Structuri Algebrice Si Topologice pe Multimea Idealelor Unui Inel

CUPRINS

Capitolul I.

1. Inele și ideale ……………………………………………………………. 1 1.1. Inele. Subinele ……………………………………………………1 1.2. Ideale. Inel factor ……………………….………………………. 3

1.2.1. Ideale. Operații cu ideale …………….…………….. 3

1.2.2. Inelul factor ………………………………………. 5 1.3. Homomorfisme de inele …………………………………………. 6

1.4. Exemple de clase de inele ………………………………… 10

1.4.1. Produs direct de inele …………………………..… 10

1.4.2. Inelul opus al unui inel …………………………. 11 1.4.3. Centrul unui inel …………………………………. 12 1.4.4. Inelul de endomorfisme al unui grup abelian ………. 12 1.4.5. Inele de matrici …………………………………….. 13

1.4.6. Inele monoidale. Inele grupale ………………………….. 15

1.4.7. Inele de polinoame …………………………………… 17

1.4.8. Algebre ..……………………………………………….. 20

1.5. Elemente nilpotente. Ideale prime. Nilradicalul ……………..… 21

1.6. Elemente idempotente ………………………………………. 25

Capitolul II.

2. Clase particulare de inele …………………………………………………. 26

2.1. Inele semisimple ………………………………………………… 26

2.2. Inele noetheriene și artiniene ……………………………….…. 28

2.3. Exemple de inele noetheriene și artiniene …………………….. 29

2.3.1. Inele generalizate de matrici triunghiulare ………….. 29 2.3.2. Inelul strâmb al polinoamelor ……………………….. 34

2.4. Module injective peste inele noetheriene ……………………. 35

2.5. Nilideale în inele noetheriene ………………………………… 35

2.6. Module de lungime finită ……………………………………… 39

2.7. Inele locale ………………………………………………….. 32

2.8. Idempotenți pentru o descompunere ………………….……. 44 2.9. Descompunerea inelului ……………………………………… 45

Capitolul III.

3. Structuri topologice ale idealelor unui inel ……………………………. 50 3.1. Preradicali și radicali ………………………………………….. 50

3.1.1. Preradicali ……………………………………………. 50

3.1.2. Radicali. Proprietăți ale radicalilor …………………… 51 3.2. Teorii de torsiune ……………………………………………… 53

3.3. Corespondența între radicali idempotenți și teoriile de

torsiune ……………………………………………………….. 56

3.4. Exemple de teorii de torsiune …………………………………. 57

3.4.1. Teoria de torsiune a lui Dickson ……………………… 57

3.4.2. Teoria de torsiune a lui Goldie ……………………….. 57

3.4.3. Ideale dense și teoria de torsiune a lui Lambek ……. 58

3.3.4. Module reflexive ………………………………………. 61

3.5. Teorii de torsiune închise la anvelope injective ………………. 63

3.6. Ppetopologii și topologii aditive ………………………………. 65

3.7. Module F-injective ……………………………………………. 68

3.7.1. Module F-injective …………………………………….. 68

3.7.2. Anvelope F-injective …………………………………… 68

3.8. Inele și module de câturi ……………………………………… 69

3.8.1. Construcția inelelor și modulelor de câturi ……………. 69

3.8.2. Module F-închise ………………………………………. 77

3.9. Laticea submodulelor F-saturate ……………………………… 81

3.9.1. Laticea ……………………………………… 81

3.9.2. Laticea ………………………………………. 85

3.9.3. Imaginea directă a unei topologii …………………….. 87

BIBLIOGRAFIE

1. T. Albu, Ion D. Ion – Itinerar elementar în algebra superioară, Ed. All, București 1997

2. Ion D. Ion – Algebra, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1991

3. Ion D. Ion, C. Niță, C. Năstăsescu – Complemente de algebra, Ed. St. și Enciclop., București, 1984

4. D. Bușneag – Algebra, Ed. Universitaria, Craiova, 1999

5. C. Nastăsescu, C. Niță, C. Vraciu – Bazele algebrei, Vol I, Ed. Academiei, București, 1986

6. C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu – Bazele algebrei, Ed. Academiei, București, 1988

7. C.Nastasescu – Inele,module,categorii, Ed. Academiei, București, 1976

8. D. Bușneag – Teoria grupurilor, Ed. Universitaria, Craiova, 1994

9. P. Dragomir – Structuri algebrice, Ed. Facla, Timișoara, 1975

10. Gh. Radu – Algebra categoriilor și functorilor, Ed. Junimea, 1988

11. Gh. Radu, V. Tamas – Elemente de algebra, Univ. “Al. I. Cuza” din Iași, 1998

12. E. Olaru – Note de curs. Algebră

13. http://www.univ-ovidius.ro/math/index.php – note de curs. Algebră

=== CAPITOLUL I+II ===

CAPITOLUL I

INELE ȘI IDEALE

1.1. Inele. Subinele

Pe parcursul lucrării prin termenul de inel vom înțelege ceea ce în literatura matematică se numește inel asociativ și unitar.

Definiție. Un inel este o mulțime R având cel puțin două elemente pe care s-au definit două operații binare : o adunare și o înmulțire și care satisfac următoarele condiții:

R împreună cu operația de adunare este grup abelian;

, (asociativitatea înmulțirii);

și , (distributivitatea înmulțirii față de adunare);

Există un element, numit identitatea lui R cu proprietatea:

,.

Din condiția i) rezultă că există un element neutru față de adunare pe care îl vom nota cu zero (numit elementul zero, sau nul) (deci , .

Dacă , vom nota cu (numit opusul lui a) inversul elementului a față de operația de adunare. Vom scrie în loc de , . Se verifică imediat egalitățile:

, ;

, ;

, ;

, .

Din aceste egalități rezultă că .

Se vede imediat din ii) și iv) că un inel R este un monoid față de operația de înmulțire. Dacă operația de înmulțire într-un inel este comutativă, inelul se numește comutativ.

Fie R un inel și un element . Elementul a se numește regulat la stânga(respectiv la dreapta) dacă din egalitatea (respectiv ) rezulta . Elementul se numește regulat (sau non-divizor al lui zero) dacă este regulat la stânga și la dreapta. Un element care nu este regulat la stânga (respectiv la dreapta), se numește divizor la dreapta (respectiv stânga).

Elementul se numește inversabil la stânga (respectiv dreapta) dacă există astfel încât , (respectiv ). Dacă este inversabil Și la stânga și la dreapta, exista și astfel încât și . Se vede imediat că . Acest lucru ne permite să numim un element care este inversabil și la stânga și la dreapta, simplu inversabil. Elementul cu proprietatea se va numi inversul lui a și-l vom nota . Un inel R în care orice element nenul este regulat se numește domeniu de integritate.

Un inel în care orice element nenul este inversabil se numește corp. Este clar că orice corp este un domeniu de integritate.

Exemple.

Z mulțimea numerelor întregi împreună cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite este un inel comutativ care nu este un domeniu de integritate.

Q mulțimea numerelor raționale cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire este un corp comutativ.

R mulțimea numerelor reale cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire este un corp comutativ.

C mulțimea numerelor complexe C={ R și }, împreună cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire este un corp comutativ.

H mulțimea cuaterniorilor , unde R și unde operațiile sunt definite prin egalitățile:

și

este un inel cu , elementul identitate.

Se verifică ușor relațiile:

, , , .

Dacă , atunci există

, unde are proprietatea că . Deci x este inversabil și deci H este un corp necomutativ.

Fie R un inel. O submulțime nevidă S a lui R se numește subinel dacă conține identitatea lui R și , , pentru orice se constată imediat că o submulțime nevidă S a lui R este subinel dacă conține identitatea lui R și este inel fată de restricția operațiilor de adunare și înmulțire din R la mulțimea S. Dacă S este un subinel al lui R vom nota . Din exemplele de mai sus avem relațiile:

ZQRCH.

Dacă este o familie de subinele ale ale lui R, atunci este un subinel al lui R. Fie X o submulțime a lui R, atunci , unde F este mulțimea subinelelor lui R ce conțin pe X, este un subinel ce se numește subinel generat de mulțimea X și este cel mai mic subinel (relativ la relația de incluziune) ce conține pe X.

1.2. Ideale. Inel factor

1.2.1. Ideale. Operații cu ideale

Fie R un inel; o submulțime nevidă I a lui R se numește ideal stâng dacă și , și

Prin ideal drept al lui R înțelegem o mulțime nevidă I a lui R astfel încât și , și .

Prin ideal bilateral (sau simplu ideal)al lui R înțelegem o mulțime nevidă I a lui R care este în același timp ideal stâng și ideal drept. Mulțimile {0} și R sunt ideale bilaterale în R. Idealul bilateral {0} se numește idealul zero și se notează simplu cu 0.

Dacă R este inel comutativ, conceptele de ideal stâng, ideal drept și ideal bilateral coincid.

Un ideal stâng, ideal drept, ideal bilateral al lui R se numește propriu dacă este diferit de R. Este clar că un ideal stâng (respectiv drept, bilateral) I al lui R este propriu dacă și numai dacă . Un inel R în care singurul ideal bilateral propriu este idealul zero se numește inel simplu.

Fie X, Y două submulțimi ale inelului R. Definim mulțimea

.

Dacă I este un ideal stâng în R și Y o mulțime arbitrară a lui R, atunci se constată imediat că IY este un ideal stâng al lui R. Analog, dacă J este un ideal drept în R și X o mulțime arbitrară a lui R, atunci XJ este un ideal drept al lui R. Dacă I și J sunt ideale bilaterale, atunci IJ este un ideal bilateral al lui R.

Dacă X este o submulțime arbitrară a lui R, atunci idealul stâng RX (respectiv idealul drept XR, respectiv idealul bilateral RXR) se numește ideal stâng (respectiv drept, bilateral) generat de mulțimea X. Când convenim ca . Dacă R este comutativ, atunci . În particular putem considera cazul când ; atunci idealele , , se vor nota mai simplu Ra, respectiv aR, respectiv RaR și se vor numi respectiv idealul stâng principal generat de a, idealul drept principal generat de a și idealul bilateral generat de a. Idealul RaR se mai notează și (a). Un inel R în care orice ideal stâng (respectiv drept) este principal la stânga (respectiv principal la dreapta) se numește inel principal stâng (respectiv principal drept).

Fie o familie de ideale stângi (respectiv drepte, respectiv bilaterale) ale lui R. Atunci mulțimea este un ideal stâng (respectiv drept, respectiv bilateral) al lui R.

De asemenea definim mulțimea:

.

Se verifică imediat că această mulțime este un ideal stâng (respectiv drept, respectiv bilateral).

Idealul se numește suma familiei de ideale . Dacă I este ideal stâng

(respectiv drept, bilateral) și o familie de ideale stângi (respectiv drepte, bilaterale), atunci au loc egalitățile:

(1)

(2)

Propoziție. Fie R o mulțime și X submulțime a lui R. Atunci:

,

unde A este mulțimea idealelor stângi ce conțin mulțimea X;

,

unde B este mulțimea idealelor drepte ce conțin pe X;

,

unde C este mulțimea idealelor bilaterale ce conțin pe X.

Demonstrație.

Prima egalitate rezultă din definiția mulțimii RX. Cum , atunci și deci are loc egalitatea .

Se demonstrează analog.

Din relația (2) obținem egalitatea . Cum , atunci și deci evident .

1.2.2. Inelul factor

Fie R un inel și I un ideal bilateral propriu al lui R. Pe mulțimea R definim relația binară „(mod I)” în modul următor :

dacă și numai dacă .

Se verifică ușor că această relație este de echivalență. În acest caz putem vorbi de clasa de echivalență a elementului ca fiind mulțimea :

(În literatura matematică clasa de echivalență se mai notează și sau sau etc.).

Considerăm mulțimea claselor de echivalență notată cu R/I:

Pe mulțimea R/I definim operațiile:

,

Este ușor de văzut că cele două operații sunt bine definite și R/I devine un inel. Elementul identitate al inelului R/I este . Inelul R/I se numește inelul factor al lui R modulo idealul I.

Dacă R este comutativ, atunci R/I este inel comutativ.

Exemplu. Fie inelul întregilor raționali și n un număr natural. Consideram idealul principal ; atunci putem vorbi de inelul factor care se notează cu . Este ușor de văzut că elementele lui sunt

este un inel comutativ având n elemente.

1.3. Homomorfisme de inele

Definiție. Fie R, S două inele. O aplicație se numește homomorfism (sau morfism) de inele dacă sunt îndeplinite condițiile:

;

;

oricare ar fi

(Notăm cu 1 elementul identitate atât din R cât și din S).

Propoziție. 1) Dacă R este un inel, atunci aplicația identică este un homomorfism de inele.

2) Dacă S este subinel al lui R, atunci aplicația incluziune este un morfism de inele.

3) Dacă R, S, T sunt trei inele și și homomorfisme de inele, atunci este homomorfism de inele.

Un homomorfism de inele se numește izomorfism dacă există un homomorfism de inele astfel încât

(1.3.a) și

Homomorfismul este unic și se notează cu . Dacă inelele R și S sunt izomorfe, vom scrie . Dacă este un izomorfism de inele, se numește și automorfism al lui R.

Propoziție. Fie un homomorfism de inele. Atunci este izomorfism dacă si numai dacă este bijecție.

