Suprafet e si variet at i doi-dimensionale [620851]

Suprafet e  si variet at i doi-dimensionale
Propriet at i geometrice
Dumitru Andreea M ad alina

Cuprins
1Introducere 5
2Suprafet e ^ n spat iul Euclidian E3
Spat iu Tangent 7
2.1 Suprafet e ^ n spat iul Euclidian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Spat iu tangent. Reper Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3Formele fundamentale ale unei suprafet e 13
3.1 Prima form a fundamental a a unei suprafet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 A doua form a fundamental a a unei suprafet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 A treia form a fundamental a a unei suprafet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4Geometria intrinsec a 21
4.1 Denit ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Lungimea unui arc de curb a pe o suprafat  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Unghiul a dou a curbe pe suprafat  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Aria unei port iuni de suprafat  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 Simbolurile lui Christoel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.6 Simbolurile lui Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.7 Geodezice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Curburi 31
5.1 Curburile principale ale unei suprafet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Curbura medie a unei suprafet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Curbura total a a unei suprafet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 Suprafet e minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6Teorema fundamental a a teoriei suprafet elor (Bon-
net) 49
3

Capitolul 1
Introducere
Am ales aceast a tem a deoarece geometria este una dintre cele dou a ramuri ale matematicii moderne, cealalt a
ind reprezentat a de studiul numerelor. ^In ziua de azi, conceptele geometriei au fost generalizate c atre un nivel
mai ^ nalt de abstractizare  si complexitate,  si a fost f acut a obiect de studiu pentru metode de calcul  si algebr a
abstract a, a sa c a multe ramuri moderne ale geometriei mai pot  recunoscute ca ind descendente ale geometriei
de la inceputurile ei.
Geometria diferent ial a este ^ n str^ ans a leg atur a cu algebra, topologia, geometria non-Euclidiana, analiza,^ n
particular cu teoria ecuat iilor diferent iale, mecanica  si teoria general a a relativit at ii astfel ^ nc^ at important a sa
este semnicativ a.
^In aceast a lucrare, este prezentat a o ramur a a geometriei diferent iale:teoria local a a suprafet elor.
Astfel ^ n primul capitol se introduce conceptul de baz a:suprafet e regulate ^ n R3. Suprafet ele sunt denite
at^ at ca mult imi,c^ at  si ca funct ii.Suprafet ele sunt studiate din punct de vedere diferent ial, iar ^ ncep^ and cu capi-
tolul al doilea acestea vor  privite  si din punct de vedere metric prin introducerea primei forme fundamentale
a unei suprafet e.
^In capitolul al doilea sunt introduse formele fundamentale ale unei suprafet e. Prima form a fundamental a
reprezint a un instrument natural ce este folosit pentru calculul unor concepte metrice simple ale suprafet ei:
lungimea arcelor de curb a, unghiul a dou a curbe situate de-a lungul unei suprafet e, aria unei port iuni de
suprafat  a.
Capitolul trei este dedicat unei ramuri a geometriei diferent iale foarte importante  si anume geometria intrin-
sec a,ramur a ce studiaz a propriet at ile unei suprafet e  si obiectele geometrice ce se pot exprima numai ^ n funct ie
de coecient ii primei forme fundamentale  si de derivatele part iale ale acestor coecient i.
^In capitolul patru sunt introduse denit ii relevante:curburi principale,curbura medie, curbura total a(curbura
Gauss). Curburile suprafet elor generale au fost studiate prima dat a de c atre Euler. ^In anul 1760 el a demostrat
o formul a pentru curbura sect iunii plane a unei suprafet e  si ^ n anul 1771 a introdus suprafet ele reprezentate
^ ntr-o form a parametrizat a. De asemenea, sunt prezentate ^ n capitolul 4  si suprafet ele minimale.
^In nal, ^ n ultimul capitol este prezentat a Teorema fundamental a a teoriei suprafet elor.
5

Capitolul 2
Suprafet e ^ n spat iul Euclidian E3
Spat iu Tangent
2.1 Suprafet e ^ n spat iul Euclidian
Denit ie 2.1.
Fie U o mut ime deschis a ^ n R2. Imaginea unei aplicat ii diferent iabile f:U R2se nume ste suprafat  a.
O suprafat  a este regulat a dac a aplicat ia f:U R2!E3este o imersie, adic a aplicat ia d(u;v):R2!R3este
injectiv a pentru orice punct p=(u,v) 2U.
^In continuare, dac a nu se va specica, toate suprafet ele vor  considerate regulate.
Observat ii 2.2.
I) Not am cu (u,v) coordonatele suprafet ei ^ n R2, ^ ns a orice punct de pe suprafat  a se poate reprezenta  si
printr-un punct (x,y,z) 2R3.
O suprafat  a se poate reprezenta prin funct ia:
f:UR2!R3
f(u, v)=(x,y,z)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))
O astfel de funct ie poart a numele de parametrizare.
II) Matricea Jacobian a asociat a lui f se noteaz a@f
@(u;v)sauJf. Conform denit iei suprafet ei regulate, ma-
tricea Jacobian a trebuie s a aib a rangul 2.
III) Vom folosi adesea indici inferiori pentru derivatele part iale de ordinul ^ nt^ ai  si doi, astfel:
fu$@f
@ufv$@f
@v
fuu$@2f
@u@vfuv$@2f
@v@u
Aplicat ii 2.3.
1. Sfera
Fie sferaS=f(x;y;z )2R3astfel ^ nc^ at x2+y2+z2= 1g.
Aceasta se poate acoperi cu parametriz ari geograce de forma urm atoare: f(u;v) = (sinucosv;sinusinv;cosu ),
undeu;v2(0;)(0;2)
Deoarece:
fu(u;v) = (cos u cos v;cos u sin v; sin u )
fv(u;v) = (sin u sin v;sin u cos c; 0)
Jf(u;v) =0
@cos u cos v cos u sin v sin u
sin u sin v sin u cos v 01
A
7

rang (Jf(u;v)) = 2
De aici rezult a c a feste suprafat  a. Imaginea lui fomite un semicerc, inclusiv polii, iar pentru a acoperi  si
acest semicerc se mai consider a o parametrizare de acela si tip, cu domeniul translatat pe ambele direct ii.
Coordonate v;use numescazimuth , respectivzenit , masurate ^ n grade 180ureprezint a latitudinea, iar
azimutul cu domeniul (180;180)este longitudinea.
2. Imaginea suprafet ei
FieUo mult ime deschis a din R2
Fieh:U!Ro funct ie diferent iabil a.
Imaginea acestei funct ii diferent iabile, mult imea S=fz=h(x;y)geste o suprafat  a diferent iabil a acoperit a
cu parametrizarea urm atoare: f(u;v) = (u;v;h (u;v)).
Deoarece:fu(u;v) = (1;0;hu(u;v))
fv(u;v) = (1;0;hv(u;v))
Jf(u;v) =0
@1 0hu(u;v)
0 1hv(u;v)1
A, rang (Jf(u;v)) = 2
De aici rezult a c a f este suprafat  a.
Paraboloidul hiperbolic z=xyeste o suprafat  a diferent iabil a.
3.Planul
Un planPR3ce trece prin punctul p0= (x0;y0;z0)  si cont ine vectorii ortonormali
w1= (a1;a2;a3)  siw2= (b1;b2;b3) este dat de:
f(u;v) =p0+u w1+v w2;(u;v)2R2
4.Torul
Torul este suprafat a obt inut a prin rotirea unui cerc de raza b^ n jurul unei drepte din planul s au, situate la
distantaa>b de centrul cercului.
Torul poate  acoperit cu parametrizari de forma:
f(u;v) = ((a+b cos u )cos v; (a+b cos u )sin v; b sin u ), unde 0<u; v< 2
Deoarece:
fu(u;v) = (b sin u cos v;b sin u sin v;b cos u )
fv(u;v) = ((a+cos u ) sinv;(a+b cos u )cos v; 0)
Jf(u;v) =0
@b sin u cos v b sin u sin v b cos u
(a+b cos u )sin v (a+b cos u )cos v 01
A
rang (Jf(u;v)) = 2

De aici rezult a c a f este o suprafat  a.
2.2 Spat iu tangent. Reper Gauss
Denit ie 2.4.
FieUo mult ime deschis a ^ n R2.
Fief:U!E3o suprafat  a regulat a  si e p= (u;v)2Uun punct al suprafet ei.
Aplicat iad(u;v):R2!R3este injectiv a .
Se nume ste spat iu tangent suprafet ei f:U!E3^ n punctulf(u;v) =f(p)un subspat iu liniar 2-dimensional
al luiR3, generat de vectorii fu sifv, astfel:
(;)!d(u;v)f(;) +f(u;v) =f(u;v) +fu(u;v) +fv(u;v)
Notat ie:Tpf=df(u;v)(T(u;v)R2)
Elementele spat iului tangent Tpfse numesc vectori tangent i ^ n punctul f(u;v)la suprafat a f:U!E3.
Propozit ie 2.5.
Fief:U!E3o suprafat  a parametrizat a.
Fief=fo reparametrizare a suprafet ei f.
AtunciT((u;v))f=T(u;v)f. Mai mult, dac a Z2T((u;v))f siZ=ziXi=zjXj, atunci avem:
zi=zj@ui
@uj, unded= (@ui
@uj)i;j=1;2.
Denit ie 2.6.
Fie o suprafat  a f:U!E3o suprafat  a parametrizat a  si e p= (u;v)2U.
Se nume ste c^ amp de vectori de-a lungul suprafet ei parametrizate fo aplicat ie diferent iabil a w:U!E3.
Un c^ amp de vectori weste tangent suprafet ei fdac aw(p)2Tf(u;v)f.
Exemplu:fu;fvsunt c^ ampuri de vectori tangent i suprafet ei.
Denit ie 2.7.
Fie o suprafat  a f:U!E3o suprafat  a parametrizat a  si e p= (u;v)2U.
Un c^ amp de vectori wse nume ste c^ amp de vectori normal suprafet ei fdac aw(p)este ortogonal spat iului
Tpf, adic aw(p)?Tf;8p= (u;v)2U.
Exemplu: C^ ampul de vectori fufveste normal suprafet ei f.
Denit ie 2.8.
Fie o suprafat  a f:U!E3o suprafat  a parametrizat a  si e p= (u;v)2U.
Fieffu;fvgbaza canonic a a spat iului tangent Tpf.
Se nume ste c^ amp vectorial unitar normal suprafet ei f, aplicat ia:

