Teorema Lui Thales

CUPRINS

INTRODUCERE………………………………………………………………………………………………………4

Teorema lui Thales………………………………………………………………………………………7

Cine a fost Thales din Milet?………………………………………………………………………..7

Rapoarte cu lungimi de segmente; segmente proportionale……………………..10

Teoreme paralelelor echidistante………………………………………………………………..12

Teorema lui Thales………………………………………………………………………………………13

Teorema paralelelor neechidistante……………………………………………………………14

Teorema reciproca a teoremei lui Thales……………………………………………………15

Teorema bisectoarei (interioare, exterioare) și teorema reciprocă……………16

Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării. Criterii de asemănare a triunghiurilor………………………………………………………………………….19

Teoreme celebre care deriva din teorema lui Thales și asemanarea triunghiurilor……………………………………………………………………………………………….24

APLICAȚII…………………………………………………………………………………………………….34

OBSERVAȚII PE MARGINEA PREDĂRII NOȚIUNII

DE MULȚIME ȘI FUNCȚIE ÎN ȘCOALĂ………………………………………………………77

CONCLUZII…………………………………………………………………………………………………103

BIBLIOGRAFIE…………………………………………………………………………………………..105

Introducere

Arta de a rezolva probleme geometrice seamănă cu trucurile iluzioniștilor – uneori, chiar știind soluția problemei, nu-i clar cum s-ar putea ajunge la ea.

(I. D. Novikov)

Matematica contribuie esențial la educarea memoriei, atenției, voinței, imaginației, la amplificarea setei de cunoaștere și are un rol important în educația estetică a celor ce o studiază. Ultimele decenii ale secolului al XX-lea dovedește faptul că matematica a devenit în zilele noastre un instrument esențial de lucru pentru totalitatea stiințelor si domeniilor tehnice. Oricare din ramurile științei are nevoie, mai mult sau mai puțin, de matematică. De aceea orice individ al societății trebuie educat să cunoască matematica. Învatarea matematicii exerseaza gândirea, antreneaza capacitatea de organizare logică a ideilor, întărește atenția și mărește puterea de concentrare în intensitate și durata, antrenează memoria, logica, dezvoltă un ascuțit simț critic constructiv și gustul pentru obiectivitate și precizie. Scopul activității matematice este de a-i exersa copilului intelectul, procesele de cunoaștere, de a-l face apt să descopere relații abstracte pe baza situațiilor întâlnite în viata de zi cu zi.

Importanța și actualitatea temei

Geometria, una din ramurile principale ale matematicii, se ocupă cu studiul formelor spațiale și a relațiilor lor de mărime. A luat naștere din necesitățile practice ale oamenilor și s-a dezvoltat în strânsă legătură cu acestea.

Astăzi, ca și în trecut, geometria – gimnastica de necontestat a minții, continuă să se bucure de o înaltă apreciere, atât prin caracterul său practic, cât și prin contribuția pe care o aduce la formarea personalității în general și a raționamentului deductiv în special.

Elementele de geometrie reprezintă o interfață între matematică și realitatea înconjurătoare, constituindu-se în instrumente de modelare și simulare a acestei realități. Prin învățarea elementelor de geometrie se dezvoltă la elevi spiritul de observație, sunt angajate operațiile gândirii, formând un tip specific de raționament (raționamentul geometric). Este stimulată plăcerea de a cerceta și de a descoperi prin forțe proprii, atracția pentru problematic.

Motivarea alegerii temei

  Alegerea temei a fost determinata de întrebarea : „În fond, de ce studiem geometria? De ce este importantă geometria pentru învățămîntul general? Cum te ajută matematica în viață și de ce este importantă geometria în dezvoltarea oricărei persoane, indiferent de domeniul ales mai târziu? Ce metode putem folosi pentru a ușura înțelegerea noțiunilor de geometrie, în special a raționamentelor utilizate in demonstrații .

Am constatat că elevii de azi găsesc matematica, și geometria în special, o disciplină prea abstractă, nefiind motivați să studieze conținutul acestei materiei, neîntelegând legătura dintre conținutul teoretic al enunțului matematic și utilitatea în viața de zi cu zi, manualele școlare oferind o abordare extrem de rigidă despre geometrie, mai mult un suport teoretic, și nu „un ghid practic” . Elevii la nivel gimnazial au nevoie să facă unele corelări între teorema luiThales sau teorema lui Pitagora , spre exemplu, și utilitatea acestora în profesia pe care urmează să și-o aleagă fiecare.

Îmi place să arăt elevilor în activitatea desfășurată oră de oră, prin aplicațiile practice, metodele și procedeele didactice utilizate că orice element al matematicii poate fi util în viața de zi cu zi: de la funcții și grafice în interpretarea hărților, la numerele raționale și ideea de divizibilitate, importanța triunghiului în arhitectură sau elemente de statistică. Partea teoretică a fiecarei lectii este completată de exerciții sau activități care să familiarizeze elevii cu aplicațiile directe ale teoriilor studiate.

Dintre toate teoremele geometriei abordate in gimnaziu, “Teorema lui Thales“ mi s-a părut o temă interesantă și atractivă pentru elevi, cu o importanță practică deosebită.

Predarea geometriei la clasa a VII-a urmărește să introducă relația de asemănare, să valorifice valențele sale calculatorii, să formeze la elevi capacitatea de a deduce relații metrice. Ordinea: teorema lui Thales, asemănare, relații metrice este firească; raționamentele se vor succeda fără a fi nevoiți să acceptăm relații nedemonstrate și cum la baza întregii construcții a capitolului “Relații metrice” este pusa teorema lui Thales, evident demonstrația și înțelegerea a ceea ce exprimă ea capătă o importanță deosebită.

Prin analizarea prin activități de grup sau individuale a unei situații problemă sau a unor probleme practice care necesită aplicarea teoremei lui Thales,  se dezvoltă, ca aplicații ale teoremei lui Thales noțiuni privitoare la linia mijlocie în triunghi, linia mijlocie în trapez, centrul de greutate al unui triunghi și teorema bisectoarei și se realizează următoarele tipuri de activități de învățare:  utilizarea definiției și a proprietăților liniei mijlocii într-un triunghi, utilizarea condițiilor teoremei reciproce a liniei mijlocii pentru a demonstra paralelismul unor drepte, utilizarea definiției și proprietăților liniei mijlocii în trapez, exerciții de identificare a liniei mijlocii în trapez pe baza definiției/proprietăților acesteia, calcularea unor lungimi de segmente determinate de diagonalele unui trapez pe linia mijlocie, utilizarea concurenței medianelor într-un triunghi în rezolvarea de probleme.

