Teoreme de Medie In Calcul Diferential

CAPITOLUL I TEOREME DE MEDIE IN CALCULUL DIFERENTIAL

Teoremele de medie ale calculului diferențial garantează despre o functie definită pe un interval arbitrar, că există întotdeauna un punct în interiorul intervalului, pentru care este indeplinită o anumită proprietate. Teoremele de medie garantează existența unui punct, unde derivata funției este egală cu o valoare dependentă de interval. Cunoscând derivata unei functii putem afla proprietăți ale acesteia :puncte de extrem, monotonie, sau rezolva problema tangentei ,afirmații au o importanță deosebită în analiza matematică, pentru demonstrarea lor putănd aplica teoremele de medie. Tteoremele cele mai utile și mai întrebuințate ale calculului diferențial sunt: teorema de medie a lui Rolle, a lui Lagrange si a lui Cauchy.

I.1. Teoreme clasice

I.1.1. Teorema lui Rolle 

Michel Rolle (1652-1719), matematician francez, a avut o contribuție importantă la dezvoltarea analizei matematice și a geometriei analitice.

Una din preocupările sale majore a constat în problematica rezolvării de ecuatii. In anul 1690 publică cea mai importanta lucrare a sa ,, Traite’ d’algebre " referitoare la teoria ecuațiilor. In anul 1691 enunță, fara a demonstra, teorema care mai tarziu îi va purta numele ,, Teorema lui Rolle"

Teorema 1.1.1. (teorema  lui Rolle )

Fie o funcție f : [a,b] R, a,b R, a<b.

Dacă :

1) f este continuă pe intervalul inchis [a,b];

2) f este derivabila pe intervalul deschis (a,b);

3) f are valori egale la capetele intervalului, f(a) = f(b),

atunci exista cel putin un punct c din intervalul deschis , c(a,b) în care derivata se anulează, f’(c)=0.

Demonstratie: Se analizeaza cazurile:

Functa f este constanta pe intervalul inchis .In acest caz oricare ar fi x si deci orice punct c(a,b) raspunde concluziilor teoremei.

Functia f nu este constanta. Cum f este continua pe un compact [a,b],atunci din teorema lui Weierstrass f este marginita si isi atinge marginile pe compact,adica exista astfel incat : si unde si = sunt marginea superioara respective marginea inferioara alui f.Intrucâ f nu este constantă rezultă m<M.

• Daca punctual de minim se afla interiorul intervalului [a,b], atunci conform teoremei lui Ferma .Deci luand c= teorema este demonstrate.

• Daca {a,b} deci coincide cu unul din capetele intervalului atunci

In acest caz este clar ca , punctual de maxim al lui f se afla in interiorul intervalului . Din nou aplicand teorema lui Ferma se deduce deci si teorema este

demonstrata.

Corolar Fie continua pe ,derivabila pe si unde a,b sunt radacini pentru f. Atunci exista cel putin un punct astfel incat

Deci intre doua radacini ale functiei f se afla cel putin o radacina a derivatei .

I.1.1.2 Interpretarea geometrica

Teorema lui Rolle are o interpretare geometrica simpla. Din rezulta ca tangenta la graficul functiei in f in punctual este paralela cu axa .

Deci daca cerintele teoremei lui Rolle sunt indeplinite atunci pe graficul functiei f exista (cel putin) un punct(c ,f(c)) in care tangenta este paralela cu axa .

Figura 1

I.1.1.3. Interpretarea fizica

Presupunând ca x este timpul si f(x) este coordonata unui punct, care se misca pe o dreapta ,la un moment ales x. La momentul x=a punctul are coordonata f(a) , iar apoi se misca intr-un anumit mod cu viteza intorcându-se la punctual de plecare cu coordonata f(a) la momentul x=b (). Pentru a se intoarce la punctul f(a), el trebuie sa se opreasca la un anumit moment , adica la un anumit moment viteza este 0 , .

Observstia 1: Teorema lui Rolle este o proprietate de existență.

Observatia 2:Toate cele trei cerinte din teorema lui Rolle sunt esentiale pentru ca teorema sa fie adevarata . Daca una din cele trei cerințe nu se verifica ,atunci concluzia teoremei nu mai are loc.

Exemplul 1:

Fie functia , f(x)= .

Aceasta functie verifica cerinta 1) din teorema (este continua pe [-1,1]) si cerinta 3) din teorema dar nu verifica cerinta 2) intrucat functia nu este derivabila in x=0.Prin urmare nu exista punct intermediar c, in care caci:

Exemplul 2:

Fie functia f : [0,1] R,

Aceasta functie verifica conditiile 2) si 3) din teorema dar nu verifica conditia 1),adica functia nu este continua la dreapta in x=0.Deci f nu este continua pe [0,1]. Avem x

si prin urmare x.

Exemplul 3:

Fie functia , f=.

Aceasta functie verifica cerintele 1) ( este continua pe [0,1]) si 2) (este derivabila pe (0,1)),dar nu verifica conditia 3) () . Asadar nu exista astfel incat deoarece .

