Teoreme Clasice DE Structura Inelelor
CAP I. Notiuni introductive
Definitia inelului. Exemple
Definitie. Se numeste inel un triplet format dintr-o multime AØ (nevida) si doua operatii interne, una notata cu ‘’+’’ si numita adunare, iar cealata notata cu ‘’∙’’ si numita inmultire, si care satisface urmatoarele trei grupuri de axiome :
(A,+) grup abelian ;
(A,∙) semigrup ;
() x, y, zA
Ultimul grup de axiome se numeste distributivitatea la stanga si la dreapta a inmultirii fata de adunare.
Elementul neutru la adunare se noteaza cu "0", iar simetricul unui element aA se noteaza cu –a si se numeste opusul elementului a.
Daca semigrupul (A,∙) este monoid, adica are element neutru la inmultire, atunci inelul se numete inel cu unitate sau inel unitar. Unitatea daca exita se noteaza cu "1", dar vor exista situatii in care unitatea se va nota cu "e".
Un inel se numeste inel comutativ daca operatia de inmultire este comutativa. Asa cum reiese din definitie un inel este un grup aditiv abelian si de asemenea cu inmultirea un semigrup.
Exemple de inele
Multimile Z, Q, R cu operatiile obisnuite de adunare si inmultire formeaza inele comutative si unitare.
Daca nZ este un numar intreg, atunci multimea nZ = {nk/kZ} este inel comutativ fata de adunarea si inmultirea obisnuita a numerelor intregi.
Multimea C([0,1],R) = {f :[0,1]R/ f continua} cu adunarea si inmultirea functiilor, f+g si fg, definite in mod uzual :
(f+g)(x) = f(x) + g(x) si
(fg)(x) = f(x)g(x)
este un inel comutativ si unitar.
Multimea Z={} a claselor de resturi modulo n impreuna cu adunarea si inmultirea claselor, formeaza un inel comutativ si unitar numit inelul claselor de resturi modulo n.
Fie R un inel. Vom defini un nou inel R in modul urmator. Grupurile aditive subiacente celor doua inele coincid, adica (R,+) = (R,+). Operatia de inmultire "∙"din R o definim prin ab = ba, unde ba este produsul elementelor b si a in inelul R. Este clar ca R este inel, iar daca R este unitar, atunci R este unitar, avand acelasi element unitar ca si R. Avem ca inelele R si R coincid daca si numai daca R este comutativ. Inelul R se numeste inelul opus al lui R.
Deoareca fata de adunare , un inel R este grup abelian rezulta ca, daca m,nZ si a,bR, atunci
m(a+b) = ma + mb
(m+n)a = ma + na
(mn)a = m(na)
6) Inelul nul
Daca A este o multime formata dintr-un singur element, atunci pe multimea A se poate defini o singura operatie interna si o singura structura de inel.
A = {a}, f :AAA ; f :{(a,a)}{a}, f(a,a) = a, deci structura (A,f,f) este inel, cu a element neutru si element unitate.
Definitie. Se numeste inel nul, inelul in care multimea subiacenta are un singur element. Acel element se noteaza cu 0, adica elementul neutru la adunare, el avand si rol de element neutru la inmultire si se noteaza cu 1.
Propozitie. Un inel unitar A este inelul nul 0 = 1.
Demonstratie ()Aeste inel nul 0 = 1.
() pp. 0 = 1 0x = 0, ()x.
(-0x)/0x = (0 + 0)x = 0x + 0x
0x + (-0x) = (0x + 0x) + (-0x) 0 = 0x + [0x + (-0x)] = 0x + 0 = 0x
()xA x = 1x x = 0 A = {0} inelul nul.
Propozotie. Daca A este un inel atunci avem :
0x = x0 = 0, ()xA
(-x)y = x(-y) = -(xy) := -xy, ()x,yA
(-x)(-y) = xy, ()x,yA
(-x)n = ,()xA
Demonstratie.1) 0x = 0 , ()xA
x0 = x(0+0) = x0 +x0 = 0 + 0 = 0 x0 = 0.
2) 0 = 0y -xy/0 = ((-x) + x)y = (-x)y + xy = xy + (-x)y
-xy = [(-xy) + xy] + (-x)y -xy = (-x)y
3) (-x)(-y) = -(x(-y)) = -(-xy) = xy
4) Observatie.Inelul este in particular un grup abelian cu adunarea, deci in acest inel exista multipli intregi ai unui element: mx, xA, mZ
(A,∙) semigrupexista puterile naturale ale oricarui element : xn = , nN*
Daca inelul este unitar se defineste puterea 0: x0 = 1. Deci 4) se dovedeste prin inductie matematica in raport cu n.
n =1 (-x)1 = -x
Presupunem 4) adevarat pentru ()nN
(-x)n = ,()xA
Sa aratam ca este adevarata pentru n +1 :
(-x)n+1=(-x)n∙(-x)==.
Fie A inel, putem defini operatia de scadere intr-un inel, notata "-" :
()x,yA, – : AAA prin relatia x – y = x + (-y). Aceasta operatie este bine definita pentru ca + este comutativa -y + x = x – y.
Definitie. Fie A un inel si xA, x0. Elementul x se numeste divizor al lui zero daca () un element yA, y0 astfel incat xy = 0.
Definitie. Un inel in care nici un element nu este divizor al lui zero se numeste inel fara divizori ai luo zero.
Observatie. Daca A este un inel fara divizori ai lui zero, atunci daca xy = 0 x = 0
sau/si y = 0.
Definitie. Un inel fara divizori ai lui zero si comutativ se numeste inel integru.
Definitie. Un inel comutativ, unitar si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate.
Observatie. Orice nedivizori ai lui zero sunt simplificabili :
a0 ax = ay x = y pentru ca ax = ay a(x – y) = 0
a0 x – y = 0, altfel a ar fi divizor al lui zero.
Definitie. Daca A este inel unitar, atunci un element inversabil din A se numeste unitate a inelului.
Propozitie. Intr-un inel unitar si nenul orice element inversabil nu este divizor al lui zero si este diferit de zero.
1.2.Morfisme de inele
Definitie. Fie A si A’ doua inele oarecare si f o functie, f :AA’. Functia f se numeste homomorfism de inele (morfism de inele) daca satisface urmatoarele conditii :
f(x + y) =f(x) + f(y), ()x,yA
f(xy) = f(x)f(y), ()x,yA.
Observatie Daca A si A’ sunt inele iar f :AA’ un morfism de inele, dupa prima conditie din definitia morfismului rezulta ca f este morfism al grupurilor aditive ale celor doua inele si deci avem :
f(0) =0 si f(-a) = -f(a), ()aA.
Observam ca functia θ : AA’, definite prin θ(a) = 0, este in mod evident un morfism de inele numit morfismul nul. Daca A si A’ sunt inele unitare nenule, morfismul nul, θ : AA’ are proprietatea ca θ(1) = 01, adica nu duce pe 1 in 1’, unde 1 si 1’ sunt unitaile inelelor A si respective A’.
Un morfism f :AA’, unde A si A’ sunt inele uniatare, care satisface in plus conditia
f(1) = 1’
se numeste morfism unitate de inele.
Definitie. Morfismul de inele se numeste morfism injectiv, surjectiv sau bijectiv daca functia f este injectiva, surjectiva, bijectiva.
Propozitie. Daca A si A’ sunt inele unitare cu unitatile 1 si 1’ si daca f este un morfism surjectiv de inele, f :AA’, atunci f este morfism unitate de inele.
Demonstratie. f surjectiva ()xA a.i. f(x) = 1’
x = x∙1
f(x) = f(x)∙f(1)1’ = 1’∙f(1) = f(1)f(1) = 1’.
Propozitie. Daca A, A’, A’’ sunt inele iar f :AA’, g:AA’’ sunt morfisme de inele, atunci compunerea gf:AA’’ este un morfism de inele.
Daca cele doua morfisme sunt morfisme unitate atunci si compusul lor este tot un morfism unitate.
Demonstratie : AA’ A’’
a) Prima conditie din definitia morfismului este adevarata deoarece f si g sunt morfisme de grupuri aditive adiacente gf morfism de grupuri adiacente
(gf)(x + y) = (gf)(x) + (gf)(y)
b) Pentru ()x,yA vom avea :
(gf)(xy) = g(f(xy)) g[f(x)f(y)] g(f(x))∙g(f(y)) = (gf)(x)∙(gf)(y)
Presupunem ca toate inelele sunt unitare avand urmatoarele elemente unitate 1, 1’, 1’’si f(1) = 1’, g(1’) = 1’’:
(gf)(1) = g(f(1)) = g(1’) = 1’’ morfismul compus este morfism unitate.
Observatie Stim ca orice compunere de functie este asociativa, deci si compunerea de morfisme este asociativa.
Exemple de morfisme
1) Morfismul nul : θ : AA’, θ(x) = 0’, ()xA este morfism deoarece satisface conditiile :
θ(x + y) = 0’ = 0’ + 0’ = θ(x) + θ(y), ()x,yA ;
θ(xy) = 0’ = 0’ ∙ 0’ = θ(x)∙θ(y), ()x,yA .
2) Morfismul identic(unitate) : 1A :AA, 1A(x) = x,()xA este morfism deoarece satisface conditiile din definitei:
1A(x + y) = x + y = 1A(x) + 1A(y), ()x,yA ;
1A(xy) = x ∙ y = 1A(x) ∙ 1A(y), ()x,yA.
3) Incluziunile canonice sunt morfisme de inele, adica ZQRC, definim functia astfel : i : ZQ, i(m) = , ()mZ
i(m + m’) =i(m) + i(m’), ()m,m’Z;
i(m ∙ m’) =i(m) ∙ i(m’).
4) O alta incluziune canonica care este morfism de inele este:
:RC, (x) = x + i.0, xR.
a) (x + y) = x + y + i.0 = x + i.0 + y + i.0 = (x) + (y),()x.yR ;
b) (xy) = xy + i.0 =(x + i.0)(y + i.0) = (x)(y),()x.yR.
Inelul endomorfismelor unui inel
Definitie. Fie A un inel si f un morfism, atunci morfismul f :AA se numeste endomorfism si se noteaza End(A) = EndA multimea endomorfismelor f fata de inelul A. Propozitie. Multimea (End(A), +, ) este un inel unitar. Acest inel poarta numele de inelul endomorfismelor de la A la A.
Demonstratire Operatia de adunare pe End(A) este o operatie de adunare de morfisme, adica daca f,gEnd(A), f + g :AA, data prin (f + g)(x) := f(x) + g(x). Deci (End(A),+) este grup abelian.
(End(A),) este monoid, adica :
– f,g,hEnd(A), (fg)h = f(gh);
– f1A = 1Af = f 1A- morfism initate, ()fEnd(A);
– distibutivitatea compunerii morfismelor fata de adunare:
f(g + h) = (fg) + (f h) se stie ca au acelasi domeniu si codomenie sis a verificam daca au si aceleasi varori.
[f(g + h)](x) = (f(g + h)(x)) = (f(g(x) + h(x)) f(g(x)) +f(h(x)) = (fg)(x) + (f h)(x),()xA.
Analog se arata distributivitatea la dreapta.
Propozitie. Compunerea a doua esdomorfisme este tot un endomorfism.
1.3.Izomorfism de inele
Definitie. Fie A si A’ doua inele si f un morfism de inele, f :AA’. Morfismul f se numeste izomorfism daca ()g :A’A morfism astfel incat fg = 1A si gf = 1A.
Doua inele se numesc izomorfe daca ()un izomorfism intre ele si se noteaza AA’. Teorema. Un morfism de inele este izomorfism f este bijective.
Demonstratie.()f :AA’ este izomorfism de inele in particular f este izomorfism de grupuri aditive subiacente, adica (A,+), (A’,+). Deci daca f izomorfism f bijectiv ;
()Presupunem f bijectiva ()g :A’ A astfel incat fg = 1A si gf = 1A.
Trebuie sa aratam ca g este morfism de inele, adica :
g(x’ + y’) = g(x’) + g(y’)
g(x’y’) = g(x’)g(y’)
Stim ca f :(A,+)(A’,+) este morfism bijectiv de grupuri g este morfism de grupuri, adica g(x’ + y’) = g(x’) + g(y’).
Fie x’,y’A’()x,yA astfel incat f(x) = x’; f(y) = y’; g(x’) = x ; g(y’) = y ;
g(x’y’) = g(f(x)f(y)) = g(f(xy)) = (gf)(xy) = 1A(xy) = xy = g(x’)g(y’) g morfism de inele.
Subinele
Definitie : Fie A un inel si BA, BØ. B se numeste subinel al lui A daca operatiile inelului induc pe B o structura de inel, adica B este parte stabila la operatiile inelului, si operatiile induse determina pe B o structura de inel.
Teorema de caracterizare a subinelelor: Fie A inel si BA, BØ, B este subinel in A sunt indeplinite urmatoarele conditii :
x – yB, ()x,yB ;
xyB, ()x,yB.
Demonstratie.()B subinel in A(B,+)grup x – yB(conform teoremei de caracterizare a subgrupurilor).
B subinel in AB parte satabial xyB, ()x,yB.
()Presupunem ca sunt indeplinite conditiile 1) si 2) din teorema, atunci vom avea :
Din 1) va rezulta ca (B,+) este grup conform teoremei de caracterizare a subgrupurilor.
Din 2) va rezulta ca B este parte stabila, adica "∙" induce o imnultire pe B.
Se stie ca asociativitatea si distributivitatea la dreapta si la stanga se pastreaza la operatiile induse.
Deci (B,+,∙) este inel BA B subinel in A.
Observatie. Multimea formata numai cu elementul 0A este subinel, se numeste subinelul nul si se noteaza cu 0.
Multimea A este subinel in A.
Inelul nul si A se numesc subinele improprii, toate celelalte numindu-se inele proprii.
Exemple de subinele : subinelele lui Z
Propozitie : Singurile subinele ale lui Z sunt subgrupurile lui Z, adica subinelele lui Z sunt inelul nul si toate multimile de forma nZ, unde n este cel mai mic element pozitiv al subinelului.
Demonstratie. Vom folosi teorema de caracterizare a subinelelor.
() Presupunem H subinel in Z, si trebf izomorfism f bijectiv ;
()Presupunem f bijectiva ()g :A’ A astfel incat fg = 1A si gf = 1A.
Trebuie sa aratam ca g este morfism de inele, adica :
g(x’ + y’) = g(x’) + g(y’)
g(x’y’) = g(x’)g(y’)
Stim ca f :(A,+)(A’,+) este morfism bijectiv de grupuri g este morfism de grupuri, adica g(x’ + y’) = g(x’) + g(y’).
Fie x’,y’A’()x,yA astfel incat f(x) = x’; f(y) = y’; g(x’) = x ; g(y’) = y ;
g(x’y’) = g(f(x)f(y)) = g(f(xy)) = (gf)(xy) = 1A(xy) = xy = g(x’)g(y’) g morfism de inele.
Subinele
Definitie : Fie A un inel si BA, BØ. B se numeste subinel al lui A daca operatiile inelului induc pe B o structura de inel, adica B este parte stabila la operatiile inelului, si operatiile induse determina pe B o structura de inel.
Teorema de caracterizare a subinelelor: Fie A inel si BA, BØ, B este subinel in A sunt indeplinite urmatoarele conditii :
x – yB, ()x,yB ;
xyB, ()x,yB.
Demonstratie.()B subinel in A(B,+)grup x – yB(conform teoremei de caracterizare a subgrupurilor).
B subinel in AB parte satabial xyB, ()x,yB.
()Presupunem ca sunt indeplinite conditiile 1) si 2) din teorema, atunci vom avea :
Din 1) va rezulta ca (B,+) este grup conform teoremei de caracterizare a subgrupurilor.
Din 2) va rezulta ca B este parte stabila, adica "∙" induce o imnultire pe B.
Se stie ca asociativitatea si distributivitatea la dreapta si la stanga se pastreaza la operatiile induse.
Deci (B,+,∙) este inel BA B subinel in A.
Observatie. Multimea formata numai cu elementul 0A este subinel, se numeste subinelul nul si se noteaza cu 0.
Multimea A este subinel in A.
Inelul nul si A se numesc subinele improprii, toate celelalte numindu-se inele proprii.
Exemple de subinele : subinelele lui Z
Propozitie : Singurile subinele ale lui Z sunt subgrupurile lui Z, adica subinelele lui Z sunt inelul nul si toate multimile de forma nZ, unde n este cel mai mic element pozitiv al subinelului.
Demonstratie. Vom folosi teorema de caracterizare a subinelelor.
() Presupunem H subinel in Z, si trebuie sa aratam ca H este forma nZ.
HZ (H,+)subgrup in (Z,+)
()presupunem H = nZH este subgrup aditivin Z()x,yHx -yH x = nz si y = nt, unde z,tZ x – y = nz – nt = n(z -t)nZ
Teorema (comportarea subineleor la morfisme de inele). Fie A si A’ inele si f :AA’ un morfism de inele, atunci avem :
1) B subinel in A f(B) subinel in A’
In particular f(A) = Imf subinel in A’
2) B’ subinel in A’ f -1(B’)subinel in A si in particular Kerf = {x: xA,f(x) =0’}=
= f -1({0’}) = f -1(0’) Kerf subinel in A.
Demonstratie.1) B’:= f(B) si de la grupuri stim ca B’ este subgrup al grupului aditiv A’.
x’,y’B’ x’ – y’B’ ()x,yB astfel incat x’ = f(x) si y’ = f(y) ;
x’∙y’ = f (x)∙f(y) = f (xy)f(B) = B’ x’y’B’.
2)f -1(B’) = B si de la grupuri stim ca B este subrupul subgrupului aditiv A.
a,b B f(a),f(b)f(B) = B’ ;
f(a)∙f(b)B’(deoarece B’- subinel) f(ab)B’a∙b f -1(B’) = B.
1.4.Ideale
Fie A un inel si I o submultime a lui A.
Definitie. I se numeste ideal la stanga (la dreapta) in A daca sunt indeplinite conditiile :
x,yIx – yI (I subgrup aditiv in A) ;
()aA, ()xI axI (stanga)
xaI (dreapta)
Un ideal care este simultan ideal la dreapta si la stanga se numeste ideal bilateral.
Observatie. Intr-un inel comutativ toate idealele sunt bilaterale. In acest caz idealele bilaterale se numesc simplu ideale.
Exemple de ideale : idealele lui Z
Propozitie. Idealele lui Z sunt toate subinelele lui Z, adica I subinel in Z I = nZ
Demonstratie. Orice ideal este subinel.
Prima conditie din definitia idealelor este prima conditie a teoremei de caracterizare a subinelelor, iar cea de-a doua conditie a teoremei de caracterizare rezulta din a doua conditie a definitiei idealelor.
IA ()aA, xI axI
x,yI x – yI.
A inel si aA un element fixat al inelului;
Aa = {a : A}este ideal la stanga
aA = {a : A}este ideal la dreapta.
Aceste ideale se numesc ideale principale generate de elementul a.
1)x,yAa ()A a.i. x = a si y = a x – y = ()aAa
2) A, xAa ()A a.i. x = a
x = (1a) = ()aAa.
Idealul la stanga se noteaza (a)S = Aa =<a>S, iar idealul la dreapta se noteaza (a)d = aA =<a>d
Propozotie: (Comportarea idealelor la morfisme de inele). Fie A, A’- inele, f :AA’ morfism de inele. Avem :
Daca I’ ideal la stanga (la dreapta sau bilateral) in A’f -1(I’)ideal la stanga (dreapta sau bilateral) in A ;
Daca in plus f surjectiva si I ideal la stanga in Af(I) ideal la stanga (dreapta sau bilateral) in A’.
Demonstratie.1) Stim ca I’ este ideal la stanga in A’, I’ este in particular un subgrup al grupului aditiv subiacent lui A’. Tinand cont de teorema de comportate a subgrupurilor la morfisme I este subgrup al grupului aditiv subiacent lui A.
In particular a) x,yIx – yI
b)aA, xI f(a) = a’A’
f(x) = x’I’ a’x’I’f(a)f(x)I’f(ax)I’axf -1(I’) = I.
I’ ideal la stanga in A’
Din a) si b)I este ideal la stanga in A.
2) I este ideal la stanga ia A. In particular I este subgrup al grupului aditiv subiacent inelului A si datorita teoremei corespunzatoare de la grupuri rezulta ca f(I) este subgrup in A’.
Notam I’ = f(I)I’ subgrup in A’ x’,y’I’x’ – y’I’
Avem ()aA astfel incat f(a) = a’(2);
x’I’ = f(I)()xI astfel incat f(x) = x’(1);
Din relatia (1) si (2) a’x’ = f(a)f(x) = f(ax)I’I’ = f(I)este ideal in A’.
Propozitie(Teorema de corespondenta pentru ideale). Fie A si A’ inele si f un morfism surjectiv de inele. Atunci intre multimea tuturor idealelor la stanga (dreapta sau bilateral) ale lui A’ si multimea idealelor la stanga (dreapta sau bilateral) ale inelului A, exista o corespondenta bijectiva.
F(I’) = f -1(I’), ()I’ ideal la stanga in A’.