Capitolul 1

TEOREMA LUI THALES

Cine a fost THALES DIN MILET?

„ Thales din Milet (Greacă: Θαλής ο Μιλήσιος) (c.635 î.Hr. – c.543 î.Hr.) a fost un filozof  grec presocratic, care a contribuit la dezvoltarea matematicii, astronomiei, filozofiei. Este considerat părintele științelor. Herodot, primul autor care-l menționează pe Thales, afirmă că strămoșii lui Thales erau fenicieni, dar Diogenes Laertios adaugă că cei mai mulți scriitori îl prezintă ca aparținând unei vechi familii milesiene.

Thales a murit la o vârstă înaintată, în timpul unor manifestări sportive, din cauza unor călduri excesive. Pe mormântul său este o inscripție care spune: "Aici, într-un mormânt strâmt zace marele Thales; totuși renumita sa înțelepciune a ajuns la ceruri". Deși nici una dintre scrierile lui nu a fost găsită, munca sa este cunoscută din scrierile altora. În domeniu matematicii, Thales a adus geometria în Grecia, familiarizându-se cu ea în timpul călătoriilor sale în Egipt și dezvoltând-o ulterior.

Teoremele geometrice elaborate de el au constituit temelia matematicii grecești. Thales a demonstrat că:

1. un cerc este împărțit în două părți egale de diametru;

2. unghiurile bazei unui triunghi isoscel sunt egale;

3. unghiurile opuse la varf sunt congruente;

4.un triunghi este determinat dacă sunt date o latură și unghiurile adiacente ei; 5.unghiul înscris într-un semicerc este unghi drept.

Teorema patru este asociată cu realizarea practică a măsurării distanței dintre vasele de pe mare. Hieronymus din Rhodos povestește cum a măsurat Thales piramidele din Egipt, folosind umbrele (a determinat momentul zilei în care umbra noastră este egală cu înălțimea). Diogenius Laertius, în cartea "Viețile și opiniile marilor filozofi" spune că "Thales a fost primul care a determinat cursa Soarelui de la un solstițiu la celălalt și a declarat că mărimea Soarelui ar fi a 720–a parte din cercul solar, și mărimea Lunii ar fi aceeași fracție din cercul lunar. Se spune că el a descoperit cele patru anotimpuri ale anului și l-a împărțit în 365 de zile".

         Thales este prima persoană care și-a  pus întrebări despre natura universului și a dat răspunsuri care nu luau în considerare zeii și demonii. Renunțarea la mitologie a fost un pas crucial în gândirea științifică și a condus la o explozie intelectuala care a durat sute de ani.

          Thales a fost fondatorul filozofiei grecești și al Școlii Milesiene a cosmologiștilor. El a  fost contemporan cu Solon și Cresus și a fost considerat unul din Cei Șapte Intelepți – șapte oameni care au trait între anii 620 – 550 ien, și care, prin întelepciunea lor, s-au distins ca legislatori, conducători, sfetnici sau autori de maxime.

        Thales era văzut de unii oameni ca un om întelept, dar imprudent: o scriere a lui Platon ni-l prezinta  căzănd într-o fântana pentru ca era prea ocupat să studieze stelele. Totusi, aceasta aparent imprudență observare a stelelor a  condus la aplicații practice în navigație: el a studiat mișcarea stelelor din Carul Mic după care navigau fenicienii. In plus, el a demonstrat caracterul practic al filozofiei sale când și-a folosit cunoătințele ca să prezică o recoltă bogată de măsline și să pună monopol pe presele de ulei de măsline.

          Thales a călătorit foarte mult, fiind implicat și în comerț. In timpul călătoriilor a adunat o mulțime de cunoștințe pe  care le-a dat lumii grecești. De exemplu, Herodot povesteste cum a prezis eclipsa de soare din 585ien folosind cercetările și cunoștintele dobândite de la preoții babilonieni.

          Thales a fost primul filozof grec care a introdus noțiunea de element material primar al tuturor lucrurilor și fenomenelor cosmice și pe care l-a identificat ca fiind apa. Importanța apei în viață și în natură a fost, probabil, principalul motiv care l-a condus pe Thales la această concluzie. In Teologia Orphică este precizat că „apa exista de la începuturi și ea este materia din care s-a solidificat pământul”. Apa, aerul, focul sau orice alt principiu a fost pentru filozofii presocratici rădăcina vieții, a sufletului și, în general, puterea naturii  vii. Vechii greci au numit această putere „Fiesthe”.”

www.ziarist.ro

Rapoarte cu lungimi de segmente; segmente proportionale

Definiția 1.2.1:

 Prin raportul a două segmente înțelegem raportul lungimilor lor.

Observația 1.2.2: 

Lungimile segmentelor trebuie exprimate prin aceleași unități de măsură. 

Exemplu: Se dau doua segmente [ AB] =6 cm. si [CD] = 8 cm. Raportul segmentelor [AB] si [ CD] este ==.

Definiția 1.2. 3:

Sirurile de numere ( si ( sunt proporționale dacă ……..= k . Raportul constant k se numeste factor de proportionalitate.

Definiția1.2. 4:

Sirurile de segmente ( [AB] , [CD] , [EF] ….)si ( [] , [] ,[] …….) se numesc proportionale daca sirurile lungimilor lor sunt proportionale.

Exemplu

AB=2dm, CD=12 dm , EF =3dm , FG = 9 dm , GH = 18 dm, BC=6 dm atunci ([AB], [BC ], [ CD ])~ ([EF], [FG] , [Gh ] ) deoarece

Factorul de proportionalitate este

Impartirea unui segment intr-un raport dat

Exista un singur punct interior segmentului care imparte un segment intr-un raport dat.

Fie [AB] segmental dat si r raportul dat. Trebuie sa gasim un punct M , M(AB) astfel incat r,

Aceasta inseamna De aici rezulta ca AM=AB.

Deoarece rezulta ca AM <AB , deci punctul M este in interiorul segmentului AB.

Daca r=1 atunci M este mijlocul segmentului .

Teoreme paralelelor echidistante

Definitite 1.3.1.

Trei sau mai multe drepte paralele situate la distanțe egale se numesc paralele echidistante.

Teorema 1.3.2. (teorema paralelelor echidistante)

  Dacă mai multe drepte paralele  determină  pe  o  secantă  segmente  congruente,  atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente.

