TEHNICI DE SIMULARE STATISTIC ¼A A SISTEMELOR c CHI¸ SIN ¼AU 2018 2 Introducere Pentru a delimita aria de preocupari in cadrul cursului nostru vom… [604575]

1
Prof.univ.,dr., Alexei LEAHU
TEHNICI DE SIMULARE STATISTIC ¼A
A SISTEMELOR
c
CHI¸ SIN ¼AU
2018

2
Introducere
Pentru a delimita aria de preocupari in cadrul cursului nostru vom trece in
revist ¼a de…ni¸ tiile no¸ tiunilor care stau la baza denumirii lui. Conform lucrarii
[I. V¼aduva] vom trata simularea, pornind de la urm ¼atoarea
De…ni¸ tie. Simularea este o tehnica de realizare a experimentelor cu
calculatorul, care implic ¼a utilizarea unor modele matematice ¸ si logice care
descriu comportamentul unui sistem real (sau a unor componente ale sale)
de-alungul unor perioade mari de timp în scopul cercet ¼arii acestui sistem.
In particular, atunci când simularea implica utilizarea unor modele proba-
biliste ¸ si se bazeaza pe producerea (generarea) de evenimente/numere aleatoare
(întâmpl ¼atoare) noi vom spune c ¼a avem de a face cu simulare statistic ¼a.
Or, simularea statistic ¼a vizeaz ¼a imitarea fenomenelor (experimentelor, sis-
temelor) cu speci…c indeterminist (aleator). Spunem, de exemplu, ca un
fenomen observabil este indeterminist daca derularea acestuia nu poate …
anticipata cu certitudine.
În literatura de specialitate Simularea Statistic ¼amai este numita ¸ si
Modelare Statistic ¼asauMetoda Monte Carlo [Vaduva, Ermakov].
Tehnicile de simulare statistic ¼a vizeaz ¼a mai multe aspecte, cum ar …:
metodele (procedeele) de generare a numerelor (pseudo)aleatoare, de deter-
minare a volumului su…cient de simulari pentru a ob¸ tine estima¸ tii cât mai
exacte ai parametrilor studia¸ ti, de validare a modelului implicat, etc.
Vorbind despre simularea statistica a unui sistem vom avea in vedere,
asa cum o sugereaza si de…ni¸ tia , utilizarea modelului matematic corespunz ¼a-
tor acestui sistem. Deoarece modelele matematice reprezinta ni¸ ste descrieri
aproximative ale unor par¸ ti din lumea real ¼a cu ajutorul no¸ tiunilor ¸ si for-
mulelor matematice , rezult ¼a, c¼a ¸ si concluziile bazate pe simularea statis-
tic¼a redau realitatea cu o anumita doz ¼a de exactitate. Aceasta exactitate
poate … îmbun ¼at¼a¸ tit¼a, utilizând noi metode ¸ si modele matematice, dar si
perfec¸ tionând tehnicile corespunz ¼atoare de simulare.
Utilizarea simularii statistice a sistemelor are drept efect:
1. Economisirea considerabil ¼a a resurselor umane ¸ si materiale, inlocuind
cercetarea sistemului real cu simularea acestuia pe calculator;
2. Ob¸ tinerea unor r ¼aspunsuri (…e ele aproximative) chiar ¸ si atunci când
cercetarea modelului matematic corespunzator nu poate …abordat prin metode
analitice existente;
3. Reducerea considerabila a timpului de testare a sistemului corespun-
zator gratie vitezelor de procesare ale calculatoarelor moderne.

3
Not¼a.În¸ telegerea acestui curs presupune cunoa¸ sterea no¸ tiunilor ¸ si rezul-
tatelor toretice de baza din Teoria Probabilit ¼a¸ tilor predate in Domeniile
Matematic ¼a, Informatic ¼a, Inginerie, Economie, etc., domenii care au în Pla-
nurile lor de înv ¼a¸ t¼amânt disciplina men¸ tionat ¼a.

4

Capitolul 1
GENERATORI DE NUMERE
ALEATOARE UNIFORME
1.1 Variabile aleatoare (v.a.) uniforme
Simularea (generarea) numerelor intâmpl ¼atoare (uniform repartizate),
cu alte cuvinte simularea realiz ¼arilor de valori ale unei variabile aleatoare
uniform repartizate cu ajutorul calculatorului este echivalent ¼a cu simularea
unuia din urmatoarele doua experimente aleatoare:
a)Alegerea unui numar la întâmplare din multimea de numere f0;1;:::;Ng,
N…ind numar întreg mai mare sau egal ca 1;
b)Alegerea unui numar la întâmplare din multimea de numere
fxjx2[0;1]gsaufxjx2[a;b]; a<b ,a;b2Rg:
Efectuarea experimentului a)este echivalent ¼a, de exemplu, cu efec-
tuarea urmatorului experiment …zic: alegerea la întamplare a unei bile dintr-o
urna cuN+ 1bile numerotate de la 0pân¼a laN. Numarul Xales, astfel,
spunem ca este o variabil ¼a aleatoare discreta uniform repartizata. Mai exact,
putem formula
De…ni¸ tia 1 . Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a uniform
pef0,1,:::Ng,N2N¸ si se noteaz ¼aXUf0,1,:::,Ngdac¼aX2X =
f0,1,:::Ng¸ si probabilit ¼a¸ tilePfX=kg= 1=(N+1);k=0;N.În particular,
dac¼a numarul de valori posibile a v.a. Xeste egal cu N+ 1 = 2 , atunci
5

6CAPITOLUL 1. GENERATORI DE NUMERE ALEATOARE UNIFORME
spunem c ¼aXeste o v.a. digital ¼a uniform repartizat ¼a,iar daca.N+ 1 = 1 ,
adicaN= 0, atunci spunem c ¼aXeste o v.a. degenerat ¼a, deoarece in acest
cazPfX= 0g= 1:
Or, în experimenrul de mai sus sintagma "alegerea la întamplare" ex-
prim¼a faptul c ¼a …ecare num ¼ar are aceea¸ si ¸ sans ¼a (probabilitate) de a … ales,
denumirea de "uniform ¼a" ata¸ sata reparti¸ tiei corespunz ¼atoare indicând asupra
echiprobabilit ¼a¸ tii valorilor posibile ale v.a. X. Mai mult, având un generator
de valori a v.a. XUf0,1,:::,Ngputem simula orice v.a. Ycu valori
echiprobabile din mul¸ tima Y=fa0;a1::::;a Ng, adic ¼aPfY=kg= 1=(N+1),
k=0;N,N2N. Într-adevar, este su…cient sa stabilim o bijec¸ tie de forma,
s¼a zicemk !ak,k=0;N,N2N. Aceast ¼a procedur ¼a este folosita pe
larg in Statistica la e¸ santionare, daca dorim ca valoarea inclus ¼a în esantion
sa …e cu adev ¼arat întâmpl ¼atoare.
Problema 1. Ar¼ata¸ ti ca dac ¼aXUf0,1,:::,Ng, atunci valoarea ei
medie EX=N=2iar dispersia (varianta) ei DX= [(N+ 1)21]=12:
Efectuarea experimentului b)este echivalent ¼a, de exemplu, cu efec-
tuarea urmatorului experiment imaginar: alegerea (sau aruncarea) la întam-
plare a unui punct pe segmentul [0;1]sau segmentul [a;b],a<b ,a;b2R.
NumarulX…ind coordonata punctului astfel ales, spunem ca Xesteo vari-
abil¼a aleatoare de tip (absolut) continuu, uniform repartizata. Mai exact,
putem formula
De…ni¸ tia 2. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a uniform
pe segmentul [0;1]¸ si se noteaz ¼aXU([0;1]), dac ¼aXare densitatea de
reparti¸ tie (d.r) fX(x) =I[0;1](x),undeI[0;1](x)este indicatorul segmentului
[0;1], adica
I[0;1](x) =0; dac a x =2[0;1];
1; dac a x2[0;1]:
Dac¼a v.a.Xare d.r.
fX(x) =1
baI[a;b](x),
atunci spunem c ¼aXeste repartizat ¼a uniform pe segmentul [a;b]¸ si se noteaz ¼a
XU([a;b]),a<b ,a;b2R.
Func¸ tia de reparti¸ tie a v.a. X, adic ¼a
FX(x) =P(Xx) =xZ
1fX(u)du;

1.1. VARIABILE ALEATOARE (V.A.) UNIFORME 7
cazul …ind (absolut) continuu, coincide cu
FX(x) =8
<
:0; dac a x< 0;
x; dac a x2[0;1];
1; dac a x> 0;
dac¼aXU([0;1])sau cu
FX(x) =8
<
:0; dac a x<a;
xa
ba; dac a x2[a;b];
1; dac a x>b;
dacaXU([a;b]),a<b ,a;b2R.
Experimentul cu alegerea la întâmplare a unui punct pe segmentul [a;b],
a < b ,a,b2R, se íncadreaz ¼a perfect în De…ni¸ tia probabilitatii geometrice
[Leahu, Probabilit ¼a¸ ti]. Acesta este modelat din punct de vedere matematic
de câmpul de probabilitate (
;F;P), unde spa¸ tiul de evenimente elementare

= [a;b], câmpul de evenimente ( algebra)Fcoincide cu familia sub-
mul¸ timilor boreliene din [a;b], adic ¼aF=B([a;b]), iar m ¼asura probabilist ¼a
Peste dat ¼a de formula
P(A) =(A)
(
)=(A)
ba;8A2F;
unde :F!Reste m ¼asura Lebesgue, adic ¼a m¼asura ce pune in core-
sponden¸ ta intervalului (închis, deschis, la stânga, la dreapta) determinat de
punctelea;b2Rlungimea acestui interval. Or, sintagma "alegerea la în-
tamplare" exprim ¼a, ¸ si în acest caz, faptul c ¼a …ecare num ¼ar ales are aceea¸ si
¸ sans¼a (probabilitate) de a … ales, chiar dac ¼a, aceasta probabilitate este egala
cuP(A) = 0 ,8A=fxg;x2[a;b],a<b ,a;b2R.
Leg¼atura dintre v.a. uniform repartizate pe [0;1]si v.a. uniform reparti-
zate pe [a;b]este exprimata ín
Propozi¸ tia 1. Daca avem doua v.a. XU([0;1])¸ siYU([a;b]),
a<b ,a;b2R, atunci v.a. (ba)X+aU([a;b]), iar v.a.Ya
baU([0;1]):
Demonstra¸ tie. Vom demonstra prima parte a propozitiei, deoarece
partea a doua poate …demonstrat ¼a în mod similar. Or, …e XU([0;1]):Atunci
f.r.a v.a:(ba)X+apentrua<b ,a;b2Reste dat ¼a de
F(ba)X+a(x) =P((ba)X+ax) =P(Xxa
ba) =

8CAPITOLUL 1. GENERATORI DE NUMERE ALEATOARE UNIFORME
8
<
:0; dac axa
ba<0;
xa
ba; dac axa
ba2[0;1];
1; dac axa
ba>0;:=8
<
:0; dac a x<a;
xa
ba; dac a x2[a;b];
1; dac a x>b:
Aceasta însemn ¼a c¼aXU([0;1])implic ¼a(ba)X+aU([a;b]).
Problema 2. Ar¼ata¸ ti ca dac ¼aXU([a;b]),a < b ,a;b2R, atunci
valoarea ei medie EX= (a+b)=2iar dispersia (varianta) ei DX= (ba)=12.
Concluzia 1. Dac¼axeste o realizare a v.a. XU([0;1]), atunci
(ba)x+aeste o realizare a v.a. YU([a;b]),a < b ,a;b2R¸ si
viceversa, dac ¼ayeste o realizare a v.a. YU([a;b]),a < b ,a;b2R,
atuncixa
baeste o realizare a v.a. XU([0;1]). Aceasta ínseamn ¼a ca
pentru simularea numerelor aleatoare uniforme de tip (absolut) continuu este
su…cient sa putem genera doar valori ale v.a. XU[0;1].
Urm¼atoarea Propozitie arat ¼a ca un generator de valori a v.a. XU([0;1])
este su…cient ¸ si pentru generarea numerelor aleatoare uniforme de tip discret.
Propozi¸ tia 2. Daca v.a.XU([0;1]), atunci v.a.
Y=NX
k=0kI[k
N+1;k+1
N+1)(X)Uf0;1;:::;Ng;
Demonstra¸ tie. Observ ¼am caYeste o v.a. care ia, cu probabilitatea 1,
valori din mul¸ timea f0;1;:::;Ng¸ si c¼a
PfY=kg=P(X2k
N+ 1;k+ 1
N+ 1
) = 1=(N+ 1);k=0;N.
Prin urmare YUf0;1;:::;Ng.
Propozi¸ tia 3. Dac¼a(Xn)n>1este un ¸ sir de variabile aleatoare digitale
independente identic repartizate (i.i.r.) uniform, adic ¼aXnUf0,1g,8n>
1, atinci v.a.
Y=1X
n=1Xn
2nU([0;1]):
Demonstra¸ tie. Consider ¼am v.a.XU([0;1])¸ si v.aY=1P
n=1Xn=2n,
unde (Xi)i2Neste un ¸ sir de v.a.digitale i.i.r. uniform repartizate, adica
P(Xi= 0) = P(Xi= 1) = 1=2; i2N:

1.1. VARIABILE ALEATOARE (V.A.) UNIFORME 9
Evident,Y2[0;1]:În plus, deoarece pentru orice x2[0;1];exist¼a
("i)i2N;"i2f0;1g; i2Nastfel încât x=P
i2N"i=2i;rezult ¼a c¼a
fYxg=1[
k= 0fX1="1;:::;X k="k;Xk+1"k+1g;
unde evenimentele ce fac parte din reuniune sunt incompatibile dou ¼a câte
dou¼a. Deci,
P(Yx) =1X
k= 0P(X1="1;:::;X k="k;Xk+1"k+1) =
=1X
k= 02kP(Xk"k+1) =1X
i= 02(k+1)"k+1=x:
Aceasta înseamn ¼a c¼a v.a.Yeste uniform repartizat ¼a pe [0;1];adic¼a
din punct de vedere probabilistic v.a. X¸ siYau aceea¸ si reparti¸ tie. Drept
consecin¸ t ¼a, v.a.Xuniform repartizat ¼a pe [0;1]poate …reprezentat ¼a în forma
X=1P
n=1Xn=2n, unde (Xi)i2Neste un ¸ sir de v.a.digitale independente, idenic
uniform repartizate, independente chiar dac ¼a, dat ¼a …ind originea lor, ele sunt
legate între ele. 
Dealtfel, Propozi¸ tia 3 arata ca independen¸ ta în sens probabilist este mai
larga decât independen¸ ta în sens intuitiv .
Concluzia 2. Propozi¸ tia 3, coroborat ¼a cu Concluzia 1, arat ¼a, de fapt,
capentru simularea oricarui tip de v.a. uniform repartizate este su…cient sa
avem un Generator de numere digitale uniforme cu proprietatea ca acestea
sa …e independente in sens probabilist. Cu alte cuvinte, ea arata ca nu-
merele aleatoare uniform repartizate pe [0;1]pot … simulate prin intermediul
arunc ¼arii repetate a unei monede "perfecte", considerând ca rezultatul unei
aruncari este num ¼arul 0, daca apare "stema" sau 1, daca apare "banul".
Probleme
1. FieXUf0,1,:::,Ng,N2N. Demonstra¸ ti c ¼a v.a.Y=NX
Uf0,1,:::,Ng, adic ¼a v.a.X¸ siYsunt echivalente.

10CAPITOLUL 1. GENERATORI DE NUMERE ALEATOARE UNIFORME
2. FieX;Y doua v.a.i., X;YUf0,1,:::,Ng. A‡ a¸ ti reparti¸ tia v.a.
X+Y.
3. FieXU([0;1]). Demonstra¸ ti c ¼a v.a.Y= 1XU([0;1]), adic ¼a
v.a.X¸ siYsunt echivalente.
1.2 Generatori de numere (pseudo) aleatoare
uniforme.
Prin Generator de numere aleatoare (GNA) vom întelege un mecanizm
…zic (experiment aleator real) sau un algoritm realizat cu ajutorul calcula-
torului care produce (simuleaza) valori independente (sau slab dependente)
ale unei variabile aleatoare uniform repartizate. În calitate de exemplu de
Generator bazat pe un experiment aleator real putem considera generarea de
numere aleatoare cu ajutorul aruncarii unei monde "perfecte"sau zar "per-
fect", unei rulete folosite la jocurile de noroc, contorului Gheigher care inreg-
istreaza particulele emise aleator de o substanta radioactiva, bruiajul unui
aparat de radio, etc. Ace¸ stia …ind cunoscu¸ ti sub denumirea de Generatori
veritabili de numere aleatoare (Real Random Number Generators) sunt, to-
tu¸ si costisitori ¸ si greoi din punct de vedere al aplicatiilor.
În cursul nostru vom aborda numai GNA pe baza de soft . Cum orice
algoritm realizat in mod programatic cu ajutorul calculatorului este pre-
dictibil, adic ¼a determinist, rezulta ca nu putem spune c ¼a numerele produse
astfel sunt cu adev ¼arat aleatoare. Aici se potrive¸ ste urm ¼atorul citat: "Oricine
crede în metode aritmetice de producere a numerelor aleatoare comite un
p¼acat"[J. von Neumann, 1951] . Totu¸ si exista, dup ¼a cum vom vedea, algo-
ritmi, pentru care ¸ sirul de numere produse cu ajutorul softului corespunz ¼ator
poseda, cu o anumit ¼a exactitate, propriet ¼a¸ tile unui ¸ sir de numere aleatoare.
În aceste cazuri spunem ca avem de a face cu un Generatori de numere
pseudo-aleatoare (GNPA) .
Chiar dac ¼a ¸ stim c ¼a ¸ stim ca un GNPA produce numere dup ¼a un algoritm
prestabilit, apare întrebarea …reasca: ce propriet ¼a¸ ti trebuie sa satisfac ¼a aceste
numere ca s ¼a putem spune, de exemplu, ca acestea reprezint ¼a valori a unei v.a
XUf0;1;:::; 9g? În primul este necesar ca procesul producerii de numere
s¼a aib ¼a, din punct de vedere al observatorului (altul decât programatorul

1.2. GENERATORI DE NUMERE (PSEUDO) ALEATOARE UNIFORME. 11
algoritmului) propriet ¼a¸ tile regularit ¼a¸ tii statistice.
Amintim caEeste un experiment aleator ce posed ¼aproprietatea regular-
it¼a¸ tii (stabilit ¼a¸ tii) statistice daca::
0)rezultatul acestui experiment nu poate … anticipat cu certitudine;
1)Epoate … reprodus ori de câte ori dorim practic în acelea¸ si condi¸ tii;
2)pentru orice eveniment Aasociat luiEfrecven¸ ta lui relativ ¼a înn
probe
fn(A) =num aruldeprobe ^{ncaresaprodusA
num arultotaldeprobe=n(A)
n
oscileaz ¼a în jurul unui num ¼ar notat cu P(A);P(A)2[0;1],fn(A)devenind ,
odat¼a cu cre¸ sterea lui n, ” tot mai aproape ¸ si mai aproape de P(A)";
3)pentru dou ¼a serii diferite, respectiv de n¸ simprobe, atunci când n¸ si
msunt foarte mari, avem c ¼afn(A)fm(A).
Îns¼a veri…carea acestor propriet ¼ati (pe cât de simple pe atât de dis-
cutabile) nu este su…cient ¼a. Într-adevar, putem veri…ca, suplimentar, dac ¼a
frecven¸ tia relativ ¼afn(k)a numarului koscileaz ¼a, odat ¼a cu cre¸ sterea lui n,
în jurul probabilit ¼a¸ tii teoretice PfX=kg= 1=10,k=0;9. Putem veri…ca
chiar ¸ si faptul ca media aritmetica a primelor nnumere oscileaz ¼a, odat ¼a cu
cre¸ sterea lui n;în jurul mediei teoretice EX= 4:5. Ultima ar … în deplin ¼a
conformitate cu Legea Numerelor Mari. În mod analog, putem veri…ca dac ¼a
¸ si dispersia de selec¸ tie a primelor nnumere "tinde", odat ¼a cu cre¸ sterea lui
n, catre dispersia teoretic ¼aDX= 99=12. Toate acestea nu vor garanta, to-
tu¸ si, valabiltatea ipotezei c ¼a numerele generate reprezinta valori ale unei v.a
XUf0;1;:::; 9g. Pentru siguran¸ ta este nevoie sa apel ¼am la metode mai
avansate ale Statisticii Matematice.
Astfel, în cazul nostru, dac ¼a presupunem ca (x1,x2,…,xn)reprezinta primele
nnumere produse de GNPA, atunci din punct de vedere al Statisticii putem
considera ca acesta este un e¸ santion de volum nextras dintr-o popula¸ tie
statistica a unei v.a. Xguvernate de reparti¸ tia FX(
)necunoscut ¼a. Atunci
vom putea spune ca numerele generate reprezint ¼a valori a unei v.a X
Uf0;1;:::; 9gdaca in baza unui criteriu corespunz ¼ator de veri…care a ipotezelori,
sa zicem criteriul Hi-p ¼atrat, este acceptata ipoteza nula H0:FX(
) =F0(
)
Uf0;1;:::; 9gîmpotriva alternativei H1:FX(
)6=F0(
):Veri…carea indepen-
den¸ tei numerelor x1,x2,…,xn, … face parte, deasemenea, din validarea GNA.
În plus, nu putem ignora faptul ca oricât de performant ar … calculatorul,

