Teoria sistemelor reprezintă un ansamblu de concepte, cuno ștințe, metode și principii independente de aplica ții, necesare și utile studiului… [628296]

1
INTRODUCERE
IN
TEORIA SISTEMELOR

Teoria sistemelor reprezintă un ansamblu de concepte, cuno ștințe, metode și
principii independente de aplica ții, necesare și utile studiului structurii ,
proprietăților și caracteristicilor dinamice ale sistemelor în general , ale
sistemelor automate în mod special. Având ca obiect de studiu sistemul abstract,
desprins de natura sa fizic ă concretă, sub forma unui mode l matematic, teoria
sistemelor este un domeniu de studiu care îmbin ă armonios aspectele
fenomenologice ale sistemelor reale și elementele matematice abstracte necesare
descrierii comportamentului și interac țiunii dinamice a sistemelor. Teoria
sistemelor introduce un mod de gândire științific de tip logic, a șa zis sistemic,
având la baz ă principiul cauzalit ății, care permite abor darea interdisciplinar ă a
realității înconjur ătoare.

1.1. DEFINIREA ȘI CARACTERIZAREA SISTEMELOR
Conceptul de sistem a apărut și s-a dezvoltat de-a lungul timpului, ca rezultat al
evidențierii unor tr ăsături și comportamente comune pe ntru o serie de procese și
fenomene din diferite domenii, fapt ce a permis tratarea acestora, din punct de
vedere structural-func țional, într-un mod unitar, sistemic.
Noțiunea de sistem are o sfer ă de cuprindere foarte larg ă, fiind frecvent
întâlnită în știință și tehnică (în general, în toate domeniile gândirii și acțiunii
umane), îns ă aproape întotdeauna în asocia ție cu un atribut de specificare; de
exemplu, sistem automat, sistem de transmisie, sistem informa țional, sistem de
semnalizare, sistem de produc ție, sistem filozofic, sistem social etc.

TEORIA SISTEMELOR
2
In literatura de specialitate exist ă diverse defini ții ale conceptului de sistem,
unele reflectând tendin ța definirii sistemului într-o cât mai larg ă generalitate, altele
tendința de particularizare la un anumit domeniu al cunoa șterii.
I n c e l e c e u r m e a z ă, prin sistem vom înțelege un ansamblu de elemente ce
interacționează între ele și cu exteriorul , cu respectarea u nor reguli, legi și
principii, în vederea realiz ării unui sens , obiectiv , scop.
Un sistem este structurat ca o c onexiune de elemente, fiecare element
constituind la rândul s ău un sistem (subsistem). Interac țiunea dintre elementele
unui sistem poate conf eri sistemului propriet ăți, caracteristici și comportamente
noi, diferite de cele ale fiec ărui element component.
In cazul sistemelor fi zice (reale), interac țiunea se realizeaz ă pe baza legilor
fizico-chimice generale, prin in termediul fluxurilor de mas ă și energie, purt ătoare
de informa ție. Sistemele fizice pot fi naturale sau artificiale (create de om).
Teoria sistemelor opereaz ă cu conceptul de sistem abstract , de obicei sub
forma unui model matematic , care permite descrierea caracteristicilor și
comportamentului dinamic al unei clase de sisteme fizice.
Să subliniem în continuare câteva trăsături fundamentale ale sistemelor.
• Caracterul structural-unitar reflectă proprietatea unui sistem de a fi repre-
zentat ca o conexiune de subsisteme a c ăror acțiune este orientat ă spre un anumit
sens (scop).
• Caracterul cauzal-dinamic reflectă proprietatea unui si stem de a evolua în
timp sub acțiunea unor factori interni și externi, cu respectarea principiului
cauzalității (conform c ăruia, orice efect este rezultat ul unei cauze, efectul este
întârziat fa ță de cauză și, în plus, cauze identice genereaz ă în acelea și condiții
efecte identice).
• Caracterul informațional reflectă proprietatea unui sistem de a primi,
prelucra, memora și transmite informa ție.
In sensul teoriei sistemelor, prin informație se înțelege orice factor care
contribuie calitativ și/sau cantitativ la descrierea comportamentului unui sistem.
La sistemele tehnice, m ărimile fizice uti lizate ca suport pentru transmisia și
stocarea informa ției se numesc semnale .
Mărimile variabile asociate unui si stem pot fi de trei feluri: m ărimi de intrare,
mărimi de stare și mărimi de ie șire.

INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR
3
Mărimile de intrare sunt mărimi independente de sistem (deci de tip cauză),
care influen țează din exterior starea și evoluția sistemului.
Mărimile de stare sunt mărimi dependente de m ărimile de intrare (deci de tip
efect ), având rolul de a caracteriza și descrie starea curent ă a sistemului.
Mărimile de ie șire sunt mărimi dependente de m ărimile de stare și/sau de
mărimile de intrare (deci de tip efect ), având rolul de a transmite în exterior
(sistemelor învecinate) informa ție despre starea curent ă a sistemului. Unele
mărimi de ie șire pot fi în acela și timp mărimi de stare.
Teoria sistemelor opereaz ă cu două concepte de sistem: sistem de tip I-S-E
(intrare-stare-ie șire) și sistem de tip I-E (intrare-ie șire). Sistemele de tip I-S-E
conțin mărimi de intrare, m ărimi de stare și mărimi de ie șire, în timp ce sistemele
de tip I-E con țin explicit numai m ărimi de intrare și mărimi de ie șire. Teoria
clasică a sistemelor opereaz ă cu sisteme de tip I-E, în timp ce teoria modern ă a
sistemelor opereaz ă cu sisteme de tip I-S -E. Unui sistem fizic i se poate asocia un
sistem abstract (model) de tip I-S-E (fig. 1.1, a) și un sistem abstract (model) de tip
I-E (fig. 1.1, b).

( a) (b)
Fig. 1.1. Transferuri cauzale între m ărimile unui sistem :
(a) de tip I-S-E ; (b) de tip I-E .
La sistemele de tip I-S-E, transferul de informa ție intrare-ie șire se realizeaz ă în
mod indirect, prin intermediul st ării. Transferul intrare-stare (I →S) are loc cu
întârziere strict ă, după o dinamic ă proprie sistemului, în timp ce transferul stare-
ieșire (S→E) se realizeaz ă instantaneu. In cazul unor sisteme care respect ă la
limită principiul cauzalit ății, mărimea de ie șire are o component ă ce urmărește
instantaneu varia țiile mărimii de intrare. La aceste sisteme exist ă un canal direct
intrare-ieșire (I→E), prin care tran sferul se realizeaz ă instantaneu.
Teoria sistemelor opereaz ă și cu sisteme triviale, la care m ărimea de ie șire, în
ansamblul s ău, urmărește instantaneu varia țiile mărimii de intrare. Sistemele de
acest tip (numite sisteme statice ), nu conțin mărimi de stare, iar transferul intrare-

TEORIA SISTEMELOR
4
ieșire se realizeaz ă numai pe canalul direct I →E. Sistemele netriviale la care
mărimea de ie șire urmărește cu întârziere varia țiile mărimii de intrare se numesc
sisteme dinamice .
La sistemele de tip I-E (care nu con țin în mod explicit m ărimi de stare),
transferul intrare-ie șire se realizeaz ă direct (fig. 1.1, b), cu întârziere strict ă (la
sistemele dinamice) sau instantaneu (la sistemele triviale de tip static).
Un sistem interac ționează cu sistemele învecinate numai prin intermediul
mărimilor de intrare și de ieșire. Mărimile de ie șire ale unui sistem sunt m ărimi de
intrare pentru sistemele învecinate. M ărimile de ie șire ale sistemelor tehnice sunt
măsurabile, în timp ce m ărimile de stare nu sunt întotdeauna accesibile m ăsurării.
In figura 1.2 este ar ătat modul de repreze ntare a unui sistem Σ;
T
21 ] [mu uu U "= este vectorul coloan ă m-dimensional al m ărimilor de intrare,
T
21 ] [py yy Y "= – vectorul coloan ă p-dimensional al m ărimilor de ie șire, iar
T
21 ] [nx xx X "= – vectorul coloan ă n-dimensional al m ărimilor de stare.
Numărul n al variabilelor de stare ale unui sistem reprezint ă dimensiunea sau
ordinul sistemului.

Atunci când variabilele unui sistem sunt separate în variabile cauz ă și variabile
efect, sistemul se nume ște orientat . La sistemele abstracte, orientarea este formal ă,
în timp ce la sistemele reale, orientarea rezult ă din aplicarea legilor fizico-chimice
specifice, cu respectarea necondi ționată a principiului cauzalit ății.
Mărimile de stare ale unui sistem au dou ă proprietăți esențiale:
– de mediere a transferului intrare-ie șire (I→E), care devine astfel transfer
intrare-stare-ie șire (I→S→E);
– de acumulare într-o form ă concentrat ă (sintetică) a întregii informa ții utile
privind evolu ția anterioar ă a sistemului, adic ă a istoriei trecute a sistemului.
Ultima proprietate poate fi exprimat ă matematic astfel: Starea X la momentul
t, adică )(tX, este complet determinat ă de starea 0X la momentul ini țial 0t și de
intrarea U pe intervalul de timp ),[0tt , adică ),[0ttU . De aici reiese existen ța unei Fig. 1.2. Reprezentarea unui sistem .

INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR
5
funcții de tranzi ție a stării ϕ, care exprim ă evoluția în timp a st ării X dintr-o
stare inițială 0X sub acțiunea intr ării ),[0ttU , adică
) ,,;()(),[ 0 0 0ttUXtt tXϕ= , 0tt≥. (1)
Axiomatica func ției de tranzi ție include proprietatea de consisten ță, adică
0 0 0 00 ))(,,;( X tUXtt = ϕ , 0 0,Xt∀ .
La sistemele continue, func ția de tranzi ție a stării este de tip integral, con ținând
o integral ă d e t i m p c u l i m i t a d e i n t e g r a r e i n f e r i o a r ă 0t și limita de integrare
superioară t. Astfel, sistemul la care transferul intrare-stare este descris de ecua ția
diferențială liniară cu coeficien ți constanți
buaxtx+=dd, R∈t ,
are funcția de tranzi ție a stării
ττ ϕτd)( e e) ,,;(
00
0)(
0) (
),[00 u bx uxttt
tta tta
tt ∫− −+ = , 0tt≥. (2)
In cazul particular 0=a (când sistemul este de tip pur integral), func ția de
tranziție are forma
∫+=t
ttt ubx uxtt
00d)( ) ,,;(0 ],[00 ττ ϕ .
La sistemele discrete cu perioada de discretizare a timpului egal ă cu 1, func ția
de tranziție a stării este sub forma unei sume de termeni ce con țin valorile func ției
de intrare U la momentele de timp ante rioare moment ului curent t, adică
)(0tU , )1(0+tU , … , )1(−tU .
Astfel, sistemul cu transferul intrare-stare descris de ecua ția cu diferen țe cu
coeficienți constanți
)( )( )1( tbutax tx +=+ , Z∈t ,
are funcția de tranzi ție a stării
)( ) ,,;(1
1
0 ),[ 0 0
00
0iu abx a uxttt
tiit tt
tt ∑−
=−− −+= ϕ , 0tt≥. (3)

TEORIA SISTEMELOR
6
In cazul particular 1=a (când sistemul este de tip pur integral), func ția de tranzi ție
are forma
∑−
=+=1
0 ),[00
00)( ) ,,;(t
tiiubx uxtttt ϕ .
Pentru o stare ini țială 0X și o intrare dat ă ),0[∞tU , curba de evolu ție a stării
T
2 1)]( )()([)( tx txtxtXn" = în spațiul stărilor (n-dimensional) se nume ște
traiectorie de stare . Pentru 2=n , traiectoriile de stare pot fi reprezentate grafic. O
traiectorie de stare definit ă prin starea ini țială 00≠X și intrarea (comanda)
0),0[=∞tU se numește liberă. Dacă însă 00=X și 0),0[≠∞tU , atunci traiectoria
este forțată (fig. 1.3).

La rândul ei, ie șirea Y poate fi exprimat ă în funcție de starea curent ă X și de
intrarea curent ă U prin intermediul funcției de ieșire
))(),(;()( tUtXt tYη= . (4)
In afara m ărimilor variabile de intrare, de stare și de ieșire, în descrierea
comportamentului unui sistem intervin și unele m ărimi constante sau pseudo-
constante, numite parametri . La sistemele fizice, mărimile parametrice sunt de
regulă mărimi ce caracterizeaz ă propriet ățile fizico-chimice ale sistemului:
densitate, viscozitate, lungime, arie, volum, rezisten ță electrică, capacitate
electrică, conductivitate termic ă etc. Fig. 1.3. Traiectorii de stare .

INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR
7
♦ Un exemplu de sistem îl constituie circuitul electric RLC din figura 1.4. Dac ă
tensiunea variabil ă 1u este generat ă din exterior, independent de circuit, și dorim s ă
cunoaștem modul de varia ție în timp a tensiunii Lu de la bornele inductivit ății L, atunci
circuitul RLC poate fi considerat un sistem orientat, în care 1u este mărime de intrare, Lu
mărime de ie șire, tensiunile Ru și Cu de la bornele rezistorului R și condensatorului C
sunt mărimi de stare. Rezisten ța R, capacitatea C și inductivitatea L sunt parametri ai
sistemului.

Fig. 1.4. Exemplu de sistem fizic .

Sistemul are dou ă variabile de stare, deoarece con ține 2 elemente capabile s ă
înmagazineze și să transfere energie cu vitez ă finită (capacitatea C și inductivitatea L).
Dacă, pe lângă Lu, ne intereseaz ă și modul de varia ție în timp a tensiunii Cu, atunci
avem dou ă mărimi de ie șire (Lu și Cu ), iar Cu este atât variabil ă de ieșire, cât și
variabilă de stare.
1.2. CLASIFICAREA SISTEMELOR
Pe baza unor propriet ăți derivate din caracterul structural-unitar, cauzal-
dinamic și informațional al sistemelor, acestea pot fi împ ărțite în clase (categorii),
sistemele apar ținând unei clase având tr ăsături, propriet ăți și comportamente
asemănătoare.
1.2.1. Sisteme continue și discrete
Sistemele cu timp continuu sunt acele sisteme la care m ărimile de intrare, de
stare și de ieșire iau valori la orice moment de timp t aparținând mul țimii
numerelor reale R.
Sistemele cu timp continuu pot fi continue (netede sau analogice) sau
discontinue . Sistemele continue satisfac urm ătoarea proprietate: Pentru orice stare

TEORIA SISTEMELOR
8
inițială și orice func ție de intrare continu ă (în sens matematic), func ția de stare
)(tX și funcția de ieșire )(tY sunt, de asemenea, func ții continue. Sistemele cu
timp continuu care nu satisfac aceast ă proprietate sunt sisteme discontinue.
Sistemele cu timp continuu sunt descrise prin ecua ții diferențiale.
♦ Un circuit electronic care con ține elemente analogice și un releu electromagnetic
având un contact într-o ramur ă a circuitului este un sistem discontinuu.
Sistemele cu timp discret sunt acele sisteme la care mărimile de intrare, de
stare și de ieșire iau valori numai la anumite momente discrete ale timpului kt.
Sistemele cu timp discret la care discretizarea timpului este uniform ă (cu pas
constant), adic ă kTtk= , unde T este perioada (tactul) și Z∈k , se numesc
sisteme discrete . Alegând, prin conven ție, 1=T , rezultă că la sistemele discrete
timpul t este o variabil ă de tip întreg ( Z∈=kt ). Sistemele discrete sunt descrise
prin ecua ții cu diferen țe. Sistemele fizice discrete con țin un generator de tact
(ceas), deci sunt sisteme artificiale, cr eate de om. Sistemele discrete la care
variabilele iau numai două valori distincte (“0” și “1”) se numesc sisteme logice
sau binare , iar sistemele finite la care variabilele iau un num ăr mare de valori se
numesc sisteme numerice sau digitale .
♦ Dispozitivele de semnalizare optic ă și acustică (pentru alarmare la ie șirea unei
mărimi fizice în afara limitelor admise) sunt sisteme logice, iar calculatoarele sunt
sisteme numerice.
Sistemele care con țin atât elemente continue cât și elemente discrete se numesc
sisteme cu eșantionare sau sisteme e șantionate . Interconectarea subsistemelor
continue și discrete se realizeaz ă prin intermediul convertoarelor analog-numerice
și numeric-analogice. Semnalele numerice ob ținute prin eșantionarea (discreti-
zarea) periodic ă a semnalelor c ontinue se numesc semnale e șantionate .
1.2.2. Sisteme liniare și neliniare
Sistemele liniare sunt acelea care, în orice condi ții, verific ă principiul
superpozi ției (suprapunerii efectelo r): suma efectelor cauzelor este egal ă cu
efectul sumei cauzelor , adică

INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR
9
) ( )( )( )(2 1 2 1 k kc ccE cE cE cE +++=+++ " " , (5)
unde prin )(icE am notat efectul cauzei ic.
Considerăm un sistem cu intrarea u și ieșirea y, aflat pân ă la momentul ini țial
00=t în regim sta ționar, cu 0==yu . Așadar, func ția de intrare )(tu și funcția de
ieșire )(ty sunt func ții de tip original , nule pentru 0<t. Dacă pentru intrarea
)(1tfu= avem răspunsul )(1tgy= , iar pentru intrarea )(2tfu= avem răspunsul
)(2tgy= , atunci pentru intrarea
)( )(22 11tf tf u αα+= ,
răspunsul sistemului liniar va fi
)( )( )(22 11tg tg ty αα+= .
Sistemul ob ținut prin interconectarea a dou ă sau mai multor subsisteme liniare
este, de asemenea, liniar. Reciproca acestei afirma ții nu este totdeauna adev ărată,
adică liniaritatea unui sistem nu implic ă în mod necesar liniaritatea subsistemelor
componente. Pentru sistemele liniare a fost elaborat ă o teorie unitar ă, suficient de
riguroasă și închegat ă.
Sistemele neliniare sunt acele sisteme care nu satisfac în toate cazurile
principiul superpozi ției (adică acele sisteme care nu sunt liniare). Modul
neconstructiv de definire a sistemelor neliniare (prin negarea unei propriet ăți) și
multitudinea modurilor de manifestare a neliniarit ăților conduc la ideea
imposibilit ății construirii unei teorii unitare a sistemele neliniare. In consecin ță,
sistemele neliniare sunt studiate pe clase de sisteme , definite constructiv pe baza
unor propriet ăți comune (de exemplu, cl asa sistemelor continue și liniare pe
porțiuni, clasa sistemelor cu caracteristic ă statică de tip releu, clasa sistemelor
neliniare de ordinul unu etc.).
Sistemele liniare sunt descrise prin ecua ții matematice liniare (algebrice,
diferențiale sau cu diferen țe), iar sistemele neliniare prin ecua ții neliniare. Studiul
sistemelor liniare se poat e efectua într-un mod unitar , mult mai simplu, mai u șor și
mai precis.
Sistemele fizice sunt, de regul ă, sisteme neliniare. Un sistem fizic poate fi
considerat liniar cel mult într -un anumit domeniu de func ționare, delimitat de zone
de funcționare neliniare (de blocare și de satura ție). Sistemele cu neliniarit ăți slabe
în domeniul de func ționare studiat sunt considerate, de cele mai multe ori, ca fiind
liniare sau liniare pe por țiuni.

TEORIA SISTEMELOR
10
1.2.3. Sisteme statice și dinamice
Sistemele statice (numite și fără memorie ) sunt sisteme de ordinul zero (fără
variabile de stare), având valoarea ie șirii Y la momentul t complet determinat ă de
valoarea intr ării U la momentul t. La aceste sisteme, ie șirea (în totalitatea sa)
urmărește instantaneu (f ără întârziere) varia țiile în timp ale intr ării. Sistemele
fizice statice nu con țin în componen ța lor elemente capabile s ă înmagazineze și să
transfere cantit ăți semnificative de mas ă și energie.
Sistemele dinamice (numite și cu memorie ) au ordinul mai mare decât zero și
caracterizeaz ă prin prezen ța regimurilor tranzitorii. Sistemele fizice dinamice
includ în componen ța lor elemente capabile s ă acumuleze și să transfere, cu vitez ă
finită, cantități semnificative de mas ă și energie.
Sistemele statice sunt descrise prin ecua ții algebrice, iar sistemele dinamice
prin ecuații diferențiale sau cu diferen țe.
Studiul unui sistem complex, alc ătuit din mai multe subsisteme interconectate,
este considerabil mai simplu atunci când o parte din subsisteme sunt de tip static.
Un subsistem este considerat de tip static atunci când are un timp de r ăspuns
neglijabil (de cel pu țin 8…10 ori mai mic) fa ță de timpul de r ăspuns al altui
subsistem din cadrul sistemului studiat.
♦ Sistemul reprezentat de circuitul electric RLC din figura 1.4 este un sistem dinamic.
Un circuit electric pur rezistiv (format numai din rezisten țe) este un sistem static. De
asemenea, un dispozitiv mecanic tip pârghie (perfect rigid ă), având ca variabile de
intrare-ieșire deplas ările capetelor pârghiei, este un sistem static. Un traductor tip
termocuplu, de și are un timp de r ăspuns la o varia ție treaptă a temperaturii de ordinul
minutelor, poate fi considerat un subsistem de tip static în cazul unui sistem automat de
reglare a unui cuptor tubular de mari dime nsiuni, caracterizat printr-un timp de r ăspuns
de ordinul zecilor de minute.
1.2.4. Sisteme monovariabile și multivariabile
Sistemele monovariabile au o singur ă intrare și o singur ă ieșire. Sistemele
multivariable au cel pu țin două intrări și două ieșiri; în plus, cel pu țin o ieșire este
influențată de minimum dou ă intrări.
Sistemele cu o singur ă intrare ( 1=m ) și mai multe ie șiri ( 1>p), precum și
sistemele cu mai multe intr ări ( 1>m ) și o singur ă ieșire ( 1=p), pot fi reduse la p,

INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR
11
respectiv m sisteme monovariabile. Sistem ele monovariabile se mai numesc
sisteme SISO (single inpu t-single output), iar sis temele multivariabile se mai
numesc sisteme MIMO (multi input-multi output).
♦ Circuitul electric de tip RC din figura 1.5, având ca intr ări tensiunile u1 și u2, iar ca
ieșiri tensiunile 1v și 2v, constituie un sistem multivariabil.

Fig. 1.5. S istem multivariabil.
1.2.5. Sisteme deschise și închise
Sistemele deschise (cu structur ă deschisă) sunt caracterizate printr-un flux de
informație unidirecțional . Sistemele închise (cu structur ă închisă sau cu bucl ă
închisă) sunt sisteme la care poate fi eviden țiat un flux de informa ție bidirecțional ,
prin care m ărimea de ie șire a unui element al sistemului influen țează starea
viitoare a elementului respectiv, prin inter mediul altor elemen te ale sistemului.
♦ Un sistem automat este format din dou ă subsisteme principa le: procesul (instala ția)
de automatizat P și dispozitivul de automatizare DA (fig. 1.6). Sistemele automate cu
structurile (a) și (b) sunt sisteme deschise, iar cele cu structura (c) sunt sisteme închise.
Sistemul cu structura (a) este un sistem de supraveghere sau monitorizare automat ă (de
măsurare și/sau semnalizare), sistemul cu structura (b) este un sistem de comandă
automată în buclă deschisă, iar sistemul cu structura (c) este un sistem de reglare
automată în buclă închisă a procesului P.

Fig. 1.6. Sisteme automate deschise și închise .

TEORIA SISTEMELOR
12
In cazul sistemului de reglare automat ă, dispozitivul de automatizare DA primește
informație despre valoarea curent ă a mărimii de ie șire a procesului reglat P și, pe baza
acestei informa ții, genereaz ă comenzi convenabile asupra procesului, în vederea aducerii
și menținerii mărimii de ie șire Y a procesului (numit ă mărime reglat ă) la o valoare cât
mai apropiat ă de cea a m ărimii de referin ță R, în condi țiile acțiunii perturba ției P
asupra procesului și a modific ării în timp a m ărimii de referin ță R.
1.2.6. Sisteme cu timp mort
In cazul sistemelor fizi ce cu parametri distribui ți, la care viteza de propagare a
fenomenului este relativ redus ă (cazul proceselor cu transfer de mas ă și al celor cu
transfer caloric), între m ărimile de ie șire și mărimile de intrare poate fi eviden țiată
o întârziere pur ă, de tip „timp mort". Astfel, dac ă mărimea de intrare se modific ă
sub formă de treapt ă la momentul 00=t (fig. 1.7), efectul devine observabil la
ieșire începând de la un anumit moment 0>τ . Intervalul de timp τ în care efectul
este insesizabil la ie șire se nume ște timp mort .
Analiza și sinteza (proiectarea) sistem ele cu timp mort se realizeaz ă mult mai
dificil decât la sistemele f ără timp mort. In cazul cel mai simplu, ecua țiile
matematice ale sistemelor cu timp mort con țin variabila de intrare ) (τ−tu în locul
variabilei de intrare )(tu.
♦ Un cuptor tubular pentru înc ălzirea petrolului, având ca m ărime de intrare debitul
de produs (sau temperatura de intrare a produsului) și ca mărime de ie șire temperatura
produsului la ie șirea din cuptor, constituie un exemplu de sistem cu timp mort.

1.2.7. Sisteme cu parametri constan ți și variabili
Sistemele cu parametri constan ți (numite și invariante ) au o structur ă fixă și
parametri interni constan ți în timp, iar sistemele cu parametri variabili (numite și Fig. 1.7. Răspunsul la intrare treapt ă
al unui sistem cu timp mort .

INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR
13
variante ) au cel pu țin un parametru intern variabil în timp. Starea unui sistem cu
parametri constan ți aflat ini țial în regim sta ționar (caracterizat prin constan ța în
timp a tuturor variabilelor de intrare, de stare și de ieșire) se poate modifica numai
din exterior, prin ac țiunea variabilelor de intrare.
Sistemele cu parametri constan ți sunt descrise prin ecua ții cu coeficien ți
constanți, iar sistemele cu para metri variabili prin ecua ții cu coeficien ți variabili în
timp.
♦ Un exemplu de sistem cu parametri variabili este cuptorul tubular cu flac ără
directă, utilizat la înc ălzirea produsului care circul ă prin tubulatur ă. Datorită fenomenului
de cocsare a materialului tubular, parametrii de transfer termic al c ăldurii de la flac ără la
produsul înc ălzit se modific ă în timp. Fenomenul de modificare a parametrilor de transfer
termic este îns ă foarte lent (fiind sesizabil dup ă una sau mai multe luni de func ționare),
motiv pentru care cuptorul tubular este în mod uzual considerat cu parametri constan ți.
Circuitul electric din figura 1.8, cu întrerup ătorul I acționat la anumite momente de timp,
este un exemplu de sistem cu structur ă variabilă.

1.2.8. Sisteme cu parametri concentra ți și distribui ți
Sistemele fizice cu parametri concentra ți sunt acelea la care se poate
considera, cu suficient ă precizie, c ă mărimile fizice asociate oric ărui element al
sistemului au aceea și valoare în toate punctele elementului.
Sistemele fizice cu parametri distribui ți sunt acelea la care cel pu țin o mărime
fizică asociată unui element dimensional al sistemului are valori care difer ă
sensibil de la un punct la altul, adic ă are valori distribuite de-a lungul unei linii, în
plan sau în spa țiu.
Deoarece toate obiectele f izice sunt de tip spa țial, pentru determinarea
caracterului concentrat sau di stribuit al unui obiect se ține seama de timpul de
propagare a fenomenului (masei, energiei) pe direc țiile spațiale ale obiectului,
care depinde de dime nsiunile obiectului și de viteza de propagare. Fig. 1.8. S istem cu structur ă variabilă.

TEORIA SISTEMELOR
14
♦ Pentru exemplificare, în timp ce presiunea unui gaz într-un vas are practic aceea și
valoare în toate punctele vasului, presiunea unui gaz într-o conduct ă de transport cu
lungimea mare are valori diferite de-a lungul traseului. Prin urmare, primul proces poate
fi considerat cu parametri concentra ți, iar cel de-al doilea cu parametri distribui ți.
Comportamentul dinamic al sistemelor continue cu parametri concentra ți este
descris prin ecua ții diferen țiale ordinare, iar cel al sistemelor cu parametri
distribuiți prin ecua ții diferențiale cu derivate par țiale.
Având în vedere complexitatea form alismului matematic la sistemele cu
parametri distribui ți, în condi țiile în care eroarea de modelare datorat ă renunțării la
ipoteza de distributiv itate se încadreaz ă în limite acceptabile (este sub 10 %), se
preferă considerarea sistemul ui analizat ca fiind cu parametri concentra ți. In
asemenea situa ții, sistemele cu parametri distribui ți pot fi tratate în maniera
specifică sistemelor cu parametri concentra ți, alegând ca variabile de ie șire mărimi
fizice locale asociate unor puncte sau pozi ții reprezentative (de obicei extreme) ale
obiectului fizic.
1.2.9. Clasificarea sistemelor automate
Sistemele automate sunt sisteme tehnice de supraveghere , comandă și control
al proceselor și instalațiilor tehnologice , fără intervenția directă a omului.
Un sistem autom at (SA) este alc ătuit din dou ă părți principale: procesul de
automatizat (P) și dispozitivul de automatizare (DA). In unele aplica ții este
convenabil ă o altă structurare a sistemului automat: în partea fixat ă (PF) și
dispozitivul de comand ă (DC). Partea fixat ă conține procesul împreun ă cu
dispozitivul de execu ție și dispozitivul de m ăsurare (traductorul).
a) După natura elementelor din componen ța dispozitivului de automatizare și a
semnalelor de comunica ție între elemente, sistemele automate pot fi: electronic e,
pneumatice , hidraulice , mecanice și mixte .
Sistemele electronice sunt supe rioare celorlalte în privin ța performan țelor
tehnice și a posibilit ăților de cuplare la echipa mentele de calcul numeric și de
transmisie a semnalelor la distan ță. In mediile cu pericol mare de explozie,
sistemele electronice pot fi îns ă utilizate numai în construc ție antiexploziv ă sau la
puteri foarte mici. Elementele pneumatice și hidraulice sunt ut ilizate mai ales ca

INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR
15
dispozitive de execu ție (acționare), deoarece permit generarea prin mijloace
simple a unor for țe, momente și puteri relativ mari, f ără pericol de explozie..
Când sistemul automat con ține elemente de natur ă diferită, interconectarea
acestora se face prin intermediul unor elemente convertoare (de interfa ță).
b) După gradul de universalita te a elementelor din componen ța dispozitivului
de automatizare, sist emele automate pot fi unificate sau specializate . Sistemele
unificate con țin elemente universale care func ționează cu semnal unificat
(standard).
Sistemele automate electroni ce de putere medie func ționează cu semnal
electronic unificat 20 4"=I mA c.c. Semnalul de tip curent, spre deosebire de
semnalul tip tensiune, poate fi transmis f ără pierderi la distan țe mari, de pân ă la
2000 m.
Domeniul de varia ție al semnalului unif icat este deplasat fa ță de zero, astfel
încât raportul
zgomotutil semnal=r
să aibă o valoare ridicat ă (pentru a avea o transmisie la distan ță mai puțin
influențată de factorii perturbatori), chiar și în cazul în care semnalul util are
valoarea minim ă (4 mA). De regul ă, semnalul unificat este curentul de colector al
unui tranzistor de putere (final). Deplasarea fa ță de zero a curentului de colector
permite men ținerea punctului de func ționare al tranzistor ului în zona de
amplificare liniar ă.
Receptoarele de semnal unificat 4 … 20 mA sunt conectate în serie. Prin
conectarea unei rezisten țe de 250 Ω la bornele de intrare ale fiec ărui receptor,
curentul 4 … 20 mA este transformat în tensiune în gama 1 … 5 V. Num ărul total
de receptoare este limitat, pentru a nu influen ța valoarea curentului, ca urmare a
depășirii puterii și/sau tensiunii maxime a generatorului.
In ultimii 20 ani, s-au dezvoltat și extins rețelele digitale de comunica ție între
elementele componente ale sistemelor automate (re țele FIELDBUS, PROFIBUS
etc.), care ofer ă o serie de avanta je tehnico-economice, cum ar fi: cre șterea calit ății
operațiilor de automatizare, reducerea costurilor și a dimensiunilor, posibilitatea
interfațării elementelor inteligente la nivelul traductoarelor și elementelor de
execuție, creșterea flexibilit ății, siguran ței în func ționare etc.

