Teorema Lui Dirichlet Si Cazuri Particulare ale Acesteia

Economie

Teorema Lui Dirichlet Si Cazuri Particulare ale Acesteia

Byadmin ianuarie 1, 2024

Teorema lui Dirichlet și cazuri particulare ale acesteia

Introducere

Johan Peter Gustav Lejeune –Dirichlet a fost unul dintre marii matematicieni ai secolului XIX și ai tuturor timpurilor.

S-a născut la 13 februarie 1805, în localitatea Düren, orașsituat la jumătatea distanței dintre Köln și Aachen, în Germania (pe atunci în Imperiul Francez al lui Napoleon), în familia unui funcționar poștal.

Dirichlet intră în contact cu mari matematicieni precum Legendre, Poisson, Laplace și Fourier. Ultimul l-a impresionat în mod deosebit, fapt ce are drept consecință interesul său pentru seriile trigonometrice și fizica matematică. În această perioadă redactează prima sa contribuție originală în matematică: demonstrează marea teoremă a lui Fermat pentru cazul n = 5. Această teoremă afirmă că pentru orice număr natural n, n > 2, nu există numere întregi diferite de 0 astfel încât xn+yn = zn. Demonstrația completă a acestei teoreme a fost dată abia în ultimii ani ai secolului XX. Ulterior, Dirichlet a fost primul matematician care a observat că unele demonstrații date pentru cazuri particulare ale teoremei lui Fermat, de către mari matematicieni, erau greșite deoarece se bazau pe ipoteza că în inele de extensiune a lui Z, descompunerea unui număr ca produs de factori ireductibili (care nu se mai pot descompune) este unică, ipoteză care este falsă pentru unele dintre aceste inele. Această observație a impus diferențierea între noțiunea de număr ireductibil și cea de număr prim (un număr diferit de zero și unități se numește număr prim dacă ori de câte ori divide un produs de numere, divide cel puțin unul dintre factori) și a avut implicații profunde în dezvoltarea teoriei numerelor și algebrei.

Contemporanii săi îl apreciau ca pe un excelent matematician și profesor care nu era lipsit de anumite defecte: se îmbrăca neglijent, era mereu cu o țigară în gurășio cafea în față, puțin preocupat de imaginea sa și mereu în întârziere.

Evantaiul lucrărilor lui Dirichlet ilustrează profunzimea culturii matematice germane din perioada de început a epocii de aur a acesteia, inaugurată de Karl Friedrich Gauss, cel mai mare matematician al timpurilor moderne. Lucrările lui acoperă multeaspectele ale matematicii; totuși cele de teoria numerelor, analizăși teoria potențialuluisunt cele mai importante. Multe noțiuni și rezultate îi poartă acum numele.

În teoria numerelor a demonstrat că, dacă a și b sunt numere întregi și (a, b) = 1, în șirul (an + b)n∈N există o infinitate de numere prime, rezultat cunoscut sub numelede teorema lui Dirichlet. Demonstrația dată de Dirichlet acestei teoreme, în 1837, este considerată actul de naștere a teoriei analitice a numerelor. Dirichlet a adus o contribuție importantă la elaborarea instrumentelor de lucru pentru teoria modernă anumerelor prin introducerea seriilor atașate funcțiilor aritmetice, numite astăzi seriilelui Dirichlet, crearea teoriei unităților și preocupările sale privind reprezentarea numerelor întregi prin forme pătratice aritmetice.

De asemenea, lui Dirichlet datorăm principiul sertarelor, ce afirmă că, dacă sunt n + 1 obiecte în n sertare, atunci cel puțin un sertar conține cel puțin două obiecte.Dirichlet utilizează acest principiu în studiul corpului numerelor algebrice.

În teoria potențialului se ocupă cu problema Dirichlet privind existența funcțiilor armonice. Tot el a dat condiția Dirichlet pentru convergența seriilor trigonometrice.

Ideile lui Dirichlet nu au pierdut strălucirea odată cu trecerea timpului. Dezvoltarea matematicii în ultimii 200 de ani a pus în evidență profunzimea acestor idei.

Capitolul 1: Elemente introductive

Divizibilitate pe N și Z

DEFINIȚIA 1.1.1. Fie .Vom spune că b divide a și vom scrie , dacă există astfel încât (nu definim divizibilitatea prin 0). În acest caz vom spune că b este un divizor al lui a (sau că a este multiplu de b).

În mod evident, relația de divizibilitate de pe ℕ este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă, adică este o mulțime parțial ordonată în care 1 este cel mai mic element (elementul inițial) iar 0 este cel mai mare element (elementul final).

DEFINIȚIA 1.1.2. Un număr se zice prim dacă singurii săi divizori sunt 1 și p.

Cele mai mici numere prime sunt 2, 3, 5, 7, etc. (vom demonstra mai târziu că există o infinitate de numere prime).

TEOREMA 1.1.3. Fiind date două numere , există (vom nota ) astfel încât, iar dacă mai avem astfel încât și , atunci (adică în mulțimea parțial ordonată pentru orice două elemente a și b există (a, b) ).

Demonstrație: Conform teoremei împărțirii cu rest, putem scrie , cu iar .

Dacă atunci și ϵn mod evident .

Dacă , atunci conform aceleiași teoreme de împărțire cu rest putem scrie ,cu , iar .

Dacă , atunci . într-adevăr, din se deduce că , iar din deducem că . Dacă mai avem astfel încât și , atunci cum , deducem că .

Dacă , atunci din nou putem scrie , cu , și algoritmul descris până acum continuă, obținându-se un șir descrescător de numere naturale: astfel încât. Atunci șirul este staționar.

Astfel, dacă pentru un anumit k, , atunci , pe când, dacă atunci . ∎

Exemplul 1. Dacă a=49 și b=35 avem :

de unde deducem că (49, 35)=7.

Exemplul 2.Dacă a=187 și b=35 avem:

de unde deducem că (187, 35)=1.

Observații:

1. Numărul d poartă numele de cel mai mare divizor comun al lui a și b.

2. Algoritmul de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere naturale descris mai înainte poartă numele de algoritmul lui Euclid .

3. Dacă pentru avem , vom spune despre a și b că sunt prime între ele.

4. Inductiv se arată că pentru oricare n numere naturale există astfel încât d|ai pentru orice și dacă mai avem astfel încât pentru orice atunci Numărul d se notează prin și poartă numele de cel mai mare divizor comun al numerelor .

DEFINIȚIA 1.1.4. Dacă , vom spune că b divide a (vom scrie ) dacă există astfel încât ( ca și în cazul lui ℕ nu vom defini, nici ϵn cazul lui ℤ divizibilitatea prin 0).

