T E O R E M ED EP U N C TF I X SI APLICA TII [608332]

Licență

T E O R E M ED EP U N C TF I X SI APLICA TII [608332]

Byadmin ianuarie 1, 2024

T E O R E M ED EP U N C TF I X¸ SI APLICA ¸TII
IOANA BOAC ˘A

Cuprins
1S p a ¸tii metrice 3
1.1 Teorema lui Cantor (de caracterizare a completitudinii unui
spa¸t i u m e t r i c )……………………… 3
1.2 Teorema de completare a spa ¸tiilor metrice . . . …….. 7
1.3 Exemple de spa ¸t i i m e t r i c e c o m p l e t e…………… 1 1
1.4 Exemple de spa ¸t i i m e t r i c e c a r e n u s u n t c o m p l e t e …….. 1 6
2S p a ¸tii vectoriale normate 19
2.1 Exemple de spa ¸t i i v e c t o r i a l e n o r m a t e c o m p l e t e……… 1 9
2.2 Teorema de completare a spa ¸tiilor normate . . . …….. 2 3
2.3 Spa ¸tiulL(X,Y ).D u a l u l( t a r e )a lu n u is p a ¸tiu normat . . . . . 26
3S p a ¸ tii hilbertiene 31
3 . 1 P r o d u s s c a l a r ……………………… 3 13 . 2 T e o r e m a R i e s z ……………………… 3 3
4 Teoreme de punct ﬁx3 4
4.1 Principiul contrac ¸t i i l o r …………………. 3 4
4.2 Teorema de punct ﬁx a l u i B r o u w e r…………… 4 1
4 . 3 T e o r e m a l u i S c h a u d e r ………………….. 5 34 . 4 T e o r e m a l u i K a k u t a n i …………………. 5 54 . 5 T e o r e m a l u i K r a s n o s e l s k i i ……………….. 5 8
4 . 6 T e o r e m a l u i S a d o v s k i i …………………. 6 0
5A p l i c a ¸tii 62
5.1 Aplica ¸t i el ap r o b l e m aC a u c h y
dx
dt=f(x,t),x(0) =x0….. 6 2
5.2 Teorema lui Peano via teorema de punct ﬁxal u iS c h a u d e r . . 6 3
5.3 Ecua ¸t i i d e t i p V o l t e r r a …………………. 6 5
5 . 4 L e m a L a x – M i l g r a m…………………… 6 7
6 Bibliogra ﬁe7 0
1

Introducere
Multe dintre cele mai importante probleme din matematica aplicat ˘ac o n –
duc la rezolvarea unor ecua ¸tii func ¸tionale neliniare care pot ﬁformulate ca
probleme de existen ¸t˘aau n o rp u n c t e ﬁxe pentru anumite aplica ¸tii de ﬁnite pe
anumite spa ¸tii func ¸tionale.
Pentru aplica ¸tii care satisfac anumite condi ¸tii au fost ob ¸tinute de-a lungul
timpului teoreme care asigur ˘a existen ¸ta¸si (uneori) unicitatea punctelor ﬁxe.
Scopul lucr ˘arii de fa ¸t˘a este acela de a prezenta cele mai importante teo-
reme de punct ﬁx¸si câteva aplica ¸tii semni ﬁcative ale acestora.
Lucrarea con ¸tine cinci capitole ¸si bibliogra ﬁe. În primul capitol sunt
prezentate teorema lui Cantor de caracterizare a completitudinii unui spa ¸tiu
metric ¸si teorema de completare a spa ¸tiilor metrice ¸si sunt date exemple
semni ﬁcative de spa ¸tii metrice.
În capitolul al doilea este prezentat ˘a teorema de completare a spa ¸tiilor
normate ¸si sunt introduse spa ¸tiul operatorilor liniari ¸si continui între spa ¸tii
normate ¸si dualul unui spa ¸tiu normat.
Capitolul al treilea are ca scop de ﬁnirea spa ¸tiilor Hilbert. De asemenea
este prezentat ˘ad e m o n s t r a ¸tia teoremei de reprezentare a func ¸tionalelor liniare
¸si continue pe spa ¸tii Hilbert.
C a p i t o l u la lp a t r u l e ac u p rinde teoremele de punct ﬁx. Sunt demonstrate
principiul contrac ¸tiilor (teorema de punct ﬁx a lui Banach), teoremele lui
Schauder, Kakutani, Krasnoselskii ¸si Sadovskii.
În ultimul capitol sunt prezentate câteva aplica ¸tii ale teoremelor de punct
ﬁx. Sunt abordate aici problema Cauchy pentru sisteme diferen ¸tiale de or-
dinul întâi, teorema lui Peano, ecua ¸t i i l ed et i pV o l t e r r a ¸si lema Lax-Milgram.
Bucure ¸sti, iunie 2008
2

1S p a ¸tii metrice
1.1 Teorema lui Cantor (de caracterizare a completi-
tudinii unui spa ¸tiu metric)
FieXom u l ¸time nevid ˘a.
Deﬁnitia 1 Se nume ¸ste metric ˘ap em u l ¸timeaXoa p l i c a ¸tied:X×X→R
care satisface urm ˘atoarele condi ¸tii, numite axiomele metricei:
(M1):d(x,y)≥0(∀)x,y∈X, d (x,y)=0⇐⇒x=y
(M2):d(x,y)=d(y,x)(∀)x,y∈X
(M3):d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(∀)x,y,z∈X.
Condi ¸tia (M1) exprim ˘af a p t u lc ˘a metrica este nenegativ ˘a, egalitatea cu
zero având loc atunci ¸s in u m a ia t u n c ic â n de l e m e n t e l ec o i n c i d .
Condi ¸tia (M2) este condi ¸tia de simetrie a metricei iar condi ¸tia (M3) se
nume ¸ste inegalitatea triunghiului..
Deﬁnitia 2 Se nume ¸ste spa ¸tiu metric o pereche (X,d )format ˘ad i n t r – om u l ¸ti-
me nevid ˘aX¸si o metric ˘add e ﬁnit˘ap ee a .
E x e m p l ed es p a ¸tii metrice . Pentru a da un spa ¸tiu metric trebuie s ˘a
preciz ˘am o mul ¸time nevid ˘aX¸si expresia analitic ˘aad i s t a n ¸tei. În exemplele
de mai jos veri ﬁcarea axiomelor distan ¸tei este imediat ˘a:
a)X=R¸sid(x,y)=|x−y|;
b)X=RnundeRn=©
(x1,x2,···,xn)|xi∈R,i=1,nă¸si pentru x=
(x1,x2,···,xn),y=(y1,y2,···,yn)∈Rndeﬁnim distan ¸ta dintre x¸siyprin
d(x,y)=qPn
i=1(xi−yi)2.
Metrica de ﬁnit˘am a is u ss en u m e ¸ste metrica euclidian ˘ap eRn.
c)X=Rn¸sid(x,y)=Pn
i=1|xi−yi|;
d)X=Rn¸sid(x,y)=m a x
i=1,n|xi−yi|;
e)X=C[a,b],undeC[a,b]este spa ¸tiul linar al func ¸tiilorf:[a,b]→R,
fcontinu ˘a¸sid(f,g)= m a x
x∈[a,b]|f(x)−g(x)|;
f)X=c(R),undec(R)este mul ¸timea ¸sirurilor de numere reale conver-
gente ¸si pentru x=(xn)n≥1,y=(yn)n≥1∈c(R)deﬁnim distan ¸ta dintre x
¸siyprind(x,y)=s u p
i∈N∗|xi−yi|.
3

Deﬁnitia 3 Fie (X,d )un spa ¸tiu metric ¸si(xn)n≥1un¸s i rd ee l e m e n t ed i n
X.Spunem c ˘aa c e s t ¸sir este convergent ¸si c˘a are limita elementul x∈X
dac˘ap e n t r uo r i c e ε> 0exist ˘aN()∈Nastfel încât pentru orice n≥N()
avemd(x,xn)<ε .
Dac ˘a¸sirul (xn)n≥1este convergent ¸si are limita x∈Xnot˘am acest fapt
prinxnd→x.
Observatia 1 Dac˘a(xn)n≥1⊂(X,d )¸sixnd→xatuncixeste unicul element
dinXcu aceast ˘a proprietate.
Într-adev ˘ar, s ˘a presupunem prin absurd c ˘ae x i s t ˘ax0∈X, x06=x¸si
astfel încât xnd→x0.Dinx06=xrezult ˘ac˘a distan ¸ta dintre aceste elemente
este pozitiv ˘a;ﬁed(x,x0)=α> 0.Din faptul c ˘axnd→xrezult ˘ac˘ae x i s t ˘a
N1(α)∈Nastfel încât d(xn,x)<α / 3pentru orice n≥N1(α)iar din
xnd→x0rezult ˘ac˘ae x i s t ˘aN2(α)∈Nastfel încât d(xn,x0)<α / 3pentru
oricen≥N2(α).Pentrun≥N(α)=m a x {N1(α),N2(α)}avem 0<α =
d(x,x0)≤d(x,xn)+d(xn,x0)<α / 3+α/3=2α/3,contradic ¸tie.
Deﬁnitia 4 Un¸sir(xn)n≥1de elemente dintr-un spa ¸tiu metric (X,d )se
nume ¸ste fundamental (sau ¸sir Cauchy) dac ˘ap e n t r uo r i c e ε> 0exist ˘aN()∈
N∗astfel încât d(xn,xm)<εpentru orice n≥N(ε).
Teorema 1 Orice ¸sir convergent este fundamental.
Demonstra ¸tie. Fie (xn)n≥1un¸sir convergent având limita x¸siε> 0dat.
Din de ﬁni¸tia convergen ¸tei unui ¸sir rezult ˘ac˘ae x i s t ˘aN(ε)∈N∗astfel încât
d(xn,x)<ε / 2(∀)n≥N(ε)¸sid(xm,x)<ε / 2(∀)m≥N(ε).Din inegali-
tatea triunghiului ob ¸tinemd(xm,xn)≤d(xn,x)+d(xm,x)<ε / 2+ε/2=ε(∀)
n,m≥N(ε)¸si teorema este demonstrat ˘a.
Observatia 2 Reciproca teoremei de mai sus nu este ,în general, adev ˘arat˘a.
De exemplu în mul ¸timea numerelor ra ¸tionale exist ˘a¸siruri care sunt fun-
damentale dar care nu sunt convergente în Q.Într-adev ˘ar,ﬁe¸sirul de numere
ra¸tionale (xn)n≥1având termenul general
xn=1+1
1!+1
2!+···+1
n!.
Se constat ˘ac uu ¸surin ¸t˘ac˘a¸sirul este cresc ˘ator ¸si are termenii pozitivi. S ˘a
ar˘at˘am c ˘a acest ¸sir este un ¸sir Cauchy în raport cu metrica d(x,y)=|x−y|
4

deﬁnit˘ap em u l ¸timeaQan u m e r e l o rr a ¸tionale. Pentru p>m≥1avem
xp>xm¸si
|xp−xm|=1
(m+1)!+1
(m+2)!+···1
p!=1
(m+1)!³
1+1
m+2+···1
(m+2)(m+3) ···p´
<
<1
(m+1)!¡
1+1
2+1
22+···¢
=2
(m+1)!.
Pentruε> 0exist ˘ae v i d e n t N(ε)∈N∗astfel încât dac ˘am>N (ε)s˘a
avemd(xp,xm)=|xp−xm|<2
(m+1)!<ε . De aici rezult ˘ac˘a¸sirul (xn)n≥1
este fundamental. Limita sa nu este îns ˘au nn u m ˘ar ra¸tional. Într-adev ˘ar, s ˘a
presupunem prin absurd c ˘ae x i s t ˘an u m ˘arul ra ¸tionalp
qastfel încât
d(xn,p
q)=¯¯¯¯x
n−p
q¯¯¯¯→0 (1)
pentrun→∞.Deoarece ¸sirul este cresc ˘ator ¸si are termeni pozitivi rezult ˘a
c˘ap
q>0¸sixn<p
q(∀)n∈N∗.În plus putem presupune (dup ˘a o eventual ˘a
ampli ﬁcare) c ˘aq> 2.Din (1) rezult ˘ac˘ap e n t r u ε=1
4q!exist ˘au nr a n g N(ε)
astfel încât dac ˘an>N (ε)avem
0<p
q−µ
1+1
1!+1
2!+···+1
n!¶
<1
4q!. (2)
D i n( 2 ) ,p r i na m p l i ﬁcare cuq!ob¸tinem
0<p(q−1)!−(q!+q!
1!+q!
2!+···+q!
q!+q!
(q+1 ) !+···+q!
n!)<1
4
de unde rezult ˘a
0<p(q−1)!−(q!+q!
1!+q!
2!+···+q!
q!)<1
4+q!
(q+1 ) !+···+q!
n!.
Num ˘arulp(q−1)!−(q!+q!
1!+q!
2!+···+q!
q!)este întreg; s ˘a-l not ˘am cuA.
Avem:
0<A<1
4+1
q+1+1
(q+1)(q+2)+···+1
(q+1)(q+2) ···n<1
4+¡1
3+1
32+···¢
=3
4
¸si deci 0<A<3
4,rezultat ce este în contradic ¸tie cuA∈Z
Astfel, presupunerea f ˘acut ˘a nu este adev ˘arat ˘a¸si deci ¸sirul (xn)n≥1nu are
limit ˘au nn u m ˘ar ra¸tional.
Deﬁnitia 5 Un spa ¸tiu metric în care orice ¸sir fundamental este convergent
se nume ¸ste spa ¸tiu metric complet.
5

Un exemplu de spa ¸tiu metric complet este mul ¸timea numerelor reale
Rînzestrat ˘a cu metrica d(x,y)= |x−y|.Un altexemplu este mul ¸timea
func¸tiilor continue C[a,b]înzestrat ˘a cu metrica d(f,g)= m a x
x∈[a,b]|f(x)−g(x)|.
Demonstra ¸tia acestor rezultate va ﬁprezentat ˘aî np a r a g r a f u l1 . 3 ,u n d ev o m
da¸si alte exemple de spa ¸tii metrice complete.
Deﬁnitia 6 Fie (X,d ),(Y,δ)dou˘as p a ¸tii metrice. Aplica ¸tiaf:X→Yse
nume ¸ste:
i) continu ˘aî np u n c t u l x0∈Xpentru orice ¸sir(xn)n≥1de elemente din
X, convergent c ˘atrex0¸sirul (f(xn))n≥1este convergent ¸si are ca limit ˘ap e
f(x0);
ii) aplica ¸t i ed et i pL i p s c h i t zd a c ˘ae x i s t ˘aα∈R+astfel încât
δ(f(x),f(y))≤α·d(x,y),(∀)x,y∈X; (3)
iii) contrac ¸tie dac ˘as a t i s f a c e (3)cuα< 1;
iv) contractiv ˘ad a c ˘a
δ(f(x),f(y))<d(x,y),(∀)x,y∈X, x 6=y; (4)
v) neexpansiv ˘ad a c ˘a
δ(f(x),f(y))≤d(x,y),(∀)x,y∈X. (5)
Deﬁnitia 7 Fie (X,d )un spa ¸tiu metric ¸siAos u b m u l ¸time a lui X.S en u –
me¸ste diametrul lui Anum ˘arul dat de formula:
d(A)=s u p {d(x,y)|x,y∈A}. (6)
Teorema 2 :(Principiul lui Cantor). Un spa ¸tiu metric (X,d )este complet
dac˘a¸si numai dac ˘ao r i c a r ea r ﬁ¸sirul (Fn)n≥1de mul ¸timi închise, descendent
(adic ˘aFn⊇Fn+1,(∀)n≥1)¸si cu diametrul dn=d(Fn)tinzând c ˘atre zero,
avem∩
n≥1Fn6=∅(mai mult, intersec ¸tia se reduce la un singur punct).
Demonstra ¸tie. Presupunem c ˘a(X,d )este complet. Fie (Fn)n≥1un¸sir
de mul ¸timi ale lui Xcu propriet ˘a¸tile:
i)Fn=Fn(∀)n≥1;
ii)Fn⊃Fn+1(∀)n≥1;
iii)dn=d(Fn)→0,n→∞.
6

S˘aa r ˘at˘am c ˘a∩
n≥1Fn6=∅.Consider ˘am pentru aceasta ¸sirul (xn)n≥1cuxn∈
Fn(∀)n∈N∗.Fien∈N∗. deoarece pentru orice p∈N∗avemFn⊃Fn+p
rezult ˘ac˘a pentru orice p∈N∗,xn+p∈Fn¸sid(xn,xn+p)≤dn=d(Fn).
Fieε> 0;cumdn→0pentrun→∞ ,e x i s t ˘aN(ε)∈N∗astfel încât
dn<εpentru orice n≥N(ε).Atuncid(xn,xn+p)<ε , (∀)n≥N(ε)deci
¸sirul (xn)n≥1este¸sir Cauchy în metrica d.C u m (X,d )este complet, (xn)n≥1
este convergent; ﬁelim
n→∞xn=x∈X.S˘aa r ˘at˘am c ˘ax∈Fn,(∀)n∈N∗.Într-
adev ˘ar,ﬁen∈N∗.Cum {xn,xn∗1,xn∗2,···}⊂Fnrezult ˘ac˘ax= lim
n→∞xn∈
Fn=Fn,(∀)n∈N∗.
Reciproc, s ˘a presupunem c ˘a oricare ar ﬁ¸sirul (Fn)n≥1de submul ¸timi ale
luiXcu propriet ˘a¸tile i), ii), iii) de mai sus avem ∩
n≥1Fn6=∅.Fie(xn)n≥1⊂X
un¸sir Cauchy în metrica d.S˘aa r˘at˘am c ˘a¸sirul (xn)n≥1este convergent, adic ˘a
exist ˘ax∈Xastfel încât d(xn,x)→0pentrun→∞.Pentru ﬁecaren∈N∗
consider ˘am mul ¸timileEn={xn,xn+1,xn+2,···} ¸si not ˘amFn=En.Evident
mul¸timileEn,n∈N∗sunt închise ¸siFn⊃Fn∗1,n∈N∗.Vom ar ˘ata c ˘a
dn=d(Fn)→0pentrun→∞.Cum în orice spa ¸tiu metric avem d(A)=
d¡
A¢
,(∀)A⊂X,v a ﬁsuﬁcient s ˘a demonstr ˘am c ˘ad(En)→0pentru
n→∞.Fieε> 0.Cum ¸sirul (xn)n≥1este un ¸sir Cauchy, exist ˘aN(ε)∈N∗
astfel încât pentru orice p,q∈N∗,p,q≥N(ε)avemd(xp,xq)<ε .De aici
rezult ˘ac˘apentru orice n≥N(ε)avemd(En)= s u p
p,q≥nd(xp,xq)≤ε,adic ˘a
dn=d(En)=d¡
En¢
=d(Fn)→0pentrun→∞.Fiex∈∩
n≥1Fn=∩
n≥1En
(elementul xexist ˘a deoarece prin ipotez ˘a∩
n≥1Fn6=∅). Atunci d(xn,x)≤
≤dn→0pentrun→∞,ceea ce încheie demonstra ¸tia.
1.2 Teorema de completare a spa ¸tiilor metrice
O proprietate esen ¸tial˘a a corpului numerelor reale este completitudinea sa.
Pentru numerele reale principiul de completitudine poate ﬁenun¸tat în mod-
uri diferite (principiul lui Dedekind, existen ¸ta marginii pentru mul ¸timi m ˘argi-
nite, etc.), dar numai unul din ele, criteriul de convergen ¸t˘aC a u c h y ,f o l o s e ¸ste
în formularea sa exclusiv no ¸tiuni metrice. Din acest motiv spa ¸tiile metrice
complete se de ﬁnesc folosind criteriul lui Cauchy: un spa ¸tiu metric (X,d )
este complet dac ˘ao r i c e ¸sir Cauchy de elemente din Xeste convergent ¸si
limita sa este un element al lui X.A m a r ˘atat în paragraful precedent c ˘a
orice ¸sir convergent este ¸sir Cauchy. Mai mult , spa ¸tiile metrice complete se
caracterizeaz ˘ap r i nf a p t u lc ˘a în ele este adev ˘arat
7

Criteriul de convergen ¸t˘aC a u c h y : Pentru ca un ¸sir de elemente din
spa¸tiul metric complet (X,d )s˘aﬁe convergent este necesar ¸si su ﬁcient ca
¸sirul s ˘aﬁe fundamental.
Demonstra ¸tia acestui criteriu va ﬁdat˘aî np a r a g r a f u l1 . 3 .
Lema urm ˘atoare u ¸sureaz ˘a adesea veri ﬁcarea completitudinii unui spa ¸tiu
metric.
Lema 1 Dac˘au n ¸sir Cauchy (xn)n≥1⊂(X,d )con¸tine un sub ¸sir(xnk)k≥1
convergent la xatuncixnd→x.
Demonstra ¸tie. Deoarece (xn)n≥1este¸sir fundamental, pentru ε> 0
exist ˘aN(ε)∈N∗astfel încât d(xn,xm)<εîndat ˘ac em,n≥N(ε).Pentru
nk≥N(ε)avem
d(xn,xnk)<ε . (7)
Deoarece xnkd→x,trecând la limit ˘ad u p ˘akîn inegalitatea (6)ob¸tinem
d(xn,x)≤ε,ceea ce demonstrez ˘ac˘axnd→x.
La fel cum mul ¸timea numerelor ra ¸tionale este inclus ˘aî nm u l ¸timea nu-
merelor reale care este un spa ¸tiu metric complet, orice spa ¸tiu metric poate ﬁ
inclus într-un spa ¸tiu metric complet.
FieX0os u b m u l ¸time a spa ¸tiului metric (X,d ).Distan ¸ta,ﬁind de ﬁnit˘a
pentru orice pereche de elemente din X, este de ﬁnit˘a¸si pentru pentru orice
p e r e c h ed ee l e m e n t ed i n X0¸si satisface axiomele distan ¸tei. Astfel deste o
metric ˘ap eX0care se nume ¸stemetrica indus ˘ade metrica lui X,i a rs p a ¸tiul
metric (X0,d)se nume ¸stesubspa ¸tiual spa ¸tiului metric (X,d ).
Deﬁnitia 8 Se nume ¸ste completatul unui spa ¸tiu metric (X,d )cel mai mic
spa¸tiu metric complet care îl con ¸tine pe (X,d )ca subspa ¸tiu.
În de ﬁni¸tia de mai sus, expresia cel mai mic înseamn ˘a: completatul lui
(X,d )este con ¸tinut în orice spa ¸tiu metric complet care îl con ¸tine pe (X,d ).
Teorema 3 Orice spa ¸tiu metric are un completat.
Demonstra ¸tie. Fie(X,d )un spa ¸tiu metric ¸si(xn)n≥1,(x0
n)n≥1⊂(X,d )
dou˘a¸siruri fundamentale. Aceste ¸siruri se numesc echivalente dac˘a
d(xn,x0
n)→
n→∞0. (8)
8

Dac ˘a(xn)n≥1,¸si(x0
n)n≥1sunt echivalente ¸sixn→
n→∞x,atuncix0
n→
n→∞x.
Într-adev ˘ar avem
d(xn,x)≤d(x0
n,xn)+d(xn,x)→
n→∞0,
decix0
n→
n→∞x.
Rela¸tia de echivalen ¸t˘ad e ﬁtit˘a mai sus împarte mul ¸timea tuturor ¸sirurilor
fundamentale din (X,d )în clase de ¸siruri echivalente. Not ˘am cuΞmul¸timea
tuturor acestor clase de echivalen ¸t˘a. Fieξ¸siηdou˘ac l a s ed i n Ξ.Alegem
în mod arbitrar un ¸sir(xn)n≥1în clasaξ¸si un ¸sir(yn)n≥1în clasaη.Din
inegalitatea triunghiului ob ¸tinem:
d(xm,ym)−d(xn,yn)≤d(xm,xn)+d(xn,ym)−d(xn,yn)≤
≤d(xm,xn)+d(yn,ym)+d(xn,yn)−d(xn,yn)=
=d(xm,xn)+d(yn,ym).
Schimbând xmcuxn¸siymcuynmembrul drept al inegalit ˘a¸tii r ˘amâne
neschimbat, iar membrul stâng î ¸si schimb ˘a semnul, de unde ob ¸tinem:
|d(xm,ym)−d(xn,yn)|≤d(xm,xn)+d(ym,yn). (9)
Deoarece ¸sirurile (xn)n≥1¸si(yn)n≥1sunt fundamentale membrul drept al
inega-lit ˘a¸tii tinde la zero. Rezult ˘ac˘a¸srirul numeric {d(xn,yn)}n≥1este fun-
damental ¸si deci convergent. De ﬁnim
d(ξ,η) = lim
n→∞d(xn,yn).
Distan ¸tad(ξ,η)este corect de ﬁnit˘a deoarece limita din membrul drept nu
depinde decât de clasele ξ¸siηnu¸si de reprezentan ¸tii ale ¸si. Într-adev ˘ar, dac ˘a
¸sirul (x0
n)n≥1este echivalent cu (xn)n≥1¸si(y0
n)n≥1este echivalent cu (yn)n≥1,
atunci trecând la limit ˘aî ni n e g a l i t a t e a
|d(x0
n,y0
n)−d(xn,yn)|≤d(xn,x0
n)+d(yn,y0
n),
se ob ¸tine
lim
n→∞d(x0
n,y0
n) = lim
n→∞d(xn,yn).
S˘av e r i ﬁc˘am acum c ˘ad(ξ,η)îndepline ¸ste axiomele metricei.
9

