Studiu Privind Rezolvarea Ecuatiilor Exponentiale Si Logaritmice

Prof. Marin Veronica “Mihai Viteazul”, loc. Pitești, jud. Argeș

Funcția exponențială și logaritmică constituie noțiuni mai puțin utilizate, mai puțin cunoscute de către elevi. Am analizat proprietățile funcției exponențiale și logaritmice și am propus spre rezolvare unui grup de elevi împărțit în echipe de câte cinci elevi următoarele probleme.

După enunțul fiecărei probleme am dat si rezolvarea exercițiului.

Funcția exponențială

Definiție:

Fie a > 0, a 1.Funcția f : R (0,), f(x) = se numește funcție exponențială de bază a.

Proprietăți:

Funcția exponențială este strict crescătoare dacă a > 1, iar dacă 0 < a < 1, atunci f este strict descrescătoare.

Funcția exponențială este convexă.

Funcția exponențială este bijectivă.

Funcția exponențială ia numai valori pozitive.

Definiție:

O ecuație în care necunoscuta este la exponent se numește ecuație exponențială.

Tipuri de ecuații exponențiale:

= b, a > 0, a 1

Ecuația are soluție dacă b > 0.

Prin logaritmarea ambilor membri ai ecuației se obține:

= care este ecuație algebrică și de aici prin rezolvare obținem soluția.

= , a > 0, a 1.

Din injectivitatea funcției exponențiale se obține ecuația f(x) = g(x), ecuație algebrică.

C1 +c2 + c3 = 0, a > 0, a 1. Ecuațiile de acest tip se rezolvă prin substituția

= y > 0 și se obține ecuația de gradul al II lea c1 +c2y + c3 = 0

Funcția logaritmică

Definiție:

Fie a, b a>0, a , b > 0. Se numește logaritm al numărului real strict pozitiv b, exponentul la care trebuie ridicat numărul a, numit bază, pentru a obține numărul b.

Se notează cu logaritmul numărului b în baza a.

Proprietățile logaritmilor

1. = b;

2. = => b = c, (b, c >0);

3. = 1;

4. = 0;

5. , c >0, c formula de schimbare a bazei logaritmului;

6. = + x>0, y >o;

7. = – x>0, y >o;

8. = n , >0;

9. = ;

, a, b, c|.

Definiție:

Fie numărul real a > 0, a 1, funcția f :(0,), f(x) = se numește funcția logaritmică de bază a.

Proprietăți:

1.f(1) = 0, graficul funcției taie axa OX în punctul (1,0);

2. Funcția logaritmică este strict crescătoare dacă a>1, iar dacă 0 < a < 1, atunci f este strict descrescătoare;

3. Funcția logaritmică este convexă dacă 0 < a < 1 și concavă dacă a > 1;

4. Funcția logaritmică este bijectivă;

5. Funcția logaritmică este inversabilă și inversa ei este funcția exponențială.

Am analizat proprietățile funcției exponențiale și logaritmice și am propus spre rezolvare următoarele probleme unui grup de elevi împărțit în echipe de câte cinci elevi.

Folosind proprietățile funcțiilor analizate elevii au rezolvat exercițiile de mai jos.

Fiecare cerință a fost notată cu un punct.

Timpul de lucru este 90 minute.

Fiecare echipă își alege un nume.

1. Să se rezolve ecuațiile

a) =

b)12x + 10x = 8x + 15x

c) 3x + 4x – 6x = 1

Rezolvare

= => = => = => = 1 + =>

= => .

b)12x + 10x = 8x + 15x => 12x – 8x + 10x – 15x = 0 => 4x(3x – 2x) – 5x(3x – 2x) = 0 => (3x – 2x) ( 4x- 5x) = 0 =>3x – 2x = 0 sau 4x- 5x = 0 =>3x = 2x sau 4x = 5x => = 1 sau = 1 => 0.

În final soluția este = 0.

3x + 4x – 6x = 1 => 3x + 4x +2x – 6x – 2x – 1= 0 => 2x(2x + 1 – 3x) – (2x + 1 – 3x) = 0 =>

(2x + 1 – 3x)( 2x – 1) = 0 = >2x – 1 = 0 sau 2x + 1 – 3x = 0

Din 2x – 1 = 0 => 2x = 1 => = 0.

2x + 1 – 3x = 0/:3x => = 1

Considerăm funcția f, g : R R, f(x) = , g(x) = 1

Deoarece funcția f este descrescătoare pe R iar g este funcție constantă pe R ecuația f() = g() are soluție unică.

Constatăm că această soluție este = 1.

