Suprafet e de curbur a medie constant a [608294]

Suprafet e de curbur a medie constant a
Ro su Claudia

Cuprins
Introducere 3
1 Introducere ^ n teoria suprafet elor 6
1.1 Not iunea de suprafat  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Parametrizarea Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Planul tangent la o suprafat  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Curbura medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Suprafet e Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Suprafet e de curbur a medie constant a 25
2.1 Despre evolut ia suprafet elor minimale . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Not iunea de arie a unei suprafet e . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Minimizarea ariei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Curbura medie constant a a suprafet elor . . . . . . . . . . . . . 36
3 Suprafet e minimale  si alte ramuri ale matematicii 45
3.1 Funct ii armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Variabile complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Coordonate izoterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Reprezent ari Weierstrass-Enneper . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Maple  si suprafet e minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Bibliograe 73

Introducere
Geometria diferent ial a este acea ramur a a matematicii, care combin a geome-
tria analitic a cu analiza matematic a, aceasta studiind curbele  si suprafet ele
cu mijloacele analizei, mai ales prin intermediul calculul diferent ial  si inte-
gral, cu scopul de a calcula lungimea total a sau part ial a a unor curbe, dar  si
alt i parametri ai acesteia cum ar  subtangenta, subnormala. Se spune des-
pre geometria diferent ial a c a ^  si ^ ncepe studiul din punctul ^ n care ecuat iile
curbelor  si ale suprafet elor sunt cunoscute. V azut a din acest punct de vedere,
poate  considerat a o continuare a geometriei analitice.
^In geometria diferent ial a o clas a important a de suprafet e este reprezentat a
de suprafet ele de curbur a medie constant a, ind ^ n general diferite de cele de
curbur a total a constant a, cu o singur a except ie  si anume sfera. Aceast a clas a
include clasa suprafet elor minimale (suprafet ele de curbur a medie nul a), dar
sunt tratate separat, ca un caz particular.
Suprafet ele de curbur a medie constant a sunt asociate cu "bulele de s apun"
^ ntruc^ at supafat a unei pelicule de s apun care se a
 a ^ n echilibru ^ ntre dou a
regiuni, are curbura medie constant a. Aria suprafet ei acestor ^ ntinderi este
critic a, sub deform ari ale volumului conservat.
^In 1841 Delaunay a caracterizat ^ n [ ?] o clas a de suprafet e din spat iul
euclidian pe care le-a descris ^ n mod explicit ca ind suprafet ele de rotat ie
obt inute prin rotirea ruletelor conicelor. Aceste suprafet e sunt catenoidele,
unduloidele  sicilindrii circulari drept i. Ele sunt cunoscute ca ind suprafet ele
Delanuay  si ele reprezint a primele exemple netriviale de suprafet e care au
curbura medie constant a, sfera ind un exemplu trivial.
^Intr-o not a de ^ nceput a lucr arii lui Delaunay, M. Sturm a caracterizat
aceste suprafet e variat ional, ca ind extreme ale suprafet elor de rotat ie av^ and
volumul xat, ^ n timp ce aria lateral a se maximizeaz a. Folosind aceast a
3

Introducere 4
caracterizare a fost obt inut a urm atoarea teorem a:
Teorema Delaunay . Suprafet ele de rotat ie imersate, complete din R3,
av^ and curbura medie constant a, sunt exact acele suprafet e obt inute rotind ^ n
jurul axei lor, ruletele conicelor.
Aceste suprafet e au fost de asemenea redescoperite de Plateau, folosind
experimentul cu pelicula de s apun. ^In 1853 J.H. Jellet a conturat ideea c a
dac aMeste o suprafat  a compact a din R3;av^ and curbura medie constant a,
atunci aceasta este o sfer a. ^In 1956, H. Hopf a presupus c a aceasta este
valabil a pentru toate imersiile compacte, formul^ and conjectura:
Conjectura Hopf . FieMo imersie a unei hipersuprafet e compacte
orientate din Rn, av^ and curbura medie constant a nenul a, H6= 0. AtunciM
trebuie s a e neap arat (n1)- sfera standard din Rn:
Hopf a demonstrat aceast a conjectur a pentru cazul imersiilor sferei S2^ n
R3de curbur a medie constant a, iar apoi c^ at iva ani mai t^ arziu A. D. Alexan-
drov a ar atat c a aceast a conjectur a este valabil a pentru orice hipersuprafa
Scopul acestei lucr ari de licent  a este de a face o prezentare general a a
unor rezultate de baz a referitoare la suprafet ele MdinR3;de curbur a medie
constant a.
Din punct de vedere structural, lucrarea cont ine trei capitole. ^In conti-
nuare, voi prezenta subiectul lucr arii.
Primul capitol se intituleaz a"Introducere^ n teoria suprafet elor"  si cont ine
principalele notat ii  si not iuni pe care le vom folosi ^ n aceast a lucrare. De
asemenea, vom descrie not iunea de suprafat  a  si vom prezenta parametrizarea
Monge. Vom vorbi despre planul tangent la o suprafat  a, despre curbura
medie, dar  si despre suprafet e Delaunay.
Al doilea capitol se nume ste"Suprafet e de curbur a medie constant a ".
^In acest capitol dorim s a prezent am evolut ia suprafet elor minimale, not iunea
de arie a unei suprafet e  si minimizarea ei. Vom studia  si curbura medie
constant a a suprafet elor.
Al treilea capitol, se intituleaz a"Suprafet e minimale  si alte ramuri ale
matematicii". ^In acest capitol vom vorbi, pe de o parte despre funct iile ar-
monice, variabile complexe  si coordonate izoterme. Pe de alt a parte despre
reprezent ari Weierstrass-Enneper  si vom vedea cum arat a suprafet ele mini-
male ^ n Maple.

Capitolul 1
Introducere ^ n teoria
suprafet elor
Studiul unei suprafet e ne permite s a descriem geometria acesteia. ^In acest
capitol vom introduce principalele notat ii  si not iuni care vor  ment ionate  si
utilizate de-a lungul lucr arii.
1.1 Not iunea de suprafat  a
FieDo mult ime deschis a ^ n planul R2. Fiex:D!R3, cu (u;v)7!
(x1(u;v);x2(u;v);x3(u;v));undexi(u;v) cui= 1;2;3;sunt componentele
aplicat ieix.
Fiev=v0xat, iaruvariaz a. Atunci xi(u;v0) depinde de un parametru
 si prin urmare este o curb a ^ n parametrul u.^In mod similar, dac a x am
u=u0, atunci curba xi(u0;v) este o curb a ^ n parametrul v. Ambele curbe
trec prinx(u0;v0)2R3 si se numesc curbele coordonate .
Vectorii tangent i la curbele coordonate ^ n parametrii u sivsunt date prin
derivatele part iale ale componentelor aplicat iei x^ n raport cu u siv, adic a:
xu=@x1
@u;@x2
@u;@x3
@u
; xv=@x1
@v;@x2
@v;@x3
@v
(1.1.1)
Putem calcula valoarea acestei derivate part iale^ n ( u0;v0) pentru a obt ine
6

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 7
vectorii tangent i sau vectorii de vitez a ai curbelor coordonate ^ n punctul
xu(u0;v0) respectiv xv(u0;v0).
Pentru a obt ine coordonatele adev arate ale unei suprafet e, avem urm atoarele
denit ii:
Denit ia 1.1.1. O aplicat ie x:D!R3, undeDo mult ime deschis a,
DR2se nume ste parametrizare regulat a dac a xeste bijectiv a  si xuxv6= 0:
Denit ia 1.1.2. O submult ime MR3se nume ste suprafat  a ^ n R3dac a,
^ n ecare punct al s au are o vecin atate cont inut a cel put in ^ n imaginea unei
parametriz ari regulate x:D!MR3.
Denit ia 1.1.3. O parametrizare regulat a x:D!MR3se nume ste
parametrizare regulat a a suprafet ei M:
Deoarece ecare parametrizare regulat a este o aplicat ie bijectiv a de la D
^ nR3,DR2, exist a inversa aplicat iei respective care este  si continu a. Prin
urmare, se poate considera compunerea oric arei perechi de parametriz ari,
spre exemplu x1y:D!R2care este o aplicat ie diferent iabil a (neted a)
dac a toate derivatele part iale@
@u,@2
@u2,@3
@u3ale funct iilor componente exist a  si
sunt continue.
Denit ia 1.1.4. O suprafat  a MR3se nume ste suprafat  a diferent iabil a
(sau neted a) dac a x1yeste diferent iabil a pentru orice pereche x; y de
parametriz ari regulate ale suprafat ei M:
Suprafet ele pe care le vom studia vor , ^ n general, netede sau aproape
netede. ^In aproape toate exemplele ce vor urma, o suprafat  a Mva  denit a
de o singur a parametrizare regulat a, except^ and cazul ^ n care avem num ar
nit de puncte.

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 8
Denit ia 1.1.5. O funct ief:M!Rse nume ste diferent iabil a dac a re-
alizarea real a a acesteia fx:DR2!Reste neted a, pentru orice
parametrizare regulat a xa suprafet ei M.
Denit ia 1.1.6. O curb a pe o suprafat  a este o aplicat ie denit a pe un in-
terval de numere reale I= [a;b]Rcu valori pe suprafat a M,
:I!M (1.1.2)
Denit ia 1.1.7. O suprafat  a Mse nume ste conex a dac a pentru oricare dou a
punctep;q2M;exist a o curb a : [0;1]!M;cu(0) =p si(0) =q:
^In continuare, f ar a a specica explicit, suprafet ele pe care le vom considera
sunt suprafet e conexe.
Lema 1.1.1. FieMo suprafat  a. Dac a :I!x(D)Meste o curb a
^ nR3care este cont inut a ^ n imaginea unei aplicat ii xpeM, atunci pentru
funct iile netede u(t); v(t) :I!R, unic determinate,
(t) =x(u(t);v(t)) (1.1.3)
Denit ia 1.1.8. O suprafat  a MR3se nume ste suprafat  a compact a dac a
este ^ nchis a  si m arginit a.
Denit ia 1.1.9. O submult ime MR3este ^ nchis a dac a orice  sir conver-
gent (xn)n2N; xn!~x;cu ecarexn2M;~x2M:
Propozit ia 1.1.1. i) Dac aF:M!Neste o aplicat ie ^ ntre suprafet ele M
 siN;cuMcompact a, atunci  si F(M)este un compact ^ n N.
ii) Dac af:M!Reste o funct ie neted a  si Meste compact a, atunci f
atinge maximul  si minimul ^ n unele puncte ale lui M.
1.2 Parametrizarea Monge
Gracul unei funct ii de dou a variabile reale z=f(x;y);cu valoari reale este
o suprafat  a ^ n R3, denit a prin parametrizarea:
x(u;v) = (u;v;f (u;v)); (1.2.1)

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 9
undeu;vvariaz a ^ n domeniul lui f. Atunci:
xu= (1;0;@f
@u)  sixv= (0;1;@f
@v): (1.2.2)
Derivatele part iale ale funct iilor vor  notate astfel:
@f
@u=fu si@f
@v=fv: (1.2.3)
Parametrizarea este regulat a, a sa cum rezult a din calculul:
xuxv=~i~j~k
1 0fu
0 1fv= (fu;fv;1)6= 0 (1.2.4)

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 10
Ca exemplu, consider am paraboloidul z=x2+y2. O parametrizare
Monge pentru aceast a suprafat  a necompact a este dat a de:
x(u;v) = (u;v;u2+v2): (1.2.5)
1.3 Planul tangent la o suprafat  a
Pentru a determina geometria unei suprafet e, avem nevoie de una dintre cele
mai importante tehnici din matematic a  si anume aproximarea liniar a.
Un obiect neliniar sau curbat este prea complicat pentru a  studiat
direct, a sa c a ^ l "apropiem" de ceva liniar: o linie, un plan, un spat iu eu-
clidian. Studiem obiectul liniar  si din aceasta deducem rezultatele pentru
obiectul original, (neliniar).
Pentru a aproxima o curb a se folose ste o linie tangent a ^ ntr-un punct
al curbei, deci se poate folosi pentru aproximarea unei suprafet e un plan
tangent notat Tp(M);^ n punctul p2M.
Denit ia 1.3.1. Un vectorvp2Tp(M)se nume ste vector tangent la M^ n
pdac avpeste vectorul vitez a al unei curbe de pe suprafat a M.
A sadar, dac a vp2Tp(M), exist a:I!M;cu(0) =p si0(0) =vp,
iar planul tangent la M^ npse dene ste prin:
Tp(M) =fvjveste tangent la M^ npg (1.3.1)
A sa cum am v azut anterior, dou a curbe care trec prin p=x(u0;v0) sunt
curbele coordonatelor u=u0 siv=v0sunt vectorii vitez a xv, respectiv xu.
Urm atorul rezultat arat a c a ecare vector tangent este o combinat ie liniar a
unic a a vectorilor xu sixv. Prin urmarefxu;xvgreprezint a o baz a pentru
spat iul vectorial Tp(M).
Lema 1.3.1. v2Tp(M)dac a  si numai dac a v=1xu+2xv, undexu sixv
sunt calculat i ^ n (u0;v0).
Fie
U=xuxv
jxuxvj

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 11
vectorul normal unitar (de lungime 1) la o suprafat  a. Atunci cand ^ ntreb am
cum se schimb a U^ ntr-o direct ie dat a, doar schimbarea direct iei lui Uva
m asurat a,  si aceasta va determina forma suprafet ei.
Unui vector normal Ula o suprafat  a M^ n orice punct de pe Mi se
atribuie un vector U(p)2R3. A sadar,
U(p) = (u1(p);u2(p);u3(p))
deoarece este un vector ^ n R3 si se poate scrie:
U= (u1;u2;u3) (1.3.2)
sau ^ n baz a e1= (1;0;0),e2= (0;1;0),e3= (0;0;1) a lui R3,
U=u1e1+u2e2+u3e3 (1.3.3)
undeu1;u2;u3sunt funct ii denite pe Mcu valori ^ n R.
DeoareceUatribuie vectori ^ n ecare punct p2M, spunem c a Ueste un
c^ amp vectorial pe M. Orice aplicat ie diferent iabil a care asociaz a vectori din
R3^ n ecare punct de pe Meste de asemenea numit a c^ amp vectorial pe
M.
Pentru a descrie schimbarea lui U^ n direct ia v2Tp(M), este sucient
s a cunoa stem schimb arile funct iilor u1;u2;u3^ n direct ia v, adic a trebuie s a
consider am derivatele dup a direct ia vale luiui. Deoarece ne intereseaz a
doar viteza init ial a de schimbare a lui U^ n direct ia v(deoareceveste xat
^ np), vom determina derivatele ^ n 0 (pentru c a (0) =p). Viteza init ial a de
schimbare a lui U^ n direct ia vse nume ste derivata covariant a, notat a rvU;
 si se dene ste prin:
rvU=3X
i=1d
dt
ui((t))

jt=0ei;
cu0(0) =v:
Denit ia 1.3.2. Se dene ste
Sp(v) =rvU
ca ind operatorul form a al lui M^ np.

