Structuri Algebrice Si Topologice ALE Idealelor

CUPRINS

Introducere …………………………………………………………………………………………..1

Capitolul I – INELE și IDEALE

1.1. Inele.Subinele …………………………………………………………………………………….1

1.2. Ideale. Inel factor

1.2.1. Ideale. Operații cu ideale ……………………………………………………………..3

1.2.2. Inelul factor ……………………………………………………………………………….5

1.3. Homomorfisme de inele ……………………………………………………………………..6

1.4. Exemple de clase de inele

1.4.1. Produs direct de inele ………………………………………………………………….9

1.4.2. Inelul opus al unui inel ………………………………………………………………10

1.4.3. Centrul unui inel ………………………………………………………………………10

1.4.4. Inelul de endomorfisme al unui grup abelian ………………………………..10

1.4.5. Inele de matrici …………………………………………………………………………11

1.4.6. Inele monoidale. Inele grupale …………………………………………………….13

1.4.7. Inele de polinoame …………………………………………………………………….15

1.4.8. Algebre ……………………………………………………………………………………17

1.5. Elemente nilpotente. Ideale prime. Nilradicalul ………………………………..18

1.6. Elemente idempotente ……………………………………………………………………..21

Capitolul II – CLASE PARTICULARE DE INELE

2.1. Inele semisimple ………………………………………………………………………………22

2.2. Inele noetheriene și artiniene ……………………………………………………………23

2.3. Exemple de inele noetheriene și artiniene

2.3.1. Inele generalizate de matrici triunghiulare …………………………………..25

2.3.2. Inelul strâmb al polinoamelor …………………………………………………….29

2.4. Module injective peste inele noetheriene …………………………………………..30

2.5. Nilideale in inele noetheriene ……………………………………………………………30

2.6. Module de lungime finita …………………………………………………………………33

2.7. Inele locale ………………………………………………………………………………………36

2.8. Idempotenți pentru o descompunere ………………………………………………..37

2.9. Descompunerea inelului …………………………………………………………………..38

Capitolul III – STRUCURI TOPOLOGICE ALE IDEALELOR UNUI INEL

3.1. Preradicali și radicali

3.1.1. Preradicali ……………………………………………………………………………………..43

3.1.2. Radicali. Proprietati ale radicalilor ……………………………………………..44

3.2. Teorii de torsiune …………………………………………………………………………….46

3.3. Corespondența intre radicali idempotenti și teoriile de torsiune ………..48

3.4. Exemple de teorii de torsiune

3.4.1. Teoria de torsiune a lui Dickson ………………………………………………….49

3.4.2. Teoria de torsiune a lui Goldie ……………………………………………………49

3.4.3. Ideale dense și teoria de torsiune a lui Lambek ……………………………..50

3.5. Module reflexive ………………………………………………………………………………52

3.6. Pretopologii și topologii aditive …………………………………………………………55

3.7. Module F-injective

3.7.1. Module F-injective ……………………………………………………………………57

3.7.2. Anvelope F-injective ………………………………………………………………….58

3.8. Inele și module de câturi

3.8.1. Constructia inelelor și modulelor de câturi …………………………………..58

3.8.2. Module F-inchise ………………………………………………………………………66

3.9. Laticea submodulelor F-saturate

3.9.1. Laticea ………………………………………………………………………..69

3.9.2. Laticea …………………………………………………………………………73

3.9.3. Imaginea directă a unei topologii ………………………………………………..75

Capitolul IV – INELE NOETHERIENE DEPLIN MARGINITE. MODULE ARTIN-RESS

4.1. Inele notheriene deplin marginite …………………………………………………….77

4.2. Topologii pentru un inel noetherian deplin marginit …………………………81

4.3. Module Artin –Ress și topologii stabile …………………………………………….82

4.4. Rezultate auxiliare in localizarea comutativă ……………………………………85

4.5. Topologiile pentru un inel noetherian comutativ ………………………..87

=== CAPITOLUL I ===

CAPITOLUL I

INELE ȘI IDEALE

1.1.Inele. Subinele

Pe parcursul lucrării prin termenul de inel vom înțelege ceea ce în literatura matematică se numește inel asociativ și unitar.

Definiție. Un inel este o mulțime R având cel putin două elemente pe care s-au definit două operații binare : o adunare (a,b) a + b și o înmulțire (a,b) ab și care satisfac urmatoarele condiții:

i) R împreună cu operația de adunare este grup abelian;

ii) a(b + c) = ab + bc și (b+c)a = ba + ca,(distributivitatea înmulțirii față de adunare);

iii) a(bc) = (ab)c , (asociativitatea inmultirii);

iv) există un element 1,numit identitatea lui R cu proprietatea:

a 1 = 1 a = a,.

Din condiția i) rezultă că există un element neutru față de adunare pe care îl vom nota cu zero (numit elementul zero sau nul) (deci a + 0 = 0 + a = a, ).

Dacă , vom nota cu – a (numit opusul lui a) inversul elementului a față de operația de adunare. Vom scrie în loc de a + (-b), a – b. Se verifică imediat egalitatile:

0 a = a0 = 0, ;

a(-b) = (-a)b = -(ab), ;

a(b – c) = ab – ac , ;

(-a)(-b) = ab, .

Din aceste egalități rezultă că 1 0.

Se vede imediat din ii) și iv) că un inel R este un monoid față de operația de inmultire. Dacă operația de înmulțire într-un inel este comutativă , inelul se numește comutativ.

Fie R un inel și un element .Elementul a se numește regulat la stânga (respectiv la dreapta) dacă din egalitatea xa = 0 (respectiv ax= 0) rezultă x = 0. Elementul se numește regulat (sau nondivizor al lui zero) dacă este regulat la stânga și la dreapta. Un element care nu este regulat la stânga (respectiv la dreapta), se numește divizor la dreapta (respectiv la stanga).

Elementul se numește inversabil la stânga (respectiv la dreapta) dacă există astfel incât = 1, (respectiv = 1). Dacă este inversabil și la stânga și la dreapta , există și astfel incât și . Se vede imediat că . Acest lucru ne permite Să numim un element care este inversabil și la stânga și la dreapta, simplu inversabil. Elementul cu proprietatea se va numi inversul lui a și îl vom nota . Un inel R în care orice element nenul este regulat se numește domeniu de integritate.

Un inel în care orice element nenul este inversabil se numește corp. Este clar că orice corp este un domeniu de integritate.

Exemple.

1) mulțimea numerelor întregi împreună cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite este un inel comutativ care nu este domeniu de integritate.

2) mulțimea numerelor raționale cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire este un corp comutativ.

3) mulțimea numerelor reale cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire este un corp comutativ.

4) mulțimea numerelor complexe și , împreună cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire este un corp comutativ.

5) mulțimea cuaterniorilor unde

și unde operațiile sunt definite prin egalitățile:

și

este un inel cu 1+i0+j0+k0, elementul identitate.

Se verifică ușor relațiile:

Dacă , atunci există unde are proprietatea că . Deci x este inversabil și deci este un corp necomutativ.

Fie R un inel. O submulțime nevidă S a lui R se numește subinel dacă conține identitatea lui R și , , pentru orice . Se constată imediat că o submulțime nevidă S a lui R este subinel dacă conține identitatea lui R și este inel față de restricția operatiilor de adunare și înmulțire din R la mulțimea S. Dacă S este un subinel al lui R vom nota . Din exemplele de mai sus avem relațiile:

H.

Dacă este o familie de subinele ale lui R, atunci este un subinel al lui R. Fie X o submulțime a lui R, atunci , unde F este mulțimea subinelelor lui R ce conțin pe X, este un subinel ce se numește subinel generat de mulțimea X și este cel mai mic subinel (relative la relația de incluziune) ce conține pe X.

1.2. Ideale. Inel factor

1.2.1. Ideale. Operații cu ideale

Fie R un inel; o submulțime nevidă I a lui R se numește ideal stâng dacă si și .

Prin ideal drept al lui R intelefem o multine nevidă I a lui R astfel incât și , și .

Prin ideal bilateral (sau simplu ideal) al lui R ințelegemo mulțime nevidă I a lui R care este în acelasi timp ideal stâng și ideal drept. Multimile {0} și R sunt ideale bilaterale în R. Idealul bilateral {0} se numește idealul zero și se noeaza simplu cu 0.

Dacă R este inel comutativ, conceptele de ideal stâng, ideal drept și ideal bilateral coincide.

Un ideal stâng, ideal drept, ideal bilateral al lui R se numește propriu dacă este diferit de R. Este clar că un ideal stâng (respectiv drept, bilateral) I a lui R este propriu dacă și numai dacă . Un inel R în care singurul ideal bilateral propriu este idealul zero se numește inel simplu.

Fie X, Y două submulțimi ale inelului R. Definim mulțimea

Dacă I este un ideal stâng în R și Y o mulțime arbitrară a lui R, atunci se considera imediat că IY este un ideal stâng al lui R. Analog, dacă J este un ideal drept în R și X o mulțime arbitrară a lui R, atuci XJ este un ideal drept a lui R. Dacă I și J sunt ideale bilaterale, atunci IJ este un ideal bilateral a lui R.

Dacă X este o submulțime arbitrară a lui R, atunci idealul stâng RX (respectiv idealul drept XR, respectiv idealul bilateral RXR) se numește ideal stâng (respectiv drept, bilateral) generat de mulțimea X. când X= convenim că .

Dacă R este comutativ, atunci RX=XR=RXR. În particular putem considera cazul când X={a}; atunci idealele R{a}, {a}R, R{a}R se vor nota mai simplu Ra, respectiv aR, respectiv RaR și se vor numi respectiv idealul stâng principal generat de a, idealul drept principal generat de a și idealul bilateral generat de a. Idealul RaR se mai notează și (a). Un inel R în care orice ideal stâng (respectiv drept) este principal la stânga (respectiv principal la dreapta) se numește inel principal stâng (respectiv principal drept).

Fie o familie de ideale stângi (respectiv drepte, respectiv bilaterale) ale lui R. Atunci mulțimea este un ideal stâng (respectiv drept, respeciv bilateral) a lui R.

De asemenea definim multimea:

astfel incât .

Se verifică imediat că aceasta mulțime este un ideal stâng (respectiv drept, respectiv bilateral).

Idealul se numește suma familiei de ideale . Dacă I este ideal stâng (respectiv drept, bilateral) și o familie de ideale stângi (respectiv drepte, bilaterale), atunci au loc egalitatile:

(1)

(2)

Propoziție. Fie R o mulțime și X submulțime a lui R. Atunci:

1) ,

unde A este mulțimea idealelor stângi ce conțin mulțimea X;

2) ,

unde B este mulțimea idealelor drepte ce conțin pe X;

3) ,

unde C este mulțimea idealelor bilaterale ce conțin pe X.

Demonstrație.

1) Prima egalitate rezultă din definiția multimii RX. Cum , atunci și deci are loc egalitatea .

2) Se demonstrează analog.

3) Din relația (2) obținem egalitatea . Cum atunci și deci evident .

1.2.2. Inelul factor

Fie R un inel și I un ideal bilateral propriu al lui R. Pe mulțimea R definim relația binară ,,” în modul urmator:

dacă și numai dacă .

Se verifică ușor că aceasta relație este de echivalenta. În acest caz putem vorbi de clasa de echivalenta a elementului că fiind mulțimea:

.

(In literatura matematică clasa de echivalenta a+I se mai notează și sau , etc.).

Consideram mulțimea claselor de echivalenta notata cu R/I:

.

Pe mulțimea R/I definim operatiile:

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,

(a+I)(b+I)=ab+I.

Este ușor de văzut că cele două operații sunt bine definite și R/I devine un inel. Elementul identitate al inelului R/I este 1+I. Inelul R/I se numește inelul factor al lui R modulo idealul I.

Dacă R este comutativ, atunci R/I este inel comutativ.

Exemplu. Fie Z inelul intregilor rationali și n un număr natural. Considerăm idealul principal Zn; atunci putem vorbi de inelul factor Z/Zn care se notează cu . Este ușor de văzut că elementele lui sunt:

={0+Zn, 1+ Zn ,…,(n-1) +Zn}.

este inel comutativ având n elemente.

1.3. Homomorfisme de inele

Definiție. Fie R, S două inele. O aplicație se numește homomorfism (sau morfism) de inele dacă sunt indeplinite conditițiile:

i)

ii)

iii) ;

oricare ar fi .

(Notam cu 1 elementul identitate atat în R cat și în S).

Propoziție. 1) Dacă R este un inel, atunci aplicația identica este un homomorfism de inele.

2) Dacă S este subinel al lui R, atunci aplicația incluziune este un morfism de inele.

3) Dacă R, S, T sunt trei inele și și homomorfisme de inele, atunci este homomorfism de inele.

Un homomorfism de inele se numește izomorfism dacă există un homomorfism de inele astfel incât

(1.3.a) și .

Homomorfismul este unic și se notează cu . Dacă inelele R și S sunt izomorfe, vom scrie . Dacă este un izomorfism de inele, se numește și automorfism al lui R.

Propoziție. Fie un homomorfism de inele.Atunci este izomorfism dacă și numai dacă este bijectie.

Demonstratie. Dacă este izomorfism, este bine cunoscut din teoria multimilor că relațiile (1.3.a) implica este bijectie. Presupunem că este bijectivă. Fie funcția inversă a lui ; este suficient de probat că este homomorfism.

Fie ; cum este surjectivă, există astfel incât și . Deci și . Putem Să scriem:

si

de unde

.

Cum este injectivă, atunci .

Analog și , de unde și cum este injectivă, atunci . Este ușor de văzut că .

Deci putem afirma că este homomorfism de inele.

Dacă este homomorfism de inele, vom nota cu

și .

Este ușor de văzut că este un subinel al lui S iar este un ideal propriu bilateral al lui R. Idealul se numește nucleul homomorfismului .

Propoziție. Fie un homomorfism de inele. Atunci:

1) este injectiv dacă și numai dacă ;

2) este surjectiv dacă și numai dacă .

Propoziție. Fie un homomorfism de inele.

1) dacă este un subinel al lui R, atunci este un subinel al lui S.

) dacă este un subinel al lui S,atunci este un subinel al lui R.

2) dacă este surjectivă, atunci pentru orice ideal stâng (respective drept, bilateral) din R, este un ideal stâng (respectiv drept, bilateral) în S.

2) dacă J este un ideal stâng (respectiv drept, bilateral) al lui S, atunci este ideal stâng (respectiv drept, bilateral) al lui R.

Corolar. Fie un homomorfism surjectiv de inele. Atunci aplicația este o bijecție intre mulțimea idealelor stângi (respectiv drepte,bilaterale) a lui S și mulțimea idealelor stângi (respectiv drepte,bilaterale) a lui R ce conțin pe .

Demonstrație. Este clar că pentru orice ideal stâng, drept sau bilateral al lui S. Cum este surjectie, atunci are loc egalitatea . Fie I un ideal din R astfel incât atunci dacă și deci există astfel incât de unde obținem . Din incluziunea deducem că adică are loc incluziunea . Cum are loc intotdeauna, obținem . Din aceasta egalitate și din egalitatea obținem imediat demonstratia corolarului.

Teoremă. Fie R, S, inelele și , morfisme de inele cu surjectiv. Dacă , atunci există un unic morfism de inele astfel incât , adică diagrama

R S

u

S’

este comutativă.

In plus u este injectivă dacă și numai dacă .

Demonstrație. Fie ; cum este surjectiv, există astfel incât . Definim prin egalitatea . Dacă este un alt element pentru care , atunci și , deci , de unde obținem .Acest lucru ne arată că aplicația u este bine definite.

Nu este nici o dificultate Să se arate că u este homomorfismde inele.Din modul cum a fost definită u rezultă că . Fie y; cum este surjectiv, atunci există astfel incât . Atunci . Deci ceea ce ne arată unicitatea lui u.

Dacă u este injectiv și dacă , atunci

de unde adică și deci .

Invers, presupunem că . Dacă astfel incât u(y)=0 și dacă , atunci de unde adică și deci . Prin urmare ceea ce ne arată că u este injectiv.

Fie R un inel și I un ideal propriu bilateral al lui R. Am construit mai sus (in paragraful 1.2.) inelul factor R/I. Funcția este un homomorfism surjectiv de inele. Homomorfismul se va numi surjecția canonică (sau naturala).

Corolar. Fie un homomorfism de inele. Atunci există un izomorfism unic de inele astfel incât diagrama

R S

i

sa fie comutativă , adică unde este surjectia canonică, iar i homomorfismul incluziune.

Demonstrație. considerăm morfismul de inele definit prin . Cum , din teorema precedenta rezultă că există un unic homomorfism de inele astfel incât . Tot din teorema știm că u este injectie. Cum este surjectiv, atunci u este și el surjectiv și deci izomorfism. Este clar că .

1.4. Exemple de clase de inele

Am văzut în paragraful 1.2 ca fiind dat un inel R și I un ideal propriu bilateral al lui R, am obținut un nou inel, R/I, numit inelul factor. În cele ce urmeaza vom prezenta alte cateva moduri de a obtine noi clase de inele.

1.4.1. Produs direct de inele

Fie o familie nevidă de inele. Fie produsul cartezian al acestei familii. pe R definim două operatii:

pentru oricare și .

