Teorema lui Lagrange  si teorema lui Cauchy Theorem 1.1. (J. Lagrange 1736-1813, a cre sterilor nite) Fie f o funct ie Rolle pe un interval… [600367]

1 CAPITOLUL I 1
1 Capitolul I

Teorema lui Lagrange  si teorema lui Cauchy
Theorem 1.1. (J. Lagrange 1736-1813, a cre sterilor nite)
Fie f o funct ie Rolle pe un interval compact [a; b]. Atunci exist a c2(a; b)astfel ^ nc^ at
f(b)f(a) = (ba)f′(c)
Proof. Vom considera funct ia auxiliar a F(x)=f(x)+kx x2[a; b] cu k constant a real a pe
care o vom determina din F(a)=F(b).
A sadar,
f(a) + ka = f(b) + kb ;decik=f(b)f(a)
ba
Pentru acest k, funct ia F veric a condit iile teoremei lui Rolle,  si ca atare exist a un punct
c2(a; b)^ n care F′(c) = 0 :Pe de alt a parte,
F′(x) =f′(x) +k;8×2(a; b)
deci
f′(c) +k= 0; f′(c) +f(b)f(a)
ab= 0
 si se obt ine relat ia din enunt .
Interpretarea geometric a : Rezult a din interpretarea geometric a a derivatei  si este urm a
roarea: exist a cel put in un punct c 2(a; b) pentru care tangenta la gracul lui f ^ n (c,f(c))
este paralel a cu "coarda" determinat a de punctele (a,f(a)), (b,f(b)).
Theorem 1.2. (Teorema lui Cauchy)
2

1 CAPITOLUL I 3
Fie f, g dou a funct ii Rolle pe intervalul compact [a,b], a <b, astfel ^ nc^ at g′(0)̸= 0;8×2
(a; b)atunci exist a un punct c 2(a; b)astfel ^ nc^ at
f(b)f(a)
g(b)g(a)=f′(c)
g′(c)
Proof. Condit ia g′(0)̸= 0 pentru orice x2(a; b) implic a faptul c a g(a)̸=g(b) .^I ntr-
adev a r, dac a g(a) =g(b) aplic^ and teorema lui Rolle ar rezulta c a 9c2(a; b) astfel ^ nc^ at
g′(c) = 0, ceea ce contravine ipotezei.
Consider a m funct ia ajut a toare F(x) =f(x) +kg(x); k2R si determin a m constanta k
caF(a) =F(b) , deci
k=f(b)f(a)
ba
Aplic^ and teorema lui Rolle funct iei Fcukastfel determinat, exist a c2(a; b) astfel ^ nc^ at
F′(c) = 0. Dar
F′(x) =f′(x) +kg′(x)8×2(a; b)
deci
f′(c) +kg′(c) = 0
k=f′(c)
g′(c)
de unde se obt ine relat ia din enunt .
Remark. Teorema lui Lagrange poate  obt inut a prin aplicarea Teoremei lui Rolle funct iei
h: [a; b]!R
h(x) =x f(x) 1
b f(b) 1
a f(a) 1
a < b  sifcontinu a pe [a; b], derivabil a pe (a; b).

1 CAPITOLUL I 4
Evident
h(a) =h(b) = 0
h(x) =x(f(b)f(a))f(x)(ba) +bf(a)af(b)
h′(x) =f(b)f(a)f′(x)(ba)
9c2(a; b)astfel ^ nc^ at h′(c) = 0 . Rezult a
f(b)f(a)
ba=f′(c)
Theorem 1.3. Teorema lui Cauchy generalizat a .
Fiea; b2R; a < b  si f; g : (a; b)!Rdou a funct ii cu propriet a t ile:
1◦f(a+); f(b); g(a+); g(b)exist a  si sunt nite;
2◦f  si g sunt derivabile  si g′(x)̸= 0 (8)x2(a; b):Atunci g(a+)̸=g(b) si9c2(a; b)astfel
^ nc^ at
f(b)f(a+)
g(b)g(a+)=f′(c)
g′(c)
Proof. Avem g(a+)̸=g(b) altfel ar rezulta c a 9c2(a; b) cug′(c) = 0, absurd.
Fieφ: (a; b)!Ro funct ie denit a astfel:
φ(x) = [f(b)f(a+)]
[g(x)g(a+)][g(b)g(a+)]
[f(x)f(a+)]
Evident φderivabil a  si φ(a+) =φ(b) = 0 deci (9)c2(a; b) astfel ^ nc^ at φ′(c) = 0  si se
continu a ca ^ n teorema nr lui Cauchy.
Theorem 1.4. (D. Pompeiu) Fie f: [a; b]!Ro funct ie continu a pe [a,b], derivabil a pe
(a,b)  si strict pozitiv a pe [a,b]. Atunci 9c2(a; b)astfel ^ nc^ at

1 CAPITOLUL I 5
f(b)
f(a)=e(ba)f′(c)
f(c)
Proof. Aplic a m Teorema lui Lagrange funct iei
F(x) = ln f(x)
A sadar,9c2(a; b) astfel ^ nc^ at
F(b)F(a) = (ba)F′(c)
Cum F′(c) =f′(c)
f(c)8×2(a; b);rezult a
lnf(b)
f(a)= lnf(b)lnf(a) = (ba)f′(c)
f(c)
Corollary 1.5. e1x<1
x8x2(0;1)
Proof. Fiex2(0;1) xat  si a,b2R+; a < b astfel ^ nc^ at x=a
b. Aplic^ and Teorema lui
Pompeiu pentru funct ia f(x) =x; x2[a; b] avem
b
a=e(ba)1
c> e(ba)1
b=e1a
b:
Theorem 1.6. (Formula de medie)
Fief; g: [a; b]!Rdou a funct ii integrabile cu g 0. Atunci (9)
2[m; M ], unde
m:= inf f([a; b])
M:= sup f([a; b])
astfel ^ nc^ at
b
afg =
b
ag

1 CAPITOLUL I 6
^I n particular, dac a g=1, avem
b
af=
(ba)
Proof. Evident avem mfMdeci
mgfgMg
 si deci
mb
agb
afgMb
ag
i) Dac a
b
ag= 0 atunci
b
afg = 0 ;deci putem lua
orice num a r din [m,M]
ii) Dac a
b
a>0 atunci

:=
b
afg

b
ag2[m; M ]
 si avem
b
afg =
b
af
Corollary 1.7. Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a  si g: [a; b]!Ro funct ie integrabil a
 si nenegativ a . Atunci (9)2[a; b]astfel ^ nc^ at
b
afg = f()b
ag
^I n particular, dac a g=1, avem
b
af= (ba)f():

1 CAPITOLUL I 7
Proof. Din teorema anterioar a rezult a c a ( 9)
2[m; M ] unde m= inf f([a; b])  siM=
supf([a; b]) astfel ^ nc^ at
b
afg =

b
ag
Funct ia f ind continu a , exist a x0; x12[a; b] astfel ^ nc^ at
f([a; b]) = [ f(xo); f(x1)] = [ m; M ]
deci
2f([a; b])  si deci92[a; b] cuf() =
:
Remark.
1) Punctul nu este numaidec^ at unic determinat
2) Fie f: [a; b]!Ro funct ie integrabil a . Atunci num a rul
[f] :=1
bab
af
se nume ste valoarea medie a lui f pe [a,b].
Lemma 1.8. Fief; g: [a; b]!Rdou a funct ii integrabile  si
∆n= (a=x0< x 1< ::: < x n=b)
cu
xk:=a+k
n(ba):
Atunci (8)i2[mi(f); Mi(f)] sii2[mi(g); Mi(g)]avem relat ia
lim
n!1n∑
i=1ii(xixi1) =b
afg
Proof. FieL=
b
afg  si" >0 xat.
Deoarece∥∆n∥! 0 (n!0), rezult a c a

1 CAPITOLUL I 8
ba
nn∑
i=1(fg)(xi)!b
afg ( n!1 )
deci9N′>1 astfel ^ nc^ at
Lba
nn∑
i=1(fg)(xi)<"
3(8)nN′
Atunci (8)nN′avem
Ln∑
i=1ii(xixi1)jLba
nn∑
i=1(fg)(xi)j+ba
nn∑
i=1g(xi)(f(xi)i)j+
+ba
nn∑
i=1i(g(xi)i)j"
3+∥g∥1ba
nn∑
i=1(Mi(f) +mi(f))+
+∥f∥1ba
nn∑
i=1(Mi(g)mi(g))
"
3+∥g∥1(Sf(∆n)sg(∆n)) +∥f∥1(Sg(∆n)sg(∆n)):
Funct iile f  si g ind integrabile, rezult a c a ( 9)N′′1 astfel ^ nc^ at
Sf(∆n)sf(∆n)"
3∥g∥1
Sg(∆n)sg(∆n)"
3∥f∥1
(8)nN′:
Prin urmare (8)nN:= maxfN′; N′′gavem:
Lba
nn∑
i=1(fg)(xi)j"
3+"
3+"
3="

1 CAPITOLUL I 9
deci
lim
n!ba
nn∑
i=1(fg)(xi) =L:
Theorem 1.9. (a II-a formul a de medie).
Fief; g: [a; b]!Rdou a funct ii integrabile cu g monoton a . Atunci (9)2[a; b]astfel
^ nc^ at
b
afg = g(a)
af+g(b)b
g
Proof. Presupunem g0;g monoton a descresc a toare  si e n2N si
∆n= (a=x0< x 1< ::: < x n=b)
xk:=a+k
n(ba)
Not a m
i:=1
xixi1xi
xi1f (i21; n)
Din I formul a de medie avem
mi(f)iMi(f)8i21; n
deci conform Lemei
b
afg = lim
n!1n∑
i=1ig(xi1)(xixi1)
Dac a F(x) :=
x
af; x2[a; b];atunci avem:

1 CAPITOLUL I 10
i(xixi1) =xi
xi1f=xi
afxi1
af=F(xi)F(xi1)
Ln=n∑
i=1ig(xi1)(xixi1) =n∑
i=1g(xi1)F(xi1)(F(xi)F(xi1)) =
=n∑
i=1g(xi1)F(xi)n∑
i=1g(xi1)F(xi1) =n∑
i=1g(xi1)F(xi)n∑
i=1g(xi)F(xi) =
=g(xn1)F(xn) +n1∑
i=1(g(xi1)g(xi))F(xi):
Not a m
M:= sup F([a; b])
m:= inf F([a; b])
 si t in^ and seama c a g(xn1)>0  sig(xi1)g(xi)08i21; n, rezult a
Lng(xn1)M+n1∑
i=1(g(xi1)g(xi))M=M g(a)
 si analog
Lmm g(a);
deci
m1
g(a)LnM
Cum
lim
n!1Ln=b
afg

1 CAPITOLUL I 11
avem
m1
g(a)b
afgM
Funct ia F ind continu a avem:
F([a; b]) = [ m; M ] deci (9)2[a; b] astfel ^ nc^ at
F() =1
g(a)b
afg
 si deci
b
afg = g(a)
f:
a
Revenind la cazul general, presupunem g monoton descresc a toare arbitrar a  si e h(x) =
gg(b):Atunci h0  si h monoton descresc a toare, deci din rat ionamentul f a cut rezult a
c a (9)2[a; b] astfel ^ nc^ at
b
afg = h(a)
af
 si deci
b
a(fgfg) = ( g(a)g(b))
af
prin urmare
b
afg = g(b)b
af+ (g(a)g(b))
af=g(a)
af+g(b)b
f:
Corollary 1.10. Fief; g: [a; b]!Rdou a funct ii integrabile astfel ^ nc^ at g este monoton
descresc a toare  si nenegativ a . Atunci (9)2[a; b]astfel ^ nc^ at

1 CAPITOLUL I 12
b
afg = g(a)
af
Remark. A II-a formul a de medie se mai nume ste Teorema Bonnet-Weierstrass.
Inegalitatea lui Ostrowski via teorema de medie a lui Pompeiu
Urm a torul rezultat este cunoscut ^ n literatura matematic a ca inegalitatea lui Ostrowski.
Theorem 1.11. Fief: [a; b]!Ro funct ie derivabil a pe (a,b) cu proprietatea c a jf′(t)j
M;8t2(a; b):Atunci
f(x)1
bab
af(t) dt2
41
4+(
xa+b
2
ba)23
5(ba)M;8×2[a; b]:
Remark. Constanta1
4este cea mai bun a posibil a , ^ n sensul c a nu poate  ^ nlocuit a cu
una mai mic a .
^I n [2], autorul demonstreaz a urm a toarea inegalitate de tip Ostrowski:
Theorem 1.12. Fief: [a; b]!Rcontinu a pe [a,b], cu a >0,  si derivabil a pe (a,b). Fie
p2R
hspace 0:222222 emf0g si presupunem c a :
Kp(f′) := sup
u2(a;b){
u1pjf′(u)j}
<1
Atunci avem:
f(x)1
bab
af(t) dtKp(f′)
jpj(ba)
8
<
:2xp(xA) + ( bx)Lp
p(b;x)(xa)Lp
p(x;a); dac a p2(0;1)
(xa)Lp
p(x; a)(bx)Lp
p(b; x)2xp(xa); dac a p2(1;1)[(1;0)
(xa)L1(x; a)(b; x)L1(b; x)2
x(xa); dac a p=1
8×2(a; b); a̸=b

1 CAPITOLUL I 13
A=A(a; b) :=a+b
2media aritmetic  a
Lp=Lp(a; b) =[bp+1ap+1
(p+ 1)( ba)]1
p
este media plogaritmic a :
Alt rezultat de acest gen este obt inut tot ^ n aceea si lucrare:
Theorem 1.13. Fief: [a; b]!Rcontinu a pe [a,b] (cu a >0), derivabil a pe (a,b). Dac a
p(f′) := sup
u2(a;b)ju f′(x)j<1
atunci avem inegalitatea:
f(x)1
bab
af(t) dtp(f′)
ba[
ln[
[I(x; b)]bx
[I(a; x)]xa]
+ 2(xA) lnx]
8×2(a; b); a̸=b
I=I(a; b) :=1
e(bb
aa)1
ba
Cunosc^ and anumite informat ii ^ ntr-o vecin a tate a punctului x2(a; b);putem stabili urm a
torul rezultat:
Theorem 1.14. Fief: [a; b]!Rcontinu a pe [a,b]  si derivabil a pe (a,b). Fie p2
(0;1) si presupunem c a pentru un x2(a; b)dat avem:
Mp(x) := sup
u2(a;b){
jxuj1pjf′(u)j}
<1
Atunci avem inegalitatea:
f(x)1
bab
af(t) dt1
p(p+ 1)( ba)[
(xa)p+1+ (bx)p+1]

Mp(x)
^I n continuare ne propunem s a obt inem c^ ateva rezultate complementare, folosind Teorema
de medie a lui Pompeiu, ^ n loc s a folosim Teorema lui Cauchy.