Demonstrație:

Fie [A1C2] || g, [ A2C3] || g, …,[ An-1Cn] || g =>∆A1A2C2 ≡ ∆A2A3C3 ≡ …. ≡

≡ ∆An-1AnCn (U.L.U.) => [ A1C2]≡ [ A2C3]≡….≡ [ An-1Cn]

Dar A1B1B2C2, ….. , An-1Bn-1BnCn– paralelogram => [B1B2]≡[ B2B3]≡….≡[ Bn-1Bn]

Aplicatie

Pentru a imparti un segment in mai multe parti egale se aplica teorema paralelelor echidistante.

Teorema lui Thales

Teorema 1.4.

O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi împarte celelalte două laturi în segmente proporționale.

DE ║ BC

Demonstrație:

Considerăm cazul când raportul este număr rațional.

Presupunem că .  Împărțim segmentul [AB] în 5 părți congruente ;

Al treilea punct de diviziune este D;

notăm punctele de diviziune cu D1,D2, D4 => [AD1]≡[D1D2]≡[D2D]≡[DD4]≡[D4B].

Prin D1, D2, D4 ducem paralele la BC și notăm punctele lor de intersecție cu latura [AC] , respectiv prin E1, E2, E4.

Conform teoremei paralelelor echidistante => [AE1]≡[E1E2]≡[E2E]≡[EE4]≡[E4C] =>  =>  .

Dacă raportul  este un număr rațional oarecare  * , raționamentul este același ; segmental [AB] se împarte în m+n părți congruente.

Teorema paralelelor neechidistante

Teorema 1.5.

Mai multe drepte paralele determina pe doua secante oarecare segmente proportionale.

Ipoteză :

d1 || d2 || d3 || d4

a∩d1={A1} , a∩d2={A2} , a∩d3={A3} , a∩d4={A4}

b∩d1={B1} , b∩d2={B2} , b∩d3={B3} , b∩d4={B4}

Concluzie:

Demonstratie:

Ducem prin B1paralela la dreapta a. Aplicând teorema lui Thales în ∆B1C3B3 și folosind faptul că A1B1C2A2, A2C2C3A3 sunt paralelograme , deducem

,adică

Analog, ducand paralela prin B2 la a se deduce ca

Teorema reciproca a teoremei lui Thales

Teorema 1.6:

Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale,  atunci ea este paralelă cu a treia latură.

Ipoteza:

Concluzie: MN//BC

Demonstratie:

Presupunem prin absurd că MN ∦ BC ; atunci ducem prin M paralela la BC și notăm cu N’ punctul ei de intersecție cu AC , N’≠N. Aplicăm teorema lui Thales : 

MN ∦ BC ’ ’AN=AN’ N=N’ – contradictie

Din ipoteza: MN//BC

Teorema bisectoarei (interioare, exterioare) și teorema reciprocă

Definiție 1.7.1.

Se numește bisectoare interioară a unghiului al triunghiului ABC, bisectoarea unghiului BAC. Dacă AB < AC, se numește bisectoarea exterioară a unghiului al triunghiului ABC, bisectoarea unghiului unde (AC’ este semidreapta opusă semidreptei (AC. În figura alăturată [AD este bisectoarea interioară a unghiului , iar [AD’ este bisectoarea exterioară a unghiului .

Observație.

Bisectoarea interioară și bisectoarea exterioară ale unui unghi sunt perpendiculare.

Teorema 1.7.2. (Teorema bisectoarei interioare)

Intr-un triunghi bisectoarea interioară a unui unghi determină pe latura opusă segmente proporționale cu celelalte două laturi.

Ipoteza:

[AD – bisectoarea unghiului BAC;

Concluzie:

Demonstratie:

Se construieste prin C paralela la bisectoarea AD, CE//AD, unde {E} = CE AB

In ΔBCE (1)

AD//CE (alterne-interne)

AC- secanta

AD//CE (corespondente) ΔACE – isoscel

AB- secanta [AE] [AC] (2)

Din (1) si (2)

Teorema 1.7.3. (Reciproca teoremei bisectoarei interioare)

Fie ΔABC, D(BC) astfel incat atunci (AD este bisectoarea interioara a unghiului .

Demonstratie:

Presupunem că [AD nu este bisectoarea unghiului BAC.

Dacă E (BC) este piciorul bisectoarei unghiului BAC

Din ipoteza

în contradictie cu faptul că există un singur punct interior segmentului (BC) care îl împarte într-un anumit raport.

Teorema 1.7.4. (Teorema bisectoarei exterioare ). Fie triunghiul ABC cu AB AC și EBC \ [BC] atunci .

Demonstratie:

Construim BN//AE , unde {N}=BN AC

Din Teorema lui Thales in ΔCAE (1)

BN//AE (corespondente)

(alterne interne) ΔABN – isoscel

(din ipoteza)

(AB)(AN) (2)

Din (1) si (2) (q.e.d.)

Observatii

Conditia AB AC din teorema bisectoarei esterioare este esentiala deoarece daca AB =AC atunci bisectoarea esterioara a unghiului A este paralela cu BC, deci un mai exista E.

Teorema bisectoarei exterioare a fost demonstrata de Pappus.

Teorema 1.7.5. (Teorema reciproca a teoremei bisectoarei exterioare)

Fie triunghiul ABC cu AB AC și E∈BC \ [BC] astfel incat (1) atunci (AE este bisectoarea exterioară a unghiului A.

Demonstrație

Condiția ca AB AC este necesară, deoarece dacă AB=AC, din (1) ar rezulta EB=EC, relație imposibilă din cauza poziției lui E pe BC.

Facem aceeași construcție ca la teorema bisectoarei exterioare, adică construim BN//AE , unde {N}=BN AC

Din Teorema lui Thales in ΔCAE

(din ipoteza) AN=AB

ΔABN – isoscel

Dar si

(AE – bisectoarea exterioară a unghiului A

Triunghiuri asemenea. Teorema fundamentală a asemănării. Criterii de asemănare a triunghiurilor

Definitie 1.8.1.

Fie triunghiurile ABC și A’B’C’ . Aceste triunghiuri sunt asemenea dacă:

și notam

Perechile de unghiuri ,, ,, , și perechile de laturi (AB,A’B’), (BC, B’C’), (AC, A’C’) se numesc corespondente sau omoloage .

Raportul lungimilor laturilor se numește raport de asemănare.

Observație:

Dacă raportul de asemănare este 1 atunci triunghiurile sunt egale .

Teorema 1.8.2. (teorema fundamentală a asemănării)

O paralelă dusă la una din laturile uni triunghi formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel inițial.