12CAPITOLUL 1. GENERATORI DE NUMERE ALEATOARE UNIFORME
faptul ca lungimea cuvãntului de calculator este, totu¸ s …nit ¼a, implica, spre ex-
emplu, imposibilitatea construirii unui algoritm ideal care sa genereze numere
uniform repartizate pe [0;1], deoarece nu se vor regasi nici unul din numerele
acestui interval care se descriu ca fractii zecimale in…nite. Din acelea-si mo-
tive, GNPA vor avea defectul de a produce o secven¸ ta de numere care se va
repeta ciclic, prin urmare, periodicitatea …ind inerenta oric ¼arui GNPA, este
de dorit ca aceasta secventa sa …e cat mai lunga. Drept con…rmare a faptului
ca lansarea unui nou GNPA trebuie sa …e anticipat ¼a de o analiza matematic ¼a
grijulie a caracterului "su…cient de aleator" a numerelor generate serveste si
avertismentul cunoscutului specialist in programarea calculatoarelor Donald
E. Knuth care în cartea sa "The Art of Computer Programming, Volume
2: Seminumerical Algorithms, 3rd edition (Addison-Wesley, Boston, 1998)"
scrie : "Numerele aleatoare nu trebuie generate printr-o metod ¼a aleas ¼a la
întâmplare". Considerentele aduse arat ¼a nu numai cât de di…cil ¼a este prob-
lematica GNA uniforme, dar arata ¸ si care sunt aspectele principale de care
trebuie sa ¸ tinem cont la validarea oric ¼arui GPNA, inclusiv validarea genera-
torilor prezenta¸ ti în continuare.
Pe Internet, la adresa:
http://en.wikipedia.org/wiki/
List_of_pseudorandom_number_generators#gsl_rng_mt19937
putem g ¼asi urm ¼atoarea list¼a cu generatoare de numere pseudo-
aleatoare recomandate spre aplicare în simularea statistic ¼a.A¸ sa
cum se a…rm ¼a în aceast ¼a pagin ¼a"ele au perioade extrem de lungi, grad sc ¼azut
de corelare ¸ si au trecut majoritatea testelor statistice" . Rutinele descrise în
aceast ¼a list ¼a fac parte din GNU Scienti…c Library. GNU Scienti…c Library
este o biblotec ¼a de programe scrise în limbajul de programare C pentru cal-
cule numerice în matematica aplicat ¼a ¸ si ¸ stiin¸ t ¼a.
1. Generators
1.1. gsl_rng_mt19937
The MT19937 generator of Makoto Matsumoto and Takuji Nishimura is
a variant of the twisted generalized feedback shift-register algorithm, and is
known as the "Mersenne Twister" generator. It has a Mersenne prime period
of 2^19937 – 1 (about 106000) and is equidistributed in 623 dimensions. It has
passed the Diehard statistical tests. It uses 624 words of state per generator
and is comparable in speed to other generators. The original generator used
a default seed of 4357 and choosing s equal to zero in gsl_rng_set reproduces
this.

1.2. GENERATORI DE NUMERE (PSEUDO) ALEATOARE UNIFORME. 13
For more information see:
Makoto Matsumoto and Takuji Nishimura, "Mersenne Twister: A 623-
dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator".
ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation, Vol. 8, No. 1
(Jan. 1998), Pages 3-30
The generator gsl_rng_19937 uses the second revision of the seeding
procedure published by the two authors above in 2002. The original seeding
procedures could cause spurious artifacts for some seed values. They are
still available through the alternate generators gsl_rng_mt19937_1999 and
gsl_rng_mt19937_1998.
1.2. gsl_rng_ranlxs0, gsl_rng_ranlxs1, gsl_rng_ranlxs2
The generator ranlxs0 is a second-generation version of the RANLUX
algorithm of Lüscher, which produces "luxury random numbers". This gen-
erator provides single precision output (24 bits) at three luxury levels ran-
lxs0, ranlxs1 and ranlxs2. It uses double-precision ‡ oating point arithmetic
internally and can be signi…cantly faster than the integer version of ranlux,
particularly on 64-bit architectures. The period of the generator is about
10^171. The algorithm has mathematically proven properties and can pro-
vide truly decorrelated numbers at a known level of randomness. The higher
luxury levels provide additional decorrelation between samples as an addi-
tional safety margin.
1.3. gsl_rng_ranlxd1, gsl_rng_ranlxd2
These generators produce double precision output (48 bits) from the
RANLXS generator. The library provides two luxury levels ranlxd1 and
ranlxd2.
1.4. gsl_rng_ranlux, gsl_rng_ranlux389
The ranlux generator is an implementation of the original algorithm de-
veloped by Lüscher. It uses a lagged-…bonacci-with-skipping algorithm to
produce "luxury random numbers". It is a 24-bit generator, originally de-
signed for single-precision IEEE ‡ oating point numbers. This implemen-
tation is based on integer arithmetic, while the second-generation versions
RANLXS and RANLXD described above provide ‡ oating-point implemen-
tations which will be faster on many platforms. The period of the generator
is about 10^171. The algorithm has mathematically proven properties and
it can provide truly decorrelated numbers at a known level of randomness.
The default level of decorrelation recommended by Lüscher is provided by
gsl_rng_ranlux, while gsl_rng_ranlux389 gives the highest level of random-
ness, with all 24 bits decorrelated. Both types of generator use 24 words of

14CAPITOLUL 1. GENERATORI DE NUMERE ALEATOARE UNIFORME
state per generator.
For more information see:
M. Lüscher, "A portable high-quality random number generator for lattice
…eld theory calculations", Computer Physics Communications, 79 (1994) 100-
110.
F. James, "RANLUX: A Fortran implementation of the high-quality
pseudo-random number generator of Lüscher", Computer Physics Commu-
nications, 79 (1994) 111-114
1.5. gsl_rng_cmrg
This is a combined multiple recursive generator by L’ Ecuyer. Its sequence
is:
zn = (xn – yn)(mod m1)
where the two underlying generators xn and yn are:
xn = (a1xn – 1 + a2xn – 2 + a3xn – 3)(mod m1)
yn = (b1yn – 1 + b2yn – 2 + b3yn – 3)(mod m2)
with coe¢ cients a1 = 0, a2 = 63308, a3 = -183326, b1 = 86098, b2 = 0,
b3 = -539608, and moduli m1 = 231 – 1 = 2147483647 and m2 = 2145483479.
The period of this generator is 2205 (about 1061). It uses 6 words of state
per generator. For more information see:
P. L’ Ecuyer, "Combined Multiple Recursive Random Number Genera-
tors," Operations Research, 44, 5 (1996), 816– 822.
1.6. gsl_rng_mrg
This is a …fth-order multiple recursive generator by L’ Ecuyer, Blouin and
Coutre. Its sequence is:
xn = (a1xn – 1 + a5xn – 5)(mod m)
with a1 = 107374182, a2 = a3 = a4 = 0, a5 = 104480 and m = 231 – 1.
The period of this generator is about 1046. It uses 5 words of state per
generator. More information can be found in the following paper:
P. L’ Ecuyer, F. Blouin, and R. Coutre, "A search for good multiple re-
cursive random number generators", ACM Transactions on Modeling and
Computer Simulation 3, 87-98 (1993).
1.7. gsl_rng_taus, gsl_rng_taus2
This is a maximally equidistributed combined Tausworthe generator by
L’ Ecuyer. The sequence is:
xn = (s1n ^^s2n ^^s3n)
where:
s1{n+1} = (((s1n&4294967294) <<12)^^(((s1n <<13)^^s1n)>>19))
s2{n+1} = (((s2n&4294967288) <<4)^^(((s2n<<2)^^s2n)>>25))

1.2. GENERATORI DE NUMERE (PSEUDO) ALEATOARE UNIFORME. 15
s3{n+1} = (((s3n&4294967280) <<17)^^(((s3n <<3)^^s3n)>>11))
computed modulo 232. In the formulas above ^^denotes "exclusive-or".
Note that the algorithm relies on the properties of 32-bit unsigned integers
and has been implemented using a bitmask of 0xFFFFFFFF to make it work
on 64 bit machines.
The period of this generator is 2^88 (about 10^26). It uses 3 words of
state per generator. The generator gsl_rng_taus2 uses the same algorithm as
gsl_rng_taus but with an improved seeding procedure; because of this, the
generator gsl_rng_taus2 should now be used in preference to gsl_rng_taus.
For more information see:
P. L’ Ecuyer, "Maximally Equidistributed Combined Tausworthe Gener-
ators", Mathematics of Computation, 65, 213 (1996), 203– 213.
P. L’ Ecuyer, "Tables of Maximally Equidistributed Combined LFSR Gen-
erators", Mathematics of Computation, 68, 225 (1999), 261– 269
1.8. gsl_rng_gfsr4
The gfsr4 generator is like a lagged-…bonacci generator, and produces
each number as an xor’ d sum of four previous values.
rn = r{n-A} ^^r{n-B} ^^r{n-C} ^^r{n-D}
Zi¤ (ref below) notes that "it is now widely known" that two-tap registers
(such as R250, which is described below) have serious ‡ aws, the most obvious
one being the three-point correlation that comes from the de…nition of the
generator. Nice mathematical properties can be derived for GFSR’ s, and
numerics bears out the claim that 4-tap GFSR’ s with appropriately chosen
o¤sets are as random as can be measured, using the author’ s test.
This implementation uses the values suggested the example on p392 of
Zi¤’ s article: A=471, B=1586, C=6988, D=9689.
If the o¤sets are appropriately chosen (such as the one ones in this im-
plementation), then the sequence is said to be maximal; that means that the
period is 2D – 1, where D is the longest lag. (It is one less than 2D because it
is not permitted to have all zeros in the ra[] array.) For this implementation
with D=9689 that works out to about 102917.
Note that the implementation of this generator using a 32-bit integer
amounts to 32 parallel implementations of one-bit generators. One conse-
quence of this is that the period of this 32-bit generator is the same as for
the one-bit generator. Moreover, this independence means that all 32-bit
patterns are equally likely, and in particular that 0 is an allowed random
value. (We are grateful to Heiko Bauke for clarifying for us these properties
of GFSR random number generators.)

16CAPITOLUL 1. GENERATORI DE NUMERE ALEATOARE UNIFORME
For more information see:
Robert M. Zi¤, "Four-tap shift-register-sequence random-number gener-
ators", Computers in Physics, 12(4), Jul/Aug 1998, pp 385-392.
2.Unix random number generators
The standard Unix random number generators rand, random, and rand48,
are provided as part of GSL. Although these generators are widely available
individually, often they are not all available on the same platform. This
makes it di¢ cult to write portable code using them. Note that the generators
below do not produce high-quality randomness and are not suitable for work
requiring accurate statistics. However, if statistical quantities are not being
measured and simple variation is all that is needed, these generators are
considered quite acceptable.
2.1. gsl_rng_rand
This is the BSD rand() generator. Its sequence is
with a = 1103515245,c = 12345 and m = 231. The seed speci…es the
initial value, x1. The period of this generator is 231, and it uses 1 word of
storage per generator.
2.2. gsl_rng_random_bsd, gsl_rng_random_libc5, gsl_rng_random_glibc2
These generators implement the random() family of functions, a set of
linear feedback shift register generators originally used in BSD Unix. There
are several versions of random() in use today: the original BSD version (e.g.
on SunOS4), a libc5 version (found on older GNU/Linux systems) and a
glibc2 version. Each version uses a di¤erent seeding procedure, and thus
produces di¤erent sequences.
The original BSD routines accepted a variable length bu¤er for the gen-
erator state, with longer bu¤ers providing higher-quality randomness. The
random() function implemented algorithms for bu¤er lengths of 8, 32, 64, 128
and 256 bytes, and the algorithm with the largest length that would …t into
the user-supplied bu¤er was used. To support these algorithms additional
generators are available with the following names,
gsl_rng_random8_bsd
gsl_rng_random32_bsd
gsl_rng_random64_bsd
gsl_rng_random128_bsd
gsl_rng_random256_bsd
where the numeric su¢ x indicates the bu¤er length. The original BSD
random function used a 128-byte default bu¤er and so gsl_rng_random_bsd

1.2. GENERATORI DE NUMERE (PSEUDO) ALEATOARE UNIFORME. 17
has been made equivalent to gsl_rng_random128_bsd. Corresponding ver-
sions of the libc5 and glibc2 generators are also available, with the names
gsl_rng_random8_libc5, gsl_rng_random8_glibc2, etc.
2.3. gsl_rng_rand48
This is the Unix rand48 generator. Its sequence is:
x_{n+1} = (a x_n + c) mod m
de…ned on 48-bit unsigned integers with a = 25214903917, c = 11 and
m = 2^48. The seed speci…es the upper 32 bits of the initial value, x_1,
with the lower 16 bits set to 0x330E. The function gsl_rng_get returns the
upper 32 bits from each term of the sequence. This does not have a direct
parallel in the original rand48 functions, but forcing the result to type long int
reproduces the output of mrand48. The function gsl_rng_uniform uses the
full 48 bits of internal state to return the double precision number x_n/m,
which is equivalent to the function drand48. Note that some versions of the
GNU C Library contained a bug in mrand48 function which caused it to
produce di¤erent results (only the lower 16-bits of the return value were set).
3. Other random number generators
The generators in this section are provided for compatibility with existing
libraries. If you are converting an existing program to use GSL then you
can select these generators to check your new implementation against the
original one, using the same random number generator. After verifying that
your new program reproduces the original results you can then switch to a
higher-quality generator.
Note that most of the generators in this section are based on single linear
congruence relations , which are the least sophisticated type of generator. In
particular, linear congruences have poor properties when used with a non-
prime modulus , as several of these routines do (e.g. with a power of two
modulus, 2^31 or 2^32). This leads to periodicity in the least signi…cant bits
of each number, with only the higher bits having any randomness. Thus, to
produce a random bitstream, it is best to avoid using the least signi…cant
bits.
3.1. gsl_rng_ranf
This is the CRAY random number generator RANF. Its sequence is
x_{n+1} = (a x_n) mod m
de…ned on 48-bit unsigned integers with a = 44485709377909 and m =
2^48. The seed speci…es the lower 32 bits of the initial value, x_1, with the
lowest bit set to prevent the seed taking an even value. The upper 16 bits of

18CAPITOLUL 1. GENERATORI DE NUMERE ALEATOARE UNIFORME
x_1 are set to 0. A consequence of this procedure is that the pairs of seeds
2 and 3, 4 and 5, etc produce the same sequences.
The generator compatible with the CRAY MATHLIB routine RANF. It
produces double precision ‡ oating point numbers which should be identical
to those from the original RANF.
There is a subtlety in the implementation of the seeding. The initial state
is reversed through one step, by multiplying by the modular inverse of a mod
m. This is done for compatibility with the original CRAY implementation.
Note that you can only seed the generator with integers up to 2^32, while
the original CRAY implementation uses non-portable wide integers which can
cover all 2^48 states of the generator.
The function gsl_rng_get returns the upper 32 bits from each term of
the sequence. The function gsl_rng_uniform uses the full 48 bits to return
the double precision number x_n/m.
The period of this generator is 2^46.
3.2. gsl_rng_ranmar
This is the RANMAR lagged-…bonacci generator of Marsaglia, Zaman
and Tsang. It is a 24-bit generator, originally designed for single-precision
IEEE ‡ oating point numbers. It was included in the CERNLIB high-energy
physics library.
3.3. gsl_rng_r250
This is the shift-register generator of Kirkpatrick and Stoll. The sequence
is
x_n = x_{n-103} ^^x_{n-250}
where ^^denote "exclusive-or", de…ned on 32-bit words. The period of
this generator is about 2^250 and it uses 250 words of state per generator.
For more information see:
S. Kirkpatrick and E. Stoll, "A very fast shift-register sequence random
number generator", Journal of Computational Physics, 40, 517-526 (1981)
3.4. gsl_rng_tt800
This is an earlier version of the twisted generalized feedback shift-register
generator, and has been superseded by the development of MT19937. How-
ever, it is still an acceptable generator in its own right. It has a period of
2^800 and uses 33 words of storage per generator.
For more information see:
Makoto Matsumoto and Yoshiharu Kurita, "Twisted GFSR Generators
II", ACM Transactions on Modelling and Computer Simulation, Vol. 4, No.
3, 1994, pages 254-266.