Evident, dacă atunci și .

Numerele prime în ℤ se definesc ca fiind acele numere întregi p cu proprietatea că iar singurii divizori ai lui p sunt . Evident, numerele prime din ℤ sunt numerele de forma cu număr prim în ℕ.

Se verifică imediat că dacă , atunci:

1)

2) Dacă și , atunci (deci ϵn ℤ relația de divizibilitate nu mai este antisimetrică).

3) Dacă și , atunci .

TEOREMA 1.1.5. ( Teorema împărțirii cu rest ϵn ℤ ) Dacă , atunci există astfel încât, cu .

Demonstrație: Fie ; evident în P avem și numere naturale. Fie cel mai mic număr natural din P (cu ). Avem căci dacă am , ceea ce contrazice minimalitatea lui r. ∎

Observație:

1. Putem formula teorema împărțirii cu rest din ℤ și sub forma: Dacă atunci există astfel încât, iar

2. Numerele c și r cu proprietatea de mai sus poartă numele de câtul, respectiv restul împărțirii lui a la b, și sunt unice cu proprietatea respectivă, căci dacă am mai avea cʹși astfel încâtcu atunci

adică Cum dacă am presupune, de exemplu, că atunci , iar condiția implică și cum , deducem imediat că

DEFINIȚIA 1.1.6. Numim ideal al inelului orice submulțime nevidă aastfel încât

i) Dacă a atunci a

ii) Dacă a și , atunci a .

PROPOZIȚIA 1.1.7. Fie a un ideal. Atunci există astfel încâta.

Demonstrație: Dacă a, atunci . Să presupunem că a. Atunci există a, . Dacă , atunci , iar dacă cum a este un ideal, a, și atunci

În concluzie a. Putem alege a* ca fiind cel mai mic element din a* și să demonstrăm că a

Cum a și a este ideal al inelului ℤ, incluziunea a este imediată. Fie acum a. Putem scrie , cu și (căci *). Scriind cum a, a, deducem că a. Datorită minimalității lui d deducem că și astfel , de unde și incluziunea inversă a, care ne asigură egalitatea a∎

PROPOZIȚIA 1.1.8.Fie. Dacă notăm prin <> idealul generat de {}, atunci

Demonstrație: Dacă notăm

a,

se arată imediat că a este ideal al lui ℤ ce conține {}. Cum este cel mic ideal al lui ℤ ce include {}, deducem că a. Pentru incluziunea inversă ținem cont de faptul că

și fie deci un ideal astfel încât.

Atunci pentru orice avem , adică și cum b este oarecare, deducem că de unde egalitatea dorită. ∎

Fiind date ϵℤ prin cel mai mare divizor comun al numerelor înțelegem acel număr astfel încât pentru orice și în plus dacă mai avem pentru orice , atunci .

Evident, dacă un astfel de d există, atunci și –d are aceeași proprietate .

Convenim să alegem pentru rolul de cel mai mare divizor comun al numerelor întregi acel număr natural d cu proprietățile de mai înainte și vom nota

TEOREMA 1.1.9. Fiind date n numere întregi (n≥2), dacă notăm prin d numărul natural a cărui existență este asigurată de Propoziția 1.1.7. pentru idealul , atunci d = ( ).

Demonstrație:Într-adevăr, cum fiecare deducem că , adică d|ai pentru .

Fie acum astfel încât pentru Cum , există

astfel încât

și astfel deducem că adică d = (). ∎

COROLAR 1.1.10. Fiind date n numere întregi ( dacă și numai dacă există astfel încât

Congruențe pe Z

DEFINIȚIA 1.2.1. Fie un număr fixat. Vom spune că sunt congruente modulo n dacă .În acest caz scriem

PROPOZIȚIA 1.2.2. Relația de congruență modulo n este o echivalență pe ℤ compatibilă cu operațiile de adunare și înmulțire de pe ℤ(adică este o congruență pe inelul

Demonstrație: Faptul că relația de congruentă modulo n este o relație de echivalență pe ℤ se probează imediat. Pentru a proba compatibilitatea acesteia cu operațiile de adunare și înmulțire de pe ℤ, fie astfel încât adică și , cu . Atunci a+aʹ-(b+bʹ)=(k+kʹ)n, adică a+aʹ≡b+bʹ(n) și scriind

deducem că și ∎

COROLAR 1.2.3. Fie astfel încât pentru orice

Atunci:

În particular, dacă astfel încât și *, atunci .

Pentru vom nota prin clasa de echivalență a lui x modulo n. Deoarece resturile împărțirii unui număr oarecare din ℤ prin n sunt se deduce imediat că dacă notăm mulțimea claselor de echivalență modulo n prin ℤn , atunci iar pentru avem

Pe mulțimea ℤn se definesc operațiile de adunare și înmulțire astfel:

PROPOZIȚIA 1.2.4. este inel comutativ în care unitățile sale sunt

Demonstrație: Cum verificarea anumitor axiome nu ridică probleme deosebite, vom reaminti doar că elementul neutru din ℤn față de adunare este , iar elementul neutru față de înmulțire este .

Dacă , atunci există astfel încâtde unde deducem că .

Reciproc, dacă și , atunci, conform Corolarului 1.1.10. există astfel încât, de unde deducem că , deci . ∎

Exemplul 3..

Observație: Dacă pentru un număr natural definim iar pentrunumărul numerelor naturale astfel încât, atunci

Funcția definită mai sus poartă numele de indicatorul lui Euler.

COROLARUL 1.2.5. este corp ↔ n este prim.

Observație: Dacă în inelul ℤ considerăm idealul , urmărind tehnica factorizării unui inel (comutativ ) printr-un ideal, dacă am fi construit inelul factor se obținea de fapt tot .

Fie acum *, și

PROPOZIȚIA 1.2.6. Ecuația are soluție în dacă și numai dacă . Dacă atunci ecuația are exact d soluții în .

Demonstrație: Dacă este o soluție a ecuației, atunci , de unde deducem că (căci și ).

Reciproc, să presupunem că . Cum , conform Corolarului 1.1.10., există astfel încât .

Dacă , atunci , adică , deci este o soluție a ecuației .

Să presupunem acum că și sunt două soluții ale ecuației . Atunci și , de unde . Dacă notăm și , atunci și obținem că , adică , cu .

Pe de altă parte se verifică imediat că este soluție a ecuației cu .