Intersectie de subinele si ideale
Propozitie.Fie A un inel oarecare, atunci avem:
Intersectia oricarei familii de subinele este tot un subinel ;
Intersectia oricarei familii de ideale de un anumit tip este un ideal de acelasii tip cu idealele din familie.
Demonstratie. a) Fie F = (Ai)iI o familie desubinelele ale lui A;
B Ø, 0Ai 0 ;
Folosim teorema de caracterizare a subinelelor.
Fie x,yB ;
x,yB = x,yAi, ()iI
Ai subinel si
b)Fie (Ij)jJ o familie de ideale la stanga ;
I = , IØ si x,yI x –yI, lucru care rezulta din punctul a) pentru ca idealelel in particular sunt subgrupuri.
Fie A, xIxjJ;
.
Subinele generate de o multime
Fie A inel si M o submultime a lui A.
Definitie. Se numeste subinel generat de multimea M intersectia tuturor subinelelor care contin multimea M.
Definitie. Spunem ca M este sistem de generatori pentru inelul A daca exista o submultime M a lui A care genereaza intreg inelul.
Daca A admite o submultime finita de generatori, atunci se numeste inel finit generat.
Ideale generate de o multime
Definitie. Fie A inel si MA. se numeste ideal la stanga generat de multimea M intersectia tuturor idealelor la stanga ale inelului ce contine pe M.Acest lucru se noteaza in felul urmator : (M)S = <M>S = .
Analog se defineste notiunea de ideal la dreapta , respectiv ideal bilateral generat de multimea M.
Teorema(de structura a idealelor generate de o multime). Fie A inel unitar si MA. Atunci :a) idealul la stanga generat de multimea M este egal cu multimea tuturor sumelor finite de forma : .
b) idealul la dreapta generat de multimea M este egal cu multimea tuturor sumelor finite de forma .
c) idealul bilateral generat de multimea M este egal cu multimea tuturor sumelor finite de forma .
Definitie. Fie A inel si M si x1,x2,x3,…,xnM(arbitrar). Elementul xA se numeste combinatie liniara la stanga cu coeficientii lui A, daca ()a1,a2,a3,…,anA astfel incat :
x = a1x1 + a2x2 + a3x3 +…+ anxn.
Elementul x se numeste combinatie liniara la dreapta cu coeficientii lui A de elementele x1,x2,x3,…,xn, daca ()b1,b2,b3,…,bnA astfel incat :
x = x1b1 + x2b2 + x3b3 +…+ xnbn.
Elementul x se numeste combinatie liniara bilaterala cu coeficienti din A de elementele x1,x2,x3,…,xn daca ()ai,biA astfel incat :
x = a1x1b1 + a2x2b2 + a3x3b3 +…+ anxnbn.
Teorema de mai sus mai poate fi formulate si in felul urmator:
Teorema. Fie A inel unitar, MA atunci :
a)Idealul la stanga generat de A este format din multimea tuturor combinatiilor liniare finite la stanga de elemente din M.
b) Analog;
c) Analog.
Demonstratie. a) Notam cu I’ multimea tuturor combinatiilor liniare la stanga de elemente din M.
1)Aratam ca I’ este ideal in inelul A.
Acest lucru este adevarat deoarece diferenta dintre doua combinatii liniare la stanga este tot o combinatie liniara la stanga si de asemenea produsul la stanga dintre un element din A si o combinatie liniara la stanga de elemente din M este tot o combinatie liniara la stanga.
A() = I’ este ideal in A.
2)Pentru ()xMx = 1xI’, prin urmare MI’<M>S I’(*)
3)Fie x’I’ x = ;
Din cauza ca ;
Deci x este o suma finita de elemente din idealul generat de M la stanga si avem :
x = <M>S I’<M>S (**) ;
Din .
Operatii cu ideale
Definitie. Fie A inel si I,J ideale la stanga(dreapta sau bilaterale) in A, se numeste suma la stanga(dreapta sau bilateral) de idealele I si J idealul generat de IJ.
I + J = <IJ>S
Definitie. Se numeste produsul la stanga (dreapta sau bilateral) notat IJ, idealul la stanga generat de multimea {xy :xI,yJ}.
IJ = <{ xy :xI,yJ}>S
Propozitie. Daca A este inel unitar atunci avem:
I + J = {x +y :xI, y ;
IJ este constituit din multimea tuturor sumelor finite de forma urmatoare :
, nN*, xiI, yi J.
Demonstratie. Ne referim la idealele la stanga.
In demonstratie vom folosi teorema de structura a idealelor generate de o multime.
1) () I + J = <IJ>S = {x + y: xI, yJ} =M;
Fie x + yM atunci x + y = 1x + 1y<IJ>S M <IJ>S;
() z<IJ>S z este combinatie liniara la stanga cu elemente din IJ astfel incat z = = +
Din cauza ca I ideale,
z = x +y, xI, yJz{ x + y: xI, yJ} = M
<IJ>S M<IJ>={x+y:xI,yJ}.
2)Presupunem ca xIJ sis a aratam ca ()nN*, xi I, yi J cu i = 1,2,3,…,n astfel incat x = .
Fie zIJ =<{xy:xI,yJ}> = M.
Prin urmare z este combinatie liniara de elementele xi I, yiJ ;
Notam IJ = M, adica ()nN, ()aiA, ()ziM cu i = 1,2,3,…,n astfel incat z = ;
zi M = { xy:xI,yJ}zi = xi yi, xiI, yiJ, i = 1,2,3,…,n atunci
z = = , xI, yJ.
Daca consideram o suma de forma:
= 1∙(x1y1) + 1∙(x2y2) + …+ 1∙(xnyn)<{xy: xI,yJ }>S = IJ.
Observatie. Definitia sumei si a produsului se poate extinde la un numar infinit de ideale ;
Suma idealelor este comutativa ;
Ambele operatii de la ideale sunt asociativa ;
Daca inelul este comutativ, atunci are loc si proprietatea de distributivitate a produsului fata de suma.
1.5.Congruente in inel
Definitie. Fie A un inel oarecare si R o relatie de echivalenta pe multimea A. Relatia R se numeste congruenta in inelul A daca R este compatibila(la dreapta si la stanga) cu ambelel operatii ale inelului, adica cu adunareacat si cu inmultirea.
Teorema. Fie A inel si R o relatie de echivalenta pe A, atunci R este relatie de congruent ape inelul A ()un ideal bilateral I in A astfel incat sa avem :
xRy x – yI, x,yA.
In acest caz r se va nota : R :(modI), adica xRy x y(modI).
Demonstratie. Impartim demonstratia in mai multe etape :
1) R este congruent ape A ()I ideal bilateral in A astfel incat xRy x- yI.
2) Pentru orice ideal I bilateral in A, relatia xRyx – y I este congruenta pe I(orice ideal genereaza o congruenta).
R congruenta pe A R este compatibila cu adunarea, in particular, fata de adunare ea este grup I = {x :xA, xR0} este subgrup normal in grupul aditiv A si avem xRy
x – yI.
Sa aratam ca I este ideal bilateral, adica daca ()aA, ()xIax si xa apartin lui I.
Daca xI xR0, atunci din cauza compatibilitatii lui R cu multimea
axRa0 = 0axI
xaR0a = 0xaI
asadar I este ideal bilateral.
2) Stim ca I este ideal bilateral atunci xRy x – yI, aceasta relatie este o relatie de echivalenta pe multimea A.
axRay – compatibila la stanga ;
xaRya – compatibila la dreapta ;
xRy a(x – y)I si (x – y)aI
a(x – y)Iax – ayI axRay, deci relatia este compatibila la stanga;
Prelucrand si (x -y)a, demonstram ca R este compatibila si la dreapta.
1.6.Inelul factor
Definitie. Fie A inel si I ideal, atunci relatia xRyx – yI este o congruenta pe inelul A.
Putem construi multimea factor in raport cu R, pe care o vom nota : .
= {y:yA, yRx} = {y:yA ,y – xI}= {y:yA, yx +I} = x + I
= {x + I: xA}
Din cauza ca R este congruenta operatiile inelului determina operatii interne pe multimea claselor, adica dunarea care s-a notat :, s-a definit in felul urmator: ;
(x + I)(y + I) = x + y +I;
Fata de aceste operatie structura (,+) este grup abelian.Operatia este evident asociativa, lucru evident pentru ca:
=
Elementul neutru este clasa lui pentru ca:
; 0 + I ; Ielementul neutru fata de adunare este idealul I.
O alta operatie este inmultirea care s-a definit in felul urmator:∙: , data prin
∙; (x + I)∙(y + I) =xy + I. Fata de aceasta operatie structura (,∙)este un semigrup.
Presupunem ca operatia este asociativa:
, deci operatia este asociativa.
Daca A este inel unitar, atunci inmultirea are element neutru, iar acesta este clasa lui .
= 1 + I; ; ;
Operatia de inmultire este distributiva la stanga si la dreapta fata de adunare:
= = = = = .
Analog se arata distributivitatea inmultirii fata de adunare si la dreapta.
Asadar structura(∙) este un inel, care se numeste inelul factor a lui A in raport cu idealul I, in care element neutru este I, daca inelul A este unitar atunci si inelul factor este unitar si daca A este un inel comutativ atunci si este comutativ.
Morfismul canonic Daca A este inel, inelul factor, atunci putem defini :A, prin . Aceasta functie este un morfism de inele care poarta numele de morfism canonic sau surjectie canonica, pentru ca este o surjectie.
, x,yA ;
, x,yA.
Daca inelul A este unitar, morfismul este unitar : .
Deci (), ()xA astfel incat .
Exemplu. Daca Z este inelul numerelor intregi si I este un ideal al sau, atunci exista n0 astfel incat I = nZ. Este clar ca, relatia de congruenta modulo idealul nZ este tocmai congruenta modulo n. Mai mult inelul factor Z/nZ pentru nZ 0 este inelul claselor de resturi modulo n, iar pentru nZ = 0, adica n = 0, inelul factor Z/0Z se identifica cu inelul Z. Pentru n = 1, inelul Z/1Z este inelul nul.
1.7.Teoreme de izomorfism pentru inele
Teorema fundamentala de izomorfism. Fie A si A’ inele si f :AA’ un morfism, atunci exista si este unic un morfismg injectic g :A’ care face comutativa diagrama : A
f ()g
A’
g = f, – morfism canonic;
a) Daca f surjectie A’;
b) In general avem Imf.
Demonstratie. Pentru demonstrarea acestei teoreme vom spune ca o astfel de teorema a fost data pentru grupuri si tinand cont ca orice inel este si un grup abelian aditiv, atunci vom folosi teorema corespunzatoare de la grupuri, unde: (A, +), (A’, +) grupuri aditive, subiacente inelului.
In particular f:AA’ este un morfism de inele, dar f este si morfism de grupuri.
Morfismul canonic : A este morfism de grupuri, prin urmare din teorema de la grupuri rezulta ca () g : A’ morfism de grupuri care face comutativa diagrama :
A
f g = f
()g g() = f(x), ()
A’
Ramane sa aratam ca g care este morfism de grupuri este si morfism de inele.
(), g() = g() = f(xy) = f(x)f(y) = g()g().
a) Daca f – surjectiva (Imf = A’) g() = f(x) este surjectiva;
Daca g injectiva si surjectiva g bijectiva g izomorfism de inele A.
b) Fie f’ : AImf, si restrangem pe A’ la imaginea lui f.
f’(x) = f(x), ()xA()un morfism g : Imf care face comutativa diagrama
A
f’ ()g
Imf Atunci din definera lui g avem ca g() = f(x)g morfism injectiv g izomorfism de ineleImf. Teorema. Fie A inel, I,J ideale bilaterale in A cu IJ, atunci avem .
Demonstratie. Luam morfismul f:, f(x + I) = x + J, ()xA, adica clasa elementului in raport cu idealul I, este dus in clasa aceluiasi element x in raport cu idealul J.
Aplicatia f este morfism de grupuri mai exact morfism surjectiv, atunci Imf = .
Morfismul f este si morfism de inele, adica pentru doua clase x + I si y + I avem :
f((x + I)(y + I)) = f(xy + ) = f(xy + I) = xy + J = (x + J)(y +j) =
= f(x + I)f(x + I);
Nucleul acestui morfism, adica:
Kerf = {x + I: f(x + I) = J}= {x + I: x + J = J} = {x + J: xJ} =;
Din teorema fundamentala de izomorfism demonstrata anterior va rezulta ca: .
Teorema. Fie A inel, B subinel in A si I ideal bilateral in A. Atunci .
Demonstratie. Aratam ca I + B este subinel, adica:
xI + B ()iI, bB astfel incat x = i + b;
x’I + B ()i’I, b’B astfel incat x’ = i’ + b’;
x – x’ = (i – i’) + (b – b’)I + Bconform teoremei de caracterizare a subinelelor ca
I + B este subinel.
Se arata ca I este ideal bilateral in I + B;
xI + B x = i’ + b’, i’I, b’B
ix = i(i’ +b’) = I;
xI = (i’ + b’)iI.
Prin urmare rezulta ca I este ideal bilateral in I + B ()inelul factor ;
Analog se arata ca IB este ideal in subinelul B, si deci ()inelul factor .
CAPITOLUL II – TIPURI PARTICULARE DE INELE
2.1.Inele semisimple
Definiție.2.1.1. Un inel R se numește semisimplu dacă R- modulul stâng R este semisimplu.
Observație. Deoarece 1 generează modululR, atunci R este semisimplu R este sumă directă finită de ideale stângi minimale.
Teoremă.2.1.2. Fie R un inel. Sunt echivalente afirmațiile:
R este semisimplu;
R0 este semisimplu;
Orice R-modul stâng este semisimplu;
Orice R-modul stâng este proiectiv;
Orice R-modul drept este injectiv;
Orice șir exact de forma O K M N O de R-module stângi este scindabil;
Există un R-modul stâng semisimplu care este generator;
R este artinian la stânga și Rad R = 0
R este noetherian la stânga și regulat în sens Newmann;
S.ge. dim R = 0
În plus aceste afirmații sunt adevarate dacă inlocuim „stâng” cu „drept”.
Corolar.2.1.3. Dacă R este un inel semisimplu, orice R-modul stâng simplu este izomorf cu un ideal minimal. În particular rezultă că există un număr finit de tipuri de module simple (stângi).
Observație. Dacă R este semisimplu, componentele izotipice ale modulului R sunt identice cu componentele izotipice ale lui R, deci se vor numi simplu componentele izotipice ale lui R.
Propoziție.2.1.4. Dacă R este semisimplu, componentele izotipice ale lui R coincid cu mulțimea idealelor bilaterale nenule minimale ale lui R. În plus orice ideal bilateral este o sumă finită de ideale bilaterale minimale.
Definiție.2.1.5. Un inel R se numește simplu dacă singurele ideale bilaterale sunt O și R.
Propoziție.2.1.6. Pentru un inel R sunt echivalente afirmațiile:
R este simplu artinian;
R este semisimplu și R este izotipic;
R este semisimplu și există un singur tip de module simple.
Teoremă.2.1.7. Un inel R este semisimplu există inelele simple artiniene R1, R2, …, Rn așa încât R R1 x R2 x …x Rn. În plus n este numărul de tipuri de module simple = numărul de ideale bilaterale minimale nenule ale lui R.
2.2.INELE NOETHERIENE ȘI ARTINIENE
Definiție.2.2.1. Un inel R se numește noethenian (artinian) la stânga, dacă R-modul stâng R este noethenian (artinian). Inelul R se numește noetherian (artinian) la dreapta, dacă inelul opus R0 este noethenian (artinian) la stânga.
Propoziție.2.2.2. Pentru un inel R sunt echivalente afirmațiile:
R este noethenian (artinian) la stânga;
Orice R-modul stâng finit generat este noethenian (artinian);
Există un generator noethenian (artinian) U pentru R-module stângi.
Corolar.2.2.3. Dacă R este un inel noethenian (artinian) la stânga, atunci R este un IBN – inel.
Corolar.2.2.4. Dacă R este un inel noethenian (artinian) la stânga, atunci R este un l.c. inel (neartinian) la stânga.
Corolar.2.2.5. Dacă R este un inel noethenian (artinian) la stânga, orice inel factor al lui R și orice inel de factori la stânga (dacă există) este noethenian (artinian).
Corolar.2.2.6. Dacă R este un doemniu de integritate și noethenian (artinian) la stânga, arunci R este și domeniu Ore la stânga (corp).
TEOREMA HILBERT A BAZEI.2.2.7. Dacă R este un inel noetherian la stânga, atunci inelul R[x1, x2, …, xn] este noetherian la stânga.
Exemple.
Z și K[X], K = corp, sunt neotheriene, dar nu sunt artiniene
Z – modulul Zp este artinian, dar nu este noetherian.
Observație. Fie p P numr prim, Qp = { Q | a Z, n N}, care este submodul al lui Q și Z Qp. Notpm cu Zp = Qp / Z;
x Zp și n 0, n Z, y Zp așa încât ny = x;
Dacă H Zp este un subgrup propriu, n N așa încât H este generat de clasa lui 1/pn. În particular H este ciclic;
Zp nu are submodule maximale.
Zp are un unic Z – submodulul minimal
Dacă n Z cu n nu divide p, homotetia x nx a lui Zp este un izomorfism;
Zp este de torsiune și divizibil;
Orice submodul nenul al lui Zp este și esențial și superfluu.
3) Inelul R = este artinian și noetherian la stânga, dar nu este artinian și nici noetherian la dreapta.
4) K corp K[x1, x2, …, xn, …] nu este noetherian.
2.3.EXEMPLE DE INELE NOETHERIENE (ARTINIENE)
2.3.1.INELE GENERALIZATE DE MATRICI TRIUNGHIULARE
Fie R, S două inele și RMS un bimodul. Notăm cu
T = = ,
care cu operațiile de adunare pe componente și înmulțire a matricilor devine un inel, numit inelul generalizat de matrici triunghiulare.
Să determinăm mai întâi toate idealele stângi ale acestui inel. Dacă V este un R-submodul al lui R M, atunci formează un ideal stâng al lui T.
Dacă I este un ideal stâng în S, atunci mulțimea nu formează un idela stâng dar idealul stâng generat de această mulțime este
.
Rezultă că + = cu W = V + MI și MI W este un ideal stâng.
Propoziție.2.3.1. Idealele stângi ale lui T sunt exact submulțimile de forma , unde V este R-submodul al lui R M iar I este un ideal stâng în S, așa încât MI V.
Demonstrație. () s-a demonstrat mai sus.
() Fie a un ideal stâng în T și fie Va = {(r, m) R M, s S așa încât a}. Va este un R-submodul al lui R M: R,
=
adică (r, m) Va (r, m) Va. Notăm cu I = {s S | r R și m M așa încât a} I este un ideal stâng în S și MI Va. Atunci a = .
Onservație. Submodulul Va al lui R M și idealul stâng I al lui S sunt unic determinate de a.
Fie aplicațiile injective:
: R M T, (r, m)
: M S T, (m, s)
: M T, m
Rezultă că Im , Im, Im sunt ideale bilaterale în T.
Aplicațiile surjective
: T S; s
: T R; r
: T R x S; (r, s)
sunt morfisme de inele pentru care Ker = Im , Ker = Im și Ker = Im = (M).
În plus (Im )2 = 0
Propoziție.2.3.2. 1) Rad T = și
T / Rad T R / Rad R x S / Rad S
2) Aplicația N (N) este o corespondență bijectivă care păstrează incluziunile de la R-submodulele (S submodulele) lui M, în mulțimea idealelor stângi (drepte) care sunt conținute în (M) ale lui T.
3) (M) este un ideal stâng (drept) finit generat în T M este un R-modul stâng (drept) finit generat.
Demonstrație. Din (Im )2 = 0 rezultă că (M) = Im Rod T, fiind ideal nilpotent. Deoarce Ker = (M), rezultă că (Rad) = Rad (R x S) = Rad R x Rad S, de unde
Rad T .
Fie . Deoarece r Rad R și s Rad S 1 – r inversabil în R și 1 – s inversabil în S. Fie r’ R și s’ S pentru care r’(1 – r) = 1 = = (1 – r)r’ și s’(1 – s) = (1 – s)s’ = 1. Atunci
= =
și = =
Deci elementul 1 – este inversabil și la stânga și la dreapta, deci inversabil. Rezultă că Rad T.
2) Dacă N este un R-submodul al lui M, evident (N) este un ideal stâng al lui T inclus în (M). Cum este injectiv, rezultă că asocierea N (N) este injectivă este și surjectivă din prima propoziție. 3) Presupunem că M este R-modul stâng finit generat cu generatorii {m1, …, mk}. Fie m M m = cu ri R, i = . Atunci
= +…+ deci
este un sistem de generatori pentru idealul (M) privit ca ideal stâng. Invers, dacă este un sistem de generatori pentru (M), privit ca ideal stâng, atunci dacă (M) avem
= ,
de unde m = , deci M este un R-modul finit generat.
Corolar.2.3.3. Inelul T este noetherian (artinian) la stânga R, S sunt noetheriene (artiniene) la stânga și M este un R-modul finit generat.