Demonstrație. Dacă este izomorfism, este bine cunoscut din teoria mulțimilor că relațiile (1.3.a) implică este bijecție. Presupunem că este bijectivă. Fie funcția inversă a lui ; este suficient de probat că este homomorfism.

Fie ; cum este surjectivă, există astfel încât și . Deci și . Putem să seriem:

și

de unde

Cum este injectivă, atunci .

Analog și

de unde și cum este injectivă, atunci . Este ușor de văzut că .

Deci putem afirma că este homomorfism de inele.

Dacă este homomorfism de inele, vom nota cu

și

Este ușor de văzut că este un subinel al lui S iar este un ideal propriu bilateral al lui R. Idealul se numește nucleul homomorfismului .

Propoziție. Fie un homomorfism de inele. Atunci:

este injectiv dacă și numai dacă ;

este surjectiv dacă și numai dacă .

Propoziție. Fie un homomorfism de inele

1) Dacă este un subinel al lui R, atunci este un subinel al lui S.

1') Dacă este un subinel al lui S, atunci este un subinel al lui R.

2) Dacă este surjectivă, atunci pentru orice ideal stâng (respectiv drept, bilateral) I din R, este un ideal stâng (respectiv drept, bilateral) în S.

2') Dacă J este un ideal stâng (respectiv drept, bilateral) al lui S, atunci este ideal stâng (respectiv drept, bilateral) al lui R.

Corolar. Fie un homomorfism surjectiv de inele. Atunci aplicația este o bijecție între mulțimea idealelor stângi (respectiv drepte, bilaterale) a lui S și mulțimea idealelor stângi (respectiv drepte, bilaterale) a lui R ce conțin pe .

Demonstrație. Este clar că pentru orice ideal stâng, drept sau bilateral al lui S. Cum este surjecție, atunci are loc egalitatea . Fie I un ideal din R astfel încât ; atunci dacă și deci există astfel încât de unde obținem . Din incluziunea deducem că adică are loc incluziunea . Cum are loc întotdeauna, obținem că . Din această egalitate și din egalitatea obținem imediat demonstrația corolarului.

Teoremă. Fie R, S, inele și ,morfisme de inele cu surjectiv. Dacă , atunci există un unic morfism de inele astfel încât , adică diagrama

este comutativă.

În plus u este injectiv dacă și numai dacă

Demonstrație. Fie ; cum este surjectiv, există astfel încât . Definim prin egalitatea . Dacă este un alt element pentru care , atunci și , deci , de unde obținem . Acest lucru ne arată că aplicația u este bine definită.

Nu este nici o dificultate să se arate că u este homomorfism de inele. Din modul cum a fost definit u rezultă că .

Presupunem că mai există un homomorfism de inele astfel încât . Fie ; cum este surjectiv, atunci există astfel încât . Atunci . Deci ceea ce ne arată unicitatea lui u.

Daca u este injectiv și dacă , atunci

,

de unde adică și deci .

Invers, presupunem că . Dacă astfel încât și dacă , atunci de unde adică și deci . Prin urmare ceea ce ne arată că u este injectiv.

Fie R un inel și I un ideal propriu bilateral al lui R. Am construit mai sus (în paragraful 1.2) inelul factor R/I. Funcția este un homomorfism surjectiv de inele. Homomorfismul se va numi surjecția canonică (sau naturală).

Corolar. Fie un homomorfism de inele. Atunci există un izomorfism unic de inele astfel încât diagrama

să fie comutativă, adică , unde este surjecția canonică, iar i homomorfismul incluziune.

Demonstrație. Considerăm morfismul de inele definit prin . Cum , din teorema precedentă rezultă că există un unic homomorfism de inele astfel încât . Tot din teoremă știm că u este injecție. Cum este surjectiv, atunci u este și el surjectiv și deci izomorfism. Este clar că .

1.4. Exemple de clase de inele

Am văzut în paragraful 1.2 că fiind dat un inel R și I un ideal propriu bilateral al lui R, am obținut un nou inel, R/I, numit inelul factor. În cele ce urmează vom prezenta alte câteva moduri de a obține noi clase de inele.

1.4.1. Produs direct de inele

Fie o familie nevidă de inele. Fie produsul cartezian al acestei familii. Pe R definim două operații:

pentru oricare și .

Se verifică imediat că R cu aceste operații devine un inel unde elementul nul 0 și identitatea 1 a lui R sunt funcțiile definite prin :

și

Dacă notăm , atunci r este familia de elemente sau, mai simplu, notăm . Operațiile definite mai sus se transcriu astfel:

Inelul R astfel obținut se notează și se numește produsul direct al familiei .

Este clar că proiecțiile canonice definite de egalitățile sunt homomorfisme surjective de inele. Dacă în familia avem oricare ar fi , atunci inelul este mulțimea

cu operațiile

și

Acest inel îl vom nota tot cu sau .

Avem de considerat cazul particular când . În acest caz inelul se notează (adică mulțimea tuturor sistemelor de

n – elemente în care adunarea și înmulțirea se face pe componente).

Când , atunci scriem în loc de .

1.4.2. Inelul opus al unui inel.

Fie R un inel. Putem să definim un nou inel notat cu în modul următor: ca mulțime coincide cu R, operația de adunare din este aceeași din R iar operația de înmulțire, notată cu „* ” este dată de egalitatea: .

Este clar că este un inel având același element identitate ca al lui R. Egalitatea are loc dacă și numai dacă R este un inel comutativ.

Importanța definirii inelului opus al unui inel se va vedea odată cu introducerea noțiunii de modul peste un inel.

1.4.3. Centrul unui inel.

Fie R un inel. Mulțimea

este un subinel comutativ al lui R care poartă denumirea de centrul inelului R. R este comutativ dacă și numai dacă . Este clar că

1.4.4. Inelul de endomorfisme al unui grup abelian.

Fie G un grup abelian. Prin endomorfism al lui G înțelegem o aplicație având proprietatea

, oricare ar fi .

Să notăm cu sau simplu mulțimea endomorfismelor lui G. Dacă , atunci funcția

este un endomorfism al lui G pe care îl notăm cu . Dacă pe definim operația de adunare se verifică imediat că devine un grup abelian în care elementul neutru este endomorfismul oricare ar fi , iar simetricul lui este definit prin egalitatea

Dacă pe grupul considerăm ca operație de înmulțire, compunerea , devine un inel având ca element identitate endomorfismul identic al lui G, . Inelul astfel obținut se numește inelul endomorfismelor grupului G.

1.4.5. Inele de matrici.

Fie R un inel și I, J două mulțimi nevide. Prin cu elemente din R vom înțelege o funcție . Dacă notăm . În acest caz matricea A o vom scrie

sau mai simplu dacă nu este pericol de confuzie . Fie , atunci restricția funcției la mulțimea se numește submatrice a lui A. Dacă luăm , atunci . Fie o matrice cu și . Atunci submatricile și se numesc i-linia lui A respectiv j-coloana lui A.

Mulțimea – matricilor peste R o vom nota cu . Dacă vom scrie mai simplu . Elementele lui se numesc I – matrici pătratice.

Dacă , , atunci familia de elemente se numește diagonala matricii A. Pe mulțimea se poate introduce operația de adunare: dacă , sunt din , atunci

.

Este clar că cu operația de adunare a matricilor devine un grup abelian.

O matrice se numește de linie finită (respectiv de coloană finită) dacă fiecare linie a sa (respectiv coloană) are numai un număr finit de element nenule. Vom nota cu (respectiv ) mulțimea matricilor de linie finită (respectiv de coloană finită).

Este clar că dacă I și J sunt mulțimi finite, atunci

Fie I, J, K trei mulțimi nevide. Dacă , și dacă A este o matrice linie finită sau B este o matrice coloană finită, atunci

și se numește produsul matricilor A și B.

Se verifică simplu că operația de înmulțire are sens în mulțimile și .

Propoziție. Mulțimile , cu operațiile de adunare și înmulțire a matricilor sunt inele.

Demonstrație. Observăm că , sunt subgrupuri în față de operația de adunare.

Dacă , , sunt elemente (sau din ), atunci

și deci

adică înmulțirea este asociativă. Pe de altă parte

Analog se arată că și deci au loc și legile de distributivitate.

Se observă că matricea (unde este simbolul lui Kronecker) este element identitate pentru înmulțire.

Pentru cazul particular când și mulțimea matricilor o vom nota simplu . Elementele din se vor numi matrici dreptunghiulare cu m-linii și n-coloane cu elemente din R. Mulțimea , unde , o vom nota simplu , și elementele sale le vom numi matrici pătratice de ordinul m. Dacă putem considera elementele din , unde este matricea cu și pentru . Se verifică imediat egalitățile:

și

Dacă R este comutativ, atunci pentru este un inel necomutativ cu divizori ai lui zero. Într-adevăr, și deci . De asemenea dacă .

1.4.6. Inele monoidale. Inele grupale.

Fie R un inel și G un monoid (adică o mulțime nevidă pe care s-a definit o operație asociativă, având element unitate). Dacă este o funcție arbitrară, atunci definim

Mulțimea se numește suportul funcției . Dacă este o mulțime finită, atunci vom nota .

Fie mulțimea

.

Pe mulțimea definim adunarea , unde . Această operate are sens deoarece . Față de operația de adunare mulțimea este un subgrup în grupul . Definim pe mulțimea operația de înmulțire dată de egalitatea

(1.4.6.a)

Deoarece și sunt mulțimi finite, atunci are sens suma (1.4.6.a).

Dacă atunci avem

de unde și deci operația de înmulțire este asociativă. Este simplu de verificat că operația de înmulțire este distributivă (la stânga și la dreapta) față de operația de adunare.

Fie funcția definită prin egalitatea :

Este clar că și oricare ar fi adică este element identitate în . Deci este un inel; acest inel poartă denumirea de inelul monoidal asociat lui și . În cazul când este grup, atunci se numește inelul grupal asociat lui și .

Rămânem la cazul când este monoid. Definim aplicația astfel:

(1.4.6.b)

Se observă că este un homomorfism de inele injectiv. Definim aplicația prin egalitatea

(1.4.6.c)

Se constată că și . De asemenea se observă că este injectivă.

Fie ; dacă vom nota

Din (1.4.6.a) obținem

Atunci rezultă că

(1.4.6.d)

Scrierea lui sub forma (1.4.6.d) este unică.

Deoarece și sunt injective, vom identifica cu și cu . În acest caz se scrie în mod unic sub forma simplă

(1.4.6.e)

Deci putem considera ca fiind mulțimea expresiilor de forma

Operațiile de adunare și înmulțire se transcriu în felul următor

și

1.4.7. Inele de polinoame.

Fie monoidul al numerelor întregi nenegative cu operația de adunare. Fie I o mulțime nevidă arbitrară. Notăm cu submulțimea lui formată din șirurile în care pentru toți indicii i în afară de un număr finit. (Dacă I este finită, atunci ). este un monoid față de adunare :

având ca element neutru pe , unde .

Dacă R este un inel arbitrar, putem considera inelul monoidal . Vom adopta următoarele notații:

Fie , aplicația din (l.4.6.c). Dacă , atunci considerăm elementul din în care și pentru . Pentru acest element luăm

Dacă este un element arbitrar din , atunci imaginea lui prin este (produsul are sens deoarece numai un număr finit din elementele sunt nenule).

Acum dacă ținând cont de (1.4.6.e), se scrie în mod unic sub forma

(1.4.7.a)

unde și numai un număr finit din elementele sunt nenule.

Definiție. Inelul grupal relativ la inelul R și monoidul se numește inelul de polinoame relativ la nedeterminatele și cu coeficienți din R. Acest inel se notează cu simbolul . Elementele acestui inel se numesc polinoame.

Am dat în (1.4.7.a) expresia polinoamelor

Elementele se numesc coeficienții polinomului . Polinoamele de forma cu se numesc monoame. Deci orice polinom este o sumă finită de monoame. Dacă I este o submulțime finită în , atunci în loc de, , vom scrie , unde , elementele fiind scrise în ordine crescătoare. Dacă I este o mulțime formată dintr-un singur element, atunci inelul de polinoame se notează .

Noi, prin aplicația injectivă dată de (1.4.6.b), identificăm inelul R cu un subinel din . Elementele din R se vor numi polinoame constante.

Propoziție. Fie un morfism de inele I, J două mulțimi nevide iar o aplicație. Fie o familie de elemente din S astfel încât

.

Atunci există un morfism de inele

astfel încât și .

Demonstrație. Dacă este un polinom din atunci definim

.

Se verifică ușor că este un homomorfism de inele. Rezultă că și oricare ar fi și este unic cu aceste proprietăți.

Corolar. Fie un morfism de inele I, J două mulțimi nevide iar o aplicație arbitrară. Atunci există, un unic morfism de inele

astfel încât prelungește pe , si polinomului din inelul îi corespunde prin polinomul din inelul . Dacă în plus și sunt injective (respectiv surjective, bijective), atunci este injectivă (respectiv surjectiv, bijectiv).

Demonstrație. Rezultă din propoziția anterioară și din unicitatea scrierii unui polinom sub forma (1.4.7.a).

Corolar. Fie R un inel, I o mulțime nevidă și o submulțime nevidă a lui I. Atunci există un homomorfism unic, injectiv de inele astfel încât prelungește aplicația identică a lui R, și pentru, orice , polinomului din inelul îi corespunde polinomul din inelul .