Cum nu e posibil să avem pentru și (căci ar trebui ca deducem că dacă este o soluție a ecuației , atunci această ecuație are d soluții și anume:

∎

Exemplul 4. Să considerăm în ℤ15 ecuația. Avem și , deci ecuația va avea soluție în ℤ15. Cum iar este o soluție particulară, celelalte soluții vor fi

În concluzie, ecuația . are în ℤ15,soluțiile .

COROLAR 1.2.7. Dacă n este număr prim, atunci ecuația are soluție unică ℤn dacă și numai dacă .

LEMA 1.2.8. Dacă G este un grup (multiplicativ) finit cu n elemente , atunci , pentru orice .

Demonstrație: Fie , iar (ordinul lui x). Atunci și conform Teoremei lui Lagrange , adică cu . Deducu . Deducem imediat că

. ∎

Observație:În cazul că G este comutativ există o demonstrație elementară ce evită Teorema lui Lagrange. Pentru aceasta se alege și . Cum deducem că

COROLAR 1.2.9. (Euler) Dacă este un număr natural iar astfel încât, atunci (φ fiind indicatorul lui Euler).

Demonstrație: Am văzut mai înainte că este un monoid cu φ(n) elemente inversabile. Astfel, dacă aplicăm Lema 1.2.8. grupului (ce are φ(n) elemente) pentru obținem că: ∎

COROLAR 1.2.10. (Mica teoremă a lui Fermat) Dacă este un număr prim, iar astfel încât, atunci .

Demonstrație: Cum p este un număr prim, și acum totul rezultă din Corolarul 1.2.9. ∎

LEMA 1.2.11. Fie G un grup (multiplicativ) finit comutativ iar produsul tuturor elementelor din G. Atunci.

Demonstrație: Vom scrie

Însă în cadrul produsului vom grupa fiecare element x cu (avem căci dacă atunci și deci , absurd) și astfel , de unde concluzia că∎

COROLAR 1.2.12. (Wilson) Dacă este un număr prim, atunci

Demonstrație: Cum p este prim este grup cu elemente atunci

Rămâne să punem în evidență elementele * cu proprietatea că

de unde deducem că astfel că

∎

LEMA 1.2.13. Fie un număr prim, iar un număr natural. Atunci:

i) Dacă și ϵn grupul numai elementele

au ordinul cel mult 2.

ii) Dacă atunci ϵn grupul ) numai elementele au ordinul cel mult 2.

Demonstrație: Avem că . Să determinăm în acest grup elementele astfel încât , adică acele numere naturale a astfel încât cu și (*).

Evident verifică (*). Dacă ,atunci putem scrie și cu , , iar

Dacă și cum și astfel obținem și elementul ce verifică de asemenea (*).

Dacă și cum , contradicție.

Dacă , deci dacă , obținem o contradicție.

În concluzie: dacă , atunci în avem numai elementele și – = ce au ordinul cel mult 2, obținând astfel concluzia de la ii).

Dacă , atunci din sau . Dacă și cum și . Deci, în acest caz, dacă a verifică (*)

Dacă

și cum sau (cazul este exclus căci )

Dacă sau . În cazul , iar dacă

În concluzie: dacă și în ) numai elemente au ordinul cel mult 2, obținând astfel concluzia de la i).∎

COROLAR 1.2.14. (O generalizare a teoremei lui Wilson) Dacă p este un număr prim și n un număr natural, atunci:

Dacă și atunci

c) Dacă și atunci

Demonstrație: Totul rezultă imediat din Lema 1.2.4 ținând cont de cele stabilite în Lema 1.2.13. ∎

LEMA 1.2.15. Fie K un corp comutativ și cu . Atunci f are cel mult n rădăcini distincte.

Demonstrație: Facem inducție matematică după n. Cum pentru totul este clar, să presupunem că afirmația din enunț este adevărată pentru orice polinom din de grad .

Dacă f nu are rădăcini în K totul este clar.

Dacă există astfel încât, atunci și .

Dacă b este o altă rădăcină a lui f, , atunci ceea ce implică . Cum prin ipoteza de inducție q are cel mult rădăcini distincte, deducem că f are cel mult n rădăcini distincte.■

Dacă este descompunerea în factori primi a lui n, conform Corolarului 1.2.4., astfel, pentru a determina structura grupului multiplicativ este suficient să studiem structura grupurilor de forma cu p prim și .

Vom începe cu cazul cel mai simplu și anume cu cu p prim. Cum este corp, *. Dacă , vom nota

LEMA 1.2.16. Fie K un corp comutativ și cu . Atunci f are cel mult n rădăcini distincte.

Demonstrație: Facem inducție matematică după n. Cum pentru totul este clar, să presupunem că afirmația din enunț este adevărată pentru orice polinom din de grad

Dacă f nu are rădăcini în K totul este clar.

Dacă există astfel încât atunci și .

Dacă este o altă rădăcină a lui atunci ceea ce implică . Cum prin ipoteza de inducție q are cel mult rădăcini distincte, deducem că f are cel mult n rădăcini distincte.■

COROLAR 1.2.17. Fie K un corp comutativ astfel încât Dacă avem elemente distincte , astfel încâtpentru orice atunci

Demonstrație: Considerând , atunci și cum h are rădăcini distincte , deducem că , adică ∎

COROLAR 1.2.18. Dacă este un număr prim, atunci orice , avem:

Demonstrație: Cum p este prim, este corp comutativ. Considerând

avem că și pentru (ținând cont și de mica teoremă a lui Fermat, adică de Corolarul 1.2.3.). Conform Corolarului 1.2.17., .

∎

Observație: Dacă în corolarul1.2.3. considerăm obținem că , adică teorema lui Wilson (Corolarul 1.2.5.).

PROPOZIȚIA 1.2.19. Fie un număr prim și Atunci congruența are exact d soluții.

Demonstrație: Dacă , atunci:

adică

și astfel

Cum astfel are exact rădăcini (și anume –conform micii teoreme a lui Fermat), ținând cont de Lema 1.2.16. deducem că are exact d rădăcini în și astfel congruența are exact d soluții în .

■

TEOREMA 1.2.20. Dacă p este un număr prim, atunci este un grup ciclic.

Demonstrație:

Soluția 1: Evident iar pentru , fie numărul elementelor din de ordin d. Conform Propoziției 1.2.19. elementele din ce satisfac congruența formează un grup de ordin d. Însă , de unde se deduce că (φ fiind indicatorul lui Euler). În particular, (dacă ). Deducem că în , elemente au ordinul și astfel oricare dintre aceștia generează pe , adică este grup multiplicativ ciclic.

