Studii Si Consideratii Referitoare la Calculul Si Comportarea Placilor Compozite Stratificate la Solicitaru Dinamice Si Socuri, Precum Si Utilizarea Acestora la Unele Elemente de Constructii
TEZĂ DE DOCTORAT
STUDII ȘI CONSIDERAȚII REFERITOARE LA CALCULUL ȘI COMPORTAREA PLĂCILOR COMPOZITE STRATIFICATE LA SOLICITĂRI DINAMICE ȘI ȘOCURI, PRECUM ȘI UTILIZAREA ACESTORA LA UNELE ELEMENTE DE CONSTRUCȚII
Cuprins
1.Introducere
1.1 Necesitatea realizării unor elemente
din materiale compozite stratificate utilizate pentru construcții pag.4
1.2.Obiectul și scopul tezei de doctorat pag. 5
1.3.Noțiuni fundamentale de dinamica structurilor pag.6
Principalele surse care generează
fenomene vibratorii pag.11
Clasificări ale mișcării vibratorii pag. 11
Oscilații produse de explozii
Comportarea construcțiilor pe durata producerii exploziilor
1.4.Poziționarea materialelor compozite stratificate în clasa
mare a materialelor compozite
Compozite structurale
Materialele compozite stratificate 18
Capitolul I
Conținutul lucrării
1.1 Conținutul lucrării.
1.2. Expunere comparativă asupra problemelor tratate
și rezultatelor obținute
Capitolul II
Placa de formă dreptunghiulară
2.1. Probleme generale 26
2.2 Placa dreptunghiulară simplu rezemată pe contur.
A Oscilații proprii
2.2.1. Placa dreptunghiulară simplu rezemată sau rezemată
articulat pe contur, secționată de impulsuri diferite 31
2.2.1.a. Impuls uniform distribuit pe întreaga
suprafață a plăcii
2.2.1.b. Impuls care descrește de la centrul plăcii către
margini după o lege parabolică 36
2.2.1.c. Impuls care descrește de la centrul plăcii către
margini după o lege sinusoidală 40
B. Oscilațiile armonice forțate ale plăcii dreptunghiulare simplu rezemate.
2.2.2. Metoda generală. 42
2.3. Placa dreptunghiulară cu alte condiții de rezemare
decât placa simplu rezemată. 45
A. Oscilații proprii 45
2.3.1. Descrierea metodelor de calcul 45
2.3.2. Oscilațiile proprii ale plăcii dreptunghiulare simplu
rezemate pe contur și în anumite puncte din limita suprafeței sale 46
2.3.3. Placa dreptunghiulară, încastrată pe contur, încărcată
în planul său cu forțe dispuse pe întregul perimetru 52
2.3.4. Metoda Nowacki pentru determinarea oscilațiilor
proprii ale plăcilor dreptunghiulare încastrate pe contur.
2.4.Concluzii generale privind oscilațiile plăcilor dreptunghiulare
Capitolul III
Plăci cu alte forme geometrice plane
3.1. Plăci circulare
3.1.1 Probleme generale
3.1.2. Oscilațiile proprii ale plăcii circulare
3.1.2. a) Placă circulară încastrată pe contur
3.1.2. b) Placa simplu rezemată pe contur
3.1.3. Oscilațiile armonice forțate ale plăcilor circulare.
3.1.4.Concluzii asupra vibrațiilor plăcilor circulare.
3.2. Placa în formă de elipsă
3.3.Placa de formă oarecare, solicitată de un impuls
provocat de explozia unei încărcături concentrate
Capitolul IV
Metode aproximative folosite la studiul oscilațiilor proprii ale plăcilor.
4.1. Probleme generale
4.2. Placa dreptunghiulară, de laturi 2a și 2b încastrată pe contur.
4.2.1.Impulsul uniform distribuit pe toată suprafața plăcii.
4.2.2. Impulsul descrește de la centrul plăcii către margini
după o lege parabolică
4.3. Placa circulară de rază a, încastrată pe contur.
4.3.1. Placa acționată de un impuls uniform distribuit pe
întreaga suprafață a sa.
4.3.2.Placa acționată de un impuls care descrește de la centru
către margini, după o lege parabolică.
4.4. Placa circulară; de rază a, simplu rezemată pe contur.
4.4.1. Impulsul uniform distribuit pe întreaga suprafață.
4.4.2. Impulsul descrește de la centrul plăcii către margini
după o lege parabolică.
4.5. Concluzii asupra folosirii metodelor aproximative la studiul
oscilațiilor proprii ale plăcilor.
Capitolul V
Plăci plane stratificate
5.1. Introducere
5.2.Calculul construcțiilor la șoc
5.2.1.Acțiunea generală a șocului și a exploziei
5.2.2.Acțiunea șocului
5.3. Probleme generale
5.4. Rezolvarea exactă a problemei oscilațiilor proprii ale
plăcilor stratificate, în cazul general.
5.4.1. Deducerea ecuației generale deplasărilor
5.4.2 Cazul planșeului stratificat cu o grosime mică a
stratului de distribuție
5.4.3 Cazul planșeului stratificat cu o saltea de protecție
de rigiditate infinită
5.4.4. Variația eforturilor în stratul de distribuție
după o lege liniară
5.5 Rezolvarea aproximativă a problemei oscilațiilor
proprii ale plăcilor stratificate.
5.5.1 Soluția aproximativă a problemei
5.5.2 Aplicarea metodelor aproximative la unele
cazuri particulare de planșee stratificate
5.6 Concluzii asupra planșeelor stratificate
Capitolul VI
Studii și simulări pe calculator privind calculul și comportarea elementelor composite stratificate la solicitări dinamice și șocuri
6.1.Simulări pe calculator privind calculul și comportarea
elementelor composite stratificate la solicitări dinamice și șocuri
6.1.1. Scopul simulărilor.
6.1.1. 1. Efectuarea simulărilor
6.1.1.1.a) ipotezele simplificatoare în efectuarea simulărilor 6.1.1. b) efectuarea seriilor de simulări
6.2. Investigații experimentale. Scopul experimentelor.
6.2.1. Efectuarea experiențelor
6.2.1.a) pregătirea instalației pentru experiențe
6.2.1.b) efectuarea seriilor de experiențe
6.2.2. Prelucrarea rezultatelor
6.2.3. Interpretarea rezultatelor obținute și compararea lor
cu cele rezultate din calculele teoretice.
6.2.4. Concluzii generale
Capitolul VII
Concluzii privind utilizarea, eficiența și calculul materialelor compozite stratificate în construcții. Contribuții personale la realizarea tezei
Bibliografie
1.Introducere
1.1 Necesitatea realizării unor elemente din materiale compozite stratificate utilizate pentru construcții
Astăzi, lumea se confruntă cu o serie de riscuri în materie de securitate individuală și de grup. Printre acestea se înscriu atât catastrofele naturale (cutremurele de pământ), cât și unele provocate voluntat sau involuntar de om. În ceea ce privește pe cele din urmă, apreciem că ele pot fi produsul unui atentat terorist, al unui accident tehnologic sau al unor conflicte armate.
Prin urmare, este necesară adoptarea și, mai ales, punerea în practică a unui ansamblu de măsuri adecvate și coerente de protejarea populației de eventualele consecințe nedorite ale efectelor fenomenelor naturale menționate și ale actelor teroriste, ale accidentelor tehnologice și ale efectelor unei confruntări armate.
De aceea, în opinia mea, una din problemele nerezolvate, prin efectele imediate și pe termen lung privește direct protejarea populației împotriva riscurilor ce i-ar pune în pericol integritatea fizică și chiar viața. În acest context, comunitatea științifică internațională trebuie să răspundă astăzi cât mai convingător și mai eficient unor întrebări pe care opinia publică le pune tot mai des: Vor fi cutremure și conflicte armate devastatoare? Se vor înmulții atacurile teroriste ?
Desigur, un răspuns cert este dificil de dat unor astfel de întrebări.
În acest scop, se impune cu necesitate adoptarea măsurilor adecvate pentru a limita consecințele nedorite ale riscurilor generate de fenomenele naturale sau prin acțiunea voluntară sau involuntară a omului. Pentru aceasta mai întâi, se cer deslușite mecanismele intrinseci care stau la baza fenomenelor extreme până la conturarea strategiilor de reducere a consecințelor.
Din punct de vedere legislativ, la nivel național a fost adoptată Hotărârea Guvernului nr. 560/2005 pentru aprobarea categoriilor de construcții la care este obligatorie realizarea adăposturilor de protecție civilă, precum și a celor la care se amenajează puncte de comandă.
La art. 1 din actul normativ specificat mai sus se precizează: „Se aprobă categoriile de construcții la care realizarea adăposturilor de protecție civilă este obligatorie, potrivit legii, dacă acestea au o suprafață construită, la sol, mai mare de 150 mp și sunt prevăzute cu subsol, din următoarele categorii de folosință:
a) clădiri pentru birouri și activități administrative;
b) clădiri pentru activități financiar-bancare;
c) clădiri pentru afaceri și comerț;
d) clădiri pentru învățământ, știință, cultură și artă;
e) clădiri pentru activități de ocrotire a sănătății și de asistență socială;
f) clădiri pentru activități industriale și de producție;
g) clădiri pentru activități turistice, destinate cazării;
h) clădiri și construcții speciale pentru transporturi;
i) clădiri și construcții speciale pentru telecomunicații;
j) clădiri de locuit, multietajate, cu regim de înălțime mai mare de S + P + 4 etaje”.
Deasemenea, la art. 2 se aprobă categoriile de construcții la care se amenajează puncte de comandă, după cum urmează:
a) sediile autorităților administrației publice centrale;
b) sediile prefecturilor și ale consiliilor județene, precum și ale consiliilor locale ale municipiilor și orașelor, al Consiliului General al Municipiului București și ale consiliilor locale ale sectoarelor municipiului București;
c) sediile centrale ale instituțiilor financiar-bancare;
d) sediile centrale ale companiilor naționale și regiilor autonome;
e) sediile centrale ale posturilor de radio și televiziune;
f) sediile centrale ale operatorilor economici din industria de apărare.”
1.2.Obiectul și scopul tezei de doctorat
Obiectul tezei de doctorat derivă din necesitatea realizării unor elemente din materiale compozite stratificate utilizate pentru construcții și îl constituie calculul plăcilor plane de grosime medie și al planșeelor stratificate solicitate de diverse sarcini cu acțiune dinamică.
Astfel de elemente de construcții, cu asemenea solicitări, sunt utilizate în mod curent în construcțiile militare cu caracter defensiv (cazemate, adăposturi etc.). Calculul lor se face actualmente cu formule empirice, care includ coeficienți de siguranță mult acoperitori, din care cauză construcțiile realizate practic, fiind supradimensionate, au aspectul unor adevărați coloși din beton și armături de oțel.
Scopul prezentei teze constă tocmai în a contribui la clarificarea unor aspecte legate de comportarea plăcilor simple sau stratificate amintite mai sus, la solicitările provocate de șocul loviturilor directe sau al exploziilor nucleare, proiectilelor de artilerie sau bombelor de aviație.
1.3.Noțiuni fundamentale de dinamica structurilor
Dinamica construcțiilor este o ramură a mecanicii aplicate care dezvoltă metodele de investigare cu privire la calculul și comportarea structurilor de rezistență supude acțiunilor vibrațiilor și șocurilor.
Structurile inginerești care posedă masă și elasticitate sunt capabile să efectueze mișcări relative sub acțiunea solicitărilor dinamice. Dacă mișcarea unei asemenea structuri se repetă după un anumit interval de timp, mișcarea se numește vibrație.
În general, prin acțiune dinamică se înțelege solicitarea produsă de sarcini care variază rapid în timp și care contribuie la apariția forțelor de inerție.
Analiza dinamică constituie ansamblul de procedee și metode necesare determinării stării de deformație și tensiune pentru elementele sau structurile de rezistență supuse acțiunilor cu caracter dinamic.
O forță dinamică aplicată unei structuri de rezistență produce o mișcare oscilatorie (vibrație), asociată cu anumite deformații și tensiuni care variază în funcție de timp. Pentru a caracteriza efectul pe care îl produce o acțiune dinamică de orice natură asupra unui sistem elastic se utilizează în dinamica modernă termenul de răspuns sau răspuns dinamic. Noțiunea de răspuns are un caracter general, substituind orice mărime caracteristică a structurii care reprezintă o consecință directă a efectului aplicării dinamice a forțelor.
Răspunsul unei structuri la acțiuni dinamice depinde, în afara solicitărilor efectie nedorite ale efectelor fenomenelor naturale menționate și ale actelor teroriste, ale accidentelor tehnologice și ale efectelor unei confruntări armate.
De aceea, în opinia mea, una din problemele nerezolvate, prin efectele imediate și pe termen lung privește direct protejarea populației împotriva riscurilor ce i-ar pune în pericol integritatea fizică și chiar viața. În acest context, comunitatea științifică internațională trebuie să răspundă astăzi cât mai convingător și mai eficient unor întrebări pe care opinia publică le pune tot mai des: Vor fi cutremure și conflicte armate devastatoare? Se vor înmulții atacurile teroriste ?
Desigur, un răspuns cert este dificil de dat unor astfel de întrebări.
În acest scop, se impune cu necesitate adoptarea măsurilor adecvate pentru a limita consecințele nedorite ale riscurilor generate de fenomenele naturale sau prin acțiunea voluntară sau involuntară a omului. Pentru aceasta mai întâi, se cer deslușite mecanismele intrinseci care stau la baza fenomenelor extreme până la conturarea strategiilor de reducere a consecințelor.
Din punct de vedere legislativ, la nivel național a fost adoptată Hotărârea Guvernului nr. 560/2005 pentru aprobarea categoriilor de construcții la care este obligatorie realizarea adăposturilor de protecție civilă, precum și a celor la care se amenajează puncte de comandă.
La art. 1 din actul normativ specificat mai sus se precizează: „Se aprobă categoriile de construcții la care realizarea adăposturilor de protecție civilă este obligatorie, potrivit legii, dacă acestea au o suprafață construită, la sol, mai mare de 150 mp și sunt prevăzute cu subsol, din următoarele categorii de folosință:
a) clădiri pentru birouri și activități administrative;
b) clădiri pentru activități financiar-bancare;
c) clădiri pentru afaceri și comerț;
d) clădiri pentru învățământ, știință, cultură și artă;
e) clădiri pentru activități de ocrotire a sănătății și de asistență socială;
f) clădiri pentru activități industriale și de producție;
g) clădiri pentru activități turistice, destinate cazării;
h) clădiri și construcții speciale pentru transporturi;
i) clădiri și construcții speciale pentru telecomunicații;
j) clădiri de locuit, multietajate, cu regim de înălțime mai mare de S + P + 4 etaje”.
Deasemenea, la art. 2 se aprobă categoriile de construcții la care se amenajează puncte de comandă, după cum urmează:
a) sediile autorităților administrației publice centrale;
b) sediile prefecturilor și ale consiliilor județene, precum și ale consiliilor locale ale municipiilor și orașelor, al Consiliului General al Municipiului București și ale consiliilor locale ale sectoarelor municipiului București;
c) sediile centrale ale instituțiilor financiar-bancare;
d) sediile centrale ale companiilor naționale și regiilor autonome;
e) sediile centrale ale posturilor de radio și televiziune;
f) sediile centrale ale operatorilor economici din industria de apărare.”
1.2.Obiectul și scopul tezei de doctorat
Obiectul tezei de doctorat derivă din necesitatea realizării unor elemente din materiale compozite stratificate utilizate pentru construcții și îl constituie calculul plăcilor plane de grosime medie și al planșeelor stratificate solicitate de diverse sarcini cu acțiune dinamică.
Astfel de elemente de construcții, cu asemenea solicitări, sunt utilizate în mod curent în construcțiile militare cu caracter defensiv (cazemate, adăposturi etc.). Calculul lor se face actualmente cu formule empirice, care includ coeficienți de siguranță mult acoperitori, din care cauză construcțiile realizate practic, fiind supradimensionate, au aspectul unor adevărați coloși din beton și armături de oțel.
Scopul prezentei teze constă tocmai în a contribui la clarificarea unor aspecte legate de comportarea plăcilor simple sau stratificate amintite mai sus, la solicitările provocate de șocul loviturilor directe sau al exploziilor nucleare, proiectilelor de artilerie sau bombelor de aviație.
1.3.Noțiuni fundamentale de dinamica structurilor
Dinamica construcțiilor este o ramură a mecanicii aplicate care dezvoltă metodele de investigare cu privire la calculul și comportarea structurilor de rezistență supude acțiunilor vibrațiilor și șocurilor.
Structurile inginerești care posedă masă și elasticitate sunt capabile să efectueze mișcări relative sub acțiunea solicitărilor dinamice. Dacă mișcarea unei asemenea structuri se repetă după un anumit interval de timp, mișcarea se numește vibrație.
În general, prin acțiune dinamică se înțelege solicitarea produsă de sarcini care variază rapid în timp și care contribuie la apariția forțelor de inerție.
Analiza dinamică constituie ansamblul de procedee și metode necesare determinării stării de deformație și tensiune pentru elementele sau structurile de rezistență supuse acțiunilor cu caracter dinamic.
O forță dinamică aplicată unei structuri de rezistență produce o mișcare oscilatorie (vibrație), asociată cu anumite deformații și tensiuni care variază în funcție de timp. Pentru a caracteriza efectul pe care îl produce o acțiune dinamică de orice natură asupra unui sistem elastic se utilizează în dinamica modernă termenul de răspuns sau răspuns dinamic. Noțiunea de răspuns are un caracter general, substituind orice mărime caracteristică a structurii care reprezintă o consecință directă a efectului aplicării dinamice a forțelor.
Răspunsul unei structuri la acțiuni dinamice depinde, în afara solicitărilor efective care se transmit structurii, de capacitatea sa de rezistență precum și de mărimea și distribuția maselor. Prin capacitate de rezistență se va înțelege totalitatea forțelor elastice și de frecare care se opun mișcării structurii în ansamblu.
Se va considera că acțiunile dinamice efective care cauzează răspunsul pot fi definite cu suficientă exactitate independent de mișcarea și poziția structurii.
Răspunsul unei structuri la acțiuni dinamice perfect definite poate fi estimat mai mult sau mai puțin satisfăcător.
Astfel, dacă o structură este alcătuită din elemente de rezistență executate din material omogen, izotrop și liniar elastic iar deplasările ce se produc sunt mai mici încât modificările de ordin geometric ale structurii devin nesemnificative, comportarea poate fi corect modelată din punct de vedere matematic iar caracteristicile elastice pot fi determinate cu destulă exactitate. Dacă materialul din care este confecționată structura este neomogen, anizotrop și neliniar elastic (cum ar fi betonul armat), evaluarea prin calcul a comportării reale sub încărcări dinamice prezintă dificultăți imense.
Trebuie subliniat faptul că fenomenele cu caracter vibratoriu pot avea consecințe favorabile sau nefavorabile.
Problema esențială constă în a elimina sursele care produc vibrațiile sau a le reduce intensitatea. În cazul când nu sunt posibile aceste operații, inginerul trebuie să proiecteze structura de rezistență astfel încât să reziste efectului defavorabil produs de sursele care produc vibrații.
Principalele surse care generează fenomene vibratorii
Dintre sursele de vibrație care pot avea un efect defavorabil asupra structurilor de rezistență pot fi menționate următoarele:
mașinile și instalațiile cu mase neechilibrate;
acțiunea mișcării seismice;
acțiunea vântului;
exploziile.
În toate aceste cazuri, este necesară o analiză dinamică complexă, fie cu scopul de a limita intensitatea surselor de vibrație, fie de a proiecta de așa manieră structura de rezistență, încât efectul aplicării dinamice a excitației să nu aibă o influență defavorabilă asupra stabilității și capacității de rezistență.
Clasificări ale mișcării vibratorii
O vibrație se caracterizează prin frecvență (pulsație sau perioadă) și prin amplitudine.
Oscilații produse de explozii
O acțiune dinamică, care apare în ultima vreme frecvent în calculul construcțiilor, este cea datorată exploziilor. Este vorba în principal de solicitarea construcțiilor de către:
acțiunea efectului exploziilor din cariere;
acțiunea loviturilor directe sau a suflului exploziilor proiectilelor de artilerie, bombelor de aviație, atomice sau nucleare.
Cercetarea științifică efectuată în domeniul stabilirii răspunsului dinamic al structurilor solicitatea la asemenea acțiuni, are un caracter specific.
În general, efectul exploziilor (de orice tip), ca acțiune de calcul pentru o structură, nu poate fi precizat în mod cert. De aceea, metodele de analiză dinamică utilizate în acest capitol au un caracter aproximativ atât în ceea ce privește modelarea încărcărilor, cât și în ceea ce privește răspunsul dinamic al structurilor.
Comportarea construcțiilor pe durata producerii exploziilor
Efectele produse de explozii asupra clădirilor trebuie diferențiate în funcție de tipul de explozie care le generează, solicitările la care este supusă construcția diferind în funcție de natura substanței explozive sau de locul în care are loc explozia.
Astfel, o prima clasificare ține de poziția exploziei față de suprafața terenului:
exploziile supraterane (aeriene) au ca principal efect producerea unei unde de suprapresiune care se propagă către construcție, iar încărcarea este dată de impactul acesteia cu clădirea. Pe langă unda de șoc, construcția va avea de suferit și în urma impactului cu diverse fragmente antrenate de suflul exploziei
exploziile subterane au ca principal efect producerea unor vibrații, asemănătoare unui microseism, încărcarea depinzând atât de puterea exploziei, cât și de natura pământului prin care se propagă unda.
Exploziile aeriene sunt și ele clasificate după felul explozibilului care le produce:
explozii atomice;
explozii produse de explozibili convenționali;
explozii produse de gaze.
1.4.Poziționarea materialelor compozite stratificate în clasa mare a materialelor compozite
În prezent, accentul se pune pe dezvoltarea unor noi materiale compozite cu matrice metalice sau ceramice.
Materialele compozite sunt primele materiale a căror structurare moleculară o realizează omul astfel încât arhitecturii obținute să-i fie conferite rezistențe deosebite în direcții preferențiale.
Materialele compozite sunt amestecuri de două sau mai multe componente ale căror proprietăți se completează reciproc, conferind arhitecturii noi obținute proprietăți superioare celor specifice fiecărei componente în parte.
Componentele materialelor compozite cooperează la nivel molecular astfel încât deficiențele unora sunt compensate de calitățile altora, rezultând un ansamblu molecular cu proprietăți deosebite pe care componentele izolate nu le posedă.
Din punct de vedere tehnic, noțiunea de materiale compozite se referă la materialele care posedă următoarele proprietăți:
sunt create artificial, prin combinarea diferitelor componente (sunt excluse compozitele naturale sau cele apărute fără intenția de a crea un compozit, precum lemnul, fonta cenușie etc.);
reprezintă o combinare a cel puțin două materiale deosebite din punct de vedere chimic, între acestea existând o suprafață de separație distinctă;
posedă proprietăți pe care componentele luate separat nu le pot avea.
Avantajul major al compozitelor rezidă în posibilitatea modulării proprietăților, care permite obținerea unor materiale foarte variate, fiind posibilă astfel extinderea sferei aplicațiilor tehnice.
Câteva din caracteristicile compozitelor care le fac aplicabile în diverse domenii sunt următoarele:
rezistență ridicată raportată la densitate (densitate scăzută, rezistență la tracțiune ridicată);
rezistență la curgere ridicată;
rezistență ridicată la tracțiune pentru temperaturi înalte;
tenacitate ridicată.
În mod obișnuit, raportul dintre rezistența și densitatea fibrelor de armare este unul bun, în timp ce matricea este, în mod obișnuit, ductilă. Dacă are loc proiectarea și realizarea corectă a materialelor compozite, ele combină rezistența armăturilor cu tenacitatea matricii pentru a obține o combinație de proprietăți dorite, care nu caracterizează materialele convenționale luate separat.
Pe de altă parte se cunoaște faptul că materialele compozite sunt adesea mai scumpe decât materialele convenționale.
Rezistența compozitelor depinde, în primul rând, de cantitatea, aranjamentul și tipul fibrei (sau particulei) de armare.
Se cunosc trei tipuri de materiale compozite principale:
compozite armate cu particule;
compozite armate cu fibre;
compozite structurale.
Compozite structurale
Materialele compozite stratificate au structura alcătuită dintr-un material suport dispus în straturi solidarizate cu un material de legătură (liant).
În această categorie sunt incluse materialele organice stratificate, având structura alcătuită din starturi multiple de material organic (hârtie, carton, lemn, materiale textile etc.) și liant (rășină fenolică, rășină melaminformaldehidică, rășină ureoaldehidică etc.) și materialele metalice emailate (materialele anorganico-metalice), având structura alcătuită din unul sau mai multe straturi de material oxido-silicatic depuse pe un suport metalic (de obicei, din oțel sau fontă).
Proprietățile compozitelor structurale depind de:
constituenți;
forma geometrică.
Cele mai uzuale compozite din această categorie sunt:
laminar: sunt compuse din două plăci sau panouri ce prezintă direcții preferențiale pentru solicitare. Exemple: compozitele din lemn, plasticele armate cu fibre aliniate și continui. Straturile sunt așezate unul peste celălalt și întărite împreună astfel încât orientarea preferențială în raport cu direcția de solicitare variază cu fiecare strat. Un exemplu de structură relativ complexă îl reprezintă schiurile moderne iar un alt exemplu este placajul;
panourile de tip sandwich: constau din două plăci așezate la exterior care pot fi confecționate din aliaje de aluminiu, plastice armate cu fibre, aliaje din titan, oțel, etc. Plăcile exterioare preiau o mare parte din solicitare. La interior se introduce o structură de tip figure, care prezintă o densitate scăzută, preia solicitările perpendiculare pe plăci și conferă rigiditate la forfecare. Panourile de tip sandwich pot fi utilizate într-o varietate de aplicații care includ: acoperișuri, podele, pereți sau diverse componente pentru aviație.
Materialele compozite stratificate
Descrierea unui stratificat trebuie să conțină tipul materialului fibrelor și al matricei, numărul de lamine folosite și unghiul orientării fibrelor în raport cu un anume sistem de referință.
Stratificatele se consideră plăci subțiri, de grosime constantă, ceea ce permite adoptarea unui model cu două dimensiuni.
Materialele compozite stratificate sunt constituite din straturi din cel puțin două materiale lipite printr-un adeziv. Din această categorie fac parte materialele stratificate, materialele compozite fibroase și stratificate realizate dintr-o succesiune de straturi (lamine) suprapuse, astfel încât fibrele unui strat să fie paralele și fiecare strat să fie orientat în mod corespunzător, pentru a obține o cât mai bună rezistență și rigiditate.
Materialele compozite stratificate și armate cu fibre sunt considerate din punct de vedere macroscopic, ca fiind omogene și anizotrope, adică au proprietăți distincte pe direcții diferite. Sub sarcină, materialele compozite pot fi considerate ca fiind corpuri liniar-elastice, deci relațiile dintre tensiuni și deformațiile specifice specifice sunt cele corespunzătoare legii lui Hooke.
Cunoașterea stării de tensiune și deformații existente în structurile realizate din materiale compozite este indispensabilă atât proiectării corecte cât și exploatării în condiții de siguranță a structurilor respective.
Materialele compozite stratificate și armate cu fibre sunt considerate materiale ortotrope cu izotropie transversală, structurile din aceste materiale impunând două categori de metode de calcul: metode analitice și numerice.
Dacă corpul este o placă dreptunghiulară prezentând o ortotropie de material, proprietățile elastice ale plăcii nu variază pe grosimea ei. În categoria plăcilor ortotrope intră și plăcile din beton armat, armate pe ambele direcții.
Caracteristicile de utilizare ale materialelor compozite sunt determinate esențial de natura și intesitatea legăturilor ce se realizează între materialele componente ale structurii acestora, care asigură conlucrarea (cooperarea) acestor componente.
Ca urmare, când se analizează structura unui material compozit se iau în considerare atât structurile materialelor componente, caracteristicile distribuției (dispunerii) acestor componente și raportul concentrațiilor lor (masice sau volumice), cât și structurile zonelor de legătură (interfaciale) dintre materialele componente; un material compozit este bine realizat, dacă structura zonelor de legătură asigură conlucrarea perfectă a materialelor componente ale acestuia.
Pentru evaluarea rezistenței compozitelor de tip laminar constituite din unul sau mai multe straturi paralele este necesar să se calculeze tensiunile într-un strat.
Materialele obținute prin suprapunerea de lamine compozite s-au dovedit a fi superioare în special în privința posibilităților de creare de elemente elastice moderne, cu proprietăți mecanice deosebite.
Laminele composite oferă posibilități mult mai mari de utilizare în condiții grele de solicitare decât structurile ortotrope.
Alcătuirea unui material anizotrop se poate face fie prin suprapunerea mai multor lamine orientate diferit, astfel încât să se obțină efectul maxim de anizotropie.
Determinarea unui material compozit, alcătuit din mai multe lamine, se bazează pe analiza stării de tensiune din fiecare lamină în parte și pe estimarea rezistenței fiecărei lamine.
Ruperea unei plăci compozite va fi rezultatul unui mecanism de cedare succesivă a diverselor lamine. Se admite că, până la rupere, ecuația constitutivă este liniară, teoriile de rupere a laminei fiind sugerate de teoria condițiilor de plasticitate a materialelor anizotrope, dar omogene.
În condiția de rupere, spre deosebire de plasticitatea bidimensională, intervin trei componente ale tensiunilor σx , σy, τxy, rezultatul corelării lor fiind reprezentat de o suprafață în spațiul tridimensional al tensiunilor și nu de o curbă plană, ca în cazul materialelor izotrope.
Criteriile de rupere vor coincide cu condițiile de plasticitate. Dacă la materialele izotrope, perfect plastice, intervine o singură constantă a materialului în condițiile de plasticitate, la materialele composite condițiile de rupere vor depinde de mai multe constante ale materialului, precum și de tensiunea medie.
Criteriile de rupere recomandate pentru materialele compozite sunt relații empirice, bazate pe date experimentale. Ele trebuie să aprecieze condiția în care se produce ruperea, pentru orice încărcare aplicată laminei.
S-a observat o diferență esențială între placa omogenă și placa din material compozit, cu o consecință de ordin practic constând în faptul că materialul compozit nu poate fi utilizat indiferent de direcția de decuplare a plăcii dreptunghiulare.
Rezultatele experimentale confirmă faptul că pentru multe solide deformabile, variația componentelor tensorului tensiunilor între o stare inițială și o stare finală este o funcție liniară de componenetele tensorului deformațiilor, considerând starea inițială ca stare de referință.
Studiul analitic al unei structuri realizate din materiale compozite depinde de tipul materialului compozit și de configurația structurii.
Pentru modelarea structurilor de rezistență realizate din materiale compozite se utilizează atât modele teoretice cât și modele materiale.
Modelele teoretice sunt o verigă intermediară între experiență și teoria referitoare la structurile respective.
Modelele materiale permit rezolvarea pe cale experimentală a unor probleme care nu pot fi rezolvate pe cale analitică sau numerică.
Pentru trecerea de la structura reală la modelul ei nu există algoritmi sau metode generale care să asigure elaborarea unui model unic, care să aproximeze structura ce urmează a fi calculată. În plus, este necesară o modelare la nivelul laminelor compozitelor stratificate și armate, întrucât în acest mod pot fi obținute informații mai apropiate de realitate, legate de comportarea fiecărei lamine din compoziția stratificatului. Cu ajutorul acestor lamine pot fi puse în evidență principalele deteriorări ce apar în stratificatele armate.
Metodele numerice de calcul au avantalul de a fi aplicabile unor clase mai generale de proleme.
Dintre metodele numerice, metoda elementelor finite ocupă un loc primordial în analiza structurilor realizate din materiale compozite.
Majoritatea elementelor finite permit efectuarea unei analize globale a structurilor, elementele finite având grosimea grosimea egală cu cea a compozitului din care este realizată structura studiată.
Caracteristicile de utilizare ale materialelor compozite sunt determinate esențial de natura și intesitatea legăturilor ce se realizează între materialele componente ale structurii acestora, care asigură conlucrarea (cooperarea) acestor componente.
Ca urmare, când se analizează structura unui material compozit se iau în considerare atât structurile materialelor componente, caracteristicile distribuției (dispunerii) acestor componente și raportul concentrațiilor lor (masice sau volumice), cât și structurile zonelor de legătură (interfaciale) dintre materialele componente; un material compozit este bine realizat, dacă structura zonelor de legătură asigură conlucrarea perfectă a materialelor componente ale acestuia.
Capitolul I
1. Conținutul tezei. Rezultate obținute
1.1. Conținutul lucrării.
În funcție de natura construcției defensive (cazemată sau adăpost), de importanța sa și gradul de protecție pe care trebuie să-l asigure, plăcile care intră în alcătuirea acestor construcții (planșee, pereți, radiere etc.) pot fi plăci simple sau stratificate. În consecință, problemele tratate în teză se referă și ele la aceste două categorii de plăci.
În mod concret capitolele conținute în teză tratează comportarea la șoc (cu studierea principalelor aspecte legate de fenomenul de vibrație) a următoarelor categorii de plăci:
Cap. II – placa de formă dreptunghiulară;
Cap. III – plăci cu alte forme geometrice plane (circulară, în formă de elipsă și de formă oarecare);
Cap. IV –plăcile de formă dreptunghiulară și circulară tratate prin metode aproximative;
Cap. V –plăci stratificate;
Cap. VI – Studii, investigații experimentale și simulări pe calculator privind calculul și comportarea elementelor composite stratificate la solicitări dinamice și șocuri
Cap. VII- Concluzii privind utilizarea, eficiența și calculul materialelor compozite stratificate în construcții. Contribuții personale la realizarea tezei
1.2. Expunere comparativă asupra problemelor tratate și rezultatelor obținute
În literatura de specialitate care se adresează acestui domeniu există o serie de lucrări [29], [31], [44] și [52] care tratează problemele teoretice generale ale fenomenului de oscilații ale plăcilor. Din acestea, marea majoritate se ocupă de plăcile simple și numai [44] și de planșele stratificate. În limba română există o lucrare originală [29] – Manea V. – “Câteva probleme ale teoriei plăcilor plane”. E.A., București, 1966 care la un nivel teoretic foarte înalt conține și un capitol referitor la vibrațiile plăcilor plane subțiri elastice. Totodată, în unele traduceri [39] și [46] vibrațiile plăcilor sau fundațiilor sunt tratate succint, în spații foarte restrânse. Deasemenea, lucrare a prof. Gh. Buzdugan – ”Dinamica fundațiilor de mașini” – vine să umple un gol mult resimțit în acest domeniu.