Pentru veri ﬁcarea axiomei (M1) trebuie ar ˘atat c ˘ad i nd(ξ,η)=0 rezult ˘a
ξ=η.Cu nota ¸tiile precedente avem lim
n→∞d(xn,yn)=0 ,a d i c ˘a¸sirurile (xn)n≥1
¸si(yn)n≥1sunt echivalente ¸si deci clasele ξ¸siηcoincid.
Axioma (M2) este rvident îndeplinit ˘a.
Axioma (M3) se ob ¸tine prin trecere la limit ˘aî ni n e g a l i t a t e a
d(xn,yn)≤d(xn,zn)+d(zn,yn),
unde (xn)n≥1,(yn)n≥1,(zn)n≥1sunt ¸siruri ce apar ¸tin claselor ξ, η, ζ.
Astfel mul ¸timeaΞa claselor de ¸siruri echivalente este un spa ¸tiu metric.
S˘aa r ˘at˘am c ˘as p a ¸tiulXpoate ﬁconsiderat ca subspa ¸tiu înΞ.Pentru
x∈Xnot˘am cuξxclasa din Ξcare con ¸tine¸sirul constant {x,x,···,x,···},
adic ˘ac l a s a ¸sirurilor convergente la x. Aplica ¸tiax→ξxeste o izometrie,
adic ˘ad¡
ξx,ξy¢
=d(x,y).Aceast ˘aaﬁrma¸tie se demonstreaz ˘a imediat dac ˘a
se consider ˘a¸sirurile {x,x,···,x,···} ¸si{y,y,···,y,···} din clasele ξx¸si
ξy.AstfelXeste izometric cu subspa ¸tiul{ξx|x∈X}al luiΞ¸si putem
considera spa ¸tiulXca subspa ¸tiu înΞidenti ﬁcând ﬁecare element x∈Xcu
clasaξx∈Ξ.
Remarc ˘am c ˘ad a c ˘a(xn)n≥1este un ¸sir fundamental apar ¸tinând clasei ξ
atunciξxn=xn→ξ(înΞ). Într-adev ˘ar,d(xn,xm)<εpentrun,m≥N(ε)
dar atunci d(xn,ξ)= l i m
m→∞d(xn,xm)≤εpentrun≥N(ε),de unde evident
xn→ξînΞ.În particular, pentru orice ξ∈Ξexist ˘ax∈Xastfel c ˘a
d(x,ξ)<ε(se alege xun element xncun≥N(ε)).
S˘ad e m o n s t r ˘am acum completitudinea spa ¸tiuluiΞ.
Fieξ(1),ξ(2),…,ξ(n),…un¸sir fundamental în Ξ¸si(εn)n≥1un¸sir de numere
strict pozitive cu εn→
n→∞0.Conform celor de mai sus pentru ﬁecarenexist ˘a
x∈Xastfel încât d³
x(n),ξ(n)´
<εn.Din inegalitatea
d¡
x(n),x(m)¢
<d³
x(n),ξ(n)´
+d³
ξ(n),ξ(m)´
+d³
ξ(m),x(m)´
<
<εn+εm+d³
ξ(n),ξ(m)´
rezult ˘ac˘a¸sirul¡
x(n)¢
n≥1este fundamental. ¸ Sirul¡
x(n)¢
n≥1deﬁne¸ste deci
oc l a s ˘aξ∈Ξastfel încât d¡
x(n),ξ¢
→
n→∞0.Dar avem
d³
ξ(n),ξ´
<d³
ξ(n),x(n)´
+d¡
x(n),ξ¢
<εn+d¡
x(n),ξ¢
de unde rezult ˘aξ(n)→
n→∞ξ, ceea ce demonstreaz ˘ac˘as p a ¸tiulΞeste com-
plet.
10

1.3 Exemple de spa ¸tii metrice complete
În acest paragraf vom prezenta câteva din cele mai utilizate spa ¸tii metrice
complete în analiza matematic ˘a. Foarte util ˘a în demonstra ¸tia completitudinii
unor spa ¸tii metrice este teorema de mai jos, care caracterizeaz ˘as u b s p a ¸tiile
complete ale unui spa ¸tiu complet.
Teorema 4 Într-un spa ¸tiu metric complet subspa ¸tiile închise coincid cu cele
complete.
Demonstra ¸tia acestei teoreme este o simpl ˘a consecin ¸t˘aau r m ˘atoarelor
dou˘ap r o p o z i ¸tii.
Propozitia 1 Dac˘au ns u b s p a ¸tiuAal unui spa ¸tiu metric (X,d )este complet,
atunciAeste închis.
Demonstra ¸tie. Pentru a ar ˘ata c ˘as u b s p a ¸tiulAeste închis este su ﬁ-
cient s ˘a demonstr ˘am c ˘aA⊂A(deoarece incluziunea invers ˘a este evident ˘a).
Fiex0∈A. Din caracterizarea punctelor aderente unei mul ¸timi cu ajutorul
¸sirurilor rezult ˘ac˘ae x i s t ˘a¸sirul (xn)n≥1⊂Aastfel încât lim
n→∞xn=x0.Dar
(xn)n≥1este atunci ¸sir Cauchy în A¸si cumAeste complet rezult ˘ac˘ae x i s t ˘a
y∈Aastfel încât xn→
n→∞yînA.Deoarece yapar¸tine în acela ¸si timp lui X
iar limita ¸sirului (xn)n≥1este unic ˘ar e z u l t ˘ac˘ax0=y∈A.
Propozitia 2 Orice subspa ¸tiu închis al unui spa ¸tiu metric complet este sub-
spa¸tiu complet.
Demonstra ¸tie. FieAun subspa ¸tiu închis al spa ¸tiului metric complet
(X,d )¸siﬁe(xn)n≥1un¸sir Cauchy în A.Atunci (xn)n≥1este în acela ¸si timp
¸sir Cauchy în (X,d ).Întrucât (X,d )este complet exist ˘au ne l e m e n t x0∈X
astfel încât xn→
n→∞x0înX.Darx0este atunci punct aderent mul ¸timiiA
¸si cumAeste închis ˘ar e z u l t ˘ax0∈A.Astfel, ¸sirul Cauchy (xn)n≥1dinA
converge la punctul x0∈A,c e e ac ea s i g u r ˘ac˘aAeste complet.
Exemplul 1 Spa¸tiulRînzestrat cu metrica d(x,y)=|x−y|este un spa ¸tiu
metric complet.
Demonstra ¸tia completitudinii spa ¸tiului numerelor reale este o consecin ¸t˘a
imediat ˘a a teoremei de mai jos, care mai poart ˘a numele de criteriu al lui
Cauchy:
Teorema 5 Un¸sir de numere reale este convergent dac ˘a¸si numai dac ˘ae s t e
¸sir fundamental.
11

Demonstra ¸tie. Necesitatea a fost demonstrat ˘aî nt e o r e m a1 . P e n t r ua
demonstra su ﬁcien¸ta s˘a presupunem c ˘a(xn)n≥1⊂Reste un ¸sir fundamental
¸si s˘aa r ˘at˘am c ˘ae x i s t ˘ax∈Rastfel încât xn→
n→∞x.Vom ar ˘ata, mai întâi,
c˘ad a c ˘a(xn)n≥1este un ¸sir fundamental atunci este m ˘arginit. Aplicând
deﬁni¸tia¸sirului fundamental rezult ˘ac˘a pentru orice ε> 0exist ˘au nn u m ˘ar
naturalNa¸sa încât pentru orice m,n≥Ns˘aa v e m |xn−xm|<ε
2.În
particular, pentru ε=2 avem |xn−xN|<1pentru orice n≥N.De aici
rezult ˘ac˘a|xn|≤|xn−xN|+|xN|<1+|xN|,pentru orice n≥N.Dac ˘a
M=m a x {|x1|,|x2|,···,|xN−1|,|xN|+1},a t u n c is ev e d ec uu ¸surin ¸t˘ac˘a
|xn|≤M, pentru orice n∈N∗.
Conform teoremei lui Cesàro, ¸sirul m ˘arginit (xn)n≥1va con ¸tine un sub ¸sir
convergent (xnk)k≥1;ﬁexlimita sa. S ˘aa r˘at˘am acum c ˘alim
n→∞xn=x.Întrucât
xnk→
k→∞xrezult ˘ac˘ap e n t r uo r i c e ε> 0exist ˘au nn u m ˘ar natural K(ε)astfel
încât pentru orice num ˘ar natural k≥K(ε)avem |xnk−x|<ε
2.Fie acum
No=m a x {N,K (ε)}.D i nc e l ed em a is u sr e z u l t ˘ac˘ad a c ˘al u ˘amk≥N0
atuncink≥k¸si:
|xn−x|≤|xn−xnk|+|xnk−x|<ε
2+ε
2=ε,
pentru orice n≥N0,de unde rezult ˘alim
n→∞xn=x.
Observatia 3 Demonstra ¸tia su ﬁcien¸tei din teorema de mai sus s-a bazat în
mod esen ¸tial pe utilizarea teoremei lui Cesàro. Demonstra ¸tia acestei teoreme
utilizeaz ˘a axioma completitudinii, a lui Cantor-Dedekind: orice mul ¸time nev-
id˘a, m ˘arginit ˘a¸si majorat ˘aal u iRadmite cel pu ¸tin o margine superioar ˘a.
Exemplul 2 Spa¸tiulRk,k≥1înzestrat cu metrica euclidian ˘a, este un
spa¸tiu metric complet.
Într-adev ˘ar,ﬁe(xn)n≥1un¸s i rC a u c h yd ee l e m e n t ed i n Rk,undexn=³
ξ(n)
1,ξ(n)
2,···,ξ(n)
k´
.Atunci, pentru orice ε> 0exist ˘au nn u m ˘ar natural
N(ε)astfel încât d(xn,xm)=vuutkX
i=1³
ξ(m)
i−ξ(n)
i´2
<εpentru orice m,n≥
N(ε).De aici rezult ˘ac˘ap e n t r u i=1,kavem¯¯¯ξ(m)
i−ξ(n)
i¯¯¯<ε , pentru orice
m,n≥N(ε),fapt ce ne spune c ˘a¸sirurile³
ξ(n)
i´
n≥1,i=1,k,sunt ¸siruri
Cauchy de numere reale. Cum spa ¸tiulRînzestrat cu metrica euclidian ˘a este
12

complet, rezult ˘ac˘ae x i s t ˘a numerele reale ξiastfel încât lim
n→∞ξ(n)
i=ξi,i=1,k
.F i ex=(ξ1,ξ2,···,ξk)∈Rk.Atunci:
lim
n→∞d(xn,x)= l i m
n→∞vuutkX
i=1³
ξ(n)
i−ξi´2
=0,
deci ¸sirul (xn)n≥1este convergent, fapt ce încheie demonstra ¸tia completi-
tudinii spa ¸tiuluiRk.
Exemplul 3 Spa¸tiull∞al¸sirurilor m ˘arginite de numere reale x=(ξn)n≥1
înzestrat cu metrica d(x,y)=s u p
k|ξk−ηk|(undex=(ξk)k≥1,y=(ηk)k≥1)
este un spa ¸tiu metric complet.
Într-adev ˘ar,ﬁe(xm)m≥1un¸sir Cauchy în l∞,undexm=³
ξ(m)
1,ξ(m)
2,···´
.
Din de ﬁni¸tia metricii pe l∞¸si din faptul c ˘a¸sirul (xm)m≥1este Cauchy rezult ˘a
c˘ap e n t r uo r i c e ε> 0exist ˘au nr a n g N(ε)∈N∗astfel încât
d(xm,xn)=s u p
k¯¯¯ξ(m)
k−ξ(n)
k¯¯¯<ε ,
pentru orice m,n≥N(ε).Atunci pentru ﬁecarek∈N∗avem
¯¯¯ξ(m)
k−ξ(n)
k¯¯¯<ε , (∀)m,n≥N(ε), (10)
adic ˘ap e n t r u ﬁecarek∈N∗¸sirul³
ξ(1)
k,ξ(2)k,···´
este un ¸sir Cauchy de numere
reale. Cum Reste complet exist ˘aξk∈Rastfel încât ξ(m)
k→
m→∞ξk.S˘aa r˘at˘am
c˘a¸sirulx=(ξ1,ξ2,···)este m ˘arginit ¸si c˘axm→
m→∞x.Din (10) pentru
n→∞ avem
¯¯¯ξ(m)
j−ξj¯¯¯≤ε,(∀)m≥N(ε). (11)
Deoarece xm=³
ξ(m)
j´
∈l∞,exist ˘au nn u m ˘ar realkmastfel încât¯¯¯ξ(m)
j¯¯¯≤km,
pentru orice j∈N∗.Atunci din inegalitatea triunghiului rezult ˘a:
¯¯ξj¯¯≤¯¯¯ξj−ξ(m)
j¯¯¯+¯¯¯ξ(m)
j¯¯¯≤ε+km,(∀)m≥N(ε).
Aceast ˘a inegalitate are loc pentru orice j∈N∗iar membrul drept nu de-
pinde de j,fapt ce implic ˘am ˘arginirea ¸siruluix=(ξ1,ξ2,···).În plus, din
13

(11) rezult ˘a
d(xm,x)=s u p
j¯¯¯ξ(m)
j−ξj¯¯¯≤ε,(∀)m≥N(ε).
Aceast ˘a inegalitate ne arat ˘ac˘axm→x.Deoarece ¸sirul (xm)m≥1este un ¸sir
Cauchy arbitrar din l∞,rezult ˘ac˘a acest spa ¸tiu este complet.
Exemplul 4 Spa¸tiulcal¸sirurilor convergente de numere reale x=(ξn)n≥1
înzestrat cu metrica indus ˘ad i nl∞este un spa ¸tiu metric complet.
ceste un subspa ¸tiu înl∞.pentru a ar ˘ata c ˘aceste complet este su ﬁcient,
conform teoremei 4, s ˘aa r ˘at˘am c ˘a acest subspa ¸tiu este închis în l∞.Fie¸sirul
x=¡
ξj¢
∈c.Exist ˘a deci ¸sirul (xn)n≥1⊂c, xn=³
ξ(n)
j´
,xn→x.Pentru
ε> 0exist ˘au nn u m ˘ar natural N(ε)astfel încât pentru orice n≥N(ε)¸si
pentru orice j∈N∗avem:
¯¯¯ξ(n)
j−ξj¯¯¯≤d(xn,x)<ε
3.
Fiem≥N(ε)ﬁxat; deoarece xk=ξ(m)
j∈c, acest ¸sir este Cauchy. Rezult ˘a
c˘ae x i s t ˘au nn u m ˘ar natural N1astfel încât¯¯¯ξ(m)
j−ξ(m)
k¯¯¯<ε
3,(∀)j,k≥N1.
Cu inegalitatea triunghiului, pentru j,k≥N1,ob¸tinem:
¯¯ξj−ξk¯¯≤¯¯¯ξj−ξ(m)
j¯¯¯+¯¯¯ξ(m)
j−ξ(m)
k¯¯¯+¯¯¯ξ(m)
k−ξk¯¯¯<ε
3+ε
3+ε
3=ε.
Aceasta arat ˘ac˘a¸sirulx=¡
ξj¢
este convergent, deci x∈c.Cumx=¡
ξj¢
∈c
a fost ales arbitrar rezult ˘ac˘ac=cdeciceste închis în l∞.Completitudinea
luicrezult ˘a acum prin aplicarea teoremei 4.
Exemplul 5 Spa¸tiullp,p≥1al¸sirurilor de numere reale x=(ξn)n≥1cu
proprietateaP∞
k=1|ξk|p<∞¸si înzestrat cu metrica
d(x,y)=Ã∞X
k=1|ξk−ηk|p!1
p
este un spa ¸tiu metric complet.
14

Pentru a demonstra completitudinea acestui spa ¸tiu metric, ﬁe(xn)n≥1,
xn=³
ξ(n)
1,ξ(n)
2,···´
,un¸sir Cauchy în lp.Pentruε> 0exist ˘aN(ε)∈N∗
astfel încât
d(xm,xn)=Ã∞X
k=1¯¯¯ξ(m)
k−ξ(n)
k¯¯¯!1
p
<ε , (12)
pentru orice m,n≥N(ε).rezult ˘ac˘ap e n t r uo r i c e j∈N∗avem
¯¯¯ξ(m)
j−ξ(n)
j¯¯¯<ε , (∀)m,n≥N(ε). (13)
Din (13) deducem c ˘ap e n t r u ﬁecarej∈N∗¸sirul³
ξ(1)
j,ξ(2)j,···´
este un ¸sir
Cauchy de numere reale. Cum Reste complet exist ˘aξ∈Rastfel încât
ξ(m)
j→
m→∞ξj.Fie¸sirulx=(ξ1,ξ2,···);s˘aa r ˘at˘am c ˘ax∈lp¸si c˘axm→
m→∞x.
D i n( 1 2 )a v e mp e n t r uo r i c e m,n≥N(ε)
kX
j=1¯¯¯ξ(m)
j−ξ(n)
j¯¯¯p
<εp,k∈N∗.
Pentrun→∞ ob¸tinem
kX
j=1¯¯¯ξ(m)
j−ξj¯¯¯p
<εp,k∈N∗.
Trecem acum la limit ˘a în inegalitatea de mai sus pentru k→∞ ¸si ob¸tinem:
∞X
j=1¯¯¯ξ(m)
j−ξj¯¯¯p
<εp,m≥N(ε). (14)
De aici rezult ˘ac˘axm−x=³
ξ(m)
j−ξj´
∈lp.Cumx=xm+(x−xm)¸si
xm∈lpdin inegalitatea lui Minkovski rezult ˘ac˘ax∈lp.Mai mult, seria
din () reprezint ˘a[d(xm,x)]p, astfel încât () arat ˘ac˘axm→
m→∞x.Cum ¸sirul
Cauchy (xn)n≥1a fost ales arbitrar în lp,rezult ˘ad ea i c ic ˘alpeste complet.
Exemplul 6 Fie spa ¸tiulC[a,b]={f:[a,b]→R,fc o n t i n u ˘a}al func ¸tiilor
reale continue de ﬁnite pe intervalul [a,b].Înzestrat cu metrica
d(f,g)= s u p
x∈[a,b]|f(x)−g(x)|,
15

acest spa ¸tiu este complet.
Pentru a demonstra acest fapt s ˘ac o n s i d e r ˘am(xm)m≥1un¸sir Cauchy în
C[a,b].P e n t r u ε> 0exist ˘aN(ε)∈N∗astfel încât pentru orice m,n≥N(ε)
avem:
d(xm,xn)= s u p
t∈[a,b]|xm(t)−xn(t)|<ε . (15)
Pentrut0∈[a,b]ﬁxat¸sim,n≥N(ε)avem
|xm(t0)−xn(t0)|<ε ,
fapt ce ne spune c ˘a¸sirul (xn(t0))n≥1este un ¸sir Cauchy de numere reale.
CumReste complet exist ˘an u m ˘arul real x(t0)astfel încât xm(t0)→
m→∞
x(t0).În acest fel putem asocia ﬁec˘aruit∈[a,b]num ˘arul real x(t)=
lim
m→∞xm(t).Ob¸tinem astfel func ¸tiax:[a,b]→R;s˘aa r ˘at˘am c ˘a aceast ˘a
func¸t i ee s t ec o n t i n u ˘a¸si c˘axm→
m→∞x.D i n ( 1 5 ) p e n t r u n→∞ ob¸tinem
sup
t∈[a,b]|xm(t)−x(t)|≤ε,(∀)m≥N(ε)deci|xm(t)−x(t)|≤ε,pentru orice
m≥N(ε).Deducem de aici c ˘a¸sirul (xm)m≥1converge c ˘atrexuniform pe
[a,b].Cum func ¸tiilexm,m≥1sunt continue rezult ˘ac˘a func ¸tiaxeste con-
tinu ˘a.
1.4 Exemple de spa ¸tii metrice care nu sunt complete
Exemplul 1 Spa¸tiul (0,1)⊂Rînzestrat cu metrica euclidian ˘ai n d u s ˘ad eR
nu este complet.
Într-adev ˘ar, acest spa ¸tiu con ¸tine¸sirul fundamental (xn)n≥1,xn=1
n,care
are drept limit ˘an u m ˘arul zero; acest num ˘ar nu apar ¸tine îns ˘a intervalului
(0,1).Faptul c ˘a intervalul (0,1)nu este complet rezult ˘a¸si prin aplicarea
teoremei precedente.
Observatia 4 Dac˘a în exemplul de mai sus în locul intervalului (0,1)amﬁ
considerat intervalul [0,1]atunci acest subspa ¸tiu al luiRarﬁfost complet..
Exemplul 2 Urm ˘atoarele subspa ¸tii ale lui Rnu sunt complete, ne ﬁind în-
chise:A=( 0,∞),B=(a,b],C=(−∞,b);
16

Exemplul 3 Spa¸tiulQînzestrat cu metrica euclidian ˘a nu este complet.
Într-adev ˘ar, s ˘ap r i v i mQca un subspa ¸tiu al luiR.Este su ﬁcient atunci s ˘a
ar˘at˘am c ˘a acest subspa ¸tiu nu este închis. Fie pentru aceasta ¸sirul de numere
ra¸tionale de ﬁnit prin rela ¸tia de recuren ¸t˘a:x0=1,xn+1=1
2³
xn+2
xn´
.Acest
¸sir este monoton ¸si m ˘arginit deci, cu teorema lui Weierstrass, este convergent
c˘atre un num ˘ar realx. Prin trecere la limit ˘aî nr e l a ¸tia de recuren ¸t˘ao b¸tinem
x=√
2/∈Q,fapt ce arat ˘ac˘as u b s p a ¸tiulQal luiRnu este închis, deci nu
este complet.
Observatia 5 ¸Sirul de mai sus poart ˘an u m e l el u iH e r o n ¸si a fost folosit în
antichitate pentru determinarea aproximativ ˘aar ˘ad˘acinii p ˘atrate a lui 2.
Exemplul 4 FieXmul¸timea polinoamelor considerate ca func ¸tii detpe in-
tervalul [a,b].D a c ˘a pe aceast ˘am u l ¸time consider ˘am metrica
d(f,g)= s u p
t∈[a,b]|p(t)−q(t)|,
atunci spa ¸tiul metric (X,d )astfel de ﬁnit nu este complet.
Într-adev ˘ar ca exemplu de ¸sir Cauchy care nu are limita în Xputem lua
orice ¸sir de polinoame care converge uniform pe [a,b]c˘atre o func ¸tie cotinu ˘a,
diferit ˘a de un polinom (existen ¸ta unor4 astfel de ¸siruri este asigurat ˘ad e
teorema lui Weierstrass de aproximare uniform ˘aaf u n c ¸tiilor continue prin
polinoame).
Exemplul 5 Spa¸tiulC[a,b]n ue s t ec o m p l e tî nr a p o r tc um e t r i c a
d(f,g)=Zb
a|f(x)−g(x)|dx.
Pentru a demonstra acest fapt s ˘ac o n s i d e r ˘am¸sirul (xm)m≥1format din
func¸tii continue ¸si liniare pe por ¸tiuni, de ﬁnit astfel: x1(t)=0,xm(t)=0
pentrut∈£
0,1
2¤
,xm(t)=1
am−1
2¡
x−1
2¢
pentrut∈¡1
2,am¢
,xm(t)=1
pentrut∈[am,1],undeam=1
2+1
m.Acest ¸sir este evident un ¸sir Cauchy; s ˘a
ar˘at˘am c ˘ae ln uc o n v e r g ec ˘atre o func ¸tie continu ˘a. Pentru orice x∈C[a,b]
avem
d(xm,x)=Z1
0|xm(t)−x(t)|dt=
=Z1
2
0|x(t)|dt+Zam
1
2|xm(t)−x(t)|dt+Z1
am|1−x(t)|dt.
17