Acest corolar ne permite sa identificam inelul cu subinelul al lui . Făcând această identificare putem să scriem egalitatea

Tot din propoziția anterioară se obține:

Corolar. Există un izomorfism canonic de inele

care prelungește aplicația identică a lui R.

Fie un inel de polinoame în nedeterminatele . Considerăm monomul cu . Prin gradul acestui monom înțelegem suma . Cum orice polinom este o sumă finită de monoame, atunci vom defini gradul lui ca fiind maximul gradelor monoamelor sale. Acest număr se notează cu . Dacă este polinomul zero, vom conveni ca . Se verifică imediat că pentru două polinoame au loc relațiile :

.

Dacă atunci

.

Dacă R este un domeniu de integritate, atunci

și deci în particular rezultă că inelul este un domeniu de integritate.

1.4.8. Algebre.

Fie R un inel comutativ, S un inel și un morfism de inele. Dacă , atunci vom spune că tripletul este o R-algebră.

Exemple. 1) Fie S un inel arbitrar. Definim prin egalitatea . Este evident că și deci tripletul este – algebră.

2) Fie R un inel comutativ și inelul matricilor pătratice de ordinul n peste R.

Definim , , unde cu dacă și dacă .

Se observă că .

Tripletul este o R-algebră.

3) Fie R un inel comutativ si G un monoid. Aplicația injectivă dată de (1.4.6.b) definește pe o structură de R-algebră.

Odată cu definirea noțiunii de modul peste un inel, vom da o altă definiție noțiunii de algebră.

1.5. Elemente nilpotente. Ideale prime. Nilradicalul

Fie R un inel; un element se numește nilpotent dacă există un număr natural astfel încât:

.

Cel mai mic număr natural cu proprietatea se numește indicele de nilpotență al acestui element.

Exemple. 1) In inelul R, elementul zero este nilpotent.

2) Fie R un inel și inelul matricilor pătratice de ordinul .

Atunci matricile cu pentru orice și cu pentru orice cu sunt elemente nilpotente în inelul .

Dacă , atunci din egalitățile

și

rezultă că este inversabil în R.

Un element se numește tare nilpotent dacă pentru orice șir de elemente din R astfel încât există un număr natural k astfel încât (deci pentru ).

Propoziție. Orice element din R tare nilpotent este nilpotent.

Demonstrație. Fie tare nilpotent. Considerăm șirul unde . Este evident că și . Deci există un număr natural k pentru care ceea ce ne arată că x este nilpotent.

Observație. Dacă R este inel comutativ, atunci orice element nilpotent este tare nilpotent.

Fie A o submulțime nevidă a lui R; spunem că A este nilpotentă dacă există un întreg astfel încât . Ținând cont de paragraful 1.2.1, A este nilpotentă în R dacă și numai dacă există un întreg astfel încât pentru orice .

Submulțimea A a lui R se numește nil dacă orice element al lui A este nilpotent. Când A este ideal (stâng, drept, bilateral) obținem noțiunea de ideal nilpotent respectiv nilideal.

Definiție. Un ideal bilateral propriu P al lui R se numește prim dacă pentru orice două ideale bilaterale I, J ale lui R din incluziunea rezultă că sau .

Un inel R în care idealul zero este prim se numește inel prim.

Este evident că orice inel simplu este prim. Mulțimea idealelor prime din inelul R se notează cu și se numește spectrul inelului R.

Propoziție. Fie R un inel și P un ideal bilateral propriu al lui R. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

P este prim;

Pentru oricare două elemente din incluziunea rezultă că sau ;

Pentru orice ideale stângi (respectiv drepte), I, J ale lui R din incluziunea rezultă sau .

Demonstrație. 1)2). Din relația obținem că și deci sau de unde rezultă că sau .

2)3). Presupunem că I și J sunt ideale stângi. Dacă există astfel încât . Dacă atunci

și deci . Cum y este arbitrar, obținem .

3)l). Este evident.

Definiție. Intersecția tuturor idealelor prime din inelul R se numește nilradicalul lui R și se notează cu . Deci .

Un inel R pentru care se numește semiprim.

Teoremă. Fie R un inel. Atunci coincide cu mulțimea tuturor elementelor tare nilpotente din R.

Demonstrație. Fie tare nilpotent. Presupunem că . Atunci există un ideal prim P astfel încât . Luăm . Cum există astfel încât – Deoarece , atunci și deci există un astfel încât .

Continuând raționamentul obținem șirul cu , și oricare ar fi ceea ce contrazice faptul că elementul x este tare nilpotent. Deci trebuie ca .

Invers, fie . Presupunem că x nu este tare nilpotent; există un șir astfel încât , și pentru orice

Fie . Deci . Considerăm idealul bilateral P care este maximal în mulțimea idealelor bilaterale care nu intersectează mulțimea S (un astfel de element există conform lemei lui Zorn). Este clar că . Să dovedim că P este prim; pentru a demonstra acest lucru considerăm I, J două ideale bilaterale din R astfel încât și . Din maximalitatea lui P rezultă că

și

Fie și . Putem presupune că . Rezultă că și deci

. Cum atunci . Din propoziția anterioară rezultă că P este prim.

Propoziție. Fie un morfism surjectiv de inele. Dacă , atunci și asocierea este o bijecție de la pe mulțimea idealelor prime ale lui R ce conțin pe .

Demonstrație. Fie astfel încât . Atunci și din 1.5.5. obținem sau de unde sau . Deci . Fie cu . Să arătam că este prim în S. Fie cu . Cum este surjecție, atunci iar și atunci de unde . Cum , atunci de unde sau și atunci sau . În continuare se aplică primul corolar din paragraful 1.3. și propoziția este demonstrată.

Corolar. Un ideal bilateral P este prim în inelul R dacă și numai dacă este un inel prim. În particular când R este comutativ, P este prim dacă și numai dacă este domeniu de integritate.

Demonstrație. Dacă este surjecția canonică, atunci . Se aplică în continuare propoziția anterioară.

Corolar. Fie un morfism surjectiv inele. Atunci:

a) ;

b) Dacă , atunci .

Demonstrație. Din propoziția anterioară avem că , unde F este mulțimea idealelor prime ale lui R ce conțin pe . Cum este surjecție, atunci de unde rezultă imediat a) și b).

Corolar. Dacă R este un inel, atunci .

Demonstrație. Se aplică corolarul anterior, punctul b) pentru surjecția canonică .

Propoziție. Fie R un inel. Următoarele afirmații sunt echivalente :

1) Orice ideal stâng (respectiv drept sau bilateral) nilpotent este zero.

2) , adică R este un inel semiprim.

Demonstrație. 2)1) rezultă din 1.5.5. Să arătăm 1)2). Fie , . Luăm . Atunci idealul nu este nilpotent. Deci ; există . Cum , atunci idealul nu este nilpotent și deci . Există . Continuând, obținem șirul cu și . Deci x nu este tare nilpotent, contradicție.

1.6. Elemente idempotente

Fie R un inel. Un element se numește idempotent dacă . Orice inel are cel puțin două elemente idempotente: 0 și 1.

Un element idempotent care aparține centrului inelului se numește idempotent central.

Dacă e și f sunt elemente idempotente în R, atunci ele se numesc ortogonale dacă .

Dacă e este idempotent, atunci din egalitatea:

rezultă că și este idempotent.

Cum obținem că e și sunt ortogonali. Un element idempotent se numește primitiv dacă e nu se poate scrie ca suma a două elemente idempotente ortogonale nenule.

Dacă e este un element idempotent în R, atunci mulțimea eRe cu operațiile de adunare și înmulțire din R restricționate la eRe este un inel, având element identitate pe e.

CAPITOLUL II

CLASE PARTICULARE DE INELE

2.1. Inele semisimple.

Definiție. Un inel se numește semisimplu dacă – modulul stâng este semisimplu.

Observație. Deoarece 1 generează modulul , atunci R este semisimplu dacă și numai dacă este sumă directă finită de ideale stângi minimale.

Definiție. Fie un inel și un ideal stâng (respectiv drept, bilateral) al lui . se numește minimal dacă și este un – modulul stâng (respectiv drept, bilateral).

Teoremă. Fie R un inel. Atunci, următoarele afirmații sunt echivalente:

este semisimplu;

este semisimplu;

Orice – modul stâng este semisimplu;

Orice – modul stâng este proiectiv;

Orice – modul drept este injectiv;

Orice șir exact de forma de – module stângi este scindabil;

Există un – modul stâng semisimplu care este generator;

este artinian la stânga și ;

este noetherian la stânga și regulat în sens von Neumann;

s.gl.

În plus aceste afirmații sunt adevărate dacă înlocuim „stâng” cu „drept”.

Corolar. Dacă este un inel semisimplu, orice – modul stâng simplu este izomorf cu un ideal minimal. În particular rezultă că există un număr finit de tipuri de module simple (stângi).

Demonstrație. Fie un – modul simplu (stâng). Atunci , unde este un ideal stâng maximal. Dar , unde este ideal minimal. Atunci .

Dacă , unde sunt ideale minimale, atunci orice ideal minimal este izomorf cu unul dintre . Deci numărul de tipuri de module simple este cel mult n, deci un număr finit de tipuri.

Observație. Dacă este semisimplu, componentele izotipice ale modulului sunt identice cu componentele izotipice ale lui , de aceea le vom numi mai simplu componentele izotipice ale inelului .

Propoziție. Dacă este inel semisimplu, componentele izotipice ale lui coincid cu mulțimea idealelor bilaterale nenule minimale ale lui . În plus orice ideal bilateral este o sumă (finită) de ideale bilaterale minimale.

Definiție. Un inel se numește simplu dacă singurele sale ideale bilaterale sunt și . Un inel care este simplu și artinian îl vom numi inel simplu artinian.

Propoziție. Pentru un inel sunt echivalente afirmațiile:

este simplu artinian;

este semisimplu și este izotipic;

este semisimplu și există un singur tip de module simple.

Teoremă. Un inel este semisimplu dacă și numai dacă există inelele simple artiniene astfel încât . În plus, n numărul de tipuri de module simple este egal cu numărul de ideale bilaterale minimale nenule ale lui .

Demonstrație. Fie componentele izotipice ale modulului . Știm că . , unde , este idempotent central și (vom demonstra mai târziu). Astfel, este ușor de văzut că inelele sunt simple artiniene.

Invers, presupunem că , unde sunt simple și artiniene. Cum orice ideal stâng al inelului este de forma , unde este ideal stâng în , și cum sunt simple, atunci este sumand direct în , deci este semisimplu și deci și este semisimplu. Partea a doua a teoremei rezultă din demonstrația primei părți.

2.2. Inele noetheriene și artiniene

Definiție. Un inel se numește noetherian (respectiv artinian) la stânga, dacă – modulul stâng este noetherian (respectiv artinian). Inelul se numește noetherian (respectiv artinian) la dreapta, dacă inelul opus este noethenian (respectiv artinian) la stânga.

Propoziție. Fie R un inel. Atunci, următoarele afirmații sunt echivalente:

este noetherian (respectiv artinian) la stânga;

Orice – modul stâng finit generat este noetherian (respectiv artinian);

Există un generator noetherian (respectiv artinian) pentru – module stângi.

Corolar. Dacă este un inel noetherian (respectiv artinian) la stânga, atunci este un IBN-inel.

Corolar. Dacă este un inel noetherian (respectiv artinian) la stânga, atunci este un l.c. inel (neartinian) la stânga.

Corolar. Dacă este un inel noetherian (respectiv artinian) la stânga, orice inel factor al lui și orice inel de factori la stânga (dacă există) este noetherian (respectiv artinian).

Corolar. Dacă este un domeniu de integritate și noetherian (respectiv artinian) la stânga, arunci R este și domeniu Ore la stânga (corp).

Teorema HILBERT A BAZEI. Dacă este un inel noetherian la stânga, atunci inelul este noetherian la stânga.

Exemple.

și , unde este corp, sunt neotheriene dar nu sunt artiniene

– modulul este artinian, dar nu este noetherian.

Observație. Fie număr prim, , submodul al lui și . Notăm cu și avem:

Pentru orice și , există astfel încât ;

Dacă este un subgrup propriu, există astfel încât este generat de clasa lui . În particular este ciclic;

nu are submodule maximale;

are un unic – submodul minimal;

Dacă cu n nu divide p, homotetia a lui este un izomorfism;

este de torsiune și divizibil;

Orice submodul nenul al lui este și esențial și superfluu.

Inelul este artinian și noetherian la stânga, dar nu este artinian și nici noetherian la dreapta.

corp nu este noetherian.

2.3. Exemple de inele noetheriene și artiniene

2.3.1. Inele generalizate de matrici triunghiulare

Fie , două inele și un bimodul. Notăm cu

care cu operațiile de adunare pe componente și înmulțire a matricilor devine un inel, numit inelul generalizat de matrici triunghiulare.

Să determinăm mai întâi toate idealele stângi ale acestui inel. Dacă este un – submodul al lui , atunci formează un ideal stâng al lui .

Dacă este un ideal stâng în , atunci mulțimea nu formează un ideal stâng dar idealul stâng general de această mulțime este

.

Rezultă că cu și este un ideal stâng.

Propoziție. Idealele stângi ale lui sunt exact submulțimile de forma unde este – submodul al lui iar este un ideal stâng în , astfel încât .

Demonstrație. Implicația am demonstrat-o mai sus.

Fie un ideal stâng în și fie .

este un – submodul al lui . Pentru orice ,

adică . Notăm cu

este un ideal stâng în și . Atunci .