Fie ΔABC si punctele D și E , =>

Demonstrație :

(1)

=>(2)

AB, AC-secante

Fie a.i. (3) ;

=> DEPB paralelogram (4) ;

din (1), (2) si (3) =>(q.e.d.)

Observații :

Teorema asemănării completeaza teorema lui Thales având aceeași ipoteză dar concluzia diferă, referindu-se la toate laturile triunghiurilor .

Teorema asemănării rămâne valabila și în cazul în care segmentul MN se află în exteriorul triunghiului ABC (se disting două cazuri).

PROPRIETATI :

1) reflexivitate : ;

2) simetrie

3) tranzitivitate

4) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea au o pereche de unghiuri ascuțite congruente.

5) Două triunghiuri isoscele sunt asemenea au o pereche de unghiuri congruente.

6) Două triunghiuri echilaterale sunt asemenea.

7) Două triunghiuri dreptunghice sunt asemenea.

8) Două triunghiuri cu laturile respectiv paralele sunt asemenea.

9) Două triunghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt asemenea.

10) Dacă două triunghiuri sunt asemenea, atunci raportul de asemănare al laturilor este egal cu: – raportul bisectoarelor;

– raportul înălțimilor;

– raportul medianelor;

– raportul razelor cercurilor înscrise;

– raportul razelor cercurilor circumscrise.

CRITERII DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR

Pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea nu este nevoie să verificăm toate condițiile date la definiția triunghiurilor asemenea. Este suficient să verificăm doar două condiții. Ca și la congruența triunghiurilor, aceste teoreme se numesc criterii.

CAZUL 1 (LUL)

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au un unghi congruent și laturile care il formează proporționale.

CAZUL 2 (UU)

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două perechi de unghiuri respectiv congruente.

CAZUL 3 (LLL)

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile proporționale.

Demonstrație:

Fie astfel incat

Din punctul M se duce o paralela la latura BC, Δ AMN ~ ΔABC

Pentru cazurile de asemănare se iau pe rând :

1.,

2.

3.

Teoreme celebre care deriva din teorema lui Thales și asemanarea triunghiurilor

Teorema 1.9.1. (Teorema lui Menelaus)

Fie ABC un triunghi și D, E și F trei puncte coliniare distincte astfel încât DBC, EAC și FAB (două din puncte situate pe laturile triunghiului iar celalalt pe prelungirea celei de-a treia laturi sau toate trei situate pe prelungirile laturilor triunghiului) . Atunci are loc relația: .

Demonstrație: A

B`

F

A`

E

C`

B C D

Figura 1

Proiectăm vârfurile A, B și C ale triunghiului pe dreapta D – E – F, în punctele A`, B` și C`.

Aplicăm teorema fundamentală a asemănării în urmatoarele perechi de triunghiuri:

∆DB`B∆DC`C rezultă

∆AA`F∆BB`F rezultă

∆CC`E∆AA`E rezultă .

Înmulțind cele trei relații obținem: .

Obs.

Punctele coliniare M, N și P se numesc noduri, iar dreapta determinată de ele se numește transversală și se notează cu M – N – P.

Teorema 1.9.2. (Reciproca teoremei lui Menelaus)

Fie , dacă aparține lui BC, aparține lui CA, aparține lui AB și dacă sunt situate două pe laturi și unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor și dacă (1) atunci punctele sunt coliniare.

Demonstrație:

Figura 2

Presupunem că două dintre puncte sunt situate pe două laturi ale triunghiului, iar unul este situat pe prelungirea celei de-a treia laturi.

Presupunem că punctele nu sunt coliniare.

Atunci dreapta ar intersecta latura AB într-un punct C" diferit de .

Aplicând teorema lui Menelaus pentru punctele coliniare ,C" obținem: (2)

Din relațiile (1) și (2) rezultă că .

Ar însemna că segmentul este împărțit de punctele interioare C' și C" în același raport – contradicție (există un singur punct interior unui segment care împarte segmentul într-un raport dat). Rezultă C"= C' și deci punctele sunt coliniare

Aplicație directă la teorema lui Menelaus

În figura de mai jos avem: AP = 6, PB = 16, BC = 30, CQ = 18 și CA = 24. Punctele P, Q și R sunt coliniare. Să se arate că R este mijlocul lui A

A

P

R

R

B C Q

Figura 3

Rezolvare:

În ∆ABC aplicăm teorema lui Menelaus pentru punctele coliniare P, Q și R, avem:

avem , deci AR = RC, ceea ce înseamnă că R este mijlocul lui AC.

Teorema 1.9.3. (Teorema transversalei)

Fie triunghiul ABC ¸si punctele D(BC ) , M AB), N(AC) ¸si {P }= M N AD. Atunci are loc rela¸tia:

Demonstratie.

Tratam doar cazul MN ∦ BC; Cazul MN//BC este banal.

Construim d // BC, A d si fie MN BC= {X} si {Y }= MN d (Figura 4).

Figura 4

Din d // BC, A d , conform teoremei fundamentale a asemănării, avem:

,

și .

In final

Observa¸tie:

Dacă punctul P din problema precedentă devine centru de greutate G, atunci relația (2) devine:

iar dac˘a P devine I (centrul cercului ˆınscris), rela¸tia (2) se scrie:

Teorema 1.9.4. (Teorema lui Ceva)

Fie triunghiul ABC și punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, respectiv AB, diferite de vârfurile A,B, C. Dacă dreptele AM, BN, CP sunt concurente, atunci are loc relația:

Demonstrație

Există două situații posibile:

Figura 5-a Figura 5-b

puncte M, N, P se află fiecare, pe câte o latură a triunghiului (Figura 5-a);

două din punctele M; N; P se află pe prelungirile laturilor triunghiului, iar al treilea pe cea de-a treia latura (Figura 5-b).

Ne ocupăm, în continuare, numai de prima situație; cea de-a doua se tratează analog.

Fie {O} = AM BN CP

Aplicând teorema lui Menelaus, în ΔABM cu transversala C _ O _ P rezultă:

apoi în ΔACM cu transversala B _ O _ N obținem:

De unde

(q.e.d.)

Teorema 1.9.5. (Reciproca teoremei lui Ceva)

Fie triunghiul ABC și punctele M, N și P situate pe dreptele BC, CA, respectiv AB, diferite de vârfurile A, B și C. Dacă , atunci dreptele AM, BN și CP sunt concurente.

Figura 6

Demonstrație.