Demonstrație. Dacă T este noetherian la stânga, atunci (M) este finit generat ca ideal stâng și deci M este R-modul finit generat. Cum T / Im R x S, rezultă că R x S este noetherian la stânga, deci R și S sunt noetherene la stânga.
Invers, presupunem că R și S sunt noetheriene la stânga și M este R-modul finit generat. Atunci Im este un T-modul stânga noetherian. Cum T / Im R x S este un T-modul stâng noetherian rezultă că T este T-modul stâng noetherian, adică T este inel noetherian la stânga.
Corolar.2.3.4. Inelul T noetherian (artinian) la dreapta R, S sunt noetheriene (artiniene) la dreapta, iar M este un S-modul finit generat.
Corolar.2.3.5. T este l.c. inel (semiartinian, semiprimar) la stânga R și S sunt l.c. inele (semiartinian, semiprimar) la stânga.
Exemple
T = este noetherian la stânga, dar nu este noetherian la dreapta.
T = este noetherian la dreapta, dar nu este noetherian la stânga.
T = este artinian la stânga, dar nu este artinian la dreapta.
T = este artinian la dreapta, dar nu este artinianla stânga.
Observație. 1), 2), 3), 4) sunt l.c. inele la stânga și la dreapta, iar 1), 2) nu sunt semiartiniene nici la stânga, nici la dreapta.
5) T = este semiprimar care nu este artinian nici la stânga, nici la dreapta.
2.3.2. INELUL STRÂMB AL POLINOAMELOR
Fie R un inel și : R R un morfism injectiv de inele.
Definiție.2.3.6. O – derivare (la stânga) a lui R este o aplicație : R R așa încât:
(a + b) = (a) + (b) , a, b R
(ab) = (a) (b) + (a)b
Considerăm inelul R[X] al polinoamelor cu coeficienți în R și într-o singură nedeterminată X. R[X] este un R-modul stâng liber cu baza {1, x, x2, …}, deci orice element din R[X] se scrie în mod unic sub forma , cu ai R, i = . Pe structura de grup abelian al R-modulului liber stâng R[X], definim operația de înmulțire dată de regula: X a = (a) + (a) X.
R[X] cu această operație devine un inel, notat cu R[X, , ] se numește inelul strâmb al polinoamelor determinate de și .
Observație. Dacă = 0 scriem R[ X, ], dacă = 1R scriem R[X, ], iar dacă = 0 și = 1R atunci obținem R[X].
Fie f = R[X, , ]. Dacă an 0, atunci numărul n se va numi gradul lui f și notăm grad f = n. Elementul anxn este termenul principal al polinomului f. Dacă R este domeniul de integritate, atunci R[X, , ] este doemniul de integritate.
Teoremă.2.3.7. Fie : R R un automorfism de inele și : R R o – derivare. Dacă R este noetherian la stânga (dreapta) atunci inelul R[X, , ] este noetherian la stânga (dreapta).
Corolar.2.3.8. Fie K un corp și un automorfism al lui K și o – derivare. Atunci inelul K[X, , ] este noetherian și la stânga și la dreapta.
Corolar.2.3.9. (Teorema Hilbert a bazei). Dacă R este noetherian la stânga atunci R[X] este noetherian la stânga.
Corolar.2.3.10. Dacă R este un domeniu ore la stânga, este un automorfism al lui R, iar este o – derivare, atunci R[X, , ] este un domeniu Ore la stânga.
2.4.MODULE INJECTIVE PESTE INELE NOETHERIENE
TEOREMA CARTAN EILENBERG MATLIS PAPP.2.4.1. Dacă R este un inel, sunt echivalente afirmațiile:
R este noetherian la stânga
Orice limită inductivă filliantă de module stângi injective este un injectiv
Orice sumă directă de module stângi injective este un injectiv
Orice modul injectiv este o sumă directă de submodule injective și indecompozabile.
Corolar.2.4.2. Fie R un inel comutativ și noetherian. Atunci:
Dacă Q este un modul injectiv indecompozabil, există un ideal prim P Spec R, unic, așa încât Q E(R/P);
Orice modul injectiv Q este izomorf cu o sumă directă de forma E(R/Pi), unde Pi sunt ideale prime ale lui R.
2.5.NILIDEALE ÎN INELE NOETHERIENE
Fie R un inel.
Definiție.2.5.1. O submulțime A a lui R cu proprietatea că x, y A avem x + y A și xy A se numește subinel (fără unitate) al lui R.
Exemple. Orice ideal stâng (drept, bilateral) este un subinel fără unitate al lui R.
Definiție.2.5.2. Dacă orice element al subinelului fără unitate A, este nilpotent atunci spunem că A este un nilsubinel în R.
Definiție.2.5.3. Un ideal stâng (drept, bilateral) I al lui R se numește ideal anulator la stânga (dreapta) dacă există X R așa încât I = lR(X) (I = rR(X)).
Lemă.2.5.4. Fie R un inel. Dacă xy R este nilpotent, unde x, y R au proprietatea că xyx 0, atunci lR(x) lR(x y x).
Teorema SHOCK.2.5.5. Presupunem că inelul R satisface condiția lanțurilor ascendente pentru ideale anulatori la stânga. Fie A R un nilsubinel care nu este nilpotent. Atunci există un șir {an}nN de elemente din A, așa încât
rR ({an}nk ) rR({an}nk+1 ), k N
an 0, n N și este directă.
Corolar HERSTEIN – SMALL.2.5.6. Dacă inelul R satisface condiția lanțurilor ascendente pentru ideale anulatori la stânga și ideale anulatori la dreapta, atunci orice nilsubinel al lui R este nilpotent. În particular orice nilpotent stâng (drept, bilataral) este nilpotent.
Corolar LANSKI.2.5.7. Dacă R este un inel Goldie, atunci orice nilsubinel al lui R este nilpotent. În particular, orice nilideal stâng (drept, bilateral) este nilpotent.
Corolar LEVITZKI.2.5.8. Dacă R este noetherian la stânga atunci orice nilsubinel al lui R este nilpotent. În particular, orice nilideal stâng (drept, bilateral) este nilpotent.
Teorema HOPKINS.2.5.9. Dacă R este artinian la stânga, atunci R este noetherian la stânga.
2.6.MODULE DE LUNGIME FINITĂ.
Fie M un R- modul stâng nenul.
Definiție.2.6.1. Se numește șir de compoziție sau șir Jordan – Holder al lui M un lanț finit strict ascendent de submodule
0 = M0 M1 … Mn = M
cu proprietatea că Mi+1 / Mi sunt module simple, i = . Numărul n se numește lungimea șirului, iar modulele Mi+1 / Mi, i = se numesc factorii șirului.
Propoziție.2.6.2. Fie M un R-modul. Sunt echivalente afirmațiile:
M are un șir de compoziție;
M este noetherian și artinian
M este noetherian și semiartinian
Corolar.2.6.3. Dacă 0 M’ M M” 0 este un șir exact atunci M admite un șir de compoziție M’ și M” admite câte un șir de compoziție.
Definiție.2.6.4. Două șiruri de compoziție ale lui M:
0 = M0 < M1 < … < Mn = M și N0 < N1 < … < Np = M
se numesc echivalente dacă n = p și există o bijecție
: {0, 1, …, n-1} {0, 1, …, n-1} așa încât
Mi+1 / Mi N(i)+1/ N(i) , i = .
Teorema JORDAN – HÖLDER.2.6.5. Dacă M are două șiruri de compoziție:
0 = M0 < M1 < … < Mn = M și
0 = N0 < N1 < … < Np = M
atunci ele sunt echivalente.
Demonstrație. prin inducție după n. Dacă n = 1, atunci M este R-modul simplu și 0 M este singurul șir de compoziție al lui M. presupunem afirmația adevărată pentru modulele care admit un șir de compoziție de lungime cel mult n – 1 și o demonstram pentru modulele cu șiruri de compoziție de lungime n.
Dacă Mn-1 = Np-1 atunci șirurile 0 = M0 M1 … Mn-1 și 0 = N0 N1 … Np-1 sunt echivalente și cum M/Mn-1 = M/Np-1 atunci șirurile (1) și (2) sunt echivalente.
Presupunem Mn-1Np-1. Deoarece Mn-1 este maximal în M, avem Mn-1+Np-1= M, de unde
M/Mn-1 = (Mn-1 + Np-1)/ Np-1 Np-1/(Mn-1 Np-1)
M/Np-1 = (Mn-1 + Np-1)/ Np-1 Mn-1/(Mn-1 Np-1)
Rezultă că Mn-1 Np-1 este maximal în Mn-1 și în Np-1.
Din ultimul corolar Mn-1 Np-1 are un șir de compoziție
0 = L0 L1 … LK = Mn-1 Np-1.
Avem atunci șirurile de compoziție.
0 = L0 L1 … LK Mn-1 Mn = M
(5’) 0 = M0 M1 … Mn-2 Mn-1 Mn = M
0 = L0 L1 … LK Np-1 Np = M
(6’) 0 = N0 N1 … Nn-2 Nn-1 Np = M
Ca în primul caz rezultă că (5) și (5’) sunt echivalente. Deci k n – 2. Atunci Np-1 are un șir de compoziție de lungime cel mult n-1 și rezultă că (6) și (6’) sunt echivalente. Din (3) și (4) obținem că M/ Mn-1 Np-1/Lk și M/Np-1 Mn-1 /Lk deci (5) și (6) sunt echivalente. Rezultă atunci că și (5’) și (6’) sunt echivalente, adică (1) și (2) sunt echivalente.
Definiție.2.6.6. Un R-modul M care admite un șir de compoziție se numește modul de lungime finită. Lungimea șirurilor sale de compoziție (aceeași pentru orice șir) se numește lungimea lui M și se notează cu long (M). Dacă M = 0, luăm long(M) = 0. Dacă M nu admite nici un șir de compoziție, atunci spunem că M este de lungime infinită și scriem long(M) = .
Propoziție.2.6.7. Dacă 0 M’ M M” 0 este un șir exact de module cu M de lungime finită, atunci
long(M) = long(M’) + long(M”)
Definiție.2.6.8. Fie long(M’) = n și long(M”) = p. Fie șirurile de compoziție
0 = … = M’ în M’
0 = … = M’’ în M’’.
Este ușor de văzut că
0 = f() f() … f() = g-1() g-1() … g-1() = M’
este un șir de compoziție al lui M de lungime n + p.
Corolar.2.6.9. Dacă M este un modul de lungime finită, iar K si L sunt două submodule ale sale, atunci long(K + L) + long(K L) = long(K) + long(L).
Demonstrație. Din izomorfismul K +L/K L/LK obținem că long(K+L/K) = long(L/K L). Din șirurile exacte
K K+L K+L/K 0 și 0 K L L L/ K L 0
și proprietățile anteriaore avem:
long(K+L/K) = long(K+L) – long K
long(L/ K L) = long(L) – long(K L)
long(K+L) – long(K) = long(L) – long(K L)
Corolar.2.6.10. Fie M un R-modul de lungiem finită și M1, M2, …, Mn submodule ale lui M așa încât M = M1 M2 … Mn . Atunci: long M = .
Propoziție.2.6.11. Fie M un R-modul de lungime finită și f EndR(M). Următoarele afirmații sunt echivalente:
f este monomorfism
f este epimorfism
f este automorfism
Propoziție. LEMA FITTING.2.6.12. Dacă M este un R-modul de lungime finită și f EndR(M), atunci există n 1 așa încât
M = Ker fn Im fn
Demonstrație. Există n 1 așa încât Ker fn = Ker fn+1 = … și Im fn = Im fn+1 = = …. Fie x M și y M ales așa încât
fn(x) = f2n(y) fn(x – fn(y)) = 0 x – fn(y) Ker fn
Atunci
x = [x – fn(y)] + fn(y) Ker fn + Im fn, de unde M = Ker fn + Im fn.
Dacă
x Ker fn Im fnx = fn(y)M și 0 = fn(x) = f2n(y)y Ker f2n = Ker fn x = fn(y) = 0
Ker fn Im fn = 0 M = Ker fn Im fn.
Corolar.2.6.13. Dacă M este un R-modul de lungime finită indecompozabil și f EndR(M), atunci f este sau nu automorfism sau este un element nilpotent în EndR(M) (adică există n 1 așa încât Imfn = 0, deci fn = 0).
Corolar.2.6.14. Dacă M este un R-modul de lungime finită indecompozabil, atunci EndR(M) este local.
Demonstrație. Fie f, g EndR(M) așa încât f + g este inversabil. Atunci există h EndR(M), h automorfism așa încât (f + g)h = LM. dacă g nu este inversabil, atunci gh nu este inversabil și atunci există n 1 așa încât (gh)n = 0. Dar atunci
(1 – gh)(1 + gh + … + (gh)n-1) = 1 deci 1 – gh = fh
este inversabil. Rezultă că f este inversabil.
Teorema KRULL – SCHMIDT.2.6.15. Fie M un modul nenul de lungime finită. Atunci M are o descompunere indecompozabilă finită M = M1 M2 … Mn . Dacă M = N1 … Np este o altă descompunere indecompozabilă finit, atunci n = p și există o bijecție : {1, 2, …, n} {1, 2, …, n} așa încât Mi N(i), i = .
2.7.INELE LOCALE
Propoziție.2.7.1. Fie R un inel. Sunt echivalente afirmațiile:
1) R are un singur ideal stâng maximal
R are un singur ideal drept maximal
Mulțimea elementelor neinversabile din R formează un ideal bilateral
Dacă a, b R și a+ b este inversabil atunci sau a sau b este inversabil.
Demonstrație. 1) 2) Fie I singurul ideal stâng maximal. Dacă I nu este bilateral, atunci există a I așa încât Ia I. Cum Ia este ideal stâng, rezultă că Ia = R, deci există b I cu ba = 1. Cum 1 – ab I, atunci R(1 – ab) = R, adică există c R așa încât c(1 – ab) = 1. Obținem a = c(1 – ab)a = c(a – aba) = 0, contradicție. Deci I este bilateral. Rezultă imediat că în inelul S = R/ I orice element nenul este inversabil la stânga deci S este corp. De aici se obține că I este singurul ideal maximal.
2) 1) Simetrie
1) 3) Fie a R, a I , unde I este singurul ideal stâng maximal. Cum I este ideal maximal și stâng și drept, atunci Ra = R și aR = R. Deci a este irevesibil și la stânga și la dreapta, deci inversabil. Cum orice element din I este neinversabil, atunci I coincide cu mulțimea elementelor neinversabile din R.
3) 4) Clară
4) 1) Fie I un ideal stâng maximal în R și I, I I, un ideal stâng maximal. Atunci I + I = R. Deci 1 = a + b cu a I și b I. Deci sau a sau b este inversabil, adică sau I = R sau I = R, contradicție.
Definiție.2.7.2. Un inel R care satisface una din cerințele echivalente din propoziția anterioară se numește inel local.
Corolar.2.7.3. Dacă R este inel local, atunci 0 și 1 sunt singurele elemente indempotente din R.
Demonstrație. Dacă e R, e 0, 1 și e2 = e, atunci din 1 = e+ (1-e) rezultă că e sau 1 – e este inversabil. Cum e( 1 – e) = 0 obținem o contradicție.
Corolar.2.7.4. Fie RM un R-modul stâng așa încât inelul End (RM) este local. Atunci M este indecompozabil.
Corolar.2.7.5. Fie Q un R-modul stâng injectiv. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
End(RQ) este local
Q este indecompozabil.
Demonstrație. 1) 2) evident.
2) 1) Fie 1 = f + g cu f, g End(RQ). Rezultă imediat că Ker f și ker g = 0. Dacă Ker g 0, atunci anvelopa injectivă Q’ a lui Ker g este un submodul în Q. Dar Ker f Q’ = 0. Cum Q este indecompozabil și Q’ injectiv, rezultă că, Q = Q’ și deci Ker f = 0. Deci f este monomorfism. Cum f(Q) Q, atunci Q = f(Q) și deci f este izomorfism, adică un element inversabil dim End(RQ) End(RQ) local.
2.8.IDEMPOTENȚI PENTRU O DESCOMPUNERE
Presupunem că M are o descompunere directă (internă) M = M. Atunci pentru fiecare A, M = M , deci există un unic idempotent e End(RM) cu
M = Im e și = Ker e.
Definiție.2.8.1. Numim idempotenți (e)A, idempotenți pentru o descompunere M = M și pentru fiecare A, numim e idempotentul pentru M în această descompunere.
Propoziție.2.8.2. Fie (M)A submodule ale modulelor M. Atunci M = M există o mulțime indexată (necesar finită) (e)A de endomorfisme idempotente al lui M, așa încât A, M = Im e și = Ker e. Mai mult dacă endomorfismele idempotente ale lui M există, atunci e este idempotentul pentru M în descompunerea M = M.
Definiție.2.8.3. O mulțime de idempotenți (e)A se numește ortogonală dacă: e e = e, , A.
Corolar.2.8.4. Idempotenții (e)A pentru o descompunere M = M sunt ortogonali. Mai mult, dacă x M, atunci xe = 0 pentru aproape toți A și x = .
Definiție.2.8.5. O mulțime finită ortogonală de idempotenți e1, e2, …, en ai unui inel R se numește completă dacă e1+e2+ …+ en = 1 R.
Corolar.2.8.6. Fie M1, …, Mn submodule ale lui M. Atunci M = M1 … Mn există o mulțime completă (necesar unică) e1, …, en de idempotenți ortogonali dim End(RM) cu Mi = Mei, i = .
2.9.DESCOMPUNEREA INELULUI
Pentru fiecare inel R există trei module regulate RR, RR și RRR și fiecare are propria teorie de descompunere.
Multiplicarea la dreapta și multiplicarea la stânga sunt izomorfisme de inele : R End(RR), : R End(RR).
Propoziție.2.9.1. Un ideal stâng I al inelului R este sumand direct al lui RR există un idempotent e R așa încât I = Re. Mai mult, dacă e R este un idempotent, atunci și 1 – e este idempotent și Re și R(1 – e) sunt complemenți direcți unul altuia, adică RR = Re R(1 – e).
Propoziție.2.9.2. Fie I1, …, In ideale stângi ale inelului R. Atunci următoarele afirmații despre R-modulul RR sunt echivalente:
R = I1 … In
Fiecare element r R are o unică exprimare
r = r1 + … + rn unde ri Ii, i =
Există o mulțime completă (necesar unică) e1, …, en de idempotenți ortogonali în R cu Ii = Rei, i = .
Observație. r R r = re1 + … + ren adică ri = rei, i =
Definiție.2.9.3. Un element idempotent e R este primitiv dacă este nenul și nu poate fi scris ca o sumă e = e’ + e”, de idempotenți ortogonali nenuli.
Definiție.2.9.4. Un ideal stâng (drept) al lui R este primitiv dacă este de forma Re (eR) pentru un idempotent primitiv e R.
Deoarece inelul de epimorfisme al lui Re este izomorf cu eRe avem
Corolar.2.9.5. Fie e R un idempotent nenul. Sunt echivalente:
e este un idempotent primitiv
Re este un ideal stâng primitiv al lui R
eR este un ideal drept primitiv al lui R
Re este un sumand direct indecompozabil al lui RR
eR este un sumand direct idecompozabil al lui RR
inelul eRe, are exact un idempotent nenul, anume e.
Corolar.2.9.6. Pentru un inel R, modulul regulat stâng RR este o sumă directă I1 … In de ideale stângi primitive există o mulțime completă e1, …, en de idempotenți primitivi ortogonali pe perechi în R cu Ii = Rei, i = .
Presupunem că R are o descompunere ca sumă directă de ideale, RR = R1 … Rn, unde fiecare Ri este un ideal bilateral nenul al lui R. Atunci există o mulțime unică u1, …, un de idempotenți nenuli ortogonali pe perechi, în R cu 1 = u1 + u2 + … + un și Ri = Rui, i = .
Pentru fiecare i, deoarece ui Ri și Ri este un ideal avem uiR Ri. Astfel, dacă i j, atunci
uiRuj uiR Ruj Ri Rj = 0
Așadar, pentru fiecare r R avem
uir = (uir)(1) = uir (u1 + … + un)
Altfel spus, fiecare ui este un idempotent central și fiecare
Ri = Rui = uiR = uiRui,
este un inel cu unitatea ui. Reciproc, dacă u1 , … , un este o mulțime ortogonală de idempotenți centrali nenuli ai lui R cu 1 = u1 + … + un, atunci, evident fiecare Ri = Rui, i = este un ideal al lui R și RR = R1 … Rn. Observăm de asemenea că aceasta este o descompunere a lui R ca modul drept RR și ca binomul RRR. Când R are o astfel de descompunere, spunem că R este o sumă directă de inele a idealelor R1, …, Rn, numim R1, …, Rn sumanzi direcți de inele ai lui R și scriem
R = R1 …Rn
Spunem că aceasta este o descompunere de inel a lui R.