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 12
Semnul negativ din denit ia lui Speste o convent ie care permite a da
semnicat ii adecvate pentru curbura \pozitiv a"  si \negativ a ". Seste numit
operator deoarece are urm atoarea proprietate.
Lema 1.3.2. Speste o transformare liniar a de la Tp(M)la el ^ nsu si, adic a
1)Sp(v1+v2) =Sp(v1) +Sp(v2);8v1;v22Tp(M); (1.3.4)
2)Sp(c v) =c Sp(v);8v2Tp(M);8c2R (1.3.5)
DeoareceSp:Tp(M)!Tp(M) este o transformare liniar a, operatorul
Spse poate analiza cu ajutorul algebrei liniare. ^In particular, lui Spi se
sociaz a o matrice  si invariant ii standard cum ar  determinantul, urma ma-
tricei  si vectorii proprii, ace stia av^ and o semnicat ie geometric a profund a.
Prin urmare, operatorul form a este fundamental ^ n studierea geometriei unei
suprafet e din R3.
Presupunem c a T:V!Veste o transformare liniar a a spat iului liniar
V^ n el ^ nsu si. Dac a avem o baz a B=fx1;x2;:::;xngpentruV;atunciT
poate  reprezentat de o matrice A:
Observat ia 1.3.1. Transformarea liniar a Teste denit a f ar a a se lua ^ n
considerare o baz a aleas a, ^ ns a reprezentarea ei printr-o matrice Adepinde
^ n mod esent ial de baza pe care o alegem. Alegerea unei baze diferite pentru
Vmodic a coecient ii ^ n expresia lui T(xi) si rezult a o nou a matrice.
Denit ia 1.3.3. Pentru o transformare liniar a T, dac a exist a un vector
nenulv si un num ar real astfel ^ nc^ at
T(v) =v (1.3.6)
atuncise nume ste valoare proprie a lui Tasociat a vectorului propriu v.
Propozit ia 1.3.1. Dac aVeste un spat iu vectorial n-dimensional  si exist a n
vectori proprii liniar independet i v1;:::;vncu valorile proprii 1;:::;n, atunci
^ n aceast a baz a a lui V, matricea lui Teste diagonal a,  si anume
0
BBB@1 0
2
…
0n1
CCCA: (1.3.7)

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 13
Mai mult, det (T) =Qn
i=1i siTr(A) =Pn
i=1i, determinantul este produsul
valorilor proprii iar urma este suma valorilor proprii.
Teorema 1.3.1. Operatorul form a este o transformare liniar a simetric a. ^In
plus:S(xu)
xu=xuu
U,S(xu)
xv=xuv
U siS(xv)
xv=xvv
U.
Corolarul 1.3.1. Operatorul form a are valori proprii reale.
Pentru o suprafat  a M:x(u;v) operatorul form a Sduce vectori tangent i
laMla alt i vectori tangent i la M.^In particular, S(xu)  siS(xv) sunt vectori
tangent i. Deoarece fxu;xvgeste baza planului tangent, putem mereu s a
scriemS(xu) =axu+bxv siS(xv) =cxu+dxv. A sadar:
E=xu
xu,F=xu
xv,G=xv
xv (1.3.8)
l=S(xu)
xu,m=S(xu)
xv=S(xv)
xu,n=S(xv)
xv (1.3.9)
 si obt inem ecuat iile:
l=aE+bF,m=cE+dF,m=aF+bG,n=cF+dG (1.3.10)
care pot  rezolvate ^ n raport cu a,b,c sid si anume,
a=FmGl
EGF2,b=Fl+Em
EGF2,c=mG+Fn
EGF2,d=EnFm
EGF2.
(1.3.11)
FieFo aplicat ie ^ ntre suprafet ele F:M!N. Se dene ste derivata
luiF(aplicat ia liniar a tangent a a lui F) ca ind o transformare liniar a ^ ntre
planele tangente Fp:Tp(M)!TF(p)(N). Aceast a transformare liniar a o
vom nota cu F.
Spre exemplu, consider am F:R2!R2o aplicat ie a planului R2^ n el
^ nsu si, care ^ n coordonatele u; v se poate scrie F(u;v) = (f(u;v);g(u;v)).
Pentru a calcula F(xu)  siF(xv) compunem cu Fcurbele coordonate  si
obt inem:
F(xu) = (fu;gu)  siF(xv) = (fv;gv): (1.3.12)
Av^ and ^ n vedere corespondent a dintre transform arile liniare  si matrice,
observ am c a ^ n raport cu fxu;xvg, matricea asociat a lui Feste matricea
Jacobian a:
J(F) =fufv
gugv
: (1.3.13)

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 14
Operatorul form a este o transformare liniar a a planului tangent. Apare ^ n
mod natural ^ ntrebarea dac a exist a o aplicat ie asociat a unei suprafet e astfel
^ nc^ at derivata sa este S? R aspunsul este, da. Aplicat ia a c arei derivat a
esteSse nume ste aplicat ia Gauss . Aceasta ofer a o alternativ a geometric a
^ n ceea ce prive ste abordarea liniar-algebric a a operatorului form a.
FieG:M!S2aplicat ia Gauss, de la suprafat a Mla sfera unitate S2
dat a astfel:
G(p) =U(p);
undeU(p) este vectorul normal unitar al suprafet ei M. Aplicat ia Gauss are
o aplicat ie derivat a indus a, notat a cu G si denit a a sa cum urmeaz a:
G:TpM!TG(p)S2
cu:
Gv=d
dt(G((t)))jt=0=d
dt(U((t)))jt=0
=rvU=S(v):
1.4 Curbura medie
Folosim operatorul form a pentru a obt ine not iuni de curbur a asociate unei
suprafet e. Dup a o abordare geometric a a a sa-numitei curburi normale, vom
enunt a o teorem a care leag a geometria de algebra liniar a a lui S. Mai ^ nt^ ai
avem,
Lema 1.4.1. Dac aeste o curb a ^ n M, atunci00
U=S(0)
0.
Denit ia 1.4.1. Pentru un vector unitate (de lungime 1) u2Tp(M);cur-
bura normal a a lui M^ n direct ia ueste:
k(u) =Sp(u)
u (1.4.1)
Fieo curb a de vitez a 1 cu (0) =p si0(0) =u. Atunci avem:
k(u) =Sp(u)
u=Sp(0(0))
0(0)
=00(0)
U(p) =k(0)N(0)
U(p)
=k(0) cos;

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 15
undeNeste normala principal a din triedrul Frenet asociat curbei , iark
este curbura lui . Unghiuleste unghiul dintre N(0)  siU(p).
Curbura normal a este un multiplu al curburii lui , atunci este justicat a
^ ntrebarea dac a exist a o curb a care are curbura exact egal a cu curbura
normal ak(u)? R asunsul este armativ  si este dat de urm atoarea propozit ie.
Propozit ia 1.4.1. FiePplanul determinat de U(p) siu(^ n punctul p2M),
iarreprezint a o curb a de vitez a 1 format a de intersect ia P\Mcu(0) =p.
Atunci,
k(u) =k(0): (1.4.2)
Curbura normal a este o funct ie care face s a corespund a vectorilor unitate
dintr-un plan, (adic a un cerc de raz a 1), numere reale. Funct ia curbur a
normal a ind o funct ie continu a pe o mult ime compact a  si ^ nchis a (cercul),
exist a vectorii unitari u1 siu2, astfel ^ nc^ at:
k(u1) =k1= max
uk(u),k(u2) =k2= min
uk(u) (1.4.3)
Observat ia 1.4.1. Vectorii unitate u1 siu2se numesc vectori principali ,
iark1 sik2se numesc curburi principale .
Denit ia 1.4.2. O curb a:I!Mse nume ste linie de curbur a dac a 0(t)
este un vector propriu al operatorului form a Spentru orice t2I.
A sa cum am v azut, curbura normal a poate  descris a complet geometric
ca ind curbura curbei de intersect ie a suprafet ei cu un anumit plan. ^In
cele ce urmeaz a, vom enunt a o teorem a fundamental a care va lega geometria
curburii normale de algebra liniar a a operatorului form a.

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 16
Denit ia 1.4.3. Punctulp2Mse nume ste punct ombilical dac a curburile
principale ^ n psunt egale, adic a k1(p)=k2(p).
Condit ia de punct ombilical implic a valoarea constant a a curburii normale
^ np.
Observat ia 1.4.2. Orice punct de pe sfer a este un punct ombilical.
Teorema 1.4.1. i. Dac ap2Meste un punct ombilical, atunci Sp(u) =ku,
undek=k1=k2.
ii. Dac ap2Mnu este un punct ombilical, atunci exist a exact doi vectori
proprii ai lui Sp;perpendiculari, av^ and valorile proprii asociate curburilor
principale ^ n p.
Corolarul 1.4.1. Pentruu= cosu1+ sinu2, curbura normal a este dat a
de formula lui Euler
k(u) = cos2k1+ sin2k2: (1.4.4)
^In continuare vom introduce doi invariant i ai unei unei suprafet e care sunt
asociat i operatorului form a prin algebr a liniar a. Cei mai elementari invarient i
algebrici liniari asociat i unei transform ari liniare sunt determinantul  si urma
acestuia.
Denit ia 1.4.4. FieSoperatorul form a al unei suprafet e M. Curbura Gauss
a luiMla punctulp2Meste denit a prin
K(p) = det(Sp):
Curbura medie a lui M^ np2Meste denit a prin
H(p) =1
2tr(Sp) (1.4.5)
Vom vedea c a H siKpot  exprimat i numai prin calcul diferent ial. Prin
urmare, ajungem la premisa c a algebra liniar a este podul care permite ca
geometria s a e studiat a prin calculul diferent ial. Am v azut c a matricea
operatorului form a ^ n raport cu o baz a a vectorilor principali este dat a de
k1(p) 0
0k2(p)
, (1.4.6)
cu determinantul  si urma egale cu k1k2, respectivk1+k2. Prin urmare,
K=k1k2,H=k1+k2
2. (1.4.7)

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 17
Observat ia 1.4.3. i) Amintim c a dac a Ueste ales ca normal a ^ n loc de
U;atuncik(u)^  si schimb a semnul.
ii) Dac a curbura Gauss este produsul a dou a astfel de schimb ari, ea nu- si
schimb a semnul.
iii) Dac a vectorul normal unitar ^  si schimb a semnul, atunci  si H^  si
schimb a semnul.
Aceste observat ii sunt importante deoarece semnul lui Kare sens.
Fiev siwvectori tangent i liniar independent i ^ n p2M. Deoarece ei
sunt indepedent i, v siwformeaz a o baz a pentru Tp(M)  si orice vector este
o combinat ie liniar a a acestora. Prin urmare putem scrie descompunerea
operatorul form a astfel,
S(v) =av+bw  siS(w) =cv+dw. (1.4.8)
Atunci matricea lui S^ n raport cu baza fv;wgestea c
b d
. Prin denit ie
det(S) =adbc=K sitr(S) =a+d= 2H. A sadar obt inem:
S(v)S(w) =Kvw,  siS(v)w+vS(w) = 2Hvw. (1.4.9)
Folosind identitatea lui Lagrange:
(vw)
(ab) = (v
a)(w
b)(v
b)(w
a) (1.4.10)
 si formulele de mai sus, obt inem:
K=1
g[(S(v)
v)(S(w)
w)(S(v)
w)(S(w)
v)]; (1.4.11)
H=1
2g[(S(v)
v)(w
w)(S(v)
w)(w
v) (1.4.12)
+(v
v)(S(w)
w)(v
w)(S(w)
v)];
undeg:= (v
v)(w
w)(v
w)(w
v)
Curburile pricipale se pot calcula ^ n funct ie de K siH:
k1=H+p
H2K sik2=Hp
H2K (1.4.13)

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 18
Aplicat ia Gauss va avea o important  a foarte mare ^ n capitolul ce urmeaz a
atunci c^ and vom studia abordarea complex-analitic a a suprafet elor de cur-
bur a medie constant a.
Denit ia 1.4.5. O suprafat  a Meste considerat a a :
1) Plat a dac a K(p) = 0 ,8p2M.
2) Minimal a dac a H(p) = 0 ,8p2M.
Termenul de \neted" sau \plat" deriv a din exemplul principal al unei
suprafet e netede sau plane care este planul. Operatorul form a al unui plan
este identic zero.
Termenul \minimal" vom vedea de unde provine atunci c^ and vom studia
suprafet ele minimale ^ n urm atorul capitol.
Formulele pentru K siHpentruv siwgenerale ( ??)  si (??) pot  parti-
cularizate pentru xu sixvatunci c^ and se d a o parametrizare a lui xpentru
suprafat aM. Consider am urm atoarele notat ii:
E=xu
xu; F=xu
xv; G=xv
xv (1.4.14)
l=S(xu)
xu; m =S(xu)
xv=S(xv)
xu; n =S(xv)
xv(1.4.15)
^Inlocuindv siuprinxu sixv^ n formulele ( ??)  si (??), rezult a
K=(S(xu)
xu) (S(xv)
xv)(S(xu)
xv) (S(xv)
xu)
(xu
xu) (xv
xv)(xu
xv) (xv
xu)(1.4.16)
=lnm2
EGF2
H=1
2g[S(xu)
xu(xv
xv)(S(xu)
xv) (xv
xu) (1.4.17)
+ (xu
xu) (S(xv)
xv)(xu
xv) (S(xv)
xu)]
=Gl+En2Fm
2(EGF2);
undeg= (v
v)(w
w)(v
w)(w
v) =EGF2:

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 19
Exemplul 1.4.1. Curbura suprafet ei Enneper. FieMsuprafat a En-
neper dat a prin parametrizarea:
x(u;v) =
uu3
3+uv2;vv3
3+vu2;u2v2
:
Rezolvare. ^In continuare vom calcula coecient ii metricii suprafet ei En-
neper, (E; F; G );folosind parametrizarea dat a. Mai ^ nt^ ai avem nevoie de:
xu=
1u2+v2;2uv;2u

;
xv=
2uv;1v2+u2;2v

:
Avem:
E=xu
xu= 1 + 2u2+ 2v2+u4+ 2u2v2+v4= (1 +u2+v2)2;
F=xu
xv= 2uv2u3v+ 2uv3+ 2uv2uv3+ 2u3v4uv= 0
G=xv
xv= 4u2v2+1v2+u2v2+v4v2u2+u2u2v2+u4+ 4v2
= 1 + 2u2+ 2v2+u4+ 2u2v2+v4= (1 +u2+v2)2
^Il calcul am pe U:
xuxv=
2uv22u2u3;2v+ 2v3+ 2u2v;1(u2v2)24u2v2
=
2u(1 +u2+v2);2v(1 +u2+v2);1(u2+v2)2
:
jxuxvj2= 4u2(1 +u2+v2)2+ 4v2(1 +u2+v2)2
+ (u2+v2)42 (u2+v2)2+ 1
= 4 (u2+v2) + 8 (u2+v2)2+ 4 (u2+v2)3+ (u2+v2)42 (u2+v2)2+ 1
= (u2+v2)4+ 4 (u2+v2)3+ 6 (u2+v2)2+ 4 (u2+v2) + 1
= (u2+v2+ 1)4
care poate  calculat a  si cu ajutorul identit at ii lui Lagrange, jxuxvj=p
EGF2. Atunci:
U=2u
u2+v2+ 1;2v
u2+v2+ 1;1(u2+v2)2
(u2+v2+ 1)2
:
Derivatele part iale ale lui xu sixvsunt:xuu= (2u;2v;2); xuv= (2v;2u;0)
 sixvv=(2u;2v;2) cu care vom calcula coecient ii l;m sin.