((u;v)) =fu(u;v)fv(u;v)
kfu(u;v)fv(u;v)k
Aplicat iaN:U!S2, undeN((u;v)) =fu(u;v)fv(u;v)
kfu(u;v)fv(u;v)kse nume ste aplicat ia Gauss.
Aplicat ia Gauss nu depinde de parametrizare. Se ^ ntanlesc probleme dac a suprafat a nu este orientabil a. ^In
aceast a lucrare toate suprafet ele se consider a a  orientabile.
Denit ie 2.9.
Reperulffu;fv;Ngse nume ste reper Gauss asociat suprafet ei.
Reperul Gauss este pozitiv orientat.
Aplicat ii 2.10.
Cazul:f(u;v) = (u;v;h (u;v))
FieUo mult ime deschis a din R2.
Fieh:U!R2o funct ie diferent iabil a.
Gracul acestei funct ii diferent iabile, mult imea S=fz=h(x;y)geste o suprafat  a diferent iabil a acoperit a
cu parametrizarea urm atoare: f(u;v) = (u;v;h (u;v)).
Calcul am aplicat ia Gauss:
N(u;v) =fu(u;v)fv(u;v)
kfu(u;v)fv(u;v)k
Calcul am mai ^ nt^ ai produsul vectorial fufv:
fu(u;v)fv(u;v) =0
@e1e2e3
1 0hu(u;v)
0 1hv(u;v)1
A=e3hv(u;v)e2hu(u;v)e1
fu(u;v)fv(u;v) = (0;0;1)hv(u;v)(0;1;0)hu(u;v)(1;0;0)
fu(u;v)fv(u;v) = (hu(u;v);hv(u;v);1)
Se remarc a faptul c a fufv6= 0, deci parametrizarea aceasta este ^ ntotodeauna regulat a.
Norma vectorului fufveste urm atoarea:
kfu(u;v)fv(u;v)k=p
h2u(u;v) +h2v(u;v) + 1

De aici rezult a:
N(u;v) =(hu(u;v);hv(u;v);1)p
h2u(u;v) +h2v(u;v) + 1

Capitolul 3
Formele fundamentale ale unei suprafet e
^Incep^ and cu acest capitol, suprafet ele vor  studiate  si din punct de vedere metric.
Prima  si a doua form a fundamental a ale unei suprafet e determin a suprafat a modulo, o izometrie a spat iului
ambiant.
3.1 Prima form a fundamental a a unei suprafet e
Not iuni de algebr a liniar a 3.1.
FieVun spat iu vectorial.
O form a biliniar a simetric a V este o funct ie B:VV!Rce satisface urmatoarele condit ii:
1)B(X;Y ) =B(X;Y );8X;Y2V
2)B(aX+bY;Z ) =aB(X;Z) +bB(Y;Z);8X;Y;Z2V sia;b2R
Forma biliniar a simetric a Be pozitiv denit a dac a B(X;X )0, cu egalitate dac a  si numai dac a X= 0.
Numim produs scalar pe spat iul vectorial V o form a biliniar a <;>:VV!Rcare este simetric a  si pozitiv
denit a:
1) pozitiv denit a: <X;X >0,8X2V;
2) biliniar a: liniar a ^ n ecare punct;
3) simetric a: <X;Y > =<Y;X >;8X;Y2V
Denit ie 3.2.
Fief:U!R3o suprafat  a parametrizat a  si p= (u;v)2U.
Prima form a fundamental a a suprafet ei f este forma biliniar a simetric a:
g:Tpu!R
gp(x;y) =<dfpX;dfpY >
Prima form a fundamental a geste restrict ia produsului scalar Euclidian la ecare spat iu tangent al suprafet ei
f. Spunem ca geste indus a pe produsul scalar Euclidian. Din punct de vedere geometric, a sa cum vom vedea
ulterior, prima form a fundamental a ne permite sa facem m asur ari ^ n suprafat  a: unghiul vectorilor tangent i,
lungimea curbelor, aria unor regiuni, f ar a a se face referire la spat iul ambiant R3^ n care se a
 a suprafat a.
13

Denit ie 3.3.
Funct iile diferent iabile gij:U!R;1i;j2denite degij=g(X;Y )se numesc coecient ii primei forme
fundamentale. (2.2)
Observat ii 3.4.
I) Notat iile clasice-Gauss pentru prima form a fundamental a a unei suprafet e sunt:
g11=E
g12=g21=F
g22=G
II) O parametrizare pentru care g12= 0se nume ste parametrizare ortogonal a. ^In jurul oric arui punct exist a
parametriz ari ortogonale.
III) Coecient ii primei forme fundamentale denesc matricea simetric a:
(gij)1i;j2=E F
F G
, iardet((gij)1i;j2)=EGF2>0
Propozit ie 3.5.
Prima form a fundamental a se poate scrie sub urmatoarea form a:
ds2=gijdu dv =E(du)2+ 2F du dv +G(dv)2
(2.3)
Motivul pentru care folosim notat ia ds2este acela c a r ad acina p atrat a a primei forme fundamentale se poate
folosi pentru a calcula lungimea unor curbe de pe suprafat  a.
Propozit ie 3.6.
Fief:U!R3o suprafat  a parametrizat a  si e f=fo reparametrizare a lui f.
Fiegijcoecient ii primei forme fundamentale a suprafet ei f si egijcoecient ii primei forme fundamentale
a suprafet ei
f.
Atunci avem:gij=gkl@uk
@
ui@ul
@
uj, unded=@ui
@
uj.
Prima form a fundamental a este invariant a la o schimbare de parametru.
Propozit ia anterioar a ne arat a cum se schimb a coecient ii primei forme fundamentale la o reparametrizare.
Teorema 3.7.
Dou a suprafet e S  si S0sunt local izometrice dac a  si numai dac a pentru orice punct p2Sexist a parametriz arile
f sif0astfel ^ ncat ^ n orice punct din Ucoecient ii primelor forme fundamentale sa e egali:
gij(u;v) =g0
ij(u;v)
Planul R2cu structura euclidian a canonic a  si cilindrul sunt dou a suprafet e local izometrice.
Consider am parametriz arile standard pentru plan, respectiv cilindru:
f(u;v) = (u;v;0)
f0(u;v) = (cos u;sin u;v )

Parametriz arile au aceeasi form a fundamental a gij=ij
Izometria local a dintre cele dou a suprafet e este urm atoarea: F(u;v;0) = (cos u;sin u;v )
Aplicat ii 3.8.
Planul
FiePR3un plan ce trece prin punctul p0= (x0;y0;z0).
Planul P cont ine vectori ortonormali: w1= (a1;a2;a3);w2= (b1;b2;b3).
Vrem s a calcul am coecient ii primei forme fundamentale.
Mai ^ nt^ ai calcul am: fu(u;v) =w1
fv(u;v) =w2
Datorit a faptului c a w1;w2sunt vectori unitari ortogonali, coecient ii primei forme fundamentale: E;F;G
sunt constant i:
E=<fu(u;v);fu(u;v)>=<w 1;w1>= 1
F=<fu(u;v);fv(u;v)>=<w 1;w2>= 0
G=<fv(u;v);fv(u;v)>=<w 2;w2>= 1
^In acest caz, prima form a fundamental a este teorema lui Pitagora ^ n planul P, adic a p atratul lungimii unui
vectorwale c arui coordonate sunt a;b^ n bazaffu;fvgestea2+b2.
Aplicat ii 3.9.
Fie suprafat a f:
2;
2

R!E3
f(u;v) = (r cos u cos v; r cos u sin v; r sin u );r> 0.
Imaginea aplicat iei f este sfera S2din care sunt sco si polul nord  si polul sud reprezint a un arc de cerc
corespunz ator intersect iei cu y= 0.
Coecient ii primei forme fundamentale sunt urmatorii:
E=g11(u;v) =<fu(u;v);fu(u;v)>
E=<(r sin u cos v;r sin u sin v;r cos u );(r sin u cos v;r sin u sin v;r cos u )>
E= (r sin u cos v )2+ (r sin u sin v )2+ (r cos u )2
E=r2sin2u cos2v+r2sin2u sin2v+r2cos2u
E=r2sin2u(cos2v+sin2v) +r2cos2u
E=r2sin2u1 +r2cos2u=r2(sin2u+cos2u) =r2
F=g12=g21=<fu(u;v);fv(u;v)>
F=<(r sin u cos v;r sin u sin v;r cos u );(r cos u sin v; r cos u cos v; 0)>
F=r2sin u cos v cos u sin v +r2sin u sin v cos u cos v + 0 = 0
G=g22(x) =<fv(u;v);fv(u;v)>

G=<(r cos u sin v;r cos u cos v; 0);(r cos u sin v;r cos u cos v; 0)>
G=r2cos2u sin2v+r2cos2u cos2v+ 0 =r2cos2u(sin2v+cos2v)
G=r2cos2u
Am obt inut: (gij)1i;j2=r20
0r2cos2u
3.2 A doua form a fundamental a a unei suprafet e
FieUo mult ime deschis a ^ n R2 sip= (u;v)2U.
Fief:U!E3o suprafat  a. Fie aplicat ia Gauss N:U!S2.
Consider am reperul Gauss ^ n punctul f(p) :ffu;fv;Ng.
Consider am derivatele de ordinul 2, fij si derivatele de ordinul ^ nt^ ai Ni.
Neste unitar, deci <Ni;N > = 0, deciNisunt vectori tangent i.
Denit ie 3.10.
A dou a form a fundamental a a suprafet ei f este o form a biliniar a simetric a h, denit a pe ecare spat iu tan-
gentTpf, astfel:
h(X;Y ) =<dNpX;dfpX > (2.4)
Observat ii 3.11.
I) Funct iile diferent iabile hij:U!R,1i;j2denite dehij=<fij;N > (2.5), se numesc coecient ii
celei de-a doua forme fundamentale.
II) Pentru coecient ii formei a doua avem urm atoarele notat ii clasice:
h11=e h 12=h21=f h 22=g
Acestea denesc matricea simetric a:
(hij) =e f
f g
III) Dac aw=wifi siv=vifiapart in spat iului tangent Tpf, atunci:h(v;w) =hijviwi
Denit ie 3.12. Fief:U!R3o suprafat  a regulat a.
Se nume ste operatorul lui Weingarten sau operatorul form a , aplicat ia liniar a L:Tf(u;v)f!Tf(u;v)f
reprezent^ and derivata negativ a a vectorului unitar normal N al suprafet ei f.
L(fu) =Nu(2.6)
L(fv) =Nv(2.7)
Denit ie 3.13.
Operatorul lui Weingarten ^ l putem exprima ^ n funct ie de fu sifvastfel:
L(fu) =Nu=fFeG
EGF2fu+eFfE
EGF2fv(2.8)
L(fv) =Nv=gFfG
EGF2fu+fFgE
EGF2fv(2.9)
S tim c a E,F,G sunt coecient ii primei forme fundamentale, iar e,f,g sunt coecient ii formei a doua funda-
mentale.

