Teoria Perturbatiilor Sistemelor Dinamice

=== teoria perturbatiilor sistemelor dinamice FIZICA ===

INTRODUCERE

Cu mult înainte de apariția calculatoarelor electronice problemele cu mai multe corpuri din mecanica cerească nu au putut fi rezolvate decât în situații speciale în care problema se putea descompune în studiul așa-zisei mișcări de baza, adică mișcarea independenta a planetelor pe orbitele Kepleriene peste care se suprapune, ca o mica perturbație atracția lor reciprocă. Deși metoda este inaplicabilă la studiul traiectoriilor unor asteroizi și comete care trec pe lângă planete, pentru studiul mișcării planetelor mari metoda a fost foarte utilă.

În lucrare expunem rezultatele principale obținute pe baza teoriei perturbațiilor.

Aceste metode păstrează și în prezent un mare interes atât din punct de vedere al rezultatelor cu caracter euristic, care nu au putut fi obținute prin metode riguroase până în prezent (principiul medierii, invarianța adiabatică) cît și datorită rezultatelor riguroase (teoria formelor normale).

Lucrarea este destinată sintezei unor metode moderne de tratare a problemei perturbațiilor.

Menționăm că deși problema teoriei perturbațiilor sistemelor dinamice este o problemă veche, ea este încă un câmp deschis de cercetări moderne, mai ales în perspectiva studierii apariției haosului determinist în S.D.H.

CAPITOLUL I

1.1 Metoda medierii.

1.1.1.Sisteme neperturbate și perturbate.

Fie un fibrat diferențiabil :.Un câmp de vectori pe varietatea este vertical dacă este tangent la fiecare fibră (figura 1).Fibrele sunt în general tori în aplicații.

Funcțiile fibrei în baza sunt integrale prime ale ecuației pe . Câmpul de vectori verticali se numește neperturbat. Câmpul apropiat de se numește cîmp perturbat. Fie ecuația diferențială perturbată

Orice traiectorie a ecuației neperturbată se desenează grafic prin aplicația într-un punct al bazei .Orice mișcare pe o traiectorie a ecuației perturbate este asociată prin unei mișcări a cărei viteză este de ordinul .

v v+v1 t=1/

B t=0 B

Figura 1 Figura 2

Se constată o deplasare considerabilă a proiecției pe bază în timpul unei perioade de ordinul 1/. Metoda medierii este destinată studierii acestei mișcări de bază cu ajutorul unui câmp de vectori. Această mișcare lentă este descrisă ca fiind combinarea de mici oscilații cu evoluția sistematică sau derivă (figura 2).

Exemplu. Considerăm sistemul planetar. Ecuațiile neperturbate țin cont numai de interacțiunea Soarelui și a planetelor fiind egal cu raportul dintre masa planetelor și cea a Soarelui; aceasta fiind o cantitate de ordinul 1/1000.(Unitatea caracteristică de timp este perioada de revoluție în jurul Soarelui ,adică o cantitate de ordinul unui an sau a zece ani).Unitatea de timp este perioada de revoluție în jurul Soarelui, adică o unitate de ordinul unui an sau a unui deceniu, unitatea lungimii fiind raza orbitei planetei.

În acest exemplu este spațiul fazelor, baza , spațiul elipselor kepleriene, fibrele, tori de dimensiune egală cu numărul de planete (fiecare colecție de elipse kepleriene definește un tor cu orice punct determinat de poziția planetelor pe elipse).O deplasare de ordinul 1 pe bază corespunde astfel unei reduceri la jumătate a razei orbitei .De exemplu cantitatea 1/ reprezintă o durată de ordinul mileniului sau a zece milenii.

Deci deriva cu o viteză medie poate, în exemplul considerat, să reducă la jumătate raza orbitei Terei, ecuație ce ar avea consecințe catastrofale pentru civilizația noastră care își datorează existența tocmai absenței derivei (cel puțin în ecuația ce privește razele orbitelor; excentritatea orbitelor variază și aceasta, variație ce se repercutează probabil asupra perioadelor glaciare).

1.1.2.Procedura de mediere.

Pentru a descrie metoda medieri vom avea nevoie de notațiile următoare. Vom presupune că fibrele spațiului fibrat sunt tori de dimensiune n. Spațiul fibrat este un produs direct în vecinătatea oricărui punct al bazei. Vom reține o asemenea vecinătate și se va da orice punct al spațiului materialului fibrat printr-un cuplu (,I) unde I este un punct al bazei, iar un punct al unui tor F de dimensiune n.

Alegerea notației I este datorată faptului că coordonatele (I1,….,Ik) ale punctului I deifnesc pe integrale prime ale sistemului neperturbat. Un punct al torului F este definit prin ncoordonate unghiulare (1,…,n).[În aplicații coordonatele k sunt de obicei numai pe originea apropiată de fiecare tor și pe aplicațiile lineare unimodulare întregi prezentate]. Fixăm sistemul de coordonate (,I).

Definiție.

Numim ecuație neperturbată a metodei de mediere ecuatia

unde este un câmp de vectori vertical definit prin vectorul de frecvențe ((I),…,(I)),care depinde de un punct I al bazei.

Definiție. Numim ecuație perturbată a metodei de mediere ecuația.

unde f și g sunt 2 periodice pe , un mic parametru. Coordonatele unghiulare sunt numite variabile rapide, coordonatele , variabile lente.

Definiție. Numim ecuație mediată ecuația

unde este valoarea medie a funcției g pe o fibră.

Soluțiile ecuației mediate sunt numite mișcări medii.

Exemplu.

Fie ecuația perturbată

Ecuația mediată se scrie

Deci, când se trece la ecuația mediată se elimină o cantitate de același ordin ca și cele care rămân în membrul al doilea al ecuației în I. Pe durate de timp de ordinul 1cantitățile eliminate furnizează același efect (de ordinul ) ca și cantitățile rămase. Dar pe durate de ordinul 1/ acest efect este diferit: termenii rămași antrenează o derivă sistemică, termenii eliminați; o mică pulsație.

Figura 3

Soluția ecuației perturbate se scrie (pentru spre exemplu)

Remarcăm că această soluție nu diferă de cea a ecuației mediate, (figura 3) decât printr-un mic termen oscilant.

1.1.3.Medii spațiale și temporale.

Fie un interval de timp T, mare în raport cu 1 și mic în raport cu 1/. În cursul acestui interval traiectoria mișcării perturbate se îndepărtează puțin de fibra inițială.

Să calculăm drumul parcurs de proiecția traiectoriei perturbate pe bază în timpul T. Acest drum este o cantitate de ordinul <<1.Viteza este egală cu Putem admite după o primă aproximare că I este constant, nul și că variațiile de acționează conform ecuației neperturbate. Expresia aproximată de drumul parcurs în timpul T este atunci

Timpul T>>1 este ridicat, deci cantitatea între paranteze drepte este aproape de media temporală a funcției g.

Fie timpul lent Atunci când timpul t variază de la 0 la 1/, variază de la1 la 1. Vom desemna viteza mișcărilor raportînd-o la timpul mediu prin simbolul prim. Egalitatea precedentă se scrie atunci medie temporală a lui g, =medie temporală a lui g.

Dacă înlocuim media temporală prin media spațială, obținem ecuația mediată.

,G=medie spațială a lui g.

Deci trecerea la ecuația mediată revine pentru a înlocui mediile temporale prin mediile spațiale de-a lungul mișcării neperturbate.

1.1.4.Discuție.

Metoda medierii constă în a înlocuii ecuația perturbată printr-o ecuație mediată mult mai simplă, ale cărei soluții sunt studiate pe intervale de timp de ordinul 1/ (adică pe intervale de timp lent de ordinul 1). Apoi tragem concluzii asupra comportamentului mișcării perturbate în intervale de timp de ordinul 1/(în general aceste concluzii constau în a stabili că o componentă I a soluției ecuației perturbate este învecinată cu soluția ecuației mediate în durata de timp 1/).

Această concluzie nu este o consecință a raționamentelor precedente și trebuie justificată. Într-adevăr, pentru a deduce ecuația mediată am înlocuit mediile temporale cu cele spațiale. Această substituție nu prezintă interes decât în cazul când traiectoria mișcării neperturbate este distribuită uniform pe torul de dimensiune n, adică atunci când frecvențele sunt nelimitate. Totuși în cazul în care apar vibrații, traiectoria mișcării neperturbate este pretutindeni compactă, nu numai în torul de dimensiune n, dar și într-un tor de dimensiune inferioară. Deci substituția mediei spațiale cu cea temporală pe un tor de dimensiune n în vecinătatea vibrațiilor este în mod expres nepermisă. Într-adevăr, există exemple care arată că diferența între proiecția traiectoriei perturbate asupra bazei și soluția ecuației mediate atinge o valoare de ordinul 1 în timpul 1/; deriva medie și proiecția mișcării reale nu sunt orientate în același sens.

Unicul caz de studiat până la capăt este acela al sistemelor cu o frecvență în care fibrele sunt tori de o dimensiune, adică cercuri.

1.2.Medierea în sistemele

cu o singură frecvență

Enunțăm și demonstrăm teoria, justificînd metoda de mediere pentru sistemele cu o frecvență.

1.2.1.Enunțarea teoremei.

Fie un spațiu de fază M, produs direct al unui domeniu B al spațiului euclidian Rk și al unui cerc S1. Să demonstrăm prin mod 2 coordonata unghiulară pe cerc, prin I un punct al bazei B.

Ecuația perturbată

unde f și g sunt funcții 2-periodice în , rezultă ecuația mediată

Să considerăm un punct inițial al lui B și să presupunem că soluția J(t) a ecuației mediate verificând condițiile inițiale J(0)= rămâne în domeniul B în timpul t=T/ (presupunând deci că soluția ecuației dJ/d=G(J) verificând condiția inițială nu părăsește domeniulB în timpul lent ).

Teoremă. Presupunem că frecvența nu se anulează în domeniul B. Atunci diferența între valoarea soluției ecuației mediate J(t) și componenta I a soluției I(t) a ecuației perturbate verificând condiția inițială I(0)=J(0) rămîne mică în timpul , cu condiția ca săfie suficient de mic:

unde constanta C nu depinde de .

1.2.2.Construcția principală.

Ideea călăuzitoare a demonstrației teoremei este de a elimina perturbația printr-o schimbare a variabilelor convenabilă. Această idee cunoaște mai multe dezvoltări (a se vedea, de exemplu, paragraful precedent și cel următor) și constituie baza aparatului formal ca întreg, al teoriei perturbațiilor.

Să înlocuim I printr-o nouă coordonată , așa încât componenta P a soluției să înceteze să oscileze. Pentru a realiza acest lucru trebuie să eliminăm termenii de ordinul depinzând de ai membrului al doilea al ecuației pentru P.

Altfel spus trebuie să construim un difeomorfism al lui așa încât câmpul perturbat să fie trimis într-un câmp posedând pe fiecare fibră o proiecție aproape constantă (de aproape ) pe bază.

Derivând pe în raport cu timpul și grupând termenii primului ordin în , obținem

,

unde , argumentul funcției g a fost înlocuit cu zero.

Rezidul r(se va vedea mai jos) este o cantitate de ordinul doi de măsură mică raportat la .Vom încerca să-l alegem pe h astfel încât să anulăm parantezele drepte. Se obține

.

(Ne servim de ipoteza teoremei ).În realitate această metodă de rezolvare a ecuației nu este permisă, căci funcția h trebuie să fie periodică în pentru ca aplicația să fie definită pe .Formula precedentă definește o funcție h pe un cerc și nu pe dreapta care este învelișul său general) numai dacă valoarea medie a funcției g este nulă pe cerc.

Deci prin alegerea lui h putem elimina nu toată perturbația g ci numai termenul oscilant

.

Media funcției g în raport cu perioada este acum egală cu zero și putem defini funcția periodică h prin formula

.

De acum înainte obținem ecuația în P

.

Această ecuație diferă de ecuația mediată

,

și de cantitatea de ordinul . Deci soluțiile se depărtează de cele ale ecuației mediate cu o viteză de ordinul și prin urmare, cu o distanță de ordinul în timpul . Cum diferența între P și I este de asemenea de ordinul , diferența între I(t) și J(t)rămâne de ordinul într-o durată de timp de ordinul .

Demonstrația acestui fapt cere și alte câteva evaluări simple ale termenilor neglijați.

1.2.3.Estimări.

10.Notații. Fie un compact convex conținînd punctul .

Presupunem că J(t) rămân în K în timpul .Să notăm și normele în spațiile și (maximul modulului unei funcții și maximul modulelor unei funcții și a primilor săi derivați). Fie o constantă astfel că

, , pentru .

20.să demonstrăm că aplicația este un difeomorfism al lui pentru destul de mici.

Definiția lui h (formula1) antrenează . Deci <1 pentru destul de mici. Dacă două puncte ar avea aceiași imagine (același grafic) prin aplicația A, diferența valorilor lui în aceste puncte ar fi egală cu cea a variabilelor lui I; ori aceasta contrazice inegalitatea <1, pentru că K este convex. Din <1 rezultă de asemenea că A este un difeomorfism local. Deci A este un difeomorfism.

30.Mărirea lui R. Avem

, ,

, ,

.

Să presupunem că I și aparțin de K. Atunci, pentru că

avem

, , ,

, .

Normele lui f, g și h sunt evaluate prin intermediul lui .În definitiv, dacă I și aparțin de K, avem

,

unde este o constantă care nu depinde de I,,.

40.Mărirea lui P(t)-J(t).

Dacă desemnăm prin simbolul prim derivata în raport cu timpul lent , constatăm că P și J verifică relațiile

Dacă P-J=Z realizează inegalitatea

,

unde , , în timp ce P, I și J rămân în K.

Să punem . Rezolvăm ecuația cu condiția inițială ne dă mărimea

în timp ce P, I și J rămân în K.

50.Sfîrșitul demonstrației teoremei punctului A. Să punem .

Va rezulta.

Pe de altă parte , mărimea precedentă ne permite să scriem

,

cu în timp ce , și rămân în K.

Să desemnăm prin distanța, traiectoriei mișcării mediate la limita cu K. Dacă , atunci, în virtutea mărimilor precedente, , și rămân în K pentru . Ori în această durată

.

Exemplu.

Ecuația

este numită ecuația Van der Pol. Este ecuația unui pendul la care adăugăm o ,,frecare” neliniară, pozitivă pentru înălțimi mari și negativă pentru cele mici.

Figura 4

Ecuația neperturbată se reduce la forma standard , unde .

În mișcarea perturbată ecuația în I se scrie

.

Deci, ecuația mediată se scrie

.

