Suprafete Poligonale

CUPRINS

INTRODUCERE

Ca știință, geometria își are originile în antichitate. Primele cercetări de geometrie, consemnate în documente, datează de patru mii de ani și erau destinate măsurătorilor de teren, construcțiilor și calculelor astronomice. De aici și cuvântul geometrie – măsurarea pământului.

Una din primele cărți de geometrie, rămasă din acea perioadă este semnată de matematicianul Ahmes, carte ce tratează despre dreptunghiuri, triunghiuri isoscele și unghiuri și care prezintă și o primă relație ce permite calculul ariei cercului și anume aria unui cerc de rază R poate fi aproximată prin aria unui pătrat de latură R (ceea ce conduce la o aproximare a numărului egală cu 3,160… ). Să mai amintim și faptul că vechii egipteni cunoșteau că un triunghi cu laturile 3, 4, 5, unități este dreptunghic și foloseau acest triunghi pentru construcția dreptelor perpendiculare și în particular pentru fixarea direcției Est-Vest.

Preocupări în dezvoltarea matematicii, în general, și a geometriei, în mod deosebit, au avut Thales din Milet (640-548 î.e.n.), Pitagora (580-500 î.e.n.), Aristotel (384-322 î.e.n.), Arhimede ( 287-212 î.e.n.), Euclid (300 î.e.n.) și foarte mulți alții.

Reținem aportul deosebit ce la avut Euclid în studiul geometriei prin lucrarea sa „Elemente”, care cuprinde 13 cărți ce conțin rezultate de geometrie și, deși nu în totalitate sau sub aceeași formă, unele din axiomele sau postulatele formulate de el (celebrul postulat V) se regăsesc printre axiomele geometriei de azi pentru că la el apare prima dată formularea postulatului al V-lea, postulat ce stă la baza geometriei studiate în școală; aceasta poartă numele – geometrie euclidiană. Printre problemele studiate în prima carte găsim și câteva legate de teoria ariilor, egalitatea lor. Scopul lucrării este de a ordona și demonstra teoremele descoperite de predecesorii săi. Aici a fost inițiată și tradiția de a indica sfârșitul unei demonstrații prin cuvintele “Quad erat demonstrandum” (ceea ce trebuia demonstrat ).

După cum am spus, lui Arhimede i se datorează numeroase rezultate, dar nu numai în geometrie. O proprietate a mulțimii numerelor reale, cunoscută sub numele de „axioma lui Arhimede” stă la baza teoriei măsurării – în particular, teoria ariilor. Iată forma sub care apare ea azi: „pentru orice număr real x există un număr întreg n unic, astfel încât n ≤ x < n+1” (acest număr este numit partea întreagă a lui x ).

Dintre matematicienii care s-au evidențiat de-a lungul timpului în studiul geometriei reținem contribuția lui D. Hilbert (1862-1943 ) care, în lucrarea sa „Grundlagen der Geometrie”, elaborează prima axiomatizare a geometriei euclidiene conform cu exigențele științei moderne.

În școală, studiul axiomatic al geometriei se face astăzi după modelul dat de G. D. Birkhoff (1884-1944), matematician american, care prezintă un sistem axiomatic ușor modificat ca acela al lui Hilbert. El este în esență „Euclid aduis la zi”, adică sistemul lui Euclid din Elemente completat și prezentat ca un sistem axiomatic, semiformalizat, motiv pentru care poate fi numit „sistemul axiomatic” Euclid-Hilbert.

Cunoscând acum sistemele axiomatice, care toate conduc la construcția, pe căi diferite, a geometriei euclidiene, este momentul să menționăm unele concluzii referitoare la o analiză comparativă a lor. Aceasta o vom face din două puncte de vedere și anume: primul, considerând aceste sisteme axiomatice ca și sisteme axiomatice semiformalizate, în cadrul problemelor generale, și al doilea în legătură cu aspectele metodologice pe care le ridică predarea geometriei în învățământul gimnazial și liceal la noi în țară.

Referitor la aspectele metodice ale predării geometriei euclidiene vis-à-vis aceste sisteme axiomatice, vom menționa mai întâi faptul că la noi în țară, până în anul 1978, geometria a fost predată pe baze neaxiomatice. Noțiunile primare erau „cunoscute” sau „descrise” intuitiv, principiile fundamentale erau introduse atunci când erau menționate ca atare, erau prezentate ca rezultate „intuitiv evidente”. Se obținea astfel o teorie matematică, pornită de pe baze intuitive și care se constituia într-o construcție logico-deductivă coerentă și într-un grad abstract. Acest mod de a face geometrie este esențial cel din Elementele lui Euclid.

Oricare ar fi sistemul axiomatic care ar sta la baza predării geometriei, considerăm că următoarele aspecte se pot lua în considerare, în primul rând înțelegerea punctului de vedere axiomatic în studiul geometriei euclidiene și predarea axiomatică a geometriei trebuie realizată concret, tratarea este logico-deductivă și sistematică, combinată permanent cu interpretări intuitive.

În conformitate cu acesta și cu manualul, vom nota dreapta care trece prin două puncte A și B cu AB, segmentul închis determinat de aceasta cu [AB], segmentul deschis cu (AB) și atunci când nu e pericol de confuzii distanța dintre punctul A și B cu AB.

Programa de matematică pentru clasa a VII-a prevede studiul axiomatic și proprietățile ariilor suprafețelor plane. Manualul oferă un material bogat, atât teoretic cât și practic pentru acest capitol.

Studiul ariilor nu înseamnă numai stabilirea unor formule de calcul, ci și demonstrarea unor teoreme importante sau rezolvarea unor probleme de geometrie plană.

În primul capitol am prezentat suprafețele poligonale, descompunerea în suprafețe triunghiulare și echivalentele ce le putem stabili între acestea. Capitolul al doilea oferă studiul axiomatic al ariei suprafețelor poligonale, cu folosirea lor la studiul ariei discului și cu aplicații practice. Următorul capitol este axat pe studiul metodic al noțiunii de arie, probleme cu arii și un test de evaluare a cunoștințelor elevilor referitor la capitolul arii.

CAPITOLUL I.

SUPRAFEȚE POLIGONALE

I.1. Poligoane. Suprafețe poligonale convexe

Definiția 1.1.1.Se numește mulțime convexă o mulțime de puncte într-un plan care are următoarea proprietate: dacă P, Q sunt două puncte distincte ale mulțimii M, atunci M conține toate punctele segmentului (PQ), adică P, QM (PQ) M.

Exemple de mulțimi convexe:

Exemplul 1. Mulțimea vidă și mulțimea formată dintr-un singur punct sunt considerate mulțimi convexe.

O mulțime formată dintr-un număr finit n ( n > 1 ) de puncte este convexă.

Exemplul 2. Orice dreaptă, semidreaptă, segment sunt mulțimi convexe.

Exemplul 3. Un plan, semiplan sunt mulțimi convexe.

În figura 1.1 deosebim două tipuri de mulțimi:

Figura 1.1.

Discul cu centrul în O și raza R ( ex. a ) este mulțime convexă; exemplele b) și c) nu sunt mulțimi convexe. Deducem, deci, că pentru a arăta că o mulțime este convexă este suficient să punem în evidență două puncte S, T ale acestei mulțimi pentru care (ST) este inclus în mulțime.

Teorema 1.1.1 Intersecția a două mulțimi convexe este o mulțime convexă.

Demonstrație: Fie M1 și M2 două mulțimi convexe și S, T M1 M2. Atunci S, T M1 și S, T M2 . Cum M1 și M2 sunt mulțimi convexe, avem (ST) M1 și (ST) M2 . De aici deducem (ST) M1 M2 , ceea ce ne arată că și M1 M2 este mulțime convexă.

Generalizare. Orice intersecție de mulțimi convexe este o mulțime convexă.

În baza acestei teoreme, interiorul unui unghi, interiorul unui triunghi sunt mulțimi convexe.

Observația 1. Exemplele din figura 1.1 b), c) ne arată că reuniunea a două (sau mai multe) mulțimi convexe nu este în general o mulțime convexă.

Definiția 1.1.2. Fie P1, P2, … , Pn, Pn+1 n+1 puncte situate într-un plan. Se numește linie poligonală (de la P1 la Pn+1) mulțimea punctelor L = [P1P2] U… U [PnPn+1].

Punctele P1, P2, … , Pn, Pn+1 se numesc vârfurile liniei poligonale L, iar segmentele [P1P2], [P2P3], …, [PnPn+1] se numesc laturile liniei L.

Două vârfuri Pk, Pk+1 se numesc vârfuri vecine (consecutive, alăturate), iar laturile [Pk-1Pk], [PkPk+1] laturi vecine ( consecutive, alăturate ).

Definiția 1.1.3 O linie poligonală se numește simplă dacă oricare două laturi vecine sunt disjuncte.

Exemple de linii poligonale:

a) b)

c) d) e)

Figura 1.2

Exemplele din figura 1.2. c); d); e); reprezintă linii poligonale simple.

Definiția 1.1.4. O linie poligonală P=P1P2 . . . Pn Pn +1 se numește poligon (cu n laturi) dacă :

Pn+1 = P1 (adică P este o linie poligonală închisă)

este simplă

oricare două laturi nu aparțin aceleași drepte

(laturi vecine).

Notăm un poligon P cu vârfurile P1,P2,. . . , Pn+1 cu P=P1 P2 . . .Pn sau mai simplu P.

Exemplele din figura 1.2. e),d) reprezintă un poligon cu 4 laturi (vârfuri) respectiv 5 laturi (vârfuri). De astfel, etimologia cuvântului poligon este grecească, polys =numeros, gonia, gonos =unghi, unghiuri.

In concordantă cu acestea este și utilizarea prescurtării n-gon pentru un poligon cu n vârfuri (pentagon, hexagon, octogon etc.). Fac excepție poligoanele cu trei unghiuri (triunghiuri) sau cu patru unghiuri (patrulater).

Definiția 1.1.5. Numim frontiera poligonului P mulțimea Fr P alcătuită din vârfuri și din punctele interioare laturilor poligonului P, adică ceea ce apare când desenăm poligonul P.

Definiția 1. 1.6. Segmentul [Pi Pj ]care nu sunt laturi se numesc diagonale.

Definiția 1. 1. 7. Un poligon P este convex dacă oricare ar fi [ Pk Pk+1] o latură a sa există un semiplan delimitat de dreapta Pk Pk+1 care conține toate vârfurile sale cu excepția vârfurilor Pk și Pk+1.

a) b)

c)

Figura 1.3

Exemplele a) și b) din figura 1.3 reprezintă poligoane convexe ; poligonul c) nu este convex.

Definiția 1. 1. 8. Fie P un poligon convex. Se definește interiorul poligonului convex ca fiind intersecția semiplanelor delimitate de suporturile laturilor poligonului și care conțin vârfurile nesituate pe laturile respective (figura 1.4).

Figura 1.4

Teorema 1. 1. 2. Un poligon convex nu este o mulțime convexă, dar interiorul unui poligon convex este o mulțime convexă.

Demonstrația este imediată, dacă ținem seama de definiția 1.1.2. și 1.1.4. și observația 1 (în cazul poligonului) și pentru interiorul poligonului de definiția 1.1.8. și teorema 1.1.1.

Reamintim în continuare câteva clase de poligoane des utilizate în practică.

Definiția 1.1.9

Patrulaterul cu două laturi paralele se numește trapez;

Patrulaterul cu laturile paralele două câte două se numește paralelogram;

Paralelogramul cu două laturi vecine perpendiculare se numește dreptunghi;

Paralelogramul cu laturile congruente se numește romb;

Un romb care este dreptunghi se numește pătrat.

Figura 1.5

Definiția 1.1.10. Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile și unghiurile sunt congruente.

Dintre toate poligoanele regulate cu denumiri consacrate amintim triunghiul echilateral și pătratul.

Pentru n laturi ( n > 4) se va folosi terminologia: pentagon regulat etc.

Observația 2. Orice poligon regulat este convex și inscriptibil într-un cerc și se poate circumscrie unui cerc.

