Suprafete Bezier Si B Spline Rationale
Prefață
Problematica de cercetare și programare în domeniul geometriei computaționale se referă la studiul unor chestiuni legate de intersecție (dreaptă cu dreaptă, dreaptă cu poligon, poligon cu poligon etc.), descompunere, triangularea poligoanelor, partiționare, căutarea geometri1ca (locație: punct față de punct, punct față de poligon, punct față de o configurație plană mai generală etc.), optimizarea geometrică, programarea liniară, topologia combinatorie, geometria algebrică etc. Problemele legate de proiectarea algoritmică a curbelor și suprafețelor sunt utile în grafica pe calculator și în proiectarea asistată de calculator.
Într-o prezentare succintă a istoricului dezvoltării geometriei computaționale, putem spune că principalii algoritmi s-au bazat pe unele rezultate din analiza numerică și au fost concepuți în atelierele de creație ale unor firme cunoscute: Boeing, Renault, Citroen etc., fiind folosiți în automatizarea unor operații de proiectare pentru diverse componente ale unor mașini și mecanisme produse de aceste firme. În faza inițială (adică prin anii 1960-1970), rezultatele erau redactate ca niște rapoarte de cercetare interne și erau considerate secret de serviciu. Publicarea acestor rapoarte s-a facut atunci când și firmele concurente au ajuns la rezultate de același tip și păstrarea acestora ca secrete nu mai avea sens.
În momentul actual, există numeroase aplicații, dezvoltate atât ca programe independente cât și ca unele componente în cadrul unor pachete de programe mai ample. Dezvoltarea se face în mod permanent și se caută diverse procedee care să conducă la programe cât mai performante și cât mai compacte, programe care să realizeze desene cât mai bune și care să folosească resurse tot mai reduse ale calculatorului, lăsând loc în partea activă și în memorie altor aplicații care să fie operate simultan.
Dezvoltarea tehnologiei calculatoarelor a permis, la mijlocul anilor ’70, fundamentarea unei noi ramuri a informaticii și matematicii aplicate, numită Computer Aided Geometric Design, sau prescurtat, CAGD, cunoscută și sub numele de Modelare geometrică care este o geometrie bazată pe calculator.
Modelarea geometrică este un instrument de bază atât în inginerie cât și în știință. Primul beneficiar al tehnicilor CAGD a fost industria constructoare de automobile, aviatică, industria producătoare de componente electro-mecanice etc. Elementele geometrice fundamentale pe care se bazează modelarea geometrică sunt punctul, curba, pânza de suprafață și solidul 3D.
Conținutul acestei lucrări este structurat în patru capitole. În primul capitol, intitulat “Preliminarii de analiză, algebră liniară și geometrie”, s-a avut în vedere prezentarea succintă a unor elemente de analiză matematică, de algebră liniară a vectorilor liberi și de geometrie diferențiala clasică a curbelor. În prima parte sunt expuse noțiuni generale de derivabilitate și diferențiabilitate utile pentru studiul proprietăților locale și globale ale suprafețelor. În cazul curbelor, aspectele prezentate se referă la definiția curbelor regulate în plan și spațiu, definiția și proprietățile tangentei, definiția curburii într-un punct și la formulele lui Frénet.
Al doilea capitol, intitulat “Elemente de teorie a suprafețelor în spațiu”, cuprinde noțiuni legate de proprietățile planului tangent și ale vectorului normal unitar, asocierea unui reper de tip Frénet pentru o curbă situată pe o suprafață. La finalul acestui capitol sunt prezentate câteva grafice și comenzi mai importante în limbajul Mathematica, un program soft în principal pentru alicații în matematică, un mediu de programare interactiv care permite rularea programului în timp ce el este scris.
În continuare, în următoarele două capitole s-a trecut la proiectarea algoritmică a suprafețelor. Capitolul trei, intitulat “Suprafețe Bézier și B-spline”, conține prezentarea suprafețelor reprezentate de funcții polinomiale. S-au studiat, mai întâi, probleme de interpolare și aproximare folosite în proiectarea algoritmică a curbelor și suprafețelor, apoi, plăcile curbe Coons, plăcile curbe Ferguson, plăcile curbe Bézier și B-spline, cu referire, bineînteles, și la curbele Bézier și B-spline.
În ultimul capitol, “Suprafețe Bézier și B-spline raționale”, sunt prezentate noțiuni legate de curbele și suprafețele Bézier raționale, modul de definire și generare a pânzelor de cilindru, con și sferă ca pânze Bézier raționale și suprafețe de rotație în formă Bézier rațională raportate la spațiul punctual afin euclidian . Ultima parte a acestui capitol conține o prezentare a suprafețelor B-spline raționale sau suprafețe NURBS (Non-Uniform Rational B-spline), importanța acestora și suprafețele de rotație în formă B-spline rațională.
Capitolul 1. Preliminarii de analiză, algebră
liniară și geometrie
În acest capitol vom prezenta mai întâi unele proprietăți ale funcțiilor derivabile de o variabilă reală, diferențiala unei funcții, diferențiala unei funcții compuse care vor fi utilizate în celelate capitole, precum și derivate și diferențiale de ordin superior. În prima parte sunt expuse noțiuni generale de derivabilitate și diferențiabilitate utile pentru studiul proprietăților locale și globale ale suprafețelor. Vom rezuma și principalele noțiuni legate de spațiile vectoriale, necesare în abordarea geometriei analitice, a spațiilor afine și euclidiene.
În cazul curbelor, aspectele prezentate se referă la definiția curbelor regulate în plan și spațiu, definiția și proprietățile tangentei, definiția curburii într-un punct și formulele lui Frénet.
I.1. Homeomorfisme
Definiție. Fie X o multime nevidă.
I. O aplicație se numeste distanță sau metrică pe X dacă îndeplinește următoarele condiții:
II. Perechea poartă numele de spațiu metric.
Definiție. O aplicație a spațiului metric în spațiul metric se numește homeomorfism sau izomorfism topologic dacă:
este bijecție și
, sunt aplicații continue.
O aplicație ce satisface condiția 2) se mai numește și bicontinuă.
Observăm că dacă este homeomorfism atunci și este un homeomorfism.
Definiție. Două spații metrice si se numesc homeomorfe dacă există un homeomorfism al lui X pe Y.
Dacă două spații sunt homeomorfe, atunci ele au aceleași prorietăți topologice, ceea ce justifică termenul de izomorfism topologic care se folosește în loc de homeomorfism.
I.2. Funcții derivabile de o variabilă reală
Proprietațile de bază ale derivatei:
Fie funcția unde D este o submulțime a lui și fie , care este în acelașit timp punct de acumulare pentru D.
Definiție. Fie un spațiu metric și
I. Un element se numește punct de acumulare pentru mulțimea A dacă pentru orice vecinatate V a punctului are loc
.
II. Mulțimea punctelor de acumulare ale mulțimii A se numeste mulțime derivată și se notează cu A’ .
Definiție. I. Spunem că are derivată în punctul a dacă există limita în , notată .
II. Dacă derivata există și este finită vom spune că funcția este derivabilă în punctul a .
Dacă notăm ,
Definiție. I. Dacă funcția este derivabilă în orice punct al unei submulțimi A a lui D , atunci spunem că este derivabilă pe A.
II. În acest caz funcția definită pe A cu valori reale care asociază fiecărui punct , derivata în punctul se numește derivata lui pe mulțimea A și se notează cu .
Operația prin care obținem funcția se numește operație de derivare a lui .
Observație. Dacă , se scrie
sau .
Teoremă. Dacă funcția este derivabilă în atunci este continuă în a.
Condiția de continuitate a funcției în punctual a este necesară pentru derivabilitatea ei în acel punct. Astfel , dacă o funcție nu este continuă într-un punct a, atunci cu siguranța nu este derivabilă în acel punct.
Definiție. Fie și un punct de acumulare pentru (respectiv pentru ) .
I. Dacă există în limita
(*) (respectiv )
Atunci numim această limită derivata la stânga (respectiv derivata la dreapta) a funcției în punctului a.
II. Dacă () adică limita (*) este finită atunci spunem că este derivabilă la stânga (respectiv la dreapta) în punctul a.
Teoremă. O funcție , este derivabilă în punctul , care este în același timp și punct de acumulare atât la stâga cât și la dreapta pentru D, dacă și numai dacă este derivabilă și la stânga cât și la dreapta în punctul a și .
Teoremă.(Regula lanțului) Fie I și J două intervale ale lui și și două funcții. Dacă este derivabilă în și g este derivabilă în , atunci funcția este derivabilă în a și în plus are loc:
.
Teoremă. Fie I și J două intervale ale lui și o funcție continuă și bijectivă. Dacă f este derivabilă în punctul și, atunci funcția inversă este derivabilă în punctul și, în plus, are loc:
.
Puncte de extrem relativ
Definiție. Fie , unde .
I. Un punct se numește punct de maxim relativ (sau local) al funcției dacă există o vecinatate V a punctului așa încât
.
II. Un punct se numește punct de minim relativ (sau local) al funcției dacă există o vecinatate V a punctului așa încât
.
Punctele de maxim sau minim relativ ale funcției se numesc puncte de extrem relativ (sau local) ale funcției iar valorile funcției în punctele sale de extrem se numesc extreme ale funcției .
Definiție. Fie I un interval deschis al lui și o funcție derivabilă pe I. Un punct în care se numește punct staționar sau punct critic.
I.3. Diferențiala unei funcții
Definiție. Fie I un interval deschis al lui și fie o funcție definită pe I.
I. Spunem că este diferențiabilă în punctul dacă există un număr real A (care depinde de și a) și o funcție cu astfel încât
, pentru .
II. Spunem că funcția f este diferențiabilă pe I dacă este diferențiabilă în orice punct .
Teoremă. Fie I un interval deschis al lui . Funcția este diferențiabilă într-un punct dacă și numai dacă f este derivabilă în a.
Definiție. Fie (I un interval deschis din ) derivabilă în punctul . Funcția , definită prin:
(1) ,
se numește diferențiala funcției în punctul a și se notează , adică
(2) .
Atunci relația (1) se mai poate scrie
(3) .
Vom nota prin diferențiala funcției în punctul .
Observație.
Dacă, în particular, este aplicația identică, atunci diferențiala lui într-un punct este:
Adică . În acest caz vom nota, de unde
.
Presupunând că este o funcție diferențiabilă într-un punct și făcând raportul dintre diferențiala lui și diferențiala funcției identice în punctul , obținem :
.
Prin urmare, derivata funcției în punctul poate fi interpretată ca raportul dintre diferențiala lui în punctul și diferențiala funcției identice în .
Diferențiala unei funcții compuse
Teoremă. Fie I și J două intervale deschise ale lui și fie , două funcții derivabile pe I respectiv J. Atunci
(4) .
I.4. Derivate și diferențiale de ordin superior
Fie D un interval deschis din și o funcție derivabilă pe D. În acest caz este definită o funcție , numită derivata funcției .
Definiție. I. Spunem că funcția este de două ori derivabilă într-un punct dacă este derivabilă intr-o vecinătete a lui și este derivabilă în . În acest caz derivata lui în se numește derivata a doua a lui în și se notează .
II. Dacă este derivabilă de D atunci derivata lui se numește derivata a doua (sau drivata de ordin doi) a lui și se notează cu .
Definiție. Fie , unde D este o mulțime deschisă a lui .
I. Spunem că funcția f este ori derivabilă în dacă este de ori derivabilă pe o vecinătate V a lui și dacă derivata de ordin , notată , este derivabilă în .
Definiție. Fie , unde D este o mulțime deschisă a lui . Spunem că este de clasă pe mulțimea D dacă este de ori derivabilă pe D, iar derivata de ordin este continuă pe D.
Mulțimea funcțiilor de clasă pe D se va nota cu ; (de asemenea vom conveni să notăm cu mulțimea funcțiilor continue pe D. Vom nota cu mulțimea funcțiilor derivabile de orice ordin pe D).
Teoremă. Dacă D este un deschis a lui , iar sunt două funcții de n ori derivabile într-un punct atunci funcțiile , , unde , , sunt derivaci spunem că este derivabilă la stânga (respectiv la dreapta) în punctul a.
Teoremă. O funcție , este derivabilă în punctul , care este în același timp și punct de acumulare atât la stâga cât și la dreapta pentru D, dacă și numai dacă este derivabilă și la stânga cât și la dreapta în punctul a și .
Teoremă.(Regula lanțului) Fie I și J două intervale ale lui și și două funcții. Dacă este derivabilă în și g este derivabilă în , atunci funcția este derivabilă în a și în plus are loc:
.
Teoremă. Fie I și J două intervale ale lui și o funcție continuă și bijectivă. Dacă f este derivabilă în punctul și, atunci funcția inversă este derivabilă în punctul și, în plus, are loc:
.
Puncte de extrem relativ
Definiție. Fie , unde .
I. Un punct se numește punct de maxim relativ (sau local) al funcției dacă există o vecinatate V a punctului așa încât
.
II. Un punct se numește punct de minim relativ (sau local) al funcției dacă există o vecinatate V a punctului așa încât
.
Punctele de maxim sau minim relativ ale funcției se numesc puncte de extrem relativ (sau local) ale funcției iar valorile funcției în punctele sale de extrem se numesc extreme ale funcției .
Definiție. Fie I un interval deschis al lui și o funcție derivabilă pe I. Un punct în care se numește punct staționar sau punct critic.
I.3. Diferențiala unei funcții
Definiție. Fie I un interval deschis al lui și fie o funcție definită pe I.
I. Spunem că este diferențiabilă în punctul dacă există un număr real A (care depinde de și a) și o funcție cu astfel încât
, pentru .
II. Spunem că funcția f este diferențiabilă pe I dacă este diferențiabilă în orice punct .
Teoremă. Fie I un interval deschis al lui . Funcția este diferențiabilă într-un punct dacă și numai dacă f este derivabilă în a.