Dac ˘ad(xm,x)→
m→∞0atunci ﬁecare integral ˘a din membrul drept al egalit ˘a¸tii
de mai sus converge c ˘atre zero ¸si cumxeste continu ˘ad e d u c e m
x(t)=0 pentrut∈[0,1
2),x(t)=1 pentrut∈(1
2,1].
Aceste egalit ˘a¸ti nu sunt îns ˘a posibile pentru o func ¸tie continu ˘a. Rezult ˘ac˘a
¸sirul (xm)m≥1nu este convergent ¸siC[a,b]nu este complet.
Exemplul 6 Spa¸tiulC[a,b]n ue s t ec o m p l e tî nr a p o r tc um e t r i c a
d(f,g)=sZb
a|f(x)−g(x)|2dx.
Demonstra ¸tia acestui fapt se face la fel ca în exemplul precedent.
18

2 Spa ¸tii vectoriale normate
2.1 Exemple de spa ¸tii vectoriale normate complete
FieXun spa ¸tiu liniar peste corpul K(K=RsauK=C).
Deﬁnitia 1 Aplica ¸tiak·k:X→Rse nume ¸ste norm ˘ap eXdac˘a veri ﬁc˘a
urm ˘atoarele axiome:
N1)kxk≥0,(∀)x∈X;kxk=0⇔x=0 ;
N2)kαxk=|α|·kxk,(∀)x∈X,(∀)α∈K;
N3)kx+yk≤kxk+kyk,(∀)x,y∈X.
Un spa ¸t i ul i n i a rp e s t ec a r es – ad e ﬁnit o norm ˘as en u m e ¸ste spa ¸tiu liniar
normat. Not ˘am un spa ¸tiu normat prin (X,kk).
Exemplul 1 Fie spa ¸tiul liniar
X=Rn=©
x=(x1,x2,···,xn)|xi∈R,i=1,nă
.
Aplica ¸tiile :
a)k·k2:Rn→R,kxk2=(x2
1+x2
2+···+x2
n)1
2,
b)k·k1:Rn→R,kxk1=|x1|+|x2|+···+|xn|,
3)k·k∞:Rn→R,kxk∞=m a x {|x1|,|x2|,···|xn|},
sunt norme pe Rn.
Deﬁnitia 2 ¸Sirul (xn)n≥1⊂(X,k·k)este convergent c ˘atrex∈Xdac˘ap e n –
tru orice ε> 0exist ˘au nr a n g N(ε)∈N∗astfel încât kxn−xk<εpentru
oricen≥N(ε).
Convergen ¸ta de ﬁnit˘am a is u ss en u m e ¸ste convergen ¸ta în norm ˘a. Dac ˘a
¸sirul (xn)n≥1converge c ˘atrexnot˘am acest fapt prin xnk·k→x.
Observatia 1 Din de ﬁni¸tia de mai sus rezult ˘ac˘a¸sirul (xn)n≥1converge
c˘atrexdac˘akxn−xk→
n→∞0.
Deﬁnitia 3 ¸Sirul (xn)n≥1⊂(X,k·k)se nume ¸ste¸sir Cauchy dac ˘ap e n t r u
oriceε> 0exist ˘au nr a n g N(ε)∈N∗astfel încât pentru orice m,n≥N(ε)
avem kxm−xnk≤ε.
Propozitia 1 Orice ¸sir Cauchy într-un spa ¸tiu liniar normat este m ˘arginit.
19

Demonstra ¸tie. Fie(xn)n≥1⊂(X,k·k)un¸sir Cauchy ¸siε0>0.Exist ˘a
N(ε0)∈N∗astfel încât pentru orice m,n≥N(ε0)avem kxm−xnk<ε .
Pentrun=N(ε0)avem:
kxmk=°°xm−xN(ε0)+xn°°≤°°xm−xN(ε0)°°+kxnk<ε 0+°°xN(ε0)°°,
oricare ar ﬁm≥N(ε0).D a c ˘al u˘am acum M=m a x {kx1k,kx2k,···,°°xN(ε0)−1°°,ε0+°°xN(ε0)°°}rezult ˘ac˘akxmk≤M,(∀)m∈N∗.
Deﬁnitia 4 Spa¸tiul normat (X,k·k)se nume ¸ste spa ¸tiu Banach (sau spa ¸tiu
normat complet) dac ˘ap e n t r uo r i c e ¸sir Cauchy (xn)n≥1⊂(X,k·k)exist ˘ax∈
Xastfel încât kxn−xk→
n→∞x.
Observatia 2 Deoarece topologia generat ˘ad eon o r m ˘ae s t es e p a r a t ˘ar e z u l t ˘a
c˘a limita unui ¸sir este unic ˘a.
Observatia 3 Orice spa ¸tiu normat (X,k·k)este un spa ¸tiu metric. Metrica
pe acest spa ¸tiu se de ﬁne¸ste prin: d(x,z)= kx−yk.Propriet ˘a¸tile spa ¸tiilor
metrice prezentate în capitolul precedent sunt valabile ¸si într-un spa ¸tiu nor-
mat. În particular orice subspa ¸tiu închis al unui spa ¸tiu normat complet este
un subspa ¸tiu normat complet.
Exemplul 2 Spa¸tiulRk,k≥1înzestrat cu norma euclidian ˘a
kxk=¡
x2
1+x2
2+···+x2
k¢1
2
este un spa ¸tiu normat complet.
Justi ﬁcarea acestei a ﬁrma¸t i is ef a c ec aî ne x e m p l u l2 ,c a p i t o l u l1 .
Observatia 4 DeoareceRk,k≥1este ﬁnit dimensional el este complet în
orice alt ˘an o r m ˘a.
Exemplul 3 Spa¸tiull∞al¸sirurilor m ˘arginite de numere reale x=(ξn)n≥1
înzestrat cu norma kxk=s u p
k|ξk|(undex=(ξk)k≥1)e s t eu ns p a ¸tiu normat
complet.
Justi ﬁcarea acestei a ﬁrma¸t i is ef a c ec aî ne x e m p l u l3 ,c a p i t o l u l1 .
Exemplul 4 Spa¸tiulcal¸sirurilor convergente de numere reale x=(ξn)n≥1
înzestrat cu norma indus ˘ad i nl∞este un spa ¸tiu metric complet.
20

Justi ﬁcarea acestei a ﬁrma¸t i is ef a c ec aî ne x e m p l u l4 ,c a p i t o l u l1 .
Exemplul 5 Spa¸tiullp,p≥1al¸sirurilor de numere reale x=(ξn)n≥1cu
proprietateaP∞
k=1|ξk|p<∞¸si înzestrat cu norma
kxk=Ã∞X
k=1|ξk|p!1
p
este un spa ¸tiu normat complet.
Justi ﬁcarea acestei a ﬁrma¸t i is ef a c ec aî ne x e m p l u l5 ,c a p i t o l u l1 .
Exemplul 6 Spa¸tiulC[a,b]={f:[a,b]→R,fc o n t i n u ˘a}al func ¸tiilor reale
continue de ﬁnite pe intervalul [a,b]înzestrat cu norma
kfk=s u p
x∈[a,b]|f(x)|,
este un spa ¸tiu normat complet.
Justi ﬁcarea acestei a ﬁrma¸t i is ef a c ec aî ne x e m p l u l6 ,c a p i t o l u l1 .
Exemplul 7 FieΩ⊂Rnom u l ¸time deschis ˘a¸si m ˘arginit ˘a¸si
C¡
Ω,Rn¢
=©
u:Ω→Rn|ucontinu ˘aă
.
În raport cu adunarea func ¸tiilor ¸si înmul ¸tirea acestora cu scalari reali¡
C¡
Ω,Rn¢
,+,·¢
este un spa ¸tiu liniar real. Aplica ¸tia:
k·k:C¡
Ω,Rn¢
→R,kuk=m a x
x∈Ωku(x)kRn (16)
este o norm ˘ap eC¡
Ω,Rn¢
fa¸t˘ad ec a r e C¡
Ω,Rn¢
este un spa ¸tiu normat
complet.
S˘a demonstr ˘am mai întâi c ˘aa p l i c a ¸tia dat ˘ad e( 1 6 )î n d e p l i n e ¸ste axiomele
normei. Pentru început remarc ˘am c ˘a (16) este bine de ﬁnit˘a deoarece aplica ¸tia
Ω3×7→ku(x)kRn∈Reste continu ˘a( d e o a r e c e ueste continu ˘a¸si norma
este continu ˘a)¸siΩeste compact ˘a (iar func ¸tiile continue pe un compact sunt
m˘arginite ¸si î¸si ating marginile).
21

N1) Din propriet ˘a¸tile normei pe Rnrezult ˘ac˘akuk≥0,(∀)u∈C¡
Ω,Rn¢
.
Dac ˘akuk=0atunci pentru orice x∈Ωavem
0≤ku(x)kRn≤max
x∈Ωku(x)kRn=0,
deci ku(x)kRn=0¸si din propriet ˘a¸tile normei pe Rnrezult ˘ac˘au(x)=0Rn,
adic ˘au≡0.
N2) Pentru u∈C¡
Ω,Rn¢¸siλ∈Ravem:
kλuk=m a x
x∈Ωkλu(x)kRn=m a x |λ|
x∈Ωku(x)kRn=|λ|max
x∈Ωku(x)kRn=|λ|·kuk.
N3) Fieu,v∈C¡
Ω,Rn¢¸six0∈Ωastfel încât max
x∈Ωku(x)+v(x)kRn=
ku(x0)+v(x0)k.Avem:
ku+vk=m a x
x∈Ωku(x)+v(x)kRn=ku(x0)+v(x0)kRn≤
≤ku(x0)kRn+kv(x0)kRn≤max
x∈Ωku(x)kRn+m a x
x∈Ωkv(x)kRn≤
=kuk+kvk.
S˘aa r˘at˘am acum c ˘as p a ¸tiulC¡
Ω,Rn¢
este complet. Fie (un)n≥1⊂C¡
Ω,Rn¢
un¸sir Cauchy în norma de ﬁnit˘ap eC¡
Ω,Rn¢
;trebuie s ˘aa r ˘at˘am c ˘ae x –
ist˘au∈C¡
Ω,Rn¢
astfel încât kun−uk→
n→∞0.Deoarece (un)n≥1este¸sir
Cauchy rezult ˘ac˘ap e n t r uo r i c e ε> 0exist ˘au nr a n g N(ε)∈N∗astfel încât
kum−unk≤ε,(∀)m,n≥N(ε).De aici deducem c ˘ap e n t r u ﬁecarex∈Ω
¸sirul (un(x))n≥1este¸sir Cauchy în Rn.CumRneste complet ¸sirul (un(x))n≥1
este convergent; not ˘am cuu(x)limita acestui ¸sir. Am de ﬁnit astfel func ¸tia
u:Ω→Rn,u(x) : lim
n→∞un(x).
S˘aa r ˘at˘am acum c ˘akun−uk→
n→∞0.Acest fapt înseamn ˘ac o n v e r g e n ¸ta
uniform ˘aa¸sirului (un(x))n≥1c˘atreu,d eu n d er e z u l t ˘ac˘a func ¸tiaueste
continu ˘a¸si deci ¸sirul Cauchy (un(x))n≥1este convergent. Fie ε> 0¸six∈Ω
arbitrar.Exist ˘au nr a n g N(ε)∈N∗astfel încât
kum(x)−un(x)k≤kum−unk≤ε, (17)
pentru orice m,n≥N(ε).Fix˘ammîn inegalitatea de mai sus ¸si trecem la
limit ˘ac â n dn→∞.Ob¸tinem:
kun(x)−u(x)k≤ε,(∀)x∈Ω, (18)
22

deci¸sirul (un(x))n≥1converge uniform c ˘atreu.Deoarece (18) are loc pentru
oricex∈Ωdin aceast ˘a inegalitate rezult ˘a
kun−uk=m a x
x∈Ωkun(x)−u(x)kRn≤ε,(∀)n≥N(ε),
adic ˘akun−uk→
n→∞0.
2.2 Teorema de completare a spa ¸tiilor normate
Exemplul 7 din paragraful precedent ne-a oferit unul din cele mai importante
e x e m p l ed es p a ¸tii normate complete. Norma dat ˘ad ef o r m u l a( 1 6 )s en u m e ¸ste
norma convergen ¸tei uniforme (sau norma Cebâ ¸sev). Spa ¸tiulC¡
Ω,Rn¢
este
inﬁnit dimensional. Spre deosebire de cazul spa ¸tiilor ﬁnit dimensionale, pe
care toate normele sunt echivalente, în cazul in ﬁnit dimensional aceast ˘aaﬁr-
ma¸t i en um a ie s t ea d e v ˘arat ˘a. Se poate întâmpla ca un spa ¸tiu in ﬁnit dimen-
sional s ˘aﬁec o m p l e tî n t r – on o r m ˘a¸si s˘a nu mai aib ˘aa c e a s t ˘a proprietate în
alt˘an o r m ˘a.
Într-adev ˘ar,ﬁes p a ¸tiul liniar C([−1,1],R).A¸s ac u ma mv ˘azut, cu norma
(16) acest spa ¸tiu este complet. S ˘ac o n s i d e r ˘am acum pe C([−1,1],R)norma:
kuk2=µZ1
−1×2(t)dt¶1
2
. (19)
Fie¸sirul de func ¸tii(xn)n≥1,xn(t)=0 pentrut∈[−1,0],xn(t)=1
npentru
t∈(0,1
n],xn(t)=1 pentrut∈(1
n,1],n≥1.Evident aceste func ¸tii sunt
continue. Un calcu simplu ne arat ˘ac˘aa v e m
kxm−xnk=1
3nµm−n
m¶2
de unde rezult ˘ac˘a¸sirul (xn)n≥1este Cauchy. S ˘aa r˘at˘am c ˘an ue x i s t ˘aof u n c ¸tie
continu ˘ax:[−1,1]→Rastfel încât xnk·k2→x.Presupune prin absurd c ˘ao
astfel de func ¸tie exist ˘a. Atunci: kxn−xk2=R1
−1[xn(t)−x(t)]2dt→
n→∞0.
De aici deducem c ˘a pentru orice interval I⊆[−1,1]avem:
Z
I[xn(t)−x(t)]2dt→
n→∞0. (20)
23

PentruI=[−1,0]din (20) rezult ˘ax(t)=0,(∀)t∈[−1,0].Dac ˘al u ˘am
I=[a,1],0<a< 1¸si alegem n∈N∗astfel încât 0<1
n<a , (20) ne d ˘a:
Z1
a[1−x(t)]2dt→
n→∞0.
de unde ob ¸tinemx(t)=1,(∀)t∈[a,1].Deoarece aa fost ales arbitrar în
intervalul (0,1)ob¸tinem pentru func ¸tiaxexpresia x(t)=0,(∀)t∈[−1,0],
x(t)=1,(∀)t∈(0,1].Cum func ¸tiaxastfel ob ¸tinut ˘a nu este continu ˘a rezult ˘a
c˘a¸sirul Cauchy (xn)n≥1nu este convergent ¸si spa ¸tiulC([−1,1],R)nu este
complet în norma (19).
Putem îns ˘ac a ,p o r n i n dd el au ns p a ¸t i un o r m a tc a r en ue s t ec o m p l e t ,s ˘a
ob¸tinem un spa ¸tiu normat complet, în care spa ¸tiul ini ¸tial este un subspa ¸tiu
dens. Spunem în acest caz c ˘a am completat spa ¸tiul normat pân ˘al au ns p a ¸tiu
normat complet. Acest rezultat va ﬁprezentat în cele ce urmeaz ˘a.
Fie(X,k·kX),(Y,k·kY)spa¸tii normate.
Deﬁnitia 5 Aplica ¸tiai:X→Yse nume ¸ste izometrie dac ˘aki(x)k=kxkX,
(∀)x∈X.
Deﬁnitia 6 Spunem c ˘as p a ¸tiile (X,k·k),(Y,k·k)sunt izomorfe ca spa ¸tii nor-
mate dac ˘ae x i s t ˘a o izometrie liniar ˘ab i j e c t i v ˘ai:X→Y.
Teorema 1 FieXun spa ¸tiu normat. Atunci exist ˘au ns p a ¸tiu normat com-
plet³
eX,k·keX´
¸si o izometrie liniar ˘ai:X→eXastfel încât i(X)este dens
înX.
Demonstra ¸tie. Construc ¸tia lui eX.FieCXmul¸timea ¸sirurilor Cauchy
dinX.I n t r o d u c e m p e CXor e l a ¸t i ed ee c h i v a l e n ¸t˘a în modul urm ˘ator: spunem
c˘a¸sirurile (xn)n≥1,(yn)n≥1∈CXsunt echivalente ( ¸si not ˘am acest fapt prin
(xn)n≥1∼(yn)n≥1)d a c ˘akxn−ynk→
n→∞0.Vom nota cu eXmul¸timea claselor
de echivalen ¸t˘a determinate pe CXde rela ¸tia de echivalen ¸t˘aj∼j.Clasa de
echivalen ¸t˘aex∈eXa¸siruluix=(xn)n≥1∈CXeste deci mul ¸timea
ex=n
(yn)n≥1∈CX|kyn−xnk→
n→∞0o
. (21)
Deﬁnim adunarea claselor de echivalen ¸t˘aex,ey∈eXprinex+ey=]x+y
iar înmul ¸tirea clasei excu un scalar λprinλex=fλx.Se arat ˘ac uu ¸surin ¸t˘a
c˘ad e ﬁni¸tia acestor opera ¸tii nu depinde de reprezentan ¸tii ale ¸si¸si c˘af a¸t˘ad e
aceste opera ¸tiieXdevine spa ¸tiu liniar.
24

S˘ad e ﬁn i ma c u mon o r m ˘ap eeX.Constat ˘am pentru început c ˘ad a c ˘a
(xn)n≥1∈CXatunci ¸sirul (kxnk)n≥1este¸sir Cauchy în Rdeci exist ˘alim
n→∞kxnk.
Mai mult, dac ˘a(xn)n≥1∼(x0
n)n≥1atunci lim
n→∞kxnk=l i m
n→∞kx0
nk.Aceste fapte
ne permit s ˘ad e ﬁnim aplica ¸tiak·keX:eX→R,kexkeX= lim
n→∞kxnk.Se constat ˘a
cu u¸surin ¸t˘ac˘a aceast ˘aa p l i c a ¸tie veri ﬁc˘a axiomele normei deci³
eX,k·keX´
este
un spa ¸tiu liniar normat.
S˘aa r ˘at˘am acum c ˘aXpoate ﬁidenti ﬁc a tc uu ns u b s p a ¸tiu dens în eX.
Deﬁnim pentru aceasta aplica ¸tiai:X→eXîn modul urm ˘ator: pentru x∈
X, i (x)reprezint ˘a clasa de echivalen ¸t˘aa¸sirului constant (x,x,···,x,···)
adic ˘a
i(x)=n
(yn)n≥1∈CX|kyn−xk→
n→∞0o
=n
(yn)n≥1∈CX|yn→
n→∞xo
.
Fiex,y∈X,(xn)n≥1un reprezentant al lui i(x)¸si(yn)n≥1un reprezen-
tant al lui i(y).Atuncixn→
n→∞x, yn→
n→∞y, xn+yn→
n→∞x+y.De aici
rezult ˘ac˘a¸sirul (xn+yn)n≥1este un reprezentant al clasei ¸sirului constant
(x+y,x +y,···,x+y,···),decii(x+y)=^(xn+yn)n≥1.
Cum^(xn+yn)n≥1=^(xn)n≥1+^(yn)n≥1¸sii(x)=^(xn)n≥1,i(y)=^(yn)n≥1
rezult ˘ac˘ai(x+y)=i(x)+i(y).În mod asem ˘an˘ator se arat ˘ac˘ai(λx)=
λi(x),(∀)x∈X,(∀)λ∈Kdeci aplica ¸tiaieste liniar ˘a. Dac ˘ax∈X¸si
(xn)n≥1este un reprezentant al lui i(x)atunci ki(x)keX= lim
n→∞kxnk=kxk,
deci aplica ¸tiaieste o izometrie.
S˘aa r ˘at˘am c ˘ai(X)este un subspa ¸tiu dens în eX.F a p t u l c ˘ai(X)este
un subspa ¸tiu rezult ˘a din liniaritatea aplica ¸tieii.F i eex∈eX¸si(xn)n≥1un
reprezentant al lui ex.Pentru ﬁecaren∈N∗consider ˘am clasa de echivalen ¸t˘a
i(xn)=n
(ym)m≥1|ym→
m→∞xno
.
Avem: ki(xn)−exkeX=l i m
m→∞kym−xmk≤lim
m→∞(kym−xnk+kxn−xmk)=
lim
m→∞kxn−xmkde unde rezult ˘ac˘a
0≤lim
n→∞ki(xn)−exkeX≤lim
n→∞lim
m→∞kxn−xmk=0 (22)
deoarece (xn)n≥1este¸sir Cauchy. Din (22) rezult ˘ac˘a¸sirul (i(xn))n≥1⊂i(X)
converge în eXc˘atreexdecii(X)este subspa ¸tiu dens în eX.
25

S˘aa r ˘at˘am acum c ˘aeXeste complet în norma k·keX.Fie pentru aceasta
((ex)n)n≥1=(ex1,ex2,···,exn,···)⊂eXun¸sir Cauchy în norma k·keX.Deoarece
i(X)este dens în eXrezult ˘ac˘ap e n t r u ﬁecare clas ˘ad ee c h i v a l e n ¸t˘aexnexist ˘a
un vector xn∈Xastfel încât k(ex)n−i(xn)keX<1
n.Ob¸tinem astfel ¸sirul
(xn)n≥1⊂X;s˘aa r ˘at˘am c ˘a acest ¸sir este un ¸sir Cauchy în X. Deoarece
aplica ¸tiaieste o izometrie liniar ˘aa v e m :
kxm−xnkX=ki(xm)−i(xn)keX≤ki(xm)−(ex)mk+k(ex)m−(ex)nk+
+k(ex)n−i(xn)k<1
m+k(ex)m−(ex)nk+1
n→
m,n→∞0.
S˘an o t ˘am cu exclasa de echivalen ¸t˘a a acestui ¸sir³
ex=^(xn)n≥1´
¸si s˘aa r ˘at˘am
c˘a(ex)n→
n→∞exîneX.Avem:
k(ex)n−exkeX≤k(ex)n−i(xn)k+ki(xn)−exk≤1
n+ki(xn)−exk→
n→∞0.
Demonstra ¸tia este încheiat ˘a.
2.3 Spa ¸tiulL(X,Y ). D u a l u l( t a r e )a lu n u is p a ¸tiu nor-
mat
În acest paragraf vom construi spa ¸tiul liniar normat al aplica ¸tiilor liniare în-
tre dou ˘as p a ¸tii liniare normate X¸siY(peste acela ¸si corp al scalarilor K)¸si
vom prezenta principalele propriet ˘a¸ti ale acestuia. Dualul tare al unui spa ¸tiu
normat este un caz particular al situa ¸tiei de mai sus ¸si anume acela în care
Y=K.În cele ce urmeaz ˘av o ml u c r ac us p a ¸tii liniare de ﬁnite peste acela ¸si
corp al scalarilor.
FieX,Y spa¸tii liniare normate.
Deﬁnitia 7 Spunem c ˘ao p e r a t o r u l A:X→Yeste liniar dac ˘aA(αx+βy)=
αA(x)+βA(y),(∀)x,y∈X,(∀)α,β∈K.
Deﬁnitia 8 Spunem c ˘ao p e r a t o r u l A:X→Yeste m[rginit dac ˘at r a n s f o r m ˘a
mul¸timile m ˘arginite din Xîn mul ¸timi m ˘arginite din Y.
Propozitia 2 FieX,Y spa¸tii liniare normate ¸siA:X→Yun operator
liniar. Operatorul Aeste m ˘arginit dac ˘a¸si numai dac ˘ae x i s t ˘a o constant ˘a
M> 0astfel încât kA(x)kY≤MkxkX,(∀)x∈X.
26