TEORIA SISTEMELOR
16
Sistemele automate pneumatice de presiune medie func ționează cu semnal
pneumatic unificat în gama 0,12,0"=P bar; 1 bar = 105 Pa (N/m2)≈1kgf/cm2.
Presiunea de 1 bar nu implic ă probleme deosebite de etan șare și nici consum
energetic ridicat pentru prepararea aer ului instrumental de alimentare a
dispozitivelor pneumatice un ificate (aer din atmosfer ă, curățat de impurit ăți, uscat
și comprimat la 1,4 bar); în acela și timp, presiunea de 1 bar este suficient de mare
pentru a crea for țe de ordinul sutelor sau miilor de kgf (prin in termediul unor
membrane circulare cu raza de 5…40 cm), necesare în comanda și acționarea
robinetelor de reglare.
Sistemele automate specializate sunt utilizate în cazul unor automatiz ări de
complexitate mai redus ă, când nu se pune problema transmiterii semnalelor la
mare distan ță. Acestea sunt de ob icei sisteme simple și robuste, f ără energie
auxiliară.
c) In raport cu func ția îndeplinit ă, sistemele automate se clasific ă în:
– sisteme automate de supraveghere sau monitorizare (prin măsurare și/sau
semnalizare);
– sisteme automate de protecție;
– sisteme automate de comandă cu program fix (prestabilit);
– sisteme automate de reglare în buclă deschisă, la care comanda este elabo-
rată numai pe baza valorilor unor m ărimi de tip cauz ă (cu rol de referin ță sau de
tip perturba ție);
– sisteme automate de reglare în buclă închisă, la care comanda este elaborat ă
în principal pe baza valorilor unei m ărimi de tip efect (de ie șire a procesului);
– sisteme automate de conducere (prin supraveghere, protec ție, comand ă pres-
tabilită, reglare).
Măsurarea este o opera ție cantitativ ă, în timp ce semnalizarea este o opera ție
calitativă. Prin măsurarea unei m ărimi fizice se determin ă valoarea acesteia, iar
prin semnalizare se determin ă (prin mijloace optice și acustice) starea m ărimii
fizice respective (care poate fi normal ă sau de dep ășire). Starea unei m ărimi fizice
se definește prin raportare la o limit ă de semnalizare, care poate fi superioar ă (de
exemplu, 90 %) sau inferioar ă (de exemplu, 15 %). Exist ă situații în care unei
mărimi fizice i se asociat ă două sisteme de semnalizare, pentru dep ășirea limitei
superioare de semnalizare și pentru sc ăderea sub limita inferioar ă de semnalizare.

INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR
17
Protecția automată presupune oprirea (blocarea) par țială sau totală a procesului
(instalației), atunci când o m ărime de ie șire a procesului iese în afara domeniului
admisibil de func ționare, afectând calitat ea produsului finit și/sau securitatea
instalației și personalului de operare. Exist ă situații în care unei m ărimi fizice i se
asociată două sisteme de protec ție, pentru dep ășirea limitei superioare de protec ție
și pentru sc ăderea sub limita inferioar ă de protec ție. Limita superioar ă de protec ție
este mai mare decât limita superioar ă de semnalizare (de exemplu, 95 % limita de
protecție și 90 % limita de semnalizare)
Sistemele automate cu comandă prestabilit ă sunt sisteme cu structur ă deschisă,
la care elementul de conducere genereaz ă semnal de comand ă după un program
prestabilit. Sistemele clasice de semaforizare a unei intersec ții rutiere sunt
exemple de sisteme cu comand ă prestabilit ă, deoarece timpii de semaforizare sunt
apriori fixa ți, deci au valori indepe ndente de starea curent ă a traficului rutier.
Reglarea automat ă a unui proces const ă în aducerea și menținerea mărimii de
ieșire a procesului la valoarea sau în vecin ătatea unei m ărimi de referin ță, în
condițiile modific ării în timp a m ărimii de referin ță și a acțiunii perturba țiilor
asupra procesului reglat.
Sistemele de reglare dup ă perturba ție sunt sisteme desc hise care sesizeaz ă
cauza perturbatoare (perturba ția) și, anticipând efectul acesteia asupra m ărimii
reglate (de ie șire a procesului), intervine asupra procesului (în paralel, simultan cu
acțiunea perturbatoare) pentru a genera un efect opus (egal și de semn contrar)
asupra mărimii reglate.
Sistemele de reglare dup ă abatere sunt sisteme închise care sesizeaz ă efectul
(abaterea m ărimii reglate în raport cu m ărimea de referin ță) și intervine asupra
procesului pentru a reduce și elimina abaterea respectiv ă, indiferent de cauza care
a generat-o (ac țiunea unei perturba ții asupra procesului sau modificarea m ărimii
de referin ță).
Sistemele de reglare în bucl ă închisă sunt mai robuste, mai sigure și mai
precise decât cele în bucl ă deschisă deoarece elementul de conducere realizeaz ă
operații permanente de autocorec ție, pe baza informa ției referitoare la valoarea
curentă a mărimii reglate (de ie șire a procesului).
Un sistem de semaforizare în bucl ă închisă are timpii de semaforizare ajustabili
în funcție de starea curent ă a traficului rutier pe toate arterele intersec ției,
măsurabilă în timp real cu ajutorul came relor video echipate cu programe
performante de procesare a imaginii.

TEORIA SISTEMELOR
18
1.3. APLICA ȚII
♦ Aplicația 1.1. Transferul intrare-stare al unui sistem continuu cu intrarea u și starea
x este descris de ecua ția diferen țială cu coeficien ți constanți
buaxtx+=dd, R∈t .
Să se arate c ă sistemul are func ția de tranzi ție a stării
ττ ϕτd)( e e (.)),,;(
00 )(
0) (
00u bx uxttt
tta tta∫− −+ = .
Soluție. Inmulțind ambii membri ai ecua ției diferen țiale cu exponen țiala at−e, obținem
succesiv
u b axxat at − −=− e) (e ,
u bxat at − −=′e ) (e ,
τττd)( e d) (e
0 0∫ ∫− −=′t
tat
tatu btx ,
τττd)( e )( e)( e
000∫− − −= −t
ta at atu btx tx ,
τττd)( e e)(
00 )(
0) (u bx txt
tta tta∫− −+ = , 0tt≥
Se poate verifica u șor că funcția de tranzi ție verifică proprietatea de consisten ță
0 0 00 (.)),,;( x uxtt = ϕ .
♦ Aplicația 1.2. Transferul intrare-stare al unui sistem discret cu intrarea u și starea x
este descris ă de ecuația cu diferen țe
)( )( )1( tbutax tx +=+ , Z∈t .
Să se arate c ă sistemul are func ția de tranzi ție a stării
)( (.)),,;(1
1
0 00
00 iu abx a uxttt
tiit tt∑−
=−− −+= ϕ .
Soluție. Avem
)( )( )1(0 0 0tbu tax tx +=+ ,
)1( )( )( )2 (0 0 02
0+++=+ tbu tabu txa tx ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
) 1 ( )1( )( )( ) (0 02
01
0 0−++++ + +=+− −ktbu tbua tbua txaktxk k k" .
In ultima rela ție, înlocuind pe k cu 0tt−, obținem

INTRODUCERE IN TEORIA SISTEMELOR
19
)1( )1( )( )( )(02
01
00 0 0 −+++ + + =−− −− −tb tbu a tbu a tx atx utt tt tt" , 0tt≥.
♦ Aplicația 1.3. Un sistem electronic unificat de m ăsurare a presiunii are domeniul
40 10"=P bar și semnalul de ie șire 204"=I mA.
a) Care este valoarea presiunii P dacă 10=I mA ?
b) Care este valoarea curentului de ie șire I dacă presiunea este 15=P bar ?
Soluție. Coresponden ța dintre valorile m ărimii măsurate și cele ale semnalului unificat
poate fi stabilit ă ușor pe baza exprim ării procentuale a ambelor m ărimi, valoarea
procentual ă *P a mărimii măsurate fiind egal ă cu valoarea procentual ă*I a semnalului
unificat. Valoarea procentual ă se obține prin raportarea varia ției mărimii (față de limita
inferioară a domeniului) la lungimea domeniului de m ăsurare:
%1003010*⋅−=PP ,
%100164*⋅−=II .
Din **IP=, rezultă
)4(81510−+= I P ,
)10(1584−+= P I .
(a) Presiunea are valoarea
25,21)410(81510 =−+=P bar.
(b) Curentul are valoarea
320)1015(1584 =−+=I bar.

2
REPREZENTAREA MATEMATICA
A
SISTEMELOR

Comportamentul unui sistem în regim dinamic (care include regimul sta ționar
și regimul tranzitoriu ) poate fi descris cu ajutorul unui model matematic , format
din ecuații algebrice și din ecua ții diferen țiale sau cu diferen țe, după cum sistemul
este cu timp continuu sau discret. In teoria sistemelor se utilizeaz ă două moduri
distincte de reprezentare matematic ă a sistemelor în domeniul timpului: prin
ecuații de tip I-E ( intrare-ie șire) și prin ecua ții de tip I-S-E ( intrare-stare-ie șire).
Caracterizarea prin ecua ții de tip I-E implic ă un formalism matematic aparent
mai simplu, care îns ă nu pune în eviden ță toate aspectele referitoare la structura
internă a sistemului. Astfel, la un sistem continuu dinamic de tip I-E, valoarea
ieșirii y la momentul t poate fi determinat ă pe baza intr ării ],0[tu și a unor
condiții inițiale ( )0(y, )0(y etc.). In acela și scop, la un sistem continuu dinamic de
tip I-S-E, în locul condi țiilor inițiale se utilizeaz ă starea ini țială 0X a sistemului.
Conceptele de stare și de sistem I-S-E sunt esen țiale în teoria modern ă a
sistemelor. In general, num ărul n al variabilelor de stare, adic ă dimensiunea
vectorului de stare X, determin ă dimensiunea sau ordinul sistemului.
Reprezentarea matematic ă a sistemelor dinamice continue cu parametri
distribuiți se face prin ecuații diferențiale cu derivate par țiale, deoarece în afara
variabilei temporale t mai intervine cel pu țin una dintre variabilele spa țiale x, y,
z. Aceste sisteme fac parte din categoria sistemelor infinit dimensionale .
Modelul unui sistem cu timp mort se obține, în cazul cel mai simplu, din
modelul sistemului f ără timp mort, prin înlocuirea func ției de intrare )(tu cu
) (τ−tu , unde τ este valoarea timpului mort.

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
21
2. 1. MODELAREA SISTEMELOR
Modelul matematic al unui si stem este un set de rela ții și ecuații matematice
care permit descrierea com portamentului sistemului, adic ă transferul intrare-ie șire
sau intrare-stare-ie șire.
Unui sistem dinamic (cu memo rie) i se poate asocia un model dinamic – pentru
caracterizarea regimului de func ționare dinamic, și un model sta ționar – pentru
caracterizarea regimului de func ționare sta ționar. Regimul sta ționar poate fi de tip
static (când variabilele sistemului sunt constante în timp) sau de tip permanent
(când forma de varia ție în timp a variabilelor sistemului este constant ă – de tip
rampă, de tip sinusoidal etc.). In continuare, vom considera modelul sta ționar ca
fiind asociat regimului sta ționar de tip static.
Modelele sistemelor statice (f ără memorie) și modelele sta ționare ale
sistemelor dinamice sunt constituite din ecuații algebrice , în timp ce modelele
sistemelor dinamice sunt constituite din ecuații diferențiale (la sistemele continue)
sau din ecuații cu diferen țe (la sistemele discrete). Modelul dinamic include și
modelul sta ționar, ultimul putând fi ob ținut din primul prin tr-o particularizare
convenabil ă (prin anularea derivatelor de timp ale variabilelor – la sistemele
continue, respectiv prin egalarea valorilor fiec ărei variabile la toate momentele de
timp – la sistemele discrete). Modelul sta ționar (de tip static) nu con ține variabila
timp t.
Sistemelor liniare le corespund modele liniare (formate din ecua ții liniare), iar
sistemelor neliniare – modele neliniare (care con țin cel puțin o ecua ție neliniar ă).
In majoritatea aplica țiilor practice, pentru simplific area formalismului matematic,
sistemelor cu neliniarit ăți slabe li se asociaz ă modele liniare sau liniarizate pe
porțiuni ale domeniului de lucru.
Modelarea unui sistem fizic, adic ă operația de obținere a modelului matematic,
se poate efectua prin metode analitice , experimentale sau mixte . Simularea este
operația de descriere a comporta mentului unui sistem pe baza modelului acestuia.
Precizia de simulare este dat ă în principal de precizia și acuratețea modelului
matematic.
Indiferent de metod ă, operația de modelare se bazeaz ă pe luarea în considera ție
a unor ipoteze de lucru, cu rol simplificator. Dup ă modul de alegere a ipotezelor
simplificatoare și gradul de concordan ță a acestora cu fenomenul real, modelul

TEORIA SISTEMELOR
22
obținut este mai simplu sau mai comp lex, reflectând realitatea fizic ă cu un grad de
precizie mai mare sau mai mic. Dac ă numărul ipotezelor simplificatoare luate în
considera ție este mare, atunci modelul ob ținut este simplu, robust, u șor de
prelucrat și de interpretat, dar mai pu țin precis. Nici modelele foarte complicate nu
sunt recomandate, datorit ă lipsei de acurate țe în determinarea unor parametri, a
imposibilit ății calculului analitic, a erorilor de rotunjire și trunchiere care apar în
procesarea numeric ă etc.
Modelarea analitic ă a sistemelor tehnice se efectueaz ă pe baza legilor generale
și particulare care guverneaz ă fenomenele fizico-chimice specifice ale sistemului
real (legea conserv ării masei/volumului/energiei/impulsului/sarcinii electrice,
legile echilibrului fizico-chimic etc.).
Legea conserv ării masei este aplicat ă frecvent în forma
ttmt Qt Qa
m md)(d)( )(2 1 =− , (1)
care exprim ă faptul că diferența dintre debitul masic de intrare 1mQ și debitul
masic de ie șire 2mQ este egală cu viteza de varia ție a masei acumulate am. Relația
(1) se obține prin derivarea în raport cu variabila t a ecuației de bilan ț material
)( )( )(2 1tmtmtma=− ,
unde )(1tm , )(2tm și )(tma reprezint ă respectiv masa intrat ă, masa ieșită și masa
acumulată în intervalul de timp ],0[t.
Ecuația de bilan ț material (1) poate fi extins ă la bilan țul energetic, cu
observația că în cazul reac țiilor chimice trebuie s ă se țină seama și de căldura
degajată sau absorbit ă prin reac ție.
In cazul sistemului reprezentat de amestecătorul de produse lichide din figura
2.1, consider ăm că aria secțiunii orizontale a vasului este constant ă (egală cu A),
iar debitele volumice 1Q, 2Q și Q pot fi modificate în mod independent, cu
ajutorul unor pomp e cu piston reglabile. In consecin ță, cele trei debite sunt m ărimi
de intrare ale sist emului, iar nivelul h și densitatea ρ sunt mărimi de ie șire.
Pentru ob ținerea modelului analitic , acceptăm următoarele dou ă ipoteze
simplificatoare:
a) lichidele sunt incompresibile (nu con țin gaze dizolvate);
b) amestecarea este perfect ă, adică densitatea ρ are aceea și valoare în toate
punctele amestecului.

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
23
Aplicând legea conserv ării masei sub forma (1) și apoi, în mod similar, legea
conservării volumului, avem
thAQ Q Qd) d(
22 11ρρρρ =−+ , (2)
thAQQQdd
2 1=−+ . (3)
Din aceste rela ții rezultă următorul model al sistemului:

⎪
⎩⎪
⎨⎧
+=++−+=
Q Q QQtAhQQQthA
22 11 2 12 1
)dddd
ρρρρ( (4)

Fig. 2.1. Amestecător cu debite comandabile (cu ajutorul pompelor ).
Din forma modelului ob ținut reiese c ă sistemul este dinamic, determinist,
neliniar (cu prima ecua ție liniară, iar a doua neliniar ă), cu parametri concentra ți și
fără timp mort.
Dacă scurgerea amestecului din vas are loc liber (fig. 2.2), debitul evacuat Q
depinde de presiunea hidrostatic ă, deci de nivelul h. Prin urmare, debitul Q se
transform ă din variabil ă de intrare în variabil ă de ieșire.
In regim laminar de curgere, corela ția nivel-debit evacuat are forma liniar ă
h Qα= , (5)
iar în regim turbulent, are forma neliniar ă
h Qβ= , (6)

TEORIA SISTEMELOR
24
unde α și β sunt coeficien ți dependen ți de vâscozitatea lichidului, de forma și
dimensiunile elementului obturator al robinetului.
In regim laminar de curgere, corela ția nivel-debit evacuat are forma liniar ă
h Qα= , (5)
iar în regim turbulent, are forma neliniar ă
h Qβ= , (6)
unde α și β sunt coeficien ți dependen ți de vâscozitatea lichidului, de forma și
dimensiunile elementului obturator al robinetului.

Fig. 2.2. Amestecător cu scurgere liber ă.
Tinând seama de aceste rela ții, obținem modelul de regim laminar

⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
=+=+++=+
h QQ Q QQtAhQQhthA
αρρρρα
22 11 2 12 1
) (dddd
, (7)
respectiv modelul de regim turbulent

⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
=+=+++=+
h QQ Q QQtAhQQhthA
βρρρρβ
22 11 2 12 1
) (dddd
. (8)

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
25
Prin anularea derivatelor, din (7) rezult ă modelul sta ționar de regim laminar

⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
=++=+=
h QQQQ QQQ h
αρρρα
2 122 112 1) (1
, (9)
iar din (8) rezult ă modelul sta ționar de regim turbulent

⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
=++=+=
h QQQQ QQQh
βρρρβ
2 122 1122 1) (
. (10)
In cazul în care amestec ătorul conține un deversor pentru men ținerea constant ă
a nivelului ( h=h 0), sistemul are ca variabile de intrare debitele 1Q și 2Q, iar ca
variabile de ie șire debitul Q și densitatea ρ (fig. 2.3). Tinând seama de (4),
rezultă modelul

⎪⎩⎪⎨⎧
+=++=
22 11 02 1
ddQ Q QtAhQQQ
ρρρρ . (11)
Gradul de complexitate al sistemului cre ște atunci când o pa rte a debitului de
ieșire este recirculat ă (reintrodus ă în vas).

Fig. 2.3. Amestecător cu deversor .
Modelarea experimental ă (numită și identificare ) presupune efectuarea unor
teste directe asupra sistemului fizic, permi țând fie identificarea global ă a

TEORIA SISTEMELOR
26
sistemului (cazul sistemelor de tip black box ), fie numai determinarea valorii unor
parametri ai modelului, atunci când se cunoa ște structura și forma modelului (din
modelarea analitic ă).
Pentru exemplificare, s ă consider ăm un sistem fizic (proces) aflat ini țial în
regim staționar (cu intrarea u și ieșirea y nule pentru 0<t ), și să presupunem c ă
în urma modific ării treaptă a mărimii de intrare, )(1 )( t tu⋅=α , răspunsul )(ty
determinat experimental are forma din figura 2.4.

Fig. 2.4. Răspunsul la intrare treapt ă al sistemului
de întârziere de ordinul unu .
Având în vedere fo rma concav-monotonic ă a răspunsului, sistemului i se poate
asocia modelul
KuytyT=+dd
1 (12)
în care
αβ=K , 395
1TT≅ sau 498
1TT≅ , (13)
unde 95T și 98T reprezint ă timpul în care m ărimea de ie șire devine egal ă cu 95 %,
respectiv 98 %, din valoarea sa final ă. Expresia factor ului de propor ționalitate K
rezultă imediat din modelul sta ționar Kuy= (obținut din modelul dinamic (12)
prin anularea derivatei ie șirii y) aplicat regimului sta ționar final (teoretic, pentru
∞→t ), cînd α=u și β=y . De asemenea, expresiile factorului K și constantei
de timp 1T rezultă din soluția ecuației diferen țiale (12) pentru α=u și 0)0(=y ,
anume
)e1( )(1Tt
K ty−
−=α , 0≥t . (14)
In cazul sistemelor automate este dificil s ă se realizeze modelarea experimen-
tală a procesului propriu-zis, fiind mai convenabil s ă se efectueze modelarea
experimental ă a părții fixate , formate din proces, element de execu ție și traductor.

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
27
Modelarea mixt ă îmbină metodele și procedeele de tip analitic cu cele de tip
experimental. O variant ă de modelare mixt ă este aceea în care forma modelului
este determinat ă pe cale analitic ă, iar unii parametri necunoscu ți sau cu un grad
ridicat de incertitudine sunt determina ți pe cale experimental ă.
2.2. SISTEME CONTINUE DE TIP I-E
In cazul unui sistem liniar și cu parametri constan ți, modelul dinamic are
forma primar ă (standard)
ubub ub ubyaya ya yar
rr
rn
nn
n 0 1)1(
1)(
0 1)1(
1)(+++ +=+++ +−
−−
−" " , (15)
unde ia și ib sunt coeficien ți constan ți ( 0≠na ). La sistemele cu parametri
variabili , cel puțin un coeficient ia sau ib este variabil în timp.
Prin conven ție, variabila de intrare u și cea de ie șire y reprezint ă variațiile
mărimilor fizice corespunz ătoare ale sistemului real fa ță de valorile lor ini țiale.
Prin urmare, dac ă sistemul se afl ă în regim sta ționar înainte de momentul ini țial
00=t , atunci toate variabilele sistemului sunt nule pentru 0<t (sunt de tip
original ).
Sistemele liniare sunt proprii pentru nr≤ (strict proprii pentru nr< și
semiproprii pentru nr=) și, respectiv, improprii pentru nr>.
Sistemele improprii nu verific ă riguros principiul cauzalit ății. Astfel, în cazul
1+=nr , pentru intrarea treapt ă unitară )1(t u= , mărimea de ie șire va con ține
componenta improprie
)(0taby
nn
imδ⋅= ,
unde )(0tδ este func ția impuls Dirac.

Fig. 2.5. Funcția impuls Dirac )(0tδ .
Deoarece sistemele fizice sa tisfac principiul cauzalit ății, ele sunt sisteme
proprii. Sistemele cu modele improprii s unt deci irealizabile fizic. Uneori îns ă,

TEORIA SISTEMELOR
28
pentru simplificarea formalis mului matematic, în analiza și sinteza unor sisteme
compuse pot fi utilizate și subsisteme improprii, dar numai în condi țiile în care
caracterul impropriu al acestor a este neutralizat de caracterul strict propriu al altor
subsisteme învecinate.
Sistemele strict proprii satisfac în mod strict principiul cauzalit ății, transferul
intrare-ieșire realizându-se cu întârziere strict ă.
Sistemele semiproprii satisfac la limit ă principiul cauzalit ății, ieșirea acestora
conținând o component ă prin care transferul intrare-ie șire se realizeaz ă instantaneu
(fără întârziere). In cazul 0==nr , sistemul este semiprop riu, de tip static (de
ordinul zero, f ără memorie).
Prin anularea tuturor derivatelor intr ării u și ieșirii y, din modelul dinamic
(15) se ob ține modelul sta ționar
uKy= , (16)
cu factorul de propor ționalitate 0 0/abK= .
Dacă la intrarea sistemului se aplic ă un semnal de tip treapt ă, iar răspunsul
sistemului tinde sp re o valoare finit ă, atunci deosebim dou ă regimuri sta ționare: un
regim sta ționar (trivial) pentru 0<t, în care 0=u și 0=y , și un regim sta ționar
final, pentru t suficient de mare (teoretic, pentru ∞→t ). Ambele regimuri
staționare sunt descri se de modelul sta ționar (16).
In cazul 00≠a și 00≠b , în care panta K a caracteristicii statice este finit ă și
nenulă (caracteristica static ă este o dreapt ă oblică), sistemul este de tip
proporțional . Majoritatea sistemelor fizice sunt sisteme de tip propor țional.
Răspunsul la intrare treapt ă al unui sistem propor țional (stabil) se stabilizeaz ă la o
valoare finit ă și nenulă.
In cazul 00=a și 00≠b , sistemul este de tip integral . Sistemul pur integral are
modelul ubya0 1= , echivalent cu
∫=ttuaby0d
10. (17)
Răspunsul unui sistem pur integral la o intrare treapt ă este de tip ramp ă (cu panta
constantă pentru 0≥t). Sistemele de tip pur integral sunt sisteme cu caracter
„persistent”, deoarece ie șirea y se stabilizeaz ă numai atunci când intrarea u este
nulă. In general, r ăspunsul la intrare treapt ă al unui sistem inte gral (stabil) tinde
asimptotic la o dreapt ă oblică, fiind de tip “ramp ă întârziată”.

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
29
Un rezervor cu aria transversal ă constantă A, având ca intr ări debitul volumic
de lichid admis 1Q și debitul volumic de lichid evacuat 2Q, iar ca ieșire nivelul h,
este pur integral pe ambele canale h Q→1 și h Q→2:
0 0 2 1d1) ( ht QQAht+ =∫− , ∫Δ−Δ=Δtt Q QAh0 2 1d1) ( .
In cazul 00≠a și 00=b , sistemul este de tip derivativ . Un sistem de tip
derivativ are modelul sta ționar 0=y . Deoarece variabila de ie șire y are valoarea
nulă în regim sta ționar, răspunsul la intrare treapt ă al unui sistem derivativ (stabil)
se stabilizeaz ă la valoarea 0.
Modelul
tu
abydd
01⋅= (18)
caracterizeaz ă un sistem pur derivativ impropriu, iar modelul
tubyatyadd
dd
1 0 1=+ (19)
caracterizeaz ă un sistem semipropriu de tip derivativ .
Un condensator electric ideal cu capacitatea C, având ca intrare tensiunea u și
ca ieșire curentul i, este un sistem pur derivativ, cu modelul impropriu tuCidd= .
Un circuit serie de tip RC, având ca intrare tensiunea global ă u și ca ieșire
curentul i, este un sistem derivativ semipropriu, cu modelul
tuCitiRCdd
dd=+ . (20)
Pe baza principiului superpozi ției, modelul primar (20) este echivalent cu
următorul model secundar :
() ( 1 )
11 0
()
10…
…nn
nn
r
raw a w a w aw u
yb w b w b w−
−++ + + =⎧
⎨=+ + +⎩
 . (21)
Strict matematic, se poate verifica faptul c ă ecuația (15) devine identitate prin
înlocuirea variabilelor u și y din (21) în func ție de derivatele variabilei w.
Deoarece nu con ține derivate ale m ărimii de intrare u, modelul secundar poate
fi utilizat și pentru intrări nederivabile sau chiar discontinue .

TEORIA SISTEMELOR
30
O a treia form ă de reprezentare matematic ă în domeniul timpului a sistemelor
continue liniare monovariabile și cu parametri constan ți o constituie modelul de
convoluție
∫−=tutg ty0d)()( )( τττ , (22)
unde )(tg este așa numita funcție pondere , reprezentând r ăspunsul sistemului la
funcția de intrare impuls Dirac )(0t uδ= .
Funcția pondere poate fi ob ținută din func ția indicial ă, definită ca fiind
răspunsul sistemului la intrarea tip treapt ă unitară )(1t u= – figura 2.6. Intre func ția
pondere )(tg și funcția indicial ă )(th există relațiile
∫−=tdg th0)( )( ττ , tthtgd)(d)(= . (23)
Aceste rela ții sunt consecin țe ale principiului superpozi ției și relației între cauze
∫−=td t0)( )(10ττδ .

Fig. 2.6. Funcția treaptă unitară.
Modelul de convolu ție poate fi u șor dedus din principiul superpozi ției,
conform c ăruia, dacă între dou ă cauze exist ă o anumit ă formă de corela ție, atunci
aceeași formă de corela ție se păstrează și între efecte. In cazul nostru, între intrarea
particular ă )(0tδ și intrarea arbitrar ă )(tu există relația
∫−=tut tu0)d()( )(0 τττδ ,
iar intrărilor )(0tδ și )(tu le corespund respectiv r ăspunsurile )(tg și )(ty.
Modelul de convolu ție (22) este foarte important din punct de vedere teoretic,
deoarece are o form ă mult mai compact ă decât cele ale modelului primar (15) și
modelului secundar (21), care sugereaz ă posibilitatea dedu cerii unui model
dinamic cu forma similar ă celei a modelului sta ționar (16). Intr-adev ăr, prin
aplicarea transform ării Laplace ambilor membri ai modelului de convolu ție (22) se
obține modelul operațional (complex)

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
31
)()( )( sUsGsY= , (24)
în care )(sU , )(sY și )(sG sunt respectiv transfor matele Laplace ale func țiilor de
tip original )(tu, )(ty și )(tg. Funcția )(sG se numește funcție de transfer .
Datorită formei sale simple, modelul opera țional este cel mai frecvent utilizat
în studiul sistemelor liniare continue. Func ția pondere )(tg și funcția de transfer
)(sG înglobeaz ă toate propriet ățile și caracteristicile dinamice ale sistemului, fiind
deci echivalente al e parametrilor ia și ib din componen ța modelului primar (15)
și modelului secundar (21).
2.3. SISTEME DISCRETE DE TIP I-E
Dacă sistemul este liniar și cu parametri constan ți, modelul dinamic are forma
primară (standard)
) ( )1( )( ) ( )1( )(1 0 1 0rtub tubtubntya tyatyar n−++−+=−++−+ " " , (25)
unde ia și ib sunt coeficien ți constanți ( 00≠a ). Prin înlocuirea variabilei t cu
variabila (întreag ă) Z∈k , modelul primar poate fi scris sub forma simplificat ă
rkr k k nkn k kub ubub ya yaya− − − −+++=+++ " "1 1 0 1 1 0. (26)
Sistemul cu modelul (25) sau (26) este propriu (strict propriu dacă 00=b ,
respectiv semipropriu dacă 00≠b ). La sistemele semiproprii, transferul intrare-
ieșire conține și o component ă instantanee. De exemplu, în cazul intr ării treaptă
unitară )(10t u= – figura 2.7, compon enta instantanee a m ărimii de ie șire este tot o
treaptă, cu expresia
0 0
0() 1()instbyt ta=⋅ ,
care rezult ă din faptul c ă răspunsul indicial are valoarea ini țială 00 (0) /yb a= .

Fig. 2.7. Funcția discretă tip treapt ă unitară.