Exemplul 4:

Exemplul urmator atrage atentia asupra necesității ca domeniul de definitie al functiei sa fie interval condiție ce este esențială

Fie functia , f(x)=

Este evident faptul ca f este derivabila pe [0,3] si f(0)=f(3)=3 si totusi f nu se anuleaza pe

[0,3] . Multimea de definitie nu este interval.

Nu trebuie sa se traga concluzia ca derivata unei functiinu se anuleaza in nici-un punct daca acea functie nu satisface una din conditiile teoremei lui Rolle.

Exemlu : f:[-2,2] , .

Definție: O functie , continua pe [a,b] si derivabila pe (a,b) se numeste functie Rolle.

Remarcă.Teorema lui Rolle ramane adevarata ,in particular, daca functia derivabila se anuleaza in a si b si in acest caz teorema se poate enunta astfel: intre doua zerouri ale functiei se afla cel putin un zerou al derivatei, adica intre doua solutii ale ecuatiei se afla cel putin solutie a ecuatiei

adică ,intre orice doua zerouri consecutive ale derivatei unei functii derivabile exista cel mult un zerou al functiei . Functionarea binecunoscutei tehnici a șirului lui Rolle de separare a zerourilor unei functii derivabile este bazată pe această observație.

I.1.1.4.Șirul lui Rolle

O aplicatie importanta a teoremei lui Rolle o reprezinta sirul lui Rolle asociat unei ecuatii de forma f(x)=0, unde f este o functie derivabila ,cu ajutorul caruia se poate determina numarul radacinilor reale ale ecuatiei precum si intervalele in care aceste radacini sunt situate .

Lemă :Fie o functie derivabila pe un interval I . Intre doua radacini (zerouri) consecutive ale derivatei se afla cel mult o radacina a ecuatiei .(Zerourile derivatei separa zerourile functiei).

Demonstratie: Fie , , cu <radacini consecutive ale derivatei (deci in intervalul (,) derivate nu se anuleaza ).

Presupunem prin reducere la absurd ca in intervalul (,) ar exista cel putin doua radacini (zerouri) ale lui f, .

Pe intervalul []aplicând functiei f teorema lui Rollerezultă că exista cel putin un punct pentru care , adica se mai anuleaza in cel putin un punct ceea ce vine in contradictie cu alegerea punctelor

Analog se arata ca daca ( respective ) este cea mai mica (respective cea mai mare) radacina a lui in intervalul I atunci la stanga lui ( respective dreapta lui ) exista cel mult o radacina a lui f.

Etapele formării șirului lui Rolle

Se fixeaza intervalul de studiu al ecuatiei si se defineste functia derivabila pe I .

Exemplu:

Avem ecuatia , pentru care putem defini functia ,

Se calculeaza derivata funcției() si se determina solutiile ecuatiei ,din intervalul I ,pe care le vom ordona crescător :

Se formeaza sirul :

a , ,,…,b unde asi b reprezintă valorile funcției la capetele intervalului

I, sau limitele functiei f la capetele intervalului.

Rezultatele se trec in urmatorul tabel:

Concluziile referitoare la numarul de radacini reale ale ecuatiei si intervalele in care acestea sunt plasate.

Distingem următoarele cazuri:

Cazul 1. Daca in șirul lui Rolle apar doua semene alaturate identice ,adica pentru sa avem fie fie atatunci spunem că in intervalul nu avem rădacini reale ale ecuației .

Demonsrtratie:

a) Presupunănd că exista cel putin doua radacini ale functiei ,atunci conform teoremei lui Rolle ar exista astfel incat contradictie pentru că sunt radacini consecutive ale lui .

b) Presupunînd că ar fi o singura radacina a lui f , atunci din rezulta ca c este un punct de extreme pentru f și atunci ,ceea ce este absurd.

Cazul 2. In cazul in care in sirul lui Rolle apar doua semen alaturate diferite, spre exemplu ,, atunci conform proprietatii lui Darboux pe care o au functiile continue,va exista cel mult si respectiv cel putin o radacina in intervalul , deci ecuatia va avea exact o radacina in intervalul .

Cazul 3. În cazul in care in sirul lui Rolle apare zero, spre exemplu atunci este radacina multipla a ecuatiei , iar atunci in intervalele , ecuatia nu mai are alte radacini.

Concluzie: Prin numărarea schimbarilor de semn si zerourilor se determină numarul de radacini reale( fara să se determine ordinele de multiplicitate ale acestora ) ale ecuatiei considerate precum și intervalele in care sunt situate aceste radacini.

Exemple :

Exercițiul 1 Determinati numarul de radacini reale ale ecuatiei

Solutie: Vom parcurge etapele enumerate mai sus .

Etapa intai . Fie , f(x)= (unde f functie polinomiala)

Etapa a doua . Ecuatia

are solutiile ..

Etapa a treia. Avem :

, ,, , .

