Teoria Algebrica a Numerelor

Inele si module de fractii

Definitia modulelor de fractii

Inelele considerate in acest capitol vor fi presupuse inele unitare si comutative cu , morfismele de inele vor fi presupuse unitare, iar prin subinel al unui inel A se va intelege un subinel unitar, avand elemenul unitate egal cu elementul unitate din A.

Fie A un inel, E un A-modul si S un sistem multiplicativ in A (i.e si ). In multimea E x S definim urmatoarea relatie despre care se arata imediat ca este o relatie de ehivalenta: .

Notam cu x/s clasa de echivalenta a lui (x,s) si cu S-1E este deci multimea cit a lui E x S modulo relatia de echivalenta .

S-1E se poate organiza cu o structura de A-modul, definind

Evident, trebuie verificat ca definitia adunarii si inmultirii cu scalari este independenta de alegerea reprezentantilor, ceea ce nu prezinta nici o dificultate. S-1Ese numeste modul de fractii al lui E relativ la sistemul multiplicativ S.

Observam ca daca 0єS, atunci orice doua elemente (x,s) si (y,t_ din ExS sunt echivalente caci 0(tx-sy)=0, deci S-1E=0; iar daca S este format numai din nedivizori ai lui 0, atunci: (x,s)~(y,t)tx-sy=0.

Aplicatia canonica φ:E-> S-1E definita prin φ(x)=x/1 este evident un morfism de A-module, iar Ker φ={xєE|sєS cu sx=0}.

Daca constructia de mai sus o executam asupra lui E=A, obiectul care ia nastere S-1A are o structura de inel, definind .

Acest inel S-1A se numeste inelul de fractii al lui A relativ la sistemul multiplicativ S; este clar ca pentru orice A-modul E, S-1E are o structura canonica de S-1A-modul, definind .

Aplicatia canonica φ:S-> S-1A este un morfism de inele care este injectiv daca de exemplu S nu contine nici un divizor al lui zero. Daca acum I este un ideal al lui A, vom nota cu S-1I modulul de fractii al lui A-modulului I reativ la S. Este clar ca S-1I==I S-1A, adica S-1I este extinderea idealului I la S-1A via morfismul φ.

Reamintim ca daca u:A->B este un morfism de inele si I un ideal al lui A, atunci extinderea lui I la B este prin definitie idealul notat IB=, pentru orice .

Se vede usor ca S-1I= S-1A. Fie acum J un ideal in S-1A si I=φ-1(J); atunci S-1I=J dupa cum se constata imediat.

De aici rezulta:

Propozitie. Fie A un inel principal( (i.e. A este un domeniu de integritate in care orice ideal este principal). Atunci pentru orice sistem multiplicativ S al lui A cu , S-1A este inca un inel principal.

Ideale prime, comportarea la localizare

Reamintim ca un ideal P al lui A se numeste prim daca P≠A si pentru orice x,yєA cu xyєP rezulta xєP sau yєP. Este clar ca idealul P al lui A este prim A/P este domeniu de integritate. Intr-un domeniu de integritate idealul nul este prim.

Un element pєA se numeste prim dac aidealul pA pe care-l genereaza este prim, adica , unde U(A) desemneaza grupul unitatilor (i.e. al elementelor inversabile) lui A, si pentru orice a,bєA cu p|ab rezulta p|a sau p|b. In orice domeniu de integritate 0 este asadar un element prim.
Vom nota prin Spec(A) multimea tuturor idealelor prime din A; Spec(A) se numeste spectrul lui A.

Reamintim ca un ideal M al lui A se numeste maximal daca M≠A si pentru orice ideal I al lui A cu rezulta ca I=M sau I=A. M este un ideal maximal A/M este un corp, deci Max(A)Spec(A), unde Max(A) desemneaza multimea tuturor idealelor maximale ale lui A. Max(A) se numeste spectrul maximal al inelului A.

Afirmatia care urmeaza da o metoda de a obtine ideale prime.

0.1.2 Propozitie. Fie S un sistem multiplicativ al unui inel A cu 0S si I un ideal al lui A cu IS= (exista asemenea ideale I, de exemplu 0). Fie si este inductiv ordonata fata de “” dupa cum se probeaza usor. Aplicand lema lui Zorn deducem ca are elemente maximale. Fie P un asemenea element maximal al lui . Pentru a arata ca P este un ideal prim, observam ca P≠A si fie atunci abєP. Presupunem ca aP si bP. Atunci P+AaP si P+AbO, deci (P+Aa) S≠ si (P+Ab) S≠. Exista deci s1=p1+x1a є S si s2=p2+x2b a є S cu p1,p2 є P si x1,x2єA. Atunci s1s2=(p1+x1a)(p2+x2b)=p1p2+p1x2b+p2x1a+x1x2ab, deci s1s2єSP, absurd.

0.1.3 Corolar. Pentru orice inel A, Max(A)≠ .

Dem: Se ia I=0 si S={1}.

0.1.4 Propozitie. Fie A un inel S un sistem multiplicativ al lui A si :A->S-1A morfosmul canonic. Aplicatia P’->-1(P’) stabileste o bijectie crescatoare intre Spec(S-1A) si partea lui Spec(A) formata din toti PєSpec(A) cu PS=, aplicatia inversa fiind P S-1P.

Demo: Fie P’ apartine lui Spec(A’), unde am notat A’= S-1A. Atunci P=->-1(P’) Spec(A) dupa cum este bine stiut; daca am avea PS≠, atunci ar exista sєPS, deci , caci altfel ar rezulta ca cu xєP, deci tєS cu t(s*1-1*x)=0, adica tx=ts є SP, absurd. Daca , atunci cu zєP si uєS, deci exista vєS cu v(uxy-stz)=0, adica vuxy=vstz є P si cum vuP => xy є P, deci xєP sau yєP, adica sau , deci P’є Spec(A). Este clar ca -1(P’)P; reciproc, fie xє-1(P’), deci (x)= adica , yєP si tєS; atunci exista sєS cu s(tx-y)=0, adica stx=sy є P, deci xєP caci st; asadar P=-1(P’), ceea ce termina demonstratia.

Fie acum P un ideal al lui A; este clar ca A/P este un sistem multiplicativ al lui AP este un ideal prim. Notand S=A/P pentru PєSpec(A), vom folosi orice A-modul E notatia Ep in locul lui S-1E. Ep se numeste localizatul (fibra) lui E un ideal prim P.

0.1.5 Corolar. Fie A un inel, P є Spec(A) si :A->Ap morfismul canonic. Aplicatia P’->-1(P’) stabileste o bijectie crescatoare intre Spec(Ap) si multimea idealelor prime ale lui A incluse in P. In particular, Ap are un singur ideal maximal, si anume PAp.

0.1.6 Definitie. Un inel A se numeste local daca are un singur ideal maximal si semilocal daca are doar un numar ifnit de ideale maximale.

Demonstratia rezultatului care urmeaza este simpla si de aceea este lasata pe seama cititorului.

0.1.7 Propozitie. Un inel A este local A\U(A) este un ideal. Daca A este inel local de ideal maximal M, atunci M=A/U(A).

Consecventi cu notatia Ap, daca A este un domeniu de integritate atunci (0) este un ideal prim iar localizatul A(0) al lui A in idela prim (0) este S-1A cu S=A\{0}, deci A(0) este chiar corpul de fractie a lui A.

Peste tot in cuprinsul acestui volum vom folosi notatia A(0) pentru a desemna corup de fractii al lui A.

Propozitia care urmeaza arata ca proprietatea unui modul de a fi nul este o proprietate locala.

0.1.8. Propozitie. Fie E un A – modul. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) E=0

(ii) Ep=0, oricare ar fi PєSpec(A)

(iii) EM=0, oricare ar fi MєMax(A)

Demonstratie: este clar ca (i) => (ii)=>(iii). Presupunem ca (iii) este adevarata si ca E≠0. Fie xєE, x≠0. Atunci AnnA x≠A, deci exista MєMax(A) cu AnnA xM. Avem rezulta ca exista sєA\M cu sx=0, deci sє AnnA xM absurd.

Inele si module noetheriene

Definitia modulelor noetheriene

0.2.1. Propozitie Fie A un inel, E un A-modul si LA(E) laticea submodulelor lui E. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) orice lant ascendent de submodule a lui E este stationar, adica exista cu (conditia “ACC”).

(ii) orice parte nevida S LA(E) are un element maximal (conditia “MAX”).

(iii) orice submodul al lui E este finit generat.

Demonstratie: (i)=>(ii). Fie S ≠, S LA(E) care nu admite elemente maximale si X1єS; cum X1 nu este maximal, exista X2єS cu X1X2; X2 nu este maximal deci exista X3єS cu X1 X2 X3 s.a.m.d., se obtine un lanti strict ascendent X1 X2 X3… Xn … de submodule ale lui E, deci (i)=>(ii).

(ii)=>(iii). Fie NєLA(E) si F multimea tuturor submodulelor lui N care sunt finit generate. F≠ caci 0 є F. Fie X un element maximal a lui F; daca XN, atunci exista XєN\X, deci NX+AXX, adica X nu ar fi maximal in F (caci X+AX este finit generat), deci X+AX є F. Deci X=N, adica N este finit generat.

(iii)=>(i). Fie X1 X2 X3… Xn … un lant crescator de submodule ale lui E si Xn. Atunci X este un submodul al lui E finit generat, de exemplu de x1,x2,….xr. Evident exista k1 cu x1,…..,xrXk, deci X Xk Xk+1… X, adica Xk= Xk+1=…

0.2.2. Definitie. Un A-modul E se zice noetherian daca satisface una din cele trei conditii echivalente de mai sus. Un inle A se numeste inel noetherian daca A privit ca A-modul este un A-modul noetherian.

Se observa ca daca in 0.2.1. in loc de relatia “” se considera “” se obtine echivalenta intre conditia lanturilor descendente (DCC). Si conditia minimala (MIN). Un A-modul E care satisface una dintre aceste conditii se numeste artinian. Un A-modul care este si artinian si noetherian se numeste de lungime finita.

Exemple:

orice inel principal este un inel noetherian. In particular Z, K[X] (K-corp), Z[i] sunt inele noetheriene dar nu sunt artiniene.

orice grup abelian finit este Z-modul artinian si Z-modul noetherian.

inelul A[X1…..Xn….], unde A este un inel arbitrar nu este noetherian deoarece adminte lantul strict crescator de ideale:

(X1)( X1, X2) …( X1, X2…. Xn) …..

Proprietati ale modulelor noetheriene

0.2.3. Propozitie. Fie un sir exact de A-module. Atunci E este un A-modul noetherian E’’ si E’’ sunt ambele A-module noetheriene.

Demonstratie: Presupunem ca A este un A-modul noetherian. Atunci orice lant crescator de submodule in E’ (resp. in E’’) da nastere, luand imaginea prin f (reps. Imaginea inversa prin g) a submodulelor lantului la un lant crescator de submodule ale lui E, care stationeaza.

Reciproc, daca X este un submodul in E, fie X’=f-1(X) si X’’=g(X); atunci X’ si X’’ sunt A-module finit generate respectiv de {x’1,….., x’s} si {y’1,….., y’t}. Notand x1=f(x’i) pentru orice si alegand cu g(yj)=y’’j pentur orice , se verifica imediat ca {x1,….., xs, y1,….., yt,} constituie un sistem de generatori pentru A-modulul X, deci E este un A-modul noetherian.

0.2.5. Corolar. Fie A un inel noetherian și E un A-modul. Atunci E este un A-modul noetherian E este un A-modul finit generat.

Demonstrație. Implicația netrivială este ; daca E este finit generat, atunci E este izomorf cu An/X cu X submodul în A-modul liber An, și se aplică 0.2.3 și 0.2.4.

0.2.6. Corolar. Fie A un subinel al lui B; presupunem că A este un inel noetherian si că B este un A-modul finii generat. Atunci B este un inel noetherian.

Demonstrație. Din 0.2.5 rezultă că B este A-modul noetherian, deci B este și B-modul noetherian.

Direct din definiții rezultă imediat:

0.2.7. Propoziție. Dacă A este un inel noetherian, atunci pentru orice ideal I al lui A, A/I este un inel noetherian.

0.2.8. Propoziție. Fie E un A-modul noetlierian și S un sistem multiplicativ al lui A; atunci S-1E este un S-1A-modul noetherian.

0.2.9. Teoremă. (Teorema lui Hilbert a bazei). Pentru orice inel noetherian A, inelul de polinoame A[X] este noetherian.

Demonstrație. (După Sarges [1976]). Presupunem că A[X] nu este

un inel noetherian. Există atunci un ideal I al lui A[X], I≠0, care

nu este finit generat.

Definim n1=Min{deg(f)|fєI\{0}},unde deg(f) desemnează gradul lui f; fie f1єI\{0} cu n1= deg(f).

Definim acum n2=Min{deg(f)|fєI\{f1}}, ceea ce este posibil căci I nu este finit generat. Fie f2єI\{f1}} cu deg(f2)=n2.

Prin recurență, pentru orice definim nk+1+=Min{deg(f)|fєI\(f1,f2,…..fk)} și fie fk+1 є I\(f1,….fk) cu deg(fk+1)=nk+1.

Avem pentru orice , căci altfel, dacă am avea

, am contrazice alegerea lui fK, deoarece fK+1єI\(f1,……,fk-1).

Afirmăm că , unde ak este pentru

fiecarecoeficientul termenului lui fk de grad maxim (=nk);

într-adevăr, dacă am avea, atunci ar rezulta că

cu biєA. Fie atunci gє(f1,……,fk), g

are gradul nk+1 și coeficientul lui din g este ak+l. Deci deg(fk+1-g)<nk+1 si fk+1-g(f1,……,fk), ceea ce contrazice alegerea lui nk+1

Deci dacă nu este un inel noetherian, găsim un șir strict

crescător de ideale ale lui, absurd. |

0.2.10. Corolar. Dacă A este un ideal noetherian, atunci este un inel noetherian pentru orice A[X1….Xn].

Demonstrație. Se face inducție după n.

0.2.11. Corolar. Fie B o A-algebră finit generată. Dacă A este un inel noetherian, atunci și B este un inel noetherian.

Demonstrație. Dacă generează pe B ca A-algebră i.e. , atunci aplicațiadefinită prineste un mor-fism surjectiv de prineste un mor-fism surjectiv de inele, deci și se aplică 0.2.10 și 0.2.7.

Module noetheriene peste inele principale

Structura modulelor noetheriene peste inele principale este stabilită de teorema factorilor invarianți, demonstrată la cursul general de Algebră. Reamintim mai întîi următoarea

0.2.12. Teoremă. Fie A un inel principal și E un A-modul liber de rang. Dacă E' este un submodul al lui E, atunci :

(i) E’ este un A-modul liber de .

(ii) Există o bază a lui E și un întreg sn precum și

s elemente nenule a1,a2,……as cu ai|ai+1 pentru orice 1is-1 și astfel încît (a1e1, a2e2,….. ases) să fie o bază a lui E' peste A.

Demonstrație. Vezi Ion și Radu [1981].

0.2.13. Corolar. (Teorema factorilor invarianți).

Fie A un inel principal și E un A-modul. Următoarele afirmații sînt echivalente:

(i) E este un A-modul noetherian.

