Studiul Conicelor Si al Cuadricelor cu Ajutorul Teoremelor Preimaginii

Politehnica

Studiul Conicelor Si al Cuadricelor cu Ajutorul Teoremelor Preimaginii

Byadmin ianuarie 1, 2024

Cuprins

Introducere

Capitolul 1. Conice

1.1. Elipsa

1.2. Hiperbola

1.3. Parabola

1.4. Alte tipuri de conice

1.5. Reducerea ecuației unei conice la forma canonică

Capitolul 2. Cuadrice

2.1. Elipsoid

2.2. Hiperboloid cu o pânză

2.3. Hiperboloid cu două pânze

2.4. Paraboloid eliptic

2.5. Paraboloid hiperbolic

2.6. Cilindru eliptic

2.7. Cilindru hiperbolic

2.8. Cilindru parabolic

2.9. Conul

2.10. Alte tipuri de cuadrice

2.11. Reducerea ecuației unei cuadrice la forma canonică

Capitolul 3. Curbe și suprafețe regulare

3.1. Curbe regulare în plan

3.2. Curbe regulare în spațiu

3.3. Suprafețe regulare

Capitolul 4. Studiul conicelor și al cuadricelor cu ajutorul teoremelor preimaginii

4.1. Studiul conicelor pe ecuația reduse

4.1.1. Studiul elipsei

4.1.2. Studiul hiperbolei

4.1.3. Studiul parabolei

4. 2. Studiul cuadricelor pe ecuația redusă

4.2.1. Studiul elipsoidului

4.2.2. Studiul hiperboloidului cu o pânză

4.2.3. Studiul hiperboloidului cu două pânze

4.2.4. Studiul paraboloidului eliptic

4.2.5. Studiul paraboloidului hiperbolic

4.2.6. Studiul cilindrului eliptic

4.2.7. Studiul cilindrului hiperbolic

4.2.8. Studiul cilindrului parabolic

4.2.9. Studiul conului

4.3. Studiul conicelor pe ecuația generală

4.4. Studiul cuadricelor pe ecuația generală

Bibliografie

Studiul conicelor și al cuadricelor cu ajutorul teoremelor preimaginii

Introducere

Geometria este știința care studiază proprietățile configurațiilor de puncte, drepte și plane. Primele cercetări în geometrie au apărut încă din antichitate. Cei care au lăsat cele mai importante rezultate au fost grecii. Apollonius din Perga (170 î.e.n.) a scris un tratat asupra conicelor, care a fost cea mai importantă operă matematică a antichității, după "Elemente" de Euclid.

Geometria diferențială combină geometria analitică cu analiza matematică, ocupându-se cu studiul curbelor și suprafețelor cu mijloacele analizei, în special prin calcul diferențial și integral.

Lucrarea de față studiază conicele și cuadricele cu ajutorul teoremelor preimaginii, fiind structurată în patru capitole.

Primul capitol, numit Conice, cuprinde noțiuni teoretice legate de aceste curbe algebrice de grad doi. În acest capitol sunt expuse ecuațiile canonice (reduse) ale elipsei, hiperbolei și ale parabolei, după care se studiază reducerea unei conice dată prin ecuația generală la forma canonică.

Al doilea capitol, numit Cuadrice, cuprinde noțiuni teoretice legate de această clasă de suprafețe în spațiu. În capitolul al doilea sunt expuse ecuațiile canonice (reduse) ale cuadricelor, precum și reducerea unei cuadrice, dată prin ecuația generală, la forma canonică.

Capitolul al treilea, Curbe și suprafețe regulare, cuprinde noțiuni și rezultate de bază referitoare la geometria diferențială a curbelor regulare în plan, curbelor regulare în spațiu respectiv a suprafețelor regulare.

Ultimul capitol este intitulat Studiul conicelor și al cuadricelor cu ajutorul teoremelor preimaginii. În prima parte a acestui capitol am arătat, cu ajutorul primei teoreme a preimaginii, faptul că elipsa, hiperbola respectiv parabola sunt curbe regulare în plan. În cea de-a doua secțiune, folosind a treia teoremă a preimaginii, am studiat dacă elipsoidul, hiperboloidul cu o pânză respectiv două pânze, paraboloidul eliptic respectiv hiperbolic, conul, cilindrul eliptic, hiperbolic respectiv parabolic sunt suprafețe regulare în spațiu. În ultimele două secțiuni am studiat posibilitatea aplicării primei teoreme a preimaginii respectiv a celei de-a treia teoreme a preimaginii pentru conicele respectiv cuadricele date prin ecuații generale.

Capitolul 1. Conice

Conicele sau curbele algebrice de grad doi sunt caracterizate, într-un reper cartezian ortonormat din planul , printr-o ecuație de forma:

,

unde funcția este o funcție polinomială de grad doi în nedeterminatele si .

1.1. Elipsa

Definiție 1.1.1: Locul geometric al punctelor din plan a căror suma a distanțelor la două puncte fixe și , numite focare este constantă se numește elipsă.

Dacă alegem un sistem de axe ortogonal preferențial, astfel încât și vor fi focarele elipsei, unde c>0 este fixat, atunci mulțimea punctelor din plan cu proprietatea

,

unde a>0, este caracterizată algebric de ecuația:

.

Dacă în această ecuație, vom trece al doilea termen din stânga în membrul drept și dacă vom ridica de două ori consecutiv la pătrat,obținem, în urma calculelor,următoarea ecuație,care se numește ecuația carteziană redusă a elipsei :

,

unde am notat

Pentru această elipsă, notată cu (), descrisă prin ecuația carteziană redusă de mai sus, vom avea următoarele noțiuni uzuale:

Punctele și se numesc focarele elipsei ();

Segmentele și se numesc semiaxa mare și semiaxa mică ale elipsei ();

Punctele , , și se numesc vârfurile elipsei ();

respectiv reprezintă axele de simetrie ale elipsei ();

Punctul este centrul de simetrie al elipsei ();

Fig.1. Elipsa ()

Numărul real se numește excentricitatea elipsei ();

Dreptele se numesc directoarele elipsei ().

Elipsa (E) poate fi privită și ca locul geometric al punctelor din plan care verifică una dintre relațiile: sau unde si reprezintă directoarele elipsei () .

Dacă în ecuația elipsei () luăm atunci elipsa () devine un cerc centrat în originea și de rază .