Această ecuație posedă o poziție de echilibru care respinge J=0 și una care atrage J=2.

Pozițiile de echilibru ale ecuației în J corespund ciclurilor sistemului perturbat. Teorema demonstrată mai sus ne permite să afirmăm că variațiile lui I în sistemul perturbat sunt apropiate de cele ale lui J în sistemul mediat în durată de timp de ordinul . Dar dacă sistemul mediat are o poziție de echilibru nedegenerată (de exemplu stabilită la prima aproximare), atunci sistemul perturbat (pentru destul de mic) va avea un ciclu nedegenerat (spre exemplu, stabil la o primă aproximare); aceasta este o consecință simplă a teoremei funcțiilor implicite.

În sens restrâns, pentru mic ecuația lui Van der Pol are un ciclu limită stabil, apropiat de cercul (figura 4).

1.3.Medierea în sistemele

cu mai multe frecvențe

Sistemele cu mai multe frecvențe sunt mult mai puțin studiate decât cele cu o frecvență. Acest paragraf trece în revistă principalele rezultate obținute în acest domeniu.

1.3.1.Suprafețe rezonante.

Fie un sistem perturbat ordinar al metodei medierii

Vectorul frecvențelor este prin definiție rezonant dacă există un vector ne-nul în întregime astfel încât

Întregul vector este numit număr de vibrații.

Un punct I al bazei B este numit rezonant dacă vectorul este vibrant. Punctele rezonante cu aceiași frecvență de număr m formează în baza B a fibrei o hipersuprafață

numită hipersuprafață rezonantă.

În cazul general, punctele rezonante, ca de altfel punctele nerezonante sunt pretutindeni compacte în B (dacă numărul de frecvențe n>1).

Exemplul1. Fie sistemul neperturbat cu două frecvențe

Aici B este planul coordonatelor I1,I2 (în afară de zero, pentru că am admis că ); suprafețele rezonante sunt drepte care trec prin 0 și a căror înclinare prin raportare la I1 este rațională.

În cazul unui sistem cu două frecvențe suprafețele rezonante formează de asemenea, în general o grupă de hipersuprafețe care nu se intersectează (figura 5; în general, dacă rangul lui este maximal). În acest caz traiectoria punctului I pe bază taie, în general, transversal suprafețele rezonante.

Cu totul alta este dispunerea suprafețelor rezonante atunci când frecvențele sunt în număr de 3 sau mai multe.

Exemplul2. Fie sistemul neperturbat cu trei frecvențe

Aici B este planul raportat la coordonatele I1,I2; suprafețele rezonante sunt toate dreptele ecuațiilor raționale

Figura 5 Figura 6

În acest caz traiectoria generică a punctului I pe plan taie transversal toate curbele rezonante , dar multe dintre ele într-un unghi mic, căci orice apropiere, oricât de mică am dori-o a unui element linear, conține un element linear al curbei rezonante (figura 6).

Observație. Pentru o mai bună înțelegere a celor de mai sus, să considerăm aplicația bazei într-un spațiu proiectiv de dimensiuni (n-1)

Suprafețele rezonante sunt predecesoarele hiperplanurilor raționale ale lui RPn-1. Dacă n=2, vibrațiilor le corespund puncte raționale pe dreapta proiectivă.

Dacă numărul funcțiilor n>2, hiperplanurile raționale formează un ansamblu convex peste tot compact , astfel încât pe rezonanțe putem ajunge de la vecinătatea unui punct oarecare la vecinătatea altui punct.

În conformitate cu cele de mai sus în sistemele cu două frecvențe, principalul efect este trecerea prin rezonanțe ;în sistemele cu un număr mai mare de frecvențe , trebuie neapărat să ținem seama de contactele între traiectoriile ecuației mediate și suprafețele rezonante.

1.3.2.Influența unei rezonanțe.

Să vedem pe un exemplu simplu efectul eventual al unei rezonanțe.

Exemplul 1. Fie sistemul perturbat

Să studiem rezonanța . Mișcarea mediată traversează curba I1=0 cu o viteză ne nulă. Se calculează fără greutate că variația lui I2 între – și + este dată de integrala lui Fresnel

În sistemul mediat J2 este o integrală de ordinul unu.

Vom remarca faptul că principala contribuție la integrală este adusă de vecinătatea rezonanței de o mărime de ordinul ; însăși integrala este de ordinul și depinde defaza inițială .

Deci, în acest caz simplu, intersecția rezonanței antrenează o dispersie a soluțiilor ecuației perturbate, luând aceiași valoare inițială I a unei distanțe de ordinul , una raportată la cealaltă și în plus această dispersie are loc în vecinătatea suprafeței rezonante de o mărime de ordinul.

Prezența cantităților de ordinul este caracteristică tuturor problemelor care presupun o trecere prin rezonanță.

Dacă în primul exemplu trecerea prin rezonanță nu antrenează decât o ușoară dispersie a traiectoriilor sistemului perturbat pe bază, în raport cu traiectoriile sistemului mediat, în exemplul următor mișcările perturbată și mediată sunt fundamental diferite .

Exemplul 2. Fie sistemul perturbat

Sistemul se scrie:

Soluția sistemului mediat care verifică condițiile inițiale pentru este

Soluția sistemului perturbat care verifică condițiile inițiale este, pentru

Deci, proiecția mișcării perturbate pe bază se deplasează sistematic într-o direcție diferită de cea a traiectoriei mișcării mediate. În timpul aceste două traiectorii se îndepărtează una de alta cu o distanță mare (de ordinul 1).

Ecuația mediată este nepotrivită descrieri mișcării perturbate considerate, căci aceasta din urmă are loc tot timpul pe o suprafață rezonantă, ori în vecinătatea acestei suprafețe medierea nu este permisă, căci media temporală nu este apropiată de media spațială pe torul de dimensiuni n. Atracția unei

Figura 7

părți a traiectoriilor prin mișcările rezonante este un fenomen generic pentru sistemele cu mai multe frecvențe.

Exemplul 3. (A. Neichtadt). Se dă sistemul

Pentru a studia acest sistem vom considera ecuația unui pendul cu momentul de torsiune și frecare , la care sistemul se reduce fără greutate. Fie timpul lent (intervalului îi corespunde intervalul ). Dacă desemnăm prin simbolul prim derivatele, în raport cu timpul lent, obținem ecuația

Pentru =0, solu\iile sunt reprezentate pe figura 7 (U este energia poten\ial[)

Vom presupune c[ a>0. Vom distinge dou[ cazuri, în func\ie de valoarea momentului de torsiune a.

Dac[ a>1 (momentul de torsiune este mare în raport cu momentul oscilant), termenul sin nu este esen\ial : I variaz[ într-o manier[ lent[. Trecerea prin vibra\ia I=0 se traduce printr-o schimbare a sensului rota\iei pendulului.

Dac[ a<1 este posibil ca mi]carea pendulului s[ prezinte un regim oscilant (o bucl[ în interiorul separatnicei liniei care separ[). Acest regim oscilant corespunde traiectoriilor care r[m`n constante în vecin[tatea rezonan\ei.

Mica frecare are drept efect distrugerea buclei din interiorul liniei de desp[r\ire. #n locul interiorului acestei bucle se observ[

Figura 8

apari\ia în planul () a unei benzi înguste (de o m[rime de ordinul de-a lungul p[r\ii infinite a liniei de desp[r\ire constituit[ din punctele imobilizate de pozi\ia de echilibru atrac\ional: regiunea interioar[ liniei de desp[r\ire este, la fel imobilizat[. (figura 8).

Dac[ revenim la sistemul ini\ial, observ[m c[ pentru a<1 rezonan\a imobilizeaz[ o mic[ por\iune din toate triectoriile. Penru condi\iile ini\iale capturate, diferen\a între varia\ia variabilei lente I ]i cea a solu\iei ecua\iei mediate y în durata de timp 1/ este o cantitate de ordinul 1.

Pentru celelalte condi\ii ini\iale (adic[ pentru toate condi\iile ini\iale cu excep\ia mul\imii de m[sur[ de ordinul ) aceast[ diferen\[ r[m`ne mic[ (de ordinul ln cum o dovedesc calculele).

Dac[ a>1 vibra\ia nu poate captura (imobiliza).

1.3.3. Trecere prin rezonan\[ într-un sistem cu dou[ frecven\e.

Fie sistemul cu dou[ frecven\e 1(I),2(I);

Defini\ie. Spunem c[ acest sistem verific[ o condi\ie A dac[ viteza de varia\ie a raportului frecven\elor 1/2 nu se anuleaz[ în nici un punct al traiectoriilor sistemului perturbat:

.

Acest sistem verific[ condi\ia A dac[ viteza devaria\ie a raportului frecven\elor 1/2 nu se anuleaz[ în nici un punct al traiectoriei sistemului mediat:

.

Vom presupune c[ toate sistemele avute în vedere sunt analitice.

Teorem[. Dac[ un sistem verific[ condia A, diferen\a între mi]carea lent[ I(t) în sistemul perturbat ]i J(t) în sistemul mediat r[m`ne mic[ în durata de timp t=1/:

]i ,

Pentru a demonstra aceast[ teorem[ consider[m un num[r infinit de suprafe\e rezonante de numere mici (mare pentru micile ) ]i efectu[m schimb[rile obi]nuite de variabile în afara micilor vecin[t[\i ale acestor suprafe\e.

#n vecin[t[\ile acestor suprafe\e se constat[ o dispersie de ordinul .

F[c`nd suma acestor dispers[ri ]i a deriv[rilor care au loc în intervalele vibra\iilor ob\inem majorarea din teorem[.

Pentru detalii a se vedea V. Arnold. Condi\ii de aplicabilitate ]i exprimare a metodei medierii pentru sistemele care în timpul evolu\iei lor trec prin rezonan\e; teza lui A.Neichtadt <<asupra c`torva probleme de rezonan\[ în sistemele nelineare>>, MGU, 1975, con\ine demonstra\ia major[rii c în locul major[rii ln2 care figura în prima din lucr[rile citate.

Teorem[. (A.Neichtadt). Dac[ un sistem verific[ condi\ia A ]i o condi\ie B (aproape întotdeauna îndeplinit[), atunci pentru toate punctele ini\iale (I0,0) cu excep\ia unui ansamblu de m[sur[;diferen\a între mi]carea lent[ I(t) a sistemului perturbat ]i mi]carea J(t) a sistemului mediat r[m`ne mic[ în durata de timp 1/:

]i .

Pentru a demonstra aceast[ teorem[ consider[m un num[r finit de suprafe\e rezonante de numere mici ]i efectu[m o schimbare obi]nuit[ a variabilelor în afara micilor vecin[t[\i ale acestor suprafe\e .

Pentru a studia aceste rezonan\e proced[m la o mediere pe cercuri care sunt triectorii ale mi]c[rii neperturbate în cazul rezonan\elor.

S[ fix[m în acest scop un num[r de rezonan\[ (m1,m2) unde m1]i m2 sunt primele între ele ]i s[ înlocuim pe tor coordonatele unghiulare (1,2) cu noile coordonate unghiulare unde . Viteza de varia\ie a coordonatei unghiulare este nul[ în mi]carea neperturbat[ în cazul vibra\iei, c[ci .

Pe baz[ consider[m la fel coordonata special[ . Ecua\ia suprafe\ei rezonante se scrie acum , a]a înc`t cantitatea caracterizeaz[ distan\a la suprafa\a rezonant[. Vom desemna prin un punct al suprafe\ei rezonante. #n vecin[tatea acestei suprafe\e putem caracteriza un punct al bazei prin distan\a p`n[ la rezonan\[ ]i proiec\ia pe suprafa\a rezonant[.

#n noile coordonate sistemul perturbat se scrie

, , , .

func\iile Fk sunt 2-periodice în ]i .

Medierea pe traiectoriile mi]c[rii rezonante se reduce la o mediere pe .

Sistemul mediat se scrie

, , .

Func\iile Gk sunt 2-periodice în ]i depind în egal[ m[sur[ de ]i de .

S[ introducem timpul lent ]i distan\a normat[ la suprafa\a rezonant[. Dac[ desemn[m derivata în raport cu prin simbolul prim, ecua\ia mediat[ devine

, , .

Func\iile Gk depind de , , ]i .

Lu`nd =0 în aceast[ ecua\ie, ob\inem o ecua\ie a pendulului în timpul de torsiune , depinz`nd de parametrul . Hamiltonicitatea acestei ecua\ii, care a fost pus[ în eviden\[ de calcul, este un fapt surprinz[tor pe care nimic nu-l f[cea s[ fie prev[zut. Traiectoriile acestei ecua\ii au aceia]i aliur[ pe planul cu cele de la exemplul 3 al punctului 1.3.2. pentru a<1 sau a>, dup[ cum func\ia u î]i schimb[ sau nu semnul.

Liniile de desp[r\ire nu prezint[ bucle dec`t pentru un num[r mic al rezonan\elor care nu posed[ numere prea mari (ne servim aici de condi\ia ). #ntr-adev[r, condi\ia antreneaz[ faptul c[ valoarea medie a func\iei u în raport cu s[ fie nul[. Pentru rezonan\ele numerelor ridicate, func\ia u difer[ pu\in de valoarea sa medie (de vreme ce medierea pe este apropriat[ de medierea pe tor). ]i prin urmare, ea este peste tot ne-nul[. Ceea ce corespunde unui pendul în timpul momentului de torsiune ridicat[ cu privire la momentul greut[\ii. #n acest caz ecua\ia primei aproxim[ri nu are nici pozi\ie de echilibru, nici domeniu de oscila\ie.

Atunci c`nd trecem de la ecua\ia primei aproxim[ri la ecua\ia complet[, bucla liniei de desp[r\ire se transform[ în zon[ de capturare a rezonan\ei ca în exemplul 3 al punctului 1.3.2. (contrar exemplui de la punctul 1.3.2, în cazul în cazul general traiectoriile capturate nu sunt \inute pentru a r[m`ne totdeauna în vecin[tatea vibra\iei). M[rimea ansamblului punctelor capturate este de ordinul dac[ toate pozi\iile de echilibru ale ecua\iei primei aproxim[ri sunt simple (adic[ dac[ zerourile func\iei nu sunt simple: u=0 ). Aceasta constituie tocmai condi\ia B a teoremei lui Neichtadt. Vom remarca faptul c[ aceast[ condi\ie se aplic[ ecua\iilor de prim[ aproximare corespunz1nd unui num[r finit de rezonan\[ (de vreme ce pentru condi\ia ecua\iile de o a doua aproximare nu au pozi\ii de echilibru dec`t pentru un num[r finit de vibra\ii).