Demonstra ¸tie. Necesitatea. Fie Am˘arginit. Presupunem prin ab-
surd c ˘a pentru orice constant ˘aMpozitiv ˘ae x i s t ˘axM∈Xastfel încât
kA(xM)kY>M kxMkX.În particular, pentru orice n∈N∗exist ˘axn∈X
astfel încât kA(xn)kY>nkxnkX.Din aceast ˘a inegalitate rezult ˘ac˘axn6=0,
(∀)n∈N∗¸si cumAeste omogen putem scrie:°°°A³
xn
kxnkX´°°°>n , (∀)n∈N∗.
De aici rezult ˘ac˘aAtransform ˘am u l ¸timea m ˘arginit ˘an
xn
kxnkX,n∈N∗o
într-o
mul¸time nem ˘arginit ˘a, fapt ce contrazice m ˘arginirea operatorului A.
Suﬁcien¸ta. FieBom u l ¸time m ˘arginit ˘aî nX.E x i s t ˘ad e c ioc o n s t a n t ˘a
C> 0astfel încât kxkX≤C,(∀)x∈B.Astfel, pentru orice x∈Bavem
kA(x)kY≤MC de unde rezult ˘ac˘am u l ¸timeaA(B)este m ˘arginit ˘a.
Deﬁnitia 9 Operatorul A:X→Yse nume ¸ste continuu în x0∈Xdac˘a
pentru orice ε> 0exist ˘au nn u m ˘ar real pozitiv δ(ε,x 0)astfel încât pentru
oricex∈Xcukx−x0kX≤δ(ε,x 0)avem kA(x)−A(x0)kY≤ε.Operatorul
Ase nume ¸ste continuu pe Xdac˘a este continuu în ﬁecare element al lui X.
Observatia 5 Operatorul A:X→Yeste continuu în x0∈Xdac˘a¸si
numai dac ˘ap e n t r uo r i c e ¸sir(xn)n≥1⊂Xcu proprietatea xnk·kX→x0avem
A(xn)k·kY→A(x0).
Propozitia 3 FieX,Y spa¸tii liniare normate ¸siA:X→Yliniar. Urm ˘a-
toarele a ﬁrma¸tii sunt echivalente:
i)Aeste continuu în 0∈X;
ii)Aeste continuu pe X;
iii)Aeste m ˘arginit.
Demonstra ¸tie.i)⇒ii).Fiex∈X, x 6=0X¸si(xn)n≥1⊂X, xn→
n→∞
x.Rezult ˘ac˘axn−x→
n→∞0X¸si cumAeste continuun în 0Xdeducem
A(xn−x)→
n→∞A(0) = 0 Y.De aici ¸si din liniaritatea lui Adeducem c ˘a
A(xn)→
n→∞A(x).
ii)⇒i)Aﬁi n dc o n t i n u up e Xeste continuun ¸si în 0X.
i)⇒iii).FieAcontinuu în 0X.Pentruε=1exist ˘aδ> 0astfel încât
pentru orice x∈XcukxkX≤δavem kA(x)kY≤1.Fiex∈X, x 6=0X
¸six0=δ
kxkXx.Cum kx0kX=δdeducem c ˘akA(x0)kY≤1ceea ce implic ˘a
kA(x)kY≤1
δkxkX.
iii)⇒i)Fie (xn)n≥1⊂X, xn→
n→∞0X.Atunci: kA(xn)−A(0X)k=
kA(xn)kY≤MkxnkX→
n→∞0,de unde rezult ˘a continuitatea lui Aîn0X.
27

Exemplul 8 FieX,Y spa¸tii liniare normate, dimX<∞¸siAliniar. Atunci
Aeste continuu.
Pentru a ar ˘ata c ˘aAeste continuu este su ﬁcient s ˘aa r ˘at˘am c ˘aAeste
m˘arginit. Fie {e1,e2,···,en}baz˘aî nX¸six=Pn
i=1ξiei.Deoarece pe un
spa¸tiuﬁnit dimensional orice dou ˘a norme sunt echivalente este su ﬁcient s ˘a
demonstr ˘am m ˘arginira lui Aconsiderând pe Xnorma kxk1=Pn
i=1|ξi|.
Avem:kA(x)k=kP
n
i=1ξiA(ei)k≤Pn
i=1|ξi|kA(ei)k≤max
i=1,nkA(ei)kPn
i=1|ξi|=
=Mkxk1,
undeM=m a x
i=1,nkA(ei)k.
Exemplul 9 FieX=C1([0,1],R)={u:[ 0,1]→R|u,u0continue },
Y=C([0,1],R).PeX¸siYconsider ˘am norma kxkc=m a x
t∈[0,1]|x(t)|.Fie
operatorul A:(C1([0,1],R),k·kc)→(C([0,1],R),k·kc),A(u)=u0.Oper-
atorulAeste liniar dar nu este continuu.
Într-adev ˘ar, dac ˘aAarﬁcontinuu atunci ar ﬁm˘arginit. S ˘aa r ˘at˘am c ˘a
operatorul Anu este m ˘arginit. Fie ¸sirul (un)n≥1⊂C1([0,1],R),de ter-
men general un(t)=tn,t∈[0,1].Mul¸timea {un,n∈N∗}este m ˘arginit ˘a
deoarece kunkc=m a x
t∈[0,1]|un(t)|=m a x
t∈[0,1]tn=1,(∀)n∈N∗,p ec â n dm u l ¸timea
{A(un),n∈N∗}este nem ˘arginit ˘a deoarece: kA(un)kc=m a x
t∈[0,1]ntn−1=n,
(∀)n∈N∗.Rezult ˘ac˘a operatorul Anu este m ˘arginit deci nu este continuu.
Observatia 6 Dac˘a în exemplul de mai sus consider ˘am peX=C1([0,1],R)
norma kukC1=kukc+ku0kcatunci operatorul Aeste continuu.
Într-adev ˘ar avem kA(u)kc=m a x
t∈[0,1]|u0(t)|=ku0kc≤kukc+ku0kc=kukC1,
deci operatorul Aeste m ˘arginit.
FieX, Y spa¸tii liniare normate ¸siﬁem u l ¸timea
L(X,Y )={A:X→Y, A liniar ¸si continuu }.
S˘ao r g a n i z ˘am aceast ˘am u l ¸time ca spa ¸tiu liniar. Pentru A1,A2∈L(X,Y )
deﬁnim suma operatorilor A1,A2caﬁind operatorul
(A1+A2):X→Y,(A1+A2)(x)=A1(x)+A2(x),(∀)x∈X.
28

PentruA∈L(X,Y )¸siλ∈Kprodusul dintre operatorul A¸si scalarul λ
este operatorul
(λA):X→Y,(λA)(x)=λA(x),(∀)x∈X.
Se constat ˘ac uu ¸surin ¸t˘ac˘ao p e r a t o r i i (A1+A2)¸si(λA)sunt liniari. Cu aju-
torul acestor aplica ¸tii ob ¸tinem spa¸tiul liniar al aplica ¸tiilor liniare ¸si continue ,
pe care îl not ˘am(L(X,Y ),+,·).
S˘ad e ﬁnim pe acest spa ¸tiu o norm ˘a. Pentru început plec ˘am de la obser-
va¸tia c ˘ao p e r a t o r u l A∈(L(X,Y ),+,·)ﬁind m ˘arginit, m ˘arimea sup
x∈X,x 6=0kA(x)kY
kxkX
exist ˘a¸si este ﬁnit˘a. Fie aplica ¸tia
k·kL(X,Y ):L(X,Y )→R+,kAkL(X,Y )=s u p
x∈X,x 6=0kA(x)kY
kxkX. (23)
S˘aa r ˘at˘am c ˘aa c e a s t ˘a aplica ¸tie îndepline ¸ste axiomele normei:
i)Evident kAkL(X,Y )≥0.Dac ˘akAkL(X,Y )=0 atunci kA(x)kY=0,
(∀)x∈X,de unde rezult ˘aA(x)=0,(∀)x∈X;
ii)PentruA1,A2∈L(X,Y )avem:
kA1+A2kL(X,Y )=s u p
x∈X,x 6=0k(A1+A2)(x)kY
kxkX≤ sup
x∈X,x 6=0kA1(x)kY+kA2(x)kY
kxkX≤
≤ sup
x∈X,x 6=0kA1(x)kY
kxkX+s u p
x∈X,x 6=0kA2(x)kY
kxkX=
=kA1kL(X,Y )+kA2kL(X,Y );
iii)Fieλ∈K¸siA∈L(X,Y ).Avem:
kλAkL(X,Y )=s u p
x∈X,x 6=0k(λA)(x)kY
kxkX=s u p
x∈X,x 6=0|λ|kA(x)kY
kxkX=|λ|kAkL(X,Y ).
Observatia 7 i) Din de ﬁni¸tia normei pe L(X,Y )dat˘a de formula (23)
rezult ˘ai n e g a l i t a t e a : kA(x)k≤kAkL(X,Y )·kxk,(∀)x∈X;
ii) Avem urm ˘atoarele de ﬁni¸tii echivalente ale normei pe L(X,Y ):
kAkL(X,Y )=s u p
kxkX≤1kA(x)k=s u p
kxkX<1kA(x)k=s u p
kxkX=1kA(x)k=
=i n f {M> 0|kA(x)kY≤MkxkX}.
Teorema 2 FieXspa¸tiu liniar normat ¸siYspa¸tiu Banach. Atunci
³
L(X,Y ),k·kL(X,Y )´
este un spa ¸tiu Banach.
Demonstra ¸tie.Fie(An)n≥1⊂L(X,Y )un¸sir Cauchy în norma L(X,Y ).
S˘aa r ˘at˘am c ˘ae x i s t ˘aA∈L(X,Y )astfel încât kAn−AkL(X,Y )→
n→∞0.Fie
29

x∈X¸sim,n∈N∗.Avem: kAm(x)−An(x)k≤kAm−AnkL(X,Y )kxkX.
Cum (An)n≥1este ¸sir Cauchy, din inegalitatea precedent ˘a rezult ˘ac˘a¸sirul
(An(x))n≥1este¸sir Cauchy în Xdeci exist ˘alim
n→∞An(x).Deﬁnim operatorul
A:X→YprinA(x) = lim
n→∞An(x).Deoarece
A(x+y)= l i m
n→∞An(x+y)= l i m
n→∞An(x)+ l i m
n→∞An(y)=A(x)+A(y)
pentru orice x,y∈X¸si
A(λx) = lim
n→∞An(λx)=λlim
n→∞An(x)=λA(x)
pentru orice λ∈K¸si pentru orice x∈Xrezult ˘ac˘a operatorul Aeste liniar.
În plus, din faptul c ˘a¸sirul (An)n≥1⊂L(X,Y )este Cauchy rezult ˘ac˘a este
marginit. De aici ¸si din observa ¸tia 7(i)rezult ˘ac˘akAn(x)k≤Ckxk,(∀)x∈
Xiar prin trecere la limit ˘a pentru n→∞ rezult ˘ac˘akA(x)k≤Ckxk,
(∀)x∈X,deciAeste continuu.
S˘aa r ˘at˘am acum c ˘aAn→
n→∞AînL(X,Y ).Fiex∈X¸siε> 0.
Deoarece ¸sirul (An)n≥1⊂L(X,Y )este Cauchy exist ˘aN(ε)astfel încât
kAm−Ank≤ε,(∀)m,n≥N(ε).În inegalitatea
kAm(x)−An(x)k≤kAm−AnkL(X,Y )kxk≤εkxk,(∀)m,n≥N(ε)
ﬁx˘amn≥N(ε)¸si facem m→∞.Ob¸tinem astfel k(An−A)(x)k≤εkxk,
pentru orice n≥N(ε)¸si oricex∈X,de unde kAn−AkL(X,Y )≤ε,
(∀)n≥N(ε),deciAn→
n→∞AînL(X,Y ).
Deﬁnitia 10 Fie(X,k·k)un spa ¸ti liniar normat peste corpul K.Se nume ¸ste
dualul lui Xmul¸timea func ¸tionalelor liniare m ˘arginite de ﬁnite peX:
X∗={x∗:X→K, x∗liniar ˘a¸si m ˘arginit ˘a}.
Observatia 8 i) Cu nota ¸tiile folosite mai sus avem: X∗=L(X,K );
ii) Norma unei func ¸tionale liniare ¸si m ˘arginite pe Xeste:
kx∗k=s u p
kxk≤1|x∗(x)|. (24)
Vom nota norma pe X∗prin k·kL(X,K ))=k·kX∗.Din formula (24) rezult ˘a
inegalitatea:
|x∗(x)|≤kx∗kX∗·kxk.
iii) Deoarece K este complet din teorema 2 rezult ˘ac˘aX∗este complet.
Deﬁnitia 11 Aplica ¸tia<·,·>:X∗×X→K, < x∗,x> =x∗(x)se nume ¸ste
paranteza de dualitate (sau dualitatea canonic ˘a) întreX¸siX∗.
30

3 Spa ¸tii hilbertiene
3.1 Produs scalar
FieXun spa ¸tiu liniar peste corpul K.
Deﬁnitia 1 Aplica ¸tia<·,·>:X×X→Kse nume ¸ste produs scalar pe X
dac˘av e r i ﬁc˘aa x i o m e l e :
i)<x ,x>≥0,(∀)x∈X;<x ,x> =0⇔x=0 ;
ii)<x +y,z > =<x ,z> +<y,z> , (∀)x,y,z∈X;
iii)<λ x ,y> =λ<x ,y> , (∀)λ∈K,(∀)x,y∈X;
iv)<x ,y> =<y,x> , (∀)x,y∈X.
Exemplul 1 i) PeRnaplica ¸tia<x ,y> =nX
i=1ξiηi,undex=(ξ1,ξ2,···,ξn),
y=(η1,η2,···,ηn)∈Rneste un produs scalar, numit produsul scalar
canonic.
ii) PeC([−1,1],R)aplica ¸tia<x , y> =1Z
−1x(t)y(t)dteste un produs
scalar.
Deﬁnitia 2 Un spa ¸t i ul i n i a rp e s t ec a r es – ad e ﬁnit un produs scalar se nu-
me¸ste spa ¸tiu prehilbertian.
Deﬁnitia 3 FieXun spa ¸tiu prehilbertian. Vectorii x,y∈Xse numesc
ortogonali dac ˘a<x ,y> =0.Not˘am acest fapt prin x⊥y.
Propozitia 1 (Inegalitatea Cauchy-Schwartz): Dac ˘aXeste un spa ¸tiu pre-
hilbertian, atunci pentru orice x,y∈Xavem:
|<x ,y> |≤√<x ,x> ·√<y,y> . (25)
Propozitia 2 FieXun spa ¸tiu prehilbertian. Aplica ¸tiak·k:X→R,d eﬁnit˘a
prin:
kxk=√<x ,x> (26)
este o norm ˘ap eX.
Deﬁnitia 4 Norma de ﬁnit˘a de formula (26) se nume ¸ste norma generat ˘ad e
produsul scalar.
31

Deﬁnitia 5 Un spa ¸tiu prehilbertian complet ¯ ınn o r m ag e n e r a t ˘ad ep r o d u s u l
scalar se nume ¸ste spa ¸tiu Hilbert.
Vom nota ¯ ınc e l ec eu r m e a z ˘au ns p a ¸tiu Hilbert cu litera H.
Deﬁnitia 6 Mul¸timea nevid ˘aA⊂Hse nume ¸ste convex ˘ad a c ˘ap e n t r uo r i c e
x,y∈Havemλx+( 1−λ)y∈H,(∀)λ∈[0,1].
Teorema 1 FieHun spa ¸tiu Hilbert real, A⊂Hom u l ¸time convex ˘a, ¯ınchis ˘a,
nevid ˘a¸siu∈H.Atunci exist ˘a un unic element w∈Aastfel ¯ ıncât:
d(u,w )=d(u,A )=i n f
v∈Aku−vk. (27)
Rezultatul din teorema de mai sus ne permite s ˘ad˘am urm ˘atoarea de ﬁni¸tie.
Deﬁnitia 7 FieHspa¸tiu Hilbert , A⊂Hom u l ¸time convex ˘a, ¯ınchis ˘a, nev-
id˘a. Se nume ¸ste proiector (sau operator de proiec ¸tie) al lui HpeAoperatorul
P:H→A,care asociaz ˘ao r i c ˘arui vector u∈Hunicul element w∈Aastfel
¯ıncâtd(u,w )=d(u,A ).
Deﬁnitia 8 FieA⊂H, A nevid ˘a. Mul ¸timea
A⊥={x∈H|x⊥A}
se nume ¸ste ortogonalul lui A.
Propozitia 3 FieA⊂H, A nevid ˘a.A⊥este un subspa ¸tiu liniar ¯ ınchis ¯ ın
H.
Propozitia 4 Dac˘aPproiecteaz ˘aHpe subspa ¸tiul ¯ ınchis propriu Matunci
operatorul Q=I−P(undeIeste operatorul identitate pe H)proiecteaz ˘aH
peM⊥.
Observatia 1 Din propozi ¸tia (4) rezult ˘ac˘ad a c ˘aMeste un subspa ¸ti ¯ınchis
propriu ¯ ınHatunci orice vector x∈Hse scrie ¯ ınm o du n i cs u bf o r m a
x=x0+x00,x0∈M, x00∈M⊥,adic ˘a are loc descompunerea ortogonal ˘a:
H=M⊕M⊥.
32

3.2 Teorema Riesz
FieHun spa ¸tiu Hilbert ¸siH∗dualul s ˘au.
Propozitia 5 Fief∈H∗¸siKerf = {x∈H|f(x)=0 }.AtunciKerfeste
un subspa ¸tiu ¯ınchis ¯ ınH.
Deminstra ¸tie. Faptul c ˘am u l ¸timeaKerfeste un subspa ¸tiu liniar ¯ ınH
rezult ˘a din liniaritatea lui f.F i eu∈Kerf¸si(un)n∈N∗∈Kerfastfel ¯ ıncât
un→
n→∞u.Din continuitatea lui favemf(u)=f³
lim
n→∞un´
= lim
n→∞f(un)=0
deciu∈Kerf,adic ˘as u b s p a ¸tiulKerfeste ¯ ınchis.
Teorema 2 (Riesz). Fie Hun spa ¸tiu Hilbert ¸sif∈H∗.Atunci exist ˘a
¸si este unic uf∈Hastfel ¯ ıncâtf(v)=<v , u f>,(∀)v∈H.Mai mult
kfkH∗=kufk.
Demonstra ¸tie. Existen ¸ta luiuf.Dac ˘afeste func ¸t i o n a l az e r oa t u n c i
lu˘amuf=0H.Dac ˘af6=0H∗atunciM=Kerfeste unsubspa ¸tiu propriu
¯ınchis al lui H¸siH=M⊕M⊥.Deoarece Meste propriu exist ˘aw∈M⊥,
w6=0H.Fiev∈H¸siv0=v−f(v)
f(w)w.Se constat ˘ac uu ¸surin ¸t˘ac˘af(v0)=0
¸si deci<v0,w> =0.De aici rezult ˘ac˘a:f(v)=<v ,f(w)
kwk2w> decif(v)=<
v,uf>,(∀)v∈H,undeuf=f(w)
kwk2w.
Unicitatea. Presupunem c ˘ae x i s t ˘au0
f6=ufastfel¯ ıncâtf(v)=<v,u f>=<
v,u0
f>,(∀)v∈H.Atunci<v,u f−u0
f>=0,(∀)v∈H.Luândv=uf−u0
f
ob¸tinemuf−u0
f=0,deciuf=u0
f. Din formula de reprezentare a lui
f¸si aplicând inegalitatea Cauchy-Schwartz ob ¸tinem: |f(v)|≤kufk·kvk,
(∀)v∈H.de aici rezult ˘akfkH∗≤kufk.Mai mult, avem:
kfkH∗=s u p
kvk≤1|f(v)|=s u p
kvk≤1|<v,u f>|≥<1
kufkuf,uf>=kufk.
De aici ¸si din inegalitatea precedent ˘ao b¸tinem kfkH∗=kufk.
33

4 Teoreme de punct ﬁx
4.1 Principiul contrac ¸tiilor
Fie func ¸tiaf:R→R.
Deﬁnitia 1 Num ˘arulx0∈Rse nume ¸ste punct ﬁxa lf u n c ¸tieifdac˘a
f(x0)=x0.
Teorema 1 (Prinicpiul contrac ¸tiilor pe dreapta real ˘a). Fief:R→Ro
contrac ¸tie, adic ˘aof u n c ¸tie cu proprietatea c ˘ae x i s t ˘aoc o n s t a n t ˘aαcu0≤
α< 1astfel încât
|f(x1)−f(x2)|≤α·|x1−x2|,(∀)x1,x2∈R. (28)
Atunci: i) fare un punct ﬁx¸si numai unul;
ii) Unicul punct ﬁxx∗este limita ¸sirului (xn)n∈N⊂R,deﬁnit prinxn+1=
f(xn),iarx0este un num ˘ar real arbitrar;
iii) Avem:
|xn−x∗|≤αn
1−α|f(x0)−x0|,n∈N∗. (29)
Demonstra ¸tie. Dac ˘aα=0 atunci din inegalitatea (28) rezult ˘ac˘a
aplica ¸tiafeste constant ˘a¸si aﬁrma¸tiile din teorem ˘a sunt evidente. Fie 0<
α< 1¸six0∈Rarbitrar. De ﬁnim¸sirul (xn)n∈Nprinxn+1=f(xn),n∈N.
problema se reduce la demonstrarea convergen ¸tei acestui ¸sir.
Pasul 1. S ˘a estim ˘am distan ¸ta dintre doi termeni consecutivi ai ¸sirului.
Din de ﬁni¸tia¸sirului ¸si din faptul c ˘afeste contrac ¸tie ob ¸tinem:
|xn+1−xn|=|f(xn)−f(xn−1)|≤α·|xn=xn−1|,
de unde rezult ˘a
|xn+1−xn|≤α|xn−xn−1|≤α2|xn−1−xn−2|≤
≤···≤αn|f(x0)−x0|. (30)
Pasul 2. Estim ˘am distan ¸ta dintre doi termeni oarecare ai ¸sirului. Cu (30)
¸si inegalitatea triunghiului ob ¸tinem pentru n∈N:,p∈N∗:
|xn+p−xn|≤|xn+p−xn+p−1|+|xn+p−1−xn+p−2|+···+|xn+1−xn|≤
≤¡
αn+p−1+αn+p−2+···+αn¢
|f(x0)−x0|≤
≤αn¡
1+α+α2+···¢
|f(x0)−x0|=
=αn
1−α|f(x0)−x0|. (31)
34