Observație. Submodulul al lui și idealul stâng al lui sunt unic determinate de .

Fie aplicațiile injective:

Rezultă că , , sunt ideale bilaterale în .

Aplicațiile surjective:

sunt morfisme de inele pentru care , și . În plus .

Propoziție.

și

.

Aplicația este o corespondență bijectivă care păstrează incluziunile de la – submodulele (respectiv S- submodulele) lui , în mulțimea idealelor stângi (respectiv drepte) care sunt conținute în ale lui .

este un ideal stâng (respectiv drept) finit generat în dacă și numai dacă este un – modul stâng (respectiv drept) finit generat.

Demonstrație. 1). Din rezultă că fiind ideal nilpotent. Deoarece , rezultă că , de unde

.

Fie . Deoarece și inversabil în și inversabil în . Fie și pentru care și . Atunci

și

Deci elementul este inversabil și la stânga și la dreapta, deci
inversabil. Rezultă că

2). Dacă este un – submodul al lui , evident este un ideal stâng al lui inclus în . Cum este injectiv, rezultă că asocierea este injectivă și din prima propoziție rezultă ca este și surjectivă.

3). Presupunem că M este – modul stâng finit generat, cu generatorii . Fie , cu . Atunci

și

este un sistem de generatori pentru idealul privit ca ideal stâng.

Invers, dacă , este un sistem de generatori pentru idealul privit ca ideal stâng, atunci dacă avem

,

Corolar. Inelul este noetherian (respectiv artinian) la stânga dacă și numai dacă , sunt noetheriene (respectiv artiniene) la stânga și este un – modul finit generat.

Demonstrație. Dacă este noetherian la stânga, atunci este finit generat ca ideal stâng și deci este – modul finit generat. Cum , rezultă că este noetherian la stânga, deci și sunt noetherene la stânga.

Invers, presupunem că și sunt noetheriene la stânga și este – modul finit generat. Atunci este un – modul stâng noetherian. Cum este un – modul stâng noetherian rezultă că este – modul stâng noetherian, adică este inel noetherian la stânga.

Corolar. Inelul este noetherian (respectiv artinian) la dreapta dacă și numai dacă , sunt noetheriene (respectiv artiniene) la dreapta, iar este un – modul finit generat.

Corolar. este I.c. inel (semiartinian, semiprimar) la stânga dacă și numai dacă , sunt I.c. inele (semiartinian, semiprimar) la stânga.

Exemple.

este noetherian la stânga, dar nu este noetherian la dreapta.

este noetherian la dreapta, dar nu este noetherian la stânga.

este artinian la stânga, dar nu este artinian la dreapta.

este artinian la dreapta, dar nu este artinian la stânga.

Observație. 1), 2), 3), 4) sunt I.c. inele la stânga și la dreapta, iar 1), 2) nu sunt semiartiniene nici la stânga, nici la dreapta.

este semiprimar și nu este artinian nici la stânga, nici la dreapta.

2.3.2. Inelul strâmb al polinoamelor.

Fie un inel și un morfism injectiv de inele.

Definiție. O – derivare (la stânga) a lui este o aplicație astfel încât:

Considerăm inelul al polinoamelor cu coeficienți în și într-o singură nedeterminată . este un – modul stâng liber cu baza , deci orice element din se scrie în mod unic sub forma , cu , . Pe structura de grup abelian al – modulului liber stâng , definim operația de înmulțire dată de regula: .

cu această operație devine un inel, pe care îl notăm cu și care se numește inelul strâmb al polinoamelor determinate de și .

Observație. Dacă scriem , dacă scriem iar dacă și atunci obținem .

Fie . Dacă , atunci numărul n se va numi gradul lui și notăm . Elementul este termenul principal al polinomului . Dacă este domeniu de integritate, atunci este domeniu de integritate.

Teoremă. Fie un automorfism de inele și o – derivare. Dacă este noetherian la stânga (respectiv dreapta) atunci inelul este noetherian la stânga (respectiv dreapta).

Corolar. Fie un corp și o – derivare. Atunci inelul este noetherian și la stânga și la dreapta.

Corolar. (Teorema Hilbert a bazei). Dacă este noetherian la stânga atunci este noetherian la stânga.

Corolar. Dacă este un domeniu ore la stânga, este un automorfism al lui , iar este o – derivare, atunci este un domeniu Ore la stânga.

2.4. Module injective peste inele noetheriene

Teorema CARTAN EILENBERG MATLIS PAPP. Dacă este un inel, sunt echivalente afirmațiile:

este noetherian la stânga;

Orice limită inductivă filliantă de module stângi injective este un injectiv

Orice sumă directă de module stângi injective este un injectiv

Orice modul injectiv este o sumă directă de submodule injective și indecompozabile.

Corolar. Fie un inel comutativ și noetherian. Arunci:

Dacă este un modul injectiv indecompozabil, există un ideal prim , unic, astfel încât ;

Orice modul injectiv este izomorf cu o sumă directă de forma , unde sunt ideale prime ale lui .

2.5. Nilideale în inele noetheriene

Fie un inel.

Definiție. O submulțime a lui cu proprietatea că , și se numește subinel (fără unitate) al lui .

Observație. Orice ideal stâng (respectiv drept, bilateral) este un subinel fără unitate al lui .

Definiție. Dacă orice element al subinelului fără unitate este nilpotent, atunci spunem că este un nilsubinel în .

Definiție. Un ideal stâng (respectiv drept, bilateral) al lui se numește ideal anulator la stânga (respectiv dreapta) dacă există astfel încât (respectiv ).

Lemă. Fie un inel. Dacă este nilpotent, unde au proprietatea că , atunci .

Demonstrație. Se observă că . Cum este nilpotent, există n astfel încât și . Dacă , atunci . Dar , de unde . Dacă , atunci , de unde . Cum , atunci . Deci .

Teorema SHOCK. Presupunem că inelul satisface condiția lanțurilor ascendente pentru ideale anulatori la stânga. Fie un nilsubinel care nu este nilpotent. Atunci există un șir de elemente din , astfel încât:

oricare ar fi și este directă.

Demonstrație. Considerăm șirul ascendent

Există pentru care . Notăm . Cum este nilpotent, atunci , deci există . Alegem astfel încât este maximal în mulțimea . Dacă , atunci sau de unde , absurd. Deci există astfel încât . Alegem astfel încât este maximal în mulțimea . Prin inducție putem construi un șir de elemente din astfel încât este maximal în mulțimea .

Șirul are următoarele proprietăți:

oricare ar fi .

Într-adevăr, dacă , atunci . Dacă , atunci și .

Cum , atunci aparține familiei

de ideale . Deci incluziunea este o contradicție. Deci trebuie ca .

oricare ar fi .

Într-adevăr, avem evidentă incluziunea .

Cum , atunci incluziunea strictă ar fi o contradicție pentru alegerea elementului .

pentru orice și .

Dacă pentru un anume și , atunci din 1) rezultă că oricare ar fi . Dar atunci . Din faptul că , atunci și din lemă ( o putem aplica deoarece ) obținem că . Deoarece contrazice alegerea lui . Deci trebuie ca dacă . Rămâne cazul , dar atunci și ceea ce implică . Cum , atunci există , , de unde obținem imediat că ceea ce contrazice alegerea lui . Deci și în cazul avem .

Pentru a verifica teorema noastră, notăm . Din 3) avem că pentru orice . Cum , atunci și , deci prima afirmație din teoremă este verificată.

Fie

() cu .

Rezultă și ținând cont de 3) obținem că de unde . Din 2) rezultă și deci și continuând raționamentul obținem că și deci și afirmația a doua din teoremă este verificată.

Corolar HERSTEIN – SMALL. Dacă inelul satisface condiția lanțurilor ascendente pentru ideale anulatori la stânga și ideale anulatori la dreapta, atunci orice nilsubinel al lui este nilpotent. În particular orice nilpotent stâng (respectiv drept, bilateral) este nilpotent.

Corolar LANSKI. Dacă este un inel Goldie, atunci orice nilsubinel al lui este nilpotent. În particular, orice nilideal stâng (respectiv drept, bilateral) este nilpotent.

Corolar LEVITZKI. Dacă este noetherian la stânga atunci orice nilsubinel al lui este nilpotent. În particular, orice nilideal stâng (respectiv drept, bilateral) este nilpotent.

Lemă. Fie un ideal artinian la stânga; atunci radicalul Jacobson este nilpotent.

Teorema HOPKINS. Dacă este artinian la stânga, atunci este noetherian la stânga.

Demonstrație. Notăm cu radicalul Jacobson. Există astfel încât . Din prima teoremă de la paragraful 2.1, inelul este semisimplu, deci noetherian.

Vom proceda prin inducție după . Dacă , și deci este semisimplu, deci noetherian. Fie șirul exact de – module stângi

()

Cum , atunci are o structură de – modul stâng deci este semisimplu. Cum este – modul artinian, atunci este de lungime finită, deci este – modul noetherian.

Cum radicalul Jacobson al inelului este egal cu si cum , atunci din ipoteza de inducție rezultă că inelul este noetherian la stânga. Rezultă atunci că este și – modul stâng noetherian. Din () obținem că este noetherian.

2.6. Module de lungime finită.

Fie un – modul stâng nenul.

Definiție. Se numește șir de compoziție sau șir Jordan-Hölder al lui un lanț finit strict ascendent de submodule

cu proprietatea că sunt module simple, . Numărul n se numește lungimea șirului, iar modulele , se numesc

factorii șirului.

Propoziție. Fie un – modul. Sunt echivalente afirmațiile:

are un șir de compoziție;

este noetherian și artinian;

este noetherian și semiartinian.

Corolar. Dacă este un șir exact, atunci admite un șir de compoziție dacă și numai dacă și admit câte un șir de compoziție.

Definiție. Două șiruri de compoziție ale lui :

și

se numesc echivalente dacă și există o bijecție

astfel încât

Teorema JORDAN – HÖLDER. Dacă are două șiruri de compoziție:

și

atunci ele sunt echivalente.

Demonstrație. Demonstrăm prin inducție după n. Dacă , atunci este – modul simplu și este singurul șir de compoziție al lui . Presupunem afirmația adevărată pentru modulele care admit un șir de compoziție de lungime cel mult și o demonstrăm pentru modulele cu șiruri de compoziție de lungime n.

Dacă atunci șirurile și sunt echivalente și cum , atunci șirurile date în relațiile (1) și (2) sunt echivalente.

Presupunem . Deoarece este maximal în M, avem , de unde

Rezultă că este maximal în și în . Din ultimul corolar are un șir de compoziție.

.

Atunci avem șirurile de compoziție

Ca în primul caz rezultă că și sunt echivalente. Deci . Atunci are un șir de compoziție de lungime cel mult și rezultă că și sunt echivalente. Din și obținem că și deci și sunt echivalente. Rezultă atunci că și și sunt echivalente, adică și sunt echivalente.

Definiție. Un – modul care admite un șir de compoziție se numește modul de lungime finită. Lungimea șirurilor sale de compoziție (aceeași pentru orice șir) se numește lungimea lui și se notează cu . Dacă , luăm . Dacă nu admite nici un șir de compoziție, atunci spunem că este de lungime infinită și scriem .

Propoziție. Dacă este un șir exact de module cu de lungime finită, atunci

Definiție. Fie și . Fie șirurile de compoziție:

în

în .

Este ușor de văzut că

este un șir de compoziție al lui de lungime .

Corolar. Dacă este un modul de lungime finită, iar și sunt două submodule ale sale, atunci

.

Demonstrație. Din izomorfismul obținem că . Din șirurile exacte:

și

și proprietățile anterioare, avem:

Corolar. Fie un – modul de lungime finită și submodule ale lui astfel încât . Atunci:

Propoziție. Fie un – modul de lungime finită și . Atunci, următoarele afirmații sunt echivalente:

este monomorfism;

este epimorfism;

este automorfism.

Propoziție LEMA FITTING. Dacă un – modul de lungime finită și , atunci există astfel încât

Demonstrație. Există astfel încât și . Fie și ales astfel încât

Atunci

,

de unde .

Dacă și .

Corolar. Dacă un – modul de lungime finită indecompozabil și , atunci este sau nu automorfism sau este un element nilpotent în (adică exista astfel încât , deci ).

Corolar. Dacă un – modul de lungime finită indecompozabil atunci este local.

Demonstrație. Fie astfel încât este inversabil Atunci există , automorfism astfel încât . Dacă nu este inversabil, atunci nu este inversabil și deci există astfel încât . Dar atunci deci este inversabil. Rezultă că este inversabil.

Teorema KRULL – SCHMIDT. Fie un modul nenul de lungime finită. Atunci are o descompunere indecompozabilă . Dacă este o altă descompunere indecompozabilă finită, atunci și există o bijecție astfel încât .

2.7. Inele locale

Propoziție. Fie un inel. Sunt echivalente afirmațiile:

are un singur ideal stâng maximal;

are un singur ideal drept maximal;

Mulțimea elementelor neinversabile din formează un ideal bilateral;

Dacă și este inversabil, atunci sau sau este inversabil.

Demonstrație. 1)2) Fie singurul ideal stâng maximal. Dacă nu este bilateral, atunci există astfel încât . Cum este ideal stâng, rezultă că , deci există cu . Cum , atunci , adică există astfel încât . Obținem , contradicție. Deci este bilateral. Rezultă imediat că în inelul orice element nenul este inversabil la stânga deci este corp. De aici obținem că este singurul ideal maximal.