Soluția 2: Fie descompunerea în factori primi a lui și să considerăm congruențele:

În mod evident orice soluție a congruentei (1) este soluție și a congruenței (2). Mai mult, congruența (2) are mai multe soluții decât congruența (1). Pentru fiecare fie o soluție a congruenței (2) ce nu este soluție a congruenței (1) iar .

Evident, generează un subgrup al lui de ordin , .Deducem ca generează un subgrup al lui de ordin . Atunci . ∎

DEFINIȚIA 1.2.21. Fie un număr prim. Un element se zice rădăcină primitivă modulo p dacă generează .

Exemplul 5. 2 este rădăcină primitivă modulo 5 (se verifică imediat că este cel mai mic număr natural n pentru care ), pe când 2 nu este rădăcină primitivă modulo 7 (de ex. ).

Noțiunea de rădăcină primitivă se poate generaliza astfel:

DEFINIȚIA 1.2.22. Fie . Un element se zice rădăcină primitivă modulo n dacă în generează . (echivalent cu a spune că φ(n) este cel mai mic număr natural pentru care ).

Observație în general nu rezultă că este ciclic.

Exemplul 6. Elementele lui sunt iar neexistând deci în elemente de ordin .

Rezultă că nu orice întreg posedă rădăcini primitive.

LEMA 1.2.23. Dacă p este un număr natural prim și atunci.

Demonstrație: Avem și cum iar p nu divide nici pe k! și nici pe (p-k)!, deducem că dacă notămatunci și cum , atunci .■

Observație: Utilizând Lema 1.2.23. putem prezenta o nouă demonstrație a micii teoreme a lui Fermat: Dacă p este un număr prim și astfel încât, atunci

Într-adevăr, să notăm Cum

Ținând cont de Lema 1.2.23. deducem că

Astfel și cum se deduce că , adică și cum obținem că

LEMA 1.2.24. Dacă este un număr natural, un număr prim și astfel încât, atunci .

Demonstrație: Putem scrie , cu

Atunci (cu ) astfel că , de unde .■

COROLAR 1.2.25. Dacă p este un număr prim, , atunci

pentru orice .

Demonstrație: Facem inducție după n, pentru afirmația fiind trivială.

Să presupunem acum că afirmația din enunț este adevărată pentru n și să arătăm că este adevărată pentru .

Conform Lemei 1.2.24. avem: .

Dezvoltând cu ajutorul binomului lui Newton obținem

unde b este o sumă de termeni. Toți termenii lui b sunt divizibili prin , exceptând eventual ultimul termen Cum , și cum , adică și astfel ■

Observație: Fie astfel încât. Vom spune că a are ordinul k modulo n dacă este cel mai mic număr natural pentru care . Acest lucru este echivalent cu a spune că din are ordinul k în grupul

COROLARUL 1.2.26. Dacă este un număr prim astfel încât, atunci ordinul lui modulo pn este egal cu

Demonstrație: Conform Corolarului 1.2.25.,

de unde deducem că adică nu este de ordinul lui , rezultând astfel că ordinul lui modulo este egal cu .■

TEOREMA 1.2.27. Fie un număr prim și . Atunci este grup ciclic (adică există ϵn acest grup rădăcini primitive modulo ).

Demonstrație: Conform Teoremei 1.2.20. există o rădăcină primitivă modulo p. Dacă este o astfel de rădăcină, atunci ϵn mod evident și este.

Dacă , atunci

.

Cum nu divide putem presupune pentruînceput că g este o rădăcină primitivă modulo p și că

Să arătăm că un astfel de g poate fi rădăcină primitivă modulo iar pentru aceasta este suficient să demonstrăm că dacă , atunci

Avem că , unde . Conform Corolarului 1.2.26., este de ordinul lui modulo . Deoarece atunci ;

Fie . Atunci . Deoarece g este o rădăcină primitivă modulo p, și astfel .■

Pentru cazul se poate demonstra teorema următoare.

TEOREMA 1.2.28. Numărul are rădăcini primitive pentru sau 2 iar pentru nu are. Dacă , atunci constituie un sistem redus de resturi modulo . Rezultă că pentru este produsul direct a două grupuri ciclice (unul de ordin 2 iar celălalt de ordin ).

Demonstrație: Numărul 1 este rădăcină primitivă modulo 2 iar 3 este rădăcină primitivă modulo , deci putem presupune .

Intenționăm să demonstrăm că :

Evident, pentru este adevărată.

Să presupunem că (1) este adevărată pentru n și să demonstrăm pentru .

La început să notăm că: și că pentru .

Aplicând Lema 1.2.24. congruenței (1) obținem (2) și astfel (1) este probată prin inducție.

Din (2) se vede că pe când din (1) avem că .

Atunci 5 are ordinul modulo .

Să considerăm mulțimea formată din numere și să probăm că acestea nu sunt congruente modulo 2n deoarecededucem că mulțimea de mai sus conține un sistem redus de resturi modulo ).

Dacă prin absurd , , atunci , adică , deci . Atunci și astfel , de unde deci

În final să notăm că ridicat la puterea este congruent cu 1 modulo , astfel că nu are rădăcini primitive modulo , dacă .

∎

Din Teoremele 1.2.26. și 1.2.27. deducem următoarea descriere completă a grupurilor pentru n arbitrar:

TEOREMA 1.2.29. Fie descompunerea lui n în factori primi distincți. Atunci:

.

Grupurile sunt grupuri ciclice de ordin , iar este grup ciclic de ordin 1 și 2 pentru , respectiv . Dacă , atunci este produsul direct a două grupuri ciclice de ordine 2 și respectiv .

TEOREMA 1.2.30. Numărul posedă rădăcini primitive dacă și numai dacă n este de forma 2, 4, sau cu iar un număr prim.

Demonstrație: Conform Teoremei 1.2.28., putem presupune că cu . Dacă n nu este de forma din enunt, este ușor de a vedea că n se poate atunci scrie ca produs cu și .

Atunci și sunt simultan pare iar. Însă și au elemente de ordin 2 iar acest lucru ne arată că nu este ciclic. (deoarece conține cel mult un element de ordin 2).

Atunci n nu posedă rădăcini primitive.

Reciproc, am văzut că 2, 4, și posedă rădăcini primitive. Deoarece . deducem că este ciclic, adică posedă rădăcini primitive și cu aceasta teorema este demonstrată .

■

1.3. Resturi pătratice

Fie un număr natural fixat.

DEFINIȚIA 1.3.1. Un număr cu se zice rest pătratic modulo m dacă ecuația are soluție.

În caz contrar a se zice non-rest pătratic modulo m.

În mod evident, dacă și , atunci a este rest pătratic modulo este rest pătratic modulo m.

