Studiu Comparativ al Starilor de Tensiune Si Deformatii Prin Metode Analitice Si Metoda Elementelor Finite

Studiu comparativ al stărilor de tensiune și deformații prin metode analitice și metoda elementelor finite

Capitolul 1. Tensiuni și deformații

Tensiuni specifice

Se consideră un corp, supus acțiunii unor forțe oarecare, ca în fig. 1.a.Fig.1

După ce secționăm în două corpul, îndepărtăm una din părți; în jurul punctului N, pe suprafața S, se v-a stabili un element de suprafață de arie ∆A, dat de versorul normalei la suprafață, n (fig. 1.b). Cu ∆P se notează forța de legătură ce trebuie introdusă în urma secționării corpului și îndepărtării unei părți.

se numește tensiune totală, p, în punctul N.

Dacă se face o altă secționare prin punctul N, o să se obțină un alt versor al suprafaței elementare, o altă tensiune totală. Întotdeauna tensiunea totală într-un punct este asociată cu versorul planului tangent la secțiunea dusă prin acel punct.

Tensiunea totală p se descompune după direcția normalei la suprafața n și după direcția conținută în planul secțiunii, t; componentele notate cu σ și τ, sunt tensiunea normală șo tensiunea tangențială, satisfăcând relația (fig. 1.c):

Tensiunea tangențială se descompune după două direcții perpendiculare pe normala la secțiune și perpendiculare între ele (fig. 2). Dacă direcțiile sunt y și z, normala la secțiune fiind axa x, componentele ei sunt τyx și τzx;

Fig. 2

Trebuie făcute anumite precizări referitpr la notațiile tensiunilor:

Fig.3

Fiecare coloană a tensorului cuprinde trei componente ale tensiunii totale corespunzătoare unuia din cele trei plane duse prin punctul P,date de versorii i,j,k, astfel:

1.2. Dualitatea tensiunilor tangențiale

Dintr-un corp solicitat se detașează un element de volum, cu laturile dx, dy, dz.

Toate tensiunile existente sunt introduse pe fețele elementului, astfle putându-se scrie ecuațiile de echilibru pentru elementul considerat.

Deoarece ceea ce interesează este ecuația de moment față de una din exe, pe element găsim tensiunile ce intervin în ecuație, neglijându-se creșterile tensiunilor la trecerea de la o față la alta a elementului. Sensul nu este cunoscut; se presupune că sensul cel bun este cel ales în fig. 4, urmând ca ecuațiile să confirme sau nu ipoteza aceasta.

.

Fig. 5

1.3. Relații de echivalență între eforturi și tensiuni în secțiunea transversală a unei bare.

Luăm partea din dreapta a unei bare secționate și se reprezintă eforturile și tensiunile într-un punct. (fig. 6)

Fig.6

Tensiunile și eforturile sunt nărimi static echivalente. Ele cuprind două moduri de reprezentare a forțelor interioare de pe o secțiune transversală a barei.

Deformații specifice. Tensorul deformațiilor

Deformația specifică liniară

O bară cu lungimea inițială l, își modifică dimensiunea cu cantitatea ∆l = l1 – l, unde ∆l este deformația liniară totală, putând să se vorbească de alungire totală sau scurtare totală. (fig. 7).

7
se numește deformație specifică liniară. Acest raport repreintă deformația unui tronson de bară de lungime egală cu unitatea. Pentru un element de volum cu laturile dx, dy și dz, deformațiile liniare totale după cele trei direcșii sunt ∆(dx), ∆(dy), ∆(dz), iar deformațiile specifice liniare:

Deformația specifică unghiulară

În urma deformației unghiulare ale unui corp se modifică (fig.8), după cum arată relația:

unde ᵞ este deformația specifică unghiulară. Ea indică cu cât se modifică unghiul drept în urma deformării.

fig. 8

Se consideră deformația specifică unghiulară pozitivă atunci când unghiul drept se micșorează și negativă, atunci când unghiul drept se mărește.