Aplicăm metoda reducerii la absurd: presupunem că dreptele AM, BN și CP nu sunt concurente, atunci există un punct M’ astfel încât dreptele AM’, BN și CP să fie concurente în punctul T. Aplicând teorema lui Ceva în obținem: , dar din ipoteză avem: , deci , deci dreptele AM, BN și CP sunt concurente.

Definitie 1.9.6.

Numim ceviană orice dreaptă care trece prin vârful unui triunghi și intersectează latura opusă.

Teorema 1.9.7. (Teorema lui Steiner)

Fie triunghiul ABC si punctele M,N BC. Daca atunci are loc relatia:

Figura 7

Demonstrație:

Construim BE // AC, EAM si CF // AB, F AN.

(unghiuri cu laturile paralele)

(din ipoteza)

BE // AC

CF // AB

Teorema 1.9.8. (Relatia lui Van Aubel)

In triunghiul oarecare ABC, se duc cevienele AA’, BB’ si CC’, concurente în punctul I (). Are loc relația:

Figura 8

Demonstrație

Se aplică teorema lui Menelaus în triunghiul AA’C intersectat de transversala BIB’:

(4)

Aplicând teorema lui Ceva pentru cevienele concurente AA’, BB’ si CC’ si rezultă:

Construim proporții derivate pentru a scoate raportul , pe care îl vom înlocui apoi în relația (4):

Relatia (4) devine astfel:

q.e.d.

Teorema 1.9.9. (Teorema lui Gergonne)

Fie triunghiul ABC si punctele MBC, NCA, PAB astfel incat dreptele AM, BN, CP sunt concurente intr-un punct notat cu S. Atunci are loc relatia:

(5)

Figura 9

Demonstratie

Fie D si E picioarele perpendicularelor coborate din A si respectiv S pe

dreapta BC (Figura 9).

Deducem că AD // SE; deci, conform teoremei fundamentale a asemănării, avem

(6)

Dar

(7)

Din (6) si (7) deducem ca

(8)

In mod asemănător deducem că

(9)

Din (8) și (9) deducem că

(q.e.d)

Capitolul 2

Aplicații

In orice triunghi produsul dintre lungimea unei laturi și lungimea înălțimii corespunzătoare ei este constant.

Ducem înălțimile AM, BN, CP. Vrem să demonstrăm că AC∙BN=CB∙AM= =AB∙CP

Vom demonstra că BC∙AM=AC∙BN.

BC si BN sunt laturi ale triunghiului BNC .

ΔBNC, Δ AMC – triunghiuri dreptunghice (deci au un unghi drept, iar unghiul ACM este comun) ΔBNCΔ AMC rezultă că BC∙AM=AC∙BN ceea ce trebuia să demonstrăm.

Cealaltă egalitate se demonstrează la fel.

2. Se consideră paralelogramul ABCD și punctele M și N mijloacele laturilor (AB), respectiv (CD). Dreapta BN intersectează dreapta AD în punctul E. Demonstrați că:

punctele E , P și M sunt coliniare, unde

PR||CD, unde

(OLM, jud. Cluj, 2009)

Soluție.

a)

=> D este mijlocul lui (AE)

N este mijlocul lui (BE)

– centrul de greutate al triunghiului ABE;

EM – mediană punctele E, P și M sunt coliniare.

b)

P- centru de greutate

3. Fie M mijlocul unui segment AB, și un punct D nesituat pe AB. Dacă N este mijlocul lui (CD), P este mijlocul lui (BD), Q este mijlocul lui (MN) și R mijlocul lui (AC), demonstrați că:

a) punctele P, Q și R sunt coliniare;

b) unde

(GMB – 2/2012)

Soluție

a) În este linie mijlocie

;

NR linie mijlocie în => MPNR este paralelogram

MPNR este paralelogram

MN și PR – diagonale => Q este mijloc și pentru (PR)

Q este mijlocul lui (MN) =>P,Q și R sunt coliniare.

b) în și considerând transversala R-T-P =>

4. În triunghiul ABC se consideră un punct M pe latura (BC). Bisectoarea unghiului AMC intersectează pe (AC) în E, iar bisectoarea unghiului AMB intersectează pe (AB) în F. Dacă BE și CF se intersectează în P, demonstrați că dreptele AM, BE și CF sunt concurente ( sau A,M și P coliniare).

Soluție. in ΔAMC, respectiv ΔAMB

=>

AM, BE și CF sunt concurente.

5. (105/25 din [1]). Fie M si N doua puncte situate pe laturile (AB) si (AC) ale triunghiului ABC astfel incat:

unde G este punctul de intersectie al segmentelor (BN) si (CM). Sa se demonstreze ca si .

Figura 1

Solutie. Fie

Conform teoremei lui Ceva :

(1)

Conform teoremei lui Van Aubel:

(2)

(3)

Din relatiile (2) si (3)=>

.

6. (59/20 din [1]). Fie triunghiul ABC. Considerăm punctele astfel încât si , unde sunt numere reale pozitive. Sa se calculeze rapoartele si .

Figura 3

Solutie. Fie (4)

7. (4/97 din [2]) In punctele A si B ale unui cerc, care nu sunt diametral opuse, se duc două tangente la cerc, care se întâlnesc în C. Prin A se duce o paralela la BC, care taie cercul în D. Dreapta CD taie cercul în E, iar dreapta AE intersectează pe BC în F. Să se demonstreze că:

a)

b) Triunghiurile ACF și CEF sunt asemenea;

c)

d)

e) Să se determine măsura unghiului astfel încât .

Figura 4

Solutie. Această problemă este se pare alcătuită de profesorul Octavian Sacter prin anii ’50; a fost subiect de admitere la zeci de examene (mai puțin punctul e), adăugat ceva mai recent).

AD//BC =>(alterne interne)

DC – secanta

=> .

In ΔACF și ΔCEF:

(din punctul a)) ΔACF ΔCEF

(unghi comun)

c) ΔACF ΔCEF =>

d) Puterea lui F fata de cerc se scrie (O este centrul cercului).

ΔOBF – dreptunghic in B=>=>( punctul c)), => .

e) Fie .

Conform teoremei lui Ceva in triunghiul ABC pentru cevienele concurente AF, BG si CH, avem:

(7)

Scriem relatia lui Van Aubel:

Tinem acum cont de ipoteza si de relatia (7). Rezulta:

=> [CH] este mediana in triunghiul ABC.