1.2. GENERATORI DE NUMERE (PSEUDO) ALEATOARE UNIFORME. 19
3.5. gsl_rng_vax
This is the VAX generator MTH$RANDOM. Its sequence is:
x_{n+1} = (a x_n + c) mod m
with a = 69069, c = 1 and m = 2^32. The seed speci…es the initial value,
x_1. The period of this generator is 2^32 and it uses 1 word of storage per
generator.
3.6. gsl_rng_transputer
This is the random number generator from the INMOS Transputer De-
velopment system. Its sequence is:
x_{n+1} = (a x_n) mod m
with a = 1664525 and m = 2^32. The seed speci…es the initial value,
x_1.
3.7. gsl_rng_randu
This is the IBM RANDU generator. Its sequence is:
x_{n+1} = (a x_n) mod m
with a = 65539 and m = 2^31. The seed speci…es the initial value,
x_1. The period of this generator was only 2^29. It has become a textbook
example of a poor generator.
3.8. gsl_rng_minstd
This is Park and Miller’ s "minimal standard" MINSTD generator, a sim-
ple linear congruence which takes care to avoid the major pitfalls of such
algorithms. Its sequence is:
x_{n+1} = (a x_n) mod m
with a = 16807 and m = 2^31 – 1 = 2147483647. The seed speci…es the
initial value, x_1. The period of this generator is about 2^31.
This generator is used in the IMSL Library (subroutine RNUN) and in
MATLAB (the RAND function). It is also sometimes known by the acronym
"GGL" (I’ m not sure what that stands for).
For more information see:
Park and Miller, "Random Number Generators: Good ones are hard to
…nd", Communications of the ACM, October 1988, Volume 31, No 10, pages
1192-1201.
3.9. gsl_rng_uni, gsl_rng_uni32
This is a reimplementation of the 16-bit SLATEC random number gen-
erator RUNIF. A generalization of the generator to 32 bits is provided by
gsl_rng_uni32. The original source code is available from NETLIB.
3.10. gsl_rng_slatec

20CAPITOLUL 1. GENERATORI DE NUMERE ALEATOARE UNIFORME
This is the SLATEC random number generator RAND. It is ancient. The
original source code is available froim NETLIB.
3.11. gsl_rng_zuf
This is the ZUFALL lagged Fibonacci series generator of Peterson. Its
sequence is:
t = u_{n-273} + u_{n-607} u_n = t – ‡ oor(t)
The original source code is available from NETLIB. For more information
see:
W. Petersen, "Lagged Fibonacci Random Number Generators for the
NEC SX-3", International Journal of High Speed Computing (1994).
3.12. gsl_rng_borosh13
This is the Borosh, Niederreiter random number generator. It is taken
from Knuth’ s Seminumerical Algorithms, 3rd Ed., pages 106-108. Its se-
quence is:
x_{n+1} = (a x_n) mod m
with a = 1812433253 and m = 2^32. The seed speci…es the initial value,
x_1.
3.13. gsl_rng_coveyou
This is the Coveyou random number generator. It is taken from Knuth’ s
Seminumerical Algorithms, 3rd Ed., Section 3.2.2. Its sequence is:
x_{n+1} = (x_n (x_n + 1)) mod m
with m = 2^32. The seed speci…es the initial value, x_1.
3.14. gsl_rng_…shman18
This is the Fishman, Moore III random number generator. It is taken
from Knuth’ s Seminumerical Algorithms, 3rd Ed., pages 106-108. Its se-
quence is:
x_{n+1} = (a x_n) mod m
with a = 62089911 and m = 2^31 – 1. The seed speci…es the initial value,
x_1.
3.15. gsl_rng_…shman20
This is the Fishman random number generator. It is taken from Knuth’ s
Seminumerical Algorithms, 3rd Ed., page 108. Its sequence is:
x_{n+1} = (a x_n) mod m
with a = 48271 and m = 2^31 – 1. The seed speci…es the initial value,
x_1.
3.16. gsl_rng_…shman2x
This is the L’ Ecuyer– Fishman random number generator. It is taken from
Knuth’ s Seminumerical Algorithms, 3rd Ed., page 108. Its sequence is:

1.2. GENERATORI DE NUMERE (PSEUDO) ALEATOARE UNIFORME. 21
z_{n+1} = (x_n – y_n) mod m
with m = 2^31 – 1. x_n and y_n are given by the …shman20 and
lecuyer21 algorithms. The seed speci…es the initial value, x_1.
3.17. gsl_rng_knuthran2
This is a second-order multiple recursive generator described by Knuth
in Seminumerical Algorithms, 3rd Ed., page 108. Its sequence is:
x_n = (a_1 x_{n-1} + a_2 x_{n-2}) mod m
with a_1 = 271828183, a_2 = 314159269, and m = 2^31 – 1.
3.18. gsl_rng_knuthran
This is a second-order multiple recursive generator described by Knuth in
Seminumerical Algorithms, 3rd Ed., Section 3.6. Knuth provides its C code.
3.19. gsl_rng_lecuyer21
This is the L’ Ecuyer random number generator. It is taken from Knuth’ s
Seminumerical Algorithms, 3rd Ed., page 106-108. Its sequence is,
x_{n+1} = (a x_n) mod m
with a = 40692 and m = 2^31 – 249. The seed speci…es the initial value,
x_1.
3.20. gsl_rng_waterman14
This is the Waterman random number generator. It is taken from Knuth’ s
Seminumerical Algorithms, 3rd Ed., page 106-108. Its sequence is:
x_{n+1} = (a x_n) mod m
with a = 1566083941 and m = 2^32. The seed speci…es the initial value,
x_1.
3.21. msvc_net_2003
Microsoft Visual C++ (.net, version 2003) uses the following function for
rand():
seed = seed * 214013L + 2531011L;
x_{n+1} = (seed >>16) & 0x7¤f;
seed is a 32-bit number and is initialized to 1.4.Performance
The following table shows the relative performance of some of the random
number generators. The fastest simulation quality generators are taus, gfsr4
and mt19937.
1754 k ints/sec, 870 k doubles/sec, taus
1613 k ints/sec, 855 k doubles/sec, gfsr4
1370 k ints/sec, 769 k doubles/sec, mt19937
565 k ints/sec, 571 k doubles/sec, ranlxs0

22CAPITOLUL 1. GENERATORI DE NUMERE ALEATOARE UNIFORME
400 k ints/sec, 405 k doubles/sec, ranlxs1
490 k ints/sec, 389 k doubles/sec, mrg
407 k ints/sec, 297 k doubles/sec, ranlux
243 k ints/sec, 254 k doubles/sec, ranlxd1
251 k ints/sec, 253 k doubles/sec, ranlxs2
238 k ints/sec, 215 k doubles/sec, cmrg
247 k ints/sec, 198 k doubles/sec, ranlux389
141 k ints/sec, 140 k doubles/sec, ranlxd2
1852 k ints/sec, 935 k doubles/sec, ran3
813 k ints/sec, 575 k doubles/sec, ran0
787 k ints/sec, 476 k doubles/sec, ran1
379 k ints/sec, 292 k doubles/sec, ran2

Capitolul 2
MODELE (REPARTI¸ TII)
PROBABILISTE UZUALE
2.1 Modele (reparti¸ tii) probabiliste uzuale în
caz discret
Modelele probabiliste discrete sunt reprezentate de variabilele aleatoare de
tip discret si repartia lor. Astfel, spunem ca Xeste o v.a. de tip discret
dac¼a exist ¼a o mul¸ time …nita sau in…nit ¼a cel mult num ¼arabilaXRastfel
încâtXia valori din Xcu probabilitatea 1, adic ¼a.P(X2X) = 1 .Or,
putem considera ca X=fx1;x2;:::;x n;:::g, undex1<x 2<:::<x n<:::. În
genere comportamentul probabilist al unei v.a. Xpoate …modelat din punct
de vedere matematic cu ajutorul func¸ tiei ei de reparti¸ tie (f.r.) FX(x)def=
P(Xx),8x2R. În caz discret, îns ¼a, aceast ¼a form ¼a de modelare poate …
înlocuit ¼a cureparti¸ tia v.a. care prin de…ni¸ tie este ¸ sirul de perechi f(xi;pi)gi>1
sau tabloul
X:x1;x2;:::;x n;:::
p1;p2;:::;p n;:::
;
undepi=P(X=xi)>0¸ siP
i>1pi= 1. Aceste dou ¼a forme sunt echivalente
în sensul c ¼a, ¸ stiind functia de reparti¸ tie putem restabili reparti¸ tia v.a. X¸ si
viceversa, deoarece au loc urm ¼atoarele rela¸ tii:
FX(x) =X
xi:xixpi;8x2R; (1)
23

24CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
pi=P(X=xi) =FX(xi)FX(xi0);8i>1; (2)
unde
FX(xi0) = lim
a%xiFX(a).
Remarca 1. Din Formula de inversiune [Leahu], rezulta c ¼a, atât în cazul
discret cât în cazul (absolut) continuu, de…nirea v.a. Xprin intermediul
func¸ tiei ei caracteristice
'X(t)def=EeitX;i=p
1,t2R
este o form ¼a alternativ ¼a echivalenta de…nirii prin intermediul func¸ tiei ei de
reparti¸ tieFX.
Conform Concluziei 2 din p.1.1., cel mai important model probabilist
în caz discret este reparti¸ tia uniform ¼a, adic ¼aXUf0,1,:::,Ng,N2N,
un rol aparte la construirea algoritmilor de simulare a numerelor aleatoare
neuniforme jucãndu-l reparti¸ tia digital ¼a uniform ¼aXUf0,1g.
Urm¼atoarele reparti¸ tii modeleaz ¼a ¸ si ele clase întregi de experimente (fenomene)
aleatoare.
2.1.1 Reparti¸ tia Bernoulli cu parametrul p,p2[0,1]
De…ni¸ tia 1. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a Bernoulli
cu parametrul p2[0,1](se noteaz ¼aXBernoulli (p)), dac ¼a
X:0 1
1p p
:
Acest model descrie,din punct de vedere matematic, experimentul Bernoulli.
Problema 1. Ar¼ata¸ ti c ¼a valoarea medie si dispersia unei v.a. X
Bernoulli (p)),p2[0,1]sunt egale respectiv cu
EX=p;DX=p(1p):
De…ni¸ tia 2. ExperimentulEse nume¸ ste experiment (prob ¼a)Bernoulli
dac¼a acesta posed ¼a urm ¼atoarele propriet ¼a¸ ti:
1. mul¸ timea de rezultate posibile
=fsucces ,insuccesg=f1,0g;
2. probabilitatea succesului peste aceea¸ si în …ecare prob ¼a,p2[0;1];

2.1. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ DISCRET 25
3. rezultatele unei probe nu in‡ uen¸ teaz ¼a rezultatele celorlalte probe.
Exemplul 1. În calitate de exemple de probe Bernoulli putem lua arun-
carea monedei o singur ¼a dat ¼a, unde "succes" putem considera, de pild ¼a,
apari¸ tia stemei, deasemenea, aruncarea zarului o singur ¼a data, unde "succes"
putem considera, de pild ¼a, apari¸ tia unui num ¼ar par de puncte. În genere,
orice experiment aleator Epoate … considerat experiment Bernoulli dac ¼a ne
intereseaz ¼a doar producerea sau nu a evenimentului Aasociat experimen-
tuluiE, adic ¼a producerea evenimentului Ao consider ¼am succes iar produc-
erea evenimentului A-insucces, cu condi¸ tia ca acest experiment s ¼a poat ¼a
… repetat independendent unul de altul. Într-adevar, luând
=fA,Ag,
p=P(A)2[0,1], probele …ind independente, vom aveea un experiment
Bernoull.
Dac¼a not ¼am cuXnum¼arul de succese într-o prob ¼a Bernoulli, ob¸ tinem
reparti¸ tia
X:0 1
1p p
În concluzie, reparti¸ tia digital ¼a uniform ¼a este un caz particular al repar-
ti¸ tieiBernoulli (p)atunci când p= 1=2.
2.1.2 Reparti¸ tia binomial ¼a cu parametrii n¸ sip,n=
1,2,:::; p2[0,1]
De…ni¸ tia 3. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a binomial
cu parametrii n2f1,2,:::g¸ sip2[0,1]( se noteaz ¼aXBi(n,p));p2[0,1])
dac¼a reparti¸ tia ei este dat ¼a de formula
P(X=k) =Ck
n
pk(1p)nk;k=0;n:
Remarca 2. De…ni¸ tia este corect ¼a deoarece
nX
k=0P(X=k) =nX
k=0Ck
n
pk(1p)nk
= (p+ (1p))n= 1n= 1:
Din punct de vedere teoretic, acest model descrie comportamentul prob-
abilistic al num ¼arului de succese în nprobe Bernoulli cu probabilitatea suc-
cesuluipîn …ecare prob ¼a. Aceasta se vede din

26CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
Teorema 1. DacaXeste num ¼arul de succese în nprobe Bernoulli cu
probabilitatea succesului p2[0,1]în …ecare prob ¼a, atunciXBi(n,p).
Demonstra¸ tie. Spa¸ tiul de evenimente elementare corespunz ¼ator repet ¼arii
unui experiment Bernoulli de nori este
=f(a1,a2,:::,an)jai= 0,1,
i=1;ng. A¸ sa dar, notând cu 1succesul ¸ si 0insuccesul, orice rezultat poate
… reprezentat ca o secven¸ t ¼a de zerouri ¸ si unit ¼a¸ ti de forma a1,a2,:::,an,
evenimentele Ai=fprobaise va solda cu rezultatul aig…ind independente,
iarP(Ai) =pai
(1p)1ai,i=1;n. Prin urmare
Pf(a1;a2;:::;a n)g=P(A1A2:::A n) =
pa1
(1p)1a1
pa2
(1p)1a2




pan
(1p)1an=pnP
i=1ai
(1p)n
nP
i=1ai:
DarfX=kg=f(a1;a2;:::;a n)2
jnP
i=1ai=kgcucardf(a1;a2;:::;a n)2

jnP
i=1ai=kg=Ck
n. Prin urmare,
P(X=k) =1X
a1;:::;a n=0
a1+


+an=kpnP
i=1ai
(1p)nnP
i=1ai=
X
a1;:::;a n=0;1:a1+


+an=kpk
(1p)nk=pk
(1p)nk=X
a1;:::;a n=0;1:a1+


+an=k1 =
cardf(a1;a2;:::;a n)2
ja1+


+an=kgpk(1p)nk=
Ck
npk(1p)nk;k=0;n:
Notând prin Xinumarul de succese in proba Bernoulli nr. 1, deducem
urm¼atoarea
Consecin¸ t ¼a.Daca (Xi)i=1;nsunt v.a.i.i.r. Bernoulli (p)),p2[0,1],
atunci v.a. X=X1+X2+:::+XnBi(n,p).
Exemplul 2 (Schema bilei întoarse ).Dintr-o urn ¼a ce con¸ tine Nbile,
dintre careMbile ro¸ sii ¸ siNMbile albe extragem la întâmplar una câte una
nbile, cu întoarcerea bilei în cutie dup ¼a ce not ¼am culoarea ei. S ¼a se calculeze
probabilitatea c ¼a printrenbile extrase, exact ksunt ro¸ sii, 0kn.
Folosirea expresiei "la întâmplare" ne permite calculul acestei probabil-
it¼a¸ ti folosind de…ni¸ tia clasic ¼a. Numerot ¼am bilele ro¸ sii de la 1laM¸ si bilele

2.1. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ DISCRET 27
albe de laM+ 1laN. Atunci spa¸ tiul evenimentelor elementare posibile se
scrie astfel:

=
(i1;i2;


;in)jij=1;N; j =1;n
Întrucât extragerea bilelor se face cu întoarcere, este posibil ca la o realizare
a experimentului o bil ¼a s¼a …e extras ¼a de mai multe ori. Construirea unui
element din
poate … privit ¼a ca realizarea unei ac¸ tiuni în netape, la etapa
kcompletându-se pozi¸ tia k,k=1;n. Întrucât pentru …ecare pozi¸ tie exist ¼a
exactNposibilit ¼a¸ ti de a alege o bil ¼a, cardinalul acestei mul¸ timi
card (
) =Nn:
Evenimentul A=fprintrenbile extrase exact kvor … ro¸ siigse poate scrie
ca
A=f(i1;i2;


;in)2
jcard (fa2fi1;i2;


;ing ja2f1;2;


;Mgg) =kg.
Dar un ¸ sir ordonat (i1;i2;


;in)2Ase poate construi în trei etape succe-
sive:
1.dinnlocuri posibile se aleg kpozi¸ tii pe care vom a¸ seza bilele ro¸ sii, etap ¼a
care poate … realizat ¼a înCk
nmodalit ¼a¸ ti;
2.complet ¼am celekpozi¸ tii alese la pasul anterior cu bile ro¸ sii, adic ¼a cu
numere din mul¸ timea f1;2;


;Mg, numere care se pot repeta. Aceast ¼a
etap¼a se poate realiza în Mkmodalit ¼a¸ ti;
3.complet ¼am pozi¸ tiile r ¼amase, în num ¼ar denk, cu numere din mul¸ timea
fM+ 1;M+ 2;


;Ng. Aceast ¼a etap ¼a se realizeaz ¼a în (NM)nkmodal-
it¼a¸ ti.
Conform principiului înmul¸ tirii rezult ¼a c¼a valoarea
card (A) =Ck
n
Mk
(NM)nk.
Prin urmare probabilitatea evenimentului A:
P(A) =card (A)
card (
)=Ck
n
Mk
(NM)nk
Nn=Ck
n
M
Nk

NM
Nnk
,
0kn.
Exemplul 3. Consider ¼am aruncarea unui zar perfect de nori, iar eveni-
mentulfaparitia fe¸ tei 6gdrept succes , probabilitatea succesului în …ecare

28CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
prob¼a …ind egal ¼a cup=Pf6g=1
6. Dac ¼aXeste num ¼arul de arunc ¼ari în care
apare fa¸ ta 6, atunci
P(X=k) =Ck
npk(1p)nk;k=0;n.
Probabilitatea, spre exemplu, c ¼a fa¸ ta 6nu apare niciodat ¼a
P(X= 0) =C0
n
p0(1p)n0=5
6n
.
Problema 2. Ar¼ata¸ ti c ¼a valoarea medie si dispersia unei v.a. X
Bi(n;p)),p2[0,1]sunt egale respectiv cu
EX=np;DX=np(1p):
Indica¸ tie. Folosi¸ ti Teorema 1, adic ¼a faptul ca
X=nX
k=1Xk, undeXkBernoulli (p));p2[0;1];
¸ si propriet ¼a¸ tile valorii medii si dispersiei [Leahu].
2.1.3 Reparti¸ tia geometric ¼a cu parametrul p,p2[0,1]
De…ni¸ tia 4. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a geometric
cu parametrul p2[0,1]( se noteaz ¼aXGeom (p)) dac ¼a reparti¸ tia ei este
dat¼a de formula
P(X=k) =p(1p)k1;k= 1;2;:::
Remarca 3. De…ni¸ tia este corect ¼a deoarece
X
k>1p(1p)k1=p(1 + (1p) + (1p)2+:::)
=p1
1(1p)= 1
Propozi¸ tia 1. Dac¼aXeste num ¼arul de probe Bernoulli, cu probabil-
itatea succesului p2[0,1]în …ecare prob ¼a, efectuate pân ¼a la înregistrarea
primului succes,inclusiv proba în care s-a înregistrat primul succes, atunci
X~Geom (p).