Definiția 1.1.11. Pentru orice poligon regulat, definim apotema ca fiind distanța de la centru cercului circumscris la laturi ( sau raza cercului înscris).

Definiția 1.1.12. Se numește suprafață poligonală [P]. reuniunea unui poligon convex P cu interiorul sau Int (P), adică [P]=def P Int P. Poligonul P se zice că limitează pe [ P] (sau este frontiera lui [P] ), iar Int (P) se mai numește interiorul lui [P].

O suprafață poligonală cu trei laturi se numește suprafață trilaterală (triunghiulară), cu patru laturi suprafață patrulateră, etc.

Definiția 1.1.13. Se numește suprafață poligonală o mulțime de puncte din plan, care este reuniunea unui număr finit de suprafețe poligonale convexe, acestea avânstea având două câte două interioarele disjuncte.

I.2. Descompunerea suprafețelor poligonale

Definiția triunghiurilor congruente (sau, în general, a poligoanelor congruente) s-a introdus pornind de la axiomele de congruență. Intuitiv două poligoane sunt congruente dacă prin suprapunere ele coincid exact, în toate părțile lor (laturi, unghiuri). In acest caz elementele lor congruente se numesc omoloage.

Intuiția ne arată că va trebui să determinăm o corespondență bijectivă între elementele omoloage ale celor două poligoane pentru a preciza congruența lor.

Figura 1.6

De exemplu, în figura 1.6. poligoanele ABCD si EFGH sunt congruente dar nu în această ordine. Corespondența între elementele omoloage este ; ; și și respectiv, , , , .

Prin urmare, conform acestei corespondențe si ținând seama de elementele omoloage corespondența se mai scrie ABCD FGHE.

Se pune problema cum putem stabili congruența suprafețelor poligonale (sau, mai general, asemănarea lor). Fie deci M și M’ două mulțimi de puncte din plan.

Definiția 1.2.1. Mulțimile M și M' sunt congruente si vom nota M M ' dacă există o aplicație f : M M astfel ca pentru orice pereche de puncte P , Q M să avem ( P Q ) ( f ( P) f (Q ) ).

Funcția f cu această proprietate se numește izometrie. ( fig.1.7).

Figura 1.7

Definiția 1.2.2. Mulțimile M și M’ sunt asemenea și vom nota M ~M’ dacă există un număr k > 0 și o funcție bijectivă f : M M’ astfel ca pentru orice pereche de puncte P, Q M să avem :

PQ= kf ( P ) f ( Q ).

Funcția f cu această proprietate se numește asemănare, iar numărul k se numește raport de asemănare. Să facem observația că pentru k = 1 avem congruența. ( fig.1.8. )

Figura 1.8

Teorema 1.2.1. Dacă triunghiurile ABC și A’B’C’ sunt congruente, atunci [ ABC ] [ A’B’C’].

Demonstrație. Fie Δ ABC și Δ A’B’C’ și fie E, F Int ( ABC), (fig. 1.9).

Figura 1.9

Construim aplicația f : [ABC][A’B’C’] definită astfel: E’ =f ( E), F’=f(F) și BAE B’A’E’, CAP C’A’P’ , (AE) (A’E’), (AF) (A’F’), (în baza axiomei de construcție a unghiurilor și segmentelor este asigurată unicitatea acestei corespondente). Avem astfel definită o bijecție.

Din construcție și din ipoteză deducem că AEF și A’E’F’ de unde (EF) = (f(E)f(F)). Deci [ABC][A’B’C’].

Definitia 1.2.3. Numim transversala într-un triunghi orice segment ce unește un vârf cu un punct situat pe latura opusă.

In figura 1.10. AM este transversala în ΔABC.

A

B M C

Figura 1.10

Observația 3. Fie P un poligon simplu și fie A, B P. O linie poligonală care leagă punctele A și B situată in interiorul poligonului P determină poligoanele P1 si P2 ale căror suprafețe poligonale sunt disjuncte (figura 1.11).

Figura 1.11

Vom spune că suprafața poligonală [P] a fost descompusă prin suprafețe poligonale [P1] si [P2]. Avem deci [P] = [P1] U [P2].

Convenție. Pentru simplificarea scrierilor, în cele ce urmează vom mai folosi si notația (pentru descompunere).

În baza observației de mai sus, din definiția 1.2.3. rezultă că :

[ABC] = [AMB] + [AMC]

Se poate deduce imediat că putem repeta de mai multe ori acest procedeu; operația se va numi descompunere transversală a suprafeței poligonale trilaterale (a triunghiului).

Figura 1.12

[ABC] = [T1] + [T2] + [T3] + [T4]

sau

[ABC] = i

Putem astfel generaliza operația de descompunere transversală și să considerăm o descompunere transversală a suprafeței triunghiulare [ABC] în familia {[Ti]} i = 1,…,n, astfel se poate scrie [ABC]=i.

Observația 4. Modul de a considera o descompunere transversală a unui triunghi nu este unic. In figura 1.12. am considerat transversala AM.

Putem însă să considerăm transversala BN și să obținem descompunerea transversală în {[ Tk]} k=1,…,m și să scriem [ABC]=Σ [T K ].

Adică, pentru aceleași triunghiuri ABC putem determina mai multe descompuneri transversale ale suprafeței [ABC].

Firesc, ne punem problema posibilității descompuneri unei suprafețe poligonale oarecare și mai ales forma suprafețelor poligonale care oferă cea mai avantajoasă descompunere. Forma este cea triunghiulară, observație intuitivă. Deci am putea descompune o suprafață poligonală în suprafețe triunghiulare ?

Definiția 1.2.4. Se numește descompunere triunghiulară a suprafeței poligonale [P] , o familie finită de suprafețe triunghiulare {[Ti]}i=1,…,n. care verifică următoarele condiții:

[P] = ( sau [P] = )

interioarele a oricăror două triunghiuri oarecare sunt disjuncte: Int (Ti) Int (Tj) = ; ij

fiecare punct interior unui triunghi Ti este interior lui P, i = 1,… , n.

fiecare punct interior lui P este interior sau pe un triunghi Ti, i = 1, … , n.

Astfel, [P] se exprimă ca reuniune de suprafețe triunghiulare cu interioarele disjuncte .

Definiție 1.2.5. Fie [P] o suprafață poligonală și fie {[ Ti ]}i=1,…,n o descompunere triunghiulară. Dacă fiecare triunghi Ti permite o descompunere transversală în suprafețe triunghiulare [Ti ,k] se obține o altă descompunere triunghiulară a lui [P].

Spunem că descompunerea {[Ti,k]}i,k este mai fină decât descompunerea {[Ti]} i considerată. (figura 1.13.).

Figura 1.13

Putem realiza o descompunere, imediată, triunghiulară a unui poligon convex dacă ducem diagonalele dintr-unul din vârfuri, în același timp să observăm că descompunerea nu este unică ( figura 1.14 )

Figura 1.14

În ambele cazuri observăm că descompunerea este realizată din triunghiuri ale căror vârfuri sunt vârfuri ale poligonului P .

Aceasta ne permite să enunțăm:

Teorema 1.2.2. Fiecare suprafață poligonală [ P ] se poate descompune în suprafețe triunghiulare [ Ti ], astfel încât fiecare vârf al fiecărui triunghi Ti să fie un vârf al poligonului P .

Teorema 1.2.3. O suprafață poligonală convexă cu n laturi ( n > 3) se poate descompune în n-2 suprafețe triunghiulare.

Demonstrație. Arătăm mai întâi ca o suprafață poligonală convexă cu n laturi se descompune într-o suprafață triunghiulară și o suprafață poligonală convexă cu n-1 laturi.

Figura 1.15

Se consideră poligonul convex P = P1P2…Pn și dreapta P1 P3 (fig.1.15.).

O dreaptă care nu este suportul unei laturi a lui P are cel mult două puncte cu P, prin urmare dreapta P1 P3 intersectează poligonul P numai în P1 si P3. Rezultă că punctele P4, P5 ,…,Pn sunt de aceeași parte a lui P1 P 3 , ceea ce înseamnă că P1P3P4 …Pn este un poligon convex.

Deoarece P3 se află în interiorul unghiului P2 P1 Pn rezultă că si P2 si Pn se află deoparte si de alta a dreptei P1 P 3 , adică interiorul triunghiului P1 P2P3 si poligonul P1 P 3 P 4 …Pn se află în semiplane opuse având astfel intersecția vidă.

Pe de altă parte este evident că:

[P]=[P1P2P3 ] + [P1P3P4…Pn]

Aplicând succesiv acest rezultat suprafețelor poligonale [ P1P3P4…Pn] etc., care au câte o latură mai puțin decât precedenta se obține teorema.

Consecință. Orice suprafață poligonală poate fi descompusă în suprafețe triunghiulare. (fig.1.16.).

Figura 1.16

I.3. Echivalențe pe mulțimea suprafețelor poligonale

Definitia 1.3.1. Două suprafețe ( P ) și ( P’) sunt echivalente aditiv dacă pot fi descompuse într-un număr finit de suprafețe triunghiulare congruente două câte două .

Vom nota această relație [P] ~ [P’] .

Iată câteva suprafețe poligonale aditiv echivalente (figura 1.17).

Figura 1.17.

[ABCD]~[A’B’C’D’]

Teorema 1.3.1. Dacă două poligoane convexe sunt congruente, atunci suprafețele poligonale respective sunt aditiv echivalente.

Demonstrație . Fie poligoanele P = P1P2…Pn si P = P1P2…Pn cu P P’.

Desigur putem considera pentru fiecare poligon mai multe descompuneri.

Fie descompunerea obținută ducând diagonalele din vârfurile omoloage P1 si P’1. În Δ P1P2P3 si în Δ P’1P’2P’3 avem ( P1 P2 )(P’1P’2), (P2P3)(P'2 P’3) :

P1 P2 P3 P’1 P’2 P’3

Deci, de aici rezultă congruenta celor două triunghiuri, Δ P1 P2 P3 ΔP’1 P2’P’3 . Analog pentru celelalte triunghiuri, în baza teoremei 1. 2. 1. vom putea scrie [ P1 P2 P3 ][ P’1 P’2 P’3] și de aici va rezulta [P][P’].

Observația 5. In baza acestei teoreme, definiție 1. 3. 1. se mai poate formula teorema și astfel : Două suprafețe poligonale [P] și [P’] sunt aditiv echivalente dacă se pot descompune în suprafețe poligonale congruente două câte două .

Definiția 1.3.2. Două suprafețe poligonale [ P ] și [ Q ] sunt echivalente prin complement dacă există suprafețe poligonale :

{[ Pi ]} i=1,n si {[ Qi ]} i=1,n , Pi Qi , i=1,n și

[ P ] + [Pi ] ~ [ Q ] + [ Qi ] .

Vom nota această relație [ P ] ~ [ Q ]

Înainte de a trece la enunțul câtorva din proprietățile acestor relații, să vedem câteva exemple.

Exemplul 1. Două paralelograme cu baze și înălțimi respectiv egale sunt echivalente prin complement sau aditiv echivalente .

Demonstrație. Fie paralelogramele ABCD și ABEF cu baza AB și aceeași înălțime h. Deosebim două cazuri:

Cazul 1. E( DC). Avem atunci

[ABCD] = [ ABED] + [BCE]

[ ABEF] = [ABED] + [ADF]

ΔBCE ΔADF

Din aceste rezultate, conform definiției 1. 3. 1. avem [ABCD][ABEF].

Cazul 2. E, F ( CD)

Avem relațiile

[ABCD]+[EDH ] = [ABCEH ]

[ABEF] + [ EDH ] = [ABHDF] (1)

Pe de altă parte avem:

[ABHDF] = [ABH] + [ ADF ]

[ABCEH]=[ABH ]+[BCE ] (2)

ΔBCE ΔADF

Din relațiile ( 1 ) si ( 2 ) rezultă deci [ ABHDF ][ABCEH ] și de aici în baza definiției 1. 3. 2. avem [ABCD] [ ABEF ] .