(ii) E este un A-modul finit generat.

(iii) Există a1,a2,……an cu ai|ai+1 pentru orice 1in-1

și astfel încît EA/Aa1A/Aa2…. A/Aan.

Demonstrație. (i)<=>(ii) conform lui 0.2.5, iar (iii) => (ii) în mod evident.

Demonstrăm implicația (ii) => (iii). Dacă E este un A-modul finit generat, putem presupune E≠0, deci există n1 și un epimorfism de A-module este un A-submodul al lui An, deci conform lui 0.2.12 există o bază a lui An peste A și a1,a2,……as є A\{0} cu ai|ai+1 pentru orice 1is-1, pentru care(a1e1, a2e2,….. asss) este o bază a lui Ker. Vom pune am=0 pentru orice s+1mn

Atunci, căci

.

Capitolul I

Întregi

In acest capitol sînt date cîteva rezultate în legătură cu algebrele întregi și extinderile întregi de inele. Se introduc noțiunile de corp de numere algebrice și inel de întregi algebrici precum și terminologia de bază din teoria algebrică a numerelor. Pentru corpurile pătratice și ciclo-tomice (caz n = p) se determină complet inelele de întregi.

Inele care intervin în acest capitol sînt comutative și unitare. Vom considera numai morfisme de inele unitare (care păstrează unitatea) și, de asemenea, numai subinele de inele unitare (care conțin unitatea inelului).

§ 1.1. Elemente întregi

Algebre întregi

Dacă:A->B este un morfism de inele, B va fi numit A-algebră

de morfism structural . Definind , pe grupul

(B, + ) subiacent inelului B se introduce o structură de A-modul. Vom spune că morfismuleste finit sau că B este o A-algebră finită, dacă B este A-modul finit generat. Fie x1, x2,…, xn є B. Vom nota cuA[x1, x2,…, xn] cel mai mic subinel al lui B care conține pe (A) și pe x1, x2,…, xn.

Din proprietatea de universalitate a algebrei polinoamelor rezultă că este unicul morfism de inele astfel încît oricare ar fi nєA.

Este clar că

Spunem că morfismul de inele:A->B este de tip finit sau că B este o A -algebră de tip finit (sau finit generată) dacă există x1, x2,…, xn є B astfel încît B= A[x1, x2,…, xn]. In acest caz x1, x2,…, xn se numește sistem de generatori al A-algebrei B și avem: B A[x1, x2,…, xn]/I unde I este un ideal al algebrei de polinoame A[x1, x2,…, xn].

1.1.1. Definiție. Un element x al unei A-algebre B se numește întreg (peste A) dacă există n>0 și a1, a2,…, an-1 єA astfel încît egalitate numită relație de dependență întreagă (peste A) a elementului x.

Teorema următoare dă criterii eficiente de recunoaștere a elementelor întregi :

1.1.2. Teoremă. Pentru un element x al unei A-algebre B, urmă toarele afirmații sînt echivalente :

1) x este întreg peste A.

2) A[x] este un A-modul finit generat.

3) Există un A-submodul finit generat M al lui B astfel încît xMM si AnnBM=0; unde AnnBM={bєB|bm=0}.

Demonstrație. 1) => 2). Evident, 1,x,….,xi,…. generează A-modulul A [x]. Dacă x satisface relația de dependență întreagă atunci , de unde rezultă că A-modulul A[x] este generat de 1,x,….,xi,….

2) => 3). Fie. M=A[x]. Evident,și xMM cum 1єM avem si AnnBM =0

3) => 1). Fie u1,u2,…..,un un sistem de generatori pentru A-modulul M. Cum xu1єM, există aijєA a.i. xu1= ceea ce se mai poate scrie sub formă matriceală astfel :

înmulțind la stînga ultima egalitate cu reciproca matricei se obține dui=0, , unde .

Rezultă că dM=0, deci d=0. Cum 0=d=xn-(a11+a22+……+ann)xn-1+….+(-1)ndet(aij) , rezultă că x este întreg peste A.

1.1.3. Corolar. Fie B o A-algebră de morfism structural . Mulțimea A’n a elementelor lui B întregi peste A formează un subinel al lui B ce conține pe(A), deci A’n este o A-subalgebră a lui B.

Demonstrație. Dacă x є Im,x=(a),aєA, atunci x-a=x-a*1=(a)= (a)*1=0, de unde (A)A’u. Fie x,yєA’B și două A-submodule M, N finit generate ale lui Bastfel încît,xMM si yNN si 1єMN (putem alege de exemplu M=A[x] si N=A[y]). Mulțimea MN a sumelor finite de produse ux,uєM,xєN, este un A-submodul al lui B. Dacă u1,u2,……,um, respectiv v1,v2,……,vm generează A-modulul M, respectiv N, atunci uivj,1im,1j, n generează A-modulul MN.

Cum 1 e MN, avem evident AnnB(MN)=0; este de asemenea clar că (x-y)MNMN si (xy)MNMN, de unde x-yєA’B si xyєA’B.

Un morfism de inele :A->B se numește întreg dacă A’n=B;

in acest caz spunem, de asemenea, că B este o A -algebră întreagă.

1.1.4. Corolar. Pentru un morfism de inele:A->B următoarele
afirmații sînt echivalente :

1) este întreg și de tip finit.

2) este finit.

Demonstrație. 1) =>2). Este suficient să arătăm că dacă x1,x2,….xn sunt elemente din B întregi peste A. atunci A[x1,x2,….xn] este A –modul finit generat. Dacă n=1, afirmația rezultă din 1.1.2. Dacă.n>1, atunciavem A[x1,x2,….xn]= A[x1,x2,….xn-1]A[xn] și afirmația rezultă prin inducție (v. demonstrația lui 1.1.3).

2) => 1). Fie x1,x2,….xn un sistem de generatori pentru A-modululB.

Cum B= x1+Ax2+….AxnA[x1,x2,….xn] B rezultă că B= A[x1,x2,….xn], deci B este A-algebră de tip finit. Faptul că orice x є B este întreg peste A rezultă din 1.1.2, pct. 3, luînd M = B.

Observație. Este util și următorul rezultat care se poate degaja din demonstrația lui 1.1.4 : dacă x1,x2,….xn sînt elemente întregi ale A-algebrei B, atunci A[x1,x2,….xn] este A-modul finit generat cuprins în A'B.

Lemă. Fie:A->B un morfism de inele și M un B-modul. Dacă M este B-modul finit generat iar este finit, atunci A-modulul M obținut prin restricția scalarilor: ax=(a)x,aєA,xєM, este un A-modul finit generat.

Demonstrație. Dacă b1,b2,….bm este un sistem de generatori pentru A-modulul B iar u1,u2,……,un un sistem de generatori pentru B-modulul M, atunci biuj,1im,1j, 1jn este un sistem de generatori pentru A-modulul M.

1.1.7.Propoziție. Fie două morfisme de inele și Sunt adevărate afirmațiile :

Dacă și sînt finite, atunci este finit.

Dacăși sînt întregi, atunci este întreg.

Demonstrație. Prima afirmație este un caz particular al lui 1.1.6' Pentru a demonstra ultima afirmație din enunț este suficient să. arătăm că dacăeste întreg si, atunci zєA’C. Fie n>0 și b0,b1….bn-1єB astfel încît zn+bn-1zn-1+….+b1z+b0=0.

Dacă B0=A[b0,b1,….bn-1], atunci B0 este A-modul finit generat conform lui 1.1.5.

Este clar că z este întreg peste B0, deci B0[z]= A[b0,b1,….bn-1,z] este B0-modul finit generat, și deci A[b0,b1,….bn-1,z] este A-modul finit generat datorită lui 1.1.6.

Aplicînd 1.1.5 deducem că zєA’C.

Definiție. Fie:A->B un morfism de inele. Subalgebra A’B a A-algebrei B se numește închiderea întreagă a lui A în B. Morfismul se numește întreg închis dacăA’B=(A). Un domeniu de integritate A întreg închis în corpul său de fracții se numește întreg închis.

Propoziție. Fie :A->B un morfism de inele. Atunci morfismul incluziune i:A’B->B este întreg închis, deci (A’B)’B=A’B.

Demonstrație. Dacă xєB este întreg peste,A’B atunci este x întreg peste A (v. demonstrația lui 1.1.7), deci(A’B)’BA’B.Incluziunea contrară este evidentă.

1.1.10. Lemă. Fie diagrama comutativă de inele

Dacă xєA’B atunci єC’p.

Demonstrație.

Dacă xєA’B – există n>0 și a0,a1,….an-1 єA astfel încît 0=

Aplicînd morfismul obținem: , de unde .

Fie :A->B un morfism de inele și JS un sistem multiplicativ al

lui A. Atunci eonsiderînd pe B ca A-modul via, putem construi A-mo-dulul de fracții S_1B al A-modulului B relativ la S. S-1B are în mod

natural și o structură de inel, definind înmulțirea în S-1B prin

Este ușor de arătat că inelul S-1B astfel

obținut este canonic izomorf cu inelul de fracții T-1B, unde T=(S)

(T fiind evident un sistem multiplicativ al lui B).

1.1.11. Propoziție. Fie :A->B un morfism de inele și S un sistem multiplicativ al lui A. Atunci (S-1A)’S-1B= S-1(A’B) în particular, dacă este morfism întreg (resp. întreg închis),, atmci S-1 este întreg (resp.(a/s->(a)/sîntreg închis), unde S-1: S-1A-> S-1B este morfismul canonic.

Demonstrație. Fie x/sє S-1(A’B). Atunci x є A’B, deci exista n>0 si a0,a1,…..an-1єA a.i. .

Avem diagrama comutativă

Unde și sînt morfismele canonice. Din 1.1.10 deducem că este întreg peste S-1A. Mai precis, avem :

înmulțind această relație din S-1A-algebra S-1B cu 1/sn, obținem

Deducem că x/s є (S-1A)’S-1B.

Reciproc, dacă x/s є (S-1A)’S-1B., atunci x/s satisface o relație de dependență întreagă peste S-1A, care, după aducerea la același numitor a coeficienților, poate fi scrisă

cu aiєA,0in-1,s,tєS.

Există nєS astfel încît

înmulțind ultima egalitate cu deducem că deci

Domenii întreg închise

Vom prezenta acum cîteva rezultate asupra domeniilor întreg încinse.

O asemenea clasă de domenii este pusă în evidență în propoziția următoare.

1.1.12. Propoziție. Un domeniu A m proprietatea că oricare două elemente admit cel mai mare divizor comun (i.e. un GCD-domeniu) este întreg închis. în particular, inelele factoriale și inelele principale sînt întreg închise.

Demonstrație. Fie K corpul fracțiilor lui A și , unde

A,b є A, b≠0 . Putem presupune că (a,b)=1. Există n>0 si astfel încît deci, după înmulțirea cu bn, avem

Din ultima egalitate rezultă că b divide an și cum (b,an)=1 rezultă că b este o unitate a lui A, deci xєA. Așadar A’k=A și deci A este întreg închis.

Din 1.1.11 rezultă

1.1.13. Propoziție. Dacă S, cu , este un sistem multiplicativ al unui domeniu întreg închis A, atunci estemn domeniu întreg închis.

Direct din definiția domeniilor întreg închise rezultă :

1.1.14. Lemă. Fie (Ai)iєI o familie de subinele ale unui domeniu B.
Dacă, fiecare Ai,iєI, este domeniu întreg închis, atunci este un domeniu întreg închis.

1.1.15. Teoremă. Pentru un domeniu A următoarele afirmații sînt
echivalente :

1) A este întreg închis.

2) Ap este întreg închis oricare ar fi PєSpec(A)

3) Ap este întreg închis oricare ar fi PєMax(A).

Demonstrație. Implicația 1) => 2) rezultă din 1.1.13 iar 2) => 3) este

evidentă.

3) => 1). Fie K corpul fracțiilor lui A. Putem presupune că pentru orice PєMax(A). Din 1.1.14 rezultă căeste domeniu întreg închis.

Este suficient să arătăm că

Fie ,

Atunci pentru orice PєMax(A). există astfel încît x=ap/bp

Idealul I al lui A generat de elementele bp, PєMax(A),nu este nici un ideal maximal al lui A pentru că oricare ar fi PєMax(A). Rezultă că I=A și atunci

Cum avem

Dimensiune Krull și extinderi întregi

Vom aplica rezultatele precedente de regulă în cazul unui morfism injectiv de inele :A->B Identificind în acest caz inelul A cu(A)

putem presupune că A este subinel al lui B și căeste morfisniul incluziune A->B. Spunem că în acest caz B este o extindere a inelului A. Mulțimea A’n a elementelor lui B întregi peste A este un subinel al lui B ce conține pe A, deci (v. 1.1.3). Dacă A’B=B spunem că B este o extindere întreagă a lui A.

Dacă este un lanț strict ascendent de ideale prime ale inelului A, atunci n se numește lungimea hunului. Marginea superioară (eventual infinită) a lungimilor lanțurilor (strict ascendente) de ideale prime ale inelului A se numește dimensiunea Krull a lui A și se notează cu dini A (eventual dini A poate fi infinită). Astfel, pentru un domeniu de integritate A avem dim A = 1 dacă și numai dacă orice ideal al lui A este maximal și dim A = 0 dacă și numai dacă

A este corp. Se poate demonstra că dacă A este un inel noetherian (comutativ) atunci (v. Radu [1968], Kaplansky [1974]).

în particular, avem și

pentru orice corp comutativ K.

Scopul nostru principal este să demonstrăm teorema următoare :

1.1.16. Teoremă. Dacă este o extindere întreagă, atunci

Este clar că rezultatul din teorema precedentă este adevărat pentru orice extindere care satisface următoarele două proprietăți :

GU (,,going up") : Dacăsint două ideale prime ale lui A și Q1 un ideal prim al lui B astfel încît , atunci există un ideal prim al luiastfel incit

INC („incomparabile") : Dacă Q1=Q2 sînt două ideale prime ale lui B astfel încît , atunci

Așadar, pentru a demonstra teorema 1.1.16 este suficient să arătăm că o extindere întreagă are proprietățile GU si INC Pregătim in continuare demonstrația acestui rezultat.

1.1.17. Lemă. Pentru o extindere de ineleurmătoarele afirmații sînt echivalente :

1) Extinderea satisface GU.

2) Daca P este un ideal prim al lui A oar Q este maximal printre idealele lui B cu proprietatea unde S=A\P atunci

(Q este in mod necesar prim, conform lui 0.1.2).

Demonstrație. 1) => 2). Fie P, Q și S ca în 2). Avem și

cumeste un ideal prim al lui A, există un ideal prim Q’ al lui B, astfel încît Evident, de unde Q’=Q

datorită faptului că Q este maximal cu această proprietate.

Rezultă că

2) => 1). Fie P1,P2 si Q1 ca în enunțul proprietății GU. Dacă

S2=A\P2 atunci . Includem pe Q1 într-un ideal al Q2

lui B maximal printre idealele ce nu intersectează S2. Conform cu 2) avem

1.1.18. Corolar. O extindere eu proprietatea GU satisface și proprietatea :

LO („lying over") : Pentru orice ideal prim P al lui A există un ideal prim Q al lui B astfel incit.

