Teoria Stabilitatii In Ecuatii Diferentiale

p r e f a t a

In aproape un secol de existenta teoria stabilitatii in sens Liapunov a cunoscut o dezvoltare atat extentiva cat si intensiva, imbogatindu-si conceptele si metodele, largindu-si continuu domeniul de aplicatie. Se poate afirma pe drept cuvant ca aparitia si dezvoltarea acestei teorii a corespuns cerintelor stiintelor naturii si tehnicii. In prezent aplicatiile sale acopera domenii atat de diverse cum sunt: mecanica teoretica sau tehnica (inclusiv constructia de masini), electrotehnica si electronica, electro-, termo- si hidroenergetica, reglajul automat, stiintele fizico-chimice, biologia teoretica.

Corespunzator s-a dezvoltat o teorie cuprinzatoare, cu o mare varietate de concepte si notiuni, ale carei metode include tehnici de mare rafinament ce necesita multa abilitate in aplicare.

Aceste aspecte, impreuna cu existenta a zeci de monografii si manuale aparute pe plan mondial si dedicate tematicii stabilitatii, fac imposibile si, intr-un anume sens, chiar inutile, eforturile de elaborare a unei lucrari atotcuprinzatoare despre teoria, metodele si aplicatiile stabilitatii.

Termenul de stabilitate este atat de expansiv incat vorbeste prin el insusi. Adjectivul “stabil” provine din termenul latin stabilis care inseamna “tare”, “nemiscat”, “statornic”, “trainic”. Notiunea pare limpede si se foloseste curent in viata cotidiana, de aceea poate surprinde idea ca exista motive care necesita prezicerea sau complicarea unui lucru atat de evident.

In limbaj uzual, prin stabilitatea oricarui fenomen se intelege capaciatatea sa de a-si pastra un timp destul de indelungat si cu precizie suficienta acele forme de existenta la pierderea carora fenomenul inceteaza de a mai fi el insusi. Dar, atat colocvial cat si in terminologia stiintifica, stabil nu este numit fenomenul ci sistemul in care este el observat, desi acest lucru nu se justifica intotdeauna. De exemplu, sunt stabile corpurile fizice: sfera sau cubul? Intrebarea nu are sens daca ne referim la material: sfera metalica e stabila, sfera de fum nu.

Teoria stabilitatii nu este interesata de o astfel de stabilitate a sistemului insusi – adica a constructiei – ci de stabilitatea starilor si functionarii. Dupa o definitie clasica (I.G.Malkin, 1952) teoria stabilitatii se ocupa cu studiul influentei factorilor perturbatori asupra miscarii (evolutiei) unui sistem material.

1. Stabilitatea Liapununov ca stabilitate in raport cu conditiile initiale.

Marginire, atractivitate si stabilitate asimptotica, stabilitate exponentiala.

Sa consideram un sistem descris de ecuatiile diferentiale

x = f(t, x), (1.1)

unde x si f sunt vectori n-dimensionali, iar t este variabila independenta scalara – de obicei variabila temporala. Fie (t) o solutie a sistemului definita pt t ≥ t0 pe care o consideram miscarea de baza – neperturbata – a sistemului.

Definitia 1: Solutia (t) a sistemului (1.1) se numeste stabila in sens Liapunov daca pentru orice ε > 0 exista δ(ε, t0) astfel incat daca│x0 – x(t0)│<δ, atunci│x(t; t0, x0) – (t)│ < ε pentru toti t > t0

Daca, in plus, δ nu depinde de momentul initial t0, atnci stabilitatea se numeste uniforma.

Sa observam ca definitia de mai sus raspunde cerinrelor ce se desprind in mod natural din analiza diverselor probleme stiintifico-tehnice de stabilitate. In cadrul acestor probleme efectul perturbatiilor si manevrelor era inclus in conditiile initiale, ajunganduse la ideea ca stabilitate inseamna abateri mici ale miscarilor perturbate de la miscarea de baza, in conditiile in care abaterile initiale sunt suficient de mici.

Este cunoscut faptul ca in mecanica echilibrul este considerat un caz particular al miscarii. Din punctul de vedere al ecuatiilor diferentiale echilibrul este reprezentat de solutiile constante ale sistemului (1.1), care sunt solutiile constante ale sistemului:

f(t, x) = 0 (1.2)

Daca =constant este un punct de echilibru al sistemului (1.1) el este stabil Liapunov daca pentru orice ε > 0 exista δ(ε, t0) > 0 astfel incat din│x0 – │< δ sa rezulte│x(t; t0,x0) – │< ε. Aici, ca si peste tot, x(t; t0, x0) este acea solutie a lui (1.1) care la momentul initial t0 are valoarea x0 : x(t0; t0, x0) = x0.

Remarcam un lucru extrem de important: fie ca este vorba de echilibru,fi de o miscare, conceptul de stabilitate Liapunov se refera la o solutie anume – solutia de baza. In vorbirea curenta se obisnuieste folosirea termanului “sistem stabil”.Corect este insa sa se vorbeasca despre “solutii stabile” deoarece teoria pe acestea le ia in considerare la definirea conceptului de stabilitate.

In teoria stabilitatii se folosesc de regula nu ecuatiile miscarii, ci asa-numitele ecuatii ale miscarii perturbate (denumirea aceasta ii apartine lui A.M.Liapunov): pornind de la faptul ca miscarea de baza este de regula cunoscuta, prin schimbarea de variabila y = x – (t) se poate reduce orice problema de stabilitate la problema stabilitatii solutiei identic nule – echilibrul din origine. Intr-adevar,

.

Deoarece (t) este o functie cunoscuta, de timp, putem nota

F(t, y) = f(t, y+(t)) – f(t, (t))

obtinand sistemul

y =F (t, y). (1.1’)

Se vede ca F(t, 0) = f(t, (t)) – f(t, (t)) ≡ 0, deci, intr-adevar, originea este un punct de echilibru al sistemului (1.1’). Definitia stabilitatii se reformuleaza astfel:

Definitia 2: Solutia banala y ≡ 0 a sistemului (1.1’) se numeste stabila in sens Liapunov daca pentru orice ε > 0 exista δ(ε, t0) > 0 astfel incat daca |y0| < δ, atunci |y(t; t0, y0)| < ε pentru t > t0.

La nivelul extrem de general la care sunt formulate definitiile de mai sus – se iau in considerare nu sisteme ci solutii – intre (1.1) si (1.1’) nu exista nici o diferenta de principiu, de aceea trecerea la ecuatiile miscarii perturbate este principial posibila in orice situatie. Atunci cind se au in vedere probleme concrete lucrurile nu mai stau asa.

Fie, de exemplu, un sistem autonom

x = f(x),

si fie o stare de echilibru a sa: este deci valabila conditia f() = 0. Facand schimbarea de variabila y = x – gasim

y = f(y + ) – f() = F(y)

si se vede ca F(0) = 0, deci sistemul in y admite originea ca punct de echilibru (admite solutia banala y ≡ 0). In acest caz – al punctelor de echilibru pentru sisteme autonome – sistemul miscarilor perturbate este tot autonom. Daca insa am fi considerat o solutie oarecare, ecuatiile miscarii perturbate ar fi fost in general ecuatii neautonome

.

Ne putem imagina si situatia inversa, in care considerind o miscare (t) a sistemului neautonom (1.1) sa se indeplineasca conditia

F(t + τ, y)= f(t + τ, y + (t + τ)) – f(t + τ, (t + τ)) = F(t, y), ,

rezultand un sistem autonom pentru miscarile perturbate in raport cu o miscare de baza. Evident ca o astfel de situatie este exceptionala.

Deoarece studiul sistemelor autonome implica mai putine dificultati si rezultatele sint mai bogate (sistemele liniare sunt un argument pentru aceasta afirmatie), considerentele de mai sus arata ca trecerea la ecuatiile miscarii perturbate trebuie efectuata atunci cand ea permite intr-adevar obtinerea de rezultate mai bogate concomitent cu simplificarea aparatului de calcul.

Clasa sistemelor autonome prezinta interes in studiul stabilitatii si datorita faptului ca proprietatea de stabilitate este totdeauna uniforma. Ori, revenind la problema perturbatiilor de scurta durata, acestea pot aparea in diferite momente ale procesului, incetand tot la momente diferite. Dar exact aceste momente ale incetarii actiunii perturbatiilor sunt considerate drept momente initiale. Pentru ca notiunea de stabilitate introdusa sa aiba valoare fizica este de dorit ca perturbatiile initiale admise sa nu depinda de momentul initial. Ca urmare notiunea de stabilitate uniforma este mai adecvata pentru situatiile reale.

Pe baza considerentelor de mai sus, vom studia cu precadere stabilitatea solutiei nule a sistemelor de ecuatii diferentiale autonome. Este deci vorba de sistemele

x = f(x) (1.3)

pt care f(0) = 0.

Definitia 3: Solutia x ≡ 0 a sistemului (1.3) se numeste atractiva daca exista η>0 astfel incat pt orice |x0| < η, |x(t, x0)| = 0.

Proprietatea de atractivitate exprima faptul ca perturbatiile produse de conditiile initiale au efect trecator; acest efect dispare dupa un timp suficient de mare.

Definitia 4: Solutia x ≡ 0 a sistemului (1.3) se numeste, asimptopic stabila daca este stabila in sens Liapunov si daca exista η > 0 astfel incat x ≡ 0 sa fie atractiva pentru |x0| < η.

In legatura cu cele doua proprietati introduce se pot face o serie de observatii.

1º In primul rand, proprietatile de atractivitate si stabilitate Liapunov sunt independente intre ele. La nivel fizic, daca perturbatiile sunt mici (sistem stabil) efectul lor este trecator – atractivitate; perturbatiile care tind spre 0 pot fi presupuse ca au ramas destul de mici pe durata procesului.

De aceea proprietatea de stabilitate asimptotica exprima mai bine cerintele impuse unui sistem supus la prtubatii: efectul perturbatiilor sa fie mai mic decat o limita arbitrar impusa si, in plus, dupa un interval de timp suficient de mare acest efect se anuleaza complet.

2º In definitia atractivitatii limita trebuie inteleasa astfel: pt orice ε > 0 exista T > 0 astfel incat daca |x0| < η atunci |x(t,x0)| < ε stfel t > T. Este evident ca in cazul general T este altul pentru fiecare solutie, deci T = T(ε, x0). Daca solutia nula nu este doar atractiva ci asimptotic stabila, atunci T poate fi ales independent de x0.

Intr-adevar, fie ε > 0 dat; deoarece solutia nula este stabila se poate gasi δ(ε) astfel incat daca |x0| < δ, |x(t; t0, x0)| < ε pentru t > 0. Deoarece solutia nula este atractiva se poate gasi T(δ/3, x0) cu proprietatea ca

|x(t, x0)| < δ/3 pentru t > T(δ/3, x0),

unde δ este cel determinat de conditia de stabilitate.

Datorita continuitatii in report cu conditiile initiale, pt δ > 0 determinat mai sus, se poate gasi cu proprietatea ca daca |y – x0| < , atunci

|x(T, y) – x(T, x0)| < δ/3.

Ca urmare rezulta

x(T, y) ≤ |x(T, y) – x(T, x0)| + |x(T, x0)| < δ.

Deoarece |x(T, y)| < δ, |x(t, y)| < ε pentru t ≥ T(δ/3, x0) egalitate valabila pentru y apartinand sferei |y – x0| < . Deci, pentru toate solutiile cu conditiile initiale in sfera cu centrul x0 si raza , T este acelasi. Dar inchiderea sferei |x0| < η, unde solutia nula este atractiva, este compacta, deci pe baza teoremei lui Hausdorff exista o ε – retea finita de sfere care acopera aceasta multime. Fie x1,…,xN centrele acestor sfere. Pentru fiecare sfera se construieste T(δ/3, xi) si se alege T(ε) = {T(δ(ε)/3, xi)}, care rezulta astfel finit si acelasi pentru orice conditie initiala din sfera |x0| < η.

Definitia 5: Solutia x ≡ 0 a sistemului (1.3) este exponential stabila daca exista λ> 0 si pt orice ε > 0 se poate gasi δ(ε) astfel incat daca |x0| < δ, atunci

|x(t, x0)| ≤ εe-λt pt t>0.

Este evident ca stabilitatea exponentiala implica stabilitatea asimptotica; un fapt, stbilitatea exponentiala este un tip special de stabilitate asimptotica in care se dispune de o anumita informatie cu privire la viteza de tindere spre 0, informatie data de numarul λ. Merita mentionat ca acest tip de stabilitate asimptotica este cel preferabil in aplicatiile practice, desi nu intotdeauna poate ficat daca |x0| < η atunci |x(t,x0)| < ε stfel t > T. Este evident ca in cazul general T este altul pentru fiecare solutie, deci T = T(ε, x0). Daca solutia nula nu este doar atractiva ci asimptotic stabila, atunci T poate fi ales independent de x0.

Intr-adevar, fie ε > 0 dat; deoarece solutia nula este stabila se poate gasi δ(ε) astfel incat daca |x0| < δ, |x(t; t0, x0)| < ε pentru t > 0. Deoarece solutia nula este atractiva se poate gasi T(δ/3, x0) cu proprietatea ca

|x(t, x0)| < δ/3 pentru t > T(δ/3, x0),

unde δ este cel determinat de conditia de stabilitate.

Datorita continuitatii in report cu conditiile initiale, pt δ > 0 determinat mai sus, se poate gasi cu proprietatea ca daca |y – x0| < , atunci

|x(T, y) – x(T, x0)| < δ/3.

Ca urmare rezulta

x(T, y) ≤ |x(T, y) – x(T, x0)| + |x(T, x0)| < δ.

Deoarece |x(T, y)| < δ, |x(t, y)| < ε pentru t ≥ T(δ/3, x0) egalitate valabila pentru y apartinand sferei |y – x0| < . Deci, pentru toate solutiile cu conditiile initiale in sfera cu centrul x0 si raza , T este acelasi. Dar inchiderea sferei |x0| < η, unde solutia nula este atractiva, este compacta, deci pe baza teoremei lui Hausdorff exista o ε – retea finita de sfere care acopera aceasta multime. Fie x1,…,xN centrele acestor sfere. Pentru fiecare sfera se construieste T(δ/3, xi) si se alege T(ε) = {T(δ(ε)/3, xi)}, care rezulta astfel finit si acelasi pentru orice conditie initiala din sfera |x0| < η.

Definitia 5: Solutia x ≡ 0 a sistemului (1.3) este exponential stabila daca exista λ> 0 si pt orice ε > 0 se poate gasi δ(ε) astfel incat daca |x0| < δ, atunci

|x(t, x0)| ≤ εe-λt pt t>0.

Este evident ca stabilitatea exponentiala implica stabilitatea asimptotica; un fapt, stbilitatea exponentiala este un tip special de stabilitate asimptotica in care se dispune de o anumita informatie cu privire la viteza de tindere spre 0, informatie data de numarul λ. Merita mentionat ca acest tip de stabilitate asimptotica este cel preferabil in aplicatiile practice, desi nu intotdeauna poate fi pus in evidenta cu mijloacele teoriei.

Mai formulam inca un concept care se poate dovedi util in teorie si aplicatii.

Definitia 6: O solutie x(t, x0) a sistemului (1.3) este marginita daca exista β > 0 astfel incat |x(t,x0)| < β.

β depinde in general de solutia particulara considerata. Este evident ca stabilitatea solutiilor nule implica un anumit tip de marginire a solutiilor din vecinatatea acesteia, constanta de marginire fiind functii de conditiile initiale.

Exista situatii in care nu toate solutiile unui sistem de ecuatii diferentiale au semnificatie fizica. In asemenea situatii nu ne intereseaza ca toate solutiile cu conditii initiale apropiate de solutia de baza sa ramana in vecinatatea ei, ci doar acele solutii care au sens fizic. In acest mod se ajunge la relativitatea notiunilor de stabilitate.

Definitia 1’: Se spune ca solutia(t) a sistemului (1.1) este stabila relativ la o multime M de solutii daca pt orice ε > 0 exista δ(ε, t0) astfel incat daca |x0 – (t0)| < δ si x(t;t0, x0) apartine M sa rezulte |x(t; t0, x0) – (t)| < ε pentru toti t ≥ t0.

In mod asemanator se pot relativiza si notiunile de stbilitate uniforma, stbilitate asimptotica.

Sa consideram acum urmatoarea structura de sistem

x = X(x, y), y = Y(x, y) (1.4)

unde X(0, 0) = 0 si Y(0, 0) = 0.

Definitia 2’: Solutia nula x ≡ 0, y ≡ 0 a sistemului (1.4) se numeste stabila in raport cu componentele x daca orice ε > 0 exista δ(ε) astfel ca daca |x0| + |y0| < δ, atunci |x(t; x0, y0)| < ε pentru t ≥ 0.

Conceptul astfel introdus, de stabilitate in raport cu o parte a variabilelor, poate fi util intr-o serie de aplicatii in care, cunoscandu-se apriori ca sistemul este stabil in raport cu anumite variabile este suficient sa se obtina stbilitatea in raport cu variabilele ramase, utilizand ipoteze mai putin restrictive decat de obicei.

Definitia 7: Solutia x ≡ 0 a sistemului (1.3) se numeste instabila daca nu este stabila.

Aceasta inseamna ca exista ε > 0 astfel incat pentru orice δ > 0 se poate gasi x0 verificand conditia |x0| < δ astfel incat |x(t, x0)| ≥ ε. Cu alte cuvinte pentru anumiti si oricare , se pot gasi conditii initiale astfel incat solutiile corespunzatoare sa fie mai mari in norma decat .

In incheiere sa facem o observatie cu privire la intervalul de definire a solutiilor. Teoremele de existenta asigura existenta solutiei pe un interval finit ca urmare atunci cand in definitii formulam “pentru toti t ≥ 0“avem in vedere restrictia la intervalul de definitie. Insa stabilitatea solutiei nule implica prelugibilitatea pentru orice t > 0 a solutiilor cu conditii initiale intr-o vecinatate a originii, deoarece din |x(t, x0)| < ε rezulta posibilitatea prelungirii, solutia neparasind un compact din domeniul in care sunt indeplinite conditiile de existenta.

2. Stabilitatea sistemelor liniare

Analiza stabilitatii la sistemele liniare este primul pas in rezolvarea problemei stabilitatii. Este evident, ca in general, daca ecuatiile diferentiale ale miscarii perturbate pot fi integrate analitic rezolvarea problemei nu prezinta dificultati deosebite. Metoda care conduce la simplificari considerabile consta in a liniariza ecuatiile miscarii perturbate si aceasta metoda a fost utilizata in perioada care a premers lucrarii fundamentale a lui A.M.Liapunov.

