Suma divizorilor unui num ăr [614363]

Page 1

Suma divizorilor unui num ăr
natural
Lucrare Licență

Coordonator științific :
Conf. Univ. Dr. Nicușor Minculete

Matematică – Informatică
Universitatea Transilvania din Brașov
Brașov , România
2020

Page 2
Suma divizorilor unui număr natural
Conf. Univ. Dr. Nicușor Minculete
Brașov , 2020

Cuprins
1. Introducere
2. Funcția multuplicativă
3. Funcția divizor
4. Alte proprietăți ale funcției 𝝈(𝒏)
5. Bibliografie

Page 3

Abstractizare
În această lucrare vom prezenta Suma divizorilor unui număr
natural , începând cu o scurtă istorie . După prezentarea istorică , în
capitolul al doilea , vom prezenta funcția multiplicativă , unde vom
prezenta câteva exemple și proprietăți ale acestei funcții . În al treilea
capitol vom prezenta funcția divizor . La final , vom prezenta alte
proprietăți ale funcției 𝝈(𝒏) și câteva aplicații , cu probleme rezolvate ,
de către autori , dar și d e alți .

Page 4
1. Introducere

Page 5
2. Funcția multiplicativă
În teoria numerelor, o funcție multiplicativă este o funcție aritmetică 𝒇 (𝒏) a unui
număr întreg pozitiv 𝒏 cu proprietatea că 𝒇 (𝟏) = 𝟏 și ori de câte ori 𝒂 și 𝒃 sunt prime între ele ,
atunci
𝒇(𝒂𝒃)=𝒇(𝒂)𝒇(𝒃)
Se spune că o funcție aritmetică 𝒇 (𝒏) este complet multiplicativă (sau în totalitate
multiplicativă) dacă 𝒇 (𝟏) = 𝟏 și 𝒇 (𝒂𝒃) = 𝒇 (𝒂) 𝒇 (𝒃) se mențin pentru toate numerele
întregi pozitive 𝒂 și 𝒃, chiar și atunci când nu sunt prime între ele .
Unele funcții multiplicative sunt definite pentru a facilita scrierea formulelor :
 𝟏(𝒏) : funcția constantă , definită de 𝟏(𝒏)=𝟏 (complet multiplicativă)

 𝒍𝒅(𝒏) : funcția de identitate , definite de 𝒍𝒅(𝒏)=𝒏 (complet multiplicativă)
În matematică , o funcție de identitate, numită și relație de identitate sau hartă de
identitate sau transformare de identitate, este o funcție care întoarce întotdeauna aceeași
valoare care a fost folosită ca argument. Adică, pentru 𝒇 fiind identitate, egalitatea 𝒇(𝒙)=𝒙
este valabilă pentru toate 𝒙.
PROPRIETĂȚI:
 Funcția de identitate este un operator linear, atunci este aplicată pe spații vectoriale.
 Funcția de identitate pe numerele întregi positive este o funcție complet multiplicativă
(în esență înmulțirea cu 1) , considerate în teoria numerelor.
 Într-un spațiu vectorial dimensional 𝒏 funcția de identitate este repreze ntată de
matricea identitară 𝑰𝒏 , indiferent de bază .

Page 6
 Într-un spațiu metric identitatea este banal o izometrie. Un obiect fără nicio simetrie are
ca grup de simetrie grupul banal care conține doar această izometrie (tip de simetrie
𝑪𝟏 ) .
 Într-un spațiu topologic, funcția de identitate este întotdeauna cont inuă.
 Funcția de identitate este idempotentă .

 𝒍𝒅𝒌(𝒏) : funcția de putere , definite de 𝒍𝒅𝒌(𝒏)=𝒏𝒌 pentru or ice număr complex 𝒌 (complet
multiplicativă) . Ca și cazuri speciale , avem :
 𝒍𝒅𝟎(𝒏)=𝟏(𝒏)
 𝒍𝒅𝟏(𝒏)=𝒍𝒅(𝒏)

 𝜺(𝒏): funcție definită de 𝜺(𝒏)=𝟏 ,dacă 𝒏=𝟏 și 𝟎 în caz contrar , uneori numită unitate
de multiplicare pentru convoluția Dirichlet sau pur și simplu funcția unitate (complet
multiplicativă) . Uneori este notată ca 𝒖(𝒏), dar nu trebuie confundată cu 𝝁(𝒏) .

Convoluția Dirichlet
În matematică, convoluția Dirichlet este o operație binară definită pentru funcțiile
aritmetice; este important ă în teoria numerelor. A fost dezvoltat de Peter Gustav Lejeune
Dirichlet.
Dacă 𝒇,𝒈:→ sunt două funcții aritm etice de la numerele întregi poz itive la
numerele complexe, convoluția Dirichlet 𝒇∗𝒈 este o nouă funcție aritmetică definite de:

(𝒇∗𝒈)(𝒏)=∑𝒇(𝒅)𝒈(𝒏
𝒅)=∑ 𝒇(𝒂)𝒈(𝒃)
𝒂𝒃=𝒏 𝒅|𝒏

Page 7
, unde suma se extinde pe to ți divizorii pozitivi 𝒅 din 𝒏 ,sau în mod echivalent peste toate
perechile distincte (𝒂,𝒃) de numere întregi pozitive al căror produs este 𝒏 .

PROPRIETĂȚI :
Ansamblul de funcții aritmetice formează un inel comutativ, inelul Dirichlet, sub
adăugarea pun ctuală, unde (𝒇+𝒈)(𝒏)=𝒇(𝒏)+𝒈(𝒏), și convoluția Dirichlet. Identitatea
multiplicativă este funcția de unitate 𝜺 definită de {𝜺(𝒏)=𝟏 ,𝒅𝒂𝒄 ă 𝒏=𝟏
𝜺(𝒏)=𝟎 ,𝒅𝒂𝒄 ă 𝒏>𝟏. Unitățile
(elemente inversabile ) ale acestui inel sunt funcțiile aritmetice 𝒇 cu 𝒇(𝟏)≠𝟎 .
În special, convolu ția Dirichlet este asociativă :
(𝒇∗𝒈)∗𝒉=𝒇∗(𝒈∗𝒉)
distributivă prin adăugare
𝒇∗(𝒈+𝒉)=𝒇∗𝒈+𝒇∗𝒉
este comutativă,
𝒇∗𝒈=𝒈∗𝒇 ,
și are un element de identitate ,
𝒇∗𝜺=𝜺∗𝒇=𝒇.
Mai mult, pentru fiecare 𝒇 avem 𝒇(𝟏)≠𝟎, există o funcție aritmetică 𝒇−𝟏 cu
𝒇∗𝒇−𝟏=𝜺 , numită inversa Dirichlet a lui 𝒇 .
Convoluția Dirichlet a două funcții mult iplicative este multiplicativă și fiecare funcție
multiplicativă zero neconstantă are o inversă Dirichlet care este, de asemenea, multiplicativă.
Cu alte cuvinte, funcțiile multiplicative formează un subgrup al grupului de elemente
inversabile ale inelului Dirichlet. Suma a două funcții multiplicative nu este multiplicativă