2.1. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ DISCRET 29
Demonstra¸ tie. Evenimentele Ai=fprobaise va solda cu succesg…-
ind independente, iar P(Ai) =p,i1, avem ca P(X=k) =P(A1A2:::Ak1Ak) =
P(A1)P(A2):::P(Ak1)P(Ak) =p(1p)k1;dac¼a în num ¼arulXeste in-
clus¼a ¸ si proba în care s-a produs succesul, k>1.
Teorema 2 (Proprietatea lipsei memoriei pentru reparti¸ tia geo-
metric ¼a). Dac ¼aX~Geom (p),p2[0,1], adic ¼aP(X=k) =p(1p)k1,
k= 1;2;:::, atunci
P(X=n+m = x>m ) =p(1p)n1,n= 1;:::¸ sim= 1;::::
Demonstra¸ tie .
P(X=n+m = x>m) =P(fX=n+mg\fX >mg)
P(X>m)=
P(X=n+m)
P(X=m+ 1) + P(X=m+ 2) +:::=p(1p)m+n1
p(1p)m+p(1p)m+1+:::
=p(1p)m+n1
p(1p)m[1 + (1p) + (1p)2+:::]=p(1p)m+n1
(1p)m=
p(1p)n1;8n;m = 1;2;::: .
Problem ¼a 3. Demonstra¸ ti c ¼a are loc ¸ si reciproca acestei a…rmai¸ tii: Dac¼a
v.aX2f1;2;:::g¸ si reparti¸ tia ei are proprietatea c ¼a exist ¼a un num ¼arp2
[0,1]astfel încât P(X=m+n = X >m ) =p(1p)n1,8n;m = 1;2;:::,
atunciXGeom (p).
Problema 4. Ar¼ata¸ ti c ¼a valoarea medie si dispersia unei v.a. X
Geom (p),p2[0,1]sunt egale respectiv cu
EX= 1=p;DX= (1p)=p2:
Indica¸ tie. Sa se aplice Metoda Func¸ tiilor caracteristice sau generatoare
[Leahu]
2.1.4 Reparti¸ tia binomial ¼a cu exponent negativ ¸ si cu
parametrii k¸ sip
De…ni¸ tia 5. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a binomial
cu exponent negativ ¸ si cu parametrii k¸ sip,k2N,p2[0,1](se noteaz ¼a
XBineg (k;p)) dac ¼a reparti¸ tia sa este dat ¼a de formula
P(X=i) =Ci
k+i1pk(1p)i;i= 0;1;2;:::

30CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
Propozi¸ tia 2. Dac¼aXeste num ¼arul de insuccese în probe Bernoulli
cu probabilitatea "succesului" p2[0,1]în …ecare prob ¼a;pân¼a la ínregistrarea
primelorksuccese, atunci X~Bineg (k;p).
Remarca 4. Observ ¼am c ¼a
P(X=i) =Ci
k+i1pk(1p)i;i= 0;1;2;:::
este termenul general al dezvolt ¼arii în serie a expresiei pk(1p)k, fapt care
explic ¼a ¸ si denumirea de reparti¸ tie binomial ¼a cu exponent negativ. În plus,
din Propozi¸ tia 2 rezult ¼a c¼a
X=kX
i=1XkkBineg (k;p), undeXkGeom (p);p2[0;1]:
Problema 5. Demonstra¸ ti Propozi¸ tia 2.
Problema 6. Ar¼ata¸ ti c ¼a valoarea medie si dispersia unei v.a. X~Bineg (k;p),
k2N,p2[0,1]sunt egale respectiv cu
EX=k(1p)=p;DX=k(1p)=p2:
Indica¸ tie. Sa se aplice Remarca 3, propriet ¼a¸ tile valorii medii ¸ si dispersiei,
dar si solu¸ tia Problemei 4.
2.1.5 Reparti¸ tia Pascal cu parametrii k¸ sip
De…ni¸ tia 6. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a Pascal
cu parametrii k¸ sip,k2N,p2[0,1](se noteaz ¼aXPascal (k;p)) dac ¼a
reparti¸ tia sa este dat ¼a de formula
P(X=i) =Cik
i1pk(1p)ik;i= 1;2;:::
Propozi¸ tia 3. Dac¼aXeste num ¼arul de probe Bernoulli cu probabilitatea
"succesului" p2[0,1]în …ecare prob ¼a;pân¼a la ínregistrarea primelor ksuc-
cese, inclusiv proba în care s-a produs succesul nr. k,atunciX~Pascal (k;p).
Remarca 5. Observ ¼am c¼a pentruk= 1reparti¸ tiaPascal (1;p)coincide
cu reparti¸ tia Geom (p), ceea ce este in cconcordan¸ t ¼a cu Propozi¸ tiile 1 ¸ si 3.
Din Propozi¸ tia 3 rezult ¼a c¼a
X=kX
i=1XkPascal (k;p), undeXkGeom (p);p2[0;1]:

2.1. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ DISCRET 31
Or, folosind propriet ¼a¸ tile valorii medii ¸ si dispersiei, deducem c ¼a
EX=k=p;DX=k(1p)=p2:
Problema 5. Demonstra¸ ti Propozi¸ tia 3.
2.1.6 Reparti¸ tia Poisson cu parametrul ,> 0
De…ni¸ tia 7. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a Poisson
cu parametrul  > 0(se noteaz ¼aXPoisson ())dac¼a reparti¸ tia sa este
dat¼a de formula
P(X=k) =k
k!e;k= 0;1;:::
Remarca 6. De…ni¸ tia este corect ¼a deoarece
X
k>0P(X=k) =X
k>0k
k!e=eX
k>0k
k!=e
e= 1:
Din punct de vedere teoretic, acest model descrie:
num¼arul de bacterii descoperite într-o pic ¼atur¼a de ap ¼a;
num¼arul de particule radioactive emise într-o unitate de timp de o
substan¸ ta radioactiv ¼a;
num¼arul de erori comise de un programator într-un program de lungime
dat¼a;
num¼arul de erori de tipar descoperite într-o pagin ¼a de carte;
num¼arul de bombe pe km2cazute în ora¸ sul Londra în timpul celui de
al doilea R ¼azboi Mondial, ¸ s.a.
Reparti¸ tia Poisson poate … folosit ¼a, în anumite condi¸ tii, la aproximarea
reparti¸ tiei binomiale. Într-adev ¼ar are loc
Teorema 3 (Teorema limit ¼a Poisson). Dac¼aXBi(n;p),n!1 ,
p!0, astfel încât np!,> 0, atunci
P(X=K) =Ck
n
pk(1p)nk!
n!1k
k!e;k= 1;2;::::

32CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
Demonstra¸ tie. Din ipoteza rezult ¼a c¼appoate … scris p=
n+o(1
n)
pentrunsu…cient de mare. Deci
P(X=k) =Ck
npk(1p)nk=
n!
k!(nk)!
n+o(1
n)k
(1
no(1
n))nk=
n(n1):::(nk+ 1)
k!k
nk(1 +o(1))
1
no(1
n)n1
(1
no(1
n))k
!
n!1k
k!e,k= 0;1;:::.
Problema 7. Ar¼ata¸ ti c ¼a valoarea medie si dispersia unei v.a. X
Poisson (),> 0sunt egale respectiv cu
EX=DX=:
2.1.7 Reparti¸ tia hipergeometric ¼a cu parametrii N,M
¸ sin
De…ni¸ tia 8. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a hiper-
geometric cu parametrii N,M,n(se noteaz ¼aX~Hypergeom (N,M,n)) ,
M;nNdac¼a reparti¸ tia ei este dat ¼a de formula
P(X=k) =Ck
M
Cnk
NM
Cn
N;k=0;min(n;M ):
Din punct de vedere teoretic, acest model modeleaz ¼a experimentul în care
dispunem de o urn ¼a în care se a‡ ¼aNbile, dintre care Mbile ro¸ sii ¸ si NM
bile albe ¸ si din care extragem la întâmplare far ¼a repetarenbile. Dac ¼aXeste
num¼arul de bile ro¸ sii printre nbile extrase ;atunci variabila Xare distribu¸ tia
P(X=k) =Ck
M
Cnk
NM
Cn
N;k=0;min(n;M ):
Aceasta rezult ¼a din
Exemplul 4 (Schema bilei neîntoarse ). Dintr-o urn ¼a ce con¸ tine M
bile ro¸ sii ¸ si NMbile albe extragem la întâmplare nbile. Ne intereseaz ¼a
probabilitatea c ¼a printre cele nbile extrase exact kbile vor … ro¸ sii.

2.1. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ DISCRET 33
Sintagma "la întâmplare" este esen¸ tial ¼a întrucât aceasta indic ¼a asupra
echiprobabilit ¼a¸ tii evenimentelor elementare. Drept consecin¸ t ¼a putem aplica
de…ni¸ tia clasic ¼a a probabilit ¼a¸ tii.
Vom considera bilele ro¸ sii numerotate de la 1 la M¸ si bilele albe numero-
tate de laM+ 1laN. Atunci spa¸ tiul de evenimente elementare asociat
acestui experiment se poate scrie ca:

=
fi1;i2;


;ingji16=i26=


6=in;ij=1;n ; j =1;n
¸ sicard (
) = Cn
N.
Not¼am prinAkevenimentul c ¼a printrenbile extrase exact kbile vor …
ro¸ sii:
Ak=ffi1;i2;


;ing2
jcard (fi1;i2;


;ing\f 1;2;


;Mg) =kg,
k=0;min(n;M ):
Conform principiului înmul¸ tirii în limbajul ac¸ tiunilor, a forma o com-
binare dinnbile astfel încât kbile s ¼a …e de culoare ro¸ sie este echivalent cu
a realiza o ac¸ tiune în 2 etape:
1. alegemkbile ro¸ sii dintre cele Mbile ro¸ sii existente: aceast ¼a ac¸ tiune se
poate realiza în Ck
Mmodalit ¼a¸ ti;
2. alegemnkbile albe pentru a completa pozi¸ tiile r ¼amase, ac¸ tiune ce
se poate realiza în Cnk
NMmodalit ¼a¸ ti.
Deci probabilitatea evenimentului Ak
P(Ak) =card (Ak)
card (
)=Ck
M
Cnk
NM
Cn
N.
Problema 8. Ar¼ata¸ ti c ¼a valoarea medie si dispersia unei v.a. X
Hypergeom (N,M,n)) ,M;nNsunt egale respectiv cu
EX=nM
N,DX=nM
N
1M
NNn
N1:

34CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
2.2 Modele (reparti¸ tii) probabiliste uzuale în
caz (absolut)continuu
Modelele probabiliste în caz (absolut)continuu sunt reprezentate de vari-
abilele aleatoare de tip (absolut)continuu ¸ si densitatea lor de repar¸ tir (d.r.).
Astfel, spunem ca Xeste o v.a. de tip (absolut)continuu dac ¼a exist ¼a o o
fun¸ tiefX:R![0;+1g¸ si integrabila Riemann pe R, astfel încât f.r. FXa
v.a.Xse exprim ¼a ca
FX(x) =xZ
fX(u)du
1;8x2R;
func¸ tiafXnumindu-se densitate de reparti¸ tie a v.a. X. ¸ Si în acest caz
comportamentul probabilist al unei v.a. Xpoate … modelat din punct de
vedere matematic cu ajutorul func¸ tiei ei de reparti¸ tie (f.r.) FX(x),8x2R.
În caz (absolut)continuu, îns ¼a, aceast ¼a form ¼a de modelare poate … înlocuit ¼a
cudensitatea de reparti¸ tie fXa v.a. Aceste dou ¼a forme sunt echivalente
în sensul c ¼a, ¸ stiind functia de reparti¸ tie putem restabili reparti¸ tia v.a. X¸ si
viceversa. Într-adev ¼ar, prin de…ni¸ tie
FX(x) =xZ
1fX(u)du ;
dar tot din de…ni¸ tie rezult ¼a ca
fX(x) =dFX(x)
dx;
derivatadFX(x)
dxexistand cu excep¸ tia unei mul¸ tim de masur ¼a Lebesgue nul ¼a,
adic¼a

x2RdFX(x)
dxnu exist a
= 0:
Ca ¸ si in caz discret, prima pe lista este reparti¸ tia uniform ¼a pe [a;b];
a;b2R,a < b , adic ¼a v.a.XU([a;b]);un rol aparte la construirea
algoritmilor de simulare a numerelor aleatoare neuniforme jucând modelul
XU([0;1]).

2.2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ (ABSOLUT)CONTINUU 35
2.2.1 Reparti¸ tia Simpson cu ngrade de libertate
De…ni¸ tia 1. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a Simpson cu
n grade de libertate, n2N(se noteaz ¼aXSimpson (n)) dac ¼a aceasta are
d.r. corespunz ¼atoare v.a.
X=nX
j=1Xj;
undeXj,j=1;n, sunt v.a.i.i.r. U([0;1]):
Folosind formula convolu¸ tiei pentru a‡ area d.r. fX1+X2(x)a doua v.a.i. Xj,
j=1;2, ¸ si anume formula
fX1+X2(x) =xZ
1fX1(x1)fX2(xx1)dx1;
atunci pentru n= 2g¼asim ca d.r. a v.a. XSimpson (2)este
fX(x) =fX1+X2(x) = (x
4+1
2)I[2;0](x) + (x
4+1
2)I(0;2](x):
Cum valoarea medie si dispersia unei v.a. uniform repartizate pe [0;1]
sunt egale respectiv cu 1=2¸ si1=12, rezult ¼a c¼a daca v.a. XSimpson (n),
atunci EX=n=2,DX=n=12.
2.2.2 Reparti¸ tia exponen¸ tial ¼a cu parametrul ,> 0.
De…ni¸ tia 2. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a exponen¸ tial
cu parametrul > 0(se noteaz ¼aXExp()) dac ¼a aceasta are d.r.
fX(x) =exI[0;+1)(x)
sau f,r,
FX(x) = (1ex)I[0;+1)(x):
Reparti¸ tia exponential ¼a modeleaz ¼a din punct de vedere matematic durata
vie¸ tii unei lampi sau dispozitiv electronic, durata dintre doua apeluri tele-
fonice succesive, inregistrate la un post telefonic anume, durata dintre dintre
dou¼a sosiri succesive a unui autobus de ruta dat ¼a la o sta¸ tie de autobuse, etc.
Aceast ¼a reparti¸ tie mai serve¸ ste în calitate de model matematic pentru
durata vie¸ tii în unele modele matematice din Teoria Fiabilit ¼a¸ tii, pentru de-
scrierea ‡ uxului de sosire sau timpului de servre în unele modele matematice

36CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
ale sistemelor de servire (a¸ steptare) din Teoria A¸ stept ¼ariii, etc. Este prefer-
at¼a în tipurile de modele descrise mai sus nu numai pentru ca acestea sunt
adecvate fenomenelor descrise , dar si pentru c ¼a reparti¸ tia expoen¸ tial ¼a poseda
remarcabila proprietate redat ¼a în
Propozi¸ tia 1 (Proprietatea lipsei memoriei sau postac¸ tiunii).
Dac¼a v.a.XExp(),> 0, atunci
P(Xx+t = X >t ) =FX(x) = (1ex)I[0;+1)(x):
Demonstra¸ tie. Folossind de…ni¸ tia probabilit ¼a¸ tii condi¸ tionate, avem
P(Xx+t = X >t ) =P(t<Xx+t)
P(X >t )=(1e(t+x))(1et)
1(1et)
=et(1ex)
et= (1ex);8x>0:
Func¸ tia caracteristic ¼a (f.c) a v.a. XExp(),> 0, care prin de…ni¸ tie
este egal ¼a cu'X(t) =EeitX,i=p1, coincide cu
'X(t) =+1Z
1eitxfX(x)dx=+1Z
0eitxexdx=
it:
Prin urmare valoarea medie ¸ si dispersia v.a. Xsunt egale, respectiv cu
EX=1
i'0
X(0) =1
;
DX=EX2(EX)2=1
i2'00
X(0)1
2=2
21
2=1
2.
2.2.3 Reparti¸ tii înrudite cu reparti¸ tia exponen¸ tial ¼a
Reparti¸ tia Laplace cu parametrul 
De…ni¸ tia 3. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a Laplace cu
parametrul ,> 0(se noteaz ¼aXLaplace ()) dac ¼a aceasta are d.r.
fX(x) =
2ejxj;8x2R.

2.2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ (ABSOLUT)CONTINUU 37
Problema 1. Demonstra¸ ti c ¼a func¸ tia caracteristic ¼a a v.a.XLaplace ()
este egal ¼a cu
'X(t) =+1Z
1eitxfX(x)dx=2
2+t2:
Pentru simularea unei v.a. XLaplace ()putem folosi
Propozi¸ tia 2. Dac¼aX1;X2sunt v.a.i.i.r. Exp(), > 0, atunci v.a.
X=X1X2Laplace ().
Demonstra¸ tie. Folosind metoda func¸ tiilor caracteristice, este su…cient
s¼a ar¼at¼am ca f.c. a v.a. X1X2coincide cu f.c. a v.a. XLaplace ():
Dar,
'X1X2(t) ='X1(t)'X2(t) ='X1(t)'X2(t) =
it
+it=2
2+t2.
Din acasta Propozi¸ tie rezult ¼a c¼a aloarea medie ¸ si dispersia v.a. X
Laplace ()sunt egale, respectiv, cu E(X1X2) = 0 ¸ siD(X1X2) =D(X1
X2) =2
2.
Reparti¸ tia Erlang cu parametrul , > 0¸ sikgrade de libertate,
k2N
De…ni¸ tia 4. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a Erlang
cu parametrul  > 0¸ sikgrade de libertate, k2N(se noteaz ¼aX
Erlang (k;)) dac ¼a aceasta are d.r.
fX(x) =I[0;+1)(x)
(x)k1
(k1)!ex
sau f,r,
FX(x) =I[0;+1)(x)
(1k1X
j=0(x)j
j!ex):
Observ ¼am c¼a pentruk= 1reparti¸ tiaErlang (1;)Exp(),> 0. Mai
mult, are loc
Propozi¸ tia 3. Dac¼a(Xj)j=1;ksunt v.a.i.i.r. Exp(),> 0,atinci v.a.
X=kX
j=1XjErlang (k;):

38CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
Demonstra¸ tie. Folosind faptul c ¼a v.a. repartizat ¼aErlang (k;)are f.c.
egal¼a cu
+1Z
1eitx(x)k1
(k1)!exI[0;+1)(x)dx=
itk
;
este su…cient sa ar ¼at¼am ca f.c.'X(t)a v.a.
X=kX
j=1Xj
coincide cu
'X(t) =
itk
,8t2R.
Dar f.c. a v.a. Xj
'Xj(t) =
it,j=1;k:
Prin urmare, folosind proprietatea f.c. pentru sume …nite de v.a.i., avem
'X(t) ='kX
j=1Xj(t) =k

j=1'Xj(t) =
itk
;8t2R:
Evident, din Propozi¸ tia 2 si propriet ¼a¸ tile valorii medii ¸ si dispersiei rezulta
ca, daca v.a. XErlang (k;),> 0,k2N, atunci
EX=k
;DX=k
2
Reparti¸ tia Erlang, ca ¸ si reparti¸ tia exponential ¼a reprezint ¼a un caz partic-
ular a unei reparti¸ tii mai generale ¸ si anume.
Reparti¸ tia Hiperexponen¸ tial ¼a
De…ni¸ tia 5. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a hiperex-
ponen¸ tial cu parametrii 1,2, ….n¸ sip1,p2, ….pn,i;pi>0,8i=1;n,

2.2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ (ABSOLUT)CONTINUU 39
nP
i=1pi= 1(se noteaz ¼aXHyper exp(1,2, ….n;p1,p2, ….pn)) dac ¼a
X=nX
i=1I(Z=i)Xi;
unde (Xi)i=1;nsunt v.a.i., XiExp(i),i>0;iar v.a.Zf(i;pi)gi=1;n,
pi=P(Z=i)>0,I(Z=i)…ind indicatorul evenimentului fZ=ig,i=1;n:
Cu alte cuvinte, XHyper exp(1,2, ….n;p1,p2, ….pn)dac¼aX=
XiExp(i)cu probabilitatea pi,i=1;n:Aceasta inseamn ¼a c¼aXeste o
v.a. cu d.r.
fX(x) =nX
i=1pifXi(x) =nX
i=1piieixI[0;+1)(x),
sau cu f.r.
FX(x) =nX
i=1piFXi(x) =nX
i=1pi(1ieix)I[0;+1)(x).
Drept consecin¸ t ¼a, deducem c ¼a valoarea medie ¸ si dispersia v.a. XHyper exp(1,
2, ….n;p1,p2, ….pn)sunt egale, respectiv, cu
EX=nX
i=1pi
1=i,DX=nX
i=1pi
1=2
i:
2.2.4 Reparti¸ tia Gamma cu parametrii (;),; > 0
De…ni¸ tia 6. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a Gamma
cu parametrii (;),; > 0(se noteaz ¼aXGamma (;)) dac ¼a aceasta
are d.r.
fX(x) =x1
()exI[0;+1)(x);
unde
() =+1Z
0x1exdx.
Astfel,Gamma (;1)Exp();Gamma (;k)Erlang (k;).

40CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
Reparti¸ tiaGamma (;)poate …întâlnit ¼a, îndeosebi, în modelele matem-
atice din Teoria Fiabilit ¼a¸ tii atât ca reparti¸ tie a duratelor de func¸ tionare, cât ¸ si
ca reparti¸ tie a duratelor de repara¸ tie. Observ ¼am c¼a, dac ¼aXGamma (;),
atunci
EX=
;DX=
2:
O alt ¼a reparti¸ tie cu multiple aplica¸ tii practice este
2.2.5 Reparti¸ tia Weibull cu parametrii ;
De…ni¸ tia 7. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a Weibull cu
parametrii (;),; > 0(se noteaz ¼aXWeibull (;; )) dac ¼a aceasta
are d.r.
fX(x) =
x
1
e(x
)
I[0;+1)(x)
sau f.r.
FX(x) = (1e(x
)1
)I[0;+1)(x)
Observ ¼am c ¼a, dac ¼aXWeibull (;), atunci
EX=
(1
);DX=2
"
2(2
)
1

2(2
)2#
:
Reparti¸ tia Weibull poate … utilizat ¼a în …abilitate atât ca reparti¸ tie a du-
ratei de func¸ tionare, mai ales ca reparti¸ tie a duratei de îmb¼atrânire.
2.2.6 Reparti¸ tia Beta cu parametrii a¸ sib
De…ni¸ tia 8. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a Beta cu
parametrii a¸ sib,a;b > 0(se noteaz ¼aXBeta (a; b)) dac ¼a aceasta are
d.r.
fX(x) =xa1(1x)b1
B(a;b)I[0;1](x),
undeB(a;b)este func¸ tia Beta ce depinde de parametrii a;b¸ si de…nit ¼a de
formula
B(a;b) =1Z
0xa1(1x)b1dx:

2.2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ (ABSOLUT)CONTINUU 41
Observ ¼am c ¼a, dac ¼aXBeta (a; b), atunci
EX=a
a+b;DX=ab
(a+b)2(a+b+ 1):
Pentru simularea unei v.a. Beta repartizate este importanta
Propozi¸ tia 4 [?]. DacaX1;X2sunt v.a.i. repartizate, respectiv, Gamma (1;a)
¸ siGamma (1;b), atunci v.a.X1
X1+X2Beta (a;b):
2.2.7 Reparti¸ tia Normal ¼a cu parametrii m¸ si2
De…ni¸ tia 9. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste repartizat ¼a Normal
cu parametrii m¸ si2,m2R, > 0(se noteaz ¼aXN (m; 2)) dac ¼a
aceasta are d.r.
fX(x) =1
p
2e(xm)2
22
sau f.r.
FX(x) =1
p
2xZ
1e(um)2
22du
În cazulXN (0;1)spunem c ¼a v.a.Xare reparti¸ tia gaussian ¼a sau normala
standart, adica are d.r.
'(x) =1p
2ex2
2
sau f.r.
(x) =1p
2xZ
1eu2
2du
Pe lâng ¼a faptul c ¼a reparti¸ tia normala modeleaza din punct de vedere
matematic comportamentul probabilist al erorii de m ¼asurare, ocupând un
loc central în prelucrarea matematic ¼a a datelor masur ¼arilor. Deasemenea,
repartizat ¼a normal este, de exemplu, statura unui individ dintr-o populatie
de oameni. În plus, a¸ sa cum arat ¼a Teorema Limit ¼a Central ¼a, in anumite
condi¸ tii, sume de v.a. au la limit ¼a reparti¸ tia normal ¼a standart, indiferent de
reparti¸ tia …ecarei variabile din sum ¼a.
Legatura dintre reparti¸ tia normal ¼a standart ¸ si celelalte reparti¸ tii normale
este exprimat ¼a în

42CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
Propozi¸ tia 5 . Dac ¼a v.a.XN (0;1), atunci v.a.
Y=X+mN (m; 2);8m2R; > 0;
iar dac ¼a v.a.YN (m; 2), atunci v.a.
X=Ym
N (0;1);8m2R; > 0:
Demonstra¸ tie. Fie v.a.XN (0;1)¸ sim2R;  > 0;atunci f.r. a
v.a.Y
FY(y) =P(Yy) =P(X+my) =
P(Xym
) =1p
2ym
Z
1eu2
2duu=vm
=
=1
p
2yZ
1e(vm)2
22dv:
La fel, …e v.a. YN (m; 2), atunci f.r. a v.a X
FX(x) =P(Xx) =P(Ym
x) =
P(Yx+m) =1
p
2x+mZ
1e(vm)2
22dvv=u+m=
=1p
2xZ
1eu2
2du.
Propozi¸ tia 6 .Func¸ tiile caracteristice ale v.a. XN(0;1¸ siYN(m;
2),m2R,> 0sunt egale, respectiv, cu
'X(t) =et2
2¸ si'Y(t) =eitm2t2
2.
Demonstra¸ tie. Pentru a a‡ a f.c. 'X(t)a v.a.XN (0;1)lu¼am,
formal, derivata ei în raport cu t¸ si integr ¼am prin p ¼ar¸ ti:
'0
X(t) =
EeitX
0=0
@1p
2+1Z
1eitxeu2
2du1
A0
=

2.2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ (ABSOLUT)CONTINUU 43
ixp
2+1Z
1eitxeu2
2du=tp
2+1Z
1eitxeu2
2du=t'X(t).
Or,'X(t)este solu¸ tie a ecua¸ tiei diferen¸ tiale
'0
X(t) =t'X(t):
Cum'X(0) = 1 , rezult ¼a ca'X(t) =et2
2.
Consecin¸ t ¼a.Valoarea medie ¸ si dispersia v.a. YN (m; 2),m2R,
> 0sunt egale, respectiv, cu
EX=m,DX=2.
Demonstra¸ tie. DacaYN (m; 2), atunci folosind Propozitia 3 ¸ si
propriet ¼a¸ tile f.c., deducem c ¼a
'Y(t) ='X+m(t) =eitm'X(t) =eitm2t2
2.
În concluzie, dac ¼aYN (m; 2), atunci
EX=1
i'0
Y(0) =m
iar
DX=1
i2'00
Y(0)m2=2+m2m2=2.
Un algoritm simplu de simularea v.a. XN (0;1)rezult ¼a din
Exemplul 1. Fie(X1;X2)un vector cu componentele c ¼aruiaX1¸ siX2
sunt v.a. independente identic normal repartizate cu parametrii 0¸ si1:Inter-
pretând (X1;X2)ca pe un punct aleator în planul cartezian de coordonate,
ne intereseaz ¼a reparti¸ tia coordonatelor lui polare (R;);adic¼a
R=g1(X1;X2) =p
X2
1+X2
2; =g2(X1;X2) =arctg (X2=X1):
A¸ sadar, luând
r=g1(x1;x2) =p
x2
1+x2
2; =g2(x1;x2) =arctg (x2=x1);
ob¸ tinem
@r
@x1=x1p
x2
1+x2;@r
@x2=x2p
x2
1+x2;

44CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
@
@x1=x2
x2
1+x2
2;@
@x2=x1
x2
1+x2
2:
Cum
J=@x1
@r@x1
@@x2
@r@x2
@=@r
@x1@r
@x2@
@x1@
@x21
=
=x2
1
(x2
1+x2
2)3=2+x2
2
(x2
1+x2
2)3=2=1p
x2
1+x2
2=1
r;
rezult ¼a c¼a densitatea de reparti¸ tie a v.a. (R;);
fR;(r;) =fX1;X2(x1;x2)jJj=1
2q
x2
1+x2
2ex2
1+x2
2
2=
=1p
2rer2
2;0<r< +1;0<< 2:
Prin urmare reparti¸ tiile marginale ale v.a. R¸ sisunt egale respectiv cu
fR(r) =r
er2=2;0<r< +1(reparti¸ tia lui Rayleigh),
f() =1
2;0<< 2(reparti¸ tia uniform ¼a pe (0;2)).
Aceasta înseamn ¼a c¼afR;(r;) =fR(r)f();adic¼a v.a.R¸ sisunt inde-
pendente, ceea ce este surprinz ¼ator. Este surprinz ¼ator ¸ si faptul c ¼a unghiul 
format din vectorul (X1;X2)cu axaOX 1nu depinde de distan¸ ta Ra acestui
punct pân ¼a la origine.
Dac¼a ne intereseaz ¼a reparti¸ tia v.a. (Z1;Z2);undeZ1=R2; Z 2= ;
atunci aplicând la transform ¼arilez1=g1(r;) =r2; z2=g2(r;) =acela¸ si
algoritm de calculare a d.r. a v.a. (Z1;Z2)g¼asim c ¼a
fZ1;Z2(z1;z2) =1
2ez1
2
1
2;0<z 1<+1;0<z 2<2:
A¸ sadar,Z1=R2¸ siZ2= ;…ind independente, sunt repartizate respectiv
exponen¸ tial cu parametrul 1=2¸ si uniform pe (0;2):
Remarca 1. Acest rezultat poate servi la argumentarea unui algoritm
de similare (generare) a v.a. normal (standard) repartizate, dar ¸ si a v.a..
repartizate Rayleigh , având la baz ¼a valori a unei v.a. uniform repartizate.

2.2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ (ABSOLUT)CONTINUU 45
Într-adev ¼ar, …eU1¸ siU2v.a. independente identic uniform repartizate pe
(0;1):AtunciR2=2 logU1¸ si = 2U2;…ind v.a. independente, vor …
repartizate respectiv, exponen¸ tial cu parametrul 1=2(ceea ce se veri…c ¼a cal-
culând P(2 logU1x))¸ si uniform pe (0;2):A¸ sadar, dac ¼aR2=2 logU1
va … interpretat ¼a ca p ¼atratul distan¸ tei vectorului aleator (X1;X2)iarca
unghiul format din acest vector cu axa Ox 1atunci
X1=p
2 logU1
cos (2U2); X 2=p
2 logU1sin (2U2)
vor … v.a. independente identic normal (standard) repartizate, deoarece
X1=Rcos ; X 2=Rsin 
¸ si sunt valabile rezultatele stabilite anterior.
2.2.8 Reparti¸ tii înrudite cu reparti¸ tia normal ¼a
Reparti¸ tia 2(n)(Hi-p ¼atrat cungrade de libertate)
De…ni¸ tia 10. Vom spune c ¼avariabila aleatoare 2(n)este Hi-p ¼atrat repar-
tizat¼a cungrade de libertate dac ¼a
2(n) =nX
i=1X2
i;
undeX1;X2;:::;X nsun v.a.i.i.r.N(0;1):
Densitatea de reparti¸ tie a v.a. 2(n)este egal ¼a cu
f2(n)(x) =xn
21
2n
2(n
2)ex=2I[0;+1)(x):
Or, comparând d.r. ce corespund reparti¸ tiilor Gamma (;)¸ si Hi-p ¼atrat cun
grade de libertate, deducem c ¼a ultima coincide cu reparti¸ tia Gamma (1=2;n=2).
În plus, ¸ stiind c ¼a pentruXN (0;1)avemEX2= 1,EX4= 3,DX2=
EX4(EX2)2, din De…ni¸ tia 4 deducem c ¼a
E2(n) =E(nX
i=1X2
i) =n;

46CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
D2(n) =D(nX
i=1X2
i) = 2n:
Reparti¸ tia Student cu ngrade de libertate
De…ni¸ tia 11. Vom spune c ¼avariabila aleatoare T(n)este Student reparti-
zat¼a cungrade de libertate dac ¼a
T(n) =Xs
1
nnX
i=1X2
i;
undeX¸ siX1;X2;:::;X nsun v.a.i.i.r.N(0;1).
D.r. a.v.a. T(n)este
fT(n)(x) =(n+1
2)
(n
2)pn(1 +x)n+1
2,8x2R,
iar valoarea medie ¸ si dispersia sunt egale, respectiv, cu ET(n) = 0 ¸ siDT(n) =
n=(n2):
Reparti¸ tia Fisher-Snedecor cu n1¸ sin2grade de libertate
De…ni¸ tia 12. Vom spune c ¼avariabila aleatoare F(n1;n2)are reparti¸ tia
Fisher-Snedecor cu n1¸ sin2grade de libertate dac ¼a
F(n1;n2) =2(n1)
n1
2(n2)
n2
unde2(n1)¸ si2(n2)sun v.a.i.Hi-p ¼atrat repartizate, respectiv cu n1¸ sin2
grade de libertate
.
D.r. a.v.a. F(n1;n2)este
fF(n1;n2)(x) =(n1+n2
2)
(n1
2)(n2
2)n1
n2n1
2xn1
21
(1 +n1
n2x)n1+n2
2I[0;+1)(x),
iar valoarea medie este egal ¼a cuEF(n1;n2) =n1
n22,n2>2.

2.2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE ÎN CAZ (ABSOLUT)CONTINUU 47
Reparti¸ tia Rayleigh
De…ni¸ tia 13. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Reste o v.a. Rayleigh
repartizat ¼a(se noteaz ¼aRRayleigh ) dac ¼aR=p
2(2), unde2(2)este o
v.a. Hi-P ¼atrat repartizat ¼a cu 2 grade de libertate.
Din analiza exemplului 1, rezult ¼a
Propozi¸ tia 6. V.a..p2 logX, undeXU[0;1],are reparti¸ tia Rayleigh.
Or, de aici rezult ¼a c¼a v.a.RRayleigh are d.r.
fR(x) =xex2
2I[0;+1g(x);
iar valoarea medie si dispersia sunt egale, respectiv, cu
ER=r
2¸ siDR= (2
2):
Observ ¼am c¼a între v.a. XN (0;1),2(n),T(n);F(n1;n2)¸ siRexist¼a
urm¼atoarele rela¸ tii
T2(n) =F(1;n); F(n;1) =2(n),2(1) =X2; R=p
2(2):
Reparti¸ tia Lognormal ¼a cu parametrii m¸ si2De…ni¸ tia 14. Vom
spune c ¼avariabila aleatoare pozitiv ¼aYeste o v.a. lognormal repartizat ¼a cu
parametrii m¸ si2,m2R, > 0(se noteaz ¼aYLN (m; 2)) dac ¼a v
.a.X= lnYN (m; 2):
Din de…ni¸ tie rezult ¼a ca f.r. a v.a. Y
FY(y) =P(Yy) = 0;dac¼ay0,
iar
FY(y) =P(Yy) =P(lnYlny) =P(Xlny) =FX(lny),
undeFX(x)este f.r. a v.a. XN (m; 2). Deci, pentru y>0;
FY(y) =FX(lny) =1
p
2lnyZ
1e(um)2
22du:
De unde, derivând FY(y)în raport cu y, a‡¼am ca d.r. a v.a. YLN (m;
2)este
fY(y) =1
yp
2e(lnym)2
22:

48CAPITOLUL 2. MODELE (REPARTI ¸ TII) PROBABILISTE UZUALE
Calculând integralelele corespunz ¼atoare, în care se fac schimb ¼ari de variabile
potrivite, deducem c ¼a valoarea medie ¸ si dispersia sunt egale, respectiv, cu
EY=em+2=2¸ siDY=e2m+2=(e21):
2.2.9 Reparti¸ tia de putere cu parametrii a¸ sib
De…ni¸ tia 15. Vom spune c ¼avariabila aleatoare Xeste o v.a. cu reparti¸ tiia
de putere cu parametrii a¸ sib,a,b>0(se noteaz ¼aXPow (a; b)) dac ¼a
Xare d.r.
fX(x) =abaxa1I[0;1=b]
sau f.r.:
FX(x) = (bx)aI[0;1=b]+I[1=b;+1):
Din de…ni¸ tia v.a. XPow (a; b)rezult ¼a c¼a valoarea medie si dispersia
ei sunt egale, respectiv, cu
EX=a
b(a+ 1)¸ siDX=a2
b2(a+ 1)2(a+ 2).

Capitolul 3
SIMULAREA
VARIABILELOR
ALEATOARE NEUNIFORME
În acest capitol vom arata ca tehnicile (metodele) generale de simulare a
v.a.neuniforme, dar ¸ si cele adaptate la speci…cul unor repartitiii (modele)
aparte, au la baz ¼a valori ale unei v.a. uniform repartizate, adica generatori de
numere (pseudo)aleatoare uniforme. Cu alte cuvinte, transformand/combinând
valori ale unei variabile aleatoare uniform repartizate putem ob¸ tine valori ale
unei variabile aleatoare de reparti¸ tie dat ¼a..
3.1 Tehnica (metoda) invers ¼arii
Aceast ¼a metod ¼a are la baza generatorul de numere (pseudo)aleatoare uniform
repartizate pe [0;1];adic¼a valori ale v.a. XU([0;1]):
Ín cazul v.a. Yde tip discret tehnica se bazeaza pe
Teorema 1 (Metoda invers ¼arii pentru generarea de v.a. în caz
discret). Dac¼aYeste o v.a.cu reparti¸ tia f(yi;pi)gi>1, undey1<y 2<:::<
yn<:::,pi=P(Y=yi)>0,i>1,P
i>1pi, atunci v.a.
Z= min(
yj2fy1;y2;:::gjX
k=1pk>X)
;
undeXU([0;1]), are aceea¸ si reparti¸ tie ca ¸ si v.a. Y.
49

50CAPITOLUL 3. SIMULAREA VARIABILELOR ALEATOARE NEUNIFORME
Demonstra¸ tie. Evident P(Z2fy1;y2;:::g) = 1 , prin urmare putem
de…ni probabilit ¼a¸ tile
P(Z=yi) =P
min(
yj2fy1;y2;:::gjX
k=1pk>X)
=yi!
=
P (i1X
k=1pk<X)
\(iX
k=1pk>X)!
=P i1X
k=1pk<X6iX
k=1pk!
=
iX
k=1pki1X
k=1pk=pi,i>1,
unde1P
k=1pk= 0.
Drept consecin¸ ta din aceast ¼a Teorem ¼a, atunci când v.a. Yeste dat ¼a de
reparti¸ tia
f(yi;pi)gi=1;n;pi>0;nX
i=1pi= 1;
putem descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a.de tip discret cu o mul¸ time
…nit¼a de valori posibile.
Pas 1. Intrare tabela P[1;:::;n ] :P[1] ::=p1;:::;P [n] ::=pn.Intrare tabela
A[1;:::;n ] :A[1] ::=y1;:::;A [n] ::=yn:
Pas 2.i:= 1,S:= 0
Pas 3. Gen¼aram o valoare xa v.a.XU([0;1])
Pas 4.S=S+P[i],
Pas 5. Dac¼aS < x , atuncii:=i+ 1¸ si trecem la Pas 4 , în caz contrar
lu¼amY:=A[i].STOP:
Exemplul 1. Drept consecin¸ t ¼a din Teorema 1, v.a.
Y=0, dac ¼aX1p;
1, dac ¼aX > 1p;
are reparti¸ tia Bernoulli (p),p2[0;1]:dac¼aXU([0;1]), Astfel, putem
descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a. YBernoulli (p),p2[0;1].
Pas 1. Genaram o valoare xa v.a.XU([0;1]).