Problema comportării la șocuri și explozii a plăcilor și deci și vibrațiile acestora, a constituit o preocupare pentru autor, această preocupare s-a materializat în lucrările [32] … [37] prezentate sub formă de comunicări la sesiunile Universității Naționale de Apărare ,,Carol I”, sau sub formă de articole publicate în diferite reviste.
În acest context, conținutul tezei – cuprinzând atât probleme referitoare la plăcile simple cât și la cele stratificate – își aduce contribuție la următoarele probleme:
referitor la plăcile simple, pe lângă o sistematizare și sintetizare a problemelor teoretice ce se găsesc tratate în literatura de specialitate și care privesc aceste plăci, în lucrare se particularizează anumite solicitări la specificul celor rezultate din explozii și în plus se tratează anumite cazuri care interesează direct pe proiectanții construcțiilor militare și care nu sunt abordate în alte lucrări.
Concret, aceste probleme se referă la:
introducerea, ca solicitare dinamică specifică loviturilor directe ale proiectilelor sau bombelor și exploziilor acestora, a unor impulsuri cu legi de variație parabolică sau sinusoidală, descrescând de la centrul plăcii către margini;
rezolvarea plăcii dreptunghiulare încastrate pe contur prin particularizarea metodei Nowacki;
tratarea plăcii de formă circulară prin aplicarea funcțiilor Besser;
tratarea plăcilor de formă eliptică, folosindu-se funcțiile de variabilă complexă;
tratarea unui caz general – placa de formă oarecare, solicitată de impulsul provocat de explozia unei încărcături concentrate;
sintetizarea în anumite cazuri și dezvoltarea în altele, a metodelor aproximative de calcul, cu aplicații directe la plăcile dreptunghiulare și circulare încastrate pe contur;
aplicarea unor metode moderne de calcul (transformări Fourier, Laplace, Henkel, etc.) care permit, pe lângă deducerea rapidă a formulelor finale de calcul, și unele particularizări sugestive pentru exemplele tratate;
exprimarea influenței caracteristicilor geometrice și elastice ale plăcilor prin intermediul unor factori de multiplicare ce pot fi stabiliți dinainte (și eventual tabulați) și aducerea prin aceasta a formulelor de calcul la forme simple ușor de aplicat în proiectare.
referitor la plăcile stratificate, problemă tratată într-o măsură redusă în literatura de specialitate, capitolul din teză consacrat acestor plăci constituie partea originală a lucrării. În mod concret, la acest capitol s-au efectuat următoarele:
s-au adoptat o serie de ipoteze referitoare la lucrul și comportarea plăcilor stratificate în ansamblul și influența fiecărui element component în parte, asupra întregului planșeu;
s-a ales o schemă de calcul care să permită extinderea și aplicarea metodelor de calcul de la placa simplă;
prin această extindere s-au dedus o serie de formule de calcul acceptabile din punct de vedere practic;
s-au aplicat aceste formule la cazurile cele mai reprezentative de planșee stratificate, ducându-se calculele până la capăt și trăgându-se concluziile necesare.
La începutul fiecărui capitol se expune pe scurt, contribuția autorului la problemele conținute în capitolul respectiv, comparativ cu cele conținute de lucrări similare.
Rezultatele obținute pentru planșeele stratificate prin relațiile de calcul deduse au fost verificate și prin simulările efectuate cu ajutorul programelor de calcul descrise în capitolul VI.
În acest capitol al lucrării se descriu pe larg seriile de simulări și efectuate, rezultatele lor și interpretarea acestor rezultate.
Simulările efectuate cu ajutorul programelor de calcul au confirmat ipotezele adoptate, referitor la lucrul și comportarea planșeelor stratificate la șoc, și au verificat rezultatele teoretice obținute cu formulele de calcul deduse prin aplicarea teoriei generale a plăcilor la cazul plăcilor stratificate. În partea anexă a capitolului VI se dau comparativ rezultatele simulărilor și ale calculelor teoretice.
Ultimul capitol cuprinde concluziile privind utilizarea, eficiența și calculul plăcilor compozite stratificate în construcții, precum și contribuțiile personale la realizarea tezei
Din concluziile reieșite din calcul referitoare la comportarea planșeelor stratificate, concluzii verificate și din simulările efectuate cu ajutorul programelor de calcul, rezultă că acestea constituie soluții optime pentru acele elemente de construcții (ale lucrărilor militare) supuse acțiunii directe a șocului sau exploziei proiectilelor și bombelor.
Aceasta pentru că planșeele stratificate au un efect de amortizare mare și o capacitate portantă ridicată, asigurând în acest fel gradul de protecție necesar personalului sau tehnicii de luptă. Spre exemplificare, se poate vedea din concluziile reieșite la prelucrarea rezultatelor simulărilor și calculelor, că pentru o serie de parametrii constanți (grosime a plăcilor, deschidere, mărime impuls etc.) o creștere a grosimii stratului de distribuție de nisip de la 10 cm la 30 cm au determinat o micșorare a vibrațiilor cu 37%.
Efecte optime se obțin însă nu pentru orice grosimi ale elementelor ce alcătuiesc un planșeu stratificat ci numai pentru anumite raporturi între acestea. Simulările au indicat, pentru modelul adoptat, aceste raporturi, dar pentru practică acestea nu pot fi considerate satisfăcătoare. Ar fi necesar ca după aceste simulări efectuate cu ajutorul programelor de calcul, să urmeze o serie de încercări într-un poligon, unde pe modele mai mari, să se acționeze direct prin explozii: măsurătorile și rezultatele acestora s-ar putea considera concludente.
Se poate afirma totuși că, concluziile reieșite în urma calculelor teoretice, a simulărilor efectuate cu ajutorul programelor de calcul asupra plăcilor stratificate, indică cu siguranță avantajul folosirii acestora, în cazul elementelor de construcții solicitate de șocuri și explozii, și dau totodată metodele de calcul dinamic pentru aceste elemente.
Capitolul II
2. Placa de formă dreptunghiulară
2.1. Probleme generale
Vibrațiile plăcii de formă dreptunghiulară și problemele legate de acestea, sunt în general bine studiate în literatura de specialitate. Constituie o excepție placa dreptunghiulară încastrată pe contur, pentru care metodele folosite [31] fiind ori aproximative, ori exacte dar complicate din punct de vedere al calculului matematic, nu dau rezultate elocvente ca interpretare, sau utile pentru calculul practic.
În cele ce vor urma se tratează unele probleme referitoare la vibrațiile plăcii dreptunghiulare, solicitate de încărcări specifice celor provenite din șocul și explozia proiectilelor de artilerie sau bombelor de aviație, probleme care nu există în literatura de specialitate. Pentru aceste încărcări s-au adoptat legi de variație exprimate matematic, similare legilor folosite în teoria exploziilor.
Totodată, particularizând metoda Nowacki [31] de calcul al plăcilor dreptunghiulare cu condiții diferite de rezemare pe contur, se rezolvă într-un mod elegant din punct de vedere al calculului matematic și sugestiv ca interpretare, problema plăcii încastrate pe toate laturile, obținându-se un înalt grad de precizie la determinarea frecvenței circulare a oscilațiilor.
În sfârșit, acolo unde calculele s-au extins până la determinarea deplasărilor și eforturilor, – subliniindu-se faptul că acestea depind de caracteristicile geometrice și elastice ale plăcii – s-a reușit să se exprime influența acestor caracteristici prin intermediul unor factori de multiplicare ce pot fi stabiliți (și eventual tabulați) dinainte, pentru diverse condiții de rezemare a plăcilor și funcție de dimensiunile și rigiditatea plăcii la încovoiere.
Pentru a se înțelege proveniența unor formule și a se păstra o legătură între acestea, când se trece de la o problemă la alta a fost necesar să se înceapă tratarea diverselor probleme referitoare la plăci, plecând de la cazul general de solicitare a plăcii – un impuls de formă oarecare.
Totodată, rezolvarea efectivă a fiecărui caz în parte se va efectua – în cele ce vor urma – pornind de la ecuația diferențial generală de vibrație a plăcii:
În mod analog, pentru eforturi se vor folosi următoarele expresii:
;
pentru momente, și:
(2.2`)
pentru forțele tăietoare.
2.2 Placa dreptunghiulară simplu rezemată pe contur.
A. Oscilații proprii.
În cazul oscilațiilor proprii ale plăcii, în funcția care reprezintă forța perturbatoare:
, (2.3)
termenul F(x,y,t) = 0, deoarece nu există forță exterioară. Considerând deci numai forțele de inerție, ecuația diferențială (2.1) în forma:
(2.4)
Rezolvarea acestei ecuații diferențiale, se efectuează prin metoda obișnuită a separării variabilelor. Alegând, în acest scop, drept soluție particulară o funcție (produs) de forma:
(2.5)
se ajunge la două ecuații independente:
; (2.6)
(2.6`)
unde ω – reprezintă frecvența circulară (pulsație) a oscilațiilor proprii ale plăcii, iar funcția W(x,y), care exprimă suprafața elastică a plăcii, va trebui să satisfacă condițiile limită corespunzătoare diverselor cazuri de rezemare.
2.2.1. Placa dreptunghiulară simplu rezemată sau rezemată articulat pe contur, secționată de impulsuri diferite
Pentru simplificarea calculelor, se alege sistemul de coordonate cu originea într-unul din vârfurile plăcii dreptunghiulare, axele Ox și Oy fiind duse în planul median al plăcii iar axa Oz perpendicular pe aceasta. Totodată, considerând placa de laturi a și b, latura a se va lua pe direcția axei Ox, iar latura b pe direcția Oy (fig. 2.1). Cu aceasta, pentru a satisface pe întreg conturul condițiile de margine corespunzătoare plăcii simplu rezemate:
w(x,y,t) = 0;
(2.7)
este necesar a alege funcția W(x,y) sub forma unei serii duble:
(2.8)
aceasta substituită în (2.5), verificând condițiile (2.7).
Înlocuind funcția W(x,y) dată de (2.9) în prima ecuație din (2.6) se obține expresia:
Pe baza condițiilor de ortogonalitate ale funcțiilor trigonometrice [1], se înmulțesc acum, ambele părți ale acestei expresii cu , unde j și k, la fel ca și m și n sunt două numere întregi arbitrare. Efectuând apoi integrarea în limitele întregii suprafețe a plăcii, rezultă că în partea stângă a expresiei obținute mai sus, toți termenii, în afară de câte unul din fiecare tip de produs devin nuli. Rămân diferite de zero numai acele integrale duble pentru care m=j și n=k . Scriind în continuare, m în loc de j și n în loc de k, din seria de mai sus rămâne numai expresia:
Această expresie devine nulă pentru , dar admiterea acestei posibilități echivalează cu ipoteza că deformațiile lipsesc. Rămâne deci varianta ca factorul din parantezele mari să se anuleze adică:
de unde rezultă formula pentru frecvențele circulare ale oscilațiilor proprii ale plăcii simplu rezemată pe contur, sub forma:
(2.9)
Pulsația fundamentală (tonul fundamental) se obține pentru m=n=1:
(2.9`)
Dând numerelor m și n toate valorile întregi posibile, se obține întregul spectru al frecvențelor circulare ale oscilațiilor proprii ale plăcii. Diverselor frecvențe le corespund forme diferite de suprafețe elastice (forme de oscilații):
(2.10)
Fiecare astfel de suprafață elastică se divide în m fâșii paralele axei Ox și în n fâșii paralele axei Oy. Limitele fâșiilor constituie o rețea ortogonală de drepte, pe care săgețile sunt nule. Dacă suprafața este simetrică sau antisimetrică în raport cu axa Ox, atunci numărul m va avea respectiv, numai valori fără soț sau cu soț. Analog, cazurilor de simetrie sau antisimetrie în raport cu axa Oy le corespund valori impare, respectiv pare pentru numărul n.
Coeficienții se determină din condițiile inițiale, care, în cazul de față, sunt: la timpul t=0, săgeata este nulă iar viteza este funcție de impulsul specific aplicat pe o placă, adică:
și (2.11)
Ca exemplu, fie necesar a se examina placa dreptunghiulară la acțiunea unui impuls instantaneu, a cărui intensitate raportată la unitatea de suprafață a plăcii, este Presupunând că în momentul inițial , placa se găsește în repaus, și luând pentru funcția din (2.5), expresia , în conformitate cu (2.5) și (2.9), ecuația deplasării (oscilațiilor) plăcii se scrie sub forma:
(2.12)
care după cum se poate constata ușor, satisface condițiile de margine (2.7) (pentru x=0, a și pentru y=0, b) și prima din condițiile inițiale (2.11)
Derivând (2.12) în raport cu timpul, se găsește expresia vitezei căreia punându-i a doua condiție inițială din (2.11), și înmulțind-o ca și mai înainte cu și integrând, se obține, în sfârșit:
Substituind valoarea coeficientului în expresia (2.12) rezultă expresia finală a deplasării w provocată de impulsul instantaneu p(x,y) sub forma:
(2.14)
În această relație: .
2.2.1.a. Impuls uniform distribuit pe întreaga suprafață a plăcii
Pe baza celor arătate mai înainte, întrucât în acest caz încărcarea este simetrică față de cele două axe de simetrie ale plăcii, numerele m și n vor fi impare.
Notând prin p intensitatea impulsului pe unitatea de suprafață a plăcii și revenind la calculul coeficientului , atunci integrala de la numărătorul expresiei acestuia (2.13) are valoarea:
Cu aceasta, coeficientul va fi egal cu:
Dacă în această expresie se înlocuiește pulsația cu valoarea sa dată de (2.9) se obține:
Substituind acum ultima valoare a coeficientului în expresia (2.12) a oscilațiilor libere ale plăcii, se obține pentru aceasta relația:
(2.15)
în care sumele se referă la termenii cu m=1,3,5… și n=1,3,5… adică cu valori impare.
Pentru a determina expresiile momentelor încovoietoare și de torsiune, în funcție de săgeată, folosindu-se relațiile (2.2), este necesar a determina în prealabil derivatele și a le înlocui în aceste relații.
După efectuarea calculelor, va rezulta:
;
; (2.16)
.
Analizând expresiile obținute pentru momente, se constată ușor că determinarea momentelor după aceste expresii se face cu mare dificultate din cauza convergenței lente a seriilor.
Totuși practic, rezultate suficient de satisfăcătoare se obțin dacă în calcul se iau în considerare numai câțiva din primii termeni. Aceasta se explică prin aceea că, la deducerea ecuației diferențiale și a soluției acesteia nu s-a ținut seama de fenomenul de amortizare a oscilațiilor libere, problemă de o esențială importanță. Astfel s-a constatat că oscilațiile care se produc cu frecvențe superioare se amortizează considerabil mai repede decât cele de frecvență joasă. Practic, în timpul în care săgeata care corespunde formei fundamentale de oscilație ajunge la valoarea maximă (pentru ), majoritatea oscilațiilor de tonalitate superioară deja se amortizează.
Dacă în cazul problemei tratate ne limităm numai la primul termen al seriei, atunci săgeata va avea expresia:
(2.17)
iar momentele încovoietoare și de răsucire:
;
; (2.18)
.
Săgeata maximă va fi la mijlocul plăcii , pentru timpul și va avea valoarea:
(2.17’)
(2.18’)
.
Momentul de răsucire este nul la mijlocul plăcii și maxim pe contur (x=0, a; y= 0,b), pentru același timp , și are valoarea:
(2.18”)
În toate aceste expresii s-a notat prin H=pab – impulsul total pe placă, iar rigiditatea D a plăcii s-a înlocuit cu valoarea sa .
Comparând relațiile (2.17) și (2.18) între ele, se constată că momentele încovoietoare și de răsucire se pot exprima în funcție de săgeata w în următorul mod:
;
; (2.19)
,
unde factorii de multiplicare au valorile:
;; (2.20)
În mod analog se pot exprima valorile maxime ale momentelor încovoietoare și de răsucire în funcție de valoarea maximă a săgeții. Acest lucru rezultă din compararea relațiilor (2.18`) și (2.18”) cu (2.17`). Cu aceleași notații ale factorilor de multiplicare, vom avea:
; ; (2.19`)
unde valorile factorilor de multiplicare sunt date tot de relațiile (2.19) și (2.20).
2.2.1.b. Impuls care descrește de la centrul plăcii către margini după o lege parabolică
Fie o placă dreptunghiulară, solicitată de un impuls ce are o lege de distribuție parabolică, descrescând de la centrul plăcii către margini. În acest caz impulsul (încărcarea) admite două plane de simetrie (fig. 2.2) și pentru a folosi simplificările ce decurg din aceasta, este necesar a muta originea axelor de coordonate de la unul din vârfurile plăcii în centru acesteia, axele – ca și mai înainte – fiind dirijate paralel laturilor a și b.
Este de asemenea comod – pentru a obține formule cât mai simple – ca să se ia și .
Fig. 2.2
Pentru noul sistem de coordonate adoptat, e necesar ca suprafața elastică a plăcii (2.10) să o reprezentăm prin funcția:
(2.21)
care satisface condițiile de contur (2.7) pentru
Păstrând pentru funcția T(t) aceeași expresie și înlocuind în (2.5) rezultă:
, (2.22)
care este expresia oscilațiilor plăcii în cazul solicitării de către impulsul cu legea de variație parabolică. Având în vedere simetria sistemului, numerele m și n vor fi tot numere impare.
Pentru legea de distribuție a impulsului se alege o expresie de forma:
, (2.23)
unde:
po – intensitatea impulsului în centrul plăcii;
α, β – numere pozitive date ().
Intensitatea maximă a impulsului se obține în centrul plăcii (egală cu p0) iar de la aceasta are loc o descreștere după direcțiile (către laturile conturului), ajungând ca pe acestea intensitatea impulsului pe unitatea de suprafață să fie:
.
La mijlocul laturilor, intensitatea impulsului are valorile și iar la colțurile conturului:
Pentru α = β = 1, impulsul are pe conturul plăcii intensitatea egală cu 0, iar pentru α = β = ∞, intensitatea impulsului devine constantă pe întreaga suprafață a plăcii.
În acest mod, expresia (2.23) dă o lege destul de generală de descreștere a încărcării de la centrul plăcii către marginile sale.
Dacă se presupune că intensitățile impulsului la mijlocul laturilor conturului sunt date (cunoscute), și anume:
; ;
atunci mărimile și β se pot exprima cu relațiile:
;
Mărimea totală a impulsului se obține integrând în limitele conturului plăcii, expresia (2.23)
, sau
2.24)
Pentru a determina și în acest caz valorile maxime ale săgeții și momentelor, revenim la formula (2.13) pentru a calcula coeficientul . E necesar însă că în această formulă să se țină seama, pe de o parte de noua expresie a suprafeței elastice (2.21) și de faptul că laturile plăcii sunt și . Cu aceste observații, expresia (2.13) ia forma:
(2.25)
Limitându-ne – ca și în cazul anterior – la calculul primului termen al seriei, e necesar a determina numai valoarea coeficientului , deci:
Dacă acum luăm în considerare relația (2.22), săgeata maximă va fi tot la mijlocul plăcii, (pentru x = y = 0), pentru timpul și va avea valoarea:
Substituind în această ultimă relație, valoarea frecvenței circulare dată de formula (2.19`), rezultă:
.
Dacă ținem seama de expresia impulsului total (2.24), atunci săgeata maxima se exprimă sub forma:
(2.26)
Se constată ușor că pentru , deci pentru un impuls de intensitate constantă pe întreaga suprafață a plăcii, această expresie coincide cu expresia (2.17’) din cazul anterior.
Valorile maxime ale momentelor încovoietoare și de răsucire se vor determina ușor folosind relațiile (2.19’) în care acestea se exprimă în funcție de săgeata maximă . Pentru aceasta este însă necesar, în prealabil, să se determine factorii de multiplicare , și corespunzători noului sistem de coordonate. Cu notațiile și vom avea:
;; (2.27)
Pe baza acestor considerente vom putea scrie:
;
, (2.28)
.
De asemenea, ca și mai sus, se observă ușor că substituind în aceste formule , adică reducând impulsul la un impuls uniform distribuit pe întreaga suprafață a plăcii, se găsesc forumule (2.18’) și (2.18”) ale momentelor corespunzătoare de la cazul anterior.
2.2.1.c. Impuls care descrește de la centrul plăcii către margini după o lege sinusoidală
S-a arătat mai înainte că placa oscilând cu diverse pulsații , are – corespunzător – pentru fiecare din acestea o formă de suprafață elastică (2.11), sau, cum se mai numește, o formă a oscilațiilor proprii.
Dacă se reușește ca să se ia pentru distribuția impulsului ce acționează pe suprafața plăcii, o lege apropiată de una din aceste forme ale oscilațiilor proprii ale plăcii, atunci seria care alcătuiește ecuația oscilațiilor plăcii (2.12) se încheie, din punct de vedere matematic, mult mai repede (este rapid convergentă).
Se poate arăta [50] că cea mai rapidă convergență se obține în condițiile când funcția p(x,y) care reprezintă legea de distribuție a impulsului pe placă, exprimă din punct de vedere analitic, o suprafață bombată cu ordonata maximă în centrul plăcii și cu ordonate nule pe contur. În cazul coincidenței funcției p(x,y) cu una din formele oscilațiilor proprii ale grinzii, atunci seria (2.12) se reduce la un singur membru și placa oscilează ca un sistem cu un singur grad de libertate.
În baza acestor considerente, să alegem pentru distribuția impulsului pe placă funcția:
(2.29)
în care este intensitatea maximă a impulsului în centrul plăcii (pentru și ). Pe contur (x = 0; a și y = 0; b) se constată ușor că impulsul are intensitatea nulă. Expresia (2.29) se referă la sistemul inițial de coordonate.
Funcția care exprimă impulsul este aleasă ca să coincidă cu funcția care reprezintă suprafața elastică a plăcii (2.10), în cazul când m = n = 1 și .
Impulsul total pe placă, obținut prin integrarea în limitele plăcii a impulsului distribuit după legea (2.29), este:
(2.30)
Este necesar acum a determina numai coeficientul și seriei duble (2.12) și aceasta se poate face direct, folosind relația (2.13). Substituția în aceasta p(x,y) prin (2.29) și făcând m = n = 1, rezultă:
(2.31)
Înlocuind acum pulsația prin valoarea sa dată de (2.9’) și luând totodată în considerare și expresia impulsului total (2.30) se obține:
(2.31’)
Pentru alte valori ale numerelor m și n, ceilalți coeficienți sunt nuli.
Expresia oscilațiilor proprii ale plăcii, corespunzătoare pulsației fundamentale , conform (2.12) și (2.31’) va fi:
(2.32)
Calculând derivatele de ordinul II ale funcție w(x,y,t), în raport cu variabilele x și y, și înlocuindu-le în expresiile (2.2) ale eforturilor, rezultă expresiile momentelor încovoietoare și de torsiune:
Ca și în paragraful precedent, folosind factorii de multiplicare , și , expresiile momentelor pot fi scrise în funcție de săgeată:
;; , coeficienții , și având aceleași expresii (2.20).
Valorile maxime ale săgeții și momentelor se obțin de asemenea la mijlocul plăcii, pentru :
(2.34)
și
(2.35)
.
Este interesant de remarcat că aceste formule diferă foarte puțin de cele deduse anterior (2.26) și (2.28), pentru , în cazul săgeții se obține coeficientul 0,865 în loc de 0,845, iar în cazul momentelor – coeficientul 0,715 în loc de 0,695, deci o diferență de 2,3% și respectiv 2,8%.
B.Oscilațiile armonice forțate
Ale plăcii dreptunghiulare simplu rezemate.
2.2.2. Metoda generală.
Se știe că oscilațiile armonice forțate se produc atunci când asupra sistemului elastic acționează forțe exterioare perturbatoare cu variație periodică.
Examinarea problemelor de acest gen se face plecând de la ecuația diferențială cu parte dreaptă (2.1), deosebirea față de capitolul anterior constând în faptul că forțele perturbatoare au o pulsație a lor , diferită în general de pulsația proprie a sistemului elastic oscilant.
Considerăm o placă de formă dreptunghiulară, aflată în stare de oscilații armonice forțate sub acțiunea sarcinii perturbatoare .
Conform (2.1), ecuația diferențială ce urmează a fi rezolvată are forma:
(2.36)
unde P(x,y,t) include atât forțele de inerție cât și sarcinile exterioare perturbatoare, adică:
(2.37)
Notând ca și mai înainte: = și scriind simbolic operatorul Laplace, ecuația (2.36) se poate scrie:
(2.38)
Luând pentru deplasări expresia:
(2.39)
ecuația diferențială (2.23’) se reduce la forma:
; (2.40)
Admițând că atât sarcina q(x,y), cât și amplitudinile săgeților W(x,y), se pot exprima prin serii – după funcția oscilațiilor proprii – , adică prin seria de funcție care să satisfacă ecuația:
(2.41)
cu aceleași condiții limită ca și ecuația (2.38), atunci vom putea scrie:
; (2.42)
.
unde, folosind proprietatea de ortogonabilitate a funcțiilor proprii și presupunând că aceste funcții sunt normate (adică satisfac ecuația (2.40), expresiile pentru și pot fi de forma:
; (2.43)
Acum, înmulțim ambele părți ale ecuației (2.40) cu și integrăm pe întreaga suprafață a plăcii:
(2.44) Efectuând integrarea prin părți și ținând seama de funcțiile (2.41) și (2.43) și, totodată, de condițiile la limită, se obține relația:
, de unde rezultă:
Folosind acum prima serie din grupul (2.42) și a doua integrală din grupul (2.43) și ținând, totodată, seama și de ultima relație, rezultă expresia suprafeței elastice:
, (2.45)
unde:
; .
În sfârșit, ținând seama de expresia (2.39) se obține pentru deplasări, ecuația:
. (2.46)
Se observă ușor, din ecuația (2.46) că pentru , se obține soluția pentru solicitarea statică. Dacă însă , adică dacă fecvența circulară a variației forței perturbatoare tinde către frecvența circulară a oscilațiilor proprii ale plăcii, atunci numitorul fracției (2.46) tinde către zero și deci săgețile w(x,y,t) vor crește nelimitat, ceea ce înseamnă că avem de aface cu fenomenul de rezonanță.
În continuare, examinăm cazul particular când pe unitatea de placă acționează o forță concentrată care are o variație armonică în timp, acționând în punctul de coordonate și . Vom avea deci:
;
În acest caz:
și înlocuind în expresia (2.45), rezultă:
. (2.47)
Este evident acum, că ecuația (2.45) se poate exprima sub forma:
(2.45’)
Dacă placa este simplu rezemată pe întregul contur, atunci suprafața elastică se poate lua sub forma:
, unde
; ;
În acest caz, având în vedere relația (2.47), rezultă:
(2.48)
Pentru o sarcină q= const. pe întreaga suprafață a plăcii, având în vedere relația (2.45’) se obține:
(2.49)
Dacă , atunci:
(2.50)
ceea ce concordă cu soluția obținută la studiul plăcilor la acțiunea statică a sarcinii q.
2.3. Placa dreptunghiulară cu alte condiții de rezemare decât placa simplu rezemată.
A. Oscilații proprii
2.3.1. Descrierea metodelor de calcul
Pentru plăcile dreptunghiulare care au alte condiții de rezemare decât placa simplu rezemată pe contur (de ex. placa dreptunghiulară simplu rezemată pe contur și cu puncte izolate de sprijin în limitele suprafeței sale, sau placa dreptunghiulară cu una sau mai multe laturi încastrate), studiul oscilațiilor se poate face comod, dacă se folosesc unele relații de calcul de la oscilațiile forțate.
Metoda constă în a aplica în punctele sau după dreptele de sprijin sarcini (forțe sau momente) periodice și determinând – după procedeul expus la capitolul oscilațiilor forțate – anumiți parametrii de calcul (deplasări, rotiri, etc.) să se impună expresiilor acestor parametrii satisfacerea condițiilor de frontieră corespunzătoare.
Exemplificăm folosirea metodei în cazul simplu al grinzilor.
Se știe că pentru o grindă oarecare, în a cărei secțiune este aplicată o sarcină concentrată periodică , săgeata în secțiunea curentă x este dată de relația:
(a)
unde
și sunt funcțiile proprii ale grinzii, care trebuie să îndeplinească condițiile la limită, corespunzător modului de rezemare la capete. Pentru grinda simplă rezemată:
Dacă în secțiunea există un reazem intermediar (fig. a) atunci în acest punct săgeata trebuie să fie nulă, condiție care conform (a) duce la expresia:
(b)
Din această expresie se pot determina valorile succesive ale frecvenței circulare a oscilațiilor proprii pentru grinda cu două deschideri.
În mod analog, știind că pentru grinda simplu rezemată solicitată de un moment în secțiunea x = 0 (fig.b), săgeata în secțiunea curentă x este dată de relația:
=0
din care se pot determina valorile succesive ale frecvenței circulare a oscilațiilor proprii pentru grinda încastrată la un capăt și liber rezemată la celălalt.
Din cele de mai sus, rezultă că pentru determinarea pulsației oscilațiilor proprii ale grinzii drepte cu alte condiții de rezemare decât grinda simplu rezemată, se poate folosi următoarea metodă de calcul: în punctul unde există o legătură în plus față de cele ale grinzii simplu rezemate, se aplică o sarcină (forță, moment, etc.) cu variație periodică, care – pe grinda simplu rezemată – ar provoca oscilații (deplasări, eforturi, etc.) și punând condiția ca expresiile acestora să satisfacă modul real de rezemare, rezultă, valorile corespunzătoare ale pulsației oscilațiilor proprii pentru grinda studiată. Menționăm că acest procedeu este folosit în lucrarea [31]. Semnificația fizică constă în următoarele: sarcina aplicată nu reprezintă altceva decât reacțiunea din legătura corespunzătoare, reacțiune care are o variație periodică, cu pulsația egală cu cea a oscilațiilor proprii ale grinzii cu legături în plus față de numărul minim necesar pentru fixare.
În cele ce vor urma se va extinde acest procedeu la placa simplu rezemată și cu anumite puncte de fixare pe suprafața sa, iar apoi se vor studia oscilațiile libere ale plăcii dreptunghiulare încastrate pe contur.
2.3.2. Oscilațiile proprii ale plăcii dreptunghiulare simplu rezemate pe contur și în anumite puncte din limita suprafeței sale
Se consideră o placă dreptunghiulară (fig. 2.3) simplu rezemată pe contur, solicitată de o sarcină de compresiune q – uniform distribuită după laturile plăcii paralele axei X(x=0,x=a). Concomitent, placa mai este acționată de o forță concentrată , aplicată în punctul , (unde se găsește un punct de rezemare izolat).
Rezolvarea acestei probleme se face așa cum s-a specificat la începutul acestui capitol, adică considerându-se că sarcinile aplicate normal pe placă, sunt sarcini perturbatoare cu variație periodică, având aceiași frecvență circulară ca și frecvența circulară a oscilațiilor proprii ale plăcii. Ulterior, această frecvență se determină din anumite condiții limită impuse ecuației
de mișcare.
În cazul de față este mai comod a împărți placa prin dreaptă în două domenii I și II.
Eliminând secțiunea , pentru fiecare domeniu, ecuația de oscilație a plăcii va fi:
(2.51)
care diferă de ecuația diferențială obișnuită prin cel de-al doilea termen datorat sarcinii q.
În partea dreaptă, termenul corespunzător sarcinii normale pe placă este nul deoarece, prin împărțirea plăcii în cele două domenii, dreapta (secțiunea) nu face parte din nici unul din domenii.
Admițând că soluția ecuației diferențiale (2.51) este de forma
(2.52)
atunci, introducând expresia (2.52) în ecuația (2.51) se obține:
(2.53)
unde
și
Pentru fiecare din cele două domenii I și II, soluția ecuației diferențiale (2.53) o căutăm sub forma:
;
(2.54)
;
Se constată ușor că ambele ecuații (2.54) satisfac condițiile limită pe marginile plăcii (x=0; a), adică avem:
și , pentru J=I,II. (x=0; a). (a)
Pentru funcțiile Ynj se aleg expresiile:
;
(2.55)
unde
; ;
; (2.56)
Este evident, de asemenea, că și funcțiile date de expresiile (2.55) satisfac condițiile la limită pe celelalte două laturi ale plăcii (y=0 și y1=0), adică avem:
și , pentru J=I,II, (y=0, y1=0). (b)
Din ansamblul condițiilor (a) și (b), rezultă că și expresia deplasărilor (2.52) satisface condițiile la limită pentru marginile plăcii:
și , pentru J=I,II și x=0,a; y=0; y1=0,
după cum, în aceeași măsură este satisfăcută și ecuația diferențială (2.54) și (2.55).
Constantele se vor determina din cele patru condiții la limită care se pot scrie pentru secțiunea de mijloc a plăcii .
Din acestea, primele două, care trebuie îndeplinite simultan, se referă la săgeți și unghiuri de rotație:
(2.57)
iar celelalte două la aspecte de natură statică. Prima condiție limită din acest ultim grup stabilește echilibrul momentelor încovoietoare , iar a doua se referă la echilibrul forțelor tăietoare care acționează la dreapta și la stânga secțiunii și concomitent al sarcinii exterioare din această secțiune.
Expresiile ultimilor două condiții, vor fi:
(2.58)
În ultima expresie din grupul (2.58) sarcina repartizată liniar provine din sarcina concentrată considerată anterior, iar intensitatea acesteia este comod a o exprima cu ajutorul unei serii Faurier, sub forma:
(2.59)
Impunând soluțiilor (2.54) satisfacerea condițiilor limită (2.57) și (2.58) și ținând totodată seama de expresiile (2.55), (2.56) și (2.59), rezultă valorile coeficienților sub forma relațiilor:
;
; (2.60)
;
Înlocuind expresiile acestor constante în ecuațiile (2.55) se obțin expresiile săgeților de deformare ale suprafeței mediane a plăcii în cele două domenii I și II.