Page 8
((𝒇+𝒈)(𝟏)=𝒇(𝟏)+𝒈(𝟏)=𝟐≠𝟏) , așadar subsetul funcțiilor multiplicative nu este o
subordonare a inelului Dirichlet .
O altă operație a funcțiilor aritmetice este înmulțirea punctuală : 𝒇𝒈 este definit de
(𝒇𝒈)(𝒏)=𝒇(𝒏)𝒈(𝒏) . Având în vedere o funcție complet multiplicativă 𝒉, înmulțirea
punctuală prin 𝒉 se distribuie pe convoluția Dirichlet: (𝒇∗𝒉)𝒉=(𝒇𝒉)∗(𝒈𝒉). Convoluția a
două funcții complet multiplicative este multiplicativă , dar nu neapărat complet
multiplicativă.
EXEMPLE:
În aceste formule, utilizăm următoarele funcții aritmetice:
 𝜺 este o identitate multiplicativă : 𝜺(𝟏)=𝟏 , în caz contrar 0 .
 𝟏 este funcția constantă cu valoarea 1 : 𝟏(𝒏)=𝟏 ,pentru toți 𝒏 .
 𝟏𝑪 pentru 𝑪 este o funcție setată de indicator: 1𝐶(𝒏)=𝟏 dacă 𝒏∈𝑪 ,altfel 𝟎.
 𝑰𝒅 este funcția identitate cu valoarea 𝒏 : 𝑰𝒅(𝒏)=𝒏.
 𝑰𝒅𝒌 este funcția de putere 𝒌∶𝑰𝒅𝒌(𝒏)=𝒏𝒌.
Urmează următoarele relații :
 𝟏∗𝝁=𝜺 , inversa Dirichlet a funcției constante 𝟏 este funcția Möbius . Prin urmare:
 𝒈=𝒇∗𝟏 dacă și numai dacă 𝒇=𝒈∗𝝁 : formula de inversiune Möbius
 𝝈𝒌=𝑰𝒅𝒌∗𝟏 , puterea 𝒌-a a funcției sumei divizorilor 𝝈𝒌 .
 𝝈=𝑰𝒅∗𝟏 , funcția sumei divizorilor 𝝈=𝝈𝟏.
 𝒅=𝟏∗𝟏 , funcția numărului de divizori 𝒅(𝒏)=𝝈𝟎.
 𝑰𝒅𝒌=𝝈𝒌∗𝝁 , prin inversarea lui Möbius a formulelor pentru 𝝈𝒌,𝝈 și 𝒅
 𝑰𝒅=𝝈∗𝝁
 𝟏=𝒅∗𝝁
 ∅∗𝟏=𝑰𝒅 , demonstrată în funcția totientă a lui Euler

Page 9
 ∅=𝑰𝒅∗𝝁 , prin inversiunea Möbius
 𝝈=∅∗𝒅 , de la convertirea 1 pe ambele părți ale ∅∗𝟏=𝑰𝒅
 ∗|𝝁|=𝜺 , unde  este funcția lui Liouville
 ∗𝟏=𝟏𝑺𝒒, unde 𝑺𝒒={𝟏,𝟒,𝟗,…} este setul pătratelor
 𝑰𝒅𝒌∗(𝑰𝒅𝒌𝝁)=𝜺
 𝒅𝟑∗𝟏=(𝒅∗𝟏)𝟐
 𝑱𝒌∗𝟏=𝑰𝒅𝒌 , funcția totientă a lui Jordan
 (𝑰𝒅𝒔𝑱𝒓)∗𝑱𝒔=𝑱𝒔+𝒓
 Ʌ∗𝟏=𝒍𝒐𝒈 , unde Ʌ este func ția lui von Mangoldt
 |𝝁|∗𝟏=𝟐𝝎 , unde 𝝎(𝒏) este funcția primă omega care numără factori primi diferiți
ai lui 𝒏
 ∗𝝁=2𝒫 este o funcție indicator , unde setul 𝟐𝓟 ≔{𝒏≥𝟏∶𝒏=𝟐𝒌 ˅ 𝒏∈}
este colectarea primelor pozitive și a puterilor integrale a două.
 𝝎∗𝝁= , unde (𝒏)→ {𝟎,𝟏} este func ția caracteristică a primelor .

Inversa lui Dirichlet
EXEMPLE:
Dată fiind o funcție aritmetică 𝒇 este inversa lui Dirichlet 𝒈=𝒇−𝟏 poate fi calculat recursiv:
valoarea 𝒈(𝒏) este în termeni de 𝒈(𝒎) pentru 𝒎<𝒏 .
Pentru 𝒏=𝟏 :
(𝒇∗𝒈)(𝟏)=𝒇(𝟏)𝒈(𝟏)=𝜺(𝟏)=𝟏 , astfel
𝒈(𝟏)=𝟏
𝒇(𝟏)
Aceasta implică faptul că 𝒇 nu are inversa lui Dirichlet , dacă 𝒇(𝟏)=𝟎 .

Page
10
Pentru 𝒏=𝟐 :
(𝒇∗𝒈)(𝟐)=𝒇(𝟏)𝒈(𝟐)+𝒇(𝟐)𝒈(𝟏)=𝜺(𝟐)=𝟎 ,
𝒈(𝟐)=−𝟏/𝒇(𝟏)(𝒇(𝟐)𝒈(𝟏))
Pentru 𝒏=𝟑 :
(𝒇∗𝒈)(𝟑)=𝒇(𝟏)𝒈(𝟑)+𝒇(𝟑)𝒈(𝟏)=𝜺(𝟑)=𝟎 ,
𝒈(𝟑)=−𝟏/𝒇(𝟏)(𝒇(𝟑)𝒈(𝟏))
Pentru 𝒏=𝟒 :
(𝒇∗𝒈)(𝟒)=𝒇(𝟏)𝒈(𝟒)+𝒇(𝟐)𝒈(𝟐)+𝒇(𝟒)𝒈(𝟏)=𝜺(𝟒)=𝟎 ,
𝒈(𝟒)=−𝟏/𝒇(𝟏)(𝒇(𝟒)𝒈(𝟏)+𝒇(𝟐)𝒈(𝟐))
și, în general , pentru 𝒏>𝟏 ,
𝒈(𝒏)=−𝟏
𝒇(𝟏) ∑𝒇(𝒏
𝒅)𝒈(𝒅)
𝒅|𝒏
𝒅<𝒏

PROPRIETĂȚI :
Următoarele proprietăți ale inversul lui Dirichlet dețin :
 Funcția 𝒇 are inversa lui Dirichlet dacă și numai dacă 𝒇(𝟏)≠𝟎 .
 Inversa lui Dirichlet a unei funcții multiplicative este multiplicativă .
 Inversa lui Dirichlet a unei convoluții Dirichlet este convoluția inverselor fiecărei
funcții :
(𝒇∗𝒈)−𝟏=𝒇−𝟏∗𝒈−𝟏
 O funcție multiplicativă 𝒇 este complet multiplicativă dacă și numai dacă
𝒇−𝟏(𝒏)=𝝁(𝒏) 𝒇(𝒏)
 Dacă 𝒇 este complet multiplicativă , atunci (𝒇∙𝒈)−𝟏=𝒇∙𝒈−𝟏 , când 𝒈(𝟏)≠𝟎 și
unde ∙ semnifică multiplicarea punctuală a funcțiilor .

Page
11
FUNCȚIA UNITATE :
În teoria numerelor , funcția unitate este o funcție complet multiplicativă pentru
numerele întregi pozitive definite ca :
𝜺(𝒏)={𝟏 , 𝒅𝒂𝒄 ă 𝒏=𝟏
𝟎 , 𝒅𝒂𝒄 ă 𝒏≠𝟏
Se numește funcția unitate, deoarece este elementul de identitate pentru convoluția
Dirichlet . Poate fi descrisă drept „funcția indicator 1” din setul de numere întregi pozitive.
Este de asemenea scris ca 𝒖(𝒏) (nu trebuie confundat cu 𝝁(𝒏) , ceea ce denotă în general
funcția Möbius).

 𝟏𝑪(𝒏) : funcția indicator a setului 𝑪 pentru anumite seturi 𝑪 . Funcția indicator 𝟏𝒄(𝒏)
este multiplicativă exact atunci când setul 𝑪 are următoarea p roprietate pentru orice numere
prime între ele 𝒂 și 𝒃: produsul 𝒂𝒃 este în 𝑪 dacă și numai dacă numerele 𝒂 și 𝒃 sunt ambele
în 𝑪. Acest lucru se întâmplă dacă 𝑪 este set de pătrate, cuburi sau 𝒌-a puteri sau dacă 𝑪 este
setul de nume re fără pătrat.

Alte exemple de funcții multiplicative includ multe funcții de importanță în teoria
numerelor, cum ar fi:
 𝒄𝒎𝒎𝒅𝒄 (𝒏,𝒌) : cel mai mare divizor comun al lui 𝒏 și 𝒌 , ca funcție a lui 𝒏 , unde 𝒌 este un
număr întreg fix .

 (𝒏) : funcția totientă a lui Euler  , numărarea numerelor întregi pozitive prime între ele la
(dar nu mai mare decât) 𝒏 .

