Teoria Matematica a Unor Modele de Dezvoltare Economica
LUCRARE DE LICENȚĂ
Teoria matematică a unor modele de dezvoltare economică
Introducere
([2], [8])
1.1 Scurt istoric al evoluției științei “Cercetare operațională”
Cercetarea operațională sau Teoria managementului este una din disciplinele care au apărut și s-au dezvoltat din a doua jumătate a secolului XX în strânsă legătură cu alte discipline ce țin de domeniul organizării și conducerii cum sunt cibernetica, informatica, analiza sistemelor. ([2])
În concepția “organizării științifice”, resursa umană motivată și responsabilă, acționează conform unor competențe riguros definite, pe baza unor dispoziții stabilite ierarhic.
Reprezentanții principali ai începuturilor organizării științifice, care formează așa-numita ”școală clasică”, sunt cei care au stabilit pentru prima data, un ansamblu de principii ale conducerii științifice. Dintre cele mai cunoscute de specialiști, exemplificăm: principiul exceptiei, care este unul dintre cele mai cunoscute, principiul specializării organizaționale, , principiul organizării ierarhice, principiul definirii riguroase a sarcinilor (Staff and Line) ș.a.(Fig. 1.1) ([2])
Fig. 1.1. Exemple ale conducerii științifice
Principiul specializării organizaționale se referă la faptul că fiecare angajat ar trebui limitat la o singură funcție majoră sau la o singură activitate. ([2])
Cu toată viziunea sa limitată, școala clasică are un mare merit și anume cel al aprofundării unui domeniu necercetat încă. Inițiatorii organizării științifice (Taylor, Gantt, Fayol) precum și ceilalți reprezentanți ai școlii clasice pun pentru întâia oară problema abordării rationale a mecanismului funcționării unei organizații. ([2])
Problemele informațional-decizionale își fac simțită prezența din ce în ce mai mult în perioada imediat următoare după apariția și dezvoltarea școlii clasice,. Pe măsură ce organizațiile social-economice sunt mai mari și mai complexe, ele își caută rezolvări care se bazează exclusiv pe experientă și pe simțuri, nu neapărat la nivelul necesităților. ([2])
După primul război mondial, au putut fi observate diferențe considerabile, din punctul de vedere al concurenței între unități economice cu structuri organizatorice si echipamente tehnice identice sau asemănătoare. Crește destul de mult ansamblul de probleme ale organizării și conducerii și încep să circule din ce în ce mai mult denumirile de management și management science sau știința conducerii. ([2])
Aceeași perioadă este dominată de “școala comportamentului”, care are ca scop observația amănunțită a comportamentului oamenilor în timpul procesului productiv și găsirea motivațiilor care creează strânsa legătură a grupurilor. ([2])
Pornind cu deceniul al cincilea al secolului XX, are loc un fenomen care avansează informația și decizia în jurul elementelor esențiale ale epocii în care ne aflăm. La acest lucru își are contribuția, în primul rând, creșterea foarte mare a complexității structurale și funcționale, a organizațiilor economice. ([2])
Din punct de vedere al proceselor de decizie, pentru prima data se pune în mod strict și pe o scara mai mare problema găsirii unor soluții optime sau cel puțin apropiate de cele optime, din mulțimea de probleme organizatorice și de conducere. Se poate observa că toate aceste schimbări nu au făcut decât să ducă la o varitabilă revoluție informațional-decizională în domeniul organizării și conducerii și într-un final, la apariția managementului științific modern. ([2])
Principalele discipline cu privire la conducere, care au apărut în această etapă sunt: cercetarea operațională, cibernetica, informatica, psihosociologia organizării și teoria generală a sistemelor.
Cercetarea operațională, a apărut în perioada celui de-al doilea razboi mondial și poate fi definită succinct ca disciplină a optimizării deciziilor cu ajutorul modelării matematice. Ea este considerată de unii sub numele de “școala matematică” în disciplinele organizării și conducerii, fiind caracteriată în primul rând prin procesul de elaborare a modelelor care descriu procesele economice pentru care urmează a se lua decizii din ce în ce mai avantajoase. ([2])
Cibernetica este știința care se ocupă cu conducerea și stabilirea sistemelor complexe. Pentru analiza comportamentului sistemelor, s-a propus, conceptul de “cutie neagră”, care reprezintă sistemul privit ca un ansamblu, nefăcându-se referire la procesele sale interne. Cutia neagră primește semnale din mediul inconjurător și, prelucrând aceste semnale, le transformă în acțiuni asupra mediului din sistem. ([2])
Informatica este disciplina prelucrării datelor cu ajutorul echipamentelor automate de prelucrare. Principalele probleme care fac parte din domeniul informaticii, sunt: culegerea și pregătirea datelor, codificarea datelor, transmiterea datelor, prelucrarea pe echipamente, stocarea și conservarea lor. ([2])
Fig. 1.2. Principalele probleme ale informaticii
Psihosociologia organizării a apărut în jurul anului 1950 ca o nouă viziune în disciplinele de conducere. Mulți reprezentanți ai “școlii psihosociologice”, precum St. March și F. Simon tratează problema influenței factorilor sociologici și psihologici în compartimentul decizional. În această școală, deciziile nu se iau ținând cont de criterii rationale, ci de felul în care se percep stimulii, lucru care depinde de poziția decidentului și de relațiile cu ceilalți membri ai grupului. Într-o altă ordine de idei, oamenii sunt cei de care depinde funcționarea eficientă a sistemului în organizarea și conducerea organismelor economice. Din aceast motiv, reacțiile individuale trebuie studiate cu atenție, de asemenea și relațiile dintre indivizii din sistem. ([2])
Teoria generală a sistemelor (TGS), are o legătură strânsă de cibernetică și vine cu o nouă idee și anume să aibă o perspectivă care să sintetizeze ideile viabile ale diferitelor orientări în științele organizării și conducerii. Ideile si procedeele TGS sunt impresionante prin complexitatea lor și sunt în curs de sedimentare metodologică și experimentare practică. ([2])
1.2 Structura lucrării
Lucrarea de licență numită “Teoria matematică a unor probleme de dezvoltare economică” cuprinde 5 capitole.
În primul capitol am inclus și am dezbătut aspecte despre istoria disciplinei “Cercetare operațională”, despre disciplinele cu privire la conducere care au apărut o dată cu aceasta. Materialele bibliografice utilizate la acest capitol sunt [2] și [8].
Al doilea capitol cuprinde elemente despre : programarea liniară, algoritmul Simplex, câteva exemple de probleme liniare, programarea neliniară, metode de rezolvare a problemelor neliniare și probleme de programare dinamică. Pentru acest capitol am folosit materialele bibliografice [2], [6] și [9].
În al treilea capitol am inclus elemente despre: creșterea economică și factorii creșterii economice, tipuri, forme, teorii și modele de creștere economică. Pentru a putea realiza acest capitol am folosit materialul bibliografic [10].
Al patrulea capitol este alcătuit din elemente cu privire la: ciclicitatea activităților economice, tipurile ciclurilor economice, cauze ale fluctuațiilor activităților economice și câteva modele matematice cu aplicații în economie. Materialele bibliografice utilizate pentru realizarea acestui capitol sunt [1], [4] și [10].
Capitolul al cincilea se constituie ca o completare a capitolului patru și am prezentat mai pe larg aspecte privind teoria și modelul Harrod-Domar, teoria “creșterii zero” și teoria “creșterii organice”. Pentru realizarea acestui capitol, am utilizat materialul bibliografic [5].
Finalul lucrării cuprinde lista materialelor bibliografice consultate în vederea realizării prezentei lucrări de licență.
Optimizare matematică
([2], [6], [9])
Optimizare liniară
Denumirea de programare liniară a fost folosită prima dată de George Dantzig în anii 1945 și nu se referă la programarea calculatoarelor, ci vine de la folosirea cuvântului program de către armata din S.U.A. pentru a face referire la orarul de pregătire si logistică. ([2])
Ulterior, termenul de “programare” a devenit foarte important, fiind asociat cu ariile de înaltă tehnologie, primind chiar fonduri guvernamentale. În mare parte, scopul principal pe care-l urmărește programarea liniară, ca de altfel și toate problemele de optimizare matematică, constă în determinarea soluției optime pe baza unui model matematic ce conține una sau mai multe restricții. ([2])
Programarea liniară este una dintre cele mai răspândite metode de rezolvare a unor probleme economice, inginerești etc, datorită modului simplu cu care aparatul matematic este folosit în modelare și rezolvare. Pe de altă parte, programarea liniară este foarte ușor accesibilă atât pentru reprezentarea matematică cât și pentru analiza fenomenelor economice, inginerești, etc. ([2])
Pentru reprezentarea unui sistem economic este folosit modelul matematic de programare liniară constituit dintr-un ansamblu de relații liniare. Dintre aceste relații, una reflectă obiectivul urmărit, iar celelalte cuprind restricțiile economice sau tehnologice. ([2])
Fig. 2.1. Relații liniare
Pentru a putea întelege mai bine modelul matematic al unei probleme de programare liniară, vom analiza mai întâi un exemplu simplu.([2])
O întreprindere dispune de două resurse R1 și R2 în cantitățile b1=40 unități și respectiv b2=60 unități. Din aceste resurse se fabrică două produse P1 și P2 care aduc întreprinderii beneficiile unitare c1=10 unități monetare și respectiv c2=15 unități montare. ([2])
Coeficienții de consum specific sunt dați în tabelul 2.1. :
Tabelul 2.1. Coeficienți de consum([2])
Scopul întreprinderii este acela de a stabili ce cantități va fabrica din fiecare produs în așa fel încât beneficiul realizat sa fie maxim. Pentru a găsi modelul matematic al problemei de mai sus, notăm cu x1 numărul de unități din produsul P1 și cu x2 numărul de unități din produsul P2 care vor fi fabricate pe baza resurselor existente. Beneficiul total, corespunzător nivelelor x1 și x2 ale producției, se exprimă prin funcția: ([2])
Z(x1, x2)= 10×1 + 15×2 . (2.1.1)
Deoarece pentru o unitate din produsul P1 se consumă 2 unități din resursa R, iar pentru o unitate din produsul P2, 4 unități, suntem nevoiți să introducem următoarea restricție impusă de limitarea resursei R1: ([2])
2×1 + 4×2 ≤ 40. (2.1.2)
Aceeași metodă o aplicăm și pentru resursa R2 și obținem restricția:
6×1 + 2×2 ≤ 60 (2.1.3)
iar din natura economică rezultă că x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 ( nu are sens fabricarea unei cantități negative). ([2])
Așadar, modelul matematic al problemei considerate este:
maxim [Z(x1, x2)] = 10×1 + 15x (2.1.4)
2×1 + 4×2 ≤ 40
6×1 + 2×2 ≤ 60
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Observăm imediat faptul că în modelul matematic al problemei precedente, atât funcția obiectiv cât si restricțiile sunt funcții liniare de necunoscutele x1 și x2 .
Ne dăm seama că este util pentru noi, ca inainte de a analiza diversele forme sub care se prezintă o problemă de programare liniară, să construim modelul corespunzător unor probleme economice concrete. ([2])
Exemplul 2.1. Repartizarea sarcinilor de producție între întreprinderi în cazul unui singur produs. Un număr de m întreprinderi care farbrică același produs trebuie să aprovizioneze n beneficiari. În tabelul 2.2 sunt sunt trecute cantitățile ai (1 ≤ i ≤ m) realizate de cele m întreprinderi, cantitățile bj (1 ≤ j ≤ n) de care au nevoie cei n beneficiari, costul transportului unei cantități de produs de la întreprinderea Ai, (1 ≤ i ≤ m) la beneficiarul Bj, (1 ≤ j ≤ n) pe care l-am notat cu ci,j, precum și costul de producție pi al unei unități din produsul întreprinderii Ai. ([2])
Tabelul 2.2. Modelul unei probleme economice concrete([2])
Se cere să se determine repartiția optimă a sarcinilor de producție pe întreprinderi astfel încât cheltuielile de transport și costul de producție pentru întreaga cantitate fabricate și transportată să fie minim.
Vom nota cu xi, cantitatea din producția întreprinderii Ai, care urmează a fi livrată beneficiarului Bj (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n).
De aici avem relațiile :
x11 + x12 + . . . . + x1n = a1
x21 + x22 + . . . . + x2n = a2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xm1 + xm2 + . . . . xmn = am (2.1.5)
exprimă faptul că suma cantităților livrate celor n beneficiari de către producătorul Ai trebuie să fie egală cu cantitatea produsă la această întreprindere (1 ≤ i ≤ m). ([2])
Acum vom ține seama de faptul că fiecare beneficiar trebuie să primească de la cei m producători o cantitate egală cu necesarul său, rezultă că trebuie să fie satisfăcute și relațiile:
x11 + x12 + . . . . + xm1 = b1
x21 + x22 + . . . . + xm2 = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x1n + x2n + . . . . xmn = bm (2.1.6)
Natura problemei impune evident că toate cantitățile xij sunt nenegative:
xij ≥ 0 (1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n). (2.1.7)
Problema care trebuie rezolvată cere să se determine cantitățile xij care satisfac condițiile scrise mai sus astfel încât cheltuielile totale să fie minime, adică funcția :
Z(x11, x12, …, x1n, x21,…,x2n,…, xm1, xm2,…,xmn)=
=(p1 + c11)x11 + (p1 + c12)x12 + … + (pm + cm1)xm1 + … + (pm + cmn)xmn (2.1.8)
să ia valoarea minimă. ([2])
Așadar, modelul matematic este format din:
1) funcția de minimizat
Z(x11, x12, … , xm1,… ,xmn) = (2.1.9)
2) restricțiile :
(2.1.10)
(2.1.11)
3) condiția de nenegativitate a variabilelor
(2.1.12)
Exemplul 2.2. O cooperativă agricolă de producție dispune de ai tone îngrășăminte de tipul Ii (1 ≤ i ≤ m), de b unități forță de muncă și c hectare de pământ. ([2])
Tabelul 2.3. Cooperativă agricolă de producție([2])
Sectorul legumicol al acestei cooperative, în care se cultivă n tipuri de legume, dispune de cel mult ai tone îngrășăminte de tipul Ii, cel puțin b unități de forță de muncă și cel puțin ū hectare de pământ. În tabelul 2.3 sunt trecute consumurile de îngrășăminte, forță de muncă și costul de producție la hectar pj pentru fiecare tip de legume j. ([2])
Se cere să se stabilească structura optimă a culturilor de legume astfel încât costurile totale de producție să fie minime. Mai întâi construim modelul matematic, pe baza datelor din problemă. ([2])
Vom nota cu xj suprafața cultivate cu legume de tipul Lj (1 ≤ j ≤ n). Deci, dacă aij reprezintă numărul de unități din îngrășământul Ii necesar unui hectar din cultura Lj, atunci vom avea urmatoarele restricții:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2.1.13)
Forța de muncă utilizată pentru cultivarea celor n tipuri de legume trebuie să fie cel puțin de ḇ unități, dar în niciun caz nu trebuie să depășească disponibilul de b unități al cooperative. În concluzie, trebuie satisfăcute relațiile:
(2.1.14)
Restricțiile referitoare la suprafața cultivată trebuie sa țină seama de suprafața planificată pentru legume, care trebuie să fie de cel putin ū hectare, dar să nu depășească disponibilul cooperativei de u hectare. ([2])
(2.1.15)
Cantitățiile trebuie determinate pentru a fi satisfăcute restricțiile indicate și în același timp să minimizeze costul total al producției si anume funcția : ([2])
Z( (2.1.16)
Rezultă următorul model matematic care este format din:
1)funcția obiectiv(care trebuie minimizată)
(2.1.17)
2) restricțiile problemei
(2.1.18)
3)condiția de nenegativitate a variabilelor
(2.1.19)
2.1.1. Forme de prezentare a modelului matematic
Studiul si interpretarea soluțiilor unei probleme de programare liniară prezintă un deosebit interes pentru formele canonice si forma standard. În acest sens, vom prezenta câteva noțiuni. ([2])
Definiția 1. O problemă de programare liniară este data sub forma standard dacă toate restricțiile sunt ecuații sau inegalități, iar tuturor variabilelor li se impun condiții de nenegativitate. ([2])
Pentru început am definit forma standard a unei probleme de programare liniară, deoarece orice astfel de problemă, pentru a fi rezolvată cu ajutorul algoritmului simplex, trebuie adusă mai întâi la forma standard. ([2])
Astfel problema:
(2.1.20)
este o problemă de programare liniară dată sub forma standard. Dacă introducem notațiile: ([2])
(2.1.21)
atunci problema considerate poate fi scrisă sub forma matriceală astfel:
(2.1.22)
(2.1.23)
Generalizând, vom observa că modelul matematic al unei probleme de programare liniară, dată sub forma standard, este următorul: ([2])
(2.1.24)
unde A este o matrice cu m linii și n coloane pe care o vom numi matricea coeficienților tehnologici, X este un vector coloană cu n componente sau vectorul activităților, b un vector coloană cu m componente pe care-l vom numi vectorul “resurselor”, iar C un vector coloană cu n component sau vectorul “costurilor”. Prin C’X am notat produsul scalar al vectorilor C’ și X. ([2])
(2.1.25)
Definiția 2. Spunem că o problemă de programare liniară este dată sub forma canonică dacă toate restricțiile sunt inegalități de același sens, iar tuturor variabilelor li se impun condiții de nenegativitate. În cazul în care sensul restricțiilor este “”, atunci funcția obiectiv trebuie minimizată, iar in caz contrat, funcția trebuie maximizată. În ambele cazuri, restricțiile acestor probleme se numesc concordanțe. ([2])
Definiția de mai sus poate fi exprimată printr-o formă mai concisă, iar în acest fel obținem forma I sau II a unei probleme de programare liniară, astfel: ([2])
(2.1.26)
Trebuie specificat că în aplicațiile practice apar foarte des situații în care modelul conține în același timp restricții de toate tipurile. Pentru problemele la care se cere maximizarea funcției obiectiv, restricțiile de forma “” sunt nepotrivite, iar pentru problemele la care se cere minimizarea funcției obiectiv, sunt nepotrivite restricțiile de tipul “”. În concluzie, orice problemă de programare liniară se poate aduce la forma standard sau canonică cu ajutorul unor transformări elementare efectuate asupra variabilelor sau/și restricțiilor, dar și a operatorului aplicat funcției obiectiv. Aceste transformări pot fi: ([2])
Transformarea operatorului maxim in minim (sau invers) se bazează pe egalitatea:
(2.1.27)
este adevărată pentru orice mulțime X și orice funcție reală definită pe X. În particular:
(2.1.28)
b) Transformarea sensului unei inegalități se realizează prin înmulțirea ei cu
c) O variabilă x, căruia nu i se impune restricție de semn, se înlocuiește prin diferența a două variabile nenegative:
(2.1.29)
d) Ecuațiile se transformă în inecuații pe baza faptului că este echivalentă cu următoarele inecuații de sens contrar:
(2.1.30)
e) Inecuațiile se transformă în ecuații ținând seama de faptul că inecuația poate fi scrisă ca o ecuație introducând variabilele ecart ( sau variabile de compensare) Analog, o inecuație de forma , prin scăderea variabilei ecart , se va transforma în ecuația . De asemenea, trebuie menționat faptul că variabilele ecart nu apar în funcția obiectiv sau mai bine spus ele apar în funcția obiectiv cu coeficienții =0 (coeficienții corespunzători variabilelor ecart). ([2])
Transformările menționate mai sus ne dau posibilitatea să obținem forma standard sau canonică corespunzătoare oricărei probleme de programare liniară. Importanța utilizării acestor transformări nu constă numai în stabilirea echivalenței amintite mai sus. Ele vor apărea mai concret atunci când se va pune problema utilizării algoritmului simplex pentru rezolvarea unei probleme sau când se vor considera probleme duale ale problemelor de programare liniară. ([2])
2.1.2. Teoreme fundamentale
Teorema 1. Dacă problema de programare liniară
(2.1.31)
admite o soluție admisibilă, atunci ea are cel puțin o soluție de bază. ([2])
Demonstrație: Fie un vector care satisfice restricțiile , fără a satisface , numit soluție neadmisibilă sau program. Acesta este programul problemei de programare considerate unde am pus componentele pozitive, pe primele locuri în vectorul
Dacă demostrația este încheiată deoarece este prin definiție o soluție de bază. ([2])
Fie deci . În acest caz avem două posibilități:
1.1. Vectorii (vectorii coloană din matricea A corespunzători componentelor pozitive ) sunt liniar independenți. În acest caz, X este o soluție de baza. Putem preciza acum și baza B corespunzătoare acestei soluții. Dacă atunci este evidentă baza , dar dacă atunci datorită faptului că s-a presupus rang , există vectorii liniar independenți care împreună cu vectorii formează o bază. Prin urmare, în acest caz, baza asociată soluției de bază considerate, nu este unică. ([2])
1.2. Vectorii sunt liniar independenți, ceea ce înseamnă că există un vector , pentru care . ([2])
Putem presupune că cel puțin o componentă ( sau în caz contrar raționăm cu vectorul . În acest caz putem scrie:
(2.1.32)
și deci va fi o soluție a problemei de programare liniară considerate, dacă este ales în așa fel încât :
(2.1.33)
obținem soluția care are cel mult componente strict pozitive. ([2])
În cazul în care coloanele corespunzătoare acestor componente sunt liniar independente, atunci am obținut o soluție de bază, iar dacă sunt liniar dependente, atunci reluăm raționamentul făcut la acest caz.