TEORIA SISTEMELOR
32
In regim sta ționar, când variabilele de intrare și de ieșire au valori constante la
toate momentele de timp, din mo delul dinamic (26) sau (27) ob ținem modelul
staționar
Kuy= , (27)
cu factorul de propor ționalitate

nr
a aab bbK++++++=…1 01 0". (28)
In cazul K finit și nenul ( 0 …1 0 ≠+++na aa și 01 0 ≠+++rb bb" ), în care
caracteristica static ă este o dreapt ă oblică, sistemul este de tip propor țional .
In cazul 0 …1 0 =+++na aa și 01 0 ≠+++rb bb" , sistemul este de tip integral .
Sistemul pur integral are modelul
)( )1()(0tub tyty =−− . (29)
In cazul 0=K ( 0 …1 0 ≠+++na aa și 01 0 =+++rb bb" ), sistemul este de tip
derivativ . Sistemul pur derivativ are modelul
)1()()(0 −−= tututya . (30)
In conformitate cu principiul superpozi ției, modelul primar (25) poate fi scris
sub forma secundar ă echivalent ă

⎪⎩⎪⎨⎧
−++−+==−++−+
)( )( )( ))()( )( )(
rtwb… twbtwb y(ttuntwa… twatwa
rn
11
1 01 0. (31)
O a treia form ă de reprezentare matematic ă în domeniul timpului a sistemelor
discrete liniare monovar iabile o constituie modelul de convolu ție
∑
=−=t
iiuitg ty
0)()( )( , (32)
unde )(tg este funcția pondere , reprezentând r ăspunsul sistemului la func ția de
intrare tip impuls unitar )(0t uδ= – figura 2.8 Modelul de convolu ție (32) poate fi
ușor dedus din principiul superpozi ției, ținând seama c ă între cauzele )(0tδ și
)(tu există relația
∑
=−=t
iiuit tu
0)()( )(0δ .

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
33

Fig. 2.8. Funcția discretă tip impuls unitar .
Intre func ția pondere )(tg și funcția indicial ă )(th (definită ca fiind r ăspunsul
sistemului la intrarea treapt ă unitară )(1)(0t tu= – figura 2.7), exist ă relațiile
)1()()( −−= ththtg , )( )1()0()( tg g gth +++= " . (33)
Aceste rela ții sunt consecin țe ale principiului superpozi ției și relațiilor între cauze
)1(1)(1)(0 0 0−−= t t tδ , )0( )1( )( )(10 0 0 0δ δδ ++−+= " t t t .
Din modelul de convolu ție (33), prin aplicarea transform ării Z, se obține
modelul operațional (complex)
)()( )( zUzGzY= , (34)
în care )(zU , )(zY și )(zG sunt respectiv transformatele Z ale funcțiilor de tip
original )(tu, )(ty și )(tg. Modelul dinamic opera țional (34) are aceea și formă
(simplă) ca a modelului sta ționar (27) și a modelului opera țional (24) al sistemelor
continue.
2.4. SISTEME CONTINUE DE TIP I-S-E
Modelul general intrare-stare-ie șire (I-S-E) al unui sistem cu timp continuu , cu
parametri concentra ți, are următoarea form ă:

⎪⎩⎪⎨⎧
))(,)(,()())(,)(,()(
tUtXt=gt YtUtXt=ftX
, (35)
în care mtU R R→:)( este funcția de intrare, ntX R R→:)( este func ția de stare și
mtY R R→:)( este funcția de ieșire.
La sistemele continue (netede), func țiile f și g sunt continue în raport cu X
și U, iar la sistemele discontinue, cel pu țin una dintre func țiile f și g este
discontinu ă în raport cu X sau U.

TEORIA SISTEMELOR
34
Prima ecua ție a modelului (36) este ecuația stării, iar cea de-a doua – ecuația
ieșirii. Deoarece ecua ția stării este de tip diferen țial, starea X urmărește variațiile
intrării U cu întârziere.
Un sistem continuu liniar are modelu l sub forma

⎪⎩⎪⎨⎧
)( )( )()( )( )(
t +DUtCX=t Yt +BUtAX=tX 
, (36)
unde ) (nnA× este matricea pătrată a parametrilor de stare, ) (mnB×- matricea
parametrilor de intrare, ) (npC×- matricea parametrilor de ie șire și ) (mpD× –
matricea parametrilor de transmisie direct ă. In cazul 0=D , sistemul este strict
propriu . La sistemele cu parametri constan ți, matricele A, B, C și D sunt
constante, în timp ce la sistemel e cu parametri variabili, cel pu țin una dintre
acestea este func ție de t.
Ecuațiile (36) pot fi scrise explic it (pe componente), astfel :

⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
m nm nm
nn nn
nu u

b bb b
+
x x

a aa a
=
x x
n# % # %
#1
11 11
11 11 1 1
,

⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡mpm pm
npn pn
p u u

d dd d
+
x x
c cc c
=
yy
# % # % #1
11 111
11 11 1
.
Prin conven ție, variabilele de intrare, de stare și de ieșire ale unui sistem liniar
nu reprezint ă valorile absolute ale m ărimilor fizice corespunz ătoare ale sistemului
real, ci variațiile acestora fa ță de valorile lor ini țiale.
La sistemele monovariabile (cu o singur ă intrare și o singur ă ieșire), B este
matrice coloan ă, C este matrice linie, iar D este scalar :
u
b b
+
x x

a aa a
=
x x
n n nn nn
n⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
## %
#1 1
11 11 1
,

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
35
[] ud + c c =y
nn
xx

⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
#"1
1 .
Scris sub form ă scalară, modelul monovariabil are forma

⎪⎩⎪⎨⎧
++++=++++=
ubxa xaxaxubxa xaxax
n nnn n n nnn
" #" 
22 111 1 212 111 1

duxc xcxcynn++++= "22 11 1.
De remarcat faptul c ă forma I-S-E de reprezentare matematic ă a unui sistem nu
este unică. Această observație este confirmat ă și de faptul c ă sistemele liniare
monovariabile de ordinul n de tip I-S-E au 2)1(+n parametri scalari, în timp ce
sistemele similare de tip I-E au maxim )1(2+n parametri scalari.
2.5. SISTEME DISCRETE DE TIP I-S-E
Modelul I-S-E al unui sistem discret are forma

⎩⎨⎧
))(),(,(=)())(),(,(=1)(
tUtXtgtYtUtXtf t+X , (37)
unde mtU R Z→:)( , ntX R Z→:)( , ptY R Z→:)( , iar f și g au aceeași semni-
ficație ca la modelul (41) al unui sistem continuu.
Sistemele discrete liniare și cu parametri constan ți au modelul I-S-E de forma

⎩⎨⎧+
)( )( =)()( )( =)1(
t DU+tCXtYtBU+tAX tX
, (38)
unde A, B, C, D sunt matrice constante cu acelea și dimensiuni ca la sistemele
continue. Modelul (3 9) poate fi scris și sub forma

⎩⎨⎧+
k k kk k k
DU+ =CXBU+ =AXX
Y1 , Z∈k . (39)

TEORIA SISTEMELOR
36
2.7. APLICA ȚII
♦ Aplicația 2.1. Consider ăm circuitul electric din figura 1.4. S ă se afle:
a) modelul I-E pentru 1u intrare și Cu ieșire;
b) modelul I-E pentru 1u intrare și Lu ieșire;
c) modelul I-S-E pentru 1u intrare, Cu ieșire și Cux=1 și Rux=2;
d) modelul I-S-E pentru 1u intrare, Lu și Cu ieșiri, Cux=1 și Rux=2.
Să se arate c ă:
e) tensiunile Lu și Cu nu pot fi variabile de stare;
f) tensiunile Ru și Lu nu pot fi variabile de stare.
Soluție. Avem :
Ri uR=, tiL uL dd= , tuCiddC= , (40)
L C Ru u uu ++=1. (41)
a) Din rela țiile (40), rezult ă
tuRC uR ddC= , 22
dd
tuLCuC
L= .
Inlocuind pe Ru și Lu în relația (71), ob ținem modelul intrare-ie șire
1C
1 22
2
2 dd
ddu utuT
tuTCC=++ , (42)
unde constantele de timp 1T și 2T au expresiile RCT=1, LC T=2. Sistemul este liniar,
continuu, de ordinul doi, cu parametri constan ți.
b) Din rela țiile (40), rezult ă
L RuLRu= , L CuLCu1= .
Derivând de dou ă ori relația (41) și înlocuind apoi pe Ru și Cu, obținem modelul intrare-
ieșire
11uuLCuLRuL L L  =++ ,
care poate fi scris sub forma
12
2 12
2uTu uTuTL L L  =++ . (43)
c) Din rela țiile

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
37
R C uRCu1= , ) (1u u uLRuLRuR C L R +−−== ,
rezultă
2 11xRCx= ,
) (1 2 1 2uxxLRx +−−= .
Cu notațiile TCp1= și LRq=, modelul I-S-E devine astfel :
1
21
21 0 0uq xx
q qp
xx
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−=⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡

, 1x uC=. (44)
Rezultă
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−=q qpA 0, ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=qB0 , []01=C , 0=D . (45)
d) Tinând seama de (44) și de relația
1 2 1uxx uL+−−= ,
modelul I-S-E cerut are forma
1
21
21 0 0
u
q xx
qqp
xx
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡

, 1
21
10
1101
u
xx
uu
LC
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡, (46)
deci
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−=
q qp
A
0
, ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=qB0, ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−=
1101
C , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=10D . (47)
e) Pentru Cux=1 și Lux=2, din relațiile (40) și (41) rezult ă
tiLxdd
2= , txCidd1= , 2 1 1xxRiu ++= .
Prin eliminarea variabilei i, obținem
2 121 xxTT= , 2 1 11 1 xxxTu ++= ,
unde RCT=1, LC T=2. Din aceste rela ții obținem ecua țiile de stare
) (1
1 2 1
11 uxxTx +−−= , 1
11 2
2 11
121)1 1(1uTuxTTxTx −+−+=   .

TEORIA SISTEMELOR
38
A doua ecua ție de stare nu se încadreaz ă în forma general ă admisă, datorită prezenței
derivatei m ărimii de intrare 1u.
f) Pentru Rux=1 și Lux=2, din relațiile (40) și (41) rezult ă
Rix=1 , tiLxdd
2= , tx
Ci
tx
tu
dd
dd
dd2 1 1++= .
Prin eliminarea variabilei i, obținem ecua țiile de stare
2
111xTx= , 1 2
21
121 1uxTxTx   +−−= .
Ca și în cazul anterior, cea de-a doua ecua ție de stare nu se încadreaz ă în forma general ă
admisă, datorită prezenței derivatei m ărimii de intrare 1u.
♦ Aplicația 2.2. Fie circuitul electric din figura 2.9, având ca intr ări tensiunile 1u și 2u,
iar ca ieșire tensiunea 1v. Să se afle:
a) modelul I-E;
b) modelul I-S-E, cu variabila de stare 1v.

Fig. 2.9. Circuit tip RC.
Soluție. a) Din
Ciii=+2 1 ,
rezultă
dtdCRu
Ru1
21 2
11 1v v v=−+−,
deci

22
11
1
2 11 1 1(Ru
Ru
R R dtdC +=++ )vv. (48)
Modelul I-E poate fi scris sub forma
22 11 11
1ukukdtdT +=+vv, (49)
unde

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
39
CRRRRT
2 121
1+= ,
2 12
1 RRRk+= ,
2 11
2 RRRk+= .
Sistemul este liniar, continuu, de ordinul unu, cu parametri constan ți.
b) Pentru 1 1v=x , obținem modelul I-S-E

⎪⎩⎪⎨⎧
=++−=
1 122 11 1 11
xukukx xT
v
, (50)
cu

11
TA−= , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
12
11
Tk
TkB , 1=C , []00=D .
♦ Aplicația 2.3 . Fie circuitul electric din figura 2.10, având ca intr ări tensiunile 1u și 2u,
iar ca ieșiri tensiunile 1v și 2v. Să se afle:
a) modelul I-E;
b) modelul I-S-E cu variabilele de stare 1v și 2v.

Fig. 2.10. Circuit multivariabil tip RC.
Soluție. a) Sistemul poate fi descompus în dou ă subsisteme interconectate S1 și S2 (fig.
2.11), având fiecare aceea și structură ca sistemul din figura 2.9.
In conformitate cu (48), avem

⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
+++−=+++−=
22 1
2
2222
11
1
111
)11()11(
Ru
R RRCR Ru
R RC
vv vvv v

. (51)
Prin eliminarea succesiv ă a variabilelor 2v și 1v între cele dou ă ecuații (se înlocuie ște
2v din prima ecua ție în a doua, apoi 1v din a doua ecua ție în prima), ob ținem modelul
I-E sub forma

⎪⎩⎪⎨⎧
++−=−++ ++−++=−++++
21 21 1 2 2 2 1 2 12 21 2212 1 12 12 1 2 1 112 21 121
)1 ( )1 ( ) ()1 ( )1 ( ) (
uk uTu k kk Tk Tk TTu k ukuT kk Tk Tk TT
    
v v vv v v
, (52)
în care

TEORIA SISTEMELOR
40
RRk1
11+= , RRk2
21+= , 11 1CRT= , 22 2CRT= .
Sistemul este continuu, liniar, multivariabi l, de ordinul doi, cu parametri constan ți.

Fig. 2.11. Circuit multivariabil tip RC descompus.

b) Considerând 1 1v=x și 2 2v=x , din (52) rezult ă modelul I-S-E sub urm ătoarea
formă:
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡
−−−
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡ −
21
21
2 21 1
2211
1001
11
uu
xx
k kk
xTxT k

= +

,
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
21
21
1001
xx
vv
. (53)
♦ Aplicația 2.4. Să se determine un model de tip I-S-E al sistemului continuu cu
modelul I-E
uuyyy +=++  2 58 .
Soluție. Se formeaz ă modelul secundar

⎪⎩⎪⎨⎧
+==++
zzyuzzz

258

și se aleg variabilele de stare zx=1, zx=2. Rezultă modelul I-S-E

⎪⎩⎪⎨⎧
+−−==
u x x xxx
81
85
81
2 1 22 1

, 2 12x xy+= ,
cu forma matriceal ă
u
xx
xx
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
+
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
810
85
811 0
21
11

, []
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡=
2121
xx
y .
♦ Aplicația 2.5. Pentru sistemul cu modelul I-E
uu uyy y ++=++  23 5 8 ,
să se determine un model de tip I-S-E.
Soluție. Se formeaz ă modelul secundar

REPREZENTAREA MATEMATICA A SISTEMELOR
41

⎩⎨⎧
++==++
ww wyuww w

2 35 8

și se aleg variabilele de stare wx=1 , wx=2 . Obținem modelul I-S-E cu ecua ția de stare

⎪⎩⎪⎨⎧
+−−==
u x x xxx
81
85
81
2 1 22 1

,
iar din
1 2 2 1 1 2 2 2)81
85
81(3 2 3 xx u x x xx xy +++−−=++= ,
obținem ecua ția de ieșire
u x x y83
81
85
2 1++= .
2.8. APLICA ȚII DE AUTOCONTROL
♦ C2.1. Să se determine modelul I-E al circuitului electric de mai jos, cu intrarea 1u și
ieșirea 2u.

♦ C2.2. C ircuitul electric al ăturat are intrarea 1u și ieșirea 2u. Să se determine:
a) modelul I-E;
b) modelul I-S-E, considerând st ările11ix=și 2 2ix=.

♦ C2.3. Pentru sistemul continuu cu modelul I-E
uuyyy y +=+++  4 58 5,
să se determine un model de tip I-S-E.

TEORIA SISTEMELOR
42
♦ C2.4. Pentru sistemul continuu cu modelul I-E
uuyy +=+ 4 5 ,
să se determine un model de tip I-S-E.
♦ C2.5. Pentru sistemul continuu cu modelul I-S-E

⎪⎩⎪⎨⎧
++−=+−=
u xx xmxx x
2 42 1 22 1 1

,
uxxy−−=2 1,
să se determine modelul de tip I-E.
♦ C2.6. Pentru sistemul discret cu modelul I-S-E
)(7)( )1(1 1tu tx tx +−=+ ,
) ()( )(1tutxty −= ,
să se determine modelul de tip I-E.

3
ELEMENTE DE ANALIZ Ă
IN DOMENIUL TIMPULUI
A SISTEMELOR LINIARE

In cadrul analizei sistemelor liniare de tip intrare-ie șire, consider ăm că până la
momentul ini țial 00=t , sistemul s-a aflat într-un regim sta ționar , în care toate
variabilele de intrare și de ieșire sunt nule (variabile de tip original ). Pentru ca
această ipoteză să fie valabil ă la un sistem fizic, vom considera c ă variabilele de
intrare și de ieșire ale sistemului reprezint ă variațiile mărimilor fizice respective
față de valorile lor ini țiale. De exemplu, în cazul unu i cuptor tubular în care
produsul este înc ălzit la temperatura T prin arderea unui combustibil cu debitul
Q, variabila de intrare este varia ția debitului de combustibil
0QQQ u −=Δ= ,
iar variabila de ie șire este varia ția temperaturii produsului la ie șirea din cuptor
0TTT y −=Δ= .
In plus, consider ăm că pentru 0<t , cuptorul s-a afla t într-un regim sta ționar,
caracterizat prin debitul de combustibil 0Q și temperatura produsului la ie șirea
din cuptor 0T. Prin urmare, variabilele sistemice u și y sunt nule pentru 0<t ,
adică sunt de tip original .
Analiza elementar ă de tip intrare-ie șire constă, în principal, în abordarea și
rezolvarea urm ătoarelor probleme:
– determinarea modelului unui sistem compus din modelele subsistemelor
componente;
– determinarea r ăspunsului sistemului la anumite semnale de intrare standard,
de tip original;
– minimizarea sistemelor liniare pe baza criteriului de echivalen ță intrare-
ieșire;
– discretizarea sistemelor continue de tip I-E.

TEORIA SISTEMELOR
44
Determinarea modelului unui sistem compus din modelele subsistemelor
componente este o opera ție relativ complicat ă, care se face, în cazul sistemele
continue, prin eliminarea tuturor variabilelor intermediare și a derivatelor
acestora. De asemenea, calculul r ăspunsului unui sistem compus cu structur ă
închisă este o opera ție complicat ă, mai ales atunci când or dinul sistemului este
mare.
3.1. RASPUNSUL IN TIMP AL SISTEMELOR CONTINUE
In faza de stabilire a modelului unui si stem compus (tip se rie, paralel, cu
reacție etc.) se utilizeaz ă forma primară (standard) de repr ezentare a sistemelor
liniare, anume
ubub ub ubyaya ya yar
rr
rn
nn
n 0 1)1(
1)(
0 1)1(
1)(+++ +=+++ +−
−−
−" " . (1)
In faza de calcul al r ăspunsului sistemului la o intrare dat ă de tip original se
utilizează însă forma secundar ă de reprezentare a sistemului, care nu con ține
derivate ale m ărimii de intrare

⎪⎩⎪⎨⎧
+++ +==+++ +
−
−−
−
wbwb wb wbyuwawa wa wa
r
rr
rn
nn
n
0 1)1(
1)(0 1)1(
1)(
""
. (2)
Forma de reprezentare secundar ă permite calculul r ăspunsului sistemului la
intrări )(tu de tip original nederivabile, chiar discontinue (cazul intr ării de tip
treaptă).
In conformitate cu modelul secundar, r ăspunsul sistemului pentru 0≥t la
orice func ție de intrare finit ă de tip original )(1)( tt uf⋅= este dat de rela ția
wbwb wb wbtyr
rr
r 0 1)1(
1)()( +++ +=−
−" , (3)
unde )(tw este soluția ecuației diferen țiale
)(0 1)1(
1)(t wawa wa wa fn
nn
n =+++ +−
−" , (4)
corespunz ătoare condi țiilor inițiale nule
0)0( )0( )0()1(= === + + +−nw w w " . (5)

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
45
Cele n condiții inițiale nule (5) exprim ă proprietatea func țiilor )(tw, )(tw, … ,
)()1(t wn− de a fi continue la momentul 0=t . Din ecua ția (3) și condițiile inițiale
(5) rezult ă că răspunsul )(ty al sistemului satisface urm ătoarele condi ții inițiale
nule:
0)0( )0()0()1 (= === ++−+ +rny y y " , (6)
Rezultatul ob ținut poate fi formulat astfel:
Teorema condi țiilor inițiale nule . Răspunsul la orice func ție de intrare finit ă
de tip original al unui sistem liniar continuu descris de ecua ția diferen țială (1)
cu 0≠na este caracterizat prin cel puțin rn− condiții inițiale nule .
Răspunsul )(th al sistemului la intrare treapt ă unitară, )(1t u= , se nume ște
funcție indicial ă sau răspuns indicial , iar răspunsul )(tg al sistemului la intrare
impuls Dirac, )(0t uδ= , se numește funcție pondere sau răspuns pondere . Tinând
seama de principiul superpozi ției, rezultă că între răspunsul indicial )(th și
răspunsul pondere )(tg există următoarele rela ții:
∫−=tg th0d)( )( ττ , (7)
tthtgd)(d)(= . (8)
Observații. 10. In cazul 00≠a și 0≠na , soluția )(tw a ecuației diferen țiale
(4) pentru intrarea treapt ă unitară )(1t u= are forma
t
nt t ns s sC C Catw e e e1)(2 12 1
0++++= " , 0≥t, (9)
unde ns ss ,,,2 1" sunt rădăcinile (distincte) ale ecuației caracteristice
00 11
1 =++++−
− asa sasan
nn
n " , (10)
iar nC CC ,,,2 1" sunt constante reale sau complexe (constanta iC este
reală/complexă după cum rădăcina is este reală/complexă). Polinomul monic
) () )( ( )(2 11 1 1 0
n
n nn
nn nss ssssaasaasaass −−−=+++ +=−−" " P , (11)
se numește polinomul caracteristic al sistemului.
In cazul 2 1ss=, suma t t s sC C2 1 e e2 1+ din expresia (9) a r ăspunsului )(tw
trebuie înlocuit ă cu

TEORIA SISTEMELOR
46
tsCtC1e) (2 1+ ,
iar dacă rădăcinile 1s și 2s sunt complex-conjugate, adic ă jba s±=2,1, în locul
sumei t t s sC C2 1 e e2 1+ (cu 1C și 2C constante complex-conjugate) se recomand ă
utilizarea expresiei
) cos sin(e2 1 bt Cbt Cat+ , (12)
unde 1C și 2C sunt constante reale. Constantele nC CC ,,,2 1" din expresia (9) a
răspunsului )(tw se determin ă din condi țiile inițiale nule (5).
20. Tinând seama de ecua ția ieșirii (3) și de forma (9) a r ăspunsului )(tw,
răspunsul indicial )(th al sistemului (în cazul în care ecua ția caracteristic ă are
rădăcinile ns ss ,,,2 1" distincte) are forma
t
nt t ns s sD D Dabth e e e )(2 12 1
00++++= " , 0≥t, (13)
unde nD DD ,,,2 1" sunt constante reale sau complexe (iD este real/complex
dacă is este real/complex). Dac ă rădăcinile 1s și 2s sunt complex-conjugate,
adică jba s±=2,1 , atunci suma t t s sD D2 1 e e2 1+ este de forma
) cos sin(e2 1 bt Ebt Eat+ , unde 1E și 2E sunt constante reale. Din expresia (13) a
răspunsului indicial )(th, rezultă că acesta este mărginit dacă toate rădăcinile
ns ss ,,,2 1" ale ecua ției caracteristice au partea real ă negativă. Acest rezultat
este valabil și în cazul în care ecua ția caracteristic ă are rădăcini multiple. In plus,
răspunsului indicial )(th este aperiodic (f ără oscilații) atunci când toate
rădăcinile ecua ției caracteristice sunt reale. Dac ă două rădăcini ale ecua ției
caracteristice sunt complex-conjugate, jba s±=2,1, atunci răspunsul indicial are
și o component ă de tip oscilant sinusoid al (cu amplitudine descresc ătoare,
constantă sau cresc ătoare, dup ă cum 0<a , 0=a sau 0>a , respectiv).
30. La sistemele compuse de tip serie (f ig. 3.1), paralel (fig. 3.2) sau cu reac ție
(fig. 3.3), calculul r ăspunsului la o intrare dat ă se face de regul ă pe baza
modelului sistemului compus, ob ținut din modelele subsistemelor componente
prin eliminarea tuturor variabilel or intermediare (a variabilei v la conexiunea
serie, a variabilelor 1v și 2v la conexiunea paralel, a variabilelor e și v la
conexiunea cu reac ție), inclusiv a derivatelor acestora. La conexiunile deschise

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
47
(tip serie sau para lel), calculul r ăspunsului se poate face și pas cu pas, prin
calculul succesiv al r ăspunsului fiec ărui subsistem, în ordinea transmisiei
informației.

Fig. 3.1. Conexiune serie .

Fig. 3.2. Conexiune paralel .

Fig. 3.3. Conexiune cu reac ție.
„ In cadrul pachetului de programe de reglare “Control System Toolbox” din
mediul MATLAB, modelul obiect de tip transfer intrare-ie șire ("input-output transfer")
al unui sistem continuu liniar propriu se construie ște cu ajutorul func ției tf, astfel
• sis = tf (b,a) .
unde argumentele de intrare b și a sunt vectori linie forma ți respectiv cu coeficien ții
derivatelor intr ării și ieșirii din modelul primar (1):
] [01 1bb bbbnn"−= , ] [01 1aa aaann"−= .
In cazul nr<, argumentul de intrare b poate fi scris și sub forma ] [01 1bb bbbrr"−= .
Pachetului de programe “Control“ con ține funcțiile step, impulse și lsim (fișiere cu
extensia m) pentru calculul și reprezentarea grafic ă a răspunsului indicial, a r ăspunsului
pondere și a răspunsului la o intrare arbitrar ă tip original dat ă U, în formă de scară:
• [Y,t] = step (sis,t) ;
• [Y,t] = impulse (sis,t) ;
• [Y,t] = lsim (sis,U,t) ;

TEORIA SISTEMELOR
48
Argumentul de intrare t, reprezentând vectorul timp, poate fi introdus printr-o
comandă de forma
• t=t0:T:t1,
unde t0 este valoarea ini țială (de regul ă egală cu 0), T este pasul de calcul, iar t1 –
valoarea final ă. Argumentul de intrare t poate omis la func țiile step și impulse , caz în
care acesta este generat automat de func ția respectiv ă. Argumentele de intrare U și t
ale funcției lsim sunt vectori cu aceea și dimensiune. Componentele vectorilor U și Y
reprezintă respectiv valorile m ărimilor de intrare și de ieșire la momentele de timp
specificate de vectorul t.
Dacă funcțiile sunt apelate cu unul sau ambele argumente de ie șire, atunci se
efectueaz ă numai evaluarea acestor argumente, f ără reprezentarea grafic ă a răspunsului.
In cazul contrar, se efectueaz ă numai reprezentarea grafic ă a răspunsului.
Pentru realizarea unei sistem compus format din dou ă subsisteme sis1 și sis2
conectate în serie , în paralel sau în reacție se utilizeaz ă funcțiile:
• s1 = series (sis1,sis2) ;
• s2 = parallel (sis1,sis2) ;
• s3 = feedback (sis1,sis2,sign).
Mai ușor, cele trei tipuri de conexiuni pot fi implementate astfel:
• s1 = sis1*sis2;
• s2 = sis1+sis2;
• s3 = sis1/(1+sis1*sis2);
La funcția feedback , dacă parametrul sign este omis sau are valoarea 1−, atunci
reacția este negativ ă (ca în figura 3.3), iar dac ă are valoarea 1, atunci reac ția este
pozitivă.
3.2. RASPUNSUL IN TIMP AL SISTEMELOR DISCRETE
In faza de stabilire a modelului unui sistem compus se utilizeaz ă forma
primară (standard) de reprezentar e a sistemelor, anume
) ( )1( )( ) ( )1( )(1 0 1 rtub tubtubntya tyatyr n −++−+=−++−+ " " . (14)
In faza de calcul al r ăspunsului la o intrare dat ă de tip original este îns ă
preferată forma secundară echivalent ă

⎪⎩⎪⎨⎧
−++−+==−++−+
)( 1)( )( ))()( 1)( )(
1 01
rtwb… twbtwb y(ttuntwa… twatw
rn . (15)

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
49
In ecuațiile (14) și (15), variabilele u, y și w sunt de tip original , adică sunt
nule pentru orice valoare negativ ă a argumentului.
Calculul numeric al răspunsului )(tw pentru 0≥t la o intrare dat ă de tip
original u se efectueaz ă cu relația recurent ă:
nin i i iwa wauw− −−−−= "1 1, ",2,1,0=i , (16)
unde )(iw wi= , )(iuui= . Mai departe, valorile numerice ale r ăspunsului y sunt
date de rela ția
rir i i i wb wbwby− −+++= "1 1 0 , ",2,1,0=i (17)
Calculul analitic al răspunsului )(ty al sistemului la o intrare analitic ă de tip
original dat ă, )(1)(0
0 t tuu⋅= se poate face pe baza mo delului primar (14) sau,
mai bine, a modelului secundar (15). Func ția treaptă unitară de timp discret )(10t
are expresia

⎩⎨⎧
=<=",2,1,0 ,10,0)(10
ttt .
In cazul utiliz ării modelului secundar (15), r ăspunsul )(tw la o func ție de
intrare analitic ă dată, )(1)(ot t uf⋅= , poate fi scris sub forma
)( )( )(om p t wtwtw += , (1 8)
unde )(ptw este o solu ție particular ă a ecuației cu diferen țe
)( )( 1)( )(1 t ntwa… twatw fn=−++−+ , (19)
iar )(omtw este soluția ecuației omogene cu diferen țe
0)( 1)( )(1=−++−+ ntwa… twatwn. (20)
Soluția particular ă )(ptw și soluția ecuației omogene )(omtw sunt valabile
pentru nt≥.
Soluția particular ă )(ptw a ecuației (19) are, de regul ă, o formă similară cu
cea a func ției de intrare )(tf. Astfel, pentru intrare treapt ă unitară, adică
)(1ot u= , ecuația (19) devine
1 11 =−++−+ )( )( )( ntwa… twatwn , 0≥t, (21)

TEORIA SISTEMELOR
50
iar

⎪⎩⎪⎨⎧
=++++≠++++++++=
0 1,0 1,11
)(
2 12 1
2 1 p
nn
n
a aa ta aaa aa tw
……… . (22)
Soluția ecuației omogene are forma
t
nnt tzC zCzCt w +++= "22 11 om)( , (23)
unde nz zz ,,,21" sunt rădăcinile (distincte) ale ecuației caracteristice
011
1=++++−−
n nn naza zaz " , (24)
iar nC CC ,,,2 1" sunt constante reale sau complex-conjugate. Polinomul monic
) () )( ( )(2 1 11
1 n n nn nzz zzzz aza zazz −−−=++++=−−" " P (25)
reprezintă polinomul caracteristic al sistemului.
Dacă rădăcinile 1z și 2z sunt reale și egale, atunci suma t tzCzC22 11+ trebuie
înlocuită cu
tzCtC12 1 ) (+ ,
iar dacă 1z și 2z sunt complex-conjugate, adic ă ) sin (cos2,1ααρ j z ±= , atunci în
locul sumei t tzCzC22 11+ (cu constantele 1C și 2C complex-conjugate) se
recomand ă utilizarea expresia
) sin cos(2 1 t Ct Ctα α ρ + ,
în care constantele 1C și 2C sunt reale.
Constantele nC CC ,,,2 1" se determin ă astfel încât solu ția )(tw de forma
(18), inițial valabil ă pentru nt≥, să verifice condi țiile inițiale
)0(w , )1(w, … , )1(−nw , (26)
care pot fi determin ate direct din ecua ția cu diferen țe (21), înlocuind succesiv pe
t cu 0, 1, … , 1−n. In acest fel solu ția )(tw devine valabil ă pentru orice 0≥t.
Pe baza formulei r ăspunsului )(tw, valabilă pentru 0≥t, obținem răspunsul
sistemului ) (ty din ecuația ieșirii
)( 1)( )( )1 0 rtwb… twbtwb y(tr−++−+= .
Formula analitic ă obținută este valabil ă pentru rt≥. Pentru 1,,1,0− = r t" , avem

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
51
)0( )0(0wb y= ,
)0( )1( )1(1 0 wb wb y += ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
)0( )1( )( )(1 0 wb rwbrwbryr++−+= " .
Răspunsul )(ty al sistemului la intrare impuls unitar, )(ot uδ= , reprezint ă
funcția pondere a sistemului și se noteaz ă cu )(tg, iar răspunsul la intrare treapt ă
unitară, )(1ot u= , reprezint ă funcția indicial ă și se noteaz ă cu )(th. In conformi-
tate cu principiul superpozi ției, din rela țiile
)1(1)(1)(o o o−−= t t tδ , )0( )1( )( )(1o o o oδ δδ ++−+= " t t t , (27)
rezultă că între func ția pondere )(th și funcția indicial ă )(tg există corelațiile
)1()()( −−= ththtg , )0( )1()()( g tgtgth ++−+= " . (28)
Observație. In cazul în care sistemul este de tip propor țional
( 0 … 12 1≠++++na aa ) și ecuația caracteristic ă are rădăcinile nz zz ,,,2 1"
distincte, solu ția )(tw a ecuației cu diferen țe (30) are forma
t
nnt t
nzC zCzCa aatw ++++++++= "22 11
2 1… 11)( , 0≥t, (29)
unde nC CC ,,,2 1" sunt constante r eale sau complexe (iC este real/complex,
dacă iz este real/complex). Tinând seama de ecua ția ieșirii
)( 1)( )( )1 0 rtwb… twbtwb y(tr−++−+=
răspunsul indicial )(th al sistemului are forma
t
nnt t
nrzD zDzDa aab bbth +++++++++++= ""
22 11
2 11
… 1)(0, rt≥, (30)
unde nD DD ,,,2 1" sunt constante reale sau complexe (iD este real/complex,
după cum iz este real/complex). Dac ă rădăcinile 1z și 2z sunt complex-
conjugate, adic ă
) sin (cos2,1ααρ j z ±= ,
atunci suma t tzDzD22 11+ este de forma

TEORIA SISTEMELOR
52
) sin cos(2 1t Et Etα αρ + ,
unde 1E și 2E sunt constante reale. Din expresia r ăspunsului indicial )(th rezultă
că acesta este mărginit atunci când toate r ădăcinile nz zz ,,,2 1" ale ecua ției
caracteristice a sistemului au modulul subunitar . Acest rezultat este valabil și în
cazul în care ecua ția caracteristic ă are rădăcini multiple. In plus, dac ă două
rădăcini ale ecua ției caracteristice sunt complex-conjugate (cu modulul ρ),
atunci răspunsul indicial are o component ă de tip oscilant sinusoidal (cu
amplitudinea descresc ătoare, constant ă sau cresc ătoare, dup ă cum 1<ρ , 1=ρ
sau 1>ρ , respectiv). De asemenea, r ăspunsul indicial are o component ă de tip
oscilant atunci când ecua ția caracteristic ă are o rădăcină reală negativă. Dacă
toate rădăcinile ecua ției caracteristice sunt reale și pozitive, atunci r ăspunsul
indicial este aperiodic (f ără oscilații).
„ In MATLAB , modelul obiect de tip transfer intrare-ie șire ("input-output
transfer") al unui sistem discret liniar monovariabil se construie ște tot cu ajutorul
funcției tf, astfel:
• sisd= tf (b,a,T);
unde b și a sunt vectori linie, forma ți cu coeficien ții termenilor intr ării, respectiv cu
coeficienții termenilor ie șirii din ecua ția primară (1), iar T este perioada de discretizare a
timpului. Vectorii a și b trebuie să aibă aceeași dimensiune, anume max( n+1, r+1):
b=[b0 b1 … bn], a=[a0 a1 … an] – în cazul nr≤;
b=[b0 b1 … br], a=[a0 a1 … ar] – în cazul nr>.
Prin urmare, în cazul rn≠, ultimele elemente (din dreapta) ale unuia din cei doi vectori
se aleg 0. Dac ă însă b0=b1=…= bj=0, atunci argumentul de intrare b poate fi introdus și
sub forma b=[bj+1 bj+2 … bn] sau b=[bj+1 bj+2 … br], după cum nr≤ sau nr>.
Pentru calculul și reprezentarea grafic ă a răspunsului se utilizeaz ă aceleași funcții ca
la sistemele continue de tip I-E ( step, impulse , lsim). De asemenea, implementarea
sistemelor compuse (tip serie, paralel, cu reac ție) se face la fel ca la sistemele continue.
3.3. DISCRETIZAREA SISTEM ELOR CONTINUE DE TIP I-E
Sistemele discrete, fizice sau abstracte, sunt sisteme artif iciale, concepute și
construite de om. Sistemele discrete apar fie ca sisteme de sine st ătătoare, fie ca
rezultat al discretiz ării unor sisteme (procese) continue, în vederea simul ării sau
implement ării lor în varianta numeric ă.