Page
12
FUNCȚIA TOTIENTĂ A LUI EULER
În teoria numerelor, funcția totientă a lui Euler numără numere le întregi pozitive până
la un număr întreg 𝒏 dat care sunt relativ prime la . Este scrisă folosind litera greacă phi ca φ
(n) sau ϕ (n) și poate fi numită și funcția phi a lui Euler . Cu alte cu vinte, este numărul de
numere întregi 𝒌 în intervalul 𝟏 ≤ 𝒌 ≤ 𝒏 pentru care cel mai mare divizor comun 𝒈𝒄𝒅 (𝒏,𝒌)
este egal cu . Numerele întregi ale acestei forme sunt uneori denumite totative ale lui 𝒏 .
De exemplu, totalitățile 𝒏=𝟗 sunt cele șase numere 𝟏,𝟐,𝟒,𝟓,𝟕 și 𝟖 . Toate sunt
relativ prime cu 𝟗 , dar celelalte t rei numere din acest interval , 𝟑,𝟔 și 𝟗 nu sunt , căci :
𝒄𝒎𝒎𝒅𝒄 (𝟗,𝟑)=𝒄𝒎𝒎𝒅𝒄 (𝟗,𝟔)=𝟑 și 𝒄𝒎𝒎𝒅𝒄 (𝟗,𝟗)=𝟗 . Prin urmare, 𝜑(9)=6 .
Un alt exemplu , 𝝋(𝟏)=𝟏 , deoarece pentru 𝒏=𝟏 singurul număr întreg în intervalul
de la 𝟏 la 𝒏 este 𝟏 , și 𝒄𝒎𝒎𝒅𝒄 (𝟏,𝟏)=𝟏 .
Funcția totientă a lui Euler este o funcție multiplicativă, ceea ce înseamnă că dacă două
numere 𝒎 și 𝒏 sunt relativ prime, atunci
𝝋(𝒎𝒏)= 𝝋(𝒎)𝝋(𝒏)
Această funcție dă ordinea grupului multiplicativ de numere întregi modulo 𝒏 ( grupul de unități
ale inelului ℤ / nℤ ) .

 𝝁(𝒏): funcția lui Möbius , paritatea ( -1 pentru impar , +1 pentru par ) a numărului de factori
primi ai numerelor fără pătrat ; 0 dacă n nu este pătrat .

Funcția lui Möbius
Funcția clasică Möbius 𝝁(𝒏) este o funcție multiplicativă importantă în teoria
numerelor și combinatorică .
Pentru ori ce număr întreg pozitiv, definim 𝝁(𝒏) ca suma a 𝒏-a rădăcină primitivă a
unității. Are valori în {−𝟏,𝟎,𝟏} în funcție de factorizarea lui 𝒏 în factori primi:

Page
13
 𝝁(𝒏)=𝟏 , dacă 𝒏 este un număr întreg pozitiv fără pătrat cu un număr egal de factori
primi.
 𝝁(𝒏)=−𝟏 , dacă 𝒏 este un număr întreg pozitiv fără pătrat cu un număr impar de
factori primi.
 𝝁(𝒏)=𝟎 dacă n are un factor prim pătrat.
Funcția Möbius poate fi reprezentată alternativ ca :
𝝁(𝒏)=𝜹𝝎(𝒏)(𝒏)(𝒏)
,unde 𝜹 este delta Kronecker, 𝝀(𝒏) este funcția Liouville, 𝝎(𝒏) este nu mărul de divizori
primi distincț i ai lui 𝒏, iar 𝜴(𝒏) este numărul factorilor primi ai lui 𝒏, numărați cu
multiplicitate.
PROPRIETĂȚI :
Funcția Möbi us este multiplicativă (adică 𝝁(𝒂𝒃)=𝝁(𝒂) 𝝁(𝒃) ori de câte ori 𝒂 și 𝒃 sunt
coprimi).
Suma funcției Möbius peste toți divizorii pozitivi ai n (inclusiv n în sine și 1) este zero,
cu excepția cazului în care n = 1:
∑𝝁(𝒅)={𝟏 , 𝒅𝒂𝒄 ă 𝒏=𝟏
𝟎 , 𝒅𝒂𝒄 ă 𝒏>𝟏
𝒅|𝒏
Egalitatea de mai sus duce la formula importantă de inversare a lui Möbius și este motivul
principal pentru care μ are relevanță în teoria funcțiilor multiplicative și aritmetice.
Există o formulă pentru calcularea funcției Möbius fără a cunoaște direct fa ctorizarea
argumentului său:
𝝁(𝒏)= ∑ 𝒆𝟐𝝅𝒊(𝒌
𝒏)
𝟏≤𝒌≤𝒏
𝒄𝒎𝒎𝒅𝒄 (𝒌,𝒏)=𝟏
, adică 𝝁(𝒏) este suma rădăc inilor primitive ale unității.
 𝝈𝒌(𝒏) : funcția diviz or , care este suma puterilor 𝒌-a a tuturor divizorilor pozitivi ai lui 𝒏
(unde 𝒌 poate fi orice număr complex) . Cazuri special pe care le avem :
 𝝈𝟎(𝒏)=𝒅(𝒏) numărul de divizori pozitivi ai lui 𝒏
 𝝈𝟏(𝒏)=𝝈(𝒏) , suma tuturor divizorilor pozitivi ai lui .

Page
14
 𝒂(𝒏) : numărul de grupe abeliene neizomorfe de ordinul 𝒏 .
 (𝒏) : funcția Liouville , (𝒏)=(−𝟏)(𝒏) ,unde (𝒏) este numărul total al primelor
(numărate cu multiplicitate) care împarte 𝒏 .(complet multiplicativă)

Funcția Liouville , notată cu 𝝀(𝒏) și numită după Joseph Liouville, este o funcție
importantă în teoria numerelor.
Dacă 𝒏 este un număr întreg pozitiv, atunci 𝝀(𝒏) este definit ca:
(𝒏)=(−𝟏)(𝒏)
unde 𝛀(𝒏) este numărul factorilor primi ai lui 𝒏, numărați cu multiplicitate . Dacă 𝒏 este
pătrat, adică dacă =𝒑𝟏𝒑𝟐…𝒑𝒌 , unde 𝒑𝒊 este prim pentru toate 𝒊 și unde 𝒑𝒊≠𝒑𝒋 ,
𝒊≠𝒋 , atunci avem următoarea formulă alternativă pentru funcția exprimată în termeni
ai funcției Möbius 𝝁(𝒏) și a funcției de numărare a factorului prim i distincți (𝒏) :
(𝒏)=𝝁(𝒏)=𝝁𝟐(𝒏)(−𝟏)𝝎(𝒏)
 este complet multiplicative, deoarece 𝜴(𝒏) este complet aditiv ă, adică :
𝜴(𝒂𝒃)= 𝜴 (𝒂)+𝜴 (𝒃)
Numărul 1 nu a re factori primi, deci 𝜴(𝟏)=𝟎 și, prin urmare, 𝝀(𝟏)=𝟏. Funcția
Liouville satisface identitatea :
∑(𝒅)={𝟏 , 𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒑ă𝒕𝒓𝒂𝒕 𝒑𝒆𝒓𝒇𝒆𝒄𝒕
𝟎 , 𝒂𝒍𝒕𝒇𝒆𝒍
𝒅|𝒏
Inversa Dirichlet a funcției Liouville este valoarea absolută a funcției Möbius,
−𝟏(𝒏)=|𝝁(𝒏)|=𝝁𝟐(𝒏) , care este echivalent ă cu funcția caracteristică a numerel or
întregi pătratice . Avem și (𝒏)𝝁(𝒏)=𝝁𝟐(𝒏) , și asta pentru toate numerele naturale 𝒏 :
(𝒅)=∑𝝁(𝒏
𝒅𝟐)
𝒅𝟐|𝒏

Page
15

 (𝒏) ,definită prin (𝒏)=(−𝟏)(𝒏) , unde funcția aditivă (𝒏) este numărul primelor
distincte care împarte .
 𝝉(𝒏) : funcția tau Ramanujan .
Funcția tau Ramanujan , studiată de Ramanujan (1916) , este funcția 𝝉∶→
definită după următoarea identitate :
∑𝝉(𝒏)𝒒𝒏=𝒒∏(𝟏−𝒒𝒏)𝟐𝟒=𝞰(𝒛)𝟐𝟒=𝞓(𝒛)
𝒏≥𝟏 𝒏≥𝟏
, unde 𝒒=𝒆𝒙𝒑 (𝟐𝝅𝒊𝒛 ) cu 𝑰𝒎(𝒛)>𝟎 și 𝞰 este funcția Dedekind eta și funcția 𝞓(𝒛) este
o formă cuspică holomorfică cu greutatea 12 și nivelul 1, cunoscută sub numele de formă
modulară discriminantă.