După un număr finit de pași se ajunge la cazul (1.1), deci se obține o soluție de bază. Cu aceasta, teorema este demonstrată. ([2])
Teorema 2. Dacă problema de programare liniară
(2.1.34)
admite o soluție optimă atunci are o soluție de bază optimă. ([2])
Demonstrație: Fie o soluție optima ( unde se presupune ca și până acum că primele component sunt strict positive.
Dacă demostrația s-a încheiat.
Dacă avem două situații:
2.1) Vectorii sunt liniar independenți, deci este soluție de bază optimă.
2.2) Vectorii sunt liniar dependenți, rezultă că există în așa fel încât: ([2])
(2.1.35)
și deci există soluția pentru convenabil ales, adică pentru unde
(2.1.36)
(2.1.37)
Din faptul că este o soluție optimă si este soluție, avem că deoarece în caz contrar alegând pe de semn contrar valorii vom avea: ([2])
(2.1.38)
ceea ce ar contrazice faptul că este program optim.Prin urmare adică este soluție optimă. ([2])
Putem alege acum pe sau în așa fel încât soluția optimă să aibă cel mul componente strict pozitive.
Dacă cei vectori sunt liniar independenți, atunci teorema este demonstrată, iar dacă sunt liniar dependenți, se repetă raționamentul făcut. După un număr finit de pași, se ajunge la cazul (2.1) de unde rezultă că am obținut o soluție de bază optimă. ([2])
Teorema 3.Mulțimea soluțiilor admisibile ale problemei de programare liniară este o mulțime convexă. ([2])
Demonstrație: Pentru a ne face o idee, vom presupune că problema este dată sub forma standard. Analog se procedează dacă problema este dată sub forma canonică. ([2])
(2.1.39)
Mulțimea soluțiilor admisibile este:
(2.1.40)
Fie două astfel de soluții. Atunci pentru și în plus
(2.1.41)
ceea ce dovedește afirmația. ([2])
Teorema 4.Funcția obiectiv a unei probleme de programare liniară ia valoarea optimă într-un punct extremal al mulțimii convexe D a tuturor soluțiilor admisibile ale problemei. ([2])
Demonstrație: Presupunem, pentru început,că se cere minimizată funcția obiectiv și vom nota cu mulțimea punctelor extremale ale lui D. Fie un punct extremal(sau unul dintre ele în cazul în care sunt mai multe) pentru care:
(2.1.42)
Presupunem că nu este adevărat, rezultă că există
astfel încât
(2.1.43)
Observăm că nu este extremal, rezultă că se poate exprima în modul următor:
(2.1.44)
Dar
(2.1.45)
ceea ce constituie o contradicție. Rezultă că este o soluție minimală. ([2])
Definitie. Spunem ca X este o combinație liniară convexă de punctele extremale dacă există astefel încât ([2])
Consecință. Dacă funcția obiectiv ia aceeași valoare optimă în mai multe puncte extremale, atunci orice combinație liniară conevexă a acestora este soluție optimă a problemei de programare liniară. ([2])
Demonstrație. Fie puncte extremale pentru care:
(2.1.46)
și fie combinația liniară convexă ([1])
Obervăm că X este soluție admisibilă, rezultă că funcția obiectiv are valoarea
(2.1.47)
2.1.3. Interpretarea geometrică a problemelor de programare liniară
Pentru a înțelege atât teoremele prezentate mai sus cât și tehnicile de rezolvare a unei probleme de programare liniară, vom analiza interpretarea geometrică în spațiul activităților . Dacă , datele problemei pot fi reprezentate grafic în plan. Modelul matematic atașat problemei date în tabelul 2.1 are forma: ([2])
(2.1.48)
în condițiile
2 + 4 40.
6 + 2 60,
≥ 0 , 0 (2.1.49)
Ecuația 2 + 4 40 definește o dreaptă pe care o vom nota cu Această dreaptă împarte planul în două semiplane: și Pentru a afla soluția optimă a problemei analizate, ne interesează doar punctele din semiplanul . Analog se interpretează a doua restricție. Reprezentăm cele două drepte (și într-un sistem de axe carteziene și luăm în considerație condițiile de nenegativitate ≥ 0 și 0, dar și intersecția semiplanelor considerate. Astfel vom obține poliedrul convex din figura 2.2. ([2])
Fig. 2.2. Poliedru convex ([2])
2.1.4 Algoritmul Simplex
O posibilitate de rezolvare a problemelor de programare liniară constă în determinarea tuturor bazelor B din matricea A. Din mulțimea soluțiilor de bază, reținem submulțimea soluțiilor pentru care , adică submulțimea soluțiilor posibile de bază. Dintre aceste soluții vom alege pe aceea sau pe acelea care minimizează (sau maximizează) funcția obiectiv. Acest procedeu poate fi aplicativ, dar din punct de vedere practic este cu totul ineficient deoarece chiar și în cazul unor probleme de programare liniară de dimensiuni mici este necesar să se investigheze un număr de baze. Uneori aceste calcule sunt inutile sau, când optimul este infinit, numai considerarea soluțiilor de bază nu pune în evidență această situație. ([2])
Pentru a înlătura acest neajuns, se folosește o metodă de explorare sistematică și eficientă a soluțiilor de bază, metodă care poartă numele de algoritmul simplex. ([2])
Algoritmul simplex ne face posibilă trecerea de la o soluție de bază la alta, în așa fel încât valoarea funcției obiectiv să scadă, atunci când se minimizează funcțiv obiectiv și respectiv să crească atunci când funcția obiectiv se maximizează. De asemenea, oferă criterii pe baza cărora putem decide dacă problema de programare liniară nu are soluție optimă sau are optim infinit. ([2])
Astfel, pentru prezentarea algoritmului simplex, vom utiliza forma standard a unei probleme de programare liniară, și anume: ([2])
(2.1.50)
Presupunem ca , deci este o bază. Rezultă că sistemul se poate scrie astfel: ([2])
(2.1.51)
Introducem notațiile și . Știind că reprezintă coloana din matricea corespunzătoare variabilelor secundare unde este mulțimea , rezultă că egalitatea de mai sus devine: ([2])
(2.1.52)
sau
(2.1.53)
unde .
Problema acum este să putem exprima funcția obiectiv cu ajutorul variabilelor secundare . Pentru început pornim de la expresia funcției obiectiv și facem înlocuirile succesive pe baza notațiilor de mai sus: ([2])
(2.1.54)
Folosind notațiile:
(2.1.55)
și
(2.1.56)
vom obține:
(2.1.57)
În continuare vom folosi pentru funcția obiectiv operatorul “minim” urmând sa specificăm ce se intâmplă când trecem la maxim. Pentru a pune în evidență algoritmul simplex, vom analiza unele propoziții, constituind fundamentele algoritmului de calcul a soluției optime. ([2])
Propoziția 1. Dacă pentru orice , atunci soluția admisibilă corespunzătoare bazei este optimă. ([2])
Demonstratie: Vom nota cu valoarea funcției obiectiv corespunzătoare acestei soluții admisibile de bază. Din faptul că rezultă , iar dacă notăm cu valoarea corespunzătoare a funcției obiectiv, vom obține ceea ce justifică afirmația. ([2])
Propoziția 2. Dacă există în așa fel încât atunci soluția admisibilă asociatăbazei nu este optimă, dar poate fi îmbunătățită dacă ia valori pozitive. ([2])
Demostrație: Dacă valoarea variabilei secundare crește până la valoarea , obținem o nouă soluție cu valoarea funcției obiectiv:
(2.1.58)
adică o soluție mai bună, mai exact dă funcției obiectiv o valoare mai mică. ([2])
Ceea ce vom obține în continuare nu este o soluție de bază deoarece are componente strict pozitive și . Dacă crește se poate ca să nu mai rămânem în tronsonul soluțiilor. Ne vom pune întrebarea cât de mult poate să crească pentru a ramâne totuși în tronsonul soluțiilor. Constatăm imediat că odată cu creșterea lui se modifică și valorile variabilelor de bază în conformitate cu relația [vezi 2.1.53]:
(2.1.59)
Propoziția 3. Dacă există în așa fel încât și pentru toți atunci problema are un optim infinit (exprimat în baza B). ([2])
Demostrație: Dacă toți atunci din relația (2.1.59) observăm că variabila poate să crească oricât de mult fără ca vreuna din variabilele de bază să devină negativă. Sau în acest caz, funcția obiectiv: ([2])
(2.1.60)
deci funcția obiectiv tinde către de-a lungul razei. ([2])
(2.1.61)
Exemplul 2.3. Să se determine soluția optimă pentru următoarea problemă de programare liniară: ([2])
(2.1.62)
Avem condițiile:
(2.1.63)
Tabelul simplex inițial are următoarea formă:
Tabelul 2.4. Tabelul simplex inițial([2 ])
Deoarece există diferențe înseamnă că soluția nu este optimă. Observăm că deci va intra în noua bază vectorul Pentru a vedea care vector iese din bază aflăm : ([2])
(2.1.64)
Minimul nu este unic determinat, ci se realizează după mulțimea de indici Aplicăm tehnica de perturbare și obținem: ([2])
(2.1.65)
De asemenea, nici acest minim nu este unic determinat, ci se realizează după mulțimea de indici . ([2])
Calculăm:
(2.1.66)
care la noi este:
(2.1.67)
Deci , adică iese din bază vectorul locul lui fiind luat de . ([2])
2.2. Optimizare neliniară
2.2.1. Introducere
Multe aplicații practice, atât din domeniul energetic, cât și din domeniul economic duc la probleme de optimizare care nu se încadrează nici în categoria problemelor de programare liniară, nici în categoria problemelor de programare dinamică. Din această cauză, problemele includ funcții neliniare denumite si funcții obiectiv sau restricții neavând un caracter de proces secvențial de decizie. ([6])
Soluțiile acestor probleme nu se vor putea obține aplicând algoritmul simplex sau algoritmul programării dinamice. Știind că o parte din restricții sunt funcții neliniare, domeniul soluțiilor admisibile se schimbă și anume el nu mai este un poliedru convex în ,adică nu mai are un număr finit de vârfuri care să fie parcurse succesiv până la găsirea soluției optime. În cazul în care toate restricțiile sunt funcții liniare, iar funcția obiectiv este neliniară, soluția optimă nu mai este neapărat unul din vârfurile simplexului, ci o putem găsi și pe una din fețele acestuia. ([6])
Pentru a putea rezolva problemele de programare neliniară, trebuie să facem distincția între extremele locale si extremul global, folosind numai informații locale, lucru care ne este imposibil. Din această cauză, considerăm o problemă de minimizare cu o singură variabilă, funcția criteriu putând avea, pe domeniul soluțiilor admisibile, mai multe valori minime. ([6])
Fig. 2.3. Puncte de minim pentru o funcție [( 6)]
A-punct de minim local simplu
B-punct de minim global
C-minim local multiplu
O altă problemă o constituie găsirea unei condiții de extreme în cazul în care soluția problemei se află pe frontiera drumului soluțiilor admisibile. ([6])
Dacă în figura de mai sus considerăm că restricțiile problemei duc la un domeniu al soluțiilor admisibile sub forma intervalului [xmin,xmax] rezultă că soluția optimă este xmin. Deoarece derivata de ordinul întâi este nenulă, nu sunt verficate condițiile precizate anterior în punctul de minim (xmin , f(xmin)). De aceea, este posibil ca soluția optimă a problemei de programare neliniară să nu se mai afle pe frontiera domeniului soluțiilor admisibile, ci în interiorul acesteia. ([6])
Din cauza dificultăților nu a fost găsită încă o metodă eficientă de rezolvare a problemelor de programare neliniară sub forma cea mai generală, adică fără a se pune condiții suplimentare funcției obiectiv sau restricțiilor problemei. ([6])
În programarea neliniară putem pune în evidență urmatoarele clase de probleme: ([6])
Probleme de optimizare fără restricții cu următoarea formă generală:
Se cere să se determine care minimizează valoarea funcției
(2.2.1)
în care minimul ei este luat după toți în care funcția este definită.
Probleme de optimizare cu funcția obiectiv neliniară și restricții liniare. Această clasă are o subclasă importantă numită probleme de programare patratică, în care funcția obiectiv este un polinom de gradul doi:
(2.2.2)
Problemele de programare liniară sunt importante din cauza faptului că:
Modelează cu o foarte mare grijă multe situații practice;
Se rezolvă prin metode derivate din metoda simplex într-un număr finit de pași;
Multe probleme cu restricții liniare si funcție obiectiv neliniară se rezolvă prin deducere la rezolvarea unei secvențe de probleme de programare liniară în care funcțiile obiectiv aproximează din ce în ce mai bine obiectivul neliniar original. ([6])
Probleme de programare separabile, când funcția obiectiv și restricțiile sunt sume de funcții, fiecare depinzând de câte o variabilă:
(2.2.3)
Pentru ușurarea optimizării, separabilitatea are un rol foarte important. De exemplu, la funcțiile separabile fără restricții optimizarea se reduce la optimizarea independentă a termenilor. ([6])
Probleme de programare convexă caracterizate prin:
Funcție obiectiv convexă respectiv concavă, dacă aceasta se minimizează respectiv maximizează;
Restricțiile inegalități au forma în care este o funcție convexă respective cu funcție concavă;
Posibilele restricții egalități sunt liniare, sarcină care este motivată prin faptul că funcțiile liniare sunt singurele funcții convexe și concave în același timp. ([6])
Proprietăți fundamentale ale problemelor convexe:
Mulțimea soluțiilor admisibile este convexă;
Funcția obiectiv admite cel mult un optim local (minim sau maxim). Acesta va fi în mod automat un optim global și va lua valoarea optimului problemei;
În cazul în care optimul liber sau nerestricționat al funcției obiectiv nu este o soluție admisibilă, atunci optimul restricționat se află cu necesitate pe frontiera mulțimii . ([6])
Această clasă este foarte importantă pentru că:
Programarea convexă include programarea liniară;
Cele mai puternice rezultate teoretice și practice au fost opținute în acest domeniu datorită unui efort de cercetare foarte mare. ([6])
Fig. 2.4. Rezultatele problemelor de programare convexă
Toată teoria matematică se bazează pe ipotezele de convexitate.
Probleme de programare neconvexă.-pune într-un singur loc toate problemele care nu satisfac ipotezele de convexitate. Aceste probleme sunt “dificile” din cauza faptului că au mult mai multe minime locale. În practică există câteva tipuri de probleme neconvexe care pot fi rezolvate fără niciun impediment cu metode speciale. Unul dintre aceste tipuri de probleme este problema de programare fracționară. ([6])
Exemplu de problemă de programare fracționară ([6]):
(2.2.4)
Presupunem că pe .
Problema se reduce la un program liniar uzual punând :
(2.2.5)
Rezultă că
Programul liniar echivalent în variabile și este:
(2.2.6)
2.2.2. Problema fără restricții
O problemă fără restricții este o problemă în care variabilele pot lua orice valori. În acest caz, problema are forma generală astfel: ([9])
(2.2.7)
în care este o funcție de variabile reale fiecare dintre ele putând lua orice valoare între și .