Corolar 3.14.
Fie(hi
j)1i;j2matricea operatorului Weingarten.
Avem formula urm atoare:
hij=hk
igkj, undehj
ieste componenta lui Nipefj(2.10)
Propozit ie 3.15.
Coecient ii celei de-a doua forme fundamentale sunt dat i de urm atoarele formule:
e=<Nu;fu>=<N;fuu>(2.11)
f=<Nvfu>=<Nu;fv>=<N;fuv>=<N;fvu>(2.12)
g=<Nv;fv>=<N;fvv>(2.13)
Forma a doua fundamental a se poate scrie  si astfel:
h=edu2+ 2f du dv +gdv2(2.14)
Propozit ie 3.16.
Fief:U!E3o suprafat  a.
Fieffu;fv;Ngreperul Gauss ^ ntr-un punct oarecare f(p)al suprafet ei p= (u;v).
Fiehijcoecient ii celei de-a doua forme fundamentale  si e hi
jelementele matricei operatorului Weingarten.
Atunci avem formula lui Gauss: fij= k
ijfk+hijN(2.15)
Avem de asemea  si formula Weingarten: Ni=hj
ifj(2.16)
Demonstrat ie:
Exprim am fij(u;v)^ n ecare punct p= (u;v)ca o combinat ie liniar a de vectorii reperului Gauss astfel:
fij=ak
ijfi+aijN, undeak
ij;aijsunt funct ii diferent iabile. (2.17)
^Inmult im scalar relat ia (2.17) cu N si rezult a:aij=<N;fij>=hij
^Inclouimaij^ n relat ia (2:17) si aceasta devine fij=ak
ijfk+hijN(2:17)0
^Inmult im din nou scalar relat ia (2:17)0cufs si obt inem:
<fij;fs>=<ak
ijgkj;ak
ij>=ak
ji(2.18)
Deriv am ^ n raport cu pj;p= (u;v)relat ia:gis=<fi;fs> si obt inem:
@gis
@pj=<fij;fs>+<fi;fsj>(2:19)
Din ultimele dou a relat ii rezult a:
@gis
@pj=ak
ijgks+ak
sjgki(2:20)
Dac a permut am circular indicii i,s,j obt inem relat iile analoage:
@gsj
@pi=ak
sigkj+ak
jigks(2:200)

@gji
@ps=ak
jsgki+ak
isgkj(2:2000)
Din ultimele trei relat ii obt inem:
@gsj
@pi+@gji
@ps@gis
@pj= 2ak
isgkj
sau
2jis;jj= 2a ak
isgkj(2:20000)
^Inmult im relat ia (2.20"') cu gjr si sum am. De aici rezult a: ar
is= r
is
^Inlocuim ultima relat ie ^ n relat ia (2.17')  si obt inem formulele lui Gauss.
VectorulNiapart ine spat iului tangent pentru orice punct din mult ime, deci avem:
Ni=bj
ifj(2:21)
^Inmult im scalar cu fs si obt inem:
his=bj
igjs
sau
<Ni;fs>=bj
igjs
^Inmult im cu gsr si sum am.
Obt inem:br
i=gsrhsi.
Adic a:br
i=hr
i, elementele matricei operatorului Weingarten.
Propozit ie 3.17.
Fief:R2!E3o suprafat  a.
Fieffu;fv;Ngreperul Gauss ^ ntr-un punct oarecare f(p)al suprafet ei, p= (u;v).
Fie
(t) =f(u(t);v(t))o curb a regulat a  si e fe1;e2;e3greperul Frenet asociat curbei
.
Fie K curbur a a curbei
 si eunghiul dintre vectorul unitar normal al suprafet ei f  si normala principal a
e2a curbei
. VectoriiN sie2sunt unitari:
Atunci avem formula lui Meusnier:
K cos  =h(
0;
0)
g(
0;
0);
undeh;gsunt prima repectiv a doua form a fundamental a. (2.22)
Kcos se nume ste curbura normal a a curbei
.

Denit ie 3.18.
Un vectorwal spat iului tangent Tpfse nume ste direct ie asimptotic a dac a w6= 0 sih(w;w) = 0 .
O curb a regulat a
pe suprafat  a: R2!E3se nume ste linie asimptotic a dac a vectorul h(
0;
0) = 0 sau
curbura normal a K= 0.
3.3 A treia form a fundamental a a unei suprafet e
FieUo mult ime deschis a ^ n R2 six= (u;v)2U.
Fief:U!E3o suprafat  a  si e aplicat ia Gauss N:U!S2.
Consider am reperul Gauss ^ n punctul f(x) :ffu;fv;Ng.
Denit ie 3.19.
A treia form a fundamental a a unei suprafet e este o form a biliniar a simetric a, denit a pe ecare spat iu tan-
gent, dat a de relat ia:
III(X;Y ) =<dNpX;dNpY > (2:23)
Denit ie 3.20.
Funct iile diferent iabile eij:U!Rdenite de relat ia: eij(u;v) =grs(u;v)hri(u;v)hsj(u;v)se numesc
coecient ii formei a treia fundamentale.
Propozit ie 3.21.
A treia form a fundamental a poate  exprimat a ^ n funct ie de prima si cea de-a doua form a fundamental a: g
respectiv h, astfel: III2H h +K g = 0, unde K, H sunt curbura Gauss a unei suprafet e, respectiv curbura
medie a unei suprafet e, not iuni ce vor  studiate ^ ntr-un capitol ulterior.

Capitolul 4
Geometria intrinsec a
4.1 Denit ie
Propriet at ile intrinsece ale suprafet ei sunt propriet at ile unei suprafet e care depind numai de coecient ii
primei forme fundamenatale  si de derivatele part iale ale acestora.
4.2 Lungimea unui arc de curb a pe o suprafat  a
Denit ie 4.1.
Fief:U!E3o suprafat  a parametrizat a.
Fiec:I!E3o curb a parametrizat a pe suprafat a f.
Fiea;b2I;a<b .
Lungimea arcului de curb a c, ^ ntre a  si b este dat de urm atoarea formul a:
c(t) =Rb
ap
gijdudv =Rb
ap
E(du)2+ 2Fdudv +G(dv)2dt;(3.1)
undeg11=E,g12=g21=F,g22=G
Datorit a acestei ecuat ii, mult i matematicieni vorbesc despre elementul de arc de curb a ds al suprafet ei f  si
se exprim a astfel:
ds2=E du2+ 2Fdudv +G dv2;
adic a dac a c(t) =f(u(t);v(t))este o curb a pe suprafat a f  si s=s(t)este lungimea arcului curbei, atunci avem:
(ds
dt)2=E(du
dt)2+ 2Fdu
dtdv
dt+G(dv
dt)2
4.3 Unghiul a dou a curbe pe suprafat  a
Denit ie 4.2.
Fief:U!E3o suprafat  a parametrizat a.
Fiec:I!E3,c:
I!E3dou a curbe parametrizate pe suprafat a f.
Fiet02I;
t02
I
21

Unghiul celor dou a curbe ^ n punctul c(t0) =c(t0)este unghiul format de tangentele la cele dou a curbe ^ n
punctul lor comun  si este dat de formula:
cos' =<fu;fv>
jjfujjjjfvjj=Fp
EG(3:2)
4.4 Aria unei port iuni de suprafat  a
Denit ie 4.3.
Numim domeniu al unei suprafet e o submult ime deschis a  si conex a a suprafet ei, astfel ^ nc^ at frontiera sa
este imaginea unui cerc printr-un homeomorsm care este regulat(adic a diferent ialele sale sunt diferite de 0) cu
except ia unui num ar nit de puncte.
Numim regiune a suprafet ei f reuniunea unui domeniu cu frontiera sa. O regiune a unei suprafet e din R3
este marginit a dac a este continut a ^ ntr-o anumit a bil a din R2.
Denit ie 4.4.
FieUo mult ime deschis a ^ n R2.
Fief:U!E3o suprafat  a parametrizat a regulat a.
Fie E,F,G coecient ii primei forme fundamentale a suprafet ei f.
Consider am o regiune m arginit a Rcont inut a ^ n f(U).
Se nume ste aria regiunii R, num arul pozitiv:
A(R) =RR
Qjjfufvjjdu dv =RR
Qp
det(gij)du dv =RR
Qp
EGF2du;dv , undeQ=f1(R),QU
(3.3)
Aplicat ii 4.5.
Vrem s a calcul am aria torului.
Consider am parametrizarea:
f(u;v) = ((a+b cos u )cos v; (a+b cos u )sin v;b sin u ), unde 0<u;v< 2;a>b> 0:
Calcul amfu:fv:
fv(u;v) = ((a+b cos u )sin v; (a+b cos u )cos v; 0)
fu(u;v) = (b sin ucosv;b sin u sin v;b cos u )
Acum putem calcula coecient ii primei forme fundamentale:E,F,G
E=g11=<fu(u;v);fu(u;v)>
E=<(bsin u cos v;bsin u sin v;bcos u );(bsin u cos v;bsin u sin v;bcos u )>
E=b2sin2u cos2v+b2sin2u sin2v+b2cos2u
E=b2sin2u(cos2v+sin2v) +b2cos2u=b2
F=g12=<fu(u;v);fv(u;v)>

F=<(bsin u cos v;bsin u sin v;bcos u );((a+b cos u )sin v; (a+b cos u )cos v; 0)>
F=b(a+b cos u )sin u cos v sin v b(a+b cos u )sin u cos v sin v = 0
G=g22=<fv(u;v);fv(u;v)>
G=<((a+b cos u )sin v; (a+b cos u )cos v; 0);((a+b cos u )sin v; (a+b cos u )cos v; 0)>
G= (a+b cos u )2sin2v+ (a+b cos u )2cos2= (a+b cos u )
Deci:det(gij) =EGF2=b2(a+b cos u )2
Consider am acum regiunea R, reprezentnd imaginea prin fa regiuniiQ";"> 0
Q"=f(u;v)2R2; 0 +"u;v2"g
Atunci avem:
A(R") =Z Z
Q"p
EGF2dudv =Z Z
Q"p
b2(a+b cos u )2dudv
A(R") =Z Z
Q"b(a+b cos u )dudv
A(R") =Z2"
0+"(b2cos u +ba)duZ2"
0+"dv
A(R") = (b2Z2"
0+"cos u du +baZ2"
0+"du)(2"0")
A(R") =fb2[sin(2")sin"] +ba(22")g(22")
A(R") =b2(22")[sin(2")sin"] +ba(23")2
Aplicat ii 4.6.
Fie sfera parametrizat a de: f(u;v) = (cos u sin v;sin u sin v;cos v ), undeu2[0;2) siv2[0;).
Coecient ii primei forme fundamentale sunt:
E=<fu(u;v);fu(u;v)>
E=<(sin u sin v; cos u sin v; 0);(sin u sin v;cos u sin v; 0)>
E=sin2v
F=<fu(u;v);fv(u;v)>