Consecință. Orice paralelogram este aditiv echivalent sau echivalent prin complement cu un dreptunghi având dimensiunile egale cu baza și înălțimea paralelogramului .

Exemplu 2. Orice triunghi este aditiv echivalent cu un paralelogram având aceeași bază și înălțimea jumătate din înălțimea triunghiului dat .

Demonstrație. Fie ΔABC cu înălțimea AD . Fie M mijlocul lui AD.

Ducem prin M o paralelă la BC si considerăm punctele H, F de intersecție a acestei paralele cu laturile (AB) și (AC).Alegem EHF în așa fel încât F(HE) și (HE) (BC). În baza construcției avem:

ΔCEF ΔAMF

[BCEH ] = [ BCFH] + [CEF ]

[ ABC ] = [ BCFH ] + [AHF]

De aici putem scrie

[ABC] ~ [ BCEH]

Consecință. Orice suprafață triunghiulară este aditiv echivalentă cu o suprafață dreptunghiulară având dimensiunile egale cu baza și jumătate din înălțimea triunghiului.

Exemplu 3. Fie patrulaterele P=ABCD , Q≠A’B’C’D’ , și R=A”B”C”D” astfel ca DB AB , A’D’A’B’ , ( AB ) (A’B’) , (A’D’) (DB), (A”B”) 2(A’D) , (A’B’) 2(A”D”) si A”D” A”B”.

În aceste condiții [ P]~ [Q] și [Q] ~ [R].Atunci [P]~ [R].

[P]~[Q] pentru ca [P] = [ABD] +[DBC]

[Q] = [A’B’C’]+[A’C’D’]

Δ ABC ΔA’B’C’,ΔBDC ΔB’D’C’

[Q]~[R] pentru ca [Q]=[A’N’M’] + [A’M’D’] + [N’M’B’] + [N’C’B’]

[R]=[B”C”M”] + [N”B”M”] + [A”N”M”] + [A”B”M”]

ΔA’M’D’ ΔN”B”M” ; ΔA’N’M’ ΔB”C”M”,

ΔM’N’B’ ΔA”N”M”; ΔB’C’M’ ΔA”D”M”.

Ținând seama de cele două descompuneri ale aceluiași poligon [Q], suprapuse, obținem o nouă descompunere a suprafeței poligonale [Q] în suprafețele triunghiulare [A’O’N’], [B’S’C’], [A’D’M’] [A’M’O’], [O’M’S’], [ S’M’C’] și patrulaterul [ON’B’S’] și fig .1.18

Efectuând aceeași descompunere (suplimentară) și în suprafețele poligonale [P] și [R]’ obținem descompunerea din figura 1. 19. si figura 1. 20.

Avem [ P ] = [AON] + [BSD] + [BMQ] + [O1MS1] + [S1MC] + [ONBS]

Cu congruentele Δ AONΔA’O’N’ Δ BMO1ΔA’M’O’

Δ BSD Δ B’S’C’ Δ O1MS1ΔO’M’S’ (3)

Δ BDMΔ A’D’M’ Δ S1MC Δ S’M’C’

ONBSO’N’B’S’

[ R ] = [B”O”1C”] + [ S”M”D”] + [B”Q1”M”] + [B”M”N”] + [A”O”S”] +

+ [ S”D”A”] + [O”N”M”S”]

Cu congruențele Δ B”O”1C” Δ A’N’O’ Δ B”O”1M”ΔA’O’M’

Δ S”M”D” Δ S’B’C’ Δ A”O”S” Δ O’M’S’ (4)

Δ B”M”N” Δ A’D’M’ Δ S”D”A” Δ S’M’C’

O”N”M”S” O’N’D’S’

Comparând descompunerile (3) și (4) putem afirma că [P] și [R] au fost descompuse în poligoane congruente două câte două, deci [ P ] ~ [ R ].

Din aceste cazuri particulare (ex.3) apare firesc întrebarea dacă putem generaliza rezultatele obținute sau nu. Înainte de a da teorema ce grupează proprietățile relațiilor de echivalentă, dăm fără demonstrație următoarea teoremă:

Teorema 1.3.2. Punctele interioare comune a două poligoane P și Q (dacă există formează mulțimea tuturor punctelor interioare ale unei mulțimi finite de poligoane din care nu exista două să aibă puncte interioare comune (figura 1.21.).

Figura 1.21.

Teorema 1.3.3. Relațiile ~ și ~ sunt relații de echivalentă.

Demonstrație. Din definițiile celor două relații rezultă imediat proprietățile de reflexivitate și simetrie. Pentru tranzitivitate vom lucra separat pentru cele două relații.

a.) Ne propunem să demonstrăm că dacă [P] , [Q] , [R] sunt trei suprafețe poligonale astfel încât [P] ~ [Q] si [Q] ~ [R] atunci [P] ~[R].

Din [P] ~ [Q] rezultă că există mulțimile de poligoane {[Pi]}i=1,…n și {[Qi]}i=1,…n două câte două congruente (Pi Qi , i=1,…,n) astfel încât :

[ P ] = [ Pi ] si [ Q ] = [ Qi ] ( 5 )

Analog, din [Q] ~ [R] avem mulțimile de poligoane {[Qj’]}j=1,…m și {[Rj]}j=1,…m două câte două congruente (Q’j Rj ) , j=1,…m astfel încât :

[ Q ] = [Q”j ] si [ R ] = [ R j ] ( 6 )

Familiile de mulțimi Qi, i=1,…n și Q’j, j=1,…m realizează pentru suprafața poligonală [Q] două descompuneri care, suprapuse, formează o altă descompunere a lui [Q] în suprafețe poligonale pe care le vom nota {[Qi Q’j ]}i=1,…n; j=1,…m; ( vezi ex.3 )

Conform teoremei 1.3.2. mulțimea punctelor comune interioare poligoanelor Qi si Q’j coincide cu mulțimea punctelor interioare ale unei mulțimi formată din poligoanele Qi Qj cu interioarele două câte două disjuncte.

In plus, fiecare punct interior lui Qi este interior lui [Q], deci este sau interior sau pe un anumit Q’j , deci sau interior sau pe anumiți Qi Q’j , pentru orice i=1,…n;j=1,…,m (def.1.2.4.). Conform aceleiași definiții avem ca {[QiQ’j]}i,j

realizează o descompunere în triunghiuri (sau poligoane ) a lui [Qi] si deci [Qi]=[Qi Q’j] , i=1,…n. Din ( 5 ) vom avea atunci [ Pi ] =[QiQ’j ],i=1,…n și deci și [P] poate fi împărțit în poligoane congruente cu mulțimea {Qi Q’j } i ,j (în ex.3. familia { Qi Q’j } i , j este formată din poligoanele QiQj cu interioarele două câte două disjuncte.

În plus, fiecare punct interior lui Qi este interior lui [Q], deci este sau interior sau pe un anumit Qj’, deci sau interior sau pe anumiți QiQj’. Conform aceleiași definiții, avem că {[QiQj’]},i,j realizează o descompunere în triunghiuri (sau poligoane) a lui [Qi] și deci [Qi]=, i=1,…,n. Din (5) vom avea atunci [Pi]=[QiQj’], i=1,…, n. și deci și P poate fi împărțit în poligoane congruente cu mulțimea {QiQj’}i,j (în ex.3, familia {QiQj’}i,j este formată din poligoanele A’O’N’, B’S’C’, A’D’M’, A’M’O’, O’M’S’, S’M’C’, O’N’B’S’).

Analog raționamentul pentru [R]. rezultă în final că [P][R].

b) Ne propunem să demonstrăm că dacă [P][Q] și [Q][R] atunci [P][R].

Dacă [P][Q] atunci există poligonul S1, astfel ca

[P]+ [S1][Q]+ [S1]. (7)

Iar dacă [Q][R] atunci există poligonul S2 astfel încât:

[Q]+ [S2][R]+ [S2]. (8)

Notăm cu [S’] mulțimea punctelor comune lui S1 și S2 si [S1], respectiv [S2’] mulțimea punctelor [S1] care nu sunt interioare lui [S2] (respectiv din [S2] care nu sunt interioare lui [S1]). Avem deci [S1]=[S’]+[S1’] și [S2]=[S’]+[S2’].

Dacă înlocuim în (7) și (8) avem:

[P]+[S’]+[S1’] [Q] +[S’]+[S1’]

[Q]+[S’]+[S2’] [R] +[S’]+[S2’]

de unde, adăugând convenabil [S2’] respectiv [S1’] avem:

[P]+[S’]+[S1’]+[S2’] [Q] +[S’]+[S1’]+[S2’]

[Q]+[S’]+[S2’] +[S1’][R] +[S’]+[S2’]+[S1’]

Aplicând acum tranzitivitatea relației și ținând seama de definiția 1.3.2. avem [P][R] (adică teorema este demonstrată). Din aceste teoreme și rezultate se poate imediat demonstra.

Teorema 1.3.4. Două triunghiuri de baze și înălțimi egale sunt echivalente.

Problemă. Fie M un punct pe diagonala AC a paralelogramului ABCD. Ducem prin M paralele la AB și AD și notăm intersecția acestor paralele cu laturile (AD),(BC) respectiv cu E,F,G,H (vezi figura 1.22). În acest caz paralelogramele EMHD și FBGM sunt echivalente.

Figura 1.22.

Soluție:

Ducem prin H și G paralele la diagonala Ac. Se notează punctele de intersecție cu laturile AD, respectiv AB prin L și O. Din construcție MGCMHC, deci înălțimile celor două triunghiuri considerând aceeași bază MC, sunt egale. Deci HH’GG’.

Pe de altă parte, paralelogramele EMHD și AMHD sunt echivalente prin complement, având aceeași bază MH și înălțimi egale (deoarece FH // AD).

Analog MFBG AMGO (aceeași bază MG și înălțimi egale).

În paralelogramele AMGO și AMHD sunt echivalente prin complement (aceeași bază AM și înălțimi egale HH’ și GG’).

Avem deci, conform teoremei 1.3.3. echivalența prin complement între paralelogramele EMHD și MFBG.

În încheierea acestui capitol, din exemplele și teoremele date și demonstrate se desprinde ca o concluzie faptul că noțiunile de aditiv echivalență și echivalență prin complement se pot reuni într-o noțiune generală de echivalență.

Definiția 1.3.3. Două suprafețe poligonale [P] și [P’] sunt echivalente dacă sunt aditiv echivalente sau echivalente prin complement.

Vom folosi în acest scop notația [P] [P’].

CAPITOLUL II.

ARIA SUPRAFEȚELOR PLANE

II.1. Aria suprafețelor poligonale

După cum știm, aflarea ariei unei mulțimi de puncte este o operație de măsurare. Este astfel necesar introducerea unei unități de măsură. Intuitiv s-a folosit ca unitate ca unitate de arie o suprafață pătratică de latură 1.

Se poate măsura direct o suprafața poligonala P, dacă P se descompune într-un număr finit de unități de suprafață. (figura 2.1)

Figura 2.1.

Pentru alte mulțimi (suprafețe poligonale) procesul direct de măsurare nu se poate aplica (figura 2. 2.).

Figura 2.2.

și aceasta pentru că nu permite descompunerea exactă în unități de suprafață (unități pătratice de arie). Iată de ce este nevoie de reconsiderarea formei poligonale care să stea la baza determinării ariei oricărui poligon, suprafețe poligonale. Înainte însă este necesar să definim funcția arie.

Vom folosi ca notație S mulțimea suprafețelor poligonale în planul euclidian.

Definiția 2.1. 1. 0 funcție :S+ se numește funcție arie dacă verifică următoarele axiome:

A1. Dacă suprafețele poligonale [P,] si [P2] sunt congruente, atunci

(P1)=(P2).

A2. Dacă suprafețele poligonale [P1] și [P2] sunt disjuncte sau se intersectează doar în vârfuri sau pe laturi, atunci (P1U P2)=(P1)+(P2); respectiv convenției făcută în capitolul precedent (P1+ P2)=(P1)+(P2), vezi figura 2.3.