În continuare, vom considera următoarea problemă de optimizare fără restricții [(9)] :
(D)
Pentru a putea fi rezolvată această problemă ea trebuie sa aibă ca punct de plecare condiția necesară ca să fie minimul funcției pseudoconvexe în . ([9])
Teoremă : Fie un punct de extrem local al funcției , atunci ,iar
(2.2.8)
este gradientul funcției .În caz contrar, dacă este un punct în care condiția (2.2.8) are loc, iar matricea Hessiană H este pozitiv definită, adică
(2.2.9)
atunci este un punct de minim local al funcției f. ([9])
Astfel, soluția optimă a problemei (D) enunțată mai sus va fi cautată printre soluțiile sistemului de ecuații în variabile, în general neliniar și anume:
(2.2.10)
Este imposibil în majoritatea cazurilor practice să se rezolve sistemul (2.2.10). Deși vom putea rezolva sistemul cu ajutorul formulelor și gasim soluția, nu vom avea nicio garanție ca aceasta este soluția optimă a problemei (D). Această soluție ar putea fi un punct de maxim local sau un punct șa sau în cel mai bun caz, un minim local diferit de cel global. ([9])
2.2.3. Problema cu restricții
Forma generală a unei probleme de optimizare în care variabilele sunt supuse unui set de restricții este: ([9])
Definiție. Un punct fezabil este un punct în care toate restricțiile atât cele de tip egalitate, cât și cele de tip inegalitate sunt îndeplinite. Rezultă că toate punctele fezabile ale lui au următoarea formă: ([9])
(2.2.12)
În primul rând, pentru a rezolva acest tip de problemă trebuie să transformăm problema cu restricții într-o problemă fără restricții. Pentru a face posibil acest lucru, folosim multiplicatorii lui Lagrange, implicați în definirea de funcții compuse de forma: ([9])
(2.2.13)
în care:
Corespunzători restricțiilor de egalitate sunt multiplicatorii Lagrange notați cu , iar pentru restricțiile de tip inegalitate sunt cei notați cu . ([9])
Astfel, problema s-a transformat într-o problemă fără restricții și urmează să fie stabilite punctele staționare ale funcției Lagrange: ([9])
(2.2.14)
După tot procedeul, punctele staționare vor putea fi minime locale sau minimul global, maxime locale sau maxim global, dar și puncte de inflexiune( adică de schimbare de pantă). ([9])
Ne putem da seama dacă multiplicatorii lui Lagrange există sau nu după forma restricțiilor. Pentru această verificare avem nevoie de mai multe condiții necesare și suficiente, după cum vom arăta în subcapitolul următor. ([9])
2.2.4. Condiții necesare Karush-Kuhn-Tucker
Fie o soluție a ecuației 2.2.11. Luăm și diferențiabile în punctul și cu derivata parțială continuă în punctul . Avem următoarele situații: ([9])
Condiția de independență liniară
În această condiție luăm gradienții și liniar independenți cu . ([9])
Condiția Slater
Restricțiile sunt pseudoconvexe în punctul ;
Restricțiile sunt cvasiconvexe și cvasiconcave;
Gradienții sunt liniar independenți;
Avem astfel încât pentru și pentru . ([9])
Condiția Kuhn-Tucker
Luăm un vector nenul în care:
astfel există o funcție vectorială dimensională pe intervalul având următoarele proprietăți: ([9])
;
iar ([9])
Condiția inversei restricției convexe
Știm că restricțiile și sunt continuu diferențiabile în . De asemenea, fiecare este pseudoconcavă sau lineară la , iar fiecare este atât pseudoconcavă cât și pseudoconvexă în . Dar dacă este un optim local, iar una din restricțiile (a)-(d) este îndeplinită, atunci multiplicatorii Lagrange există, adică au valori finite și au următoarea formă: ([9])
(2.2.15)
2.2.5 Condiții suficiente Karush-Kuhn-Tucker
Fie un punct fezabil al ecuației 2.2.11 și în același timp un punct la care sunt îndeplinite condițiile necesare Karush-Kuhn-Tucker. De asemenea, fie și la . Pentru ca să fie optimul global al funcției 2.2.11, trebuie ca următoarele afirmații să fie adevărate:
este pseudoconvexă la cu toate punctele fezabile ;
pentru este preudoconvexă la cu toate punctele fezabile ;
pentru este pseudoconvexă la cu toate punctele fezabile ;
pentru este pseudoconvexă la cu toate punctele fezabile . ([9])
În cazul în care condițiile de mai sus sunt îndeplinite doar pentru o hipersferă de rază în jurul punctului , atunci putem spune că este optimul local al funcției 2.2.11. ([9])
2.2.6 Metode de rezolvare a problemelor neliniare
În condițiile enumerate mai sus am încercat să arătăm baza teoretică a metodelor de rezolvare a problemelor de optimizare care conțin sau nu restricții cu privire la valoarea variabilelor. ([9])
Metodele pot fi împarțite în funcție de utilizarea valorii derivatelor și anume:
Fig. 2.5. Metode de rezolvare a problemelor neliniare
Pentru a evalua derivatele folosim algoritmi precum metode de gradient, metode bazate pe direcții conjugate și metode cvasi-Newton. În același timp, metoda gradientului în pași face o căutarea liniară în sensul direcției de creștere a funcției obiectiv, în schimb ce metoda Newton folosește derivatele de ordinul II ale funcției obiectiv. De asemenea, metoda cvasi-Newton utilizează aproximări ale inversei matricii hessiene, aproximări ce sunt obținute prin diferiți algoritmi. Metoda bazată pe direcții conjugate face o combinație între informațiile cu privire la gradientul din iterația curentă și informațiile cu privire la gradienții din iterațiile anterioare pentru a da naștere unui nou set de coordonate conjugate. ([9])
Cum era de așteptat, în programele care rezolvă unele probleme concrete, pot apărea o serie de probleme tehnice. De exemplu, atunci când se folosește o metodă de penalizare cu punct interior sau exterior trebuie atenționată situația în care se părăsește domeniul interior, respectiv exterior. De asemenea, pot apărea probleme și atunci când se execută unele operații nepermise, cum ar fi să logaritmăm numere negative sau împarțirea la zero. Pentru ca aceste probleme să fie evitate, există soluții pentru fiecare în parte. ([9])
Dificultatea unei probleme de optimizare crește în cazul în care avem restricții de tip egalitate și mai ales dacă acestea sunt neliniare. ([9])
2.2.7 Teoria dualității
Problemele de optimizare neliniară sunt reprezentate prin două categorii diferite:
Fig. 2.6. Problemele de optimizare neliniară
Aceste probleme și anume problema primală și problema duală sunt legate între ele de teoria dualității. ([9])
Problema primală (P) are forma generală următoare:
(2.2.16)
unde:
este un vector de variabile;
este un vector de funcții cu valori reale;
este un vector de funcții cu valori reale;
este o funcție de valori reale;
este un set convex nevid. ([9])
Problema duală (D) are forma generală următoare:
(2.2.17)
unde: , iar . ([9])
este funcția Lagrange, este un vector -dimensional al multiplicatorilor Lagrange corespunzători restricțiilor de egalitate, iar este un vector -dimensional al multiplicatorilor Lagrange corespunzători restricțiilor de inegalitate.
Atât problema primală, cât și cea duală au proprietatea că valorile optime ale primalei și dualei sunt egale și coincide cu valoarea funcției Lagrange în punctul respectiv. Conform teoriei dualității, dacă optimul reprezintă minimul primalei, acesta trebuie să coincidă valorii maxime a dualei. În felul acesta, rezultă că primala și duala au un singur punct comun, mai precis optimul. ([9])
Proprietățile amintite mai sus pot fi utilizate în găsirea optimului prin rezolvarea problemei duale în locul problemei primale, lucru care este mai avantajos în unele cazuri.
În anumiți algoritmi există criteriul de stop, care constituie atingerea unei valori la diferența dintre primală și duală sub o limită prestabilită. ([9])
2.3. Probleme de programare dinamică
2.3.1 Introducere
Fenomenelor economice variabile în timp din modelarea matematică, le sunt însușite o funcție al cărei optim trebuie găsit în condiții foarte bine stabilite pe baza fenomenului economic precis considerat. ([2])
Pentru căutarea optimului funcției atașate fenomenului economic, vom folosi unul dintre cele mai eficiente intrumente care este relativ nou și a fost pus în evidență de matematicianul american Richard Bellman. În zilele noastre, acest instrument este cunoscut sub numele de programare dinamică. Despre programarea dinamică putem spune că este o metodă de optimizare a sistemelor folosind reprezentările lor matematice, în care se lucrează pe faze sau secvențe sau mai bine zis, perioade. Aceste sisteme se întâlnesc cel mai des în studiile economice sau la conceperea unor programe cu privire la tehnicile cele mai avansate, de exemplu cum ar fi cele care fac referire la navigația cosmică. Punctul de start al acestei metode este susținut de “teorema de optimalitate” care poate fi enunțată sub forma cea mai generală ca un principiu și anume “principiul de optimalitate”. ([2])
Importanța acestui principiu și eficiența metodelor de optimizare secvențială de la care a pornit, devin foarte evidente pe măsură ce ne dăm seama de caracterul secvențial al numeroaselor probleme de natură economică. ([2])
Când ne referim la regularizarea producției și a stocurilor de material, de gestiune a echipamentelor, de prospecțiunile miniere, de investiții fără a se mai face referire la probleme macroeconomice, de exemplu problema planificării naționale, caracterul secvențial al problemelor permite utilizarea unor metode adecvate care să aibă pe lângă efectuarea calculelor de optimizarea și clarificarea problemelor în introducerea unor concept precise, de exemplu criteriul deciziei, politica sau strategia de urmat, influența asupra calității deciziilor. Toate acestea vor trebui definite mai precis datorită importanței noțiunii în studio și analiza fenomenelor economice. ([2])
De asemenea, problemele pot fi luate atât ca problem secvențiale discrete în timp cât și în timp continuu. Noi vom considera doar probleme secvențiale discrete în timp deoarece vom evita o serie de dificultăți ce apar în timp continuu.
Atunci când variabilele sunt de tip continuu și se face trecerea de la o fază la următoarea, apar unele probleme de topologie algebrică pentru raportarea valorilor optime. Pentru a evita acest lucru vom putea inlocui mulțimile continue cu mulțimi discrete numărabile. În ciuda acestui fapt, în problemele practice se acceptă ca satisfăcătoare mulțimile discrete. ([2])
O altă noțiune care apare în studierea programelor dinamice este și cea de orizont economic, adică numărul de faze sau perioade pe care le desfășoară programul dinamic. Noi vom considera doar problem cu orizont economic limitat.
Această noțiune de orizont limitat este foarte importantă pentru problemele de programare dinamică și duce de cele mai multe ori la examinarea convergenței pe un orizont infinit. Prin introducerea actualizării în multe cazuri reale din ecomonie, programele dinamice pot fi făcute convergente. ([2])
De altfel, distingem programele dinamice și după natura viitorului în care se defășoară aceste programe. Deci, vom avea programe dinamice în viitor sigur și programe dinamice în viitor aleator.
Dintre toate programele dinamice, în acest capitol vom vorbi doar de programele dinamice discrete în viitor sigur și cu orizontul limitat. ([2])
2.3.2.Modelul matematic al programelor dinamice discrete ce se desfășoară în viitor sigur și cu orizont limitat
Fie S un sistem în care starea lui este definită la fiecare moment cu ajutorul unei variabile de stare . Această variabilă de stare este definite astfel încât să caracterizeze complet starea sistemului și anume dacă ne referim la progresul viitor al sistemului să nu avem ocazia să distingem două evoluții diferite ale sistemului pe parcursul perioadelor de la 1 la și care să ne ducă la aceeași variabilă de stare . O perioadă a programului dinamic se caracterizează ca fiind un cuplu de momente . ([2])
În orice perioadă , avem o decizie ce trebuie luată cu privire la valorile variablei de stare . Domeniul de variație al variabilelor este în general limitat de rastricții care depind de valorile variabilei . ([2])
În mod general vom presupune ca restricțiile problemei definesc pentru fiecare valoare a momentului și pentru fiecare variabilă de stare , o mulțime de valori posibile ale variabilei . Această mulțime o vom nota cu . ([2])
Astfel, va trebui să avem:
(2.3.1)
În alt sens, dacă mulțimea a valorilor de stare este data, atunci, relația următoare va trebui să fie satisfăcută:
(2.3.2)
unde reprezintă mulțimea valorilor posibile ale lui astfel încât .
Matematic vorbind, este o aplicație a mulțimii valorilor lui , în mulțimea de valori ale lui , iar este aplicația inversă aplicației . ([2])
În concluzie, avem că restricțiile cu privire la se pot scrie și sub o formă restrânsă:
(2.3.3)
Dacă acum punctul de plecare este de la o stare inițială dată, vom putea defini domeniul evoluției posibile a sistemului la momentul , notat , din aproape în aproape cu ajutorul aplicațiilor după cum urmează: ([2])
Dacă avem condiția ca după perioade să se ajungă la o anumită stare , atunci mulțimile de valori posibile specificate mai sus trebuie să devină restricții, folosind constant restricțiile pentru , . Rezultă astfel mulțimile care verifică relațiile: ([2])
(2.3.5)
unde și ajung la o formă mai redusă în care mulțimile sunt formate din câte un singur element. ([2])
O noțiune fundamentală în studierea programelor dinamice este ideea de politică de urmat pe care o vom preciza în felul următor:
Numim “politică de la la ” și notăm orice succesiune astfel încât să fie satisfăcute următoarele relații:
(2.3.7)
(2.3.8)
Problema principală pe care o avem în vedere pentru a o rezolva este problema aflării politicii optimale în raport cu un criteriu definit mai jos. ([2])
Mai întâi pentru fiecare cuplu asociem o valoare determinată numită și “valoarea imediată” corespunzătoarea perioadei . Această “valoarea imediată” are următoarea specificație economică: dacă în momentul sistemul are starea , atunci valoarea deciziei este . ([2])
Având aceste valori pentru orice perioadă , fiecărei politici i se alătură o valoare totală definite în felul următor:
(2.3.9)
Modul de alegere pe care îl vom stabili va consta în minimizarea (respectiv maximizarea, în funcție de natura precisă a valorilor ) valorii a politicii. Amintim faptul că valoarea este definită mai sus aditiv. Astfel, apar și situații în care valoarea este definită multiplicativ sau chiar ca produs de convoluție (compunere a două funcții). ([2])
Dacă vom nota II mulțimea tuturor politicilor și dacă presupunem ca vrem să maximizăm valoarea politicii pentru a ne fixa ideile, atunci polticile optimale vor fi definite în felul următor:
(2.3.10)
Într-un mod mai general, vom scrie:
(2.3.11)
prin “opt” înțelegând, depinzând de natura problemei, unul din operatorii “max” sau “min”.
Acum suntem capabili să enunțăm și să demonstrăm teorema de optimalitate,dar mai întâi, vom define noțiunea de subpolitică a unei politici date. ([2])
Definiție. Pentru orice numim “subpolitică de la ”orice succesiune
astfel încât să fie satisfăcute următoarele relații:
Orice subpolitică de la la va putea fi optimală de la la dacă următoarea valoare a sa :
(2.3.12)
este maximă (respectiv minimă în funcție de natura precisă a problemei) dintre toate subpoliticile de la la . ([2])
Teorema de optimalitate. Orice subpolitică extrasă dintr-o politică optimală este optimală ea însăși de la la . ([2])
Demonstrație. Fie următoarea politică optimală:
Astfel politica formată de la { a lui este optimală de la la , în caz contrar ar exista o subpolitică de la la care ar avea o valoare mai mare, în cazul maximului respectiv mai mică în cazul minimului, lucru care ar atrage după sine buna stare a politicii și înlocuiește porțiunea { cu această subpolitică nouă. Rezultă că avem următorul corolar. ([2])
Corolar. În multitudinea politicilor care conțin o subpolitică dată, fie ea optimală sau nu, dintre toate cea mai bună este aceea care se obține prin completarea subpoliticii date cu o subpolitică optimală :
Acest corolar constituie “principiul de optimalitate” și este datorat lui R. Bellman, la fel ca și teorema de optimalitate și stă la baza metodei programării dinamice.
El ne va da posibilitatea ca după ce considerăm consecutiv perioade să construim progresiv o politică optimală. Pentru a fi posibil acest lucru, putem începe fie de la prima perioadă, fie de la ultima, fie de la o perioadă oarecare. ([2])
Vom începe să construim concret o politică optimală pornind de la perioada spre perioada N , astfel vom considera că în acest caz optimizarea se face de la trecut către viitor.
Vom nota cu și cu valoarea optimală a subpoliticii de la la . Făcând aceste precizări, facem în felul următor: ([2])
În perioada , pentru orice decizie posibilă
cunoaștem valoarea și considerăm perioadele și împreună. Astfel pentru orice decizie
vom cauta mulțimea subpoliticilor de la la . ([2])
Rezultă că aceste subpolitici
depind de valoarea pe care i-o alegem lui , o valoare care trebuie să satisfacă următoarea condiție:
(2.3.13)
Valoarea unei subpolitici de acest fel este dată de :
(2.3.14)
Acum putem obține subpoliticile optimale de la la prin căutare valorii optime a lui :
( (2.3.15)
lucru care ne dă posibilitatea să determinăm pe . ([2])
Acum, în continuare vom considera mulțimea perioadelor Astfel, pentru orice :
vom determina :
(2.3.16)
Partea din teorema de optimalitate a unei subpolitici optimale de la la este o subpolitică optimală de la la . Astfel, pentru a putea afla subpoliticile optimale de la la esti mai mult decât suficient să luăm subpoliticile de la la care sunt optimale de la la . Rezultă că valoarea optimă de la la va fi: ([2])
Subpoliticile optimale de la la vor fi acele subpolitici care trec prin valorile în care valoarea maximă sau minimă este atinsă. Efectuând în continuarea procedeul, pentru a putea afla valoarea pentru orice va trebui să determinăm . ([2])
În mod general, considerăm perioadele împreună și pentru orice determinăm
(2.3.17)
și calculăm valoarea optimă de la la :
(2.3.18)
Dar dacă este o valoarea a lui care optimizează membrul al doilea, atunci orice subpolitică de la la care se obține prin adăugarea lui la o subpolitică optimală de la la , este optimală la rândul ei de la la :
(2.3.19)
Astfel, vom obține subpoliticile optimale de la la . În momentul în care ajungem la problema găsirii politicii optimale pentru fixat s-a rezolvat.
Observații. 1. Sunt probleme în care nu se impune valoarea . În acest caz se va alege acea politică optimală de la la care are cea mai mare valoare atunci când se maximizează valoarea totală. Este evident că va trebui să controlăm optimizarea așa cum s-a procedat și mai sus și anume în sensul valorilor crescătoare ale lui . ([2])
2. Vom avea cazuri în care să fie fixat, iar să ia valori diferite. În acest caz va trebui să pornim de la și vom avansa cu optimizarea în sensul valorilor descrescătoare ale lui . Evident metoda este aceeași, dar și vor fi înlocuiți prin și respectiv. ([2])
Rezultă că avem în acest caz următoarele ecuații de recurență:
(2.3.20)
unde ([2])
(2.3.21)
2.3.3.Programe dinamice staționare
Un program dinamic în viitor sigur (determinist) se numește “staționar” dacă pentru toate valorile ale perioadelor pe care se defășoară programul (excepție făcând valorile extreme) sunt satisfăcute relațiile: ([2])
(2.3.22)
Rezultă din definiția de mai sus că pentru un program dinamic staționar, aplicațiile care definesc restricțiile programului, dar și valorile atribuite fiecărei perioade sunt independente de perioada considerate. ([2])
Bazându-ne pe acest lucru, putem scrie:
(2.3.23)
în care
și .