Presupunem acum că R este o sumă directă de inel a idealelor R1, …, Rn și că u1, …, un idempotenții centrali asociați. Este ușor de arătat că aplicația definită prin r (ru1, …, run), e R este un izomorfism de inele de la R, pe produsul cartezian R1 x … x Rn al inelelor R1 , … , Rn . Reciproc, dacă R1, …, Rn este șir finit de inele și dacă i1, …, in sunt injecțiile canonice ale inelelor pe produsul R1 x … x Rn, atunci:
R1 x … x Rn = i1(R1) + … + in(Rn)
Desigur, aici, idempotenții centrali cu R1 x … x Rn ai acestei descompuneri sunt chiar i1(11), … in(1n), imaginile naturale ale unităților inelelor R1, …, Rn. În concluzie avem:
Propoziție.2.9.7. Fie R1, …, Rn ideale bilaterale nenule ale lui R. Sunt echivalente afirmațiile:
R = R1 …Rn
RR = R1 … Rn.
Ca grup abelian R este suma directă a lui R1, …, Rn
Există idempotenții centrali ortogonali pe perechi u1, …, un R cu 1 = u1 + … + un și Ri = Rui, i = .
Definiție.2.9.8. Un inel R se numește indecompozabil dacă el nu are nici o descompunere de inel cu mai mult de un termen.
Corolar.2.9.9. Un inel R este un inel indecompozabil 1 este singurul idempotent central nenul din R.
În general un inel nu admite o descompunere de inel în inele indecompozabile. Dar dacă o astfel de descompunere există, atunci ea este unică:
Propoziție.2.9.10. Fie R = R1 …Rn o descompunere de inele a lui R cu fiecare R1, …, Rn indecompozabil ca inel. Fie u1, …, un idempotenți centrali ai acestei descompunere. Dacă R = S1 …Sm este o descompunere de inel a lui R cu idempotenții centrali asociați v1, …, vm, atunci o partiție A1, … Am a lui {1, …, n} așa încît vi = , i = . În particular Si = Rj, i = .
Există o clasă importantă de inele care au descompunerea ca sume directe de inele indecompozabile, anume acele inele R pentru care modulul RR are o descompunere ca sumă directă de ideale stângi primitive. Într-adevăr, pentru un astfel de inel R există o metodă pentru determinarea descompunerii de inel indecompoyabile (necesar unică) a lui R din oricare din descompunerile sale stângi. Presupunem că RR are o descompunere ca sumă directă de ideale stângi primitive. Aceasta înseamnă că există o mulțime completă e1, …, en de idempotenți primitivi, ortogonali pe perechi în R. Fie E = { e1, …, en }. Pe E definim o relație ~ prin ei ~ej există 1 k n cu ekRei 0 și ekRej 0. Atunci ~ este o relație pe E reflexivă și simetrică. Ea poate fi extinsă la o relație de echivalență definită prin ei ej există un șir i1, …, ie {1, …, n} așa încât ei ~ ~…~ ~ ej.
Se observă că dacă u R este un idempotent central nenul și uei 0, atunci uei și (1 – u)ei sunt idempotenți ortogonali, ei = uei + (1 – u) ei și ei este primitiv, așa că uei = ei. Rezultă că dacă ei, ek E cu ekRei 0 și uei 0, atunci
uekRei = ekRuei = ekRei 0 0 uek = ek.
Astel, dacă ei ~ ej, atunci uei 0 uej 0. Aceasta se extinde la: Dacă ei ej atunci uei 0 uei 0.
Fie E1, …, Em clasele de echivalență cele relative în E și pentru fiecare i = , fie ui = Ei, suma idempotenților ej din clasa Ei. Atunci fiecare ui este un idempotent nenul al lui R și mulțimea u1, …, um este ortogonală pe perechi cu 1 = u1 + … + um. Acești idempotenți se numesc idempotenții bloc ai lui R și inelele u1Ru1, …, umRum sunt blocurile lui R determinate de E. Ca o consecință a rezultatului următor acești idempotenți bloc și blocurile lor sunt independenți de idempotenții primitivi E.
Teorema descompunerii bloc.2.9.11. Fie R un inel a cărui identitate poate fi scrisă ca o sumă 1 = e1 + …+ en de idempotenți primitivi ortogonali pe perechi, fie u1, …, um idempotenții bloc ai lui R determinați de E = { e1, …, en }. Atunci u1, …, um sunt idempotenți centrali ortogonali pe perechi cu 1 = u1+ …+ um. Mai mult, fiecare bloc uiRui , i = este un inel indecompozabil și R = (u1Ru1) …(umRum) este o descompunere (necesar unică) a lui R, în inele indecompozabile.
Demonstrație. u1, …, um sunt ortogonali pe perechi și 1 = u1+ …+ um. Dacă i j, atunci din modulul de definire a relației ~, uiRuj = 0. Atunci pentru orice r R avem uir = uir(u1 + … + um) = uirui= (u1 + … + um) rui = rui. Astfel, fiecare ui este central. Pentru a termina demonstrația va fi suficient să demonstrăm că ui este unicul idempotent central nenul al lui uiRui. Dacă, prin absurd, există un idempotent central nenul v uiRui, cu v ui, atunci w = ui – v și v sunt idempotenți centrali nenuli, ortogonali în R cu v = vui și w = wui. Dacă Ei este clasa lui vi în { e1, …, en }, trebuie să existe ej, ek Ei cu vej 0 și wek 0. Deoarece ej și ek sunt primitivi, aceasta înseamnă că vej = ej și wek = ek. Dar deoarece vw = 0, rezultă că vej 0 și vek = 0 ceea ce contrazice faptul că ej ek.
Teoria de descompunere a inelului R și a modulelor sale regulate stângi și drepte R și RR sunt echivalente cu aceea a idempotenților săi. Deoarece idempotența se păstrează prin morfismele de inel, sumanzii direcți ai lui R, duc la sumanzi direcți ai inelelor factor ale lui R.
Propoziție.2.9.12. Fie I un ideal propriu al inelului R. Dacă e R este un idempotent (central) al lui R, atunci e + I este un idempotent (central) al inelului factor R/I și atât ca R-modul stâng, cât și ca R/I modul stâng avem:
(R/I)( e + I) = (Re + I) / I Re / Ie
În particular, dacă e1, …, en R este o mulțime ortogonală ape perechi de idempotenți ai lui R cu 1 = e1 + … + en, atunci
R / I = Re1 / Ie1 … Ren / Ien
atât ca R-module stângi, cât și ca R / I module stângi.
2.10.INELE GOLDIE
2.10.1. ELEMENTE REGULATE ÎNTR-UN INEL
Definiție.2.10.1. Dacă R este un inel, unui element a R se numește regulat dacă există x R așa încât a = axa.
Lemă.2.10.2. a R este regulat Ra este sumand direct în R.
Notăm cu M(R) suma idealelor bilaterale I cu proprietatea că orice element din I este regulat.
Propoziție.2.10.3. 1) Orice element din M(R) este regulat.
2) M(R) R M(R/M(R)) = 0
3) R este regulat R = M(R).
Lemă.2.10.4. Fie R un inel cu soclul S0(RR) 0. Notăm cu I suma idealelor minimale I pentru care I2 = I. Atunci orice element x I este regulat.
Corolar.2.10.5. Dacă R este semiprim atunci:
S0(R) M(R)
Dacă I este o componentă izotipică a lui S0(R) de lungime finită, atunci I = Re, unde e este un idempotent central.
Corolar.2.10.6. Fie r un inel cu {L (R)} seria Loewy asociată modulului RR. Dacă inelele factor R/ L (R) sunt semiprime, 0, atunci
M(R)
Dacă R este semiartinian la stânga și inelele R/ L (R) sunt semiprime 0, atunci R este regulat.
Corolar.2.10.7. Fie R un inel semiartinian la stânga. Dacă R este V inel stâng sau drept, atunci R este regulat în sens von Newmann.
CAPITOLUL III – Structuri fundamentale in clasa modulelor
3.1.Generalități
Definiția 3.1.1. Fie un modul M peste un inel unitar R. Un modul, respectiv inel, se numește artinian dacă și numai dacă acesta satisface condiția lanțurilor descendente pe laticea submodulelor, respectiv idealelor sale, sau pe anumite clase de submodule, respectiv ideale. Definiția 3.1.2. Un modul, respectiv inel, se numește noetherian dacă și numai dacă acesta satisface condiția lanțurilor ascendente pe laticea submodulelor, respectiv idealelor sale, sau pe anumite clase de submodule, respectiv ideale. Propoziție. În cadrul teoriei modulelor, condițiile de finititudine reprezintă întocmai această proprietate a unui modul, respectiv inel, de a fi artinian sau noetherian.
3.2. Submodule esențiale și submodule superflue
Fie un inel R cu acțiune la stânga și cu toate modulele și morfismele de module, privite peste aceștia. Definiția 3.2.1. Un submodul K al unui modul M se numește sumant direct în M dacă și numai dacă există un submodul K’ al lui M astfel încât K K’ = O și K + K’ = M, adică K are comlement în laticea submodulelor lui M. Observație. Pentru orice submodul K al lui M întotdeauna există un submodul care împreună cu el să satisfacă una din aceste condiții. Definiția 3.2.2. Un submodul K al lui M se numește esențial sau larg în M dacă pentru orice submodul L al lui M cu L K = O se obține L = O. Se notează K M. Definiția 3.2.3. Un submodul K al lui M se numește superfluen sau mic în M dacă și numai dacă, pentru orice submodul L al lui M cu L + K = M, se obține L = M. Se notează K M. Observație. Un submodul esențial al lui M domină laticea submodulelor, adică nu este dependent, de nici un submodul nenul, iar submodulele superflue sunt neesențiale întrucât ele nu contribuie cu nimic la generarea lui M. Definiția 3.2.4. Un monomorfism f: K M se numește esențial dacă imaginea lui f este submodul esențial în M (Im f M), iar un epimorfism g: M N este superfluu, dacă nucleul său este submodul superfluu în M (Ker g M). Propoziția 3.2.1. Pentru un submodul K al lui M (K M), următoarele afirmații sunt echivalente: (a) K M; (b) Aplicația incluziune ik: K M este un monomorfism esențial; (c) Pentru orice modul N și orice monomorfism h HomR (M, N) cu Ker h k = O, se obține Ker h = O. Demonstrație:(a) (b) evident conform definițiilor; (b) (c) : ik: K M și h: M N ik – monomorfism esențial Im ik M; Ker h M conform definițiilor Im ik Ker h = O Ker h = O, iar Im ik = k. (c) (a) presupunem că L M astfel încât L k = O. Fie epimorfismul natural nL: M M / L surjecție canonică, atunci Ker nL = L Ker (nL) k = O Ker nL = O L = O. Corolar 3.2.1. Un monomorfism f: L M este esențial dacă și numai dacă pentru toate morfismele H pentru care h f este monomorfism, rezultă că H este monomorfism. Demonstrație:Folosim faptul că dacă g: M N și f: N P unde f este un monomorfism, iar g este un morfism astfel încât g f este monomorfism, atunci g este monomorfism. Propoziția 3.2.2. Pentru un submodul K al ui M următoarele afirmații sunt echivalente: (a) K M; (b) Aplicația naturală pk: M M / K este un epimorfism superfluu; (c) Pentru orice submodul N și orice morfism h HomR (M, N) cu Im h + k = M Im h = M. Corolar 3.2.2. Un epimorfism g: M N este superfluu dacă și numai dacă pentru toate morfismele h cu g h epimorfism rezultă h este epimorfism. Observație. Corolarul 3.2.2. reprezintă dualul corolarului 3.2.1. precum și propoziția 3.2.2. reprezintă dualul propoziției 3.2.1. Propoziția 3.2.3. Fie M un modul cu subansamblele K N M și H M, atunci: 1) K M K N și N M; 2) H K M H M și N M. Demonstrație.1) „” fie K M și O L M K M O; Pp. L N K N K N și L N O N M; „” fie L M a.î. L K = O. Dar K = K N L (K N)
(L K) N = O (cu K N din ipoteză) L N = O (cu N M)
L = O K M
2) „” consecință a primului punct în care avem
H K H M și H K K M
„” fie L M cu L K H = O (K M din ipoteză) L H = O (H M din ipoteză) L = O H K M. Propoziția 3.2.4. (duala propoziției 3.2.3.) Fie M un modul cu submodulele: K N M. Atunci avem: 1) N M K M și N / K M / K; 2) H + K M H M și K M; Lema 3.2.1. Dacă K M și f: M N un morfism, atunci f(K) N. În particular, dacă K M N K N. Demonstrație. Fie L N cu proprietatea că L + f(K) = N f-1(L) + K = f-1 (N) = M. Deoarece K M f-1(L) = M K M = f-1(L) f(K) L L = N f(K) N. Lema 3.2.2. Un submodul K al lui M este esențial în M, dacă și numai dacă pentru orice element nenul al lui M, există r în inelul R, astfel încât rx și rx K. Demonstrație. „” dacă presupunem K M și O X M, atunci RX K O r R a.î. O rx K.
„” Fie O x L M atunci (din ipoteză) există r R astfel încât O rx K L K M. Propoziția 3.2.5. Dacă K1 K2 M și K2 M2 M iar M = M1 M2, atunci: 1) K1 K2 M1 M2 K1 M1 și K2 M2; 2) K1 K2 M1 M2 K1 M1 și K2 M2 Propoziția 3.2.6. Fiecare submodul N al lui M are un M complement. Dacă N’ este un M complement al lui N, atunci: a) N N’ M; b) N N’ / N’ M / N’
3.3. Generări și cogenerări
Fie un inel R cu acțiune la stânga peste care sunt privite toate modulele și morfismele de module.
3.3.1. Clase generate și clase cogenerate
Definiția 3.3.1. Fie U o clasă de module. Un modul M se numește finit generat de U, putem afirma că U generează finit pe M, dacă există o mulțime finită, indexată (U)A și un epimorfism de la U M O, unde A este mulțimea de indici.
Observație. Dacă familia U = {U} spunem că U generează finit pe M, adică există un epimorfism de la U(A) M O.
Teorema 3.3.1. Dacă un modul RM are o mulțime de generatori X M atunci există un epimorfism R(X) M O ceea ce ne arată că R generează pe M. Mai mult, R generează finit pe M dacă și numai dacă M are o mulțime finită de generatori.
Demonstrație. Fie X M o mulțime generatori. Pentru fiecare x M considerăm aplicația pX: R M, pX(r) = rx, care reprezintă un R morfism stâng.
Fie p = pX suma directă a acestor morfisme, cu p: R(X) M; Im p = Im pX = Rx = M pentru că X este o familie de generatori. p epimorfism R generează pe M.
Definiția 3.3.2. Fie U o clasă de moduli. Un modul M se numește finit cogenerat de U, dacă și numai dacă există o mulțime finită, indexată, (U)A și un monomorfism de la O M U.
Observație. Dacă U = {U} spunem că U generează pe M, adică există un monomorfism de la O M UA.
Fie U o clasă de module. Atunci vom folosi următoarele notații:
Gen (U) pentru clasa tuturor modulelor generate de U;
Cog (U) pentru clasa tuturor modulelor cogenerate de U;
FGen (U) pentru clasa de module finit generate de U;
FCog (U) pentru clasa de module finit cogenerate de U;
Propoziția 3.3.1. Fie U o clasă de module:
dacă M Gen (U) atunci orice imagine epimorfică a lui M este tot în Gen (U);
dacă (M)I este o mulțime indexată din Gen (U) atunci și suma directă M Gen (U).
Demonstrație.
M Gen (U) () (U)A și f: U M epimorfism; fie g: M M’ epimorfism g h: U M’ epimorfism M’ Gen (U);
(M)I Gen (U) () (U)A U și aplicațiile f: U M epimorfisme; Pp. R morfismul f = f: ( U) M care este un epimorfism M Gen (U).
Observație. Aceste ipoteze sunt valabile și în cazul generării finite.
Propoziția 3.3.2. (varianta duală) Fie U o clasă de module. Atunci:
M Cog (U) și g: M M’ monomorfism, atunci M’ Cog (U);
(M)I Cog (U) atunci M Cog (U).
Corolar 3.3.1. (tranzitivitatea generării și cogenerării) Fie U și V două clase de module. Atunci:
dacă V Gen (U) întreaga clasă Gen (V) Gen (U)
dacă V FGen (U) întreaga clasă FGen (V) FGen (U)
dacă V Cog (U) întreaga clasă Cog (V) Cog (U)
dacă V FCog (U) întreaga clasă FCog (V) FCog (U)
Propoziția 3.3.3. Conceptele de generare și cogenerare mai pot fi enunțate astfel:
clasa U generează M dacă și numai dacă există o sumă de submodule, fiecare din ele fiind imaginea epimorfică a unui anumit submodul din U.
clasa U cogenerează M dacă și numai dacă există o submulțime K de submodule ale lui M astfel încât M / K se scufundă într-un anumit modul din U pentru oricare k K și K = O.
3.3.2. Generatori și cogeneratori
Fie U și V clase de module care se generează una pe alta. Atunci Gen (U) = Gen (V).
Definiția 3.3.3. O mulțime U’ U se numește clasă de reprezentanți de tipuri izomorfe ale lui U, dacă fiecare U U’ este izomorf cu un element din U’. Dacă nu există două elemente din U’ izomorfe atunci clasa de reprezentanți este ireductibilă (minimală).
Propoziția 3.3.4. Fie U’ o clasă de reprezentanți pentru U. Atunci Gen (U’) = Gen (U) și Cog (U) = Cog (U’).
Definiția 3.3.4. Fie o clasă U.
– un modul G se numește generator pentru Gen (U) Gen (U) = Gen (G);
– un modul C se numește cogenerator pentru Cog (U) Cog (U) = Cog (C);
– un generator (cogenerator) pentru clasa R mod (clasa tuturor modulelor stângi) se numește generator (cogenerator) fără referire la clasă.
Propoziția 3.3.5. Dacă U are mulțimea de reprezentanți {U}A atunci:
U este generator pentru Gen (U);
U și U este generator pentru Cog (U).
Propoziția 3.3.6. Fie U și M două R module stângi, atunci:
U generează finit pe M există o submulțime finită H HomR(U, M) a.î. M = Im h;
U cogenerează finit pe M există o submulțime finită H HomR(U, M) a.î. Ker h = 0.
Demonstrație.
„” Pp. că U cogenerează pe M există f: M UA monomorfism () A, considerăm morfismul f: M U, unde : UA U reprezintă proiecția canonică a produsului direct: UA. Atunci f = f și Ker f = Ker f; f monomorfism Ker f = O Ker f = O;
„” Dacă H HomR (U, M) este o familie de morfisme cu Ker h = 0 atunci morfismul h: M UH are nucleul Ker h = 0 monomorfism U cogenerează pe M.
Corolar 3.3.2. Fie U, N și M trei R module. Atunci:
U cogenerează pe M pentru orice morfism nenul f: M N, există un morfism h: U M a.î. h f 0;
U cogenerează pe M pentru orice morfism nenul f: N M, există un morfism h: M U a.î. f h 0.
3.4. Trasul (urma) și rejentul (reziduul) unui modul
Fie U o clasă de module.
Definiția 3.4.1. Se numește trasul (urma) lui U în M:
TrM (U) = {Im h h: M U, U U}
Definiția 3.4.2. Se numește rejentul (reziduul) lui U în M:
RejM (U) = {Ker h | h: M U, U U}
Propoziția 3.4.1. Fie U = {U}. Atunci:
TrM (U) = {Im h | h HomR (U, M)}
RejM (U) = {Ker h | h HomR (M, U)}
Propoziția 3.4.2. Fie U o clasă de module și M un modul. Atunci:
TrM (U) este unicul submodul L, cel mai mare al lui M, generator de U;
RejM (U) este unicul submodul K, cel mai mic astfel încât N / K este cogenerat de U.
Demonstrație.
Fie (U)A U. Fie h: U M, i: U U; h i : U M;
Im h = Im h i TrM (U)
fiecare submodul al lui M din Gen (U) este conținut în clasa TrM (U).
() {U}A mulțime indexată;
h: U M a.î. TrM (U) = Im h h: U M TrM (U) Gen (U).
Fie (U)A U familie de module și h: M U morfism
Fie K = Ker h, atunci K = Ker ( h)RejM (U) M / K cogenerat de U.
() {U}A mulțime indexată în U și morfismele:
h: M U a.î. RejM (U) = Ker h h: M U are nucleul RejM (U)
M / RejM (U) Cog (U).
Corolar 3.4.1. Fie M un modul și U clasă de module. Atunci U generează pe M
TrM (U) = M;
U cogenerează pe M RejM (U) = O.
Corolar 3.4.2. Fie M modul și U clasă de module, cu K M. Atunci:
K = TrM (U) TrM (U) și TrK (U) = K;
K = RejM (U) RejM (U) și RejM / K (U) = O.
În particular, Tr (U) = TrM (U) și Rej (U) = O.
Propoziția 3.4.3. Fie U o clasă de module și M < N dacă R module, fie f: M N un R morfism, atunci:
f(TrM (U)) TrN (U) și f(RejM (U)) RejN (U)
În particular TrM (U) și RejM (U) sunt bimodule R stângi și EndR (M) drepte ale lui M.
Corolar 3.4.3.
1) dacă f: M N este un monomorfism și TrM (U) Im f, atunci: f(TrM (U)) = TrN(U);
2) dacă f: M N este un epimorfism cu Ker f(U) RejM (U), atunci:
f(RejM(U))=RejN (U).