2)1) Simetrie

1)3) Fie , , unde este singurul ideal stâng maximal. Cum este ideal maximal și stâng și drept, atunci și . Deci este ireversibil și la stânga și la dreapta, deci inversabil. Cum orice element din este neinversabil, atunci coincide cu mulțimea elementelor neinversabile din .

3)4) Implicația este clară

4)1) Fie un ideal stâng maximal în și , un ideal stâng maximal. Atunci . Deci cu și . Deci sau sau este inversabil, adică sau sau , contradicție.

Definiție. Un inel care satisface una din cerințele echivalente din propoziția anterioară se numește inel local.

Corolar. Dacă este inel local, atunci și sunt singurele elemente indempotente din .

Demonstrație. Dacă și , atunci din rezultă că sau este inversabil. Cum obținem o contradicție.

Corolar. Fie un – modul stâng astfel încât inelul este local. Atunci este indecompozabil.

Corolar. Fie un – modul stâng injectiv. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

este local;

este indecompozabil.

Demonstrație. 1) 2) evidentă.

2)1) Fie cu . Rezultă imediat că și . Dacă , atunci anvelopa injectivă a lui este un submodul în . Dar . Cum este indecompozabil și injectiv, rezultă că, și deci . Deci este monomorfism. Cum , atunci și deci este izomorfism, adică un element inversabil local.

2.8. Idempotenți pentru o descompunere

Presupunem că are o descompunere directă (internă) . Atunci pentru fiecare , deci există un unic idempotent cu și .

Definiție. Numim idempotenții idempotenți pentru o descompunere și pentru fiecare , numim idempotentul pentru în această descompunere.

Propoziție. Fie submodule ale modulelor . Atunci dacă și numai dacă există o mulțime indexată (necesar finită) de endomorfisme idempotente ale lui , astfel încât , și . Mai mult dacă endomorfismele idempotente ale lui există, atunci este idempotentul pentru în descompunerea .

Definiție. O mulțime de idempotenți se numește ortogonală ,

Corolar. Idempotenții pentru o descompunere sunt ortogonali. Mai mult, dacă , atunci pentru aproape toți și .

Definiție. O mulțime finită ortogonală de idempotenți ai unui inel se numește completă dacă .

Corolar. Fie submodule ale lui . Atunci există o mulțime completă (necesar unică) de idempotenți ortogonali din cu .

2.9. Descompunerea inelului

Pentru fiecare inel există trei module regulate și și fiecare are propria teorie de descompunere.

Multiplicarea la dreapta și multiplicarea la stânga sunt izomorfisme de inele , .

Propoziție. Un ideal stâng al inelului este sumand direct al lui dacă și numai dacă exista un idempotent astfel încât . Mai mult, dacă este un idempotent, atunci este idempotent și și sunt complemenți direcți unul altuia, adică .

Propoziție. Fie ideale stângi ale inelului . Atunci următoarele afirmații despre – modulul sunt echivalente:

;

Fiecare element are o unică exprimare unde , ;

Există o mulțime completă (necesar unică) de idempotenți ortogonali în cu , .

Observație. , atunci adică, .

Definiție. Un element idempotent este primitiv dacă este nenul și nu poate fi scris ca o sumă , de idempotenți ortogonali nenuli.

Definiție. Un ideal stâng (respectiv drept) al lui este primitiv dacă este de forma (respectiv ) pentru un idempotent primitiv .

Deoarece inelul de epimorfisme al lui este izomorf cu avem:

Corolar. Fie un idempotent nenul, atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

este un idempotent primitiv;

este un ideal stâng primitiv al lui ;

este un ideal drept primitiv al lui ;

este un sumand direct indecompozabil al lui ;

este un sumand direct idecompozabil al lui ;

inelul , are exact un idempotent nenul, anume .

Corolar. Pentru un inel , modulul regulat stâng este o sumă directă de ideale stângi primitive dacă și numai dacă există o mulțime completă de idempotenți primitivi ortogonali pe perechi în cu , .

Presupunem că are o descompunere ca sumă directă de ideale, unde fiecare este un ideal bilateral nenul al lui . Atunci există o mulțime unică de idempotenți nenuli ortogonali pe perechi, în cu și , .

Pentru fiecare , deoarece și este un ideal avem . Astfel, dacă , atunci

Așadar, pentru fiecare avem

Altfel spus, fiecare este un idempotent central și fiecare este un inel cu unitatea . Reciproc, dacă este o mulțime ortogonală de idempotenți centrali nenuli ai lui cu , atunci, evident fiecare , este un ideal al lui și .

Observăm de asemenea că aceasta este o descompunere a lui ca modul drept și ca binomul . Când are o astfel de descompunere, spunem că este o sumă directă de inele a idealelor , numim sumanzi direcți de inele ai lui și scriem

Spunem că aceasta este o descompunere de inel a lui .

Presupunem acum că este o sumă directă de inel a idealelor și că idempotenții centrali asociați. Este ușor de arătat că aplicația definită prin , este un izomorfism de inele de la , pe produsul cartezian al inelelor . Reciproc, dacă este șir finit de inele și dacă sunt injecțiile canonice ale inelelor pe produsul , atunci:

Desigur, aici idempotenții centrali cu ai acestei descompuneri sunt chiar , imaginile naturale ale unităților inelelor . În concluzie avem:

Propoziție. Fie ideale bilaterale nenule ale lui . Atunci, sunt echivalente afirmațiile:

;

;

Ca grup abelian, este suma directa a lui ;

Există idempotenții centrali ortogonali pe perechi cu și , .

Definiție. Un inel se numește indecompozabil dacă el nu are nici o descompunere de inel cu mai mult de un termen.

Corolar. Un inel este un inel indecompozabil dacă și numai dacă este singurul idempotent central nenul din .

În general un inel nu admite o descompunere de inel în inele indecompozabile. Dar dacă o astfel de descompunere există, atunci ea este unică:

Propoziție. Fie o descompunere de inele a lui cu fiecare indecompozabil ca inel. Fie idempotenți centrali ai acestei descompuneri. Dacă este o descompunere de inel a lui cu idempotenții centrali asociați , atunci o partiție a lui astfel încât , . În particular , .

Există o clasa importantă de inele care au descompunerea ca sume directe de inele indecompozabile, anume acele inele pentru care modulul are o descompunere ca sumă directă de ideale stângi primitive. Într-adevăr, pentru un astfel de inel există o metodă pentru determinarea descompunerii de inel indecompozabile (necesar unică) a lui din oricare din descompunerile sale stângi. Presupunem că are o descompunere ca sumă directă de ideale stângi primitive. Aceasta înseamnă că există o mulțime completă de idempotenți primitivi, ortogonali pe perechi în . Fie . Pe E definim o relație „” prin dacă și numai dacă există cu și . Atunci ~ este o relație pe mulțimea , reflexivă și simetrică. Ea poate fi extinsă la o relație de echivalență notată „” definită prin dacă și numai dacă există un șir astfel încât .

Se observă că dacă este un idempotent central nenul și , atunci și sunt idempotenți ortogonali, și este primitiv, astfel că . Rezultă că dacă cu și , atunci

Astfel, dacă , atunci . Aceasta se extinde la faptul că: dacă atunci .

Fie clasele de echivalentă relative „” în și pentru fiecare , fie , suma idempotenților din clasele . Atunci fiecare este un idempotent nenul al lui și mulțimea este ortogonală pe perechi cu . Acești idempotenți se numesc idempotenții bloc ai lui și inelele sunt blocurile lui determinate de . Ca o consecința a rezultatului următor acești idempotenți bloc și blocurile lor sunt independenți de idempotenții primitivi .

Teorema descompunerii bloc. Fie un inel a cărui identitate poate fi scrisă ca o sumă de idempotenți primitivi ortogonali pe perechi și fie idempotenții bloc ai lui determinați de . Atunci sunt idempotenți centrali ortogonali pe perechi cu . Mai mult, fiecare bloc , este un inel indecompozabil și este o descompunere (necesar unică) a lui , în inele indecompozabile.

Demonstrație. sunt ortogonali pe perechi și . Dacă , atunci din modulul de definire al relației „”, . Atunci pentru orice avem . Astfel, fiecare este central. Pentru a termina demonstrația este suficient să demonstrăm că este unicul idempotent central nenul al lui . Dacă, presupunem prin absurd că, există un idempotent central nenul , cu , atunci și sunt idempotenți centrali nenuli, ortogonali în cu și . Dacă este clasa lui în , trebuie să existe cu și . Deoarece și sunt primitivi, aceasta înseamnă că și . Dar deoarece , rezultă că și ceea ce contrazice faptul că .

Teoria de descompunere a inelului și a modulelor sale regulate stângi și drepte și sunt echivalente cu aceea a idempotenților săi. Deoarece idempotența se păstrează prin morfismele de inel, sumanzii direcți ai lui , duc la sumanzi direcți ai inelelor factor ale lui .

Propoziție. Fie un ideal propriu al inelului . Dacă este un idempotent (central) al lui , atunci este un idempotent (central) al inelului factor și atât ca – modul stâng, cât și ca – modul stâng avem:

În particular, dacă este o mulțime ortogonală de perechi de idempotenți ai lui cu , atunci

Atât ca module – stângi, cât și ca – module stângi.

=== CAPITOLUL III ===

CAPITOLUL III

STRUCTURI TOPOLOGICE ALE IDEALELOR

UNUI INEL

3.1. Preradicali și radicali

3.1.1. Preradicali

Fie un inel și categoria – modulelor la stânga.

Definiție. Se numește preradical al lui , un functor cu proprietatea că , pentru orice și dacă este un morfism în , atunci este restricția lui la .

este preradical, dacă el este un subfunctor al functorului identitate al lui .

Din definiție rezultă că pentru a defini un preradical al lui este duficient a da asocierea având proprietățile:

oricare ar fi ;

Dacă este un morfism în , atunci .

Notăm cu clasa tuturor preradicalilor lui . Dacă avem dacă oricare ar fi . Relația este o relație de ordine pe .

Fie o familie de elemente din . Definim preradicalii și în modul următor:

și .

În mulțimea ordonată , preradicalii și sunt inferiorul, respectiv superiorul familiei , deci este o latice completă.

Dacă , definim preradicalii și în modul următor: pentru orice și este un submodul al lui ce conține pe astfel încât .

Propoziție. Dacă , atunci și aparțin lui .

Definiție. Fie ; se numește:

idempotent, dacă , oricare ar fi ;

radical, dacă , oricare ar fi .

exact la stânga, dacă pentru orice cu , avem .

Observație. Dacă este exact la stânga, arunci este idempotent.

Propoziție. Dacă și este sumă directă internă a familiei de submodule , atunci .

3.1.2. Radicali. Proprietăți ale radicalilor

Fie un inel. Un preradical se numește radical, dacă .

Propoziție. Fie un radical al lui și iar un submodul al lui cu . Atunci .

Demonstrație. Cum surjecția canonică. Atunci . Cum , obținem că .

Dacă surjecția canonică cu . Atunci , de unde rezultă că și deci și egalitatea .

Propoziție.

Dacă sunt radicali ai lui , atunci este un radical;

Dacă este o familie de radicali, atunci este un radical.

Demonstrație. 1) , din propoziția anterioară obținem că . Aplicând obținem că și deci este radical.

2) Notăm . Pentru orice avem .

Din prima propoziție obținem de unde și deci de unde rezultă că este un radical.

Teoremă. Fie un preradical al lui . Atunci:

Există un preradical astfel că ; este idempotent și este cel mai mare cu aceste proprietăți.

Există cel mai mic radical cu proprietatea că .

Lemă. 1) Dacă sunt doi preradicali idempotenți, atunci este un preradical idempotent.

2) Dacă este o familie de preradicali idempotenți, atunci este un preradical idempotent.

Demonstrație. 1) Din rezultă că . Cum este idempotent, obținem că și deci . Atunci

, de unde rezultă că și deci .

2) Notăm . Pentru orice avem de unde și deci .

Dar atunci Deci .

Corolar. Cu notațiile din teorema anterioară sunt adevărate afirmarate afirmțiile:

Dacă este preradical idempotent, atunci este idempotent.

Dacă este radical, atunci este un radical.

Propoziție. Dacă este preradical al catogoriei , exact la

stânga, arunci este exact la stânga.

Demonstrație. Fie un – modul și submodul al lui . Se demonstrează ușor că pentru orice ordinal , . Cum , atunci

ceea ce ne arată că este exact la stânga.

3.2. Teorii de torsiune

Definiție. O pereche de clase nevide de -module stângi se numește teorie de torsiune pe categoria dacă:

, pentru orice și ;

și sunt maximale în raport cu proprietatea 1).

Condiția 2) se traduce astfel: dacă și iar verifică condiția 1), atunci și .

este o teorie de torsiune în categoria dacă și numai dacă sunt îndeplinite condițiile:

, oricare ar fi ;

, oricare ar fi .

Definiție. Dacă este o teorie de torsiune pe , modulele din se numesc module de torsiune, iar modulele din se numesc modulele fără torsiune.

Dacă este o teorie de torsiune pe , atunci este închisă la sume directe, în timp ce este închisă la produse directe.

Propoziție. Fie și două clase nevide de R-module stângi. este o teorie de torsiune dacă și numai dacă și satisfac următoarele condiții:

;

este închisă la imagini omomorfe, adică dacă și , atunci și ;

este închisă la submodule, adică dacă cu , atunci ;

Pentru orice , există un submodul astfel încât și .