Deoarece egalitatea a = b implică c = 0, rezultă că focarele și ale cerculuise suprapun și coincid cu centrul al cercului . Mai mult, prin definiție, admitem că excentricitatea cercului este .

1.2. Hiperbola

Definiție 1.2.1: Locul geometric al punctelor din plan pentru care valoarea absolută a diferenței distanțelor la două puncte fixe și , numite focare este constantă se numește hiperbolă.

Alegem un sistem de axe ortogonal preferențial, astfel încât și , unde c > 0este fixat, atunci mulțimea punctelor din plan cu proprietatea

,

unde >0 ,este caracterizată algebric de ecuația:

.

Ridicând această ecuație de două ori consecutiv la pătrat și reducând termenii asemenea, obținem, în urma calculelor, următoarea ecuație,care se va numi ecuația carteziană redusă a hiperbolei :

,

unde am notat .

Fig.2. Hiperbola ()

Pentru această hiperbolă notată cu (), descrisă prin ecuația carteziană redusă de mai sus, vom avea următoarele noțiuni uzuale:

Punctele și se numesc focarele hiperbolei ();

Axele și sunt axele de simetrie ale hiperbolei ();

Punctele și se numesc vârfurile hiperbolei ();

Punctul este centrul de simetrie al hiperbolei ();

Dreptele se numesc directoarele hiperbolei ();

Dreptele sunt asimptotele hiperbolei ();

Numărul real se numește excentricitatea hiperbolei ().

1.3. Parabola

Definiție 1.3.1: Locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de un punct fix , numit focar și de o dreaptă fixă , numită dreaptă directoare se numește parabolă.

Alegem un sistem de axe ortogonal preferențial, astfel încât este focarul parabolei și este dreapta directoare a parabolei, unde .În aceste condiții mulțimea punctelor din plan cu proprietatea

,

este caracterizată algebric de ecuația:

.

Ridicând această ecuație la pătrat și reducând termenii asemenea, obținem, în urma calculelor, următoarea ecuație carteziană redusă a parabolei:

.

Fig.3. Parabola ()

Pentru această parabolă, notată cu (), descrisă prin ecuația carteziană redusă de mai sus, avem următoarele noțiuni uzuale:

Punctul se numește focarul parabolei ();

Axa este axa de simetrie a parabolei ();

Punctul se numește vârful parabolei ();

Dreapta se numește directoarea parabolei ().

Propoziție 1.3.2: Fiind date în planul euclidian un punct și o dreaptă , știm că locul punctelor M din planul pentru care

este o elipsă, hiperbolă sau parabolă,dacă , respectiv

Demonstrație: Fie proiecția lui pe , proiecția lui pe și astfel încât Notăm și obținem și , unde am notat .În reperul ,unde , avem și dacă transcriem cu coordonate relația de definiție de mai sus,obținem ecuația

. (1.3.1)

Aceasta reprezintă o elipsă dacă , o hiperbolă dacă și o parabolă dacă . Pentru acest motiv ecuația (1.3.1) se numește ecuația comună a conicelor.□

1.4. Alte tipuri de conice

perechea de drepte secante este conica de ecuație: ;

perechea de drepte paralele este conica de ecuație: ;

perechea de drepte confundate este conica de ecuație: ;

punctul este conica de ecuație:

mulțimea vidă este conica de ecuație: sau

1.5. Reducerea ecuației unei conice la forma canonică

Fie un reper ortonormat și punctul, în spațiul ; fie sistemul de axe de coordonate cartezian notat prin .Fie o funcție definită prin

,

unde are loc relația , adică cel puțin unul dintre acești trei coeficienți este nenul.

Definiție 1.5.1 : Mulțimea de puncte din definită prin :

se numește conică sau curbă algebrică de ordinul al doilea.Pentru simplificarea scrierii se acceptă notația

.

Elipsa (), hiperbola () și parabola () constituie exemple de astfel de curbe.De asemenea observăm că și perechea de drepte secante, perechea de drepte paralele, perechea de drepte confundate, punctul și mulțimea vidă constituie exemple de astfel de curbe. Pentru a demonstra aceasta vom folosi metoda rototranslației.

Observație 1.5.1 : Ecuațiile rotației de unghi sunt :

,unde (1.5.1)

Vom determina unghiul de rotație astfel încât în ecuația lui scrisă în coordonatele și , coeficientul lui ; să fie nul.Pentru acesta, în ecuația conicei ,

înlocuim și din ecuațiile rotației de unghi

Obținem ecuația

(1.5.2)

unde am notat

. (1.5.3)

Se alege unghiul de rotație astfel încât , adică să fie o soluție a ecuației trigonometrice

de unde obținem

, .

Astfel am demonstrat următoarea proprietate:

Propoziție 1.5.1 : Unghiul de rotație utilizat în reducerea conicei la forma canonică este dat de formula :

,.

Analizăm ecuația (1.5.2). Avem următoarele cazuri:

I. și

II. și

III. și ; se tratează cazul II;

IV. în acest caz, conica are ecuația,deci ar fi o dreaptă, contradicție.

I. și .

Scriem ecuația conicei sub forma următoare:

unde .

În continuare facem o schimbare de coordonate:

,

rezultând că. În acest caz, conica poate fi o elipsă, hiperbolă, mulțimea vidă, un punct sau două drepte concurente.

II. și

Scriem ecuația conicei sub forma următoare:

.

Efectuăm schimbarea de coordonate:

,

rezultând că. Observăm că în cazul avem +. În acest caz, conica poate fi o parabolă sau drepte paralele eventual confundate .

Observație 1.5.2: Dacă , rotația nu mai e necesară.

În continuare vom prezenta clasificarea conicelor cu ajutorul invarianților. Folosind coeficienții din ecuația generală a unei conice, definim numerele:

.

Propoziția 1.5.2 : Numerele si rămân neschimbate atunci când asupra reperului cartezian se aplică o rotație sau o translație.

Demonstrație : Fie rotația de unghi din relația (1.5.1) și relațiile (1.5.3). Atunci avem: ;

;

.

Dacă efectuăm translația de ecuații:

,

atunci ecuația conicei devine:

,

unde am notat

Observăm că Calculăm , folosind proprietățile determinanților:

Propoziția 1.5.3 : Punctul este centru de simetrie al conicei dacă și numai dacă este soluție a sistemului

. (1.5.5)

Demonstrație: Punctul este centru de simetrie al conicei avem . Avem

,

Din ultimele două egalități, prin adunare , obținem

Dar din relațiile (1.5.4) obținem

Observația 1.5.3: O conică are centru unic de simetrie sistemul (1.5.5) are soluție unică.