Se verifică imediat că R cu aceste devine un inel unde elemental nul 0 și identitatea 1 a lui r sunt functiile definite prin:

și .

Dacă notăm atunci r este familia de elemente . operațiile definite mai sus se transcriu astfel:

Inelul R astfel obținut se notează și se numește produsul direct al familiei .

Este clar că proiectiile canonice definite de egalitățile sunt homomorfisme surjective de inele. Dacă în familia avem oricare ar fi , atunci inelul este mulțimea

cu operațiile

și .

Acest inel îl vom nota tot cu sau .

Avem de considerat cazul particular când . În acest caz inelul se notează cu (adica mulțimea tuturor sistemelor de n-elemente în care adunarea și înmulțirea se face pe componente).

Cand , atunci scriem în loc de .

1.4.2. Inelul opus al unui inel

Fie R un inel. Putem Să definim un nou inel notat cu în modul urmator: că mulțime coincide cu R, operația de adunare din este aceeasi din R iar operația de inmultire, notata cu ,,” este dată de egalitatea: .

Este clar că este un inel având acelasi element identitate că al lui R. Egalitatea R= are loc dacă și numai dacă R este un inel comutativ.

Importanta definirii inelului opus al unui inel se va vedea o dată cu introducerea noțiunii de modul peste un inel.

1.4.3. Centrul unui inel

Fie R un inel. mulțimea este un subinel comutativ al lui R care poarta denumirea de centrul inelului R. R este comutativ dacă și numai dacă . Este clar că .

1.4.4. Inelul de endomorfisme al unui grup abelian

Fie G un grup abelian. Prin endomorfism al lui G ințelegem o aplicație având proprietatea

f(x+y)=f(x)+f(y), oricare ar fi .

Să notăm cu sau simplu mulțimea endomorfismelor lui G. Dacă , atunci funcția

este un endomorfism al lui G pe care în notăm cu f+g. Dacă pe definim operația de adunare se verifică imediat că devine un grup abelian în care elemental neutru este endomorfismul oricare ar fi , iar simetricul lui f este (-f) definit prin egalitatea

(-f)(x)=-f(x), .

Dacă pe grupul considerăm că operatie de inmultire, compunerea devine un inel având că element identitate endomorfismul identic al lui G, Inelul astfel obținut se numește inelul endomorfismelor grupului G.

1.4.5. Inele de matrici

Fie R un inel și I, J două mulțimi nevide. Prin -matrice cu elementele din R vom înțelege o functie . Dacă notăm . În acest caz matricea A o vom scrie

sau mai simplu dacă nu este pericol de confuzie . Fie , atunci restricția functiei la mulțimea se numește submatrice a lui A. Dacă luam , atunci . Fie o matrice cu și .Atunci submatricile și se numesc i-linia lui A respectiv j-coloana lui A.

Mulțimea – matricilor peste R o vom nota cu . Dacă I=J vom scrie mai simplu . Elementele lui se numesc I-matrici patratice.

Dacă , atunci familia de elemente se numește diagonala matricii A. Pe mulțimea se poate introduce operația de adunare: dacă , sunt din , atunci

.

Este clar că cu operația de adunare a matricilor devine un grup abelian.

O matrice se numește de linie finită (respectiv de coloana finita) dacă fiecare linie a Să (respectiv coloana) are numai un număr finit de elemente nenule. Vom nota cu (respectiv ) mulțimea matricilor de linie finită (respectiv de coloana finita).

Este clar că dacă I și J sunt mulțimi finite, atunci

.

Fie I, J, K trei mulțimi nevide. Dacă și dacă A este o matrice linie finită sau B este o matrice coloana finita, atunci

si se numește produsul matricilor A și B.

Se verifică simplu că operația de înmulțire are sens în multimile și .

Propoziție. Multimile , cu operațiile de adunare și înmulțire a matricilor sunt inele.

Demonstrație. Observam că , sunt subgrupuri în față de operația de adunare.

Dacă sunt elemente (sau din ), atunci

si deci

adică înmulțirea este asociativa. Pe de altă parte

Analog se arată că (A+B)C=AC+BC și deci au loc și legile de distributivitate.

Se observă că matricea (unde este simbolul lui Kronecker) este element identitate pentru inmultire.

Pentru cazul particular când I={1,2,…,m} și J={1,2,…,n} mulțimea matricilor o vom nota simplu . Elementele din se vor numi matrici dreptunghiulare cu m-linii și n-coloane cu elemente din R. mulțimea , unde I={1,2,…,m}, o vom nota simplu , și elementele sale le vom numi matrici patratice de ordin m. Dacă putem considera elementele din , unde este matricea cu și pentru . Se verifică imediat egalitățile

și

Dacă R este comutativ, atunci pentru este un inel necomutativ cu divizori ai lui zero. Intr-adevar, și deci . De asemenea, dacă .

1.4.6. Inele monoidale. Inele grupale

Fie R un inel și G un monoid (adica o mulțime nevidă pe care s-a definit o operatie asociativa, având element unitate). Dacă este o functie arbitrară, atunci definim

.

Mulțimea supp(f) se numește suportul functiei f. Dacă supp(f) este o mulțime finita, atunci vom nota .

Fie mulțimea

Pe mulțimea R[G] definim adunarea , unde . Aceasta operatie are sens deoarece . față de operația de adunare mulțimea R[G] este un subgrup în grupul R[G]. Definim pe mulțimea R[G] operația de înmulțire dată de egalitatea

(1.4.6.a)

Deoarece supp(f) și supp(g) sunt mulțimi finite, atunci are sens suma (1.4.6.a).

Dacă f, g, h apartine lui R[G] atunci

de unde (fg)h=f(gh) și deci operația de înmulțire este asociativă. Este simplu de verificat că operația de înmulțire este distributiva (la stânga și la dreapta) față de operația de adunare.

Fie funcția definită prin egalitatea:

Este clar că și oricare ar fi adică este elementul identitate în R[G]. Deci R[G] este un inel; acest inel poarta denumirea de inelul monoidal asociat lui R în G. În cazul când G este grup, atunci R[G] se numește inelul grupal asociat lui R în G.

Ramanem la cazul când G este monoid. Definim aplicația astfel: (1.4.6.b)

Se observă că este un homomorfism de inele injectiv. Definim aplicația prin egalitatea:

(1.4.6.c)

Se constată că De asemenea se observă că este injectiva.

Fie ; dacă vom nota

Din (1.4.6.a) obținem

Atunci rezultă că

(1.4.6.d)

Scrierea lui f sub forma (1.4.6.d) este unica.

Deoarece și sunt injective, vom verifica cu și cu . În acest caz f se scrie în mod unic sub forma simplă

(1.4.6.e)

Deci putem considera R[G] că fiind mulțimea expresiilor de forma

Operatiile de adunare și înmulțire se transcriu în felul următor

si

.

1.4.7. Inele de polinoame.

Fie monoidul al numerelor întregi nenegative cu operația de adunare. Fie I o mulțime nevidă arbitrară. Notăm cu submulțimea lui formata din sirurile în care pentru toți indicii i în afara de un număr finit. (Dacă I este finita, atunci ). este un monoid față de adunare:

avand că element neutru pe

Dacă R este un inel arbitrar, putem considera inelul monoidal Vom adopta urmatoarele notatii:

Fie aplicația din (1.4.6.c.). Dacă , atunci considerăm elementul din în care . Pentru acest element luam

.

Dacă este un element arbitrar din , atunci imaginea prin este (produsul are sens deoarece numai un număr finit din elementele sunt nenule).

Acum dacă tinand cont de (1.4.6.e), f se scrie în mod unic sub forma

unde și numai un număr finit din elementele sunt nenule.

Definiție. Inelul grupal relative la inelul R și monoidul se numește inelul de polinoame reelativ la nedeterminatele si cu coeficienti din R. Acest inel se notează cu simbolul . Elementele acestui inel se numesc polinoame.

Am dat în (1.4.7.a) expresia polinoamelor

Elementele se numesc coeficientii polinomului f. Polinoamele de forma se numesc monoame. Deci orice polinom este o sumă finită de monoame. Dacă I este o submulțime finită în N, atunci în loc de, , vom scrie , unde , elementele fiind scrise în ordine crescatoare. Dacă I este o mulțime formata dintr-un singur element, atunci inelul de polinoame se notează R[X].

Noi, prin aplicația injectivă dată de (1.4.6.b), identificam inelul R cu un subinel din . Elementele din R se vor numi polinoame constante.

Propoziție. Fie un morfism de inele I, J două mulțimi nevide iar o aplicatie. fie o familie de elemente din S astfel incât

.

Atunci există un morfism de inele

astfel incât

Demonstrație. Dacă este un polinom din atunci definim

.

Se verifică ușor că este un homomorfism de inele. rezultă că și este unic cu aceste proprietati.

Corolar. Fie un morfism de inele I, J două mulțimi nevide iar o aplicație arbitrara. Atunci exista, un unic morfism de inele

astfel incât prelungeste pe , iar polinomul din inelul ii corespunde prin polinomul din inelul . Dacă în plus și sunt injective (respectiv surjective, bijective), atunci este injectivă (respectiv surjectiv, bijectiv).

Demonstrație. rezultă din propozitia anterioara și din unicitatea scrierii unui polinom sub forma (1.4.7.a).

Corolar. Fie R un inel, I o mulțime nevidă și o submulțime nevidă a lui I. Atunci există un homomorfism unic, injectiv de inele astfel incât prelungeste aplicația identica a lui R, și pentru, orice , polinomul din inelul ii corespunde polinomul din inelul .

Acest corolar ne permite Să identificam inelul cu subinelul al lui . Facand aceasta identificare putem Să scriem egalitatea

.

Tot din propozitia anterioara se obtine:

Corolar. Există un izomorfism canonic de inele

care prelungeste aplicația identica a lui R.

Fie un inel de polinoame în nedeterminatele . considerăm monomul . Prin gradul acestui monom ințelegem suma . Cum orice polinom este o suma finită de monoame, atunci vom defini gradul lui f că fiind mazimul gradelor monoamelor sale. Acest număr se notează cu grad(f). Dacă f este polinomul zero, vom conveni că grad(f)=-. Se verifică imediat că pentru două polinoame au loc relatiile:

.

Dacă atunci

.

Dacă R este un domeniu de integritate, atunci

si deci în particular rezultă că inelul este un domeniu de integritate.

1.4.8. Algebre.

Fie R un inel comutativ, S un inel și un morfism de inele. Dacă atunci vom spune că tripletul (R, S, )sete o R-algebra.

Exemple. 1) Fie S un inel arbitrar. Definim prin egalitatea . Este evident că și deci tripletul (R, Z, ) este Z-algebra.

2) Fie R un inel comutativ și inelul matricilor patratice de ordinul n peste R.

Definim , A, unde dacă și dacă .

Se observă că .

Tripletul este o R-algebra.

3) Fie R un inel comutativ și G un monoid. aplicația injectivă dată de (1.4.6.b) defineste pe o structura de R-algebra.

O dată cu definirea noțiunii de modul peste un inel, vom da o altă definiție noțiunii de algebra.

1.5. Elemente nilpotente. Ideale prime. Nilradicalul

Fie R un inel; un element se numește nilpotent dacă există un număr natural astfel incat:

.

Cel mai mic număr natural n(x) cu proprietatea se numește indicele de nilpotenta al acestui element.

Exemple. 1) în inelul R, elemental 0 este nilpotent.

2) Fie R un inel și inelul matricilor patratice de ordinul

Atunci matricile pentru orice și cu pentru orice cu sunt elemente nilpotente în inelul .

Dacă , atunci dinegalitățile

și

rezulta că (1-x) este inversabil în R.

Un element se numește tare nilpotent dacă pentru orice sir de elemente din R astfel incât există un număr natural k astfel incât (deci pentru ).

Propoziție. Orice element din R tare nilpotent este nilpotent.

Demonstrație. Fie tare nilpotent.Consideram sirul unde . Este evident că și Deci există un număr natural k pentru care ceea ce ne arată că x este nilpotent.

Observație. Dacă R este inel comutativ, atunci orice element nilpotent este tare nilpotent.

Fie A o submulțime nevidă a lui R; spunem că A este nilpotenta dacă există un intreg astfel incât Tinand cont de paragraful, A este nilpotenta în R dacă și numai dacă există un intreg astfel incât pentru orice .

Submulțimea A a lui R se numește nil dacă orice element al lui A este nilpotent. când A este ideal (stang, drept, bilateral) obținem notiunea de ideal nilpotent respectiv nilideal.

Definiție. Un ideal bilateral propriu P al lui R se numește prim dacă pentru orice două ideale bilaterale I, J ale lui R din incluziunea rezultă că sau .

Un inel R în care idealul zero este prim se numește inel prim.

Este evident că orice inel simplu este prim. mulțimea idealelor prime din inelul R se notează cu Spec(R) și se numește spectrul inelului R.

Propoziție. Fie R un inel și P un ideal bilateral propriu al lui R. Atunci urmatoarele afirmații sunt echivalente:

1) P este prim;

2) Pentru oricare două elemente din incluziunea rezultă că sau ;

3) Pentru orice ideale stângi (respectiv drepte), I, J, ale lui R din incluziunea rezultă sau .

Demonstrație. 1)2). Din relația obținem că și deci sau de unde rezultă că sau .

2)3). Presupunem că I și J sunt ideale stangi. Dacă există astfel incât . Dacă atunci

si deci . Cum y este arbitrar, obținem

3)1). Este evident.

Definiție. Intersectia tuturor idealelor prime din inelul R se numește nilradicalul lui R și se notează cu . Deci .

Un inel R pentru care =0 se numește semiprim.

Teoremă. Fie R un inel. Atunci coincide cu mulțimea tuturor elementelor tare nilpotente din R.

Demonstrație. Fie tare nilpotent. Presupunem că . Atunci există un ideal prim P astfel incât . Luam . Cum există astfel incât . Deoarece , atunci și deci există un astfel incât

Continuând rationamentul obținem sirul cu , și oricare ar fi ceea ce contrazice faptul că elementul x este tare nilpotent. Deci trebuie că .

Invers, fie . Presupunem că x nu este tare nilpotent; există un sir astfel incât , și pentru orice .

Fie . Deci . considerăm idealul bilateral P care este maximal în mulțimea idealelor bilaterale care nu intersecteaza mulțimea S (un astfel de element există conform lemei lui Zorn). Esta clar că . Să dovedim că P este prim; pentru a demonstra acest lucru considerăm I, J două ideale bilaterale din R astfel incât și . Din maximalitatea lui P rezultă că .

Fie și . Putem presupune că . rezultă că și deci

. Cum atunci Din propozitia anterioara rezultă că P este prim.

Propoziție. Fie un morfism surjectiv de inele.Dacă , atunci și asocierea este o bijecție de la SpecS pe mulțimea idealelor prime ale lui R ce conțin pe .

Demonstrație. Fie asatfel incât . Atunci și din 1.5.5. obținem sau de unde sau . Deci . Fie cu . Să aratam că este prim în S. Fie cu Cum este surjectie, atunci iar și atunci de unde . Cum , atunci de unde sau și atunci sau . În continuare se aplica primul corolar din paragraful 1.3. și propozitia este demonstrata.

Corolar. Un ideal bilateral P este prim în inelul R dacă și numai dacă R/P este un inel prim. În particular când R este comutativ, P este prim dacă și numai dacă R/P este domeniu de integritate.

Demonstrație. Dacă este surjectie canonica, atunci . Se aplica în continuare propozitia anterioara.

Corolar. Fie un morfism surjectiv de inele. Atunci:

a)

b) dacă , atunci .

Demonstrație. Din propozitia anterioară avem că unde F este mulțimea idealelor prime ale lui R ce conțin pe . Cum este surjecție, atunci de unde rezultă imediat a) și b).

Corolar. Dacă R este un inel, atunci

Demonstratie. Se aplica corolarul anterior, punctual b) pentru surjecția canonică .

Propoziție. Fie R un inel. Urmatoarele afirmații sunt echivalente:

1) Orice ideal stâng (respectiv drept sau bilateral) nilpotent este zero.

2) adică este un inel semiprim.

Demonstrație. 2)1) rezultă din 1.5.5.

1)2) Fie , . Luam . Atunci idealul nu este nilpotent. Deci există Cum , atunci idealul nu este nilpotent și deci . Există Continuând, obținem sirul cu și . Deci x nu este tare nilpotent, contradicție.

1.6. Elemente idempotente

Fie R un inel. Un element se numește idempotent dacă . Orice inel are cel putin două elemente idempotente: 0 și 1.

Un element idempotent care apartine centrului inelului se numește idempotent central.

Dacă e și f sunt elemente idempotente din R, atunci ele se numesc ortogonale dacă ef=fe=0.

Dacă e este idempotent, atunci din egalitatea: rezultă că și 1-e este idempotent.

Cum obținem că e și 1-e sunt ortogonali. Un element idempotent se numește primitiv dacă e nu se poate scrie că suma a două elemente idempotente ortogonale nenule. Dacă e este un element idempotent din R, atunci mulțimea eRe cu operațiile de adunare și înmulțire din R restricționate la eRe este un inel, având element identitate pe e.