Propoziția 3.4.4. Dacă (M)A este o familie de module, atunci pentru fiecare clasă de module U avem:
Tr (U) = Tr (U), () A și Rej (U) = Tr (U), () A.
Propoziția 3.4.5. Dacă U și V sunt clase de module, atunci:
a) dacă V Gen (U), atunci TrM (V) TrM (U);
b) dacă V Cog (U), atunci RejM (U) RejM (V).
Propoziția 3.4.6. Fie G un generator pentru Gen (U) și C un cogenerator pentru Cog (U). Atunci pentru fiecare modul M, avem:
Tr (U) = TrM (C) și RejM (U) = RejM (C).
În particular, dacă (U)A este o mulțime indexată de module:
TrM ( U) = TrM (U) și RejM ( U) = RejM (U) = RejM ( U)
Definiția 3.4.3. Se numește anulatorul stâng al R modulului RM, idealul:
lR (M) = {r R | rx = 0, () x M}
Propoziția 3.4.7. Pentru fiecare clasă U de module, TrR (U) este un ideal bilateral, if un modul RM este un generator dacă și numai dacă TrR (U) = R.
Propoziția 3.4.8. pentru fiecare R modul stâng, M avem: RejR (U) = lR (M), iar pentru fiecare clasă de module stângi, U: RejR (U) și lR (U) este un ideal bilateral.
3.5. Module semisimple. Modulul și radicalul
3.5.1. Module semisimple
Definiția 3.5.1. Fie (T)A o mulțime indexată de submodule simple ale lui M. Dacă M este suma directă a acestei mulțimi, atunci M = T, A, se numește descompunere semisimplă a lui M.
Definiția 3.5.2. Un modul M se numește semisimplu dacă el are o descompunere semisimplă.
Lema 3.5.1. Dacă (T)A este o mulțime indexată de submodule simple ale lui R modulului stâng M, și dacă M = T, atunci pentru fiecare submodul K al lui M, există o submulțime B A astfel încât (T)B indexată și M = ( T).
Demonstrație. Fie K M un submodul al lui M. din principiul de maxim există o submulțime B A maximală în raport cu condițiile ca (T)B care să fie independentă și K ( T) = 0. Atunci N = K ( T) sumă directă M = N.
Propoziția 3.5.1. Dacă un modul M este generat de mulțimea indexată (T)A de submodule simple, atunci pentru B A, M T, B, adică M este semisimplu.
Propoziția 3.5.2. Fie M un R modul stâng semisimplu cu descompunerea semisimplă, M = T, A. Dacă O K M N O este un șir exact de R module, atunci K și N sunt semisimple. () B A și izomorfismele N = T, B și K = T, A / B.
Demonstrație. Avem f: K M și g: M N.
Deoarece Im f este submodul în M, () B A a.î. M = (Im f) ( T), B N = N / Im f = T, B; M = ( T) ( T), A / B.
Corolar 3.5.1. Fie (T)A o mulțime indexată de submodule semisimple ale lui M. Dacă T este un submodul semisimplu al lui M, astfel încât T ( T) 0, atunci există un A a.î. T = T.
Demonstrație.
Dacă T este simplu și T ( T) 0 atunci T T. Presupunem M = T și conform propoziției 3.5.1. rezultă că M semisimplu și M = T, B, pentru un anumit B A.
Teorema 3.5.1. Pentru un R modul stâng următoarele afirmații sunt echivalente:
1) M este semisimplu;
2) M este generat de module simple;
3) M este suma unei anumite mulțimi de submodule simple;
4) M este suma submodulelor ale simple;
5) Orice submodul al lui M este sumant direct;
6) Orice șir exact scurt O K M N O de R module stângi este scindat.
3.5.2. Soclul unui modul
Fie clasa R modulelor semisimple stângi = clasa Gen (S) a modulelor generate de module semisimple din S.
Definiția 3.5.3. Se numește soclul modulelor M un submodul semisimplu unic “cel mai mare” trarul lui S în M. Notăm Soc M = TrM (S).
Propoziția 3.5.3. Fie M un R modul stâng. Atunci: Soc M = {K M | K minimal în M} = {L M | L este esențial în M}.
Demonstrație.
Fie T M, T semisimplu, dacă L M, atunci T L 0, așa că T L Soc M este conținut în orice submodul esențial al lui M.
Fie H = {L M | L M} arătăm că H este semisimplu.
Fie N H N’ M complement al lui N N = N’ = N N’ M N H N N’ și din modularitate: H = H (N N’) = N (H N’) N sumant direct în H, deci H semisimplu H Soc M.
Propoziția 3.5.4. Fie M și N două R module stângi și f: M N un R morfism. Atunci f(Soc M) Soc N. În particular Soc M este un submodul R stâng, EndR M drept al lui M.
Corolar 3.5.2. Fie M modul și K M. Atunci Soc M = K Soc M. În particular,
Soc (Soc M) = Soc M.
Demonstrație.
Conform propoziței 3.5.4., Soc K Soc M. Dar K Soc M este semisimplu, deci este conținut în Soc M.
Propoziția 3.5.5. Soclul lui M reprezintă cel mai mare submodul al lui M, care este conținut în fiecare submodul esențial al lui M. În general, Soc M nu este necesar să fie esențial în M.
Corolar 3.5.3. Fie M un R modul stâng. Atunci Soc M M dacă și numai dacă orice submodul nenul al lui M conține un submodul minimal.
Propoziția 3.5.6. Fie F o mulțime de reprezentanți ai R modulelor stângi simple. Atunci pentru fiecare RM avem: Soc M = TrM (F) = Tr ( {t | t f}) = TrM (T).
Propoziția 3.5.7. Clasa R modulelor semisimple stângi are un generator semisimplu, anume {T | T F}. Dacă T este semisimplu, atunci trasul TrM (T) al lui T în M se numește componentă T omogenă a lui Soc M. TrM (T) este generat de un modul simplu, deci semisimplu în Soc M și, fiecare submodul semisimplu al lui TrM (T) este izomorf cu T.
Definiția 3.5.4. Un modul semisimplu M se numește T omogen dacă și numai dacă H = TrM (T). Propoziția 3.5.8. Pentru orice modul M componenta T omogenă a lui Soc M este unicul submodul semisimplu T omogen, cel mai mare al lui M. Dacă M nu are submodule simple izomorfe cu T, atunci componenta T omogenă a soclului său este O.
3.5.3. Radicalul unui modul
Definiția 3.5.5. Fie S clasa R modulelor stângi simple. Pentru fiecare R modul M, radicalul (Jacobson) a lui M, este rejectul lui S în M. Se notează Rad M = RejM (S).
Propoziția 3.5.9. Fie M un R modul stâng. Atunci:
Rad M = {K M | K maximal în M} = {L M | L M}
Demonstrație.
K M maximal în M M / K simplu – aplicăm definiția rejectului în M a unei clase. Fie L M. Fie K submodul maximal al lui M și dacă L K K + L = M; L M K = L (contradicție) orice submodul maximal al lui M cu N K și x K. Pentru x Rad M contradicție RX M.
Propoziția 3.5.10. Fie M și N două R module stângi și funcția f: M N un R morfism. Atunci f(Rad M) Rad N. În paralel Rad (M / Rad M) = 0.
Propoziția 3.5.11. Dacă f: M N este un epimorfism și dacă Ker f Rad M atunci Rad N = f(Rad m). În particular Rad (M / Rad M) = 0.
Propoziția 3.5.12. Fie M un R modul. Atunci Rad M = 0 dacă și numai dacă M este cogenerat de clasa modulelor simple. În particular, dacă M este semisimplu, atunci Rad M = 0. Soc M = M M este semisimplu.
Propoziția 3.5.13. Fie F o mulțime de reprezentanți ai R modulelor simple, atunci pentru fiecare RM avem: Rad M = RejM ( {T | T F}) = RejM ( T) = RejM (T). Duala componentei T omogene a soclului lui M este rejectul RejM (T). Radicalul lui M este cel mai mic submodul al lui M, care conține toate submodulele superflue.
Propoziția 3.5.14. Dacă fiecare submodul propriu al lui M este conținut într-un submodul maximal al lui M, atunci Rad M este unicul submodul superfluu, cel mai mare al lui M.
Demonstrație.
Fie L submodul propriu al lui M a.î. L + Rad M = M și K submodul maximal al lui M. Atunci L + Rad M K M; contradicție L = M Rad M M.
Propoziția 2.5.15. Fie (M)A o mulțime indexată de submodule ale lui M cu M = Rad M.
3.6. Module finit generate și finit cogenerate
3.6.1. Module finit generate
Definiția 3.6.1. Un modul M se numește finit generat dacă și numai dacă pentru fiecare mulțime A care generează M, există o anumită mulțime finită F A care generează M, adică F = M, pentru o anumită mulțime finită F A.
Propoziția 3.6.1. Următoarele afirmații despre un R modul stâng sunt echivalente:
1) M este finit generat;
2) Pentru fiecare mulțime f: U M, A cu M = Im f, A, există o mulțime finită F M cu M = Im f, f;
3) Pentru orice mulțime indexată (U)A și epimorfismul f: U M O, A, există o mulțime F M și un epimorfism g: U M O, I, (f = f, g = g);
4) Orice modul care generează M, generează finit pe M;
5) Menține o mulțime finită de generatori.
Demonstrație.
2) 3) f = f, A este un epimorfism Im f i = M și f i: U M, A;
5) 1) presupunem că {x1, x2, …, xn} este o mulțime finită de generatori pentru M și presupunem că A este o mulțime de submodule ale lui M cu M = A () xi, () fi finită, astfel încât xi Fi. Fie F = F1 F2 … Fn, F finită, F submodul al lui M conține o mulțime de generatori al lui M M finit generat.
3.6.2. Module finit cogenerate
Definiția 3.6.2. Un modul se numește finit cogenerat dacă pentru fiecare mulțime A de submodule ale lui M, există o anumită mulțime finită F A care generează M, adică F = M, pentru o anumită mulțime finită F A.
Propoziția 3.6.2. Următoarele afirmații referitoare la un R modul stâng M sunt echivalente:
1) M este finit cogenerat;
2) Pentru fiecare mulțime f: M U, A cu Ker f = O, F;
3) Pentru fiecare mulțime indexată (U)A și monomorfismul O M U, A, există o mulțime F M și un monomorfism O M U, F.
Demonstrație.
2) 1) Fie {M | A} submodule ale lui M cu M, A. Aplicăm 2) pentru aplicațiile naturale f: M U, A și obținem 1);
2) 3) presupunem f: M U, A monomorfism Ker f = O, A; Din 2) () F A finită cu Ker f = O, F monomorfism.
Corolar 3.6.1. Dacă modulul M este finit cogenerat, atunci fiecare modul care cogenerează pe M îl cogenerează finit pe M.
3.6.3. Rolul soclului și al radicalului
Propoziția 3.6.3. Rolul soclului și rolul radicalului este acela de a determina generarea finită, respectiv cogenerarea finită.
Teorema 3.6.1. Fie M un R modul stâng. Atunci:
a) M este finit generat M / Rad M este finit generat și epimorfismul natural M M / Rad M este superfluu (Rad M M);
b) M este finit cogenerat Soc M este finit cogenerat și aplicația incluziune O Soc M M este esențială Soc M M.
Demonstrație.„” un submodul al unui modul finit cogenerat este finit cogenerat atunci, dacă M finit cogenerat rezultă Soc M M. Fie K M a.î. (Soc M) K = O. Soc M este egală cu intersecția tuturor submodulelor esențiale L1, L2, …, Ln M a.î. L1 L2 … Ln K = O; (L1 L2 … Ln) M K = O Soc M M.
„” fie Soc M finit cogenerat și esențial în M. Fie A familie de submodule ale lui N cu A = O. Atunci: {A1 A2 … An} = o A1, A2, …, An A a.î. (A1 A2 … An) Soc M = (A1 Soc M) … (An Soc M) = O pentru anumiți A1, A2, …, An A. Soc M M A1 A2 … An = O M finit cogenerat.
Corolar 3.6.2. Fie M un modul nenul.
1) M este finit cogenerat;
2) M = T1 T2 … Tn, cu Ti simple, i = 1, n.
Propoziția 3.6.4. Următoarele afirmații despre un modul semisimplu sunt echivalente:
a) M este finit cogenerat;
b) M = T1 T2 … Tn, cu Ti simple, i = 1, n;
c) M este finit cogenerat.
Demonstrație.a) b) presupunem că are loc a) atunci, dacă M poate fi scufundat într-un produs de module simple, rezultă că M poate fi scufundat într-un produs cu un număr finit de module simple;
b) c) din forma lui M în b) M finit degenart;
c) a) M semisimplu M generat de submodule simple.
Folosind metoda inducției matematice, după n, rezultă M finit cogenerat.
Propoziția 3.6.5. Un modul este finit cogenerat dacă și numai dacă soclul său este esențial și finit generat.
Propoziția 3.6.6. Fie M = M1 M2 … Mn. Atunci M este finit generat (cogenerat) dacă și numai dacă fiecare Mi, i = 1, n este finit generat.
Demonstrație.
Reuniunea mulțimilor de generatori ai lui Mi, i = 1, n este o mulțime de generatori ai lui M. Arătăm că Mi, i = 1, n este finit cogenerat implică faptul că M este finit.
Soc M = Soc M1 … Soc Mn. Deoarece fiecare Mi este finit cogenerat rezultă că fiecare Soc Mi finit generat rezultă că Soc M finit generat. Soc Mi M Soc M M M finit cogenerat.
3.7. Condiții de finitudine în cadrul modulelor
(condiții de lanț)
Modulele pentru care fiecare submodul (modul factor) este finit generat (finit cogenerat) pot fi caracterizate de „condiții de lanț”.
În general nici una din aceste condiții de finitudine nu implică altele decât în câteva situații (condiții) speciale în care ar putea fi echivalente.
Exemplu. Submodulele lui Z sunt finit generate și modulele factor ale lui Zp sunt finit cogenerate.
Definiția 3.7.1. O mulțime S de submodule ale lui M. Spunem că S satisface condiția lanțurilor ascendente (A.C.C.), dacă pentru fiecare lanț L1 L2 … Ln … din S, există n N cu Ln+i = Ln, pentru i = 1, n. În cazul condițiilor lanțurilor descendente (D.C.C.) presupunem incluziunile inverse.
Definiția 3.7.2. Un modul M se numește noetherian dacă laticea S (M) a tuturor submodulelor lui M satisface condiția lanțurilor ascendente (A.C.C.).
Definiția 3.7.3. Un modul M se numește artinian dacă laticea S (M) a tuturor submodulelor lui M satisface condiția lanțurilor descendente (D.C.C.).
Propoziția 3.7.1. Pentru un modul M, următoarele afirmații sunt echivalente:
1) M este artinian;
2) Orice modul factor al lui M este finit generat;
3) Orice mulțime nevidă de submodule ale lui M are un element maximal.
Propoziția 3.7.2. Pentru un modul M de asemenea sunt echivalente următoarele afirmații:
1) M este noetherian;
2) Orice modul factor al lui M este finit cogenerat;
3) Orice mulțime nevidă de submodule ale lui M are un element minimal.
Demonstrație.
1) 3) Fie A submulțime nevidă de submodule ale lui M. Presupunem că A nu ar avea un element rezultă că pentru fiecare L A mulțimea {L’ A | L’ < L} este nevidă; există o funcție L L’ cu L > L’ pentru orice L A.
Fie L A L > L’ > … lanț infinit descrescător de submodule ale lui M – contrazice faptul că M este artinian există element minimal în A.
3) 2) presupunem că are loc afirmația 3) Dacă K M și A colecție de submodule ale lui M cu K = F, pentru F A, F finită.
Fie P = { F, F finită} Atunci din 3) rezultă că P are un element minimal F K = F.
3) 1) Presupunem că are loc afirmația 2) și modulul M are un lanț descrescător de submodule L1 L2 … Ln Ln+1 …
Fie K = n Ln Ln+1 = Ln, i = 1, 2, …
Corolar 3.7.1. Fie M un modul nenul.
a) Dacă M este artinian, atunci M are un submodul simplu, de fapt Soc M este submodul esențial;
b) Dacă M este noetherian, atunci M are un submodul maximal, de fapt Rad M este un submodul superfluu.
Propoziția 3.7.3. Fie O K M N O un șir exact de R module stângi. Atunci M este artinian (noetherian) dacă și numai dacă atât N cât și K sunt artiniene (noetheriene).
Demonstrație.„” Fie M artinian, atunci K este izomorf cu un submodul al lui M (K Im f) K este artinian. De asemenea N este izomorf cu un modul factor al lui N (N M / K), așa că N este artinian.
„” presupunem că N și K artiniene; arătăm că M artinian; Presupunem că K M și M / K = N și M / K = N. Fie L1 L2 … Ln Ln+1 … lanț descrescător de module ale lui M. Cum N / K N este artinian există un întreg m a.î. Lm + K = Lm+i, () i = 1, 2, …; Ln Ln+1; Ln = Ln (Ln + K) = Ln (Ln+i + K) = Ln+i (Ln + K) = Ln+i + (Ln+i K) = Ln+i M artinian.
Demonstrația cazului noetherian este duală.
Corolar 3.7.2. Fie M = M1 M2 … Mn. Atunci M este artinian (noetherian) dacă și numai dacă fiecare Mi este artinian (noetherian).
Una din cele mai semnificative proprietăți ale modulelor artiniene și noetheriene este aceea că fiecare astfel de modul admite descompunere directă finită idecompozabilă.
Modulele care sunt generate nu este necesar să aibă o astfel de descompunere (nu se poate descompune).
Propoziția 3.7.4. Fie M un modul nenul care verifică condiția lanțurilor ascendente sau descendente pe sumanți direcți (adică M este artinian sau noetherian). Atunci M este suma directă M = M1 + M2 + … + Mn, a unei mulțimi finite de submodule idecompozabile.
Demonstrație.Pentru fiecare modul nenul M care nu are o descompunere idecompozabilă finită alegem o descompunere proprie M = N’ M’, N’ = N” M”, …, este un șir de module idecompozabile. Atunci există lanțurile finite N < N’ + M” < … și M > M’ > M” > … de sumanți direcți în M. Cele patru condiții de finitudine sunt echivalente pentru modulele semisimple.
Propoziția 3.7.5. Pentru fiecare modul M următoarele afirmații sunt echivalente:
a) Rad M = O și M artinian;
b) Rad M = O și M finit cogenerat;
c) M semisimple și finit cogenerat;
d) M semisimple și noetherian;
e) M este suma directă a unei mulțimi finite de submodule simple.
Demonstrație.b) c) presupunem că are loc afirmația b) Rad M = O dacă și numai dacă M este cogenerat de clasa modulelor simple și M izomorf cu un submodul al unui produs finit p de module simple. Acest produs este suma directă rezultă p este semisimplu.
e) a) și e) d) presupunem că are loc e) Atunci M este semisimplu și Rad M = O.
Corolar 3.7.3. Pentru un modul semisimplu M, următoarele afirmații sunt echivalente:
a) M este artinian;
b) M este noetherian;
c) M este finit generat;
d) M este finit cogenerat.
3.8. Module cu serii de compoziție
Fie M un modul nenul cu proprietatea că fiecare submodul nenul al lui M are un submodul maximal.
Exemplu. Orice modul nenul noetherian are această proprietate. Un astfel de modul M are un submodul maximal M1 și M2 = O sau la rândul său de un submodul maximal M2. Atunci fiecare astfel de proces duce la un lanț descrescător infinit M > M1 > M2 > … de submodule, fiecare maximal în predecesorul său.
Propoziția 3.8.1. Dacă modulul M este artinian atunci există lanțul infinit M > M1 > M2 > … > Mn = O cu fiecare termen maximal în predecesorul său. Dacă M este un modul nenul cu proprietatea că fiecare modul factor nenul are un submodul simplu, dacă și numai dacă M este artinian, atunci există un lanț ascendent O < L1 < L2 < L … de submodule ale lui M, fiecare maximal în succesorul său.
Propoziția 3.8.2. Dacă modulul M este noetherian, lanțul submodulelor se termină la M, după un număr finit de termeni, pentru un anume n.
3.8.1. Serii de compoziție
Fie M un modul nenul.
Definiția 3.8.1. Un lanț finit de n + 1 submodule ale lui M: M0 > M1 > M2 > … > Mn = O se numește serie de compoziție de lungime n pentru M cu condiția ca Mi-1 / Mi să fie simplu i = 1, n dacă și numai dacă fiecare termen să fie maximal în predecesorul său.
Observație. Dacă un modul este atât artinian cât și noetherian, atunci el are o serie de compoziție. Acestea sunt singurele module cu serii de compoziție.
Propoziția 3.8.3. Fie M un modul nenul și presupunem că există un șir exact O K M N O de morfisme. Atunci M are o serie de compoziție dacă și numai dacă N și K au amândouă serii de compoziție.
Definiția 3.8.2. Fie M un modul arbitrar și L M, indiferent dacă L este termen într-o serie de compoziție a lui M sau nu. Dacă L are un submodul maximal K, atunci modulul simplu L / K se numește factor de compoziție pentru M.
