Studiul Solicitarii de Rasucire

CAPITOLUL I

NOȚIUNI GENERALE DE CALCUL PENTRU STUDIUL SOLICITĂRII DE RĂSUCIRE

I.1. GENERALITÂȚI

O bară este solicitată la răsucire dacă la nivelul secțiunilor ei transversale, forțele interioare se reduc la un cuplu –moment de torsiune – ce acționează in plan normal la axa barei, vectorul moment încovoietor fiind dirijat după tangenta la axa barei in secțiunea considerată.

Deformația barei supusă la torsiune se caracterizează prin rotirea secțiunilor transversale una in raport cu cealaltă in jurul unei axe care, in cazul unei secțiuni având două axe de simetrie, coincide cu axa longitudinală a barei.

În cazul barei de secțiune inelară sau circulară, problema torsiunii se poate rezolva complet cu ipotezele Rezistenței Materialelor, pentru alte tipuri de secțiuni soluționarea problemei fiind posibilă doar cu metodele Teoriei Elasticității.

Momentul de răsucire transmis, în cazul unui arbore pe care sunt fixate două roți de curea (vezi figura 1.1 de mai jos), roata A fiind considerată motoare iar roata B condusă, eforturile din ramurile de curea fiind cu și este:

Figura 1.1 Momentul de torsiune transmis

http://www.rm.utilajutcb.ro/curs_12.pdf

Condiția de echilibru cere ca momentul de torsiune preluat de către roata condusă să fie egal cu cel transmis, astfel:

Momentul de torsiune este constant pe distanța dintre roți (vezi diagrama de moment de torsiune de mai sus).

Dacă arborele este antrenat de către un motor de putere P[kW], iar turația de lucru este n [rot/min], momentul de torsiune (cuplu motor) corespunzător este:

I.2. RĂSUCIREA BARELOR DE SECȚIUNE CIRCULARA SAU INELARĂ

Relația dintre efortul unitar și momentul de răsucire din secțiune.

Fie o bară dreaptă de secțiune circulară încastrată la un capăt și acționată la capătul liber de un moment de torsiune

Figura I.2. Bară încastrată la un capăt și liberă la celălalt

I.2.1.Studiul geometric

Dacă trasăm pe suprafața laterală a barei, înainte de solicitarea acesteia, o rețea alcătuită dintr-un sistem de linii paralele cu axa longitudinală și dintr-o serie de cercuri ce constituie conturul exterior a secțiunilor transversale ale barei, se va constata dupa răsucirea barei (în cazul unor deformații mici) generatoarele drepte se transformă în curbe elicoidale, conturul secțiunilor transversale circulare si plane înaintea deformației, rămâne același și după deformație, distanțele dintre secțiuni rămânând același; în urma răsucirii, o secțiune oarecare a barei s-a rotit față de alta cu un anumit unghi de torsiune, transformând dreptunghiurile rețelei de referință în paralelograme (vezi figura de mai jos).

Figura I.2.1

http://www.rm.utilajutcb.ro/curs_12.pdf

Ipotezele care stau la baza torsiunii barelor cu secțiune circulara sunt următoarele:

secțiunile transversale ale barei, plane și normale la axa acesteia înainte de deformare, rămân plane și normale după deformare (ipoteza secțiunilor plane), secțiunile rotindu-se cu un anumit unghi in jurul axei;

razele secțiunii rămân drepteși de aceeiași lungime după deformație;

distanțele în lungul axei între diferitele ecțiuni transversale nu se modifica în urma solicitării.

Se consideră bara de secțiune circulară de rază R încastrată la o extremitate și acționată la capătul liber de momentul de torsiune .

Figura I.2.1 Bară de secțiune circulara încastrată la o extremitate

și acționată la capatul liber

http://www.rm.utilajutcb.ro/curs_12.pdf

În urma deformației, generatoarea AB de pe suprafața laterală a barei ocupă poziția AB/, secțiunea 1-1 situată la distanța x de capătul încastrat se rotește cu unghiul față de secțiunea din încastrare, iar secțiunea 2-2, situată la distanța x + dx, se rotește față de încastrare cu unghiul

Se consideră separat un element de lungime dx, delimitat de secțiunile 1-1 și 2-2 in raport cu 1-1.(figura de mai jos).