Datorită acestei observații este mai comod să lucrăm în ℤp decât în ℤ, distincția făcându-se în contextul în care se lucrează (notăm deseori elementele lui ℤp prin

Observații:

1. Fie p un număr prim; dacă și este impar, cu , atunci ecuația are soluție pentru sau Deci orice număr impar este rest pătratic modulo 2.

2. Dacă p este impar (deci ), atunci este rest pătratic modulo p ↔ restul împărțirii lui a la p este din ℤ*2 (sau 2). Aici ℤ*2* și analog ℤp*2.

Într-adevăr, dacă este rest pătratic modulo p, atunci există astfel încât există astfel încât

Reciproc, dacă putem scrie , cu , atunci ecuația are soluție pe

În cele ce urmează prin p vom desemna un număr prim impar (p≥3).

Cum , funcția σ:ℤp*→ℤp*, este morfism de grupuri multiplicative. Cum deducem că (în ℤp*)

Deci σ : ℤp* →{±1}.

Mai mult :

1. pentru un anumit * (căci în caz contrar polinomul ar avea mai multe rădăcini decât gradul său).

2. Dacă x = t2 ϵ ℤp*2, atunci

reamintim că am notat ℤp*2 = {a2 | a ϵ ℤp*}.

Din cele de mai sus deducem că: ℤp*2 ker σ ⊆ și cum

[: ker σ] = |/ ker σ| = |Im σ| = 2

deducem că

2 = [: ℤp*2]=[ℤp* : ker σ][ker σ : ℤp*2],

de unde [ker σ : ℤp*2] = 1, adică ker σ = ℤp*2.

DEFINIȚIA 1.3.2. Numim simbolul lui Legendre morfismul de grupuri multiplicative

Deci , pentru orice (evident , căci ).

Mai mult :

În particular:

LEMA 1.3.3. (Gauss) Fie , unde

evident X∩Y=Ø.

Pentru , fie Atunci , unde

Demonstrație: Să observăm la început că funcția

pentru x ϵ, permută doar elementele lui .

Astfel, dacă notăm

,

atunci , iar , deci

Fie Z = ⊆ X. Să observăm că elementele lui Z sunt distincte două câte două (ca elemente ale lui ℤp).

Într-adevăr, dacă există i, j astfel încât (în ℤp). Însă , cu , deci și cum deducem că ceea ce este imposibil deoarece . Deducem atunci că deoarece și . Deci (în ℤp) avem:

deoarece , de unde și atunci

∎

COROLAR 1.3.4. Pentru orice număr prim p impar (deci ) avem:

Demonstrație: Să observăm la început că . Într-adevăr, dacă atunci:

și cum pentru totul este clar.

Pentru . Atunci g din lema 1.3.3. a lui Gauss (pentru ) este numărul elementelor de forma ce verifică condiția , adică:

Considerând avem:

care ne duce la concluzia că g este par pentru și impar pentru , adică g și au aceeași paritate, de unde

■

În vederea demonstrării legii reciprocității pătratice, să studiem la început următoarea lemă:

LEMA 1.3.5. Dacă p și q sunt două numere prime impare , distincte, atunci:

Demonstrație: Notând , egalitatea din enunț devine:

Este ușor de observat că pentru orice este numărul de numere naturale din intervalul .

Deci pentru fiecare j ca mai sus, este numărul acelor puncte laticiale din plan situate pe dreapta (delimitate strict superior de dreapta și inferior de )

Astfel reprezintă numărul punctelor laticiale din interiorul dreptunghiului OABC (deci nesituate pe conturul lui OABC) situate sub dreapta de ecuație . (Fig.1.1.)

Figura 1.1.

Analog, reprezintă numărul punctelor laticiale din interiorul dreptunghiului OABC situate deasupra dreptei de ecuație astfel că

și astfel lema este probată.

∎

TEOREMA 1.3.6. (Legea reciprocității pătratice) Dacă p și q sunt două numere prime impare distincte, atunci:

Demonstrație: Revenim la notațiile din Lema 1.33.. a lui Gauss (numai că de data aceasta elementele xi și yi vor fi privite ca numere întregi, deci nu ca elemente din ℤp).

Fie

Avem

Analog ca în demonstrația lemei lui Gauss vom avea:

și cum deducem că

Acum, pentru , fie restul împărțirii prin p a lui jq.

Evident câtul este deci

Făcând și sumând obținem:

sau

Cum deducem că

Deoarece p si q sunt primi impari și , deducem că , astfel că

Schimbând rolul lui p cu q deducem că

de unde

■

Aplicația 6. Să calculăm , și

Aplicația 7. Fie și . Avem:

deci 45 este rest pătratic modulo 1009 (adică 45 este pătrat ϵn ℤ*1009).

Aplicația 8. a) Să stabilim dacă congruența are sau nu soluții.

b) Aceiași chestiune pentru congruența

Soluție: a) Calculăm

deci 10 este rest pătratic modulo 13 și în consecință ecuația are soluții.

b) Similar se calculează

Deci congruența nu are soluții.

După cum am văzut, pentru orice număr prim p,

conform Corolarului 1.3.4.

De aici deducem că 2 este rest pătratic modulo p pentru p de forma 8k±1 și non-rest pătratic pentru p de forma *).

PROPOZIȚIA 1.3.7. Există o infinitate de numere prime de forma *.

Demonstrație: Fie . Atunci numărul are cel puțin un divizor prim p impar care nu este de forma (căci N este de forma iar dacă toți divizorii primi impari ai lui N ar fi de forma , atunci și N ar trebui să fie de aceeași formă)

Atunci , de unde deducem că

Însă

adică p trebuie să fie de forma . Cum p nu este de forma rămâne doar că p prim trebuie să fie de forma .

Cum deducem că . Am probat deci că pentru orice , există un prim de forma .

Să presupunem acum că avem un număr finit de numere prime de forma și anume

Considerând numărul conform celor de mai înainte există un număr prim de forma (adică un ) astfel încât , ceea ce este absurd.

∎

PROPOZIȚIA 1.3.8. Există o infinitate de numere prime de forma *.

Demonstrație: Fie și (unde este al n-lea număr prim).

Cum a este impar, va fi de forma iar va fi de forma . Dacă orice divizor prim al lui N este de forma , N însuși este de această formă. Absurd. Deci N are cel puțin un divizor prim impar p ce nu este de forma sau

Cum deducem că și deci

Însă

Dacă atunci absurd, de unde concluzia că p este de forma . Însă din deducem și astfel avem o infinitate de numere prime de forma .