Figura 2.3.

A3. Dacă [ABCD] este o suprafață pătrata de latură unitate (adică [ABCD] este o unitate de suprafață), atunci  (ABCD)= 1 .

Observația 1. Înainte de axioma A3 , să observam că, dacă funcția :+ satisface axiomele A] si A2 , atunci și funcția obținută prin înmulțirea funcției definită mai sus cu un număr real pozitiv , satisface de asemenea proprietățile A1 și A2. Cel puțin din acest motiv suntem în fața unei infinități de funcții "arie" și, deci, o dificultate suplimentară în alegerea aceleia potrivite. Această problemă se rezolvă prin introducerea axiomei A3 care fixează o anumită funcție din cele de mai sus cu rolul de arie a unei suprafețe plane.

Așa cum am amintit mai sus e nevoie să stabilim o modalitate de a calcula aria oricărei suprafețe poligonale. În baza teoremelor 1.2.2. și 1.2.3. în baza cărora orice suprafață poligonală se poate descompune în suprafețe triunghiulare, deducem că pentru a calcula aria suprafețelor poligonale [P] (oarecare), e necesar să stabilim o formulă pentru aria suprafeței triunghiulare.

Teorema 2.1.1. În orice triunghi, produsul unei laturi cu înălțimea corespunzătoare este același oricare ar fi latura aleasă.

Demonstrație

Fie ABCD în care considerăm că ADBC, BEAC, CFAB. Vrem să demonstrăm că avem relațiile BC AD=AC BE=ABCF.

Deoarece și rezulta că ADC BEC și deci putem scrie raportul laturilor (de asemănare).

, de unde avem AD BC = AC BE.

Analog pentru triunghiurile ACF și ABE. Cu aceasta teorema este demonstrată.

Definiția 2.1.2. Numim caracteristică a triunghiului acest număr.

Definiția 2.1.3. Definim aria unei suprafețe triunghiulare [ABC], caracteristica triunghiului ABC, înmulțită cu un număr dat k, fixat o dată pentru totdeauna și același pentru orice triunghi.

Rezultă că, dacă în ABC

avem ADBC, atunci

(ABC)=kBCAD.

Ne propunem în continuare să arătam că astfel definită aria unei suprafețe triunghiulare, sunt verificate axiomele ariei (A1-A3) și, de asemenea, să determinăm valoarea constantei k.

Prima axiomă este verificată imediat. Fiind date două triunghiuri congruente ABC și A'B'C' (am văzut în capitolul precedent că, în acest caz și suprafețele triunghiulare [ABC] și [A'B'C’] sunt congruente – teorema 1.2.1.1, și fiind considerate înălțimile AD, respectiv A'D' (ADBC, A'B'B'C') din congruența ADBA'D'B’ avem AD=A'D'.

Atunci (ABC)= kBCAD = k A’D’ B’C’ și deci axioma A1 este verificată.

Să încercăm să verificăm axioma A2.

Teorema 2.1.2. Dacă un triunghi este împărțit prin transversala AM în triunghiurile T1 și T2, atunci aria suprafeței triunghiulare [ABC] este egală cu suma ariilor suprafețelor triunghiulare [T,] si [T2].

Demonstrație. Fie [T1]=[ABM] și [T2] = [AMC]. Din definiția ariei unei suprafețe triunghiulare, considerând ADBC avem:

(ABM)+(AMC)=kBMAD+kMCAD=

=kAD(BM+MC)=kADBC=(ABC)

Teorema 2.1.3. Dacă un triunghi oarecare ABC este împărțit într-un mod oarecare prin drepte într-un număr oarecare, dar finit, de triunghiuri Tk, aria suprafeței triunghiulare [ABC] este totdeauna egală cu suma ariilor suprafețelor tuturor triunghiurilor Tk.

Demonstrație. Să arătam mai întâi că, efectuând numai descompuneri transversale în triunghiuri Tk, aria suprafeței triunghiulare [ABC] este suma ariilor tuturor suprafețelor triunghiulare [Tk]k=1,…,n adică, dacă:

[ABC]= atunci (ABC)= (Tk).

Într-adevăr, să presupunem adevărată teorema pentru o descompunere transversală în familia de triunghiuri {Tk}k=1,…,n și să arătăm că este adevărată și pentru o descompunere în n+1 triunghiuri.

Pentru a obține o descompunere transversală a triunghiului ABC în n+1 triunghiuri, e suficient să efectuăm, în familia {Tk}k=1,…,n o descompunere transversală a triunghiului Tn, obținând triunghiurile Tn’ și Tn+1’ cu proprietatea [Tn]= [Tn’ ]+[Tn+1’] și Int (Tn’ )Int(Tn+1’)= și pentru care, aplicând teorema 2.1.2. avem:

 (Tn)=  (Tn’)+ (Tn+1’ ) (2)

Notând acum:

Tk’= (3)

Am construit o nouă familie de triunghiuri {Tk}k=1,…,n+1.

În plus, folosind rezultatele (1) , (2 ) , (3 ) vom avea

 (ABC)=  (Tk’).

Să arătam acum că aria suprafeței triunghiulare [ABC] nu depinde de descompunerea folosita. Fie pentru aceasta o descompunere oarecare în triunghiuri {Tk} și să considerăm segmentele determinate de vârfurile triunghiurilor T, situate în interiorul triunghiului ABC sau pe (BC) și de punctul A.

Se obține astfel o descompunere transversală a lui ABC în triunghiurile {Ti}i=1,..,n, adică (ABC)= (Ti’).

Suprapunând cele două descompuneri, se obține o mulțime de triunghiuri și patrulatere. La rândul lor construind o diagonală în fiecare patrulater se obține în final o descompunere în triunghiuri {Tik} a suprafeței triunghiulare [ABC].

Vârfurile fiecărui triunghi Tik se vor găsi numai pe două laturi ale unui triunghi Ti, respectiv ale unui triunghi Tk, fapt ce rezultă imediat din construcție. Aceasta ne arată că familia {[Tik]}i,k realizează o descompunere transversală atât pentru un triunghi Tk, cât și pentru un triunghi Ti. Vom avea atunci:

 (Ti)= (Tik) și deci (ABC)= (Ti) = (Tik).

Pe de altă parte, (Tk)=(ik) și însumând ariile tuturor triunghiurilor Tk, vom avea (Tk) =  (Tik).

Comparând ultimele rezultate vom avea (ABC)=(Tk), rezultat care ne arata că aria triunghiului ABC nu depinde de descompunerea făcută. Cu aceasta, teorema este demonstrată.

Observația 3. Teorema 2.1.3. enunțată mai sus, este în același timp și verificarea celei de-a doua axiome a ariei. Deci formula pentru calculul ariei unui triunghi dată prin definiția 2.1.3. verifică cele două axiome ale ariei.

Problema. Să se demonstreze că distanțele de la un punct al medianei AA’ a triunghiului ABC până la laturile AB și AC sunt în raport invers cu aceste laturi.

Rezolvare. Considerăm BC=a și fie M(AA'), BA'=A'C=a/2. Ducem MPAB (PAB), MNAC(NAC), ADBC, MD'BC, D,D'BC.

Unind pe M cu B și C se formează: ABA’; AA’C; MAB; MAC; MBA’; MCA' . Vom avea

(ABA’ )=kBA’AD=1/2 k aAD

(ACA’ )=kADA’C=1/2 k aAD.

De aici deducem (ABA’ )=(ACA’ ) (4)

De asemenea (MA’B)=kMD’BA’=1/2 kaMD’

(MA’C)=kA’CMD’=1/2 kaMD’

De unde deducem (MA’B)=(MA’C) (5)

Comparând rezultatele (4) și (5) avem (AMB)=(AMC). De unde vom putea scrie:

kABMP=(AMB)=(AMC)=kACMN de unde obținem ABMP=ACMN sau raportul cerut . Să încercăm acum să definim aria unui poligon (a unei suprafețe poligonale). Fie [P] o suprafață poligonală, în baza teoremelor 1.2.2. și 1.2.3. din capitolul precedent există o familie de suprafețe triunghiulare {[Ti]}i care permite descompunerea triunghiulară a suprafeței [P]. Urmează firesc definiția.

Definiția 2.1.4. Fie [P] o suprafața poligonală. Definim aria suprafeței poligonale [P] ca fiind suma ariilor suprafețelor triunghiulare ce realizează o descompunere a suprafețe [P].

Teorema 2.1.4. Aria unei suprafețe poligonale [P] este independentă de descompunerea aleasă.

Demonstrație. Pentru suprafața poligonală [P] presupunem două descompuneri triunghiulare {[Ti]}i și {[Tk’]}k (în figura 2.4.). Este prezentat un heptagon oarecare căruia i s-au pus în evidenta două descompuneri triunghiulare).

Figura 2.4.

Suprapunând cele două descompuneri, un triunghi al unei descompuneri determină pe cealaltă familie de descompunere triunghiulară, triunghiuri sau poligoane ce, la rândul lor, pot fi descompuse în triunghiuri. Fie această familie notată {[Tik]}i,k.

În baza teoremei 2.1.3. aria fiecărui triunghi Ti este suma ariilor triunghiurilor componente Tik. Însumând ariile tuturor triunghiurilor Ti avem astfel:

(Ti) = (Tik)

In mod analog găsim (Tk’) = (Tik)

De unde deducem (Ti) = (Tk’) și astfel teorema este demonstrata.

Observația 4. Astfel definită aria unei suprafețe poligonale [P], aceasta verifică atât axioma A1, cât și axioma A2 din definiția ariei unei suprafețe poligonale ( definiția 2.1.1.).

Observația 5. Până aici am putut lucra atât cu aria unei suprafețe triunghiulare oarecare, fără să fim obligați să fixăm valoarea constantei k. Este și acesta un exemplu la observația 1 din acest paragraf.

Verificarea celei de-a treia axiome a ariei duce de fapt la determinarea valorii lui k.

Fie deci [ABCD] o suprafață pătrată de latură 1. Conform celor arătate mai sus, putem descompune suprafața în suprafețele triunghiulare [ABC] și [ACD] și vom avea: (ABC) =(ABC)+ (ACD).

În baza axiomei A1 verificată și a definiției 2. 1. 3, avem:

(ABC) =(ACD) = k.

Considerând suprafața ABCD o unitate de suprafață, având deci aria egală cu 1, vom avea 2k=1, de unde obținem valoarea constantei k, și anume k=1/2. Am obținut astfel relația care permite calculul ariei oricărei suprafețe triunghiulare.

Teorema 2.1.5. Aria oricărei suprafețe triunghiulare este egala cu jumătate din produsul unei laturi cu înălțimea corespunzătoare.

Problemă. Să se calculeze aria unei suprafețe triunghiulare având baza și înălțimea respectiv egale cu 42 și 20 (unități de lungime).

Rezolvare.

Fie [ABC] suprafața triunghiulară. Dacă notăm o latură cu b (baza) și înălțimea cu h, conform teoremei 2.1.5. vom avea:

(ABC)= (6)

Înlocuind cu valorile date obținem (ABC)=420 (unități de arie).

Problemă. Să se calculeze aria unui triunghi, știind că înălțimea sa este 36, iar cele două laturi care pleacă din vârf sunt de 85 și 60.

Rezolvare. În ABC considerăm AB=85, AC=60, AD=36, ADBC.

Pentru a calcula lungimea bazei BC se aplică teorema lui Pitagora în ABD și găsim BD=77, iar din ADC găsim DC=48.

Avem astfel BC=125 și de aici, folosind (6) găsim (ABC)=1125 (unități de arie).

Problemă. Lungimile laturilor unui patrulater ABCD sunt (în unități de măsură) AB=18, BC=10, CD=10, AD= 15 și diagonala BD=15. Să se calculeze aria suprafeței patrulatere.

Rezolvare. În patrulaterul dat ABCD, diagonala BD realizează o descompunere triunghiulară; avem deci (ABCD)=(ABD)+(BCD).