În deducerea inegalit ˘a¸tii de mai sus am folosit faptul c ˘ap e n t r u 0<α< 1
seria∞X
k=0αkeste convergent ˘a¸si c˘as u m as ae s t ee g a l ˘ac u1
1−α.
Pasul 3. Ar ˘at˘am c ˘a¸sirul (xn)n∈Neste¸sir Cauchy. Deoarece
αn
1−α|f(x0)−x0|→
n→∞0pentru orice ε> 0exist ˘au nr a n g N(ε)∈N∗astfel
¯ıncât dac ˘an≥N(ε)avem
αn
1−α|f(x0)−x0|<ε . (32)
Din inegalit ˘a¸tile (31) ¸si (32) rezult ˘ac˘a pentru orice n≥N(ε)¸si oricep∈N∗
avem |xn+p−xn|<ε , ceea ce ne arat ˘ac˘a¸sirul (xn)n∈Neste Cauchy. Cum R
este complet exist ˘alimxn
n→∞=x∗∈R.
Pasul 4. Unicitatea punctului ﬁx. Avem:
|x∗−f(x∗)|=|x∗−xn+xn−f(x∗)|≤|x∗−xn|+|f(xn−1)−f(x∗)|≤
≤|x∗−xn|+α|xn−1−x∗|.
Trecând la limit ˘ap e n t r u n→∞ ¸si¸tinînd seama c ˘axn→
n→∞x∗rezult ˘ac˘a
f(x∗)=x∗decix∗este punct ﬁxp e n t r u f.Dac ˘a ar mai exista un punct ﬁx
al luif,ﬁe acestay∗6=x∗,atunci am avea:
0<|x∗−y∗|≤|f(x∗)−f(y∗)|≤α|x∗−y∗|
de unde rezult ˘aα> 1,contradic ¸tie.
Pasul 5. Estimarea erorii. Pentru a ob ¸tine estimarea (29) trecem la limit ˘a
în (31) pentru p→∞.
Teorema 1 poate ﬁgeneralizat ˘aî nm o d u lu r m ˘ator.
Teorema 2 FieMo parte închis ˘an e v i d ˘aal u iR¸sif:M→Mo contrac ¸tie
cu coe ﬁcientul de contrac ¸tieα∈(0,1).Atuncifa r eu nu n i cp u n c t ﬁxx∗
astfel încât
|xn−x∗|≤αn
1−α|f(x0)−x0|,n∈N∗,
undex0este primul termen al ¸sirului (xn)n∈N,xn+1=f(xn).
Demonstra ¸tie. Reamintim c ˘aop a r t en e v i d ˘aM⊂Rse nume ¸ste în-
chis˘ad a c ˘a pentru orice ¸sir(xn)n∈N⊂M, xn→
n→∞xrezult ˘ax∈M.Ca în
demonstra ¸tia teoremei 1 se poate construi ¸si în acest caz ¸sirul aproxima ¸tiilor
35

succesive x0∈M,xn+1=f(xn)(∀)n∈N∗.Ca în demonstra ¸tia teoremei 1
se arat ˘ac˘a acest ¸sir este un ¸sir Cauchy de numere reale, deci are limit ˘ax∗.
CumMeste închis ˘ar e z u l t ˘ac˘ax∗∈M.faptul c ˘ax∗este unicul punct ﬁxa l
luifse demonstreaz ˘a la fel ca în demonstra ¸tia teoremei 1.
Observatia 1 Ipotezele teoremei 2 sunt cele mai bune cu putin ¸t˘a, în sensul
c˘ae l en up o t ﬁsl˘abite. Astfel:
1) Condi ¸tiaα< 1este esen ¸tial˘a. Într-adev ˘ar, dac ˘aα=1atunci, chiar
dac˘a avem inegalitatea strict ˘a|f(x1)−f(x2)|<α|x1−x2|,(∀)x1,x2∈M
teorema nu mai r ˘amâne valabil ˘a. Într-adev ˘ar, ﬁef:[ 1,∞)→[1,∞),
f(x)=x+1
x.Observ ˘am urm ˘atoarele:
i) mul ¸timea [0,∞)este închis ˘a, deoarece dac ˘a¸sirul (xn)n∈N⊂[1,∞)are
limit ˘a atunci limita sa apar ¸tine mul ¸timii [1,∞);
ii) f este bine de ﬁnit˘a deoarece dac ˘ax≥1atuncix+1
x≥1;
iii) f satisface inegalitatea |f(x1)−f(x2)|<|x1−x2|,(∀)x1,x2∈[1,∞).
Cu toate acestea f nu are niciun punct ﬁx. Într-adev ˘ar, dac ˘aa re x i a t a
x∗∈[1,∞)astfel ¯ ıncâtf(x∗)=x∗+1
x∗=x∗ar ¯ınsemna c ˘a1
x∗=0 cu
x∗≥1absurd.
2)¯In teorema 2 este esen ¸tial ca mul ¸timeaMs˘aﬁe¯ınchis ˘a. Iat ˘a un contraex-
emplu. Fie f:( 0,∞)→(0,∞),f(x)=1
2x.Aplica ¸tia f este bine de ﬁnit˘a
¸si este o contrac ¸tie cuα=1
2deoarece pentru orice x1,x2∈(0,∞)avem
|f(x1)−f(x2)|=1
2|x1−x2|.Aplica ¸tia f nu are îns ˘a niciun punct ﬁx. Într-
adev ˘ar dac ˘aa re x i s t a x∗∈(0,∞)astfel încât f(x∗)=1
2x∗=x∗ar însemna
c˘a1=1
2absurd.
Teorema 3 (Principiul contrac ¸tiilor în spa ¸tii metrice complete). Fie (X,d )
un spa ¸tiu metric complet ¸siT:X→Xoc o n t r a c ¸tie cu 0≤α≤1.Atunci:
i) Exist ˘a¸si este unic x∗∈Xastfel încât x∗=T(x∗);
ii) Dac ˘ax0este arbitrar în X¸si de ﬁnim ¸sirul (xn)n∈N⊂X, xn+1=f(xn),
n∈N,atunci lim
n→∞d(xn,x)=0 ¸si pentru orice n∈Navem
d(xn,x∗)≤α
1−αd(T(x0),x0). (33)
Demonstra¸ tie. Pentru a demonstra teorema se refac pas cu pas ra ¸tion-
amentele din demonstrarea teoremei 1, înlocuind fcuT¸si modulul ”|·|”cu
distan ¸tad.
Observatia 2 Se poate da ¸si o alt ˘ad e m o n s t r a ¸tie pentru existen ¸ta punctului
ﬁxa lc o n t r a c ¸tieiT,d e m o n s t r a ¸tie care utilizeaz ˘aî nm o de s e n ¸tial principiul
lui Cantor (teorema 2, capitolul 1).
36

Într-adev ˘ar,ﬁem u l ¸timile
Fn=½
x∈R|d(T(x),x)≤1
n¾
,n∈N∗. (34)
Mul¸timileFnsunt nevide pentru orice n∈N∗.Într-adev ˘ar,ﬁen∈N∗¸si
x∗∈X.Cumd(Tp+1(x0),Tp(x0))≤αpd(T(x0),x0),rezult ˘ac˘ad a c ˘ap
este ales astfel ¯ ıncâtαpd(T(x∗),x∗)<1
natuncixp=Tp(x0)∈Fn.Vom
ar˘ata c ˘am u l ¸timileFnsatisfac ipotezele teoremei 2, capitolul 1.
Mai întâi s ˘aa r ˘at˘am c ˘am u l ¸timileFnsunt închise. Fie (xk)k∈N∗⊂Fncu
d(T(xk),xk)≤1
npentru orice k∈N∗un ;ir convergent la x.S˘aa r ˘at˘am c ˘a
x∈Fn.Într-adev ˘ar, dinxk→
k→∞xrezult ˘ac˘aT(xk)→T(x)pentruk→∞
¸s iîn consecin ¸t˘ad(T(xk),xk)→d(T(x),x)pentruk→∞.Într-adev ˘ar,
avem:
|d(xk,T(xk)−d(x,T (x))|≤d(xk,x)+d(x,T (xk))−d(x,T (x))≤
≤d(xk,x)+d(T(xk),T(x))
¸si este su ﬁcient s ˘a¸tinem seama aici c ˘ad(xk,x)→0,d(T(xk),xk)→0
pentruk→∞.Dind(xk,T(xk))≤1
n¸sid(T(xk),xk)→d(T(x),x)pentru
k→∞ rezult ˘ad(x,T (x))≤1
ndecix∈Fn.
Evident avem Fn⊃Fn+1,(∀)n∈N∗.R˘amâne s ˘am a id e m o n s t r ˘am c ˘a
dn=d(Fn)→0pentrun→∞.Fiex,y∈Fn.Avem:
d(x,y)≤d(x,T (x)) +d(T(x),T(y)) +d(T(y),y)≤
≤1
n+αd(x,y)+1
n,
de unde rezult ˘ad(x,y)≤2
n(1−α)¸sidn=s u p
x,y∈Fnd(x,y)≤2
n(1−α)→0pentru
n→∞.
Conform principiului lui Cantor ob ¸tinem∞\
n=1Fn6=Φ.Fieξ∈∞\
n=1Fn.
Atuncid(ξ,T (ξ))≤1
npentru orice n∈N∗,adic ˘aT(ξ)=ξ.
Teorema 4 Fie (X,d )un spa ¸tiu metric complet, M⊂Xo parte nevid ˘a,
închis ˘aal u iX¸si operatorul T:M→Mcontrac ¸tie cu coe ﬁcientul de
contrac ¸tieα.Atunci operatorul Ta r eu nu n i cp u n c t ﬁxx∗.Unicul punct ﬁx
al luiTeste limita ¸siruluix0∈M, xn+1=T(xn),(∀)n∈N∗.Mai mult,
d(xn,x∗)≤αn
1−αd(T(x0),x0).
37

Demonstra ¸tie. Demonstra ¸tia este aceea ¸si cu demonstra ¸tia teoremei 2
unde se înlocuie ¸ste modulul cu distan ¸ta.
Urm ˘atoarele rezultate sunt consecin ¸te ale principiului contrac ¸tiilor.
Deﬁnitia 2 Fie (X,d )¸si(X,ρ )dou˘as p a ¸tii metrice ¸si(fn)n≥1un¸sir de
func¸tiifn:X→Y, n∈N∗.Spunem c ˘a¸sirul (fn)n≥1converge uniform la
func¸tiaf:X→Ydac˘ap e n t r uo r i c e ε> 0exist ˘aN(ε)∈N∗astfel încât
pentru orice n≥N(ε)¸si oricex∈Xavemρ(fn(x),f(x))≤ε.
Teorema 5 Fie (X,d )un spa ¸tiu metric complet ¸si(fn)n≥1un¸sir de func ¸tii
fn:X→X, n∈N∗care converge uniform la func ¸tiaf:X→X.Pre-
supunem c ˘a:
i)(∀)n∈N∗,fnare puncte ﬁxe;
ii) f satisface o condi ¸tie Lipschitz cu constanta α∈[0,1).
În aceste condi ¸tii dac ˘af(xn)=xn,(∀)n∈N∗atunci ¸sirul (xn)n≥1con-
verge la unicul punct ﬁxx0al aplica ¸tiei f.
Demonstra ¸tie. Existen ¸ta¸si unicitatea punctului ﬁxp e n t r u frezult ˘ad i n
principiul contrac ¸tiilor. S ˘aa r ˘at˘am c ˘ad(xn,x0)→0pentrun→∞.Avem :
d(xn,x0)=d(fn(xn),x0)≤d(fn(xn),f(xn)) +d(f(xn),x0)=
=d(fn(xn),f(xn)) +d(f(xn),f(x0))≤
≤d(fn(xn),f(xn)) +αd(xn,x),
adic ˘a
d(xn,x0)≤1
1−αd(fn(xn),f(xn)).
Fieε> 0.Deoarece ¸sirul (fn)n≥1converge uniform uniform c ˘atre func ¸tiaf
exist ˘au nr a n g N(ε)astfel încât pentru orice n≥N(ε)¸si pentru orice x∈X
avemd(fn(xn),f(xn))≤ε(1−α).În consecin ¸t˘a, pentru orice n≥N(ε)
avemd(xn,x0)≤ε¸si demonstra ¸tia este ¯ ıncheiat ˘a.
Teorema 6 Fie (X,k·k)un spa ¸tiu Banach ¸siT:X→Xo contrac ¸tie.
Atunci operatorul IX−T:X→Xeste bijectiv.
Demonstra ¸tie. Injectivitatea. Fie x1,x2∈Xastfei încât
(IX−T)(x1)=(IX−T)(x2).Atuncix1−x2=T(x1)−T(x2)¸si deci
kx−x2k=kT(x1)−T(x2)k≤αkx1−x2k.
38

Dac ˘ax16=x2atunci kx1−x2k>0¸si din inegalitatea precedent ˘a rezult ˘a
α≥1,contradic ¸tie.
Surjectivitatea. Fie y∈X.S˘aa r ˘at˘am c ˘ae x i s t ˘ax∈Xastfel încât
(IX−T)(x)=ysaux=T(x)+y.S˘ac o n s i d e r ˘am operatorul Q:X→X,
Q(x)=T(x)+y.Atunci pentru orice x1,x2∈Xavem:
kQ(x1)−Q(x2)k=kT(x1)−T(x2)k≤αkx1−x2k.
Rezult ˘ac˘ao p e r a t o r u l Qeste contrac ¸tie¸si cu teorema contrac ¸tiilor el admite
un unic punct ﬁx. Exist ˘ad e c ix∈Xastfel încât Q(x)=xde unde rezult ˘a
x=T(x)+y,fapt ce implic ˘a surjectivitatea operatorului T.
Teorema 7 FieXom u l ¸time nevid ˘a¸si operatorul T:X→X.
i) Dac ˘ax0∈Xeste punct ﬁxp e n t r u Tatuncix0este punct ﬁx¸si pentru
Tn,(∀)n∈N∗;
ii) Dac ˘ae x i s t ˘an∈N∗astfel ˘ancîtTnare un punct ﬁx¸si numai unul, ﬁe
elx0, atuncix0este unicu punct ﬁxa ll u iT.
Demonstra ¸tie. i) DinT(x0)=x0rezult ˘aT2(x0)=T(x0)=x0deci
x0este punct ﬁx pentru T2.S˘apresupunem c ˘ax0este punct ﬁxp e n t r u Tn−1.
AtunciTn(x0)=T(Tn−1(x0)) =T(x0)=x0,decix0este punct ﬁx¸si pentru
Tn.
ii) Fiex0unicul punct ﬁxa ll u iTn:Tn(x0)=x0.Atunci
Tn+1(x0)=T(Tn(x0)) =T(x0),
sau, deoarece operatorii T¸siTncomut ˘a,
Tn(T(x0)) =T(x0),
adic ˘aT(x0)este punct ﬁx pentru Tn.Cum, prin ipotez ˘a,x0este unicul punct
ﬁxa ll u iTn,rezult ˘aT(x0)=x0.
Pentru a demonstra unicitatea punctului ﬁxal operatorului Ts˘ap r e –
supunem c ˘aa re x i s t a x∗
0astfel încât T(x∗
0)=x∗
0.Din i) rezult ˘ac˘ax∗
0¸si
x0sunt puncte ﬁxe pentru operatorul Tn.Cum prin ipotez ˘aTnare un unic
punct ﬁx, rezult ˘ax∗
0=x0.
Propozitia 1 Fie (X,d )un spa ¸tiu metric complet ¸siT:X→Xun opera-
torcu propietatea c ˘a exist ˘an∈N∗astfel încât Tneste contrac ¸tie. Atunci T
a r eu nu np u n c t ﬁx¸si numai unul.
Demonstra ¸tie. Conform principiului contrac ¸tiilorTnadmite un punct
ﬁx¸si numai unul. Este su ﬁcient acum s ˘a aplic ˘am punctul ii) al teoremei
precedente.
39

Observatia 3 Dac˘ap el â n g ˘a ipotezele propozi ¸tiei 1 se presupune c ˘aTeste
continuu atunci se poate da o demonstra ¸tie direct ˘a a acestei propozi ¸tii, demon-
stra¸t i ec a r ef r u c t i ﬁc˘a ideile din demonstra ¸tia principiului contrac ¸tiilor.
Fie , într-adev ˘ar,αcoeﬁcientul de contrac ¸tie al lui Tn¸six0∈Xarbitrar.
Din demonstra ¸tia principiului contrac ¸tiilor se ¸stie c ˘a¸sirulx1=Tn(x0),
xp=Tn(xp−1),p∈N,p≥2converge la unicul punct ﬁxa ll u i Tn:
xp→
p→∞x∗,Tn(x∗)=x∗.Mai mult, d(xp,x∗)≤αp
1−αd(Tn(x0),x0).
Pe de alt ˘ap a r t e
d(T(xp),xp)=d(T(Tn(xp−1)),Tn(xp−1)) =
=d(Tn(T(xp−1)),Tn(xp−1))≤αd(T(xp−1),xp−1).
Similar ob ¸tinemd(T(xp−1),xp−1)≤αd(T(xp−2),xp−2)astfel încât putem
scrie:d(T(xp),xp)≤αpd(T(x0),x0).
Deoarece αp→
p→∞0rezult ˘ac˘ad(T(xp),xp)→
p→∞0deci
lim
p→∞T(xp) = lim
p→∞xp=x∗.
Cum operatorul Teste continuu avem lim
p→∞T(xp)=T(x∗)deciT(x∗)=x∗.
Observatia 4 Din analiza demonstra ¸tiei teoremei 7 rezult ˘ac˘ai p o t e z a" e x –
ist˘an∈N∗astfel ¯ ıncâtTnposed ˘au nu n i cp u n c t ﬁx" este esen ¸tial˘a.
Într-adev ˘ar,ﬁef u n c ¸tiaf:Z→Zdeﬁnit˘ap r i n :
f(n)=½n+1,d a c ˘ane s t ep a r
n−1,d a c ˘ane s t ei m p a r .
Se constat ˘ac˘a(f◦f)(n)=n,(∀)n∈Zdeci orice num ˘ar întreg este
punct ﬁx al aplica ¸tieif2=f◦f.Pe de alt ˘a parte din modul cum a fost
deﬁnit˘a se constat ˘ai m e d i a tc ˘afnu are puncte ﬁxe.
Observatia 5 Exist ˘aa p l i c a ¸tii aplica ¸tii neexpansive de la un spa ¸tiu Banach
în el însu ¸si care admit o itera ¸t i ec ee s t eoc o n t r a c ¸tie.
Într-adev ˘ar,ﬁes p a ¸tiul Banach C[a,b]¸siﬁe operatorul
T:C[a,b]→C[a,b],(Tf)(t)=Rt
af(x)dx, t∈[a,b].Deoarece
|(Tf1)(t)−(Tf2)(t)|=¯¯¯¯Zt
a[f1(x)−f2(x)]dx¯¯¯¯≤
≤Zt
a|f1(x)−f2(x)|dx≤
≤Zt
amax
x∈[a,t]|f1(x)−f2(x)|dx≤
≤(b−a)kf1−f2kC[a,b],
40

se ob ¸tine rela ¸tia
kTf1−Tf2kC[a,b]≤(b−a)kf1−f2kC[a,b]. (35)
Dac ˘a0<b−a< 1din () se ob ¸tine c ˘aTeste contrac ¸tie. Dac ˘ab−a=1atunci
din () rezult ˘ac˘aa p l i c a ¸tiaTeste neexpansiv ˘a. D a c ˘ab−a≥1operatorul T
poate s ˘an u ﬁe contrac ¸tie dar vom ar ˘ata c ˘ae x i s t ˘am∈N∗\{1}astfel încât
Tms˘aﬁe contrac ¸tie. Într-adev ˘ar, avem:
(Tf)(t)=Rt
af(x)dx,
(T2f)(t)=T(Tf)(t)=Rt
a(Tf)(x)dx=Rt
a¡Rx
af(ξ)dξ¢
dx=
=Rt
af(ξ)³Rt
ξdx´
dξ=Rt
af(ξ)(t−ξ)dξ,
(T3f)(t)=T(T2f)(t)=Rt
a(T2f)(x)dx=Rt
a¡Rx
af(ξ)(x−ξ)dξ¢
dx=
=Rt
af(ξ)³Rt
ξ(x−ξ)dx´
dξ=Rt
af(ξ)(t−ξ)2
2dξ.
Prin induc ¸tie se arat ˘ai m e d i a tc ˘a:
(Tmf)(t)=1
(m−1)!Rt
a(t−x)m−1f(x)dx.
Atunci:
kTmfkC[a,b]≤kfkC[a,b]Rb
a(t−x)m−1dx≤kfkC[a,b]Rb
a(b−x)m−1dx=
=(b−a)m
m!kfkC[a,b].
Deoarece lim
m→∞(b−a)m
m!=0exist ˘am∈N∗\{1}pentru care(b−a)m
m!<1deciTm
este contrac ¸tie.
4.2 Teorema de punct ﬁxal u iB r o u w e r
Scopul acestui paragraf este demonst rarea teoremei lui Brouwer. Pentru
început vom prezenta demonstra ¸tia teoremei în dimensiune unu, apoi vom
da demonstra ¸tia îeoremei în dimensiune n≥2.Înﬁnalul capitolului vom
prezenta câteva consecin ¸te ale teoremei lui Brouwer.
Teorema 8 Fiea,b∈R,a<b ¸sif:[a,b]→[a,b]of u n c ¸tie continu ˘a.
Atunci exist ˘au np u n c t x0∈[a,b]astfel încât f(x0)=x0.
Demonstra ¸tie. Fie func ¸tiag:[a,b]→R,g(x)=f(x)−x.Func¸tiaf
ﬁind continu ˘ar e z u l t ˘ac˘a¸si func ¸tiagare aceea ¸si proprietate. În plus
g(a)=f(a)−a≥0,g(b)=f(b)−b≤0.Dac ˘ag(a)=0 atuncif(a)=a¸si
concluzia teoremei este adev ˘arat ˘ac ux0=a.Dac ˘ag(b)=0 atuncif(b)=b¸si
concluzia teoremei este adev ˘arat ˘ac ux0=b.Dac ˘ag(a)6=0,g(b)6=0atunci
g(a)>0,g(b)<0.C u mgeste continu ˘a,gare proprietatea lui Darboux.
Deoarece la capetele intervalului [a,b]gare semne contrare rezult ˘ac˘ae x i s t ˘a
x0∈(a,b)astfel încât g(x0)=0,decif(x0)=x0.
41

Teorema 9 Fief:R→Rm˘arginit ˘a. Atunci exist ˘ax0∈Rastfel încât
f(x0)=x0.
Demonstra ¸tie. Deoarece feste m ˘arginit ˘ae x i s t ˘au ni n t e r v a l [a,b]care
con¸tine toate valorile lui f:f(R)⊂[a,b].Rezult ˘ad ea i c ic ˘af([a,b])⊂[a,b].
Fieg:[a,b]→[a,b],g(x)=f(x),(∀)x∈[a,b].Func¸tiageste continu ˘a¸si
cu teorema 1 exist ˘ax0∈(a,b)astfel încât g(x0)=x0,decif(x0)=x0.
Observatia 6 i) Teorema 1 furnizeaz ˘a condi ¸tii su ﬁciente pentru ca func ¸tia
fs˘aa d m i t ˘ap u n c t e ﬁxe. Intuitiv, un punct x0este ﬁxp e n t r u fdac˘ap u n c t u l
din plan având coordonatele (x0,f(x0))apar¸tine gra ﬁc u l u ip r i m e ib i s e c t o a r e .
În consecin ¸t˘a, a spune c ˘aof u n c ¸tiefposed ˘ap u n c t e ﬁxe înseamn ˘aas p u n ec ˘a
graﬁcul luifintersecteaz ˘ag r a ﬁcul primei bisectoare. Abscisa oric ˘arui astfel
de punct de intersec ¸tie este punct ﬁxp e n t r u f.
ii) Din modul în care a fost demonstrat ˘at e o r e m a2n use o b ¸tine¸si modul
de calcul al punctului ﬁx: este ceea ce denumim o demonstra ¸tie neconstructiv ˘a
au n e it e o r e m ed ee x i s t e n ¸t˘a.
iii) Fie în teorema 1 [a,b]=[−R,R ].Dac˘an o t ˘am cu
B1(0,R)={x∈R||x|≤R}
bila închis ˘ad ec e n t r u 0¸si raz ˘aR,atunci teorema 1 se poate enun ¸ta în modul
urm ˘ator: dac ˘af:B1(0,R)→B1(0,R)este o func ¸tie continu ˘aa t u n c ie x i s t ˘a
x0∈B1(0,R)astfel încât f(x0)=x0.
Fie spa ¸tiulRnnormat cu norma euclidian ˘a:(∀)x=(x1,x2,···,xn),
kxk=(x2
1+x2
2+···+x2
n).FieB(0,1) = {x∈Rn|kxk≤1}.
Teorema 10 (Teorema lui Brouwer): Fie ϕ:B(0,1)→B(0,1)oa p l i c a ¸tie
continu ˘a. Atunci exist ˘ax∈B(0,1)astfel încât ϕ(x0)=x0.
Înainte de a prezenta demonstra ¸tia acestei teoreme s ˘a facem câteva pre-
ciz˘ari. Dac ˘an o t ˘am componentele scalare ale aplica ¸tieiϕcuϕi,i=1,n
atunci ipotezele teoremei a ﬁrm˘a:orice aplica ¸tie
B(0,1)3x=(x1,x2,···,xn)ϕ→(ϕ1(x1,···,x2),···,ϕ1(x1,···,x2))
cuPn
i=1ϕ2
i(x)≤1¸siϕi:B(0,1)→Rcontinue, are un punct ﬁx.
Demonstra ¸tie. Vom efectua demonstra ¸tia în dou ˘ae t a p e .
Etapa întâia. Vom ar ˘ata c ˘a teorema este adev ˘arat ˘ap e n t r u ϕde clas ˘a
C∞.Pentru aceasta vom demonstra mai întâi urm ˘atoarea lem ˘a.
42