Observația 1.5.4: Fie o conică având centrul unic deci . Atunci avem . Pentru a justifica această afirmație, observăm că din relația (1.5.4) avem

este centrul lui .

Sistemul admite soluția unică , deci

Definiția 1.5.2 : Dacă , conica se numește conică nedegenerată, iar dacă conica se numește conică degenerată.

Observația 1.5.5 : Dacă rezulm prezenta clasificarea conicelor cu ajutorul invarianților. Folosind coeficienții din ecuația generală a unei conice, definim numerele:

.

Propoziția 1.5.2 : Numerele si rămân neschimbate atunci când asupra reperului cartezian se aplică o rotație sau o translație.

Demonstrație : Fie rotația de unghi din relația (1.5.1) și relațiile (1.5.3). Atunci avem: ;

;

.

Dacă efectuăm translația de ecuații:

,

atunci ecuația conicei devine:

,

unde am notat

Observăm că Calculăm , folosind proprietățile determinanților:

Propoziția 1.5.3 : Punctul este centru de simetrie al conicei dacă și numai dacă este soluție a sistemului

. (1.5.5)

Demonstrație: Punctul este centru de simetrie al conicei avem . Avem

,

Din ultimele două egalități, prin adunare , obținem

Dar din relațiile (1.5.4) obținem

Observația 1.5.3: O conică are centru unic de simetrie sistemul (1.5.5) are soluție unică.

Observația 1.5.4: Fie o conică având centrul unic deci . Atunci avem . Pentru a justifica această afirmație, observăm că din relația (1.5.4) avem

este centrul lui .

Sistemul admite soluția unică , deci

Definiția 1.5.2 : Dacă , conica se numește conică nedegenerată, iar dacă conica se numește conică degenerată.

Observația 1.5.5 : Dacă rezultă pe baza Observației (1.5.4) că și , iar dacă rezultă că .

Teorema 1.5.1: Dacă este o conică cu centrul unic nedegenerată atunci există un reper ortonormat în raport cu care ecuația conicei se scrie sub forma În concluzie este o elipsă sau o hiperbolă.

Demonstrație: Fie centrul conicei și fie translația reperului inițial în :

,

Rezultă că, are ecuația următoare:

.

Din relația (1.5.3), Observația (1.5.4) și Propoziția (1.5.3) avem că

Fie forma pătratică ; rezultă atunci că avem o bază în raport cu care unde sunt valorile proprii ale matricii

Observăm că ecuația este echivalentă cu următoarele:

.

Obținem ,

de unde rezultă:

Cazul I: au același semn au același semn.

Dacă astfel încât și este o elipsă.

Dacă este o elipsă imaginară.

Cazul II: au semne opuse au semne opuse. În acest caz este o hiperbolă .

Observația1.5.6: Fie schimbările de baze si . Direcțiile axelor corespunzătoare reperului sunt date de vectorii proprii corespunzători valorilor proprii , adică de vectorii , , determinați de sistemul următor:

Au loc relațiile următoare:

Ecuația cu rădăcinile este

.

Acum putem calcula

Schimbarea de repere este chiar rotația de unghi .

Teorema1.5.2: Dacă este o conică fără centru nedegenerată, atunci există un reper ortonormat în raport cu care are ecuația canonică:

,

unde , în concluzie conica este o parabolă.

Demonstrație: Presupunem . Fie forma pătratică Atunci ecuația conicei devine

Fie rotația de unghi astfel încât pentru baza ortonormată direcția versorului este aceeași cu direcția dreptei

Obținem

, Ecuațiile rotației devin ecuațiile ce pot fi scrise sub forma:

Înlocuind expresiile corespunzătoare lui și rezultă:

Acum putem scrie:

;

unde .

Astfel ecuația conicei se poate scrie sub forma următoare:

;

Calculăm invariantul

(1.5.6)

Ecuația conicei devine:

Efectuăm translația

,

rezultând că

unde

Observația 1.5.7: Pentru a obține forma canonică folosim teorema (1.5.2), iar axele reperului final le determinăm astfel:

-axa parabolei se alege din mulțimea dreptelor de ecuații:

-pentru a obține ecuația tangentei la vârf scriem ecuația conicei sub forma

-tangenta la vârf are ecuația

-determinămastfel încât axa parabolei și tangenta la vârful parabolei să fie perpendicular:

Deci va avea expresia:

.

Rezultatele obținute le putem sintetiza în următorul tabel:

Capitolul 2. Cuadrice

Cuadricele reprezintă o clasă de suprafețe în spațiu, cu proprietăți remarcabile, aceste curbe fiind întâlnite în diverse aplicații din diverse domenii (turnul de răcire dintr-un CET are forma unui hiperboloid cu o pânză). Cuadricele sunt reprezentate, într-un reper cartezian ortonormat din spațiul , printr-o ecuație de forma:

,

unde funcția este o funcție polinomială de grad doi .O cuadrică poate reprezenta din punct de vedere geometric una dintre următoarele figuri geometrice: o sferă, un elipsoid, un hiperboloid cu o pânză sau două, un paraboloid eliptic sau hiperbolic, un con eliptic sau circular, un cilindru circular, eliptic, hiperbolic sau parabolic, o reuniune de plane secante, paralele sau confundate, o dreaptă, un punct sau mulțimea vidă.

Fie reperul ortonormat ce aparține lui , adică fixăm în un sistem ortogonal de axe .

2.1. Elipsoidul

Definiție 2.1.1: Elipsoidul este cuadrica de ecuație:

FieObservăm că elipsoidulconține și punctele .Rezultă așadar că planele de coordonate sunt plane de simetrie ale elipsoidului,fapt ce arată că elipsoidul este simetric și față de axele de coordonate , dar și față de origine.

Fig.4. Elipsoidul()

Intersecțiile elipsoidului cu planele sunt elipsele:

, elipsa de semiaxe și situată în planul

,elipsa de semiaxe și situată în planul

De asemenea, intersecția cu planul de ecuație este elipsa:

2.2. Hiperboloidul cu o pânză

Definiție 2.2.1: Hiperboloidul cu o pânză este cuadrica de ecuație:

.