1 CAPITOLUL I 14
^I n 1946 Pompeiu d a o variant a a teoremei lui Lagrange cunoscut a ca teorema de medie
a lui Pompeiu.
Theorem 1.15. Pentru orice funct ie cu valori reale, derivabil a pe un interval [a,b] ce nu
cont ine pe 0,  si8x1̸=x2din [a,b], atunci92(x1; x2)astfel ^ nc^ at
x1f(x2)x2f(x2)
x1x2=f() f′()
Proof. Denim F:[1
b;1
a]
!RprinF(t) =t f(1
t)
Cum f este derivabil a pe(1
b;1
a)
 si
F′(t) =f(1
t)
1
tf′(1
t)
Aplic^ and Teorema lui Lagrange funct iei F pe un interval [ x; y][1
b;1
a]
g a sim
F(x)F(y)
xy=F′();cu2(x; y)
Fie
x2=1
x; x1=1
y si=1

Cum 2(x; y) avem x1<  < x 2.
Avem
x f(1
x)
y f(
1
y)
xy=f(1
)
1
f′(1
)
adic a
x1f(x2)x2f(x1)
x1x2=f()f′()
ceea ce ^ ncheie demonstrat ia teoremei.

1 CAPITOLUL I 15
Interpretare geometric a : Ecuat ia secantei ce une ste punctele ( x1; f(x1))  si(x2; f(x2)) este
dat a de
y=f(x1) +f(x2)f(x1)
x2x1(xx1)
Aceast a dreapt a intersecteaz a axa Oy ^ n punctul (0,y) unde
y=f(x1) +f(x2)f(x1)
x2x1(0x1) =x1f(x2)x2f(x1)
x1x2
Ecuat ia tangentei ^ n punctul ( ; f()) este
y= (x)f′() +f():
Tangenta intersecteaz a axa Oy ^ n punctul (0,y) unde
y=f′() +f()
Interpretarea geometric a a Teoremei lui Pompeiu este: tangenta^ n punctul ( ; f()) intersecteaz a
axa Oy ^ n acela si punct ca  si secanta care une ste punctele ( x1; f(x1))  si ( x2; f(x2)):
Evaluarea integralei de medie
Theorem 1.16. Fief: [a; b]!Rcontinu a pe [a,b], derivabil a pe (a,b) cu 0=2[a; b]:Atunci
pentru orice x2[a; b]avem:
a+b
2
f(x)
x1
bab
af(t) dtba
jxj2
41
4+(
xa+b
2
ba)23
5
∥fl f∥1
unde l(t) =t8t2[a; b]
Constanta1
4este cea mai bun a posibil a .
Proof. Aplic^ and teorema de medie a lui Pompeiu pentru orice x; t2[a; b];cu^ ntre x si
tastfel ^ nc^ at
t f(x)x f(t) = [f()f′()](tx)

1 CAPITOLUL I 16
avem
(1)jt f(x)x f(t)jsup
2[a;b]jf()f′()jjxtj=
=∥fl f′∥18t; x2[a; b]
Integr^ and pe [a,b] dup a t avem:
(2)f(x)b
atdtxb
af(t) dt∥fl f∥1b
ajxtjdt =
=∥fl f′∥1[
(xa)2+ (bx)2
2]
=
=∥fl f′∥1[
1
4(ba)2+(
xa+b
2)2]
 si cum
b
atdt =b2a2
2din (2) rezultatul dorit.
Presupunem c a9k >0 o alt a alegere a constantei
Avem
a+b
2f(x)
x1
bab
af(t) dt
ba
jxj2
4k+(
xa+b
2
ba)23
5∥fl f′∥1
8×2[a; b]
Consider a m f: [a; b]!R; f(t) =t+; ; ̸= 0:
Atunci,
∥fl f′∥1=jj;

1 CAPITOLUL I 17
1
bab
af(t) dt =a+b
2
+
 si din inegalitatea precedent a deducem
a+b
2(
+
x)
(a+b
2+)
jba
jxj2
4k+(
xa+b
2
ba)23
5jj
 si ^ n nal
(3)a+b
2x(ba)k+(
xa+b
2
ba)2
8×2[a; b]
Dac a ^ n (3) lu a m x=asaux=bdeducem k1
4ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
Corollary 1.17. ^I n ipotezele teoremei 1.16 (anterioar a ) avem:
f(a+b
2)
1
bab
af(t) dtba
2ja+bj∥fl f′∥1
Exercise 1.18. Fief: [a; b]!R
+o funct ie continu a neconstant a  si n 2Nxat. Atunci
exist a 1; 2; ::: ;  n2[a; b];distincte ^ ntre ele astfel ^ nc^ at
1
nn∑
i=1f(i) ( respectiv(n∏
i=1f(i))1
2
) =1
bab
af(x) dx
Solution 1.19.
S a ar a t a m prima parte a armat iei din enunt .
Conform primei formule de medie exist a 2[a; b]astfel ^ nc^ at
f() =1
bab
af(x) dx:
Deoarece f0;rezult a imediat relat ia
m < f ()< M;

1 CAPITOLUL I 18
unde
m= inf f([a; b])  siM= sup f([a; b]):
Atunci exist a y1; y2; :::; y n2[m; M ]astfel ^ nc^ at
f() =1
nn∑
i=1yi
Fiei2[a; b]cuf(i) =yi(1in):
Evident avem:
1
nn∑
i=1f(i) =1
bab
af(x) dx
Exercise 1.20. Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a  si nenegativ a . Atunci (8)n
1exist a
0x1x2:::xn1
o diviziune a intervalului [0,1] de norm a mai mic a sau egal a cu2
ncu proprietatea c a
(1
0f)2
1
nn∑
k=1f2(xk)
Solution 1.21. Utiliz^ and inegalitatea lui Cauchy  si apoi formula de medie, obt inem:
(1
0f)2
=(n∑
k=1k=n
(k1)=nf)2
nn∑
k=1k=n
(k1)=nf2=
=n[k
nk+ 1
n]2n∑
k=1f2(xk) =1
nn∑
k=1f2(xk)
unde xk2[k1
n;k
n]
.

2 CAPITOLUL II 19
2 Capitolul II
Teorema de medie pe Rn
^I n cele ce urmeaz a , plec^ and de la o analiz a atent a a teoremei lui Lagrange pentru funct ii
reale, vom pune ^ n evident  a dou a forme ale acesteia pentru funct ii vectoriale: una pentru
cazul funct iilor denite pe submult imi ale lui Rncu valori reale  si alta pentru funct ii
denite pe submult imi ale lui Rncu valori ^ n Rm.
Dac a pentru prima teorem a vom constata o form a analoag a aceleia ^ n care funct iile sunt
denite pe intervale compacte din R, vom  surprin si, la prima vedere, de ce-a de-a doua
form a care nu se mai exprim a printr-o egalitate ci printr-o inegalitate.
S a trecem la demonstrarea primei teoreme de medie pentru funct ii denite pe submult imi
ale lui Rncu valori reale.
Theorem 2.1. (Teorema de medie pentru funct ii cu valori reale)
Fie [a,b] un segment din Rn. Dac a f:D!Reste diferent iabil a pe un deschis D din
Rncare cont ine segmentul [a,b], atunci exist a un punct
2A=fx2Rnjx=a+(ba); 2(0;1)Rg
a sa ^ nc^ at
f(b)f(a) =d f()(ba):
Proof. S a denim funct ia G: [0;1]!Dprin
G(t) =a+t(ba)8t2[0;1]
Evident G este continu a pe [0,1], G((0,1))=A  si c a G este diferent iabil a pe (0,1).
Conform teoremei de diferent iere a funct iilor compuse, funct ia
 =f◦G: [0;1]!R
este diferent iabil a pe (0,1) iar
d(t) =d f(G(t))◦dG(t)8t2(0;1)

2 CAPITOLUL II 20
Dac a h este arbitrar din R, atunci
d(t) (h) =d f(G(t))◦d G(t) (h) (0)
Dar
d(t) (h) = ′(t) (h) (0′)
iar
d G(t) (h) = ( dg1(t) (h); dg 2(t) (h); :::; dg n(t) (h)) (1)
(aici G= (g1; g2; :::; g n) cugi: [0;1]!R; i21; n)
^I nlocuind
d gi(t) (h) =gi′(t)h
^ n (1) avem
d G(t) (h) = (g1′(t)h; g2′(t)h; ::: ; g n′(t)h)
care introdus a ^ n (0), ^ mpreun a cu (0') antreneaz a
′(t)h=d f(G(t)) (g1′(t)h; g2′(t)h; ::: ; g n′(t)h)
sau
′(t) =d f(G(t)) (g1′(t); g2′(t); ::: ; g n′(t)) (2)
Dac a a= (a1; a2; :::; a n)  sib= (b1; b2; :::; b n) atunci
gi′(t) =biai; i21; n
 si deci din (2) obt inem:
′(t) =d f(G(t)) (b1a1; b2a2; ::: ; b nan) =

2 CAPITOLUL II 21
=d f(G(t)) (ba)
Observ a m acum c a funct ia  : [0 ;1]!Rsatisface condit iile teoremei lui Lagrange
^ ntruc^ at  este continu a pe [0,1], ind compunerea funct iilor continue G  si f,  si este deriv-
abil a pe (0,1).
Atunci9un punct 2(0;1) astfel ^ nc^ at
(1)(0) = ′() (4)
Dar (1) = f(b)  si (0) = f(a)  si atunci (4) devine, t in^ and cont  si de (3),
f(b)f(a) =d f(G()) (ba)
unde
G() =a+(ba)2A
Not^ and cu =G();obt inem
f(b)f(a) =d f() (ba)
Remark. ^I n principal teorema va  aplicat a pentru a estima diferent a ^ ntre f(x+h)  si
f(x) atunci c^ and se cunoa ste h.
Corollary 2.2. Dac a ^ n ipotezele teoremei precedente mult imea
f∥d f(u)∥;u2Dg
este majorat a de M, atunci
jf(b)f(a)jM∥ba∥
unde∥d f(u)∥^ nseamn a norma operatorului d f(u).
Proof. Fie M >0 astfel ^ nc^ at∥d f(u)∥M(8)u2D:

2 CAPITOLUL II 22
T  in^ and cont de inegalitatea care ne asigur a c a dac a T:X!Yeste un operator liniar
continuu ^ ntre dou a spat ii normate, atunci
∥T(x)∥∥ T∥∥x∥ 8 x2X
obt inem
jf(b)f(a)j=∥d f()(ba)∥∥ d f()∥∥ba∥M∥ba∥
Theorem 2.3. (de medie pentru funct ii vectoriale)
Fie funct ia F:D!Rm;unde D este un deschis din Rn(n1; m1);diferent iabil a pe
D.
Dac a exist a M >0 astfel ^ nc^ at
∥d F(x)∥Mpentru8x2C
unde C este o mult ime convex a inclus a ^ n D, atunci pentru orice dou a puncte a,b 2Care
loc inegalitatea
∥F(b)F(a)∥M∥ba∥
Proof. Fie funct ia auxiliar a φ: [0;1]!Rmdenit a prin
φ(t) =F(a+t(ba)) (8)t2[0;1]R
Se vede c a
φ(1) = F(b)  siφ(0) = F(a)
Fie" >0 arbitrar. S a not a m prin
A=ft2[0;1];∥φ(t)φ(0)∥M t∥ba∥+"t+"g:
^I ntruc^ at φeste obt inut a prin compunerea a dou a funct ii diferent iabile, este o funct ie
diferent iabil a , deci continu a , atunci A este o mult ime ^ nchis a .