Definiția 3.8.3. Dacă M are o serie de compoziție M = M0 > M1 > M2 > … > Mn = O atunci modulele simple M0 / M1, M1 / M2, M0 / M1, … , Mn-1 / Mn se numește factorii de compoziție ai seriei. Definiția 3.8.4. Dacă modulul M are o serie de compoziție: N = N0 > N1 > N2 > … > Np = O, atunci cele două serii de compoziție sunt echivalente, dacă n = p și există o permutare a lui {0, 1, …, n – 1} a.î. Mi / Mi+1 N(i) / N(i+1). Teorema 3.8.1. (Jordan – Holder) Dacă un modul M are o serie de compoziție, atunci notăm cu C (M) lungimea minimă a unei astfel de serii pentru M. Folosind inducția matematică după C (M). Presupunem că C (M) = n – 1 orice modul cu o serie de compoziție de lungime mai mică are toate seriile de compoziție echivalente.
Fie M = M0 > M1 > M2 > … > Mn = O o serie de compoziție de lungime minimală pentru M și fie M = N0 > N1 > N2 > … > Np = O o a doua serie de compoziție a lui M. Dacă M1 = N1 atunci prin ipoteza de inducție, deoarece C (M) n – 1 cele două serii sunt echivalente. Presupunem că M1 N1. Atunci, deoarece M1 este submodul maximal în M avem: M1 + N1 = M
1) M / M1 = (M1 + N1) / N1 N1 / (M1 N1) și
2) M / N1 = (M1 + N1) / N1 N1 / (M1 N1)
Astfel M1 N1 este maximal atât în M1 cât și în N1. Conform propoziției 2.8.3. M1 N1 are o serie de compoziție: (O M1 N1 M1 M1 / (M1 N1) O)
M1 N1 = L0 > L1 > L2 > … > LK = O
Atunci M0 > L0 > L1 > L2 > … > LK = O și N0 > L0 > L1 > L2 > … > LK = O sunt două serii de compoziție pentru M1 și N1. Deoarece C (Mi) < n oricare două serii de compoziție pentru M1 și N1 sunt echivalente, motiv pentru care cele două serii M = M0 > M1 > M2 > … > Mn = O și M = M0 > M1 > L0 > … > LK = O sunt echivalente. În particular, K < n – 1, așa că C (M1) < n. Dar din ipoteza de inducție, fiecare două serii de compoziție sunt echivalente. Astfel seriile M = M0 > M1 > M2 > … > Mn = O și
M = M0 > M1 > L0 > … > LK = O sunt echivalente.
Dar M / M1 N1 / L0 și M / N1 M1 / L0.
3.8.2. Lungimea compoziției
Lungimea compoziției este o consecință imediată a teoremei lui Jordan Holder și abordează problema pentru orice modul care are o serie de compoziție, toate seriile de compoziție pentru aceasta au aceeași lungime.
Definiția 3.8.4. Un modul M care este atât artinian cât și noetherian se numește de lungime finită. Pentru un astfel de modul M, definim lungimea compoziției prin:
C (M) = O, pentru M = O;
N, dacă M are o serie de compoziție de lungime n
Dacă un modul M nu este de lungime finită spunem că el este de lungime infinită. Notăm C (M) = .
Exemplu. Un spațiu vectorial finit dimensional are o lungime a compoziției și această lungime este chiar dimensiunea spațiului. Într-adevăr funcția C acționează pe module de lungime finită, asemănător, cum funcția dimensiune acționează pe spațiile vectoriale finit dimensionale.
Fie K, M, N trei R module și O K M N O un șir exact. Presupunem că: K = K0 > K1 > … > Kn = O și N = N0 > N1 > … > Np = O sunt serii de compoziții pentru K, respectiv pentru N. Pentru fiecare i = 0, 1, 2, …, n fie K’i = f(K’i) și pentru fiecare j = 0, 1, 2, …, p fie K’j = g-1(Nj). Avem că seria M = N’0 > N’1 > … > N’p = K’0 > K’1 > … > K’n = O este o serie de compoziție pentru M. Astfel în baza unicității unei astfel de serii, avem:
Corolar 3.8.1. Fie K, M, N trei R module și presupunem că există un șir exact O K M N O morfisme. Atunci C (M) = C (N) + C (K).
Demonstrație.
(K + N) / N K / (K N). Aplicăm corolarul 2.8.2. pentru șirurile exacte O N N + K (K + N) N O și O K N K / (K N) O pentru a găsi relația căutată.
3.8.3. Lema Fitting
Un endomorfism f al unui spațiu vectorial finit dimensional induce o descompunere directă a spațiului în două subspații. Acest fapt are o generalizare de importanță fundamentală în studiul modulelor de lungime finită.
Lema 3.8.1. Fie M un modul și fie f un endomorfism al lui M.
a) dacă M este artinian, atunci Im fn + Ker fn = M pentru un anumit n, de unde f este automorfism dacă și numai dacă f este monomorfism;
b) dacă M este noetherian, atunci Im fn Ker fn = O pentru un anumit n, de unde f este automorfism dacă și numai dacă f este epimorfism.
Demonstrație. Pentru a) observăm că Im f Im f2 … Presupunem că M este artinian. Atunci, acest lanț ascendent este finit () n, a.î. Im Im f2n = Im fn. Fie x M fn(x) Im f2n(y) pentru un anumit y M. Avem x = fn(y) + (x – fn(y)) Im fn + Ker fn. Dacă f monomorfism Ker fn = O Im fn = M Im f = M f automorfism.
Propoziția 3.8.5. (lema Fitting) Dacă M este un submodul de lungime finită n și f este un endomorfism al lui M, atunci M = Im fn Ker fn.
Demonstrație.Conform propoziției 3.8.3. M este atât artinian cât și noetherian, așa că există m N astfel încât M = Im fn Ker fn.
Corolar 3.8.3. Fie M un modul idecompozabil de lungime finită. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
1) f este monomorfism;
2) f este epimorfism;
3) f este automorfism.
CAPITOLUL IV – teoreme clasice de structura a inelelor
Asa cum am vazut in ultimul capitol modulele semisimple joaca un rol distinct in teoria moduleleor. Clasic, cea mai importanta clasa de inele consta din acele inele R a caror catecorie are un generator semisimplu. O proprietate caracteristica a unui astfel de inel R, numit inel semisimplu, este ca fiecare R-modul stang este semisimplu. Vom demonstra caracteristica fundamentala Wedderburn-Artin a acestor inele ca sume directe de inele de matrici peste inele cu diviziune. In particular, un inel semisimplu este o suma directa de inele fiecare avand un modul stang simplu fidel. Demonstram generalizarea importanta a lui Jacobson a cazului semisimplu, caracterizand inelele stang primitive ca inele dense de transformari liniare.
Fie R un inel, atunci radicalul modulului regulat este un ideal, radicalul inelului R. Acest ideal, un obiect de importanta considerabila, este caracterizat ca unicul cel mai mic ideal al lui R in raport cu care R poate fi reprezentat potrivit ca un subinel al unui produs de inele stang primitive.
4.1.INELE SEMISIMPLE
Asa cum am observat ceva mai devreme, buna comportare a spatiilor vectoriale, este adesea o consecinta a teoriei sale speciale de descompunere. Mai mult decat atata, spatiile vectoriale sunt sume directe de module simple, adica ele sunt sume directe a copiilor aceluiasi modul simplu. Din punct de vedere al teoriei modulelor aceasta proprietate a inelelor de diviziune D este chiar aceea a categoriei D-modulelor stangi de a avea un generator simplu. Nu sunt restrictii la inelele cu diviziune – intr-adevar orice inel de endomorfisme a unui spatiu vectorial finit dimensional are de asemenea aceasta proprietate. Pornim prin a considera aceasta din punctul de vedere al matricilor.
Exemplu simplu
Fie D un inel cu diviziune si nN. Fie C(D) multimea tuturor n1 matricilor coloana peste D si fie R(D) multimea tuturor 1n matricilor linie peste D. Atunci C(D) este un D-spatiu vectorial drept n-dimensional si R(D) este un D-spatiu vectorial stang
n-dimensional :
C(D) = (D)(n) si R(D)(n)
Mai mult, multiplicarile uzuale de matrici si sunt izomorfisme de inele :
:Mn(D)End(C(D)), (M)(X) = MX
:Mn(D)End (R(D)), (M)(Y) = YM
Astfel C(D) si R(D) sunt Mn(D) module stangi si drepte respectiv. Dar observam ca C(D) este un Mn(D) modul stang simplu si R(D) este un Mn(D) modul drept simplu.
Fie E1,E2,…,En idempotentii diagonali primitivi din Mn(D). Atunci ca un Mn(D)-modul stang : Mn(D) = Mn(D)E1 Mn(D)E2 … Mn(D)En C(D)…. C(D)
si ca Mn(D)- modul drept.
Mn(D) = E1Mn(D) E2Mn(D) … EnMn(D) R(D)…. R(D).
In particular, Mn(D) este generat atat ca modul stang cat si ca modul drept peste el insusi de un modul simplu. Astfel fiecare Mn(D) – modul stang este generat de Mn(D) modulul simplu C(D) si fiecare Mn(D)- modul drept este generat de R(D).
Acest exemplu vazut, destul de inteligent, prezinta intreaga poveste. Asa cum vom vedea, proprietatea de a avea un generator simplu caracterizeaza (pana la un izomorfism) astfel de inele de matrici.
4.2.Inele simple artiniene
Fie R un inel arbitrar, M un R-modul stang nenul si n>0 un numar natural. In cele ce urmeaza vom scrie endomorfismele lui M si ale lui M(n) ca operatori la dreapta, si vom scrie de asemenea injectiile si proiectiile naturale ii : MM(n) si i :M(n) M la dreapta. Acum pentru fiecare = []Mn(End(M)) definim End(M(n)) pe coordonate prin (x. Atunci x = [x1,x2,…,xn][], unde elementele x ale lui M(n) sunt considerate ca matrici linie 1n, x = [x1,x2,…,xn] peste M. Rezulta astfel din calculul efectuat ca inmultirea ordinara a matricilor M(n) este un bimodul M(n)prin intermediul morfismului.Aici
: M(End(M))End(M(n)) este un izomorfism de inele.
Propozitie.4.2.1. Fie M un R-modul stang nenul si n>0 un numar natural. Atunci
: M(End(M))End(M(n)) este un izomorfism de inele.
Demonstratie. Daca Ker, atunci pentru fiecare i,j = ii = 0, asa ca este injectiva. In final, daca γEnd(M(n)), atunci
(x([ikγ])) si astfel f este un izomorfism.
Lema Schur.4.2.2. Daca T este un modul simplu, atunci End(T) este un inel cu diviziune.
Demonstratie. Fiecare endomorfism nenul TT este un izomorfism.
Dam acum caracterizarea fundamentala Wedderburn a inelelor simple artiniene, exprimata in termeni de generatori simpli.
Teorema Wedderburn.4.2.3. Inelul R are un generator sting simplu R este izomorf cu inelul plin de matrici Mn(D) pentru un anumit inel cu diviziune D si un anumit numar natural n. Mai mult, daca T este un generator stang simplu pentru R, atunci ca inel
RMn(D), unde D = End(T) si n = C(R).
Demonstratie. ()Cu notatiile din exemplu Cn(D) este un Mn(D)- modul stang simplu, care genereaza fiecare Mn(D)-modul stang, asa ca Mn(D) are un generator stang simplu.
()Pentru restul teoremei va fi suficient sa demonstram afirmatia finala. Presupunem astfel ca T este un generator simplu pentru R. DeoarecaR este finit generat si deoarece T genereaza pe R, exista un intreg m si un epimorfism T(m) R0. Astfel R T(n) pentru un anumit numar natural n. Rezulta ca R are o serie de compozitie de lungime n, asa ca C(R) = n. Acum, ca inele R End(R) End(T(n)) Mn(End(T)). In final, din lema Schur, End(T) = D este inel cu diviziune.
Observam ca acesta teorema implica ca daca R are un generator simplu T, atunci T este un spatiu vectorial finit dimensional peste inelul cu diviziune D = End(T) si REnd(T).
Exista o alta caracterizare importanta a inelelor avand generatori la stanga simpli. De interes particular este faptul ca ele sunt cu siguranta inelele simple stangi artiniene si ca ele sunt de asemenea, simetric, inelele avand generatori la dreapta simpli.
Propozitie.4.2.4. Pentru un inel R urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
(a) R are un generator stang simplu ;
(a’)R are un generator drept simplu;
(b) R este simplu si artinian la stanga;
(b’)R este simplu si artinian la dreapta ;
(c) Pentru un anumit T simplu RT(n), pentru un anumit n numar natural ;
(c’) Pentru un anumit T simplu RT(n), pentru un anumit n numar natural ;
(d) R este simplu si R este semisimplu ;
(d’) R este simplu si R este semisimplu.
Demonstratie. (a)(c) este clara.
(a)(d) Presupunem ca R are un generator T stang simplu.
Fie I un ideal propriu a lui R. Atunci I este continut intr-un ideal stang maximal L al lui R si avem R/LT. Dar evidentT este fidel. Asa ca deoarece IRL avem
I lR(R/L)=lR(T)=0 deci R este simplu. Deoarece (a)(c) R este semisimplu.
(d)(b) Daca R este o suma directa de simple, trebuie sa fie o suma directa finita de simple, asa ca R este artinian (fiecare simplu este atrinian).
(b)(a) Daca R este artinian la stanga, atunci R are un ideal T stang nenul minimal. Acum trasa Tr(T) a lui T in R este un ideal al lui R, asa ca daca R este simplu, atunci Tr(T) = R. Adica R este generat de T.
(a)(a’) Deoarece Mn(D) are un generator stang simplu si un generator drept simplu, rezulta ca echivalentele (a’) (b’) (c’) (d’) sunt acum clare.
In particular, din aceasta propozitie am vazut ca pentru inele simple, conditiile sting artiniene, drept artiniene si artiniene sunt echivalente. Un inel satisfacand conditiile echivalente din propozitie(un inel care este izomorf cu un inel de nn matrici peste un inel cu diviziune) este de regula prescurtat ca un inel artinian simplu.
4.3.1.Teorema Wedderburn – Artin
Un inel R se numeste semisimplu daca modulul stang regulat R este semisimplu. Din propozitia anterioara avem ca fiecare inel artinian simplu este semisimplu. De asemenea, rezulta ca orice inel suma directa de inele semisimple este de asemenea semisimplu. Astfel, avem una din implicatiile urmatorului rezultat – una dintre cele mai importante teoreme din intreaga algbra.
Teorema.4.3.1.(Wedderburn Artin) : Un inel R este semisimplu el este o suma directa (de inele) a unui numar finit de inele simple artiniene.
Pentru a demonstra implicatia ramasa a teoremei Wedderburb Artin vom face urmatoarea analiza pentru :
4.3.2.Structura inelului semisimplu (Wedderburn – Artin)
Fie R un inel semisimplu. Atunci R contine o multime finita T1,T2,T3,…,Tm de ideale stangi minimale care cuprinde o multime ireductibila de reprezentanti ai R –modulelor stangi simple. Mai mult pentru fiecare astfel de multime componentele omogene : Tr(Ti) = RTiR, i = , sunt inele simple artiniene si R este o suma directa de inel
R = RT1R …RTR
In final, Ti este un generator simplu pentru RTiR si RTiRM(Di) unde ni = C(RTiR) si Di = End(Ti), i = .
Demonstratie. Din propozitiile prezentate anterior observam ca fiecare R – modul stang simplu este izomorf cu un ideal stang minimal al lui R. In particular, pentru fiecare T simplu, trasa Tr(T) 0. R este o suma directa a acestor trase, asa ca exista o multime finita T1,T2,T3,…,Tn de ideale stangi minimale in R care este o multime ireductibila de reprezentanti ai R – modulelor stangi simple. Stim ca fiecare din trasele Tr(Ti) este un ideal bilateral in R si deci :
R = Tr(T1) …. Tr(Tm).
Astfel fiecare Tr(Ti) este un inel si suma de mai sus este o suma directa de inel
R = Tr(T1) …. Tr(Tm)
Desigur, TiTr(Ti) si astfel rezulta ca Ti este un ideal stang simplu al inelului Tr(Ti).
Deoarece Ti genereaza Tr(Ti) ca un R-modul, el il genereaza ca un Tr(Ti)-modul.Astfel din 4.2.4. Tr(Ti) este un inel simplu, deci un ideal bilateral minimal al lui R, asa ca Tr(Ti) = RTiR. Restul demonstratiei iese imediat din teorema Wedderburn.
Corolar.4.3.3. Un inel R este semisimplu R este semisimplu.
Demonstratie. Este clara din 4.2.4. si 4.3.1.
Deducem acum usor urmatoarea caracterizare importanta a inelelor semisimple :
Propozitie.4.3.4. Pentru un inel R urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
(a) R este semisimplu ;
(b) R are un generator stang semisimplu ;
(c) Fiecare sir exact scurt 0KMN0 de R – module stangi este scindat. Mai mult , aceste afirmatii sunt echivalente daca termenul stang este inlocuit cu drept.
Demonstratie.Din ultimul corolar este evident – suficient sa demonstram echivalenta versiunilor stangi ale conditiilor
(a)(b) Se stie ca R este un generator stang.
(b)(d) Fiecare modul este o imagine epimorfica a unei sume directe de copii ale oricarui generatorca M este semisimplu ca modul factor al inui semisimplu.
Acest rezultat implica imediat urmatoarea caracterizare a categoriei M pentru care R eate un inel semisimplu.
Corolar.4.3.5. Pentru un inel R urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
(a) R este semisimplu ;
(b) Fiecare monomorfism in M este scindat ;
(c) Fiecare epimorfism in M este scindat.
Proprietati
1) Fir R cu un generator simplu T sa fie D =End(T).
a) Pentru M este simplu, atunci MT.
b) pentru un anumit n, RT(n) si RMn(D) ;
Avem dim(Tn) = n si : RBiEnd(T) este izomorfism ;
c) Avem CenRCen(End(T)).
2) Fie V un D spatiu vectorial drept n-dimensional peste inelul cu diviziunea D. Fie v1,v2,…,vn o baza a lui V. Punem R = End(VD).
a) V este un generator simpu pentru M.
b) Pentru fiecare 1i,jn fie lijR cu lij(vk) = vj , j = . Atunci lii = li este un idempotent in R si RV
c) R = Re1Re2….Ren ;
d) R = e1Re2R…enR, de unde eiR este un generator simplu pentru R.
3) Fie D un inel cu diviziune, nN, 1kn si notam :
C(k) = {[]Mn(D) : = }
R(k) = {[]Mn(D) : = }
a) C(k) este in ideal stang simplu in Mn(D) si R(k) este un ideal drept simplu in Mn(D) ;
b) Ca Mn(D) modul stang C(k)Cn(D) si Ca Mn(D) modul drept R(k)Rn(D) ;
c) Modulul regulat stang (drept) peste Mn(D) este suma directa a lui C(1),C(2),…,C(n),(respectiv R(1),R(2),…,R(n)).
4) Fie R un inel semisimplu si fie I un ideal propriu al lui R.
a) Atunci R/I este de asemenea inel semisimplu ;
b) Subinelele unui inel semisimplu nu sunt neaparat semisimple.
5) Fie φ :RS un morfism surjectiv de inele. Atunci S este un inel semisimplu S este semisimplu.
6) Fie (R) o clasa indexata de inele. Produsul este semisimplu A este finita si fiecare Reste semisimplu.
7) a) Daca R este izomorf cu un produs subdirect al unei multimi finite (Rk)k= de inele simple, atunci R este o suma directa de inel de inele simple.
b) Daca R este izomorf cu un produs subdirect al unei multimi finite de inele semisimple, atunci R este semisimplu.
8) a) Fie I un ideal stang minimal al unui inel R. I este un sumand direct al lui R I2.
b) Pentru un inel artinian stang R urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
) R este semisimplu ;
) R nu contine ideale stangi nilpotente (nil) nenule ;
) R nu contine ideale stangi nenule cu patratul nul ;
) Pentru toti xR, xRx = 0 x = 0.
9) a) Reciproca lemei Schur este falsa : exista un modul nesimplu a carui inel de endomorfisme este un inel cu diviziune (inelul mediilor triunghiulare sus).
b) Fie R un inel ce nu are ideale stangi nilpotente nenule. Daca I este un ideal stang in R astfel incat End(I) este un inel cu diviziune, atunci I este simplu. 10) Un inel R este cosemisimplu stang (sau V inel stang) daca M are un cogenerator semisimplu.
Urmatoarele afirmatii sunt adevarate :
R este cosemisimplu stang ;
Rad(M) = 0, pentru toate R – modulele stangi M ;
Fiecare R – modul stang este cosemisimplu ;
M are un cogenerator cosemisimplu .
Orice inel semisimplu este cosemisimplu;
Daca M are un cogenerator simplu, atunci R este inel simplu ;
Pentru un inel R sunt echivalente :
R este simplu artinian ;
Orice R – modul stang nenul este un generator ;
Orice R – modul stang nenul este un cogenerator.