Dar triunghiurile ABD și BCD sunt isoscele având bazele AB și respectiv BD și, în urma calculelor vom avea (ABD)=108 (unități de arie) (BCD)= și deci aria (ABCD)=108+ (unități de arie.).

Problemă. Să se arate că, folosind calculul ariilor suprafețelor poligonale și axiomele ariei ca suma distanțelor unui punct variabil M, situat în interiorul unui triunghi echilateral, la laturile triunghiului este constantă. Să se determine această constantă.

Rezolvare.

Fie triunghiul echilateral ABC de latură a. Considerăm N,P,Q picioarele perpendicularelor duse din M pe laturile BC, AC respectiv AB ale triunghiului . Vom avea imediat (ABC)=. Aplicând axioma A2 vom avea:

(ABC) =(AMB)+(MBC)+(AMC).

Calculând ariile celor trei triunghiuri AMB, MBC, AMC vom avea:

aMN+aMP+aMQ=(ABC)=, de unde obținem relația:

MN+MP+MQ=(ABC)=.

II.2. Calculul ariilor suprafețelor poligonale

Din definițiile ariei unei suprafețe triunghiulare și a unei suprafețe poligonale date în paragraful precedent, vom reține câteva reguli de calcul pentru ariile diferitelor suprafețe poligonale particulare.

Teorema 2.2.1. Dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu catetele c1 și c2, vom avea: (ABC)=.

Aplicație. Să se determine înălțimea unui triunghi dreptunghic având catetele 30 și 40 (unități de lungime) folosind calculul ariilor.

Rezolvare.

Se calculează aria în două moduri. Notăm cu a ipotenuza triunghiului și h înălțimea corespunzătoare, vom obține din calculul ariei h=.

Ca aplicație numerica se obține h=12 .

Teorema 2.2.2. Dacă [ABCD] este o suprafață pătratică cu 2 latura a, aria va fi: (ABCD)= a2.

Demonstrație.

Vom scrie [ABCD]= [ABC]+[ACD].

Aplicând teorema precedentă triunghiurilor dreptunghice ABC și ACD vom avea:

(ABCD)=(ABC)+(ACD) =+=

Teorema 2.2.3. Dacă [ABCD] este o suprafață dreptunghiulară cu dimensiunile a și b, atunci (ABCD)= ab.

Demonstrația acestei teoreme se poate face în mai multe moduri. Iată în continuare două dintre ele.

Demonstrația 1.

Descompunem suprafața dreptunghiulară astfel:

[ABCD]=[ABC]+[ACD]. Aplicam pentru aceste triunghiuri rezultatul teoremei 2. 2. 1. (fiind dreptunghice) și vom avea:

(ABCD)=(ABC)+(ACD) =+=

Demonstrația 2. Construim pătratul cu latura a+b vom avea:

[MNPD]=[AMEB]+[ENQB1+[BQPC]+[ABCD] ENQB și ABCD sunt dreptunghiuri, deci (ENQB)=(ABCD).

AMEB este un pătrat cu latura a și deci (AMEB)=a2.

BQPC este un pătrat cu latura b și deci

(BQPC)=b2.

MNPD este un pătrat cu latura a+b și deci (MNPD)=(a+b)2.

Cu aceasta, vom avea așadar:

(a+b)2=a2+b2+2(ABCD) de unde după calculele efectuate ajungem la relația căutată pentru calculul ariei suprafeței dreptunghiularei [ABCD].

Problema. Laturile unui dreptunghi sunt de 54, respectiv 6 (unități de lungime). Sa se afle latura unei suprafețe pătratice a cărei arie este egală cu aria suprafeței dreptunghiulare.

Rezolvare. Se calculează aria suprafeței dreptunghiulare și avem =324 (unități de arie). Din formula pentru aria suprafeței pătratice se obține a=18 (unități de lungime).

Teorema 2.2.4. Fie ABCD un paralelogram având baza AB=a și DE=h. Aria suprafeței [ABCD] poate fi calculată astfel:

(ABCD)=ah. (adică produsul unei baze cu înălțimea).

Demonstrație.

Putem descompune suprafața paralelogramului în [ABCD]=[ABD]+[DBC],

unde ABCCDB și deci (ABD)=(CDB)=, de unde obținem:

(ABCD ) = +=.

Teorema 2.2.5. Aria rombului este jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.

Demonstrație.

Notăm cu d1=AC și d2=BD. Ținând seama de proprietățile rombului, vom avea:

[ABCD]=[ABD]+[BCD] și d1d2.

De aici vom avea:

(ABD)=(BCD )=.

Problema. Să se calculeze aria unui romb având latura de 8 și o diagonală de 14.

Teorema 2.2.6. Aria trapezului este jumătate din produsul dintre înălțime și suma bazelor.

Demonstrație.

Fie ABCD un trapez cu bazele BC și AD. Notăm BC=b1; AD=b2 și AE=h; AEBC.

Avem [ABCD]=[ABC]+[ADC]

Cum triunghiurile ABC și ADC au aceeași înălțime (distanța dintre bazele trapezului) vom avea:

(ABCD)=(ABC)+(ACD) =+=

Consecință. BC+AD este dublul liniei mijlocii, prin urmare aria suprafeței ABCD se mai poate reține și sub forma: aria este egală cu produsul dintre înălțimea trapezului și linia mijlocie.

Teorema 2.2.7. Fie A1,A2,…,An un poligon convex regulat, având latura egală cu l și apotema ap. Aria suprafeței poligonale [P] va fi

(P)=, unde am notat P=A1A2…An.

Demonstrație. (A1A2…An)=(A1A2O)+(OA2A3)+…+(OA1An)=n(OA1A2)=.

Observația 6. Ținând seama de faptul că nl reprezintă perimetrul poligonului; reținem aria ca fiind jumătate din produsul dintre perimetrul și apotema poligonului.

Observația 7. Dacă numărul laturilor poligonului este par, aria sa este egală cu jumătatea razei cercului circumscris, înmulțită cu perimetrul poligonului obținut unind vârfurile din două în două.

Justificarea acestei afirmații este imediată.

Fie n=2k numărul laturilor poligonului P=A1A2…An. Atunci poligonul P'=A1A3A5 …An-1 va avea k laturi, iar lungimea unei laturi l1=A1A3=A2An.

Pentru două triunghiuri alăturate OA1A2 și A1AnO ale poligonului P avem congruența OA1A2OA1An, de unde OA1A2An.

În acest caz ariile vor fi (OA1A2)(OA1An)=

De aici rezulta imediat rezultatul din observația 7.

Teorema 2.2.8. Aria unui poligon convex circumscris unui cerc este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul său și raza cercului înscris.

II. 3. Suprafețe măsurabile. Aria discului

Deși cercul nu este o figura poligonală, iar discul nu este o suprafață poligonală, totuși considerăm să introducem aici și deducerea formulei pentru calculul ariei discului, având în vedere faptul ca teoria se bazează pe aria suprafeței poligonale.

Definiția 2.3.1. O mulțime  se numește suprafață măsurabilă dacă există un număr unic notat () mai mare sau egal cu aria oricărei suprafețe poligonale incluse în  și mai mic sau egal decât aria oricărei suprafețe poligonale care include pe .

Definiția 2.3.2. Se numește disc cu centrul în O și rază R mulțimea: [(O,R)]=(O,R) Int (O,R).

Definiția 2.3.2. Se numește sector de cerc determinat de arcul al cercului (O,R), reuniunea segmentelor [OM], unde M.

Teorema 2.3.1. i) Șirul format din ariile poligoanelor regulate convexe înscrise în cerc, al căror număr de laturi crește prin dublare,este crescător și mărginit superior;

ii) Șirul format din ariile poligoanelor regulate convexe circumscrise corespunzătoare este descrescător și mărginit inferior.

Demonstrație:

i) Fie P=A1A2…An. și P’=B1B2…Bn două poligoane convexe înscrise, acesta din urmă fiind obținut prin unirea fiecărui vârf al poligonului P cu jumătățile arcurilor alăturate.

Vrem sa arătam că (P)<(P’).

Pentru calculul ariilor celor doua poligoane ne vom folosi de observația 6 si observația 7 din paragraful precedent. Notăm deci p=perimetrul poligonului P, ap=apotema poligonului [P]. Vom avea:

(P)= și (P’)=

Dar cum ap<R avem imediat (P)<(P'), șirul format din ariile poligoanelor înscrise este monoton strict crescător..

ii) Fie P=A1A2…An și P'=B1B2…Bn poligoane circumscrise, acesta din urmă obținut prin intersecția a două laturi adiacente ale lui P cu tangentele duse prin mijloacele arcelor determinate de acestea. Avem (P)= și (P’)=. În triunghiul A1MB1, m()=, avem B1M<A1B1; de aici vom putea scrie B1B2n<A1N și 2B1B2n<A1A2 și deci p>p’.

Avem astfel (P)>(P’)

Am folosit aceeași notație pentru p și p’, respectiv perimetrele celor două poligoane. Putem spune și aici că șirul format din ariile poligoanelor circumscrise, obținute prin celor dublarea numărului de laturi, este monoton strict descrescător. Pentru a verifica și proprietatea de mărginire, este suficient să facem observația că aria oricărui poligon înscris este mai mică decât aria oricărui poligon circumscris. Cu aceasta, teorema este demonstrată.

Teorema 2. 3. 2. Un disc [(O,R)] este o suprafață măsurabilă a cărei arie se calculează astfel:

[(O,R)]=R2.

Demonstrație Fie P=A1A2…A2n un poligon înscris, P’=B1B2…B2n un poligon circumscris. Notăm:

și

Din observația 7 din paragraful precedent și din faptul că (P)<(P’) vom putea scrie:

= (P) <(P’)= . (1)

Dar, din modul de definire a lungimii cercului vom avea:

<<.

Înlocuind în (1) aceasta relație vom obține: și de aici: (P)<<(P’) .

Deci numărul R2 verifică condițiile din definiția unei suprafețe măsurabile.

Să arătam acum că numărul R2 este singurul număr care verifică aceste condiții. Considerăm aceleași poligoane P=A1A2…A2n înscrise și P'=B1B2….B2n circumscrise, pentru care este adevărata relația (1 ) .

Conform axiomelor de continuitate exista un număr real unic
x astfel încât:

< x < .

sau, simplificând, avem:

< < .

Dar și reprezintă perimetrele a doua poligoane oarecare, unul înscris și celalalt circumscris; ori din definiția lungimii cercului, acest număr, care este mai mare decât perimetrul oricărui poligon înscris și mai mic decât perimetrul oricărui poligon circumscris, este tocmai numărul care reprezintă lungimea cercului, adică 2R. Avem deci , de unde se obține . Cu aceasta teorema este demonstrată.

Teorema 2. 3. 3. Sectorul de cerc determinat de arcul AB este o suprafață măsurabilă și aria lui este egala cu:

s=

unde, prin am înțeles măsura arcului AB în grade sexagesimale , iar prin măsura arcului AB în radiani. Demonstrarea acestei teoreme este imediată folosindu-ne de aceleași considerații ca și pentru aria discului.

Problema. Se consideră trei semicercuri cu centrele pe aceeași dreapta și situate în același semiplan, astfel încât suma diametrelor semicercurilor mai mici să reprezinte diametrul celui de-al treilea. Să se arate că suprafața plană cuprinsă între cele trei semicercuri au aceeași arie cu discul cu diametrul egal cu tangenta comună celor două semicercuri mai mici.

Rezolvare. Considerăm AC=2a; BC=2b și notăm ariile celor două semicercuri cu diametrele AC și BC cu 1=a2 și 2=b2, iar aria semicercului cu diametrul AB cu 3=(a2+b2).

Aria suprafeței plane cerute este = 1 + 2 + 3=ab.

Din trapezul dreptunghic NMO1O2 avem NO2=b, MO=a, O1O2 = a+b și deci MN2 = O1O22 – (MO1 – NO2)2 = (a+b)2 – (a – b)2 = 4ab.

De aici MN =2, iar aria discului cu diametrul MN este ab.