=== CAPITOLUL II ===

CAPITOLUL II

CLASE PARTICULARE DE INELE

2.1. Inele semisimple

Definiție. Un inel R se numește semisimplu dacă R-modulul stâng este semisimplu.

Observație. Deoarece 1 generează modulul , atunci R este semisimplu dacă și numai dacă este sumă directă finită de ideale stângi minimale.

Definitie. Fie R un inel și I un ideal stâng (respective drept, bilateral) al lui R. I se numește minimal dacă și I este un R-modulul stâng (respective drept, bilateral).

Teoremă. Fie R un inel. Atunci, urmăatoarele afirmații sunt echivalente:

R este semisimplu;

este semisimplu;

Orice R-modul stâng este semisimplu;

Orice R-modul stâng este proiectiv;

Orice R-modul drept este injectiv ;

Orice șir exact de forma de R-module stângi este scindabil;

există un R-modul stâng semisimplu care este generator;

R este artinian la stânga și ;

R este noetherian la stânga și regulat în sens von Neumann;

s.g.l. .

În plus aceste afirmații sunt adevarate dacă înlocuim ,,stâng” cu ,,drept”.

Corolar. Dacă R este un inel semisimplu, orice R – modul stâng simplu este izomorf cu un ideal minimal. În particular rezultă că există un număr finit de tipuri de module simple (stângi).

Demonstrație. Fie S un R – modul simplu (stang). Atunci S  R/M, unde M este un ideal stâng maximal. Dar , unde I este ideal minimal. Atunci SR/MI.

Dacă sunt ideale minimale, atunci orice ideal minimal I este izomorf cu unul dintre . Deci numărul de tipuri de module simple este cel mult n, deci un număr finit de tipuri.

Observație. Dacă R este semisimplu, componentele izotipice ale modulului sunt identice cu componentele izotipice ale lui , de aceea le vom numi mai simplu componentele izotipice ale inelului R.

Propoziție. Dacă R este inel semisimplu, componentele izotipice ale lui R coincid cu mulțimea idealelor bilaterale nenule minimale ale lui R. în plus orice ideal bilateral este o sumă (finita) de ideale bilaterale minimale.

Definiție. un inel R se numește simplu dacă singurele sale bilaterale sunt 0 și R. Un inel R care este simplu și artinian il vom numi inel simplu artinian.

Propoziție. Pentru un inel R sunt echivalente afirmatiile:

R este simplu artinian;

R este semisimplu și este izotipic;

R este semisimplu și există un singur tip de module simple.

Teoremă. Un inel R este semisimplu dacă și numai dacă există inelele simple artiniene astfel încât R. în plus, n numărul de tipuri de module simple este egal cu numărul de ideale bilaterale minimale nenule ale lui R.

Demonstrație. Fie componentele izotipice ale modulului . Știm că . , unde idempotent central și R (vom demonstra mai târziu). Astfel, este ușor de văzut că inelele , sunt simple artiniene.

Invers, presupunem că R, unde sunt simple și artiniene. Cum orice ideal stâng I al inelului este de forma unde un ideal stâng în ,, și cum sunt simple, atunci I este sumand direct în , deci este semisimplu și deci și R este semisimplu. Partea a două a teoremei rezultă din demonstrația primei părti.

2.2. Inele noetheriene și artiniene

Definiție. Un inel R se numește noetherian (respective artinian) la stânga, dacă R-modulul stâng este noetherian (respectiv artinian). Inelul R se numește noetherian (respectiv artinian) la dreapta, dacă inelul opus este noetherian (respectiv artinian) la stanga.

Propoziție. Fie R un inel. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

R este noetherian (respectiv artinian) la stânga;

Orice R-modul stâng finit generat este noetherian (respectiv artinian);

Există un generator noetherian (respectiv artinian) pentru R-module stângi.

Corolar. Dacă R este un inel noetherian (respectiv artinian) la stânga, atunci R este un IBN-inel.

Corolar. Dacă R este un inel noetherian (respectiv artinian) la stânga, atunci R este un l.c. inel(neartinian) la stanga.

Corolar. Dacă R este un inel noetherian (respectiv artinian) la stânga, orice inel factor al lui R și orice inel de factori la stânga (daca există ) este noetherian (respectiv artinian).

Corolar. Dacă R este un domeniu de integritate și noetherian (respectiv artinian) la stânga, atunci R este și domeniu Ore la stânga (corp).

Teorema HILBERT A BAZEI. Dacă R este un inel noetherian la stânga, atunci inelul este noetherian la stânga.

Exemple.

Z și K[X],unde K este corp, sunt noetheriene dar nu sunt artiniene.

Z – modulul este artinian, dar nu este noetherian.

Observație. Fie număr prim, , submodul al lui Q și . Notăm =/Z și avem:

Pentru orice există astfel încât ny=x;

Daca este un subgrup propriu, există astfel încât H este generat de clasa lui . în particular H este ciclic.

nu are submodule maximale;

are un unic Z – submodul minimal;

Dacă cu n nu divide p, homotetia a lui este un izomorfism.

este de torsiune și divizibil;

Orice submodul nenul al lui este și esențial și superfluu.

Inelul este artinian și noetherian la stânga, dar nu este artinian și nici noetherian la dreapta.

K corp nu este noetherian.

2.3. Exemple de inele noetheriene și artiniene

2.3.1. Inele generalizate de matrici triunghiulare

Fie R, S două inele și un bimodul. notăm cu

care cu operațiile de adunare pe componente și înmulțirea matricilor devine un inel, numit inelul generalizat de matrici triunghiulare.

Să determinăm mai intai toate idealele stângi ale acestui inel. dacă V este un R – submodul al lui atunci formează un ideal stâng al lui T.

Daca I este un ideal stâng în S, atunci mulțimea nu formează un ideal stâng dar idealul generat de această mulțime este

.

Rezultă că cu W=V+MI și este un ideal stâng.

Propoziție. Idealele stângi ale lui T sunt exact submultimile de forma unde V este R – submodul al lui iar I este un ideal stâng în S, astfel încât .

Demonstrație. Implicația am demostrat-o mai sus.

Fie un ideal stâng în T și fie

.

este un R – submodul al lui . Pentru orice ,

adica . Notăm cu

I este un ideal stâng în S și . Atunci .

Observație. Submodulul al lui și idealul stâng I al lui S sunt unic determinate de .

Fie aplicațiile injective:

Rezultă că sunt ideale bilaterale în T.

Aplicațiile surjective

sunt morfisme de inele pentru care și . în plus, .

Propoziție.

1) si

.

Aplicația este o corespondenta bijectivă care păstrează incluziunile de la R-submodulele (respectiv S-submodulele) lui M, în mulțimea idealelor stângi (respectiv drepte) care sunt conținute în ale lui T.

este un ideal stâng (respectiv drept) finit generat în T dacă și numai dacă M este un R-modul stâng (respectiv drept) finit generat.

Demonstrație. 1). Din rezultă că fiind ideal nilpotent. Deoarece , rezultă că , de unde

.

Fie Deoarece și inversabil în R și 1-s inversabil în S. Fie pentru care și . Atunci

si

Deci elementul este inversabil și la stânga și la dreapta, deci inversabil. rezultă că .

2). Dacă N este un R- submodul al lui , evident este un ideal stâng al lui T inclus în . Cum este injctiv, rezultă că asocierea este injective și din prima propozitie rezultă că este și surjectiva.

3). Presupunem că M este R-modul stâng finit generat, cu generatorii Fie , cu Atunci

și

este un sistem de generatori pentru idealul privit că ideal stang.

Invers, dacă , este un sistem de generatori pentru idealul privit că ideal stâng, atunci dacă avem

.

Corolar. Inelul T este noetherian (respectiv artinian) la stânga dacă și numai dacă R, S sunt noetheriene (respectiv artiniene) la stânga și M este un R-modul finit generat.

Demonstrație. Dacă T este noetherian la stânga, atunci este finit generat că ideal stâng și deci M este R-modul finit generat. Cum , rezultă că este noetherian la stânga, deci R și S sunt noetheriene la stânga.

Invers, presupunem că R și S sunt noetheriene la stânga și M este R-modul finit generat. Atunci este un T –modul stâng noetherian..Cum este un T- modul stâng noetherian rezultă că T este un T-modul stâng noetherian, adică T este inel noetherian la stanga.

Corolar. Inelul T este noetherian (respectiv artinian) la dreapta dacă și numai dacă R, S sunt noetheriene (respectiv artiniene) la dreapta, iar M este un S-modul finit generat.

Corolar. T este l.c. inel (semiartinian, semiprimar) la stânga dacă și numai dacă R, S sunt l.c. inele (semiartinian, semiprimar) la stanga.

Exemple.

1) este noetherian la stânga, dar nu este noetherian la dreapta.

2) este noetherian la dreapta dar nu este noetherian la stânga.

3) este artinian la stânga dar nu este artinian la dreapta.

4) este artinian la dreapta dar nu este artinian la stânga.

Observație. 1), 2), 3), 4) sunt l.c. inele la stânga și la dreapta, dar 1), 2) nu sunt semiartiniene nici la dreapta , nici la stânga.

5) este semiprimar și nu este artinian nici la stânga, nici la dreapta.

2.3.2. Inelul strâmb al polinoamelor

Fie R un inel și un morfism injectiv de inele.

Definiție. O -derivare (la stanga) a lui R este o aplicatie astfel incat:

Considerăm inelul al polinoamelor cu coeficienții în R și intr-o singura nedeterminata X. este un R-modul stâng liber cu baza , deci orice element din se scrie în mod unic sub forma cu . Pe structura de grup abelian al R-modulului liber stâng , definim operația de înmulțire dată de regula: .

cu această operație devine un inel, pe care il notăm cu și care se numește inelul stramb al polinoamelor determinate de și .

Observație. Dacă =0 scriem , dacă scriem iar dacă =0 și atunci obținem R[X].

Fie . dacă , atunci numărul n se va numi gradul lui f și notăm grad f = n. Elementul este termenul principal al polinomului f. dacă R este domeniu de integritate, atunci este domeniu de integritate.

Teoremă. Fie un automorfism de inele și o -derivare. dacă R este noetherian la stânga (respectiv la dreapta) atunciinelul este noetherian la stânga (respectiv la dreapta).

Corolar. (Teorema Hilbert a bazei). dacă R este noetherian la stânga atunci R[X] este noetherian la stanga.

Corolar. Dacă R este un domeniu ore la stânga, este un automorfism al lui R, iar este o -derivare, atunci este un domeniu Ore la stânga.

2.4. Module injective peste inele noetheriene

Teorema CARTAN EILENBERG MATLIS PAPP. Dacă R este un inel, sunt echivalente afirmațiile:

1) R este noetherian la stânga;

2) Orice limita inductiva fillianta de module stângi injective este un injectiv;

3) Orice sumă directă de module stângi injective este un injectiv;

4) Orice modul injectiv este o sumă directă de submodule injective și indecompozabile.

Corolar. Fie R un inel comutativ și noetherian. Atunci:

1) Dacă Q este un modul injectiv indecompozabil, există un ideal prim , unic, astfel încât ;

2) Orice modul injectiv Q este izomorf cu o sumă directă de forma , unde sunt ideale prime ale lui R.

2.5. Nilideale în inele noetheriene

Fie R un inel.

Definiție. O submulțime A a lui R cu proprietatea că , și se numește subinel(fără unitate) al lui R.

Observație. Orice ideal stâng (respectiv drept, bilateral) este un subinel fără unitate al lui R.

Definiție. Dacă orice element al subinelului fără unitate A este nilpotent, atunci spunem că A este un nilsubinel al lui R.

Definiție. Un ideal stâng (respectiv drept, bilateral) I al lui R se numește ideal anulator la stânga (respectiv dreapta) dacă există astfel încât (respectiv ).

Lemă. Fie R un inel. dacă este nilpotent, unde au proprietatea că , atunci .

Demonstratie. Se observa că . Cum xy este nilpotent, există n astfel încât și . dacă , atunci . Dar , de unde. Dacă , atunci , de unde . Cum , atunci . Deci .

Teorema SHOCK. Presupunem că inelul R satisface condiția lanturilor ascendente pentru ideale anulatori la stanga. Fie un nilsubinel care nu este nilpotent. Atunci există un șir de elemente din A, astfel încât:

1)

2) oricare ar fi și este directa.

Demonstrație. Considerăm șirul ascendant

Există pentru care . notăm . Cum A este nilpotent, atunci , deci există ,. Alegem astfel încât este maximal în mulțimea . dacă atunci sau de unde , este maximal în mulțimea . Prin inducție putem construe un șir de elemente din A astfel încât este maximal în mulțimea .

Șirul are urmăatoarele proprietăți:

1) oricare ar fi .

Într-adevăr, dacă , atunci . dacă , atunci și .

Cum , atunci apartine familiei de ideale . Deci incluziunea este o contradicție. Deci trebuie că .

2) oricare ar fi .

Într-adevăr, avem evidentă incluziunea .

Cum , atunci incluziunea stricta ar fi o contradictie pentru alegerea elementului .

3) pentru orice .

4) Dacă pentru un anume , atunci din 1) rezultă că oricare ar fi . Dar atunci . Din faptul că , atunci și din lema (o putem aplica deoarece j>0) obținem că . Deoarece contrazice alegerea lui . Deci trebuie că dacă j>0. Rămâne cazul j=0, dar atunci și ceea ce implică . Cum , atunci există k, , de unde obținem imediat că ceea ce contrazice alegerea lui . Deci și în cazul j=0 avem .

Pentru a verifica teorema noastra, notăm . Din 3) avem că pentru orice . Cum , atunci și , deci prima afirmație din teorema este verificată.

Fie

cu .

Rezultă și ținând cont de 3) obținem că de unde . Din 2) rezultă și deci și continuând raționamentul obținem că și deci și afirmatia a două din teorema este verificată.

Corolar HERSTEIN – SMALL. dacă inelul R satisface condiția lanturilor ascendente pentru ideale anulatori la stânga și ideale anulatori la dreapta, atunci orice nilsubinel al lui R este nilpotent. în particular orice nilpotent stâng (respectiv drept, bilateral) este nilpotent.

Corolar LANSKI. Dacă R este un inel Goldie, atunci orice nilsubinel al lui R este nilpotent. în particular, orice nilideal stâng (respectiv drept, bilateral) este nilpotent.

Corolar LEVITZKI. Dacă R este noetherian la stânga atunci orice nilsubinel al lui R este nilpotent. În particular, orice nilideal stâng (respectiv drept, bilateral) este nilpotent.

Lemă. Fie R un ideal artinian la stânga; atunci radicalul Jacobson Rad R este nilpotent.

Teorema HOPKINS. Dacă R este artinian la stânga, atunci R este noetherian la stanga.

Demonstrație. notăm cu J=Rad R radicalul Jacobson. există astfel încât . Din prima teoremă de la paragraful 2.1, inelul R/J este semisimplu, deci noetherian.

Vom proceda prin inducție după n. dacă n=1, J=0 și deci R este semisimplu, deci noetherian. Fie șirul exact de R-module stângi

(**)

Cum =0, atunci are o structură de R/J- modul stâng deci este semisimplu. Cum este R-modul artinian, atunci este de lungime finită, deci este R-modul noetherian.

Cum radicalul Jacobson al inelului este egal cu și cum , atunci din ipoteza de inducție rezultă că inelul este noertherian la stanga. rezultă atunci că este și R-modul stâng noetherian. Din (**) obținem că R este noetherian.

2.6. Module de lungime finită

Fie M un R-modul stâng nenul.

Definiție. Se numește șir de compoziție sau șir Jordan-Hölder al lui M un lanț finit strict ascendent de submodule

cu proprietatea că sunt module simple, . numărul n se numește lungimea șirului, iar modulele , se numesc factori ai șirului.

Propoziție. Fie M un R-modul. Sunt echivalente afirmațiile:

1) M este un șir de compozitie;

2) M este noetherian și artinian;

3) M este noetherian și semiartinian.

Corolar. Dacă este un șir exact, atunci M admite un șir de compoziție dacă și numai dacă și admit cate un șir de compoziție.

Definiție. Două șiruri de compoziție ale lui M:

și

se numesc echivalente dacă n=p și există o bijectie

astfel încât

Teorema JORDAN-HÖLDER. Dacă M are două șiruri de compoziție:

(1) si

(2)

atunci ele sunt echivalente.

Demonstrație. Demonstrăm prin inducție după n. dacă n=1 atunci M este R – modul simplu și este singurul șir de compoziție al lui M. Presupunem afirmatia adevărată pentru modulele care admit un șir de compoziție de lungime cel mult n-1 și o demonstrăm pentru modulele cu șiruri de compoziție de lungime n.

Daca atunci șirurile și sun echivalente și cum , atunci șirurile date în relațiile (1) și (2) sunt echivalente.

Presupunem . Deoarece este maximal în MM, avem de unde

(3)

(4)

Rezultă că este maximal în și în . Din ultimul corolar are un șir de compoziție.

.

Atunci avem șirurile de compoziție

(5)

(5’)

(6)

(6’)

Ca în primul caz rezultă că (5) și (5’) sunt echivalente. Deci . Atunci are un șir de compoziție de lungime cel mult n-1 și rezultă că (6) și () sunt echivalente. Din (3) și (4) obținem că  și  deci (5) și (6) sunt echivalente. rezultă deci că și (5) și () sunt echivalente, adică (1) și (2) sunt echivalente.