1.1.19. Lemă. Pentru o extindere de ineleurmătoarele afirmații sînt echivalente :

Extindereasatisface INC

Dacă Q este un ideal prim al lui B si alunei Q este maximal printre idealelee lui B ce nu intersectează.

Demonstrație. 1) => 2). Fie maximal printre idealele lui B cu proprietatea. Evidentnt proprietatea INC atrage Q’=Q.

2) => 1). Fiedouă ideale prime ale lui B astfel încît

Avem unde S=A\P deci Q1=Q2 conform cu 2).

1.1.20. Teoremă. O extindere întreagăsatisface GU și INC
(deci și LO).

Demonstrație. Pentru a arăta că extinderea întreagă satisface GU, folosim 1.1.17. Cu notațiile de la pct. 2) al acestei leme trebuie să arătăm căîn caz contrar,este strict inclus în P, deci există Atunci idealul Q+Bxinclude strict pe Q și deci intersectează pe S.

Fie

Fie o relație de dependență întreagă peste A satisfăcută de înmulțind această relație cu xn și făcînd uz de egalitatea bx=s-q deducem :

și cum, rezulta, deci Contradicție!

Pentru a verifica INC folosim 1.1.19 și notațiile de la pct. 2) al aceste leme. Dacă Q nu este maximal printre idealele lui B ce nu intersectează S, atunci Q poate fi inclus strict într-un ideal Q' cu această proprietate. Există deciCum x este întreg peste A, există

cu atît mai multastfel încît

și presupunem că n este minim în relațiile de acest tip.

Cum , deducem că, deci

și cumrezultă

ceea ce contrazice alegerea lui n.

1.1.21. Corolar. Fieo extindere întreagă,ti

Atunci; în particular, dacă B este un domeniu de integritate, atunci B este corp <=> A este corp.

Demonstrație. Morfismul canoniceste injectiv și întreg,

deci, conform lui 1.1.16, sau.

Exerciții

1. Este extinderea întreagă?

2. Să se arate că singurele elemente dinîntregi peste Z sînt clementele din Z.

3. Să se dea un exemplu de extindere întreagăpentru care B să nu fie A-modul finit generat.

(Indicație : Se poate lua).

4. Fie A un inel noetherian și B o A-algebră. Atunci xєB este întregpeste A <=> există un A-submodul de tip finit M al lui B cu

5. Fie K un corp și A Ji-subalgebra lui K[X,Y] generată de monoamele YkXk+1 pentru orice kєN. Să se arate că A[XY] este conținut într-un A-submodul de tip finit al lui K[X,Y] dar XY nu este întreg peste A. Deduceți că A nu este un inel noetherian.

6.Fieo extindere de inele cu B inel integru, și K=A(0),L=B(0); să se arate că dacă este extindere întreagă, atunci

este extindere algebrică. Reciproca este adevărată ?

7. Dacă B și C sînt A-algebre întregi să ->e arate că și este o A-algebră. întreagă.

8. Fie E un inel și A, B, C subinele ale lui R; Să se demonstreze că dacă este o extindere întreagă, atunci este o extindere întreagă (C[A] desemnează cel urai mic subinel al lui -K ce conține pe A și pe C).

9. Fie B o A-algebră și E o parte a lui B avind proprietatea că orice
xєE este întreg peste A. Să se demonstreze că A[E] este o A-algebră întreagă.

10. Fie o familie finită de A-algebre. Să se arate că este o A-algebră întreagăfiecare Bi este o A-algebră întreagă.

11. Fie A un inel și fєA[X] un polinom unitar. Să se arate că există un inel B ce conține pe A ca subinel, avînd proprietatea că f este produs de polinoame unitare de grad 1 în B[X].

12. Fie A un inel întreg închis siun fєA[X] polinom unitar. Dacă K=A(0), să se arate că f este ireductibil in A[X]f este ireductibil în K[X].

13. Fie A un domeniu de integritate si închiderea sa întreaga (în corpul său de fracții). Să se demonstreze că închiderea întreagă a lui A[X1,X2,…Xn] (în corpul său de fracții) este A’[X1,X2,…Xn].

14. Să se demonstreze eă un domeniu de integritate A este un inel întreg închis <=> A[X1,X2,…Xn] este un inel întreg închis.

15. Fie o extindere întreagă, și
Rezultă că extinderea este întreagă ?

(Indicație : Se consideră extinderea întreagă Q[X2-1]Q[X] și Q=(X-1);

elementul nu este întreg peste Q[X2-1]p, unde )

16. Dacă A este un inel întreg închis și rezultă că
este întreg închis'?

(Indicație : Se poate lua

17. Fie Să se arate că A nu este întreg închis ; care este închiderea întreagă a lui A f

18. Fieo extindere de inele și P un ideal prim minimal în A. Să se demonstreze că există QєSpec(B) cu

19. Fieo extindere de inele cu dim Să se arate că condiția „LO" este satisfăcută.

20. Să se demonstreze că pentru extinderea_, „LO", și „GD" (going-down) au loc, dar ,,TNC" nu are loc. Dacă să se demonstreze că nici condiția „GIJ" nu are loc.

(Condiția „CD" se obține i'ăcînd în „CU" înlocuirea lui „ ^ " cu„").

21. Dacă condiția „CIT" are loc pentru o extindere, să se
demonstreze că pentru oriceavem

§ 1.2. Urmă, normă și discriminant

Generalități despre urmă si norma

Noțiunile de urnă, normă și discriminant vor fi introduse în cazul unei extinderi de inele comutative cu proprietatea că B, organizat canonic ca A-modul, este liber de rang finit, rangAB=n.

Dacăeste o bază a A-modulului B (pe scurt, o A-bază a lui B) și , atunci există unic determinați astfel încît

Matricea este inelul matricelor patratice de ordin n peste A, se numește matricea asociată lui în baza (e1,e2,….,en) . Dacă e1’,e2’,….,en’ є B, atunci există aij єA unic determinați astfel încît și (e1’,e2’,….,en) este, de asemenea, o A-bază a lui B dacă și numai dacă , unde am notat

Cu GLn(A) grupul unităților inelului Mn(A) în acest caz avem , unde este matricea asociată lui în baza (e1’,e2’,….,en), deci ,

1 < i < n.

Notînd cu I matricea unitate de ordin n, atunci

se numește matricea caracteristica a lui .

Avem

numit polinomial caracteristic al luiși notat cu P()

Cum , rezultă că

deci P() nu depinde de A-baza lui B folosită pentru definiția sa.

In particular, sînt invarianți la schimbarea bazei coeficienții polinomului

P(), deci definițiile următoare sînt corecte :

numite respectiv urma și determinantul lui

Cînd cunoaștem matricea M()=(aij) asociată lui într-o A-baza

(e1,e2,…en) a lui B, calculul lui Tr() si det() este imediat, căci :

si det()=det(M()).

Dacă xєB , atunci aplicațiax:B->B, y->yx este A-liniară, deci

.

In acest caz si

vor fi numite urma, respectiv norma lui x în extinderea.

De asemenea,

va fi numit polinomul caracteristic al lui X în extinderea

Următoarele proprietăți evidente vor fi folosite în mod curent în calculele cu urma și norma :

oricare ar fi aєA, x1,x2 є B.

In particular, definițiile de mai sus au sens în cazul unei extinderi de grad finit de corpuri comutative,

1.2.1. Observație. Fie A un domeniu, La o extindere finită

a lui K și B=AL’; dacă B este A-modul liber de rang n, cum L=S-1B

unde S=A\{0} (căci S-1(AL’)= (S-1A)L’=L, conform lui 1.1.11) deducem imediat căși atunci o A-bază a lui B este și o X-baza pentru L, decipentru orice, în particularTrB/A(x) și . |

Vom considera acum extinderi finite și separabile . Dacă , notăm eu extinderile distincte la L ale morfismului incluziune , undeeste o închidere algebrică a lui K.

1.2.2. Teoremă. Fieo extindere separabilă de grad n, xєL și f=Irr(x,K) polinomul minimal al lui x peste K.

Atunci :

unde

Demonstrație. Fie . Atunci iar

este un polinom de grad

Notăm curestricția la F a lui și avem єEndK(F).

Dacă (x1,x2,…,xm) este o F-bază a lui F și (y1,y2,…,yr) o F-bază a lui F, atunci

(x1y1,x2y1,…..xmy1,x1y2,….xmyr) (*)

este o F-bază a lui L. Dacă M()=(aij)єMm(K) este matricea asociată luiîn baza(x1,x2,…,xm) atunci

și deci

De unde rezultă că matricea aociată lui în baza (*) este

.Rezultă că TrL/K(x)=r TrF/K(x), NL/K(x)=( NF/K(x))’ si PL/K(x)=( PF/K(x))’.

Alegînd K-bazapentru F, avem :

de unde PF/K(x)=det(XI-M())=f=Irr(x,K), și deci

Notînd cu prelungirile distincte la F ale morfismului incluziune

(F este extindere separabilă a lui K), atunci ,

, sînt rădăcinile(din ) ale lui f, de unde

Observind că fiecare admite extinderi distincte la L (L este extindere separabilă a lui F) rezultă eăcoincid cu extinderile

la L ale morfismelor , de unde :

Vom da acum un rezultat privind urna si norma elementelor întregi.

1.2.3. Propoziție. Fie A un domenii de integritate, K corpul de fracții al lui A, L o extindere finită și separabilă a lui K și un element întreg peste A. Atunci coeficienții lui PL/K(x), in particular NL/K(x) si TrL/K(x) sunt întregi peste A.

Demonstrație. Conform lui 1.2.2. PL/K(x)=frt unde f=Irr(x,K)

Este deci suficient să arătăm despre coeficienții lui f că sînt întregi peste A . Fie x=x1,….xn rădăcinile luiintr-o închidere algebrică a lui L, adică conjugatele lui x peste K. Exista atunci K-morfisme ale lui L înastfel încît pentru orice.

Din 1.2.6 rezultă că idealulnu depinde de A-baza lui B folosită în definiția sa.

1.2.8. Lema. (Dedekind).

Fie G un grup, un corp, spațiul vectorial peste al funcțiilordefinite pe G cu valori îngrupul multiplicativ al corpuluiși morfisme distincte de grupuri. Atunci sînt liniar independenți peste

Demonstrație. în caz contrar, după o eventuală reindexare, putem scrie o relație de dependență liniară peste cuși cu r minim. Evident,, si cum existăastfel încît.

Pentru orice xєG avem :

și

Scăzînd a doua egalitate din prima înmulțită cuse obține

oricare ar fi, deci

ceea ce contrazice minimalitatea lui r.

1.2.9. Propoziție. Fie o extindere separabilă de grad n,
extinderile la L ale incluziunii lui K într-o închidere algebrică a lui K si

Avem :

1)

2) este o K-bază a lui L dacă și numai dacă

Demonstrație. 1) Folosind 1.2.2, avem :

2) Presupunem că este o K-bază a lui L. Dacă

, atunci liniile matricei sunt liniar dependente peste

deci există nu toți nuli, astfel încît

Atunci, pentru orice avem :

de unde ceea ce contrazice rezultatul de la 1.2.8.

Rămîne adevărat că det si din 1) rezultă că

Reciproc, presupunem căFie

o K-baza a lui L și ajk є K astfel încît

Acum din egalitatea rezultă că , deciși este o K-bază a lui L.

In propoziția următoare se dă o formulă de calcul a discriminantului într-un caz particular important.

1.2.10. Propoziție. Fie a: un element separabil peste
. Atunci:

f fiind derivata lui f.

Demonstrație. Fie extinderile la L ale incluziunii lui

K într-o închidere algebrică U a lui K. Atunci

sînt rădăcinile din O ale lui f. Elementele constituie o K-bază a lui L și avem :

Cumatunci

deci, de unde

I

Caracterizarea extinderilor separabile prin „Tr"

Pentru început vom defini noțiunea generală de discriminant al unei forme biliniare.

1.2.11. Definiție. Fie A un inel comutativ și unitar, E un A-modul
liber de rang o formă biliniară și simetrică (i.e.

, ). Dacă , se numește discriminantul formei relativ laє En elementul

notat .

Exemplu. Dacă este o extindere de inele comutative astfel încît B este un A-modul liber de rang n, atunci aplicația este o formă biliniară simetrică iar discriminantul acestei forme relativ lase numește discriminantul sistemului, pe care noi l-am notat anterior prin.

Scopul nostru este de a caracteriza extinderile separabile în clasa extinderilor finite, folosind ,,Tr".

Pentru aceasta vom demonstra întîi un rezultat pregătitor.

Fie K un corp comutativ și E un spațiu vectorial peste K de dimensiune n. Dacăeste o formă biliniară simetrică pe

E, atunci vom nota

aplicația definită prin evi-

denteste un morfism de K-spații vectoriale. Avem :

1.2.12. Lema. Fie K un corp comutativ, E un K-spațiu vectorial de
dimensiune n șio formă biliniară simetrică. Următoarele
afirmații sînt echivalente :

1)

2) este un izomorfism.

Pentru orice bazăa lui E peste K avem

Există o bazăa lui E peste K astfel încît

Demonstrație. Este clar că și atunci, cum și sînt

spații vectoriale de aceeași dimensiune, deducem căeste izomorfism este monomorfism <=>, deci (1) (2).

Demonstrăm acum (2) => (3); fieo bază a lui E peste K

și baza duală a lui, adică

pentru orice

Fie pentru orice

Avempentru orice ; deci

pentru orice.

Cum este izomorfism deducem căeste o bază

peste K a lui, decieste o bază a lui E*, adică matricea

este inversabilă, deci

Este clar că (3) => (4).

Să demonstrăm (4) =>(1). Cum, rezultă că matriceaeste nesingulară. Fie baza duală a lui și . Am văzut căși cum este o matrice nesingulară,este o bază a lui, deciduce o bază a lui E într-o altă bază, adicăeste monomorfism, deci.

1.2.13. Definiție. O formă biliniară îndeplinind una

din condițiile echivalente (1), (2), (3) sau (4) din 1.2.12. se numește nedegenerată.

1.2.14. Corolar. Dacă K este un corp comutativ, E un K-spațiu
vectorial de dimensiune n și o formă biliniară simetrică
nedegenerată, atunci pentru orice bază a lui Epeste K există o
bază a lui E peste K numită baza duală a lui
relativ la forma , astfel -încît pentru orice

Demonstrație. Fie și baza duală în a lui . Existăcu pentru orice fiind izomorfism rezultă căeste o bază a lui E peste K. Apoi

1.2.15. Propoziție. Fie o extindere finită. Următoarele afirmații sunt echivalente :

(1) este o extindere separabilă.

(2) Forma biliniară simetrică definită prin este nedegenerată.

(3) Există cu

(4) Există o bază a lui L peste K astfel încît

(5) Pentru orice bază a lui L peste K, avem

Demonstrație. Am văzut că (1) => (5) (v. 1.2.9) și evident (5) => (4). Cum deducerii că dacă

există măcar un i și j cu deci (4)=>(3).