Demonstra\ia teoremei se realizeaz[ printr-o ad[ugare de major[ri ale varia\iilor lui I în intervalele vibra\iilor ]i în vecin[tatea vibra\iilor în partea ne-capturat[ a spa\iului fazelor. Pentru detalii se va recurge la teza citat[ mai sus.

Observa\ie. #n sistemele cu dou[ frecven\e nu am cercetat cazurile în care condi\ia este înc[lcat[, adic[ atunci c`nd raportul frecven\elor mi]c[rii rapide variaz[ de o manier[ non-lent[ în mi]carea mijlocit[. Un astfel de comportament este imposibil în cazul unei baze de o dimensiune, dar dac[ num[rul variabilelor lente I este2 inversarea vitezei schimb[rii raportului frecven\elor este un fenomen generic pe care nu-l putem elimina prin deformarea sistemului.

1.3.4. Sisteme cu mai multe frecven\e.

Sistemele cu un num[r de frecven\e mai mare ca 2 sunt mult mai pu\in studiate dec`t sistemele cu 2 frecven\e. Pentru sistemele generice frecven\ele mi]c[rii rapide sunt nelimitate pentru aproape toate valorile variabilelor lente. Este deci firesc ca pentru majoritatea condi\iilor ini\iale metoda de mijlocire s[ descrie corect evolu\ia variabilelor lente pe intervale de timp de ordinul 1/.

#n acest domeniu primele teoreme generale apar\in lui D.Anossov (Medierea în sistemele ecua\iilor diferen\iale ordinare cu solu\ii care variaz[ rapid) ]i lui T. Casuga (Despre teorema adiabatic[ pentru sistemul hamiltonian al ecua\iilor diferen\iale în mecanica clasic[).

Teorema lui Anossov spune c[ pentru orice num[r pozitiv , m[rimea mul\imii condi\iilor ini\iale (de un compact al spa\iului fazelor) astfel înc`t

pentru

tinde spre zero cu (ca de obicei I este proiec\ia mi]c[rii perturbate, J mi]carea mijlocit[; presupunem c[ frecven\ele sunt independente în sensul c[ rangul derivatei este egal cu num[rul variabilelor rapide).

Aceast[ teorem[ a fost demonstrat[ în realitate pe baza unor ipoteze mult mai cuprinz[toare: cvasi-periodicitatea mi]c[rilor rapide nu este neap[rat prescris[, presupunem doar ca întotdeauna c[ solu\ia J a ecua\iei mediate se poate prelungi în intervalul de timp 1/.

Ansamblul de m[sur[ mic[ cu , unde sunt posibile mari diferen\e în raport cu mi]carea mediat[ în timpul 1/ corespunde tuturor traiectoriilor capturate de rezonan\[ sau r[t[cinde de-a lungul suprafe\elor rezonante, trec`nd de la una la alta, ceea ce este de asemenea posibil dac[ num[rul frecven\elor este mai mare de 2.

Exist[ interes în estimarea m[surii acestei mul\imi. Pentru sistemele cu 2 frecven\e de exemplu, Neichdadt a dovedit (a se vedea punctul C) c[ în afara ansamblului de m[rime (în condi\iile unei variabile nestatornice impus[ sistemului).

S[ presupunem c[ frecven\ele sunt independente, adic[ rangul lui este egal cu num[rul de frecven\e.

Teorema (A. Neichdadt). #n cazul unui sistem cu frecven\e independente, în afara unei mul\imi de m[sur[ x mic[, diferen\a

cu

a metodei de mediere este majorat[ prin .

Formula echivalent[. Fie ansamblul condi\iilor ini\iale ale unui compact fix, astfel înc`t diferen\a s[ fie de pentru valoarea indicat[ de .

Avem

.

Demonsta\ia figureaz[ în articolul lui A. Neichtadt, (Despre mijlocirea în sistemele cu mai multe frecven\e).

Aceast[ demonstra\ie utilizeaz[ ideea lui Casuga citat[ mai sus, cunosc`nd o schimbare a variabilelor metodei de mijlocire modificat[ a]a înc`t s[ fie definit[ prin func\ii diferen\iabile nu numai în afara vecin[t[\ilor rezonan\elor, dar pretutindeni.

Rezultatul lui Neichtadt poate fi interpretat ca independen\[ statistic[ a cre]terilor diferen\ei între I ]i J pe intervale de timp ulterioare de lungime 1. #ntr-adev[r, cre]terea ordinului , în ceea ce privre]te num[rul intervalelor de lungime T, con\inute în intervalul 1/. Dac[ cre]terile pe fiecare interval T ar fi independente, cre]terea în intervalul de timp 1/ ar fi, în virtutea legilor teoriei perturba\iilor, propor\ional cu produsul cre]terii în intervalul T prin r[d[cina p[trat[ a num[rului de încerc[ri, adic[ o cantitate de ordinul .

Teorema lui Neichtadt furnizeaz[ un ordin identic ca m[rime pentru cre]tere, dar nu pentru toate condi\iile ini\iale: trebuie s[ excludem condi\iile ini\iale de m[rime a ordinului , pe care exist[ captur[ de c[tre vibra\ii ]i importante diferen\e, care nu se înscriu în schema cre]terilor independente.

Ideea independen\ei cre]terilor diferen\ei între I ]i J poate fi mult mai bine justificat[ în cazul în care mi]carea rapid[ nu este quasi-periodic[ ci un sistem C. Cel pu\in aceasta este ceea ce ne sugereaz[ teorema limit[ central[ pentru func\ii ale spa\iului fazelor (Y.Sinai, Teorem[ limit[ central[ pentru unde geodezice pe varia\ii cu curbur[ negativ[ constant[; M.Ratner Teorem[ limit[ central[ pentru unde C pentru variet[\i cu trei dimensiuni. Aceast[ teorem[ justific[ no\iunile relative în cazul particular c`nd mi]carea lent[ ]i mi]carea rapid[ nu depinde de variabilele lente:

, .

Considera\iile probabilistice devin deosebit de interesante dac[ lu[m în considerare comportamentul sistemului pe intervale de timp mari în raort cu 1/ (s[ spunem de ordinul sau 1/2). Dac[ în timpul 1/ exist[ o captur[ a celei de a -a p[r\i a tuturor traiectoriilor de c[tre o vibra\ie ]i dac[ pe intervalele de timp ulterioare de lungime 1/ exist[ o captur[ a unor noi traiectorii, atunci la cap[tul unui interval de timp de ordinul , majoritatea traiectoriilor vor fi capturate de vibra\ii ]i la cap[tul timpului 1/2 nu vom avea dec`t mi]c[ri rezonante. #ntr-adev[r, independen\a capturilor pe intervale de timp consecutive de lungime 1/ este o puternic[ ipotez[ subsidiar[ ]i în plus din, captura de c[tre vibra\ie observ[m fenomenul invers.

C`mpul de ac\iune al teoremei lui Neichtadt este foarte restr`ns de independen\a frecven\elor. Condi\ia

rangul este egal cu num[rul frecven\elor

poate fi înlocuit[ de independen\a raporturilor frecven\elor:

rangul aplica\iei I(1(I): … :n(I)) este egal cu n-1.

Dar în cazul în care num[rul variabilelor lente este mic (inferior cu mai mult de o unitate dec`t num[rul frecven\elor), nici aceat[ condi\ie nu este îndeplinit[.

Generalizarea teoremei lui Neichtadt pentru cazul c`nd num[rul de variabile lente este mult mai mic dec`t num[rul de frecven\e implic[ studiul aproxim[rilor difontiene pe sub-varia\ii ale spa\iului euclidian Rn.

Aplica\iile

:RkRk, k<n,

verific`nd condi\iile de non-degenerescen\[ par s[ admit[ aceia]i mic]orare

, mZn\0

pentru aproape to\i I din Rn.

Rezultate asem[n[toare au fost ob\inute pentru curbele speciale (s=Is); a se vedea lucrarea luiV.Sprindjouc.

De remarcat faptul c[ aceste lucr[ri nu abordeaz[ nici generalizarea teoremei lui Neichtadt, nici estimarea exact[ a lui v (aceasta este de altfel, f[r[ importan\[ deosebit[ pentru problema noastr[ în care o schimbare a valorii lui v nu va antrena dec`t o schimbare de ordinul derivatelor (a c[ror existen\[ o presupunem) celor de ai doilea membrii ai ecua\iilor).

1.4. Medierea în sistemele hamiltoniene.

#n acest paragraf sunt descrise succint particularit[\ile mijlocirii în cazul în care sistemul neperturbat ]i cel perturbat sunt hamiltoniene.

1.4.1. Calcularea sistemului mediat.

S[ presupunem c[ într-un sistem neperturbat am introdus variabile ac\iune-unghi, adic[ variabile împreunate de drept, (I1,…In ; 1,…,n) a]a înc`t hamiltonianul neperturbat H0 depinde numai de variabilele de ac\iune I.

Ecua\iile canonice ale lui Hamilton se scriu

, ,

adic[ pentru H=H0(I)

,

unde vectorul frecven\elor este egal cu .

Sistemul perturbat este definit prin hamiltonianul, unde func\ia H1 este 2-periodic[ în coordonatele unghiulare . Deci, ecua\iile mi]c[rii perturbate sunt de forma

, .

Teorem[. #ntr-un sistem hamiltonian cu n grade de libertate ]i cu n frecven\e, evolu\ia variabilelor lente nu are loc, în sensul c[ sistemul mijlocit este de forma .

Pentru a calcula integrala întins[ pe un tor de n dimensiuni putem mai înt`i integra în raport cu variabila 3. Aceast[ integral[ simpl[ este egal[ cu cre]terea func\iei periodice H1 pe o perioad[, adic[ cu 0.

Aceast[ teorem[ simpl[ arat[ c[ evolu\ia variabilelor lente într-un sistem hamiltonian difer[ în mod fundamental de fenomenele observate în sistemele generice (non-hamiltoniene).

1.4.2. Teorema lui Kolomogorov.

S[ presupunem c[ frecven\ele sunt independente în sensul c[ derivata frecven\elor în raport cu variabilele ac\iunii nu este degenerat[. #n acest caz, dup[ A.Kolomogorov cea mai nare parte a torilor nevariabili I=constant nu face dec`t s[ deformeze ]i nu dispare printr-o mic[ perturba\ie a hamiltonianului: pentru majoritatea condi\iilor ini\iale traiectoriile sistemului perturbat ]I ale sistemului neperturbat sunt peste tot dense în torii invariabili.

Fie jacobianul aplica\iei de (n-1) dimensiuni H0(I)=h într-un spa\iu proiectat de dimensiuni (n-1), definit I, atunci torii invariabili ai sistemului perturbat sunt, în afara unei mici m[suri apropriate, peste tot dense în H(I,)=h, varietate de nivel a hamiltonianului cu dimensiuni 2n-1.

#n caz particular, dac[ num[rul de frecven\e n=2, ace]ti tori au 2 dimensiuni parti\ion`nd varietatea de nivel cu trei dimensiuni. Deci variabilele de ac\iune variaz[ pu\in pe un interval de timp infinit chiar pentru traiectoriile care nu sunt situate pe tori: orice traiectorie generat[ în intervalul cuprins între 2 tori nevariabili va r[m`ne în acest interval.

Dac[ num[rul de frecven\e este mai mare de 2 torii nu mai parti\ioneaz[ varietatea de nivel a hamiltonianului ]i anumite traiectorii pot r[t[ci în vecin[tatea suprafe\elor vibratorii între torii nevariabili ]i se pot îndep[rta de valorile ini\iale ale variabilor de ac\iune.

Exist[ exemple (V.Arnold, Despre instabilitatea sistemelor dinamice cu mai multe grade de libertate) în care aceast[ îndep[rtare are loc cu o vitez[ exponen\ial[ mic[ (de ordinul ).

1.4.3. Teorema lui Nekhorochev.

Viteza medie cu care variabilele de ac\iune se îndep[rteaz[ de valorile lor ini\iale în sistemele hamiltoniene generice oarecare este at`t de mic[ înc`t nu este localizat[ de nici o aproximare a teoriei perturba\iilor (adic[ aceast[ îndep[rtare nu este sesizat[ la cap[tul unei perioade de timp de ordinul 1/N, oricare ar fi N, fiind parametrul perturba\iei).

Mai exact, N.Nekhorochev (N.Nekhorochev, Despre comportamentul sistemelor hamiltoniene apropiate de sistemele integrabile); a ar[tat c[ pentru aproape orice hamiltonian neperturbat H0(I) exist[ numere pozitive a ]ib astfel înc`t viteza medie de varia\ie a variabilelor de ac\iune I în sistemul perturbat nu este superioar[ lui b în durata de timp .

De notat c[ T cre]te mai repede dec`t orice putere a lui 1/ pentru 0, astfel înc`t I variaz[ pu\in în durata de timp 1/N, N.

Constantele a ]ib depind de propriet[\ile geometrice ale hamiltonianului neperturbat H0. Spre exemplu,dac[ func\ia H0 este stict convex[ (matricea lui este definit[ pozitiv), putem s[ consider[m , b=3a/2, unde n este num[rul de frecven\e.

Teorema este demonstrat[ pentru aproape toate H0 : nu sunt excluse dec`t func\iile H0, solu\iile unei infinit[\i de ecua\ii algebrice în coeficienti Taylor.N.Nekhorochev nume]te aceste func\ii exclusive func\ii nerigide. Pentru func\iile H0 nerigide distan\area este posibil[ în timpul unei durate de timp de ordinul 1/8. #n exemplele de distan\are exponen\ial lent[ func\ia H0 este rigid[.

Demonstrarea teoremei lui Nekhorochev se bazeaz[ pe proprietatea simpl[ urmat[ de mediere într-un sistem hamiltonian.

S[ presupunem c[ un sistem hamiltonian la n frecven\e prezint[ rezonan\ele (m,)=0 pentru unele valori ale variabilelor lente I.

Deci avem interesul ca în vecin[tatea suprafe\ei rezonante corespunz[toare s[ efectueze medierea nu asupra torilor la n dimensiuni, ci asupra torilor rezonan\i de dimensiune inferioar[.

Torul rezonant este de dimensiunea n-1 dac[ rezonan\a este simpl[, adic[ dac[ direc\ia vectorului întreg m este definit[ în mod unic.

Dac[ ecua\ia (m,)=0 în mare k solu\ii ra\ional independente, traiectoriile mi]c[rii rapide vor fi peste tot dense în torii rezonan\i de dimensiunea n-k asupra c[rora trebuie efectuat[ medierea.

Teorem[. #n medierea pe tori rezonan\i corespunz`nd rezonan\elor (m,)=0, direc\ia evolu\iei variabilelor de ac\iune I a sistemului mediat este con\inut[ în planul construit pe vectorii rezonan\i m* (în cazul unei rezonan\e simple direc\ia evolu\iei este definit[ în mod unic: este cea a suportului vectorului m).