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 20
l=xuu
U=4u2
u2+v2+1+4v2
u2+v2+1+22(u2+v2)2
(u2+v2+1)2
=2(u2+v2+1)2
(u2+v2+1)2= 2:
n=xvv
U=2  si, ^ n sf^ ar sit m=xuv
U= 0:
A sadar, curbura Gauss a suprafet ei Enneper este K=lnm2
EGF2=4
(u2+v2+1)4;
iar curbura medie este:
H=Gl+En2Fm
2(EGF2)=2(u2+v2+1)2+(2)(u2+v2+1)20
2(u2+v2+1)4 = 0:
Prin urmare, suprafat a Enneper este o suprafat  a de curbur a medie nul a,
adic a o suprafat  a minimal a. 
Exemplul 1.4.2. Elicoidul drept . FieMsuprafat a elicoidal a dat a prin
parametrizarea:
x(u;v) = (ucosv;usinv; (u) +av);
u>0;a2R
Aceasta este generat a prin rotirea unei curbe (^ n spat iu) ^ n jurul unei
drepte  si simultan translatarea ei ^ n lungul acelea si drepte cu o lungime

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 21
proport ional a cu unghiul de rotat ie. Dac a lu am curba generatoare (u) =
(u;0; (u)); u > 0  si ca ax a de rotat ie axa Oz, se obt ine parametrizarea
de mai sus a suprafet ei elicoidale unde ase nume ste parametrul mi sc arii
elicoidale .
Sect iunea din suprafat  a determinat a de intersect ia suprafet ei cu un plan
ce trece prin axa de rotat ie determin a un meridian. Toate meridianele sunt
curbe plane egale  si deci suprafat a poate  generat a de un meridian care
se deplaseaz a cu aceea si lungime, proport ional a cu unghiul de rotat ie ca  si
curba dat a.
C^ and parametrul a= 0 , ecuat iile de mai sus descriu o suprafat  a de
revolut ie . C^ and (u) = constant, curbele v= constant sunt linii drepte
perpendiculare pe axa de rotat ie  si atunci suprafat a este un conoid drept . Ea
se mai nume ste elicoid drept .
Prin calcul avem:
E= 1 + 02; F =a 0; G =u2+a2;
U=
asinvu 0cosvp
u2(1 + 02) +a2;(acosv+u 0sinv)p
u2(1 + 02) +a2;up
u2(1 + 02) +a2!
l=u 00
p
u2(1 + 02) +a2; m =ap
u2(1 + 02) +a2;
n=ap
u2(1 + 02) +a2:
Curbele care au v= constant sunt meridiane , iar cele cu u= constant
sunt elice pe elicoid  si cercuri pe suprafat ele de revolut ie. Aceste curbe
formeaz a un sistem ortogonal doar pe suprafet ele de revolut ie  si pe elicoidul
drept.
Curbura medie a elicoidului drept ( (u) = constant) are curbura me-
dieH=Gl+En2Fm
2(EGF2)= 0;ceea ce arat a c a elicoidul drept este o suprafat  a
minimal a, chiar unica suprafat  a minimal a riglat a real a.

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 22
Not am faptul c a o suprafat  a riglat a este o suprafat  a care are proprietatea
c a prin ecare punct al s au trece o dreapt a cont inut a ^ n suprafat a respectiv a.
Spre exemplu planul, cilindrul, conul, elicoidul drept, etc.
1.5 Suprafet e Delaunay
^In aceast a sect ine vom vedea c a suprafet ele de rotat ie de curbur a medie
constant a sunt caracterizate prin ecuat ii diferent iale, cu condit ii init iale date.
Consider am o suprafat  a de revolut ie Mparametrizat a prin
x(u;v) = (u;h(u) cosv;h(u) sinv):
Curbur a medie a acesteia este dat a de
H=1
2hh00+ 1 +h02
h(1 +h02)3
2; (1.5.1)
Presupun^ and c a H=c
2;undeceste o constant a, din ( ??) rezult a ecuat ia
diferent ial a:
1 +h02hh00=ch(1 +h02)3
2: (1.5.2)

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 23
I.Mai ^ nt^ ai, lu am ^ n considerare cazul c^ and c= 0. Ecuat ia diferent ial a
se reduce la
1 +h02hh00= 0:
Prin rezolvarea acestei ecuat ii se obt ine catenoidul,
x(u;v) = (u;coshucosv;coshusinv);
o suprafat  a de rotat ie de curbur a medie zero, (minimal a).
II.Presupunem c=1
a, undea>0. Ecuat ia diferent ial a devine
1 +h02hh00=1
ah(1 +h02)3
2
sau
a(1 +h02)ahh00
(1 +h02)3
2+h= 0:
^Inmult it a cu 2 h0;adic a 2h0[a(1+h02)ahh00
(1+h02)3
2+h] = 0;conduce la2ah0(1+h02)2ahh0h00
(1+h02)3
2+
2hh0= 0;care se poate rescrie ca
d
du[2ah
2p
1 +h02+h2] = 0:
Rezult a,h2+2ah
2p
1+h02=b2,a; bconstante.
Prin utilizarea factorului de integrare h0se introduc solut ii constante.
Dac a ignor am aceste solut ii constante  si lu am ^ n considerare toate celelalte
cazuri (observ^ and c a pa sii de mai sus pot  inversat i), obt inem forma general a
a ecuat iei diferent iale care descrie suprafet ele de rotat ie de curbur a medie
constant a.
Teorema 1.5.1. O suprafat  a de rotat ie Mparametrizat a de
x(u;v) = (u;h(u) cosv;h(u) sinv):
are o curbur a medie constant a dac a  si numai dac a funct ia h(u)satisface
h22ah
2p
1 +h02=b2; (1.5.3)
cua; b constante.

Capitolul 1. Introducere ^ n teoria suprafet elor 24
Un fapt interesant descoperit de Delaunay este c a ecuat ia diferent ial a
(??) apare geometric. Adic a, exist a o construct ie geometric a care produce
ecuat ia diferent ial a de mai sus  si, ^ n consecint  a, toate suprafet ele de rotat ie
de curbur a medie constant a.
Suprafet ele Delaunay se construiesc^ n felul urm ator. Se rostogole ste (f ar a
frecare) o conic a
de-a lungul unei linii drepte din plan, lu^ and ^ n considerare
urma focarului Fal conicei
:Cuv^ antul "conic a" se refer a la oricare dintre
curbele: cerc, parabol a, elips a  si hiperbol a.
Curba (sau urma) descris a de focarul Feste o curb a plan a  si se nume ste
ruleta conicei
. Rotind acum ruleta curbei
^ n jurul axei (dreptei) de-a
lungul c areia a fost rostogolit a curba
;se obt ine o suprafat  a de rotat ie,
numit a suprafat a ruletei conice .
Denit ia 1.5.1. O suprafat  a Meste imersat a ^ n R3dac a exist a o aplicat ie
f:M!R3, cu proprietatea c a aplicat ia liniar a tangent a feste bijectiv a ^ n
ecare punct.
Teorema 1.5.2. (Delaunay ). O suprafat  a de rotat ie imersat a complet a de
curbur a medie constant a este o suprafat  a rulet a conic a.

Capitolul 2
Suprafet e de curbur a medie
constant a
^In acest capitol vom prezenta mai^ nt^ ai c^ ateva rezultate referitoare la suprafet ele
minimale, iar apoi ne vom ocupa de suprafet ele de curbur a medie constant a.
2.1 Despre evolut ia suprafet elor minimale
Suprafet ele minimale reprezint a un subiect intens studiat^ n geometria diferent ial a
a suprafet elor.
Matematicianul Joseph-Louis Lagrange a denit pentru prima oar a o
suprafat  a minimal a ca ind suprafat a care are curbura medie nul a, (1760).
Intuitiv, dup a cum  si numele sugereaz a, acestea sunt suprafet ele de arie
minim a, m arginite de o curb a dat a. Denit ia lui Lagrange este avanta-
joas a pentru c a se poate calcula curbura ^ n orice punct, mai u sor dec^ at aria
^ ntregii suprafet e, dar este  si independent a de curba de contur, ^ n consecint  a,
suprafet ele extinse la innit pot , de asemenea, minimale.
Cea mai simpl a suprafat  a minimal a este planul, iar singura suprafat  a de
rotat ie care este  si minimal a este catenoidul (Euler, 1740). Singura suprafat  a
minimal a riglat a este elicoidul lui Meusiner.
Primele exemple de suprafet e minimale au ap arut ^ n sec. al 18-lea, exem-
plul suprafet ei m arginite de o curb a plan a ^ nchis a, iar apoi, ^ n 1776, inginerul
25

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 26
 si geometrul Jean Baptiste Meusnier construie ste alte dou a exemple: cate-
noidul, (singura suprafat  a minimal a de rotat ie, neplan a)  si elicoidul. Un
alt exemplu a ap arut ^ n 1835, ind construit de matematicianul Heinrich
Ferdinand Scherk.
^In studiul suprafet elor minimale o contribut ie important a o are  si zi-
cianul Joseph Antonie Ferdinand Plateau, care, ^ n experimentele sale, prin
introducerea ^ n solut ie de ap a  si glicerin a a unor re sub forma unor curbe
^ nchise obt inea suprafet e minimale. Astfel, a ap arut"problema lui Plateau":
"Exist a, pentru orice curb a ^ nchis a, oric^ at de complicat a, o suprafat  a de arie
minim a care s a aib a curba drept contur?". Aceast a problem a a fost rezolvat a
^ n 1930 de c atre matematicienii, Jesse Douglas  si Tibor Rado care au demon-
strat existent a suprafet ei minimale av^ and o curb a de contur dat a. R am^ ane
^ nc a deschis a problema unicitat ii, iar primele condit ii pentru unicitatea aces-
tor suprafet e minimale ^ n R3, m arginite de curbe Jordan, se datoreaz a lui T.
Rado, J.C.C. Nitsche  si A. Tromba.
O alt a observat ie important a este c a suprafet ele construite ^ n maniera
experimentelor lui Plateau au propietatea de a avea aceea si presiune de am-
bele p art i ale suprafet ei  si deci, de a  ^ n echilibru-intuitiv, stratul a
at ^ n
echilibru, perturbat, va reveni la starea init ial a care este suprafat a minimal a.
Tot experimental au luat na stere suprafet ele cunoscute sub numele de"bulele
lui Plateau". Asupra bulelor duble s-a dat conjectura ca dou a p art i egale de
sfer a av^ and ca frontier a comun a un disc (deci o suprafat  a plan a) au o arie to-
tal a minim a. Cazul celor dou a p art i egale ca volum a fost demonstrat ^ n 1995
prin reducerea problemei la un set de 200260 de integrale rezolvate cu aju-
torul calculatorului. La ^ nceputul anului 2000, a fost oferit a o demonstrat ie
a conjecturii pentru bule duble oarecare. ^In cazul celor dou a p art i de sfer a
inegale, s-a ar atat c a suprafat a separatoare care minimizeaz a aria total a este
o port iune de sfer a care se intersecteaz a cu cealalt a suprafat  a sferic a. Mai
mult, curbura acestei suprafet e de separare reprezint a diferent a curburilor
celor dou a p art i de sfer a ce formeaz a bula dubl a. Problema bulelor duble ale
lui Plateau a fost apoi extins a si ^ n spat iul 4D  si pentru anumite cazuri  si ^ n
spat iul 5D.
Fiecare port iune sucient de mic a a oric arei suprafet e minimale poate
 obt inut a ^ ntr-adev ar, ^ n maniera experimentelor lui Plateau, dar pentru
suprafet e mult mai largi, nu mai este posibil. Apare, de asemenea, ideea unei
noi clase de suprafet e minimale ce reprezint a interesul de studiu din ultimii

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 27
treizeci de ani, din punct de vedere conceptual destul de departe de ^ nt elesul
init ial al not iunii de"suprafat  a minimal a", anume suprafet ele minimale f ar a
o anumit a curb a drept frontier a, ce pot  extinse la innit.
Suprafet ele minimale au o sfer a larg a de aplicabilitate  si ^ n cristalograe,
de exemplu pentru cristalele zeolite. O asem anare interesant a a fost g asit a
 si ^ n investigarea c^ ampurilor electrice ale ret elelor de cristale lichide, ^ ntre
suprafet ele minimale  si c^ ampurile de potent ial zero, unde punctele ^ nc arcate
sunt ^ n nodurile ret elei de cristale. Suprafet ele minimale studiate joac a rolul
de modele pentru potent iale structuri spat iale, cele din viat a real a ind mai
complicate dec^ at modelele pur matematice.
Una dintre metodele de a genera noi exemple de suprafet e minimale este
aceea de a modica suprafet e minimale innite existente. Aceast a ^ ncercare a
fost ^ ncurajat a de studiul lui Robert Osserman, care a readus ^ n atent ie o me-
tod a a lui Karl Theodor Weierstrass, care, folosind analiza complex a, a des-
coperit \formulele de reprezentare" cu ajutorul c areia poate  generat a orice
suprafat  a minimal a prin alegerea unei perechi de funct ii complexe olomorfe.
Cu ajutorul parametriz arilor Weierstrass, R. Osserman a reu sit s a modice
suprafet e minimale cunoscute f ac^ andu-le mult mai complicate, chiar dac a
modicarea efectuat a are un efect vizibil numai pe o mic a parte a suprafet ei.
Cu ajutorul noii teorii Osserman, s-au obt inut trinoidul (catenoidul cu trei
terminat ii)  si binoidul (obt inut prin ad augarea a ^ nc a dou a terminat ii ^ n zona
cea mai ^ ngust a a catenoidului), (Luquesio P. Jorge, William M. Meeks). De
asemenea, a fost descoperit a una dintre cele mai interesante suprafet e mi-
nimale: suprafat a Costa (numit a  si Costa- Homan-Meeks), cea de-a treia
suprafat  a neperiodic a { al aturi de catenoid  si plan.
Suprafet ele minimale existente pot  modicate  si prin ad augarea de"tu-
nele". Prin folosirea acestei metode au fost obt inute cele mai recente exem-
ple, prin ad augarea de noi tunele verticale ^ n tunelele orizontale ale suprafet ei
Schwarz. Mai mult, s-a dovedit c a aceast a metod a nu poate  aplicat a cate-
noidului (rezultat demonstrat de Richard Schoen), ^ ns a, ^ n mod surprinz ator,
funct ioneaz a la catenoidul cu patru terminat ii.