Definiție. Un R-modul M care admite un șir de compoziție se numește modul de lungime finită. Lungimea șirurilor sale de compoziție (aceeasi pentru orice sir) se numește lungimea lui M și se noteaza cu long(M). dacă M=0, luam long(M)=0. dacă M nu admite nici un șir de compoziție, atunci spunem ce M este de lungime infinită și scriem long(M)= .

Propoziție. Dacă este un șir exact de module cu M de lungime finită, atunci

.

Definiție. Fie și . Fie șirurile de compoziție:

în

în .

Este ușor de văzut că

este un șir de compoziție al lui M de lungime n+p.

Corolar. Dacă M este modul de lungime finită, iar K și L sunt două submodule ale sale, atunci

.

Demonstrație. Din izomorfismul K+L/KL/ obținem că

. Din șirurile exacte:

și

si proprietățile anterioare avem

Corolar. Fie M un R-modul de lungime finită și submodule ale lui M astfel încât . Atunci :

.

Propoziție. Fie M un R-modul de lungime finită și . Atunci urmăatoarele afirmații sunt echivalente:

1) f este monomorfism;

2) f este epimorfism;

3) f este automorfism.

Propoziție LEMA FITTING. Dacă M este un R-modul de lungime finită și , atunci există astfel incat:

.

Demonstrație. Există astfel încât și . Fie și astfel încât

.

Atunci

,

de unde .

Dacă și

Corolar. Dacă M este un R-modul de lungime finită indecompozabil și , atunci f este sau nu automorfism sau este un element nilpotent în (adica există astfel încât , deci ).

Corolar. Dacă M este un R-modul de lungime finită indecompozabil atunci este local.

Demonstrație. Fie astfel încât f+g este inversabil. Atunci există , h automorfism asfel încât .Dacă g nu este inversabil, atunci gh nu este inversabil și deci astfel încât . Dar atunci

deci 1-gh=fh este inversabil. Rezultă că f este inversabil.

Teorema KRULL-SCHMIDT. Fie M un modul nenul de lungime finită. Atunci M are o descompunere indecompozabilă . Dacă este o altă descompunere indecompozabilă finită, atunci n=p și există o bijectie astfel încât  .

2.7. Inele locale

Propoziție. Fie R un inel. Sunt echivalente afirmațiile:

1) R are un singur ideal stâng maximal;

2) R are un singur ideal drept maximal;

3) Mulțimea elementelor neinversabile din R formează un ideal bilateral;

4) Dacă și a+b este inversabil, atunci a sau b este inversabil.

Demonstrație. Fie I singurul ideal stâng maximal. Dacă I nu este bilateral, atunci există astfel încât . Cum Ia este ideal stâng , rezultă că Ia=R , deci există cu ba=1. Cum , atunci R(1-ba)=R, adică există astfel încât c(1-ba)=1. obținem , contradictie. Deci I este bilateral. rezultă imediat că în inelul S=R/I orice element nenul este inversabil la stânga deci S este corp. De aici obinem că I este singurul ideal maximal.

Simetrie.

Fie , unde I este singurul ideal stâng maximal. Cum I este ideal maximal stâng și drept, atunci Ra=R și aR=R. Deci a este ireversibil și la stânga și la dreapta, deci inversabil. Cum orice element din I este neinversabil, atunci I coincide cu mulțimea elementelor neinversabile din R.

Implicația este clară.

Fie I un ideal stâng maximal în R și , un ideal stâng maximal. Atunci . Deci . Deci sau a sau b este inversabil, adică I=R sau R=I, contradicție.

Definitie. Un inel R care satisface una din cerințele echivalente din propoziția anterioară se numește inel local.

Corolar. Dacă R este un inel local, atunci 0 și 1 sunt singurele elemente idempotente din R.

Demonstrație. Dacă și , atunci din rezultă că e sau 1-e este inversabil. Cum e(1-e)=0, obținem o contradicție.

Corolar. Fie un R-modul stâng astfel încât inelul este local. Atunci M este indecompozabil.

Corolar. Fie Q un R-modul stâng injectiv. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

1) este local;

2) Q este indecompozabil.

Demonstrație. Evident.

Fie cu f,g. Rezultă imediat că . dacă , atunci anvelopa injectivă a lui Kerg esteun submodul în Q. Dar . Cum Q este indecompozabil și injectiv, rezultă ca, și deci f este izomorfism, adică un element inversabil din local.

2.8. Idempotenti pentru o descompunere

Presupunem că M are o descompunere directă (interna) . Atunci pentru fiecare , deci există un unic idempotent cu și .

Definiție. Numim idempotenții idempotenți pentru o descompunere și pentru fiecare , numim idempotentul pentru în această descompunere.

Propoziție. Fie submodule ale modulelor M. Atunci dacă și numai dacă există o mulțime indexata (necesar finita) de endomorfisme idempotente ale lui M, asfel încât , și . Mai mult, dacă endomorfismele idempotente ale lui M există, atunci este idempotentul pentru în descompunerea .

Definiție. O mulțime de idempotenti se numește ortogonală dacă .

Corolar. Idempotenții pentru o descompunere sunt ortogonali. Mai mult, dacă , atunci pentru aproape toți și .

Definiție. O mulțime finită ortogonala de idempotenti ai unui inel R se numește completă dacă .

Corolar. Fie submodule ale lui M. Atunci exista o mulțime completă (necesar unică) de idempotenți ortogonali din cu .

2.9. Descompunerea inelului

Pentru fiecare inel R există trei module regulate și fiecare are propria teorie de descompunere.

Multiplicarea la dreapta și multiplicarea la stânga sunt izomorfisme de inele , .

Propoziție. Un ideal stâng I al inelului R este sumand direct al lui dacă și numai dacă există un idempotent astfel încât . Mai mult, dacă este un idempotent, atunci 1-e este idempotent și și sun complemenți direcți unul altuia, adică .

Propoziție. Fie ideale stângi ale inelului R. Atunci următoarele afirmații despre R-modulul sunt echivalente:

1) ;

2) Fiecare element are o unică exprimare unde ;

3) Există o mulțime completă (necesar unică) de idempoteni ortogonali în R cu .

Observație. , atunci adică , .

Definiție. Un element idempotent este primitiv dacă este nenul și nu poate fi scris că o sumă , de idempotenti ortogonali nenuli.

Definiție. Un ideal stâng (respectiv drept) al lui R este primitiv dacă este de forma Re (respectiv eR) pentru un idempotent primitiv .

Deoarece inelul de epimorfisme al lui Re este izomorf cu eRe avem:

Corolar. Fie un idempotent nenul, atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

1) e este un idempotent primitiv;

2) Re este un ideal stâng primitiv al lui R;

3) eR este un ideal drept primitiv al lui R;

4) Re este un sumand direct indecompozabil al lui ;

5) eR este un sumand direct idecompozabil al lui ;

6) inelul eRe, are exact un idempotent nenul, anume e;

Corolar. Pentru un inel R, modulul regulat stâng este o sumă directă de ideale stângi primitive dacă și numai dacă există o mulțime completa de idempotenti primitivi ortogonali pe perechi în R cu .

Presupunem că R are o descompunere că sumă directă de ideale, unde fiecare este un ideal bilateral nenul al lui R. Atunci există o mulțime unică de idempotenti nenuli origonali pe perechi, în R cu .

Pentru fiecare I, deoarece și este un ideal avem . Astfel, dacă , atunci

.

Asadar, pentru fiecare avem

Asfel spus, fiecare este un idempotent central și fiecare este un inel cu unitatea . Reciproc, dacă este o mulțime ortogonala de idempotenti centrali nenuli ai lui R cu , evident fiecare este un ideal al lui R și .

Observând de asemenea că această este o descompunerea lui R că modul drept și că binomul . Cand R are o astfel de descompunere, spunem că R este o sumă directă de inele a idealelor , numim sumanzi directi de inele ai lui R și scriem .

Spunem că această este o descompunere de inel a lui R.

Presupunem acum că R este o sumă directă de inel a idealelor și că idempotentii centrali asociati. Este ușor de aratat că aplicația definită prin este un izomorfism de inele de la R, pe produsul cartezian al inelelor . Reciproc, dacă este un șir finit de inele și dacă sunt injectiile canonice ale inelelor pe produsul , aunci

.

Desigur, aici idempotentii centrali cu ai acestei descompuneri sunt chiar , imaginile naturale ale unitatilor inelelor . în concluzie avem:

Propoziție. Fie ideale bilaterale nenule ale lui R. Atunci, sunt echivalente afirmațiile:

a) ;

b) ;

c) Ca grup abelian, R este sumă directă a lui ;

d) Există idempotenții centrali ortogonali pe perechi cu și .

Definiție. Un inel R se numește indecompozabil dacă el nu are nici o descompunere de inel cu mai mult de un termen.

Corolar. Un inel este un inel indecompozabil dacă și numai dacă 1 este singurul idempotent central nenul din R.

In general un inel nu admite o descompunere de inel în inele indecompozabile. Dar dacă o astfel de descompunere exista, atunci ea este unica:

Propoziție. Fie o descompunere de inele a lu R cu fiecare indecompozabil că inel. Fie idempotenti centrali ai acestei descompuneri. dacă este o descompunere de ienl a lui R cu idempotenții centrali asociati , atunci o partiție a lui {1,2,…,n} astfel încât . în particular.

Există o clasă importantă de inele care au descompunerea ca sume directe de inele indecompozabile, anume acele inele R pentru care modulul are o descompunere ca sumă directă de ideale stângi primitive. Într-adevăr, pntru un astfel de ine R există o metoda pentru determinarea descompunerii de inel indecompozabile (necesar unica) a lui R din oricare din descompunerile sale stangi. Tresupunem că are o descompunere că sumă directă de ideale stângi primitive. Această înseamnă că există o mulțime completa de idempotenti primitivi, ortogonali pe perechi în R. Fie . Pe E definim o relatie ,,~” prin dacă și numai dacă există cu . Atunci ~ este o relatie pe mulțimea E, reflexiva și simetrica. Ea poate fi extinsă la o relatie de echivalenta notata ,,” definită prin dacă și numai dacă există un șir astfel încât .

Se observă că dacă este un idempotent central nenul și , atunci și sunt idempotenti ortogonali, și este primitive, astfel că . rezultă că dacă , atunci .

Astfel, dacă , atunci . această se extinde la faptul că : dacă atunci .

Fie clasele de echivalentă relative ,,” în E și pentru fiecare fie , sumă idempotentilor din clasele . Atunci fiecare este un idempotent nenul al lui R și mulțimea este ortogonala pe perechi cu . Acești idempotenți se numesc idempotenți bloc ai lui R și inelele sunt blocurile lui R determinate de E. că o consecinta a rezultatului următor acesti idempotenti bloc și blocurile lor sunt independenti de idempotentii primitivi E.

Teorema descompunerii bloc. Fie R un inel a carui identitate poate fi scrisa că o sumă de idempoenti primitivi ortogonali pe perechi și fie idempotentii bloc ai lui R determinati de . Atunci sunt idempotenti centrali orogonali pe perechi cu . Mai mult, fiecare bloc este un inel indecompozabil și este o descompunere (necesar unica) a lui R, în inele indecompozabile.

Demonstrație. sunt ortogonali pe perechi și . dacă , atunci din modulul de definire al relatiei ,,~”, . Atunci pentru orice avem

.

Astfel, fiecare u este central. Pentru a termina demonstrația este suficient să demonstrăm că este unicul idempotent central nenul al lui . Dacă, presupunem prin absurd că, există un idempotent central nenul , cu , atunci și sunt idempotenti centrali nenuli, ortogonali în R cu și . Dacă este clasa lui în , trebuie să existe . Deoarece și sunt primitivi, această înseamnă că și . Dar deoarece , rezultă și ceea ce contrazice faptul că .

Teoria de descompunere a inelului R și a modulelor sale regulate stângi și drepte R și sunt echivalente cu aceea a idempotentilor sai. Deoarece idempotența se păstrează prim morfismele de inel, sumanzii direcți ai lui R, duc la sumanzi direcți ai inelelor factor ale lui R.

Propoziție. Fie I un ideal propriu al inelului R. dacă este un idempotent (central) al lui R, atunci e+I este un idempotent (central) al inelului factor R/I și atât că R – modul stang, cât și că R/I – modul stâng avem:

.

În particular, dacă este o mulțime ortogonală de perechi de idempotenți ai lui R cu , atunci

.

Atât ca module R – stângi, cât și ca R/I – module stângi.

=== CAPITOLUL III ===

CAPITOLUL III

STRUCURI TOPOLOGICE ALE IDEALELOR UNUI INEL

3.1. Preradicali și radicali

3.1.1. Preradicali

Fie R un inel și R-Mod categoria R-modulelor la stânga.

Definiție. Se numește preradical al lui R-Mod, un functor cu proprietatea că , pentru orice și dacă este un morfism în R-Mod, atunci este restricția lui f la r(M).

r este preradical, dacă el este un subfunctor al functorului identitate al lui R-Mod.

Din definiție rezultă că pentru a defini un preradical r al lui R-Mod este suficient a da asocierea având proprietățile:

1) oricare ar fi ;

2) Dacă este un morfism în R-Mod, atunci .

Notăm cu clasă tuturor preradicalilor lui R-Mod. Dacă avem daca oricare ar fi . relația este o relatie de ordine pe .

Fie o familie de elemente din . Definim preradicalii și în modul următor:

și .

În mulțimea ordonată , preradicalii și sunt inferiorul, respectiv superiorul familiei , deci este o latice completa.

Daca , definim preradicalii și în modul următor: pentru oricare și este un submodul al lui M ce conține pe astfel încât .

Propoziție. Dacă , atunci și aparțin lui .

Definiție. Fie ; r se numește:

idempotent, dacă =r, oricare ar fi ;

radical, dacă , oricare ar fi ;

exact la stânga, dacă pentru orice cu , avem .

Observație. Dacă este exact la stânga, atunci r este idempotent.

Propozitie. Dacă și M este suma directă internă a familiei de submodule , atunci .

3.1.2. Radicali. Proprietăți ale radicalilor

Fie R un inel. Un preradical se numește radical, dacă .

Propozitie. Fie r un radical al lui R-Mod și iar L un submodul al lui M cu . Atunci .

Demonstrație. Fie surjecția canonica. Atunci . Cum , obținem că .

Fie este surjecția canonică cu . Atunci , de unde rezultă că și deci și egalitatea .

Propozitie.

1) Dacă sunt radicali ai lui R-Mod, atunci este radical;

2) Dacă este o familie de radicali, atunci este un radical.

Demonstrație. 1) , din propoziția anterioară obținem că . Aplicand obținem ca:

și deci este radical.

2) Notăm . Pentru orice avem . Din prima propoziție obținem de unde

și deci de unde rezultă că r este un radical.

Teoremă. Fie r un preradical al lui R-Mod. Atunci:

1) Există un preradical astfel că ; este idempotent și este cel mai mare cu aceste proprietăți;

2) Există cel mai mic radical cu proprietatea că .

Lema. 1) dacă sunt doi preradicali idempotenti, atunci este un preradical idempotent.

2) Dacă este o familie de preradicali idempotenti, atunci este un preradical idempotent.

Demonstrație. 1) Din rezultă că:

. Cum este idempotent, obținem că și deci . Atunci

de unde rezultă că și deci .

2) Notăm . Pentru orice avem de unde și deci .

Dar atunci . Deci .

Corolar. Cu notațiile din teorema anterioară sunt adevarate afirmațiile:

Dacă r este preradical idempotent, atunci este idempotent;

Dacă r este radical. atunci este un radical.

Propozitie. Dacă r este preradical al categoriei R-Mod, mai exact la stânga, atunci este exact la stânga.

Demonstrație. Fie M un R – modul și N submodul al lui M. Se demonstrează ușor că pentru orice ordinal . Cum , atunci

este ceea ce ne arată că este exact la stânga.

3.2. Teorii de torsiune

Definiție. O pereche de clase nevide de R – module stângi se numește teorie de torsiune pe categoria R – Mod daca:

1) , pentru orice ;

2) T și F sunt mazimale în raport cu proprietatea 1).

Condiția 2) se traduce astfel: dacă iar verifică condiția 1), atunci și .

este o teorie de torsiune în categiria R – Mod dacă și numai dacă sunt indeplinite condițiile:

1’) , oricare ar fi ;

2’) , oricare ar fi .

Definiție. Dacă este o teorie de torsiune pe R – Mod, atunci este închisă la sume directe, în timp ce F este închisă la produse directe.

Propozitie. Fie și F două clase nevide de R-module stangi. este o teorie de torsiune dacă și numai dacă și F satisfac următoarele conditii:

a) ;

b) este închisă la imagini omomorfe, adică dacă și , atunci ;

c) F este închisă la submodule, adică dacă cu , atunci ;

d) Pentru orice R – Mod, există un submodul astfel încât .

Demonstrație. Dacă este o teorie de torsiune, atunci condițiile a), b) și c) rezultă imediat. Fie R – Mod. Considerăm , unde este o familie de submodule ale lui M ce se gasesc în T. Cum , aunci . dacă , există și un morfism nenul . Fie . Cum , atunci . Din șirul exact

,

pentru orice se obtine șirul exact:

.