3.1. TEHNICA (METODA) INVERS ¼ARII 51
Pas 2. Veri…c ¼am dac ¼a este îndeplinit ¼a condi¸ tia x1p: daca DA,
atunciY= 0, în caz contrar Y= 1:STOP
.Remarca 1. Teorema 1 furnizeaza, de fapt, un algoritm universal
pentru simularea v.a. de tip discret, dar aceasta nu inseamn ¼a c¼a acesta
fa … ¸ si algoritmul cel mai simplu. În acest caz se impun ¸ si alte tehnici de
simulare , tehnici descrise in paragraful urmator. Drept argument aducem
cateva exemple.
Exemplul 2. FieYBi(n;p);p2[0;1]. Din Teorema 1, desprindem ca
esential pentru simularea unei valori a v.a. Y;esential este veri…carea conditiei
i1X
k=1pk<x6iX
k=1pk;
undexeste o realizare a v.a. XU([0;1]), iar
pk=Ck
npk(1p)nk;k=0;n.
Evident, mult mai simplu este sa ne baz ¼am pe faptul ca v.a.
Y=nX
k=1XkBi(n;p), dac ¼aXksunt v.a.i.i.r. Bernoulli (p));p2[0;1].
Atunci ob¸ tinem
Algoritmul de simulare a unei v.a. YBi(n;p);p2[0;1] :
Pas1. Simul ¼am, succesiv, nvalori ax1,x2,…,xna v.a.XBernoulli (p));p2
[0;1](vezi Algoritmul anterior).
Pas 2. Lu¼amY=nX
k=1xk.STOP .
Remarca 2. Implicit, se subân¸ telege c ¼a valorile v.a. uniform repartizate
generate succesiv pot … considerate valori ale unui sir de v.a.i.i.repartizate
uniform. Aceasta este o conditie impusa Generatorilor de numere (pseudo)aleatoare
uniforme. Prin urmare ¸ si Algoritmul de simulare a v.a. neuniforme va avea
aceea¸ si proprietate.
Exemplul 3. În mod analog, ¸ tinând cont de faptul ca reparti¸ tia geo-
metric ¼a modeleaza din punct de vedere matematic numarul Yde probe
Bernoulli (cu probabilitatea "succesului" pin …ecare prob ¼a ,p2[0;1]),
pân¼a la ínregistrarea primului "succes", putem descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a. YGeom (p);p2[0;1] :

52CAPITOLUL 3. SIMULAREA VARIABILELOR ALEATOARE NEUNIFORME
Pas 0. Consider ¼amY= 0.
Pas1. Simul ¼am o valoare xa v.a.XBernoulli (p));p2[0;1]:
Pas 2. Dacax= 0 ("insucces"), atunci luam Y=Y+ 1¸ si trecem la
Pasul 1 , în caz contrar luam Y=Y+ 1.STOP
Exemplul 4. ¸ Tinând cont de faptul ca reparti¸ tia Bineg (k;p),k2N,
p2[0,1], modeleaza din punct de vedere matematic numarul Yde insuccese
în probe Bernoulli (cu probabilitatea "succesului" pin …ecare prob ¼a ,p2
[0;1]), pân ¼a la ínregistrarea primelor k"succese" (în care este inclus ¼a ¸ si proba
în care s-a produs "succesul" k), în concordan¸ ta cu Remarca 4, referitoare la
v.a. repartizate Binomial cu exponent negativ, putem descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a. YBineg (k;p),k2N,p2
[0,1] :
Pas1. Simul ¼am, succesiv, kvalori ax1,x2,…,xka v.a.XGeom (p));p2
[0;1](vezi Algoritmul anterior).
Pas 2. Lu¼amY=kX
i=1xik.STOP .
Exemplul 5. ¸ Tinând cont de faptul ca reparti¸ tia Pascal (k;p),k2N,
p2[0,1], modeleaza din punct de vedere matematic numarul Yde probe
Bernoulli (cu probabilitatea "succesului" pin …ecare prob ¼a ,p2[0;1]), pân ¼a
la ínregistrarea primelor k"succese" (în care este inclus ¼a ¸ si proba în care s-a
produs "succesul" k), în concordan¸ ta cu Remarca 5, referitoare la v.a. Pascal
repartizate, putem descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a. YPascal (k;p),k2N,
p2[0,1] :
Pas1. Simul ¼am, succesiv, kvalori ax1,x2,…,xka v.a.XGeom (p));p2
[0;1](vezi Algoritmul anterior).
Pas 2. Lu¼amY=kX
i=1xi.STOP .
Exemplul 6. ¸ Tinând cont de faptul ca reparti¸ tia Hypergeom (N,M,n),
M;nN, modeleaza din punct de vedere matematic numarul Yde bile
ro¸ sii dinnbile extrase la întâmplare f ¼ar¼a repetare dintr-o citie cu Mbile
ro¸ sii ¸ siNMbile albe putem descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a. YHypergeom (N,M,n),
M;nN.
Considerând c ¼a bilele sunt extrase la întâmplare succesiv una câte una,
far¼a repetare si întroducând variabilele R¸ siAce contorizeaza, respectiv nu-

3.1. TEHNICA (METODA) INVERS ¼ARII 53
marul de bile ro¸ sii ¸ si albe dup ¼a …ecare extragere, avem:
Pas 0.R:= 0,A= 0,m:= 0.
Pas1. Luam probabilitatea p=MR
NAR.
Pas 2. Simul ¼am o valoare xa v.a.XBernoulli (p)):
Pas 3 Dac¼ax= 0, atunci (bila extras ¼a este alb ¼a),A:=A+ 1, în caz
contrar, dac ¼ax= 1,R:=R+ 1.
Pas 4m:=m+1 ; Dac¼am<n , atunci trecem la Pasul 1 , în caz contrar
PRINT (A;R ):STOP.
Teorema 1 poate … aplicat ¼a ¸ si în cazul v.a.. de tip discret cu o mul¸ time
in…nit ¼a num ¼arabil ¼a de valori posibile atunci când reparti¸ tia este data de o
formul ¼a general ¼a cum ar …
Exemplul 7. .Fie v.aYPoisson (),> 0, adic ¼a
P(Y=k) =k
k!e;k= 0;1;:::;
atunci putem descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a. YPoisson (),> 0:
Pas 0.i:= 0,S:= 0
Pas 1. Gen ¼aram o valoare xa v.a.XU([0;1])
Pas 2.S:=S+i
i!e
Pas 3. Dac ¼aS < x , atuncii:=i+ 1¸ si trecem la Pas 2, în caz contrar
lu¼amY:=i.STOP:
Un algoritm mai simplu de simulare a unei v.a. Poisson repartizate cu
parametrul ,> 0se desprinde din urmatoarea
Propozitie [ Feller, vol. 2 ].Dac¼a(Yn)n>1reprezint ¼a un ¸ sir de v.a.i.i.r.
exponential cu parametrul ,> 0, atunci pentru orice t>0v.a.
Y(t) = max(
n:nX
i=0Yi6t)
Poisson (t);> 0:
In particular, v.a. Y=Y(1)Poisson (),> 0.
Înainte de a aborda simularea v.a. în caz general, men¸ tion ¼am c ¼a din
Teoria Probabilit ¼a¸ tilor cunoa¸ stem faptul c ¼a func¸ tia de reparti¸ tie FYa unei
v.a. posed ¼a proprit ¼a¸ tile:
1oFYeste monoton cresc ¼atoare;
2oFYeste continu ¼a la dreapta;

54CAPITOLUL 3. SIMULAREA VARIABILELOR ALEATOARE NEUNIFORME
3oFY(1) = lim
y!1FY(y) = 0;FY(+1) = lim
y!+1FY(y) = 1 .
În plus, propriet ¼a¸ tile 1o3osunt propriet ¼a¸ ti caracteristice func¸ tiilor de
reparti¸ tie ín sensul ca orice func¸ tie Fcu aceste propriet ¼a¸ ti este func¸ tie de
reparti¸ tie a unei v.a. Or, prin f.r. vom intelege orice func¸ tie Fce posed ¼a
propriet ¼a¸ tile 1o3o[Leahu].
Fie, a¸ sa dar, o v.a.de…nit ¼a de f.r.F:R7!R.
De…ni¸ tia 1. Vom numi inversa f.r. Ffunc¸ tiaF1de…nit ¼a conform
regulei
F1(t) = minfxjF(x)>tg;80<t< 1.
Teorema 2. (Metoda invers ¼arii pentru generarea de v.a. în caz
general).
Dac¼aYeste o v.a. de…nit ¼a de f.r.F¸ siXU([0;1]), atunci v.a. Z=
F1(X)are aceea¸ si f.r. ca ¸ si v.a. Y.
Demonstra¸ tie. Observ ¼am c ¼a
P(Zy) =P(F1(X)y) =P( minfxjF(x)>Xgy) =
P(F(y)>X) =P(X6F(y)) =F(y),
deoarecefF1(X)yg=fF(y)>Xg¸ si putem considera 0<F(y)<1.
Exemplul 8. FieYExp(),> 0;adic¼a
FY(y) = (1ex)I[0;+1)(y):
. Atunci
F1
Y(t) = minfyjFY(y)>tg= min
y1ey>t
=
minfyjy>ln(1t)g=1
ln(1t).
Prin urmare putem considera c ¼a
Y=1
ln(1X)Exp();> 0,
undeXU([0;1]). Dar 1XU([0;1])dac¼aXU([0;1]). Prin urmare
putem lua
Y=1
lnXExp();> 0;

3.1. TEHNICA (METODA) INVERS ¼ARII 55
fapt ce justi…c ¼a
Algoritmul de simulare a unei v.a. YExp();> 0 :
Pas 1. Genaram o valoare xa v.a.XU([0;1]).
Pas 2. Lu¼amY:=1
lnx.STOP.
La fel, ne putem baza pe Teorema 2 ¸ si în cazul v.a. YWeibull (1;),
 >0, cunoscând faptul ca inversa F1
Ya f.r.FYeste dat ¼a de formula
F1
Y(u) = (lnu)1=,u2(0;1).
Or, putem descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a. YWeibull (1;), >0
Pas 1. Genaram o valoare xa v.a.XU([0;1]).
Pas 2. Lu¼amY:= (lnx)1=.STOP.
Remarca 3. Ín baza Algoritmului de simulare a unei v.a. YExp();>
0;putem, cu u¸ surin¸ ta, construi Algoritmi de simulare a reparti¸ tiilor înrudite
cu reparti¸ tia exponen¸ tial ¼a.
Exemplul 9. Fie v.a.YLaplace (), > 0. ¸ Tinând cont de faptul
ca v.a.Y=X1X2Laplace (),, > 0, dac ¼aX1,X2sunt v.a.i.i.r.
Exp()(vezi Propozi¸ tia 2 din Capitolul 2.2) putem descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a. YLaplace ();> 0
Pas 1. Genaram dou ¼a valori succesive x1¸ six2a v.a.XExp().
Pas 2. Lu¼amY:=x1x2.STOP.
Exemplul 10. FieYo v.a. repartizat ¼a Erlang cu parametrul  > 0
¸ sikgrade de libertate, k2N, adic ¼aYErlang (k;). ¸ Tinând cont de
faptul ca v.a. Y=X1+:::+XkErlang (k;),> 0, dac¼aX1,…,Xnsunt
v.a.i.i.r.Exp()(vezi Propozi¸ tia 3 din Capitolul 2.2) putem descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a. YLaplace ();> 0
Pas 1. Genar ¼am2valori succesive x1,xa v.a.XU([0;1]).
Pas 2. Lu¼amY:=x1+x2.STOP.
Exemplul 11. FieZo v.a. repartizat ¼a hiperexponen¸ tial cu parametrii
1,2, ….n¸ sip1,p2, ….pn,i;pi>0,8i=1;n,nP
i=1pi= 1, adic ¼aZ
Hyper exp(1,2, ….n;p1,p2, ….pn)¸ Tinând cont de faptul ca v.a. Z=
YiExp(i),i>0, cu probabilitatea pi>0,i=1;n(vezi De…ni¸ tia 5,
Capitolul 2.2) putem descrie
Algoritmul de simulare a unei v.a. ZHyper exp(1,2, ….n;p1,
p2, ….pn),i;pi>0,8i=1;n.
Pas 0. Intrare tabele P[1;:::;n ] :P[1] ::=p1;:::;P [n] ::=pn;I[1;:::;n ] :
I[1] ::= 1;:::;I [n] ::=n;L[1;:::;n ] :L[1] ::=1;:::;L [n] ::=n

56CAPITOLUL 3. SIMULAREA VARIABILELOR ALEATOARE NEUNIFORME
Pas 1. Genaram o valoare ia uneiri v.a. Xf(i;pi)gi=1;n.
Pas 2. Gener ¼am o valoare ya v.a.YiPoisson (L[i])¸ si lu¼amZ:=y.
STOP.
Remarca 4. Algoritmul de simulare a unei v.a. ZHyper exp(1,2,
….n;p1,p2, ….pn),i;pi>0,8i=1;neste, de fapt, un exemplu ce ilus-
treaz ¼a o metod ¼a mai generala expus ¼a în paragraful urm ¼ator.
3.2 Tehnica (metoda) compunerii (mix ¼arii sau
amestec ¼arii)
Aceast ¼a metod ¼a se aplic ¼a variabilelor aleatoare Xa c¼aror reparti¸ tie satisface
urm¼atoarea
De…ni¸ tie [ V¼aduva ].F.r.F(x)este o amestecare (compunere sau mix-
tur¼a) discret ¼a a mul¸ timii de f.r. fFi(x)gi>1cu reparti¸ tia discret ¼a
J:1;2;:::; j;:::
p1; p2;:::; p j;:::
,pj>0;X
i>1pi= 1;
dac¼a
F(x) =X
i>1piFi(x)
F.r.F(x)este o amestecare continu ¼a a familiei de f.r. fG(x;Y)gY2Rcu f.r.
continu ¼aH(y)a lui Y dac ¼a
F(x) =Z
RG(x;y)dH(y);
ultima …ind integrala Stieltjes .
Dac¼a not ¼am cuXv.a. care are f.r. F(x)¸ si cuXiv.a. care are f.r.
Fi(x), atunci amestecarea discret ¼a poate … interpretat ¼a astfel:X=Xicu
probabilitatea pi;i>1, de unde rezulta
Algoritmul Compunerii discrete de simulare a unei v.a. X
Pas 1. Gener ¼am o valoare ja indicelui aleator Jf(j;pj)gj>1.
Pas 2. Gener ¼am o valoare xa v.a.Xjcu f.r.Fj(x).
Pas.3. Lu¼amX:=x.STOP .

3.2. TEHNICA (METODA) COMPUNERII (MIX ¼ARII SAU AMESTEC ¼ARII) 57
Observ ¼am, astfel, c ¼a Algoritmul de simulare a unei v.a. ZHyper exp(1,
2, ….n;p1,p2, ….pn),i;pi>0,8i=1;n, este un caz particular al
Algoritmului Compunerii discrete de simulare.I
Interesant este faptul c ¼a prin aceea¸ si metod ¼a se poate simula ¸ si v.a. Y
Laplace (),> 0:
Exemplul 12. FieYLaplace (),> 0, adic ¼aYare d.r.
f(x) =1
2ejxj
Se observ ¼a c¼a
f(x) =p1f1(x) +p2f2(x),p1=p2=1
2= 0:5;
unde
f1(x) =exI(1;0](x),f2(x) =exI(0;+1](x)
Or, drept alternativ ¼a laAlgoritmul de simulare a unei v.a. Y
Laplace ();> 0, avem
Algoritmul Compunerii discrete de simulare a v.a. YLaplace ();>
0
Pas 1. Gener ¼am o valoare xa v.a.XU([0;1])
Pas 2. Dac¼ax60:5, atunci lu ¼ams:=1, în caz contrar lu ¼ams:= 1
Pas.3. Gener ¼am o valoare za v.a.ZExp()¸ si lu¼amY:=s
z:STOP .
Simularea v.a. YLaplace (); > 0se poate face u¸ sor si prin inter-
mediul tehnicii de inversare.
O interpretare similar ¼a poate … dat ¼a ¸ si în cazul amestecarii continue pen-
tru simularea unei v.a. Xcu f.r.F(x):care este o amestecare continu ¼a a
familiei de f.r.fG(x;Y)gY2Rcu f.r. continu ¼aH(y)a lui YPutem, asa dar,
descrie
Algoritmul Compunerii continue de simulare a unei v.a. X
Pas 1. Gener ¼am o valoare ya v.a.YH(y)
Pas 2. Gener ¼am o valoare za v.a.ZYG(x;y)
Pas.3. Lu¼amX:=z:STOP .
Remarca 5. Evident, în algoritmii preceden¸ ti se presupun cunoscute
metode de simulare a v.a. J,Xi,Y,ZY.Dac¼a în de…ni¸ tia compunerii se
consider ¼a d.r.f(x)în loc de f.r. F(x), atunci formulele corespunz ¼atoare d.r.
se scriu, respectiv,
f(x) =X
i>1pifi(x);

58CAPITOLUL 3. SIMULAREA VARIABILELOR ALEATOARE NEUNIFORME
F(x) =Z
Rg(x;y)h(y)dy:
Pentru a ilustra Algoritmul Compunerii continue consider ¼am
Exemplul 13 [ V¼aduva ].Consider ¼am c ¼a durata în func¸ tionare a unui
aparat (de exemplu, computer) este o v.a. X,X > 0;exponen¸ tial repar-
tizat¼a cu parametrul Y, unde > 0este un parametru determinat de
produc ¼ator (în laborator!) iar Yeste un parametru aleator care indic ¼a in-
‡ uien¸ ta mediului în care este exploatat calculatorul. Presupunând c ¼a v.a.
YGamma (b;a), adic ¼aYare d.r.
fY(y) =baya1
(a)ebyI[0;+1)(y)
Observ ¼am c ¼a d.r.fX(x)a v.a.Xeste o amestecare continu ¼a, mai exact
fX(x) =I[0;+1)(x)+1Z
0yeyxbaya1
(a)ebydy=I[0;+1)(x)ba
(a)+1Z
0yaey(x+b)dy=
ba(a+ 1)
(a)(x+b)a+1I[0;+1)(x) =aba+1
b(x+b)a+1I[0;+1)(x) =a
(x+b)a+1, unde=
b.
Ín calculele de mai sus am folosit formula
()
a=+1Z
0x1eaxdx.
Or, d.r. a v.a. Xeste
fX(x) =a
(x+b)a+1, unde=
b.
Reparti¸ tia cu aceast ¼a d.r. se numeste reparti¸ tie Lomax ¸ si daca ¸ stim para-
metrii pozitivi ,b,a, atunci simularea ei se realizeaz ¼a cuAlgoritmul Com-
punerii continue cu condi¸ tia s ¼a cunoa¸ stem un algoritm de simulare a repar-
ti¸ tieiGamma (b;a).
Exemplele de mai sus ilustreaz ¼a câteva cazuri particulare când se poate
aplica metoda compunerii.

3.3. TEHNICA (METODA) RESPINGERII 59
Teorema urm ¼atoare ne asigur ¼a, totu¸ si, metoda compunerii discrete se
poate aplica în general.
Teorem ¼a [V¼aduv ¼a].FieXo v.a. cu d.r. fX(x)concentrat ¼a pe
R,
iar(
i)i=1;mo parti¸ tie a lui
, adic ¼a
=m[
i=1
i,
i\
j=;,8i6=j,
i;j=1;m. Dac ¼api=P(X2
i)>0,8i=1;m, atunci exist ¼a densit ¼a¸ tile
fi(x), nule pentru x =2
i, astfel încât
fX(x) =mX
i=1pifi(x).
Demonstra¸ tie. Este su…cient s ¼a lu¼am
fi(x) =fX(x)
piI
i.(x);8i=1;m.
Íntr-adev ¼ar
fX(x) =mX
i=1pifi(x).=mX
i=1pifX(x)
piI
i.(x) =
fX(x)mX
i=1I
i.(x) =fX(x)I
.(x) =fX(x),
deoarecefX(x) = 0;8x =2
.
3.3 Tehnica (metoda) respingerii
Mai exact aceast ¼a metod ¼a poate … numit ¼a metoda accept ¼arii-respingerii .
Având drept scop simularea unei v.a. X, aceast ¼a metod ¼a presupune cunoa¸ sterea
urm¼atoarelor elemente [Vaduva]:
1. Se cunoa¸ ste un procedeu de simulare a unei valori na v.a.Ncu valori
din mul¸ timeaf1;2;:::g;
2. Pentru orice i>1este cunoscut algoritmul pentru simularea v.a.
Si2S, undeSeste o familie de v.a. dat ¼a.
3. Se cunoa¸ ste un predicat P(S1;S2;:::;S n)care se poate calcula pentru
oriceSi,i=1;n¸ si oricen(Acest predicat sau condi¸ tie trebuie s ¼a poat ¼a …e
evaluat f ¼ar¼a calcule de mare complexitate!);
4. Se cunoa¸ ste func¸ tia astfel încât X= (S1;S2;:::;S n)dac¼aP(S1;S2;:::;S n) =
true.