F=<(sin u sin v;cos u cos v; 0);(cos u cos v;sin u cos v; sin v>
F= 0
G=<fv(u;v);fv(u;v)>
G=<(cos u cos v;sin u cos v; sin v );(cos u cos v;sin u cos v; sin v )>
G= 1
Ecuatorul unei sfere este o curb a parametrizat a dat a de (u(t);v(t)) = (t=
2), unde t variaz a ^ ntre 0  si 2.
Lungimea acestei curbe este dat a de:
Z2
0p
E(du)2+Fdudv +F(dv)2dt=Z2
0sin v dt = 2 sin v = 2
4.5 Simbolurile lui Christoel
Denit ie 4.7.
Fief:U!E3o suprafat  a.
Fieffu(u;v);fv(u;v);N(u;v)greperul Gauss in punctul f(u;v):
Fiegijcoecient ii primei forme fundamentale.
In capitolul anterior am va azut c a ace sti coecient i sunt dat i de formula:
gij(u;v) =<fu(u;v);fv(u;v)>
E=g11 F=g12=g21 G=g22
Fiegij:U!Rfunct iile denite de relat ia gij(u;v)gij(u;v) =i
k
Funct iilejij;sj:U!Rdenite prin:
jij;kj=1
2(@gik
@xi+@gjk
@xj@gij
@xk) (3:4)
se numesc coecient ii lui Cristoel de prima speta.
Ace sti coecient i sunt dat i  si de formula:
jij;kj=<fij;fk>=jji;kj(3:5)
Propozit ie 4.8.
Coecient ii Christoel de prim a spet  a se exprim a in funct ie de coecient ii primei forme fundamentale astfel:
j11;1j=1
2Eu
j11;2j=Fu1
2Ev

j12;1j=j21;1j=1
2Ev
j12;2j=j21;2j=1
2Gu
j22;1j=Fv1
2Gu
j22;2j=1
2Gv
Denit ie 4.9.
Fief:U!E3o suprafat  a.
Fieffu(u;v);fv(u;v);N(u;v)greperul Gauss ^ n punctual f(u;v).
Fiegijcoecient ii primei forme fundamentale.
Funct iile k
ij:U!Rdenite prin:
k
ij=gksjij;sj(3:5)
k
ij=gks1
2(@gjk
@xi+@gik
@xj@gij
@xk) (3:50);
se numesc coecient ii Christoel de speta a doua.
Propozit ie 4.10.
Au loc urm atoarele relat ii ^ ntre coecient ii Christoel  si coecient ii primei forme fundamentale:
1
11E+ 2
11F=<fuufu>= 2<fu;fu>u=1
2Eu
1
11F+ 2
11G=<fuufv>=<fu;fv>u<fu;fuv>=Fu1
2Ev
1
12E+ 2
12F=<fuvfu>= 2<fu;fu>v=1
2Ev
1
12F+ 2
12G=1
2Gu
1
22E+ 2
22F=<fvv;fu>=fu;fv>v<fuv;fv>=Fv1
2Gu
1
22F+ 2
22G=<fvv;fv>= 2<fv;fv>v=1
2Gv
1
11+ 2
12=@ln(p
EGF2)
@u
1
12+ 2
22=@ln(p
EGF2)
@v

Propozit ie 4.11.
Coecient ii Christoel pot  exprimat i numai ^ n funct ie de prima form a fundamental a.
Demonstrat ie:
Scriem ecuat iile de mai sus sub form a matriceal a  si obt inem:
E F
F G
1
11
2
11!
= 1
2Eu
Fu1
2Ev!
E F
F G
1
12
2
12!
= 1
2Ev
1
2Gu!
E F
F G
1
22
2
22!
=
Fv1
2Gu
1
2Gv!
Dar, cum EG F > 0, rezult a:
1
11=GEu2FFu+FEv
2(EGF2)
2
11=2EFuEEvFEu
2(EGF2)
1
12=GEvFGu
2(EGF2)= 1
21
2
12=EGuFEv
2(EGF2)= 2
21
1
22=2GFvGGuFGv
2(EGF2)
2
22=EGv2FFv+FGu
2(EGF2)
Aplicat ii 4.12.
Calcul am simbolurile Christoel de a doua  si de prima spet  a pentru o suprafat  a de rotat ie parametrizat a de:
f(u;v) = ('(v)cosu;' (v)sinu; (v));'(v)6= 0
fu(u;v) = ('(v)sinu;' (v)cosu; 0)
fv(u;v) ='v(v)cosu;'v(v)sinu; v(v))
Calcul am coecient ii primei forme fundamentale:
E=g11(u;v) =<fu(u;v);fv(u;v)>
E=<('(v)sinu;' (v)cosu; 0);('(v)sinu;' (v)cosu; 0)>
E='2(v)sin2u+'2(v)cos2u='2(v)(sin2u+cos2u)
E='2(v)
F=g12(u;v) =<fu(u;v);fv(u;v)>
F=<('(v)sinu;' (v)cosu; 0);('v(v)cosu:'v(v)sinu; v(v))>
F='(v)'v(v)sinucosu +'(v)'v(v)cosusinu
F= 0
G=g22(u;v) =<fv(u;v);fv(u;v)>

G=<('v(v)cosu;'v(v)sinu; v(v));('v(v)cosu;'v(v)sinu; v(v)>
G='2
v(v)cos2u+'2
v(v)sin2u+ 2
v(v)
G='2
v(v) + 2
v(v)
Calcul am:
Eu=@E(u;v)
@u=@'2(v)
@u= 0
Ev=@E(u;v)
@v=@'2(v)
@v= 2'(v)'v(v)
Fu=Fv= 0
Gu=@G(u;v)
@u=@['2
v(v) + 2
v(v)]
'u= 0
Gv=@G(u;v)
@v=@['2
v(v) + 2
v(v)]
@v= 2'v(v)'vv(v) + 2 v(v) vv(v)
De aici rezult a:
j11;1j=1
2Eu= 0
j11;2j=Fu1
2Ev= 01
22'(v)'v(v) ='(v)'v(v)
j12;1j=j21;1j=1
2Ev=1
22'(v)'v(v) ='(v)'v(v)
j12;2j=j21;1j=1
2Gu= 0
j22;1j=Fv1
2Gu= 0
j22;2j=1
2Gv='(v)'v(v) + (v) v(v)
1
11=GEuFFu+FEv
2(EGF2)= 0
1
12=GEvFGu
2(EGF2))= 1
21=['2
v(v) + 2
v(v)]2'(v)'v(v)
2'2v(v)['2v(v) + 2v(v)]='(v)'v(v)
'2(v)
1
22=2GFvGGuFGv
2(EGF2)= 0
2
11=2EFuEEvFEu
2(EGF2)=2'2(v)'(v)'v(v)
2'2(v)['2v(v) 2v(v)]='(v)'v(v)
'2v(v) + 2v(v)
2
12=EGuFEv
2(EGF2)= 2
21= 0
2
22=EGv2FFv+FGu
2(EGF2)='v(v)'vv(v) + v(v) vv(v)
'2v(v) + 2v(v)

4.6 Simbolurile lui Riemann
Denit ie 4.13.
Fief:U!E3o suprafat  a  si e gijcoecient ii primei forme fundamentale.
Fiek
=gksjij;sjsimbolurile lui Christoel de spet a a doua.
Funct iileRi
jkl:U!Rdenite prin: Ri
jkl=@i
l
@xk@i
jk
@xl+ i
sks
jli
sls
jk, se numesc simbolurile lui
Riemann de spet a a doua. (3.6)
Denit ie 4.14.
Funct iileRijkl:U!Rdenite prin: Rijkl=gisRs
jkl, se numesc simbolurile lui Riemann de prima spet  a.
(3.7)
Observat ii 4.15.
Simbolurile Riemann de prima spet  a ale unei suprafet e sunt toate nule, ^ n afar a de R1212 =R2112 =
R1221=R2121, lucru ce se constat a folosind urm atoarele formule:
Rijkl+Rijlk= 0
Rijkl+Rjikl= 0
RijklRklij= 0
Rijkl+Riklj+Riljk= 0
4.7 Geodezice
Denit ie 4.16.
Fief:U!E3o suprafat  a  si e
:U!E3o curb a pe suprafat a f.
Fie w un c^ amp de vectori de-a lungul curbei
adic aw(
(t))2T
(t)f.
Avem:w(t) =wi(t)fi(u(t);v(t)), undewisunt funct ii diferent iabile.
^In general, derivata ^ n raport cu t a unui c^ amp vectorial nu mai este un vector tangent la suprafat  a.
Avem:
dw
dt=dwi
dtfi+widuj
dtfij=dwi
dtfi+widuj
dt(k
fk+hijN)
Partea tangent a a luidw
dtse nume ste derivata covariant a a lui w de-a lungul curbei
 si se noteaz a
w
dt. Este
un c^ amp vectorial de-a lungul curbei
.
Avem:

w
dt= (dwk
dt+widuj
dtk
ij)fk(3:8)
Derivata covarian a este o proprietate intrinsec a.
Denit ie 4.17.
Fief:U!E3o suprafat  a  si e
:I!E3o curb a pe suprafat a f.