Consideram sistemul (1.3) si presupunem ca f(x) este de clasa C1 intr-o vecinatate a origini lui Rn. Ca urmare exista o dezvoltare in serie din care evidentiem termenii de ordinul intai

x = Ax + X(x) (2.1)

unde A = (∂f/∂x)│x=0 este matricea jacobiana calculata in origine, iar X(x) cuprinde termeni de ordin superior lui 1 in raport cu componentele xk ale vectorului x.

Un rationament euristic, bazat pe faptul ca in problema stabilitatii se examineaza solutii ale lui (2.1) in care componentele conditiilor initiale sunt mici si ca urmare caracterul solutiilor este determinat de termenii de ordin minim (liniari), conduce la neglijarea termenilor de ordin superior.

Cu alte cuvinte, se considera ca pentru rezolvarea problemei stabilitatii este suficient sa se examineze sistemul de ecuatii liniare

x = Ax, (2.2)

adica asa numitul sistem de prima aproximatie.

Un astfel de mod de rezolvare a problemei este, evident, neriguros si, in general, incorect. De fapt, inlocuirea ecuatiilor neliniare (2.1) prin ecuatii liniare (2.2) inseamna inlocuirea unei prableme cu o alta si este posibil ca prima problema sa nu aiba nimic in comun cu cea de-a doua.

Dupa cum se va vedea, exista situatii in care rezolvarea problemei liniare este intr-adevar suficienta pentru rezolvarea problemei neliniare; in plus si rezolvarea problemei liniare prezinta interes in sine, avand numeroase aplicatii.

Vom demonstra mai intai cateva rezultate privind caracterul proprietatii de stabilitate la sistemele liniare.

Propozitia 1: Pentru ca orice solutie a sistemului liniar (2.2) sa fie stabila, asimptotic stabila sau exponential stabila este necesar si suficient ca solutia nula a lui (2.2) sa fie respectiv stabila, asimptotic stabila sau exponential stabile.

Demonstatia se bazeaza in mod esential pe faptul ca daca x(t) si (t) sunt doua solutii, atunci αx(t) + β(t), unde α, β apartin numere reale, este de asemenea o solutie, adica multimea solutiilor formeaza un spatiu liniar.

Conditie suficienta: daca solutia nula este stabila, atunci, pentru orice solutie, |x0|<δ implica |x(t, x0)| < ε, inclusiv pentru solutia de baza (t). Fie ε > 0; se poate deci gasi δ(ε) astfel incat |x0| < δ/2, |y0| < δ/2 sa implice |x(t, x0)| < ε/2, |(t)| < ε/2. Deci

|x0 – (0)| < δ si |x(t, x0) –(t)| < ε.

Conditie necesara: daca (t) este o solutie de baza oarecare a sistemului (2.2), atunci se poate trece la ecuatiile miscarii perturbate prin schimbarea

y = x – (t).

Datorita liniaritatii ecuatiile miscarii perturbate sunt tot (2.2) si rezulta clar din stabilitatea solutiei (t) ca solutia nula a lui (2.2) este stabila.

Demonstratia a fost facuta pentru proprietatea de stabilitate; pentru celelalte proprietati ea se efectueaza la fel. In fapt, se foloseste liniaritatea sistemului combinata cu reducerea studiului stabilitatii unei solutii de baza la studiul stabilitatii solutiei nule a sistemului miscarii perturbate. Ori, pentru sistemele liniare sistemul miscarii perturbate coincide cu sistemul dat indiferent de solutia de baza de la care se porneste.

Esenta Propozitiei 1 este urmatoarea: la sistemele liniare stabilitatea oricarei solutii este asigurata de stabilitatea solutiei nule. La sistemele liniare proprietatea de stabilitate este o proprprietate a sistemului, nu doar a unei solutii particulare. De aceea, a vorbi la sistemele liniare despre stabilitatea sistemului este o afirmatie corecta, nu un simplu abuz de limbaj cum se intampla in cazul general.

Propozitia 2. Stabilitatea asimptotica a unui sistem liniar este intotdeauna exponentiala.

Rezultatul ii apartine lui K.P.Persidski si a fost demonstrat pentru cazul coeficientilor variabili. Aici ne vom margini la a-l demonstra pentru cazul sistemului (2.2).

Demonstratie: Se stie ca orice solutie x(t, x0) a sistemului liniar (2.2) defineste, pentru t fixat, o transformare a spatiului Rn in el insusi si aceasta transformare este liniara. Matricea transformarii liniare Φ(t) are coloanele formate din solutii ale caror conditii initiale sunt coloanele matricii unitate si orice solutie a lui (2.2) se scrie sub forma

x(t) = Φ(t)x0 (2.3)

Fie ε > 0 arbitrar: deoarece sistemul este asimptotic stabil exista δ > 0 si T(ε) cu proprietatea ca daca |x| ≤ δ0 si t ≥ T(ε), atunci |x(t, x0)| < ε sau |Φ(t)x0| < ε. Fie u0 un vector arbitrar cu |u0| ≤ 1. Deoarece |u0δ0| ≤ 1, |Φ(t)u0δ0| = δ0|Φ(t)x0| < ε pentru t >T(ε). Din definitia normei matricii va rezulta ca |Φ(t)| < ε/δ0 pentru t > T(ε) sau |Φ(t)| < ε pentru t > T̃(ε), unde T̃(ε) = T(δ0ε). Deoarece pentru t ≥ T̃ se pote scrie

Φ(t) = Φ(t – T̃)Φ(T̃)

(consecinta a unicitatii solutiilor ecuatiilor diferetiale liniare), rezulta majorarea

|Φ(t)| ≤ |Φ(t – T̃)| |Φ(T̃)| < ε2, t ≥ 2T̃.

Prin inductie, se verifica imediat ca |Φ(t)| ≤ εm pentru t ≥ mT̃.

Presupunem acum ε < 1 si fie t 0 arbitrar. Va exsista m ≥ 1 astfel incat (m – 1)T̃ ≤ mT̃. Ca urmare εm < εt/T̃.

Pe de alta parte, deoarece sistemul este stabil exista δ(ε) astfel ca |x(t, x0)| < ε daca |x0| ≤ δ(ε) si t ≥ 0. Procedand ca mai sus gasim

|Φ(t)| < ε/δ(ε) pentru t ≥ 0.

Din t ≥ (m – 1)T̃ deducem

|Φ(t)| < ε/δ(ε) εm – 1.

(Pt m ≥ 2 inegalitatea rezulta din faptul ca δ(ε) ≤ ε: daca δ(ε) nu este astfel el poate fi micsorat; pt m = 1 se regaseste inegalitatea scrisa anterior). De fapt s-a obtinut:

|Φ(t)| ≤ 1/δ(ε) εm pentru t ≥ 0.

Notand β = 1/δ(ε), α = – (1/T̃) ln ε, gasim

|Φ(t)| < βe – αt,

relatie ce exprima stabilitatea exponentiala.

Dupa trecerea in revista a aspectelor generale de mai sus, ne propunem sa obtinem conditii necesare si suficiente de stabilitate pentru sistemul liniar (2.2). In acest scop vom reaminti unele rezultate cunoscute din algebra liniara si din teoria ecuatiilor diferentiale liniare.

Consideram matricea A a sistemului (2.2). Urmatoarele rezultate au caracter pur algebric si nu au legatura cu sistemul (2.2). Fie

p(λ) = det(λI – A) = 0

ecuatia caracteristica a matricii A, unde p(λ) este polinomul sau caracteristic. Fie λ1,λ2,…,λs valorile proprii distincte ale matricii A, avand respectiv ordinele de multiplicitate m1,m2,…,ms. Ca urmare polinomul caracteristic are forma

p(λ) = .

Factorii λ – λk se numesc divizori elementari ai polinomului caracteristic.

Se numeste forma canonica Jordan a matricii A structura

J = diag(K1,…,Kr),

unde s ≤ r ≤ n, s fiind numarul valorilor proprii distincte, iar n dimensiunea (ordinul) matricii patratice A (gradul polinomului caracteristic). Matricile Kj numite celule Jordan au urmatoarea structura:

unde λ este valoarea proprie asociata celulei Jordan respective. Numarul celulelor fiind cuprins intre r si n, este evident ca in forma Jordan nu este obligatoriu ca valorile proprii asociate celulelor sa fie distincte. Dimensiunea unei celule Jordan nu poate depasi ordinul de multiplicitate al valorii proprii asociate.

In legatura cu forma Jordan se poate enunta urmatorul rezultat fundamental din algebra liniara:

Pentru orice matrice A exista o matrice nesingulara T astfel incat T-1AT sa aiba forma canonica Jordan.

Sa consideram acum sistemul de ecuatii diferentiale (2.2) si sa efectuam urmatoarea transformare de variabile: x = Ty, unde T este exact matricea nesingulara care aduce pe A la forma Jordan. Se obtine sistemul

y = Jy (2.4)

unde J are forma canonica Jordan.

Este evident ca o transformare de tipul celei de mai sus nu afecteaza proprietatile de stabilitate. Pe baza definitiei normei unei matrici se obtine inegalitatea |x| ≤ |T||y| si se vede imediat ca daca y verifica inegalitatile din definitiile conceptelor de stabilitate, atunci si x le verifica. Rezulta ca putem reduce problema stabilitatii sistemului (2.2) la problema stabilitatii sistemului (2.4) in care matricea are forma canonica Jordan.

Structura solutiilor sistemului (2.2) rezulta imediat pe baza faptului ca x(t, x0) este analitica (consecinta a teoremei de existenta a lui Cauchy). Calculand termenii seriei gasim

x(t, x0) = x0,

unde convergenta seriei trebuie inteleasa ca fiind convergenta celor n2 serii formate cu elementele matricilor.

Notand, prin analogie cu cazul scalar,

eAt=Ak,

solutia sistemului se scrie

x(t, x0) = eAtx0.

Pe baza teoremei de unicitate, matricea Φ(t) din (2.3) este in acest fel determinata:

Φ(t) = eAt,

si deci eAt are drept coloane solutii ale lui (2.2) ale caror conditii initiale sunt coloanele matricii unitate.

Sa remarcam ca daca A este matrice bloc-diagonala, A = diag(A1,…,Ap), atunci si An este de acelasi tip: An = diag(A,…,A). Ca urmare

eAt = diag(eAt,…eAt)

si matricea Φ(t) se scrie pentru (2.3) astfel:

eJt = diag,

unde J1,…,Jp sunt celule Jordan corespunzand valorilor proprii λ1,…,λp, nu neaparat distincte.

A mai ramas de determinat structura exponentialei unei celule Jordan. Fie o celula Jordan de ordin m corespunzand valorii proprii λk. Este valabila relatia

Jk = λkI + F,

unde F are proprietatea ca Fj = 0 pentru j ≥ m.

Folosind aceasta relatie si seria de puteri care defineste exponentiala gasim

In felul acesta structura solutiei sistemului (2.4) este complet determinata avand forma

y(t, y0) = eJty0,

de unde rezulta structura solutiei lui (2.2):

x(t, x0) = TeJtT – 1×0.

Este evident ca in componenta solutiei lui (2.2) intra termeni de forma , unde pi(t) sunt polinoame in rapor cu variabila t. Deoarece comportarea acestor termeni este dictata de comportarea exponentialei se poate formula

Teorema 1: Sistemul liniar (2.2) este exponential stabil daca toate valorile proprii ale matricii A au parte reala negativa. Daca macar o valoare proprie are partea reala pozitiva, atunci sistemul este instabil. Daca toate valorile proprii au partea reala negativa sau nula, iar valorilor proprii cu parte reala nula le corespund divizori elementari simpli, atunci sistemul (2.2) este stabil dar nu asimptotic stabil. Daca insa exista cel putin o valoare proprie cu partea reala nula dar careia ii corespunde un divizor elementar nesimplu, sistemul este instabil.

Demonstratia este imediata, fiind bazata pe structura solutiilor. Daca Re λk < 0 pentru toate valorile proprii, deoarece orice solutie este o combinatie liniara de termeni de forma , acesti termeni tind exponential spre 0, rezultand stabilitatea exponentiala. Daca exista λr cu Re λr > 0, termenii cresc exponential, rezultand instabilitatea sistemului (chiar o instabilitate exponentiala, foarte puternica). Daca λk este o valoare proprie cu Re λk = 0, careia ii corespunde un divizor elementar simplu, ea introduce termeni de forma pkeiωkt, care sunt marginiti si corespund unor oscilatii stabile. Daca insa divizorul elementar nu este simplu, termenii pk(t)eiωkt, numiti uneori termeni seculari, au o crestere nemarginita si sistemul este instabil.

In baza Teoremei 1 toate proprietetile de stabilitate ale sistemului liniar (2.2) se obtin pe baza localizarii valorilor proprii ale matricii A. De aceea, atunci cand sistemul este stabil se spune uneori ca matricea A este stabila, iar cand sistemul este instabil se spune ca matricea este instabila.

Teorema 1 permite deci reducerea problemei stabilitatii si instabilitatii sistemelor liniare de ecuatii diferentiale la o problema de algebra: localizarea in planul complex a radacinilor polinoamelor algebrice.

Criterii de stabilitate

Criteriile de stabilitate sunt criterii de localizare a radacinilor unui polinom in semiplanul complex stang. Aceasta problema poate fi rezolvata cu metode exclusiv algebrice sau cu utilizarea aparatului teoriei functiilor de variabila complexa. Exprimarea criteriilor poate fi si pur algebrica – relatii intre coeficientii polinomului ce defineste ecuatia caracteristica – sau in limbajul functiilor de variabila complexa.

Cele doua tipuri de exprimare a criteriilor au condus la clasificarea acestora in criterii algebrice si criterii frecventionale. Aceasta clasificare se intalneste in special in electrotehnica, electronica si automatica (N.Balabanian si Th.Bickart, 1974, M.A.Aizerman, 1966, V.V.Solodovnikov, 1967, Ia.Z.Tipkin, 1977).

Pe baza clasificarii exprimarii criteriilor se poate incerca o separare si sub raportul deducerii criteriilor: aceasta revine la a obtine criterii algebrice – exprimate in functie de coeficienti – cu mijloace pur algebrice, fara utilizarea aparatului analitic al teoriei functiilor de variabila complexa.

In acest sens este cunoscuta demonstratia lui Schur pentru criteriul Routh-Hurwitz (A se vedea a.g.Kuros, 1955). Demonstratiile care implica si analiza complexa sunt mult mai simple si au avantajul de a permite deducerea tuturor criteriilor de stabilitate folosind un acelasi grup de rezultate fundamentale. De aceea in expunerea de fata vom urma ultima cale – aceea a folosirii analizei complexe.

Vom incepe prin a da, fara demonstratii, cateva rezultate fundamentale din teoria functiilor de variabila complexa.

Teorema dependentei continue de parametri. Radacinile unui polinom ai carui coeficienti sunt functii continue de un numar finit de parametrii sunt si ele functii continue de acei parametri.

Principiul argumentului. Fie f(z) o functie definita in domeniul D din planul complex, cu urmatoarele proprietati:

i) este analitica peste tot, cu exceptia unui numar finit de poli;

ii) este continua si nemula pe frontiera domeniului D;

iii) f’(z) este continua pe frontiera C a lui D.

Atunci diferenta dintre numarul de zerouri si numarul de poli ai functiei f(z) in D este egala cu numarul de rotatii ale vectorului w = f(z) la parcurgerea curbei Г – transformata lui C prin w = f(z), respectiv cu suma reziduurilor logaritmice ale functiei f(z):

argf(z) = N – P.

Pentru demonstratiile acestor rezultate se pot consulta manuale clasice de teoria functiilor de variabila complexa (ex: S.Stoilow, 1958, M.A.Lavrentiev si B.V.Sabat, 1973).

Se poate acum trece la formularea si demonstrarea criteriilor de stabilitate.

Teorema 2.(Criteriul Hurwitz). Fie polinomul

f(z) = a0zn+a1zn-1+………….+an (2.5)

cu coeficientii reali si cu a0 > 0. Pt ca toate radacinile polinomului sa aiba partea reala negativa (sa fie situate in semiplanul complex stang) este necesar si suficient sa fie indeplinite urmatoarele inegalitati:

D1 = a1 > 0; D2 = > 0; D3 = > 0;

Dn = > 0; (ak = 0, k > n) (2.6)

Pentru demonstratie, vom aplica metoda inductiei complete, in care scop vom stabili un rezultat preliminar. Se scrie f(z) sub forma f = p + q, unde

p(z) = a0zn + a2zn-2 + …., q(z) = a1zn-1 + a3zn-3 + ….

Definim polinomul de grad cel mai mult egal cu n – 1:

φ(z) = a1p(z) + (a1 – a0z)q(z) = azn-1 + (a1a2 – a0a3)zn-2 +…

Este adevarata

Lema 1: Radacinile polinomului f(z) se afla in semiplanul stang daca si numai daca a1 > 0 si radacinile polinomului φ(z) se afla in semiplanul stang.

Demonstratie: 1˚ Presupunem ca f(z) are radacinile in semiplanul stang. Definim polinomul

f*(z) = a0zn – a1zn-1 + …+(-1)nan.

Asa cum se poate vedea utilizand relatiile dintre coeficienti si radacini, f*(z) admite radacinile –k, unde zk sunt radacinile lui f(z). Ca urmare f*(z) are toate radacinile in semiplanul drept. Se vede imediat ca au loc relatiile

f + f* = 2p, f – f* = 2q.

Deoarece

f(z) = a0, f*(z) = a0, (2.7)

obtinem ca |f(z)| > |f*(z)| in semiplanul drept, |f(z)| < |f*(z)| in semiplanul stang si |f(z)| = |f*(z)| pe axa imaginara. De aici rezulta ca polinomul q(z) poate avea doar radacini pur imaginare. Aceste radacini sunt simple. Daca n-ar fi asa, si iω ar fi o radacina cel putin dubla, atunci am avea simultan

f(iω) = f*(iω), f’(iω) =(iω),

de unde

sau [ln f(iω)]’ = [ln f*(iω)]’.

(Impartirea cu f(iω) si f*(iω) este posibila deoarece f si f* nu au radacini pe axa imaginara.)