■

PROPOZIȚIA 1.3.9. Există o infinitate de numere prime de forma , cu *.

Demonstrație: Fie natural și .

Cum a este impar, este de forma .

Dacă toți divizorii lui N ar fi de forma , atunci și N ar fi de aceeași formă ceea ce este imposibil.

Atunci N ar trebui să aibă un divizor prim p de forma sau

Dacă atunci din

deci și astfel:

și cum . Contradicție.

Deci p este de forma și astfel din și deducem că , de unde rezultă imediat că avem o infinitate de numere prime de forma .

■

Observație: Din legea reciprocității pătratice se poate deduce următorul corolar.

COROLAR 1.3.10. Există o infinitate de numere prime de forma , cu *.

Demonstrație: Fie *, iar

Cum și este impar, atunci N, cum nu este de forma , va avea cel puțin un divizor prim p ce este de forma . Evident .

Cum , adică Atunci și .

Avem că poate să fie de forma sau .

Dacă , atunci

și cum , deducem că . Contradicție.

Cum am văzut că p nu poate fi de forma deducem că p trebuie să fie de formă .

De aici corolarul rezultă imediat.

∎

Observație: Din demonstrația Corolarului 1.3.9. deducem că numărul prim p este de forma Evident , deci

De aici rezultă următorul corolar.

COROLAR 1.3.11. Există o infinitate de numere prime de forma *.

Aplicația 9. Dacă este un număr prim, atunci:

Soluție: Avem

cu Evident nu putem avea .

Dacă atunci . Dacă , atunci .

Dar De asemenea deoarece p este impar.

Aplicația 10. Să se arate că există o infinitate de numere prime de forma , cu

Soluție: Presupunem prin reducere la absurd că există doar un număr finit de numere prime de forma cu *; fie acestea .

Considerăm numărul

În mod evident, divizorii primi naturali ai lui N sunt numere impare deoarece N este impar. Fie un divizor prim impar al lui N. Deducem că

deci adică p este de forma deoarece

Cu necesitate deci și am obținut astfel o contradicție evidentă: .

Aplicația 11.Să se arate că există o infinitate de numere prime de forma , cu .

Soluție: Presupunem ca și în cazul precedent că ar exista numai un număr finit de numere prime de forma .

Vom considera

.

Cum N este impar, fie p un divizor prim impar al lui N.

Obținem că , adică

Ținând cont de aplicația 7 deducem că p este de forma , adică . Absurd deoarece din care nu este de forma .

Aplicația 12. Dacă p este un număr prim de forma , atunci există x, yℕ astfel încât

Soluție: Să presupunem că p este un număr prim de forma . Atunci

și cum

deducem că:

adică –3 este rest pătratic modulo p, deci există astfel încât

Astfel există astfel încât care au proprietatea că la o alegere convenabilă a semnelor + sau -, .

Știm că și , adică .

Deducem că și

cu .

Rămâne valabil numai cazul deoarece dacă va rezulta că p nu este prim iar dacă deducem că și.

Capitolul 2. Teorema lui Dirichlet

2.2. Caractere modulo m

Fie m un modul finit, cu descompunerea canonic , , numere prime impare diferite,

rădăcina primitivă modulo .

Dacă sistemul de indici al lui a modulo m:

Notăm cu R o reducere arbitrară a ecuației binome, cu o rădăcină arbitrară a ecuației binome , cu o rădăcină arbitrară a ecuației binome .

DEFINIȚIA 2.2.1. Se numește caracter modulo m, o funcție , definită prin:

fiind sistem de indici modulo m al lui a.

TEOREMA 2.2.2. Există caractere diferite modulo m.

Demonstrație: Un caracter este determinat de rădăcinile finite ale ecuației binome indicate anterior. Rezultă că există

caractere. Oricare două dintre ele sunt diferite (există cel puțin un număr întreg a pentru care ele iau valori diferite). Fie caracterul dat de și dat de , unde, fie fie există astfel încât considerăm numărul întreg a corespunzător sistemului de indici modulo m , unde , iar toți ceilalți sunt 0. Evident că .

Dacă notăm , obținem caracterul principal pe care-l vom nota cu , unde

∎

TEOREMA 2.2.3. Orice caracter m, , are proprietățile:

Demonstrație: Prima relație se demonstrează simplu astfel:

A doua proprietate rezultă din faptul că dacă

Adică .

Dacă , atunci și .

Dacă a are sistemul de indici și b are sistemul de indici atunci are sistemul de indici

Deci

∎

Se notează cu suma valorilor lui E(a) când a parcurge un sistem complet de resturi modulo m și cu suma valorilor lui E(a) când a parcurge un sistem redus de resturi modulo m.

În baza teoremei precedente

Pentru , fixat, se notează , suma extinsă la cele caractere diferite.

TEOREMA 2.2.4.

Demonstrație: Avem

Dacă , adică .

Dacă , există un i astfel încât

În acest caz

∎

TEOREMA 2.2.5.

Demonstrație:

unde este un sistem de indici ai lui a, dacă (a,m)=1 și , dacă

Dacă, proprietatea este demonstrată.

Pentru (a,m)=1,

Fie sistemul de indici ai lui a, modulo m. Dacă , și

Dacă , fie , fie există pentru . Dacă , atunci , deoarece dacă sunt rădăcinile ecuației binome , vom avea:

de unde rezultă că orice polinom simetric, neconstant, cu de grad cel mult egal cu n-1 și diferit de zero este egal cu 0. În particular , pentru .

∎

TEOREMA 2.2.6. Dacă funcția are proprietățile:

;

nu este identic nulă;

, ;

atunci este un caracter modulo m.

Demonstrație: Fie , astfel încât . Din

Fie . Există , . Rezultă că

Fie

Vom avea, pentru un cu suma de mai sus diferită de 0:

pentru orice . Rezultă că .

∎

DEFINIȚIA 2.2.7. O funcție se numește caracter modulo m, dacă îndeplinește condițiile:

;

nu este identic nulă;

, ;

Proprietăți ale caracterelor modulo m:

. Într-adevăr, dacă

Dacă este o rădăcină a ecuației binome . Din teorema lui Euler rezultă rezultă

Numărul caracterelor este finit. Este evident că un caracter este determinat de valorile sale pentru cele numere întregi dintr-un sistem redus de resturi modulo m și fiecare asemenea este o rădăcină a ecuației . Există, deci cel mult caractere.

Dacă este un caracter, atunci este un caracter. Proprietatea rezultă observând că dacă verifică axiomele C1 – C4, atunci verifică C1 – C4 .