Primele câteva valori ale funcției tau ( 𝝉) sunt date în tabelul următor :
𝒏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
𝝉(𝒏) 1 -24 252 -1472 4830 -6048 -16744 84480 -113643 −115920 534612 -370944

Toate caracterele Dirichlet sunt funcții complet multiplicative . De exemplu :
 (𝒏/𝒑) , simbolul Legendre , considerat ca o funcție a lui 𝒏 , unde 𝒑 este un număr prim
fix.

Un exemplu de funcție nemultiplicativă este funcția aritmetică 𝒓𝟐(𝒏) – numărul de
reprezentări ale lui 𝒏 ca sumă a pătratelor a două numere întregi , pozitive , negative sau zero ,
unde în numărarea numărului de căi este permisă inversarea ordinii . De exemplu :
𝟏=𝟏𝟐+𝟎𝟐=(−𝟏)𝟐+𝟎𝟐=𝟎𝟐+𝟏𝟐=𝟎𝟐+(−𝟏)𝟐
și prin urmare 𝒓𝟐(𝟏)=𝟒≠𝟏 . Acest lucru arată că funcția nu este multiplicative . Cu toate
acestea , 𝒓𝟐(𝒏)/𝟒 este multiplicativă .

Page
16
PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚIEI MULTIPLICATIVE :
O funcție multiplicativă este complet determinate de valorile sale la puterile numerelor
prime , o consecință a teoremei fundamentale a aritmeticii . Astfel , dacă n este un produs al
puterilor primelor distincte , să spunem 𝒏=𝒑𝒂𝒒𝒃…,atunci 𝒇(𝒏)=𝒇(𝒑𝒂)𝒇(𝒒𝒃)…
Această proprietate a funcțiilor multiplicative reduce semnificativ nevoia de calcul , ca în
exemplele următoare pentru 𝒏=𝟏𝟒𝟒 =𝟐𝟒∙𝟑𝟐 .
𝒅(𝟏𝟒𝟒 )=𝝈𝟎(𝟏𝟒𝟒 )=𝝈𝟎(𝟐𝟒)𝝈𝟎(𝟑𝟐)=(𝟏𝟎+𝟐𝟎+𝟒𝟎+𝟖𝟎+𝟏𝟔𝟎)(𝟏𝟎+𝟑𝟎+𝟗𝟎)
=𝟓∙𝟑=𝟏𝟓 ,
𝝈(𝟏𝟒𝟒 )=𝝈𝟏(𝟏𝟒𝟒 )=𝝈𝟏(𝟐𝟒)𝝈𝟏(𝟑𝟐)=(𝟏𝟏+𝟐𝟏+𝟒𝟏+𝟖𝟏+𝟏𝟔𝟏)(𝟏𝟏+𝟑𝟏+𝟗𝟏)
=𝟑𝟏∙𝟏𝟑=𝟒𝟎𝟑
𝝈∗(𝟏𝟒𝟒 )=𝝈∗(𝟐𝟒) 𝝈∗(𝟑𝟐)=(𝟏𝟏+𝟏𝟔𝟏)(𝟏𝟏+𝟗𝟏)=𝟏𝟕∙𝟏𝟎=𝟏𝟕𝟎 .
În mod similar , avem :
𝝋(𝟏𝟒𝟒 )=𝝋(𝟐𝟒)𝝋(𝟑𝟐)=𝟖∙𝟔=𝟒𝟖
În general , dacă 𝒇(𝒏) este o funcție multiplicative și 𝒂 ,𝒃 sunt orice două numere întregi
pozitive , atunci :
𝒇(𝒂)∙𝒇(𝒃)=𝒇(𝒈𝒄𝒅 (𝒂,𝒃))∙𝒇(𝒍𝒄𝒎 (𝒂,𝒃))

CONVOLUȚIA FUNCȚIEI MULTIPLICATIVE :
Dacă 𝒇 și 𝒈 sunt două funcții multiplicative , una definește o nouă funcție
multiplicative 𝒇∗𝒈 , convoluția Dirichlet a lui 𝒇 și 𝒈 , de
(𝒇∗𝒈)(𝒏)=∑𝒇(𝒅)𝒈(𝒏
𝒅)
, unde suma se extinde pe toți divizorii pozitivi 𝒅 de 𝒏 . Cu această operație , setul tuturor
funcțiilor multiplicative se transformă într -un grup abelian ; elementul de identitate este  .
Convoluția este comutativă , asociativă și distributive peste adunare.

Page
17
Relațiile dintre funcțiile multiplicative discutate de mai sus includ :
 𝝁∗𝟏=𝜺 (formula de inversiune Möbius )
 (𝝁 𝒍𝒅𝒌)∗𝒍𝒅𝒌=𝜺 (inversiunea generalizată Möbius)
 𝝋∗𝟏 = 𝒍𝒅
 𝒅 = 𝟏 ∗ 𝟏
 𝝈=𝒍𝒅∗𝟏=𝝋∗𝒅
 𝝈𝒌 = 𝒍𝒅𝒌∗𝟏
 𝒍𝒅=𝝋∗𝟏=𝝋∗𝒅
 𝒍𝒅𝒌=𝝈𝒌∗𝝁
Convoluția Dirichlet poate fi definite pentru funcțiile aritmetice generale și produce structură
de inel , inelul Dirichlet .
Convoluția Dirichlet a două funcții multiplicative este din nou multiplicativă. O demonstrație
a acestui fapt este data de următoa rea extindere pentru 𝒂 ,𝒃 𝝐 𝒁+ relativ prime :
(𝒇∗𝒈)(𝒂𝒃)=∑𝒇(𝒅)𝒈(𝒂𝒃
𝒅)=∑ ∑𝒇(𝒅𝟏𝒅𝟐)𝒈(𝒂𝒃
𝒅𝟏𝒅𝟐)
𝒅𝟐|𝒃 𝒅𝟏|𝒂 𝒅|𝒂𝒃
=∑𝒇(𝒅𝟏)𝒈
𝒅𝟏|𝒂(𝒂
𝒅𝟏)×∑𝒅(𝒅𝟐)
𝒅𝟐|𝒃𝒈(𝒃
𝒅𝟐)=(𝒇∗𝒈)(𝒂)∙(𝒇∗𝒈)(𝒃)
SERIA DIRICHLET PENTRU UNELE FUNC ȚII MULTIPLICATIVE :
 ∑𝝁(𝒏)
𝒏𝒔=𝟏
(𝒔)𝒏≥𝟏
 ∑𝝋(𝒏)
𝒏𝒔=(𝒔−𝟏)
(𝒔)𝒏≥𝟏
 ∑(𝒅(𝒏))𝟐
𝒏𝒔=((𝒔))𝟒
(𝟐𝒔)𝒏≥𝟏
 ∑𝟐(𝒏)
𝒏𝒔=((𝒔))𝟐
(𝟐𝒔)𝒏≥𝟏