Triunghiul ABC este isoscel (, ca tangente duse din C la cerc) => mediana [CH] este si inaltime => . Pe de alta parte, (diametrul este perpendicular pe mijlocul coardei) =>punctele O, C, H sunt coliniare => [ED] diametru al cercului => (unghiul EAD fiind inscris in semicercul EBD) =>.

Dar => [AF] este mediana si inaltime in triunghiul ABC => => triunghiul ABC este echilateral. Rezulta .

8. Bisectoarele (AD), (BE) si (CF) ale triunghiului ABC sunt concurente în punctul I. Să se arate că dacă:

, atunci triunghiul este echilateral.

(D.M. Batinetu-Giurgiu, Olimpiada, 1986, etapa locala)

Figura 5

Solutie. Utilizăm notatiile obisnuite pentru lungimile laturilor triunghiului dat: . Cunoastem de asemenea notatia .

Conform teoremei bisectoarei in triunghiul ABC, putem scrie:

Scriem relatia lui Van Aubel:

Similar, rezulta ca .

Cum , rezulta ca au loc inegalitatile:

Adunand membru cele trei inegalitati, rezulta . Aceasta fiind o egalitate, toate cele trei inegalitati care s-au adunat pentru a o obtine trebuie sa se transforme in egalitati. Rezulta triunghiul ABC este echilateral, q.e.d.

9. (20/204 din [2]) Fie triunghiul ABC. Unui punct M din interiorul triunghiului i se asociaza numarul real:

unde . Sa se arate ca functia admite un minim atunci cand M coincide cu centrul de greutate al triunghiului ABC.

Solutie. Notam . Conform relatiei lui Van Aubel, avem:

Adunand cele trei egalitati, rezulta ca

Conform inegalitatii mediilor, avem insa . Egalitatea are loc daca si numai daca .

Rezulta ca . Minimul lui este atins cand , adica atunci cand A’, B’ si C’ sunt mijloacele laturilor (BC), (CA) si (AB). In acest caz, M este evident centrul de greutate al triunghiului ABC.

10. Fie M un punct in interiorul triunghiului ABC. Notam . Sa se determine minimul produsului:

Solutie. Analog cu problema precedenta, notam:

Scriem relatiile lui Van Aubel :

Inmultim cele trei relatii si rezulta:

(11)

Conform inegalitatii mediilor,

, egalitatea avand loc cand

, egalitatea avand loc cand

, egalitatea avand loc cand .

Din relatia (11) si cele trei inegalitati de mai sus, rezulta ca:

, minimul fiind atins cand:

, ceea ce se intampla (vezi problema precedenta) cand M este centrul de greutate al triunghiului ABC. Asadar, produsul P are un minim egal cu 8 cand M=G.

OBSERVATIE. La problemele 5 si 6, nu am mai desenat figurile. Acestea sunt similare cu figura 1, avand insa numele punctelor modificate.

11. Fie triunghiul ABC si punctele mobile , alese astfel incat sa fie respectata conditia . Fie si . Sa se determine valoarea minima a raportului si pozitiile lui D si E pentru care se realizeaza acest minim.

(Marius Stanean, 20679, G.M. 2/1986)

Figura 6

Solutie. Fie si . Se duc inaltimile si (in figura, nu le-am mai inclus din motive de incarcare a desenului).

Avem:

=> (9)

Similar se arata ca (10)

Se scrie acum relatia lui Van Aubel:

Fie . Minimul raportului este deci egal cu 2, fiind atins atunci cand . In acest caz, rezulta din (9) si (10) ca , deci D si E sunt mijloacele laturilor (AB), respectiv (AC).

12. In triunghiul ABC, bisectoarele interioare ale unghiurilor A si B taie (BC), respectiv (AC) in M si N. Fie . Se cunoaste ca . Sa se calculeze masurile unghiurior triunghiului ABC.

(Admitere, Matematica, sesiunea speciala, 1988)

Solutie. Fie ; evident, (CP este bisectoarea unghiului C.

Conform teoremei bisectoarei, putem scrie (cu notatiile obisnuite intr-un triunghi, ):

; ; (11)

Din relatia lui Van Aubel și relațiile (11), rezultă:

Avem deci sistemul:

Rezolvând sistemul se obține:

Din teorema cosinusului în ΔABC:

Conform teoremei sinusurilor,

Făcând diferența => .

13. Dacă O este un punct în interiorul triunghiului ABC și A’, B’, C’ celelalte intersecții ale dreptelor OA, OB, OC cu laturile triunghiului, să se arate că este adevarată relația:

(Al. Otet, 21215*, G.M. 9/1987)

Figura 7

Solutie. Se va folosi următoarea proprietate: “Daca in triunghiul ABC luam punctul , avem:

” (se demonstrează usor, tinand seama ca triunghiurile ADB si ADC au inaltimea din A comuna).

Notăm rapoartele:

Conform teoremei lui Ceva, avem relația (12) => .

Fie . Conform proprietății amintite, avem:

(13)

Utilizând aceeași proprietate, rezultă și:

=>

=> (14)

Scoatem de aici și (15)

Aici intervine relația lui Van Aubel:

(16)

Pe de altă parte,

(17)

Din relațiile (16) și (17), rezultă:

=>

(18)

Din relațiile (15) și (18) rezultă că:

(19)

(s-a utilizat aici relația (12)).

Se impart membru cu membru relațiile (19) și (14) și rezultă:

=> (20)

Similar, se obțin relațiile:

(21)

(22)

Adunând membru cu membru relațiile (20), (21) si (22), găsim:

, q.e.d.

Capitolul 3

CONSIDERAȚII METODICE

Aspecte ale predarii geometriei in gimnaziu

Astazi, ca si in trecut, geometria se bucura de o inalta apreciere, atat prin caracterul ei practice, cat si prin contributia pe care o aduce la formarea personalitatii in general si a rationamentului in special.

Din punct de vedere instructive, stilul sistematic al geometriei urmareste inarmarea elevilor cu un bagaj de cunostinte clare si precise despre formele obiectivelor lumii reale, marimea si proprietatile acestora, formarea si dezvoltarea  la elevi a reprezentarilor spatiale, a deprinderilor de a aplica practice cunostintele de geometrie in efectuarea  masuratorilor,  stabilirea unor marimi sau distante,  calcularea ariilor  sau volumelor.

Formarea conceptelor geometrice

Deoarece geometria riguroasa, bazata pe demonstratii, necesita formarea conceptelor geometrice si realizarea unor operatii logice, deductive cu aceste abstractiuni, predarea geometriei trebuie sa tina cont de etapele mentale de dezvoltare proprii copilului.