Să demonstrăm acum (3) => (1). Să presupunem că extinderea nu este separabilă. Fie; avem și notind cu

este clar căși că este un

subcorp al lui L (numit închiderea separabilă în L a lui K). Se știe că există cu . Fie acum ; dacă a este separabil peste K, atunci, deci conform lui 1.2.21,

Dacă a este neseparabil peste K, atunci polinomul minimal f al lui a peste K este neseparabil, deci. Dar , unde

, deci cum, coeficientul lui din este

0, adică

Așadar, dacănu este o extindere separabilă, atunci

pentru orice . ceea ce contrazice afirmația (3).

Deci (1) (5) (4) (3). Echivalenta (2) <=> (4) rezultă acum din 1.2.12.

Rezultatul care urmează va fi folosit în §1.3 precum și în capitolele următoare :

1.2.16. Corolar. Fie o extindere separabilă de grad n și
o K-bază a lui L. Atunci există o K-bazăa lui L

astfel încît pentru orice

Demonstrație. Se folosește 1.2.15 și 1.2.14.

Rezultate suplimentare despre urmă, normă si discriminant

Fieo extindere de inele comutative astfel încît B este A- modul liber de rang n. Fie S un sistem multiplicativ ai inelului A cu . Atunci avem următoarea diagramă comutativă

unde săgețile verticale sunt morfismele canonice

Dacăeste o A-bază a lui B, atunci este

o -bază a lui , deci este -modul liber de rang n.

Fie xєB. Dacă matricea asociata luiîn baza (e1,….en)

este , atunci matricea asociată lui este

de unde rezultă imediat:

1.2.17. Propoziție* Dameste o extindere de inele astfel încît
B este A-moăut liber de rama w, atunci pentru nn sistem multiplicativ S
al lui A cu avem :

oricare ar fi

De asemenea,

Fie l un ideal al lui A și să notăm cu IB idealul generat de I

în inelul B,

Fieși pentru , să notăm

Definindse organizează ca un A-modul și

se verifică ușor că (e1,….en) este o A-bază a lui B, dacă (e1,….en) este

o A-bază a lui B, deci B esteA-modul liber de rang n (v. și 3.1.8).

Fie x є B. Dacă matricea asociată luiîn baza (e1,….en)

este , atunci matricea asociată luiîn baza

este de unde

1.2.18. Propoziție. Cu ipotezele și notațile de mai sus, avem :

oricare fi. De asemenea,

1.2.19. Propoziție. Fie extinderi ale inelului A astfel

încît Bk este A-modul liber de rang finit

Atunci B este A-modul liber de rang finit și avem : 1) Pentru orice

2)

Demonstrație. Presupunemși fie A-bază a lui

B1, o A-bază a lui . Făcînd identificarea ,

, și,, rezultă că

este o A-bază a lui

Fie Dacă este matricea asociată lui

în baza iar este matricea asociată lui

în baza, atunci

este matricea asociată lui in baza

Rezultă că :

Din definiția dată înmulțirii în inelul produs, rezultă

că de unde

Rezultă că

■

Vom încheia acest paragraf cu un rezultat privind tranzitivitatea

urmei si normei.

Fie A un inel comutativ, m și n doi întregi pozitivi. în A-algebra considerăm matricele Mi} astfel încît

Fie A A-subalgebra lui generată de matricele

Evident, A este algebră comutativă și fie

Punem

undeeste signatura permutării

Interpretând pe M ca o matrice din , să notăm cu det M

determinantul său. Să notăm, de asemenea, cudet(detAM) determinantul matricei. Avem :

1.2.20. Lema. det

Demonstrație. Cîndlema este evidentă. Fieși să

notăm eu complementul algebric al matricei interpretată ca

element din Atunci:

Să presupunem că deteste element regulat al inelului A și

definim :

undeeste matricea unitate de ordin. Se obține :

Notînd

avemși încă

Evident,și presupunînd lema adevărată pentru

avem det,de unde

Cum deteste element regulat al inelului A deducem că det

Dacă det nu este element regulat al inelului A, atunci introducem matrieelem, unde X

este o nedeterminată si I matricea unitate de ordin n. Evident matrieele comută două cîte două si fie-subalgebra luigenerată de matrieele

Fieși fie complementul

algebric al lui Se observă că det Nn este un polinom unitar de

dindeci element regulat al inelului, de unde

Fie morfismul cu proprietățile

oricare ar fi . Fie morfismul indus de

Avem :

1

1.2.21. Propoziție. Fie extinderile de inele comutative astfel încît B este A-modul liber de rang finit si C este B-modul liber de rang finit. Pentru oriceavem :

Demonstrație. Fieo A-bază a

;;o B-bază a lui Atunci:

este o A-bază a lui C.

Aplicația care face să corespundă la orice

matricea asociată lui în baza

este un morfism injectiv de B-algebre. Analog se obține un morfism injectiv de A-algebreoricare ar fi

Avem :

Și

de unde

Rezultă că matricea asociată lui în A-baza (*) a lui

C este

și avem:

unde s-a notat cuurma matricei (suma elementelor

de pe diagonală).

Cum este un morfism de algebre și B este comutativ, avem :

deci pentru matricea M este adevărat rezultatul din Lema 1.2.20. Notăm cu A A-subalgebra lui generată de matriceleși

avem

Exerciții

8ă se calculeze , unde

Fie, undeeste o rădăcină apolinomului

. Să se calculezeși, unde

3. Fie rădăcină a lui.

4. Fie o extindere separabilă de grad n și presupunem că n
nu se divide la . Să se arate că există cu și

5. Fie L/K o extindere de corpuri finite. Să se demonstreze că
și sînt surjecții.

6. Fieo extindere de corpuri finite. Să se demonstreze că
pentru oriceIn par
ticular, .

§1.3. Intregi algebrici

Corpuri de numere algebrice

O extindere K de grad finit a lui pe numește corp

de numere algebrice. Numărulse numește gradul lui K. Dacă

h = 2, 3, i.. K se numește respectiv corp pătratic, cubic, ….

Fie K un corp de numere algebrice. Avemși atunci

este un subincl al lui A", (v. 1.1.3) numit inelul întregitor

lui K. Numerele dinse numesc întregi algebrici și pentru o mai bună delimitare, numerele din Z vor fi numite întregi raționali. Evident, orice întreg rațional este întreg algebric.

Teorema următoare ne permite sft stabilim un prim rezultat important, privind inelele de întregi aJgbrici (v. 1.3.2).

1.3.1. Teoremă. Fie A un domeniu întreg închis, K corpul fracțiilor lui A, L o extindere separabilă de grad n a lui A' și

1)Există două A-module libere M si N de rang n astfel încat U

(M este A-submodul al lui B si B este A-submodul al lui N).

Dacă A este inel noetherian, întreg închis, atunci h este un A-modul nottJierian.

Daeă A este principal, atunci B este A-modul liber de rang n.

Demonstrație. Fieo A-bază a lui L. Cum,

este algebric peste K și cum K este corpul fracțiilor lui A, există

astfel încît>

înmulțind egalitateaobținem

, deci . Cum

Rezulta că sistemuleste liniar independent peste K, deci si peste A. Așadar A-modulul (sumă directă

internă) este liber de rang n și

Fie o K-baza a lui L astfel incit

(v. 1.2.16). Vom arata că B este A-submudul al A-modulului liber de rang n,

Se observă conform lui 1.2.4 că morfismul

aplică pe B în A.

FieExistă a,e K astfel incit

Pentru a arăta căeste suficient să arătăm căAvem:

și cum deducem că

A fiind noetherian, N este un A-modul noetherian (v. 0.2.4) deci B este un A-modul noetherian.

Inelele principale sînt domenii întregi închise (v. 1.2.12) și deci rezultatul de la pct. 1) este aplicabil. Cum orice submodul al unui modul liber de rang n peste un inel principal este liber de (v. 0.2.12) rezultă că B este A-modul liber. Avem de unde rang B = n.

1.3.2. Corolar. Fie K un corp de numere algebrice și inelul

întregitor lui K. Atunci A este Z-modul liber de rang liber en

Demonstrație. Este suficient să observăm că Z este inel principal

și că extinderea este reparabilă, Q fiind corp de caracteristică zero.

Fie K un corp de numere algebrice și. Dacă

atunci o Z-bazăa lui A este și Q-bază a lui K.

O Q-bază alui K care este Z-bază a lui A se numește bază întreagă a lui K.

Din demonstrația lui 1.3.1 rezultă că orice corp de numere algebrice admite o bază întreagă.

Cum unitățile inelului Z sînt numerele 1 și — 1, din 1.2.6 rezultă că = constant oricare ar fi baza întreagă a lui K întregul rațional se notează cu și se numeste discriminantul corpului K de numere algebrice, uneori numit și discriminantul absolut al lui K. în virtutea definiției 1.2.7 avem

Cum orice Z-bază a lui A este Q-bază a lui K avem :

–

oricare ar fi

Aflarea unei baze întregi este o etapă decisivă în descrierea întregilor unui corp de numere algebrice. în continuare vom rezolva această problemă pentru corpurile pătratice și pentru corpurile cielotomice de ordin p, p număr prim.

Inelul întregilor fi discriminantul unui corp patratic

1.3.3. Lemă. Fie K un corp pătratic. Există un întreg rațional , care nu se divide cu pătratul nici unui număr prim {i.e. d este liber de pătrate), astfel încît în plus, d este unic cu proprietățile că este liber de pătrate si

Demonstrație. Fie Atunci este o Q-bază a lui

K, de unde Fie Cum

este rădăcină a polinomului Avem :

cnd liber de pătrate,se observă că avem

Faptul elementar privind unicitatea lui d este lăsat spre demonstrare cititorului.

Fie un corp pătratic, unde d liber de pătrate.

Dacă atunci K se numește corp pătratic real iar dacă

se numește corp pătratic imaginar. Evident,este o Q-bază a lui K

deci oricese reprezintă în mod unic sub forma

Cum d este liber de pătrate,

1.3.4. Teoremă. Fie un corp pătratic și A inelul întregilor lut K.

Dacăatuncieste o bază întreagă a lui K, deci

Dacăatunci este o bază întreagă a lui K, deci In acest caz, întregii lui K pot fi descriși de asemenea ca fiind numerele de forma eude aceeași paritate.

Demonstrație. Cumrezulta, că Notînd

cu închiderea algebrică a lui Q în C, se observă că Q este corp algebric închis (căci C are această proprietate). Rădăcinile înale polinomuluisînt deci prelungirile la ale incluziunii sintunde 1 este morfismul incluziune iareste morfismul

Pentru

Deci:

Reciproc, daca satisface (*), atunci căci x este rădăcină a polinomuiui

Din (*) rezulta căde unde

In adevăr, dacăexistăp primaltfel încît

Deducem ca și cumse obține Contradicție !

Notînddin analiza de mai sus deducem că

este în A dacă și numai dacă

Cîndavem:

iar cînd

au aceeași paritate, după cum se poate verifica ușor.

Afirmația 1) din enunț, este astfel demonstrată. 8ă observăm că este un sistem liniar independent peste Z; Dacă

de aceeași paritate, atunci

căcieste par. Reciproc, dacă

atunciundesint întregi de

aceeași paritate. Cu aceasta, și afirmația 2) din enunț este demonstrată.

1.3.5. Teoremă. Pentru un corp pătratic avem :

Demonstrație. Cindatunci

este o bază întreagă a lui K, deci:

Dacăatuneieste o bază întreagă a

lui K, deci :

Inelul întregilor și discriminantul unui corp ciclotomic (cazul particular n =p)

In cele ce urmează, folosind doar rezultatele acumulate pînă aici, vom determina inelul întregilor și discriminantul unui corp ciclotomic intr-un caz toarte particular, și anume cînd corpul eielotomic corespunde unei rădăcini de grada unității.

Fie deci p > 2 un număr prim șieste clar că

decieste rădăcină a polinomului

. Număruleste ceea ce se numește în mod obișnuit rădăcină primitivă de grad p a unității iar corpul al p-lea corp eielotomic.

Pentru definiția generală a corpurilor ciclotomiee vezi § 3.5.

!Ne propunem să arătăm că inelul întregilor corpului este

Pentru început vom determina polinomul minimal al lui peste Q.

1.3.6. Lcmă. Pentru orice număr polinomul

este ireductibil în și deci t • polinomul

minimul al lui peste Q.Iîn particular

Demonstrație. Notînd obținem

Se observă că p fiind prim, p divide toți coeficienții binomiali dai"jiu divide termenul constantDeci

esteun polinom ireductibil conform criteriului lui Eisenstein, deci și este un polinom ireductibil.

1.3.7 Teoremă. Fie p un număr prim,

și A inelul întregilor corpului eielotomic■ Atunci

este o bază a lui A peste Z, deci

Demonstrație.

Conform lemei anterioare avem:

Pentru a demonstra această egalitate, să observăm că rădăcinile luisînt numerele

Pentru oriceexistă un element inversabilal lui A

astfel încît

în adevăr,este un element inversabil în deci există

altfel încît(mod p) și avem

Pe de altă parte,

și sînt elemente ale lui A asociate în divizibilitate, de unde («'$).

Din (2) și (3) rezultă că există un element inversabil w al lui A astfel încît

Acum este clar că_și daca (1) nu ar fi adevărat,

atunciAr rezulta, căeste un element inversabil

al lui A și conform cu (4), p ar fi un element inversabil al lui A. Se deduce că Contradicție 1

Conform lui 1.3.6, pentru orice

de unde și cum

Evident, este o Q-bază a lui K conținută în A.

Pentru oriceexistăastfel încit

Pentru a demonstra teorema, este suficient să arătăm că Cum rezultă eă

Pe de altă parte, fiecare conjugat al

luipeste Q este un multiplu în A dedeci urma unui

element fiind suma conjugatelor sale, deducem :

Cum rezulta că deci

Repet înd pentru raționa-meutul tăcut eudeducem căș.a.m.d. |

1.3.8. Teoremă. Cu ipotezele de la 1.3.7 arem •.

Demonstrație. Avem și derivînd obținem :

de unde

înmulțind termen cu termen egalitățile de mai sus și observînd că

deducem că Cum

(mod 2), teorema rezultă acum din 1.9.10.

Exerciții

1. Să se găsească inelul întregilor corpului pat rație

2. Să se demonstreze că pentru orice d liber «le

•.'.1vate, (modul 4) inelul nu este principul.

3. Fieun număr întreg liber de pătrate si o discrimiumtul lui Să se arate că și că este

o bază întreagă a lui

4. Fie K un corp pătratic. Să se demonstreze că este un întreg

ratic <=*- 5. Dacăeste iui polinom unitar de grad n cu rădăcinile

(undeeste o închidere algebrică a lui K), atunci D(f) = se numeeste discriminantul lui f. Să se calculeze discriminantul mătoarelor polinoame

6. Dacă este un polinom ireductibil, sa se
ruleze THf).

7. Fie K un corp de numere algebrici- și A inelul întregilor lui K.
o parte liniai* independentă peste Q. Să. se arate

este o bază întreagă a lui

8. Să se calculeze discriminantul absolut pentru fiecare din corpurile

urmatoare :

Capitolul II

INELE DEDEKIND

Opinia aproape generală este că în „demonstrarea" celebrei sale teoreme, supranumită Marea Teoremă a lui Fennat (pentru orice ecuația nu are oluțiiin numere întregitoate nenule), P. Fennat (1601 — 1665) ar fi avut ideea genială de a considera pentru n = p prim > 2 descompunerea

în inelul(undeeste o rădăcină de grad p a unității) șide a fi crezut că acest inel este întotdeauna principal.