Fig.5. Hiperboloidul cu o pânză ()

Observăm că intersecția hiperboloidului cu planul de coordinate este elipsa de semiaxe , având ecuațiile:

Studiem intersecția hiperboloidului cu planele de coordonate respectiv :

hiperbola situată in planul

hiperbola situată în planul

Intersecția cu planul de ecuație este elipsa de ecuații:

Pe de altă parte , ecuația hiperboloidului cu o pânză poate fi scrisă sub forma

,

de unde deducem că dreptele :

sunt situate pe Observăm deci, că hiperboloidul cu o pânză are două familii de generatoare rectilinii. Prin fiecare punct al hiperboloidului trece câte o generatoare din fiecare familie, fiecare generatoare dintr-o familie intersecteaza orice generatoare din cealaltă familie și oricare două generatoare din aceeași familie nu au puncte comune.

2.3. Hiperboloidul cu două pânze

Definiție 2.3.1: Hiperboloidul cu doua pânze este cuadrica de ecuație:

Fig.6. Hiperboloidul cu doua pânze ()

Observăm că hiperboloidul nu intersectează planul

În continuare studiem intersecțiile hiperboloidului cu doua pânze cu planele de coordonate respectiv :

, hiperbola situată în planul

, hiperbola situată in planul

Intersecția hiperboloidului () cu planul de ecuație este elipsa de ecuație:

unde .Dacă sau atunci intersecția se reduce la punctul de coordonate respectiv iar dacă atunci intersecția este vidă.

2.4. Paraboloidul eliptic

Definiție 2.4.1: Paraboloidul eliptic este cuadrica de ecuație:

Fig.7. Paraboloid eliptic ()

Studiem intersecțiile paraboloidului eliptic cu planele de coordonate respectiv :

, parabola situată în planul ;

, parabola situată în planul .

Intersecția paraboloidului () cu planul de ecuație este elipsa de ecuație:

.

Dacă intersecția se reduce la punctul de coordonate iar dacă intersecția este mulțimea vidă.

2.5. Paraboloidul hiperbolic

Definiție 2.5.1: Paraboloidul hiperbolic este cuadrica de ecuație:

Fig.8. Paraboloidul hiperbolic ()

În continuare studiem intersecția paraboloidului hiperbolic cu planul de coordonate care va fi reuniunea dreptelor de ecuație:

;

Intersecția paraboloidului hyperbolic () cu planul de coordonate este parabola de ecuație:

Intersecția paraboloidului hiperbolic () cu planul de ecuație este elipsa de ecuație:

Pe de altă parte, ecuația paraboloidului hiperbolic poate fi scrisă sub forma:

astfel încât dreptele :

sunt situate pe paraboloidul hiperbolic (). Așadar, la fel ca în cazul hiperboloidului cu o pânză, și paraboloidul hiperbolic () are două familii de generatoare rectilinii, care au aceleași proprietăți cu cele ale hiperboloidului cu o pânză,însă în cazul paraboloidul hiperbolic, generatoarele rectilinii sunt paralele cu planul de ecuație ,iar generatoarele rectilinii sunt paralele cu planul de ecuație .

2.6. Cilindrul eliptic

Definiție 2.6.1: Cilindrul eliptic este cuadrica având una din ecuațiile următoare:

Fig.9. Cilindrul eliptic ()

2.7. Cilindrul hiperbolic

Definiție 2.7.1: Cilindrul hiperbolic este cuadrica având una din ecuațiile următoare:

Fig.10. Cilindrul hiperbolic ()

2.8. Cilindrul parabolic

Definiție 2.8.1: Cilindrul parabolic este cuadrica având o ecuație de forma:

Fig.11. Cilindrul parabolic ()

2.9. Conul

Definiție 2.9.1: Conul este cuadrica de ecuație:

.

Fig.12. Conul ()

2.10. Alte tipuri de cuadrice:

Cuadrica de ecuație este o reuniune de plane secante.

Cuadrica de ecuație este o reuniune de plane paralele.

Cuadrica de ecuație este o reuniune de plane confundate.

Cuadrica de ecuație reprezintă o dreaptă (două plane imaginare a căror intersecție este o dreaptă reală).

Cuadrica de ecuație este un punct.

Cuadrica de ecuație este mulțimea vidă.

2.11. Reducerea ecuației unei cuadrice la forma canonică

Fie reperul cartezian în spațiul punctual și fie definită astfel:

,

unde .

Mulțimea punctelor din definită prin:

reprezintă o cuadrică, iar pentru simplificarea scrierii vom face următoarea notație:

Vom considera

,

, ,

,

aceștia fiind invarianții cuadricei. Asociem cuadricei forma pătratică definită prin:

și considerăm matricea simetrică asociată formei pătratice

.

În continuare se calculează valorile proprii ale matricii, care sunt rădăcinile ecuației caracteristice:

.

Fie subspațiile proprii corespunzătoare valorilor proprii ale matricii

.

Printr-o eventuală numerotare se aleg vectori proprii ortonormați corespunzători valorilor proprii astfel încât unde

.

Se efectuează rotația în urma căreia ecuația cuadricei devine:

unde

Dând factor comun forțat pe și restrângând pătratele descompuse , putem rescrie ecuația cuadricei sub forma:

unde

În continuare efectuăm translația și astfel obținem ecuația canonică:

.

Rezultatele obținute le putem sintetiza în următorul tabel:

Capitolul 3. Curbe și suprafețe regulare

3.1. Curbe regulare în plan

Fie un reper cartezian ortonormat direct orientat în planul bidimensional al geometriei euclidiene .

Definiție 3.1.1: Se numește curbă parametrizată diferențiabilă plană o aplicație,unde este o mulțime deschisă și sunt de clasă suficient de mare.

este ecuația vectorială a curbei , iar ecuațiile parametrice ale curbei sunt:

.

Definiție 3.1.2: Un punct se numește punct regular al curbei dacă . În caz contrar, punctul se numește punct singular. Curba parametrizată diferențiabilă se numește curbă regulară dacă toate punctele lui sunt regulare, adică dacă .