In virtutea relatiilor (2.7) gasim

,

relatie imposibila deoarece Re > 0 si Re < 0 pentru orice k. Deci iω nu poate fi radacina dubla a lui q(z). Deoarece > 0 rezulta a1 > 0; ca urmare p(z) are gradul n iar q(z) are gradul n – 1. Fie iωk, k = 1,…,n, radacinile imaginare simple ale lui q(z). Vom avea

. (2.8)

Insa, deoarece

si functia w = realizeaza reprezentarea conforma a interiorului cercului unitate pe semiplanul drept, gasim ca

Re > 0, Re z > 0; Re < 0, Re z < 0; Re = 0, Re z = 0.

Ca urmare, rezulta imediat ca λk sunt reali si c este pur imaginara. Deoarece in vecinatatea lui z = iωk semnul lui Re(p/q) este determinat de semnul lui Re(λk/(z-iωk)) rezulta ca λk > 0.

Din (2.8) si din definitia lui φ(z) deducem

φ(z) = a1q(z)(1 + + c).

Radacinile lui q(z) nu sunt radacini si pentru φ(z) deoarece din definitia lui φ(z) rezulta ca in acest caz se anuleaza si p(z), deci f(z) = 0; cum q(z) are doar radacini pur imaginare iar f(z) nu are decat radacini in semiplanul stang, se ajunge la o contradictie. Deci radacinile lui φ(z) sunt radacinile expresiei din paranteza. Insa

Re(1 + + c) = 1 +

si se vede ca pentru Re z ≥ 0 expresia nu poate fi nula. Deci φ(z) are radacini doar in semiplanul stang; deoarece s-a obtinut mai sus ca a1 > 0, prima parte a lemei e demonstrata.

2˚ Presupunem ca φ(z) are radacinile in semiplanul stang si a1 > 0. Atasam polinomului φ(z) polinoamele p1(z) si q1(z) in acelasi mod in care p(z) si q(z) au fost atasate lui f(z); din formulele de definitie gasim

p1(z) = a1q(z), q1(z) = a1p(z) – a0zq(z).

De aici rezulta

Pentru polinomul φ(z) cu radacini in semiplanul stang, putem defini pe φ*(z) ca mai sus si repetind aceleasi rationamente vom gasi ca Re(p1/q1) > 0 pentru Re z > 0, Re(p1/q1) < 0 pentru Re z < 0, Re(p1/q1) = 0 pentru Re z = 0. Insa semnul lui Re(p1/q1) este identic cu semnul lui Re(q1/p1) si, deoarece a1 > 0, a0/a1 > 0; ca urmare regasim ca Re(p/q) < 0 pentru Re z < 0, Re(p/q) > 0 pentru Re z > 0 si Re(p/q) = 0 pentru Re z = 0. Dar in acest caz proprietatile transformarii w = conduc la |f(z)| > |f*(z)| pentru Re z > 0 etc. Dar |f(z)| > | f*(z)| pentru Re z > 0 inseamna ca f(z) nu poate avea radacini in semiplanul drept. Pe axa imaginara avem |f(z)| = |f*(z)|; ca urmare orice radacina a lui f(z) pe axa imaginara anuleaza simultan pe p(z) si q(z), deci e radacina a lui φ(z); cum φ(z) nu se anuleaza pe axa imaginara, f(z) nu are radacini nici pe axa imaginara. Rezulta ca f(z) are radacini exclusiv in semiplanul stang si lema este complet demonstrata.

In continuare calculam determinantii (2.6) pentru polinomul φ(z). Fie Δk acesti determinanti. Avem, pe baza expresiilor coeficientilor lui φ(z):

a0a1Δk = a0a1=

==

= = Dk+1.

(Se “bordeaza” determinantul, apoi la coloana a2-a se aduna coloana a1-a, la coloana a4-a se aduna coloana a3-a inmultita cu a0/a1 etc; in final se da factor comun din prima coloana a0 si din celelalte a1).

Demonstratia Teoremei 2: Pentru n = 1 teorema este adevarata deoarece conditiile se reduc la a1 > 0; impreuna cu a0 > 0 ele sunt necesare si suficiente pentru ca a0z + a1 sa aiba radacina negativa. Presupunem ca teorema este adevarata pentru polinoame de grad mai mic sau cel mult egal cu n-1. Fie f(z) un polinom de grad n pe care il presupunem ca are radacinile in semiplanul stang. Atunci, in baza Lemei 1 polinomul φ(z) asociat are radacinile in semiplanul stang. Gradul acestui polinom fiind n-1 pentru el teorema este adevarata si sunt indeplinite conditiile Δ1 > 0, Δ2 > 0… Δn-1 > 0. Insa Δk=a0Dk+1 si deoarece in baza lemei rezulta a1 > 0, obtinem in mod necesar Dk+1 > 0 (k=1,…,n-1). Rezulta ca daca f(z) are radacinile in semiplanul stang, in mod necesar sunt indeplinite conditiile (2.6).

Reciproc, presupunem ca pentru un polinom de grad n, f(z), sunt indeplinite conditiile (2.6). Rezulta de aici ca a1 > 0 si Δk = a0Dk+1 > 0 (k=1,…,n-1). Insa Δk astfel construiti sunt determinantii din conditiile teoremei corespunzatori polinomului φ(z) asociat lui f(z). Cum φ(z) este de grad n-1 teorema este adevarata pentru astfel de polinoame si deci φ(z) are radacinile in semiplanul stang. Aplicand lema 1 rezulta ca si f(z) are radacinile in semiplanul stang. Teorema este complet demonstrata.

Demonstratia bazata esential pe Lema de mai sus, nu utilizeaza decat rezultate elementare din teoria functiilor de variabila complexa. Varianta mai cunoscuta a demonstratiei prin inductie apartine lui N.G.Cetaev (1946) dar, desi mai scurta, se bazeaza esential pe dependenta continua de coeficienti ai radacinilor polinoamelor.

Teoerma 3(Criteriul Routh). Polinomul (2.5) cu a0 > 0 are toate radacinile in semiplanul stang daca si numai daca prin formarea urmatorului tabel (tabelul Routh):

a0 a2 a4 …

a1 a3 a5 …

ρ1 = a0/a1 c13 = a2 – ρ1a3 c23 = a4 – ρ1a5 c33 = a6 – ρ1a7 …

ρ2 = a1/c13 c14 = a3 – ρ2c23 c24 = a5 – ρ2c33 c34 = a7 – ρ2c43 …

ρ3 = c13/c14 c15 = c23 – ρ3c24 c25 = c33 – ρ3c34 c35 = c43 – ρ3c44 …

…………………………………………………………………..

se obtin conditiile a1 > 0, c13 > 0,…,c1,n+1 > 0.

Demonstratie. Presupunem ca sunt indeplinite conditiile din teorema. Un calcul simplu arata ca sunt valabile relatiile

c1k = Dk-1/Dk-2 (k = 3,…,n+1) (2.9)

unde Dj(j=1,…,n) sunt determinantii (2.6). Prin urmare Dj > 0 si aplinand criteriul Hurwitz obtinem ca polinomul (2.5) are radacinile in semiplanul stang. Reciproc, daca polinomul are radacinile in semiplanul stang, Dj > 0 si deci c1k > 0. Demonstratia se incheie.

In continuare vom face o serie de observatii pe marginea celor doua criterii. Ele au fost obtinute independent de catre Routh (1877) si Hurwitz (1895). Echivalenta celor doua criterii este exprimata de relatiile (2.9) si prin urmare este suficient sa fie demonstrat doar unul din cele doua criterii. De altfel, ele sunt considerate unul si acelasi criteriu numit criteriul Routh-Hurwitz. Forma Routh, alogoritmica, este mai potrivita pentru verificarea stabilitatii atunci cand coeficientii sunt dati numeric. Forma Hurwitz este cea care permite scrierea conditiilor de stabilitate sub forma literala, atunci cand se doreste exprimarea acestor conditii in functie de coeficienti.

Definitie. Se numeste functie de faza functia φ(ω) cu urmatoarele proprietati:

φ este continua pe (-∞, ∞);

pentru ω = 0 numarul φ(0) este caracterizat de conditiile

-π < φ(0) < π,

cosφ(0) = Re f(0)/|f(0)|, sinφ(0) = Im f(0)/|f(0)|;

pentru orice ω (-∞, ∞) are loc egalitatea

tgφ(ω) = Im f(iω)/Re f(iω).

Daca φ(ω) , atunci se defineste variatia completa a argumentului functiei f(iω) ca fiind

Δf=1/π[φ(+∞) – φ(- ∞)].

Pentru polinoame cele doua limite exista si Δf are sens. Se poate formula acum

Teorema 4(Criteriul variatiei complete a argumentului). Un polinom cu coeficienti reali fara radacini pe axa imaginara este polinom Hurwitz daca si numai daca Δf = n, unde n este gradul polinomului.

Demonstratie: Alegem un contur de integrare ca la figura 1 si aplicam principiul argumentului

argf(z) = N

(f(z) fiind un polinom, nu are poli si deci P = 0)

Sa examinam variatia argumentului pe conturul C. Pe semicercul de raza foarte mare ρ polinomul f(z) se scrie sub forma

f(z) = a0 ρneinψ(1+O(ρ-1)).

Ca urmare, pentru ρ suficient de mare variatia argumentului lui f(z) pe semicerc este nπ. Daca f(z) e polinom Hurwitz, atunci N = 0 si Δcarg f(z) = 0. De aici rezulta ca variatia argumentului in lungul axei imaginare, in sensul din fig.1, cand ω variaza de la +∞ la -∞, este –nπ. Cu alte cuvinte, φ(-∞) – φ(+∞) = -nπ,

Fig 1

de unde Δf = n. Conditia este necesara. Reciproc, daca Δf = n, atunci, efectuand rationamentul in ordine inversa, gasim ca f(z) este polinom Hurwitz. Teorema este demonstrata.

Criteriul Nyquist

O raspandire mult mai mare a capatat-o criteriul frecvential a lui Nyquist. Acest criteriu porneste de la o problema de baza din automatica si electronica: urmarirea si reproducerea unui anumit semnal la iesirea unui sistem liniar.

Fie un obiect comandat liniar, cu o intrare si o iesire

x = Ax+ bμ(t),

ν=c*x

si ne propunem ca iesirea acestui obiect sa reproduca un semnal de intrare γ(t). Acest lucru se realizeaza in practica prin compararea semnalului γ(t) cu iesirea masurata ν(t) si actionand in functie de acest dezacord:

y = Gy + d(γ(t) – ν);

μ = p*y + ρ(γ(t) – ν).

Se defineste astfel sistemul de ecuatii diferentiale liniare

x = (A – ρbc*)x + bp*y + bργ(t),

y = – dc*x + Gy +dγ(t).

Se introduc functiile de transfer

γ(σ) = c*(σI – A)-1b, γR(σ) = ρ + p*(σI – G)-1d.

Ecuatia caracteristica a sistemului omogen, cu γ(t)≡0, este

det= 0.

Pe baza lemei lui Schur si a binecunoscutei identitati

1 – q*(σI – A)-1b = det(σI – A – bq*)/det(σI – A)

(care rezulta tot din leme lui Schur), gasim

det = det(σI – A)det(σI – G)(1 + γR(σ)γ(σ)).

Daca (A,b) si (G,d) sunt cupluri stabilizate, atunci radacinile ecuatiei caracteristice se compun din zerourile functiei 1 + γR(σ)γ(σ) la care se adauga, eventual, unele radacini situate in semiplanul stang, care nu influenteaza stabilitatea.

Fie χ(σ) = γR(σ)γ(σ). Aceasta functie de transfer este un raport de polinoame: χ(σ) = φ(σ)/ψ(σ) si ecuatia caracteristica se reduce la

φ(σ) + ψ(σ)=0.

Acestei ecuatii i se poate aplica unul din criteriile expuse mai sus insa inginerii electronisti si automatisti prefera χ(σ) – asa-numita functie de transfer in circuit deschis – care se determina relativ usor atat analitic cat si experimental.

Teorema 5(Criteriul Nyquist). Pentru ca ecuatia

1 + χ(σ) = 0

unde χ(σ) este o functie rationala cu gradul numaratorului mai mic sau cel mult egal cu gradul numitorului, sa aiba toate radacinilein semiplanul stang, este necesar si seficient ca hodograful functiei de transfer χ(σ), definit de ecuatiile parametrice

x = Re χ(iω), y = Im χ(iω),

sa ocoleasca de P ori in sens antiorar punctul critic (-1,0), unde P este numarul de poli ai lui χ(σ) situati in semiplanul drept. (parametrul ω variaza de la +∞ la -∞).

Demonstratie. Consideram din nou conturul de integrare din fig 1 si aplicam principiul argumentului pentru functia f(σ) = 1 + χ(σ); vom avea

unde P este numarul de poli, iar N numarul de zerouri pe care le are in semiplanul drept. (Este evident ca polii lui f(σ) coincid cu polii lui χ(σ)). Deoarece stabilitatea corespunde cazului N = 0 conditia necesara si suficienta de stabilitate care rezulta direct din principiul argumentului este

,

adica vectorul f(σ) se roteste de P ori in sens trigonometric in jurul originii sau, ceea ce este acelasi lucru, vectorul χ(σ) se roteste de P ori in jurul punctului (-1,0).

Sa examinam comportarea functiei 1 + χ(σ) pe conturul din fig 1:

1 + χ(σ) = .

Pe semicercul de raza ρ > 0 vom avea σ = ρeiφ si

1 + χ(σ) = + O(ρ-1).

Rezulta ca pentru ρ suficient de mare vectorul 1 + χ(σ) poate fi oricat de apropiat de canstanta a0/c0 si variatia argumentului sau este oricat de apropiata de 0. Din principiul argumentului rezulta atunci ca variatia argumentului cand σ parcurge conturul din fig 1 coincide cu variatia argumentului cand σ parcurge axa imaginara de la +∞ la -∞. Teorema este complet demonstrata.

Sa observam ca se poate face o normare a functiei de transfer χ(σ):χ(σ) = χ(0)w(σ), unde w(0) = 1. Numarul k = χ(0) se numeste factor de amplificare si criteriul Nyquist se poate formula ca o conditie asupra hodografului normat w(iω) si punctului critic (-1/k,0). Pentru w(σ) avand toti polii in semiplanul stang criteriul Nyquist capata forma sa originala: hodograful trebuie sa nu incercuiasca punctul critic (-1/k, 0). Pe baza acestei conditii, daca w(σ) este cunoscuta se poate determina factorul de amplificare k.

Stabilitatea limita

In studiul stabilitatii sistemelor automate pe baza criteriului Nyquist apare urmatoarea problema: dat fiind ca stabilitatea sistemului liniar

x=(A – kbc*)x,

unde k > 0 este un parametru scalar revine la localizarea in plan stang a radacinilor ecuatiilor

1 + kγ(σ) = 0,

unde γ(σ)=c*(σI – A)-1 b este functia de transfer a blocului liniar

x=Ax + b μ,

ν = c*x,

se poate considera ca sistemul liniar provine dintr-o structura cu reactie inversa (feedback).

Din punct de vedere matematic aceasta inseamna ca se alege μ de forma μ = -kν. Criteriul Nyquist furnizeaza in fapt informatii despre multimea valorilor lui k > 0 pentru care se obtine un sistem stabil. In cazul in care A este o matrice hurwitziana este evident ca, din motive de continuitate, sistemul este stabil pentru 0 ≤ k < ε, unde ε este suficient de mic.

Problema care se pune este daca aceasta proprietate isi mentine valabilitatea si pentru alte matrici decat cele hurwitziene. Vom denumi proprietatea – stabilitate limita.

Fie k = ε; ecuatia caracteristica devine

det(σI – A + εbc*) = 0

si se vede ca proprietatea de stabilitate limita este in fapt o proprietate a tripletului (A,b,c), adica ablocului liniar pe care acest triplet il defineste.

Definitia 8: Un triplet (A,b,c) are proprietatea de stabilitate limita daca si numai daca pentru 0 < ε ≤ Δ, unde Δ > 0 este arbitrar de mic, polinomul πε(σ)=det(σI – A + εbc*) este un polinom Hurwitz.

Inainte de a formula conditii necesare si suficiente de stabilitate facem cateva observatii bazate pe dependenta continua de parametrii a radacinilor polinoamelor. In baza acestei dependente, daca ε este arbitrar de mic radacinile polinomului π0(σ) = det(σI – A) situate intr-un semiplan sau altul raman in acel semiplan, in timp ce radacinile situate pe axa imaginara trec intr-un semiplan sau altul. Asadar:

tripletele cu A hurwitziana au proprietatea de stabilitate limita deoarece toate radacinile polinomului π0(σ) se afla in semiplanul stang;

tripletele cu A “propriu-zis instabila”, adica avand valori proprii in semiplanul drept, nu au proprietatea de stabilitate limita deoarece radacinile lui π0(σ) din semiplanul drept raman in acest semiplan la trecerea de la π0(σ) la πε(σ).

Rezulta ca in afara de tripletele (A,b,c) cu matricea A hurwitziana proprietatea de stabilitate limita o mai pot avea tripletele “critice” – pentru care A are valori proprii in semiplanul stang si pe axa imaginara. Sunt adevarate urmatoarele rezultate.

Propozitie. Fie 0 ordinul de multiplicitate al radacinii iω0 a polinomului π0(σ). Daca tripletul (A,b,c) are proprietatea de stabilitate limita, atunci ordinul de multiplicitate al lui iω0 ca pol al functiei de transfer γ(σ) = c*(σI – A)-1b este egal cu 0.

Teorema 6. Pentru ca tripletul (A,b,c) sa aiba proprietatea de stabilitate limita, este necesar si suficient ca fiecare radacina iω0 a polinomului π0(σ) situata pe axa imaginara sa aiba ordinul de multiplicitate cel mult doi si sa fie indeplinite pentru fiecare din aceste radacini conditiile:

(ω0 = 0, = 1), Re γ(σ)|σ=0>0;

(ω0 ≠ 0, = 1); considerand dezvoltarile Laurent in jurul lui iω0

Re γ(iω) = + d0 – e1(ω – ω0) – d2(ω – ω0)2 + …..

Im γ(iω) = + e0 + d1(ω – ω0) – e2(ω – ω0)2 + …..

Si formand sirul

d-1, e-1e0, -d1, -e-1e2, d3, e-1e4,…,

este necesar si suficient ca unul din numerele d-1 sau e-1 sa fie nenul si primul element nenul din sirul de mai sus sa fie pozitiv;

(ω0 = 0, = 2); considerand dezvoltatea Laurent

Re γ(iω) = -d-2/ω2 + d0 – d2ω2 + …..,

Im γ(iω) = -d-1/ω + d1ω – d3ω3 + …..,

Este necesar si suficient ca d-2 > 0 si primul element nenul al sirului

– d-1, d1, – d3,….

sa fie negativ;

(ω0 ≠ 0, = 2); considerand dezvoltarea Laurent

Re γ(iω) = + + d0 – e1(ω – ω0) + …..