Printre matematicienii celebri ai secolelor XVIII și XIX, care s-au ocupat de demonstrarea Marii Teoreme a lui Fennat s-a numărat șt E. Kummer (1810 — 1873). Acesta, în primele sale cercetări de teoria numerelor chiar a fost convins că a obținut o demonstrație generală a Teoremei lui Fermat, crezînd căeste factorial pentru orice număr prim p (unde

Astăzi se știe că este factorial ■«=» (vezi § 4.5). P. G. Lejeune-Dirichlet (1805 — 1859) i-a semnalat eroarea comisă, ceea ce 1-a condus pe Kummer la o versiune corectă, în 1851, a demonstrației sale, pentru toate numerele prime

Observînd astfel neprincipalitatea unor anumite inele de întregi algebrici (în mod precis a inelelor de întregi ai corpurilor ciclotbmice, corpuri care erau strîns legate de cercetările sale privind Teorema lui Fermat) el, și mai tîrziu K. Dedekind (1831—1916), au introdus noțiunea de întreg algebric și de ideal, tocmai pentru a înlătura inconvenientul care apărea privind neunicitatea descompunerii în factori ireductibili in inelele de Întregi algebrici; Dedekind a studiat în mod intensiv inelele de întregi algebrici demonstrînd că în aceste inele orice ideal propriu se poate scrie în mod unic ea un produs de ideale prime, în analogie cu inelele principale unde orice clement nenul și neinversabil se poate scrie în mod unic ca un produs de elemente prime. Să menționăm însă că definiția unui inel abstract, așa cum este dată ea astăzi a fost degajată pentru prima oară abia în 1916 în teza de abilitare a lui A. Fraenkel.

Studiul abstract al inelelor care în prezent se numesc inele Dedekind a fost inițiat de E. Noether (1882—1935), care în 1927 a demonstrat că dacă A este un domeniu de integritate, atunci A este inel Dedekind iar orice ideal propriu al lui A se scrie în mod unic ca un produs de ideale maximale. în anul 1940, K. Kubo a arătat că dacă orice ideal al unui domeniu A se scrie în mod unic ca produs de ideale prime (nu neapărat maximale), atunci A este Dedekind și, în fine, în 1944 K. Matusita a arătat cil în teorema lui Kubo se poate omite condiția de unicitate. în anul 1943, N. Nakano a demonstrat că un domeniu de integritate A este inel Dedekind o orice ideal nenul al lui A este inver-sabil, iar în anul 1950, I. S. Cohen a dat și alte caracterizări ale inelelor Dedekind.

În capitolul de față vom prezenta citeva caracterizări pentru inelele Dedekind, studiind printre altele și inelele de valuare discretă, care constituie cazul local al inelelor Dedekind. Este discutat și conceptul mai general de inel de valuare precum si (onceptul care îl globalizează, cel de inel Prufer. Se indică structura modulelor finit generate peste un inel Dedekind A și se demonstrează izomorfismul de grupuri

unde este grupul claselor de ideale al lui A iar Pic(A)

este grupul lui Picard al lui A. în ultimul paragraf se trec în revistă o serie de generalizări ale inelelor Dedekind.

§2.1. Definiția inelelor Dedekind

Definiție și exemple Fie K un corp de numere algebrice și A inelul întregilor lui K :

Acest inel A are următoarele proprietăți:

A este întreg închis,

A este noetherian conform lui 1.3.1,

— din A = dim Z = 1 conform lui 1.1.16.

Proprietâțde de mai sus, îndeplinite de inelul întregilor oricărui corp de numere algebrice, pot sta la baza definiției unei clase mai largi de inele, numite inele Dedekind, in onoarea celui care a studiat printre primii inelele de întregi algebrici.

2.1.1. Definiție. Se numește inel Dedekind un inel noetherian, întreg
închis (deci integru) de dimensiune (adică orice ideal prim
nenul al său este maximal). |

2.1.2. Exemple de inele Dedekind

Orice corp este un inel Dedekind. Corpurile sînt de fapt singurele inele Dedekind de dimensiune 0.

Orice inel principal este un inel Dedekind. într-adevăr, dacă A este un inel principal, atunci A este noetherian, A este factorial deci intreg închis conform lui 1.1.12 și dacă P este un ideal prim nenul în A, unde p este un element prim nenul, deci p este ireductibil, deci P este maximal.

Nu orice inel Dedekind este însă principal. Cel mai simplu exemplu de inel Dedekind care nu este principal este inelul într-adevăr,

cum (mod 4),este inelul întregilor corpului patratic

conform lui 1.3.4, deci conform celor ce preced definiția 2.1.1, este un inel Dedekind. Dacăar li un inel principal, el ar fi.

f actoria!, ceea ce nu se poate, deoareceadmite două descom-

puneri distincte în factori ireductibili :

3. Daca este o varietate algebrică afina definită peste un corp algebric închis k, inelul de coordonateal varietății este un ine!

Dedekind dacă si numai dacă este un punct sau o curbă ireductibilă fără nici un punct singular. |

Extinderi întregi și inele de fracții al inelelor Dedekind

Afirmațiile care urmează permit construirea de noi inele Dedekind,. pornind de la un inel Dedekind dat, prin procedeele de luarea închiderii întregi și luarea fracțiilor.

2.1.3. Teorema. Fie A un inel Dedekind,o extin
dere finită și separabilă. Atunci închiderea întreagă

este un inel Dedekind.

Demonstrație. H este un inel întreg închis, (conform lui 1.1.16) si B este un A-modul noetherian (conform lui 1.3.1). Dar idealele lui B sînt A-subinodule in B, deci ele satisfac condiția lanțurilor ascendente, adică }i este un inel noetherian (conform lui 0.2.1.) |

Corolar. Pentru orice corp de numere algebrice inelul între gilor lui K este un inel Dedekind.

Observație. Concluzia teoremei 2.1.3 subzistă pentru orice fel de extindere finită, (deci nu neapărat separabilă). Demonstrația acestui rezultat mai tare nu este însă așa simplă, ea făcind apel la următoarea

Teorema (Kroll-Akizuki). Fie A un inel integru noetherian de dimen-siune Krull 1. A' corpul de frânții al lui A și o e.dindere finită.

Atunci, pentru orice xubiuel H al lui L cu li este un inel noethe-

rian de dimensiune

Demonstrația teoremei lui Krull-Akizuki poate ti găsită de exemplu în Radu [1968], Bourbaki [1965], sau Kaplansky [1974]. |

2.1.6. Propoziție. Dacă A este un inel Dedekind și S un sistem
multiplicațic din A, atunci este încă un inel Dedekind.

Demonstrație. Conform lui 0.2.8, este un inel noetherian iar

conform lui 1.1.11, este un inel întreg închis. Dacă,

atunciele un ideal prim in A, decisau

așadar, datorită lui 0.1.4, sau; rezultă că

, decieste un inel Dedekind. I

2.1.7. Lemă. Fie A un inel integru și . Atunci A este
corp <=> este corp.

Demonstrație. Dacă A este corp, atuncideci Ar

este corp. Reciproc, A,, fiind corp, idealul maximal al lui AP este

zero deci deoarece moriismul canonic este

injectiv. Așadar A este un corp. |

2.1.8. Corolar. Fie A un inel Dedekind care nu este corp. Atunci pentru orice este un inel Dedekind local avînd un singur

ideal prim ne nul.

Demonstrație. FieConform lui 0.1.5, există

astfel incit fiind un inel Dedekind,sau

decisauConform lui 2.1.7,

I In § 2.3 vom arăta că pentru orice inel Dedekind A, localizatele sale în ideale maximale sint inele principale și reciproc un inel integru noetherian avînt toate localizatele inele principale este neapărat un inel Dedekind.

Exerciții

1. Dacă A este un inel Dedekind și să se arate că
este un inel Dedekind.

2. Să se dea un exemplu de inel factorial care nu este inel Dedekind.

3. Fie A un inel. Să se arate căeste un inel Dedekind
este un corp.

4. Fie A un inel. Să se arate căeste un inel Dedekind
este un corp.

5. Fie K un eorp de numere algebrice. Să se arate că inelul al
întregilor lui K are o infinitate de ideale prime.

6. Să se dea un exemplu de inel Dedekind avînd un număr dat
de ideale prime.

7. Fie A un subinel al unui inel B astfel incit extinderea
este finită. Dacă A (respectiv B) este un inel Dedekind rezultă, despre
B (respectiv A) același lucru ?

8. Fie A închiderea întreagă a lui Z in C. Să se arate că A este
un inel întreg închis de dimensiune Krull 1 dar nu este Dedekind.

(Indicație : Vezi § 4.6).

9. Să se arate că ineluleste un inel noetherian de dimensiune
Krull 1 dar nu este inel Dedekind.

10. Să se arate că ineluleste un inel noetherian, întreg închis,
dar nu este inel Dedekind.

Fie K iin corp comutativ și A subinelul al inelului de polinoame Folosind incluziunile să se arate că A este un inel noetherian de dimensiune Krull 1 dar nu este inel Dedekind. Mai general, să se demonstreze că orice subinel ai lui care include pe K este inel noetherian de dimensiune

în inelulconsiderăm următoarele ideale :

Să se arate că

si căsînt ideale maximale în

13. Să se demonstreze următoarele afirmații pentru inelul
a.)sînt prime între ele.
b) Dacii. atunci

d) nu este un ideal principal.

e) este un ideal principal.

f) Dacă-șisă se găseascăși
să se arate că

14. Să se găsească toate elementeleprime intre ele dar
pentru carepentru orice

§ 2.2. Caracterizarea aritmetică a inelelor Dedekind

Vom arăta că un domeniu A este inel Dedekind dacă orice ideal / al lui A, / diferit de 0 și A, se scrie in mod unic, abstracție făcind de ordinea factorilor, ca produs de ideale prime diferite de zero, caracterizare care generalizează teorema fundamentală a aritmeticii pentru inele principale : orice element nenul și neinversabil al unui inel principal se scrie în mod unic ca produs de elemente prime diferite de zero.

Ideale fracționare

în cele ce urmează A va fi un domeniu de integritate și K corpul fracțiilor lui A. Cum K are o structură canonică «le -4-modul si

vom nota cu mulțimea tuturor A-submodulelor lui K.

Definiție Se numește ideal fracționar al lui A un A-submodul M al lui K cu proprietatea că există astfel încît unde |

Exemple de ideale fracționare

1) Orice A-subinodul de tip finit M al lui K este ideal fracționar al lui A. într-adevăr, dacă ./,,…,.<•„ este un sistem de generatori ai A-modulului M, iareste un numitor comun pentru fracțiile

avemAlunei

în particular, orice A-submodul monogenal lui K este ideal

fracționar al lui A. ITn asemenea ideal fracționar se numește ideal fracționar principal al lui A.

2) Orice ideal / al lui A este ideal fracționar al lui A căci luînd avem Aceste ideale se numesc uneori

ideale întregi ale lui A. .Dacă .1 nu este noetherian (de exemplu

atunci are ideale (întregi) care nu sini finit generate, deci nu orice ideal fracționar este finit generat. I

2.2.3. Propoziții. Dacă A este noetherian și Munci Meste ideal fracționar al lui A dacă și un mai dacă M este A-modul finit generat.

Demonstrație. O implicație fiind demonstrată la 2.2.2, să, presupunem că M este ideal fracționar al lui A. Există astfel încît-

deci ('uni A este inel noetherian, A-modulul monogen

este noetherian, deci orice A-submodul al său, și în particular .V, este

. finit general. |

1 tacă , atunci evident

sint înunde.,

iar

2.2.4.Propoziție. Fie M și X două ideale fracționare ale lui A. Atunci sint ideale fracționare ale Ivi A. Dacă

atunci șiw este ideal fracționar al lui A.

Demonstrație. Există astfel încît

și FieAtunci

decisint ideale fracționare ale lui A.

Fie Cum avem

Cum sirezultă căeste ideal fracționar al lui A. |

Vom nota cumulțimea tuturor idealelor fracționare diferite de

zero ale domeniului A. Față de operația de înmulțire a idealelor fracționareformează un monoid comutativ avînd pe ca element imitate.

2.2.5. Definiție. Un ideal fracționar M al lui A se numește inmr-
sabil dacă există iui ideal fracționar y al Iui A astfel încît M2f = A. |

Oriceideal fracționar principal nenul Ax al lui A este inversatul căci

Se observă că idealele fracționare inversabile sint elementele inver-sabile ale monoiduluiDacă M este un ideal fracționar inversabil,

atunci inversul său (evident unic) va fi notat cu

2.2.6. Propoziție. Dacă M este un A-submodul al lui K pentru care există astfel încît MX = .4, atunci deci X este unic și M este finit generat.

Demonstrație, Cumexistăși

astfel încîtPentru orice

căci de unde deci M este A-modul finit generat.

Din NM=A rezultă căPe de altă parte

deci, de unde I

Caracterizarea aritmetică a inelelor Dedekind pe care am anunțat-o la începutul acestui paragraf va fi obținută odată, cu următoarea : un domeniu A este inel Dedekind dacă și numai dacă orice ideal fracționar diferit de zero al lui A este inversahil (adicăeste grup). Am observat

Că orice ideal fracționar inversabil este finit generat. Un domeniu în care orice ideal fracționar nenul finit generat este inversabil se numește inel Priifer. Inelul A al tuturor întregilor algebrici este inel Priifer și nu este inel Dedekind (v. iț 4.6).

Cîteva rezultate preliminare

2.2.7. Lemă. Fie .1 un domeniu noetherian și I un ideal diferit
de zero al lui A. Atunci există un număr finit de ideale prime diferite de
zero ale lui A astfel încît

Demonstrație. Afirmația este adevărată dacă Z este ideal prim diferit de zero. Presupunem că există ideale diferite de zero ale lui A cure nu au proprietatea din enunț si fie idealul l maximal (in raport cu incluziunea) printre recalcitranți. Atunci / nu este prim, deci există, astfel încît Fie Evi

dent Cum includ strict pe Z, există idealele prime

diferite de zeroale lui A astfel încît

de undecontrar presu-

punerii făcute ;i.supra lui I. |

2.2.8. Lemă. Fie A un inel Dedpkind, P un ideal prim diferit de
zero al lui A. Atunci P este ideal fracționar inversabil șiconține strict
pe A.

Demonstrație. Folosim provizoriu notația Din 2.2.4

rezultă că Evident și Fie

Cum Ab este ideal diferit de zero ai lui A, din 2.2.7 rezultă că

unde sînt ideale prime diferite de.zero ale lui A. în (*) pre-

supunem că n este minim cu proprietatea menționată. Cum P este prim, există i astfel încîtsi. schimbînd eventual indexarea, putem pre-

supune că Așadar si cum este maximal avem

P1 — P. Datorită minimalitățiilui n avem

astfel încîtEvident,deci P* include strict pe A.

Rămîne să mai demonstrăm că PP* = A. Evident PP* este ideal al lui A și cumiar P este ideal maximal al lui A, este

suficient să excludem egalitatea PP* = P.