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
53
Două funcții de timp de tip original , una de timp continuu ( R∈t ) și cealaltă
de timp discret ( kTt= , Z∈k ), se numesc T-echivalente dacă au acelea și valori la
toate momentele de timp kTtk= . Atunci când func ția de timp continuu )(tu este
de tip T-scară, adică este constant ă pe fiecare interval de timp ) ,[1+k ktt ,
)()(ktutu= , ),[1+∈k kttt
echivalen ța este de ordinul zero . Dacă )(tu este de tip T-rampă, adică liniară pe
fiecare interval ) ,[1+k ktt și continuă pe R, atunci echivalen ța este de ordinul
unu.
Prin defini ție, un sistem liniar discret 0Σ reprezint ă discretizatul intrare-
ieșire (sau echivalentul discret intrare-ie șire) cu perioada T al unui sistem liniar
continuu Σ dacă pentru orice intr ări T-echivalente de ordinul zero, ie șirile celor
două sisteme sunt T-echivalente.
Deoarece func țiile treapt ă unitară )(1t și )(10t sunt T-echivalente de ordinul
zero, răspunsul indicial )(th al unui sistem continuu și răspunsul indicial )(0th al
discretizatului acestuia sunt T-echivalente.
Discretizatul 0Σ se obține fizic prin co nectarea unui convertor discret-
analogic (sau numeric-analogic) CD-A la intrarea sistemului continuu Σ și a unui
convertor analog-discret (sau analog-numeric) CA-D la ieșirea lui Σ (fig. 3.4).

Fig. 3.4. Schema discretizatului 0Σ al sistemului continuu Σ.
Convertorul CD-A transform ă, prin extrapolare de or dinul zero, semnalul de
timp discret 0U în semnalul de timp continuu de tip T-scară U, iar convertorul
CA-D transform ă semnalul de timp continuu Y în semnalul de timp discret 0Y,
cu perioada T.

TEORIA SISTEMELOR
54
Pentru ob ținerea discretizatului intrare-ie șire al sistemului continuu
ubub ub ubyaya ya yar
rr
rn
nn
n 0 1)1(
1)(
0 1)1(
1)(+++ +=+++ +−
−−
−" " , (31)
se procedeaz ă astfel:
a) se determin ă funcția de transfer a sistemului continuu

0 10 1)(
asa sabsb sbsGnr
nr
++++++=
""; (32)
b) se calculeaz ă funcția de transfer a discretizatului, cu rela ția1
∑−−
−−=) e1()(rez) 1()(11 0
z ssGz zGTs
is, (33)
unde is sunt polii func ției ssG /)( , iar T perioada de di scretizare (e șantionare);
c) se aduce )(0zG la forma
n
nr
r
za zazb zbbzG− −− −
++++++=""
1
11
1 0
1)(0 (34)
și se scrie apoi ecua ția discretizatului I-E, sub forma ecua ției cu diferen țe
rkr k k nkn k k ub ubub ya yay− − − − +++=+++ " "1 1 0 1 1 . (35)
O altă metodă de obținere a unui discretizat aproximativ al sistemului
continuu descris prin mo delul primar (31) const ă în înlocuirea func ției de ieșire
)(ty cu 1−ky, a func ției de intrare )(tu cu 1−ku, a derivatei )(ty cu
T yyk k/) (1−− , a derivatei )(tu cu T uuk k/) (1−− , a derivatei )(ty cu
22 12 1 1
1 2
Ty y y
TTy y
Tyy
Ty yk k kk k k k
k k −−−−−
− +−=−−−
=−
și așa mai departe. In ge neral, derivata )(}{tyi se înlocuie ște cu raportul

1 Reziduul func ției F(s) relativ la polul simplu p este dat de rela ția

ps pssFps sFrez
= =−= )]() [()( .
Dacă polul p are ordinul de multiplicitate m, atunci

psm m
pssFpsmsFrez
=−
=−−=)1()]() [()!1(1)( .

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
55
iiki
ii
ki ki k
TyC yC yCy− − − −+++− )1(…22
11
. (63)
Metoda de discretizare aproximativ ă este eficient ă în cazul utiliz ării unei
perioade de discretizare a tim pului cu valoarea relativ mic ă.
Datorită formei recursive a ecua ției intrare-ie șire, discretizatul propriu-zis sau
discretizatul aproxima tiv al unui si stem continuu poate fi utilizat în calculul
numeric al r ăspunsului sistemului de timp contin uu la o intrare de timp continuu
)(tu. In acest scop, perioada de discretizare T se alege suficient de mic ă (dar nu
foarte mic ă, pentru evitarea volumului mare de calcul și a acumul ării erorilor de
rotunjire și trunchiere), iar intrarea de timp discret ku a discretizatului se alege T-
echivalent ă cu intrarea )(tu a sistemului continuu, adic ă )(kTuuk= . Dacă )(tu
este de tip T-scară, atunci r ăspunsurile sistemului continuu și discretizatului
propriu-zis sunt T-echivalente.
„ In Matlab, modelul I-E al discretizatului de ordinul zero sisd al sistemului
continuu sis se obține cu func ția
• sisd = c2d(sis,T);
unde T reprezint ă perioada de discretizare.
3.4. APLICA ȚII
♦ Aplicația 3.1. Fie conexiunea serie de mai jos, format ă din subsistemele:

Să se afle răspunsul indicial, r ăspunsul pondere și răspunsul la intrare ramp ă unitară ale
subsistemului S1 și ale conexiunii serie.
Soluție. Calculul răspunsului indicial )(1th al subsistemului S1 se face pe baza
modelului secundar al acestuia, cu ecua țiile
0=(0) , 1 2 w ww=+ ,
wwh+=1 .
Prin rezolvarea ecua ției diferen țiale în w, obținem:
2/e1)(ttw−−= , (S1) uu+=+vv2 ,
(S2) v2 4=+yy .

TEORIA SISTEMELOR
56
apoi
2/
1 e5,01)(tth−−= , 0≥t .
Subsistemul S1 are răspunsul pondere
2/
01
1 e25,0)(5,0d)(d)(tttthtg−+== δ .
Deoarece func ția rampă unitară )(1tt⋅ se obține prin integrarea func ției treaptă unitară
)(1t, răspunsul )(1ts la intrare ramp ă unitară poate fi ob ținut prin integrarea r ăspun-
sului )(1th la intrare treapt ă unitară. Așadar,
∫−+−= =ttt h ts02/
1 1 e1 d)( )( ττ .
Pentru calculul răspunsului indicial )(th al conexiunii serie, pe baza modelului
subsistemului S2 și a intrării ) (tv determinate, egal ă cu ) (1th, formăm ecuația
diferențială
0 =(0) , e2 42/y yyt−−=+ .
Condiția inițială (0)y este nulă, deoarece pentru subsistemul S2 avem 1=−rn . Prin
rezolvare, ob ținem:
4/ 2/e3 e2)(t tth− −−+= .
De obicei, r ăspunsul sistemelor compuse se determin ă pe baza modelului sistemului
compus, ob ținut mai întâi în forma primar ă, apoi adus la forma secundar ă.. Astfel, prin
eliminarea variabilei v între ecua țiile celor dou ă subsisteme, ob ținem modelul primar al
conexiunii serie
uuyy y 22 68 +=++  .
In vederea determin ării răspunsului indicial al conexiunii, din modelul secundar
formăm ecuațiile:
0=(0)=(0) , 1 6 8 w w ww w   =++ ,
w wh 2 2+= .
Prin rezolvare, ob ținem:
4/ 2/e2 e1)(t ttw− −−+= ,
4/ 2/e3 e2)(t tth− −−+= .
Conexiunea serie are răspunsul pondere
4/ 2/e75,0 e5,0d)(d)(t t
tthtg− −+−==
și răspunsul la intrare ramp ă unitară

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
57
4/
02/e12 e2102 d)( )(tttt h ts− −+−−= =∫ττ .
Răspunsul ) (tsla intrare ramp ă unitară poate fi ob ținut și direct, cu ecua țiile:
0=(0)=(0) , 6 8 w wtww w   =++ ,
w ws 2+2=  .
Rezultă:
4/ 2/e8 e26 )(t tttw− −+−−= ,
4/ 2/e12 e2102)(t tt ts− −+−−= .
Graficele din figura 3.5 ale celor trei r ăspunsuri ale conexiunii serie au fost ob ținute
în Matlab, cu programul:
sis1=tf([1 1],[2 1]);
sis2=tf(2,[4 1]);
sis=sis1*sis2; t=0:0.1:16;
h=step(sis,t);
g=impulse(sis,t);
u=t; s=lsim(sis,u,t);
plot(t,h,t,g,t,s/10); grid on;

Fig. 3.5. Răspunsul indicial )(th, răspunsul pondere )(tg
și răspunsul )(ts la intrare ramp ă unitară.
♦ Aplicația 3.2. Consider ăm conexiunea cu reac ție de mai jos, în care:
( S1) keyy=+5, 0>k
( S2) y=+vv .

TEORIA SISTEMELOR
58

Pentru )(1t u= , să se afle )(ty și )(te în cazurile: a) 6,0=k ; b) 8,0=k ; c) 4=k.
Soluție. Prin eliminarea variabilelor e și v, obținem ecua ția conexiunii cu intrarea u și
ieșirea y:
) ( 1)( 65 uuyy ky y +=+++   .
Similar, prin eliminarea variabilelor y și v, obținem ecua ția conexiunii cu intrarea u
și ieșirea e:
uu ue ke e ++=+++   6 5 1)( 6 5 .
Pentru )(1t u= , funcțiile )(ty și )(te sunt date de ecua țiile

⎩⎨⎧
+=== =+++
) (0)0()0(,1)1( 6 5
wwkyw w w kw w
 
,
respectiv,

⎩⎨⎧
++=== =+++
ww wew w w kw w
 
6 50)0()0(,1)1( 6 5 .
Prin rezolvare se ob țin următoarele rezultate.
a) pentru 6,0=k :
t ttw8,0 4,0e625,0 250,1 625,0)( e− −+ −= ,
t tty8,0 4,0e075,0 e450,0 375,0)(− −+ −= ,
t tte8,0 4,0e375,0 e750,0 625,0)(− −− += .
b) pentru 8 ,0=k :
tt tw6,0e)53(5)(9−+−= ,
tt ty6,0e)4 96,0(4)(9−+−= ,
tt te6,0e)44,2(5)(9−++= .
c) pentru 4=k :
) 8,0sin15,08,0cos2,0( e2,0)(6,0t t twt+ −=−,
)8,0sin4,08,0cos8,0( e8,0)(6,0t t tyt+ −+=−,
) 8,0sin9,08,0cos8,0( e2,0)(6,0t t tet+ +=−.
Graficele din figura 3.6 cu cele trei r ăspunsuri )(ty ale conexiunii cu reac ție au fost
obținute în Matlab, cu programul:
k=[0.6 0.8 4]; t=0:0.1:10;
sis2=tf(1,[1 1]);
for i=1:3
sis1=tf(k(i),[5 1]);
sis=feedback(sis1,sis2);

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
59
Y(:,i)=step(sis,t);
end
p l o t ( t , Y ) ;
grid on;

Fig. 3.6. Răspunsul indicial )(ty al conexiunii cu reac ție pentru diferite valori
ale parametrului k.
Observație. Conexiunea cu reac ție, cu intrarea u și ieșirea e, are modelul sta ționar
ue k=+)1( .
Rezultă că pentru )(1t u= , eroarea ese va stabiliza la valoarea sta ționară
11
+=kste .
Prin urmare, eroarea sta ționară este nenul ă, cu atât mai mic ă cu cât factorul de
proporționalitate k al subsistemului de pe calea direct ă este mai mare.
♦ Aplicația 3.3. Subsistemele conexiunii cu reac ție din problema precedent ă au
ecuațiile:
( S1) ,ey=
( S2) y=+vv6 5 .
Să se afle: a) )(te pentru ) (1t u= ; b) )(ty pentru ) (1 sin tt u⋅= .
Soluție. a) Sistemul cu intrarea u și ieșirea e are ecuația
uueee  65 65 +=++ .
Pentru )(1t u= , răspunsul )(te este dat de ecua țiile

TEORIA SISTEMELOR
60

⎩⎨⎧
+=== =++
w wew w w w w
 
6 50)0()0(,1 2 6 5
.
Prin rezolvare se ob ține:
t tte− −− = e52,0 e521,)(2,0.
Deoarece 0)( lim=
∞→te
t, sistemul reu șește în final s ă elimine eroarea produs ă prin
modificarea treapt ă a intrării u. Acest rezultat se datoreaz ă acțiunii persistente, de tip
integral, a subsistemului S1. In realitate, sistemul elimin ă eroarea sta ționară (finală)
pentru orice func ție de intrare care se stabilizeaz ă la o valoare finit ă. Intr-adev ăr, din
ecuația dinamic ă a sistemului cu reac ție, uueee  65 65 +=++ , rezultă că în regim
staționar (caracterizat prin 0 ==uu și 0==ee ), avem 0 =ste .
b) Sistemul cu intrarea u și ieșirea y are ecuația
uuyy y 65 6 5 +=++  .
Răspunsul sistemului la intrarea t usin= se obține prin rezolvarea ecua ției diferen țiale
t t yy y sin6 cos5 6 5 +=++ ,
în condițiile inițiale 0 (0))(==yty . Ambele condi ții inițiale sunt nule deoarece func ția
de intrare ) (1 sin)( tt tu⋅= este continu ă în origine, iar num ărul condițiilor inițiale nule
este 21=+−rn . Rezultă
t t tyt tcos1314sin263e81e104125)(2,0−+− =− −.
Componenta sinusoidal ă a răspunsului are amplitudinea 5261)1314()263(2 2=+=A .
Graficele din figura 3.7 cu cele dou ă răspunsuri ale conexiunii cu reac ție au fost
obținute în Matlab, cu programul:
t=0:0.1:50;
sis1=tf(1,[1 0]); sis2=tf(1,[5 6]);
sis3=series(sis1,sis2); sis=feedback(1,sis3); e=step(sis,t); sis= feedback(sis1,sis2);
u=sin(t); y=lsim(sis,u,t);
plot(t,e,t,y); grid on;

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
61

Fig. 3.7. Răspunsul )(te la intrarea )(1t u= și răspunsul )(ty la intrarea t usin= .
♦ Aplicația 3.4. Se consider ă sistemul discret cu modelul
)( )1( )( tbu tayty =−− .
Să se calculeze:
a) funcția indicial ă;
b) funcția pondere;
Soluție. a) Scriem modelul sub forma secundar ă echivalent ă

⎩⎨⎧
==−−
)( )()()1( )(
tbwtytu tawtw.
Pentru )(1)(ot tu= , răspunsul )(tw pentru 0≥t este soluția ecuației cu diferen țe
1)1( )( =−− tawtw ,
corespunz ătoare condi ției inițiale 1)0(= w .
In cazul 1≠a, soluția particular ă are forma atwp−=11)( , iar solu ția ecuației
omogene
0 )1( )( =−− tawtw
are forma taC w1 om= . Rezultă
taCatw111)(+−= , 1≥t,
iar din condi ția inițială 1)0(= w , obținem aaC−−=11 ; prin urmare,
aawt
t−−=+
11)(1
, 0≥t,

TEORIA SISTEMELOR
62
aa btbwtyt
−−==+
1) 1()( )(1
, 0≥t.
In cazul 1=a, avem ttwp=)( și 1 om C w=, deci 1)( Cttw+= , 1≥t. Din 1 )0(= w ,
obținem:
1 )(+=ttw , 0≥t,
deci
)1()( )( +== tbtbwty , 0≥t.
La același rezultat se ajunge scriind solu ția obținută în cazul 1≠a sub forma
) 1()(2 ta aa bty ++++= "
și înlocuind apoi pe a cu 1.
Metoda induc ției. In ecuația sistemului se înlocuie ște t succesiv cu valorile 0, 1, 2
etc. Avem:
bb ay y =+−= )1( )0( , )1( )0( )1( +=+= abb ay y ,
)1 ( )1( )2(2++=+= aabb ay y ,
care sugereaz ă faptul c ă ) 1 ()(1++++=−a aabtyt t" pentru orice t număr natural. In
conformitate cu principiul induc ției, consider ăm relația adevărată pentru t și arătăm că
rămâne adev ărată și pentru 1+t, adică ) 1 ()1(1++++=++a a ab tyt t" . Intr-adev ăr,
) 1 ( )1 ( )( )1(1 1++++=+++++=+=++ −a a abb a aaabbtay tyt t t t" " .
b) Metoda direct ă. Pentru )(0t uδ= , avem b y=)0( . Pentru 1≥t, ecuația sistemului
are forma omogen ă 0 )1( )( =−− tayty și soluția taCty1)(= . Din condi ția inițială
b y=)0( se obține bC=1. Prin urmare, func ția pondere a sistemului are expresia
btaty=)( , 0≥t.
Metoda induc ției. Avem:
b bu ay y =+−= )0( )1( )0( , ab bu ay y =+= )1( )0( )1( ,
ba bu ay y2)2( )1( )2( =+= , ba bu ay y3)3( )2( )3( =+= ,
deci batyt=)(, 0≥t.
Metoda indirect ă. Cu relația ) 1()()( −−= ththtg , obținem
baaa b
aa btgtt t
=−−−−−=+
1) 1(
1) 1()(1
, 0≥t.
Graficele din figura 3.8, reprezentând r ăspunsurile sistemului pentru 8 ,0=a și 1=b,
au fost ob ținute în Matlab, cu programul:

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
63
t=0:1:18;
sisd=tf([1 0],[1 -0.8],1); h=step(sisd,t);
g=impulse(sisd,t);
y1=lsim(sisd,sin(pi*t/6),t);
hold on;
plot(t,h,'.-'); plot(t,g,'.-');
plot(t,y1,'.-');
grid on;

Fig. 3.8. Răspunsul indicial )(th, răspunsul pondere )(tg și răspunsul )(1ty
la intrarea 6πsin)(ttu= pentru sistemul cu ecua ția )()1(8,0)( tu ty ty =−− .
♦ Aplicația 3.5. Pentru sistemul
)2( )1( )1( )(2 1−+−=−− tub tub tayty ,
să se calculeze: a) func ția indicial ă; b) funcția pondere.
Soluție. (a) Scriem modelul sub forma secundar ă

⎩⎨⎧
−+=−=−−
)1( )( )()1()1( )(
2 1twbtwbtytu tawtw
.
Pentru )(1)(0t tu= , răspunsul ) (tw pentru 0≥t este soluția ecuației cu diferen țe
1 )1( )( =−− tawtw ,
corespunz ătoare condi ției inițiale 0 )0(= w .

TEORIA SISTEMELOR
64
In cazul 1≠a, avem taCatw111)(+−= , 1≥t. Din condi ția inițială 0)0(= w , rezultă
aatwt
−−=11)( , 0≥t.
Prin urmare
)1(111)(111)(0 01
2 1 −⋅−−+⋅−−=−
taabtaabtyt t
,
și de aici
0 )0(=y ,
1 ,11
11)(1
2 1 ≥−−+−−=−
taabaabtyt t
.
In cazul 1=a, avem 1)( Cttw+= , 1≥t, iar din condi ția inițială 0)0(= w obținem
ttw=)( , 0≥t. Rezultă )1(1)1( )(1 )(0 0
2 1 −⋅−+⋅= t tbt tbty , deci
0)0(=y ,
2 2 1) ()( btbbty −+= , 1≥t.
b) Pentru )(0t uδ= , din ecua ția sistemului rezult ă 0)0(=y și 1)1(b y=. Pentru 2≥t,
utilizând rela ția ) 1()()( −−= ththtg , obținem
22 12
21
11
2 1 ) (11
11
11
11)(−− − −
+=−−−−−−−−+−−=tt t t t
ababaabaabaabaabtg .
♦ Aplicația 3.6. Fie sistemul discret
)1(4)2()1( )(10 −=−+−− tu ty tayty .
Să se calculeze r ăspunsul indicial și răspunsul pondere în cazurile: a) 7=a ; b) 2=a .
Soluție. a) Sistemul are ecua ția cu diferen țe
) 1(4)2()1(7)(10 −=−+−− tu ty ty ty .
Pentru )(10t u= , rezultă imediat 0 )0(=y și 5 /2)1(=y . In plus, pentru 1≥t, avem
4 )2()1(7)(10 =−+−− ty ty ty .
Această ecuație cu diferen țe are solu ția general ă
t tC C ty 2,0 5,0 1)(2 1 ⋅+⋅+= , 2≥t.
Din condi țiile inițiale 0)0(=y și 5 /2)1(=y , rezultă
t tty 2,0315,0341)( ⋅+⋅−= , 0≥t.
Prin urmare, r ăspunsul indicial este

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
65
t tth 2,0315,0341)( ⋅+⋅−= , 0≥t,
iar răspunsul pondere este
)2,05,0(34)1()()(t tththtg −=−−= , 0≥t .
b) Sistemul are ecua ția cu diferen țe
)1(4)2()1(2)(10 −=−+−− tu ty ty ty .
Pentru )(10t u= , rezultă imediat 0 )0(=y și 5 /2)1(=y . In plus, pentru 1≥t, avem
4)2()1(2)(10 =−+−− ty ty ty .
Ecuația caracteristic ă 012 102=+−z z are rădăcinile
) sin (cos1031
2,1ααρ jjz ±=±= ,
unde 10/1=ρ , 10/1 cos=α , 10/3 sin=α . Prin urmare, ecua ția cu diferen țe are
soluția general ă
) sin cos( 1091)(2 12/t Ct C tytα α+ +=−, 2≥t.
Din condi țiile inițiale 0)0(=y și 5/2)1(=y , rezultă funcția indicial ă
) cos 101(94)(2/t thtα−−= , 0≥t.
Răspunsul pondere se ob ține astfel
t ththtgtαsin 1034)1()()(2/−⋅=−−= , 0≥t.
Graficele din figura 3.10, reprezentând r ăspunsurile sistemului pentru cazurile 7=a
și 2=a au fost ob ținute în Matlab, cu programul:
t=0:1:8;
a=7; sisd=tf([0 4 0],[10 -a 1],1);
h1=step(sisd,t); g1=impulse(sisd,t);
a=2; sisd=tf([0 4 0],[10 -a 1],1);
h2=step(sisd,t);
g2=impulse(sisd,t); hold on;
plot(t,h1,'.-'); plot(t,g1,'.-');
plot(t,h2,'.-'); plot(t,g2,'.-');
grid on;

TEORIA SISTEMELOR
66

Fig. 3.10. Funcția indicial ă h și funcția pondere g ale sistemului cu ecua ția
) 1(4)2()1( )(10 −=−+−− tu ty tayty .
♦ Aplicația 3.7. Consider ăm conexiunea cu reac ție de mai jos, în care:
( S1) k k keK cc=−−1,
( S2) 1 18,0−−=−k k kc y y .

Să se afle răspunsul indicial al sistemului pentru 01,0=K .
Soluție. Prin eliminarea variabilei c între ecua țiile
) (1 k k k ky uK cc −=−−, 1 18,0−−=−k k kc y y ,
obținem modelul conexiunii:
1 2 18,0 ) 8,1(− − −= +−−k k k kKu y yK y .
In cazul 01 ,0=K , scriem modelul sub forma secundar ă
12 2
11, 7 9 0, 8 0, 0 1kk k k
kkww w u
yw− −−
+− += ⎧
⎨=⎩.
Pentru ) (10k uk= , răspunsul kw pentru 0≥k este soluția ecuației cu diferen țe
01 ,0 8,0 79,12 1=+−− − k k kw w w ,
corespunz ătoare condi țiilor inițiale 00=w și 01=w . Rezultă
k k
kbCaC w ⋅+⋅+=2 11 , 2≥k ,
unde 927 ,0≅a și 863 ,0≅b sunt rădăcinile ecua ției caracteristice 0 8,0 79,12=+− z z .

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
67
Din condi țiile inițiale obținem
14,21
1−≅−−=babC , 14,11
2≅−−=abaC ,
deci
k k
kb a w 14,1 14,21+−≅ , 0≥k .
Așadar,
k k
k kb a wy 98,0 98,111+−≅=+, 0≥k .
Graficele din figura 3.11, cu r ăspunsurile indiciale ale sistemului pentru trei valori
diferite ale parametrului K, au fost ob ținute în Matlab cu programul:
t=0:1:60;
K=[0.01 0.03 0.1];
sisd2=tf([0 1],[1 -0.8],1); for i=1:3;
sisd1=tf([K(i) 0],[1 -1],1); sisd3=sisd1*sisd2;
sisd=feedback(sisd3,1,-1); Y(:,i)=step(sisd,t);
end
plot(t,Y, '.-'); grid on;

Fig. 3.11. Funcțiile indiciale ale sistemului închis
pentru 01,0=K ; 03,0=K ; 1,0=K .
♦ Aplicația 3.8. Să se afle discretizatul cu perioada T a sistemului continuu de avans-
întârziere
) (1 1uuKyyT +=+  τ ,

TEORIA SISTEMELOR
68
unde K este factorul de propor ționalitate, 1T- constanta de timp de întârziere , iar
1τ- constanta de timp de avans.
Soluție. Sistemul continuu are func ția de transfer
1)1 ()(
11
++=sTsKsGτ.
Deoarece func ția ssG /)( a r e p o l i i 01=s și 1 2 /1T s−= , calculăm funcția de transfer a
sistemului discret, astfel:
]
) 1()(rez
) 1()(rez)[ 1()(1/1101
10
−−=−=−
−+
−−=
z ssG
z ssGz zGTsT sTss e e
]
e11 /
11)[ 1(11/11
11
−− −−
−−+−−=
zT
zz KTTτ,
adică
1
11
1 0
1)(0
−−
++=
zazbbzG ,
unde
1/
1eTTa−−= ,
11
0TτKb= , ) e (11/
11
1TT
TτKb−−−= .
In consecin ță, discretizatul are modelul intrare-ie șire
1 1 0 1 1 − −+=+k k k kubub yay .
Observație. Prin înlocuirea m ărimilor y, y, u și u din ecuația sistemului continuu
respectiv cu
T yyk k/) (1−− , 1−ky, T uuk k/) (1−− , 1−ku,
obținem discretizatul aproximativ, tot sub forma 1 1 0 1 1 − −+=+k k k kubub yay , unde
1
11−=TTa ,
11
0 TτKb= ,
11
1 TTKbτ−= .
3.5. APLICA ȚII DE AUTOCONTROL
♦ C3.1. Să se calculeze r ăspunsul indicial al sistemului
uyy 2 5=+ .
♦ C3.2. Să se calculeze r ăspunsurile indicial și pondere ale sistemului

ANALIZA SISTEMELOR LINIARE DE TIP I-E
69
uu yy +−=+  2 5 .
♦ C3.3. Să se calculeze r ăspunsul indicial al sistemului
uyy y 2 5 6 =++ .
♦ C3.4. Să se calculeze r ăspunsul indicial al sistemului
uuyy y +=++  5 5 6 .
♦ C3.5. Să se calculeze r ăspunsul indicial al sistemului
uyy y  5 5 6 =++ .
♦ C3.6. Să se calculeze r ăspunsul indicial al sistemului
uyy=+6 .
♦ C3.7. Pentru ce valori ale parametrului real m, sistemul
u myy y 2 6 5 =++
are răspunsul indicial m ărginit ? Pentru 2=m , să se determine r ăspunsul indicial.
♦ C3.8. Să se calculeze r ăspunsul indicial al sistemului
u uy y y 2 4 2 6 5 +=++   .
♦ C3.9. Să se calculeze r ăspunsul sistemului
uy y=+2 12
la intrarea
) (1e t ut⋅=−.
♦ C3.10. Să se calculeze r ăspunsul sistemului
u yy 10 3=+
la intrarea
) (1 sin tt u⋅= .
♦ C3.11. Fie conexiunea serie de mai jos, format ă din subsistemele:
1Σ: u3 4=+vv , 2Σ: v2 5=+yy .

a) Pentru )(1t u= , să se afle )(tv;
b) Pentru )(1t u= , să se afle )(ty.

TEORIA SISTEMELOR
70
♦ C3.12. Fie conexiunea cu reac ție, format ă din subsistemele:
1Σ: eyy=+5 , 2Σ: y=+vv .

a) Să se determine ecua ția sistemului cu intrarea u și ieșirea y;
b) Pentru )(1t u= , să se afle )(ty;
c) Să se determine ecua ția sistemului cu intrarea u și ieșirea e;
d) Pentru )(1t u= , să se afle )(te;
♦ C3.13. Pentru ce valori ale parametrului real m, răspunsul indicial al sistemului
discret
)1(8)2()1()2 ()(2 −=−+−+− tu ty ty mtmy .
este mărginit ? Pentru 5=m , să se calculeze r ăspunsul indicial și răspunsul pondere.
♦ C3.14. Fie sistemul discret
)2(8)2()(4 −=−+ tu tyty .
Să se calculeze r ăspunsul indicial și răspunsul pondere.
♦ C3.15. Fie sistemul discret
)1(6)3()( −=−+ tu tyty .
Să se calculeze r ăspunsul indicial și răspunsul pondere.
♦ C3.16. Fie sistemul discret
)5(2)1()(2 −=−− tu tyty .
Să se calculeze r ăspunsul indicial și răspunsul pondere.
♦ C3.17. Să se afle discretizatul sistemului continuu de tip integral
KuyyT=+1 .
♦ C3.18. Să se afle discretizatul sistemului continuu de ordinul doi
uyyTTyTT =+++   ) (2 1 21.

4
METODA OPERA ȚIONALA
LAPLACE

Acest capitol este axat pe analiza de tip intrare-ie șire (I-E) a sistemelor liniare
continue (netede) cu ajutorul formalismului opera țional Laplace.
Caracteristica principal ă a metodei opera ționale Laplace este forma simpl ă de
descriere matematic ă a corelației dinamice între intrarea și ieșirea unui sistem liniar.
Anticipând, modelul opera țional dinamic al sistem ului va avea o form ă similară
celei a modelului sta ționar, la care ie șirea y se obține prin multiplicarea intr ării u
cu un factor constant de propor ționalitate K:
uKy= .
Forma simpl ă a modelului opera țional dinamic are consecin țe pozitive în special
în analiza și sinteza sistemelor compuse, cu una sau mai multe leg ături de reac ție.
Simplificarea formalismulu i matematic se realizeaz ă însă cu prețul creșterii gradului
de abstractizare. Aceasta pres upune, în primul rând, trecerea de la studiul sistemelor
în domeniul timpului la studiul în domeniul complex și, în particular, în domeniul
frecvenței.
Reamintim c ă modelul primar de tip I-E al unui sistem liniar continuu
monovariabil de ordinul n are forma:
ubub ub ubyaya ya yar
rr
rn
nn
n 0 1)1(
1)(
0 1)1(
1)(+′++ +=+′++ +−
−−
− " " .
Prin eliminarea derivatelor m ărimilor de intrare și de ieșire se ob ține modelul
staționar
uKy= , 0 0/abK= .
De asemenea, reamintim modelul de convolu ție
)(*)( )()( )(0tutg dutg tyt=τττ−=∫ ,

TEORIA SISTEMELOR
72
care exprim ă răspunsul )(ty la o intrare )(tu dată, de tip original (nul ă pentru 0<t),
atunci când se cunoa ște funcția pondere )(tg a sistemului (definit ă ca fiind
răspunsul sistemului la intrarea impuls Dirac )(0tδu= ). Forma modelului de
convoluție eviden țiază faptul că funcția pondere g conține toate caracteristicile
dinamice ale sistemului sub aspectul corela ției intrare-ie șire. Modelul de convolu ție
are o mare importan ță teoretică, deoarece forma sa simpl ă sugereaz ă posibilitatea
găsirii unui model dinamic cu forma și mai simpl ă, prin înlocuirea produsului de
convoluție cu unul algebric. Acest lucru este realizabil cu ajutorul transform ării
Laplace.
In cadrul metodei opera ționale Laplace, mo delul de convolu ție ugy *= va
căpăta forma opera țională de tip algebric
)()( )( sUsGsY ⋅= ,
unde s este variabila complex ă Laplace, iar )(sY , )(sG și )(sU sunt transformatele
Laplace ale func țiilor de timp )(ty, )(tg și )(tu. Modelul opera țional este deci un
model abstract (în domeniul complex), dar care exprim ă, într-o form ă algebrică
simplă, faptul că ieșirea complex ă )(sY este produsul dintre func ția complex ă )(sG
asociată caracteristicilor dina mice ale sistemului și intrarea complex ă )(sU .
Așa cum vom vedea în continuare, determinarea modelului opera țional al unui
sistem liniar compus din modelele opera ționale ale subsistemelo r componente este o
operație mult mai simpl ă decât aceea de ob ținere, în domeniul timpului, a ecua ției
diferențiale a sistemului din ecua țiile diferen țiale ale subsistemelor. Modelul
operațional poate fi dedus pe cale algebric ă, printr-o metodologie similar ă celei
utilizate la studiul sistemului în regim sta ționar sau la studiul unui sistem format
numai din subsisteme statice (de ordinu l zero). In plus, metodologia analitic ă de
calculul al r ăspunsului unui sistem pe baza func ției de transfer este mai simpl ă decât
cea din domeniul timpului, prin rezolvarea ecua ției diferen țiale a sistemului.
4.1. TRANSFORMAREA LAPLACE
Variabilele de intrare, de stare și de ieșire ale sistemelor liniare continue, aflate
în regim sta ționar pentru 0<t, sunt func ții de timp de tip original , care admit
transformate Laplace. O func ție original )(tf este nulă pentru 0<t , este continu ă și
derivabilă pe porțiuni și are o rat ă de creștere cel mult exponen țială, adică există
0>A și 0>B astfel încât

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
73
BtAtf e )(≤ .
Pentru a fi satisf ăcută prima proprietate, vom considera (a șa cum am procedat și în
analiza în domeniul timpului) c ă variabilele unui sistem reprezint ă variațiile
mărimilor fizice respective fa ță de valorile lor ini țiale (la momentele de timp
negativ, când sistemul se afl ă în regim sta ționar). In cazul sistemelor liniare,
răspunsul stare )(tX și răspunsul ie șire )(tY la orice semnal de intrare de tip
original sunt r ăspunsuri for țate de tip original.
Transformata Laplace sau imaginea Laplace a funcției original f este dată de
relația
∫∞
−−Δ
==0e)( )]([)( dt tf tf sFstL , C∈s .
In mod natural, limita inferioar ă a integralei s-a ales −0 pentru a include în
rezultatul transform ării și efectul func țiilor original generalizate (tip distribu ție), așa
cum este func ția impuls Dirac )(0tδ . In plus, aceast ă alegere simplific ă formula
transformatei Laplace a derivatei )(kf a funcției original f, deoarece derivatele
inițiale
)0(−f , )0(−′f , … , )0()1(
−−kf ,
sunt nule și nu mai intervin în expresia tran sformatei Laplace (vezi proprietatea
derivării de mai jos).
In continuare, prezent ăm câteva proprietăți uzuale ale transform ării Laplace:
• proprietatea de liniaritate
)]([ )]([ )]( )([2 2 1 1 22 11tf ktf ktfktfk L L L + =+ , (1)
valabilă oricare ar fi func țiile original 1f, 2f și constantele reale 1k, 2k;
• proprietatea de derivare (integrare) în domeniul real1
)( )]( [)(sFstfk k= L , Z∈k ; (2)
• proprietatea de deriva re în domeniul complex
)( )]([ sF ttf′−= L ; (3)
• proprietatea de transla ție în complex

1 In relația (2), derivata )()(tfk poate fi și funcție de tip distribuție, definită inclusiv în punctele de
discontinuitate ale functiei f(t). Astfel, prima derivat ă a funcției discontinue )(1 )(e t tfat⋅=− este
distribuția )(1 e)( )(0t at tfat⋅−=′−δ , unde ) (0tδ este func ția impuls Dirac.

TEORIA SISTEMELOR
74
) ( )]( [ asFtfeat+=−L , C∈a ; (4)
• proprietatea de transla ție în real
)( )] ([ sFe tfsττ−=−L ; (5)
• proprietatea valorii finale
)( lim)( lim
0ssF tf
s t → ∞→= , (6)
valabilă în condițiile în care to ți polii func ției )(ssF au partea real ă negativă, deci
sunt situa ți în stânga axei imaginare;
• proprietatea valorii ini țiale
)( lim)( lim
0ssF tf
s t ∞→ →=
+, (7)
valabilă atunci când limita din dreapta exist ă și este finit ă;
• proprietatea produsului de convolu ție
) ()( ])()([0sUsG dutgt= −∫ τττ L . (8)
Transformarea Laplace invers ă este opera ția de ob ținere a func ției original
)(tfdin imaginea Laplace )(sF . Transformata Laplace invers ă a imaginii )(sF este
dată de relația
∫∞+
∞−=j
je)(πj21)(σ
σds sF tfts, (9)
în care integrala se calculeaz ă de-a lungul dreptei cu abcisa constant ă σ suficient de
mică pentru a asigura convergen ța integralei. In majoritatea aplica țiilor, pentru
determinarea transformatei Laplace inverse se utilizeaz ă metoda descompunerii
imaginii )(sF în fracții simple, pentru care se cuno sc transformatele Laplace inverse
(funcțiile original).
Dintre transformatele Laplace mai frecvent utilizate, men ționăm următoarele:
1)]([0=tδL , st1)](1[= L , 21)](1[stt=⋅L , 1!)](1[+=⋅kk
skt tL ,
astat
+=⋅− 1)](1 [eL , 2) (1)](1e[ast tat
+=⋅−L ,
2 2) ()](1 cos [eb asastbtat
+++=⋅−L , 2 2) ()](1 sin [eb asbtbtat
++=⋅−L ,
2 2)](1 [cosbsstbt
+=⋅ L , 2 2)](1 [sinbsbtbt
+=⋅ L .

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
75
4.2. FUNC ȚIA DE TRANSFER
Prin definiție, funcția de transfer a unui sistem liniar continuu și monovariabil
este transformata Laplace )(sG a funcției pondere )(tg a sistemului. Aplicând
transformarea Laplace modelului de convolu ție
τττ dutg tyt)()( )(0−=∫ , (10)
și ținând seama de proprietatea produsului de convolu ție (8), se ob ține modelul
operațional dinamic intrare-ie șire
)()()( sUsGsY= , (11)
unde )(sU este transformata Laplace a func ției de intrare )(tu, iar )(sY este
transformata Laplace a func ției de ieșire )(ty. Scriind modelul (11) sub forma
)()()(sUsYsG= ,
rezultă
Teorema func ției de transfer. Funcția de transfer a unui sistem liniar continuu
monovariabil este egal ă cu raportul dintre transformata Laplace a r ăspunsului
sistemului la o func ție de intrare de tip original dat ă și transformata Laplace a
funcției de intrare .
Modelul opera țional (11) este modelul dinamic cu cea mai simpl ă formă
posibilă, similară celei a modelului sta ționar
uKy= ,
unde K reprezint ă factorul static de propor ționalitate al sistemului. Modelul
operațional este îns ă un model abstract, deoarece nu realizeaz ă o corelare direct ă a
mărimile fizice reale ale sist emului, ci o corelare a tr ansformatelor Laplace ale
acestor m ărimi, care sunt func ții de variabil ă complexă.
Să considerăm acum forma primar ă a modelului de tip I-E al unui sistem liniar
continuu mono variabil:
ubub ub ubyaya ya yar
rr
rn
nn
n 0 1)1(
1)(
0 1)1(
1)(+′++ +=+′++ +−
−−
− " " , 0≠na .
Aplicând transformarea Laplace ambilor membri ai ecua ției diferen țiale a sistemului
și ținând seama de propr ietatea de liniaritate și de proprietatea derivării în domeniul
real, obținem forma primar ă a funcției de transfer

TEORIA SISTEMELOR
76

0 1110 111)(asa s sabsb sbsbsG … a …
nnnnrrrr
+++ ++++ +
−−−−= . (12)
care are la numitor chiar polinomul caracteristic al sistemului.
La sistemele proprii (fizic rea lizabile), polinomul de la num ărătorul func ției de
transfer are gradul mai mic sau cel mult egal cu gradul polinomului de la numitorul
funcției de transfer ) (nr≤.
In ecuația diferen țială de tip I-E a sistemului, dac ă 0a și 0b sunt coeficien ți
adimensionali, atunci to ți coeficien ții ia și ib sunt, din punct de vedere dimensional,
constante de timp la puterea i. Prin urmare, putem considera c ă variabila s din
expresia func ției de transfer )(sG are, formal, dimensiune a inversului timpului.
Prin defini ție, ordinul func ției de transfer este egal cu gradul numitorului
funcției de transfer simplificate (aduse la forma ireductibil ă), adică este egal cu
numărul total de poli sau cu gradul polinomului polilor func ției de transfer . In
consecință, dacă polinoamele de la num ărător și numitor sunt coprime (nu au
rădăcini comune), atunci )(sG are ordinul n. Diferența rn− dintre gradul polinoa-
melor de la numitorul și numărătorul func ției de transfer reprezint ă ordinul relativ al
funcției de transfer sau excesul poli-zerouri .
Inerția unui sistem (caracterizat ă prin num ărul condi țiilor inițiale nule ale
răspunsului la aplicarea unui semnal treapt ă la intrare) este cu atât mai mare cu cât
ordinul relativ al acestuia es te mai mare. Mai exact, conform teoremei condi țiilor
inițiale nule , numărul condi țiilor inițiale nule ale r ăspunsului indicial )(th al
sistemului este egal cu ordinul relativ rn− al funcției de transfer, adic ă
0)0( )0( )0()1 (= ==′=++−
+ +rnh h h " .
In general, func ția de transfer )(sG este un factor de propor ționalitate complex
ce caracterizeaz ă corelația între transformatele Laplace (complexe) ale m ărimilor de
intrare și de ieșire. In cazul particular 0=s , funcția de transfer coincide cu factorul
static de propor ționalitate al sistemului:
Kab
G==
00)0( . ( 1 3 )
La sistemele de tip proporțional , caracterizate prin 00≠a și 00≠b , funcția de
transfer ) (sG nu are pe s factor comun la num ărător sau numitor, deci nu are zerou
sau pol în origine. La sistemele de tip integral , caracterizate prin 00=a și 00≠b ,
funcția de transfer )(sG are variabila s factor comun la numito r, iar la sistemele de

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
77
tip derivativ , caracterizate prin 00≠a și 00=b , funcția de transfer )(sG are pe s
factor comun la num ărător.
Observații. 1°. Din relația operațională intrare-ie șire )()()( sUsGsY= , rezultă
că transformata Laplace )(sH a răspunsului indicial )(th al sistemului are expresia
ssGsH)()(= .
Din proprietatea valorii ini țiale rezultă

nn
abGsG ssH h
s s=∞= = =
∞→ ∞→+ )( )( lim)( lim)0( . (14)
2°. Din proprietatea valorii finale rezult ă că dacă răspunsul indicial )(th al unui
sistem tinde la o valoare finit ă pentru ∞→t , atunci aceast ă valoare este egal ă cu
factorul static de propor ționalitate al sistemului:
K ab GsG ssH h
ss=== = =∞
→→0 0/ )0( )( lim)( lim)(
00. (15)
Acest rezultat era cunoscut de la anal iza în domeniul timp ului, din faptul c ă pentru
orice răspuns indicial )(th care se stabilizeaz ă la o valoare finit ă, deosebim dou ă
regimuri sta ționare, unul trivial, pentru )0,(−∞∈t , și unul final, la încheierea
regimului tranzitoriu (teoretic, pentru ∞→t ), iar în condi țiile celui de-al doilea
regim staționar, din ecua ția modelului sta ționar ( Kuy= ), rezultă
K Ku y =∞=∞ )( )( .
Prin urmare, la sistemele de tip propor țional (cu factorul static de propor ționalitate
K finit și nenul), r ăspunsul indicial )(th tinde la o valoare finit ă și nenulă, în timp
ce la sistemele de ti p derivativ (cu factor ul static de propor ționalitate egal cu zero),
răspunsul indicial )(th tinde la valoarea zero (fiind deci sub form ă de “impuls”).
La sistemele de întârziere de ordinul unu, cu func ția de transfer
1)(
1+=sTKsG , 01>T ,
răspunsul indicial )(th poate fi reprezentat grafic pe baza rela țiilor
0 )( )0( =∞=+G h , K G h ==∞ )0( )(, 1)4…3( T Ttr≅ ,
unde trT este durata regimului tranzitoriu.
3°. Regulatoarele continue de tip PID, cu ecua ția improprie

TEORIA SISTEMELOR
78
0)ddd
01( ctTtTKcd
iRt++ +=∫εεε , (16)
au funcția de transfer
)11( )( sTsTKsGd
iR R++= . (17)
Această funcție de transfer este improprie (are gradul num ărătorului mai mare
decât cel al numitorului) datorit ă componentei derivative. Caracterul impropriu al
acestei componente reiese și din faptul c ă la intrare treapt ă, componenta derivativ ă
este de tip impuls Dirac. Sub aceast ă formă, propriet ățile și rolul componentei
derivative sunt relativ u șor de înțeles și de interpretat, inclusiv de c ătre personalul
din domeniu f ără studii superioare.
In realitate, func ția de transfer a regulatorulu i PID are forma semiproprie
)111( )(
1+++=sTsT
sTKsGd
iR R , (18)
unde 1T este constanta de timp de întârziere a componentei derivative (cu valoarea,
de regulă, mult mai mic ă decât cea a constantei de timp derivative dT).
4.3. MATRICEA DE TRANSFER
In conformitate cu principiul superpozi ției, pentru un sistem continuu liniar
multivariabil cu m intrări și p ieșiri, dependen ța ieșirii ) (sYi în raport cu intr ările
)(1sU , )(2sU , … , )(sUm, este dată de relația
)()( )()( )()( )(2 2 1 1 sUs G sUsGsUsGsYm im i i i ++ + = " ,
unde ) (sGij este func ția de transfer a canalului cu intrarea jU și ieșirea iY. Relațiile
pot fi scrise pentru toate ie șirile sub forma vectorial-matriceal ă
)()( )( s s s UG Y= , (19)
echivalent ă cu

⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
=
m pm p pmm
p UUU
G G GG G GG G G
YYY
#
"#%##""
#21
2 12 22 211 12 11
21
.

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
79
Funcția matriceal ă de tipul mp×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
=
pm p pmm
G G GG G GG G G
"#%##""
2 12 22 211 12 11
G (20)
reprezintă matricea de transfer a sistemului. Rela ția )()( )( sUs sY G= exprimă faptul
că în complex, vectorul Y al mărimilor de ie șire este egal cu produsul dintre
matricea de transfer G a sistemului și vectorul U al mărimilor de intrare. Intre
intrarea )(sUj și ieșirea )(sYi există relația operațională
)()( )( sUsGsYj ij i= . ( 2 1 )
Fie ),,,( DCBAΣ un sistem liniar, continuu, de ordinul n, monovariabil sau
multivariabil. Aplicând transformarea Laplace ecua țiilor de stare și de ieșire

⎩⎨⎧
)( )( )()( )( )(
t +DUtCX=t Yt +BUtAX=tX 
,
obținem

⎩⎨⎧
+=−=−
)( )( )()( )I()(1
s DUsCXs YsBUAs s X.
Mai departe, înlocuind vectorul de stare )(sX din ecua ția stării în ecua ția ieșirii,
rezultă matricea de transfer a sistemului (de tipul mp×), sub forma
DBAsCs +−=−1)I( )(G . (22)
„ In toolbox-ul CONTROL din MATLAB , sistemul cu func ția de transfer (12) se
construiește cu func ția tf, care are ca argumente de intrare vectorii linie
] [01 1bb bb numnn"−= și ] [01 1aa aa dennn"−= ,
formați cu coeficien ții de la num ărătorul și respectiv numitorul func ției de transfer:
stf = tf (num,den) ;
In cazul nr<, vectorul num poate fi scris și sub forma
] [01 1bb bb numrr"−= .

TEORIA SISTEMELOR
80
Alt mod de a construi un sistem în MATLAB const ă în definirea prealabil ă a variabilei
Laplace s, urmată de scrierea expresiei func ției de transfer cu ajutorul operatorilor uzuali.
De exemplu, sistemul stf cu funcția de transfer
24 513)(2+++=
s sssG poate fi construit astfel:
s= tf(‘s’),
stf=(3*s+1)/(5*s^2+4*s+2);
In cazul sistemelor multivariabile, construc ția se face prin concatenarea subsistemelor
monovariabile. De exemplu, sistemul stf cu matricea de transfer

⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
+ ++++
+++
=
21
215312
21
)(
22 2
s sss ss
sss
sG ,
se construie ște astfel:
s11=tf([1 1], [1 1 2]);
s12=tf([2 1], [1 3 0]); s21=tf([5 1], [1 2]); s22=tf(1, [1 0 2]); stf=[s11 s12;s21 s22];
sau s=tf('s
');
s11=(s+1)/(s^2+s+2);
s12=(2s+1)/(s^2+3*s);
s21=(5s+1)/(s+2);
s22=1/(s^2+2);
stf=[s11 s12;s21 s22];
4.4. FUNC ȚIA DE TRANSFER A SISTEMELOR COMPUSE
La sistemelor compuse, alc ătuite din subsisteme liniare continue, ob ținerea
modelului matematic pe baza ecua țiilor diferen țiale ale subsistemelor componente
este o opera ție complicat ă, care presupune eliminarea tuturor variabilelor
intermediare și a derivatelor acestora. In cazul metodei opera ționale, determinarea
modelului unui sistem linia r compus este echivalent ă cu determinarea func țiilor de
transfer ale acestuia, opera ție care se realizeaz ă pe cale algebric ă, ca în cazul
studiului unui sistem în regim sta ționar sau al unui sistem format numai din
subsisteme statice (de ordinul zero).
In cazul conexiunii serie din figura 4.1, format ă din subsistemul 1Σ cu funcția de
transfer 1G și subsistemul 2Σ cu funcția de transfer 2G, din modelele opera ționale

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
81
)()( )(2sVsGsY=
și
)()( )(1sUsGsV= ,
rezultă )()()( )(1 2sUsGsGsY= . Prin urmare, sistemul compus are func ția de transfer
)()( )(1 2sGsGsG= . In general, funcția de transfer a unei conexiuni serie de n
subsisteme monovariabile este egal ă cu produsul func țiilor de transfer ale
subsistemelor componente , adică:
nG GGG"21= . (23)

Fig. 4.1. Conexiune serie .
Toți polii conexiunii serie sunt poli ai subsistemelor componente. In consecin ță,
comportamentul dinamic al un ei conexiuni serie nu difer ă radical de cel al
subsistemelor componente.
La conectarea în serie a sistemelor multivariabile trebuie îndeplinit ă condiția ca
numărul de ie șiri ale unui subsistem s ă fie egal cu num ărul de intr ări ale
subsistemului urm ător. Matricea de transfer a conexiunii este egal ă cu produsul
matricelor de transfer al e subsistemelor componente, în ordine invers ă, adică
1 1G GGG "−=nn. (24)
In cazul conexiunii paralel din figura 4.2, avem
)() ()( )( )( )( )(2 1 2 1 2 1sUGGsUGsUGsVsVsY +=+=+= ,
deci 2 1GGG+= . In general, funcția de transfer a unei conexiuni paralel de n
subsisteme monovar iabile este egal ă cu suma algebric ă a funcțiilor de transfer ale
subsistemelor componente , adică
nG GGG +++= "2 1. (25)
Ca și în cazul conexiunii serie, to ți polii conexiunii serie sunt poli ai
subsistemelor compone nte. In plus, dac ă funcțiile de transfer ale subsistemelor n-au
niciun pol comun, atunci ordinul func ției de transfer a conexi unii este egal cu suma
ordinelor func țiilor de transfer ale subsistemelor componente.

TEORIA SISTEMELOR
82

Fig. 4.2. Conexiune paralel .
Sistemele multivariabile pot fi conectate în paralel numai dac ă au același număr
de intrări m și același număr de ieșiri p. Matricea de transfer a conexiunii este
egală cu suma algebric ă a matricelor de transfer ale elementelor componente –
relația (25).
In cazul conexiunii cu reac ție negativ ă din figura 4.3, notând cu 1G și 2G
funcțiile de transfer ale subsistemelor 1Σ și 2Σ, avem
) ( ) (2 1 1 1YGUGVUGEGY −=−== ,
deci ) 1/(21 1GG UGY += . Prin urmare, func ția de transfer a sistemului cu intrarea U
și ieșirea Y este

211
1 GGGG+= . (26)
Dacă produsul )()(2 1 sGsG este o func ție rațională ireductibil ă, atunci to ți polii
conexiunii închise (cu reac ție) sunt diferi ți de polii subsistemelor componente. In
consecință, sistemele închise, spre deosebire de sistemele deschise, pot avea un
comportament dinamic radical diferit de cel al subsistemelor componente. Ordinul
funcției de transfer a conexiunii este egal cu suma ordinelor func țiilor de transfer ale
subsistemelor componente.

Fig. 4.3. Conexiune cu reac ție.
Să consider ăm acum sistemul de reglare automat ă după eroare (abatere) din
figura 4.4, având ca m ărimi de intrare referin ța R și perturba ția V (aditivă la ieșirea
procesului).

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
83

Fig. 4.4. Sistem de reglare automat ă.
Toate celelalte m ărimi ale sistemului ( Y, E, C, U și M) pot fi considerate mărimi
de ieșire. Formula func ției de transfer a unuia din cele zece canale intrare-ie șire ale
sistemului de reglare poate fi ob ținută după următoarea regul ă:
– numărătorul este produsul func țiilor de transfer ale elementelor (canalelor) de
pe traseul direct intrare-ie șire;
– numitorul este acela și, egal cu suma )( 1 sGd+ , unde
TPER dGGGG G= (27)
reprezint ă funcția de transfer a sistemului deschis (a conexiunii se rie cu intrarea R
și ieșirea M, obținută prin întreruperea buclei închise, dup ă traductor). Aplicând
această regulă, avem

dPER
YR GGGGG+=1,
dYVGG+=1GV, (28)

dER GG+=11,
dTV
EVGGGG+−=1)1(, (29)

dCRGGG+=1R,
dRTV
CVGGGGG+−=1)1(. (30)
Formulele (28) ale func țiilor de transfer YRG și YVG pot fi deduse procedând astfel:
se scriu succesiv rela țiile de dependen ță cauzală ale mărimii )(sY , până se ajunge la
mărimile de intrare )(sV și )(sR , și din nou la m ărimea )(sY , adică
)( )( )( )( )( )( )( sVGsEGGGsVGsCGGsVGsUGsYV REP V EP V P + =+ =+=
)( )]( )([ )( )]( )([ sVGsYGsRGGGsVGsMsRGGGV T REP V REP +− =+− = .
Rezultă
) ( )( )() 1( sVGsRGGGsYGGGGV REP TREP + = + ,
adică ) ( )( )( sVGsRGsYYV YR+= , unde YRG și YVG au expresiile (28).

TEORIA SISTEMELOR
84
Deoarece toate func țiile de transfer ale sistemului au acela și numitor, sistemul de
reglare are ecuația polilor
0 1 = +TPER GGGG , (31)
echivalent ă cu
0 1=+FRGG , (32)
unde
TPE F GGG G=
este funcția de transfer a p ărții fixate.
„ In MATLAB , pentru construirea conexiunilor serie , paralel și cu reacție se
utilizează funcțiile:
s = series (sis1,sis2) ;
p = parallel (sis1,sis2) ;
f = feedback (sis1,sis2,sign);
sau operatorii “+”, “ *” și “/”:
s=sis1*sis2*sis3;
p=sis1+sis2+sis3;
f=sis1/(1+sis1*sis2);
4.5. CALCULUL RASPUNSULUI SISTEMELOR COMPUSE
Metoda opera țională Laplace permite determinarea pe cale algebric ă a
răspunsului for țat al unui sistem liniar continuu compus la func ții de intrare
analitice de tip original, atunci când se cunosc ecua țiile diferen țiale ale fiec ărui
subsistem.
Calculul analitic al r ăspunsului )(tyi al sistemului compus la o func ție de intrare
)(tuj dată (tip impuls Dirac, treapt ă, rampă, sinusoidal etc.) se face dup ă
următoarea metodologie:
• se determin ă transformata Laplace )(sUj a funcției de intrare )(tuj;
• se determin ă funcțiile de transfer ale subsistemelor componente;
• se calculeaz ă funcția de transfer ) (sGij a sistemului compus, corespunz ătoare
intrării )(sUj și ieșirii ) (sYi, în raport cu func țiile de transfer ale subsistemelor;
• se calculeaz ă transformata Laplace )(sYi a răspunsului sistemului, cu rela ția
)()( )( sUsGsYj ij i= ;

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
85
• se calculeaz ă răspunsul sistemului )]([ )(1sY tyi i−=L , prin metoda dezvolt ării
funcției )(sYi în fracții simple.
Calculul func ției pondere )(tgij și al funcției indiciale )(thij se face cu rela țiile
)]([ )(1 sG tgij ij−=L , )](1[ )(1 sGsthij ij−=L .
Dacă )(sGij are toți polii situa ți în stânga axei imaginare, atunci r ăspunsul
indicial are valorile ini țială și finală
)( )0(∞=+ij ij G h , )0( )(ij ij G h=∞ .
In general, r ăspunsul indicial )(thij satisface un num ăr de condi ții inițiale nule egal
cu ordinul relativ al func ției de transfer )(sGij. Prima condi ție inițială nenulă a
răspunsului indicial este egal ă cu raportul coeficien ților termenilor de grad maxim
de la num ărătorul și numitorul func ției de transfer )(sGij. Astfel, dac ă )(sGij este
strict proprie ( 0=nb ), atunci
0)0(=+ijh ,
nn
ijabh1)0(−=′+ , )0( )(ij ijG h=∞ . (33)
Dacă )(sGij este de ordinul unu, cu constanta de timp de întârziere (de la
numitor) 01>T și constanta de timp de avans (de la num ărător) 1τ, 1 10 T<≤τ , adică
11)(
11
++=sTsτKsGij ,
atunci durata regimului tranzitoriu al r ăspunsului indicial este aproximativ
) )(4…3(1 1τT Ttr − ≅ . (34)
Pe baza acestor rela ții putem construi calitativ graficul r ăspunsului indicial al
sistemelor de ordinul unu direct din func ția de transfer, f ără a mai efectua calculul
analitic al acestuia.
„ In MATLAB , pentru calculul și reprezentarea grafic ă a răspunsului indicial, a
răspunsului pondere și a răspunsului la o intrare arbitrar ă de tip original U, în formă de
scară, se utilizeaz ă funcțiile:
• [Y,t] = step (sis,t) ;
• [Y,t] = impulse (sis,t) ;
• [Y,t] = lsim (sis,U,t) ;

TEORIA SISTEMELOR
86
Argumentul de intrare t, reprezentând vectorul timp, poate fi introdus printr-o comand ă
de forma
• t=t0:T:t1,
unde t0 este valoarea ini țială (de regul ă egală cu 0), T este pasul de calcul, iar t1 – valoarea
finală. Argumentul de intrare t poate fi omis la func țiile step și impulse , caz în care acesta
este generat automat de func ția respectiv ă. Argumentele de intrare U și t ale funcției lsim
sunt vectori cu aceea și dimensiune. Componentele vectorilor U și Y reprezint ă respectiv
valorile m ărimilor de intrare și de ieșire la momentele de timp specificate de vectorul t.
Dacă funcțiile sunt apelate f ără specificarea vreunui argument de ie șire, atunci se
efectueaz ă numai reprezentarea grafic ă a răspunsului. In cazul contrar, se efectueaz ă
evaluarea acestor argumente, f ără reprezentarea grafic ă a răspunsului.
4.6. RASPUNSUL SISTEMELOR ELEMENTARE
In cele ce urmeaz ă vor fi calculate, interpretate și analizate r ăspunsurile
sistemelor liniare elementare de tip pur in tegral, de întârziere de ordinul unu,
derivativ de ordinul unu, de avans-întârziere de ordinul unu, de în târziere de ordinul
doi, derivativ de ordinul doi și de avans-întârziere de ordinul doi.
4.6.1. Răspunsul sistemului pur integral
Sistemul pur integral (integrator) de or dinul unu, cu factorul de amplificare K și
constanta de timp integral ă iT, are modelul I-E de forma
KutyTi=dd (35)
și funcția de transfer
sTKsG
i=)( . (36)
Sistemul are func ția pondere

i iTK
sTKtg ==−][ )(1L ,
funcția indicial ă

i iTtK
sTKth = =−] [ )(21L
și răspunsul la intrare ramp ă unitară, )(1ttu⋅= ,

i iTtK
sTthK
2] [ )(2
31
1= =−L .

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
87
Se observ ă că sistemul pur integral de ordinul unu are func ția pondere sub form ă de
treaptă, funcția indicial ă sub form ă de rampă și răspunsul la intrare ramp ă unitară
sub formă parabolic ă (fig. 4.5).

Fig. 4.5. Răspunsul sistemului pur integral de ordinul unu.
4.6.2. Răspunsul sistemului de înt ârziere de ordinul unu
Sistemul de întârziere de ordinul unu este cel mai simplu sistem dinamic liniar de
tip propor țional. Acesta are modelul dinamic
KuytyT=+dd
1, 01>T , (37)
modelul sta ționar
uKy= ,
funcția de transfer
1)(
1+=sTKsG , (38)
unde K este factorul static de propor ționalitate, iar 1T – constanta de timp.
Funcția indicial ă )(th are următoarele propriet ăți (fig. 4.6):
0)( )0( =∞=+G h ,
1)( lim)0(TKssG h
s= =′
∞→+ , K G h ==∞ )0( )( ,
1)4…3( T Ttr≅ .
Funcția pondere, func ția indicial ă și răspunsul la intrare ramp ă unitară se calculeaz ă
astfel:
1/
1 11e ]1[ )(Tt
TK
sTKtg− −⋅=+=L ,

TEORIA SISTEMELOR
88
) e1( ]11[ ])1 ([ )(1/
11 1
11 TtKsTT
sKsTsKth− − −−=+−=+= L L , (39)
)] e1( [ ]11[ ])1 ([ )(1/
11
12
1 1
21
121
1Tt
TtKTsTT
sT
sKsTsKth− − −−−=+− =+= + L L .

Fig. 4.6. Răspunsul sistemului de întârziere de ordinul unu .
Funcția indicial ă )(th tinde simplu exponen țial și concav spre valoarea final ă
K, atingând valorile K95,0 și K98,0 respectiv la momentele de timp 1 953T Ttr≅ și
1 984T Ttr≅ . Mărimile 95trT și 98trT caracterizeaz ă durata regimului tranzitoriu
(timpul de r ăspuns) și permit o interpretare geometric ă simplă a constantei de timp
1T.
In cazul 01<T , răspunsul sistemului la orice tip de intrare nenul ă este nem ărginit
(sistemul este instabil).
4.6.3. Răspunsul sistemului deri vativ de ordinul unu
Sistemul derivativ de ordinul unu are modelul dinamic
uTKyyTd =+1 , 01>T , (40)
modelul sta ționar
0=y ,
funcția de transfer
1)(
1+=sTsTKsGd, (41)

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
89
unde K este factorul de propor ționalitate, dT constanta de timp derivativ ă și 1T
constanta de timp de întârziere.
Funcția indicial ă )(th are următoarele propriet ăți (fig. 4.7):

1)( )0(TTK G hd=∞=+ , 0)0()( ==∞G h , 1)43( T Ttr"≅ .
Sistemul are funcția pondere
] e1)([ ]111[ ]1)[ )(1/
10
1 11
1 11 Tt d d d
TtTTKsT TTKsTsTK tg− − −− =+− =+= δ L L ,
și funcția indicial ă
1/
1 11e ]1[ )(Tt d d
TTKsTTK th− −=+=L . (42)
Sistemul derivativ de ordinu l unu este frecvent utilizat în generarea semnalelor
de comand ă cu caracter antici pativ, deoarece r ăspunsul indicial este de tip „impuls”,
cu valoarea ini țială
1TTKd și valoarea final ă zero. Timpul de r ăspuns, în care )(th are
o variație de 95 % din valoarea ini țială (exponen țiala 1/eTt− scade de la valoarea
inițială 1 la valoarea 05,0 e3≅−), este 1 953T Ttr≅ .

Fig. 4.7. Răspunsul indicial al sistemului derivativ de ordinul unu.
Scriind func ția de transfer sub forma
)111( )(
1 1+−=sT TTKsGd,
rezultă că sistemul derivativ de ordinul unu poate fi ob ținut prin conectarea paralel-
opusă a unui sistem de tip static și a unui sistem de întârziere de ordinul unu, ambele
având acela și factor static de propor ționalitate.

TEORIA SISTEMELOR
90
4.6.4. Răspunsul sistemului de avans- întârziere de ordinul unu
Sistemul de avans-întârziere de ordinul unu are modelul dinamic
) (1 1uuKyyT +=+  τ , 01>T , (43)
modelul sta ționar
uKy= ,
funcția de transfer
1)1 ()(
11
++=sTsKsGτ, (44)
unde K este factorul static de propor ționalitate, 1T – constanta de timp de întârziere,
iar 1τ – constanta de timp de avans. Efec tul de avans este dominant în cazul 1 1T>τ ,
iar efectul de întârziere este dominant în cazul 1 10 T<<τ .
Funcția indicial ă )(th are următoarele propriet ăți (fig. 4.8):

11)()0(TK G hτ=∞=+ , K G h ==∞ )0( )( , 1)43( T Ttr"≅ .
Pentru 1 12 0 T<<τ , durata regimului tranzitoriu a r ăspunsului indicial poate fi
exprimată prin relația mai precis ă | |)43(1 1τ− ≅ T Ttr" .
Funcția pondere și funcția indicial ă se calculeaz ă astfel:
] e) 1()( [ ]1[ ]1)1 ([ )(1/
11
01
1 11 1
11
1 11 1 Tt
Tt TTK
sTT
TK
sTsKtg− − −−+ =+−+ =++=τδτττL L ,
] e) 1(1[]11[ ])1 ()1 ([ )(1/
11
11 1 1
11 1 Tt
TKsTT
sKsTssKth− − −−−=+−−=++=τ τ τL L . (45)
In cazul 01<τ , din 0 / )0(11<=+ T K hτ și K h=∞)( , rezult ă că răspunsul indicial
are la început o varia ție bruscă de sens opus fa ță de valoarea final ă.
Sistemul de avans de ordinul unu (cu 1 1T>τ ) este frecvent util izat în generarea
semnalelor de comand ă cu caracter antici pativ, deoarece r ăspunsul indicial are o
valoare ini țială de 11/Tτ ori mai mare decât valoarea final ă. Raportul 11/Tτ dintre
valoarea ini țială (maximă) și cea final ă a răspunsului indicial reprezint ă factorul de
magnitudine . Scriind func ția de transfer sub forma
]1) (1[ )(
11 1
+−+=sTsTKsGτ, (46)

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
91
am obținut func ția de transfer a unui regulator de tip PD cu constanta de timp
derivativă 1 1T Td−=τ .

Fig. 4.8. Răspunsul indicial al sistemului de avans-întârziere de ordinul unu.

Scriind func ția de transfer sub forma
)11/( )(
111
11
+−−=sTT
TKsGττ,
rezultă că sistemul de avans-întârziere de ordinul unu poate fi ob ținut prin
conectarea paralel-opus ă a unui sistem de tip static și a unui sistem de întârziere de
ordinul unu.
4.6.5. Răspunsul sistemului de întâr ziere de ordinul doi
Sistemul de întârziere de ordinul doi are ecua ția diferen țială
u Ky y yn n n2 22 ωωωξ =++ , 0>nω , (47)
modelul sta ționar
uKy=
și funcția de transfer
2 22
2)(
n nn
s sKsGωξωω
++= , (48)
unde K este factorul static de propor ționalitate, ξ factorul de amortizare, iar nω
pulsația naturală.
Deoarece excesul poli-zerouri este egal cu doi, func ția indicial ă )(th este
continuă în origine și tangentă la axa timpului, adic ă 0)0()0( =′=+ +h h . In plus,
pentru 0>ξ , avem 1)0( )( ==∞ G h .

TEORIA SISTEMELOR
92
Funcția de transfer a sistemului poate fi scris ă și sub forma
1)(
122
2++=sTsTKsG ,
unde 1T și 2T sunt constante de timp pozitive. In continuare, vom considera 1 =K .
Cazul 1 0<<ξ (regim oscilant amortizat ). La intrare treapt ă unitară, transfor-
mata Laplace a r ăspunsului sistemului are forma

22 2 2 2 2 22
) 1 () () ( 1
22 1
) 2 ()(
ξ ξξ
ξξ
ξ ωωξωω
ωωω
ωωω
−++++−=+++−=++=
n nn n
n nn
n nn
ss
s s ss
s s ss sY .
Cu notațiile
ω ωξ=−21n , αξcos= , )2π,0(∈α ,
răspunsul indicial are expresia
) sin(
1e1) sin
1(cos e1)(
2 2αω ω ω
ξ ξξξω
ξω+⋅
−−=
−+ −=−
−t t t tytntn , (49)
fiind de tip oscilant amortizat (fig. 4.9), cu pulsa ția nωω< .
Prin anularea derivatei r ăspunsului indicial
t tytnnωωωξωsin e )(2
−⋅= ,
se obțin momentele de extrem
π/ktk=ω , N∈k ,
și valorile de extrem
α ξω ctgπe)1(1 e)1(1)(k k tn k
kkty− −−−= −−= .

Fig. 4.9. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi ,
pentru 0<ξ<1.

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
93
Pulsul maxim
21 πctg
1e eξπξ
ασ−−
−== , (50)
se numește suprareglaj sau supradepășire, iar
2
1
131 1 σσσδ −=−= .
reprezintă gradul de amortizare a oscilațiilor .
Cazul 0=ξ (regim oscilant între ținut). Sistemul are r ăspunsul indicial
tss
s sstyn
n nnωω ωωcos1]1[ ]) ([ )(2 21
2 22
1−=+−=+=− −L L . (51)
Răspunsul indicial es te sinusoidal, cu amplitudinea constant ă (egală cu 1) și cu
pulsația egală cu pulsația naturală nω (fig. 4.10).

Fig. 4.10. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi ,
pentru 0=ξ și 1=ξ.
Cazul 1=ξ (regim critic ). Sistemul are r ăspunsul indicial
) 1( e1]) (1 1[ ]) ([ )(21
22
1ts ss sstynt
nn
n nn nωωω
ω ωωω+−=+−+−=+=− − −L L .
Răspunsul indicial este strict cresc ător pentru 0≥t (fig. 4.10).

TEORIA SISTEMELOR
94
Cazul 1>ξ (regim supraamortizat ). Funcția de transfer a sistemului poate fi
crisă sub forma
)1 )(1 (1)(
2 1++=sT sTsG , 02 1>≥TT , (52)
Forma convex-concav ă crescătoare și cu punct de inflexiune a r ăspunsului indicial
(fig. 4.11) rezult ă intuitiv din observa ția că sistemul poate fi descompus în dou ă
subsisteme de întârziere de ordinu l unu, conectate în serie, cu func țiile de transfer
11)(
11+=sTsG , 11)(
22+=sTsG .
Prin eliminarea termenului de gr adul doi de la numitorul func ției de transfer ob ținem
funcția de transfer a unui sistem de întârziere de ordinul unu, cu constanta de timp
2 1TT+. In consecin ță, durata regimului tranzitoriu este
) )(43(2 1TT Ttr + ≅"

Fig. 4.11. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi ,
pentru ξ >1.
Cazul 0 1<<−ξ (regim oscilant instabil ). Răspunsul indicial al sistemului este
dat de rela țiile (81), în care ),2/(ππα∈ . Răspunsul indicial se caracterizeaz ă prin
oscilații exponen țial crescătoare (fig. 4.12).
Cazul 1−<ξ (regim supraamortizat instabil ). Funcția de transfer poate fi scris ă
sub forma
)1 )(1 (1)(
2 1++=sT sTsG , 02 1<<TT .
Răspunsul indicial, dat de rela ția (63), este cresc ător și nemărginit (fig. 4.12).

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
95

Fig. 4.12. Răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul doi pentru 0<ξ .
4.6.6. Răspunsul sistemului deri vativ de ordinul doi
Sistemul derivativ de ordinul doi are ecua ția
uTKyyTTyTTd   =+++ ) (2 1 21 , 1 20 TT≤< , (56)
și funcția de transfer
1) 1)( ()(
2 1++=sT sTsKTsGd , (57)
unde dT este constanta de timp derivativ ă, iar 1T și 2T sunt constantele de timp de
întârziere. De remarcat faptul c ă pentru 02=T , sistemul devine derivativ de ordinul
unu. Ca și acesta, sistemul derivativ de ordinul doi este utilizat în generarea
semnalelor de comand ă cu caracter anticipativ, r ăspunsul indicial fiind de tip
„impuls” (cre ște în primele momente la o valoare maxim ă, după care tinde spre zero,
creșterea fiind îns ă mai lent ă decât la sistemul deriva tiv de ordinul unu, unde
creșterea este brusc ă). Acest comportament mai pu țin agresiv rezult ă și din faptul c ă
sistemul derivativ de ordinul doi poate fi ob ținut prin conectarea în serie a
sistemului derivativ de ordinul unu, cu func ția de transfer
1)(
11+=sTsTKsGd,
cu sistemul de întârziere de ordinul unu, cu func ția de transfer
11)(
22+=sTsG .
Funcția indicial ă )(th are următoarele propriet ăți:
0)()0( =∞=+G h ,
21)( lim)0(TTKTssG hd
s= =′
∞→+ ,

TEORIA SISTEMELOR
96
0)0( )( ==∞G h .
In cazul 2 1TT≠ și 1=K , răspunsul indicial este dat de rela ția:
)e e( ]1) 1)( ([ )(2 1
2 1 2 11 Tt
Tt
d d
TTT
sT sTTth−−
−−⋅−=++=L . (58)
Pentru 2 1TT= , răspunsul indicial are expresia (fig. 4.13)
1e ]1) ([ )(2
12
11 Tt
d d
TtT
sTTth−
−⋅=+=L . (59)
Valoarea maxim ă, atinsă la momentul 1Tt=, este dată de formula

1maxeTThd= . ( 6 0 )

Fig. 4.13. Răspunsul indicial al sistemului derivativ de ordinul doi cu 12 1==TT ,
pentru diferite valori ale constantei de timp derivative dT.

4.7. APLICA ȚII
♦ Aplicația 4.1 . Să se calculeze func ția de transfer, r ăspunsul indicial și răspunsul pondere
ale sistemului cu modelul
uuyy y 28 6 8 +=++  .
Soluție. Sistemul are func ția de transfer

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
97
122
)14)(12()14(2
16 8)14(2)(2 +=+++=
+++=s s ss
s sssG ,
transformata Laplace a func ției indiciale
)2/11 1(2)122 1(2)12(2)(1)(+−=+−=+==ss s s sssGssH ,
funcția indicial ă
) e1(2)(2/tth−−= , 0≥t
și funcția pondere
2/e)]([ )(1tsG tg−= =−L , 0≥t.
♦ Aplicația 4.2 . Să se calculeze func ția de transfer, r ăspunsul indicial și răspunsul pondere
ale sistemului cu modelul
uuyy y +=++ 68 .
Soluție. Sistemul are func ția de transfer
)14)(12(1
16 81)(2+++=
+++=s ss
s sssG ,
transformata Laplace a func ției indiciale
)146
121 1(2)14)(12()1(2)(1)(+−++=+++==s s s s ssssGssH ,
funcția indicial ă
4/ 2/e3 e2)(t tth− −−+= , 0≥t,
transformata Laplace a func ției pondere
)4/1(83
)2/1(41)143
121(21)(+++−=+++−=s s s ssG ,
funcția pondere
4/ 2/e83e41)(t ttg− −+−= , 0≥t.
♦ Aplicația 4.3 . Să se calculeze func ția de transfer, r ăspunsul indicial și răspunsul pondere
ale sistemului cu modelul
uuyy y +=++ 4 5 .
Soluție. Sistemul are func ția de transfer

14 51)(2+++=
s sssG ,
transformata Laplace a func ției indiciale

TEORIA SISTEMELOR
98
2 2 2 2)5/1()5/2(5/3 1
14 535 1
)14 5(1)(1)(
+++−=
+++−=
+++==
ss
s s ss
s s ssssGssH
2 2)5/1()5/2(5/1)5/2( 1
++++−=
ss
s,
funcția indicial ă
)5/sin5/ (cos e1)(5/2t t tht+ −=−, 0≥t,
transformata Laplace a func ției pondere
2 2 2)5/1()5/2(1
51
5/15/41
51)(
+++⋅=
+++⋅=
ss
s sssG
2 2 2 2)5/1()5/2()5/1(3)5/2(
51
)5/1()5/2()5/21()5/2(
51
++⋅++⋅=
++−++⋅=
ss
ss,
funcția pondere
)5/sin35/ (cos e51)(5/2t t tgt+ =−, 0≥t.
♦ Aplicația 4.4. Fie conexiunea serie de mai jos, format ă din subsistemele:

Să se afle răspunsul sistemului pentru: a) )(0t uδ= ; b) )(1t u= ; c) )(1ttu⋅= ; d) )(1 sin tt u⋅= .
Soluție. Avem
121)(1++=sssG , 142)(2+=ssG , )14)(12()1(2)()( )(2 1 +++= =s sssGsGsG .
a) 143
121
)14)(12()1(2)(+++−=+++=s s s sssY , 4/ 2/e75,0 e5,0)(t tty− −+−= ;
b) 1412
122 2
)14)(12()1(2)(+−++=+++=s s s s ssssY , 4/ 2/e3 e2)(t tty− −−+= ;
c) 1448
124 102
)14)(12()1(2)(2 2 +++−−=
+++=s s s s s ssssY ,
4/ 2/e12 e2 102)(t tt ty− −+−−= ;
d)
)1 (852 26
)14(1748
)12(54
)1 )(14)(12()1(2)(2 2++−+++−=
++++=
ss
s s s s sssY ,
t t tyt tsin852cos8526e1712e52)(4/ 2/−−+−=− −. (Σ1) uu+=+vv2 ,
(Σ2) v2 4=+yy .

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
99
♦ Aplicația 4.5. Elementele sistemului de reglare automat ă de mai jos au urm ătoarele
funcții de transfer:
k GR=; 2=EG ; 155,0
+=sGP; 11
+=sGT .

Pentru 1=k, să se afle r ăspunsul y(t) pentru: a) )(0t rδ= , b) )(1t r= , c) )(1ttr⋅= , și
răspunsul ) (te pentru: d) )(0tδ=v , e) ) (1t=v , f) ) (1tt⋅=v .
Soluție. Deoarece perturba ția V este aditiv ă la ieșirea procesului, func ția de transfer a
canalului perturbator al procesului este 1 )(=sGV . In conformitate cu (36) și (37), obținem:

1 6 51)(
2++++=
ks sskGYR ,
1 6 51) 1)(5(
2+++++=
ks ss sGYV ,

1 6 51) 1)(5(
2+++++=
ks ss sGER ,
1 6 51) (5
2++++−=
ks ssGEV .
a) Avem

]0,2 0,6) 5[(0,22 0,6)(
26 51)( )(2 2 2++⋅++=
+++==
ss
s sss GsYYR ,
) 2,0sin22,0(cos e2,0)(6,0t t tyt+ =−.
b) Avem

2)6 2(545
21
2)6 (51)(1)(2 2+++−=
+++= =
s ss
s s ssss GssYYR
2 20,2 0,6)(0,20,5 0,6) 0,5(5,0
++⋅++−=
ss
s,
)2,0sin2,0(cos e5,05,0)(6,0t t tyt+ −=−.
c) Avem

2)6 2(57 10 1
21
2)6 (51)(1)(2 2 2 2 2++++−=
+++= =
s ss
s s s ssss G
ssYYR
2 2 20,2 0,6)(0,20,5 0,6)(15,0
++⋅+++−=
ss
s s,
)2,0sin5,02,0(cos e15,0)(6,0t t t tyt+ +−=−.

TEORIA SISTEMELOR
100
d) Avem
2 2 20,2 0,6)(0,22 0,6)(
26 51) (5)( )(
++⋅−+−=
+++−==
ss
s sss GsEEV,
)2,0sin22,0(cos e)(6,0t t tet− −=−.
e) Avem
)
26 545 1(21
2)6 (51) (5)(1)(2 2++−−−=
+++−= =
s ss
s s ssss GssEEV
]
0,2 0,6)(0,27 0,6)(1[21
2 2++⋅−+−−=
ss
s,
)2,0sin72,0(cos e5,05,0)(6,0t t tet− +−=−.
f) Avem
)
26 517 10 21(21
2)6 (51) (5)(1)(2 2 2 2 2+++−+−=
+++−= =
s ss
s s s ssss G
ssEEV
2 2 20,2 0,6)(0,25,5 0,6)(15,0
++⋅+++−−=
ss
s s,
)2,0sin5,52,0(cos e15,0)(6,0t t t tet+ +−−=−.
Remarcă. Ținând seama de proprietatea valorii finale, eroarea sta ționară (finală) pentru
)(1t=v și 0>k este
11)( lim)()( lim)( lim)( lim
0 0 0pvf
+−= = = = =
→ → → ∞→Δ
ks G sVs sG ssE te eEV EV st
s s s t.
De asemenea, pentru )(1t r= , avem
11)( lim)( lim
0 += ==
→ ∞→ ks G te eERs tst.
In ambele cazuri, eroarea sta ționară este nenul ă, dar cu atât mai mic ă, cu cât factorul de
proporționalitate al regulatorului este mai mare.
4.8. APLICA ȚII DE AUTOCONTROL
♦ C4.1. Să se calculeze func ția de transfer și răspunsul sistemului
uuyy+=+ 2 7
la următoarele intr ări: a) ) (1t u= ; b) ) (0t uδ= ; c) ) (1ttu⋅= ; d) )(12sin ttu⋅= .
♦ C4.2. Să se calculeze r ăspunsul indicial și răspunsul pondere ale sistemului
uuyyy 26 56 +=++  .

METODA OPERA ȚIONALĂ LAPLACE
101
Să se scrie apoi ecua ția sistemului echivalent minimal.
♦ C4.3. Să se calculeze r ăspunsul indicial al sistemului continuu
uuy y y +=++  32 43.
♦ C4.4. Fie )(th răspunsul indicial al sistemului continuu
uuuy yy y ++=+++  34 2 54 4 .
Să se afle: a) )0(+h ; b) )0(+′h ; c) )(∞h .
♦ C4.5. Fie conexiunea serie format ă din subsistemele:
1Σ: uu+=+ 3 4vv , 2Σ: v2 5=+yy .

a) Să se calculeze func ția de transfer ) (sG a sistemului;
b) Pentru ) (1t u= , să se afle ) (tv;
c) Pentru ) (1t u= , să se afle ) (ty;
♦ C4.6. Fie conexiunea cu reac ție formată din subsistemele:
1Σ: eyy=+4 , 2Σ: y=+vv2 .

a) Să se afle func ția de transfer )(sG și ecuația sistemului;
b) Pentru )(1t u= , să se calculeze )(sY , apoi )(ty.
♦ C4.7. Fie sistemul ),,,( DCBAΣ cu
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−=1 232A , ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=11B , []p C−=2 , 0=D ,
unde R∈p .
(a) Să se afle func ția de transfer ) (sG și funcția indicial ă )(th;
(b) Să se arate c ă sistemul nu este minimal.

5
STABILITATEA
SISTEMELOR LINIARE

Conceptul de stabilitate este asociat sistem elor liniare pentru a ilustra caracterul
mărginit sau nem ărginit al m ărimilor de stare și de ieșire, în condi țiile în care
mărimile de intrare sunt m ărginite.
In domeniul stabilit ății sistemelor se utilizeaz ă două concepte: conceptul de
stabilitate intern ă (referitoare la starea sistemului) și conceptul de stabilitate extern ă
(referitoare la ie șirea sistemului). De oarece starea curent ă a unui sistem determin ă
ieșirea acestuia, dac ă starea este m ărginită (sistemul este inte rn stabil), atunci și
ieșirea este m ărginită (sistemul este extern stab il). Reciproca acestei afirma ții nu este
adevărată, deoarece un sistem cu ie șirea mărginită nu are obligatoriu și starea
mărginită. Un exemplu în acest sens este sistemul monovariabil de ordinul doi cu
variabila de stare 1x mărginită și variabila de stare 2x nemărginită, având m ărimea
de ieșire identic ă cu starea 1x.
Sistemele fizice sunt liniare ce l mult într-un domeniu de varia ție mărginit al
mărimilor de stare și de ieșire. In consecin ță, la sistemele fizice instabile, variabilele
de stare și de ieșire evolueaz ă în afara domeniului de li niaritate. Deoarece orice
sistem fizic prezint ă în exteriorul domeniului de linia ritate caracteristici neliniare de
tip satura ție sau blocare, m ărimile de stare și de ieșire ale unui sistem fizic instabil
rămân finite. In cele ce urmeaz ă, vom considera cazul teoretic al sistemelor cu
domeniu de liniaritate nem ărginit.
5.1. STABILITATEA INTERNA
Prin defini ție, un sistem este intern strict stabil dacă, oricare ar fi starea ini țială,
starea sistemului evolueaz ă în regim liber spre origine, adic ă
0)( lim=
∞→tXlt, 0X∀ . (1)

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
103
Un sistem este intern stabil dacă, în regim liber, st area sistemului r ămâne finit ă
(evolueaz ă într-un domeniu m ărginit al spa țiului stărilor), oricare ar fi starea ini țială.
Un sistem stabil poate fi deci strict stabil sau semistabil (stabil la limit ă), iar un
sistem care nu este stabil se nume ște instabil .
In regim liber, traiec toriile de stare pot fi convergente spre orig ine – la sistemele
liniare strict stabile, convergente spre o curb ă închisă – la sistemele semistabile, sau
divergente – la sistemele instabile.
Tinând seama c ă
0)( )( Xt tXlΦ= , (2)
unde )(tΦ este matricea fundamental ă sau de tranzi ție a stării, egală cu Ate (+∈Rt )
la sistemele liniare continue și cu tA ( N∈t ) la sistemele liniare discrete. Din (1) și
(2) obținem
Lema stabilit ății interne . a) Un sistem liniar este intern strict stabil dac ă și
numai dac ă matricea de tranzi ție a stării tinde spre zero , adică
0)( lim=
∞→t
tΦ ; (3)
b) Un sistem liniar este intern stabil dacă și numai dac ă matricea de tranzi ție a
stării este finit ă, adică există 0>M astfel încât
. t M t 0 , )( ≥∀≤Φ (4)
Din lema stabilit ății interne reiese c ă stabilitatea intern ă a unui sistem liniar
(continuu sau discret) este o proprietate asociat ă exclusiv matricei A, deci o
proprietate intern ă a sistemului.
Teorema stabilit ății interne stricte . a) Un sistem continuu este intern strict stabil
dacă și numai dac ă toate rădăcinile polinomului caract eristic au partea real ă
negativă (sunt situate în semi planul complex stâng );
b) Un sistem discret este intern strict stabil dac ă și numai dac ă toate rădăcinile
polinomului caracteristic au modulul subunitar (sunt situate în in teriorul discului
unitar cu centrul în or iginea planului complex ).
Teorema poate fi extins ă la sistemele stabile (nu neaparat strict stabile) astfel:
(a) Un sistem continuu este intern stabil dacă toate rădăcinile polinomului
caracteristic au partea real ă negativă sau nulă, cele cu partea real ă nulă fiind
rădăcini simple;

TEORIA SISTEMELOR
104
(b) Un sistem discret este intern stabil dacă toate rădăcinile polinomului
caracteristic au modulul subunitar sau un itar, cele cu modulul unitar fiind r ădăcini
simple .