Etapa a patra . Sirul lui Rolle este sirul semnelor valorilor de la etapa precedenta :

+, – ,+, -,+.

Etapa a cincea. Alcătuim următorul tabel pentru a trage concluziile privind numarul de radacini reale și intervalele carora le apartin .

Deoarece în sirul lui Rolle avem patru schimbări de semn , inseamna ca ecuatia are patru radacini reale astfel

Exercițiul 2 Sa se discute numarul de radacini ale ecuatiei

in funcție de valorile parametrului a

Solutie: Considerăm functia , ,derivabilă

cu derivata

=0

De unde se obtine :

pentru care , ,

Observăm că in punctele in care derivata se anuleaza valorile functiei f depind de parametrul a În functie de diferite valori ale parametrului a ,obtinute prin egalarea valorile functiei cu zero , , se face discuția sirului Rolle.

Întocmim tabelul:

I.1.2 Teorema lui Lagrange

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) a fost considerat cel mai mare matematician al secolului al XVIII-lea .Matematician si astronom, el a adus contribuții importante in matematica si mecanica. In matematica ,Lagrange este considrat fondator al calculului variational(simultan cu Euler) si al teoriei formelor patratice. In analiza matematica , el a dat formula creșterilor finite,formula de interpolare, formula restului pentru dezvoltare in serie Taylor , a introdus metoda multiplicatorilor pentru rezolvarea problemei aflarii extremelor conditionate. A publicat doua volume cu lectiile de analiza matematica sustinute de-a lungul carierei sale didactice.

Datorita apariției numele său peste tot in matematica , Napoleon l-a supranumit ,,piramida grandioasa a stiintelor matematice".

In baza unor consideratii istorice ,terorema lui Lagrange mai este cunoscuta și sub numele de,, prima teorema de medie “. Teorema lui Lagrange este o generalizare simpla a teoremei lui Rolle in care functia precizată nu mai ia obligatoriu valori egale la capatul intervalului.

Teorema 1.2.1. (Teorema lui Lagrange sau teorema cresterilor finite)

Fie o functie f : ,si a,b , a<b.

Daca :

f este continua pe intervalul inchis ;

f este derivabila pe intervalul deschis ;

atunci exista cel putin un punct din intervalul deschis , pentru care:

. (1)

Egalitatea (1) care apare in teoremă se mai numește formula lui Lagrange (formula creșterilor fnite ), iar c punct intermediar.

Demonstrație

Vom considera o funcție auxiliară , unde k este o constantă reală, .

Este evident faptul că funcția f este continua pe (fiind o diferența de funcții continue) , este derivabilă pe (fiind o diferența de funcții derivabile) si

Numarul real k se determinădin cerinta teoremei; .

Pentru funcția verifică condițiile teoremei lui Rolle astfel încât adica

Obsservația 1.2.1. Dacă în formula creșterilor finite facem notația , vom obține și .

Astfel concluzia teoremei lui Lagrange se mai scrie: ,

cu .

1.2.2. Interpretarea geometrică a Teoremei lui Lagrange

Interpretarea geometrică a teoremei lui Lagrange scrisă sub forma este aceea că dacă graficul functiei f admite tangentă în fiecare punct diferit de extremitati ,atunci există cel puțin un punct de pe grafic(care nu coincide cu extremitățile) in care tangenta la grafic

sa fie egala cu panta coardei determinate de punctele A ,B, ceea ce înseamna ca aceasta tangenta este paralela cu coarda AB. (vezi figura 2)

Precizarea asupra unicității acestui punct nu apare nici aici ca și teoremele lui Fermat si Rolle avem asigurata numai existenta punctului intermediar c cu anumita proprietate .

O rotație cu un unghi de măsură egala cu cel facut de coarda cu axa OX .(vezi figura 3) asupra teoremei lui Rolle nu ar fi altceva decât teorema lui Lagrange.

Figura 3

1.2.3. Interpretarea fizica

Presupunând ca x este timpul și f(x) este coordonata unui punct care la momentul x se mișca pe o dreapa .

Formula :

reprezinta viteza medie a mișcarii punctului in intervalul de timp de la a la b.

Fizic formula lui Lagrange exprimă faptul că exista un punct x=c în care viteza instantanee este egala cu viteza medie in intervalul de timp [a,b].

1.2.4. Inerpretarea algebrica

Daca sunt indeplinite conditiile teoremei lui Lagrange, ecuatia

are cel putin o radacina in intervalul (a,b).

1.2.5.Corolarul teoremei lui Lagrange

Daca f este continua pe intervalul I si derivabila pe I,iar in exista limita derivatei :

, atunci f este derivabila in si

Cu ajutorul acestui corolar putem efectua studiului derivabilitatii unei functii intr-un punct mult mai usor decât cu ajitorul derivatelor laterale.

Exemplul 1.2.1.

Studiati derivabilitatea funcției

Deoarece f este continuă și derivabilă pe și pe ,se pune problema continuității in punctual 0.

f este continuă în punctul 0.