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 28
2.2 Not iunea de arie a unei suprafet e
Pentru ^ nceput prezent am modul cum se integreaz a pe o suprafat  a. A sa cum
este cunoscut, cea mai simpl a suprafat  a este planul  si aici printr-o dubl a in-
tegrare obt inem aria unei port iuni din plan. Procedeul general de studiere
a suprafet elor este acela de a face toate calculele ^ n plan apoi de a le trans-
porta pe o suprafat  a dat a printr-o parametrizare x(u;v). Decix(u;v) este
parametrizarea pentru o suprafat  a M.
Denit ia 2.2.1. Aria parametriz arii x, notat a cu Ax, este
Ax=Z Z
jxuxvjdudv: (2.2.1)
undejxuxvjeste aria paralelogramului construit pe vectorii xu sixv:
Aceast a cantitate jxuxvjaproximeaz a aria unei mici port iuni de suprafat  a,
apoi se adun a continuu (adic a se integreaz a) pe ^ ntreaga regiune, iar limitele
de integrare sunt limite denitorii ale parametriz arii, domeniile ^ n care va-
riaz a parametrii u siv:A sadar, aria unei suprafet e compacte  si orientate M
este suma ariilor parametriz arilor lui M;
A=X
xZ Z
jxuxvjdudv: (2.2.2)
^Inainte s a ^ ncepem s a analiz am suprafet ele minimale s a amintim ce este
un punct critic.
Denit ia 2.2.2. Un punct critic pentru o funct ie feste un punct (u0;v0)
care satisface fu(u0;v0) = 0  sifv(u0;v0) = 0 .
Punctul (u0;v0) poate  un punct de maxim, de minim sau un punct  sa.
Ca s a a
 am ce fel de punct este trebuie calculat a derivata de ordinul doi.
Mai ^ nt^ ai calcul am
D=fuu(u0;v0)fvv(u0;v0)(fuv(u0;v0))2:
Putem obt ine urm atoarele cazuri:

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 29
1)Dac aD= 0, nu avem nicio informat ie despre punctul ( u0;v0).
2)Dac aD< 0 atunci (u0;v0) este punct  sa.
3)Dac aD> 0, avem dou a cazuri:
3.1) Dac afuu(u0;v0)>0, atunci (u0;v0) este punct de minim.
3.2) Dac afuu(u0;v0)<0 este punct de maxim.
Pentru cazurile 3.1)  si 3.2) se poate folosi  si fvv.
Fiez=f(x;y) o funct ie de dou a variabile  si s a lu am parametrizarea
Monge pentru gracul s au: x(u;v) = (u;v;f (u;v)). Avem:
xu= (1;0;fu); xv= (0;1;fv);
xuu= (0;0;fuu); xvv= (0;0;fvv); xuv= (0;0;fuv);
xuxv= (fu;fv;1); U =(fu;fv;1)p
1 +f2
u+f2
v;
E= 1 +f2
u; F =fufv; G = 1 +f2
v;
`=fuup
1 +f2
u+f2
v; m =fuvp
1 +f2
u+f2
v; n =fvvp
1 +f2
u+f2
v:
Atunci,K=fuufvvf2
uv
(1+f2u+f2v)2 siH=(1+f2
v)fuu+(1+f2
u)fvvfufvfuv
2(1+f2u+f2v)1
2:A sadar, avem
demonstrat a urm atoarea propozit ie:
Propozit ia 2.2.1. Meste o suprafat  a minimal a dac a  si numai dac a
fuu
1 +f2
v

2fufvfuv+fvv
1 +f2
u

= 0: (2.2.3)
Aceast a ecuat ie cu derivate part iale se nume ste ecuat ia suprafet ei mini-
male. Impun^ and anumite constr^ angeri algebrice sau geometrice funct iei f,
se pot determina diferite tipuri de suprafet e minimale.
Exercit iul 2.2.1. S a presupunem c a avem nevoie de condit ia algebric a f(x;y) =
g(x) +h(y). Ar at am c a H= 0.
Rezolvare. Ecuat ia suprafet ei minimale
fxx
1 +f2
y

2fxfyfxy+fyy
1 +f2
x

= 0;

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 30
pentru aceast a funct ie este:

1 +d
dyh(y)2!d2
dx2g(x)
+
1 +d
dxg(x)2!d2
dy2h(y)
= 0:
Separ am variabilele  si obt inem ecuat ia:
d2
dx2g(x)
1 +d
dxg(x)
2=d2
dy2h(y)
1 +
d
dyh(y)
Singurul caz ^ n care putem spune c a funct ia ^ n xdin st^ nga este egal a
cu funct ia ^ n ydin dreapta, este atunci c^ and ambii membrii sunt egali cu
aceea si constant a C. Folosim aceasta pentru a rezolva ecare parte separat
 si adun am apoi solut iile rezultate pentru a obt ine f(x;y). Deci,
g(x) =ln (C1sin (Cx)C2cos (Cx))
C;
h(y) =ln (C1sin (Cy) +C2cos (Cy))
C
PentruC1 = 0  siC2 =1,g(x) devine:g(x) =ln(cos(Cx))
C;iar pentru
C1 = 0  siC2 = 1,h(y) devine:h(y) =ln(cos(Cy))
C. Rezult ag(x) +h(y) =
ln(cos(Cx))+ln(cos(Cy))
C. Aplic am propriet at ile logaritmului  si rezult a funct ia
sub forma: f(x;y) =1
Clncos(Cx)
cos(Cy).
Suprafat az=1
Clncos(Cx)
cos(Cy)se nume ste suprafat a minimal a Scherk.

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 31
Aceast a suprafat  a este denit a numai pentru cos Cx=sinCy > 0. Spre
exemplu, o port iune din suprafat a Scherk este denit a pe p atratul 
2<
Cx<
2,
2<Cy <
2.^In mod surprinz ator, numai catenoidul  si elicoidul
erau cunoscute ca ind suprafet e minimale ^ n anii 1700. Suprafat a lui Scherk
a fost urm atorul exemplu de suprafat  a minimal a  si a fost descoperit a ^ n anul
1835. Este de mirare cum o condit ie algebric a at^ at de simpl a nu a fost luat a
^ n considerare mai devreme. 
Teorema 2.2.1. (Catalan ) Orice suprafat  a minimal a riglat a din R3este o
parte a unui plan sau un elicoid drept.
Demonstrat ie. Fie suprafat a riglat a M:x(u;v) =(u) +v(u),
(prin ecare punct al s au trece o dreapt a cont inut a ^ n M)  si, f ar a pierderea
generalit at ii, facem urm atoarele presupuneri:
1) putem lua pe perpendicular pe vectorul director al dreptei genera-
toare (adic a 0
= 0), de vitez a unitate (adic a 0
0= 1);
2)este de lungime 1 ( 
= 1).

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 32
Prin urmare de asemenea avem 
0= 0. Din aceste ipoteze, rezult a:
xu=0+v0; xv=; xuxv=0+v0;
E= 1 + 2v0
0+v2j0j2; F = 0,G= 1;
xuu=00+v00; xvv= 0; xuv=0;
l=00
0+v00
0+v00
0+v200
0p
E; n = 0
ApoiH=l
2E= 0 deoarece Meste minim a, deci l= 0. Dar, num ar atorul
luileste polinom ^ n v,
00
0+v[00
0+00
0] +v200
0; (2.2.4)
 si pentru ca s a e 0 trebuie s a avem ecare coecient 0. Lu am primul termen
 si ^ l egal am cu 0, rezult a: 00
0= 0. Aceast a ecuat ie spune c a 00
este cont inut ^ n planul determinat de 0 si, notath0;i. Deoarece este
vector normal unitate, atunci 0 si00sunt perpendiculari. Dar din ipotez a
avem c a0este perpendicular  si pe . Deoarece tot i cei trei vectori sunt ^ n
planulh0;ieste adev arat  si faptul c a 00este paralel cu . De fapt, deoarece
lungimea lui este 1  si lungimea lui 00este curbura a lui, trebuie s a
avem00=.^In orice caz, avem cu sigurant  a 00
0= 0.
Acum s a lu am coecientul lui v si s a-l egal am cu zero  si folosim 00
0=
0 pentru a deduce 00
0= 0  si asta implic a  si 002h0;i. Prin urmare,
002h0;i\h0;i. Acum exist a dou a posibilit at i.
i) Prima, avem c a 00nu este paralel cu ^ n acela si punct (deci  si ^ n unele
vecin at at i). Acest lucru ar ^ nsemna c a h0;i=h0;i.^In acest caz, a0=0
deoarece0,0 sisunt ^ n acela si plan, iar 0c^ at  si0sunt perpendiculare
pe. Dar atunci vectorul normal unitate al lui Mare forma
U=(1 +av) (0)
j1 +avj j0j=0; (2.2.5)
deoarecej0j= 1. Atunci ^ l deriv am pe U^ n funct ie de u,  si avem
U0=00+00= 0;deoarece00= si0=a0. Prin urmare, U
este constant, deci Meste o parte din plan.
ii) A doua, este posibil ca 00s a e paralel cu peste tot. Prin urmare,
00=a si, ^ n consecint  a, 0
00= 0. Dar0
= 0 implic a =
=

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 33
00
=0
0 si aceasta la r^ andul s au, ne d a
d
du=00
00
00= 0; (2.2.6)
deoarece00 si00sunt paraleli cu  si0 si0sunt perpendiculari pe .
Prin urmare, curbura este o constant a. Ret inem faptul c a dac a aceast a
constant a este zero, atunci este o linie  si suprafat a este parte din plan.
Acum consider am torsiunea lui. Formula obi snuit a devine =
0
0deoarece00=;iareste constant, 000=0. Rezult a
d
du= 0 ceea ce ^ nseamn a c a este constant. Av^ and ^ n vedere faptul c a
elicea circular a are curbura  si torsiunea constante, abstract ie f ac^ and de o
mi scare rigid a ^ n R3;putem parametriza prin
(u) = (Acosu;Asinu;Bu );
cuA2+B2= 1:De asemenea este paralel cu 00;deci(u) = (cosu;sinu;0);
deoareceeste de vitez a unitate. Fie A+v= vceea ce conduce la parame-
trizarea elicoidului x(u;v) = (vcosu;vsinu;Bu ):
2.3 Minimizarea ariei
Acum vom acorda mai mult a atent ie termenului \minimal". La mijlocul
anului 1800, zicianul belgian Plateau  si-a pus urm atoarea problem a: av^ and
o curb aC, se poate g asi o suprafat  a minimal a Mav^ and ca frontier a curba
C? Plateau era interesat de peliculele de s apun, iar problema formulat a era
un rezultat natural al experient elor sale zice.
Dup a cum vom vedea, suprafet ele cu cea mai mic a arie sunt suprafet e
minimale. De fapt, s-a constatat c a metoda general a de rezolvare a problemei
lui Plateau se bazeaz a pe determinarea suprafet elor cu cea mai mic a arie.
Astfel, o alt a variant a a problemei lui Plateau era de a g asi o suprafat  a
cu cea mai mic a arie av^ and curba Cca frontier a. Dar problema existent ei
suprafet elor de arie minim a nu a fost rezolvat a automat. De fapt, abia ^ n
anii 1920  si 1930 problema lui Plateau a fost rezolvat a mai ^ nt^ ai de Douglas
 si T. Rado.