Toate acestea duc la faptul că oricare ar fi , cu condiția ca perioadele ce vin în considerație să facă parte din perioadele pe care este definit programul dinamic, vom avea:
(2.3.24)
Rezultă că expresia:
(2.3.25)
este independentă de . ([2])
Pentru simplificarea scrierii vom introduce notațiile:
rezultă că sistemele de relații de recurență cu ajutorul cărora punem în evidență politicile optimale devin:
(2.3.26)
respectiv
(2.3.27)
2.3.4. Model dinamic de programare optimală a investițiilor
Vom considera o problemă de repartizare optimă a investițiilor ca o aplicație care utilizează programele dinamice în rezolvarea unor probleme economice concrete. Luăm următoarea problemă de repartiție a investițiilor ([2]):
Se intenționează să se facă o investiție în valoare totală de I unități monetare în regiuni economice ( unitatea monetară fiind exprimată în milioane, zeci de milioane etc.).
Pentru o unitate monetară investită avem un beneficiu care variază în funcție de suma investită, dar și de regiunea în care s-a desfășurat investiția. Se cere să se găsească o repartiție a investițiilor pe regiuni astfel încât să se obțină un beneficiu maxim pe ansamblul regiunilor.
Problema va putea fi abordată luându-se în considerație toate combinațiile posibile și apoi se va alege acea politică ( sau dacă soluția nu este unică se vor alege mai multe politici) care asigură maximul funcției de eficiență. Însă dacă I și sunt mari, atunci calea aceasta nu este practică din cauza faptului ca ea conduce la un număr foarte mare de politici. De exemplu dacă I=10 și vom obține 286 de politici, iar noi trebuie să alegem politica optimă, lucru care este foarte dificil utilizând chiar și calculatorul. ([2])
Urmărind o tratare secvențială a acestei probleme vom obține mult mai ușor soluția optimă. În tabelul de mai jos vom considera beneficiile corespunzătoare celor regiuni.
Tabelul 2.5. Beneficiile celor k regiuni([2])
Vom nota cu investițiile exprimate în unitatea aleasă, în regiunile 1, 2 și așa mai departe până în regiunea , iar beneficiile pe aceste regiuni vor fi . Dacă notăm beneficiul total cu , avem că: ([2])
(2.3.40)
cu următoarele restricții:
(2.3.41)
Urmează a fi rezolvată următoarea problemă:
(2.3.42)
Vrem să tratăm secvențial această problemă, iar pentru a fi posibil acest lucru, procedăm astfel:
Știm că , iar ia succesiv valorile . Atunci se mai poate scrie în felul următor:
,=
(2.3.43)
Rezultă că putem utiliza un proces iterativ calculând succesiv
Urmează că
.
(2.3.44)
Exemplu.([2])
Se cere să se găsească o repartiție optimă a investiției de I=50 milioane lei în trei sectoare economice știind că volumul minim al investițiilor pentru fiecare obiectiv este de 10 milioane lei, iar beneficiile unitare sunt date tabelul următor:
Tabelul 2.6. Beneficiile unitare([2])
Soluție:
Ca unitate monetară am ales 10 milioane lei. În prima etapă aplicăm relația:
Rezultatele le vom trece sintetic în tabelul următor:
Tabelul 2.7. Rezultate 1 ([2])
În cea de-a doua etapă vom considera și cea de-a treia regiune economică, prin aplicarea relației următoare:
Astfel obținem:
Tabelul 2.8. Rezultate 2 ([2])
Astfel, beneficiul maxim se obține pentru următoarele două politici de investiții:
milioane în sectorul
milioane în sectorul
milioane în sectorul
sau
milioane în sectorul
milioane în sectorul
milioane în sectorul ([2])
2.3.5. Programe dinamice discrete în viitor și orizont nelimitat
Ceea ce era esențial în programele dinamice prezentate mai devreme era faptul că numărul perioadelor este limitat de N. Însă de multe ori, în practica economică aceste restricții prezintă o dificultate cel puțin atunci când intervin programe staționare, iar orizontul economic nu mai este limitat de un număr fix de perioade. ([2])
Vom considera un program dinamic și vom presupune că starea inițială este impusă și unică, toate acestea pentru a simplifica lucrurile. Însă pentru a putea fi considerat pe un număr nelimitat de perioade, acest program trebuie să satisfacă următoarele condiții:
trebuie să fie definită pentru orice și orice .
Valoarea să fie definită pentru orice , orice și orice . ([2])
Astfel, o politică este o succesiune determinată a variabilelor de stare,
Deoarece acum nu mai putem distinge politicile după valoarea lor finală în cazul unui număr N (dat) de perioade, va trebui să vedem ce înseamnă optimal. În cazul unul număr nelimitat de perioade, valoare finală poate fi infinită. Rezultă că o politică optimală este politica de valoare infinită lucru care nu prezintă interes practic, deoarece toate politicile care au valoare infinită sunt considerate echivalente în ciuda faptului că ele pot să difere esențial pe orice parte finită. Pentru a putea fi evitat acest inconvenient va trebui să cautăm o politică
astfel încât
să fie optimală de la la , pentru orice sau cel puțin .
În continuare vom considera unele cazuri particulare de programe dinamice staționare pentru care definim o funcție de valoare mărginită. ([2])
Luam mai întâi o clasă de programe dinamice staționare în care variabila de decizie este unidimensională cu restricții de forma:
unde . ([2])
Punând , atunci relația următoare :
va avea forma
cu . ([2])
Trecând la limită pentru orice vom obține următoarea ecuație funcțională:
(2.3.45)
Acum se pune problema dacă această ecuație are soluție și în acelasi timp ce legătură are ea cu programul dinamic considerat mai sus. Răspunsul este dat în teorema de mai jos, dar fără demonstrație. ([2])
Teoremă. Fie astfel încât . Dacă
este continuă în raport cu ambele variabile
Funcția
verifică relația
pentru orice , atunci ecuația (2.3.45)
are o soluție unică , continuă și nulă în . ([2])
Rezultă că valoarea optimă a programului dinamic pe perioade definit pe restricțiile și cu valoarea este dată de
iar șirul converge uniform către .
Observație: În teorema de existență și unicitate se ia . Însă dacă se înlocuiește cu o funcție arbitrară, continuă pentru și nulă pentru , atunci teorema rămâne adevărată.
Prima decizie a unei politici optimale este obținută de la funcția , funcție care realizează maximul în următoarea relație:
care definește complet mulțimea politicilor optimale. ([2])
Definiție. Numim “politică permanentă” acea politică pentru care decizia luată într-o perioadă de timp care începe cu starea , este , unde este o funcție univocă, independent de perioada considerată și o vom numi “funcție de decizie”. ([2])
Vom putea scurta procesul de aproximare succesivă pentru aflarea funcției , dacă cunoaștem o funcție apropriată de , dar acest lucru este foarte dificil de obținut.
Vom putea totuși să determinăm în general pe baza experienței proprii o politică permanentă foarte apropiată de politica . Pentru politica avem o funcție corespunzătoare care este dată de ecuația următoare:
(2.3.46)
Astfel, cu această nouă funcție determinată vom trece la determinarea unei noi politici pe baza relației :
(2.3.47)
Rezultă că avem oricare ar fi . ([2])
Dar dacă avem că luat inițial este optimal, deci problema este rezolvată, în caz contrar vom calcula mai departe rezultând în acest fel un șir monoton crescător de funcții care ne permit sa obținem o politică optimală. ([2])
Creștere economică
([10])
3.1. Creșterea și dezvoltarea economică: delimitări conceptuale
Creșterea economică este un proces complex care, prin efectele sale, poate fi definit ca un proces de evoluție a rezultatelor activităților din economia națională pe tot ansamblul și pe locuitor. Rezultatele activității pot fi reprezentate prin indicatorii corespunzători agregatelor macroeconomice, deci creșterea economică poate să fie apreciată prin dinamica produsului național sau a venitului pe tot ansamblul sau pe locuitor. ([10])
Pe termen scurt, creșterea economică poate fi asociată ca semnificație fazelor de prosperitate economică. ([10])
Însă, pe termen lung, creșterea economică se comportă ca o tendință, ca un trend crescător care rezultă din creșteri și descreșteri succesive. Creșterea economică este destul de diferită de dezvoltarea economică atât prin sfera de cuprindere cât și prin relația de interdependență. Deși dezvoltarea economică presupune procesul de creștere, nu orice creștere înseamnă și dezvoltare. ([10])
Stadiul de dezvoltare economică se apreciază prin luarea în considerare a unui sistem de indicatori, cei mai semnificativi considerând a fi:
Produsul national brut pe locuitor și dinamica lui;
Populația ocupată și structura ei pe sectoare;
Nivelul productivității muncii și a capitalului, dar și ritmurile lor de creștere.
Evoluția unei economii este pusă în evidență prin prisma efectului cantitativ al funcționării sale, pe când dezvoltarea economică cuprinde de asemenea și modificările calitativ-structurale înregistrate într-o economie. Condițiile în care o economie se dezvoltă sunt cele în care sectoarele cu niveluri mai înalte ale productivității folosesc resurse performante calitativ. Aceste resurse produc atât bunuri și servicii cu o valoare adăugată din ce în ce mai mare care sporesc ponderea în produsul intern brut, în favoarea sectoarelor mari consumatoare de resurse , cât și bunuri și servicii cu valoare adăugată redusă. La nivel teritorial, dezvoltarea economică presupune o amortizare a evoluției activităților economice, mai ales prin scăderea dispariților existente între diferite regiuni, ținându-se cont, în același timp, de particularitățile locale. ([10])
Dezvoltarea economică are o trăsătură foarte importantă care este legată nu numai de aspectele economice, cât și de alte aspecte, cum ar fi aspectul social. Rezultă că ea presupune și îmbunătățirea sistemului educațional, îmbunătățirea sistemului sanitar, îmbunătățirea sistemului juridic, cât și elaborarea și derularea unor programe sigure de combatere a sărăciei etc. ([10])
Dezvoltarea economică trebuie pusă în relație cu subdezvoltarea economică, lucru ce reprezintă un fenomen eterogen, reflectând interdependențele asimetrice și dezechilibrele mondiale. De asemenea, subdezvoltarea poate fi caracterizată prin:
Produs intern brut pe locuitor redus;
Structuri economice slab dezvoltate;
Slabă dezvoltare a agriculturii și industriei alimentare;
Industrializare redusă;
Nivel redus de ocupare a resurselor de munca.
Dacă ne referim la situațiile specifice în care se găsesc țările lumii, vom întâlni două stări, și anume : starea de dezvoltare si starea de subdezvoltare. Din cauza faptului că dezvoltarea economică am realizat-o mai sus, acum ne vom ocupa de subdezvoltarea economică. ([10])
Subdezvoltarea economică a unei țări înseamnă existența generalizată a unei stări de sărăcie cronică, caracterizată prin nivelul scăzut al ratei ocupării și nivelul ridicat al ratei șomajului, o prezență redusă a activităților industriale, productivitate scăzută a activităților agricole, o lipsă de egalitate foarte mare în ceea ce privește repatiția veniturilor, standarde de viață scăzute și diferențe foarte mari între nivelul de trai din mediul urban și mediul rural.
Diferențele considerabile dintre nivelul de dezvoltare înregistrat între țările dezvoltate din punct de vedere economic și cele dezvoltate mai puțin din același punct de vedere, poartă numele de decalaje economice. Aceste țări mai putin dezvoltate trebuie să aibă în vedere unul dintre cele mai importante obiective și anume reducerea decalajelor economice. ([10])
Creșterea economică durabilă este strâns legată de dezvoltarea durabilă, iar pe termen lung menține stabilitatea economică și progresul uman, ameliorând cerințele ecologice cu dezvoltarea economiei. Astfel, creșterea economică durabilă reprezintă creșterea dimensiunilor economiei, precum și schimbări de structură. ([10])
Dezvoltarea durabilă este o noțiune complexă, care conține semnificații economice (adică obține un rezultat economic cât mai bun ținând seama de restricțiile impuse de caracteristicile factorilor de producție), ecologice ( menține la același nivel ecosistemele, mai ales cele care constituie suportul vieții) și sociale ( asigură șanse egale pentru oamenii care trăiesc în aceeași perioadă, dar și pentru cei care vor trăi în viitor). ([10])
Privită ca proces global și endogen, dezvoltarea impune redefinirea rolului pe care îl are statul în mobilizarea resurselor naturale, financiare și umane, lucru necesar pentru constituire unui sector economic mai puternic și cu o rată sporită a acumulării, deci și a investițiilor. ([10])
Dezvoltarea economică durabilă asigură în același timp maximizarea beneficiilor nete ale dezvoltării și păstrarea în timp a serviciilor și calității resurselor. Creșterea economică durabilă nu se suprapune pe progresul economic pentru că acesta reprezintă în același timp:
Creștere economică;
Modificare de structură;
Modificare de sistem;
Efecte pozitive ale economiei către un scop urmărit.
Progresul economic reprezintă o noțiune care îmbină dezvoltarea economică, dar
conține și elemente suplimentare, cu privire la îmbunătățirea calitativă a factorilor de producție, de evoluție pozitivă a relațiilor stabilite între membrii unei societăți( nu doar a relațiilor economice), de îmbunătățirea infrastructurii folosite de mediul economic, social si cultural, de îmbunătățire a calității vieții în mare parte, iar a oamenilor în special, de întărire a rolului spiritualității în existența omului. ([10])
De asemenea, progresul economic scoate în evidență specificul evoluției pozitive a societății omenești pentru fiecare etapă parcursă reprezentând suportul unei viziuni optimiste asupra viitorului omenirii. ([10])
Creșterea economică, diferită și de reproducția lărgită, are rolul de a relua producția pe o scară mai mare, prin acumulare de capital, adică prin transformarea unei parți din plusprodus în capital.
Începând de la ideea potrivit căreia conținutul creșterii economice este cel al unui proces complex ce arată dinamica sistemelor economice, prezintă interes unele definiții ca:
Mărirea capacității unei țări de a furniza în măsură crescândă bunuri economice cu ajutorul tehnologiilor de vârf și adaptărilor instituționale și ideologice (Kuznets) ;
Sporirea profitului total și pe locuitor(Arrow);
Creșterea dimensiunii economiei naționale(Perroux). ([10])
De-a lungul timpului, conceptul de creștere economică a avut o evoluție surpinzătoare,
și încearcă să surprindă situațiile specifice manifestării acestui proces.
Creșterea economică zero semnifică evoluția crescătoare și în același timp a produsului intern brut real și a populației totale, lucrul acesta însemnând că produsul intern brut pe locuitor rămâne la același nivel în perioada analizată. ([10])
Creșterea economică pozitivă reprezintă o creștere a produsului intern brut real într-un ritm mai mare decât cel al creșterii populației, lucru ce semnifică faptul că sporește și produsul intern brut pe locuitor. ([10])
Creșterea economică negativă înseamnă o creștere a produsului intern brut cu un ritm mai mic decât cel al creșterii populației totale, fapt ce duce la o scădere a produsului intern brut pe locuitor. ([10])
Pentru a putea realiza măsurarea creșterii economice o vom face pe baza ratei creșterii economice(g), lucru care se obține pe de o parte prin raportul procentual al diferenței dintre produsul intern brut real din anul curent și produsul intern brut real din anul de bază și pe de altă parte din produsul intern brut real din anul de bază. ([10])
(3.1)
3.2. Factorii creșterii economice
Factorii creșterii economice pot fi luați ca “factori de producție” sau ca “factori determinanți ai cererii și ofertei”. În ambele cazuri, influența pozitivă a acestor factori se materializează în creștere economică. ([10])
Factorii creșterii economice priviți ca factori de producție au:
o dimensiune cantitativă, determinată prin volumul sau cantitatea factorilor utilizați;
o dimensiune calitativă, care se referă atât la calitate și performanța factorilor, cât și la eficiența utilizării lor;
o dimensiune structurală, capabilă să pună în valoare contribuția dimensiunii cantitative și a celei calitative a factorilor folositi la creșterea economică.
Ca factori ai creșterii economice, factorii de producție sunt :
factorul uman;
factorul material;
factorul informațional-tehnologic.
Factorul uman luat sub aspectul dimensiunii cantitative implică luarea în considerare a populației ocupate, a ofertei de muncă și a dinamicii ocupării populației active disponibile. Cu alte cuvinte, creșterea economică este în același timp premisă dar și efect al gradului de ocupare a resurselor de muncă disponibile, prin relația de ocupare și crearea unor noi locuri de muncă. Dimensiunea calitativă a factorului uman face referire la nivelul calificării și la motivarea în muncă reflectate de nivelul productivității muncii. Nu vom putea face abstracție de faptul că valorificarea aspectelor calitative ale factorului uman este strâns legată de nivelul înzestrării tehnice a muncii, un factor determinant al productivității. Dimensiunea structurală a factorului uman înseamnă luarea în vedere a:
structurilor speciale ocupării forței de muncă, în concluzie a pieței muncii;
structurilor sectoriale de ocupare cu nivelul de productivitate a muncii corespunzător. ([10])
Factorul material al creșterii economice – capitalul real se formează ca factor al creșterii economice prin resursele naturale atrase în circuitul economic și echipamentele de producție acumulate. Dimesiunea cantitativă a capitalului real se referă la volumul de capital real în exploatare și stocul de bunuri destinate pentru investiții, având restricția privind mărimea sa legată de limita fondului de investiții, dar de asemenea și de capacitatea de absorbție a pieței. Dimensiunea calitativă poate fi caracterizată prin productivitatea capitalului real, știind că nivelul ei este condiționat de nivelul performanței tehnice și tehnologice a echipamentelor de producție, precum și de legătura acestuia cu nivelul calitativ al factorului uman. Dimensiunea structurală a capitalului real este pusă în strânsă legătură cu structurile materiale ale producției pe ramuri și cu structura stocului de capital tehnic. ([10])
Factorul informațional-tehnologic al creșterii economice este strâns legat de neofactorii de producție. Contribuția informației la creșterea economică este destul de greu de cuantificat, iar din această cauză analiza se bazează pe relația ei cu inovarea, definită ca informație cu o finalitate aplicativă, cu efecte economice măsurabile. Dimensiunea cantitativă a informației definește potențialul de inovare tehnologică ce poate fi considerat prin proporția investițiilor cu privire la cercetare, adică dezvoltare în produsul național brut. Dimensiunea calitativă este pusă în relație cu eficiența și rentabilitatea cercetării având drept criteriu maximizarea avantajului competitiv. Eficiența inovării este o eficiență propagată și poate fi analizată pornind :
ori de la ipoteza progresului tehnic încorporat, moment în care randamentele echipamentului productiv diferă în funcție de generația tehnologică, fapt de unde rezultă eterogenitatea sistemelor tehnologice cu efecte diferențiate asupra creșterii economice;
fie de la ipoteza progresului tehnologic neîncorporat care este asociat îmbunătățirii performanțelor de producție în mod progresiv prin adunare de experiență. ([10])
Prin inovare putem induce progresul tehnologic și are ca efecte :
îmbunătățirea randamentelor sistemului productiv;
obținerea economiilor de scară;
reducerea costurilor ecologice și sociale ale creșterii economice;
diversificarea posibilităților de alocare a resurselor;
restructurarea pe sectoare și ramuri a economiei naționale.