Observație. Fie D punctul de pe semicercul cu diametrul AB astfel ca CD să fie tangenta comună a celor două semicercuri mai sus considerate (cercurile mici). Suprafața hașurată aceeași din problema precedenta (și cunoscută sub numele de secera lui Arhimede) este echivalentă – are aceeași arie cu discul de diametrul (CD).

Într-adevăr , [(O3, DO3)] =DO32 , dar ADB este dreptunghic, cu unghiul drept D și aplicând teorema înălțimii vom avea DC=2. Cu aceasta, [(O3, DO3)] = ab.

II.4. Compararea ariilor

Teorema 2.4.1. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.

Demonstrație. Fie ABC și A'B'C' două triunghiuri asemenea:

Vom arăta că:

Considerăm ADBC și A’D’B’C’. Se formează astfel perechile de triunghiuri asemenea ABD A'B'D' și ADCA'D'C'. Rezultă deci

Dar (ABC)=, (A’B’C’)= și vom putea scrie:

Consecința. Raportul ariilor a două suprafețe poligonale asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.

Observație 8. La poligoanele regulate, raportul de asemănare este egal cu raportul razelor cercurilor circumscrise, cu raportul razelor cercurilor înscrise sau cu raportul apotemelor lor. Avem astfel:

Problema. Într-un triunghi se duce o paralelă la o latură la 5/8 de vârf din înălțime. Care este aria triunghiului dat dacă aria celui din interior este de 75?

Rezolvare. Fie ABC cu înălțimea AD și MN paralela la BC, (MN)(AD)={O}.

Avem: .

Aplicând teorema 2.4.1. vom avea:

de unde, după înlocuire obținem (ABC)=192.

Problema. Să se descompună o suprafață triunghiulară în trei suprafețe de aceeași arie, prin paralele la o latura a triunghiului.

Rezolvare.

Presupunem problema rezolvată și fie triunghiul ABC în care considerăm ADBC, MN//BC, PQ//BC și (MN)(AD)={E}, (PQ)(AD)={F}. Vom avea:

(AMN)=(MPQN)=(PBCQ) și deci

(AMN)=(MPQN)=(PBCQ)=

Aplicând teorema 2. 4. 1. pentru triunghiurile AMN si ABC, respectiv APQ și ABC vom obține:

, de unde sau AE=AD.

, de unde sau AF=AD.

Teorema 2.4.2. Raportul ariilor a două triunghiuri care au un unghi congruent (sau suplementar) este egal cu raportul produselor laturilor care cuprind acest unghi.

Vom deosebi două cazuri.

Cazul 1. Triunghiurile au un unghi congruent. Fie pentru aceasta ABC cu înălțimea CH și A’B’C’ cu înălțimea C’H’; B(AB’), C(AC’). Avem:

(ABC)=, (AB’C’)=.

Dar CHAB, CH'AB' și deci

ACH ACH’.

De aici vom avea:

și vom putea scrie:

Cazul 2. Triunghiurile au un unghi suplementar. Fie pentru aceasta ABC și A’B’C’ cu A(BB’), C(AC’) și fie CHAB, CH’AB’ (înălțimile celor două triunghiuri). Din AHCAH’C’ avem:

.

Pe de alta parte putem scrie:

Cu aceasta teorema este demonstrată.

Teorema 2.4.3. Doua poligoane aditiv echivalente au aceeași arie.

Demonstrația este imediată, dacă ținem seama de definiția echivalentei aditive și de axiomele ariei.

Teorema 2.4.4. Două poligoane echivalente prin complement au aceeași arie

Demonstrație. Fie [P][P']. Atunci există poligoanele R și Q cu proprietățile: [R][Q] și [P][P’]+[Q]. (1)

Aplicând acum teorema 2.4.3. și axioma ariei avem:

(P)+(R)=(P’)+(Q).

Dar (R)=(Q), de unde găsim (P)=(P’). Din cele de mai sus putem formula o singură teoremă care leagă cele două relații de echivalență .

Teorema 2.4.5. Două poligoane care se află în aceeași relație de echivalență au aceeași arie. Această afirmație ne conduce la studiul teoremei reciproce.

În capitolul precedent am arătat că două triunghiuri care au baze și înălțimi egale sunt echivalente (teorema 1.2.4). De asemenea o echivalență absolută nu se poate stabili fără să introducem axiomele ariilor, respectiv axioma lui Arhimede.

lată în continuare, câteva rezultate care fac legătura între poligoane cu aceeași arie și poligoane echivalente.

Teorema 2.4.6. Fie a și h, respectiv a’, h’ bazele și înălțimile a două paralelograme. Dacă ah = a’h’, atunci cele două paralelograme sunt echivalente prin complement.

Demonstrație. Fie dd' și dd' ={O}. Alegem pe d segmentele OC = a, OE = a', O(CE) și pe d’ segmentele OA=h și OD=h', O(AD).

Ducem prin A,E,C,D paralele la dreptele d respectiv d', obținând dreptunghiul BHFG. Din ah = a’h’, avem sau

Dar OD=h’, FG=h+h’, HD=OC=a și HF=a+a’. Deci și de aici HDOHFG de unde putem spune că O(HG).

Prin urmare [ABCO] si [DFEO] sunt echivalente prin complement în baza problemei din capitolul precedent.

Observație 9. Ținând seama de calculul ariei unui paralelogram, teorema precedentă poate fi formulată și astfel: două paralelograme care au aceeași arie sunt echivalente prin complement (sau aditiv echivalente).

Consecința 1. Două dreptunghiuri care au aceeași arie sunt echivalente.

Consecința 2. Orice paralelogram având baza a și înălțimea h este echivalent cu un dreptunghi având o latura 1 si cealaltă latura ah/1.

Teorema 2.4.7. Fiecare poligon simplu este echivalent prin complement cu un dreptunghi de latura dată.

Demonstrație. În baza exemplului 2 din capitolul precedent, orice triunghi este echivalent cu un paralelogram.

Notăm baza și înălțimea acestui paralelogram cu a și h. În baza consecinței 2 și teoremei 2.4.6., acest paralelogram este echivalent cu un dreptunghi, având o latură dată 1 și cealaltă latura ah/1. Deci, pentru triunghi este adevărată teorema.

Să consideram un poligon. El poate fi descompus în triunghiuri. Fiecare din aceste triunghiuri este echivalent cu un dreptunghi cu o latura egală cu 1. Așezăm unul lângă altul aceste dreptunghiuri cu laturile lor egale; se obține astfel un dreptunghi echivalent cu un poligon dat.

Consecință. Orice poligon simplu este echivalent prin complement cu un dreptunghi având aceeași arie cu un poligon dat.

Teorema 2.4.8. Dacă două poligoane simple au aceeași arie, ele sunt echivalente prin complement.

Demonstrație. Fie P1 și P2 cele două poligoane pentru care (P1)=(P2). În baza consecinței teoremei 2.4.7., fiecare este echivalent cu un dreptunghi având aceeași arie. Fie deci D1 și D2 cele două dreptunghiuri cu (D1)=(D2) .

Dar, conform consecinței 1 a teoremei 2.4.6. cele două dreptunghiuri sunt echivalente și deci, în baza tranzitivității relației de echivalență, avem echivalența celor două poligoane.

Teorema 2.4.9. Două triunghiuri echivalente prin complement ce au bazele egale au și înălțimile egale.

Demonstrație. Fie a baza comună. Conform teoremei 2.4.3. aceste triunghiuri au aceeași arie. Notam h respectiv h’ înălțimile celor două triunghiuri. Avem și de aici h = h’.

Teorema 2.4.10. Dacă două triunghiuri au aceeași bază și aceeași arie, sunt aditiv echivalente.

Demonstrație. Fie T1 și T2 cele două triunghiuri pentru care avem (T1)=(T2) și fie baza comună. Din relația pentru arii obținem: , de unde h = h’.

In baza consecinței exemplului 2 din capitolul precedent, fiecare triunghi este echivalent cu un dreptunghi de laturi a și n/2. Cum aceste dreptunghiuri sunt congruente și relația de echivalență este tranzitivă, rezultă aditiv echivalența triunghiurilor.

Teorema 2.4.11. Dacă două triunghiuri au aceeași arie
atunci sunt aditiv echivalente sau echivalente prin complement.

Demonstrație. Fie ABC și A'B'C cele doua triunghiuri având
(ABC) = (A'B'C' ) .

Cazul 1 . Dacă o latură a triunghiului ABC este congruentă cu o latura a triunghiului A'B'C', teorema este demonstrată prin teorema 2.4.10.

Cazul 2. Fie (A’C’)>(AC). Considerăm ABC cu baza BC și D(BC) cu ADDB; fie E (AC), AEEC.

Considerăm în continuare F(DE) cu CF=, M(CF), F(MC) cu MCA’C’. Notăm cu {I}=BMDE, deci IF//BC.

Fie BNID. Avem:

(BMC)==BCBN=(BNHC)=(ABC).

Dar (ABC)=(A’B’C’) și deci vom avea (MBC)=(A’B’C’) și în plus, cele două triunghiuri au aceeași bază A’C’=MC.

În baza teoremei 2.4.10. avem [BMC][A’B’C’] de unde

[ABC] [A’B’C’].

În baza celor afirmate mai sus putem da teorema următoare:

Teorema 2.4.12. Două poligoane sunt echivalente dacă și numai dacă au aceeași arie.

Problema. Cunoscând că la un trapez baza mare este de 40, baza mică de 28 și înălțimea de 12, să se calculeze ariile triunghiurilor care se formează prin prelungirea laturilor neparalele ale trapezului.

Rezolvare. Fie ABCD trapezul dat, {M}=ABCD și MFBC, {E}=MFAD. Avem: MADMBC, de unde putem scrie:

.

Din teorema 2.4.1. avem:

(2)

Dar (MBC)=(MAD)+(ABCD). (3)

Aria trapezului ABCD se poate calcula și vom obține (ABCD)=408. Din relațiile (2) și (3) se obține astfel: (MAD)=245 și (MBC)= 163.

Problema . Să se demonstreze că triunghiurile formate pe laturile neparalele ale uni trapez cu vârful comun pe dreapta ce unește mijloacele bazelor sunt echivalente.

Rezolvare.

Fie trapezul ABCD, fie M, N mijloacele bazelor AD, respectiv BC, OInt(ABCD) și OEAD, OFBC. Avem:

(ABNM)=(MNCD) (4) și de asemenea :

(OAM)= =(OMD)

(ONB)= =(ONC).

Din aceste relații și din (4) vom avea :

(OAB)=(ABNM)-(ONB)=(MNCD)+(OMD)-(ONC)=

=(ODC),

deci triunghiurile OAB și OCD sunt echivalente având aceeași arie.

CAPITOLUL III.

ASPECTE METODICE PRIVIND PREDAREA GEOMETRIEI ÎN GIMNAZIU

III.1. Aspecte psiho-pedagogice ale predării geometriei în gimnaziu

Formarea conceptelor geometrice ridică probleme de ordin psihologic și pedagogic deosebite. Procesul prin care se ajunge la conceptele geometrice abstracte, ca entități mintale, este un proces complex și îndelungat. El începe odată cu primele percepții și imagini și abia spre vârsta de 11-12 ani se conturează entitățile mintale desprinse de suportul material, senzorial, care 1-a generat.

În această etapă, a gândirii formale, elevul poate efectua operații asupra unor propoziții admise ipotetic adevărate, fără a fi verificat veridicitatea lor printr-o operație concretă. Presupunem că dreptele d1 și d2 sunt paralele fără a verifica această presupunere printr-o activitate practică. Aceste posibilități nu apar spontan, ca o consecință automată a sporirii numărului de achiziții ce trebuie cultivate, exersate.

Deducem așadar că operațiile logico-deductive se situează pe un alt plan decât cel al raționamentului concret, deoarece sunt operații cu concepte abstracte din realitate.