2 CAPITOLUL II 23
^I n acela si timp, se observ a c a A este nevid a (cont ine cel put in punctul 0)  si m a rginit a .
Prin urmare, A este o mult ime compact a .
Fie= sup A:Cum A este compact a  si este un punct aderent mult imii A rezult a c a
2A :
T  in^ and seama de continuitatea lui φ^ n 0, rezult a c a exist a  >0 astfel ^ nc^ at
∥φ(t)φ(0)∥< "M+∥ba∥+"t+";
pentrujtj< 
ceea ce antreneaz a c a exist a cel put in un punct t >0 astfel ^ nc^ at t2A; prin urmare  >0:
S a ar a t a m c a = 1:^I ntr-adev a r, dac a am presupune c a  <1;^ ntruc^ at
a+(ba)2(a; b) = [a; b]hspace 0:222222 emfa; bg;  > 0
iar f este diferent iabil a pe D, rezult a φdiferent iabil a ^ n  si atunci pentru orice 0 <t<are
loc inegalitatea
∥φ(+t)φ()∥∥ dφ()∥t+"tM t∥ba∥+"t
De aici obt inem
∥φ(+t)φ(0)∥∥ φ(+t)φ()∥+∥φ()φ(0)∥
M t∥ba∥+"t+M∥ba∥+"+"=
=M(+t)∥ba∥+ (+t)"+"
care presupune c a +t2A, ceea ce contrazice faptul c a = sup A:Deci = 1:
Atunci t in^ and seama c a = 12Aavem:
∥φ(1)φ(0)∥M∥ba∥+ 2";

2 CAPITOLUL II 24
cum "este arbitrar,
∥F(b)F(a)∥M∥ba∥
De aici obt inem imediat:
Corollary 2.4. FieF:D!Rm, unde D este un deschis din Rn(n1; m1),
diferent iabil a pe D. Dac a a; b2Dala ^ nc^ at segmentul [a; b]D;atunci are loc inegali-
tatea
∥F(b)F(a)∥∥ ba∥sup
x2(a;b)∥d F(x)∥
Exercise 2.5. Fieu: Ω!R;ΩRn si presupunem c a exist a x02Ω;9r > 0astfel
^ nc^ at B(x0;2r)Ω:
S a se demonstreze c a exist a real astfel ^ nc^ at
ju(x)u(y)jjxyj(2r)1rN
r
sup
B(x0;2r)juj; x; y2B(x0; r)
Solution 2.6. Fiex; y2B(x0; r). A sadarjxyj<2r
Cu teorema de medie avem:
ju(x)u(y)jjxyj
sup
z2[x;y]j∇u(z)j
jxyjN
rsup
B(x0;r)j∇ujjxyjN
r
sup
B(x0;2r)juj
jxyjjxyj1N
r
sup
B(x0;2r)juj
jxyj(2r)1rN
r
sup
B(x0;2r)juj

3 CAPITOLUL III 25
3 Capitolul III
Formula de medie pentru funct ii armonice
Fie ΩRndeschis
Theorem 3.1. (Formula de medie): Fie u: Ω!Ro funct ie armonic a . Atunci:
i)u(x) =
@B(x;r)u(y)d(y)8×2Ω; B(x; r)Ω
ii)u(x) =
B(x;r)u(y)dy8x2Ω; B(x; r)Ω
Proof. Presupunem c a am demonstrat punctul i)  si ^ n continuare demonstr a m punctul
ii):

B(x;r)u(y)dy=N
!NrN
B(x;r)u(y)dy=N
!NrNr
00
B@
@B(x;1)u(y)d(y)1
CAds=
=N
!NrNr
0(
u(x)!NsN1)
dsi)=N
!NrN
!Nu(x)r
0sN1ds=
=u(x)
ii) Fix a m x2Ω  si denim
φ(r) =
@B(x;r)u d =1
!nrN1
@B(x;r)u(y)d(y)
Dorim s a demonstr a m c a
φ′(r) = 0  si φ(r) =u(x); y2@B(x; r)
dac a  si numai dac a
jyxj=radic a yx=r zpentru z2@B(x;1)
Efectu a m schimbarea de variabil a

3 CAPITOLUL III 26
y=x+r z
d(y) =d(x+rz) =rN1d(z)
φ(r) =1
!nrN1
@B(0;1)u(x+rz)rN1d(z) =1
!N
@B(0;1)u(x+r z)d(z)
Calcul a m
φ′(r) =1
!N
@B(0;1)z
∇u(x+rz)d(z) =
=1
!N
@B(x;r)∇u(y)
yx
r1
rN1d(y) =1
!nrN1
@B(x;r)∇u(y)yd(y) =
=1
!nrN1
@B(x;r)∆u(y)d(y) = 0
Deci φ(r)c0;80< r < d (x; @Ω) unde c0este o constant a real a
c0= lim
r↘0
@B(x;r)u d =u(x)
Am obt inut astfel φ(r)u(x):
Am folosit aici un rezultat apart in^ and lui A. Lebesgue,  si anume:
Lemma 3.2. Fiex02Rn siu:Rn!Ro aplicat ie continu a .
Atunci
lim
r!0
@B(x0;r)u d =u(x0)

3 CAPITOLUL III 27
Proof. Estim a m

@B(x0;r)u du(x0)j=1
!nrN1
@B(x0;r)u du(x0)
1j=
1
!nrN1
@B(x0;r)u d(y)u(x0)1
!nrN1
@B(x0;r)d(y)j=
=1
!nrN1
@B(x0;r)[u(y)u(x0)]d(y)1
!nrN1
@B(x0;r)" d
Remark. Dac a u este o funct ie liniar a (deci armonic a ) pe un interval al axei reale,
atunci valoarea sa pe orice punct este media aritmetic a a valorilor pe extremit a t ile oric a
rui subinterval centrat ^ n acel punct. Formula de medie pentru funct ii armonice este
o generalizare interesant a a acestei propriet a t i pentru funct ii armonice da mai multe
variabile.
O aplicat ie interesant a a formulei de medie este urm a toarea teorem a a lui Newton:
Theorem 3.3. (Teorema lui Newton)
"C^ ampul gravitat ional al unui corp sferic omogen este, ^ n exteriorul acestuia, identic cu
c^ ampul unui corp punctiform de mas a egal a , plasat ^ n centrul sferei."
Remark. Acest principiu fundamental permite ca ^ n studiul interact iunii corpurilor sferice,
de exemplu planetele, acestea s a e ^ nlocuite cu puncte materiale.
Proof. ^I ntr-adev a r, m a rimea c^ ampului gravitat ional al unei sfere de raz a R  si de centru
x0, ^ ntr-un punct exterior x, este egal a cu

(x0) =
@B(x0;r)c
jxyjdy
unde c este produsul densit a t ii de mas a cu constanta gravitat iei. Funct ia

3 CAPITOLUL III 28
u(y) =cjxyj1
este armonic a pe R3ff0g si deci

(x)
4R2=u(x0)
A sadar,

(x) = 4 R2c
xx0
ceea ce trebuia demonstrat.
^I n continuare prezent a m o demonstrat ie alternativ a a formulei de medie pentru funct ii
armonice folosind teorema Green-Riemann:
Fier >0;Ω := B(x; r);iaru:Ω!Ro funct ie armonic a .
Aplic a m Teorema Green-Riemann  si obt inem:
u(x) =
B(x;r)∆u(y)E(xy)
@B(x;r)@u
@(y)E(xy)d(y)+

@B(x;r)u(y)@E(xy)
@yd(y)
Estim a m
I=
B(x;r)@u
@(y)E(xy)d(y)
Cazul N=2:
I=
B(x;r)@u
@(y)1
2lnjxyjd(y) =

3 CAPITOLUL III 29
1
2lnr
B(x;r)∆u(y) dy = 0
Cazul n3 :
I=1
!N(2N)
B(x;r)@u
@(y)1
jxyjN2d(y) = 0
A sadar,
u(x) =
@B(x;r)u(y)@E
@y(xy)d(y) =
=
@B(x;r)u(y)∇yE(xy)y(xy)d(y) =
=
@B(x;r)u(y)1
!Nyx
jyxjNyx
jxyjd(y) =
=1
!NrN1
@B(x;r)u(y)d(y) =
@B(x;r)u(y)d(y)
pentru (8)r >0;B(x; r)Ω
Unde E(x) reprezint a solut ia fundamental a a ecuat iei lui Laplace
E(x) ={
1
(N2)!NjxjN2;pentru N3
1
2lnjxj ;pentru N= 2
!N=2n
2
(n
2)m a sura sferei unitate din RN( este func t ia lui Euler)
jxj=(N∑
j=1×2
j)1
2

3 CAPITOLUL III 30
Aplicat ii ale teoremei de medie pentru funct ii armonice
Exercise 3.4. Pentru orice 2NN
hspace 0:222222 emf0gexist a o constant a c=c(N; )astfel ^ nc^ at, dac a u este o funct ie
armonic a  si m a rginit a pe ΩRNatunci
jDu(x)jc
(dist ( x; @Ω))jjsup
Ωjuj; x2Ω
Solution 3.5. Dac a @Ω =  , adic a Ω =RN;inegalitatea de demonstrat revine la faptul
c aD2(u)este funct ie nul a , ceea ce rezult a din Teorema lui Liouville.
Fie deci @Ω̸= . Se poate demonstra c a dac a u2C2(Ω)este o funct ie armonic a pe Ω,
atunci u2C1(Ω) si pentru orice 2NNfunct ia D2(u)este armonic a pe Ω:
Pe baza acestei observat ii este sucient s a estim a m derivatele de ordinul ^ nt^ ai.
Pentru r <dist ( x; @Ω), avem:
@u
@xj(x) =N
!NrN
B(r;x)@u
@xj(y) dy =N
!NrN
@B(r;x)u(y)j(y)d
 si inegalitatea rezult a dac a se t ine cont de faptul c a
jjj1  sir m as(@Br) =N m as(Br)
Exercise 3.6. S a se demonstreze c a inegalitatea de la exercit iul anterior are loc pentru
urm a toarea expresie a constantei c:
c(N; ) = (N e)jjjj!
e
Solution 3.7. Se presupune c a formula este adev a rat a pentru  si se arat a c a ea r a
m^ ane valabil a  si pentru cu
jj=jj+ 1
Pentru un astfel de avem
Du=@Du
@xj

3 CAPITOLUL III 31
pentru un anumit j.
Fix a m un num a r 2(0;1) si aplic a m versiunea "plin a " a formulei de medie funct iei
Du si bilei Br(x), unde ca mai sus, r <dist ( x; @Ω).
Obt inem
D2u(x) =1
!N(r)N
Br(x)@D2u
@xjdy =
=1
!N(r)N
Br(x)Du(y)yixj
jyxjdy
^I ns a dup a cum s-a presupus, avem
jDu(y)j(N e
(1)r)jjjj!
esup
Ωjuj; y2@Br(x)
Rezult a
Du(y)(N e
r)jj+11
(1)jjjj!
e2sup
Ωjuj
^I n nal se alege
=1
jj
 si se folose ste inegalitatea:
(
11
jj)jj
(
11
jj)jj
e:
Theorem 3.8. Teorema lui Liouville
O funct ie armonic a pe Rnm a rginit a inferior sau superior este constant a .
Proof. F a r a a restr^ ange generalizarea se poate presupune c a u0:

3 CAPITOLUL III 32
Fiex1; x22RNdou a puncte arbitrare  si
r1=r2+jx1x2jr2>0
Atunci
B2=B(r2; x2)B r 1(x1) =B1
 si aplic^ and versiunea "plin a " a formulei de medie g a sim
u(x2) =N
!NrN
2
B2u(y) dyN
!NrN
2
B1u(y) dy =
=(r1
r2)N
u(x1)
Pentru r2!1 se obt ine u(x2)u(x1)
Analog u(x1)u(x2)
O alt a demonstrat ie a teoremei lui Liouville poate  dat a utiliz^ and teorema lui Harnack.
Am v a zut c a funct iile armonice pe un interval (a,b) sunt funct ii liniare pe (a,b). Vom
numi sub-armonic a pe (a,b), orice funct ie continu a  si convex a pe (a,b). Amintim c a o
funct ie u continu a pe (a,b) este convex a dac a  si numai dac a satisface inegalitatea lui
Jensen:
u(x)u(xr) +u(x+r)
2
oricare ar  intervalul [ xr; x+r](a; b):
O funct ie u se va numi supra-armonic a pe (a,b) dac a ueste sub-armonic a pe (a,b), adic a
u este continu a  si concav a pe (a,b). Pentru cazul funct iilor de mai multe variabile, aceste
not iuni sunt generalizate dup a cum urmeaz a :
Denition 3.9. O funct ie u2C(Ω)este sub-armonic a pe Ωdac a

3 CAPITOLUL III 33
u(x)1
!NrN1
@B(x;r)u(y)d
oricare ar  B(x; r)Ω
Denition 3.10. Spunem c a u2C(Ω)este supra-armonic a pe Ωdac aueste subar-
monic a pe Ω:
Pe baza teoremei de medie a funct iilor armonice rezult a c a suma unei funct ii sub-armonice
cu o funct ie armonic a este o funct ie sub-armonic a .
Not a m principalele propriet a t i ale funct iilor sub-armonice.
Theorem 3.11. Fieu2C2(Ω). Atunci u este sub(supra)-armonic a pe Ωdac a  si numai
dac a ∆u() 0peΩ:
Proof. Dac a ∆ u0 pe Ω, atunci aplic^ and formula lui Green bilei B=B(x; r)  si t in^ and
cont de expresia funct iei lui Green pentru sfer a , ca  si de pozitivitatea ei, obt inem:
u(x) =
B∆u(y)G(x; y) dy
@Bu(y)@G
@y(x; y)d(y) (1)

@Bu(y)@G
@y(x; y)d(y) =
Bu(y)@G
@y(0; yt)d(y=)
=1
!NrN1
@Bu(y)d
ceea ce arat a c a funct ia u este sub-armonic a pe Ω
Reciproc, (1) implic a :

B∆u(y)G(x; y) dy =
B∆u(y)G(0; yx) dy0
De aici,

3 CAPITOLUL III 34
∆u(x)
BG(0; yx) dy
BG(0; yx)[∆u(x)∆u(y)] dy
de unde concluzia ∆ u0 rezult a dac a se alic a a doua formul a de medie pentru integrala
din membrul drept, se ^ mparte la integrala din membrul st^ ang  si se trece la limit a cu
r!0:
Folosind formula lui Poisson putem deduce cu u surint  a reciproca teoremei de medie pentru
funct ii armonice. Reamintim aici enunt ul formulei lui Poisson:
Fieg2C(@Br(0)). Atunci funct ia
u(x) :=8
<
:R2jxj2
R!N