,

Aplicând corolarul lui Lagrange rezultă că f este derivabilă în 0 și .

În concluzie f este derivabilă pe R.

Exemplul 1.2.2. Fie funcția .

Să se studieze derivabilitatea acestei funcții în punctul 0.

Acest exemplu l-am ales pentru a arăta că condiția de continuitate a funcției este esențială .

și totuși f nu este derivabilă ( deoarece , f nu este continuă în 0 și .

1.2.6. Proprietati ale punctului intermediar din teorema lui Lagrange

Considerand punctual intermrdiar c din formula de medie a lui Lagrange

\ (1)

putem exemplifica:

Exemplul 1 : Fie a,b ∈ R cu . Pentru functia f : [a,b] → R

definita prin

, oricare ar fi

exista un singur punct c ∈ (a,b), ¸si anume astfel ıncat (1) sa fie adevarata.

Exemplul 2: Fie a,bcu .Pentru functia

definita prin

, oricare ar fi

exista un singur punct si anume ,astfel incat (1) sa fie adevarata.

Exemplul 3: Pentru functia

definita prin

, oricare ar fi

exista exact doua puncte si anume si , astfel incat (1) sa fie adevarata.

Exemplul 4: Daca n1 este un numar intreg , atunci pentru functia

definita prin

, oricare ar fi

exista exact 2n-1 puncte si anume astfel incat (1) sa fie adevarata.

Exemplul 5: Pentru functia

definita prin

,

exista o infinitate de puncte printer care , astfel incat (1) sa fie adevarata.

Relativ la unicitatea punctului intermediar are loc urmatoarea afirmatie :

Teorema1.2.2. (teorema de unicitate a punctului intermediar)

Fiind a si b numere reale astfel incat a<b si o functie

1)continua pe ;

2)derivabila pe

Daca functia este injective pe , atunci exista un singur punct

astfel incat

Demonstrati : Folosind metoda reducerii la absurd presupunem ca exista doua puncte diferite si apartinand intervalului astfel incat

De aici urmeaza ca .Deoarece este injectiva deducem ca care contrazice .

Sa observam ca daca notam

atunci

si

si obtinem

cu

Urmatoarea teorema da o conditie suficienta pentru ca numarul real din teorema sa fie unic

Teorema 1.2.3.

Fie a si b numere reale astfel incat si o functie

1)continua pe ;

2)derivabila pe .

Daca functia este injective pe , atunci exista un singur numar real

astfel incat .

Demonstratie. Folosind metoda reducerii la absurd ,presupunem ca exista doua numere reale si , astfel incat

si

De aici urmeaza = de unde obtinem =care contrazice .

1.2.7. Precizari ale pozitiei punctului intermediar

Pentru anumite clase de functii continue pe si derivabile pe , pozitia punctului intermediar din teorema de medie alui Lagrange se poate preciza .

Astfel

Lema1 Daca a si b sunt numere reale astfel incat atunci pentru functia

definita prin

, oricare ar fi

avem

Prin urmare pentru functia din aceasta lema punctual intermediar din teorema de medie a lui Lagrange este media aritmetica a capetelor intervalului pe care consideram functia .

Lema 2 Daca a si bastfel incatatunci pentru functia

definita prin

, oricare ar fi

avem

.

Pentru functia din lema 2 ,punctul intermediar din teorema de medie a lui Lagrange este media geometrica a capetelor intervalului pe care consideram functia.

Lema 3 Daca a si bastfel incatatunci pentru functia

definita prin

avem

(3)

Demonstratie

In baza teoremei de medie a lui Lagrange exista un punct

astfel incat

de unde deducem

Urmeaza ca inegalitatile (3) sunt echivalente cu relatiile

adica cu relatiile

Intrucat deducem ca este suficient sa aratam ca

oricare ar fi

Vom demonstra ca pentru orice avem

si

Pentru aceasta consideram functiile g,h : definite prin

, oricare ar fi

Deoarece oricare ar fi t>1

si

oricare ar fi t>1

deducem ca fumctiile g si h sunt strict crescatoare pe

Asadar pentru orice avem

si

, si lema este demonstrata.

Pentru functia logaritm natural punctual intermediardin teorema lui Lagrange este in prima jumatate a intervalului pe care consideram functia.

Lema 4 Daca a si bastfel incat, atunci pentru functia

definita prin

, oricare ar fi

avem

Demonstratie,. In baza teoremei lui Lagrange exista un punct astfel incat sa avem

de unde deducem ca

unde

Intrucat

oricare ar fi

obtinem

Deoarece

Tinand seama ca functia cosinus este strict descrescatoare pe

rezulta .

Pentru functia sinus punctual intermediar din teorema lui Lagrange este in a doua jumatate a intervalului pe care consideram functia.

Urmatoarea teorema precizeaza pozitia punctului intermediar intr-un cadru mai general

Teorema 1.2.4.