S[ studiem din grija simplicit[\ii cazul în care rezonan\a este simpl[. Fie coordonata unghiular[ invariant[ prin rezonan\a =(m,q). Pentru a media sistemul perturbat este suficient s[ se medieze hamiltonianul pe variabile rapide. Se ob\ine atunci hamiltonianul , în care depinde de variabilele ac\iunii ]ide o singur[ coordonat[ unghiular[ : .

Ecua\iile mi]c[rii mediate ne dau:

.

Ori ]i vectorul sunt de aceia]i direc\ie.

Teorema lui Nechorochev se deduce din teorema demonstrat[ pentru motivele urm[toare. O evolu\ie rapid[ nu este posibil[ dec`t în cazul unei rezonan\e ]i numai în direc\iile generate de vectorii rezonan\i. Ori în condi\iile rigidit[\ii impuse lui H0 ni se garanteaz[ c[ aceast[ evolu\ie are loc într-un sens ce pleac[ de la suprafa\a rezonant[. Deci, rezonan\a este evitat[ ]i evolu\ia nu are loc dec`t în timpul unui scurt interval de timp ]i prin urmare viteza sa mediat[ este majorat[ cu o cantitate exponential mic[.

Dac[ condi\iile rigidit[\ii nu sunt îndeplinite, este posibil s[ se g[seasc[ pe suprafa\a rezonant[ o curb[ a c[rei orice tangent[ apar\ine unui plan construit pe vectori rezonan\i. Pe o astfel de curb[ evolu\ia poate avea loc la o vitez[ medie de ordinul , ceea ce îndep[rteaz[ variabilele de ac\iune de valorile lor ini\iale în timpul unui interval de timp de ordinul 1/.

CAPITOLUL II

2.1 INVARIAN|I ADIABATICI

S[ trecem în revist[ principalele rezultate ale teoriei invarian\elor adiabatice în sisteme hamiltoniene ale parametrilor cu varia\ii lente.

2.1.1.No\iunea de invariant adiabatic.

C`nd se studiaz[ sistemele hamiltoniene de parametrii cu variabil[ lent[, suntem confrunta\i cu un fenomen singular: m[rimi în principiu independente, devin asimptotic func\iile celeilalte.

S[ consider[m, spre exemplu, mi]carea unui pendul de lungime variabil[. Lungimea pendulului ]i amplitudinea oscila\iilor sunt în principiu independente; dac[ lungimea pendulului se schimb[ ]i î]i reia apoi valoarea sa ini\ial[ amplitudinea oscila\iilor variaz[ în general înfunc\ie de modul de varia\ie a lungimii.

Totu]i dac[ lungimea pendulului schimb[ destul de încet amplitudinea oscila\iilor, cînd lungimea î]i reia valoarea ini\ial[, practic nu variaz[. #n plus, raportul energiei pendulului cu frecven\a va p[stra practic aceia]i valoare pe toat[ lungimea procesului, chiar dac[ energia ]i frecven\a sufer[ varia\ii.

M[rimile care î]i p[streaz[ asimptotic valorile printr-o varia\ie destul de lent[ a parametrilor într-un sistem hamiltonian se numesc invariante adiabatic.

Mai exact fie sistemul hamiltonian este un parametru.

O func\ie I de punct x ]i de este prin defini\ie un invariant adiabatic dac[ pentru toat[ func\ia diferen\iabil[ a timpului lent t m[rimea I(x(t),t în care x(t) este solu\ia ecua\iei , variaz[ pu\in în intervalul de timp t 1/ dac[ este destul de mic.

2.1.2.Construc\ia unui invariant adiabatic al unui sistem cu un grad de libertate.

S[ presupunem c[ hamiltonianul H(p,q; are pentru fiecare valoare a parametrului traiectorii închise H(p,q;=h (de exemplu) traiectorii înconjur`nd npozi\ia de echilibru în care frecven\a micilor oscila\ii este non nul[.

S[ desemn[m prin I(p,q; suprafa\a interceptat[ prin traiectoria ce trece printr-un punct de coordonate (p,q) la fix, divizat[ (în mod tradi\ional) prin 2. Cantitatea I se nume]te variabil[ de ac\iune.

Exemplu. Pentru pendulul, ; traiectoria H=h este o elips[ de suprafa\[ =. Frecven\a oscila\iilor este . Deci pentru pendulul

I=H/

parametrul este aici cuplul (a,b).

Teorem[. Variabila de ac\iune I este invariant adiabatic într-un sistem hamiltonian cu un grad de libertate.

2.1.3.Demonstra\ia invarian\ei adiabatice a ac\iunii.

Demonstra\ia este fondat[ pe metoda de mediere.

Fie o coordonat[ unghiular[ pe traiectorii închise. Coordonata este aleas[ astfel ca s[ varieze propor\ional cu timpul de parcurs al traiectoriei ]i s[ creasc[p cu 2 la fiecare tur (se în\elege c[ coordonata unghiular[ ]i variabila de ac\iune I depind la fel de mult de coordonatele (p,q) ca ]i de parametrul ).

Ecua\ia sistemului nostru cu fix ia forma unui sistem non perturbat standard al metodei de mediere:

, ,

Dac[ acum variaz[ lent se ob\ine sistemul perturbat

, , .

în care func\iile f ]i g sunt 2 periodice în .

S[ compunem sistemul mediat.

Lem[. Variabila de ac\iune este integrala prim[ a sistemului mediat (adic[ media lui g pe este nul[).

S[ consider[m domeniul interceptat prin traiectoria închis[ I=I0 a sistemului corespunz`nd valorii ini\iale a parametrului.

#n virtutea teoremei de mediere imaginea acestui domeniu la cap[tul unui timp t oarecare al intervalului 0,1/ este cu aproape de domeniul interceptat printr-o traiectorie închis[ I=It a sistemului corespunz`nd cu =t.

Dar ecua\iiel mi]c[rii sunt hamiltoniene (de]i non autonome). Deci în virtutea teoremei lui Liouville, suprafa\a de imagine este egal[ cu cea a antecedentului. De unde It=I0.

Corolar. Raportul energiei pendulului cu frecven\a este un interval adiabatic.

Exerci\iu. O particul[ înc[rcat[ este în mi]care într-un cîmp magnetic lent variant cînd particula parcurge o elice Larmore în jurul unei linii de cîmp. Ar[ta\i c[ raportul p[tratului proiec\iei vitezei particulei pe o direc\ie normal[ la linia cîmpului magnetic, fie v2H este un invariant adiabatic (a se vedea spre exemplu L.Artsimovitch – Reac\ii termonucleare controlate).

2.1.4.Invarian\i adiabatici în sisteme hamiltoniene cu mai multe frecven\e.

Fie un sistem hamiltonian cu mai multe frecven\e , depinz`nd de un parametru ]i admi\`nd pe fix, variabilele ac\iune-unghi: , ale hamiltonianului H0(I,) depinz`nd de n variabile de ac\iune într-un mod non degenerat, în a]a fel

S[ presupunem ca în precedenta c[ parametrul începe s[ varieze lent varia\iile lui p ]i q sunt dirijate prin ecua\iile Hamilton a func\iei variabil[ H ]i variabilele I de un sistem perturbat (presupunem c[ t, în care este un parametrumic.)

Lem[. Sistemul perturbat este hamiltonian ]i func\ia Hamilton

H=H0(I,H1I,,,, univalent[ .

Demonstrarea acestei leme implic[ fie o incursiune în geometria simplectic[ formalismul hamiltonian (vezi V.Arnold, Metode matematice ale mecanicii clasice.) fie calcule penibile pe care noi le omitem .

Corolar. Variabilele ac\iunii I sunt integrale prime ale sistemului mediat.

De fapt func\ia mediat[ care constituie al doilea membru al ecua\iei , este derivata unei func\ii periodice ; valoarea sa medie este deci nul[.

Acest corolar ]i teorema lui Neichtadt ne conduce la urm[toarea concluzie:

#ntr-un sistem hamiltonian cu mai multe frecven\e a parametrilor cu varia\ie lent[, varia\ia variabilelorac\iunii I r[m`ne inferioar[ lui p într-un interval de timp de 1/ dac[ se neglileaz[ ansamblul condi\iilor ini\iale de m[sur[ în spa\iul de faze ini\ial .

Defini\ie.O func\ie F (depinz`nd de un punct ]i de un parametru) dintr-un sistem hamiltonian este aproape invariant adiabatic dac[ pentru toate 0 m[sura ansamblului condi\iilor ini\iale astfel c[ varia\ia func\iei F lungimea unei solu\ii de ecua\ii Hamilton cu parametrul cu varia\ie lent[ s[ fie superior lui pe durata de timp 1/ tinde c[tre 0 cu .

Deci, variabilele de ac\iune (I1,…..,In) sunt aproape invarian\i adiabatici într-un sistem hamiltonian non degenerat cu mai multe frecven\e.

2.1.5.Comportamentul invarian\ilor adiabatici pentru tt/.

Chiar dac[ un invariant adiabatic variaz[ pu\in în timpul unui interval de timp de 1/ nu avem nici un motiv s[ presupunem c[ aceast[ varia\ie r[m`ne mic[ pe intervale mai mari de timp (de ordinul 1/2, de exemplu) sau cu atît mai mult întrun interval de timp infinit.

Exemplu. Fie un pendul de parametru cu varia\ie lent[ ]I periodic[

Pentru atît de mici cît avem (adic[ pentru o varia\ie a parametrului atît cît o vrem de lent[) exist[ rezonan\e parametrice astfel c[ pozi\ia de echilibru x=0 devine instabil[.este clar c[invariantul adiabatic al unui pendul linear variaz[ nedefinit (în timpul unui interval de timp infinit) în caz derezonan\[ parametric[.

Un astfel de comportament al invariantului adiabatic într-un sistem de parametru cu varia\ie lent[ ]i periodic[ este cu siguran\[ legat de linearitatea acestui sistem, sau mai exact de independen\a perioadei de oscila\ii în raport cu amplitudinea. Dac[ într-un sistem hamiltonian de parametru cu varia\ie lent[ ]i periodic[ derivata frecven\ei mi]c[rii rapide în raport cu variabila de ac\iune este non nul[, atunci variabila de ac\iune variaz[ pu\in întrun interval de timp infinit. (vezi V. Arnold, Asupra comportamentului unui invariant adiabatic printr-o varia\ie lent[ periodic[ a hamiltonianului).

Demonstra\ia este bazat[ pe existen\a torilor invarian\i ca în teorema lui Kolmogorov.

Un alt caz interesant este acela în care parametrul variaz[ de maniera de a poseda limite bine definite pentru t ]i pentru t. #n acest caz este posibil s[ lu[m în considerare valoarea invariantului adiabatic de la la ]i cre]terea sa pe un interval de timp infinit.

I=I()-I()

Fiind vorba de ecua\ia linear[

, ()=-, ()=+,

se demonstreaz[ c[ cre]terea invariantului adiabatic pe un interval de timp infinit este o constant[ exponen\ial mic[ în (sub ipoteza analiticit[\ii func\iei care nu trebuie s[-]i schimbe semnul ]i s[ se conduc[ rezonabil spre infinit.) Mai mult, se poate eschiva în mod explicit termenul principal al cre]terii asimptotice invariantului adiabatic pentru (conform A.Dykhne. Treceri aproximative în aproximarea adiabatic[).

Rezultatele analoge au fost ob\inute pentru sistemele lineare cu mai multe dimensiuni. Se vor g[si formul[rile, citate ]i demonstra\ii în articolul lui M.Fedoriouk. Invariant adiabatic într-un sistem de oscilatori lineari ]i teoria dispersiei.

Problema cre]terii invariantului adiabatic într-un sistem non linear cu o dimensiune a fost în mod egal studiat de fizicieni.

Fiind vorba de sisteme lineare cu mai multe grade de libertate invarian\a adiabatic[ a variabilelor de ac\iune , contrar afirma\iilor fizicienilor în general n-a avut loc : aceste cantit[\i nu sunt dec`t aproape invarian\i adiabatici, adic[ variaz[ pu\in pentru vea mai mare parte a condi\iilor ini\iale.

2.2. Medierea în folia\ia lui Seifert.

Cînd se studiaz[ vecin[tatea unei traiectorii închise se înt`lnesc cazuri în care traiectorii apropiate se bucleaz[ de asemenea în prima aproxima\ie , dar dup[ ce au efectuat mai multe tururi de-a lungul traiectoriei închise ini\iale (caz rezonant). Studiul sistemului în vecin[tatea unei mi]c[ri periodice rezonante sau aproape de rezonan\[ conduce la o varian\[ special[ a metodei de mediere: medierea lui Seifert.

2.2.1. Folia\ia Seifert.

Folia\ia Seifert este o divizare a produsului cartezian R2S1 în cercuri. Aceast[ divizare se efectueaz[ dup[ cum urmeaz[.

Fie în spa\iul euclidian R3 un cilindru de baze orizontale ]i ax[ vertical[. S[ împ[r\im interiorul cilindrului în segmente verticale, s[ facem s[ coincid[ baza inferioar[ cu imaginea bazei superioare printr-o rota\ie de 2p/q în jurul axei.

Figura 9

Defini\ie. Se nume]te folia\ia lui Seifert de tip (p,q) o varietate cu trei dimensiuni R2S1 ]I divizarea în cercuri urm`nd procedura precedent[.

Deci orice cerc al folia\iei Seifert se ob\ine prin foliajul de q segmente cu excep\ia unuia singur, cercul central care provine din axul cilindrului.

Fie un înveli] cu q foi din spa\iul R2S1 al unei folia\ii Seifert de tipul (p,q). Spa\iul înveli]ului este el însu]i difmorf la R2S1. Folia\ia Seifert în vecin[tatea ini\ial[ induce o divizare în cercuri pe spa\iul global. Aceast[ divizare poate fi considerat[ ca o folia\ie Seifert de tipul (p,1).(Rota\ia este acum a unghiului 2p.)

Or folia\ia Seifert de tipul (p,1) este un fascicul de cercuri sau mai exact un produs cartezian. Toate cercurile folia\iei sunt ini\ial reacoperite difeomorf prin q cercuri a acestui fascicul, în afar[de cercul central care el însu]i este acoperit de o fibr[ cu q straturi (figura 9).

2.2.2. Defini\ia medierii în stratificarea lui Seifert.

Se da un cîmp de vectori în spa\iul R2S1 din folia\ia Seifert. Un cîmp de vectori se define]te apoi pe folia\ia de acoperire. Orice vector din acest cîmp se proiecteaz[ pe baza R2 a stratului global .