@Brg(y)
jxyjNd(y)8x2Br(0)
g(x)8×2@Br(0)
satisface u2C2(Br)\C(Br)  si veric a problema
{∆u= 0 ^ n Br(0)
u=gpe@Br(0)
Corollary 3.12. (Reciproca teoremei de medie pentru funct ii armonice)
Fieu: Ω!Ro funct ie continu a astfel ^ nc^ at pentru orice x2Ω;exist a r(x)>0cu
proprietatea c a
u(x) =
@B(x;R)u(y)d(y)8r < r (x)
Atunci u este o funct ie armonic a ^ n Ω:
Proof. Este sucient s a ar a t a m c a u este armonic a ^ n orice bil a cont inut a ^ n Ω :Fie
a sadar B=B(x; R)Ω:Conform formulei lui Poisson, exist a o funct ie v care este
armonic a ^ n B astfel ^ nc^ at
u=v;pe@B
Mai precis,

3 CAPITOLUL III 35
v(y) :=8
<
:R2jyxj2
R!N

@Bu(z)
jzyjNd(z) dac a y2B
u(y) dac a y2@B
Din ipotez a  si din faptul c a v este o funct ie armonic a (deci este valabil a "directa" teoremei
de medie) rezult a c a
sup
B(vu) = inf
B(vu) = 0
adic a u=v^ nB :Prin urmare, u este o funct ie armonic a^ n B;ceea ce^ ncheie demonstrat ia.
Formula de medie pentru ecuat ia c a ldurii
Fiex2RN; t2R sir >0 xat i, denim "bila ecuat iei c a ldurii" centrat a ^ n (x,t)  si de
raz a r prin
E(x; t) ={
1
(4t)N=2ejxj2
4t(x; t)2RN(0;1)
0 (x; t)2RN(1;0]
se nume ste solut ia fundamental a a ecuat iei c a ldurii
ut∆u= 0 ^ n RN(0;1)
Vom demonstra mai ^ nt^ ai urm a torul rezultat auxiliar:
Lemma 3.13. Avem

@B(0;0;1)jxj2
s2dx ds = 4
Proof. Fie (x; s)2B(0;0; 1)
Din denit ia acestei "bile" rezult a c a
1
(4s)N=2ejxj2
41

3 CAPITOLUL III 36
adic a
jxj√
2Nsln(4s)
Prin urmare, apinc^ and formula schimb a rii de variabil a avem:

B(0;1;1)jxj2
s2dx ds = !N0
1
4ds
s2(p
2Nsln(4s)
0rN+1dr)
=
=!N
N+ 20
1
4(2N)N+2
2(s)N
21[ln(4s)]N
2+1ds =
=!N
N+ 2 1
4
0(2N)N+2
2uN
21[ln(4s)]N
2+1du =
=!N
N+ 2(2N)N+2
2(4)N
21
0tN
21(lnt)N
2+1dt =
=!N
N+ 2(2N)N+2
2(4)N
21
0e(N
21)ueuuN
2+1du =
=!N
N+ 22N
2+1uN
2+1N
21
0eN u
2uN
2+1du =
2N
2
(N+ 2)(n
2)2N
2+1NN
2+1 1
2NN=2(N
2+ 1)
(N
2+ 1)
= 4
ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
Theorem 3.14. Presupunem c a funct ia u2C2(RT)este o solut ie a ecuat iei c a ldurii.
Atunci:
u(x; t) =1
4rN
B(x;t;r)u(y; s)jxyj2
jtsj2dy ds
pentru orice "bil a " B(x; t;r)inclus a ^ n RT:

3 CAPITOLUL III 37
Proof. Putem presupune, f a r a a afecta cu nimic generalitatea enunt ului, c a
(x; t) = (0 ;0):
Convenim s a not a m prin B(r) "bila" B(0;0;r):
Pentru r >0 denim expresia
φ(r) :=1
rN
B(r)u(y; s)jyj2
s2dy ds
Prin schimbarea de variabil a
y=ry′ sis=r2s′
observ a m c a
φ(r) =
B(1)u(ry; r2s)jyj2
s2dy ds (1)
Pe de alt a parte,
E(y;s) =1
(4s)N=2ejyj2
4t;8(y; s)2Ω(1;0) (2)
Observ a m c a :
Ey i=y′
2s;8i= 1;2; :::; N
 si
lnE=N
2ln (4s) +jyj2
4s(3)
Din (1) deducem c a

3 CAPITOLUL III 38
φ′(1) =
B(1)n∑
i=1(
yiuyijyj2
s2+ 2usjyj2
s)
dy ds =: A+B (3′)
Folosind acum (2)  si (3) g a sim, folosind formula lui Green:
B=
B(1)4usN∑
i=1yi(lnE)yidy ds =
=
B(1)(
4Nu slnE+ 4N∑
i=1us yiyilnE)
dy ds (4)
Observ a m c a nu apare nici o integral a pe frontier a ^ n 4 deoarece ln E= 0 pe @B(1):
Integr^ and prin p a rt i ^ n (4) obt inem:
B=
B(1)(
4uslnE+ 4n∑
i=1uyiyi(lnE)s)
dy ds =

B(1)[
4Nu slnE+ 4n∑
i=1uyiyi(
N
2sjyj2
4s2)]
dy ds =

B(1)(
4Nu slnE2N
sN∑
i=1uyiyi)
dy dsA
T  in^ and acum cont c a u veric a ecuat ia c a ldurii  si utiliz^ and (3')  si (5) obt inem
φ′(1) =
B(1)(
4N∆ulnE2N
sN∑
i=1uyiyi)
dy ds =
N∑
i=1
B(1)(
4Nu yi(lnE)yi2N
suyiyi)
dy ds = 0 (6)

3 CAPITOLUL III 39
Foosind (6) ^ mpreun a cu observat ia important a c a u(rx; rt(t)) veric a , de asemenea,
ecuat ia omogen a a c a ldurii, obt inem
φ′(r) = 0 ;8r >0
Deci
φ(r) = lim
t!1φ(t) =u(0;0)
lim
t!11
tN
B(t)jyj2
s2dy ds = 4 u(0;0);
c a ci, conform lemei
1
tN
B(t)jyj2
s2dy ds =
B(1)jyj2
s2dy ds = 4 :
Funct ii cu proprietatea de medie ( ∆n= Ω )
Vom studia consecint ele care decurg din teorema de medie pentru funct iile armonice.
Aceast a teorem a arm a c a dac a u este o funct ie armonic a ^ n domeniul ∆ n(∆neste pre-
supus compact), atunci pentru orice x2∆n si orice r < d (x; @Ω) este valabil a egalitatea
u(x) =Mx
r[u] (1)
media sferic a ind calculat a pe sfera de raz a r cu centrul ^ n punctul x.
Scopul principal este de a ar a ta c a dac a u2C0(
∆n)
veric a relat ia (1) atunci u nu este
neap a rat o funct ie armonic a .
Observ^ and c a relat ia (1) are sens pentru funct ii continue ^ n ∆ n, vom da urm a toarea
denit ie:
Denition 3.15. Se nume ste funct ie cu proprietatea de medie ^ n ∆norice funct ie con-
tinu a ^ n ∆ncare veric a relat ia (1) pentru orice x2∆n si orice r < d (x; @∆n):
Evident, mult imea funct iilor cu proprietatea de medie nu este vid a , deoarece funct iile
armonice (a c a ror mult ime nu este vid a ) sunt funct ii cu proprietatea de medie; ^ n plus
aceast a mult ime formeaz a un spat iu vectorial.

3 CAPITOLUL III 40
Dac a funct iile u1 siu2au proprietatea de medie, vom avea:
u1(x) =Mx
r[u1]; u2(x) =Mx
r[u2]
 si t in^ and seama de liniaritatea operatorului Mx
rvom g a si egalitatea:
a1u1(x) +a2u2(x) =a1Mx
r[u1] +a2Mx
r[u2] =
Mx
r[a1u1+a2u2]
care arat a c a funct ia a1u1+a2u2care este evident continu a ^ n ∆n, are proprietatea de
medie (constantele a1 sia2se presupun reale).
Theorem 3.16. (de unicitate a funct iilor cu proprietatea de medie)
Dac a funct iile u1 siu2cu proprietatea de medie au valori egale pe @∆n;atunci ele coincid
 si ^ n ∆n:
Proof. Funct ia u=u1u2va avea de asemenea proprietatea de medie ^ n ∆ n, iar
uj@∆n= 0
deci
min
x2∆nu(x)u(x)max
x2∆nu(x)
iar
min
x2∆nu(x) =u(x2)
 si
max
x2∆nu(x) =u(x1)
x2@∆n

41
A sadar,
u(x1) =u(x2) = 0
 si rezult a u= 0 ^ n ∆ n; deci u1=u2^ n ∆ n.
Theorem 3.17. Orice funct ie cu proprietatea de medie este armonic a ^ n ∆n.
Proof. Vom ar a ta c a ^ n orice sfer a din ∆ n, orice funct ie f cu proprietatea de medie este
totodat a  si o funct ie armonic a .
Fie deci∥yz∥ro sfer a complet interioar a lui ∆ n. Restrict ia lui f la aceast a sfer a
este o funct ie continu a , cu ajutorul c a reia scriem formula lui Poisson pentru sfer a .
Vom avea:
u(x) =
∥yz∥=rk(xz; yz)f(y)d(y)
Funct ia u va  armonic a^ n interiorul sferei ∥xz∥=rcare pe sfer a ia valorile f. Deoarece
u are proprietatea de medie, conform cu teorema anterioar a u=f^ n aceast a sfer a  si
teorema este astfel demonstrat a , deoarece f devine o funct ie armonic a ^ n orice punct din
∆n.
[14pt,twoside,a4paper,
eqn]book graphicx amsmath amssymb, amsthm [romanian]babel
enumitem xfrac
amsfonts
tg arctg ctg arcctg
1 Capitolul I 1
2 Capitolul II 19

4 TEOREMA LUI ROLLE 42
3 Capitolul III 25
4 Teorema lui Rolle 42
4.1 Enunt , demonstrat ie, observat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Interpretarea geometric a a teoremei lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Consecint ele teoremei lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Teorema lui Lagrange 53
6 Consecintele teoremei lui Lagrange 62
7 Aplicat ii ale consecint elor teoremei lui Lagrange 64
8 Teorema lui Cauchy 72
9 Aplicat ii ale teoremei lui Cauchy 72
10 Teorema de medie pentru funct ii integrabile 75
Studiul convergent ei cu Teorema lui Lagrange
4 Teorema lui Rolle
4.1 Enunt , demonstrat ie, observat ii
Teorem a (Rolle): Fie f:I!R; IRo funct ie  si a; b2I; a < b . Dac a:
[label=)] feste continu a pe [a; b]  si derivabil a pe ( a; b).f(a) =f(b)

4 TEOREMA LUI ROLLE 43
atunci9c2(a; b) a.^ f′(c) = 0.
Demonstrat ie : Dac a feste constant a pe ( a; b) atunci f′(x) = 08×2(a; b). Dac a
feste neconstant a, deoarece este continu a pe [a; b], conform teoremei lui Weierstrass, f
este m arginit a ,  si ^  si atinge marginile. Fie ; 2[a; b] cuf()⩽f(x)⩽f().
[label=)] Dac a 2(a; b) este punct interior , conform teoremei lui Fermat f′(x) = 0,
 si astfel, putem alege c=.Dac a nu este interior, atunci =asau=b. Avem
f(a) =f(b)< f(). Dar nu poate  egal nici cu a, nici cu b, rezult a c a este un
punct interior  si aplic^ and teorema lui Fermat, se obt ine f′() = 0  si putem alege
c=.
Observat ii : (Vom vedea c a toate condit iile din enunt ul teoremei sunt esent iale.)
1.2.1.2.1.Dac a funct ia nu este continu a, e f: [0;1]!R,
f(x) ={
x; x2(0;1]
1; x= 0
feste discontinu a ^ n 0  si derivabil a pe (0 ;1); f (0) = f(1), dar f′(x) = 18×2
(0;1). Deci, nu exist a c2(0;1) a.^ . f′(c) = 0.
2.Dac a valorile la capete nu sunt egale, adic a f(a)̸=f(b) atunci (de exemplul f:
[0;1]!R,f(x) =x),feste continu a  si derivabil a pe [0 ;1]; f(0)̸=f(1), se
arat a c a nu exist a c2(0;1) a.^ . f′(c) = 0
3.Fie:
f: [0;2]nf1g!R; f(x) ={
x; x2[0;1]
2x; x2(1;2]
feste continu a  siderivabil a pe domeniul de denit ie, f(0) = f(2), ^ ns a derivata
nu se anuleaz a ^ n nici un punct din domeniu.
4.Fief: [1;1]!R; f(x) =jxj.feste continu a pe [1;1],nederivabil a pe
(1;1), neind derivabil a ^ n 0, f(1) = f(1). Nu exist a c2(1;1) a.^ . f(c) = 0
4.2 Interpretarea geometric a a teoremei lui Rolle
Fiefo funct ie care admite tangent a la grac ^ n toate punctele interioare domeniului
[a; b], iar punctele A(a; f (a)); B(b; f(b)) au aceea si ordonat a , atunci exist a cel put in