Cum primul și ultimul termen sunt zero, atunci și cum F verifică condiția 1’), atunci . Dar atunci și deci , absurd.

Invers, presupunem că T și F sunt două clase nevide de module ce satisfac condițiile a), b), c) și d).

Fie ; dacă există astfel încât , atunci există un morfism . Dar atunci din b) rezultă și din c) obținem că . Deci din a) urmeaza că , absurd. Invers, fie R – Mod și , oricare ar fi . Din d) are loc șirul exact

cu și . dacă luam , atunci și deci . Deci verifică 1’). Analog se arată că este indeplinita și condiția 2’).

Observație. Dacă este o teorie de torsiune pe R –Mod, atunci ambele clase T și F sunt închise la extensii.

Daca T este o clasă nevidă de R-module, atunci T este o clasă de module de torsiune pentru o teorie de torsiune dacă și numai dacă T este închisă la imagini omomorfe, la sume directe și la extensii.

2) Daca F este o clasă nevidă de R-module, atunci F esteo clasă de module fără torsiune pentru o teorie de torsiune dacă și numai dacă F este închisă la submodule, la produse directe și la extensii.

Definiție. O subclasă A a lui R – Mod se numește clasă de torsiune, dacă există o teorie de torsiune pe R – Mod, astfel încât T=A, iar o subclasă B a lui R – Mod se numește clasă de module fără torsiune dacă există o teorie de torsiune astfel încât B=F.

Fie A o clasă de R-module. Definim subclasele lui R – Mod.

Atunci , este o teorie de torsiune și T este cea mai mica clasă de torsiune ce conține pe A.

Teoria de torsiune astfel obtinuta se numește teoria de torsiune generată de clasă A.

Fie B o clasă de R-module. Definim subclasele lui R – Mod;

Atunci , este o teorie de torsiune și F este cea mai mica subclasă de R-module fata torsiune ce contin pe B.

Teoria de torsiune astfel obtinuta se numește teoria de torsiune cogenerată de clasă B.

3.3. Corespondența între radicali idempotenți și teoriile de torsiune

Fie o teorie de torsiune pe R – Mod. Pentru orice R –Mod, notăm , unde este o familie de submodule a lui M ce se gasesc în T. Cum , avem și deci t este un radical.

Pentru un radical idempotent r al lui R–Mod, definim . Atunci o teorie de torsiune pe R – Mod.

Teoremă. Aplicațiile sunt inverse una celeilalte, adică există o corespondenta bijectivă între clasă teoriilor de torsiune și clasă radicalilor idempotenti.

Propozitie. Fie (T,F) o teorie de torsiune pe R–Mod și fie t radicalul idempotent asociat prin corespondenta . următoarele afirmații sunt echivalente:

1) (T) este închisă la submodule;

2) F este închisă la anvelope injective;

3) t este exact la stanga.

Definitie. O teorie de torsiune (T,F), care satisface una din condițiile echivalente ale propoziției anterioare se numește hereditară.

Corolar. Există o corespondenta bijectivă între teoriile de torsiune hereditară și clasă radicalilor exacți la stânga.

Definitie. O subcategorie plină A a lui R–Mod se numește deasă (sau subcategorie Serre) dacă pentru orice șir exact , dacă și numai dacă .

O subcategorie deasa care este închisă la sumele directe arbitrare se numește localizanta.

Propozitie. Fie A o subclasă a lui R–Mod, închisă imagini omomorfe. Fie (T,F), teoria de torsiune generată de A. Atunci:

Corolar. dacă A este o subclasă a lui R–Mod, închisă la imagini homomorfe și submodule, atunci teoria de torsiune (T,F) generată de A este hereditară.

Observație. Fie r un radical idempotent al lui R–Mod.

Fie . Fie radicalul idempotent asociat lui r și teoria de torsiune asociată lui . Atunci este generată de .

Observație. dacă (T,F) este o teorie de torsiune hereditară pe R–Mod atunci ea este generată de clasă de module ideal stâng al lui }.

3.4. Exemple de teorii de torsiune

3.4.1. Teoria de torsiune a lui Dickson

Notăm cu A clasa de module semisimple. aceasta clasă este închisă la imagini omomorfe și la submodule. Vom nota cu teoria de torsiune generată de A. Din corolarul de mai sus rezultă că aceasta teorie este hereditara. Din propoziția anterioară rezultă imediat că dacă și numai dacă M este semiartinian. Teoria de torsiune se numaste teorie de torsiune a lui Dickson.

3.4.2. Teoria de torsiune a lui Goldie

Fie A clasă de R-module de tipul M/L, unde L este un submodul esențial în M. Se vede imediat că a este închisă la imagini omomorfe și la submodule. Fie (G,H) teoria de torsiune generată de A. Din corolarul de mai sus rezultă că această teorie de torsiune este hereditară. Teoria de torsiune (G,H) poarta denumirea de teoria de torsiune a lui Goldie.

Propoziție. Fie ; următoarele afirmații sunt echivalente:

1) ;

2) Pentru orice există astfel încât (L:x) este esențial în R;

3) .

Demonstratie. Din propoziția anterioară rezultă că M/L conține un submodul nenul . Dar cu Q un submodul esențial în P. Fie și . Știm că este un ideal esential. Luăm . Cum , rezultă că .

Fie , momorfismul canonic. Luam . Atunci . dacă , atunci (L:y)= .

dacă , există cu (L:x) esențial în R. Fie . Atunci și . Deci M/L conține un submodul ce partine lui A. Deci .

dacă , există cu esențial în R. dar atunci , absurd. Deci .

Fie . dacă , atunci L este esențial în și deci în M și atunci pentru orice , este esențial în R. dacă , există . dar atunci este esențial și în R și deci este esențial în R.

3.4.3. Ideale dense și teoria de torsiune a lui Lambek

Definiție. Un ideal stâng I al lui R se numește dens dacă pentru orice , adică .

Observație. dacă R este comutativ, un ideal I este dens dacă și numai dacă Ann(I)=0.

Lemă. Dacă I este un ideal stâng în R, dens, atunci I este esențial în R.

Demonstrație. Fie , . Cum , atunci . există astfel încât . Dar și deci I este esențial în R.

Identificăm cu D mulțimea idealelor stângi dense în R și cu E mulțimea idealelor stângi esențiale în R. Deci avem .

Propozitie. Pentru orice inele R,D au loc următoarele proprietăți:

1) Dacă și , atunci ;

2) Dacă , atunci ;

3) Dacă , atunci, pentru orice ;

4) Dacă și pentru orice ,, atunci .

Demonstratie. 1) este imediată.

2) Presupunem că există , asfel încât pentru un anumit să avem . Atunci , cu . Cum , există un astfel încât . Cum , există , astfel încât . Pe de altă parte, și , deci , de unde . Deoarece obținem contradicție. Deci trebuie că oricare ar fi și deci .

3) Rezultă din definiție și din faptul că .

4) Presupunem că pentru un anumit . Atunci există un , astfel încât oricare ar fi . Deoarece , există astfel încât . Deoarece si, , atunci . Cum , există astfel încât . Pe de altă parte , de unde și deci , absurd. Deci trebuie că .

Propoziție. Fie R un inel nesingular la stânga (adica ). Atunci orice ideal stâng esențial este dens, adică E=D.

Demonstratie. Fie I un ideal stâng esențial în R. Fie . Cum , atunci este inca esențial în R. Deci este suficient să verificam că pentru un ideal stâng I, esential, . Presupunem că ; atunci există , astfel încât . Deci și deci este esențial în R. Atunci de unde , absurd.

Observație. Pentru orice R – Mod punem . Ținând cont de prima propoziție data la paragraful 3.4, punctul 3, rezultă că D(M) este un submodul al lui M.

Propoziție. Asocierea este un radical exact la stanga.

Demonstrație. Fie un morfism din R – Mod. dacă cum , aunci obținem că și deci D este un preradical. Este clar că D este exact la stanga. să arătăm că D este un radical, adică . Fie . Atunci este dens în R. Pentru orice și atunci este dens și din proprietatea 4) din prima propoziție rezultă că este dens. Deci și deci (ceea ce trebuia arătat).

Propoziție. Pentru un inel comutativ, următoarele afirmații sunt echivalente:

1) D=E;

2) R este redus (adică rad(R)=0);

3) Z(R)=0.

Demonstrație. rezultă din propoziția a doua a paragrafului.

. Fie ; atunci este esențial și deci . Fie ; de unde și cum rad(R)=0 obținem , absurd. Deci trebuie că Z(R)=0.

. Fie . există un număr natural astfel încât . rezultă imediat că este esențial în R. Din ipoteza obținem că este dens. Cum rezultă că , absurd. Deci trebuie că rad(R)=0.

Lemă. Fie Q un R-modul stâng injectiv; teoria de torsiune cogenerată de clasă {Q} este hereditară și

.

Demonstrația este imediată.

Fie anvelopa injectivă a R-modulului stâng . Teoria de torsiune cogenerată de , notată (L,L’) se numește teoria de torsiune a lui Lambek.

Propozitie. Fie R – Mod; atunci afirmatiile urmatoare sunt echivalente:

1) ;

2) Pentru orice este dens în R.

Corolar. . dacă în plus R este nesingular la stânga (adică ), atunci L=G.

Exemplu. Fie inelul cu p număr prim. Se arată simplu că și deci G=R – Mod. Inelul R nu conține ideale proprii dense și deci L={0}. Deci .

Propoziție. Teoria de torsiune a lui Lambek este cea mai mare teorie de torsiune hereditară pentru care este fără torsiune.

Demonstratie. Cum , atunci . Fie o altă torie de torsiune hereditară cu . Atunci și deci dacă , de unde rezultă că .

3.5. Module reflexive

Fie R un inel, categoria modulelor la stânga (respectiv la dreapta) peste R. Putem considera functori aditivi și contravarianti

.

Vom nota simplu unul dintre acești functori. dacă M este R-modul stâng (respectiv drept), există morifismul canonic de module stângi (respectiv drepte):

.

Reamintim că un R-modul stâng (respectiv drept) M se numește fără torsiune dacă este injectiv. dacă este injectiv, M se numește reflexive.

Ținând cont de cele studiate anterior morfismele definesc două morfisme functoriale:

Propoziție. Fie M un R-modul stâng (sau drept). următoarele afirmații sunt echivalente:

1) M este fără torsiune;

2) Pentru orice , există un astfel încât ;

3) Exista o mulțime I astfel încât .

Propozitie. Fie M un R-modul stâng (sau drept). Atunci:

1) ;

2) este fără torsiune;

3) Daca M este reflexiv, atunci este reflexiv.

Demonstrație. 1) Avem . Fie ; atunci orice , avem:

2) rezultă din 1). Pentru 3) presupunem că este izomorfism; atunci este izomorfism. rezultă atunci că este izomorfism, adică este reflexiv.

Notăm cu și .

Corolar. 1) .

2) F este închisă la submodule și produse directe.

Propziție. Următoarele afirmații sunt echivalente:

1) este fără tensiune;

2) Pentru orice ;

3) este o teorie de torsiune hereditară care coincide în acest caz cu teoria de torsiune a lui Lambek.

Demonstrație. . dacă , pentru o anumită mulțime I. Atunci avem . Dar cum pentru o anume mulțime J, obținem și deci . sunt imediate.

Să probăm . Din ipoteza rezultă imediat că dacă și numai dacă . Deci , clasă de torsiune a lui Lambek. Pentru a arata că F este o clasă de module fără torsiune, este suficient să arătăm că F este închisă la extensii. Fie un șir exact cu . Putem presupune că M’ este un submodul al lui M și M’’=M/M’. Fie K un complement al lui M’ în M; este esențial în M și cum K este izomorf cu un submodul al lui M’’, atunci . Deci și deci . Deci și deci .

Dacă rezultă . dacă atunci de unde și deci . Deci , ceea ce încheie demonstrația.

Propoziție. Fie o teorie de torsiune hereditară pe R – Mod. Următoarele afirmații sunt echivalente:

1) este închisă la anvelope injective;

2) Pentru orice R – Mod, t(M) este un complement al lui M;

3) Pentru orice R-modul stâng injectiv Q avem: .

Demonstrație. . Din rezultă .

Prin ipoteza și deci . Deci , egalitate ce implica că este închis în M și deci este un submodul complement în M.

. este imediata.

. Fie ; avem . Cum și , rezultă că și cum M este esențial în obținem că și deci .

Propoziție. Teoria de torsiune a lui Goldie este închisă la anvelope injective.

Demonstrație. Fie . Cum , atunci .

Propoziție. Fie R un inel noetherian la stânga și o teorie de torsiune hereditată pe R – Mod cu t radicalul asociat. dacă astfel încât , atunci .

Demonstrație. Fie Q inelul total de fracții la stânga asociat lui R/P. Fie . Este clar că . Deci M este R/P-modul. dacă notăm S=R/P, atunci .

Cum Q este simplu artinian, există un număr finit de elemente astfel încât de unde rezultă ca. Deci R/P este izomorf cu un submodul al sumei directe . Cum , atunci și deci .

Teoremă. Fie R un inel noetherian stâng clasic având suficiente ideale prime bilaterale. Atunci orice teorie de torsiune hereditată este închisă la anvelope injective.

Demonstrație. Fie o teorie de torsiune hereditară pe R – Mod și . trebuie să dovedim că . Presupunem că M este coireductibil. Fie . Cum R are suficiente ideale prime, atunci există un astfel încât . Cum , atunci R/P conține un submodul nenul care aparține lui T. obținem că . Fie acum . rezultă că Rx este P-tertiar și cum inelul este clasic atunci Rx este P-primar. Deci există un pentru care . Cum , rezultă imediat că și deci .

Cum x este arbitrar, atunci .

Corolar. dacă R este un inel comutativ și noetherian, atunci orice teorie de torsiune herditara pe R – Mod este închisă la ancelope injective.

Propoziție. Fie R un inel noetherian la stânga cu proprietatea că orice teorie de torsiune hereditară pe R – Mod este închisă la anvelope injective. Atunci R este un inel clasic.

Demonstrație. Fie M un R-modul finit generat unde submodulul 0 este P-tertiar. Trebuie să arătăm că în M, submodulul 0 este P-primar.

.

Se verifică ușor că (P este un ideal bilateral finit generat) că este o clasă de module de torsiune hereditara.

Fie care este esențial în M. Dar și din ipoteza rezultă atunci că și . Cum M este finit generat, există un număr natural r asa încât . rezultă că 0 este P-primar.

3.6. Pretopologii și topologii aditive

Definitie. O mulțime nevidă F de ideale stângi ale lui R se numește pretopologie la stânga dacă sunt indeplinite condițiile:

a) Dacă și J este un ideal stâng cu , atunci ;

b) Dacă , atunci ;

c) Dacă , atunci , oricare ar fi .

Definiție. O pretopologie F se numește topologie aditivă la stânga dacă este indeplinita și conditia:

d) Dacă și oricare ar fi , atunci .

Definiție. O subcategorie plina A a lui R – Mod se numește închisă dacă ea este închisă la submodule, la imagini omomorfe și la sume directe arbitrare.

O subcategorie plina A a lui R – Mod se numește localizantă dacă ea este închisă în sensul definitiei anterioare și este închisă și la extensii.

Fie F o pretopologie a lui R. Luam

.

Propoziție. 1) Dacă F este o pretopologie, atunci este o subcategorie închisă a lui R – Mod.

2) Dacă F este o topologie aditivă, atunci este o clasă de torsiune hereditară (o subcategorie localizantă).

Fie A o subcategorie plina a lui R – Mod. Definim

ideal stâng în R|

Propoziție. 1) Dacă A este o subcategorie închisă a lui R – Mod, atunci este o pretopologie.

2) Dacă A este o subcategorie localizantă a lui R – Mod, atunci este o topologie aditivă.

Demonstrație. 1) rezultă imediat că sunt indeplinirte condițiile a) și b) din prima definiție. Fie și ; morfismul definit prin are nucleul egal cu . Atunci definește un morfism injectiv de la în și deci de unde rezultă că . Deci F verifică condiția c) din definiție.

2) Fie și I un ideal stâng al lui R astfel încât , . Se vede că . să arătăm că .

Fie cu și . Atunci . Dar cum , atunci . Cum A este închisă la sume directe, obținem imediat că și deci . Din șirul exact

rezultă imediat că și deci .

Teoremă. Corespondentele și de la mulțimea pretopologiilor pe R la clasă subcategoriilor închise ale lui R – Mod, respectiv de la clasă subcategoriilor închise la mulțimea pretopologiilor lui pe R, sunt inverse una cu cealaltă.

Aceste corespondente induc o bijectie pe mulțimea topologiilor aditive ale lui R și clasă subcategoriilor localizante ale lui R – Mod (sau echivalent clasă teoriilor de torsiune hereditare pe R – Mod).

Demonstrație. Fie F o pretopologie. Vom arată că . Dacă și dacă cu , atunci . Deci și deci . Invers, dacă , atunci . Cum , unde , atunci .

Analog, se arată că dacă A este o subcategorie închisă, avem că .