Definiție. Fie (I un interval deschis din ) derivabilă în punctul . Funcția , definită prin:
(1) ,
se numește diferențiala funcției în punctul a și se notează , adică
(2) .
Atunci relația (1) se mai poate scrie
(3) .
Vom nota prin diferențiala funcției în punctul .
Observație.
Dacă, în particular, este aplicația identică, atunci diferențiala lui într-un punct este:
Adică . În acest caz vom nota, de unde
.
Presupunând că este o funcție diferențiabilă într-un punct și făcând raportul dintre diferențiala lui și diferențiala funcției identice în punctul , obținem :
.
Prin urmare, derivata funcției în punctul poate fi interpretată ca raportul dintre diferențiala lui în punctul și diferențiala funcției identice în .
Diferențiala unei funcții compuse
Teoremă. Fie I și J două intervale deschise ale lui și fie , două funcții derivabile pe I respectiv J. Atunci
(4) .
I.4. Derivate și diferențiale de ordin superior
Fie D un interval deschis din și o funcție derivabilă pe D. În acest caz este definită o funcție , numită derivata funcției .
Definiție. I. Spunem că funcția este de două ori derivabilă într-un punct dacă este derivabilă intr-o vecinătete a lui și este derivabilă în . În acest caz derivata lui în se numește derivata a doua a lui în și se notează .
II. Dacă este derivabilă de D atunci derivata lui se numește derivata a doua (sau drivata de ordin doi) a lui și se notează cu .
Definiție. Fie , unde D este o mulțime deschisă a lui .
I. Spunem că funcția f este ori derivabilă în dacă este de ori derivabilă pe o vecinătate V a lui și dacă derivata de ordin , notată , este derivabilă în .
Definiție. Fie , unde D este o mulțime deschisă a lui . Spunem că este de clasă pe mulțimea D dacă este de ori derivabilă pe D, iar derivata de ordin este continuă pe D.
Mulțimea funcțiilor de clasă pe D se va nota cu ; (de asemenea vom conveni să notăm cu mulțimea funcțiilor continue pe D. Vom nota cu mulțimea funcțiilor derivabile de orice ordin pe D).
Teoremă. Dacă D este un deschis a lui , iar sunt două funcții de n ori derivabile într-un punct atunci funcțiile , , unde , , sunt derivabile de n ori în punctul și, în plus, au loc următoarele egalități :
(1) ;
(2) ;
(3)
Puncte de extrem ale unei funcții derivabile
Teoremă. Fie I un interval deschis al lui și o funcție de ori derivabilă într-un punct , astfel încât
I. Dacă n este par, atunci este punct de extrem local și anume
dacă atunci este punct de maxim local iar
dacă atunci este punct de minim local.
Definiție. Fie D este un deschis a lui și . Spunem că funcția este de două ori diferențiabilă în (respectiv pe D) dacă este derivabilă pe o vecinătate V a punctului , iar derivata sa f’ este diferențiabilă în respectiv pe D.
Definiție. Fie , unde D este un deschis a lui , o funcție de două ori diferențiabilă în punctul .
Numim diferențiala de ordin 2 a funcței în punctul , notată , funcția definită prin
.
Se observă că este diferențila diferențialei de ordin 1 corespunzătoare aceluiași .
Procedând recurent putem da acum:
Definiția I. Fie , unde D este o mulțime deschisă a lui . Spunem că este de n ori diferențiabilă în punctul dacă este de n-1 ori derivabilă pe o vecinătate V a lui iar derivata este diferențiabilă în .
Definiția II. Dacă este de n ori diferențiabilă în punctul , atunci numim diferențială de ordin n afuncției în punctul funcția definită pe prin
,
adică este diferențiala diferențialei de ordin (n-1) în punctul pentru același .
I.5. Teoria diferențiabilității în spațiul
I.5.1.Funcții diferențiabile
Fie D un deschis din , și .
Definiție I. Spunem că funcția F este diferențiabilă în punctul dacă există o aplicație astfel încât:
.
II. Spunem că funcția F este diferențiabilă pe D dacă este diferențiabilă în orice punct .
Notând , formula de mai sus se poate scrie sub forma echivalentă
.
De asemenea, dacă notăm cu
Formula se mai poate pune și sub altăa formă
,
unde sau
așa încât , iar .
Teoremă. Fie D un deschis din . Dacă este diferențiabilă în , atunci F este continuă în a.
Teoremă. Fie D un deschis din și în care cu , . Funcția F este diferențiabilă în dacă și numai dacă funcțiile sunt diferențiabile în a și în acest caz
,
adică diferențiala lui F în a are drept componente diferențialele ca aplicații liniare de la la .
Teoremă. Dacă este o funcție constantă , atunci F este diferențiabilă pe iar în orice are loc
.
Teoremă. Dacă este o aplicație liniară, atunci
pentru orice .
Teoremă. Dacă , unde D este un deschis din , sunt diferențiabile în a și , atunci și sunt diferențiabile în a și
,
.
Teoremă. Fie D un deschis al lui și două funcții diferențiabile în .Atunci funcția este diferențiabilă în a și are loc:
.
I.5.2. Derivata după un versor
Definiție. Fie unde D este un deschis al lui .
I. Numim derivată a lui în a după versorul v
(1)
ori de câte ori aceasta există.
Vom nota în aceast caz valoarea limitei prin .
II. Dacă vom spune că este derivabilă în punctul a după versorul v.
Întrucât a este un punct interior lui D , există o sferă .
Dar atunci dacă se consideră , toate punctele se vor găsi , de asemenea, în sfera deoarece
Atașând acum funcției funcția definită prin
se observă că derivata lui după versorul v în punctul a este tocmai derivata obișnuită a funcției în origine. Într-adevăr
===.
Dacă în (1) notăm , atunci este coliniar cu v. Interpretând t ca abscisa punctului pe dreapta ce trece prin a și are direcția v rezultă că
=,
adică în acest raport de “creșteri” limita se realizează pe un “drum particular” și anume pe dreapta ce trece prin a și are direcția v, ceea ce justifică și terminologia utilizată.
Mai observăm că dreapta care trece prin a și are direcția –v coincide cu dreapta care trece prin a și are direcția v, iar derivata în punctul a după versorul –v este , adică v determină o orientare pe dreapta . Prin schimbarea orientării, derivata după versor își schimbă semnul.
Considerăm o funcție , unde D este un deschis din , și fie baza canonică a lui .
Definiție.
I.Spunem că funcția are derivată parțială în raport cu variabila în punctul a dacă există , unde , iar se numește derivata lui în raport cu în punctul a. Aceasta se notează cu sau .
II. Spunem că funcția este derivabilă parțial în raport cu variabila în punctul a dacă.
III. Spunem că funcția este derivabilă parțial în raport cu pe D dacă este derivabilă parțial în raport cu variabila în orice punct .
Observăm că
Definiție. Fie , unde D este un deschis al lui .
I. Spunem că este derivabilă parțial pe D dacă este derivabilă parțial în orice punct în raport cu toate variabilele . În acest caz se pot defini n funcții numite derivatele parțiale ale lui pe D.
II. Spunem că este de clasă C1 pe D dacă este derivabilă parțial pe D iar funcțiile sunt continue pe D. În acest caz vom nota .
Teoremă. Fie D un deschis din și . Dacă este difernțiabilă în punctul , atunci este derivabilă în a, după orice versor v și în plus are loc egalitatea:
.
Teoremă. Fie unde D este un deschis al lui . Dacă este difernțiabilă în punctul , atunci este derivabilă parțial în raport cu toate variabilele și în plus
,
iar
,
unde este aplicația de proiecție definită pe prin , pentru orice .
Teoremă. Fie D un deschis din și un versor din . Dacă este diferențiabilă în punctul , atunci derivata după versorul v în punctul a este dată de formula
.
Teoremă (Criteriul de diferențiabilitate) Fie D un deschis din și . Dacă este derivabilă parțial într-o vecinătate V a punctului iar derivatele parțiale sunt continue în a , este diferențiabilă în a.
Definiție. Fie D un deschis din și fie , unde, în care
I. Spunem că funcția F este derivabilă parțial în (respecțiv parțial derivabilă pe D) dacă orice funcție este derivabilă parțial în a (respectiv derivabilă parțial pe D), în raport cu toate variabilele .
II. Spunem că funcția F este de clasă C1 pe D , notat , dacă toate funcțiile sunt de clasă C1 pe D.
Ținând seama de această definiție, din criteriul de diferențiabilitate rezultă:
Propoziție. Dacă , unde D este un deschis din este de clasă C1 pe D, atunci F este diferențiabilă pe D.
I.5.3. Matricea jacobiană
Fie , unde D este un deschis din , diferențiabilă într-un punct . Conform primei teoreme din secțiunea precedentă F este derivabilă parțial în punctul a și atunci considerând, unde , funcției F îi putem asocia o matrice care conține pe linia i derivatele parțiale ale funcției în raport cu cele n variabile.
Matricea asociată lui F are următoarea formă
și se numește matricea jacobiană a lui F în punctul a, după numele matematicianului german C.G.Jacobi. Se observă că este o matrice de tip .
Ținând seama de faptul că este diferențiabilă în punctul a dacă și numai dacă sunt diferențiabile în a și
,
iar pentru orice , și orice , rezultă că matricea atașată operatorului liniar în bazele canonice din și din , este tocmai matricea jacobiană în punctul a.
Utilizând izomorfismul liniar
care asociază oricărui operator liniar matricea , vom putea indentifica diferențiala funcției F în punctul a cu matricea jacobiană .
Dacă , atunci matricea este pătratică. Determinantul ei se numește jacobianul sau deteminantul funcțional al funcțiilor în punctul a și se notează
.
Teoremă. Dacă este diferențiabilă de D, unde D este un deschis din , atunci oricare ar fi matricea jacobiană este nesingulară dacă și numai dacă este un izomorfism liniar.
I.5.4. Diferențierea funcțiilor compuse
Teoremă (Legea lanțului) Fie , unde D este un deschis din și Δ este un deschis din , . Dacă F este diferențiabilă în și G este diferențiabilă în , atunci este difernțiabilă în a și
.
Corolarul 1. Din ipotezele teoremei are loc egalitatea
.
Corolarul 2. Dacă în ipotezele teoremei , , iar , unde
atunci
Corolarul 3. Fie D și Δ doi deschiși din , și două funcții diferențiabile respectiv pe D și Δ. Dacă , , pentru , atunci
I.6. Integrala de suprafață
Fie un deschis conex în și o pânză de suprafață parametrizată de clasă , având ecuații parametrice , , . Vom presupune în plus ca pânza de suprafață s este injectivă (adică în implică ) și nesingulară (adică în fiecare punct ).
Definiție. Pentru orice submulțime măsurabilă se numește aria porțiunii de suprafață numărul real pozitiv
unde reprezintă tangentele la suprafață.
Fie din nou o porțiune de suprafață ca mai sus, unde este o submulțime măsurabilă și fie , o funcție continuă pe un deschis care conține pe .
Definiție. Se numește integrală de suprafață a funcției F pe numărul real
Expresia diferențială se mai numește element de suprafață.
I.7. Spații vectoriale
I.7.1. Spații și subspații vectoriale
Definiție. Fie V o mulțime nevidă, ale cărei elemente le notăm cu litere mici supraliniate și le numim vectori și fie K un corp comutativ (câmp) , ale căror elemente sunt numite scalari.
Un triplet , considerând dintr-o mulțime V de vectori , o operație internă pe V, , numită adunarea vectorilor și o operație externă pe V în raport cu K , (sau ) numită înmulțirea vectorilor cu scalari, se numește spațiu vectorial, sau spațiu liniar peste K, sau K-spațiu vectorial (sau liniar), dacă :
I.Perechea este grup abelian.
II.Înmulțirea vectorilor cu scalari satisface patru axiome:
,
,
,
dacă 1 este identitatea lui K, atunci .
Definiție. Fie un K-spațiu vectorial și . Spunem că V’ este subspațiu vectorial, al K-spațiului vectorial dat, dacă restricțiile operațiilor și la V’ determină pe această mulțime o structură de K-spațiu vectorial. Notăm sau .
Teoremă. Fie un K-spațiu vectorial și . Atunci , V’ are o structură de subspațiu vectorial al lui dacă și numai dacă au loc condițiile:
,
.
Teoremă Fie un K-spațiu vectorial și un sistem de vectori din V. Atunci, mulțimea combinaților liniare finite de vectori ai lui S, adică este un susubspațiu vectorial al spațiului vectorial dat numit subspațiu vectorial generat de S.
Dacă [S]=V’ , vom spune că S este un sistem de generatori pentru V.
I.7.2. Sisteme de vectori liniari independenți (dependenți)
Fie V un K-spațiu vectorial. Pentru un vector , notăm prin subspațiul vectorial al lui V generat de , adică .
Definiție. Fie , un sistem de vectori ai unui K-spațiu vectorial V. Vom spune că S este un spațiu de vectori liniari independenți (dependenți), dacă sistemul de subspații vectoriale este liniar independent (dependent).
Teoremă. Fie un sistem finit de vectori dintr-un K-spațiu vectorial V.
Sistemul S este liniar independent dacă și numai dacă
Sistemul S este liniar dependent dacă și numai dacă există scalarii , nu toți nuli astfel încât .
I.7.3. Baze într-un spațiu vectorial nenul
Definiție. Fie V un K-spațiu vectorial nenul. Un sistem de vectori din V se numește o bază pentru V dacă sunt satisfăcute condițiile :
B este un sistem liniar independent,
B este un sistem de generatori pentru V.
Teoremă. Fie V un K-spațiu vectorial nenul și , un sistem de vectori din V. Atunci B este o bază pentru V dacă și numai dacă orice vector se scrie, în mod unic, sub forma :
.
I.7.4. Dimensiunea unui spațiu vectorial. Rangul unui sistem de vectori
Lemă. Fie V un K-spațiu vectorial și fie un sistem de generatori pentru V. Dacă , atunci este, de asemenea, un sistem de generatori pentru V.