Dacă sunt caractere modulo m, atunci este un caracter modulo m. Proprietatea rezultă observând că dacă verifică C1 – C4, atunci verifică C1 – C4.

Dacă sunt toate caracterele diferite modulo m și notate cu unul, arbitrar, dintre ele, atunci . Dacă , există astfel încât și implică . Conform proprietății precedente, , , sunt caractere modulo m. Trebuie să arătăm că pentru , , . Este suficient să arătăm că acest lucru este adevărat pentru orice ,.

Dacă , adică rezultă că pentru orice a cu (a,m)=1, și deci , adică .

DEFINIȚIA 2.2.8. Se numește caracter principal sau caracter despecia I-a, caracterul , definit prin:

Se numește caracter de specia a II-a, orice caracter care primește numai valori reale și este diferit de caracterul principal: .

Se numește caracter de specia a III-a, orice caracter pentru care există ,

Se observă că satisface axiomele C1 – C4 și pentru orice caracter , .

Din proprietatea 5. rezultă că mulțimea caracterelor este închisă la înmulțire și din 6. rezultă că, pentru orice caracter , există un caracter care este inversul său.

Mulțimea caracterelor, înzestrată cu operația de înmulțire a funcțiilor, este un grup abelian.

Exemple de caractere modulo m:

Caracterul principal care a fost introdus deja.

Pentru , în afara caracterului principal , pentru , putem defini caracterul

Se verifică imediat că satisface axiomele C1 – C4.

Dacă n=1, există un singur caracter .

Simbolul lui Legendre: pentru p număr prim impar

Fie . Considerăm că există un număr natural n care admite rădăcini primitive modulo n și . Fie g o rădăcină primitivă modulo n, ρ o rădăcină primitivă a ecuației pentru ). Definim:

este un caracter: este îndeplinită conform definiției. este îndeplinită deoarece ). este îndeplinită, dacă , rezultă sau , deci și deci

Dacă atunci sau , , , deci . Fie . Dacă , rezultă și deci . Deci .

Dacă , se verifică ușor că funcția:

verifică axiomele C1 – C4.

Fie , și o rădăcină primitivă a ecuației binome . Funcția dată prin:

este caracter modulo deoarece verifică C1 – C4.

Exemplele 6 și 7 pot fi adaptate pentru orice modul m care este multiplu de , , luând respectiv

și

, și având aceeași semnificație.

TEOREMA 2.2.9. Dacă d este un număr întreg, atunci există un caracter modulo m, , astfel încât .

Demonstrație: Pentru caracterul dat la exemplul 2 satisface condiția

.

Pentru nu se pune problema deoarece . Problema nu se pune nici pentru , deoarece implică .

Fie cu descompunerea canonică , implică și implică , . Vom deosebi două cazuri:

În descompunerea lui m există un factor prim impar sau , , adică pentru un există rădăcina primitivă g. Considerăm definit la exemplul 5 pentru n= , fiind rădăcină primitivă a ecuației binome . Dacă . Cum rezultă că și deci . În cazul dacă , și

, . Fie .

Dacă din rezultă și luăm dat de exemplul 7. Dacă , fiind o rădăcină primitivă a ecuației Dacă , ecuația are rădăcina primitivăCum , implică , deci

∎

2.3. Teorema lui Dirichlet

Definiția 2.3.1. Un număr se numește număr prim dacă singurii săi divizori naturali sunt 1 și n. Numărul natural 2 este singurul număr prim par iar pentru n≥3 dacă n este prim atunci cu necesitate n este impar (condiție insuficientă după cum se poate dovedi facil în cazul lui 9 care este impar dar nu este prim).

S-a pus de foarte mult timp întrebarea câte numere prime există? În cadrul acestui paragraf vor fi prezentate anumite rezultate ce răspund într-un fel la această întrebare.

Vom nota prin P mulțimea numerelor prime.

În continuare pentru fiecare număr natural n≥1 vom nota prin pn al n-ulea număr prim, astfel că (evident p1=2, p2=3, p3=5, etc.).

O altă întrebare firească legată de mulțimea numerelor prime a fost dacă anumite submulțimi infinite ale lui ℕ conțin sau nu o infinitate de numere prime.

TEOREMA 2.3.2. Oricare ar fi numerele , progresia

Conține o infinitate de numere prime (pozitive).

Condiția este evident necesară. Dacă , toți termenii șirului sunt multipli de d.

Enunțul teoremei precedente este echivalent cu următorul enunț.

TEOREMA 2.3.3.( Euclid ) Mulțimea P este infinită.

Demonstrație: Să presupunem prin absurd că mulțimea P este finită,

(unde în mod evident p1=2, p2=3, p3=5, etc.).

Vom considera și să observăm că iar pentru . Ținând cont de teorema fundamentală a aritmeticii, va exista un număr prim care să dividă pe p. Cum toate numerele prime sunt presupuse a fi doar deducem că cu , ceea ce este absurd căci pentru orice Deci P este mulțime infinită.

∎

Demonstrația teoremei 2.3.2. în cazuri particulare.

În cazul k = 1, progresia conține toate numerele șirului natural (eventual cu excepția unui număr finit de numere naturale)

În cazul k = 2, progresia conține toate numerele naturale impare (eventual cu excepția unui număr finit de numere naturale)

∎

TEOREMA 2.3.4. Există o infinitate de numere prime de forma cu *.

Demonstrație: Să presupunem prin reducere la absurd că mulțimea {*} conține numai un număr finit de numere prime, fie acestea q1,…, qt și să considerăm numărul q=4q1q2…qt –1.

Numărul q trebuie să aibă un factor prim de forma (căci dacă toți factorii primi ai lui q ar fi de forma atunci și q ar trebui să fie de forma . Deci ar trebui ca qi să dividă pe q, ceea ce este absurd.), de unde concluzia din enunț. ∎

TEOREMA 2.3.5. Există o infinitate de numere prime de forma *.

Demonstrație: Să presupunem prin absurd că există doar un număr finit de numere prime de forma și anume q1, q2,…,qk. Să considerăm numărul q=6q1q2…qk-1. Cum un număr prim este de forma sau , deducem că q trebuie să conțină un factor prim de forma (căci în caz contrar ar trebui ca q să fie de forma . Deci ar trebui ca un qi să dividă pe q, ceea ce este absurd.), de unde concluzia din enunț. ∎

Fie k un număr natural,

Ecuația , pentru , are rădăcinile

Considerăm polinomul

unde produsul se face după un sistem redus de resturi modulo n. Gradul lui este .