Colar. Există o corespondentă bijectivă între :

1) Topologiile aditive (la stanga) pe R;

2) Teoriile de torsiune hereditare pe R – Mod;

3) Radicalii exacti la stânga ai lui R – Mod.

Demonstratie. rezultă din prima propoziție a paragrafului 3.5. și anterioara.

Daca F este o topologie aditivă și (T,F) este teoria de torsiune asociata, atunci cand , spunem că M este un modul F-torsiune, iar cand , spunem că M este F-fara torsiune.

Observatie. Din teorema de mai sus rezultă că, clasa teoriilor de torsiune hereditare pe R – Mod este o mulțime.

Exemple. 1) Topologia aditivă asociată teoriei de torsiune a lui Dickson este:

.

2) Topologia aditivă asociată la teoria de torsiune a lui Goldie:

.

În particular, orice ideal stâng esențial al lui R aparține lui G.

3) Topologia aditivă asociată teoriei de torsiune a lui Lambek:

.

3.7. Module F-injective

3.7.1. Module F-injective

Fie R un inel arbitrar, (T,F) teoria de torsiune hereditară pe R – Mod și F topologia aditivă asociată acestei teorii.

Lemă. Fie ; următoarele afirmații sunt echivalente:

1) Pentru orice ideal stâng și orice morfism , f se extinde la un morfism .

2) pentru orice .

Definitie. Un R-modul stâng M care îndeplinește una din condițiile echivalente din lema anterioară se numește F-injectiv.

Teorema. Fie . următoarele afirmații sunt echivalente

1) M este F-injectiv;

2) pentru orice ;

3) dacă cu , orice morfism se extinde la un morfism .

Observație. dacă F este topologia aditivă construită din mulțimea tuturor idealelor stângi ale lui R, se obtine notiunea curenta de modul injectiv.

3.7.2. Anvelope F-injective

Fie R un inel arbitrar, (T,F) teoria de torsiune hereditară pe R – Mod și F topologia aditivă asociată acestei teorii.

Definiție. Fie . Un modul F-injectiv E se numește o anvelopa F-injectiva a lui M, dacă există un monomorfism esențial astfel încât .

Teoremă. Pentru orice există o F-anvelopa injectivă unică pana la un izomorfism.

Demonstratie. Fie anvelopa injectivă a lui M. notăm cu . Se verifică ușor că este un submodul al lui ce il conține pe M. Mai mult, , unde t este radicalul asociat topologiei F.

Fie și . Considerăm diagrama comutativă:

0 → I → R → R/I → 0

f g

0→ →→ → 0

unde g extinde pe f, iar este indus de g. Cum și , atunci . Atunci ceea ce ne arată că este F-injectiv. Cum M este esențial în , rezultă că este F-anvelopa injectivă a lui M.

3.8. Inele și module de caturi

3.8.1. Construcția inelelor și modulelor de câturi

Fie R un inel, F o topologie aditivă pe R, (T,F) teoria de torsiune asociată lui F și t radicalul asociat la (T,F).

F devine o mulime ordonată filtrantă dacă punem:

dacă I conține pe .

Fie ; dacă există un morfism canonic ce la asociaza . În felul acesta familia devine un sistem inductiv.

Luăm și pentru , notăm cu .

Lemă. Dacă și dacă , atunci .

Demonstrație. Fie ; avem:

.

Deci .

Definim aplicația:

(1)

în felul urmator: dacă , clasă de mofisme, reprezentată prin și , clasă de morfisme, reprezentată de morfismul pentru un anume , punem atunci (clasa de echivalenta) unde . Se verifică că aplicația este bine definită și este biaditiva. în particular, dacă , se obtine pe o operatie de înmulțire ce face din un inel. Pentru orice , devine un -modul stang.

Fie acum , aplicația definită astfel: dacă , indicam cu morfismul , și punem atunci , clasă de ecivalenta a lui în limită inductivă.

Se verifică imadiat că este un morfism de inele. prin intermediul morfismului , devine un R-modul stâng punand:

și .

Definim acum morfismul în modul următor: dacă , fie , morfismul ; luam atunci , clasă de echivalență a lui in limită inductiva. se verifică ușor că este morfism de R-module. Fie acum un morfism de R-module. definim morfismul în felul urmator: dacă cu , luam .

este bine definit și este un morfism de -module.

În plus, diagrama este comutativă:

M N

(2)

În felul acesta am definit un functor aditiv , unde și dacă , .

Mai mult, din diagrama (2) rezultă că morfismele definesc un morfism functorial .

Se observă imediat că L este un functor exact la stanga.

Lema. Fie . Atunci .

Demonstrație. dacă adică . Există un ideal astfel încât și de unde și deci adică . Invers, dacă , există un ideal cu .

Rezulta atunci că aplicația are proprietatea că și deci .

Lemă. Fie . Atunci daca și numai dacă .

Demonstrație. Dacă atunci, din lema anterioară, avem . Invers, fie și cu , unde ,. Dacă arătăm că , rezultă că . dacă , ; există un ideal astfel încât . Fie este un ideal stâng continut în I și . Dacă , atunci , deci de unde .

Lemă. Fie , , , cu ,(). Fie morfismul definit astfel: . Atunci diagrama următoare este comutativă:

I R

M

unde i este morfismul incluziune.

Demonstrație. Fie ; atunci , unde .

Pe de altă parte,

= .

Corolar. Pentru orice , .

Demonstrație. Fie cu , ,(). Din lema anterioară rezultă că , de unde obținem că și deci .

Definim acum: se numește modulul de câturi al lui M relativ la topologia aditivă F..

Lemă. Pentru avem

.

Demonstrație. Cum induce un morfism . în plus, . Cum L este un functor exact la stânga, din șirul exact

si din lema a treia și corolarul anterior obținem că este un izomorfism.

Corolar. Pentru functorul L, are loc izomorfismul , .

Observație. Dacă este un modul F-fără torsiune, atunci .

Notăm

care este un R-modul stâng.

Definim acum aplicația:

(3) .

în modul următor: , , unde cu și . induce un morfism . în plus,

.

Fie atunci ; avem morfismele

,

unde . să arătăm că .

Fie ; atunci

unde am pus și .

Se verifică simplu că . Deci oricare ar fi și deci .

Acum definim aplicația (3) prin egalitatea:

, clasă elementului în limită inductiva.

Se verifică că aceasta aplicație este bine definită și biaditivă. în cazul particular , aplicația (3) definește pe o structură de inel care se numește inelul de câturi al lui R relativ la topologia F. în plus devine un -modul stâng. Definim morfismul

in modul următor: dacă , fie și fie ; luăm prin definiție .

Dacă este surjecția canonică, rezultă egalitatea:

(4) .

Fie acum un morfism în . Definim morfismul în modul urmator: f induce un morfism ; atunci punem . Atunci are loc egalitatea:

(5) .

Se arată simplu că este un morfism de module. în plus, diagrama următoare este comutativă:

M N

(6)

Deci sistemul de morfisme definește un morfism functorial

.

Din lema a doua, corolarul de mai sus și relația (4) rezulta:

Corolar. și .

Cu notațiile de mai sus pentru are loc diagrama comutativă:

p

(7)

unde p este surjecția canonică.

Pentru cazul obținem diagrama comutativa:

p

(8)

unde p este surjecția canonică; p este un morfism de inele ( este un inel bilateral).

Propoziție. În diagrama (8), și sunt morfisme de inele.

Cum , este suficient să arătăm că este un morfism de inele.

Propoziție. Dacă R este un inel comutativ, atunci și sunt inele comutative.

Demonstrație. Fie cu și , . Putem presupune că . Cum F este o topologie aditivă, atunci . Au loc relațiile: și . Deci .

Considerăm digrama:

unde i este incluziunea canonică și . notăm cu . Cum , atunci . Analog avem .

Să arătăm că . Fie , atunci

.

Analog, de unde rezultă că .

Să arătăm că este comutativ. Fie unde și . Consideram diagrama:

,

unde și morfismul indus de . Deoarece și , luăm . Atunci . Analog avem . în continuare se procedează la fel că pentru .

Exemple. 1) Fie S un system multiplicative în R. Definim mulțimea de ideale stângi

.

este o topologie aditivă pe R. clasă de module de torsiune asociată acstei topologii este:

.

Fie S un sistem multiplicative care verifică condițiile:

(*) și , există și astfel încât (spunem că S este permutabil la stânga );

(**) Dacă , și , există astfel încât (spunem că S este inversabil la stanga).

Atunci

.

In acest caz,  și .

2) Fie D topologia aditivă a idealelor stângi dense în R. Idealul se numește inel maximal (sau complet) de caturi al lui R și se noteaza cu . Deoarece este D-fără torsiune, atunci avem .

3.8.2. Module F-inchise

Fie R un inel, F o topologie aditivă pe R, (T,F) teoria de torsiune asociată lui F și t radicalul asociat la (T,F).

Definiție. Un R-modul stâng M se numește F-inchis dacă pentru orice , morfismul canonic

este un izomorfism.

Altfel spus M este F-inchis dacă pentru orice morfism ,() există un morfism unic, cu proprietatea .

Teoremă. Fie . următoarele afirmații sunt echivalente:

1) M este F-inchis;

2) M este F-injectiv și F-fără torsiune (adica t(M)=0);

3) Pentru orice morfism în astfel încât și aparțin lui T, morfismul canonic este un izomorfism.

4) este un izomorfism.

Demonstrație. 1) 2) Fie M un modul F-inchis. Din prima definiție a paragrafului 3.7.1, rezultă că M este F-injectiv. Cum =0 oricare ar fi , rezultă că t(M)=0.

este evidenta.

. Fie un morfism în , cu , și . Cum t(M)=0 și , atunci și deci există un morfism unic astfel încât . Cum și cum M este F-injectiv, există un morfism astfel încât . Este clar că deci este surjectivă. Fie un alt morfism astfel încât . Atunci de unde rezultă că și deci . Cum t(M)=0 atunci și deci de unde .

și sunt de asemenea evidente.

. Cum , atunci t(M)=0. să arătăm că M este F-injectiv. Fie și un morfism. Considerăm diagrama

I R

f

M

unde , este clasă de echivalență a lui f în limită inductiva ce definește pe . Din lema a patra a paragrafului 3.8.1. rezultă că aceasta diagrama este comutativa. Atunci este morfismul ce extinde pe f.

Corolar. Pentru orice , este F-inchis.

Demonstrație. să arătăm că este F-fără torsiune. Cum , este suficient să arătăm că dacă t(M)=0, atunci . dacă , cu , există astfel încât .

Considerăm diagrama

I R

M

care este comutativă. în plus este monomorfism și . Atunci de unde .

Vom arata acum că dacă t(M)=0, atunci este F-injectiv.

Fie și un morfism. Definim mulțimea care este un ideal al lui R.

Morfismul f induce un monomorfism de la în și deci , de unde rezultă că .

Fie , unde astfel încât . Deoarece este monomorfism, atunci g este bine definită. Din lema 4 a paragrafului 3.8.1., există un mofism , ce extinde pe .

Cum h și f coincide pe J și cum , atunci și deci , este F-injectiv.

Corolar. dacă M este F-fără torsiune, atunci monomorfismul canonic este esențial.

Demonstrație. Fie . Cum , atunci . Dar din primul corolar al acestui paragraf, este F- fără torsiune, deci N=0.

Propoziție. Dacă asfel încât t(M)=0, atunci .

Cum este monomorfism esential, există un monomorfism esențial . Se verifică că .

Lemă. Fie un modul F-închis. Se poate descrie în mod explicit pe M o structură de -module ce extinde pe cea de R-modul și satfel încât să fie un -izomorfism.

Demonstratie. Fie și cu , , . Cum t(M)=0 și , rezultă atunci . Deci M este R/t(R)-modul. Fie morfismul , dat prin .

Deoarece M este F-inchis, f se extinde la un unic morfism . Pentru , avem egalitatea .

Punem care definește pe M o structură de -modul care, extinde structură de R-modul. Este ușor de vazut că devine un izomorfism de -module.

Propoziție. Fie un R-modul F-fără torsiune. Atunci E(M) este o anvelopă injectivă a lui în categoria .

Demonstrație. Cum t(M)=0, atunci și deci este F-închis. Prin urmare este în mod canonic un -modul. Deoarece este un monomorfism esențial, putem presupune că . Este clar că este o extensie esențială că -module ale lui . să arătăm că este un -modul injectiv. Fie cu și un morfism din categoria . Cum este R-modul injectiv, există R-morfism ce extinde pe f. să arătăm că g este un -morfism adică și , .

Fie fixat, considerăm R-morfismele:

g’

g’’

definite astfel: . Este clar că și deci

de unde . există atunci morfismul astfel încât , unde este surjecția canonică. Cum și , atunci și deci .

Exemple. 1). Fie teoria de torsiune a lui Goldie și G topologia aditivă asociată. Cum orice ideal stâng esențial al lui R aparține lui G, atunci este G-inchis dacă și numai dacă M este injectiv și G-fara torsiune . în particular dacă M este G-fara torsiune, atunci .

2). Fie R un inel cu ; atunci inelul maximal de caturi al lui R este egal cu , unde I este ideal stâng esential. în acest caz că R-modul coincide cu .

3.9. Laticea submodulelor F-saturate

3.9.1. Laticea

Fie R un inel, o topologie pe R, teoria de torsiune asociată lui F și t radicalul asociat la .

Fie și N un submodul al lui M. mulțimea este un submodul al lui M, care se numește F-saturatul submodulului N.

Propoziție. Fie N și N’ două submodule ale lui M. Atunci:

1) .

2) și este F-fără torsiune.

3) implică .

4) .

5) .

6) .

Demonstrație. 1), 2) și 3) sunt imediate.

Din 3) rezultă că . Fie acum ; atunci din . Dar cum , rezultă și deci . Deci are loc 4). relația 5) rezultă din 2), iar 6) din 3) și 5).

Definiție. Un submodul N al lui M se numește F-saturat dacă .

Notăm .

Mulțimea , ordonată cu relația de ordine incluziunea este o latice. Intr-adevar, dacă , atunci și este inferiorul, respectiv superiorul elementelor N și N’. Această latice o vom numi laticea submodulelor F-saturate ale lui M.

Definim operațiile ,,” și ,,” în prin egalitățile

și .

Propoziție. este o latice modulară și completă cu și M, prim element respectiv ultimo element.

Demonstrație. Fie o familie de elemente din . Este ușor de observat că și este inferiorul acestei familii, iar este superiorul acestei familii.

Sa arătăm că este modulară. Fie cu . Atunci avem

(pe parcurs am utilizat demodularizarea laticii submodulelor lui M).

Propoziție. . există un izomorfism canonic între laticile și .

Demonstrație. Fie . Atunci cu și . Cum , definim prin . Se verifică ușor că este morfism de latici. Este clar că este injectiv. Fie . Cum , atunci din  rezultă că și deci . Se observă că și , deci este și surjectiva.

Observație. Se poate demonstra mai general rezultatul: dacă cu N-F-torsionat, atunci laticile și sun izomorfe. Un submodul N al lui M se numește F-submodul dacă este F-de torsiune.

Propoziție. Dacă N este un F-submodul al lui M, atunci există un izomorfism canonic de latici dat prin .

Demonstrație. Este clar că dacă , atunci . Dacă definim prin egalitatea . Dacă , atunci și deci .

Dacă , atunci este clar că și deci . Fie K un submodul al lui N; să notăm cu saturatul lui K în N; se observă imediat că . dacă , atunci

Cum este imediata, rezultă că este morfism de latici.

Propoziție. Fie M un R-modul F-inchis și L un submodul al lui M. Atunci dacă și numai dacă L este F-inchis.

Demonstrație. Considerăm diagrama comutativă cu liniile exacte:

0 L M M/L 0

0

unde este un izomorfism. Se observă că este un izomorfism dacă și numai dacă este monomorfism. Deci L este F-inchis dacă și numai dacă este F-fara torsiune.

Propoziție. Fie M un modul F-fara torsiune. Atunci orice submodul complement al lui M aparține lui .

Demonstrație. Fie L un submodul complement al lui M; există astfel încât L este maximal cu proprietatea . Atunci . Dar atunci și deci cum obținem adică .

Dacă M este F-fără torsiune, atunci are un prim și un ultim element care sunt submodulele 0 respectiv M. în acest caz putem vorbi despre complementul unui element , care este un element astfel încât și .

Propoziție. Fie M un modul F-fără torsiune. următoarele afirmații sunt echivalente:

1) Orice element din are un complement;

2) coincide cu mulțimea submodulelor complement ale lui M;

3) Orice submodul esențial al lui M este F-submodul.

Demonstrație. . Fie . Din ipoteză există astfel încât . Fie , maximal cu proprietatea . Fie ; cum , există astfel încât . Dar și deci . Cum , atunci și deci de unde rezultă că L este submodul complement. Ținând cont și de propoziția anterioară, obținem că coincide cu mulțimea submodulelor complement ale lui M.

. Fie L un modul esențial al lui M; atunci este esențial și din ipoteza submodul complement. Atunci și deci L este F-submodul.

. Fie . Fie K maximal cu proprietatea . Atunci L+K este esențial în M și deci din ipoteza avem adică și deci . Cum atunci este un element complement al lui L.