Săgeata plăcii în punctul , unde se aplică sarcina perturbatoare care provoacă oscilații armonice, se exprimă – în funcție de relațiile anterioare astfel:
(2.61)
Întrucât sarcina P aplicată în punctul , este considerată imaginar drept o sarcină perturbatoare, se poate acum alege pulsația a oscilațiilor proprii (ale sistemului placă-sarcină), în așa fel încât punctul – independent de timpul t – săgeata să fie nulă, așa cum s-a considerat deja în (2.57).
Din egalarea cu zero a expresiei (2.61), rezultă:
(2.62)
În parametrii și din această expresie este conținută, conform relațiilor (2.56), valoarea pulsației care îndeplinește condiția
Valorile consecutive ale pulsației , determinate din ecuația (2.62), vor fi valorile pulsației oscilațiilor proprii ale plăcii, simplu rezemate pe contur și cu un reazem punctiform (concentrat) în punctul unde se consideră aplicată forța concentrată P.
Pentru a ilustra mersul calculelor, exemplificăm cu un caz mai simplu și anume placa pătrată, cu punctul de rezemare la mijloc . În acest caz, ecuația (2.62) se exprimă – ținând seama de relația (2.56) – astfel:
(2.63)
unde
; (2.64)
Așa cum se vede, ecuația (2.60) se referă la formele simetrice de oscilații.
Pentru șirul valorilor succesive și prin urmare, conform (2.64), pentru creșteri ale sarcinii de compresiune au fost determinate valorile corespunzătoare ale parametrului , din condiția de a fi satisfăcută ecuația (2.63). În tabela 2.1 se dau comparativ primele patru valori pentru și .
Tabela 2.1
În funcție de valorile , din relația (2.64) se pot determina valorile corespunzătoare ale pulsației oscilațiilor proprii, cu formula:
(2.65)
Analizând relațiile (2.65) și (2.64) și tabela 2.1, se constată că la creșterea sarcinii de compresiune q, pulsația oscilațiilor proprii ale plăcii scade.
Se poate arăta că pentru sarcini q de întindere, parametrul crește odată cu și deci și pulsația oscilațiilor proprii crește.
Din ecuația generală (2.62) se pot deduce și alte situații.
Astfel, în cazul în când pulsația oscilațiilor proprii tinde către zero, se ajunge la pierderea stabilității plăcii.
Din relațiile (2.56) dacă , rezultă deci:
;
; (2.66)
Sarcina critică qcr, care provoacă pierderea stabilității plăcii se determină din relația (2.64):
(2.67)
unde este cea mai mică valoare a rădăcinilor ecuației următoare:
(2.68)
Un alt caz se obține dacă sarcina q=0 (). În această situație avem de-a face cu oscilațiile unei plăci dreptunghiulare, cu un reazem punctiform la mijloc, caz deja studiat anterior. Deosebirea constă în faptul că acum avem un reazem rigid și deci k=0, (k-fiind coeficientul de rigiditate).
În cazul de față, făcând în ecuația (2.63) se găsește ecuația caracteristică pulsațiilor ale oscilațiilor proprii ale plăcii sus menționate, sub forma:
(2.69)
Pentru diverse rapoarte între laturi, , se dau valorile parametrului , în funcție de care se pot determina – prin relația (2.69) – valorile corespunzătoare ale pulsațiilor oscilațiilor proprii.
Tabela 2.2
La deducerea valorilor s-a luat . Dacă această condiție nu este îndeplinită pentru toți termenii seriei (2.69), atunci în loc de se va lua .
Dacă reazemul punctiform nu se găsește la mijlocul plăcii ci undeva pe dreapta , atunci valorile sunt influențate de pozițiile acestui reazem, așa cum rezultă din tabela 2.3, unde poziția reazemului este dată prin parametrul
Tabela 2.3
2.3.3. Placa dreptunghiulară, încastrată pe contur, încărcată în planul său cu forțe dispuse pe întregul perimetru
Se examinează problema oscilațiilor proprii ale unei plăci dreptunghiulare, în prezența unor sarcini constante de compresiune sau întindere ce acționează în planul median al plăcii.
La început se consideră placa dreptunghiulară simplu rezemată pe margini, sub acțiunea sarcinilor de compresiune
și în planul plăcii (fig. 2.4) și a sarcinii cu variație armonică în timp, care acționează perpendicular pe planul plăcii, de-a lungul dreptei .
Ecuația diferențială a oscilațiilor transversale ale plăcii, conform expresiilor (2.1) și (2.51), va avea următoarea formă:
Fig. 2.4
(2.70)
Soluția generală a acestei ecuații se va putea scrie sub forma unei serii duble:
, (2.71)
unde
; , (2.72)
și de asemenea:
(2.72’)
Dacă se diferențiază ecuația (2.71) în raport cu , atunci se poate folosi pentru cazul încărcării plăcii cu un moment înconvoietor, , uniform distribuit în lungul dreptei x=. După diferențiere rezultă:
(2.73)
unde este coeficient al seriei trigonometrice care determină amplitudinea momentului M(y):
M(y)= (2.74)
În lungul dreptei x=.
Pentru , placa va fi încărcată cu momentul M(y) de-a lungul dreptei y (latura x=0), iar pentru , același moment va acționa pe latura opusă (x=a) a plăcii.
În mod analog, dacă se consideră placa încărcată în lungul dreptei y=η, procedând ca și mai sus, pentru η=0 – placa va fi acționată de momentul M(x) în lungul axei x (latura y=0), iar pentru η=b acest moment va acționa pe latura opusă (y=b) a plăcii.
Folosind această metodă de rezolvare, pentru cazul când momentele încovoietoare sunt aplicate pe întregul contur al plăcii (M(y) pe laturile x=0, a și M(x) pe laturile y=0, b) cu coeficienții Am, Bn, Cm și Dn corespunzători seriilor Faurier, se obține următoarea ecuație pentru oscilațiile proprii ale plăcii examinate:
(2.75)
unde prin s-a notat, ca și mai înainte, raportul laturilor a/b .
Impunând ecuației (2.75) satisfacerea condițiilor de încastrare perfectă a plăcii pe margini (referitoare la unghiul de rotire):
(2.76)
se obține un sistem de patru ecuații omogene din care se pot determina coeficienții Am, Bn, Cm și Dn.
În cazul simetriei, sistemul se reduce la două ecuații, funcție de formele de oscilație.
Astfel, pentru formele de oscilație simetrice- în raport cu cele două axe de simetrie ale plăcii, realizate pentru încărcări simetrice și condiții de margine simetrice, vom avea:
Am=Cm;Bn=Dn;(m,n=1,3,5,…) (2.77)
Pentru formele de oscilație simetrice- în raport cu axa x=a/2 și antisimetrice în raport cu axa y=b/2, realizate pentru condiții de margine și de încărcare analoage, avem:
Am=Cm; Bn= – Dn; (m=1,3,5,…; n=2,4,6,…) (2.78)
Invers, dacă oscilațiile și corespunzător – condițiile de margine și de încărcare sunt antisimetrice în raport cu axa și simetrice în raport cu axa , atunci:
; , (m=2,4,6,…; n=1,3,5..) (2.79)
În sfârșit pentru formele de oscilații și pentru condițiile de margine și de încărcare antisimetrice în raport cu ambele axe de simetrie ale plăcii, vom avea:
; , (m,n=2,4,6,..) (2.80)
În cele ce urmează, se vor examina numai formele simetrice de oscilații proprii, în raport cu ambele axe de simetrie ale plăcii.
Impunând ecuației (2.75) satisfacerea condițiilor de margine:
; =0,
se obține sistemul de două ecuații:
(2.81)
Eliminând din aceste două ecuații coeficientul Bn rezultă sistemul:
(2.82)
unde
(2.83)
și de asemenea:
(2.83’)
Dacă se anulează determinantul alcătuit din coeficienții sistemului de ecuații (2.82), se obține un număr nelimitat de rădăcini din care se pot determina pulsațiile oscilațiilor proprii ale plăcii. Pentru rădăcina cu valoare minimă corespunde frecvența circulară fundamentală a oscilațiilor proprii.
Pentru placa pătrată (a=b, ) și pentru qx=qy=q, se obține o considerabilă simplificare a sistemului de ecuații. În acest caz, mărimea Gmi dată de expresia (2.83) se reduce la forma:
(2.84)
Introducând notațiile:
s=; (2.85)
și ținând seama de relațiile (2.72), (2.72’) și (2.83’), rezultă:
(2.86)
Suma conținută de formula (2.86) se poate prezenta separat sub următoarea formă:
(2.87)
Calculând numai primii patru membrii ai acestei sume și, corespunzător, primii patru membrii ai expresiei (2.82) și anulând determinantul de ordinul patru obținut, rezultă valorile indicate în tabelul 2.4.
Tabelul 2.4
Având valorile , folosind a doua relație din grupul (2.85), se pot determina frecvențele circulare ale oscilațiilor proprii ale plăcii pătrate, cu condițiile de margine și încărcare menționate mai sus, cu formula:
(2.88)
Din tabelul 2.4 și relațiile (2.85), (2.88) se constată ușor că pentru o creștere a forțelor de compresiune frecvența circulară a oscilațiilor proprii scade; la creșterea forțelor de întindere, frecvența oscilațiilor crește și ea.
Dacă în ecuația (2.82) se înlocuiește =0, anulând determinantul sistemului de ecuații astfel obținut, se obțin valorile critice ale sarcinilor care duc la pierderea stabilității plăcii.
Trebuie menționat faptul că metoda expusă, și concret relațiile (2.78)-(2.80) pot fi folosite și pentru determinarea oscilațiilor proprii ale plăcii dreptunghiulare cu alte condiții de rezemare.
Așa spre exemplu, pentru placa dreptunghiulară încastrată pe una din laturi (x=0) și simplu rezemată pe celelalte trei, având în vedere că:
Cm=Bn=Dn=0,
ecuația condițiilor la limită (2.81), devine
(2.89)
sau, scrisă dezvoltat, sub forma lui (2.86):
(2.90)
unde
; ; (2.91)
Pentru diverse sarcini și caracteristici ale plăcii, date, rezultă mărimile Sx și Sy și deci, din ecuația (2.90) se pot determina – prin selectare – valorile succesive , iar apoi, folosind ultima relație din grupul (2.91), respectiv formula (2.88) se calculează valorile corespunzătoare frecvențelor circulare
2.3.4. Metoda Nowacki pentru determinarea oscilațiilor proprii ale plăcilor dreptunghiulare încastrate pe contur.
Această metodă constă în următoarele: se izolează din placă o fâșie de lungime infinită (fig. 2.5) care se consideră adusă în starea de oscilație armonică prin acțiunea forțelor , aplicate normal pe placă, de-a lungul unor drepte care se găsesc la distanțe egale 2b una de alta.
Frecvența circulară și amplitudinea ale sarcinilor considerente, se aleg în așa fel încât de-a lungul dreptelor , pentru k=1,2,.., săgețile și respectiv unghiurile de rotire să fie nule.
Reamintim că frecvența de variație a sarcinilor este una și aceiași cu pulsația oscilațiilor proprii ale plăcii, și deci în problema examinată avem de-a face cu oscilații proprii și nu forțate, cum aparent s-ar părea.
Această cale de rezolvare, duce din punct de vedere matematic – la o ecuație integrală Fredholm de speța I, a cărei soluție constă dintr-un sistem nelimitat de ecuații care conțin parametrii frecvenței circulare , ce trebuie determinați.
Începem prin a examina fâșiile izolate din placă, având lățimea a și considerente simplu rezemate pe laturi și comprimate în direcția axei x de forțele , iar în direcția axei y de forțele . Presupunem, de asemenea, că perpendicular pe suprafața plăcii acționează forțele concentrate , aplicate în punctele .
Fig. 2.5
Pe baza acestor considerente și în conformitate cu relațiile (2.1), (2.51) și (2.70) ecuația diferențială de oscilații ale fâșiilor înguste, izolate, va avea forma:
(2.92)
unde:
;
Condițiile la limită ce trebuie satisfăcute de soluția ecuației diferențiale (2.92), rezultate din considerațiile și ipotezele admise mai sus, sunt:
; (2.93)
Pentru oscilațiile armonice considerate, alegem soluția ecuației diferențiale (2.92) sub forma:
(2.94)
și înlocuind în ecuația (2.92), aceasta devine:
(2.95)
în care s-a notat:
(2.96)
Totodată, conform ecuației (2.94) condițiile la limită (2.93) devin:
(2.97)
Soluția ecuației diferențiale (2.95), cu condițiile la limite (2.97) se poate lua sub forma următoarei funcții:
, 2.98)
unde, ca și mai înainte,
,
iar:
(2.99)
Suprafața elastică deformată se poate însă reprezenta și printr-o serie dublă de forma:
(2.100)
unde:
;
și de asemenea
;
;
(2.101)
y1
2b x x1 2b 2b x x1 2b
Fig.2.6
În continuare, pentru dezvoltarea calculelor, este mai comod să se înlocuiască sistemul forțelor care acționează în punctele , prin două sisteme de forțe, de două ori mai mici ca intensitate care să acționeze unul simetric iar celălalt antisimetric în raport cu axa y1 a fâșiei de placă (fig. 2.6)
Dacă se notează prin amplitudinea săgeților plăcii din încărcarea simetrică și cu amplitudinea săgeților din încărcarea antisimetrică, ambele în raport cu axa y1 atunci vom avea:
;
; (2.102)
sau având în vedere expresia (2.100):
;
(2.103)
Acum trecem la examinarea fâșiei încastrată pe margini, încărcată cu aceleași forțe , care acționează simetric sau asimetric în raport cu axa y1.
Notând săgeata de deformație prin și considerând ca și mai înainte că înlocuind apoi în ecuația diferențială (2.92), se obține
, (2.105)
cu condițiile de margine corespunzătoare încastrării pe margini:
; (2.106)
Săgeata o putem considera ca alcătuită din două părți , adică din săgeata G găsită mai sus și din funcția W aleasă în așa fel încât să satisfacă ecuația diferențială:
, (2.107)
și de asemenea condițiile de margine:
(2.108)
Pentru încărcări și respectiv oscilații simetrice, funcția W(s) se poate exprima sub forma seriei:
, (2.109)
unde
(2.110)
Impunând soluției (2.109) satisfacerea condițiilor limită se obțin coeficienții:
; , (2.111)
unde:
, (2.112)
. (2.112)
În acest mod, suprafața – ținând seama de relațiile (2.102), (2.109) și (2.111) – va fi determinată de funcția:
(2.113)
, (2.114)
unde
(2.114)
Pentru încărcarea care acționează antisimetric în raport cu axa y1, funcția W(a) se poate lua sub forma seriei
, (2.115)
Constantele și se determină ca și mai sus, impunând soluției (2.115) satisfacerea condițiilor limită (2.108). Rezultă:
(2.116)
unde:
; (2.117)
.
În mod analog, ca și mai sus, ținând seama de relațiile (2.102), (2.115) și (2.117) suprafața va fi determinată de funcția:
, (2.118)
unde:
. (2.119)
Având determinate funcțiile suprafețelor deformate și se poate trece la rezolvarea propriu-zis a problemei oscilațiilor proprii ale plăcii. Presupunem, așa cum s-a menționat inițial, că pe fâșia de lungime infinită, de-a lungul dreptelor , acționează continuu sarcina repartizată pe intervalul . În acest caz, săgețile de deformare ale plăcii se pot exprima astfel:
(2.120)
Acum trebuie aleasă sarcina dintr-un astfel de calcul, încât de-a lungul dreptei y=0 să avem w(x,y,t)=0, respectiv să fie îndeplinită condiția
(2.121)
Ecuația obținută este o ecuație Fredholm de speța I. Ea exprimă condiția oscilațiilor proprii, sau – pentru , – condiția pierderii stabilității plăcii la încovoiere cu compresiune.
Pentru cazul încovoierii, respectiv oscilațiilor simetrice în raport cu axa y1, ecuația (2.121) se exprimă astfel:
(2.122)
Funcția dată de relația (2.114), care intră în expresia lui – conform (2.113) – se poate exprima de asemenea prin intermediul unei serii Faurier:
, (2.123)
unde:
(2.124)
Cu aceasta, ținând seama de relațiile (2.113) și (2.123) funcția ia forma:
, (2.126)
unde
Admițând că și funcția poate fi exprimată printr-o serie Fourier de următoarea formă:
, (2.127)
substituind apoi atât expresia lui , (2.127), cât și expresia lui , în ecuația integrală (2.122) și efectuând integrarea, se obține următorul sistem de ecuații:
(2.128)
Egalând cu zero determinantul acestui sistem de ecuații se obține ecuația caracteristică a frecvențelor oscilațiilor proprii ale plăcii dreptunghiulare, încastrată pe contur și comprimată cu forțele qx și qy pe laturi.
În cazul , din ecuația obținută se găsește valoarea critică a sarcinii pentru care este posibilă pierderea stabilității plăcii.
Având în vedere rapida convergență a seriei , este suficient a limita calculul numai la primii termeni și sumei indicate care intră în compunerea sistemului de ecuații (2.128).
În cazul oscilațiilor, respectiv încovoierii antisimetrice în raport cu axa y1, ecuația integrală (2.124) primește următoarea expresie:
(2.129)
Procedând ca și pentru oscilațiile simetrice, adică exprimând funcția dată de relația (2.119) care intră în alcătuirea ecuației , (2.118) printr-o serie Fourier de forma:
, (2.130)
unde
, (2.131)
și înlocuind în expresia (2.119), rezultă ecuația suprafeței în următoarea formă:
(2.132)
unde =
Exprimând și funcția printr-o serie Fourier:
și substituind-o împreună cu (2.132) în ecuația integrală (2.129), se ajunge la următorul sistem de ecuații:
(2.133)
Alcătuind determinantul cu coeficienții acestui sistem de ecuații și agalându-l cu zero, se obține ecuația caracteristică a frecvențelor circulare ale oscilațiilor proprii, ale plăcii dreptunghiulare încastrată pe contur (x1= a/2, y=0,2b) și comprimată de forțele qx și qy pe laturi, pentru formele simetrice de oscilații, în raport cu axa y1=b și antisimetrice în raport cu dreapta x1=0.
Metoda de rezolvare expusă mai sus, după cum s-a văzut la un sistem nelimitat de ecuații în care coeficienții necunoscutelor au o convergență mai rapidă decât în alte metode.
Se ivește astfel posibilitatea determinării precise a frecvenței circulare ω, pentru orice număr de termeni în determinantul principal al ecuației caracteristice.
2.4.Concluzii generale privind oscilațiile plăcilor dreptunghiulare
Din cele tratate până acum se poate constata că fenomenul oscilațiilor proprii și forțate ale plăcilor dreptunghiulare, este un fenomen complex care depinde de mai mulți factori.
În cazul oscilațiilor proprii, pentru explicarea influenței diferiților factori asupra principalilor parametrii care caracterizează aceste oscilații (frecvență circulară, perioadă, eforturi etc.), este suficient a examina formulele obținute pentru cazul particular al plăcii dreptunghiulare simplu rezemate pe contur, acționată de un impuls uniform distribuit. Acesta, întrucât așa după cum s-a putut constata, pentru alte serii de probleme, structura formulelor se menține fără modificări esențiale.
Pe scurt, principalele concluzii ce se pot desprinde din analiza formulelor amintite (în comparație – unele din ele – cu cazul de acțiune statică a sarcinii) sunt următoarele:
Referitor la dimensiunile geometrice ale plăcii, pentru o placă dată, frecvența circulară a oscilațiilor proprii, este invers proporțională cu pătratul dimensiunilor plane și direct proporțională cu grosimea plăcii. Cât privește proprietățile materialului, frecvența circulară este direct proporțională cu rădăcina pătrată din modulul de elasticitate și invers proporțională cu rădăcina pătrată din densitatea materialului și cu coeficientul lui Poisson.
Dacă toate dimensiunile plăcii, inclusiv grosimea, cresc în aceeași proporție, perioada de oscilație crește cu dimensiunile liniare.
Săgeata maximă a plăcii Wmax , pentru primul mod de vibrație, variază direct proporțional cu pătratul dimensiunilor plane și invers proporțional cu pătratul grosimii plăcii. Totodată săgeata plăcii depinde direct proporțional de mărimea impulsului și coeficientul lui Poisson, și invers proporțional cu rădăcina pătrată din modulul de elasticitate și densitatea materialului.
Menținând constante înălțimea h și intensitatea impulsului, dacă se înmulțesc lungimile laturilor a și b ale plăcii dreptunghiulare, cu unul și același număr arbitrar n, atunci săgeata se înmulțește cu n2, în timp ce pentru acțiunea statică a sarcinii uniform distribuite, ea se înmulțește cu n4. Constatăm deci, că la acțiunea impulsului, mărirea deschiderii plăcii atrage după sine o creștere mult mai mică a săgeții, decât la acțiunea statică a sarcinii .
Se mai desprinde din cele de mai sus, că pentru una și aceiași intensitate a impulsului p și unul și același contur al plăcii, săgețile sunt invers proporționale cu mărimea ; pentru acțiunea statică, ele sunt invers proporționale cu mărimea Eh3. Prin urmare, o importantă modificare a rigidității statice a plăcii, atrage după sine o relativ mai mică modificare a rigidității sale dinamice.
S-a arătat de asemenea, că pentru alte condiții similare, săgeata plăcii este invers proporțională cu mărimea . Rezultă că sporirea masei plăcii, sau așezarea pe ea a diverse sarcini, în aceleași condiții egale, scade săgeata provocată de impuls.
Momentele încovoietoare nu sunt influențate în mare măsură de dimensiunile plane a și b, ale plăcii, deoarece ele depind de raportul sau ; de grosimea h a plăcii, ele depind direct proporțional. Totodată, momentele încovoietoare variază direct proporțional cu intensitatea impulsului p, cu rădăcina pătrată a modului de elasticitate E și invers proporțional cu rădăcina pătrată a densității.
Din analiza expresiilor momentelor încovoietoare, se mai desprinde ideia că aceste momente rămân nemodificate, când pentru una și aceiași intensitate a impulsului p și pentru o grosime constantă h, laturile a și b ale plăcii, se modifică de un același număr de ori, adică, când conturul plăcii se modifică, păstrându-se asemănarea geometrică. De aici se trage concluzia că, spre deosebire de cazul încărcării statice, sporirea dimensiunilor liniare ale conturului plăcii, poate să nu provoace creșterea valorii momentelor încovoietoare. Rezultă că, în acele cazuri când sarcina statică este nu prea mare, încărcarea de bază constituind-o impulsul distribuit, nu este justificată evitarea deschiderilor mari.
Creșterea înălțimii h și a modulului de elasticitate E, ducând la sporirea rigidității statice a plăcii, sporește în același timp și momentele încovoietoare care sunt proporționale cu mărimea . Mărimea valorii numerice a densității specifice , micșorează momentele încovoietoare.
Eforturile unitare au, în general, aceeași lege de variație ca a momentelor încovoietoare. Astfel, pentru o intensitate dată a impulsului distribuit, mărirea proporțională a laturilor conturului nu influențează asupra eforturilor unitare normale. Totodată, eforturile unitare sunt invers proporționale cu înălțimea h a plăcii, invers proporțională cu mărimea , și direct proporționale cu .
Capitolul III
3.Plăci cu alte forme geometrice plane
Atât în construcții cât și în tehnică în general, se folosesc și alte forme de plăci decât cele dreptunghiulare. Dintre, acestea, o tratare mai completă în literatura de specialitate, o au plăcile circulare.
În prezentul capitol se tratează plăcile în formă circulară și de elipsă și plăcile de formă oarecare.
Pentru plăcile de formă circulară, studiul matematic se efectuează cu ajutorul funcțiilor Bessel (făcându-se mai mult o sintetizare a ceea ce există deja în literatură și o aplicare practică a teoriilor funcțiilor Bessel), iar pentru plăcile în formă de elipsă – folosindu-se funcțiile de variabilă complexă, se ajunge la ecuația diferențială a lui Mathieu a cărei teorie este cunoscută. Tratarea matematică a plăcii în formă de elipsă, așa cum este efectuată în cele ce urmează, constituie, de asemenea, o aplicare concretă a teoriilor matematice la calculul plăcilor, lucru inexistent pentru acest caz în literatura de specialitate.
În sfârșit, tot în acest capitol, se tratează un caz general de placă în formă oarecare, solicitată de un impuls provocat de explozia unei încărcături concentrate. Acest mod de solicitare este specific acțiunii exploziilor asupra elementelor plane ale construcțiilor.
Pentru acest caz, s-a ales funcția care să exprime legea de variație a presiunii ce solicită placa și cu ajutorul metodelor operaționale, s-a calculat placa în detaliu, ajungându-se la expresiile concrete ale deplasărilor și eforturilor.
3.1. Plăci circulare
3.1.1 Probleme generale
Examinarea diverselor probleme legate de placa circulară se face mult mai comod, trecându-se de la coordonatele carteziene la cele polare. Fără a intra în amănunte, amintim direct ecuațiile care ne interesează.
Astfel ecuația diferențială de oscilație a plăcii circulare, în coordonate polare, are forma:
(3.1)
unde operatorul Laplace are semnificația:
(3.2)
De asemenea, expresiile eforturilor secționale, respectiv relațiile dintre componentele tensorului de încovoiere și ale tensorului de deformație, au forma:
;
; (3.3)
Pentru forțele tăietoare, expresiile sunt următoarele:
; (3.4)
și pe contur:
(3.5)
3.1.2. Oscilațiile proprii ale plăcii circulare
În cazul oscilațiilor proprii, în funcția care reprezintă forța
, (3.6)
deoarece solicitarea exterioară este nulă rămâne numai termenul care se referă la forțele de inerție. Cu această observație, ecuația diferențială de oscilație a plăcii, va lua forma:
(3.7)
Se va urmări în continuare să se găsească pentru ce valori ale frecvenței circulare și pentru ce formă de oscilație ale plăcii se va realiza oscilația armonică.
Pentru aceasta se recurge ca și în cazurile precedente la a căuta soluția particulară a ecuației diferențiale (3.7) sub forma produsului a două funcții
(3.8)
în care una depinde numai de coordonatele polare r și , iar alta numai de timp.
Alegând pentru funcția T(t) o expresie de forma
(3.9)
sau, ținând seama de relațiile lui Euler
(3.10)
soluția particulară (3.17), devine:
(3.11)
Introducând această expresie în ecuația diferențială (3.7) se obține:
(3.12)
sau notând:
(3.13)
rezultă:
(3.14)
unde – operatorul lui Laplace – are semnificația dată de expresia (3.2).
Ecuația diferențială (3.14) se poate scrie în formă simbolică astfel:
(3.15)
Soluțiile fiecărei ecuații componente:
(3.16)
(3.17)
vor fi soluțiile ecuației inițiale (3.14)
Ecuația
(3.18)
are ca soluție o funcție de forma
, (3.19)
iar ecuației
(3.20)
îi corespunde o soluție de forma
(3.21)
unde și sunt funcții Bessel de speța întâi, iar și – funcții Bessel de speța doua.
Folosind notațiile simplificate pentru combinațiile lineare între funcțiile și , [1]:
(3.22)
și
vom putea scrie funcțiile W1 și W2 sub formă simplificată astfel:
, (3.23)
și
, (3.24)
Soluția generală a ecuației (3.14) va fi:
(3.25)
Funcțiile Bessel de speța a doua, și au sens numai în cazul plăcilor inelare, fiind legate de existența unui orificiu în centrul plăcii. Cum obiectul cercetării de față îl constituie placa circulară, fără orificiu, vom lua B=D=0, pentru a exclude funcțiile și din soluțiile obținute.
Întrucât funcția are argument imaginar, se poate trece prin relația [1]:
(3.26)
la funcția lui Bessel de prima speță modificată cu argument real.
Cu aceste observații și folosind relațiile de recurență între funcțiile Bessel, se ajunge la următoarea soluție a ecuației (3.14):
(3.27)
3.1.2. a) Placă circulară încastrată pe contur
În cazul plăcii circulare cu conturul încastrat, condițiile la limită, pentru r=a, sunt:
și (3.28)
Punând prima condiție soluției (3.27) rezultă
(3.29)
A doua condiție (3.28), impusă soluției (3.27), duce la ecuația:
sau înlocuind pe B1 cu valoarea rezultată din satisfacerea primei condiții limită:
Rezultă ecuația transcendentă:
(3.30)
Dacă se introduce notația
, (3.31)
se obține din ecuația transcendentă (3.30), cu ajutorul tabelelor numerice ale funcțiilor Bessel din [1], următorul șir al valorilor :
(3.32)
Se constată că
Ținând seama de notația (3.20)
rezultă, conform (3.31), următoarea relație pentru frecvența circulară a oscilațiilor proprii:
(3.33)
Frecvențele diverselor forme ale oscilațiilor proprii, corespunzătoare șirului valorilor , vor fi:
și așa mai departe.
Formele oscilațiilor proprii ale plăcii circulare se determină cu ecuația (3.28) în care se înlocuiește coeficientul B1 cu valoare rezultă din satisfacerea primei condiții limită. Rezultă:
(3.34)
Ecuația completă a oscilațiilor proprii ale plăcii circulare, încastrată pe contur, va fi conform (3.17):
(3.35)
Din cele tratate mai sus se constată că anumite puncte ale plăcii au – în timpul oscilațiilor – deplasare nulă. Locul geometric al punctelor suprafeței mediane a plăcii pentru care deplasarea este mereu nulă, se numește linie nodală. Acestea sunt de două feluri:
linii nodale diametrale, date de ; acestea sunt date de diametrele care împart cercul plăcii în 2m sectoare, cu unghiul la vârf (fig. 3.3);
linii nodale circulare, sunt circumferințe concentrice, ale căror raze sunt date de relația , (fig. 3.4). În mod obligatoriu, conturul plăcii (r=a) este una din aceste linii nodale.
Fig.3.3 Fig.3.4
În fig. 3.5 se arată unele forme ale oscilaților proprii ale plăcii circulare.
n=1 n=2 n=1 n=1
m=0 m=0 m=1 m=2
Fig.3.5
3.1.2.b) Placa simplu rezemată pe contur
În acest caz, condițiile la limită, pentru r = a, sunt și
Este necesar acum, conform primei relații din grupul (3.12) a calcula derivatele , și , pentru funcția luând soluția (3.28).
Această cale este mult prea dificilă datorită existenței funcțiilor Bessel și în soluția (3.28). De aceea, nu insistăm asupra rezolvării de detaliu, ci vom da direct formula de calcul pentru pulsația oscilațiilor proprii, formulă indicată în lucrarea sub forma:
(3.36)
Valorile coeficientului se dau, în funcție de m – numărul de cercuri modale și n – numărul de diametre modale, în următoarea tabelă:
Tabela nr. 5
În cadrul capitolului “Metode aproximative” se va da o dezvoltare mai mare acestui caz de rezemare a plăcii circulare, examinându-se concret și starea de eforturi pentru diverse încărcări.
3.1.3. Oscilațiile armonice forțate ale plăcilor circulare.
Vom examina în continuare, oscilațiile armonice forțate ale plăcilor circulare, simplu rezemate pe contur, limitându-ne însă la oscilațiile axial-simetrice.
În acest caz, considerând că forța perturbatoare este distribuită pe placă după legea:
, (3.37)
ecuația diferențială de oscilație a plăcii este o ecuație cu parte dreaptă și anume:
(3.38)
unde datorită faptului că oscilațiile sunt axial-simetrice, adică depind numai de r și nu de , laplacianul are următoarea formă:
(3.39)
Pentru placa simplu rezemată pe contur, condițiile la limită sunt și
sau (3.40)
Pentru simplificarea rezolvării problemei, transformăm cea de a doua condiție astfel:
(3.41)
Acest lucru influențează foarte puțin asupra rezultatelor finale erorile fiind în limita celor admise în calculele practice.
Dacă luăm
(3.42)
și ținem seama și de expresia încărcării (3.37) înlocuind în ecuația diferențială (3.38), se obține o ecuație diferențială simplă, de forma:
, (3.43)
Pentru a afla soluția acestei ecuații este necesar a folosi transformarea Hankel [1], atât pentru deplasări cât și pentru încărcare, adică:
(3.44)
unde reprezintă un parametru, deocamdată necunoscut.
Pentru calculele ce vor urma, să înmulțim laplacianul funcției w cu și să efectuăm integrala acestui produs prin părți:
(3.45)
Dacă , evident – pentru limita superioară, expresia din parantezele mari dispare, iar pentru limita inferioară, dacă r=0, întreaga expresie este de asemenea nulă. Așadar, rezultă că parametrul trebuie să satisfacă ecuația transcendentă:
(3.46)
Rămâne deci că integrala (3.45) era egală cu:
(3.47)
Dar, ținând seama de prima din relațiile (3.44), evident că:
(3.48)
De asemenea, ne convingem ușor că:
(3.49)
Acum putem ușor efectua integrarea ecuației diferențiale (3.43), obținând relația:
(3.50)
Efectuând transformarea finală inversă Hankel, se obține expresia:
(3.51)
sau, având în vedere (3.50), rezultă:
(3.52)
Substituind acum, prin expresia sa din (3.44) se obține în final, următoarea formulă pentru funcția deplasărilor plăcii:
(3.53)
Având în vedere notațiile
și , (3.54)
Rezultă că atunci când valoarea pulsației forței perturbatoare tinde către valorile pulsațiilor oscilațiilor proprii , săgețile cresc nelimitat, deci are loc fenomenul de rezonanță.
3.1.4.Concluzii asupra vibrațiilor plăcilor circulare.
Din cele tratate anterior se constată că în cazul plăcilor circulare, datorită posibilităților de tratare matematică a problemei prin coordonate polare, se obțin soluții exacte cu funcții Bessel, care duc în final la o serie de ecuații transcendente ce se pot rezolva relativ ușor, dată fiind existența tabelelor numerice ale acestor funcții.
Analizând formulele obținute, se pot desprinde următoarele aspecte:
– pulsația oscilațiilor proprii este invers proporțională cu pătratul razei plăcii, direct proporțională cu rădăcina pătrată a rigidității acesteia și invers proporțională cu rădăcina pătrată a grosimii și densității materialului plăcii;
– liniile nodale, au în cazul plăcilor circulare, două direcții bine definite: radiale și circulare;
– în cazul oscilațiilor forțate, formula obținută pentru deplasări scoate clar în evidență fenomenul de rezonanță; atunci când pulsația forței perturbatoare tinde către pulsația oscilațiilor proprii , numitorul expresiei deplasărilor (3.53) tinde către zero și deci valoarea deplasării crește nelimitat. Aceasta – de subliniat – neluând în considerare efectul amortizării.