Lema 2 Fie domeniul D⊂Rn+1¸sif:D→Rnof u n c ¸t i ed ec l a s ˘aC∞.:
D3x=(x0,x1,···,xn)f→(f1(x0,x1,···,xn),···,fn(x0,x1,···,xn))
cufi:D→R,i=1,nfunc¸tii de clas ˘aC∞.Pentru ﬁecarei=1,n
consider ˘am func ¸tiileDi:D→R,i=0,n::
Di(x)=d e tµ∂f
∂x0,···,∂f
∂xi−1,∂f
∂xi+1,···,∂f
∂xn¶
=¯¯¯¯¯¯¯¯¯∂f1
∂x0···∂f1
∂xi−1∂f1
∂xi+1···∂f1
∂xn
∂f2
∂x0···∂f2
∂xi−1∂f2
∂xi+1···∂f2
∂xn
··· ··· ··· ··· ··· ···
∂fn
∂x0···∂fn
∂xi−1∂fn
∂xi+1···∂fn
∂xn¯¯¯¯¯¯¯¯¯.
AtunciP
n
i=0(−1)i∂Di
∂xi=0.
Demonstra ¸tie. Not˘am cucijurm ˘atorul determinant:
ci,j=¯¯¯∂2f
∂xi∂x0∂f
∂x1···∂f
∂xi−1∂f
∂xi+1···∂f
∂xj−1∂f
∂xj+1···∂f
∂xn¯¯¯.
Aplicând regula de derivare pentru determinan ¸ti ob¸tinem:
∂Di
∂xi=¯¯¯∂2f
∂xi∂x0∂f
∂x1···∂f
∂xi−1∂f
∂xi+1···∂f
∂xn¯¯¯+
+¯¯¯∂f
∂x0∂2f
∂xi∂x1···∂f
∂xi−1∂f
∂xi+1···∂f
∂xn¯¯¯+···+
+¯¯¯∂f
∂x0∂f
∂x1···∂2f
∂xi∂xi−1∂f
∂xi+1···∂f
∂xn¯¯¯+
+¯¯¯∂f
∂x0∂f
∂x1···∂f
∂xi−1∂2f
∂xi∂xi+1···∂f
∂xn¯¯¯+···+
+¯¯¯∂f
∂x0∂f
∂x1···∂f
∂xi−1∂f
∂xi+1···∂2f
∂xi∂xn¯¯¯,
sau
∂Di
∂xi=ci,0(−1)1ci,1+(−1)2ci,2+···+(−1)i−1ci,i−1+(−1)ici,i+1+
+(−1)i+1ci,i+2+···+(−1)n−1ci,n
=i−1X
j=0(−1)jci,j+nX
j=i+1(−1)j−1ci,j.
43

De aici rezult ˘ac˘a:
(−1)i∂Di
∂xi=i−1X
j=0(−1)i+jci,j+nX
j=i+1(−1)i+j−1ci,j,
nX
i=0(−1)i∂Di
∂xi=nX
i=0i−1X
j=0(−1)i+jci,j+nX
i=0nX
j=i+1(−1)i+j−1ci,j
=nX
i,j=0(−1)i+jci,jσi,j,
unde
σi,j=⎧
⎨
⎩1,d a c ˘aj<i
0,d a c ˘aj=i
−1,d a c ˘aj>i .
S˘ao b s e r v ˘am c ˘a,fﬁind de clas ˘aC∞avem, în virtutea criteriului lui
Schwartz,∂2f
∂xi∂xj=∂2f
∂xj∂xi,i ,j =0,n,în orice punct din D. În consecin ¸t˘a
ci,j=cj,ideciαi,j=(−1)i+jci,j=αj,i.
Cum, pe de alt ˘ap a r t e ,σi,j=σj,irezult ˘a:
nX
i=0(−1)i∂Di
∂xi=nX
i,j=0(+1)i+jci,jσi,j=0.
Observatia 7 Din analiza demonstra ¸tiei (aplicarea criteriului lui Schwartz)
rezult ˘ac˘al e m ar ˘amâne adev ˘arat˘a dac ˘af∈Ck(D),k≥2.
S˘a trecem acum la la realizarea primei etape a demonstra ¸tiei care const ˘a
în a ar ˘ata c ˘ad a c ˘aϕ:B(0,1)→B(0,1)cuϕ∈C∞atunci exist ˘ax∈B(0,1)
astfel încât ϕ(x)=x.Presupunem prin absurd c ˘ax6=ϕ(x),(∀)x∈B(0,1).
Începem prin a ar ˘ata c ˘a pentru orice x∈B(0,1)ecua¸t i ad eg r a d u la ld o i l e a
(în necunoscuta a)
kx+a(x−ϕ(x))k2=1 (36)
are dou ˘ar˘ad˘acini reale ¸si distincte. Într-adev ˘ar, scriind ecua ¸tia () sub forma
a2kx−ϕ(x)k2+2a<x ,x−ϕ(x)>−¡
1−kxk2¢
=0, (37)
44

problema revine la a ar ˘ata c ˘a pentru orice x∈B(0,1)avem:
∆(x)=<x ,x−ϕ(x)>2+¡
1−kxk2¢
·kx−ϕ(x)k2>0. (38)
Deoarece kxk≤1este evident c ˘a∆(x)≥0,(∀)x∈B(0,1).R˘am â n es ˘a
ar˘at˘am c ˘aî nn i c i u np u n c t x∈B(0,1)nu avem ∆(x)=0.Dac ˘akxk<1
atunci, ¸tinând cont de presupunerea x6=ϕ(x),(∀)x∈B(0,1),rezult ˘a
imediat c ˘a
∆(x)≥¡
1−kxk2¢
·kx−ϕ(x)k2>0.
Dac ˘akxk=1 atunci∆(x)=<x ,x−ϕ(x)>2¸si este su ﬁcient s ˘aa r ˘at˘am
c˘a<x ,x−ϕ(x)>6=0.Presupunem c ˘aa re x i s t a xcukxk=1pentru care
<x ,x−ϕ(x)>=0.A t u n c i
1=kxk2=<x ,ϕ (x)>≤kxk·kϕ(x)k=kϕ(x)k.
C u mp ed ea l tp a r t e ϕaplic ˘aB(0,1)înB(0,1),deci kϕ(x)k≤1,
urmeaz ˘ac˘a pentru un asemenea xavem kϕ(x)k=1.
În consecin ¸t˘a1=<x ,ϕ (x)>=kxk·kϕ(x)kde unde rezult ˘a liniar inde-
penden ¸ta vectorilor x¸siϕ(x).Exist ˘ad e c iλastfel încât x=λϕ(x).De aici
rezult ˘a:1=kxk=|λ|·kϕ(x)k=|λ|adic ˘aλ=±1.
Dac ˘aλ=1 rezult ˘ax=ϕ(x)ceea ce contrazice ipoteza x6=ϕ(x),
(∀)x∈B(0,1).
Dac ˘aλ=−1rezult ˘ax=−ϕ(x)¸si atunci 1=<x ,ϕ (x)>=−kxk2ceea
ce este imposibil.
În consecin ¸t˘a, pentru orice x∈B(0,1)discriminantul ecua ¸tiei (36) este
strict pozitiv. Acest fapt ne permite s ˘ad e ﬁnim func ¸tia:
B(0,1)3×7→a(x)=−<x ,x−ϕ(x)>+p
∆(x)
kx−ϕ(x)k2, (39)
unde∆este de ﬁn i td er e l a ¸tia (38). Cu alte cuvinte, ata ¸s˘am ﬁec˘aruix∈
B(0,1)cea mai mare dintre cele dou ˘ar˘ad˘acini reale ¸si distincte ale ecua ¸tiei
(36) corespuunz ˘atoare lui x.
Este u ¸sor de observat c ˘aa∈C∞.Cu ajutorul func ¸tieiadeﬁnim func ¸tia
f:D=R×B(0,1)→Rn,f(t,x)=x+ta(x)(x−ϕ(x)).S˘ap u n e mî n
eviden ¸t˘ac â t e v ap r o p r i e t ˘a¸ti remarcabile ale acestei func ¸tii.
1)f∈C∞³
R×B(0,1)´
.
45

2) Pentru orice x∈B(0,1)avem kf(1,x)k2=kx+ta(x)(x−ϕ(x))k2=
1.Într-adev ˘ar, nu avem decât s ˘af o l o s i me c u a ¸tia (36).
3) Dac ˘akxk=1atunci pentru orice t∈Ravem∂f
∂t(t,x)=0.Într-adev ˘ar,
avem:
∂f
∂t(t,x)¯¯¯¯
kxk=1=a(x)(x−ϕ(x))|kxk=1=0,
deoarece dac ˘akxk=1atunci din (37) rezult ˘aa(x)=0.Într-adev ˘ar, dac ˘a
kxk=1,din (37) rezult ˘a
a1(x)=0,a 2(x)=−2<x ,x−ϕ(x)>
kx−ϕ(x)k2.
Cea mai mare dintre aceste r ˘ad˘acini este a1(x)nu putem avea a2(x)>
a1(x)deaorece atunci ar rezulta <x ,x−ϕ(x)>< 0de unde 1=kxk2<<
x,ϕ (x)>≤kϕ(x)kdeci kϕ(x)k>1contradic ¸tie.
Aplicând lema 1 func ¸tieifrezult ˘a
∂D 0
∂t+nX
i=0(−1)i∂Di
∂xi=0, (40)
unde
Di(t,x)=¯¯¯∂f
∂t(t,x)···∂f
∂xi−1(t,x)∂f
∂xi+1(t,x)···∂f
∂xn(t,x)¯¯¯,(41)
D
0(t,x)=¯¯¯∂f
∂x1(t,x)∂f
∂x2(t,x)···∂f
∂xi(t,x)···∂f
∂xn(t,x)¯¯¯.(42)
Consider ˘am func ¸tia
(∀)t∈R,I(t)=Z
B(0,1)D0(t,x 1,···,xn)dx1···dxn. (43)
Avem:
I(0) =Z
B(0,1)D0(0,×1,···,xn)dx1···dxn=VolB(0,1)>0. (44)
Pentru a demonstra (44) este su ﬁcient s ˘aa r ˘at˘am c ˘aD0(0,x)=1,(∀)x∈
B(0,1).Într-adev ˘ar, din (42) rezult ˘ac˘ae l e m e n t u lg e n e r i ca lm a t r i c e ia lc ˘arui
46

determinant este D0este∂fk
∂xj(0,x)cu1≤j,k≤n.Dar cum fk(t,x)=
xk+a(x)(xk−ϕk(x))rezult ˘ac˘a
∂fk
∂xj=δkj+t∂
∂xj(a(x)(xk−ϕk(x))),
de unde ob ¸tinem∂fk
∂xj(0,x)=δkj.În consecin ¸t˘aD0(0,x)este determinantul
matricei unitate, deci D0(0,x)=1.
Avem:
I(1) =Z
B(0,1)D0(0,×1,···,xn)dx1···dxn=0 (45)
Pentru a ar ˘ata (45) este su ﬁcient s ˘aa r˘at˘am c ˘aD0(1,x)=0,(∀)x∈B(0,1).
C am a is u s ,e l e m e n t u lg e n e r i ca lm a t r i c e ia lc ˘arei determinant este D0(1,x)
este∂fk
∂xj(1,x).Din proprietatea 2) a func ¸tieif:
kf(1,x)k2=nX
k=1f2
k(1,x)=1 (46)
rezult ˘a:nX
k=1fk(1,x)∂fk
∂xj(1,x)=0,j=1,n. (47)
Considerând (47) ca sistem omogen în necunoscutele fk(1,x),k=1,n¸si
¸tinând cont cî nu putem avea fk(1,x)=0,(∀)k=1,ndeoarece s-ar con-
trazice (46) rezult ˘a:
D0(1,x)=d e tµ∂fk
∂xj(1,x)¶
1≤k,j≤n=0.
În sfâr ¸sit, vom ar ˘ata c ˘a
I0(t)=0,(∀)t∈R. (48)
47

Într-adev ˘ar, din (43) ¸si (40) rezult ˘a
I0(t)=Z
B(0,1)∂D 0
∂t(t,x 1,···,xn)dx1···dxn=
=nX
i=1(−1)i+1Z
B(0,1)∂Di
∂xi(t,x 1,···,xn)dx1···dxn=
=Z
[Di³
t,x 1,···,xi−1,√
Σ,xi+1,···,xn´
−
−Di³
t,x 1,···,xi−1,−√
Σ,xi+1,···,xn´
]dx1···dxi−1dxi+1···dxn.
Deoarece Di(t,x),i=1,nare pe prima coloan ˘av e c t o r u l∂f
∂t(t,x),v e c –
torii³
x1,···,xi−1,√
Σ,xi+1,···,xn´
,³
x1,···,xi−1,−√
Σ,xi+1,···,xn´
sunt de
norm ˘a unitate ¸si∂f
∂t(t,x)=0 pentru kxk=1rezult ˘aI0(t)=0,(∀)t∈R.
Deoarece rela ¸tiile (44), (45) ¸si (48) sunt contradictorii rezult ˘ac˘ap r e –
supunerea ϕ(x)6=x,(∀)x∈B(0,1)este fals ˘a.
Etapa a doua. Teorema lui Brouwre este adev ˘arat ˘ap e n t r u ϕ:B(0,1)→
B(0,1),ϕcontinu ˘a.
S˘ao b s e r v ˘am mai întâi c ˘ap e n t r uo r i c e ε∈(0,2)exist ˘aP∈C∞(Rn,Rn)
astfel încât
kP−ϕk=m a x
B(0,1)kP(x)−ϕ(x)k<ε ,
kPk=m a x
B(0,1)kP(x)k<1.
(cu alte cuvinte, pentru orice ε∈(0,2)printre func ¸tiile ce aproximeaz ˘a
uniformϕpeB(0,1)cu precizia εexist ˘au n e l ec ei n v a r i a z ˘aB(0,1).
Fie, într-adev ˘ar,ε∈(0,2).Consider ˘am func ¸tia¡
1−ε
2¢
ϕ.Conform teo-
remei lui Weierstrass, exist ˘aP∈C∞(Rn,Rn)ac˘arui restric ¸tie peB(0,1)
satisface inegalitatea°°P−¡
1−ε
2¢
ϕ°°<ε
2.Pentru un astfel de Pavem:
kP−ϕk≤°°°P−³
1−ε
2´
ϕ°°°+°°°³
1−ε
2´
ϕ−ϕ°°°≤
≤ε
2+ε
2kϕk≤ε
2+ε
2=ε
¸si
kPk≤°°°P−³
1−ε
2´
ϕ°°°+°°°³
1−ε
2´
ϕ°°°≤
≤ε
2+³
1−ε
2´
kϕk≤ε
2+³
1−ε
2´
=1.
48

Conform observa ¸tiei de mai sus pentru ﬁecare num ˘ar natural mexist ˘a
Pm∈C∞³
B(0,1),B(0,1)´
astfel încât kf−Pmk<1
m.P e n t r u ﬁecarePm
teorema lui Brouwer este adev ˘arat ˘a (etapa întâia); exist ˘a decixm∈B(0,1)
astfel încât Pm(xm)=xm.Fie¡
xmj¢
j≥1⊂(xm)m≥1astfel încât xmj→
j→∞
x0∈B(0,1).Vom ar ˘ata c ˘ax0este punct ﬁx pentru ϕ
Într-adev ˘ar, avem
°°Pmj¡
xmj¢
−ϕ(x0)°°≤°°Pmj¡
xmj¢
−ϕ¡
xmj¢°°+°°ϕ¡
xmj¢
−ϕ(x0)°°≤
≤°°Pmj−ϕ°°+°°ϕ¡
xmj¢
−ϕ(x0)°°,
de unde, ¸tinând cont c ˘a°°Pmj−ϕ°°→0,°°ϕ¡
xmj¢
−ϕ(x0)°°→0pentru
j→∞ rezult ˘ac˘aPmj¡
xmj¢
→
j→∞0.Deoarece Pmj¡
xmj¢
=xmj→
j→∞x0
rezult ˘ac˘aϕ(x0)=x0¸si teorema este demonstrat ˘a.
În continuare vom prezenta câteva consecin ¸te ale teoremei lui Brouwer.
Din analiza demonstra ¸tiei teoremei lui Brouwer rezult ˘ac˘a ea este ade-
v˘arat ˘ad a c ˘a bilaB(0,1)se înlocuie ¸ste cu bila B(0,R),R> 0.Ob¸tinem
astfel
Teorema 11 Fieϕ:B(0,R)→B(0,R)oa p l i c a ¸tie continu ˘a. Atunci exist ˘a
x∈B(0,R)astfel încât ϕ(x)=x.
Teorema 12 FieK⊂Rnm˘arginit ˘a, convex ˘a, închis ˘a, nevid ˘a¸siT:K→K
un operator continuu. Atunci operatorul Tare puncte ﬁxe.
Demonstra ¸tie. FieB(0,R)astfel încât B(0,R)⊃K¸siP:Rn→K
proiectorul continuu al lui RnpeK.Consider ˘am operatorul
T◦P:B(0,R)→K⊂B(0,R).
EvidentT◦Peste on operator continuu ( ﬁind o compunere de operatori
continui) ¸si aplic ˘aRnpeK. Restric ¸tia acestei aplica ¸tii laB(0,R)aplic ˘a
B(0,R)peK⊂B(0,R).Conform teoremei 11 exist ˘ax∈B(0,R)astfel
încât
x=(T◦P)(x)=T(P(x))∈K. (49)
Deoarece x∈KavemP(x)=x,rela¸tia (11) se scrie x=T(x)deciTare
un punct ﬁx.
49

Teorema 13 FieT:B(0,R)→Rnun operator continuu astfel încât
<T (x),x>≥0,(∀)x∈∂B(0,R).Atunci ecua ¸tiaT(x)=0 are solu ¸tii în
B(0,R).
Demonstra ¸tie. Cazuln=1.În acest caz condi ¸tia<T (x),x>≥0,
(∀)x∈∂B(0,R)se scrie:T(R)·R≥0,T(−R)·(−R)≥0.De aici ob ¸tinem
T(R)≥0,T(−R)≥0.CumTeste continuu, conform teoremei lui Darboux,
exist ˘ac e lp u ¸tin unx∈[−R,R ]astfel încât T(x)=0.
Cazuln≥2.a) Dac ˘ae x i s t ˘ax∈∂B(0,R)astfel încât T(x)=0 demon-
stra¸tia este încheiat ˘a.
b) Dac ˘aT(x)6=0,(∀)x∈∂B(0,R)s˘aa r ˘at˘am c ˘ae x i s t ˘ax0∈B(0,R)
astfel încât T(x0)=x0.Presupunem prin absurd c ˘aT(x0)6=0,(∀)x∈
B(0,R).Deﬁnim operatorul A:B(0,R)→B(0,R),A(x)=−R
kT(x)kT(x).
Deoarece Aeste continuu cu teorema lui Brouwer exist ˘ax∈B(0,R)ast-
fel încât A(x)=x.Cum kA(x)k=R,exist ˘ax∈∂B(0,R)astfel încât
−R
kT(x)kT(x)=x.Atunci
0≥−R<T (x),x>
kT(x)k=kxk2=R2>0.
Contradic ¸tia astfel ob ¸tinut ˘a încheie demonstra ¸tia teoremei.
Observatia 8 i) Dac ˘af a c e moc o m p a r a ¸tie între demonstra ¸tiile teoremei con-
trac¸tiilor ¸si teoremei lui Brouwer constat ˘am c ˘ad i nd e m o n s t r a ¸tia teoremei lui
Brouwer nu se degaj ˘a nicio idee în leg ˘atur ˘a cu modul în care am putea calcula,
ﬁe aproximativ, un punct ﬁxp e n t r uoa p l i c a ¸tieT.E s t ec e e ac es ec h e a m ˘ao
demonstra ¸tie neconstructiv ˘aau n e it e o r e m ed ee x i s t e n ¸t˘a. Din demonstra ¸tia
principiului contrac ¸tiei se degaj ˘a caracterul constructiv al ei: se ofer ˘an u
numai existen ¸ta punctului ﬁxc i ¸si o metod ˘ad ea -o b ¸tine, ca limit ˘aa¸sir-
ului iteratelor (xn)n≥1.mai mult, putem determina la pasul nal procesului
iterativ distan ¸ta fa ¸t˘ad ep u n c t u l ﬁx al contrac ¸tiei.
ii) Principiul contrac ¸tiilor a fost demonstrat în spa ¸tii metrice complete,
în particular în orice spa ¸tiu vectorial normat complet, ﬁec˘ad i m e n s i u n e a
acestui spa ¸tiu este ﬁnit˘as a un u .
Teorema lui Brouwer a fost demonstrat ˘aî nRn.În fapt, ea este adev ˘arat ˘a
în orice spa ¸tiu normat ﬁnit dimensional. Rezultatul se bazeaz ˘ap ef a p t u lc ˘a
dac˘aXeste spa ¸tiu vectorial normat peste corpul K¸sidimX=natunciX
este homeomorf cu Kn,a d i c ˘ae x i s t ˘aob i j e c ¸tie liniar ˘ad el aXlaKncontinu ˘a
¸si cu inversa continu ˘a.
50

Teorema 14 Fie(X,k·k)un spa ¸tiu vectorial normat real, dimX=n,¸siﬁe
K⊂Xom u l ¸time convex ˘a, închisî, nevidî. Atunci orice operator continuu
T:K→Kare puncte ﬁxe.
Demonstra ¸tie. Fie{e1,e2,···,en}baz˘aî nX,x=Pn
i=1xiei¸sih:X→
Rn,h(x)=(x1,x2,···,xn).FieU:h(K)→h(K),U=h◦T◦h−1,unde
T:K→Keste un operator continuu. Atunci conform teoremei 12 exist ˘a
y∈h(K)astfel încât U(y)=ysau
T¡
h−1(y)¢
=y. (50)
Aplicând h−1în egalitatea () ob ¸tinem:T(h−1(y)) =h−1(y)¸si decih−1(y)
este punct ﬁxp e n t r ua p l i c a ¸tiaT.Cum operatorul Ueste continuu ( ﬁind o
compunere de operatori continui), r ˘amâne s ˘aa r˘at˘am c ˘ah(K)este o mul ¸time
m˘arginit ˘a, convex ˘a¸si închis ˘aî nRn.
a) M ˘arginirea lui h(K):h(K)este m ˘arginit ˘ad e o a r e c ef u n c ¸tiaheste
liniar ˘a¸si continu ˘ai a rm u l ¸timeaKeste m ˘arginit ˘a. Într-adev ˘arKﬁind
m˘arginit ˘ae x i s t ˘aoc ˘anstant ˘a pozitiv ˘aCastfel încât kxkX≤C,(∀)x∈K.
Atunci: kh(x)kRn≤khk·kxkX≤khk·C,(∀)x∈K.
b) Convexitatea lui h(K).Fiey1,y2∈h(K)¸siλ∈[0,1].Exist ˘ax1,x2∈
Kastfel încât y1=h(x1),y2=h(x2).Atunci:
λy1+( 1−λ)y2=λh(x1)+( 1−λ)h(x2)=h(λx1+( 1−λ)x2)(51)
CumKeste convex ˘ar e z u l t ˘aλx1+( 1−λ)x2∈K¸si din (51) ob ¸tinem
λy1+( 1−λ)y2∈h(K)fapt ce implic ˘a convexitatea lui h(K).
c) Închiderea lui h(K).Fie (yn)n≥1⊂h(K),ynk·kRn→y.S˘aa r ˘at˘am c ˘a
y∈h(K).Cum (yn)n≥1⊂h(K)exist ˘a¸sirul (xn)n≥1⊂Kastfel încât
yn=h(xn),n∈N∗.Avem:
kxn−xmkX=°°h−1(yn)−h−1(ym)°°
X≤°°h−1°°·kyn−ymkRn.
Cum (yn)n≥1converge în Rnatunci (yn)n≥1este¸sir Cauchy. Din kyn−ymkRn→
0pentrum,n→∞ rezult ˘ac˘akxn−xmkX→
m,n→∞0¸si ca urmare ¸sirul (xn)n≥1
este ¸sir Cauchy în K.CumXeste complet ob ¸tinemxnk·kX→x¸si cumK
este mul ¸time închis ˘ar e z u l t ˘ax∈K.Deoarece func ¸tiaheste continu ˘aa v e m
h(xn)k·kRn→h(x).În concluzie y=h(x),x∈Kdeciy∈h(K).Teorema este
demonstrat ˘a.
51