11) Fie G un grup finit de ordin n, sa fie K un corp a carei caracteristica nu divide n. Astfel n = n∙1 este inversabil in K. Avem :
Teorema Maschke.4.3.6. Daca G este un grup de ordin n si daca K este un corp a carei caracteristica nu divide pe n, atunci inelul grupal KG este semisimplu.
12) Fie R o algebra finit dimensionala peste un corp algebric inchis. Daca R este inel simplu, atunci RMn(K).
13) a) Utilizand faptul ca fiecare inel cu diviziune finit este corp avem :
Teorema.4.3.7. Fie R un inel simplu cu m elemente si fie k centrul sau. Atunci k= GF(pn) pentru un anumit numar prim p si un anumit n ; m = (pn)k pentru un anumit k si
RMn(GF(pn)).
b) Exista o bijectie naturala intre inelele semisimple finite (pana la un izomorfism) si multimea tuturor sumelor finite(p1,n1,k1),…,(pe,ne,ke) de tripleti de numere naturale cu p1,p2,…,pe numere prime.
4.4.TEOREMA DE DENSITATE
Reamintim ca daca T este R-modul stang fidel, atunci aplicatia naturala :RBiEnd(T), (r)(x) = rx, este morfism de inele injective. O consecinta a ultimei sectiuni este ca daca R are un generator simplu T, atunci T este fidel, aplicatia este un izomorfism si BiEnd(T) este inelul endomorfismelor spatiilor vectoriale finit dimensional T peste un inel cu diviziune D = End(T). Mai general, consideram acele inele R ce au un modul T simplu fidel. Pentru un astfel de inel, BiEnd(T) este un inel de endomorfisme ale unui spatiu vectorial (posibil infinit dimensional). Astfel teorema clasica de densitate Jacobson Chevalley arata ca imaginea canonica a lui R in BiEnd(T) este un subinel dens. Primul pas in demonstrarea acestui fapt este o lema privind inelele de biendomorfisme.
4.4.1.Inelele de biendomorfisme ale sumelor directe
Presupunem ca modulul M are un sumand direct M’. Atunci M’ este stabil sub BiEnd(M). Intr-adevar, daca M = M’M’’ si daca eEnd(M) este un idempotent pentru M’ in acesta descompunere, atunci pentru fiecare bBiEnd(M)
b(M’) = b(Me) = (bM)eM’
De asemenea fiecare endomorfism al lui M’ se extinde la unul al lui M, astfel restrictia lui M’ a unui biendomorfism al lui M este un biendomorfism al lui M’ si aplicatia restrictie BiEnd(M)BiEnd(M’) este un morfism de inele.
Lema.4.4.1. Fie R – modul stang, M o suma directa M = M’ M’’ a submodulelor M’ si M’’. Atunci aplicatia restrictie Res este un morfism de inele ce face diagrama
R
BiEnd(M) BiEnd(M’)
comutativa. Mai mult,
(1) Daca M’ genereaza sau cogenereaza M’’, atunci Res este injectiva.
(2) Daca M’ genereaza si cogenereaza M’’, atunci Res este un izomorfism.
Demonstratie. Prima afirmatie este o consecinta imediata a observatiilor precedente. Pentru celelalte fie S = End(M) si fie eS idempotentul lui M’ in descompunerea directa M = M’M’’. Exista un izomorfism de inele :eSeEnd(M’), unde pentru fiecare sS si fiecare xM’, (ese) :xxese. Astfel, rezulta ca M’ este un eSe-modul drept si BiEnd(M’) = End(M’).
(1) Fie acum bBiEnd(M) si presupunem ca (b/M’) = 0. Daca M’ genereaza M’’, atunci evident el genereaza M, de unde M’S = Tr(M’) = M, asa ca
b(M) = b(M’S) = (bM’)S =0.
Pe de alta parte presupunem ca M’ cogenereaza M’’. Atunci M’ cogenereaza M de unde l(Se) = Rej(M’) = 0. Dar (bM)Se = b(MSe)bM’ = 0 asa ca bM = 0. In ambele cazuri b = 0 si (1) este demonstrat.
Acum pentru partea (2) presupunem ca M’ genereaza si cogenereaza pe M’’, atunci trebuie sa aratam doar ca Res : BiEnd(M)BiEnd(M’) este surjectiva. Fie aBiEnd(M’) = End(M’eSe). Afirmama ca exista un S – morfism :M’SM astfel incat pentru toti xM’ si sS sa avem :
Intr-adevar presupunem Atunci pentru fiecare sS
(
Dar cum M’ cogenereaza M, l(s) = 0 astfel incat si afirmatia noastra este demontrata. De asemenea deoarece M’ genereaza M, M’S = M, astfel incat BiEnd(M). In final este clar ca (/M’) = a si astfel (2) este demonstratat.
Fie acum M un R – modul stang nenul, si fie A o multime nevida. Deoarece M este un BiEnd(M) – modul stang, suma directa M nu este numai un R – modul stang dar este de asemenea un BiEnd(M) – modul stang in raport cu multiplicarea scalara pe coordonate. Adica, pentru fiecare bBiEnd(M) si fiecare x = (x),
bx = (bx).
Echivalent, exista un morfism de inele de la BiEnd(M) la inelul de
Z – endomorfisme al lui M, adica :BiEnd(M)End(M) astfel incat
(b)(x) = (bx).
Afirmam ca de fapt aceste Z – endomorfisme (b) ale lui M sunt biendomorfismele lui M. Pentru a vedea aceasta, notam intai, pentru fiecare A, injectia si proiectia pe coordonata a lui M cu i si respectiv ; si sa privim i si ca operatori la dreapta. Este clar ca i si sunt de asemenea injectia si proiectia pe coordonata a lui M privit ca un BiEnd(M)-modul. Fie A, atunci i: MMi este un R – izomorfism asa ca exista un izomorfism de inel Ø : BiEnd(M)BiEnd(Mi) astfel incat : Ø(b)(mi) = (bm)i= b(mi).
Din lema 4.4.1. Res:BiEnd(M(A))BiEnd(Mi) este un izomorfism. Pentru fiecare bBiEnd(M) fie = Res-1(Ø(b))BiEnd(M(A)).
Atunci (mi) = Ø(b)(mi) = (bm)i. Atunci pentru fiecare A, deoarece End(M(A)) avem (mi) = (mi) = ((mi)) = ((bm)i)=
= b(mi) = (b)(mi).
Astfel deoarece (ImI) genereaza M peste Z, vedem ca (b) = . Astfel
= Res-1Ø este un izomorfism de inele.
:BiEnd(M) BiEnd(M(A)) si am demonstrat astfel :
Propozitie.4.4.2. Fie M un R – modul stang nenul si fie A o multime nevida. Atunci exista un izomorfism de inele :BiEnd(M) BiEnd(M(A)) definit pe coordonate prin = (bx).
Suntem gata sa demonstram :
Teorema de densitate.4.4.3. Fie M un R – modul stang semisimplu. Daca x1,x2,…,xnM si bBiEnd(M) atunci exista un rR astfel incat bxi = rxi, i=.
Demonstratie. Deoarece M este semisimplu , M(n) este de asemenea semisimplu. Astfel , submodulul ciclic R(x1,x2,…,xn) a lui M(n) este un sumand direct al lui M(n) ; asa ca R(x1,x2,…,xn) este de asemenea un BiEnd(M(n)) submodul al lui M(n). Din propozitia anterioara R(x1,x2,…,xn) este un BiEnd(M) – submodul al lui M(n) ; in particular (BiEnd(M)) (x1,x2,…,xn) = R(x1,x2,…,xn).
Astfel pentru bBiEnd(M) exista un rR astfel incat
(bx1,bx2,…,bxn) = b(x1,x2,…,xn) = r(x1,x2,…,xn) = (rx1,rx2,…,rxn).
Exista o justificare topologica pentru numele acestei teoreme. Intr-adevar, consideram produsul cartezian MM. Atunci topologia produs pe MM indusa de topologia discreta pe M se numeste ‘topologia finita’ pe MM. Pentru fMM o baza de vecinatati pentru f in aceasta topologie consta din multimile {gMM : f(x) = g(x) pentru toti x1,x2,…,xn}
cand sirurile (x1,x2,…,xn) parcurg submultimile finite ale lui M. Presupunem acum ca M este un grup abelian si fie R si S subinele ale lui End(M).
In particular R si S mostenesc topologia finita de la MM. Astfel, daca R este subinel al lui S, spunem ca R este dens in S (peste M) daca in topologia finita R este submultime densa a lui S. De sigur aceasta inseamna ca pentru fiecare multime finita, x1,x2,…,xnM si fiecare sS exista un rR astfel incat rxi = sxi, i = .
Presupunem acum ca M este un R – modul stang. Atunci imaginea (R) a lui R prin aplicatia naturala :REnd(MZ) este un subinel al lui BiEnd(M) si teorema de densitate stabileste ca daca M este semisimplu, atunci (R) este dens in BiEnd(M).
Acum ne intoarcem la generalizarea lui Jacobson despre inelele simple artiniene si teorema de structura Wedderburn pentru aceste inele.
Definitie.4.4.1. Un inel R este stang primitiv daca el are un modul stang simplu fidel.
Deoarece un inel artinian simplu are un generator stang simplu, si deoarece un generator este fidel, fiecare inel simplu artinian este stang primitiv. Teorema Wedderburn afirma ca un inel simplu artinian este izomorf cu un inel de endomorfisme al unui spatiu vectorial finit dimensional. Avem urmatoarea generalizare pentru inele primitive.
Teorema de densitate pentru inele primitive.4.4.4. Fie R un inel primitiv la stanga cu modulul simplu fidel T si fie D = End(T). Atunci D este un inel cu diviziune, T este un D – spatiu vectorial si prin multiplicarea la stanga , R este izomorf cu un subinel dens al lui End(T). In particular, pentru fiecare multime finita D – liniar independenta x1,x2,…,xnT si fiecare y1,y2,…,ynT, exista un rR astfel incat rx= y, i = . Demonstrație. Din lema Schur, D este inel cu diviziune, de unde TD este un D – spațiu vectorial. Deoarece T este fidel și simplu, morfismul de inele : R End (T) = BiEnd (T) este injectiv și teorema de densitate stabilește că imaginea este densă în
End (T). Pentru afirmația finală presupunem că x1, x2, …, xn T sunt D – liniar independente și y1, y2, …, yn T. Atunci există o transformare liniară b End (T) astfel încât b(xi) = yi, i =. Aplicăm acum teorema de densitate. Reciproca este de asemenea adevărată și astfel există următoarea caracterizare importantă a inelelor primitive la stânga.
Corolar.4.4.5. Un inel este primitiv la stânga el este izomorf cu un inel dens de transformări liniare ale unui spațiu vectorial. În alte cuvinte, un inel R este primitiv la stânga există un inel cu diviziune D și un bimodul RTD cu RT fidel astfel încât pentru fiecare mulțime finită D-liniar independentă x1, x2, …, xn T și fiecare y1, y2, …, yn T, există un r R astfel încât rxi = yi, i = . Demonstrație. În baza teoremei anterioare este suficient să demonstrăm că dacă D este inel cu diviziune, T satisface condiția finală, atunci R este primitiv la stânga. Dar din ipoteză T este fidel. Mai mult el este simplu. Dacă x T este nenul, atunci este D-liniar independent, așa că din nou din ipoteză Rx = T. Deci R este primitiv la stânga. Observații 1) Pretindem că ultima teoremă este o generalizare a teoremei Wedderburn pentru inele simple artiniene. Observăm că un inel R simplu artinian este primitiv la stânga, așa că din ultima teoremă este izomorf cu un subinel dens al lui End (M) pentru un anumit D spațiu vectorial M. Utilizând faptul că R este artinian la stânga, este ușor de văzut că M este finit dimensional. Apoi folosind densitatea avem altă demonstrație a faptului că R este izomorf cu End (M). 2) Fiecare inel simplu este primitiv. Reciproca nu funcționează adesea. De exemplu, din ultimul corolar End (M) este primitiv pentru fiecare spațiu vectorial M, dar dacă M nu este finit dimensional, atunci End (M) nu este simplu. Pe de altă parte există inele simple care nu sunt artiniene. 3) O trăsătură notabilă a teoremelor de structură pentru inele simple artiniene a fost simetria stâng-drept a acestor teoreme. Această simetrie nu se extinde la inele primitive. Printr-un inel primitiv la dreapta înțelegem un inel având un modul drept simplu fidel. Atunci poate fi văzut că inelele primitive la stânga nu trebuie să fie primitive la dreapta. În această situație vom înțelege prin inel primitiv un inel primitiv la stânga.
4.4.2.Reprezentarea matriceală
Dacă D este un inel cu diviziune și M este un D-spațiu vectorial drept, atunci M este liber așa că inelul End (M) de endomorfisme ale lui M este izomorf cu un inel de matrici coloană finite peste D. Adică dacă (x) este o bază pentru M, atunci aplicația a [a] de la End (M) la inelul CFM (D) al – matricilor coloană finită peste D definită prin:
a(x) = este un izomorfism. Datorită ajutorului pe care această reprezentare matriceală îl poate da, în particular în studiul exemplelor, i se acordă mai multă atenție aici. Chiar ca în algebra liniară elementară, spațiul vectorial M poate fi privit ca mulțimea tuturor vectorilor 1 coloană finită peste D. Mai mult, M are atunci o bază (e) unde vectorul coloană e este 1 pe linia și 0 în rest. Atunci cu izomorfismul a [a] de la End (M) pe CFM (D) determinat de această bază, avem a(e) = [a]e pentru fiecare aEnd (M) și . Cu alte cuvinte, putem privi pe M ca vectori – coloană, End (M) ca un inel CFM(D) al matricilor coloană finită peste D, și acțiunea lui End(M) ca fiind dată de înmulțirea matricilor. Este ușor de verificat că un subinel R al lui End (M) este dens (peste M) pentru fiecare mulțime finită 1,2, …,n mulțimea finită y1, y2, …, ynM există un aR cu a(ei) = yi, i = . Aceasta înseamnă că condiția de densitate este necesar să fie testată numai pe submulțimile finite ale unei baze date. Pentru inelele de matrici aceasta implică că dacă D este un inel cu diviziune, dacă este o mulțime nevidă și dacă R este un subinel al lui CFM (D) astfel încât pentru fiecare mulțime finită restrictia lui R la este CFM (D) atunci R este primitiv. Desigur reciproca este adevărată în sensul că fiecare inel primitiv este izomorf cu un astfel de subinel al lui CFM (D). În particular, dacă D este inel cu diviziune și dacă R este un subinel al lui CFMN (D), atunci R este dens cu CFMN (D) (și deci este primitiv) pentru fiecare n N și fiecare UMn(D), există o matrice în R de forma
Proprietăți 1) a) Orice inel simplu este primitiv la stânga și la dreapta;
b)Orice inel primitiv comutativ este corp. 2) Fie Q un corp. Pentru fiecare nN, fiecare AMN(Q) și fiecare sQ, fie [A,s]MN(Q) matricea
[A,s] = Fie S un subinel al lui Q și R = {[A, s] | sS, AMn(Q), n N}. a) R este subinel primitiv al lui CFMN (Q) cu Cen R S. Fiecare astfel de subinel al unui corp este centrul unui inel primitiv. b) Dacă S nu este corp, atunci R are un inel factor neprimitiv. 3) Fie D un inel cu diviziune și fie M un D – spațiu vectorial drept cu baza (x)A. Fie R un subinel al lui End (M). Atunci R este dens în End (M) pentru fiecare submulțime finită F A și fiecare mulțime (m) de elemente din M, exista un rR cu r(x) = m, pentru toți F. 4) Fie D un inel cu diviziune, fie M un D – spațiu vectorial drept și fie R un subinel dens al lui End (M). Dacă x1,x2,x3, … sunt D – liniar independenți în M, atunci
lR(x1) > lR(x1x2) > lR(x1x2x3) > … 5) Fie M un spațiu vectorial infinit dimensional peste un inel cu diviziune D și fie R un subinel al lui End (M). Dacă R este dens în End (M) atunci pentru fiecare nN există un subinel Sn al lui R și un morfism de inele surjectiv n: Sn Mn(D). 6) Fie n > 1 și fie R un inel primitiv astfel încât xn = x pentru fiecare x R R este inel cu diviziune. 7) Dacă R este primitiv și eR este un idempotent nenul, atunci eRe este primitiv. b) Fie R un inel și fie n > 1. Atunci R este primitiv la stânga Mn(R) este primitiv la stânga. 8) Fie M și N R – module stângi. Atunci: a) Dacă M este balansat și generează sau cogenerează pe R atunci M N este balansat ; b) Dacă M generează și cogenerează N și N generează și cogenerează M, atunci
BiEnd(M) BiEnd(N) și Cen(End(M)) Cen(End(N)). 9) Fie M un R – modul stâng și fie morfismul canonic de inele definit pe
R BiEnd(M)
a) Sunt echivalente: () (R) este dens în BiEnd(M); () Pentru fiecare n > 0, fiecare R submodul al lui M(n) este un BiEnd(M) submodul al lui M(n); () Pentru fiecare n > 0, fiecare R submodul al lui M(n) este un BiEnd(M(n)) submodul al lui M(n). b) Dacă M este un cogenerator, atunci (R) este dens în BiEnd(M). 10) Un inel P este prim dacă fiecare ideal stâng nenul este fidel. Atunci: a) Un inel comutativ este prim este domeniu de integritate; b) Pentru un inel R sunt echivalente: () R este prim; () Fiecare ideal drept nenul este fidel (la dreapta); () Pentru fiecare pereche I1, I2 de ideale nenule, I1, I2 0; () Pentru fiecare x,yR, xRy = 0 implică x = 0 sau y = 0. c) Orice inel primitiv este prim; d) Orice inel prim artinian stâng este simplu. 11) a) Fie R un inel prim. Dacă SocR 0, atunci R este primitiv, SocR este omogen și SocR R; b) Dacă R este prim și SocR este nenul și de lungime finită, atunci R este simplu artinian;
c) Dacă R este prim și SocR este un ideal stâng simplu, atunci R este inel cu diviziune; d) Există inele primitive R cu SocR = 0. 12) a) Dacă R este inel prim și eR este un idempotent nenul, atunci eRe este un inel prim; b) Fie R un inel și n > 1. R este prim Mn(R) este prim. 13) Fie V un spațiu vectorial infinit dimensional peste un inel cu diviziune D. Pentru fiecare fEnd (VD) definim rangul lui f prin rank f = dim(Imf). a) Fie c un cardinal infinit. Atunci Ic = {f End(VD) | rank f < c} este un ideal al lui End(VD); b) Fie I un ideal al lui End(VD) și fie fI. Atunci {gEnd(VD) | rank g rank f} este conținută în I; c) I este unicul ideal minimal al lui End(VD) și IdimV este unicul ideal maximal al lui End(VD); d) Se poate arăta că familia numerelor cardinale care sunt mai mici sau egale cu un cardinal determinat este bine ordonată de relatia . Folosind acest fapt avem: I 0 este un ideal propriu al lui End (VD) I = Ic pentru un anumit cardinal c astfel încât c dim V. În concluzie laticea idealelor lui End (VD) este bine ordonată.
4.5.Radicalul unui inel. Inele locale și inele artiniene
Fie R un inel. Atunci End (R) este evident inelul multiplicărilor la dreapta cu elemente din R. Astfel, radicalul Rad (R) al lui R este un ideal (bilateral) al lui R. Acest ideal al lui R se numește radicalul (Jacobson) al lui R, și este notat de regula J(R) = Rad (R). O consecință a primei teoreme din această secțiune este că acest radical este de asemenea Rad (R), astfel nu se poate produce nici o ambiguitate stânga-dreapta.
4.5.1.Ideale primitive
Primul scop al acestei secțiuni este să obținem câteva caracterizări ale radicalului J(R) al unui inel. Una dintre cele mai importante dintre acestea este aceea că J(R) este cel mai mic ideal în raport cu care este „rezidual primitiv”. Spunem că un ideal P al lui R este un ideal primitiv (stâng) dacă R/P este un inel primitiv (stâng). Deoarece fiecare inel simplu este primitiv, fiecare ideal maximal este primitiv atât la stânga cât și la dreapta. Astfel, deși un ideal primitiv la stânga al lui R este un ideal bilateral, nu este necesar să fie primitiv la dreapta. Desigur, idealele primitive ale lui R sunt simple nuclee ale morfismelor de inel ale lui R pe inele dense de transformări liniare ale spațiilor vectoriale. Altă caracterizare simplă este: Propoziție.4.5.1. Un ideal P al unui inel R este un ideal primitiv există un ideal stâng maximal M al lui R astfel încât P = lR (R/M) = Rej(R/M). Demonstrație. Inelul factor R/P este primitiv R/P are un modul simplu fidel P este anulatorul unui R-modul stâng simplu.