Corolar. Fie M un modul F-închis. Presupunem că îndeplinește una din condițiile echivalente din propoziția anterioară. Atunci

a) Orice submodul F-inchis al lui M este summand direct.

b) este un inel regulat în sens von Newmann.

Demonstrație. a). Fie L un submodul F-inchis al lui M. Din propoziția 5 a acestui paragraf, . Din ipoteza, L este complementul unui submodul . Atunci L+K este esențial și . Fie proiecția canonică. Cum și L este F-închis, există ce extinde pe . Este clar că , unde este injectia canonica. rezultă că L este sumand direct în M.

b) Fie . Cum Imf rezultă că . Din propoziția 5 a acestui paragraf rezultă că este sumand direct în M. Deci induce un izomorfism și deci este F-închis. Prin urmare este sumand direct al lui M. Izomorfismul se extinde la un morfism . Atunci și deci este un inel regulat.

Corolar. Fie Q un R-modul injectiv nesingular . Atunci inelul este regulat în sens von Newmann.

Demonstrație. Fie G topologia aditivă asociată teoriei de torsiune a lui Goldie. Din ipoteza Q este G-fără torsiune și deci Q este G-inchis. condiția 3) din ultima propoziție este verificată; deci putem aplica corolarul anterior.

3.9.2. Laticea

Fie R un inel, F o topologie, teoria de torsiune asociată și t radicalul asociat la .

Pentru R-modulul stâng putem considera laticea notata simplu și numită laticea idealelor stângi F-saturate.

Propozitie. Teoria de torsiune este cogenerată de modulul injectiv .

Demonstrație. Fie este clar că . Fie ; atunci din rezultă . dacă , fie ,. Atunci și deci . Cum Rx și cum Q este invectiv, atunci există un morfism nenul , contradictie.

Propoziție. Fie cogenerată de modulul injectiv Q. Atunci .

Demonstrație. Fie ; atunci unde fiecare deoarece și Q este F-fara torsiune. Cum este închisă la intersecții arbitrare, rezultă . Invers, fie și luam . Atunci . Fie . Definim prin , care este un monomorfism. Atunci pentru orice există astfel încât . Dar , unde . Dar și deci și deci de unde rezultă că și deci . Atunci și deci , de unde . Deci am obtinut egalitatea .

Un R-modul M se numește F-noetherian dacă pentru orice lanț ascendent de submodule ale lui M

exista un k astfel încât pentru orice ,.

R-modulul M se numește F-finit generat dacă un submodul , finit generat astfel încât .

O latice se numește F-finit generat dacă orice lanț ascendent de elemente ale sale este staționar.

Propoziție. Următoarele afirmații sunt echivalente pentru modulul M:

1) M este F-noetherian.

2) Orice submodul al lui M este F-finit generat.

3) Laticea este notheriana.

Demonstrație. rezultă direct din prima propoziție a paragrafului 2.2.

. Fie unsir ascendent de elemente din . Din ipoteza există un k astfel încât pentru . Dar cum rezultă că pentru și deci , pentru orice .

. Fie un lanț ascendent de submodule ale lui M. obținem lantul ascendent de elemente din . există un k astfel încât pentru orice să avem . Cum , atunci și deci .

Corolar. Fie N un submodul al lui M. Atunci M este F-noetherian dacă și numai dacă N și M/N sunt F-noetherieni.

Teoremă. Sunt echivalente afirmațiile:

1) este F-noetherian.

2) Orice modul stâng F-finit generat este F-noetherian.

3) este o latice noetheriană.

4) Orice limită inductivă filtrantă de R-module stângi injective și F-fara torsiune este un modul injectiv.

5) Orice suma directă de module stângi injective și F-fara torsiune este un modul injectiv.

6) Orice modul stâng injectiv F-fara torsiune este o suma directă de submodule injective idecompozabile.

Corolar. Presupunem că este generată de modulul injectiv Q. următoarele afirmații sunt echivalente:

1) Q este Σ-injectiv (adică este injectiv, oricare ar fi mulțimea de indici I).

2) este o latice notheriană.

Corolar. Dacă este noetheriană, atunci F conține un sistem cofinal de ideale finit generate.

Demonstrație. I este finit generat; deci există un ideal stâng finit generat astfel încât . Cum , atunci și deci .

Corolar. Fie R un inel. următoarele afirmații sunt echivalente:

1) R este noetherian la stanga.

2) Exista un cogenerator în R – M od Σ injectiv.

3.9.3. Imaginea directă a unei topologii

Fie R,S două inele și un morfism de inele. Morfismul definește un functor aditiv și exact numit functorul restricția scalarilor.

Fie acum F o topologie pe R; definim

.

Lemă. este o topologie aditivă pe S.

Topologia aditivă este imaginea directă a topologiei F prin morfismul .

Propoziție. Fie , două morfisme de inele. Fie F o topologie aditivă pe R. Atunci

Propoziție. Fie un morfism de inele și F o topologie aditivă pe R. Fie

.

Atunci

1) Dacă este F-de torsiune, atunci .

2) Dacă S este comutativ, atunci .

3) Dacă este surjectiv, atunci .

Demonstrație. 1). Fie și . Atunci . Vom arata că pentru orice , , unde de unde va rezulta că și deci . Dar . Dar . Fie astfel încât . Atunci .

Deci am aratat că . Cum incluziunea este evidenta, rezultă egalitatea . Relatiile 2) și 3) sunt imediate.

Corolar. Fie R un inel, F o topologie aditivă pe R, inelul de câturi relativ la F și morfismul canonic. Atunci ={J ideal stâng în }.

Topologia o notăm cu .

Corolar. Fie un morfism de inele și F o topologie aditivă pe R. Presupunem verificată una din cele trei conditii ale propoziției 3 a subparagrafului 3.9.2. Atunci dacă , avem:

1) M este -fără torsiune dacă și numai dacă este F-fără torsiune.

2) M este -fără torsiune dacă și numai dacă este F-de torsiune.

Teoremă. Fie R un inel, F o topologie aditivă pe R. Fie morfismul canonic. Fie M un R-modul și modulul de caturi al lui M relativ la F. Atunci

1)  (izomorfism de -module).

2) Exista un izomorfism canonic de latici

dat de .

Demonstrație. 1). Este suficient să arătăm că este -inchis. Cum este F-fără torsiune, atunci din corolarul anterior rezultă că este -fără torsiune. Deci ramane să arătăm că -injectiv. Fie atunci și un -morfism. Punem . Definim , care este un morfism de R-module. Cum este F-injectiv, atunci există ce extinde pe . Fie morfismul de -module cu , unde este un izomorfism. Morfismul extinde pe .

2). Ținând cont de a 3-a propoziție a paragrafului 3.9.1. putem presupune că . Dacă , atunci M/X este F-fără torsiune. Din șirul exact este F-fara torsiune. Din teorema de la paragraful 3.9.2. rezultă că este -modul, -fara torsiune. Deci și deci este bine definită. Definim aplicația , . Dacă , atunci este -fara torsiune, iar din teorema de la paragraful 3.9.2. rezultă că este un R-modul F-fără torsiune. Din monomorfismul canonic indus de . Deci și aplicația este bine definită. Se verifică imediat că și sunt inverse una celeilalte.

Dacă , atunci din a 5-a propoziție a paragrafului 3.9.1., (saturatul în al lui X în raport ci F) este F-inchis. Acum ; atunci și din obținem . Deci . Din aceasta observație rezultă imediat că este un morfism de latici.

Corolar. Cu notațiile din teorema anterioară există un izomorfism canonic între laticile și .

Demonstrație. Din al doilea corolar al paragrafului 3.9.2. și a 5-a propoziție a paragrafului 3.9.1. rezultă că . În continuare se aplică teorema anterioară punctul 1). Cum  (izomorfism de -module), atunci rezultă că .

=== CAPITOLUL IV ===

CAPITOLUL IV

INELE NOETHERIENE DEPLIN MĂRGINITE.

MODULE ARTIN-RESS

4.1. Inele notheriene deplin mărginite

Știm că pentru un inel comutativ noetherian există o corepondență bijectivă între modulele injective indecompozabile și ideale prime. Pentru inele noetheriene arbitrare nu mai este adevărat; în general există mai multe injective indecompozabile decât ideale prime.

Notăm prin mulțimea claselor de izomorfisme ale A-modulelor injective drepte nevide indecompozabile, și notăm cu mulțimea idealelor prime ale lui A. Definim o funcție:

prin , ținând cont de faptul că fiecare modul injectiv indecompozabil este cotertiar. este o aplicație surjectivă, deoarece fiecare ideal prim p este asociat sumanzilor direcți injective indecompozabili ai lui .

Teorema. (Krause). Următoarele proprietăți ale unui inel drept noetherian A sunt echivalente:

1) este bijectiva.

2) Pentru orice ideal prim p, inelul A/p are proprietatea că orice ideal drept esențial conține un ideal bilateral nenul.

3) Orice modul cotertiar este izotipic.

Demonstrație. Vom stabili mai întâi partea trivială a teoremei, mai precis echivalența dintre 1) și 3).

Fie M un modul cotertiar, și scriem , cu module injective indecompozabile . Intrucat trebuie să avem pentru fiecare , 1) implică faptul că toți sunt izomorfi.

Dacă E și sunt două module injective indecompozabile cu acelasi ideal prim asociat p, atunci și astfel este cotertiar. condiția 3)implica faptul că E și sunt izomorfe.

Pentru a demonstra 1)2) avem nevoie de:

Lema. Dacă A satisface 1), atunci același lucru îl face orice imagine epimorfica a lui A.

Demonstratie. Fie a un ideal bilateral al lui A și punem B=A/a. Fie și două B-module injective indecompozabile neizomorfe; considerate că A-module, și sunt inca coireductibile. Presupunem că anvelopele lor injective și sunt izomorfe că A-module. va conține atunci o copie a lui , și de aici un submodul nenul . Dar aceasta trebuie să implice . De aici trebuie să concluzionam că și sunt neizomorfe. condiția 1) pentru A implică . Aceasta înseamnă că . Se observa ușor că , deci avem . Aceasta stabilește condiția 1) pentru inelul B.

Putem demonstra acum 1)2). că o consecință a lemei, este suficient să considerăm un inel A sis a arătăm că orice ideal drept esențial conțineun ideal bilateral nenul.

Presupunem că există un ideal drept esențial a care nu conține nici un ideal bilateral diferit de 0. Putem presupune că a este cel mai mare (maximal) cu aceasta proprietate. Să observăm mai întâi că a trebuie să fie ireductibil.

Preuspunem unde fiecare este un ideal drept ce conținestrict pe a. Atunci conțineun ideal bilateral nenul , și cu pentru că A este un inel prim. Am ajuns astfel la o contradictie, deci a trebuie să fie ireductibil.

Rezultă că , unde avem pentru b ideal drept ce conținestrict pe a.

Atunci b conține un ideal bilateral , și . Dar a nu conține nici un ideal bilateral nenul, deci cp=0, ceea ce atrage p=0 deoarece A este un inel prim. am ajuns astfel la concluzia că , și acum ne mai rămâne să găsim un alt modul injectiv indecompozabil care să aiba de asemenea pe (0) drept idealul sau prim asociat. Pentru aceasta folosim anvelopa injectivă a lui . Scriem cu indecompozabile. Atunci deoarece A este inel prim.

Pentru a ajunge la o contradicție trebuie să arătăm că nu putem avea , dar aceasta este ușor deoarece inelul prim noetherian A este nesingular, și de asemenea E(A) este nesingular, atât timp ce conține un element anihilat de idealul drept esențial a.

2) 1) Vrem să arătăm că fiecare modul injectiv indecompozabil E este unic determinat de idealul prim . Acum pentru a demonstra aceasta este suficient să producem un monomorfism . De fapt, dacă facem o des compunere , cu indecompozabile care sunt toate izomorfe cu fiecare din celelalte, atunci obținem faptul că E este izomorf cu .

Avem pentru oarecare, și punem . Deci a este un ideal drept ireductibil conținând p. Afirmam că a/p nu este un ideal drept esențial în inelul A/p. Dacă am fi presupus că a/p ar conține un ideal bilateral b/p cu și am fi contrazis faptul că . Deci a/p nu este esențial, există un ideal drept c conținând strict pe p astfel încât , și de aici . Se poate scrie c că o intersectie de ideale drepte ireductibile, și aceasta conduce la o descompunere ireductibilă iredundantă a lui p că .

Cum

si în particular

,

ceea ce doream.

Definiție. Un inel drept noetherian este deplin mărginit la dreapta dacă satisface condițiile echivalente ale teoremei.

Inelele care sunt deplin mărginite și au toate idealele lor prime ireductibile pot fi caracterizate în felul următor:

Propoziție. Următoarele proprietăți ale unui inel noetherian drept A sunt echivalente:

1) A este deplin mărginit la dreapta și fiecare ideal prim este un ideal drept ireductibil.

2) Pentru fiecare modul injectiv indecompozabil E există un ideal prim p astfel încât .

3) Pentru fiecare ideal prim p și ideal drept , există un ideal bilateral b astfel încât .

Demonstrație. (1)(3) Dacă idealul prim p este ireductibil, atunci este un modul coireductibil, așa că fiecare submodul nenul al lui este esențial. Aceasta înseamnă că fiecare ideal drept nenul al inelului este esențial și cand A este deplin marginit, va rezultă (3).

(3) (2) Fie E un injectiv indecompozabil cu pentru un anumit . Pentru a vedea că , este de ajuns să arătăm că , de unde rezultă că . Presupunem că . Atunci din ipoteze există un ideal bilateral b astfel încât . Dar aceasta este imposibilă deoarece ar rezulta că .

(2) (1) Pentru fiecare modul injectiv indecompozabil E avem din ipoteza că , unde în mod necesar . Deci E este unic determinat de idealul sau prim asociat, de unde rezultă că A este deplin mărginit la dreapta.

Fie p un ideal prim arbitrar. Atunci cu modulele injective indecompozabile. Acum avem pentru un anumit ideal prim q și implică q=p. Deci este indecompozabil și p este ireductibil.

Exemple. 1) Inele comutative. Fiecare inel noetherian comutativ este deplin marginit. Mai general, un inel noetherian drept pentru care toate idealele drepte sunt bilaterale este deplin mărginit la dreapta, și idealele sale prime sunt ireductibile la dreapta.

2) Inele fără ideale bilaterale. Fie A un inel noetherian drept fără ideale bilaterale . Idealul zero este singurul ideal prim. Inelul A este deplin mărginit la dreapta, adică el nu conțineideale drepte esențiale , de unde rezultă că A este un inel simplu.

3) Conditiția (H). O condiție suficientă uzuală pentru ca A să fie deplin mărginit la dreapta a fost dată de Gabriel:

(H) Pentru fiecare ideal drept a, există astfel încât

Aici reprezintă idealul bilateral cel mai mare conținut în a.

(H) este evident echivalența cu condiția mai tare.

(H’) Pentru fiecare modul finit generat M, există astfel încât

.

Propoziție. Dacă inelul noetherian drept A satisface condiția (H), atunci A este deplin mărginit la dreapta.

Demonstrație. Fie E un modul injectiv indecompozabil. Idealul prim asociat, p al lui E este anulatorul unui anumit submodul ciclic M al lui E. Atunci pentru anumiti . rezultă că și astfel . E este unic determinat de idealul sau prim asociat, de unde rezultă că A este deplin mărginit la dreapta.

4) Extensii centrale finite. Presupunem că A este un inel astfel încât centrul sau cen(A) este un inel noetherian și A este finit generat că modul peste cen(A). Atunci A este un inel noetherian stâng și drept. Afirmăm că A este de asemenea deplin mărginit la stânga și la dreapta.

Considerăm un modul finit generat M. Atunci M este de asemenea finit generat peste cen(A), cu generatorii . Atunci pentru că, dacă , atunci cu și obținem , ceea ce implică condiția (H).

4.2. Topologii pentru un inel noetherian deplin mărginit

Definiție. Un inel topologic A este liniar topologic la dreapta dacă există un sistem fundamental de vecinătăți ale lui 0 format din ideale la dreapta. mulțimea F a tuturor idealelor deschise la dreapta satisface atunci:

1. Dacă și , atunci ;

2. Dacă a, , atunci ;

3. Dacă și a, atunci (a:a).

Definiție. O familie F a idelelor drepte ale lui A ce satisface axiomele 1,2,3, și în plus:

4. Dacă a este ideal drept și există astfel încât (a:b) pentru orice bb, atunci ,

este o topologie Gabriel ( la dreapta) pe A.

Fie F o topologie Gabriel pe inelul noetherian drept A. Vom arăta că atunci cand A este deplin mărginit la dreapta, familia F este determinata de idealele prime pe care le contine.

Lema. Un ideal prim p aparține lui F dacă și numai dacă nu este liber de F-torsiune.

Propozitie. Presupunem că A este deplin mărginit la dreapta. dacă M este un modul de F-torsiune atunci .

Demonstrație. Scriem cu module injective indecompozabile. Pentru fiecare este o suma directa de module injective indecompozabile care trebuie să fie izomorfe cu unele din modulele , datorită corespondenței bijective dintre modulele injective indecompozabile și idealele prime. Rezultă că conțineun submodul nenul izomorf cu un submodul al lui M. Din lema anterioară, rezultă că .