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 34
Denit ia 2.3.1. Se nume ste suprafat  a minimal a "disk-like" o suprafat  a pen-
tru care domeniul parametrilor este discul unitate, adic a
D=
(u;v)ju2+v21
;
iar cercul frontier a al discului are ca imagine o curb a Jordan dat a.
Douglas  si T. Rado au demonstrat:
Teorema 2.3.1. Exist a o suprafat  a minimal a "disk-like" de cea mai mic a
arie m arginit a de orice curb a Jordan dat a.
^Inainte de a evident ia alte rezultate referitoare la suprafet e minimale,
reamintim Teorema lui Green:
Teorema 2.3.2. (Green ) FieP(x;y) siQ(x;y)dou a funct ii reale (netede)
de variabile x siydenite pe un domeniu simplu conex Rdin plan. Atunci,
Z Z
R@P
@x+@Q
@y
dxdy =Z
CPdyQdx (2.3.1)
unde ^ n partea dreapt a este integrala curbilinie de spet a a doua de-a lungul
curbeiCcare m argine steR.
Ne punem^ ntrebarea ce este o suprafat  a mai exact? Acest lucru (^ mpreun a
cu o denit ie potrivit a pentru arie) a fost una din principalele dicult at i ^ n
abordarea problemei lui Plateau.
S a ne punem o ^ ntrebare mai simpl a:
Problem al 2.3.1. Care este condit ia necesar a ca o suprafat  a Ms a aib a cea
mai mic a arie dintre toate suprafet ele cu frontiera C?
R aspunsul poate  g asit printr-o variant a simplicat a a calcului variat ional,
dup a cum urmeaz a. S a presupunem c a M:z=f(x;y) este o suprafat  a cu
cea mai mic a arie cu frontiera C. Consider am suprafet ele care sunt deform ari
ale luiM,
Mt:zt=f(x;y) +tg(x;y);
undegeste o funct ie av^ and acela si domeniu ca  si f si, ^ nmult it a cu un tmic
 si adunat a cu f, are scopul de a varia punctele lui M, l as^ andCx. Aceast a

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 35
funct iegare proprietatea gj~C= 0, unde ~Ceste frontiera domeniului lui f si
f
~C
=C. O parametrizare Monge pentru Mteste dat a de
xt(u;v) = (u;v;f (u;v) +tg(u;v)): (2.3.2)
Imediat calcul am
xt
uxt
v=p
1 +f2
u+f2
v+ 2t(fugu+fvgv) +t2(g2
u+g2
v): (2.3.3)
Prin denit ia ariei, vedem c a aria lui Mteste
A(t) =Z
vZ
up
1 +f2
u+f2
v+ 2t(fugu+fvgv) +t2(g2
u+g2
v)dudv: (2.3.4)
Acum deriv am ^ n raport cu t;(derivata trece sub integral a),
A0(t) =Z
vZ
ufugu+fvgv+t(g2
u+g2
v)p
1 +f2
u+f2
v+ 2t(fugu+fvgv) +t2(g2
u+g2
v)dudv: (2.3.5)
S a presupunem c a z=z0este punct de minim, deci A0(0) = 0. Prin urmare,
lu^ andt= 0 ^ n ecuat ia de mai sus, obt inem
Z
vZ
ufugu+fvgvp
1 +f2
u+f2
vdudv = 0: (2.3.6)
Acum, e
P=fugp
1 +f2
u+f2
v siQ=fvgp
1 +f2
u+f2
v: (2.3.7)
Calcul^ and@P
@u si@Q
@v;
@P
@u=(fuuV+fuVu) (1 +f2
u+f2
v)Vf2
ufuuVfufvfuv
(1 +f2
u+f2
v)3
2;(2.3.8)
@Q
@v=(fvvV+fvVv) (1 +f2
u+f2
v)Vf2
vfvvVfufvfuv
(1 +f2
u+f2
v)3
2;(2.3.9)

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 36
iar apoi aplic^ and Teorema lui Green, avem
Z
vZ
ufugu+fvgvp
1 +f2
u+f2
vdudv
+Z
vZ
ug[fuu(1 +f2
v) +fvv(1 +f2
u)2fufvfuv]
(1 +f2
u+f2
v)3
2dudv
=Z
C
fugdvp
1 +f2
u+f2
vfvgdup
1 +f2
u+f2
v!
= 0;
deoarecegj~C= 0. Bine^ nt eles c a prima integral a este tot zero, a sadar ne
r am^ ane
Z
vZ
ug[fuu(1 +f2
v) +fvv(1 +f2
u)2fufvfuv]
(1 +f2
u+f2
v)3
2dudv = 0: (2.3.10)
Acest lucru este valabil pentru orice funct ie g, deci este sucient s a avem
fuu
1 +f2
v

+fvv
1 +f2
u

2fufvfuv= 0: (2.3.11)
Dar aceasta este ecuat ia suprafet elor minime.
^In concluzie, am ar atat urm atoarea condit ie necesar a ca o suprafat  a s a
e minimal a.
Teorema 2.3.3. Dac aMeste suprafat  a de arie minim a cu frontiera C,
atunciMeste o suprafat  a minimal a.
2.4 Curbura medie constant a a suprafet elor
^In aceast a sect ine ne ocup am de suprafet ele care au curbura medie nenul a,
dar constant a. ^Inainte de a ^ ncepe, vom prezenta o formul a care va sta la
baza studiului nostru.
FieMo suprafat  a orientat a compact a imersat a ^ n R3cu normala unitate
U=xuxv
jxuxvj, curbura medie H si ariaA=RR
Mjxuxvjdudv .
Not am faptul c a prin condit ia c a Meste imersat a ^ n R3se ^ nt elege faptul
c a aplicat ia ^ ntre planele tangente este bijectiv a. ^In termenii unei parame-
triz ari, condit ia de imersie se traduce prin faptul c a xu sixvsunt liniari

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 37
independent i ^ n ecare punct. Astfel, vectorul nenul normal xuxveste
bine denit ^ n ecare punct al suprafet ei. Suprafat a lui Enneper este un
exemplu de suprafat  a imersat a.
In continuare vom perturba suprafat a Mcu un c^ amp vectorial V. Aici
vom folosi un c^ amp vectorial ^ n locul unei funct ii g, deoarece Mnu este
denit a ca un grac pe un anumit domeniu,
Mt:yt(u;v) =x(u;v) +tV(u;v) (2.4.1)
 si scriem aria lui Mtca
A(t) =Z Z
Mtjyuyvjdudv
=Z Z
Mtq
jxuxvj2+ 2t(xuxv) (xuVv+Vuxv) +O(t2)dudv:
Deriv am ^ n raport cu t si apoi calcul am pentru t= 0. Obt inem
A0(0) =Z Z
x(u;v)xuxv
jxuxvj(xuVv+Vuxv)dudv
=Z Z
x(u;v)xuxv
jxuxvj(xuVvxvVu)dudv
=Z Z
x(u;v)(Vv
UxuVu
Uxv)dudv:
Consider am funct iile P=V
Uxv siQ=V
Uxu, aplic am Teorema
lui Green  si operatorul form a denit ^ n Capitolul 1  si obt inem
Z Z
x(u;v)Vv
UxuVu
Uxv+V(2Hxuxv)dudv
=Z
CV
Uxvdv+V
Uxudu:
C^ and integr am pe ^ ntreaga colect ie de parametriz ari ale lui M, integralele
curbilinii de-a lungul curbelor frontier a se anuleaz a datorit a orient arii lui M.

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 38
Prin urmare, peste M, partea dreapt a de mai sus este zero  si avem
A0(0) =Z Z
M(Vv
UxuVu
Uxv)dudv (2.4.2)
=Z Z
MV(2Hxuxv)dudv
=Z Z
M2HU
VdA;
deoarece, prin denit ie, dA=jxuxvjdudv: A sadar,
A0(0) =Z Z
M2HU
VdA; (2.4.3)
Formula ( ??) ne permite s a demonstr am alte dou a formule importante,
particulariz^ and c ampul vectorial V:
Aplicat ia 1. FieV=x(u;v);astfel c ayt= (1 +t)x siA(t) =
(1 +t)2A.^In mod evident, A0(0) = 2Aa sa c a avem
A=Z Z
MH U
xdA: (2.4.4)
Astfel obt inem ( ??) care leag a aria suprafet ei de curbura medie a acesteia.
Aplicat ia 2. FieV=fU, un c^ amp vectorial normal. Desigur, acesta
este tipul de c^ amp de fort  a, care ne a stept am s a apar a din tensiunea exerci-
tat a uniform pe o suprafat  a. Acum, U
U= 1, deci avem
A0(0) =2Z Z
MfHdA:
De asemenea, interpretarea geometric a a divergent ei unui c^ amp vectorial ca
rat a de schimbare a volumului suprafet ei notat Vol;^ mpreun a cu Teorema de
divergent  a sau Teorema lui Gauss: pentru o suprafat  a Mcare cuprinde un vo-
lum
, integrala de volum divergent ei c^ ampului vectorial V= (V1;V2;V3);
divV=@V1=@x1+@V2=@x2+@V3=@x3, este egal a cu integrala de suprafat  a
a componentelor Vnormale la M,
Z Z Z

divVd
=Z Z
MV
UdA (2.4.5)

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 39
conduc la
Vol0(0) =Z Z Z

div (fU)dxdydz =Z Z
MfU
UdA =Z Z
MfdA:
(2.4.6)
A sadar, problema minimiz arii ariei suprafet ei, (adic a A0(0) = 0) supus a
restrict iei de a avea un volum x (adic a Vol0(0) = 0) este echivalent a cu
g asirea luiHcare satisface
Z Z
MfHdA = 0;pentru orice fcuZ Z
MfdA = 0: (2.4.7)
Teorema 2.4.1. O bul a de s apun trebuie s a aibe mereu forma unei suprafet e
de curbur a medie constant a.
Demonstrat ie. Suprafat a unei bule de s apun se comport a ca ^ n situat ia
descris a mai sus, deci dac a Meste o bul a de s apun, avemRR
MfHdA = 0
pentru orice funct ie f,  siRR
MfdA = 0:
FieH=c+ (Hc) =c+J; J:=Hc;iarc=RR
MHdA
A:
Avem, Z Z
MJ2dA=Z Z
MJ(Hc)dA= 0:
Rezult aJ= 0  si atunci H=cadic a o constant a. 
Apare ^ n mod natural ^ ntrebarea, care sunt acele suprafet e? ^In anii 1800
Delaunay a clasicat toate suprafet ele de revolut ie de curbur a medie con-
stant a. Dintre toate acestea, totu si, numai sfera este compact a (adic a ^ nchis a
 si m arginit a) ^ n R3.
^Intrebarea care se pune este: mai sunt  si alte suprafet e compacte ^ n R3de
curbur a medie constant a ? Cu alte cuvinte, trebuie ca bulele de s apun (care
nu se autointersecteaz a) s a e ^ ntotdeauna sfere?
R aspunsul, i se datoreaz a lui Alexandrov,  si acesta este da. Pentru a
dovedi rezultatul lui Alexandrov vom folosi ( ??) care leag a aria suprafet ei
de curbura medie a acesteia, ^ mpreun a cu o important a teorem a datorat a
lui Antonio Ros. ^In aceste rezultate, vom vedea leg aturile esent iale ^ ntre
geometrie (arie, volum  si curbur a)  si calcul vectorial (teorema de divergent  a,

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 40
curbur a). Desigur, curbura este leg atura care pune aceste obiecte ^ mpreun a.
Vom ^ ncepe prin a prezenta estimarea lui Ros (Teorema Ros)  si apoi vom
demonstra Teorema lui Alexandrov.
Teorema 2.4.2. (Ros ). FieMo suprafat  a compact a din R3m arginind un
domeniuDde volumVol. Dac aH > 0peM, atunci
Z
M1
HdA3Vol. (2.4.8)
^In plus, egalitatea are loc dac a  si numai dac a Meste sfera standard.
Demonstrat ie . Mai ^ nt^ ai, consider am urm atoarea mult ime de puncte
S=fp+h(p)Ujp2Mg; (2.4.9)
undeUeste normala unitate a lui M, 01  sih(p) este denit a astfel
h(p) = supfrjpeste unicul punct de pe M;cel mai apropiat de punctul q;
la o distant  a rdep;de-a lungul lui Ug:
Aceast a denit ie are urm atoarele semnicat ii. Pentru orice p2M, depla-
sarea se face ^ n direct ia normalei interioare U si consider am ecare dintre
puncteleqde-a lungul drumului. Pentru unele dintre aceste puncte qde pe
liniap+tU,peste cel mai apropiat punct de pe Mp^ an a laq. Vom lua
distant ara celui mai ^ ndep artat punct. De fapt, exist a un punct tehnic aici.
Dac a ne g^ andim la centrul sferei, exist a posibilitatea ca un punct qcare este
cel mai ^ ndep artat s a nu aib a un punct unic cel mai apropiat de M. Acesta
este motivul pentru care lu am supremul distant elor la qpentru care peste
cel mai apropiat punct unic.
Consider am aceast a mult ime Sdeoarece folosim volumul Volal luiD^ n
estimare  si vom vedea c a
Vol(D) =Vol(S): (2.4.10)
Mai mult, volumul lui Spoate  calculat ^ n raport cu curbura ^ ntr-un mod
convenabil. Pentru a vedea egalitatea volumului, not am c a nu se poate supra-
pune interiorul lui S. Acest lucru reiese din denit ia lui h(p) deoarece ecare
punct de pe Sse a
 a pe o linie unic a normal a la M. Ar putea exista totu si

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 41
o suprapunere pe limita interioar a a lui S(exemplul sferic), dar acest lucru
nu are niciun efect asupra volumului, deoarece limita este 2-dimensional a.
^In al doilea r^ and, e q2Darbitrar  si e ddistant a de la qlaM(adic a la
punctul cel mai apropiat de pe M). Desigur, aceast a distant  a este obt inut a
de-a lungul unei linii perpendiculare pe M.^In orice caz, dac a B(q;d) indic a
bila ^ nchis a de raz a d^ n jurul lui q, atunci interiorul lui B(q;d) nu cont ine
puncte de pe M si frontiera lui B(q;d), notat a@B(q;d), cont ine cel put in un
punctp2M. Consider am raza lui B(q;d) de laqla un astfel de punct p si
lu am orice q0pe aceast a raz a. Fie rdistant a de-a lungul razei de la q0lap
 si not am c a B(q0;r) se a
 a ^ n interiorul lui B(q;d) cu except ia lui p. Prin
urmare,peste unicul punct de pe Mcare realizeaz a distant a rde laq0la
M si toate aceste puncte q0sunt denite pentru h(p). Acum, supremumul
distant elor q0esteddeoareceq0se apropie arbitrar de q. Bine^ nt eles, pot
exista  si alte puncte, dar totu si, vedem c a dh(p). Asta ^ nseamn a, prin
denit ia lui S, c aq2S. Astfel, ecare punct a lui Deste ^ nS si singura
suprapunere a lui Sse produce pe frontiera 2-dimensional a. Prin urmare,
volumele lui D siStrebuie s a e la fel. Acum, dac a Mare o parametrizare
local ax(u;v) atunci putem parametriza Sastfel
y(u;v;t ) =x(u;v) +tU(u;v): (2.4.11)
A sadar avem nevoie de trei parametri u,v sitdeoareceSeste tridimen-
sional a. Aici, tvariaz a 0th(p) =h(u;v) undep=x(u;v). Putem
considera o mic a port iune din Sca ind un paralelipiped determinat de yu,
yv siyt. Prin urmare, aceast a port iune are volumul jyuyv
ytj. Volumul
luiSeste obt inut prin integrarea
Vol(S) =Z Z Zh(u;v)
0jyuyv
ytjdtdudv: (2.4.12)
Pentru a calcula integrala, presupunem c a despre curbele coordonate x(u;v0)
 six(u0;v) sunt linii de curbur a. Aceasta ^ nseamn a c a k1xu=S(xu) =
rxuU=Uu sik2xv=S(xv) =rxvU=Uv. Atunci
yu=xu+tUu= (1k1t)xu; yv=xv+tUv= (1k2t)xv; (2.4.13)
 si
yuyv= (1k1t) (1k2t) (xuxv) =
12Ht+Kt2

(xuxv);