Se poate observa că, dacă produsul se face după divizorii naturali ai lui k,

Fie unde este cel mai mic multiplu comun al polinomului , , având coeficientul termenului de grad cel mai înalt 1. Deoarece este un polinom cu coeficienți întregi, rezultă că și este un polinom cu coeficienți întregi. Observăm că dacă x este un număr întreg, , atunci , în contextul în care x nu este rădăcină a nici uneia dintre polinoamele .

LEMA 2.3.6. Fie n un divizor propriu al lui k. Atunci, pentru orice număr întreg , , vom avea

Demonstrație: Notăm . Vom avea:

Dacă , din rezultă că și din rezultă că .

∎

LEMA 2.3.7. Fie x un număr întreg, . Orice divizor prim p comun lui este divizor al lui k.

Demonstrație: Fie p prim, . Din rezultă că există un număr natural nenul n, astfel încât . Rezultă că .

Din rezultă că și deci . Conform lemei precedente rezultă că

∎

TEOREMA 2.3.8. Oricare ar fi numărul întreg k, , există o infinitate de numere prime de forma .

Demonstrație: Arătăm că există numere prime de forma . Considerăm congruența:

.

și luăm . Deoarece ecuația are un număr finit de soluții, putem alege y astfel încât . Există numere prime p care sunt divizori ai lui .

Deoarece p nu divide k rezultă conform lemei 2.3.7., că p nu divide , și deci p nu divide , oricare ar fi numărul natural n,

Deci: .

Fie . Există două numere întregi s și t astfel încât .

Deci .

Nu putem avea .

Fie un număr prim de forma și deci .

Conform primei părți a demonstrației, există un număr prim

Rezultă că există o infinitate de numere prime de forma .

∎

TEOREMA 2.3.9.

Demonstrație: Ținând cont de faptul că este caracter principal, pentru și din teoremele anterioare rezultă că

Având în vedere că pentru , dacă (a este o putere a unui număr prim), și dacă a nu este de această formă, , putem scrie:

Deoarece este un număr real (finit), trebuie să mai demonstrăm că .

Deoarece rezultă că seria este divergentă și apoi seria este divergentă (are suma +). Pentru orice număr real pozitiv M, oricât de mare, există un număr natural astfel încât Funcția este o funcție continuă de s. Pentru putem determina un număr astfel încât, pentru ,

Fie N un număr real pozitiv arbitrar. Determinăm un M număr real pozitiv astfel încât și astfel încât . Vom avea:

Rezultă că poate fi făcută oricât de mare, alegând în mod convenabil pe b, pentru .

∎

TEOREMA 2.3.10. Pentru aveam:

Demonstrație: Pentru orice p prim, p nu divide m, este de forma , iar pentru . Luăm și

Dar dacă p nu divide m și dacă . Rezultă că .

∎

TEOREMA 2.3.11. Dacă este un caracter de specia a III-a atunci .

Demonstrație: Dacă este de specia a treia (primește și valori care nu sunt reale), . Dacă luăm u = 1 și facem v să tindă la , obținem că, pentru :

Pentru , avem:

Conform teoremei precedente avem:

Arătăm că , prin reducere la absurd. Presupunem că .

Vom avea:

Pentru am obținut că

Deci

Se observă imediat că ultima inegalitate nu este adevărată pentru .

Am ajuns la o contradicție și teorema este demonstrată.

∎

Teorema 2.3.12. Dacă este un caracter de specia a II-a atunci .

Demonstrație: fiind o funcție multiplicativă, funcția sa sumatorie f va fi multiplicativă, unde:

Pentru , vom avea:

fiind caracter de specia a II-a, domeniul valorilor lui este . Ținând cont că , vom avea:

Deci

Dacă a are descompunerea canonică

și astfel se obține

Considerăm funcția:

unde . Printre numerele , există pătrate perfecte. Ținând cont de relația anterioară obținem:

Deci

Pe de altă parte

unde suma se face după toate punctele din

.

În figura următoare, D este mulțimea punctelor de coordonate întregi din primul cadran situate între axele de coordonate și hiperbola

Figura 2.1.

Considerăm mulțimile:

Evident și .

Vom nota

Evident că . Prin urmare:

Pentru suma

cu , obținem

Deci

.

Pentru

notăm

și

Vom avea:

Observăm că . Înlocuind în , obținem:

Dar

și

deci

și cum , rezultă că

Astfel se obține

Adică și obținem

și rezultă că

Și deci .

∎

TEOREMA 2.3.13. Dacă este un caracter modulo m, diferit de caracterul principal, atunci, pentru , expresia este mărginită.

Demonstrație: Conform teoremei anterioare observăm că, pentru , . Rezultă că este mărginită pentru și este mărginită pentru . Atunci expresia este mărginită pentru .

∎

TEOREMA 2.3.14. Dacă l este un întreg pozitiv, și s este un număr real, , atunci

unde suma din membrul I este extinsă la mulțimea caracterelor modulo m, iar suma din membrul al doilea, la numerele întregi pozitive congruente cu l modulo m.

Demonstrație: Conform teoremei precedente și aplicând proprietatea

avem:

∎

TEOREMA 2.3.15. (Teorema lui Dirichlet) Dacă iar , atunci există o infinitate de numere prime p astfel încât .

Demonstrație: Fără a restrânge generalitatea, prin considerarea (orice clasă de resturi modulo m conține numere pozitive).

Din teorema 2.3.9. avem relația

iar teorema 2.3.13 afirmă că sunt mărginite. Rezultă că

Și conform teoremei 2.3.14 rezultă că

Ținând cont de definiția funcției lui Mangoldt, avem:

Observăm că este mărginită pentru , deoarece

și ultima serie este convergentă pentru

Relația (*) se mai poate scrie sub forma:

Deoarece

rezultă că

și, prin urmare, numărul numerelor prime p,

∎

Bibliografie

Bușneag D. (coordonator), Aritmetica și teoria numerelor, Editura Universitaria, Craiova, 1999

Bușneag D., Exerciții de aritmetica și teoria numerelor, Editura Universitaria, Craiova, 1999

Minuț P., Teoria numerelor. Capitole de baza, Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2001

Minuț P., Pierre Fermat – Patru secole de la nașterea sa, RecMat – 2/2001, 4-5

Postnikov M. M., Despre teorema lui Fermat, Editura didactică și pedagogică, București, 1983

Creangă I. (coordonator), Introducere în teoria numerelor, Editura didactică și pedagogică. București,1965

Corduneanu A., Despre Marea teoremă a lui Fermat, RecMat – 1/1999, 37-39

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Dirichlet.html

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/165066/Peter-Gustav-Lejeune-Dirichlet