4 TEOREMA LUI ROLLE 44
un punct c2(a; b) a.^  tangenta la grac ^ n punctul C(c; f(c)) este paralel a cu axa Ox.
Figure 4.1:
4.2.0.1 Exemple
1.S a se studieze aplicabilitatea teoremei lui Rolle  si ^ n caz armativ, s a se aplice
teorema pentru urm atoarele funct ii:
(a)
f: [1;1]!R; f (x) =x4+ 2×21
(b)
f: [1;1]!R; f(x) ={
x+ 1; x2[1;0];
x21; x2(0;1)
(c)
f: [2;2]!R; f (x) =x21
(d)
f: [2;2]!R; f (x) =√
x21
Solut ii :
(a)feste continu a pe [1;1]  si derivabil a pe (1;1) ind funct ie elementar a ,
f(1) = f(1). Funct ia ^ ndepline ste condit iile de aplicabilitate a teoremei lui
Rolle, deci exist a c2(1;1) a.^  f(c) = 0 ; c= 0:
(b)fnu este continu a ^ n x= 0:
(c)
f(x) ={
x21; x2[2;1]\[1;1);
1x2; x2(1;1)
este continu a pe [ 2;2]
f′
s(1) =2; f′
d(1) = 2, deci nu se poate aplica teorema.
(d)feste continu a pe [2;2]  si derivabil a pe (2;2),f(2) = f(2) =p
5, deci
se poate aplica teorema lui Rolle.
Exist a c2(2;2) a.^  f′(c) = 0 ; c = 0:

4 TEOREMA LUI ROLLE 45
2.Determinat i a; b; p2Ra.^ f(x) ={
x2+ax+b; x2[1;0]
px2+ 4x+ 4; x2(0;1]s a satisfac a
condit iile teoremei lui Rolle pe intervalul [ 1;1]  si s a se aplice efectiv teorema.
Solut ie :
f(1) =a+b+ 1; f(1) = 8 + pdecib+ 1a= 8 + p
Din continuitate se obt ine:
lim
x!0x<0f(x) =b; lim
x!0x>0f(x) =b
decib= 4.
f′
s(0) = lim
x!0x<0x2+ax+bb
x=ilim
x!0(x+a) =a
f′
d(0) = lim
x!0x>0px2+ 4x+ 44
x= 4
decia= 4. A sadar, a=b= 4  si p= 7. Funct ia se scrie:
f(x) ={
x2+ 4x+ 4; x2[1;0]
7×2+ 4x+ 4; x2(0;1)
Conform teoremei lui Lagrange exist a c2(1;1) a.^ . f′(c) = 0.
Dac a c2[1;0], rezolv^ and ecuat ia f′(c) = 0, 2 c+4 = 0 se obt ine c=2=2[1;0].
Dac a c2(0;1),14c+ 4 = 0)c=2
72(0;1). Deci, c= 7.

4 TEOREMA LUI ROLLE 46
3.Fie funct ia h: [a; b]!R,
h(x) =x f (x) 1
b f (b) 1
a f (a) 1
cufo funct ie continu a pe [ a; b]  si derivabil a pe ( a; b); a < b . Vericat i dac a se
poate aplica teorema lui Rolle funct iei h si ^ n caz armativ, s a se aplice.
Solut ie : Dup a calculul determinantului se obt ine:
h(x) =(
f(b)f(a))
x(ba)f(x) +bf(a)af(b)
cuh(a) =h(b) = 0. heste continu a pe [a; b]  siderivabil a pe (a; b). Conform
teoremei lui Rolle, exist a c2(a; b) a.^ h′(c) = 0
h′(x) =f(b)f(a)f′(x) (ba)
Exist a c2(a; b) a.^ f(b)f(a) =f′(c) (ba). S-a obt inut teorema lui Lagrange.
4.Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a  siderivabil a pe (a; b) a.^ . f2(b)f2(a) =
b2a. S a se arate c a exist a c2(a; b) a.^ . f′(c)
f(c) =c.
Solut ie :
Consider am funct ia auxiliar a h: [a; b]!R; h(x) =f2(x)x2,hcontinu a pe
[a; b]  siderivabil a pe (a; b).^In plus, h(a) =h(b); aplic^ and teorema lui Rolle rezult a
c a exist a c2(a; b) a.^ . h′(c) = 0.
h′(x) = 2 f(x)f′(x)2x,h′(c) = 0,f(c)
f′(c) =c
5.Dac a f: [a; b]!R; a > 0 este o funct ie continu a pe [a; b]  siderivabil a pe (a; b)
a.^ .
f(a)
a=f(b)
b:
Ar atat i c a exist a c2(a; b) a.^  cf′(c) =f(c).

4 TEOREMA LUI ROLLE 47
Solut ie :
Fieh: [a; b]!R; h(x) =f(x)
x; heste continu a pe [a; b]  siderivabil a pe (a; b) a.^ . h(a) =h(b);
deci conform teoremei lui Rolle, rezult a c a exist a c2(a; b) a.^ . b′(c) = 0.
h′(x) =xf′(x)f(x)
x; h′(0) = 0)cf′(c) =f(c)

4 TEOREMA LUI ROLLE 48
6.(a)Fief: [0;2]!(0;1) o funct ie continu a pe [0 ;2]  si derivabil a pe (0 ;2).
Ar atat i c a funct ia g: [0;2]!R; g (x) =x(x2)f(x) este o funct ie Rolle.
(b)Ar atat i c a exist a c2(0;2) a.^ .
f′(c)
f(c)=1
2c1
c;
unde funct ia fa fost denit a la punctul a.
Solut ii :
(a)Evident, geste continu a pe [0;2]  si derivabil a pe (0 ;2).g(0) = g(2) = 0
(b)Aplic am Rolle funct iei gde la punctul a.
7.Fieu; v: [a; b]!Rdou a funct ii continue. S a se arate c a exist a c2(a; b) solut ie a
ecuat iei:
u(x)x
av(t)dt=v(x)b
xu(t)dt:
Solut ie :
Se consider a funct ia φ: [a; b]!R:
φ(x) =x
av(t)dt
x
au(t)dt
Observ am c a φ(a) =φ(b) de unde rezult a, conform teoremei lui Rolle c a exist a
c2(a; b) a.^ . φ′(c) = 0. Derivata lui φeste:
φ′(x) =v(x)b
xu(t)dtu(t)x
av(t)dt
8.Se consider a funct ia f: [a; b]!Rcuf(a+b
2)
̸= 0. Ar atat i c a exist a c2(a; b) a.^ .
: c
af(t)dt=f(c) (ca) (cb)
a+b2c
Solut ie : Aplic am Rolle funct iei φ: [a; b]!R,
φ(x) = (xa) (xb)
x
af(t)dt:

4 TEOREMA LUI ROLLE 49
φ(a) =φ(b) = 0 iar
φ′(x) = (2 xab)x
af(t)dt+ (xa) (xb)f(x):
9.Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a pe [ a; b]  si derivabil a pe ( a; b) cu
b
af(x)dx=
0. S a se arate c a exist a 2(a; b) a.^ .:
f′(c)c
af(x)dx=f2(c)
Solut ie : Aplic am Rolle funct iei φ: [a; b]!R,
φ(x) =f(x)b
af(t)dt; φ (a) =φ(b) = 0
φ′(x) =f′(x)x
af(t)dt+f2(x):
10.Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a. Ar atat i c a exist a c2(a; b) a.^ .:
c
af(t)dtb
cf(t)dt= (a+b2c)f(c)
Solut ie : Consider am funct ia φ: [a; b]!R,
φ(a) = (ax)x
af(x)dt(bx)b
xf(t)dt
c areia ^ i aplic am teorema lui Rolle.
φ(a) =φ(a) = (ab)b
af(t)dt:
φ′(a) =x
af(t)dt+b
xf(t)dt+f(x) (a+b2x):
11.Fief: [a; b]!R; a < b o funct ie Rolle. Ar atat i c a exist a c2(a; b) a.^ .:
f(a)f(c) = (cb)f′(c)
Solut ie : Consider am funct ia φ((x) = (xb)f(x)xf(a),φ(a) =bf(a),φ(b) =
bf(a), deci φ(a) =φ(b). Conform teoremei lui Rolle exist a c2(a; b) a.^ .:
φ′(c) = 0,f(c) + (cb)f′(c)f(a) = 0,f(a)f(c) = (cb)f′(c)

4 TEOREMA LUI ROLLE 50
12.Fief: [0;4]![1;2] o funct ie derivabil a pe [0;4]. Atunci, exist a c2[0;4] a.^ :
(c1) (c2)f′(c) = 32c:
Solut ie :
Fieφ: [0;4]!R,φ(x) = (x1) (x2)ef(x) si se aplic a Rolle.
13.Fief: [0; ]!Ro funct ie Rolle cu f(x)̸= 08×2(0; ). S a se arate c a exist a
c2(0; ) a.^ .:
f′(c)
f(c)+c= 1
Solut ie :
Lu am funct ia φ(x) =exf(x) sinx,  si avem:
φ(0) = 0 ; φ() = 0 ; φ′(x) =ex(
f(x) sinx+f′(x) sinx+f(x) cosx)
φ′(c) = 0,f(c) sinc=f′(c) sinc+f(c) cosc= 0,f′(c)
f(c)= 1cotc
14.Fief: [a; b]!Ro funct ie derivabil a cu f′(a) =f′(b). Atunci exist a c2(a; b)
a.^ .:
f(c)f(a) = (ca)f′(c)
Solut ie :
Consider am funct ia:
φ(x) =8
<
:f(x)f(a)
xax2(a; b]
f′(a); x =a
φ(a) =f′(a); φ(b) =f′(a)
Cu Rolle exist a c2(a; b) a.^ . φ′(c) = 0
φ′(x) =f(x) (xa)f(x) +f(a)
(xa)2; x2(a; b]

4 TEOREMA LUI ROLLE 51
15.Fief: [a; b]!Ro funct ie Rolle pt care f(1) = 0. S a se arate c a pentru orice
̸= 0 esist a un cdin intervalul (0 ;1) a.^ .
c2
f(c) +jjf(c) = 0
Solut ie :
Consider am funct ia auxiliar a
φ(x) =f(x)ejj
x; x2[0;1]
φ(0) = φ(1); φ′(x) =f′(x)ejjx+jj
x2f(x)ejjx
Concluzia rezult a din aplicarea teoremei lui Rolle funct iei φ.
16.Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a . Atunci, exist a c2(0;1) a.^ .
(1c)1
cf(x)dx=c
f(c)
Solut ie : Fie funct ia φ: [0;1]!R,
φ(x) =x
ex1
xf(t)dt
φ(0) = φ(1) = 0 ; φ este derivabil a pe [0 ;1]. Conform teoremei lui Rolle exist a
c2(0;1) a.^  φ′(c) = 0:
φ′(x) =ex(1
xf(t)dtx1
xf(t)dtxf(x))
φ′(c) = 0)1
cf(t)dtc1
cf(t)dtcf(c))(1c)1
cf(t)dt=cf(c)
4.3 Consecint ele teoremei lui Rolle
Fie o funct ie f:I!R,Iinterval, IR,find derivabil a pe I.
1.^Intre doua r ad acini ale funct iei fse a
 a cel put in o r ad acin a a derivatei f′a lui f.
Demonstrat ie : Fie x1; x22Ia. ^ . f(x1) =f(x2) = 0 conform teoremei lui Rolle
aplicat a pe intervalul [ x1; x2] rezult a c a exist a c2(x1; x2) a.^ . f′(c) = 0.

4 TEOREMA LUI ROLLE 52
2.^Intre doua r ad acini consecutive alederivatei se a
 a cel mult o r ad acin a a funct iei f.
Demonstrat ie : Fie x1; x2doua r ad acini ale funct iei f′. Presupunem prin reducere
la absurd c a exist a ^ ntre x1 six2cel put in dou a r ad acini ale funct iei f. Fie acestea
a sib, a.^ . x1< a < b < x 2.
Deoarece f(a) =f(b) = 0, aplic^ and prima consecint  a, rezult a c a exist a cel put in
un num ar c2(a; b) a.^  f′(c) = 0, adic a x1 six2nu ar mai  r ad acini consecutive
ale lui f, ceea ce este o contradict ie
Consecint a a doua fundamenteaz a  sirul lui Rolle . Acesta este un  sir de semne :
dac a xi sixi+1sunt dou a puncte consecutive ale  sirului lui Rolle pentru care f(xi)

f(xi+1)>0, atunci pe intervalul [ xi; xi+1] funct ia fnu se anuleaz a. Dac a f(xi)

f(xi+1)<0 atunci pe ( xi; xi+1)fse anuleaz a o singur a dat a.
4.3.0.1 Exemple :
1.Aplic^ and prima consecint  a a teoremei Rolle, obt inem c a derivata funct iei
f:R!R; f (x) =x(x1) (x2) (x3)
are toate r ad acinile reale.
2.Determinat i num arul solut iilor reale ale ecuat iilor:
(a)
x36×2+ 9x10 = 0
(b)
x3+ 6×2+ 9x+ 12 = 0
(c)
3×48×36×2+ 24x10 = 0
Solut ii :
(a)Fief:R!Rf(x) =x36×2+ 9x10
f′(x) = 3 x212x+ 9 = 3(
x24x+ 3)
=x(x1) (x3)

5 TEOREMA LUI LAGRANGE 53
Zerourile derivatei sunt: x= 1  si x= 3. C aut am limitele la plus  siminus
innit . Alc atuim tabelul:
x1 1 3 +1
f(x)1 610 +1
Din variat iile de semn se obt ine c a ecuat ia are o singur a r adacin a real a ^ n
intervalul (3 ;1).
(b)
f:R!Rf(x) =x3+ 6×2+ 9x+ 12; f′(x) = 3 ( x+ 1) ( x+ 3)
x1 31 +1
f(x)1 12 8 + 1
Ecuat ia are o r adacin a real a diferit a de 0 ^ n intervalul ( 1;3).
(c)
f:R!R; f (x) = 3 x48×36×2+24x10; f′(x) = 12 x324×212x+24
f′(x) = 0)x=1; x = 2
x1 1 1 2 + 1
f(x)1 29 32 +1
Ecuat ia are trei r ad acini reale.
5 Teorema lui Lagrange
1.S a se studieze aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru funct iile de mai jos,  si
^ n caz armativ, s a se aplice:
(a)
f: [0;3]!R; f(x) =x3
(b)
f: [4;3]!R; f(x) ={x
2+ 1; x2[4;0]
px+ 1; x2(0;3]