Fie w un c^ amp de vectori de-a lungul curbei
.
C^ ampul de vectori w se nume ste paralel de-a lungul
dac a derivata sa covariant a este nul a.

w
dt= (dwk
dt+widuj
dtk
ij)fk= 0 (3:9)
Denit ie 4.18.
Fief:U!E3o suprafat  a  si e
:I!E3o curb a pe suprafat a f.
Curba
se nume ste geodezica suprafet ei f dac a, c^ ampul vectorial tangent la curba
0(t)este paralel dac a:


0
dt= (d2uk
dt2+dui
dtduj
dtk
)fk= 0 (3:9)
Geodezica este o proprietate intrinsec a.
Observat ii 4.19.
Din faptul c a
0(t) =u0(t)fu+v0(t)fveste echivalent cu sistemul de ecuat ii diferent iale avem:
u00+ 1
11(u0)2+ 21
12u0v0+ 1
22(v0)2= 0 (3:10)
v00+ 2
11(u0)2+ 22
12u0v0+ 2
22(v0)2= 0
Aplicat ii 4.20.
Geodezicele unei suprafet e de rotat ie cu parametrizarea:
f(u;v) = ('(v)cosu;' (v)sinu; (v));'(v)6=o
^In aplicat ia (3:5:5)am determinat coecient ii Cristoel:
1
11= 0
1
12='(v)'v(v)
'2(v)
1
22= 0
2
11='(v)'v(v)
'2v(v) + 2v(v)
2
12= 0
2
22='v(v)'vv(v) + v(v) vv(v)
'2v(v) 2v(v)
^Inlocuim aceste valori ^ n sistemul de ecuat ii anterior  si obt inem:
u00+2''v
'2u0v0= 0
v00''v
'2v+ 2v(u0)2+'v'vv+ v vv
'2v+ 2v(v0)2= 0

Din acest sistem rezult a: meridianele u=constant  si v=v(s)parametrizate prin lungimea arcului s sunt
geodezice.
A doua ecuat ie a sistemului devine:
v00+'v'vv+ v vv
'2v+ 2v(v0)2= 0
Datorit a faptului c a de-a lungul meridianelor u=constant, v=v(t)satisface relat ia ('2
v+ 2
v)(v0)2= 1atunci
(v0)2=1
'2v+ 2v, pe care o deriv am  si obt inem:
2v0v00=2['v'vv+ v vv]
['2v+ 2v]v0=2['v'vv+ v(v) vv]
'2v+ 2v(v0)3;
adic a:
v00=['v'vv+ v(v) vv]
'2v+ 2v(v0)2
Astfel am obt inut c a meridianele sunt de fapt geodezice.
Pentru ca paralele v=constant  si u=u(s)parametrizat a de lungimea arcului s, s a e geodezice este necesar
cau06= 0
Din prima ecuat ie a sistemului reiese u0=constant iar cea de-a doua devine:
'v'vv
'2v+ 2v(u0)2= 0
Deoarece'2
v+ 2
v6= 0 si'= 0atunci reiese din ecuat ia anterioar a c a 'v= 0.
Denit ie 4.21.
Fief:U!E3o suprafat  a  si e
:U!E3o curb a pe suprafat a f, k
0(t)k,
(t) = (f(u);f(v)).
Numim curbura geodezic a, funct ia Kg:U!R, denit a de:
Kg=p
EGF2[2
11(u0)3+ 1
22(v0)3(22
121
11)(u0)2v0+ (21
122
22)u0(v0)2+u00v0v00u0] (3:11)
k
ijsunt simbolurile lui Cristoel de tipul doi iar E,F,G sunt coecient ii primei forme fundamentale.

Capitolul 5
Curburi
5.1 Curburile principale ale unei suprafet e
Fief:U!R3 si en
@f
@x1(x);@f
@x2;N(x)o
reperul Gauss ^ ntr-un punct x f(x)
Deci:hij:=<N(X);@2f
@xi@xj(x)> sigij(x) :=<@f
@xi(x);@f
@xj(x)>
Aplicat ia lui Weingarten Lx:Tf(x)!Tf(x)f, denit a prin:
Lf:=dNxdf1
x:Tf(x)f!Tf(x)f;
este liniar a.
Fie (hi
j(x))i;j=1;2matricea operatorului adjunct al lui Weingarten deci
Lx= (@f
@xi(x)) =h1
i(x)
@f
@x1(x) +h2
i(x)
@f
@x2(x);i=1;2
Pentru identicarea matricei ( hi
j)i;j=1;2proced am ^ n felul urm ator:
Lx= (@f
@xi(x) =dNxdf1
xdfx(ei) =dNx(ei) =@N
@xi(x);
de unde
@N
@xi(x) =h1
j(x)
@f
@x1(x) +h2
i(x)
@f
@x2(x)
^Inmult im scalar cu@f
@xj(x)  si obt inem:
hij=h1
i(x)
g1j(x) +h2
i(x)
g2j(x);i=1;2
Denim funct iile gij:U!R3prin:
gij(x)
gik(x) =ik
^Inmult im relat ia anterioar a cu gir si sum am. De aici rezult a forumula:
hr
i(x) =grj(x)
hij(x), care reprezint a leg atura dintre matricea H a aplicat iei  si matricele primelor dou a
forme fundamentale.
Denit ie 5.1.
Fief:U!R3o suprafat  a parametrizat a regulat a.Numim curbura normal a funct ia kndenit a de relatt ia:
31

kn(v) =h(v;v)
g(v;v)
Maximul  si minimul curburii normale la un anumit punct p al suprafet ei se numesc curburile principale  si
se noteaz ak1respectivk2.
Corolar 5.2.
Formula lui Euler
Fiev2Tpfastfel ^ nc^ atkvk= 1
Fiefe1;e2go baz a ortonormal a ^ n Tpf si eunghiul format de e1 si v.
Atunci avem relat ia: v=e1cos +e2sin
Curbura Normal a knde-a lungul lui v este dat a de formula:
kn=h(v) =dNp(v);v>
=<dNp(e1cos +e2sin);e1cos +e2sin>
=<e1k1cos +e2k2sin;e 1cos +e2sin>
=k1cos2+k2sin2
Ultima expresie este clasic cunoscut a ca ind formula lui Euler. Cunoa sterea curburilor principale la un punct
p ne permite sa calcul am u sor curbura normal a de-a lungul unei direct ii date a spat iului Tpf.
Denit ie 5.3. de
Fie suprafat a f:U!R3. Un punct f(x0)al suprafet ei se nume ste punct ombilical dac a exist a num arul
reala(x0)astfel ^ nc^ at IIX0=a(x0)
Ix0.
O suprafat  a se nume ste suprafat  a omblilical a dac a exist a o funct ie diferent ial a a:U!Rastfel ^ nc^ at
IIx=a(x)
Ix, pentru orice x2U.
Convenim s a spunem despre o suprafat  a f:U!R3c a este suprafat  a plan a dac a imaginea ei se a
 a ^ ntr-un
plan; deasemenea, numim o suprafat  a, suprafat  a sferic a dac a imaginea ei se a
 a pe o sfer a.
Teorema 5.4.
O suprafat  a este ombilical a dac a  si numai dac a este suprafat  a sferic a sau plan.
Demonstrat ie:
f:U!R3ind ombilical a, exist a o funct ie diferent iabil a a:U!Rastfel ^ nc^ at8x2U, avem
IIx=a(x)
Ix.
De aiciIIx(e1;e2) =a(x)
Ix(e1;e2);deci
<@N
@x1(x);@f
@x2(x)>=a(x)
<@f
@x1(x);@f
@x2(x)>;
^ n nal
<@N
@x1(x) +a(x)
<@f
@x1(x);@f
@x2(x)>= 0
Analog,
<@N
@x2(x) +a(x)
<@f
@x2(x);@f
@x2(x)>= 0

<@N
@x1(x) +a(x)
@f
@x1(x);@f
@x1(x)>= 0
<@N
@x2(x) +a(x)
<@f
@x2(x);@f
@x2(x)>= 0
Cum@N
@xi(x);@f
@xi2Tf(x)f, rezult a c a avem :
@N
@xi(x) +a(x)
@f
@xi(x) = 0;8i= 1;2()
Cazul I:
S a presupunem c a a(x) = 0 . De aici, rezult a c a:
@N
@xi(x) = 0;
deciN(x) =No=constant.
Din egalit at ile:(
No;@f
@x1(x) = 0
No;@f
@x2(x) = 0)(No;f(x)) =k;
adic a f este suprafat  a plan a.
Cazul II.
Exist axastfel ^ nc^ at a(x)6= 0. Deriv am relat ia (*)  si obt inem :
@2N
@xi
@xj(x) +@a
@xj(x)
@f
@xi(x) +a(x)
@2f
@xi
@xj(x) = 0
Folosind relat ia Schwartz, rezult a:
@a
@xj(x)
@f
@xi(x) =@a
@xi(x)
@f
@xj(x);
prin ^ nmult irea scalar a cu@f
@xk, ajungem la:
@a
@xj(x)ik=@a
@xi(x)jk
Scriind detaliat, pentru k=1, relat ia anterioar a devine:
8
>><
>>:@a
@x1(x)22=@a
@x2(x)11
@a
@x1(x)11=@a
@x2(x)21;
ceea ce implic a@a
@x1= 0 si@a
@x2(x) = 0 .
Decia(x) =a0= 0constant a nenul a.
Relat ia (*) se poate scrie ^ n forma:
@N
@xi(x) +a0
@f
@xi(x) = 0;i= 1;2;

echivalent cu:
N(x) +a0
f(x) =b0;
undeb0este un vector constant.
^Imp art im la a0:
1
a0N(x) +f(x) =b0
a0)f(x)b0
a0=1
a0N(x)
CumjjN(X)jj= 1, obt inem imediat c a:
jjf(x)b0
a0jj=1
ja0j=constant;
decif(x)se a
 a pe sfera de centrub0
a0 si de raz a1
a0.
5.2 Curbura medie a unei suprafet e
Denit ie 5.5.
Fief:U!R3o parametrizare regulat a.
Fiek1;k2curburile principale ale suprafet ei.
Curbura medie a unei suprafet e este funct ia:
H:U!R3, denit a de formula: H=1
2(k1+k2)
Propozit ie 5.6.
Fie E,F,G coecient ii primei forme fundamentale  si e e,f,g coecient ii formei a doua fundamentale, deci
avem:
E=<fu;fu>
F=<fu;fv>
G=<fv;fv>
e=<N;fuu>
f=<N;fuv>
g=<N;fvv>
Curbura medie H este dat a  si de formula:
H=eG2fF+gE
2(EGF2)
Teorema 5.7.
Fief:U!R3o suprafat  a parametrizat a izometric, adic a E=G siF= 0.
Atunci:fuu+fvv= 2EHN
Demonstrat ie:
Fieffu;fv;Ngreperul Gauss asociat suprafet ei.
fuu= 1
11fu+ 2
11fv+eN
fvv= 1
22fu+ 2
22fv+gN