Efectele prezentate mai sus permit caracterizarea unui tip nou de sistem economic, numit sistem economic tehnologic-informațional, care are ca rol hotărâtor în creșterea economică factorul informațional-tehnologic, datorită faptului că “informația este omniprezentă”. Astfel, avem o rată înaltă de inovare a tehnologiei informaționale care
manifestă o legătură bilaterală între tehnologiile informatice, asigurându-se astfel creșterea economică pe termen lung. ([10])
Pentru un asemenea sistem economic avem o economie specifică si anume o economie bazată pe cunoaștere care se caracterizează prin:
proces amplu de cercetare-dezvoltare;
ritm rapid de dezvoltare a cunoștințelor și tehnologiilor;
sistem informatic foarte competitiv, ca bază tehnică de asigurare a accesului la cunoștințe și a comunicării electronice;
legătură internă strânsă socială cu efec stimulativ pentru creștere și dezvoltare.
Dacă luăm în considerare acești factori, creșterea economică poate fi caracterizată în
esență printr-o funcție de producție la nivel macroeconomic. ([10])
Alți factori cu o acțiune indirectă asupra creșterii economice , pot fi factorii social-politici, de exemplu:
tipul de proprietate preponderent;
libertatea schimbului;
caracterul concurențial al piețelor;
eficiența pieței capitalurilor;
fiscalitatea;
stabilitatea monetară. ([10])
3.3.Tipuri și forme de creștere economică
Una dintre cele mai simple forme ale funcției creșterii economice este formulată pornind de la funcția de producție de tip Cobb-Douglas, conform căreia producția este funcție de muncă (L) și capital (K), deci rezultă: ([10])
(3.2)
Ținându-se cont de mărimea populației (P) și de faptul că randamentele factorilor sunt constante , rezultă că funcția creșterii economice devine:
(3.3)
Ecuația de mai sus mai este denumită și ecuația generală a creșterii. Prin analiza acestei relații vom putea identifica principalele tipuri și forme ale creșterii economice. ([10])
Creșterea economică poate fi de două tipuri: creștere economică extensivă și creștere economică intensivă. ([10])
Fig. 3.1. Tipurile creșterii economice
Avem creștere economică de tip extensiv, în momentul în care aportul dimensiunii cantitative a factorilor de producție la creșterea produsului sau venitului național este preponderent. Creșterea economică este de tip intensiv, în momentul în care preponderentă este contribuția dimensiunii calitative a factorilor la creșterea economică. ([10])
Creșterea economică extensivă se efectuează prin utilizarea unor cantități din ce în ce mai mari de factori în procesul de producere a bunurilor și serviciilor, prin folosirea extensivă a factorului muncă, mai exact pe baza creșterii numărului de persoane angrenate în procesele productive ( adică o creștere a gradului de ocupare a forței de muncă). De asemenea, ea se mai realizează si pe baza creșterii numărului de ore lucrate de către un lucrător, pe saptămână, pe lună sau pe an, și pe baza extinderii factorului capital tehnic, prin creșterea stocului de capital fix ( mașini, utilaje, echipamente, instalații). ([10])
Creșterea economică intensivă semnifică acel tip de creștere economică bazată pe folosirea unor factori de producție mai avansați calitativ și pe utilizarea tot mai eficientă a acestora. Din punctul de vedere al factorului muncă, putem obține o eficiență sporită prin creșterea productivității muncii, care la rândul ei, iți pune bazele pe creșterea nivelului de calificare al forței de muncă existente, pe evoluția structurală a forței de muncă, pentru sporirea acelei forțe ce deține abilități superioare pe care să le cuantifice în procesul productiv, pe îmbunătățirea managementului, atât la nivelul firmelor productive, cât și la nivelul instituțiilor deja existente într-o economie. Pentru a putea spori eficiența factorului capital se va realiza îmbunătățirea folosirii capitalului existent ca urmare a promovării unor modele noi de organizare a producției sau prin înlocuirea unităților de capital mai puțin productive cu altele care au un randament mai mare, mulțumită unor performanțe tehnice superioare. Factorul informațional-tehnologic cât și cel politico-administrativ participă la intensificarea creșterii prin dezvoltarea calitativă a sectorului educațional, creșterea activităților cu privire la cercetare și dezvoltare cu ajutorul unei politici fiscale stimulativă și adecvată fiecărei perioade, prin adăugarea și aplicarea unor reguli unitare, nedistinctive și fără exagerări în funcționarea și supravegherea mecanismelor economiei de piață, realizată prin fundamentarea unei politici închegate cu privire la migrația forței de muncă sau prin îmbunătățirea mecanismelor de alocare a resurselor în economie. ([10])
Creșterea economică are mai multe forme, acest lucru fiind realizat în funcție de regularitatea cu care sporește prudusul intern brut. Deci, atunci când avem o creștere regulată a produsului intern brut, vom spune că se inregistrează o creștere economică liniară. În cazul în care vom avea o creștere accelerată a produsului intern brut, vom avea două creșteri economice și anume : creștere economică exponențială și creștere economică parabolică. Ecuațiile proprii diferitelor forme și tipuri ale creșterii economice sunt exprimate în ecuații matematice relațiile de interdependență între factorii creșterii. ([10])
3.4.Teorii și modele de creșteri economice
Pentru a putea identifica relațiile dintre factorii creșterii economice amintite în subcapitolul anterior vom concretiza unele teorii și modele de creșteri economice.
Teoria creșterii economice este nu în ultimul rând o teorie a prevederii acestui proces, având în același timp și rolul de analiză și premisă teoretică a fundamentării deciziilor la nivel macroeconomic. Cu ajutorul studiului dinamicii economice, vom ajunge la dezvoltarea teoriei ciclurilor de afaceri și a teoriei creșterii economice. Cea din urmă arată cel mai bine determinarea teoretică a preocupărilor legate de posibilitatea creșterii economice constante și permanente și de construirea unor modele econometrice de analiză. ([10])
Modelul de creștere economică semnifică expresia matematică a unui sistem relațional complex, aflat între factorii creșterii economice.
Teoria și modelul clasic al creșterii economice
După opinia clasicilor, factorii de producție se limitează doar la muncă, pământ și capital. ([10])
Pentru clasici precum Adam Smith și David Ricardo, creșterea economică este consecința acumulării de capital( adică transformarea unei părți din plusprodus în capital) și realizează creșterea bogăției pe locuitor prin suplimentarea capitalului productiv pe locuitor. Factorii creșterii economice în teoria clasică sunt factorii de producție clasici și anume : munca, natura și capitalul. Deoarece munca este recompensată prin salariu, mărirea salariului are drept efect expansiunea demografică, care va realiza schimbarea raportului dintre cererea și oferta de muncă și astfel salariul va ajunge să scadă la nivelul său de subzistență. Natura, considerată ca fiind pământul, se ia ca un factor fix și rigid, care nu face obiectul acumulării, dar în același timp este o sursă de venit pentru proprietari. Capitalul este recompensat prin profit, care reprezintă motivația acumulării de capital. Profitul devine în acest fel o sursă de finanțare a investițiilor cu ajutorul economisirilor proprii ale deținătorilor de capital. Ideea clasicilor este aceea că progresul tehnic are un rol marginal în creșterea economică, el nefiind integrat în analiza globală a creșterii. Ricardo consideră progresul tehnic ca fiind un factor distrugător de locuri de muncă, mulțumită înlocuirii muncii prin capital. Ideea este acceptată dacă se admite efectul pe termen scurt al promovării progresului tehnic. În schimb, pentru Marx creșterea economică nu este durabilă și în acest sens este pus ca argument declinul creșterii datorat randamentelor de scară descrescătoare în industrie, ca o consecință a concentrării și centralizării capitalului dincolo de dimensiunea optimă. În orice za, progresul tehnic este presupus ca fiind un factor de creștere a productivității muncii. Lângă factorii clasici, Marx consideră că în procesul creșterii economice o influență o au și factorii politici, sociali și istorici. Modelul realizării produsului social în condițiile reproducției lărgite este capabilă să pună în evidență faptul că sursa creșterii economice este plusprodusul. ([10])
Teoria și modelul Keynesian de creștere economică
Conform concepției keynesiene, venitul național crește ca un răspuns la modificarea cererii agregate. În modelul realizat de Keynes, sporul venitului este mult mai mare decât creșterea investițiilor. La nivelul de agregare al venitului național, investiția netă are ca punct de finanțare, atunci când economia se află în stare de echilibru, economisirea. Totuși, în realitate investițiile nu sunt o mărime exclusiv autonomă, deoarece nivelul lor este influențat de asemenea și de eficiența marginală a capitalului, dar și de rata dobânzii. În plus, nivelul ocupării forței de muncă este influențat de cererea efectivă de pe piața bunurilor și serviciilor, rezultând că în situația de echilibru, nivelul ocupării este influențat de nivelul venitului național de echilibru sau mai bine spus, ocuparea de echilibru poate fi definită de ocuparea deplină. ([10])
Teorii și modele neokeynesiene
Preocupările pentru dezvoltarea teoriei keynesiene prezentate mai sus asupra creșterii economice au fost foarte intense. Modelul Harrod-Domar își pune bazele pe ideea că economisirea gospodăriilor și a întreprinderilor este sursa principală a investițiilor, iar economisirea reinvestită duce la creșterea capitalului și ca efect la creșterea economică. Modelul Harrod-Domar folosește trei tipuri de rate de creștere și anume : rata naturală de creștere economică, rata garantată de creștere economică și rata efectivă de creștere economică. ([10])
Fig. 3.2. Tipuri de rate de creșteri economice
Teoria și modelul creșterii endogene
Teoriile actuale ale creșterii economice utilizează ca punct de plecare teoria economiei industriale, teoria concurenței imperfecte și teoria diferențierii producției și a economiilor de scară. În acest fel, este posibilă o nouă modelare a relațiilor proprii creșterii economice care consideră progresul tehnic și capitalul uman ca fiind factori ai creșterii. ([10])
Teorii și modele neoclasice
Aceste teorii pun în evidență rolul pe care progresul tehnic, adică factorul informațional-tehnologic, il are în antrenarea activităților economice și a rezultatelor acestora. Unul dintre primii teoreticieni care au luat-o în această direcție a fost R. Solow care ia în calcul progresul tehnic, dar rolul lui a fost considerat a fi exogen. ([10])
Noi teorii și modele ale creșterii economice
Teoriile și modelele creșterii economice au apărut o dată cu dezvoltare economiei ca știință și cu explozia tehnologiilor informaționale și au încercat să înglobeze noii factori de producție. Una dintre cele mai importante teorii de acest fel este teoria creșterii economice endogene ( care este cunoscută și sub numele de Noua teorie a creșterii economice). Această teorie este elaborată de P. Romer si R. Lucas și scoate în evidență faptul că progresul tehnic este un rezultat al activităților economice ( progres tehnic internalizat), deci nu un factor extern acestora. În același timp acest model pune în evidență apariția unor randamente crescătoare în cazul neofactorilor, în special a informației, în schimb ce randamentele descrescătoare caracterizează factorii tradiționali ai creșterii economice. ([10])
Avem și alte teorii noi care scot în evidență puterea unor factori care nu au fost luați în evidență până acum, cum ar fi de exemplu rolul instituțiilor și a eficienței actiunilor acestora asupra creșterii economice, mergând până în punctul în care se accentuează influența religiei asupra creșterii economice. ([10])
Fluctuațiile activităților economice
([1], [4], [10])
4.1. Ciclicitatea activităților economice
Macroeconomia este o știință care studiază comportamentul agregat al agenților
economici și tratează economia ca un întreg. Ea trebuie să răspundă la destul de multe întrebări, în care se regăsesc unele referitoare la stabilitatea activității economice, ca de exemplu: cât de stabilă este economia? Care sunt factorii care influențează stabilitatea? Care sunt factorii cauzatori de instabilitate? Cum putem interveni pentru a reduce instabilitatea? Ce rol are statul și instituțiile puterii publice în asigurarea stabilității creșterii economice? ([10])
De obicei, activitatea economică nu are o evoluție liniară și perfect previzibilă, ci una fluctuantă. Fluctuațiile întâmplătoare sunt cauzate de factori cu acțiune accidentală sau întâmplătoare, de evenimente neașteptate sau neobișnuite cum ar fi: cataclisme naturale, evenimente social-politice deosebite sau de decizii neașteptate ale unor agenți economici. ([10])
Fluctuațiile sezoniere sunt determinate de o multitudine de cauze, atât naturale, cât și economice sau sociale, precum: variația anotimpurilor, obiceiuri și tradiții, sărbători religioase sau laice etc. ([10])
Fluctuațiile ciclice sunt independente de variațiile întâmplătoare și cele sezoniere și au un grad de repetabilitate, ce ține de funcționarea activității economice și de interdependența dintre parțile sale. Fluctuațiile ciclice semnifică acele forme de mișcare ondulatorie a activității economice dintr-o țară în care fazele de expansiune se schimbă pe rând cu cele de descreștere și stagnare. Ele se consideră a fi o formă de evoluție normală a activității economice, cu ajutorul căruia se asigură continuitatea și schimbările calitative în economie. ([10])
Evoluțiile ciclice se pot evidenția pe baza analizei datelor care exprimă activitatea la nivel macroeconomic. Fluctuația ciclică se manifestă prin repetabilitatea în timp a fazelor și schimbarea stării și performanțelor agregate ale economiei, de la o fază la alta. Unitatea de măsură a timpului în care se înlănțuie fazele evoluției ciclice poartă denumirea de ciclu economic. ([10])
Ciclul economic semnifică o repetare în timp și o schimbare periodică a condițiilor dar și a rezultatelor activității economice, și cuprinde două faze (expansiune și recesiune) și doua puncte de tranziție (apogeu și depresiune). ([10])
Fig. 3.3. Ciclul economic
Expansiunea reprezintă acea fază a ciclului economic, specifică prin sporirea producției, creșterea veniturilor agenților economici și intensificarea creditului sau mai bine spus, prin creștere a gradului de ocupare a resurselor și a cererii agregate. ([10])
Recesiunea este o fază a ciclului economic definită prin restrângerea nivelului producției, prin mărirea prețurilor fără ca această creștere să fie dublată de o creștere a populației și a productivității, cu un nivel scăzut al investițiilor, dar și printr-o ofertă scăzută de locuri de muncă și o reducere a cererii agregate. ([10])
Apogeul semnifică momentul în care agenții economici lucrează la capacitatea lor maximă, cererea agregată este mare, iar rata reală a șomajului se apropie de rata sa naturală.
Depresiunea este punctul în care cererea agregată atinge un nivel destul de scăzut, investițiile nu mai sunt vrute de agenții economici, producția se indreaptă spre un nivel minim al potențialului, este redus nivelul de ocupare al locurilor de muncă iar rata șomajului este destul de ridicată. ([10])
În cazul în care caracterizarea expansiunii se realizează prin sensul ascendent al nivelului agregatelor și indicatorilor cu semnificație pozitivă pentru suncționarea economiei, atunci recesiunii îi este definită descreșterea lor. De asemenea, apogeul și depresiunea caracterizează momentele în care se schimbă sensul dinamicii agregatelor și indicatorilor macroeconomici. ([10])
4.2. Tipurile ciclurilor economice
Ciclul scurt
Ciclul scurt ( denumit și ciclul stocurilor sau Kitchin minor) se desfășoară în interiorul unui ciclu decenal, între două puncte de depresiune și ajută la modificarea aplitudinii ciclului propriu-zis. El redă o mișcare ciclică desfăsurată în interiorul unei perioade ce ține până la patruzeci de luni și afectează atât anumite ramuri cât și nivelul de ansamblu al ramurilor economice. ([10])
În ciclurile scurte întâlnim două faze: expansiunea și încetinirea creșterii economice. În faza de expansiune, care este dominată de optimismul producătorilor, se produce creșterea producției, deși ea nu este însoțită de creșterea efectivă a cererii. Prin urmare, încep să se acumuleze stocuri. Când aceste stocuri ating un nivel prea ridicat, se instalează faza de încetinire a producției, toate acestea din dorința de micșorare a stocurilor acumulate peste nivelul considerat optim din punct de vedere economic.
Ciclul decenal
Acest ciclu mai este denumit și ciclul Juglar sau ciclu pe termen mediu. Caracterizarea lui se efectuează, de obicei, prin compararea creșterilor economice reale, cu creșterile economice potențiale. Creșterea economică reală arată sporul efectiv al producției naționale, exprimat prin ratele anuale de sporire a rezultatelor macroeconomice și prin indicatorii consacrați în acest sens ( PIB, PNB sau Venitul național). Creșterea economică potențială redă sporul anual al capacității unei țări de a produce, această capacitate constând atât din cantitățile de resurse suplimentare ce pot fi aduse în activitățile economice, cât ți din sporul de eficiență cu care pot fi folosite resursele.
Creșterea economică este schimbătoare atât față de potențial, cât și față de perioadele trecute. Acest lucru înseamnă că, în următorii ani, economia înregistrează rate înalte de creștere a venitului național și astfel parcurge o perioadă de prosperitate. În mod contrar, în alți ani, economia va cunoaște rate scăzute de creștere sau chiar a venitului, trecând peste o perioadă slabă de afaceri. ([10])
Ciclul secular
N.D.Kondratieff a formulat ideea existenței ciclurilor lungi, seculare și a analizat serii de date statistice-pentru Anglia, Franța, SUA, Germania- cu privire la prețuri, rata dobânzii, salarii, comerț exterior, energie și producția de minereuri. De asemenea pune în evidență o serie de mișcări cronologice, ondulații de foarte lungă durată, care sunt prelungite pe aproximativ o jumătate de secol. De obicei, ciclurile lungi mai sunt nimite și cicluri seculare, din cauza faptului că o fază ascendentă și una descendentă durează cam o jumătate de secol, iar pentru a avea de-a face cu un ciclu complet, nu doar cu o simpla unde, va fi necesară repetarea ei care acoperă perioada unui secol. ([10])
Precum orice ciclu, un ciclu secular are ca punct de start o culminație și un punct de sosire, în care determinarea este aproximativă. Prima și ultima dată se marchează începutul creșterii și al sfârșitului descreșterii fiecărui ciclu, iar ca punct culminant se semnalează data mediană, care reprezintă locul de schimbare a sensului tendinței seculare.
Kondratieff studiază mișcări ciclice ce pot fi împărțite în mai multe perioade: o perioadă de expansiune de aproximativ două decenii, una de recesiune primară și plafonare care durează aproximativ 10 ani, asta înainte de a fi declanșată o depresiune de circa două decenii. Ele pot fi restrânse în două faze: faza ascendentă și ce descendentă. ([10])
Faza ascendentă se manifestă prin preponderența anilor de prosperitate economică, ritmuri înalte de creștere a venitului național, a investițiilor, a vânzărilor de bunuri și de creșterea veniturilor reale. Faza descendentă se caracterizează prin reducerea ritmului de creștere sau chiar stagnare a lui, înrăutățirea gradului de ocupare, iar fenomenele negative din economie se accentuează. ([10])
Cicluri specifice
În această categorie se evidențiază ciclurile “intermediare” , ciclul de construcții și ciclul agricol, toate bazate pe confruntarea dintre funcția de cerere instantanee și functia de ofertă întârziată, ca urmare a specificului producției. ([10])
În jurul anului 1930, ciclurile Kuznets, denumite după numele autorului și semnate pentru prima dată, face referire la oscilațiile de lungă durată care afectează construcția de clădiri și alte serii cronologice, având o durată medie ce variază între 15 și 25 de ani.