Definiție. Un K-spațiu V se numește de tip finit dacă pentru V există un sistem finit de generatori.
Definiție. Fie V un K-spațiu vectorial. Definim dimensiunea lui V, notată astfel:
;
, de tip finit, admițând o bază formată din n vectori;
, dacă V nu este de tip finit.
Dacă , vom nota acest lucru și prin .
Definiție. Pentru un sistem de vectori dintr-un K spațiu vectorial V, se definește rangul său prin .
I.7.5. Forme pătratice
Definiție. Fie V un spațiu vectorial arbitrar peste câmpul K. O aplicație se numește formă biliniară pe spațiul V, dacă , adică:
,
,
.
Dacă, în plus, avem:
g se numește formă biliniară simetrică.
Teoremă.
Suma a două forme biliniare (simetrice) , definită prin , este o formă biliniară (simetrică).
Produsul dintre un scalar și o formă biliniară (simetrică) g, definit prin este o formă biliniară (simetrică).
Mulțimea a formelor biliniare (simetrice) pe spațiul vectorial V, peste K, este un K-spațiu vectorial, în raport cu operațiile de adunare a formelor biliniare și înmulțirea acestora cu scalari.
Teoremă. Fie V un K-spațiu de dimensiune , și fie o bază în V. Ecuația unei forme biliniare pe V, în raport cu B este de tipul:
(1) , pentru
(2) , și unde
(3)
(Scalarii se numesc componentele sau coordonatele formei biliniare g, în raport cu baza B).
Definiție. Fie V un K-spațiu vectorial. Fie . Aplicația se numește formă pătratică pe V dacă există , astfel încât să aibă loc relația:
(4) .
Forma biliniară simetrică se numește forma polară a formei pătratice .
Teoremă. Dacă ,-mulțimea formelor pătratice pe V, și , ecuația formei pătratice este de forma:
(5) , dacă , pentru
(6) , unde este forma polară a lui .
I.8. Spații vectoriale euclidiene
Definiție. Un spațiu vectorial euclidian este o pereche , constând dintr-un spațiu vectorial real și dintr-o formă biliniară simetrică , cu proprietatea că forma pătratică asociată este pozitiv definită, adică .
Dacă este un spațiu vectorial euclidian abstract sau dacă pe E nu mai intervine, într-o problemă dată, o altă formă biliniară simetrică, cu formă pătratică asociată pozitiv definită, în afara lui , atunci numărul se notează generic cu (sau cu ).
Numărul este numit produsul scalar al vectorului cu vectorul .
Proprietățile produsului scalar sunt:
Definiție. Dat un spațiu vectorial euclidian , pentru un vector , numim norma acestuia, numarul nenegativ
.
Proprietăți imediate ale normei unui vector:
Există , si ,
,
.
Teoremă. Dacă este un spațiu vectorial euclidian, atunci este un spațiu vectorial normat.
Definiție. Dacă , , se definește unghiul vectorilor și ca fiind numărul dat de
.
Definiție. Dacă , spunem ca este ortogonal pe , și notăm , dacă și numai dacă .
Proprietăți ale ortogonalității vectorilor:
Dacă , atunci ,
Dacă , cu , atunci (teorema lui Pitagora),
În aceleași condiții ca la 5. și , avem
, sau
.
Definiție. Un sistem de vectori , dintr-un spațiu vectorial euclidian , se numește ortogonal dacă vectorii săi sunt ortogonali doi câte doi. Sistemul se numește ortonormat dacă este ortogonal și format numai din vectori unitari (deci de normă egală cu 1).
Teoremă. Orice sistem ortogonal, format din vectori nenuli, este liniar independent.
Definiție. O bază B, într-un spațiu vectorial euclidian se numește bază ortonormată dacă B este un sistem ortonormat.
Definiție. a) Fie un spațiu vectorial euclidian, si . Spunem că vectorul este ortogonal pe mulțimea A si scriem , dacă și numai dacă ;
b) Două submulțimi , se numesc ortogonale și scriem dacă avem .
I.9. Elemente de algebră liniară a vectorilor liberi în spațiul euclidian
3-dimensional
I.9.1. Vectori liberi
Vom nota prin spațiul euclidian intuitiv construit conform sistemului axiomatic al lui David Hilbert.
Definiție. Două segmente orientate si se numesc echipotente dacă și au același mijloc, cu precizarea că dacă avem un „segment nul” , mijlocul său este M. Vom nota .
Teoremă. Relația de echipotență a segmentelor orientate este o relație de echivalență algebrică.
Definiție. O clasă de echivaleță de segmente orientate, în raport cu echipotența segmentelor orientate, se numește vector liber din spațiul .
Definiție.
Doi (sau mai mulți) vectori liberi se numesc coliniari dacă au aceeași direcție;
Trei (sau mai mulți) vectori liberi sunt coplanari dacă sunt paraleli cu un același plan, adică, dacă pot fi de segmente orientate paralele cu același plan. (Este evident că oricare doi vectori sunt coplanari).
Definiție. Fie , unde . Considerăm un punct arbitrar și luăm astfel încât ,. Definim atunci suma vectorilor prin
.
Definiție. Doi vectori liberi se numesc ortogonali și scriem dacă direcțiile celor doi vectori sunt perpendiculare. Prin convenție și.
Lemă. Dacă , , atunci se constată imediat că este un subspațiu vectorial al lui și este suplimentul ortogonal al lui . Rezultă că orice vector se poate scrie în mod unic sub forma:
(*) cu .
Definiție. Aplicația definită prin poartă denumirea de proiecție ortogonală a spațiului pe vectorul liber nenul . Utilizând (*), putem scrie:
cu.
Definiție. Unghiul a doi vectori nenuli este măsura unghiului dacă și .
Definiție. Fie . Produsul scalar al vectorului cu vectorul este definit prin
Teoremă. Produsul scalar este o formă biliniară simetrică pozitiv definită pe -spațiul, deci este spațiul vectorial euclidian.
I.9.2. Produsul vectorial a doi vetori liberi. Dublul produs vectorial și produsul mixt a trei vectori liberi
Observație. O bază ortonormată pozitivă în o vom nota în mod generic prin .
Definiție. Fie o bază ortonormată pozitivă în (orientat) și fie . Dacă și , definim:
.
Teoremă. Vectorul are următoarele proprietăți:
;
;
Dacă , atunci (în această ordine) formează o bază orientată pozitiv.
Dacă și atunci ;
nu depinde de baza , ci numai de orientarea spațiului . Acest vector se numește produsul vectorial al vectorului cu vectorul .
Aplicația , , pentru o orientare fixată a lui este o transformare biliniară antisimetrică : .
Definiție. Dat un triplet de vectori liberi, dublu produs vectorial al acestuia se definește ca fiind vectorul liber .
Teoremă. Pentru oricare trei vectori avem :
.
Observație. Produsul vectorial al vectorilor liberi nu este asociativ.
Definiție. Dat un triplet ordonat de vectori liberi a spațiului , produsul mixt al tripletului dat este definit prin:
Teoremă.
vectorii sunt coplanari;
Dacă vectorii nu sunt coplanari este volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori aplicați într-un același punct;
Dacă , atunci .
Teoremă.
a) Fie orientat. Atunci :
b) Fie orientat. Atunci :
.
I.10. Repere
Vom nota prin o dreaptă , un plan sau întreg spațiul , iar prin spațiul vectorial director al lui , adică spațiul vectorial al vectorilor paraleli cu . Cu notațiile cunoscute deja avem:
– o dreaptă
– un plan
.
Definiție. Un reper în spațiul este o pereche , unde și este o bază din . În mod frecvent, se consideră ortonormată.
Punctul este numit originea reperului și de obicei se consideră că toți vectorii bazei sunt aplicați în acel punct: . Atunci axele (cu originea în și sensul dat de ), se numesc axele reperului sau axe de coordonate, iar planele () , sunt numite planele reperului sau planele de coordonate.
Definiție. Fie un spațiu ,un reper în acesta și . Vectorul este numit vectorul de poziție al punctului față de reperul .
Corolar. Dacă , în raport cu un reper ,atunci .
Dacă reperul este ortonormat, atunci:
și
;
și
;
și
.
I.11. Dreaptă în spațiu
O dreaptă () în spațiu poate fi dată prin :
Un punct și un vector director , paralel cu () ;
Două puncte distincte;
Un punct și o normală , adică subspațiul în ;
Intersecția a doua plane.
Teoremă. Fie în raport cu un reper din și fie .Atunci, un punct se află pe dreapta (), conținând și care este paralelă cu , dacă și numai dacă este de forma:
(1)
Această relație este numită ecuația vectorială a dreptei ().
Corolar. Dacă în condițiile acestei teoreme și , atunci aparține dreptei () dacă și numai dacă coordonatele sale sunt de forma:
(1’) .
Formulele (1’) se numesc ecuații parametrice ale dreptei (), fiind un parametru pe dreaptă, iar constituind un sistem de parametri directori ai dreptei ().
Dacă , ecuațiile (1’) se pot scrie :
(2)
numite ecuațiile canonice ale dreptei ().
Teoremă. Fie în raport cu un reper ortonormat , , , . Atunci aparține dreptei dacă și numai dacă
(3) .
Relația (3) este numită ecuația vectorială a dreptei, dată prin două puncte.
Corolar. , , atunci coordonatele unui punct oarecare , al dreptei sunt de forma:
(3’)
Relațiile (3’) se numesc ecuațiile parametrice ale dreptei date de două puncte. Și în acest caz convenim să scriem:
(4) – ecuațiile canonice.
Teoremă. Fie în raport cu un reper ortonormat, și fie doi vectori necoliniari. Atunci, un punct se sflă pe dreapta (), conținând și perpendiculara pe planul vectorial determinat de dacă și numai dacă avem:
(5)
Relațiile (5) sunt numite ecuațiile vectoriale ale unei drepte printr-un punct și o direcție nomală.
I.12. Planul
Geometric un plan poate fi determinat de:
Un punct al său și direcția sa planară, adică de planul său vectorial director sau, echivalent, de o bază a acestuia.
Trei puncte necoliniare;
Un punct al său și direcția sa normală, adică direcția vectorului .
Teoremă. Fie în raport cu un reper , și doi vectori necoliniari. Atunci, un punct aparține planului conținând și paralel cu vectorii dacă și numai dacă este de forma:
(1)
Formula (1) este numită ecuația vectorială parametrică a planului (în condițiile date).
Echivalentă cu ecuația (1) este ecuația vectorială implicită:
(2) .
Corolar. Dacă este un reper ortonormat (drept) și , , , atunci aparține planului , în condițiile teoremei de mai sus dacă și numai dacă :
(1’)
sau, echivalent,
(2’) .
Corolar. Fie în raport cu un reper ortonormat (drept) , necoliniare. Atunci se află în planul dacă și numai dacă:
(3)
sau, echivalent
(4) .
Teoremă. Fie față de , și fie . Atunci , față de se află în planul , conținând și perpendicular pe , dacă și numai dacă verifică ecuația:
(5) ,
sau, notând , ecuația
(5’)
Corolar. Fie ortonormat și în raport cu acesta , . Atunci, aparține planului , în condițiile teoremei de mai sus dacă și numai dacă:
(6)
sau, notând ,
(7) .
Ecuația (6) sau (7) se numește ecuația generală (vectorială, respectiv scalară) a planului.
I.13. Curbe regulate în plan și spațiu
I.13.1. Definiția curbelor regulate în plan și spațiu
Definiție. O porțiune de curbă regulată în plan (în spațiu) este o mulțime (o mulțime ) astfel că există o aplicație diferențiabilă (o aplicație diferențiabilă ), unde este un interval deschis în , aplicație care verifică condițiile:
(i) și corespondența prin este un homeomorfism.
(ii) Vectorul derivat este nenul pentru orice .
Condiția de diferențiabilitate pentru aplicația asigură “aspectul neted ” al imaginii geometrice al lui r. Condiția de homeomorfism între si pentru exclude posibilitatea apariției autointersecțiilor pentru sau a punctelor limită pentru aceeași imagine geometrică. Condiția asigură, din puncte de vedere tehnic, posibilitatea aplicării locale a teoremei funcției inverse, iar din punct de vedere teoretic se exclud punctele singulare, i.e. diverse puncte de întoarcere.
Pentru porțiunea de curbă regulată definită mai sus s-a folosit reprezentarea parametrică sau parametrizarea. Ne ocupăm de o porțiune de curbă regulată în plan (în ). Exprimând aplicația pe componente, rezultă posibilitatea scrierii celor două componente ale sale ca funcții de parametrul
.
Reprezentarea explicită a porțiunii de curbă se scrie sub forma , reprezentând exprimarea componentei ca funcție de componenta .
De asemenea, pentru curbe regulate în plan, se poate folosi și reprezentarea implicită dată de ecuația
,
unde este o funcție reală diferențiabilă definită pe un domeniu D din , verificând condiția .
Considerații asemănătoare se pot face și pentru porțiuni de curbe regulate în spațiu. Parametrizarea , , a curbei (porțiunii de curbă) se explicitează, pe componente, prin
,
unde sunt funcții diferențiabile.
Se poate considera și o reprezentare implicită pentru o curbă (porțiunii de curbă) , regulată în spațiu
,
unde sunt funcții reale, diferențiabile, funcțional independente de trei variabile reale , unde . Condiția de a fi funcțional independente pentru se exprimă prin proprietatea diferențialelor de a fi liniar independente în fiecare punct sau, echivalent, prin
I.13.2. Tangenta și planul osculator la o curbă regulată în spațiu
Definiție. Curba este parametrizată natural dacă .
Definiție. Tangenta la curba regulată în punctul este dreapta trecând prin și având direcția dată de .
Putem scrie expresia vectorului de poziție al unui punct de pe tangentă în la
.
Exprimarea pe componente a expresiei vectorului de poziție al punctului de pe tangentă ne conduce la ecuațiile parametrice ale tangentei
Eliminarea parametrului ne conduce la ecuațiile canonice ale tangentei
.