Matricea componentelor deformației specifice car este notată cu Tε, pentru un element de volum în vecinătatea unui punct, se numește tensorul deformațiilor, scriindu-se cu tensorul tensiunilor.

Diagrame caracteristice ale materialelor

Diagrama oțelului. Relația fizică între tensiuni și deformații specifice pentru diverse materiale se stabilește pe cale experimentală. Această relație se stabilește prin încercarea la diverse solicitări a unor epruvete confecționate din materialele respective.

Pe epruvete cu forma și dimensiunile standardiate se face încercarea la întindere a oțelului (fig. 9).

fig. 9

Cu d0 – diametrul, este cotat corpul cilindrului iar cu l0 – lungimea, măsurată între două repere depărtate de capetele epruvetei.

Epruveta este supusă la întindere cu ajutorul unei mașini de încercat. Forța P se aplică lent. La trepte diferite de încărcare P1, P2, …, în timpul încercării este măsurată deformația liniară totală a epruvetei, ∆l1, ∆l2, … . Prin repreentarea grafică a perechilor de valori (P, ∆l) sunt obținute o serie de puncte prin care se trasează diagrama încercării la întindere, diagramă ce depinde de dimensiunile epruvetei (fig. 10).

fig. 10

11.

fig. 11

Din legea lui Hooke (σ = E × ε), care spune că tensiunile sunt proporționale cu deformațiile specifice în zona de conportare elastică a materialului.

În punctul (3) începe ona de curgere. În material se produce un dezechilibru, o reașezare a moleculelor. Din punctul (4) începe reconsolidarea materialului. O dată cu creșterea încărcării, deformația epruvetei crește. Ruperea materialului se produce în punctul (6). Diagrama oțelului reprezentată aici este o diagramă convențională. Ordonatele de pe diagramă s-au obșinut raportând valoarea forței respective la aria secțiunii inișiale a epruvetei. Înainte de rupere, pe zona ștrangulată observăm linii orientate la 450 față de axa de rupere (fig. 12).

fig. 12

În partea centrală a secțiunii transversale a epruvetei este produsă ruperea. Această rupere este din cauza tensiunii normale σmax. Punctul (6) aflat pe curba caracteristică are ca abscisă deformația specifică liniară la rupere. Măsurarea acestei deformații este făcută după ruperea epruvetei.

Pentru materialele casante, cu diagrama trasată în fig 13, se definește σ0,2 – limită tehnică de curgere. Aceasta reprezintă valoarea tensiunii care la descărcare deformașia specifică este de 0,2%.

fig. 13

Încercarea la compresiune pentru oțel este făcută pe epruvete de formă cilindrică. Aceste epruvete sunt de înălțime egală cu diametrul. Diagramele caracteristice la compresiune sunt trasate de obicei pe aceeași diagramă caracteristică la întindere. Cele două diagrame sunt identic antisimetrice în ona de compresiune elastică. (fig. 14).

fig. 14

Diagrama caracteristică la întindere este o diagramă convențională. Diagrama caracteristică la compresiune este o diagramă reală.

Numai în cazul oțelurilor casante se realizează ruperea oțelurilor solicitate la compresiune. În cazul oțelurilor ductile, epruvetele se turtesc, fără a se rupe.

Încercarea la torsiune pentru oțel este asemănătoare cu diagrama caracteristică la întindere. Prin această diagramă se obține graficul funcției τ = f(ᵞ) (fig. 15).

fig. 15

Forța axială. Tensiuni de întindere –compresiune

Se consideră o bară dreaptă de secțiune constantă. Această bară este supusă acțiunii unui sistem de două forțe P egale și de sens contrar. Forțele sunt aplicate la capetele barei, în lungul axei longitudinale a acesteia.