^In aceste relat ii ^ nlocuim simbolurile Christoel:
1
11=Ev
2E
2
11=Ev
2G
1
22=Gu
2E
2
22=Gv
2G
Obt inem astfel:
fuu=Eu
2EfuEv
2Gfv+eN
fvv=Gu
2Efu+Gv
2Gfv+gN
Folosind formula curburii medii  : H=eG2fF+gE
2(EGF2 si aceste ultime relat ii, vom obt ine: :
fuu+fvv= 2EHN
Aplicat ii 5.8.
Suprafat a lui Enneper
Fie parametrizarea:
f(u;v) = (u1
3u3+uv2;v1
3v3+vu2;u2v2)
Vrem s a calcul am curbura medie a acestei suprafet e.
Calcul am coecient ii primei  si celei de-a doua forme fundamentale:
fu(u;v) = (1u2+v2;2uv;2u)
fv(u;v) = (2uv;1v2+u2;2v)
E=g11(u;v) =<fu(u;v);fu(u;v)>
E=<(1u2+v2;2uv;2u);(1u2+v2;2uv;2u)>
E= (1 +u2+v2)2
F=g12(u;v) =<fu(u;v);fv(u;v)>=g21(u;v)
F=<(1u2+v2;2uv;2u);(2uv;1v2+u2;2v)
F= 0
G=g22(u;v) =<fv(u;v);fv(u;v)>
G=<(2uv;1v2+u2;2v);(2uv;1v2+u2;2v)>
G= (1 +u2+v2)2

Astfel, obt inem:
det(gij(u;v)) =det(1 +u2+v2)20
0 (1 + u2+v2)2
= (1 +u2+v2)4
det(hij(u;v)) =det2 0
0 2
=4
Deci:
H(u;v) =(1 +u2+v2)2 + (1 +u2+v2)2(2)2
0
0
2(1 +u2+v2)2(1 +u2+v2)202
H= 0
5.3 Curbura total a a unei suprafet e
Denit ie 5.9.
Fief:U!R3o parametrizare regulat a  si e k1;k2curburile principale ale suprafet ei.
Curbura Gauss sau curbura total a a unei suprafet e este funct ia: K:U!R3, denit a de formula:
k=k1k2:(4:4)
Propozit ie 5.10.
Fie E,F,G coecient ii primei forme fundamentale  si e e,f,g coecient ii formei a doua fundamentale.
Curbura gaussian a K este dat a de urmatoarea formul a:
K=det(hij)
det(gij)=egf2
EGF2(4:5)
Propozit ie 5.11.
Curbura Gauss se poate exprima ^ n funt ie de prima form a fundamental a astfel:
ds2=Edu2+ 2Fdudv +Gdv2
 si ^ n funct ie de determinantul det(gij) =EGF2pe care ^ l not am cu g astfel:
K=1pg@
@vpg
E2
11
@
@vpg
E2
12
(4:6);
unde k
ijsunt simbolurile Christoel de spet a a doua.
Atunci:
K=1
g2E F@F
@v1
2@G
@u
F G1
2@G
@v1
2@E
@uk23k331
g2E F1
2@E
@v
F G1
2@G
@u1
2@E
@v1
2@G
@v0;
unde
k23=@f
@u1
2@E
@v
K33=1
2@2E
@v2+@2F
@u@v1
2@2G
2@u2
Deci K poate  scris astfel:
k=1
2g
2@2F
@u@v@2E
@v2@2G
@u2
G
4g2"
@E
@u
2@F
@v@G
@u
@E
@v2#
+

+F
4g2@E
@u@G
@v2@E
@v@G
@u+
2@F
@u@E
@v
2@F
@v@G
@u

E
4g2"
@G
@v
2@F
@u@E
@v
@G
@u2#
Propozit ie 5.12.
Curbura Gauss se poate exprima cu ajutorul simbolurilor Christoel astfel:
K=1
g@
@u2
12@
@v2
11+ 1
122
111
112
12+ 2
122
122
112
22
(4:7)
Problem a 5.13.
^Intr-o parametrizare ortogonal a, curbura gaussiana este dat a de formula urm atoare:
K=1
2p
EG@
@vEvp
EG+@
@uGup
EG
Demonstrat ie:
Fiind o parametrizare ortogonal a, avem F= 0.
Ecuat iile:
1
11E+ 2
11F=<fuu;fu>= 2<fu;fu>u=1
2Eu
1
11F+ 2
11G=<fuu;fv>=<fu;fv>u<fu;fuv>=Fu1
2Ev
1
12E+ 2
12F=<fuv;fu>= 2<fu;fu>v=1
2Ev
1
12F+ 2
12G=1
2Gu
1
22E+ 2
22G=<fvv;fu>=<fu;fv>v<fuv;fv>=Fv1
2Gu
1
22F+ 2
22G=<fvv;fv>= 2<fv;fv>v=1
2Gv;
se reduc la:
(1) 1
11E=1
2Eu
(2) 2
12G=1
2Ev
(3) 1
12E=1
2Ev
(4) 2
12G=1
2Gu
(5) 1
22E=1
2Gu
(6) 2
22G=1
2Gv
Calcul am prodisele dintre (2) si(3),(2) si(6),(1) si(4) si obt inem:
1
122
11EG=1
4E2
v=)1
122
11=1
4E2
v
EG
2
112
22G2=1
4EvGv=) 2
112
22=1
4EvGv
G2

1
112
12EG=1
4EuGu=)1
112
12=1
4EuGu
EG
Deriv am relat ia (2) ^ n raport cu v  si relat ia (4) ^ n raport cu u  si se obt ine:
(2
11)v=1
2EvGv
G21
2Evv
G
(2
12)u=1
2Guu
G1
2Gu
G2
Substituind ^ n relat ia:
K=1
E
(2
11)v(2
12)u+ (1
112
12)2
12+ (2
221
21)2
11
;
obt inem:
K=1
E"
1
2EvGv
G21
2Evv
G1
2Guu
G+1
2Gu
G2
+1
4EuGu
EG1
4Gu
G2
1
4EvGv
G2+1
4E2
v
EG#
K=1
2p
EGEvvp
EGEvGv
2Gp
EGE2
v
2Ep
EG
+Guup
EGG2
u
2Gp
EGGuEu
2Ep
EG
:
Datorit a faptului c a:Evp
EG
v=Evvp
EGE2
v
2Ep
EGEvGv
2Gp
EG
Gup
EG
v=Guup
EGEuGu
2Ep
EGG2
u
2Gp
EG;
obt inem:
K=1
2p
EG@
@vEvp
EG+@
@uGup
EG
Observat ii 5.14.
Curbura gaussiana  si curbura medie satisfac urm atoarea relat ie:
H2K;
iar egalitatea are loc numai pentru puncte ombilicale, dat ind c a:
H2K=1
4(k1k2)2:
T  in^ and cont c a:
H=1
2(k1+k2)
K=k1k2;
aceasta poate  scrs a ca o ecuat ie polinomial a de ordinul 2:
k22Hk+K= 0;

ce are urm atoarele solut ii:
k1=H+p
H2K(4:9)
k2=Hp
H2K(4:10)
Demonstr am c a: H2K
H2K0
Presupunem c a: K=k1k2, undek1,k2sunt valorile proprii reale ale operatorului autoadjunct al lui
Weingarten.
det(wI) = 0 , deoarecew=wtr
Propozit ie 5.15.
^In funct ie de curbura gaussian a un punct p al unei suprafet e poate :
-eliptic, dac a K(p)>0;
-parabolic, dac a K(p) = 0 , dar una dintre curburile principale este nenul a;
-hiperbolic, daca K(p)<0;
-planar, dac a k1=k2(p) = 0
Propozit ie 5.16.
Interpretarea geometrc a a curburii totale
Fief:U!E3o suprafat  a care nu are puncte parabolice.
FieN:U!E3aplicat ia Gauss, prin care port iuni de pe suprafat  a au corespondente anumite port iuni pe
sfera unitate S2E3:
Fiep0= (u;v)2U si eVp0o vecin atate destul de mic a a punctului p0.
Calcul am urm atoarea limit a:
lim
Vx0!x0ariaN (Vx0)
ariaf (Vx0)
Pentru calculul limitei folosim formula ariei unei port iuni de suprafat  a studiat a ^ n capitolul 3-Geometria
intrinsec a.
Avem:
ariaf (Vx0) =Z Z
vx0q
det(gij)(u;v)dudv
ariaN (Vx0) =Z Z
Vx0q
det(eij(u;v)dudv;
undeeijsunt coecient ii formei a treia fundamentale.
Coecient ii eijsunt dat i de formula:
eij(u;v) =grs(u;v)hri(u;v)hsj(u;v);
 si rezult a:
det(eij(u;v)) =det(grs(u;v))(det(hij(u;v)))2=(det(hij(u;v)))2
det(gij(u;v))=k(u;v)det(hij(u;v))

det(eij(u;v)) =k(u;v)det(hij(u;v))
Revenind acum la limita anterioar a, folosind formula medie pentru integrala dubl a se obt ine:
lim
Vx0!x0ariaN (Vx0)
ariaf (Vx0)=s
det(eij)(u;v)
det(gij(u;v)=s
det(gij)(u;v)
det(gkr(u;v)K(u;v) =p
(K(u;v))2jK(u;v)j
Aceasta este interpretarea geometric a a curburii totale a unei suprafet e.
Aplicat ii 5.17.
Fie suprafat a dat a explicit de z=f(x;y).
Vrem sa calcul am curbura Gauss pentru aceast a supfrafat  a.
Mai ^ nt^ ai parametriz am aceast a suprafat  a cu funct ia '(u;v) = (u;v;f (u;v)).
Determin am reperul Gauss f'u;'v;Ng:
'u= (1;0;fu)
'v= (0;1;fv)
'uu= (0;0;fuu)
'vv= (0;0;fvv)
'uv= (0;0;fuv)
'vu= (0;0;fvu)
N='u'v
jj'u'vjj=0
BB@e1e2e3
1 0fu
0 1fv1
CCA
jj'u'vjj
N=
fup
1 +f2u+f2v;fvp
1 +f2u+f2v;1p
1 +f2u+f2v!
Acum calcul am coecient ii primei forme si celei de-a doua forme fundamentale:
g11=<'u;'v>=<(1;0;fu);(1;0;fu)>= 1 +f2
u
g12=<'u;'v>=<(1;0;fu);(0;1;fv)>=fufv
g22=<'v;'v>=<(1;0;fv);(0;1;fv)>= 1 +f2
v
h11=<N;'uu>=<
fup
1 +f2u+f2v;fvp
1 +f2u+f2v;1p
1 +f2u+f2v!
(0;0;fuu>
h11=fuup
1 +f2u+f2v
<N;'vv>=
fup
1 +f2u+f2v;fvp
1 +f2u+f2v;1p
1 +f2u+f2v!
;(0;0;fvv>
h22=fvvp
1 +f2u+f2v
Atunci,
K=det(hij)
det(gij)=fuufvvf2
uv
(1 +f2u+f2v)2
Formele g asite pot  aplicate pentru paraboloidul hiperbolic z=xy si pentru o port iune de sfer a parametrizat a
prin proiect ii ortogonale z=p
x2+y2