Im γ(iω) = + + e0 + d1(ω – ω0) – …..

Este necesar si suficient ca d-2 > 0, e-2 = 0 si primul element nenul al sirului

d-1, -e, -d1, -e,…..

sa fie pozitiv.

Conceptul de stabilitate limita a fost introdus de M.A.Aizerman si F.R.Gantmaher(1963).

Un rezultat de asimptoticitate pentru sistemele liniare

In studiul stabilitatii exista situatii in care se studiaza sistemul liniar

x = Ax + Bu(t) (2.10)

pentru care se stie ca A este hurwitziana si u(t) este, de exemplu, de patrat integrabil pe semiaxa pozitiva sau tinde asimptotic spre 0. Problema care se pune este de a sti care este comportarea asimptotica a solutiilor sistemului (2.10). Raspunsul este dat in urmatorul rezultat.

Lema 2. Consideram sistemul (2.10) in urmatoarele ipoteze: i) matricea A este hurwitziana; ii) u(t) verifica una din conditiileu(t) = 0 sau |u|L2(0, ∞).

Atunci toate solutiile sistemului au proprietatea ca x(t) = 0.

Inainte de a demonstra aceasta lema vom demonstra doua rezultate preliminare importante in studiul stabilitatii asimptotice.

Lema A(I.Barbalat) Daca φ: R+ → R este uniform continua si daca exista si este finita atunciφ(t) = 0.

Demonstratie: Presupunem contrariul si atunci exista θ0 astfel incat pentru orice T > 0 se poate gasi (T) cu proprietatea ca |φ((T))| ≥ θ0. Din continuitatea uniforma rezulta ca exista θ1 astfel incat pentru orice t > 0 si orice τ[0, θ1) sa fie valabila relatia

| φ(t) – φ(t + τ)| ≤ θ0/2.

Consideram intervalul [(T), (T) + θ1] si obtinem, pe baza inegalitatilor precedente:

|φ((T))| |φ(t)| + |φ((T)) – φ(t)| |φ(t)| + θ0/2;

|φ(t)| ≥ θ0/2

((T) t < (T)+ θ1).

Ultima inegalitate arata ca pe intervalul considerat φ pastreaza acelasi semn. Ca urmare

= ≥ θ0θ1,

ceea ce reprezinta exact negatia criteriului Cauchy de convergenta a integralelor improprii. Deci integrala nu mai e convergenta pentru t→, ceea ce contrazice ipoteza. Lema este demonstrata.

Observatie. Formularea originala a lemei lui I.Barbalata (1959) este urmatoarea: daca R+R este de clasa C1 exista si este finita si f’ este uniform continua, atunci f’(t) = 0. Se vede insa ca este suficient sa luam = f’ si sa aplicam lema A ca sa regasim rezultatul original.

Din lema A rezulta ca un corolar urmatoarea

Propozitie. Fie φ: R+ R o functie uniform continua. Daca exista o functie continua: ρ: RR+ cu proprietatile:

i) pentru orice

ii) ;

iii) ,

atunci .

Demonstratia este imediata. Functia este uniform continua si convergenta integralei asigura indeplinirea conditiilor Lemei A pentru aceasta functie. Rezulta , de unde, in baza proprietatilor i) si ii) ale functiei ρ, rezulta ca .

Lema B. Fie L1(0, ∞)L2(0, ∞), ηL2(0, ∞), (t) ≡ 0 pentru t < 0. Atunci

Demonstratie. Pe baza inegalitatii lui Schwarz rezulta imediat integrabilitatea produsului (t-) pe (0, t), deci integrala de convolutie exista pentru orice t > 0. Functia

χ(t) =

este o functie din L2(0, ). Intr-adevar, avem

(utilizand teorema lui Fubini pentru schimbarea ordinei de integrare). Daca reusim sa aratam ca χ este uniform continua, atunci se poate aplica propozitia demonstrata anterior si demonstratia este completa.

Fie t1 < t2; vom avea

χ(t2) – χ(t1) =

si pe baza lemei lui Schwarz obtinem

Insa primul termen din dreapta tinde spre 0 cand |t2 – t1| → 0 deoarece sub integrala se afla functii integrabile. Pe de alta parte, avem si

aceasta nefiind altceva decat proprietatea de convergenta in medie a functiilor din L2 (pentru functii continue din L2 este o proprietate evidenta iar pentru celelalte functii rezulta pe baza faptului ca multimea functiilor continue este densa in L2). Rezulta deci ca |χ(t2) – χ(t1)| = 0, χ(t) este uniform continua si, din aplicarea propozitiei deduse din Lema lui Barbalat, obtinem rezultatul Lemei B.

Observatie. Lema este adevarata chiar daca nu presupunem L1L2 ci doar L2. Se stie ca in acest caz, in general, convolutia nu mai este o functie din L2 desi e continua si marginita. Tinderea asimtotica spre 0 rezulta insa pe alta cale, prin aplicarea lemei Riemann-Lebesgue (a se vedea, de exemplu , P.N.Kniazev,1969, 6,13).

Demonstratia Lemei 2. Formula variatiei constantelor va da

si trecand la evaluari obtinem

, .

Primul termen din dreapta tinde asimptotic spre 0 in orice caz, deoarece > 0 (A este hurwitziana). Pentru al doilea termen avem de analizat doua cazuri:

Fie |u(t)| = 0. Avem

Insa sunt derivabile pe (0, ), si pe (0, ∞). Se poate deci aplica regula lui Hopital (M. Nicolescu , 1958, p.409,Teorema V) si rezulta

Daca |u(t)| L2(0, ∞), atunci se poate aplica Lema B cu (t)= e-t pentru t > 0 si (t) ≡ 0 pentru t < 0; evident, L1L2. Demonstratia este completa.

3. STABILITATEA DUPA PRIMA APROXIMATIE

Consideram din nou sistemul (2.1):

= Ax + X(x),

unde X(x) contine termenii de ordin superior lui 1 in raport cu componentele vectorului x.

Am mentionat deja ca in majoritatea cazurilor practice acesti termeni sunt neglijati si printr-un rationament euristic se considera ca daca sistemul liniar, de prima aproximatie, este stabil, aceeasi proprietate o va avea si sistemul complet. Fundamentarea riguroasa a acestui rationament euristic este data de teoria stabilitatii dupa prima aproximatie din care vom da mai jos cel mai cunoscut rezultat.

Teorema 7. Fie sistemul (2.1) in urmatoarele ipoteze: i) matricea A este hurwitziana; ii) pentru > 0 suficient de mic exista > 0 astfel incat daca |x| <, atunci |X(x)| < |x|.

In aceste conditii solutia nula a sistemului (2.1) este exponential stabila.

Demonstratie. Fie x(t, x0) o solutie a sistemului; avem

Considerand pe X(x(t, x0)) ca o functie cunoscuta de t se aplica formula vatiatiei constantelor

Datorita dependentei continue de conditiile initiale se poate alege x0 astfel incat sa existe un interval [0, t) cu proprietatea ca |x(τ, x0)| < β daca τ [0, t), unde este cel din enuntul teoremei. Prin urmare

.

(S-a tinut seama de evaluarea , valabila daca A este hurwitziana – a se vedea paragraful precedent.) Notand

se obtine

,

de unde, aplicand lema lui Gronwall, rezulta

Revenind la vechile notatii obtinem

. (3.1)

Daca , atunci in orice caz si luand inegalitatea rezulta valabila pentru toti t > 0. Dar in acest caz (3.1) este valabila pentru toti t > 0 si cum s-a otinut stabilitatea exponentiala a solutiei nule a lui (2.1). Teorema 7 este complet demonstrata.

O APLICATIE A STABILITATII DUPA PRIMA APROXIMATIE

Reamintim pe scurt una din problemele de baza din inginerie care conduc la problema stabilitatii: modificarea punctului stationar al unui sistem prin schimbarea unor parametri – asa numita manevra. Consideram cazul cel mai simplu, in care manevra are loc prin modificarea unui singur parametru, de exemplu marimea de referinta constanta a unui sistem automat; ecuatiile diferentiale ale dinamicii sistemului sunt

(3.2)

unde este parametrul manevrei. Solutiile stationare ale sistemului sunt date de sistemul de ecuatii algebrice

, (3.3)

care, pentru fixat, poate avea una sau mai multe solutii (absenta solutiei inseamna ca prin referinta respectiva nu se realizeaza nici un regim stationar si excludem aceasta situatie ca nesemnificativa din punct de vedere practic). In practica, sistemele sunt construite astfel incat pentru fixat sistemul de ecuatii (3.3) sa aiba solutie unica. Explicatia unei asfel de optiuni este evidenta: fiecarei valori a referintei trebuie sa i se asocieze un singur regim stationar deoarece numai astfel este posibil – cel putin in principiu – ca regimurile stationare sa fie realizate prin modificarea referintei. Daca sistemul se afla intr-un regim stationar si se doreste ca sistemul sa ajunga in regimul stationar definit de

,

atunci solutia este de a da lui valoarea . Se pune problema naturala daca sistemul ajunge sau nu in noul regim stationar, adica daca manevra este reusita. Daca sistemul este liniar si stabil raspunsul este afirmativ. Pentru sisteme neliniare stabilitatea dupa prima aproximatie arata ca daca punctual stationar este stabil dupa prima aproximatie, pentru conditiile initiale suficient de apropiate de solutiile corespunzatoare tind exponential spre .

Definitia 9. Se numeste domeniu de atractie (de stabilitate) al unei solutii constante , in particular nule, multimea punctelor x0 cu proprietatea

,

unde x(t, x0) este solutie a sistemului de ecuatii diferentiale.

Este evident ca domeniul de atractie al unui punct stationar al sistemului (6.2) depinde de parametrul . Manevra este reusita daca punctul initial se afla in domeniul de atractie al punctului initial . Inginerii practicieni cunosc faptul ca daca este prea mare dintr-o singura manevra brusca nu se poate ajunge in punctul stationar dorit, deoarece conditia initiala nu se mai afla in domeniul de atractie al punctului stationar. In schimb, daca manevra se executa prin pasi – modificari mici ale lui – atunci punctul stationar este atins. Explicatia intuitiva este destul de evidenta: prin manevre treptate sistemul este “pilotat” prin domeniile de atractie ale unor puncte stationare intermediare. Fundamentarea riguroasa este posibila pe baza teoremei de stabilitate dupa prima aproximatie.

Consideram sistemul (3.2) in care f: X I→X satisface urmatoarele conditii:

Exista o aplicatie, curba solutiilor ecuatiei (3.3), s: I→X cu proprietatile:

este continua pe I;

f(s(),) = 0 pentru orice I.

Aplicatia f: X I→X este de clasa C2 pe multimea de definitie.

Matricea A() = f/x|x=s() este hurwitziana pentru toti .

In cele de mai sus presupunem ca I este un interval de variatie a parametrului .

Teorema 8. Fie sistemul (3.2) in ipotezele 1.,2.,3.,de mai sus asupra lui f. Exista atunci astfel incat sfera |x – s()| sa fie inclusa in domeniul de atractie al solutiei stationare s() pentru orice .

Demonstratie. Din definitia lui s() si teorema lui Taylor rezulta

unde pentru . Din continuitatea derivatelor de ordinul 2 si din compacitatea sferei rezulta ca poate fi ales independent de . Fie o solutie a lui (3.2) pentru dat si fie solutia sistemului

(3.4)

corespunzand conditiei initiale ; se arata imediat ca

Pe baza ipotezelor 2., 3. rezulta ca este de clasa C1 si inversabila pentru toti . Prin urmare se poate scrie

si deoarece din continuitatea pe compact, exista astfel incat vom avea

Rezulta ca pentru , pentru orice , deci originea este un punct izolat al sistemului (3.4) pentru orice .

Deoarece este hurwitziana Teorema 7 de stabilitate dupa prima aproximatie asigura existenta unui domeniu (dependent de ) de atractie a solutiei nule. Din continuitatea lui rezulta continuitatea in raport cu a coeficientilor ecuatiei caracteristice, deci si a radacinilor acesteia; domeniul de variatie al lui fiind compact, rezulta ca i(), unde i() < 0 sunt valorile proprii ale lui , se atinge efectiv si i < 0, ca urmare este strict negativ si independent de . Un acelasi rationament permite si alegerea lui independent de astfel incat

.

Deoarece | pentru va rezulta pentru . Ca urmare se poate aplica Teorema 7 obtinand

toate constantele din partea dreapta fiind independente de . Stabilitatea exponentiala are loc daca se alege astfel incat

si sfera de raza asfel determinata este inclusa in domeniul de atractie al solutiei nule a lui (3.4), fiind independent de .Teorema este complet demonstrata.

Teorema 9. In ipotezele Teoremei 8, exista > 0 astfel incat pentru orice sir finit si crescator de puncte pentru care | sunt valabile relatiile

AA,

unde A este domeniul de atractie al punctului stationar .

Demonstratie. Functia s() fiind continua pe I este uniform continua, deci exista > 0 astfel incat daca , unde ,, atunci numarul fiind cel din Teorema 8. Aceasta inseamna ca A si A, unde este sfera de centru si raza . Ca urmare AA si pentru a incheia demonstratia este suficient sa consideram o diviziune a intervalului I cu proprietatea ca .

Remarcam in incheiere ca esenta rezultatelor de mai sus datorate lui St.Balint, A.Halanay si M.Reghis(1983) este urmatoarea: punctual stationar fiind izolat, din stabilitatea dupa prima aproximatie rezulta existenta unui domeniu de atractie. Acest domeniu depinde insa de si in cazul general el poate sa tinda spre 0 pentru anumiti . Ipotezele Teoremei 8 permit demonstrarea faptului ca se poate gasi o sfera inchisa centrata in punctual stationar, de raza nenula si independenta de , in intregime inclusa in domeniul de atractie al punctului stationar.

Ca urmare, asa cum arata Teorema 9, se pot gasi totdeauna doua valori suficient de apropiate ale parametrului astfel incat punctele stationare corespunzatoare sa se afle fiecare in domeniul de atractie al celuilalt. Intre cele doua puncte stationare manevra este totdeauna posibila in ambele sensuri – este reversibila. Existenta lui unic determinat din Teorema 9 inseamna ca se poate trece intotdeauna de la un punct stationar la altul printr-o serie de manevre gradate, in care parametrul variaza cel mult cu .

Merita mentionat si faptul ca demonstratia data de St.Balint, A.Halanay si M.Reghis (1983) este valabila si pe spatii Banach.

4. METODA FUNCTIEI LIAPUNOV

Cunoscuta si sub denumirea de “metoda a doua” a lui Liapunov sau “metoda directa“ a lui Liapunov, aceasta metoda de studiere a stabilitatii solutiilor sistemelor neliniare s-a dovedit a fi pana in present cea mai generala si mai fecunda din toate metodele utilizate din teoria stabilitatii furnizand rezultate si pentru alte probleme calitative in afara de cea a stabilitatii.

Ideea de baza a metodei provine din mecanica, din urmatorul rationament de natura fizica: daca viteza de variatie a energiei unui sistem fizic izolat este negativa pentru orice stare a sa, exceptand starea de echilibru, atunci energia va descreste pana la valoarea sa minima-corespunzatoare starii de echilibru.

Generalizarea fireasca a acestor idei a condos pe A.M.Liapunov (1892) la considerarea unor functii de stare care descresc (sau, in orice caz pastreaza semnul) de-a lungul solutiilor unui sistem de ecuatii diferentiale.

Considerand un sistem de ecuatii diferentiale

(4.1)

cu f(0) = 0, deci admitand solutia nula, acestuia i se ataseaza o functie V(x) cu anumite propietati intre care cea mai importanta este comportarea de-a lungul solutiilor. Este evident ca starea sistemului (4.1) este chiar x si ca orice solutie x(t) reprezinta totalitatea starilor prin care trece sistemul intr-o anume evolutie. Functia V este deci o functie de stare. Functia V*(t) = V(x(t)) trebuie sa descreasca pentru t ≥ 0. Noutatea ideii lui Liapunov ca si forta ei consta in faptul ca functia V nu mai este legata de energie si de natura fizica a sistemului.

In cele ce urmeaza vom da principalele rezultate privind functia Liapunov. In prealabil sunt insa necesare unele notiuni preliminare.

SEMN DEFINIT SI SEMN CONSTANT.

FUNCTII DE COMPARATIE

Consideram aici functii continue V(x) = V(x1,…,xn), unde x1,…,xn sunt componentele vectorului x, definite intr-o vecinatate a originii, eventual pe tot spatiul.

Definitia II.10. a) O functie V(x) se numeste pozitiv(negativ) definita daca este pozitiva (negativ) intr-o vecinatate a orginii si V(x) = 0 daca si numai daca x = 0.

b) O functie V(x) se numeste pozitiv (negativ) semidefinita intr-o vecinatate a originii daca nu este negativa(pozitiva) in aceasta vecinatate

c) O functie V(x) se numeste de semn nedefinit daca V(0) = 0 si are atat valori pozitive cat si valori negative in orice vecinatate a originii.

Fie V(x) > 0 (pozitiv definita) si fie , unde 0 < r1 < r2. Fie

functiile si sunt evident monotone. Din continuitatea lui V(x) rezulta pentru r suficient de mic inegalitatile

pentru |x| = r,

de unde

(4.2)

Aceste inegalitati conduc la ideea utilizarii unor functii simple de comparatie in studiul comportarii calitative a solutiilor. In acest sens sunt utile urmatoarele clase de functii (W.Hahn, 1967).

Definitia 11. a) O functie reala , apartine clasei K (K )daca este definita, continua si strict crescatoare pe si

b) O functie reala apartine clasei L (L ) daca este definita, continua si strict descrescatoare pe si

Deoarece aceste functii sunt folosite in inegalitati ele pot fi presupuse derivabile (in caz contrar ele se inlocuiesc cu alte functii din aceeasi clasa, derivabile, pastrandu-se si sensul inegalitatii).

Urmatoarele proprietati ale functiilor din claselor K si L sunt evidente (W.Hahn,1967):

daca K (i = 1, 2), atunci K , L , atunci L

fie K pentru 0 ≤ r < r0, ; atunci este definita cel putin pentru 0 ≤ t ≤ t0, K; daca K este definita pe [0, ∞) si , atunci nu este definita pentru t > t0;

implica pentru 0 ≤ r ≤ r0, respectiv 0 ≤ t ≤ t0;

fie K pentru 0 ≤ r ≤ k2; daca pentru 0 ≤ r1 ≤ k, 0 ≤ r2 ≤ k, atunci , care se mai scrie sub forma , unde K sunt alese corespunzator; daca ri iau valori pe un interval semiinfinit si , atunci de asemenea ;

fie K , L si una din functiile sau marginita; atunci

, K, L

Definitia 12. O functie V: Rn→R se numeste radial nemarginita daca exista K cu proprietatea ca si V(x) ≥ pentru toti xRn.

TEOREME DE STABILITATE

Teorema 10. (A.M.Liapunov). Fie sistemul (4.1) si presupunem ca exista o functie V(x) continua si pozitiv definita intr-o vecinatate a originii si cu proprietatea ca V*(t) = V(x(t)) este monoton descrescatoare oricare ar fi solutia x(t) a lui (4.1) cu Atunci solutia nula a sistemului (4.1) este stabila (in sens Liapunov).

Demonstratie. In baza celor aratate mai sus, daca V(x) este pozitiv definita se poate gasi o functie de clasa K astfel incat Fie dat si alegem pe astfel incat sa implice ; alegerea este posibila deoarece V(0) = 0 si V este continua pe .

Consideram solutia x(t, x0) cu . Functia V*(t) = V(x(t, x0)) este monoton descrescatoare si prin urmare:

de unde, deoarece este inversabila, pentru toti t > 0. Solutia ramane deci in domeniul unde este definita V; teorema este complet demonstrata.

Sa observam ca daca V este diferentiabila, V*(t) este derivabila si avem

deoarece x(t) este o solutie a sistemului de ecuatii diferentiale ( reprezinta aici gradientul lui V in raport cu vectorul x si, ca orice gradient, este vector linie). Pentru ca V*(t) sa fie monoton descrescatoare este suficient ca V sa fie diferentiala si functia

sa fie negative semidefinita.

Teorema 10 poate fi relativizata fata de o multime M de solutii considerate ca avand semnificatie fizica pentru sistemul (4.1): este suficient sa cerem ca V(x(t)) sa fie monoton descrescatoare numai pentru solutiile apartinand multimii M de solutii, iar V(x) sa fie continua si pozitiv definite numai in punctele graficelor solutiilor din M. Va rezulta imediat

Teorema 10’. Daca exista o functie V(x) continua si pozitiv definita pe intersectia dintre si reuniunea graficelor solutiilor din M si astfel incat V*(t)=V(x(t)) sa fie monoton descrescatoare pentru orice solutie din M, solutia nula a sistemului (7.1) este stabila relativa la multimea M.

Aplicatie. Teorema Lagrange – Dirichlet. Fie un sistem mecanic olonom scleronom conservativ; sunt stabile acele stari de echilibru pentru care energia potentiala are un minim.

Demonstratie. Se considera ecuatiile sistemului de puncte materiale scrise sub forma hamiltoniana

,

unde q este vectorul coordonatelor generalizate, iar p vectorul impulsurilor generalizate.

Se stie ca H(p, q) = T(p, q) + ∏(q), unde T este energia cinetica a sistemului iar ∏ (q) energia potentiala. Se aleg coordonatele generalizate astfel incat ele sa se anuleze in pozitia de echilibru a carei stabilitate se studiaza; ca urmare, ecuatiile reprezinta chiar ecuatiile miscarii perturbate. Energia potentiala a oricarui sistem mecanic fiind determinate pana la o constanta, se poate alege aceasta constanta astfel incat ∏(0) = 0. Daca aceasta valoare reprezinta un minim, atunci intr-o vecinatate a originii ∏(q) > 0. Pe de alta parte, se stie ca energia cinetica T este o forma patratica in raport cu p, adica

T(p, q) = p*B(q)p,

Unde B(q) este simetrica si B(0) este o matrice pozitiv definita. Prin urmare H(p, q) = T(p, q) + ∏(q) este pozitiv definita intr-o vecinatate a originii.

Sistemul fiind conservativ, admite integrala prima a miscarii H(p, q) = h, deci H(p(t), q(t)) nu creste de-a lungul solutiilor. Rezumand, H(p, q) poate fi aleasa ca functie Liapunov a sistemului mechanic. Teorema II.8 va da atunci stabilitatea punctului de echilibru analizat – pentru care II este minim.

Sa consideram acum urmatoarea structura de sistem:

(4.3)

Teorema 11(V.V.Rumiantev). Fie sistemul (4.3) cu X(0, 0) = 0, Y(0, 0) = 0 si presupunem ca exista o functie V(x, y) definita pentru si y arbitrar cu proprietatile :

V(0, 0) = 0, V(x, y) este continua in origine;

V(x, y) , unde este o functie de clasa K;

V*(t)=V(x(t), y(t)) este monoton descrescatoare pentru orice solutie (x(t), y(t)) a sistemului (4.3) cu .

Atunci solutia nula este stabila in raport cu componenta x (in sensul DefinitieiII.2’).

Demonstratie. Fie ales astfel ca ; se alege astfel incat din |x0| + |y0| < sa rezulte V(x0, y0) <, ceea ce e posibil datorita continuitatii si faptului ca V(0,0) = 0. Pe baza monotoniei functiei V*(t) rezulta

,

de unde |x(t; x0, y0)|si teorema este demonstrata.

TEOREME DE STABILITATE ASIMTOTICA SI STABILITATE ASIMTOTICA GLOBALA

Teorema 12(A.M. Liapunov). Fie sistemul (4.1) si presupunem ca exista o functie V: de clasa C1, pozitiv definita si astfel incat functia sa fie negativ definita. Atunci solutia nula a sistemului este asimptotic stabila.

Demonstratie. Conditiile Teoremei 10 sunt indeplinite, deci solutia nula este stabila in sens Liapunov. Ramane ca din ipotezele suplimentare asupra derivatei functiei V sa se deduca atractivitatea. Din pozitivitatea lui V(x) rezulta existenta functiilor din clasa K astfel incat

Deoarece W(x) e negativ definita, -W e pozitiv definita si prin urmare exista in clasa K astfel incat W(x). Pentru o solutie x(t, x0) gasim

In baza proprietatii i) a functiilor de clasa K rezulta

sau

, K

V*(t) fiind monoton descrescatoare, exista

Fie V00, deci si din monotonia functiei rezulta

de unde

si integrand gasim

ceea ce implica ; se obtine astfel o contradictie. Ca urmare V0 = 0 si din V(x(t, x0))→0 rezulta pentru t, deci |x(t, x0)| = 0 si demonstratia se incheie.

Teorema 13. Presupunem ca proprietatile din enuntul Teoremei 12 au loc pentru toti x si V este nemarginita radial in sensul Definitiei 11. Atunci solutia nula a sistemului (4.1) este global asimtotica stabila.

Demonstratia revine la a arata ca solutiile sistemului (4.1) sunt marginite global, dupa care se poate aplica teorema precedenta. Marginirea globala rezulta din faptul ca V este nemarginita radial: conform Definitiei 12 exista cu astfel incat V(x). Cum pentru x0 dat avem

ultima inegalitate datorita faptului ca V*(t) este descrescatoare, se poate gasi r0 in multimea valorilor functiei astfel incat V(x0) ≤ r0. Ca urmare , care exprima marginirea globala. Se poate aplica acum Teorema 12 cu si demonstratia se incheie.

TEOREME DE INSTABILITATE

Teorema 14 (N.G. Cetaev). Presupunem ca exista functia de clasa C1 cu proprietatile: V(0) = 0 si exista cu proprietatea ca originea lui Rn apartine frontierei a lui D. Daca in D, atunci solutia nula a sistemului (4.1) este instabila in sensul Definitiei 7.

Demonstratie. Vom arata mai intai ca multimea D este o multime invarianta a sistemului. Fie si x(t, x0) solutia corespunzatoare conditiei initiale x0. Definind V*(t) = V(x(t, x0)) vom avea

,

Deoarece e continua, exista un interval [0, t’) pe care (t) < 0. Pe acest interval V*(t) = V(x,(t, x0))V(x0) < 0 si deci x(t, x0)D pentru 0 t < t’. Ca urmare multimea {t’|x(t, x0)D, 0 t < t’} e nevida. Fie T marginea superioara a acestei multimi. Daca T < atunci V*(T) = V(x(T, x0)) = 0 si V(x(t, x0)) < 0 pentru 0 t < T. Dar atunci

,

si rezulta V*(T) V*(0) = V(x0) < 0. Contradictia obtinuta arata ca T nu poate fi finit, deci D este invarianta.

Trecem acum la demonstratia teoremei. Presupunem contrariul, anume ca solutia nula ar fi stabile. Exista atunci astfel incat daca |x0| < atunci |x(t,x0)| 1. Pe de alta parte, deoarece exista x0 D astfel incat |x0| < . Deoarece V este continua si V(0) = 0, exista cu proprietatea ca daca |x| < atunci |V(x)| |V(x0)|. Insa pe baza inegalitatilor V(x(t, x0)) V(x0) < 0 obtinute din x0 D si din ipoteza asupra derivatei lui V rezulta ca |V(x(t, x0))| |V(x0)|. Ca urmare |x(t, x0 )| 1. Multimea este compacta; fie minimul functiei pe aceasta multime. Atumci

de unde . Pe de alta parte, , ceea ce indica o contradictie. Deci solutia nula nu poate fi stabila. Demonstratia se incheie.

Teorema lui Cetaev contine ca un caz particular teorema lui Liapunov cu privire la instabilitate.

Teorema 15(A.M.Liapunov). Presupunem ca exista functia V: GRn→R de clasa C1 astfel incat V(0) = 0, < 0 si nu exista nici o vecinatate a originii in care V sa fie pozitiv semidefinita, atunci solutia nula a sistemului (4.1) este instabila in sensul Definitiei 7.

Pentru a demonstra teorema lui Liapunov este sufficient sa observam ca ipotezele ei implica indeplinitea ipotezelor teoremei lui Cetaev: faptul ca nu exista nici o vecinatate a originii in care V > 0 arata ca exista puncte oricat de apropiate de origine cu proprietatea ca V(x) < 0.

Rezulta ca multimea D = {x| V(x) < 0} va fi nevida si originea va fi un punct frontiera. Proprietatea < 0 fiind valabila peste tot in G, este valabila si in D, deci toate ipotezale lui Cetaev sunt verificate. Aplicarea teoremei lui Cetaev demonstreaza teorema lui Liapunov.

FUNCTIA LIAPUNOV LA SISTEMELE LINIARE

Consideram din nou sistemul liniar

(4.4)

pentru care problema stabilitatii a fost complet rezolvata cu ajutorul localizarii valorilor proprii ale matricii A; continuarea studiului, in vederea gasirii unei functii Liapunov este utila, mai ales pentru faptul ca, prin modificarea adecvata a acestei functii se pot obtine functii Liapunov pentru anumite clase de sisteme neliniare. Consideram o functie Liapunov de forma

V(x) = x*Px, (4.5)

unde P este o matrice simetrica, strict pozitiva definita. Daca si sunt, respectiv, cea mai mica si cea mai mare valoare proprie a matricii P atunci, pe baza definitiei normei unei matrici si a proprietatilor functiilor continue pe multimi compacte, se obtin binecunoscutele inegalitati

(4.6)

Derivand pe V in virtutea sistemului (4.4) gasim

Daca P > 0 poate fi gasit astfel incat Q > 0, atunci W(x) = ( si din aplicarea Teoremei 12 (teorema de stabilitate asimptotica a lui Liapunov) rezulta stabilitatea asimptotica a sistemului liniar (4.4). Cum in baza relatiilor (4.6) functia Liapunov este radial nemarginita, stabilirea asimptotica este globala.

Cele de mai sus arata deci ca problema stabilitatii sistemului liniar (4.4) se reduce la problema gasirii unei solutii simetrice, strict pozitiv definite, a ecuatiei liniare matriciale

A*P + PA = -Q, (4.7)

unde Q este simetrica si strict pozitiv definita. (Ecuatia de mai sus poarta numele de ecuatia lui A.M.Liapunov). Pentru solutionarea acestei probleme algebrice vom demonstra un rezultat mai general.

Lema 3. Daca matricile A si B nu au valori proprii comune atunci ecuatia

AX – XB = C (4.8)

are solutie unica pentru orice C.

Demonstratie. Fie X1 si X2 doua solutii distincte ale ecuatiei. Atunci X3 = X1 – X2 este solutie a ecuatiei omogene

AX – XB = 0.

Ecuatia omogena nu admite insa decat solutia nula. Intr-adevar, daca X 0 verifica ecuatia omogena, atunci avem

de unde rezulta

Cele doua expresii sunt rationale in raport cu variabila complexa ; polii fiecareia din ele fiind valorile proprii ale matricilor B, respective A. Prin ipoteza A si B nu au valori proprii comune, deci functia

este o functie intreaga in tot planul complex. Pe baza teoremei lui Liouville din teoria functiilor de variabila complexa rezulta ca F() este identica cu o constanta. Insa

si deci X(I – B)-10 de unde X = 0.

Ecuatia omogena nu admite decat solutie nula si pe baza alternativei lui Fredholm (care in cazul ecuatiilor algebrice liniare este exprimata de teorema lui Rouche-Capelli pentru care se poate consulta orice manual de algebra liniara) ecuatia neomogena admite solutie unica. Lema 3 este complet demonstrata.

Urmatorul rezultat se refera la solutia ecuatiei Liapunov.

Lema 4. Consideram ecuatia (4.7) in care Q este o matrice hermitica si A nu are valori proprii cu proprietatea pentru nici un j sau k.

Atunci ecuatia are o solutie hermitica unica. Daca, in plus, A este hurwitziana solutia are expresia

P = , (4.9)

si daca Q 0 atunci P 0 iar spatiul nul al matricii P este invariant in raport cu A: din Px = 0 rezulta PAx = 0.

Demonstratie. Fie ecuatia (4.8) cu B = -A*. Daca este o valoare proprie a lui A, atunci – este o valoare proprie a lui A*. Din ipoteza rezulta ca valorile proprii ale lui A verifica relatia pentru toti j si k, deci A si –A* nu au nici o valoare proprie comuna. Ca urmare aplicand Lema 3 rezulta ca (4.7) are solutie unica; se vede ca aceasta solutie este simetrica.

Presupunem acum ca A este hurwitziana, deci A* este tot hurwitziana; Propozitia 2 da evaluarea

,

si ca urmare integrala din (4.9) exista . Pe baza relatiei

rezulta ca P definit de (4.9) verifica ecuatia (4.7). Daca Q 0 pe baza lui (4.9) rezulta ca P 0. Fie acum y0 in spatiul nul al matricei P, deci Py0 = 0. Din (4.9) gasim

de unde 0, ceea ce implica QeAty0 = 0. Derivand aceasta identitate rezulta QeAt Ay0 = 0. In baza lui (4.9) gasim PAy0 = 0 si demonstratia se incheie.

Corolarul 1(A.M.Liapunov). Fie matricele P simetrica si A verificand inegalitatea A*P + PA<0. Conditia necesara si suficienta pentru ca A sa fie hurwitziana este ca P>0.

Demonstratie. Presupunem ca A este hurwitziana. Notand Q = A*P + PA avem prin ipoteza Q < 0. Din relatia (4.9) rezulta P > 0. Reciproc, presupunem ca P > 0; fie o valoare proprie a lui A, deci Az =, unde . Vom avea

z*(A*P + PA)z = 2(Re)(z*Pz) < 0.

Cum z*Pz > 0 rezulta Re< 0 , deci A este hurwitziana si demonstratia se incheie.

Cele de mai sus arata ca stabilitatea sau instabilitatea sistemelor liniare pot fi obtinute atat prin localizarea radacinilor ecuatiei caracteristice, cat si prin utilizarea unei functii Liapunov tip forma patratica. Echivalenta metodelor rezulta din teoremele cu privire la solutia ecuatiei matriciale a lui Liapunov.

Importanta rezultatului cu privire la functia Liapunov a sistemelor liniare – apartinand chiar lui A.M.Liapunov – este de natura metodologica. Se stie ca una din ideile de baza ale metodei functiei Liapunov provine din mecanica: daca energia unui sistem mecanic izolat descreste de-a lungul oricarei traiectorii admisibile, cu exceptia unicei stari de echilibru, atunci valoarea minima a energiei corespunde starii de echilibru; de altfel, in demonstrarea teoremei Lagrange-Dirichlet din mecanica s-a ales drept functie Liapunov energia sistemului. Proprietati asemanatoare cu functia de energie are productia de entropie din termodinamica.

Functia Liapunov din cazul sistemelor liniare este prima aplicatie sufficient de generala in care metoda apare deja desprinsa de conceptele fizice, generalitatea ei dobandind credibilitatea necesara.

In incheiere trebuie mentionat faptul ca si cazul valorilor proprii situate pe axaimaginara, avand divizori elementari simpli, in care sistemul liniar are doar stabilitate simpla, poate fi tratat cu ajutorul unei functii Liapunov tip forma patratica. La baza acestei tratari se afla urmatorul rezultat algebric.

Lema 5. Fie A o matrice cu valorile proprii situate pe axa imaginara, cu divizori elementary simpli. Exista atunci o matrice P simetrica, strict pozitiv definita, astfel incat

A*P + PA = 0.

Demonstratie. Fie S matricea transformarii nesingulare care aduce pe A la forma canonica Jordan AJ:

AJ = SAS-1; A = S-1AJS.

Consideram ecuatia

A*X + XA = 0

si introducem matricea =(S*)-1XS-1. Se vede imediat ca daca X este simetrica atunci este hermitica (S este complexa chiar daca A este reala); daca X e solutie a ecuatiei de mai sus, este solutie a ecuatiei

+AJ = 0

si reciproc. Deoarece + AJ = 0 orice matrice care comuta cu AJ este solutie; prin ipoteza asupra divizorilor elementari AJ este diagonala; rezulta ca poate fi orice matrice diagonala. Ecuatia are deci solutie neunica, pozitiv sau negativ definita, deoarece S este nesingulara, semnul definit pentru implica semnul definit pentru X. In particular, se poate lua = I si P = S*S este o solutie pozitiv definita a ecuatiei. Lema este demonstrata.