Definiție. Punctul de pe curba este neinflexionar dacă vectorii derivați și sunt necoliniari. În caz contrar, punctul se numește inflexionar sau de inflexiune. O curbă regulată având doar puncte neinflexionare se numește biregulată.
Definiție. Planul osculator al curbei în punctul neinflexionar al ei este planul trecând prin și având direcția generată de vectorii :
.
Expresia analitică a unui punct curent din planul osculator în este
.
Din această expresie se obține reprezentarea parametrică
Eliminarea parametrilor conduce la ecuația canonică
I.13.3. Curbura unei curbe într-un punct al ei
Definiție. Vectorul de curbură al unei curbe , parametrizate natural prin , este derivata a doua a a vectorului de poziție . Curbura lui în este norma vectorului
.
Dacă este parametrizată natural, vectorul este unitar. Din relația
,
se obține, prin derivare în raport cu ,
.
Rezultă că vectorul de curbură în este ortogonal pe vectorul tangent la în .
I.13.4. Formulele lui Frénet
Considerăm o curbă regulată , parametrizată arbitrar. Pentru un punct neinflexionar de pe definim un reper ortonormal
, unde vectorii sunt definiți dupa cum urmează.
Primul vector este vectorul unitar al (versorul) vectorului derivat , și se numește vestorul unitar al tangentei în la .
Al doilea vector este situat în planul osculator, are direcția perpendiculară pe , are sensul îndreptat către semiplanul în care “intră” și este unitar. Acest vector poartă numele de vectorul unitar al normalei principale, și are expresia .
Al treilea vector are direcția ortogonală pe planul osculator, norma egală cu unu și sensul astfel că baza obținută este orientată pozitiv. Acest vector poartă numele de vectorul unitar al binormalei, și are expresia:
.
Reperul ortonormat orientat drept, obținut mai sus, se numește reperul Frénet al curbei în punctul neinflexionar .
Teoremă (formulele lui Frénet)
Fie o curbă biregulată parametrizată natural. Vectorii reperului Frénet în verifică următoarele formule, numite formulele lui Frénet
unde coeficienții sunt doi invarianți geometrici ai lui , numiți curbura și torsiunea lui în .
Capitolul II. Elemente de teorie a suprafețelor în spațiu
II.1. Definiția suprafețelor regulate în spațiu
Definiție. O porțiune de suprafață regulată în spațiu este o mulțime S astfel că există o aplicație diferențiabilă unde D este un domeniu în , aplicație care verifică condițiile:
și corespondența DS prin este un homeomorfism.
Vectorii derivați , sunt necoliniari, pentru orice .
Condiția de diferențiabilitate pentru aplicația asigură “aspectul neted” al imaginii geometrice S al lui . Condiția de homeomorfism între D și S pentru exclude posibilitatea apariției autointersecțiilor pentru S sau a punctelor limită pentru aceeași imagine geometrică. Condiția de necoliniaritate 2. pentru vectorii derivați =
=, asigură , din punct de vedere tehnic, posibilitatea aplicării locale a teoremei funcției inverse iar, din punct de vedere teoretic, se exclud punctele singulare ( diversele puncte în care S capătă diverși “țepi” ).
Pentru porțiunea de suprafață regulată definită mai sus s-a folosit reprezentarea parametrică sau parametrizarea. Condițiile impuse în acestă definiție permit și folosirea altor reprezentări analitice pentru aceeași porțiune, sau pentru submulțimi din acestă porțiune. Considerăm o porțiune S de suprafață regulată în spațiu. Exprimând aplicația pe componente, rezultă posibilitatea scrierii celor 3 componente ale sale ca funcții de parametrii
S:
Evident, funcțiile , , sunt diferențiabile și avem de verificat condițiile care asigură necoliniaritatea vectorilor ,. Condiția de necoliniaritate pentru , se poate exprima prin condiția de neanulare a produsului lor vectorial
sau, echivalent, rangul matricei componenetelor lor este doi
Dacă, pentru , avem
,
putem aplica teorema funcției inverse pentru sistemul de funcții , și putem rezolva, local, sistemul de ecuații , obținând pe ca funcții diferențiabile de .
În continuare, se pot înlocui expresiile găsite pentru în expresia lui , cu păstrarea proprietăților de diferențiabilitate. Rezultă, în final, posibilitatea exprimării componentei ca funcție de componentele
unde este o funcție diferențiabilă pe un domeniu convenabil în care vor avea valori abscisa și ordonata obținute ca soluții ale sistemului de mai sus. Aceasta este reprezentarea explicită a porțiunii S de suprafață sau a unei submulțimi convenabile din S, rezultată din aplicarea teoremei funcției invese.
Remarcăm că reprezentarea explicită poate fi gândită ca o reprezentare parametrică de un tip special
S:
De asemenea, pentru suprafețe regulate, se poate folosi și reprezentarea implicită dată de ecuația:
unde este o funcție reală diferențiabilă definită pe un domeniu din , verificând condiția . Această condiție poate fi exprimată, echivalent, în termenii derivatelor parțiale ale lui , prin:
Din ecuația se obține, prin aplicarea teoremei funcției implicite, exprimarea locală a uneia din componentele sau , ca funcție diferențiabilă de celelalte. În cazul când , din ecuația , se poate obține, local, coordonata ca funcție de coordonatele
adică se obține, din nou, reprezentarea explicită. Reciproc, reprezentarea explicită poate fi gândită ca o reprezentare implicită
II.2. Exemple de suprafețe regulate în spațiu
Câteva clase de suprafețe regulate în spațiu au fost considerate în cadrul geometriei analitice uzuale. Acestea sunt suprafețele reprezentate de ecuații algebrice de gradul intâi în coordonatele (carteziene) relativ la un reper ortonormal în spațiu, precum și cele reprezentate de ecuații de gradul al doilea. Prima clasă este destul de restrânsă și constă doar din plane. O ecuație de acest tip arată după cum urmează:
Cuadricele sunt suprafețe reprezentate de ecuații de gradul al doilea
Din această ecuație se pot obține urmatoarele tipuri de cuadrice:
Elipsoidul
Hiperboloidul cu o pânză
Hiperboloidul cu două pânze
Paraboloidul eliptic
Exemplu:
Paraboloidul hiperbolic:
Conul pătratic
Cilindrii pătratici
O clasă de suprafețe, extrem de importantă în procedeele de proiectare geometrică a suprafețelor, este cea a suprafețelor riglate. Suprafețele din această clasă sunt generate de drepte, numite generatoare, care se sprijină pe curbe date, numite curbe directoare.
Presupunem că curba directoare C este definită de parametrizarea , , tI și că direcția generatoarei în este definită de vectorul . În acest caz, suprafața riglată respectivă este definită de parametrizarea
.
Pe componente, ecuațiile parametrice sunt
unde
Suprafețele cilindrice
Definiție. O suprafață cilindrică este o suprafață generată de o dreaptă având direcția fixă și care se sprijină pe o curba C dată.
În cazul când curba C este dată prin ecuația vectorială iar direcția fixă a dreptei variabile este definită de un vector constant , vectorul de poziție al unui punct de pe suprafața cilindrică avuta in vedere, se poate obține extrem de simplu
.
Ilustrarea geometrică este dată în figura:
Exprimarea pe componente este naturală. Presupunem că avem
și
.
Componentele vectorului de poziție al unui punct de pe suprafața cilindrică considerate sunt date de
Suprafețele conice
Definiție. O suprafață conică este suprafață generată de o dreaptă ce trece printr-un punct fix și se sprijină pe o curbă C dată, numită curbă directoare. Punctul fix se numește vârful suprafeței conice.
Dacă punctul fix este reprezentat de vectorul de poziție , iar curba directoare C este reprezentată de parametrizarea , atunci reprezentarea parametrică a suprafeței conice este
exprimată pe componente prin
Suprafețe de rotație
Definiție. O suprafață de rotație este o suprafață generată prin rotirea unei curbe C în jurul unei drepte , trecând prin punctul P0 de vector de poziție r0, având direcția definită de vectorul nenul u.
Vom considera curba C ca fiind parametrizată de și vom presupune că vectorul u are norma unu, . Pentru P de vector de poziție , situat pe C, vom considera vectorul , pe care îl descompunem în componenta v’, coliniară cu și în componenta v” , ortogonală pe . Ținând cont că, obținem ușor
Operația de rotație poate fi descrisă astfel. Vectorul v’ rămâne fix, în timp ce vectorul v” se rotește cu unghiul în planul ortogonal pe u. În acest plan avem o bază ortogonală formată din v” și . În baza proprietății că și că , obținem că cei doi vectori v”, au aceeași normă. Vectorul obținut din v” prin rotația de unghi s este
.
Din relația evidentă , se obține expresia vectorului rotit
Aceasta este parametrizarea suprafeței de rotație studiate.
II.3. Planul tangent la o suprafață regulată în spațiu
Considerăm o suprafață S, parametrizată de (D,r) unde este un domeniu și este o aplicație diferențiabilă ce realizează un homeomorfism între D și S, și .
Vom introduce noțiunea de curbă regulată situată pe suprafața S ca imagine prin r a unei curbe regulate din domeniul de definiție D. Considerăm o curbă regulată în D, definită cu ajutorul parametrizării , unde este un interval, este diferențiabilă, realizează un homeomorfism între I și și vectorul derivat este nenul pentru orice . Compunerea
,
definește o curbă regulată C situată pe suprafața S.
Folosind regula de derivare a compunerii aplicațiilor, obținem următoarea expresie pentru vectorul tangent la curba C în punctul al ei
.
Definiție. Planul tangent în punctul al suprafeței S, parametrizată de (D,r) este planul prin x, având direcția planară generată de vectorii
.
O parametrizare a planului tangent este dată de
.
Ecuațiile parametrice ale planului tangent sunt
Prin eliminarea parametrilor , se obține ecuația canonică a planului tangent
.
II.4. Forma intâia fundamentală a unei suprafețe regulate în spațiu
Fie o suprafață regulată, definită cu ajutorul parametrizării (D,r). Pentru , , avem planul tangent
,
unde
Definiție. Prima formă fundamentală a lui S în x este restricția produsului scalar uzual din la . Notația pentru această formă este
.
Prin urmare, pentru , avem valoarea . Evident, calitățile de a fi produs scalar ale lui <,> se vor păstra prin restricție la , astfel că , definește, în fapt, un produs scalar pe . Reamintim calitațile respective:
este o formă biliniară pe
este simetrică
forma pătratică asociată lui este pozitiv definită.
Având în vedere aceste calități, pentru cunoașterea lui este suficient să-i cunoaștem valorile pentru diversele perechi de vectori din baza a lui . În continuare, pentru parametrizarea (D,r) a lui S, vom folosi, pe langă notația a parametrilor și notația . În baza acestei convenții, vom avea
Dacă vectorii au exprimările , relativ la baza din , vom avea valoarea respectivă a lui
.
Mai departe, pentru , obținem valoarea formei pătratice asociate lui
.
Să remarcăm că avem
.
Pornim de la analogia
,
dintre expresia unui vector tangent la S și diferențiala vectorului de poziție. Atunci se obține expresia generică primei forme fundamentale
.
Expresia lui în notațiile alternative este
.
II.5. Orientabilitatea suprafețelor
Considerăm, pe o suprafață în , două porțiuni S, parametrizate de (D,r) și respectiv . Pentru , putem scrie
,
unde . Schimbarea de parametrizare este
,
și avem
.
Vectorii , sunt coliniari (ei sunt ortogonali pe planul tangent ), iar sensurile lor coincid sau nu, în funcție de semnul jacobianului .
Definiție. Parametrizările (D,r), definesc aceeași orientare pe suprafața considerată, dacă jacobianul este pozitiv.
Dacă este posibilă găsirea unui set de parametrizări pentru o suprafață dată, astfel încât oricare două din parametrizări să fie la fel orientate, atunci vom spune că suprafață cosiderată este orientabilă.
Există și suprafețe neorientabile. Poate cel mai simplu exemplu de o suprafață neorientabilă este furnizat de banda lui Mobus. Această suprafață se obține dintr-un dreptunghi prin identificarea a două laturi opuse, după ce s-a efectuat o răsucire care să conducă la schimbarea sensului.
II.6. Aplicația Wiengarten, forma a doua fundamentală
II.6.1. Aplicația Wiengarten
Considerăm o suprafață regulată S , exprimată cu ajutorul parametrizării (D,r). pentru , rezultă vectorul unitar
ortogonal pe planul tangent . La o variație a vectorului de poziție, în planul tangent, corespunde o variație
a vectorului unitar normal . Din proprietatea , ce reprezintă calitatea lui de a fi unitar, se obține, prin diferențiere
,
relație care exprimă proprietatea geometrică a lui de a fi ortogonal pe . Rezultă că este situat în planul tangent . De aici obținem că vectorii , sunt situați în . Putem considera aplicația liniară
,
definită prin
.
Aplicația nu depinde de parametrizarea folosită pentru definirea sa și este autoadjunctă, adică .
Definiție. Aplicația , asociată oricărui punct x al unei suprafețe orientate S, se numește aplicația Weingarten.
II.6.2. Forma a doua fundamentală a unei suprafețe
Considerăm o suprafață reprezentată cu ajutorul parametrizării (D,r) și fieun punct fixat pe S.
Definiție. Forma a 2-a fundamentală a suprafeței S în punctul x este aplicația
,
definită prin
.
Din proprietatea lui de a fi biliniară și proprietatea lui de a fi liniară, rezultă că forma a doua fundamentală este biliniară. Din simetria lui și proprietatea lui de a fi autoadjunct, rezultă ca este simetrică. Nu putem spune nimic despre calitatea formei pătratice asociate de a fi sau nu pozitiv definită.
Exprimarea lui relativ la baza din se obține calculând valorile sale pentru diverse perechi de vectori ai bazei. Introducem
Atunci, pentru , avem
.
Expresia formei pătratice asociate se obține luând
.