Page
18
3. Funcția divizor
În matematică, și în mod specific în teoria numerelor, o funcție de divizor este o funcție
aritmetică legată de divizorii unui număr întreg. Atunci când este denumită funcția de divizor,
contează numărul de divizori ai unui număr întreg (inclusiv 1 și numărul în sine). Apare într -o
serie de identități remarcabile, inclusiv relații cu funcția zeta Riemann și seria de forme modulare
Eisenstein. Funcțiile divizoru lui au fost studiate de Ramanujan, care a dat o serie de identități și
congruențe importante; acestea sunt tratate separat în articolul lui Ramanujan.
O funcție înrudită este funcția sumară de divizor, care, după cum îi spune și numele, este
o sumă peste f uncția de divizor.
Funcția divizor 𝝈𝒌(𝒏), pentru 𝒏 un număr întreg , este definită ca suma puterilor 𝒌-a a
divizorilor (întregi pozitivi) ale lui 𝒏 ,
𝝈𝒌(𝒏)≡∑𝒅𝒌
𝒅|𝒏
, unde 𝒅|𝒏 este pentru “d împarte n ” . Not ările 𝒅(𝒏) (Hardy și Wright 1979, p.239) , 𝜈(𝑛)(Ore
1988, p.86) , și 𝞽(𝒏) (Burton 1989, p.128) sunt , de asemenea, utilizate pentru 𝝈𝟎(𝒏), sau funcția
numărului de divizori și este impară dacă 𝒏 este un număr pătrat. Funcția 𝝈𝟎(𝒏), satisface
următoarea identitate :
𝝈𝟎(𝒑𝒂)=𝒂+𝟏
𝝈𝟎(𝒑𝟏𝒂𝟏 𝒑𝟐𝒂𝟐…)=(𝒂𝟏+𝟏)(𝒂𝟐+𝟏)…
, unde 𝑝𝑖 – prime distincte și 𝒑𝟏𝒂𝟏 𝒑𝟐𝒂𝟐… este factorizarea primă a unui număr 𝒏 .
Când 𝒙=𝟏, funcția se numește funcția sigma sau suma divizor 𝒏, așadar 𝝈(𝒏) este același ca
𝝈𝟏(𝒏) .
Ca un exemplu ilustrativ de calcul 𝝈𝒌(𝒏), considerăm numărul 𝟏𝟒𝟎 , care are divizorii
𝒅𝒊=𝟏,𝟐,𝟒,𝟓,𝟕,𝟏𝟎,𝟏𝟒,𝟐𝟎,𝟐𝟖,𝟑𝟓,𝟕𝟎 și 𝟏𝟒𝟎 , pentru un total de 𝑵=𝟏𝟐 divizori . Prin
urmare,
𝝈𝟎(𝟏𝟒𝟎 )=𝑵=𝟏𝟎+𝟐𝟎+𝟒𝟎+𝟓𝟎+𝟕𝟎+𝟏𝟎𝟎+𝟏𝟒𝟎+𝟐𝟎𝟎+𝟐𝟖𝟎+𝟑𝟓𝟎+𝟕𝟎𝟎+𝟏𝟒𝟎𝟎
=𝟏𝟐
𝝈𝟏(𝟏𝟒𝟎 )=∑𝒅𝒊=𝟏𝟏+𝟐𝟏+𝟒𝟏+𝟓𝟏+𝟕𝟏+𝟏𝟎𝟏+𝟏𝟒𝟏+𝟐𝟎𝟏+𝟐𝟖𝟏+𝟑𝟓𝟏+𝟕𝟎𝟏+𝟏𝟒𝟎𝟏𝑵
𝒊=𝟏
=𝟑𝟑𝟔

Page
19
𝝈𝟐(𝟏𝟒𝟎 )=∑𝒅𝒊𝟐=𝟏𝟐+𝟐𝟐+𝟒𝟐+𝟓𝟐+𝟕𝟐+𝟏𝟎𝟐+𝟏𝟒𝟐+𝟐𝟎𝟐+𝟐𝟖𝟐+𝟑𝟓𝟐+𝟕𝟎𝟐+𝟏𝟒𝟎𝟐𝑵
𝒊=𝟏
=𝟐𝟕𝟑𝟎𝟎
𝝈𝟑(𝟏𝟒𝟎 )=∑𝒅𝒊𝟑=𝟏𝟑+𝟐𝟑+𝟒𝟑+𝟓𝟑+𝟕𝟑+𝟏𝟎𝟑+𝟏𝟒𝟑+𝟐𝟎𝟑+𝟐𝟖𝟑+𝟑𝟓𝟑+𝟕𝟎𝟑+𝟏𝟒𝟎𝟑𝑵
𝒊=𝟏
=𝟑𝟏𝟔𝟒𝟏𝟏𝟐
Suma divizorilor lui 𝒏, excluzând 𝒏 în sine (adică divizorii potriviți ai lui 𝒏) se numește
funcția de d ivizor restrâns și se notează 𝒔(𝒏). Primele câteva valori sunt :
𝟎,𝟏,𝟏,𝟑,𝟏,𝟔,𝟏,𝟕,𝟒,𝟖,𝟏,𝟏𝟔,… . Suma divizorilor 𝝈𝟏(𝑵) poate fi găsită astfel :
Fie 𝑵≡𝒂𝒃 cu 𝒂≠𝒃 și (𝒂,𝒃)=𝟏 . Pentru orice divizor 𝒅 de 𝑵 , 𝒅=𝒂𝒊𝒃𝒊 , unde 𝒂𝒊
este un divizor a lui 𝒂 și 𝒃𝒊 este un divizor a lui 𝒃. Divizorii lui 𝒂 sunt 𝒂𝟏 ,𝒂𝟐 ,… și 𝒂 , divizorii
lui 𝒃 sunt 𝒃𝟏 ,𝒃 ,… și 𝒃 . Sumele împărțitorilor sunt atunci :
𝝈𝟏(𝒂)=𝟏+𝒂𝟏+𝒂𝟐+⋯+𝒂
𝝈𝟏(𝒃)=𝟏+𝒃𝟏+𝒃𝟐+⋯+𝒃
Pentru un 𝒂𝒊 dat ,
𝒂𝒊(𝟏+𝒃𝟏+𝒃𝟐+⋯+𝒃)=𝒂𝒊𝝈𝟏(𝒃)
Rezumând peste tot 𝒂𝒊 ,
(𝟏+𝒂𝟏+𝒂𝟐+⋯+𝒂)𝝈𝟏(𝒃)=𝝈𝟏(𝒂)𝝈𝟏(𝒃)
, deci, 𝒄𝒎𝒎𝒅𝒄 (𝒂,𝒃)=𝟏=> 𝝈𝟏(𝑵)=𝝈𝟏(𝒂𝒃)=𝝈𝟏(𝒂)𝝈𝟏(𝒃) – funcția divizor este
multiplicativă , dar nu complet multiplicativă .
Împărțim 𝒂 și 𝒃 în factori primi ,
𝝈𝟏(𝑵)=𝝈𝟏(𝒑𝟏𝒂𝟏) 𝝈𝟏(𝒑𝟐𝒂𝟐)… 𝝈𝟏(𝒑𝒓𝒂𝒓)
Pentru o putere primordială 𝒑𝒊𝜶𝒊 , divizorii sunt 𝟏,𝒑𝒊 ,𝒑𝒊𝟐 ,…,𝒑𝒊𝒂𝒊 , deci
𝝈𝟏(𝒑𝟏𝒂𝟏)=𝟏+𝒑𝒊+𝒑𝒊𝟐+⋯+𝒑𝒊𝒂𝒊=𝒑𝒊𝒂𝒊+𝟏−𝟏
𝒑𝒊−𝟏
Pentru 𝑵 , avem :
𝝈𝟏(𝑵)=∏𝒑𝒊𝒂𝒊+𝟏−𝟏
𝒑𝒊−𝟏𝒓
𝒊=𝟏 (*)

Page
20
(Berndt 1985 ) , unde 𝒓=𝝎(𝒏) este numărul de factori primi distincți ai lui 𝒏 .
Pentru cazul special al lui 𝑵 – prim , relația anterioară (*) se simplifică cu :
𝝈𝟏(𝒑)=𝒑𝟐−𝟏
𝒑−𝟏=𝒑+𝟏 .
În mod similar, pentru 𝑵 o putere de doi , relația (*) se simplifică cu :
𝝈𝟏(𝟐𝒂)=𝟐𝒂+𝟏−𝟏
𝟐−𝟏=𝟐𝒂+𝟏−𝟏
Identitățile anterioare pot fi generalizate :
𝝈𝒌(𝑵)=𝝈𝒌(𝒑𝟏𝒂𝟏)𝝈𝒌(𝒑𝟐𝒂𝟐)…𝝈𝒌(𝒑𝒓𝒂𝒓)
= ∏𝒑𝒊(𝒂𝒊+𝟏)𝒌−𝟏
𝒑𝒊𝒌−𝟏𝒓
𝒊=𝟏
, pentru 𝒙≠𝟎 .
Când 𝒙=𝟎 , avem :
𝝈𝟎(𝑵)=∏(𝒂𝒊+𝟏)𝒓
𝒊=𝟏
De exemplu, dacă 𝒏=𝟐𝟒 , există doi factori primi ( 𝒑𝒊 este 𝟐 ;𝒑𝟐este 𝟑) ; observăm că 24 este
produsul de 𝟐𝟑×𝟑𝟏 , 𝒂𝟏 este 𝟑 și 𝒂𝟐este 𝟏 . Astfel putem calcula 𝝈𝟎(𝟐𝟒) :
𝝈𝟎(𝟐𝟒)=∏(𝒂𝒊+𝟏)𝟐
𝒊=𝟏=(𝟑+𝟏)(𝟏+𝟏)=𝟒∙𝟐=𝟖.
Cei 8 divizori numărați după această formulă sunt : 𝟏,𝟐,𝟒,𝟖,𝟑,𝟔,𝟏𝟐 și 𝟐𝟒 .