Sintetizând principalele aspecte ale dezvoltării stadiale a inteligenței și gândirii copilului, ca și relația dintre structurile operatorii ale gândirii, Jean Piaget conclude: "In realitate, daca studiul matematic se bazează pe structuri care de altfel corespund structurilor inteligentei», înseamnă că tocmai pe o organizare progresivă a acestor structuri operatorii trebuie bazată didactica matematicii." Ori, psihologic, operațiile derivă din acțiuni, care interiorizându-se se coordonează în structuri.

Din citatul de mai sus reține atenția două aspecte:

1) dezvoltarea progresivă a inteligenței face posibil studiul geometriei bazată pe demonstrații numai pe un anumit palier al acestei dezvoltări .

2) principiul intuiției își păstrează o valoare didactica de necontestat.

Cu privire la primul aspect sunt posibile două întrebări:

poate fi corelată aceasta dezvoltare ?

ce s-ar întâmpla dacă, fără a fi atins acest stadiu, încercăm
să-i învățăm pe elevi geometria bazata pe demonstrații ?

Ne interesează, în mod deosebit, răspunsul la a doua întrebare.

O astfel de încercare cu siguranță va favoriza handicapul școlar. Un răspuns mai edificator , la aceasta întrebare ni-1 dă Freudeuthal spunând: "Intr-o zi copilul se va întreba "de ce" și este de folos să începem geometria sistematică înainte ca acel moment să fi venit. Ba mai mult, i-ar putea dăuna cu adevărat Dacă am căzut de acord asupra predării geometriei ca un mijloc de a-i face pe copii să simtă forța spiritului omenesc a propriului lor spirit, nu trebuie să-i lipsim de dreptul de a face ei însăși descoperiri. Cheia geometriei este expresia "de ce". Numai ucigașii de bucurii vor înmâna cheia mai devreme”.

Scopul tuturor achizițiilor geometrice ale elevilor din clasele I-V trebuie să fie pregătirea, prefigurarea abilităților specifice etapei gândirii formale. Aceasta presupune necesitatea pregătirii elevului pentru a descoperii perfecțiunea raționamentului geometric.

Cu privire la principiul intuiției, în geometrie, sunt necesare câteva precizări. Intuiția geometrică este o intuiție activă, nu o simplă imagine, o urmă senzorială a obiectelor percepute. Ea este o imagine mintală, "interiorizată", construită printr-o activitate perceptivă.

Aceasta etapa a gândirii formale, poate fi atinsă numai atunci când elevul își poate forma concepte, deoarece el nu va supune unor operații logice obiectele materiale pe care le-a cercetat (desenele geometrice), ci conceptele abstracte pe care și le-a format .

Conceptele geometrice fiind abstracțiuni, în ele nu reținem imaginea concretă a obiectelor, așa cum am perceput-o senzorial ci ideea care rămâne prin abstragerea proprietăților comune, generale și esențiale, îmbinate într-o unitate în plan mintal.

Conceptele geometrice sunt reflectări idealizate ale unor proprietăți de spațialitate ale obiectelor și fenomenelor lumii reale. De exemplu, conceptul de poliedru nu cuprinde nici o referire la forma fețelor, la măsura diedrelor care apar. Acestea (dimensiunile date) nu sunt proprietăți comune tuturor poliedrelor. La baza formații acestui concept stă, însă cercetarea unor obiecte reale, desprinderea de către elevi a proprietăților lor pur spațiale. El trebuie să neglijeze natura materialului, culoarea etc. și să desubstanțializeze aceste forma până la a obține entități mintale, de o perfecțiune care nu este posibilă decât pe un plan mintal.

Elevul operează cu noțiuni și concepte la toate disciplinele de învățământ. Formarea conceptelor geometrice spre deosebire, de cele din științele naturii, are o anumită specificitate sau, cu alte cuvinte, există o deosebire între o experiență fizică și una logico-matematică. În timp ce la științele naturii, concluziile desprinse din efectuarea unor raționamente se supun unor verificări prin experiențe cu substanțe sau obiecte, la geometrie se supun unor cercetări, abstracțiuni, entități ce au o perfecțiune care nu poate exista decât în mintea noastră. De asemenea, după efectuarea unor generalizări sub forma de concepte, formule, teoreme, reguli, acestea vor fi aplicate asupra unor abstracțiuni.

Un concept geometric nu se poate crea spontan, el se formează în cursul unui proces psihic asupra căruia își pun amprenta imaginația, creativitatea, puterea de generalizare și abstractizare, deci fiecare din ele are o "istorie de formare".

O altă caracteristică a conceptelor geometrice constă în aceea că ele formează sisteme ierarhice și nu sunt entități mintale izolate. Unele au un grad mai mare de generalitate iar altele mai restrâns. Conceptul de triunghi, spre exemplu, care reflectă ceea ce este general pentru această întreaga clasă de figuri geometrice este mai general decât cel de triunghi isoscel, echilateral, dreptunghic, etc.

Operațiile cu conceptele geometrice se realizează întotdeauna pe plan mintal. Din aceasta cauza nu vom confunda secționarea reală a unui cub (tăierea efectivă) cu determinarea secțiunii deoarece uneori nici nu vom face acest lucru, ci doar ni-1 vom imagina. O secțiune într-un corp geometric la clasa a VIII-a va fi doar intuită, ea va fi determinata din raționamente, vom demonstra că aceasta este triunghi, paralelogram, trapez, etc.

Toate aceste forme pure vor fi situate de elevi într-un spațiu idealizat obiectiv, ale cărui submulțimi vor fi figurile geometrice. Această idee, de spațiu obiectiv, apare numai atunci când copilul își dă seama de independența poziției unor corpuri față de altele sau de poziția sa.

Pentru copil există un "spațiu grafic", acesta fiind spațiul ce prezintă anumite particularități. Spațiul grafic al copilului adică peretele, tabla, foaia de hârtie reprezintă pentru el un mediu al desenelor" , al figurilor desenate, cu două dimensiuni în care, pentru a o reprezenta și pe cea de a treia dimensiune a corpurilor se recurge la artificii.

Treptat, elevul învață să-și utilizeze acest spațiu, să-1 identifice pe cel al tablei, cu cel al foii de caiet. El trebuie să identifice figura de pe spațiul tablei cu cea de pe caiet.

Profesorul trebuie sa cunoască evoluția acestor concepte la copil precum și unele referiri filozofice în legătură cu aceasta. Kant afirma că: "geometria este o știință care determină însușiri ale spațiului în mod sintetic și aprioric." Ce trebuie să fie reprezentarea spațiului ca o atare cunoaștere despre el sa fie posibilă? El trebuie să fie din capătul locului, intuiție, căci dintr-un simplu concept nu se pot scoate propoziții care-l depășesc, ceea ce se întâmplă doar în geometrie.

Figura geometrică apare pentru elevii clasei a VI-a în doua ipostaze:

ca reflectare idealizată a unor proprietăți spațiale pure;

ca posibilitate de concretizare a unor concepte.

Deci, figura geometrică apare atât in procesul de trecere de la concret la abstract cât și în procesul de trecere de la concept la imagine, de la concept la ceea ce numim concept figural.

La nivelul clasei a VI-a elevii nu trebuie să confunde figura geometrică cu desenul geometric. Figura geometrică este, pe de o parte, o entitate abstractă, care reflectă, asemenea oricărui concept o proprietate pură, idealizată, iar pe de altă parte, o entitate mintală intuitivă. Cu ajutorul ei ne intuim conceptele. În cursul rezolvării problemelor nu ne putem dispensa de aportul figurii geometrice, ci ne folosim de ea pentru a reprezenta simplificat unele operații mintale.

Dacă elevii cu care începem studiul sistematic al geometriei, respectiv cei din clasa a VI-a, nu și-au format conceptele geometrice (de punct, dreapta, segment, unghi) ca entități mintale, confundând figura geometrică cu desenul geometric, atunci poate apărea următoarea contradicție: profesorul supune unor operații logico-educative figurile geometrice, conceptele figurale, în timp ce elevul încearcă să aplice aceste operații unor desene, să se situeze într-o pregeometrică grafică.

În procesul de substanțializare a figurilor geometrice, distingem în gimnaziu următoarele etape:

interpretarea grafică în care figura geometrică este o figură desenată; proprietățile ei sunt proprietățile desenului;

interpretarea conceptuală în care ea este un mijloc de intuire a unui concept având toate atributele acestuia.

În predarea geometriei o atenție deosebită trebuie să se dea și simbolurilor, notațiilor, convențiilor de desen, de reprezentare, de redactare simbolică a unui raționament.

Deoarece toate cunoștințele, cu excepția celor din primul capitol intitulat "Introducere intuitiva", constituie o disciplină integral deductivă, neînțelegerea unei verigi generează dificultăți din ce în ce mai mari, astfel încât elevul în acea verigă își pierde încrederea în corectitudinea raționamentelor sale. Este necesar ca profesorul să sesizeze la timp acea verigă, să urmărească ierarhizarea conceptelor geometrice, procesele psihologice implicate în formarea lor.

III.2. Aspecte metodice privind predarea noțiunii de arie in gimnaziu

Noțiunea de arie a unei suprafețe nu este o noțiune nouă pentru elevii clasei a VII-a, deoarece în clasa a IV-a și a V -a elevii au calculat pe baza unor formule date, aria triunghiului, pătratului, dreptunghiului, rombului, trapezului. Prin exerciții și probleme cu aplicații practice rezolvate elevii au observat că unele suprafețe au întinderi mai mari decât altele deci și aria lor este mai mare – astfel se pune problema definirii noțiunii de arie și sublinierea proprietăților ei plecând de la a compara "întinderile" unor suprafețe poligonale.

Elevii cunosc compararea suprafețelor poligonale prin suprapunere, dar aceasta comparare nu este întotdeauna posibilă. În acest sens este necesar să prezentăm elevilor două dreptunghiuri cu dimensiunile (de ex.: de 6 cm și 8 cm, respectiv de 4 cm și 12 cm), despre care elevii văd că au aceeași arie dar prin suprapunere nu coincid.

În vederea introducerii noțiunii de arie am pornit de la următoarele precizări:

1 ) reamintesc elevilor ce este un poligon cerându-le să recunoască și să deseneze o linie poligonală convexă;

introduc noțiune de interior a unui poligon convex;

voi insista mai mult asupra poligoanelor convexe.

Astfel, am introdus noțiunea de suprafață poligonală convexă, ca fiind reuniunea mulțimii punctelor unei linii poligonale convexe și a celor interioare, ei.

Am insistat asupra descompunerii unei suprafețe poligonale convexe în triunghiuri fie prin ducerea diagonalelor, fie prin unirea unui punct din interiorul poligonului cu vârfurile acestuia (fig.3.1.).

Figura 3.1.

Voi cere elevilor să descompună aceeași suprafață poligonală convexa în mai multe moduri. Pentru a rezolva problema comparării întinderilor unor suprafețe poligonale este necesar să atașăm fiecărei suprafețe câte un număr real. Astfel aceste numere le putem compara, deci se pune problema găsirii unui procedeu prin care, fiecărei suprafețe poligonale considerate să-i corespunda un număr real care să îndeplinească anumite condiții.

La baza justificărilor instructive a formulelor ariilor, la început a stat presupunerea ca aria unui pătrat de latura 1 este 1 .Acoperind apoi, un pătrat de latura a cu pătrate de latura 1, putem demonstra ca aria acestuia este a2. Demonstrarea ultimei propoziții ridică probleme deosebit de dificile în cazul în care a este număr irațional. De aceea pornind de la faptul că toate poligoanele se pot descompune nu în pătrate, ci în triunghiuri pentru calculul ariilor trebuie să pornim de la aria triunghiului.

Aria triunghiului este prin definiție jumătatea produsului dintre o latură și înălțimea corespunzătoare ei. Demonstrând că produsul dintre o latură a unui triunghi și înălțimea corespunzătoare ei este același, oricare ar fi o latură și înălțimea corespunzătoare ei, înseamnă că putem face ca fiecărui triunghi din plan să-i corespundă un număr real și numai unul egal cu jumătatea produsului dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare ei.