Definiție 3.1.3: O submulțime se numește curbă regulară în plan dacă o vecinătate a lui în și deschisă, cu următoarele proprietăți:

i) este netedă( infinit derivabile);

ii) este omeomorfism (continuă,inversabilă având inversa continuă);

iii)

Observație 3.1.1: O curbă regulară în plan este urma unei curbe parametrizate diferențiabilă care este regulară în orice punct și injectivă.Condițiile ii) și iii) din definiția curbei regulare plane asigură existența tangentei unice în orice punct al curbei.

Propoziție 3.1.1: Dacă este o submulțime deschisă șieste infinit derivabilă, atunci graficul lui ,

este o curbă regulară în plan.

Demonstrație: Este suficient să observăm că aplicația este o parametrizare a lui , a cărei vecinătate de coordonate acoperă întregul grafic. Într-adevăr

Pe de altă parte este bijectivă, continuă și unde Deci este continuă, fiind restricția la a unei aplicații continue, și astfel am arătat că este un omeomorfism. □

Dacă este o mulțime deschisă și o funcție netedă spunem că punctul este punct critic al lui dacă , sau, echivalent, . În caz contrar, va fi punct regular.

Notăm cu mulțimea punctelor critice, iar cu mulțimea punctelor regulare ale lui . Observăm că este deschisă iar este o mulțime închisă. Punctele mulțimii se numesc valori critice respectiv valori regulare ale lui .

Teoremă (prima teoremă a preimaginii) 3.1.1: Dacă este o mulțime deschisă, o funcție netedă și este o valoare regulară a lui , atunci preimaginea lui prin ,

este o curbă regulară plană, numită curbă regulară plană de ecuație carteziană implicită .

Demonstrație: Fie o valoare regulară și . Punctul este regular, ceea ce înseamnă că cel puțin una din derivatele parțiale este nenulă. Presupunem că , celălalt caz tratându-se analog. Considerăm aplicația:

Matricea Jacobiană a aplicației în punctul este

și are determinantul egal cu . Prin urmare, este difeomorfism local în , adică există o vecinătate deschisă a lui, astfel încât este deschisă în și este difeomorfism. Presupunem că . Avem următorul șir de echivalențe:

, adică

(3.1.1)

Prin urmare , În continuare arătăm că

(3.1.2)

Fie astfel încât Atunci și și Așadar am arătat că

(3.1.3)

Fie acumși

Deoarece rezultă că

Cum însă, conform lui (3.1.1), rezultă că Pe de altă parte, și astfel deducem că

Prin urmareAșadar am demonstrat că

(3.1.4)

Relațiile (3.1.3) și (3.1.4) demonstrează complet relația (3.1.2). Deoarecerezultă că =

unde iar Deci

Mai rămâne să arătăm căeste o mulțime deschisă. Considerăm a doua proiecție și observăm că este continuă și că mulțime care este deschisă în . Restricția

,

este omeomorfism, fapt care ne conduce la concluzia că este deschisă. Prin urmare, conform Propoziției.3.1.1, mulțimea este o vecinătate de coordonate a lui . Deci mulțimea poate fi acoperită cu o familie de vecinătăți de coordonate, ceea ce înseamnă că este o curbă regulară plană.□

3.2.Curbe regulare în spațiu

Fie un reper cartezian ortonormat direct orientat în planul bidimensional al geometriei euclidiene .

Definiție 3.2.1: Se numește curbă parametrizată diferențiabilă în spațiu o aplicație , unde este o mulțime deschisă și sunt de clasă suficient de mare.

este ecuația vectorială a curbei iar ecuațiile parametrice ale curbei sunt:

.

Definiție 3.2.2: O submulțime se numește curbă regulară în spațiu dacă o vecinătate a lui în și este deschisă, cu următoarele proprietăți:

i) este netedă;

ii) este omeomorfism;

iii) .

Propoziție 3.2.1: Dacă e deschisă șisunt netede, atunci mulțimea

este o curbă regulară în spațiu.

Ecuațiile carteziene explicite ale curbei vor fi următoarele:

Teoremă (A doua teoremă a preimaginii) 3.2.1: Fie o mulțime deschisă și , . Dacă funcția este netedă și este o valoare regulară a lui , atunci preimaginea lui prin :

este o curbă regulară în , numită curbă regulară în spațiu de ecuații carteziene implicite

Demonstrație: Fie și Deoarece este o valoare regulară, rezultă că este un punct regular a lui , adică cel puțin unul dintre minorii este nenul. Presupunem că celelalte cazuri tratându-se analog. Considerăm aplicația . Matricea sa Jacobiană în punctul este:

de unde deducem că , adică este difeomorfism local în ceea ce înseamnă că există o vecinătate deschisă a lui astfel încât este deschisă și este difeomorfism. Presupunem că

Are loc egalitatea:

Atunci avem:

unde este o mulțime deschisă, iar , Aplicația este o parametrizare locală în , deoareceeste netedă și adică De asemenea este bijectivă, continuă și adică este continuă, deoarece este continuă. □

3.3. Suprafețe regulare

Definiție 3.3.1: Fie deschisă. Se numește suprafață parametrizată diferențiabilă o aplicație , unde sunt de clasă suficient de mare.

se numesc ecuațiile vectoriale ale suprafeței , iar ecuațiile

se numesc ecuațiile parametrice ale suprafeței .

Definiție 3.3.2: O submulțime se numește suprafață regulară dacă o vecinătate a lui în și este deschisă, cu următoarele proprietăți:

i) este netedă;

ii) este omeomorfism;

iii) .

Am notat cu și .

Propoziție 3.3.1: Dacă este o mulțime deschisă și este o funcție netedă, atunci graficul lui ,

este o suprafață regulară.

Demonstrație: Observăm că aplicația este o parametrizare a graficului, a cărei vecinătate de coordonate acoperă întregul grafic. Din definiția suprafeței regulare, condiția ca să fie netedă este îndeplinită iar ultima condiție din aceeași definiție rezultă din faptul că Fiecare punct al graficului este imaginea prin a unicului punct adică aplicația este bijectivă și continuă. Pe de altă parte, avem , unde Deoarece este continuă rezultă că este, de asemenea, continuă. □

Dacă este o mulțime deschisă și o funcție netedă spunem că punctul este punct critic al lui dacă , sau, echivalent . În caz contrar, va fi punct regular.

Notăm cu mulțimea punctelor critice, iar cu mulțimea punctelor regulare ale lui . Observăm că este deschisă iar este o mulțime închisă. Punctele se numesc valori critice respectiv valori regulare ale lui .