Se poate reprezenta și o scriere simbolică pentru dacă vom trece vectorul curent în variația . În acest caz putem scrie și vom avea
.
Ținând cont că , adică , obținem prin diferențiere
,
astfel că obținem o exprimare alternativă
.
Dacă scriem și ținem cont de faptul că componentele ale vectorului curent tangent trec în , se obține expresia lui
.
Valorile coeficienților L,M,N se pot obține ușor dacă ținem cont că și . Se obține
.
Definiție. Două direcții din , definite de , se numesc conjugate dacă
.
II.7. Curburi ale unei curbe situată pe o suprafață
Considerăm o curbă regulată C, situată pe suprafața . Dacă C este parametrizată de , unde este interval iar S este parametrizată de (D,r), unde este un domeniu, condiția ca C să fie situată pe S se exprimă prin
.
Dacă C este biregulată și parametrizată natural, pentru orice punct al său, avem reperul Frénet.
.
Convine să introducem un nou reper ortonormal ale cărui calități să reflecte mai bine proprietatea lui C de-a fi situată pe S. Primul vector T este tangent la C în x, prin urmare este tangent și la S, . Vectorul T va fi reținut pentru noul reper avut în vedere. În locul celui de-al doilea vector N, vom lua vectorul unitar , normal la suprafață, care are calitatea . Al treilea vector va fi , care conduce la reperul ortonormal orientat drept. Se obține un nou reper ortonormal
.
Se observă că noul reper se obține din vechiul reper R printr-o rotație în jurul lui T. Vom nota cu măsura unghiului de rotație, orientat de la vectorul , normal la S către vectorul N al normalei principale la C.
În baza formulelor cunoscute, vom avea relațiile care leagă vectorii considerați
La fel, avem
Vom încerca să obținem niște formule de tip Frénet pentru noul reper. Reamintim formulele lui Frénet pentru reperul R
.
Din aceste formule vom obține
.
Coeficientul se numește curbura normală a curbei C în punctul x. Ea măsoara curbarea lui C în direcția planară a planului (normal) ce conține tangenta la C dictată de curbarea suprafeței S în punctul respectiv.
Coeficientul se numește curbura geodezică a curbei C în punctul x. Ea măsoara curbarea lui C în direcția planară a planului tangent, plan determinat de vectorii T, . Prin urmare, indică o curbare a lui C pe suprafață, independentă de curbarea suprafeței S în punctul respectiv.
În continuare, vom obține derivatele celorlalți doi vectori ai reperului . Avem
Noul coeficient se numește torsiunea geodezică a curbei C în punctul x. În continuare, avem
După cum se observă imediat, în aceste formule intervin coeficienții . Acești coeficienți se aranjează într-o matrice asimetricâ.
.
Curbura normală
Vom căuta să obținem formule utile pentru calculul coeficienților , precum și interpretări geometrice ale lor.
Din formula pentru , se obține
.
Acum vom ține cont că, pentru C situată pe suprafața S, avem , astfel că putem scrie
,
sau, utilizând exprimarea în baza din ,
.
Semnificația precisă a acestei formule este următoarea: dacă se trece în vectorul generic , tangent la S în x, atunci și putem calcula în direcția tangentă definită de
.
Se observă faptul că curbura nu depinde efectiv de curba C situată pe S și doar de direcția vectorului tangent la acestă suprafață.
Studiem direcțiile din pentru care . Aceste direcții se numesc direcții asimptotice. Se observă că pentru vectorii care au direcții asimptotice, trebuie să avem . Pentru determinarea acestor direcții se introduce “coeficientul unghiular” al direcției definite de h în raport cu baza din . Evident, se exclude direcția pentru care . Condiția conduce la ecuația
.
Existența rădăcinilor acestei ecuații depinde de semnul discriminantului
.
Dacă avem două soluții reale distincte, prin urmare avem două direcții asimptotice distincte in . În acest caz, punctul se numește hiperbolic. Dacă , vom avea două direcții asimptotice confundate în . Punctul x se numește parabolic. În sfârșit, dacă , nu avem direcții asimptotice reale și punctul x se numește eliptic.
Direcții principale
Pentru vectorul tangent , pentru care presupunem , introducem, la fel ca mai sus, un fel de coeficient unghiular , relativ la baza din , bază care nu este neapărat ortonormală. Atunci formula pentru curbura normală se poate scrie
.
Ne interesează direcțiile din pentru care ia valori extreme. Aceste direcții vor fi obținute din ecuația
,
ecuație, care conduce la relația
,
sau, prin efectuarea unor proporții derivate,
.
Acestă ecuație se scrie în formă echivalentă
sau, prin recuperarea componentelor vectorului ,
.
Dacă se folosește exprimarea simbolică, cu ajutorul diferențialelor, avem
sau, echivalent,
.
Prin reintroducerea parametrului și dezvoltare, se obține ecuația de gradul al doilea
.
Aceste rădăcini definesc, generic, două direcții în pentru care curbura normală capătă valori extreme. Direcțiile respective se numesc direcții principale.
Propoziție. Direcțiile principale sunt direcții proprii ale aplicației Weingarten.
Demostrație. Condiția pentru de a fi vector propriu al aplicației revine la existența unui scalar real λ astfel ca
.
Dacă scriem și ne reamintim că , , obținem condiția
.
De aici, efectuând produse scalare successive cu , se obține sistemul liniar omogen
.
Condiția ca acest sistem sa aibă soluții nebanale, revine la verificarea ecuației caracteristice
.
Prin dezvoltare, se obține ecuația de gradul al doilea
.
Presupunând că soluțiile ale acestei ecuații sunt reale, se obține, prin înlocuire în sistem, că ecuațiile corespunzătoare, verificate de componentele vectorilor proprii sunt proporționale
.
Această condiție coincide cu proprietatea lui de a defini o direcție principală. Propoziția este demonstrată.
În continuare vom calcula curburile normale în lungul direcțiilor principale (ortogonale) într-un punct x al unei suprafețe S. Aceste curburi se numesc curburile principale ale suprafeței S în punctual x. Vom nota
unde sunt vectorii care dau direcțiile principale. Vom avea
Prin urmare, curburile principale ale lui S sunt opusele autovalorilor operatorului Weingarten. În consecință, valorile lui se obțin din ecuația characteristică a lui prin înlocuirea
cu dezvoltarea
.
Ținând cont de relațiile între rădăcini și coeficienți, pentru o ecuație de gradul al doilea, se obțin doi invariantți importanți ai suprafeței. Primul este curbura totală a suprafeței S în x și este reprezentat de produsul curburilor principale
.
Al doilea invariant este curbura medie a suprafeței S în x și este dat de semisuma curburilor principale
.
Definiție. Liniile de curbură ale unei suprafețe sunt curbe situate pe suprafață cu proprietatea că direcțiile tangente în orice punct sunt principale.
Liniile de curbură pot fi folosite pentru interpretarea geometrică a unui alt invariant obținut din formulele de tip Frénet.
Teoremă. Liniile de curbură au .
Demonstrație. Din formula , se obține
.
Mai reamintim că și că
.
Cu aceste elemente, putem face un mic artificiu, astfel că putem scrie
.
Acum vom folosi o formulă cunoscută în algebra vectorială, referitoare la produsul a două produse mixte
În cazul nostru se va obține
.
Apoi, prin utilizarea relațiilor de ortogonalitate dintre si și a faptului că este unitar, se obține
Ultima expresie arată că dacă și numai dacă direcțiile tangente sunt principale.
Observație. Cu această ocazie am găsit și o formulă pentru torsiunea geodezică. Menționam că, la fel ca în cazul curburii normale, avem dependența doar de direcția tangentă, nu de curba propriu-zisă.
Curbura geodezică. Vom determina o formulă pentru curbura geodezică a unei curbe, folosind prima formula de tip Frénet
.
De aici, se obține
.
Am obținut o formulă în care sunt implicate derivatele de primul și al doilea ordin ale vectorului de poziție, prin urmare curbura geodezică nu depinde doar de direcția curbei trasate pe suprafață.
Definiție. O linie geodezică pe S este o curbă pe S pentru care curbura geodezică este nulă.
Teoremă. O curbă situată pe S este linie geodezică dacă și numai dacă, în fiecare punct al ei, planul osculator conține normala la suprafață.
Demonstrație. Dacă C situată pe S este geodezică, din formula pentru curbura geodezică avem , prin urmare este normal pe vectorul , care este perpendicular pe planul osculator. Prin urmare, este conținut în planul osculator al lui C. Atunci , prin urmare .
II.8. Câteva suprafețe cu Mathematica
În paragraful următor voi prezenta câteva grafice și comenzi mai importante în limbajul Mathematica.
Mathematica este un program soft în principal pentru alicații în matematică. Mathematica ar putea fi: un calculator numeric și simbolic unde noi scriem o întrebare și programul va răspunde, ar mai putea fi un sistem de vizualizare a funcțiilor, o platformă ce conține mai multe pachete. În concluzie, Mathematica este un program de nivel înalt ce poate fi folosit de oricine, fiind ușor de utilizat.
Voi începe prin prezentarea graficului funcției sin(exp(x)), unde x parcurge intervalul .
In[1]:=plot[ Sin[ Exp[x] ], {x,0,Pi}
Mathematica ne oferă multe opțiuni pentru a determina cu exactitate cum să arate graficul. Mai jos vom desena aceeiași funcție, dar având graficul mai exact:
In[2]:=Show[ %, Frame->True, FrameLabel ->{“Time”, “Signal”},
GridLines ->Automatic ]
Pentru a contura o porțiune a funcției folosim comanda ContourPlot în felul următor:
In[3]:=ContourPlot[ Sin[x +Sin[y]], {x,-2,2},{y,-2,2}]
Pentru a desena o suprafață tri-dimensională a aceleiași funcții, vom folosi următoarea secvență de cod:
In[4]:=Plot3D[ Sin[x + Sin[y]],{x,-3,3}, {y,-3,3}]
Mai jos vom încerca să generăm suprafețe parametrice unde coordonatele punctelor sunt specificate ca niște funcții de parametrii u și t. Spațiul din uSin[t] arată de cate ori se multiplică funcția.
In[5]:=ParametricPlot3D[ {u Sin[t], u Cos[t], t/3},
{t, 0, 15}, {u, -1, 1}, Ticks -> None]
In[6]:=ParametricPlot3D[
{Sin[t], Sin[2t] Sin[u], Sin[2t] Cos[u]},
{t, -Pi/2, Pi/2},{u, 0, 2 Pi}, Ticks ->None ]
Mathematica ne permite să combinăm diferite bucăți de grafice. % și %% combină ultimul și penultimul rezultat.
In[7]:= Show[%, %%]
Mathematica servește ca un limbaj grafic în care putem construi grafice din componente. În cazul nostru, vom construi un grafic tri-dimensional din mai multe cuburi plasate în diferite puncte.
In[8]:=Show[ Graphics3D[
{Cuboid[{0, 0, 0}], Cuboid[{2, 2, 2}],
Cuboid[{2, 1, 3}], Cuboid[{3, 2, 1}],
Cuboid[{2, 1, 1}]} ]]
II.9. Suprafețe tri-dimensionale
Plot3D[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax} realizează o suprafață tri-dimensională a unei funcții de 2 variabile x și y.
Ca exemplu vom încerca să reprezentăm funcția .
In[9]:=Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]
Probabil cea mai importantă chestiune de discutat în reprezentarea suprafețelor tri-dimensionale, este de a specifica din ce poziție vrem să privim suprafața. Opțiunea ViewPoint si Show ne permite să specificăm poziția punctelor în spațiu. Pentru a arăta cum acționează aceste opțiuni vom redesena funcția privită din alt punct:
In[10]:=Show[%, ViewPoint -> {0, -2, 0}]
Cele mai importante coordinate pe care le putem da punctelor{x,y,z} sunt:
{1.3,-2.4,2} – desenează la întamplare; {0,-2,0} – desenează direct în față;
{0,-2,2} – în față și în colțul de sus; {0,-2,-2} – în față și în colțul de jos;
{-2,-2,0} – în colțul din stânga; {2,-2,0} – în colțul din dreapta; {0,0,2} – direct sus.
Vom lua funcția () și o vom reprezenta cu diverse opțiuni setate:
In[11]:= g =Plot3D[Exp[-(x^2+y^2)], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]
In[12]:=Show[g,Mesh -> False] In[13]:=Show[g, Shading ->False]
Pentru a adăuga un element în plus de realism graficelor tri-dimensionale, Mathematica prin diferite culori adaugă un model de lumina suprafețelor.
Mathematica presupune că există 3 modele de lumină care cad pe grafic. Dacă setăm opțiunea Lighting -> False, Mathematica nu va mai folosi lumină simulată, dar va umbri toată suprafața cu nivele gri în funcție de înălțime. Plot3D de obicei colorează folosind un model simulator de culori.
In[14]:=Plot3D[Sin[x y], {x, 0, 3}, {y, 0, 3}]
Aceeiași suprafață, dar cu Lighting setat False.
In[15]:=Show[%, Lighting -> False]
Capitolul III. Suprafețe Bézier și B-spline
În continuare, vom trece la proiectarea agoritmică a suprafețelor, cu câteva referiri și la proiectarea curbelor, reprezentate de funcții polinomiale sau raționale cubice. Vom studia și racordarea netedă a plăcilor curbe Coons, plăci curbe Ferguson, plăci curbe Bézier și B-spline.
În general, curbele și suprafețele folosite în programele de proiectare geometrică, sunt reprezentate de funcții polinomiale sau, cel mult, raționale.
Într-un program de grafică pe calculator, un punct este reprezentat de un mic pătrat numit pixel. Pentru trasarea unui segment, se dau punctele care constituie capetele și se începe un algoritm de plasare a unor pixeli succesivi, pornind de la primul capăt, până se ajunge în al doilea capăt. Dacă cele două capete sunt , , ecuația dreptei este
.