60CAPITOLUL 3. SIMULAREA VARIABILELOR ALEATOARE NEUNIFORME
Or, putem descrie în forma general ¼a
Algoritmul General de Respingere
Pas 1. Simul ¼am o valoare na v.a.N
Pas 2. Simul ¼am valoarile s1;s2;:::;s nce corespund v.a. S1;S2;:::;S n
Pas.3. Dac¼aP(s1;s2;:::;s n) =false , atunci trecem la Pasul 1, în caz
contrar lu ¼amx= (s1;s2;:::;s n):STOP .
Remarca 6. Observ ¼am c¼a dac ¼aP(s1;s2;:::;s n) =false , atunci mul¸ timea
de v.a.fS1;S2;:::;S ngse respinge, de unde provine ¸ si denumirea de metoda
respingerii. În plus, dac ¼apa=PfP(S1;S2;:::;S n) =trueg, numit ¼a proba-
bilitate de acceptare, este aproape de 1, atunci algoritmul este rapid , în caz
contrar algoritmul este lent.
În cele ce urmeaz ¼a prezent ¼am dou ¼a Teoreme [Ermacov, Vaduva] care fun-
damenteaz ¼a Algoritmul e de respingere pentru simularea unor v.a.
Teorema înf ¼a¸ sur¼atoarei. FieX;Y dou¼a v.a., respectiv, cu d.r. f¸ sih
ce au acela¸ si suport , adic ¼af¸ sihsunt nenule pe aceea¸ si mul¸ time SR,
v.a.X…ind v.a. care trebuie simulat ¼a iarYv.a. ce ¸ stim s ¼a o simul ¼am. Dac ¼a
exist¼a o constant ¼a,1<  <1,astfel încât f(x)h(x),8x2S¸ si
Zeste o v.a. independent ¼a deY, undeZU[0;1], atunci d.r. a v.a. Y
condi¸ tionat ¼a de evenimentul f0Zf(Y)=h(Y)gcoincide cu f:
Demonstra¸ tie. Consider ¼am evenimentele A=fYxg¸ siB=f0Zf(Y)=h(Y)g.
Atunci f.r. condi¸ tionat ¼a
P(fYxgjf0Zf(Y)=h(Y)g) =P(A = B ) =P(AB)
P(B).
Dar
P(B) =1Z
10
@f(v)=h(v)Z
0du1
Ah(v)dv=1Z
1f(v)
h(v)h(v)dv=1
,1<<1.
Deci
P(A = B ) =xZ
10
@f(v)=h(v)Z
0du1
Ah(v)dv=xZ
1f(v)
h(v)h(v)dv=xZ
1f(v)dv.
Remmarca 7. Din Teorema înf ¼a¸ sur¼atoarei desprindem procedura de
respingere format ¼a din urm ¼atoarele elemente: N= 2(v.a. constant ¼a);S=

3.4. ALTE TEHNICI (METODE) DE SIMULARE 61
fY;Zg;P(Y;Z) =true dac¼a0Zf(Y)=h(Y);X= (Y;Z) =Y
(adic ¼aproiec¸ tia lui Yîn raport cu evenimentul f0Zf(Y)=h(Y)g).
Exemplul 14. Consider ¼am v.a.XGamma (1;),0< < 1, numit ¼a
reparti¸ tia gamma-standard cu subunitar. S ¼a aplic ¼am metoda înf ¼a¸ sur¼a-
toarei pentru simularea v.a. X, folosind ca înf ¼a¸ sur¼atoare d.r. a v.a. Y
Weibull (1;), >0.
Într-adev ¼ar, densit ¼a¸ tile de reparti¸ tie sunt
f(x) =x1
()exI[0;+1)(x); h(x) =x1exI[0;+1)(x).
În vederea determin ¼arii constantei a înf¼a¸ sur¼atoarei anliz ¼am raportul
r(x) =f(x
h(x)=1
()ex+x.
Punctul de maxim al func¸ tiei r(x)estex0=1=(1)de unde rezult ¼a
=e(1)
(+ 1),==(1).
Prin urmare putem descrie
Algoritmul de respingere pentru simularea unei v.a. XGamma (1;),
0< < 1(reparti¸ tia gamma-standard cu subunitar)
Pas 1. Intrare; Calcul ¼amc:= 1=,==(1),a:=e(1)
Pas 2. Gener ¼am o valoare z1a v.a.ZU[0;1]
Pas 3. Calcul ¼amy:= (lnz)c(adic ¼a gener ¼am o valoare a v.a. Y
Weibull (1;), >0)
Pas 4. Gener ¼am o alt ¼a valoarez2a v.a.ZU[0;1]
Pas.5. Dac¼az2>aey+y, atunci trecem la Pasul 2, în caz contrar lu ¼am
x=y:STOP .
3.4 Alte tehnici (metode) de simulare
Pentru a scoate în eviden¸ t ¼a alte tehnici de simulare statistic ¼a vom apela la
unele exemple invocate pân ¼a acum. Astfel, majoritatea rutinelor legate de
generarea numerelor (pseudo)aleatoare, adic ¼a (pseudo)uniform repartizate,
rutine incluse in GNU Scienti…c Library (vezi capitolul 1), folosesc asa nu-
mitele Tehnici bazate pe Teoria Numerelor .

62CAPITOLUL 3. SIMULAREA VARIABILELOR ALEATOARE NEUNIFORME
Metoda Convolu¸ tiei (superpozi¸ tiei) din Teoria Probabilit ¼a¸ tilor, metod ¼a
bazat ¼a pe formula cu ajutorul c ¼areia, ¸ stiind reparti¸ tia v.a. X;Y , putem
a‡ a reparti¸ tia v.a. Z=X+Y(vezi, spre exemplu, [Iosifescu, Mihoc, etc.]),
ne conduce la Tehnica Convolu¸ tiei . Cu alte cuvinte, daca ¸ stim ca avem de
simulat o v.a. Z, undeZ=X+Y, este su…cient s ¼a apel ¼am la algoritmii
de simulare a v.a. X;Y. De exemplu, ¸ stiind ca o v.a. Z=nP
i=1Xi(unde
(Xi)i=1;nsunt v.a.i.i.r. Bernoulli (p),0< p < 0) are reparti¸ tia Bi(n;p),
venim la un algoritm bazat pe utilizarea succesiva a Tehnicii de Convolu¸ tie.
La fel stau lucrurile si ín cazurile v.a. repartizate Laplace (),Erlang (k;),
> 0,k2N.
Deseori algoritmul de simulare statistica a unei v.a. Zdevine mai simplu,
¸ stiind ca reparti¸ tia ei coincide, s ¼a zicem, cu reparti¸ tia v.a. f(X1;X2;:::;X n).
Aceasta ne conduce la Tehnica de Simulare bazat ¼a pe legaturi existente dintre
v.a. În acest caz Algoritmul de simulare a v.a. Zse reduce la simularea v.a.
X1;X2;:::;X nsi calcularea valorii f(X1;X2;:::;X n). Astfel stau lucrurile
in cazul v.a. repartizate X(n)(Hi-p ¼atrat cungrade de libertate), T(n)
(Student cu ngrade de libertate), Fisher (m;n),etc. De exemlu, X(n)are
acea¸ si reparti¸ tie ca ¸ si v.a.
f(X1;X2;:::;X n) =nX
i=1X2
i,
unde (Xi)i=1;nsunt v.a.i.i.r. N(0;1).

Capitolul 4
METODA MONTE CARLO
Metoda Monte Carlo poate … de…nita ca …ind metoda de simulare a vari-
abilelor aleatoare în scopul calcularii caracteristicilor si repartitiilor lor. Ev-
ident, simularea este realizat ¼a, de regul ¼a, cu ajutorul calculatorului, chiar
daca in unele cazuri sunt su…ciente dispozitive de tip rulet ¼a sau un creion ¸ si
hârtie.
Ideia imit ¼arii fenomenelor aleatoare în scopul realiz ¼arii unor calcule aprox-
imative este consemnat ¼a pentru prima dat ¼a în anul 1873 in lucrarea lui A.
Hall "On an experimental determination of ", Messeng. Math. Vol. 2,
pp.113-114, care viza determinarea num ¼aruluicu ajutorul arunc ¼arii unui
ac pe o suprafa¸ t ¼a plana marcat ¼a cu linii paralele. Esen¸ ta acestei idei rezid ¼a
în reproducerea experimental ¼a a unui eveniment, probabilitatea c ¼aruia se ex-
prima prin¸ si care poate …aproximata prin intermediul frecventei relative a
acestui eveniment intr-un num ¼ar su…cient de mare de astfel de probe. Ideea
…ind atît de veche, ea a putut … aplicat ¼a la rezolvarea unor probleme cu
caracter practic doar odata cu pari¸ tia calculatoarelor electronice. Creatori
ai Metodei Monte Carlo sunt considera¸ ti matematicienii americani J. von
Neuman ¸ si S. Ulam, aceasta …ind descris ¼a explicit prima dat ¼a în lucrarea
luiMetropolis N. ¸ si Ulam S., The Monte Carlo method, J. Amer. statistical
assoc., Vol.44, nr. 247, pp.335-341. Bazându-se pe valabalitatea Principiu-
lui regularit ¼a¸ tii statistice, metoda folose¸ ste, in general, rezultate din Teoria
Probabilit ¼a¸ tilor ¸ si Statistica Matematic ¼a, iar în mod special Legea Numerelor
Mari si Teorema Limit ¼a Central ¼a.
.
63

64 CAPITOLUL 4. METODA MONTE CARLO
4.1 Legea Numerelor Mari (LNM) si Teorema
Limit ¼a Central ¼a (TLC)
Cum Legea Numerelor Mari reprezint ¼a fundamentul matematic al Principi-
ului regularit ¼a¸ tii statistice vom trece in revista variantele uzuale ale acestei
legi in forma ei slab ¼a.
Fie(
;F;P)un câmp de probabilitate ¸ si (Xn)n1un ¸ sir de v.a. de…nite
pe el.
De…ni¸ tia 1. Vom spune c ¼a ¸ sirul de v.a (Xn)n1estesupus legii slabe a
numerelor mari dac¼a
lim
n!1P 1
nnX
i=1Xi1
nnX
i=1EXi6"!
= 1,8">0:
Teorema 1. (Legea slab ¼a a numerelor mari în forma Markov )
Fie(Xn)n1un ¸ sir de v.a. care veri…c ¼a condi¸ tia
lim
n!11
n2DnP
k=1Xk
= 0;
atunci ¸ sirul considerat este supus legii slabe a numerelor mari.
Consecin¸ ta 1. Dac¼a(Xn)n1este un ¸ sir de v.a independente dou ¼a câte
dou¼a, care veri…c ¼a condi¸ tia:
lim
n!11
n2nP
k=1DXk= 0;
atunci ¸ sirul considerat este supus legii slabe a numerelor mari.
Consecin¸ ta 2. (Legea slab ¼a în forma Ceb⸠sev ).Fie(Xn)n1un ¸ sir de
v.a. independente dou ¼a câte dou ¼a, care veri…c ¼a condi¸ tia:
DXnc<1;8n1;
atunci ¸ sirul de v.a. (Xn)n1este supus legii slabe a numerelor mari.
Consecin¸ ta 3. (Legea slab ¼aa numerelor mari în forma Poisson ).
FieSnnum¼arul de apari¸ tii ale unui eveniment Aînnexperimente inde-
pendente ¸ si pkeste probabilitatea acestui eveniment în proba de rang k1;
atunci
lim
n!1PSn
n1
nnP
k=1pk6"
= 1,8">0.

4.1. LEGEA NUMERELOR MARI (LNM) SI TEOREMA LIMIT ¼A CENTRAL ¼A (TLC) 65
Consecin¸ ta 4. (Legea slab ¼a a numerelor mari în forma Bernoulli).
Dac¼aSneste num ¼arul de apari¸ tii ale unui eveniment Aînnexperi-
mente independente ¸ si pprobabilitatea acestui eveniment în …ecare experi-
ment, atunci
lim
n!1PSn
np6"

= 1,8">0.
Teorema 2. (Legea slab ¼a a numerelor mari în forma Hincin).
Fie (Xn)n1un ¸ sir de v.a. independente identic repartizate pentru
care exist ¼a valoarea medie EX n=a;¸ siSn=X1+:::+Xn:Atunci
lim
n!1PSn
na6"

= 1,8">0.
Remarca 1. Legea slab ¼a a numerelor mari justi…c ¼a, în particular, Prin-
cipiului regularit ¼a¸ tii statistice. Pentru aceasta este su…cient s ¼a observ ¼am
c¼aSn
ndinLegea slab ¼a a numerelor mari în forma Bernoulli este, de fapt,
frecven¸ ta relativ ¼a evenimentului Aînnexperimente. Îns ¼a niciuna din vari-
ante ale Legii Numerelor Mari nu r ¼aspunde la întrebarea cât de rapid converge
spre 1probabilitatea
P 1
nnX
i=1Xi1
nnX
i=1EXi6"!
?
R¼aspunsul poate …gasit, de regula, folosind una din variante ale Teoremei
Limit ¼a Central ¼a.
Teorema Limit ¼a Central ¼a în forma Lindeberg. Fie(Xn)n1un ¸ sir
de v.a. cu momentele de ordinul doi …nite ¸ si …e
mk=EXk; 2
k=DXk>0; Sn=X1+:::+Xn;
D2
n=DSn=nP
k=12
k¸ siFk(x)f.r. a v.a.Xk:
Dac¼a are loc „ condi¸ tia Lindeberg” :
(L)1
D2
nnX
k=1Z
(xmk)2
fxjjxmj"DngdFk(x)!0; n!1;8">0;
atunci
PSnESnpDSnx
!(x) =1p
2xZ
1eu2
2du;8x2R.

66 CAPITOLUL 4. METODA MONTE CARLO
Consecin¸ ta 1. (Teorema Limit ¼a Central ¼a în forma Leapunov).
Dac¼a are loc condi¸ tia Leapunov:
1
D2+
nnX
k=1EjXkmkj2+!0; n!1;8>0;
atunci
PSnESnpDSnx
!
n!1(x):
Consecin¸ ta 2. (TLC pentru v.a.i.i.r.)
Dac¼a(Xn)n1sunt v.a. independente identic repartizate cu m=EX 1¸ si
dispersia 0<2DX 1<1;atunci
PSnESn
pnx
!
n!1(x):
Consecin¸ ta 3. (TLC pentru v.a. independente ¸ si uniform m ¼arginite).
Dac¼a(X1)n1sunt v.a. independente ¸ si astfel încât pentru orice n
1
jXnjK <1;
¸ siDn!1; n!1;undeKeste constant ¼a, atunci
PSnESnpDSnx
!
n!1(x):
Consecin¸ ta 4. (Teorema Moivre-Laplace).
Dac¼a(Xn)n1sunt v.a. independente identic Bernoulli repartizate cu
P(Xn= 0) =q= 1p; P (Xn= 1) =p; n1;atunci
PSnnppnpqx
!
n!1(x):

4.2. METODA MONTE CARLO: SCHEMA GENERAL ¼A 67
4.2 METODA MONTE CARLO: SCHEMA
GENERAL ¼A
Problema de baz ¼a la care se refer ¼a Metoda Monte Carlo este, de regul ¼a, o
problem ¼a de estimare a valorii medii unei variabile aleatoare, adic ¼a a Inte-
gralei Lebesgue in raport cu o m ¼asur¼a probabilist ¼a indus ¼a de aceast ¼a vari-
abil¼a. Problema apare in mod …resc atunci când aceastâ reparti¸ tie, …ind
destul de complicat ¼a, nu poate … exprimat ¼a analitic, dar in schimb avem la
dispozitie su…ciente date statistice sau realiz ¼ari ale v.a. în cauz ¼a. În liter-
atura de specialitate este cel mai bine studiat cazul când aceast ¼a variabila
posed ¼a si dispersie.
Or, schema cea mai simpla rezid ¼a în urm ¼atoarele. Avem o v.a. Xdespre
care se ¸ stie c ¼a exist ¼a valoarea medie EX=m¸ si dispersia DX=2. Pre-
supunem ca Xeste o func¸ tie cunoscut ¼a dekv.a. ale c ¼aror reparti¸ tii sunt
cunoscute. Prin urmare, generând valori ale v.a. ce compun v.a. X, putem
bene…cia de nrealiz ¼ari independente x1,x2,….,xn, ale luiX. In conformitate
cu Legea Numerelor Mari, este …resc sa estim ¼am valoarea lui mcu ajutorul
mediei de selec¸ tie
x=1
nnX
i=1xi.
Din Statistica Matematica este cunoscut faptul ca xeste un estimator nede-
plasat, consistent ¸ si chiar de dispersie minimala în multe cazuri. Problema
care se pune aici ¸ tine de evaluarea gradului de aproximare a valorii EX=m
prin intermediul mediei de selec¸ tie x.
Cazul 1. Dispersia DX=2este cunoscut ¼a, chiar dac ¼a media teoretic ¼a
EX=meste necunoscut ¼a. În acest caz putem rezolva dou ¼a probleme.
Problema 1. Cunoscând num ¼arul de realiz ¼arin¸ siprobabilitatea (de
încredere) 1,2(0;1), s¼a se a‡ e valoarea erorii ", pentru care
P 1
nnX
i=1xim6"!
'1:
Solu¸ tie. Bazându-ne pe Teorema Limit ¼a Central ¼a, pentrunsu…cient de
mare, putem spune ca suma Sn=nP
i=1xiva …, aproximativ, normal repartizat ¼a

68 CAPITOLUL 4. METODA MONTE CARLO
cu medianm¸ si dispersia n2. Aceasta înseamn ¼a ca pentru orice 2(0;1)
P 1
nnX
i=1xim6×1=2pn!
'1,
undex1=2este acea valoare pentru care (x1=2) = 1=2.
De aici rezult ¼a, c¼a pentru valoarea necunoscut ¼a a parametrului mputem
construi, cu probabilitatea de încredere 1, intervalul de încredere

xx1=2pn,x+x1=2pn
,(1)
"=x1=2pnreprezentând eroarea de aproximare a lui mprin intermediul
mediei de selectie
x=1
nnX
i=1xi.
Problema 2. Cunoscând valoarea erorii "¸ siprobabilitatea (de încredere)
1,2(0;1)s¼a se a‡ e num ¼arul minim n0de realiz ¼ari, pentru care
P 1
nnX
i=1xim6"!
1;8nn0:
Solu¸ tie. Evident, este su…cient s ¼a g¼asim aceln0pentru care
P 1
n0n0X
i=1xim6"!
'1:
Dar
P 1
n0n0X
i=1xim6"!
=P0
BB@n0P
i=1xin0m
pn06"pn0
1
CCA=
=P0
BB@"pn0
6n0P
i=1xin0m
pn06"pn0
1
CCA'"pn0


"pn0

=

4.2. METODA MONTE CARLO: SCHEMA GENERAL ¼A 69
"pn0


1"pn0

= 2"pn0

1:
Aceasta înseamn ¼a c¼a rela¸ tia
P 1
n0n0X
i=1xim6"!
'1
este echivalent ¼a cu egalitatea
2"pn0

1 = 1:
De unde g ¼asim c ¼a
"pn0

= 1=2;
adic¼a
"pn0
=x1=2;
undex1=2este acea valoare pentru care (x1=2) = 1=2.
In aceast ¼a situatie apare, totu¸ si, o problem ¼a: in expresia intervalului
de încredere …gureaz ¼a o m ¼arime necunoscut ¼a. Pentru a sc ¼apa de aceast ¼a
di…cultate observ ¼am c ¼a
s2=1
n1NX
i=1(xix)2
este un estimator nedeplasat ¸ si consitent pentru 2. Prin urmare
A¸ sa dar, folosind schema de mai sus, numit ¼a Metoda Monte Carlo, in
baza valorilor generate x1,x2,….,xn, il putem aproxima pe mprin intermediul
mediei de selectie x, eroarea de aproximare, cu probabilitatea de incredere
1, …ind egal ¼a cux1=2s=pn.
n0'x1=2
"2
:
Or, dac ¼a vom lua
n0=x1=2
"2
+ 1;

70 CAPITOLUL 4. METODA MONTE CARLO
unde [c]este partea întreag ¼a a num ¼aruluic, garant ¼am c ¼a
P 1
nnX
i=1xim6"!
1;8nn0:
Cazul 2. Dispersia DX=2cât ¸ si media teoretic ¼aEX=msunt necunos-
cute. În aceast ¼a situa¸ tie, pentru a rezolva Problema 1, similar ¼a Cazului 1,
observ ¼am c ¼a în expresia intervalului de încredere (1)…gureaz ¼a o m ¼arime
necunoscut ¼a. Pentru a evita aceast ¼a di…cultate observ ¼am c ¼a
s2=1
n1NX
i=1(xix)2
este un estimator nedeplasat ¸ si consitent pentru 2. Prin urmare eroarea
de aproximare "a valorii lui mprin intermediul mediei de selec¸ tie x;cu
probabilitatea de încredere 1, poate … calculata dupa formula
"=x1=2spn:
4.3 Calculul Integralelor
Pentru calculul aproximativ al integralelor se folosesc, în mod curent, for-
mulele de cuadratur ¼a studiate în Analiza Numeric ¼a. Acestea sunt e…ciente,
mai ales în cazul integralelor unidimensionale, dar în cazul integralelor mul-
tiple metodele respective sunt greu de realizat. Aceasta în po…da perfor-
man¸ telor deosebite ale calculatoarelor moderne. Drept alternativ ¼a la metodele
numerice intervin metodele Monte Carlo, care în cazul calculului aproxima-
tiv ale integralelor multiple acestea devin, practic, de neînlocuit. La fel stau
lucrurile chiar ¸ si in cazul multor integrale unidimensionale improprii.
Pentru simpli…carea expunerii vom analiza metodele Monte Carlo de cal-
cul al integralelor pe cazul unidimensional, men¸ tionând c ¼a pentru integralele
multiple aceste metode se aplic ¼a, practic, far ¼a schimbare.