Aceste cicluri Kuznets prezintă un interes particular, deoarece par să implice trei factori:
variații în ofertă de mână de lucru și alte resurse ale economiei;
variații tendențiale ale productivității, ce influențează eficacitatea cu care sunt utilizate resursele;
intensitatea medie a utilizării resurselor și, mai ales, variații ale ratei șomajului. ([10])
Recensiunile produse în intervalul caracterizat și evidențiate de scăderea producției în
industria construcțiilor sunt profunde și țin mai mult timp, iar reluarea activității este amânată de influența nefavorabilă exercitată de declinul activității. În mare parte, fazele descendente ale ciclului Kuznets sunt neutralizate prin instrumente și măsuri specifice, care reies din politicile monetare și bugetare adecvate, cum a fost în cazul ciclurilor economice. ([10])
4.3. Cauzele fluctuaților activității economice
Fluctuațiile ciclice sunt legate cu ajutorul teoriilor exogene de factori, mișcări și evenimente exterioare sistemului economic, cum ar fi: fluctuații ale mediului ambiant( “teoria petelor solare” a lui W.S. Jevons), războaie, revoluții, incidente politice, descoperiri de zăcăminte aurifere, variații în rata creșterii populației, deosebite descoperiri și invenșii științifie și tehnice etc. ([10])
După anii 1933, economia nu poseda capacitatea de autoreglare cu ajutorul economisirii și a investițiilor chiar dacă forța de muncă era utilizată din plin. Ca urmare, ciclul decenal a fost demonstrate prin cause de tip endogen-exogen. Câteva circumstanțe exogene ale factorilor interni sistemului economic împreună cu aceștia au fost considerate cause ale ciclicității. În cazul în care sistemul economic conține mecanisme destabilizante și factori exogeni precum condițiile naturale, sociale, politice și așa mai departe, ele pot accentua sau atenua fluctuațiile ciclice. ([10])
Teorii endogene
Teoria ciclului reinvestițional
Această teoria a fost elaborată de către G. Haberler și susține că mișcarea ciclică are la bază procesul de înlocuire a echipamentelor de producție, care este destul de amplu în unele perioade și nesimnificativ în altele. ([10])
Teoria subconsumului
Această teorie are ca inițiatori pe Th. Malthus și S. Sismondi, dar a fost dezvoltată mai târziu de Hobson, Foster, Sweezy și Catchings. În principiu, teoria susține că subconsumul este principala cauză ce produce rupturi pe direcția creșterii economice, declanșându-se un nou ciclu. Potrivit premisei de la care pornea Malthus, consumul poate fi insuficient în raport cu producția, iar pentru a putea fi sporit, trebuiesc întreprinse măsuri de creștere a ocupării. De asemenea, el critică legea lui Say, din cauza faptului că oferta de factori și oferta de bunuri nu pot determina, de la sine, cererea pe piață, iar creșterea demografică nu poate încuraja producția numai în cazul în care este este însoțită de o cerere efectivă de muncă. Pe de altă parte, Sismondi apreciază subconsumația ca fiind legată de repatiția inegală a veniturilor între principalele clase sociale, veniturile personale ale celor favorizați, respectiv economiile, trecând peste posibilitățile de investire. De obicei, el crede că subconsumul și excesul de economisire pasivă redă apariția crizelor de supraproducție, din cauza faptului că oferta globală nu este absorbită de cererea globală. ([10])
Teoriile monetare
Sunt elaborate de-a lungul timpului de W. Sombart, C. Juglar, M. Friedman și fac din excendentul sau neajunsul masei monetare și a creditului, principala cauză a fluctuațiilor economice. Se menține ideea că la baza crizelor de supraproducție stă o emisiune excesivă de monedă, care obține creșterea prețurilor, care la rândul lor încurajează producția. După o anumită perioadă de timp, stocul de monedă este depășit de creșterea producției, lucru ce conduce la criză. ([10])
Teoria subinvestiției sau a supracapitalizării
A fost formulată de L. Von Mises și Fr. Von Hayek și consideră că recensiunile sunt provocate de excesul de investiții. Hayek dă varianta finală a teoriei supracapitalizării, care este, în același timp, o teorie monetară, adică atribuie originea ciclurilor politicii de credit a băncilor și o teorie tehnică, deoarece factorul monetar acționează asupra producției, a cărei structură produce o instabilitate între bunurile de producție și bunurile de consum. ([10])
Teoria inovației
Este elaborată de J. Schumpeter, Hobson, S. Kuznets și explică ciclul economic prin concentrări , într-o anumită perioadă de timp, a unor investiții importante. S. Kuznets are în vedere în analiza sa, relația dintre aplicarea în producție a cercetării științifice și nivelul productivității muncii. Prin substituirea muncii manuale cu mașini, are loc o mare creștere a productivității muncii. J. Schumpeter descoperă cinci feluri de inovații: ([10])
apariția unui bun nou;
identificarea unei metode de producție mai eficiente, pentru obținerea unui produs existent;
descoperirea unei noi metode de organizare a desfășurării activității;
găsirea unor noi surse de procurare a materiei prime;
descoperirea unei piețe noi. ([10])
Teoria ciclului economic de echilibru
Fiind elaborată de R. Lucas, R. Barro, T. Sargent ea reprezintă o percepție greșită a
evoluției salariilor, dar și a prețurilor, lucru ce face ca oferta de muncă să fie prea mare sau prea mică, conducând la fluctuația ciclică a nivelului producției și ocupării. Una dintre variantele acestei teorii susține faptul că șomajul crește în perioadele de recesiune, deocarece muncitorii au salaarii prea mari. Spre deosebire de ei, adepții teoriei ciclului economic real susțin faptul că șocurile pozitive sau negative asupra productivității, dintr-un anumit sector, se pot împărți în celelalte sectoare ale economiei, producând fluctuații. Pe de altă parte, P.A. Samuelson a elaborat un model al evoluției ciclice bazându-se pe interdependența multiplicatorului și a acceleratorului, acțiunea îmbinată a celor două fiind cauza principală care poate determina expansiunea și depresiunea ciclică. ([10])
Totuși acest model se bazează pe sectorul real al economiei și scoate din discuție variabilele monetare. În primul rând el pornește de la premisa că acceleratorul determină investițiile pe baza creșterii prevăzute a venitului și cererii, iar la rândul lor, investițiile determină creșterile de venit în raport cu teoria multiplicatorului. Sau, în sens invers, investiția iți produce efectul de multiplicare, iar el la rândul lui produce noi efecte multiplicative asupra venitului, care, din nou, accelerează investiția. ([10])
4.4. Modele matematice
Matematica aplicată în economie cuprinde două căi foarte importante și anume una care utilizează modele matematice pentru a contrinui la studiul calitativ al fenomenelor economice și alta în care matematica este folosită la analiza aspectelor cantitative din practica economică. Astfel, în acest fel, pentru a verifica consistența unei situații economice și pentru a dezvălui noi relații a fost introdus conceptul de model.Acest concept a fost pun în aplicare pntru prima oară cu sensul folosit de noi azi în anul 1868 de către matematicianul italian Beltrami, contruiind un model euclidian pentru o geometrie neeuclidiană. ([1])
În zilele noastre, metoda modelării e utilă în învățământ, în știință, artă, proiecte etc, multe dintre modele fiind hărți, mulaje, desene, machete etc ,care ajută mai mult pentru înțelegere și mai puțin pentru cunoașterea originalelor.
În continuare voi prezenta câteva exemple de aplicații care utilizează modelele matematice în economie și industrie și rezolvarea lor manuală sau cu ajutorul unor soft-uri matematice specifice. ([1])
Exemplul 1. ([1])
O firmă importă componente necesare pentru montarea a două tipuri de calculatoare: PC1 și PC2. După vânzarea unui produs PC1 firma are un profit de 50 u.m (unități monetare: lei, euro, dolari), iar după vânzarea unui produs PC2 firma are un profit de 40 u.m. Pentru asamblarea unui PC1 sunt necesare 3 ore, iar pentru un PC2 5 ore. Firma are la dispoziție într-o săptămână 150 de ore. Firma are în stoc numai 20 de monitoare pentru PC2 , ceea ce înseamnă că pot fi montate cel mult 20 de calculatoare PC2 pe saptămână. Spațiul în care sunt depozitate calculatoarele este de 30 m2 . Un PC1 ocupă 0,8 m2, iar un PC2 0,5 m2. Firma dorește să aibă un plan de producție pentru saptămâna ce urmează și anume să stabilească numărul de calculatoare PC1 și PC2 ce vor fi asamblate, astfel încât să aibă un profit maxim.
Vom considera că toate calculatoarele montate se vor vinde, iar resursele rămase (ambalaje, monitoare pentru PC1 etc) sunt încă la firmă. ([1])
Pentru început, am sintetizat datele într-un model matematic din tabelul de mai jos.
Tabelul 4.1. Modelul matematic ([1])
În continuare, vom prezenta etapele modelului matematic.
Etapa 1. Identificarea variabilelor și a unităților de măsură. ([1])
În problema noastră se cere sa află câte calculatoare de fiecare fel se vor monta, adică planul de producție. Variabilele de decizie (VD) sunt necunoscutele problemei și cele care se vor monta saptămâna următoare vor fi:
x1=numărul calculatoarelor PC1 ;
x2=numărul calculatoarelor PC2.
Astfel, cu ajutorul acestor variabile de decizie se va contrui modelul matematic.
Etapa 2. Formularea profitului total, ce urmează a fi maximizat, printr-o funcție numită funcție obiectiv. ([1])
Știind că profitul pentru un PC1 este de 50 u.m., iar firma produce un număr x1 calculatoare PC1, profitul pentru toate cele x1 calculatoare este 50×1. Analog, profitul pentru cele x2 calculatoare PC2 este de 40×2.
Rezultă că funcția obiectiv este:
(4.1)
Etapa 3. Exprimarea restricțiilor([1])
Aceste restricții sau constrângeri sunt niște condiții ce trebuiesc satisfăcute în raport cu resursele, condițiile de fabricație, de vânzare, adică exprimă condițiile în care procesul studiat se desfășoară.
Restricții
Restricția cu privire la asamblare (resursa 1)
1. 3×1+5×2 150 ore
Restricția cu privire la spațiul de depozitare (resursa 2)
2. 0,8×1+0,5×2 30 m2
Restricția cu privire la numărul de monitoare pentru PC2 (resursa 3), restricție ce condiționează numărul de PC2 ce vor fi asamblate:
3. x2 20
Etapa 4. Condiții de nenegativitate([1])
Aceste condiții sunt necesare pentru variabilele de decizie, în primul rând datorită felului în care se interpretează (număr de calculatoare) și în al doilea rând datorită metodei de aflare a soluției optime.
x1 0, x2 0
Astfel, în aceste condiții, modelul matematic al problemei noastre, exprimat cu ajutorul variabilelor de decizie x1 și x2 este următorul:
I. Funcția obiectiv:
II. Restricții:
1. 3×1+5×2 150 (ore)
2. 0,8×1+0,5×2 30 (m2)
3. x2 20 (nr. de milioane)
III. Condiții de negativitate
x1 0, x2 0
Vom arăta că soluția optimă a acestei probleme este:
Vom fabrica un număr de
având un profit maxim de 1980 u.m. Acest lucu demonstrează faptul că pentru niciun alt plan de producție nu vom putea avea un profit mai mare de 1980 u.m. ([1])
Rezolvarea problemei cu ajutorul soft-ului WinQSB
Pentru a rezolva problema cu WinQSB, vom alege modulul Linear and Integer Programming (Fig. 3.4).
Fig. 3.4 Modulele WinQSB
În continuare, din meniul File→New Problem (Fig. 3.5).
Fig. 3.5 Începerea unei probleme noi
După ce specificăm numărul de variabile și de constrângeri, respectiv 2 și 3, criteriul pentru funcția obiectiv, de maximizare și tipul variabilelor, respectiv întregi ( Nonnegative Integer) în fereastra de dialog deschisă (Fig. 3.6), vom introduce datele problemei în formă matriceală. (Fig. 3.7)
Fig. 3.6 Fereastra de dialog la începutul problemei
Fig. 3.7 Datele introduse în formă matriceală
Avem două opțiuni de aflare directă a soluției finale. Una prin aflarea soluției direct, selectând Solve the Problem din meniul Solve and Analyze (Fig. 3.8) și încă o metodă prin vizualizarea pașilor parcurși în rezolvarea problemei-Solve and Display Steps din același meniu. Noi vom rezolva problema prin aflarea soluției direct.
Fig. 3.8 Rezolvarea problemei
În cazul în care problema are soluție, va apărea o fereastră ce va indica acest lucru, după ce problema a fost rezovată.(Fig. 3.9)
Fig. 3.9 Găsirea soluției optime
Soluția găsită prin metodele de mai sus, arată faptul că firma se va încadra în restricțiile impuse ( Numărul de ore de asamblare, spațiul de depozitare și numărul de milioane) și va obține un profit maxim de 1 980 u.m dacă va produce 30 de calculatoare PC1 și 12 calculatoare PC2. (Fig. 3.10)
Fig. 3.10 Soluția optimă a problemei
Exemplul 2. ([4])
O firmă produce jenți și anvelope. Pentru o jeantă sunt necesare 2 ore pentru decupare, 1 oră pentru deformare și 3 ore pentru șlefuire. O anvelopă are nevoie de 2 ore pentru decupare, 2 ore pentru deformare și 1 oră pentru finisare. Firma are la dispoziție în fiecare zi 140 de ore pentru decupare, 120 de ore pentru deformare și 150 de ore pentru finisare. Câte jenți și anvelope ar trebui să producă firma pentru a-și maximiza profitul, știind că pentru o jeantă produce un beneficiu de 10 u.m., iar pentru o anvelopă 8 u.m.
Rezolvare
Pentru a putea rezolva problema de programare liniară, mai întâi o vom trece în forma tabelară, iar apoi în forma matematică.
Tabelul 4.1. Forma tabelară ([4])
Forma matematică
Vom nota cu x= numărul de jenți produse și cu y= numărul de anvelope. Forma matematică a constrângerilor date de orele de manoperă disponibile este:
Decupare: 2x+2y 140
Deformare: x+2y 120
Finisare: 3x+y 150
x 0, y 0
Scopul nostru este să maximizăm profitul. În acest fel, funcția profitului, numită și fucție obiectiv este:
P=10x+8y
Pentru a rezolva această problemă cu metoda grafică, mai întâi vom analiza fiecare
constrângere, pentru a stabili grafic zona în care se află soluția problemei. Într-un sistem cartezian, în care pe abscisă precizăm numărul jenților produse, iar pe ordonată numărul anvelopelor, vom trasa dreptele corespunzătoare constrângerilor.
Fig. 3.11 Constrângerea impusă de decupare ([4])
Pentru a verifica ce parte a planului împărțit de această dreaptă, verificăm mai întai dacă originea sistemului satisface constrângerea. 2*0+2*0 140. După cum observăm, relația este adevărată, deci punctele aflate în partea de sub dreapta constrângerii, satisfac cerințele problemei.
Analog vom proceda și pentru celelalte constrângeri.
Fig. 3.12 Constrângerea impusă de deformare ([4])
Fig. 3.13 Constrângerea impusă de finisare ([4])
Contrângerile de nenegativitate, precum și contrângerile reprezentate grafic în figurile de mai sus, reduc zona în care se află punctele ce satisfac condițiile problemei la cea hașurată (ABCD) din figura de mai jos.
Fig. 3.14 Zona punctelor care satisfac contrângerile ([4])
Pentru a afla soluția optimă, vom trasa dreapta funcției obiectiv, prin acordarea unei valori arbitrare lui z. Această dreaptă, reprezentată prin linie punctată, va fi deplasată paralel cu ea însăși cât mai departe de origine, pentru că avem o problemă de maxim. Din figura de mai sus, observăm că soluția problemei va fi în unul din colțurile suprafeței hașurate (ABCDE). În acest fel, vom calcula valoarea funcției obiectiv pentru fiecare din colțurile zonei hașurate din figura. După cum observăm din figura 3.14, punctul de coordonate (40,30) reprezintă soluția problemei, având funcția obiectiv valoarea:
P=10*40+8*30=400+240= 640 u.m.
Rezultă că firma va produce 40 de jenți și 30 de anvelope.
Exemplul 3 ([4])
Se dă următoarea problemă de programare liniară:
z = 2×1 + 3×2 + 4×3 → MAX
x1 + x2 + x3 30
2×1 + x2 + 3×3 60
x1 – x2 + 2×3=20
xj 0, j=1,2,3
a) Scrieți problema în forma standard. Explicați de ce problema NU este în formă tabelară.
b) Adăugați variabilele artificiale necesare pentru a obține prima formă tabelară și corectați funcția obiectiv unde este nevoie.
c) Rezolvați problema prin metoda simplex.
d) Specificați ce schimbare ar trebui facută astfel încât să urmăriți minimizarea funcției obiectiv.
Rezolvarea manuală
a) Pentru ca problema să fie adusă la forma standard vom introduce variabilele de compensare s1 și s2, astfel încât resricțiile să se transforme din inegalități în egalități.
z = 2×1 + 3×2 + 4×3 → MAX
x1 + x2 + x3 + s1 = 30
2×1 + x2 + 3×3 -s2 = 60
x1 – x2 + 2×3 =20
xj 0, j=1,2,3
Această formă nu este și tabelară din cauza faptului că în a 2-a și a 3-a restricție nu avem variabile cu coeficient +1 într-una singură și coeficient 0 în celelalte.
b) Pentru ca problema să fie adusă la forma tabelară, vom adăuga variabilele artificiale a1 pe linia a 2-a și, respectiv, a2 în linia a 3-a. Vom modifica și funcția obiectiv prin adăugarea de variabile noi multiplicate cu coeficientul –M. În acest fel, forma tabelară va arăta astfel:
Tabelul 4.2. Forma tabelară ([4])
Pentru că a2 este o variabilă artificială, care va deveni o variabilă secundară, îi vom abandona coloana.
c) Iterația a 2-a
Tabelul 4.3. Iterația a 2-a ([4])
Tabelul 4.4. Iterația a 3-a ([4])
Tabelul 4.5. Iterația a 4-a ([4])
Rezultă că soluția optimă este x1=0; x2=40/3, x3=50/3, s1=0, s2=55/3, iar valoarea optimă este z=320/3.
d) Putem transforma problema într-o problemă de minimizare prin schimbarea valorii coeficienților variabilelor de la –M la +M . ([4])
Teorii și modele ale creșterii economice
([5])
Primele idei cu privire la viața economică în general au apărut cu mii de ani înaintea lui Hristos. Conform multor studii, primele acțiuni de gandire asupra realității economice au apărut în statele Orientului și Egiptului Antic în cadrul general al organizării vieții statale și sub impulsul inițiativei private. Acest impuls face referire la impulsul dat gândirii economice de activitățile comerciale al poporului fenician, colonizările grecești etc. Primele idei cu aspect economic s-au rezumat la credit, contribuții, vămi etc. La început elementele gândirii economice au apărut în lucrările cu caracter juridic. Potrivit codului lui Hamurabi societatea se compunea din
aOamenii liberi cu destul de multe drepturi, printre care dreptul de proprietate imobiliară, de a face comerț și de a se bucura de privilegii.
bSubordonații reprezentând acei oameni liberi sau sclavi eliberați care dispuneau de proprietate mobiliară.
cSclavii- sunt oamenii supuși fără proprietate și fără drepturi cetățenești. ([5])
De asemenea, acest cod cuprindea prevederi referitoare la dobânzi, salarii, durata muncii etc. și urmărea închegarea statului și a proprietății sclavagiste.