În cazul suprafețelor, pentru desenarea plăcilor curbe, este necesară o fază preliminară în care se realizează „patulatere” curbilinii având ca „laturi” curbe cu capetele în noduri, obținându-se o retea de curbe trasate pe suprafațaă, care ajută și la vizualizarea mai bună a suprafeței.
Multe din procedeele folosite în priectarea algoritmica a curbelor și suprafețelor sunt familiare în analiza numerică. Prin urmare, vom aborda probleme de interpolare și aproximare.
III.1 Interpolarea cu ajutorul polinoamelor
Considerăm o succesiune de N+1 puncte , numite noduri, în spațiu (în plan) reprezentate de vectorii lor de poziție și ne punem problema găsirii unei curbe dintr-o familie precizată de curbe, care să treacă prin punctele date, în ordinea precizată de ordinea crescătoare a indicilor. Este problema uzuală a interpolării, definită de nodurile considerate.
Condițiile specifice care precizeaza familia aleasă de curbe se referă la diferențiabilitate, la exprimarea prin polinoame de un anume grad pe porțiuni, prin alte funcții etc.
O primă soluție a problemei interpolării este furnizata de funcțiile liniare. Oricarea două noduri succesive sunt unite de un segment, realizându-se o linie poligonală de interpolare. Evident, expresiile fucțiilor implicate între noduri sunt relativ simple, dar în noduri apar „frângeri” i.e. coborârea clasei de diferențiabilitate la nivelul . Prin urmare, va fi utilă folosirea altor clase de funcții în exprimarea coordonatelor punctelor de pe curba pe care dorim să o construim, astfel ca în noduri să se realizeze racorduri mai bune.
III.1.1 Polinoamele Lagrange
Pentru simplitate, ne vom plasa în plan și vom considera abscisa x ca variabilă independentă. Prin urmare, secvența considerată de noduri este dată prin coordonatele carteziene în plan , unde și se caută
,
unde este un polinom cu următoarele proprietăți, rezultate din condițiile de interpolare
.
Ținând cont că un polinom de grad k are k+1 coeficienți și că condițiile implicate sunt în număr de N+1, apare natural să considerăm gradul polinomului egal cu N, i.e.
,
unde sunt coeficienți ce urmează a fi determinați.
Corespunzător relațiilor de interpolare, avem relațiile
Suntem conduși la un sistem de N+1 ecuații liniare cu necunoscutele , în număr de N+1, având determinantul de tip Vandermonde diferit de zero. Prin urmare, putem găsi soluția unică cu ajutorul regulii lui Cramer și în consecință, putem scrie polinomul de interpolare , care constituie soluția problemei. Acesta este polinomul Lagrange corespunzător problemei propuse. Pentru a scrie soluția mai convenabil, convine să introducem niște polinoame Lagrange de bază, astfel încât să apară ca niște combinații de aceste polinoame, coeficienții fiind exact . Aceste polinoame de bază se notează și se obțin din condițiile
,
unde sunt simbolii lui Kronecker și au valoarea 1 pentru i=j si 0 in rest. Rezolvarea sistemului rezultat pentru coeficienții lui și la înlocuirea în expresia lui conduce la exprimarea finală
Cu aceste rezultate, expresia lui poate să se verifice simplu ca expresia scrisă pentru are proprietățile . Cu aceste rezultate, expresia polinomului de interpolare , corespunzător ordonatelor , are expresia
.
În general, un polinom Lagrange de interpolare corespunzător unei succesiuni de N+1 noduri are gradul N.
III.1.2 Polinoamele Hermite
Se dau nodurile și, pentru fiecare din aceste noduri, se dau coordonatele lor , cu , precum și valorile , corespunzătoare nodurilor cu același indice. Se va căuta un polinom cu proprietățile
.
Avem un număr de 2(N+1) condiții, prin urmare, principial, polinomul ar trebui să aibă gradul 2N+1. Impunerea unor condiții pentru derivate, avute în vedere la efectuarea unor eventuale racordări în construcția curbelor compozite, mărește considerabil gradul polinomului. Evident, putem scrie în mod explicit expresia polinomului și se poate rezolva sistemul liniar în cei 2N+2 coeficienți, rezultat din cele 2N+2 condiții precizate mai sus. Se obține, astfel, polinomul Hermite de interpolare, corespunzător problemei propuse. La fel ca în cazul polinoamelor Lagrange, se vor determina niște polinoame Hermite de bază, care să fie folosite pentru determinarea polinoamelor Hermite. Acestea vor fi notate cu și vor fi caracterizate de condițiile
.
Polinoamele contribuie în problema interpolării prin valorile derivatelor lor în noduri, valorile lor neavând influența în noduri.
Un calcul mai lung, în care se caută polinoamele , cu ajutorul polinoamelor Lagrange, sub forma , conduce la următoarele valori pentru polinoamele Hermite de bază
Odată ce avem aceste polinoame Hermite de bază, putem scrie expresia polinomului de interpolare
.
III.2 Plăci curbe Coons
Pentru proiectarea algoritmică a suprafețelor în spațiu se preferă parametrizările polinomiale sau raționale ale unor plăci. Ne vom limita la polinoamele și funcțiile raționale de grad cel mult trei.
Considerăm un patrulater curbiliniu în spațiu definit de curbele
,
satisfacând condițiile
unde reprezentările parametrice considerate îndeplinesc condițiile uzuale de diferențiabilitate și regularitate. Mai mult, în mod uzual, se va presupune că reprezentările curbelor considerate sunt polinomiale.
Ne interesează existența unei plăci curbe care să se „sprijine” pe laturile acestui patrulater curbiliniu. Pentru început, vom folosi elementele geometrice cele mai simple, i.e. dreptele. Dacă se consideră două „laturi opuse” ale patrulaterului curbiliniu considerat, e.g. , putem construi suprafața riglată care se sprijină pe aceste laturi
.
Atunci când parametrul real u parcurge intervalul , punctul parcurge segmentul cu capetele în și . Placa curbă obținută se sprijină pe laturile , dar nu se sprijină, în general, pe celelalte două laturi, pentru că
Aceste laturi ale plăcii curbe sunt două segmente cu capetele în punctele si , care reprezintă colțurile patrulaterului curbiliniu (colțurile plăcii curbe) și nu coincid cu laturile ale patrulaterului curbiliniu dat.
Putem proceda în mod asemănător considerând placa curbă riglată care se sprijină pe celelalte două laturi opuse
.
Parametrizarea reprezentată de suma nu se mai sprijină pe nici una din laturile patrulaterului curbiliniu considerat, dar diferă de aceste latui prin niște vectori ce reprezintă segmente cu capetele în cei patru vectori de poziție ai colțurilor. Aceste segmente fac parte din cele două perechi de laturi ale plăcilor curbe riglate, construite, care nu coincid cu laturile patrulaterului curbiliniu. Prin urmare am putea considera un termen corector, reprezentat de o placă curbă care să se sprijine pe cele 4 segmente
Acum rezultă ușor că parametrizarea
,
reprezintă o placă curbă ce se sprijină pe cele patru laturi ale patrulaterului curbiliniu dat. Acestă placă curbă se numește placă curba Coons. Putem reprezenta și o exprimare matricială parametrizării considerate
Luând drept model polinoamele Hermite, vom considera niște funcții polinomiale reale definite pe intervalul , care au proprietățile
Aceste funcții poartă numele de funcții de îmbinare sau funcții de racordare. Putem face observația că, în cazul când aceste funcții au gradul trei, rolul lor poate fi jucat de polinoamele Hermite
Prin urmare, procedând ca în cazul precedent, vom avea parametrizarea
care are proprietățile
dar nu are proprietățile necesare când se ia sau.
În mod asemănător se poate considera parametrizarea
care are proprietățile
,
dar nu are proprietățile necesare când se ia sau. Parametrizarea, definită de suma , se abate de la proprietățile pe care le urmărim pe toate laturile patrulaterului curbiliniu prin niște termeni care pot fi incorporați într-o nouă parametrizare
Se poate remarca simetria expresiei lui în raport cu parametrii u, v și apariția derivatelor parțiale de ordinul al doilea, mixte, a lui r în colțuri.
Vectorul , calculat într-un punct, poartă numele de vector de răsucire al suprafeței în punctul respectiv,
Acum, putem găsi parametrizarea care conduce la placa curbă dorită. Aceasta este
și se verifică ușor că această parametrizare are proprietățile solicitate.
Expresia lui poate fi scrisă și prin folosirea matricilor
Parametrizarea r, obținută, poate fi simplificată în mod considerabil dacă se consideră parametrizări convenabile pentru curbele ce reprezintă laturile patrulaterului curbiliniu și pentru expresiile vectorilor tangenți la placă, în punctele acestor laturi, transversali la laturi. Anume, se vor folosi aceleași funcții de imbinare ca pentru placă în obținerea unei parametrizări pentru exprimarea acestor curbe, parametrizări în care se folosesc vectorii de poziție ai colțurilor și vectorii tangenți la aceste curbe în colțuri
.
În baza proprietăților funcțiilor de îmbinare , rezultă că parametrizarea reprezintă o curba cu capetele în , având vectorii ca vectori tangenți în aceste capete.
Prin urmare, vom exprima laturile patrulaterului curbiliniu și vectorii transversali prin
Prin înlocuirea acestor expresii în formulele ce exprimă , se obțin vectori egali, astfel ca se gasește
sau, mai concis,
,
unde am notat prin matricea linie având elementele , iar prin matricea pătratică de ordin patru, având drept elemente vectorii de poziție ai colțurilor, vectorii derivați în raport cu cei doi parametri în aceste colțuri și vectorii de răsucire în aceste colțuri. O placă curbă obținută în acest mod se numește placă curbă produs tensorial sau placă curbă produs cartezian.
III.3 Suprafețe Ferguson
În cazul când funcțiile de îmbinare sunt date de polinoame Hermite
plăcile curbe se numesc plăci curbe Ferguson. Ținând cont de coeficienții care apar în expresiile polinoamelor Hermite, putem scrie expresia matricii , folosită în paragraful precedent
unde este matricea pătratică de ordinul patru, care are pe coloane coeficienții polinoamelor Hermite . Astfel expresia plăcii curbe Coons, în cazul Ferguson, i.e., în cazul când funcțiile de îmbinare se reduc la polinoamele Hermite, devine
,
unde si .
Considerăm o latice , formată din puncte din spațiu, reprezentate de vectorii lor de poziție. Aceste puncte vor fi gândite ca fiind colțurile unor plăci curbe Ferguson, e.g. determină o astfel de placă generică. Ne propunem să folosim aceste noduri pentru a determina, în primul rând, o rețea de curbe de clasă , determinând cu această ocazie și vectorii în colțuri, apoi plăcile curbe și vectorii de răsucire în colțuri.
Dacă vom nota cu vectorul derivat în raport cu u în nodul și fixăm un , sistemul care conduce la curba Ferguson trecând prin , devine
.
Este un sistem de ecuații in necunoscute (vectorii ), care ne oferă libertatea de a prescrie valorile pentru orice . În continuare, se pot obține parametrizările uzuale pentru curbele Ferguson cu capetele în , , care se racordează în capete, pentru a obține o curbă de clasă , care trece prin nodurile .
În mod asemănător, pentru cealaltă familie de curbe Ferguson, fixăm și avem
,
unde este o valoare fixată. Din nou, avem un sistem de ecuații cu necunoscute și avem libertatea de a prescrie valorile pentru orice . În mod asemănător, se poate obține o curbă de clasă , care trece prin nodurile .
Prin urmare, s-a obținut o rețea de curbe Ferguson trecând prin nodurile laticii considerate. Utilizând patrulaterele curbilinii formate, putem scrie ecuațiile plăcilor curbe Ferguson corespunzătoare
,
unde matricea pătratica de ordinul patru se referă la nodurile ,
la derivatele în aceste noduri și la vectorii de răsucire calculați în aceste noduri.
III.4 Suprafețe Bézier
Vizualizarea primară a unei suprafețe se realizează generând două familii de curbe transversale pe suprafață. De aceea, vom studia mai intâi câteva aspecte legate de curbele Bézier (de gradul al treilea).
Considerăm o linie poligonală cu patru vârfuri, identificate cu vectorii lor de poziție și ne propunem găsirea unei curbe exprimată printr-o parametrizare cu polinoame de gradul al treilea care să aibă capetele în și să fie tangentă în aceste capete la segmentele .
Pentru aceasta, vom folosi intervalul standard și polinoamele Bernstein , unde sunt coeficienții binomiali în dezvoltarea binomului Newton de gradul al treilea. Vom considera curba parametrizată definită de
.
Câteva calcule elementare ne arată că avem ,
. Prezentăm și o exprimare matricială pentru curbele Bézier de gradul al treilea. Efectuând dezvoltarea polinoamelor , se obține
,
unde ,
Proprietăți ale curbelor Bézier
Gradul unei curbe Bézier este mai mic cu o unitate decât numărul punctelor sale de control. Astfel o curbă Bézier de grad 1 este generată de două puncte de control , , și este segmentul determinat de cele două puncte.
O curbă Bézier interpolează extremitățile poligonului său de control, deoarece si . Prin urmare dacă , curba Bézier este inchisă.
O curbă Bézier este inclusă în înfășuratoarea convexă a punctelor sale de control.
Curba Bézier este o combinație convexă a punctelor sale de control, deci ea este o submulțime a mulțimii tuturor combinațiilor convexe ale punctelor care este infășurătoarea convexă a acestora.
O curbă Bézier este invariantă față de inversarea ordinii punctelor sale de control.
O curbă Bézier este invariantă la schimbări afine de parametru, adică dacă parametrizează curba Bézier de puncte de control , , și este definită prin , atunci . Prin urmare, printr-o schimbare afină de parametru, curba este reprezentată de o parametrizare din aceeași clasă (adică în baza Bernstein definită pe ).
O curbă Bézier este invariantă la transformări afine, în sensul că dacă este o curbă Bézier de poligon de control și o transformare afină, unde este spațiul afin euclidian 3-dimensional, atunci imaginea prin a curbei este o curbă Bézier de poligon de control .