În final obținem soluția .

2. Să se rezolve:

a) + = 25

b) +=

Rezolvare:

f : R R, f(x) = + , este injectivă, strict crescătoare, fiind sumă de funcții strict crescătoare ( exponențiale de baze supraunitare), rezultă = 2 este soluție unică.

Condiția > 0 și folosind proprietatea 10)

ecuația devine + = 2x => =x=> (lg)(lg3) = lg =>

=> lg = 0 => =1 este soluție unică.

3. Rezolvați ecuația + =.

Rezolvare:

Aplicând inegalitatea Cauchy – Buniakovski – Schwartz

( + + … + ) ( + + … + )

= ,.

Cu inegalitatea mediilor obținem + = = , prin urmare totul se reduce la

= – =>

sin( + ) = – 1=> + { +2k/ k Z} => soluția S = { +2k/ k Z}.

4. a) Să se rezolve în ZxZ ecuația: + =

b) Să se rezolve ecuația: ) – 2= 0.

Rezolvare:

Dacă = 0 => = 2 care nu are soluții întregi.

Dacă Z și x -1 =>+ + = și y => ecuația nu are soluție.

Fie (,y) x o soluție a ecuației + = => = – => =(y – ) (y +) => singura soluție posibilă este =>

2 – 1 => = 2 și y = 5.

Condiție de existență x > 0

) = 2= y =>

=> => + + =1

Fie funcția f : R R, f(y) = + + . Este injectivă, strict descrescătoare (exponențiale cu baze subunitare) => y = 2 este soluție unică = > => = 4.

5. Rezolvați ecuația:

+ =2( + ),

Rezolvare:

Notăm = a, a și = b > 0.

Ecuația devine + = 2(a + b)

Distingem cazurile

<0 => a,b (0,1) și deci <2a, respectiv <2b; de unde rezultă că egalitatea + = 2(a + b) este imposibilă, ecuația nu are soluție.

x>0 și folosind inegalitatea Cauchy – Buniackovski – Schwarz obținem 2(+ ) = 4(a +b).

Cum a + b > 0 =>a+b 4 adică + 4, cu egalitate dacă și numai dacă a = b adică = > 0, deci = 1. (1)

Folosind egalitatea mediilor avem a + b = + 2 = 2 2= 4, cu egalitate dacă și numai dacă = 1 (2).

Din (1) și (2) obținem soluția = 1.

6. Să se rezolve ecuația: + + 10 = + ,

Rezolvare:

Pentru avem + ;

iar + Z.

Dacă x 6 avem + + .

Pentru x {4, 5}, respective nu au sens.

Rămâne de verificat care dintre elementele mulțimii {0, 1, 2, 3}sunt soluții ale ecuației.

Prin calcul se constată că soluția este = 2.

Rezultatele au fost centralizate în tabelul de mai jos.

Analizând tabelul obținem diverse proprietăți în funcție de interesul urmărit.

Echipa câștigătoare este ”Zori de zi”;

Problemele 1.c), 5 au rezolvate de toate echipe.

Bibliografie: – Gh. Burtea, Manual pentru clasa a X a, editura Caminis, 2005;

– www.olimpiade și concursuri.

Rezumat

Prof. Marin Veronica “Mihai Viteazul”, Pitești, jud. Argeș

Funcția exponențială și logaritmică constituie noțiuni mai puțin utilizate, mai puțin cunoscute de către elevi.

Am analizat proprietățile funcției exponențiale și logaritmice și am propus spre rezolvare următoarele probleme unui grup de elevi împărțit în echipe de câte cinci elevi.

Tipuri de ecuații exponențiale:

= b, a > 0, a 1

Ecuația are soluție dacă b > 0.

Prin logaritmarea ambilor membri ai ecuației se obține:

= care este ecuație algebrică și de aici prin rezolvare obținem soluția.

= , a > 0, a 1.

Din injectivitatea funcției exponențiale se obține ecuația f(x) = g(x), ecuație algebrică.

C1 +c2 + c3 = 0, a > 0, a 1. Ecuațiile de acest tip se rezolvă prin substituția

= y > 0 și se obține ecuația de gradul al II lea c1 +c2y + c3 = 0.

De asemenea folosind monotonia funcțiilor, anumite inegalități rezolvarea unor ecuații este mai ușor de urmărit.

După enunțul fiecărei probleme am dat și rezolvarea exercițiului.

După expunerea teoriei, am antrenat în rezolvarea problemelor cinci echipe de elevi.

La sfârșitul timpului acordat am evaluat lucrările, am dat o interpretare conform interesului urmărit.