5 TEOREMA LUI LAGRANGE 54
(c)
f: [1;2]!R; f (x) = ln x
Solut ii :
(a)fcontinu a pe [0 ;3]  si derivabil a pe (0 ;3), ind funct ie elementar a.
f(3)f(0)
30=f′(c); c2(0;3))f′(c) = 9)3c2= 9){
c1=p
3=2(0;3)
c2=p
3
(b)
lim
x!0x>0f(x) = 1 ;lim
x!0x>0f(x) = 1
Deci feste continu a pe [ 4;3]  si derivabil a pe ( 4;3).
Exist a c2(4;3) a. ^ .f(4)f(3)
43=f′(c))f′(c) =7
3
f′(x) =8
<
:1
2; x2[4;0]
1
2px+ 1; x2(0;3])c=13
362(0;3)
(c)fcontinu a pe [1 ;2]  si derivabil a pe (1 ;2), ind funct ie elementar a. Cu teo-
rema lui Lagrange:
9c2(1;2) a.^  ln 2ln 1 =1
c) c=1
ln 22(1;2)
2.Determinat i paramentrii reali m; n a.^  funct iei fs a i se poat a aplica teorema lui
Lagrange pe domeniul de denit ie  si s a se aplice efectiv teorema:
(a)
f: [1;1]!R; f (x) ={
x2+ 2x+ 1; x2[1;0]
msinx+n; x2(0;1]
(b)
f: [0;2]!R; f (x) ={
x2+ 3x+m; x2[0;1]
nx+ 1; x2(1;2]
Solut ii :

5 TEOREMA LUI LAGRANGE 55
(a)Din continuitatea funct iei ^ n x= 0 avem n= 1. Studiem derivabilitatea ^ n
x= 0; ^ n rest, pe [1;1]nf0gfeste continu a.
f′
s(0) = lim
x!0x<0f(x)f(0)
x0= lim
x!0x<0x2+ 2x+ 11
x= lim
x!0x<0(x+ 2) = 2
f′
d(0) = lim
x!0x>0f(x)f(0)
x0= lim
x!0x>0msinx+n1
x= lim
x!0x>0msinx
x= lim
x!0x>0msinx
x=m
m= 2)m=2

Aplic am Lagrange,  si rezult a c a:
9c2(1;1) \a.^ f(1)f(1)
1 + 1=f′(c))10
2=f′(c))f′(c) =1
2
Dac a c2(1;0) atunci: f′(c) = 2 c+2 = 2 ( c+ 1);2 (c+ 1) =1
2)c1=3
42(1;0)
Dac a c2(0;1) atunci: f′(c) = 2 cos c=1
2)c2=1
5arcos1
4
(b)
lim
x!1x<1f(x) = 4 + m; lim
x!1x>1f(x) =n+ 1)mn=3
Studiem derivabilitatea ^ n x= 1
f′
s(1) = lim
x!1x<1f(x)f(1)
x1= lim
x!1x<1×2+ 3x+m4m
x1= lim
x!1x<1×2+ 3x4
x1= lim
x!1x<1(x1) (x+ 4)
x1= 5
f′
d(1) = lim
x!1x>1f(x)f(1)
x1= lim
x!1x>1nx+ 14m
x1= lim
x!1x>1n(x1)
x1=n)n= 5;deci{
n= 5
m= 2
{
x2+ 3x+ 2; x2[0;1)
5x+ 1; x2(1;2]
Cu teorema lui Lagrange, 9c2(0;2) a.^ .:
f(2)f(0)
20=f′(c); f′(c) =9
2;f′(c) ={
2x+ 3; x2[0;1)
5; x2(1;2);
Dac a c2[0;1)) 2c+ 3 =9
2)c=3
4
3.Demonstrat i inegalit at iile urm atoare:

5 TEOREMA LUI LAGRANGE 56
(a)
xy
y<lnx
y<xy
x;0< x < y
(b)
n(ba)an1< bnan< n(ba)bn1;0< a < b; n > 1
(c)
jcosxcosyj⩽jxyj;8x; y2R
(d)
jsinxsinyj⩽jxyj;8x; y2R
(e)
x >x
1 +x2; x > 0
Solut ii :
(a)Aplic am teorema lui Lagrange funct iei f: [x; y]!R; f (t) = ln t:
lnylnx= (yx)f′(c); c2(x; y) sau ln xlny= (xy)1
c
Avem1
y<1
c<1
x;decixy
y<lnx
y<xy
x
(b)Aplic am teorema lui Lagrange funct iei f: [a; b]!R; f(t) =tn.
(c)Consider am funct ia: f: [x; y]!R; f(t) = cos t.
Cu Lagrange, avem: cos ycosx= (yx) sinc; c2(x; y). Trec^ and la modul:
jcosxcosyj=j(xy) sincj si, t in^ and cont c a jsincj⩽1;se obt ine inegalitatea dorit a :
(d)Analog c)
(e)
x0 =x1
1 +c2; c2(0; x);1
1 +c2>x
1 +x2

5 TEOREMA LUI LAGRANGE 57
4.Ar atat i c a  sirul an= 1 +1
2+1
3+: : : ; : : : +1
neste divergent .
Solut ie :
Aplic am inegalitatea de la 2), a.^ .:
ln 2ln 1>1
2;ln 3ln 2>1
3; : : : : : : ; lnnln (n1)>1
n:
Prin adunare se obt ine:
1 +1
2+1
3+: : : : : : ; +1
n<1 + ln n!1
5.Ar atat i c a  sirul an= 1 +1
2+1
3+: : : : : : ; +1
n+ lnneste convergent,  si limita
sa apart ine intervalului (0 ;1).
Solut ie : Aplic am teorema lui Lagrange funct iei f: [k; k + 1]!R; k2N; f(x) =
lnx si avem:
9ck2(k; k + 1) a.^ . f(k+ 1)f(k) =1
ck;dar1
ck2(1
k+ 1;1
k)
Deci:
1
k+ 1<ln (k+ 1)ln (k)<1
k
Pentru k21; navem:
1
2<ln 2ln 1<1
1
1
3<ln 3ln 2<1
2…
1
n+1<ln (n+ 1)lnn <1
n
Prin sumare se obt ine:
1
2+1
3+: : : +1
n+ 1<ln (n+ 1) <1 +1
2+: : : +1
n
an+ 1an=1
n+ 1ln (n+ 1) + ln n= lnn
n+ 1+1
n+ 1<0
Am t inut cont c a:
1
n+ 1<lnn+ 1
n,1
n+ 1<ln(
1 +1
n)
, ln(
1 +1
n)n+1
> e este o inegalitate adev arat a :
Deci ( ak)neste descresc ator .
an>ln (n+ 1)lnn >0; a n+1<1)an2(0;1)
Conform teoremei lui Weierstrass  sirul este convergent ,ak!c; c2(0;1)

5 TEOREMA LUI LAGRANGE 58
6.S a se calculeze limitele:
(a)
lim
n!1n(
en
nen+1
n+ 1)
(b)
lim
n!1×2(
e1xe1x+1)
Solut ii :
(a)f: [n; n + 1]!R; f (x) =ex
x. Aplic^ and teorema lui Lagrange:
9cn2(n; n + 1) a.^ .en+1
n+ 1en
n=f′(cn)
f′(cn) =ecn(cn1)
c2n;en
nen+1
n+ 1=f′(cn)
f′este descresc atoare , de unde rezult a:
n(
en
nen+1
n+ 1)
>nen(n1)
n2!1
Deci, limita cerut a este 1
(b)f:[1
x+ 1;1
x]
!R; f (t) =et. Aplic am teorema lui Lagrange,  si t inem
cont c a
lim
x!0x2
x= 1 c^ and x!1 Cx!0:
7.
Fief:R!R; f (x) =n∑
k=1akcoskxa.^ .ai2R; i21; n:
Ar atat i c a exist a c2(0;1) a.^ .:
f(c) =a0+n∑
k=1aksink
k:
Solut ie : Aplic am teorema lui Lagrange funct iei:
g(x) =a0x+n∑
k=1aksinkx
kpe (0 ;1)
9c2(0;1) a.^ . g(1)g(0) = g′(c); g (0) = 0 ; g (1) = a0+n∑
k=1aksink
k
g′(x) =a0+n∑
k=1akcoskx
k
k=f(x); g (1)g(0) = g′(c) =f(c)

5 TEOREMA LUI LAGRANGE 59
8.Se consider a funct ia
f:R!R; f(x) =n∑
k=1akxk; ak2R:
Ar atat i c a exist a c2(0;1) a.^ . f(c) =n∑
k=1ak
k+ 1:
Solut ie : Aplic am teorema lui Lagrange funct iei:
g(x) =n∑
k=1akxk+1
k+ 1pe (0 ;1))8
>><
>>:g(0) = 0
g(1) =n∑
k=1ak
k+ 1
g′(x) =n∑
k=1akxk=f(x); g (1)g(0) = g′(c))n∑
k=1ak
k+ 1=f(c)
9.
Fief(x) =n∑
k=1aksinkx sijf(x)j⩽jsinxj8x2R:Ar atat i c aja1+ 2a2+: : :+nanj⩽1:
Solut ie : Aplic am teorema lui Lagrange pe intervalul [0 ; x] funct ieii f:
f(x)f(0)
x=f′(cx)
C^ and x!0; c x!0. Trec^ and la limit a, avem:
lim
x!0f(x)f(0)
x=f′(0)= lim
x!0(f(x)
sinx
sinx
x)
= lim
x!0(
sinx
x)
⩽1
Decif′(0)⩽1;adic a:ja1+ 2a2+: : : na nj⩽1
10.S a se rezolve ecuat iile:
(a)
3x+ 6x= 5x+ 4x
(b)
x+ 2x= 3x
Solut ii :

5 TEOREMA LUI LAGRANGE 60
(a)Aplic am teorema lui Lagrange funct iei f:R!R; f (t) =txpe intervalele
[3;4]  si [5 ;6]  si avem:
4x3x=xcx1
1;cuc12(3;4)
6x5x=xcx1
2;cuc22(5;6)
Obt inem ecuat ia xcx1
1=xcx1
2care are solut iile:
x= 0
x= 1
(b)Ecuat ia se scrie: 3x2x=xform a ce ne sugereaz a aplicarea teoremei lui
Lagrange funct iei f(x) =txpe [2;3]. Se obt ine: x2{
0;1}
11.Fief:I!Ro funct ie de dou a ori derivabil a. Dac a xx; x2; x3 si, respectiv
f(x1); f(x2); f(x3) sunt progresie aritmetic a , atunci, exist a C2Ia.^ .f′′(c) = 0,
unde x1; x2; x32I.
Solut ie : Avem:
x2=x1+x3
2 sif(x2) =f(x1) +f(x2)
2
Echivalent cu:
x1x2=x2x3 si respectiv f(x1)f(x2) =f(x2)f(x3)
Aplic^ and teorema lui Lagrange:
9c12(x1; x2)  si c22(x2; x3) a.^ . f′(c1) =f′(c2)
Aplic^ and din nou teorema lui Lagrange funct iei f′pe [c1; c2], rezult a c a exist a
c2(c1; c2) a.^ . f′′(c) = 0.
12.Fief: [a; b]!Ro funct ie derivabil a a < c < b2R. Atunci:
912(a; c)  si 22(c; b);  1<  2 si2(1; 2) a.^ .
f′() =f′(1) + (1)f′(2)82[0;1]
Solut ie :
Conform teoremei lui Lagrange,
92(a; c)  si 2(c; b) a.^ .{
f(a)f(c) = (ac)f′()
f(c)f(b) = (cb)f′()

5 TEOREMA LUI LAGRANGE 61
Dar:
f(b)f(a)
ba=f(b)f(c)
bc
bc
ba+f(c)f(c)
caca
ba=f′() + (1)f′()
lu^ and =bc
ba; 2(0;1);)f(b)f(a)
ba2(
f′(); f′())
f′are proprietatea lui Darboux, rezult a c a:
92(; ) cu f′() =f(b)f(a)
baiar =1 si=2
13.Determinat i funct iile f: (a; b)!Rderivabile pe ( a; b) cu proprietatea:
(1 +x)f′(x)f(x) = 0 ;8×2(1; b); 2R
Solut ie :^Inmult im relat ia cu (1 + x)1. Rezult a:
(1 +x)f′(x)(1 +x)1f(x) = 0)[
(1 +c)f(x)]′= 0)
) (1 +x)f(x) =c) f(x) =c(1 +x):
14.Fief: [a; b]!Ro funct ie convex a . S a se arate c a are loc inegalitatea:
(ba)f(
a+b
2)
⩽b
af(x)dx
Solut ie :
Fie f: [a; b]!R; f (x) =b
af(t)dt(xa)f(a+x
2)
:
Aplic^ and teorema lui Lagrange pe intervalul(a+x
2; x)
rezult a c a
f(x)f(a+x
2)
=xa
2f′(cx); c x2(a+x
2; x)
f′(x) =xa
2(
f′(cx)f′(a+x
2))
⩾08×2[a; b]
deci, feste cresc atoare pe [ a; b], rezult a:
f(b)⩾f(a) = 0