Demonstrație. Dacă este o teorie de torsiune, atunci condițiile a), b) și c) rezultă imediat. Fie . Considerăm , unde este o familie de submodule ale lui ce se găsesc în . Cum

, atunci . Dacă , există și un morfism nenul . Fie . Cum , atunci . Din șirul exact

,

pentru orice se obține șirul exact:

.

Cum primul și ultimul termen sunt zero, atunci și cum verifică condiția , atunci . Dar atunci și deci , absurd.

Invers, presupunem că și sunt două clase nevide de module ce satisfac condițiile a), b), c) și d).

Fie ; dacă există astfel încât , atunci există un morfism , . Dar atunci din b) rezultă și din c) obținem că . Deci din a) urmează că , absurd. Invers, fie și , oricare ar fi . Din d) are loc șirul exact

cu și . Dacă luăm , atunci și deci . Deci verifică . Analog se se arată că este îndeplinită și condiția .

Observație. Dacă este o teorie de torsiune pe , atunci ambele clase și sunt închise la extensii.

Dacă este o clasă nevidă de -module, atunci este o clasă de module de torsiune pentru o teorie de torsiune dacă și numai dacă este închisă la imagini omomorfe, la sume directe și la extensii.

Dacă este o clasă nevidă de -module, atunci este o clasă de module fără torsiune pentru o teorie de torsiune dacă și numai dacă este închisă la submodule, la produse directe și la extensii.

Definiție. O subclasă a lui se numește clasă de torsiune, dacă există o teorie de torsiune pe , astfel încât , iar o subclasă a lui se numește clasă de module fără torsiune dacă există o teorie de torsiune astfel încât .

Fie o clasă de -module. Definim subclasele lui .

Atunci , este o teorie de torsiune și este cea mai mică clasă de torisune ce conține pe .

Teoria de torsiune astfel obținută se numește teoria de torsiune generată de clasa .

Fie o clasă de -module. Definim subclasele lui ;

și

Atunci , este o teorie de torsiune și este cea mai mică subclasă de -module fără torsiune ce conține .

Teoria de torsiune astfel obținută se numește teoria de torsiune cogenerată de clasă .

3.3. Corespondența între radicali idempotenți și teoriile de torsiune

Fie o teorie de torsiune pe . Pentru orice , notăm , unde este o familie de submodule ale lui ce se găsesc în . Cum , avem și deci este un radical.

Pentru un radical idempotent al lui , definim

și .

Atunci o teorie de torsiune pe .

Teoremă. Aplicațiile și sunt inverse una celeilalte, adică există o corespondență bijectivă între clasa teoriilor de torsiune și clasa radicalilor idempotenți.

Propoziție. Fie o teorie de torsiune pe și fie radicalul idempotent asociat prin corespondența . Următoarele afirmații sunt echivalente:

este închisă la submodule;

este închisă la anvelope injective;

este exact la stânga.

Definiție. O teorie de torsiune , care satisface una din condițiile echivalente ale propoziției anterioare se numește hereditară.

Corolar. Există o corespondență bijectivă între teoriile de torsiune hereditare și clasa radicalilor exacți la stânga.

Definiție. O subcategorie plină a lui se numește deasă (sau subcategorie Serre) dacă pentru orice șir exact , dacă și numai dacă .

O subcategorie deasă care este închisă la sumele directe arbitrare se numește localizantă.

Propoziție. Fie o subclasă a lui , închisă la imagini omomorfe. Fie , teoria de torsiune generată de . Atunci:

Corolar. Dacă este o subclasă a lui , închisă la imagini homomorfe și la submodule, atunci teoria de torsiune generată de este hereditară.

Observație. Fie un radical idempotent al lui . Fie . Fie radicalul idempotent asociat lui

și teoria de torsiune asociată lui . Atunci este generată de

.

Observație. Dacă este o teorie de torsiune hereditară pe atunci ea este generată de clasa de module .

3.4. Exemple de teorii de torsiune

Teoria de torsiune a lui Dickson

Notăm cu clasa de module semisimple. Această clasă este inchisă la imagini omomorfe și la submodule. Vom nota cu teoria de torsiune generată de . Din corolarul de mai sus rezultă că această teorie este hereditară. Din propoziția anterioară rezultă imediat că dacă și numai dacă este semiartinian. Teoria de torsiune se numește teoria de torsiune a lui Dickson.

Teoria de torsiune a lui Goldie.

Fie clasa de -module de tipul , unde este un submodul esențial în . Se vede imediat că este închisă la imagini omomorfe și la submodule. Fie teoria de torsiune generata de . Din corolarul de mai sus rezultă că această teorie de torsiune este hereditară. Teoria de torsiune poartă denumirea de teoria de torsiune a lui Goldie.

Propoziție. Fie ; urmatoarele afirmații sunt echivalente:

;

Pentru orice există astfel încât este esențial în ;

Demonstrație. 1)2). Din propoziția anterioară rezultă că conține un submodul nenul . Dar cu un submodul esențial în . Fie și . Știm că este uu ideal esențial. Luăm . Cum , rezultă că .

Fie , momorfismul canonic. Luăm . Atunci . Dacă , atunci .

2)1). Dacă , există cu esențial în . Fie . Atunci și . Deci conține un submodul ce aparține lui . Deci .

2)3). Dacă , există cu esential în . Dar atunci , absurd. Deci .

3)2). Fie . Dacă , atunci este esențial în

și deci în și atunci pentru orice , este esențial în . Dacă , există . Dar atunci este esențial în și deci este esențial în .

Ideale dense și teoria de torsiune a lui Lambek.

Definiție. Un ideal stâng al lui se numește dens dacă pentru orice , , adică .

Observație. Dacă este comutativ, un ideal este dens dacă și numai dacă .

Lemă. Dacă este un ideal stâng în , dens, atunci este esențial în .

Demonstrație. Fie , . Cum , atunci . Există astfel încât . Dar și deci este esențial în .

Identificăm cu mulțimea idealilor stângi dense în și cu mulțimea idealelor stângi esențiale în . Deci avem .

Propoziție. Pentru orice inel , au loc următoarele proprietăți:

Dacă , și , atunci ;

Dacă , atunci ;

Dacă , atunci, pentru orice , ;

Dacă , și pentru orice , , atunci
.

Demonstrație. 1) este imediată.

Presupunem că există , astfel încât pentru un anumit să avem . Atunci , cu . Cum , există un astfel încât . Cum , există un , astfel încât . Pe de altă parte, și , deci , de unde . Deoarece obținem o contradicție. Deci trebuie ca oricare ar fi și deci .

Rezultă din definiție și din faptul că .

Presupunem că pentru un anumit . Atunci există un , astfel încât oricare ar fi . Deoarece , există astfel încât . Deoarece și, , atunci . Cum , există astfel încât . Pe de altă parte , de unde și deci , absurd. Deci trebuie ca .

Propoziție. Fie un inel nesingular la stânga (adică ). Atunci orice ideal stâng esențial este dens, adică .

Demonstrație. Fie un ideal stâng esențial în . Fie . Cum , atunci este încă esențial în . Deci este suficient să verificăm că pentru un ideal stâng , esențial, . Presupunem că ; atunci există , astfel încât . Deci și deci este esențial în . Atunci de unde , absurd.

Observație. Pentru orice punem . Ținând cont de prima propoziție dată la paragraful 3.4, punctul 3, rezultă că este un submodul al lui .

Propoziție. Asocierea este un radical exact
la stânga.

Demonstrație. Fie un morfism din . Dacă cum , atunci obținem că și deci este un preradical. Este clar că este exact la stânga. Să aratăm că este un radical, adică . Fie . Atunci este dens în . Pentru orice , și atunci este dens și din proprietatea 4) din prima propoziție rezultă că este dens. Deci și deci (ceea ce trebuia arătat).

Propoziție. Pentru un inel comutativ, următoarele afirmații sunt echivalente:

;

este redus (adică );

.

Demonstrație. 3)1) rezultă din propoziția a doua a paragrafului.

2)3). Fie ; atunci este esențial și deci . Fie cu ; atunci de unde și cum obținem , absurd. Deci trebuie ca .

1)2). Fie , . Există un număr natural astfel încât și . Rezultă imediat că este esențial în . Din ipoteză obținem că este dens. Cum rezultă că , absurd. Deci trebuie ca .

Lemă. Fie un -modnl stâng injectiv; teoria de torsiune cogenerată de clasa este hereditară și

.

Demonstrația este imediată.

Fie anvelopa injectivă a -modulului stâng . Teoria de torsiune congenerată de , notată se numește teoria de torsiune a lui Lambek.

Propoziție. Fie ; atunci afirmațiile următoare sunt echivalente:

;

Pentru orice , este dens în .

Corolar. . Dacă în, plus este nesingular la stânga (adică , atunci .

Exemplu. Fie inelul cu număr prim. Se arată simplu că și deci . Inelul nu conține ideale proprii dense și deci . Deci .

Propoziție. Teoria de torsiune a lui Lambek este cea mai mare teorie de torsiune hereditară pentru care este fără torsiune.

Demonstrație. Cum , atunci . Fie o altă teorie de torsiune hereditară cu . Atunci și deci dacă , de unde rezultă că .

3.3.4. Module reflexive.

Fie un inel, și categoria modulelor la stânga (respectiv la dreapta) peste . Putem considera functori aditivi și contravarianți

și

Vom nota simplu unul dintre acești functori. Dacă este -modul stâng (respectiv drept), există morifismul canonic de module stângi (respectiv drepte):

.

Reamintim că un -modul stâng (respept drept) se numește fără torsiune dacă este injectiv. Dacă este injectiv, se numește reflexiv.

Ținând cont de cele studiate anterior morfismele definesc două morfisme functoriale:

;

.

Propoziție. Fie un -modul stâng (sau drept). Următoarele afirmații sunt echivalente:

este fără torsiune;

Pentru orice , , există un astfel încât ;

Există o mulțime astfel încât .

Propoziție. Fie un -modul stâng (sau drept). Atunci:

;

este fără torsiune;

Dacă este reflexiv, atunci este reflexiv.

Demonstrație. 1) Avem și . Fie ; atunci pentru orice , avem:

2) rezultă din 1). Pentru 3) presupunem că este izomorfism; atunci este izomorfism. Rezultă atunci că este izomorfism, adica este reflexiv.

Notăm cu și .

Corolar. 1) .

2) esfe închisă la submodule și produse directe.

Propoziție. Următoarele afirmații sunt echivalente:

este fără tensiune;

Pentru orice , ;

este o teorie de torsiune hereditară care coincide în acest caz cu teoria de torsiune lui Lnmbel;.

Demonstrație. 1)2). Dacă , pentru o anumită mulțime . Atunci avem . Dar cum pentru o anume mulțime , obținem și deci . 2) 1) și 3)1) sunt imediate.

Să probăm 1)3). Din ipotoză rezultă imediat că dacă și numai dacă . Deci , clasa de torsiune a lui Lambek. Pentru a arata că este o clasă de module fară torsiune, este suficient să arătăm că este închisă la extensii. Fie un șir exact cu . Putem presupune că este un submodul al lui și . Fie un complement al lui în ; este esențial în și cum este izomorf cu un submodul al lui , atunci . Deci și deci . Deci și deci .

Dacă rezultă . Dacă atunci de unde și deci . Deci , ceea ce încheie demonstrația.

3.5. Teorii de torsiune închise la anvelope injective.

Definiție. Fie o teorie de torsiune hereditară pe . Această teorie de torsiune se numește închisă la anvelope injective dacă implică .

Propoziție. Fie o teorie de torsiune hereditară pe . Următoarele afirmații sunt echivalente:

este închisă la anvelope injective;

Pentru orice , este un submodul complement al lui M.

Pentru orice -modul stâng injectiv avem: .

Demonstrație. 1)2). Din rezultă . Prin ipoteză și deci . Deci , egalitate ce implică că este închis în și deci este un submodul complement în .

2)3). este imediată.

3)1). Fie ; avem . Cum și , rezultă că și cum este esențial în obținem că și deci .

Propoziție. Teoria de torsiune a lui Goldie este închisă la anvelope injective.

Demonstrație. Fie . Cum , atunci .

Propoziție. Fie un inel noetherian la stânga și o teorie de torsiune hereditară pe cu radicalul asociat. Dacă astfel încât , atunci .

Demonstrație. Fie inelul total de fracții la stânga asociat lui . Fie . Este clar că . Deci este -modul. Dacă notăm , atunci .

Cum este simplu artinian, există un număr finit de elemente astfel încât de unde rezultă că . Deci este izomors cu un submodul al sumei directe . Cum , atunci și deci .

Teoremă. Fie un inel noetherian stâng clasic având suficiente ideale prime bilaterale. Atunci orice teorie de torsiune hereditară este închisă la anvelope injective.

Demonstrație. Fie o teorie de torsiune hereditară pe și . Trebiue să dovedim că . Presupunem că este coireductibil. Fie . Cum are suficiente ideale prime, atunci există un astfel încât . Cum , atunci conține un submodul nenul care aparține lui . Obținem că . Fie acum , . Rezultă că este -terțiar și cum inelul este clasic atunci este -primar. Deci esistă un pentru care . Cum , rezultă imediat că și deci . Cum este arbitrar, atunci .