Corolar 5.18.
Dou a suprafet e local izometrice au aceea si curbur a gaussian a.
Teorema 5.19.
Curbura Gaussian a depinde numai de coecient ii primei forme fundamentale  si de derivatele partiale ale
acestora.
Demonstrat ie
Ne reamintim formula curburii gaussiene din capitolele anterioare:
K=det(hij)
det(gij)(4:11)
T  in^ and cont de aceast a formul a, este evident c a pentru a demonstra c a curbura Gauss depinde numai de
coecient ii primei forme fundamentale, este sucient sa ar at am c a determinantul formei a doua fundamentale
poate  exprimat numai ^ n funct ie de coecient ii primei forme fundamentale.
Pentru aceasta, vom folosi formulele lui Gauss si Weingarten:
fij= s
ijfs+Nhij(4:12)
Ni=hk
ifk(4:13)
Deriv^ and formula (4.12), se obt ine:
@fij
@uk=@s
ij
@ukfs+ s
ij@fs
@k+@hij
@ukN+hij@N
@uk(4:14)
@fij
@uk=@s
ij
@ukfs+ s
ijfsk+@hij
@ukN+hijNK
Folosim formula lui Gauss (4.12) pentru a-l exprima pe fsk:
fsk= s
rkfs+Nhsk
Folosim formula lui Weingarten (4.13) pentru a-l exprima pe Nk:
Nk=hs
kfs
Ne ^ ntoarcem in formula (4:140) si obt inem:
@fij
@uk=
@2
ij
@uk+ s
rkr
ijhijhs
k!
fs+@hij
@uk+ s
ijhsk
N(4:15)
Pentru c a parametriz arile sunt de clasa C, trebuie s a avem:
@fij
@uk=@fik
@uj

Dac a scriem aceast a egalitate cu ajutorul relat iei (4.15), aceasta devine:
@s
ij
@uk+ s
rkr
ijhijhs
k
fs+@hij
@k+ s
ijhsk
N=@s
ik
@uj+ s
rjr
ikhikhs
j
fs+@hik
@uj+ s
ikhsj
N
Egal am ^ n aceast a relat ie coecient ii lui f, respectiv N  si obt inem urm atoarele ecuat ii:
@s
ij
@uk@s
ik
@uj+ s
rkr
ijs
rjr
ik=hijhs
k=hikhs
j(4:16)
@hij
@uk@hik
@uj= s
ikhsjs
ijhsk(4:17)
Relat ia (4.17) reprezint a relat ia lui Codazzi.
Rcunoa stem ^ n membrul st^ ang al ecuat iei (4.16)simbolul Riemann de prima spet  a Rs
ijk. Atunci aceast a ecut ie
devine:
Rs
ijk=hijhs
khikhs
j
Relat ia (4.18) reprezint a ecuat iile Gauss.
^In continure, ^ nmult im relat ia (4.18) cu gsm, sum am dup a s  si se obt ine:
gsmRs
ijk=hijhs
kgsmhikhs
jgsm=hijhkmhikhjm
^In aceast a relat ie lu am: k=i= 1;j=m= 2 si obt inem:
Gs2Rs
121= (h12)2h11h22(4:19)
T  in^ and cont c a: det(hij) = (h12)2h11h22, relat ia (4.19) devine:
gs2Rs
121=det(hij)
Folosind simbolurile Riemann de spet a a doua: Rijkl=gisRs
jkl, relat ia (4.20) devine:
R2121=det(hij);
deci curbura Gauss poate  calculat a  si dup a formula urm atoare:
k=R2121
det(gij)=R1212
det(gij)
Simbolurile Riemann depind la r^ andul lor doar de coecient ii primei forme fundamentale, deci demonstrat ia
s-a ^ ncheiat, ajung^ andu-se la o relat ie ^ n care determinantul formei a doua fundamentale se exprim a ^ n funct ie
doar de coecient ii primei forme fundamentale.
Aplicat ii 5.20.
Folosind teorema Egregium, vrem s a calcul am curbura Gauss a unei suprafet e de rotat ie, ^ n particular a
pseudosferei.
Fie parametrizarea pseudosferei:
f(u:v) = (sinvcosu;sinvsinu;cosv +lntgv
2);unde

unde 02 si0<v<
Calcul amfu sifv:
fu(u;v) = (sinvsinu;sinvcosu; 0)
fv(u;v) = (cosvcosu;cosvsinu;cos2v
sinv)
Calcul am coecient ii primei forme fundamentale:
E=<fu(u;v); fu(u;v)>
E=<(sinvsinu;sinvcosu; 0);(sinvsinu;sinvcosu; 0)>
E=sin2vsin2u+sin2vcos2u=sin2v= 1cos2v
F=<fu(u;v);fv(u;v)>
F=<(sinvsinu;sinvcosu; 0);(cosvcosu;cosvsinucos2v
sinv)>
F=sinvsinucosvcosu +sinvcosucosvsinu
F= 0
G=fv(u;v);fv(u;v)
G= (cosvcosu;cosvsinu;cos2v
sinv);(cosvvosu;cosvsinu;cos2v
sinv)
G=cos2vcos2u+cos2vsin2u+cos4v
sin2v
G=cos2v+cos4v
sin2v=sin2vcos2v+cos4v
sin2v=cos2v
sin2v=cos2v
1cos2v
G=cos2v
1cos2v
Deci:
det(gij) =det
E F
F G
=det1cos2v 0
0cos2v
1cos2v
=cos2v
Calcul am simbolul Riemann de prima spet  a R1212:
R1212=g11R1
212+g12R2
212
S timF=g12= 0, deci simbolul Riemann este dat de formula:
R1212=g11R1
212
R1212=g11(@1
22
@u@1
21
@+ 1
111
22+ 1
212
221
121
211
222
21)
T  in^ and cont de formulele din capitolul trei, referitoare la simbolurile Christoel obt inem:
1
22=2GFvGGuFGv
2(EGF2)= 0

1
21=GEvFGu
2(EGF2)=cosv
sinv= 1
12
1
11=GEu2FFu+FEv
2(EGF2)= 0
1
22=2GFvGGuFGv
2(EGF2)= 0
2
22=EGv2FFv+FGu
2(EGF2)=1
sinvcosv
2
21=EGuFEv
2(EGF2)= 0
^Inlocuind aceste simboluri ^ n relat ia de mai sus obt inem:
R1212=g11
@(cosv
sinv)
@v+cosv
sinv
1
sinvcosv
cosv
sinvcosv
sinv
R1212=sin2v1
sin2v1
sin2vcos2v
sin2v
R1212=cos2v
Acum se poate calcula curbura Gauss a pseudosferei:
K(u;v) =R1212(u;v)
det(gij(u;v))=cos2v
cos2v=1
Pseudosfera este un exemplu de suprafat  a cu curbura Gauss constant a.
5.4 Suprafet e minimale
Denit ie 5.21.
O suprafat  a parametrizat a f:U !R2ce are curbura medie nul a, H= 0se nume ste suprafat  a minimalua..
Observat ii 5.22.
O suprafat  a minimal a care are parametrizarea f= (u;v;h (u;v))satisface relat ia lui Lagrange:
(1 +h2
v)huu2huhvhuv+ (1 +h2
v)hvv= 0
Denit ie 5.23.
Fie f : U!R3o suprafact a parametrizat a regulat a  si D Uo regiune m arginit a  si e h:D!Ro funct ie
diferent iabil a, unde Deste reuniunea regiunii D cu frontirea sa @D.
Numim varietate normal a a lui f(D)o funct ie
':D(";")!R3
'(u;v;t ) =f(u;v) +th(u;v)N(u;v)
undet2(";") si(u;v)2D
Dac a lu am un t sucient de mic, t2(";"), atunci funt ia:
ft:D!R2
ft(u;v) ='(u;v;t )
este o suprafat  a parametrizat a.

Funt iaftreprezint a o varietate a suprafet ei f0prin suprafet ele ft.
ft
u(u;v) ='u(u;v;t ) =fu(u;v) +thu(u;v)N(u;v) +th(u;v)Nu(u;v)
ft
v(u;v) ='v(u;v;t ) =fv(u;v) +thv(u;v)N(u;v) +th(u;v)Nv(u;v)
Not amEt;Ft;Gtcoecient ii primei forme fundamentale ai lui ft.
Et=E+th(<fu;Nu>+<fu;Nu>) +t2h2<Nu;Nv>+t2huhu
Et=E2the+R(t2)
Ft=F+th(<fu;Nv>+<fv;Nu>) +t2h2<Nu;Nv>+t2huhv
Ft=F2thf+R(t2)
Gt=G+th(<fv;Vv>+<fv;Nv>) +t2h2<Nv;Nv>+t2hvhv
G=G2thg+R(t2);
unde E,F,G sunt coecient ii primei forme fundamentale a suprafet ei f, iar e,f,g sunt coecienct ii formei a doua
fundamentale a suprafet ei f. Notez cu R(t2)termenii ce cont in puteri mai mari sau egale cu 2 ale lui t.
Se obt ine:
det(gt
ij) =EtGt(Ft)2=EGF22th(Eg2Ff+Ge) +R(t2) =
= (EGF2)(14thH) +R(t2)
^In ultima relat ie am folosit faptul c a curbura medie este dat a de formula:
H=1
2Eg2Ff+Ge
EGF2
Atunci avem aria port iunii de suprafat  a ft(D):
A(t) =Z
Dp
EtGt(Ft)2dudv =Z
Dq
14thH+R(t2)p
EGF2dudv;
undeR(t2) = (EGF2)1R.
Pentru t, A(t) este funct ie diferent iabil a.
A(0) =Z
D2hHp
EGF2dudv:
Propozit ie 5.24.
Fie f : U!R3o suprafat  a parametrizat a regulat a.
FieDUun domeniu m arginit. Suprafat a f este minimal a dac a  si numai dac a A(0) = 0 pentru orice
domeniu D  si orice variat ie normal a a lui f(D).
Demonstrat ie:
")"