6 CONSECINTELE TEOREMEI LUI LAGRANGE 62
6 Consecintele teoremei lui Lagrange
Teorema lui Lagrange are consecint e de important a major a ^ n analiza matematic a.
[label= Consecint a 0 ]Dac a o funct ie denit a pe un interval are derivata nul a, atunci
este constant a.
Demonstrat ie : Fie f:I!Ra. ^ . f′(x) = 08x2I. Fie a; b2I, aplic^ and
teorema lui Lagrange rezult a:
f(a)f(b) = (ba)f′(c) = 0 ; de unde rezult a: f(a) =f(b)
adic a funct ia este constant a.
Aceast a consecint a este adev arat a numai dac a funct ia este denit a pe un interval,
fapt ilustrat de exemplul urm ator:
Funct ia
f: (0;1)[(5;6)!R; f (x) ={
2; x2(0;1)
5×2(5;6)
Calculul arat a c a derivata este nul a, f ar a ca funct ia s a e constant a. Dac a derivatele
a dou a funct ii derivabile sunt egale pe un interval, atunci diferent a lor este constant a.
Demonstrat ie : Fie h(x) =f(x)g(x); f; g :I!R derivabile. h′(x) = 0, de
unde, aplic^ and prima consecint a rezult a c a f=g
La fel ca  si la prima consecint  a, este esent ial ca domeniul funct iei s a e un interval.
Fie
f; g : (1;1)[(3;4)!R; f (x) = 1 ; g (x) ={
1; x2(1;1)
1 x2(3;4)
f′(x) =g′(x);dar f(x)g(x) ={
0; x2(1;1)
2; x2(3;4)
Deci, fgnu este o funct ie constant a. Fief:I Ro funct ie derivabil a,  si
IR, un interval.
Atunci:[label=]
1.2.3.(a)dac a f′>0)fstrict cresc atoare.
(b)dac a f′<0)fstrict descresc atoare.
Demonstrat ie : Presupunem f′()>0;8x2I. Fie x1< x 2; x 1; x22I,  si
aplic^ and Lagrange pe intervalul [ x1; x2] rezult a f(x2)f(x1) = ( x2x1)f′(c),

6 CONSECINTELE TEOREMEI LUI LAGRANGE 63
c2(x1; x2). T  in^ and cont c a derivata este strict pozitiv a, rezult a f(x2)> f(x1)>
0, adic a feste cresc atoare.
Analog se demonstreaz a c and f′<0.
Dac a f′(x)⩾0 atunci funct ia este monoton cresc atoare, f ar a a  neap arat strict
cresc atoare, a sa cum arat a urmatorul exemplu: f:R!R; f (x) =x+ sin x.
Avem c a f′(x) = 1cosx⩾0, ^ ns a funct ia este strict crasc atoare, a sa cum arat a
urm atorul rezultat: Dac a f:I!R; IR, o funct ie derivabil a a. ^ . mult imea
fx2Ijf′(x) = 0gare toate elementele izolate, atunci
[label=]dac a f′⩾0 rezult a feste strict cresc atoare. dac a f′⩽0 rezult a f
este strict descresc atoare.
Pentru demonstrat ie, vom presupune, prin reducere la absurd, c a feste monoton
cresc atoare . Atunci, pentru x1; x22I, cux1< x 2avem f(x1) =f(x2).
Dac a x2(x1; x2) avem f(x1)=leqslantf (x)=leqslantf (x2), adic a festeconstant a
pe [x1; x2], de unde rezult a c a f′(x) = 0 ;8×2[x1; x2], rzult a c a mult imea
zerourilor derivatei este un interval, ci nu o mult ime izolat a , dontradictie.
^In exemplul nostru, f:R!R; f (x) =x+ sin x, mult imeafx2Rjf′(x) = 0g
este egal a cu{
2kjk2Z}
,  si este format a numai din puncte izolate, astfel feste
strict cresc atoare .
(a)(b)4.(Corolarul teoremei lui Lagrange):
Fief:I!R; IRun interval, x02I. Dac a
[label=]f este continu a ^ n x0,f este derivabil a pe In{
x0}
9limx!x0f′(x) =
l; l2R
atunci, fare derivat a ^ n x0 sif′(x0) =l.
^In plus, dac a l2R, atunci feste derivabil a ^ n x0.
Demonstrat ie : Aplic am teorema lui Lagrange funct iei fpe intervalul [ x; x 0]; x <
x0 si rezult a:
f(x)f(x0)
xx0=f′(cx);cucx2(x; x 0)
f′
s(x0) = lim
x!0x<0f(x)f(x0)
xx0= lim
x!0x<0f′(cx) =l; c x!x0;
f′
d(x0) =l;
decifare derivat a ^ n x0 si aceasta este egal a cu l.

7 APLICAT II ALE CONSECINT ELOR TEOREMEI LUI LAGRANGE 64
Corolarul teoremei lui Lagrange d a o condit ie necesar a pentru existent a derivatei
unei funct ii ^ ntr-un punct, ea nu este  si sucient a.
Astfel, funct ia
f:R!R; f (x) ={
x2sin1
x; x̸= 0
0; x= 0
este derivabil a ^ n x= 0  si f′(0) = 0. ^Ins a:
lim
x!0f′(x) nu exist a, deoarece f′(x) = 2 x
sin1
xcos1
x;pentru c a nu exist a lim
x!0cos1
x:
Funct ia
f: [0;1]!R; f (x) ={
0; x2[0;1)
1x= 1este derivabil a pe [0 ;1)  si lim
x!1x<1= 0
darfnu este derivabil a ^ n x= 0, neind continu a ^ n acest punct.
Exist a funct ii discontinue ^ ntr-un punct dar au totu si derivat a ^ n acel punct, de
exemplu:
f:R!R; f (x) =8
><
>:1
x; x̸= 0
0; x= 0
este discontinu a ^ n x= 0, dar f′(0) =1, deoarece:
lim
x!0x
x= 0:
7 Aplicat ii ale consecint elor teoremei lui Lagrange
(a)(b)(c)1.Ar atat i c a:
arcsin x+ arccos x=
2
Solut ie :
Fie f: [1;1]!Rf(x) = arcsin x+arccos x; f′(x) =1p
1x21p
1x2= 0
Rezult a, conform primei consecint e c a feste constant a, f(x) =f(0) =
2.
2.S a se arate c a:
(a)sin2x+ cos2x= 1;8x2R

7 APLICAT II ALE CONSECINT ELOR TEOREMEI LUI LAGRANGE 65
(b)arcsin(
3x4×3)
3
arcsin x= 0
(c)arccos1x2
1 +x2= 2
x;8x⩾0
Solut ii :
(a)
f:R!R; f (x) = sin2x+cos2x; f′(x) = 0)fconstant a ; f (x) =f(0) = 1
(b)
f:[
1
2;1
2]
!R; f (x) = arcsin(
3x= 4×3)
3
arcsin x; f′(x) = 0)f(x) =f(0) = 0
(c)
f: [0;1)!R; f (x) = arccos1x2
1 +x2= 2
x; f′(x) = 0)f(x) =f(0) = 0 :
3.Fief: [a; b] a.^ .jf(x)f(y)j⩽jxyj1+;8x; y2[a; b]; ; M > 0.
Ar atat i c a feste constant a.
Solut ie :
jf(x)f(y)j⩽jxyj1+,f(x)f(y)
xy⩽jxyj
Prin trecerea la limit a x!y, rezult a f′(y) = 0, adic a, feste constant a.
4.Determinat i funct ia f:R!Rcare are propriet at iile:
8
><
>:f′(x) + 3f(x) = 0 ;8x2R
 si
f(1) = e
Solut ie :
^Inmult im relat iile de mai sus cu e3x si se obt ine:
(
f
e3x)′
= 0 adic a ; f
e3x= constant a :
f(1)
e3=e
e3=e2, f(x) =1
e3x
e2=1
e3x+2:

7 APLICAT II ALE CONSECINT ELOR TEOREMEI LUI LAGRANGE 66
5.Determinat i funct ia f:R!Rderivabil a a.^ .
f(0) = 0  si f′(x) + 4f(x) = 0 ;8x2R:
Solut ie :
f′(x)+4f(x) = 0
e4x)(
f(x)
e4x)′
= 0 adic a f(x)
e4x=c)f(x) =c
e4x
Pentru x= 0 rezult a:
f(0) = c
e0=c
f(0) = 0}
)c= 0;
Deci, f(x) = 0 ;8x2R:
6.Ar atat i c a funct iile
f(x) = arcsinx1
2 (1 + x2); sig(x) =x
difer a printr-o constant a pe ( 1;1). Ar atat i c a arcsin3
5+
2= 7:
Solut ie :
f′(x) =g′(x);8×2(1;1); f (x)g(x) =c; c =f(1)g(1) =
4
Lu am x= 7.
7.Determinat i inegalit at ile:
(a)
arcsin√
1x2+ arccos x=; x2[1;0]
(b)
xa=x1
1 +ax; x >1
a; a > 0
(c)
2x+ arcsin2x
1 +x2=sgn(x)
Solut ii :
f: [1;0]!R; f (x) = arcsin√
1x2+ arccos x
f′(x) =2x
2√
1(1x2)
p
1x21p
1x2=x
jxjp
1x21p
1x2=x
xp
1x21p
1x2
f(x) =c; c =f(0) = 

7 APLICAT II ALE CONSECINT ELOR TEOREMEI LUI LAGRANGE 67
8.Ar atat i c a urm atoarele funct ii sunt strict monotone:
(a)f:R!R; f (x) =x+ cos x
(b)f:R!R; f (x) =xsinx
Solut ii :
(a)f′(x) = 1sinx⩾0. Mult imea A={
xjf′(x) = 0}
={
2+ 2k}
are
numai puncte izolate, rezult a feste strict cresc atoare.
(b)Analog a)
9.Studiat i monotonia funct iei f: (0;1)!R; f (x) =lnx
x si deducet i inegalitatea
nn+1>(n+ 1)n; n⩾3.
Solut ie :
f′(x) =1lnx
x2. Dac a x2(0; e), frunct ia este cresc atoare , iar dac a x2(e;1),
funct ia este descresc atoare . Inegalitatea nn+1>(n+ 1)n, devine prin logaritmare
ln (n+ 1)
n+ 1<lnn
n
inegalitate adev arat a, deoarece feste descresc atoare pe intervalul ( e;1)
10.Stabilit i punctele de extrem  si natura lor pentru urm atoarele funct ii:
(a)
f:R!R; f (x) =x3+ 2×23
(b)
f:Rn[1;0]!R; f (x) =(
1 +1
x)x
(c)
f:R!R; f (x) ={x21;jxj⩾1
eex2;jxj<1

7 APLICAT II ALE CONSECINT ELOR TEOREMEI LUI LAGRANGE 68
Solut ii :
(a)
f′(x) = 3 x2+ 4x= 0){
x1= 0
x2=4
3
x14
30 +1
f′+ + + + 0 0 + + + +
f1 ↗ ↘ 3↗ +1
f(
4
3)
=49
27; f (0) =3
Din tabelul de valori, rezult a c a punctul A(
4
3;49
27)
este un punct de
maxim , iarB(0;3) este un punct de minim .
(b)
f(x) =eln(1+1
x)x
=exln(1+1
x); f′(x) =[
ln(
1 +1
x)
1
x+ 1]
exln(1+1
x)
Din studiul monotoniei funct iei
g:Rn[1;0]!R; g (x) = ln(
1 +1
x)
1
x+ 1
rezult a c a f′este pozitiv a8x2Rn[1;0], deci funct ia feste strict
cresc atoare pe domeniul de denit ie.
(c)
f(x) =8
><
>:x21;jxj⩾1
eex2;jxj<1; f′(x) =8
><
>:2x; x2(1;1)[(1;1)
2xex2; x2(1;1)
fnu este derivabil a ^ n x=1  si x= 1.
x1 1 0 1 +1
f′ j + + + 0 j + + + +
f↗↗↘↗
x=1  si x= 1 sunt puncte de minim , iarx= 0 este punct de maxim.
11.Demonstrat i inegalit at ile urm atoare:

7 APLICAT II ALE CONSECINT ELOR TEOREMEI LUI LAGRANGE 69
(a)
ex⩾x+ 1;8x2R
(b)
ln (1 + x)⩾x
x+ 1;8x >1
(c)(x+ 1
2)x+1
⩽xx;8x >0
(d)
cosx⩾1x2
2;8x2R
(e)
x(2 + cos x)>3 sinx; x > 0
(f)
3p
2 +3p
5<3p
3 +3p
4
Solut ii :
(a)
Fie f:R!R; f (x) =exx1; x = 0 punct de minim ) f(x)⩾f(0) = 0
(b)
f: (1;1)!R; f(x) = ln ( x+ 1)x
x+ 1; f′(x) =x
(1 +x)2;
x= 0 punct de minim ; f (x)⩾f(0) = 0
(c)Se logaritmeaz a,  si vom considera funct ia:
f: (0;1)!R; f(x) = (x+ 1)[
ln (x+ 1)ln 2]
xlnx:
f′(x)<08×2(0;1); f (x)⩾f(0) = 0
(d)
f:R!R; f (x) = cos x+x2
21; f (x) =f(x) atunci feste par a :
E sucient s a stiudiem funct ia pe (0 ;1).
f′(x) =sinx+x; f′′(x) =cosx+ 1⩾0; f′(x)⩾f′(0) = 0 ;
fcresc atoare ; f (x)⩾f(0) = 0