Biblia-conține o serie de gândiri economice, cu orientare socială largă având ca scop principal apărarea populației sărace și realizarea armoniei sociale. Ea include prescripții în ajutorul celor săraci, urmărește interzicerea și limitarea nivelului dobânzii, impune condițiile de returnare a creditelor, de redistribuire a pământurilor, de eliberare în anumite cazuri a sclavilor etc. ([5])
Gânditorii antici au cea mai mare contribuție cu ajutorul reflecțiilor de natură economică la elaborarea gândirii economice din antichitate.Grecia împreună cu orașele sale cetăți a fost un cadru favorabil dezvoltării unei activități economice bogate și diversificate care a ajutat foarte mult gândirea în acel domeniu. ([5])
Totodată, noțiunea de Economie Politică vine din partea grecilor. Progresul gândirii umane în metropola inteligenței grecești din secolele V-III î.e.n., ATENA, are ca rezultat primele noțiuni economice. De asemenea Atena a practicat asupra Mediteranei și împrejurimilor sale prin comerțul marin, politica și moneda sa, o influență puternică care poate fi comparată numai cu cea a Marii Britanii asupra coloniilor sale în secolul al XIX-lea. ([5])
XENOFON (430-355 î.e.n.)- istoric, filozof și scriitor, discipol a lui Socrate (469-399 î.e.n). Printre cele mai cunoscute lucrări ale sale amintim: “Oeconomikos” și “De Vestigalibus”. În prima lucrare, el susține că :
-conturează regulile unei bune gestiuni financiare;
-coordonează împărțirea muncii, profiturilor și a baniilor;
-e preocupat de agricultură, tratând problemele din această ramură din punct de vedere al culturii țarănești mici și mijlocii al tehnicii necesare unei bune agriculturi etc;
-spune că agricultura stă la baza bunăstării economice (precedându-i pe fiziocrați);
-bogăția în concepția lui este un mijloc și nu un scop, ea e utilă numai în măsura în care este utilizată doar în conformitate cu nevoile. ([5])
PLATON (427-347 î.e.n.) – felul lui de a-și exprima ideile este sub forma dialogurilor. Cele mai importante lucrări ale lui au fost: Republica, Protagora, Banchetul, Sofistul.
Critică vehement marele comerț: comerțul mercantil și camăta și se ridică împotriva îmbogățirii și acumulării exagerate ale averilor;
El consideră că o societate se compune din 3 clase:
Clasa filozofilor –una superioară,dominantă și conducătoare;
Războinicii,militarii;
Clasa producătorilor (cei din agricultură,meșteșugarii și cei din comerț);
În concepția lui Platon sclavii nu erau socotiți clasă socială. Visa la un stat agricol închis în care pământul să fie împărțit în loturi aproape egale între toți cetățenii așa încât să nu apară deosebiri foarte mari de avere, adică să nu existe nici oameni bogați, dar nici oameni săraci. Cu privire la bani, dorea un schimb limitat și o folosirea limitată a monedei, interzicerea cu desăvărșire a împrumuturilor, a comerțului exterior și a creșterii rapide a populației.
De asemenea, a exclus ideea de dezvoltare și evoluție, pe motivul că binele suprem este extrem și nu are nevoie de îmbunătățire. ([5])
ARISTOTEL(384-322 î.e.n.) – este numit și Stagiritul (după orașul natal Stagira) și este considerat cel mai mare geniu al antichitații. A fost fiu de medic,și-a făcut studiile în Atena și a fost educator a lui Alexandru Macedon.
Încearcă să găsească idealul celui mai bun stat, iar scopul statului și al comunitații era viață morală bună. După ideea lui Aristotel statul era format din:
oameni liberi;
sclavi.
Aristotel distinge 2 feluri de activități în cadrul statului:
1.Oeconomica – furnizarea produselor și folosirea lor în viața zilnică (din agricultură, păstorit, vânătoare și pescuit).
2.Chrematistica – arta de a obține bani (creditul, comerțul cu mărfuri).
El privea proprietatea privată ca fiind bazată pe natura umană, adică fiecare se îngrijește mai bine de bunurile sale decât un străin, iar proprietatea publică duce la neglijarea intereselor generale și la tulburarea armoniei sociale.
Meritul major al lui Aristotel, era acela că el a recunoscut viața economică demnă de un studiu special. Observă că prin intermediul monedei trebuie să se schimbe două mărfuri de valoare egală. Critică câștigurile din comerț și împrumuturile de bani cu dobândă, spunând că: ”banii nu fac pui”.
Gândirea economică în Roma Antică era preocupată de o singură ramură și anume agricultura.
Gânditorii romani au respins luxul și plăcerile, setea de bani și câștigurile care copleșeau societatea romană și au pus accentul pe o viață simplă și virtuoasă, ca a țăranului mic proprietar de altădată. ([5])
Cato cel Bătrân (234-149 î.e.n.) – s-a comportat ca un dușman apins al capitalului sub formă de bani și a cametei și s-a alăturat unei agriculturi bazată pe mica proprietate țărănească. De asemenea, consideră că agricultura este locul cel mai potrivit de a situa marele capital, cel mai rentabil plasament. ([5])
COLUMELLA ( 4 d.Hr -70 d.Hr.)- autor al unui mare tratat de agricultură “De rustica”, cel mai complet rămas din antichitate. Este părtașul micii proprietați în agricultură și aduce banilor o valoare determinată de condițiile economice care nu pot fi schimbate prin înțelegeri și prin legi juridice.
Rezultă că, romanii au adus aporturi majore în domeniul jurisprudenței, al organizării administrației, armatei, infrastructurii, artelor, dar în domeniul gândirii economice contribuția lor a fost nesimnificativă.
Istoric vorbind în Evul Mediu se situează doctrina creștină. Evul mediu n-a adus un progres semnificativ în dezvoltarea gândirii economice. Astfel, gândirea economică va fi inclusă o perioadă lungă de timp în doctrinele religioase, primii gânditori economici fiind clerici. Biserica a avut ca scop introducerea principiilor moralei sale în economie, principii de echitate în domeniul schimbului, creditului și monedei. ([5])
Doctrina prețului just – această doctrină a pus accentul pe ideea ca cele două părți ale schimbului să asigure în tranzacțiile lor o echivalență corectă, dar răspundea mai degrabă unui scop moral.
Prohibiția cametei – este doctrina interzicerii împrumutului pentru dobândă sau camătă, însă cu timpul, puterea economică a ecleziasticilor a crescut și ei însuși au devenit comercianți.
Condamnarea falsurilor monetare – este perioada în care falsificarea banilor era o practică foarte utilizată, iar din cauza asta regatele se conduceau după regula “moneda este făcută de prinț”- într-o altă ordine de idei, moneda nu are valoare intrinsecă ci valoarea este conferită prin voința prințului. De aici și teoria nominalistă a banilor. Moneda este deci un semn bănesc. Valoarea monedelor era determinată prin referirea la o monedă de referință de calcul sau de cont livra în care greutate era fixată mai mult sau mai putin arbitrar. Deprecierile monezilor în Evul Mediu au fost considerate ca prime semne ale unor stări cu caracter de inflație. ([5])
Nicolas Oresme a fost cel care a luat atitudine împotriva proprietății prințului asupra monedei.
În comparație cu biserica, influența nobilimii n-a fost exprimată într-un corp de doctrine bine închegate. Nobilimea a fost în pentru început proprietară funciară. Gândirea nobiliară susținea că funcțiile publice și carierele erau pur și simplu superioare carierelor industriale, bancare și comerciale. Din punctul de vedere al consumului, obiceiurile nobilimii, acestea incitau la cheltuială. ([5])
Corporațiile meșteșugărești au avut o influență mare asupra activității economice și anume:
-s-au preocupat de problemele economiei de schimb și a dobânzilor;
-se pronunțau pentru limitarea concurenței;
-au impus reguli stricte de calitate, etice, estetice, de onestitate față de clienți.
Deși nu au adus contribuții teoretice foarte bine puse la punct, corporațiile meșteșugărești au rezolvat o serie de aspecte practice care au creat cadrul dezvoltării pe baze noi a vieții economice și au stimulat și gândirea specifică. ([5])
5.1 Teorii și modele neoclasice de creștere economică
Modelele neoclasice de creștere economică precum și teoriile corespunzătoare lor sunt de gândire liberală și neoliberală. Teoriile de acest fel dar și modele sunt, în general, microanalitice (microeconomice) dar pot fi și macroeconomice.
Lucrând cu teoria factorilor de producție modelele neoclasice rezultă rezultatele producției (venitul) îndeosebi prin aportul a doi factori:
capitalul (K)
munca (L)
Economiștii neoclasici ai creșterii economice presupun că factorii de producție se pot înlocui. Pornind de la această idee, ei propun diverse combinații ale factorilor producției în obținerea rezultatului final. Expresa sintetică și formalizată a acestor preocupări o constituie funcția de producție Cobb-Douglas.([5])
Forma generală a ei este:
(5.1)
unde:
Y – variabila dependentă (rezultatul, volumul producției, venitul, etc.) ;
a – constantă ;
Xi – variabile independente (factorii de producție) ;
αi – coeficienți de elasticitate.
Acest lucru exprimă influența modificării variabilelor independente Xi asupra rezultatelor Y.([5])
Pentru cazul celor 2 factori de producție utilizați, funcția devine:
(5.2)
unde:
α – exprimă cu câte unități se modifică rezultatele (Y) la modificarea cu o unitate a factorului de producție muncă (L) ;
β – arată cu câte unități se modifică rezultatele (Y) la modificarea cu o unitate a factorului de producție capital (K) . ([5])
Modelul Solow-Swan examinează rolul pe care procesul tehnic îl are în modificarea proporției dintre factorii de producție și a calităților lor. Teoriticienii acestui model fac deosebirea între trei tipuri de proces tehnic:
Fig. 5.1. Tipuri de procese tehnice
Astfel, cu ajutorul acestei metode au fost emise ipoteze și au fost realizate investigații folositoare, cu privire la traiectoria optimă a producției și cea a acumulării de capital.([5])
5.2. Modelul input-output al creșterii economice
Acest tip de model are un avantaj dublu față de modelele de mai sus:
În primul rând, au o arie mult mai largă de informare teoretică și metodologică;
În al doilea rând, pun în discuție o problemă teoretică și practică deosebit de complexă și anume cea a interdependențelor dintre compartimentele structurilor din cadrul fiecărei economii naționale.([5])
Cel mai bun exemplu în acest sens îl constituie modelul input-output (balanța legăturilor dintre ramuri), elaborat de W. Leontief. ([5])
Meritul principal al modelelor economice structurale este acela că încearcă să cuantifice, cu ajutorul unor coeficienți, intensitatea fluxurilor între ramurile economiei naționale, dând elemente valoroase pentru aflarea condițiilor care se cer în vederea respectării unor proporții raționale în funcționarea normală a complexului economic.([5])
În acest model producția fiecărei ramuri, notată Xi, (i = 1, 2,…, n) este împărțită pe elementele de destinație: consum pentru producția proprie și pentru producția altor ramuri. Dacă notăm xij, j = 1, 2,…, n, partea din producția ramurii i care se consumă productiv, într-o anumită perioadă, în ramura j, atunci producția ramurii i se poate scrie sub forma unei ecuații:
XI= xi1+xi2+…+xin
(5.11)
Pentru i = 1, 2, … , n vom obține un sistem de ecuații care caracterizează relațiile de producție-consum din economie:
X1=x11+x12+…+x1n
X2=x21+x22+…+x2n
………………………
Xi=xi1+xi2+…+xij+…+xin
………………………….
Xn=xn1+xn2+…+xnn
(5.12)
Elementele xij sunt numite fluxuri interramuri, iar cantitatea din producția ramurii i cumulată de ramura j, împărțită la producția totală a ramurii j, este notată cu simbolul aij și se numește coeficientul intrărilor producției din ramura i în ramura j. ([5])
(5.13)
unde:
Xj- producția totală a ramurii j.
Știind că numărul ramurilor cuprinse în balanță este n, adică i=j, modelul matematic al sistemului închis poate fi susținut de următorul sistem de ecuații:
a11X1+a12X2+…+a1nXn=X1
a21X1+a22X2+…+a2nXn=X2
…………………………….
an1X1+an2X2+…+annXn=Xn
(5.14)
sau, sub o forma matriceală:
(5.15)
Conform celor de mai sus, rezultă că:
Suma coeficienților dintr-o coloană (după i=1; n) este egală cu 1
(5.16)
Suma totalurilor pe coloane (intrări) este egală cu suma totală pe linii (ieșiri) (după i=1; j=1; n): ([5])
(5.17)
sau:
(1-a11)X1-a12X2-…-a1nXn=0
-a21X1-(1-a22)X2-…-a2nXn=0
………………………………
-an1X1-an2X2-…-(1-annXn)=0
(5.18)
sau:
(1-A)X=0
(5.19)
Rezolvând sistemul de ecuații de mai sus vom obține proporțiile dintre necunoscutele X1,X2,…,Xn (producțiile globale ale ramurilor). Pentru a realiza un echilibru în sistemul închis, suma livrărilor (ieșirilor) fiecărei ramuri către celelalte trebuie să fie aceeași cu suma primirilor (intrărilor) de la celelalte.([5])
De asemenea, putem exprima volumul producției fiecărei ramuri în unități naturale sau valorice deci vom avea: ori balanță în expresie naturală, ori în expresie valorică.
Un rol important într-un tablou input-output îl au coeficienții intrărilor (aij) deoarece în funcție de ei se poate stabilii, pe baze aproape de realitate, influențele producției unei ramuri asupra altora cu care au relații de „intrare-ieșire”.
În continuare, vom prezenta un exemplu de Model Input-Output, într-o economie de tip închis care spunem că are trei sectoare: ([5])
Tabelul 5.1. Economie de tip închis([5])
În tabelul de mai sus, pe orizontală avem "IEȘIRI CÃTRE ALTE RAMURI".
Exemplul de utilizare a producției agricole.
Agricultura a produs 130 u.m. de produse agricole (output). 15 u.m. reprezintă autoconsumul ramurii agricultură (de exemplu, nutreț pentru animale). 50 u.m. sunt output orientat spre industrie și sunt consumate productiv acolo (laptele pentru producerea înghețatei). 20 u.m. sunt ieșiri (output) pentru sectorul serviciilor ca factori de producție de origine agricolă (restaurantele folosesc carne, unt, etc.). 45 u.m. sunt ieșiri spre populație (consumul familial de produse agricole). ([5])
Pe verticală avem "INTRÃRI DE LA ALTE RAMURI". Exemplul de cumpărări ale ramurii industrie.
Industria (agro-alimentară) utilizează 50 u.m. produse agricole intrate de la agricultură (laptele pentru înghețată). 50 u.m. produse (industriale) vor fi utilizate pentru autoconsum (pânză pentru cămăși). 50 u.m. vor fi intrări de la sectorul terțiar (transport, comerț, marketing, etc.). Industria a utilizat 150 u.m. sub formă de consumuri intermediare diverse (inputuri de la alte ramuri) pentru a obține o producție proprie de 190 u.m., din care 40 u.m. reprezintă valoarea adăugată.([5])
Consumul final apare ca cea de a (n +1) coloană, iar valoarea adăugat ca cea de a (n + 1) linie.De fapt, cea de a (n + 1) coloană și cea de a (n + 1) linie nu au același statut ca și cele n linii și n coloane, iar cele n linii și n coloane descriu de unele singure industriile cu tehnologiile date: agricultură industrie, terțiar.([5])
Astfel apare ideea lui Leontief de a creea un model deschis, cu coeficienți tehnici care reprezintă cantitatea unui input obligatorie pentru a obține o unitate de output.
Tabelul 5.2. Economie de tip deschis([5])
Leontief susține că acești coeficienți tehnici nu sunt asa sensibili la variațiile pe termen scurt. În aceste condiții ei pot să servească la calculele matriciale menite să pună bazele deciziilor de planificare a economiei naționale.
Modelele input-output sunt foarte utile în procesul creșterii economice, dar și al planificării, deoarece dă posibilitatea construirii de "scenarii alternative și comparative, fiecare dintre ele răspunzând unui ansamblu diferit de ipoteze referitoare la structura cererii finale, schimbărilor în valoarea coeficienților de input incorporați în diverși vectori coloană ai coeficienților fluxurilor de capital, sau alte combinații. ([5])
Unele dintre limitele acestor modele structurale sunt:
Nu ordonează ramurile economiei naționale după importanța lor, deoarece toate ramurile sunt egale ca importanță sau în politica economică aplicată situația este alta. De cauza asta, pentru a folosi balanța legăturilor ramurilor ca instrument de planificare, trebuie adăugate în model, ca variabile exogene, opțiunile de politică economică. În orice caz, prin balanță se pot verifica dacă sunt sau nu bine fundamentate opțiunile de dezvoltare "exogene".
Modelele input-output nu pot surprinde corespunzător toate acțiunile speculative din domeniul financiar;
Balanța legăturilor dintre ramuri este ca un model de analiză postfactum a realității economice și mai puțin un instrument de previziune, de anticipare.
Fiind elaborate cu mare regularitate, tablourile input-output la nivelul economiei naționale pot furniza informații prețioase asupra tendințelor de evoluție a vieții economice.([5])
5.3. Teoria și modelul HARROD-DOMAR
Primatul consumului și al cererii dominau teoria și modelul lui Keynes . Acestea și-au găsit expresia în principalul paramentru al modelului său „multiplicatorul investițiilor” (/ ).