3.2. Placa în formă de elipsă
Ecuația diferențială și soluția acesteia, în cazul oscilațiilor proprii ale plăcii în formă de elipsă, se obțin relativ ușor dacă în locul coordonatelor carteziene x și y se introduc coordonatele elipsei η și obținute din teoria funcțiilor de variabilă complexă din expresia:
X+iY=αch(η+i) (3.55)
Dezvoltând partea dreaptă a acestei expresii, se obține relația:
X=iY=α(chη chi +shη shi) (3.56)
sau, ținând seama că:
ch i=cos și sh i=i sin (3.57)
rezultă relația:
X+iY= α(chη cos +ishη sin) (3.58)
Din relațiile (3.55) și (3.58) rezultă că coordonatele carteziene sunt legate de coordonatele eliptice din expresiile:
X= α(chη cos)
Y=α(shη sin) (3.59)
unde α2 =a2 – b2 (3.60)
a și b fiind semiaxele elipsei:
Dacă η= constant, ecuația elipsei focale va fi:
(3.61)
Pentru conturul plăcii, punând 0 va trebui ca :
=0 (3.62)
Va trebui acum ca să exprimăm ecuația diferențială de oscilații a plăcii:
ΔΔw(x,y,t) + (3.63)
sub o formă nouă funcție de coordonatele eliptice și
Pentru aceasta luăm expresia ecuației diferențiale sub forma (3.14):
ΔΔw- λ4w=0 (3.64)
Unde w=w(x,y). Mai departe, în loc de (3.64), putem scrie:
(3.65)
sau
(3.65’)
Se știe [1] că dacă se consideră un sistem de coordonate curbilinii ortogonale, astfel ca elementul de lungime să fie
1 , (3.66)
laplacianul se va scrie:
(3.67)
Unde e1 și e2 sunt unitățile locale de lungime. În cazul nostru, ținând seama de relațiile (3.59), elementul de lungime va fi:
, (3.68)
iar laplacianul va fi:
(3.69)
unde
; (3.70)
Folosind expresiile (3.59) să calculăm unitățile locale de lungime.
Vom avea:
;
;
;
; (3.71)
Înlocuind în (3.70), rezultă:
(3.72)
Să transformăm puțin aceste formule.
Pentru avem:
(3.73)
În mod analog, pentru
(3.74)
Așadar, comparând (3.73) cu (3.74) rezultă că :
(3.75)
Revenind acum la laplacianul Δw, acesta se va exprima sub forma :
Δw= ] (3.76)
Atunci, conform (3.69), ecuația diferențială a plăcii eliptice va fi:
(3.77)
Uneori, este mai comod, ținând seama că
a exprima ecuația plăcii eliptice sub forma:
[] (3.77’)
Ecuația (3.77) sau (3.77’) se numește ecuația diferențială a lui Mathieu a cărei teorie este cunoscută. Soluția acestei ecuații va fi funcția periodică Mathieu care va satisface condițiiloe la limită impuse pe conturul plăcii eliptice.
Valoarea pulsației oscilațiilor proprii ale plăcilor eliptice va fi:
ω= (3.78)
unde
(3.79)
Aceste formule sunt variabile conform teoriei ecuației lui Mathieu pentru q minim, unde q= (3.80)
Este necesar a se menționa că soluția obținută este o funcție periodică de perioadă 2π.
3.3.Placa de formă oarecare, solicitată de un impuls provocat de explozia unei încărcături concentrate
Lucrările de fortificații sunt calculate la acțiunea unui impuls provocat de explozia unei încărcături concentrate de exploziv, solicitare considerată ca cea mai posibilă pentru elementele constructive ale acestor tipuri de lucrări. În practică însă, calculele sunt aproximative și mult acoperitoare, necesitând o teorie exactă a acestei probleme.
În cele ce vor urma se va examina placa (elementul constructiv de bază al lucrărilor sus-amintite) de formă oarecare solicitată de un astfel de impuls, se alege, ca lege de distribuție a impulsului, funcția:
(3.81)
în care:
p0 este intensitatea maximă a impulsului, în epicentrul exploziei (la r=0);
r – distanța de la epicentrul exploziei și până la un punct curent unde se calculează intensitatea impulsului p(r);
R – raza unui cerc convențional.
Se constată ușor că funcția aleasă caracterizează corect distribuția impulsului pe suprafața plăcii, la explozia unei încărcături concentrate de exploziv situată deasupra acesteia, în sensul că pentru r=0 (în epicentrul exploziei) impulsul este maxim (p0), iar pe măsură ce distanța r de epicentru crește, intensitatea impulsului scade, ajungând ca pentru valori mari ale lui r impulsul specific p(r) să tindă către zero.
Se admite totodată că încărcătura care acționează asupra plăcii are un centru de simetrie (plană) și că placa are dimensiuni care depășesc domeniul de aplicare a sarcinii. În acest caz condițiile de margine nu mai pot fi folosite și deci nu contează modul de rezemare a plăcii pe contur. Totodată, deformațiile plăcii vor fi, și ele simetrice în raport cu centrul de simetrie a sarcinii, lucru ce permite exprimarea lor în funcție de o singură variabilă independentă și anume distanța r de la centrul de simetrie.
Pentru rezolvarea problemei propuse, se pornește de la soluția particulară (2.9) a ecuației diferențiale (2.8), care se exprimă sub forma produsului a două funcții:
,
În care prima depinde de variabilele x și y iar a doua de timpul t.
Prin substituirea acesteia soluții în ecuația diferențială se ajunsese la separarea variabilelor sub forma:
sau, ceea ce este același lucru:
; (3.82)
, (3.83)
unde
; (3.84)
celelalte notații fiind cunoscute.
Întrucât pentru ecuația (3.82) nu mai dispunem de condiții limită, se caută rezolvarea ei pe altă cale, și anume în locul ei se rezolvă ecuația:
(3.85)
care este o formă redusă a sa.
Să demonstrăm acest lucru.
Aplicând operatorul Laplace ultimei ecuații, se obține:
în care substituind acum pe cu valoarea sa rezultată din (3.85), se găsește:
,
deci ecuația diferențială inițială.
În ceea ce privește ecuația (3.83), dintre soluțiile sale posibile o alegem pe aceea care satisface prima din condițiile inițiale (2.4). Aceasta poate fi de forma:
(3.86)
care pentru t=0 dă T(t)=0 și deci w(x,y,t)=0.
Înlocuind expresia (3.86) în ecuația (3.83) se obține:
de unde rezultă
În acest fel, în conformitate cu cele de mai sus, se obține soluția particulară a ecuației diferențiale de vibrație a plăcii sub forma:
(3.87)
care verifică prima din ecuațiile inițiale (2.4) (pentru t=0, w=0).
Deoarece ecuația diferențială amintită este liniară, atunci orice soluție a sa se poate înmulți cu un factor arbitrar, care să nu depindă de necunoscutele de bază (variabilele x,y și t). Mai mult decât atât, suma numerelor arbitrare ale soluției particulare de asemenea, constituie o soluție a ecuației diferențiale. În baza acestor considerații, pentru trecerea de la soluția particulară găsită (3.87) la soluția generală, se poate multiplica expresia (3.87) cu o funcție arbitrară și integra rezultatul, în raport cu , între limitele 0 și .
Va rezulta deci:
(3.88)
Funcția arbitrară f() se va putea alege astfel încât să satisfacă a doua condiție inițiată (2.4). Pentru aceasta e necesar în prealabil să se determine viteza plăcii la un moment dat. Derivând (3.88) se obține:
care la momentul inițial t=0, devine:
Punând a 2-a condiție din (2.4) se obține următoarea ecuație din care se poate determina funcția
(3.89)
Aceasta este o ecuație integrală și în cele ce vor urma vom determina condițiile în care să se poată rezolva mai convenabil.
În primul rând, pe baza proprietăților de simetrie a sarcinii și deformațiilor, arătate mai sus, se poate considera că funcția W(x,y) care reprezintă suprafața elastică a plăcii, este în realitate o funcție de o singură variabilă independentă W(r).
În acest mod ecuația (3.85) se poate transforma într-o ecuație cu coordonate polare, unde pentru cazul studiat:
; (a)
Pentru a calcula laplacianul funcției W, care intră în ecuația (3.85), aceasta se consideră ca o funcție de funcție, respectiv funcție de coordonatele x și y prin intermediul razei r.
Diferențialele directe ale funcției r sunt:
și , (b)
sau
; (c)
Derivatele parțiale ale funcției W vor fi:
și
,
sau, conform cu (c):
,
și la fel
În acestea relații, W’ și W” înseamnă derivatele funcției W în raport cu r, ca o funcție a unei variabile independente.
Adunând ambele diferențiale se obține:
,
sau, conform (a):
Substituind acum valoarea lui în ecuația (3.85) aceasta ia forma:
, (3.90)
sau ținând seama că W=W(r):
(3.91`)
Aceasta este o ecuație diferențială de tip Bessel [1], care sub formă canonică obișnuită se prezintă astfel:
Făcând în aceasta , se obține o ecuație diferențială asemănătoare cu (3.91`).
Soluția ecuației diferențiale (3.91`), care pe toată suprafața plăcii este finită iar la devine zero, este – conform teoriei funcțiilor Bessel – o funcție Bessel de speța întâi și de ordinul zero, deoarece . Conform [1] această soluție are forma:
(3.92)
Să verificăm dacă această soluție verifică ecuația diferențială (3.91). Este necesar pentru aceasta a calcula derivatele și a schimba limitele cu :
și
Înmulțind prima expresie cu și adunând-o cu a doua, va trebui – conform (3.91`) – să se obțină valoarea – .
Avem deci:
Trecând acum la vechile limite , e necesar a lua în locul lui j valoarea j+1 și deci va rezulta:
Luând în considerare (3.92), se obține ecuația (3.91)
,
ceea ce trebuia demonstrat.
Așadar, în cazul simetriei ecuația (3.85) are soluție și prin urmare integrala generală (3.88) poate fi scrisă sub următoarea formă:
(3.93)
În mod analog substituind și în ecuația de condiție (3.89), , se obține:
, (3.94)
o ecuație integrală din care se poate determina funcția .
Soluția generală a ecuației integrale (3.94) este cunoscută din teoria funcțiilor cilindrice. În cazul de față ea se poate determina ușor folosind o transformare simetrică, respectiv luând în locul funcției o nouă funcție
Cu aceasta, ecuația integrală (3.94) ia forma:
Pentru această formă, soluția este [1], :
,
sau revenind la funcția :
(3.95)
În acest mod, rezolvarea problemei propuse s-a redus la rezolvarea succesivă a ecuațiilor (3.95) și (3.93) cu funcții cunoscute.
Pentru a ajunge la un rezultat definitiv este însă necesar a pregăti unele formula ajutătoare.
În cazul ce se examinează, când pentru distribuția impulsului P(r) s-a ales legea exprimată prin funcția
, (3.96)
ecuațiile (3.93) și (3.95) se pot transforma în funcții elementare. În acest scop să studiem transformarea următoarei integrale:
(3.97)
substituind sub integrală funcția Bessel J0(z) prin expresia sa dată în [1]. Conform (3.92) avem:
Scoțând de sub semnul integralei factorii ce nu depind de variabila z, se obține:
Introducând acum noua variabilă
; ,
rezultă:
(3.98)
Integrala obținută în expresia (3.98) se rezolvă relativ ușor, deoarece se poate scrie sub forma:
unde s-a făcut substituirea .
Ultima integrală a fost calculată de Fuler [34] prin integrarea prin părți și s-a găsit că:
(3.99)
La același rezultat se poate însă ajunge și pe altă cale. Astfel, din teoria funcțiilor speciale se știe că funcția lui Euler , pentru orice număr n finit, se bucură de proprietatea [49]:
(a)
În afară de aceasta, oricare ar fi numărul natural n, funcția are și proprietatea: (b)
Pe de altă parte, în cursurile de analiză matematică se arată că pentru z>0, integrala improprie
(c)
este convergentă și are proprietatea că
(d)
Această egalitate este similară cu (a).
Revenind la integrala (3.99), dacă j+1=z=n și , atunci în baza relațiilor de mai sus, se poate scrie:
Adică s-a obținut același rezultat ca în (3.99).
Pe baza expresiei (3.99), substituind valoarea integralei în (3.98) rezultă:
Din teoria șirurilor se știe că poate fi dezvoltat în serie sub forma [49]:
Se observă că prin substituția expresia lui I de mai sus, devine:
(3.100)
Cu ajutorul formulei (3.100) putem calcula funcția dată de (3.95).
În prealabil însă, să determinăm impulsul total H care acționează pe placă,folosindexpresia(3.96):
Așadar, valoarea impulsului total este egală cu produsul dintre impulsul specific maxim p0 și aria unui cerc convențional de rază R.
În unele cazuri se cunosc valorile impulsului total H și razei R a cercului echivalent, și deci se poate determina mărimea impulsului specific maxim p0.
(3.101)
Determinăm acum funcția dată de expresia (3.95), în care substituim mărimea impulsului specific prin valoarea sa găsită mai sus:
deci:
Ținând seama că și , avem mai departe:
Aplicând formula ajutătoare (3.100), pentru x=z și , ultima integrală dă:
și deci, substituind în expresia lui , rezultă:
, (3.102)
S-a obținut deci, pentru funcția , o expresie destul de simplă. Să verificăm că într-adevăr ea satisface ecuația integrală (3.94):
Substituind și folosind formula ajutătoare (3.100), rezultă:
adică exact valoarea dată de (3.96) și (3.101). Deci s-a verificat încă o dată că soluția ecuației integrale (3.94) este riguros exactă.
Substituind acum valoarea funcției în expresia săgeții dată de (3.93), se obține soluția problemei examinate sub următoarea formă:
, (3.103)
Aceasta este expresia generală a oscilațiilor plăcii solicitate de un impuls cu o distribuție caracteristică suflului unei explozii. Cu ajutorul ei se poate calcula săgeata plăcii în orice moment t, la o distanță r de epicentrul exploziei.
Pentru a rezolva însă integrala din expresia (3.103) este necesar a o aduce la forma care să admită aplicarea formulei ajutătoare (3.100).
În acest scop determinăm – prin diferențierea în raport cu timpul t a expresiei deplasărilor (3.103) – viteza u într-un punct oarecare al plăcii:
, (3.104)
Este necesar, totodată, a exprima suplimentar integrala:
Dacă înmulțim ultima integrală cu i și o adunăm cu prima, iar sub semnul integralei ținem seama că conform relațiilor lui Ruler pentru funcții complexe [49]:
atunci se obține:
Făcând acum schimbarea de variabile și ținând seama că și , rezultă:
S-a ajuns deci la o formă căreia i se poate aplica formula ajutătoare (3.100), luând :
Pentru simplificarea scrierii, se introduc următoarele notații ale funcțiilor de t ce intră în expresia de mai sus:
(3.105)
Cu aceasta, expresia sumei obținută mai înainte se reduce la forma:
Ultimul factor poate însă fi scris, sub formă dezvoltată, conform celei de-a doua relații a lui Ruler [49], astfel:
Substituind în expresia sumei de mai sus, se obține:
Separând acum partea reală de cea imaginară, rezultă expresia vitezei u:
(3.106)
S-a reușit astfel ca să se exprime viteza oscilațiilor plăcii prin funcții elementare. Aceasta permite să se exprime chiar câmpul vitezelor plăcii cu variația sa în decursul timpului, deoarece, pentru orice moment t, mărimile m0 și n0 au valori determinate în funcție de rigiditatea plăcii β și de raza convențională R care caracterizează distribuția impulsului.
Se observă că viteza are o variație periodică funcție de variabila r2. Lungimea de undă λu (distanța între două puncte consecutive care se află în aceeași fază de mișcare) se poate determina din relația:
sau:
(3.107)
Se constată, din analiza expresiei (3.107), că la distanțe mari de epicentrul exploziei, lungimea de undă se micșorează.
Amplitudinea variației vitezei (valoarea maximă) se poate determina direct din expresia (3.106), unde între parantezele mari avem două funcții sinusoidale [49] de aceeași pulsație. În acest caz amplitudinea sumei lor este dată de relația:
lucrul care poate fi ușor demonstrat dacă se reprezintă prin vectori cele trei amplitudini A, A1 și A2.
Pentru cazul examinat, va rezulta deci:
sau, ținând seama de relațiile (3.105):
(3.108)
Din analiza acestei relații se observă că amplitudinea vitezei scade rapid dacă distanța ar crește.
În cazul plăcii, sau mai bine spus în epicentrul exploziei, viteza se obține din expresia (3.106), făcând r=0. Având în vedere și (3.105), rezultă:
Integrând această expresie se va obține săgeata în centrul plăcii la un moment oarecare t:
(3.109)
Se constată că o dată cu creșterea timpului t săgeata crește și ea, ajungând la limită (pentru , respectiv ) să aibă valoarea maximă
(3.110)
De remarcat că săgeata maximă wmax, nu depinde de raza R a cercului convențional care caracterizează distribuția impulsului pe placă.
Pentru o apreciere mai exactă a stării de eforturi în placă, este necesar, ca în afara săgeții w, să se determine și eforturile maxime.
Acestea vor avea loc tot în centrul plăcii și din această cauză le vom determina direct, pornind de la derivatele parțiale și , care intră în expresiile momentelor, calculate pentru r=0. Aceasta deoarece din cauza simetriei – în centrul plăcii avem:
(3.111)
Este deci necesar a calcula numai derivata parțială , și aceasta se poate face plecând nu de la expresia săgeții (3.109) ci direct de la expresia vitezei u, (3.106).
Vom avea:
și, în mod analog, derivând încă o dată:
În centrul plăcii, pentru r=0, rezultă:
unde s-au înlocuit mărimile n0 și m0 cu valorile lor date de (3.105).
Derivata de ordinul II a săgeții, se poate acum calcula ușor, având în vedere că:
și deci
În concret, pentru centrul plăcii, avem:
(3.112)
La această expresie simplă s-a ajuns printr-un artificiu de calcul, în ideea de a obține sub integrală derivată unei expresii concentrate, așa cum vede mai sus.
Expresiile momentelor încovoietoare și de torsiune [formulele (1.9)] sunt:
;
Pe baza condițiilor (3.111), aceste expresii devin:
și
Substituind acum, conform (3.84):
se obține:
; (3.113)
Din analiza expresiilor (3.111) se constată că momentele încovoietoare și de răsucire se modifică în decursul timpului t. Astfel, în momentul inițial (la t=0) și în stadiul final al procesului de oscilație (la t∞), momentele încovoietoare și de torsiune devin nule.
Pentru a găsi valoarea maximă a momentului încovoietor, derivăm expresiile (3.113) în raport cu timpul și din anularea lor rezultă momentul când eforturile devin maxime.
Vom avea:
(3.114)
Substituind valoarea găsită în expresiile (3.113), rezultă:
(3.115)
Se constată că derivarea lui în raport cu timpul dă aceeași valoare (3.114).
Deci (3.115’)
Din analiza expresiilor (3.115) ale momentelor, se deduce ușor că acestea depind de suprafața pe care este distribuit impulsul (aria a cercului convențional).
Dacă se ia în considerare impulsul specific maxim în centrul plăcii (p0), atunci – conform (3.101) – expresiile momentelor vor deveni:
(3.116)
S-a studiat până acum starea de eforturi și de deformație a plăcii, reușindu-se să se obțină formule relativ simple cu domeniu de aplicare foarte larg.
Dacă în afară de aceasta, intersectează și fenomenul de oscilație în sine, cu parametrii săi, atunci studiul trebuie reluat de la ecuația diferențială (3.85), urmându-se aceeași cale ca și în capitolul 2.
Capitolul IV
Metode aproximative
folosite la studiul oscilațiilor proprii ale plăcilor.
4.1. Probleme generale
Date fiind dificultățile de ordin matematic care, așa cum s-a putut constata anterior, intervin la rezolvarea ecuațiilor diferențiale, sau a ecuațiilor caracteristice din care rezultă valorile frecvențelor circulare ale oscilațiilor proprii, s-au imaginat de către diverși cercetători o serie de metode aproximative, servind în special la determinarea pulsației fundamentale a sistemului oscilant.
Utilizarea metodelor aproximative, sau a unor formulări directe pentru stabilirea pulsațiilor oscilațiilor proprii este justificată pe de o parte din motive de economie de timp, volumul calculelor reducându-se considerabil, iar pe de altă parte, din însăși faptul că metodele exacte tratate până acum au și ele un grad oarecare de aproximare, fie din cauza ipotezelor admise, fie datorită unor simplificări matematice acceptate pe parcursul rezolvării concrete a fiecărei probleme în parte.
Între metodele aproximative un loc important îl ocupă așa-zisele metode energetice bazate pe considerente de conservare a energiei. Dintre acestea, cele mai folosite sunt metoda Rayleigh și metoda Ritz. În cele ce vor urma, în afară de acestea, se va folosi, în unele cazuri, și metoda Galiorkin.
Metoda Rayleigh este una dintre cele mai cunoscute metode aproximative, bazate pe principiul conservării energiei. Aplicarea ei dă rezultate bune, în special pentru determinarea frecvenței fundamentale de oscilație.
Metoda Ritz, deși comportă calculul unor integrale ceva mai complicate, totuși este o metodă practică, prezentând avantajul de a oferi posibilitatea obținerii, în același timp, nu numai a frecvenței circulare fundamentale ci și a câtorva armonice superioare.
Metoda Galiorkin constituie o generalitate a metodelor energetice, utilizând calculul variațional.
Detalii asupra metodelor aproximative, privind conținutul și modul lor de aplicare (în special la bare), se găsesc în lucrările [5] și [10].
În continuare, se vor aplica metodele aproximative amintite mai sus, la examinarea oscilațiilor proprii ale unor plăci de forme diferite și cu condiții variate de rezemare pe contur.
Se vor studia atât aspectele legate de determinarea frecvențelor circulare ale oscilațiilor proprii, cât și cele referitoare la deformații și eforturi.
Față de problemele existente în literatura de specialitate, și care sunt sintetizate în cele spuse până acum, în prezentul capitol se tratează, prin aplicarea metodelor aproximative de formă dreptunghiulară și circulară solicitate de sarcini specifice celor rezultate din explozii (cu variație descrescătoare de la centrul plăcii către margini).
În plus s-au căutat și aplicat unele expresii matematice simple pentru suprafețele elastice deformate, expresii care s-au pretat la calcule matematice relativ simple pentru determinarea frecvenței circulare fundamentale a oscilațiilor . Datorită acestui fapt, în unele cazuri, calculele au fost duse până la valori numerice, pentru a ilustra mai în detaliu ordinul de mărime și aproximările rezultate.
4.2. Placa dreptunghiulară, de laturi 2a și 2b încastrată pe contur.
Se vor examina acele plăci dreptunghiulare sau pătrate, care – ca și în sistemele cu un număr infinit de grade de libertate – pot să se rezolve prin serii, așa cum s-a procedat la metodele exacte.
Rezolvările aproximative care vor urma se vor baza pe schema de calcul a sistemelor cu un singur grad de libertate.
Forma de oscilație (deformata elastică a suprafeței mediane) a plăcii se va alege, după posibilități, cât mai simplă posibil, deoarece – așa după cum se știe – aceasta nu duce la erori mari în ceea ce privește frecvența circulară fundamentală.
În unele din cazurile ce vor urma, vom putea folosind următoarea ecuație a suprafeței elastice:
(4.1)
care, pentru oscilațiile simetrice – simetrice în raport cu ambele axe ale plăcii (sistemul de coordonate având originea în centrul plăcii), satisface condițiile limită referitoare la deformații:
; , pentru x= – a, a;
; , pentru y= – b, b;
În expresia (4.1), W0 este săgeata în centrul plăcii, iar a și b semilaturile plăcii.
Pentru a studia aspectele legate de frecvența circulară a oscilațiilor proprii, respectiv pentru a putea aplica relațiile:
(4.2)
sau
(4.2’)
Pentru determinarea pulsație, este necesar în prealabil a calcula energiile potențială și cinetică ale plăcii care se află în stare de oscilație armonică.
Fără a intra în amănunte, ci sintetizând numai ceea ce există în literatura de specialitate referitor la această problemă, se indică pe scurt modul de calcul al acestor energii.
Considerând un element de placă ABCD (fig. 4.1), de laturi dx și dy, și acționat de momentele Mx, My și Mxy, se pot scrie expresiile rotirilor relative ale fețelor sale, funcție de momentele încovoietoare:
;
.
Fig.4.1
și, în mod analog, deplasările unghiulare relative funcție de momentele de răsucire:
;
.
Având momentele și deformațiile corespunzătoare, conform teoremei lui Clapeyrin, energia potențială totală a elementului de placă va fi:
(4.3)
Substituind în această relație, expresiile momentelor funcție de deplasare [relațiile(2.2)] și integrând, rezultă pentru întreaga placă:
(4.4)
De remarcat că în această formulă, expresiile din parantezele mari sunt invarianți pentru orice schimbare a originii sistemului de coordonate rectangulare.
De asemenea, pentru placa încastrată pe contur (săgețile pe contur fiind nule) al doilea termen din cadrul parantezelor mari este nul și deci expresia energiei potențiale are forma simplă:
(4.4’)
Dacă pe placă ar acționa o încărcare statică q(x,y), distribuită pe suprafața plăcii după o lege oarecare dată, pentru care forma suprafeței elastice să nu difere prea mult de w(x,y), considerată mai sus, atunci săgeata w0 în centrul plăcii se poate determina din ecuația de lucru mecanic:
(4.5)
Considerând că placa efectuează oscilații proprii la fel ca și un sistem cu un grad de libertate, cu frecvența circulară , energia cinetică maximă, în momentul când toate punctele ei au viteze maxime (respectiv deplasări nule), se exprimă astfel:
(4.6)
Având determinate energiile potențială și cinetică, maxime, cu ajutorul relației (4.2”) se poate calcula frecvența circulară a oscilațiilor proprii ale plăcii. (Săgeata w0 la mijlocul plăcii, nu intră în formula frecvenței, simplificându-se).
Pentru un impuls oarecare, de intensitate p(x,y), deplasările maxime care îi corespund, se pot calcula la fel ca în cazul acțiunii statice a forțelor, dar pentru o sarcină statică echivalentă:
(4.7)
Aceasta este, în linii generale, modul de calcul al plăcii, la acțiunea impulsului, când aceasta se poate considera ca un sistem cu un singur grad de libertate.
În cazul concret al plăcii dreptunghiulare, cu conturul încastrat, luând pentru forma suprafeței elastice deformate ecuația (4.1) și folosind pentru determinarea energiilor ecuațiile (4.4’) și (4.6), rezultă:
, (4.8)
și
(4.9)
Valoarea frecvenței circulare a oscilațiilor proprii, va fi:
(4.10)
În aceste relații s-a notat cu raportul :
(4.11)
Pentru placa pătrată, și deci:
(4.12)
Având în vedere relația dintre perioada de vibrație și frecvența circulară:
și totodată ținând seamă de expresia frecvenței și (4.12), se pot trage unele concluzii referitoare la oscilațiile proprii ale plăcii pătrate, cu marginile libere:
-perioada oscilațiilor proprii, pentru fiecare nod în parte, variază direct proporțional cu pătratul laturii plăcii, pentru o grosime constantă a sa;
-dacă toate dimensiunile plăcii (inclusiv grosimea) cresc în aceeași proporție, perioada crește cu dimensiunile lineare;
-perioada de oscilație variază invers proporțional cu rădăcina pătrată a modulului de elasticitate și direct proporțional cu rădăcina pătrată a densității materialului.
O metodă tot aproximativă, dar care permite determinarea nu numai a frecvenței circulare fundamentale ci și a tonurilor superioare (obertonuri), este metoda propusă de S. Iguchi [13].
Arătăm în cele ce urmează, mersul calcului pentru placa dreptunghiulară încastrată pe contur.
Se alege suprafața elastică deformată w(x,y), sub forma seriei duble:
, (4.13)
Care, după cum se poate constata ușor, satisface condițiile la limită corespunzătoare plăcii încastrate. Coeficienții Amn se aleg de așa natură încât soluția (4.13) să satisfacă identic ecuația diferențială a plăcii.
Impunând aceasta și dezvoltând relația obținută în serie dublă Fourier:
(4.14)
se caută condițiile pentru care expresia (4.14) devine egală cu zero, aceasta dând valorile coeficienților amn.
Efectuând toate calculele în sistemul de ecuații rezultate, s-a ajuns la următoarele valori pentru primele șase frecvențe circulare (în cazul plăcii pătrate):
În figura (4.2) sunt arătate modurile de oscilație corespunzătoare diverselor frecvențe. 1 2 3
4 5 6
Fig.4.2
Pentru a studia aspectele legate de starea de eforturi și deformații, este necesar a ține seama de modul de distribuție a impulsului pe placă.
Calculele se fac după metodologia descrisă anterior, adică reducând problemele de dinamică la probleme de statică, cu sarcini echivalente de felul:
unde p(x,y), exprimă legea de distribuție a impulsului pe suprafața plăcii.
4.2.1.Impulsul uniform distribuit pe toată suprafața plăcii.
Se consideră inițial că pe placă acționează o sarcină statică, uniform distribuită pe întreaga suprafață, având intensitatea q=1.
Săgeata w0 de la mijlocul plăcii, provocată de această sarcină, se poate determina din ecuația obținută prin egalarea energiei potențiale dată de expresia (4.8), cu energia potențială corespunzătoare acestui caz de deformare [relația (4.5), pentru q(x,y)=1].
Energia potențială corespunzătoare sarcinii q=1, este:
,
unde, înlocuind w(x,y) prin expresia (4.1) aleasă inițial, rezultă:
(4.15)
Egalând energiile potențiale sus amintite:
,
se obține:
(4.16)
Dacă în locul sarcinii unitate q=1, pe placă acționează impulsul uniform distribuit p, cu sarcina statică echivalentă corespunzătoare qech=pω, atunci săgeata maximă va avea valoarea:
Înlocuind acum săgeata w0 cu expresia (4.16) și frecvența circulară ω cu expresia (4.10) se obține:
(4.17)
Momentele încovoietoare și de torsiune se calculează cu formulele generale:
în care, dacă se ia forma suprafeței elastice dată de expresia (4.1), atunci corespunzător săgeții maxime, pentru sarcina statică echivalentă qech=pω – aceste formule trebuie multiplicate cu săgeata maximă wmax.
Efectuând derivatele și celelalte calcule intermediare, rezultă pentru momentele încovoietoare și de torsiune următoarele expresii:
;
; (4.18)
.
În centrul plăcii, pentru x=y=0, momentele încovoietoare vor fi maxime, iar momentul de torsiune nul:
;
; (4.19)
Dacă se înlocuiește rigiditatea plăcii cu expresia sa dezvoltată, atunci momentele încovoietoare vor fi:
(4.20)
4.2.2. Impulsul descrește de la centrul plăcii către margini după o lege parabolică
Presupunem că și în cazul plăcii dreptunghiulare simplu rezemată pe contur, că legea de distribuție a impulsului este:
(4.21)
În această situație, dacă ecuația suprafeței elastice deformate rămâne aceeași (4.1), se va modifica numai valoarea săgeții w0 la mijlocul plăcii și proporțional cu aceasta, mărimile momentelor încovoietoare și eforturile unitare, provocate de acestea.
Pentru sarcina statică exprimată de legea de distribuție (4.21), energia potențială corespunzătoare formulei (4.5) va fi:
Egalând această energie cu energia dată de expresia (4.8):
rezultă expresia săgeții:
sau
(4.23)
Se constată ușor că pentru α=β=∞, (deci pentru p(x,y)=p0=const.), această expresie – prin împărțirea cu 49 – se confundă cu expresia (4.16) de la punctul 4.2.1.
Întrucât în cazul de față nu s-a lucrat cu o sarcină unitară (q=1) ci cu una de intensitate maximă p0, rezultă că săgeata maximă va fi obținută numai prin multiplicarea lui w0 cu frecvența circulară ω, dată de expresia (4.10)
Efectuând calculele intermediare și simplificările posibile, rezultă:
(4.24)
Momentele încovoietoare maxime, în centrul plăcii, au aceleași expresii ca și în cazul 4.2.1. numai că săgeata wmax din expresiile (4.20) trebuie înlocuită cu săgeata wmax, dată de relația (4.24).
La mijlocul laturilor conturului paralele axei y, momentele vor fi:
(4.25)
iar la mijlocul laturilor paralele axei x:
(4.26)
Eforturile unitare, în toate cazurile, se calculează cu relațiile:
(4.27)
4.3. Placa circulară de rază a, încastrată pe contur.
S-a văzut la rezolvarea exactă că soluția ecuației diferențiale respective include funcții Bessel, care cât de cât îngreuiază calculul.
În cele ce vor urma se va găsi, pentru această problemă, o soluție aproximativă bazată pe metoda combinată Rayleigh – Ritz, care dă în general – pentru frecvența fundamentală – , o exactitate suficientă pentru aplicațiile practice.
Pentru a aplica această metodă este necesar de a transforma expresiile energiilor potențială (4.4) și cinetică (4.6) din coordonate carteziene în coordonate polare.
Astfel, pentru energia potențială, în coordonate polare considerând originea coordonatelor în centrul plăcii, se ajunge la relația:
(4.28)
unde a, este raza plăcii.
În cazul oscilațiilor axial simetrice, în raport cu centrul plăcii, suprafața elastică a plăcii w(r,ϴ) devine funcție numai de variabila r, și expresia (4.28) se reduce la forma:
Pentru placa încastrată pe contur, integrala:
care este egală cu zero, și din expresia (4.28) rămâne:
Ca și mai sus, în cazul oscilațiilor axial simetrice, funcția w depinde numai de variabila r, și deci expresia (4.30) se reduce la forma:
Expresia energiei cinetice, în coordonate polare, este mai simplă și anume:
iar în cazul oscilațiilor axial simetrice:
Cu aceste expresii vom putea calcula pentru diverse cazuri particulare frecvențele formelor proprii de oscilații ale plăcilor circulare.
Examinăm la început placa circulară de rază a, încastrată pe contur. Pentru aceasta luăm:
unde w0 este funcție de r și ϴ.