1.1 Stadiul operatiilor concrete (clasele I-V )

In aceasta etapa putem vorbi mai degraba de o predare pregeometrica, al carei rol este de a pregati elevul pentru stadiul urmator. Coordonarea activitatii mentale functioneaza doar in raport cu realitatea concreta a lucrurilor. La aceasta varsta elevul reuseste deja sa clasifice, sa ierarhizeze, sa sintetizeze si sa compare. Se finalizeaza formarea conceptului de numar. Acest prim stadiu este caracterizat de introducerea formelor geometrice prin cercetarea directa a unor obiecte materiale, apoi prin desenarea unor figuri, prin masurarea concreta a unor distante, a unor arii si volume, folosind unitati de masura nonstandard.

Elevul incepe sa isi formeze convingeri despre conservarea distantelor, a ariei, a volumelor, a greutatilor, atunci cand forma unora sufera modifcari. Deci intuitia joaca un rol esential, si proprietatile figurilor geometrice sunt treptat “simtite” de catre elevi.

Fondul de reprezentari geometrice al absolventilor clasei a V-a

Elevii folosesc cuvantul “segment” pentru urma lasata de creion pe hartie, atunci cand se unesc, cu ajutorul riglei, doua puncte date. Ei stiu sa masoare cu rigla aceste desene, sa le compare in raport cu rezultatul masuratorii sau in raport cu pozitiile lor. Stiu sa deseneze segmente de lungimi date, avand extremitatile libere, alese de ei. Apare scrierea AB+BC, AB si BC reprezentand segmente nesituate in mod obligatoriu pe aceeasi dreapta, intelegandu-se ca este vorba de fapt de adunarea lungimilor segmentelor, rezultatul find un numar care nu reprezinta neaparat lungimea altui segment. Astfel se formeaza imaginea de segment, ce pregateste edificarea conceptului matematic ce defineste aceeasi notiune.Se introduce tot prin desen linia franta.

Linia curba se introduce ca denumire a unei imagini gra_ce ce prezinta

anumite particularitati percepute exclusiv vizual de catre elevi. Ei o deosebesc de linia franta si de segment. Aceste imagini grafice pe care elevii le deseneaza, le denumesc si le compara nu sunt concepute deocamdata ca multimi de puncte, deoarece nici punctul nu a fost desprins de semnul grafic prin care se deseneaza.

Elevilor li s-au prezentat imagini grafice numite unghiuri. Ei stiu sa denumeasca elementele care caracterizeaza aceste imagini: laturi, varf, deschidere. Stiu sa deseneze un unghi, sa-l noteze, sa-l citeasca. Deoarece pana in clasa a VI-a nu se foloseste raportorul (singurele instrumente sunt rigla si echerul), compararea unghiurilor se face prin decupare si suprapunere, apoi vizual.

Recunoasterea si desenarea figurilor geometrice se realizeaza concentric, de la segmente, linii frante si curbe, la poligoane: paralelogram, dreptunghi,

romb, patrat, etc.

Cea mai mare parte a figurilor geometrice prezentate sunt plane, dar chiar

din timpul invatamantului primar elevii privesc si actioneaza asupra unor

corpuri geometrice spatiale. Dirijati de catre profesor, ei desprind unele

particularitati ale acestora, le denumesc si invata sa le deseneze: paralelipiped, prisma, piramida, cilindru, con, sfera. Deoarece in clasele VI-VII se studiaza doar geometria plana, este obligatoriu ca la inceputul clasei a VIII-a sa se reia introducerea concreta, cu ajutorul modelelor, a principalelor corpuri geometrice intalnite de elevi inclusiv in clasa a V-a.

Deci, introducerea unor concepte geometrice (in etapa urmatoare) este pregatita prin perceperea, observarea, analiza si generalizarea proprietatilor spatiale ale unor obiecte reale. Aceasta observare nu este contemplativa ci una activa, o

actiune a alevului asupra obiectului, actiune dirijata de profesor.

Elevii sunt acomodati cu ideea de lungime a unui segment, dar exercitiile practice privind masurarea ariei unei suprafete poligonale, a volumului unui poliedru, sunt extrem de putine. Se pot concepe exercitii distractive prin care elevii sa intuiasca urmatoarele aspecte:

necesitatea introducerii unui alt tip de unitati de masura pentru masurarea

suprafetelor si a poliedrelor; elevii sa distinga senzorial ideea de suprafata,

poliedru;

exercitii de intuire a conservarii ariilor, volumelor;

descoperirea proprietatii de aditivitate a functiilor arie, volum;

posibilitatea alegerii diverselor unitati de masura (de preferat nonstrandard mai intai);

compararea numerelor ce reprezinta rezultatul acestor masuratori, cand

se foloseste aceeasi unitate de masura, duce la compararea unor suprafete,

respectiv poliedre, in raport cu marimea lor;

astfel, elevul descopera ca fiecarei suprafete poligonale i se atribuie un nu-

mar pozitiv, care are proprietatea de aditivitate si impune existenta unuei

suprafete unitate; astfel se contureaza ideea de functie arie, fara a fi clar

definita; analog in ceea ce priveste volumul.

1.2 Etapa gandirii formale (incepand cu varsta de 11-12 ani si care dureaza si pe parcursul adolescentei)

Doar din clasa a VI-a elevul poate trece la operatii cu propozitii matematice,

intr-o maniera ipotetico-deductiva, fara a se mai baza pe obiecte concrete. Elevii

pot forma acum rationamente de tipul “daca….atunci”, pot sesiza incompatibilitati, disjunctii, conjunctii, etc. Copilul incepe sa simta necesitatea unor demon-

stratii matematice. El poate efectua operatii asupra unor propozitii admise

ipotetic adevarate, fara a verifica veridicitatea lor printr-o operatie concreta.

Acest tip de operatii deductive actioneaza asupra conceptelor abstrase din realitate.

Este esential sa nu se grabeasca introducerea demonstratiei. Poate cel mai

frumos exprima aceasta convingere matematicianul H. Freudenthal: “Intr-o zi

copilul va intreba ”de ce?”, si nu este de folos sa incepem geometria sistematica

inainte ca acel moment sa fi venit. Ba mai mult, i-ar putea dauna cu adevarat.