ALTE PROPRIETĂȚI ȘI IDENTITĂȚI :
Euler a demostrat următoarea remarcabilă recurență :
𝝈(𝒏)=𝝈(𝒏−𝟏)+𝝈(𝒏−𝟐)−𝝈(𝒏−𝟓)−𝝈(𝒏−𝟕)+𝝈(𝒏−𝟏𝟐)+𝝈(𝒏−𝟏𝟓)+⋯
=∑(−𝟏)𝒊+𝟏(𝝈(𝒏−𝟏
𝟐(𝟑𝒊𝟐−𝒊))+(𝒏,𝟏
𝟐(𝟑𝒊𝟐−𝒊))𝒏)
𝒊∈𝒁

Page
21
, unde am stabilit 𝝈(𝟎)=𝒏 dacă apare și 𝝈(𝒊)=𝟎 pentru 𝒊≤𝟎 , folosim delta Kronecker
(∙ ,∙) , și 𝟏
𝟐(𝟑𝒊𝟐−𝒊) – numerele pentagonale.
Într-adevăr, Euler a demonstrat acest lucru prin diferențierea logaritmică a identității în
teorema sa ”număr pentagonal” . Această teoremă raportează reprezentările produsului și seriei
ale funcției Euler. Acesta afirmă că :
∏(𝟏−𝒙𝒏)=∑ (−𝟏)𝒌𝒙𝒌(𝟑𝒌−𝟏)
𝟐 =𝟏+∑(−𝟏)𝒌(𝒙𝒌(𝟑𝒌+𝟏)
𝟐 +𝒙𝒌(𝟑𝒌−𝟏)
𝟐)∞
𝒌=𝟏∞
𝒏=−∞∞
𝒏=𝟏
Cu alte cuvinte , (𝟏−𝒙)(𝟏−𝒙𝟐)(𝟏−𝒙𝟑)…=𝟏−𝒙−𝒙𝟐−𝒙𝟓+𝒙𝟕−𝒙𝟏𝟐−𝒙𝟏𝟓+𝒙𝟐𝟐+⋯.
Exponenții 𝟏,𝟐,𝟓,𝟕,𝟏𝟐,… din partea dreaptă sunt date de formula :
𝒈𝒌=𝒌(𝟑𝒌−𝟏)
𝟐 , 𝒌=𝟏,−𝟏,𝟐,−𝟐,𝟑,…
și sunt generalizate numere pentagonale . Un număr pentagonal este un număr figurat care
extinde conceptul de numere triunghiulare și pătrate până la pentagon, dar, spre deosebire de
primele două, tiparele implicate în construcția n umerelor pentagonale nu sunt rotative simetrice.
Aceasta este o identitate a seriilor de putere convergente pentru |𝒙|<𝟏 , precum și ca o
identitate a seriilor de putere formale.
Pentru un număr întreg nepătrat 𝒏 , fiecare divizor 𝒅 a lui 𝒏 este asociat cu divizorul 𝒏/𝒅
a lui 𝒏 și 𝝈𝟎(𝒏) este par ; pentru un număr întreg pătrat, un divizor (anume √𝒏) nu este asociat
cu un divizor distinct și 𝝈𝟎(𝒏) este impar . În mod similar, numărul 𝝈𝟏(𝒏) este impar dacă și
numai dacă 𝒏 este un pătrat sau de două ori un pătrat .
De asemenea, notăm 𝒔(𝒏) = 𝝈(𝒏) − 𝒏. Aici 𝒔(𝒏) denotă suma divizorilor propriu -ziși
ai lui 𝒏, adică divizorii lui 𝒏, cu excepția lui 𝒏. Această funcț ie este cea utilizată pentru a
recunoaște numere le perfecte care sunt 𝒏 pentru care 𝒔(𝒏) = 𝒏.
Dacă {𝒔(𝒏)> 𝒏 , 𝒏−𝒏𝒖𝒎 ă𝒓 𝒂𝒃𝒖𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕
𝒔(𝒏)<𝒏 , 𝒏−𝒏𝒖𝒎 ă𝒓 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕

Dacă 𝒏 este o putere a lui 𝟐 , de exemplu ,𝒏=𝟐𝒌 , atunci :
𝝈(𝒏)=𝟐∙𝟐𝒌−𝟏
, și 𝒔(𝒏)=𝒏−𝟏 ceea ce arată că 𝒏 este aproape perfect .

Page
22
Ca exemplu, pentru două prime distincte 𝒑 și 𝒒 cu 𝒑 <𝒒 , fie 𝒏=𝒑𝒒
Atunci :
𝝈(𝒏)=(𝒑+𝟏)(𝒒+𝟏)=𝒏+𝟏+(𝒑+𝒒)
𝝋(𝒏)=(𝒑−𝟏)(𝒒−𝟏)=𝒏+𝟏−(𝒑+𝒒)
și
𝒏+𝟏=𝝈(𝒏)+𝝋(𝒏)
𝟐
𝒑+𝒒=𝝈(𝒏)−𝝋(𝒏)
𝟐
, unde 𝝋(𝒏) este funcția totientă a lui Euler.
Atunci, rădăcinile din:
(𝒙−𝒑)(𝒙−𝒒)=𝒙𝟐−(𝒑+𝒒)𝒙+𝒏=𝒙𝟐−[𝝈(𝒏)−𝝋(𝒏)
𝟐]𝒙+[𝝈(𝒏)+𝝋(𝒏)
𝟐−𝟏]
=𝟎
ne permite să exprimăm 𝒑 și 𝒒 în termeni de 𝝈(𝒏) și 𝝋(𝒏), fără să știm măcar 𝒏 sau 𝒑+𝒒,
deoarece :
𝒑=𝝈(𝒏)−𝝋(𝒏)
𝟒−√[𝝈(𝒏)−𝝋(𝒏)
𝟒]𝟐
−[𝝈(𝒏)+𝝋(𝒏)
𝟐−𝟏]
𝒒=𝝈(𝒏)−𝝋(𝒏)
𝟒+√[𝝈(𝒏)−𝝋(𝒏)
𝟒]𝟐
−[𝝈(𝒏)+𝝋(𝒏)
𝟐−𝟏]
De asemenea, cunoscând 𝒏 și 𝝈(𝒏) sau 𝝋(𝒏) ( sau cunoscând 𝒑+𝒒 și fie 𝝈(𝒏) sau 𝝋(𝒏) ) ne
permite să găsim cu ușurință 𝒑 și 𝒒 .

În 1984, Roger Heath -Brown a dovedit că egalitatea
𝝈𝟎(𝒏)=𝝈𝟎(𝒏+𝟏)
este adevărat ă pentru o infinitate de valori ale lui 𝒏 .