Dacă secționăm bara cu un plan normal pe axă, apare o forță axială N=P în secțiunea transversală. Această secțiune este solicitată axial.

fig. 16

Solicitarea axială este de întindere în cazul în care forțele trag de bară ( fig 17) sau de compresiune daca forțele converg spre bară ( fig. 17).

fig. 17

În vederea determinării mărimii și legii de distribuție a tensiunilor,problema comportă aspectele următoare:

Aspectul geometric Dacă se marchează conturul unei secțiuni transversale pe bară,observăm ca după deplasare, conturul se deplasează paralel cu el însuși. Alungirile specifice sunt observate pe conturul secțiunii (fig.18).

fig. 18

Aspectul fizic Dacă în secțiunea x, u = ct. și ε = ct., rezultă din legea lui Hooke că tensiunile normale sunt constante și sunt distribuite uniform pe secțiune:

Σ = E x ε = ct.

Aspectul static Se știe că (fig.19):

ceea ce implică faptul că tensiunea normală este distribuită uniform pe secțiune cu intensitatea σ = N/A.

fig. 19

Deformații și deplasări

După legea lui Hooke, alungirea se calculează prin relația:

O bară care are modulul de elasticitate longitudinal E = ct. și aria A= ct., de lungime ș, se alungește sub acțiunea unei forțe de întindere N cu:

produsul E*A numindu-se rigiditate la întindere sau compresiune.

Fie cazul unei bare solicitate axial ca în fig. 20:

fig. 20

Pentru punctul C, deplasarea CC/ va fi:

Tensiuni datorate dilatărilor împiedicate

Dacă barele sunt supuse la schimbări de temperatură, apar deformații liniare. Pentru o bară de lungime l, materialul din care este făcut cu coeficientul de dilatare termică α, pentru o creștere de temperatură ∆t = t1 – t0 unde t0 este temperatura unde bara are lungimea l, avem o alungire ∆l:

∆l = α*l*∆t.

Atunci când deformația nu este împiedicată, nu apar solicitări suplimentare (fig. 21). Dacă deformația este împiedicată, apar eforturi axiale în secțiunea barei.

fig.21

În cazul barei de rigiditate constantă EA, cu lungimea l, încastrată la extremități în doi pereți rigizi (fig. 22).Bara se alungește cu ∆l = α*l*∆t. Apare o forță axială de compresiune N prin opunerea pereților la dilatare.

fig. 22

Condiția de deformabilitate a barei este: alungirea barei datorată încălzirii,minus scurtarea datorată forței axiale de compresiune (N), reprezintă deformația totală, care pentru cazul de față este nulă, astfel:

Starea de tensiune limită într-un punct

Starea de tensiune limită într-un punct se referă la trecerea dintr-un domeniucu anumite proprietăți mecanice ale materialului, într-un domeniu cu proprietăți calitativ diferite de primul. Nivelul atins de starea de tensiune într-un punct este apreciat prin tensiuni sau deformații sau prin energia de deformații. În caul întinderii, compresiunii și forfecării pure, parametrii ce corespund stării de tensiune limită se determină ușor experimental. Atingerea stării limită într-un punct depinde de mulți factori. Din această cauză nu poate fi găsit un criteriu unic, deoarece are un caracter specific de la material la material.

Tensiunea echivalentă

Pentru un material anume luăm două stări de tensiune. Aceste stări de tensiune au același grad de periculozitate: o stare caracterizată de principalele tensiuni σ1 , σ2 și σ3 și o stare de întindere simplă care este caracterizată de tensiunea principală σech. ( fig.23)

fig. 23

Tensiunea echivalentă este tensiunea normală principală. Această tensiune trebuie produsă într-o epruvetă supusă la întindere simplă, cu scopul de a se crea o stare de tensiune cu același grad de periculozitate în epruvetă.