În cazul oscilațiilor axial simetrice (lucru ce se petrece pentru forma fundamentală de oscilație), w0 se poate lua funcție numai de variabila r. Luăm, conform metodei Ritz, expresia w0 sub forma seriei:
care satisface atât condițiile de simetrie cât și cele de limită, referitoare la săgeți și unghiuri de rotire.
Astfel, pentru r=a, fiecare termen al seriei (4.35) cât și derivatele de ordinul întâi, sunt nule.
Condiția de echilibru a sistemului, devine în cazul de față:
Luând numai un singur termen din seria (4.35) și introducându-l în ecuația (4.36), aceasta se reduce la forma:
de unde:
sau:
Această valoare diferă cu 1,5% de aceea determinată prin metoda exactă.
Dacă se urmărește o mai precisă determinare a valorii frecvenței fundamentale și respectiv și aflarea armonicelor superioare, atunci se iau mai mulți termeni din seria (4.35) și se introduc în ecuația (4.36).
Astfel, luând primii doi termeni, avem:
Înlocuind aceste două integrale în ecuația (4.36), se obține un sistem de ecuații. Egalând cu zero determinantul acestui sistem se găsesc rădăcinile:
Pentru aceste rădăcini, corespund frecvențele circulare:
unde, frecvența fundamentală ω1 este acum mult mai apropriată de valoarea sa exactă, diferența fiind de cca. 3‰, deci foarte mică. Frecvența circulară ω2 reprezintă valoarea media aproximativă a frecvenței celei de-a doua formă de vibrație, pentru care placa ce oscilează are un cerc nodal.
Prin această metodă se pot studia și formule de vibrație care au diametre nodale.
În toate cazurile, frecvența oscilațiilor proprii se va putea determina prin formula [15]:
unde , pentru un număr dat m, de cercuri nodale și un număr dat n, de diametre nodale, se poate lua din următoarea tabelă:
4.3.1. Placa acționată de un impuls uniform distribuit pe întreaga suprafață a sa.
Fie p intensitatea impulsului. Impulsul total este:
Sarcina statică echivalentă care poate înlocui impulsul uniform distribuit, va avea intensitatea q=pω.
Ecuația suprafeței elastice care corespunde sarcinii statice echivalente de intensitate q, o alegem tot de forma expresiilor (4.34) și (4.35), dar puțin modificată:
(4.41)
unde:
Luând această suprafață ca formă fundamentală a oscilațiilor proprii, axial simetrice, ale plăcii și efectuând derivatele care intră în expresia energiei potențiale, se obține:
Pentru determinarea energiei cinetice Ec, folosim formula (4.33) și vom avea:
Cu acestea, frecvența circulară fundamentală, de oscilație a plăcii circulare încastrată pe contur și acționată de un impuls p uniform distribuit, va fi:
Se constată că și pe această cale s-a ajuns la aceeași valoare a frecvenței ca și în cazul aplicării directe a metodei lui Ritz, [formula (4.37)], când s-a luat pentru suprafața elastică a plăcii o altă expresie [formulele (4.34), (4.35), față de formulele (4.41), (4.42)].
Momentele încovoietoare, în direcție radială și tangențială sunt date de relațiile generale dintre componentele tensorului de încovoiere și ale tensorului de deformație, în care trebuie ținut seama că derivatele în raport cu variabila ϴ sunt nule, datorită faptului că ave de-a face cu oscilații axial simetrice.
Vom avea deci:
Înlocuind aceste expresii derivatele funcției w, rezultă:
Momentele încovoietoare, în direcție radială, vor fi:
pe contur, (r=a):
în centrul plăcii, (r=0):
Momentele încovoietoare, în direcție tangențială, sunt următoarele:
pe contur, (r=a):
în centrul plăcii, (r=0):
Se constată, după cum e și normal, că în centrul plăcii Mr = Mϴ.
Expresii mult mai simple, se obțin pentru momentele încovoietoare, dacă acestea se exprimă în funcție de sarcina statică echivalentă, q=pω; pentru aceasta trebuie ca în relațiile de mai sus să se înlocuiască w0 prin valoarea sa data de formula (4.42).
În acest caz, se obține:
pe conturul plăcii:
în centrul plăcii:
Se observă din relațiile (4.50) și (4.51) că aceste valori coincid cu cele obținute la calculul static al plăcii circulare, încastrată pe contur [39]. Deosebirea constă în faptul că aici sarcina q=pω, reprezintă o sarcină statică echivalentă, care produce oscilații proprii plăcii.
Rezultate interesante se obțin dacă în ultimele expresii ale momentelor încovoietoare se înlocuiește mărimea frecvenței circulare fundamentale, cu expresia sa, dată de (4.46). Se obține:
pe conturul plăcii:
în centrul plăcii:
Așa cum se poate constata din aceste ultime relații, momentele încovoietoare nu depind de raza plăcii, a. Asupra semnificației acestui fapt se va reveni când se vor trage concluziile pentru întregul capitol.
4.3.2.Placa acționată de un impuls care descrește de la centru către margini, după o lege parabolică.
Fie impulsul distribuit pe suprafața plăcii, după legea:
unde , iar p0 – intensitatea impulsului în centrul plăcii. Acest impuls se poate înlocui printr-o sarcină statică echivalentă, distribuită după o lege analoagă:
Pentru suprafața elastică a plăcii, considerăm aceeași expresie (4.41).
Calculăm energia potențială cu expresia (4.5) de la placa dreptunghiulară, care, pentru coordonatele polare r și ϴ se scrie sub forma:
sau, având în vedere că qech(r) și w(r) nu depind și de ϴ:
Înlocuind în această relație, qech(r) prin expresia (4.55) și w(r) prin expresia (4.41), rezultă:
Ca și mai înainte, se poate găsi o sarcină statică uniform distribuită q0, care să provoace aceeași energie potențială:
Egalând cele două forme ale energiei potențiale, se obține sarcina statică echivalentă, uniform distribuită:
Se observă că pentru , această sarcină este egală cu cea de la cazul precedent. Din această cauză, toate mărimile ce trebuiau determinate (deplasări, eforturi), se obțin din cele de la cazul a, multiplicate cu:
Pentru suprafața elastică a plăcii, considerăm aceeași expresie (4.41).
Calculăm energia potențială cu expresia (4.5) de la placa dreptunghiulară, care, pentru coordonatele polare r și ϴ se scrie sub forma:
sau, având în vedere că qech(r) și w(r) nu depind și de ϴ:
Înlocuind în această relație, qech(r) prin expresia (4.55) și w(r) prin expresia (4.41), rezultă:
Ca și mai înainte, se poate găsi o sarcină statică uniform distribuită q0, care să provoace aceeași energie potențială:
Egalând cele două forme ale energiei potențiale, se obține sarcina statică echivalentă, uniform distribuită:
Se observă că pentru α0 = ∞, această sarcină este egală cu cea de la cazul precedent. Din această cauză, toate mărimile ce trebuiau determinate (deplasări, eforturi), se obțin din cele de la cazul a, multiplicate cu:
Așa de exemplu, conform formulei (4.42), săgeata la mijlocul plăcii va fi:
iar momentele încovoietoare, conform formulelor (4.50) și (4.51), vor fi:
pe conturul plăcii:
4.4. Placa circulară; de rază a, simplu rezemată pe contur.
4.4.1. Impulsul uniform distribuit pe întreaga suprafață.
Calculul plăcii circulare, simplu rezemată pe contur, se face după aceeași metodologie descrisă anterior, considerând-o ca un sistem cu un singur grad de libertate. Este necesară însă ca suprafața elastică aleasă să satisfacă condițiile la limită corespunzătoare acestui fel de rezemare pe contur, adică atât săgețile pe contur să fie nule cât și eforturile unitare normale, de direcție radială, provocate de momentele încovoietoare radiale adică:
În cea de-a doua condiție s-a luat pentru momentul Mϴ expresia redusă, deoarece în cazul impulsului uniform distribuit pe întreaga suprafață a plăcii, oscilațiile proprii ale plăcii vor fi axial simetrice și deci eforturile nu depind de variabila .
Ca ecuație a suprafeței elastice a plăcii, care să satisfacă condițiile la limită (4.63), se alege chiar ecuația de deformație a plăcii circulare, liber rezemată pe contur și acționată de o sarcină statică q, uniform distribuită pe placă. Aceasta este dată de relația [39]:
săgeata maximă, în centrul plăcii, fiind:
Pentru a putea exprima ulterior energiile potențială și cinetică, ca și celelalte mărimi, în funcție de săgeata maximă, exprimăm încă de la început și suprafața elastică a plăcii [ecuația (4.64)] în funcție de săgeată. Efectuând unele calculele simple și notând w0=wmax, rezultă:
Cea mai simplă formă posibilă de energie potențială care să corespundă acestei suprafețe elastice, se poate calcula cu relația (4.56), ca lucru mecanic al sarcinii uniform distribuită de intensitate q.
Deci:
Energia cinetică corespunzătoare aceleiași forme a suprafeței elastice, se calculează cu formula:
Frecvența circulară fundamentală a oscilațiilor proprii ale plăcii circulare simplu rezemată pe contur, va fi:
Sarcina statică uniform distribuită, echivalentă impulsului p, va avea intensitatea: qech=pω
Atunci, săgeata maximă în centrul plăcii, va fi:
Momentele încovoietoare în direcția radială se determină cu prima din relațiile (4.45). Pentru aceasta este necesar să se calculeze derivatele și care intră în această relație, ținând seama de formula (4.64). Rezultă:
Substituind acum valoarea săgeții w0, dată de formula (4.64), în care q=pω, rezultă:
Momentul încovoietor în direcția tangentei se calculează cu ultima din relațiile (4.45), în care trebuie înlocuite valorile derivatelor amintite.
Rezultă:
Înlocuind săgeata wo cu valoarea dată de formula (4.64’) rezultă:
Pe conturul plăcii, pentru r=a, rezultă:
În centrul plăcii:
4.4.2. Impulsul descrește de la centrul plăcii către margini după o lege parabolică.
Ca și la placa circulară încastrată pe contur, (în cazul b), se consideră că impulsul este distribuit pe suprafața plăcii după legea:
Impulsul total pe suprafața plăcii care:
de unde rezultă intensitatea impulsului:
Luând ca formă a suprafeței elastice aceeași expresiei din cazul precedent, energia potențială se calculează ca lucru mecanic al sarcinii statice distribuite echivalente impulsului, q(r)=p(r), adică:
Energia potențială provocată de sarcina statică uniform distribuită q, este dată de relația (4.66):
Egalând cele două energii potențiale, rezultă sarcina statică echivalentă:
Săgeata maximă w0, se determină înlocuind sarcina echivalentă q în expresia (4.69), rezultă:
Momentele încovoietoare se pot afla pe aceeași cale, adică înlocuind în formulele corespunzătoare de la punctul 4.4 produsul prin expresia (4.77).
Spre exemplu, pe conturul plăcii:
iar în centru:
4.5. Concluzii asupra folosirii metodelor aproximative la studiul oscilațiilor proprii ale plăcilor.
Făcând un studiu comparativ al metodelor exacte de calcul, expuse în capitolele II și III, față de metodele aproximative tratate în acest capitol, se poate constata ușor că pentru a se obține valoarea exactă a frecvențelor proprii de vibrație la plăci (considerate ca sisteme cu un număr infinit de grade de libertate), sunt necesare o serie de calcule deosebit de complicate.
Rezultatele obținute prin metodele aproximative, așa cum s-a văzut, diferă de cele exacte cu valori ce pot fi admise în calculele inginerești. Din acest punct de vedere, folosirea metodelor aproximative, care sunt mult mai expeditive, apare evident justificată. Dacă însă se urmărește un studiu complet al frecvențelor circulare (determinarea nu numai a pulsației fundamental ci și a tonurilor superioare), atunci metodele aproximative nu pot fi folosite, ele dând numai frecvența circulară fundamentală.
Capitolul V
5. Plăci plane stratificate
5.1. Introducere
Din punct de vedere al calcului structurii de rezistență, lucrările de fortificații, în comparație cu celelalte construcții, prezintă o particularitate deosebită și anume accea că încărcările de bază care le solicită sunt încărcări dinamice rezultate din acțiunea asupra lor a mijloacelor de distrugere. Ca urmare, încărcarea de bază va fi acțiunea dinamică sub forma șocului rezultat prin lovirea acestora cu proiectile, bombe și rachete sau sub formă de impuls distribuit pe întreaga suprafață a lucrării dat de unda de șoc a exploziei acestor mijloace.
Elementele structurii de rezistență se comportă la acțiunile dinamice, ca niște sisteme oscilante ale căror parametri de vibrație ajungând la anumite valori conduc la pierderea stabilității și chiar la distrugerea elementelor de rezistență luate separat sau a construcției în ansamblu. La acțiunea șocului și impulsului se adaugă efectul mecanic, de rupere a mediului determinat de acțiunea energiei mecanice ce se degajă din explozia muniției pătrunsă în elementele de rezistență sau rămasă la suprafața acestora.
În general, prin acțiunea dinamică, se înțelege solicitarea produsă de sarcini care variază rapid în timp și care contribuie la apariția forțelor de inerție. O forță dinamică aplicată unei structuri de rezistență produce o mișcare de oscilație (vibrație) asociată cu anumite deformații și tensiuni care variază în funcție de timp. Caracterizarea efectului pe care îl produce o acțiune dinamică asupra unui sistem elestic se face prin noțiunea de răspuns sau răspuns dinamic.
Răspunsul unei structuri la acțiuni dinamice depinde, în afara solicitărilor efective care se transmit structurii, de capacitatea sa de rezistență precum și de mărimea și distribuția maselor, prin capacitatea de rezistență înțelegându-se totalitatea forțelor elastice și de frecare ce se opun mișcării structurii în ansamblu.
Acțiunile dinamice în cazul lucrărilor de fortificații, pot căpăta, în general, valori foarte mari și sunt de o complexitate deosebită încât valoarea lor exactă, prin relații matematice, nu este pe deplin soluționată în toate cazurile. De aceea și răspunsul structurii la aceste acțiuni este greu de definit. Aceasta sporește mult sarcina proiectantului care trebuie să adopte structuri în măsură să reziste efectului defavorabil produs de acțiunile ce dau naștere la vibrații și în același timp să aplice metode și procedee de combatere a șocurilor și vibrațiilor.
În evaluarea răspunsului dinamic trebuie avute în vedere în principal elementele ce caracterizează acțiunea dinamică sub forma unei forțe de excitație P(t) și caracteristicile sistemului oscilant.
Funcția de oscilație P(t), în cazul acțiunilor asupra lucrărilor de fortificații caracterizează șocul sau impulsul a căror durată de acțiune, în general, este foarte mică. Practic sistemul oscilant vibrează după ce forța P(t) încetează de a mai acționa, efectuând oscilații libere. Când acțiunea dinamică are o durată mai mare, așa cum se întâmplă în cazul acțiunii șocului concomitent cu pătrunderea proiectilelor în mediu, funcția de excitație P(t), caracterizează vibrațiile forțate sau întreținute.
Ele se produc în intervalul de timp ăn care forța acționează asupra sistemului.
Sistemul oscilant este un ansamblu material este un ansamblu material format din masa m, rigiditatea k a suportului elastic de care este atașată masa și o caracteristică de amortizare c datorită prezenței forțelor de frecare interioară.
În timpul mișcării, întrun sistem oscilant se produce un schimb permanent de energie și anume, energia de deformație a sistemului elastic se transformă în energie cinetică produsă de masă și invers, întrucât transferul de energie are caracter reciproc și mutual.
Sistemele oscilante în care energia totală se menține constantă întimpul unei vibrații se numesc sisteme conservative. Mișcarea unui astfel de sistem se numește vibrație liberă neamortizată.
Sistemele oscilante la care se produc pierderi de energie ca urmare a existenței unor forțe de frecare (amortizare) se numesc sisteme neconservative. Mișcarea acestor sisteme, când se produc în absența oricărei forțe exterioare dar în prezența unor forțe disipative, poartă numele de vibrație liberă amortizată.
În cazul când sistemul oscilant primește în mod continuu energie din afară, mișcarea pe care o efectuează se numește vibrație forțată.
În studiul vibrațiilor forțate interesează evaluarea răspunsului structurii cu referire concretă la deplasările și forțele de inerție care iau naștere ca efect direct al aplicării dinamice a sarcinilor.
Analiza vibrațiilor libere sau forțate ale structurii de rezistență transformată în sistem oscilant, se face prin intermediul ecuațiilor de mișcare care exprimă deplasările sistemului în funcție de timp și permit, în orice moment t, al mișcării determinarea pozițiilor instantanee ale maselor față de poziția de echilibru static.
Având poziția structurii astfel determinată este evident că se pot determina, în afara poziției deformate, tensiunile și deformațiile specifice din orice secțiune a sa. Dacă la un moment dat t poziția structurii poate fi definită printr-un singur parametru sau o singură coordonată, atunci structura devenită sistem oscilant, are un singur grad de libertate dinamică. Numărul gradelor de libertate dinamică al unui sistem oscilant este dat de numărul minim de coordonate independente care pot defini complet poziția sistemului în orice moment al mișcării, sau este numărul minim de legături simple necesare pentru a fixa sistemul oscilant în poziția de repaus.
Practic, în cazul lucrărilor de fortificații se presupun cunoscute caracteristicile acțiunii dinamice ale mijloacelor de distrugere și caracteristicile elastice și geometrice ale structurii de rezistență. Se determină pulsația proprie de vibrație (ω), săgeata (deplasarea) y(t) și solicitările în diferite secțiuni ale structurii. Pe baza solicitărilor astfel determinate și a altor solicitări care se însumează cu acestea, se face verificarea de rezistență a schemei de calcul adoptate.
Dintre sistemele oscilante cu masa distribuită cele mai frecvent întâlnite în alcătuirea și calculul lucrărilor de fortificații sunt elemente de rezistență sub formă de plăci solicitate la acțiuni dinamice.
Calculul plăcilor în cazul lucrărilor de apărare are în vedere plăci de grosime medie la care raportul dintre grosimea (h) și cea mai mică dintre dimensiunile planului median este cuprins între 1/10 și 1/3, iar săgeata w este mai mică în raport cu grosimea. În ceea ce privește modul de solicitare, calculul se referă la acele încercări dinamice care acționează normal pe placă, acestea fiind starea de solicitare cea mai frecventă a construcțiilor de apărare.
Teoria izolării vibrațiilor
Izolarea vibrațiilor se referă la mijloacele de a obține o reducere a efectelor vibratorii. Forma cea mai elementară sub care se poate considera un izolator de vibrații constă dintrun element elastic ce leagă straturile între ele.
Funcția de izolator este de a reduce amplitudinea mișcării sau de a reduce mărimea forței transmise la plăci.
Părțile esențiale ale unui izolator sunt elementele elastice de susținere a sarcinii și cele de disipare a energiei. La unele tipuri de izolatori, funcțiile elementelor de susținere a sarcinilor și ale celor de disipare a energiei pot fi realizate de un singur element, de exemplu, cauciucul.
Modul și gradul de izolare a vibrației realizată cu un sistem de izolare sunt influențate în mod deosebit de caracteristicile amortizorului. Calitatea unui izolator este determinată de transmisibilitatea absolută, transmisibilitatea relativă și de răspunsul mișcării.
Eficacitatea materialelor amortizoare în combaterea vibrațiilor nu depinde de raportul masă-rigiditate de care depinde însă izolarea vibrațiilor și spectrul de șoc al unui sistem supus unei excitații date. Acest lucru este scos în evidență de idealizările clasice asupra rigidității, inerției și amortizării, care se consideră
5.2.Calculul construcțiilor la șoc
Solicitarea prin șoc se produce atunci când asupra unui corp intervine o variație bruscă de viteză. Șocul este urmarea contactului ăntre corpuri produs într-un timp foarte scurt, rezultând forțe de contact foarte mari, greu de evaluat.
În zona de contact dintre corpurile ce se lovesc se produc eforturi unitare locale foarte mari urmate de regulă de apariția unor deformații permanente. În afară de aceasta, șocul se propagă, cu efect mai redus la toată masa corpului lovit.
Din aceste considerații rezultă că, în cazul lucrărilor de fortificații șocul reprezintă principala formă de acțiune dinamică a proiectilelor și bombelor asupra elementelor structurii de rezistență.
Calculul la șocul dat de aceste mijloace de distrugere se va referi la o acțiune locală și la acțiunea generală.
Mijloacele de distrugere clasice pot acționa asupra lucrărilor de apărare prin șoc și prin lucrul mecanic al energiei degajate în urma transformării explozive a încărcăturii active. La aceste acțiuni se mai adaugă: efectul caloric dat de mijloacele incendiare, efectul biologic etc.
Se observă însă că unele din efecte apar chiar la contactul dintre mijlocul de distrugere și obstacol iar altele, se manifestă asupra întregului ansamblu sau a unor părți ale acestuia.
Această constatare ne permite să grupăm principalele acțiuni – cele date de șoc și explozie – în două categorii: acțiune locală, acțiune generală.
Efectele acțiunii locale sunt consecințe, îndeosebi ale șocului.
În cazul acțiunii asupra mediilor tari omogene așa cum sunt elementele din beton sau metal care alcătuiesc lucrările de fortificații permanente, efectele acțiunii locale sunt mai evidente.
Așadar, efectele locale sunt rezultatul acțiunii atât a șocului cât și a exploziei în care poate să predomine unul dintre acești factori în funcție de natura obstacolului și condițiile de acțiune ale mijloacelor de distrugere.
Efectele acțiunii locale, îndeosebi în cazul mediilor rezistente sunt restrânse, ele depinzând mai mult de caracteristicile mijlocului de distrugere și ale materialului din care este alcătuit obstacolul. Din această cauză ele influențează foatre puțin asupra schemei constructive a construcției care reprezintă obstacolul.
Efectele acțiunii generale sunt determinate de asemenea de șocul dat de mijloacele de distrugere, cu deosebirea că, în acest caz, intervine acțiunea suprapresiunii din frontul undei de șoc, dată de explozie. Rezultă că mărimea efectelor date de explozie vor depinde de mărimea încărcăturii, puterea explozivului, distanța față de obstacol.
Din deformațiile acțiunii generale fac parte:
-încovoierea grinzilor și plăcilor;
-flambajul stâlpilor sau coloanelor;
-tasarea fundațiilor, etc.
Înțelegerea fenomenului de acțiune generală a șocului este ușurată dacă urmărim comportarea unei plăci de grosime medie simplu rezemată, supusă la acțiunea șocului.
În situația când la mijlocul deschiderii plăcii cade un proiectil la contact ia naștere o presiune foatre mare care se transmite în placă pe toată grosimea sub formă de unde elastice de deformare care se propagă cu viteza sunetului, corespunzător materialuli respectiv. Când frontul undei ajunge la partea inferioară a plăcii, la suprafața de separație dintre cele două medii se produce fenomenul de reflexie și refracție; undele reflectate se întâlnesc cu cele incidente și din interverența lor iau naștere unde rezultante ce pot avea o acțiune distructivă imensă. Undele se deplasează și lateral, iar toată porțiunea din placă parcursă de unde se deformează ca și cum am avea o placă rezemată pe margini. După un anumit timp undele parcurg tot materialul, toată placa se deformează. Pe verticală, undele de deformații devin de două sensuri opuse dând astfel naștere la vibrații.
În cazul plăcilor groase, fenomenul este mult mai complex datorită faptului că propagarea undelor de deformație în sensul grosimii se va face în timp egal cu propagarea în sensul dimensiunilor plane; interfernța undelor incidente cu undele raflectate dau naștere unor unde mai complexe.
În cazul când asupra plăcii acționează o sarcină distribuită dată de suprapresiunea din frontul undei se șoc al exploziei, dacă placa nu ar avea reacțiuni în reazeme, ea s-ar deplasa printr-o mișcare de translație, paralel cu ea însăși. Cum însă reacțiunile împiedică translația, rezistența și rigiditatea secțiunii de rezemare fac ca acestea să transmită deformațiile, treptat, secțiunilor vecine.
Deci prin acțiunea generală a șocului și exploziei înțelegem acele deformații și eforturi care se nasc în elementul de rezistență sub acțiunea unei sarcini dinamice care provoacă un proces de oscilații stabilizate.
5.2.1.Acțiunea generală a șocului și a exploziei
Între acțiunea locală și acțiunea generală a șocului și a exploziei există o dependență, în sensul că reducerea secțiunilor ca urmare a acțiunii locale conduce la micșorarea rigidității elementelor de rezistență care în acest caz cedează la efectele mai reduse ale acțiunii generale.
Un proiectil lansat asupra unui obstacol poate acționa asupra acestuia în aer, pe suprafața acestuia, dar și în corpul obstacolului sau în elementele rezistente care protejează obstacolul după ce a pătruns la o anumită adâncime.
În acest ultim caz, proiectilul, până a exploda, realizează o acțiune generală ca urmare a șocului inițial și apoi o acțiune locală materializată prin pătrunderea proiectilului și o mică dislocare a materialului în imediata sa vecinătate. După realizarea exploziei acțiunea locală se amplifică, în același timp apare în obstacol o acțiune generală, ca urmare a undelor elastice de deformație determinate de șocul produșilor de explozie.
În situația când obstacolul este o lucrare de fortificație cu planșeu stratificat, proiectilul după ce parcurge grosimea stratului de mascare ajunge la salteaua de protecție asupra căreia determină efectele specificate mai sus.
Dacă proiectilul nu are suficientă energie cinetică pentru a străpunge salteaua de protecție, atunci asupra structurii de rezistență va rezulta doar o acțiune generală ca urmare a presiunii distribuite și transmise prin stratul elastic (de distribuție).
Rezultă că, spre deosebire de alte structuri unde efectele acțiunii locale și generale au loc concomitent, practic se suprapun, în cazul lucrărilor care folosesc saltele de protecție, asupra lucrării propriu-zise nu intervine decât acțiunea generală și care, evident, este cu mult diminuată.
În acest caz realizarea structurii de rezistență a lucrării va fi mai simplă și mai economică. Din această cauză se impune ca, ori de câte ori este posibil, soluțiile de alcătuire ale lucrărilor de apărare să fie cele cu plașeu stratificat iar elementele de protecție ale acestora să fie astfel dimensoinate încât să localizeze în ele explozia proiectilelor.
Metodologia de calcul a elementelor prefabricate și a structurilor de rezistență alcătuite din ele, este în principiu asemănătoare cu cea folosită pentru calculul lucrărilor de fortificație, comparativ cu calculul construcțiilor obișnuite, prezintă următoarele particularități:
-încărcările principale care solicită lucrările sunt încărcări dinamice. Ca urmare încărcarea de bază ce se ia în calcul este încărcarea dinamică sub forma șoculul provocat de lovirea acestora cu bombe, sau sub formă de impuls distribuit pe suprafața structurii;
-la acțiunea șocului se adaugă efectul de rupere a mediului ca urmare a acțiunii mecanice, dată de energia ce rezultă din explozia bombelor pătrunse în stratul de protecție;
-acțiunile dinamice pot avea valori foarte mari.
Caracterul aleatoriu al încărcărilor impune ca la proiectarea și realizarea lucrărilor să se acorde grijă deosebită măsurilor constructive de ansamblu pentru a feri, pe cât posibil, structura de rezistență împotriva acțiunii directe a mijloacelor de distrugere.
Trebuie ca impactul și explozia să se producă cât mai departe de structura de rezistență. Aceasta se poate realiza cu ajutorul straturilor de protecție de diferite tipuri: monostrat, multistrat sau strat natural în cazul construcțiilor subterane de tip galerie.
Ordinea de calcul a lucrărilor de apărare este în funcție de mai mulți factori dintre care cei mai importanți sunt tipul lucrării și ipoteza de încărcare stabilită.
La modul cel mai general pentru toate categoriile de lucrări de apărare, ordinea de calcul poate fi apreciată ca fiind următoarea:
-precizarea datelor de calcul;
-determinarea sau precizarea elementelor de calcul din punctul de contact al bombei;
-calculul grosimii de protecție la acțiunea locală a bombelor;
-verificarea straturilor de protecție;
-calculul la acțiunea termică;
-calculul la acțiunea generală;
-dimensionarea în plan a saltelei de protecție.
Grosimea de protecție în medii obișnuite este dată de adâncimea de pătrundere a proiectilului în strat și de mărimea razei acțiunii explozive.
Grosimea de protecție a elementelor de construcție de tip multistrat
În grosimea de protecție pot fi incluse:
-straturi din materiale solide;
-straturi solide intercalate cu straturi de aer;
-straturi solide acoperite cu straturi de apă.
Grosimile de protecție din straturi de materiale solide
Grosimea de protecție Hpr =hpn+Ri,n-s
hpn- adâncimea de pătrundere a proiectilului
Ri,n- raza acțiunii explozive
În cazul construcțiilor supraterane bombele venind în contact direct cu elementele structurii de rezistență determină o acțiune generală a șocului, exploziei sau acțiunea concomitentă a acestor două efecte.
5.2.2.Acțiunea șocului
Elementul de rezistență fiind lovit intră în vibrație dând naștere la săgeți. Concomitent cu oscilațiile sistemului are loc pătrunderea proiectilului, elementul comportându-se ca un sistem oscilant cu vibrații forțate și cu amortizare.
Calculul încărcării statice echivalente la acțiunea șocului, qs, se face cu relațiile:
tp= timpul de pătrundere a proiectilului în elementul de rezistență
ω= pulsația proprie de vibrație a elementului de rezistență
S= presiunea asupra elementului de rezistență pe care o dezvoltă proiectilul în timpul pătrunderii sale.
5.3. Probleme generale
Pentru unele lucrări de fortificații și de adapostire a oamenilor sau tehnicii de luptă, încă din timpul celui de-al doilea război mondial, s-au folosit în loc de planșee simple (monolite) – planșeele compuse alcătuite din mai multe straturi. Dovedindu-se în mod practic – prin comportarea lor la șoc și explozie – ca o soluție rațională din punct de vedere constructiv, planșeele stratificate s-au folosit și-n perioada de după război, la lucrările defensive executate în diverse țări și se folosesc și-n prezent, acolo unde astfel de lucrări se mai execută.
În literatura de specialitate nu există elaborată o teorie a acestor plăci. Unele referiri se fac în lucrările [25] și [38]; în prima se tratează oscilațiile plăcilor anizotrope, planșeele stratificate putând fi considerate ca un caz particular al acestor plăci iar în a doua – se prezintă unele exemple practice de calcul, bazându-se pe folosirea metodelor aproximative.
În cele ce vor urma, se încearcă o fundamentare teoretică a calculului și comportării plăcilor stratificate. Se alege o schemă de calcul – adoptându-se în acest scop o serie de ipoteze simplificatoare -, se deduce ecuația generală a deplasărilor (prin aplicarea ecuației corespunzătoare de la plăcile simple) și se rezolvă această ecuație pentru diverse cazuri particulare de planșee stratificate. În final se dă și o rezolvare aproximativă a problemei oscilațiilor proprii ale plăcilor stratificate, aplicându-se în acest scop unele din metodele aproximative tratate în capitolul IV.
Planșeele plane ale unor lucrări de fortificați sau de apărare locală antiaeriană sunt planșeele plane stratificate alcătuite din mai multe elemente cu funcțiuni diferite și realizate din materiale diferite.
În general, un astfel de planșeu este format din următoarele elemente (fig.5.1)
Fig. 5.1
1. strat de mascare;
2. strat rigid (saltea de protecție);
3. strat elastic (de repartiție, de distribuție);
4. strat de rezistență.
Pe scurt, rolul și modul de realizare ale fiecărui element component, în parte pot fi definite astfel:
Stratul de mascare – se realizează din pământ vegetal, având o grosime strict necesară creșterii vegetației care să acopere și deci să mascheze lucrarea.
Stratul rigid – are rolul de a nu lăsa proiectilul sau bomba de aviație să pătrundă prin el și de a obliga astfel ca aceste mijloace de distrugere să explodeze în interiorul lui. Din această cauză se realizează de obicei din beton sau zidărie de piatră și are o grosime mare, fapt ce-i dă o rigiditate la încovoiere foarte mare (în calcule, aceasta se poate considera infinită). La acțiunea unei sarcini dinamice, datorită rigidității sale foarte mari, acest strat se deplasează în întregime printr-o mișcare de translație. În acest fel, el repartizează totodată sarcina dinamică pe o suprafață mare, favorizând modul de lucru al construcției.
În literatura de specialitate acest strat se mai numește strat de explozie sau saltea de protecție, date fiind funcțiunile pe care el le îndeplinește.
Stratul elastic are rolul de a conlucra cu stratul rigid la repartizarea sarcinii dinamice pe o suprafață cât mai mare, și de a absorbi energia exploziei care se propagă prin materialul acestui strat, datorită deplasărilor pe care le suferă particulele de material.
Se realizează, de obicei, dintr-un material pulverulent cu sau fără coeziuni (argilă, nisip, pietriș, etc.).
Uneori, acest strat se mai numește strat de repartiție sau strat de distribuție.
Stratul de rezistență sau portant, constituie planșeul propriu-zis al construcției și ca atare are rolul și se realizează cu orice planșeu obișnuit, proiectat pentru sarcini dinamice.
În cele ce vor urma, se va neglija influența primului strat (de mascare) asupra ansamblului celorlalte straturi, urmând ca la proiectarea propriu-zisă, greutatea lui să constituie o sarcină de calcul pentru planșeul de rezistență.
Pentru fenomenul de oscilații al cărui studiu constituie obiectul acestui capitol, vom da, pe scurt, ansamblului celor trei straturi – rigid, elastic și portant – denumirea generică de “plăci stratificate”.
În scopul aplicării, la plăcile stratificate, a metodelor de calcul la oscilațiile deduse anterior pentru plăcile simple, este necesar a alege corect schema de calcul. După cum se știe, schema de calcul pentru orice construcție trebuie astfel aleasă încât distribuția eforturilor în ea să fie cât mai apropiată de cea reală care există în construcție. În afară de aceasta, schema de calcul nu trebuie să fie excesiv de complicată.
Pentru plăcile stratificate alegerea schemei de calcul reprezintă o problemă dificilă întrucât diferitele straturi (ale planșeului) sunt alcătuite din materiale diferite și au forme constructive variate. Fixând schema de calcul a plăcilor stratificate, trebuie mai întâi să se aleagă just schema de calcul a fiecărui strat în parte, iar după aceea, în schema generală de calcul, să se ia în considerare acțiunea reciprocă a diferitelor straturi.