Teoremă (A treia teoremă a preimaginii) 3.3.1: Fie o mulțime deschisă, o funcție netedă și o valoare regulară a lui . Atunci preimaginea lui prin :

este o suprafață regulară în , numită suprafață regulară de ecuație carteziană implicită .

Demonstrație: Fie Deoarece este valoare regulară, rezultă că gradientul este nenul. Presupunem că și definim aplicația

Observăm că

, deci . Așadar este difeomorfism local în , adică există o vecinătate deschisă a lui ,, astfel încât este deschisă și este bijectivă, diferențiabilă și inversa este de asemenea diferențiabilă. Presupunem că

.

Relația este echivalentă cu sistemul:

.

Prin urmare .

Are loc egalitatea

(3.3.1)

și astfel obținem că

unde am notat

Prin urmare unde . Mai rămâne să arătăm că este deschisă. Fie Observăm că și astfel, ținând seama de faptul că este deschisă în , deducem că este dechisă în . Dar

este un omeomorfism. Așadar

este deschisă în . Conform Propoziției 3.3.1, este o vecinătate de coordonate a lui . Prin urmare fiecare punct poate fi acoperit de o vecinătate de coordonate și astfel am demonstrat că este o suprafață regulară.□

Capitolul 4. Studiul conicelor și al cuadricelor cu ajutorul teoremelor preimaginii

4.1. Studiul conicelor pe ecuații reduse

4.1.1. Studiul elipsei

Ecuația redusă a elipsei de semiaxe și este:

Fie funcția definită prin . Atunci elipsa va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că elipsa este o curbă regulară în plan, trebuie să arătăm conform primei teoreme a preimaginii că

unde este o valoare regulară a lui .

Mulțimea punctelor critice va fi .

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Rezultă că are o singură valoare critică, , deci este valoare regulară și . Pe baza primei teoreme a preimaginii rezultă că elipsa este o curbă regulară în plan.

4.1.2. Studiul hiperbolei

Ecuația redusă a hiperbolei de semiaxe și este

Fie funcția definită prin . Atunci hiperbola va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că hiperbola este o curbă regulară in plan, trebuie să arătăm, conform primei teoreme a preimaginii, că

unde este o valoare regulară a lui .

.

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Rezultă că are o singură valoare critică , deci este valoare regulară și . Pe baza primei teoreme a preimaginii rezultă că elipsa este o curbă regulară în plan.

4.1.3. Studiul parabolei

Ecuația redusă a parabolei de parametru este:

.

Fie funcția definită prin . Atunci parabola va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că parabola este o curbă regulară în plan, trebuie să arătăm, conform primei teoreme a preimaginii, că

unde este o valoare regulară a lui .

.

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Observăm că nu există puncte critice, de unde rezultă că nu există nici valori critice; astfel, orice punct din este valoare regulară, deci și 0. Atunci este o curbă regulară în plan.

4.2. Studiul cuadricelor pe ecuații reduse

4.2.1. Studiul elipsoidului

Ecuația redusă a elipsoidului de semiaxe este:

Fie funcția definită prin. Atunci elipsoidul va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că elipsoidul este o curbă regulară în plan, trebuie să arătăm, conform celei de-a treia teoreme a preimaginii, că

unde este o valoare regulară a lui .

.

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Rezultă o singură valoare critică , deci este valoare regulară și Pe baza celei de-a treia teoreme a preimaginii rezultă că elipsoidul este o suprafață regulară în spațiu.

4.2.2. Studiul hiperboloidului cu o pânză

Ecuația redusă a hiperboloidului cu o pânză de semiaxe este:

.

Fie funcția definită prin. Atunci hiperboloidul cu o pânză va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că hiperboloidul cu o pânză este o curbă regulară în plan, trebuie să arătăm, conform celei de-a treia teoreme a preimaginii, că

unde este o valoare regulară a lui .

.

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Rezultă o singură valoare critică , deci este valoare regulară și Pe baza celei de-a treia teoreme a preimaginii rezultă că hiperboloidul cu o pânză este o suprafață regulară în spațiu.

4.2.3. Studiul hiperboloidului cu două pânze

Ecuația redusă a hiperboloidului cu două pânze de semiaxe este:

Fie funcția definită prin. Atunci hiperboloidul cu două pânze va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că hiperboloidul cu două pânze este o curbă regulară în plan, trebuie să arătăm, conform celei de-a treia teoreme a preimaginii, că

unde este o valoare regulară a lui .

.

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Rezultă o singură valoare critică , deci este valoare regulară și Pe baza celei de-a treia teoreme a preimaginii rezultă că hiperboloidul cu două pânze este o suprafață regulară în spațiu.

4.2.4. Studiul paraboloidului eliptic

Ecuația redusă a paraboloidului eliptic este:

.

Fie funcția definită prin. Atunci paraboloidul eliptic va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că paraboloidul eliptic este o curbă regulară în plan, trebuie să arătăm, conform celei de-a treia teoreme a preimaginii, că

unde este o valoare regulară a lui .

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Observăm că nu există puncte critice, de unde rezultă că nu există nici valori critice. Astfel, orice punct din este valoare regulară, deci și 0; de unde deduce că este o suprafață regulară în spațiu.

4.2.5. Studiul paraboloidului hiperbolic

Ecuația redusă a paraboloidului hiperbolic este:

Fie funcția definită prin. Atunci paraboloidul hiperbolic va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că paraboloidul hiperbolic este o curbă regulară în plan, trebuie să arătăm, conform celei de-a treia teoreme a preimaginii, că

unde este o valoare regulară a lui .

.

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Observăm că nu există puncte critice ale lui , de unde rezultă că nu există nici valori critice. Astfel, orice punct din este valoare regulară, deci și 0, de unde deducem că este o suprafață regulară în spațiu.

4.2.6. Studiul cilindrului eliptic

Ecuația redusă a cilindrului eliptic este:

Fie funcția definită prin. Atunci cilindrul eliptic va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că cilindrul eliptic este o curbă regulară în plan, trebuie să arătăm, conform celei de-a treia teoreme a preimaginii, că

unde este o valoare regulară a lui .

.

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Observăm că există o infinitate de puncte critice ale lui , rezultând că , deci este valoare regulară și Pe baza celei de-a treia teoreme a preimaginii rezultă că cilindrul eliptic este o suprafață regulară în spațiu.