Bineînțeles, elevii pot pune întrebarea de ce aria unui triunghi este jumătatea produsului dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare. În acest sens vom construi o funcție arie raportata la nivelul de cunoștințe al elevilor evidențiind proprietățile ei.

Pornind de la definiția ariei triunghiului și de la faptul că lungimile laturilor sunt numere reale pozitive, deducem ca aria triunghiului este un număr real pozitiv. Aria unui triunghi este un număr pozitiv .

Fie două triunghiuri congruente ABC și A'B'C' cu înălțimile AD și A'D' , corespunzătoare laturilor BC respectiv F'C' (fig.3.2). Din congruența triunghiurilor rezultă că înălțimile corespunzătoare sunt congruente, deci :

[AD][A'D']

[BC][B'C'] , rezulta că

Figura 3.2.

Deci triunghiurile congruente au arii egale. Adică din ABC A'B'C ' rezultă (ABC) = (A'B'C' ).

Fie ABM și AMC două triunghiuri rezultate prin descompunerea transversală a triunghiului ABC, ducem înălțimea AD și avem:

(ABM) =; (AMC) =. Dar

(ABC) ==(ABM)+(AMC).

Deci: (ABC) =(ABM)+(AMC).

Figura 3.3.

4) Fie ABC un triunghi cu o latură de lungime 2 și înălțimea corespunzătoare de lungime 1 (unități de lungime). Deci aria triunghiului este egala cu 1. (unități de arie). In concluzie putem spune ca pe mulțimea suprafețelor triunghiulare este definită o funcție cu valori în mulțimea numerelor reale pozitive care îndeplinește toate proprietățile unei funcții arie: proprietatea de pozitivitate, congruență, aditivitate, exista un triunghi a cărui arie este egală cu unitatea .

Pe baza ariei triunghiului putem defini aria unui patrulater oarecare și să demonstrăm ariile dreptunghiului, pătratului, paralelogramului, trapezului, etc.

Plecând de la faptul că orice poligon convex se poate descompune în triunghiuri vom defini aria unui patrulater ca fiind suma ariilor triunghiurilor descompunerii.

Pentru a demonstra aceasta descompunere este necesar ca la elevii ciclului gimnazial să pornim de la ducerea diagonalelor.

Dacă ABCD este un poligon convex, atunci (ABC)+(ADC) =(BCD)+(ABD).

Figura 3.4.

Dacă AC și BD sunt diagonalele paralelogramului și O punctul de intersecție, pe baza proprietății de aditivitate avem că:

(ABC)+(ADC) =(AOB)+(BOC)+(AOD)+(DOC)=

=(BOC)+(DOC)+(AOB)+(AOD) =(BCD)+(ABD).

Introducem definiția ariei unui patrulater convex.

Definiția 3. 2. 1. Aria unui patrulater convex ABCD este numărul

(ABCD)=(ABC)+(ADC).

Putem trece la definirea ariei patrulaterelor particulare, demonstrând următoarea lemă:

Lema: Dacă triunghiul A'BC are vârful A’ pe paralela prin A la BC, atunci, (ABC)=(A’BC) (fig.3.5.).

(ABC)=

(A’BC)= , unde M și M’ sunt înălțimile corespunzătoare

laturii BC duse din A respectiv A’. Dar [AM][A'M'], deci (ABC)=(A’BC).

Figura 3.5.

Deci distanța de la punctul A de pe dreapta a la dreapta d (a // d) este aceeași pentru toate punctele Aa.

Introducem în continuare formula calculului ariei unui paralelogram.

Fie ABCD un paralelogram unde AD este paralelă și congruentă cu BC, deci triunghiul ACB este congruent cu triunghiul ACB, deci ele au ariile egale. Figura 3.6. Atunci aria paralelogramului este:

(ABCD)=2(ABC)= 2=

Deci aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre o latură a sa și înălțimea corespunzătoare ei.

Aria pătratului, a dreptunghiului, a rombului rezultă ca și consecință, ele fiind paralelograme particulare, ținând seama de construcția unei diagonale (triunghiulare).

In scopul consolidării noțiunii de arie a unor poligoane, a proprietății funcției arie este necesar să rezolvăm o serie de probleme prin care să punem în evidență faptul că suma ariilor triunghiurilor în care un poligon este împărțit este aceeași oricare ar fi această împărțire (triunghiurile fiind disjuncte), precum și alte tipuri de probleme.

III.3. Probleme cu arii

Problema 1. Definiți aria unui patrulater concav ca diferență a ariilor a două triunghiuri. Aveți nevoie de vreo lemă în prealabil? (figura 3.7.).

Rezolvare:

Unim pe A cu C și ducem dreapta BD care intersectează pe AC în M. Triunghiurile ABM și BMC cu latura comună BM și AM și MC în prelungire. Pe baza proprietății de aditivitate a ariilor triunghiurilor obținem:

(ABC)=(ABM)+(BMC). (1)

Dar (ABM)=(ABD)+(AMD). (2)

Figura 3.7. Analog (BMC) =(BCD)+(MDC).

(ABC)=(ABD)+(AMD)+(MDC)+(BDC) sau

(ABC) – (ACD)=(ABD)+(BDC).

Lema respectivă este: Dacă D este vârful interior triunghiului determinat de cele trei vârfuri A,B,C atunci (ABC) – (ACD)=(ABD)+(BDC).

Patrulaterul fiind concav, totdeauna un vârf este interior triunghiului determinat de celelalte vârfuri ale sale.

Observația 1 Dacă ABCD este un patrulater concav și punctul D este interior triunghiului determinat de vârfurile ABC, numim aria patrulaterului ABCD diferența (ABC) – (ABD).

Problema 2. Dacă ABCD este un patrulater convex și M un punct interior laturii AB, să se arate că: (ABCD)=(MBCD)+(AMD).

Rezolvare.

(ABCD)=(BDC)+(ABD)+(ABD) =

=(BDC)+(MBD)+(AMD) =

=(MBCD)+(AMD).

Figura 3.8.

Problema 3. Fie patrulaterul convex ABCD, M și N două puncte interioare laturilor AB și DC. Să se arate că:

(ABCD)=(AMND)+(MNCB).

Rezolvare.

(ABCD)=(AMD)+(DCMB) (1)

(MBCD) = (MND)+(MNCB) (2)

Figura 3.9.

Atunci (ABCD)=(AMD)+(MND)+(MNCB). În patrulaterul MNDA avem:

(ABCD) =(AMD)+(MND)+(MNCB)=(MNDA)+(MNCB).

Propun elevilor problema următoare: Fie ABCD un patrulater convex, M(AB); N(BC) ; P(DC); Q(AD). Să se demonstreze că:

(ABCD) =(MNPQ)+(BMN)+(CNP)+(PDQ)+(AQM).

Observație: Problema propusă este o extindere a problemei 3.

Problema 4. Definiți aria unui pentagon. În cazul acestei probleme trebuie să demonstram înainte o lemă.

Lema. Fie pentagonul convex ABCD. Ducem oricum o diagonală și pentagonul se descompune într-un patrulater și un triunghi a căror sumă de arii este constantă (figura 3.10.). Aceasta constantă o numim aria pentagonului convex.

Figura 3.10.

Ducem EC o diagonală, iar din extremitățile lui EC ducem o diagonală EB. În acest caz avem:

(EDC) +(ABCE)=(EDC)+(ECB)+(EBA)=(EDCB)+(EBA).

Deci lema este demonstrată.

Problema 5. Să se calculeze aria unui triunghi în funcție de măsurile a două laturi și a unghiului dintre ele.

Rezolvare.

Fie AB = c, AC=b, m() =c’ (figura 3.11.).

Avem:

(ABC)=, dar sin A=,

Deci CD = ACsin A.

Atunci (ABC)=.

Figura 3.11.

Problema 6. Să se construiască un triunghi de aceeași arie cu un patrulater ABCD (figura 3.12.)

Rezolvare. Fie CE // BD; CEAD={E}. Vom avea (BDC)=(BDE).

(ABCD)=(ABD)+(BDC)=

=(ABD)+(BDE)=(ABE).

Figura 3.12. Deci ABE este triunghiul căutat.

Folosind noțiunea de arie putem demonstra în cadrul cercului de matematică cu elevii mai talentați și interesați în studiul matematicii teoreme importante din geometrie plană (teorema lui Pitagora, teorema fundamentală a asemănării, teorema bisectoarei, formula lui Heron).

Problema 7. Pătratul construit pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic este echivalent cu suma pătratelor construite pe catete.

Observație. Dacă notam laturile triunghiului ABC cu BC = a, AC = b, AB = c, problema de mai sus duce la relația a2=b2+c2 , adică bine cunoscuta teoremă a lui Pitagora. (figura 3.13).

Demonstrație.

Considerăm triunghiul ABC dreptunghic în A și suprafețele pătratice [AEDC] și [BGKC] construite astfel: B(AE), deci latura pătratului BGKC are latura egala cu a. Unim pe D cu K și ducem prin Q perpendiculare pe DE și AB. Fie F și H respectiv picioarele acestor perpendiculare.

Figura 3.13.

În aceste condiții avem ABCDKC, deci (ABC)=(DKC). Tot din congruență avem FG = c și (EHGE)=a2.

De asemenea mai notăm (AEDC) = b2, (BCKG)=a2, (ABC)=.

Conform axiomei de aditivitate vom avea:

a2=(BCKG) =(CDK) +(FKG) +(FGM) +(BCDM)=

=(BCDM) +(FMG) +(BGH) +(ABC)=

=(BCDM) +(FMG) +(BEM) +(EMGH)+(ABC)=

=(ACDE)+(FEHG)=b2+c2, adică ceea ce trebuia demonstrat.

Observație. Așa cum am demonstrat teorema lui Pitagora cu ajutorul ariilor pot fi demonstrate si celelalte teoreme cunoscute (a catetei, a înălțimii).

Problema 8. Fie d1,d2,d3 trei drepte paralele, cu transversalele comune s și s' care le intersectează în punctele A,B,C respectiv A', B',C'. Atunci avem:

(teorema fundamentala a asemănării).

Demonstrație. Consideră mai întâi cazul când cele doua transversale se intersectează în Ad1. ( figura 3.14.).

Fie CHd2, C'H'd2, BEs'. Din ipoteza d2 // d3 avem CH=C'H'.

În acest fel

( BCB’ )=(BC'B' ) (1)

Triunghiurile ABB' și BB'C' au aceeași înălțime. Putem deci scrie:

Figura 3.14

(2)

Analog vom obține:

 Din relațiile (1), (2), (3), vom obține:

Pentru cazul general, considerăm s’//s’’ așa încât As’’. Pentru transversala s’ și s’’ se poate folosi cazul precedent, deci:

dar A’B’’=AB’, B’’C’’=B’C’ deoarece laturile opuse într-un paralelogram sunt egale (ca lungimi) și obținem:ceea ce trebuia demonstrat.

Problema 9. Fie triunghiul ABC și AD, bisectoarea unghiului A, D(BC) . Atunci : (teorema bisectoarei).

Demonstrație. Pentru ABD și ADC se poate aplica teorema 2.4.2. (cazul unghiurilor suplimentare și vom avea:

Figura 3.15. (4).

Calculate aceste arii, considerând AH înălțimea triunghiului ABC, vom avea:

(5).

Problema 10 . Fiind dat triunghiul ABC cu lungimile laturilor BC= a, AC = b, AB =c. Să se calculeze aria triunghiului.

Rezolvare. Pentru calculul ariei S a triunghiului considerăm înălțimea AH și presupunem fără a restrânge generalitatea, H(BC). Folosind teorema lui Pitagora de mai multe ori în AHB și în AHC, în urma calculelor vom obține:

.

Notând , vom avea:

, de unde

Figura 3.16.

Pentru aria triunghiului ABC vom folosi definiția și vom obține:

(ACDE) (6).

Relația (6) care ne dă aria unei suprafețe triunghiulare în funcție de lungimile ariilor este cunoscută sub numele de formula lui Heron .

BIBLIOGRAFIE

BIBLIOGRAFIE