În mod deosebit schema de calcul a plăcilor stratificate este impusă de comportarea stratului elastic, de la mijloc. Acesta, așa după cum s-a arătat, se execută din materiale pulverulente, în special din pământ de umplutură și nisip. Cu timpul, din cauza presării, între particulele de materiale iau naștere forțe de frecare și coeziune, mai importante pentru pământurile coezive și mai puțin importante pentru nisipuri. Umiditatea din porii pământului modifică, de asemenea, monolitatea și comportarea acestui strat. Așadar, proprietățile pământurilor folosite pentru executarea stratului de repartiție, depind, în mare măsură, de condițiile locale și pot să se modifice pentru o aceeași construcție în funcție de durata exploatării ei. Rezultă de aici că, alegerea schemei de calcul nu se poate face în funcție de condițiile locale concrete deoarece aceste condiții pot să se schimbe mult în decursul timpului și construcția va lucra cu totul altfel.
În ceea ce privește modul cum se comportă stratul de repartiție și, în funcție de aceasta, alegerea schemei de calcul pentru plăcile stratificate, în lucrarea [38] se citează rezultatele unor încercări pe modele pentru planșeele stratificate supuse la acțiunea generală a exploziei. Vom examina mai jos două din cazurile citate în lucrarea amintită: cazul când stratul elastic este format dintr-un material necoeziv și cazul când acesta este format dintr-un material coeziv. În ambele situații se consideră că salteaua de protecție, având o rigiditate infinită, sub acțiunea impulsului H=pA, se deplasează în întregime paralel cu sine insuși.
În primul caz, stratul elastic fiind alcătuit dintr-un material necoeziv (nisip curat), se poate asemui cu un număr infinit de resorturi, independente între ele (datorită lipsei de coeziune dintre particule). Fiecare resort este constituit dintr-o coloană de grosime infinit mică, de nisip, care – din cauza impulsului H se tasează independent de coloanele vecine; eforturi de compresiune, datorită impulsului, și deci tasări vor suferi numai acele resorturi care sunt așezate sub saltea. Epura presiunilor pe planșeul portant va fi reprezentată de un dreptunghi care ocupă un sector orizontal așezat în limitele lungimii saltelei. Pe restul întinderii stratului elastic ordonatele epurei presiunilor vor fi nule.
Așadar, sub acțiunea impulsului H, va fi antrenată în mișcarea oscilatorie numai acea parte din masa stratului de repartiție așezată direct sub salteaua de protecție.
Fig. 5.2
Pentru problema plană se obține un caz unidimensional deoarece se poate considera că dimensiunea în planulperpendicular pe desen este egală cu unitatea.
În cazul când stratul de distribuție este format dintr-un material coeziv, în care între particulele de material există forțe de legătură, se poate asemui stratul elastic ca un sistem de resorturi legate între ele, la partea superioară, printr-un fir neextensibil.
N
Fig. 5.3
Această legătură, la comprimarea resorturilor de sub saltea, atrage cu sine și comprimarea parțială a resorturilor vecine, astfel că, sarcina provocată de impulsul H se repartizează nu numai în limitele saltelei de protecție ci și dincolo de aceasta. Presiunea maximă are loc sub stratul rigid unde este constantă pe lungimea acestui strat.
Din cele de mai sus, se vede că stratul elastic executat dintr-un material coeziv, se comportă mai bine decât cel din material necoeziv. În condiții reale de lucru însă se presupune că sub acțiunea vibrațiilor provocate de impuls, forțele de legătură dintre particule se distrug și astfel se revine la primul caz.
În acest mod, pentru stratul de repartiție și deci pentru întregul ansamblu, se alege ca model de calcul prima schema (fig.5.2) ca fiind cea mai dezavantajoasă în sensul sarcinilor dinamice provocate de explozie și transmise planșeului inferior, portant.
În încheiere, trebuie observat că, schema de calcul aleasă permite transmiterea, de la salteaua de protecție la planșeul de rezistență, prin intermediul stratului de distribuție, numai a unor eforturi de compresiune deoarece coloanele de nisip, schematizate prin resorturi, nu pot prelua nicidecum eforturi de întindere.
5.4. Rezolvarea exactă a problemei oscilațiilor proprii ale plăcilor stratificate, în cazul general.
5.4.1. Deducerea ecuației generale deplasărilor
În conformitate cu cele arătate mai sus, schema de calcul pentru cele trei elemente care intră în alcătuirea planșeului stratificat, se alege în așa fel încât ansamblul plăcilor stratificate să poată fi considerat ca format dintr-o placă reprezentată de salteaua de protecție și planșeul de rezistență și dintr-o căptușeală elastică constituită din stratul de repartiție (fig.5.4). Încă de la început, se poate considera că elementele plăcii (deci ale saltelei de protecție și ale planșeului portant) vor efectua oscilații transversale, iar elementele căptușelii elastice (ale stratului de distribuție), oscilații longitudinale.
Fig.5.4
Ecuațiile diferențiale ale deplasărilor se pot alcătui separat pentru salteaua de protecție, planșeul portant și stratul de repartiție; aceste ecuații vor alcătui însă un sistem putând fi rezolvate numai împreună deoarece problema examinată se referă la oscilațiile ansamblului alcătuit din cele trei elemente.
Pentru salteaua de protecție, ecuația generală diferențială a oscilațiilor, se poate scrie sub forma:
D2∆∆w2+ρ2 = q (x,y,t)-(N+I) (5.1)
unde w2 – săgeata saltelei;
D2 – rigiditatea la încovoiere a saltelei;
ρ2 – masa unității de suprafață a saltelei;
N – reacțiunea stratului de repartiție;
I – forța de inerție a unei coloane de material din stratul de repartiție.
Se observă că aceasta este ecuația diferențială obișnuită de oscilație a plăcii, conținând în plus numai reacțiunile N ale stratului de repartiție. De menționat că forțele N depind de săgețile ambelor plăci (saltea-planșeu portant) și de deformația longitudinală a coloanei corespunzătoare din stratul de repartiție.
Pentru a examina deplasările stratului de repartiție izolăm o coloană (în secțiune verticală – pe fig.), din acest strat punând să acționeze asupra ei forțele de legătură corespunzătoare. Capătul de sus al acestei coloane se deplasează cu mărimea w2 a saltelei de protecție iar capătul de jos cu mărimea w1 a săgeții planșeului de rezistență. Facând notațiile:
w3 – deplasarea verticală a punctelor stratului de repartiție;
D0 – rigiditatea la compresiune a acestui strat;
ρ0 – masa unității de volum a materialului din stratul de repartiție,
ecuația de echilibru a unui element, izolat din coloana prin două secțiuni orizontale, este următoarea:
N + ∆N + dI- N =0
sau:
N + dI =0 (a)
Din rezistența materialelor se știe că alungirea specifică la compresiune este:
ε = =
de unde rezultă:
N = EAε =Eși ∆N == , (b)
unde D0 = EA
De asemenea se cunoaște că:
dI = – m – ρ0 (c)
Înlocuind relațiile (b) și (c) în ecuația de echilibru (a), rezultă ecuația diferențială a oscilațiilor elementului izolat din stratul de repartiție, sub forma:
D0– = 0 (5.2)
Pentru planșeul de rezistență, ecuația diferențială a oscilațiilor se poate scrie astfel:
D1∆∆w1+ ρ1 N (5.3)
unde: w1- este săgeata curentă a planșeului portant;
D1 – rigiditatea la încovoiere;
ρ1 – masa unității de suprafață a planșeului de rezistență.
Conform relațiilor (b) și (c), reacțiunea N și forța de inerție I, ale sistemului de repartiție, se pot exprima prin derivate și respectiv integrala deplasării w3 cu formulele:
N=D0z=0, ho; I = dz (5.4)
Înlocuind expresiile forțelor longitudinale, N și I, în ecuațiile diferențiale ale oscilațiilor saltelei de protecție (5.1) și planșeului de rezistență (5.3), se obține:
pentru planșeul de rezistență:
D1∆∆w1+ρ1– D0Z=h0= 0 (5.5)
pentru salteaua de protecție:
D2∆∆w2+ρ2+ D0Z=0 +dz = q (x,y,t) (5.6)
Ecuațiile (5.2), (5.3) și (5.6) exprimă deplasările (oscilațiile) oricărui punct curent al planșeului stratificat. Ele trebuie rezolvate împreună pentru condițiile inițiale date și condițiile limită ale diverselor cazuri de rezemare a plăcilor. Din aceste ecuații se pot deduce deplasările w1, w2 și w3 ale oricărui punct, iar din acestea, după relațiile cunoscute, eforturile corespunzătoare.
O simplă examinare a ecuațiilor obținute ne duce la concluzia că, continuarea studierii acestei probleme în formă generală este mult prea dificilă din cauza dificultăților întâmpinate la aflarea soluțiilor corespunzătoare ecuațiilor respective, de pe o parte și a volumului mare de calcule, pe de altă parte. De aceea, vom examina în cele ce urmează numai rezolvările corespunzătoare câtorva cazuri particulare, mai frecvent întâlnite în practică.
5.4.2 Cazul planșeului stratificat cu o grosime mică a stratului de distribuție
Dacă stratul de repartiție are o grosime h0 mică în comparație cu deschiderea L, atunci deformația absolută de compresiune a stratului de repartiție va reprezenta o mărime mică în comparație cu săgețile w1 și w2 și din această cauză se poate neglija. În această situație, rămân numai ultimele două ecuații difiențiale (5.5) și (5.6) deoarece a treia (5.2) dispare din cauză că w3 are o valoare constantă pe înălțimea stratului de repartiție (fig.5.5).
Fig.5.5
Din cauză că tasarea w3 a stratului de repartiție este constantă, înseamnă că săgeata unui punct curent al planșeului stratificat poate fi considerată ca fiind constantă pe aceeași verticală a punctului, deci se poate scrie că:
w1 = w2 = w3 = w
Cu aceasta, adunândecuațiile (5.5) și (5.6), rezultă:
(D1+D2) ∆∆w +(+)+ = q (x,y,t)
Deoarecenu depinde de z, atunci:
dz = = h0
și înlocuind în ecuația de mai sus, unde se notează:
D1+ D2 = D; =
seobține o ecuație diferențială similară ca forma cu ecuația obișnutiă de oscilație a plăcii.
D∆∆w + (5.7)
Prin analogie cu formulele obținute la placa dreptunghilară, de laturi a și b, simplu rezemată pe contur, vom avea și-n cazul de față, pentru mărimile care ne interesează, formule similare.
Astfel, pentru frecvența circulară a oscilațiilor proprii, în conformitate cu relația (2.09), vom avea formula:
ω2mn= π4( 2 (5.8)
Funcțiile proprii pentru condițiile la limita corespunzătoare conturului simplu rezemat su articulat, prin analogie cu (2.10), vor fi date de expresia:
wmn= sin (5.9) Soluția general a ecuație idiferențiale omogene are forma:
w1 = w2 = w = cosωmnt+Bmnsinωmnt) sin (5.10) Ca și la placa simplă, coeficienții Amn și Bmn se determină, în formă generală, din condițiile inițiale, rezultând expresiile:
Amn= sindxdy (5.11) Bmn= sindxdy
undeși–reprezintă săgeata și viteza în momentul de timp considerat ca initial.
Dacă se consider ca moment initial t=0, atunci în acel moment sistemul se află în repaus, deci w0= 0 și drept urmare și Amn= 0.
Viteza în momentul inițial considerat se determină din impulsul exterior dat, admițând că, cantitatea de mișcare a masei, în fiecare punct al saltelei de protecție (pe ea se aplicându-se impulsul), este egală cu impulsul exterior aplicat acelei mase:
=p(x,y); = p (x,y)
Înlocuind viteza în expresia 5.11 se obține pentru Bmn:
Bmn= p(x,y)dxdy (5.111)
În acest fel, pentru săgeata w în oricare punct al planșeului stratificat se obține înlocuind (5.11’) în (5.10) și ținând seama că Amn= 0, următoarea expresie generală (similară cu (2.14)):
w = w1 = w2 = (5.12)
Această expresie este întrucâtva complicată din cauza coeficientului Bmn introdus în ea. Problema calculării coeficientului Bmn se reduce la descompunerea funcției impulsului p(xy) într-o serie dublă Fourier.
Problema se simplifică considerabil în cazul unui impuls uniform distribuit p(xy)=p0.
Atunci,
Bmn= (1-cos mπ)(1-cos nπ) (5.112)
Dacă m și n sunt numere pare, Bmn=0, iar dacă ambele sunt numere impare, atunci:
Bmn= (5.113)
Înlocuind în această expresie frecvența ωmn cu valoarea sa, dată de relația (5.8), se obține:
Bmn= (5.114)
Cu aceasta, săgeata maximă la mijlocul planșeului, pentru x= și y = , se obține, conform (5.12) și (5.114), sub forma:
= =
(5.13) Momentele încovoietoare maxime, la mijlocul planșeului de rezistență, prin analogie cu formulele (2.16), vor avea expresiile:
=
(5.14)
=
(5.141)
unde – coeficientul lui Poisson
Momentul de răsucire Mxy, la mijlocul plăcii, va fi nul, iar pe contur va avea valoarea maximă:
= (5.15)
Dacă la fel ca și în cazul plăcii simple ne limităm numai la primul termen al seriei (m=n=1), atunci săgeata maximă va avea loc la mijlocul plăcii, pentru timpul t=și va avea valoarea:
= 0,16
0,57 (5.16)
Pentru aceeași situație, momentele încovoietoare și de torsiune maxime, pentru planșeul de rezistență, vor fi:
=
0,47 ;
=
0,47 ;
= (1-)
0,47 (5.17)
Se observă că aceste relații diferă de cele de la placa simplă (2.18) și (2.18’) numai prin deosebiri în ceea ce privește rigiditatea (ca și acolo, s-a luat h=p0ab).
Dacă la momentul inițial t=0, în centrul plăcii va fi aplicat un impuls concentrat Hc, instantaneu, atunci pentru calculul coeficientului Bmn, valorile funcției proprii sin sin pot fi considerate constante și scoase de sub semnul integralei. În acest caz, se va obține:
Bmn= sin ;
integrala dublă fiind egală cu impulsul exterior concentrat Hc.
Considerând că m=1,3,5…; n=1,3,5…, atunci:
sin= ; sin =
și deci:
Bmn=
Înlocuind expresia săgeții, se obține pentru aceasta:
w = sinsin ∙sin (5.18)
De menționat că în această expresie se urmărește să se exprime săgeata în funcție de frecvența fundamentală ω11. Totodată, impulsul aplicat fiind concentrat, se consideră că el antrenează în mișcare întreaga masă a planșeului stratificat și de aceea s-a luat ρ în loc de ρ2.
Din relația (5.8) se constată că raportul frecvențelor se poate calcula cu formula:
= =
Pentru placa pătrată (a=b), se obține:
Folosind ecuația (5.18) se pot construi suprafețele deformate ale plăcii pentru diferite momente t.
Săgeata la mijlocul deschiderii plăciix = și y = va fi:
w = (sin )(sin
∙sin ()
Luând ca și mai sus:
sin = sin = .,
se obține:
w = sin (
Dacă se calculează valoarea săgeții pentru timpul t= T1, unde T1= este perioada de oscilație cu frecvența fundamentală, și dacă ne limităm la primii trei termeni ai seriei, atunci, ținând seama că === = 180, va rezulta:
w = sin 180 + sin 180 + ∙ sin 180 ]= 2,4
În mod analogic, folosind ecuația (5.18) pentru secțiunea de la sfertul deschiderii (x= , y= ), se obține:
w =
sin
și pentru t= , rezultă:
= (0,500 sin 180. 0,70 – 0,100 sin 180 . 0,707 ) ≅0,940
Urmând aceeași cale pentru secțiunea x= , y= , se obține:
= (0,500 . 0,707 . 0,709 sin 180 – 0,100 . 0,707 . 0,707 sin 900)
≅ 0,016
În fig.5.6 sunt prezentate suprafețele elastice deformate ale plăcii stratificate, atât pentru t=T1 cât și pentru t=T1.
t=0,25T
Fig.5.6
5.4.3 Cazul planșeului stratificat cu o saltea de protecție de rigiditate infinită
Se consideră un planșeu stratificat alcătuit dintr-o saltea de rigiditate infinită, un strat de repartiție normal și un planșeu portant tot de rigiditate infinită (fig.5.7).
Fig.5.7
Pentru acest caz, se poate deduce ușor că cele două plăci extreme (salteaua și planșeul portant) nu vor suferi deformații de încovoiere.
Datorită însă oscilațiilor longitudinale ale coloanelor stratului de repartiție, salteaua va efectua, ca un corp rigid, oscilații transversale.
În conformitate cu aceste precizăti, ecuația diferențială de mișcare a unui element izolat din stratul de repartiție, va fi ecuația (5.2), scrisă sub forma:
E0A0 + (5.19)
Vom căuta soluția acestei ecuații sub forma seriei:
W = T(t) (5.20) Derivând și introducând în (5.19), rezultă:
=
Lăsând la o parte soluția banală w(z,t)=0, împărțim cu și variabilele se separă:
= = k
Cele două rapoarte se reduc la o constantă k, deoarece variabilele z și t sunt
independente.
Rezultă ecuațiile diferențiale:
+ = 0
+ = 0
sau:
+φ = 0 = (5.21)
+ = 0
Prima ecuație are soluția:
+ (5.22) iar a doua, analog:
= A sinωt + B cosω (5.23) Rezultă soluția generală a ecuației (5.20).
W = ) (sin (5.24) Determinăm mai întâi constantele și pentru următoarele condiții limită:
– pentru z=0, planșeul de rezistență are săgeata nulă, deci w=0 și rezultă =0;
-pentru z=, la partea superioară a stratului de repartiție forța normală de întindere – compresiune este egală cu forța de inerție a masei totale m a saltelei.
Conform relațiilor (b) și (c) de la subpunctul (a), avem:
z=h0 = – m z=h0 Calculăm derivatele funcției w(z,t) dată de ecuația (5.24), necesare egalității (d). Vom avea:
z=h0 = ∝Asin
z=h0 = -sin ∝ (Asin
Înlocuind în relația (d) se obține:
Simplificând cu și cu paranteza, rămâne:
m sin ∝
sau:
∝ ctg (∝ = m= m∙ ∙= m∙
Notând cu = masa stratului de repartiție și simplificând cu ∝ se obține ecuația frecvenței:
ctg (∝ ) = (∝ ) ∙
În cele de mai sus s-a ținut seama de relația (5.21).
=
Soluția acestei ecuații se poate obține pe cale grafică. Astfel, construind graficul funcției ctg (∝ ) dreptele, la intersecția acestora (fig.5.8), se găsesc pe axa absciselor mărimile ∝, . Așa spre exemplu, pentru dreapta 1, rezultă din grafic:
= 0,87; = 3,40; = 6,40
și în general:
= (n-ε)π; ε≤1
Corespunzător valorilor, avem frecvențele (conform formulei 5.21):
= 0,87 ; = 3,40 ; = 6,40
și în general:
=
Pentru valori mari ale mărimii, ecuația frecvenței se reduce la forma:
ctg = 0
Pentru alte rapoarte m/, frecvențele vor fi altele, diferite de cele deduse mai sus. Cu creșterea raportului prima frecvență (fundamentală) se micșorează. Când salteaua de protecție ar avea masa neglijabilă (sau n-ar exista), m=0, și deci ctg ∝=0 și = , unde n =1,3,5… Acestor valori le corespund frecvențele:
= ; = ;
și în general
= ;
Se observă că în acest caz (pentru m=0), micșorarea va fi periodică, deci avem de-a face cu oscilații armonice (frecvențele fiind multipli de numere întregi). În prezența saltelei de protecție, m>0 și deci mișcarea nu mai este periodică.
Dacă salteaua de protecție se realizează cu conturul încastrat, aceasta echivalează cu m=∞. Dreapta corespunzătoare devine paralelă cu axa ordonatelor și nu intersectează curba ctg ; rezultă, după cum e și normal că, nu vom avea oscilații (ω=0).
Folosind relația (5.22), funcțiile proprii pentru =1, au forma:
sin 0,87 ; sin 3,4 ; sin 6,4 .
Deplasarea unui punct curent al sistemului se determină cu formula (5.29), în care =0 și =1.
w(z,t) =sin (5.26)
unde depinde de raportul . De exemplu, pentru =1, expresia deplasării ia forma:
w(z,t) = sin 0,87 sin+ sin 3,40 sin + sin 6,40sin +…
Revenind la expresia (5.26), să determinăm coeficienții și , folosind condițiile inițiale ale sistemului oscilant. Astfel, la t=0, fie dată o lege de variație a deplasărilor=(z) și o lege de variație a vitezelor =. Pentru t=0, expresia (5.26) devine:
= w(z,0) = ∙ =
Înmulțim ambele părți ale acestei egalități cu sin și integrăm de la 0 la . Atunci, folosind proprietatea generală de ortogonalitate a funcțiilor proprii, toți termenii seriei care au produse de forma sin sin , pentru n=m devin nuli; din această cauză, în partea stângă a egalității, din suma infinită de termeni rămâne numai unul (pentru n=m)și deci:
=
e aici, pentru calculul coeficientului , se obține formula:
(5.27)
unde:
În mod analog, se determină coeficientul . Pentru aceasta calculăm prin derivarea expresiei (5.26), viteza :
=
Conform celor stabilite anterior, pentru t=0:
=
Procedând ca și pentru , rezultă:
(5.28) Admițând că salteaua de protecție, la t=0 avem o viteză , în punctul z=h0, iarîn toatecelelaltepuncte ale sistemului ρ0(z)=0, atunci, conform formulei (5.28):
h1 fiind grosimea saltelei (fig.5.7).
Dar, după cum se știe:
= h1
unde:
H – impulsul comunicat saltelei;
M – masa saltelei.
Cu aceasta, coeficientul An va fi:
An=∙
Să determinăm pe βn:
βn = = (1- )
Pentru valori mari ∝0h0, care corespund frecvențelor superioare, putem scrie:
βn = (1- )
și, așa cum s-a arătat deja:
ωn= (n-ε)
Cu aceste mărimi, coeficientul An devine:
An=
Pentru=1, dacă se folosesc cele trei rădăcini deduse mai înainte, pentru ecuația (5.25), atunci:
A1= = +4.125
A2= = 0,165
A3= = +0,040
Pentru restul coeficienților se poate lua ε=0,05π și atunci:
An= =
Din relația (5.27), coeficientul Bn rezultă nul, dacă se admite că la t=0, săgeata inițială f0(z) =0.
Săgeata maximă a saltelei de protecție, pentru z=h0 va fi, după aceste precizări, dată de expresia:
Wmax= (3,155-0,043+0,004) = 3,15 (5.29)
5.4.4. Variația eforturilor în stratul de distribuție după o lege liniară
Presupunem de la început că examinăm oscilațiile proprii ale plăcilor stratificate, reprezentate schematic în fig.5.4.
În paragraful 5.2.1, conform fig.5.4, am dedus ecuațiile diferențiale (5.1) și (5.3), care, pentru q(xyt)=0, pot fi scrise sub forma:
D1- N + = 0
D2 N + I+ = 0 (5.30)
unde, prima ecuație reprezintă condiția de echilibru a unui element izolat din placa de jos, iar a doua, ecuația de echilibru a unui element izolat din placa de sus a planșeului.
Reamintim că, în aceste ecuații, N reprezintă presiunea care se transmite prin stratul elastic la placa de jos, iar I reprezintă forța de inerție a unei coloane verticale de material, separată din stratul elastic; celelalte notații își au semnificațiile conform fig.5.4.
Am specificat anterior că forța de inerție a coloanei verticale o găsim prin însumarea tuturor forțelor de inerție care se referă la elementul izolat din coloană:
I =dz
Dacă se folosește fig.5.4 atunci se observă că săgeata w3 a stratului elastic se poate reprezenta în funcție de săgețile w1 și w2 ale planșeului portant și respectiv saltelei de protecție. Avem deci:
W3= w1 + (w2-w1) = w1 (1- + w2
Cum accelerația nu depinde de variabila z, atunci putem scrie:
= (1-)+ ∙
Înlocuind aceasta în expresia forței de inerție I, se obține:
I = (1-)dz + ∙dz = 0,5 + (5.31)
Pentru a scoate forța N din ecuațiile (5.30), calculăm alungirea coloanei stratului de repartiție:
∆=
unde N0= N + I, este forța normală în secțiunea coloanei, situată la distanța z de jos.
N0= N + (1-)dz+ ∙dz = N + (z-) + ()
Înlocuind, rezultă:
∆h0= + ∙ ( – ) + ∙ ∙
sau:
∆h0= + +
Dar, alungirea coloanei stratului elastic este egală cu diferența săgeților plăcii superioare și inferioare, deci:
∆h0= w2 – w1 = + +
Rezolvând această ecuație în raport cu N, se obține:
N = () D3 – (5.32)
Substituim acum valorile lui N din ecuația (5.32) și I din ecuația (5.31) în ecuațiile (5.30), rezultă:
D11 – () D3 + + ρ1=0
D22+()D3-+(+=0
În final, ordonând altfel termenii, se obțin două ecuații cu două necunoscute:
D11+(ρ1 + –(w2- w1) =0 (5.33)
D22+(ρ2+(w2- w1) =0
Aceste două ecuații trebuie rezolvate împreună. Dacă se adună termen cu termen se obține o formă mai simplă:
D11+D22 + (ρ1 +)+ (ρ2 +)= 0 (5.34)
Pot exista două cazuri de oscilație a sistemului.
Primul caz îl constituie o asemenea mișcare încât ambele plăci, superioară și inferioară, să efectueze o aceeași mișcare, adică w2= w1 = w; în această situație, ecuația (5.34) va avea forma:
(D1 + D2) (++) = 0 (5.35)
Al doilea caz se întâmplă dacă cele două plăci au oscilații egale și de semn contrar, adică w2= -w1 și= .
Ecuația de mișcare pentru acest caz se obține scăzând prima din a doua ecuație din grupul (5.33):
D22+D11 + (ρ2 +) – (ρ1 + )= 0
Înlocuind în această ecuație w2= – w1 și = =, se obține pentru cel de-al doileacaz ecuația de mișcare sub forma:
(D1 + D2) (++) = 0 (5.36) Se poate urma și o altă cale pentru alcătuirea ecuației de mișcare a plăcii cu trei straturi; pentru aceasta descompunem epura deplasărilor corespunzătoare unei coloane din stratul de repartiție în componentele simetrică și antisimetrică (fig.5.9).
În cazul general, evident, pe grosimea stratului de repartiție, epura deplasărilor are un contur curb, dar pentru grosime nu prea mare a stratului elastic această epură poate fi considerată drept liniară. În această situație, este mai comod pentru calcule, ca în locul necunoscutelor w1 și w2 să se introducă un alt grup de necunoscute s1 și s2 legate de cele vechi prin relațiile:
s1= ; s2= ;
Fig.5.9
Alcătuim acum, pentru noile variabile, două ecuații diferențiale. Prima va coincide cu ecuația (5.35) și are forma:
(D1 + D2) (++) = 0 (5.37)
Unde primul termen reprezintă forțele elastice ale plăcilor inferioară și superioară, iar al doilea forța de inerție masică a tuturor celor trei elemente, acestea având aceeași deplasare
Cea de-a doua ecuație se obține dacă se egalează reacțiunea stratului de repartiție cu semisuma forțelor care acționează la părțile inferioară și superioară și care comprimă sau întind coloanele acestui strat.
Rezultă:
= s2 (5.38)
Această ecuație coincide cu ecuația (5.36).
În primul caz s-a obținut, după cum se poate observa ușor, ecuația generală diferențială de oscilație a plăcii. Soluția acestei ecuații are forma obișnuită a unei serii:
S1= smn (Amncosωmnt + Bmnsinωmnt) (5.39) De remarcat ca și în cazul plăcii obișnuite că această ecuație corespunde întregului spectru al frecvențelor și funcțiilor proprii respective.
Astfel, în cazul când ambele plăci (salteaua de protecție și planșeul portant) sunt simplu rezemate pe contur, frecvențele circulare ale oscilațiilor proprii se vor calcula cu formula (2.10) în care trebuie să se înlocuiască D cu D1+D2 și ρ cu ρ1+ρ2+, deci:
ωmn= (+ ) (5.40)
Funcțiile proprii vor avea forma obișnuită, dacă ambele plăci sunt simplu rezemate pe contur:
Smn= sin sin
Pentru oscilațiile antisimetrice (w2 = -w1), ecuația diferențială (5.38) corespunde oscilațiilor unei plăci care reazemă pe fundație elastică. Ca și în primul caz, soluția acestei ecuații o căutăm tot sub forma unei serii:
s2= (5.41)
Funcțiile proprii se vor determina din ecuația:
(D1 + D2) = 0
care, pentru plăcile superioară și inferioară, simpu rezemate pe contur, satisface atât funcția armonică,
Sik= sin sin
cât și condiția suplimentară:
(D1 + D2) (= 0
din care se scoate ecuația frecvențelor:
(5.42)
Având în vedere relațiile (5.39) și (5.41), pe de-o parte, și relațile dintre s1, s2 și w1, w2, pe de altă parte, ecuația oscilațiilor proprii pentru planșeul de rezistență va fi:
W1= s1 – s2 = + –+ (5.43)
In mod analog, ținând seama de aceleași observații, ecuația oscilațiilor proprii ale saltelei de protecție, rezultă a avea forma:
w2= s1 + s2= + + +) (5.44)
Analizând formulele (5.43) și (5.44), se poate da următoarea interpretare, din punct de vedere fizic, transformării efectuate: mișcarea elementului izolat din planșeu poate fi considerată ca rezultat al compunerii a două forme de oscilații, fiecare din ele corespunzând pe deplin condițiilor determinante exterioare. De exemplu, dacă impulsul exterior este repartizat pe grosimea planșeului după o astfel de lege încât creează aceleași condiții inițiale pentru ambele plăci, atunci acest impuls va provoca forme de oscilații care corespund numai epurei simetrice de deplasare; formele de oscilații corespunzătoare epurei antisimetrice de deplasare, vor fi în acest caz nule.
Se deduce de aici că, un impuls oarecare aplicat unui planșeu stratificat, provoacă, în general, ambele forme de oscilații. Atunci, extinzând generalizarea, pentru rezolvarea problemei acțiunii comune a două impulsuri, e suficient a examina mișcarea considerând ambele forme de oscilații.
Revenind la cazul tratat, unde oscilațiile sistemului sunt provocate de un impuls exterior instantaneu, conform condiției inițiale ca la t=0 deplasările ambelor plăci să fie nule, rezultă din formulele (5.39) și (5.41) coeficienții Amn=0 și Aik=0.
Rămân de determinat coeficienții Bmn și Bik, în care scop descompunem impulsul p(x,y) dat în două componente, conform schemelor din fig.5.10b și 5.10c.
p(x,y) p`(x,y) p„(x,y)
a b p`(x,y) c p„(x,y)
Fig.5.10
În fig.5.10b este reprezentată componenta impulsului care provoacă formele de oscilații corespunzătoare lui s1 iar pe fig.5.10c componenta care provoacă formele de oscilații corespunzătoare lui s2.
Pentru prima componentă a impulsului (fig.5.10b) condițiile inițiale sunt:
pentru t=0; s1= 0 și
Calculăm derivata din formula (5.39) ținând seama că Amn=0 și înlocuind totodată pe smn:
Punând acum condiția inițială de mai sus, rezultă:
=
Înmulțind membrii acestei egalități cu sinși ținând seama pe baza proprietății de artogonalitate a funcțiilor proprii că în partea dreaptă toate produsele pentru care m≠n sunt nule, și efectuând totodată integrarea pe toată suprafața plăcii, rezultă:
Bmn= sin sin dxdy
Pentru cea de-a doua componentă a impulsului (fig.5.10c) condițiile inițiale sunt:
pentru t=0; s2=0 și =
Procedând la fel ca și în cazul lui Bmn, se găsește din ecuația (5.41):
Bik= sin sin dxdy (5.46)
Cunoscând legea de distribuție a impulsului (xy) sau cu formulele (5.45) și (5.46) se pot calcula coeficienții Bmn și Bik. De exemplu, pentru impulsul distribuit pe suprafața plăcii, se obține:
Bmn= (5.47)
și
Bik=
În acest caz, conform formulei (5.43), săgeata planșeului de rezistență va fi:
W1 = sin sin sin –
sin sin sin
Din formulele deduse, făcând o analiză comparativă între tratarea problemei prin descompunerea impulsului în cele două componente p’și p’’ și tratarea problemei considerând impulsul uniform distribuit pe grosimea planșeului, rezultă că săgeata reală a planșeului de rezistență, determinată în primul caz, este mai mică decât cea determinată în cel de-al doilea caz.
Să analizăm mai în detaliu această problemă printr-un exemplu de calcul.
Fie planșeul stratificat din fig.5.11, având salteaua de protecție identică ca rigiditate și masă cu planșeul portant, acționat în ansamblu de un impuls p, distribuit pe deschidere după o lege sinusoidală: p = p0 sin . În direcția y impulsul este constant (pentru o abscisă x dată) și din această cauză putem considera plăcile ca două grinzi de lătime unitară; ambele plăci se consideră simplu rezemate pe contur.
p
Fig.5.11
Vom descompune impulsul p în două componente:
p1 care provoacă oscilarea ambelor plăci numai în aceeași fază, plăcile având săgețile, la un moment dat, sau în jos sau în sus (fig.5.12a);
p2 care provoacă oscilarea plăcilor în sensuri opuse, adică la un moment dat salteaua se deplasează în jos, atunci planșeul portant se deplasează cu aceeași mărime, dar în sus (fig.5.12b).
p1
p1
a)
p2
p2
b)
Fig.5.12
Considerând că pe grosimea planșeului impulsul se propagă uniform (deci are o distribuție constantă), rezultă mărimile celor două componente ale sale:
p1= p2 = sin (5.49)
Vom examina oscilațiile sistemului sub acțiunea fiecărui impuls în parte.
Pentru impulsul p1, după formula (5.39), considerând că la t=0 condițiile inițiale sunt:
S1= 0, rezultă Amn = 0 și
= ,
de unde, urmând ordinea obișnuită a calculelor și folosind ortogonaliatea funcțiilor proprii, se obține pentru Bmn expresia:
Bmn= smndx
Înlocuind acum, p1= sinși smn = sin rezultă toți coeficienții Bmn=0, în afară de unul singur:
B1= ∙∙= (5.50) Așadar, în cazul dat, din seria infinită rămâne numai primul termen deoarece impulsul exterior fiind distribuit pe lungimea plăcii, după o lege sinusoidală, coincide chiar cu una din formele oscilațiilor proprii; această acțiune exterioară provoacă oscilații cu aspect corespunzător formei sale.