4.2.7. Studiul cilindrului hiperbolic

Ecuația redusă a cilindrului hiperbolic este:

Fie funcția definită prin. Atunci cilindrul hiperbolic va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că cilindrul hiperbolic este o curbă regulară în plan, trebuie să arătăm, conform celei de-a treia teoreme a preimaginii, că

unde este o valoare regulară a lui .

.

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Observăm că există o infinitate de puncte critice ale lui , rezultând că , deci este valoare regulară și Pe baza celei de-a treia teoreme a preimaginii rezultă că cilindrul hiperbolic este o suprafață regulară în spațiu.

4.2.8. Studiul cilindrului parabolic

Ecuația redusă a cilindrului parabolic este:

Fie funcția definită prin . Atunci cilindrul parabolic va avea ecuația implicită .

Pentru a arăta că cilindrul parabolic este o suprafață regulară în spațiu, trebuie să arătăm, conform celei de-a treia teoreme a preimaginii, că

unde este o valoare regulară a lui .

.

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Observăm că nu există puncte critice, de unde rezultă că nu există nici valori critice; astfel, orice punct din este valoare regulară, deci și 0. Atunci este o suprafață regulară în spațiu.

4.2.9. Studiul conului

Ecuația redusă a conului este:

Fie funcția definită prin. Atunci conul va avea ecuația implicită .

Studiem dacă se poate aplica a treia teoremă a preimaginii. Pentru aceasta determinăm mulțimea punctelor critice, care va fi

.

Avem

Determinăm mulțimea critică a lui :

Rezultă o singură valoare critică: În acest caz nu se poate aplica cea de-a treia teoremă a preimaginii, deoarece nu este o valoare regulară.

4.3. Studiul conicelor pe ecuația generală

Ecuația generală a unei conice este:

unde.

Definim și calculăm derivatele parțiale:

Punctele critice ale lui sunt soluțiile sistemului

(4.3.1)

Vom avea următoarele cazuri:

Cazul I:Sistemul (4.3.1)este compatibil determinatAșadar sistemul va avea o soluție unică .Calculăm

;

.

Rezultă ; .Așadar mulțimea punctelor critice va fi formată dintr-un singur punct și va rezulta o singură valoare critică , pe care o vom determina în continuare:

=

.

Observăm că =0 și =0, deoarece sunt chiar ecuațiile sistemului (4.3.1). Atunci rezultă că .

Înlocuind pe și pe în avem:

Observăm că

,

Având în vedere că rezultă că această conică este o conică cu centru unic, unde poate fi pozitiv sau negativ, astfel că vom avea următoarele subcazuri:

Subcazul I: .În această condiție conica este o conică gen elipsă.

Dacă și , conica este o elipsă propriu-zisă și . Conform primei teoreme a preimaginii este o curbă regulară în plan.

Dacă și ,conica este o elipsă imaginară (mulțimea vidă) și deci și nu are sens să aplicăm prima teoremă a preimaginii.

Dacă , conica reprezintă drepte imaginare concurente într-un punct real și În acest caz nu se poate aplica prima teoremă a preimaginii pentru , deoarece nu este o valoare regulară .

Subcazul II: .În această ipoteză, este o conică gen hiperbolă.

Dacă , conica este o hiperbolă propriu-zisă și . Conform primei teoreme a preimaginii, este o curbă regulară în plan.

Dacă , conica este o pereche de drepte reale secante și . În acest caz nu se poate aplica prima teoremă a preimaginii pentru , deoarece nu este o valoare regulară .

Cazul II: Sistemul (4.3.1) este incompatibil; atunci nu există puncte critice.

Fie matricea sistemului și matricea extinsă a sistemului. Sistemul este incompatibil . Deoarece ,avem și .Din faptul că rezultă că această conică nu are centru.

Dacă , conica este o parabolă. Cum sistemul nu are soluții,rezultă că mulțimea punctelor critice va fi , deci nu vor exista nici valori critice, prin urmare toate valorile sunt regulare,deci și 0. Rezultă este o curbă regulară în plan.

Dacă ,conica reprezintă o pereche de drepte paralele sau confundate.Cum sistemul nu are soluții,rezultă că mulțimea punctelor critice va fi , deci nu vor exista nici valori critice prin urmare toate valorile sunt regulare,deci și 0. Rezultă este o curbă regulară în plan.

Cazul III: Sistemul (4.3.1) este compatibil nedeterminat de ordinul întâi, caz în care avem .

Soluțiile sistemului sunt date de

deci mulțimea punctelor critice este

Determinăm valorile critice:

Din Atunci

Dacă . În acest caz nu se poate aplica prima teoremă a preimaginii pentru , deoarece nu este o valoare regulară .

Dacă . Conform primei teoreme a preimaginii este o curbă regulară în plan.

4.4.Studiul cuadricelor pe ecuația generală

Ecuația generală a cuadricelor este:

,

unde .

Definim și calculăm derivatele parțiale:

Mulțimea critică este dată de soluțiile sistemului

(4.4.1)

Vom considera invarianții cuadricei :

,

.

Vom avea următoarele cazuri:

Cazul I: Sistemul (4.4.1) este compatibil determinat Așadar sistemul va avea o soluție unică .

;

Rezultă ; ; . Așadar mulțimea punctelor critice va fi formată dintr-un singur punct și va rezulta o singură valoare critică pe care o determinăm în continuare:

.

Observăm că, și, deoarece sunt soluțiile sistemului (4.4.1) . În aceste condiții avem:

. Înlocuind pe și în avem:

.

Observăm că au loc egalitățile următoare:

.

Din acestea rezultă

.

Cum cuadrica este o cuadrică cu centrul unic.Vom avea următoarele subcazuri, în funcție de valorile proprii ale matricei .

Subcazul I: . În acest caz cuadrica va fi:

a) Elipsoid (dacă sunt de același semn, contrar semnului termenului liber); avem , iar conform celei de-a treia teoreme a preimaginii rezultă că este suprafață regulară în spațiu.

b) Hiperboloid (cu o pânză sau două, dacă numai două valori proprii au același semn) ; avem , iar conform celei de-a treia teoreme a preimaginii rezultă că este suprafață regulară în spațiu.

c) Elipsoid imaginar (dacă și termenul liber au același semn);avem ,deci și aplicarea celei de-a treia teoreme a preimaginii nu are sens.