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 42
deoarecek1+k2= 2H sik1k2=K.
DarH siKnu depind de parametrizarea aleas a. Deci, chiar dac a am
presupus c a xu sixvsunt vectori principali pentru a obt ine formula, de fapt,
formula trebuie s a aibe loc ^ n general. Bine^ nt eles, yt=U, aceasta ne d a
egalitatea
jyuyv
ytj=12Ht+Kt2jxuxvj
 si
Vol(S) =Z Z Zh(u;v)
0jyuyv
ytjdtdudv
=Z Z
fZ
0h(u;v)12Ht+Kt2dtgjxuxvjdudv
=Z
MfZh(u;v)
o12Ht+Kt2dtgdA
=Z
MZh(u;v)
0j(1k1t) (1k2t)jdtdA:
Din aceast a expresie pentru volumul lui Svedem c a sunt cont inute  si cur-
burile principale. De fapt, ele sunt legate de funct ia h(p) prin urm atoarea
estimare:1
h(p)maxfk1(p);k2(p)g; (2.4.14)
pentru ecare p2M. Vom argumenta  si de ce este a sa. Fie qpunctul situat
la o distant  a h(p) de-a lungul normalei, de punctul p. Atunci bila deschis a
B(q;h(p)) nu poate cont ine niciun punct din M, pentru c a dac a ar exista
p02M\B(q;h(p)), distant a lui fat  a de qar  mai mic a dec^ at h(p)  si pentru
tot iq0apropiat i de qpe raza de la qlapdistant a de la q0lap0ar  mai mic a
dec^ at distant a de la q0lap, iar acest fapt contrazice denit ia lui h(p). Prin
urmare, egalitatea r am^ ane ^ n estimare dac a  si numai dac a Meste ombilical a.
Deoarece orice suprafat  a ombilical^ este o sfer a sau e cont inut a ^ ntr-un plan,
are loc egalitatea dac a  si numai dac a Meste o sfer a.
A sadar,B(q;h(p)) nu cont ine puncte de pe M si, prin urmare sfera care
m argine ste B(q;h(p)),S(q;h(p)), se a
 a complet ^ n interiorul ^ nchiderii
domeniului D:^In particular, sfera se a
 a ^ n interiorul lui M, ating^ and p.
Aceasta ^ nseamn a c a S(q;h(p)) are o curbur a normal a mai mare ^ n p^ n orice

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 43
direct ie, dec^ at M. Desigur, curburile normale pe o suprafat  a sunt constante
 si egale cu inversa razei. ^In cazul nostru, curbura normal a este ^ ntotdeauna
1
h(p) si avem egalitatea cerut a.
Acum, inegalitatea de mai sus spune c a k1h(p)1  sik2h(p)1. Prin
urmare, (1k1t)  si (1k2t) sunt nenegative pentru 0 th(p)  si
h(p)Z
0j(1k1t) (1k2t)jdt=h(p)Z
0(1k1t) (1k2t)dt: (2.4.15)
Inegaliatea curburii normale  si inegalitatea mediilor aba+b
2
2implic a

11
h(p)t2
=
11
h(p)t
11
h(p)t
(1k1t) (1k2t)
(1Ht)2:
Prin urmare,1
h(p)H(p) sau1
H(p)h(p). Rezult a,
h(p)Z
0(1k1t) (1k2t)dt1
HZ
0(1Ht)2dt=1
3H; (2.4.16)
 si ^ n consecint  a,
Vol(S) =Z Z
MZh(p)
0(1k1t) (1k2t)dtdAZ Z
M1
3HdA (2.4.17)
a sa cum se dorea. ^In cele din urm a, ret inem c a pentru a avea loc egalitatea,
trebuie s a se ^ ndeplineasc a condit ia (1 k1t) (1k2t)(1Ht)2:
Teorema 2.4.3. (Alexandrov ). Dac aMeste o suprafat  a compact a de
curbur a medie constant a, atunci Meste o sfer a.
Demonstrat ie. S a presupunem c a Heste constant a  si folosim formula
(??)  si Teorema de divergent  a, unde Ueste normal interioar a,
A=Z Z
MHU
xdA =HZ Z Z
divx dxdydz = 3HVol . (2.4.18)

Capitolul 2. Suprafet e de curbur a medie constant a 44
Dar,Z Z
M1
HdA=1
HZ Z
MdA=A
H=A
A
3Vol= 3Vol; (2.4.19)
 si conform Teoremei lui Ros, Mtrebuie s a e o sfer a. 
Rezultatele teoremei lui Alexandrov au condus la Conjectura Hopf  si
anume c a toate suprafet ele imersate de curbur a medie constant a sunt sfere.
Abia ^ n ultimii ani s-a constatat c a aceat a conjectur a este fals a. H. Wente
a fost primul care a ar atat c a exist a  si alte suprafet e imersate de curbur a
medie constant a,  si anume torul.

Capitolul 3
Suprafet e minimale  si alte
ramuri ale matematicii
^In acest capitol vom prezenta c^ ateva leg aturi dintre suprafet ele minimale  si
alte domenii ale matematicii. Trebuie s a subliniem ^ nc a de la ^ nceput c a acest
subiect atinge  si este atins de multe domenii ale matematicii ^ n particular  si
ale  stiint ei ^ n general.
3.1 Funct ii armonice
O ecuat ie diferent ial a cu derivate part iale de ordinul doi, foarte important a,
intens studiat a^ n zica matematic a este ecuat ia Laplace sau ecuat ia potent ial a.
^In coordonatele carteziene bidimensionale, ecuat ia lui Laplace este
4 = 0; (3.1.1)
unde4 :=@2
@x2+@2
@y2:Aceast a ecuat ie descrie, printre altele, propagarea
c aldurii, propagarea undelor  si potent ialele gravitat ionale  si electrostatice.
Denit ia 3.1.1. O funct ie real a  (x;y)se nume ste armonic a dac a toate de-
rivatele part iale de ordinul doi sunt continue  si, ^ n ecare punct din domeniul
s au satisface ecuat ia Laplace.
Teorema 3.1.1. Dac a funct ia complex a f(z) =u(x;y) +iv(x;y)este ana-
litic a, (adic a derivata f0(z)exist a ^ n toate punctele unei regiuni din planul
45

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 46
complex), atunci oricare din funct iile u(x;y) siv(x;y)este armonic a.
Denit ia 3.1.2. Funct iileu(x;y) =Ref (z) siv(x;y) =Imf (z), cuf(z)
analitic a, se numesc conjugate armonic.
Exercit iul 3.1.1. Determin am funct iile conjugate armonic corespunz atoare
funct iei analitice f(z) =z2.
Rezolvare. Deoarecez=x+iy;avem
z2= (x+iy)2=x2+ 2ixyy2= (x2y2) +i(2xy):
Deci, ^ n acest caz, Re(z2) =u(x;y) =x2y2 siIm(z2) =v(x;y) = 2xy
sunt funct iile conjugate armonic asociate lui f(z) =z2.
Veric am faptul c a acestea sunt armonice. Calcul am derivatele part iale
ale luiu:ux= 2x,uy=2y,uxx= 2  siuyy=2:Rezult a c a usatisface
ecuat ia Laplace, uxx+uyy= 2+(2) = 0. ^In mod similar, derivatele part iale
ale luivsuntvx= 2y,vy= 2x,vxx= 0  sivyy= 0, deci  si vsatisface ecuat ia
Laplacevxx+vyy= 0.
De multe ori este util s a vizualiz am cum arat a funct iile armonice, privindu-
le ^ nR3pentru a discuta despre unele propriet at i ale lor. Gracele celor dou a
funct ii armonice din exercit iul anterior sunt suprafet e standard " sa". Pen-
tru funct iile armonice mai complicate, nu este ^ ntotdeauna simplu s a recu-
noa stem gracele lor. Pentru asta se poate folosi pelicula de s apun, deoarece
o interpretare zic a informal a poate  f acut a pur  si simplu folosind pelicu-
lele de s apun. Cu toate acestea, nu se poate spune ^ n general c a gracele
funct iilor armonice sunt suprafet e minimale sau invers.
Consider am funct ia armonic a u(x;y) =x2y2din exemplul anterior.
Calcul am curbura medie Hpotrivit parametriz arii Monge
H=2(1 +y2)2 (1 + 4×2)
2(1 + 4×2+ 4y2)=4y24×2
1 + 4×2+ 4y2: (3.1.2)
Evident, curbura medie pentru o astfel de suprafat  a nu este identic egal a cu
zero. In mod similar, ^ n general, suprafet ele minimale nu sunt grace ale
funct iilor armonice. Se cunosc foarte put ine lucruri despre parametrizarea
unei pelicule de s apun arbitrare. G asirea unor parametriz ari explicite pentru
suprafet ele minimale, chiar  si atunci c^ and s-au dat frontiere relativ simple,
s-a dovedit a  o problem a aproape imposibil a ^ nc a de pe vremea lui Plateau.

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 47
O^ ntrebare reasc a care apare este, c^ at de bun a este aproximarea suprafet elor
minimale cu funct ii armonice?
Mai ^ nt^ ai, consider am planul. Funct ia z=  (x;y) ar avea forma ax+
by+c, care este ^ n mod clar armonic a. Variabila zaici nu este variabil a com-
plex a, dar este coordonat a perpendicular a ^ n spat iul cartezian 3-dimensional.
Acum ne ^ ntreb am, suprafat a este aproape plan a? Folosind un argument si-
milar celui pe care l-am folosit ^ n teorema care atest a c a suprafet ele de arie
minim a sunt suprafet e minimale se poate ar ata c a ^ n acest caz, funct ia 
care minimizeaz a aria din interiorul unei bucle este armonic a.
Din p acate, ^ n majoritatea cazurilor, pe m asur a ce suprafat a minimal a
devine mai put in plan a, aceasta ^ ncepe s a varieze de la gracul unei funct ii
armonice reale.
O alt a relat ie interesant a ^ ntre suprafet ele minimale  si funct iile armonice
are loc atunci c^ and suprafat a este parametrizat a prin coordonate izoterme .
Denit ia 3.1.3. O parametrizare x(u;v)a unei suprafet e Mse nume ste
izoterm a dac a E=G siF= 0.
Vom ar ata^ ntr-o sect iune urm atoare c a ecare suprafat  a minimal a admite
parametrizare cu coordonate izoterme. C^ and se folosesc parametrii izotermi,
exist a o leg atur a str^ ans a ^ ntre operatorul Laplace 4x=xuu+xvv si curbura
medie.
Avem urm atoarele formule pentru un sistem de coordonate ortogonal:
xuu=Eu
2ExuEv
2Gxv+lU; (3.1.3)
xuv=Ev
2Exu+Gu
2Gxv+mU; (3.1.4)
xvv=Gu
2Exu+Gv
2Gxv+nU: (3.1.5)
Teorema 3.1.2. Dac a parametrizarea xeste izoterm a, atunci
4x= (2EH)U:

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 48
Demonstrat ie. DeoareceE=G siF= 0, avem
xuu+xvv=Eu
2ExuEv
2Gxv+lU
+
Gu
2Exu+Gv
2Gxv+nU
=Eu
2ExuEv
2Exv+lUEu
2Exu+Ev
2Exv+nU
= (l+n)U= 2El+n
2EU:
Prin examinarea formulei pentru curbura medie atunci c^ and E=G siF= 0,
vedem c a avem
H=El+En
2E2=l+n
2E: (3.1.6)
Prin urmare, xuu+xvv= (2EH)U.
Corolarul 3.1.1. O suprafat  a M:x(u;v) = (x1(u;v);x2(u;v);x3(u;v)),
cu coordonate izoterme este minimal a dac a  si numai dac a x1,x2 six3sunt
funct ii armonice.
Demonstrat ie. Dac aMeste suprafat  a minimal a, atunci H= 0  si, prin
teorema anterioar a, xuu+xvv= 0. Prin urmare, xeste armonic a.
Reciproc, presupunem c a x1,x2 six3sunt funct ii armonice. Atunci xeste
armonic a, deci xuu+xvv= 0  si, conform teoremei anterioare, (2 EH)U= 0.
Prin urmare, deoarece Ueste normala unitate  si E=xu
xu6= 0, atunci
H= 0  si deci Meste minimal a. 
Acest rezultat va avea un impact major asupra caracteriz arilor suprafet elor
minimale ^ n urm atoarele sect iuni. Este, de fapt, leg atura dintre geometria
teoriei suprafet ei minimale  si metode de analiz a complex a.
3.2 Variabile complexe
La sf^ ar situl sect iunii anterioare am spus c a exist a o relat ie str^ ans a ^ ntre
suprafet ele minimale  si analiza complex a. Acum vom descrie not iunile de
baz a ale analizei complexe care sunt necesare pentru a evident ia aceste relat ii.
Se noteaz ap1 prini si c^ ampul numerelor complexe prin
C=fz=x+iyjx;y2Rg:

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 49
O funct ief:C!Ceste continu a ^ n z0dac a lim z!z0f(z) =f(z0).
Dac a acest lucru este adev arat pentru tot i z0dintr-o mult ime deschis a D,
atuncifeste continu a ^ n D.
Denit ia 3.2.1. Funct iafeste complex diferent ial a ^ n z02Cdac a
lim
z!z0f(z)f(z0)
zz0(3.2.1)
exist a  si este nit a.
^In acest caz limita este notat a cu f0(z0). Dac a limita exist a pentru tot i
z02D,Ddeschis, atunci se spune c a feste analitic a sau olomorf a pe D.
Observ am c a, de si aceast a denit ie seam an a cu denit ia obi snuit a a deriva-
bilit at ii funct iilor de o singur a variabil a real a, ^ n contextul analizei complexe
este mult mai ranat a, deoarece zse poate apropia de z0din orice direct ie
de-a lungul oric arui tip de parametrizare. Putem folosi acest ranament ca
un avantaj.
Deoarece imaginea lui feste ^ n C, putem scrie f(z) =f(x+iy) =
(x;y)+i (x;y) unde si sunt funct ii reale de cele dou a variabile reale x
 siy. Funct iaeste partea real a a lui f, ^ n timp ce este partea imaginar a
a luif. Acum s a presupunem c a limita de mai sus exist a  si o calcul am ^ n
cazul special z=iy!z0=iy0:A sadar,
lim
y!y0(x0;y) +i (x0;y)[(x0;y0) +i (x0;y0)]
i(yy0)
= lim
y!y0(x0;y)(x0;y0) +i[ (x0;y) (x0;y0)]
i(yy0)
= lim
y!y0(x0;y)(x0;y0)
i(yy0)+ lim
y!y0i[ (x0;y) (x0;y0)]
i(yy0)
=1
i@
@y+@
@y=@
@yi@
@y:
Analog, c^ and z=x!z0=x0atunci limita este
@
@x+i@
@x:

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 50
Desigur, dac a feste complex diferent iabil a ^ n z0;atunci ambele limite sunt
egale cuf0(z0)  si atunci se obt in condit iile Cauchy-Riemann:
@
@x=@
@y; (3.2.2)
@
@y=@
@x:
A sadar este cunoscut a urm atoarea teorem a:
Teorema 3.2.1. O funct ie f este olomorf a pe deschisul Ddac a  si numai
dac a@
@x,@
@y,@
@x,@
@yexist a  si sunt continue pe D si au loc condit iile Cauchy-
Riemann pe D, (??).
Observat ia 3.2.1. Ment ion am, dar f ar a demonstrat ie, c a dac a feste olo-
morf a peD, atunci  si toate derivatele sale sunt olomorfe.
Exercit iul 3.2.1. Ar at am c a f(z) =z2este olomorf a  si calcul am f0(z)cu
ajutorul limitei  si cu relat iile Cauchy-Riemann ( ??).
Rezolvare. f(z) =z2=x2y2+i2xy:Deci, pentru relat iile Cauchy-
Riemann, avem:
@
@x= 2x=@
@y;@
@y=2y=@
@x: (3.2.3)
Astfel,f(z) =z2este olomorf a  si f0(z) = 2x+i2y= 2zcare este tot
olomorf a. 
Presupunem c a feste olomorf a. Atunci sunt vericate condit iile Cauchy-
Riemann care dau:
@2
@x2+@2
@y2=@
@x@
@y@
@y@
@x
=@2
@x@y@2
@y@x= 0;
deoarece derivatele part iale mixte sunt egale. Astfel,  si (similar) satisfac
ecuat ia Laplace4= 0 ( unde4=@2=@x2+@2=@y2;iareste si, )  si,
prin urmare, sunt funct ii armonice.

