2 + 10a) = = A (2
a 2 + 12a + 5)
A (a) A (a + 5) = A (18a + 1) ⇒ A (2 a 2 + 12a + 5) = A (18a + 1) ⇒ 2
a 2 + 12a + 5 = 18 a + 1
2 a 2 − 6a + 4 = 0 cu soluțiile a 1 = 1, a 2 = 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→∞ f (x) = 2 ⇒ ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ la graficul funcției f
este y = 2

Teste propuse87
1.b) x n = 2n + 1 _ n + 3 ,   x n+1 = 2 (n + 1) + 1 _ n + 1 + 3 = 2n + 3 _ n + 4 x n+1 − x n = 2n + 3 _ n + 4 − 2n + 1 _ n + 3
= 2 n 2 + 9n + 9 − 2 n 2 − 9n − 4 ___________________ (n + 4) (n − 4) = 5 _ (n + 4) (n − 4) > 0 , deci șirul x n este crescător.
1.c) lim n→+∞ ( n 2 + 1) ln x n _ x n+1 = lim n→+∞ ( n 2 + 1) ln 2n + 1 _ n + 3 _
2n + 3 _ n + 4 = lim n→+∞ ( n 2 + 1) ln 2 n 2 + 9n + 4 _ 2 n 2 + 9n + 9 =
= lim n→+∞ ( n 2 + 1) ln (1 − 5 _ 2 n 2 + 9n + 9 ) = lim n→+∞ ( n 2 + 1) (− 5) _ 2 n 2 + 9n + 5 = −  5 _ 2
Observație: s­a aplicat limita remarcabilă lim x→0 ln (1 + x) _ x = 1 .
2.a)Funcția f este continuă în x = 2 dacă lim
x→2 x<2 f (x) = f (2) = lim
x→2 x>2 f (x) ⇒
⇒ 4 + a = 4 + a = 4 + ( a 2 − a) ⋅ 2 ⇒ 2 a 2 − 2a = a ⇒ 2 a 2 − 3a = 0 , cu
soluțiile a 1 = 0, a 2 = 3 _ 2 . Deci pentru a ∈ {0, 3 _ 2 } funcția f este continuă
în x = 2 .
2.b) lim x→∞ √ _ f (x) _ x = lim x→∞ √ _ x 2 + ( a 2 − a) x _ x 2 = lim x→∞ √ _ 1 + a 2 − a _ x = √ _ 1 + 0 = 1
2.c)Fie g : [− 1, 0] → ℝ, g (x) = f (x) − ( 1 _ 2 ) x
= 2x + 2 − ( 1 _ 2 ) x

g (0) = f (0) − ( 1 _ 2 ) 0
= 2 − 1 = 1 și g (− 1) = − 2 + 2 − 2 = − 2 .
Deoarece funcția g este continuă pe intervalul (− 1, 0) ș i g (0) > 0,
g (− 1) < 0 ⇒ ecuația g (x) = 0 are cel puțin o soluție în intervalul (− 1, 0) .
TEST 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. |6 log 3 3 √ _ 243 − 4 √ _
16 | = |6 log 3 3 5 _ 3 − 2| = |6 ⋅ 5 _ 3 − 2| = 8
2. Se rezolvă ecuația f (x) = g (x) ,
x 2 − 7x + 3 = − 2 x − 3 ⇒ x 2 − 5x + 6 = 0 cu soluțiile x 1 = 2, x 2 = 3 .
f (2) = 4 − 14 + 3 = − 7, f (3) = 9 − 21 + 3 = − 9
Graficele celor două funcții se intersectează în punctele A (2, − 7) ș i B
(3, − 9) .
3. ( 5 x − 5) ( 2 x − 1 _ 2 ) = 0 ⇒ { 5 x = 5 ⇒ x = 1
2 x = 1 _ 2 ⇒ 2 x = 2 −1 ⇒ x = − 1
Mulțimea soluțiilor este S = {− 1, 1} .

Teste propuse88
4. Cazuri totale: există 90 de numere naturale de două cifre în intervalul
10­99.
Calculăm câte numere de două cifre de forma ‾ ab , cu a și b ambele cifre
pare există.
• Pentru a sunt patru variante de alegere a ∈ {2, 4, 6, 8 } • Pentru b sunt cinci variante de alegere b ∈ {0, 2, 4, 6, 8 } } ⇒ 4 ⋅ 5 = 20
variante
Cazuri favorabile: 90 − 20 = 70 .
Probabilitatea de a alege un număr de două cifre cu cel puțin o cifră
impară din totalul numerelor de două cifre este p = 70 _ 90 = 7 _ 9 .
5. Se calculează coordonatele punctului M situat la mijlocul segmentului BC .
M ( 6 − 2 _ 2 , − 3 + 5 _ 2 ) ⇒ M (2, 1) . Ecuația medianei AM este x − 4 _ 2 − 4 = y − 3 _ 1 − 3 ⇒
⇒y = x − 1
6. cos (x + π _ 4 ) cos (x − π _ 4 ) + sin (x + π _ 4 ) sin (x − π _ 4 ) = cos (x + π _ 4 − x + π _ 4 ) =
= cos 2π _ 4 = cos π _ 2 = 0
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) σ −1 = ( 1 2 3 4 4 3 1 2 )
1.b) 1 < 2 dar σ (1) > σ (3) .
Analog σ (1) > σ (4) ,  σ (2) > σ (3) ,  σ (2) > σ (4) ,  σ (3) > σ (4) .
Permutarea σ are cinci inversiuni ⇒ ε (σ) = (− 1) 5 = − 1 deci este impară.
1.c) σx = ω ⇒ x = σ −1 ω ,
x = ( 1 2 3 4 4 3 1 2 ) ( 1 2 3 4 3 1 2 4 ) = ( 1 2 3 4 1 4 3 2 )
2.a) A ⋅ A = A ⋅ A = A 2 ⇒ A ∈ M
și I 2 ⋅ A = A ⋅ I 2 ⇒ I 2 ∈ M
2.b) A = ( 1 3 0 1 ) ∈ M și X = ( a b c d ) ∈ M
AX = ( 1 3 0 1 ) ( a b c d ) = ( a + 3c b + 3d c d ) și XA = ( a c b d ) ( 1 3 0 1 ) =
= ( a 3a + b c 3c + d )
Se egalează elementele matricelor AX și XA
a + 3c = a ⇒ c = 0 3a + b = b + 3d ⇒ a = d } ⇒ X este de forma ( a b 0 a )

Teste propuse89
2.c) X, Y ∈ M ⇒ XA = AX și YA = AY
(XY) A = X (YA) ⇒ X (AY) = (XA) Y = (AX) Y = A (XY) ⇒ XY ∈ M
Variantă alternativă:
Dacă X = ( a b 0 a ) ,  Y = ( c d 0 c ) ⇒ XY = ( ac ad + bc 0 ac ) ⇒ XY ∈ M
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→−∞ f (x) = lim x→−∞ x 3 (1 + 1 _ x 2 − 2 _ x 3 ) ___________
x 2 (1 + 3 _ x 2 ) = − ∞
1.b) m = lim x→∞ f (x) _ x = lim x→∞ ( x 3 + x − 2 _ x 2 + 3 ⋅ 1 _ x ) = lim x→∞ x 3 + x − 2 _ x 3 + 3 x 2 = 1
n = lim x→∞ [f (x) − mx] = lim x→∞ ( x 3 + x − 2 _ x 2 + 3 ) = lim x→∞ − 2x − 2 _ x 2 + 3 = 0
Deci ecuația asimptotei oblice spre + ∞ la graficul funcției este y = x .
1.c) lim x→1 f (x) _ x − 1 = lim x→1 x 3 + x − 2 _ (x − 1) ( x 2 + 3) = lim x→1 ( x 3 − 1) + (x − 1) ____________ (x − 1) ( x 2 + 3) = lim x→1 (x − 1) ( x 2 + x + 2) _____________ (x − 1) ( x 2 + 3) =
= lim x→1 x 2 + x + 2 _ x 2 + 3 = 4 _ 4 = 1
2.a) Se folosește formula lim a→0 sin a _ a = 1
lim
x→0 x>0 f (x) = lim
x→0 x>0 sin 4x _ 2x = lim
x→0 x>0 ( 4x _ 2x ⋅ sin 4x _ 4x ) = lim
x→0 x>0 (2 ⋅ sin 4x _ 4x ) = 2 ⋅ 1 = 2
2.b) Condiția de continuitate în x = 0 este:
lim
x→0 x>0 f (x) = lim
x→0 x>0 sin 4x _ 2x = lim
x→0 x<0 f (x) = f (0) = lim
x→0 x>0 f (x)
lim
x→0 x>0 f (x) = l
x→0 x>0 ( 2 x ) = 2 0 + 3 ⋅ 0 + m = 1 + m
f (0) = 1 + m
lim
x→0 x>0 f (x) = 2 ( ) ⎫
⎪
⎬
⎪
⎭ ⇒ 1 + m = 2 ⇒ m = 1
2.c) Pentru m = 1 ⇒ f (0) = 2
f (− 1) = 2 −1 + 3 (− 1) + 1 = 1 _ 2 − 2 = −  3 _ 2
Cum funcția este continuă și f (− 1) f (0) < 0 , funcția admite o rădăcină
x 0 ∈ (− 1, 0) ; x 0 < 0, x 0 ∉ ℤ

Teste propuse90
TEST 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Condiții de existență: din x + 3 ≥ 0, x ≥ 0 și 2x + 2 ≥ 0 ⇒ x ∈ [0, + ∞)
Dacă x, √ _ x + 3 ș i 2x + 2 sunt termenii unei progresii geometrice,
atunci ( √ _ x + 3 ) 2 = x (2x + 2) ⇒ 2 x 2 + x − 3 = 0 cu soluțiile x 1 = 1, x 2 = −  3 _ 2
∉ [0, + ∞) . Soluția acceptată este x = 1 .
2. Condiția de tangență cu axa Ox a graficului f (x) = x 2 + 4x − 2m este Δ = 0 ,
deci 16 + 8m = 0 ⇒ m = − 2
3. Se notează 3 √ _ x = t și ecuația 3 √ _
x 2 − 5 3 √ _ x + 4 = 0 devine t 2 − 5t + 4 = 0 , cu
soluțiile
t 1 = 1 ⇒ 3 √ _ x = 1 ⇒ x = 1

t 2 = 4 ⇒ 3 √ _ x = 4 ⇒ x = 64 } ⇒ mulțimea soluțiilor ecuației este {1, 64}
4. Numerele de 3 cifre au forma ‾ abc . Pentru a, ca și pentru b, sunt 5
variante de alegere din mulțimea M = {3, 4, 5, 6, 7} , iar pentru c doar
trei variante de alegere din mulțimea {3, 5, 7} . În total sunt 5 ⋅ 5 ⋅ 3 =
= 75 numere impare de 3 cifre ce se pot forma cu elementele mulțimii
M = {3, 4, 5, 6, 7} .
5. Ecuația dreptei BC se obține din x − 5 _ − 2 − 5 = y − 17 _ − 4 − 17 ⇒ y = 3x + 2
A ∈ BC ⇒ a = 3 (− 1) + 2 ⇒ a = − 1
6. Se înlocuiește cos A = 2 √ _
2 _ 3 în relația sin 2 A + cos 2 A = 1 sin 2 A = 1 − 8 _ 9 = 1 _ 9
⇒ sin A = 1 _ 3 . BC _ sin A = 2R ⇒ R = 6 _
2 ⋅ 1 _ 3 = 9
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1a). Din calcul σ 2 = ( 1 2 3 4 5 5 2 1 3 4 ) ( 1 2 3 4 5 5 2 1 3 4 ) = ( 1 2 3 4 5 4 2 5 1 3 ) σ 3 =
σ 2 ⋅ σ = ( 1 2 3 4 5 3 2 4 5 1 ) și σ 4 = σ 3 ⋅ σ = ( 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 )
Deci σ k = e pentru k = 4.
1b). σ 3 x = θ ⇒ σ ⋅ σ 3 x = σθ și cum σ 3 ⋅ σ = e ⇒ ex = σθ
⇒ x = ( 1 2 3 4 5 5 2 1 3 4 ) ( 1 2 3 4 5 4 5 1 2 3 ) = ( 1 2 3 4 5 3 4 5 2 1 )

Teste propuse91
1c). Dacă x 2 = σ ⇒ ε ( x 2 ) = ε (σ) . Cum σ are 5 inversiuni ⇒ ε (σ) = (− 1) 5 = − 1
 ε ( x 2 ) = [ε (x) ] 2 = (± 1) 2 = 1 Pentru că se ajunge la contradicția 1 = − 1 ,
ecuația x 2 = σ nu are soluții în S 5 .
2a). det (A (2) ) = | 3 − 2 4 − 3 | = − 9 + 8 = − 1
2b). A (x) ⋅ A (y) = ( 1 + x − x 2x 1 − 2x ) ( 1 + y − y 2y 1 − 2y ) = =
( (1 + x) (1 + y) − 2xy
− y (1 + x) − x (1 + 2y)
2x (1 + x) + 2y (1 − 2x) − 2xy + (1 − 2x) (1 − 2y) ) =
= ( 1 + x + y − xy − x − y + xy 2 (x + y − xy) 1 − 2 (x + y − xy) ) = A (x + y − xy)
2c). A (x) ⋅ A ( x 2 + 1) = A (x + x 2 + 1 − x 3 − x) = A ( x 2 − x 3 + 1)
A (A (x) ) 2 = A (x) ⋅ A (x) = A (x + x − x 2 ) = A (2x − x 2 )
A ( x 2 − x 3 + 1) = A (2x − x 2 ) ⇒ x 2 − x 3 + 1 = 2 x − x 2 ⇒ x 3 − 2 x 2 + 2x − 1 = 0 ⇒
⇒ (x − 1) ( x 2 − x + 1) = 0 , cu o singură soluție reală x = 1
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1a). a n = 1 + 2 + . . . + n _ C n+1 3 = n (n + 1) _ 2 _
(n + 1) ! _ 3 ! (n − 2) ! = n (n + 1) _ 2 ⋅ 6 ___________ (n − 1) n (n + 1) = 3 _ n − 1 pentru n ≥ 2
1b). a n+1 = 3 _ n + 1 − 1 = 3 _ n
Din n > n − 1 ⇒ 1 _ n < 1 _ n − 1 ⇒ 3 _ n < 3 _ n − 1 și cum a n = 3 _ n − 1 ⇒ a n+1 < a n pentru
n ≥ 2
1c). a n+1 _ a n = n − 1 _ n ⇒ a n+2 _ a n+1 = n _ n + 1 ⇒ lim n→∞ ( a n+1 _ a n ) √ _
a n+2 _ a n+1
= lim n→∞ ( n − 1 _ n ) √ _
n _ n+1
= 1 1 = 1
2a). lim
x→−3 x>−3 x 2 + x + 1 _ x + 3 = + ∞ deoarece x + 3 → 0 și x + 3 > 0 iar numărătorul
x 2 + x + 1 → 3
2b). Dacă y = x + 1 este asimptota oblică spre + ∞ ⇒ m = n = 1
m = lim x→∞ f (x) _ x = lim x→∞ a x 2 + bx + 1 _ x 2 + 3x = a . Din m = 1 ⇒ a = 1
n = lim x→∞ [f (x) − mx] = lim x→∞ ( x 2 + bx + 3 _ x + 3 − x) = lim x→∞ x (b − 3) + 3 _ x + 3 = b − 3 și din
n = 1 ⇒ b − 3 = 1 ⇒ b = 4 . Deci f : (− 3, + ∞) → ℝ, f (x) = a x 2 + bx + 1 _ x + 3
admite asimptota oblică y = x + 1 pentru a = 1, b = 4

Teste propuse92
2c). lim x→∞ ( f (x) _ x + 1 ) x 2 +2019
= lim x→∞ [ x 2 + 4x + 1 _ (x + 1) (x + 3) ] x 2 +2019
=
lim x→∞ [ (1 + − 2 _ x 2 + 4x + 3 ) x 2 +4x+3 _ −2
] −2 _ x 2 +4x+3 ⋅ x 2 +2019
= e −2
TEST 4
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
log 2 8 < log 2 10 < log 2 1 6 ⇒ log 2 1 0 ∈ [3, 4) ⇒ [ log 2 1 0] = 3

3
√ _
1 < 3
√ _
7 < 3
√ _
8 ⇒ 3
√ _
7 ∈ (1, 2) ⇒ [ 3
√ _
7 ] = 1
} ⇒ [ log 2 1 0]

⏟
3 + [ 3
√ _
7 ]
⏟
1 = 4
2. Condiția Δ = 0 ⇒ (2m + 1) 2 − 16 = 0 ⇒ 2m + 1 = ± 4 cu soluțiile m 1 = 3 _ 2
și m 2 = −  5 _ 2 .
3. Condiția de existență x > 0
( log 2 x − 3) ( 3 x − 3) = 0 ⇒ { log 2 x = 3 ⇒ x = 2 3 = 8 3 x = 3 ⇒ x = 1 ⇒ Mulțimea soluțiilor
S ∈ {1, 8}
4.
card {a, b, c} = 3 card {1, 2, 3, 4, 5} = 5 } ⇒ numărul funcțiilor injective este
A 5 3 = 5 ! _ 2 ! = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60
5. Se calculează pantele celor două drepte
(a + 3) y = 2x − 7 ⇒ y = 2 _ a + 3 x − 7 _ a + 3 ⇒ panta m d 1 = 2 _ a + 3
y = 4x + 2019 ⇒ panta m d 2 = 4
Se impune condiția de perpendicularitate m d 1 ⋅ m d 2 = −   1 2 _ a + 3 ⋅ 4 = − 1 ⇒
a + 3 = − 8 ⇒ a = − 11
6. s i n 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 25 _ 169 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 − 25 _ 169 = 144 _ 169 ⇒
cos α = ±  12 _ 13
Cum α ∈ (π, 3π _ 2 ) ⇒ cos α < 0 , deci se acceptă valoarea cos α = −  12 _ 13
sin 2α = 2 sin α cos α ⇒ sin 2α = 2 ⋅ (−  5 _ 13 ) ⋅ (−  12 _ 13 ) = 120 _ 169

Teste propuse93
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1a). D (3, 1) = | 1
9
27
1 1 1
1
4
8 | = | 1
8
26
1 0 0
1
3
7 | = −  | 8 26 3 7 | = −  (56 − 78) = 22
1b).
| 1
x 2
x 3
1 y 2 y 3
1
4
8 | = | 1
x 2
x 3
0 (y − x) (y + x) (y − x) ( y 2 + xy + x 2 )
0
(2 − x) (2 + x)
(2 − x) (4 + 2 x + x 2 ) | =
= (y − x) (2 − x) | y + x y 2 + xy + x 2 2 + x 4 + 2 x + x 2 | =

= (y − x) (2 − x) | y + x y 2 + x 2 + xy 2 − y (2 − y) (2 + y) + x (2 − y) | =

= (y − x) (2 − x) (2 − y) | y + x y 2 + x 2 + xy 1 2 + x + y | =

= (y − x) (2 − x) (2 − y) (2x + 2y + xy)
1c). D ( 4 x , 8 x ) = 0 ⇒ ( 8 x − 4 x ) (2 − 4 x ) (2 − 8 x ) ( 4 x ⋅ 8 x + 2 ⋅ 4 x + 2 ⋅ 8 x ) 
≠ 0 = 0 ⇒
⇒ ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ 4 x = 8 x ⇒ x = 0
4 x = 2 ⇒ x = 1 _ 2
8 x = 2 ⇒ x = 1 _ 3 deci mulțimea soluțiilor este S = {0, 1 _ 3 , 1 _ 2 }
2a). A (1) = ( 1
1
1
1 1 5
1
5
1 ) și (A (1) ) 2 = ( 3
7
7
7 27 11
7
11
27 )
2b). det (A (a) ) = | 1
1
1
1 a 5
1
5
a | = | 1
1
1
0 a − 1 4
0
4
a − 1 | =
= (a − 1) 2 − 16 = (a − 1 + 4) (a − 1 − 4) = (a + 3) (a − 5)

Teste propuse94
2c). A (a) = ( 1
1
1
1 a 5
1
5
a ) și A (3 − a) = ( 1
1
1
1 3 − a 5
1
5
3 − a ) A (a) ⋅ A (3 − a) =
= ( 3
9 − a
9 − a
6 + a 26 + 3 a − a 2 16
6 + a
16
16 + 3a − a 2 ) =
A (3 − a) ⋅ A (a) = ( 3
6 + a
6 + a
9 − a 26 + 3 a − a 2 16
9 − a
16
26 + 3 a − a 2 )
A (a) ⋅ A (3 − a) = A (3 − a) ⋅ A (a) cu condiția 6 + a = 9 − a ⇒ a = 3 _ 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1a). a n+1 = a n 2 − 10 a n + 30 = ( a n 2 − 10 a n + 2 5) + 5 = ( a n − 5) 2 + 5
a 1 = ( a 0 − 5) 2 + 5 sau a 1 = (5, 5 − 5) 2 + 5 = 5, 25 ⇒ (∀) n ∈ ℕ, a n > 5
1b). Se arată inductiv că a n < 6
Fie a n < 6 ⇒ 0 < a n − 5 < 1 ⇒ 0 < (a − 5) 2 < 1 ⇒ ( a n − 5) 2 + 5 < 6 ⇒
⇒ a n+1 < 6 ⇒ a n ∈ (5, 6) pentru oricare n ∈ ℕ , deci șirul este mărginit.
1c). a n+1 − a n = a n 2 − 11 a n + 30 = ( a n − 5) ( a n − 6) < 0 , deci șirul este descrescător
și admite o limită finită ⇒ (∃) lim n→∞ a n = l care verifică relația de recurență
l 2 − 11l + 30 = 0 .
Rădăcinile ecuației fiind l 1 = 5 , l 2 = 6 și ținând cont de caracterul
descrescător al șirului,
⇒ lim n→∞ a n = 5
2a). f (x) [f (x) + e −2 _ x ] = (x − 3) e −2 _ x [ (x − 3) e −2 _ x + e −2 _ x ] = e −4 _ x (x − 3) (x − 2)
Cum e −4 _ x > 0 pentru oricare x ∈ ℝ * ⇒ (x − 2) (x − 3) ≤ 0 , deci x ∈ [2, 3] \
{0}
2b). Se calculează limitele laterale pentru x = 1
lim
x→0 x>0 f (x) = − 3 e −∞ = 0
lim
x→0 x<0 f (x) = − 3 e +∞ = − ∞ ⎫
⎪
⎬
⎪
⎭ Cum lim
x→0 x>0 f (x) ≠ lim
x→0 x<0 f (x) , f nu admite limită
în x = 0 .

Teste propuse95
2c). Ecuația asimptotei oblice spre + ∞ la graficul funcției este y = mx + n . Se
calculează valorile m , respectiv n :
m = lim x→∞ f (x) _ x = lim x→∞ x − 3 _ x ⋅ e −2 _ x = 1 ⋅ 1 = 1 n = lim x→∞ [f (x) − x] = lim x→∞ [x ( e −2 _ x − 1) − 3
e −2 _ x ] = lim x→∞ [ (− 2) e −2 _ x − 1 _
− 2 _ x − 3 e −2 _ x ] = − 2 − 3 = − 5
Deci ecuația asimptotei oblice spre + ∞ la graficul funcției f este y = x − 5
TEST 5
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. z = 2 + i _ 3 − i = (2 + i) (3 + i) _ (3 − i) (3 + i) = 5 + 5i _ 10 = 1 _ 2 + 1 _ 2 i
Din z = 1 _ 2 + 1 _ 2 i și _ z = a − bi ⇒ a = 1 _ 2 ,  b = −  1 _ 2 .
2.Se calculează coordonatele vârfului parabolei conform formulei
V = ( − b _ 2a , − Δ _ 4a ) ; V = ( − 2 _ 2 , − 4 − 4m _ 4 ) ⇒ V = (− 1, − 1 + m) .
Cum prima bisectoare are ecuația y = x ⇒ − 1 = − 1 + m ⇒ m = 0 ,
deci V (− 1, − 1) .
3. log 2 ( 2 x + 16) = x + 1 ⇒ 2 x + 1 6 = 2 x+1 ⇒ 2 ⋅ 2 x − 2 x = 16 ⇒ 2 x (2 − 1) = 16
⇒ 2 x = 2 4 ⇒ x = 4
4. Cazuri totale: 900 (numere de 3 cifre, între 100 și 999 inclusiv)
Multiplii lui 3 de 3 cifre: mulțimea A = {102, 105, . . . , 999} , cu 300 de
elemente.
Multiplii lui 9 de 3 cifre: mulțimea B = {108, 117, . . . , 999} , cu 100 de
elemente.
Cazuri favorabile: A − B = {102, 105, 111, 114, 120, . . . , 996} , cu 300−100
= 200 elemente; p = 200 _ 900 = 2 _ 9 .
5. Punctele A (2, 3) ,  B (− 1, 5) ,  C (8, 2) ,  D (α, β) formează un paralelogram
dacă mijlocul diagonalei AC coincide cu mijlocul diagonalei BD. Se
calculează:
mijlocul diagonalei BD = O ( − 1 + α _ 2 , 5 + β _ 2 )
mijlocul diagonalei AC = O ( 8 + 2 _ 2 , 2 + 3 _ 2 ) ⇒ O ( 10 _ 2 , 5 _ 2 )
Din 10 _ 2 = − 1 + α _ 2 ⇒ α = 11 și din 5 _ 2 = 5 + β _ 2 ⇒ β = 0 , deci D (11, 0) .
6. m ( ˆ B ) = π − π _ 4 − π _ 12 = 2π _ 3
Din Teorema sinusurilor: BC _ sin A = AC _ sin B ⇒ 6 _
√ _
2 _ 2 = AC _
√ _
3 _ 2 ⇒ AC = 6 √ _
3 _ √ _
2 = 6 √ _
6 _ 2 = 3 √ _
6

Teste propuse96
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) det (A (x) ) = | x + 5 1 1 x + 5 | = (x + 5) 2 − 1 = (x + 5 − 1) (x + 5 + 1) = (x + 4)
(x + 6)
det (A (x) ) = 0 ⇒ (x + 4) (x + 6) = 0 ⇒ x 1 = − 4 și x 2 = − 6
1.b)Conform Teoremei Cayley-Hamilton, orice matrice A = ( a b c d ) are
proprietatea A 2 − (a + d) A + det (A) ⋅ I 2 = O 2 . Pentru matricea A (x) =
( x + 5 1 1 x + 5 ) , proprietatea devine: A 2 − (x + 5 + x + 5) A + (x + 4)
(x + 6) ⋅ I 2 = O 2 deci A 2 − (2x + 10) A + ( x 2 + 10x + 24 ) ⋅ I 2 = O 2 ⇒
A 2 = (2x + 10) A − ( x 2 + 10x + 24 ) ⋅ I 2 .
1.c) A 2 = 2A ⇒ A = 2 I 2 dacă A este inversabilă, imposibil, deci det (A (x) ) = 0
pentru x 1 = − 4 și x 2 = − 6 . Se înlocuiesc pe rând aceste valori în relația:
A 2 = (2x + 10) A − ( x 2 + 10x + 24 ) ⋅ I 2
x = − 4 ⇒ A 2 = (− 8 + 10) A ⇒ A 2 = 2A
x = − 6 ⇒ A 2 = (− 12 + 10) A ⇒ A 2 = − 2 A
Deci, ecuația A 2 = 2A are soluția pentru x = − 4 A = ( 1 1 1 1 ) .
2.a) D (1, m) = | 1
1
1
− 2 2 1
1
1
m | = | 1
0
1
− 2 4 1
1
0
m | = 4 (m − 1) , deci D (1, m) = 0 ⇒ m = 1
2.b) D (x, m) = | x 2
x
1
− 2 2 1
x
1
m | = | x 2
x 2 + x
1
− 2 0 1
x
x + 1
m | = (x + 1) | x 2
x
1
− 2 0 1
x
1
m | =
= (m + 1) (2mx − 2) = 2 (m + 1) (mx − 1)
2.c) D (m + 1, m − 1) = 2 (m + 1 + 1) [ (m − 1) (m + 1) − 1] = 2 (m + 2) ( m 2 − 2) ,
cu soluțiile m 1 = − 2, m 2,3 = ±  √ _
2
Variația semnelor:
m − ∞ − 2 −  √ _
2 √ _
2 + ∞
D ––– ––- 0 +++++ 0 ––– 0 +++++
D (m + 1, m − 1) ≤ 0 pentru m ∈ (− ∞ ,  − 2] ∪ [−  √ _
2 , √ _
2 ]

Teste propuse97
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) x n = f (n) ⇒ x n = ln n + 2 _ n + 1 , iar x n+1 = f (n + 1) = ln n + 1 + 2 _ n + 1 + 1 = ln n + 3 _ n + 2
x n+1 < x n ⇔ ln n + 3 _ n + 2 < ln n + 2 _ n + 1 ⇔ n + 3 _ n + 2 < n + 2 _ n + 1 ⇔ (n + 3) (n + 1) < (n + 2) 2 ⇔
n 2 + 3n + n + 3 < n 2 + 4n + 4 ⇔ n 2 + 4n + 3 < n 2 + 4n + 4 ⇒
3 < 4 . Adevărat
1.b) a 1 + a 2 + . . . + a n = ln 3 _ 2 + ln 4 _ 3 + . . . + ln n + 1 _ n + ln n + 2 _ n + 1 =
= ln ( 3 _ 2 ⋅ 4 _ 3 ⋅ 5 _ 4 ⋅ . . . ⋅ n + 1 _ n ⋅ n + 2 _ n + 1 ) = ln n + 2 _ 2 , deci
lim n→∞ [ (n + 100) ( a 1 + a 2 + . . . + a n + l n 2 _ n + 3 ) ] =
= lim n→∞ [ (n + 100) (ln n + 2 _ 2 + ln 2 _ n + 3 ) ] =
= lim n→∞ [ (n + 100) l n n + 2 _ n + 3 ] = lim n→∞ ln [ (1 − 1 _ n + 3 ) n+3 _ −1
] −1 _ n+3 ⋅ (n+100 )
= ln e −1 = − 1
1.c) Fie funcția g : [0, + ∞) → ℝ, g (x) = f (x) − x , continuă pe intervalul (0, ∞) .
g (1) = ln 3 _ 2 − 1 ≺ ln e − 1 ≺ 0 și g (0) = ln 2 _ 1 − 0 = ln 2 ≻ ln 1 = 0 , deci
g (1) g (0) < 0 ⇒ g admite cel puțin o soluție în intervalul (0, 1)
2.a) Condiția de continuitate lim
x→0 x<0 f (x) = f (0) = lim
x→0 x>0 f (x)
lim
x→0 x<0 f (x) = lim
x→0 x<0 (2x + m) = m , f (0) = m ș i lim
x→0 x>0 f (x) = lim
x→0 x>0 arctg x _ x + 1 =
= arctg 0 = 0 . Condiția de continuitate este realizată pentru m = 0 .
2.b) lim x→∞ f (x) = lim x→∞ arctg x _ x + 1 = arctg 1 = π _ 4
y = π _ 4 este ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ la graficul funcției.
2.c) lim x→∞ x 2 [f (x + 1) − f (x) ] = lim x→∞ x 2 (arctg x + 1 _ x + 2 − arctg x _ x + 1 ) =
= lim x→∞ x 2 ⋅ arctg x + 1 _ x + 2 − x _ x + 1 _
1 + x + 1 _ x + 2 ⋅ x _ x + 1 = lim x→∞ x 2 ⋅ arctg 1 _ 2 x 2 + 4x + 2 =
= lim x→∞ x 2 _ 2 x 2 + 4x + 2 = 1 _ 2

Teste propuse98
TEST 6
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. |z| = |3 + 4 i| _ |4 + 3 i| = √ _ 9 + 16 _ √ _ 16 + 9 = 1 5p
2. x 1 + x 2 = 1
x 1 x 2 = − 1
1 _ x 1 + 1 _ x 2 = x 1 + x 2 _ x 1 x 2 = 1 _ − 1 = − 1 2p
2p
1p
3. x − 1 > 0 , deci domeniul maxim de definiție este (1, ∞)
Ecuația dată este echivalentă cu x − 1 = 3 3
cu soluția x = 28 ∈ (1, ∞) .2p
1p
2p
4. f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 0
f (1) = 0, f (2) = 1, f (3) = 0
f (1) = 0, f (2) = 0, f (3) = 1
3 funcții1p
1p
3p
5. a _ 3 = 3 _ 1
a = 9 3p
2p
6. cosA = A B 2 + A C 2 − B C 2 _____________ 2ABAC =
16 + 36 − 25 _ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 = 27 _ 48 3p
2p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.a) A 2 = A
A 3 = A 2A = A 2 = A 2p
3p
1.b) X (a) X (b) = ( I 2 + aA) ( I 2 + bA) = I 2 + aA + bA + ab A 2 =
I 2 + aA + bA + abA = X (a + b + ab) 5p
1.c) X (a) X (b) = X (a + b + ab) = X ( (a + 1) (b + 1) − 1) ,
X (− 1) X (a) = X (− 1) și X (a) X (− 1) = X (− 1)
De aici X (− 1) X (0) X (1) X (2) = X (− 1) .2p
2p
1p
2.a) d = left lline matrix {a # b # c ## c # a # b ## b # c # a} right rline 1p
3p
1p

Teste propuse99
2.b) d = | a
b
c
c a b
b
c
a | . Prin adunarea coloanelor 2 si 3 la prima coloana
se obține d = | a + b + c
b
c
a + b + c a b
a + b + c
c
a | = (a + b + c) | 1
b
c
1 a b
1
c
a | =
= (a + b + c) | 1
b
c
0 a − b b − c
0
c − b
a − c |
d = 1 _ 2 (a + b + c) ( (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 ) 1p
2p
2p
2.c) d = 1 _ 2 ( 3 x + 5 x + 2 x ) ( ( 3 x − 5 x ) 2 + ( 5 x − 2 x ) 2 + ( 2 x − 3 x ) 2 )
3 x = 5 x = 2 x , deci x = 0 3p
2p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.a) x − 2 < x + sinx < x + 2,  ∀ x ∈ ℝ
lim x→∞ f (x) = ∞ , lim x→−∞ f (x) = − ∞
Nu există asimptote orizontale.
lim x→∞ f (x) _ x = lim x→∞ x + sinx _ x = 1
lim x→∞ f (x) − x = lim x→∞ s i nx , această limită nu există
Nu există asimptote oblice.
Funcția este continuă și are domeniul mulțimea numerelor reale,
deci graficul funcției nu admite asimptote vertical.1p
2p
1p
1p
1.b) f (2) = 2 + sinx > 0
f (− 2) = − 2 + sinx < 0
f continuă, deci există c ∈ (− 2, 2 ) astfel încât f (c) = 0 2p
2p
1p
1.c) lim x→0 f (x) _ sinx = lim x→0 x + sinx _ sinx = 2 5p
2.a) lim x↓0 f 0 (x) = lim x↓0 l nx = − ∞ 5p
2.b) x ∈ (0, 1) , atunci x n → 0 , deci lim n→∞ f n (x) = 0 5p
2.c) x n , lnx sunt funcții pozitive, strict crescătoare și continue
Produsul lor este o funcție strict crescătoare, continuă,
iar lim x→1 f (x) = 0, lim x→∞ f (x) = ∞ .
Deci f ( (1, ∞) ) = (0, ∞) .2p
2p
1p

Teste propuse100
TEST 7
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Prin înmulțirea cu z a relației date obținem z 2 + z + 1 = 0 și mai
departe (z − 1) ( z 2 + z + 1) = 0 , adică z 3 = 1
( z 3 ) 673 = 1 3p
2p
2. 6 − x _ x − 3 < 0
x ∈ (− ∞ , 3 ) ∪ (3, ∞) 3p
2p
3. 3 x ( 3 2 + 1) = 90
3 x = 3 2
x = 2 1p
2p
2p
4. 1 + n + n (n − 1) _ 2 = 7
2n + n 2 − n = 12 .
n = 3 1p
2p
2p
5. G este centru de greutate x G = 0 + 1 + 2 _ 3 = 1, y G = 0 + 3 + 3 _ 3 = 2 5p
6. √ _
3 sinx + 3cos x = 4cos x
√ _
3 sinx = cos x
x = π _ 6 2p
2p
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) detA = 1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1 5p
b) A − I 3 = ( 0
1
2
0 0 3
0
0
0 )
(A − I 3 ) 2 = ( 0
0
3
0 0 0
0
0
0 )
(A − I 3 ) 3 = O 3 2p
2p
1p
c) Din b) A 3 − 3 A 2 + 3A − I 3 = O 3
A ( A 2 − 3A + 3 I 3 ) = I 3
A inversabilă și A −1 = A 2 − 3A + 3 I 3 2p
3p

Teste propuse101
2.a) D (1, 1, c) este un determinant cu două linii identice, deci va fi egal
cu zero.5p
b) D (a, b, c) = | 1
1
1
a b c
a 2
b 2
c 2 | = | 1
0
0
a b − a ca
a 2
b 2 − a 2
c 2 − a 2 | =
(b − a) (c − a) | 1 1 b + a c + a | = (b − a) (c − a) (c − b) 5p
c) (a + b + c) D (a, b, c) = (a + b + c) (b − a) (c − a) (c − b)
Dacă a, b, c sunt numere naturale în care cel puțin două au același
rest la împărțirea cu 3, atunci cel puțin o diferență dintre două
numere va fi multiplu de 3, deci produsul va fi multiplu de 3.
Dacă a, b, c dau resturi diferite la împărțirea cu 3, atunci suma lor
este multiplu de 3.
În cele trei numere se pot găsi cel puțin două de aceeași paritate a
cător diferență este pară, deci produsul este par.2p
2p
1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→1 lnx _ x − 1 = lim x→1 ln (1 + x − 1) _ x − 1 = 1 5p
b) lim x↓0 f (x) = − ∞ _ 1 = − ∞ 3p
Dreapta de ecuație x = 0 este asimptotă verticală la graficul funcției 2p
c) Din a) și b) și ținând cont că f este continuă va rezulta că există un
punct între 0 și 1 în care funcția se anulează.5p
2.a) a n+1 − a n = 3 − a n > 0 , c ∈ ℝ 3p
a n este șir strict crescător 2p
b) Presupunând că șirul a n este mărginit și ținând cont că șirul este
crescător va rezulta că este convergent, adică a n . are limită finită 2p
Trecând la limită în relația de recurență vom obține o contradicție 3p
c) lim n→∞ ( 3 a n+1 − 3 a n ) = lim n→∞ 3 a n ( 3 a n+1 − a n − 1) = lim n→∞ 3 a n ( 3 3 − a n − 1) = lim n→∞ ( 3 3 − a n − 1) _ 3 − a n = ln3 5p

Teste propuse102
Rezolvãri și bareme
de corectare clasa a XII-a
TEST 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. log 2 √ _ 2 + √ _
2 + log 2 √ _ 2 − √ _
2 = log 2 √ ______________ (2 + √ _
2 ) (2 − √ _
2 ) = log 2 √ _ 4 − 2 =
= log 2 √ _
2 = log 2 2 1 _ 2 = 1 _ 2 și 1 _ 2 ∈ ℚ .
2. f (g (x) ) = 0 ⇒ g 2 (x) − 5g (x) + 4 = 0 cu soluțiile:
g (x) = 4 ⇒ 2x + 1 = 4 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3 _ 2
g (x) = 1 ⇒ 2x + 1 = 1 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0 } ⇒ mulțimea soluțiilor este
S ∈ {0, 3 _ 2 }
3. Se notează 3 x = t, cu condiția t > 0 .
9 x+1 − 1 = 3 x − 3 x+2 ⇒ 9 t 2 − 1 = t − 9t ⇒ 9 t 2 + 8t − 1 = 0 cu soluțiile:
t 1 = − 1, exclusă (contrazice conditia t > 0)
t 2 = 1 _ 9 ⇒ 3 x = 3 −2 ⇒ x = − 2 } ⇒ soluție finală unică x = − 2
4. Funcția este impară dacă f (− x) = − f (x) și f (0) = 0 .
Pentru f (− 2) , dar și pentru f (− 1) sunt 5 variante de alegere. În rest, există
doar o variantă de alegere f (1) = −   f (1) ș i f (2) = −   f (− 2) . Deci numărul
funcțiilor impare f : {− 2, − 1, 0, 1, 2} → {− 2, − 1, 0, 1, 2} este 5 2 = 25 .
5. Dacă AB = 3 cm, în triunghiul dreptunghic ABD
cu m ( ˆ DAB ) = 6 0 ∘ și m ( ˆ ADB ) = 3 0 ∘ , ipotenuza AD
este 3 ⋅ 2 = 6 cm ( Figura 1 )
⟶ AB ⋅ ⟶ AD = | ⟶ AB | ⋅ | ⟶ AD | ⋅ cos 60 ∘
⟶ AB ⋅ ⟶ AD = 2 ⋅ 6 ⋅ cos 60 ∘ = 2 ⋅ 6 ⋅ 1 _ 2 = 6 Figura 1
6. Fie a = 4, b = 3 și c = 2 . Trebuie demonstrat că mărimea unghiului opus
laturii cu cea mai mare lungime este obtuz, deci m ( ˆ A ) > 90 ∘ .
cos A = b 2 + c 2 − a 2 _ 2bc = 9 + 4 − 16 _ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = − 3 _ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = − 1 _ 4 . Din cos A = − 1 _ 4 ⇒ △ ABC
obtuzunghic.

Teste propuse103
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) det (A (1) ) = | 2
1
1
1 2 1
1
1
2 | = | 4
4
4
1 2 1
1
1
2 | = 4 | 1
1
1
1 2 1
1
1
2 | = 4 | 1
1
1
0 1 0
1
1
2 | = 4
1.b) det (A (m) ) = | m + 1
1
1
1 m + 1 1
1
1
m + 1 | = (m + 3) | 1
1
1
1 m + 1 1
1
1
m + 1 | =
(m + 3) | 1
1
1
0 m 0
0
0
m | = m 2 (m + 3)
1.c) m = − 3 ⇒
{ − 2x + y + z = − 1
x − 2y + z = − 1
x + y − 2z = 2
Fie m p = | − 2 1 1 − 2 | = 3 ≠ 0 cu D C = | − 2
1
− 1
1 − 2 − 1
1
1
2 | = 0 ⇒ sistem compatibil
nedeterminat
Se notează z = α ⇒ { − 2x + y = − 1 − α x − 2y = − 1 − α ⇒ { x = 1 + α y = 1 + α deci x 0 y 0 + z 0 2 =
5 devine (1 + α) 2 + α 2 = 5 ⇒ 2 α 2 + 2α − 4 = 0 cu soluțiile α = 1 ⇒ x 0 =
= y 0 = 2 și α = − 2 ⇒ x 0 = y 0 = − 1 . Condiția este îndeplinită pentru tripletele
(2, 2, 1) și (− 1, − 1, − 2) .
2.a) x ∘ y = xy − 5x − 5y + 25 + 5 = x (y − 5) − 5 (y − 5) + 5 = (x − 5) (y − 5) + 5
2.b)Se observă că (∀) x ∈ ℝ, x ∘ 5 = 5 ∘ x = 5 deci 5 este element absorbant.
Se notează A = √ _
1 ∘ √ _
2 ∘ . . . ∘ √ _
24 și B = √ _
26 ∘ √ _
27 ∘ . . . ∘ √ _ 2020 și se
aplică legea de compoziție pentru A, √ _
25 și B , deci A ∘ √ _
25 ∘ B = A ∘ 5 ∘ B
= 5 ∘ B = 5 .
2.c)Se formează sistemul { (x − 5) 2 + 5 = y rel. (* 1) (y − 5) 2 + 5 = x rel. (* 2) .
Din rel. (* 1) − r e l . (* 2) se obține:
(x − 5) 2 − (y − 5) 2 = y − x ⇒ (x − y) (x + y − 10) + (x − y) = 0 ⇒
(x − y) (x + y − 9) = 0

Teste propuse104
⇒ ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ x = y ⇒ (x − 5) 2 = x − 5 ⇒ (x − 5) (x − 6) = 0 ⇒ { x − 5 = 0 ⇒ x 1 = y 1 = 5
x 2 − 5 = 1 ⇒ x 2 = y 2 = 6
x + y = 9 ⇒ (x − 5) 2 + 5 = 9 − x ⇒ x 2 − 9x + 21 = 0
neacceptat (solutiile ∉ ℝ)
Deci există două perechi (x, y) de soluții: (5, 5) și (6, 6) .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′ (x) = ( e x ) ′ (x + 3) − e x (x + 3) ′ ________________ (x + 3) 2 = e x (x + 3 − 1) _ (x + 3) 2 = e x (x + 2) _ (x + 3) 2
1.b) f (0) = e 0 _ 0 + 3 = 1 _ 3 deci lim x→0 f (x) − 1 _ 3 _ x = lim x→0 f (x) − f (0) _ x − 0 = f ′ (0)
f ′ (0) = e 0 ⋅ 2 _ 9 = 2 _ 9
1.c) f ′ (x) = 0 ⇒ x = − 2
Tabelul de variație a funcției
x − 3 − 2 + ∞
f ′ –– –– 0 +++++ +++++
f + ∞ ↘ 1 _ e 2 ↗ + ∞
Se observă că punctul de minim al funcției este 1 _ e 2 , deci f (x) ≥ 1 _ e 2 (∀) x ∈
(− 3, + ∞) .
2.a) ∫
0 1 1 _ √ _ x 2 + 3 dx = ln (x + √ _ x 2 + 3 ) | 0 1 = ln (1 + √ _
4 ) − ln (0 + √ _
3 ) =
= ln 3 − ln √ _
3 = ln √ _
3 = 1 _ 2 ln 3
2.b) I 1 = ∫
0 1 x _ √ _ x 2 + 3 dx = ∫
0 1 ( √ _ x 2 + 3 ) ′ dx = √ _ x 2 + 3 | 0 1 = √ _
4 − √ _
3 = 2 − √ _
3
2.c) I n = ∫
0 1 x n _ √ _ x 2 + 3 d x = ∫
0 1 x _ √ _ x 2 + 3 ⋅ x n−1 dx = ∫
0 1 ( √ _ x 2 + 3 ) ′ x n−1 dx = = √ _ x 2 + 3 ⋅
x n−1 | 0 1 − (n − 1) ∫
0 1 √ _ x 2 + 3 ⋅ x n−2 dx = √ _
4 − (n − 1) ∫
0 1 ( x 2 + 3) ⋅ x n−2 _ √ _ x 2 + 3 dx
I n = 2 − (n − 1) ∫
0 1 ( x n _ √ _ x 2 + 3 + 3 x n−2 _ √ _ x 2 + 3 ) dx
I n = 2 − (n − 1) I n − 3 (n − 1) I n−2 ⇒ n I n = 2 − 3 (n − 1) I n−2

Teste propuse105
TEST 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. a 5 = a 1 + 4r ș i a 9 = a 1 + 8r . Se formează sistemul { a 1 + 4r = 5
a 1 + 8r = 13 ⇒ r = 2 ,
a 1 = − 3 .
a 7 = a 1 + 6r ⇒ a 7 = − 3 + 12 = 9
2. V min = − Δ _ 4a = −  m 2 + 4 (m + 2) ___________ 4 = 3 ⇒ −  m 2 + 4m + 8 = 12 ⇒ (m − 2) 2 = 0 ⇒
m = 2
3. Condiția de existență: x > 0
log 9 x + log 27 x + log 1 _ 3 x = − 1 _ 6 ⇒ log 3 2 x + log 3 3 x + log 3 −1 x = − 1 _ 6 ⇒ ⇒ 1 _ 2
log 3 x + 1 _ 3 log 3 x − log 3 x = − 1 _ 6 ⇒ ( log 3 x) ( 1 _ 2 + 1 _ 3 − 1) = − 1 _ 6 ⇒ ⇒ − 1 _ 6 log 3 x
= − 1 _ 6 ⇒ log 3 x = 1 ⇒ x = 3
4. Cazuri totale: 900 (există 900 de numere naturale de 3 cifre, de la 100 la
999 inclusiv)
Cazuri favorabile:
Se stabilește mulțimea cifrelor pătrate perfecte M = {0, 1, 4, 9} .
Se impune observația că, la numerele de trei cifre de forma ‾ abc compuse
din cifre aparținând mulțimii M , pentru a sunt trei variante de alegere
a ≠ 0 ⇒ a ∈ {1, 4, 9} , iar pentru b și c sunt câte patru variante de alegere
b, c ∈ {0, 1, 4, 9} .
Deci numărul cazurilor favorabile este 3 ⋅ 4 ⋅ 4 = 48 .
p = 48 _ 900 = 4 _ 75
5. Condiția de paralelism: AB ∥ CD ⇒ m AB = m CD ⇒ 7 − 3 _ − 5 − 2 = a − 3 _ 1 − 8 ⇒ a = 7
6. 2b = π _ 6 − a ⇒ sin 2 b = sin ( π _ 6 − a) ⇒ 2 sin b cos b = 1 _ 2 cos a − √ _
3 _ 2 sin a ⇒
⇒ 4 sin b cos b = cos  a − √ _
3 sin a

Teste propuse106
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) det (A (m) ) = | 1
− 1
1
1 m + 1 − m
m
m
− 1 | = | 1
0
0
1 m + 2 − m − 1
m
2m
− m − 1 | =
= −  (m + 1) | m + 2 1 2m 1 | = −  (m + 1) (m + 2 − 2m) = (m + 1) (m − 2)
1.b) m = 0 ⇒ det (A (0) ) = − 2 deci matricea este inversabilă
A (0) = ( 1
− 1
1
1 1 0
0
0
− 1 ) și A −1 = 1 _ 2 ( 1
1
1
− 1 1 − 1
0
0
− 2 )
1.c)Pentru m = − 1 ⇒ ⎧
⎪
⎨ ⎪
⎩ x − y + z = 1 rel. (* 1)
x + z = 2 rel. (* 2)
− x − y − z = 0 rel. (* 3)
Din rel. (* 2) − rel. (* 1) ⇒ y = 1 .
În rel. (* 3) ⇒ −  (x + z)
⏟
2 − y
⏟
1 = 0 ⇒ − 3 = 0 contradicție ⇒ sistem incompatibil
Pentru m = 2 ⇒
{ x − y + z = 1
x + 3y − 2z = 2
2x + 2y − z = 3 M p = | 1 − 1 1 3 | = 4 ≠ 0
D C = | 1
− 1
1
1 3 2
2
2
3 | = 0 ⇒ sistemul este compatibil nedeterminat
Concluzie: sistemul este incompatibil pentru m = − 1 .
2.a) x ∘ y = √ _______________ x 2 y 2 − x 2 − y 2 + 2 = √ __________________ x 2 y 2 − x 2 − y 2 + 1 + 1 =
√ ___________________ x 2 ( y 2 − 1) − ( y 2 − 1) + 1 = x ∘ y = √ ________________ ( y 2 − 1) ( x 2 − 1) + 1 și
{ x ∈ G ⇒ x 2 − 1 > 0 y ∈ G ⇒ y 2 − 1 > 0 ⇒ ( x 2 − 1) ( y 2 − 1) > 0 , deci.
( x 2 − 1) ( y 2 − 1) + 1 > 1 ⇒ x ∘ y > 1 ⇒ x ∘ y ∈ G
2.b) x ∘ x = √ _ ( x 2 − 1) 2 + 1
x ∘ x ∘ x = √ _ ( x 2 − 1) 3 + 1 și x ∘ x ∘ x = x ⇒ √ _ ( x 2 − 1) 3 + 1 = x ⇒
( x 2 − 1) 3 + 1 = x 2 ⇒ ( x 2 − 1) 3 − ( x 2 − 1) = 0 ⇒ ( x 2 − 1) [ ( x 2 − 1) 2 − 1] = 0 ⇒
⇒ ( x 2 − 1) ( x 2 − 1 − 1) ( x 2 − 1 + 1) = 0 ⇒ x 2 ( x 2 − 1) ( x 2 − 2) = 0 cu soluțiile
x = 0, x = ± 1, x = ±  √ _
2 , din care doar x = √ _
2 ∈ G . Deci soluția unică este
x = √ _
2 .

Teste propuse107
2.c) f (x) = √ _ x + a ,  f (y) = √ _ y + a ,  f (xy) = √ _ xy + a
f (x) ∘ f (y) = √ _ x + a ∘ √ _ y + a =
√ _____________________________________ ( √ _ x + a ) 2 ( √ _ y + a ) 2 − ( √ _ x + a ) 2 − ( √ _ y + a ) 2 + 2 =
= √ ______________________________ xy + x (a − 1) + y (a − 1) + a 2 − 2a + 2 =
√ __________________________ xy + (a − 1) (x + y) + a 2 − 2a + 2 f (xy) = f (x) ∘ f (y) ⇒ √ _ xy + a =
√ __________________________ xy + (a − 1) (x + y) + a 2 − 2a + 2
Se impun condițiile:
a − 1 = 0 ⇒ a = 1
a 2 − 2a + 2 = a ⇒ a 3 − 3a + 2 = 0 ⇒ (a − 1) (a − 2) = 0 ⇒ a = 1 sau a = 2
Se admite varianta a = 1 (egalitatea fiind asigurată pentru ambele condiții).
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′ (x) = (2x + 4) e x − ( x 2 − 4x + 4) e x ___________________ e 2x = −  x 2 + 6x − 8 _ e x , x ∈ ℝ
1.b) f ′ (x) = 0 ⇒ x 2 + 6x − 8 = 0 cu soluțiile x 1 = 2, x 2 = 4
Tabelul de variație al funcției f
x − ∞ 2 4 + ∞
f ′ –- –- 0 +++++ 0 –– ––
f + ∞ ↘ 0 ↗ 4 _ e 4 ↘ 0
f strict descrescătoare dacă x ∈ (− ∞ , 2 ) ∪ (4, 8)
f strict crescătoare dacă x ∈ [2, 4]
1.c)Din tabelul de variație: x ≥ 2 ⇒ f (x) ≤ 4 _ e 4
x 2 − 4x + 4 _ e x ≤ 4 _ e 4 ⇒ x 2 + 4x + 4 _ 4 ≤ e x _ e 4 ⇒ x 2 _ 4 − x + 1 ≤ e x−4 ⇒ ( x _ 2 ) 2 − x + 1 ≤ e x−4
2.a) ∫
1 2 f (x) _ x dx = ∫
1 2 x e 2x _ x dx = e 2x _ 2 | 1 2 = e 4 − e 2 _ 2 = e 2 ( e 2 − 1) _ 2
2.b) F (x) = ∫ x e 2x dx = ∫ ( e 2x _ 2 ) ′
x dx = e 2x _ 2 x − ∫ e 2x _ 2 dx = e 2x _ 2 x − e 2x _ 4 + C
F (0) = −   e 0 _ 4 + C și F (0) = 3 _ 4 ⇒ C = 3 _ 4 + 1 _ 4 = 1 , deci primitiva F a funcției f
pentru care F (0) = 3 _ 4 este F : ℝ → ℝ, F (x) = x e 2x _ 2 − e 2x _ 4 + 1
2.c) I n = ∫
0 1 x n x e 2x dx = ∫
0 1 x n+1 e 2x dx = ∫
0 1 ( e 2x _ 2 ) ′
x n+1 dx =
= e 2x _ 2 x n+1 | 0 1 − ∫
0 1 e 2x _ 2 (n + 1) x n d x = e 2 _ 2 − n + 1 _ 2 ∫
0 1 x n e 2x dx = e 2 _ 2 − n + 1 _ 2 I n−1
Amplificând cu 2 relația I n = e 2 _ 2 − n + 1 _ 2 I n−1 , se obține 2 I n = e 2 − (n + 1) I n−1 .

Teste propuse108
TEST 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Prin înmulțire cu z a relației date obținem z 2 − z + 1 = 0 și mai
departe (z + 1) ( z 2 − z + 1) = 0 , adică z 3 = − 1 ;
z 2019 = ( z 3 ) 673 = − 1 3p
2p
2. x (x − 3) < 0
x ∈ (− ∞ , 0 ) ∪ (3, ∞) 3p
2p
3. 3 x = t
t 2 + t = 2 cu soluțiile t = 1 și t = −2
3 x = 1 cu x = 0 1p
2p
2p
4. C n 0 + C n 1 + . . . + C n n = 2 n
2 n = 64 .
n = 6 1p
2p
2p
5.
S ABC = 1 _ 2 | 0
0
1
2 3 1
1
3
1 | = 1 _ 2 |0 + 6 − 0 − 3 − 0 − 0| = 3 _ 2 5p
6. √ _
3 sinx + 3cos x = 6cos x √ _
3 sinx = 3cos x
x = π _ 3 2p
2p
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) detA = 1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1 ≠ 0 , deci rangA = 3 .5p
b)
A − I 3 = ( 0
1
2
0 0 3
0
0
0 )
(A − I 3 ) 2 = ( 0
0
3
0 0 0
0
0
0 )
(A − I 3 ) 3 = O 3 , deci (A − I 3 ) 3 X = X (A − I 3 ) 3 ,  ∀ X ∈ M 3 ( ) 2p
2p
1p
c) Din b) A 3 − 3 A 2 + 3A − I 3 = O 3
A ( A 2 − 3A + 3 I 3 ) = I 3
A inversabilă și A −1 = A 2 − 3A + 3 I 3 2p
3p

Teste propuse109
2.a) Fie x, y ∈ [8, 10] x ∘ y = x (y − 9) − 9 (y − 9) + 9 = (x − 9) (y − 9) + 9 5p
b) V om căuta un număr din intervalul [8, 10] cu x ∘ e = (x − 9)
(e − 9) + 9 = x,  ∀ x ∈ [8, 10 ] ; obținem e = 10 ∈ [8, 10]
10 ∘ x = x,  ∀ x ∈ [8, 10]
Căutăm x ∈ [8, 10] astfel încât x ∘ x’ = x’ ∘ x = 10 , adică ( x − 9)
(x’ − 9) + 9 = 10
și obținem că 8 și 10 sunt singurele elemente simetrizabile3p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. a) a 1 = 2 + 3 _ a 0 > 2
Presupunând că a n > 2 , atunci a n+1 = 2 + 3 _ a n > 2 2p
3p
b) | a n+1 − 3| = | 2 a n + 3 _ a n − 3| = | 3 − a n _ a n | < 1 _ 2 | a n − 3| 3p
Dreapta de ecuație x = 0 este asimptotă verticală la graficul funcției 2p
c) Din b) | a n − 3| < 1 _ 2 n | a 1 − 3| , iar de aici lim n→∞ a n = 3 . 5p
2. a) x n+1 ≤ x n ,  ∀ x ∈ [0, 1] , ∫ x n+1 _ 4 x 2 + 3 dx < ∫ x n _ 4 x 2 + 3 dx 3p
I n este șir strict descrescător 2p
b) I n > 0,   ∀ n ≥ 1 2p
I n descrecător, deci va rezulta, din ambele, că I n este mărginit 3p
c) 0 < I n < ∫ x n _ 4 x 2 + 3 dx < ∫ x n dx = 1 _ n + 1
Din criteriul “cleștelui” va rezulta ca limita șirului I n este 0.3p
2p

Teste propuse110
Rezolvãri și bareme
de corectare nota 6
TEST 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 _ 3 √ _
2 − 4 = 2 (3 √ _
2 + 4 ) ______________ (3 √ _
2 − 4) (3 √ _
2 + 4 ) = 2 (3 √ _
2 + 4 ) _ 18 − 16 = 3 √ _
2 + 4 și cum 8 < 3 √ _
2 + 4 < 9 ⇒
⇒ [3 √ _
2 + 4 ] = 8
2. f (1) = 3 + 2 = 5, f (2) = 6 + 2 = 8, f (3) = 9 + 2 = 11
Observație: Termenii sumei S formează o progresie aritmetică cu rația 3
S = [f (1) + f (20) ] ⋅ 20 ____________ 2 = (5 + 62) ⋅ 10 = 670
3.Condiția de existență este x ∈ (0, + ∞) și cum log a n x = 1 _ n log a x ⇒
log 2 x + 2 _ 2 log 2 x + 3 _ 3 log 2 x = 12 ⇒ 3 log 2 x = 12 ⇒ log 2 x = 4 ⇒ x = 2 4 = 16
4. Petru f (0) sunt trei variante de alegere f (0) ∈ {2, 4, 6 } .
Pentru f (1) ,  f (2) ,  f (3) sunt câte cinci variante de alegere.
Numărul funcțiilor care respectă proprietatea cerută este 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 3 ⋅
5 3 = 375 .
5. A D 2 = A C 2 − D C 2 = 169 − 25 = 144 ⇒ AD = 12
⟶ AD ⋅ ⟶ AC = | ⟶ AD | ⋅ | ⟶ AC | ⋅ cos ˆ CAD = 12 ⋅ 13 ⋅ 12 _ 13 = 144
6. sin 1 5 ∘ = cos 7 5 ∘ ⇒ cos 105 ∘ + sin 1 5 ∘ = cos 105 ∘ + cos 7 5 ∘ =
= 2 cos 1 0 5 ∘ + 7 5 ∘ _ 2 cos 1 0 5 ∘ − 7 5 ∘ _ 2 = 2 cos 90 ∘ cos 1 5 ∘ = 0
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
x 0 = 2, y 0 = 2, z 0 = 1 ⇒ { 2 + 4 − 3 = 3
4 − 2a + 1 = 1
6 + 2 − 2 = b ⇒ a = 2, b = 6

Teste propuse111
1.b)
Δ = | 1
2
− 3
2 − a 1
3
1
− 2 | = 7 − 7a .
Sistemul este compatibil determinat pentru Δ ≠ 0 .
Δ ≠ 0 ⇒ 7 − 7a ≠ 0 ⇒ a ≠ 1
1.c) Δ = 0 ⇒ 7 − 7a = 0 ⇒ a = 1 . Pentru a = 1 sistemul este nedeterminat.
Se alege un minor nenul M = | 1 2 2 − 1 | = − 5 .
Se impune condiția de compatibilitate , determinantul caracteristic să fie
nul:
Δ C = 0 ⇒ Δ C = | 1
2
3
2 − 1 1
3
1
b | = 0 ⇒ − b + 20 = 0 ⇒ b = 4 .
Sistemul este compatibil nedeterminat pentru a = 1, b = 4 .
2.a) f = X 4 − 4 X 3 + 12 X 2 − 16X + 15 = ( X 2 − 2X + 3) ( X 2 − 2X + 5)
câtul x 2 − 2x + 5 și restul 0.
2.b)
f (x) = 0 ⇒ { x 2 − 2x + 3 = 0 ⇒ x 1 = 1 + i √ _
2 ,  x 2 = 1 − i √ _
2
x 2 − 2x + 5 = 0 ⇒ x 3 = 1 + 2i, x 4 = 1 − 2i
⇒ toate rădăcinile sunt complexe
2.c)
| x 1 | = | x 2 | = √ _ 1 + 2 = √ _
3 ; | x 1 | + | x 2 | = 2 √ _
3
| x 3 | = | x 4 | = √ _ 1 + 4 = √ _
5 ; | x 3 | + | x 4 | = 2 √ _
5 } ⇒
| x 1 | + | x 2 | + | x 3 | + | x 4 | = 2 ( √ _
3 + √ _
5 )
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′ (x) = ( e x ) ′ (x − 1) − e x (x − 1) ′ ________________ (x − 1) 2 = e x (x − 1 − 1) _ (x − 1) 2 = e x (x − 2) _ (x − 1) 2
1.b) lim
x→1 x>11 f (x) = lim
x→1 x>11 e x _ x − 1 = + ∞
1.c)Tabelul de variație
x 1 2 + ∞
f ′ (x) – – 0 +++ +
f (x) + ∞ ↘ e 2 ↗ + ∞
Valoarea minimă a funcției f (x) = e x _ x − 1 este e 2 ⇒ f (x) ≥ e 2 (∀) x > 1 ⇒ f (
x 2 ) ≥ e 2 .
Deci e x 2 _ x 2 − 1 ≥ e 2 sau e x 2 − 2 ≥ x 2 − 1 .

Teste propuse112
2.a) I 1 = ∫
3 4 x 1 _ x 2 + 16 dx = 1 _ 2 ∫
3 4 2x _ x 2 + 16 dx = 1 _ 2 ∫
3 4 ( x 2 + 16) ′ _ x 2 + 16 dx = 1 _ 2 ln ( x 2 + 16) | 3 4 =
= 1 _ 2 ln 32 − 1 _ 2 ln 25 = 1 _ 2 l n 32 _ 25 = ln 4 √ _
2 _ 5
2.b) I 2 = ∫
3 4 x 2 _ x 2 + 16 dx = ∫
3 4 x 2 + 16 _ x 2 + 16 dx − 16 ∫
3 4 1 _ x 2 + 16 dx = x | 3 4 − 16 _ 4 arctg x _ 4 | 3 4 =
= 1 − 4 (arctg 1 − arctg 3 _ 4 ) = 1 − 4 π _ 4 + 4 ⋅ arctg 3 _ 4 = 1 − π + 4 ⋅ arctg 3 _ 4
2.c) I n+2 + 16 I n = ∫
3 4 x n+2 + 16 x n _ x 2 + 16 dx = ∫
3 4 x n ( x 2 + 16) _ x 2 + 16 dx = x n+1 _ n + 1 | 3 4 = 4 n+1 − 3 n+1 _ n + 1
TEST 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
a 5 = a 1 + 4r ⇒ a 5 = a 1 + 1 2
a 9 = a 1 + 8r ⇒ a 9 = a 1 + 24 } ⇒ 2 a 1 + 36 = 38 ⇒ 2 a 1 = 2 ⇒ a 1 = 1
2. Condiția ca funcția să fie impară este f (− x) = − f (x) ,  (∀) x ∈ ℝ .
f (− x) = (− x) 3 + (− x) + 2 sin (− x) = −  x 3 − x − 2 sin x = −  ( x 3 + x + 2 sin x)
= − f (x)
Deci f (− x) = − f (x) și funcția este impară.
3. Condițiile de existență sunt x + 3 ≥ 0 și x ≥ 0 ⇒ x ∈ [0, ∞) √ _ x + 3 + √ _ x = 3
⇒ √ _ x + 3 = 3 − √ _ x
Prin ridicare la pătrat x + 3 = 9 + x − 6 √ _ x ⇒ 6 √ _ x = 6 ⇒ √ _ x = 1 ⇒ x = 1 .
4. Pentru f (2) + f (3) = 7 cazurile: f (2) = 3 și f (3) = 4 sau f (2) = 4 și f (3) = 3
f (5) și f (6) pot fi alese în câte patru moduri, f (2) ,  f (4) ∈ {3, 4, 5, 6} .
Deci numărul total al funcțiilor cu proprietatea
f (2) + f (3) = 7 este 2 ⋅ 4 ⋅ 4 = 32 .
5.
⟶ MA = (2 − 3) → i + (7 − 5) → j = −  → i + 2 → j
⟶ MB = (5 − 3) → i + (3 − 5) → j = 2 → i − 2 → j } ⇒ ⟶ MA + ⟶ MB = → i ⇒ | ⟶ MA + ⟶ MB | = 1
6. sin (x + π _ 4 ) sin (x − π _ 4 ) = 1 _ 2 [cos (x + π _ 4 − x + π _ 4 ) − cos (x + π _ 4 + x − π _ 4 ) ] =
= 1 _ 2 (cos π _ 2 − cos 2 x) = 1 _ 2 (2 sin 2 x − 1) = sin 2 x − 1 _ 2

Teste propuse113
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
det (A (1) ) = | 2
0
1
0 1 _ 3 0
1
0
2 | = 1 _ 3 | 2 1 1 2 | = 1 _ 3 (4 − 1) = 3 _ 3 = 1
1.b)
A (1 − x) = ⎛
⎜
⎝ 3 (1 − x) − 1
0
1 − x
0 1 _ 3 0
1 − x
0
3 (1 − x) − 1 ⎞
⎟
⎠ = ⎛
⎜
⎝ 2 − 3x
0
1 − x
0 1 _ 3 0
1 − x
0
2 − 3x ⎞
⎟
⎠
A (x) + A (1 − x) = ⎛
⎜
⎝ 1
0
0
0 2 _ 3 0
1
0
1 ⎞
⎟
⎠ , A ( 1 _ 2 ) = ⎛
⎜
⎝ 1 _ 2
0
1 _ 2
0 1 _ 3 0
1 _ 2
0
1 _ 2 ⎞
⎟
⎠ ⇒
A (x) + A (1 − x) = 2A ( 1 _ 2 )
1.c)Condiția ca matricea A (x) să fie inversabilă este det (A (x) ) ≠ 0 .
det (A (x) ) = 1 _ 3 | 3x − 1 x x 3x − 1 | = 1 _ 3 [ (3x − 1) 2 − x 2 ] = 1 _ 3 (3x − 1 + x)
(3x − 1 − x) ⇒ det (A (x) ) = 1 _ 3 (4x − 1) (2x − 1)
Se impune condiția 1 _ 3 (4x − 1) (2x − 1) ≠ 0 ⇒
⇒ x ≠ 1 _ 2 și x ≠ 1 _ 4 , deci x ∈ ℝ\ { 1 _ 2 , 1 _ 4 }
2.a) f = X 3 − 3 X 2 + 3X + a , pentru a = 4 ⇒ f = X 3 − 3 X 2 + 3X + 4
Restul împărțirii polinomului f la X − 2 este f (2) = 8 − 12 + 6 + 4 = 6 .
2.b) ( x 1 − x 2 ) 2 + ( x 1 − x 3 ) 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 = 2 ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 ) − 2 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) =
= 2 [ ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 − 2 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) ] − 6
Din relațiile lui Viète x 1 + x 2 + x 3 = 3 și x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 3 , deci
( x 1 − x 2 ) 2 + ( x 1 − x 3 ) 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 = 2 (9 − 2 ⋅ 3) − 6 = 6 − 6 − 0 .
2.c)Din x 1 , x 2 , x 3 ∈ ℝ și ( x 1 − x 2 ) 2 + ( x 1 − x 3 ) 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 = 0 ⇒ x 1 = x 2 = x 3 .
Din x 1 + x 2 + x 3 = 3 ș i x 1 = x 2 = x 3 ⇒ x 1 = x 2 = x 3 = 1 ⇒ x 1 x 2 x 3 = 1 , și din
relațiile lui Viète x 1 x 2 x 3 = − a ⇒ a = − 1 .

Teste propuse114
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′ (x) = 1 − 2x + 2 _ 2 √ _ x 2 + 2x = 1 − x + 1 _ √ _ x 2 + 2x = √ _ x 2 − 2x − x − 1 ____________ √ _ x 2 + 2x ,  (∀) x ∈ (0, ∞)
1.b) lim x→1 f (x) − f (1) _ x − 1 = f ′ (1) ­ definiția derivatei
f ′ (x) = √ _ x 2 − 2x − x − 1 ____________ √ _ x 2 + 2x ⇒ f ′ (1) = √ _ 1 + 2 − 1 − 1 _ √ _ 1 + 2 = √ _
3 − 2 _ √ _
3 = 3 − 2 √ _
3 _ 3
1.c) lim x→∞ (x − √ _ x 2 + 2x ) = lim x→∞ x 2 − x 2 − 2x _ x + √ _ x 2 + 2x = lim x→∞ − 2x ___________
x (1 + √ _
1 + 2 _ x ) = −  2 _ 2 = − 1 , deci
funcția admite asimptota orizontală de ecuație y = − 1
2.a) F ′ (x) = (x + 5) ′ e x + (x + 5) ( e x ) ′ = e x + (x + 5) e x = e x (x + 6) = f (x) , (∀) x ∈
ℝ deci funcția F este o primitivă a funcției f
2.b) ∫
0 1 −  e x _ e x + 2 dx=­ ∫
0 1 ( e x + 2) ′ _ e x + 2 dx = − ln ( e x + 2) | 0 1 = − ln (e + 2) + ln 3 = ln 3 _ e + 2
2.c) ∫
1 e [f (ln x) − 6x] dx = ∫
1 e [ (ln x + 6) e lnx − 6x] dx = ∫
1 e x ln x dx =
= x 2 _ 2 ln x | 1 e − ∫
1 e x 2 _ 2 (ln x) ′ dx = e 2 _ 2 − ∫
1 e x _ 2 dx = e 2 _ 2 − x 2 _ 4 | 1 e = e 2 _ 2 − e 2 _ 4 + 1 _ 4 = e 2 + 1 _ 4
TEST 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Se observă că termenii sumei formează o progresie aritmetică cu a 1 = 3,
a n = 248 și rația r = 5. Conform formulei a n = a 1 + (n − 1) r ⇒
248 = 3 + (n − 1) ⋅ 5 ⇒ n = 50 .
S = ( a 1 + a n ) ⋅ n _ 2 = (3 + 248 ) ⋅ 50 _ 2 = 251 ⋅ 25 = 6275
2. Din relațiile lui Viète x 1 + x 2 = 2m + 1 și x 1 x 2 = 3m + 2
5 ( x 1 + x 2 ) = 3 x 1 x 2 ⇒ 5 (2m + 1) = 3 (3m + 2) ⇒ 10m + 5 = 9 m + 6 ⇒ m = 1
3. Condiții de existență: x + 2 > 0 și log 3 (x + 1) > 0 ⇒ x + 1 > 3 0 ⇒ x > 0
log 3 (x + 2) < 2 ⇒ x + 2 < 3 2 ⇒ x + 2 < 9 ⇒ x < 7
Din x > 0 și x < 7 ⇒ x ∈ (0, 7) .

Teste propuse115
4.
2 0 = 1, 0 ! = 0
2 1 = 2, 1 ! = 1
2 2 = 4, 2 ! = 2
2 3 = 8, 3 ! = 6
2 4 = 16, 4 ! = 24 ⎫
⎪
⎬
⎪
⎭ ⇒ 2 0 ≥ 0 ! Adevărat
2 1 ≥ 1 ! Adevăr at
2 2 ≥ 2 ! Adevărat
2 3 ≥ 3 ! Adevărat
2 4 ≥ 4 ! Fals ⎫
⎪
⎬
⎪
⎭ ⇒ p = cazuri favorabile ____________ cazuri totale = 4 _ 5
5. În △ ABC , coordonatele centrului de greutate sunt
G ( x A + x B + x C _ 3 , y A + y B + y C _ 3 ) .
Considerând C (α, β) ⇒ G ( 2 − 1 + α _ 3 , 3 + 5 + β _ 3 ) ⇒ G ( 1 + α _ 3 , 8 + β _ 3 )
α + 1 _ 3 = 4 ⇒ α = 1 1

β + 8 _ 3 = 2 ⇒ β = − 2 ⎫
⎪
⎬ ⎪
⎭ ⇒ C (11, − 2)
6.Din sin 2 A + cos 2 A = 1 ⇒ sin 2 A = 1 − 25 _ 169 = 144 _ 169 ⇒ sin A = 12 _ 13 > 0
BC _ sin A = 2R, unde R este raza cercului circumscris ⇒ 24 ⋅ 13 _ 12 = 2 ⋅ 13 = 3 R
⇒ R = 13
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) D (2, − 2) = | 1
1
1
2 − 2 3
9
9
14 | = | 1
0
1
2 − 4 3
9
0
14 | = − 4 (14 − 9) = − 20
1.b) D (x, y) = | 1
1
1
x y 3
x 2 + 5
y 2 + 5
14 | = | 1
0
0
x y − x 3 − x
x 2 + 5
y 2 − x 2
9 − x 2 | =
= (y − x) (3 − x) | 1 1 y + x 3 + x | = (y − x) (3 − x) (3 − y)
1.c) D ( 3 x , 9 x ) = ( 9 x − 3 x ) (3 − 3 x ) (3 − 9 x ) . Soluțiile ecuației D ( 3 x , 9 x ) = 0 sunt:
3 x = 9 x ⇒ x = 0
3 = 3 x ⇒ x = 1
3 = 9 x ⇒ 3 = 3 2x ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 1 _ 2
2.a) 2 ∘ 3 = 2 ⋅ 3 − 6 ⋅ 2 − 6 ⋅ 3 + 42 = 18
2.b) x ∘ y = xy − 6x − 6y + 36 + 6 = x (y − 6) − 6 (y − 6) + 6 = (x − 6) (y − 6) + 6
2.c) x ∘ x = (x − 6) 2 + 6 , x ∘ x ∘ x = (x − 6) 2 (x − 6) + 6 = (x − 6) 3 + 6
(x − 6) 3 + 6 = x ⇒ (x − 6) 3 − (x − 6) = 0 ⇒ (x − 6) [ (x − 6) 2 − 1] = 0 ⇒
(x − 6) (x − 5) (x − 7) = 0 cu soluțiile x 1 = 6, x 2 = 5, x 3 = 7

Teste propuse116
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f (x) = 5x + e x ,  f ′ (x) = 5 + e x
1.b) lim x→0 f (x) − 1 _ x = lim x→0 f (x) − f (0) _ x = f ′ (0) și f ′ (0) = 5 + e 0 = 5 + 1 = 6
1.c) Fie g : ℝ → ℝ, g (x) = f (x) − 6x − 1 = e x − x − 1
g ′ (x) = e x − 1 și g ′ (x) = 0 ⇒ x = 0
Tabelul de variație al funcției g
x − ∞ 0 + ∞
g ′ –- –- 0 ++++ ++++
g + ∞ ↘ 1 ↗ + ∞
Din tabelul de variație se observă că valoarea minimă a funcției g este 0,
deci g (x) ≥ 0 (∀) x ∈ ℝ .
2.a) ∫
0 1 (x + 4) f (x) dx = ∫
0 1 (5x + 18) dx = 5 x 2 _ 2 | 0 1 + 18x | 0 1 = 5 _ 2 + 18 = 41 _ 2
2.b) Fie F : [0 . + ∞) → ℝ o primitivă a funcției f ⇒ F ′ (x) = f (x) , (∀) x ∈ [0, ∞)
F ″ (x) = f ′ (x)
Se demonstrează că F ″ (x) > 0 adică f ′ (x) > 0, (∀) x ∈ [0, ∞)
f ′ (x) = 5 (x − 4) − (5x + 18) ______________ (x + 4) 2 = 2 _ (x + 4) 2 > 0 , deci orice primitivă a funcției f este
convexă.
2.c) ∫
0 1 f (x) _ x + 3 dx = ∫
0 1 5x + 18 _ (x + 3) (x + 4) dx
Se descompune 5x + 18 _ (x + 3) (x + 4) în fracții simple
5x + 18 _ (x + 3) (x + 4) = A _ x + 3 + B _ x + 4 ⇒ 5x + 18 = A (x + 4) + B (x + 3)
Se formează sistemul { A + B = 5 4A + 3B = 18 ⇒ A = 3, B = 2
∫
0 1 ( 3 _ x + 3 + 2 _ x + 4 ) dx = 3 ln (x + 3) | 0 1 + 2 ln (x + 4) | 0 1 = 3 ln 4 _ 3 + 2 ln 5 _ 4

Teste propuse117
TEST 4
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 + i _ 3 − i + 3 − i _ 3 + i = (3 + i) 2 + (3 − i) 2 ____________ 3 2 − i 2 = 18 + 2 i 2 _ 10 = 16 _ 10 = 8 _ 5
2. (f ∘ g) (1) = f (g (1) )
Din g (1) = 1 − 1 + 1 = 1 și ⇒ f (g (1) ) = f (1) = 1 .
3. Condiții de existență 2 x+1 > 32 ⇒ x + 1 > 5 ⇒ x > 4
2 x+1 − 32 = 2 5 ⇒ 2 x+1 = 2 5 + 2 5 ⇒ 2 x+1 = 2 6 ⇒ x + 1 = 6 ⇒ x = 5
4.
Cazuri totale: C 6 3 = 6 ! _ 3 ! 3 ! = 20
Cazuri favorabile: 1, adică submultimea {2, 4, 6 } } ⇒ p = 1 _ 20
5. Fie M(a, b) mijlocul segmentului [AB] . Se calculează coordonatele lui M
a = x A + x B _ 2 = 2 − 4 _ 2 = − 1

b = y A + y B _ 2 = 4 + 2 _ 2 = 3 ⎫
⎪
⎬
⎪
⎭ ⇒ M (− 1, 3)
y = 5x + 4 ⇒ panta dreptei d este m = 5 ⇒ o dreaptă paralelă cu d are panta
m = 5
Ecuația unei paralele la d prin M este y − y M = 5 (x − x M )
y − 3 = 5 (x + 1) , deci y = 5x + 8
6.
sin (x + π _ 4 ) + sin (x − π _ 4 ) = 2 sin x + π _ 4 + x − π _ 4 _ 2 cos x + π _ 4 − x + π _ 4 _ 2 =
= 2 sin x cos π _ 4 = 2 √ _
2 _ 2 sin x = √ _
2 sin x
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)Matricea A (3) are două coloane egale, deci det (A (3) ) = | 2
2
2
2 3 3
2
3
3 | = 0 .
1.b) det (A (2) ) = | 2
0
0
2 a − 2 1
2
1
a − 2 | = 2 [ (a − 2) 2 − 1]
det (A (a) ) ≥ 6 ⇒ 2 [ (a − 2) 2 − 1] ≥ 6 ⇒ (a − 2) 2 − 1 ≥ 3 ⇒ (a − 2 + 2)
(a − 2 − 2) ≥ 0 ⇒
⇒ a (a − 4) ≥ 0 ⇒ a ∈ (− ∞ , 0 ] ∪ [4, ∞)

Teste propuse118
1.c)
det (A (2) ) = | 2
2
2
2 2 3
2
3
2 | = − 2 deci matricea este inversabilă
A (2) −1 = ⎛
⎜
⎝ 5 _ 2
− 1
− 1
− 1 0 1
− 1
1
0 ⎞
⎟
⎠
2.a) x ∘ y = 3 xy − 6x − 6y + 12 + 2 = 3 x (y − 2) − 6 (y − 2) + 2 = 3 (x − 2)
(y − 2) + 2
2.b)Observații: 2 este element absorbant (∀) x ∈ ℝ, x ∘ 2 = 2 ∘ x = 2 și
1000 _ 500 = 2 .
Se notează A = 1 _ 500 ∘ 2 _ 500 ∘ . . . ∘ 999 _ 500 ,  B = 1001 _ 500 ∘ 1002 _ 500 ∘ . . . ∘ 2000 _ 500 ș i
rezultă: 1 _ 500 ∘ 2 _ 500 ∘ 3 _ 500 ∘ . . . ∘ 2000 _ 500 = A ∘ 2 ∘ B = 2 ∘ B = 2 .
2.c) x ∘ y ∘ z = [3 (x − 2) (y − 2) + 2] ∘ z = 3 ⋅ 3 (x − 2) (y − 2) (z − 2) + 2 =
= 9 (x − 2) (y − 2) (z − 2) + 2
x ∘ y ∘ z = 65 ⇒ 9 (x − 2) (y − 2) (z − 2) + 2 = 65 ⇒ (x − 2) (y − 2) (z − 2) = 7
Produsul (x − 2) (y − 2) (z − 2) are valoarea 7 dacă o paranteză are valoarea
± 7 și celelalte două ∓ 1 . Ecuația are 6 soluții (x, y, z) : (3, 3, 9 ) ,  (3, 9, 3 ) ,  
(9, 3, 3 ) și (1, 1, 9) ,  (1, 9, 1) ,  (9, 1, 1) .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′ (x) = (2x + 1) (x − 3) − ( x 2 + x − 11) ____________________ (x − 3) 2 = x 2 − 6x + 8 _ (x − 3) 2
1.b) m = lim x→∞ f (x) _ x = lim x→∞ x 2 + x − 11 _ x 2 − 3x = 1 n = lim x→∞ [f (x) − x] = lim x→∞ ( x 2 + x − 11 _ x − 3 − x)
= lim x→∞ 4x − 11 _ x − 3 = 4
Ecuația asimptotei oblice la graficul funcției este y = x + 4 .
1.c) f ′ (x) = 0 ⇒ x 2 − 6x + 8 = 0 ⇒ x 1 = 2 , x 2 = 4 , dar cum x 1 = 2 ∉ (3, ∞) , se
exclude
Tabelul de variație
x 3 4 + ∞
f ′ – – 0 +++ +++
f ↘ ↘ 25 ↗ ↗
Valoarea minimă a funcției este 25 pentru orice x ∈ (3, ∞) .
Cum π > 3 ⇒ π ∈ (3, + ∞) , deci f (π) > 25.

Teste propuse119
2.a) F (x) = − cos  x + x 2 _ 2 + 3x + C
F (0) = − 1 + C și F (0) = 1 ⇒ − 1 + C = 1 ⇒ C = 2
Primitiva funcției f pentru care F (0) = 1 este F : ℝ → ℝ, F (x) =
− cos  x + x 2 _ 2 + 3x + 2
2.b) ∫
0 1 f (x) dx = − cos  x | 0 1 + x 2 _ 2 | 0 1 + 3x | 0 1 = − cos 1 + 1 _ 2 + 3 + cos 0 = 9 _ 2 − cos 1
2.c) V = π ∫
0 π _ 2 s i n 2 x dx = π ∫
0 π _ 2 1 − cos 2 x _ 2 dx = π _ 2 (x − sin 2x _ 2 ) | 0 π _ 2 = π _ 2 ⋅ π _ 2 = π 2 _ 4
TEST 5
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Cu z = a + bi ș i _ z = a − bi , ecuația devine 2 (a + bi) − 3 (a − bi) = − 3 + 25i
⇒
2a + 2bi − 3a + 3bi = − 3 + 25i
−  a + 5bi = − 3 + 25i ⇒ a = 3, b = 5 , deci z = 3 + 5i
2. Din relațiile lui Viète x 1 + x 2 = 5, x 1 x 2 = 3 x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 ⇒
x 1 2 + x 2 2 = 25 − 6 ⇒ x 1 2 + x 2 2 = 19   și  19 ∈ ℕ .
3. 4 x+3 _ 2 + 2 x+2 = 24 ⇒ 2 2⋅ x+3 _ 2 + 2 x+2 = 24 ⇒ 2 x+3 + 2 x+2 = 2 4 ⇒ 2 x ( 2 3 + 2 2 ) = 24 ⇒
2 x = 24 _ 12 = 2 1 ⇒ x = 1
4. Cazuri totale: Numărul total de submulțimi ale mulțimii A
C 7 0 + C 7 1 + C 7 2 + . . . + C 7 7 = 2 7 = 128
Cazuri favorabile: mulțimi cu cel puțin 5 elemente
C 7 5 + C 7 6 + C 7 7 = 21 + 7 + 1 = 29
p = 29 _ 128
5. Ecuația dreptei BC : x − 3 _ 1 − 3 = y − 2 _ 3 − 2 ⇒ y = −  1 _ 2 x + 7 _ 2 , deci panta dreptei este
m BC = −  1 _ 2
Panta oricărei drepte perpendiculare pe BC :  m = 2 .
Ecuația perpendicularei pe BC care trece prin A este y − 0 = 2 (x − 2) ⇒
y = 2x − 4 .

Teste propuse120
6. cos 2 x = 2 cos 2 x − 1 . Fie cos x = t, t < 0 deoarece x ∈ [ π _ 2 ,  π] .
Ecuația devine 2 t 2 − t − 1 = 0 cu soluțiile t 1 = −  1 _ 2 ,  t 2 = 1 .
Nu convine t = 1 (contrazice relația t < 0 ), deci cos x = −  1 _ 2 ⇒ x = 2π _ 3
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
det (A (− 2) ) = | 1
2
1
1 1 − 2
1
3
2 | = | 1
2
1
0 − 1 3
0
1
1 | = − 1 + 3 = 2
1.b) Sistemul are soluție unică dacă det (A (m) ) ≠ 0 .
det (A (m) ) = | 1
2
1
1 1 m
1
3
m + 4 | = | 1
2
1
0 − 1 m − 1
0
1
m + 3 | = −   m − 3 − m + 1 =
= − 2 (m + 1)
det (A (m) ) ≠ 0 ⇒ m ≠ − 1 ⇒ m ∈ ℝ\ {− 1}
1.c) Variante:
m ≠ − 1 , soluția unică este x = 0, y = 0, z = 0 , însă tripletul (0, 0, 0 ) n u
verifică condiția x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 = 14
m = − 1 , m p = | 1 2 1 1 | ≠ 0 . Se notează z = α ⇒ { x + 2y = − α x + y = α ⇒ y = − 2α,
x = 3α și soluția este tripletul (3α, − 2α, α)
Condiția x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 = 14 devine 9 α 2 + 4 α 2 + α 2 = 14 ⇒ α = ± 1 .
Deci pentru m = − 1 , sistemul admite soluțiile (3, − 2, 1) ș i (− 3, 2, − 1) ,
soluții care îndeplinesc condiția x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 = 14 .
2.a) a = 2 ⇒ f = X 2 − 4 X 2 − 4X + 1 și f (2) = 2 3 − 4 ⋅ 2 2 − 4 ⋅ 2 + 1 = − 15
2.b) f este divizibil cu X − 1 dacă f (− 1) = 0
f (− 1) = − 1 − (a + 2) + (a − 2) + 1 = 0 , deci polinomul f este divizibil cu
X − 1
2.c) f (x) = ( x 3 + 1) − x (a + 2) (x + 1) = (x + 1) ( x 2 − x + 1) − x (a + 2) (x + 1) =
= (x + 1) ( x 2 − x + 1 − ax − 2x) = (x + 1) [ x 2 − x (a + 3) + 1]
Polinomul f are toate rădăcinile reale dacă ecuația x 2 − x (a + 3) + 1 = 0
are Δ ≥ 0 . Se impune condiția: (a + 3) 2 − 4 ≥ 0 ⇒ (a + 1) (a + 5) ≥ 0 ⇒
a ∈ (− ∞ , 5 ] ∪ [− 1, + ∞) .

Teste propuse121
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)Se aplică formula ( a n ) ′ = n a n−1 deci f (x) = x 100 + 5x + 3 ⇒ f ′ (x) =
= 100 x 99 + 5 .
1.b)Ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisa x = 0 este y − f (0) =
= f ′ (0) (x − 0) .
Se înlocuiesc valorile f (0) = 3 și f ′ (0) = 3 ⇒ y − 3 = 5 x ⇒ y = 5x + 3 .
Cum A (a, 8) aparține tangentei la grafic având ecuația y = 5 x + 3 , se
înlocuiesc coordonatele punctului A în ecuație: 8 = 5 a + 3 ⇒ 5a = 5 ⇒
a = 1 .
1.c) f ″ (x) = 100 ⋅ 99 x 98
lim x→∞ x f ″ (x) _ f ′ (x) = lim x→∞ x ⋅ 100 ⋅ 99 ⋅ x 98 ___________ 100 ⋅ x 99 + 5 = lim x→∞ 100 ⋅ 99 _
100 + 5 _ x 99 = 100 ⋅ 99 _ 100 = 99
2.a) ∫
0 1 ( 1 _ x + 2 − 1 _ x + 1 ) dx = ln x + 2 _ x + 1 | 0 1 = ln 3 _ 2 − ln 2 _ 1 = ln 3 _ 4
2.b) ∫
0 1 f ( x 2 ) = ∫
0 1 ( 1 _ x 2 + 2 − 1 _ x 2 + 1 ) dx = 1 _ √ _
2 arctg x _ √ _
2 | 0 1 − arctg x | 0 1 =
= 1 _ √ _
2 arctg 1 _ √ _
2 − arctg 1 = 1 _ √ _
2 arctg 1 _ √ _
2 − π _ 4
2.c) ∫
1 a f (x) dx = ln x + 2 _ x + 1 | 1 a = ln a + 2 _ a + 1 − ln 3 _ 2 = ln 2 (a + 2) _ 3 (a + 1)
3 ln 2 − 2 ln 3 = ln 2 3 − l n 3 2 = ln 8 − ln 9 = ln 8 _ 9
Deci ∫
0 a f (x) dx = 3 ln 2 − 2 ln 3 ⇒ ln 2 (a + 2) _ 3 (a + 1) = l n 8 _ 9 ⇒ 2 (a + 2) _ 3 (a + 1) = 8 _ 9 ⇒ a = 2 .
TEST 6
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. z = 4 + 3i ⇒ _ z = 4 − 3i
z 2 + 2 _ z = (4 + 3 i) 2 + 2 (4 − 3i) = 16 + 24i + 9 i 2 + 8 − 6i = 15 + 18i
2. f (x) = x 2 + 2x + m Se aplică formula v min = − Δ _ 4a ⇒ v min = −  4 − 4m _ 4 = − 1 + m
f min = 5 ⇒ − 1 + m = 5 ⇒ m = 6
3. Se notează 3 x = t , cu restricția t > 0 .
Ecuația 9 x + 2 ⋅ 3 x − 15 = 0 devine t 2 + 2t − 15 = 0 , cu soluțiile t 1 = 3,
t 2 = − 5
deoarece t > 0 și este admisă doar valoarea t = 3 ⇒ 3 x = 3 ⇒ x = 1 .

Teste propuse122
4. Cazuri totale: 900 (numerele de 3 cifre, între 100 și 999).
Cazuri favorabile: 5 ( 5 3 , 6 3 , 7 3 , 8 3 , 9 3 respectiv 125, 216, 343, 512, 729).
p = 5 _ 900 = 1 _ 180
5.Se află ecuația dreptei AB : x − x A _ x B − x A = y − y A _ y B − y A ⇒ x − 1 _ − 2 − 1 = y − 7 _ 1 − 7 ⇒ y = 2x + 5 .
Pentru ca punctele A, B, C să fie coliniare trebuie ca C (3, m) să aparțină
dreptei determinate de punctele A, B , y = 2x + 5 , deci m = 2 ⋅ 3 + 5 ⇒
m = 11 .
6. x + y = π _ 6 ⇒ x = π _ 6 − y ⇒ cos x = cos ( π _ 6 − y)
cos x = cos π _ 6 cos y + sin π _ 6 sin y
cos x = √ _
3 _ 2 cos y + 1 _ 2 sin y ⇒ 2 cos x = √ _
3 cos y + sin y
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
D (2) = | 1
2
9
2 0 12
1
− 3
4 | = 0
1.b) D (x) = | 1
x
9
2 x − 2 16 − x
1
− 3
x 2 | = | 1
x
9
0 − x − 2 − x − 2
0
− 3 − x
x 2 − 9 | =
= −  (x + 2) | 1 1 −  (x + 3) (x + 3) (x − 3) | =
= −  (x + 2) (x + 3) | 1 1 − 1 x − 3 | = −  (x + 2) (x + 3) (x − 2) =
= (x + 2) (x + 3) (2 − x)
1.c) D ( 4 x ) = 0 ⇒ ( 4 x + 2) ( 4 x + 3) (2 − 4 x ) = 0
C u m 4 x > 0 , singura soluție se obține din 2 − 4 x = 0 ⇒ 2 2x = 2 ⇒ 2x = 1
⇒ x = 1 _ 2 .
2.a) x ∘ y = xy − 7x − 7y + 49 + 7 = x (y − 7) − 7 (y − 7) + 7 = (x − 7) (y − 7) + 7
Relația x ∘ y = (x − 7) (y − 7) + 7 este adevărată.
2.b) C 7 1 = 7 ! _ 1 ! ⋅ 6 ! = 7
Se observă că (∀) x ∈ ℝ { x ∘ 7 = (x − 7) (7 − 7) + 7 = 7 7 ∘ x = (7 − 7) (x − 7) + 7 = 7 ⇒ C 7 1 ∘ C 2019 1 = 7 .
2.c) x ∘ x = (x − 7) 2 + 7 și x ∘ x ∘ x = (x − 7) 3 + 7
x ∘ x ∘ x = x ⇒ (x − 7) 3 + 7 = x ⇒ (x − 7) 3 − (x − 7) = 0 ⇒ (x − 6) (x − 7)
(x − 8) = 0 cu soluțiile x 1 = 6, x 2 = 7, x 3 = 8

Teste propuse123
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′ (x) = 1 _ x + 3 e 3x și x f ′ (x) = x _ x + 3x e 3x ⇒ x f ′ (x) = 1 + 3x e 3x
1.b)Ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisa x = 1 este
y − f (1) = f ′ (1) (x − 1) , unde f (1) = e 3 și f ′ (1) = 1 + 3 e 3
y = (x − 1) (1 + 3 e 3 ) + e 3 ⇒ y = (1 + 3 e 3 ) x − 1 − 3 e 3 + e 3 y =
= (1 + 3 e 3x ) x − 2 e 3x − 1
1.c) f ′ (x) = 1 _ x + 3 e 3x și f ″ (x) = −  1 _ x 2 + 9 e 3x deci lim x→∞ 1 _ x + 3 e 3x _
−  1 _ x 2 + 9 e 3x = 1 _ 3
2.a) ∫ e e 2 f 1 (x) _ ln x dx = ∫ e e 2 ln x _ x 1 ln x dx = ∫ e e 2 1 _ x dx = ln x | e e 2 = ln e 2 − ln e = 2 − 1 = 1
2.b) ∫
1 e x f 1 (x) dx = ∫
1 e x ln x _ x dx = ∫
1 e ln x dx = ∫
1 e x ln x dx = x ln x | 1 e − ∫
1 e x 1 _ x dx =
= e − x | 1 e = e − e + 1 = 1
2.c) ∫
1 e f n (x) dx = ∫
1 e ln x _ x n dx și cum x ≤ e ⇒ ln x ≤ ln  e unde ln e = 1
⇒ ∫
1 e f n (x) dx ≤ ∫
1 e 1 _ x n dx
∫
1 e
dx _ x n = x −n+1 _ − n + 1 | 1 e = 1 _ (1 − n) e n−1 − 1 _ 1 − n = 1 _ n − 1 − 1 _ (n − 1) e n−1 deci ∫
1 e
f n (x) dx < 1 _ n − 1
TEST 7
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 < 2 √ _
3 = √ _
12 < 4 (2p)
− 3 < 1 − 2 √ _
3 < − 2 , deci [1 − 2 √ _
3 ] = − 3 (3p)
2. Cum f(x ) = 0 admite soluțiile 0 și 1, putem alege a = 1 _ 2 . (2p)
f ( 1 _ 2 ) = −  1 _ 4 < 0 , f ( 3 _ 2 ) = 3 _ 4 > 0 implică f( 1 _ 2 ) ⋅ f(2 − 1 _ 2 ) < 0 (3p)
3. 3 x − 2 x = 0 este echivalentă cu 3 x = 2 x ≠ 0 și cu ( 3 _ 2 ) x
= 1 (3p)
Cum funcțiile exponențiale sunt injective, rezultă soluția unică
x = 0 .(2p)
4. Numărul cazurilor posibile este 90. (2p)
Numărul cazurilor favorabile sunt generate de sumele 1 + 9,
2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, fiecare cu câte două posibilități și 5 + 5 cu o
posibilitate, deci în total 9 cazuri.(2p)
P = 9 _ 90 = 1 _ 10 (1p)

Teste propuse124
5. AB = √ _______________ (a − b) 2 + (b − a) 2 = |a − b| √ _
2 = √ _
2 (3p)
În mod necesar |a − b| = 1 , deci o alegere poate fi a = 1, b = 0 . (2p)
6. Notând cu M piciorul înălțimii din A , se formează triunghiul
dreptunghic AMB cu m( ∢ ABC ) = 30 ∘ , deci AB = 2 și BM = √ _
3 .(2p)
Precum și triunghiul dreptunghic și isoscel AMC , deci MC = 1,
AC = √ _
2 .(2p)
Rezultă că perimetrul triunghiului ABC este egal cu 3 + √ _
2 + √ _
3 .(1p)
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) det A ≠ 0
− 3a + 1 + 4 + 2 − 2a − 3 ≠ 0 (3p)
− 5a + 4 ≠ 0 ⇒ a ≠ 4 _ 5 ,  a ∈ R / { 4 _ 5 } (2p)
1.b) 2A + X = B ⇒ X = B − 2A (2p)
X = ( − 3 − 2a
− 1
3
0 0 − 1
1
5
2 ) (3p)
1.c) A(1 ) = ( 1
1
1
1 − 1 2
3
1
− 2 ) ,  det A(1 ) = − 1 (2p)
(A(1 ) ) −1 = ( 5
2
− 3
− 1 − 1 1
− 3
− 1
2 ) (3p)
2.a) (x − 1) (y − 1) − 1 = xy − x − y oricare x, y ∈ ℝ (3p)
Rezultă x ∘ y + (x − 1) (y − 1) − 1 = 0 , oricare x, y ∈ ℝ . (2p)
2.b) x ∘ y = −  (x − 1) (y − 1) + 1 (1p)
(x ∘ y) ∘ z = (x − 1) (y − 1) (z − 1) + 1 oricare ar fi numerele reale x,
y și z.(2p)
x ∘ (y ∘ z) = (x − 1) (y − 1) (z − 1) + 1 oricare ar fi numerele reale x,
y și z.(2p)
2.c) ( 3 x − 1) ( 5 x − 1) ( 7 x − 1) = 0 (2p)
Finalizare: { 3 x = 3 0 ⇒ x = 0
5 x = 5 0 ⇒ x = 0
7 x = 7 0 ⇒ x = 0 , deci x = 0 unica soluție. (3p)

Teste propuse125
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim
x→1 x < 1 f (x) = lim
x→1 x > 1 f (x) = f (1) = 0 ⇒ (4p)
⇒ f este continuă în punctul x 0 = 1 (1p)
1.b)Ecuația tangentei: y − f (4) = f ′ (4) (x − 4) . (1p)
f ′ (x) = 1 _ 2 √ _ x , oricare x ∈ ℝ (1p)
f (4) = 1 , f ′ (4) = 1 _ 4 (2p)
Ecuația tangentei în punctul x 0 = 4 este y − 1 = 1 _ 4 (x − 4) ⇔ y = 1 _ 4 x .(1p)
1.c)Pentru x ∈ (1, + ∞) , f ″ (x) = −  1 _ 4x √ _ x . (3p)
f ″ (x) ≤ 0 ⇒ f este concavă (2p)
2.a) l s ( − 1 ) = lim x↗−1 f(x ) = lim x↗−1 (1 − 3x ) = 4 ; l d ( − 1 ) = lim x↘−1 f(x ) = lim x↘−1 (
x 2 + 3 ) = 4 (2p)
l s ( − 1 ) = l d ( − 1 ) = f( − 1 ) = 4 ⇒ f este continuă în x = − 1 (2p)
f este funcție elementară pe ℝ\ {− 1} ⇒ funcția f este continuă pe ℝ
⇒ funcția f admite primitive pe ℝ . (1p)
2.b) ∫
−2 0
f (x) dx = ∫
−2 −1
(1 − 3x) dx + ∫
−1 0
( x 2 + 3) dx = (2p)
= (x − 3 x 2 _ 2 ) |
−2 −1
+ ( x 3 _ 3 + 3x) |
−1 0
= (2p)
= − 1 − 3 _ 2 + 8 − (−  1 _ 3 − 3) = 53 _ 6 . (1p)
2.c) ∫
1 e
f (x) ⋅ ln xdx = ∫
1 e
( x 2 + 3) ⋅ ln xdx = ∫
1 e
( x 3 _ 3 + 3x) ′
⋅ ln xdx = (2p)
= ( x 3 _ 3 + 3x) ⋅ ln x |
1 e
− ∫
1 e
( x 3 _ 3 + 3x) ⋅ 1 _ x dx = e 3 _ 3 + 3e − ∫
1 e
( x 2 _ 3 + 3) dx = (2p)
= e 3 _ 3 + 3e − ( x 3 _ 9 + 3x) |
1 e
= 2 e 3 + 28 _ 9 (1p)
TEST 8
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Ne putem gândi la o ecuație de gradul al doilea cu coeficienți
întregi și cu Δ numări irațional. Soluțiile vor fi conjugate iraționale,
de exemplu 1 − √ _
2 și 1 + √ _
2 .(2p)

Teste propuse126
Verificarea condițiilor 1 − √ _
2 + 1 + √ _
2 = 2 ∈ ℤ , respectiv (1 − √ _
2 )
(1 + √ _
2 ) = 1 − 2 = − 1 ∈ ℤ .(3p)
2. f( − x ) = 3 x 2 + 2x − 1 = 3 x 2 − 2x − 1 = f(x) (3p)
Rezultă 4x = 0 ce admite soluția unică reală x = 0 . (2p)
3. (x − 1) 3 = x 3 − 3 x 2 + 3x − 1 și (x + 1) 3 = x 3 + 3 x 2 + 3x + 1 (2p)
Ecuația inițială este echivalentă cu x 2 = −  1 _ 3 = 1 _ 3 i 2 , de unde rezultă
soluțiile complex conjugate x = −  √ _
3 _ 3 i și x = √ _
3 _ 3 i .(3p)
4. Submulțimile cerute de problemă sunt de forma M = {a, b} unde,
fără a diminua generalitatea, putem considera a ∈ {1, 3, 5} ,  
b ∈ {2, 4} .(3p)
Rezultă că, aplicând regula produsului obținem 3 × 2 = 6 cazuri
corespunzătoare la 6 submulțimi.(2p)
5. Din condiția de perpendicularitate rezultă 3 ⋅ 2 + ( − 2 ) ⋅ ( − a ) = 0 .(3p)
Se obține a = − 3 . (2p)
6. Notând cu M piciorul înălțimii din A , se formează triunghiul
dreptunghic AMB cu m( ∢ ABC ) = 30 ∘ , deci BM = 5 √ _
3 _ 2 .(3p)
M este și mijlocul laturii BC , deci BC = 2BM = 5 √ _
3 . (2p)
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)D(5) = | 1
1
1
2 5 3
4
25
9 | (2p)
D(5) = −6 (3p)
1.b)D(x) determinant de tip Vandermonde | 1
1
1
2 x 3
2 2
x 2
3 2 | (2p)
Finalizare : D(x) = (2 − x ) (x − 3 ) (3 − 2) . (3p)
1.c) (2 − x ) (x − 3 ) = 0
x 1 = 2, x 2 = 3 (3p)
S = 5, P = 6, S + P = 11 (2p)
2.a) (x ∗ y) ∗ z = x + y + z − 4 (2p)
x ∗ (y ∗ z) = x + y + z − 4 (2p)
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) oricare ar fi numerele reale x, y, z. (1p)
2.b)Verificăm că pentru oricare x ∈ ℝ

Teste propuse127
x ∗ 2 = 2 ∗ x = x (1p)
x ∗ 2 = x + 2 − 2 = x
2 ∗ x = 2 + x − 2 = x
deci egalitatea este verificată pentru orice x real. (4p)
2.c) x 2 + (2x + 1 ) + (x − 3 ) − 2 = 0 (2p)
x 2 + 3x − 4 = 0 (1p)
Rezultă x1 = 1, x2 = −4 (2p)
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)f este derivabilă în x = 0 (1p)
f ′ (x) = 3 x ln 3 + 2019 x ln 2019 , pentru orice x ∈ ℝ (2p)
lim x→0 f(x ) − f(0) _ x = f ′ (0 ) = ln 6057 (2p)
(sau calcul direct: lim x→0 f(x ) − f(0) _ x = lim x→0 3 x − 1 + 2019 x − 1 _____________ x =
= ln 3 + ln 2019 = ln 6057 ).
1.b)Pentru a > 1 ⇒ lim x→−∞ a x = 0 . (2p)
lim x→−∞ ( 3 x + 2019 x ) = 0 (2p)
Rezultă d : y = 0 (axa Ox) este asimptotă orizontală la graficul
funcției spre − ∞ .(1p)
1.c) f ″ (x) = 3 x (ln 3) 2 + 2019 x (ln 2019 ) 2 ; a x > 0 ⇒ f ″ (x ) > 0 pentru
orice x ∈ ℝ (3p)
⇒ f este convexă pentru orice x ∈ ℝ . (2p)
2.a) ∫ f 2 (x) dx = ∫ ( x 2 + 9) dx = (2p)
= x 3 _ 3 + 9x + C (3p)
2.b) x ∈ [0, 4] ⇒ x 2 ∈ [0, 16] ⇒ √ _ x 2 + 9 ∈ [3, 5] ⇒ (3p)
⇒ ∫
0 4
f (x) dx ≤ ∫
0 4
5 dx = 5x| 0 4 = 20 (2p)
2.c) ∫
−4 4
f (x) ⋅ f ′ (x) dx = 1 _ 2 f 2 (x) | 4 − 4 = (3p)
= 0 (2p)

Teste propuse128
TEST 9
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 + 2 −1 + 2 −2 = 1 _ 2 + 1 _ 4 1 _ 2 + 1 _ 4 = 0, 75 3p
2p
2. 3 _ x − 5 < 0 ← → x − 5 < 0
x ∈ (− ∞ , 5 ) 3p
2p
3. Condiție: x + 2 ≥ 0 adică x ∈ [− 2, ∞)
x + 2 = 1 x = − 1 1p
2p
2p
4. Dobânda obținută este D = 1008 − 900 = 108
p _ 100 ⋅ 900 = 108 .
p = 12 1p
2p
2p
5. A este mijlocul segmentului [OB] ; va rezulta x B = 2 x A − x O = 4
y B = 2 y A − y O = 6 3p
2p
6. sinx + 4cos x = 5cos xsinx sinx = cos x
x = π _ 4 2p
2p
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) detH (x) = 1 + 0 − 0 5p
b)
H (x) ⋅ H (a) = ( 1
0
0
0 1 lna + lnx
0
0
1 )
ln a = 0 duce la a = 1 2p
3p
c)
H (1) + H (2) + . . . + H (2020 ) = ( 2020
0
0
0 2020 ln2020 !
0
0
2020 ) 2p
3p
2.a) f (1) = 1 3 + 3 ⋅ 1 2 − 3 ⋅ 1 − 1
f (1) = 0 va conduce la X − 1 ∨ f 3p
2p
b) x 1 + x 2 + x 3 = − 3 (Viète) 5p
c) f = X 3 + 3 X 2 − 3X − 1 = (X − x 1 ) (X − x 2 ) (X − x 3 )
f (2) = (2 − x 1 ) (2 − x 2 ) (2 − x 3 )
f (2) = 13 2p
2p
1p

Teste propuse129
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f’ (x) = (x + 1) ’ ⋅ e x − (x + 1) ⋅ ( e x ) ’ ___________________ e 2x 3p
f’ (x) = − x _ e x 2p
b) lim x→∞ f (x) = 0 3p
Dreapta de ecuație y = 0 este asimptotă orizontală la graficul
funcției2p
c) Din a) f’ (x) < 0   ∀ x ∈ (0, ∞) . 3p
Din consecință a teoremei Lagrange va rezulta că f este strict
descrescătoare.2p
2.a) F (x) = x 3 _ 3 + x 2 _ 2 + c , c ∈ ℝ 2p
Din F (0) = c și F (0) = 1 va rezulta c = 1 . 2p
F : (0, ∞) → ℝ, F (x) = x 3 _ 3 + x 2 _ 2 + 1 1p
b) ∫ f (x) _ x + 1 dx = ∫ xdx = 2p
| x 2 _ 2 |
0 1
= 1 _ 2 3p
c) V = π ∫ f 2 (x) dx = 1p
π ∫ ( x 4 + 2 x 3 + x 2 ) dx = π ( x 5 _ 5 + 2 x 4 _ 4 + x 3 _ 3 )
0 1
3p
481 π _ 30 1p
TEST 10
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. i (a + bi) = ia − b
ia − b = 3 + 4i
a = 4, b = − 3
z = 4 − 3i 1p
1p
1p
2p
2. f (0) = − 4
f (1) = − 1
f (0) _ f (1) = 4 2p
2p
1p

Teste propuse130
3. x − 1 ≥ 0 , deci domeniul maxim de definiție este [1, ∞)
Prin ridicare la pătrat obținem x – 1 = 9
cu soluția x = 10 ∈ [1, ∞) .2p
1p
2p
4. Numerele sunt de forma ‾ ab .
a ∈ {1, 3, 5, 7} , iar b ∈ {0, 1, 3, 5, 7} cu a ≠ b
Numărul căutat este 4 ⋅ 4 = 16 .1p
1p
3p
5. 3a i ⃗ + 9 j ⃗ = 3 i ⃗ + 9 j ⃗
a = 1 3p
2p
6. Ipotenuza BC este diametrul cercului circumscris
BC = 2R = 6 3p
2p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.a) A (1) + A (3) = A (4)
A (a − 5) = A (4)
a − 5 = 4 , deci a = 9 .2p
3p
1.b) A (3) = ( 3 3 0 3 0 3 )
minorul | 3 3 3 0 | = − 9
rangA = 2 2p
1p
2p
1.c)
A (1) A (3) t = ( 1 1 0 1 0 1 ) { 3
3
3 0
0
3 } = { 6 3 3 6 }
detA (1) A (3) t = 36 − 9 = 27 .
A inversabilă2p
2p
1p
2.a) f (0) = a
f (1) = 2 + a
a (2 + a) > 0 cu a ∈ (− ∞ ,  − 2) ∪ (0, ∞) 1p
1p
3p
2.b) f = (X − x 1 ) (X − x 2 ) (X − x 3 )
f (1) = (1 − x 1 ) (1 − x 2 ) (1 − x 3 )
f (1) = 2 + a 2p
2p
1p
2.c) f (1) = 0
x − 1 / f 1p
4p

Teste propuse131
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.a) lim x→∞ f (x) = lim x→∞ 2 x _
x 2 (1 + 1 _ x 2 ) = 0
Dreapta de ecuație y = 0 este asimptotă spre ∞ . Analog y = 0 este
asimptotă spre − ∞ .3p
2p
1.b) f’ (x) = 2 ( x 2 + 1) − 2x ⋅ x ____________ ( x 2 + 1) 2
f’ (x) = 2 (1 − x 2 ) _ ( x 2 + 1) 2 2p
2p
1p
1.c) Cum f’ (x) < 0 , oricare x > 1
Din consecința teoremei Lagrange f este strict descrescătoare2p
3p
2.a) ∫ f 0 (x) dx = ∫ 1 _ x 2 + 1 dx = arctg 0 1 = π _ 4. 5p
2.b)
∫ 2 f 1 (tg x _ 2 ) dx = ∫ 2 tg x _ 2 _ 1 + tg 2 x _ 2 dx
= ∫ s i nxdx = − cos x 0 π _ 2
=12p
2p
1p
2.c) V = π ∫ g 2 (x) dx = π ∫ x 2 dx =
= x 3 _ 3
0 1
dx = 1 _ 3 2p
3p
TEST 11
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 + (4x + 1) _ 2 = 4
4x = 6
x = 3 _ 2 2p
2p
1p
2. |4x + 1| ≤ 7 echivalent cu
− 7 ≤ 4 x + 1 ≤ 7
− 2 ≤ x ≤ 3 _ 2 2p
2p
1p
3. x − 1 > 0 , adică x ∈ (0, ∞)
log 3 (x − 1) = 3 echivalent cu (x − 1) = 27
x = 282p
1p
2p

Teste propuse132
4. A 5 3
= 5 ! _ 2 ! = 60 3p
2p
5. x = x A + x B _ 2 = − 1 + 3 _ 2 = 1
y = y A + y B _ 2 = 3 − 1 _ 2 = 1 3p
2p
6. cos2x = 1 − 2 sin 2 x = 1 − 2 ⋅ 1 _ 9 = 7 _ 9 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.a) A (1) = ( 1 1 1 2 ) A (− 1) = ( − 1 1 − 1 0 )
A (1) ⋅ A (− 1) = ( − 2 1 − 3 1 ) 2p
3p
1.b) detA = a (a + 1) − a = a 2 ≥ 0,  ∀ a ∈ ℝ 5p
1.c) A (0) = ( 0 1 0 1 )
detA = 0, A ∈ M 2 ( ) ,  A ≠ O 2
rangA = 1 2p
2p
1p
2.a) x ∘ y = x (y − 4) − 4x + 16 + 4 = x (y − 4) − 4 (y − 4) + 4 =
= (x − 4) (y − 4) + 4 5p
2.b) x ∘ x = (x − 4) 2 + 4
x ∘ x = 20 echivalent cu (x − 4) 2 + 4 = 20 , adică ( x − 4)2 = 16
x − 4 = ± 4 cu x = 8 sau x = 0 2p
2p
1p
2.c) x ∘ 5 = x
(x ∘ 5) 3 = x 3
x 3 = 8 conduce la x = 2 , soluție unică1p
3p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.a) lim x→0 f (x) _ x = lim x→0 (2 − sinx _ x ) = 2 − 1 = 1 5p
1.b) f’ (0) = lim x→0 f (x) − f (0) _ x − 0 =
lim x→0 f (x) _ x = 1 (din a))2p
3p

Teste propuse133
1.c) Cum f’ (x) = 2 − cosx
f’ (x) > 0 , oricare x ∈ ℝ
Din consecința teoremei Lagrange f este strict crescătoare2p
2p
1p
2.a) ∫ s i nxdx = − cos x π _ 2 π = 1 5p
2.b) F’ (x) = (sinx − xcosx) ’ = cos x − cosx + xsinx
Cum F este derivabilă și F’ (x) = f (x) ,  ∀ x ∈ ℝ .2p
3p
2.c) V = π ∫ g 2 (x) dx =
π ∫ x 2 dx = π x 3 _ 3
1 3

= π 26 _ 3 2p
2p
1p
TEST 12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. z 2 = 8 − 6i
_ z = 3 + i ⇒ _ z 2 = 8 + 6i
z 2 + _ z 2 = 16, 16 = 4 2 2p
2p
1p
2.Axa de simetrie a parabolei este dreapta de ecuație x = x V = −  b _ 2a
x = 5 _ 4 2p
3p
3. | (x − 4) 2 | = 16 ⇔ (x − 4) 2 = 16
x − 4 = ± 4 ⇔ x 1 = 0, x 2 = 8 2p
3p
4. Mulțimea numerelor naturale prime mai mici decât 100 are 25 de
elemente.
Numărul de submulțimi cu k elemente ale unei mulțimi cu
n elemente ( k ≤ n ) este dat de C n k = n ! _ k ! ⋅ (n − k) ! . Numărul de
submulțimi cu 3 elemente ale unei mulțimi cu 25 de elemente este:
C 25 3 = 25 ! _ 3 ! ⋅ 22 ! = 2300 . 2p
3p
5.Vectorii sunt coliniari dacă m + 1 _ 3 = 8 _ 4 .
m + 1 = 6 ⇒ m = 5 2p
3p

Teste propuse134
6. sin 2α = 2 sin α cos α
s i n 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 − ( 1 _ 3 ) 2
= 8 _ 9 ⇒ cos α = ±  2 √ _
2 _ 3
α ∈ ( π _ 2 ; π) ⇒ cos α < 0
sin 2α = −  4 √ _
2 _ 9 2p

2p
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
A (1) = ( 1
0
1
0 0 0
1
0
1 ) , A (1) − I 3 = ( 0
0
1
0 − 1 0
1
0
0 )
det (A (1) − I 3 ) = 1 2p
3p
b)
A (2) = ( 2
0
2
0 0 0
2
0
2 ) ; A (3) = ( 3
0
3
0 0 0
3
0
3 )
A (2) ⋅ A (3) = ( 2
0
2
0 0 0
2
0
2 ) ( 3
0
3
0 0 0
3
0
3 ) = ( 12
0
12
0 0 0
12
0
12 )
A (2) ⋅ A (3) = 12 ⋅ ( 1
0
1
0 0 0
1
0
1 ) = 12 ⋅ A (1) . 2p

3p
c)
Se calculează A (x) ⋅ A (x) = ( 2 x 2
0
2 x 2
0 0 0
2 x 2
0
2 x 2 ) , (∀) x ∈ ℝ .
(A (1) ) 2 + (A (2) ) 2 + . . . + (A (11) ) 2 =
= ( 2 ⋅ ( 1 2 + 2 2 + . . . + 11 2 )
0
2 ⋅ ( 1 2 + 2 2 + . . . + 11 2 )
0 0 0
2 ⋅ ( 1 2 + 2 2 + . . . + 11 2 )
0
2 ⋅ ( 1 2 + 2 2 + . . . + 11 2 ) )
22 ⋅ 23 = n (n + 1) ⇒ n = 22 2p
2p
1p
2. a) √ _
7 ⊥ (−  √ _
7 ) = √ _
7 − √ _
7 − √ _
7 ⋅ (−  √ _
7 ) =
= 73 p
2p

Teste propuse135
b) Legea este asociativă dacă pentru orice numere reale x, y, z ∈ ℝ
are loc:
(x ⊥ y) ⊥ z = x ⊥ (y ⊥ z)
(x ⊥ y) ⊥ z = x + y + z − xy − xz − yz + xyz, (∀) x, y, z ∈ ℝ
x ⊥ (y ⊥ z) = x + y + z − xy − xz − yz + xyz, (∀) x, y, z ∈ ℝ
Finalizare2p
2p
1p
c) (x − 5) ⊥ (5 − x) = x − 5 + 5 − x − (x − 5) (5 − x) = (x − 5) 2
(x − 5) 2 = 25 ⇔ x 1 = 0, x 2 = 10. 2p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f’ (x) = (5 e x − x 5 ) ‚ = (5 e x ) ‚ − ( x 5 ) ‚ =
5 e x − 5 x 4 . 2p
3p
b) lim x→0 f (x) = lim x→0 (5 e x − x 5 ) =
5 ⋅ e 0 − 0 5 = 5 2p
3p
c) Ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x = 0
este: y = f (0) + f’ (0) ⋅ x
f (0) = 5, f’ (0) = 5
y = 5x + 5 2p
2p
1p
2.a)Dacă F este o primitivă oarecare a funcției f , atunci F este derivabilă
cu F’ (x) = f (x) , (∀) x ∈ (0; ∞) .
F’ (x) = ( l n 2 x + 2) ‚ = 2 ln x _ x = f (x) , deci F este o primitivă a lui f. 2p
3p
b) ∫
1 e
xf (x) dx = 2 ∫
1 e
ln xdx =
= 2x ln x| 1 e − 2x| 1 e = 2 2p
3p
c) ∫
1 e
2 ln x _ x dx = 2 ∫
1 e
ln x ⋅ (ln x) ‚ dx =
= l n 2 x| 1 e = 1 2p
3p

Teste propuse136
TEST 13
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. a 3 = 8 ⇒ r = 3 ⇒ a 1 = 2
a 100 = 299, S 100 = 2 + 299 _ 2 ⋅ 100 ⇒ S 100 = 15050 2p
3p
2. a = 1 > 0 . Deoarece vârful parabolei este situat deasupra axei Ox
deducem că parabola nu taie axa Ox și ecuația nu are soluții reale,
deci Δ < 0
Δ = (2m) 2 − 4 ( m 2 + 1) = − 4 < 0 , pentru orice număr real m. 2p
3p
3.Numărul de cazuri favorabile este egal cu numărul de numere
iraționale din mulțimea M, adică 1001 − 31 = 970
Numărul de cazuri total posibile este egal cu cardinalul mulțimii
M, adică 1001
P = nr. cazuri favorabile ________________ nr. cazuri total posibile = 970 _ 1001 2p
2p
1p
4. 2018 ! _ (1009 !) 2 = 2018 ! ________________ 1009 ! ⋅ (2018 − 1009 ) ! =
= C 2018 1009 ∈ ℕ 3p
2p
5.Mijlocul M al lui BC are coordonatele: x M = x B + x C _ 2 = − 5,
y M = y B + y C _ 2 = 5 .
Ecuația dreptei AM este: x − x A _ x A − x M = y − y A _ y A − y M ⇔ y = −  13 _ 10 x − 15 _ 10 .2p

3p
6. tgx = sin x _ cos x
sin x = ±  √ _ 1 − cos 2 x = ±  4 _ 5
x ∈ (0, π _ 2 ) ⇒ sin x = 4 _ 5 ⇒ tgx = 4 _ 3 3p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) M + 2 I 2 = ( − 2 2 − 1 − 1 ) + ( 2 0 0 2 ) = ( 0 2 − 1 1 )
det (M + 2 I 2 ) = − 1 ⋅ 0 − 2 ⋅ (− 1) = 2 2p
3p

Teste propuse137
b) M ⋅ M = ( − 2 2 − 1 − 1 ) ( − 2 2 − 1 − 1 ) = ( 2 − 6 3 − 1 ) , 3 ⋅ M = 3 ( − 2 2 − 1 − 1 )
= ( − 6 6 − 3 − 3 )
4 ⋅ I 2 = 4 ⋅ ( 1 0 0 1 ) = ( 4 0 0 4 )
M ⋅ M + 3 ⋅ M + 4 ⋅ I 2 = ( 0 0 0 0 ) = O 2 3p
2p
c) ( 0 2 − 1 1 ) ( a b c d ) = ( 2c 2d − a + c − b + d )
( 2c 2d − a + c − b + d ) = ( 2 2 0 0 ) ⇒ a = b = 0, c = d = 1 2p
3p
2.a) x ∗ 4 = 2 x − 2
2x – 2 = 0, x = 13p
2p
b) x ∗ y = xy − 2x − 2y + 4 + 2 = x (y − 2) + 2 (y − 2) + 2 =
= (y − 2) (x − 2) + 2 = (x − 2) (y − 2) + 2 2p
3p
c) x ∗ x = (x − 2) 2 + 2
x ∗ x ∗ x = (x − 2) 3 + 2
(x − 2) 3 + 2 = x ⇒ x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 2p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→1 f (x) − f (1) _ x − 1 = f’ (1)
f’ (x) = ( x 17 + 1 7 x + 18) ‚ = 17 x 16 + 1 7 x ln 17
f’ (1) = 17 + 17 ln 17 = 17 ln (17e) 2p
2p
1p
b) lim x→∞ f(x ) = lim x→∞ ( x 17 + 1 7 x + 18) =
∞ + ∞ = ∞
Funcția nu admite asimptotă orizontală la ∞ , deoarece limita nu
este finită. 3p
2p
c) f’ (x) = ( x 17 + 1 7 x + 18) ‚ = 17 x 16 + 1 7 x ln 17 > 0 pentru orice număr
real x, deoarece 17 x 16 ≥ 0, 17 x > 0, ln 17 > ln 1 = 0
Deoarece f’ (x) > 0 pentru orice număr real x, deducem că funcția f
este crescătoare pe mulțimea numerelor reale. 2p
3p

Teste propuse138
2.a)Dacă F este o primitivă oarecare a funcției f , atunci F este derivabilă
și F’ (x) = ( x 2 + 2018 x − 2009 ) ‚ = ( x 2 ) ‚ + (2018 x) ‚ − 2009 ‚ =
2x + 2018 = f (x) 2p
3p
b) f ( x 2 ) = 2 x 2 + 2018
∫
0 1
f ( x 2 ) dx = ∫
0 1
(2 x 2 + 2018 ) dx =
( 2 x 3 _ 3 + 2018 x) |
0 1
= 6056 _ 3 1p
2p
2p
c) lim x→0 G(x ) − G(0) _ x = G’ (0)
G’ (x) = f (x) ⇒ G’ (0) = f (0) = 2018 2p
3p
TEST 14
SUBIECTUL I 30 de puncte
1. i + i 2 + i 3 + i 4 = 0 . Rescriem suma:
(i + i 2 + i 3 + i 4 ) + . . . ( i 97 + i 98 + i 99 + i 100 ) + i 101 + i 102 =
= i 101 + i 102 = i − 2 2p
3p
2. x 1 + x 2 = −  b _ a = 5
x 1 2 − x 2 2 = ( x 1 − x 2 ) ⋅ ( x 1 + x 2 ) ⇒ x 1 − x 2 = 3
x 1 = 4, x 2 = 1, x 1 x 2 = c _ a = m ⇒ m = 4 1p
2p
2p
3. Se ridică ambii mebri la puterea a treia: 3x − 1 = (x − 1) 3
3x − 1 = x 3 − 3 x 2 + 3x − 1 ⇔ x 3 − 3 x 2 = 0 ⇔ x = 0 sau x = 3 2p
3p
4. Numărul de submulțimi cu 3 elemente ale unei mulțimi cu n
elemente este C n 3
C n 3 = 20 ⇔ n ! _ 3 ! (n − 3) ! = 20 ⇒ n = 6 2p
3p
5. → u ⊥ → v ⇔ 3 (m + 4) − 6 = 0 ⇔
⇔ 3m + 6 = 0 ⇔ m = − 2 2p
3p
6. s i n 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x + sin 2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x =
2 ( s i n 2 x + cos 2 x) = 2 3p
2p

Teste propuse139
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
A 2 = A ⋅ A = ( 1
1
1
3 3 3
− 5
− 5
− 5 ) ( 1
1
1
3 3 3
− 5
− 5
− 5 ) = ( − 1
− 1
− 1
− 3 − 3 − 3
5
5
5 )
A 2 + A = ( − 1
− 1
− 1
− 3 − 3 − 3
5
5
5 ) + ( 1
1
1
3 3 3
− 5
− 5
− 5 ) = ( 0
0
0
0 0 0
0
0
0 ) = O 3 2p
3p
b)
A t = ( 1
3
− 5
1 3 − 5
1
3
− 5 )
A + A t = ( 1
1
1
3 3 3
− 5
− 5
− 5 ) + ( 1
3
− 5
1 3 − 5
1
3
− 5 ) = ( 2
4
− 4
4 6 − 2
− 4
− 2
− 10 )
det (A + A t ) = | 2
4
− 4
4 6 − 2
− 4
− 2
− 10 | = 0 , deci matricea A + A t nu este
inversabilă.2p
3p
c)
A + x I 3 = ( 1
1
1
3 3 3
− 5
− 5
− 5 ) + ( x
0
0
0 x 0
0
0
x ) = ( x + 1
1
1
3 x + 3 3
− 5
− 5
x − 5 )
det (A + x I 3 ) = 0 ⇔ x 2 (x − 1) = 0 ⇔ x = 0 sau x = 1 . Convine x = 02p
3p
2.a)Suma coeficienților polinomului f este egală cu f (0)
f (0) = ( 0 2 − 2 ⋅ 0 + 1) 49 = 1 2p
3p
b) f (x) = ( X 2 − 2X + 1) 49 = [ (x − 1) 2 ] 49 = (x − 1) 98
f (1) = 0
f( − 203 ) ⋅ f( − 202 ) ⋅ . . . ⋅ f(202 ) ⋅ f(203) =
f( − 203 ) ⋅ f( − 202 ) ⋅ . . . ⋅ f(1 ) ⋅ . . . ⋅ f(202 ) ⋅ f(203 ) = 0 2p
1p
2p
c) Restul împărțirii lui f la polinomul g = X + 1 este egal cu f (− 1)
f (− 1) = 4 49 = ( 2 49 ) 2 deci, restul este pătratul lui 2 49 2p
3p

Teste propuse140
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ‚ (x ) = ( 2 e x _ x 2 ) ‚
= (2 e x ) ‚ ⋅ x 2 − 2 e x ⋅ ( x 2 ) ‚ ________________ x 4 =
= 2x e x (x − 2) _ x 4 = 2 e x (x − 2) _ x 3 2p
3p
b) lim
x→0 x<0 f (x) = lim
x→0 x<0 2 e x _ x 2 = ∞
lim
x→0 x<0 f (x) = lim
x→0 x<0 2 e x _ x 2 = ∞
Dreapta de ecuație x = 0 este asimptotă verticală la graficul lui f2p
2p
1p
c) y = f (1) + f ‚ (1) (x − 1)
f (1) = 2e, f ‚ (1) = − 2 e
y = − 2 ex + 4e 2p
3p
2.a) ∫
3 5
( x 2 + 9) ⋅ f (x) dx = ∫
3 5
( x 2 + 9) ⋅ 1 _ ( x 2 + 9) dx
= ∫
3 5
dx = x| 3 5 = 2
=2p
3p
b) ∫
0 1
x 2 f(x ) dx = ∫
0 1
x 2 ⋅ 1 _ x 2 + 9 dx = ∫
0 1
x 2 + 9 − 9 _ x 2 + 9 dx =
= ∫
0 1
dx − 9 ⋅ ∫
0 1
1 _ x 2 + 9 dx = x − 9 ⋅ 1 _ 3 arctg x _ 3 |
0 1
= 1 − 3arctg 1 _ 3 2p
3p
c) ∫ x _ x 2 + 9 dx = 1 _ 2 ⋅ ∫ 2x _ x 2 + 9 dx =
= 1 _ 2 ⋅ ∫ (x 2 + 9) ‚ _ dx = 1 _ 2 ln (x 2 + 9) + C 2p
3p

Teste propuse141
TEST 15
SUBIECTUL I 30 de puncte
1. (3 + √ _
3 ) 3 = 54 + 30 √ _
3
(3 − √ _
3 ) 3 = 54 − 30 √ _
3
(3 + √ _
3 ) 3 − (3 − √ _
3 ) 3 = 60 √ _
3 2p
3p
2. f este o funcție pară atunci: f (x) = f (− x) , (∀) x ∈ ℝ
f (− 3) = f (3) = 8
f (3) + f (− 3) = 16 2p
1p
2p
3. Condiții de existență: x ∈ (3; ∞)
log 3 (x − 3) (x + 3) = 3 ⇔ x 2 − 9 = 27 ⇔
⇔ x 2 = 36 ⇔ x = ± 6
convine x = 6 care verifică condiția de existență2p
1p
1p
1p
4.X = 2 și x = 4 sunt soluții ale ecuației date, deci numărul de cazuri
favorabile este 6;
numărul de cazuri total posibile este egal cu cardinalul mulțimii
date, deci 8;
P = nr. cazuri favorabile ________________ nr. cazuri total posibile = 3 _ 4 2p
2p
1p
5. | → u | = √ _ (m + 4) 2 + 1 , | → v | = √ _
1 0
| ⇀ u | = | ⇀ v | ⇔ (m + 4) 2 = 9 ⇔ m = − 1 sau m = − 7 2p
3p
6. cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x =
= 1 − 2 _ 9 = 7 _ 9 3p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
| 2
− 1
− 1
1 1 − 1
3
− 1
− 1 | = − 2 + 3 + 1 + 3 − 2 − 1 =
= 2
3p
2p

Teste propuse142
b)
| 2
− 1
− 1
1 1 m
3
− 1
− 1 | = 0 ⇔ − 2 − 3m + 1 + 3 + 2m − 1 = 0 ⇔
⇔ − m + 1 = 0 ⇔ m = 1 3p

2p
c)

{ 2x − y − z = 0
x + y + 2z = 4
3x − y − z = 1 ⇔ { 3x + z = 4
4x + z = 5
3x − y − z = 1 ⇔
{ x = 1
y = 1
z = 1 3p
3p
2.a) x ∗ (−  1 _ 5 ) = −  x _ 5 + x _ 5 − 1 _ 25 − 4 _ 25 =
= −  5 _ 25 = −  1 _ 5 , (∀) x ∈ ℝ 3p
2p
b) x ∗ y = xy + x _ 5 + y _ 5 + 1 _ 25 − 1 _ 5 = x (y + 1 _ 5 ) + 1 _ 5 (y + 1 _ 5 ) − 1 _ 5 =
(y + 1 _ 5 ) (x + 1 _ 5 ) − 1 _ 5 = (x + 1 _ 5 ) (y + 1 _ 5 ) − 1 _ 5 , (∀) x, y ∈ ℝ 2p
3p
c)Din punctul a) x ∗ (−  1 _ 5 ) = −  1 _ 5 , dar și (−  1 _ 5 ) ∗ x = −  1 _ 5 (∀) x ∈ ℝ
(−  8 _ 15 ) ∗ (−  7 _ 15 ) ∗ . . . ∗ (−  4 _ 15 ) ∗ (−  3 _ 15 ) ∗ (−  2 _ 15 ) ∗ (−  1 _ 15 ) =
x ∗ (−  1 _ 5 ) ∗ y = −  1 _ 5 , x = (−  8 _ 15 ) ∗ (−  7 _ 15 ) ∗ . . . ∗ (−  4 _ 15 ) ,
y = (−  2 _ 15 ) ∗ (−  1 _ 15 ) 2p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ‚ (x ) = (3 − 2x + ln x) ‚ =
= − 2 + 1 _ x = 1 − 2x _ x , (∀) x ∈ (0; ∞) 3p
2p
b) f ‚ (x) = 0 ⇒ x = 1 _ 2
f ‚ (x) ≥ 0 , pentru orice x ∈ (0 ; 1 _ 2 ] deci f este crescătoare,
f ‚ (x) ≤ 0, pentru orice x ∈ [ 1 _ 2 ; ∞) deci f este descrescătoare1p
2p
2p

Teste propuse143
c) f ‚’ (x) = ( f ‚ (x) ) ‚ = ( 1 − 2x _ x ) ‚
=
= (1 − 2x) ‚ ⋅ x − (1 − 2x) ⋅ x ‚ __________________ x 2 = −  1 _ x 2
f ‚’ < 0, (∀) x ∈ (0; ∞) , deci f este concavă pe intervalul (0; ∞) .3p
2p
2.a) ∫ (f (x) − 1 _ x + 3 ) dx = ∫ ( 1 _ x + 3 + 1 _ x + 4 − 1 _ x + 3 ) dx = ∫ 1 _ x + 4 dx =
ln |x + 4| + C 2p
3p
b) ∫ ( 1 _ x + 3 + 1 _ x + 4 ) dx = ∫ 1 _ x + 3 dx + ∫ 1 _ x + 4 dx
= ln |x + 3| + ln |x + 4| + C
= ln | x 2 + 7x + 12| + C 2p
3p
c) A = ∫
1 2
|f (x) | dx =
= ∫
1 2
| 1 _ x + 3 + 1 _ x + 4 | dx = ln | x 2 + 7x + 12| | 1 2 =
= ln 3 _ 2 . 2p
3p
TEST 16
SUBIECTUL I 30 de puncte
1. b 7 = b 1 ⋅ q 6 , b 4 = b 1 ⋅ q 3 ⇒ b 7 _ b 4 = q 3 ⇔ q 3 = 27 ⇔ q = 3
b 1 = b 4 _ q 3 = 135 : 27 = 5 3p
2p
2. V (−  b _ 2a ; − Δ _ 4a )
−   b _ 2a = 0
Δ = − 16 , −  Δ _ 4a = 4 ⇒ V (0; 4) 2p
1p
2p
3. Ecuația se rescrie: ( 3 x ) 2 − 5 ⋅ 3 x + 6 = 0 ⇔ ( 3 x − 2) ( 3 x − 3) = 0 .
3 x = 2 ⇒ x = log 3 2 , 3 x = 3 ⇒ x = 1 3p
2p
4. x 2 − 8x + 15 ≤ 0 ⇔ x ∈ [3; 5]
Numărul de cazuri favorabile este egal cu 3.
Numărul de cazuri posibile este 8.
P = nr. cazuri favorabile ________________ nr. cazuri total posibile = 3 _ 8 2p
2p
1p

Teste propuse144
5.
| ⇀ u | = √ _ (a − 6) 2 + 1 , | ⇀ v | = √ ____________
( 1 _ 2 ) 2
+ ( √ _
3 _ 2 ) 2
= 1
| ⇀ u | = | ⇀ v | ⇔ (a − 6) 2 = 0 ⇔ a = 6 3p
2p
6.Din teorema sinusurilor aplicată în triunghiul ABC se obține:
b _ sin B = 2R
sin B = 1 _ 2 , R = 6 3p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
A (1) = ( 2
1
3
3 1 1
1
0
− 2 ) , A (1) − I 3 = ( 1
1
3
3 0 1
1
0
− 3 )
| 1
1
3
3 0 1
1
0
− 3 | = 10 3p
2p
b)
A (− x) = ( − 2x
1
3
3 1 1
1
0
2x ) ,
B = A (x) ⋅ A (− x) = ( 2x
1
3
3 1 1
1
0
− 2x ) ( − 2x
1
3
3 1 1
1
0
2x ) =
( − 4 x 2 + 6
2x + 1
12x + 1
− 6x + 4 4 2x + 10
− 4x
1
− 4 x 2 + 3 )
− 8 x 2 + 6x + 30 = 30 ⇔ x = 0 sau x = 3 _ 4 1p
2p
2p
c)
A (1) + A (2) + . . . + A (n) =
⎛
⎜
⎝ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + . . . + 2 ⋅ n
1 + 1 + . . . + 1 
n ori
3 + 3 + 3 . . . + 3 
n ori
3 + 3 + 3 . . . + 3 
n ori
1 + 1 + . . . + 1 
n ori
1 + 1 + . . . + 1 
n ori

1 + 1 + . . . + 1 
n ori
0
−  (2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + . . . + 2 ⋅ n) ⎞
⎟
⎠
A (1) + A (2) + . . . + A (n) = ( n (n + 1)
n
3n
3n n n
n
0
− n (n + 1) ) 3p

2p

Teste propuse145
2.a) f (0) = (0 − 4 ⋅ 0 + 4 ) 101 =
= 4 101 = ( 2 101 ) 2 3p
2p
b) f (x) = [ (x − 2) 2 ] 101 = (x − 2) 202
f (x) _ g (x) = (x − 2) 201 , restul este 02p
3p
c) h (x) = [−  (x − 2) ] 202 = (x − 2) 202
Câtul împărțirii este f (x) _ g (x) = 1 . 2p
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ‚ (x) = ( x 2 − 2x + 2 _ x 2 + 2x + 2 ) ‚

= ( x 2 − 2x + 2) ‚ ( x 2 + 2x + 2) − ( x 2 − 2x + 2) ( x 2 + 2x + 2) ‚ _____________________________________ ( x 2 + 2x + 2) 2 =
= (2x − 2) ( x 2 + 2x + 2) − ( x 2 − 2x + 2) (2x + 2) ______________________________ ( x 2 + 2x + 2) 2 = 4 x 2 − 8 _ ( x 2 + 2x + 2) 2
= 4 ( x 2 − 2) _ ( x 2 + 2x + 2) 2 2p
3p
b) f (− x) = x 2 + 2x + 2 _ x 2 − 2x + 2
lim x→∞ f (− x) = lim x→∞ x 2 (1 + 2 _ x + 2 _ x 2 ) ___________
x 2 (1 − 2 _ x + 2 _ x 2 ) = 1 2p
3p
c) f ‚ (x) = 0 ⇔ x 1,2 = ±  √ _
2
f ‚ (x) ≥ 0, ∀ x ∈ (− ∞ ; − √ _
2 ] deci f este crescătoare, f ‚ (x) ≤ 0, ∀ x ∈
[−  √ _
2 ; √ _
2 ] deci f descrescătoare, f ‚ (x) ≥ 0, ∀ x ∈ [ √ _
2 ; ∞) ;
−  √ _
2 ; √ _
2 sunt punctele de extrem ale lui f. 2p
3p
2.a) ∫
0 1
(3 √ _ x + 2 − 2) dx = 3 ∫
0 1
√ _ x dx =
= 2x √ _ x | 0 1 = 2 2p
3p
b) V = π ∫
0 2
h 2 (x) dx , h (x) = √ _ x
V = π ∫
0 2
xdx = π ⋅ x 2 _ 2 |
0 2
= 2π 2p
3p

Teste propuse146
c) Dacă F este o primitivă oarecare a funcției f , atunci F este derivabilă
cu F ‚ (x) = f (x) .
F ‚ (x) = (2x √ _ x + 2x − 1 _ 3 ) ‚
=
= 3 √ _ x + 2 = f (x) , (∀) x ∈ [0; ∞ )
F este o primitivă a funcției f. 2p
3p
TEST 17
SUBIECTUL I 30 de puncte
1. (x − 2 ) ( − x + 8) (x − 4) = 0 ⇔ x 1 = 2, x 2 = 8, x 3 = 4
m g = 3 √ _ 2 ⋅ 8 ⋅ 4 = 3 √ _
64 = 4 2p
3p
2. f (f (x) ) = a (ax + b) + b = a 2 x + ab + b
a 2 x + ab + b − 2ax − 2b − 1 = 0 ⇔ ( a 2 − 2a) x − b = 1 ⇔
⇔ a = 2, b = 1 ⇒ f (x) = 2x + 1 2p
3p
3. Ridicăm ambii membri la cub:
x 3 + x 2 + 3x + 2 = x 3 ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0
x 1 = − 1, x 2 = − 2 2p
3p
4. A 5 1 = 5 ! _ 4 ! = 5, C 10 2 = 10 ! _ 2 ! ⋅ 8 ! = 45, P 3 = 6
A 5 1 + C 10 2 + 4 P 3 = 74, 74 ⋮ 37 3p
2p
5. x A + x B _ 2 = − 2, x A + x C _ 2 = 4, x B + x C _ 2 = 0 ⇒
x A = 2, x B = − 6, x C = 6
y A + y B _ 2 = 4, y A + y C _ 2 = − 2, y B + y C _ 2 = 4 ⇒
y A = − 2, y B = 10, y C = − 2
A (2; − 2) , B (− 6; 10) , C (6; − 2) 2p
2p
1p
6. ⇀ u ⋅ ⇀ v = (3 → i − 5 → j ) (4 → i + 6 → j ) =
= 12 − 30 = − 18 3p
2p

Teste propuse147
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
A 0 (2; 3) , A 2 (4; 5)
A 0 A 2 : | x
y
1
2 3 1
4
5
1 | = 0 ⇔ y = x + 1 2p
3p
b) O A 1 = √ _ 3 2 + 4 2 = 5
O A 2 = √ _ 4 2 + 5 2 = √ _
41
A 1 A 2 = √ _ 1 + 1 = √ _
2
P O A 1 A 2 = √ _
41 + √ _
2 + 5 3p
2p
c)
Δ = | 0
0
1
3 4 1
4
5
1 | = − 1
A O A 1 A 2 = 1 _ 2 ⋅ |Δ| = 1 _ 2 2p
3p
2.a) x ∗ y = xy + 5x + 5y + 25 − 5 = x (y + 5) + 5 (y + 5) − 5 =
(y + 5) (x + 5) − 5 = (x + 5) (y + 5) − 5, (∀) x, y ∈ ℝ 2p
3p
b) (x − 12) * (x + 13) = (x − 12 + 5) (x + 13 + 5) − 5 =
= (x − 7) (x + 18) − 5
(x − 7) (x + 18) − 5 = − 5 ⇔ (x − 7) (x + 18) = 0 ⇔ x = 7 sau x = − 18 2p
3p
c) − 5 ∗ x = (− 5 + 5) (x + 5) − 5 = − 5, (∀) x ∈ ℝ
(− 5) ∗ (− 4) ∗ … ∗ 0 ∗ … ∗ 1005 = − 5 ∗ x = − 5 unde x =
(− 4) ∗ … ∗ 0 ∗ … ∗ 1005 3p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→1 f (x) − f (1) _ x − 1 = f ‚ (1)
f ‚ (x) = [ ( x 2 − 2x + 2) e x ] ‚ = x 2 e x
f ‚ (1) = e deci lim x→1 f (x) − f (1) _ x − 1 = e 2p
2p
1p
b) f (− x) = ( x 2 + 2x + 2) e −x = x 2 + 2x + 2 _ e x
lim x→∞ f (− x) = lim x→∞ x 2 + 2x + 2 _ e x = [ ∞ _ ∞ ]
= lim x→∞ 2x + 2 _ e x = lim x→∞ 2 _ e x = 0 2p

3p

Teste propuse148
c) x 2 ≥ 0, e x > 0, (∀) x ∈ ℝ ⇒ f ‚ (x) = x 2 e x ≥ 0, (∀) x ∈ ℝ
Deci f este o funcție crescătoare pe mulțimea numerelor reale.3p
2p
2.a) ∫
1 2
(2 e x + 4) f (x) dx = ∫
1 2
2 ( e x + 2) ⋅ 2 _ e x + 2 dx = ∫
1 2
4dx =
= 4x| 1 2 = 8 − 4 = 4 3p
2p
b) ∫ x _ f (x) dx = ∫ x ( e x + 2) _ 2 dx = 1 _ 2 ∫ x e x dx + ∫ xdx =
x e x − e x + x 2 _ 2 + C 2p
3p
c) h (x) = √ _ e x _ 2 f (x) = √ _ e x _ 2 ⋅ 2 _ e x + 2 = √ _ e x _ e x + 2 ⇒ V = π ∫
0 1
e x _ e x + 2 dx =
= π ln | e x + 2| | 0 1 = π ln e + 2 _ 3 2p
3p

Teste propuse149
Rezolvãri și bareme
de corectare nota 8
TEST 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. z = a + bi, _ z = a − bi ⇒ 4 (a + bi) + 3 (a − bi) = 28 + 3i
7a = 28, b = 3 ⇒ z = 4 + 3i
Finalizare. |4 + 3 i| = √ _ 4 2 + 3 2 = 5 2p
2p
1p
2. Ecuația 3x + 2 = x 2 + 7x + 5 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = − 3
Finalizare. Punctele de intersecție sunt A (− 1, − 1) și B (− 3, − 7) 3p
2p
3. 2 x ⋅ 2 3 + 2 3 _ 2 x = 20 și substituția 2 x = t
2 x = 2 ⇒ x = 1, 2 x = 1 _ 2 ⇒ x = − 1 2p
3p
4. card {2, 4, 6, . . . , 1000 } = 500, card {3, 6, 9, . . . , 999} = 333, card
{6, 12, 18, . . . , 996} = 166
p = 500 + 333 − 166 ____________ 1000 = 667 _ 1000 3p
2p
5.Scrierea dreptelor y = −  m _ 4 x + 5 _ 4 ; y = 1 _ 8 x + 13 _ 8
Condiția de paralelism −  m _ 4 = 1 _ 8 ⇒ m = −  1 _ 2 2p
3p
6. ctg a = 4 ⇒ tg a = 1 _ 4 și ctg b = 5 ⇒ tg b = 1 _ 5
tg (a + b) = tg a + tg b _ 1 − tg a ⋅ tg b = 1 _ 4 + 1 _ 5 _
1 − 1 _ 20 = 9 _ 19 2p
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
det (A (m) ) = | 1
− 1
m
m 1 − m
2
m
1 |
Prin adunarea primelor două linii det (A (m) ) = | m + 1
0
0
m 1 − m
2
m
1 |
Finalizare. Δ = (m + 1) (1 + m 2 ) 3p
2p
1.b)Pentru m ≠ − 1 ⇒ rang A = 3
Pentru m = − 1 ⇒ A (− 1) = ( 1
− 1
− 1
− 1 1 1
2
− 1
1 ) ⇒ m p = | − 1 1 − 2 − 1 | =
3, deci rang A = 2
Pentru ambele variante, (∀) m ∈ ℝ rang A ≥ 2 .2p
3p

Teste propuse150
1.c)
m = − 1 ⇒
{ x − y − z = 1
− x + y + z = 2
2x − y + z = 5
Prin adunarea primelor două relații se obține contradicția 0 = 3 ,
deci pentru m = − 1 , sistemul este incompatibil.2p
3p
2.a) f ⋮ x − 1 ⇒ f (1) = 0
1 − m + 2 = 0 ⇒ m = 3 2p
3p
2.b)Din relația Viète x 1 x 2 x 3 = − 2 și dacă x 1 x 2 = 2 ⇒ x 3 = − 1
(− 1) 3 + m + 2 = 0 ⇒ m = − 1 3p
2p
2.c)
⎧
⎪
⎨ ⎪
⎩ x 1 3 = m x 1 − 2
x 2 3 = m x 2 − 2
x 3 3 = m x 3 − 2 ⇒ x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 = m ( x 1 + x 2 + x 3 ) − 6 = − 6
Cum x 1 x 2 x 3 = − 2 , x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 + 3 x 1 x 2 x 3 = − 6 + 3 (− 2) = − 12 .3p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
f ′ (x) = ( x + 2 _ x − 3 ) ′
_
2 √ _
x + 2 _ x − 3
f ′ (x) = 5 ___________
2 √ _
x + 2 _ x − 3 (x − 3) 2 ,  x ∈ (− ∞ ,  − 2) ∪ (3, ∞) 2p
2p
1.b)Ecuația y − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) (x − x 0 )
f (7) = 3 _ 2 ,  f ′ (7) = −  5 _ 48
y − 3 _ 2 = −  5 _ 48 (x − 7) ⇒ 48y + 5x − 107 = 0 1p
2p
2p
1.c) lim x→∞ f (x) 4x+200 = lim x→∞ [f (x) 2 ] 2x+100 = lim x→∞ ( x + 2 _ x − 3 ) 2x+100
Cazul 1 ∞
Finalizare lim x→∞ [ (1 + 5 _ x − 3 ) x−3 _ 5
] 5 _ x−3 (2x+100 )
= e 10 3p
2p
2.a) I 1 = ∫
1 e (x + 1) ln x dx = ∫
1 e [ (x + 1) 2 _ 2 ] ′
ln x dx =
= ( x + 1 _ 2 ) 2
ln x | 1 e − 1 _ 2 ∫
1 e x 2 + 2x + 1 _ x dx
Finalizare I 1 = e 2 + 5 _ 2 3p
2p

Teste propuse151
2.b) x ∈ [1, e] ⇒ ln x ∈ [0, 1] ⇒ (ln x) n ≥ (ln x) n+1
Integrând se obține inegalitatea I n ≥ I n+1 , deci șirul ( I n ) este
descrescător.3p
2p
2.c) I 0 = ∫
1 e (x + 1) dx = (x + 1) 2 _ 2 | e 1 = e 2 + 2e − 3 _ 2
( I n ) descrescător ⇒ I n ≤ I 0 (∀) n ∈ N
ln x ≥ 0, x + 1 > 0 ⇒ (x + 1) l n n x ≥ 0 ⇒ I n ≥ 0 (∀) n ∈ ℕ ,
deci I n ∈ [0, I 0 ] (∀) n ∈ ℕ
⇒ șirul este mărginit3p
2p
TEST 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. √ _
2 = 4 √ _
4 , 4 √ _
4 > 4 √ _
3 > 1 , log 5 4 < 1
Deci ordinea crescătoare a numerelor este log 5 4, 4 √ _
3 ,  √ _
2 .
2.Condiția de tangență Δ = 0 ⇒ (2m + 1) 2 = 36 ⇒ 2m + 1 = ± 6 ⇒ m 1 = 5 _ 2 ,
m 2 = −  7 _ 2
3. Condiția de existență x > 2 și 5 − 2x > 0 ⇒ x < 5 _ 2 , deci x ∈ (− 2, 5 _ 2 ) lg
(x + 2) (5 − 2x) = 1 ⇒ (x + 2) (5 − 2x) = 10 , cu soluțiile x 1 = 0 ș i x 2 = 1 _ 2 care
verifică condiția de existență .
4. Numărul cazurilor totale este 5 2 = 25 , iar cazurile favorabile sunt
perechile ordonate (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 1) (2, 2) (3, 1) deci probabilitatea
este p = 6 _ 25 .
5. Pentru B (− 1, 3) ș i C (2, − 1) , ecuația dreptei BC este x + 1 _ 2 + 1 = y − 3 _ − 1 − 3 ⇒
4x + 3y − 5 = 0 .
Distanța de la A (4, 2) la dreapta BC este d = |4 ⋅ 4 + 3 ⋅ 2 − 5| ____________ √ _ 9 + 16 = 17 _ 5 .
6.Cu notațiile: AB = c, AC = b, BC = a, p = a + b + c _ 2 ,  R = raza cercului
circumscris, S = aria △ ABC , S = √ __________________ p (p − a) (p − b) (p − c) = abc _ 4R = 84
= 13 ⋅ 14 ⋅ 15 _ 4R ⇒ R = 65 _ 8 .

Teste propuse152
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) M p = | y y + 2 1 1 | = − 2 ≠ 0 ⇒ (∀) x, y ∈ ℝ rang A ≥ 2
1.b)
det A = | x
x + 2
x + 4
y y + 2 y + 4
1
1
x | = | x
2
4
y 2 4
1
0
x − 1 | = | x
2
4
y − x 0 0
1
0
x − 1 | =
−  (y − x) | 2 4 0 x − 1 | =
= −  (y − x) ⋅ 2 (x − 1) = 2 (x − y) (x − 1)
1.c) det A = 2 (− 2 − 2) (− 2 − 1) = 24 ≠ 0 deci matricea este inversabilă
A −1 = 1 _ det A ⋅ A * ⇒ A −1 = 1 _ 12 ( − 7
1
− 4
5 1 8
− 1
1
− 4 )
2.a) x − 1 | f ⇒ f (1) = 0 ⇒ m = 5
2.b)Polinomul se descompune f (x) = (x − x 1 ) (x − x 2 ) (x − x 3 ) .
f (2) = (2 − x 1 ) (2 − x 2 ) (2 − x 3 )
f (2) = 8 − 4m + 4 = 12 − 4m
2.c) f are rădăcină dublă dacă ∃ α pentru care f (α) = 0 ș i f ′ (α) = 0 . Formez
sistemul
{ α 3 − m α 2 + 4 = 0 3 α 2 − 2mα = 0 .
α ≠ 0 ⇒ 3α − 2m = 0 ⇒ m = 3α _ 2
Înlocuind se obține α 3 = 8 ⇒ α = 2 și m = 3 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)Ecuația asimptotei y = mx + n unde m = lim x→−∞ f (x) _ x = lim x→−∞ x 2 − x + 1 _ x 2 + 2x = 1 și n
= lim x→−∞ (f (x) − mx) = lim x→−∞ ( x 2 − x + 1 _ x + 2 − x) = lim x→−∞ − 3x + 1 _ x + 2 = − 3 deci y = x − 3 .
1.b) f ′ (x) = (2x − 1) (x + 2) − ( x 2 − x + 1) ____________________ (x + 2) 2 = x 2 + 4x − 3 _ (x + 2) 2 , (∀) x ∈ ℝ − {− 2}
1.c) f ″ (x) = 14 _ (x + 2) 3 deci pentru x > − 2, f ″ (x) > 0 și funcția este convexă
2.a) I n = ∫ n n+1 (3 + 1 _ x ) dx = 3 x | n n+1 + ln |x| | n n+1 = 3 + ln n + 1 _ n

Teste propuse153
2.b) I n+1 − I n = 3 + ln n + 2 _ n + 1 − 3 − ln n + 1 _ n = l n n 2 + 2n _ n 2 + 2n + 1 < ln 1 = 0 deci I n este
descrescător
2.c) lim x→∞ (n + 2) ( I n − 3) = lim x→∞ (n + 2) l n n + 1 _ n = lim x→∞ l n (1 + 1 _ n ) n+2
= ln  e = 1
TEST 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Considerând r = rația progresiei aritmetice, din a 5 = a 1 + 4r, a 11 = a 1 + 1 0r
și a 5 + a 11 = 2 0 ⇒ 2 a 1 + 1 4r = 20 și după simplificare a 1 + 7r = 10 . Cum
a 1 + 7r = a 8 rezultă că a 8 = 10 .
2. (f ∘ g) (x) = 0 ⇒ (3x + 5) 2 − 4 = 0 ⇒ (3x + 5) 2 = 4 ⇒ 3x + 5 = ± 2 ⇒
x 1 = −  7 _ 3 , x 2 = − 1
3. 3 √ _ x − 5 = x − 5 ⇒ x − 5 = (x − 5) 3 sau (x − 5) [ (x − 5) 2 − 1] = 0 ⇒
(x − 5) (x − 5 + 1) (x − 5 − 1) = 0 ⇒ (x − 4) (x − 5) (x − 6) = 0 cu soluțiile x 1
= 4, x 2 = 5 și x 3 = 6
4. |A| = 3 , |B| = 4 . Numărul funcțiilor strict crescătoare f : A → B este
C 7 3 = 7 ! _ 3 !4 ! = 35 .
5. ⟶ AB = (3 − 1) → i + (2 − 1) → j = 2 → i + → j ,  ⟶ AC = (2 − 1) → i + (3 − 1) → j = → i + 2 → j
⟶ AB ⋅ ⟶ AC = | ⟶ AB | ⋅ | ⟶ AC | cos ( ⟶ AB , ⟶ AC ) ⇒ 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 = √ _ 2 2 + 1 2 ⋅
√ _ 2 2 + 1 2 cos ( ⟶ AB , ⟶ AC ) , deci cos ( ⟶ AB , ⟶ AC ) = 4 _ 5
6. B C 2 = A C 2 + A B 2 ⇒ △ ABC este dreptunghic. Calculez semiperimetrul
triunghiului p = AB + AC + BC ___________ 2 = 12 și aria S = AB ⋅ AC _ 2 = 24 . Raza cercului
înscris r se obține din formula S = rp ⇒ r = 24 _ 12 = 2 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) A ⋅ A = A ⋅ A ⇒ A ∈ C (A) . Se verifică dacă AB = BA.
Cum AB = BA = ( 15 25 0 15 ) , rezultă că B ∈ C (A) .

Teste propuse154
1.b)Fie X = ( a b c d ) . Se egalează AX cu XA : ( a b c d ) ( 3 2 0 3 ) =
( 3 2 2 3 ) ( a b c d ) ⇒
( 3a 2a + 3b 3c 2c + 3d ) = ( 3a + 2c 3b + 2d 3c 3d ) . Se egalează
elementele celor două matrice:
3a = 3a + 2c ⇒ c = 0 și 2a + 3b = 3b + 2d ⇒ a = d , deci A este de
forma ( a b 0 a )
1.c)Fie X ∈ C (A) ⇒ ∃ a, b ∈ ℝ astfel ca X = ( a b 0 a ) ș i Y ∈ C (A) ⇒ ∃ c, d ∈ ℝ
astfel ca Y = ( c d 0 c ) . Din XY = YX = ( ac ad + bc 0 ac ) ⇒ XY ∈ C (A)
2.a) f ( ˆ 2 ) = ˆ 1 + ˆ 3 ⋅ ˆ 2 + ˆ 3 = ˆ 0 și f ( ˆ 3 ) = ˆ 1 + ˆ 3 ⋅ ˆ 3 + ˆ 3 = ˆ 3 ⇒ f ( ˆ 2 ) + f ( ˆ 3 ) = ˆ 3
2.b) f ( ˆ 0 ) = ˆ 3 ,  f ( ˆ 1 ) = ˆ 2 ,  f ( ˆ 4 ) = ˆ 1 , deci Im f = { ˆ 0 , ˆ 1 , ˆ 2 , ˆ 3 } . Deoarece codomeniul
este ℤ 5 și Im f ≠ ℤ 5 ⇒ f nu este surjectivă.
2.c) f ( ˆ 2 ) = 0 ⇒ x − ˆ 2 |f
f (x) = (x − ˆ 2 ) ( x 3 + ˆ 2 x 2 + ˆ 4 x + ˆ 1 ) = (x − ˆ 2 ) 2 ( x 2 + ˆ 4 x + ˆ 2 ) . Ultimul factor
este ireductibil deoarece x 2 + ˆ 4 x + ˆ 2 nu admite soluții din ℤ 5 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
f ′ (x) = (2x + a) √ _ x 2 + 4 − ( x 2 + ax + 4) x _ √ _ x 2 + 4 __________________________ x 2 + 4 = x 3 + 4x + 4a _ √ _ ( x 2 + 4) 3
1.b) x 0 = abscisa unui punct de minim ⇒ f ′ ( x 0 ) = 0 (teorema lui Fermat)
Deci se impune relația f ′ (2) = 0 ⇒ 8 + 8 + 4 a = 0 ⇒ a = − 4 .
1.c) a = 0 ⇒ f (x) = x 2 + 4 _ √ _ x 2 + 4 = √ _ x 2 + 4 . Calcululăm:
m = lim x→∞ f (x) _ x = 1 și n = lim x→∞ [f (x) − x] = lim x→∞ ( √ _ x 2 + 4 − x) = lim x→∞ x 2 + 4 − x 2 _ √ _ x 2 + 4 − x = 0
Deci pentru a = 0 , ecuația asimptotei oblice la + ∞ este y = x.
2.a) ∫
1 2 f (x) dx = ∫
1 2 1 _ x (x + 2) dx = 1 _ 2 ∫
1 2 ( 1 _ x − 1 _ x + 2 ) dx = 1 _ 2 [ln x − ln (x + 2) ] | 1 2 =
= 1 _ 2 (ln 2 − ln 4 − ln 1 + ln 3) = 1 _ 2 l n 3 _ 2
2.b) V = π ∫
2 3 g 2 (x) dx = π ∫
3 2 1 _ (x + 2) 2 dx = −  π _ x + 2 | 2 3 = π _ 20
2.c) ∫ n n+2 g (x) dx = ∫ n n+2 1 _ x + 2 dx = ln (x + 2) | n n+2 = ln n + 4 _ n + 2
lim n→∞ (2n + 3) l n n + 4 _ n + 2 = lim n→∞ (2n + 3) ln (1 + 2 _ n + 2 ) = lim n→∞ (2n + 3) ⋅ 2 _ n + 2 = 4

Teste propuse155
TEST 4
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
log 2 4 < log 2 7 < log 2 8 ⇒ log 2 7 ∈ [2, 3] ⇒ [ log 2 7] = 2
[ log 2 7] = 2
{− 1, 6} = 0, 4 } ⇒ [ log 2 7] + {− 1, 6} = 2 + 0, 4 = 2, 4
2. x 1 + x 2 = − 4
x 1 x 2 = 3
x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 = 16 − 6 = 10
x 1 3 + x 2 3 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 2 − x 1 x 2 + x 2 2 ) = − 4 (10 − 3) = − 28
3. Se impune condiția x − 3 ≥ 0 .
√ _____________ x + 1 + 4 √ _ x − 3 = √ ________________ x − 3 + 4 √ _ x − 3 + 4 = √ ___________ ( √ _ x − 3 + 2) 2 = | √ _ x − 3 + 2|
= √ _ x − 3 + 2
√ _ x − 3 + 2 = 3 ⇒ √ _ x − 3 = 1 ⇒ x = 4
4. Posibilități pentru alegerea fetei C 14 1 și pentru alegerea băieților C 16 2
C 14 1 ⋅ C 16 2 = 14 ⋅ 16 ⋅ 15 _ 2 = 1680
5. M = mijlocul laturii BC , AM = mediana din A
Se calculează coordonatele punctului M : M ( − 3 + 1 _ 2 , 5 + 9 _ 2 ) ⇒ M (− 1, 7) .
Se calculează ecuația medianei x − 4 _ − 1 − 4 = y − 8 _ 7 − 8 ⇒ x − 4 _ − 5 = y − 8 _ − 1 ⇒
5y − x − 36 = 0 .
6. sin x − cos x = 1 _ 3 ⇒ s i n 2 x + cos 2 x − 2 sin x cos x = 1 _ 9 ⇒ 1 − sin 2x = 1 _ 9 ⇒
sin 2x = 8 _ 9
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) A 2 = ( 2 4 x 6 ) ( 2 4 x 6 ) = ( 4 + 4 x 32 8x 4x + 36 ) și 8A = ( 16 32 8x 48 )
A 2 = 8A ⇒ ( 4 + 4 x 32 8x 4x + 36 ) = ( 16 32 8x 48 ) ⇒ 4 + 4 x = 16 ⇒ x = 12 _ 4 = 3

Teste propuse156
1.b)
A = ( 2 4 x 6 ) ,  A t = ( 2 x 4 6 ) ⇒ A − A t = ( 0 4 − x x − 4 0 )
x ≠ 4 ⇒ rang (A − A t ) = 1
x = 4 ⇒ A − A t = O 2 ⇒ rang (A − A t ) = rang O 2 = 0 } ⇒
⇒ rang (A − A t ) = 1 pentru x ∈ ℝ − {4}
1.c)La punctul a). s­a arătat că pentru x = 3 ⇒ A 2 = 8A .
Inductiv, dacă A k = 8 k−1 A ⇒ A k+1 = A k ⋅ A = 8 k−1 ⋅ A ⋅ A = 8 k−1 ⋅ A 2 =
8 k−1 ⋅ 8A = 8 k ⋅ A .
2.a)Se studiază dacă ∃ e ∈ ℝ cu proprietatea x ∘ e = e ∘ x = x (∀) x ∈ ℝ .
x ∘ e = xe − 5x − 5e + 30
x ∘ e = x ⇒ xe − 5x − 5e + 30 = x
x (e − 5) − 5e + 30 = x ,identificăm
e − 5 = 1 ⇒ e = 6 , deci legea de compoziție admite elementul neutru 6
2.b)Se caută x ′ ∈ ℝ cu proprietatea x ∘ x ′ = 6 .
x ∘ x ′ = x ′ (x − 5) − 5x + 30 = 6 ⇒ x ′ = 5x + 24 _ x − 5 (∀) x ≠ 5
x ′ = 5x − 25 _ x − 5 + 1 _ x − 5 = 5 + 1 _ x − 5
x ′ ∈ ℤ ⇒ x − 5 ∈ {± 1} ⇒ x = 6 sau x = 4
2.c) f (x ∘ y) = x ∘ y − 5 = xy − 5x − 5y − 5 + 30 = xy − 5x − 5y + 25
f (x ∘ y) = x (y − 5) − 5 (y − 5) = (y − 5) (x − 5) ș i (y − 5) (x − 5) = f (x) f (y) ,
deci relația f (x ∘ y) = f (x) f (y) este adevărată.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′ (x) = −  2x _ 2 + sin x = sin  x − x
1.b)Ecuația tangentei la grafic în punctul x = π _ 2 este y − f ( π _ 2 ) = f ′ ( π _ 2 ) (x − π _ 2 )
f ( π _ 2 ) = 1 − π 2 _ 8

f ′ ( π _ 2 ) = 1 − π _ 2
} ⇒ ecuația tangentei devine y − 1 + π 2 _ 8 = (1 − π _ 2 ) (x − π _ 2 )
1.c) lim x→0 f (x) _ x 4 = lim x→0 f ′ (x) _ 4 x 3 Cazul 0 _ 0 se aplică succesiv – regula lui l’Hôpital
lim x→0 f ′ (x) _ 4 x 3 = lim x→0 f ″ (x) _ 12 x 2 = lim x→0 cos x − 1 _ 12 x 2 = lim x→0 − sin  x _ 24x = −  1 _ 24

Teste propuse157
2.a)Pentru a arăta că F este crescătoare vom demonstra că F ′ > 0 F ‚ (x) = f (x) .
f : (0, ∞) → ℝ f (x) = ln x _ 3 √ _ x > 0, (∀) x ∈ [1, + ∞)
Pentru x ≥ 1 ln x ≥ 0 3 √ _ x > 0 } ⇒ f (x) ≥ 0 .
2.b) ∫ ln x _ 3 √ _ x dx = ∫ ( x 2 _ 3 _
2 _ 3 ) ′
ln x dx = 3 _ 2 x 2 _ 3 ln x − 3 _ 2 ∫ x 3 _ 2 ⋅ 1 _ x dx =
3 _ 2 3 √ _
x 2 l n  x − 3 _ 2 ∫ x − 1 _ 3 dx =
= 3 _ 2 3 √ _
x 2 l n  x − 3 _ 2 ⋅ x 2 _ 3 _
2 _ 3 + C = 3 _ 2 3 √ _
x 2 l n  x − 9 _ 4 3 √ _
x 2 + C
Deci F este o primitivă a funcției f.
Observație: Se poate arăta că F ′ (x) = f (x) ,  (∀) x ∈ (0, ∞) .
2.c) A = ∫
1 _ e 1 |f (x) | dx = −  ∫
1 _ e 1 f (x) dx = −  F (1) + F ( 1 _ 3 ) = 9 _ 4 − 3 _
4 3 √ _
e 2
TEST 5
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. r = rația progresiei aritmetice
a 1 = 6
a 3 = a 1 + 2r = 10 } ⇒ r = 10 − 6 _ 2 = 2 , a 10 = a 1 + 9r = 6 + 9 ⋅ 2 = 24
Suma primilor 10 termeni ai progresiei aritmetice:
S 10 = ( a 1 + a 10 ) ⋅ 10 _ 2 = (6 + 24 ) ⋅ 10 _ 2 = 150
2.Ecuația axei de simetrie a parabolei x = 3m + 1 _ 2 = 5 ⇒ m = 3
3. Se impune condiția de existență x > 0 .
Se rezolvă ecuația ( 2 x − 8) ( log 2 x − 4) = 0 .
2 x = 8 ⇒ 2 x = 2 3 ⇒ x = 3
log 2 x = 4 ⇒ x = 2 4 ⇔ x = 16
4. Cazuri totale: totalul numerelor naturale din intervalul [100, 999] = 900
de numere.
Cazuri favorabile: numărul de 3 cifre extras va conține doar cifre din
mulțimea {4, 5, 6} într­un număr de 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27 de cazuri.
p = 27 _ 900 = 3 _ 100

Teste propuse158
5. → u ⊥ → v ⇒ → u ⋅ → v = 0
→ u = (m + 2) → i + 3 → j
→ v = 4 → i − 8 → j } ⇒ → u ⋅ → v = 4 (m + 2) + 3 (− 8) = 4m − 16 → u ⋅ → v = 0 ⇒
4m − 16 = 0 ⇒ m = 4
6. cos (a − b) = cos  a cos b + sin a sin b Cu a = x + π _ 3 și b = x + π _ 6 se obține:
cos (x + π _ 3 − x − π _ 6 ) = cos (x + π _ 3 ) cos (x + π _ 6 ) + sin (x + π _ 3 ) sin (x + π _ 6 ) sau
Cum cos ( π _ 3 ) = √ _
3 _ 2 ⇒ cos (x + π _ 3 ) cos (x + π _ 6 ) + sin (x + π _ 3 ) sin (x + π _ 6 ) = √ _
3 _ 2 ,
pentru orice x ∈ ℝ
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
det A (a) = | 1
1
1
1 a 4
1
4
a | = | 1
0
0
1 a − 1 3
1
3
a − 1 | = (a − 1) 2 − 9 = (a − 4) (a + 2)
1.b)Considerând că soluția sistemului este x = 2, y = y 0 ,  z = z 0 :
din prima ecuație a sistemului x + y + z = 1 ⇒ 2 + y 0 + z 0 = 1 ⇒
y 0 + z 0 = − 1
din ultimele două ecuații ale sistemului { 2 + a y 0 + 4 z 0 = 3
2 + 4 y 0 + a z 0 = 3 prin însumare
⇒ 4 + y 0 (a + 4) + z 0 (a + 4) = 6 ⇒ 4 + ( y 0 + z 0 )
⏟
− 1 (a + 4) = 6 ⇒ 4 − (a + 4) = 6
⇒ ⇒ a = − 6
1.c) det A (a) = 0 ⇒ a = − 2 sau a = 4
a = − 2 ⇒
{ x + y + z = 1
x − 2y + z = 3
x + y − 2z = 3 M p = | 1 1 1 − 2 | ≠ 0 D C = | 1
1
1
1 − 2 3
1
1
3 | = − 6
Pentru a = − 2 , determinantul caracteristic D C ≠ 0 ⇒ sistemul este
incompatibil
a = 4 ⇒
{ x + y + z = 1
x + 4y + 4z = 3
x + 4y + 4z = 3 M p = | 1 1 1 4 | ≠ 0 D C = | 1
1
1
1 4 3
1
4
3 | = 0
Pentru a = 4 , D C = 0 ⇒ sistemul este compatibil nedeterminat
2.a) x ∘ y = 3xy + 6x + 6y + 12 − 2 = 3 x (y + 2) + 6 (y + 2) − 2 =
(y + 2) (3x + 6) − 2 = 3 (y + 2) (x + 2) − 2 (∀) x, y ∈ ℝ

Teste propuse159
2.b) x ∘ x = x ⇒ 3 (x + 2) (x + 2) − 2 = x
3 (x + 2) (x + 2) = x + 2 sau (x + 2) (3x + 6 − 1) = 0 cu soluțiile x = − 2 și
x = −  5 _ 3
2.c)Se observă că (∀) x ∈ ℝ, x ∘ (− 2) = (− 2) ∘ x = − 2 ⇒ − 2 este un element
absorbant.
Dacă se notează { A = 3 √ _ − 100 ∘ 3 √ _ − 99 ∘ . . . ∘ 3 √ _ − 9
B = 3 √ _ − 7 ∘ 3 √ _ − 6 ∘ . . . ∘ 3 √ _ 100 și ținând cont că
3 √ _ − 8 = − 2 ⇒ ⇒ A ∘ (− 2) ∘ B = (− 2) ∘ B = − 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′ (x) = (2x + 7) ′ (x − 3) − (2x + 7) (x − 3) ′ _______________________ (x − 3) 2 = 2x − 6 − 2x − 7 ___________ (x − 3) 2 = −  13 _ (x − 3) 2
1.b)Se studiază semnul derivatei a doua f ″ (x) = 26 _ (x − 3) 3 .
Pentru x > 3, f ″ (x) > 0 deci funcția este convexă.
1.c)Ecuația tangentei la grafic în punctul x 0 este y − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) (x − x 0 ) .
Condiția de paralelism f ′ ( x 0 ) = − 13 ⇒ −  13 _ (x − 3) 2 = − 13 ⇒ ( x 0 − 3) 2 = 1 , cu
soluția x 0 = 4 sau x 0 = 2 .
x 0 = 2 neacceptat (contravine relației stabilite anterior x > 3 )
x 0 = 4 acceptat și f (4) = 15 , deci punctul de pe graficul funcției prin care
trece tangenta paralelă cu dreapta y = − 13 + 2019 este A (4, 15) .
2.a) ∫
0 1 f (x) _ x + 1 dx = ∫
0 1 (x + 1) e 2x _ (x + 1) dx = ∫
0 1 e 2x dx = e 2x _ 2 | 0 1 = e 2 − 1 _ 2
2.b) F (x) = ∫ (x + 1) e 2x dx = ∫ ( e 2x _ 2 ) ′ (x + 1) dx = e 2x _ 2 (x + 1) −
∫ e 2x _ 2 dx = e 2x _ 2 (x + 1) − e 2x _ 4 + C
F (0) = 0 ⇒ 1 _ 2 − 1 _ 4 + C = 0 ⇒ C = −  1 _ 4 ⇒ primitiva care trece prin punctul O
(0, 0) este F (x) = e 2x (x + 1) _ 2 − e 2x _ 4 − 1 _ 4 = e 2x (2x + 1) − 1 _ 4
2.c) x ∈ [0, 1] ⇒ (x + 1) e 2x ∈ [1, 2 e 2 ]
1 ≤ (x + 1) e 2x ≤ 2 e 2 și prin înmulțire cu x n ⇒ x n ≤ x n (x + 1) e 2x ≤ x n 2 e 2
Se integrează inegalitatea pe intervalul [0, 1] ⇒ 1 _ n + 1 ≤ ∫
0 1 x n f (x) dx ≤ 2 e 2 _ n + 1 .
Din teorema cleștelui, lim n→∞ I n = 0

Teste propuse160
TEST 6
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
log 64 18 = log 2 6 2 ⋅ 9 = 1 _ 6 ( log 2 2 + log 2 9) , unde log 2 2 = 1
Din relațiile log 64 18 = 1 _ 6 (1 + log 2 3 2 )
log 2 3 = a } ⇒ log 64 18 = 1 _ 6 (1 + 2a) .
2.Se calculează coordonatele vârfului parabolei V = ( − b _ 2a , Δ _ 4a ) ⇒ V (4, − 1) .
În ecuația dreptei x + y = 3 se înlocuiesc coordonatele vârfului x = 4,
y = − 1 .
Cum 4 − 1 = 3 ⇒ punctul V (4, − 1) aparține dreptei x + y = 3 .
3. Se notează 5 x = t și se impune condiția t > 0 .
Ecuația devine t 2 + t = 6 _ 25 cu soluțiile t = 1 _ 5 ș i t = −  6 _ 5 ; se acceptă doar
varianta t = 1 _ 5 deoarece t = −  6 _ 5 contrazice condiția t > 0 .
Din 5 x = 1 _ 5 ⇒ soluție unică x = − 1 .
4. card A = 5
Funcția impară ⇒ f (− x) = − f (x) ,  (∀) x ∈ ℝ și f (0) = 0 . Deci f (− 2) ș i f (− 1)
se pot alege în 5 moduri, din care va rezulta și valoarea pentru f (1) ș i f (2) .
Numărul total de funcții este 5 2 = 25 .
5. ⟶ MN = (4 − 2) → i + (5 − 3) → j = 2 → i + 2 → j
⟶ MP = (8 − 2) → i + (m − 3) → j = 6 → i + (m − 3) → j
⟶ MN ⋅ ⟶ MP = 6 ⋅ 2 + 2 (m − 3) = 12 + 2m − 6 = 6 + 2m
⟶ MN ⋅ ⟶ MP = 10 ⇒ 6 + 2 m = 10 ⇒ m = 5 − 3 = 2
6. α ∈ (0, π _ 2 ) ⇒ cos α > 0
s i n 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ ( 3 _ 5 ) 2
+ cos 2 α = 1 ⇒ 9 + 25 cos 2 α = 25 , cu soluțiile
cos α = ±  4 _ 5 . Se elimină varianta cos α = −  4 _ 5 (deoarece contravine relației
cos α > 0 ).
sin α = 3 _ 5 ,  cos α = 4 _ 5 ⇒ tg α = 3 _ 4 ; tg 2α = 2tg α _ 1 − tg 2 α = 24 _ 7 , deci ctg 2α = 7 _ 24 .

Teste propuse161
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
det A (a) = | 1
a + 1
2
1 2a + 1 3
1
a + 1
a − 2 | = | 1
a + 1
2
0 a 1
0
0
a − 4 | = a (a − 4)
1.b)
a = 0 ⇒
{ x + y + 2z = 1
x + y + 3z = 1
x + y − 2z = 1 M p = | 1 2 1 3 | ≠ 0 D c = | 1
2
1
1 3 1
1
− 2
1 | = 0
a = 0 ⇒ sistemul este compatibil nedeterminat.
a = 4 ⇒
{ x + 5y + 2z = 1
x + 9y + 3z = 1
x + 5y + 2z = 9 Ecuația unu contrazice ecuația trei.
a = 4 ⇒ sistemul este incompatibil
1.c) Se notează x 0 = α și se calculează valorile y 0 , z 0 în funcție de α .
Din primele două ecuații, cu a = 0 se obține:
a = 0 ⇒ { y 0 + 2 z 0 = 1 − α
y 0 + 3 z 0 = 1 − α ⇒ z 0 = 0, y 0 = 1 − α
Deci soluțiile întregi ale sistemului sunt de forma (α, 1 − α, 0)
2 x 0 2 + 3 y 0 2 + 4 z 0 2 = 2 devine 2 α 2 + 3 (1 − α) 2 = 2 ⇒ α = 1 sau
α = 1 _ 5
Se ignoră soluția α = 1 _ 5 (număr fracționar), se reține α = 1
Soluțiile întregi care verifică relația 2 x 0 2 + 3 y 0 2 + 4 z 0 2 = 2 sunt (α, 1 − α, 0) ,
deci pentru α = 1 ⇒ (1, 0, 0)
2.a) Restul împărțirii polinomului la x + 1 este nul f (− 1) = − 1 − a + a + 1 = 0 ,
deci nu depinde de a .
2.b) f (i) = 0 ⇒ i 3 − a i 2 − ai + 1 = 0 ⇒ a + 1 − i (a + 1) = 0 ⇒ (a + 1) (1 − i) =
0 ⇒ a = − 1
2.c) f (− 1) = 0 ⇒ f (x) = (x + 1) [ x 2 − (a + 1) x + 1]
x 2 − (a + 1) x + 1 = 0 admite rădăcini reale pentru Δ ≥ 0
(a + 1) 2 − 4 ≥ 0 ⇒ (a − 1) (a + 3) ≥ 0 ⇒ a ∈ (− ∞ ,  − 3] ∪ [1, + ∞)

Teste propuse162
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
f ′ (x) = ( 3 − x _ 3 + x ) ′
_
3 − x _ 3 + x = − 6 _ (3 + x) 2 _
3 − x _ 3 + x = − 6 _ (3 + x) (3 − x) = 6 _ x 2 − 9
1.b)
lim x→∞ (2x + 7) ln ( 3 − 1 _ x _
3 + 1 _ x ) Nedeterminare de tip ∞ ⋅ 0
lim x→∞ (2x + 7) ln ( 3x − 1 _ 3x + 1 ) = lim x→∞ (2x + 7) ln (1 − 2 _ 3x + 1 ) = lim x→∞ (2x + 7) (− 2) _ 3x + 1 = − 4 _ 3
1.c) f ″ (x) = − 12x _ ( x 2 − 9) 2 ; f ″ (0) = 0
x > 0 ⇒ f ″ (x) < 0 x < 0 ⇒ f ″ (x) > 0 } ⇒ x = 0 este punctul de inflexiune al graficului
funcției
2.a) I 2 = ∫
0 1 x 2 _ x 2 + 5 d x = ∫
0 1 ( x 2 + 5 _ x 2 + 5 − 5 _ x 2 + 5 ) dx = x − 5 _ √ _
5 arctg x _ √ _
5 | 1 0 = 1 − √ _
5
arctg 1 _ √ _
5 = 1 − √ _
5 arctg √ _
5 _ 5
2.b) I n+2 + 5 I n = ∫
0 1 x n+2 + 5 x n _ x 2 + 5 dx = ∫
0 1 x n ( x 2 + 5) _ x 2 + 5 dx = ∫
0 1 x n dx = x n+1 _ n + 1 | 0 1 = 1 _ n + 1
2.c)
I n > 0
I n+2 > 0 } ⇒ I n < 1 _ n + 1 ⇒ 0 < I n < 1 _ n + 1 .
Aplicând teorema cleștelui, lim n→∞ I n = 0
TEST 7
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
Se egalează partea reală și partea imaginară din ecuația dată:
2x + 5y + i (3y + 4x) = 12 + 10i ⇒ { 2x + 5y = 12 3y + 4x = 10 ⇒ { x = 1 y = 2
2. Se caută punctul de intersecție dintre dreapta y = x + 6 și parabola
y = x 2 − 5x + 15
x 2 − 5x + 15 = x + 6 ⇒ x 2 − 6x + 9 = 0 ⇒ (x − 3) 2 = 0 ⇒ x = 3
Pentru x = 3 , y = 9 , deci punctul A (3, 9) este singurul punct de
intersecție al dreptei cu parabola ⇒ dreapta de ecuație y = x + 6 este
tangenta parabolei.

Teste propuse163
3.Condiții de existență: { x − 3 ≥ 0 x ≥ 2 ⇒ x ∈ [3, + ∞) . Se ridică ecuația
√ _ x − 3 + √ _ x = 3 la pătrat: x − 3 = (3 − √ _ x ) 2 ⇒ 6 √ _ x = 12 ⇒ √ _ x = 2 ⇒
x = 4
4. Cazuri totale: 2000.
Cazuri favorabile: 5, adică 1 4 , 2 4 , 3 4 , 4 4 , 5 4 , 6 4 (pentru că 2401 > 2000 ,
7 4 ∉ A )
p = 5 _ 2000 = 1 _ 400
5. ⟶ AN = ⟶ AB + ⟶ AC _ 2 ; ⟶ BP = ⟶ BA + ⟶ BC _ 2 ; ⟶ CM = ⟶ CA + ⟶ CB _ 2
⟶ AN + ⟶ BP + ⟶ CM = ⟶ AB + ⟶ BA + ⟶ AC + ⟶ CA + ⟶ CB + ⟶ BC _______________________ 2 = → 0
6. x ∈ ( π _ 2 ,  π) ⇒ sin x > 0, cos x < 0
cos 2 x = 1 − sin 2 x deci cos 2 x = 1 − ( 5 _ 13 ) 2
= 169 − 25 _ 169 = 144 _ 169 ⇒ cos x = ±  12 _ 13
Este admisă valoarea cos x = −  12 _ 13 ( cos x < 0 ).
sin 2x = 2 sin x cos x ⇒ sin 2 x = 2 ⋅ 5 _ 13 ⋅ (−  12 _ 13 ) = − 120 _ 169
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) A 2 = ( 3 5 5 3 ) det A 2 = 9 − 25 = − 16
det (4 A 2 ) = 4 det A 2 = 4 ⋅ (− 16) = − 64
1.b)
det ( A 3 − x I 3 ) = | 3 − x
5
5
5 3 − x 5
5
5
3 − x | = | 13 − x
13 − x
13 − x
5 3 − x 5
5
5
3 − x | =
= (13 − x) | 1
1
1
5 3 − x 5
5
5
3 − x | = (13 − x) | 1
0
0
5 − 2 − x 0
5
0
− 2 − x | =
(13 − x) (2 + x) 2
det ( A 3 − x I 3 ) = 0 ⇒ (13 − x) (2 + x) 2 = 0 cu soluțiile x 1 = 13, x 2 = x 3 =
− 2
1.c)
A 3 = ( 3
5
5
5 3 5
5
5
3 ) det A 3 = 52 det A 3 ≠ 0 ⇒ A 3 este inversabilă
A 3 −1 = 1 _ 52 A * = 1 _ 52 ( − 16
10
10
10 − 16 10
10
10
− 16 )

Teste propuse164
2.a) a = 4 ⇒ x 3 − x 2 + 4x − 4 = 0 ⇒ x 2 (x − 1) + 4 (x − 1) = 0 ⇒
(x − 1) ( x 2 + 4) = 0
Deci soluțiile sunt x 1 = 1, x 1,2 = ± 2 i .
2.b) În x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 − 2 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) se fac următoarele
înlocuiri x 1 + x 2 + x 3 = − 1  și   x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 4   (relațiile  lui Viète) și 
se obține  x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 1 − 8 = − 7 ; pentru că x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 < 0 ⇒ nu toate
rădăcinile sunt reale.
Într­o ecuație de gradul 3 (și în orice ecuație cu grad impar), cel puțin
o rădăcină este reală. Deci (∀) a ∈ ℝ , ecuația x 3 − x 2 + 4x − a = 0 are o
rădăcină reală și două rădăcini complexe.
2.c)Relațiile lui Viète:   x 1 + x 2 + x 3 = 1, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 4   și   x 1 x 2 x 3 = a
E = 4 − x 3 _ x 3 + 4 − x 2 _ x 2 + 4 − x 1 _ x 1 = 4 ( 1 _ x 1 + 1 _ x 2 + 1 _ x 3 ) − 3 = 4 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) ______________ x 1 x 2 x 3 − 3 =
= 4 ⋅ 4 _ a − 3 = 16 − 3a _ a
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′ (x) = 1 _ x + 2 − 1 = − x − 1 _ x + 2 , cu x > − 2
1.b)Se verifică dacă funcția admite asimptotă orizontală:
lim x→∞ f (x) = lim x→∞ x ( lim (x + 2) _ x − 1 − 1 _ x ) = − ∞
Deci f nu admite asimptotă orizontală.
Se verifică dacă f admite asimptotă oblică:
m = lim x→∞ f (x) _ x = lim x→∞ lim (x + 2) _ x − x _ x − 1 _ x = − 1
n = lim x→∞ [f (x) − mx] = lim x→∞ l n (x + 2) − 1 = ∞
Deci f nu admite asimptotă oblică
1.c)x –2 –1 ₊∞
f’(x) ₊ ₊ 0 ₋ ₋
f(x) ₋∞ ↑ 0 ↓ ₋∞
f (− 1) = ln 1 + 1 − 1 = 0
Din tabelul de variație al funcției f (x) ⇒ f (x) ≤ 0 (∀) x ∈ (− 2, + ∞) .
Deci f (1998 ) < 0 ⇒ ln (2000 ) − 1998 − 1 < 0 ⇒ ln (2000 ) < 1999 ⇒
ln (2000 ) _ 1999 < 1 .

Teste propuse165
2.a) f ( e x 4 ) = √ _ ln e x 4 = √ _
x 4 = x 2 și ∫
0 1 x 2 dx = x 3 _ 3 | 0 1 = 1 _ 3
2.b) V = π ∫
1 e 2 f 2 (x) dx = π ∫
1 e 2 ln x dx = π ∫
1 e 2 (x) ′ ln x dx = π (x ln x | 1 e 2 − ∫
1 e 2 x 1 _ x d x ) =
= π (2 e 2 − ∫
1 e 2 1 dx ) = π (2 e 2 − e 2 + 1) = π ( e 2 + 1)
2.c) x ∈ [1, e 2 ] ⇒ ln x ∈ [0, 2] ⇒ f (x) ∈ [0, √ _
2 ] , deci 0 ≤ f (x) ≤ √ _
2 ⇒ 0 _ x n ≤ f (x) _ x 2
≤ √ _
2 _ x n
Se integrează inegalitatea pe domeniul [1, e 2 ] și se obține:
0 ≤ I n ≤ √ _
2 x −n+1 _ − n + 1 | 1 e 2 ⇒ 0 ≤ I n √ _
2 _ (1 − n) e 2n−2 − √ _
2 _ 1 − n
Din teorema cleștelui: lim n→∞ I n = 0 .
TEST 8
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. (2 + i) 2 + (2 − i) 2 = 4 + 4i + i 2 + 4 − 4i + i 2 = 6 ∈ ℝ
2. Numerele f (1) ,  f (2) ,   . . . f (20) sunt termenii unei progresii aritmetice cu
rația r = 2 ⇒ S = f (1) + f (2) + . . . + f (20) = [f (1) + f (20) ] ⋅ 20 ____________ 2 =
= (5 + 43) ⋅ 10 = 480
3. Se impun condițiile: x + 1 > 0, x + 1 ≠ 1, x 2 + 5x − 5 > 0
log x−1 ( x 2 + 5x − 5) = 2 ⇒ x 2 + 5x − 5 = (x + 1) 2 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
4. C n+2 2 = (n + 2) ! _ 2 !n ! = (n + 1) (n + 2) _ 2 ; C n+2 2 ≤ 10 ⇒ (n + 1) (n + 2) _ 2 ≤ 10 ⇒
n ∈ {0, 1, 2, 3}
5.Se calculează pantele celor două drepte și se aplică condiția de
perpendicularitate.
(2m + 1) x + 5y − 3 = 0 ⇒ m 1 = −  2m + 1 _ 5 ; 5x − 3y + 100 = 0 ⇒ m 2 = 5 _ 3
Condiția de perpendicularitate m 1 ⋅ m 2 = − 1 ⇒ 2m + 1 _ 3 = 1 ⇒ m = 1 .
6. cos 2 a + cos 2 b = 2 cos (a + b) cos (a − b) = 2 cos 5π _ 2 cos (a − b) ,
unde cos 5π _ 2 = 0 .
Deci pentru a + b = 5π _ 2 ⇒ cos 2 a + cos 2 b = 0

Teste propuse166
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
det A (m) = | 2
1
− m
4 1 − m
1
m
− 4 | = | 2
1
− m
2 0 0
1
m
− 4 | = − 2 ( m 2 − 4) = 2 (2 − m) (2 + m)
1.b)
m = − 2 ⇒
{ 2x + y + 2z = 4
4x + y + 2z = 8
x − 2y − 4z = 2 cu minorul principal M p = | 2 1 4 1 | = − 2 ≠ 0 și
Δ C = | 2
1
4
4 1 8
1
− 2
− 2 | ≠ 0 ⇒ sistemul este incompatibil
m = 2 ⇒
{ 2x + y − 2z = 4
4x + y − 2z = 8
x + 2y − 4z = − 2 cu minorul principal M p = | 2 1 4 1 | = − 2 ≠ 0 și
Δ C = | 2
1
− 2
4 1 − 2
1
2
− 4 | = − 2 | 2
1
1
4 1 1
1
2
2 | = 0 sistemul este compatibil nedeterminat
Concluzie: sistemul este incompatibil pentru m = − 2 .
1.c)
m = 2 ⇒
{ 2x + y − 2z = 4
4x + y − 2z = 8
x + 2y − 4z = − 2
Prin scăderea primelor două ecuații ale sistemului rezultă 2x = 4 ⇒ x = 2 ;
în prima ecuație, cu x = 2 și z = α ⇒ 4 + y − 2α = 4 ⇒ y = 2α
Deci pentru m = 2, soluția sistemului este de forma (2, 2α, α)
( x 0 − 1) 2 + ( y 0 − 1) 2 + ( z 0 − 1) 2 = 2 ⇒ (2 − 1) 2 + (2α − 1) 2 + (α − 1) 2 = 2
sau 5 α 2 − 6α + 1 = 0 , cu soluțiile α = 1 și α = 1 _ 5
Deci pentru m = 2 , sistemul admite soluțiile (2, 2, 1) și (2, 2 _ 5 , 1 _ 5 ) .
2.a) x ∘ y = √ _____________________ x 2 y 2 − 9 x 2 − 9 y 2 + 81 + 9 = √ ________________ ( x 2 − 9) ( y 2 − 9) + 9
Pentru x, y ∈ G ⇒ x > 3 și y > 3 ⇒ x 2 > 9 și y 2 > 9
⇒ ( x 2 − 9) ( y 2 − 9) + 9 > 0 ⇒ x ∘ y > 3
2.b) Notând elementul neutru e ∈ G ⇒ x ∘ e = e ∘ x = x, (∀) x ∈ (3, + ∞)
x 2 e 2 − 9 x 2 − 9 e 2 + 90 = x 2 echivalent cu x 2 ( e 2 − 9) − 9 e 2 + 90 = x 2
Se identifică e 2 − 9 = 1 și − 9 e 2 + 90 = 0 ⇒ e 2 = 10 , cu soluția admisă
e = √ _
1 0 .
2.c) f : (0, + ∞) → (3, + ∞) ,  f (x) = √ _ x + 9
f (x) ∘ f (y) = √ _ x + 9 ∘ √ _ y + 9 = √ ________________________________ (x + 9) (y + 9) − 9 (x + 9) − 9 (y + 9) + 9 0 =
√ _ xy + 9

Teste propuse167
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
f ′ (x) = ( x _ x + 2 ) ′ _
1 + ( x _ x + 2 ) 2 = 2 _ (x + 2) 2 _
2 x 2 + 4x + 4 _ (x + 2) 2 = 1 _ x 2 + 2x + 2
1.b) lim x→∞ f (x) = arctg 1 = π _ 4 ⇒ y = π _ 4
Funcția admite asimptota orizontală de ecuația y = π _ 4 și nu admite
asimptotă oblică.
1.c) f ″ (x) = − 2x − 2 _ ( x 2 + 2x + 2) 2
x ∈ (− 1, + ∞) ⇒ f ″ (x) < 0 , deci f ′ este strict descrescătoare.
2.a) I 0 = ∫
0 1 dx _ x 2 + 8x + 17 = ∫
0 1 dx _ (x + 4) 2 + 1 = arctg (x + 4) | 0 1 = arctg 5 − arctg 4
2.b) I n+2 + 8 I n+1 + 17 I n = ∫
0 1 x n+2 + 8 x n+1 + 17 x n _____________ x 2 + 8x + 17 dx = ∫
0 1 x n ( x 2 + 8x + 17) ___________ x 2 + 8x + 17 dx =
= x n+1 _ n + 1 | 0 1 = 1 _ n + 1
2.c) x ∈ [0, 1] ⇒ x n _ x 2 + 8x + 17 ≥ 0 ⇒ I n ≥ 0 (∀) n ∈ ℕ
Conform 2b), I n ≤ 1 _ n + 1 ⇒ 0 ≤ I n ≤ 1 _ n + 1 ⇒ lim n→∞ I n = 0
TEST 9
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. (1 − i) 2 = − 2 i și (1 + i) 2 = 2i (2p)
z = (1 − i) 6 ⋅ (1 + i) 4 = ( − 2i) 3 (2i) 2 = − 32 i 5 = − 32 i (2p)
|z |  = 32 (1p)
2. f (x) = (x − 3) 2 (1p)
Relația din enunț se rescrie (a − x − 3) 2 = (a + x − 3) 2 , ceea ce
implică (a − x − 3) 2 − (a + x − 3) 2 = 0 , echivalent cu
2x ⋅ (2a − 6 ) = 0 .(2p)
Cum relația trebuie verificată oricare x ∈ ℝ , este necesar ca 2a − 6
= 0 , adică pentru a = 3 ∈ ℝ (2p)
3. Ecuația se rescrie ( 3 x ) 2 − 3 ⋅ 3 x + 2 = 0 . (2p)
Se obține echivalent ( 3 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) = 0 , care generează cazurile
3 x = 1 , cu soluția x = 0 ∈ ℝ , respectiv 3 x = 2 , cu soluția
x = log 3 2 ∈ ℝ , singurele soluții ale ecuației inițiale.(3p)

Teste propuse168
4. n _ 2 C n−1 1 = n _ 2 ⋅ (n − 1 )  ! _ 1 ! ⋅ (n − 2 )  ! = n ! _ 2 ! ⋅ (n − 2 )  ! . (2p)
3 _ n + 1 C n+1 n−2 = 3 _ n + 1 C n+1 3 = 3 _ n + 1 ⋅ (n + 1 )  ! _ 3 ! ⋅ (n − 2 )  ! = n ! _ 2 ! ⋅ (n − 2 )  ! , de unde se
observă egalitatea celor doi membri, în condițiile n ∈ ℕ, n ≥ 2 .(3p)
5. Oricare ar fi M , ⟶ MA − ⟶ CM = ⟶ MB − ⟶ DM implică ⟶ DM + ⟶ MA
= ⟶ CM + ⟶ MB (3p)
ceea ce conduce la ⟶ DA = ⟶ CB , echivalent cu ⟶ AD = ⟶ BC (2p)
6. sin x ⋅ cos x = 1 _ 2 implică 2 sin x ⋅ cos x = 1 , echivalent cu sin 2x = 1 (2p)
Cum x ∈ (0, π) , deci 2x ∈ (0, 2π) , pentru acest interval, funcția
sinus ia valoarea 1 numai pentru argumentul 2x = π _ 2 , deci singura
soluție este x = π _ 4 ∈ (0, π) .(3p)
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)Cum b = 4 , obținem A = ( 4 2a 2c 4 ) , unde det A = 16 − 4ac . (2p)
A nu e inversabilă dacă și numai dacă det A = 0 , de unde obținem
restricția ac = 4 și, ținând cont de domeniul de valori de tip numere
naturale, se obțin cazurile (1,4), (2,2) și respectiv (4,1), deci sunt 3
matrice de tip A , care nu sunt inversabile. (3p)
1.b) A ⋅ A = ( b 2a 2c b ) ( b 2a 2c b ) = ( b 2 + 4ac 4ab 4bc b 2 + 4ac ) = ( 4 0 0 4 ) (2p)
Se obține sistemul de ecuații: { b 2 + 4ac = 4
4ab = 0
4bc = 0 . Dacă b ≠ 0 în mod
necesar a = c = 0 și b 2 = 4 , deci b = 2 , deci se obține un singur
caz. Dacă b = 0 se obține în mod necesar 4ac = 4 , adică ac = 1 ,
pe mulțimea numrelor naturale convenind doar un caz, a = c = 1 .
În concluzie sunt exact 2 matrice de tip A care îndeplinesc condițiile
punctului b) al problemei (3p)
1.c)Știind că soluțiile sunt b și c , rezultă din relațiile lui Viète că b + c
= b _ a (1) și bc = c _ a (2) (2p)
Din (2) rezultă abc = c .
Dacă c ≠ 0 , atunci ab = 1 , convenind pe mulțimea numerelor
naturale doar soluția a = b = 1 , ceea ce din (1) conduce la c = 0 ,
care nu convine cazului.(1p)

Teste propuse169
Dacă c = 0 , din (1) se obține ab = b . Dacă b = 0 , a poate fi orice
număr natural nenul, deci matricele care îndeplinesc condițiile
sunt de forma A = ( 0 2a 0 0 ) , toate având determinanutul egal cu 0.(1p)
Dacă b ≠ 0 , rezultă a = 1 și b poate fi orice valoare număr natural,
deci matricele sunt de forma A = ( b 2 0 b ) , având determinanții
egali cu b 2 , oricare b ∈ ℕ .(1p)
2.a)Pentru m = − 6 se obține ecuația x 3 − x − 6 = 0 , cu coeficienți
întregi, deci putem căuta soluții întregi printre divizorii termenului
liber, convenind de exemplu x = 2 , care prin verificare produce
relația adevărată 2 3 − 2 − 6 = 0 (2p)
Efectuând împărțirea polinomului dat la X − 2 sau folosind metode
specifice de descompunere se obține x 3 − 2 x 2 + 2 x 2 − 4x + 3x − 6
= (x − 2 ) ( x 2 + 2x + 3 ) = 0 (1p)
deci celelalte două rădăcini vor fi generate de x 2 + 2x + 3 = 0 , unde
Δ = 4 − 12 = − 8 = 8 i 2 , ceea ce conduce la rădăcinile − 2 ± 2 √ _
2 i _ 2 =
− 1 ± i √ _
2 .(2p)
2.b)Cum x 1 , x 2 , x 3 ∈ ℂ sunt rădăcinile polinomului rezultă că x i 3 − x i − 6
= 0 , oricare ar fi i ∈ {1, 2, 3} , deci ∑
i=1 3
x i 3 = ∑
i=1 3
x i + 3m = 0 + 3m = 0 ,
unde am ținut cont din relațiile lui Viète că suma rădăcinilor este 0.(2p)
x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = S 2 − 2P = 0 − 2 ⋅ ( − 1 ) = 2 (2p)
Obținem egalitatea 3m = 2 , deci m = 2 _ 3 ∈ ℝ . (1p)
2.c)Considerăm funcția f : ℝ → ℝ , f(x ) = x 3 − x − 6 , funcție derivabilă,
deci f’(x ) = 3 x 2 − 1 , care admite ca zerouri ale derivatei x = ±  √ _
3 _ 3
, care generează extremele locale egale cu 2 √ _
3 _ 9 − m și −  2 √ _
3 _ 9 − m .(2p)
Pentru a fi îndeplinită condiția de 3 rădăcini reale distincte, trebuie
ca 2 √ _
3 _ 9 − m > 0 și −  2 √ _
3 _ 9 − m < 0 , deci intervalul maxim de valori
pentru m este (−  2 √ _
3 _ 9 , 2 √ _
3 _ 9 ) .(3p)
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→1 7f(x ) − 1 _ 7x − 7 = lim x→1 f(x ) − 1 _ 7 _ x − 1 = lim x→1 7f(x ) − 1 _ 7x − 7 = lim x→1 f(x ) − f(1) _ x − 1 = f’(1) (2p)
f derivabilă pe ℝ și f’(x ) = 3 x 2 ⋅ (3 x 2 + 3x + 1 ) − x 3 (6x + 3) _______________________ (3 x 2 + 3x + 1) 2
= 3 x 4 + 6 x 3 + 3 x 2 ___________ (3 x 2 + 3x + 1) 2 , oricare x ∈ ℝ (2p)

Teste propuse170
Rezultă lim x→1 7f(x ) − 1 _ 7x − 7 = f’(1 ) = 12 _ 49 . (1p)
2.b)
f’(x ) = 3 x 4 + 6 x 3 + 3 x 2 ___________ (3 x 2 + 3x + 1) 2 = x 2 (x + 1) 2 ___________ (3 x 2 + 3x + 1) 2 = [ x(x + 1) _ 3 x 2 + 3x + 1 ] 2
, oricare
x ∈ ℝ (3p)
Rezultă că mulțimea de valori reale pentru care f’(x ) < 0 este
mulțimea vidă.(2p)
c) f pe tot domeniul de definiție, ℝ , ca funcție elementară (rațională) (1p)
lim x→−∞ f(x ) = − ∞ , lim x→∞ f(x ) = ∞ (2p)
Rezultă că Im f = ℝ , deci ecuația f(x ) = k admite cel puțin o soluție,
oricare k ∈ ℝ (*).(1p)
Cum f’(x ) = [ x(x + 1) _ 3 x 2 + 3x + 1 ] 2
≥ 0 , dar nu se anulează decât pentru x
= 0 și x = − 1 (deci pe o mulțime discretă) rezultă că funcția f este
strict crescătoare, deci injectivă, ceea ce, coroborat cu (*) implică
faptul că ecuația f(x ) = k admite soluție unică, oricare ar fi k ∈ ℝ .(1p)
2.a) f continuă, deci f admite primitive. (1p)
Dacă G este o primitivă a funcției f , deci G’ = f , atunci din F(x )
= ∫
1 x
f(t ) dt rezultă F(x ) = ∫
1 x
f(t ) dt = G(t)|
1 x = G(x ) − G(1) .(2p)
Rezultă că F este derivabilă, pentru că G este derivabilă și cum
F’(x ) = G’(x ) = f(x) rezultă că F este primitive lui f cu proprietatea
că F(1 ) = ∫
1 1
f(t ) dt = 0 , cee ace încheie demonstrația.(2p)
2.b) ∫
0 1
x ⋅ f(x ) dx = ∫
0 1
x ⋅ sin x 2 dx = 1 _ 2 ∫
0 1
(2x ) ⋅ sin x 2 dx = (3p)
1 _ 2 (sin x 2 ) | 0 1 = 1 _ 2 (sin 1 − sin 0) = sin 1 _ 2 (2p)
2.c) ∫
0 1
F(x ) dx = ∫
0 1
x’ ⋅ F(x ) dx = [x ⋅ F(x)] |
0 1 − ∫
0 1
x ⋅ F’(x ) dx = (3p)
=
[ 0 ⋅ F(0)
⏟
0 − 1 ⋅ F(1)
⏟
0
] − ∫
0 1
x ⋅ f(x ) dx


sin 1 _ 2 = −  sin 1 _ 2 (2p)

Teste propuse171
TEST 10
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 log 2 5 = 25 , 3 √ _ 125 = 5 , sin 2017π _ 2 = 1 (3p)
C u m 5 2 = 25 ⋅ 1 rezultă că valorile pot corespunde la trei termeni
consecutivi ai unei progresii geometrice.(2p)
2. f (a) = a 2 − a + 1 și f(a ) = a implică a 2 − a + 1 = a (3p)
Rezultă a 2 − 2a + 1 = (a − 1) 2 = 0 , deci a = 1 . (2p)
3. Din impunerea condițiilor de existență convin doar valori care
verifică x − 1 ≥ 0 .(2p)
În aceste condiții ecuația este echivalentă cu x − 1 = (x − 1) 2 , deci
(x − 1 ) (x − 2 ) = 0 cu soluțiile x = 1 ≥ 0 și x = 2 ≥ 0 .(3p)
4. 3 x < 243 = 3 5 implică x < 5 , x număr natural, deci A = {0, 1, 2, 3, 4} (3p)
Deoarece numărul de elemente ale mulțimii A este 5, rezultă că
numărul tuturor submulțimilor acesteia este 2 5 = 32 .(2p)
5. ⟶ BE = ⟶ BA + 3 ⟶ BC _ 4 echivalent cu 4 ⟶ BE = ⟶ BA + 3 ⟶ BC , adică
3 ⟶ BE − 3 ⟶ BC = ⟶ BA − ⟶ BE (2p)
Cum 3 ⟶ BE + 3 ⟶ CB = ⟶ BA + ⟶ EB , de unde 3 ⟶ CE = ⟶ EA . (3p)
6. Triunghiul fiind dreptunghic rezultă că A este ortocentru și mijlocul
ipotenuzei BC este și centrul cercului circumscris triunghiului, fie
acesta notat M .(2p)
În aceste condiții AM este mediana corespunzătoare ipotenuzei,
deci AM = BC _ 2 = 5 .(3p)
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) f ( 1 _ 2 ) = ( 1 0 0 1 ) (2p)
f (−  1 _ 2 ) = ( − 1 0 0 − 1 ) (2p)
f ( 1 _ 2 ) + f (−  1 _ 2 ) = ( 0 0 0 0 ) = O 2 (1p)
1.b) f ( √ _
5 _ 2 a) = ( √ _
5 a 0 0 √ _
5 a ) (2p)

Teste propuse172
( √ _
5 a 0 0 √ _
5 a ) = ( 1 0 0 1 ) (2p)
Finalizare: a = √ _
5 _ 5 (1p)
1.c) (f (a) ) 2 = ( (2a) 2 0 0 (2a) 2 ) ⇒ (f (a) ) n = ( (2a) n 0 0 (2a) n ) (2p)
f (1) + (f (1) ) 2 + . . . (f (1) ) 2018 =
= ( 2 0 0 2 ) + ( 2 2 0 0 2 2 ) + . . . + ( 2 2018 0 0 2 2018 ) (2p)
Finalizare: S = ( 2 2019 − 2 0 0 2 2019 − 2 ) (1p)
2.a) +
0 ̂
2 ̂
4 ̂
0 ̂ 0 ̂ 2 ̂ 4 ̂ 2 ̂ 2 ̂ 4 ̂ 0 ̂
4 ̂
4 ̂
0 ̂
2 ̂ (3p)
Deci oricare ar fi x ̂ , y ̂ ∈ G implică x ̂ + y ̂ ∈ G . (2p)
2.b) 3 ̂ x + 4 ̂ = 1 ̂
Este echivalentă cu ecuația obținută prin adunarea lui 2 ̂ în ambii
membri, deci 3 ̂ x = 3 ̂ (1p)
deci x ∈ { 1 ̂ , 3 ̂ , 5 ̂ } (3p)
Suma soluțiilor este S = 3 ̂ . (1p)
2.c) A 2 = A 4 = . . . = A 2n = I 2 , A 3 = A 5 = . . . = A 2n+1 = A (2p)
A + A 2 + A 3 + A 4 + . . . + A 2019 = (A + I 2 ) + . . . + (A + I 2 )

1009 grupe + A (1p)
A + I 2 = ( 3 ̂ 1 ̂ 3 ̂ 5 ̂ ) (1p)
Finalizare: A + A 2 + A 3 + A 4 + . . . + A 2019 = ( 5 ̂ 2 ̂ 0 ̂ 3 ̂ ) (1p)
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ′ (x) = ( x + 2019 _ x − 2019 ) ′
= x − 2019 − (x + 2019) _______________ (x − 2019 ) 2 = (3p)
= − 2 ⋅ 2019 _ (x − 2019 ) 2 , pentru orice x ∈ ℝ\ {2019 } (2p)

Teste propuse173
1.b) f este derivabilă în x = 0 (2p)
lim x→0 f(x ) − f(0) _ x = f ′ (0 ) = (2p)
= − 2 ⋅ 2019 _ (− 2019 ) 2 = − 2 _ 2019 (1p)
(sau calcul direct: lim x→0 f(x ) − f(0) _ x = lim x→0 f(x ) + 1 _ x =
= lim x→0 2x _ x (x − 2019 ) = −  2 _ 2019 ) .
1.c)Ecuația tangentei la graficul funcției în punctul A(0, − 1) :
y − y A = f ′ ( x A ) ⋅ (x − x A ) (2p)
y + 1 = f ′ (0 ) ⋅ (x − 0 ) ⇔ y + 1 = −  2 _ 2019 ⋅ x (2p)
Finalizare: 2x + 2019 y + 2019 = 0 . (1p)
2.a) ∫
1 e
(3 − x ) f(x ) dx = ∫
1 e
ln xdx = (2p)
= x ln x| 1 e − ∫
1 e
dx = e − (e − 1 ) = 1 (3p)
2.b) ∫
1 e
( x 2 − 6x + 9 ) f(x ) dx = ∫
1 e
(x − 3) 2 f(x ) dx = (1p)
= −   ∫
1 e
(3 − x ) ln xdx = −  (x − 3) 2 _ 2 l n x| 1 e + 1 _ 2 ∫
1 e
(x − 3) 2 _ x dx = (2p)
= −   (e − 3) 2 _ 2 + 1 _ 2 ( x 2 _ 2 − 6x + 9 ln x) |
1 e
= 11 − e 2 _ 4 (2p)
2.c)Există F primitivă a lui f deoarece f este continuă, deci F’(x ) = f(x )
= ln x _ 3 − x , oricare x ∈ (0, 3) .(2p)
Cum 3 − x > 0 oricare x ∈ (0, 3) și ln x ≤ 0 , oricare x ∈ (0, 1] ,
respectiv ln x ≤ 0 , oricare x ∈ [1, 3) rezultă F’(x ) < 0 , oricare
x ∈ (0, 1) , deci F este strict descrescătoare pe intervalul (0, 1] ,
respectiv F’(x ) > 0 , oricare x ∈ (1, 3) , deci F este strict crescătoare
pe intervalul [1, 3) .(3p)
TEST 11
SUBIECTUL I 30 de puncte
1. log 7 (3 + √ _
2 ) + log 7 (3 − √ _
2 ) = log 7 (3 + √ _
2 ) (3 − √ _
2 ) =
= log 7 7 = 1. 3p
2p
2. A (2, 3) ∈ G f ⇔ f (2) = 3 ⇔ 4 + 2 a + b = 3
B (− 1, 0) ∈ G f ⇔ f (− 1) = 0 ⇔ 1 − a + b = 0
a = 0, b = − 1 2p
2p
1p

Teste propuse174
3. 3 x + 3 ⋅ 3 x = 36
3 x = 9
x = 21p
2p
2p
4. p = nr . cazuri favorabile ______________ nr . cazuri posibile
Numerele divizibile cu 4: 12, 16, …, 96, adică 22 cazuri favorabile.
Numerele de 2 cifre: 90 cazuri posibile.
p = 22 _ 90 = 11 _ 45 .1p
2p
1p
1p
5. ⟶ OM + ⟶ ON = 2 i ⃗ − j ⃗ − i ⃗ + 3 j ⃗ = i ⃗ + 2 j ⃗
Coordonatele sunt (1, 2) .3p
2p
6. l 2 √ _
3 _ 4 = 4 √ _
3
l = 43p
2p
SUBIECTUL al II-lea 30 de puncte
1.a)
detA = | m
− 1
1
1 m − 1
1
− 2
1 | = m 2 − 2 + 1 − m − 2m + 1
m 2 − 3m. 3p
2p
b)
− m − 2 + 5 = 0
− 1 + 2m − 5 = 0
− 1 − 4 + 5 = 0
m = 33p
2p
c) det A ≠ 0
m 2 − 3m ≠ 0
m ∈ ℝ\ { 0, 3} 2p
1p
2p
2.a) x * y = (x + 1) (y + 1) − 1
x * (y * z) = (x + 1)( y * z + 1) – 1 = ( x + 1)( y + 1)( z + 1) – 1
(x * y) *  z = x * (y * z) , pentru orice x, y, z ∈ ℝ , deci legea * este
asociativă1p
2p
2p
b) Există e ∈ ℝ astfel încât x * e = e * x = x, oricare ar fi x ∈ ℝ .
x * e = x ⇒ xe + e = 0; e * x = x ⇒ ex + x = 0
e = 0 ∈ ℝ 1p
2p
2p

Teste propuse175
c) x 2 * 2 = 3 x 2 + 2
x * 4 = 5 x + 4
3 x 2 − 5x − 2 = 0
x = − 1 _ 3 sau x = 2 1p
1p
1p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f derivabilă în x = 4 va rezulta
lim f (x) − f (4) _ x − 4 = f’ (4) .
f’ (4) = 0 2p
2p
1p
b) f este derivabilă pe (0, ∞) și f’ (x) = 1 _ 2 √ _ x − 1 _ x
f’ (x) = 0 ⇒ x = 4
f’ (x) > 0 pentru orice x ∈ (4, ∞) ⇒ funcția f crescătoare pe
intervalul (4, ∞) .2p
1p
2p
c) limf (x) = lim ( √ _ x − lnx) = ∞
x = 0 este ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f 3p
2p
2.a) F este derivabilă și F’ (x) = x e x + e x − e x , pentru orice x ∈ ℝ
F’ (x) = f (x) 3p
2p
b) ∫ (lnx) dx = ∫ xlnxdx =
x 2 _ 2 l nx|
1 e
− ∫ x 2 _ 2 1 _ x dx =
e 2 _ 2 − x 2 _ 4 |
1 e
= e 2 + 1 _ 4 2p
1p
2p
c) V = π ∫ g 2 (x) dx =
π ∫ e 2x dx = π e 2x _ 2 |
1 2
=
π e 2 ( e 2 − 1) _ 2 1p
2p
2p

Teste propuse176
TEST 12
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. √ _
12 > 3 2 √ _
2 < 3
2 √ _
2 < 3 < √ _
12 2p
2p
1p
2. x și y sunt soluțiile ecuației t 2 − 5t + 6 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 3 S = { (2, 3) , (3, 2) } 2p
2p
1p
3. g (1) = 1 f (g (1) ) = f (1) = 1 2p
3p
4. C n 2 = 10
n = 5 2p
3p
5. Fie M mijlocul segmentului [AB] , atunci M (4, 3) .
OM = 5 2p
3p
6. M _ sinP = MP _ sinN
MN = 8 2p
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei este egală
cu m + (− m) + 2.
S = 23p
2p
b) detA = − 2 m 2 − 2m + 12
m ∈ ℝ∖ {− 3, 2} 2p
3p
c) Pentru m = 1 vom obține x = 4, y = 2, z = 1
y 1 2 = 4, x 1 ⋅ y 1 = 4 ⋅ 1 4p
1p
2.a) Pentru m = 0, atunci f = X 3 + 1
Restul este f(1) = 2.2p
3p
b) f (− 1) = − 1 + m − m + 1 = 0
X + 1  |  f 3p
2p
c) f = (X + 1) ( X 2 + (m − 1) X + 1) , deci o rădăcină este x = − 1 .
f are trei rădăcini reale dacă X 2 + (m − 1) X + 1 are două rădăcini
reale, adică m 2 − 2m − 3 > 0 , m ∈ (− ∞ ,  − 1) ∪ (3, ∞) 2p
2p
1p

Teste propuse177
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f’ (x) = 4x ( x 2 + 2) − 2x (2 x 2 − 1) _________________ ( x 2 + 2) 2
f’ = 3p
2p
b) limf (x) = lim 2 x 2 − 1 _ x 2 + 2 = 2.
Ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției f spre ∞ este
y = 2 .3p
2p
c) f’ (x) ≥ 0 pentru orice x ∈ [0, ∞) , deci f este crescătoare pe intervalul
[0, ∞) , oricare ar fi x ∈ [0, 1]
0 ≤ x ≤ 1 și f crescătoare ne conduce la f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) , adică − 1 _ 2
≤ f (x) ≤ 1 _ 3 2p
3p
2.a) I 1 = ∫ x _ x + 1 dx
I n = ∫ 1 − 1 _ x + 1 dx = (x − ln (x + 1) ) | 0 1 = 1 − ln2. 2p
3p
b) I n + I n+1 = ∫ ( x n _ x + 1 + x n _ x + 1 ) dx
∫ x n (x + 1) _ x + 1 dx = 1 _ n + 1 2p
3p
c) Cum f (x) ≥ 0 va rezulta I 2020 ≥ 0 .
f (x) ≤ 1 ne conduce la I 2020 ≤ 1 2p
3p
TEST 13
SUBIECTUL I 30 de puncte
1. log 6 3 + log 6 12 = log 6 36
log 6 36 = log 6 6 2 = 2 3p
2p
2. x v = − b _ 2a = 1 _ 4
Δ = − 23
y v = − Δ _ 4a = 23 _ 8 2p
1p
2p
3. 7 x + 7 x ⋅ 7 = 392
7 x ⋅ 8 = 392
7 x = 49
x = 2 2p
1p
1p
1p

Teste propuse178
4. n ! _ 2 ! (n − 2) ! = 4 n ! _ (n − 1) !
n − 1 _ 2 = 4
n = 9 2p
2p
1p
5. √ _______________ (4 − 0) 2 + (m + 2) 2 = 5
m 2 + 4m − 5 = 0
m = − 5, m = 1 1p
2p
2p
6. cos 7π _ 9 = cos (π − 2π _ 9 ) = − cos 2π _ 9
cos 2π _ 9 + cos 7π _ 9 = 0 3p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) detA = − a − 2 + 1 − 2 − 1 − a
− 2a − 4 3p
2p
b) Matricea asociată sistemului este inversabilă dacă și numai dacă
− 2a − 4 ≠ 0
a ∈ ℝ\ {− 2} 3p
2p
c) Prin înlocuire se verifică primele două ecuații
Din ecuația a treia obținem 1 + 1 + a = 2 și de aici a = 0 .2p
3p
2.a) x * 1 = x + 1 − 1 = x ,  ∀ x ∈ ℝ 5p
b) x * x = 2x − 1
x * x * x = (x * x) *  x = 3x − 2
x = 2 2p
2p
1p
c) C n 1 = n, C n 2 = n (n − 1) _ 2
n 2 + n − 30 = 0
n = 5 2p
2p
1p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) limf (x) = lim (x − 1 + 1 _ x ) =
lim 1 _ x = 0
limx − 1 = ∞ 2p
2p
1p

Teste propuse179
b) m = lim f (x) _ x = lim x 2 − x + 1 _ x 2 = 1
n = lim f (x) − mx = lim − x + 1 _ x = − 1
Dreapta de ecuație y = x − 1 este asimptotă oblică la graficul
funcției f 2p
2p
1p
c) f’ (x) = x 2 − 1 _ x 2
Cum x > 1 vom avea x 2 > 1 . Mai departe f’ (x) > 0,  ∀ x > 1 .2p
3p
2.a) ∫ f ( x 2 ) dx = ∫ e xdx = e x 0 1 = e − 1 . 5p
b) Dacă F este o primitivă oarecare a funcției f , atunci F este derivabilă
cu
F’ (x) = f (x) ,  ∀ x ∈ [0, ∞) .
f (x) > 0,  ∀ x ∈ [0, ∞)
Cum F’ (x) > 0,  ∀ x ∈ [0, ∞) va rezulta că F este strict crescătoare.2p
2p
1p
c) Din 0 ≤ √ _ x ≤ 1 va rezulta 1 ≤ e √ _ x ≤ e,  ∀ x ∈ [0, 1] .
1 ≤ ∫ f (x) dx ≤ e 2p
3p
TEST 14
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. a 5 = a 3 ⋅ q 2
135 = 45 ⋅ q 2
q 2 = 9
q ∈ {3, − 3} 1p
1p
1p
2p
2. f (0) = − 3
f (− 3) = − 15
f (f (0) ) = f (− 3) = − 15 .2p
2p
1p
3. x − 1 ≥ 0 , 3 − x ≥ 0 , deci domeniul maxim de definiție este [1, 3]
Prin ridicare la pătrat obținem x − 1 = 9 − 6x + x 2
cu soluția x = 2 ∈ [1, 3] și x = 5 ∉ [1, 3] . 2p
1p
2p
4. Numerele sunt de forma ‾ ab .
a ∈ {1, 3, 5, 7 } , iar b ∈ {0, 1, 3, 5, 7 } cu a ≠ b
Numărul căutat este 4 ⋅ 4 = 16 .1p
1p
3p

Teste propuse180
5. (3 i ⃗ + 9 j ⃗ ) ⋅ (a i ⃗ + 3 j ⃗ ) = 3a + 27 = 0
a = − 9 3p
2p
6. 2 cos 2 x + cos x _ 2 cos 2 x − cosx = 2cosx + 1 _ 2cosx − 1 5p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.a) m (σ) = 1 + 1 = 2
ϵ (σ) = (− 1) 2 = 1
ϵ pară2p
3p
1.b) Prin înmulțire la stânga cu σ −1 se obține
x = σ −2
x = ( 1 2 3 3 1 2 ) 2p
1p
2p
1.c) Membrul stâng este o permutare pară.
Membrul drept este o permutare impară.
Ecuația nu are soluție.2p
2p
1p
2.a) f = X 2 (X + 1) + a (X + 1)
(X + 1) ( X 2 + a) 2p
3p
2.b) x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 − 2 ( x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 1 ) = 1 − 2a 5p
2.c) f = (X + 1) 2 (X − 1)
(x − 1) 2 /  f 4p
1p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.a) 4 − x 2 > 0
x ∈ (− 2, 2) 3p
2p
1.b) f’ (x) = (4 − x 2 ) ‚ _ (4 − x 2 ) = − 2x _ (4 − x 2 )
f’ (x) = 2 (1 − x 2 ) _ ( x 2 + 1) 2 5p
1.c) ± ∞ nu sunt puncte de acumulare ale domeniului de definitie, deci
nu există asimptote oblice sau orizontale
lim x↑2 f (x) = − ∞ ,  lim x↑2 f (x) = − ∞ , deci dreptele de ecuație x = 2, x = − 2
sunt asimptote verticale ale graficului funcției f2p
3p
2.a) ∫ f 1 (x) dx = ∫ e x dx = e 0 = e − 1 5p

Teste propuse181
2.b) ∫ 2x f 1 (x) dx = ∫ 2x e x 2 dx
= ∫ e t = e − 1 2p
3p
2.c) V = π ∫ f 1 2 (x) dx = π ∫ e x 2 dx = π e 0 =
= π e 2x _ 2
0 1
dx = e 2 − 1 _ 2 2p
3p
TEST 15
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Δ = 9 − 16 = − 7
x 1,2 = 3 ± √ _
7 _ 8 2p
3p
2.
Condiții de existență : 20(0, )0xxx+>⇔∈ ∞ >
.
log 2 ( x 2 + 2x) = 3 ne conduce la x 2 + 2x − 8 = 0
x 1 = 2 ∈ (0, ∞) și x 2 = − 4 ∉ (0, ∞) , deci S = {2}1p
2p
2p
3. Reprezentarea G f nu intersectează axa Ox dacă și numai dacă
ecuația f (x) = 0 nu are soluții.
−  m ≤ 1
m ∈ [− 1, ∞) 2p
1p
2p
4. C 4 2 = 6
C 5 2 = 10
C 4 2 + C 5 2 = 16 2p
2p
1p
5.Vectorii sunt coliniari dacă și numai dacă 1 _ a + 3 = 3 _ 2 ,  adică dacă și
numai dacă 2 = 3 a + 9 .
a = − 7 _ 3 .3p
2p
6. B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2AB ⋅ AC ⋅ cosA
36 = 16 + 25 − 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ cosA , de unde cosA = 1 _ 8 2p
3p

Teste propuse182
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1.a) detA (1, 1) = | 1 2 1 1 | = − 1 5p
b)
A (x, y) A (0, 1) = ( x 2y y x ) ( 0 2 1 0 ) = ( 2y 2x x 2y )
. 2p
2p
1p
c) A 2 (0, 1) = ( 0 2 1 0 ) ( 0 2 1 0 ) = ( 2 0 0 2 ) = 2 I 2 5p
2.a) f ( √ _
2 ) = 0 5p
b) Din a) va rezulta că f (−  √ _
2 ) = 0 , adică (X − √ _
2 ) (X + √ _
2 ) divide
polinomul f 5p
c) f = (X − √ _
2 ) (X + √ _
2 ) (X + 1) 5p
SUBIECTUL III (30 de puncte)
1.a) lim x→∞ l n e x _ e x + 1 = ln1 = 0 5p
b) f’ (x) = 1 _ e x + 1 5p
c) Cum f ’ (x) > 0,  ∀ x ∈ ℝ , va rezulta că f este strict crescătoare. 5p
2.a) f (x) > 0,  ∀ x ∈ ℝ
Va rezulta că ∫ f (x) dx > 0 3p
2p
b) Fie F o primitivă a funcției f ; atunci F este derivabilă cu F’ (x) = f
(x) ,   ∀ x ∈ ℝ .
Cum f (x) > 0,  ∀ x ∈ ℝ , va rezulta că F este strict crescătoare.3p
2p
c) ∫ f (x) cosxdx = ∫ cosx _ 2 + sinx dx = ∫ 1 _ 2 + t dt = ln (2 + t) 0 1 = ln 3 _ 2 5p

Teste propuse183
TEST 16
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. |z| = | (2 − 4i) 2 | = |2 − 4i| 2 =
= ( √ _ 2 2 + (− 4) 2 ) 2 = 20 3p
2p
2. V (−  b _ 2a ; − Δ _ 4a ) ∈ Ox ⇔ Δ = 0
Δ = 49 m 2 − 48 ⇒ 49 m 2 − 48 = 0 ⇔ m = ±  4 √ _
3 _ 7 2p
3p
3. 49 −x = 7 −4 ⇔ 7 −2x = 7 −4
− 2x = − 4 ⇔ x = 2 3p
2p
4. Numărul de cazuti total posibile este egal cu numărul de submulțimi
ale mulțimii A, adică 2 4 = 16 .
Numărul de cazuri favorabile este egal cu numărul de submulțimi
cu 3 elemente ale mulțimii A, adică C 4 3 = 4 ! _ 3 ! (4 − 3) ! = 4 .
P = nr. cazuri favorabile ________________ nr. cazuri total posibile = 4 _ 16 = 1 _ 4 2p
2p
1p
5. Panta dreptei (d) este: m d = 3
y − y A = m (x − x A ) ⇔ y + 1 = 3 (x + 1)
y = 3x + 2 1p
2p
2p
6. tg2x = 2tgx _ 1 − t g 2 x , tgx = sin x _ cos x
s i n 2 x = ±  √ _ 1 − cos 2 x = ±  4 _ 5 , x ∈ ( π _ 2 ; π) ⇒ sin x = 4 _ 5
tgx = −  4 _ 3 ⇒ tg2x = 24 _ 7 3p
2p
SUBIECTUL II (30 de puncte)
1. a)Matricea este inversabilă dacă și numai dacă det M (t) ≠ 0, pentru
orice t ∈ ℝ .
det M (t) = cos 2 t + sin 2 t ⇔ det M (t) = 1 ≠ 0, (∀) t ∈ ℝ 2p
3p
b) [M (t) ] 2 = M (t) ⋅ M (t) = ( cos t − sin  t sin t cos t ) ( cos t − sin  t sin t cos t ) =
( cos 2 t − sin 2 t − 2 sin t cos t 2 sin t cos t cos 2 t − sin 2 t ) =
( cos 2 t − 2 sin 2t sin 2t cos 2 t ) = M (2t) , (∀) t ∈ ℝ 3p
2p

Teste propuse184
c) (M ( π _ 2 ) ) 8 = M (8 ⋅ π _ 2 ) = M (4π)
M (4π) = ( 1 0 0 1 ) 3p
2p
2.a) (3x ) ∗ (4x ) = 6x + 8x − 4 = 14 x − 4
14x − 4 = 10 ⇔ x = 1 3p
2p
b) (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z) , (∀) x, y, z ∈ ℝ
(x ∘ y) ∘ z = m 2 x + mny + nz + 4m + 4
x ∘ (y ∘ z) = mx + mny + n 2 z + 4n + 4
m, n ≠ 0 ⇒ m = n = 1 3p

2p
c)
{ x ∗ (− y) = 2 x ∘ y = 11 ⇔ { 2x − 2y − 4 = 2 x + y + 4 = 11 ⇔ { 2x − 2y = 6 x + y = 7 ⇔
⇔ { x = 5 y = 2 3p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f ‚ (x) = ( ln x _ √ _ x ) ‚
= (ln x) ‚ ⋅ √ _ x − ln x ⋅ ( √ _ x ) ‚ ________________ x =
= 2x − x ln x _ x 2 √ _ x = 2 − ln x _ x √ _ x 2p
3p
b) f ‚ (x) = 0 ⇔ x = e 2
Pe (0 ; e 2 ] , f ‚ (x) ≥ 0 deci f este o funcție crescătoare, iar pe [ e 2 ,  ∞)
, f ‚ (x) ≤ 0 deci f este descrescătoare.2p
3p
c) f ( e 2 ) = 2 _ e
e 2 este un punct de maxim f (x) ≤ 2 _ e , (∀) x ∈ (0; ∞) ⇔ ln x e ≤ 2 √ _ x 2p
3p
2.a) x 2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2) ⇒ g (x) = (x + 3) f (x) = 1 _ x + 2 , (∀)
x ∈ [0; 1]
∫ g (x) dx = ∫ 1 _ x + 2 dx = ln |x + 2| + C = ln (x + 2) + C, x ∈ [0; 1] 2p
3p
b) ∫
0 a
(2x + 5) ⋅ f (x) dx = ∫
0 a
2x + 5 _ x 2 + 5x + 6 dx = ∫
0 a
( x 2 + 5x + 6) ‚ _ x 2 + 5x + 6 dx =
l n | x 2 + 5x + 6| | 0 a = ln | a 2 + 5a + 6| − ln 6 = ln | a 2 + 5a + 6 _ 6 |
ln | a 2 + 5a + 6 _ 6 | = ln 2 ⇔ a = 1 2p
2p
1p
c) V = π ∫
0 1
g 2 (x) dx = π ∫
0 1
1 _ (x + 2) 2 dx = π ∫
0 1
(x + 2) ‚ _ (x + 2) 2 dx
−   π _ x + 2 |
0 1 = π _ 6 2p
3p

Teste propuse185
Rezolvãri și bareme
de corectare nota 10
TEST 1
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. (5 − 3i) (1 − i) _ (1 + i) (1 − i) = a + bi ⇒ 2 − 8i _ 2 = a + bi ⇒ 1 − 4i = a + bi ⇒
a = 1, b = − 4
2. Intersecția graficului funcției cu axa Ox
2 x+3 = 16 ⇒ 2 x+3 = 2 4 ⇒ x + 3 = 4 ⇒ x = 1 . Punctul de intersecție este A
(1, 0) .
Intersecția graficului funcției cu axa Oy
f (0) = 2 3 − 16 = − 8 . Punctul de intersecție este B (0, − 8) .
3. Se impune condiția x > 0 .
(lg x 3 ) 2 − 10 lg x + 1 = 0 ⇒ 9 (lg x) 2 − 10 lg x + 1 = 0 Se notează lg x = t ,
ecuația devine
9 t 2 − 10t + 1 = 0 cu soluțiile { t 1 = 1 ⇒ lg x = 1 ⇒ x = 10
t 2 = 1 _ 9 ⇒ lg x = 1 _ 9 ⇒ x = 10 1 _ 9 = 9 √ _
10
4. Cazuri totale: există 900 de numere de trei cifre între 100 și 999.
Mulțimea cifrelor pare A = {0, 2, 4, 6, 8 } are 5 elemente, |A| = 5 .
Cazurile favorabile sunt numerele de forma ‾ abc , cu a ∈ A\ {0} ș i b, c ∈ A .
Cazuri favorabile: 4 ⋅ 5 ⋅ 5 = 100 ;
p = 100 _ 900 = 1 _ 9
5. Se notează M mijlocul segmentului AC, cu coordonatele x = 4 − 2 _ 2 = 1 ș i
y = 7 + 5 _ 2 = 12 _ 2 = 6 ⇒ M (1, 6) . Panta dreptei BC este m BC = y C − y B _ x C − x B = − 2 _ − 6 = 1 _ 3 .
Ecuația paralelei prin M la BC este y − 6 = 1 _ 3 (x − 1) ⇒ 3y − x − 17 = 0 .
6. Se notează sin x = t, cu restricția 0 ≤ t ≤ 1 .
Din cos 2 x = 1 − sin 2 x și sin x = t ⇒ cos 2 x = 1 − t 2 . Deci ecuația devine:
1 − t 2 + 2t = 7 _ 4 ⇒ 4 t 2 − 8t + 3 − 0 cu soluțiile t 1 = 1 _ 2 ș i t 2 = 3 _ 2 (variantă
respinsă deoarece contrazice restricția). Deci sin x = 1 _ 2 ⇒ x ∈ { π _ 6 , 5π _ 6 } .

Teste propuse186
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
det (A (a) ) = | 1
1
− a
1 − a 1
− a
1
1 | = | 2 − a
2 − a
2 − a
1 − a 1
− a
1
1 |
= (2 − a) | 1
1
1
1 − a 1
− a
1
1 | =
= (2 − a) | 1
1
0
1 − a 0
− a
1
1 + a | = (2 − a) (1 + a) (− a − 1) = (a − 2) (a + 1) 2
b)
A (1) = ( 1
1
− 1
1 − 1 1
− 1
1
1 ) A (1) ⋅ X = ( x + y − z
x − y + z
− x + y + z ) = ( 2
2
2 )
Se formează sistemul
{ x + y − z = 2
x − y + z = 2
− x + y + z = 2 .
Adunând primele două ecuații ale sistemului se obține 2x = 4 ⇒ x = 2 .
În mod similar se obține y = z = 2 , deci X = ( 2
2
2 ) .
c)
A (a) ⋅ A (b) = ( 1
1
− a
1 − a 1
− a
1
1 ) ( 1
1
− b
1 − b 1
− b
1
1 ) =
( 2 + ab
1 − a − b
1 − a − b
1 − a − b 2 + ab 1 − a − b
1 − a − b
1 − a − b
2 + ab )
Suma elementelor matricei A (a) ⋅ A (b) este 3 (2 + ab) + 6 (1 − a − b) .
Pentru 3 (2 + ab) + 6 (1 − a − b) = 3 ⇒ (a − 2) (b − 2) = 1 cu soluțiile
{ a − 2 = 1, b − 2 = 1 ⇒ a = 3, b = 3 a − 2 = − 1, b − 2 = − 1 ⇒ a = 1, b = 1 .
Deci (1, 1) și (3, 3) sunt cele două perechi (a, b) pentru care suma
elementelor matricei A (a) ⋅ A (b) este 3.

Teste propuse187
2.a)Pentru f ∈ ℝ [x] și x 1 = 1 + i ⇒ x 2 = 1 − i . Se aplică relațiile lui Viète:
x 1 + x 2 + x 3 = 5 ⇒ 1 + i + 1 − i + x 3 = 5 ⇒ x 3 = 3
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = m ⇒ (1 + i) (1 − i) + x 3 ⋅ (1 + i) + x 3 ⋅ (1 − i) = m ⇒ m
= 8
x 1 x 2 x 3 = − n ⇒ 3 (1 + i) (1 − i) = 6 ⇒ n = − 6
Deci pentru m = 8, n = − 6 ⇒ x 1 = 1 + i .
2.b) Dacă f este divizibil cu (X − 1) 2 ⇒ f (1) = 0 și f ′ (1) = 0 ⇒ 3 x 2 − 10x + m
= 0 .
Se formează sistemul { 1 − 5 + m + n = 0 3 − 10 + m = 0 ⇒ { m + n = 4 m = 7 ⇒
{ m = 7 n = − 3 .
Deci pentru m = 7, n = − 3 , f este divizibil cu (X − 1) 2 .
2.c) m = 12 ⇒ f = x 3 − 5 x 2 + 12x + n
Se aplică relațiile lui Viète: x 1 + x 2 + x 3 = 5 și x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 12 ;
x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 − 2 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = 5 2 − 2 ⋅ 12 = 1 .
Se presupune prin reducere la absurd că polinomul are două rădăcini
întregi și se obține: x 1 , x 2 ∈ ℤ ⇒ x 3 = 5 − ( x 1 + x 2 ) ⇒ x 3 ∈ ℤ .
Deci, dacă două soluții ar fi întregi, și a treia ar fi tot număr întreg.
Dar din x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 1 rezultă că două rădăcini trebuie să fie nule, de
exemplu x 1 = x 2 = 0 ⇒ x 3 = ± 1 , fapt care contrazice relația x 1 + x 2 + x 3 = 5 .
Deci dacă m = 12 , polinomul poate avea cel mult o rădăcină întreagă.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→1 f (x) − √ _
3 _ x − 1 = lim x→1 f (x) − f (1) _ x − 1 = f ′ (1) (definiția derivatei) f ′ (x)
= 2 √ _ x 2 + 2 − (2x + 1) x _ √ _ x 2 + 2 __________________ x 2 + 2 = 4 − x ___________ ( x 2 + 2) √ _ x 2 + 2
f ′ (1) = 3 _ 3 √ _
3 = √ _
3 _ 3
b) f ′ (x) = 0 ⇒ x = 4 ; f (4) = 9 _ √ _
18 = 3 √ _
2 _ 2
lim x→∞ f (x) = 2 și

Teste propuse188
Tabelul de variație
x − ∞ 4 + ∞
f ′ (x) + + + + + 0 – – – –
f (x) -2 ↗ 3 √ _
2 _ 2 ↘ 2
Din tabelul de variație, Im f = (− 2, 3 √ _
2 _ 2 ] .
.c) Din Teorema Lagrange, (∃) c ∈ (n, n + 1) cu proprietatea f ′ (c)
= f (n + 1) − f (n) _ n + 1 − n .
Din n < c < n + 1 ⇒ 1 < c _ n < n + 1 _ n , deci lim n→∞ c _ n = 1 .
lim n→∞ n 2 [f (n + 1) − f (n) ] = lim n→∞ n 2 4 − c ___________ ( c 2 + 2) √ _ c 2 + 2 = lim n→∞ n 2 _ c 2 c 2 (4 − c) ___________ ( c 2 + 2) √ _ c 2 + 2 =
= 1 (− 1) = − 1
2.a) F ′ (x) = f (x) ,  (∀) x ≥ 0 și F ″ (x) = f ′ (x)
f ′ (x) = − 2x − 5 _ ( x 2 + 5x + 6) 2
Pentru x ≥ 0 ⇒ f ′ (x) ≤ 0 ⇒ primitiva este concavă
2.b) ∫
0 1 1 _ x 2 + 5x + 6 dx = ∫
0 1 dx _ (x + 2) (x + 3) = ∫
0 1 ( 1 _ x + 2 − 1 _ x + 3 ) dx = ln x + 2 _ x + 3 | 0 1 =
= ln 3 _ 4 − ln 3 _ 2 = ln 9 _ 8
2.c) ∫ n n+1 f (x) dx = ln x + 2 _ x + 3 | n n+1 = ln n + 3 _ n + 4 − ln x + 2 _ x + 3 = ln n 2 + 6n + 9 _ n 2 + 6n + 8 = ln
(1 + 1 _ n 2 + 6n + 8 )
lim n→∞ (2n + 1) 2 ln (1 + 1 _ n 2 + 6n + 8 ) = lim n→∞ (2n + 1) 2 _ n 2 + 6n + 8 = 4
Observație: s­a folosit limita remarcabilă lim x→0 ln (1 + x) _ x = 1 .
TEST 2
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. (1 + i) 2 − 2 (1 + i) + 2 = 1 + 2i + i 2 − 2 − 2i + 2 = 1 + i 2 și cum i 2 = − 1 ⇒
1 + i 2 = 1 − 1 = 0 ,
deci 1 + i este o soluție a ecuației x 2 − 2x + 2 = 0 .
2. Funcția este constantă pentru a 2 − 9 = 0 ⇒ a = ± 3 .

Teste propuse189
3. ( 5 _ 2 ) 3x−1
< ( 2 _ 5 ) −5x+7
⇔ ( 5 _ 2 ) 3x−1
< ( 5 _ 2 ) 5x−7
, deci 3x − 1 < 5 x − 7 ⇒ − 2x <
− 6 ⇒ x > 3 sau x ∈ (3, + ∞)
4. Termenul general T k+1 = C 100 k 2 k _ 3 ,  k ∈ {0, 1, 2, . . . 100} .
Pentru k _ 3 ∈ ℤ ⇒ k ∈ {0, 3, 6, 9, . . . , 99} , o mulțime cu 34 de termeni.
Deci din dezvoltarea expresiei (1 + 3 √ _
2 ) 100
se obțin 34 de termeni
raționali.
5. Dacă ABCD este un paralelogram, atunci mijlocul diagonalei AC
coincide cu mijlocul diagonalei BD ⇒ ( x A + x C _ 2 , y A + y C _ 2 ) = ( x B + x D _ 2 , y B + y D _ 2 ) ⇒
( 2 + 3 _ 2 , 3 + 11 _ 2 ) = ( 4 + α _ 2 , 5 + β _ 2 ) ⇒
{ 2 + 3 = 4 + α ⇒ α = 1 3 + 11 = 5 + β ⇒ β = 9
6. B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2AB ⋅ AC ⋅ cos A ; 24 = 4 + 16 − 16 cos A ⇒ cos A =
−  1 _ 4
s i n 2 A + cos 2 A = 1 ⇒ sin 2 A = 1 − 1 _ 16 = 15 _ 16 , deci sin A = √ _
15 _ 16 = √ _
15 _ 4
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
D (3, 4) = | 1
1
1
3 4 1
27
64
1 | = | 1
1
1
2 3 0
26
63
0 | = 2 ⋅ 63 − 3 ⋅ 26 = 48
1.b) D (a, b) = | 1
1
1
a b 1
a 3
b 3
1 | = | 1
1
1
a − 1 b − 1 0
a 3 − 1
b 3 − 1
0 | =
(a − 1) (b − 1) | 1 1 a 2 + a + 1 b 2 + b + 1 | =
= (a − 1) (b − 1) [ (b − a) + (b − a) (b + a) ] =
= (a − 1) (b − 1) (b − a) (a + b + 1)
1.c) D ( log 2 x, 3) = ( log 2 x − 1) (3 − 1) (3 − log 2 x) (1 + 3 + log 2 x) =
= 2 ( log 2 x − 1) (3 − log 2 x) (4 + log 2 x) D ( log 2 x, 3) = 0
⇒ ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩ log 2 x − 1 = 0 ⇒ log 2 x = 1 ⇒ x = 2
3 − log 2 x = 0 ⇒ log 2 x = 3 ⇒ x = 2 3 = 8
4 + log 2 x = 0 ⇒ log 2 x = − 4 ⇒ x = 2 −4 = 1 _ 16

Teste propuse190
2.a) Din relațiile lui Viète:
x 1 + x 2 + x 3 = − a ⇒ 2 + 2 − 1 = −  a ⇒ a = − 3
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = b ⇒ 4 − 2 − 2 = b ⇒ b = 0
x 1 x 2 x 3 = − c ⇒ 2 ⋅ 2 ⋅ (− 1) = − c ⇒ c = 4
2.b) f ∈ ℚ [x] . Dacă f admite rădăcina x 1 = 2 + √ _
3 , atunci 2 − √ _
3 = x 2 .
Din x 1 x 2 x 3 = − c ⇒ (2 + √ _
3 ) (2 − √ _
3 ) x 3 = − c , x 3 = − c și − c ∈ ℚ
2.c) Dacă α ∈ ℤ este o rădăcină a polinomului f ⇒ f (x) = (x − α) ⋅ q (x) ,  
q (x) ∈ ℤ [X]
f (1) ⋅ f (2) = (1 − α) (2 − α) ⋅ q (1) ⋅ q (2)
Se verifică paritatea termenilor: f (1) f (2) = 2017 ⋅ 2019 număr impar;
(1 − α) (2 − α) ⋅ q (1) ⋅ q (2) număr par deoarece (1 − α) (2 − α) este
produsul a două numere consecutive.
Paritate diferită ⇒ CONTRADICȚIE ⇒ pentru a, b, c ∈ ℤ, f (1) = 2017 și
f (2) = 2019 , f nu admite rădăcini întregi
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) m = lim x→−∞ f (x) _ x = lim x→−∞ e 3x − 2x + 1 _ x = lim x→−∞ 3 e 3x − 2 _ 1 = − 2
n = lim x→−∞ [f (x) − mx] = lim x→−∞ ( e 3x − 2x + 1 + 2x) = 1
Ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f la − ∞ este y = − 2 x + 1 .
1.b) Ecuația tangentei la grafic în punctul cu abscisa x 0 = 0
y − f (0) = f ′ (0) ⋅ (x − 0) cu ⎧
⎪
⎨ ⎪
⎩ f (0) = 1 + 1 = 2
f ′ (x) = 3 e 3x − 2
f ′ (0) = 3 − 2 = 1
⇒ y − 2 = x ⇒ y = x + 2
1.c) f (− 1) + f (− 2) + . . . + f (− n) = ( 1 _ e 3 + 1 _ e 6 + 1 _ 3 9 + . . . + 1 _ 3 3n ) + n 2 + n
f (− 1) + f (− 2) + . . . + f (− n) = 1 _ e 3 ⋅ 1 − ( 1 _ e 3 ) n
_
1 − 1 _ e 3 + n 2 + 2n
lim n→∞ [f (− 1) + f (− 2) + . . . + f (− n) − n 2 − 2n] = lim n→∞ 1 _ e 3 ⋅ 1 − ( 1 _ e 3 ) n
_
1 − 1 _ e 3 = 1 _ e 3 − 1
2.a) ∫
0 1 x ⋅ f (x) dx = ∫
0 1 x _ √ _ 9 − x 2 dx = −  ∫
0 1 ( √ _ 9 − x 2 ) ′ dx = −  √ _ 9 − x 2 | 0 1 = − √ _
8 + √ _
9
= 3 − 2 √ _
2

Teste propuse191
2.b)
Cum (arcsin x _ 3 ) ′ = 1 _ 3 _
√ _
1 − x 2 _ 9 = 1 _ √ _ 9 − x 2 , rezultă:
∫
0 1 1 _ √ _ 9 − x 2 ⋅ arcsin x _ 3 d x = ∫
0 1 arcsin x _ 3 ⋅ (arcsin x _ 3 ) ′ dx
∫
0 1 arcsin x _ 3 ⋅ (arcsin x _ 3 ) ′ dx = 1 _ 2 (arcsin x _ 3 ) 2 | 0 1 = 1 _ 2 (arcsin 1 _ 3 ) 2

2.c) ∫
0 1 e x [f (x) + f ′ (x) ] dx = ∫
0 1 [ e x f (x) + e x f ′ (x) ] dx =
∫
0 1 [ ( e x ) ′ f (x) + e x f ′ (x) ] dx =
= ∫
0 1 ( e x f (x) ) ′ dx = e x f (x) | 0 1 = e ⋅ f (1) − f (0) = e _ √ _
8 − 1 _ 3 = e _ 2 √ _
2 − 1 _ 3 = 3e √ _
2 − 4 _ 12
TEST 3
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Se notează rația progresiei
q > 0 ⇒ { b 1 + b 2 = b 1 + q b 1 = b 1 (1 + q) = 8
b 3 + b 4 = q 2 b 1 + q 3 b 1 = q 2 b 1 (1 + q) = 72 .
q 2 b 1 (1 + q) _ b 1 (1 + q) = 72 _ 8 ⇒ q 2 = 9 ⇒ q = ± 3 . Cum − 3 < 0 , se acceptă soluția q = 3 .
2. Condiția de tangență Δ = 0 ⇒ 4 + 4 a = 0 ⇒ a = − 1 .
3. ( 2 x ) 2 + 4 ( 2 x ) = 12 . Se notează 2 x = t , cu restricția t > 0 ⇒ t 2 + 4t − 12 =
0 cu soluțiile t 1 = 2, t 2 = − 6 < 0. Se admite varianta t = 2 ⇒ 2 x = 2 ⇒ x
= 1 .
4. Cazuri totale: 900. Cazuri favorabile: mulțimea
A = {111, 102, 120, 201, 210} . p = 5 _ 900 = 1 _ 180
5.Condiția ca doi vectori să fie coliniari ; 3 _ a + 1 = 7 _ 14 ⇒ a = 5 .
6. x ∈ (0, π _ 4 ) ⇒ sin x < cos  x ; (sin x − cos x) 2 = sin 2 x + cos 2 x − 2 sin x cos x
și cum
{ s i n 2 x + cos 2 x = 1
sin x cos x = 1 _ 3 ⇒ (sin x − cos x) 2 = 1 − 2 _ 3 = 1 _ 3 ⇒
sin x − cos x = ±  √ _
1 _ 3 .
Din sin x < cos  x ⇒ sin x − cos x < 0 ⇒ se admite soluția sin x − cos x =
−  1 _ √ _
3 = −  √ _
3 _ 3 .

Teste propuse192
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) A 2 = ( 22 33 66 99 ) = 11 ( 2 3 6 9 ) = 11 A
1.b)Inductiv se arată că A n = 1 1 n−1 A
A n+1 = A n ⋅ A = 1 1 n−1 ⋅ A ⋅ A = 1 1 n−1 ⋅ A 2 = 1 1 n−1 ⋅ 11A = 1 1 n ⋅ A
det A 100 = (det A) 100 = 0 și cum A 100 ≠ O 2 ⇒ rang A 100 = 1
1.c)Fie X = ( a b c d ) , cu proprietatea AX = XA
AX = ( 2 3 6 9 ) ( a b c d ) = ( 2a + 3c 2b + 3d 6a + 9c 6b + 9d ) XA = ( a b c d ) ( 2 3 6 9 )
= ( 2a + 6b 3a + 9b 2c + 6d 3c + 9d )
Se egalează elementele celor două matrice:
{ 2a + 3c = 2a + 6b ⇒ c = 2b 2b + 3d = 3a + 9b ⇒ 3d = 3a + 7b .
Se notează b = 3 b ′ ⇒ 3d = 3a + 21 b ′ ⇒ d = a + 7 b ′ .
Se scriu elementele matricei X = ( a c b d ) în funcție de b ′ ⇒ X =
( a 3 b ′ 6 b ′ a + 7 b ′ ) .
( a 3 b ′ 6 b ′ a + 7 b ′ ) = ( a 0 0 a ) + ( 0 3 b ′ 6 b ′ 7b ) = a I 2 + b ′ ( 0 3 6 7 ) = a I 2 + b ′ B
2.a) x ∘ y = − 3 xy + 6x + 6y − 12 + 2 = − 3 x (y − 2) + 6 (y − 2) + 2 = − 3 (y − 2)
(x − 2) + 2
2.b) m ∘ n = 1 1 ⇒ − 3 (m − 2) (n − 2) + 2 = 11 ⇒ − 3 (m − 2) (n − 2) = 9 ⇒
(m − 2) (n − 2) = − 3
Variante:
m − 2 = − 3 ⇒ m = − 1 ∉ ℕ Variantă exclusă
{ m − 2 = 3 n − 2 = − 1 ⇒ m = 5, n = 1
{ m − 2 = − 1 n − 2 = 3 ⇒ m = 1, n = 5
Deci soluțiile (m, n) sunt (5, 1) și (1, 5) .
2.c) Se observă că (∀) x ∈ ℝ, x ∘ 2 = 2 ∘ x = 2 (2 este elementul absorbant, 2
= 4 √ _
16 ).
Se notează A = 4 √ _
1 ∘ 4 √ _
2 ∘ . . . ∘ 4 √ _
15 și B = 4 √ _
17 ∘ 4 √ _
18 ∘ . . . ∘ 4 √ _ 100 .
A ∘ 2 ∘ B = 2 ∘ B = 2

Teste propuse193
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→−∞ f (x) = − ∞ , deci funcția nu admite asimptotă orizontală.
Se determină ecuația asimptotei oblice:
{ m = lim x→−∞ f (x) _ x = lim x→−∞ [ 2x _ x − arctg x _ x ] = 2
n = lim x→−∞ [f (x) − mx] = lim x→−∞ (−  arctg x) = −  (−  π _ 2 ) = π _ 2 ⇒ y = 2x + π _ 2
1.b) Funcția este continuă, deci are proprietatea Darboux
lim x→−∞ f (x) = − ∞ și lim x→+∞ f (x) = + ∞
Deci Im f = (− ∞ ,  + ∞) ⇒ funcția f este surjectivă
f ′ (x) = 2 − 1 _ 1 + x 2 = 1 + 2 x 2 _ 1 + x 2 > 0 ⇒ f este strict crescătoare, deci injectivă
f este surjectivă și injectivă, deci este bijectivă.
1.c) lim x→0 x s i n 2 x _ f (x) − x = lim x→0 x s i n 2 x _ x − arctg x
Cazul 0 _ 0 = lim x→0 x 3 s i n 2 x _ x 2 _ x − arctg x = lim x→0 x 3 _ x − arctg x = lim x→0 3 x 2 _
1 − 1 _ 1 + x 2 = lim x→0 3 x 2 (1 + x 2 ) _ x 2 =
3 .
2.a) ∫
0 1 f (x) dx = ∫
0 1 e −2x dx = e −2x _ − 2 |
0 1
= e −2 _ − 2 + 1 _ 2 = e 2 − 1 _ 2 e 2
2.b) ∫
0 1 x 4 e −3 x 5 d x = −  1 _ 15 ∫
0 1 (− 15 x 4 ) ⋅ e −3 x 5 dx = −  1 _ 15 ∫
0 1 (− 3 x 5 ) ′ e −3 x 5 dx =
= −   1 _ 15 e −3 x 5 | 0 1 = −  1 _ 15 ( e −3 − 1) = e 3 − 1 _ 15 e 3
2.c) I n+1 = ∫
0 n+1 e −2 x 5 dx = ∫
0 n e −2 x 5 dx + ∫ n n+1 e −2 x 5 d x
I n+1 = I n + ∫ n n+1 e −2 x 5 d x
Cum e −2 x 5 > 0 (∀) x ∈ ℝ ⇒ ∫ n n+1 e −2 x 5 dx > 0 ⇒ I n+1 − I n > 0 ⇒ I n este strict
crescător I n = ∫
0 1
e −2 x 5 dx + ∫
1 n
e −2 x 5 dx .
Se arată că ambii termeni sunt mărginiți.
Pentru x ∈ (0, 1) ⇒ 0 < e −2 x 5 < 1 ⇒ 0 < ∫
0 1 e −2 x 5 dx < 1
Pentru x > 1 ⇒ − 2 x 5 < − 2 x ⇒ ∫
1 n e −2 x 5 dx < ∫
1 n e −2x d x
∫
1 n e −2x d x = e −2x _ − 2 | 1 n = −  1 _ 2 e 2x | 1 n = −  1 _ 2 e 2n + 1 _ 2 e 2 < 1 _ 2 e 2
Deci ( I n )
n≥1 este un șir strict crescător și mărginit, deci convergent.

Teste propuse194
TEST 4
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( a n ) 2 = a n−1 a n+1 ⇒ 2 (5x + 3) = 36 ⇒ x = 3
2. Δ = m 2 − 4 ( m 2 + 5) = − 3 m 2 − 20 . Cum Δ = − 3 m 2 − 20 < 0,  ∀  m ∈ ℝ ⇒
parabola asociată funcției nu intersectează axa Ox .
3. 4 x+1 _ 2 + 2 x+3 = 80 ⇒ 2 x+1 + 2 x+3 = 80
2 x ⋅ 2 + 2 x ⋅ 2 3 = 80 ⇒ 2 x (2 + 8 ) = 80 ⇒ 10 ⋅ 2 x = 80 ⇒ 2 x = 2 3 ⇒ x = 3
4.Termenul general T k+1 = C 100 k ( 3 √ _ x ) 100− k ⋅ ( 5 _ √ _ x ) k
= C 100 k x 100− k _ 3 − k _ 2 ⋅ 5 k .
Pentru aflarea termenului liber se impune condiția 100 − k _ 3 − k _ 2 = 0 ⇒ k = 40 .
Deci termenul liber este T 41 = C 100 40 ⋅ 5 40 .
5.Dacă lungimea unei laturi este a , aria triunghiului este σ (ABC ) = a 2 √ _
3 _ 4 .
Din a 2 √ _
3 _ 4 = 9 √ _
3 ⇒ a 2 = 36 ⇒ a = 6 .
⟶ AB ⋅ ⟶ AC = | ⟶ AB | ⋅ | ⟶ AC | ⋅ cos 60 ∘ = 6 ⋅ 6 ⋅ 1 _ 2 = 18
6. B C 2 = A B 2 + A C 2 − 2AB ⋅ AC ⋅ cos A = 16 + 8 − 2 ⋅ 4 ⋅ 2 √ _
2 ⋅ √ _
2 _ 2 = 8
⇒ BC = 2 √ _
2
Dacă m A este mediana din A ⇒ m A 2 = 2A B 2 + 2A C 2 − B C 2 _______________ 4 = 2 ⋅ 16 + 16 − 8 _ 4 = 10 .
Deci m A = √ _
10 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) A (x) = ( 2 − x 1 − x 2x − 2 2x − 1 ) ⇒
det (A (x) ) = (2 − x) (2x − 1) − (2x − 2) (1 − x) = x
1.b)
A (x) ⋅ A (y) = ( 2 − x 1 − x 2x − 2 2x − 1 ) ( 2 − y 1 − y 2y − 2 2y − 1 ) = ( 2 − xy 1 − xy 2xy − 2 2xy − 1
) = A (xy)
1.c) (A (x) ) 2 = (A (x) ) 2 ⋅ (A (x) ) 2 = A ( x 2 ) ⋅ A ( x 2 ) = ( 2 − x 4 1 − x 4 2 x 4 − 2 2 x 4 − 1 )
Din egalitatea 1 − x 4 = − 15 ⇒ x 4 = 16 ⇒ x = ± 2 sau, se face de la
început observația:
A (16) = ( − 14 − 15 30 31 ) , deci A ( x 4 ) = A (16) ⇒ x = ± 2 .

Teste propuse195
2.a) Restul împărțirii polinomului f la x − 1 este f (1) .
f (1) = 1 4 + a ⋅ 1 3 + b ⋅ 1 2 + c ⋅ 1 + 12 ⇒ f (1) = a + b + c + 13
f (1) = 5 ⇒ a + b + c + 13 = 5 ⇒ a + b + c = − 8
2.b)Din relațiile lui Viète:   x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 = − c   și   x 1 x 2 x 3 x 4
= 12 ;
1 _ x 1 + 1 _ x 2 + 1 _ x 3 + 1 _ x 4 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 ______________________ x 1 x 2 x 3 x 4 = −  c _ 12
Din 2 _ 3 = −  c _ 12 ⇒ − c = 24 _ 3 ⇒ c = − 8 .
2.c) Se descompune polinomul după rădăcinile x 1 , x 2 , x 3 , x 4
f (x) = (x − x 1 ) (x − x 2 ) (x − x 3 ) (x − x 4 )
f ′ (x) = (x − x 1 ) (x − x 2 ) (x − x 3 ) + (x − x 1 ) (x − x 3 ) (x − x 4 ) + (x − x 1 ) (x − x 2 )
(x − x 4 ) +   (x − x 2 ) (x − x 3 ) (x − x 4 )
f ′ (x) _ f (x) = 1 _ x − x 1 + 1 _ x − x 2 + 1 _ x − x 3 + 1 _ x − x 4 și f ′ (1) _ f (1) = 1 _ 1 − x 1 + 1 _ 1 − x 2 + 1 _ 1 − x 3 + 1 _ 1 − x 4
f (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 12 ⇒ f (1) = 16
f ′ (x) = 4 x 3 + 3 x 2 + 2x + 1 ⇒ f ′ (1) = 10
f ′ (1) _ f (1) = 16 _ 10 = 8 _ 5 , deci pentru a = b = c = 1 ⇒ 1 _ 1 − x 1 + 1 _ 1 − x 2 + 1 _ 1 − x 3 + 1 _ 1 − x 4
= 8 _ 5
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
f ′ (x) = (ln x) ′ ⋅ x − ln x ⋅ (x) ′ ______________ x 2 = 1 _ x ⋅ x − ln x _ x 2 = 1 − ln x _ x 2
1.b) f ′ (x) = 0 ⇒ 1 − ln x = 0 ⇒ ln x = 1 și x = e
Tabelul de variație
0 e + ∞
f ′ + + 0 – –
f − ∞ ↗ 1 _ e ↘ 0
Din tabelul de variație se observă că funcția admite un singur punct de
extrem, A (e, 1 _ e ) , care este punct de maxim.

Teste propuse196
1.c) A (e, 1 _ e ) = punct de maxim ⇒ f ( √ _
2 ) < 1 _ e și f ( √ _
3 ) < 1 _ e
ln √ _
2 _ √ _
2 < 1 _ e ⇒ ln 2 _ 2 √ _
2 < 1 _ e

ln √ _
3 _ √ _
3 < 1 _ e ⇒ ln 3 _ 3 √ _
3 < 1 _ e ⎫
⎪
⎬
⎪
⎭ ⇒ ln 2 _ 2 √ _
2 + ln 3 _ 3 √ _
3 < 2 _ e , deci ln 2 _ √ _
2 + ln 3 _ √ _
3 < 4 _ e
2.a)
F ′ (x) = 2x _ x 2 + 4 + 5 1 _ 2 _
1 + x 2 _ 4 = 2x _ x 2 + 4 + 5 _ x 2 + 4 = 2x + 5 _ x 2 + 4 = f (x) ,  (∀) x ∈ ℝ
2.b) ∫
0 2 f (x) dx = F (2) − F (0) = ln 8 + 5 _ 2 arctg 1 − ln 4 − 5 _ 2 arctg 0 =
= ln 2 + 5 _ 2 ⋅ π _ 4 = ln 2 + 5π _ 8
2.c)
lim n→∞ a n = l i m n→∞ ∑
k=1 n
2k + 5n _ k 2 + 4 n 2 = lim n→∞ 1 _ n ∑
k=1 n
2nk + 5 n 2 _ k 2 + 4 n 2 = lim n→∞ 1 _ n ∑
k=1 n
2 k _ n + 5 _
k 2 _ n 2 + 4 =
∫
0 1 f (x) dx = l n 5 _ 4 + 5 _ 2 arctg 1 _ 2
Cum lim n→∞ a n este finită ⇒ ( a n )
n∈ ℕ * este un șir convergent.
TEST 5
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. (1 − i) 2 = − 2 i și (1 + i) 2 = 2i (2p)
z = (1 − i) 2018 + (1 + i) 2018 = ( − 2i) 1009 + (2i) 1009 = 0 (2p)
|z |  = 0 (1p)
2. f (x) = (x − 3) 2 (1p)
f 3 (x ) − 3 f 2 (x ) = 1 − 3f(x) implică f 3 (x ) − 3 f 2 (x ) + 3f(x ) − 1 = 0 ,
adică [f(x ) − 1] 3 = 0 , deci f(x ) = (x − 3) 2 = 1 (2p)
Se obțin cazurile x − 3 = 1 cu soluția x = 4 , respectiv x − 3 = − 1 cu
soluția x = 2 , deci mulțimea soluțiilor este S = {2; 4} .(2p)
3. Se observă ușor că x = 3 > 0 este soluție a ecuației date, 3 3 +
log 3 3 + 3 log 3 3 = 27 + 1 + 3 = 31 .(3p)
Membrul stâng reprezintă o sumă de expresii corespunzătoare
unor legi de funcții strict crescătoare, ceea ce implică existența cel
mult a unei soluții reale. Cum x = 3 este soluție, rezultă că aceasta
este unica soluție a ecuației.(2p)
4. 2018 ! _ (1009 !) 2 = 2018 ! _________________ 1009 ! ⋅ (2018 − 1009 )  ! = C 2018 1009 (4p)

Teste propuse197
Cum, prin definiție, combinările reprezintă număr de alegeri, orice
combinare reprezintă număr natural, deci 2018 ! _ (1009 !) 2 ∈ ℕ .(1p)
5. ⟶ AD = ⟶ AB − 3 ⋅ ⟶ CA _ 4 implică 4 ⋅ ⟶ AD − ⟶ AB + 3 ⋅ ⟶ CA = → 0 (2p)
Utilizând proprietățile vectorilor opuși și ale adunării vectorilor,
relația se rescrie astfel: ⟶ AD + ⟶ BA
⏟ + 3 ⋅ ⟶ CA + 3 ⋅ ⟶ AD  = → 0 , echivalent
cu ⟶ BD = 3 ⋅ ⟶ DC , ceea ce implică B, C și D coliniare.(3p)
6. s i n 2 (x − π _ 2 ) = (− cos  x) 2 = cos 2 x , oricare x ∈ ℝ (2p)
cos 2 (x + π _ 2 ) = (− sin  x) 2 = sin 2 x , oricare x ∈ ℝ (2p)
s i n 2 (x − π _ 2 ) + cos 2 (x + π _ 2 ) = cos 2 x + sin 2 x = 1 , oricare x ∈ ℝ . (1p)
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) Cum toate elementele matricei A sunt echivalorice, nenule, orice
minor de ordinul doi are determinantul nul, deci rang (A ) = 1 .(2p)
Cum matricea nulă are rangul 0, cel mai smplu exemplu este
B = O 3 .(3p)
1.b) A 2 = A ⋅ A = ( 3
3
3
3 3 3
3
3
3 ) (1p)
I 3 + x A 2 = ( 3x + 1
3x
3x
3x 3x + 1 3x
3x
3x
3x + 1 ) (2p)
det ( I 3 + x A 2 ) = | 3x + 1
3x
3x
3x 3x + 1 3x
3x
3x
3x + 1 | = (9 x + 1)
| 1
1
1
3x 3x + 1 3x
3x
3x
3x + 1 | = (9 x + 1) | 1
0
0
3x 1 0
3x
0
1 | = 9x + 1
Rezultă că singura soluție a ecuației este x = −  1 _ 9 ∈ ℝ . (2p)
1.c) Cum A 2 = 3A , rezultă că A 3 = A 2 ⋅ A = 3A ⋅ A = 3 A 2 = 9A . (3p)
Se poate alege B = 1 _
3 √ _
9 A . Prin verificare direct se obține
B 3 = ( 1 _
3 √ _
9 ) 3
A 3 = 1 _ 9 ⋅ 9A = A .(2p)
2.a) x ∘ (1 − x ) = x(1 − x) _____________________ x(1 − x ) + (1 − x) [1 − (1 − x)] = (2p)
= x(1 − x) _ 2x(1 − x) = 1 _ 2 , ceea implică faptul că mulțimea soluțiilor este H .(3p)

Teste propuse198
2.b) f(x ∘ y ) = x ∘ y _ 1 − x ∘ y = xy _____________ xy + (1 − x ) (1 − y) ⋅ xy + (1 − x ) (1 − y) _____________ (1 − x ) (1 − y)
= xy _ (1 − x ) (1 − y) , oricare ar fi x, y ∈ H (1)(2p)
f(x ) ⋅ f(y ) = x _ 1 − x ⋅ y _ (1 − y) = xy _ (1 − x ) (1 − y) , oricare ar fi x, y ∈ H (2) (2p)
Din (1) și (2) rezultă f(x ∘ y ) = f(x ) ⋅ f(y) , oricare ar fi x, y ∈ H . (1p)
2.c) Ținând cont de punctul b) al problemei, cum funcția este bijectivă
(din ipoteză) rezultă echivalența x ∘ x ∘ x = 1 _ 2 dacă și numai dacă
f(x ∘ x ∘ x ) = f( 1 _ 2 ) .(2p)
Ținând cont de asociativitate și de proprietatea f(x ∘ y ) = f(x ) ⋅ f(y) ,
oricare ar fi x, y ∈ H , rezultă că f(x ∘ x ∘ x ) = f 3 (x) .
Cum f( 1 _ 2 ) = 1 _ 2 _
1 − 1 _ 2 = 1 , rezultă f 3 (x ) = 1 care, pe domeniul de studiu
dat, implică f(x ) = 1 , adică x _ 1 − x = 1 , deci se admite o unică soluție
a ecuației inițiale x ∘ x ∘ x = 1 _ 2 , x = 1 _ 2 ∈ H .(3p)
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f continuă și derivabilă pe ( − ∞ , 0) , fiind definită printr ­o lege
elementară (gradul al doilea); f continuă și derivabilă pe (0, + ∞ ) ,
fiind definită printr ­o lege ce reprezintă compunere de funcții
elementare (logaritmică și algebrică).(1p)
Impunem ca funcția să fie continuă în x = 0 , condiție realizată
pentru cazul lim
x→0 x<0 f(x ) = f(0 ) = lim
x→0 x>0 f(x) . Cum lim
x→0 x<0 f(x ) = f(0 ) = a ș i
lim
x→0 x>0 f(x ) = 0 , rezultă că numai în cazul a = 0 funcția este continuă
pe ℝ .(2p)
Pentru a = 0 , f continuă pe ℝ și derivabilă pe ℝ * , deci pentru a fi
derivabilă în x = 0 este suficient să impunem lim
x→0 x<0 f’(x ) = lim
x→0 x>0 f’(x) ,
ceea ce implică condiția 2 = b , deci f derivabilă pe ℝ dacă și numai
dacă a = 0 și b = 2 .(2p)
1.b)
Pentru a = 0 și b = 2 , funcția devine f(x ) = { x 2 + 2x, x ≤ 0 2 ln (x + 1 ) , x > 0 ,
iar derivata sa este f’ : ℝ → ℝ , f’(x ) = { 2x + 2,
x ≤ 0
2 _ x + 1 , x > 0 . Singura
soluție a ecuației f’(x ) = 0 este x = − 1 (punct critic).(2p)

Teste propuse199
Cum f’(x ) < 0 , oricare x ∈ ( − ∞ ,  − 1) și f’(x ) > 0 , oricare x ∈
( − 1, ∞ ) , rezultă că avem o singură schimbare de semn a derivatei,
corespunzătoare cazului de minim, deci funcția fiind definită pe ℝ ,
derivabilă pe ℝ , nu admite decât un singur punct de extrem, în
cazul nostru minim, valoarea minimă fiind egală cu f( − 1 ) = − 1 .(3p)
2.c) Dubla inegalitate se rescrie 1 _ 3 < ln 3 − ln 2 < 1 _ 2 , ceea ce sugerează
cazul teoremei lui Lagrange, aplicată restricției funcției f pe
intervalul [1, 2] , deoarece pe acest interval funcția îndeplinește
condiția de continuitate, de derivabilitate pe (1, 2) − indiferent de
valoarea nenulă a lui b , ceea ce implică faptul că există c ∈ (1, 2)
astfel încât f(2 ) − f(1 ) = f’(c) .(3p)
Cum f’(c ) = b _ c + 1 , obținem echivalent b ln 3 − b ln 2 = b _ c + 1 , adică
ln 3 − ln 2 = 1 _ c + 1 și cum c ∈ (1, 2) , rezultă că 1 _ 3 < 1 _ c + 1 < 1 _ 2 , deci 1 _ 3
< ln 3 − ln 2 < 1 _ 2 și în final 1 _ 3 < ln 3 _ 2 < 1 _ 2 .(2p)
2.a) f continuă, deci f admite primitive. (1p)
Dacă G este o primitivă a funcției f , deci G’ = f , atunci din F(x )
= ∫
1 x
f(t ) dt rezultă F(x ) = ∫
1 x
f(t ) dt = G(t)|
1 x = G(x ) − G(1) .(1p)
Cum F’(x ) = G’(x ) = f(x) ( F este primitive care se anulează în
1), rezultă că F”(x ) = f’(x ) = − 2 x ⋅ e − x 2 , oricare x ∈ ℝ , de unde
F”(x ) = 0 admite ca unică soluție reală x = 0 , care este punct de
inflexiune datorită faptului că F”(x ) < 0 oricare x < 0 și F”(x ) >
0 oricare x > 0 .(3p)
2.b) ∫
0 1
x ⋅ f(x ) dx = ∫
0 1
x ⋅ e − x 2 dx = −  1 _ 2 ∫
0 1
( − 2x ) ⋅ e − x 2 dx = (3p)
−   1 _ 2 ( e − x 2 ) | 0 1 = −  1 _ 2 ( e −1 − e 0 ) = e − 1 _ 2e (2p)
2.c) ∫
0 1
F(x ) dx = ∫
0 1
x’ ⋅ F(x ) dx = [x ⋅ F(x)] |
0 1 − ∫
0 1
x ⋅ F’(x ) dx = (3p)
=
[ 0 ⋅ F(0)
⏟
0 − 1 ⋅ F(1)
⏟
0
] − ∫
0 1
x ⋅ f(x ) dx


e − 1 _ 2e = 1 − e _ 2e (2p)

Teste propuse200
TEST 6
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. b 5 = q 2 ⋅ b 3 = 4 ⋅ b 3 implică fie b 3 = 0 , fie q = ± 2 (2p)
b 3 = 0 implică fie q = 0 , fie b 1 = 0 , ceea ce ar conduce la b 2 = 0 ș i
astfel nu este îndeplinită condiția b 2 − b 3 = 3 .(1p)
Pentru q = ± 2 se verifică toate condițiile problemei. (2p)
2. f (x) = (x − 2 ) (x + 3 ) = 0 de unde x = − 3 și x = 2 , deci f(x ) < 0 ,
oricare x ∈ ( − 3, 2) (3p)
( − 3, 2 ) ∩ ℤ = {− 2, − 1, 0, 1} (2p)
3. log 16 2 x = 1 _ 4 log 2 2 x = x _ 4 (2p)
Ecuația devine x _ 4 = √ _ x − 1 , echivalentă cu y 2 − 4y + 4 = 0 , unde am
notat y = √ _ x ≥ 0 , deci y = √ _ x = 2 , de unde x = 4 ≥ 0 (condiție ce
asigură existența radicalului).(3p)
4. Alegerea a oricăror 2 vârfuri din cele 8 se poate face în C 8 2 = 8 ⋅ 7 _ 2 =
28 de cazuri, ceea ce ne dă numărul de diagonale și de laturi ale
octogonului.(3p)
Rezultă că numărul de diagonale este C 8 2 − 8 = 28 − 8 = 20 . (2p)
5. Dreapta AC este verticală, deci pentru condiția de unghi drept
trebuie ca dreapta BC să fie orizontală, deci cu pantă nulă.(3p)
Rezultă că b − 3 _ 4 − 1 = 0 , deci b = 3 , ceea ce implică B(4, 3) . (2p)
6. Cum x ∈ ( π _ 2 ,  π) rezultă că cos x < 0 . (1p)
cos x = −  √ _ 1 − sin 2 x = −  2 √ _
2 _ 3 , deci tgx = −  1 _ 2 √ _
2 = −  √ _
2 _ 4 (2p)
Rezultă că tg2x = 2tgx _ 1 − 2t g 2 x = −  2 √ _
2 _ 3 .(2p)
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)Cum matricea sistemului este A = ( 1
2
− 1
1
1 1 1 − 2
2
− 1
a
0 ) ∈ M 3,4 ( ℝ )
rezultă că rangA ≤ 3 . (2p)
Deoarece există un minor de ordinul 3 nenul, | 1
2
1
1 1 − 2
2
− 1
0 | = − 13
≠ 0 , independent de a rezultă că rangA = 3 , oricare a ∈ ℝ .(3p)

Teste propuse201
1.b)Fie ( x 0 , y 0 , z 0 . t 0 ) o soluție a sistemului (fiind sistem omogen,
compatibilitatea este asigurată). Soluția trebuie să verifice atât
ecuațiile sistemului cît și condiția x 0 + y 0 + z 0 + t 0 = 24 (*).(1p)
Cum există un minor nenul al matricei extinse a sistemului format
prin adăugarea condiției (*), | 1
2
1
0
1 1 − 2 0 2 − 1 0 0
1
1
1
24 | = 2 4 ⋅ | 1
2
1
1 1 − 2
2
− 1
0 | =
24 ⋅ ( − 13 ) ≠ 0 , rezultă că, pentru compatibilitate, rangul matricei
noului sistem trebuie să fie egal cu 4.(1p)
| 1
2
− 1
1
1 1 1 − 2 2 − 1 0 0
1
1
1
1 | = L4−L2 | 1
2
− 1
1
1 1 1 − 2 2 − 1 0 0
0
0
0
3 | = 3 ⋅ | 1
2
− 1
1 1 1
2
− 1
0 | =
3 ⋅ 8 = 24 (1p)
Utilizând metoda Cramer, rezultă prin calcul soluția (1, 2, 13, 8) .(2p)
Observație: având în vedere particularitatea sistemului, soluția se
poate genera și utilizând metodele reducerii și substituției.
1.c)Ținând cont de condiția x 0 − y 0 + z 0 − t 0 = 0 și de faptul că soluția
trebuie să aibă cel puțin o componentă nenulă, rezultă că se soluția
trebuie să verifice un sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, omogen,
deci rangul matricei sistemului să fie mai mic sau egal cu 3.(2p)
Cum determinantul matriciei sistemului este
| 1
2
− 1
1
1 1 1 − 2 2 − 1 a 0
1
− 1
1
− 1 | = | 2
1
0
1
− 1 3 − 1 − 2 2 − 1 a 0
0
0
0
− 1 | = − 1 ⋅ | 2
1
0
− 1 3 − 1
2
− 1
a | =
4 − 7a = 0 , deci a = 4 _ 7 ceea ce asigură existența soluției în condițiile
date.(3p)
2.a)Efectuând algoritmul de împărțire a polinoamelor se obține f = (
x 2 + 2x ) ( x 2 + 2x + 1 ) − 2 (3p)
Deci câtul împărțirii este egal cu x 2 + 2x + 1 și restul este − 2 . (2p)
2.b)Notând rădăcinile polinomului f cu x i , i = ‾ 1, 4 , rezultă că:
1 _ x 1 + 1 _ x 2 + 1 _ x 3 + 1 _ x 4 = x 2 x 3 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 2 x 3 ______________________ x 1 x 2 x 3 x 4 . (2p)

Teste propuse202
Din relațiile lui Viète, obținem x 2 x 3 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 2 x 3 =
−  2 _ 1 = − 2 , respectiv x 1 x 2 x 3 x 4 = − 2 _ 1 = − 2 , deci 1 _ x 1 + 1 _ x 2 + 1 _ x 3 + 1 _ x 4 = 1 .(3p)
Observație: o altă abordare ar fi fost utilizând substituția y = 1 _ x ș i
aplicând relațiile lui Viète pentru cazul noului polinom obținut.
2.c)Utilizând substituția y = 1 _ x se obține polinomul h = − 2 y 4 + 2
y 3 + 5 y 2 + 4y + 1 care admite ca rădăcini inversele rădăcinilor
polinomului f .(2p)
Cu g = a ⋅ h este tot un polinom de grad 4, cu aceleași rădăcini ca
ale polinomului h , pentru oricare a ∈ ℝ * , rezultă că pentru a fi
îndeplinită condiția g( − 1 ) = 2 impunem − 2a − 2a + 5a − 4a + a = 2 ,
deci a = − 1 .(3p)
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→∞ f(x ) = lim x→∞ √ _ x 2 + 1 _ x = 1 , deci y = 1 asimptotă orizontală la + ∞ (1p)
lim x→−∞ f(x ) = lim x→−∞ √ _ x 2 + 1 _ x = lim x→−∞ |x| √ _ 1 + 1 _ x 2 _ x = − 1 , deci y = − 1 asimptotă
orizontală la − ∞ (1p)
lim
x→0 x<0 f(x ) = lim
x→0 x<0 √ _ x 2 + 1 _ x = 1 _ −0 − ∞ , iar lim
x→0 x>0 f(x ) = lim
x→0 x>0 √ _ x 2 + 1 _ x = 1 _ 0+ + ∞ , deci
funcția admite și o asimptotă verticală, dreapta de ecuație x = 0 , la
stânga spre − ∞ și la dreapta spre + ∞ .(3p)
1.b) f’(x ) = ( √ _ x 2 + 1 _ x ) ‚
= 2x _ 2 √ _ x 2 + 1 ⋅ x − 1 ⋅ √ _ x 2 + 1 _________________ x 2 = (3p)
= −   1 _ x 2 √ _ x 2 + 1 , oricare x ∈ ℝ\ { 0} (2p)
1.c) f este continuă pe ℝ\ { 0} ca raport și compunere de funcții
elementare.(1p)
Ținând cont de limitele calculate la punctul a) rezultă că Im f| (−∞,0)
= ( − ∞ ,  − 1) și, de asemenea, Im f| (0,+∞) = (1, + ∞ ) .(3p)
Rezultă că Im f = ( − ∞ ,  − 1 ) ∪ (1, + ∞ ) . (1p)
2.a) Pentru a = − 1 obținem I 1 = ∫
−1 1
x _ 1 + x 2 dx . (2p)

Teste propuse203
Cum intervalul pe care se aplică integrala este simetric față de 0 și
integrantul reprezintă o funcție impară rezultă că I 1 = 0 .(3p)
2.b) Pentru a = 0 , I n = ∫
0 1
x n _ 1 + x 2n dx . Evident 0 ≤ x n _ 1 + x 2n , oricare x ∈ [0, 1] (2p)
De asemenea, oricare ar fi x ∈ [0, 1] rezultă x n ∈ [0, 1] și obținem
0 ≤ x n ≤ 1 ≤ 1 + x 2n , deci x n _ 1 + x 2n ≤ 1 , oricare x ∈ [0, 1] .(2p)
Rezultă că 0 ≤ I n = ∫
0 1
x n _ 1 + x 2n dx ≤ ∫
0 1
1dx = 1 , oricare n ∈ ℕ\ { 0} . (1p)
2.c) Pentru oricare n = 2k + 1 (impar), k ∈ ℕ integrantul este o funcție
impară pe domeniu centrat în 0, deci I 2k+1 = 0 , oricare k ∈ ℕ .(2p)
Pentru oricare n = 2k (par), k ∈ ℕ * integrantul este o funcție pară, deci
I n = I 2k = ∫
−1 1
x 2k _ 1 + x 4k dx = 2 ∫
0 1
x 2k _ 1 + x 4k dx ≤ 2 ∫
0 1
x 2k−1 _ 1 + x 4k dx = 2 _ 2k ∫
0 1
( x 2k ) ‚ _ 1 + ( x 2k ) 2 dx
= 1 _ k ⋅ arctg x 2k |
0 1 = 1 _ k ⋅ [arctg 1 − arctg 0] | = π _ 4k = π _ 2n (2p)
Rezultă că lim
n→∞ n par I n = lim
n→∞ n par π _ 2n = 0 .
În concluzie, limita cerută este 0, cele două subșiruri care prin
reuniune dau șirul inițial având limitele egale cu 0.(1p)
TEST 7
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. S 5 = (2 a 1 + 4r) ⋅ 5 _ 2
S 5 = 45 3p
2p
2. Δ = 0
m 2 + 2m + 1 − 4m = 0
m = 1 1p
2p
2p
3. G f ∩ Ox : f (x) = 0 ⇒ x = − 1
A (− 1, 0)
G f ∩ Oy : f (0) = 1
B (0, 1) 2p
1p
1p
1p

Teste propuse204
4. C 4 2 = 6
A 4 1 = 4
2 C 4 2 − 3 A 4 1 = 0 2p
2p
1p
5. 2 _ a + 3 = a _ 2
a 2 + 3a − 4 = 0 ⇒ a = 1 sau a = − 4
a > 0 ⇒ a = 1 2p
2p
1p
6. Aria ΔMNP = MN ⋅ NP ⋅ sin N ___________ 2
sin N = 2 ⋅ 16 _ 8 ⋅ 8
sin N = 1 _ 2 2p
2p
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) A 2 = ( 1 − 1 − 2 2 ) ⋅ ( 1 − 1 − 2 2 ) = ( 3 − 3 − 6 6 )
3A = ( 3 − 3 − 6 6 )
A 2 − 3A = ( 0 0 0 0 ) 3p
1p
1p
b) X (a) ⋅ X (b) = ( I 2 + aA) ⋅ ( I 2 + bA) = I 2 + bA + aA + ab A 2 =
= I 2 + aA + bA + 3abA =
= I 2 + (a + b + 3ab) A = X (a + b + 3ab) 2p
1p
2p
c) X (a) = I 2 + aA = ( 1 + a − a − 2a 1 + 2a )
X (a) matrice inversabilă ⇔ det X (a) ≠ 0
1 + 3a ≠ 0 ⇒ a ≠ −  1 _ 3
Deoarece −  1 _ 3 ∉ ℤ ⇒ X(a) este matrice inversabilă oricare ar fi a
∈ ℤ 2p
1p
1p
1p
2.a) Din relațiile lui Viète avem x 1 + x 2 + x 3 = − 2 și x 1 ⋅ x 2 + x 1 ⋅ x 3 + x 2 ⋅
x 3 = − 5
x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 − 2 ( x 1 ⋅ x 2 + x 1 ⋅ x 3 + x 2 ⋅ x 3 ) = 14 2p
2p
1p

Teste propuse205
b) x 1 x 2 x 3 = − m
1 _ x 1 + 1 _ x 2 + 1 _ x 3 = x 1 ⋅ x 2 + x 1 ⋅ x 3 + x 2 ⋅ x 3 _______________ x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 = 5 _ m
x 1 + x 2 + x 3 = 1 _ x 1 + 1 _ x 2 + 1 _ x 3 ⇔ m = −  5 _ 2 1p
2p
2p
c) Δ = ( x 1 + x 2 + x 3 ) ( x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 − x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 ) =
= − 2( − 5 − 14 ) = 38 ∈ ℕ 3p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f’ (x) = (x + 1) ‚ ⋅ e x − (x + 1) ⋅ ( e x ) ‚ ___________________ e 2x = −  x _ e x , ∀ x ∈ (0, + ∞) 3p
Finalizare 2p
b) f’ (x) = −  x _ e x ⇒ f’ (x) < 0 , oricare ar fi x > 0 3p
Finalizare 2p
c) g (x) = x 2 + 2x + 1 _ x 1p
m = lim x→+∞ g (x) _ x = 1 1p
n = lim x→+∞ (g (x) − mx) = 2 1p
y = x + 2 este ecuația asimptotei oblice la graficul funcției g. 2p
2.a) ∫ f (x) dx = x 2021 _ 2021 + x 2020 _ 2020 + x 3 _ 3 + x 2 _ 2 + C 2p
F (x) = x 2021 _ 2021 + x 2020 _ 2020 + x 3 _ 3 + x 2 _ 2 + C și F (0) = 1 ⇒ c = 1 2p
F : (0, + ∞) → ℝ F (x) = x 2021 _ 2021 + x 2020 _ 2020 + x 3 _ 3 + x 2 _ 2 + C , 1p
b) ∫ f (x) _ x + 1 = ∫ ( x 2019 + x) dx = 2p
( x 2020 _ 2020 + x 2 _ 2 )
0 1
= 1 _ 2020 + 1 _ 2 = 1011 _ 2020 3p
c) g (x) = x 2 + x 1p
V = π ∫
1 2
g 2 (x) dx = π ∫
1 2
( x 4 + 2 x 3 + x 2 ) dx = π ( x 5 _ 5 + 2 x 4 _ 4 + x 3 _ 3 ) | 2 1 = 3p
= 481π _ 30 1p

Teste propuse206
TEST 8
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 (x + 1) = x − 1 + 3x − 1 2x = 4 ,
adică x = 2 2p
3p
2. f (5) = 0
f (0) ⋅ f (1) ⋅ . . . ⋅ f (10) = 0 3p
2p
3. Din condițiile de existență se obține x ∈ [3, ∞) .
Prin ridicare la pătrat obținem x 2 − 7x + 10 = 0 .
x = 2 sau x = 5
Din cele două posibile soluții, numai x = 5 se află în domeniu.1p
2p
1p
1p
4. Numărul de submulțimi ordonate este A 7 2
A 7 2 = 7 ! _ 5 ! = 42 2p
3p
5. Prin rezolvarea sistemului format din cele două ecuații obținem
soluția (6, 6) .
d = √ _ (6 − 2) 2 + (6 − 3) 2
d = 5 2p
2p
1p
6. cosM = M N 2 + M P 2 − N P 2 ______________ 2 ⋅ MN ⋅ MP
cosM = 1 _ 8 3p
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) x + y + z + t = 1, x, y, z, t ∈ ℕ , de unde x, y, z, t ≤ 1
Obținem A 1 = ( 1 0 0 0 ) , A 2 = ( 0 1 0 0 ) , A 3 = ( 0 0 1 0 ) ,
A 4 = ( 0 0 0 1 ) .3p
2p
b) Din A ⋅ A −1 = I 2 ajungem la detA ⋅ det A −1 = 1.
Va rezulta detA = 1 sau detA = − 1, în contradicție cu detA = 3 .2p
3p
c)Dacă B = ( x y z t ) ∈ M, iar B −1 = ( a b c d ) ∈ M, din B ⋅ B −1 = I 2
va rezulta ( xa + yc xb + yd az + ct bz + td ) = ( 1 0 0 1 )
obținem B 1 = ( 1 0 0 1 ) , respectiv B 2 = ( 0 1 1 0 ) .1p
1p
3p

Teste propuse207
2.a) Pentru m = 0 , f = X 3 + 1 .
Restul este egal cu f (− 1) = 0 .2p
3p
b) f ( x k ) = x k 3 + m x k 2 + 1 = 0
g ( 1 _ x k ) = ( 1 _ x k ) 3
+ m ( 1 _ x k ) + 1 = 1 + m x k 2 + x k 3 _ x k 3 = 0
1 _ x k rădăcină a polinomului g.2p
2p
1p
c)Dacă f ar avea toate rădăcinile reale, atunci ar fi nenule, iar
polinomul g
ar avea și el toate rădăcinile reale
( 1 _ x 1 ) 2
+ ( 1 _ x 2 ) 2
+ ( 1 _ x 3 ) 2
= ( 1 _ x 1 + 1 _ x 2 + 1 _ x 3 ) 2
− ( 1 _ x 1 x 2 + 1 _ x 2 x 3 + 1 _ x 3 x 1 ) =
0 − 2m < 0
g nu are toate rădăcinile reale, deci f nu are rădăcinile reale2p
2p
1p
TEST 9
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. m + 3 = 2m + 5m + 1 ___________ 2
m = 1 3p
2p
2. log 2 3 √ _
1 _ 8 = log 2 1 _ 2 = − 1.
1 _ 2 [− 1, 3] = 1 _ 2 (− 2) = − 1
− 1 + (− 1) = − 2 2p
2p
1p
3.max f(x) = y v = − Δ _ 4a
max f(x) = 41 _ 4 3p
2p
4. A 10 4 − A 9 3 =
10∙9∙8∙7 − 9∙8∙7 =
4536 3p
1p
1p
5.sin 2 x = 2tgx _ 1 + tg 2 x
= 4 _ 5 3p
2p

Teste propuse208
6. C ∈ Ox ⇔ C (a, 0)
⟶ AC = (a − 5) i ̂ − 2 j ̂ , ⟶ BC = a i ̂ − 3 j ̂
⟶ AC ⋅ ⟶ BC = 0 ⇔ a (a − 5) + 6 = 0 ⇔ a 1 = 2, a 2 = 3
C 1 (2, 0) , C 2 (3, 0) 1p
1p
2p
1p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) x = σ −1 τ
σ −1 = ( 1 2 3 4 5 3 5 4 1 2 )
x = ( 1 2 3 4 5 3 2 4 1 5 ) 2p
2p
1p
1.b) σ 6 = e și e ∉ {σ, σ 2, σ 3, σ 4, σ 5 } ⇒ ordσ = 6
CardG = 63p
2p
1.c) ε( x 4 ) = 1 ⇒ x 4 ϵ ( x 4 ) = 1 ⇒ x 4 permutare pară
m(σ ) = 7 ⇒ ε(σ ) = − 1 ⇒ σ m (σ) = 7 ⇒ ϵ (σ) = − 1 ⇒ σ permutare
impară
S = ∅ 2p
2p
1p
2.a) ℤ 5 ,  ⋅ grup cu patru elemente ⇒
ˆ p 4 = ˆ 1,  ∀  p ̂ ∈ ℤ 5 * 2p
3p
2.b) f ( 0 ̂ ) = 3 ̂ ≠ ˆ 0, f ( 1 ̂ ) = 1 ̂ ≠ 0 ̂
f ( 2 ̂ ) = 2 ̂ ≠ ˆ 0, f ( 3 ̂ ) = 1 ̂ ≠ 0 ̂
f ( 4 ̂ ) = 3 ̂ ≠ 0 ̂
f nu admite rădăcini în ℤ 5 [X] 1p
2p
1p
1p
2.c) f = ( X 2 + 4 ̂ X) q + aX + b
f ( 1 ̂ ) = a + b = 1 ̂
f ( 0 ̂ ) = b = 3 ̂
r = 3 ̂ X + 3 ̂ 1p
1p
1p
2p

Teste propuse209
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) f’ (x) = x _ x + 1 > 0,  ∀ x ∈ ℝ +
f este strict crescătoare pe ℝ + 3p
2p
1.b) Cum f este strict monotonă, va rezulta că f este injectivă.
În plus, f(0) = 0 și limf (x) = ∞ ; cum f este continuă, vom obține
Im f = ℝ + , adică f este surjectivă.
Deci f este bijectivă, ceea ce înseamnă că f inversabilă. 1p
2p
1p
1p
1.c) f (e − 1) = e − 2 și f −1 (e − 2) = e − 1
f’ (e − 1) = e − 1 _ e ≠ 0
( f −1 ) ’ (e − 2) = e _ e − 1 1p
2p
2p
2.a) I 1 = ∫ x e −x dx = − x e 0 + ∫ e −x dx
I 1 = e − 2 _ 2 3p
2p
2.b) (n + 1) I n = ∫ ( x n+1 ) ’ e −x dx = x n+1 e 0 + ∫ x n+1 e −x dx
(n + 1) I n = 1 _ e + I n+1 ,    ∀ n ≥ 1 3p
2p
2.c)Din b) n I n = 1 _ e + I n+1 − I n
( I n )
n≥1 descrescător, pozitiv, rezultă mărginit, deci convergent
limn I n = 1 _ e 1p
2p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) limf (x) = ∞ , ceea ce înseamnă că graficul funcției f nu admite
asimptote orizontale
lim f (x) _ x = 0 , adică graficul funcției nu admite asimptote oblice
limf (x) = ∞ , va rezulta că graficul funcției admite asimptotă
verticală dreapta x = 0 1p
1p
3p
b) f’ (x) = lnx _ x
f’’ (x) = 1 − lnx _ x 2
1 − lnx < 0, orice x ≥ e , f’’(x)<0, orice x ≥ e
f concavă1p
2p
1p
1p

Teste propuse210
c) Din teorema Lagrange va rezulta existența unui număr real c x ∈
(x, x + 1) astfel încât
f (x + 1) − f (x) = f’ ( c x ) .
Cum f este concavă, va rezulta că f’ este descrecătoare
f’ (x + 1) < f’ ( c x ) < f’ (x + 1) , adică ln (x + 1) _ x + 1 < f (x + 1) − f (x) < lnx _ x .2p
1p
2p
2.a) S = ∫ |sinx| dx = 2 ∫ s i nxdx =
2 (− cos x) 0 π _ 2 = 2 2p
3p
b) V = π ∫ f 2 (x) dx =
π ∫ s i n 2 xdx = π ∫ 1 − cos2x _ 2 dx =
π _ 2 2p
2p
1p
c)
limf ( 1 _ n ) (f ( 1 _ n ) + f ( 2 _ n ) + . . . + f ( n _ n ) ) = lim sin ( 1 _ n ) _
1 _ n 1 _ n (f ( 1 _ n ) + f ( 2 _ n ) + .
. . + f ( n _ n ) ) =
lim 1 _ n (f ( 1 _ n ) + f ( 2 _ n ) + . . . + f ( n _ n ) ) = ∫ f (x) dx = 1 − cos1
Funcția f este continuă, deci integrabilă. Șirul de diviziuni ale
intervalului [0,1] are
Δ = 1 _ n → 0 . σ Δ (f, ϵ) → ∫ f (x) dx 2p
2p
1p
TEST 10
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Ecuația care are ca rădăcini numerele complexe z, z ´ este
x 2 − x + 1 = 0 . Prin înmulțirea cu z + 1 a egalității z 2 − z + 1 = 0 ,
obținem z 3 + 1 = 0 .
z 2020 + 1 _ z 2020 = z 2 + 1 _ z 2 = z 4 + 1 _ z 2 = − z + 1 _ z 2 = − 1 1p
1p
3p
2. x v = 3 _ 2 ∈ (1, ∞) . Funcția este strict crescătoare pe (1 , 3 _ 2 ) și strict
descrescătoare pe ( 3 _ 2 ,  ∞) .
Imaginea funcției este (− ∞ , 1 _ 4 ) .2p
3p

Teste propuse211
3. Funcția f : (1, ∞) → R, f (x) = 2 1 _ x−1 este strict descrescătoare, iar g :
(1, ∞) → R, g (x) = 2x − 2 este strict crescătoare.
Ecuația are cel mult o soluție.
Unica soluție este x = 2. 2P
1p
2p
4. Exercițiile rezolvate la ore pot fi extrase în C 17 9 moduri.
Exercițiile pot fi extrase în C 26 9 moduri.
Probabilitate este C 17 9 _ C 26 9 .2p
2p
1p
5. m OA = 1 _ 2 .
m d = − 2 .
Ecuația dreptei este y – 1 = –2( x – 2)3p
2p
6. sin2 = sin (π − 2) .
arcsin (sin2) = arcsin (sin (π − 2) ) = π − 2 .2p
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) x 2 este o permutare pară
( 1 2 3 2 1 3 ) este permutare impară
Ecuația nu are soluții.2p
2p
1p
1.b) f ( (1, 2) ) = f ( (2, 3) ) = e
f nu este injectivă3p
2p
1.c)Conform a) ecuația f (x) = ( 1 2 3 2 1 3 ) nu are soluții.
Funcția f nu este surjectivă.2p
2p
1p
2.a) Explicitarea expresiei (x * y) *  z = (x − 9) (y − 9) (z − 9) + 9,
explicitarea expresiei x * (y * z) = (x − 9) (y − 9) (z − 9) + 9 și
invocarea simetriei expresiei conduce la egalitatea din condiția ce
trebuie îndeplinită pentru ca legea să fie asociativă2p
2p
1p
2.b) x * e = (x − 9) (e − 9) + 9 = x
determinarea elementului neutru, e = 10
invocarea comutativității legii 2p
2p
1p

Teste propuse212
2.c) Cum elementul neutru este e = 10 , va rezulta că soluția ecuației
este element simetrizabil.
Mulțimea elementelor simetrizabile în raport cu legea dată este
{8, 10}.
Prin verificare se obține unica soluție x = 10. 1p
2p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→∞ ln (1 + e −x ) _ x −1 , nedeterminare 0/0.
Utilizarea lim x→∞ ln (1 + e −x ) _ e −x = 1.
lim x→∞ ln (1 + e −x ) _ x −1 = lim x→∞ ln (1 + e −x ) _ e −x x _ e x = 0 1p
2p
2p
1.b) f’ (e) = 1 _ e
y − f (e) = f’ (e) (x − e)
y = x _ e 2p
2p
1p
1.c) f’’ (x) = − 1 _ x 2 < 0
f concava
Graficul functiei se află sub tangenta la grafic în x = e.
l nx ≤ x _ e ,  ∀ x > 0. 2p
1p
2p
2.a)
I 1 = ∫
0 1 _ 2
1 _ √ _ 1 − x 2 dx
I 1 = arcsin x 0 1 _ 2 = π _ 6 3p
2p
2.b) 0 < 1 _ √ _ 1 − x 2n < 1 _ √ _ 1 − x 2 , oricare x ∈ [0, 1 _ 2 ] .
0 < ∫
0 1 _ 2
1 _ √ _ 1 − x 2n dx < ∫
0 1 _ 2
1 _ √ _ 1 − x 2 dx = I 1 . 2p
3p
2.c) ∑
k=1 n
2 _ √ _ 4 n 2 − k 2 = 1 _ n ∑
k=1 n
1 _
√ _ 1 − ( k _ 2n ) 2
= 2 1 _ 2n ∑
k=1 n
1 _
√ _ 1 − ( k _ 2n ) 2
→
2 ∫
0 1 _ 2
arcsin  xdx = 2 π _ 6 = π _ 3 .5p

Teste propuse213
TEST 11
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Șirul ( b n )
n∈ ℕ ∗ este progresie geometrică ⇒ b n 2 = b n−1 ⋅ b n+1 , ∀ n ≥ 2
b n−1 = 5 ⋅ 3 n−1 + a, b n+1 = 5 ⋅ 3 n+1 + a
(5 ⋅ 3 n + a) 2 = (5 ⋅ 3 n−1 + a) (5 ⋅ 3 n+1 + a) ⇔
⇔ 10a ⋅ 3 n − 5a ⋅ 3 n−1 − 5a ⋅ 3 n+1 = 0 ⇔ a = 0 3p
2p
2. f (0) = 3 ⇔ n = 3
x = −  b _ 2a ⇒ −  m _ 2 = 1 ⇔ m = − 2
f (x) = x 2 − 2x + 3 2p
2p
1p
3. x > 0, x ≠ 1 log x 7 = 1 _ log 7 x
log 7 x + 1 _ log 7 x = 5 _ 2 ⇔ 2 ( log 7 x ) 2 − 5 log 7 x + 2 = 0 ⇔
⇔ log 7 x = 2 ⇔ x = 49, log 7 x = 1 _ 2 ⇔ x = √ _
7 2p
3p
4. T k+1 = C n k a n−k b k
T 3+1 = C 6 3 √ _ x 3 (−  √ _ y ) 3 =
− 20xy √ _ xy , x, y ∈ [0; ∞) 1p
2p
2p
5.Din teorema sinusurilor aplicată în triunghiul MNP : MN _ sin P = MP _ sin N
= NP _ sin M ⇔ 8 _
√ _
2 _ 2 = MP _
1 _ 2 ⇒
⇒ MP = 4 √ _
2
m (∢M) = 7π _ 12 = π _ 3 + π _ 4 ⇒ sin M = √ _
6 + √ _
2 _ 4
NP = 4 ( √ _
3 + 1)
P ΔMNP = 8 + 4 √ _
3 + 4 + 4 √ _
2 = 4 (3 + √ _
3 + √ _
2 ) 1p
2p
2p
6. E = sin 36° _ sin 48° + cos 36° _ cos 48° = sin 36 ∘ cos 48 ∘ + sin 48 ∘ cos 36 ∘ _____________________ sin 48 ∘ cos 48 ∘ =
= 2 ⋅ sin ( 36 ∘ + 48 ∘ ) _ sin 2 ⋅ 48 ∘ = 2 ⋅ sin 84 ∘ _ sin 96 ∘ = 2 ⋅ sin ( 1 8 0 ∘ − 9 6 ∘ ) ___________ sin 96 ∘ = 2 2p
3p

Teste propuse214
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
A = ( a
1
1
1 a 1
1
1
a ) ⇒ Δ = | a
1
1
1 a 1
1
1
a | = (a − 1) 2 (a + 2)
(a − 1) 2 (a + 2 ) = 0 ⇔ a = 1 sau a = − 2
Determinantul matricei asociate sistemului este nenul pentru m ∈
ℝ\ {  − 2, 1} 2p
3p
b)

{ 2x + y + z = 112
x + 2y + z = 112
x + y + 2z = 112 Determinantul matricei asociate sistemului de
ecuații este nenul deci sistemul este compatibil nedeterminat.

{ 2x + y + z = 112
x + 2y + z = 112
x + y + 2z = 112 ⇔
{ 4x + 4y + 4z = 336
x + 2y + z = 112
x + y + 2z = 112 ⇔ { x = 28
y = 28
z = 28 2p
3p
c) Δ x = Δ y = Δ z = 112 (a − 1) 2 ⇒ x = y = z = 112 (a − 1) 2 _ (a − 1) 2 (a + 2) = 112 _ a + 2
112 _ a + 2 ∈ ℕ ⇔ a + 2 ∈ D 112 = {1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112} ⇒
a ∈ {0, 2, 5, 6, 12, 14, 26, 54, 110} 2p
3p
2.a) f( 2 ̂ ) = 2 ̂ 3 + 4 ̂ =
= 0 ̂ 3p
2p
b) câtul X 2 + 3 ̂ X + 3 ̂
restul 1 ̂ 3p
2p
c) f (x) g (x) = 0 ̂ ⇔ f (x) = 0 ̂ ; g (x) = 0 ̂
f (x) = 0 ̂ ⇔ x = 2 ̂
g (x) = 0 ̂ ⇔ x = 3 ̂ 1p
2p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) lim x→0 f(3x ) + f (5x) _ x = lim x→∞ arctg 3x + arctg 5x _____________ x =
= 3 ⋅ lim x→∞ arctg 3x _ 3x + 5 ⋅ lim x→∞ arctg 5x _ 5x = 8 2p
3p

Teste propuse215
b)
f (1) = π _ 4 ⇒ lim x→1 f (x) − π _ 4 _ x − 1 = f ‚ (1)
f ‚ (x) = 1 _ x 2 + 1
f ‚ (1) = 1 _ 2 2p
2p
1p
c) f ‚ (x) = 1 _ x 2 + 1 > 0, ∀ x ∈ ℝ deci f crescătoare pe ℝ
n < n + 1 , f crescătoare de unde: f (n) < f (n + 1) ⇔ arctg
(n + 1) − arctgn > 0, ∀ n ∈ ℕ ∗ 2p
3p
2.a) F (x) = ∫ 2 ( e x − x) _ −  x 2 + 2 e x + 3 dx = ∫ (−  x 2 + 2 e x + 3) ‚ ___________ −  x 2 + 2 e x + 3 dx =
= ln |−  x 2 + 2 e x + 3| + C
F (0) = ln 3 + C F (0) = ln 3 } ⇒ C = 0 ⇒ F (x) = ln |−  x 2 + 2 e x + 3|
2p
3p
b) ∫
0 1
xf’ (x) dx = x f (x) |
0 1 − ∫
0 1
f (x) dx =
= 2x ( e x − x) _ −  x 2 + 2 e x + 3 |
0 1
− l n |−  x 2 + 2 e x + 3| | 0 1 = e − 1 _ e + 1 − ln 2e + 2 _ 5 2p
3p
c) lim x→0 F (x) − F (0) _ x = F ‚ (0)
F ‚ (x) = f (x) , ∀ x ∈ ℝ, F ‚ (0) = f (0) ;
f (0) = 2 _ 5 2p
3p
TEST 12
1. | z 2 | = √ _ a 2 + b 2 ; √ _ a 2 + b 2 = 1 ⇔ a 2 + b 2 = 1
z 1 = 2a _ 1 + i + 2b _ 1 − i = a (1 − i) + b (1 + i) = (a + b) + (b − a) i
| z 1 | = √ _______________ (a + b) 2 + (b − a) 2 = √ _ 2 ( a 2 + b 2 ) = √ _
2 2p
3p
2. Δ = 0 ⇔ 16 m 2 − 36 = 0 ⇔
m 2 = 9 _ 4 ⇔ m = ±  3 _ 2
x = −  b _ 2a ⇒ −  m _ 2 = 1 ⇔ m = − 2
f (x) = x 2 − 2x + 3 2p
2p
1p

Teste propuse216
3. x 2 − 8 = 5 x − 14 ⇔ x 2 − 5x + 6 = 0
x 1 = 2 , x 2 = 3
x 1 = 2 nu convine, x 2 = 3 verifică ecuația2p
3p
4. C 100 2 = 100 ! _ 2 ! ⋅ 98 ! =
100 ⋅ 99 _ 2 = 4950 3p
2p
5.
x G = x A + x B + x C _ 3 ⇒ x A = 12
y G = y A + y B + y C _ 3 ⇒ y A = − 8
Ecuația medianei din A: AG : | x
y
1
12 − 8 1
6
− 2
1 | = 0 ⇔ y = − x + 4 . 2p
3p
6. S = A ABC = 30 √ _
2
R = abc _ 4A = 9 ⋅ 10 ⋅ 11 _ 120 √ _
2 = 33 √ _
2 _ 8 2p
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 − 2 sin 2 π _ 8 = cos π _ 4 = √ _
2 _ 2 , 2 sin π _ 8 cos π _ 8 = sin π _ 4 = √ _
2 _ 2
A = ⎛
⎜
⎝ 1 − 2 sin 2 π _ 8
0
2 sin π _ 8 cos π _ 8
0 2 0
− 2 sin π _ 8 cos π _ 8
0
1 − 2 sin 2 π _ 8 ⎞
⎟
⎠ = ⎛
⎜
⎝ cos π _ 4
0
sin π _ 4
0 2 0
− sin π _ 4
0
cos π _ 4 ⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝ √ _
2 _ 2
0
√ _
2 _ 2
0 2 0
−  √ _
2 _ 2
0
√ _
2 _ 2 ⎞
⎟
⎠ 2p
3p
b) det A = 2 ≠ 0 ⇒ ∃  A −1
t A = ⎛
⎜
⎝ √ _
2 _ 2
0
−  √ _
2 _ 2
0 2 0
√ _
2 _ 2
0
√ _
2 _ 2 ⎞
⎟
⎠ , A ∗ = ( √ _
2
0
−  √ _
2
0 1 0
√ _
2
0
√ _
2 )
A −1 = 1 _ det A ⋅ A ∗ = 1 _ 2 ⋅ ( √ _
2
0
−  √ _
2
0 1 0
√ _
2
0
√ _
2 ) = ⎛
⎜
⎝ √ _
2 _ 2
0
−  √ _
2 _ 2
0 1 _ 2 0
√ _
2 _ 2
0
√ _
2 _ 2 ⎞
⎟
⎠ 2p
3p

Teste propuse217
c) A 2 = A ⋅ A = ⎛
⎜
⎝ cos 2 ⋅ π _ 4
0
sin 2 ⋅ π _ 4
0 2 2 0
− sin 2 ⋅ π _ 4
0
cos 2 ⋅ π _ 4 ⎞
⎟
⎠
Inductiv, după n, A n = A n−1 ⋅ A =
= ⎛
⎜
⎝ cos (n − 1) ⋅ π _ 4
0
sin (n − 1) ⋅ π _ 4
0 2 n−1 0
− sin (n − 1) ⋅ π _ 4
0
cos (n − 1) ⋅ π _ 4 ⎞
⎟
⎠ ⋅ ⎛
⎜
⎝ cos π _ 4
0
sin π _ 4
0 2 0
− sin π _ 4
0
cos π _ 4 ⎞
⎟
⎠ =
= ⎛
⎜
⎝ cos nπ _ 4
0
sin nπ _ 4
0 2 n 0
− sin nπ _ 4
0
cos nπ _ 4 ⎞
⎟
⎠ , ∀ n ∈ ℕ, n ≥ 2 2p

3p
2.a) f(1 ) = 0, f (2) = 0
a = 0, b = −92p
3p
b) Din a) f ⋮ ( X 2 − 3X + 2)
f (X) = X 4 − 9 X 2 + 12X − 4 = ( X 2 − 3X + 2) ( X 2 + 3X − 2)
x 1 = 1 . x 2 = 2 , x 3 = − 3 − √ _
17 _ 2 , x 4 = − 3 + √ _
17 _ 2 2p
2p
1p
c) Notăm log 2 x = y de unde: log 2 4 x − 9 log 2 2 x + 12 log 2 x − 4 = 0 ⇔
y 4 − 9 y 2 + 12y − 4 = 0
log 2 x = 1 ⇒ x = 2, log 2 x = 2 ⇒ x = 4 3p
2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
lim
x→ π _ 3 f(x ) − f ( π _ 3 ) _ x − π _ 3 = f ‚ ( π _ 3 )
f ‚ (x) = 2 + 2 cos x
f ‚ ( π _ 3 ) = 3 2p
3p
b) f ‚ (x) = 2 + 2 cos x ≥ 0 , egalitatea nu este valabilă pe intervale,
deducem că funcția este strict crescătoare, deci injectivă.
f este continuă și Im f = ℝ , deci f este surjectivă
f este injectivă și bijectivă, deci bijectivă2p
2p
1p

Teste propuse218
c) f continuă și bijectivă, derivabilă în x 0 = 2π cu f (2π) = 4π
( f −1 ) ‚ (4π) = 1 _ f ‚ (2π) = 1 _ 4 2p
3p
2.a) F (x) = ∫ (f (x) + g (x) ) dx = ∫ e 2x + 2 + e 2x − 2 ___________ 2 e x dx =
= ∫ 2 e 2x _ 2 e x dx = e x + C 2p
3p
b) f este o primitivă a funcției g; f derivabilă și f ‚ (x) = g (x) , ∀ x ∈ ℝ
f ‚ (x) = ( e 2x + 2 _ 2 e x ) ‚
= ( e 2x + 2) ‚ ⋅ 2 e x − ( e 2x + 2) ⋅ (2 e x ) ‚ _______________________ 4 e 2x =
= 4 e 3x − 2 e 3x − 4 e x ____________ 4 e 2x = e 2x − 2 _ 2 e x = g (x) , ∀ x ∈ ℝ 2p
2p
1p
c) A = ∫
0 1
|f (x) | dx = ∫
0 1
e 2x + 2 _ 2 e x dx = 1 _ 2 ∫
0 1
e 2x _ e x dx + ∫
0 1
e −x dx =
1 _ 2 e x |
0 1
− e −x | 0 1 = (e + 2) (e − 1) _ 2e 2p
3p