4.3. CALCULUL INTEGRALELOR 71
4.3.1 Descrierea metodelor
Presupunem c ¼a pentru func¸ tia g: (a;b)!Rse pune problema calculului
aproximativ al integralei
I=bZ
ag(x)dx.
Pentru aceasta consider ¼am o func¸ tie arbitrar ¼af: (a;b)!R, dar cu propri-
et¼a¸ tile
10: f(x)>0,8×2(a;b);
20:bR
af(x)dx= 1:
Conform rezultatelor cunoscute din Teoria probabilit ¼a¸ tilor, func¸ tia
f(x) =f(x);dac¼ax2(a;b),
0;dac¼ax =2(a;b)
are toate propriet ¼a¸ tile caracteristice densit ¼atii de reparti¸ tie a unei v.a. X;
deoarece
+1Z
1f(x)dx=bZ
af(x)dx= 1:
Or,Xeste o v.a. pentru care
P(X2(a;b)) =bZ
af(x)dx= 1,
adic¼a o v.a. cu valori din X=(a;b)R. Evident,
I=bZ
ag(x)dx=bZ
ag(x)
f(x)f(x)dx;(2)
dar conform formulei de transport integrala
bZ
ag(x)
f(x)f(x)dx=EY;

72 CAPITOLUL 4. METODA MONTE CARLO
cu alte cuvinte, coincide cu valoarea medie a v.a.
Y=g(X)
f(X).
În concluzie,
I=bZ
ag(x)dx=bZ
ag(x)
f(x)f(x)dx=EY.
Dar valoarea medie a v.a. Ypoate … aproximata, simulând nrealiz ¼ariy1,y2,
…,ynindependente a acestei variabile, prin intermediul mediei corespunz ¼a-
toare de selec¸ tie
y=1
nnX
i=1yi.
Cum
Y=g(X)
f(X);
rezult ¼a ca
yi=g(xi)
f(xi); i=1;n;
¸ si
y=1
nnX
i=1g(xi)
f(xi);
(xi)i=1;n…indnrealizari independente ale v.a. X.
Ceea ce înseamn ¼a c¼a pentrunsu…cient de mare I'y. Mai mult, în
presupunerea suplimentar ¼a c¼aDY < +1, ceea ce este, dealtfel, echivalent
cu faptul c ¼a
EY2=bZ
ag(x)
f(x)2
f(x)dx=bZ
a(g(x))2
f(x)dx< +1,
din TLC rezult ¼a c¼a pentru orice nsu…cient de mare ¸ si probabilitatea de
încredere 1,2(0;1)avem c ¼a
P(jIyj6")'1;

4.3. CALCULUL INTEGRALELOR 73
deîndat ¼a ce
"=y1=2spn;
undey1=2este acea valoare pentru care (y1=2) = 1=2;iar
s2=1
n1NX
i=1(yiy)2.
Cu alte cuvinte, intervalul

yy1=2spn,y+y1=2spn
este, pentru integrala I, un interval de încredere cu probabilitatea de în-
credere 1.
4.3.2 Alegerea schemei de calcul
Din descrierea metodelor Monte Carlo de calcul aproximativ al integralelor
rezult ¼a c¼a, indiferent ce func¸ tie f(x)cu propriet ¼a¸ tile 1020, respectiv, in-
diferent de v.a. Xpe care o asociem metodei de calcul a integralei
I=bZ
ag(x)dx;
întotdeauna vom avea c ¼aI=EY, unde
Y=g(X)
f(X).
Dimpotriv ¼a, dispersia v.a. Y, prin urmare ¸ si dispersia estimatorului y, vari-
az¼a în dependen¸ t ¼a de func¸ tia f(x)aleas ¼a. Într-adev ¼ar
DY=EY2(EY)2=bZ
a(g(x))2
f(x)dxI2:(3)
Dy=D
1
nnX
i=1yi!
=1
n2nX
i=1Dyi=

74 CAPITOLUL 4. METODA MONTE CARLO
1
n2nX
i=1DY=1
nDY=1
n0
@bZ
a(g(x))2
f(x)dxI21
A.(4)
Deoarece exist ¼a o in…nitate de func¸ tii f(x)cu propriet ¼a¸ tile 1020, respectiv,
o in…nitate de v.a. Xcare pot …puse la baza estimatorului ypentru integrala
I, rezult ¼a c¼a:
1. Pentru calculul aproximativ al integralei Iexist¼a o in…nitate de metode
Monte Carlo ¸ si
2. Este justi…cat ¼a formularea problemei de identi…care a celei mai bune
metode Monte Carlo în sensul minimiz ¼arii dispersiei estimatorului nedeplasat
si consistent y.
Din (3)-(4) observ ¼am c¼ayare dispersia cea mai mica daca ¸ si numai dac ¼a
v.a. are dispersia cea mai mic ¼a. Are loc urm ¼atoarea
Teorem ¼a[SobolI:M: ]Oricare ar … func¸ tia f(x)cu propriet ¼a¸ tile 1020,
respectiv, v.a. Xpus¼a la baza metodei Monte Carlo de calcul aproximativ a
integraleiI, dispersia DYa unei realiz ¼ari a v.a.
Y=g(X)
f(X)
satisface inegalitatea
DY0
@bZ
ajg(x)jdx1
A2
I2;
în plus
DY=0
@bZ
ajg(x)jdx1
A2
I2;
dac¼a
f(x) =jg(x)j
bR
ajg(x)jdx.(5)
Demonstra¸ tie. Din inegalitatea Cauchy-Buniakovski în forma ei integral ¼a
0
@bZ
au(x)v(x)dx1
A2
bZ
au2(x)dxbZ
av2(x)dx;

4.3. CALCULUL INTEGRALELOR 75
luându(x) =jg(x)j=p
f(x),v(x) =p
f(x), ob¸ tinem c ¼a
0
@bZ
ajg(x)jdx1
A2
bZ
ag2(x)
f(x)dxbZ
af(x)dx=bZ
ag2(x)
f(x)dx.
De aici ¸ si din (3)rezult ¼a c¼a
DY0
@bZ
ajg(x)jdx1
A2
I2.
Mai mult, pentru
f(x) =jg(x)j
bR
ajg(x)jdx,
avem c ¼a0
@bZ
ajg(x)jdx1
A2
=bZ
ag2(x)
f(x)dx:
Prin urmare pentru acest caz
DY=0
@bZ
ajg(x)jdx1
A2
I2: 
Cu alte cuvinte, aceast ¼a Teorem ¼a arat ¼a, c¼a estimatorul ydevine un estimator
(nedeplasat si consistent) de dispersie minimal ¼a daca func¸ tia f(x)aleas ¼a este
propor¸ tional ¼a cujg(x)j. Îns ¼a alegerea estimatorului cel mai bun (in sensul
descris mai sus) presupune, conform formulei (5), cunoa¸ sterea valorii
bZ
ajg(x)jdx;
aceasta …ind o problema, cel pu¸ tin, la fel de di…cil ¼a ca ¸ si problema calcularii
integraleiI. De aceea vom prezenta, în continuare, metode de diminuare a
dispersiei estimatorului y, adic ¼a a dispersiei DYa unei realizari aparte a v.a.
Y.

76 CAPITOLUL 4. METODA MONTE CARLO
4.3.3 Metoda Monte Carlo brut ¼a
Pentru a purcede la c ¼autarea unei metode Monte Carlo de calcul aproxima-
tiv a integralei, astfel încât aceasta metoda s ¼a …e cât mai buna, în sensul
men¸ tionat anterior, se impune s ¼a avem o metoda de referin¸ ta, aceasta …ind
metoda descrisa mai jos.
De…ni¸ tie. Vom numi metod ¼a Monte Carlo brut ¼a metoda de calcul aprox-
imativ a integralei Ibazat ¼a pe estimatorul
y=1
nnX
i=1g(xi)
f(xi),
(xi)i=1;n…indnrealizari independente ale v.a. XU((a;b)), adic ¼a d.r. a v.a.
Xeste dat ¼a de func¸ tia
f(x) =1
baI(a;b)(x).
iar func¸ tiaf: (a;b)!R,f(x) = 1=(ba),8×2(a;b).
Observa¸ tie. Denumirea deriv ¼a din faptul c ¼a la baza metodei se a‡ ¼a v.a.
Xuniform repartizat ¼a.
Exemplu. (Calculul aproximativ al num ¼arului).Problema este, de
fapt, o problem ¼a de calcul aproximativ al integralei duble
=Z Z
dxdy
f(x;y)jx2+y21g:
Îns¼a calculul aproximativ al num ¼aruluipoate … simpli…cat, observând c ¼a
discul
D=f(x;y)x2+y21g[1;1][1;1].
Putem imagina un experiment aleator ce const ¼a în aruncarea la întâmplare
a unui punct X= (U1;U2)în patratul [1;1][1;1]. Prin urmare vectorul
aleatorXeste uniform repartizat în patratul [1;1][1;1]. Conform
de…ni¸ tiei probabilit ¼a¸ tii geometrice, probabilitatea
p=P(X2D) =aria D
aria([1;1][1;1])=
4:

4.3. CALCULUL INTEGRALELOR 77
Daca (x1,x2,….,xn)reprezint ¼a un e¸ santion de realiz ¼ari independente ale v.a.
X, atunci probabilitatea ppoate … aproximat ¼a de
p=1
nnX
i=1ID(xi),
unde (ID(xi))i=1;npot …interpretate ca …ind nrealiz ¼ari independente ale v.a.
ID(X) =0;dac¼aX2D;
1;dac¼aX2D:
ID(X)Bernoulli (p),p2(0;1),EID(X) =p,DID(X)=p(1p). Cu alte
cuvinte

4'num¼arul de puncte x2fx1;x2;::::;x ngnimerite în discul D
num¼arul total de puncte aruncate în patratul [1;1][1;1].
Prin urmare '4p, iar dispersia estimatorului peste egal ¼a cu
Dp=D
1
nnX
i=1ID(xi)!
=1
n2nX
i=1DID(xi) =1
n2nX
i=1DID(X) =p(1p)
n:
Darp(1p)1=4;8p2(0;1), prin urmare Dp1=4n.
În concluzie, dac ¼a ne propunem s ¼a estim ¼am (aproxim ¼a) valoarea lui 
cu o eroare ce nu întrece valoarea "¸ si cu probabilitatea de încredere 1,
2(0;1), atunci volumul minim necesar de puncte aruncate la întâmplare
în patratul [1;1][1;1]este egal cu
n0=x1=2
"2
DID(X)
+ 1 =x1=2
"2
p(1p)
+ 1"
x2
1=2
4"2#
+ 1:
Or, indiferent de valoarea necunoascut ¼a a luip, de exemplu, pentru "=
0:001¸ si1= 0:9, num ¼arul
n="
x2
1=2
4"2#
+ 1 =x2
0:95
4 (103)2
+ 1 ="
(1:96)2
4 (103)2#
+ 1'106
de puncte aruncate la întâmplare în patratul [1;1][1;1]este acoperitor
pentru a spune ca 4paproximeaza valoarea lui cu ezactitatea "= 103¸ si
probabilitatea de încredere 0:9.

78 CAPITOLUL 4. METODA MONTE CARLO
Dac¼a în acest exemplu am putut dep ¼a¸ si faptul c ¼a dispersia unei realiz ¼ari
aparte a v.a. Y=ID(X)depinde de o valoare necunoscut ¼a, apoi în caz
general, ¸ stiind c ¼a
Dy=1
nDY;
se impun metode speciale de diminuare a dispersiei DY.
4.4 Metode de reducere a dispersiei
Vom începe cu
4.4.1 Metoda Monte Carlo dup ¼a importan¸ t¯ a
Pentru calculul aproximativ al integralei
I=bZ
ag(x)dx
putem, din o…ciu, aplica metoda Monte Carlo brut ¼a, adic ¼a metoda bazat ¼a pe
v.a.XU((0;1)). În acest caz estimatorul integralei este dat de formula
y=1
n(ba)nX
i=1g(xi),
unde (xi)i=1;nsunt realiz ¼ari independente ale v.a. X, iar ((ba)g(xi))i=1;n
sunt realiz ¼ari independente ale v.a. Y= (ba)g(X), dispersia unei realiz ¼ari
a v.a.Y…ind dat ¼a de formula
DY= (ba)bZ
ag2(x)dxI2:
Din formula (2)rezult ¼a c¼a pentru reducerea dispersiei estimatorului y,
adic¼a pentru reducerea dispersiei v.a. Y, este su…cient sa lu ¼am o alt ¼a …nctie
f(x)cu propriet ¼a¸ tile 1020, astfel încât v.a. Xcorespunz ¼atoare s ¼a …e,
eventual, diferit ¼a de cea uniform repartizat ¼a pe (a;b)¸ si
bZ
ag2(x)dx(ba)bZ
ag2(x)
f(x)dx:

4.4. METODE DE REDUCERE A DISPERSIEI 79
Func¸ tiaf(x)poate … aleas ¼a, de exemplu, ¸ tinând cont de recomand ¼arile, con-
form c ¼arora gra…cele func¸ tiilor jg(x)j,f(x)s¼a aproape paralele, "ideal" …ind
cazul când
f(x) =jg(x)j
bR
ajg(x)jdx:
Func¸ tiaf(x)aleas ¼a, astfel, se nume¸ ste func¸ tie de importan¸ t ¼a,de aici si den-
umirea de metoda Monte Carlo dup ¼a importan¸ ta.
Exemplul 1. Consider ¼am integrala
I=1Z
0g(x)pxdx;
undeg: (0;1)!Reste o func¸ tie continu ¼a. Dac ¼a vom aplica metoda Monte
Carlo brut ¼a, atunci dispersia v.a. Yeste egal ¼a cu
DY=1Z
0g2(x)
xdxI2.
Dar
1Z
0g2(x)
xdx( min
0<x< 1g(x))21Z
01
xdx= +1:
Prin urmare metoda Monte Carlo brut ¼a poate … înlocuit ¼a cu una mai bun ¼a
daca lu ¼am, de exemplu, în calitate de func¸ tie de importan¸ t ¼afunc¸ tia
f(x) =1
2pxI(0;1)(x).
Într-adev ¼ar, în acest caz dispersia estimatorului dup ¼a importan¸ t ¼aeste …nit ¼a,
prin urmare aceasta este mai mic ¼a decât aceea¸ si dispersie în cazul metodei
Monte Carlo brute.
Exemplul 2. Consider ¼am problema calculului aproximativ al integralei
duble improprii
I=+1Z
0+1Z
0expn
x5=2
1x3=2
2oq
x2
1+x2
2+ 1dx1dx2:

80 CAPITOLUL 4. METODA MONTE CARLO
Or, func¸ tia de sub integral ¼a este o func¸ tie g: (0;+1)!R, unde
g(x1;x2) =expn
x5=2
1x3=2
2oq
x2
1+x2
2+ 1:
Aceasta înseamn ¼a c¼a putem lua, de exemplu, în calitate de func¸ tie f:
(0;+1)(0;+1)!R, d.r. a v.a. X= (X1;X2), undeX1;X2sunt
v.a.i.i.r.Expf1g, adic ¼a
f(x1;x2) =expfx1x2gI(0;+1)(0;+1)(x1;x2):
Avantajul e c ¼a aceasta v.a. bidimensional ¼a este u¸ sor de simulat.
În acest caz dispersia v.a. Yeste egal ¼a cu
DY=+1Z
0+1Z
0expfx1+x2gg2(x1;x2)dx1dx2I2
+1Z
0+1Z
0expf(x1+x2)gg2(x1;x2)dx1dx2I2;82(0;1):
Prin urmare, dac ¼a vom luaX= (X1;X2), undeX1;X2sunt v.a.i.i.r. Expfg,
2(0;1), ob¸ tinem o metod ¼a Monte Carlo pentru care
DY=+1Z
0+1Z
0expf(x1+x2)gg2(x1;x2)dx1dx2I2,
adic¼a o metoda Monte Carlo având o dispersie mai mic ¼a a estimatorului
y=1
nnX
i=1g(x0
i;x00
i)
f(x0
i;x00
i);
(x0
i;x00
i)i=1;n…ind realiz ¼ari independente ale v.a. (X1;X2),X1;X2v.a.i.i.r.
Expfg,2(0;1).
4.4.2 Metoda variabilei de control
Preupunem c ¼a pentru calculul aproximativ al integralei
I=bZ
ag(x)dx

4.4. METODE DE REDUCERE A DISPERSIEI 81
opt¼am pentru metoda Monte Carlo brut ¼a ¸ si c ¼a luam o func¸ tie ': (a;b)!R
pentru care valoarea exact ¼a a integralei
M=bZ
a'(x)dx
este cunoscut ¼a. Consider ¼am, în plus, c ¼a metoda Monte Carlo brut ¼a aplicat ¼a
în calculul aproximativ al integralei
bZ
a (x)dx=bZ
a[g(x)'(x)]dx
are dispersia DY2unei realiz ¼ari a v.a.Y2= (ba) (X) = (ba) [g(X)'(X)]
este mai mic ¼a decât dispersia DY1unei realiz ¼ari a v.a.Y1= (ba)g(X);
unde v.a.XU((a;b)).
Deoarece
I=M+bZ
a[g(x)'(x)]dx=M+bZ
a (x)dx;
rezult ¼a c¼a integrala Ipoate … aproximat ¼a de estimatorul M+y2, unde
y2=1
n(ba)nX
i=1 (xi)
este estimatorul integralei
bZ
a[g(x)'(x)]dx
(xi)i=1;n…ind realiz ¼ari independente ale v.a. XU((a;b)). Cum DY2DY1,
rezult ¼a c¼a estimatorul M+y2este mai bun pentru aproximarea integralei I
decât estimatorul
y1=1
n(ba)nX
i=1g(xi):
Func¸ tia'descris ¼a mai sus se nume¸ ste func¸ tie sau variabil ¼a de control , de
aici ¸ si denumirea metodei.

82 CAPITOLUL 4. METODA MONTE CARLO
BIBLIOGRAFIE
1. A. Leahu, Probabilit ¼a¸ ti,Edit. "Ovidius" University Press, Constanta,
2000, pp. 171
2. A. Leahu, Statistica descriptiv ¼a ¸ si probabilit ¼a¸ ti discrete, Curs pe suport
electronic
3. I. V ¼aduva, Modele ¸ si simulare , Edit. Univ. Bucure¸ sti, 2004, pp.190
4. F.Gorunescu, A. Prodan, Modelare stochastic ¼a ¸ si simulare , Edit. Al-
bastra, Cluj, 2001,
pp.372
5.Hand-book on STATISTICAL DISTRIBUTIONS for experimentalists,
http://www.physto.se/~walck/suf9601.pdf
6.Computer Generation of Statistical Distributions,
http://ftp.arl.mil/random/random.pdf
7. http://www.xycoon.com/continuousdistributions.htm
8. S. M. Ermakov , Metoda Monte Carlo si probleme inrudite, Ed.
Thnica, Bucuresti, 1976, 336 pp