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 51
Reciproc, dac a este o funct ie de clas a C2pe un deschis D;armonic a
atunci exist a o alt a funct ie armonic a astfel ^ nc^ at f=+i este olomorf a.
Funct iile armonice  si care dau un astfel de fsunt funct iile conjugate
armonic , denite ^ n sect iunea precedent a.
Observat ia 3.2.2. De acum ^ nainte, din comoditate, vom folosi notat ia x
pentru derivata part ial a ^ n raport cu x,  si a sa mai departe.
Integrarea funct iilor complexe se realizeaz a prin integrala curbilinie de
spet a a doua a calculului vectorial. Presupunem c a f=+i este continu a
 si
(t) : [a;b]!Ceste o curb a. Apoi se dene ste integrala lui fde-a lungul
lui
ca indZ

f=Zb
af(
(t))
0(t)dt: (3.2.4)
Cel mai important lucru pe care trebuie s a-l amintim este c a exist a o
Teorem a fundamental a a calculului pentru integrale complexe,  si anume, dac a
feste olomorf a, atunci
Z

f0=f(b)f(a): (3.2.5)
Prin urmare, multe formule de la calculul integral obi snuit se transform a ^ n
analiz a complex a. Pe viitor, atunci c^ and vom lua ^ n considerare o parame-
trizarex(u;v) cu coordonate complexe, vom scrie z=u+iv, z=uiv si
vom introduce urm atoarea notat ie pentru diferent ierea part ial a complex a:
@
@z=1
2@
@ui@
@v
;@
@z=1
2@
@u+i@
@v
: (3.2.6)
Un avantaj al acestei notat ii este c a ofer a o vericare u soar a ca fs a e
olomorf a.
Exercit iul 3.2.2. Dac afeste olomorf a atunci@f
@z= 0.
Rezolvare. Dac afeste olomorf a atunci
@f
@z=1
2@
@u+i@
@u+i@
@v+i2@
@v

=1
2@
@u@
@v+i@
@u+i@
@v

= 0;conform relat iilor Cauchy-Riemann. 

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 52
3.3 Coordonate izoterme
Dup a cum am v azut ^ n prima sect iune a acestui capitol, cheia introducerii
analizei complexe ^ n teoria suprafet elor minimale este existent a unor coor-
donate izoterme pe o suprafat  a minimal a.
Amintim c a o parametrizare x(u;v) este izoterm a dac a E=xu
xu=
xv
xv=G siF= 0.
De fapt, exist a coordonate izoterme pe orice suprafet  a, dar demonstrat ia
este mult mai grea dec^ at cea dat a mai jos pentru suprafet e minimale.
Teorema 3.3.1. Coordonatele izoterme exist a pe orice suprafat  a minimal a
MR3.
Demonstrat ie. Se xeaz a un punct m2M. Se alege un sistem de
coordonate pentru R3astfel ^ nc^ at ms a e originea, planul tangent la M,
TmM, este planul xy,  si ^ n vecin atatea lui m,Meste gracul unei funct ii
z=f(x;y).^In plus, regulile de derivare dau
1 +f2
x
w
yfxfy
w
x=fy
w3
fxx
1 +f2
y

2fxfyfxy+fyy
1 +f2
x

;
1 +f2
y
w
xfxfy
w
y=fx
w3
fxx
1 +f2
y

2fxfyfxy+fyy
1 +f2
x

;
undew=p1 +f2
x+f2
y. Vom nota, a sa cum este tradit ional ( si convenabil),
 si anume, e p=fx,q=fy. Deoarece Meste minimal a, fsatisface ecuat ia
suprafet ei minimale
fxx
1 +f2
y

2fxfyfxy+fyy
1 +f2
x

= 0; (3.3.1)
deci avem
1 +p2
w
ypq
w
x= 0  si1 +q2
w
xpq
w
y= 0: (3.3.2)
^In continuare vom deni dou a c^ ampuri vectoriale ^ n planul xyprin
V=1 +p2
w;pq
w
 siW=pq
w;1 +q2
w
; (3.3.3)

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 53
 si aplic am Teorema lui Green pentru orice curb a ^ nchis a Ccont inut a ^ ntr-un
domeniu simplu conex Rpentru a obt ine
Z
CV=Z Z
R"pq
w
x1 +p2
w
y#
dxdy = 0 (3.3.4)
Z
CW=Z Z
R1 +q2
w
xpq
w
y
dxdy = 0: (3.3.5)
^Intruc^ at integralele curbilinii sunt zero pentru toate curbele ^ nchise din R;V
 siWtrebuie s a aib a funct ii potent iale. Asta ^ nseamn a c a exist a  sicu
grad() =V si grad() =W.
Considerate pe coordonate, aceste ecuat ii implic a
x=1 +p2
w; y=pq
w six=pq
w; y=1 +q2
w:
Denim o aplicat ie T:R!R2dat a astfel
T(x;y) = (x+(x;y);y+(x;y)): (3.3.6)
Matricea Jacobian a ata sat a acestei funct ii este
J(T) =1 +xy
x1 +y
="
1 +1+p2
wpq
w
pq
w1 +1+q2
w#
; (3.3.7)
 si calcul am determinantul, care este J(T) = (1 +w)2=w > 0:Teorema
Funct iei Inverse spune c a, ^ n vecin atatea lui m= (0;0), exist a o funct ie
invers a neted a T1(u;v) = (x;y) cu
J
T1

=J(T)1=1
detJ(T)"
1 +1+q2
wpq
w
pq
w1 +1+p2
w#
=1
(1 +w)2w+ 1 +q2pq
pq w + 1 +p2
:
Bine^ nt eles, ultima matrice este de fapt
xuxv
yuyv
; (3.3.8)

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 54
conform denit iei matricei Jacobiene. Vom pune aceste calcule pentru a
ar ata c a urm atoarea parametrizare (^ n coordonatele u sivdescrise mai sus)
x(u;v)def= (x(u;v);y(u;v);f(x(u;v);y(u;v))) (3.3.9)
este izoterm a. Mai ^ nt^ ai calcul am
xu=w+ 1 +q2
(1 +w)2;pq
(1 +w)2;pw+ 1 +q2
(1 +w)2+qpq
(1 +w)2
(3.3.10)
 si
E=xu
xu
=1
(1 +w)4h
w+ 1 +q2
2+p2q2+p2
w+ 1 +q2
2
2p2q2
w+ 1 +q2

+p2q4
=1
(1 +w)4
(1 +w)2
1 +q2+p2

=w2
(1 +w)2:

3.4 Reprezent ari Weierstrass-Enneper
^In aceast a sect iune, peste tot, f ara a mai specica de ecare dat a, vom con-
sideraMca ind o suprafat  a minimal a dat a prin parametrizarea izoterm a
x(u;v).
Fiez=u+ivcare indic a coordonatele complexe corespunz atoare  si
reamintim c a@
@z=1
2@
@ui@
@v

:Deoareceu=z+z
2 siv=i(zz)
2putem
scrie,
x(z;z) =
x1(z;z);x2(z;z);x3(z;z)

: (3.4.11)
Consider am xj(z;z); j= 1;2;3;ca ind funct ii complexe ale c aror valori
sunt complexe, dar care pot avea  si valori reale. Avem,@xj
@z=1
2(xj
uixj
v):
Denim
def:=@x
@z=
x1
z;x2
z;x3
z

=
1;2;3

: (3.4.12)

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 55
^In contiuare vom analiza funct ia . Vom folosi urm atoarele notat ii:
()2=
x1
z
2+
x2
z
2+
x3
z
2 sijj2=x1
z2+x2
z2+x3
z2;
undejzj=p
u2+v2este modulul lui z.^In primul r^ and, ret inem c a avem

xi
z
2=1
4
xj
u
2
xj
v
22ixj
uxj
v
; j= 1;2;3:
Prin urmare,
()2=1
4 3X
j=1
xj
u
23X
j=1
xj
v
22i3X
j=1xj
uxj
v!
=1
4
jxuj2jxvj22ixu
xv

=1
4(EG2iF) = 0
deoarecex(u;v) este o parametrizare izoterm a.
Compar^ and partea real a  si partea imaginar a, vedem c a  si reciproca este
adev arat a. S i anume, dac a ( )2= 0, atunci parametrizarea trebuie s a e
izoterm a.
^In cele din urm a,
@
@z=@
@z@x
@z
=1
4
x= 0
deoarecexeste o parametrizare izoterm a. Prin urmare, =@x
@zeste olomorf a.
^In schimb, acela si calcul ne arat a c a, dac a ecare component a ja lui,
(j= 1;2;3) este olomorf a, atunci ecare xjeste armonic a  si, prin urmare, M
este o suprafat  a minimal a. Avem astfel demonstrat a urm atoarea teorem a:
Teorema 3.4.1. FieMo suprafat  a dat a ^ n parametrizarea x. Fie=@x
@z
 si presupunem c a ()2= 0 (i.e.,xeste izoterm a). Atunci Meste minimal a
dac a  si numai dac a ecare j; j= 1;2;3;este olomorf a.
Dac a ecare j; j= 1;2;3;este olomorf a, atunci este olomorf a. Re-
zultatul de mai sus ne spune c a orice suprafat  a minimal a poate  des-
cris a ^ n vecin atatea ec arui punct al ei printr-un triplet de funct ii olomorfe
= (1;2;3) cu ()2= 0. ^Intr-adev ar, ^ n acest caz putem scrie o parame-
trizare izoterm a pentru o suprafat  a minimal a lu^ and

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 56
Corolarul 3.4.1. xj(z;z) =cj+ 2ReR
jdz; j = 1;2;3:
Demonstrat ie. Deoarecez=u+iv, putem scrie dz=du+idv. Avem
jdz=1
2
xj
uixj
v

(du+idv)
=1
2
xj
udu+xj
vdv+i
xj
udvxj
vdu

;
(3.4.13)
jdz=1
2
xj
u+ixj
v

(duidv)
=1
2
xj
udu+xj
vdvi
xj
udvxj
vdu

:
(3.4.14)
Apoi avem dxj=@xj
@zdz+@xj
@zdz=jdz+jdz= 2Re dz  si acum vom
integra pentru a-l obt ine pe xj, ceea ce d a xj(z;z) =cj+ 2ReR
jdz:
Denit ia 3.4.1. O funct iegse nume ste meromorf a dac a toate singularit at ile
ei sunt poli, adic a ^ n jurul ec arei singularit at i z0exist a o dezvoltare Laurent
(generalizarea expansiunii Taylor) de forma
g(z) =bn
(zz0)n+:::+b1
(zz0)+1X
j=0aj(zz0)j; (3.4.15)
pentru unnnit, cu coecient ii determinat i de g.
A sadar, construirea suprafet elor minimale se reduce la g asirea lui =
(1;2;3) cu ()2= 0. O modalitate interesant a de a deni un astfel de 
este de a lua o funct ie olomorf a f si o funct ie meromorf a g;(cufg2olomorf a)
de forma
1=1
2f
1g2

; 2=i
2f
1 +g2

; 3=fg: (3.4.16)
Cele mai importante exemple de funct ii meromorfe sunt funct iile rat ionale
g(z) =P(z)
Q(z);cuP;Q polinoame. Prin urmare, obt inem teorema
Teorema 3.4.2. (Reprezentare I Weierstrass-Enneper ). Dac afeste
olomorf a pe un domeniu D,geste meromorf a pe D sifg2este olomorf a pe D,
atunci suprafat a minimal a este denit a de x(z;z) = (x1(z;z);x2(z;z);x3(z;z)),
unde
x1(z;z) =ReZ
f
1g2

dz; (3.4.17)

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 57
x2(z;z) =ReZ
if
1 +g2

dz; (3.4.18)
x3(z;z) = 2ReZ
fgdz: (3.4.19)
^Inainte de a prezenta c^ ateva exemple, not am faptul c a exist a  si o alt a
form a a reprezent arii I Weierstrass-Enneper.
S a presupunem c a geste olomorf a ^ ntr-un domeniu D si inversabil a av^ and
inversag1care este tot olomorf a. Atunci putem considera gca ind o
nou a variabil a complex a =gcud=g0dz:DenimF()=f
g0 si ont inem
F()d=fdz: Mai mult, dac a ^ nlocuim gcu sifcuF()d, obt inem
Teorema 3.4.3. (Reprezentare a II-a Weierstrass-Enneper ). Pentru
orice funct ie olomorf a F();o suprafat  a minimal a este denit a de parame-
trizareax(z;z) = (x1(z;z);x2(z;z);x3(z;z)), unde
x1(z;z) =ReZ
12

F()d; (3.4.20)
x2(z;z) =ReZ
i
1 +2

F()d; (3.4.21)
x3(z;z) = 2ReZ
F()d: (3.4.22)
Observat ia 3.4.1. Corespunz ator reprezent arii a II-a Weierstrass-Enneper
avem,
=1
2
12

F();i
2
1 +2

F();F()
: (3.4.23)
Reprezentarea a II-a Weierstrass-Enneper spune c a orice funct ie olomorf a
F() determin a o suprafat  a minimal a. Bine^ nt eles, nu ne putem a stepta c a
ecare funct ie s a dea integrale complexe care pot  calculate cu u surint  a.
Cu toate acestea, vom vedea c a putem calcula mai multe lucruri despre
suprafet ele minimale direct din reprezent arile sale.
Pentru a analiza c^ ateva suprafet e minimale standard din punct de vedere
al reprezent arii, trebuie mai ^ nt^ ai s a reamintim c^ ateva dintre funct iile de baz a
ale analizei complexe. Pentru aceasta, scriem z=u+iv si denim