7 APLICAT II ALE CONSECINT ELOR TEOREMEI LUI LAGRANGE 70
(e)
f: (0;1)!R; f (x) =3 sinx
2 + cos xx; f′(x)⩽f(0) = 0
(f)
f(x) =3px+3p
7x; f′(x)⩾0 pentru x2[2;3]; f (2)⩽f(3)
12.Folosind corolarul teoremei lui Lagrange, studiat i derivabilitatea funct iilor:
(a)
f:R!R; f (x) = sin(
t23t+ 2)
; t2[x; x + 1]:
(b)
f:R!R; f (x) ={
x2; x ⩽1
lnx+x; x > 1
(c)
f:R!R; f (x) = arccos1x2
1 +x2
(d)
f:R!R; f (x) = arcsin2x
1 +x2
Solut ii :
(a)Se reprezint a grac funct ia g:R!R; g (t) =t23t+ 2. V^ arful parabolei
are coordonatele(3
2;1
4)
. Dac a x+ 1<3
2, adic a x <1
2; f (x) =
(x+ 1)3 (x+ 1) + 2 = x2x.
Dac a x2(1
2;3
2)
; f (x) =1
4:
Dac a x⩾3
2; f (x) =x23x+ 2:
f′(x) =8
>>>>>><
>>>>>>:2x1; x2(
1;1
2)
0; x2(1
2;3
2)
2x3; x2(3
2;+1)

7 APLICAT II ALE CONSECINT ELOR TEOREMEI LUI LAGRANGE 71
feste continu a ^ n x=1
2 six=3
2:
f′(1
2)
= 0; f′(3
2)
= 0
Deci feste derivabil a peR
(b)f este derivabil a pe Rn1. Studiem derivabilitatea ^ n x= 1:
f′(x) ={
2x; x < 1
1
x+ 1; x > 1
fcontinu a ^ n x = 1 :
f′
s(1) = 2 ; f′
d(1) = 2}
) feste derivabil a ^ nx= 1:
(c)
f′(x) =4x
(1 +x2)
2jxj
f′(x) =8
>><
>>:2
1 +x2; x < 0
2
1 +x2; x > 0) fderivabil a pe Rn{
0}
f′
s(0) = 2 ;
f′
d(0) =2;}
) fnueste derivabil a ^ n x= 0
(d)
f′(x) =2(
x21)
j1x2j
(1 +x2)
f′(x) =8
>><
>>:2
1 +x2; x2(1;1)[(1;+1)
2
1 +x2; x2(1;1)
{
f′
s(1) =1;
f′
d(1) = 1 ;(1){
f′
s(1) = 1 ;
f′
d(1) =1;(2)
Din (1)  si (2)) feste derivabil a peRn{
1}

8 TEOREMA LUI CAUCHY 72
8 Teorema lui Cauchy
Teorema se mai nume ste  si a doua teorem a a cre sterilor nite . Teorema lui Lagrange este
caz particular al teoremei lui Cauchy.
Teorem a (Cauchy): Fie f; g: [a; b]!Rdou a funct ii Rolle, a.^ . g′(x)̸= 08×2(a; b).
Atunci, g(a)̸=g(b)  si exist a c2(a; b) a.^ :
f(b)f(a)
g(b)g(a)=f′(c)
g′(c)
Demonstrat ie : Dac a presupunem c a g(a) =g(b) atunci, conform teoremei lui Rolle,
rezult a c a exist a c2(a; b), a.^  g′(c) = 0, ceea ce este ^ n contradict ie cu faptul c a
g′(x)̸= 0;8×2(a; b).
Pentru cealalt a parte a demonstrat iei, consider am funct ia h: [a; b]!R; h(x) =f(x)
k
g(x):
Pentru determinarea lui k, punem condit ia ca h(a) =h(b). De obt ine:
k=f(b)f(a)
g(b)g(a)
Aplic^ and teorema lui Rolle funct iei hrezult a:
9c2(a; b) a.^ . h′(c) = 0)f′(c)k
g′(c) = 0)k=f′(c)
g′(c)
9 Aplicat ii ale teoremei lui Cauchy
1.Studiem aplicabilitatea teoremei lui Cauchy pentru urm atoarele funct ii:
(a)
f; g: [1;4]!R; f (x) =8
><
>:p4x3; x2[1;3)
x2
9+ 2; x2[3;4]; g(x) =x2

9 APLICAT II ALE TEOREMEI LUI CAUCHY 73
(b)
f; g:[p
2;2]
!R; f (x) = ln x; g (x) =x2
Solut ii :
(a)
lim
x!3x<3p
4x3 = 3 ; lim
x!3x>3(
x2
9+ 2)
= 3 deci feste continu a pe [1 ;4]
f′
s(3) = lim
x!3x<32p4x3=2
3
f′
d(3) = lim
x!3x>32
9x=2
39
>>=
>>;) decifeste derivabil a pe (1 ;4):
g′(x) = 2 x̸= 08×2(1;4)
Conform teoremei lui Cauchy, exist a c2(1;4) a.^ .:
f(4)f(1)
g(4)g(1)=f′(c)
g′(c),34
91
161=f′(c)
2c, f′(c) =50c
9
15=10c
27
^Ins a f′(c) =8
><
>:2p4x3; x2(1;3)
2x
9; x2[3;4]
[label=)]
Dac a c2(1;3) avem5
27=1
cp5c3:Funct ia h: (1;3)!R; h (x) =1
xp4x3
este continu a,  si are proprietatea lui Darboux , deci exist a c12(1;3) a.^ .
h(c1) =5
27.
Dac a c2[3;4);5
27̸=1
9deci nu exist a c2[3;4) a.^ .f′(c)
2c=5
27
Am g azit c2(1;3) care veric a teorema lui Cauchy.

9 APLICAT II ALE TEOREMEI LUI CAUCHY 74
i.ii.(b)Evident, funct iile sunt continue  si derivabile, ind funct ii elementare.
g′(x) = 2 x̸= 08×2[p
2;2)
:Deci, sunt ^ ndeplinite condit iile teoremei lui
Cauchy.
9c2(p
2;2)
a.^ .f′(c)
g′(c)=f(2)f(p
2)
g(2)g(p
2))1
c
2
c=lnp
2
2)c2=1
lnp
2
)c=√
1
lnp
2)c=√
2
ln 2
Alegem c=√
2
ln 22(p
2;2)
2.Ar atat i c a:
jabj⩽jarcsin aarcsin bj
Solut ie :
Aplic am teorema lui Cauchy funct iilor f; g: [1;1]!R; f (x) =x; g (x) =
arcsin x. Rezult a c a exist a c2(1;1) a.^ :
ab
arcsin aarcsin b=1
1 +c2
1p
1c2=p
1c2
1 +c2
Din tabelul de variat ie al funct iei
h:R!R; h (x) =p
1x2
1 +x2
deducem c a pe intervalul ( 1;1) funct ia are ^ n x= 0 un maxim egal cu 1.
A sadarab
arcsin aarcsin b⩽1:
3.Fief; g: [a; b]!Rdou a funct ii continue  si g(x)̸= 08×2(a; b). Ar atat i c a
exista c2(a; b) a.^ .:
f(c)b
ag(x)dx=g(c)b
af(x)dx
Solut ie :

10 TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT II INTEGRABILE 75
Aplic am teorema lui Cauchy, funct iilor
F(x) =x
af(t)dt;  siG(x) =x
ag(t)dt
F(b)F(a)
G(b)G(a)=F′(c)
G′(c)=f(c)
g(c); c2(a; b)
b
af(t)dt
b
ag(x)dt=f(c)
g(c)
10 Teorema de medie pentru funct ii integrabile
1.Fief: [0;3]!R; f (x) =x23x. A
at i valoarea medie a funct iei f.
2.Folosind funct ia
F(x) =x
af(t)dt; x2(a; b)
demonstrat i teorema de medie .
3.Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a, a.^ .
1
0f(x)dx=1
2:
Ar atat i c a exist a x02(0;1) a.^ . f(x0) =x0.
4.Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a. Ar atat i c a exist a c2[a; b] a.^ .
c
af(t)dt=b
cf(t)dt:
5.Fief : [a; b]!Ro funct ie continu a. Ar atat i c a exist a c2(a; b) a.^ .
c
af(x) = (bc)f(c)
6.Ar atat i c a ecuat ia x
1f(t)dt=x23;
unde f: [1;1]!(1;1) este continu a  si are solut ie pe intervalul (1 ;2).

10 TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT II INTEGRABILE 76
7.Fief: [a; b]!Ro funct ie continu a a.^ .
b
af(x)dx=b2a2
2:
Ar atat i c a exista c2(a; b) a.^ . f(c) =c.
8.Fief; g: [a; b]!Rdou a funct ii continue a.^ .
b
af(x)dx=b
ag(x):
Ar atat i c a exist a c2[a; b] a.^ . f(c) =g(c).
9.Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a  si
1
0f(x)dx=2
:
Ar atat i c a exist a x02(0;1) a.^ . f(x0) = sin x0
10.Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a  si
1
0f(x)dx= 1 +1
2+: : :+1
n
cun2N. Ar atat i c a exist a c2(0;1) a.^ . f(c) =1cn
1c.
11.Fief: [0;1]!Ro funct ie continu a a.^ .
61
0f(x)dx= 2a+ 3b+ 6c:
Ar atat i c a exist a x02(0;1) a. ^ . f(x0) =ax2
0+bx0+c.
12.Calculat i urm atoarele limite:
(a)
lim
x!0x
0et3dt:
(b)
lim
n!1n+1
nepxdx:
(c)
lim
n!11
4n2
1xnxdx:

10 TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT II INTEGRABILE 77
(d)
lim
n!1n3n+2
nx
1 +x5dx:
(e)
lim
x!0x2
0et2dt
sin2xdx:
(f)
lim
n!1n+1
np
x2+ 2x
xdx:
(g)
lim
n!1n+1
nlnx
x2+ 1dx
Solut ii :
1.
M(f) =1
33
0(
x23x)
dx= 0
2.Aplic am teorema lui Lagrange:
F(b)F(a) = (ba)F′(c); c2(a; b)
Dar F′(c) =f(c):
3. 1
0f(x)dx=1
2,1
0(f(x)x)dx= 0:
Aplic am teorema de medie funct iei f(x)xde unde rezult a c a exist a x02(0;1)
a.^  1
0(
f(x)x)
dx=f(x0)x0= 0

10 TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT II INTEGRABILE 78
4.
FieG: [a; b]R; G (x) =x
af(t)dtb
xf(t)dt:
G(a) =b
af(t)dt:
G(b) =b
af(t)dt:
G(a)G(b) =(b
af(t)dt)2
⩽09
>>>>>>>>=
>>>>>>>>;) 9 c2[a; b] a.^ . G(c) = 0
5.
Fie F: [a; b]!R; F (x) = (bx)x
af(t)dt:
Feste derivabil a
F(a) =F(b) = 0) conform teoremei lui Rolle exist a c2(a; b) a.^ .
F′(c) = 0, c
af(t)dt+(bc)f(c) = 0 ; F′(x) =x
af(t)dt+(bx)f(x)
6.
Fie funct ia F(x) =x
1f(t)dtx2+ 3:
F(1) = 1 ; F (2) =2
1f(t)dt1: f (t)<1)F(2)<0
F(1)F(2)<0) 9 c2(1;2) a.^ . F(c) = 0
7.
b
af(x)dx=b2a2
2,b
af(x)dx=b
axdx,b
a(
f(x)x)
dx= 0
Aplic^ and teorema de medie, rezult a c a exist a c2(a; b) a.^ .:
b
a(
f(x)x)
dx= (ba)(
f(c)c)
= 0)f(c) =c:

10 TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT II INTEGRABILE 79
8.Aplic am teorema de medie funct iei f(x)g(x). Rezult a c a exist a c2[a; b] a.^ .:
b
a(
f(x)g(x))
dx= (ba)(
f(x)g(x))
= 0) f(x) =g(x)
9. 1
0f(x)dx=1
0sinxdx  si se aplic a teorema de medie.
10.
1
0(
1 +x+x2+: : :+xn1)
dx=(
x+x2
2+: : :+xn
n)1
0= 1 +1
2+: : :+1
n
1
0f(x)dx=1
0(
1+x+x2+: : :+xn1)
dx)1
0(
f(x)1xx2: : :xn1)
dx= 0)
)9 c2(0;1) a.^ . f(c)1cc2: : :cn1= 0 echivalent cu f(c) =cn1
c1=1cn
1c
11.
61
0f(x)dx= 2a+ 3b+ 6c,1
0f(x)dx=1
0(
ax2+bx+c)
dx)
) 9 x02(0;1) a.^ . f(x0) =ax2
0+bx0+c:
12.Se aplic a teorema de medie:
(a)x
0et3dt=xec3
x; cucx2(0; x):
C^ and x!0; cx!0. Limita cerut a este egal a cu 0.
(b)n+1
nepxdx=epcn=1
epcn; c n2(n; n + 1):
C^ and n!1 ; cn!1 . Limita este egal a cu 0

10 TEOREMA DE MEDIE PENTRU FUNCT II INTEGRABILE 80
(c)
2
1xnxdx=cnccuc2(1;2):Dar1
4n<1
4n2
1xnxdx <(c
2)2n
!0
(d)n+2
nx
1 +x5dx=2cn
1 +c5n; c n2(n; n + 2):
Dar,2n5
1 + (n+ 2)5< n3n+2
nx
1 +x5dx <2 (n+ 2)n4
1 +n5:Limita este egal a cu 2
(e)
lim
x!1x2
0et2dt
sin2x= lim
x!0cx!0x2ec2
x
sin2x= 1:lim
x!0sin2x= 0
(f)
Exist a cn2(n; n + 1) a,^ .n+1
np
x2+ 2x
x=√
c2n+ 2cn
cn:C^ and n!1 ; cn!1 :
lim
cn!1√
c2n+ 2cn
cn= 1
(g)
lim
n!1n+1
nlnx
x2+ 1dx= lim
cc!1lncn
c2n+ 1= lim
cn!11
cn
2
cn= lim
cn!11
2c2n= 0