Suprafat a f : U!R3este minimal a.
Conform denit iei H = 0 deci A (0) = 0.
"("
Conform ipotezei avem A0(0) = 0 .
Presupunem prin absurd c a exist a un punct q2Dastfel incat H(q)6= 0:
Alegem o funct ie h:D!Rastfel ^ nc^ at h(q) =H(q):
Funct ia este identic nul a ^ n afara unei vecin at at i mici a punctului q.
AtunciA(0)<0-contradict ie cu ipoteza.
Presupunerea facut a este fals a, H(q) = 0 deci suprafat a este minimal a.
Propozit ie 5.25.
Orice suprafat  a minimal a poate  parametrizat a cu ajutorul a dou a funct ii: p(z),q(z) astfel:
f= (f1(z);f2(z);f3(z)) = (Re(Zz
0p(1 +q2)dw);Re(Zz
0ip(1q2)dw);Re(Zz
02ipqdw ))
Exemple:
Pentru p = 1 si q = iz se obt ine:
f= (Re(z1
3z3);Re(i(z+1
3z3));Re(z2))
Aceasta reprezint a suprafat a lui Enneper.
Pentru p=1  si q=ei
zse obt ine:
f= (Re(ze2i
z);Re(i(z+z2i
z));Re(2ieilogz))
Aceasta reprezint a o familie de suprafet e minimale ce variaz a de la elicoid c^ and = 0 si p^ ana la catenoind c^ and
=
2
Aplicat ii 5.26.
Catenoidul
Se consider a urm atoarea parametrizare:
f(u;v) = (acoshvcosu;acoshvsinu;av )
Calcul am coecent ii primei forme fundamentale:
E=<fu(u;v);fu(u;v)>
E=<(acoshvsinu;acoshvcosu;o );(acoshvsinu;acoshvcosu; 0)>
E=a2cosh2v
F=<fu(u;v);fv(u;v)>
F=<(acoshvsinu;acoshvcosu;o );(asinhvcosu;asinhvsinu;a )>
F= 0
G=<fv(u;v);fv(u;v)>
G=<(asinhvcosu;asinhvsinu;a );(asinhvcosu;asinhvsinu;a )>

G=a2cosh2v
Acum calcul am fuu,fvv:
fuu(u;v) = (acoshvcosu;acoshvsinu; 0)
fvv(u;v) = (acoshvcosu;acoshvsinu; 0)
Astfel, am obt inut: E=G,F= 0 sifuu+fvv= 0
Catenoidul este o suprafat  a minimal a.
Aplicat ii 5.27.
Elicoidul
Consider am urm atoarea parametrizare a elicoidului:
f(u;v) = (asinhvcosu;asinhvsinu;au ):
Calcul am coecient ii primei forme fundamentale:
E=<fu(u;v);fu(u;v)>
E=<(asinhvsinu;asinhvcosu;a );(asinhvsinu;asinhvcosu;a )>
E=a2cosh2v
F=<fu(u;v);fv(u;v)>
F=<(asinhvsinu;asinhvcosu;a );(acoshvcosu;acoshvsinu; 0)>
F= 0
G=<fv(u;v);fv(u;v)>
G=<(acoshvcosu;acoshvsinu; 0);(acoshvcosu;acoshvsinu; 0)>
G=a2cosh2v
Acum, calcul am ca  si ^ n cazul catenoidului fuu,fvv:
fuu(u;v) = (asinhvcosu;asinhvsinu; 0)
fvv(u;v) = (asinhvcosu;acoshsinu; 0)
Astfel, am obt inut : E=G,F= 0 sifuu+fvv= 0
Elicoidul este o suprafat  a minimal a.
Propozit ie 5.28.
Elicoidul  si catenoidul sunt suprafet e minimale conjugate,adic a funct iile componenente ale parametriz arilor
lor izometrice:
f(u;v) = (asinhvcosu;asinhvsinu;au ):
f(u;v) = (acoshvcosu;acoshvsinu;av )
sunt perechi de funct ii armonice conjugate.

Capitolul 6
Teorema fundamental a a teoriei suprafet elor (Bonnet)
^In acest capitol voi prezenta o teorem a de existent  a  si unicitate total a a suprafet elor apart in^ and lui Pierre
Ossian Bonnet (1812-1892), matematician francez ce a avut contribut ii semnicative ^ n geometria diferent ial a.
Teorema 6.1. FieUR2o mult ime deschis a  si stelat a ^ n raport cu originea. Presupunem urmatoarele
funct ii diferent iabile ca ind date:
gij:U!R;1i;j2
gij:U!R;1i;j2
cu propriet at ile : gij=gji;hij=hji si cudet((gij(x)>0),8x2U.
Mai presupunem c a gij sihijveric a relat iile Codazzi-Mainardi si ecuat iile Gauss, unde k
 siRijklsunt
construite cu ajutorul lui gij. Atunci:
i) exist a o suprafat  a parametrizat a f:U!R2astfel ^ nc^ at gijsunt coecient ii primei forme fundamentale
 sihijsunt coecient ii celei de-a doua forme fundamentale.
ii)dou a suprafet e f:U!R2 si
f:U!R2, ce au pegijsi  respectiv hij, coecient ii primei forme fun-
damentale, respectiv ai celei de-a doua forme fundamentale, difer a printr-o izometrie proprie B:R3!R3,
denit a caBf=
f.
Demonstrat ie:
i)Cu ajutorul funct iilor gij, respectivhij, construim funct iile diferent iabile:
hi
j;r
:U!R
prin
hk
i=gkjhji
r
=1
2grk(@gik
@xi+@gik
@xj@gij
@xk)
, unde avem gkjgji=ki
Acum, consider am sistemul de ecuat ii cu derivatele part iale constituit din formulele Gauss  si Weingarten:
8
>><
>>:@2f
@xi@xj= k
@f
@xk+hijN
@N
@xi=hk
i@f
@xk
Acest sistem este de ordinul ^ nt^ ai ^ n raport cu N  si de ordinul doi ^ n raport cu f. Facem o reducere de grad
a acestui sistem cu necunoscutele esentiale@f
@x1;@f
@x2,N:U!R3, prin notat ia f1=@f
@x1;f2=@f
@x2 si obt inem
sistemul:
49

8
>><
>>:@fi
@xj= k
fk+hijN
@N
@xi=hk
ifk
Condit iile de integrabilitate pentru sistemul dat sunt urm atoarele:
8
>><
>>:@2fi
@xj@xk=@2fi
@xk@xj
@2N
@xi@xj=@2N
@xi@xj
Aceste condit ii sunt indeplinite deoarece  stim ca acestea sunt echivalente cu ecuat iile lui Codazzi-Mainardi
si Gauss.
Consider am , de exemplu, condit iile init iale date prin:
8
>>>>>>><
>>>>>>>:f1(x0) =X1;
f2(x0) =X2;
N(x2) =N0;
astfel ^ n^ at<Xi;Xj>=gij(x0);<Xi;N0>= 0;kN0k= 1, iar reperulfX1;X2;N0gs a e orientat pozitiv.
Dargij=gji, de aici rezult a:
k
= k

Folosind relat ia hij=hji, se obt ine:
@f1
@x2=@f2
@x1;
lucru ce ne arat a c a forma biliniar a diferet iabil a !=f1dx1+f2dx2este ^ nchis a.
Denim funct ia f prin f(x) =x0+Rx
x0f1(t)dt1+f2(t)dt2
Cum U este deschis a  si stelat a ^ n raport cu originea  si forma !este ^ nchis a integrala scris a mai sus este
independent a de drum, deci f este bine dent a.
Demostr am acum c a aplicat ia f:U!R2este o suprafat  a parametrizat a.
AvemJf(x)JT
f(x)= (<@f
@xi;@f
@xj>) = (gij(x)). De aici rezult a ca Jf(x)are rangul doi, deci dfxeste injectiv a.
De asemenea, f1;f2 si N sunt liniar independente  si det(f1;f2;N) =
(x)are urm atarele propriet at i:

(x0)>0
x!
(x);
este diferent iabil a, deci continu a pe U stelat a (deci U conex a)  si astfel
(x)>0. Deciff1;f2;Ngreprezint a
reperul Gauss al suprafet ei, gijcoecient ii primei forme fundamentale  si hijcoecient ii celei de-a doua forme
fundamentale.
ii) Fief:U!R3suprafat a obt inut a anterior, determinat a de condit iile X1;X2;N si e
f:U!R3o alt a
solut ie determinat a de condit iile init iale
X1,
X2 si
N0.
Avem:
<Xi;Xj>=<
Xi;
Xj>=gij(x0);

<Xi;N0>=<
Xi;
N0>= 0;
kN0k=k
N0k= 1
DeoarecefX1;X2;N0g sif
X1,
X2,
N0gsunt repere ale lui R3^ n punctulX0=f(x0) si respectiv,
X0=
f(x0),
atunci exist a f:R3!R3astfel ^ nc^ at B(X0) =
X0,R(Xi) =
Xi, undei=1;2 siR(N0) =
N0.
Fiindc afX1;X2;N0g sif
X1,
X2,
N0gsunt pozitiv orientate. De aici rezult a c a izometria B este proprie.
Fief
f1,
f2,
Ngreperul Gauss asociat suprafet ei
f.
Funct iile
f1,
f2,
Nveric a sistemele de ecuat ii cu derivate part iale:
8
>>>><
>>>>:@
fi
@xj= k

fk+hij
N
@
N
@xi=hk
i
fk
Observ am c a avem urmatoarele egalit at i:
@Rfi
@xj=R@fi
@xj
@RN
@xj=R@N
@xj;
indc a
@(Rfi)
@xj(x) =d(Rfi)x(ej) =dRf(x)(dfi)x(ej) =R(dfi)x(ej) =R@fi
@xj(x)
Analog, avem:
@(RN)
@xi(x) =d(RN)x(ei) =dRN(x)(dN)x(ei) =R(dN)x(ei) =R@N
@xi(x)
Dac a aplic am R formulelor Weingarten  si Gauss , obt inem:
8
>><
>>:@Rfi
@xj= k
Rfk+hijRN
@RN
@xi=hk
iRfk
de aici rezult a c a
f1,
f2,
N siRf1;Rf 2;RN veric a acela s sistem de ecuat ii cu derivate part iale cu exact acelea si
condit ii init iale ^ n x02U.
Din unicitatea solut iei avem:
Rfi=
fi;
RN=
N
 si

f(x) =Zx
x0
fi(t)dti+
Xo=Zx
xoRfi(t)dti+
X0=Zx
x0dBfi(t)dti+
X0=
= (Bf)(x)(Bf)(x0) +
X0= (Bf)(x);
deci
f=Bf: