Suportul Formal al Abordarii Holistice a Proiectarii Conceptuale a Proceselor Formativ Educative ale Modelului Conceptual

Introducere

Acest capitol este destinat exclusiv suportului formal al abordări holostice pentru proiectarea conceptuală a proceselor sistemului informațional de suport al deciziei pentru asistarea proceselor educativ-formative propus. În debutul acestui capitol, se motivează utilizarea unui raționament în termeni de limbaj și este prezentat rolul unificator al formalismului. Se va observa de-a lungul capitolului că utilizarea sistemelor cu evenimente discrete ca formalism de tip limbaj permite modelarea limbajului prin utilizarea de automate. De asemenea, se va utiliza teoria conducerii supervizate pentru a realiza instrumentul de asistare a individului ce utilizează sistemul în scop formativ, și de asemenea, se va utiliza algoritmul lui Kumar pentru realizarea supervizorului.

3.1. Raționament în termeni de limbaj

Dicționarul Explicativ al Limbii Române definește limbajul ca „sistem de comunicare alcătuit din sunete articulate, specific oamenilor, prin care aceștia își exprimă gândurile, sentimentele și dorințele; sistem de caractere și simboluri folosit în programare”

Pentru ingineri, termenul de limbaj nu se restrânge doar la semnificația limbajului natural, ci este extins către crearea de limbaje de reprezentare precum schemele grafice, desene, scheme logice/matematice, ca o modalitate de a exprima diferite idei.

Limbajul natural a evoluat de-a lungul timpului, în conformitate cu nevoile de interacțiune socială, de a transmite informații ș.a.m.d. De asemenea, limbajul natural este în continuă dezvoltare. Sunt introduse în uz cuvinte și expresii noi, în timp ce alte cuvinte capătă sensuri sau înțelesuri noi, iar altele ies din uz.

Regulile pe care se bazează folosirea limbajului natural, regulile de combinare a cuvintelor în propoziții și fraze sunt mai degrabă descriptive decât prescriptive. Limbajul natural este caracterizat de înțeles implicit. Atunci când un emițător transmite un mesaj căte receptor, emițătorul presupune că persoana cu care comunică înțelege sensul cuvintelor și al mesajului. Dar se întâmplă uneori ca emițătorul să nu transmită mesajul clar, lăsând loc de interpretări, iar de cele mai multe ori acestea sunt greșite.

De aceea, inginerii preferă eliminarea ambiguităților de limbaj și a înțelesurilor eronate care pot apărea în comunicare prin selectarea unui subset al limbajului naturial, cu scop general și menționează definiții explicite pentru concepte – cheie.

Lumea contemporană este marcată de procese tot mai complexe și de transmiterea rapidă de informații din care derivă comunicațiile tehnice. Realizarea acestei forme de comunicare necesită dezvoltarea unei teorii a limbajelor care să fie în stare să formalizeze, să gestioneze și să compatibilizeze particularitățile diferitelor puncte de vedere.

Problemele care pot fi formulate din perspectiva SDED pentru rezolvare necesită analize formale care să poată fi probate pentru completitudine și coerență.

Chiar dacă în abordările tehnice, logica nu își mai propune a fi o teorie de apreciere generală a lumii, ci se referă la domenii reale, clar definite și identificate, structurile și rolul acesteia de deductibilitate este semnificativ crescut. Dimeniunea semnificativă a problemelor și necesitatea unor soluții implementabile, conduce la necesitatea definirii de limbaje, care la rândul lor stau la baza unor limbaje de specificare.

Caracteristicile unui limbaj formal sunt definițiile exacte, simbolurile explicite și modul de raționare. Astfel de limbaje alcătuiesc sisteme lingvistice, ce reunesc cuvinte în propoziții în acord cu reguli bine definite, prin care se realizează raționamente. Rolul acestor limbaje nu este numai acela de a permite definiri de evenimente, relații între acestea, ci de o importanță deosebită este posibilitatea de verificare, pe diferite nivele, a consistenței, a completitudinii și coerenței enunțurilor făcute în limbajele respective.

Un limbaj formal de specificare va consta dintr-o colecție de simboluri care formează un alfabet și un set de reguli sintactice, care determină ce combinații de simboluri constituie o expresie validă în limbaj. Cele mai multe limbaje de specificare sunt acceptate de instrumente de analiză sintactică automată, iar o parte din acestea sunt anturate de instrumente de analiză semantică ca aparat de deductivitate, pentru probarea teoremelor sau pentru verificările semantice.

Un exemplu de limbaj formal ce va fi utilizat în lucrarea de față îl reprezintă grafurile. Utilizate într-un mod corespunzător, acesta constituie un intrument puternic în rezolvarea de probleme. Depinde doar de persoana care are sarcina de a rezolva problema să asocieze graful unei clase de probleme, să declare în mod explicit care sunt caracteristicile problemei rezolvate în graf, care e semnificația nodurilor și a arcelor.

3.2. Rolul unificator al formalismului

Un instrument modelat ca SDED integrează un număr finit de resurse care sunt folosite în comun de mai mulți „utilizatori”. Aceste sisteme s-a putea denumi sisteme orientate pe activități declanșate și conduse prin șiruri de evenimente discrete. Apare evident faptul că pentru reprezentarea formală a dinamicii clasei de sisteme SDED nu se mai poate apela la modele matematice din teoria sistemelor de conducere automată (ecuații diferențiale, ecuații cu derivate parțiale sau cu diferențe finite). De aici, întrebarea: care este formalismul adecvat reprezentării specifice analizei și sintezei sistemelor SDED, formalism capabil să asigure corespondență conceptuală pentru caracteristicile fundamentale: observabilitate, controlabilitate, decidabilitate etc.?

3.3. Sisteme Dinamice cu Evenimente Discrete ca formalism de tip limbaj

Pentru realizarea modulului de deprindere de cunoștințe și abilități, o abordare bazată pe rezolvare de probleme duce la transpunerea cunoștințelor în rezolvarea de situații problematice din lumea reală a domeniului de activitate a subiectului care se supune unui astfel de proces de învățare, bazat pe rezolvare de probleme. Acest mod de învățare permite utilizatorului non-expert să dezvolte raționamente de rezolvare menite să-l ajute să transpună în practică cunoștințele dobândite și să îl motiveze să ajungă la soluția problemei.

Pentru modelarea instrumentului de rezolvare de probleme este necesară atingerea unui nivel de abstractizare care să permită modelarea la nivel logic al problemelor, iar utilizarea SDED duce la îndeplinirea acestei cerințe. Teoria limbajelor pentru modelarea SDED are la bază definiția procedurală a acestuia, și anume, fiecare SDED are asociat un alfabet finit de evenimente Σ, precum și conceptele cuvânt și limbaj.

În teoria SDED, un cuvânt (engl. string, word) reprezintă o secvență ordonată de evenimente sau simboluri ale aceluiași alfabet3. Cele mai importante caracteristici ale unui cuvânt sunt lungimea (determinată de numărul de simboluri) și relația de ordine între evenimente.

Dacă un cuvânt poate fi interpretat ca o evoluție posibilă a unui SDED, atunci un limbaj (L) poate reprezenta un set de evoluții (evoluții posibile, admisibile, dorite sau interzise), deoarece un limbaj reprezintă o mulțime de cuvinte formate peste același alfabet Σ.

SDED permite trei niveluri de abstractizare, precum:

Nivelul logic. Acestă abordare se numește modelare comportamentală. Primul instrument formal utilizat în studiul SDED îl reprezintă teoria limbajelor,. Această teorie a avut ca obiectiv inițial analiza și conducerea SDED la acest prim nivel de abstractizare, apectele de interes fiind:

evaluarea spațiului stărilor posibile pentru un SDED dat;

accesibilitatea unei stări din starea inițială a sistemului;

secvența de evenimente care conduce la o stare dată;

posibilitatea de a conduce sistemul într-un regim de funcționare dorit, specificat printr-o mulțime de stări, respectiv de a evita o mulțime definită de stări.

Nivelul limbajelor temporizate. La acest nivel devine posibilă și analiza cantitativă a sistemului, cu obiective referitoare la durata necesară evoluției sistemului între două stări date, durata unui ciclu de funcționare, intervalul de timp pe care sistemul îl petrece într-o anumită stare etc.

Nivelul limbajelor temporizate stocastice. Este nivelul de abstractizare cel mai ridicat utilizat pentru modelarea sistemelor pentru care se dispune de distribuții de probabilitate referitoare la intervalele de timp între apariția a două evenimente succesive.

Alegerea unui anumit nivel de abstractizare pentru modelul SDED al unui sistem depinde în mod fundamental de obiectivul modelării – cele trei niveluri fiind complementare din punctul de vedere al aspectelor comportamentale a căror analiză o permit3.

Pentru realizarea instrumentului de rezolvare de probleme, propun utilizarea primului nivel de abstractizare, și anume, nivelului logic, deoarece introducerea variabilei timp pentru un astfel de instrument nu este relevantă. Instrumetul va pune accent pe modul de raționare și pe dezvoltarea creativă a soluțiilor pentru problemele propuse și nu pe factorul de timp necesar.

De cele mai multe ori, studiul evoluției unui sistem are ca obiectiv determinarea modalităților prin care acesta poate fi condus către o serie de stări date, denumite stări marcate (marked states) Qm– care definesc funcționarea dorită a sistemului. În raport cu acest obiectiv de conducere, se definește limbajul marcat al sistemului:

Lm(G)= { s Σ*| (q0, s)Qm}3.

Deși perechea (L, Lm), care se numește modelul limbaj al sistemului studiat, reprezintă o modalitate formală completă pentru descrierea sistemelor, o dificultate majoră este reprezentată de dimensiunea modelelor limbaj.

3.4. Metode de reprezentare a limbajului

Cele mai importante formalisme de reprezentare a limbajelor sunt automatele și rețelele Petri. În lucrarea de față, pentru modelarea instrumentului de rezolvare de probleme util în realizarea modulului de deprindere de cunoștințe și abilități practice și modulul de testare se va utiliza automatul ca formalism de reprezentare.

Un automat este o structură de tip graf direcționat, care poate reprezenta modelul limbaj conform unor reguli bine definite. Reprezentarea cu automate este versatilă. Acestea pot reprezenta diferite domenii și diverse probleme, cu condiția ca toate simbolurile (nodurile și arcele) să fie explicitate. De asemenea, pentru claritatea reprezentării, fiecare nod și fiecare arc au o denumire unică, deși unele arce sunt folosite de mai multe ori în același graf.

Modelarea cu automate permite generarea întreg spațiului de stări posibile pentru o problemă. Pornind din starea inițială și generând toate evenimentele posibile se ajunge la realizarea spațiului de stări posibile.

3.4.1. Automate finite deterministe

Un automat determinist G este un SDED cu următoarele componente: G=(Q, Σ, δ, Γ, q0, Qm)3, unde:

Q – este mulțimea stărilor automatului (dacă mulțimea Q este finită, atunci automatul se numește finit);

Σ – este alfabetul finit de evenimente asociate arcelor grafului; mai multe arce diferite pot fi asociate aceluiași eveniment;

δ: Q x Σ→ Q – este funcția de tranziție; dacă este definită δ(qi, ej) = qt, înseamnă că există un arc asociat evenimentului ej care pleacă din starea qi și ajunge în starea qt;

Γ: Q→ 2Σ este funcția evenimentelor active cu valori în mulțimea tuturor submulțimilor lui Σ; Γ (qi) este mulțimea tuturor evenimentelor ej pentru care este definită δ(qi, ej) și se numește mulțimea evenimentelor fezabile sau active din starea qi sau mulțimea evenimentelor la care este receptivă qi;

q0 – este starea inițială;

QmQ este mulțimea stărilor marcate.

O observație importantă este legată de funcțiile δ și Γ: în situațiile în care teoria automatelor se aplică în domeniul științei calculatoarelor – respectiv al proiectării aplicațiilor software – este indicat ca funcția δ să fie complet definită; deoarece nu există considerente fizice care să împiedice apariția unui eveniment oarecare într-o stare dată. În această situație, definiția automatului poate să nu includă funcția Γ; aceasta este însă foarte importantă în aplicațiile de conducere a proceselor, unde talia modelului poate fi redusă prin eliminarea acelor evenimente care nu pot avea fizic loc în anumite stări3.

Funcționarea unui automat are loc astfel: se pornește din starea sa inițială q0 și, la apariția unui eveniment e0Γ(q0)⊆Σ, va face o tranziție către starea δ(q0, e0)=q1Q. Procesul se reia iterativ pentru q1 și e1. Cuvântul e0.e1… en reprezintă o intrare de lungime n+1 pentru automat și face parte din limbajul generat al SDED modelat astfel.

Corespondența între automate și modelul limbaj este dată de următoarele definiții3:

Fie un automat G=(Q, Σ, δ, Γ, q0, Qm). Atunci limbajul generat de G este L(G) = {sΣ* | δ(q0, s)Q}, iar limbajul marcat de G este Lm(G) = {sL | δ(q0, s)Qm}.

Dacă funcția δ este complet definită, atunci L(G) =Σ*. Două automate G1 și G2 se numesc echivalente dacă L(G1) = L(G2) și Lm(G1) = Lm(G2).

Majoritatea rezultatelor teoriei SDED pentru formalismul de reprezentare automat se referă la clasa de automate finite deterministe (AFD), care permit, de altfel, definirea unei clase de limbaje cu proprietăți matematice bine definite, respectiv clasa limbajelor regulate. Un limbaj se numește regulat dacă poate fi marcat de un AFD. Clasa limbajelor regulate se notează cu R.

Clasa de limbaje R este foarte importantă, deoarece reprezintă acele limbaje care, modelate prin intermediul automatelor, necesită o cantitate finită de memorie – fiind deci cea mai practică modalitate de manipulare a limbajelor, în vederea analizei modelelor și respectiv a sintezei politicii de conducere.

Analiza modelelor de tip AFD are ca obiectiv determinarea anumitor proprietăți calitative ale acestora, dintre care cele mai importante sunt accesibilitatea și blocajele.

Dându-se un automat G = (Q, , , q0, Qm), o stare qi se numește accesibilă dintr-o stare qj dacă există un șir de evenimente s* astfel încât (qj, s)=qi.

În ceea ce privește proprietățile de blocaj, ele se definesc în raport cu coaccesibilitatea: pentru un AFD G = (Q , , , Γ, q0, Qm) o stare qjQ\Qm se numește blocaj (engl. deadlock) dacă (qj)=. O stare qjQ\Qm se numește livelock dacă s*, (qj, s)Qm.

Având în vedere dificultatea construirii de modele de tip AFD pentru sisteme de talie mare, o metodă extrem de utilizată este cea de a obține modelul sistemului global din modelele subsistemelor, prin operații de compunere3.

3.4.2. Conducerea SDED folosind teoria automatelor

Pentru a realiza funcția de asistare în procesul de învățare bazat pe rezolvare de probleme modelate cu ajutorul AFD, „profesorul” are rolul de supervizor. Acesta permite utilizatorului non-expert să dezvolte propriul raționament prin internalizarea cunoștințelor. Rolul mecanismului de supervizare este de a avertiza utilizatorul non-expert că din anumite stări nu se mai poate ajunge în stările marcate. În continuare se vor prezenta câteva considerații teoretice cu privire la teoria conducerii supervizate, selectate din literatura de specialitate.

Problema sintezei unui controler pentru SDED a fost tratată inițial în lucrările lui Ramadge și Wonham,,,. În aceste lucrări a fost introdus termenul de conducere supervizată (engl. supervisory control) care este folosit și sub forma de supervizare.

În abordarea Ramadge-Wonham studiul sistemelor este exclusiv calitativ – timpul nu intervine deloc – iar procesul este descris prin intermediul AFD, deci pe baza unui model logic.

Procesul este considerat ca fiind un sistem SDED care evoluează spontan, generând evenimente. Supervizorul este și el un SDED care este cuplat cu procesul astfel încât intrarile sale sunt ieșirile procesului, și reciproc (figura 3.1). Supervizorul poate modifica funcționarea procesului autorizând sau interzicând apariția evenimentelor în proces.

Figura 3.1. Supervizorul cuplat la proces3

Dându-se un proces și un ansamblu de specificații logice de funcționare pentru acesta, obiectivul teoriei Ramadge-Wonham este de a sintetiza un supervizor sau o politică de supervizare astfel încât funcționarea ansamblului proces-supervizor să respecte specificațiile sau să determine comportamentul dorit. În plus, se urmărește ca funcționarea astfel obținută să fie cea mai permisivă posibil.

Sinteza unui astfel de supervizor se bazează pe conceptul de controlabilitate.

Ipoteza de lucru este cea a observabilității totale – respectiv toate evenimentele produse de către proces sunt observabile de către supervizor.

Procesul este considerat a fi un SDED, G; mulțimea evenimentelor care pot fi generate spontan de către G pornind de la o stare oarecare a sa q este reprezentată de alfabetul notat G(q)=(q). Un proces cuplat la un supervizor poate fi considerat ca un sistem care primește la intrare o listă de evenimente interzise . Acest proces, notat G(), se numește proces supervizat (fig. 3.2)

În figura 3.2 procesul este în starea q. Din această stare, G((i)) poate genera, la momentul (i+1), evenimentul (i+1) care este un element al mulțimii G(q)\(i). Supervizorul observă procesul în mod asincron. Apariția evenimentului (i+1) poate conduce supervizorul într-o nouă stare, în care el va genera o nouă listă de evenimente interzise.

Figura 3.2 – Proces supervizat3

Funcționarea procesului cuplat la supervizor se numește funcționare în buclă închisă.

Rolul supervizorului este doar de a interzice apariția unor evenimente. În niciun caz el nu poate forța apariția de evenimente. Prin urmare, efectul supervizării este de a restricționa comportarea procesului, deci de a restricționa utilizatorul non-expert în a urma căi de raționare ce nu vor duce la rezolvarea situației problematice propuse.

În realitate, anumite evenimente nu pot fi în niciun fel împiedicate să apară (de exemplu, nu putem garanta că anumite calcule, pentru probleme ce necesită și o astfel de rezolvare, sunt realizate în mod corect). Un astfel de eveniment se numește necontrolabil. Un eveniment care poate fi interzis se numește controlabil.

Alfabetul al evenimentelor generate de un proces se poate împărți în două submulțimi disjuncte: u – mulțimea evenimentelor necontrolabile și c – mulțimea evenimentelor controlabile. Lista evenimentelor interzise nu poate include niciun element al mulțimii u: (i)u= .

În teoria conducerii supervizate se folosește următoarea ipoteză de lucru: procesul nu poate genera două evenimente simultan. Această ipoteză permite garantarea faptului că, după apariția unui eveniment oarecare, supervizorul are timp să evolueze și să genereze noua listă de evenimente interzise.

Dacă se notează cu L(G) limbajul generat de către proces, cu L(S) cel generat de către supervizor și cu L(S/G) limbajul care caracterizează funcționarea în buclă închisă a procesului (limbajul generat de procesul supervizat), atunci: L(S/G)=L(G)L(S).

Fie mulțimea tuturor intrărilor de comandă posibile. Un supervizor S controlează un SDED G comutând intrarea de comandă conform unei secvențe de elemente ca răspuns la secvență de evenimente observate, apărute ca urmare a evenimentelor generate anterior.

Intrarea de control nu este o funcție de starea curentă a sistemului, ci de șirul de evenimente generate anterior. Dacă sistemul este determinist, starea sistemului poate fi reconstituită pe baza șirului de evenimente generate de sistem. Acest tip de reacție inversă (trace feedback) este mai general decât reacția inversă pe stare (state feedback).

Dându-se două SDED G și S, se poate spune că S este un supervizor adecvat pentru G, dacă are următoarele două proprietăți:

controlabilitate: S nu interzice niciun eveniment necontrolabil care poate apărea în G, adică 

nonblocaj sau adecvanță (engl. properness) comportarea sistemului supervizat trebuie să fie nonblocantă;

Un limbaj K Σ*este numit controlabil (în raport cu L(G) și Σu), dacă ΣuL(G) - adică este întotdeauna posibil, prin interzicerea execuției tranzițiilor controlabile, să se restrângă L(G) la K. Un limbaj K Lm(G) este numit închis față de Lm(G) (Lm(G) closed) dacă K = Lm(G) adică orice șir marcat al lui G care este prefix al unui șir din K este de asemenea un șir din K.

Astfel, dacă se dorește obținerea funcționării în buclă închisă celei mai permisive posibil, în cel mai bun caz avem: L(S/G) = L(G) L(Spec) = LD, unde LD se numește funcționare dorită. Existența lui LD este dependentă de noțiunea de controlabilitate.

K se interpretează ca L(Spec) și se spune că limbajul specificației este controlabil în raport cu limbajul procesului.

Următoarele două teoreme, enunțate de Ramadge și Wonham, dau condițiile necesare și suficiente de existență pentru un supervizor.

Teorema 3.1 Pentru un limbaj nevid LL(G) există un supervizor S astfel încât L(S/G)= L dacă și numai dacă L este prefix-closed și controlabil.

Teorema 3.2: Pentru un limbaj nevid LLm(G) există un supervizor S astfel încât Lm(S/G) = L dacă și numai dacă L este Lm(G) – closed și controlabil.

Un alt rezultat important datorat lui Ramadge și Wonham este legat de existența supervizoarelor ca AFD. Fie G un AFD și L un limbaj regulat al specificațiilor. Dacă L satisface condițiile teoremei 2.5, atunci supervizorul S pentru care L(S/G) = L poate fi reprezentat ca un AFD. Dacă L satisface condițiile teoremei 2.8, atunci supervizorul S’ pentru care Lm(S’/G)=L poate fi reprezentat ca un AFD.

Să presupunem că dorim să restrângem comportarea în buclă închisă a unui sistem G în limitele unui limbaj dorit L care nu este controlabil. Conform teoremei 2.7 nu există un supervizor S astfel încât L(S/G) = L.

Se poate însă lua în considerare un sublimbaj controlabil K L corespunzător utilizării unui supervizor S’. În acest fel, comportarea sistemului în buclă închisă este acum L(S’/G)=KL, adică este un subset al comportării dorite.

În același timp, se dorește să se restricționeze cât mai puțin comportarea sistemului, adică se urmărește să se sintetizeze supervizorul care permite cea mai generală evoluție a sistemului, în cadrul limitelor pe care le oferă limbajul L al specificațiilor. Această comportare este numită limbaj supremal controlabil.

Fie C(G)={K / uL(G) } mulțimea tuturor limbajelor controlabile în raport cu L(G) și u. Dându-se un limbaj L, putem defini sublimbajul supremal controlabil al lui L ca:

L = sup {K/ KL, K C(G)}

Teorema 3.7: Sublimbajul supremal controlabil pentru o problemă dată de conducere supervizată există și este unic.

Există însă și posibilitatea ca L să conțină numai șirul vid sau să fie limbajul vid.

Deoarece sublimbajul supremal controlabil poate fi prea restrictiv, se pot defini și alte aproximații controlabile ale lui L. O extensie a lui Lafortune și Chen la problema standard a conducerii supervizate ia în considerare o aproximare a comportării dorite, în termenii super-limbajului infim controlabil (Infimal Controllable Superlanguage) definit ca:

L = inf{K / K L, KC(G)}

care însă poate genera blocaje.

Ramadge și Wonham au arătat de asemenea că în cazul general (adică atunci când atât comportarea sistemului cât și comportarea specificațiilor sunt limbaje regulate), sublimbajul supremal controlabil este un limbaj regulat și poate fi calculat într-un număr finit de pași.

Observație 3.5: Sublimbajul supremal controlabil poate fi optim din punct de vedere logic, dar nu este în mod necesar optim și din punctul de vedere al performanței.

3.4.4. Algoritmul lui Kumar

Pornind de la modelele unui proces-generator G și ale unei specificații Spec, algoritmul lui Kumar permite verificarea controlabilității limbajului specificației L (Spec). În plus, dacă L (Spec) nu este controlabil, algoritmul permite sinteza unui model acceptor al limbajului supremal controlabil al funcționării dorite, adică supC(LD). După cum va fi enuntat în continuare, se poate obține un supervizor S' pe baza limbajului supC(LD).

Algoritm

Fie G=(Q, , , q0) și Spec=(V, , , v0) modelele acceptoare ale procesului, respectiv specificației de funcționare.

Pas 1: Se face compunerea sincronă a lui G și Spec : G||Spec=D. Limbajul asociat lui D se notează cu LD.

Pas 2: Se determină mulțimea stărilor interzise. Se numește stare interzisă orice stare (q, v) a lui D pentru care există un eveniment necontrolabil u astfei încât este definit (q, ) pentru G, dar nu este definit (v, ) pentru Spec.

Pas 3: Se determină mulțimea stărilor slab interzise. Se numește stare slab interzisă orice stare (q, v) a lui D care nu este stare interzisă, dar pentru care există o secvență de evenimente necontrolabile su care conduc din (q, v) într-o stare interzisă (q', v') a lui D.

Pas 4: Se suprimă din D mulțimea stărilor interzise, mulțimea stărilor slab interzise, precum și toate tranzițiile asociate acestor stări. În plus, se elimină din D mulțimea stărilor inaccesibile, adică orice stare (q, v) la care nu se poate ajunge din starea inițială. Modelul acceptor obținut se notează D'.

Proprietatea 3.3: Acceptorul D' recunoaște limbajul supC(LD).

Corolar: Limbajul specificației L(Spec) este controlabil dacă și numai dacă acceptorul D nu are nicio stare interzisă.

Regula de construcție pentru supervizor: Se poate obține din D' un acceptor S' prin adăugarea în buclă fiecărei stări r a lui D' a oricărui eveniment necontrolabil care nu este asociat niciunei tranziții de ieșire din starea r. Acceptorul S' este un supervizor.

În figura 3.6 se poate observa setul de posibilități pentru un model de funcție, iar în figura 3.7 se poate observa modelul automatului după aplicarea algoritmului lui Kumar.

Figura 3.6 Setul de posibilități pentru o funcție model

Figura 3.7 Modelul după aplicarea algoritmului lui Kumar

Concluzii

Acest capitol reprezintă suportul formal utilizat pentru metodologia de rezolvare de probleme. Folosind limbajele formale și SDED pentru modelarea problemelor se constată că rezolvările de probleme realizate cu acest suport formal au capacitate de portabilitate indiferent de limba, cultura și mediul în care sunt portate, deoarece reprezentarea cu automate a modelului problemei nu depinde de vreun context specific. De-a lungul timpului s-a observat constant că sistemele de eLearning oferă soluții gata fabricate, limitând astfel capacitatea utilizatorului de a-și dezvolta propria creativitate și propriul mod de a raționa.

O limitare însă pe care o prezintă modelarea cu automate constă în faptul că nu se poate face diferența între erorile de calcul de exemplu (în cazul în care acestea sunt necesare) și erorile de raționament. De aceea, o dezvoltare viitoare ar putea consta în modelarea cu rețele Petri a problemelor pentru a putea face această diferență.