S[ lu[m media vectorului ob\inut pe baz[ în lungimea unei fibre din stratificarea înveli]ului. Se ob\ine un vector bine definit în fiecare punct al bazei. Am definit deci un cîmp de vectori fibre pe baz[. Aceast[ opera\ie se nume]te medierea c`mpului ini\ial pe lungimea folia\iei lui Seifert.

#n al\i termeni, medierea pe folia\ia Seifert de tipul (p,q) se define]te ca o mediere ordinar[ pe înveli]ul de q straturi.

2.2.3. Propriet[\ile c`mpului mediat.

Dac[ se procedeaz[ la o mediere într-un strat ordinar se ob\ine un cîmp oarecare de vectori pe baz[. #n cazul unei folia\ii Seifert c`mpul de vectori este dotat cupropriet[\i speciale: de exemplu, vectorul c`mpului mediat se anuleaz[ în mod necesar în punctul central dac[ q>1.

Teorem[. C`mpul de vectori ob\inut prin medierea asupra folia\iei Seifert de tipul (p,q) este invariant la o rota\ie a planului cu unghiul 2/q.

Putem s[ identific[m baza stratului cu unadin bazele cilindrului in\ial. Medierea asupra folia\iei Seifert se identific[ cu medierea asupra q segmente paralele cu axa cilindrului. Aceste segmente corespondeaz[ prin rota\ia unghiului 2/q.

Este interesant de v[zut c[ medierea comut[ cu rota\ia unghiului 2/q (dup[ rota\ie trebuie luat[ media pe acelea]i segmente dar într-o ordine diferit[.

2.2.4. Exemplu.

Fie ecua\ia diferen\ial[

,

f este o func\ie complex[ (nu neap[rat olomorf[) de perioad[ 2 în timpul real t, un mic parametru. Ecua\ia corespunz[toare cu =0 se va numi non perturbat[. S[ presupunem c[ frecven\a a mi]c[rii non perturbat[ este ra\ional[ sau aproape de un num[r ra\ional p/q.

Traiectoriile ecua\iei non perturbate cu =p/q în CS1={z, t mod 2} o folia\ie Seifert de tipul (p/q).

Medierea asupra acestei folia\ii ne d[ ecua\ia mediat[

,

în care c`mpul de vectori F este asociat el însu]i printr-o rota\ie a unghiului 2/q planului variabilei z.

2.2.5. Coeficien\ii Taylor într-un c`mp simetric.

Fie în planul variabilei complexe z un c`mp (nu neap[rat olomorf) F. Seria Taylor a func\iei complexe F în x ]i y (z=x+iy) se scrie ca o serie Taylor cu variqabilele z ]i

.

Teorem[. Dac[ c`mpul F este invariant printr-o rota\ie a unghiului 2/q atunci to\i coeficien\ii Fk,l singuri sunt non nuli cei pentru care k-l ]i 1 sunt congruen\i modulo q.

Seria Taylor este unic[ . Deci fiecare dintre termenii s[i define]te un c`mp de vectori invariant printr-o rota\ie. C`nd z suport[ orota\ie de 2/q, vektorul un unghi de (k-l) 2/q. Aceast[ rota\ie este o rota\ie a unghiului 2/q, dac[ ]i numai dac[ k-l ]i 1 sunt congruen\i modulo q

Pentru aceste puncte vom avea întotdeauna punctul (1,0) ]i toate punctele întregi de pe dreapta provenit[ din (1,0) ]i paralel[ cu bisectoarea re\elei.Aceste pumcte corespund c`mpurilor z invariante printr-o rota\ie oarecare .

Printre punctele reperate vom avea întotdeauna punctul (0,q-1). Acest c`mp corespunde invariant printr-o roya\ie a unghiului 2/q . Punctele reperate dau na]tere unui fascicul de semidrepte paralele cu bisectoarea ]i provenite din punctele (0,mq-1) ]i (mq-1,0).

Cazul unei simetrii de ordinul 3.

Fie c`mpurile de vectori invarian\i prin grupul de simetrii de ordinul 3 (adic[ se studiaz[ cazul q=3).

Monoamele de cel mai mic grad ale seriei Taylor într-un c`mp simetric printr-o rota\ie de1200 sunt definite prin punctele reperate (k,l) ale planului, astfel ca k-l s[ fie minimal.

Primele dou[ monoame sunt z ]i .Deci, orice c`mp din plan, invariant printr-o rota\ie a unghiului 2/3 este de forma

.

Dac[ se elimin[ ultimul termen se ob\ine o ecua\ie diferen\ial[ simpl[ simetric[ de ordinul 3

.

Cu coeficien\ii a,b ]i coordonata z complexi.

S[ presupunem c[ a0,b0 ]i c[ multiplic`nd z cu un num[r ]i modific`nd unitatea de timp, se poate face b=1 ]i =1.

Figura 10

Figura 10 arat[ cum variaz[ traiectoriile ecua\iei pentru a=ei, b=1.

Oricare ar fi a, a 4 pozi\ie de echilibru în v`rfurile ]i în centrul unui triunghi echilateral , pentru a imaginar pur, sistemul este hamiltonian. Pentru a studia sistemul oricare ar fi a, este suficient s[ se remarce c[ el se deduce întotdeauna plec`nd de la acest sistem hamiltonian printr-o înmul\ire formal[ a variabilelor z ]i t cu numere complexe (adic[ printr-o similitudine a planului z ]i o rota\ie a c`mpului hamiltonian de un unghi constant.

Luarea în considerare a termenilor elimina\i.

S[ încerc[m acum s[ \inem cont de termenii elimina\i .

S[ presupunem c[ este mic (cel care corespunde în vecin[tatea unei rezonan\e de ordinul 3 într-un sistem de ecua\ii diferen\iale ini\ial). Dimensiunea triunghiului punctelor singulare este mic[. S[ studiem c`mpul nostru de vectori simetrici în vecin[tatea punctului z=0 o vecin[tate mare în raport cu dar mic[ în raport cu1.

#n aceast[ vecin[tate termenii elimina\i sunt mici în compara\ie cu al\ii. De unde se deduce f[r[ efort c[ luarea lor în considera\ie nu aduce o modificare notabil[ în aspectul traiectoriilor dac[ sistemul este structural stabil. #n cazul considerat sistemul este structural instabil numai pentru o imagine pur[ (sistemul este hamiltonian).

Hamiltonicitatea nu este p[strat[ dac[ se \ine cont de termenii elimina\i.

Pentru orice dreapt[ a planului variabilei complxe a, non confundat[ cu axa imaginar[, traiectoriile sistemului coplet pentru destul de mic (sub rezerva ca b0) sunt într-o vecin[tate a originii coordonatelor, mic[ prin raport cu 1 ]I mare în raport cu a, trasate pe (figura 8), /2.

Modificarea traiectoriilor la trecerea punctului a prin axa imaginar[ constituie o problem[ special[ asupra c[reia vom revenii.

#n cazul generic aceast[ schimbare este înc[ definit[ printr-un termen al seriei Taylor: totul se petrece ca pentru ecua\ia

,

în care Re c0.

Aplica\ie cu ecua\ia ini\ial[.

Analiza ecua\iei mediate ne furnizeaz[ o bogat[ informa\ie asupra sistemului ini\ial în cazul în care parametrul este destul de mic. F[r[ s[ insist[m asupra justific[rilor o s[ d[m traducerea rezultatelor ob\inute în termenii traiectoriei ecua\iei ini\iale.

Cele trei pozi\ii de echilibru care ocup[ v`rfurile unui triunghi echilateral corespund cu ocurb[ integral[ închis[ a ecua\iei ini\iale. C`nd distan\a între frecven\a a mi]c[rii non perturbat[ ]i frecven\a rezonant[ p/q=1/3 tinde c[tre zero, aceast[ curb[ închis[ se suprapune traiectoriei închise ini\iale descriind-o de trei ori.

Figura 11

Stabilitatea pozi\iilor de echilibru ale sistemului mediat admite aceia]i interpretare ca aceea a solu\iilor periodice a sistemului perturbat.

Exist[ totu]i odiferen\[ fundamental[ tocmai în care sistemul mediat are o separatoare care le une]te unul cu altul.

#n sitemul perturbat colulilor le corespunde o triectorie închis[, separatoarelor de intrare ]i de ie]ire variet[\ile invariante atractive ]I repulsive ale acestei traiectorii închise. Dar dac[ în sistemul mediat separ[rile se confund[ din momentul încare ele se intersecteaz[, în sistemul perturbat merge în general în mod diferit.

Pentru a avea o idee a modului în care variet[\ile invariante se taie în spa\iul cu trei dimensiuni al sistemului al sistemului perturbat vom studia sec\ionarea acestui spa\iu cu planul t=0.

Traiectoria taie acest plan în trei puncte care sunt puncte fixe ale curbei aplica\iei lui Poincaré. Fiecare dintre aceste puncte are o varietate invariant[ care intr[ ]i iese (o curb[). Dar aceste curbe invariante pot s[ se intersecteze f[r[ ca astfel s[ se confunde (contrar traiectoiilor ecua\iei în plan, care încep`nd din momentul în care se intersecteaz[ se confund[ în mod obligatoriu).

Imaginile arcurilor separate ale variet[\ilor invarian\ilor prin itera\iile aplica\iei lui Poincaré formeaz[ o re\ea complicat[ numit[ figur[ homoclinic[ (un punct fix al unui difomorfism al planului este omoclinic dac[ curbele invarian\ilor care ies ]i care intr[ se sec\ioneaz[ f[r[ s[ se confunde), (figura 9).

2.2.9. Rezonan\e de alte ordine.

#n cazul rezonan\elor de ordin q3 pentru sistemul mediat de prim[ aproxima\ie non trivial[ se ob\ine

.

#n particular pentru rezonan\e de ordinul 4 avem

.

Figura 12

Figura 12 reprezint[ modificarea traiectoriilor sistemului mediat corespunz`nd rezonan\ei de ordinul 5

pentru Re A<0, Im A<0, a=ei, <<1.

CAPITOLUL III

Forme Normale

Este foarte folosit nu pentru a rezolva ecua\iile diferen\iale ci pentru a le readuce la o form[ mai simpl[. Teoria formelor normale, datorat[ lui Poincare, ne indic[ formele cele mai simple la care se reduce o ecua\ie diferen\ial[ în vecin[tatea unei pozi\ii de echilibru sau a unei mi]c[ri periodice.

Reducerea la formele normale se efectueaz[ cu ajutorul seriilor în salturi prin raport la pozi\ia de echilibru sau de mi]care periodic[. Aceste serii nu sunt totdeauna convergente. Totu]i chiar în cazul în care seriile sunt divergente, metoda formelor normale este un puternic instrument de studiu al ecua\iilor diferen\iale: primii termeni ai seriei furnizeaz[ asupra comportamentului solu\iilor o informa\ie suficient[ pentru studiu. Metoda formelor normale este de asemenea instrument de studiu al teoriei bifurca\iilor, unde ea se aplic[ familiilor ce depind de parametru.

#n acest paragraf se expun no\iunile fundamentale ale metodei formelor normale.

3.1.Reducerea formelor la o form[ normal[ linear[.

Teorema lui Poincare afirm[ c[ în clasa seriilor întregi formale un c`mp de vectori <non rezonant> poate fi redus la partea sa linear[ într-un punct singular printr-un difeomorfism formal. S[ enun\[m aceast[ condi\ie de non rezonan\[.

3.1.1. Rezonan\e.

#n locul unui c`mp de vectori o s[ consider[m o serie întreag[ vectorial[ v(x)=Ax+…. de n variabile, cu coeficien\i complexi. S[ presupunem c[ valorile matricei a sunt distincte.

Defini\ie. O colec\ie de valori proprii =(1,…, n) este rezonant[ dac[ aceste valori sunt legate printr-o rela\ie de forma

s=(m, ),

în care m=(m1,…,mn), mk0, mk2. Aceast[ rela\ie este numit[ rezonan\[, num[rul , ordinul rezonan\ei.

Exemplu. Rela\ia 1=22 este o rezonan\[ de ordin 21=32 nu este o rezonan\[, 1+2 =0 este orezonan\[ de ordinul 3 (mai exact aceast[ rela\ie antreneaz[ rezonan\a 1=21+2)

3.1.2. Teorema lui Poincaré.

Teorema urm[toare constituie principalul rezultat al tezei lui Poincare.

Teorem[. Dac[ valorile proprii ale matricei A nu sunt rezonante ecua\ia

se reduce printr-o schimbare formal[ de variabile x=y+… la ecua\ia linear[

(punctele de suspensie reprezint[ serii de termeni de ordin >1).

Demonstra\ia teoremei lui Poincare const[ într-o eliminare succesiv[ de termeni la p[trat, la cua etc. din al doilea membru.

Fiecare pas se bazeaz[ pe rezolvarea unei ecua\ii homologice liniare c[reia os[-i d[m deducerea.

3.1.3. Deducerea unei ecua\ii omologice.

Fie h un polinom vectorial [adic[ un c`mp de vectori ai c[rui componen\i sunt polinoame. Un polinom vectorial este suma monoamelor vectoriale: ace]tia din urm[ fiind c`mpuri a c[ror component[ este un monom, ]i ceilal\i zerouri. Ordinul polinomului este puterea unui termen inferior]. în y de ordin r2 ]I h(0)=h’(0)=0.

Lem[. Schimbarea variabilelor x=y+h(y) transform[ ecua\ia diferen\ial[ în ecua\ia

unde , punctele de suspensie desemneaz[ termeni de ordin mai mare ca r.

Remarc[. la al doilea membru se recunoa]te paranteza lui Poisson a c`mpurilor de vectori Ax ]i h(x). Se va nota LA operatorul asociat la orice c`mp, paranteza lui Poison a c`mpului linear Ax ]I al acestui c`mp:

.

Defini\ie. Se nume]te ecua\ie omologic[ ata]at[ la operatorul linear A ecua\ia

,

în care h este un c`mp de vectori necunoscut, v un c`mp de vectori cunoscut.

3.1.4. Rezolvarea ecua\iei omologice.

operatorul linear LA opereaz[ în spa\iul c`mpurilor de vectori formali. El las[ invariant fiecare spa\iu de polinoame vectoriale omogene.

S[ calcul[m valorile ]i vectorii proprii operatorului LA. Fie ei vector al operatorului A asociat cu avloarea I. Se vor desemna prin (x1,…,xn) coordonatele în baza (e1,…,en). Ca deobicei xm va desemna .