Figura I.2.1.

http://www.rm.utilajutcb.ro/curs_12.pdf

Generatoarea AB va ocupa poyiția AB1 dupa deformare, cele două segmente formând unghiul între ele, unghi ce reprezintă deformația unghiulară pe suprafața cilindrica exterioară a barei și care în ipoteza micilor deformații se poate scrie.

Pentru o suprafață cilindrică interioară de rază r, deformația unghiulară va fi:

Mărimea se numește răsucire specifică și reprezintă rotirea dintre două sucțiuni situate la o distanță egală cu unitatea una față de cealaltă.

I.2.2.Studiul fizic

Condiția de elasticitate (studiul fizic) este exprimată prin legea lui hooke scrisă pentru răsucire astfel:

Rezultă că tensiunile tangențiale, datorate solicitării de torsiune, variază liniar cu distanța până la axă, sunt nule la nivelul axei longitudinale și maxime pe contur.

Figura I.2.2

http://www.rm.utilajutcb.ro/curs_12.pdf

I.2.3 Studiul static

Acest studiu face apel la relația de echivalență dintre momentul de torsiune de la nivelul secțiunii și momentul eforturilo unitare (, eforturi conținute în suprafața secțiunii transversale în discuție, momentul fiind exprimat în raport cu axa longitudinală a barei.

Figura I.2.3

http://www.rm.utilajutcb.ro/curs_12.pdf

Astfel se poate scrie:

rezultă:

astfel:

Produsul poartă numele de rigiditate la răsucire a barei de sețiune circulară sau inelară.

Știind că legea Hooke, , se inlocuiește din relația de mai sus, obținându-se expresia tensiunii tangențiale datorate momentului de torsiune

Se definește drept modul de reyistență polar și se notează cu raportul:

prin urmare se poate scrie:

relație ce reprezintă condiția de rezistență pentru bara supusă la răsucire.

I.2.4 Deformații la răsucire

Răsucirea specifică se calculează după relația:

ținându-se seama de:

Rotirea relativă între două secțiuni aflate la distanță una față de alta este:

În figura de mai jos, reprezintă unghiul de răsucire la capătul liber a barei.

În situația în care se dorește limitarea rotirilor, depășirea deformațiilor limită la răsucire putând afecta funcționarea normala a arborilor, intervine condiția de deformație:

I.2.5 Calculul practic la solicitarea de răsucire

condiția de rezistență –

formula de verificare:

formula de dimensionare:

formula de calcul a momentului de torsiune capabil:

.

Criteriul de rigiditate sau deformație –

formula de verificare:

formula de dimensionare:

formula de calcul a efortului capabil:

I.2.6 Tensiuni tangențiale de lunecare. Tensiuni principale. Moduri de rupere.

Considerându-se o bară de secțiune circulara solicitată la răsucire, pe o secțiune longitudinală, in baza legii dualității tensiunilor tangențiale apar tensiuni de lunecare, tensiuni ce au aceeiași lege de distribuție cu a tensiunilor de pe secțiunea transversală.

Figura I.2.6. Distribuția tensiunilor

http://www.rm.utilajutcb.ro/curs_12.pdf

Cele două tensiuni tangențiale , din punctul considerat, alcătuiesc un plan tangent la cilindru de rază r; elementul din vecinătatea punctului este supus unei stări de tensiune plane(vezi figura de mai jos), prin urmare tensiunile principale și poziția direcțiilor principale din punctul considerat se pot găsi cu relațiile corespunzătoare variația tensiunilor în jurul unui punct in care: , ; prin înlocuire:

Figura I.2.6. Traiectoriile direcțiilor principale

http://www.rm.utilajutcb.ro/curs_12.pdf

;

, ;

În figura de mai sus au fost trasate traiectoriile direcțiilor principale pe o suprafața cilindrica de rază r; aceasta reprezinta două familii de curbe elicoidale, înclinate la față de generatoare.

Studiul stării de tensiune efectuat permite explicarea diferitelor moduri de rupere, funcție de rezistența la diferite tipuri de solicitare la care este supus materialul din care este confecționată piesa în discuție, astfel:

o bară din oțel moale se rupe datorită tensiunii din secțiunea transversală;

o bară din lemn verde cedează datorită tensiunilor din secțiuni longitudinale, prin lunecare în lungul fibrelor;

o bară din fontă sau beton se rupe datorită tensiunii principale (de întindere), după o elice la față de generatoare.