Pentru fiecare mulțime G de ideale prime ale lui A se poate defini o topologie Gabriel F prin , fiecare topologie Gabriel se poate obtine în modul urmator:

Teorema. (Gabriel). Fie A un inel noetherian drept și deplin mărginit la dreapta. Fiecare topologie Gabriel F pe A are forma:

.

Propoziție. Fie F o topologie Gabriel mărginită pe un inel noetherian drept A. Atunci .

Exemple de inele noetheriene comutative.

Când A este un inel noetherian comutativ, avem acum la dispoziție două descrieri ale unei topologii Gabriel, și anume:

și , unde .

Modulele M de F-torsiune sunt caracterizate prin proprietatea că pentru toate idealele prime .

4.3. Module Artin –Ress și topologii stabile

O topologie liniară F se numește stabilă dacă F-topologia pe modulul M induce mereu F-topologia pe submodulele luiu M. în continuare studiem stabilitatea topologiilor mărginite pe un inel noetherian drept A.

Definiție. Fie a un ideal bilateral intr-un inel A. Puterile formează o bază pentru o topologie liniară pe A, care este obisnuit numita toologia a-adica.Toologia a-adica este separata, adică .

Daca a este un ideal bilateral al lui A, topologia a-adica este topologia Gabriel mărginită constând în toate idealele drepte ce contin anumite puteri ale lui a. Cand M este un modul finit generat, un sistem fundamental de vecinătăți ale lui 0 pentru topologia a-adică pe M este dat de submodulele .

Propoziție. Presupunem că topologia a-adică este stabilă și M este un modul finit generat. Pentru fiecare submodul L al lui M și întreg , există un întreg h(n) astfel încât .

Un modul finit generat M se numește modul Artin-Ress dacă pentru fiecare ideal bilateral a al lui A, fiecare submodul L al lui M și , există astfel încât . Avem nevoie de:

Lemă. Fie M un modul finit generat cu submodulele . există un submodul N al lui M astfel încât și .

Demonstrație. Dacă K=L, luam N=M. Presupunem . Fie o descompunere terțiară a lui K în M. Fiecare este terțiar în L, ceea ce duce la , deoarece . Cum , rezultă că

. Astfel obținem o decompunere terțiară a lui K în L adică , după omiterea elementelor inutile. Considerăm acum . Atunci și

.

Propoziție. Un modul finit generat M este un modul Artin-Ress dacă și numai dacă fiecare submodul terțiar al lui M este primar.

Demonstrație. Presupunem că M este un modul Artin-Ress și L este un submodul terțiar al lui M. Fie p idealul prim asociat lui M/L. Atunci pentru un anumit , și alegem maximal, adică . Deoarece pentru fiecare submodul nenul N/L al lui , maximalitatea lui implică faptul că este un submodul esențial al lui M/L. Prin proprietatea Artin-Ress avem pentru un anumit întreg n. Dar esențial în M/L, ceea ce implică , adică L este primar în M.

Pentru reciprocă, presupunem că submodulele tertiare ale lui M sunt primare M. Fie a un ideal bilateral, L un submodul al lui M, și n un întreg mai mare că 0. considerăm . Atunci anuleaza L/K, deci pentru fiecare avem și deci .

Fie un submodul N al lui M astfel încât și . Fie o decompunere terțiară a lui N în M, cu . Atunci și astfel . Fiecare este primar în M din ipoteza, ceea ce înseamnă că pesntru un anume . în consecință există un întreg m astfel încât

și atunci

.

Aceasta stabilește proprietatea Artin-Ress pentru M.

Teorema. Următoarele proprietăți pentru un inel noetherian drept A sunt echivalente:

1) Fiecare ideal drept ireductibil este primar.

2) Fiecare submodul terțiar al unui modul finit generat M este primar în M.

3) A este un modul Artin-Ress (ca un A-modul drept).

4) Toate modulele finit generate sunt module Artin-Ress.

5) Toate topologiile Gabriel mărginite pe A sunt stabile.

6) Pentru fiecare modul injectiv indecompozabil E, cu idealul prim asociat pe p și fiecare , există un întreg astfel încât .

Demonstrație. Propoziția anterioară determină și . Arătăm că .

. Dacă E este un modul injectiv indecompozabil și , atunci este un ideal drept ireductibil, astfel că din 1) obținem că pentru un anumit n, unde , deci .

. Fie F o topologie Gabriel marginită, și fie F-stabilă. Dacă M este un modul de F-torsiune, atunci de asemenea E(M) este de F-torsiune. Evident putem presupune că E(M) este indecompozabil, și fie . Deoarece , condiția 6) implică atunci că E(M ) este un modul de torsiune.

Un inel noetherian drept A se numește clasic la dreapta dacă satisface condițiile echivalente ale teoremei de mai sus.

Exemple.

1) Inele noetheriene comutative.

Fie A un inel noetherian comutativ. Deoarece fiecare ideal ireductibil este primar, A este un inel clasic. Astfel:

Propoziție. Dacă A este un inel noetherian comutativ, atunci:

1) Toate topologiile Gabriel pe A sunt stabile.

2) Toate modulele finit generate sunt module Artin-Ress.

2) Algebre separabile.

Fie R un inel noetherian comutativ și fie A o R-algebră centrală separabilă. Afirmăm că A este un inel clasic. Fie a un ideal bilateral al lui A, b un ideal drept al lui A, și n un întreg mai mare că 0. Este cunoscut că a are forma a=cA pentru un anumit ideal c din R. Deoarece R este un inel clasic și A este un R-modul finit generat, atunci există h(n)>0 astfel încât . Aceasta poate fi scrisă ca , astfel că A este un modul Artin-Ress, de unde obinem că A este clasic la dreapta.

A este de asemenea deplin mărginit la dreapta, astfel că fiecare topologie Gabriel pe A este mărginită și astfel stabila.

3) Teorema de intersectie a lui Krull.

O consecință clasică a lemei Artin-Ress este teorema de intersectie a lui Krull. Generalizarea sa necomutativă este:

Propoziție. Fie A un inel clasic la dreapta. Dacă a este un ideal bilateral al lui A și M este un modul finit generat, atunci constă din acei pentru care există a astfel încât x(1-a)=0.

Demonstrație. Dacă și x=xa pentru un anumit a, atunci x=xa pentru toți n și deci .

Reciproc, dacă atunci xA este continuț în intersecția tuturor vecinătăților lui 0 în topologia a-adică a lui M. Aceasta topologie induce topologia a-adică pe xA și deoarece xa este o vecinătate a lui 0 în ultima topologie, rezultă că xa=xA. Deci x=xa pentru un anumit a.

4.4. Rezultate auxiliare în localizarea comutativă

Fie un inel noetherian comutativ A. Fie S o submultime multiplicativ închisă a lui A, și notăm cu mulțimea idealelor prime ce nu intersecteaza pe S.

Propozitie. Aplicatia este o bijectie

.

Propozitie. Pentru fiecare modul M există o bijectie

.

Demonstratie. dacă și pentru un anumit , atunci se verifică ușor că . Presupunem reciproc că și este asociat cu , și pentru un anumit și . Fie generatorii idealului p. Atunci , de unde rezultă că =0 pentru anumiți (scriem acum toate A-modulele că module stanga). Fie . Pentru fiecare avem , adică . Pe de alta parte, dacă , atunci , de unde rezultă că . Astfel, .

Definiție. Se numește suportul modulului M mulțimea idealelor prime p pentru care , și o notăm cu Supp(M).

Propoziție. Un ideal prim aparține lui Supp(M) dacă și numai dacă conține un ideal prim în Ass(M).

Corolar. Ass(M)Supp(M) și aceste două familii au aceeasi membri minimali. Rezulta, în particular, că fiecare ideal prim minimal al lui A este un membru al lui Ass(A) și deci există numai un numar finit de ideale prime minimale.

Pentru fiecare ideal a avem Supp(A/a)=V(a). Mai general:

Lema. Dacă a este un ideal și M este un modul finit generat, atunci Supp(M/aM)=Supp(M)∩V(a).

Demonstrație. Un ideal prim p aparține lui Supp(M/aM), care are loc dacă și numai dacă și .

Definiție. Dacă M este un modul, atunci un element se numește M-regulat dacă pentru toți din M.

Lemă. Fie M un modul. Un element al lui A este M-regulat dacă și numai dacă nu este conținut în nici un ideal prim asociat lui M.

Demonstrație. Dacă este M-regulat, atunci desigur a nu poate aparține nici unui . Pe de alta parte, dacă a nu este M-regulat, atunci ax=0 pentru un anumit din M. Fie p un ideal prim asociat submodulului Ax. Dacă p=Ann(bx), pentru un anumit și abx=0, rezultă că . Astfel a aparține unui ideal prim asociat lui M.

Lemă. Fie M un modul finit generat și un element M-regulat. Atunci

pentru fiecare .

Demonstrație. Fie L un submodul al lui M astfel încât Ass(L)={p} și Ass(M/L)=Ass(M)-{p}. Elementul M-regulat a este de asemenea (M/L)-regulat (rezultă din lema anterioară). Rezultă că și morfismul indus L/aL→M/aM este un monomorfism, deci . Cum și fiecare membru minimal din V(p+aA) aparține , ceea ce încheie demonstrația.

4.5. Topologiile pentru un inel noetherian comutativ

Pentru un inel dat A și un modul M, introducem un șir de topologii care pot fi descrise prin . Presupunem acum că A este comutativ și noetherian și ne propunem să descriem explicit mulțimea idealelor prime care determină . Considerăm cazul n=0.

Lemă. Dacă a este conținut în reuniunea unui numar finit de ideale prime, atunci a este conținut în unul din ele.

Demonstrație. Fie ideale prime și . Putem presupune că pentru . Presupunem că , pentru fiecare i. Din definiția idealelor prime rezultă ușor că . dacă este un element din a astfel încât , atunci aparține lui a fără a aparține nici unui , ceea ce este o contradictie.

Propoziție. Fie M un modul finit generat. Următoarele proprietăți ale unui ideal a sunt echivalente:

1) ;

2) ;

3) ;

4) a conține un element M-regulat.

Demonstrație. evident.

Dacă și , atunci pentru un anumit nenul, ceea ce impica existenta unui morfism nenul , ceea ce contrazice 2).

Dacă a nu este conținut în nici un ideal prim asociat lui M, atunci deoarece Ass(M) este finit, din lema anterioarea obținem că a nu este conținut în reuniunea acestor ideale prime, deci a conțineun element M-regulat.

Fie L un submodul al lui A/a și presupunem că există un morfism nenul . Atunci există astfel încât . Dar ax=0, implică și aceasta este imposibil cand a conțineelemente M-regulate.

Pentru generalizarea condiției 4) la cu n>0, avem nevoie de o extindere a conceptului de M-regularitate. Fie M un modul finit generat. Un șir de elemente ale lui A este M-regulat (de lungime n) dacă este M-regulat și este -regulat pentru .

Propoziție. (Grothendieck) Fie M un modul finit generat. Următoarele proprietăți ale unui ideal a sunt echivalente pentru fiecare întreg :

1) ;

2) pentru toți ;

3) conține un șir M-regulat de lungime n+1.

Demonstrație. evident.

Procedam prin inducție după n. Cazul n=0 a fost tratat în propozitia anterioara. Considerăm un n>0 arbitrar. în particular presupunem că , care implică că conține un element M-regulat a. Multiplicarea prin a duce la un șir exact

,

din care obținem sirurile exacte:

,

pentru . Folosind condiția 2), concluzionăm că pentru . Din ipoteza de inductie, există un șir M/aM-regulat în . Sirul este M-regulat.

Din nou facem inducție după n. Fie un șir M-regulat în . Atunci este un șir regulat în , astfel că din ipoteza de inducție avem pentru și fiecare . Sirul exact

induce un monomorfism

pentru i<n. Dar implică faptul că , deci monomorfismul trebuie a fie zero. Deci pentru și .

Dacă condițiile echivalente ale propoziției anterioare sunt satisfacute pentru un anumit întreg n și dacă este un șir M-regulat în pentru un anumit , atunci modelul satisface aceleasi conditii pentru . Aceasta este ușor de demostrat prin inducție utilizând același tip de argumente ca în demonstrația . Rezultă că toate șirurile M-regulate maximale de elemente din au aceeași lungime , care se numește -adancimea lui M și se notează prin . Deducem în particular:

Lemă. Fie un ideal și M un modul finit generat. dacă este M-regulat, atunci:

.

Dacă p este un ideal prim al lui A, atunci scriem pentru -adancimea -modulului .

Lemă. Fie un ideal și M un modul finit generat. Atunci .

Demonstrație. Dacă M are -adancimea egală cu n, atunci există un șir M-regulat in . Pentru fiecare , imaginea canonica a lui în formează un șir -regulat în , așa cum se verifica. Deci are adâncimea mai mare sau egală cu n.

Pentru a obține inegalitatea inversă, demonstrăm că dacă are loc pentru toți , atunci . Facem aceasta prin inducție. Cazul n=0 este trivial, așa că presupunem . Atunci pentru fiecare , și rezultă ușor că . Fie . Evident este -regulat și din lema anterioară rezultă că -modulul are adancimea mai mare sau egală cu n-1 pentru toți .

Ipoteza de inducție arăta că M/aM are -adancime mai mare sau egală cu n-1, și deci M are -adâncimea mai mare sau egală cu n.

Aplicand lema anterioară ajungem la următoarea caracterizare a topologiei :

Propoziție. Fie M un modul finit generat. Atunci

.

În particular, un ideal prim p aparține lui dacă și numai dacă are adâncimea mai mare sau egală cu n+1 pentru toate idealele prime . Nu este suficient să considerăm că doar să aiba adancimea mai mare sau egală cu n+1, deoarece se poate intampla pentru idealele prime că . Pentru a evita acest tip de complicatii și a obtine propozitia intr-o forma mai placuta, trebuie să impunem cateva conditii în plus pentru A și M. în scopul simplitatii ne indreptam atentia catre cazul M=A.

Dar mai întâi facem o digresiune pe relația dintre adancime și dimensiune.

Dimensiunea Krull a unui inel A este definita că fiind lungimea maxima n a lanturilor de ideale prime din A, notată cu dim(A). Astfel . Dacă p este un ideal prim, dimensiunea Krull a unui inel local se numește înălțimea lui p și se notează cu ht(p).

Poate fi demonstrat că fiecare ideal prim are înălțime finită, sau, cu alte cuvinte, că fiecare inel local are dimensiunea Krull finita.

Lemă. Fie A un inel local. Atunci .

Demonstrație. Utilizăm inducția după . Cazul n=0 este trivial. Presupunem . Fie a un element A-regulat în idealul maximal al lui A. Atunci . Pentru fiecare putem gasi un ideal prim așa încât și . Deoarece a este A-regulat, avem , așa că . Deci, ipoteza de inducție arăta că . Atunci implică așa că .

Definiție. (Serre). Inelul A satisface condiția , pentru un întreg , dacă are loc pentru fiecare ideal prim p.

Observăm că dacă are loc, atunci are loc pentru . Ca o consecință a lemei anterioare, poate fi formulată că o combinație a două condiții:

Propoziție. Presupunem că A satisface . Atunci:

(1) consta din toate idealele prime de înălțime mai mare sau egală cu n+1.

(2) A-modulul L este un modul de -torsiune dacă și numai dacă . pentru toate idealele prime de înălțime mai mica sau egală cu n.

Demonstrație. (1). Fie un ideal prim p ce aparține lui dacă și numai dacă pentru toate idealele prime . Dacă , atunci de asemenea fiecare are , și din . Deci în acest caz. Cand , de asemenea din și astfel .

Exemple.

1) Ideale dense. Deoarece constă din idealele dense ale lui A avem:

Propoziție. Un ideal intr-un inel noetherian comutativ este dens dacă și numai dacă conțineun element regulat.

2) Domenii integral închise. Fie A un inel noetherian integral închis. Afirmăm că A satisface condiția . dacă p este în ideal prim de înălțime 0 sau 1, atunci are evident adâncimea 0, respectiv 1. Pentru a rezolva cazul , este suficient să arătăm că fiecare domeniu integral A de dimensiune mai mare sau egală cu 2, are adancimea mai mare sau egală cu 2 (deoarece fiecare localizare a unui domeniu integral inchis este integral inchis). Alegem orice element nenul a din idealul maximal m al lui A. Atunci fiecare are înălțimea 1 și este deci strict conținut în m. Deci m nu este conținut în așa că există un element care nu aparține nici unui . Sirul a,b este A-regulat așa că .

Propoziție. Fie A un domeniu integral inchis noeherian. L este un modul de -torsiune dacă și numai dacă pentru fiecare ideal prim de înălțime mai mica sau egală cu 1.

3) Inele Cohen-Macaulay. Inelul A este inel Cohen-Macaulay dacă pentru fiecare ideal prim p. Acesta satisface atunci condiția pentru fiecare . Din exemplul anterior, fiecare domeniu integral inchis de dimensiune mai mare sau egală cu 2 este un inel Cohen-Macaulay. Pentru un modul M peste un inel Cohen-Macaulay A există un filtru de submodule , unde este submodulul de -torsiune al lui M și de asemenea există submodulul maximal L al lui M așa încât pentru toate idealele prime de înălțime mai mică sau egală cu n.