O curbă Bézier are proprietatea de micșorare a numărului de oscilații. Mai precis numărul de intersecții ale unei curbe Bézier cu un hiperplan transversal acesteia (adică o dreaptă în cazul curbelor plane și un plan în cazul curbelor 3D) este mai mic cel mult egal cu numărul de intersecții al hiperplanului respectiv cu poligonul de control al curbei.
Așa cum o curbă Bézier este definită de o linie poligonală cadru (poligon de control), o suprafață Bézier va fi definită cu ajutorul unei suprafețe poliedrale cadru (poliedru de control). Vom lucra în cazul când gradul este 3.
O placă curbă Bézier cubică va fi definită de 16 vârfuri , care definesc o suprafață poliedrală cu 9 fețe. Placa va fi o aproximare a acestei suprafețe poliedrale, având în vedere că ea va fi tangentă la muchiile ce pleacă din colțurile extreme ale suprafeței poliedrale. Forma suprafeței poliedrale oferă proiectantului informații utile despre forma plăcii curbe iar modificarea unor vârfuri poate să modifice forma plăcii curbe în manieră convenabilă.
Reamintind expresiile polinoamelor Bernstein de grad 3
,
avem expresia vectorului de poziție al punctului de pe placa curbă Bézier
.
Din această expresie rezultă câteva proprietăți imediate ale plăcilor curbe Bézier.
În primul rând, coeficienții vectorilor din expresia lui sunt numere nenegative, având suma egala cu 1. Prin urmare, apare ca o combinație convexă de . Astfel că este plasat în înfășurătoarea convexă a punctelor . Astfel, avem un control geometric relativ simplu al poziționării lui în raport cu punctele .
Apoi, pentru , avem , astfel că expresia lui devine
,
i.e. reprezintă curba Bézier definită de linia poligonală cadru cu vârfurile . Prin urmare, curba , , situată pe placa curbă, la marginea ei, este tangentă în capete la segmentele extreme ale liniei poligonale cadru. Mai precis avem
.
În mod asemănător, curba este o curbă Bézier definită de linia poligonală cadru cu vârfurile . Prin urmare, această curbă, situată de asemenea pe placa curbă, la o altă margine a ei, este tangentă în capete la laturile extreme ale liniei poligonale cadru. Se obține, în definitiv, că placă curbă trece prin punctul și este tangentă în la planul definit de . Rezultate asemănătoare se obțin pentru celelalte trei colțuri .
Există o legatură strânsă între plăcile curbe Bézier și plăcile curbe Ferguson definite de patrulaterele curbilinii formate de curbele (Bézier) de la margine, precum și de vectorii derivați în lungul acestor curbe și de vectorii de răsucire , calculați în colțuri. Considerăm o placă curbă Bézier, reprezentată de parametrizarea scrisă mai sus. Putem scrie exprimarea matricială
,
unde este matricea de tip , având drept elemente vectorii , , iar
În mod asemănător, vom avea , unde , astfel că
.
Pentru o placă Ferguson avem, de asemenea, o exprimare matricială de forma , unde este matricea de tip , cu elemente vectori, ce apare în expresia plăcii curbe Ferguson. Punând condiția de coincidență pentru cele două plăci curbe, i.e.
se obține
,
sau, prin folosirea inversei lui ,
.
După efectuarea calculelor, se gasește
unde reprezintă niște expresii care conduc la următoarele valori pentru vectorii de răsucire
Se constată că această combinație între procedeele Ferguson și Bézier permite exprimarea vectorilor derivați și a vectorilor de răsucire în funcție de vectorii de pozitîe ai vârfurilor suprafeței poliedrale cadru care au interpretare geometrică.
Vom studia, în continuare, racordarea a două plăci curbe Bézier. Considerăm două parametrizări care reprezintă două plăci curbe Bézier adiacente. Dorim să găsim condiții verificate de cele două suprafețe poliedrale cadru în cazul când cele două plăci curbe se racordează neted. Cele două parametrizări se exprimă convenabil în formă matricială
Condiția de contingență se scrie în forma
.
De aici rezultă relația
,
care trebuie să fie valabilă pentru orice matrice variabilă V. Ținând cont că M este inversabilă, rezultă relația
.
De aici se obține un rezultat oarecum previzibil
,
i.e. cele două suprafețe poliedrale cadru sunt contingente după o linie poligonală.
Pentru ca planul tangent să varieze în mod continuu la contingența celor două plăci, trebuie să avem coliniaritatea vectorilor normali
unde este o funcție netedă în lungul liniei de contingență. Pentru a analiza situația când se verifică această relație, trebuie să ținem cont că, în mod obișnuit, vom avea ca vectori tangenți la linia de contingență a celor două plăci. Ecuația vectorială considerată are soluție și aceasta este exprimată sub forma
,
unde sunt funcții netede în lungul liniei de contingență.
Analizând expresiile matriciale, se ajunge la concluzia că trebuie să fie constantă, în timp ce trebuie să fie o funcție de gradul întâi. Apoi, analiza ecuației matriciale considerate permite determinarea diferențelor ca niște combinații liniare de vectori reprezentând muchii ale primei suprafețe poliedrale cadru.
Menționăm că prin utilizarea unor plăci curbe Bézier de grad mai mare se pot impune condiții considerabil mai simple, de tipul , pe linia de contingență.
III.5 Suprafețe B-spline
La fel cum am procedat în cazul suprafețelor Bézier, vom defini suprafețele B-spline, prin folosirea unor funcții B-spline în locul polinoamelor Bernstein.
Pentru funcțiile B-spline, există un proces recursiv de obținere, proces care amintește de obținerea curbelor Bézier. Pornim cu un șir de noduri și definim funcțiile spline , de gradul 0 asociate acestui șir de noduri prin
Condiția de normare îndeplinită de această funcție se referă la la faptul că valoarea lui pe intervalul , pe care este nenulă, este egală cu 1.
Funcțiile B-spline, notate , de grad k, asociate intervalelor definite de nodurile , cu , , se obțin prin recurență:
În legătură cu această formulă, este necesar să facem observația că, în cazul când nodul sau se repetă de k ori (se acceptă ca un număr de noduri succesive să se suprapună), se face convenția ca primul termen sau al doilea termen (care, de fapt, nu există) sa fie considerați egali cu zero. Această convenție nu e chiar neobișnuită, dacă se are în vedere că, pentru , avem .
Vom explicita expresiile funcțiilor B-spline în cazul gradelor mici. Astfel, expresia explicită a lui a fost prezentată mai sus. Observăm că are suportul , pe care este egală cu 1, și are două discontinuități în și . Utilizând formula de recurență, obținem
În cazul când nodurile sunt diferite, funcția are suportul , crește liniar de la 0 la 1 pe intervalul și scade, tot liniar, de la 1 la 0 pe intervalul . Funcția devine continuă dar derivata sa are trei puncte de discontinuitate în nodurile . Dacă , funcția nu este continuă în .
Utilizând formula de recurență și expresiile explicite ale lui , , găsim expresia explicită a lui , în cazul când
Funcția are suportul , este continuă și are și prima derivată continuă. Derivata a doua este discontinuă în nodurile Dacă funcția este discontinuă in , este de clasă în și reprezintă un arc de parabolă pe intervalul .
Funcțiile B-spline de gradul 0 sunt plasate sub intervalele care reprezintă suportul lor, funcțiile B-spline de gradul întâi sunt plasate între intervale, pentru a se marca faptul că suporturile lor sunt reuniuni ale intervalelor respective.
Unele proprietăți ale funcțiilor B-spline se pot obține destul de ușor. Pentru altele, demonstrațiile sunt ceva mai lungi.
Propoziție. Fie un șir de noduri și , funcțiile B-spline asociate acestui șir. Atunci
Funcția este polinomială de grad k pe intervalele definite de nodurile considerate .
Suportul funcției este .
.
În cazul generic, avem , iar este identic nulă în afara acestui interval. Dacă , avem .
Demonstrație. Rezultatele se obțin simplu prin inducție dupa k, din definiția funcțiilor și formula de recurență adaptată la fiecare punct. Pentru primul punct, observăm ca devine polinomială de grad k pe fiecare interval pentru că formula de recurență mărește gradul cu câte o unitate la fiecare pas. În ce privește al doilea punct observăm că în formulă este implicată funcția , care are suportul , precum și funcția , care are suportul deplasat spre dreapta cu un interval. În legatură cu ultimele două proprietăți, se observă că formula de recurență presupune adunarea unor termeni strict pozitivi pe intervalele implicate în construirea suportului și conduce la 0 în capele suportului și în afara acestuia. Pentru ultima parte a proprietății 4., se cercetează cu atenție cazul cand este un nod multiplu de odin .
Propoziție. Dacă , atunci
,
Demonstrație. Formula verificată de funcțiile constituie un aspect al condiției de normare de care vorbeam când am pus problema definirii funcțiilor B-spline. Demonstrația se face prin inducție după k. pentru avem
,
Presupunem inductiv, că
.
Considerăm . Există , astfel ca . ținând cont de suporturile diverselor funcții și folosind formula de recurență, avem
Evident, cazurile când apar noduri multiple trebuie tratate separat.
Observație. Din propoziția demonstrată mai sus, rezultă că, pe intervalul , funcțiile sunt pozitive și au suma egală cu 1, prin urmare, pot constitui coeficienții unei combinații convexe.
În continuare vom discuta unele proprietăți ale combinațiilor liniare de funcții B-spline.
Considerăm un set de numere reale , cu și să studiem funcția
,
a cărei expresie este sugerată de ideea unei combinații convexe locale de numere reale. Aplicând formula de recurență și ținând cont că suporturile funcțiilor au intersecția vidă cu , avem
Ultima formulă sugerează considerarea urmatorului algoritm de generare a unor numere (depinzând de o valoare fixată a lui ). Se pornește cu , se fixează și se construiesc
.
Apoi, pentru se construiesc
și se obține
.
Continuând procesul, până când funcțiile N devin de grad zero, se ajunge la
,
unde
.
Pentru un j fixat în mulțimea , restricția lui la se scrie
,
care coincide cu ultima valoare din schema obținută aplicând formula de recurență pentru . Această schemă poartă numele de algoritmul Cox-de-Boor.
Cercetăm derivabilitatea functiilor B-spline.
Propoziție. Considerăm funcțiile B-spline definite de șirul de noduri . Atunci, pentru orice , avem
Demonstrație. Folosim inducția dupa k. În cazul , folosind unele precauții în noduri (considerând doar derivabilitatea la dreapta), avem , și propoziția este verificată (deși funcțiile nu sunt definite; de fapt, s-ar putea începe procesul inductiv de la k=1). Presupunem formula din propoziție este valabilă pentru funcțiile B-spline de grad k-1. Folosind formula de recurență și ipoteza inductivă, avem
Aplicând, din nou, formula de recurență pentru ,, prelucrând coeficienții lui , pentru a se obține factorul k și prelucrând termenii, pentru a se reobține funcțiile ,, se gasește formula din enunțul propoziției.
Observație. Dacă , avem
.
Dacă , avem
.
Prin urmare, în cazul generic, funcțiile sunt derivabile de clasă . Mai mult, în capetele intervalelor care constituie suporturile acestor funcții, funcțiile împreună cu derivatele lor, până la ordinul k-1, se anulează.
Pentru definirea suprafețelor B-spline, vom considera o latice formată din punctele din spațiu și câteva secvențe de noduri care conduc la două seturi de funcții B-spline , , , , de grade k și l, respectiv. Acum putem considera parametrizarea
,
care seamănă cu parametrizarea folosită în problema aproximării cu ajutorul funcțiilor
B-spline. Această parametrizare definește o porțiune de suprafață, numită suprafața B-spline.
Dacă se fixează parametrul , se poate scrie parametrizarea de mai sus sub forma
.
Apoi, se ține cont de proprietatea uzuală a funcțiilor B-spline de a avea suma egală cu 1 și se constată că punctul este situat în înfășurătoarea convexă punctelor
.
Mai departe, lăsând nodul să varieze, fiecare din punctele este situat în înfășurătoarea convexă a punctelor , astfel ca, în final, punctul este situat în înfășurătoarea convexă a punctelor .
De fapt, dacă se ține cont de proprietățile legate de suporturile funcțiilor B-spline , , se constată că, pentru , , fixați, punctul este în înfășurătoarea convexă a puncte din latice, anume acele puncte corespunzătoare capetelor celor și intervale ce intră în componența suporturilor funcțiilor și (se exclud capetele extreme).
Evident, este convenabil ca suprafața considerată să aibă colțurile fixate în puncte ale laticii considerate. Acest lucru se realizează impunând condiții de coincidență a nodurilor de la început și de la sfărsit pentru cele două seturi de funcții B-spline folosite în exprimarea suprafeței. Mai precis, se va lucra cu șiruri de noduri , astfel ca
,
și cu șiruri de noduri , astfel ca
,
iar punctele de control vor fi ; . În acest caz, se constată că suprafața definită de parametrizarea considerată are colțurile în . În fapt, pentru , avem și, pentru
, avem , astfel ca
.
Analog, avem .
Mai mult, în punctul , avem și informații despre vectorii derivați în raport cu parametrii și . Folosind rezultatele relative la derivata la dreapta pentru funcțiile B-spline în noduri multiple, avem
Evident, rezultatele se pot adapta și pentru celelalte colțuri ale suprafeței studiate. Prin urmare, se obțin rezultate asemănătoare cu cele din cazul suprafețelor Bézier.
Încheiem cu câteva observații privitoare la suprafețele B-spline.
Fixăm și considerăm curba frontieră de pe suprafața, corespunzatoare parametrului
.
Prin urmare, obținem o curbă B-spline corespunzătoare punctelor de control . Analog, se obțin rezultate de același tip pentru celelalte curbe frontiera de pe suprafață, corespunzătoare valorilor sau .