Lem[. Dac[ operatorul A este diagonal, operatorul LA va fi la fel pe spa\iul polinoamelor vectoriale omogene. Vectorii proprii operatorului LA sunt monoame vectoriale xmes. Valorile proprii operatorului LA depind în mod linear de valorile proprii operatorului A, mai exact

.

S[ presupunem c[ h= xmes. atunci singura component[ a vectorului este non nul[ ; ea valoreaz[

.

ori Ah(x)=sh(x).

Operatorul LA este inversabil dac[ toate valorile sale proprii sunt non nule.

Corrolar. Dac[ ansamblul valorilor proprii ale operatorului A este non rezonant, ecua\ia omologic[ Lah=v este rezolvabil[ în clasa seriilor întregi formale h pentru orice c`mp de vectori formal f[r[ termeni liberi ]i f[r[ parte linear[ în punctul zero. #n absen\a rezonan\ei de ordin k, ecua\ia omologic[ Lah=v este rezolvabil[ pentru orice polinom vectorial omolog v de gradul k în clasa polinoamelor vectoriale omogene de gradul k (aici k2).

Remarc[. Dac[ operatorul A nu este diagonal (posed[ blocuri Jordan) operatorul LA nu va fi nici el, dar valorile sale proprii, este u]or de v[zut, sunt date prin aceia]i formul[ ca în cazul diagonal. Deci operatorul LA este inversabil în spa\iul polinoamelor vectoriale omogene pentru valori proprii non rezonante (chiar multiple). Deci corolarul este valabil de asemenea în cazul valorilor proprii multiple.

3.1.5. Demonstra\ia teoremei lui Poincaré.

S[ presupunem c[ ecua\ia ini\ial[ este de forma unde vr sunt termeni de gradul r (r2).

S[ rezolv[m ecua\ia omologic[ LAhr=vr ; f[c`nd substitu\ia x=y+hr(y).

Ecua\ia ini\ial[ devine (se folose]te lema punctului C). Am eliminat deci termenii de gradul r în al doilea membru al ecua\iei ini\iale. Elimin`nd succesiv termenii de gradul 2,3… ob\inem o suit[ de substitu\ii al c[rui produs se stabile]te în clasa seriilor formale, adic[ termenii de orice grad fix nu variaz[ plec`nd de la un anumit pas. Substitu\ia limit[ transform[ ecua\ia formal[ în ecua\ia .

Remarca1. Cu toate c[ convergen\a seriilor nu a fost demonstrat[, printr-o substitu\ie convergent[ putem s[ extindem perturba\ia cît de departe vrem în cazul non rezonant: am ar[tat c[ pentru orice N ecua\ia ini\ial[ poate fi adus[ la forma printr-o schimbare de variabil[ (chiar polinomial[).

Remarca2. Dac[ perturba\ia v=vr+vr+1+… este de ordinul r, atunci rezolv`nd ecua\ia omologic[ LAh=v se ob\ine prin substitu\ia x=y+h o ecua\ie ce comport[ o ecua\ie de ordinul 2r-1, împrejurare care este legat[ de superconvergen\a aproxima\iilor ob\inute repet`nd aceast[ procedur[.

Remarca3. Demonstra\ia teoremei lui Poincare este valabil[ pentru cazul valorilor proprii multiple prev[z`nd ca ele s[ fie rezonante.

Remarca4. Dac[ ecua\ia ini\ial[ este real[ ]i exist[ valori proprii complexe, baza proprie poate fi compus[ din valori conjugate complexe. #n acest caz toate substitu\iile operate în teorema lui Poincare pot fi reale, adic[ asociaz[ vectori conjuga\i complexi cu vectori conjuga\i complexi.

3.2. Caz Rezonant

#n cazul rezonant teorema lui Poincare afirm[ c[ se pot elimina to\i termenii non rezonan\i ai ecua\iei printr-o substitu\ie formal[ a variabilelor.

3.2.1. Monoame rezonante.

S[ presupunem c[ ansamblul valorilor proprii =(1,…, n) a unui operator A este rezonant. Fie es un vector al bazei proprii, xi coordonatele în baza ei, xm=, un monom în xi.

Defini\ie. Un monom vectorial xmes, este rezonant dac[ s=(m, ), .

Exemplu. Unicul monom rezonant corespunz[tor rezonan\ei 1=22 este monomul . Toate monoamele (x1,x2)kxses sunt rezonante pentru rezonan\a 1+2=o.

3.2.2. Teorema Poincaré-Dulac.

Fie ecua\ia diferen\ial[

definit[ prin seria formal[ v(x)=Ax+… .

Teorem[. Aceast[ ecua\ie se aduce la forma canonic[

,

în care toate monoamele seriei w sunt rezonante prin substitu\ia formal[ x=y+… .

Se elimin[ termenii non lineari ai seriei v. La cap[tul c`torva pa]i risc[m s[ g[sim în prezen\a ecua\iei omologice insolubile

Lah=v

în polinomul vectorial omogen h de gradul r egal cu ordinul rezonan\ei. #n acest caz este imposibil s[ se elimine to\i termenii de gradul r al perturba\iei v printr-o substitu\ie convenabil[. O s[ încerc[m s[ elimin[m pe cei care sunt. #n al\i termeni o s[ scriem v ]i h sub forma unei sume de monoame vectoriale

,

]i punem

pentru m ]i s, pentru care numitorul este diferit de zero; f[c`nd aceasta definim c`mpul h.

S[ efectu[m substitu\ia ordinar[ x=y+h(y) din demonstra\ia teoremei lui Poincaré. Acest lucru va elimina în ecua\ia ini\ial[ to\i termenii de grad r cu excep\ia rezonan\elor care se p[streaz[. Ecua\ia devine

în care wr nu este compus dec`t din termeni rezonan\i.Termenii rezonan\i, nu influen\eaz[ asupra ecua\iei omologice pe care o rezolv[m ]I sunt invarian\i prin substitu\iile ulterioare.

De fapt, ecua\ia

se transform[ în ecua\ia

prin substitu\ia y=z+gs(z); paranteza lui Poisson dew2 ]i gs este gradul s+1deja.

Deci, to\i termenii non rezonan\i de gradul s dispar printr-o alegere convenabil[ de gs ]i demonstra\ia se termin[ ca pentru un caz non rezonant.

3.2.3. Exemple.

Practic teorema lui Poincaré-Dulac este folosit[ în general pentru a repera termenii rezonan\ii de un ordin pu\in ridicat ]i pentru a deplasa perturba\ia cu termeni de un ordin finit, adic[ a aduce ecua\ia la forma

,

(în care w este un polinom compus din monoame rezonante) printr-o schimbare de variabil[ de loc formal dar veritabil .

Exemplul1. Fie un c`mp de vectori într-un plan, prezent`nd un punct singular de tipul nod de rezonan\[ 1=22. Teorema lui Poincaré-Dulac permite s[ aducem ecua\ia la forma normal[

#n acest caz forma normal[ este polinomial[ deoarece termenii rezonan\i sunt în num[r finit.

Exemplul2. Fie un c`mp de vectori în planul R2 prezent`nd un punct singular de valori proprii imaginare pune 1,2=i (un centru în aproxima\ie liniar[) .Vectorii proprii pot s[ fie lua\i conjuga\i complexi. #n general pe C2 coordonatele sunt desemnate prin z ]i în aceast[ baz[ (aceste numere nu sunt efectiv conjugate dec`t în planul real R2C2).

Ecua\ia diferen\ial[ întrev[zut[ în R2 define]te pe C2 o ecua\ie care se scrie

,

(punctele de suspensie reprezint[ o serie întreag[ în z ]i ). Putem s[ nu scriem a doua ecua\ie deoarece este conjugat[ cu prima.

Avem rezonan\a 1=2=o. Dup[ teorema lui Poincaré-Dulac ecua\ia noastr[ se reduce la forma

printr-o schimbare real[ a variabilei. Deci r2= este o func\ie diferen\iabil[ real[ pe R2.Avem pentru aceasta func\ia

Dac[ partea real[ c este negativ[ (respectiv pozitiv[) pozi\ia de echilibru este stabil[ (respectiv instabil[).

Deci, primii pa]i ai metodei Poincaré ne furnizeaz[ o metod[ de rezolvare a problemei stabilit[\ii unui punct singular neutru în aproxima\ie liniar[.

Posibilitatea de a urm[ri aceast[ construc\ie ]I convergen\a acestei proceduri este pu\in important, esen\ial este ca Re c (decrementul non liniar) s[ fie diferit de zero.

Remarc[. Teorema lui Poincaré este generalizat[ în teoria algebrei Lie prin teorema lui Cartan a replicilor care generalizeaz[ deasemenea teorema formei normale a lui Jordan.

Fie o algebric[ Lie de dimensiune finit[. Fie u un element din aceast[ algebr[. Comutatul cu acest element define]te un operator liniar pe spa\iul algebrei Lie în el însu]i v u,v. Operatorul u este semi-simplu dac[ poeratorul de comutare cu u este diagonal (adic[ are o baz[ proprie). Elementul u este nilpotent dac[ operatorul de comutare cu u este nilpotent (adic[ toate valorile proprii ale acestui operator sunt nule).

Teorema replicilor afirm[ c[ orice element algebric se descompune (în mod unic) într-o sum[ dintre un element semi-simplu S ]i un element nilpotent N comutant cu el:

u=S+N, SN=NS.

Elementele S ]i N se numesc replici ale elementului u.

#n teoria formei normale Jordan S este un operator de matrice diagonal[, N suma blocurilor Jordan nilpotente.

#n algebra lui Lie traiectoriile c`mpurilor de vectorise anuleaz[ la origine, c`mpurile semi-simple sunt c`mpuri care într-un sistem de coordonate convenabil sunt lineare ]i definite printr-o matrice diagonal[. Un c`mp nilpotent este constituit dintr-o parte linear[ nilpotent[ ]i din termeni de grad superior. Condi\ia de comutare a lui S ]i N semnific[ precis c[ partea non linear[ poate fi compus[ numai din termeni rezonan\i în sistemul de date men\ionat.

Teorema lui Poincare-Dunlac ar putea fi dedus[ din teorema general[ a replicilor (care trbuie aplicat[ algebrei Lie traiectorii de c`mp de vectori în punctul zero).

3.3. Domeniul Poincare ]i Siegel.

C`nd se studiaz[ convergen\a seriilor Poincare construite în paragrafele precedente, se disting dou[ cazuri dup[ dispozi\ia valorilor proprii în planul variabilei complexe.

3.3.1. Planuri rezonante.

Fie spa\iul complex cu n dimensiuni ale tuturor colec\iilor de valori proprii. Cn==(1,…,n).

Defini\ie. Se nume]te plan rezonant hiperplanul Cn definit prin ecua\ia cu coeficien\i întrgi

, ,

F[c`nd s[ varieze vectorul întreg m ]i indicele s, se ob\ine un num[r variabil de planuri rezonante în spa\iul valorilor proprii Cn. G[sim c[ acest ansamblu este discret într-o parte a Cn ]i dens în alta.

Defini\ie. O colec\ie de valori proprii apar\in`ne domeniului Poincare dac[ înveli]ul convex de n puncte (1,…,n) al planului variabilei complexe nu con\ine zero.

O colec\ie de valori proprii apar\in domeniului Siegel dac[ zero este con\inut în înf[]ur[toarea convex[ a n puncte (1,…,n).

Remarc[. Pentru n>2 domeniile Poincare ]i Siegel con\in deschideri ]i conturul lor este un con apar\in`nd conului Siegel. Penru n=2 domeniul Siegel este de dimensiune real[ 1 în C2.

3.3.2. Rezonan\a în domeniul Poincaré.

S[ presupunem c[ o colec\ie de valori proprii apar\in domeniului Poincare.

Teorema1. Orice punct al domeniului Poincaré verific[ un num[r în plus de rela\ii de rezonan\[ s=(m,), ]i are o vecin[tate neintersectat[ de alte planuri rezonante.

Cu alte cuvinte planurile rezonante sunt discrete în domeniul Poincare.

Prin defini\ie, exist[ în planul numerelor complexe o dreapt[ real[ care separ[ colec\ia valorilor proprii de zero. S[ consider[m proiec\iile ortogonale ale valorilor proprii pe normala acestei drepte ie]it[ din punctul zero. Aceste proiec\ii sunt toate non inferioare distan\ei dreptei separatoare de zero.

Ori, coeficien\ii m1, ai rela\iei de rezonan\[ sunt negativi. Deci pentru destul de mare proiec\ia lui (m, ) pe normal[ va fi superioar[ celei mai mari proiec\ii a valorii proprii pe normala la dreapta separatoare.

Teorema2. Dac[ valorile proprii ale p[r\ii lineare a unui c`mp v în O sunt con\inute în domeniul Poincaré, atunci chiar în cazul rezonant c`mpul revine la o form[ normal[ polinomial[ printr-o schimbare de variabil[ formal[.

#n virtutea teoremei1, termenii rezonan\i sunt în num[r finit, deci teorema2 decurge din teorema1 ]i din teorema Poincaré-Dulac.

Remarc[. #n domeniul Poincaré rezonan\a nu este posibil[ dec`t în cazul în care una dintre valorile proprii cu coeficien\i non negativi se exprim[ în func\ie de altele f[r[ a \ine cont de aceast[ valoare, adic[ dac[ s=(m, ) atunci ms=0. De fapt, dac[ ms>0 atunci O=(m, )-s are o proiec\ie parazit[ pe normala la dreapta separatoare.

3.3.3. Rezonan\ele în domeniul Siegel.

S[ presupunem acum c[, colec\ia de valori proprii apar]ine domeniului Siegel.

Teorema3. Planurile rezonante sunt peste tot dense în domeniul Siegel.

Punctul 0 este con\inut fie într-un triunghi cu v`rfurile (1,2,3) fie în segmentul (1,2). S[ consider[m în primul caz unghiul cu v`rful 0 constituit prin combina\iile liniare 1 ]i 2 cu coeficien\iireali non negativi.

Multiplii negativi 3 sunt situa\i în acest unghi. s[ împ[r\im acest unghi în paralelograme de v`rfuri cu combina\iile lineare întregi a numerelor 1 ]i 2. Fie d diametrul unui atfel de paralelogram. Num[rul N3 este con\inut într-unul dintre aceste paralelograme pentru orice N natural. El se afl[ deci la o distan\[ d de unul din v`rfuri în a]a fel ca

Aceast[ inegalitate face ca distan\a puctului fa\[ de suprafa\a rezonant[3=m11+m22-(N+1) 3 este d/N. Deci teorema este proat[ dac[ 0 este con\inut în triunghi.

Dac[ 01,2 exist[ întregii p1 ]i p2 at`t de mari cît vrem astfel c[p11+p22d.