Pentru s1, înlocuind în expresia (5.30) pe smn și B1, se obține formula:
s1= sinsin ω1t (5.51) Frecvența circulară a acestei forme de oscilații se determină după formula (5.40) cu substituirile corespunzătoare. Rezultă:
ω1= (5.52)
În cazul impulsului p2, după formula (5.41), considerând că la t=0 condițiile inițiale sunt:
S2= 0, rezultă Aik= 0 și
= de unde, urmând aceeași ordine a calculelor și înlocuind,
p2= sinși sik= sin , rezultă toți coeficienții Bik=0, în afară de
= ∙∙= (5.53) Pentru s2, înlocuind în expresia (5.41) pe sik și B’1, se obține:
s2= sinsin t (5.54) Frecvența circulară corespunzătoare acestei forme de oscilații se determină cu formula (5.42), în care trebuie să se înlocuiască i=1, k=0, D2=D1 și a=L, rezultă:
= (5.55) Compunând cele două forme de oscilații, date de relațiile (5.51) și (5.54), conform formulei (5.43), se determină oscilațiile planșeului de rezistență, rezultând expresia:
w1= s1- s2 =
sau:
w1 = sin (5.56)
Determinăm raportul frecvențelor celor două forme de oscilații (conform formulelor (5.5.2) și (5.55):
∝= = = = (5.57) Săgeata maximă a planșeului de rezistență va avea loc pentru maximul expresiei
În mod analog, efectuând compunerea celor două forme de oscilații, după formula (5.44), se determină oscilațile saltelei de protecție; rezultă expresia:
w2= s1 + s2 =sin (5.58)
Săgeata maximă a saltelei va avea loc pentru maximul expresiei:
Să examinăm, în mod amănunțit, deplasările ambelor plăci, pentru mărimile ∝ == 0,5 și = 1.
Conform formulelor (5.56) și (5.58), ecuațiile oscilațiilor celor două plăci, vor fi:
w1= sin (5.59)
w2= sin
Săgeata maxima a planșeului de rezistență va avea loc pentru maximul parantezei din expresia lui w1 din grupul de relații (5.59). Se vede ușor că acest lucru se obține pentru:
2= , deci t = = = T1
Valoarea săgeții maxime a planșeului portant va fi:
sin=
= sin ≅ 0,23sin (5.60)
În mod analog, săgeata maximă a saltelei de protecție va avea loc pentru maximul parantezei din cea de-a doua expresie din grupul (5.59), lucru ce se obține pentru:
2= , deci t = =∙ = T1
Săgeata maximă a saltelei va avea, cum e și normal, aceeași valoare ca și săgeata maximă a planșeului portant, dar ele sunt atinse în momente de timp diferite: T1 pentru planșeul de rezistență și T1 pentru saltea, adică săgețile maxime ale plăcii inferioare se produc mai târziu cu un sfert de perioadă (T1 – T1 = T1) decât cele ale plăcii superioare.
Variația săgeților în timp este arătată pe graficul din fig.5.13 (pentru ∝= 0,5 deci = 2, adică un număr par).
Dacă este un număr impar, graficul oscilațiilor planșeului de rezistență va avea aspectul indicat pe fig.5.13a iar al oscilațiilor saltelei cel indicat pe fig.5.14b; se constată că placa de sus se mișcă după o altă lege decât cea de jos. Aceste grafice au fost construite pentru ∝= 3.
W
α=0,5
t
a)
α=0,5
w
b ) t
Fig.5.13
α=0,3
w
a) t
α=0,3
w
t
b)
Fig.5.14
5.5 Rezolvarea aproximativă a problemei oscilațiilor proprii ale plăcilor stratificate.
5.5.1 Soluția aproximativă a problemei
Ca și în cazul metodelor aproximative folosite la studiul oscilațiilor proprii ale plăcilor simple, sistemul de plăci stratificate din fig.5.15 se examinează la fel ca sistemul cu un singur grad de libertate, deși este alcătuit dintr-o saltea de protecție (sp), strat de distribuție (s d) și planșeu de rezistență (pr).
Într-o primă aproximație, impulsul exterior H se poate înlocui cu o serie de forțe aplicate static și scționând asupra diverselor mase concentrate din saltea, stratul de distribuție și planșeul portant (fig.5.15b).
b)
Fig.5.15
Din cauza forțelor considerate ca aplicate static, trebuie determinate deplasările tuturor punctelor sistemului. Această problemă se rezolvă prin metoda mixtă din statica construcțiilor. În care scop este necesar să se aleagă o formă de bază a sistemului inițial dat, așa cum se arată în fig.5.16. Se observă că există o analogie în privința rezolvării, lucru ce este posibil atunci când în direcție perpendiculară pe deschiderea din desen, impulsul este constant și deci, în mod aproximativ, se poate lucra cu o lățime de placă egală cu unitatea.
Fig.5.16
Pentru sistemul de bază ales, drept necunoscute se consideră eforturile Xi din resorturi și deplasarea verticală z a mijlocului deschiderii saltelei de protecție.
Pentru determinarea necunoscutelor, se alcătuiește următorul sistem de ecuații:
δ11×1+ δ12×2+ δ13×3+…….+ δ1nxn+ Δ1p=0
δ21×1+ δ22×2+ δ23×3+…….+ δ2nxn+z0+ Δ2p=0
δ31×1+ δ32×2+ δ33×3+…….+ δ3nxn+z0+ Δ3p=0
.
.
δn1x1+ δn2x2+ δn3x3+…….+ δnnxn+z0+ Δnp=0
x1+x2+ x3+…….+ xn+=0
unde
δij reprezintă deplasările unitare calculate după formulele obișnuite din Statica construcțiilor;
Δnp- deplasările pe forma de bază provocate de forțele
Z0- deplasarea mijlocului saltelei de protecție;
– forțele de inerție aplicate maselor din saltea.
Pentru prima aproximare se poate considera că forțele se pot calcula cu formula:
ΔmikYikω2 (5.62)
Unde
Δmik- reprezintă masa concentrată în punctul curent i;
Yik – deplasarea verticală a punctului i, determinată în aproximarea precedentă;
ω- frecvența circulară a oscilațiilor proprii.
Frecvența circulară fundamentală a oscilațiilor proprii se calculează prin una din metodele aproximative tratate la plăcile simple, pe calea egalării energiei cinetice în momentul inițial cu energia potențială din momentul îndepărtării maxime a sistemului de la poziția sa de echilibru.
Energia cinetică a sistemului va fi egală cu:
Ēcmax= Ecs + Eco + Ecp (5.63) unde Ecmax – este energia cinetică corespunzătoare frecvenței ω=1;
Ecs, Eco, Ecp – sunt energiile cinetice ale saltelei, stratului de distribuție și
planșeului de rezistență.
Energia potențială Epmax a întregului sistem se compune, de asemenea, din energiile potențiale ale saltelei, stratului de distribuție și planșeului portant:
Epmax= Eps + Epo + Epp (5.64) Frecvența oscilațiilor proprii se determină cu formula:
= (5.65) Pentru determinarea energiilor potențială și cinetică, aplicăm planșeului stratificat o sarcină unitară cu aceeași lege de distribuție ca și sarcina dinamică exterioară; atunci pentru fâșia de planșeu de lățime unitară vom avea:
energia potențială:
Epmax= ds + ds + ds (5.66)
energia cinetică:
cmax= (5.67)
În aceaste formule, semnificațiile termenilor sunt:
Ms, Mp – funcțiile momentului încovoietor în saltea și planșeul portant;
N0 – funcția forței axiale în stratul de distribuție;
(EI)p, (EI)s – rigiditățile la încovoiere ale planșeului portant și saltelei;
(EI)0 – rigiditatea la compresiune a stratului de distribuție;
Xs, Xp, X0 – ecuațiile liniilor elastice ale saltelei, planșeului de rezistență și stratului de distribuție;
ms, mp, m0 – masele unităților de suprafață ale saltelei, planșeului portant și stratului de distribuție.
În formula (5.66) a energiei potențiale maxime, primii doi termeni corespund energiei de deformație la încovoiere a planșeului portant și saltelei, iar cel de-al treilea termen corespunde lucrului mecanic al stării plane de deformații în cazul compresiunii pentru stratul de distribuție.
Formula (5.67) corespunde expresiei (4.59) de la metodele aproximative în cazul plăcilor simple și a fost demonstrată acolo.
Având determinate necunoscutele Xi din sistemul de ecuații (5.61) și forțele de inerție, conform formulei (5.62), se poate calcula presiunea pe planșeul portant, corespunzător formei de bază din fig.5.16, prin împărțirea forțelor Xi+ Pik la suprafața Ai care le corespunde:
qp= (5.68) Presiunea statică echivalentă pentru impulsul H, va fi:
qech= qpHω (5.69)
5.5.2 Aplicarea metodelor aproximative la unele cazuri particulare de planșee stratificate
Aplicația nr.1
Se consideră un planșeu stratificat alcătuit dintr-o saltea de protecție care are o rigiditate mare și un strat de distribuție așezat pe un planșeu de rigiditate infinită (fig.5.17).
H=1
Epura deplasărilor
zo
ho EOρO N=1
h1 f(z)
L
Epura presiunilor
Fig.5.17
Alăturat se reprezintă și epurele deplasărilor și presiunilor.
Deplasarea unui punct arbitrar, așezat la distanța z de planșeul portant, se calculează cu formula alungirii, în cazul compresiunii, din rezistența materialelor:
∆L =
În cazul examinat, pentru H=1 și pentru datele problemei:
Exemplele practice au unele date luate din lucrarea
X0= f(z) = = = (5.70) unde E0- este modulul de elasticitate al materialului din stratul de distribuție;
f(z)- funcția deplasărilor care se va determina prin aproximații succesive.
Prima aproximație se poate considera acțiunea pe suprafața saltelei, a forței elastice H=1, epurele corespunzătoare pentru deplasări și presiuni sunt construite pentru acest caz în fig. 5.17.
Salteaua de protecție având o rigiditate mare, toate punctele ei vor avea o aceeași deplasare care, evident, va fi egală cu tasarea stratului elastic și, deci, conform relației (5.70), va avea valoarea:
z0=
În acest caz, când planșeul de rezistențăare o rigiditate infinită, el nu se deformează sub acțiunea impulsului H=1, și deci, energia cinetică va fi alcătuită numai din energia cinetică a saltelei și a stratului de distribuție:
Ēcmax=
Înlocuind în această expresie ecuațiile liniilor elastice prin relațiile (a) și (5.70), rezultă:
Ēcmax=
unde hsși h0 sunt grosimile saltelei și respectiv stratului de distribuție iar dms și dm0 sunt masele elementelor izolate din saltea și stratul de distribuție, care se pot exprima astfel:
dms= Asdz și dm0 =A0dz
Substituind aceste expresii în relația energiei cinetice, rezultă:
Ēcmax==
= ∙= (A (5.71)
unde s-a notat As= A0 = A, deoarece As=A0=1∙L
Energia potențială de deformație se acumulează numai în stratul de repartiție și conform relației (5.66) va fi egală cu:
Epmax= dz = dz = (5.72) Având determinate energiile cinetică și potențială, putem calcula, folosind formula (5.65), frecvența circulară fundamentală a oscilațiilor proprii ale planșeului stratificat:
= ∙ =
sau
ω = = (5.73)
Sarcina statică echivalentă impulsului H, va fi:
Pech= Hω =
Sarcina statică echivalentă, uniform distribuită, va fi (ținând seama ca pc= :
qech= = (5.74) Se pot acum continua calculele cu o a doua aproximare pentru funcția X0= f(z), luând în considerare și forțele de inerție. Acestea vor fi distribuite pe înălțimea stratului de distribuție după legea luată pentru prima aproximare a funcției f(z).
Pentru a doua aproximare, schema de calcul este reprezentată în fig.5.18.
Fig.5.18
Pentru a găsi expresia deplasărilor, izolăm din stratul de distribuție un strat elementar prin două secțiuni orizontale dispuse la distanța dz și scriem expresia deformației acestuia:
d∆z = ,
unde
p= = – (b) Înlocuind P în expresia lui d∆z și întregind, rezultă deformația:
∆z = ( – ) dz = (∙ z – ) = f(z) (5.75)
în care a – este un coeficient numeric
Energia cinetică de deformare este dată de ultimii doi termeni din relația (5.67), în care:
X0=f(z); XS= z=h0 = ∙
și dm0= 0Adyz; dms = sAdz
Înlocuind, rezultă:
Ēcmax= = { + + )dz + ( 6 = ( + + ) + () ()= ( (0,216 + 0,444 ∙ ) (5.76)
Energia potentială se determină cu formula (5.66) din care se ia în considerare numai ultimul termen corespunzător stratului de distribuție; se ia totodată N0=P, iar P se înlocuiește cu relația (b). Rezultă:
Epmax= dz = dz = () ( –2+ = ( ) ( ) (1-+ ) = ( ) ( ) (5.77)
Cu aceste valori, frecvența circulară a oscilațiilor proprii, în cea de-a doua aproximație, va fi:
= =
ω= (5.78) Ca și în cazul primei aproximații, se poate acum determina fie sarcina statică echivalentă concentrată:
Pech= Hω = 0,730 ,
fie sarcina statică echivalentă uniform distribuită:
qech = 0,730
În încheierea acestei aplicații să comparăm valorile frecvenței circulare obținute după prima și a doua aproximare.
Dacă am avea = = 0, atunci:
după aproximația 1-a: ;
după aproximația a 2-a: ;
deci o eroare de:
100 = 3,67%
Dacă stratul de distribuție ar fi mult mai gros decât salteaua de protecție, atunci neglijând greutatea acesteia (shs=0), s-ar obține:
după aproximația 1-a: ;
după aproximația a 2-a: ;
deci o eroare de:
100 = 9,25%
Se poate trage concluzia, din aceste calcule comparative că, cea de-a doua aproximare îmbunătățește precizia calculelor, dar pentru anumite cazuri practice (= = 1), efectuarea ei nu este absolut necesară (eroarea de 3,67% putând fi admisă).
Aplicația nr.2
Se consideră o placă de formă pătrată, cu grosimea hp mare și deci și rigiditatea mare, așezată pe un semispațiu elastic (fig.5.19).
În mișcarea sa oscilatorie placa va antrena și o parte din stratul elastic în așa fel că masa care oscilează este o masă redusă alcătuită din masa plăcii și masa unei părți din semispațiul elastic.
Fig.5.19
Admitem că:
mred= ρphpAp + ρ0h0Ap = ρ0h0Ap (0,25 + ∙ )
Deplasarea maximă a plăcii, egală cu tasarea stratului elastic, se poate determina după formula lui Boussinesq ]:
t = () (5.79)
în care:
r – este raza unei plăci circulare rigide;
– coeficientul lui Poisson al semispațiului;
– modulul de elasticitate al semispațiului.
Pentru cazul examinat este necesar a transforma această formulă prin echivalarea dintre suprafața cercului de rază r și suprafața pătratului de latură a:
πr2= a2 r = a
Avem deci:
z0= t = ∙= ∙= ∙= P = 0,886P (5.80)
Considerând pentru semispațiul elastic din nisip, μ0=0,3 rezultă mai departe:
z0=0,886 P = 0,806 (5.80’)
Deplasarea maximă z0, în cazul oscilațiilor armonice ale sistemului cu un singur grad de libertate, se poate considera ca deplasare statică provocată de forța concentrată [44].
Pin= mredz0 (5.81)' Introducând valoarea forței de inerție în expresia deplasării z0 dată de (5.80’), rezultă:
z0= 0,806 ,
de undese obține:
= =
sau, înlocuind Ap= a2 și extragând rădăcina pătrată:
ω= (5.82) Forța dinamică echivalentă Pech care, acționând static, produce același efect ca și acțiunea dinamică a impulsului H, este:
Pech= Hω = (5.83) iar sarcina statică echivalentă, uniform distribuită:
qech= (5.84)
Aplicația nr.3
Prin analogie cu metodele aproximative de la plăcile simple, se poate și aici folosi, cu rezultate suficient de exacte, procedeul în care, pentru formele de oscilații, se iau curbe sau suprafețe convenabile (în sinus sau cosinus) din punct de vedere al comodității calculelor.
Pentru o descriere mai amănunțită a fenomenului este necesar a trata în prealabil sistemele de grinzi stratificate și apoi a trece la problema spațială, adică la planșeele stratificate.
Astfel, pentru un sistem de grinzi stratificate alcătuit din trei grinzi legate între ele cu legături elastice, alegem ca forme posibile de oscilații pe cele arătate în fig.5.20 și unde F1, F2, F3 reprezintă funcțiile:
F1= b1 sin , F2 = a2+b2sin , F3 = a3+b3 sin
a2, a3 și b1, b2, b3 fiind niște coeficienți numerici care se determină prin rezolvarea problemei statice din condiții de continuitate a fibrei medii deformate.
Fig.5.20
Energiile cinetică și potențială ale sistemului de grinzi stratificate se vor compune din energiile tuturor grinzilor și straturilor (legăturilor) elastice intermediare.
Pentru un strat mijlociu, curent, izolat din sistem, energia cinetică va fi alcătuită din:
energia grinzii mijlocii „i”
Ēci= L ∙ (2 + + );
energia stratului “i” de legătură:
Ēci0= +
+
= L(2 + + ) +=
= ,
unde:
∆ai = ai+1 – ai; ∆bi= bi+1 – bi
Pentru același strat mijlociu, cu legăturile corespunzătoare, energia potențială va fi:
Epi= + dx =
= sin)2 dx + dx
= + (2∆)
Pentru întregul sistem de n grinzi stratificate, vom avea:
energia cinetică:
Ēcmax= (5.85) Epmax= (5.86)
Având în vedere expresia lui F1, urmează ca aceste formule să se folosească considerând a1=0.
Având determinate energiile potențială și cinetică, pătratul frecvenței circulare a oscilațiilor proprii ale sistemului de grinzi stratificate se va determina cu formula:
= (5.87)
Să verificăm această formulă particularizând-o pentru grinda simplu rezemată. În acest scop din toată suma vom lua numai primul termen și în el vom pune ai=0 și bi =1.
Rezultă:
= = ,
formulă ce coincide cu aceea care se cunoaște de la studiul oscilațiilor proprii ale grinzii simplu rezemate.
De la problema plană, acum se poate ușor trece la problema spațială, adică la examinarea planșeelor stratificate alcătuite din mai multe plăci.În acest caz, forma suprafeței curbe este comod a se lua ca produs a două sinusuri:
wi= ai + bi (5.88) Calculăm pentru această suprafață deformată energiile cinetică și potențială ale sistemului.
Energia cinetică a unui strat mijlociu se compune din:
energia cinetică a unei plăci mijlocii “i”:
Ēc i= dm = )2dxdy =
= (4 + )
energia cinetică a stratului elastic alăturat:
Ēci0=2dxdy+2dxdydz =
= ab
Pentru întregul sistem alcătuit din “n” straturi, energia cinetică va fi:
Ēcmax= {
) + ( (5.89) La rândul său, energia potențială a unui strat mijlociu “i” se compune din:
energia potențială a plăcii mijlocii “i” izolată din planșeu, care se determină cu formula (4.16) de la plăcile simple:
Epi= dxdy = Dibi;
energia potențială a stratului elastic alăturat:
Ep io= dxdy = (4
Energia potențială totală a întregului sistem este:
Epmax=(5.90)
Cu acestea, expresia pentru pătratul frecvenței ia forma:
(5.91)
Determinarea coeficienților ai și bi
Coeficienții ai și bi, așa cum s-a arătat, se determină din rezolvarea statică a problemei. În acest scop, se examinează un planșeu stratificat, alcătuit din două plăci dreptunghiulare între care se află un strat elastic (fig.5.21), folosind pentru calcul metoda deplasărilor. Prin analogie cu structurile alcătuite din bare, unde forma de bază se lua cu toate nodurile blocate, aici, pentru a bloca punctele unde sunt fixate resorturile, se așează în dreptul fiecărei legături elastice câte o bară inextensibilă (fig.5.21). Deblocarea unui nod echivalează aici cu suprimarea unei astfel de bare (pendul), dând totodată deplasarea compatibilă cu legăturile rămase.
Pe schemele reprezentate în fig.5.22a și b se indică un număr finit de legături elastice (resorturi) între cele două plăci; teoretic, pentru ca modelul adoptat pentru stratul elastic să corespundă din punct de vedere al comportării cu stratul elastic real, se poate presupune că numărul legăturilor elastice este infinit de mare. În acest caz, se obține o distribuție continuă a legăturilor între cele două plăci, pe întreaga suprafață a planșeului:
Fig. 5.21
Pentru metoda de calcul adoptată și pentru schema de calcul aleasă, drept necunoscute vom lua deplasările verticale după direcția legăturilor suplimentare introduse pe forma de bază. În acest scop, luăm pentru suprafața elastică deformată a planșeului, o ecuație sub formă de scris și reprezentăm fiecare necunoscută printr-un grup de necunoscute corespunzând deplasării legăturilor suplimentare după suprafața curbă:
F(x,y)= Zmnsinsin (5.92) Diagramele unitare corespunzătoare necunoscutelor grupate sunt arătate în fig.5.22
Eforturile (reacțiunile) în legăturile suplimentare, provocate de deplasările grupate, se determină din ecuația diferețială a plăcii. Așa cum se vede din fig.5.22a-d, pentru fiecare deplasare unitară suprafața curbă este sinusoidală; pentru un punct curent de coordonate x și y, reacțiunea q(x,y) va fi egală conform ecuației diferențiale, cu:
q(x,y) = -D (+ 2 + )
Fig.5.22
Substituind aici w(xy) =F(xy), rezultă:
q(xy) = D+ 2 + sin sin
În acest fel, se poate considera că deformarea plăcii după o sinusoidă este provocată de o sarcină care are o lege de variație tot sinusoidală. În afară de această sarcină, în legăturile suplimentare se nasc reacțiuni datorită faptului că legăturile elastice care leagă cele două plăci, se deformează. Alungirile absolute ale acestor legături elastice (resorturi) variază pe deschiderea plăcii, tot după o lege sinusoidală; de accea, reacțiunile care corespund acestor alungiri vor fi egale cu:
= sin sin
Reacțiunile totale în legăturile dispuse în punctele curente ale plăcii de jos vor fi egale cu suma reacțiunilor datorită alungirilor legăturilor elastice, pe de o parte și datorită încovoierii plăcii, pe de altă parte, adică:
r(xy) =+ q(xy) = + D + 2 + sin sin
Este necesar a remarca că pentru o deplasare unitară a plăcii inferioare, iau naștere reacțiuni și în legăturile suplimentare de deasupra planșeului: aceste reacțiuni vor fi egale cu cele corespunzătoare din legăturile elastice așezate între plăci. În mod analog, reacțiunile provocate de deplasarea unitară a plăcii superioare, în legăturile suplimentare de sub planșeu, vor fi egale cu eforturile corespunzătoare din resorturile dintre plăci.
Cu aceste observații, se poate trece la stabilirea ecuațiilor canonice pentru necunoscutele Zmn. Pentru aceasta calculăm lucrul mecanic al reacțiunii totale r(xy) prin deplasarea corespunzătoare:
Zmn sin sin , adică:
rmn = sin sin sin dxdy (5.93)
În această expresie, integrala dublă pe baza proprietății de ortogonalitate, este nulă pentru m≠n, și egală cu pentr m=n.
Particularizând expresia (5.93) pentru z1=1 lucrulmecanic va fi:
r11=
și așa mai departe.
Să rezolvăm numeric problema pentru un planșeu pătrat cu o rigiditate constantă a ambelor plăci, limitându-ne la doi termeni ai seriei pentru placa inferioară și la unul pentru cea superioară. Numărul necunoscutelor va fi egal cu 4 deoarece intervine și tasarea plăcii superioare ca un corp rigid (fig.5.22d). Ecuațiile canonice vor fi:
r11z1+r12z2+r13z3+r14z4+R10 = 0
r21z1+r22z2+r23z3+r24z4+R20 = 0
r31z1+r32z2+r33z3+r34z4+R30 = 0
r41z1+r42z2+r43z3+r44z4+R40 = 0
Expresiile suprafețelor elastic deformate se vor lua sub forma:
pentru placa inferioară:
wi= z1sin sin + z2 sin sin ; (5.94) pentru placa inferioară:
ws= z3sin sin + z4 (5.95)
Coeficienții necunoscutelor vor fi:
r11= () = (+ 0,25 );
r13 = – dxdy = – ∙ = – 0,25 ∙;
r14 = – dxdy = – ∙= -∙;
r22 = = 9 (9+ ∙;
r24 = sin dxdy = ∙= ∙∙;
r33 = r11 = (+0,25 );
r34 = – r14 = ∙∙;
r44 = 1 ∙ dxdy = = ∙;
Luând =100 și notând cu ∝= , rezultă:
r11= (100 + 0,25∝); r13 = -0,25 ∝; r14 = 0,40 ∝
r22 = (900 + 0,027∝)∙ 9; r24 = 0,045∝;
r33 = (100 + 0,25∝); r34 = 0,4∝ r44 = ∝
Pentru o forță P=1, aplicată la mijlocul planșeului, rezultă, pentru termenii liberi, următoarele valori:
R10= R20 = 0; R30 = R40 =-1
Luând mai departe pentru ∝ valoarea ∝= = 10 și notând cu β= , sistemul de ecuații canonice se reduce la forma:
102,5z1 – 2,5z3 – 4z4= 0
9∙900,3z2 + 0,45z4 = 0
-2,5z1+102,5z3 +4z4 =β
-4z1+0,45z2 +4z3+10z4 = β
Rezolvând acest sistem, se obțin valorile:
z1=400∙10-5; z2 = -5∙10-5; z3 = 600∙10-5; z4 = 9910∙10-5
Având determinate deplasările z1…z4, cu ajutorul lor se poate determina epura presiunii pe placa inferioară, folosind formula:
q = =
= =
= ∙ (5.96)
Ca verificare, integrând presiunea q de pe întreaga suprafață a plăcii, trebuie să se obțină valoarea forței concentrate P=1. Într-adevăr, efectuând integrarea, rezultă:
= (9910+200 – 5 ) = 10 ∙∙= 1
De asemenea, în funcție de deplasările zi, expresiile săgeților, conform formulelor (5.94) și (5.95), vor fi:
pentru placa superioară:
ws= (9910+600) β (5.95’)
pentru placa inferioară:
wi = (400 ∙ (5.94’)
În încheierea acestei aplicații este necesar a menționa că soluția obținută pentru suprafețele elastice deformate este aproximativă, întrucât ne-am limitat numai la primii doi termeni ai seriilor. Totodată, trebuie subliniat că tendința spre o precizie mai mare nu este justificată deoarece luarea în considerare și a altor termeni, deși îngreunează foarte mult calculele, aduce o corecție mică, neglijabilă chiar, valorii reale a parametrului calculat. De altfel, acest lucru se observă chiar din corecția adusă de al doilea termen pentru valorile săgeților plăcilor planșeului.
Astfel, pentru placa superioară, corecția este:
cs% = 100 = 2,45%;
iar pentru placa inferioară:
ci% = 100 = 0,09%
Rezultă deci că soluția obținută este apropiată de cea reală.
În continuare, să determinăm frecvența oscilațiilor proprii ale planșeului stratificat examinat mai sus, considerând ca solicitare exterioară forța concentrată P(t) aplicată instantaneu la mijlocul deschiderii plăcii superioare și care se menține cu o valoare constantă P0 pe o perioadă de timp t0=0,2T- unde T este perioada oscilațiilor proprii.
Folosind expresiile (5.94’) și (5.95’) ale săgeților plăcilor în care, în prima se poate neglija cel de-al doilea termen, calculîm energiile cinetică și potențială de deformație a planșeului:
Ēc= dxdy + dxdy + 2dzdxdy = { 6002) + 4002 + [4002 + (4 ∙ 99102 + 2002)]} ∙∙ 10-10 = (4104 + 1,6 + ∙ 1332) ∙∙ 10-5
Luând = 1, = 2, și menționând că deja s-a considerat D1=D2 =D, rezultă:
Ēcmax= 3385 ∙ 10-5∙
Ep = D ∙ + [()2 + (4∆ +
+ ∆a ∙∆b +∆)] = D { (6002 +4002) + [(400)2 + (4 ∙ 99102 + 9910 ∙ 200 + 2002)]} 10-5 = (5,2 + ∙ 1330) ∙ 10-5 = (5,2+33,4)10-5,
unde s-a luat∝ = 10.
Frecvența oscilațiilor proprii va fi:
= = = 0,0228 ;
ω = 0,15
Sarcina statică echivalentă:
Pech= P0∙ 2 sin = P0∙ 2 sin 2π∙ 0,2 = 1,175 P0
5.6 Concluzii asupra planșeelor stratificate
Determinarea eforturilor în planșeele stratificate, chiar pentru solicitări statice, constituie o problemă dificilă, rezolvabilă cu un volum mare de calcule.
Gradul de dificultate crește pentru cazul solicitărilor cu sarcini dinamice, din care cauză calculul planșeelor stratificate nu este posibil fără o serie întreagă de ipoteze simplificatoare asupra modului de lucru al diverselor elemente componente.
În modelul ales pentru schema de calcul, s-a căutat pe cât posibil să nu se modifice esența fenomenului și totodată să se înlăture acei factori secundari care, deși au o influență mică asupra rezultatelor, complică foarte mult calculele.
Analiza rezultatelor obținute din calcule, arată că repartiția eforturilor provocate de acțiunea unui impuls pe salteaua de protecție, depinde de foarte mulți parametrii, din care cauză este dificil de stabilit anumite legi sau principii.
Totuși, dintr-o scurtă privire asupra formulelor finale obiținute pentru pulsații, deplasări și eforturi, se pot trage următoarele concluzii mai importante:
parametrii oscilațiilor proprii (pulsație, deplasări, eforturi), depind de caracteristicile planșeului luat în ansamblu (rigiditate, grosime, material etc) în același mod ca și în cazul plăcilor simple. Trebuie avut în vedere că aici caracteristicile planșeului sunt elemente complexe (de exemplu, rigiditatea D=D1+D2, densitatea ρ=ρ1+ρ2+ρ0h0 etc).
elementele componente ale planșeului stratificat influențează, fiecare în parte, asupra parametrilor oscilațiilor. Sub acest aspect, formulele obținute și aplicațiile efectuate arată că:
pentru un impuls constant, deplasările planșeului se micșorează odată cu creșterea grosimii saltelei de protecție pentru grosimi mari ale saltelei sporuri în plus ale acestora nu mai duc la micșorări eficiente ale deplasărilor, de unde se poate deduce că există o grosime optimă a saltelei, care este determinată prin încercări;
aportul stratului de distribuție de atenuare a efortului impulsului, depinde de dimensiunile relative ale straturilor componente ale planșeului, de deschiderea acestuia și de valoarea impulsului. Pentru valori limită ale grosimii stratului de distribuție (mari sau mici), există o lege liniară de variație a deplasărilor funcție de impuls;
pentru un impuls constant, mărirea grosimii planșeului portant atrage după sine o creștere a momentelor încovoietoare la mijlocul deschiderii planșeului; pentru grosimi mici ale planșeului de rezistență această creștere este suficient de lentă, iar pentru grosimi mari ea se ridică brusc. Ca și mai sus, se poate trage concluzia că există o grosime optimă a planșeului portant, care depășită, nu justifică consumul de material.
Se observă din cele mai sus, că aceste concluzii concordă cu principiile cunoscute din mecanica construcțiilor.
Așa spre exemplu, variația dimensiunilor unui element duce la o redistribuire a eforturilor în întregul sistem, lucru pe deplin valabil la sistemele static nedeterminate.
Capitolul VI
Studii, investigații experimentale și simulări pe calculator privind calculul și comportarea elementelor composite stratificate la solicitări dinamice și șocuri
Din lectura părții teoretice referitoare la plăcile stratificate, se poate constata că pentru efectuarea calculului acestor plăci a fost necesar a se alege o schemă de calcul și a se admite anumite ipoteze simplificatoare, fără de care calculul nu poate fi posibil.
Pentru a se vedea dacă schema de calcul și ipotezele admise au fost sau nu apropiate de realitate și pentru a determina în ce măsură diverșii parametrii ai plăcilor stratificate influențează asupra comportării de ansamblu a acestora la șocuri, au fost necesare o serie de simulări pe calculator cu ajutorul programelor de calcul.
6.1. Efectuarea calculelor teoretice pentru o serie de ipoteze.
6.1.1. În seria I-a de calcule s-a urmărit să se determine în ce măsură influențează stratul de distribuție, prin grosimea sa, asupra fenomenului de oscilație a planșeului stratificat în ansamblu.
În acest scop calculele s-au făcut pentru un strat rigid și strat portant din beton armat cu o grosime de 30 cm. Deasemenea, s-a avut în vedere un impuls de 25.180 mkg/s provocat de o bombă de aviație cu P=500 KG, C=275 kg, Vr=200 și alfa=25.
Admițând ipotezele mai sus menționate au rezultat următoale grafice:
Din grafice se desprinde ideea că un efect mai mare în ceea ce privește amortizarea vibrațiilor îl are stratul de distribuție cu grosimi între 10-. O creștere a grosimii stratului de distribuție de la la au determinat o micșorare a vibrațiilor cu 37%. Aceeași micșorare a vibrațiilor poate fi realizată dacă se mărește stratul de distribuție de la la sau de la la .
Din cele de mai sus, se poate observa că, o creștere a grosimii stratului de distribuție nu duce la o scădere corespunzătoare a valorilor săgeților sau pulsațiilor.
Deasemenea, un strat de distribuție cu o densitate mare determină o scădere a săgeților și a pulsațiilor.
6.1.2. În seria a II-a de calcule s-a urmărit să se determine influența impulsului asupra fenomenului de oscilație a planșeului considerat, în condițiile unui model de planșeu stratificat cu toți parametri constanți.
S-a considerat stratul rigid și portant din beton armat cu o grosime de fiecare și stratul de distribuție (elastic) din nisip cu o grosime de 70 cm.