Observatia 9 Teorema lui Brouwer nu este adev ˘arat˘aî ns p a ¸tii normate in-
ﬁnit dimensionale.
Exemplul 1 (Kakutani). Fie spa ¸tiul vectorial al ¸sirurilor de numere reale:
l2=(
x=(xn)n≥1|xn∈R,n∈N∗,∞X
n=1×2
n<∞)
înzestrat cu norma kxk2=(P∞
n=1×2
n)1
2.Fie
B(0,1) = {x∈l2|kxk2≤1}
bila unitate închis ˘ad i nl2¸si operatorul T:B(0,1)→B(0,1),deﬁnit prin:
T(x)=µq
1−kxk2
2,×1,x2,···.xn,···¶
.
Operatorul Tnu are puncte ﬁxe.
Într-adev ˘ar, s ˘ac o n s t a t ˘am c ˘al2este un spa ¸tiu normat complet in ﬁnit
dimensional (mai mult, l2este un spa ¸tiu Hilbert deoarece norma sa provine
din produsul scalar <x , y> =P∞
n=1xnyn). Observ ˘am c ˘akT(x)k2=1
deciT(x)∈∂B(0,1),(∀)x∈B(0,1).Evident operatorul Teste continuu..
Presupunem prin absurd c ˘ae x i s t ˘a
x=(xn)n≥1∈B(0,1)astfel încât T(x)=x, (52)
adic ˘aµq
1−kxk2
2,×1,x2,···.xn,···¶
=(x1,x2,···.xn,···). (53)
Cum pentru orice x∈B(0,1)avem kT(x)k2=1din rela ¸tia (52) ob ¸tinem
kxk2=kT(x)k2=1.Dac ˘akxk2=1atunci rela ¸tia (53) devine
(0,×1,x2,···.xn,···)=(x1,x2,···.xn,···),
de unde rezult ˘axn=0,(∀)n∈N∗,contradic ¸tie cu kxk2=1.
52

4.3 Teorema lui Schauder
Fie(X,k·k)un spa ¸tiu vectorial normat.
Deﬁnitia 3 Os u b m u l ¸timeB⊂Xse nume ¸ste compact ˘ad a c ˘ap e n t r uo r i c e
¸sir(xn)n≥1⊂Bexist ˘au ns u b ¸sir(xnk)k≥1⊂(xn)n≥1astfel încât xnk→
k→∞x∈
B.Submul ¸timeaBse nume ¸ste relativ compact ˘ad a c ˘aî n c h i d e r e as a Beste
compact ˘a.
Deﬁnitia 4 Submul ¸timeaA⊂Xse nume ¸ste total m ˘arginit ˘ad a c ˘ap e n t r u
oriceε> 0exist ˘as i s t e m u l£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
de elemente ale lui Aastfel în
câtA⊂n(ε)[
i=1B(ηi,ε).
Observatia 10 Dac˘aA⊂Xeste total m ˘arginit ˘a atunci pentru orice ε> 0
exist ˘a sistemul£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
⊂Aastfel încât pentru orice x∈Aexist ˘a
i∈N∗,1≤i≤n(ε)astfel încât kx−ηik<ε .
Deﬁnitia 5 Sistemul£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
se nume ¸steε−re¸teaﬁnit˘ap e n t r u
mul¸timeaA.
Deﬁnitia 6 Operatorul T:X→Xse nume ¸ste compact dac ˘at r a n s f o r m ˘a
orice mul ¸time m ˘arginit ˘ad i nXîntr-o mul ¸time relativ compact ˘a.
Pentru demonstra ¸tia teoremei lui Schauder vom folosi urm ˘atoarele rezul-
tate, pe care le prezent ˘am f ˘ar˘a demonstra ¸tie.
Teorema 15 Fie(X,k·k)un spa ¸tiu vectorial normat ¸siA⊂Xos u b m u l ¸time
al u iX,relativ compact ˘a. Atunci Aeste total m ˘arginit ˘a.
Dac˘as p a ¸tiul (X,k·k)este complet atunci A⊂Xeste relativ compact ˘a
dac˘a¸si numai dac ˘aAeste total m ˘arginit ˘a.
Teorema 16 Fie(X,k·k)un spa ¸tiu vectorial normat ¸siA⊂Xos u b m u l ¸time
al u iX,total m ˘arginit ˘a. Atunci pentru orice ε> 0exist ˘au no p e r a t o r
continuu Sε:A→co£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
astfel încât pentru orice x∈A,
kx−Sε(x)k<ε , unde£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
este oε−re¸teaﬁnit˘ap e n t r u
A¸sico£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
este acoperirea convex ˘aam u l ¸timiiA.
Teorema 17 Fie (X,k·k)un spa ¸tiu vectorial normat, A⊂Xos u b m u l ¸time
m˘arginit ˘a¸siT:A→Xun op ˘aerator compact. Atunci pentru orice ε> 0
exist ˘a operatorul continuu Tε:A→Xm(ε),undeXm(ε)este un subspa ¸tiuﬁnit
dimensional al lui X,a s t f e lî n c â t kT(x)−Tε(x)k<ε , (∀)x∈A.
53

Demonstra ¸tie. Fieε> 0.Deoarece operatorul T:A→Xeste com-
pact, mul ¸timeaT(A)este relativ compact ˘a¸si, conform teoremei15, T(A)
este total m ˘arginit ˘a. Atunci T(A)posed ˘aoε-re¸teaﬁnit˘a£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
⊂
T(A).Conform teoremei 16 exist ˘au no p e r a t o rc o n t i n u u
Sε:T(A)→co£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
⊂Sp£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
=Xm(ε)
astfel încât pentru orice y∈T(A)avem ky−Sε(y)k<ε . Fiex∈A.Cum
T(x)∈T(A)avem kT(x)−Sε(T(x))k<ε¸si acum este su ﬁcient s ˘al u ˘am
Tε=Sε◦T.
Teorema 18 (Schauder). Fie (X,k·k)un spa ¸tiu vectorial normat real, in-
ﬁnit dimensional ¸siﬁeK⊂Xos u b m u l ¸time convex ˘a, închis ˘a¸si nevid ˘a. Fie
T:K→Kun operator continuu astfel încât mul ¸timeaT(K)este relativ
compact ˘a. Atunci operatorul Tare puncte ﬁxe.
Demonstra ¸tie. Fieε> 0.CumT(K)⊂Keste relativ compact ˘a,
exist ˘a£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
⊂T(K)⊂Koε−re¸tea ﬁnit˘ap e n t r u T(K).Cu
teorema (16) exist ˘a operatorul continuu
Sε:T(K)→co£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
⊂Sp£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
=Xm(ε)
astfel încât ky−Sε(y)k<ε , (∀)y∈T(K).Fiex∈K.AtunciT(x)∈T(K)
¸si deci kT(x)−Sε(T(x))k<ε , (∀)x∈K.
Operatorul
Tε:K→co£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
⊂Xm(ε),Tε=Sε◦T
este continuu ¸sikT(x)−Tε(x)k<ε , (∀)x∈K.
Deoarece£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
⊂T(K)⊂K¸siKeste convex ˘aa v e m
Kε=co£
η1,η2,···,ηn(ε)¤
⊂coK =K.
În concluzie, exist ˘a un operator continuu Tε:Kε→Kε,Kεmul¸time m ˘arginit ˘a,
convex ˘a, închis ˘ad i ns p a ¸tiul ﬁnit dimensional Xm(ε).Cu teorema lui Brouwer
exist ˘axε∈Kεastfel încât:
Tε(xε)=xε. (54)
Pentruε=1
n,n∈N∗exist ˘a decixn∈Kn⊂Kastfel încât
Tn(xn)=xn. (55)
54

Cum pentru orice x∈Kavem kT(x)−Tn(x)k<1
n(din construc ¸tia op-
eratorului Tε) avem, în particular, kT(xn)−Tn(xn)k<1
n¸si atunci, folosind
(55), ob ¸tinem:
kT(xn)−xnk<1
n,(∀)n∈N∗. (56)
Rela¸tia (56) arat ˘ac˘a
lim
n→∞(T(xn)−xn)=0. (57)
Fie¸sirul (xn)n≥1dinK¸siﬁe¸sirul (T(xn))n≥1⊂T(K)⊂K.Cum
T(K)este relativ compact ˘a, exist ˘au ns u b ¸sir(T(xnk))k≥1⊂(T(xn))n≥1
astfel încât:
T(xn)→
k→∞x0∈K=K. (58)
Din rela ¸tiile (57) ¸si (58) ob ¸tinem c ˘axnk→
k→∞x0.Deoarece operatorul Teste
continuu avem
T(xnk)→
k→∞T(x0). (59)
Din rela ¸tiile (58) ¸si (59) ob ¸tinem c ˘aT(x0)=x0decix0este punct ﬁx
pentruT.
Teorema 19 (variant ˘a a teoremei lui Schauder). Fie (X,k·k)un spa ¸tiu vec-
torial normat in ﬁnit dimensional, K⊂Xos u b m u l ¸time convex ˘a, compact ˘a
¸siT:K→Kun operator continuu. Atunci operatorul Tare puncte ﬁxe.
Demonstra ¸tie. Este su ﬁcient s ˘a observ ˘am c ˘aT(K)⊂Kimplic ˘aT(K)
relativ compact ˘a. Rezult ˘ac˘aTeste compact ¸si nu avem decât s ˘aa p l i c ˘am
teorema 18.
4.4 Teorema lui Kakutani
Teorema lui Kakutani este o generalizare a teoremei lui Schauder. Pentru aformula teorema lui Kakutani avem nevoie de câteva no ¸tiuni referitoare la
aplica ¸tiile multivalente.
FieX¸siYdou˘as p a ¸tii metrice. Vom nota cu 2
Ymul¸timea tuturor sub-
mul¸timilor mul ¸timiiY.
Deﬁnitia 7 Se nume ¸ste aplica ¸tie multivalent ˘ao r i c ea p l i c a ¸tief:X→2Y.
Dac ˘afeste o aplica ¸tie multivalent ˘aa t u n c i ﬁec˘arui punct x∈Xis e
ata¸seaz ˘as u b m u l ¸timeaf(x)⊂Y.
55

Deﬁnitia 8 Se nume ¸ste gra ﬁc al aplica ¸tiei multivalente f:X→2Ymul¸timea
Gf⊂X×Ydeﬁnit˘ap r i n :
Gf={(x,y)|y∈f(x)}.
Deﬁnitia 9 Aplica ¸tia multivalent ˘af:X→2Yse nume ¸ste închis ˘aî np u n c –
tulx∈Xdac˘ad i nf a p t u lc ˘a¸sirurilexn→
n→∞x, yn→
n→∞y,¸siyn=f(xn)
rezult ˘ay∈f(x).Aplica ¸tiafse nume ¸ste închis ˘ad a c ˘ae s t eî n c h i s ˘aî no r i c e
punctx∈X.
Observatia 11 Este evident c ˘aa p l i c a ¸tiafeste închis ˘a dac ˘a¸si numai dac ˘a
graﬁcul s ˘au este închis în X×Y.
Deﬁnitia 10 Aplica ¸tia multivalent ˘af:X→2Yse nume ¸ste semicontinu ˘a
superior în punctul x∈Xdac˘ap e n t r uo r i c em u l ¸time deschis ˘aUastfel încât
f(x)⊂U⊂Yse poate g ˘asi o vecin ˘atateVa punctului xcare satisface
condi ¸tiaf(V)⊂U,undef(V)=[
z∈Vf(z).Aplica ¸tiafse nume ¸ste semi-
continu ˘a superior dac ˘a este semicontinu ˘a superior în orice punct al mul ¸timii
X.
Observatia 12 Pentru aplica ¸tiile obi ¸snuite, univalente, semicontinuitatea
superioar ˘a este echivalent ˘a cu continuitatea, în timp ce o aplica ¸tie închis ˘a
poate s ˘an u ﬁe continu ˘a.
Deﬁnitia 11 Punctulx∗∈Xse nume ¸ste punct ﬁxa la p l i c a ¸tieif:X→2X
dac˘ax∗∈f(x∗).
În demonstra ¸tia teoremei lui Kakutani avem nevoie de urm ˘atoarea lem ˘a,
pe care o prezent ˘am f ˘ar˘ad e m o n s t r a ¸tie.
Lema 3 Dac˘am u l ¸timeaYeste compact ˘a atunci aplica ¸tia închis ˘a
f:X→2Yeste semicontinu ˘as u p e r i o r .
Teorema 20 (Kakutani). Fie Xun spa ¸tiu Banach, K⊂Xom u l ¸time
nevid ˘a, compact ˘a¸si convex ˘a, iar aplica ¸tia multivalent ˘af:K→2Ksatisface
urm ˘atoarele condi ¸tii:
i) pentru orice punct x∈K,mul¸timeaf(x)este o submul ¸time nevid ˘a¸si
convex ˘aî nK;
ii) aplica ¸tiafeste închis ˘a.
Atunci aplica ¸tiafare un punct ﬁx.
56

Demonstra ¸tie. Deoarece mul ¸timeaKeste compact ˘a, pentru orice ε> 0
exist ˘aoε−re¸tea ﬁnit˘ap e n t r u K:xε1,xε2,···,xεn(ε).Deﬁnim pentru orice
x∈K:
ϕεi(x)=m a x {ε−kx−xεik,0},i=1,n(ε).
Este evident c ˘a func ¸tiileϕεisunt continue ¸si nenegative pe K.Având în
vedere c ˘a©
xε1,xε2,···,xεn(ε)ă
este oε−re¸tea, pentru orice x∈Kexist ˘a
ce pu ¸tin unipentru care este satisf ˘acut ˘a inegalitatea kx−xεik<ε . pentru
acestiavemϕεi(x)>0.Acest ra ¸tionament ne arat ˘ac˘a este corect ˘ad e ﬁni¸tia:
wεi(x)=ϕεi(x)Pn(ε)
j=1ϕεj(x),i=1,n(ε).
Alegem punctele yεi∈f(xεi),i=1,n(ε)¸si de ﬁnim aplica ¸tia univalent ˘a
continu ˘afε:K→Kprin formila:
fε(x)=n(ε)X
j=1wεi(x)yεi.
Din condi ¸tiileyεi∈K, wεi(x)≥0,Pn(ε)
i=1wεi(x)=1,precum ¸si din
convexitatea mul ¸timiiKdecurge c ˘afε(x)∈K.Astfel, pentru orice ε>
0exist ˘aoa p l i c a ¸tie univalent ˘ac o n t i n u ˘afε:K→K.În conformitate cu
teorema lui Schauder, aplica ¸tiafεare un punct ﬁxxε:fε(xε)=xε.în
virtutea compacit ˘a¸tii mul ¸timiiK,se poate g ˘asi¸sirul (εn)n∈N∗de numere
pozitive ¸si punctul x∗∈Kastfel încât s ˘aﬁes a t i s f ˘acute urm ˘atoarele condi ¸tii:
a)lim
n→∞εn=0 ;
b)xεn→x∗;
c)fεn(xεn)=xεn.
S˘aa r˘at˘am c ˘ax∗este un punct ﬁx al aplica ¸tieif.D e ﬁnimUδ=f(x∗)+Bδ
undeBδ={y|kyk<δ},δ> 0.Vom ar ˘ata c ˘ax∗∈Uδpentru orice δ> 0.
În continuare, având în vedere c ˘am u l ¸timeaf(x∗)este închis ˘a, dinx∗∈Uδ
decurgex∗∈f(x∗)(f(x∗)este închis ˘aî nv i r t u t e af a p t u l u ic ˘afeste închis ˘a).
Este evident c ˘am u l ¸timeaUδeste deschis ˘a¸si convex ˘a¸si c˘af(x∗)⊂Uδ.
În virtutea lemei, ﬁind date x∗¸siUδse poate g ˘asi bila
Kε={x∈X|kx−x∗k<ε}
astfel încât f(Kε)⊂Uδ.Din condi ¸tiile a) ¸si b) exist ˘an u m ˘arul natural N
astfel încât pentru n≥Ns˘aa v e mεn<ε
2¸sixεn∈Kε
2.Dac ˘awεni(xεn)>0,
atunci kxεni−xenk<εn<ε
2¸si
kxεni−x∗k≤kxεni−xenk+kxen−x∗k<ε
2+ε
2=ε.
57

Prin urmare, pentru n≥Nob¸tinemxεni∈Kεpentru to ¸tiipentru care
este satisf ˘acut ˘ai n e g a l i t a t e a wεni(xεn)>0.Pentru ace ¸stiiavem
yεni∈f(xεni)⊂f(Kε)⊂Uδ. (60)
Din condi ¸tia c) decurge c ˘a
xεn=X
iwεni(xεn)yεni. (61)
Din rela ¸tiile (60) ¸si (61) decurgecp, pentru n≥N, punctul xεneste o
combina ¸tie convex ˘a doar a acelor puncte yεnicare apar ¸tin mul ¸timiiUδ,d e
unde, în virtutea convexit ˘a¸tii mul ¸timiiUδ,rezult ˘ac˘axεn∈Uδ.Trecând la
limit ˘ap e n t r u n→∞ ob¸tinemx∗∈Uδ⊂U2δ.Dup ˘a cum am remarcat mai
sus, de aici decurge c ˘ax∗∈f(x∗).Teorema lui Kakutani este demonstrat ˘a.
4.5 Teorema lui Krasnoselskii
V o mp r e z e n t aî nc o n t i n u a r eu nr e z u l t a tc a r es eg ˘ase¸ste la interferen ¸ta direc ¸ti-
ilor date de teorema lui Banach (ca teorem ˘ad en a t u r ˘am e t r i c ˘a)¸si teorema
lui Brouwer (ca teorem ˘ad en a t u r ˘a topologic ˘a).
Teorema 21 (Krasnoselskii). Fie Xun spa ¸tiu Banach ¸siY⊂Xos u b –
mul¸time convex ˘a¸si închis ˘aal u iX.FieA,B :Y→Xoperatori cu propri-
et˘a¸tile:
a) operatorul Aeste contrac ¸tie;
b) operatorul Beste continuu ¸si mul ¸timeaB(Y)este relativ compact ˘a;
c)A(x)+B(y)∈Ypentru orice x,y∈Y.
Atunci operatorul A+Bare punct ﬁx.
Demonstra ¸tie. Fiex∈Y¸si operatorul Dx:Y→Y, Dx(y)=A(y)+
B(x),(∀)y∈Y(deﬁni¸tia este corect ˘ad a t o r i t ˘a ipotezei c)). S ˘aa r ˘at˘am c ˘a
operatorul Dxeste o contrac ¸tie. Într-adev ˘ar, pentru orice y1,y2∈Yavem:
kDx(y1)−Dx(y2)k=kA(y1)+B(x)−(A(y2)+B(x))k=
=kA(y1)−A(y2)k≤qky1−y2k,
undeqeste coe ﬁcientul de contrac ¸tie al operatorului A.Cum mul ¸timeaY
este deschis ˘aî nX( c a r ee s t es p a ¸tiu complet) ¸siDx:Y→Yeste contrac ¸tie,
atunci ob ¸tinem c ˘ao p e r a t o r u l Dxare un punct ﬁx unicy∈Y:Dx(y)=y.
Asociem astfel ﬁec˘aruix∈Yun unic punct y∈Y.FieC:Y→Yoperatorul
58

care asociaz ˘al u ix∈Yunicul element y∈Ydup˘a procedeul de mai sus:
C(x)=y.Ob¸tinem astfel:
C(x)=y=Dx(y)=A(y)+B(x)=A(C(x)) +B(x),(∀)x∈Y.(62)
Dac ˘aa r˘at˘am c ˘a operatorul Ceste continuu ¸si mul ¸timeaC(Y)este relativ
compact ˘a atunci, conform teoremei l ui Schauder, operatorul Care puncte
ﬁxeînY.
1) Continuitatea operatorului C.F i e (xn)n≥1⊂Yun¸sir astfel încât
lim
n→∞xn=x∈Y.Avem:
kC(xn)−C(x)k≤kA(C(xn))−A(C(x))k+kB(xn)−B(x)k≤
≤qkC(xn)−C(x)k+kB(xn)−B(x)k,
de unde ob ¸tinem:
kC(xn)−C(x)k≤1
1−qkB(xn)−B(x)k.
Cum operatorul Beste continuu ¸sikB(xn)−B(x)k→0pentrun→∞
atunci kC(xn)−C(x)k→0pentrun→∞.
2) Mul ¸timeaC(Y)este relativ compact ˘a. Pentru a ar ˘ata acest fapt este
suﬁcient s ˘aa r ˘at˘am c ˘aC(Y)este total m ˘arginit ˘a.
Fieε> 0.S˘aa r ˘at˘am c ˘aC(Y)posed ˘aoε−re¸tea ﬁnit˘a, adic ˘ae x i s t ˘a
[z1,z2,···,znε]⊂C(Y)astfel încât C(Y)⊂nε[
i=1S(zi,ε),unde am notat cu
S(zi,ε)bila de centru zi¸si raz ˘aε.Cumzi∈C(Y),i=1,nε, problema revine
la a ar ˘ata c ˘ae x i s t ˘a[y1,y2,···,ynε]⊂Yastfel încât C(Y)⊂nε[
i=1S(C(yi),ε).
Deoarece, prin ipotez ˘a,B(Y)este relativ compact ˘a, pentru (1−q)ε> 0
exist ˘ao(1−q)ε−re¸teaﬁnit˘ap e n t r u B(Y),adic ˘ae x i s t ˘a£
η1,η2,···,ηnε¤
⊂
B(Y)astfel încât B(Y)⊂nε[
i=1S(ηi,(1−q)ε).Cumηi=B(yi),yi∈Y, i =
1,nεexist ˘a[y1,y2,···,ynε]⊂Yastfel încât B(Y)⊂nε[
i=1S(B(yi),(1−q)ε).
Vom ar ˘ata c ˘as i s t e m u l [y1,y2,···,ynε]⊂Yare proprietatea: C(Y)⊂
nε[
i=1S(C(yi),ε).Pentru aceasta ﬁey∈Y;atunci
B(y)∈B(Y)⊂nε[
i=1S(B(yi),(1−q)ε).
59

Astfel, exist ˘a1≤i≤nεastfel încât B(y)∈S(B(yi),(1−q)ε).Pentruyi
astfel g ˘asit avem:
kC(yi)−C(y)k≤(1−q)−1kB(yi)−B(y)k≤(1−q)−1(1−q)ε=ε,
deciC(y)∈S(C(yi),ε)⊂nε[
j=1S(C(yj),ε).Cumyeste arbitrar în Yrezult ˘a
c˘aC(Y)⊂nε[
j=1S(C(yj),ε).
Deoarece sunt îndeplinite condi ¸tiile teoremei lui Schauder, exist ˘ax∈Y
astfel încât C(x)=x.Din rela ¸tia (62) ob ¸tinemC(x)=A(C(x))+B(x)=x
de unde rezult ˘aA(x)+B(x)=x,adic ˘ao p e r a t o r u l A+Bare un punct ﬁx.
4.6 Teorema lui Sadovskii
Fie(X,d )un spa ¸tiu metric complet ¸si ß familia submul ¸timilor m ˘arginite ale
luiX.
Deﬁnitia 12 Aplica ¸tiaφ:ß→[0,∞)se nume ¸ste m ˘asur ˘a de noncompacitate
(MNC) de ﬁnit˘ap eXdac˘a satisface urm ˘atoarele propriet ˘a¸ti:
a) regularitate: φ(B)=0⇔Beste precompact ˘a;
b) invarian ¸ta la închidere: φ(B)=B,(∀)B∈ß;
c) semiaditivitate: φ(B1∪B2)=m a x( φ(B1),φ(B2)),(∀)B1,B2∈ß.
Propozitia 2 Fie (X,d )un spa ¸tiu metric ¸siφ:ß→[0,∞)m˘asur ˘ad en o n –
compacitate. Atunci:
1)B1⊂B⇒φ(B1)≤φ(B);
2)φ(B1∩B2)≤min{φ(B1),φ(B2)},(∀)B1,B2∈ß;
3) dac ˘aBeste ﬁnt˘aa t u n c i φ(B)=0 ;
4) dac ˘a(Bn)n≥1este un ¸sir descresc ˘ator de submul ¸timi nevide, m ˘arginite
¸si închise ale lui Xastfel încât lim
n→∞φ(Bn)=0 atunci mul ¸timea∞\
n=1Bneste
nevid ˘a¸si compact ˘a.
Dac˘aî np l u s Xeste spa ¸tiu Banach atunci:
5)φ(tB)=|t|φ(B),(∀)t∈R,(∀)B∈ß;
6)φ(B+B2)≤φ(B1)+φ(B2),(∀)B1,B2∈ß;
7)φ(x0+B)=φ(B),(∀)x0∈X,(∀)B∈ß;
60