Fie a si bastfel incat, si functia o functie care satisface urmatoarele proprietati

functia f este derivabila de trei ori pe ;

functia este continua pe ;

oricare ar fi

Daca este un punct intermediar din teorema de medie a lui Lagrange atunci urmatoarele afirmatii sunt adevarate:

) Daca ,oricare ar fi atunci

Daca , oricare ar fi atunci

De retinut ca in ipotezele teoremei 1.2.4.punctul intermediar c din teorema lui Lagrange este in a doua jumatate a intervalului daca are loc ipoteza de la ),respective in prima jumatate a intervalului daca are loc ipoteza de la .

Lema 6 (D. Pompeiu) Fie a,bcu si .Pentru functia

definita prin oricare ar fi esista un subinterval astfel incat . Mai mult subintervalul care are cea mai mica lungime are extremitatile

, unde w=.

Intervalul unde si sunt precizati mai sus se numeste intervalul de contractie pentru polinoame de gradul al treilea .

Semnificatia geometrica este urmatoarea : intervalul in care se gaseste punctual intermediar c se contracta de la la .Numarul se numeste coeficientul de contractie al polinoamelor de gradul al treilea .

1.2.8. Teorema lui Lagrange generalizata

Fie,,,

Dacă:

1) f ete continuă pe

2) f este derivabilă pe

3)

atunci există, cel puțin un punct cu, astfel încât:

(1)

.      

Demonstrație. Se considera functia Cun este functie Rolle

pe , k urmeaza afi determinat astfel incat

adica

de unde – (2)

Pentru această valoare a lui k, funcția h verifică ipotezele teoremei lui Rolle. Atunci există cel puțin un punct astfel încât .

Cum

rezulta

de unde (3)

Din (2) și (3) rezultă: = (4)

Cum dreapta AB are ecuatia si punctul

aunci

de unde relatie care introduda in relatia (4)

ne da =

=

De unde

de unde

,

adică:

rezulta adica relatia (1).

1.2.9. Interpretarea geometrica a generalizarii teoremei lui Lagrange

Dacă satisface condițiile 1), 2), 3), atunci există cel puțin un punct astfel încât tangenta la graficul funcției în punctul intalneste coarda AB in punctul . (vezi figura 4 )

Figura 4

Observația 1.

Dacă, atunci tangenta în punctul la graficul funcției și coarda AB se întâlnesc pe axa Oy (fig. 5)și se obține teorema lui D. Pompeiu prezentată într-o comunicare la Congresul al III-lea al matematicienilor români din anul 1945:

Fie, . Dacă:

f este continuă pe              

b)  f este derivabila pe

atunci există cel puțin un punct astastfel incat (5)

Figura 5

Observatia 2

.      Dacă, atunci tangenta în punctul la graficul funcției și coarda AB se întâlnesc pe axa Ox (fig. 6) adică  relația (4) devine:

(6)

Figura 6

Ca și în cazul teoremei lui Lagrange se poate găsi un număr mare de inegalități care să aibă la bază această generalizare.

Dificultatea demonstrării acestora constă în găsirea funcției și a punctului 

Exemple.1Daca atunci

Soluție. Fie ,,care este functie Rolle pe

Din (5) rezulta ca exista

astfel incat de unde .

Cum functia este strict crescatoare pe si rezulta

de unde:

de unde ,adica relatia ceruta.

I.1.3. Teorema lui Cauchy

Augustin Louis Cauchy (1789-1857) a fost unul dintre cei mai importanti matematicieni francezi .A enuntat criteriul de convergenta care ii poarta numele ,a dat primele teoreme de existenta din teoria ecuatiilor diferentiale si a ecuatiilor cu derivate partiale ,a introdus notiunea de affix ,modul al unui numar complex ,numere conjugate ,a introdus notiunea de raport armonic si este fondatorul geometriei productive alaturi de matematicianul francez Jean Poncelet. Cauchy a lasat posternitatii un numar enorm de lucrari matematice,care au fost publicate din anul 1882 pana in anul 1974 in ,,Opere complete”.Este vorba de 27 volume, ce cuprind circa 800 articole din domeniile: algebra ,analiza matematica , mecanica si teoria probabilitatilor.

Teorema1.3.1.(teorema lui A. L. Cauchy) Fie a,b cu si f ,g: doua functii. Daca

functiile f si g sunt continue pe ;

functiile f si g sunt derivabile pe ;

atunci exista cel putin un punct , astfel incat

Demonstratie Consideram functia definite pentru orice x prin

Evident functia h verifica ipotezele teoremei lui Rolle.Atunci exista cel putin un punct

cu proprietatea ca . Deoarece pentru orice avem

,

din rezulta

Ca o consecinta obtinem varianta clasica a teoremei lui Cauchy.

Teorema 1.3.2. (teorema clasica a lui A.L.Cauchy) Fie a,b cu si f ,g: doua functii. Daca

functiile f si g sunt continue pe ;

functiile f si g sunt derivabile pe ;

oricare ar fi ,

atunci si exista cel putin un punct astfel incat

. (1)

Demonstratie Condiția g’(x) 0 pentru orice x(a, b) implică faptul că g(a) g(b); într-adevăr, dacă g(a)=g(b), aplicând teorema lui Rolle , ar rezulta că există c (a, b) astfel ca g’(c)=0, ceea ce contravine ipotezei.