Presupunem că PP* = P. Atuncioricare ar fi

FieAtuncioricare ar fi Cum A

este inel noetherian, existăastfel încîtde unde

simplificînd în egalitatea precedentă cu

se obține o relație de dependență întreagă peste A pentru x, deci

unde K este corpul fracțiilor lui A, de unde Contradicție.

Așadar PP* = A. I

2.2.9. Lemă. Fie A un domeniu și / un ideal inversabil a lui A
astfel incat undesunt ideale prime ale lui A.
Atunci orice descompunere a lui 1 in produs de ideale prime coincide,
mai puțin eventual ordinea factorilor, cu descompunerea

Demonstrație. Presupunem <ă unde

sini ideale prime. Schimbînd eventual indexarea, putem presupune că P, este minimal (față de incluziune) in mulțimea Folosind

egalitatea rezultă că există i si j astfel încît

Schimbînd eventual indexarea, putem presupune că și Datorită miiiimalității Iniavem(uni

și 1 este inversatul în monoidul rezultă eă

sint ideale inversabile. înmulțind egalitateacu

se obțin** dacă și dacii.

Dacăatunci evident șiiar dacă m > 1, atunci n > 1 și

un raționament prin inducție asupra lui m dăși

după o eventuală reindexare a idealelor|

Teorema de caracterizare aritmetică a inelelor Dedekind

2.2.10. Teoremă. Fie A un domeniu de integritate. Sunt echivalente
afirmațiile :

1) A este inel Dedekind.

2) Orice ideal J al tui A diferit de 0 și A se poate serie în mod
unic (abstracție făcînd de ordinea factorilor) ca un produs de ideale prime
ale lui A.

:i) Orice ideal 1 al lui .1., se poate scrie ca produs de ideale

prime ale lui A.

4) este grup.

.')) Oricare ar fi idealele (intregi) I și J ale lui A, cu există

un ideal (întreg) L al lui A astfel incit I = JL.

Demonstrație. Dacă A este un corp, atunci teorema este evidentă. Vom presupune deci că A nu este corp.

1) => 2). Este suficient ^ă demonstrăm că orice ideal / al lui A, se poate scrie ca produs finit de ideale prime, unicitatea unei asemenea reprezentări rezultă apoi implicînd 2.2.8 și 2.2.9.

Aplicînd 2.2.7, exista ideale prime diferite de zero P}, P2, .. .,PH astfel încît și presupunem că n este minim cu aceasta

proprietate. Dacă n = 1, atunci P1 = 1 căci P1 este maximal și Presupunem că n > 1 și că afirmația care vrem s-o demonstrăm este adevărată pentru idealele ale lui A, care conțin un produs de n — 1 ideale prime diferite de zero.

4) => 5) Dacă luăm ,și avem Dacă
atunciși luămCumrezultă că-
decieste ideal (întreg) al lui A. Avem

5) => 4) Fie șiastfel încît Avem
Cumeste inversa .foii iareste ideal întreg diferit

de zero al lui A este suficient să arătăm că idealele întregi diferite de zero ale lui A sînt inversabile. Fie / un ideal întreg al lui și

Cum există un ideal întreg J al lui A astfel încît

Dar idealuleste inversabil, deci si I este inversabil. |

Acum se poate ușor demonstra :

2.2.11. Corolar. Bacă A un inel Dedekind, atunci oricare

se poate scrie în mod unic sub forma unde

suit ideale distincte din iar sînt întregi

raționali diferiți de zero.

Exerciții

Fie un subinel a lui cu Să se arate că A •este un inel noetherian dar A nu este un ideal fracționar al Iui

Dacă sînt trei ideale fracționare ale unui domeniu de integritate , atunci să se arate că

li. Fieun domeniu de integritate in care orice ideal uenul generat de două elemente este inversabil. Să se demonstreze că orice ideal finit generat nenul al Iui este inversabil.

Fie A un domeniu de integritate și Să se demonstreze că dacă idealuldin este inversabil, atunci pentru orice avem

Să se demonstreze că dacă este un domeniu atunci orice ideal fracționar inversabil al lui este principal.

Fieun ideal al unui domeniu de integritate , maximal printre idealele neinversabile ale lui Să se arate că este un ideal prim.

7. Fie A un inel Dedekind și un sistem multiplicativ din cu
Să se demonstreze că aplicația definește un epimorfism

de grupuri

§2.3. Caracterizarea locală a inelelor Dedekind

Inelele principale cu un singur ideal prim diferit de zero se numesc inele de valuare discretă (prescurtat DVK, de la „discrete valuation ring") și sînt inele. Dedekind cu o aritmetică extrem de simplă. Cu ajutorul inelelor de valuare discretă se poate da următoarea caracterizare locala a inelelor Dedekind : un domeniu noetherian A care nu este corp este inel Dedekind daca și numai dacă AP este DVB oricare ar fiUn

concept mai general decît cel de DVB este cel de inel de valuare, care poate fi folosit pentru caracterizarea locala a inelelor Prufer.

Inele de poluare

2.3.1. Definiție. Fie domeniu cu proprietatea că oricare ar fi

avemsause numește inel de val nare.

2.3.2. Propoziție. Fie un domeniu și corpul fracțiilor lui
Sîni echivalente afirmațiile:

1) este inel de valuare.

Oricare ar fi idealele și ale lui avem sau

Oricare ar fiacemsau '

Demonstrație. 1) => 2). Presupunem că si fie astfel

încît. Dacă, atuncicăci altfelși alunei contrar

alegerii lui Din rezultă de unde

=>3). Fie, cu Dacă atunci, cu. de unde'. Altfel, și atunci

=> l). Fie Dacă sau atuncisau respectiv. Putem deci presupune căși și fie Dacă atunciiar dacă , atunci

2.3.3. Corolar. Fie un inel de valuare, corpul fracțiilor lui, .și
un subinel al iui astfel încît Atunci este inel de

valoare.

Demonstrație. Este suficient să observăm cil corpul fracțiilor lui H este K și să aplicăm apoi 2.3.2, pct. 3).

2.3.4. Propoziție. Fie A un inel de valuare. Atunci :

A este inel local.

A eate întreg închis.

Demonstrație. 1) Din 2.3.2., pct.2), rezulta că oricare două ideale maximale ale lui A coincid, deci A are un singur ideal maximal.

2) Fie K corpul traci iilor lui și Atunci satisface o

relație de dependenta întreaga peste .1, fie aceasta

Dacă .atunci ,și din egalitatea

precedentă se obține prin înmulțirea cu relația

Contradicție. Rezultatul mai putea fi demonstrat observînd că un inel de valuare este un domeniu GDC și aplicind apoi 1.1 A2.

2.3.5. Lemă. Fie K un corp și A un inel local de ideal maximal
F astfel încît A este subinel al lui h'. Atunci pentru orice
ar cm

Demonstrație. Presupunem că Atunci putem scrie

în egalitățile precedente presupunem că sint minimi posibili. Mai mult, înlocuind eventual peputem

presupune căînmulțind cudoua egalitate se obține

Cumeste inversabil și atunci

din ultima egalitate scoatem

în fine, înlocuind în egalitatea pe

cu valoarea sa din (•) se obține relația

care contrazice minimalitatea lui m. Kămîne adevărat că
sau |

Fie K un corp- Să notăm cumulțimea tuturor perechilor

unde A este subinel al lui iar ideal prim al lui A. Dacă

și sunt din spunem că perechea domină perechea

dacă și Se introduce astfel pe o

relație de ordine „<".

si evident mulțimea ordonată este inductivă. Elementele sale

maximale (care există conform temei lui Zorn) vor fi numite perechi maximale. Din teorema următoare rezultă că perechea este

maximală dacă si numai ducii este inel de valuare cu corpul fracțiilor egal cu și de ideal maximal

Fie un corp algebric închis, un subinel al lui și un morfism de inele. Perecheava fi numită morfism parțial

al Iui Să notăm cu TK mulțimea tuturor morfismelor parțiale ale luiPe introducem relația de ordine ,. < "prin

Evident mulțimea ordonată este inductivă. Elementele sale

maximale vor ii numite morfisme parțiale maximale ale lui K (în L).

Din teorema următoare rezultă că perechea-este mor-

fism parțial maximal al lui A* dacă și numai dacă A este inel de valuare de corp de fracții K.

2.3.6. Teoremă. Fie un corp și un subinel al său. Sini echivalente afirmațiile :

A este inel de valuare de corp de fracții

Există astfel încît este o pereche maximală.

3) Există un corp algebric închis L si un morfism de inele
astfel încîteste un morfism parțial maximal.

Demonstrație. 1) => 2). Fie P idealul maximal al lui A (v. 2.3.4) și fie astfel încît Fie Dacă

atunci de unde deducem că Contra-

dicție. Așadar deci și atunci

de unde

2) => 3). Fie închiderea algebrică a corpului și

morfismul rezultat prin compunerea morfismului canonic cu

morfismul incluziune Fie astfel încît

și fie Evidenteste ideal prim. Cum

și deducem că deci , de unde

căcieste pereche maximală. Așadareste morfism

parțial maximal.

3) =>1 ). Fie Evident este ideal prim al lui

Dacă atunciși aplicînd proprietatea de universalitate

a inelelor de fracții, 9 poate ii extins Ja un morfism prin

Cumavem

Cumeste morfism parțial maximal deducem că deci A

este inel local de ideal maximal P.

Este suficient să arătăm că pentru orice avem

sau. înlocuind eventual peputem presupune că

(v. 2.3.5). Fie astfel incit Cum

avem Așadar avem un morfism de corpuri

Evident, este

corp deducem căeste algebric peste corpul decieste

extindere algebrică a lui Deoarece se extinde la un morfismConform teoremei lui Steinitz, morfismul se extinde la un morfism Dacă

este morfismul canonic, atunci morfismul este o

extindere la a monismului . Așadar deci

căcieste morfism parțial maximal* de unde |

2.3.7. Corolar. (Krull). Fieun domeniu șicorpul fracțiilor nule. Atunci A'K este egal cu intersecția tuturor inelelor de caluare astfel incit

Demonstrație. Fie intersecția tuturor inelelor de valuare care sint subinele ale lui și conțin pe Din 2.3.3 și 1.1.14 rezultă că este domeniu întreg închis, de unde Pentru ca este sufi-

cient ca pentru oricesă avem Cum deducem

căîn adevăr, dacăatunciunde

și dacă f are gradul, atuncieste o relație de depen-

dență întreagă pestepentruContradicție. Cum deducem

că nu este inversatul iu inelul deci exista

astfel incit Fie L închiderea algebrică a corpului si

morfismul rezultat prin compunerea monismului canonic 'P cu morfismul incluziuneFieun

morfism parțial maximal al lui K in L astfel încît Atunci B este inel de valuare (v. 2.3.6) și Dar

decinu este inversabil în de unde rezultă că Așadar I

Caracterizarea locală a inelelor Prufer

Prezentăm mai întîi citeva rezultate privind localizarea idealelor fracționare.

Fie A mi domeniu de corp de fracții șimi sistem multiplicativ al luicuAvemiareste de asemeneu. corpul

fracțiilor domeniului. Dacă, atunci

Și

după cum cu ușurință se poate verifica.

2.3.11.Lemă. Fie un domeniu de integritate de corp de fracții și Sint echivalente afirmațiile :

1) 2)

Demonstrație. 1) => 2). Evident.

2) => 1). Fie Cum există
astfel încît Fie Dacă

, atunci există astfel incitsi în particular

Contradicție. Așadardeci de unde

Reamintim eă un domeniu care are toate idealele fracționare nenule tiuit generate iriversabile se numește inel Frilfer. Un domeniu cu toate idealele fracționare finit generate principale se numește inel Bezmit. Evident, cum pentru oriceavem , unde dM A,

în definiția inelelor "Priifer (Bezout) este suficient să cerem ca idealele întregi finit generate diferite de zero sa fie inversabile (resp. principale). Inelul tuturor întregilor algebrici este inel Bezout (v. §A.&). Evident, orice inel de valuare este inel Bezout. Reciproc, orice inel Bczout-local este inel de valuare după cum ușor se poate arata folosind un argument de la demonstrația lui 2.3.9.

2.3.12. Teoremă. Pentru un.domeniu A sint echivalente afirmațiile:

1) A este inel Prufer.

este inel de raluare, oricare ar fi

un inel de raluare, oricare ar fi

Demonstrație. 1) => 2). Fieun ideal (întreg) finit generat al lui Dacăsînt generatorii idealului ./ iar

atunci evident. Cumeste ideal (întreg) inversatul al lui A, atunci

este ideal inversabil al lui A,> (v. 2.3.8). Inelul AP fiind local, deducem că este principal (v. 2.3.9). Așadar este un inel Bezout local, deci .este inel Priifer.

=>3). Evident.

=> 1) Fieun ideal (întreg) finit generat al lui A. Pentru orice este ideal finit generat al lui si cum este inel de valuare,este principal. Din 2.3.10 se deduce că este inversabil.

Inele de valuare discretă

2.3.13. Definiție. Un domeniu se numește inel de coluare discretă
(prescurtat DVK, de la „discrete valuation ring") dacă este inel principal
cu un singur ideal prim nenul. 1

Din definiția dată rezultă că un inel de valuare discretă este un inel local care nu este corp: dacă este idealul maximal al lui A, atunci se numește corpul rezidual al lui Un elementastfel

încît se numește uniformizată al Ini A și este unic determinat

mai puțin o asociere în divizibilii ate.

2.3.14. Exemple de inele de raluxire discretă

1) Dacă este un număr prim strict pozitiv, atunci inelul de
fracții al lui cu numitorii in este inel principal avînd un
singur ideal prim nenul, anume, conform lui 0.1.1 și 0.1.5,
este DVK, de corp rezidual

Mai general, dacă este un inel factoria! care nn este corp si este un element prim nenul, atunci este DVK. în particular, daca

este un corp comutativ sieste un polinom ireductibil, atunci

este DVK.

2) Inelul de serii formaleîn nedetermiuata cu coeficienți
în corpul comutativeste inel local principal cu un singur ideal prim
nenul, anume idealul generat de Așadar este inel de valuare
discretă de corp rezidual

Din teorema următoare rezultă că inelele de valuare discretă coincid cu inelele de valuare noetheriene.

Evidenteste inel Dedekind local. Rezultă că orice ideal (întreg)al lui este inversabil (v. 2.2.10), deci principal (v. 2.3.9).

Așadar A este inel principal cu un singur ideal prim nenul.

în fine, echivalența este evidentă. |

Inelele Dedekind admit următoarea caracterizare locală cu ajutorul inelelor de valuare discretă.

2.3.16. Teoremă. Fie un domeniu care nu este corp. Următoarele-
afirmații sînt echivalente :

.1) este inel Dedekind.

2) este noetherian și este inel de valuare discretă oricare ar fi

Demonstrație.Fie Inelul nu este corp căci

Cum orice inel Dedekind este inel Priiter, din 2.3.12 rezultă că este inel de valuare. Inelul A,, este noetherian căci A

este noetherian (v. 0.2.8). Din 2.3.15 rezultă acum că Ay. este inel de valuare discretă.