Subcazul II: . În acest caz cuadrica va fi:

a) Con (dacă ); avem și în acest caz nu se poate aplica a treia teoremă a preimaginii pentrudeoarece nu este valoare regulară .

b) Con imaginar (dacă au același semn); avem și în acest caz nu se poate aplica a treia teoremă a preimaginii pentrudeoarece nu este valoare regulară .

Cazul II: Sistemul (4.4.1) este incompatibil, deci nu există puncte critice. Fie matricea sistemului și matricea extinsă. Sistemul este incompatibil Deoarece avem:

I. și în acest caz, este o cuadrică cu dreaptă de centre la infinit.

II. și în acest caz, este o cuadrică cu cetru unic la infinit.

Avem două subcazuri:

Subcazul I. .

a) Paraboloid eliptic (dacă ). Cum sistemul este incompatibil, mulțimea punctelor critice va fi , deci nu există puncte critice și nu există nici valori critice. Atunci toate valorile sunt regulare, deci și 0, de unde rezultă că este suprafață regulară în spațiu.

b) Paraboloid hiperbolic (dacă ). Cum sistemul este incompatibil, mulțimea punctelor critice va fi ,deci nu există puncte critice și nu există nici valori critice. Atunci toate valorile sunt regulare, deci și 0, de unde rezultă că este suprafață regulară în spațiu.

Subcazul II. .

a) Dacă și va fi cilindru eliptic (dacă), hiperbolic sau imaginar (dacă și termenul liber au același semn). Cum sistemul este incompatibil, mulțimea punctelor critice va fi , deci nu există puncte critice și nu există nici valori critice. Atunci toate valorile sunt regulare,deci și 0, de unde rezultă că este suprafață regulară în spațiu.

b) Dacă și este:

b1) o pereche de plane secante (dacă ) . Cum sistemul este incompatibil, mulțimea punctelor critice va fi , deci nu există puncte critice și nu există nici valori critice. Atunci toate valorile sunt regulare,deci și 0, de unde rezultă că este suprafață regulară în spațiu.

b2) o pereche de plane secante imaginare (dacă ). Cum sistemul este incompatibil, mulțimea punctelor critice va fi , deci nu există puncte critice și nu există nici valori critice. Atunci toate valorile sunt regulare,deci și 0.Dar și aplicarea celei de-a treia teoreme a preimaginii nu are sens.

c) Dacă și este un cilindru parabolic. Cum sistemul este incompatibil, mulțimea punctelor critice va fi , deci nu există puncte critice și nu există nici valori critice. Atunci toate valorile sunt regulare, deci și 0, și este suprafață regulară în spațiu.

d) Dacă , și este o pereche de plane paralele propriu-zise (dacă sau imaginare (dacă ). Cum sistemul este incompatibil, mulțimea punctelor critice va fi , deci nu există puncte critice și nu există nici valori critice. Atunci toate valorile sunt regulare, deci și 0, iar este suprafață regulară în spațiu.

e) Dacă , și reprezintă o pereche de plane confundate. Cum sistemul este incompatibil, mulțimea punctelor critice va fi , deci nu există puncte critice și nu există nici valori critice. Atunci toate valorile sunt regulare, deci și 0, iar este suprafață regulară în spațiu.

Cazul III: Sistemul (4.4.1) este compatibil dublu nedeterminat și

Mulțimea soluțiilor sistemului (4.4.1) va fi:

deci mulțimea punctelor critice va fi

Determinăm valorile critice ale lui :

Din și din

Observăm că pentru toate punctele critice avem o singură valoare critică.

Dacă și conform celei de-a treia teoremă a preimaginii că este suprafață regulară în spațiu.

Dacă în acest caz nu se poate aplica a treia teoremă a preimaginii pentrudeoarece nu este valoare regulară .

Cazul IV: Sistemul (4.4.1) este compatibil simplu nedeterminat ,

Mulțimea soluțiilor sistemului (4.4.1) este

.

Calculăm valorile critice ale lui :

.

Din

Dacă și nu se poate aplica a treia teoremă a preimaginii pentrudeoarece nu este valoare regulară .

Dacă și conform celei de a treia teoremă a preimaginii că este suprafață regulară în spațiu.

BIBLIOGRAFIE

1. Albu I. D. , Geometrie, Editura de Vest, 2006.

2. Anastasiei M. , Geometrie: Curbe și suprafețe, Editura Tehnică, Științifică și Didactică CERMI, Iași, 2003.

3. Andrica D., Topan L. , Analytic Geometry, Cluj Unversity Press, 2004.

4. Atanasiu Gh. , Munteanu Gh. , Postolache M. , Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, Ed. All, București, 1994.

5. Bădescu L. , Lecții de geometrie, Ed. Univ. București, 1999.

6. Blaga P. A. , Lectures on Classical Differential Geometry, Editura Risoprint, Cluj-Napoca,2005.

7. Brăescu L. , Kaslik E. , Mariș S. , Epure S. , Rodilă I. , Curs de geometrie, Univ. de Vest. Timișoara 2007.

8. Craioveanu M. , Introducere în geometria diferențială, Editura Universității de Vest, Timișoara, 2008.

9. Craioveanu M. , Albu I.D., Geometrie afină și euclidiană, Ed. Facla, Timișoara, 1982.

10. do Carmo M. , Differențial geometry of curves and surfaces, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.

11. Gray A. , Modern differențial geometry of curves and surfaces, CRC Press, Boca Raton Ann Arbor London Tokyo, 1993.

12. Nicolescu L. , Lecții de geometrie, Univ. București, 1990.

13. Ornea L. , Turtoi A. , O introducere în geometrie, Fundația Theta, București, 2000 .

14. Pintea C. S. , Elemente de geometrie analitică, Elemente de geometrie diferențială a curbelor și suprafețelor, Presa universitară clujeană, 2001.

15. Pop I. , Neagu Gh., Algebră liniară și geometrie analitică în plan și spațiu, Ed. Plumb, Bacău, 1996.

16. Raileanu L. , Prin algebra spre geometrie, Ed. Alexandru Myller, Iasi, 2005.

17. Soare N. , Curs de geometrie (I), Ed. Univ. București, 1996.

18. Turtoi A. , Geometrie, Ed. Univ. București1996.

19. Vrânceanu Gh. , Geometrie analitică, proiectivă și diferențială, Ed. Didactică și pedagogică, București, 1996.