Considerăm funcția ajutătoare F(x)=ƒ(x)+kg(x), kR și determinăm k astfel ca F(a)=F(b), deci k=. Aplicând teorema lui Rolle funcției F cu k astfel determinat, există c (a, b) astfel încât F’(c)=0. Dar F’(x)=F’(x)+kg’(x), x (a, b), deci ƒ’(c)+kg’(c)=0, -k=, de unde se obține relația ce trebuia demonstrată.

Formula ,

se numeste ,,formula generala a mediei “ sau,,a doua formula de medie”

Interpretarea geometrica a teoremei lui Cauchy

Pantele celor doua drepte sunt proportionale cu pantele tangentelor duse la graficul functiei in punctul c corespunzator.

Observatia1.3.1.Teorema lui Cauchy ramane adevarata daca functiile f si g au derivate infinita in punctele din intervalul si daca in fiecare punct cel putin una din derivatele

este finite.Ultima restrictie se datoreste faptului ca nu trebuie sa fie nedeterminat.In ceea ce priveste prima afirmatie ea rezulta din observatia de la teorema lui Rolle(Teorema lui Rolle ramane adevarata daca in punctele din intervalul deschis derivate este infinita ,deoarece s-a folosit in demonstratie teorema lui Ferma ,care nu cere ca derivate sa fie finite)

Observatia 1.3.2.In aceleasi conditii din enuntul teoremei lui Cauchy, daca ,

pentru orice exista un punct cuprins intre a si x astfel incat sa avem

formula ce se obtine din (1) inlocuind pe si cu 0 si pe b cu x.

Exercitiu 1 Sa se cerceteze daca este aplicabila teorema lui Cauchy de medie pentru urmatoarele functii:

,

Si in caz afirmativ sa se determinepunctul c corespunzator.

Solutie Functia g este continua si derivabila pe intervalul ,iar pentru functia f este necesar sa verificam continuitatea si derivabilitatea in punctual x=1.

Avem ca si de aici rezulta ca f este continua in x=1.

Pentru a arata ca functia este derivabila in x=1,calculam:

;

Intrucat rezulta ca f este derivabila in 1.

Cum ,aplicand teorema lui Cauchy de medie ,

obtinem

Prin urmare de unde

I. 2. Formula lui Pompeiu a teoremei cresterilor finite

Dimitrie Pompeiu ( 1873- 1954) matematician român care a adus numeroase contribuții în domeniul analizei matematice, teoriei funcțiilor de o variabilă complexă, mecanicii raționale Cea mai importantă lucrare a sa este teza de doctorat (Paris, 1905), rămasă celebră,, Sur la continuité des fonctions de variables complexes („Asupra continuității funcțiilor de o variabilă complexă”), în care a demonstrat existența funcțiilor analitice continue pe mulțimea singularităților lor (funcțiile Pompeiu). De asemenea a introdus noțiunea de distanță între două mulțimi și a construit funcții reale, neconstante, a căror derivată se anulează în orice interval, denumite funcții Pompeiu.

Intr-o scurtă lucrare publicată în anul 1929, Pompeiu demonstrează că dacă integrala dublă a unei funcții continue în plan are aceeași valoare pe orice pătrat de latură dată, atunci funcția se reduce la o constantă. Aceasta simplă observație a generat una dintre cele mai interesante probleme ale analizei matematice, cunoscută ca „problema lui Pompeiu”.

O altă simplă observație, care a condus la numeroase cercetări, este cea privind teorema creșterilor finite.

Teorema 2.1.(teorema lui D. Pompeiu)

Fie, . Dacă:

f este continuă pe              

b)  f este derivabila pe

atunci există cel puțin un punct astastfel incat .

Aplicatie 2.1.1.

Fie o functie continua pe , derivabila pe si pozitiva pe . Atunci exista astfel incat

. (1)

Solutie. Aplicam teorema lui Lagrange de medie functiei .Rezulta ca exista un astfel incat

,

care se scrie

sau

Observatie

La prima vedere s-ar parea ca formula (1) este o simpla consecinta a teoremei cresterilor finite adevarata doar pentru functiile strict pozitive . Adevarul este ca formula (1) este echivalenta cu formula cresterilor finite.

Intradevar,sa presupunem ca (1) adevarata pentru sis a consideram o functie oarecare( nu neaparat pozitiva, care verifica conditiile din ipoteza cresterilor finite.

Punind si aplicand formula (1) obtinem

, de unde rezulta ca exista un

astfel incat

adica formula cresterilor finite.

I.3. Consecinte ale teoremei cresterilor finite

Urmatoarele consecinte ale teoremei lui Lagrange sunt extreme de importante in analiza matematica

I.3.1. Functii cu derivate nula ( prima consecinta)

Teorema 3.1.1. Daca o functie derivabila are derivate nula pe un interval atunci ea este constanta pe acest interval .