2) => 1). Din 2.3.12 rezultă că este inel Priitei* si evident un inel Prtifer noetherian este inel Dedekind. |

2.3.17. Remarcă. Dacă este un inel local noetherian, atunci
dimensiunea Krull a lui . este finită (v. de exemplu Radu [1968],
Atiyalî șiMacDonald 11969], Zariski si Samuel [1958]). Dacă
atunci inelul A se numește regulat dacă există o parte
formată din d elemente care să genereze idealul maximal al lui A. Așa
dar, inelele locale regulate de dimensiune zero suit exact coi-purile, iar
inelele locale regulate de dimensiune 1 (care sînt obligatoriu domenii) sînt,
conform lui 2.3.15, ex;<ct inelele de valuare discretă.

Un inel A nu neapărat local se numește regulat daca este noetherian și toate inelele localesint regulate pentru orice Teorema.

2.3.15 nu spune altceva decit că inelele integre regulate de dimensiune ^1 sînt exact inelele Dedekind.

Exerciții

1. FieSă se arate că laticeaa idealelor inelului
este total ordonată este de forma undeeste un numai*

Să se arate că orice inel Bezout (deci și orice inel de valuare) este un inel GCD.

Să se demonstreze că un domeniu de integritate local este un inel de valuare dacă și numai daca este un inel Bezout.

Să se arate că dacă A este un inel de valuare sau un inel Bezout, atunci are aceeași proprietate, pentru orice sistem multiplicativ S din A cu

Fie A un inel Bezout avînd corpul de fracții K; să. se demonstreze că orice subinel al lui cu este un inel de fracții al lui A.

Fie A un inel principal de corp de fracții Să se demonstreze că singurele inele de valuare de corp de fracții A' și conțmînd pe A sînt de forma unde este' un element prim în

16. Fie o extindere de corpuri cu șialgebric
închis in (de exemplu

A este evident un subinel înSă se, demonstreze că A este un inel

local de dimensiune l si întreg închin, dar A nu este un inel de valuave. în plus, să se arate că A nu este noetheriau.

17. Fie P idealul luigenerat deSă se demonstreze :

(indicație. Dacă, ar fi DVK, atunci ar ti un ideal

principal, deci!

și Scriind

se deduce că

.și se ține cont că și

sini fie ambele pare și atuncieste par, absurd căci

fie si sînt ambele impare și atunci ax si a« au aceeași, proprietate, deci (mod 4), de unde

rezultă că(mod 2) adicăabsurd).

18. Să se demonstreze că un inel este noetheriau *> orice ideal prim
al său este finit generat.

19. Fie A un inel avind proprietatea că orice ideul maximal al său
este finit generat. Kezultă că A este un inel noetheriau''

20. Fie A un inel avind următoarele două proprietăți :
(i) este un inel noetheriau
(ii) Orice aparține doar unui număr finit de ideale

maximale ale lui A.

Să se demonstreze că A este un inel noctherian.

' I ud icni ie. Se considera un lanț ascendent de ideale din și se arată că există »iSe aplică apoi 0.1.8).

21. Să consideră inelele (K corp comutativ) și

Să se arate cănu sînt inele noetheriene, dar At satisface condi-

ția iarsatisface condiția (ii) de la exercițiul precedent.

22. Fie A un domeniu de integritate îndeplinind următoarele trei
condiții :

Un asemenea inel .4 se numește inel. Să se arate că orice inel

Dedekind este un inel Krull și că orice inel cu dimensiune este un inel Dedekind. Daca atunci se zice de înălțime 1 și se scriedacă și pentru orice rezultă că

26. Să se demonstreze că orice inel noetherian întreg închis este un inel Krull.

Să se demonstreze că orice inel factorial este un inel Krull.

Să se arate că un inel Krull avînd doar un număr linii de ideale prime de înălțime 1 este un inel principal.

Să se demonstreze că un domeniu de integritate A este un inel factorialeste un inel Krull și orice ideal prim de înălțime 1 din A este principal.

Fie A un inel Dedekind de corp de fracții Dacăeste un subeorp al lui astfel încît A să fie întreg peste atunci să se arate că este un inel Dedekind.

(Indicație: Se arată ca este un inel Krull de dimensiune 1

și se aplică apoi Ex. 22).

2«S. Fie k un corp comutativ, Dacă

este subeorpul al lui sa. se arate cănu

este inel Dedekind cu toate că este inel Dedekind.

29. Să se demonstreze că dacă orice ideal maximal al unui domeniu
de integritate noetherian este inversa!»!, atunci A este un inel
Dedekind.

30.Fie A un inel Dedekind. Pentru orice se definește conținutul său ca fiind idealul

:il lui A. Să se demonstreze lema lui Gauss- :

(Indicație: Se va demonstra că și apoi se aplică 2.3.11).

.31. Fie M un A-modul finit generat peste un inel Dedekind A. Să se arate că este un .1-modul este un A-modul fără

torsiune.

32. Dacă A este un inel comutativ arbitrar, un ideal se
zice- primar.dacă și pentru orice cu rezultă că

saudacă este un ideal primar să se arate că :

(i) este, un ideal prim (se numește atunci ideal P-primar).

(ii) Dacă / este un ideal iu cu, atunci / este un

ideal primar al lui

33.Un idealal unui inel A se numește ireductibil (resp. cvasiprim) dacă și pentru orice ideale din

sau (resp. dacă sau Să se arate că

orice ideal prim este cvasiprim si orice ideal cvasiprim este ireduc-tibil.

34. Dacă A este un inel Dedekind, sa se demonstreze că noțiunile
de ideal primar, de ideal cvasiprim și de putere a unui ideal prim sînt
identice.

.35. Dacă A este im inel noetherian. sâ se arate că orice ideal ireductibil al lui A este primar. Reciproc, un ideal primar într-un inel noetherian este neapărat; ireductibil ?

36. Fie A un inel și S un sistem multiplicativ din .4 cuDacă

să se demonstreze eă asocierea definește o bijecție între mulțimea idealelor P-primare ale lui A și mulțimea idealelor -primare ale lui

37. Fie A un domeniu de integritate noet aerian. Să se demonstreze echivalența următoarelor afirmații :

(a) A este un inel Dedekind.

țb) Pentru orice nu există nici un ideal / al lui

distinct deși astfel încît

(c) avînd în mod natural o structură de •spațiu vectorial).

(d) Pentru orice există un întreg astfel incit,
nu există nici un ideal T al lui , distinct de icu

(e) Pentru orice există un întreg astfel încît.

(f) Pentru orice. mulțimea idealelor F-primare ale lui A
este total ordonată față de incluziune.

(g) Pentru orice orice ideal F-prirnar este un produs
de ideale prime.

(n) Pentru orice existăastfel încît să fie

un ideal ireductibil.

38. Fie A un inel. Să se demonstreze că următoarele două afirmații
sînt echivalente :

(a)Pentru oriee idealedinavem

(b) Peri ru orice ideale din avem

Un inel care Îndeplinește una din condițiile de mai sus adică un inel pentru care latimea a idealelor este distributivă) se numește

iuti aritmetic.

39.Să se demonstreze că un ineleste aritmeticpentru orice inelulare latimeaa idealelor total ordonată fa-ță

-de incluziune.

Să se arate că orice inel Bezout este un inel aritmetic și că orice inel aritmetic xemilocal este un inel Bezout.

Să se demonstreze că următoarele afirmații sînt echivalente pentru un domeniu de integritate :

A este un inel Priifer.

A este un inel aritmetic.

Orice ideal neuul al lui A generat de două elemente este inversabil.

(d) pentru orice ideale

(e)pentru orice ideale

Dacă si sint ideale in cufinit generat si . atunci exi.stă un ideal al lui cu

Orice subinelal lui cu(unde) este un inel întreg închis.

{Indicație. Se aplică 2.3.9, Ex. 39, Kx. 3, si Ex. 3 de la § 2.2).

42. Fie A un inel Priifer. Să se arate că un A-modul este plat;
este un .4-modul fără torsiune.

43.Să se demonstreze că daca A este un inelși atunci este un inel

44. Să se demonstreze că dacă A este un inel atunci și
este un inel Priifer pentru orice sistem multiplicativ din cu

45.Fie K un corp sifamilie filtrantă crescător de subinele ale lui Dacă A, sînt inele Profersă se arate că si

est» un inel

46. Fie A un domeniu de integritate noetherian. Să se demonstreze
echivalența următoarelor afirmații:

A este un inel Dedekind.

A este un inel Prufer.

A este un inel aritmetic.

(d)Pentru orice idealedin A cusi rezultă

Fie A un inel Dedekind de corp de fracții Să se arate că orice subinel B al lui cu este tot un inel Dedekind.

Fie, A un inel Prufer de corp de fracții și o extindere algebrică a lui (finită sau nu). Să se arate că închiderea întreagă a lui în este tot un inel

§ 2.4. Valuări

Teoria valuării se situează Ia granița dintre teoria numerelor, geometria algebrică si analiza : ea introduce concepte similare celor din analiza clasicii, utile in studiul unor probleme de aritmetică.

Valuări și inele de valuare

Fie A un domeniu de corp de fracții Notăm eugrupul unităților domeniului și cu grupul multiplicativ al corpului Evident U este subgrup al grupului; grupul factor se numește grupul de evaluare sau grupul ordinelor inelului A. Ducă definim relația astfel încît numită reia fia de divmbilitale în relativă la

Evident, pentru avem , de unde se deduce ușor că este o relație de preordine (relație binară reflexivă și tranzitivă) pe >i induce pe . o relație de ordine prÎM unde desemnează clasa de echivalență a elementuluimodulo subgrupul al lui Eelația peeste bine definită deoarece dacă 9 și atunci

Pentru operația grupului vom adopta notația aditivă, adică Relația de ordine .. ^ " pe este compatibilă eu structura sa de grup, adică pentru orice cu avem

ceea ce rezultă imediat din definiții; așadar are in mod canonic o structură de grup ordonat, în concluzie la orice domeniu .1 de corp de fracții se asociază un grup abelian ordonat (notat aditiv), numit grupul de

minare stan grupul ordinelor lui

2.4.1. Propoziție. Fie un domeniu. Atunci este inel de ralnare
dacă ș-i numai dacă cțrupul de valuare al lui A este total, ordonat.

Demonstrație. Presupunem că. A este inel de valoare și fie K corpul său de fracții. Pentru avem fiefie

(v. 2.3.2), deciadicăde unde rezultă, cit

grupul este total ordonat. Analog se demonstrează implicația reciprocă.

Fie acumun inel de valoare de corp de fracții Să considerăm aplicația canonică..

undeeste grupul unităților lui A. Consecvenți notației aditive folosită pentruoperația grupului notăm cuelementul său neutru și avem

Observam ca :

i) este aplicație surjectivă

ii) este morfism de grupuri.

iii) Dacă atunci

în adevăr, dacă avem de exemplu atunci

deci de unde

și atunci după cum

rezultă, din aserțiunea următoare

iv)

în adevăr, daca atunci deci

adică și reciproc, dacă cu atunci

deci existăastfel incit

Putem acum introduce principalul concept din acest paragraf.

2.4.2. Definiție. Fie K un corp. Se numește taluare pe o func-
ție unde este un grup abelian total ordonat notat aditiv,
îndeplinind următoarele trei condiții:

i) este aplicație surjectiva,

ii) oricare ar fi

iii) oricare ar fi

se numește grupul evaluarii O valuare cu grupul valuării

se numește improprie sau trivială.

De multe ori este comod să definim funcția pe tot putrind în acest caz, notind tot cu funcția prelungită avem iar precauția de la ca este inutilă,

facind evident convențiile de rigoare : și

pentru orice «

2.4.3. Propoziție. Fie un corp înzestrat cu o ealuareAtunci

este un inel de cal u a re de corp de fracții

și de ideal maximal

se numește inelul valuării r iar se numește corpul rezidual al valuării

Demonstratie. Dacă atunci

deci daca atunci

deci Cum avem și

așadar A este subinel al lui . Dacă și atunci

Exerciții

I. Dacă este o valuare pe corpul cu

să se demonstreze că

2. Fie un grup abelian total ordonat și un corp comutativ.
Notînd cu monoidul elementelor pozitive ale tui fie
algebra monoidală a luipesteposedă astfel o bază peste

iar înmulțirea în este definită prinDacă

este un element arbitrar nenul din C vom defini în acest mod este definit o aplicație Să se demonstreze că :

pentru orice

Și

pentru orice (ii) C este un domeniu de integritate, (iii) Dacă K este corpul de fracții al lui C, atunci aplicația w : K* -* T

definită prinpentru oriceeste o va

luare pe avîndgrupul valuării grupul abelian ordonat dat și corpul rezidual izomorf cu corpul dat Așadar există întotdeauna un inel de valuare avînd grupul ordinelor izomorf cu un grup abelian ordonat dat si avînd corpul rezidual izomorf cu un corp dat.

Dacă ordonat într-un anumit fel (de.

* ori

exemplu lexicografic), atunci corpulobținut anterior «–ii"

3. Fie A un inel de valuare avînd corpul de fracții K. Sâ se
arate ca pentru orice subinel al lui pentru care
este un inel de valuare avînd idealul său maximal ideal prim in A ;
în plus, aplicațiastabilește o bijecțic descrescătoare intre mulțimea
idealelor prime ale lui și mulțimea subinelelor ale lui cu

bijecția inversă fiind !n particular, dacă este

un DVH, atunci pentru orice subinel al lui cu rezultă

sau

4. Fie un grup abelian total ordonat; un subgrup al lui
se numește subgrup izolat dacă pentru orice element rela-
ția>implicăDacă numărul subgrupurilor izolate ale lui

distincte deeste finit si egal cuse zice ca are înălțim-en iar dacă accM număr este infinit, atunci se zice ca are înălțimea infinită. Să *c arate că grupurile abeliene și ordonate uzual au înălțimea 1 iar grupulordonat lexicografic arc înălțimea

5. Să se arate că dacă este un inel de valuare, atunci numărul
idealelor prime nenule din A coincide cu înălțimea grupului ordinelor

a lui A. Acest număr (eventual infinit) se numește înălțimea inelului de valuare -i coincide cu dimensiunea Ivrull a lui A.

Să se demonstreze că un inel de valuare are. înălțimea i (adică conform Ex. 4, are un singur ideal prim nenul dacă si numai dacă grupulal ordinelor lui este izomorf cu un subgrup ordonat nenul al lui

Fie A un inel de valuare de ideal maximal P. Sa se demon-streze echivalența următoarelor afirmații:

(i)

(ii) Există cu

(iii) Grupul ordinelor al lui are proprietatea că semigrupul

al elementelor pozitive din A are un cel mai mic element nenul.

§ 2.5. Module proiective și inele Dedekind

Am văzut că pentru orice inel Dedekind A mulțimea a idea-

lelor fracționare nenule ale lui A este grup comutativ tală de înmulțire. "Notînd cumulțimea idealelor fracționare principale nenule ale lui A, i.e.unde K este corpul fracțiilor lui A, se observă că &i{A) este subgrup al lui Grupul factor se numește grupul claselor de ideale ale lui A (sau încă grupul danelor de dimzori ai lui A) și se notează cu sauDacă este ordinul grupuluiatunci un inel Dedekind A este principal dacă. și numai daca.(v. 4.3.1);apare astfel ca o măsură u abaterii aritmeticii unui inel Dedekind de la cea a unui inel principal. In capitolul IV vom demonstra că pentru un inel A de întregi algebrici,este finit (teorema lui Dirichlet). O teoremă a lui L. Claborn [19661 stabilește : pentru orice grup abelian există un inel astfel incit (pentru demonstrație și chestiuni conexe se poate consulta Fossum [1973] sau Leeuham-Greeu 11972]).