Page
23
RELAȚII DE SERIE :
Sumele care implică funcția de divizor sunt date de :
– serii ale lui Dirichlet :
∑𝝈𝟎(𝒏)
𝒏𝒔=𝟐(𝒔)∞
𝒏=𝟏
pentru 𝒔>𝟏 .
∑𝝈𝟏(𝒏)
𝒏𝒔=(𝒔)(𝒔−𝟏)∞
𝒏=𝟏
pentru 𝒔>𝟐 .
Și mai general,
∑𝝈𝒌(𝒏)
𝒏𝒔=(𝒔)(𝒔−𝒌)∞
𝒏=𝟏
pentru 𝒔>𝟏 și 𝒌≥𝟎 (Hardy and Wright 1979, p.250)
Care pentru 𝒅(𝒏)=𝝈𝟎(𝒏) , avem : ∑𝒅(𝒏)
𝒏𝒔=𝟐(𝒔)∞
𝒏=𝟏 ,𝒔>𝟏
În matematică, o serie D irichlet este orice serie de forma :
∑𝒂𝒏
𝒏𝒔∞
𝒏=𝟏
, unde 𝒔 este complex, iar 𝒂𝒏 este o secvență complexă. Este un caz special din seria generală
Dirichlet.
Cel mai cunoscut exemplu al unei serii Dirichlet este
(𝒔)=∑𝟏
𝒏𝒔∞
𝒏=𝟏
a cărui continuare analitică la este funcția zeta Riemann .
Cu condiția ca 𝒇 să fie evaluată în mod real la toate numerele naturale 𝒏 , părțile reale și
imaginare respective ale seriei Dirichlet 𝑭 au cunoscut formule în care scriem 𝒔≔𝝈+𝒊𝒕 :

Page
24
𝑹𝒆[𝑭(𝒔)]=∑𝒇(𝒏) 𝒄𝒐𝒔(𝒕𝒍𝒐𝒈 𝒏)
𝒏𝝈
𝒏≥𝟏
𝑰𝒎[𝑭(𝒔)]=∑𝒇(𝒏)𝒔𝒊𝒏(𝒕𝒍𝒐𝒈 𝒏)
𝒏𝝈
𝒏≥𝟏
Alt exemplu este :
1
(𝒔)=∑𝝁(𝒏)
𝒏𝒔∞
𝒏=𝟏
,unde 𝝁(𝒏) este funcția Möbius . Aceasta și multe dintre următoarele serii pot fi obținute
aplicând inversiunea Möbius și convoluția Dirichlet la seriile cunoscute. De exemplu, dat fiind
un caracter Dirichlet 𝝌(𝒏) unul are
𝟏
𝑳(𝝌,𝒔)=∑𝝁(𝒏)𝝌(𝒏)
𝒏𝒔∞
𝒏=𝟏
, unde 𝑳(𝝌,𝒔) este funcția L Dirichlet.
Alte identități includ :
(𝒔−𝟏)
(𝒔)=∑𝑱𝒌(𝒏)
𝒏𝒔∞
𝒏=𝟏
, unde 𝑱𝒌 este funcția Jordan , și
(𝒔)(𝒔−𝒂)(𝒔−𝟐𝒂)
(𝟐𝒔−𝟐𝒂)=∑𝝈𝒂(𝒏𝟐)
𝒏𝒔∞
𝒏=𝟏
(𝒔)(𝒔−𝒂)(𝒔−𝒃)(𝒔−𝒂−𝒃)
(𝟐𝒔−𝒂−𝒃)=∑𝝈𝒂(𝒏)𝝈𝒃(𝒏)
𝒏𝒔∞
𝒏=𝟏
Prin specializarea la funcția divizor 𝒅=𝝈𝟎 , avem :
𝟐(𝒔)=∑𝒅(𝒏)
𝒏𝒔∞
𝒏=𝟏
𝟑(𝒔)
(𝟐𝒔)=∑𝒅(𝒏𝟐)
𝒏𝒔∞
𝒏=𝟏
𝟒(𝒔)
(𝟐𝒔)=∑𝒅(𝒏)𝟐
𝒏𝒔∞
𝒏=𝟏

Page
25
O serie de generare pentru 𝝈𝟎(𝒏) este dată de seria Lambert
𝑳(𝒙)=∑𝒙𝒏
𝟏−𝒙𝒏=∞
𝒏=𝟏𝒙(𝟏)+𝒍𝒏(𝟏−𝒙)
𝒍𝒏𝒙=𝝈𝟎(𝟏)𝒙+𝝈𝟎(𝟐)𝒙𝟐+⋯
=𝒙+𝟐𝒙𝟐+𝟐𝒙𝟑+𝟑𝒙𝟒+𝟐𝒙𝟓+⋯

, unde 𝝓𝒒(𝒙) este o funcție 𝒒 poligama .
O serie Lambert, numită pentru Johann Heinrich Lambert, este o serie care ia forma
𝑺(𝒒)=∑𝒂𝒏𝒒𝒏
𝟏−𝒒𝒏∞
𝒏=𝟏
Poate fi reluat formal prin extinderea numitorului :
𝑺(𝒒)=∑𝒂𝒏∑𝒒𝒏𝒌=∑𝒃𝒎𝒒𝒎∞
𝒎=𝟏∞
𝒌=𝟏∞
𝒏=𝟏
, unde coeficienții noii serii sunt date de convoluția Dirichlet a lui cu funcția constantă 𝟏(𝒏)=𝟏
𝒃𝒎=(𝒂∗𝟏)(𝒎)=∑𝒂𝒏
𝒏|𝒎
Această serie poate fi inversată cu ajutorul formulei de inversa re Möbius și este un exemplu de
transformare Möbius .
Deoarece această ultimă sumă este o sumă tipică -teoretică a numărului, aproape orice
funcție multiplicativă naturală va fi exact sumabilă atunci când este utilizată într -o serie Lambert.
Astfel, de exemplu, unul are :
∑𝒒𝒏𝝈𝟎(𝒏)=∑𝒒𝒏
𝟏−𝒒𝒏∞
𝒏=𝟏∞
𝒏=𝟏
,unde 𝝈𝟎(𝒏)=𝒅(𝒏) este numărul de divizori pozitivi ai numărului 𝒏 .
Pentru suma de ordin mai mare a funcției divizor , unul are :
∑𝒒𝒏𝝈𝜶(𝒏)=∑𝒏𝒂 𝒒𝒏
𝟏−𝒒𝒏 ∞
𝒏=𝟏∞
𝒏=𝟏

Page
26
, unde 𝛼 este orice număr complex și
𝝈𝜶(𝒏)=(𝑰𝒅𝜶∗𝟏)(𝒏)=∑𝒅𝜶
𝒅|𝒏
este funcția divizor .
Funcția 𝝈𝟏(𝒏) are extinderea seriei :
𝝈𝟏(𝒏)=
𝟏
𝟔𝒏𝝅𝟐[(𝟏+(−𝟏)𝒏
𝟐𝟐)+𝟐𝐜𝐨𝐬 (𝟐
𝟑𝒏𝝅)
𝟑𝟐+𝟐𝐜𝐨𝐬 (𝟏
𝟐𝒏𝝅)
𝟒𝟐+𝟐[𝐜𝐨𝐬 (𝟐
𝟑𝒏𝝅)+𝐜𝐨𝐬 (𝟒
𝟓𝒏𝝅) ]
𝟑𝟐+⋯]
(Hardy 1999).

Ramanujan a dat urm ătoarea formulă :
∑𝝈𝒂(𝒏)𝝈𝒃(𝒏)
𝒏𝒔=∞
𝒏=𝟏(𝒔)(𝒔−𝒂)(𝒔−𝒃)(𝒔−𝒂−𝒃)
(𝟐𝒔−𝒂−𝒃)
, unde (𝒏) este funcția zeta și min {𝑅𝑒 𝑠 ,𝑅𝑒 (𝑠−𝑎),𝑅𝑒 (𝑠−𝑏),𝑅𝑒 (𝑠−𝑎−𝑏)}>𝟏 (Wilson
1923 ) , care a fost folosit de Ingham pentru a demonstra teorema numerelor prime (Hardy 1999,
p.59-60). Acest lucru dă cazul special :
∑[𝒅(𝒏)]𝟐
𝒏𝒔=[(𝒔)]𝟒
(𝟐𝒔)∞
𝒏=𝟏
(Hardy 1999 , p.59)

RATA DE CREȘTERE
 În notația ”o” , funcția divizor satisface inegalitatea : pentru toți 𝜺>𝟎 ,𝒅(𝒏)=𝒐(𝒏𝜺) .
Mai precis, Severin Wigert a arătat că :
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞𝒔𝒖𝒑𝒍𝒐𝒈 𝒅(𝒏)
𝒍𝒐𝒈 𝒏/𝒍𝒐𝒈 𝒍𝒐𝒈 𝒏=𝒍𝒐𝒈 𝟐

Page
27

Pe de altă parte, deoarece există infinit de multe numere prime ,
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞𝒊𝒏𝒇 𝒅(𝒏)=𝟐

 În notația ”O” , Peter Gustav Lejeune Dirichlet a arătat că ordinea medie a funcției de
divizor satisface inegalitatea următoare : pentru toți 𝒙≥𝟏 ,
∑𝒅(𝒏)=𝒙𝒍𝒐𝒈 𝒙+(𝟐𝜸−𝟏)𝒙+𝑶(√𝒙)
𝒏≤𝒙
, unde 𝜸 este constant agama a lui Euler . Îmbunătățirea legăturii 𝑶(√𝒙) în această formula este
cunoscută sub numele de problema divizorului lui Dirichlet .
Comportamentul funcției sigma este neregulat. Rata de creștere asimptotică a funcției
sigma poate fi exprimată prin:
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞𝒔𝒖𝒑𝝈(𝒏)
𝒏𝒍𝒐𝒈 𝒍𝒐𝒈 𝒏=𝒆𝜸
Acest rezultat este teorema lui Grönwall, pu blicată în 1913 (Grönwall 1913). Demonstrația sa
folosește a treia teoremă a lui Mertens, care spune că:
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞𝟏
𝒍𝒐𝒈 𝒏∏𝒑
𝒑−𝟏
𝒑≤𝒏=𝒆𝜸
, unde 𝒑 – prim .