Aceasta ne d[ o suprafa\[ rezonant[ la o distan\[ d/p de .

Defini\ie. un punct =(1,…, n)Cn este de tipul (c,v) dac[ pentru orice s .

s-(m, )C/mv

pentru to\i vectorii întregi m cu componente întregi non negative mi,

Teorema4. Ansamblul punctelor care pentru nici un C nu sunt de tipul (c,v) este m[sur[ nul[ cu v>(n-2)/2.

S[ fix[m o sfer[ în Cn ]i s[ estim[m m[sura punctelor sale care nu sunt de tipul (c,v). Inegalitatea din defini\ie define]te o vecin[tate a suprafe\ei rezonante de ol[\ime mai mic[ dec`t C1C/mv+1. Deci m[sura intersec\iei acestei vecin[t[\i ]i sfer[ este C2C2/m2v-2. #nsemn`nd pe m cu mfix se ob\ine mn-1 C3C2/m2v-2.

#nsum`nd pe mdevine C4(v)C2< dac[ v>(n-2)/2. Deci ansamblul punctelor care nu sunt de tipul (C,v) este reconvertit de ansamble de m[sur[ at`t de mici cît vrem

#n cazul real se cere ca v>n-1 în teorema patru.

3.3.4.Teoremele lui Poincaré ]i Siegel.

S[ presupunem acum c[, c`mpul de vectori este definit printr-o serie convergent[, adic[ noi consider[m o ecua\ie diferen\ial[ cu al doilea membru holomorf.

Teorema lui Poincaré. Dac[ valorile proprii ale p[r\ii lineare dintr-un c`mp de vectori olomorf într-un singur punct apar\in domeniului Poincaré ]i nu sunt rezonante, atunci acest c`mp este biolomorf echivalent cu partea sa linear[ într-un singur punct.

Se oate spune c[ seriile Poincaré construite în paragrafele precedente sunt convergente dac[ valorile proprii apar\in domeniului Poincare.

Teorema Siegel. Dac[ valorile proprii ale p[r\ii lineare dintr-un c`mp de vectori olomorf sunt componente ale unui vector de tipul (C,v) într-un singur punct, atunci acest c`mp este biolomorf echivalent în partea sa linear[ cu vecin[tatea acestui punct singular.

Astfel zis, seriile Poincaré sunt convergente pentru aproape toate p[r\ile lineare ale c`mpului în punctul singular.

Remarc[. To\i vectorii non rezonan\i ai domeniului Poincaré sunt vectori de tipul (C,v) cu C >0. Din contr[ sunt peste tot den]i în domeniul Siegel at`t vectorii (C,v) ]i vectorii rezonan\i cît ]i vectorii non rezonan\i care nu sunt de tipul (C,v) pentru nici un C ]i v.

Pentru valorile ultimului tip (compozan\i incomensurabili dar at`t de aproape de comensurabilitate) seriile Poincaré se pot dep[rta între ele în a]a fel înc`t c`mpul poate fi în mod formal echivalent în partea sa linear[ , dar biolomorf non echivalent.

Demonstra\iile teoremelor lui Poincaré ]i Siegel se deduc mediind c`teva simplific[ri ca acelea din teoriile analoage.

3.3.5. Teorema Poincaré-Dulac.

S[ studiem acum cazul valorilor proprii rezonante.

Teorem[. Dac[ valorile proprii ale p[r\ii lineare a unui c`mp de vectori olomorf într-un singur punct apar\in`nd domeniului Poincare, atunci c`mpul este, în vecin[tatea acestui punct singular biolomorf echivalent cu un c`mp de vectori polinomial ale c[rui monoame cu coeficien\i lui unu sunt rezonan\i.

#n al\i termeni, seriile Poincaré sunt convergente dac[ valorile proprii sunt situate în domeniul Poincaré chiar în caz de rezonan\[.

Remarc[. Din contr[ dac[ valorile proprii sunt situate în domeniul Siegel, seriile care conduc la forme normale formale în caz de rezonan\[ sunt adesea divergente. Primul exemplu al genului a fost construit de Euler.

#n exemplul lui Euler

originea coordonatelor este un punct singular de tipul col-nod.

#n ciuda analicit[\ii celui de-al doilea membru separatoarea semi-planului x<0 nu este analitic[ ci numai indefinit diferen\iabil[: .

Bruno a ar[tat numeroase exemple de serii divergente Poincaré (A.Bruno, Forme analitice ale ecua\iilor diferen\iale; în aceast[ lucrare este în egal[ m[sur[ demonstrat[ convergen\a seriilor în c`teva cazuri care nu intr[ în cazul teoremei Siegel).

3.3.6. Caz real ]i non analitic.

Teoremele Poincaré ]i Poincaré-Dulac se generalizeaz[ în cazul real ]i analitic, în cazul c`mpurilor de vectori indefinit diferen\iabile ]i chiar în cazul c`mpurilor diferen\iabile cu num[r destul de mare .

O astfel de generalizare este în mod egal posibil[ în cazul Siegel (valorile proprii apar\in`nd domeniului Siegel).

De notat c[, cazurile justificabile ale acestor teoreme sunt în mod topologic banale. De fapt cazul Poincaré (valorile proprii apar\in domeniului Poincaré) pentru un c`mp real se prezint[ c`nd valorile proprii sunt toate situate fie în semi-planul din dreapta fie în cel din st`nga. #n acest caz (independent de rezonan\e) sistemul este în mod echivalent cu sistemul standard x=-x (sau x=+x) în vecin[tatea unui punct fix în spa\iul real. Toate traiectoriile tind c[tre o pozi\ie asimptotic stabil[ pentru t+ (sau la fel de bine pentru t-).

#n situa\ia teoremei Sigel se poate servii de teorema Grobman-Hartman (sistemul este în mod topologic echivalent cu un col standard). în domeniul real. De fapt, dac[ una cel pu\in din valorile proprii non-nule ale p[r\ii lineare este situat[ pe axa imaginar[; cuplul 1,2=I conduce la rezonan\a 1-2=0. Valoarea proprie zero este întotdeauna rezonant[. Deci, teorema Siegel se aplic[ în caz real numai sistemelor f[r[ valori proprii pe axa imaginar[, ori aceste sisteme sunt local topologic echivalente în partea lor linear[ .

Contrar teoremelor Poincaré ]i Siegel, metoda Poincaré se aplic[ în studiul cazurilor topologic complicate în care valorile proprii sunt situate pe axa imaginar[. Mai exact, aceast[ metod[ este folosit[ pentru normalizarea unui num[r finit de termeni din seria Taylor. Se demonstreaz[ astfel c[ termenii de ordin superior nu schimb[ cu nimic situa\ia. Aceast[ metod[ este foarte util[ în teoria bifurca\iilor .

3.4. Forma normal[ a unei aplica\ii

în vecin[tatea unui punct fix.

Construc\ia unui sistem de coordonate convenabil pentru apica\ia unui spa\iu în el însu]i în vecin[tatea unui punct fix aminte]te de teoria formelor normale ale ecua\iilor diferen\iale în vecin[tatea pozi\iei de echilibru. #n acest paragraf se arat[ cum se formuleaz[ în consecin\[ no\iunile fundamentale ale teoriei formelor normale.

3.4.1. Rezonan\a. Domeniile Poincaré ]i Siegel.

Fie o aplica\ie formal[ F:CnCn definit[ prin seria întreag[ F(x)=Ax-…(1,…,n) valorile proprii ale operatorului linear A.

Se nume]te rezonan\[ rela\ia

, în care

Exemplu. Pentru n=1 sunt rezonante valoarea 0 ]i r[d[cinile oric[rei puteri întregi a unit[\ii, sunt non rezonante celelalte valori .

Defini\ie. O colec\ie de valori proprii apar\in domeniului Poincaré dac[ modulele lor sunt toate mai mici sau toate mai mari dec`t unitatea.

Deci dac[ F este o aplica\ie astfel înc`t valorile proprii ale p[r\ii ei lineare apar\in domeniului Poincaré, atunci vecin[tatea originii coordonatelor sau chiar ea, sau inversul ei este contractant[ dup[ cum este <1 sau >1.

Defini\ie. Complementul domeniului Poincaré este domeniul Siegel. Pentru n=1 domeniul Siegel este cercul unitate =1. Ecua\ia rezonan\ei s=m define]te o hipersuprafa\[ complex[ în spa\iul vectorilor proprii Cn numit suprafa\[ rezonant[. Suprafe\ele rezonante sunt discrete în domeniul Poincaré. punctele rezonante ]i punctele non rezonante sunt peste tot dense în domeniul Siegel.

3.4.2. Liniarizarea formal[.

Studiem înt`i forma normal[ formal[ a punctului fix al unei aplica\ii.

Teorem[. Dac[ colec\ia valorilor proprii a unei aplica\ii F nu este rezonant[ în punctul fix al F, atunci aplica\ia xF(x) se reduce la partea ei linear[ xAx prin schimbarea formal[ a variabilelor x=H(y)=y+…:

FH=HF

Fie H(y)=y+h(y) în care h este un polinom vectorial omogen de gradul r2. Avem

HAH-1(x)=Ax+h(Ax)-Ah(x)+…

în care punctele de suspensie desemneaz[ termenii ordinului mai mare dec`t r. Expresia dintre paranteze este un polinom vectorial omogen de gradul r, depinz`nd în mod linear de h. Operatorul linear

MA:h(x)h(Ax)-Ah(x)

are pe suprafa\a polinoamelor vectoriale omogene valorile m-s ]i vectorii proprii h(x)=xmes. Suntem deci condu]i la ecua\ia omologic[

Mah=v;

pentru a rezolva aceast[ ecua\ie trebuie s[ diviz[m coeficien\ii dezvolt[rii de v prin numerele s=m. deci condi\ia de rezonan\[ se scrie aici s=m. urmarea demonstra\iei teoremei este aceia]i ca cea efectuat[ în paragraful 222 pentru ecua\iile diferen\iale.

3.4.3. Probleme de convergen\[.

Teoremele Poincaré ]i Siegel admit urm[toarele generaliz[ri în cazul în care timpul este discret.

Teorema lui Poincaré. Dac[ valorile proprii ale unui difeomorfizm holomorf într-un punct fix sunt toate inferioare (sau toate superioare) unit[\ii în modul ]i dac[ nu exist[ rezonan\[, atunci aceast[ aplica\ie se transform[ în partea sa linear[ printr-un difeomorfizm biholomorf local vecin[t[\ii punctului fix.

Teorema lui Siegel. Pentru aproape toat[ colec\ia valorilor proprii (în sensul m[surii lui Lebesque) ale p[r\ii lineare a unui difeomorfism biolomorf în punctul s[u fix, acest difeomorfism se transform[ în partea sa linear[ printr-un difeomorfism biolomorf în acest punct.

Mai exact, pentru ca un difeomorfism s[ fie echivalent cu partea sa linear[, este suficient ca valorile proprii s[ verifice inegalit[\ile

pentru to\i s=1,…,n ; . Colec\iile de valori proprii care verific[ aceast[ egalitate se numesc colec\ii de tip multiplicativ (C,v). Ansamblul colec\iilor de valori proprii care nu sunt de tip multiplicativ (C,v) pentru nici un C este de m[sur[ nul[ dac[ v>(n-1)/2.

Teoremele lui Poincaré ]i Siegel se demonstreaz[ practic în acela]i mod ca ]i pentru ecua\iile diferen\iale. de]i teorema lui Siegel este deja cunoscut[ de peste 30 de ani demonstra\ia sa nu pare s[ fi fost dat[ atunci.

3.4.4. Caz rezonant.

Oric[rei rezonan\e s=m îi este asociat un monom vectorial rezonant xmes (în care es este un vector al bazei proprii, ,xk coordonatele bazei proprii.

Teorema Poincaré -Dulac. Aplica\ia formal[ xAx+…, în care matricea operatorului A este diagonal[, se reduce prin schimbarea variabilei formale x=y+… la forma normal[ yAy+w(y) în care seria w este constituit[ numai din monoame rezonante. Dac[ valorile proprii ale p[r\ii lineare ale operatorului A sunt toate inferioare (sau toate superioare) în modulul cu unitatea , atunci aplica\ia olomorf[ xAx+… se reduce printr-o schimbare de variabile biolomorfe la o form[ normal[ polinomial[ compus[ numai din termeni rezonan\i.

#n cazul rezonant metoda Poincaré este în general folosit[ pentu a reduce la forma normal[ un num[r finit de termeni ai seriei Taylor a unei aplica\ii în punctul s[u fix.

Exemplu. Fie o aplica\ie de C1 în C1, de punct fix O, ]i a c[rui valoare proprie este r[d[cin[ n a unit[\ii. Aceast[ aplica\ie se scrie într-un sistem de coordonate convenabil

xx+cxn+1+O().

Pentru =-1 de exemplu, aceast[ aplica\ie devine

x-x+cx3+O().

Aceast[ formul[ permite s[ se studieze stabilitatea punctului fix al unei aplica\ii reale.De fapt, p[tratul acestei aplica\ii este

xx-2cx3+ O().

Deci, dac[ c>0, punctul fix O este stabil.

Prin urmare, primii pa]i ai metodei Poincaré permit s[ se studieze stabilitatea punctului fix în cazul în care aproxima\ia linear[ este îndoielnic[.

3.5. Forma normal[ a unei ecua\ii

cu coeficien\i periodici.

O variant[ a metodei formelor normale Poincaré permite s[ reducem o ecua\ie cu coeficien\i periodici la forma sa simpl[.

3.5.1. Forma normal[ a unei ecua\ii lineare cu coeficien\i periodici.

Fie într-un spa\iu de faze complexe ecua\ia

,

în care operatorul linear complex A(t):CnCn este 2 periodic în t.

Se nume]te operator de monodromie un operator linear M: CnCn asciat cu condi\ia ini\ial[ pentru t=0 valoarea luat[ în punctul t=2 prin solu\ie verific`nd aceast[ condi\ie ini\ial[ (monodromia nu este definit[ numai pentru ecua\iile lineare dar ]i pentru toate ecua\iile cu coeficien\i periodici, în acest caz mai general monodromia este numit[ aplica\ia lui Poincaré).

Teorema lui Floquet. Dac[ operatorul de monodromie este diagonal ]I sunt valorile sale proprii, atunci ecua\ia linear[ ini\ial[ cu coeficien\i periodici se reduce la ecua\ia cu coeficien\i constan\i

în care este un operator diagonal cu valori proprii s, printr-o schimbare de variabile lineare 2 periodice x=B(t)y.

Fie un operator linear asociat cu condi\ia ini\ial[ a ecua\iei ini\iale pentru t=0 la valoare lent[ pe moment t prin solu\ie verific`nd aceast[ condi\ie ini\ial[. S[ desen[m acest operator prin gt: CnCn .