în acest paragraf se face studiul inelelor Dedekind c\\ ajutorul modulelor proiective. Se arată că inelele Dedekind coincid cu domeniile ereditare. După ce se stabilește structura modulelor finit generate peste un inel Dedekind se arată că grupul Picard al A-modulelor proiective de rang 1, A inel Dedekind, este izomorf cu grupul

Module proiective

Fie .4 un inel unitar, cu în această secțiune, dacii nu se

face mențiunea expresă, A poate fi necomutativ, cind A este necomutativ, prin A-rnodul vom înțelege .4-modul sting.

2.5.1. Definiție. Un A-modui M se numește proiectiv dacă oricare ar fi morfismul surjeetiv de .4 -module și oricare ar fi

există astfel incit

2.5.2. Lema. Fie un morfism surjectir de A-module,
mmde M este A-modul proiecție. Atunci {sumă directă internă},
m*de p și

Demonstrație. Oum M este proiectiv, există astfel

ineît Fie Atunci deci

Oumeste injectiv iar p este surjectiv rezultă că

*i I

2.5.3. Propoziție. Un A-modul este proiectiv dam si mimai daoă
(frt-e izomorf cu un sumând direct al unui A-modul liber. în particular,
orice A-modul liber este proiectiv.

Demonstrație. Fie M un A -modul. Există un A-modul liber L și un morfism surjectiv Dacă M este proiectiv, din 2.5.2 se

deduce că M este izomorf cu un sumând direct, al lui L.

Reciproc, să presupunem că exista un A-modul liber L și două submodule ale sale astfel încît,Arătam că

y «ale A-modul proiectiv, de unde va rezulta că M este proiectiv.

Fieproiecția canonica și injecția canonică ; avem

Fie-bază a lui un morfism surjectiv

de A -module și

Pentru orice existăastfel încît Cum

L este A-modul liber șieste o A-bază a sa, există un unic morfism

de A-module astfel încît oricare ar fi Dacă

atunci deci i este A-modul proiectiv. |

2.5.4. Propoziție. Vie o familie de A-module și

Afirmațiile următoare sînt echivalente :

este proiectiv,

este proiectiv, oricare ar fi

Demonstrație. Implicația 1) => 2) rezultă din 2.5.3. Să demonstrăm

implicaț-ia 2) => 1). Fie un morfism Rurjectrv de A-module,

și pentru orie»»să notăm curestricția lui f la Ai,.

Cum M, este proiectiv, există, astfel încît Fie astfel încît

Avemdeci AI este proiectiv. |

2.5.5.Lemă. Un A-modul M este proiectiv dacă ți numai dacă există o familiede elementeși o familie de A-morfisme

astfel. încît pentru orice familia este de su-

port finit și

Demonstrație. Presupunem că M este proiectiv și fie un

morfism surjectiv, unde L este un A-modul liber. Fieo A-baza a

lui L și notampentru orice Cum Al este proiectiv există

astfel încît

Module proiective peste inele locale

Vom demonstra că orice modul proiectiv și finit generat peste im inel local (comutativ) este liber de rang finit. Are loc un rezultat mult mai general datorat lui Kaplansky: orice modul la stingă proiectiv, nu neapărat finit generat, peste un inel local chiar necomutativ este liber (pentru demonstrație se poate consulta de exemplu Anderson și Fuller [1974]).

Presupunem în această secțiune că A este un inel comutativ. Notăm cu .clasa A-modulelor finit generate și cu clasa A-modulelor

proiective finit generate.

2.5.9. Lemă. (Nakayama). Fie și un ideal al lui A
astfel încît 1 —- a este inversabil în A oricare ar fi Dacă
alunei

Demonstrație. Presupunem că și fieun sistem

de generatori pentru \minim. Avem

Rezultă că putem scriecu

. Așadarși cum este

inversabil în A rezultă că Deducem că

ceea ce contrazice minimalitatea lui n. Rămîne
adevărat că |

2.5.10. Corolar. Fie un A-modul și N un A-submodul al său
astfel încît este în și , unde I este un ideal al
luiA astfel încît este inversabil în A oricare ar fi Atunci

Demonstrație. Dinrezultă că Aplicînd

2.5.9 deducem că deci|

2.5.11. Corolar. Fie I un ideal al lui A_astfel încît
1 — a este inversabil în A oricare ar fi

Cu aceste ipoteze, elementelegenerează pe JI peste A dacă și

numai dacăgenerează pepeste unde este clasa lui

modulo

Demonstrație. Pe se introduce o structură de A-modul

prin undeși deci dacă generează pe

M peste A este evident căgenerează pe M peste A. Reciproc,

presupunem căgenerează pepeste și fie Atunci

Rezultă că

deciunde Evident

..și atunci din 2.5.10 rezultă că

2.5.8. Teorema. Pentru un domeniu de integritate comutație A Hui
echivalente afirmațiile :

A este inel Dedekind.

A este inel ereditar.

Module proiective peste inele locale

Vom demonstra că orice modul proiectiv și finit generat peste im inel local (comutativ) este liber de rang finit. Are loc un rezultat mult mai general datorat lui Kaplansky: orice modul la stingă proiectiv, nu neapărat finit generat, peste un inel local chiar necomutativ este liber (pentru demonstrație se poate consulta de exemplu Anderson și Fuller [1974]).

Presupunem în această secțiune că A este un inel comutativ. Notăm cu Jt{A) clasa A-modulelor finit generate și cu clasa A-modulelor

proiective finit generate.

2.5.9. Lemă. (Nakayama). Fie și / un ideal al fui A
astfel încît 1 — a este inversabil în A oricare ar fi Dacă IM ~ M,
alunei M = 0.

Demonstrație. Presupunem că M # 0 și fie {xt, x2, …, x„} un sistem de generatori pentru M, cu n minim. Avem M = IM — /( jj Ax, I —

Rezultă că putem scrie

Așadarși cumeste

inversabil în A rezultă că Deducem că

ceea ce contrazice minimalitatea lui n. Rămîne
adevărat că M = 0. |

2.5.10. Corolar. Fie M un A-modul și N un A-submodul al său
astfel încît M/N este în și unde l e$te un ideal al
luiA astfel încît 1 — a este inversabil în A oricare ar fi Atunci

Demonstrație. Din 3" +IM = M rezultă că M/y = I(MfN). Aplicind 2.5.9 deducem că M/y = 0. deci .V = M.

2.5.11. Corolar. Fie I un ideal al lui A astfel încît
1 — a este inversabil în A oricare ar fi

Cu aceste ipoteze, elementelegenerează pe M peste A dacă și

numai dacăgenerează pe M peste unde este clasa lui

modulo IM.

Demonstrație. Pese introduce o structură de A-modul

prin unde și deci dacă generează pe

M peste A este evident căgenerează pe M peste A. Reciproc,

presupunem că generează pe peste și fie Atunci

cu Rezultă că

deci M = N -f- IM, unde Evident

-și atunci din 2.5.10 rezultă că . |

2.6 Generalizări aie inelelor Dedekind

În acest paragraf vom prezenta fără demonstrație cîteva rezultate privind inelele Dwlekind gradate și inelele DedeTnnd necomutative.

Inele aproape Dedekind și ZPI-iaele

Să menționăm mai iutii alto două generalizări aie inelelor Dedekim", anume inelch' aproape DedH'ind și ZPI-ineMe\ pentru detalii in legătură cu aceste clase de inele trimitem !n r.arsen si McCarthv [1971 î sau Gilmer [1972].

2.0.1. Definiție. C7n domeniu de integritate comutativ A se numește inel aproape Dedewnd dacă A,. este inel Dedekind oricare ar fi|

2.0.2. Definiție. Un inel comutativ A, nu neapărat domeniu de integritate, se numește ZPl-ivH (de la ../îcrlegung Priraideale") dacă orice ideal al lui A, diferit de 1 st- ponte scrie ea produs finit de ideale prime. |

Un domeniu de integritate A care nu este corp este inel aproape Dedekind dacă și numai dacii J este inel Prufer, orice ideal prim a] lui A este maximal (i.e. dini .) și pentru orice /'eilux(J).

Evident, orice inel Dedckind e<te inel aproape Dedekind. Dacii unde K esîe corpul obținui adjuneționînd la. Q oițe o rădăcină primitiv;'. țp de grad p a unității pentru fiecare număr primatunci A este

inel aproape Dedekind si A nu este inel Dedekind.

Un inel comutativ .1. nu neapărat domeniu de integritate, se numește inel primar special dacă este local și orice ideal al lui A diferit de A este o putere a lui /', unde P este idealul maximal al lui .1, sau, echivalent, A este un inel local, artinian si cvasiprincipal. în particular dacă Ji este nu inel principal și p un element prim nenul ;d sui. atunci inelul B'iip*) este un inel primar special. Orice inc! Dedekind și orice inel primar special i^tk> un ZPI-ine>\. Reciproc, un rezult:!' ni lui Asano stabilește că orice /?P/-iuel este produs direct tini! de inele Dedekind și inele primare speciale. Rezultă cii un in»] comutativ .1 are proprietatea că orice ideal al său diferii de o >i .1 a.dmite o descompunere unică în produs finit de ideale prime (iacă șl numai dacă I este fie im inel [Dedekind fie un inel primar special.

Capitolul III

RAMIFICARE

Dacă K este un corp de numere algebrice avînd inelul de întregi Ar un număr primconsiderat ca element în A nu mai rămine

prim, după cum arată următorul exemplu simplu : întregul rațional 2 este prim în dar în inelulal întregilor algebrici ai corpului Q|i] are

următoarea descompunere in produs de elemente prime : Am văzut în capitolul anterior că A este un inel Dedekind care in general nu este factorial, sau, echivalent-, inel principal. Prezintă un deosebit interes descompunerea in produs de ideale prime a idealelor pA cu

număr prim nenul, sau altfel zis ramificarea in A a acestor ideale.

Scopul acestui capitol este studiul acestei ramificări; acest studiu ne va întreprinde într-un cadru mai general, înlocuind pe Z cu un inel Dedekind arbitrar C ?i considerînd in locul lui A închiderea întreagă a lui (7 într-o extindere finită și ireparabilă a corpului său de fracții.

Se introduc noțiunile de discriminant si diferență a unei extinderi finite de inele Dedekind și se studiază ramificarea în funcție de ele. Ca aplicații se studiază ramificarea în corpurile patratice si ciclotomice, iar ca un rezultat important se demonstrează teorema lui Kronecker-Webcr. Pentru corpurile pattatice se face și o incursiune in aritmetica inelelor lor de întregi.

§ 3.1 Descompunerea idealelor într-o extindere de inele Dedekind

Indice de ramificare grad rezidual

Teste tot în cuprinsul acestui paragraf vom considera următoarea situație :

unde A este un inel Dedekind «lat și care nu este corp, este o extindere finită și separabilâ a lui

Dacă atunci P nu este ideal in B, dar putem consi-

dera mulțimea .care

este un ideal inB, numit extinsul sau extinderea idealului P în B. Acest

ideal PB nu este în general maximal în B; în cele ce urmează vom studia forma unui asemenea ideal în funcție de și de extinderea.

3.1.1. Propoziție. Dacă atunci .și
Demonstrație. Cum rezultă cădeci

Extinderea fiind întreagă, conform teoremei 1.1.20, există

astfel încît, deci de unde

I

Vom conveni să notăm elementele lui prin ete

iar elementele lui prin ete.

3.1.2. Propoziție. Dacăatunci

Demonstrație. Se aplică 1.1.21, ținînd cont că extinderea .este

întreagă. |

3.1.3. Definiție. Fie si Se spune despre
Q că divide P sau că idealul Q stă peste P sau încă idealul Q este deasu
pra lui P și se scrie

3.1.4. Propoziție. Fie și atunci

Demonstrație. Dacăatuncideci

Reciproc, dacă atunci și conform

lui 3.1.2, adică Q\ P. I

Așadar, dacă alunei considerînd idealul propriu nenul

PB al inelului Dedekind />'. acesta are, conform lui 2.2.10, o descompunere in produs ideale prime nenule : unde

pentru orice Atunci pentru orice pentru orice

și reciproc, dacă atuncideci exis-

tă , adică

Așadar

Numărul g, adică numărul tuturor idealelor prime din B ce stau peste P se numește numărul de descompunere al lui P în extinderea Uneori, dacă este necesar, se mai folosește notația gP sau gP(LJK). Este clar că

Pentru fiecare poartă numele de indicele de ramificare

al lui Qt în extinderea Uneori vom folosi p«Miiru c, si notațiile

este va luarea discretă pe L avînd inelul de valuare B .

Egalitateamai putem serie și altfel PB =

Dacă Q P, atunci incluziunea canonică. induce uu

monomorfism de corpuri adică un monomorfism

3.1.10. Lemă. Fie D un inel comutativ și unitar, C un gubinel în

un sistem multiplicat ic cu Atunci există un izomorfism canonic: în particular,

Demonstrație. Să notăm prin f morfismul obținut prin compunerea celor două morfisme canonice

Vom demonstra mai întîi că f este surjeetiv; fie pentru aceasta

Cum (căci * și este un ideal

maximal în (', rezultă deci Exista atunci

A Și) (1 Hi'

Deci ceea ce

arată căeste surjectiv.

Avem Pe de altă parte, este clar că

si reciproc, dacăatunci unde

și; există atuncicu, deci există

cu . Considerînd C-modulul factor, acesta are con-

form lui 3.1.7, o structură canonică de C/M-modul; notînd cuclasa lui modulo M/D și cu c clasa luimodulo M, avem

dar în C/M, deci înmulțind cu inversul său din corpul C/M

obținem deci, adicăîn concluzie

, deci Ker Aplicînd acum teorema fundamentală de

izomorfism găsim izomorfismul canonicAl doilea

izomorfism rezultă din primul luind

Bibliografie:

F.W. ANDERSON and K.R. FULLER, “Rings and categories of module”, Graduate Texts in Mathematics 13, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1974;

M. F. ATIYAH and I.G.MACDONALD, “Introduction to commutative algebra”, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts, 1969;

I.D. ION și N.RADU, “Algebră”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981;

C. NĂSTĂSESCU, “Inele, module și categorii”, Editura Academiei, București, 1976;

C. NĂSTĂSESCU and F. VAN. OYSTAEYEN, “Graded rng theory”, North-Holland Mathematical Library 28, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, New-York, Oxford, 1982;

N.RADU, “Inele locale”, Vol. I Editura Academiei București, 1968;

TOMA ALBU și ION D. ION, “Capitole de teoria algebrică a numerelor”, Editura Academiei, București, 1984.

Universitatea “Dunărea de Jos” Galați

Facultate de Științe

Specializarea Matematică – Informatică

Lucrare de licență

– Inele Dedekind –