5.2. STABILITATEA EXTERNA
Prin defini ție, un sistem liniar este extern strict stabil dacă, la orice intrare de tip
original m ărginită pentru 0>t , ieșirea sistemului este, de asemenea, m ărginită.
Matematic, un sistem este extern strict stabil dac ă oricare ar fi intrarea de tip original
cu proprietatea
0 1)( >∀≤ t tU ,
există 0>M astfel încât
0 )( ≥∀≤ t M tY .
La sistemele monovariabile continue cu funcția pondere )(tg, din rela ția de
convoluție
u-tg tyt∫=0)d()( )( τττ , (5)
rezultă
Prima lem ă a stabilit ății interne stricte . (a) Un sistem monovariabil continuu
este extern strict stabil dac ă și numai dac ă integrala
ttg∫∞=0d)( I (6)
este finită.
(b) Un sistem liniar monovariabil disc ret este extern strict stabil dac ă și numai
dacă suma
∑∞
==
0)(
k kg S (7)
este finită.
La sistemele continue , pentru a demonstra necesitatea , vom arăta că integrala
Ieste finită pentru un sistem exte rn strict stabil. Avem
∫ ∫∫− = = =
∞→∞
∞→T
TT
TTg ttg ttg0 00d) ( lim d)( lim d)( ττ I
)( lim d)) sgn(g() ( lim0Ty T Tg
t TT
∞→=−⋅− =∫
∞→ττ τ ,

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
105
unde )(Ty este valoarea ie șirii la momentul T pentru intrarea m ărginită
)) ( sgn()( τ τ −= Tg u . Deoarece sistemul este extern strict stabil, ie șirea y este
mărginită, deci integrala Ieste finită.
Pentru a demonstra suficiența, vom considera integrala Ifinită și vom arăta că
pentru orice intrare )(tu cu 1≤)(tu , ieșirea )(ty este mărginită. Intr-adev ăr, avem
=−≤ −≤ −= ∫ ∫ ∫t t ttg u tg utg ty0 0 0)( )()( )()( ττ τττ τττ d d d )(
I= ≤ = ∫∫∞
0 0)( )( xxg xxgtd d .
La sistemele discrete , demonstra ția este similar ă, pe baza rela ției de convolu ție
∑
=−=t
kkuktg ty
0)()( )( .
O condiție necesar ă ca integrala Iși suma S să fie finite este ca func ția
pondere g să tindă la 0 pentru ∞→t . La sistemele liniare de ordin finit, aceast ă
condiție este și suficient ă, ca urmare a caracterului exponen țial al func ției pondere.
Rezultă astfel
A doua lem ă a stabilit ății interne stricte . Un sistem liniar monovariabil
(continuu sau discret ) este extern strict stabil dacă și numai dac ă
0)( lim=
∞→tg
t. (8)
Deoarece func ția pondere a unui sistem I-S-E strict propriu este dependent ă de
matricele A, B și C, rezultă că stabilitatea extern ă constituie o proprietate asociat ă
tuturor acestor matrice, spre deosebire de stabilitatea intern ă, care este asociat ă
numai matricei A.
Prin relaxarea condi ției de stabilitatea strict ă (8), se consider ă că un sistem liniar
monovariabil este extern stabil dac ă funcția pondere g este mărginită pentru 0>t ,
adică există 0>M astfel încât
. t M tg 0 , )( >≤∀ (9)
Funcția de transfer a unui sistem liniar continuu cu polii simpli kp pp ,,,2 1"
poate fi scris ă sub forma

k 22
11)(psC
psC
psCdsGk
− −+−+= ++" , (10)
unde d este o constant ă reală. Din expresia func ției pondere,
tp tp tp kkC C Ctdtg e e e )( )(2 10 2 1 ++++= " δ , (11)

TEORIA SISTEMELOR
106
reiese că 0)( lim=
∞→tg
t dacă și numai dac ă 0<ipRe pentru orice },,2,1{ k i"∈ .
Acest rezultat este valabil și la sistemele cu poli multipli.
Teorema stabilit ății externe stricte a sistemelor continue . Un sistem liniar
monovariabil continuu este extern strict stabil dac ă și numai dac ă toți polii func ției
de transfer a sistemului au partea real ă negativă.
Rezultatul poate fi extins la sistemele stabile (nu neaparat strict stabile) astfel:
Un sistem continuu es te extern stabil dac ă și numai dac ă polii func ției de transfer a
sistemului au partea real ă negativă sau nulă, polii cu partea real ă nulă fiind poli
simpli .
Oricărui sistem liniar discret Σ i se poate asocia o func ție de transfer
ireductibil ă, de forma
n
nr
r
za zazb zbbzG− −− −
++++++=""
1
11
1 0
01)( , C∈z .
Dacă rădăcinile nz zz ,,,21" ale numitorului au valori distincte, atunci func ția
pondere are urm ătoarea form ă pentru t suficient de mare:
t
nnt tzC zCzCtg +++= "22 11)( . (12)
Dacă rădăcinile 1z și 2z sunt reale și egale, atunci suma t tzCzC22 11+ trebuie înlocuit ă
cu tzCtC12 1) (+ . In ambele cazuri, func ția pondere )(tg tinde la 0 pentru ∞→t dacă
și numai dac ă toți polii au modulul subunitar. Am ob ținut astfel
Teorema stabilit ății externe stricte a sistemelor discrete . Un sistem liniar
monovariabil discret este extern strict stabil dac ă și numai dac ă toți polii func ției de
transfer a sistemului au modulul subunitar .
In ceea ce prive ște stabilitatea simpl ă, se poate ar ăta că funcția pondere )(tg este
mărginită dacă și numai dac ă toții polii au modulul unita r sau subunitar, polii cu
modulul unitar fiind poli simpli. Prin urmare, un sistem liniar monovariabil discret
este extern stabil dac ă și numai dac ă toți polii func ției de transfer a sistemului au
modulul subunitar sau unitar , polii cu modulul unitar fiind poli simpli .
Observații. 1°. Problema stabilit ății unui sistem liniar se reduce la problema
poziționării în planul complex a r ădăcinilor polinomului caracteristic – în cazul
stabilității interne, respectiv a r ădăcinilor polinomului polilor – în cazul stabilit ății
externe. In cazul unui sistem monovariabil minimal , polinomul caracteristic coincide
cu polinomul polilor și, în consecin ță, sistemul este intern stabil dac ă și numai dac ă

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
107
este extern stabil. In general, un sistem intern stabil este și extern stabil , dar
implicația inversă nu este întotdeauna valabil ă.
2°. In cazul sistemului de reglare automat ă din figura 1.4, dac ă elementele
componente sunt de tip minimal (cu forma primar ă a funcțiilor de transfer
ireductibil ă) și, în plus, produsul TPERGGGG este ireductibil, atunci polinomul
caracteristic și polinomul polilor coincid, fiind egale cu num ărătorul raționalei
TPERGGGG+1 . (13)
In acest caz, sistemul este intern stabil dac ă și numai dac ă este extern stabil. Aceast ă
proprietate se p ăstrează și în cazul mai general în care elementele componente sunt
de tip minimal și produsul ra țional TPERGGGG se simplific ă printr-un polinom
hurwitzian (care are toate r ădăcinile cu partea real ă negativă), precum și atunci când
toate elementele componente sunt stabile. In proiectarea regulatorul ui unui sistem de
reglare a unui proces in stabil trebuie evitat ă soluția simplific ării polului instabil al
procesului printr-un zerou egal al regulatorului (în cadrul produsului PRGG ),
deoarece o simplificare perfect ă nu este posibil ă decât din punct de vedere teoretic.
5.3. CRITERIUL DE STABILITATE HURWITZ
Criteriul lui Hurwitz permite rezolvarea efectiv ă a problemei stabilit ății pe baza
condițiilor formulate în cadrul teor emelor de stabilitate intern ă și externă. Criteriul
are la baz ă ideea conform c ăreia rezolvarea problemei loca ției rădăcinilor unui
polinom în raport cu axa imaginar ă sau cu cercul unitar cu centrul în origine nu
necesită calculul r ădăcinilor polinomului.
Criteriul lui Hurwitz . Polinomul
0 11
1 )( asa sasaspn
nn
n n ++++=−
−" , 0>na
este hurwitzian , adică are toate r ădăcinile cu partea real ă negativă, dacă și numai
dacă toți coeficien ții polinomului și minorii principali
1 1−=Δna, 3 2 1
23 1
2 − −−
−−−− = =Δnn n n
n nn naa aaa aa a, … , 1 0−Δ=Δn na
ai matricei Hurwitz

TEORIA SISTEMELOR
108

⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
=−−−
0 2123 1
* 00 * *0 00 0
a a a a aa a
Hnnn n
n
""## ##""
(14)
sunt pozitivi .
Tinând seama de expresiile minorilor 1Δ și nΔ, condiția de pozitivitate a
acestor minori este evident superflue.
Construcția matricei Hurwitz se f ace astfel: se completeaz ă mai întâi diagonala
principală și apoi coloanele, ținând seama de faptul c ă indicii coeficien ților cresc la
deplasarea, de sus în jos, pe fiecare coloan ă.
Pentru 2=n , din criteriul lu i Hurwitz rezult ă că ambele rădăcini ale polinomului
0 12
2 2)( asasasp ++= , 02>a ,
au partea real ă negativă dacă și numai dac ă toți coeficien ții sunt strict pozitivi.
Pentru 3=n , matricea Hurwitz are forma

⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
=
0 21 30 2
3
000
aaaaaa
H.
Polinomul 0 12
23
3 3)( asasasasp +++= (cu 03>a ) are rădăcinile cu partea real ă
negativă dacă și numai dac ă toți coeficien ții sunt strict pozitivi și, în plus,
030 21 2>−=Δ aaaa . (15)
Pentru 4=n , matricea Hurwitz are forma

⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
=
0 21 30 2 41 3
00 00 0 0
44
a a aa aa aaaa
H .
Rădăcinile polinomului
0 12
23
34
4 4)( asasasasasp ++++= , 04>a ,
au partea real ă negativă dacă și numai dac ă toți coeficien ții sunt strict pozitivi și, în
plus, 02
30 21 3>−Δ=Δ aa a , unde 41 32 2aaaa−=Δ . In mod evident, condi ția 02>Δ
rezultă implicit din condi ția 03>Δ .

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
109
Observație. In analiza stabilit ății sistemelor discrete se ține seama de faptul c ă
transformarea omografic ă
11
−+=ssz , (16)
echivalent ă cu zzs11
−+= , aplică biunivoc interior ul cercului unitar cu centrul în
origine din planul variabilei z în semiplanul 0<sRe din planul variabilei s. In
consecință, polinomul
0 11
1 )( aza zazazn
nn
n n ++++=−
−" P , 0>na ,
are toate r ădăcinile cu modulul subunitar dacă și numai dac ă ecuația
0)11(=−+
ss
nP (17)
are toate r ădăcinile cu partea real ă negativă, ceea ce poate fi an alizat cu criteriul
Hurwitz.
5.4. APLICA ȚII
♦ Aplicația 5.1. Să se studieze stabilitatea sistemului cu ecua ția
uuy yy 2 232 −=−−  .
Soluție. Sistemul are polinomul caracteristic
)12)(2(23 2)(2+−=−−= s s s s sP
și funcția de transfer
121
23 22)(2 +=
−−−=s s sssG .
Deoarece polinomul caracteristic are r ădăcina 21=s strict pozitiv ă, sistemul este intern
instabil. Deoarece polinomul polilor
1 2)(+=s sP
are o singur ă rădăcină și aceasta este negativ ă (egală cu 2/1− ), sistemul este extern strict
stabil.
♦ Aplicația 5.2. Să se studieze stabilitatea sistemului cu ecua ția
0 , ) (16 82≥+−=−++ kuuyk yy   .
Soluție. Formăm polinomul caracteristic
) 4 )( 4( 168 )(2 2k sk s k s ss −+++=−++=P

TEORIA SISTEMELOR
110
și funcția de transfer
)4 )(4(1)(
k1681)(2 2 k sk ss
s sssG−+++−−=
−+++−= .
Polinomul caracteristic are r ădăcina k s−−=41 negativă și rădăcina k s+−=42 negativă
pentru 4<k , nulă pentru 4=kși pozitivă pentru 4>k . In consecin ță, sistemul este intern
strict stabil pentru 4<k , intern semistabil pentru 4=kși intern instabil pentru 4>k .
Sistemul are doi poli pentru 5≠k și un singur pol pentru 5=k , anume 91−=s . Rezultă
că sistemul este extern strict stabil pentru 4<k și 5=k , extern semistabil pentru 4=k și
extern instabil pentru 4>k , 5≠k .
♦ Aplicația 5.3. Să se studieze stabilitatea sistemului continuu ),,,( DCBAΣ cu
[] . 0= , 001= ,
100
= ,
4 561 001 10
D C B A −
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
=
Soluție. Polinomul caracteristic al sistemului
)3 )(2 )(1(6 4 )I det()(2 3++−=−++=−= s s s ss sAs sP
are o rădăcină pozitivă ( 11=s ) și, prin urmare, sistemul este intern instabil.
Funcția de transfer a sistemului
3) 2)((1
6 41)I( )(2 31
++=
−++−=+−=−
s s ss ssDBAsCsG ,
are polii 21−=s și 32−=s , ambii negativi; în consecin ță, sistemul este extern strict stabil.
♦ Aplicația 5.4. Elementele componente ale sistemului de reglare automat ă de mai jos au
următoarele modele dinamice:
R: εkc= , mr−=ε ;
E: cuu 2 2=+ ;
P: v25,0 5−=+ uyy ;
T: ymm=+ .

a) Să se studieze stabilitatea sistemului.

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
111
b) Să se determine parametrul real k astfel încât polii sistemului de reglare s ă fie
situați în stânga dreptei 3 ,0−=s .
Soluție. Elementele sistemului de reglare au urm ătoarele func ții de transfer
k GR=, 122
+=sGE, 151
+=sGP, 1525,0
+−=sGV , 11
+=sGT.
a) Deoarece func țiile de transfer ale elementelor componente și funcția de transfer a
sistemului deschis
)1)(15)(12(2
+++= =s s skGGGG GTPER d
sunt ireductibile, studiul sistemului din punctul de vedere al stabilit ății interne și externe
conduce la acela și rezultat. Polinomul caracteristic și polinomul polilor sistemului coincid
cu numărătorul raționalei )( 1 sGd+ , adică
k s s s k s s s sP 218 17 102)1 )(15)(12()(2 3++++=++++= .
Coeficien ții lui )(sP sunt pozitivi pentru 21−>k , iar minorul Hurwitz
)1063(2)21(1017803 21 2k k aaaa −=+−⋅=−=Δ
este pozitiv pentru 1063<k . Prin urmare, sistemul de reglare este strict stabil dac ă și numai
dacă factorul de propor ționalitate al regulatorului apar ține intervalului )1063,21(− .
In figura 5.1 este prezentat r ăspunsul ) (ty al sistemului de reglare la referin ță treaptă
unitară pentru diferite valori ale factorului de propor ționalitate k al regulatorului.

Fig. 5.1. Răspunsul )(ty la referin ță treaptă unitară.

TEORIA SISTEMELOR
112
Răspunsul a fost ob ținut în MATLAB, cu urm ătorul program:
k=[-0.1 0.5 2 6.3]; t=0:0.1:30;
s=tf('s');
sis_E=2/(2*s+1);
sis_P=1/(5*s+1);
sis_T=1/(s+1);
hold on;
for i=1:4
sis1=k(i)*sis_E*sis_P;
sis=sis1/(1+sis1*sis_T); step(sis,t); end; grid on
b) Impunem condi ția ca polinomul

k s s s sP 21)3,0(8)3,0(17)3,0(10)3,0(2 3++−+−+−=−
14,025,0 8 102 3−+++= ks s s
să fie hurwitzian. Din condi ția de pozitivitate a coeficien ților rezult ă 07 ,0>k , iar din
condiția 02>Δ , unde
 k k aaaa 204,5)14,02(1085,003 21 2 −=−−⋅=−=Δ ,
rezultă 27 ,0<k . In concluzie, sistemul de reglare are to ți polii cu partea real ă mai mic ă
decât 3,0− pentru 27,0 07,0<<k .
♦ Aplicația 5.5. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu func țiile de transfer
)411(sk GR+= , 122
+=sGE, 151
+=sGP, 11
+=sGT.
Soluție. Avem
1) 1)( 1)(5 (221) (4
++++=s s ssskGd.
Deoarece func țiile de transfer ale elementelor componente și ale sistemului deschis sunt
ireductibile, polinomul polilor și polinomul caracteristic coincid:
ks k s s s sP +++++= )12(2 16 34 20)(2 3 4.
Avem
)1063(814 32 2k aaaa −=−=Δ ,
)252 175 80(42 2
30 21 3++−=−Δ=Δ k k aa a .
Coeficien ții polinomului )(sP și 3Δ sunt pozitivi pentru 00 kk<< , unde 178,30≅k .
Conform criteriului Hurwitz, sistemul de reglare este strict stabil (intern și extern) dac ă și
numai dac ă 00 kk<< .

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
113
In figura 5.2 este prezentat r ăspunsul ) (ty al sistemului de reglare la referin ță treaptă
unitară pentru diferite valori ale factorului de propor ționalitate k al regulatorului.
Răspunsul a fost ob ținut în MATLAB, cu urm ătorul program:
k=[0.2 0.4 1 3.17]; t=0:0.1:40; s=tf('s');
sis_E=2/(2*s+1);
sis_P=1/(5*s+1);
sis_T=1/(s+1);
hold on;
for i=1:4
sis1=k(i)*(1+1/4/s)*sis_E*sis_P;
sis=sis1/(1+sis1*sis_T); step(sis,t);
end; grid on

Fig. 5.2. Răspunsul )(ty la referin ță treaptă unitară.
♦ Aplicația 5.6. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu func țiile de transfer
sTG
iR11+= , 131
+=sGE, 161
+=sGP, 11
+=sGT.
Soluție. Avem
1) 1)(61)(3(/1
++++=s s ssT sGi
d.
Pentru }6,3,1{∉iT , polinomul polilor coincide cu polinomul caracteristic:

iTs s s s sP12 10 27 18)(2 3 4++++= .
Avem
23414 32 2=−=Δ aaaa
și

TEORIA SISTEMELOR
114
)8152(92
30 21 3
iTaa a −=−Δ=Δ .
Coeficien ții polinomului )(sP și 3Δ sunt pozitivi pentru 5281>iT . Conform criteriului
Hurwitz, sistemul de reglare este strict stabil (intern și extern) dac ă și numai dac ă
55,15281≅>iT . Acest rezultat este valabil și în cazul }6,3,1{∈iT , când polinomul
caracteristic difer ă de polinomul polilor, deoarece func ția )(sGd se simplific ă printr-un
polinom hurwitzian.
In figura 5.3 este prezentat r ăspunsul ) (ty al sistemului de reglare la referin ță treaptă
unitară pentru diferite valori ale constantei de timp integrale a regulatorului.

Fig. 5.3. Răspunsul )(ty la referin ță treaptă unitară.
♦ Aplicația 5.7. Fie sistemul de reglare automat ă ale cărui elemente au func țiile de
transfer
)11(sTk G
iR+= , 0>k ,
1=EG , )14(1
++=sssGP, 1=TG .
Să se studieze stabilitatea sistemului pentru: (a) 1 =iT ; (b) 3=iT .
Soluție. (a) Avem

)14()1()(22
++=
sssksGd,
iar polinomul polilor și cel caracteristic coincid:
kks s k s sP ++++= 2 )1( 4)(2 3.

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
115
Deoarece coeficien ții lui ) (sP sunt pozitivi, sistemul este stabil numai atunci când
0)1(230 21 2>−=−=Δ kk aaaa ,
adică pentru 1>k. In marea majoritate a aplica țiilor practice, sistemele de reglare sunt
stabile pentru valori mici ale factorului de propor ționalitate al regulatorului, când comanda
generată de regulator este relativ slab ă. Sistemul de reglare studiat este îns ă unul de
excepție, în care sistemul deschis este dublu integral, iar componenta integral ă a
regulatorului este foarte puternic ă.
In figura 5.4 este prezentat r ăspunsul )(ty al sistemului de reglare la referin ță treaptă
unitară pentru diferite valori ale factorului de propor ționalitate k regulatorului.

Fig. 5.4. Răspunsul la referin ță treaptă unitară pentru )11(sk GR+= .
(b) In cazul regulatorului )311(sk GR+= cu componenta integral ă mai slabă, avem

)14(3)1)(13()(2+++=
sss sksGd,
iar polinomul polilor are expresia
kks s k s sP ++++= 4 )1(3 12)(2 3.
Deoarece coeficien ții lui )(sP sunt pozitivi și 0 122
30 21 2>=−=Δ k aaaa , sistemul este
stabil pentru orice 0>k (fig. 5.5).

TEORIA SISTEMELOR
116

Fig. 5.5. Răspunsul la referin ță treaptă unitară pentru )311(sk GR+= .
♦ Aplicația 5.8. Să se studieze stabilitatea sistemului discret cu ecua ția
) (2)1()2(2)1( )(3 tu tu ty tkyty −−=−+−+ , R∈k
Soluție. Sistemul are polinomul caracteristic
2 3)(2++= kzz zP .
Rădăcinile polinomului caracteristic au modulul subunitar atunci când ecua ția
0)11(=−+
ssP ,
echivalent ă cu
0 52 )5(2=−+++ k s s k ,
are rădăcinile cu partea real ă negativă, adică atunci când are to ți coeficien ții pozitivi. Prin
urmare, sistemul este inte rn strict stabil pentru )5,5(−∈k , intern semistabil pentru
}5,5{−∈k și intern instabil pentru ) ,5()5,( ∞∪−−∞∈k .
Pentru 5−=k avem )23)(1()( −−= z z zP , iar pentru 5=k avem )23)(1()( ++= z z zP . In
ambele cazuri sistemul este semistabil, deoarece ecua ția caracteristic ă are o rădăcină cu
modulul subunitar și o rădăcină cu modulul unitar.
Pentru studiul stabilit ății externe form ăm funcția de transfer

2 32
2 32)(2 2 12 1
++−=
++−=−−−−
kz zz
z kzz zzG .
Pentru 7−≠k , funcția de transfer este ireductibil ă, iar polinomul polilor coincide cu
polinomul caracteristic. Pentru 7−=k , rezultă

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
117
131)(−=zzG ,
iar sistemul este extern strict stabil deoarece polul 31
1=z are modulul subunitar. In
concluzie, sistemul este extern strict stabil pentru }7{)5,5(−∪−∈k , extern semistabil
pentru } 5,5{−∈k și extern instabil pentru ) ,5()5,7()7,( ∞∪−−∪−−∞∈k .
Pentru 7−=k , sistemul este intern instabil, dar extern strict stabil. In figurile 5.6 și 5.7
sunt reprezentate grafic r ăspunsurile indiciale ale sistemului pentru cazurile de
semistabilitate 5−=k și 5=k , respectiv pentru cazurile de stabilitate extern ă 7−=k și
0=k .

Fig. 5.6. Răspunsul indicial al sistemului semistabil .

Fig. 5.7. Răspunsul indicial al sistemului stabil .

TEORIA SISTEMELOR
118
5.5. APLICA ȚII DE AUTOCONTROL
♦ C5.1. Să se studieze stabilitatea intern ă și externă a sistemului cu ecua ția
uuu kyyyy −−=+++  2,
unde k este un parametru real.
♦ C5.2. Să se studieze stabilitatea intern ă și externă a sistemului cu ecua ția
uuyy k y kyk +−=+++++    3)13()1( ,
unde k este un parametru real.
♦ C5.3. Să se studieze stabilitatea intern ă și externă a sistemului continuu ),,,( DCBAΣ cu
[] , = , 0 01 = ,
100
= ,
4 651 011 00
D kC B A
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
−− =
unde k este un parametru real.
♦ C5.4. Să se studieze stabilitatea intern ă și externă a sistemului

⎪
⎩⎪
⎨⎧
+−+=+=−=
ux x xxu kxxxxx
3 2 1 32 23 2 1
5 2 ,
3 2 1 2 2 x xx y ++−= ,
unde k este un parametru real.
♦ C5.5. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu
k GR=, 122
+=sGE,

18 152
2+++=
s ssGP , 1=TG ,
unde k este un parametru real.
♦ C5.6. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu
)411(sk GR+= , 121
+==sG GT E,
142
+=sGP,

STABILITATEA SISTEMELOR LINIARE
119
pentru 0>k .
♦ C5.7. Să se studieze stabilitatea sistemului de reglare cu
sTG
iR11+= , 1==T EG G ,
)18)(12(1
++=s sGP,
pentru 0>iT .
♦ C5.8. Fie sistemul de reglare automat ă caracterizat prin
K GR=, 0>K , 1)s(241
+=EG , 1s41
+=PG , 1=TG .
Să se determine K astfel încât polii sistemului s ă fie situați în stânga dreptei 31−=s .
♦ C5.9. Pentru ce valori ale parametrului real k, sistemul discret cu ecua ția
)2()1()3( )2(8)1(17)(10 −+−=−+−+−+ tu tu tky ty ty ty
este strict intern stabil ?

6
FUNCȚIA DE FRECVEN ȚĂ

6.1. DEFINI ȚIE ȘI PROPRIET ĂȚI
Considerăm un sistem liniar neted cu func ția de transfer )(sG . Prin defini ție,
funcția de frecven ță (sau de pulsație) a sistemului este func ția complex ă )(ωjG ,
unde R∈ω sau, mai restrictiv, +∈Rω .
Funcția de frecven ță poate fi scris ă sub forma
)(e)( )(ωωωjΦM jG= , (1)
unde )(ωM reprezint ă modulul funcției de frecven ță, iar )(ωΦ faza sau argumentul
funcției de frecven ță.
De asemenea, func ția de frecven ță poate fi scris ă sub forma
)( )( )( ωωω jV U jG += , (2)
unde )(ωU este partea real ă a funcției de frecven ță, iar )(ωV partea imaginar ă a
funcției de frecven ță.
Deoarece func ția de transfer este o func ție rațională, ea satisface urm ătoarea
proprietate:
)( )( sGsG= ,
oricare ar fi variabila complex ă s. Prin urmare,
)( ) ( ωω jG jG=− ,
iar din )( )( ) ( ωωω −+−=− jV U jG și )( )( )( ωωω jV U jG −= , rezultă
)( )(ωωU U=− , )( )( ωω V V−=− , (3)
adică )(ωU este funcție pară, iar )(ωV funcție impară.
Din relațiile
)( )( )(2 2ωVωU M +=ω (4)

FUNCȚIA DE FRECVEN ȚA
121
și
)(/)( )( ωωω U VΦtg= , (5)
rezultă că )(ωM este pară și )(ωΦ impară. Dacă funcțiile impare )(ωV și )(ωΦ
sunt continue în punctul 0=ω , atunci 0)0(= V și 0)0(=Φ .

6.2. INTERPRETARE FIZIC Ă
Interpretarea fizic ă a funcției de frecven ță a unui sistem lini ar continuu rezult ă
imediat din teorema filtr ării, enunțată și demonstrat ă în cele ce urmeaz ă.
Teorema filtr ării. Pentru un sistem liniar continuu propriu extern strict stabil
aflat în regim sinusoidal permanent cu pulsa ția ω, modulul și argumentul func ției
de frecven ță )(ωjG reprezint ă factorul de amplificare și, respectiv , defazajul ie șirii
în raport cu intrarea .
Demonstra ție. Considerăm că la intrarea sistemului cu func ția de transfer )(sG se
aplică semnalul sinusoidal t tuωsin)(= . Transformata Laplace a r ăspunsului
sistemului este
)( )( )(2 2 2 2sY sB+AssGssYtr++=+=ω ωω,
unde )(sYtr este o ra țională strict proprie având aceia și poli ca )(sG , deci cu partea
reală negativă. In relația de identificare )() ( )(2 2sG sB AssGtrω ω +++= , înlocuim pe
s cu ωj pentru a elimina termenul cu )(sGtr. Rezultă
B Aj jG +=ωωω )( ,
B Aj MjΦ+=ω ωωω)(e)( ,
deci
)( sin)(ωωΦ MA= , )( cos)(ωωω Φ M B= .
Prin urmare, r ăspunsul )(ty al sistemului are componenta armonic ă permanent ă
[] =+=+=−tBt AsB+Asypωωωωsin cos2 21L (t)
)]( sin[)( ] sin)( cos cos)( )[sin( ωωωωω ωωω Φt Mt Φ t Φ M + = + =
și componenta tranzitorie
[])( )(1sY tytr tr−=L ,

TEORIA SISTEMELOR
122
care se anuleaz ă în timp, adic ă 0)( lim=
∞→tytrt, deoarece to ți polii func ției ) (sYtr au
partea real ă negativă. Pentru intrarea sinusoidal ă t tuωsin)(= , răspunsul permanent
al sistemului
)]( sin[)( )( ωωω Φt Mtyp+ = , (6)
evidențiază faptul că funcția de frecven ță
)(e)( )(ωωωjΦM jG=
este factorul complex de amplifi care în regim armonic permanent.
6.3. CARACTERISTICI DE FRECVEN ȚĂ
Caracteristicile de frecven ță cele mai utilizate sunt caracteristica amplificare-
pulsație )(ωM și caracteristica faz ă-pulsație )(ωΦ . Caracteristica amplificare-
pulsație este frecvent cunoscut ă în literatura de specialitate și sub denumirea,
oarecum improprie, de caracteristic ă amplitudine-pulsa ție.
In reprezentarea grafic ă a celor dou ă caracteristici, pulsa ția ω este exprimat ă de
obicei în scară logaritmic ă, amplificarea M în decibeli ( M M lg20 ][dB= , unde lg
este logaritmul zecimal), iar faza Φ în radiani . Sub aceast ă formă, caracteristicile
de frecven ță sunt cunoscute și sub denumirea de caracteristici Bode .
In cazul sistemelor strict proprii (cu exces pozitiv poli-zerouri), din rela ția
evidentă 0)( lim=
∞→sG
s rezultă condiția
0)( lim =
→∞ω
ωM ,
care exprim ă faptul că factorul de amplificare în regim sinusoidal permanent al
sistemelor strict proprii tind e la zero atunci când frecven ța de oscila ție tinde la
infinit. Deoarece aceast ă proprietate caracterizeaz ă practic toate sistemele reale
(fizice), rezult ă că sistemele reale sunt strict proprii, cel pu țin în domeniul
frecvențelor foarte înalte.
Un filtru ideal de ti p trece-jos, trece-band ă sau trece-sus (caracterizat printr-o
amplificare nul ă în afara benzii de trecere) nu este fizic realizabil. Se pot ob ține însă
caracteristici amplificare-pulsa ție oricât de apropiate de ce le ale unui filtru ideal. O
metodă de obținere a acestor caracteristici este aproxima ția tip Taylor de un anumit
ordin n, care în cazul filtrului trece-jos cu pulsația de band ă (de tăiere) bω (fig. 6.1),
presupune satisfacerea urm ătoarelor condi ții:

FUNCȚIA DE FRECVEN ȚA
123
1)0(= M , 21)(=bMω , 0)0()(=iM , n i,1= . (8)
Banda de trecere sau lărgimea de band ă a unui filtru trece-jos reprezint ă
intervalul ),0(bω în care factorul de amplificar e în regim sinusoidal permanent
)(ωM nu scade mai mult de 2 ori (cu mai mult de 3 dB) fa ță de valoarea sa
maximă.

Fig. 6.1. Caracteristica amplificare-pulsa ție a unui filtru trece- jos .
Aproxima ția tip Taylor de ordinul n are forma

) ( ) )( (211)(
n
b b bnpspspssG
+ ++=
ω ωω" , (9)
unde
ni
nipi 2π1)(2jcos2π1)(2sin−−−= , n i ,,2,1"= . (10)
Pentru 1=n, 2=n și 3=n , avem respectiv

bb
ssGωω
+=)(1 , (11)
2 22
22 )(
b bb
s ssG
ωωω
++= , (12)

))(2 23
3)( (
b b bb
s s ssG
ωωωω
+++= . (13)

TEORIA SISTEMELOR
124

Fig. 6.2. Caracteristicile amplificare-pulsa ție ale filtrelor de ordinul 1, 2 și 3.
Graficul func ției de frecven ță construit pentru 0≥ω se nume ște locul de
transfer , iar graficul func ției de frecven ță construit pentru R∈ω se numește locul
lui Nyquist.
Locul de transfer mai poate fi definit ca fii nd graficul func ției de transfer )(sG
atunci când variabila complex ă s parcurge semiaxa imaginar ă pozitivă. Dacă
)(sG are un pol în origine, atunci locu l de transfer este construit pentru ωjs= ,
0>ω , iar dacă )(sG are poli complex-conjuga ți pe axa imaginar ă, atunci variabila
s ocolește prin partea dreapt ă polul de pe axa imaginar ă pozitivă, pe un semicerc
de rază 0→r (parcurs în sens pozitiv, trig onometric). Unui asemenea pol îi
corespunde în planul func ției de transfer un semicerc de raz ă ∞→R parcurs în
sens negativ, orar. De regul ă, trasarea analitic ă a locului de transf er se face pe baza
tabelelor de varia ție ale func țiilor )(ωU și )(ωV .
Locul lui Nyquist mai poate fi definit ca fiind graficul func ției de transfer )(sG
atunci când variabila complex ă s parcurge întreaga ax ă imaginar ă. Toți polii
complex-conjuga ți de pe axa imaginar ă ai funcției de transfer sunt ocoli ți de
variabila s prin semicercuri de raz ă 0→r , parcurse prin dreapta , în sens pozitiv.
Din relațiile )( )(ωωU U=− și )( )( ωω V V−=− rezultă că locul lui Nyquist este
simetric față de axa real ă și poate fi ob ținut din locul de transfer prin ad ăugarea
simetricului locului de transfer fa ță de axa real ă. Deoarece axa imaginar ă este un
contur deschis, locul lu i Nyquist va fi o curb ă deschisă.
Sistemul simplu integral , cu funcția de transfer sKsG=)( , 0>K , are func ția
de frecven ță jωK jωG / )(= , deci
0)(=ωU , ωKV−=)(ω ,

FUNCȚIA DE FRECVEN ȚA
125
ωωKM=)(, 2π)(−=ωΦ .
In regim sinusoidal permanent, faza sistemului )(ωΦ este negativ ă și constant ă
în raport cu pulsa ția ω, iar factorul de amplificare )(ωM tinde la ∞ pentru 0→ω
și este strict descresc ător în raport cu ω. Prima proprietate a factorului de
amplificare este irelevant ă sub aspect practic, deoarece pulsa ția ω tinde la zero
atunci când perioada de oscila ție tinde la infinit. Locul de transfer coincide cu
semiaxa imaginar ă negativă, parcursă de jos în sus (fig. 6.3).