Teorii ale tensiunilor

Teoria tensiunilor normale maxime (teoria I)

Factorul preponderent este tensiunea normală maximă σmax. Un corp, atinge într-un punct al său starea limită, atunci când tensiunea normală maximă atunge valoarea maximă de la solicitarea de întindere simplă, indiferent de tipul de solicitare. Limita de curgere σc pentru materialele tenace sau reistența de rupere σr pentru materiale casante, daca o notăm cu σ0, se poate scrie în cazul stării de tensiune spațială, pentru același σ0 la întrinderea de compresiune:

sau pentru tensiuni σ0 diferite la întindere (σot) și compresiune (σ0c):

În problemă plană, unde σ3= 0, relațiile precedente devin:

fig.24

În plan, reprezentarea condițiilor la limită conduce la un pătrat de laturi 2σ0 (fig. 25)

fig.25

Când tensiunile limită la întindere și compresiune sunt diferite, domeniile de rezistență precedente se construiesc în mod analog prin scrierea corespunzătoare a condițiilor de rezistență la limită.σσ

Teoria tensiunilor tangențiale maxime (teoria a III-a)

Tensiunea tangențială maximă τmax este factorul preponderent; un corp într-un punct al său atinge starea limită, indiferent de tipul de solicitare, când tensiunea tangențială maximă din acel punct atinge valoarea limită corespunzătoare solicitării de întindere simplă.

Trebuie îndeplinite următoarele condiții pentru a nu se atinge starea limită:

Relațiile de forma σ1 – σ2 = ± σ0, în reprezentarea grafică spațială, reprezintă șase paralele două câte două înclinate la 450 în raport cu câte două axe paralele cu a treia axă; acestea o să determine o prismă hexagonală de lungime infinită ( fig. 26)

(fig. 27)

fig. 26 fig. 27

Teoria nu ține cont de influența tensiunii principale σ2, în cazul solicitării speciale. Teoria nu se aplică pentru stări de tensiune apropiate de întinderea triaxială.

Între tensiunile tangențiale și lunecările specifice asociate există o relație de proporționalitate. Apariția deformațiilor permanente la metale are loc ca urmare a lunecărilor ce se produc în structura materialului. Încât criteriul tensiunii tangențiale maxime poate fi privit ca un criteriu de plasticitate, în timp ce teoria I este o teorie de rupere. În exploatare, condiția limită este:

Teoria energiei de deviație (teoria V sau IVa)

În atingerea stării limită, factorul preponderent îl constituie energia specifică de deviație UD. Un corp atinge starea limită într-un punct al său, indiferent de tipul solicitării când energia potențială de deformație de variație a formei specifică atinge valoarea corespunzătoare de la solicitarea de întindere simplă.

fig.28 fig.29

Capitolul 2. Metoda elementelor finite

Generalități

Problema analizei numerice a diverselor probleme inginerești nu este una nouă, ea fiind utilizată de-a lungul secolelor pentru a determina diferite mărimi cum ar fi: aproximarea circumferinței unui cerc prin însumarea laturilor unui poligon înscris (sau circumscris), calcularea centrelor de greutate ale diverselor suprafețe plane etc.

Apariția și dezvoltarea calculatoarelor a avut un foarte mare impact asupra dezvoltării metodelor numerice pentru analiza comportării structurilor complexe, dar și pentru analiza diverselor fenomene fizice (transfer de câmp de căldură, curgeri de fluide, câmpuri electromagnetice etc.).

O clasificare a metodelor de modelare numerică se poate face din punct de vedere matematic (modelarea matematică a diverselor probleme ale mecanicii fiind independentă de natura fizică a acestor probleme) pe trei direcții principale: metoda diferențelor finite, metoda elementelor finite și metoda elementelor de frontieră.

Metoda diferențelor finite este una dintre cele mai vechi metode numerice, dar este cunoscută ca având un randament limitat. În cadrul acestei metode, punctul de plecare este modelul, descris diferențial, al fenomenului analizat, transformat în unul numeric prin utilizarea aproximării locale a variabilelor de câmp. Astfel, sistemul de ecuații diferențiale valabil pentru orice punct al domeniului de analizat se transformă într-un sistem de ecuații algebrice liniar, valabil numai pentru anumite puncte ale domeniului. Punctele se obțin cu ajutorul a două sau trei familii de drepte paralele cu axele sistemului de referință. Această metodă este limitată la calculul structurilor și fenomenelor simple.