Fie ft: CnCn operatorul analog pentru ecua\ia . Atunci g=f=E, g2=f2=M este operator de monodromie (în virtutea alegerii lui ). S[ presupunem B(t)=gt(ft). Operatorul B(t) define]te schimbare c[utat[.

Remarc[. Pentru a demonstra teorema lui Floquet ne-am servit numai de reprezentarea a operatorului de monodromie. Deci o schimbare de variabil[ periodic[ readuce la o ecua\ie cu coeficien\i constan\i nu numai o ecua\ie complex[ cu operator de monodromie diagonal dar ]i orice ecua\ie pentru care operatorul de monodromie este un logaritm.

Orice operator linear complex non degenerat are un logaritm (este recomandat s[ ne asigur[m scriind matricea operatorului sub forma Jordan).

Corolar1. Orice ecua\ie linear[ complex[ cu coeficien\ii 2-periodici se reduce la o ecua\ie cu coeficien\i constan\i printr-o schimbare de variabile 2-periodic.

Un operator linear nu are întotdeauna logaritm real chiar dac[ determinantul s[u este pozitiv (determinantul unui operator de monodromie este întotdeauna pozitiv). De fapt, s[ consider[m de exemplu un operator linear în planul valorilor proprii(-1,-2). Dac[ acest operator linear este exponen\iala unui alt operator linear, atunci valorile proprii ale acestuia din urm[ sunt complexe dar nu sunt numere conjugate complexe. Deci, operatorul nostru nu posed[ logaritm în plan real.

De altfel, este recomandat s[ se verifice c[ p[tratul unui operator linear real are totdeauna unlogaritm real. De unde

Corolar2. Orice ecua\ie linear[ real[ cu coeficien\i 2-periodici se reduce la o ecua\ie cu coeficien\i constan\i printr-oschimbare a variabilei lineare 4-periodic.

Reducerea complex[ este în general mai comod[ dec`t reducerea real[ cu perioad[ dubl[.

3.5.2. Deducerea ecua\iei omologice.

Fie o ecua\ie linear[ cu coeficien\i constan\i . S[ efectu[m o schimbare de coordonate non linear[ 2-periodic în t

x=y+h(y,t),

în care h este o func\ie vectorial[ (sau o serie formal[ la puterile y) cu coeficien\ii 2-periodici.

Lem[. Dac[ (sau seria h începe cu termeni de grad r), r2, atunci

în care punctele de suspensie desemneaz[ termeni în x de grad >r.

Defini\ie. se nume]te ecua\ie omologic[ ata]at[ ecua\iei cu coeficien\i 2-periodici ecua\ia într-un c`mp de vectori h 2-periodici în t

,

unde v este un c`mp de vectori 2-periodic

.

S[ trat[m cazurile în care h ]i v sunt serii formale cucoeficien\i 2-periodici în t.

3.5.3. Rezolvarea ecua\iei omologice.

S[ presupunem mai înt`i c[ v ]i h sunt serii Taylor-Fourier

Solu\ia formal[ a acestei ecua\ii este

,

unde f sunt valori proprii ale operatorului .

Condi\ia de rezonan\[ este

,

, , ,

.

Dac[ nu este rezonan\[ pentru m, s date atunci seria Fourier ]i derivata sa în raport cu t sunt convergente.

Deci, dac[ nu este rezonan\[, solu\iile ecua\iei omologice apar\in clasei polinoamelor omogene cu coeficien\i 2-periodici în t ]i plec`nd de la clasa seriilor formale întregi cu coeficien\i 2-periodici în t.

Dac[ este rezonant[, ecua\ia omologic[ esteîn mod formal solubil[ în cazul în care seria Taylor-Fourier pentru v nu con\ine termeni rezonan\i adic[ sunt mul\i coeficien\i vm,k,s pentru to\i termenii seriei pentru care este realizat[ condi\ia de rezonan\[ s=ik+(m,).

3.5.4. Forma normal[ formal[.

#n cazul non rezonant , se reduce ecua\ia cu coeficien\i formali 2-periodici dup[ procedura obi]nuit[ a unei ecua\ii lineare cu coeficien\i constan\i printr-o schimbare de variabile av`nd forma unei serii formale pe y cu coeficien\i 2-periodici în t.

#n cazul rezonant aducem ecua\ia la forma

,

unde w este o serie formal[ de puterile lui y cu coeficien\i 2-periodici în t, compus[ numai din termeni rezonan\i (se va remarca c[ to\i termenii rezonan\i de orice ordin fix pe y nu con\in dec`t un num[r armonic Fourier deoarece condi\ia de rezonan\[ s=(m,)+ik define]te k în mod unic).

#n general nu se folose]te practic dec`t normalizarea termenilor de ordin pu\in ridicat.

Exeemplu. Fie o ecua\ie cu coeficien\i 2-periodici. S[ presupunem c[ spa\iul fazelor este de dimensiunea 2 ]i c[ cele dou[ valori proprii ale operatorului de monodromie sunt complexe ]i egale cu unitatea în modul.

#ntr-un sistem de coordonate convenabil ecua\ia complexificat[ linearizat[ se scrie

(se omite scrierea ecua\iei în care este ecua\ia conjugat[). Valorile proprii sunt 1,2=i.

Termenii rezonan\i ai ecua\iei în z se deduc pornind de la condi\ia

.

Dac[ num[rul real este ira\ional, atunci k=0, m1=m2+1. Deci ecua\ia se readuce la forma normal[ formal[ care nu depinde de timp

.

Printr-o schimbare de variabile (non formale) se poate aduce ecua\ia de exemplu la forma

,

unde singurii termeni de ordinul 5 ai micimii în z, desemna\i prin punctele de suspensie, depind 2-periodic de t.

Se va remarca c[ în acest caz orice pas al metodei Poincare se reduce la o mediere pe t ]i arg z ]i c[ ecua\ia ob\inut[ este invariant[ prin transla\iile pe t ]i rota\iile pe z.

3.5.5. Caz de comensurabilitate.

S[ presupunem acum c[ în exemplul precedent num[rul este ra\ional, adic[ =p/q.

#n acest caz, ecua\ia pentru termeni rezonan\i este

k=pr, m1=m2+1-qr.

Pentru a studia forma normal[ este comod s[ consider[m acoperirea cu q straturi a axei temporale. Se va remarca c[, curbele integrale ale p[r\ii lineare din ecua\ia noastr[ constituie o folia\ie Seifert de tipul (p,g). Curbele integrale formeaz[ un fascicul trivial pe înveli]ul cu q straturi noi put`nd deci s[ introducem coordonatele produsului discret. Se va desemna pentru t (mod 2q) coordonata pe un fascicol Coordonata pe baz[, , se deduce plec`nd de la condi\ia

.

#n aceste nota\ii partea linear[ a ecua\iei noastre se scrie =0 ]i forma normal[ devine o serie formal[ care nu depinde de t

unde k-l1mod q.

#n al\i termeni, pe baza înveli]ului cu q straturi se ob\ine o ecua\ie (formal[) invariant[ prin rota\iile unghiului 2/q.

Dac[, în locul unei reduc\ii formale complete se limiteaz[ la normalizarea c`torva din primii termeni ai seriei, se ob\ine pentru o ecua\ie cu reziduri de ordin q+1 2q-periodic[ în t:

#n acest caz, orice pas al metodei Poincare se reduce la o mediere în foliajul Seifert, deci ecua\ia ob\inut[ este invariant[ prin transla\iile pe t ]i rota\iile pe de unghi 2/q .

3.5.6. Discu\ia convergen\ei.

Domeniul Poincare pentru o ecua\ie cu coeficien\i periodici este definit prin condi\ia: toate valorile proprii ale ecua\iei linearizate sunt situate în semiplanul de st`nga Re <0 (sau în cel de dreapta)

#n acest domeniu:

1) planurile rezonante : s=(m,)+ik sunt discrete;

2) forma normal[ în rezonan\[ nu con\ine dec`t un num[r finit de termeni.

3) seriile Poincaré sunt convergente.

Complementul domeniului Poincaré este domeniul Siegel.

#n domeniul Siegel:

1) planurile rezonante formeaz[ un ansamblu peste tot dens;

2) formele normale pot s[ con\in[ o infinitate de termeni;

3) seriile Poincaré pot s[ fie divergente.

Totu]i, pentru aproape toate (în sensul m[surii Lebesque) colec\iile de valori proprii ale operatorului , ecua\ia diferen\ial[ olomorf[ 2-periodic[ în t se reduce în vecin[tatea solu\iei triviale la forma normal[ autonom[ printr-o aplica\ie biolomorf[ 2-periodic[ în t (teorema lui Siegel pentru cazul coeficien\ilor periodici).

3.5.7. Vecin[tatea unei traiectorii închise.

Fie ecua\ia diferen\ial[ autonom[ av`nd o solu\ie periodic[ ]I prin urmare o traiectorie închis[. Tot ce sa spus mai sus asupra vecin[t[\ii solu\iei nule a unei ecua\ii cu coeficien\i periodici este valabil ]I în acest caz.

De fapt, vecin[t[\ii traiectoriei închise I se pot alege coordonatele în a]a fel înc`t c`mpul de direc\ii ce define]te c`mpul de vectori v s[ fie un c`mp de direc\ii a unei ecua\ii cu coeficien\i periodici ]I în plus, dimensiunea spa\iului fazelor se mic]oreaz[ cu o unitate (coordonata care variaz[ de-a lungul traiectoriei va fi numit[ timp).

Remarc[. Dac[ spa\iul fazelor este o varietate, vecin[tatea traiectoriei închise este susceptibil[ s[ nu fie difeomorf[ a produsului direct al unui cerc printr-un disc transversal.

Exemplu. Spa\iul fazelor este banda lui Möbius, traiectoria închis[, cercul s[u axial.#n general , vecin[tatea unui cerc într-o varietate nu va fi produs direct dac[ ]I numai dac[ varietatea nu este orientat[ ]I cercul este drumul s[u dezorientat.

#n acest caz, pentru a trece la o ecua\ie cu coeficien\i periodici trebuie s[ se recurg[ la un înveli] cu dou[ foi a cercului ini\ial.

3.5.8. Leg[tura cu aplica\iile lui Poincaré.

Teoria formelor normale ale ecua\iilor cu coeficien\i periodici ar putea fi dedus[ din teoria formelor normale ale difeomorfismelor vecin[t[\i punctelor lor fixe.

Invers, studiul unui difeomorfism al vecin[t[\ii punctului s[u fix ar putea s[ se reduc[ la cea a unei ecua\ii cu coeficien\i periodici pentru care acest difeomorfism este o aplica\ie Poincaré.

#n cazul unei diferen\iabilit[\i reale finit[ ]I chiar infinit[, construirea unei ecua\ii diferen\iale cu coeficien\i periodici corespunz`nd unei aplica\ii Poincaré dat[ nu prezint[ mari dificult[\i. #n cazul analitic sau olomorf situa\ia este mai complicat[. Aceast[ chestiune echivaleaz[ cu aceea a trivialit[\ii analitice a fasciculelor analitice de deasupra unui inel circular, ipoteza trivialit[\ii topologice. Teoria fasciculelor ]I a variabilelor Stein furnizeaz[ un r[spuns la aceast[ chestiune dar, demonstra\ia nu a fost publicat[.

Noi nu ne extindem asupra acestei teorii cu at`t mai mult cu cît toate rezultatele indispensabile studiului ecua\iilor diferen\iale ]I al difeomorfismelor pot s[ nu fie deduse unele din altele dar ob\inute în mod independent cu ajutorul aceleia]i metode de demonstra\ie.

3.5.9. Cazul coeficien\ilor cvasiperiodici.

Metoda Poincaré admite o generalizare imediat[ în cazul coeficien\ilor cvasiperiodici. Este vorba despre ecua\ia

unde este un punct al unui tor de dimensiune r, un vector constant, :CnCn un operator linear, v un c`mp de vectori a c[rui parte linear[ este nul[ în punctul x=0.

Se inpun componentele vectorului frecven\elor condi\iile ordinare de incomensurabilitate normal[. Condi\iile de rezonan\[ se scriu aici

,

unde k parcurge re\eaua punctelor întregi a unui spa\iu cu r dimensiuni ]I nu verific[ condi\iile obi]nuite , .

Func\ia v este presupus[ analitic[ în x ]I , 2-periodic[ în . Se arat[ c[ sistemul se aduce la forma

, ,

printr-o substitu\ie analitic[x=y+h(y,) 2-periodic[ în .

Punctul slab al acestei teorii este teoria ecua\iilor lineare cu coeficien\i cvasiperiodici: atunci pentru ecua\iile cu coeficien\i periodici s-ar putea s[ devin[ constant[ partea linear[ printr-o transformare linear[ periodic[ convenabil[ a coordonatelor, pentru ecua\iile cu coeficien\i cvasiperiodici independen\i de în raport cu este o restric\ie important[.

3.5.10. Reductibilitatea ecua\iilor lineare cu coeficien\i cvasiperiodici.

Prin ecua\ia linear[ cu coeficien\i cvasiperiodici în\elegem sistemul

,

unde xCn, Tr, este un vector cu componente întregi independente, A() un operator linear în Cn.

Deci, ecua\ia este definit[ prin cuplul (A,), unde A este o func\ie diferen\iabil[ pe torul cu valori opera\ionale (sau matriceale dac[ vrem), un vector pe tor.

Defini\ie. O ecua\ie linear[ cu coeficien\i quasi-periodici este reductibil[ dac[ exist[ o func\ie operatorie pe torul B astfel c[ substitu\ia x=B()y transform[ aceast[ ecua\ie într-o ecua\ie cu coeficien\i constan\i .

Problema de reductibilitate revine deci s[ stabileasc[ dac[ este reductibil[ ecua\ia linear[ generic[. Nu se ]tie nici dac[ exist[ în spa\iul func\ional cupluri analitice (A,) ale domeniilor care nu con\in sisteme reductibile.

Problema reductibilit[\ii ecua\iilor lineare (]I non lineare) cu coeficien\i quasi-periodici se pune mod natural c`nd se studiaz[ vecin[tatea unui tor invariant dintr-o ecua\ie autonom[ care posed[ o solu\ie quasi-periodic[. #n general se caut[ acest tor cu ajutorul aproxim[rilor succesive care, în cazul generic, pot în principiu s[ fie modificate în a]a fel înc`t s[ se ob\in[ simultan torul invariant ]I s[ readuc[ la forma normal[ o ecua\ie cu varia\ii pe acest tor evit`nd astfel problema nerezolvat[ a reductibilit[\ii.