8) pentru orice B∈ß¸si pentru orice ε> 0exist ˘aδ> 0astfel încât
|φ(B)−φ(B1)|<ε , (∀)B1∈ß astfel încât ρ(B,B 1)<δ, unde
ρ(B,B 1)=i n fn
ε> 0|B1⊂B+εB(0,1),B⊂B1+εB(0,1)o
;
9)φ(co(B)) =φ(B),(∀)B∈ß.
Deﬁnitia 13 Dac˘aX¸siYsunt spa ¸tii metrice, φ¸siλsunt m ˘asuri de non-
compacitate de ﬁnite peX¸siYrespectiv, aplica ¸tiaT:D⊂X→Yse nu-
me¸ste(φ,λ)−condensatoare cu constanta k> 0dac˘ae s t ec o n t i n u ˘a¸si dac ˘a
pentru orice submul ¸time m ˘arginit ˘aA⊂D¸si care nu este precompact ˘aa v e m
λ(T(A))<kφ (A).
În cazul particular X=Y¸siλ=φspunem c ˘aa p l i c a ¸tiaTeste
k−φ−condensatoare. Mai mult, pentru k=1spunem c ˘aTeste o aplica ¸tie
φ−condensatoare.
Teorema 22 FieXun spa ¸tiu Banach ¸siφom ˘asur ˘a de noncompacitate
care este invariant ˘al at r e c e r e al aa c o p e r i r e ac o n v e x ˘a. FieM⊂Xnevid ˘a,
m˘arginit ˘a, închis ˘a¸si convex ˘a¸siT:M→Mo aplica ¸tieφ−condensatoare.
AtunciTare un punct ﬁx.
Demonstra ¸tie. Fiem∈M¸si not ˘am cuΣclasa tuturor mul ¸timilor
convexe ¸si închise Kale luiMastfel încât m∈K¸siT(K)⊂K.Not˘am
B)=\
K∈ΣK, C =co(T(B)∪{m}).
EvidentΣ6=Φdeoerece M∈Σ¸siB6=Φdeoarece m∈B.Mai mult, este
u¸sor de ar ˘atat c ˘aT(B)⊂B¸si deci avem: T:B→B.
Mai mult, avem B=C.Într-adev ˘ar, deoarece m∈B¸siT(B)⊂B,
rezult ˘ac˘aC⊂B.Aceasta implic ˘aT(C)⊂T(B)⊂CdeciC∈Σ¸siB⊂C.
Din propriet ˘a¸tile luiφrezult ˘ac˘a
φ(B)=φ(C)=φ(T(B)∪{m})=m a x {φ(T(B)),φ({m})}=φ(T(B)).
Deoarece Testeφ−condensatoare rezult ˘ac˘aφ(B)=0 deciBeste compact ˘a.
Mul¸timeaBﬁind¸si convex ˘a, cu teorema lui Schauder rezult ˘ac˘aa p l i c a ¸tia
T:M→Mare un punct ﬁx.
61

5A p l i c a ¸tii
5.1 Aplica ¸t i el ap r o b l e m aC a u c h ydx
dt=f(x,t),x(0) =x0
Fie sistemul de ecua ¸tii diferen ¸tiale
dxi
dt=fi(x1,x2,···,xn,t),i=1,n (63)
undefi:Ω×I→R,i=1,n,Ω=◦
Ω⊂Rn.dac˘an o t ˘am cux(t)vectorul
de componente x1(t),x2(t),···,xn(t)¸si cuf(x,t)vectorul de componente
f1(x,t),f2(x,t),···,fn(x,t)atunci ecua ¸tiile diferen ¸tiale (63) se scriu:
dx
dt=f(x,t). (64)
Vom c ˘auta solu ¸tii ale sistemului (63) de ﬁnite pe un interval [a,b],care s ˘a
veriﬁce condi ¸tia ini ¸tial˘a
x(a)=x0. (65)
Rezolvarea problemei Cauchy (64), (65) este echivalent ˘ac ur e z o l v a r e a
ecua¸tiei integrale
x(t)=x0+Zt
af(x(τ),τ)dτ. (66)
Teorema 1 Fie∆={(x,t)|kx−x0k≤δ,t∈[a,b]}⊂Ω×I, f m˘arginit ˘a
¸si m ˘asurabil ˘aî nr a p o r tc u tpe∆¸si care satisface condi ¸tia lui Lipschitz în
raport cu xpe∆:
kf(x,t)−f(ex,t)k≤Kkx−exk. (67)
FieM=s u p
∆kf(x,t)k¸sib−a< min©δ
M,1
Kă
.Atunci ecua ¸tia integral ˘a( 6 6 )
are o solu ¸tie unic ˘a, solu ¸tie care satisface condi ¸tia (65).
Demonstra ¸tie. Fie spa ¸tiulCn=C([a,b],Rn)de func ¸tii vectoriale n-
dimensionale reale ¸si continue pe intervalul [a,b].Dup ˘ac u m ¸stim acest spa ¸tiu
este un spa ¸tiu Banach în raport cu norma
kxk=m a x
t∈[a,b]|x(t)|.
P e n t r uap u t e aa p l i c at e o r e m ad ep u n c t ﬁx a lui Banach (principiul con-
trac¸tiei) consider ˘am operatorul T:Cn→Cndeﬁnit prin
(Tϕ)(t)=x0+Zt
af(ϕ(τ),τ)dτ (68)
62

Fie mul ¸timeaM0={x∈Cn|kx−x0k≤δ}.Deoarece
kTϕ−x0k≤°°°°Zt
af(ϕ(τ),τ)dτ°°°°≤Zt
akf(ϕ(τ),τ)kdτ≤M(b−a)≤δ
rezult ˘ac˘am u l ¸timeaM0este invariant ˘ap e n t r u T.S˘aa r ˘at˘am acum c ˘ar e –
stric¸tia operatorului TlaM0este o contrac ¸tie. Pentru x,ex∈M0avem:
kTϕ−Teϕk≤°°°°Zt
a[f(ϕ(τ),τ)−f(eϕ(τ),τ)]dτ°°°°≤
≤KZt
akϕ−eϕkdτ≤K(b−a)kx−exk.
Cum din ipotez ˘a,K(b−a)<1rezult ˘ac˘a operatorul Teste o contrac ¸tie pe
M0.Cu teorema de punct ﬁxal u iB a n a c hr e z u l t ˘ac˘a ecua ¸tia (66) are o unic ˘a
solu¸tie.
5.2 Teorema lui Peano via teorema de punct ﬁxal u i
Schauder
Fie sistemul diferen ¸tial
dx
dt=f(x,t).
Am v ˘azut ¸tn paragraful precedent c ˘ad a c ˘a func ¸tia vectorial ˘aϕ:Ω×I
este continu ˘a¸si lipschitzian ˘aî nr a p o r tc up r i m u ls ˘au argument pe mul ¸timea
∆={(x,t)|kx−x0k≤δ,t∈[a,b]}⊂Ω×I,
atunci sistemul diferen ¸tialde mai sus are o unic ˘as o l u ¸tie care îndepline ¸ste
condi ¸tiax(a)=x0.Dac ˘as er e n u n ¸t˘al ac o n d i ¸tia de lipschitzianitate atunci
solu¸tia problemei exist ˘a, dar aceasta nu mai este în general unic ˘a. Mai precis,
are loc urm ˘atorul rezultat.
Teorema 2 (Peano). Fie problema Cauchy
dx
dt=f(x,t),
x(a)=x0,
63

unde func ¸tiaϕ:Ω×I→Rneste continu ˘ap em u l ¸timea
∆={(x,t)|kx−x0k≤δ,t∈[a,b]}⊂Ω×I.
În aceste condi ¸tii problema Cauchy are cel pu ¸tin o solu ¸tie de ﬁnit˘ap ei n t e r –
valul [a,a+h],u n d eh=©
δ,b
Mă
,M =s u p
∆kf(x,t)k.
Demonstra ¸tie. Fie operatorul T:Cn→Cndeﬁnit ca în paragraful
precedent ¸siM0={x∈Cn|kx−x0k≤δ}.Ca în demonstra ¸tia teoremei
( 1 )s ea r a t ˘ac˘a operatorul Tinvariaz ˘am u l ¸timeaM0.S˘aa r˘at˘am c ˘a operatorul
Teste continuu. Fie (ϕn)n≥1⊂M0,ϕn→ϕ0∈M0.Datorit ˘ac o n t i n u i t ˘a¸tii
aplica ¸tieif, pentru orice ε> 0se poate g ˘asiη> 0astfel încât dac ˘akx−exk<
ηavem
kf(x,t)−f(ex,t)k<ε ,t∈[a,b]. (69)
Deoarece kϕn−ϕ0k→0,pentrunsuﬁcient de mare (n≥n0),v o ma v e a
kϕn−ϕ0k<η¸si cu atât mai mult
kϕn(t)−ϕ0(t)k<η,t∈[a,b].
¸Tinând seama de rela ¸tia (69), pentru n≥n0avem
kf(ϕn(t),t)−f(ϕ0(t),t)k<ε ,t∈[a,b].
Deci, pentru n≥n0avem
kTϕn−Tϕ0k=m a x
t∈[a,b]k(Tϕn)(t)−(Tϕ0)(t)k≤
≤max
t∈[a,b]Zt
akf(ϕn(τ),τ)−f(ϕ0(τ),τ)kdτ≤ε(b−a).
De aici rezult ˘ac˘alim
n→∞Tϕn=Tϕ0,ceea ce înseamn ˘a continuitatea oper-
atoruluiT.Deoarece mul ¸timeaM0este convex ˘a¸si m ˘arginit ˘a, pentru a putea
aplica teorema lui Schauder, este su ﬁcient s ˘aa r˘at˘am c ˘am u l ¸timeaT(M0)este
compact ˘a. Pentru a ar ˘ata c ˘aT(M0)este compact ˘a este su ﬁcient s ˘aa p l i c ˘am
teorema Arzela-Ascoli ¸si anume rtebuie s ˘aa r ˘at˘am c ˘aT(M0)este format ˘a
din func ¸t i ie g a lm ˘arginite ¸si egal continue. M ˘arginirea uniform ˘ad e c u r g ed i n
T(M0)⊂M0¸si din faptul c ˘am u l ¸timeaM0este m ˘arginit ˘a. Pentru a ar ˘ata
egal continuitatea elementelor mul ¸timiiM0este su ﬁcient s ˘a constat ˘am c ˘a:
k(Tϕ)(t0)−(Tϕ)(t)k=°°°°°Zt0
tf(ϕ(τ),τ)dτ°°°°°≤M|t−t0|,ϕ∈M0.
Teorema este demonstrat ˘a.
64

5.3 Ecua ¸tii de tip Volterra
Fie func ¸tiaK:[a,b]×[a,b]×R→R¸siλ∈R.Ecua ¸tia
u(x)=λZx
aK(x,y,u (y))dy (70)
se nume ¸steecua¸tie integral ˘ad et i pV o l t e r r a . Func¸tiaKse nume ¸stenucleul
ecua¸tiei integrale. Vom ar ˘ata c ˘ad a c ˘aλeste convenabil ales ¸si nucleul K
îndepline ¸ste anumite condi ¸t i ia t u n c ie c u a ¸tia (70) admite solu ¸tii .
Teorema 3 FieK:[a,b]×[a,b]×R→Rastfel încât:
i) pentru orice u∈C[a,b]func¸tia
[a,b]×[ab]3(x,y)7→K(x,y,u (y))
este continu ˘a;
ii) exist ˘a constantele pozitive A¸siMastfel încât pentru orice u∈C[a,b]
astfel încât kuk≤Aavem |K(x,y,u (y))|≤M,(∀)x,y∈[a,b];
iii) func ¸tiaKeste lipschitzian ˘aî na lt r e i l e aa r g u m e n t ,a d i c ˘a exist ˘aL> 0
astfel încât
|K(x,y,u 1(y))−K(x,y,u 2(y))|≤Lku1−u2k,(∀)x,y∈[a,b].
Atunci ecua ¸tia (70) admite solu ¸tii înC[a,b]pentru orice λ∈R,λ≤
A
M(b−a).
Demonstra ¸tie. Fie operatorul
T:C[a,b]→C[a,b],Tu =λZx
aK(x,y,u (y))dy.
Din ipotezele teoremei se constat ˘ac˘aλRx
aK(x,y,u (y))dy∈C[a,b],(∀)u∈
C[a,b]deci operatorul Teste bine de ﬁnit. Ecua ¸t i a( 7 0 )s es c r i ea s t f e l : Tu=
u.A mr e d u sa s t f e lp r o b l e m al aaa r ˘ata c ˘ao p e r a t o r u l Tare un punct ﬁx. Fie
B0(θ,A)⊂C[a,b]bila de centru aplica ¸tia nul ˘a¸si de raz ˘aA.
Deﬁnim peC[a,b]urm ˘atoarea norm ˘a:
k|u|k=m a x
x∈[a,b]|u(x)|·e−τ(x−a),τ> 0,u∈C[a,b].
Deoarece e−τ(x−a)≤1avem:
kukC[a,b]·e−τ(b−a)≤k|u|k≤kukC[a,b]
65

deci normele k·k¸sik|·|k sunt echivalente.
Fied:B0(θ,A)×B0(θ,A)→R,d(u,v)=k|u−v|k.Se arat ˘ac uu ¸surin ¸t˘a
c˘a aceast ˘a aplica ¸tie este o metric ˘ap eB0(θ,A).Mai mult, fa ¸t˘a de aceast ˘am e t –
ric˘aB0(θ,A)este un spa ¸tiu metric complet (acest fapt rezult ˘ad i ne c h i v a l e n ¸ta
normelor k·k¸sik|·|k ¸si din faptul c ˘as p a ¸tiulC[a,b]este complet în norma
k·k).
S˘aa r ˘at˘am acum c ˘aTinvariaz ˘aB0(θ,A).Fieu∈C[a,b]astfel încât
kukC[a,b]≤A.Atunci:
kTukC[a,b]=m a x
x∈[a,b]|(Tu)(x)|≤|λ|max
x∈[a,b]¯¯¯¯Zx
aK(x,y,u (y))dy¯¯¯¯≤
≤|λ|max
x∈[a,b]Zx
a|K(x,y,u (y))|dy≤|λ|M(b−a)≤A.
Putem astfel s ˘ac o n s i d e r ˘am restric ¸tia operatorului TlaB0(θ,A),T:B0(θ,A)→
B0(θ,A).S˘aa r ˘at˘am acum c ˘a acest operator este o contrac ¸tie. Fieu1,u2∈
B0(θ,A).Avem:
|(Tu 1)(x)−(Tu 2)(x)|=|λ|¯¯¯¯Zx
a[K(x,y,u 1(y))−K(x,y,u 2(y))]dy¯¯¯¯≤
≤|λ|Zx
a|K(x,y,u 1(y))−K(x,y,u 2(y))|dy≤
≤|λ|Zx
aL|u1(y)−u2(y)|dy≤
≤|λ|LZx
amax
x∈[a,b]e−τ(y−a)|u1(y)−u2(y)|eτ(y−a)dy=
=|λ|L|ku1−u2k|Zx
aeτ(y−a)dy=
=|λ|L|ku1−u2k| ·1
τ·¡
eτ(b−a)−1¢
.
De aici ob ¸tinem
|(Tu 1)(x)−(Tu 2)(x)|≤AL
M(b−a)τd(u1,u2),
de unde rezult ˘a:
d(Tu1−Tu 2)≤AL
M(b−a)τd(u1,u2).
Pentruτ>AL
M(b−a),din inegalitatea de mai sus rezult ˘ac˘aTeste o contrac ¸tie.
Teorema este demonstrat ˘a.
66

5.4 Lema Lax-Milgram
FieHun spa ¸tiu Hilbert peste corpul K.
Deﬁnitia 1 Aplica ¸tiaB:H×H→Kse nume ¸ste form ˘a sesquiliniar ˘ad a c ˘a
este liniar ˘aî np r i m u la r g u m e n t ¸si antilinar ˘aî na ld o i l e aa r g u m e n t :
i)B(α1u1+α2u2,v)=α1B(u1,v)+α2B(u2,v),
(∀)u1,u2,v∈H,(∀)α1,α2∈K;
ii)B(u,α 1v1+α2v2)=α1B(u,v 1)+α2B(u,v 2),
(∀)u,v 1,v2∈H,(∀)α1,α2∈K.
Deﬁnitia 2 Of o r m ˘a sesquiliniar ˘aBpeHse nume ¸ste m ˘arginit ˘ad a c ˘ae x i s t ˘a
oc o n s t a n t ˘aM> 0astfel încât
|B(u,v)|≤M·kuk·kvk,(∀)u,v∈H. (71)
Deﬁnitia 3 Of o r m ˘a sesquiliniar ˘aBpeHse nume ¸ste coerciv ˘ad a c ˘ae x i s t ˘a
α> 0astfel încât
ReB(v,v)≥αkvk2,(∀)v∈H. (72)
Propozitia 1 FieHun spa ¸tiu Hilbert ¸siBof o r m ˘a sesquiliniar ˘am˘arginit ˘a
peH.Atunci:
i) exist ˘aA∈L(H)astfel încât
B(u,v)=<A u ,v> ; (73)
ii) reciproc, dac ˘aA∈L(H), aplica ¸tia
(u,v)7→<A u ,v> , (∀)u,v∈H (74)
este o form ˘as e s q u i l i n a r ˘a, m ˘arginit ˘ap eH .
Demonstra ¸tie. i) Pentru ﬁecareuﬁxat înH,d eﬁnim func ¸tionala
(∀)v∈H, F (v)=B(u,v).
Rezult ˘ai m e d i a tc ˘aF∈H∗.Cu teorema lui Riesz, exist ˘a un element unic
uF∈Hastfel încât
F(v)=<v,u F>,(∀)v∈H.
FieA:H→H, Au =uF.AtunciB(u,v)=<v ,A u> sauB(u,v)=<
Au,v > . Evident operatorul Aeste liniar, deoarece Beste liniar[ ]n primul
argument.M ˘arginirea lui Arezult ˘ad i nm ˘arginirea lui B.Î n t r – a d e v ˘ar, avem
kAuk2=<A u ,A u> =B(u,Au )≤MkukkAuk,
67

de unde rezult ˘akAuk≤Mkuk,(∀)u∈H.
ii) Demonstra ¸tia acestui punct este imediat ˘a¸si o omitem.
Teorema 4 (lema Lax-Milgram). Fie Hun spa ¸tiu Hilbert ¸siBof o r m ˘a
sesquiliniar ˘am˘arginit ˘a¸si coerciv ˘ap eH.Atunci operatorul A∈L(H)deﬁnit
de forma sesquiliniar ˘aB(conform propozi ¸tiei ) admite un invers A−1¸si
A−1∈L(H).
Demonstra ¸tie.Forma sesquiliniar ˘aBﬁind m ˘arginit ˘a¸si coerciv ˘a, avem:
|B(u,v)|≤Mkukkvk,(∀)u,v∈H, (75)
ReB(v,v)≥αkvk2,(∀)v∈H. (76)
Operatorul Adeﬁnit de forma Beste m[rginit ;i satisface inegalitatea
kAuk≤Mkuk,(∀)u∈H. (77)
Din (76) ¸si(77) rezult ˘a
αkuk2≤ReB(u,u)=R e<A u ,u> ≤kAukkuk, (78)
deci
αkuk≤kAuk≤Mkuk. (79)
Din inegalitatea αkuk≤kAukrezult ˘ac˘aAeste injectiv. Într-adev ˘ar, pentru
oriceu1,u2∈H, u 16=u2avem:
kAu 1−Au 2k=kA(u1−u2)k≥αku1−u2k>0.
Vom demonstra, pe de alt ˘ap a r t e ,c ˘aAaplic ˘aHpeH,adic ˘a pentru orice
f∈Hecua¸tiaAu=fare o solu ¸tie (care este unic ˘aî nv i r t u t e ai n j e c t i v i t ˘a¸tii
luiA). Fieγ∈R∗
+¸si operatorul Tγ:H→H,deﬁnit prin: Tγu=u−
γ(Au−f).Exist ˘a valori ale lui γpentru care Tγeste o contrac ¸tie. dac ˘a
punemw=u−v,avem
kTγu−Tγvk2=k(u−v)−γA(u−v)k2=kw−γAw k2=
=<w−γAw,w−γAw> kwk2−2γRe<A w,w> +
+γ2kAwk2. (80)
68

Din (76) ¸si(77) rezult ˘a
−Re<A w,w> ≤−αkwk2,
kAuk≤Mkuk,
care introduse în (80) ne conduc la
kTγu−Tγvk2≤¡
1−2γα+M2γ2¢
kwk2=cγku−vk2,
unde am notat cγ=1−2γα+M2γ2.Pentruγ∈¡
0,2α
M2¢
avem 0<cγ<1,
deci pentru orice γ∈¡
0,2α
M2¢
,Tγeste o contrac’ie, deci are un punct ﬁx,
unic.
Fie, a ¸sadar,γ∈¡
0,2α
M2¢
.Exist ˘a un punct u∈H,unic, astfel încât
Tγu=u,deciu−γ(Au−f)=usauAu=f.
Operatorul Aﬁind o bijec ¸tie a luiHpeH,e x i s t ˘aA−1.Operatorul A−1
este liniar, ca invers al unui operator liniar. Deoarece pentru orice u∈H
exist ˘av∈Hastfel încât u=A−1v,din (79) rezult ˘a
°°A−1v°°≤1
αkvk,
deciA−1este m ˘arginit ¸sikA−1k≤1
α.
69

6 Bibliogra ﬁe
1. Ambrosetti, A., Malchiodi, A., Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic
Problems, Cambridge, 2007.
2. Dinc ˘a, G., Metode varia ¸tionale ¸si aplica ¸tii,E d i t u r aT e h n i c ˘a, Bucure ¸sti,
1980.
3. Evans, C. E., Partial Di ﬀerential Equations, American Mathematical So-
ciety, 1998.4. Gilbarg, D., Trudinger, N. S., Elliptic Partial Di ﬀerential Equations ,
Springer, 2001.
5. Granas, A., Dugundji, J., Fixed Point Theory , Springer, 2003.
6. Istr ˘a¸tescu, V. I., Introducere în teoria punctelor ﬁxe, Editura Academiei,
Bucure ¸sti, 1973.
7. Kantorovici, L. V., Akilov, G. P., Analiz ˘af u n c ¸tional ˘a,Editura Tehnic ˘a,
Bucure ¸sti, 1986.
8. Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications, John
Wiley&Sons, New Zork, 1978.
9. Toledano, J. M., Benavides, T. D., Acedo, G. L., Measures of Noncom-
pactness in Metric Fixed Point Theory , Birkhäuser, Basel, 1997.
10. Zeidler, E., Nonlinear Functional Analysis and irs Applications. Part 1:
Fixed-Point Theorems , Springer, 1986.
70

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: T E O R E M ED EP U N C TF I X SI APLICA TII [608332] (ID: 608332)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

T E O R E M ED EP U N C TF I X SI APLICA TII [608332]

Copyright Notice

Capitol 1 Complet [612751]

Proiect de diplomă [617105]

(1) Monitorizarea calității apei potabile se asigură de către producător, distribuitor și de autoritatea [632167]

Obezitatea constă dintr -o acumulare de grăsime în organism a cărui greutate crește din aceasta cauză, depășind cu cel puțin 15 -20% greutatea… [600550]

– Normalizarea contabilă franceză: repere, realizări, avantaje și limite. – [601248]

Socidoc.com Atestat Organizarea Activitatii Intreprinderii [612183]

Copyright Notice

Similar Posts