Demonstratie. Fie ,o functie derivabila in punctele din interiorul lui I si continua pe I, I interval si un element fixat . Daca este arbitrar atunci conform teoremei lui Lagrange aplicata functiei f pe intervalul sau , exista cel putin un punct sau

astfel incat

Cum , avem , , ceea ce arata ca f este constant ape I.

Observatia 3.1.1. Afirmatia reciproca a teoremei 3.1.1. este clara . Daca o functie este constant ape un interval, atunci derivata acesteia este nula pe interval.

Observatia 3.1.2. Teorema demonstrate mai sus da un procedeu de lucru prin care sa aratam ca o functie definite pe un interval este constanta . calculam derivate acesteia si daca ,atunci exista o constanta astfel incat Pentru determinarea constantei se alege o valoare particulara din interval pentru care are o forma cat mai simpla. Alteori daca intervalul are forma atunci pentru determinarea constantei se apeleaza la calculul sau .

Vom ilustra cele spuse prin urmatorul exemplu.

Exemplu 3.1.1. Sa se arate ca functia , este constanta .

Solutie .Calculam derivate functiei si avem

, .

Cum pe rezulta . Pentru determinarea lui k alegem si apoi calculam , .

Asadar ,. Cum pentru , si pentru avem deasemenea , deducem ca

,, o formula binecunoscuta in trigonometrie ce leaga functiile trigonometrice inverse arcsin si arcos.

Observatia 3.1.3. Concluzia teoremei 3.1.1. nu mai este adevarata daca f nu este definita pe un interval

Exemplu Fie functia ,, pentru care ,,fara ca f sa fie functie constanta .

Totusi daca f este definită pe o reuniune de intervale si ,atunci f este constanta pe fiecare interval.

I.3.2.Functii cu derivate egale (a doua consecinta a teoremei lui Lagrange)

Teorema 3.2.1.Daca doua functii derivabile au derivatele egale pe un interval ,atunci ele difera printr-o constanta .

Demonstratie. Fie f ,gderivabile pe interiorullui I și continue pe I, I fiind interval cu , oricare ar fi .

Această conditie scrisă sub forma , oricare ar fi arată că se poate aplica prima consecintă . Deci există o constantă astfel încât , oricare ar fi ,altfel spus ,cele doua functii diferă printr-o constantă pe intervalul I.

Observația 3.2.1. Cerința ca I să fie interval este esențială.

Exemplu . Fie ,

Evident ,,fără ca să fie o constantă.

Dar este o constantă pe fiecare interval egală cu 0 și respective cu -2. Deci difera prin câte o constantă pe fiecare interval.

Observația 3.2.2. În determinarea constantei se procedează așa cum am indicat la observația 3.1.2 de la prima consecință.

Observația 3.2.3. Formulele de la trigonometrie pot fi demonstrate utilizând această consecința.

Exemplu Să se arte că ,

Solutie. Se considera fincțiile , ,

pentru care si

Deci , .Așadar exista astfel încât ,.

Luăm x=0 când . Așadar și formula este stabilită.

I.3.3.Rolul derivatei întâi .Intervale de monotonie.Puncte de extrem.(consecinta a treia)

I.3.3.1. Intervale de monotonie

Un rezultat important pentru o funcție derivabilă pe un interval este furnizat de semnul derivatei.Acesta va fi utilizat pentru determinarea intervalelor de monotonie.

Teorema 3.3.1. Fie ,I-interval ,o functie derivabila .

Daca ,atunci f este crescatoare pe I

Daca ,atunci f este descrescatoare pe I

Daca ,atunci f este strict crescatoare pe I

Daca ,atunci f este strict descrescatoare pe I

Demonstratie. Fie și Se aplica teorema lui Lagrange pe intervalul Prin urmare exista astfel încât ,

ceea ce arata că ,ceea ce demonstrează că f este crescătoare pe I.
Acm este clar ca daca am fi obținut , ceea ce conduce la f strict crescătoare pe I adica 3).

Analog daca se obține adică.

Deci pentru rezulta ,ceea ce înseamnă că f este descrescătoare pe I .

Dacă atunci găsim și prin urmare f este strict

ercrescatoare.

Observația 3.3.1 Pentru a marca monotonia unei funcții utilizând semnul derivatei se utilizează tabelele de mai jos

(a) (b)

Figura 7

unde in linia in corespunzătoare lui f am indicat printr-o săgeată orientată in sus (fig. (7a)) faptul ca f este strict crescătoare pe I, sau printr-o săgeată orientată in jos (fig.(7b)) faptul că f este strict descrescătoare pe I.

Observatia 3.3.2. Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei funcții derivabile , I nu neaparat intervaldin R se procedeaza astfel :

se calculeaza derivata a funcției f ;

se rezolva (in R) ecuatia ;

se determina intervalele in care păstrează același semn ;

se ține seama de a treia consecintă si se stabilesc intervalele de monotonie.