Curbele coordonate de pe suprafața B-spline,diferite de curbe frontieră, sunt și ele curbe B-spline, dar punctele lor de control nu mai sunt puncte de control pentru suprafața B-spline. E.g., pentru , vom avea
.
Aceasta este o curba B-spline de grad k, având punctele de control
.
Suprafețe B-spline interpolatoare
Considerăm o latice formată din puncte din și căutam o suprafață B-spline care să treacă prin aceste puncte. Mai precis, alegem două șiruri de noduri
pentru care avem funcțiile B-spline corespunzătoare
, o familie de perechi de valori și cautam punctele de control astfel ca suprafața B-spline, parametrizată prin
,
să verifice condițiile
.
Condițiile asigură posibilitatea determinării punctelor , având în vedere nedegenerarea unor matrici implicate în sistemele respective. Mai precis, vom nota cu matricea dreptunghiulară de dimensiuni , având ca elemente vectorii de poziție ai punctelor ce trebuie interpolate, cu matricea pătratică de dimensiuni , unde , cu matricea pătratică de dimensiuni , unde și cu matricea dreptunghiulară de dimensiuni având ca elemente vectorii necunoscuți . Cu aceste notații, condițiile de interpolare se scriu în forma matricială
.
Matricile sunt inversabile, astfel că avem posibilitatea obținerii matricii . Menționăm regula uzuală de alegere a absciselor Greville
Capitolul IV. Suprafețe Bézier și B-spline raționale
IV1. Suprafețe Bézier raționale
Mai intâi prezentăm câteva aspecte legate de curbele Bézier raționale. Procedeele folosite pentru definirea curbelor Bézier se pot extinde, în sensul folosirii funcțiilor raționale în locul polinoamelor.
Pentru un punct din putem considera o nouă configurație din formată din cele trei coordonate uzuale și a patra “coordonată” egală cu 1
.
Convenția fundamentală care conduce la așa numitele coordonate omogene ale punctului este ca sistemul de patru numere obținut prin înmulțirea celor patru coordonate din cu un același factor nenul va reprezenta același punct. Prin urmare, un punct din poate fi reprezentat și de sistemul de numere
.
Factorul nenul ce apare în această reprezentare se numește pondere. Coordonatele carteziene uzuale sunt reobținute prin împărțire la cea de a patra componentă (presupusă nenulă). Evident, ne-am putea gândi la obținerea altor coordonate ale aceluiași punct prin împărțirea la oricare din cele patru 4 componente, presupusă nenulă.
Utilitatea considerării coordonatelor omogene se referă la curbele Bézier de gradul al doilea. Dacă vom considera trei puncte, identificate cu vectorii lor de poziție , curba Bézier corespunzătoare este dată de
,
Avem o curbă pătratică în planul punctelor , prin urmare o conică, care este de fapt o parabolă.
Vectorilor li se asociaza vectorii “4-dimensionali”
, obținuți cu ajutorul ponderilor diferite . După modelul “3-dimensional”, considerăm curba Bézier 4-dimensională
Curba are proprietățile uzuale ale unei curbe Bézier
Folosind notația
,
și revenind la vectorii “3-dimensionali”, obținem expresia curbei Bézier raționale corespunzătoare elementelor geometrice date și ponderilor
Această curbă are proprietățile
.
În cazul curbelor Bézier cubice, avem rezultate asemănătoare. Pentru , cu ponderile , obținem , unde ,
. De aici, rezultă curba Bézier “4-dimensională”
,
din care, utilizând notația
,
se obține curba Bézier cubică, ratională
cu proprietățile
.
La fel ca pentru curbe, se pot trata și suprafetele Bézier raționale, caz în care vârfurile suprafețelor poliedrale cadru li se asociază niște ponderi. Am văzut formula curbelor Bézier raționale de gradul al treilea. Folosind polinoamele Bernstein, putem scrie
unde
,
În cazul unei plăci curbe determinată de punctele înzestrate cu ponderile , putem scrie parametrizarea
sau, în formă matricială
unde matricile au fost definite anterior (când s-au tratat plăcile curbe Bézier), iar . După cum se va vedea, această placă curbă are câteva propriețăti asemănătoare cu cele ale plăcilor curbe Bézier.
Aceeași curbă Bézier, considerată mai sus, poate fi scrisă sub forma
,
unde funcțiile de îmbinare au expresiile
Considerând, în acest context, placa curbă Coons, determinată cu ajutorul funcțiilor de îmbinare de mai sus, se obține parametrizarea exprimată matricial prin
unde matricile au fost definite anterior și
.
Impunând condiția de coincidență a celor două plăci curbe, se obține în manieră uzuală următoarea relație matricială
Din această relație se obține
unde * reprezintă expresii care conduc la următoarele valori pentru vectorii de răsucire
Observațiile pe care le putem face se referă la faptul că placa curbă considerată are colțurile în , este tangentă în aceste colțuri la muchiile suprafeței poliedrale cadru ce ies din aceste colțuri și are vectorii de răsucire în colțuri calculați cu ajutorul vectorilor de poziție ai vârfurilor suprafeței poliedrale cadru. Mai menționăm că apariția ponderilor ne scapă de obligația raportului constant între lungimile muchiilor ce apare în problema racordării plăcilor curbe.
IV.2. Pânze de cilindru, con și sfera, ca pânze Bézier raționale
Deoarece cilindrii circulari drepți (sau pânze din aceste suprafețe) sunt frontiere pentru diferite piese și subansamble electro-mecanice, este util sa cunoaștem modul de definire și generare a acestora ca pânze de suprafețe Bézier raționale.
Fie raportat la sistemul ortogonal de axe . Prezentăm în cele ce urmează modul de generare a unei pânze de cilindru circular drept, având axa de simetrie un segment din axa și ecuația implicită
.
Cilindrul circular drept se poate vizualiza, generând o familie de cercuri paralele și familia transversală de generatoare. Să arătăm, exploatând modul de definire a unui arc de cerc ca o curbă Bézier rațională pătratică, ca o pânză de cilindru obținută prin secționarea cilindrului în lungul a două generatoare, astfel încat arcul de cerc dintr-o secțiune perpendiculară pe axa de simetrie să fie mai mic decât un semicerc, se poate reprezenta ca o pânză Bézier rațională de grad doi în una din variabile și grad unu în a doua.
O generatoare frontieră a acestei pânze este definită de două puncte de control . Orice punct de pe acest segment descrie un arc de cerc, care este definit de trei puncte de control în pozitie particulara și ponderile , cu , unde este măsura unghiului .
Astfel ne este sugerată următoarea alegere a punctelor de control pentru suprafața Bézier rațională:
(*)
Punctele aparțin planului , iar punctele , planului . Segmentul interpolator al punctelor este:
.
Pentru fiecare fixat, punctele și ponderile
, generează un arc de cerc, parametrizat de:
Notând , aplicatia r reprezintă parametrizarea unei pânze de cilindru, cu generatoarele paralele cu :
.
Prin urmare pânza de cilindru parametrizată de această formulă este o suprafață Bézier rațională de grad unu în si grad 2 în și definită de punctele de control , date de relația (*) și ponderile corespunzătoare:
Un cilindru complet cu axa conținând punctul de coordonate și paralela cu , este generat de trei pânze de cilindru de același tip, și anume, pe lângă cea definită de punctele de control (*) și ponderile de mai sus, se adaugă pânza definită de datele inițiale , cu:
respectiv:
și aceeași matrice a ponderilor.
Luând pentru fiecare pânză din cele trei de mai sus și restul punctelor neschimbate, la fel ca și matricea ponderilor, obținem trei pânze de con circular drept, cu vârful în punctul . De obicei, datele inițiale pentru un con, sunt înaltimea , și măsura a unghiului dintre axa de simetrie și generatoare. În acest caz .
Pânzele de sferă sunt considerate la fel ca cele de cilindru și con ca primitive de suprafețe în modelarea solizilor 3D prin BREP (Boundary REPresentation). Pentru a genera o octime din sfera (de exemplu partea definită de restricțiile ), ca pânză Bézier rațională bipătratică, procedăm astfel: considerăm matricea de puncte având respectiv coordonatele
,
și matricea ponderilor
Să explicăm această alegere. Pentru că dorim să generăm o pânză triunghiulară parametrizată de:
,
punctele de control trebuie sa coincidă.
Punctele de pe linia întâi, coloana întâi și a doua, sunt alese astfel încât împreună cu ponderile din pozițiile corespunzătoare să genereze sferturile de cerc, ce constituie frontierele pânzei triunghiulare de sferă. Ponderile le alegem astfel încât fiecare arc de meridian pe pânza generată să fie de asemenea un sfert de cerc. Pentru că sunt fixate deja, îl alegem pe astfel încât tripletul să fie proporțional cu tripletul , adică .
IV.3. Suprafețe de rotație în formă Bézier rațională
Raportăm spațiul la sistemul ortonormat de axe . În semiplanul , considerăm o curbă Bézier rațională, notată , de grad m generată de datele inițiale . Dorim să determinăm parametrizarea sfertului de pânza de suprafață de rotație, inclusă în , generată prin rotirea curbei în jurul axei . Frontierele pânzei sunt două sferturi de cerc din planele , și curbele Bézier raționale generate de datele , respectiv , , unde este rotația în jurul lui cu radiani. Notăm . Punctele și ponderile le alegem astfel încât, pentru orice i fixat, datele să definească un sfert de cerc în parametrizarea standard. Prin urmare, tripletul trebuie să fie proporțional cu tripletul , adică .
În concluzie dacă datele inițiale , sunt alese astfel încât curba Bézier rațională asociată să fie inclusă în mulțimea , si , atunci pânza de suprafață de rotație este generată de:
și parametrizată de:
.
Este evident modul de alegere a punctelor de control pentru celelalte trei pânze de suprafață, care completează suprafața de rotație generată de rotirea curbei în jurul axei .
IV.4. Suprafețe B-spline raționale
Fie spațiul , numit spațiul afin euclidian 4-dimensional, raportat la un reper ortonormat de semiaxe . Proiecția de centru 0 a unei hipersuprafețe B-spline din pe hiperplanul se numește suprafața B-spline ratională sau suprafața NURBS (Non-Uniform Rational B-spline). Neuniformitatea se referă la șirurile de noduri, care împreuna cu o matrice de puncte definesc suprafața, adică nodurile nu sunt neapărat echidistante.
Considerăm șirurile de noduri
care conduc la funcțiile B-spline si de grade k si l, respectiv. Apoi mai considerăm o latice de puncte din și, acestor puncte, le asociem ponderile . Suprafața B-spline corespunzătoare acestei configurații este descrisă de urmatoarea parametrizare
Această suprafață trece prin punctele din colțurile laticei iar vectorii derivați în raport cu în aceste colțuri sunt coliniari cu vectorii . De asemenea, avem proprietăți de același tip pentru vectorii derivați obținuți în aceeași manieră în celelalte colțuri. Existența ponderilor permite o mai mare elasticitate în varierea acestor vectori derivați.
Curbele și suprafețele NURBS constituie standardul ideal pentru reprezentarea curbelor suprafețelor de formă liberă în designul industrial, animație, reclame publicitare, industria de divertisment. Motivele pentru care acest tip de curbe si suprafețe sunt considerate instrumente de bază în modelarea geometrică sunt următoarele:
Oferă o reprezentare parametrică și procedurală, atât pentru forme geometrice libere, cât și pentru forme excte: arce de conice, pânze de cuadrice și suprafețe de rotație arbitrare. Cuadricele sunt analoagele 3D ale conicelor. Pânzele de cuadrice sunt foarte utile în modelarea solidelor și în ray tracing, deoarece se testeaza foarte ușor intersecția dintre două astfel de pânze, se determină rapid normalele, există teste simple de incluziune/excluziune, etc.
punctele de pe curbe sau suprafețe NURBS pot fi evaluate suficient de rapid, folosind algoritmi numeric stabili, și de mare acuratețe.
acest tip de obiecte geometrice, corespunzătoare la ponderi strict pozitive sunt invariante la transformări afine sî proiecția perspectivă, ceea ce permite manipulare și vizualizare rapidă.
constituie generalizări ale principalelor tipuri de curbe și suprafețe studiate în CAGD, și anume:
suprafața B-spline rațională, generată de datele ,
, având ponderile este o suprafață B-spline.
Suprafața NURBS având șirurile de noduri :
este o suprafață Bézier rațională, deoarece în acest caz .
Suprafața B-spline rațională având șirurile de noduri de tipul precedent și toate ponderile este o suprafață Bézier.
IV.5. Suprafețe de rotație în formă B-spline rațională
Fie curba B-spline (rațională) , inclusă în semiplanul ce se rotește în jurul axei . Curba este definită de punctele de control , (ponderile ) și șirul de noduri: . Raționând ca în cazul pânzei de suprafață de rotație Bézier rațională, prezentat mai sus, considerăm punctele , cu ponderile asociate și punctele cu ponderile , astfel alese încât pentru orice fixat,
, să definească un sfert de cerc în parametrizarea standard. Șirul corespunzător de noduri, asociat datelor , cu i fixat și pentru a genera un sfert de cerc ca o curba B-spline rațională, este:
.
Astfel sfertul de pânză de rotație, ca pânză B-spline rațională, de grade , este generată de:
și șirurile de noduri:
Parametrizarea pânzei este:
Bibliografie
Oproiu, Vasile, Geometria computațională a curbelor și suprafețelor, Editura Univ. “Al. I. Cuza” Iași, 2003.
Petrișor, Emilia, Modelare geometrică algoritmică, Editura Tehnică București, 2001.
Precupanu, Anca, Bazele analizei matematice, Editura Polirom Iași, 1998.
Pop, Ioan; Neagu, Gheorghe, Algebră liniară și geometrie analitică în plan și spațiu, Editura Plumb Bacau, 1996.
Stănășilă, O., Analiză matematică, Editura Didactică și Pedagogică București, 1981.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Suprafete Bezier Si B Spline Rationale (ID: 149212)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.