A rezultat următorul grafic:
Din analiza graficului se constată liniaritatea legii de variație a funcției w= f(Hc). Totodată, se observă că valorile pulsației fundamentale nu depind de impuls, aceasta fiind o caracteristică dinamică a planșeului stratificat.
6.1.3. În seria a III-a de calcule s-a urmărit să se determine în ce măsură se modifică oscilațiile pentru grosimi, materiale și arii variabile ale saltelei de protecție păstrându-se constante celelalte mărimi (pentru o grosime de 80 cm a stratului elastic-nisip și un strat portant de beton armat de 30 cm). S-a avut în vedere un impuls de 25.180 mkg/s provocat de o bombă de aviație cu P=500 KG, C=275 kg, Vr=200 și alfa=25.
În condițiile specificate mai sus au rezultat următoarele grafice:
Reprezentările grafice arată că odată cu creșterea rigidității saltelei de protecție, săgețile scad, iar pulsațiile proprii cresc.
În ceea ce privește variația săgeții în funcție de rigiditate, se observă că aceasta scade pentru grosimi mici ale saltelei de protecție, iar după o anumită valoare a acestor grosimi (10-16 cm) scăderea săgeților este mai lentă.
Cum legea de variație a eforturilor este în general aceeași ca a săgeților, rezultă că graficul eforturilor are cam aceeași alură.
6.1.4. În seria a IV-a de calcule s-a urmărit să se determine variația oscilațiilor pentru placa de rezistență variabilă ca material și grosime.
În calcule s-a considerat stratul de repartiție din nisip cu o grosime de 80 cm, iar stratul rigid din beton armat cu o grosime de 30 cm. Deasemenea, s-a avut în vedere un impuls de 25.180 mkg/s provocat de o bombă de aviație cu P=500 KG, C=275 kg, Vr=200 și alfa=25.
Așa cum rezulră din graficul de mai jos, odată cu creșterea grosimii plăcii de rezistență, valorile săgețiilor scad (mai intens la început și mai lent pentru plăci groase), iar ale pulsațiilor cresc.
6.1.5. În seria a V-a de calcule s-a urmărit să se determine în ce măsură influențează modul de rezemare a plăcii de rezistență pe contur, asupra fenomenului de oscilație a întregului planșeu.
Placa încastrată pe contur.
Ca și la calculele anterioare, se constată micșorarea săgeților o dată cu creșterea grosimii stratului de distribuție și respectiv creșterea lor, direct proporțional, o dată cu creșterea impulsului.
Pentru grosimi mici ale stratului de distribuție diferențele între săgeți sunt mari (Wplacă simplu rezemată/Wplacă încastrată=2), pentru grosimi mari ale acestuia, diferențele aproape se anulează.
Rezultă că pentru planșee stratificate cu straturi de distribuție mari, modul de rezemare pe contur al plăcii de rezistență nu influențează mult asupra deformațiilor.
6.1.6. În seria a VI-a de calcule s-a urmărit să se determine în ce măsură influențează un planșeu stratificat cu mai multe elemente se comportă sau nu după aceleași legi ca și planșeul stratificat alcătuit din numai trei straturi.
Pentru creșteri ale grosimii stratului de distribuție (ale numărului lor), rezultă ca și la planșeul cu 3 straturi, o micșorare a valorilor săgeților, și o creștere a frecvențelor circulare.
Aceasta se explică prin mărirea rigidității de ansamblu a planșeului din cauza măriri numărului de straturi.
6.1.7. În seria a V II-a de calcule s-a urmărit să se determine în ce măsură influențează oscilațiile unui planșeu stratificat dimensiunile laturilor.
Legea de variație a celor doi parametrii principali (săgeți și pulsații) este aceeași atât pentru o placă dreptunghiulară, cât și pentru placa pătrată. O dată cu creșterea grosimii stratului de distribuție săgețile și frecvențele circulare scad.
6.2.Simulări pe calculator privind calculul și comportarea elementelor composite stratificate la solicitări dinamice și șocuri
6.3. Investigații experimentale
În mod obișnuit, încercările de laborator sunt folosite pentru determinarea capacității elementelor de a rezista rigorilor șocurilor și vibrațiilor întâlnite în realitate.
Scopul încercărilor de verificare din laborator este de a stabili dacă elementul de placă stratificată se va comporta corespunzător și va avea o durată de funcționare potrivită în condițiile de mediu date.
Dacă condițiile de mediu sunt cunoscute și timpul cât acționează este scurt, o reproducere exactă în laborator, este în principiu, o operație logică ce trebuie să satisfacă următoarele cerințe:
elementul de placă stratificată ce va fi încercat se va folosi numai întrun anumit loc;
condițiile de mediu ale locului în care se va comporta elementul de placă stratificată trebuie să fi fost măsurate la un număr suficient de mare de elemente, pentru a se putea prevedea probabilitatea apariției fiecărui nivel al condițiilor de mediu;
să existe echipament de încercare pentru reproducerea în laborator a condițiilor de mediu măsurate în timpul efectuării încercărilor.
Încercările de laborator sunt severe în mod obișnuit, adică asprimea încercării este relativ mare, astfel încât probabilitatea de deteriorare în practică să fie mai mică după ce rezistă cu succes la încercările de laborator. Acest lucru este necesar nu numai pentru că severitatea condițiilor de mediu poate varia între diferite limite, dar și pentru că rezistența elementului de placă stratificată poate varia.
Dacă durata de funcționare este mai lungă decât un timp rezonabil de încercare, dacă condițiile de mediu nu sunt cunoscute, nu este posibilă reproducerea exactă a condițiilor de mediu în laborator. În acest caz devine necesară folosirea unei încercări de laborator care să fie reprezentativă pentru condițiile reale de funcționare; aceasta se numește „încercare de simulare a condițiilor de mediu”.
Ele trebuie să satisfacă două cerințe distincte:
1. trebuie să fie astfel, încât să producă aceleași deteriorări în comportarea elementului de placă stratificată ca acelea care apar atunci când acesta este pus în condiții de mediu reale; aceasta este proba de funcționare;
2. dacă durata de funcționare a elementului de placă stratificată este mai mare decât o perioadă rezonabilă de încercare în laborator, severitatea condițiilor de mediu simulate trebuie să fie astfel aleasă, încât să producă aceeași deteriorare în timpul încercării de laborator cu ceea ce ar apărea în timpul funcționării reale: proba de durată de funcționare.
Reproducerea și simularea reprezintă extreme opuse în încercările de laborator. În principiu, efectul unei reproduceri exacte a condițiilor de mediu asupra elementului de placă stratificată este simplu și direct; dacă condițiile de mediu reproduse sunt identice cu cele originale, ele vor produce aceleași deteriorări. Efectul unor condiții de mediu simulate nu este evident imediat; el poate fi stabilit fie analitic, fie empiric.
Obiectivele încercărilor
Denumirile „proba de acceptare a proiectului”, „proba de perfecționare”, „proba de verificare a calității” și „proba de producere a deteriorărilor” definesc obiectivul unei anumite încercări.
proba de perfecționare- Scopul unei încercări de perfecționare este stabilirea performanței elementului de placă stratificată în condițiile de mediu și determinarea capacității lui de a rezista la aceste condiții.
proba de verificare a calității- Scopul acestei încercări este de a găsi defectele elementelor de placă.
proba de producere a deteriorărilor- se efectuează pentru determinarea cauzele deteriorărilor.
6.3.1.a) pregătirea instalației pentru experiențe
6.3.1.b) efectuarea seriilor de experiențe
6.3.2. Prelucrarea rezultatelor
Pentru a constata în ce măsură calculele teoretice sunt verificate de rezultatele practice ale experiențelor de laborator, a fost necesar ca, în prealabil, să se citească oscilogramele, respectiv să se determine doi din parametrii de bază ai oscilațiilor proprii ale modelelor de planșee stratificate. Acești parametrii sunt:
săgeata maximă a planșeului stratificat din cauza acțiunii asupra sa a unui impuls;
frecvența circulară a oscilațiilor proprii.
Săgeata maximă a fost determinată prin……………………………………..
Pulsația oscilațiilor proprii s-a măsurat ……………………………..
6.3.3. Interpretarea rezultatelor obținute și compararea lor cu cele rezultate din calculele teoretice.
Prima serie de simulări efectuate cu ajutorul programelor de calcul confirmă concluziile trase la analiza formulelor deduse pentru săgeți și pulsații.
Astfel, pentru o creștere a grosimii stratului de distribuție, în condițiile menținerii acelorași valori pentru ceilalți parametrii, mărimile săgeților și pulsațiilor proprii.
Pemtru a vedea mai clar influența stratului de distribuție asupra celor doi parametri principali ai oscilațiilor proprii ale plăcilor stratificate, în graficele________ s-au reprezentat variațiiloe săgeților și pulsațiilor în funcție de grosimea stratului de distribuție.
Pe grafice se constată o bună concordanță între rezultatele între rezultatele experiențelor și calculele teoretice.
Din grafice se desprinde concluzia că un efect mai mare în ceea ce privește amortizarea vibrațiilor îl are stratul de distribuție cu grosimi mici. După o anumită grosime a acestui strat, nu rezultă o scădere corespunzătoare a valorilor săgețiilor și pulsațiilor.
În seria a II-a de s-a urmărit să se determine influența impulsului asupra fenomenului de oscilație a planșeului considerat în condițiile păstrării constante a celorlalți parametrii.
În urma efectuării acestor experiențe, s-a demomstrat o proporționalitate directă între impulsul transmis planșeului stratificat și săgeata acestuia.
Din analiza graficelor se constată …………
În seria a III-a de experiențe s-a urmărit influența saltelei de protecție asupra comportării la șoc a planșeului stratificat prin modificarea atât a materialului, grosimii, cât și suprafeței acesteia, menținându-se constant grosimea stratului de distribuție.
O dată cu creșterea rigidității saltelei, săgețiile scad iar pulsațiile proprii cresc.
În ceea ce privește variația săgeții funcție de rigiditate, se observă că aceasta scade brusc pentru grosimi mici ale saltelei, iar după o anumită valoare a acestor grosimi scăderea săgeților este mai lentă.
În seria a IV-a de experiențe s-a urmărit influența rigidității plăcii portante asupra fenomenului oscilațiilor proprii ale planșeului stratificat.
În seria a V-a de experiențe s-a urmărit să se detrmine în ce măsură modul de rezemare a plăcii de rezistență pe contur influențează fenomenul de oscilație a întregului planșeu.
În seria a VI-a de experiențe s-a urmărit să se determine în ce măsură un planșeu stratificat cu mai multe elemente se comportă la fel ca și unul din numai trei elemente.
6.2.4. Concluzii generale asupra experiențelor
Rezultatele simulărilor efectuate cu ajutorul programelor de calcul , în general concordă cu cele reieșite din calcule.
Această concordanță poate fi privită sub două aspecte:
în ceea ce privește legea de variație a unui parametru, când concordanța este deplină, graficele simulărilor și calculelor teoretice având aceeași alură;
referitor la valorile numerice, situația în care există anumite diferențe, unori mici, alteori destul de mari.
Din prelucrarea rezultatelor simulărilor efectuate cu ajutorul programelor de calcul și din compararea lor cu calculele teoretice, au rezultat următoarele concluzii referitor la comportarea la șoc a planșeelor plane stratificate:
rolul și influența stratului de distribuție asupra comportării de ansamblu a planșeului stratificat la șoc, sunt diferite, funcție de grosimea sa. Pentru grosimi relativ mici ale stratului de distribuție (10-30 cm) efectul de amortizare este optim. Mărind peste această limită grosimea stratului de distribuție, micșorarea săgeților și respectiv a eforturilor este mai lentă. Nu este deci indicată folosirea unei grosimi mari a stratului de distribuție.
o dată cu creșterea impulsului, cresc direct proporțional și săgețiile și deci eforturile din planșeu. Ritmul de creștere este însă diferit: la o mărire de cca. 4 ori a impulsului săgețiile cresc de 2 ori ș.a.m.d.
influența saltelei de protecție asupra compoerării la șoc a planșeului stratificat este deasemenea diferită, funcție de grosimea sa. Creșteri mici ale grosimii saltelei duc la scăderi bruște ale săgeților. O mărire în continuare a grosimii saltelei nu mai este recomandată, micșorarea obținută pentru săgeți fiind foarte lentă. Pentru saltele foarte rigide săgețile sunt practic nule. Mărirea rigidității saltelei de protecție nu este recomandabilă și din alt punct de vedere: o dată cu această mărire pulsațiile proprii cresc și deci și sarcina echivalentă de calcul.
în mod aproape identic se comportă în ansamblu planșeul stratificat- și placa de rezistență. Deci nu sunt recomandate planșee portante groase.
în ceea ce privește rezemarea plăcii de rezistență, este recomandabil ca aceasta să fie încastrată pe contur pentru grosimi mici ale stratului de distribuție, obținându-se pentru acest caz săgeți de aproape de 2 ori mai mici decât dacă placa ar fi fimplu rezemată. Pentru grosimi mari ale stratului de distribuție, modul de rezemare nu mai influențează mult asupra săgeților.
planșeele stratificate cu mai mult decât trei elemente nu sunt recomandabile: o dată cu un aport pe care îl aduc la micșorarea săgeților, creșterea numărului de straturi duce la mărirea corespunzătoare a pulsației proprii și deci a sarcinii echivalente de calcul.
în comparație cu placa simplă, planșeele stratificate se comportă mult mai bile la șoc.
Capitolul VII
7.1.Concluzii privind utilizarea, eficiența și calculul materialelor compozite stratificate în construcții. Contribuții personale la realizarea tezei
Bibliografie
Andre Angot, Complemente de matematică, Editura Tehnică București, 1965;
Bălan Ștefan, Curs de mecanică, București 1950;
Bălan Ștefan, Încercarea construcțiilor, Editura Tehnică București, 1962;
Bănuț, V., Calculul neliniar al structurilor, Editura Tehnică, București, 1981;
Beleș A, Ifrim M, Elemente de seismologie inginerească, Editura Tehnică, București, 1962;
Bănuț, V., Popescu, H., Stabilitatea structurilor elastice, Editura Academiei R.S.R., București, 1975;
Bârsan, G.M., Dinamica și stabilitatea construcțiilor, EDP, București, 1979;
Bratu, Polidor, Vibrațiile sistemelor elastice, Editura Tehnică, București, 2000;
Buzdugan, Gh., Fetcu, L., Radeș, M., Vibrații mecanice, EDP, București, 1979;
Buzdugan, Gh., Rezistența materialelor, Editura Didactică și Pedagogică București, 1964;
Buzdugan, Gh., Mihăilescu El., Radeș, M., Măsurarea vibrațiilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
Bălan, Șt., ș.a., Dicționar cronologic al științei și tehnicii universale, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1979;
Buzdugan, Gh., Izolarea antivibratilă a mașinilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1980;
Buzdugan, Gh., Dinamica fundațiilor de mașini, Editura Academiei R.S.R., București, 1968.Silaș, Gh. ș.a., Culegere de probleme de vibrații mecanice, vol. I, Sisteme liniare cu un număr finit de grade de libertate, Editura Tehnică, București, 1967;
Caracostea, A., ș.a., Manual pentru calculul construcțiilor, Vol.I, Bazele teoretice de calcul al construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1977;
Darabont, Al., Iorga, I., Văiteanu, D., Simanschevici, H., Șocuri vibrații. Aplicații în tehnică, Editura Tehnică, București, 1988;
Filimon, I., Soare, M., Ecuații diferențiale cu aplicații în mecanica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1983;
Gheorghiu, Al., Statica construcțiilor, Vol.III, Formulări și metode matriceale în statica liniară. Comportarea și calculul neliniar al structurilor., Editura Tehnică, București, 1980;
Gioncu, V., Ivan, M., Bazele calculului structurilor la stabilitate, Editura Facla, Timișoara, 1983;
Hangan, S., Crainic, L., Concepte și metode energetice în dinamica construcțiilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1980;
Harris, C., Crede, Ch., Șocuri și Vibrații, vol. I, II și III, Editura Tehnică, București, 1968;
Ifrim, M., Dinamica structurilor și inginerie seismică, EDP, București, 1984;
Ifrim, M., Aplicații în Analiza Dinamică a Structurilor și Inginerie Seismică, EDP, București, 1974;
Marinov., R., Probleme de stabilitatate dinamică în construcții, EDP, București, 1985;
Lardy P., Sur une methodenouvelle de resolution du probleme des dalles restangulaires encastrees, Vol. 13, Zurich, 1953;
Ixaru, L. Gr., Metode numerice pentru ecuații diferențiale cu aplicații, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
Ispas, C., Simion, F.-P., Vibrațiile mașinilor – unelte. Teorie și aplicații, Editura Academiei R.S.R., București, 1986;
Oprea, Gh., Stabilitatea și calculul de ordinal II al structurilor din bare, Editura Național, 1999;
Manea V, Câteva probleme ale teoriei plăcilor plane elastice, Editura Academiei, București, 1965;
Mazilu P, Statica construcțiilor, Vol. 2, Editura Tehnică, București, 1959;
Nowacki, W., Dinamica sistemelor elastice, Editura Tehnică, 1969;
32.Matahală Dumitru, Calculul construcțiilor la șoc, buletin stiintific
publicatie stiintifica de informare a Academiei Fortelor Terestre Volumul XVI nr. 1 (31) / 2011;
33. Matahală Dumitru, Considerații referitoare la capacitatea de rezistență și stabilitate a materialelor compozite armate, Comunicare ținută la Conferința internațională „Military science universe”, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București aprilie 2011;
34. Matahală Dumitru, Exemple de plăci stratificate, articol în Revista Forțelor Terestre, București 2011;
35. Matahală Dumitru , Necesitatea realizării unor elemente din materiale compozite stratificate utilizate pentru adăposturile pentru protecția civilă și fortificații, Revista „Colocviu Strategic ” nr.2, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București 2012;
36 Matahală Dumitru, Plăci stratificate utilizate la realizarea construcțiilor militare și de protecție civilă, Comunicare ținută la Conferința internațională „Military science universe”, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București aprilie 2011;
37. Matahală Dumitru, Comportarea plăcilor stratificate la solicitări dinamice și șocuri, Buletinul Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București 2012;
38. Pastașihin V, Kolebania plstinck iz nlineino uprughih materialov, 1966;
39. Ponomariov S.D., Calculul de rezistență la construcția de mașini, vol.2 și 3, Editura Tehnică, București, 1964;
40. Munteanu, M., Introducere în dinamica mașinilor vibratoare, Editura Academiei R.S.R., București, 1986;
41. Pană, T., Absorbitori dinamici de vibrații, Editura Tehnică, București, 1984;
42. Posea, N., Calculul dinamic al structurilor, Editura Tehnică, București, 1991;
43. Radeș, M., Metode dinamice pentru identificarea sistemelor mecanice, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
44. Sinițin A.P., Bazele teoriei calcului planșeelor stratificate, Editura A.M.I. 1950;
45.Sandi, H., Elemente de dinamica structurilor, EDP, București, 1983;
46. Snitko N.K., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București 1962;
47. Scarlat, A., Stabilitatea și calulul de ordinul II al structurilor, Editura Tehnică, București, 1969;
48. Scarlat, A., Stabilitatea structurilor. Probleme speciale, Editura Tehnică, București, 1969;
49. Șabac I. Gh., Matematici speciale, EDP 1965;
50.Teodorescu P.P., Probleme plane în teoria elasticității, E.A., București, 1966;
51. Simonici, M., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1958;
52. Timoshenko-Teoria plăcilor plane și curbe, Editura Tehnică 1968;
53. Bănuț, V., „Calculul dinamic geometric neliniar”, Revista Construcții, nr. 3-4, 1989;
54. Bănuț, V., Teodorescu M., „Dinamica construcțiilor”, Editura MATRIXROM, București, 2007;
55. Bănuț, V., „Calculul de ordinul II și de stabilitate al elementelor și structurilor de rezistență”, Editura Conspress, București, 2005;
56. Felippa, C. A., „Introduction to Finite Element Methods”, ASEN5007, University of Colorado at Boulder, USA, 2004;
57. Ifrim, M., „Analiza dinamică a structurilor și inginerie seismică”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1973;
58. Ilie, Gh., Fierbințeanu, V., Stănilă, N., Petrescu, I., „Mecanica Construcțiilor”, Editura Tehnică, București, 1987;
59. Szolga, V., „Comportarea la solicitări dinamice a unor structuri masive”, Teză de doctorat, I.C.B., 1988;
60. Thomson, W. T., „Theory of Vibration with Applications”, Nelson Thornes Ltd., United Kingdom, 2003;
61. STAS 3451 – 73, Statica, dinamica și stabilitatea structurilor. Terminologie;
62. Soare, M., Teodorescu, P.P., Toma, I., Ecuații diferențiale cu aplicații în Mecanica Consrucțiilor, Editura Tehnică, București, 1999;
63. Snitko, N.K., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1965;
64. Țăposu, I., Mecanică analitică și vibrații, Teorie și probleme, Editura Tehnică, București, 1998;
65. A. Vaicum, Condiții de amplasament in ingineria seismica, Editura Academiei. București, 1985;
66. A. Vaicum si I. Vasile, Răspunsul masivului de pamant la acțiuni seismice, a IV- a Conferința de geotehnica si fundații, Iași, 1979;
67. R. Enescu, C. Radu, V. Marza, Contribuții la studiul efectului seismic al exploziilor asupra construcțiilor, St. cerc. geo., geofiz., geogr.. ser. Geofizica, București, 1973;
68. S. Hangan, L. Crainic, Concepte si metode energetice in dinamica construcțiilor, Editura Academiei, București, 1980;
69. D. E Hudson, Man-Made Ground Motions, in monografia " Shock and Vibrations Handbook", McGraw-Hill Book Company, New York, 1961;
70. A. O. Awojobi, O.A. Sobayo, Ground Vibrations Due to Seismic Detonations in Oil Explorations;
71. P. B. Attewell, I. W. Farmer, D. Haslam, Prediction of Ground Vibration Parameters for Major Quarry Blasts, Mining and Mineral Engineering, London, 1965;
72. N. Newmark, R. Hansen, Proiectarea construcțiilor rezistente in șocuri si vibrații, Editura tehnica, București, 1985;
73. D. G. Fertis, Dynamics and Vibration of Structures, John Wiley and Sons, New York, 1973;
74. J. Biggs, Introduction to Structural Dynamics, McGraw Hill, Book Company, New York, 1964;
75. Indira Andeescu-Mecanica plăcilor compozite, Editura Matrix Rom 2001;
76.Elena Alămorăreanu-Bare și plăci din materiale composite, Editura Tehnică 1997
77."Ghid pentru stabilirea criteriilor de performanta si a compozitiilor pentru betoanele armate dispers cu fibre metalice", indicativ GP-075-02;
78.Colonel dr.ing. Oprea Gheorghe, lt.col.ing. Josan Miron- Elemente de calcul ale planșeelor stratificate, Editura A.M.1978;
79.Lt.col.ing. Josan Miron- Fortificații permanente-partea întâi- Editura A.M.1977;
80.Prof.univ. Panait Mazilu, prof.univ. Nicolae Țopa- Teoria și calculul plăcilor ortotrope, Editura Tehnică 1983;
81.Cornel Marin, Anton Hadăr, Ion Popa- Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice, Editura Academiei Române, Editura AGIR, 2002;
82.Anton Hadăr- Structuri din compozite stratificate, Editura Academiei Române, Editura AGIR, 2002;
83.Cornel Marin- Aplicații ale teoriei elasticității și plasticității în inginerie, Editura Bibliotcheca, Târgoviște 2007;
84. Manoliu, Fundații si procedee de fundare, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1977;
85. R. Enescu, C. Radu, V. Marza, Contribuții la studiul efectului seismic al exploziilor asupra construcțiilor, St. cerc. geo., geofiz., geogr.. ser. Geofizica, București, 1973
Bibliografie
Andre Angot, Complemente de matematică, Editura Tehnică București, 1965;
Bălan Ștefan, Curs de mecanică, București 1950;
Bălan Ștefan, Încercarea construcțiilor, Editura Tehnică București, 1962;
Bănuț, V., Calculul neliniar al structurilor, Editura Tehnică, București, 1981;
Beleș A, Ifrim M, Elemente de seismologie inginerească, Editura Tehnică, București, 1962;
Bănuț, V., Popescu, H., Stabilitatea structurilor elastice, Editura Academiei R.S.R., București, 1975;
Bârsan, G.M., Dinamica și stabilitatea construcțiilor, EDP, București, 1979;
Bratu, Polidor, Vibrațiile sistemelor elastice, Editura Tehnică, București, 2000;
Buzdugan, Gh., Fetcu, L., Radeș, M., Vibrații mecanice, EDP, București, 1979;
Buzdugan, Gh., Rezistența materialelor, Editura Didactică și Pedagogică București, 1964;
Buzdugan, Gh., Mihăilescu El., Radeș, M., Măsurarea vibrațiilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
Bălan, Șt., ș.a., Dicționar cronologic al științei și tehnicii universale, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1979;
Buzdugan, Gh., Izolarea antivibratilă a mașinilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1980;
Buzdugan, Gh., Dinamica fundațiilor de mașini, Editura Academiei R.S.R., București, 1968.Silaș, Gh. ș.a., Culegere de probleme de vibrații mecanice, vol. I, Sisteme liniare cu un număr finit de grade de libertate, Editura Tehnică, București, 1967;
Caracostea, A., ș.a., Manual pentru calculul construcțiilor, Vol.I, Bazele teoretice de calcul al construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1977;
Darabont, Al., Iorga, I., Văiteanu, D., Simanschevici, H., Șocuri vibrații. Aplicații în tehnică, Editura Tehnică, București, 1988;
Filimon, I., Soare, M., Ecuații diferențiale cu aplicații în mecanica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1983;
Gheorghiu, Al., Statica construcțiilor, Vol.III, Formulări și metode matriceale în statica liniară. Comportarea și calculul neliniar al structurilor., Editura Tehnică, București, 1980;
Gioncu, V., Ivan, M., Bazele calculului structurilor la stabilitate, Editura Facla, Timișoara, 1983;
Hangan, S., Crainic, L., Concepte și metode energetice în dinamica construcțiilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1980;
Harris, C., Crede, Ch., Șocuri și Vibrații, vol. I, II și III, Editura Tehnică, București, 1968;
Ifrim, M., Dinamica structurilor și inginerie seismică, EDP, București, 1984;
Ifrim, M., Aplicații în Analiza Dinamică a Structurilor și Inginerie Seismică, EDP, București, 1974;
Marinov., R., Probleme de stabilitatate dinamică în construcții, EDP, București, 1985;
Lardy P., Sur une methodenouvelle de resolution du probleme des dalles restangulaires encastrees, Vol. 13, Zurich, 1953;
Ixaru, L. Gr., Metode numerice pentru ecuații diferențiale cu aplicații, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
Ispas, C., Simion, F.-P., Vibrațiile mașinilor – unelte. Teorie și aplicații, Editura Academiei R.S.R., București, 1986;
Oprea, Gh., Stabilitatea și calculul de ordinal II al structurilor din bare, Editura Național, 1999;
Manea V, Câteva probleme ale teoriei plăcilor plane elastice, Editura Academiei, București, 1965;
Mazilu P, Statica construcțiilor, Vol. 2, Editura Tehnică, București, 1959;
Nowacki, W., Dinamica sistemelor elastice, Editura Tehnică, 1969;
32.Matahală Dumitru, Calculul construcțiilor la șoc, buletin stiintific
publicatie stiintifica de informare a Academiei Fortelor Terestre Volumul XVI nr. 1 (31) / 2011;
33. Matahală Dumitru, Considerații referitoare la capacitatea de rezistență și stabilitate a materialelor compozite armate, Comunicare ținută la Conferința internațională „Military science universe”, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București aprilie 2011;
34. Matahală Dumitru, Exemple de plăci stratificate, articol în Revista Forțelor Terestre, București 2011;
35. Matahală Dumitru , Necesitatea realizării unor elemente din materiale compozite stratificate utilizate pentru adăposturile pentru protecția civilă și fortificații, Revista „Colocviu Strategic ” nr.2, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București 2012;
36 Matahală Dumitru, Plăci stratificate utilizate la realizarea construcțiilor militare și de protecție civilă, Comunicare ținută la Conferința internațională „Military science universe”, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București aprilie 2011;
37. Matahală Dumitru, Comportarea plăcilor stratificate la solicitări dinamice și șocuri, Buletinul Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București 2012;
38. Pastașihin V, Kolebania plstinck iz nlineino uprughih materialov, 1966;
39. Ponomariov S.D., Calculul de rezistență la construcția de mașini, vol.2 și 3, Editura Tehnică, București, 1964;
40. Munteanu, M., Introducere în dinamica mașinilor vibratoare, Editura Academiei R.S.R., București, 1986;
41. Pană, T., Absorbitori dinamici de vibrații, Editura Tehnică, București, 1984;
42. Posea, N., Calculul dinamic al structurilor, Editura Tehnică, București, 1991;
43. Radeș, M., Metode dinamice pentru identificarea sistemelor mecanice, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
44. Sinițin A.P., Bazele teoriei calcului planșeelor stratificate, Editura A.M.I. 1950;
45.Sandi, H., Elemente de dinamica structurilor, EDP, București, 1983;
46. Snitko N.K., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București 1962;
47. Scarlat, A., Stabilitatea și calulul de ordinul II al structurilor, Editura Tehnică, București, 1969;
48. Scarlat, A., Stabilitatea structurilor. Probleme speciale, Editura Tehnică, București, 1969;
49. Șabac I. Gh., Matematici speciale, EDP 1965;
50.Teodorescu P.P., Probleme plane în teoria elasticității, E.A., București, 1966;
51. Simonici, M., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1958;
52. Timoshenko-Teoria plăcilor plane și curbe, Editura Tehnică 1968;
53. Bănuț, V., „Calculul dinamic geometric neliniar”, Revista Construcții, nr. 3-4, 1989;
54. Bănuț, V., Teodorescu M., „Dinamica construcțiilor”, Editura MATRIXROM, București, 2007;
55. Bănuț, V., „Calculul de ordinul II și de stabilitate al elementelor și structurilor de rezistență”, Editura Conspress, București, 2005;
56. Felippa, C. A., „Introduction to Finite Element Methods”, ASEN5007, University of Colorado at Boulder, USA, 2004;
57. Ifrim, M., „Analiza dinamică a structurilor și inginerie seismică”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1973;
58. Ilie, Gh., Fierbințeanu, V., Stănilă, N., Petrescu, I., „Mecanica Construcțiilor”, Editura Tehnică, București, 1987;
59. Szolga, V., „Comportarea la solicitări dinamice a unor structuri masive”, Teză de doctorat, I.C.B., 1988;
60. Thomson, W. T., „Theory of Vibration with Applications”, Nelson Thornes Ltd., United Kingdom, 2003;
61. STAS 3451 – 73, Statica, dinamica și stabilitatea structurilor. Terminologie;
62. Soare, M., Teodorescu, P.P., Toma, I., Ecuații diferențiale cu aplicații în Mecanica Consrucțiilor, Editura Tehnică, București, 1999;
63. Snitko, N.K., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1965;
64. Țăposu, I., Mecanică analitică și vibrații, Teorie și probleme, Editura Tehnică, București, 1998;
65. A. Vaicum, Condiții de amplasament in ingineria seismica, Editura Academiei. București, 1985;
66. A. Vaicum si I. Vasile, Răspunsul masivului de pamant la acțiuni seismice, a IV- a Conferința de geotehnica si fundații, Iași, 1979;
67. R. Enescu, C. Radu, V. Marza, Contribuții la studiul efectului seismic al exploziilor asupra construcțiilor, St. cerc. geo., geofiz., geogr.. ser. Geofizica, București, 1973;
68. S. Hangan, L. Crainic, Concepte si metode energetice in dinamica construcțiilor, Editura Academiei, București, 1980;
69. D. E Hudson, Man-Made Ground Motions, in monografia " Shock and Vibrations Handbook", McGraw-Hill Book Company, New York, 1961;
70. A. O. Awojobi, O.A. Sobayo, Ground Vibrations Due to Seismic Detonations in Oil Explorations;
71. P. B. Attewell, I. W. Farmer, D. Haslam, Prediction of Ground Vibration Parameters for Major Quarry Blasts, Mining and Mineral Engineering, London, 1965;
72. N. Newmark, R. Hansen, Proiectarea construcțiilor rezistente in șocuri si vibrații, Editura tehnica, București, 1985;
73. D. G. Fertis, Dynamics and Vibration of Structures, John Wiley and Sons, New York, 1973;
74. J. Biggs, Introduction to Structural Dynamics, McGraw Hill, Book Company, New York, 1964;
75. Indira Andeescu-Mecanica plăcilor compozite, Editura Matrix Rom 2001;
76.Elena Alămorăreanu-Bare și plăci din materiale composite, Editura Tehnică 1997
77."Ghid pentru stabilirea criteriilor de performanta si a compozitiilor pentru betoanele armate dispers cu fibre metalice", indicativ GP-075-02;
78.Colonel dr.ing. Oprea Gheorghe, lt.col.ing. Josan Miron- Elemente de calcul ale planșeelor stratificate, Editura A.M.1978;
79.Lt.col.ing. Josan Miron- Fortificații permanente-partea întâi- Editura A.M.1977;
80.Prof.univ. Panait Mazilu, prof.univ. Nicolae Țopa- Teoria și calculul plăcilor ortotrope, Editura Tehnică 1983;
81.Cornel Marin, Anton Hadăr, Ion Popa- Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice, Editura Academiei Române, Editura AGIR, 2002;
82.Anton Hadăr- Structuri din compozite stratificate, Editura Academiei Române, Editura AGIR, 2002;
83.Cornel Marin- Aplicații ale teoriei elasticității și plasticității în inginerie, Editura Bibliotcheca, Târgoviște 2007;
84. Manoliu, Fundații si procedee de fundare, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1977;
85. R. Enescu, C. Radu, V. Marza, Contribuții la studiul efectului seismic al exploziilor asupra construcțiilor, St. cerc. geo., geofiz., geogr.. ser. Geofizica, București, 1973
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Studii Si Consideratii Referitoare la Calculul Si Comportarea Placilor Compozite Stratificate la Solicitaru Dinamice Si Socuri, Precum Si Utilizarea Acestora la Unele Elemente de Constructii (ID: 124167)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.