Suprafete in spatiul Euclidian E [620848]

Capitolul 1

Suprafete in spatiul Euclidian E
3
Spatiu tangent

1.1Suprafete in spatiul Euclidian

1.1.1.Definitie

Fie U o multime deschisa in
2 . Imaginea unei aplicatii diferentiabile f:U

2 se
numeste suprafata .
O suprafata este regulata daca aplicatia f:U

2 → E
3 este o imersie, adica aplicatia
d
( , )uv :
2 →
3 este injectiva pentru orice punct p = (u,v)
 U.
In continuar e,daca nu se va specifica , toate suprafetele vor fi considerate regulate .

1.1.2. Observatii
i) Notam cu (u,v) coordonatele suprafetei in
2 ,insa orice punct de pe suprafata se poate
reprezenta si printr -un punct ( x,y,z)

3 .
O suprafata se poate reprezentata prin functia:
f:U

2 →
3
f(u,v) = ( x,y,z)
O astfel de functie poarta numele de parametrizare.

ii)Matricea Jacobiana asociata lui f se noteaza
( , )f
uv
 sau J
f .Conform definitiei suprafetei ,
matricea Jacobiana trebuie sa aiba rangul 2.

iii)Vom folosi adesea indici inferiori pe ntru derivatele partiale de ordinul intai si doi,astfel:
f
u↔
f
u
 f
v ↔
f
v


f
uu ↔
2f
uv
 f
uv↔
2f
vu


1.1.3.Aplicatii
1.Sfera
Fie sfera S = {(x,y,z )

3 astfel incat x
2 +y
2+z
2= 1}.
Aceasta se poate acoperi cu parametrizari geografice de forma urmatoare:
f(u,v) = (sin u cos v,sin u sin v,cos u),unde u,v
 (0,
 )
(0,2
 )
Deoarece:
f
u(u,v) = (cos u cos v,cos u sin v, -sin u)

f
v(u,v) = ( -sin u sin v,sin u cos c,0)

J
f(u,v) =
cos cos cos sin sin
sin sin sin cos 0u v u v u
u v u v 


rang ( J
f (u,v) ) = 2
De aici rezulta ca f este suprafata.
Imaginea lui f omite un semicerc,inclusiv polii,iar pentru a acoperi si acest semicerc se
mai considera o parametrizare de acelasi tip,cu domeniul translatat cu
 pe ambele directii.
Coor donate v,u se numesc azimuth, respectiv zenit ,masurate in grade 180
– u reprezinta
latitudinea,iar azimutul cu domeniul ( -180
,180
) este longitudinea.

2.Graficul unei functii
Fie U o multime deschisa din
2 .
Fie h:U →
o functie diferentiabila.
Graficul acestei functii diferentiabile,multimea S={z = h(x,y)} e o suprafata diferentiabila
acoperita cu parametrizarea urmatoare: f (u,v) = (u,v,h(u,v)).
Deorece: f
u (u,v) = (1,0,h
u (u,v))
f
v(u,v) = (0,1,h
v (u,v))

J
f(u,v) =
1 0 ( , )
0 1 ( , )u
vh u v
h u v

 , rang (J
f (u,v) ) = 2.
De aici rezulta ca f este suprafata.
Paraboloidul hiperbolic z = xy e ste o suprafata diferentiabila.

3.Planul
Un plan P
3
ce trece prin punctul p
0 = (x
0 ,y
0,z
0) si contine vectorii ortonormali
w
1 = (a
1 ,a
2,a
3) si w
2 = (b
1 ,b
2,b
3) este da t de :
f(u,v) = p
0 + u w
1 + v w
2 , (u,v)

2
.

4.Torul
Torul este suprafata obtinuta prin rotirea unui cerc de raza b in jurul unei drepte
din planul sau,situate la distanta a>b de centrul cercului.
Torul poate fi acoperit cu parametrizari de forma:
f(u,v)=((a+b cos u)cos v,(a+b cos u)sin v,b sin u ), unde 0<u,v<2
 .
Deoarece : f
u (u,v) = ( -b sin u cos v, -b sin u sin v,b cos u)
f
v(u,v) = ( -(a+ cos u) sin v,(a+b cos u) cos v,0)

J
f(u,v) =
sin cos sin sin cos
( cos )sin ( cos ) cos 0b u v b u v b u
a b u v a b u v

  

rang ( J
f (u,v) ) = 2
De aici rezulta ca f este o suprafata.