Corolar. Dacă este un inel comutativ și noetherian, atunci orice teorie de torsiune hereditară pe este închisă la anvelope injective.

Propoziție. Fie un inel noetherian la stânga cu proprietatea că orice teorie de torsiune hereditară pe este închisă la anvelope injective. Atunci este un inel clasic.

Demonstrație. Fie un -modul finit generat unde submodulul este -terțiar. Trebuie să arătăm că în , submodulul este -primar.

.

Se verifică ușor că ( este un ideal bilateral finit generat) că este o clasă de module de torsiune hereditară.

Fie care este esențial în . Dar și din ipoteză rezultă atunci că și . Cum este finit generat, există un număr natural așa încât . Rezultă că este -primar.

3.6. Ppetopologii și topologii aditive

Definiție. O mulțime nevidă de ideale stângi ale lui se numește pretopologie la stânga dacă sunt îndeplinite condițiile:

Dacă și este un ideal stâng cu , atunci ;

Dacă , atunci ;

Dacă , atunci , oricare ar fi

Definiție. O pretopologie se numește topologie aditivă la stânga dacă este îndeplinită și condiția:

dacă și oricare ar fi , atunci .

Definiție. O subcategorie plină a lui se numește închisă dacă ea este închisă la submodule, la imagini omomorfe și la sume directe arbitrare.

O subcategorie plină a lui se numește localizantă dacă ea

este închisă în sensul definiției anterioare și este închisă și la extensii.

Fie o pretopologie a lui . Luăm

.

Propoziție. 1) Dacă este o pretopologie, atunci este o subcategorie închisă a lui .

2) Dacă este o topologie aditivă, atunci este o clasă de torsiune hereditară (o subcategorie localizantă).

Fie o subcategorie plină a lui . Definim

Propoziție. 1) Dacă este o subcategorie închisă a lui , atunci este o pretopologie.

2) Dacă este o subcategorie localizantă a lui , atunci este o topologie aditivă.

Demonstrație. 1) Rezultă imediat ca sunt îndeplinite condițiile a) și b) din prima definiție. Fie și ; morfismul definit prin are nucleul egal cu . Atunci definește un morfism injectiv de la în și deci de unde rezultă că . Deci verifică și condiția c) din definiție.

2). Fie și un ideal stâng al lui astfel încât , . Se vede că . Să arătăm că .

Fie cu și . Atunci . Dar cum , atunci . Cum este închisă la sume directe, obținem imediat că și deci . Din șirul exact

Rezultă imediat că și deci .

Teoremă. Corespondențele și de la mulțimea pretopologiilor pe la clasa subcategoriilor închise ale lui , respectiv de la clasa subcategoriilor închise la mulțimea pretopologiilor pe , sunt inverse una cu cealaltă.

Aceste corespondențe induc o bijecție între mulțimea topologiilor aditive ale lui și clasa subcategoriilor localizante ale lui (sau echivalent clasa teoriilor de torsiune hereditare pe ).

Demonstrație. Fie o pretopologie. Vom arăta că . Dacă și dacă cu , , atunci .

Deci și deci . Invers, dacă , atunci . Cum , unde , atunci .

Analog, se arată că dacă este o subcategorie închisă avem că .

Corolar. Există o corespondență bijectivă între:

Topologiile aditive (la stânga) pe ;

Teoriile de torsiune hereditare pe ;

Radicalii exacți la stânga ai lui .

Demonstrație. Rezultă din prima propoziție a paragrafului 3.5. si anterioară.

Dacă este o topologie aditivă și este teoria de torsiune asociată, atunci când , spunem că este un modul -torsiune, iar când , spunem că este -fără torsiune.

Observație. Din teorema de mai sus rezultă că clasa teoriilor de torsiune hereditare pe este o mulțime.

Exemple. 1) Topologia aditivă asociată teoriei de torsiune a lui Dickson este:

.

2) Topologia aditivă asociată la teoria de torsiune a lui Goldie :

În particular, orice ideal stâng esențial al lui aparține lui .

3). Topologia aditivă asociată teoriei de torsiune a lui Lambek:

.

3.7. Module F-injective

3.7.1. Module F-injective

Fie un inel arbitrar, teoria de torsiune hereditară pe și topologia aditivă asociată acestei teorii.

Lemă. ; următoarele afiemații sunt echivalente:

Pentru orice ideal stâng și orice morfism , se extinde la un morfism .

pentru orice

Definiție. Un -modul srâng care îndeplinește una din condițiile echivalente din lema anterioară se numește -injectiv.

Teoremă. Fie . Următoarele afirmații sunt echivalente:

este -injectiv.

pentru orice .

Dacă cu , orice morfism se extinde la un morfism .

Observație. Dacă este topologia aditivă constituită din mulțimea tuturor idealelor stângi ale lui , se obține noțiune curentă de modul injectiv.

3.7.2. Anvelope F-injective

Fie un inel arbitrar, teoria de torsiune hereditară pe și topologia aditivă asociată acestei teorii.

Definiție. Fie . Un modul -injectiv se numește o anvelopă -injectivă a lui , dacă există un monomorfism esențial astfel încât .

Teoremă. Pentru orice există o – anvelopă injectivă unică până la un izomorfism.

Demonstrație. Fie anvelopa injectivă a lui . Notăm cu . Se verifică ușor că este un submodul al lui ce-l conține pe . Mai mult, , unde este radicalul asociat topologiei .

Fie si . Considerăm diagrama comutativă

unde extinde pe , iar este indus de . Cum și , atunci . Atunci ceea ce na arată că este -injectiv. Cum este esențial în , rezultă că este -anvelopa injectivă a lui .

3.8. Inele și module de câturi

3.8.1. Construcția inelelor și modulelor de câturi

Fie un inel, o topologie aditivă pe , teoria de torsiune asociată lui și radicalul asociat la .

devine o mulțime ordonată filtrantă dacă punem:

dacă conține pe .

Fie ; dacă există un morfism canonic ce la asociază . În felul acesta familia devine un sistem inductiv. Luăm

și pentru , notăm cu .

Lemă. Dacă și dacă , atunci .

Demonstrație. Fie ; avem:

. Deci .

Definim aplicația:

(1)

În felul următor: dacă , , clasă de morfisme, reprezentată prin și , , calsă de morfisme, reprezentată de morfismul

penrtu un anume , punem atunci (clasă de echivalență) unde . Se verifică că aplicația este bine definită și este biaditivă. În particular, dacă , se obține pe o operație de înmulțire ce face din un inel. Pentru orice , devine un -modul stâng.

Fie acum , aplicația definită astfel: dacă , indicăm cu morfismul , și punem atunci , clasa de echivalență a lui în limita inductivă.

Se verifică imediat că este un morfism de inele. Prin intermediul morfismului , devine un -modul stâng punând:

, și .

Definim acum morfismul în modul următor: dacă , fie , morfismul ; luăm atunci , clasa de echivalență a lui în limita inductivă. Se verifică ușor că este un morfism de -module. Fie acum un morfism de -module. Definim morfismul în felul următor: dacă cu , luăm .

este bine definit și este un morfism de -module.

În plus, diagrama este comutativă:

(2)

În felul acesta am definit un functor aditiv , unde și dacă , .

Mai mult, din diagrama (2) rezultă că morfismele definesc un morfism functorial

Se observă imediat că este un functor exact la stânga.

Lemă. Fie . Atunci .

Demonstrație. Dacă , adică . Există un ideal astfel încât și de unde si deci adică . Invers, dacă , esistă un ideal cu . Rezultă atunci că aplicația are proprietatea că și deci

Lemă. Fie . Atunci dacă și numai dacă .

Demonstrație. Dacă atunci, din lema anterioară, avem . Invers, fie și cu , unde , . Dacă arătăm că , rezultă că . Dacă , ; există un ideal astfel încât . Fie ; este un ideal stâng conținut în și . Dacă , atunci , deci de unde .

Lemă. Fie , , cu . Fie morfismul definit astfel: . Atunci diagrama următoare este comutativă:

unde este morfismul incluziune.

Demonstrație. Fie ; atunci , unde , .

Pe de altă parte, .

Corolar. Pentru orice , .

Demonstrație. Fie cu , . Din lema anterioară rezultă că , de unde obținem că și deci .

Definim acum: . se numește modulul de câturi al lui relativ la topologia aditivă .

Lemă. Pentru avem

.

Demonstrație. Cum , induce un morfism . În plus . Cum este un functor exact la stânga, din șirul exact

și din lema a treia și corolarul anterior obținem că este un izomorfism.

Corolar. Pentru functorul , are loc izomorfismul ,

.

Observație. Dacă este un modul -fără torsiune, atunci .

Notăm

Care este un -modul stâng.

Definim acum aplicația:

(3)

în modul următor: , , unde , cu și . induce un morfism . În plus .

Fie atunci ; avem morfismele

,

unde . Să arătăm că .

Fie ; atunci

,

unde am pus și .

Se verifică simplu că . Deci oricare ar fi și deci .

Acum definim aplicația (3) prin egalitatea:

, clasa elementului în limita inductivă.

Se verifică că această aplicație este bine definită și biaditivă. În cazul particular , aplicația (3) definește pe o structură de inel care se numește inelul de câturi al lui relativ la topologia . În plus devine un -modul stâng. Definim morfismul

în modul următor: dacă , fie și fie , ; luăm prin definiție .

Dacă este surjecția canonică, rezultă egalitatea:

(4) .

Fie acum un morfism în . Definim morfismul în modul următor: induce un morfism ; atunci punem . Atunci are loc egalitatea:

(5) .

Se arată simplu că este un morfism de -module. În plus diagrama următoare este comutativă:

(6)

Deci sistemul de morfisme definește un morfism functorial

.

Din lema a doua, corolarul de mai sus și relația (4) rezultă

Corolar. și .

Cu notațiile de mai sus pentru are loc diagrama comutativă:

(7)

unde este surjecția canonică.

Pentru cazul obținem diagrama comutativă:

(8)

unde este surjecția canonică; este un morfism de inele ( este un inel bilateral).

Propoziție. În diagrama (8), și sunt morfisme de inele.

Cum , este suficient să arătăm că este un morfism de inele.

Propoziție. Dacă este un inel comutativ, atunci și sunt inele comutative.

Demonstrație. Fie , , cu și , . Putem presupune că . Cum este o topologie aditivă, atunci . Au loc relațiile: și . Deci .

Considerăm diagrama:

unde este incluziunea canonică și . Notăm cu . Cum , atunci . Analog avem .

Să arătăm că . Fie , atunci

.

Analog de unde rezultă că .

Să arătăm că este comutativ. Fie , , unde și , . Cinsiderăm diagrama

,

unde și morfismul indus de . Deoarece și , luăm . Atunci . Analog avem . În continuare se procedează la fel ca pentru .

Exemple. 1). Fie un sistem multiplicativ în . Definim mulțimea de ideale stângi

.

este o topologie aditivă pe . Clasa de module de torsiune asociată acestei topologii este

.

Dacă acum un sistem multiplicativ al lui ce verifică condițiile că:

(*) și , există și astfel încât ( este permutabil la stânga);

(**) Dacă , și , există astfel încât (spunem că este inversabil la stânga),

Atunci

.

În acest caz, și .

2). Fie topologia aditivă a idealelor stângi dense în . Idealul se numește inel maximal (sau complet) de câturi al lui și se notează cu . Deoarece este -fără torsiune, atunci avem .

3.8.2. Module F-închise

Fie un inel, o topologie aditivă pe , teoria de torsiune asociată lui și radicalul asociat la .

Definiție. Un -modul stâng se numește -închis dacă pentru orice , morfismul canonic

este un izomorfism.

Altfel spus este -închis dacă pentru orice morfism , există un morfism unic, cu proprietatea .

Teoremă. Fie . Următoarele afirmații sunt echivalente:

este -închis.

este -injectiv și -fără torsiune (adică ).

Pentru orice morfism în astfel încât și aparțin lui , morfismul canonic este un izomorfism.

este un izomorfism.

Demonstrație. 1)2). Fie un modul -închis. Din prima definiție a paragrafului 3.7.1, rezultă că este -injectiv. Cum oricare ar fi , rezultă că .

2)1) este evidentă.

2)3). Fie un morfism în , cu și . Cum și , atunci și deci există un morfism unic astfel încât . Cum și cum este -injectiv, există un morfism astfel încât . Este clar că deci este surjectivă. Fie un alt morfism astfel încât . Atunci de unde rezultă că și deci . Cum atunci și deci

de unde .

3)1) și 1)4) sunt de asemenea evidente.

4)2). Cum , atunci . Să arătăm că este -injectiv. Fie și un morfism. Considerăm diagrama

unde , este clasa de echivalență a lui în limita inductivă ce definește pe . Din lema a patra a paragrafului 3.8.1 rezultă că această diagramă este comutativă. Atunci este morfismul ce extinde pe .

Corolar. Pentru orice , este -închis.

Demonstrație. Să arătăm că este -fără torsiune. Cum , este suficient să arătăm că dacă , atunci . Dacă , cu , există astfel încât .

Considerăm diagrama

care este comutativă. În plus este monomorfism și . Atunci și deci de unde .

Vom arăta acun că dacă , atunci este -injectiv.

Fie și un morfism. Definim mulțimea care este un ideal al lui .

Morfismul induce un monomorfism de la în și deci , de unde rezultă că .

Fie , unde astfel încât . Deoarece este monomorfism, atunci este bine deifinită. Din lema 4 a paragrafului 3.8.1, există un morfism , ce extinde pe .