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 58
ez=eu(cosv+isinv)  si log (z) = lnp
u2+v2+iarctanv
u: (3.4.24)
Folosind denit ia lui ez, se denesc
sinz=eizeiz
2i;cosz=eiz+eiz
2,
sinhz=ezez
2, coshz=ez+ez
2:
Unul din motivele pentru care aceste denit ii sunt alese este c a ele extind
funct iile reale obi snuite. De exemplu, dac a z=u, atunci denit ia lui ezd a
sinzca ind funct ia real a sin u.^In mod similar, pentru z=u, sinhz=
sinhu:C^ at timp aceste funct ii complexe au exact acelea si reguli de derivare
 si integrare ca ^ n cazul real, adesea este util a extinderea funct iilor complexe
^ n parte real a  si parte imaginar a. Pentru a realiza acest lucru, ^ nlocuim zcu
u+iv si folosim denit ia lui ezde mai sus.
Exercit iul 3.4.1. Reprezentarea a II-a Weierstrass-Enneper pen-
tru catenoid.
Rezolvare. FieF() =1
22:Folosind substitut ia =ezobt inem:
x1=ReZ
12
1
22d=ReZ1
221
2
d
=Re1
2+
2
=Reez+ez
2
=Recoshz=coshucosv:
x2=ReiZ
1 +2
1
22d=ReZ
i1
22+1
2
d
=Rei1
2
2
=Re iez+ez
2
=Re(isinhz) =coshusinv.
x3=Re2Z
1
22d=ReZ1
d=Reln=Rez=u:

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 59
Am obt inut (abstract ie f ac^ and de semnele minus) parametrizarea standard
a unui catenoid, x(u;v) = (coshucosv;coshusinv;u):
Exercit iul 3.4.2. Reprezentarea a II-a Weierstrass-Enneper pen-
tru elicoid.
Rezolvare. FieF() =i
22. Ar at am c a reprezentarea asociat a lui F()
este un elicoid:
x1=ReZ
12
i
22d=Re iZ1
221
2
d=Re i1
2+
2
=Reiez+ez
2=Re icoshz= sinhusinv;
x2=ReiZ
1 +2

=i
22dx3=ReZ1
22+1
2d=Re
1
2+
2
=Reezez
2=Resinhz=sinhucosv;
x3= 2Re iZ
1
22d=Re iZ1
d=Re iln=Re iz =v:

A sadar, reprezent arile Weierstrass-Enneper dau o mult ime standard de
suprafet e minimale, dar adev arata important  a a lor este dat a de faptul c a
se pot analiza mai multe aspecte ale suprafet elor minimale, direct din re-
prezentarea funct iilor ( f;g)  siF():^In particular, acest lucru se aplic a  si
suprafet elor ale c aror integrale Weierstrass-Enneper nu pot  calculate ^ n
mod explicit. Ca exemplu, vom calcula curbura Gaussinian a a unei suprafet e
minimale ^ n raport cu F():Mai folosim faptul c a parametrizarea este izo-
term a ^ n formula curburii Gauss:
K=1
2p
EG@
@vEvp
EG
+@
@uGup
EG
=1
2E@
@vEv
E
+@
@uEu
E
=1
2E@2
@v2lnE+@2
@u2lnE
=1
2E
(lnE);

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 60
unde
este operatorul Laplace :
DeoareceE= 2jj2,^ l calcul am pe E stiind c a=1
2(12)F();i
2(1 +2)F();F()

:
Avem,
E= 2"1
2
12

F()2
+i
2
1 +2

F()2
+jF()j2#
=1
2jFj2h212+2+ 12+ 4jj2i
:
Acum,2=u2v2+ 2iuv;decij21j2= (u2v21)2+4u2v2. Similar,
j2+ 1j2= (u2v2+ 1)2+ 4u2v2 si 4jj2= 4 (u2+v2):Apoi
E=1
2jFj22h
u2v2
2+ 1 + 4u2v2+ 2u2+ 2v2i
=jFj2
u4+ 2u2v2+v4+ 1 + 2u2+ 2v2
=jFj2
1 +u2+v22:
Acum trebuie s a calcul am

lnjFj2

=

lnFF

=

lnF+ lnF

:
Deoarece
=4@2
@z@y siFeste olomorf a, pentru Favem@F
@z= 0  si, ^ n
consecint  a,@lnF
@z= 0:Deci,

(lnF) = 4@2lnF
@z@z= 4@
@zF0
F
= 0;
^ ntruc^ atF;F0sunt olomorfe  si, prin urmare  siF0
Fsunt olomorfe. Astfel,

(lnjFj2) = 0  si
(ln E) =8
(1+u2+v2)2.
Se poate demonstra urm atoarea teorem a:
Teorema 3.4.4. Curbura Gauss a unei suprafet e minimale determinat a de
reprezentarea II-a Weierstrass-Enneper este
K=4
jFj2(1 +u2+v2)4:
Demonstrat ie. Din calculele de mai sus, rezult a
K=1
2E
(lnE) =8
2jFj2(1 +u2+v2)4=4
jFj2(1 +u2+v2)4:

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 61

P^ an a ^ n prezent, am tratat mai mult reprezentarea Weierstrass-Enneper
mai din punct de vedere algebric  si analitic dec^ at din punct de vedere geome-
tric. Dar, ea se refer a la geometria suprafet elor minimale. Acum vom folosi
prezentarea de mai sus evident iind unele leg aturi cu construct iile geometriei
diferent iale obi snuite.
Pentru aceasta reamintim c a aplicat ia Gauss a unei suprafet e M:x(u;v)
este o aplicat ie de la suprafat  a la sfera unitate S2;notat aG:M!S2
 si dat a deG(p) =Up, undeUpeste normala unitate la M^ np. Utiliz^ and
parametrizarea, putem scrie G(x(u;v)) =U(u;v)  si, pentru o port iune mic a
dinM;consider am U(u;v) parametrizarea sferei S2.
Reamintim de asemenea, c a transformarea liniar a indus a ^ ntre planele
tangente este dat a, pentru baza fxu;xvg;de
G(xu) =Uu=S(xu)  siG(xv) =Uv=S(xv):
Denit ia 3.4.2. O aplicat ie ^ ntre suprafet ele M:x(u;v) siN:y(u;v),
I:M!Ndat a parametric (cu aceia si parametri u siv),
I(x(u;v)) =y(u;v);
este o aplicat ie conform a dac a
Ex=2(u;v)Ey=(u;v)2I(xu)
I(xu); (3.4.25)
Fx=2(u;v)Fy=(u;v)2I(xu)
I(xv);
Gx=2(u;v)Gy=(u;v)2I(xv)
I(xv);
pentru o funct ie (u;v)numit a factor de scalare.
^In mod echivalent, se pot exprima egalit at ile ( ??) folosind lungimile jxuj
 sijxvj.Ieste conform a atunci c^ and metricile suprafet elor M siNsunt
proport ionale ^ n ecare punct p2M si imaginea sa I(p)2N.
Avem urm atorul rezultat general care caracterizeaz a geometric suprafet ele
minimale  si sferele.
Propozit ia 3.4.1. FieM:x(u;v)o suprafat  a minimal a parametrizat a prin
coordonate izoterme. Atunci aplicat ia Gauss a lui Meste o aplicat ie con-
form a.

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 62
Demonstrat ie. Pentru a ar ata c a Geste conform a, trebuie doar s a
ar at am c a
jG(xu)j=(u;v)jxuj;jG(xv)j=(u;v)jxvj
 si
G(xu)
G(xv) =2(u;v)xu
xv;
pentru un factor de scalar (u;v):Deoarece ^ n coordonate izoterme are loc
E=G siF= 0;se obt ine
G(xu) =Uu=l
Exum
Exv; G(xv) =Uv=m
Exun
Exv;(3.4.26)
jUuj=1
E
l2+m2
;jUvj=1
E
m2+n2
; (3.4.27)
Uu
Uv=m
E[l+n]: (3.4.28)
Dar, pentru l=n;avem c a
jUuj2=1
E
l2+m2
=jUvj2 siUu
Uv= 0: (3.4.29)
Deoarecejxuj=p
E=jxvj sixu
xv= 0, rezult a c a aplicat ia Gauss Geste
conform a cu factorul de conformalitatep
l2+m2=E:
Exercit iul 3.4.3. Ar at am c a factorul de conformalitatep
l2+m2=Eeste
egal cup
jKj, undeKeste curbura Gauss.
Rezolvare. Meste o suprafat  a minimal a cu coordonate izoterme, deci
l=n si, prin urmare
K=lnm2
EGF2=l2m2
E20=l2+m2
E2: (3.4.30)
Denit ia 3.4.3. Aplicat iaSt:S2rfNg!R2denit a de
St(x;y;z ) =x
1z;y
1z;0
se nume ste proiect ia stereograc a din polul nord N(0;0;1)a punctelor de pe
S2rfNg, ^ n puncte din planul R2:

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 63
Planul R2se poate identica cu C, iar aplicat ia Stse poate extinde bi-
jectiv la aplicat ia St:S2!C[f1g;cu polul nord N!1:Cu aceast a
identicare avem,
Teorema 3.4.5. FieM:x(u;v)o suprafat  a minimal a ^ n coordonate izo-
terme cu reprezentarea I Weierstrass-Enneper (f;g):Atunci aplicat ia Gauss
a luiM,G:M!C[f1g , poate  identicat a cu funct ia g.
Demonstrat ie. Demonstrat ia reune ste toate not iunile prezentate ante-
rior de analiz a complex a. Avem c a =@x
@z,=@x
@z si
1=1
2f
1g2

; 2=i
2f
1 +g2

; 3=fg: (3.4.31)
Vom descrie aplicat ia Gauss ^ n funct ie de 1;2 si3:Mai ^ nt^ ai, scriem
xuxv=
(xuxv)1;(xuxv)2;(xuxv)3

= (x2
ux3
vx3
ux2
v; x3
ux1
vx1
ux3
v; x1
ux2
vx2
ux1
v):
Consider am prima component a ( xuxv)1=x2
ux3
vx3
ux2
v:Avem
x2
ux3
vx3
ux2
v=Im
x2
uix2
v

x3
u+ix3
v

=Im
2
@x2=@z


2
@x3=@z

= 4Im
23
:
Similar, (xuxv)2= 4Im
31
 si (xuxv)3= 4Im
12
:Prin urmare,
xuxv= 4Im
23;31;12
= 2


; (3.4.32)
unde ultima egalitate rezult a din zz= 2Imz: Deoarecex(u;v) este para-
metrizare izoterm a, jxuxvj=jxujjxvj=jxuj2=E= 2jj2:Prin urmare,
U=xuxv
jxuxvj=2()
2jj2=
jj2: (3.4.33)
Calcul am aplicat ia G:M!C[f1g :

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 64
G(x(u;v)) =St U (u;v) =St
jj2
=St0
@2Im
23;31;12
jj21
A
=0
@2Im
23
jj22Im
12;2Im
31
jj22Im
12;01
A:
Din ultima egalitate rezult a
x
1z=2Im
23
jj21
12Im
12
jj2
=2Im
23
jj2jj2
jj22Im
12
=2Im
23
jj22Im
12;
 si similar pentruy
1z:Identicarea ( x;y)2Rcux+iy2Cne permite s a
scriem
G(x(u;v)) =2Im
23
+ 2iIm
31
jj22Im
12: (3.4.34)
Acum, not am cu Nnum ar atorul acestei fract ii,  si avem
N= 2Im
23
+ 2iIm
31
=1
ih
2323+i31i31i
=3
1+i2
3(1+i2):

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 65
De asemenea,
0 = ()2= (1)2+ (2)2+ (3)2= (1i2) (1+i2) + (3)2;deci
1+i2=(3)2
1i2: (3.4.35)
Apoi avem,
N=3(1+i2) +3(3)2
1i2
=3h
(1i2)
1+i2
+j3j2i
12
=3
1i2h
j1j2+j2j2+j3j2+i
2121i
=3
1i2h
jj22Im
12i
:Astfel, al doilea factor al num ar atorului
Nse simplic a cu numitorul lui G(x(u;v))  si ajungem la
G(x(u;v)) =3
1i2=g: (3.4.36)

Observat ia 3.4.2. Folosind reprezentarea a II-a Weierstrass-Enneper se
poate observa c a aplicat ia Gauss poate  identicat a  si cu variabila complex a
.

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 66
3.5 Maple  si suprafet e minimale

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 67

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 68

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 69

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 70

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 71

Capitolul 3. Suprafet e minimale  si ale ramuri ale matematicii 72

Bibliograe 73

Bibliograe
[1] C. Delaunay, Sur la surface de r evolution dont la courbure moyenne
est constante , J. Math. Pures Appl., 6 (1841), 309{320. With a note
appended by M. Sturm.
[2] J. Eells, The Surfaces of Delaunay , The Math. Intelligences, 1 (1987),
53{57.
[3] A.D. Halanay, Curs de geometrie, (electronic)
http://gta.math.unibuc.ro/pages/ahalanay/Curs.pdf
[4] R. Hynd, S.-H. Park, J. Mccuan, Symmetric spaces of constant mean
curvature in R3;Pacic Journal Math., 241(1), 2009, 63-115.
[5] J.H. Jellet, Sur la Surface dont la Courbure Moyenne est Constant , J.
Math. Pures Appl., 18 (1853), 163{167.
[6] K. Kenmotsu, Surfaces of revolution with prescribed mean curvature ,
T^ ohoku Math. J., 32 (1980), 147{153.
[7] C.J. Lejdfors, Surfaces of constant mean curvature , Lund University,
2003.
[8] J. Oprea, Dierential Geometry and Its Applications, Second Edition,
The Math. Association America, 2007.
[9] R.-M. Popescu, Suprafet e minimale , Editura Sf. Ier. Nicolae, 2010, 978-
606-577-014-0, www.ro.math.wikia.com.
[10] A. Pressley, Elementary Diferential Geometry, Springer 2001.
74

Bibliograe 75
[11] M. Spivak, A comprehensive introduction to dierential geometry, Vol.
1-4. Publish or Perish, Boston, 1971-1975.
[12] H.C. Wente, Counterexample to a conjecture of H. Hopf , Pac. Journal
of Math., 245 (1986), 193{243.
[13] www.virtualmathmuseum.org. c
Copyright 2004-2006 3DXM Consor-
tium.