Pe baza acestei leme obtinem imediat rezultatul de stabilitate. Fie sistemul.

in care A are un numar de valori pe axa imaginara, cu divizori elementari simpli. Fie P > 0 o solutie a ecuatiei A*P + PA = 0; functia Liapunov V(x) = x*Px este pozitiv definita si are derivata in virtutea sistemului nula; se aplica Teorema 10 si rezulta stabilitatea sistemului. Remarcam faptul ca, deoarece x*Px este constanta de-a lungul solutiilor sistemului, este o integrala prima a acestuia.

UN REZULTAT PRIVIND STABILITATEA

EXPONENTIALA

Teoremele de stabilitate asimptotica stabilesc de regula doar existenta acestui tip de comportament al solutiilor, fara a furniza informatii cu privire la caracterul comportarii la valori mari ale argumentului. Pe de alta parte, in aplicatii se doreste cel mai adesea un comportament asimptotic de tipul stabilitatii exponentiale, iar experimentele arata ca stabilitatea exponentiala este realizata efectiv chiar acolo unde mijloacele teoretice nu pot evidential decat simpla stabilitate asimptotica.

Se stie, datorita lui K.P.Persidski (1933), ca la sistemele liniare stabilitatea asimptotica este intotdeauna exponentiala. Un rezultat, datorat lui A.Halanay (1963), extinde aceasta proprietate la o clasa mai larga de sisteme.

Inainte de a formula si demonstra rezultatul mentionat, este necesar sa facem unele precizari cu privire la stabilitatea asimptotica.

Lema 6. Fie sistemul

f(0)=0.

Solutia nula a sistemului este asimptotic stabile daca si numai daca exista K si o functie L astfel incat pentru sa fie valabila estimarea

.

Demonstratie. Asa cum s-a vazut in cap.1 stabilitatea asimptotica inseamna indeplinirea simultana a doua proprietati: stabilirea Liapunov si echitractivitatea.

Presupunem ca solutia nula este asimptotic stabila in sensul Definitiei 4. Atunci din proprietatea de stabilitate in sens Liapunov se deduce ca pentru orice exista astfel incat sa implica |x(t,x0)| < pentru t 0. Consideram un sir {} pozitiv, monoton si tinzand spre 0. Definim

,

adica este marginea superioara a multimii numerelor pentru care, fiind dat, este adevarata proprietatea de stabilitate. Din proprietatile marginii superioare rezulta ca . Pentru definim obtinand pe ansamblu functia in scara (constanta pe portiuni) . Se defineste apoi functia liniara pe portiuni : intre si functia variaza liniar, , . Sirul este monoton descrescator, convergent spre 0, deci din el se poate extrage un subsir strict monoton. Deci rezulta continua, strict crescatoare, ; cu alte cuvinte, . In plus, daca |x0|<, atunci , deci . Considerand functia de clasa K avem in fapt

pentru t > 0.

Solutia nula fiind echiatractiva, pentru orice exista astfel incat , t > T, uniform in raport cu x0 pentru |x0| <. Consideram acelasi sir {}. Definim T1() = inf {T| t > T |x(t, x0)| <, |x0| <}. Din proprietatile marginii inferioare rezulta ca T1() T1(). Pentru , definim T1() = T1(). Se defineste apoi functia liniara pe portiuni : intre si functia variaza liniar, , . Sirul {T1()} este monoton crescator, . Ca mai sus rezulta ca este continua, monoton crescatoare, . Daca t > (), atunci t > ; ca urmare pentru , daca . Considerand functia , inversa functiei , obtinem . Din proprietatile functiei rezulta ca L. Cele doua estimari conduc la estimarea unica:

, , ,

de unde rezulta existentei functiilor K si L din enuntul lemei.

Reciproc, fie si doua functii de tipul celor din enunt. Pentru se poate alege obtinand stabilitatea Liapunov. Tot pentru se poate alege obtinand stabilitatea asimptotica. Lema este complet demonstrata.

Se poate acum formula rezultatul de stabilitate exponentiala.

Lema 7 . Daca solutiile sistemului

verifica evaluarea

|x(t,x0)|

unde K este liniara, L iar f verifica pentru |x|<, atunci solutia nula este exponential stabila.

Demonstratie. Se considera functia Liapunov

V(x)=

Deoarece deducem

V(x) =.

Apoi, pentru |x| <, deducem

si de aici, dupa un calcul direct,

,

de unde

si, in definitiv, obtinem

.

Pentru calculul derivatei in virtutea sistemului se scrie functia:

Se poate alege T suficient de mare astfel incat obtinand

.

Insa evaluarile obtinute sunt suficiente pentru stabilitatea exponentiala. Deoarece

,

rezulta

de unde

si atunci

In final rezulta

APLICATII ALE TEOREMEI DE STABILITATE ASIMPTOTICA A LUI A.M.LIAPUNOV

Problema lui A.I. Lurie si V.N Postnikov se refera la stabilitatea solutiei nule a urmatorului system de ecuatii diferentiale neliniare

,

,

,

unde , , sunt parametri constanti si este o functie neliniara care are graficul in cadranele I si III, = 0, exclusiv pentru = 0.

A.I. Lurie si V.N. Postnikov (1944) au construit urmatoarea functie Liapunov

,

care, pentru , este pozitiv definita. Se deriveaza V in virtutea sistemului

.

Daca 0 < < 1, atunci si obtinem

.

In ipotezele asupra neliniaritatii dV/dt < 0. Aplicand Teorema 12 rezulta stabilitatea asimptotica a solutiei nule. Daca , atunci si obtinem

Daca atunci dV/dt < 0 si aplicarea Teoremei 12 conduce din nou la stabilitatea asimptotica. Sa observam ca daca este indeplinita si ipoteza suplimentara

atunci functia Liapunov este nemarginita radial si Teoremei 13 asigura stabilitatea asimptotica globala.

Stabiliatatea functionarii unei amenajari hidraulice cu castel de echilibru: consideram o uzina hidroelectrica; ecuatiile diferentiale ale miscarii apei din sistem sunt urmatoarele (A. Halanay, M. Popescu, 1979):

cu notatiile cunoscute din hidraulica: L – lungimea galeriei de aductiune, f – aria sectiunii galeriei, F -aria sectiunii orizontale a castelului de echilibru, Z – nivelul apei din castel fata de nivelul apei din lac, W – viteza apei din galerie, H – caderea amenajarii, N2 – puterea centralei dupa manevra, P’ – coefficient de pierdere de sarcina longitudinala ape galerie, R’ – coeficient de pierdere de sarcina locala in diafragma castelului, – randamentul turbinelor, g – acceleratia gravitationala.

Caracteristicile punctului stationar se calculeaza rezolvand sistemul algebric

si retinand dintre solutiile pe cea acceptata in tehnica, anume cea pentru care -H/3 < Z0 < 0. Trecand la ecuatiile in abateri in care

iar W se elimina, obtinand sistemul

,

unde H0 = H + Z0 se numeste cadere libera a amenajarii.

Pentru acest sistem se considera functia Liapunov

(A.Halanay, M.Popescu, 1979), a carei derivate in virtutea sistemului este

Conditia de pozitivitate stricta a functiei v este valabila in zona definita de

In baza definitiei lui H0 si a ecuatiilor regimului stationar relatia de mai sus devine

sau

In particular, deoarece este necesar ca v > 0 in vecinatatea originii, o conditie necesara pentru punctual stationar este Z0 < -H/3; se regaseste astfel solutia regimului stationar adoptata de inginerii hidraulicieni. In ce priveste functia derivate w(Y, V), pozitivitatea pentru valori ale lui Y si V foarte apropiate de 0 (Y = 0 si V foarte mic) impune conditia

care devine o relatie de dimensionare a sectiunii castelului de echilibru

unde FTh este asa-numita sectiune Thoma – gasita de acesta in analiza stabilitatii pe modele liniarizate.

Introducand coeficientul

functia w(Y, V) devine

Pentru α > 1 domeniul de pozivitate este dat de

>,

de unde, deoarece H0 + Y > 0, consecinta a conditiilor de pozitivitate pentru V, rezulta

H0 + Y > H0(FTh/F).

Daca α < 1 deducem, in cazul cel mai defavorabil, conditia

in aceste conditii solutia nula a sistemului este stabila – in baza teoremei de stabilitate a lui Liapunov (Teorema 10). se vede insa ca w(Y, 0) ≡ 0, deci w(Y,V) nu este strict pozitiv definita. Teorema de stabilitate asimptotica a lui Liapunov (Teorema 12) nu poate furniza nici o informatie cu privire la stabilitatea asimptotica. Remarcam insa faptul ca, intrucat conditiile teoremei lui Liapunov sunt suficiente dar nu si necesare, nu se poate afirma nici ca solutia este asimptotic stabila, nici ca nu este.

Stabilitatea unui sistem mecanic supus fortelor disipative si giroscopice

Consideram acelasi sistem mecanic in cazul teoremei Lagrange-Dirichlet, in acelasi ipoteze, dar supus si unor forte disipative Qd si giroscopice Qg. Ecuatiile sistemului scrise sub forma hamiltoniana sunt:

,

Presupunem la fel ca in cazul teoremei Lagrange-Dirichlet ca Π(0) = 0 si Π(q) are un minim de origine. Din ipotezele asupra energiei cinetice T(p, q) rezulta ca H(p, q)<0 intr-o vecinatate a originii.

Fortele desipative sunt caracterizate de inegelitatea

,

iar fortele neenegetice de egalitatea

.

(Fortele giroscopice sunt un caz particular al fortelor neenergetice, fiind liniare in raport cu p: Qg(q, p) = Ag(q)p + bg(q).

Alegand pe H(p, q) ca functie Liapunov pentru sistem si derivand in virtutea sistemului gasim

Constatam ca fortele neenergetice, in particular cele giroscopice, nu imbunatatesc semnul derivatei functieie Liapunov. Fortele disipative asigura faptul ca semnul derivatei este constant. Derivata nefiind strict negativa, nu se poate aplica Teorema 12 si stabilitatea nu rezulta nici in acest caz asimptotica. In cazul asa-numitei disipatii complete, cand fortele dissipative verifica inegalitatea

,

unde φ(ρ) este o functie de clasa K ( a se vedea Definitia 11) derivata inca nu rezulta strict negativ definita in Teorema 12 tot nu se aplica.

5. Principiul de invarianta Barbasin-Krasovski-La Salle Si stabilitatea asimptotica

O serie de apicatii ale metodei functiei Liapunov la sistemele neliniare au condus la gasirea unor functii Liapunov atasate “natural” sistemelor fizice studiate – cum este, de exemplu, cazul functiei de energie la sistemele mecanice. In imensa majoritate a cazurilor aceste functii rezulta pozitiv definite, insa derivata lor nu este decat pozitiv semidefinita. Ca urmare Teorema de stabilitate asimptotica a lui Liapunov nu permite tragerea vreunei concluzii cu privire la stabilitatea asimptotica. Faptul ca stabilitatea asimptotica a sistemelor respective se poate obtine pe alte cai sau intuieste pe considerente fizice, caracterul de suficienta, nu si de necessitate al condiilor lui Liapunov au condus la idea slabirii acestor conditii prin examinarea comportarii solutiilor ecuatiilor miscarii perturbate in multimea de anulare a derivatei functiei Liapunov si in afara ei. Rezultatele semnificative au fost obtinute de E.A.Barbasin si N.N.Krasovski in anul 1952, fiind generalizate ulterior de J.P.La Salle in anii 1960, 1962, 1968 sub forma unui principiu de invarianta; tehnica de demonstratie este in esenta aceeasi la toti trei autorii, de aceea vom expune in mod unitar rezultatele, denumindu-le principiul de invarianta Barbasin-Krasovski-La Salle.

Definitia 13. O functie V: XRn→R se numeste functie Liapunov pentru sistemul de ecuatii diferentiale

(5.1)

daca este de clasa C1, derivate sa in virtutea sistemului definita de W(x) = (∂V/∂x)f(x) este negativ semidefinita pe X si pentru orice x X exista o vecinatate unde V este minorata.

Fie G multimea unde se anuleaza W(x): G = {x | W(x) = 0}.

Teorema 16. Principiul Barbasin-Krasovski-La Salle. Fie sistemul (5.1), V: X→R o functie Liapunov si G multimea de anulare a derivatei acesteia. Orice solutie x(t, x0) a lui (5.1) care exista pe un interval (α, ω), α < 0 < ω si are prioprietatea ca pentru t[0,ω) este inclusa in domeniul de definitie a lui V va avea urmatorul comportament asimptotic: sau sau si , unde M este cea mai larga multime invarianta continuta in G (cu d(x, S) s-a notat distanta de la punctual x la multimea S).

Inainte de a trece la demonstratie vom face unele observatii. Prin multime invarianta se intelege aici invarianta in raport cu solutia sistemului: daca N este o multime invarianta, atunci x0 N implica x(t, x0)N pentru toti t pentru care este definita solutia; in cazul in care proprietetea este valabila pentru t > 0 sau t < 0, se spune ca multimea este pozitiv respectiv negativ invarianta. Remarcam apoi cat de slabe sunt ipotezele asupra functiei Liapunov: din vechile proprietati s-a retinut doar semnul constant negativ al derivatei; este adevarat ca din minorare se poate obtine semnul costant al functiei prin adaugarea unei constante de semn corespunzator, ceea ce nu afecteaza proprietatile derivatei. Oricum, ca urmare a acestor ipoteze este posibila obtinerea mai multor tipuri de comportament asimptotic intre care stabilitatea asimptotica a unui punct stationar este ceva particular.

Demonstratie. Fie o solutie situate pe X pentru toti t 0 si multimea punctelor sale -limita finite.

Daca este vida, atunci . Intr-adevar, in caz contrar s-ar putea gasi un sir {tn} cu si cu proprietatea ca sirul {x(tn, x0)} este marginit. Conform lemei lui Cesaro se poate extrage din acest sir un subsir convergent spre un punct -limita finit, deci n-ar fi vida.

Daca este nevida, exista p si un sir crescator , , cu proprietatea ca pentru k > N. Se pot evidential in acest caz doua situatii distincte. Daca exista cu proprietatea ca |x(t, x0) – p| < /2 pentru t > , atunci din teorema de prelungire a solutiilor rezulta ca . Daca un astfel de nu exista inseamna ca solutia intra si iese din sfera B(p, ) de un numar infinit de ori; cu alte cuvinte, se poate gasi un alt sir , , cu proprietatea ca pentru n > N; trecand eventual la subsururi se poate face ca pentru orice n > N; ca urmare pentru orice n > N va exista cu proprieatea ca |x(t, x0) – p| < pentru si . Trecand eventual din nou la subsiruri vom putea realiza ordonarea

.

Deducem din cele de mai sus urmatoarele proprietati:

i)

ii) deoarece f este continua, |f(x)| < M in vecinatatea lui p; ca urmare, din relatia

si din inegalitatea de mai sus rezulta

,

de unde . De aici deducem

si , deci .

(Cu alte cuvinte, s-a demonstrat ca daca este nevida, atunci x(t, x0) este prelungibila pe toata semiaxa pozitiva.)

Fie si sirul de mai sus: . Pentru k suficient de mare se afla intr-o vecinatate a lui p, unde V(x) este minorata, deci sirul este minorat. Deoarece pentru orice t2 > t1:

(in baza faptului ca W(x) ≤ 0) sirul este si monoton descrescator. Rezulta ca . Insa relatia de mai sus exprima faptul ca aplicatia t → V(x(t)) este monoton descrescatoare, deci are limita (finita sau nu); cum s-a pus in evidenta un sir pentru care limita este finita, rezulta ca .

Vom arata acum ca G. Intr-adevar, daca am presupune ca exista si pG, atunci W(p) < 0 si exista o vecinatate a lui p cu proprietatea ca W(x) ≤ -δ < 0 pentru x in aceasta vecinatate. Fie ε > 0 astfel incat sfera B(p, ε) sa fie in intregime inclusa in vecinatatea lui p in care W(x) ≤ -δ.

Asa cum s-a vazut la punctual b), exista doua tipuri de comportare a solutiei in vecinatatea unui punct . Daca x(t, x0) intra si iese din sfera B(p, ε/2) de un numar infinit de ori, atunci putem considera sirurile si obtinand

.

Dar, deoarece , ajungem la contradictia evidenta

!

Cele doua contradictii obtinute arata ca nu poate exista cu pG. Rezulta ca G. Cum din proprietatile multimilor -limita se stie ca acestea sunt invariante, M in baza definitiei lui M.

Reamintim acum urmatorul rezultat: daca o solutie este stabila Lagrange, atunci si daca E, atunci .

Rezulta de aici ca orice solutie prelungita pe toata semiaxa pozitiva are in ipotezele teoremei urmatorul comportament asimptotic: sau sau este marginita si in baza celor de mai sus

S-a aratat insa ca M, deci .

Sa observam ca se pe tot parcursul demonstratiei s-a folosit in mod esential faptul ca X pentru toti t ≥ 0, adica proprietatile din enuntul teoremei sunt valabile pentru acele solutii pentru care domeniul definitiei functiei Liapunov este multime invarianta. De accea, rezultatul mai este cunoscut si sub numele de principiul invariantei.

Corolarul 2. Daca multimea X este marginita, deschisa si pozitiv invarianta, V este functie Liapunov pe X (in sensul definitiei 13) si MX, atunci M este atractor si X se afla in domeniul de atractie al lui M.

Demonstratie. Deoarece X invarianta, orice solutie pentru care x0 X are proprietatea ca X pentru toti t ≥ 0 si, in baza marginirii lui X, este marginita. Aplicand Teorema 16 rezulta ca tinde asimptotic spre multimea M. Pe de alta parte, M inchisa fiind maximala si este continuta in X deoarece daca x M, atunci x G si cum, prin definitie, G X, rezulta x X. Cum X este deschisa ea este o vecinatate a lui M, deci M este atractor pentru X. Corolarul este demonstrat.

In aplicatiile practice X se alege ca fiind o componenta conexa a unei multimi de forma {x| V(x) < c}, unde V este functia Liapunov. Aceasta multime este deschisa si invarianta, ramanand de verificat pentru aplicarea Corolarului 2 doar faptul ca multimea este marginita.

Corolarul 3. Daca M este formata dintr-un singur punct cu proprietatea V(p) = 0 si V(x) > 0 intr-o vecinatate a lui p, atunci p este asimptotic stabil. Daca, in plus, V este radial nemarginita in sensul Definitiei 12, atunci stabilitatea asimptotica a lui p este globala.

Demonstratie. In ipotezele corolarului este valabila Teorema 10 (a lui Liapunov); rezulta ca p este stabil Liapunov, stabilitatea insemnand marginire. In baza Teoremei 16, orice solutie marginita tinde asimptotic spre M = {p}, deci pentru solutiile care incep intr-o vecinatate a lui p.