Keynes a încercat să ne arate cum se poate ajunge într-o perioadă scurtă de timp la ocuparea deplină a forței de muncă. În același timp, el nu s-a preocupat de cercetarea condițiilor ce trebuie îndeplinite, pentru ca economia să continue să producă la acest nivel (pe termen lung).([5])
Prin analiza efectuată de modelul Harrod-Domar, se ajunge la concluzia că pentru a asigura ocuparea deplină pe termen lung trebuie îndeplinite două condiții:
1. În primul rând, în fiecare an, economia trebuie să investească cât este necesar pentru ocuparea totală a locurilor de muncă disponibile. Dacă investițiile scad sub acest nivel, cererea efectivă pentru a asigura ocuparea totală va fi insuficientă.
2. În al doilea rând, pentru a ne asigura ocuparea totală pe termen lung, ritmul venitului național trebuie să egalizeze creșterea numerică a forței de muncă plus creșterea productivității muncii.
Dacă în fiecare an, numărul lucrătorilor crește cu n%, iar productivitate individuală cu a%, atunci pentru a obține o ocupare totală a resurselor de muncă trebuie ca venitul național (Y) să crească anual cu (n+a)%. Adică
(5.3)
În cazul în care venitul național crește cu mai puțin decât atât, ocuparea nu va fi totală, adică vor exista șomeri.
Harrod introduce în modelul său noțiunea de „coeficientul marginal al capitalului” (Cm=ΔK/ΔY=l/ΔY) care reprezintă un parametru al producției și ofertei.([5])
Harrod și Domar elaborează un model dinamic de creștere economică, spre deosebire de modelul keynesist, care era static și explică faptul că într-o economie dinamică se modifică:
nivelul venitului;
condițiile fundamentale;
creșterea populației;
progresul tehnic;
productivitatea muncii.
Ceea ce îl interesează pe Harrod este necesarul de economii care urmează a fi transformat în capital pentru a obține o economie dinamică. În cazul în care condițiile fundamentale ale creșterii economice (creșterea populației și productivitatea muncii) sunt variabile independente, iar cunoștințele tehnice rămân neschimbate, atunci nevoia de capital va crește o dată cu creșterea populației și ea va putea fi satisfăcută dacă populația economisește o fracțiune constantă din venitul ei total. Mărimea acestei fracțiunii depinde de coeficientul capitalului, iar în cazul în care procesul tehnic este neutru, coeficientul rămâne constant. ([5])
Adică:
(5.4)
unde:
s, – înclinația marginală spre economisire (ΔS/ΔY);
– rata de creștere a populației;
Cm – coeficientul marginal al capitalului (ΔK/ΔY)
Astfel, după ce se stabilește nevoia de capital suplimentar (ΔK) necesar pentru ocuparea deplină a forței de muncă, Harrod urmărește să scoată în evidență factorii care determină „tendința spre economisire”. De asemenea, Harrod susține că teoria propusă de el presupune să împărțim economiile individuale în două părți:
cele necesare omului pentru satisfacerea nevoilor de-a lungul vieții sale;
cele destinate pentru moștenire.
Fig. 5.2. Tipuri de economii individuale
Pentru a obține „totalul tuturor economiilor societății…trebuie ca surplusul de economii al corporațiilor să fie adăugat la economiile particulare, care sunt determinate de motivele personale”.([5])
Conform modelului Harrod, în care avem coeficientul capitalului constant, rata acumulării este egală cu rata de creștere a populației. Rezultă că nevoia creșterii de capital (ΔK/K) va crește în același ritm cu creșterea populației, adică: ΔK/K = Δn/n. ([5])
Iar această creștere va fi satisfăcută dacă:
(5.5)
sau
(5.6)
sau dacă :
(5.7)
Harrod observă că între ritmul de creștere economică indispensabil utilizării maxime a principalelor resurse (și mai ales a forței de muncă ) și ritmul înregistrat în realitate, pot exista diferențe.([5]) Ecuația fundamentală a modelului său este:
(5.8)
sau
(5.9)
unde
G- rata creșterii economice (s,/Cm)
Cm – coeficientul marginal al capitalului (ΔK/ΔY).
S, – înclinația marginală spre economisire (ΔS/ΔY)
– productivitatea marginală a investițiilor (ΔY/Δl). ([5])
Relația de mai sus presupune că, în mod obligatoriu, toate economiile societății sunt investite.
Harrod distinge trei rate ale creșterii economice și anume:
Gw – rata garantată (warranted rate of growth);
Gn – rata naturală (natural rate of growth);
Gt – rata reală (true rate of growth). ([5])
Fig. 5.3. Tipuri de rate ale creșterii economice
“Rata garantată este acea rată care asigură investițiilor obținerea venitului dorit; rata naturală asigură ocuparea deplină a forței de muncă și utilizarea integrală a celorlalți factori de producție; iar rata reală este cea realizată efectiv.”([5])
Harrod îi dă ratei garantate (Gw) rolul de factor principal al echilibrului și creșterii economice. „Rata garantată dă ocazia ca oferta și cererea de mărfuri și servicii să rămână în stare de echilibru”. În același mod, atât Harrod, cât și Keyes, obțin din obținerea profitului scontat de întreprinzător, elementul hotărâtor al echilibrului. ([5])
Dacă :
(5.10)
atunci economia este perfect echilibrată, iar ocuparea resurselor de muncă este totală.
În cazul în care se elaborează teoria despre ratele garantate naturale și reale de creștere, Harrod presupune că în fața științei economice stau 2 sarcini principale :
lupta împotriva oscilațiilor ciclice ale producției ;
lupta împotriva depresiunii economice. ([5])
Harrod spune că din punctul de vedere al rezolvării primei sarcini, politica Keynesistă de manipulare a ratei dobânzii, nu este suficientă. Dobânda fiind o sumă foarte mică în comparație cu profiturile sau pierderile totale, care se înregistrează numai în condițiile oscilante ale prețurilor, propune crearea unui fond stabilizator de marfă, care să asigure schimbul unității monetare pe un sortiment permanent de mărfuri, terminând astfel oscilațiile ciclice ale prețurilor și ale producției. ([5])
Rolul fondului stabilizator este dublu:
în cazul unei crize de supraproducție statul trebuie să cumpere mărfuri, împiedicând reducerea producției și scăderea prețurilor.
în cazul unui boom trebuie să vândă marfă, astfel încât să prevenină creșterea foarte mare a prețurilor și creșterea exagerată a producției .
Sumele încasate din vânzări se vor amortiza cu cheltuielile de cumpărare, iar deficitul bugetar nu va crește foarte mult.
Cu privire la lupta înpotriva depresiunii cronice, Harrod, ca și Keynes, propune micșorarea ratei dobânzii. Harrod, însă, nu acceptă măsuri de politică inflaționistă, propunând emiterea de obligații de stat fără dobândă, iar cu ajutorul sumelor obținute să se crediteze economia, fără dobândă. În acest fel, statul ar lua de la populație economiile și le-ar transforma în investiții pe termen lung.
5.4. Modelul dinamicii mondiale și teoria „creșterii zero”
Profesorul american Jay W. Forrester a elaborat prima schiță de model global, în care a încercat să desprindă tendințele mondiale ale creșterii economice în primele șapte decenii ale secolului XX.
Ulterior, el împreună cu alti profesori de la Massachussetts Institut of Tehnology, elaborează în anul 1972 lucrarea “The Limita to Growth”, considerată primul raport către Clubul de la Roma, în care analizează cinci variabile ale creșterii economice și anume:
populația și dinamica ei;
capitalul, respective investițiile succesive de capital și procesul dezvoltării industriei la scară planetară;
producția agricolă mondială și alimentația;
consumul de resurse neregenerabile;
poluarea mediului natural.
În lucrare el apreciază că între cele cinci variabile ale creșterii economice avem legături strânse de interdependență. Utilizând tehnica modernă de calcul, autorii scot în evidență ritmurile creșterii economice la scară mondială în primele șapte decenii ale secolului XX, dar și tendințele înregistrate de cele cinci variabile.([5])
Concluzia rezultanță este una pozitivă. În cazul în care tendințele actuale de creștere a populației, a industriei, a poluării, a producției alimentare, dar și tendințele epuizării resurselor continuă neschimbate, limitele creșterii pe această planetă vor fi depășite în decursul următorilor o sută de ani”.([5])
Concluziile eliberate din lucrare se focusează pe ideea că în primele șapte decenii ale secolului XX a avut loc o creștere exponențială (prin înmulțire) a celor cinci variabile și că dacă tendința continuă, omenirea va declanșa în jurul anului 2100 „o prăbușire neașteptată și necontrolabilă”.([5])
Acesta se produce din cauza următoarelor împrejurări:
neajunsului de alimente pentru o populație care crește mai rapid decât producția agricolă (populația în proporție geometrică, producția agricolă în proporție aritmetică. Aici găsim idei din teoria lui Robert Thomas Malthus cu privire la populație);
neajunsului resurselor (sau cel puțin a celor neregenerabile) pentru dezvoltarea pe scară tot mai largă a industriei;
desfacerii echilibrului ecologic determinat de poluarea mediului natural ca o consecință a industrializării și a consumului individual.([5])
Soluția recomandată în raport constă în strategia "creșterii zero" (zero growth, teoria zegistă). Conform acestei strategii, trebuie luate măsuri ferme de menținere a echilibrului creșterii și dezvoltării la scară planetară pentru prevenirea catastrofei previzibile. Aceste măsuri au în vedere realizarea unui echilibru intre bucla pozitivă și bucla negativă a fiecărei variabile, fără ca aceasta să însemne stagnare economică.([5])
Ca un exemplu: investițiile suplimentare de capital să coincidă cu amortismentul capitalului fix în funcțiune; natalitatea să fie egală cu mortalitatea astfel încât sporul natural al populației să fie "zero"; etc. Astfel s-ar proteja resursele, s-ar îmbunătăți starea mediului ambiant, s-ar evita cercul vicios de tip malthusian și s-ar stabili corelații corespunzătoare între numărul populației și producția agricolă mondială, etc.([5])
Atât modelul dinamicii mondiale cât și teoria "creșterii zero" conțin importante elemente raționale:
Detăinuie caracterul devastator al creșterii economice accelerate și necontrolate promovată de țările avansate in primele șapte decenii ale secolului al XX-lea. Aceast lucru a dus la risipă de resurse și poluarea crescândă a mediului natural.
“Atrage atenția, în plină perioadă de expansiune economică, asupra caracterului restrictiv al mijloacelor dezvoltării. “ ([5])
Totodată cu aceste merite incontestabile, modelul prezintă și o serie de minusuri:
Diminuarea excesivă a lumii și a problematicii creșterii economice, prin încercarea de a explica totul cu ajutorul celor cinci variabile;
Omiterea diversității lumii prin tratarea variabilelor doar la nivel global. Nu se ia în considerare existența statelor naționale, condițiile economico-sociale, geografice specifice, etc.;
Făcându-se abstracție de progresele din domeniul științei și tehnicii, de modificările de structură, etc., modelul elaborează concluzii pesimiste, fataliste asupra viitorului;
Aplicarea măsurilor propuse de teoria "creșterii zero" ar rezulta, păstrarea nivelurilor de dezvoltare actuale ale țărilor, a decalajelor și a subdezvoltării. Din această privință modelul propus nu poate fi, sub nici o formă, acceptat.([5])
5.5. Teorii și modele globale de creștere economică
Conjunctura nerealistă a unor economii închise folosită de modelele micro sau macroeconomice și întărirea interdependențelor dintre economiile naționale în perioada postbelică, au dus la apariția unor probleme noi numite și globale, care determină creșterea la scară națională și mondială. Facem referire la aspecte cum sunt:
problemele resurselor energetice, dar și de materii prime;
fluxurile internaționale de mărfuri, bunuri (inclusiv metale prețioase) și de capital;
circulația mondială a mâinii de lucru ("exodul creierelor") ;
transferul de tehnologie ;
extinderea activității corporațiilor care depășesc granițele noastre ;
problemele mediului natural;
diversificarea fenomenelor de criză și agravarea lor .
Ca un răspuns la aceste probleme și mărind metoda sistematică de abordare a activității social-economice, a fost îmbogățit instrumentarul analitic de studiere a creșterii economice.([5]). Astfel, au apărut teorii și modele globale de creștere economică.
Această orientare a fost antrenată mai ales de organismele internaționale, printre care: O.N.U. și organizațiile ei specializate precum U.N.E.S.C.O., "Clubul de la Roma", "Clubul de la Paris”, „Fundația internațională pentru alternativele dezvoltării”, „Centrul de studii economică-sociale ale lumii a treia”, precum și unele fundații naționale de notorietate mondială: Fundația DAG HAMMARSKJOLD (Suedia), Fundația BARILOCHE (Argentina), etc.([5])
5.6.Teoria "creșterii organice" și modelul structurat (cu mai multe niveluri)
Ca răspuns la modelul global de mai sus și la teoria “creșterii zero”, în anul 1974
apare lucrarea “ Omenirea la răspântie” care menține conceptual de creștere organică.
Astfel, autorii Mihajlo Mesarovic și Eduard Pestel au studiat toate țările lumii prin prisma următoarelor cinci grupe de criterii:
1. Tradiții;
2. Stil de viață;
3. Nivel de dezvoltare economică;
4. Structurile social-politice;
5. Asemănarea problemelor cu care sunt confruntate.([5])
Pe baza criteriilor de mai sus, ei au alcătuit zece regiuni mai mult sau mai puțin omogene:
1. China.
2. America Latină;
3. Europa Răsăriteană, Rusia și țările foste U.R.S.S.;
4. Asia de Sud-est;
5. Australia, Africa de Sud și restul țărilor dezvoltate cu economie de piață;
6. America de Nord;
7. Africa de Nord și Orientul Mijlociu;
8. Europa Occidentală;
9. Japonia;
10. Africa Tropicală;
De asemenea, ei promit că diviziunea nu se va opri aici și că modelul va funcționa pentru fiecare în parte. ([5])
După cum se vede, cercetările au fost și sunt, foarte dificile deoarece se încearcă elaborarea unor modele de creștere economică în condițiile multicriteriale. În afară de influențele reciproce ale factorilor, legați de peste 100.000 ecuații, față de cele câteva sute din modelul Meadows, se ține seama și de decizia umană, capabilă să aleagă una din mai multe variante posibile. Modelul nu stabilește preferințele între alegeri, servind numai informația asupra consecințelor pe care un asemenea curs de acțiune le atrage.([5])
Modelul sistemului mondial structurat este unul deschis, și anume se presupune că există o familie de parametri și variabile care nu sunt menționate și care arată opțiunile grupurilor politice și sociale ce orientează evoluția sistemului. Acestea sunt variabile "libere" fără a specifica cărora nu se poate "prevedea" nimic și orice astfel de specificare conduce la alternative diferite de evoluție a sistemului.([5])
Înseamnă că demersul Mesarovic-Pestel este în primul rând un instrument de analiză de sistem a scenariilor ce vor urma decât de construcție predictivă. În aceste condiții modelul marchează o îndepărtare de la întrebarea "ce va fi în anul 2000?" spre alt mod de a pune problema: "ce consecințe va avea în anul 2000 acțiunea X sau acțiunea Y?".([5])
Rezultă că prin model se încearcă stabilirea unor acțiuni sau tendințe utile pentru ca anumite obiective să poată fi atinse.
Spre deosebire de creșterea nediferențiată prezentă în teoria și practica primelor șapte decenii ale secolului, aici se face apel la creștere organică, controlată.
Printr-o analogie cu natura (biologia), autorii fac distincție între creșterea economică nediferențiată (care ar avea loc prin înmulțirea cantitativă, exponențială a rezultatelor din fiecare domeniu) și creșterea diferențiată sau organică (controlată prin voință și obiective) care presupune schimbări calitative, îndeosebi structurale.([5])
În felul acesta noua concepție refuză strategia "creșterii zero" și se pronunță pentru continuarea unei creșteri de tip organic, controlată de oameni și adaptabilă la problemele complexe, prezente și de perspectivă.([5])
Studiul demonstrează că, o dată ce interdependența fenomenelor este prezentă, problemele nu se pot rezolva pe rând, ci în totalitatea lor, într-o viziune globală. Totuși se pledează cu tărie opțiunea pentru criteriile pe termen lung.([5])
În principiu, modelul Mesarovic-Pestel comunică un mesaj pozitiv care poate fi constituit punct de plecare pentru cercetări viitoare mai profunde și diferențiate în problemele abordate.([5])
Bibliografie
[1] Adina Rusu “Cercetări operaționale” Editura Junimea, Iași, 2007
[2] Gheorghe Boldur-Lățescu, Ion Săcuiu, Eugen Țigănescu, Cercetare operațională cu aplicații în economie, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1979
[3] Gh. Ciobanu, Floare Mustață, V. Nica, Virginia Mărăcine “Cercetări operaționale cu aplicații în economie” Editura Matrix Rom, București 1996
[4] L. Roșca, V. Grecu “Cercetări operaționale-Aplicații” Editura ULBS, Sibiu, 2009
[5] Popescu, Gh., Evoluția gândirii economice, ediția a II-a, Editura George Barițiu, Cluj-Napoca, 2002
[6] http://www.asecib.ase.ro/Nica/CO/doc/Capitolul4.doc
[7] http://www.asecib.ase.ro/Mitrut%20Dorin/Curs/bazeCO/html/13rolmod.htm
[8] http://ro.wikipedia.org/wiki/Optimizare
[9] http://ro.scribd.com/doc/49604989/Cap2-Tehnici-de-programare-liniara-si-neliniara
[10] http://www.feaa.uvt.ro/attachments/article/239/Macroeconomie%20-%20Cap%204.%20Cresterea%20si%20dezvoltarea%20economica.%20Fluctuatiile%20act~.pdf
[11] http://www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mo2007/c01.pdf
Bibliografie
[1] Adina Rusu “Cercetări operaționale” Editura Junimea, Iași, 2007
[2] Gheorghe Boldur-Lățescu, Ion Săcuiu, Eugen Țigănescu, Cercetare operațională cu aplicații în economie, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1979
[3] Gh. Ciobanu, Floare Mustață, V. Nica, Virginia Mărăcine “Cercetări operaționale cu aplicații în economie” Editura Matrix Rom, București 1996
[4] L. Roșca, V. Grecu “Cercetări operaționale-Aplicații” Editura ULBS, Sibiu, 2009
[5] Popescu, Gh., Evoluția gândirii economice, ediția a II-a, Editura George Barițiu, Cluj-Napoca, 2002
[6] http://www.asecib.ase.ro/Nica/CO/doc/Capitolul4.doc
[7] http://www.asecib.ase.ro/Mitrut%20Dorin/Curs/bazeCO/html/13rolmod.htm
[8] http://ro.wikipedia.org/wiki/Optimizare
[9] http://ro.scribd.com/doc/49604989/Cap2-Tehnici-de-programare-liniara-si-neliniara
[10] http://www.feaa.uvt.ro/attachments/article/239/Macroeconomie%20-%20Cap%204.%20Cresterea%20si%20dezvoltarea%20economica.%20Fluctuatiile%20act~.pdf
[11] http://www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mo2007/c01.pdf
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Teoria Matematica a Unor Modele de Dezvoltare Economica (ID: 148091)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.