Fig. 6.3. Locul lui Nyquist al sistemelor simplu integral și dublu integral.
Sistemul dublu integral , cu funcția de transfer 2)(sKsG= , 0>K , are func ția de
frecvență 2/ )( ωK jωG−= , deci
2)(ωKU−=ω , 0)(=ωV ,
2)(ωKM=ω , π)(−=ωΦ .
Locul de transfer coincide cu semiaxa real ă negativă, parcursă de la stânga spre
dreapta (fig. 6.3).
Sistemul de întârz iere de ordinul unu , cu funcția de transfer
1)(
1+=sTKsG , 0,>TK ,
are funcția de frecven ță
1)(
1+=ωωjTKjG ,
deci
1)(22
1+=ωωTKU , 1)(22
11
+−=ωωωTKTV , (14)

TEORIA SISTEMELOR
126

1)(
22
1+=
ωω
TKM , ω ω1arctg)( T Φ−= . (15)
Amplificarea M este stri ct descresc ătoare cu ω (de la valoarea K la zero). Din
caracteristica amplificare-pulsa ție )(ωM reprezentat ă în figura 6.4, rezult ă că
sistemul este un filtru trece-jos cu pulsa ția de band ă 1/1Tb=ω .

Fig. 6.4. Caracteristica amplificare-pulsa ție
a sistemului de întârziere de ordinul unu.
Faza Φ este negativ ă și strict descresc ătoare în raport cu pulsa ția ω (de la
valoarea 0 la valoarea 2π−), având valoarea 4π− pentru pulsa ția de band ă bω.
Prin eliminarea produsului ωT1 între )(ωU și )(ωV , obținem urm ătoarea
ecuație a locului de transfer și locului lui Nyquist:
2 2 2)2/( )2/ ( K V KU =+− . (16)
Locul de transfer al sistemului este semicercul inferior (din cadranul IV), cu
centrul în punctul )0,2/(K și care trece prin origine, reprezentat cu linie continu ă
(fig. 6.5). Locul lui Nyquist cuprinde și semicercul superior (din cadranul I), dar
este o curb ă deschisă care nu con ține originea.

Fig. 6.5. Locul lui Nyquist al sistemului de întârziere de ordinul unu.

FUNCȚIA DE FRECVEN ȚA
127
Sistemul de întârziere de ordinul doi de tip oscilant , cu funcția de transfer
2 22
2)(
n nn
s ssGωξωω
++= , 10<<ξ, 0>nω ,
are funcția de frecven ță
)( 2)(2 22
ωξωωωωωjjG
n nn
+−= ,
deci
22 222
4) (11)(x xxxUξ+−−= , 22 224) (1×2)(x xxVξξ
+−−= , (17)

22 224) 1(1)(
x xM
ξω
+−= , 12)(tg2−=xxΦξω , (18)
unde n xωω/= este pulsa ția relativă.
In cazul 1
21≤≤ξ , amplificarea Meste descresc ătoare cu x, deci cu pulsa ția
ω. In cazul
210<<ξ , amplificarea M atinge valoarea maxim ă
2121
ξξ− pentru
221ξ−=x , adică pentru 221ξωω−=n . In cazul 0=ξ , amplificarea M tinde la
∞ atunci când pulsa ția ω tinde spre valoarea nω (fenomen de rezonan ță).
In figurile 6.6 și 6.7 sunt reprezentate caract eristicile amplificare-pulsa ție și
locul de transfer pentru ξ = 0,4; 0,6; 0,8; 1,0.

Fig. 6.6. Caracteristica amplitudine-pulsa ție
a sistemului oscilant de ordinul doi.

TEORIA SISTEMELOR
128

Fig. 6.7. Locul de transfer al sistemului de întârziere de ordinul doi.
6.4. SISTEME CU TIMP MORT
Sistemul continuu pur propor țional cu timp mort are modelul
) ( )( τ−= tKuty , (19)
și funcția de transfer
sKsGτ−=e )( , (20)
unde K este factorul de propor ționalitate și τ timpul mort ( 0>τ ).
Similar, sistemul continuu de întârziere de ordinul unu cu timp mort are modelul
) ( )()(1τ−=+ tKutytyT , (21)
și funcția de transfer
1e)(
1+=−
sTK sGsτ
. (22)
Sistemele continue cu timp mort sunt sisteme infinit dimensionale , funcția de
transfer a unui sistem cu timp mort putând fi doar aproximat ă printr-o func ție
rațională de un anumit ordin.
Tinând seama c ă
+ s + s + "2! 1!1 e22s τττ= ,
funcția de transfer a elementului pur timp mort, anume
se)(τ
τ−=sG , (23)
poate fi aproximat ă cu următoarea func ție rațională de tipul 0+n (cu numitorul de
gradul n și numărătorul de gradul 0)

FUNCȚIA DE FRECVEN ȚA
129

! 2! 1!11)(220
ns + + s + s + s Gnnn
τ τττ
"=+. (24)
In general, func ția rațională de ordinul n care poate aproxima cel mai bine func ția
de transfer se)(τ
τ−=sG este una semiproprie, de forma
n
nn
n nn
sa + + sa+ sa + sb + + sb+ sb + s G""
2
2 12
2 1
11)(=+
τ. (25)
In particular, avem

2121
)(11
ss
s Gττ
τ
+−
=+ ,
12 2112 21
)(2222
22
s ss s
s Gττττ
τ
+++−
=+, (26)

120 10 21120 10 21
)(33 2233 22
33
s s ss s s
s Gττττττ
τ
+++−+−
=+, (27)
In majoritatea aplica țiilor, ordinul n al aproxima ției Padé se alege în gama
3….10. Precizia de aproximare a timp ului mort este cu atât mai ridicat ă cu cât
ordinul n este mai mare (fig. 6.8 și 6.9). O valoare prea mare a lui n mărește însă
considerabil dimensiunea sistemului.
In zona timpului mort ( τ<<t0 ), răspunsul indicial oscileaz ă în jurul valorii
zero, intersectând de n ori axa timpului. La sistemele dinamice cu timp mort
aproximat prin metoda Padé, aceste oscila ții sunt puternic atenuate, cu atât mai mult
cu cât ordinul de aproxima ție Padé și constanta de timp de întârziere dominant ă a
sistemului au valori mai ridicate (fig. 6.10 și 6.11) .

Fig. 6.8. Răspunsul indicial al sistemului cu func ția de transfer s5e)(−=sG ,
aproximat ă prin metoda Padé de ordinul 5=n.

TEORIA SISTEMELOR
130

Fig. 6.9. Răspunsul indicial al sistemului cu func ția de transfer s5e)(−=sG ,
aproximat ă prin metoda Padé de ordinul 10=n .

Fig. 6.10. Răspunsul indicial al sistemului cu func ția de transfer 15e)(5
+=−
ssGs
,
aproximat ă prin metoda Padé de ordinul 5=n .

Fig. 6.11. Răspunsul indicial al sistemului cu func ția de transfer 15e)(5
+=−
ssGs
,
aproximat ă prin metoda Padé de ordinul 8=n .

FUNCȚIA DE FRECVEN ȚA
131
Funcția de frecven ță a elementului timp mort , ωτ
τωjjG−=e)( , are modulul
unitar și faza liniar descresc ătoare cu ω:
1)(=ωτM , τωωτ−=)(Φ . (28)
Prin urmare, în cazul sistemului cu timp mort cu func ția de transfer
sesGsGmτ−= )( )( , (29)
unde )(sG este func ția de transfer a sistemului f ără timp mort, avem
) ( )(ωω M Mm= , τωωω−= )( )(ΦΦm . (30)
Rezultă că locul de transfer al sistemului cu timp mort poate fi ob ținut prin
„spiralizarea” în sens orar a locului de transfer al sistemului f ără timp mort, adic ă
prin rotirea în sens orar în jurul originii, cu unghiul τω (exprimat în radiani), a
fiecărui punct al locului de transfer f ără timp mort.
♦ In MATLAB, atribuirea unei valori T timpului mort al unui sistem sis se face astfel:
sis.iodelay=T;
Coeficien ții numărătorului și numitorului ra ționalei Padé )(s Gnn
T+ de ordinul nn+ pot fi
determina ți cu funcția pade , apelată sub forma
[num, den] = pade(T,n);
Apelată sub forma
sis1 = pade(sis,n);
funcția returneaz ă sistemul f ără timp mort sis1 (cu func ția de transfer ra țională) care
aproximeaz ă sistemul cu timp mort sis, prin înlocuirea timpului mort al sistemului sis cu
aproxima ția Padé de ordinul nn+.
„
Pentru sistemul pur integral cu timp mort, descris prin func ția de transfer
s
ssGmτ−=e1)( , (31)
avem
ωω1)(=mM , τωω−−=2π)(mΦ (32)
și
ωτωωsin)(−=mU , ωτωωcos)(−=mV . (33)

TEORIA SISTEMELOR
132
Din ecuația π)12( )( +−= k Φmω , obținem pulsa țiile punctelor de intersec ție a locului
de transfer cu semiaxa real ă negativă (fig. 6.12):
τω2π1) (4+=k
k , ",2,1,0=k (34)
Punctele de intersec ție cu semiaxa real ă negativă au partea real ă
π1) (42
+−=kUkτ , (35)
deci
π2
0τ−=U ,
π52
1τ−=U etc.

Fig. 6.12. Locul de transfer al sistemului pur integral cu timp mort.
6.6. APLICA ȚII
♦ C6.1. Se dă sistemul cu ecua ția
u yyT  1 1 4τ=+ ,
unde s T101= și s31=τ . Să se afle:
(a) valoarea maxim ă a amplific ării în regim sinusoidal permanent;
(b) pulsația inferioar ă de bandă bω;
(c) amplitudinea A și defazajul α ce caracterizeaz ă răspunsul permanent al sistemului
)2sin(α+=tA yp la intrarea 2sin3tu= .
Soluție. (a) Sistemul are func ția de transfer

FUNCȚIA DE FRECVEN ȚA
133
1 1012
14)(
11
+=+=ss
sTssGτ
și funcția de frecven ță
1 1012)(+=ωωωjjjG .
Modulul func ției de frecven ță este egal cu raportul dintre modulul num ărătorului și cel al
numitorului, adic ă

1 1001156
1 10012)(2 2 +−=
+=
ω ωωωM .
Deoarece func ția )(ωM este cresc ătoare, sistemul este un filtru trece sus, cu amplificarea
maximă
56)( limmax = =
∞→ω
ωM M .
(b) Pulsa ția inferioar ă de bandă este dată de relația

2)(maxMMb=ω .
Rezultă ecuația

256
1 10012
2=
+bb
ωω,
din care ob ținem
1 ,0=bω rad/s.
(c) Avem
633)21(=⋅=MA ,
Argumentul func ției de frecven ță este egal cu diferen ța dintre argumentul num ărătorului
și cel al numitorului, adic ă
)10( arctg2)( ωπω−=Φ .
Prin urmare,
05 arctg2>−=πα .
6.2. APLCA ȚII DE AUTOCONTROL
♦ C6.1. Se dă sistemul cu ecua ția uyyT=+1, unde s T101= . Să se afle:
(a) pulsația de band ă bω;

TEORIA SISTEMELOR
134
(b) amplitudinea A și defazajul α al răspunsului ) 4/ sin(α+ = t A yp al sistemului în
regim sinusoidal permanent, pentru 4 /sin2t u= .
♦ C6.2. Fie conexiunea serie format ă din subsistemele:
1Σ: uu+=+ 3 4vv , 2Σ: v2 5=+yy .

a) Pentru 3sin2tu= , să se afle răspunsul permanent )3sin()( α+=tAtpv ;
b) Pentru 2sintu= , să se afle răspunsul permanent )2sin()( α+=tAtyp.
♦ C6.3. Se dă sistemul

⎩⎨⎧
+−−==
ux x xxx
2 1 22 1
3 2 22

, 13xy= .
Să se afle banda de trecere și amplificarea în regim permanent sinusoidal cu pulsa ția
1=ω rad/sec.
♦ C4.6. Utiliând mediul MATLAB, s ă se studieze stabilitatea sistemului cu reac ție
negativă având
)12(10e )(2
+=−
ssksGs
d , 0>k .

7
CALITATEA REGL ĂRII

In aplicațiile practice, sistemele de reglare automat ă trebuie s ă fie stabile și să
satisfacă unele performan țe de regim sta ționar și dinamic , astfel încât abaterea
(eroarea) produs ă ca urmare a varia ției în timp a referin ței, a unor perturba ții externe
sau a unor factori perturbatori interni s ă aibă o valoare cât mai redus ă, atât în timpul
regimului tranzitoriu, cât și la sfârșitul acestuia.
7.1. CALITATEA REGL ĂRII IN REGIM STA ȚIONAR
In regim sta ționar, calitatea regl ării unui sistem de re glare stabil este dat ă de
valoarea erorii staționare
)( lim t
tstεε
→∞= , (1)
la referință sau perturba ție tip treapt ă unitară sau ramp ă unitară. Sistemul este cu atât
mai precis, cu cât eroarea sta ționară (numită uneori offset ) are valoarea în modul
mai mică. Interpretarea geometric ă a erorii sta ționare la referin ță și perturba ție
treaptă este ilustrat ă în figura 7.1.

Fig. 7.1. Interpretarea erorii sta ționare pentru referin ță și perturba ție treaptă.

TEORIA SISTEMELOR
136
Lema care urmeaz ă evidențiază relațiile de calcul al erorii sta ționare, atunci când
se cunosc func țiile de transfer ale sistemului automat de reglare, cu schema din
figura 7.2.
Lema erorii sta ționare. Dacă un sistem de reglare automat ă strict stabil are
funcția de transfer a sistemului deschis TPER d GGGG G= , atunci
a)
d sER stGs G
s += =
→ → 11lim)( lim
0 0ε , pentru )(1)( t tr= ;
b)
dTV
EV stGGGs G
s s +−= =
→ → 1lim)( lim
0 0ε , pentru )(1)( t t=v ;
c) )1
1(lim)(1lim
00dER stGss Gs ss+= =
→→ε , pentru )(1)( tttr⋅= ;
d) ) 1(lim)(1lim
0 0 dTV
EV stGsGGs Gs s s +−= =
→ →ε , pentru )(1)( ttt⋅=v .
Formulele de calcul al erorii sta ționare se ob țin imediat pe baza propriet ății
valorii finale a transform ării Laplace:
)( lim)( lim
0ssE t
s tst→ ∞→==εε ,
ținând seama și de formulele transfor matelor Laplace ale func țiilor treapt ă unitară și
rampă unitară:
st1)](1[= L , 21)](1[stt=⋅L .

Fig. 7.2. Sistem de reglare automat ă.
Observații. 1°. Toate rela țiile de calcul al erorii sta ționare sunt valabile numai
dacă sistemul de reglare este stabil, rela ția
0lim ( )stssEs
→ε= fiind valid ă numai atunci
când transformata Laplace )(sE are toți polii cu partea real ă negativă. Prin urmare,
obținerea unei valori finite a erorii sta ționare nu implic ă faptul că sistemul este
stabil.

CALITATEA REGL ĂRII
137
2°. Un sistem de reglare automat ă se consider ă a fi precis în raport cu un semnal
treaptă sau ramp ă aplicat la intrare (ca referin ță sau perturba ție) atunci când eroarea
staționară este zero.
3°. Eroarea sta ționară la referin ță sau perturba ție tip ramp ă este de infinit ori mai
mare decât eroarea sta ționară la intrare tip treapt ă. Prin urmare, dac ă eroarea
staționară este nenul ă la intrare treapt ă, atunci ea este infinit ă la intrare ramp ă.
Desigur, la sistemele fizice de reglare nu întâlnim niciodat ă erori staționare infinite,
deoarece domeniul de liniaritate este în toate cazurile m ărginit. Astfel, în cazul
exprimării procentuale a m ărimilor unui sistem de reglar e, valorile ac estora sunt
cuprinse între 0 și 100 %.
Teorema preciziei regl ării. Fie un sistem de reglare automat ă strict stabil, cu
ambele canale ale p ărții fixate (de execuție și perturbator ) de tip propor țional.
(a) Dacă regulatorul este de tip propor țional, atunci eroarea sta ționară este
nenulă și finită la intrare treapt ă (cu atât mai mic ă în modul cu cât factorul de
proporționalitate al regulatorului este mai mare), respectiv infinit ă la referin ță
rampă.
(b) Dacă regulatorul con ține o component ă integrală simplă, atunci eroarea
staționară este nulă la intrare treapt ă, dar finit ă și nenulă la referin ță rampă.
(c) Dacă regulatorul con ține o component ă integrală dublă, atunci eroarea
staționară este nulă la intrare ramp ă, deci și la intrare treapt ă.
Teorema preciziei regl ării poate fi u șor demonstrat ă p e b a z a r e l a țiilor date de
lema erorii sta ționare, în care func ția de transfer a sistemului deschis )(sGd este
produsul dintre func ția de transfer a regulatorului )(sGR și funcția de transfer a
părții fixate )(sGF:
)()( )( sGsGsGF R d= .
In cazul (a), pentru )(1t r= , avem

FR F RstKK sGsG s + += =
→ 11
)()( 11lim
0ε ,
unde RK și FK sunt factorii statici de propor ționalitate ai regulatorului și părții
fixate. Prin urmare, eroarea sta ționară este nenul ă, dar cu atât mai mic ă cu cât
factorul de propor ționalitate RK al regulatorului este mai mare. In majoritatea
aplicațiile industriale (de reglare a debitului, pr esiunii, temperaturii etc.), factorul de
proporționalitate al regulatorului nu poate fi îns ă mărit prea mult, deoarece sistemul

TEORIA SISTEMELOR
138
de reglare tinde s ă devină oscilant sau chiar instabil. Totu și, în domeniul
electronicii, întâlnim disp ozitive analogice cu bucl ă închisă (cu legătură de reacție
negativă), având deci structura unui sistem de reglare automat ă, în care
“regulatorul” este un amplificat or de tensiune cu factorul de amplificare de ordinul
sutelor sau miilor. Aceste di spozitive electronice cu bucl ă închisă funcționează
practic cu eroare sta ționară nulă la intrare treapt ă.
In cazul (b), considerând un re gulator de tip PI cu func ția de transfer
)11( )(sTKsG
iR R += ,
pentru )(1t r= , avem
0)10( 00
)()1 (lim
)()11( 11lim
0 0=++=++=
++=
→ → F R F i R ii
F
iRstK K sGsTKsTsT
sGsTKs sε ,
iar pentru )(1)( tttr⋅= , avem

F Ri
F i R ii
F
iRstKKT
sGsTKsTT
sGsTKs s s=++=
++⋅=
→ → )()1 (lim
)()11( 11 1lim
0 0ε .
Prin urmare, eroarea sta ționară la referin ță treaptă este nulă, iar la referin ță rampă
este finită și nenulă, cu atât mai mic ă cu cât factorul de propor ționalitate RK al
regulatorului este mai mare și constanta de timp integral ă iT mai mică.
In cazul (c), în care
)(1)(*
2sGssGR R= , 0)0(*≠RG , F FK G=)0( ,
pentru referin ță rampă unitară avem
0
)0(*00
)()(lim) 1(1lim* 20 0=
+= = =+ + → →FKRG sGsGss
GGsF R FRsts sε .
Prin urmare, eroarea sta ționară este nul ă la referin ță rampă, deci și la referin ță
treaptă.
Observație. Atunci când partea fixat ă a sistemului de reglare este de tip integral,
eroarea sta ționară la referin ță sau perturba ție treaptă este nulă chiar și în cazul unui
regulator de tip propor țional. Pentru a avea eroare sta ționară nulă și la referin ță sau
perturbație de tip ramp ă se recomand ă totuși utilizarea unui regulator cu

CALITATEA REGL ĂRII
139
component ă integrală simplă, dar având inte nsitatea redus ă, pentru a se evita apari ția
regimului oscilant.
7.2. CALITATEA REGL ĂRII IN REGIM DINAMIC
In regim dinamic, calitatea regl ării sistemelor automate este descris ă cu ajutorul
unor indici de performan ță asociați de obicei r ăspunsului sistemului la referin ță sau
perturbație tip treapt ă. Unele aspecte ale calit ății regimului dinamic pot fi descrise și
cu ajutorul caracteristicilor de frecven ță, care permit aprecierea comport ării
sistemului la semnale de intrare sinusoidale de frecven țe diverse.
In continuare sunt prezenta ți principalii indici de calitate asocia ți răspunsului
indicial )(ty al sistemului de reglare la o varia ție de tip treapt ă a mărimii de
referință.
Banda de alocare a polilor unui sistem de reglare dat este intervalul ],(α−∞ ,
unde α este valoarea maxim ă a părții reale a polilor sistemul ui de reglare. In cazul
unui sistem care are numai poli simpli de forma i i ijbap+= cu 0<ia , n i ,,2,1"= ,
variabila timp t apare în componenta tranzitorie a r ăspunsului indici al numai prin
intermediul exponen țialelor
) sin (cose e tbjtbi ita tp i i + = .
Presupunând c ă sistemul este strict stabil și are toți polii situa ți în stânga dreptei
α=s ( 0<α ), adică α≤ia pentru orice i, cu cât valoarea lui α este mai mic ă, cu
atât este eliminat ă mai rapid componen ta tranzitorie a r ăspunsului sistemului,
obținându-se astfel un timp tranzitoriu mai scurt. Condi ția ca toți polii să aibă partea
reală mai mică sau egală cu α este echivalent ă cu condiția ca polinomul
) (α+sP
să fie hurwitzian în raport cu variabila s, unde )(sP este polinomul polilor
sistemului de reglare. In proi ectare se impune limitarea cap ătului superior al benzii
de alocare a polilor la o valoare negativ ă dată, printr-o condi ție de forma
impusα≤α ( 0impus<α ).
Minimizarea indicelui de calitate α în raport cu parametrii de acordare ai
regulatorului asigur ă de regulă un răspuns indicial rapid, da r oscilant amortizat.

TEORIA SISTEMELOR
140
Durata regimului tranzitoriu (trT) reprezint ă intervalul de timp cuprins între
momentul 0=t în care referin ța se modific ă sub form ă de treapt ă și momentul
trTt= în care m ărimea reglat ă )(ty atinge pentru ultima dat ă una din limitele
Δ±sty , fără a mai ie și din zona cuprins ă între cele dou ă limite, unde sty este
valoarea sta ționară (finală) a ieșirii, iar Δ este sty05,0 sau sty02,0 – figura 7.3.
Matematic, durata regimului tr anzitoriu este cea mai mic ă valoare a
parametrului trT astfel încât
Δ≤−styty)( trTt≥∀ . (3)
Reamintim c ă la sistemele de întârziere de ordinul unu cu co nstanta de timp 1T,
durata regimului tranzitoriu este 13T Ttr≅ pentru sty05,0=Δ , respectiv 14T Ttr≅
pentru sty02,0=Δ . De asemenea, la sistemele de întârziere de ordinul doi cu
constantele de timp 1T și 2T, durata regimului tranzitoriu este
) (32 1TT Ttr+≅ ,
respectiv
) (42 1TT Ttr+≅ .

Fig. 7.3. Indicatori de calitate asocia ți răspunsului indicial .

Un sistem de reglare automat ă este cu atât mai performa nt sub aspect dinamic cu
cât durata regimului tranzitoriu este mai mic ă. La sistemele de ordinul doi sau mai
mare nu exist ă formule analitice pentru exprimarea acestui indicator.
Suprareglajul (σ) se define ște ca fiind dep ășirea relativ ă maximă a valorii
staționare a ie șirii, adică
%1001⋅σ=σ
sty. (4)
Sistemele cu r ăspuns indicial cresc ător au suprareglajul nul. In proiectarea
sistemelor de reglare se impune limitarea superioar ă a suprareglajului σ la o

CALITATEA REGL ĂRII
141
valoare cuprins ă între 1 și 15 %, în func ție de specificul sistemului și de
performan țele dorite.
Gradul de amortizare (δ) este caracteristic numai si stemelor de reglare cu
răspuns indicial os cilant, fiind o m ăsură a raportului subunitar al primelor dou ă
depășiri pozitive ale valorii sta ționare,

131σσδ−= . (5)
In cazul sistemelor cu r ăspuns oscilant amortizat, grad ul de amortizare ia valori
cuprinse între 0 si 1. Pentru limit area duratei regimului tranzitoriu, δ trebuie să aibă
o valoare cât mai apropiat ă de 1.
Indicii integrali , atunci când sunt ale și convenabil, pot asig ura o caracterizare
mai complet ă a calității regimului dinamic și o proiectare optimal ă a regulatorului,
prin minimizarea valorii indicelui integral ales în raport cu structura și parametrii
regulatorului.
La sistemele de reglare cu eroare sta ționară nulă la referin ță sau perturba ție
treaptă unitară, printre cei mai utiliza ți indici de tip integral, men ționăm următorii:
∫∞=01 )(dttε I , (6)
∫∞=02
2 )(dttε I , (7)
∫∞+ =02 2 2
3 )]( )([ dttετ tε  I , (8)
∫∞−+=02 2
4 ]) )(()([ dt ctcktεst I , (9)
unde ε este eroarea (abaterea), c- mărimea de comand ă, stc- valoarea sta ționară a
mărimii de comand ă, iar τ și k- constante poziti ve de ponderare.
Indicele 1I este rar utilizat în analiza și sinteza analitic ă a sistemelor, din cauza
operatorului de tip "modul", care ridic ă probleme în calculul analitic al integralei.
Indicele integral p ătratic 2I poate fi calculat analitic, ia r sinteza regulatorului prin
minimizarea acestui indice asigur ă performan țe dinamice de bun ă calitate, f ără a
garanta îns ă obținerea unui suprareglaj suficient de mic și un consum energetic
redus.
Minimizarea indicelui 3I asigură, prin compara ție cu 2I, o reducere a vitezei de
variație a mărimii reglate y și, prin aceasta, o reducere a suprareglajului, în timp ce
minimizarea indicelui 4I asigură, tot prin compara ție cu 2I, o reducere a
consumului de energie în procesul de schimbare a valorii m ărimii reglate.

TEORIA SISTEMELOR
142
7.3. APLICA ȚII
♦ Aplicația 7.1. Elementele unui sistem de reglare automat ă au următoarele ecua ții:
R: εkc= , mr−=ε , 0>k ,
E: cuu 2 2=+ ;
P: v25,0 5−=+ uyy ;
T: ymm=+ .
Să se calculeze eroarea sta ționară la referin ță și perturba ție treaptă unitară, respectiv ramp ă
unitară. Care este valoarea minim ă posibil a erorii sta ționare la referin ță treaptă ?
Soluție. Avem
k GR=, 1s22
+=EG , 151
+=sGP , 1)s5(41
+−=VG , 1s1
+=TG ,
)1)(15)(12(2
+++= =s s skGGGG GTPER d ,
k Gs G
d sER sts 211
11lim)( lim
0 0 +=+= =ε
→ →, pentru )(1)( t tr= ,
)21(41
1lim)( lim
0 0 kdTV
EV stGGGs G
s s +−=+−= =ε
→ →, pentru )(1)( t t=v .
Deoarece eroarea sta ționară la referin ță și perturba ție treaptă unitară nu este nul ă, la
referință și perturba ție rampă unitară ea va fi ∞, respectiv ∞−.
Scriind ecua ția polilor 0 1=+dG sub forma
0218 17 102 3=++++ k s s s ,
din criteriul de stabilitate Hurwitz rezult ă că sistemul de reglare este strict stabil atunci
când 02>Δ , unde ) 1063(2)21(101782 k k−=+−⋅=Δ . Așadar, valorile erorii sta ționare
obținute anterior sunt valabile numai atunci când sistemul de reglare este strict stabil, adic ă
pentru 3 ,6 0<<k . Prin urmare, eroarea sta ționară minimă posibil la referin ță treaptă unitară
este
%35,7 0735,03,6211
211)(
maxmin =≈⋅+=+=εkst .
♦ Aplicația 7.2. Fie sistemul de reglare automat ă caracterizat prin
)s411(+=K GR, 0>K , 1s24
+=EG , 1s41
+=PG , 1s1
+=TG .
Să se determine K astfel încât
(a) polii sistemului s ă fie situați în stânga dreptei 2,0−=s ;
(b) banda de alocare a polilor sistemului s ă fie cât mai la stânga posibil.
Soluție. Sistemul de reglare are

CALITATEA REGL ĂRII
143
1) 1)(sss(2++=KGd ,
și polinomul polilor
Kss s sP +++=2 33 2)(.
Din criteriul Hurwitz rezult ă că sistemul este stabil pentru 230<<K .
(a) Polii sistemului de reglare sunt situa ți în stânga dreptei 2,0−=s dacă polinomul
)(sp are toate r ădăcinile cu partea real ă negativă, unde
K s s s K s s s sPsp +−++=+−+−+−=−= 096,0 04,0 8,1 2 )2,0()2,0(3)2,0(2)2,0()(2 3 2 3.
Conform criteriului Hurwitz, este necesar și suficient ca to ți coeficien ții ia și minorul
principal
) 132,0(230 21 2K aaaa −=−=Δ
să fie pozitivi. In concluzie, sistemul de reglare are to ți polii situa ți în stânga dreptei
2,0−=s pentru 132 ,0 096,0<<K .
In figura 7.4 sunt prezentate r ăspunsurile indiciale )(ty ale sistemului de reglare la
referință treaptă unitară pentru cele dou ă valori extreme ale factorului de propor ționalitate
K.

Fig. 7.4. Răspunsuri ale sistemului de reglare la referin ță treaptă unitară.
(b) Trebuie s ă găsim cea mai mic ă valoare a lui α astfel încât polinomul
=+α++α++α+=α+ K s s s sP ) () (3) (2) (2 3
K s s s +α+α+α++α+α+α++=2 3 2 2 33 2)16 6( )21(3 2

TEORIA SISTEMELOR
144
să fie hurwitzian. Coeficien ții 1 6 621 +α+α=a și )21(32α+=a sunt pozitivi pentru
2113,063 3−≅+−>α , iar coeficientul K a +α+α+α=2 30 3 2 este pozitiv pentru
α−α+α−>2 33 2 K . Cea mai la stânga alocare a polilor corespunde lui 63 3+−=α și se
obține pentru 0962,0183≅=K , dat de rela ția α−α+α−=2 33 2 K .
7.4. APLICA ȚII DE AUTOCONTROL
♦ C7.1. Să se calculeze eroarea sta ționară la perturba ție treaptă unitară a sistemului de
reglare automat ă caracterizat prin:
K GR=, 1s31
+=EG ,
19 202
2++=
s sGP ,

1 12 201
2++−=
s sGV , 1=TG .
Care este valoarea minim ă posibil a erorii sta ționare ?
♦ C7.2. Să se calculeze eroarea sta ționară la referin ță rampă unitară a sistemului de reglare
automată caracterizat prin:
)11(2sTG
iR+= , 1s21
+=EG ,
191
+=sGP, 1=TG .
♦ C 7.3. Pentru sistemul de reglare automat ă caracterizat prin
)s411(+=K GR, 1s21
+=EG ,
1s81
+=PG , 1s41
+=TG ,
să se determine K astfel încât polii sistemului s ă fie situați în stânga dreptei 201−=s .
♦ C7.4. Procesul P din componen ța sistemului de reglare dup ă perturbație din figura de
mai jos are modelul
P: v-v 423 12 20 −+=++ uuyy y .

CALITATEA REGL ĂRII
145

Să se determine func ția de transfer ) (sGC a compensatorului C pe canalul UV−, astfel
încât compensarea efectului perturbator s ă fie perfect ă.