Daca, in plus, V este radial nemarginita, se obtine, ca in cazul Teoremei 13, marginirea globala, dupa care se aplica Principiul de invarianta (Teorema 16) obtinand stabilitatea asimptotica.

Observatie. Corolarul 3 exprima binecunoscuta teorema de stabilitate asimptotica (in particular, stabilitatea asimptitica globala) apartinand lui E.A.Barbasin si N.N.Krasovski (1952). Ulterior, folosind exact aceleasi tehnici de demonstratie, dar intr-un cadru mai general, J.P.La Salle (1960, 1962) a extins rezultatele lui Barbasin si Krasovski dandu-le forma din Teorema 16 (1968).

Aplicatii ale principiului invariantei

Vom relua aici doua din aplicatiile paragrafului precedent in care Teorema 12 de stabilitate asimptotica nu a furnizat nici o informatie din cauza ca derivata in virtutea sistemului nu a rezultat strict negativ definita.

Stabilitatea amenajarii hidraulice: functia Liapunov este data de

iar derivata de

Vom utiliza acum Corolarul 2 al Principiului invariantei pentru a estima domeniul de atractie. Fie < 1 (cazul cel mai des intalnit in practica). Se defineste curba

si, asa cum s-a vazut la cap.4, in multimea {Y, V| (V, Y) > 0} paranteza din expresia lui este strict pozitiva.

Multimea {V, Y| v(Y, V) < c} este marginita, deschisa si invarianta, fiind continuta in domeniul de atractie al lui M – pe care il vom determina in cele ce urmeaza. Practic, se construieste familia de curbe definita de

v(Y, V) = c

si se retine ca estimare a domeniului de atractie al multimii M domeniul din interiorul curbei corespunzatoare celui mai mare c pentru care acest domeniu se afla in intregime deasupra curbei (V, Y) care s-a definit mai sus.

Multimea G de anulare a functiei w(V, Y) nu ne intereseaza aici in intregime, ci intersectia sa cu multimea {Y, V| (V, Y) > 0} in care este inclus si domeniul de atractie. Aceasta componenta este multimea {(V, Y)| V = 0}. In aceasta multime dY/dt = 0, deci Y = const. In baza ecuatiilor regimului stationar obtinem din ecuatia pentru V faptul ca Y = 0. Deci singura multime invarianta cuprinsa in intersectia multimii de anulare a derivatei w(Y, V) cu domeniul de atractie considerat este originea. Aplicand Corolarul 3 (Teorema Barbasin – Krasovski) rezulta stabilitatea asimptotica.

Stabilitatea unui sistem mecanic supus fortelor disipative si giroscopice:

functia Liapunov a sistemului este:

V(p, q) = H(p, q),

unde H(p, q) este hamiltonianul sistemului. Admitem ipotezele teoremei Lagrange – Dirichlet asupra lui Π(q) si presupunem ca originea este un punct de echilibru izolat. Multimea de anulare a derivatei functiei Liapunov este data de , datorita prezentei fortelor disipative. Deci aceasta multime este formata doar din puncte de echilibru. Cum originea este un punct de echilibru izolat se poate gasi o vecinatate a sa in care sa nu mai existe alte puncte de echilibru. Corolarul 3 (Teoreme Barbasin – Krasovski) va asigura stabilitatea asimptotica (L.Salvadori, 1966).

Stabilitatea sistemelor cu pozitie neunica de echilibru. Dihotomie si asimptotica globala

Definitia 14. Vectorul c se numeste vector stationar al sistemului (5.1) daca x(t) ≡ c este solutie a acestui sistem. Multimea tuturor vectorilor stationari ai sistemului (5.1) se numeste multime stationara.

Definitia 15. Sistemul (5.1) are proprietatea de dihotomie (monostabilitate, R.E.Kalman, 1957) daca orice solutie marginita pentru t > 0 tinde simptotic spre multimea stationara.

Din enuntul definitiei rezulta ca pentru solutiile unui sistem dihotomic este valabila alternativa: sau sunt nemarginite pentru t > 0, sau tind asimptotic spre multimea stationara. Proprietatea de dihotomie este evident mai slaba dacat stabilitatea deoarece nu exclude posibilitatea solutiilor nemarginite; un sistem dihotomic insa nu poate avea autooscilatii.

Definitia 16. Sistemul (5.1) are proprietatea de asimptotica globala daca orice solutie a sa tinde asimptotic spre multimea stationara.

Teorema 17. Presupunem ca pentru sistemul (5.1) exista o functie Liapunov (in sensul Definitiei 13) si ca este adevarata proprietatea:

i) o solutie marginita de-a lingul careia V(x(t)) = const este o solutie stationara in sensul Definitiei 14. Atunci sistemul (5.1) are proprietatea de dihotomie. Daca, in plus, V este definita global si este radial nemarginita, atunci sistemul are proprietatea de asimptotica globala.

Demonstratie. Fie o solutie marginita si multimea punctelor -limita finite care nu este vida (in baza marginirii). Datorita marginirii solutiei aplicatia este marginita si, in baza ipotezelor asupra lui V, necrescatoare; rezulta ca ezista limita finita . Pe baza principiului invariantei obtinem ca G, unde G este multimea de anulare a derivatei W a functiei Liapunov. Fie p si x(t, p) solutia definita de conditia initiala p. Cum este ivarianta, {x(t, p)}t>0 si

,

de unde .

In baza ipotezei i) deducem atunci ca traiectoria x(t, p) coincide cu un vector stationar, deci , unde este multimea stationara a sistemului. In continuare simpla aplicare a Principiului invariantei (Teorema 16) incheie demonstratia proprietatii de dihotomie.

Daca V este definite global si este radial nemarginita, atunci orice solutie a lui (5.1) este marginita (a se vedea demonstratia Teoremei 13) si cum sistemul este dihotomic, demonstratia este completa.

Trebuie mentionat ca proprietatile de dihotomie si asimptotica globala pot fi deduse in ipoteze mai slabe asupra functiei Liapunov (A.H.Ghelig, G.A.Leonov, V.A.Iakubovici, 1978), astfel incat sa fie cuprinse si sistemele de ecuatii cu parte dreapta discontinua. Am preferat insa cadrul Teoremei 16 pentru ca expunerea sa fie unitara; de altfel si aceasta teorema poate fi obtinuta in conditii mai largi. Trebuie mentionat ca, spre deosebire de autorii citati, aici nu se presupune ca functia Liapunov este definita global; rezultatele Teoremei 17 sunt insa valabile in conditiile Principiului de invarianta: pentru care solutiile cuprinse in intregime in domeniul de definitie al functiei Liapunov.

In incheiere, mentionam ca proprietatea de asimptotica globala este importanta pentru sistemele in sens Liapunov. In acest caz se obtine tinderea spre multimea stationara care poate fi de doua feluri: sau fiecare solutie tinde spre o limita anume din multimea stationara (cand se spune ca aceasta multime este punctual asimptotic stabila), sau solutiile se “infasoara” spre multimea stationara unde, eventual “sar” de la un punct stationr la altul (asa-numita proprietate de mutabilitate, V.M.Popov, 1979).

6. PROBLEMA STABILITATII ABSOLUTE.

CONDITII FRECVENTIALE PENTRU EXISTENTA UNOR FUNCTII LIAPUNOV (REZULTATE IAKUBOVICI-KALMAN-POPOV)

Problema stabilitatii absolute apare – sub o forma subinteleasa – in lucrarea, deja mentionata la cap.4, a lui A.I.Lurie si V.N.Postnikov (1944). Exemplul particular rezolvat acolo si-a gasit repede generalizarea in monografia lui A.I.Lurie (1951) si in lucrarile care au urmat. In intervalul de 40 de ani care s-a scurs de la aparitia lucrarii atat formularea problemei, cat si metodele de rezolvare au trecut prin modificari importante in domeniul largirii ariei de cuprindere prin includerea a noi clase de sisteme si a rafinarii metodelor de rezolvare. Exista sute de articole si foarte multe monografii consecrate acestei probleme. Aici ne vom rezuma la strictul necesar pentru intelegerea uneia din metodele de rezolvare, ale carei rezultate algebrice prezinta interes in sine si vor fi utile la solutionarea aplicatiilor din capitolele urmatoare.

Problema stabilitatii absolute se formeaza astfel:

Fiind dat sistemul

,

(6.1)

,

sa se gaseasca conditii asupra tripletului (A, b, c) astfel incat solutia nula a sistemului (6.1) sa fie global asimptotic stabil pentru orice neliniaritate care verifica o conditie de sector de forma

, (6.2)

proprietatea fiind uniforma in raport cu neliniaritatea. (remarcam ca sistemul considerat la cap.4 apartine clasei definite de (6.1) si (6.2) cu , , inegalitatile fiind stricte.)

Scriind ecuatiile (6.1) sub forma

, , (6.3)

, (6.4)

, (6.5)

se obtine reprezentarea unei structuri cu reactie (feed-back).

Este evident, din insasi formularea problemei, ca stabilitatea absoluta se refera la stabilitatea unei intregi clase de sisteme: clasa sistemelor formate din blocul liniar (6.3) conectat in reactie cu un bloc neliniar (6.4), a carui neliniaritate face parte din clasa definite de inegalitatile (6.2)

Modificand atat blocul liniar, cat si blocul neliniar, se pot obtine extinderi si generalizari ale problemei stabilitatii absolute. Pentru intelegerea lucrurilor ne vom rezuma doar la clasa blocurilor liniare tip (6.3) – descrise de ecuatii diferentiale ordinare liniare cu coeficienti constanti – iar pentru clasa neliniaritatilor vom restrange generalizarile la strictul necesar.

METODA FUNCTIEI LIAPUNOV

O structura de system studiata in teoria stabilitatii absolute a fost urmatoare:

;

(6.6)

; ;

unde matricea A este hurwitziana. Se vede ca sistemul (6.6) poate fi scris sub forma

, (6.7)

,

deci apartine clasei definite de (6.1). Matricea partii liniare are ecuatia caracteristica

,

deci are o radacina nula si restul radacinilor in semiplanul stang. Presupunem ca apartine sectorului , adica > 0. Pentru ca sistemul sa fie stabil pentru astfel de neliniaritate este necesar ca, in particular, el sa fie stabil pentru functii liniare de forma , unde este arbitrar de mic. Aceasta nu inseamna altceva decat ca blocul liniar

, , , (6.8)

trebuie sa aiba proprietatea de stabilitate limita. Ecuatia caracteristica avand o radacina nula, iar functia de transfer fiind in acest caz

,

conditia de stabilitate limita din Teorema 6 se scrie astfel:

. (6.9)

Conditia (6.9) este deci o conditie necesara de stabilitate si in continuare o vom presupune indeplinita. Se efectueaza transformarea liniara

,

(6.10)

obtinand sistemul

,

(6.11)

.

Faptul ca A este hurwitziana, deci nesingulara si conditia (6.9) arata ca transformarea (6.10) este inversabila. De aici se deduce usor ca stabilitatea sistemului (6.6) o implica pe cea a sistemului (6.11) si invers. In continuare se va studia sistemul (6.11) pentru care se considera functia Liapunov tip “forma patratica + integrala” (a se vedea si aplicatia de la cap.4):

.

Presupunem ca neliniaritatile mai verifica si

,

iar P se alege simetrica, pozitiv definita, conform conditiei

,

ceea ce, in baza rezultatului lui Liapunov (a se vedea Corolarul 1), este posibil. In aceste conditii functia Liapunov este pozitiv definita si nemarginita radial (in raport cu variabila y). Derivand in virtutea sistemului (6.11) gasim

si se vede ca in partea dreapta a relatiei se afla o forma patratica in raport cu variabilele y si . Daca matricea

(6.12)

este strict pozitiv definita, atunci Teorema 13 asigura stabilitatea asimptotica globala a solutiei nule. Se vede ca inegalitatea este o conditie necesara pentru ca (6.12) sa fie pozitiv definite. Rezulta ca pentru stabilitatea absoluta a sistemului (6.11) in conditiile in care neliniaritatea apartine clasei definite mai sus, este sufficient sa existe o matrice simetrica P > 0 astfel incat sa fie indeplinite inegalitatile matriciale

,

.

Cazul de stabilitate absoluta studiat se numeste caz critic cu o radacina nula. Daca matricea A din (6.1) este hurwitziana cazul se numeste fundamental. In teoria stabilitatii absolute se examineaza aceste doua cazuri, precum si alte cazuri critice. Utilizarea functiei Liapunov conduce in toate aceste cazuri la inegalitati matriciale care depind de coeficientii functiei Liapunov.

METODA FRECVENTIALA

Consideram acelasi sistem (6.6) si presupunem ca A este hurwitziana iar verifica inegalitatile:

.

In plus, = 0 daca si numai daca . Se ataseaza sistemului (6.6) blocul liniar (6.8) si se defineste o comanda in clasa functiilor cu suport compact

(6.13)

unde este solutia sistemului (6.6) si . Se poate vedea usor ca pe intervalul [0, T] solutia lui (6.8) cu comanda definite de (6.13) coincide cu solutia sistemului (6.6), conditiile initiale fiind aceleasi.

Utilizand formula variatiei constantelor, pornind de la (6.6), gasim sistemul integro-diferential,

,

,

unde

.

Definim convolutia

,

se vede ca pentru vom avea

.

Se ataseaza blocului liniar (6.8) cu comanda (6.13) indicele integral

,

unde este un parametru. Se verifica usor ca toti termenii de sub integrala admit transformarea Fourier, deci se poate aplica relatia Parseval

,

unde este paranteza din expresia lui , iar este transformata Fourier a functiei f(t). Un calcul simplu conduce la

,

unde este functia de transfer a blocului (6.8), care a fost deja definita. Daca exista astfel incat sa fie verificata conditia frecventiala

pentru toti reali, atunci .

In baza relatiilor de definitie pentru si si a relatiilor integrale gasim, dupa unele calcule pe care nu le mai reproducem fiind binecunoscute (V.M.Popov, 1961, A.Halanay, 1963, 1966), inegalitatea fundamentala

,

unde

verifica pentru si .

Pe baza inegalitatii fundamentale deducem imediat stabilitatea in sens Liapunov si marginirea globala a solutiilor. Folosind Lema lui I.Barbalat (1959) si alte mijloace de studiere a stabilitatii asimptotice (V.M.Popov, 1966, 1970, 1973), rezulta si tinderea spre 0 a solutiilor.

Metoda frecventiala se mai numeste uneori “metoda indicilor integrali apriorici” deoarece indicele integral pare introdus apriori. In realitate acest indice cuprinde informatii despre neliniaritatea din system. Intr-adevar,

Insa din conditia de sector rezulta urmatoarele:

;

,

inegalitati care sunt utilizate la obtinerea inegalitatii fundamentale.

Restrictii tip forma patratica.

ASOCIEREA INDICELUI INTEGRAL

Sa consideram din nou sistemul (6.1) pentru care neliniaritatea verifica inegalitatile (6.2). Din aceste inegalitati rezulta urmatoarele:

;

,

. (6.14)

Introducand blocul (6.3) cu comanda , construita pornind de la solutia sistemului (6.1),se vede imediat ca inegalitatile (6.14) se pot exprima ca restrictii patratice asupra intrarilor si iesirilor blocului (6.3) dupa cum urmeaza:

;

;

Se vede ca in partea stanga a inegalitatilor de mai sus se afla forme patratice in raport cu si – intrarea si iesirea blocului liniar. Pornind de aici V.A.Iakubovici (1967) a introdus conceptual de reactie generalizata – exprimata sub forma unor restrictii patratice asupra intrarii si iesirii blocului liniar:

;

;

.

In acest mod indicii integrali introdusi de V.M.Popov in fundamentarea metodei frecventiale capata o semnificatie precisa. Ansanblul “bloc + indice integral”, cunoscut din metoda frecventiala (a se vedea de exemplu A.Halanay, 1963, 1966, M.A.Aizerman si F.R.Gantmaher, 1963, S.Lefschetz, 1965) si din teoria hiperstabilitatii (V.M.Popov 1966, 1970, 1973), poate fi astfel construit in mod rational, utilizand informatia despre neliniaritate. Expresia indicelui integral va fi

unde , , sunt parametri arbitrari.

In baza inegalitatilor verificate de formele patratice, rezulta urmatoarea inegalitate pentru indicele integral

.

Ca aplicatie vom scrie expresia indicelui integral pentru neliniaritatea care verifica (6.2). Deoarece si obtinem

care verifica inegalitatea

,

fiind cei definiti mai sus.

Integrand prin parti vom obtine

si se vede ca sub integrala se afla urmatoarea forma patratica:

G,

unde s-au facut notatiile

,

,

.

Notand si

,

obtinem indicele integral din teoria hiperstabilitatii

G, (6.15)

care se asociaza blocului liniar (6.3). Faptul ca ansamblul ”bloc liniar + indice integral” se asociaza in mod natural problemei stabilitatii absolute poate constitui o motivatie suficienta pentru un studiu al acestui ansamblu. Insa el mai apare si in alte probleme calitative (oscilatii fortate, disipativitate, autooscilatii), inclusiv in problema optimizarii dupa criterii patratice (stabilizarea optima). Ca urmare rezultatele privind un astfel de ansamblu au valoare in sine si implicatii multiple. Dealtfel, exista numeroase generalizari (sisteme cu mai multe intrari, sisteme cu ecuatii de evolutie abstracta – V.A.Iakubovici, 1974, 1975 b, A.L.Lihtarnikov si V.A.Iakubovici, 1976, 1977, A.L.Lihtarnikov, 1977). Ne vom rezuma insa doar la ceea ce este necesar pentru a evidentia legatura dintre metoda functiei Liapunov si metoda frecventiala din teoria stabilitatii absolute.

SISTEME POZITIVE

Aparent intre metoda functiei Liapunov si metoda frecventiala nu exista nici o legatura. De fapt, ambele sunt legate de pozitivitatea unui anumit indice integral. In cazul metodei frecventiale acest lucru apare deosebit de pregnant: conditia frecventiala si egalitatea lui Parseval asigura ca , inegalitate utilizata la deducerea inegalitatii fundamentale de unde se obtine stabilitatea.

In cazul metodei Liapunov lucrurile sunt mai putin evidente. Existenta functiei Liapunov cu proprietatile dorite este asigurata de o inegalitate matriciala. Insa daca expresia derivatei functiei Liapunov in virtutea sistemului este integrata rezulta

G

si negativitatea derivatei impune ca G, ceea ce echivaleaza cu inegalitatea matriciala mentionata.