1.2.Spatiu tangent.Reper Gauss

1.2.1.Definitie

Fie U o multime deschisa in
2
.
Fie f: U →
3E o suprafata regulata si fie p = (u,v)
 U un punct al suprafetei.
Aplicatia d
( , )uv :
2 →
3 este injectiva .
Se numeste spatiu tangent suprafetei f: U →
3E in punctul f(u,v)=f(p) un
subspatiu liniar 2 -dimension al al lui
3
,generat de vectori f
u si f
v,astfel:
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )u v u vd f f u v f u v f u v f u v         

Notatie: T
p f=df
( , )uv (T
( , )uv
2
)
Elementele spatiului tangent T
p f se numesc vectori tangenti in punctul f(u,v) la
suprafata f : U →
3E.

1.2.2. Propozitie

Fie f: U →
3E o suprafata parametrizata.
Fie
f =f

o reparametrizare a suprafetei f.
Atunci T
(( , ))uv f= T
( , )uv
f.Mai mult,daca Z
 T
(( , ))uv
f ,si Z=z
i X
i=
jz
jX ,atunci avem:
z
i=
jz
i
ju
u
 , unde d
 =
.i
ju
u


1.2.3. Definitie

Fie o suprafata f: U →
3Eo suprafata parametrizata si fie p = (u,v)
U.
Se numeste camp de vectori de -a lungul suprafetei parametrizate f o aplicatie
diferentiabila w:U →E
3.
Un camp de vectori w este tangent suprafetei f daca w(p)
 T
f
( , )uv f.
Exemplu: f
u,f
v sunt campuri de vectori tangenti suprafetei.

1.2.5.Definitie
Fie o suprafata f: U →
3Eo suprafata parametrizata si fie p = (u,v)
U.
Un camp de vectori w se numeste camp de vectori normal suprafetei f daca
w(p) este ortogonal spatiului T
pf,adica w(p)
 T
f,
p = (u,v)
U.
Exemplu:Campul de vectori f
u
f
v este normal suprafetei f.

1.2.6.Definitie

Fie o suprafata f: U →
3Eo suprafata parametrizata si fie p = (u,v)
 U
Fie { f
u,f
v} baza canonica a spatiului tangent T
p f.
Se numeste camp vectorial unitar normal suprafetei f,aplicatia:
N((u,v)) =
( , ) ( , )
( , ) ( , )uv
uvf u v f u v
f u v f u v


Aplicatia N: U→ S
2,unde N((u,v)) =
( , ) ( , )
( , ) ( , )uv
uvf u v f u v
f u v f u v

se numeste aplicatia Gauss.

Aplicatia Gauss nu depinde de parametrizare.Se intanlesc probleme daca suprafata nu este
orientabila.In aceasta lucrare toate suprafetele se considera a fi orientabile.

1.2.7.Definitie
Reperul {f
u ,f
v,N} se numeste reper Gauss asociat suprafetei.
Reperul Gauss este pozitiv orientat.

1.2.8.Aplicatie
Graficul unei functii

Fie U o multime deschisa din
2 .
Fie h:U →
o functie diferentiabila.
Graficul acestei functii diferentiabile,multimea S={z = h(x,y)} este o suprafata
diferentiabila acoperita cu parametrizarea urmatoare: f (u,v) = (u,v,h(u,v)).
Calculam aplicatia Gauss:

( , ) ( , )( , )( , ) ( , )uv
uvf u v f u vN u vf u v f u v

Calculam mai intai produsul vectorial f
u
vf :
f
u(u,v)
vf(u,v) =
1 2 3
3 2 1 1 0 ( , ) ( , ) ( , )
0 1 ( , )u v u
ve e e
h u v e h u v e h u v e
h u v
  

f
u(u,v)
vf(u,v) = (0,0,1) – h
v(u,v)(0,1,0) – h
u(u,v)(1,0,0)
f
u(u,v)
vf(u,v) = (- h
u(u,v), – h
v(u,v),1)

Se remarca faptul ca f
u
vf
 0,deci parametrizarea aceasta este intotodeauna regulata.
Norma vectorului f
u
vf este urmatoarea:

22( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1u v u vf u v f u v h u v h u v   

De aici rezulta: N(u,v) =
22( ( , ), ( , ),1)
( , ) ( , ) 1uv
uvh u v h u v
h u v h u v