Cum și coincid pe și cum , atunci și deci , este -injectiv.

Corolar. Dacă este un -modul injectiv și -fără torsiune, atunci esle -închis.

Corolar. Dacă este -fără torsiune, atunci monomorfismul
canonic este esențial.

Demonstrație. Fie . Cum , atunci . Dar din primul corolar al acestiu paragraf, este -fără torsiune, deci .

Propoziție. Dacă astfel încât , atunci .

Cum este monomorfism esențial, există un monomorfism esențial . Se verifică imediat că .

Lemă. Fie un modul -închis. Se poate descrie în mod explicit pe o structură de -module ce extinde pe cea de -modul și astfel încât să fie un -izomorfism.

Demonstrație. Fie și cu , , . Cum și , rezultă atunci . Deci este -modul. Fie morfismul , dat prin .

Deoarece este -închis, se extinde la un unic morfism . Pentru , avem egalitatea .

Punem care definește pe o structură de -modul care, extinde structura de -modul. Este ușor de văzut că devine un izomorfism de -module.

Propoziție. Fie un -modul -fără torsiune. Atunci esle o anvelopă injectivă a lui în categoria .

Demonstrație. Cum , atunci și deci este -închis. Prin urmare este în mod canonic un -modul. Deoarece este un monomorfism esențial, putem presupune că . Este clar că este o extensie esențială ca -module ale lui . Să arătăm că este un -modul injectiv. Fie cu și un morfism din categoria . Cum este -modul injectiv, există -morfism ce extinde pe . Să arătăm că este un -morfism adică și , .

Fie fixat, considerăm -morfismele:

definite astfel: și . Este clar că și deci de unde . Există atunci morfismul astfel încât , unde este surjecția canonică. Cum și , atunci și deci .

Exemple. 1). Fie teoria de torsiune a lui Goldie și topologia aditivă asociată. Cum orice ideal stâng esențial al lui aparține lui , alunci este -închis dacă și numai dacă este injectiv și -fără torsiune. În particular dacă este -fără torsiune, atunci .

2). Fie un inel cu ; atunci inelul maximal de câturi al lui este egal cu , unde este ideal stâng esențial. În acest caz ca -modul coincide cu .

3.9. Laticea submodulelor F-saturate

3.9.1. Laticea

Fie un inel, o topologie pe , teoria de torsiune asociată lui și radicalul asociat la .

Fie și un submodul al lui . Mulțimea este un submodul al lui , care se numește -saturatul submodulului .

Propoziție. Fie și două submodule ale lui . Atunci:

.

și este -fără torsiune.

implică .

.

.

.

Demonstrație. 1), 2) și 3) sunt imediate.

Din 3) rezultă că . Fie acum ; atunci din , . Dar cum

, rezultă și deci . Deci are loc 4). Relația 5) rezultă din 2), iar 6) din 3) și 5).

Definiție. Un submodul al lui se numește -saturat dacă .

Notăm .

Mulțimea , ordonată cu relația de ordine incluziunea este o latice. Într-adevăr, dacă , atunci și este inferiorul respectiv superiorul elementelor și . Această latice o vom numi laticea submodulelor -saturate ale lui .

Definim operațiile „” și „” în prin egalitățile

și .

Propoziție. este o latice modulară și completă cu și , prim element respectiv ultim element.

Demonstrație. Fie o familie de elemente din . Este ușor de observat că și este inferiorul acestei familii, iar este superiorul acestei familii.

Să arătăm că este modulară. Fie cu . Atunci avem (pe percurs am utilizat demodularizarea laticii submodulelor lui ).

Propoziție. . Există un izomorfism canonic între laticile și .

Demonstrație. Fie . Atunci cu și . Cum , definim prin . Se verifică ușor că este morfism de latici. Este clar că este injectiv. Fie . Cum , atunci din rezultă că și deci . Se observă că și , deci este și surjectivă.

Observație. Se poate demonstra mai general rezultatul: dacă cu -torsionat, atunci laticile și sunt izomorfe. Un submodul al lui se numește -submodul dacă este -de torsiune.

Propoziție. Dacă este un -submodul al lui , atunci există un izomorfism canonic de latici dat prin .

Demonstrație. Este clar că dacă , atunci . Dacă definim prin egalitatea . Dacă , atunci și deci .

Dacă , atunci este clar că și deci . Fie un submodul al lui ; să notăm cu saturatul lui în ; se observă imediat că . Dacă , atunci . Cum este imediată, rezultă că este morfism de latici.

Propoziție. Fie un -modul -închis și un submodul al lui . Atunci dacă și numai dacă este -închis.

Demonstrație. Considerăm diagrama comutativă cu liniile exacte:

unde este un izomorfism. Se observă că este un izomorfism dacă și numai dacă este monomorfism. Deci este -închis dacă și numai dacă este -fără torsiune.

Propoziție. Fie un modul – fără torsiune. Atunci orice submodul complement al lui aparține lui .

Demonstrație. Fie un submodul complement al lui ; există astfel încât este maximal cu proprietatea . Atunci . Dar atunci și deci cum obținem adică .

Dacă este – fără torsiune, atunci are un prim și ultim element care sunt submodulele respectiv . In acest caz putem vorbi despre complementul unui element , care este un element astfel încât și .

Propoziție. Fie un modul – fără torsiune. Următoarele afirmații sunt echivalente:

orice element din are un complement;

coincide cu mulțimea submodulelor complement ale lui ;

Orice submodul esențial al lui este -submodul.

Demonstrație. 1)2). Fie . Din ipoteză există astfel încât și . Fie , maximal cu proprietatea . Fie ; cum , există astfel încât . Dar și deci . Cum , atunci și deci de unde rezultă că este un submodul complement. Ținând cont și dew propoziția anterioară, obținem că coincide cu mulțimea submodulelor complement ale lui .

2)3). Fie un modul esențial al lui ; atunci este esențial și din ipoteză submodul complement. Atunci și deci este -submodul.

3)1). Fie . Fie maximal cu proprietatea . Atunci este esențial în și deci din ipoteză avem adică și deci . Cum atunci este un element complement al lui .

Corolar. Fie un modul -închis. Presupunem că îndeplinește una din condițiile echivalente din propoziția anterioară. Atunci

Orice submodul -închis al lui este sumand direct.

este un inel regulat în sens von Newmann.

Demonstrație. a). Fie un submodul -închis al lui . Din propoziția 5 a acestui paragraf, . Din ipoteză este complementul unui submodul . Atunci este esențial și . Fie proiecția canonică. Cum și este -închis, există ce extinde pe . Este clar că , unde este injecția canonică. Rezultă că este sumand direct în .

b). Fie . Cum rezultă că . Din propoziția 5 a acestui paragraf rezultă că este -închis. Din ipoteză obținem că este sumand direct în . Deci induce un izomorfism și deci este -închis. Prin urmare este sumand direct al lui . Izomorfismul se extinde la un morfism . Atunci și deci este un inel regulat.

Corolar. Fie un -modul injectiv nesingular . Atunci inelul este regulat în sens von Newmann.

Demonstrație. Fie topologia aditivă asociată teoriei de torsiune a lui Goldie. Din ipoteză este -fără torsiune și deci este -închis. Condiția 3) din ultima propoziție este verificată; deci putem aplica corolarul anterior.

3.9.2. Laticea

Fie un inel, o topologie, teoria de torsiune asociată și radicalul asociat la .

Pentru -modulul stâng putem considera laticea notată simplu și numită laticea idealelor stângi -saturate.

Propoziție. Teoria de torsiune este cogenerată de modulul injectiv .

Demonstrație. Fie este clar că . Fie ; atunci din rezultă . Dacă , fie , . Atunci și deci . Cum și cum este invectiv, atunci există un morfism nenul , contradicție.

Propoziție. Fie cogenerată de modulul injectiv . Atunci .

Demonstrație. Fie ; atunci unde fiecare deoarece și este -fără torsiune. Cum este închisă la intersecții arbitrare, rezultă . Învers, fie și luăm . Atunci . Fie . Definim prin , care este un monomorfism. Atunci pentru orice există astfel încât . Dar , unde . Dar și deci și deci de unde rezultă că și deci . Atunci și deci , de unde . Deci am obținut egalitatea .

Un -modul se numește -noetherian dacă pentru orice lanț ascendent de submodule ale lui

există un astfel încât pentru orice , .

-modulul se numește -finit generat dacă un submodul , finit generat astfel încât .

O latice se numește noetheriană dacă orice lanț ascendent de elemente ale sale este staționar.

Propoziție. Următoarele afirmații sunt echivalente pentru modulul :

este -noetherian.

Orice submodul al lui este -finit generat.

Laticea este noetheriană.

Demonstrație. 1)2) rezultă direct din prima propoziție a paragrafului 2.2.

1)3). Fie un șir ascendent de elemente din . Din ipoteză există un astfel încât pentru . Dar cum rezultă că pentru și deci , pentru orice .

3)1). Fie un lanț ascendent de submodule ale lui . Obținem lanțul ascendent de elemente din . Există un astfel încât pentru orice să avem . Cum , atunci și deci .

Corolar. Fie un submodul al lui . Atunci este -noetherian dacă și numai dacă și sunt -noetherieni.

Teoremă. Sunt echivalente afirmațiile:

este -noetherian.

Orice modul stâng -finit generat este -noetherian.

este o latice noetheriană.

Orice limită inductivă filtrantă de -module stângi injective și -fără torsiune este un modul injectiv.

Orice sumă directă de module stângi injective și -fără torsiune este un modul injectiv.

Orice modul stâng injectiv -fără torsiune este o sumă directă de submodule injective idecompozabile.

Corolar. Presupunem că este generată de modulul injectiv . Următoarele afirmații sunt echivalente:

este -injectiv (adică este injectiv, oricare ar fi mulțimea de indici ).

este o latice noetheriană.

Corolar. Dacă este noetheriană, atunci conține un sistem cofinal de ideale finit generate.

Demonstrație. este finit generat; deci există un ideal stâng finit generat astfel încât . Cum , atunci și deci .

Corolar. Fie un inel. Următoarele afirmații sunt echivalente:

este noetherian la stânga.

Există un cogenerator în injectiv.

3.9.3. Imaginea directă a unei topologii.

Fie două inele și un morfism de inele. Morfismul definește un functor aditiv și exact numit functorul restricția scalarilor.

Fie acum o topologie pe ; definim

.

Lemă. este o topologie aditivă pe .

Topologia aditivă este imaginea directă a topologiei prin morfismul .

Propoziție. Fie , două morfisme de inele. Fie o topologie aditivă pe . Atunci

Propoziție. Fie un morfism de inele și o topologie aditivă pe . Fie

.

Atunci:

Dacă este -de torsiune, atunci .

Dacă este comutativ, atunci .

Dacă este surjectiv, atunci .

Demonstrație. 1). Fie și . Atunci . Vom arătă că pentru orice , , unde de unde va rezulta că și deci . Dar . Dar . Fie astfel încât . Atunci .

Deci am arăt că . Cum incluziunea este evidentă, rezultă egalitatea . Relatiile 2) și 3) sunt imediate.

Corolar. Fie un inel, o topologie aditivă pe , inelul de câturi relativ la și morfismul canonic. Atunci .

Topologia o notăm cu .

Corolar. Fie un morfism de inele și o topologie aditivă pe . Presupunem verificată una din cele trei condiții ale propoziției 3 a subparagrafului 3.9.2. Atunci dacă , avem:

este -fără torsiune dacă și numai dacă este -fără torsiune.

este -de torsiune dacă și numai dacă este -de torsiune.

Teoremă. Fie un inel, o topologie aditivă pe . Fie morfismul canonic. Fie un -modul și modulul de câturi al lui relativ la . Atunci

(izomorfism de -module).

Există un izomorfism canonic de latici

dat de .

Demonstrație. 1). Este suficient să arătăm că este -închis. Cum este -fără torsiune, atunci din corolarul anterior rezultă că este -fără torsiune. Deci rămâne să arătăm că -injectiv. Fie atunci și un -morfism. Punem . Definim , care este un morfism de -module. Cum este -injectiv, atunci există ce extinde pe . Fie morfismul de -module cu , unde este un izomorfism. Morfismul extinde pe .

2). Ținând cont de propoziția 3 a peragrefului 3.9.1. putem presupune că . Dacă , atunci este -fără torsiune. Din șirul exact și din faptul că este -fără torsiune obținem este -fără torsiune. Din teorema de la paragraful 3.9.2. rezultă că este -modul, -fără torsiune. Deci

și deci este bine definită. Definim aplicația , . Dacă , atunci este -fără torsiune, iar din teorema de la paragraful 3.9.2. rezultă că este un -modul -fără torsiune. Din monomorfismul canonic indus de . Deci și aplicația este bine definită. Se verifică imediat că și sunt inverse una celeilalte.

Dacă , atunci din propoziția 5 a paragrafului 3.9.1, (saturatul în al lui în raport cu ) este -închis. Acum ; atunci și din obținem . Deci . Din această observație rezultă imediat că este un morfism de latici.

Corolar. Cu notațiile din teorema anterioară există un izomorfism canonic între laticile și .

Demonstrație. Din al doilea corolar al paragrafului 3.9.2. și propoziția 5 a paragrafului 3.9.1. rezultă că . În continuare se aplică teorema anterioară punctul 1). Cum (izomorfism de -module), atunci rezultă că .