În concluzie prima derivata da informații despre comportamentul curbei.

Exemplu. Sa se precizeze intervalele de monotonie pentru funcția ,

Solutie. Aplicam schema indicata urmarind etapele

a) Calculul derivatei: Avem (I=R)

b) Rezolvarea în R a ecuatiei

c) Se întocmește tabelul de semn al derivatei;

Pe fiecare interval , , , functia este continuă și nu se anuleaza prin urmare păstrează același semn ,pe un interval dat.

Așadar pe intervalele , funcția este strict descrescătoare, iar pe intervalele , functia este strict crescatoare .

,,

I .3.3.2. Puncte de extreme local pentru o funcție

Utilizând monotonia unei funcții putem stabili punctele de minim sau de maxim local pentru o funcție derivabilă.

Definiție Fie si

a) Se spune că este un punct de maxim (local) al funcției f dacă există o vecinatate V a lui astfel încât să avem pentru orice ;

b) Se spune că este un punct de minim (local) al funcției f dacă există o vecinatate V a lui astfel încât să avem pentru orice .

Observatie. Punctele de maxim sau de minim local se numesc și puncte de maxim sau de minim relativ, sau puncte de extremum relativ , deoarece un punct de maxim local (sau minim local ) nu este în mod necesar un punct de maxim absolut (sau minim absolut),adica nu este punct în care funcția ia valoarea cea mai mare (sau cea mai mica ) din interval.

Un punct din interiorul domeniului de definiție este punct de minim local daca avem situația marcata in tabelul de mai jos

Un punct din interiorul domeniului de definiție este punct de maxim local daca avem situația marcata in tabelul de mai jos

Se observă ca in ambele cazuri există o vecinatate a lui in care au loc in egalitatile sau , .

Se știe ca eventualele puncte de extreme local sunt sunt soluții ale ecuației pentru o functie derivabilă f ,pentru care are loc una din situatiile indicate in tabelele de mai sus.

Să reținem insă că absența punctelor critice (soluții ale ecuației ) nu inseamnă inexistența valorilor minimale sau maximale. De obicei sub valorile minime locale se pune litera m, iar sub valorile maxime locale se pune litera M între paranteze.

Exemplu. Pentru functia , , avem tabelul

Punctul x=0 este punct de minim ,fără ca f să fie derivabilă in x=0 , ,

O funcție continua ,de exemplu pe este mărginită și își atinge marginile pe compactul . Este posibil ca aceste valori extreme să se realizeze în x=a sau x=b.Pentru a găsi , se compara valorile funcției in x=a, x=b ,in punctele critice(soluții ale ecuației ) precum si in punctele unghiulare și de întoarcere.

I.3.4.Derivata unei funcții într-un punct (a patra consecinta)

Urmatorul rezultat este important pentru ca permite să decidem dacă o funcție este derivabilă intr-un punct . Condiția suficientă ca acest lucru să se intâmple este dată de :

Corolarul 3.4.1. Daca ,I interval și ,

Dacă

f este continuă in ;

f este derivabilă în I–;

există ,

atunci f are derivata in si .

Dacă , atunci f este derivabilă în și .

Demonstratie.Se aplică teorema lui Lagrange funcției f pe un interval , și avem

cu

De aici

deoarece daca x

Anlog

există și este egală cu l .

Deci f are derivată in și .

Observatia 3.4.1 Aceasta corolar pentru studiul derivabilitații unei funcții într-un punct, permite să calculăm derivatele laterale intr-un punct.

Observatia 3.4.2.Corolarul teoremei lui Lagrange da o conditie pentru existenta derivatei unei funcții într-un punct. Condiția nu este și necesară.

Exemplu. Fie , , derivabila in origine și ,

dar nu există ,unde , întrucât se știe că nu exista .

Observația 3.4.3. Daca una din condițiile corolarului nu-i verificată , concluzia nu este numaidecât adevărată.

Exemplu. Functia , , este derivabilă pe și și totuși f nu este derivabila in x=1 nefiind continuă in acel punct.

Dar nu este exclusa posibilitatea ca o funcție discontinuă intr-un punct să aibă totuși derivată în acest punct.

Exemplu. , ,este discontinuă în x=0 și totuși

calculată folosind definitia .

Observatia 3.4.4. În condițiile corolarului ,daca f este derivabila in , va rezulta că că derivata este continuă in .
Exemplu. Să se studieze derivabilitatea funcției , ,

Soluție.

Continuitatea funcției f in .Avem:

, =1 , , ceeace arată că funcția f este continuă în .

Derivabilitatea funcției f pe .

Funcția f este derivabilă pe ,fiind restricția unei funcții (polinomiale) derivabile pe R, iar pe intervalul fiind sumă de funcții derivabile este derivabilă.

3) Existența limitei .

Derivata funcței f este

Acum 2=

și .

Cum ==2 rezulta ca funcția f este derivabilă în și .