Daca am cazut de acord asupra predarii geometriei ca un mijloc de a-i face pe

copii sa simta forta spiritului omenesc, a propriului lor spirit, nu trebuie sa-i

lipsim de dreptul de a face ei insusi descoperiri. Cheia geometriei este expresia

“de ce”. Numai ucigasii de bucurii vor inmana cheia mai devreme.” (Gazeta

matematica, seria A, nr. 2, 3, 1958)

In concluzie, dezvoltarea progresiva a inteligentei face posibil studiul geometriei bazate pe demonstratii numai pe un anumit palier al acestei dezvoltari. In plus, principiul intuitiei isi pastreaza o valoare didactica de necontestat.

Astfel consider ca obiectivele predarii geometriei in plan in gimnaziu sunt:

edificarea conceptelor geometrice, clarificarea relatiilor intuitiv-abstract,

intuitiv-conceptual;

deprinderea cu demonstrarea unor propozitii pornind de la altele despre

care se stie ca sunt adevarate;

consolidarea deprinderilor de calcul aritmetic si algebric;

dezvoltarea capacitatii de a executa constructii geometrice corecte;

Aplicarea notiuniloe studiate in probleme practice

Capitolul 4

Exemple practice

Fisa de lucru 1

CUM LUNGIM SCÂNDURA ?

Pentru confecționarea unui raft de cărți avem nevoie de o scândură cu dimensiunile: 1m lungime și 20 cm lățime. Noi avem o scândură mai scurtă, dar mai lată (75 cm/30 cm). Cum vom proceda ?

Desigur, putem tăia așa:

Dar:

– sunt prea multe operații (3 de tăiere și 3 de încleiere);

– nu sunt satisfăcute cerințele de rezistență.

Iată un procedeu de lungire a scândurii cu ajutorul a 3 operații de tăiere și a unei singure operații de încleiere. Descrieți procedeul sugerat de imaginile următoare, calculați DM= x și demonstrați că polița astfel obținută are dimensiunile cerute.

FISA DE LUCRU 2

Aplicarea proprietăților triunghiurilor asemenea la măsurători indirecte

Pentru fiecare dintre problemele practice de mai jos:

• Studiați imaginea și apoi descrieți procedeul utilizat.

• Calculați lungimile necunoscute.

• Justificați modul de calcul.

Realizați practic, pe teren, o astfel de măsurătoare indirectă.

Aflarea înălțimii unui brad folosind metoda umbrei

2. Determinarea înălțimii unui bloc folosind legile reflexiei într-o oglindă

3. Aflarea adâncimii unei fântâni, până la nivelul apei

4. Calculul distanței până la un loc inaccesibil

FIȘĂ DE LUCRU 3

Profesor Cosma Teodora

Fisa de lucru nr 4

Data:

Clasa: a VII-a

Profesor:

Școala:

Disciplina: Matematica-Geometrie

Unitatea de învățare: Asemănarea triunghiurilor

Subiectul lecției: Aplicații la teorema lui Thales și reciproca teoremei lui Thales

Tipul lecției: Lecție comunicare și însușire de noi cunoștințe

Competențe specifice:

3.2 Utilizarea noțiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configurații geometrice date

4.2 Exprimarea proprietăților figurilor geometrice (segmente, triunghiuri, patrulatere) în limbaj matematic

Obiective operaționale:

Să formuleze enunțul teoremei lui Thales

Să formuleze enunțul teoremei reciproce a lui Thales

Să demonstreze teorema bisectoarei

să demonstreze proprietățile liniei mijlocii într-un triunghi

să demnstreze proprietatea centrului de greutate al unui triunghi.

Resurse:

a) Metode și procedee: conversația, demonstrația, explicația, observația, exercițiul

b) Mijloace de realizare: manualul, PC, videoproiector, soft educațional Intuitext

c) Forme de organizare: frontală; individuală

d) Timp: 50 min

Proiect didactic cl. a VII-a

Data:

Obiectul: Matematica-geometrie

Subiectul : Aplicatii – asemanare

Tipul lectiei: de consolidare a cunostintelor

I. Obiective de referinta:

sa utilizeze proprietati calitative si metrice ale figurilor geometrice in rezolvarea de probleme

sa determine, folosind metode adecvate lungimi de segment, masuri de unghiuri si arii

sa formuleze cat mai multe consecinte posibile care decurg dintr-un set de ipoteze date

sa construiasca probleme, pornind de la un model

sa identifice si sa diferentieze etapele unui rationament matematic, prezentat in diferite forme

sa prezinte in mod coerent solutia unei probleme, utilizand modalitati variate de exprimare

sa manifeste perseverenta si interes pentru gasirea de solutii noi in rezolvarea unei probleme

II.Obiective operationale:

formative:

elevii sa poata sa aplice teorema lui Thales si reciproca acesteia

elevii sa stie definitia triunghiurilor asemenea

elevii sa poata aplica teorema fundamentala a asemanarii

elevii sa poata aplica criteriile de asemanare ale triunghiurilor

B. afective:

stimularea curiozitatii si imaginatiei

dezvoltarea simtului estetic si critic

dezvoltarea atentiei concentrate si a spiritului de observatie

III.Strategii didactice:

mijloace si materiale didactice: instrumente geometrice, fise de lucru, plansa cu desene, creta colorata

metode de invatamant: conversatia euristica, metoda exercitiului, transferarea cunostintelor

Bibliografie

St. Ianus, N. Soare, L. Niculescu, S. Dragomir, M. Tena – Probleme de geometrie si trigonometrie pentru clasele IX-X, E.D.P, 1983

D. Branzei, S. Anita, E. Onofras, Gh. Isvoranu – Bazele rationamentului geometric, Ed. Academiei, 1983.

www.didactic.ro

http://str.calificativ.ro/referate/txt/referat.clopotel.ro-6356.txt

http://www.referatele.com/referate/diverse/online8/Relatia-lui-Van-Aubel-si-aplicatii-la-rezolvarea-problemelor-de-geometrie-referatele-com.php

http://docslide.net/documents/relatia-lui-van-aubel.html

http://exmatecta.wikispaces.com/file/view/cls7_lectia7.docx

http://drugauviorel.weebly.com/clasa-a-vii-a-geo.html

http://iscbihor1na.wikispaces.com/file/view/Plan+Unitate+Grecu+Ioan+1.doc/204579932/Plan+Unitate+Grecu+Ioan+1.doc

http://www.mateonline.net/matematicieni/thales.htm

http://str.calificativ.ro/referate/txt/referat.clopotel.ro-10454.txt

http://thales7a.wikispaces.com/file/view/Thales+din+Milet+istorie+2.doc

http://www.ziarist.ro/wiki/1473061/Thales/3

https://ro.scribd.com/doc/220783045/Triunghiuri-asemenea-pdf