În 1915, Ramanujan a dovedit că, sub asumarea ipotezei Riemann, inegalitatea:
𝝈(𝒏)<𝒆𝜸𝒏𝒍𝒐𝒈 𝒍𝒐𝒈 𝒏 (inegalitatea lui Robin)
pentru toți 𝒏 suficienți de mari (Ramanujan 1997) . Cea mai mare valoare cunoscută car e încalcă
inegalitatea este 𝒏=𝟓𝟎𝟒𝟎 . În 1984, Guy Robin a dovedit că inegalitat ea este adevărată pentru
toți 𝒏>𝟓𝟎𝟒𝟎 dacă și numai dacă ipoteza Riemann este adevărată (Robin 1984). Aceasta este
teorema lui Robin și inegalitatea a deven it cunoscută după el. De asemenea, Robin a arătat că

Page
28
dacă ipoteza Riemann este falsă, atunci există un număr infinit de valori ale 𝒏 care încalcă
inegalitatea și se știe că cel mai mic astfel 𝒏> 𝟓𝟎𝟒𝟎 trebuie să fie super abundentă (Akbary și
Friggstad 2009). S -a demonstrat că inegalitatea este valabilă pentru numere întregi mari impare
și fără pătrat și că ipoteza Riemann este echivalentă cu inegalitatea doar pentru 𝒏 , divizibilă prin
puterea a cincea a unui prim (Choie și colab. 2007).
De asemenea, Robin a dovedit, necondiționat, că inegalitatea :
𝝈(𝒏)<𝒆𝜸𝒏𝒍𝒐𝒈 𝒍𝒐𝒈 𝒏+𝟎.𝟔𝟒𝟖𝟑𝒏
𝒍𝒐𝒈 𝒍𝒐𝒈 𝒏
, pentru toți 𝒏≥𝟑 .
Jeffrey Lagarias a dat o legătură înrudită în 2002, care a demonstrat că ipoteza Riemann
este echivalentă cu afirmația că:
𝝈(𝒏)<𝑯𝒏+𝐥𝐨𝐠(𝑯𝒏)𝒆𝑯𝒏

, pentru fiecare număr natural 𝒏> 𝟏, unde 𝑯𝒏 este al nouălea număr armonic, (Lagarias 2002).

Page
29
4.

1. Determinați numărul natural 𝑨=𝟐𝒙∙𝟒𝟓 știind că suma divizorilor săi este 𝟐𝟒𝟏𝟖 .

Soluție :
Dacă un număr natural 𝒏 are descompunerea în factori primi 𝒏=𝒑𝟏𝒌𝟏∙𝒑𝟐𝒌𝟐∙…∙𝒑𝒓𝒌𝒓 ,
unde 𝒑𝟏 , 𝒑𝟐 ,…,𝒑𝒓 unt numere prime, iar 𝒌𝟏 , 𝒌𝟐 ,…,𝒌𝒓 și 𝒓 sunt numere naturale diferite de
zero, atunci suma divizorilor naturali ai numărului n este 𝝈(𝒏)=𝒑𝟏𝒌𝟏+𝟏−𝟏
𝒑𝟏−𝟏∙𝒑𝟐𝒌𝟐+𝟏−𝟏
𝒑𝟐−𝟏 ∙…∙𝒑𝒓𝒌𝒓+𝟏−𝟏
𝒑𝒓−𝟏 .
Deoarece 𝑨=𝟐𝒙∙𝟑𝟐∙𝟓 suma divizorilor lui 𝑨 este 𝟐𝒙+𝟏−𝟏
𝟐−𝟏 ∙𝟑𝟑−𝟏
𝟑−𝟏 ∙𝟓𝟐−𝟏
𝟓−𝟏=(𝟐𝒙+𝟏−𝟏)∙𝟏𝟑∙𝟔 .
Avem , așadar (𝟐𝒙+𝟏−𝟏)∙𝟏𝟑∙𝟔=𝟐𝟒𝟏𝟖 sau 𝟐𝒙+𝟏−𝟏=𝟑𝟏 , de unde 𝟐𝒙+𝟏=𝟑𝟐 . Obținem
𝒙=𝟒 . Numărul 𝑨 este 𝟕𝟐𝟎 .

2. Determinați toate numerele naturale 𝒙 care verifică simultan următoarele condiții :
i) 𝒏(𝒙)+𝒏(𝒙𝟐)=𝟔
ii) 𝝉(𝒙)+𝞽(𝒙𝟐)=𝟓
iii) 𝝈(𝒙)+𝝈(𝒙𝟐)<𝟐𝟎𝟏𝟖

Soluție :
Dacă 𝒙 are o singură cifră , atunci 𝒙𝟐 are cel mult două cifre și nu se verifică relația
𝒏(𝒙)+𝒏(𝒙𝟐)=𝟔. Dacă 𝒙 are trei sau mai multe cifre , atunci 𝒙𝟐 are cinci sau mai multe cifre
și din nou nu se verifică relația 𝒏(𝒙)+𝒏(𝒙𝟐)=𝟔 . Dacă 𝟏𝟎≤𝒙≤𝟑𝟏 , atunci
𝟏𝟎𝟎 ≤𝒙𝟐≤𝟗𝟔𝟏 , iar dacă 𝟑𝟐≤𝒙≤𝟗𝟗 , atunci 𝟏𝟎𝟐𝟒 ≤𝒙𝟐≤𝟗𝟖𝟎𝟏 . Deducem că relația
𝒏(𝒙)+𝒏(𝒙𝟐)=𝟔 care verificată numai de numere cuprinse între 𝟑𝟐 și 𝟗𝟗 .
Dacă 𝒙 are cel puțin 𝟑 divizori, atunci 𝒙𝟐 are cel puțin 𝟓 divizori . Dacă 𝒙 este număr
prim, atunci el are ca divizori pe 𝟏 și pe 𝒙 , iar 𝒙𝟐 are ca divizori pe 𝟏,𝒙 și 𝒙𝟐 . Prin urmare
numai numerele prime respectă condiția 𝝉(𝒙)+𝞽(𝒙𝟐)=𝟓 . Fie 𝒑 un număr prim ,
𝟑𝟐<𝒑<𝟗𝟗 . Avem 𝝈(𝒙)+𝝈(𝒙𝟐)=𝒑𝟐+𝟐𝒑+𝟐 . Din condiția iii) trebuie să avem 𝒑𝟐+

Page
30
𝟐𝒑+𝟐<𝟐𝟎𝟏𝟖 sau 𝒑(𝒑+𝟐)<𝟐𝟎𝟏𝟔 . Dacă 𝒑≥𝟒𝟕 , atunci 𝒑(𝒑+𝟐)≥𝟐𝟑𝟎𝟑 . Dacă 𝒑≤
𝟒𝟑 , atunci 𝒑(𝒑+𝟐)≤𝟏𝟗𝟑𝟓 .
În concluzie, 𝒙 este număr prim 𝟑𝟐<𝒙≤𝟒𝟑 , adică 𝒙∈{𝟑𝟕,𝟒𝟏,𝟒𝟑} .