Suntem condusi astfel catre notiunea de sistem pozitiv pe care o vom introduce in continuare.

Definitia 14. Sistemul “ecuatie diferentiala vectoriala + indice integral scalar”

,

, (6.16)

se numeste pozitiv daca functiile si sunt definite peste tot in , respectiv in .

Pentru scopurile noastre este util studiul sistemelor pozitive liniar-patratice – in care este liniara in raport cu ambele argumente, iar si sunt forme patratice. In acest caz problema capata caracter algebric si se pot obtine conditii efective de poztivitate exprimabile in limbajul coeficientilor. In prealabil vom reaminti cateva notiuni de algebra strict necesare intelegerii celor ce urmeaza.

O forma patratica M(z) = z*Mz definita pentru argumentul vectorial complex z se numerste hermitica daca M = M*, unde M* inseamna transpusa complex conjugata a lui M sau numai transpusa lui M daca este reala.

Fie z = u+iv; daca M este reala, atunci pentru orice forma hermitica vom avea

M(z) = M(u) + M(v)

si se vede usor ca M(z) > 0 (0) echivaleaza cu M(u) > 0 (0) pentru toti u reali. Formula de mai sus serveste la prelungirea unica pentru vectori complecsi, cu pastrarea hermiticitatii, a unei forme patratice cu coeficienti reali, definita pentru vectori reali. In mod practic aceasta prelungire se face inlocuind produsele ujuk, unde uj si uk sunt componentele vectorului u, prin Re si pe |uj|2 prin .

SISTEME POZITIVE COMPLET CONTROLABILE

Vom considera in cele ce urmeaza urmatorul sistem de tip (6.16):

;

G, (6.17)

unde forma patratica G definita de

(6.18)

este hermitica (rezultand de aici ca M este hermitica si real). Coeficientii A, b, J, M, l se considera complecsi.

Se asociaza acestui sistem functia caracteristica

(6.19)

si polinomul characteristic

. (6.19’)

Prin calcul direct se verifica usor relatiile

, ,

G,

care se vor dovedi utile in cele ce urmeaza.

Teorema 18(Teorema pozitivitatii Iakubovici-Kalman-Popov). Daca perechea (A,b) este complet controlabila atunci sunt echivalente proprietatile:

1º Sistemul (6.17) este pozitiv in sensul Definitiei 14.

2º Conditia frecventiala

G (6.20)

are loc pentru orice pentru care .

3º Exista cel putin un polinom astfel incat sa aiba loc factorizarea

(6.21)

si pentru orice care verifica (6.20) exista scalarul si vectorul w astfel incat sa poata fi factorizata sub forma

, (6.22)

unde

. (6.23)

Exista totodata si o matrice hermitica N astfel incat sa aiba loc relatiile

(6.24)

si daca (A, b, M, l) sunt reale, , w, N pot fi alesi reali.

Inainte de a trece la demonstratie sa remarcam ca proprietatile 2º si 3º au caracter pur algebric ele nereferindu-se deloc la sistemul (6.17) ci doar la un ansamblu de coeficienti A, b, J, , l , M, , w, N si la niste functii complexe asociate acestui ansamblu. La sistem ca atare se refera doar proprietatea 1º.

In particular, echivalenta 2º3º are caracter exclusiv algebric si ea nu este altceva decat rezultatul clasic denumit “lema Iakubovici-Kalman” prin care se dau conditii necesare si suficiente pentru solutionarea inegalitatilor matriciale din problema stabilitatii absolute (ecuatiile lui A.I.Lurie).

Demonstratie. Vom demonstra echivalenta celor 3 proprietati dupa schema

1º2º3º1º.

A. Implicatia 1º2º este evidenta. Conform definitie avem G pentru toti . In particular, fie astfel incat . Se ia si rezulta

G

adica exact 2º.

B. Implicatia 3º1º rezulta usor astfel. Fie o pereche de functii care verifica ecuatia diferentiala din (6.17). Pentru orice matrice hermitica N, in particular cea din enuntul proprietatii 3°, avem

(6.25)

Relatiile (6.24) se mai scriu sub forma

(6.26)

si, cum matricea din dreapta este pozitiv semidefinita si matricea din stanga este pozitiv semidefinita. Pe baza lui (6.26) rezulta atunci ca sistemul este pozitiv in sensul definitiei, cu si forma patratica de sub integrala a carei matrice, scrisa mai sus, este pozitiv semidefinita.

C. Implicatia 2º 3º constituie partea de rezistenta a teoremei si se demonstreaza pe tape.

C.1. Vom arata ca din conditia frecventiala (6.20) rezulta existenta factorizarii (6.21). Pentru verificand vom avea

.

Daca polinomul este identic cu o constanta (eventual nula), atunci factorizarea este evident posibila in acest caz banal. Presupunem deci ca polinomul nu se reduce la o constanta, ca urmare el adminte cel putin o radacina , deci . De aici rezulta, conform proprietatii lui , deci , adica este o radacina a polinomului. In cazul in care = (deci ) conditia arata ca radacinile pur imaginare au ordin par de multiplicitate. Ca urmare putem considera intotdeauna nu o singura radacina, ci o pereche de radacini si ; polinomul va fi divizibil cu . Rezulta ca putem defini polinomul

care are gradul cu doua unitati mai mic decat gradul lui . Se vede ca si

.

Pentru acest polinom putem deci aplica un rationament de tipul de mai sus obtinand un polinom cu aceleasi proprietati. Procesul continua de un numar finit de ori pana cand se obtine . Ca urmare rezulta factorizarea

,

unde deoarece gradul lui nu poate depasi 2n. Alegand

se vede ca

si deci . Permutand ordinea unora din factori, adica trecand unele binoame din componenta lui in a lui si omoloagele lor din componenta lui in a lui , se obtin noi factorizari (daca nu toti factorii sunt identici).

C.2. Din relatia

,

deducem

si alegand

obtinem .

Deoarece are gradul mai mic sau cel mult egal cu n limita

exista si este finita (eventual nula). Polinomul are in mod sigur gradul mai mic decat n. Deoarece (A, b) este complet controlabila exista un vector w cu proprietatea ca

.

De aici rezulta

.

C.3. Vom demonstra acum existenta matricii hermitice N astfel incat sa aiba loc (6.34). Pe baza celor de mai sus obtinem

expresie care se egaleaza cu (6.18). Pentru aceasta egalitate devine .

C.3.1. In continuare presupunem ca matricea A nu are valori proprii pentru care . In acest caz, pe baza Lemei 4, ecuatia

A*N + NA = ww* – M

are solutie hermitica unica, deoarece ww* – M este o matrice hermitica. Aceasta matrice N, unic determinata pentru w dat, este chiar cea din enuntul teoremei; pentru a demonstra acest lucru este sufficient sa aratam ca tripletul verifica ecuatia

.

Considerand din nou cele doua expresii ale lui , in care se substituie ecuatia de definitie a matricii N, gasim

Pe de alta parte, din identitatile evidente

,

,

deducem prin calcul direct ca

Ca urmare egalitatea de mai sus devine

sau

.

Cele doua expresii sunt rationale in raport cu variabila complexa , polii fiecareia fiind valorile proprii ale matricii A, respective –A* . Daca este o valoare proprie a lui A, atunci este o valoare proprie a lui –A* . Cum insa A nu are valori proprii pentru care , rezulta ca expresiile de mai sus nu au poli, deci sunt intregi in tot planul complex. Pe baza Teoremei lui Liouville ele sunt identice cu o constanta. Insa

,

deci constanta este nula si avem

.

Deoarece (A, b) este pereche complet controlabila, nu exista nici un vector astfel incat . Rezulta de aici ca , adica exact relatia cautata.

C.3.2. Renuntam acum la ipoteza asuprea valorilor proprii ale lui A. Perechea (A, b) fiind complet controlabila, exista un vector q astfel incat matricea A + bq* sa aiba valorile proprii verificand (in particular A + bq* poate fi hurwitziana). Consideram atunci ansamblul , unde

, , ,

definit cu ajutorul vectorului q si al elementelor ansamblului . Un calcul direct arata ca

,

de unde rezulta ca

si deoarece rezulta . Cum din controlabilitatea perechii (A, b) rezulta contolabilitatea perechii (A + bq*, b), iar A + bq* nu are valori proprii pentru care se poate utilize rezultatul demonstrate mai sus; exista deci astfel incat sa fie indeplinite relatiile:

.

Ultimele doua relatii se scriu sub forma

;

si tinand cont in a doua relatie de conditia din prima obtinem

.

Apare acum evident ca (6.24) sunt verificate pentru alegerea

.

Pentru ca demonstratia sa fie completa mai trebuie aratat ca daca A, b ,M ,l sunt reali, atunci , N, w nu pot fi alesi reali. Intr-adevar, din faptul ca A, b, M, l sunt reali rezulta ca polinomul are coeficienti reali, deci radacinile sale care nu sunt reale pot fi grupate in perechi de radacini complex conjugate. Ca urmare, permutand convenabil factorii, se poatre gasi o astfel de factorizare in care sa aiba toate radacinile fie reale, fie grupate in perechi de radacini complex conjugate; in consecinta va rezulta cu coeficienti reali. Deoarece are coeficienti reali, rezulta real si deci are tot coeficienti reali. Relatia

Scrisa pentru real oarecare devine

,

Unde * inseamna transpunere si .

Relatia de mai sus este valabila pentru n numere reale oarecare si, deoarece (A, b) este complet controlabila, vectorii (j = 1,…,n) sunt liniar independenti. Prin urmare rezulta Im w = 0, deci w este real. A mai ramas de aratat ca N este o matrice reala. Relatiile (6.24) conduc insa la

,

,

din care se deduce si relatia

(k = 1,…,n);

ultima relatie aplicata succesiv va da

(k = 0, 1,…,n-1),

de unde obtinem

(Im N) (b Ab … b)=0.

Matricea din dreapta este insa nesingulara deoarece perechea (A, b) este complet controlabila; rezulta atunci ImN = 0, deci si N este o matrice reala. Teorema este complet demonstrata.

SISTEME POZITIVE INCOMPLET CONTROLABILE

Teorema pozitivitatii este valabila exact sub forma din cazul complet controlabil si fara ipoteza de controlabilitate completa a perechii (A, b); o alta ipoteza, chiar daca mai putin restrictiva decat aceea de controlabilitate, este totusi necesara.

In cele ce urmeaza vom da un rezultat de pozitivitate fara controlabilitate completa, cu o ipoteza suplimentara impusa de tehnica de demonstratie dar care in cazurile uzuale este indeplinita in mod natural.

Teorema 19. Daca partea necontrolabila a matricii A are valorile proprii verificand conditia pentru orice j si k din multimea finita de indici ce caracterizeaza spectrul respectivei parti necontrolabile atunci sunt echivalente proprietatile 1° – 3° din enuntul Teoremei 18.

Inainte de a trece la demonstratie vom pune in evidenta unele proprietati ale ansamblului si ale functiei caracteristice si polinomului caracteristic .

Fie S o matrice nesingulara; definim ansamblul prin relatiile

si calculam functia caracteristica si polinomul caracteristic atasate acestui ansamblu:

;

Rezulta din calculele directe de mai sus ca doua ansambluri ale caror elemente sunt legate prin relatiile de mai sus au aceeasi functie caracteristica si acelasi polinom caracteristic. Daca ne raportam la sisteme de tip (6.17)–(6.18), atunci proprietatea de mai sus reprezinta invarianta functiei caracteristice si a polinomului caracteristic fata de schimbari liniare de coordonate.

Pe de alta parte, perechea (A, b) nefiind complet controlabila, exista o matrice nesingulara S cu proprietatea ca

, ,

unde perechea este complet controlabila. Definim vectorul si matricea astfel:

,

dimensiunile partitiilor fiind corespunzatoare dimensiunilor partii complet controlabile, respectiv necontrolabile, ale matricii A. Calculand pentru aceasta structura de sistem functia caracteristica obtinem

.

Rezulta ca functia caracteristica a ansamblului dat, care este incomplet controlabil, coincide cu functia caracteristica a ansamblului construit ca mai sus, unde este o pereche complet controlabila.

Demonstratia Teoremei 19. Se face dupa aceeasi schema ca si demonstratia Teoremei 18. Este evident ca in demonstrarea implicatiilor 1º 2º si 3º 1º nu se face uz de ipoteza controlabilitatii complete, astfel ca aceste demonstratii raman valabile. Trecem deci direct la demonstrarea implicatiei 2º 3º si consideram sistemul in forma rezultata din aplicarea transformarii S. Din conditia frecventiala (6.20) si consideratiile facute mai sus rezulta indeplinirea conditiei frecventiale tip (6.20) pentru ansamblul , unde este complet controlabila. Definind polinomul caracteristic al acestui ansamblu

,

deducem existenta unei factorizari tip (6.21)

.

Pe de alta parte, polinomul caracteristic al sistemului complet, si el invariant la transformari liniare, are forma

si existenta cel putin a unei factorizari de tip (6.21) pentru este evidenta. Aplicand Teorema 18 deducem existenta scalarului si a vectorului astfel incat

,

unde

.

Alegand din toate factorizarile posibile pentru pe cea care corespund lui din relatia

,

obtinem expresia

,

deoarece ecuatia caracteristica este invarianta la transformari liniare. Pe de alta parte, egalitatea

este valabila pentru orice arbitrar. Definind

Obtinem in final ca exista cel putin un vector w si un scalar astfel incat

,

care este tocmai egalitatea (6.23).

In continuare este necesar sa demonstram existenta matricii hermitice N astfel incat sa fie indeplinite relatiile (6.24). Pentru sistemul transformat relatiile (6.24) se scriu sub forma

,

,

, (6.27)

,

.

Pentru primele ecuatii din (6.27) existenta matricii hermitice care verifica aceste ecuatii rezulta din Teorema 18 privind pozitivitatea sistemelor complet controlabile. Ultima ecuatie se scrie sub forma

si, daca si sunt cunoscute, se determina unic ca solutie a acestei ecuatii Liapunov, tinand seama de conditiile din ipoteza asupra valorilor proprii ale matricii (Lema 4). Ramane asadar sa determinam vectorul si matricea care verifica ecuatiile

, (6.28)

.

Sistemul de mai sus este un sistem liniar neomogen. Pe baza alternativei Fredholm – aici teorema Rouché-Capelli din algebra liniar – sistemul liniar neomogen are solutie unica daca si numai daca sistemul omogen adminte numai solutia nula. Sistemul omogen are forma

(9.29)

.

A doua ecuatie se poate pune sub forma

,

de unde rezulta

.

In baza primei ecuatii din (6.29) obtinem

,

de unde

.

Examinand aceasta inegalitate constatam ca in partea stanga se afla un polinom complex, iar in partea dreapta o fractie rationala. Datorita ipotezei asupra spectrului lui si faptului ca admite odata cu radacina si radacina , este posibil sa alegem pe astfel incat aceasta fractie sa fie ireductibila. Aplicand Teorema lui Liouville obtinem , de unde . In continuare, din aceeasi egalitate deducem . Cum este cuplu complet controlabil, nu exista nici un vector astfel incat , deci toate colonele matricii sunt nule, adica .

Am obtinut ca sistemul (6.29) nu are decat solutia nula, deci (6.28) are solutie unica permitand determinarea matricii si a vectorului . Ca urmare si se determina in mod unic din ecuatia Liapunov. Rezulta ca am demonstrat existenta scalarului , a vectorului si a matricii hermitice astfel incat sa aiba loc relatiile

.

Pe baza definitiei lui ultimele doua relatii de mai sus devin

,

.

Prima relatie se inmulteste la stanga cu S* iar a doua la stanga cu S* si la dreapta cu S obtinand

,

Alegand , unde si sunt cei determinati mai sus, obtinem relatiile (6.24). Pentru ca demonstratia sa fie completa mai este necesar sa aratam ca daca sunt reali atunci pot fi alesi reali. Este evident ca daca A, b este o pereche cu componente reale, matricea S, care adduce pe A si b la forma utilizata in demonstratie cu decuplarea partii necontrolabile, are elemente reale. Ca urmare este suficient sa artam ca si au elemente reale. Definind Im N12 si Im w2 in modul cunoscut, gasim ca verifica ecuatiile

,

,

adica tocmai sistemul omogen (6.29). Am vazut insa ca acest sistem nu admite decat solutia nula, deci , , deci N12 si w2 sunt reale. In aceste conditii verifica ecuatia Liapunov omogena

.

Ipoteza asupra valorilor proprii ale lui A22, Lema 4 si alternativa Fredholm arata ca unica solutie este N22 = 0, deci N22 este reala. Cu aceasta demonstratia Teoremei 19 se incheie. In ce priveste ipoteza asupra valorilor proprii ale lui A22, ea este indeplinita, printre altele, in cazul lui A22 este hurwitziana, deci atunci cand cuplul (A, b) este stabilizabil.

Conditia de stabilizabilitate este frecventa in aplicatii, fiind o conditie necesara in probleme de stabilitate si in problema stabilizarii optime – optimizarea cu indice integral patratic.

In incheierea studiului sistemelor positive vom da inca o forma a relatiei matriciale (6.26), foarte des utilizata in constructia functiilor Liapunov. Egalitatea matriciala (6.26) inseamna ca pentru orice vector complex x si orice scalar are loc egalitatea

,

care se scrie imediat sub forma

G.

Introducand matricea P = -N obtinem relatia

G (6.30)

valabila pentru orice x si .

B i b l i o g r a f i e

Balint St., Halanay A., Reghis M. (1983) Comunicare personala

Courant R. (1965) Equations aux derivées partielles hyperboliqes et applications. Mathématiques modernes pour l’ingénieur, vol. I, Dunod, Paris

Halanay A. (1963) Teoria calitativa a ecuatiilor diferentiale. Ed. Academiei R.P.R., Bucuresti

Halanay A. (1978) Stabilità. Pitagora Editrice, Bologna

Kuros A.G. (1955) Curs de algebra superioara. Ed. Tehnica, Bucuresti

Nicolescu M. (1958) Analiza matematica vol II. Ed. Tehnica, Bucuresti

Popov V.M. (1966) Hiperstabilitatea sistemelor automate. Ed. Academiei R.S.R., Bucuresti

Popov V.M. (1979) Monotonicity and Mutability. J. Differential Equations

Rasvan V (1987) Teoria stabiltatii. Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti

Rouche N., Habets P., Laloy M. (1977) Stability Theory by Liapunov Direct Method Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York