4.5.2.Caracterizări ale radicalului
Deoarece R este finit generat ca R-modul stâng, radicalul său J(R) este unicul, cel mai mare R-submodul superfluu al lui R. De asemenea, deoarece fiecare ideal stâng nilpotent al lui R este superfluu înR, radicalul J(R) conține toate idealele stângi nilpotente. Mai mult, dacă R este artinian la stânga, atunci J(R) este unicul, cel mai mare ideal stâng nilpotent al lui R. În general, J(R) nu este nilpotent, sau chiar nil. Dar există o generalizare folositoare a nilpotenței care duce la o generalizare a caracterizării anterioare a lui J(R) pentru inele artiniene stângi. Un element xR este cvasi-regulat la stânga dacă 1 – x are un invers la stânga în R. Similar, xR este cvasi-regulat la dreapta (cvasi-regulat) dacă 1 – x are un invers (bilateral) la dreapta în R. Desigur, un element din R poate fi cvasi-regulat la stânga dar nu cvasi-regulat la dreapta. O submulțime a lui R este cvasi-regulată la stânga dacă fiecare element al ei este cvasi-regulat la stânga. Aceasta generalizează nilpotența. Dacă xR cu xn = 0, atunci
(1 + x + … + xn)(1 – x) = 1 = (1 – x)(1 + x + … + xn-1) așa că x este cvasi-regulat. Propoziție.4.5.2. Pentru un ideal stâng I al lui R, următoarele afirmații sunt echivalente:
(a) I este cvasi-regulat stâng; (b) I este cvasi-regulat; (c) I este superfluu în R; Demonstrație.(a) (b) presupunem (a) și fie x I. Atunci x este cvasi-regulat la stânga, așa că:
x’(1 – x) = 1
pentru un anumit x’ R.
Astfel deoarece x’x I este cvasi-regulat la stânga și deoarece:
x’ = 1 + x’x = 1 – (-x’x)
există un y R așa încât yx’ = 1.
Dar atunci x’ este inversabil și y = 1 – x. Astfel (1 – x)x’ = 1 și x este cvasi-regulat. (b) (c) presupunem (b) și fie K un ideal stâng al lui R, cu R = I + K. Atunci există xI și k K cu 1 = x + k. Astfel k = 1 – x este inversabil, de unde 1K și K = R. (c) (a) Presupunem (c) și fie x I. Atunci Rx << R.
Dar R = Rx + R(1 – x) de unde R(1 – x) = R, astfel că 1 – x are un invers la stânga. Am ajuns acum la o caracterizare multiplă importantă a lui J(R). O consecință a sa este aceea că există 4 condiții echivalente celor 3 din propozitia 4.5.2., anume că I este cvasi-regulat la dreapta. Teoremă.4.5.3.Se da un inel R si fiecare din urmatoarele submultimi ale lui R este egala cu radicalul J(R) a lui R.
(J1) Intersectia tuturor idealelor stangi (drepte) maximale ale lui R;
(J2) Intersectia tuturor idealelor primitive stangi (drepte) ale lui R.
(J3) {xR/ rxs este cvasi-regulat pentru toti r,sR};
(J4) {xR/ rx este cvasi-regulat pentru toti rR};
(J5) {xR/ xs este cvasi-regulat pentru toti sR};
(J6) Reuniunea tuturor idealelor cvasi-regulate stang (drepte) ale lui R;
(J7) Reuniunea tuturor idealelor cvasi-regulate ale lui R;
(J8) Unicul, cel mai mare ideal stang (drept) superfluu al lui R.
Mai mult (J3), (J4), (J5) si (J7) descriu de asemenea radicalul J(R) daca "cvasi-regulat" este inlocuit cu "cvasi-regulat la stanga" sau cu "cvasi-regulat la dreapta".
Demonstratie. Pentru a marca versiunea dreapta a lui (J1), (J2), (J6) si (J8) vom folosi un asterisc. Astfel J este intersectia tuturor idealelor drepte maximale ale lui R. Din propozitiile anterioare avem ca :
J1 = Rad(R) = {Rej(T) / T este simplu} = J2
De asemenea, deoarece R este finit generat, rezulta ca J1 = J8 si din propozitia 4.5.2.rezulta ca J6 = J8. Desigur avem J = J = J = J. Dar deoarece J2 si J sunt ideale, J6 si J sunt ideale. Astfel este evident ca J6 = J = J7. Acum rezulta imediat ca J6 J3 J4 J6 si J J3 J5 J asa ca avem egalitatile dorite din prima parte a teoremei. De asemenea in versiunea sa cvasi-regulata la stanga J7 J3 J4 J7. Dar din ultima propozitie versiunea stang cvasi-regulata si versiunea drept cvasi-regulata a lui J6 sunt egale asa cum sunt cele doua versiuni ale lui J7. Similar, versiunea drept cvasi-regulata a lui J3, J5, J si J7 sunt egale cu J(R).
Avem acum toate egale cu J(R) exceptie – pentru versiunea stang cvasi-regulata a lui J5
( =Jcu stanga cvasi-regulentate) si versiunea drept cvasi-regulata a lui J4 ( = J6 cu drept cvasi-regulentate). Vom arata ca versiunea drept cvasi-regulate a lui J4 este radicalul si le manuim simetric pe celelalte. Evident, in forma drept cvasi-regulata J3 J4 si dupa cum vom vedea J3 = J, asa ca pentru a desavarsi aceasta a mai ramas numai sa aratam ca fiecare ideal stang, drept cvasi-regulat este continut in J = Rad(R).
Presupunem astfel ca Rx este drept cvasi-regulat si ca x J atunci exista un ideal drept maximal K al lui R cu xK.
Astfel pentru un anumit rR si kK avem :
1 = xr + k
Acum xr este drept cvasi-regulat, asa ca exista uR cu :
(1 – rx) u = 1
Avem : x = x (1 – rx) u = (x – xrx) u = xu – (1 – k) xu = kxuK. Acesta contrazice faptul ca Rx J cum am presupus, si astfel demonstratia este completa.
Corolar.4.5.4. Daca R este un inel, atunci Rad(R) = J(R) = Rad(R).
Corolar.4.5.5. Daca R este un inel, atunci J(R) este anulatorul in R a clasei R-modulelor stangi (drepte) simple.
Un fapt cheie despre radicalul Jacobson J(R) a lui R (sau despre orice radical) este :
Corolar.4.5.6. Daca I este un ideal al unui inel R, si daca J(R/I) = 0, atunci J(R)I.
Demonstratie. Daca xI, exista un ideal stang maximal M al lui R cu IM si xM. astfel incat xJ(R).
Corolar.4.5.7. Pentru un ideal I al unui inel R, urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
I = J(R) ;
I este stang cvasi-regulat si J(R/I) = 0;
I este stang cvasi-regulat si J(R)I;
I este superfluu in R si J(R/I) = 0 ;
I este superfluu in R si J(R)I.
Radicalul unui inel factor al lui R este cel putin la fel de mare ca factorul corespunzator al lui J(R), dar ei pot sa nu fie egali. Intr-adevar, inelul Z are radicalul nul, dar Z4 nu-l are nul.
Corolar.4.5.8. Daca R si S sunt inele si daca Ø : RS este un morfism surjectiv de inele , atunci Ø(J(R))J(S).
Mai mult, daca KerØJ(R), atunci Ø(J(R)) = J(S).
In particular J(R/J(R)) = 0.
Demonstratie. Evident deoarece Ø este surjectiv, Ø(J(R)) este un ideal cvasi-regulat al lui S, astfel Ø(J(R))J(S).
Pe de alta parte presupunem KerØJ(R). Daca M este un ideal stang maximal al lui R, atunci KerØJ(R)M, asa ca Ø(M) este un ideal stang maximal al lui S si J(S)Ø(M).
Dar de asemenea Ø(J(R)) este intersectia tuturor Ø(M) cu M ideal stang maximal al lui R. Astfel J(S)Ø(J(R)).
Corolar.4.5.9. Daca R este o suma directa de inele a idealelor R1, R2,…, Rn atunci :
J(R) = J(R1) + J(R2) +…+ J(Rn).
Demonstratie. Fie 1 = u + u+ … + u, unde u, u, …, usunt idempotenti centrali ortogonali pe perechi. Atunci este usor de vazut ca I este un ideal cvasi-regulat in R
I = I1 + I2 + … + In unde, pentru fiecare k = , Ik este un ideal cvasi-regulat in inelul uRu = Rk.
Asa cum deja s-a observat, J(R) contine fiecare ideal stang nilpotent al lui R. Reamintim ca un ideal (stang, drept sau bilateral) este nil daca fiecare din elementele sale este nilpotent. Astfel, mai general este:
Corolar.4.5.10. Daca R este un inel, atunci fiecare ideal nil stang, drept sau bilateral al lui R este stang cvasi-regulat, de unde fiecare ideal nil stang, drept sau bilateral al lui R este continut in J(R).
Demonstratie. Fiecare element nilpotent xR este stang cvasi-regulat, deoarece daca
xn = 0 (1 + x + … + xn)(1 – x) = 1.
Corolar.4.5.11. Daca R este un inel, atunci J(R) nu contine idempotenti nenuli.
Demonstratie. Daca eR este idempotent si daca eJ(R) atunci Re este un sumand direct superfluu al lui R. Astfe, e = 0.
Corolar.4.5.12. Fie I un ideal al inelului R. Daca I este nil si daca J(R/I) = 0, atunci I = J(R). Pe de alta parte, daca IJ(R) si daca fiecare ideal stang nenul al lui R/I contine un idempotent nenul, atunci I = J(R).
Demonstrație. Afirmațiile din acest corolar se ferifică cu ajutorul corolarelor anterioare.
Reamintim că dacă M este nenul și finit generat, atunci RadM M. Utilizând acest fapt avem urmatoarea caracterizare folositoare a lui J(R).
Corolar(LEMA NAKAYAMA).4.5.13. Pentru un ideal I al unui inel R sunt echivalente următoarele :
I J(R) ;
Pentru fiecare R-modul stâng finit generat M, dacă IM = M, atunci M = 0.
Pentru fiecare R-modul stâng finit generat M, IM este superfluu in M.
Demonstrație.(a)(b) presupunem că M 0 este finit generat. Atunci M are un submodul maximal K. Din ultima teoremă prezentată rezultă că J(R)M K.
(b)(c) Presupunem că NM și IM + N = M. Atunci:
I(M/N) = (IM + N)/N = M/N ;
Astfel, dacă M este finit generat M/N finit generat, și (b) implică M/N = 0
N = M IM << M.
(c)(a) Presupunem (c). Atunci deoarece R este finit generat, IR << R. Astfel
I IR J(R).
4.6.Inele semiprimitive
Un inel R este semiprimitiv dacă J(R) = 0. În particular, un inel primitiv este semiprimitiv. Simetria stânga-dreapta care are loc pentru inele simple artiniene și semisimple, dar care nu funcțioanează pentru inele primitive, reapare pentru cele semiprimitive.
Propoziție.4.6.1. Pentru un inel R sunt echivalente :
R este semiprimitiv ;
R este cogenerat de clasă R-modulelor stângi simple ;
R este cogenerat de clasă R-modulelor drepte simple ;
R are un modul semisimplu fidel.
Observație. Termenul "semisimplu" este adesea folosit pentru inele R cu J(R) = 0. Acesta este confuz deoarece un inel semiprimitiv nu este necesar să fie semisimplu. Adesea, inelele semisimple sunt cu siguranță inelele semiprimitive artiniene.
4.7.Inele locale
Reamintim ca un inel R este local dacă mulțimea elementelor neinversabile ale lui R este închisă la adunare. Folosind radicalul avem următoarea caracterizare a acestei clase importante de inele :
Propozitie.4.7.1. Pentru un inel R următoarele afirmații sunt echivalente :
R este inel local ;
R are un unic ideal stâng maximal ;
J(R) este un ideal stâng maximal;
Mulțimea elementelor din R fără invers la stânga este închisă în raport cu adunarea ;
J(R) = {xR / Rx R} ;
R/J(R) este inel cu diviziune (corp) ;
J(R) = {xR / x nu este inversabil} ;
Daca xR atunci sau x sau 1 – x este inversabil.
Demonstratie. (b)(c) este imediat din definitia lui J(R).
(c) (d) Presupunem (c). Stim ca J(R) este unicul ideal stang maximal al lui R.
Fie x, yR neinversabile la stanga. Atunci, deoarece fiecare ideal stang propriu este continut intr-unul maximal, Rx, Ry J(R) de unde x + y J(R). Astfel x + y nu este inversabil la stanga.
(d)(e) Presupunem (d). Deoarece J(R) este un ideal stang propriu va fi evident suficient sa demonstram ca daca xR cu Rx R, atunci xJ(R). Dar atunci pentru fiecare rR, rx nu are un invers la stanga si 1 = rx + (1 – rx), asa ca din (d), 1 – rx are un invers la stanga. Astfel xJ4 = J(R).
(e)(f) Presupunand (e) rezulta ca fiecare element nenul al lui R/J(R) are un invers la stanga. Astfel R/J(R) este un inel cu diviziune.
(f)(b) Deoarece un inel cu diviziune nu are ideale stangi netriviale, daca R/J(R) este un inel cu diviziune, atunci J(R) este un ideal stang maximal.
(h)(g) Presupunem (h). Fie xR neinversabil , sa zicem ce x nu are invers la stanga. Atunci nici un rx nu este inversabil, asa ca din (h), 1 – rx este inversabil fiecare rx este cvasi-regulat. Astfel xJ(R).
(f)(g) Presupunem (f). Fie xR cu xJ(R). Atunci din ipoteza x este inversabil modulo J(R). Adica
Rx + J(R) = R si xR + J(R) = R
Dar deoarece J(R) = J8 Rx = R si xR = R. Astfel x este inversabil.
Implicatiile (g) (f) si (g)(a)(h) sunt clare.
4.8.Inele semisimple modulo radicalul
Una din cele mai semnificative din aceste caracterizari este ca R este local este un inel cu diviziune modulo radicalul sau. In particular, un inel local este semisimplu modulo radicalul sau. O alta clasa de inele cu aceasta proprietate este clasa inelelor artiniene.
Propozitie.4.8.1. Fie R un inel artinian la stanga. Atunci R este semisimplu J(R) = 0. In particular R/J(R) este semisimplu.
Demonstratie.() R finit generat si R semisimplu J(R) = 0 ;
() J(R) = 0 si R artinian R semisimplu.
In general inelele nu au orice inel factor semisimplu. De exemplu, nici un inel simplu, nesemisimplu nu poate avea un inel factor semisimplu. Desigur, inelele R pentru care R/J(R) este semisimplu sunt de interes deosebit.
Propozitie.4.8.2. Pentru un inel R cu radicalul J(R), urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
R/J(R) este semisimplu ;
R/J(R) este artinian stang ;
Fiecare produs de R-module stangi simple este semisimplu ;
Fiecare produs de R-module stangi semisimple este semisimplu ;
Pentru fiecare R-modul stang M , SocM = r(J(R)).
Pentru orice R-modul stang M, modulul factor M/RadM este cogenerat de R-module stangi simple. Stim ca J(R) anuleaza toate modulele simple, asa ca desigur el anuleaza M/RadM. Cu alte cuvinte J(R)MRadM.
In general, egalitatea nu are loc. Dar daca R este semisimplu modulo radicalul sau, atunci J(R) nu determina numai soclul fiecarui M prin Soc M = r(J(R)), dar de asemenea el determina radicalul lui M.
Corolar.4.8.3. Fie R un inel cu radicalul J = J(R). Atunci pentru fiecare R-modul stang M :JM RadM
Daca R este semisimplu modulo radicalul sau, atunci pentru fiecare R-modul stang
M:JM = RadM si M/JM este semisimplu. Demonstratie. Prima inegalitate a fost stabilita anterior. Presupunem ca R/J este semisimplu. Fie M un R-modul stang. Atunci M/JM este un R/J-modul semisimplu si deci un R-modul semisimplu. Avem Rad(M/JM) = 0 si fiind semisimplu rezulta ca
RadM JM.
4.9.Radicalul inelelor artiniene
Daca R este artinian stang, atunci radicalul sau J(R) este unicul cel mai mic ideal in raport cu care R este semisimplu. Putem caracteriza acum J(R) pentru inelele artiniene ca unicul cel mai mare ideal nilpotent.
Teorema.4.9.1. Daca R este inel artinian stang, atunci radicalul sau J(R) este unicul, cel mai mare ideal stang , drept sau bilateral, nilpotent in R.
Demonstratie. Avand in vedere corolarul prezentat anterior este suficient sa demonstram ca pentru un inel artinian stang R, radicalul sau J = J(R) este nilpotent. Dar deoarece avem JJ2J3… daca R este artinian stang, atunci Jn = Jn+1 pentru un anumit n > 0. Presupunem Jn 0. Atunci colectia de ideale stangi ale lui R care nu sunt anulate de Jn nu este vida. Astfel rezulta ca exista un ideal stang I al lui R minimal in raport cu proprietatea JnI 0. Fie xI cu J 0. Atunci Jx Rx I si Jn(Jx) = Jn+1x = Jnx 0. Astfel din minimalitaea lui I, avem Jx = Rx, ceea ce reprezinta o contradictie.
Acum este usor de demonstrat urmatorul rezultat remarcabil.
Teorema (HOPKINS).4.9.2. Fie R un inel cu J = J(R). Atunci R este artinian stang R este noetherian stang, J este nilpotent si R/J este semisimplu.
Demonstratie. Daca R este artinian stang. Atunci din 4.9.1. J este nilpotent si din 4.8.1. R/J este semisimplu. Astfel putem sa presupunem ca R/J este semisimplu si ca J este nilpotent, sa zicem Jn = 0. Facem inductie dupa n.
Daca n = 1 atunci R = R/J este semisimplu.
Fie n > 1si presupunem rezultatul adevarat pentru fiecare inel cu radicalul de indice de nilpotenta mai mic decat n. Din 4.5.12.,
J(R /Jn-1) = J/Jn-1
(J(R/Jn-1))n-1 = (J/Jn-1)n-1 = 0,
asa ca ipoteza de inductie implica ca R/Jn-1 este artinian stang el este noetherian stang. Acum exista un sir exact scurt de R-module stangi :0Jn-1RR/Jn-10. Asa ca R este artinian stang (noetherian) atat Jn-1 cat si R/Jn-1 sunt la fel. Dar deoarece Jn = J(Jn-1) = 0 si deoarece R/J este semisimplu, Jn-1 este semisimplu. Astfel Jn-1 este artinian el este noetherian.
Corolar.4.9.3. Fie R un inel artinian stang. Daca M este un R-modul stang, atunci
SocM = r(J)M si
RadM = JM << M.
Mai mult, pentru M urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
M este finit generat ;
M este noetherian ;
M are o serie de compozitie ;
M este artinian ;
M/JM este finit generat.
Demonstratie. Fie 0xM. Atunci Rx este un factor al lui R, deci Rx este artinian si SocRx = Rx(SocM) 0 SocMM.
Din 4.8.1. R/J este semisimplu, asa ca din 4.8.2. SocM = r (J).
Din 4.8.1.si 4.8.3. RadM = JM.
Din 4.9.1. J este nilpotent, asa ca JM<<M (din lema Nekayama) ;
(a)(c) Daca M este finit generat, atunci exista un R-epimorfism R(n) M 0. Dar atunci, deoarece R este atat artinian, cat si noertherian asa este si M M are o serie de compozitie.
(c)(b) si (d) deoarece stim ca orice modul de lungime finita este artinian si noetherian.
(b)(a) Se stie ca un modul noetherian este finit generat.
(d)(e) Daca M este artinian , atunci asa este si M /JM. Deci M/JM este finit generat.
(e)(a) Deoarece JM<<M, aceasta rezulta din 4.8.3., adica M/JM finit generat si JM<<M M finit generat. Rezulta din 4.5.10. si 4.9.1. ca daca R este artinian stang atunci fiecare ideal nil de o singura parte a lui R este nilpotent. Acest lucru admite urmatoarea generalizare la inele stangi noetheriene.
Teorema (Levitzki).4.9.4. Daca R este inel noetherian stang, atunci fiecare ideal nil unilateral al lui R este nilpotent.
Demonstratie. Fie R noetherian stang. Atunci din conditia maximala R are un ideal nilpotent maximal, adica N.
Fie S = R/N. Atunci 0 este unicul ideal nilpotent in S. Afirmam ca 0 este unicul ideal drept nil in S. Pentru a constata aceasta, presupunem ca 0IS este nil.
Deoarece S este noetherian stang, multimea {lS(x)/ 0xI} are un element maximal, si anume lS(x).
Fie sS astfel incat xs 0. Acum xsI este nilpotent, sa zicem(xs)k+1 = 0 si (xs)k 0. Evident lS(x)lS((xs)k), asa ca din maximalitate lS(x) = lS((xs)k) xsx = 0(SxS)2 = 0 x = 0 si afirmatia este stabilita. Astfel daca I este un ideal drept nil in R, atunci
(I + N)/N = 0R/N si IN N contine fiecare ideal drept nil al lui R. Dar daca aR si Ra este nil, atunci aR este de asemenea nil (daca (ra)n = 0, atunci (ar)n+1 = 0) asadar se vede ca N contine de asemenea fiecare ideal stang nil al lui R. Deoarece N este nilpotent, aceasta completeaza demonstratia.
Combinanad 4.9.2. si 4.9.4. se obtine :
Corolar.4.9.5. Fie R noetherian stang. Daca R/J(R) este semisimplu si daca J(R) este nil, atunci R este artinian stang.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Teoreme Clasice DE Structura Inelelor (ID: 149296)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.